Elemente DE Teoria Clasică A Electromagnetismului

De la fizica elementară spre Fizica modernă (LXVIII)

Lucrare publicată în revista Evrika, 20(237-238) pag. 54-61, mai-iunie 2010

ELEMENTE DE TEORIA CLASICĂ A ELECTROMAGNETISMULUI (A)

Prof. dr. fiz. Dan-Alexandru Iordache

Catedra de Fizică II, Universitatea “Politehnica” din București

Introducere

Abordarea unor teme majore ale Fizicii moderne, spre exemplu a problemelor privind dispozitivele “inteligente” de tipul celor cuplate prin sarcini (CCD), fibrele optice (tematici de însemnătate deosebită, recunoscută prin acordarea premiului Nobel pentru Fizică la sfârșitul anului 2009), în general a problemelor Opto-electronicii (implicit și rețelele Internet), necesită cunoștințe de bază de optică electromagnetică [1] – [7], în particular de teoria clasică a Electromagnetismului [1], [3], [5], [7]. Acest lucru impune o abordare succintă, dar sistematică, a problemelor de bază ale acestor importante teorii fizice.

§1. Ecuațiile lui Maxwell

a) Ecuația Maxwell-Gauss a electrostaticii

Se cunoaște că plecând de la legea lui Coulomb se obține pentru intensitatea câmpului electrostatic produs de o sarcină punctuală Q situată într-un mediu izotrop expresia (vezi fig. 1.1):

, (1.1)

unde (= în sistemele raționalizate de mărimi și unități fizice, de exemplu SI, și în sistemele neraționalizate, de exemplu , , Gauss…) este coeficientul (electric) de raționalizare, iar este raza vectoare din punctul M de observație.

Fig. 1.1

În medii anizotrope, expresia aceleiași mărimi fizice devine (v. [1], p. 88-89):

(1.2)

unde (1.3)

este tensorul constantei dielectrice (permitivitate).

Pentru a evita complicațiile calculelor (pentru medii anizotrope) ivite datorită prezenței tensorului , se introduce o nouă mărime fizică (numită inducție electrică sau vectorul ) prin relația:

(1.4)

unde, pentru o sarcină punctuală: . (1.5)

Se definește fluxul vectorului printr-o suprafață oarecare S, într-o manieră analogă fluxului magnetic:

, , (1.6)

unde este vectorul element diferențial de arie al suprafeței S.

Dacă S este sfera ce conține în centru sarcina punctuală Q, se obține:

, (1.7)

unde (=1 pentru sistemele raționalizate și pentru sistemele neraționalizate) este constanta “inversă” de raționalizare.

Se constată (vezi problemele 1 și 2 din acest paragraf) că se poate generaliza acest rezultat pentru o suprafață închisă oarecare și o distribuție arbitrară a sarcinii electrice:

, (1.8)

unde este sarcina totală din interiorul suprafeței închise .

Relația (1.8) reprezintă expresia integrală a ecuației Maxwell-Gauss (a electrostaticii).

Se definește divergența vectorului ca fiind densitatea volumică a fluxului vectorului prin suprafața închisă care înconjoară volumul elementar : . (1.9)

Teorema lui Gauss (- Ostrogradsky, vezi problema 3) demonstrează că:

, (1.10)

unde: (1.11)

este operatorul diferențial (și vectorial) “nabla”, în timp ce și reprezintă vectorii unitate ai axelor Ox, Oy și – respectiv – Oz.

Plecând de la relațiile (1.8) – (1.10), se obține expresia locală (diferențială) a ecuației Maxwell-Gauss: , (1.12)

unde este densitatea volumică a sarcinii electrice.

b) Ecuația Maxwell a magnetostaticii

Prin analogie cu ecuațiile (integrale și locale) electrostaticii, se obțin ecuațiile Maxwell ale magnetostaticii:

și: , (1.13)

unde reprezintă sarcina magnetică interioară suprafeței închise .

Fenomenele electromagnetice nu impun introducerea sarcinii magnetice. De aceea putem considera că și , deci forma finală a expresiei integrale și, respectiv, locală a ecuației Maxwell a magnetostaticii va fi:

și: . (1.13')

c) Definirea intensității câmpului magnetic de către Biot-Savart; ecuația Maxwell-Biot-Savart-Ampère

Definiția diferențială Bios-Savart afirmă: contribuția elementului diferențial al unui conductor C parcurs de un curent electric de intensitate I la intensitatea câmpului magnetic în punctul de observație M, caracterizat de vectorul poziție (vezi figura 1.2) este dată de expresia:

, (1.14)

unde (=în sisteme raționalizate, respectiv pentru sisteme neraționalizate) este coeficientul magnetic de raționalizare.

Pentru un conductor rectiliniu filiform infinit se obține (vezi problema 5):

, (1.15)

unde d este distanța de la punctul de observație M la conductorul rectiliniu. În continuare considerăm cercul L centrat pe conductorul C și trecând prin punctul de observație M (vezi figura 1.3). Din introducerea circulației intensității H a câmpului magnetic pe curba închisă oarecare (“linie de câmp magnetic”) prin relația:

, (1.16)

se obține pentru circumferința L:

, (1.17)

unde – datorită alegerii – constanta este aceeași din ecuația Maxwell-Gauss a electrostaticii.

Se poate demonstra (vezi problema 6) generalizarea acestui rezultat pentru o distribuție oarecare de curenți electrici pe o curbă închisă arbitrară L obținându-se:

, (1.17')

unde este circulația intensității rezultantei câmpului magnetic produs de distribuția considerată, iar este intensitatea totală a curenților electrici care traversează suprafața ce se sprijină pe curba închisă L considerată. Relația (1.17’) reprezintă expresia integrală a ecuației Maxwell-Biot-Savart-Ampere, relație ce stabilește o legătură între electrostatică și magnetostatică.

Pentru a deduce forma locală a ecuației Maxwell-Biot-Savart-Ampere, considerăm o curbă închisă arbitrară situată în planul yOz (vezi figura 1.4); fie aria suprafeței determinate de curba . Se definește componenta x: – a rotorului intensității câmpului magnetic prin limita:

. (1.18)

Conform teoremei lui Stokes (v. problema 7) rezultă că:

, (1.19)

deci putem scrie (într-o manieră simbolică):

, (1.20)

unde apare același operator “nabla”, definit de relația (1.11).

Pornind de la expresia integrală a ecuației Maxwell-Biot-Savart-Ampere, se găsește că:

, (1.21)

unde reprezintă componenta x a densității totale (curenți datorați mișcării purtătorilor liberi de sarcină electrică și variației inducției electrice) de curent electric.

Pentru a stabili expresia densității curentului (lui Maxwell) de “deplasare” (datorat variației vectorului – deplasare electrică), se consideră placa de arie A (încărcată cu sarcină electrică de densitatea superficială ) – un condensator plan (vezi figura 1.5). Deoarece componenta x a inducției electrice dintre plăci este (vezi problema 4):

, (1.22)

se obține expresia densității (superficiale) a curentului de “deplasare”:

. (1.23)

Relațiile (1.21) și (1.23) conduc la expresia locală (diferențială) a ecuației Maxwell-Biot-Savart-Ampère: , (1.24)

unde este densitatea curentului de conducție (datorat mișcării purtătorilor liberi de sarcină electrică). Deci, pentru corpurile în repaus ():

. (1.25)

d) Ecuația Maxwell-Faraday a electromagnetismului

Cunoaștem bine că fenomenul esențial electromagnetic este inducția electromagnetică și că fenomenul este descris de legea lui Faraday:

, (1.26)

unde este tensiunea (forța) electromotoare indusă în conductorul C și este fluxul magnetic (al inducției magnetice ) prin suprafața interioară conductorului C. De asemenea, diferențiala potențialului electric este egală cu lucrul mecanic elementar efectuat supra sarcina electrică unitară, de unde

. (1.27)

În final, se găsește că tensiunea electromotoare este egală cu circulația intensității câmpului electric de-a lungul conductorului închis C: . (1.28)

Deoarece – pentru corpurile în repaus – se poate inversa ordinea operatorilor și , se găsește expresia integrală a ecuației Maxwell-Faraday:

, (1.29)

unde este suprafața ce înconjoară conductorul C.

Trebuie subliniat că Maxwell a considerat ca ecuația (1.29) este valabilă pentru o curbă închisă oarecare (inclusiv pentru curbe fictive), nu doar curbelor ce corespund conductorilor fizici.

Deducând densitatea superficială a tensiunii electromotoare ce corespunde unei curbe închise situată în planul yOz (vezi figura 1.6) se obține (1.30):

,

de unde se găsește expresia locală (diferențială) a ecuației Maxwell-Faraday:

(corpuri în repaus) (1.31)

Problema 1.1: Deduceți expresia fluxului (electric) inducției electrice produs de o sarcină electrică punctuală fixă Q, situată în volumul interior unei suprafețe închise arbitrare , prin această suprafață.

Soluție: Fie vectorul asociat ariei unui mic element de suprafață din și vectorul de poziție al acestui element de suprafață raportat la Q. Prin definiție, contribuția elementului la fluxul inducției electrice produsă de sarcina punctuală Q este:

,

unde este unghiul solid corespunzând elementului văzut din punctul unde este situată sarcina punctuală Q. Adunând expresia precedentă pentru toate elementele ale suprafeței închise și ținând cont că unghiul solid total este egal cu (sr) se obține:

Problema 1.2: Deduceți fluxul inducției electrice printr-o suprafață închisă produsă de: a) o sarcină electrică punctuală situată în afara suprafeței ; b) o distribuție oarecare de sarcini electrice.

Soluție: a) Considerăm un con elementar (având vârful în punctul în care se află sarcina punctuală , exterioară suprafeței ) care decupează elementele de suprafață caracterizate de vectorii (vezi figura 1.8). Deoarece produsele scalare și sunt de semn opus, iar modulele unghiurilor solide: și sunt egale, se constată că suma contribuțiilor elementelor la fluxul inducției electrice este nulă:

.

Pentru că diferite elemente ale suprafeței pot fi grupate în perechi de elemente decupate din diferite conuri având vârful în sarcina punctuală , fluxul inducției electrice produs de sarcina punctuală exterioară suprafeței închise prin această suprafață este nul:

.

b) Considerăm o distribuție de N sarcini electrice punctuale în jurul suprafeței închise (domeniul ); unele sarcini sunt interioare și altele exterioare raportat la suprafața (vezi figura 1.9). Ținând cont de rezultatele proble-melor 1.1 și 1.2a, precum și de principiul super-poziției sarcinilor electrice:

,

unde: ,

se găsește că: ,

unde este suma sarcinilor interioare suprafeței , deci sarcina electrică totală interioară acestei suprafețe.

Problema 1.3: Deduceți expresia divergenței unei funcții vectoriale continue .

Soluție: Considerăm un element spațial paralelipipedic, de laturi paralele cu axele Ox, Oy, Oz, centrat în punctul de coordonate x, y, z (vezi figura 1.10). Deoarece contribuția fețelor perpendiculare pe axa Oz la fluxul inducției electrice este:

,

se obține [conform definiției (1.10) a divergenței]:

,

unde volumul paralelipipedului este .

Pentru se obține teorema lui Gauss: .

Problema 1.4: Deduceți expresia componentei normale a inducției electrice din: a) imediata vecinătate a unei plăci plane caracterizate printr-o distribuție uniformă de sarcină electrică cu densitate superficială (a sarcinii electrice) și, respectiv, -. b) interiorul unui condensator plan* cu plăcile identice, încărcate cu densitatea + și, respectiv, -.

Soluție: a) Considerăm suprafața închisă a unui paralelipiped fictiv înconjurând placa și, de asemenea, înălțimea sa h ca fiind considerabil mai mică decât dimensiunile transversale ale plăcii (vezi figura 1.11): . Neglijând contribuțiile fețelor laterale, expresia integrală a ecuațiilor Maxwell-Gauss dă:

, de unde:

.

b) Pornind de la rezultatul precedent și ținând cont că, în plus, contribuțiile și ale plăcilor condensatorului la componenta normală a inducției electrice în interiorul condensatorului (vezi figura 1.12) au aceeași direcție, vom găsi că:

.

Problema 1.5: Plecând de la definiția diferențială a intensității câmpului magnetic (Biot-Savart), deduceți expresia intensității câmpului magnetic produs printr-un conductor rectiliniu și filiform parcurs de un curent electric de intensitate I, dintr-un punct de observație M situat la distanța d în două cazuri: a) segment finit de conductor (vezi figura 1.1m); b) conductor infinit.

Soluție: a) Fie O proiecția punctului de observație M pe conductorul considerat și Ox axa dirijată în lungul conductorului, în direcția curentului electric. Considerăm un element diferențial al conductorului – dx, caracterizat de coordonata x și unghiul (vezi figura 1.13). Conform definiției lui Biot-Savart, contribuția acestui element la intensitatea câmpului magnetic în M este: , unde:

și: .

Prin introducerea acestor relații în expresia lui dH se găsește că: . În final, trebuie integrată această expresie diferențială pentru valori ale lui cuprinse între și (vezi figura 1.14):

.

b) Pentru un conductor infinit: , deci:

.

Problema 1.6: Deduceți expresia integrală a ecuației Maxwell-Biot-Savart-Ampère pentru o distribuție arbitrară de curent electric, în jurul unei curbe închise oarecare L.

Soluție: Plecând de la definiția diferențială a intensității câmpului magnetic (Biot-Savart), se poate deduce expresia intensității câmpului magnetic produs de un conductor închis parcurs de un curent electric de intensitate : ,

unde este un element diferențial din , din vecinătatea punctului P (vezi figura 1.15).

Circulația lui pe curba închisă L este:

,

unde este elementul diferențial de lungime al curbei închise L considerate.

Pentru a calcula ultima integrală din expresia precedentă, considerăm primul caz, când conductorul traversează curba închisă arbitrară L și fie O – un punct al , interior curbei L. Fie Q punctul obținut prin construcția grafică bazată pe relația: MQ = -OP. Se poate construi o curbă identică, dar inversată prin raport cu , cu ajutorul punctelor obținute plecând de la alte puncte ale conductorului (vezi figura 1.15), prin intermediul construcțiilor grafice bazate pe relațiile:

Fie curbele analoge lui , construite plecând de la punctele M’, M’’, … ale curbei închise L. Ansamblul infinit de curbe , formează o suprafață închisă (toroidală) în jurul punctului O. Ținând cont că punctele Q, Q’, Q’’, … formează o curbă închisă identică cu L (dar deplasată prin translație), se găsește că produsul vectorial este egal cu vectorul – element diferențial al suprafeței , în jurul punctului Q. Ținând cont de asemenea că: , se obține: ,

unde este unghiul solid diferențial corespunzând elementului diferențial de arie văzut din punctul O. Deoarece O este interior suprafeței închise , se găsește că: .

Dacă celălalt conductor electric nu este traversat de curba închisă L, ținând cont (vezi problema 1.2a) că: , se obține: .

În final, utilizând principiul superpoziției câmpurilor magnetice, se găsește :

,

unde este intensitatea totală a curenților electrici ce traversează curba închisă L.

Problema 1.7: Plecând de la definiția (1.30) a componentei x a rotorului unei funcții vectoriale continue , deduceți expresia lui .

Soluție: Pentru a simplifica calculele, vom particulariza curba (situată într-un plan paralel cu planul yOz) prin dreptunghiul de laturi , centrat în punctul de coordonate x,y,z (vezi figura 1.16). Expresia circulației vectorului de-a lungul dreptunghiului (parcurs în sens direct trigonometric) este:

Ținând cont de definiția (1.30) componentei x a rotorului lui și, de asemenea, că expresia ariei interioare dreptunghiului este: se obține:

Datorită faptului că celelalte componente au expresii similare (obținute prin permutări circulare): se găsește, în final, teorema lui Stokes sub forma:

.

Referințe

L. D. Landau, E. M. Lifșiț “Electrodinamica mediilor continue”, tradusă în limba română, Editura Tehnică, București, 1968.

M. Born, E. M. Wolf “Principles of Optics”, Pergamon Press, Oxford, 4th edition, 1968, trad. lb. rusă, Izd. Nauka, Moscova, ediția a 2-a, 1973.

D. Iordache, L. Constantinescu, Gh. Lăzărescu “Curs de Fizică, partea I-a: Fizica clasică”, Institutul Politehnic din București, 1985, cap. 5 “Elemente de electrodinamică clasică”.

I. M. Popescu “Teoria electromagnetică macroscopică a luminii”, Editura Științifică și enciclopedică, București, 1986.

P. Sterian “Fizica”, vol. 1, Editura didactică și pedagogică, București, 1996, cap. 7 “Câmpuri și unde electromagnetice”, cap. 8 “Teoria electromagnetică a luminii”.

P. Sterian “Bazele optoelectronicii”, Edit. Printech, București, 2002.

E. Bodegom, D. Iordache “Physics for Engineering students”, vol. 2, Politehnica Press, București, 2008, cap. 7 “Elements of Electromagnetic Optics”.