Elemente de structuri algebrice [625631]

Elemente de structuri algebrice

1. Operație algebricǎ internǎ

1.1.Definiție: Fie o mulțime nevidǎ M; se numește operație algebricǎ .internǎ sau lege
de compoziție internǎ, definitǎ pe M ., orice funcție
υ : M x M →M
(x,y)→ υ(x,y)
Se va numi, pe scurt, operație algebricǎ, în loc de .operație algebricǎ internǎ.
1.2.Exemple:
 Adunarea și înmulțirea în mulțimea N .a numerelor naturale, în mulțimea Z a
numerelor întregi, în mulțimea Q. a numerelor raționale, în mulțimea R a
numerelor reale, în mulțimea C a numerelor complexe . sunt operații algebrice.
 Pe mulțimea Z scǎderea este o operație algebricǎ.
Aceasta se definește astfel: s: Z x Z →Z
s(x,y)= x+ ( -y)= x -y
Scǎderea este tot la fel o operație algebricǎ .și pe mulțimile de numere Q, R, C. In
schimb, scǎderea nu este o operație algebricǎ . pe mulțimea numerelor naturale.
 Dacǎ M este o mulțime, se poate defini o operație algebricǎ . de compunere pe
mulțimea F(M) = 𝑓/𝑓:𝑀→𝑀 a funcțiilor de la mulțimea M . la mulțimea M. Compunerea
𝑔°𝑓 se definește ca fiind funcția:
𝑔°𝑓:𝑀→𝑀 𝑔°𝑓 𝑥 =𝑔(𝑓(𝑥)), dacǎ f, g ∈ F(M).
 Fiind date M o mulțime nevidǎ și P(M) = 𝑋/𝑋⊂𝑀 , mulțimea pǎrților lui
M, atunci reuniunea 𝑋,𝑌 →𝑋∪𝑌,𝑋,𝑌𝜖 𝑃(𝑀) și intersecția
𝑋,𝑌 →𝑋∩𝑌,𝑋,𝑌𝜖 𝑃(𝑀) sunt operații algebrice pe M.
 Fie un numǎr natural n ≥ 1. Se definesc urmǎtoarele operații algebrice pe
mulțimea 𝑍𝑛= 0, 1 ,…,𝑛−1 al claselor de resturi modulo n:
𝑎 ,𝑏 →(a+b )
𝑎 ,𝑏 →ab
Se aratǎ mai intâi cǎ adunarea este o operație algebricǎ pe 𝑍𝑛, adicǎ nu depinde de
alegerea reprezentanților. Fie 𝑎 =𝑎1 și 𝑏 =𝑏1 , atunci a .≡𝑎1(mod n) și b≡𝑏1(mod n),
adicǎ n / a – 𝑎1 și n / b – 𝑏1, de unde n / (a + b) – (𝑎1+𝑏1), adicǎ a + b ≡(𝑎1+𝑏1) (mod n) și
deci 𝑎+𝑏 =𝑎1+𝑏1 . In același mod . se aratǎ și cǎ, dacǎ 𝑎 =𝑎1 și 𝑏 =𝑏1 , atunci 𝑎𝑏 =𝑎1𝑏1
și deci operația este bine definitǎ.

Proprietǎți ale operațiilor algebrice cu ajutorul cǎrora se definesc structurile de bazǎ ale
algebrei.
Asociativitatea . Fie M ≠ ∅ o mulțime . și υ : M x M →M o ope rație algebrică pe
mulțimea M. Se considerǎ că υ este . o operație algebri că asociativă , dacă oricare ar fi a, b, c ∈
M., are loc egalitatea υ(a, υ(b, c)) = υ(υ(a, b) , c). Dacǎ υ nu este asociativǎ, atunci se
considerǎ cǎ . υ este o operație algebricǎ neasociativǎ.
1.3.Exemple: Operațiile algebrice de adunare și scǎdere . pe mulțimile de numere: N, Z,
Q, R, C sunt asociative, operația algebricǎ de compunere a funcțiilor . F(M) este asociativǎ, la
fel reuniunea și intersecția pe F(M) sunt operații algebrice .asociative. Adunarea și înmulțirea
pe 𝑍𝑛 sunt operații algebrice a sociative. Dacǎ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ Z, atunci
𝑎 + b +c = 𝑎 + 𝑏+𝑐 = 𝑎+ 𝑏+𝑐 = 𝑎+𝑏 +𝑐 = (𝑎+𝑏) +𝑐 = a +b +c și
A b c =a bc =a bc = ab c =ab c =(a ∙b )∙c
Comutativitatea. Fie M ≠ ∅ o mulțime .și υ : M x M →M o operație alge brică . pe
mulțimea M. Se onsiderǎ υ o operație algebrică .comutativă, dacă oricare ar fi a, b ∈ M, are
loc egalitatea υ(a, b) = υ(b, a) .
1.4.Exemple: Operațiile de adunare și înmulțire în mulțimea N a numerelor naturale, în
mulțimea Z a numerelor întegi, în mulțimea Q a numerelor raționale, în muțimea R a
numerelor reale, în mulțimea C a numerelor complexe sunt operații comutative.
Dacǎ mulțimea M are un singur element, atunci operația algebrica de compunere F(M)
nu este comutativǎ, dar reuniunea și intersecția definite pe P(M) sunt comutative. De
asemenea, adunarea și înmulțirea pe 𝑍𝑛 sunt comutative.
Element neutru . Fie υ : M x M →M o operație algebrică .pe mulțimea M ≠ ∅ . Elementul
e ∈ M se numește element neutru . pentru operația υ, dacă oricare ar fi a ∈ M, avem υ(a, e) =
υ(e, a) = x.
Elementul neutru, dacǎ existǎ, este .unic determinat: presupunând cǎ e și e’ sunt
elemente neutre pentru operația .algebricǎ, atunci e= υ(e, e’)= e’.
1.5.Exemple . Numǎrul 0 este element neutru pentr u adunarea în mulțimile N, Z, Q, R,
C, iar numărul 1 este element neutru pentru înmulțirea numerelor . Funcția identică 1𝑀 este
element neutru pentru operația de compune re a funcțiilor pe F(M) . Mulțimea vidă ∅ (respectiv
mulțimea totală M) este element neutru pentru operațiile de reuniune și intersecție pe
mulțimea P(M) a părților unei mulțimi. Eelementul neutru pentru operația de înmulțire pe
mulțimea 𝑍𝑛 este1 , iar pentru adunarea pe aceastǎ mulțime este 0 .
Elemente simetrizabi le. Fie mulțimea M ≠ ∅ .și operația algebricǎ υ definitǎ pe M, care
are.un element neutru e. D acă x este un element din mulțimea M , se spune că x este
simetrizabil .față de operația dată , dacă există un element x’ ∈ M astfel încât υ(x, x’) = υ(x’, x)
= e. Astfel, elementul x’ se numește .un simetric al elementului x.

1.6.Observație. Fie mulțimea M nenulǎ, iar * : M x M →M, (a, b) →a * b . o operație
algebrică definitǎ pe mulțimea M. Dacǎ care admite element .neutru e, atunci e este
simetrizabil, iar simetricul său este . e.
Astfel, e * e = e
1.7.Exemple. Doar 0 – elementul neutru are un opus . față de adunare si numai 1 are
invers față de î nmulțire în mulțimea nuerelor naturale. O rice element are un opus, iar față de
înmulțire 1 și -1 au invers în mulțimea numerelor întregi. I n mulțimile Q, R și C față de
adunare, toate element ele au un opus , iar față de înmulțire toate element ele nenul e au un
invers. In mulțimea F(M) împreunǎ cu operaț ia algebrică de compunere a funcțiilor,
elementel e inversabile sunt funcțiile bijective, iar în mulțimea P(M) , față de reuniune numai
mulțimea vidă ∅ are un simetric, iar față de intersecție numai mulțimea totală M are un
simetric.
1.8Propoziți e. Fie mulțimea nevidǎ . M, înzestrată cu o operație a lgebrică asociativă *:
M x M →M, (a, b) → a * b, cu element .neutru e. D acă elementul a din mulțimea M este
simetrizabil, înseamnǎ cǎ simetricul său .este unic.
Demonstrație. Fie a ∈ M, iar a’ , a” ∈ M, simetrici ai lui a, adică a * a’ = a’ * a = e și
a * a” = a” * a = e. Inseamnǎ cǎ a” *(a* a’) = a” * e = a”, iar (a” * a) * a’ = e * a’ = a’ .
Din faptul cǎ operația este a sociativǎ, rezultǎ cǎ a” = a” * (a * a’) = (a” * a) * a’= a”.
Inseamnǎ cǎ a” = a’ .
1.9.Observație. Asociativitatea operației este de bazǎ .pentru unicitatea elementului
simetric: dacǎ operația nu ar fi asociativǎ, nu ar rezulta .unicitatea elem entului simetric.
Fie mulțimea M = 𝑒,𝑐,𝑑 și operația algebricǎ *, definitǎ pe acestǎ . mulțime, astfel
încât: e * x = x * e = x, oricare ar fi .elementul x din mulțimea M .
c * c = c * d = e, d * c = e, d * d = c.
Acestǎ operație nefiind asociativǎ, elementul c .va avea ca simetric pe c și d.
Dacǎ x este un element simetrizabil .pentru o operație algebricǎ asociativǎ, simetricul
unic determinat .se va nota cu 𝑥−1= inversul lui x pentru scrierea multiplica tivǎ, iar pentru
scrierea .aditivǎ, se va nota –x = opusul lui x.

Grupuri și morfisme de grupuri

2.1.D efiniție . O mulțime nevidă G, î nzestrată .cu o operație algebrică, care satisface
următoarele . condiții:
1.este asociativă
2. are element neutru
3.orice element din G este simetrizabil
se numește .grup.
Dacǎ în plus, operația este comutativǎ, se spune cǎ . grupul G este comutativ sau abelian.

2.2.Exemple . Mulțimile Z, Q, R , C sunt grupuri .comutative î n raport cu operația de
adunare .corespunzătoare fiecăr eia dintre acestea. Mulțimile 𝑄∗,𝑅∗,𝐶∗ ale numerelor raționale
.nenule, reale ne nule, complexe nenule, față de î nmulțire, sunt grupuri comutative.
Mulțimile 𝑄+∗, 𝑅+∗ ale numer elor raționale strict pozitive .și numerelor reale strict
pozitive, forme ază grupuri .comutative față de operația de înmulțire. Mulțimea Zn a claselor
de resturi modulo n, împreunǎ cu.operația de adunare este un grup comutativ.
Fie mulțimea M și S(M) = 𝑓:𝑀→𝑀/𝑓 𝑏𝑖𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 , mulțimea funcțiilor bij ective .
definite de la mulțimea M la M. Intrucât compunerea a doua funcții bijective este o funcție .
bijectivă, iar o funcție este bij ectivă dacă și numa i dacă este inversabilă, înseamnǎ că,
compu nerea funcțiilor . pe S(M) este o operație algebrică î mpreună . cu care S(M) este un grup
necomutativ. Grupul se numește al permutărilor mulțimii M si se va nota cu S(M).
Se numește rădăcină a unității un numǎr complex . Z, dacă există un număr natural n ≥ 1,
astfel încât 𝑍𝑛=1. Mulțimea U a rădăcinilor unității formează . un grup abelian fațǎ de
înmulțirea numerelor complexe.
Fie n ≥1. Mulțimea 𝑈𝑛= 𝑧 ∈𝐶/𝑢𝑛=1 , mulțimea rǎdǎcinilor de ordinul n
formeazǎ un grup . abelian fațǎ de înmulțirea numerelor complexe.

Morfisme de grupuri

2.3.Definiție: Fie G și G’ douǎ .grupuri . se numește morfism de grupuri .de la G la G’
o funcție 𝑓:𝐺→𝐺′, astfel încât . f(xy)=f(x) ∙𝑓(𝑦), oricare ar fi 𝑥,𝑦∈𝐺. Au loc urmǎtoarele .
afirmații:
1) Dacǎ G, G’, G” sunt grupuri, iar 𝑓:𝐺→𝐺′, 𝑔:𝐺′→𝐺" sunt morfisme .de grupuri, atunci
compunerea 𝑔°𝑓:𝐺→𝐺" este.un morfism de grupuri.
2) Dacǎ G este un grup, funcția . identicǎ 1𝐺 a mulțimii G, este un morfism .de grupuri.
Mai mult, daca f este un morfism .de grupuri, atunci 𝑓°1𝐺=𝑓.și 1𝐺°𝑓=𝑓.

Un morfism de grupuri 𝑓:𝐺→𝐺′ astfel încât funcția f sǎ fie injectivǎ sau surjectivǎ se
numește morfism injectiv sau surjectiv de grupuri.
Un morfism de grupuri 𝑓:𝐺→𝐺′ se numește izomorfism de grupuri dacǎ existǎ un
morfism de grupuri 𝑔:𝐺′→𝐺 astfel încât 𝑓°𝑔=1𝐺, 𝑔°𝑓=1𝐺.
Un morfism de grupuri definit pe grupul G și cu valori tot în G se numește
endomorfism al lui G.
Un endomorfism al lui G care este și izomorfism se numește automorfism al lui G.
2.4.Exemple: Dacǎ G și G’ sunt douǎ grupuri arbitra re, funcția 𝜃:𝐺→𝐺′,𝜃 𝑥 =𝑒′
(elementul neutru al lui G’) este un morfism de grupuri numit morfismul nul.
Fie G un grup, 𝑎∈𝐺 un element al sǎu. Aplicația 𝜑𝑎:𝐺→𝐺 datǎ de 𝜑𝑎 𝑥 =𝑎𝑥𝑎−1
este un automorfism al lui G.
Intr-adevǎr 𝜑𝑎 𝑥𝑦 =𝑎(𝑥𝑦)𝑎−1= 𝑎𝑥 𝑎−1𝑎 𝑦𝑎−1= 𝑎𝑥𝑎−1 𝑎𝑦𝑎−1 =𝜑𝑎 𝑥 𝜑𝑎(𝑦)
Mai mult 𝜑𝑎°𝜑𝑎−1=𝜑𝑎−1° 𝜑𝑎=1𝐺
2.5. Propoziție: Dacǎ G și G’ sunt douǎ grupuri, e și e’ elementele neutre ale lui G,
respectiv G’ și 𝑓:𝐺→𝐺′ un morfism de grupuri, atunci
1) f(e)=e’
2) pentru orice 𝑥∈𝐺, avem 𝑓 𝑥−1 =(𝑓(𝑥))−1
3) 𝑓 𝑥𝑛 =𝑓(𝑥)𝑛, pentru orice 𝑥∈𝐺 și 𝑛∈𝑍
Demonstrație:
1) Avem f(e)=f(ee)=f(e)f(e) sau f(e)e’=f(e)f(e)
Simplificâns ambii membrii prin f(e) obținem
e’=f(e)
2) Având în vedere unicitatea elementului invers, este suficient sǎ demonstrǎm cǎ
𝑓 𝑥−1 ∙𝑓 𝑥 =𝑒′ și 𝑓 𝑥 ∙𝑓 𝑥−1 =𝑒′
Avem 𝑓 𝑥−1 ∙𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥−1∙𝑥 =𝑓 𝑒 =𝑒′
𝑓 𝑥 ∙𝑓 𝑥−1 =𝑓 𝑥∙𝑥−1 =𝑓 𝑒 =𝑒′
3) Afirmația este adevǎra tǎ pentru n=0. Presupunem
𝑓 𝑥𝑛 =𝑓(𝑥)𝑛∙𝑓 𝑥𝑛+1 =𝑓 𝑥𝑛∙𝑥 =𝑓 𝑥𝑛 ∙𝑓 𝑥 =𝑓(𝑥)𝑛∙𝑓 𝑥 =𝑓(𝑥)𝑛+1, ceea ce
demonstreazǎ cǎ afirmația este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural n.Presupunem acum cǎ n
este un numǎr întreg pozitiv. Atunci 𝑓 𝑥−𝑛 =𝑓((𝑥)𝑛)−1= 𝑓 𝑥 𝑛 −1 =𝑓(𝑥)−𝑛

2.6.Propoiziție: Fie 𝑓:𝐺→𝐺′ un morfism de grupuri. Atunci f este izomorfism de
grupuri dacǎ și numai dac este bijectivǎ.
Demonstrație: O funcție este inversabilǎ dacǎ și numai dacǎ este bijectivǎ. De aici
rezultǎ cǎ dacǎ f este izomorfism, atunci funcția f este bijectivǎ.
Reciproc, dacǎ f este bijectivǎ atunci existǎ o funcție 𝑔:𝐺′→𝐺 astfel încât 𝑔°𝑓=1𝐺 și
𝑓°𝑔=1𝐺.
Fie 𝑦,𝑦′∈𝐺′:𝑦𝑦′=1𝐺 𝑦𝑦′ = 𝑓°𝑔 𝑦𝑦′ =𝑓(𝑔(𝑦𝑦′))
Pe de altǎ parte 𝑦𝑦′=1𝐺 𝑦 1𝐺 𝑦′ = 𝑓°𝑔 𝑦 ∙ 𝑓°𝑔 𝑦′ =𝑓 𝑔 𝑦 𝑓(𝑔(𝑦′))
Deci 𝑓 𝑔 𝑦𝑦′ =𝑓 𝑔 𝑦 𝑓(𝑔(𝑦′)) și cum f este injectivǎ rezultǎ 𝑔 𝑦𝑦′ =𝑔(𝑦)∙𝑔(𝑦′).
De asemenea avem (𝑔°𝑓)(e)=e , adicǎ 𝑔 𝑓 𝑒 =𝑒, dar 𝑓 𝑒 =𝑒′, deci 𝑔 𝑒′ =𝑒.

3.Subgrupuri

Fie G un grup în notație multiplicativă (G x G → G , (x, y) → x y) și H o submulțime
nevidă a sa. D acă oricare ar fi x, y ∈ H, avem x, y ∈ H, atunci se obține o funcție H x H → H,
(x, y) → xy , adică o operație algebrică pe H numită operația indusă pe H de operația din G.
Astfel, se mai spune că operația din G induce o operație pe H .
3.1Definiție: Se spune că o submulțime nevidă H a grupului G este un subgrup al lui
G, dacă operația algebrică din G duce pe H o operație algebrică față de care H este grup.
3.2.Propoziție: Fie G un grup și H o submulțime nevidă a sa. A tunci următoarele
afirmații sunt ech ivalente:
1) H este subgrup al lui G
2) a) Oricare ar fi x, y ∈ H, atunci produsul xy, efectuat conform operației din G, este
un element din H.
b) e ∈ H (e fiind elementul neutru al lui G)
c) Oricare ar fi x ∈ H, inversul 𝑥−1 al lui x în G , aparține lui H.
3) Oricare ar fi x, y ∈H, atunci x 𝑦−1 (sau 𝑥−1𝑦) efectuat inG, aparține lui H .
Demonstrație:
1) →2)
Afirmația a) rezultă din faptul că operația din G induce pe H o operați e algebrică. H

fiind subgrup, el are un element neutru notat e’. C um e este elementul neutru al lui G, avem în
G relația :
ee’=e’e’=e’.
Simplificâ nd la dr eapta se va obține: e=e’ .
Fie x ∈𝐻, 𝑥−1 inversul în G al lui x, iar x’ inversul în H al lui x, atunci, exista în G
relația 𝑥∙𝑥−1=𝑥∙𝑥′=𝑒. Prin simplificare se ob. Prin simplificare se obține 𝑥−1=
𝑥′, așadar 𝑥−1∈𝐻.
2) →3) Dacǎ x, y∈𝐻, din c) rezultǎ cǎ 𝑦−1∈𝐻 și apoi 𝑥𝑦−1∈𝐻.
3) →1) Dacǎ x ∈𝐻, înseamn ǎ cǎ 𝑥∙𝑥−1=𝑒∈𝐻 și 𝑥−1=𝑒∙𝑥−1∈𝐻. La fel, dac ǎ
y∈𝐻 și, știind c ǎ 𝑦−1∈𝐻, se va ob ține 𝑥𝑦=𝑥(𝑦−1)−1∈𝐻.
Datoritǎ faptului cǎ operația lui G este asociativǎ, determinǎ asociativitatea operației
de pe H.
Dacă G este un gr up, atunci G însuși este un subgrup al lui G numit subgrup total al lui
G. De asemenea, 𝑒 a lui G este subgrup, numit subgrup nul al lui G. Subgrupul total și
subgrupul nul ale unui grup G se numesc subgrupuri improprii ale lui G. Orice subgrup diferit
de acestea, se numește subgrup propriu.
3.3.Propoziție: Dacă H este un subgr up oarecare al grupului aditiv Z, atunci există
n ∈ Z, n ≥0, astfel încât H = n Z.
Demonstrație : Fie H ⊂ Z un subgru p oarecare al grupului aditiv Z.
Dacă H= 0 , atunci H= 0 Z.
Dacă H ≠ 0 , există x ∈𝐻, x ≠ 0, atunci și –x ∈ H. Rezultă că H conține numere
întregi pozitive. Fie n cel mai mic numǎr întreg pozitiv din H. Atunci 0 ∈𝐻, n ∈𝐻 ,2n = n +
n ∈𝐻 și, în general, kn ∈𝐻, oricar e ar fi k numă r natural. De asemenea kn ∈𝐻, oricare ar fi
k întreg negativ, deci nZ ∈𝐻 .
Fie x ∈𝐻, un element oarecare. Conform teoremei î mpărțirii cu rest se poate scrie :
x = nq+ r , 0≤𝑟<𝑛.
Deoarece x, nq sunt din H rezul tă că r = x – nq aparține lui H. C um 0≤𝑟<𝑛, iar n
este cel m ai mic număr natural nenul din H, rezultă că r = 0, deci x=nq ∈𝑛𝑍. Drept urmare,
H ⊂𝑛Z, ceea ce înseamnǎ ca H = nZ .

Nucleul și imaginea unui morfism de grupuri

Fie G și G’ două grupuri, iar f : G →G’ un morfism de grupuri. Fie H ⊂𝐺 și H’ ⊂𝐺′
subgrupuri. Se considerǎ 𝑓 𝐻 = 𝑥′∈𝐺′/𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡ǎ 𝑥∈𝐻 𝑎𝑠𝑡𝑓𝑒𝑙 î𝑛𝑐â𝑡 𝑥′=𝑓(𝑥) imaginea
directǎ lui H prin f și 𝑓−1(H’) = 𝑥∈𝐺/𝑓(𝑥)∈𝐻′ imaginea rec iprocǎ a lui H’ prin f.
Deci 𝐾𝑒𝑟 𝑓= 𝑥∈𝐺/𝑓(𝑥)=𝑒′
𝐼𝑚 𝑓= 𝑥′∈𝐺′ /𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡ǎ 𝑥∈𝐺 𝑎𝑠𝑡𝑓𝑒𝑙 î𝑛𝑐â𝑡 𝑥′=𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)/𝑥∈𝐺
3.3.Propoziție: Fie f : G → G’ un morfism de grupuri.
1) Dacă H es te subgrup al lui G, atunci f(H) este subgrup al lui G’. In particular, Im f
este un subgrup al lui G’.
2) Dacǎ H’ este subgrup al lui G’, atunci 𝑓−1(𝐻′) este subgrup al lui G. In particular,
Ker f este un subgrup al lui G .
Demonstrație:
1) Cum H ≠ ∅ rezultǎ cǎ f(H) ≠ ∅. Dacă x’,y’ ∈ f(H), atunci există x, y ∈ H, astfel
încât x’ ∈ f(x) și y’ = f(y). Avem 𝑥′𝑦−1=𝑓 𝑥 ∙ 𝑓 𝑦 −1=𝑓 𝑥 ∙𝑓 𝑦−1 =
𝑓(𝑥∙𝑦−1) și cum H este subgrup, rezultǎ cǎ 𝑥𝑦−1 ∈𝐻 și deci 𝑥′𝑦−1=𝑓(𝑥𝑦−1) ∈
𝑓(𝐻).
2) Cum 𝑒′∈𝐻’, iar f(e) = e’ , rezultǎ cǎ e = 𝑓−1(𝐻′), adicǎ 𝑓−1(𝐻′)≠∅. Dacǎ x, y
∈𝑓−1(𝐻′), atunci f(x), f(y) ∈𝐻’cum H’ este subgrup, 𝑓 𝑥𝑦−1 =𝑓(𝑥)∙𝑓(𝑦−1)∈
𝐻′, adicǎ 𝑥𝑦−1∈𝑓−1(𝐻′).
3.4.Propoziție : Un morfi sm de grupuri f : G → G’ este injectiv dacă și numai dacă
nucleul său este subgrupul nul al lui G (adică, Ker f = 𝑒 .
Demonstrație:
Presupunem că f este morfism injectiv. Avem f(e) = e’ și dacă x ∈ Ker f, atunci f(x) =
e’, adică f(x) = f(e). Cum funcția f este inj ectivă, rezultă x = e.
Reciproc, fie f(x) = f(y). Atunci f(x) ∙ (𝑓(𝑦))−1 = e’, adică 𝑓 𝑥 ∙𝑓 𝑦−1 =𝑒′ sau
𝑓 𝑥∙𝑦−1 =𝑒′ și deci 𝑥𝑦−1=𝑒 sau x = y . Rezultă f inj ectivă.
Observație : Un morfism de grupuri f : G → G’ este surjectiv dacă și numai dacă Im f
coincide cu G’ .

4. Relații de echivalențǎ pe un grup în raport
cu un subgrup al sǎu

Fie g un grup și H un subgrup al său. Considerăm pe G relațiile binare 𝑅𝑠 și
𝑅𝑑 definite în următor ul mod. D acă x, y ∈ G, atunci x 𝑅𝑠𝑦 dacă și numai dacă 𝑥−1𝑦 ∈ H și
𝑥𝑅𝑑𝑦 dacă și numai dacă 𝑥∙𝑦−1 ∈ H.
Aceste re lații binare sunt relații de ech ivalență. Se aratǎ , de exemplu, că prima relație
binară este de ech ivalență, adică reflexivă, simetrică și tranzitivă.
1) Dacă x ∈ G, atunci 𝑥−1∙𝑥 ∈ H și deci x 𝑅𝑠x -reflexivitatea .
2) Dacă x𝑅𝑠y, atunci 𝑥−1𝑦 ∈ H deci 𝑦−1𝑥=(𝑥−1𝑦)−1∈𝐻, de unde y𝑅𝑠x –
simetria .
3) Dacă și y𝑅𝑠z, atunci 𝑥−1𝑦∈ H și 𝑦−1𝑧∈ H . Deci 𝑥−1𝑧= 𝑥−1𝑦 (𝑦−1𝑧) ∈ H,
adică x𝑅𝑠z – x𝑅𝑠y tranzitivitatea.
Relațiile de e chivalență 𝑅𝑠 și 𝑅𝑑 se num esc relații de congruență la stânga, respectiv la
Dreapta în raport cu H .
Faptul că x” este în relația 𝑅𝑠 cu y” (respectiv x” este in relația 𝑅𝑑 cu y”) se mai citește
x este congruent cu y modulo H la stâ nga (respectiv x este congruent cu y modulo H la
dreapta) și scriem x ≡ 𝑦𝑠(mod H) (respectiv x ≡ 𝑦𝑑 (mod H)) .
Notăm cu 𝑥𝑠, respectiv 𝑥𝑑 clasa de ech ivalență a elementului x ∈ G în raport cu 𝑅𝑠 ,
respectiv cu 𝑅𝑑 și numi m clasa de ech ivalență la stânga, respectiv clasa de ech ivalență la
dreapta a lui x modulo H .
Fie G/ 𝑅𝑠 și G/ 𝑅𝑑 mulțimile factor (cât) corespunzator lui 𝑅𝑠 și 𝑅𝑑, adicǎ mulțimile
claselor de echivalențǎ la stânga, respectiv la dreapta modulo H.
4.1.Exemple :
1) Dacă G este un g rup, relațiile de congruență 𝑅𝑠 și 𝑅𝑑 la stânga și la dreapta
modulo 𝑒 coincid , adică x𝑅𝑠y dacă și numai dacă x 𝑅𝑑y. De asemenea, relațiile
𝑅𝑠 și 𝑅𝑑 modulo G coincid.
2) Dacă G este un grup comutativ, iar H un subgrup oarecare al lui G , atunc i relațiile
de congruență la stânga și la dreapta modulo H coincid.
3) Fie 𝑆3 grupul permutărilor de 3 elemente, adic ǎ
𝑆3= 123
123 , 123
213 , 123
312 , 123
132 , 123
231 , 123
321 ;
𝑆2 = 123
123 , 123
213

𝑆2 este un subgrup al lui 𝑆3.
Construim mulțimile claselor de echivalență la stâ nga și la dreapta modulo 𝑆2 .
Dacă σ , τ ∈ 𝑆3, atunci σ𝑅𝑠τ dacă și σ−1r∈𝑆2 dacǎ și numai dacă (σ−1r)(3) = 3, dacǎ și
numai dacǎ r(3)= σ(3). Deci se vor obține trei clase de echivalență la stâ nga: și anume:
𝐶1𝑠= 1 2 3
3 2 1 , 1 2 3
2 3 1 𝐶2𝑠= 1 2 3
1 3 2 , 1 2 3
3 1 2
𝐶3𝑠= 1 2 3
1 2 3 , 1 2 3
2 1 3
Dacă σ , τ ∈ 𝑆3, atunci σ𝑅𝑑τ dacǎ și numai dacă r−1(3) = σ−1(3). Deci clasele de
echivalență la dreapta sunt:
𝐶1𝑑= 1 2 3
3 1 2 , 1 2 3
3 2 1 𝐶2𝑑= 1 2 3
1 3 2 , 1 2 3
2 3 1
𝐶3𝑑= 1 2 3
1 2 3 , 1 2 3
2 1 3

Mulțimile factor 𝑆3/𝑅𝑠 = 𝐶1𝑠,𝐶2,𝑠𝐶3𝑠 și 𝑆3/𝑅𝑑 = 𝐶1𝑑,𝐶2,𝑑𝐶3𝑑 sunt diferite.
4.2.Notații: Fie G un grup și A, B două submulțimi nevide ale sale.
Notăm prin AB = 𝑎𝑏/𝑎∈𝐴,𝑏∈𝐵 .
Dacă A = 𝑎 , respectiv B = 𝑏 , atunci în loc de A B se va scrie aB , respe ctiv Ab,
Adică aB = 𝑎𝑏/ 𝑏∈𝐵 , respectiv Ab = 𝑎𝑏/𝑎∈𝐴
4.3.Lemǎ : Fie G un grup și H un subgrup al său. D acă x e ste un element oarecare al lui
G și notăm cu 𝑥𝑠 și 𝑥𝑑 clasa de echivalență a lui x la stâ nga, respectiv la dreapta mo dulo H,
atunci 𝑥𝑠=𝑥𝐻 și 𝑥𝑑=𝐻𝑥.
Demonstrație :
Se va demonstra doar prima egalitate.
Fie 𝑦∈𝑥𝑠, atunci x𝑅𝑠𝑦, deci 𝑥−1𝑦∈𝐻, adicǎ 𝑥−1𝑦=𝑕∈𝐻, de unde y = xh ∈𝑥𝐻,
rezultǎ 𝑥𝑠⊂xH.
Reciproc, dacǎ 𝑦∈𝑥𝐻,atunci y = xh ,𝑦∈𝐻 deci 𝑥−1𝑦∈𝐻 sau x𝑅𝑠𝑦, adicǎ 𝑦∈𝑥𝑠,
rezultǎ cǎ xH⊂ 𝑥𝑠.
4.4.Propoziție : Dacă G este un grup și H un subgrup al său, fie 𝑅𝑠 și 𝑅𝑑 relațiile de
congruență modulo H .
Atunci υ: G/ 𝑅𝑠 → G/𝑅𝑑 dată de υ(xH) = H 𝑥−1 este o funcție bij ectivă.

Demonstrație:
Se aratǎ mai întâi că υ este bine definit ă, adică nu depinde de alegerea
reprezentanților.
Dacǎ xH=yH , adică x𝑅𝑠𝑦, atunci 𝑥−1𝑦 ∈ H sau (𝑥−1)(𝑦−1)−1 ∈ H.
Deci 𝑥−1𝑅𝑑𝑦−1, adică H𝑥−1= H𝑦−1 sau 𝜑 𝑥𝐻 =𝜑(𝑦𝐻), ceea ce î nseamnă că υ este
bine definită.
Dacǎ 𝜑 𝑥𝐻 =𝜑(𝑦𝐻), adicǎ H𝑥−1= H𝑦−1, atunci 𝑥−1𝑅𝑑𝑦−1, adicǎ 𝑥−1(𝑦−1)−1 ∈
H, de unde 𝑥−1𝑦 ∈ H sau x𝑅𝑠𝑦 și deci xH=yH adicǎ 𝜑 este injectivǎ.
𝜑 este surjectivǎ deoarece 𝜑 𝑥−1𝐻 =𝐻(𝑥−1)−1=𝐻𝑥.
Dacă una dintre mulțimile G/ 𝑅𝑠 sau G/𝑅𝑑 este finită, atunci și cealaltă este finită si el e
au același număr de elemente. In acest caz H are indice finit în G sau că H este un subgrup de
indice finit al lui G , iar num ărul de elemente al mulțimii G/ 𝑅𝑠 s sau al mulțimii G/ 𝑅𝑑 , care
este ac elași, se numește indicele lui H în G și se notează 𝐺:𝐻 .
Un grup G este finit dacă mulțimea pe care este definită structura de g rup este finită,
iar num ărul de elemente ale lui G se numește ordinul său și se notează ord G .
4.5.Lemǎ: Fie G un grup și H un subgrup al său. A tunci funcția 𝛹:𝐻→𝑥𝐻 datǎ de
𝛹 𝑕 =𝑥𝑕 este bijectivǎ.
Demonstrație:
Dacǎ 𝛹 𝑕 =𝛹 𝑕′ , atunci xh=xh’ , de unde, prin simplificare h=h’ , deci 𝛹 este
injectivǎ. Funcția 𝛹 este evident surjectivǎ și deci bijectivǎ.
4.6.Teoremǎ Lagrange: Dacǎ G este un grup finit și H un subgrup al sǎu, atunci
𝑜𝑟𝑑 𝐺= 𝐺:𝐻 ∙𝑜𝑟𝑑 𝐻
Demonstrație:
Se poate face demonstrația considerând de exemplu numai relația de echivalențǎ 𝑅𝑠
pe G.
Fie 𝑥1𝐻,𝑥2𝐻…..,𝑥𝑘𝐻 clasele de echivalențǎ la stânga modulo H, deci k = 𝐺:𝐻 .
Atunci 𝐺= 𝑥𝑖𝑘
𝑖=1𝐻 și 𝑥𝑖𝐻 𝑥𝑗𝐻=∅,𝑖≠𝑗, de unde 𝑐𝑎𝑟𝑑 𝐺= 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝑥𝑖𝐻)𝑘
𝑖=1 .
Conform Lema 4.5. rezultǎ cǎ 𝑐𝑎𝑟𝑑 𝐺=𝑘∙𝑐𝑎𝑟𝑑 𝐻.
Deci 𝑜𝑟𝑑 𝐺= 𝐺:𝐻 ∙𝑜𝑟𝑑 𝐻.

Subgrup normal

4.7.Definiție: Un subgrup N al unui grup G se spune cǎ este subgrup normal sau
divizor normal, dacǎ oricare ar fi 𝑥∈𝐺 și h ∈𝑁, avem 𝑥𝑕𝑥−1∈𝑁.
4.8.Propoziție: Dacǎ N este un subgrup al grupului G, afirmațiile urmǎtoare sunt
echivalente:
1) N este subgrup normal,
2) Relațiile de congruențǎ modulo H, adicǎ 𝑅𝑠 și 𝑅𝑑, coincid,
3) xN = Nx , oricare ar fi 𝑥∈𝐺.
Demonstrație:
1) →2) Dacǎ x𝑅𝑠𝑦, atunci 𝑥−1𝑦=𝑕∈𝑁, deci y = xh. Dar cum N este subgrup normal,
avem 𝑥𝑕𝑥−1∈𝑁, adicǎ 𝑥𝑕𝑥−1=𝑕′∈𝑁, de unde 𝑥𝑕=𝑕′𝑥.
Atunci 𝑦=𝑕′𝑥, de unde 𝑦𝑥−1∈𝑁, adicǎ x𝑅𝑑𝑦. Analog, se demonstreazǎ cǎ, dacǎ
x𝑅𝑑𝑦, atunci x𝑅𝑠𝑦, adicǎ relațiile 𝑅𝑠 și 𝑅𝑑 coincid.
2) →3) Dacǎ 𝑦∈𝑥𝑁, atunci y = xh , cu 𝑕∈𝑁, deci 𝑥−1𝑦∈𝑁, adicǎ x𝑅𝑠𝑦. Deci x𝑅𝑑𝑦,
adicǎ 𝑦𝑥−1′∈𝑁 sau 𝑦𝑥−1=𝑕∈𝑁 de unde y = h’ x ∈𝑁𝑥, deci 𝑥𝑁⊂𝑁𝑥. Analog se
demonstreazǎ cǎ 𝑁𝑥⊂𝑥𝑁.
3) →1) Dacǎ 𝑥∈𝐺 și 𝑕∈𝑁, atunci 𝑥𝑕∈ 𝑥𝑁=𝑁𝑥 și deci xh = h’x cu 𝑕′∈ 𝑁, de unde
𝑥𝑦𝑥−1=𝑕′∈𝑁, adicǎ N este subgrup normal.

4.9.Exemple:
1) G și 𝑒 sunt subgrupuri normale ale grupului G.
2) Dacǎ G este un grup abelian, este clar cǎ orice subgrup al sǎu este normal.
3) Orice subgrup de indice 2 al unui grup oarecare G este normal.
Intr-adevǎr, dacǎ H este subgrup al lui G astfel încât 𝐺∶𝐻 =2, atunci G/ 𝑅𝑠=
𝐻,𝐺/𝐻 și G/𝑅𝑑= 𝐻,𝐺/𝐻 . Deci G/𝑅𝑠=G/𝑅𝑑.
4)Fie grupul 𝑆3 al permutǎrilor de 3 elemente și permutarea 𝜎= 1 2 3
2 1 3 .
Submulțimea 𝐻= 𝑒,𝜎 este un subgrup al lui S care nu este normal.
Intr-adevǎr dacǎ 𝜏= 1 2 3
3 1 2 , atunci 𝜏𝜎𝜏−1= 123
312 123
213 123
231 =
123
321 ∈𝐻 asta rezultǎ din faptul cǎ 𝑆3/𝑅3𝑠≠𝑆3/𝑅3𝑑.

5. Grup factor

Fie G un grup și N un subgrup normal al sǎu. Vom scrie în acest caz 𝑁∆𝐺.
Relațiile de congruență 𝑅𝑠 și 𝑅𝑠 la stâ nga și la dreapt a modulo N coincid. Vom spune
congruența R modulo N, iar dacă x, y ∈ G, faptul că x este congruent cu y modul o N, se
va scrie și x ≡ y (mod N) .
Cele do uă mulțimi factor coincid, mulțimea factor G/R este notatǎ cu G/N.
5.1.Propoziție: Dacă G este un grup și N un subgrup normal al s ău atunci pe
mulțimea factor G/N se definește ca o operație algebrică împreună cu care G/N devine
grup, iar funcția surjectivă p: G → G/N , p(x)= 𝑥 , este morfism de grupuri.
Demonstrație: Dacă x, y ∈ G, definim 𝑥 𝑦 =𝑥𝑦 .
Se aratǎ cǎ astfel se definește o operație algeb rică pe G/N , împreună cu care
G/N devine grup.
Arǎtǎm că operația este bine definită, adică nu depinde de alegerea
reprezentanților . Intr -adevǎr dacǎ 𝑥 =𝑥 ’ și 𝑦 =𝑦′ , atunci 𝑥−1𝑥′∈𝑁 și 𝑦−1𝑦′∈𝑁, adicǎ
existǎ 𝑕1,𝑕2 ∈𝑁 astfel încât 𝑥−1𝑥′=𝑕1 și 𝑦−1𝑦′=𝑕2 , adicǎ x’ = x 𝑕1 și y’ = y𝑕2. Deci x’y’
= (x𝑕1 )(y𝑕2 ) = x(𝑕1 𝑦) 𝑕2 . Dar cum N este subgrup normal, existǎ 𝑕3 ∈𝑁 astfel încât
𝑕1𝑦=𝑦𝑕3, de unde x’y’ = x(y 𝑕3 ) 𝑕2 = 𝑥𝑦 (𝑕3𝑕2 ) cu 𝑕3𝑕2 ∈𝑁. Deci 𝑥𝑦 −1 𝑥′𝑦′ =
𝑕3𝑕2 ∈𝑁, adicǎ xy este congruent modulo N cu x’y’, de unde 𝑥 𝑦 =𝑥′ 𝑦′ . Deci operația
algebricǎ este bine definitǎ.
Operația este asociativă, deoarece dacă 𝑥 ,𝑦 ,𝑧 ∈𝐺/𝑁, atunci
𝑥 𝑦 𝑧 =𝑥 (𝑦𝑧) = 𝑥(𝑦𝑧) = (𝑥𝑦)𝑧 = 𝑥𝑦𝑧 = ( 𝑥 𝑦 )𝑧 .
Operația admite ca element neutru pe 𝑒 =𝐺/𝑁, deoarece oricare ar fi 𝑥 ∈𝐺/𝑁
avem 𝑥 𝑒 =𝑥𝑒=𝑥 . Orice element 𝑥 ∈𝐺/𝑁 are un invers, acesta fiind 𝑥 −1∈𝐺/𝑁, pentru
cǎ 𝑥 𝑥 −1=𝑥∙𝑥 −1=𝑒 și 𝑥 −1𝑥 =𝑥−1𝑥 =𝑒 . Deci G/N este un grup.
Funcția surjectivă p : G → G/ N, unde p(x) = 𝑥 este morfism de grupuri deoarece
𝑝 𝑥𝑦 =𝑥𝑦 =𝑥 ∙𝑦 =𝑝 𝑥 𝑝(𝑦).
5.2. Definiție : Grupul G/N construit î n propoziția precedent ă se numește grupul
factor (cât) al lui G î n raport cu subgrupul normal N.
5.3.Propoziție : Un subgrup N al grupului G este s ubgrup normal dacă și numai
dacă există un morfism de grupuri definit pe G al cărui nucleu să fie N.
Demonstrație :
Dacă N este su bgrup normal al lui G, iar p : G → G/ N este morfismu l de grupuri
definit anterior, prin 𝑝 𝑥 =𝑥 , atunci K er p = N. D acă x ∈ Ker p, atunci 𝑝 𝑥 =𝑥 , deci
𝑥 =𝑒 astfel încât 𝑥𝑅𝑒 𝑠𝑎𝑢 𝑥𝑒−1 ∈ N, ceea ce înseamnǎ cǎ 𝑥 ∈ N, deci Ker p ⊂ N.
Reciproc, dacă x ∈ N, atunci 𝑥𝑅𝑒, adică 𝑥 =𝑒 , deci 𝑥 ∈ Ker, adicǎ N ⊂ Ker p.

Fie f : G → G’ un morfism de grupuri. 𝐾𝑒𝑟 𝑓=𝑓−1 𝑒 este subgrup al lui G.
Se aratǎ că K er f este subgrup normal al lui G. F ie x ∈ G și h ∈ Ker f. atunci
𝑓 𝑥𝑕𝑥−1 =𝑓 𝑥 𝑓 𝑕 𝑓 𝑥−1 =𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 −1=𝑒′ și deci 𝑥𝑕𝑥−1 ∈ Ker f.

Teoreme de izomorfism pentru grupuri

Dacǎ 𝑓:𝐺→𝐺′ este un morfism de grupuri, atunci Ker f este subgrup normal al
lui G și deci se poate vorbi de grupul factor G/Ker f. Fie 𝑝:𝐺→𝐺/𝐾𝑒𝑟 𝑓 morfismul
natural de la grupul G la grupul factor 𝐺/𝐾𝑒𝑟 𝑓. De asemenea Im f este un subgrup al lui
G’.
5.3.Teorema fundamentalǎ de izomorfism: Fie 𝑓:𝐺→𝐺′ este un morfism de
grupuri. Atunci existǎ un izomorfi sm de grupuri 𝑓:𝐺/𝐾𝑒𝑟𝑓→𝐼𝑚𝑓.
Demonstrație:
Funcția 𝑓 este bine definitǎ. Într -adevǎr dacǎ 𝑥 =𝑦 , rezultǎ 𝑥−1𝑦∈𝐾𝑒𝑟 𝑓,
adicǎ 𝑓 𝑥−1𝑦 =𝑒′, dar 𝑓 𝑥−1𝑦 =𝑓 𝑥−1 𝑓 𝑦 = 𝑓 𝑥 −1𝑓 𝑦 =𝑒′, adicǎ 𝑓 𝑥 =
𝑓(𝑦) și deci 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑦 . 𝑓 este surjectivǎ, deoarece orice element din Im f se scrie ca
f(x), cu 𝑥∈𝐺, iar 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 .
Dacǎ 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑦 , atunci 𝑓 𝑥 =𝑓(𝑦) și deci 𝑓 𝑥 −1𝑓 𝑦 =𝑒′, adicǎ
𝑓 𝑥−1𝑦 =𝑒′ de unde 𝑥−1𝑦∈𝐾𝑒𝑟 𝑓, de unde rezultǎ cǎ 𝑥 =𝑦 și astfel 𝑓 este injectivǎ.
𝑓 este morfism de grupuri rezultǎ 𝑓 𝑥 𝑦 =𝑓 𝑥𝑦 =𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 =𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 , adicǎ 𝑓
este morfism de grupuri.
Considerații metodice
1. Definirea aptitudinii matematice

La fel ca toate celelalte categorii de aptitudini speciale, aptitudinea matematicǎ se
definește de obicei, prin raportarea ei la caracteristicile activitǎții în cadrul cǎreia se formeazǎ
și se dezvoltǎ al cǎrui curs îl regleazǎ continuu, determinându -i nu nmai rezultatele ci și
modul de organizare, de desfǎșurare, control și reelaborare.
Se afirmǎ despre cineva cǎ posedǎ aptitudine pentru matematicǎ dacǎ rezolvǎ corect ,
cu o anumitǎ ușurințǎ, rapiditate și eleganțǎ diferite sarcini ca: însușirea și aplicarea în
practicǎ a cunoștințelor matematice, elabor area sau formularea de probleme noi, interesante și
stabilirea de relații logice. Aptitudinea matematicǎ ar putea fi definitǎ ca o structura de
însușiri sau calitǎți psihice care au relații directe și cu rol de determinare a succesului omului
în activitǎți le cu caracter matematic.

In planul cercetǎrii ștințifice, la aspectul de succes se asociazǎ și cel de specialitate,
adicǎ, se încearcǎ a se dezvǎlui note sau caracteristici proprii doar acestei categorii de însușiri
psihice și „improprii”, puț in semnificative sau neglijabile pentru alte categorii de aptitudini.
Specificul aptitudinilor matematice se reflectǎ în primul rând în privința capacitǎții de
ageneraliza. Astfel, la elevii cu aptitudini ridicate pentru matematicǎ se constatǎ c ǎ:
a) Alǎturi de calea generalizǎrii treptate a materialului matematic pe baza varierii
cazurilor particulare, calea urmatǎ de majoritatea elevilor, apare și o altǎ formǎ și anume,
generalizarea imediatǎ din loc fǎrǎ comparații, fǎrǎ exerciții speciale și ind icații din partea
profesorului , numai pe baza unui singur caz;
b) Generalizarea are nu numai un caracter rapid ci și unul larg extins la diferite sarcini și
expresii matematice;
c) Aceștia generalizeazǎ concomitent cu modul de rezolvare ca atare și metodele și
principiile care stau la baza ei.
Rezultatele cercetǎrii proprii scot în evidențǎ faptul cǎ principala caracteristicǎ a elevilor
cu aptitudini matematice clar conturate o constituie capacitatea de orientare adecvatǎ în
sarcina datǎ.

2. Aptitudine a matematicǎ și învǎțarea

Intre aptitudinile matematice existǎ, pe de o parte, numeroase și complexe relații de
condiționare și influențare reciprocǎ, iar pe de altǎ parte cunoștințele, priceperile și
deprinderile donândite de elevi în procesul de învǎța re a matematicii. In general se apreciazǎ
cǎ dezvoltarea și manifestarea plenarǎ a aptitudinilor este strâns legatǎ de însușirea
cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor, iar stǎpânirea acestora depinde de caracteristicile și
nivelul de dezvoltare al a ptitudinilor generale și speciale ale omului.
Raportul de mai sus își are începutul în fazele timpurii ale evoluției individuale ca
urmare a perceperii și efectuǎrii de acțiuni cu obiectele din jur, copilul dobândește cunoștințe
variate referit oare la mǎrime, formǎ, ordine, lungime, lǎțime, mulțime, relație, etc. își
formeazǎ priceperi și deprinderi de clasificare, comparare, numǎrare, ordonare, etc.,
asimileazǎ în mod activ o bunǎ parte din experiența socialǎ condensatǎ în obiectele
cunoașterii sale. Concomitent și în stânsǎ legǎturǎ cu experiența câștigatǎ se dezvoltǎ funcțiile
cognitive ale copilului: analiza și sinteza, abstractizarea și generalizarea, capacitatea de
memorare și reprezentare, etc. Exersate în raport cu aspectele cantitative ș i spațiale ale lumii

înconjurǎtoare, aceste funcții evolueazǎ, se dezvoltǎ și se specializeazǎ, ajungând treptat la un
anumit grad de precizie și finețe, adicǎ devin însușiri aptitudinale.
Acumularea de cunoștințe, priceperi și deprinderi duce, în general la dezvoltarea și
transformarea calitativǎ a schemelor de cunoaștere și acțiune ale coilului și tânǎrului, iar
acestea la rândul lor regleazǎ cantitatea și calitatea achizițiilor școlare, efectul învǎțǎrii evine
maxim atunci când între cei doi termeni ai relației se stabilește un echilibru optim, cecea ce se
poate realiza prin modul de organizare a activitǎții de învǎțare și prin folosirea celor mai
adecvate cǎi și mijloace de instruire și educare.
Una din metodele moderne de învǎțare a matematicii, mai ales în cursul primar, își are
originea în teoria formǎrii operațiilor mintale ca rezultat al interiorizǎrii acțiunilor externe ale
copilului. Potrivit acestui punct de vedere, la baza învǎțǎrii matematicii trebuie așezatǎ
acțiunea ext ernǎ cu obiecte materiale sau materializate.
În țara noastrǎ, cercetǎri experimentale asupra posibilitǎților de învǎțare a matematicii
pe baza folosirii acțiunilor cu obiecte materiale sau materializate au fost întreprinse de B.
Zörgo. Un mode l elaborat în acest scop este aparatul asemǎnǎtor cu un cântar, în care cele
douǎ brațe reprezintǎ termenii unei ecuații de gradul întâi. Prin acțiuni variate de stabilire –
pǎstrare, rupere și refacere a echilibrului celor douǎ brațe, elevii dobândesc cuno ștințe
elementare despre ecuații și termenii lor, despre numerele pozitive și negative, despre trecerea
termenilor dintr -un membru al ecuației în celǎlalt și chiar priceperea de a calcula valoarea
unei necunoscute.
Pe mǎsurǎ ce elevii se fami liarizeazǎ cu conținutul, metodele și spiritul matematicii,
modalitǎțile verbale devin tot mai necesare. Însǎ se impune o atenționare, prin recurgerea la
limbaj, apare pericolul verbalismului, adicǎ al unei disocieri nedorite între expresia verbalǎ și
sensul real, exact al faptului matematic exprimat. Pentru a preveni o asemenea carențǎ, se
impun anumite mǎsuri de precauție, printre care un loc aparte îl ocupǎ cele privitoare la
trecerea de la aspectele calitative și logice ale realitǎții la cele cantitativ e, învǎțarea operațiilor
și judecǎtilor matematice pe bazǎ de înțelegere a relațiilor necesare dintre acestea și nu prin
simpla lor memorare, conștientizarea metodelor de rezolvare a problemelor și nu doar
exersarea ca atare, procesului de folosire largǎ a comparațiilor, analogiilor, generalizǎrilor și
concretizǎrilor.
În sensul cerințelor de mai sus se folosesc azi diferite metode și procedee de
învǎțare a matematicii, unele obișnuite ca, de exemplu expunerea studiului individual,
demonstra ția, exercițiul, iar altele având un vǎdit caracter de noutate, de exemplu,
problematizarea, învǎțarea prin descoperire, munca independentǎ, elaborarea de probleme,
învǎțarea prin joc, învǎțarea asistatǎ de calculator, etc.
Ocupându -se de reliefarea condițiilor care faciliteazǎ dezvoltarea principalelor
procese ale gândirii G. Pipping constatǎ a nivelul la care se desfǎșoarǎ analiza și sinteza
depinde nu numai de materialul de învǎțat, ci și de metodele de îns ușire a lui.

3. Metodologia activitǎții didactice la matematicǎ

Folosirea judicioasǎ a metodelor are o deosebitǎ importanțǎ pentru reușita maximǎ
a muncii profesorului, cǎci metoda aleasǎ influențeazǎ în mare mǎsurǎ calitatea cunoștințelor.
Conținutul nou al matematicii școlare a determinat lǎrgirea evantaiului de metode utilizate
pentru învǎțarea lui. Ideile centrale care trebuie sǎ stea la baza înnoirii metodelor utilizate la
matematicǎ:
a) Idei cu caracter general:
– Utilizarea mijloacelor ce lor mai eficace de individualizare a învǎțǎmântului
– Activismul care pretinde o activitate personalǎ și o participare a elevului la
învǎțare
b) Idei directoare:
– Una dintre cele mai importante este aceea de a prezenta matematica o științǎ
deschisǎ în dezvoltare .
Învǎțarea matematicii trebuie înțeleasǎ atât ca o matematicǎ conceptualǎ, cât și ca o
tehnicǎ de calcul eficace. Activitatea proprie determinǎ formarea la elev a unor noțiuni
semnificative, binestructurate și cu mari posibilitǎți de transfer. De asemenea, explicarea
proprietǎților fundamentale ale diverselor operații pot sa ducǎ pe elevi la situația de a înțelege
de ce și cum se aplicǎ un algoritm (exemplu: rezolvarea ecuațiilor).
– Matematica trebuie prezentatǎ în același timp ca o disciplinǎ ab stractǎ,
autonomǎ, cât și ca un instrument de calcul operațional al altor discipline.
– Sǎ-i facem pe elevi sǎ înțeleagǎ și sǎ cunoascǎ metodologia proprie
activitǎtii matematice. Aceasta presupune sǎ -i învǎțǎm pe elevi marile posibilitǎți precum și
limitele procesului de matematizare , deci de construire a unui model plecând de la o situație
concretǎ, cât și de concretizare a rezultatelor obținute pe model. Totodatǎ se impune acordarea
importanței cuvenite diverselor forme ale demonstrațiilor matematice.
– În fine, se remarcǎ o preocupare sporitǎ pentru dezvoltarea la elevi a
motivației învǎțǎrii și a unei atitudini pozitive fațǎ de matematicǎ. În acest sens se
menționeazǎ preocupǎrile de utilizare a unor jocuri matematice, aplicații interesante,
creatoare, stim ularea spiritului de competiție, concursuri, olimpiade, etc.
Analiza unor metode utilizate la matematicǎ:
3.1.Demonstrația matematicǎ
Demonstrația matematicǎ este o metodǎ de predare – învǎțare specificǎ matematicii.
Ea apare ca o formǎ a demonstrației logice și constǎ î ntr-un șir de raționamente prin care se
verificǎ un anumit adevǎr exprimat prin propoziții.

Unele propoziții matematice poartǎ denumirea de axiome și adevǎrurile exprimate
de acestea se acceptǎ fǎrǎ demonstraț ii. Alte adevǎruri matematice sunt introduse prin
definiții, care sunt și ele propoziții ce nu se demonstreazǎ. Propozițiile deductibile din axiome
și definiții se numesc teoreme. Fiecare teoremǎ conține o ipotezǎ, care poate începe prin „fie”
sau „dacǎ” ș i o concluzie, exprimatǎ mai des cu „atunci” sau „sǎ se demontreze cǎ”.
Demonstrația constǎ în a arǎta cǎ dacǎ ceea ce se afirmǎ în ipotezǎ are loc, atunci conluzia
rezultǎ din ea în mod logic. În demonstrație ne putem baza nu numai pe axiome și teoreme
demonstrate înainte. Fiind datǎ o teoremǎ putem formula în mod logic din ea propoziții noi ca
propoziția reciprocǎ și propoziția contrarǎ. Dacǎ teorema directǎ este adevǎratǎ, nu rezultǎ cǎ
și propoziția reciprocǎ este adevǎratǎ.
Demonstrația teore melor poate urma calea analiticǎ sau sinteticǎ. În calea analiticǎ se
pornește de la ceea ce se cere spre ceea ce este dat. întrebǎrile ce se pun sunt de natura „ce
trebuie sǎ știm pentru a arǎta cǎ…”. În calea sinteticǎ se pornește de la ceea ce se dǎ pri n
ipotezǎ sau este cunoscut a fi adevǎrat, spre ceea ce se cere, întrebǎrile fiind formulate „ce se
poate determina știind cǎ…”.
O metodǎ specificǎ de demonstrație matematicǎ este „metoda reducerii la absurd”,
care constituie o problemǎ de logicǎ importantǎ și destul de dificilǎ pentru o parte
considerabilǎ din elevi. Din punct de vedere logic constǎ în demonstrarea teoremei contrarǎ
reciprocei, care are aceeași valoare de adevǎr cu teorema directǎ, pentru cǎ ele sunt
echivalente. Metoda red ucerii la absurd are la bazǎ principiul logicii al terțului exclus și
constǎ în urmǎtorul rationament: se presupune cǎ ceea ce trebuie demonstrat nu esre adevǎrat
și prin deducții logice se ajunge la o concluzie cu ipoteza sau cu adevǎr exprimat și deja
admis.
O altǎ metodǎ de demonstrație matematicǎ este metoda inducției complete sau a
inducției matematice: „Dacǎ o propoziție p(n) este adevǎrtǎ pentru n = 0 și din faptul cǎ este
adevǎratǎ pentru n = k ( unde n, k sunt numere naturale ) rezultǎ c a ea este adevǎratǎ și pentru
numǎrul natural n = k+1, propoziția p(n) este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural n”. o
demonstrație care se bazeazǎ pe metoda inducției matematice este formața din douǎ etape:
– Se verificǎ mai întâi cǎ p(m) este adevǎratǎ, m numǎr natural. Se presupune
cǎ p(k) este adevǎratǎ și se demonstreazǎ ca p(k+1) este adevǎratǎ unde 𝑘≥𝑚.
Aceastǎ metodǎ se aplicǎ tuturor propozițiilor matematice care depind de un numǎr
natural.

3.2.Expunerea sistematicǎ a cunoștințelor
În predarea matematicii, dintre cele trei forme pe care aceastǎ metodǎ le poate lua:
(povestirea, prelegerea și explicația) se utilizeazǎ cu precǎdere explicația.

Elemente explicative dominǎ întregul proces de intruire matemati cǎ. Utilizând aceastǎ
metodǎ, profesorul expune logic și argumentat modul lui de gândire, iar elevii îl urmǎresc
cǎutând sǎ -l înțeleagǎ. Dezavantajul metodei este atitudinea pasivǎ a elevilor. Din aceastǎ
cauzǎ, profesorul trebuie sǎ -i stimuleze și sǎ -i determine sǎ gândeascǎ o datǎ cu el.
În general, în matematicǎ recurgem la explicație atunci când tema este complet nouǎ și
printr -o altǎ metodǎ mai activǎ nu se poate descoperi acest nou.
În clasele mai mari, expunerea îmbracǎ o formǎ mai riguros științificǎ, ea poate fi
consideratǎ ca o prelegere. Pentru faptul cǎ duce la pasivitate nu se recomandǎ prea mult
utilizarea acesteia.
3.3.Metoda conversației
Metoda conversației constǎ în dialogul dintre profesor și elev în car e profesorul nu
trebuie sǎ aparǎ în rolul examinatorului permanent, ci și în rolul unui partener, care nu numai
întreabǎ, dar și rǎspunde la întrebǎrile elevului.
Cu metoda conversației se stimuleazǎ gândirea elevilor în vederea însușirii de noi
cunoștințe sau fixarea, sistematizarea cunoștințelor și deprinderilor asimilate anterior. Ea
determinǎ o participare activǎ din partea elevilor pentru cǎ profesorul adreseazǎ întrebǎri
clasei în orice moment al lecției. De asemenea, elevul poate adresa întreb ǎri profesorului în
legǎturǎ cu subiectul predat.
Metoda conversației ajutǎ la formarea raționamentului matematic la elevi, la realizarea
obiectivelor formative ale învǎțǎrii matematicii. Existǎ mai multe criterii ce pot sǎ stea la baza
clasificǎ rii formelor de conversație.
Astfel, dupǎ numǎrul de persoane cǎrora li se adreseazǎ întrebarea, conversația este:
– individualǎ, când se poartǎ între profesor și un singur elev;
– conversația frontalǎ, când întrebǎrile se adreseazǎ întregii clase, ia r
rǎspunsurile vin de la diferiți elevi.
Dupǎ obiectivele urmǎrite în diversele variante de lecții, conversația este:
– introductivǎ, folositǎ în momentele captǎrii atenției și reactualizǎrii
cunoștințelor însușite anterior, conversație cu care se trezește interesul pentru
lecție;
– conversația în cadrul prezentǎrii materialului nou;
– conversația pentru fixarea noilor cunoștințe, când se asigurǎ reținerea
materialului predat și care se discutǎ acum sub o altǎ formulare dacǎ este
posibil;
– conversația pentru recapitulare, care la matematicǎ se desfǎșoarǎ în special pe
marginea rezolvǎrii anumitor exerciții, probleme cu caracter mai general;
– conversația în procesul de evaluare a cunoștințelor.

Indiferent de forma conversației purtate, întrebǎrile trebuie sǎ îndeplineascǎ anumite
condiții din care se subliniazǎ urmǎtoarele:
– sǎ fie precise, sǎ nu fie vagi, sǎ vizeze un singur rǎspuns;
– sǎ nu conținǎ rǎspunsul, sǎ nu cearǎ un rǎspuns prin „da sau nu”;
– sǎ contribuie la dezvoltarea gândirii, adicǎ sǎ fie instructive.
O importanțǎ deosebitǎ a metodei conversației este aceea cǎ ea ajutǎ la dezvoltarea
limbajului matematic.
3.4.Problematizarea și învǎțarea prin descoperir e
Predarea și învǎțarea prin problematizare și descoperire presupune utilizarea unor astfel
de tehnici care sǎ producǎ în mintea elevului conștientizarea conflictului dintre informația
existentǎ și o nouǎ informație, între diferite niveluri de c unoaștere și lichidarea acestui
conflict sǎ ducǎ la descoperirea a noii proprietǎți ale obiectului studiat.
Aceste stǎri conflictuale se numesc situații -problemǎ și pot fi de mai multe tipuri:
– contradicții între posibilitǎțile existente ale el evului și cerințele în care este
pus de noua problemǎ;
– necesitatea selectǎrii din cunoștințele sale anterioare pe acelea cu valoarea
operaționalǎ;
– integrarea noțiunilor selectate într -un sistem și conștientizarea cǎ acest sistem
este ineficient operațional și pretinde completarea informației.
Problematizarea are o sferǎ de existențǎ comunǎ cu conversația euristicǎ. Întrebǎrile
frontale sau individuale utilizate în etapa de pregǎtire a introducerii unei noțiuni sau chiar în
etapa prezentǎrii materialu lui nou, întrebǎri care se adreseazǎ gândirii sau raționamentului,
determinǎ situații conflictuale. Organizarea acestor situații -problemǎ trebuie sǎ fie astfel încât
întrebǎrile sǎ aparǎ în mintea elevului fǎrǎ ca acestea sǎ fie formulate de profesor.
G. Polya considerǎ cǎ scopul predǎrii matematicii este de aface pe tineri sǎ
gândeascǎ și muijlocul îl reprezintǎ rezolvarea de cǎtre elevi a problemelor care cer un anumit
grad de creație, de nerutinare. Relativ la condițiile pedagogice pe car e trebuie sǎ le
îndeplineascǎ problema se subliniazǎ:
– sǎ aibǎ sens și sǎ fie adresatǎ în cel mai oportun moment din punctul de vedere al
elevului;
– sǎ ținǎ seama de cunoștințele însușite anterior de elev, sǎ trezeascǎ interesul, sǎ fie
clar enunțatǎ, sǎ solicite efort din partea elevului.
Problematizarea privitǎ prin rezolvǎri de probleme se gǎsește și în concepția lui R.
Gagné. Acesta aratǎ cǎ rezolvarea de probleme poate fi privitǎ ca un proces prin care elevul
descoperǎ cǎ o combinație de reguli învǎțate anterior o poate aplica pentru a ajunge la o
soluție referitoare la o nouǎ situație problematicǎ. În concepția lui R. Gagné evenimentele
implicate în rezolvarea de probleme sunt:

– prezentarea problemei
– elevul defineș te problema, adicǎ distinge caracteristicile esențiale ale
situației, își însușește enunțul, gǎsește legǎtura între date;
– elevul își formeazǎ ipoteze care pot fi aplicate în vederea unei soluții
– realizeazǎ verificarea ipotezelor sau a câtorva ipoteze succe sive, pânǎ gǎsește
una care sǎ -l ducǎ la soluția cǎutatǎ.
Prin aplicarea în predare a problematizǎrii, rezultatul final este întotdeauna
descoperirea soluțiilor problemei puse.
Descoperirea deci, în matematicǎ, se vede ca o î ntregire a problematizǎrii.
Se vorbește despre descoperire dacǎ elevul gǎsește el însuși, într -un efort personal
de analizǎ, inducție, generalizare, o teoremǎ, o demonstrație, un procedeu de calcul, etc.
Se pot pune în eviden țǎ trei modalitǎți de învǎțare prin descoperire: inductivǎ,
deductivǎ și prin analogie, clasificarea având la bazǎ tipurile de raționamente folosite.
3.5.Metoda exercițiului
Exercițiile sunt acțiuni efectuate în mos conștient și repetat cu scopul dobândirii
unor priceperi și deprinderi sau chiar a unor cunoștințe noi, pentru a ușura unele activitǎți și a
contribui la dezvoltarea unor aptitudini.
Însușirea cunoștințelor matematice este organic legatǎ și condițion atǎ de rezolvarea
exercițiilor și problemelor.
Avantajele acestei metode sunt bine concretizate de Verbist R. în felul urmǎtor:
– Este metodǎ indicatǎ sǎ formeze o gândire productivǎ.
– Oferǎ posibilitatea unei independențe.
– Oferǎ posibilitatea de discuție asupra diverselor metode și soluții.
– Activeazǎ atitudinea criticǎ și învațǎ pe elevi sǎ aprecieze metoda cea mai
bunǎ de lucru
– Oferǎ posibilitatea analizei erorilor.
Pentru matematicǎ acestǎ metodǎ nu contribuie numai la fo rmarea priceperilor și
deprinderilor, ci aduce un aport substanțial la dezvoltarea unui raționament flexibil și operant.
Academician N. Teodorescu reliefeazǎ modul în care exercițiile și problemele
trebuie alese, formulate, tratate și folo site.
Alegerea problemelor sǎ fie condiționatǎ de: programele analitice, metodele de
prezentare a noțiunilor în manuale, tehnica de stabilire a rezultatelor și elevii cǎrora se
adreseazǎ.
Formularea sǎ ținǎ cont de limbajele manualelor, de modul de prezentare a
cunoștințelor, de noțiunile anterioare pe care le posedǎ elevii și de caracterul fundamental sau
aplicativ al problemelor.

Tratarea sǎ aibǎ în vedere obținerea rezultatelor pe cǎi clare și verificabile, analiza
metodelor utilizate, reținerea tipurilor de raționamente folosite, deschiderea unor perspective
pentru probleme analoage sau mai complexe.
Folosirea sǎ vizeze lǎmurirea conținutului activ în cunoașterea noțiunilor învǎțate
și adâ ncirea semnificației lor, asimilarea metodelor de rezolvare și aplicarea lor la rezolvarea
altor probleme.
3.6.Metoda învǎțǎrii pe grupe mici
Se definește activitatea pe grupe, o metodǎ în care lucrǎrile și sarcinile sunt
executate de grupuri mici de elevi, grupuri care sunt autoalese și care se autodirijeazǎ.
Criteriile de formare a grupurilr sunt: omogenitatea, eterogenitatea, criteriul afectiv.
Grupele omogene conțin elevi cam de același nive l de cunoștințe.
Cele eterogene conțin elevi de toate categoriile în așa fel ca grupurile sǎ fie
aproximativ de ponderi egale.
În cele formate dupǎ criteriul afectiv, elevii se grupeazǎ dupǎ prietenie, vecinǎtate
de bancǎ, e tc.
În cazul în care profesorul face acestǎ grupare, trebuie sǎ se prevadǎ de la început
condițiile de trecere de la un grup la altul.
Sarcinile se repartizeazǎ grupurilor și diferǎ dupa felul urmǎtor:
– În cazul grupurilor omogene sarcinile vor varia în funcție de natura
grupurilor;
– În celelalte feluri de grupuri se repartizeazǎ aceeași sarcinǎ, având însǎ
pregǎtite sarcini suplimentare pentru cei buni sau slabi.
Matematica oferǎ câmp larg de aplicabilitate ac estei metode și eficiența ei, conform
experimentelor întreprinse, este mare.
Etapele pe care le pretinde aceastǎ metodǎ în aplicarea ei sunt urmǎtoarele:
– Repartizarea materialului de lucru fiecǎrui grup;
– Munca independentǎ a grupurilor;
– Discutarea în plen a rezultatelor obținute.
Activitatea profesorului se concretizeazǎ în douǎ etape:
– Una proiectivǎ în care pregǎtește materialul repartizat grupurilor și material
plus pentru cei buni;
– Alta de îndrumare, supraveghere și animare a acestei munci
3.7.Metode de evaluare a randamentului școlar

Metodele de evaluare sunt modalitǎți de lucru prin care se realizeazǎ aprecierea și
valorificarea cunoștințelor, priceperii deprinderii elevilor, a nivelului dezvoltǎr ii lor la un
moment dat.
În pedagogie se subliniazǎ ca principale metode de apreciere și verificare:
chestionarea oralǎ, lucrǎrile scrise, testele de cunoștințe, lucrǎrile practice, verificarea cu
ajutorul mașinilor.
Testele gr ilǎ câștigǎ cât mai mult teren în verificarea cunoștințelor.
La acestǎ metodǎ este foarte important ca alegerea întrebǎrilor sǎ fie în așa fel încât
sǎ corespundǎ fiecǎrui nivel de elevi (slabi, buni, foarte buni).
Testele as igurǎ evaluarea obiectivǎ a randamentului școlar al elevilor, însǎ nu este
bun pentru mǎsurarea randamentului pânǎ când nu este o unitate de mǎsurǎ, adicǎ valoarea
standard.
Standardizarea testului se aratǎ în figura urmǎtoare:

Testele astfel proiectate trebuie încercate pe grupe mai mici, la elevi de nivel mediu.
Dupǎ testarea elevilor este importantǎ verificarea matricealǎ. Aceasta se întâmplǎ în felul
urmǎtor: se ierarhizeazǎ elevii dupǎ punctajul obținut în ur mǎtorul table:

Numǎr elevi Nr. curent al întrebǎrilor Punctajul
1 2 3 4 5 ……..
1. + – + + + ……. 41
2. + + + – + ……. 39
3. + + + – – ……. 38
4. + – – – + ……. 36
5. + + – + – ……. 33
… … … … … … …….
15 21 9 6 17 ……

Acest tabel aratǎ care sunt întrebǎrile ușoare și care sunt mai dificile. Trebuie observat
dacǎ printre întrebǎri sunt și unele care au fost rezolvate de foarte puțini elevi sau au fost
rezolvate de toți elevii. În ambele cazuri trebuie sǎ se ana lizeze nivelul de dificultate al
întrebǎrii. Este evident cǎ la întrebǎrile mai ușoare rezultatul este mai bun, iar la cele grele
rezultatul este mai slab.

4.Studiul ecuațiilor algebrice în gimnaziu

Se cunoaște importanța deosebitǎ c are o are problema rezolvǎrii ecuațiilor atât din
punct de vedere teoretic, cât și practic. Din acest motiv, noțiuni referitoare la acest capitol se
studiazǎ încǎ din gimnaziu. Programele analitice existente pun un spațiu suficient de larg
repartizat acest ui capitol începând încǎ din clasa a V -a.
O problemǎ importantǎ din punct de vedere metodic este introducerea noțiunii de
„ecuație”. Încǎ din clasa aV -a, manualele școlare încearcǎ sǎ rezolve aceastǎ problemǎ, unde
definește ecuația de gradul I ca o propoziție logicǎ, care depinde de o variabilǎ. Se aratǎ
elevului cǎ fiind vorba despre propoziții logice are sens sǎ se vorbeascǎ despre valoarea lor
logicǎ de adevǎr. A determina mulțimea soluțiilor ecuației, înseamnǎ a determina valoarea ei
de ade vǎr. Metodele de rezolvare a ecuațiilor de gradul I, în clasa a V -a, au la bazǎ
proprietǎțile de adunare, scǎdere, înmulțire, împǎrțire, definite în pregǎtirea matematicǎ
anterioarǎ.
Exemple:
Sǎ se rezolve în mulțimea numerelor natural e ecuațiile:
1) x + 2 = 5
Rezolvare: x + 2 = 5; x = 5 – 2; x = 3
Verificare: 3 + 2 = 5; 3 ∈𝑁, S = 3
2) 16 – x = 5
Rezolvare: 16 – x = 5; x = 16 – 5; x = 11
Verificare: 16 – 11 = 5; 5∈𝑁, S = 5
3) y-105 = 12
Rezolvare: y – 105 =12; y = 12 +105; y = 117
Verificare: 117 -105 =12; 117 ∈𝑁, S = 117
4) z : 12 = 2
Rezolvare: z : 12 = 2; z = 2 ∙12; z = 24
Verificare: 24 : 12 = 2; 24 ∈𝑁, S = 24
5) x + 7 = 5
Rezolvare: x + 7 = 5; x = 5 – 7; ecuația nu are soluție în N. trebuie explicat elevului cǎ
acestǎ ecuație nu are soluție în mulțimea numerelor naturale, cǎ nu existǎ nici un numǎr
natural care adunat cu 7 sǎ ne dea 5. Se dau cât mai multe contraexemple.

Uneori nu se specificǎ mulțimea în care trebuie sǎ rezolvǎm ecuația. Atunci, ea se
rezolvǎ în cea mai cu prinzǎtoare mulțime de numere învǎțate.
Încǎ din clasa a V -a, se încearcǎ sǎ se defineascǎ ecuația de gradul I cu o necunoscutǎ.
Definiție:
Se numește ecuație de gradul I cu o necunoscutǎ o ecuație care poate fi adusǎ la
forma ax + b= 0, a, b∈𝑁, x- variabilǎ, a ≠0.
Deci, în clasa aV -a se pot lucra și ecuații cu grad mai ridicat de dificultate,
dezvoltând astfel gândirea matematicǎ a elevilor.
Exemple:
1) 2 2 2 2𝑥−1 −1 −1 −1=1
Rezolvare: 2 2 2 2𝑥−1 −1 −1 −1=1
2 2 2 2𝑥−1 −1 −1 =1+1
2 2 2 2𝑥−1 −1 −1 =2
2 2 2𝑥−1 −1 −1=2:2
2 2 2𝑥−1 −1 −1=1
2 2 2𝑥−1 −1 =1+1
2 2 2𝑥−1 −1 =2
2 2𝑥−1 −1=2: 2
2 2𝑥−1 −1=1
2 2𝑥−1 =1+1
2 2𝑥−1 =2
2𝑥−1=2:2
2𝑥−1=1
2𝑥=1+1
2𝑥=2
x= 1
Verificare: 2 2 2 2𝑥−1 −1 −1 −1=1; S = 1

2) Sǎ se rezolve în mulțimea numerelor naturale ecuația:

𝑥+1
2+1
2+1
2+1
2=1
Rezolvare:

𝑥+1
2+1
2+1
2+1=2∙1

𝑥+1
2+1
2+1
2+1=2

𝑥+1
2+1
2+1=2

𝑥+1
2+1
2=2−1

𝑥+1
2+1
2=1

𝑥+1
2+1=2

𝑥+1
2=2−1

𝑥+1=2; 𝑥=1

Verificare:
1+1
2+1
2+1
2+1
2=1
1 ∈𝑁,𝑆= 1 .

În clasa a VI -a se reia ecuația de gradul I cu o necunoscutǎ, în aceeași
concepție de definire, dându -se mulțimea de soluții a ecuației. Ecuația se rezolvǎ
acum în mulțimea numerelor întregi sau raționale. Acum se introduce noțiune de
ecuații echiva lente.
Definiție: Douǎ ecuații sunt echivalente dacǎ au aceeași mulțime de
soluții. Deci, a rezolva o ecuație înseamnǎ a o transforma în alte ecuații
echivalente.
În clasa a VI -a se dǎ algoritmul de rezolvare a ecuației de gradul I cu o
necunoscutǎ.
Exemple:
1) Sǎ se rezolve în Q ecuația: 2𝑥+3=5.
Rezolvare: 2𝑥+3=5. Se scade 3 din ambii membrii ai ecuației:
2𝑥+3−3=5−3
2𝑥=2.
Se sp une cǎ am trecut pe 3 cu semn schimbat din membrul întâi în membrul
al doilea.
Împǎrțim ambii membri ai egalitǎtii cu 2:
2𝑥
2=2
2; x = 1
Verificare:
2∙1+3=5, propoziție adevǎratǎ, deci soluția ecuației este 𝑆= 1 .
2) Sǎ se rezolve ecuația în mulțimea numerelor raționale:
5
4𝑥−20=125
Rezolvare:
Se adunǎ în ambii membrii ai ecuației 20:
5
4𝑥−20+20=125 +20
5
4𝑥=145

Se spune cǎ am trecut termenul – 20 cu semn schimbat din membrul
întâi în membrul al doilea.
Împǎrțim ambii membrii ai egalitǎții cu 5
4:
5
4𝑥:5
4=145 :5
4

𝑥=145∙4
5
𝑥=116, 116 ∈𝑄.
Verificare:
5
4∙116−20=125, propoziție adevǎratǎ, deci soluția ecuației este 𝑆= 116 .
Important e ste sǎ învǎțǎm pe elevi sǎ judece riguros, de pildǎ sǎ nu priveascǎ
ecuația transformatǎ ca de la sine echivalentǎ cu cea datǎ – și eficient – sǎ descopere cele mai
convenabile transformǎri, sǎ efectueze calculul în nivelul cel mai rațional. Rezolvarea
ecuațiilor se realizeazǎ prin foarte multe exerciții, dar nu pe exercițiile efectuate mecanic, ci
pe acțiunea de arezolva ecuații, privitǎ autocritic și rațional.
Vom reda și teorii generale, în special cele douǎ proprietǎți:
Proprietatea 1:
Adunând (sau scǎzând) din ambii membri ai unei ecuații același numǎr real,
obținem o altǎ ecuație echivalentǎ cu prima.
Proprietatea 2:
Înmulțind (sau împǎrțind) ambii m embri ai unei ecuații cu acelasi numǎr, diferit
de zero, obținem o altǎ ecuație, echivalentǎ cu prima.
În clasa a VII -a se reia ecuația de gradul I cu o necunoscutǎ, dar ea se rezolvǎ în
mulțimea numerelor reale sau submulțimi ale ei. Î n acest an se fixeazǎ bine ecuația de gradul I
cu o necunoscutǎ. Efectuând cât mai multe exerciții, se urmǎrește ca elevul sǎ înțeleagǎ când
o ecuație de gradul I cu o necunoscutǎ are o soluție, când are o infinitate de soluții, când nu
are soluție.
Fie ecuația de gradul I cu o necunoscutǎ cu forma generalǎ 𝑎𝑥+𝑏=0,𝑎,𝑏∈𝑅.
Observația 1:
Dacǎ 𝑎≠0, atunci ecuația are o singurǎ soluție: 𝑥=−𝑏
𝑎; ecuația se numește
determinatǎ.
Observația 2:
Dacǎ 𝑎=0,𝑏=0, atunci ecuația se scrie 0𝑥=0; deci orice numǎr real este soluție
a ecuației 𝑥∈𝑅, ecuația se numește nedeterminatǎ.
Observația 3:
Dacǎ 𝑎=0,𝑏≠0, atunci ecuația se scrie 0𝑥=−𝑏, ecuatia nu are nici o soluție,
deoarece produsul nici unui numǎr real cu zero nu dǎ un numǎr real diferit de zero.

Tot în clasa a VII -a intervin ecuații cu un parametru care se rezolvǎ ținând seama de
observațiile anterioare. Trebuie explicat elevului cǎ noțiunea de parametru apare și la fizicǎ.
Se poate explica elevului folosind mǎrimile fizice temperatura, presiunea, volumul ce este
acela un parametru.
Exemple:
1) Sǎ se rezolve ecuația în necunoscuta x: 𝑎𝑥+1=𝑎, unde 𝑎∈𝑅 este un parametru.
Rezolvare:
𝑎𝑥+1=𝑎; 𝑎𝑥=𝑎−1
a) Dacǎ 𝑎≠0, atunci ecuația are o soluție 𝑥=𝑎−1
𝑎;
b) Daca a = 0, ecuația se scrie 0𝑥=−1, ecuația nu are nici o soluție.
2) Sǎ se rezolve ecuația în necunoscuta x: 𝑎𝑥+𝑎=1+𝑥, 𝑎∈𝑅−parametru.
Rezolvare: 𝑎𝑥+𝑎=1+𝑥;𝑎𝑥−𝑥=1−𝑎;𝑥 𝑎−1 =1−𝑎
a) Dacǎ 𝑎−1≠0; 𝑎≠1 sau 𝑎∈𝑅− 1 ecuația are o singurǎ soluție: 𝑥=1−𝑎
𝑎−1;
𝑥=−1.
b) Dacǎ 𝑎=1, ecuația se scrie 0𝑥=0, are o infinitate de soluții 𝑥∈𝑅.
În funcție de nivelul clasei se lucreazǎ și ecuații cu grad de dificultate mai mare.
În clasa a VIII -a se reia ecuația de gradul întâi cu o necunoscutǎ precum și ecuațiile
care se rezolvǎ cu ajutorul ecuațiilor de gradul întâi cu o necunoscutǎ. Acum apar ecuații care
au necunoscuta la numitor. Când o ecuație conține n ecunoscuta la numitor, se exclud de la
început toate valorile lui x care anuleazǎ unul sau altul dintre numitori, se înmulțește ecuația
cu c.m.m.m.c. al numitorilor, se rezolvǎ ecuația obținutǎ, se retin numai valorile lui x care n –
au fost excluse. Trebuie explicat elevului prin exemple de ce înmulțim prin c.m.m.m.c. și nu
prin produsul numitorilor.
Exemple:
1) Sǎ se rezolve ecuația: 1
𝑥+1
𝑥−1=3𝑥−2
𝑥(𝑥−1) .
Rezolvare:
Se stabilește mulțimea în care ecuația ia soluții: 𝑥≠0; 𝑥−1≠0; 𝑥≠1 sau
𝑥∈𝑅− 0;1 , în aceste condiții c.m.m.m.c. al numitorilor este 𝑥(𝑥−1).
𝑥−11
𝑥+𝑥1
𝑥−1=3𝑥−2
𝑥(𝑥−1)
𝑥−1+𝑥=3𝑥−2
2𝑥−1=3𝑥−2
2𝑥−3𝑥=−2+1

−𝑥=−1
𝑥=1
Deoarece 𝑥∈𝑅− 0;1 , ecuația nu are soluție.
2) Sǎ se rezolve ecuația: 𝑥−3
2𝑥−4=𝑥−2
2𝑥−5
Rezolvare:
Se stabilește mulțimea în care ecuația ia soluții: 2𝑥−4≠0, 𝑥≠2, 2𝑥−5≠0,
𝑥≠5
2 sau 𝑥∈𝑅− 2;5
2 , atunci 2𝑥−5𝑥−3
2𝑥−4=2𝑥−4𝑥−2
2𝑥−5
2𝑥2−5𝑥−6𝑥+15=2𝑥2−4𝑥−4𝑥+8
−1
𝑥+15=−8𝑥+8
−1
𝑥+8𝑥=8−15
−3𝑥=−7
𝑥=7
3
Deoarece 7
3∈𝑅− 2; 5
2 ,𝑥=7
3 este soluție a ecuației inițiale.
Verificare:
7
3−3
2∙7
3−4=7
3−2
2∙7
3−5; 7−9
14−12=7−6
14−15; −2
2=−1
−1;1=1
La aceste ecuații care conțin fracții, trebuie insistat foarte mult, se înmulțesc ambii
membri ai ecuației cu c.m.m.m.c. al numitorilor și în felul acesta nu se mai scriu numitorii.
Aceasta seamǎnǎ foarte mult cu aducerea fracțiilor la același num itor și din aceastǎ cauzǎ se
fac urmǎtoarele confuzii: unii elevi, chiar buni, scriu: 𝑥−1
6−3𝑥
4=2𝑥−2−9𝑥=⋯ și spun cǎ
au scǎpat de numitor, în schimb, când au de rezolvat, de exemplu ecuația 𝑥−1
6 −3𝑥
4=2, scriu
2𝑥−2−9𝑥=2, omițând sǎ -l înmulțeascǎ pe 2 cu numitorul comun 12. Trebuie explicat care
este deosebirea între aceste douǎ transformǎri. În primul caz se aduc fracțiile la același
numitor, corect fiind:
2 3
𝑥−3
6 −3𝑥
4=2𝑥−6−9𝑥
2,

În cazul al doilea, nu se aduc la același numitor ci se înmulțește cu 12, corect fiind:
2𝑥−2−9𝑥=24.
Elevii sunt lasați sǎ lucreze singuri și la verifcare sunt puși sǎ -și descopere greșeala în
rzolvarea ecuației. Elevii trebuie obișnuiți sǎ lucreze cât mai simplu p osibil. Unele ecuații se
rezolvǎ mai ușor pe o altǎ cale decât folosind algoritmul de calcul obișnuit.
Exemple:
1) Sǎ se rezolve ecuația: 1
1+1
1+1
1+1
𝑥=7
11
Rezolvare:
Se stabilește mlțimea în care ecuația ia soluții: 𝑥≠0 𝑠𝑎𝑢 𝑥∈𝑅− 0 , se
rǎstoarnǎ ambii membrii ai ecuației 1+1
1+1
1+1
𝑥=11
7 și se continuǎ la fel,
1
1+1
1+1
𝑥=4
7; 1+1
1+1
𝑥=7
4; 1
1+1
𝑥=3
4; 1+1
𝑥=4
3; 1
𝑥=1
3;𝑥=3,3∈𝑅− 0 .

Verificare:
1
1+1
1+1
1+1
3=7
11, propoziție adevǎratǎ.

2) Sǎ se rezolve ecuația: 𝑥−1
12+3𝑥−9
6=𝑥−3−4𝑥−12
8
Elevii sunt tentați sǎ calculeze c.m.m.m.c. al numitorilor. Se observǎ cǎ fracțiile se
simplificǎ :
𝑥−1
12+3(𝑥−3)
6=𝑥−3−4(𝑥−3)
8
𝑥−1
12+𝑥−3
2=𝑥−3−𝑥−3
2
𝑥−1
12+𝑥−3
2+𝑥−3
2=𝑥−3
𝑥−1
12+2𝑥−3
2=𝑥−3
𝑥−1
12+𝑥−3=𝑥−3
𝑥−1
12=0
𝑥−1=0, 𝑥=1

Verificare:
1−1
12+3−9
6=1−3−4−12
8; −1=−1.

3) Sǎ se rezolve ecuația:
(𝑥−2
𝑥+2)2+(𝑥+2
𝑥−2)2−2=0
Rezolvare:
Se stabilește mulțimea în care ecuația ia valori:
𝑥+2≠0, 𝑥≠−2;
𝑥−2≠0, 𝑥≠2; sau 𝑥∈𝑅— −2,2 .
Se observǎ cǎ în membrul stâng se poate aplica formula 𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏=(𝑎−𝑏)2
𝑥−2
𝑥+2−𝑥+2
𝑥−2 2
=0
𝑥−2 𝑥+2
𝑥−2
𝑥+2− 𝑥+2
𝑥−2=0
(𝑥−2)2−(𝑥+2)2=0
𝑥−2+𝑥+2 𝑥−2−𝑥−2 =0
2𝑥 −4 =0
𝑥=0, dar 0∈𝑅— −2,2 ,𝑥=0 este soluție a ecuației inițiale.
Este necesar sǎ se lucreze și ecuații literale, obișnuindu -i pe elevi sǎ lucreze în felul
acesta și cu ecuații cu altǎ necunoscutǎ decât x. Rezolvarea acestor ecuații este deosebit de
utilǎ în practicǎ, apar probleme de fizicǎ, de aritmeticǎ, de geometrie, care trebuie rezolvate.
La geometrie de exemplu, o problemǎ în care se dau aria, înǎlțimea și una din bazele
unui trapez și se cere cealaltǎ bazǎ este dificilǎ dacǎ nu se știe sǎ se rezolve ecuația de gradul I
cu o necunoscutǎ.
În unele cazuri, la fizicǎ, elevii învațǎ trei formule la mișcarea rectilinie și uniformǎ a
corpurilor: 𝑣=𝑠
𝑡,𝑡=𝑠
𝑣,𝑠=𝑣𝑡 fǎrǎ sǎ aibǎ o noțiune clarǎ despre legǎtura dintre ele. Dupǎ
ce învațǎ sǎ rezolve ecuații, aceste cunoștințe ale lor, care înainte erau dificile, acum par
foarte ușoare. Datoritǎ ecuațiilor literale se pot rezolva pe cale raționalǎ unele probleme de
fizicǎ și geometrie eliberând elevii de povara formulelor. A rezolva o problemǎ înseamnǎ a
trece de la modelul fizic, c are înfǎțișeazǎ o soluție concretǎ din viața de toate zilele, la un
model matematic, abstract, ecuații sau sitem de ecuații, obținute din legǎturile dintre

cunoscute și necunoscute, pentru ca apoi, cu soluțiile obținute, sǎ trecem din nou la modelul
fizic pe care sǎ -l interpretǎm și sǎ -l verificǎm.
MODEL FIZIC → MODEL MATEMATIC → MODEL FIZIC
concret abstract concret
Pentru rezolvarea unor probleme fie de fizicǎ, chimie, geometrie este nevoie de ecuația
de gra dul II cu o necunoscutǎ. De aceea, reintroducerea în programa analiticǎ de matematicǎ
din clasa a VIII -a a ecuației de gradul II cu o necunoscutǎ a fost folositoare.
Motivele sunt urmǎtoarele:
1. Rezolvarea unor probleme de geometrie, de exemplu:
a) Aflați aria unui teren de forma unui triunghi dreptunghic, știind cǎ laturile sale
sunt numere naturale consecutive .
Rezolvare:
Fie 𝑥,𝑥+1,𝑥+2, laturile triunghiului, ipotenuza având lungimea 𝑥+2. Triunghiul
fiind dreptunghic se aplicǎ teorema lui Pitagora:
(𝑥+2)2=(𝑥+1)2+𝑥2.
Rezolvând ecuația se obține: 𝑥1=−1, 𝑥2=3.
Soluția problemei este 𝑥=3;𝑥+1=4;𝑥+2=5, iar 𝑥=−1∉𝑁 nu este soluție a
problemei.
Aria triunghiului este 𝑆=3∙4
2;𝑆=6(𝑢∙𝑎).
b) Ecranul unei tablete are dimensiunile de 30 cm și 40 cm. Ecranul împreunǎ cu
rama are o suprafațǎ de 2184 𝑐𝑚2. Aflați lǎțimea ramei .
Rezolvare:
Fie x (cm) lǎțimea ramei, atunci x este solu ția ecuației
2𝑥+40 2𝑥+30 =2184
4𝑥2+80𝑥+60𝑥+1200−2184 =0
4𝑥2+140𝑥−984 =0
𝑥2+35𝑥−246 =0
Soluția ecuației este 𝑥1=6, 𝑥2=41.
Soluția problemei este 𝑥=6𝑐𝑚.
2. Descompunerea unui polinom de gradul al II -lea în factori ireductibili, necesarǎ la

simplificarea fracțiilor algebrice.
a) Sǎ se simplifice fracția
𝑥2+𝑥−90
8𝑥2+83𝑥+30
Rezolvare:
Fie 𝑃 𝑥 =𝑥2+𝑥−90

𝑥2+𝑥−90=0
∆=361 >0; 𝑥1,2=−1±19
2
𝑥1=9
𝑥2=−10
𝑃 𝑥 =𝑥2+𝑥−90= 𝑥−9 (𝑥+10)

Fie 𝑄 𝑥 =8𝑥2+83𝑥+30

8𝑥2+83𝑥+30=0
∆=6929 >0; 𝑥1,2=−83±77
16
𝑥1=−3
8
𝑥2=−10
𝑄 𝑥 =8 𝑥+3
8 𝑥+10
𝑄 𝑥 = 8𝑥+3 (𝑥+10)

𝐹 𝑥 = 𝑥−9 (𝑥+10)
8𝑥+3 (𝑥+10)=𝑥−9
8𝑥+3
unde 𝑥≠−10.

3. Necunoscând rezolvarea ecuației de gradul al doilea cu o necunoscutǎ, se pot rezolva
numai probleme simple de geometrie, fizicǎ, chimie.
4. La geometrie se întâlnesc sisteme de ecuații de gradul al doilea care se pot rezolva
numai dacǎ se cunoaște rezolvarea ecuației de gradul al doilea cu o necunoscutǎ.
Obiectivele care trebuie atinse și pot fi atinse ușor, sunt foarte simple:
O1. Elevii sǎ -și însușeascǎ metodele de rezolvare a ecuațiilor de gradul al doilea
necomplete, precum și formula de rezolvare a ecuației complete.
O2. Sǎ poatǎ deduce formula.
O3. Sǎ aplice aceste cunoștințe în rezolvarea problemelor.
O4. Sǎ-și însușeascǎ met oda de descompunere a trinomuluui de gradul al doilea,
folosind metoda la simplificarea fracțiilor.

O5. Sǎ aplice ecuația de gradul al doilea cu o necunoscutǎ în rezolvarea problemelor în
care se dau suma și produsul a douǎ numere.

Scurt istoric al rezol vǎrii ecuațiilor algebrice

Determinarea soluțiilor unei ecuații algebrice este una dintre cele mai importante
probleme ale matematicii și multǎ vreme a constituit obiectul principal al algebrei.
Soluțiile ecuațiilor algebrice de gradul I și gradul al II -lea au putut fi aflate încǎ din
perioada antichitǎții.. Formula prin care se rezolvǎ ecuația de gradul al III -lea este cunoscutǎ
din perioada renașterii italiene. A fost obținutǎ întǎi de cǎtre Scipone del FERRO ( anul 1515
apare ca datǎ în istorie, neștiindu -se cu exactitate) și apoi a fost regǎsitǎ de Niccolo
TARTAGLIA (1541). Aceastǎ soluție a lui Tartaglia a fost publicatǎ de Gerolamo CARDANO în
„ARS MAGNA ” (1545) și este cunoscutǎ ca „formula lui Cardano ”.
Metoda generalǎ de rezolvare a ecuației de gradul IV, care a fost publicatǎ de
Cardano în „Ars Magna ”. este atribuitǎ asistentului lui Cardano , Ludovico FERARR. S-a
încercat ulterior obținerea unor formule analoage . pentru ecuația de gradul V.
Marii matematicieni EULER și LAGRANGE și-au adus contribuția la studiul ecuațiilor
algebrice astfel: Lagrange a avut ideea de a reduce rezolvarea ecuației algebrice la un șir de
ecuații mai simple (numite ecuații rezolvante). În 1813 A. RUFFINI și apoi, independent, N. H.
ABELIN în 1837 au demonstrat cǎ pentru ecuațiile algebrice de grad ≥5 nu pot fi elaborate
formule de calcul prin radicali.
În 1830 E. GALOIS a enunțat condițiile necesare și suficie nte pentru ca o ecuație
algebricǎ sǎ fie rezolvabilǎ prin radicali, creând teoria care este astǎzi cunoscutǎ sub
denumirea de „teoria lui Galois” , teorie care a determinat întreaga dezvoltare a algebrei sub
forma sa modernǎ.

Joseph Louis Lagrange Leonhard Euler Évariste Galois