Elemente de Metodica Privind Rezolvarea Problemelor Specifice Tratraedrului
CUPRINS
1. Prefață…………………………………………………………………………………………………………………….2
2. Capitolul I……………………………………………………………………………………………………………….6
I.1. Proprietăți ale tetraedrului…………………………………………………………………………….6
I.2. Volumul tetraedrului……………………………………………………………………………………7
3. Capitolul II…………………………………………………………………………………………………………….16
II.1. Plane mediane. Mediatoarea unui tetraedru………………………………………………….16
II.2. Plane bisectoare. Bisectoarea triedrelor unui tetraedru…………………………………..17
II.3. Centre de greutate……………………………………………………………………………………..18
II.4. Lungimea medianei unui triunghi. Lungimile bimedianelor și medianelor unui tetraedru……………………………………………………………………………………………………………………21
II.5. Volumul unui tetraedru dat de lungimile muchiilor acestuia…………………………..24
II.6. Dreapta lui Euler pentru triunghi. Dreapta lui Euler pentru tetraedru……………….25
II.7. Teorema lui Menelaus pentru triunghi. Teorema lui Menelaus pentru tetraedru..27
II.8. Cercul lui Euler. Sfera lui Euler………………………………………………………………….30
4. Capitolul III……………………………………………………………………………………………………………32
III.1. Tetraedre ortocentrice………………………………………………………………………………32
III.2. Tetraedre echifaciale………………………………………………………………………………..35
III.3. Tetraedre Crelle……………………………………………………………………………………….38
III.4. Tetraedre regulate…………………………………………………………………………………….39
5. Capitolul IV……………………………………………………………………………………………………………42
IV.1. Elemente de metodică privind rezolvarea problemelor specifice tetraedrului…..42
IV.2. Evaluarea rezultatelor în procesul de învățământ…………………………………………58
IV.3. Proba de evaluare. Analiza rezultatelor și interpretarea acestora……………………60
6. Capitolul V……………………………………………………………………………………………………………74
Puterea Piramidei…………………………………………………………………………………………….74
7. Anexe……………………………………………………………………………………………………………………76
8. Bibliografie……………………………………………………………………………………………………………97
PREFAȚĂ
Doresc ca în debutul acestei lucrări să exprim câteva cuvinte despre frumusețea, puterea educativă, complexitatea și întinderea matematicii, motive care m-au determinat să aleg această temă de matematică elementară. Prin logica de bază a fiecărui raționament, matematica ne obișnuiește cu precizie, obiectivitate și ne imprimă în suflete, în ordinea morală și intelectuală, verticalitatea în toate împrejurările vieții. Deoarece matematica nu minte. Matematicianul Francois Viète (1540-1603) spunea, de altfel atât de just, în ”Opera mathematica” că ”pledoariile avocaților și discursurile oratorilor nu au nicio valoare în matematică”.
Cel care crează în matematică nu poate da decât soluțiile sau soluția adevărată, altfel comite o eroare. Acest compromis nu există de aceea matematica instruiește mai bine sau la fel de bine ca toate principiile morale din lume.
Matematica nu este un scop ci un mijloc de a surprinde cantitativ sau structural fenomenele naturale în formule elegante și logice. Din acest motiv matematica este cheia de aur a tuturor științelor experimentale.
În matematică asimilarea este subconștientă și lentă. Ceea ce se învață la matematică ca în orice altă știință se poate uita, este adevărat; dar logica, raționamentul și disciplina matematică nu se pot uita niciodată. Ne urmăresc ca o umbră.
Despre matematică, lumea are în general o părere comună, greșită. Matematica este considerată rece, provoacă teamă. Cărui fapt se datorează aceasta? Cei mai mulți nu au întâlnit un profesor bun sau o carte bună de matematică pentru a percepe armonia acestei discipline. Matematica este respectată de cei mai mulți care o simt ca fundament actual pentru știință și tehnologie și este iubită de cei ce o înțeleg, datorită armoniei și a echilibrului specific, ce provoacă o delectare de esență superioară, o modalitate esențială de cercetare, înțelegere și control asupra lumii înconjurătoare în care inteligența deține rolul esențial.
Tinerețea matematicii este veșnică, matematică este în continuă înnoire, fără limite asemeni cu universul. Cine a luat contact cu matematica și își dă seama de caracterul ideal, universal și abstract, chiar dacă ulterior a părăsit-o, rămâne mereu pe culmile olimpice, cristaline, senine ale adevărului, deoarece va porni mereu de la un eșafod intelectual logic.
Matematica nu are nicio contingență cu minciuna, vulgaritatea și egoismul pentru că oferă tuturor celor ce pe măsura posibilităților proprii o însușesc modestie, dezinteresare, abnegație, disciplină intelectuală, discreție, sensibilitate artistică, măsură în toate. Acestea toate înmănunchează de fapt virtutea acestei științe, puterea ei educativă.
În matematică nu se pot înșira vorbe nu poate exista ”beție de cuvinte”. Cuvântul nu poate fi întrebuințat oriunde și oricum, trebuie să fie propriu pentru ideea exprimată, deoarece matematica, este și o poezie de înaltă factură spirituală ce arată adevărata valoare a cuvântului, în contexte adecvate.
În această lucrare sper să pot surprinde măcar o fărâmă din ”sublimul” matematicii, din frumusețea rigorii științifice și complexitatea acesteia. În zilele noastre matematica apare ca un uriaș edificiu cu implicații pluridisciplinare înălțându-și tot mai semeț turnurile, consolidâdu-și temeliile.
Centrul de stabilitate al acestui edificiu, inima sa, îl constituie, totuși, ”parterul”, ceea ce se numesc ”matematicile elementare”.
O regulă generală impune matematicienilor o cunoaștere profundă a matematicii elementare. Asimilarea acesteia nu este întotdeauna ușoară, solicitând o bună însușire a fundamentelor matematicii.
Tetraedrul este una din cele mai simple configurații spațiale și face parte din universul matematicilor elementare.
Proprietățile asemănătoare cu ale triunghiului permit o punctare excelentă a corelației plan-spațiu prin analogia triunghi-tetraedru, ceea ce poate produce surprizele specifice schimbării de mediu. În capitolul III al acestei lucrări m-am ocupat de aceste analogii triunghi-tetraedru.
Figurile geomtetrice plane și spațiale se găsesc în realitate, iar cele spațiale sunt mai ”concrete” decât cele plane întrucât presupun o idealizare suplimentară, conceptele plane sunt mai ușor intuite decât cele spațiale. O strategie bună pentru însușirea corectă a configurațiilor spațiale, implicit a tetraedrului, constă în alegerea planelor de secțiune, aspect pe care îl voi surprinde în pasajele lucrării.
În mod modest, lucrarea vrea să exprime că în ciuda vârstei milenare, geometria elementară nu este un domeniu încheiat, mijloace de o simplitate remarcabilă permițând revalorificări importante.
În general, cele câteva probleme expuse la sfârșitul fiecărui capitol, au fost alese cu grijă pentru a permite aprofundarea teoriei și pentru a edifica tehnici geometrice cu caracter de generalitate. Problemele prezentate sunt din lucrări de referință cum ar fi: ”Planul și spațiul eucludian” de Gheorghe Țițeica precum și probleme din Gazeta Matematică.
Soluțiile problemelor au fost redactate spre stimularea creativității, a activității independente, pentru cultivarea unor rigori care să justifice trecerea de la geometria intuitivă la geometria axiomatică și apoi la aplicații.
În toate capitolele lucrării mai puțin în ultimul sunt prezentate și considerații metodice privind predarea noțiunilor teoretice respective și observații metodologice privind modalitățile de rezolvare a problemelor.
Pentru delectarea cititorului, ultimul capitol ”Puterea Piramidei” vrea să surprindă aspecte mai puțin cunoscute, despre construcțiile piramidale ale lumii antice.
La rubrica ”Anexe” am inserat o propunere de proiect de opțional pentru clasa a VIII-a și un proiect didactic pentru lecția ”Tetraedrul regulat”.
Un alt motiv ce vine în sprijinul alegerii acestei teme este insuficienta prezență în geometria în spațiu, implicit a tetredrului, în programele și manualele școlare de liceu.
În debutul lucrării se află capitolul ”Proprietăți fundamentale ale tetraedrului” în care prezint definiția tetraedrului precum și convențiile uzuale de notație și desen. De asemenea am expus și considerații metodice privind rolul important ocupat de tetraedru în introducerea și definirea tetraedrelor în gimnaziu.
Capitolul se încheie cu definiția volumului tetraedrului, considerații metodice asupra acestuia, precum și teoremele indispensabile studiului tetraedrului. Problemele din finalul capitolului sunt aplicații directe ale teoremelor incluse, care confirmă rolul metodico-științific pe care îl dețin.
Capitolul II studiază și analogia plan-spațiu dintre dreptunghi și tetraedru. Fără a avea pretenții de a fi exhaustiv, acest capitol conține elemente de comparație între proprietățile triunghiului corespunzătoare și cele ale tetraedrului.
Sintetizez în următorul tabel aceste analogii.
În capitolul III am inclus proprietăți ale tetraedrelor particulare. Pentru tetraedrele ortocentrice, primele prezente în acest capitol, am arătat concurența înălțimilor pentru a continua oarecum analogia triunghi-tetraedru. În continuare am expus proprietăți legate de tetraedrele echifaciale și tetraedrele Crelle, nelipsind, tetraedrele regulate cu proprietățile lor, dat fiind și rolul important al acestora din geometria din gimnaziu.
Capitolul IV l-am destinat părții metodice și este alcătuit din metode semnificative de rezolvare a problemelor de geometrie privind tetraedrele. Am ales metodele pe care le-am considerat mai importante, mai speciale și care pot fi adaptate problemelor de geometria tetraedrelor: metoda sintezei, metode pentru detrminarea locurilor geometrice, metode de rezolvare a problemelor de coliniaritate și concurență, metoda contraexemplului, rezolvarea unor probleme de geometrie privind tetraedrul folosind paralelipipedul lui Monge. Precizez că pentru fiecare metodă este motivat principiul de lucru și apoi este ilustrată cu probleme celebre, din Gazeta Matematică, date la concursuri și olimpiade, probleme ce pot avea și mai multe soluții.
Partea a doua a capitolului destinat metodicii se referă la ”Evaluarea rezultatelor în procesul de învățământ”. După expunerea principalelor tipuri de evaluare didactică, am exxemplificat, cu ajutorul a două teste date la clasa a VIII-a, analiza rezultatelor la teste și interpretarea lor. Ca metodă ameliorativă am folosit referatul, acesta fiind mai ”îndrăgit de elevi”, decât probele scrise.
Noțiunile despre tetraedru, consider că pot fi bine studiate și corect înțelese de elevul licean, noțiuni ce sunt neglijate în favoarea altora, după părerea mea mai puțin relevante, mai puțin importante. Bibliografia prezentată la sfârșitul lucrării cuprinde doar o parte a lucrărilor consultate.
În finalul părții introductive aduc mulțumiri tututror celor care au contribuit la formarea mea profesională, dezvăluindu-mi tainele inițiale dar și frumusețile matematicii, profesorilor mei din gimnaziu și liceu, domnilor Vicol Dumitru, Prisecaru Andrei și Ursu Ioan, precum și colectivului de profesori ai Universității ”Al. I. Cuza” din Iași unde s-a inițiat formarea mea ca specialist și educator.
Aduc mulțumiri didactice speciale personalității științifice care a îndrumat și supravegheat realizarea acestei lucrări, domnului profesor universitar doctor în științe matematice Tălmaciu Mihai.
Capitolul I
I.1. Proprietăți ale tetraedrului
În urma consultării lucrării menționate în bibliografie cu numărul [5] prezint
următoarele:
Definiții și notații
Tetraedrul, în limba greacă, înseamnă poliedru cu patru fețe:”tetra”=patru, ”hedra”=față.
Voi prezenta drept considerații preliminarii importante sistemul de axiome al lui David Hilbert și consecințele imediate.
DEFINIȚIE 1.1. Se definește tetraedrul ca fiind orice element (A, B, C, D)4. Punctele A, B, C, D sunt vârfurile tetraedrului, segmentele [AB], [AC]. [BC], [AD], [BD], [CD] sunt muchiile tetraedrului, iar suprafețele triunghiulare [ABC], [DAC], [DAB], [DBC] sunt fețele tetraedrului.
OBSERVAȚIA 1.1. Desenarea tetraedrului se poate realiza ca mai jos, pe baza faptului că în viziunea posibilă fețele sunt ”plăci” semitransparente iar muchiile din spatele lor se trasează prin linii punctate:
Se notează cu Int(ABCD) interiorul tetraedrului ABCD. Intersecția semispațiilor deschise determinate de planele fețelor și vârful opus respectiv formează interiorul tertraedrului. Interiorul oricărui tetraedru este o mulțime convexă fiind o intersecție de mulțimi convexe.
În cele ce urmează voi folosi următoarele notații pentru tetraedrul ABCD:
Lungimile muchiilor: BC=a; CA=b; AB=c; AD=I; BD=m; CD=n (figura 1).
Unghiurile diedre se vor nota când nu vor fi posibile confuzii cu etc.
Unghiurile triedre A(BCD) se vor nota când nu vor fi posibile confuzii cu A.
Aria feței [ABC] se va nota SABC sau, mai concis SD.
Planul (ABC), adică fața opusă lui D se notează Df.
De asemenea, centrul de greutate se va nota cu G, ortocentrul cu H, lungimea înălțimii cu h.
În gimnaziu tetraedrul ocupă un rol foarte important în introducerea și definirea poliedrelor. Manualele din gimnaziu abordează două modalități de introducere a poliedrelor. În una din ele studiul acestora începe cu prisma, iar teoria volumului are la bază definirea volumului cubului, iar în cea de a doua studiul începe cu tetraedrul și teoria volumului are la bază definirea volumului tetraedrului.
Definiția tetraedrului este accesibilă elevilor prin analogie cu triunghiul din plan, ei mai având unele reprezentări despre aceste mulțimi de puncte din spațiu. În mintea elevilor poate apare întrebarea firescă: ”De ce studiem aceste figuri geometrice: prisma, piramida, trunchiul de piramidă și nu altele?” Pentru a râspunde la această întrebare este indicat să prezentăm elevilor obiecte din mediul înconjurător a căror reprezăntări sunt corpurile studiate: piese de dierite mașini, construcții, obiecte uzuale.
Pentru a trece de la această etapă de cercetare a unor obiecte reale la definirea corpurilor geometrice desprinse de suportul lor material trebuie ca descrierea să fie foarte clară. Definiția tetraedrului, spre exemplu, se realizează invocând ulterior elementele materiale ale corpurilor pe care le-am observat și vom preciza acele elemente care definesc tetraedrul ca mulțime de puncte a spațiului euclidian tridimensional, prin urmare criteriile după care o mulțime de puncte din spațiu se numește tetraedru.
Etapa care urmează după definirea corpurilor geometrice ca noțiuni abstracte este reprezentarea lor cu ajutorul conceptelor figurale, concretizarea conceptelor abstracte cu ajutorul desenelor.
Studiul unui poliedru presupune în general parcurgerea următoarelor trei etape:
Observarea unor obiecte reale care au formele impuse de poliedrul studiat.
Definiția figurii geometrice ținând seama de enunțul: ”Figura geometrică este o mulțime de puncte din spațiu” cu anumite proprietăți.
Însușirea noțiunilor definite.
I.2 Volumul tetraedrului
În acord cu [5], [20], [21], [33] din bibliografie expun în acest subcapitol noțiunile fundamentale despre volumul tetraedrului.
DEFINIȚIA 1.2. Volumul tetraedrului ABCD este produsul dintre aria oricărei fețe și o treime din lungimea înălțimii perpendiculare pe aceasta.
Voi nota volumul tetraedrului ABCD cu VABCD sau simplu cu V când nu vor fi posibile confuzii.
Lema care urmează ne asigură că definiția este corectă.
LEMĂ. Într-un tetraedru, produsul dintre aria unei fețe și înălțimea corespunzătoare nu depinde de alegerea feței.
Demonstrație. Se consideră triunghiurile ABC și DBC cu înălțimile lor [AM] și respectiv [DN] iar [AQ] și [DP] înălțimi ale tetraedrului (fig 4).
Din teorema celor trei perpendiculare, și sunt unghiuri plane corespunzătoare unghiului diedru , prin urmare sunt congruente. Ca o consecință și complementele lor QAM și PDN sunt congruente având aceeași măsură x.
Dar cosx=, adică AQ. Prin înmulțirea acestei egalități cu , rezultă =. Și cum SA= și SD=, se obține SA SD .
Am obținut ceea ce aveam de demonstrat și anume în orice tetraedru produsul ariei feței cu lungimea înălțimii dusă pe ea este aceeași.
Studiul poliedrelor în manualele de gimnaziu se face prin două modalități. Un din acestea folosește prisma și volumul cubului, iar cealaltă tetraedrul și volumul acestuia.
Prima metodă de abordare a studiului poliedrelor are avantajul didactic că elevii înțeleg ușor faptul că volumul paralelipipedului dreptunghic este egal cu produsul dintre aria oricărei baze și înălțimea corespunzătoare. Apar însă dificultăți cînd cel puțin o dimensiune a paralelipipedului dreptunghic este exprimată printr-un număr irațional.
Cea de a doua modalitate, care începe studiul poliedrelor cu tetraedrul, are avantajul că teoria volumului nu mai face apel la demonstrații care implică numărul irațional, pe de o parte, iar pe de altă parte, volumele celorlalte corpuri geometrice pot fi calculate pornind de la definirea volumului tetraedrului.
Introducerea noțiunii de volum la clasele gimnaziale se face atașând fiecărui corp geometric un număr real și apoi se compară aceste numere. Se poate aminti elevilor că în același mod s-a procedat și cu aria învățată în clasa a VII-a.
Construirea funcției – volum definită pe mulțimea tetraedrelor este suficientă. Definind o astfel de funcție, care face ca fiecărui tetraedru să-i corespundă un număr real pozitiv, trebuie să aibă o serie de proprietăți pe care le redau mai jos:
Mulțimea tetraedrelor se notează cu T iar mulțimea numerelor reale pozitive R+, atunci funcția V:T R+ este o funcție – volum dacă:
Dacă T1V(T1)=V(T1)+V(T2).
Două tetraedre regulate cu aceeași muchie au volume egale.
Dacă tetraedrul T1 este inclus în tetraedrul T2 atunci V(T1)V(T2).
Volumul unui cub care are ca muchie unitatea de măsură a lungimilor (1m) este egal cu 1 (1m3).
O astfel de funcție volum se poate construi la tetraedru. Am realizat demonstrația
prin care în orice tetraedru produsul dintre aria unei fețe și înălțimea corespunzătoare ei este aceeași oricare ar fi fața și înălțimea corespunzătoare ei. Ceea ce înseamnă că putem face ca fiecărui tetraedru să-i corespundă un număr real și numai unul. Deoarece oricare din poliedrele studiate în clasa a VIII-a se poate descompune în tetraedre, înseamnă că putem defini volumul oricăruia dintre poliedrele studiate. Avantajul acestei abordări este acela că nu mai aduce în discuție natura dimensiunilor tetraedrului (naturale, raționale, iraționale).
TEOREMA 1.1. (Proprietatea de aditivitate pentru volume). Fie un tetraedru ABCD și un plan prin dreapta AD care taie muchia BC într-un punct interior M, atunci:
VABCD=VDAMC+VDAMB.
Se observă că SABC=SAMC+SAMB.
Egalitattea se înmulțește cu unde DP este lungimea înălțimii dusă din vârful D pe fața ABC și se obține relația cerută. (fig. 5)
CONSECINȚA 1.1. Dacă M este un punct interior tetraedrului ABCD atunci are loc:
VABCD=VABMD+VACMD+VBCMD.
DEMONSTRAȚIE
Notăm N=AMBC, atunci conform teoremei 1 au loc:
VABCD=VANCD+VANBD
VANCD=VAMCD+VMNCD
VANBD=VABMD+VBMND
și VMNBD+VMNCD+VBMCD din care rezultă imediat forma din enunț.
CONSECINȚA 1.2.
Dacă M este un punct interior tetraedrului ABCD atunci are loc:
VABCD=VMBCD+VAMCD+VAMBD+VABCM.
Dreapta DM, interioară triedrului D, taie fața [ABC] într-un punct interior N. Se aplică consecința 1 în mod convenabil pentru tetraedrele ABCD și ABCM. (fig. 7)
Elevii clasei a VIII-a trebuie să știe că volumele se pot aduna și să precizeze când se poate face aceasta.
În problemele care urmează folosesc noțiunea de tetraedru regulat de aceea voi începe prin a-l defini.
DEFINIȚIA 1.3. Tetraedrul cu toate fețele triunghiuri echilaterale se numește tetraedru regulat.
Folosind definiția se observă că tetraedrul regulat are toate muchiile congruente.
PROBLEMA 1.1. [33]
Să se calculeze volumul tetraedrului regulat a cărui muchie este egală cu a.
SOLUȚIE
Fie DP înălțimea tetraedrului regulat, D. Se impune precizarea că tetraedrul ABCD fiind regulat, P este centrul de greutate al feței ABCD.
AM=DM=, fiind înălțimi ale triunghiurilor echilaterale de latură a.
De asemenea,
PM= și aplicând teorema lui Pitagora se obține DP.
Imediat VABCD= și știind că SD= rezultă că VABCD=. (fig. 8)
PROBLEMA 1.2. [33]
Să se demonstreze că suma distanțelor oricărui punct variabil, din interiorul unui tetraedru regulat, arbitrar la fețele tetraedrului este constantă.
SOLUȚIE
Fie M , ABCD tetraedru regulat. Conform consecinței 2 avem:
VABCD=VMBCD+VMACD+VMABD+VMABC.
Notez distanțele de la punctul M la planele [BCD], [ACD], [ABD], [ABC], respectiv cu x, y, z, u voi avea:
VABCD=SB.
Din faptul că tetraedrul este regulat, SA=SB=SC=SD=S și relația devine:
PROBLEMA 1.3. [33]
Fie tetraedrul ABCD și a, b, c, d lungimile înălțimilor duse din vârfurile A, B, C, D; fie O un punct oarecare în interiorul tetraedrului și x, y, z, u distanțele de la punctul O la fețele BCD, CDA, ABD, ABC. Să se demonstreze relația:
.
SOLUȚIE
Notez ariile fețelor BCD, CDA, ABD, ABC cu S1, S2, S3 respectiv S4.
de unde
.
Din consecința 2:
V=VOABD+VOACD+VOBCD+VOABC
3V=S1 și înlocuind S1, S2, S3, S4 obținem:
de unde rezultă relația cerută:
. (fig. 10)
Atât problemele de gheometrie propriu zise, cât și cele care reprezintă problematizarea teoriei, au mai multe roluri:
rol informativ (aici intră problemele directe utile în practică: calcul, măsură, studiul fizicii, studii tehnice dar și probleme în care matematica este privită ca obiect de cultură generală);
rol formativ, educarea gândirii creatoare.
Pentru problemele cu rol formativ reținem că soluția ei are interes și în sine, ca rezultat
ce poate fi folosit în alte probleme.
În rezolvarea primei probleme s-au folosit rezultate teoretice care pot constitui probleme cu rol formativ pentru elevii din clasa a VII-a.
Problema 1 a) Determinați înălțimea triunghiului echilateral de latură a.
Din teorema lui Pitagora se obține
Problema 1 b) Determinați aria triunghiului echilateral de latură a.
Se aplică formula ariei unui triunghi și rezultatul de la problema 1 a) și se obține .
Problema 1 poate constitui o problemă cu rol formativ, expresia volumului unui tetraedru regulat se reține și se folosește ca formulă.
În același timp această primă problemă reactualizează, aduce în mintea elevilor în afara celor două formule generate de problemele 1 a) și 1 b), noțiuni ca centrul de greutate al unui triunghi și proprietăți ale acestuia.
Capitolul II
Elemente comparative cu geometria triunghiului
Tetraedrul este configurația spațială cu proprietăți asemănătoare triunghiului din plan. În capitolul acesta voi ilustra acest lucru. În continuare voi trece mai rapid peste proprietățile triunghiului precum și peste demonstrațiile aferente, considerând că acestea sunt bine cunoscute.
În urma consultării [5], [6], [16], [18], [25] expun în acest paragraf unul din elementele comparative cu geometria triunghiului.
II.1. Plane mediatoare. Mediatoarea unui tetraedru
Rezultatele teoretice care urmează sunt valabile pentru triunghi și se studiază încă din clasa a VI-a.
DEFINIȚIA 2.1. Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe segment în mijlocul său.
TEOREMA 2.1. Un punct aparține mediatoarei unui segment dacă și numai dacă se află la distanțe egale de capetele segmentului.
TEOREMA 2.2. Într-un triunghimediatoarele celor trei laturi sunt concurente într-un punct notat de regulă cu O, numit centrul cercului circumscris triunghiului.
Am plecat de la triunghi în plan și voi trece la tetraedru în spațiu.
DEFINIȚIA 2.2. Planul perpendicular în mijlocul segmentului AB se numește plan mediator al segmentului AB.
Planul mediator al unui segment este locul geometric al punctelor din spațiu ce se află la distanță egală de capetele segmentului.
TEOREMA 2.3. Planele mediatoare ale muchiilor unui tetraedru sunt concurente.
DEMONSTRAȚIE Punctul OD este piciorul perpendicularei d, dreapta în care se intrsectează planele mediatoare ale muchiilor AB, BC, CA. Punctul OD este centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Planul mediator al muchiei DA intersectează dreapta d într-un puct O.
Deoarece O aparține celor patru plane mediatore, conform proprietății de loc geometric al planului mediator, are loc OA=OB=OC=OD. Dar cum OD=OB și OD=OC atunci O aparține și planelor mediatoare ale muchiilor DB și DC. Prin urmare toate planele mediatoare ale muchiilor unui tetraedru sunt concurente în O.
OBSERVAȚIA 2.1. Datorită faptului că O se află la distanță egală de vârfurile tetraedrului ABCD, rezultă că O este centrul sferei circumscrise tetraedrului ABCD, raza sferei circumscrise tetraedrului ABCD se notează R=OA.
DEFINIȚIA 2.3. Dreapta perpendiculară pe o față a unui tetraedru în centrul cercului circumscris acestei fețe se numește mediatoarea acelei fețe.
Mediatoarea feței ABC este locul geometric al punctelor M din spațiu ce satisfac relația MA=MB=MC. (fig. 11)
Teorema precedentă se mai poate enunța astfel:
TEOREMA 2.4. (Pierre Fermat 1601-1665) Cele patru mediatoare ale unui tetraedru sunt concurente.
Conform celor arătate mai sus se observă analogiile dintre triunghi și tetraedru. În triunghi se poate defini mediatoarea unei laturi, se poate demonstra concurența acestora și existența cercului circumscris triunghiului, în tetraedru am definit mediatoarea unei fețe, am demonstrat concurența acestora precum și existența unei sfere circumscrise tetraedrului.
II.2. Plane bisectoare. Bisectoarele triedrelor unui tetraedru
Conținutul acestui paragraf este în acord cu [5], [6], [25] din bibliografie.
DEFINIȚIA 2.4. Semidreapta cu originea în vârful unui unghi, situată în interiorul triunghiului, care împarte unghiul în două unghiuri congruente se numește bisectoare interioară a acelui unghi.
Bisectoarele unui triunghi sunt bisectoarele unghiurilor triunghiului.
Bisectoarea unui unghi este locul geometric al punctelor din plan egal depărtate de laturile unghiului.
Teorema următoare este foarte ușor de demonstrat:
TEOREMA 2.5. Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente într-un punct notat de regulă cu I, numit centrul cercului înscris în triunghi.
Rezultatele teoretice care urmează sunt valabile pentru tetraedru și ele subliniază asemănarea dintre triunghi și tetraedru.
DEFINIȚIA 2.5. Se numește plan bisector al diedrului propriu <A(BC)D planul α ce conține punctele M cu proprietatea <A(BC)M=<M(BC)D. Semiplanul delimitat de BC în α alcătuit din puncte interioare diedrului dat se numește semiplan bisector.
TEOREMA 2.6. Planele bisectoare ale diedrelor unui tetraedru sunt concurente.
DEMONSTRAȚIE Se consideră mai întâi planele bisectoare ale diedrelor cu muchiile DA, DB care se intersectează după dreapta ΔD ce trece prin D. Puctele dreptei ΔD sunt egal depărtate de planele (Bf, Cf) și (Af, Cf). Adică punctele dreptei ΔD sunt egal depărtate de planele Af și Bf deci aparțin planului bisector al diedrului de muchie DC. Rezultă că planele bisectoare ale triedrului de vârf D trec prin aceeași dreaptă ΔD, care este numită bisectoare a triedrului de vârf D. Deoarece ΔD conține o semidreaptă cu originea D interioară triedrului D(ABC), va intersecta planul ABC într-un punct ID. Se consideră un al patrulea plan bisector, de exemplu al diedrului de muchie BC, acesta taie dreapta ΔD într-un punct I. Acest punct I este egal depărtat de planele (DBC), (DCA), (DAB), adică este egal depărtat de planele bisectoare ale diedrelor tetraedrului.
OBSERVAȚIA 2.2.Punctul I este egal depărtat de fețele tetraedrului, atunci există o sferă de centru I, tangentă celor patru fețe, numită sferă înscrisă în tetraedru și raza ei se notează cu r.
Teorema 6 mai poate avea următorul enunț:
TEOREMA 2.7. (Perre Fermat 1601-1665) –Cele patru bisectoare ale triedrelor unui tetraedru sunt concurente.
Pentru realizarea următorului paragraf am consultat [5], [25], [32].
II.3. Centre de greutate
3.1. Medianele unui triunghi. Centrul de greutate al unui triunghi
DEFINIȚIA 2.6. Segmentul determinat de vârful unui triunghi și de mijlocul laturii opuse se numește mediană a triunghiului.
TEOREMA 2.8. Medianele unui triunghi sunt concurente într-un puct notat de regulă G, numit centrul de greutate al triunghiului.
TEOREMA 2.9. Centrul de greutate al unui triunghi se află situat pe fiecare mediană la de bază și față de vârful triunghiului.
3.2. Centre de greutate al tetraedrelor. Mediane. Bimediane
DEFINIȚIA 2.7. Dreapta determinată de un vârf al unui tetraedru și centrul de greutate al feței opuse acelui vârf se numește mediană a tetraedrului.
Un tetraedru are patru mediane.
TEOREMA 2.10. Medianele unui tetraedru ABCD sunt concurente.
DEMONSTRAȚIE Medianele tetraedrului care pleacă din D și din A sunt secante în G, deoarece în triunghiul ADM (M mijlocul lui [BC]), GA iar AM și DM mediane în triunghiurile DBC și ABC iar GA și GD sunt centrele de greutate ale acelorași triunghiuri. (fig. 12)
Din rezultă GAGD este paralelă cu DA.
Deoarece triunghiurile MGDGA și MAD sunt asemenea se deduce că GDGA= AD.
Medianele DGD și AGAsunt conținute în planul AMD și se intersectează în G. Rezultă că triunghiurile GGAGD și GAD sunt asemenea, de unde AG=3GGA, DG=3GGD deci punctul G este situat pe fiecare mediană la din lungimea ei față de vârf sau de la piciorul medianei.
În același mod se arată că medianele din B și C intersectează mediana din D la din DGD, adică trec tot prin G.
Centrul de greutate al tetraedrului este punctul G astfel determinat.
DEFINIȚIA 2.8. Planul care trece printr-o muchie a unui tetraedru și prin mijlocul muchiei opuse se numește plan median.
Din teorema 10, rezultă:
TEOREMA 2.11. Cele șase plane mediane ale unui tetraedru sunt concurente.
DEFINIȚIA 2.9. Segmentul care unește mijloacele a două muchii opuse ale unui tetraedru se numește bimediană.
Un tetraedru are trei bimediane.
TEOREMA 2.12. Bimedianele unui tetraedru sunt concurente în centrul de greutate care este mijlocul fiecărei bimediane.
DEMONSTRAȚIE. Fie M, M’ respectiv mijloacele muchiilor opuse [BC] și [DA] și E mijlocul lui AGD. (fig. 13)
În triunghiul DAM se duce mediana DGD a tetraedrului și dreapta EM’. Segmentul [EM’] este linie mijlocie în triunghiul ADGD. În triunghiul MM’E, [GGD] este linie mijlocie deci taie [MM’] ]n mijlocul ei G. Centrul de greutate al tetraedrului este punctul G deoarece
2GGD=M’E și 2M’E=DGD deci 4 GGD=DGD.
Se arată că G se află și pe celelalte bimediane în mod analog.
CONSECINȚA 2.1. Cele trei paralelograme ce au ca vârfuri mijloacele muchiilor tetraedrului ABCD admit pe G drept centru de simetrie.
TEOREMA 2.13. (Punctul lui Monge al tetraedrului). Planele duse prin mijlocul câte unei muchii perpendiculare respectiv pe muchiile opuse sunt concurente într-un punct simetric cu centrul sferei circumscrise în raport cu centrul de greutate.
DEMONSTRAȚIE. Se consideră L și L’ mijloacele muchiilor [AB] și [CD]. Bimediana LL’ trece prin G și GL=GL’. Planul care trece prin L și este perpendicular pe muchia [AB] a tetraedrului trece prin punctul O care este centrul sferei circumscrise tetraedrului. Planul care trece prin L’ și este de asemenea perpendicular pe [AB], conține punctul M al dreptei OG și [OG]= [GM].
Conținutul următorului paragraf este în accord cu [5], [6], [16], [25], [29].
II.4. Lungimea medianei într-un triunghi. Lungimile bimedianelor și medianelor unui tetraedru
TEOREMA 2.14. (MEDIANEI). Într-un triunghi ABC
, unde M este mijlocul segmentului [BC].
DEMONSTRAȚIE. Se scrie relația lui Stewart pentru punctul M, mijlocul segmentului [BC] sau se folosește teorema cosinusului.
OBSERVAȚIA 2.3. Teorema medianei se mai poate scrie:
Folosind teorema medianei într-un triunghi vom calcula lungimile bimedianelor și medianelor unui teraedru.
TEOREMA 2.15. Fie tetraedrul DABC. Dacă S, M sunt mijloacele muchiilor DC, AB să se arate că
DEMONSTRAȚIE.
Deoarece SM, AS, SB sunt mediane respectiv în triunghiurile SAB, DAC, DBC putem scrie relațiile:
Egalitatea din enunț se obține prin înlocuirea lui SA2 și SB2 din relațiile (2) și (3) în relația (1).
CONSECINȚA 2.2. Dacă SM, EF, PQ sunt bimedianele unui tertraedru atunci are loc relația
DEMONSTRAȚIE. Prin sumarea expresiilor care dau lungimile celor trei bimediane se obține relația din enunț.
TEOREMA 2.16. Fie BCD un triunghi și M un punct oarecare în spațiu. Dacă GA este centrul de greutate al triunghiului BCD, atunci are loc relația lui Lebnitz:
DEMONSTRAȚIE.
Notez cu S, T, R mijloacele muchiilor CD, DB respectiv BC ale triunghiului BCD. Prin aplicarea teoremei lui Stewart în triunghiul MBS, obțin:
din care obțin:
și înlocuind (lungimea medianei MS în triunghiul MDC) se obține relația:
.
În triunghiul GADC, GAS este mediană, atunci:
înlocuind în relația de mai sus rezultă:
Din 2GAS=GAB rezultă relația din enunț.
TEOREMA 2.17. (Lagrange 1773). Fie tetraedrul ABCD. Dacă G este centrul său de greutate și M un punct oarecare în spațiu, atunci are loc „relația lui Leibnitz”:
DEMONSTRAȚIE. Aplic relația lui Stewart în triunghiul MAGA și obțin:
iar din teorema 16, obțin:
.
Prin sumarea celor două relații obțin:
În teorema 16 luând M=G obțin:
Ținând seama că: relația (1) devine:
OBSERVAȚII
2.4. Relația lui Leibnitz din teorema de mai sus este o generalizare a relației
valabilă pentru triunghiul ABC cu G centru de greutate, M fiind un punct oarecare din planul triunghiului.
2.5. Se poate constata că:
iar relația de mai sus capătă forma:
.
TEOREMA 2.18. (Lungimea medianei unui tetraedru) Fie ABCD un tetraedru. Dacă GA este centrul de greutate al triunghiului BCD, atunci:
.
DEMONSTRAȚIE. Aplic teorema 16 și obțin:
Conform observației 2 are loc:
.
Din cele două relații rezultă relația din enunț.
Se observă că relația din enunțul teoremei 18 extinde în spațiu cunoscuta formulă de calcul a lungimii merdianei unui triunghi în funcție de laturi.
Prin urmare, dacă pentru triunghiul ABC și mediana AM avem relația:
, în spațiu pentru tetredrul DABC si mediana AGA a acestuia avem:
.
II.5 Volumul unui tetraedru dat de lungimile muchiilor acestuia
În acest subcapitol am folosit lucrările [4], [5], [20], [21], [22], [23], [28].
Corespondențele dintre triunghi si tetraedru sunt nenumărate. În continuare voi deduce fomule pentru volumul tetraedrului ce generalizează formula lui Heron pentru aria S a triunghiului ABC:
.
Această formulă se mai scrie:
16S2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=[(b+c)2-a2][a2-(b-c)2]=2a2(b2+c2)-a4-(b2-c)=2(a2b2+a2c2+b2c2)-(a4+b4+c4).
Datorită întinderii prea mari a demonstrației redau mai jos următoarea:
TEOREMA 2.19. Dacă într-un patrulater ABCD notăm AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, AC=e, BD=f, atunci are loc:
(fig. 16)
Relația (*), în ciuda aspectului ei suficient de greoi, este cea mai simplă relație strict metrică din plan, exprimând interdependența celor șase distanțe între patru puncte arbitrare din plan.
TEOREMA 2.20. Dacă lungimile muchiilor unui tetraedru ABCDA sunt BC=a, CA=b, AB=c, și DA=l, DB=m, DC=n, atunci pentru volumul V al tetraedrului are loc formula:
144V2=(-a2-l2+b2+m2+c2+n2)a2l2+(a2+l2-b2-m2+c2+n2)b2m2+(a2+l2+b2+m2-c2-n2)c2n2-(a2b2c2+a2m2n2+b2l2n2+c2l2m2).
DEMONSTRAȚIE. Fie E proiecția ortogonală a lui D pe fața (ABC) și fie x, y, z distanțele de la E la vârfurile A, B, C. (fig. 17)
Aplicând punctelor A, B, C, D formula (*) cu atualele notații obținem:
b2y2(b2+y2-a2-c2-x2-z2)+b2(c2-x2)(a2-z2)+y2(c2-a2)(x2-z2)+(c2-a2+z2-x2)(c2z2-a2x2)=0.
Notez DE=h și conform teoremei lui Pitagora au loc: x2=l2-h2, y2=m2-h2, z2=n2-h2, înlocuind obțin: h2(2a2b2+2a2c2+2b2c2-a4-b4-c4)=k unde k este membru secund al egalității din enunț.
Având în vedere reformularea relației lui Heron din enunț, egalitatea dedusă devine:
2=k sau 2=k dar cum obțin 144V2=k, q.e.d.
II.6. Dreapta lui Euler pentru triunghi. Dreapta lui Euler pentru tetraedru
Pentru realizarea acestui subcapitol am consultat următoarele lucrări: [5], [6], [16], [18], [25], [33].
TEOREMA 2.21. În orice triunghi ABC, centrul de greutate, ortocentrul și centrul cercului circumscris triunghiului sunt situate pe o aceeași dreaptă (numită dreapta lui Euler).
DEMONSTRAȚIE. Fie A’ mijlocul laturii [BC], A1 proiecția lui A pe [BC]. Analog punctele B’ și B1. (fig. 18)
Triunghiurole AHB și A’OB sunt asemenea (fiind triunghiuri cu laturile paralele).
Din rezultă .
Unesc G cu H și G cu O. Pentru a arăta că ∢HGA=∢OGA’ observ că G fiind centru de greutate, iar ∢HAG=∢GA’O deci triunghiurile AHG și GA’O sunt asemenea.
Rezultă că semidreptele [GH și [GO sunt în prelungire. De asemenea HG=2GO.
DEFINIȚIA 2.10. Se numește anticentru pentru un tetraedru simetricul centrului sferei circumscrise față de centrul de greutate al tetraedrului.
Anticentrul are următoarea proprietate importantă:
TEOREMA 2.22. Fie K anticentrul tetraedrului ABCD și N mijlocul lui [CD]. Atunci AB.
DEMONSTRAȚIE. (fig. 19) Fie M mijlocul segmentului [AB]. Deoarece OG=KG și GM=GN patrulaterul MKNO este paralelogram, deci KN║MO. Dar O este centrul sferei circumscrise, prin urmare OM⟘AB. Rezultă KN⟘AB.
DEFINIȚIA 2.11. Dreapta determinată de punctele G și O se numește dreapta lui Euler a unui teraedru oarecare.
II.7. Teorema lui Menelaus pentru triunghi. Teorema lui Menelaus pentru tetraedru
În urma consultării [5], [16], [18], [25] expun următoarele:
TEOREMA 2.23. (Menelaus pentru triunghi). Fie ABC un triunghi și fie A’, B’, C’ trei puncte astfel încât Dacă punctele A’, B’, C’ sunt coliniare atunci are loc egalitatea:
DEMONSTRAȚIE. Se proiectează vârfurile triunghiului pe dreapta determinată de cele trei puncte coliniare A’, B’, C’. Se obțin astfel punctele A1, B1, C1. Se observă că:
Din triunghiurile asemenea rezultă:
; . Prin înmulțirea acestor trei egalități rezultă relația din enunț.
TEOREMA 2.24. (Reciproca teoremei lui Menelaus). Considerăm un triunghi ABC și fie punctele Se presupune că două dintre punctele A’, B’, C’ sunt situate pe două laturi ale triunghiului, iar al trei-lea punct este situat pe prelungirea celei de a treia latură sau că toate punctele A’, B’, C’ sunt pe prelungirile laturilor triunghiului. Dacă are loc egalitatea , atunci A’, B’, C’ sunt coliniare.
DEMONSTRAȚIE.
Presupun că B’ Dreapta A’B’ intersectează latura [AB] în punctul C”. Aplic teorema lui Menelaus pentru punctele coliniare A’, B’, C”. Rezultă: Dar iar din cele două relații rezultă . În interiorul unui segment există un singur punct care împarte segmentul într-un raport dat. Rezultă că C”=C’ și deci A’, B’, C’ sunt coliniare.
TEOREMA 2.25. (Menelaus în tetraedru). Patru puncte L, M, N, P ce aparțin muchiilor [AB], [BC], [CD], [DA] ale tetraedrului ABCD sunt coplnare dacă și numai dacă este îndeplinită relația: (1).
DEMONSTRAȚIE.
Dacă LP și MN sunt paralele cu BD relația din enunț se verfică dacă se aplică teorema lui Thales în triunghiurile ABD și BCD.
Dacă LP și MN nu sunt paralele cu BD, consider punctul F, punctul lor de intersecție (care este situat pe BD). Aplic teorema lui Menelaus pentru triunghiurile ABD, BDC pentru transversalele L, P, F respectiv M, N, F și obțin:
Înmulțind cele două relații obțin relația din enunț.
Reciproc, fie L, M, N, P ce aparțin laturilor tetraedrului astfel încât să fie îndeplinită relația (1). Se arată că L, M, N, P sunt coplanare.
Fie planul determinat de L, M, N, plan ce intersectează CD în N’. Există relația .
Folosesc relația (1) și obțin prin urmare N=N’, deoarece punctele N și N’ sunt simultan în interiorul sau în exteriorul segmentului [DC].
Cu ajutorul reciprocei teoremei lui Menelaus se poate demonstra existența “sferei lui Euler” în tetraedru comparativ cu ”cercul lui Euler” în triunghi.
II.8. Cercul lui Euler. Sfera lui Euler
Pentru realizarea acestui subcapitol am folosit [5], [6], [16], [18], [25], [33].
TEOREMA 2.26. (cercul lui Euler). Mijloacele laturilor unui triunghi, picioarele înălțimilor și mijloacele segmentelor ce unesc fiecare vârf cu ortocentrul triunghiului sunt situate pe același cerc.
Demonstrația acestei teoreme este foarte cunoscută.
TEOREMA 2.27. (sfera lui Euler). Într-un tetraedru ABCD, centrele de greutate ale fețelor, punctele care împart segmentele ce unesc anticentrul cu vârfurile în raportul și proiecțiile acestor puncte pe fața opusă sunt douăsprezece puncte cosferice.
DEMONSTRAȚIE. Fie O centrul sferei circumscrise, G centrul de greutate, K anticentrul tetraedrului ABCD. Fie K1, astfel încât , P1 proiecția lui K1 pe fața (BCD), G1 centrul de greutate al acestei fețe. Fie astfel încât KZ=2ZG. Se arată că ZK1=ZG1=ZP1=R/3 q.e.d.
În triunghiul AKG, folosesc reciproca teoremei lui Menelaus și obțin că punctele K1, Z1, G1 sunt coliniare.
Într-adevăr:
În triunghiul GAK1, pentru transversala G, Z, K se obține:
sau ZK1=ZG1.
Dar triunghiul K1P1G1 este dreptunghic în P1, rezultă: K1Z=ZP1=ZG1. Din KG=GO și KZ=2ZG, obțin .
Rezultă că triunghiul KIZ este asemenea cu triunghiul KAO cu raportul de asemănare 1/3 și K1Z=R/3.
Atunci prin centrele de greutate ale fețelor, G1, prin punctele K1 și prin proiecțiile lor pe fețele opuse, trece o sferă de rază R/3.
Analogiile dintre triunghi și tetraedru nu se opresc aici, se fac observații asupra înălțimilor și ortocentrului unui triunghi și asupra înălțimilor și ortocentrului unui tetraedru ortocentric. În general ”înălțimile unui tetraedru” adică dreptele prin vârfuri perpendiculare pe fețele opuse, nu sunt două câte două secante, nici concurente. Un tetraedru în care cele patru înălțimi sunt patru drepte concurente se numește ortocentric sau ortogonal (denumire introdusă de Steiner în 1827).
De asemenea numeroase proprietăți ale triunghiului echilateral extinse în spațiu, se îndeplinesc în tetraedre echifaciale, motiv pentru care studiul claselor de tetraedre este deosebit de util studiului interferențelor dintre geometria euclidiană plană și cea a spațiului tridimensional. Clasele de tetraedre sunt subiectul următorului capitol al acestei lucrări.
Caqpitolul III
CLASE DE TETRAEDRE
III.1. Tetraedre ortocentrice
Conținutul acestui paragraf este în acord cu [3], [5], [6], [14], [18], [25].
Un tetraedru se numește ortocentric dacă muchiile sale opuse sunt perpendiculare.
Voi demonstra că este suficient ca două perechi de muchii opuse să fie perpendiculare.
TEOREMA 3.1. Dacă într-un tetraedru și AC⟘BD, atunci AD⟘BC.
DEMONSTRAȚIE. Fie AA1⟘(BCD). Atunci AA1⟘CD și cum CD⟘AB avem CD⟘(AA1B) rezultă CD⟘BA1. Analog din AA1⟘BD și AC⟘BD avem BD⟘CA1. Prin urmare BA1 și CA1 sunt înălțimi în ΔBCD de unde obțin DA1⟘BC. Cum și AA1⟘BC rezultă BC⟘(AA1D). Aceasta implică BC⟘AD q.e.d.
Din felul în care s-a efectuat demonstrația rezultă afirmația ”Într-un tetraedru ortocentric înălțimile tetraedrului cad în ortocentrele fețelor opuse.”
TEOREMA 3.2. Într-un tetraedru ortocentric înălțimile tetraedrului sunt concurente.
DEMONSTRAȚIE. Este suficient să demonstrez că două câte două înălțimile sunt concurente. Voi arăta, de exemplu, că AA1 și BB1 sunt concurente; CD⟘(AA1B) și CD⟘(BB1A). Dar planele (AA1B) și (BB1A) au în comun dreapta AB. Cum printr-un punct trece un singur plan perpendicular pe o dreaptă dată, rezultă că planele (AA1B) și (BB1A) sunt confundate, iar AA1 și BB1 sunt concurente. (se folosește figura 23)
TEOREMA 3.3. Dacă într-un tetraedru, înălțimile sunt concurente, atunci tetraedrul este ortocentric.
DEMONSTRAȚIE. Consider înălțimile AA1 și BB1 concurente într-un punct H. Atunci CD⟘AA1 (deoarece AA1⟘(BCD)) și analog CD⟘BB1. Cum dreptele AA1 și BB1 sunt concurente, rezultă CD⟘(AA1B), atunci CD⟘AB. Analog se demonstrează perpendicularitatea celorlalte perechi de laturi opuse.
Punctul H de concurență a înălțimilor unui tetraedru ortocentric, se numște orocentrul triunghiului.
TEOREMA 3.4. Într-un tetraedru ortocentric ABCD, AC2+BD2=CD2+AB2=BC2+AD2.
DEMONSTRAȚIE. Fie tetraedrul ABCD și M, N, P, Q, R, S mijloacele muchiilor [AB], [BC], [CD], [DA], [AC], [BD] respectiv. Patrulaterul MNPQ este dreptunghic deoarece MQ║PN (ambele fiind paralele cu BD), MP║QN (paralele cu AC) și m(∢MPN)=90o (< dreptelor AC și BD).
Diagonalele sunt concurente, atunci într-un tetraedru ortocentric bimedianele au aceeași lungime. Aplicând teorema lui Pitagora în fiecare din dreptunghiurile ce au ca diagonale bimediane, obțin:
MP2+PN2=RQ2+QS2 sau echivalent, AC2+BD2=CD2+AB2.
Din această demonstrație rezultă următorul enunț:
Mijloacele celor șase muchii ale unui tetraedru ortocentric se află pe o sferă (sfera de centru G și rază lungimea unei jumătăți de mediană).
TEOREMA 3.5. Într-un tetraedru ortocentric, centrul de greutate al tetraedrului se proiectează în centrele cercurilor lui Euler ale fețelor.
DEMONSTRAȚIE. Fie tetraedrul ABCD, H’, G’, O’, ortocentrul, centrul de greutate și centrul cercului circumscris, respectiv în ΔBCD (H’G’=2/3 H’O’), mediana AG’ a tetraedrului corespunzătoare vârfului A , G centrul de greutate al tetraedrului (AG’=4GG’) și fie G” proiecția lui G pe planul (BCD). Dar G” Se va demonstra că G” este mijlocul segmentului [H’O’], este centrul cercului lui Euler al feței [BCD]. Din triunghiurile asemenea AH’G și GG”G’ rezultă:
de unde: obțin și efectuând calculele: H’G”=1/2H’O’.
TEOREMA 3.6. (Sfera lui Vogt) Cercurile lui Euler ale fețelor unui tetraedru ortocentric sunt situate pe aceeași sferă.
DEMONTRAȚIE. Conform demonstrației anterioare, punctul G este egal depărtat de punctele cercului lui Euler ale unei fețe și cum cercurile lui Euler ale fețelor au două câte două puncte comune, rezultă că G este centrul unei sfere pe care se află cercurile lui Euler ale fețelor.
TEOREMA 3.7. Într-un tetraedru ortocentric, ortocentrul, centrul de greutate și centrul sferei circumscrise tetraedrului sunt coliniare.
DEMONSTRAȚIE. H, G, O se află în planul perpendicular pe fața (BCD) după dreapta lui Euler a triunghiului BCD și analog se află în planul perpendicular pe fața (ABC) după dreapta lui Euler a triunghiului ABC.
H, G, O sunt coliniare fiind la intersecția celor două plne.
OBSERVAȚIA 3.1. Punctul G este mijlocul segmentului [HO] deoarece G se proiectează în mijlocul segmentului [H’O’].
Rezultă că ortocentrul tetraedrului este tocmai anticentrul său, adică într-un tetraedru ortocentric dreapta lui Euler este generalizarea în spațiu a dreptei lui Euler din plan.
III.2. Tetraedre echifaciale
În acord cu [3], [5], [6], [14], [18], [25] expun următoarele:
DEFINIȚIA 3.1. Se numește tetraedru echifacial un tetraedru ale cărui fețe sunt echivalente (au aceeași arie).
TEOREMA 3.8. Un tetraedru este echifacial dacă și numai dacă cele patru înălțimi ale sale sunt congruente.
Demonstrația rezidă în observarea formulei 3V=hxSx, referitoare la volumul tetraedrului. Imediat urmează SA=SBhA=hB etc.
LEMA 3.1. Într-un tetraedru echifacial ABCD, fieacre bimediană este perpendiculara comună a muchiilor ce le înjumătățește.
DEMONSTRAȚIE. (fig. 26) Fie M mijlocul lui AB și proiecțiile ortogonale E, F, N ale lui A, B, M pe muchia CD. Dacă AM=BM rezultă AE=BF. Observ că (deoarece SB=SA) atunci AE=BF. Din triunghiurile dreptunghice AEN și BFN rezultă AN=NB. În triunghiul isoscel NAB mediana MN este și înălțime deci MN este perpendiculara comună a muchiilor AB, CD. Dacă, prin absurd, N nu ar coincide cu mijlocul M’ al muchiei CD, s-ar relua construcția și demonstrația schimbând rolul muchiilor opuse AB, CD și am găsi o altă perpendiculară comună M’N’ a muchiilor AB, CD, absurd.
TEOREMA 3.9. Condiția necesară și suficientă ca tetraedrul ABCD să fie echifacial este ca orice pereche de muchii opuse să fie congruente.
DEMONSTRAȚIE.
Necesitatea. Pe figura 26 observ că NE=NF și ND=NC implică ED=FC.
Triunghiurile dreptunghice ADE și BCF sunt congruente, atunci AD= BC. Constat de asemenea că CE=FD, ΔAEC, altă bimediană rezultă AB=CD.
Suficiența. Dacă muchiile opuse sunt egale, oricare ar fi două fețe ale tetraedrului se găsește o corespondență a vârfurilor încât triunghiurile să fie congruente conform cazului L.L.L. De exemplu pentru Af și Bf se constată ΔBC deci și SA=SB.
OBSERVAȚIA 3.2. În demonstrația de mai sus am remarcat că fețele unui tetraedru echifacial sunt triunghiuri congruente. Dar un tetraedru cu fețe triunghiuri congruente este și echifacial. Aici am evitat definiția ”echifacialității” prin ”congruența” fețelor, modalitate suficient de frecventă în literatura matematică.
TEOREMA 3.10. Dacă un tetraedru are toate fețele de aceeași arie, atunci suma unghiurilor la fiecare vârf este de 180o.
DEMONSTRAȚIE. Într-adevăr tetraedrul având toate fețele de aceeași arie, are toate muchiile opuse congruente, deci fețele sale sunt triunghiuri congruente, de exemplu și . Suma măsurilor unghiurilor vârfului B este:
TEOREMA 3.11. Dacă un tetraedru are suma unghiurilor la fiecare vârf egală cu 180o, atunci tetraedrul este echifacial.
DEMONSTRAȚIE.
Voi demonstra că dacă tetraedrul are suma unghiurilor la fiecare vârf egală cu 180o, atunci muchiile opuse ale tetraedrului sunt congruente, ceea ce este echivalent cu faptul că tetraedrul este echifacial.
Desfășor tetraedrul în planul (BCD) și obțin triunghiul A1A2A3 (aici folosesc faptul că suma unghiurilor la fiecare vârf este 1800) în care [BC], [CD], [BD] sunt linii mijlocii. Rezultă (fig. 27).
TEOREMA 3.12. Într-un tetraedru echifacial centrele sferelor înscrisă respectiv circuscrisă, coincid.
DEMONSTRAȚIE. Folosesc teorema 2. Cum tetraedrul este echifacial, cercurile circumscrise lor au aceeași rază R1.
Fie O centrul sferei circumscriselor. Proiectez O pe fiecare față în punctele O1, O2, O3, O4. Demonstrez că , atunci O este și centrul sferei înscrise. Pentru aceasta pot observa că punctele în care se proiectează O sunt tocmai centrele cercurilor circumscrise fețelor (de exemplu triunghiurile OO1A, OO1B, OO1C sunt congruente deci . Folosind teorema lui Pitagora rezultă , analog OO2, OO3, OO4. (R este raza sferei circumscrise tetraedrului).
TEOREMA 3.13. Dacă într-un tetraedru centrele sferelor înscrisă respectiv circumscrisă coincid, atunci tetraedrul este echifacial.
DEMONSTRAȚIE. Fie O centrul sferei circumscrise. O se proiectează pe fiecare față în centrul cercului circumscris acelei fețe. Atunci toate fețele admit cercuri circumscrise de aceeași rază . Rezultă, de exemplu, (deoarece în ceercuri egale la coarde egale corespund arce egale). Analog
Suma unghiurilor vârfului D, și analog la fiecare vârf, este de 180o. Conform teoremei 4 tetraedrul este echifacial. (fig. 28)
III.3. Tetraedre Crelle
În urma consultării [3], [5], [6], [14], [18], [25] prezint:
3.1. TEOREMA LUI CRELLE 3.14. (generalizarea spațială a teoremei lui Pithot). Fiind dat un tetraedru ABCD există o sferă tangentă celor șase muchii ale tetraedrului, dacă și numai dacă are loc condiția: AB+CD=AC+BD=AD+BC.
DEMONSTRAȚIE. Implicația ”există sfera, atunci are loc relația” este evidentă datorită proprietății de congruență a tangentelor dintr-un punct exterior.
Presupun îndeplinită condiția:
AB+CD=AC+BD=AD+BC.
Rezultă:
și
Prima relație arată că cercul înscris în are punctul de contact cu AB coincident cu punctul de contact cu AB al cercului înscris în . Există o sferă ce conține cele două cercuri și există punctele A’, B’, A”, B”, C’ în sfera care este tangentă segmentelor [BC], [AC], [AD], [BD], [AB]. Se consideră planul (BDC) și cercul de intersecție determinat de plan și sfera considerată cercului înscris în și planul de contact cu BC al cercului înscris în coincid.
Cum cercul de intersecție dintre planul BDC și sferă este tangent muchiilor tetraedrului B” și A’ trece cercul în scris în , rezultă că cercul de intersecție dintre planul (BDC) și sferă și cercul în scris în coincid. Deci sfera este tangentă și muchiei [CD] ceea ce demonstrează teorema.
DEFINIȚIA 3.2. Tetraedrele cu proprietatea că există o sferă hexatangentă muchiilor se numesc tetraedre Crelle.
3.2. TEOREMA (BRIANCHON) 3.15. Într-un tetraedru Crelle cele trei segmente ce unesc punctele de contact de pe muchiile opuse ale sferei hexatangente sunt concurente.
DEMONSTRAȚIE. Se folosește teorema lui Menelaus în spațiu pentru patrulaterul strâmb ABCD și rezultă că dreptele A”C și C”A sunt coplanare, deci Analog se arată că B”B’ și A”A’
Cum dreptele A’A”, B’B”, C’C” nu pot fi coplanare, ele sunt concurente.
III.4. Tetraedre regulate
Conținutul acestui subcapitol este în acord cu [3], [5], [6], [14], [18], [25] din bibliografie.
DEFINIȚIA 3.3. Se numește tetraedru regulat un tetraedru cu toate fețele triunghiuri echilaterale.
Toate muchiile unui tetraedru regulat ABCD au aceeași lungime ce o voi nota cu a.
TEOREMA 3.16. Un tetraedru regulat ABCD este: 1. ortocentric; 2. echifacial; 3. Crelle.
DEMONSTRAȚIE.
Se verifică imediat formula AB2+CD2=AC2+BD2=AD2+BC2 din care rezultă că ABCD este ortocentric.
Se verifică imediat condiția că orice pereche de muchii opuse să fie congruente din care rezultă că ABCD este echifacial (sau tetraedrul ABCD regulat ).
Relația AB+CD=AC+BD=AD+BC este verificată imediat rezultă că ABCD este tetraedru Crelle.
TEOREMA 3.17. Un tetraedru regulat ABCD are un centru V ce este simultan:
Centru de greutate G;
Centru O al sferei circumscrise;
Centrul I al sferei înscrise;
Ortocentrul H al tetraedrului;
Centrul J al sferei hexatangente;
Demonstrația este evidentă rezultând din teoremele demonstrate anterior.
TEOREMA 3.18. Pentru tetraedrul echifacial ABCD fiecare dintre urmatoarele două condiții este suficientă ca ABCD să fie regulat.
Să fie ortocentric;
Să fie tetraedru Crelle.
DEMONSTRAȚIE. Deoarece ABCD este echifacial, fie AD=BC=a; BD=AC=b; CD=AB=c (orice pereche de muchii opuse este congruentă).
Condiția 1 devine prin formula AB2+CD2=AC2+BD2=AD2+BC2 în 2a2=2b2=2c2 deci a=b=c.
Condiția 2 permite aplicarea formulei AB+CD=AC+BD=AD+BC, ce implică 2a=2b=2c și a=b=c.
TEOREMA 3.19. Într-un tetraedru regulat a cărui muchie este a:
Înălțimea h este egală cu ;
Volumul satisface 12V=;
Pentru un unghi diedru <CD are loc 3cos<CD=1;
Unghiul u format de o muchie cu o față satisface ;
Distanța dintre două muchii opuse este .
DEMONSTRAȚIE. Fie M mijlocul muchiei CD. Evident, AM=BM=. Figura 30
reprezintă secțiunea în tetraedru prin planul (ABM) iar E este centrul de greutate al ΔBCD. Se poate constata ușor că:
H=AE=
12V=4AE
.
Remarc că unele din aceste proprietăți le mai pot întâlni pe parcursul lucrării, sub forma unor probleme cu observațiile metodice aferente.
CAPITOLUL IV
IV.1. ELEMENTE DE METODICĂ PRIVIND REZOLVAREA PROBLEMELOR SPECIFICE TETRAEDRULUI
Pentru realizarea acestui paragraf am consultat [17], [24].
Cunoașterea acestor metode de raționament în studiul geometriei este necesară deoarece ele facilitează înțelegerea demonstrațiilor și constituie mijloace de cercetare în rezolvarea problemelor. În același timp se dezvoltă capacitatea de generalizare, posibilitatea de corelare a problemelor ce se pot rezolva prin aceeași schemă de raționamnet, preîntâmpinând încercările la întâmplare.
În rezolvarea problemelor de geometrie voi ține cont de următoarele reguli:
Citirea corectă a enunțului problemei și construirea corectă figurii;
Înțelegerea enunțului problemei, însușirea acestuia;
Cunoașterea anumitor metode și procedee pentru rezolvaea problemelor de geometrie;
Construirea unor raționamente noi pe baza axiomelor, teoremelor și a altor raționamente învățate anterior;
Stabilirea de relații între diferite elemente ale figurilor și scrierea acestora cu ajutorul simbolurilor matematice, pe baza raționamentelor construite, ce permit urmărirea lanțului de judecăți ce formează demonstrația problemei.
Discuția problemei. Găsirea unei soluții nu încheie neaparat rezolvarea problemei, trebuiesc examinate și condițiile care ne arată existența altor soluții, numărul acestora, eventual generalizarea problemei.
Verificarea soluțiilor problemei. Acest lucru se face de obicei în problemele de construcții geometrice.
Etimologia cuvântului metodă vine de la cuvântul grecesc methodos: meta=după și
ados=cale, cuvânt care în traducere înseamnă ”cu calea”, ”după drumul”.
Prin metodă în matematică se înțelege calea rațională care trebuie folosită pentru demonstrarea unei teoreme sau pentru rezolvarea problemelor. În geometrie există numeroase probleme, de aceea oricât am încerca, nu putem găsi o singură cale, un singur drum rațional după care toate problemele s-ar putea rezolva, dar putem găsi căi pentru rezolvarea unui grup de probleme și alte căi pentru rezolvarea altui grup.
Putem împărți metodele pentru rezolvarea problemelor de geometrie în două grupe: metode generale și metode particulare. Metodele generale care se aplică în demonstrarea unui număr mare de teoreme și probleme sunt metodele analizei și sintezei.
În continuare, fără pretenția de a acoperi toată gama de metode folosite în rezolvarea problemelor de geometrie, am încercat să ilustrez cu ajutorul tetraedrului câteva din metodele mai puțin cunoscute, mai puțin accesibile în primul rând elevilor. Printre acestea amintesc metoda aflării locurilor geometrice, metode de rezolvare a problemelor de coliniaritate și concurență, metoda contraexemplului, folosirea paralelipipedului lui Monge în rezolvarea problemelor de geometrie a tetraedrului.
Metoda sintezei
Metoda sintezei se poate folosi în rezolvarea problemelor de demonstrație sau problemelor de calcul.
Rezolvarea problemelor de calcul nu cere un efort prea mare de gândire sau construcția unor raționamente complicate, ci numai cunoașterea temeinică a regulilor, formulelor și a teoremelor studiate. Cu toate că rezolvarea lor nu dezvoltă prea mult gândirea logică, ele au o importanță majoră, contribuind la formarea priceperilor și deprinderilor pentru a aplica cunoștințele teoretice în rezolvarea problemelor.
Folosind metoda sintezei, problemele de calcul se rezolvă astfel: se iau două date cunoscute ale problemei între care există o legătură și cu ajutorul lor se formulează o problemă din care calculăm valoarea unei a treia mărimi care devine cunoscută. Apoi se iau alte două date cunoscute și cu ajutprul lor se formulează altă problemă din rezolvarea căreia obținem valoarea unei alte mărimi. Se procedează astfel până la obținerea valorilor tuturor mărimilor cerute în problemă.
PROBLEMA 4.1. Să se afle raza sferei circumscrise unui tetraedru regulat cu muchia a.
Soluția 1. Fie ABCD tetraedru regulat. Locul geometric al punctelor din spațiu egal departate de vârfurile unui triunghi este perpendiculara ridicată în planul triunghiului în centrul cercului circumscris acelui triunghi. Consider centrul sferei circumscrise tetraedrului ABCD ca fiind O pe înălțimea tetraedrului deoarece pentru tetraedrul regulat înălțimea cade în centrul cercului circumscris triunghiului.
Fie G proiecția lui A pe (BCD). Notez R=raza sferei circumscrise tetraedrului în triunghiul OGD.
Soluția 2. Fie F simetricul lui D față de G, rezultă că AG este mediatoarea lui (FD) de
unde rezultă că OF=OD=OA=R. Atunci raza sferei circumscrise tetraedrului ABCD este și raza cercului circumscris triunghiului AFD .
Soluția 3. Fie L simetricul lui A față de O AL este diametru în cercul mare al sferei Aplicând teorema catetei triunghiul ADL
.
Pentru problemele de demonstrație se încearcă stabilirea sau verificarea unei relații, găsirea unor proprietăți noi ale figurilor date sau să se justifice dacă o afirmație referitoare la o proprietate a unei figuri geometrice este adevărată sau nu.
Deosebit față de problemele de calcul, ele ajută dezvoltării gândirii logice, a creativității contribuind în același timp la însușirea temeinică a cunoștințelor de geometrie.
Rezolvarea unei probleme de demonstrație prin sinteză pornește de la propoziția A (ipoteza) și se caută o altă ipoteză C pe care o implică A. Mai departe se caută o propoziție D pe care să o implice propozițiile A și C, continuând astfel propozițiile găsite implică propoziția B cerută în concluzie.
PROBLEMA 4.2. (E:9754*G.M. 8-9/1990 pag. 251)
Dacă în tetraedrul ABCD, AD⟘BC și m(∢ADB)=m(∢ADC), atunci AB=AC.
Soluție. Fie AO⟘(BCD), ⟘CD, OF⟘DB, E.
Din teorema celor trei perpendiculare AE⟘CD și AF⟘BD, , deoarece AD comună și (din ipoteză). Atunci AE=AF.
deoarece AE=AF, AO comună, OE=OF adică DO este bisectoarea ∢BDC în ΔBDC.
Dar AO⟘(BCD) BC⟘AO. Dar BC⟘AD deci BC⟘(AOD)BC⟘DO. Atunci DO este înălțime și bisectoare în ΔBDCΔBDC isoscel⇒BD=DC.
În plus, m(∢ADC)=m(∢ADB)ΔADCΔADB.
În concluzie, AB=AC.
Metode pentru aflarea locurilor geometrice
DEFINIȚIA 4.1. Mulțimea tuturor punctelor din spațiu care au o suită de proprietăți se numește loc geometric.
Pentru anumite probleme de loc geometric, deducem din enunțul problemei propoziția pe care trebuie să o demonstrăm, cu alte cuvinte cunoaștem ce fel de linii sau de figuri sunt locurile geometrice. De exemplu:
Bisectoarea interioară unui unghi este locul geometric al punctelor din interiorul
unghiului egal depărtate de laturile unghiului.
Planul mediator unui segment este locul geometric al punctelor din spațiu ce se
află la egală distanță de capetele segmentului.
În alte probleme de loc geometric nu se cunoaște, nu se indică figura loc geometric. Pentru aceste probleme în care nu se arată propoziția de demonstrat, trebuie să se găsească proprietăți caracteristice tuturor punctelor locului care să reducă problema la una cuhnoscută.
Metoda de rezolvare a problemelor de loc geometric constă în demonstrarea a două propoziții:
Orice punct al figurii are proprietatea enunțată;
Orice punct care are proprietatea enunțată aparține figurii.
Pentru a avea certitudinea ca figura presupusă este locul geometric căutat trebuie
demonstrate ambele propoziții.
Propozițiile 1 și 2 sunt una directă și cealaltă reciproca ei.
Fie M mulțimea punctelor cu proprietatea din enunț, iar F mulțimea punctelor figurii presupuse a fi locul geometric, trebuie stabilită relația M=F. Se folosește numerotarea următoare:
Prin rezolvarea completă a unei probleme de loc geometric înțeleg demonstrarea
existenței perechilor de relații (1, 2) sau (1’, 2’) sau (1’, 2) sau (1, 2’).
Există și alt mod de concepere a locului geometric, bazat pe mișcare. Pot să-mi închipui un puct mobil, ce păstrează în tot timpul mișcării proprietatea dată și generează astfel locul geometric. Atunci punctul M coincide rând pe rând cu toate punctele locului geometric, definit inițial ca fiind static.
DEFINIȚIA 4.2. Se numește loc geometric figura plană descrisă de un punct mobil M, care satisface o proprietate dată.
PROBLEMA 4.3. Consider tetraedrul ABCD înscris într-o sferă S. Să se găsească locul geomtric al punctelor M interioare sferei S care satisfac egalitatea:
unde A1, B1, C1, D1 sunt punctele în care dreptele AM, BM, CM, DM intersectează din nou sfera S.
Soluție. Notez centrul de gerutate al tetraedrului ABCD cu G. Sfera circumscrisă tetraedrului o notez cu S și O centrul sferei. Relația de tip Leibnitz se demonstrează ușor pentru un punct M oarecare din spațiu:
(1)
Dacă M sunt punctele din interiorul sferei S, evident relația (1) este verificată pentru aceste puncte M.
Pentru M=O și raza sferei S notând-o cu r, din (1), obțin:
(2)
Rapoartele din egalitatea din enunțul problemei le amplific cu AM, BM, CM respectiv DM și observ că:
(puterea punctului M față de sfera S) (3)
Din (2)+(3) ⇒punctele M verifică egalitatea:
MO2+MG2=OG2 ΔMOG este dreptunghic în M ⇒ locul geometric căutat este sfera cu
centrul în mijlocul segmentului [OG] și raza egală cu .
OBSERVAȚIA 4.1. Problema a fost propusă pentru O.I.M. de Bulgaria în anul 1973.
PROBLEMA 4.4. Fie tetraedrul ABCD, O este proiecția lui A pe planul (BCD), P
este un punct mobil pe paralela Δ dusă prin O la BD și M intersecția perpendicularei în P pe
planul (BCD) cu planul (ABD). Să se afle locul geometric al punctului M când P descrie
dreapta Δ și planul (ABD) nu este perpendicular pe planul (BCD).
Soluții.
Fie d paralela dusă prin A la BD ⇒d(ABD), d║BD și BD║Δ⇒d║Δ.
Notez cu α planul determinat de dreptele d și Δ ⇒α(ABD)=d.
PM⟘(BCD) și OA⟘(BCD) ⇒ PM║OA.
PM║OA, OA⊂α, P α⇒PM⊂α⇒M.
M și M ⇒
Locul geometric al punctului M este paralela prin A la BD.
Fie E și F proiecțiile lui P respectiv O pe BD.
∢AFO (au ca măsură măsura unghiului plan corespunzător unghiului diedru dintre planele (ABD) și (BCD)) și OFPE ⇒ ΔAOF este drpetunghic și congruent cu ΔMPE dreptunghic ⇒MPAO.
MPAO, MP║AO și m(∢AOP)=90o ⇒ AOPM este dreptunghi ⇒AM║OP.
AM║OP și OP║BD⇒AM║BD ⇒
Locul geometric al punctului M, când P descrie Δ, este paralela dusă prin A la BD sau la Δ.
Metode de rezolvare a problemelor de coliniaritate și concurență
De cele mai multe ori problemele de coliniaritate și concurență prezintă dificultăți pentru elevi. Situațiile variate în care apar astfel de probleme precum și modalitățile de soluționare nu permit încadrarea lor într-un număr finit de scheme sau tehnici de lucru.
Voi prezenta în continuare câteva căi de rezolvare a problemelor de coliniaritate și concurență.
Coliniaritate:
Folosesc unicitatea paralelei dusă printr-un punct la o dreaptă. Dacă [BA ║d și
[BC║d, atunci A, B, C sunt coliniare.
Arăt că măsura unghiului format de punctele A, B, C este 180o, ori că există un
punct M astfel încât m(∢ABM)+M(∢MBC)=180o, A și C fiind în semiplane diferite determinate de dreapta BM.
Folosesc unicitatea dreptei ce formează cu aceeași semidreaptă, în același semiplan
două unghiuri congruente.
Dacă ∢DAB și punctele B și C sunt în același semiplan determinat de dreapta AD, atunci punctele A, B, C sunt coliniare.
Există o strânsă legătură între probleme de concurență și coliniariate. Pentru a demonstra că dreptele d1, d2, d3 sunt concurente pot considera punctul A comun dreptelor d1 și d2 și punctele B și C situate pe d3 și arăt că punctele A, B, C sunt coliniare.
Pe parcursul acestei lucrări am demonstrat teoreme referitoare la concurența multor drepte ”importante” în tetraedru.
PROBLEMA 4.5. Fie ABCD un tetraedru oarecare. Pe perpendiculara în C pe planul (BCD) iau punctul oarecare M și notez cu P proiecția punctului M pe planul (ACD). Să se arate că punctele A, P, C sunt coliniare dacă și numai dacă AC┴CD.
Soluție.
Necesitatea.
Presupun A, P, C coliniare, de unde rezultă că punctul P aparține dreptei AC.
MP⊥(ACD) și CD⊂(ACD)⇒MP⊥CD.
MC⊥(BCD) și CD⊂(BCD)⇒MCCD.
Cum
PAC ⇒AC⊂(MPC) (2)
Din (1)+(2) ⇒CD⊥AC.
Suficiența.
Presupun AC⊥CD.
CD⊥MC și CD⊥MP ⇒ CD⊥(MPC) ⇒ CD⊥PC.
Pși AC⊥CD ⇒ dreptele AC și PC coincid ⇒A, P, C sunt puncte coliniare.
PROBLEMA 4.6. Fie AA1A2A3 un tetraedru oarecare și B1, B2, B3 mijloacele
muchiilor [A2A3], [A1A3] și respectiv [A1A2]. Notez cu M punctele de intersecție cu ABi (i) ale unui plan paralel cu planul (A1A2A3). Să se arate că dreptele AiMi (i) sunt concurente într-un punct de pe AG, unde G este centrul de greutate pentru ΔA1A2A3.
Soluție.
Planele paralele (M1M2M3) și (B1B2B3) vor fi intersectate de fețele tetraedrului AB1B2B3 după dreptele paralele M1M2║B1B2, M1M2║B1B3, M2M3║B2B3. Prin aplicarea teoremei lui Thales de două ori, obțin:
(k este valoarea comună a celor tri rapoarte).
Fie .
Aplic de trei ori teorema lui Menelaus în triunghiurile ABiG pentru transversalele
(Ai, Pi, Mi) și obțin:
⇒
⇒
, ⇒ P1=P2=P3 deoarece Pi.
Rezultă că dreptele A1M1, A2M2 și A3M3 intersectează dreapta AG în același punct.
PROBLEMA 4.7. Fie tetraedrul ABCD căruia îi desfac fețele laterale și îl așez prin rotație în planul bazei (ABC). Se formează astfel în planul bazei ΔBCVA, ΔACVB și ΔABVC. Să se arate că perpendicularele duse din VA, VB, VC pe laturile BC, AC, AB sunt concurente.
Soluție.
Fie VV’⊥(ABC) și VA’⊥BC, VB’⊥AC, VC’⊥AB (înălțimile fețelor laterale).
Deoarece VV’⊥(ABC) și VA’⊥BC, BC⊂(ABC) din teorema celor trei perpendiculare ⇒ V’A’⊥BC. Analog V’B’⊥AC și V’C’⊥AB.
Dar V’A’⊥BC și VV’⊥(ABC) ⇒ planele (VV’A) și (ABC) sunt perpendiculare. Fața laterală (VBC) se așează prin rotație în planul bazei și dreapta VA’ va rămâne perpendicular pe BC ⇒ ⊥BC.
Cum ⊥BC și V’A’⊥BC, A’BC, atunci din unicitatea perpendicularei ridicate dintr-un punct pe o dreaptă rezultă VA, A’, V’ sunt coliniare, prin urmare V’ . Analog, punctele VB, B’, V’ respectiv VC, C’, V’ și V’ aparține dreptelor VBB’ și VCC’.
Prin urmare dreptele VAA’, VBB’, VCC’ sunt coliniare având punctul V’ comun.
Metoda contraexemplului
În matematică se întâlnesc două tipuri de exemple. Prima categorie de exemple sunt cele ilustrative sau justificative prin care se încearcă să se dovedească că o afirmație este adevărată, fără să se demonstreze riguros afirmația respectivă, sau se particularizează rezultate, proprietăți cu un anumit grad de generalitate. A doua categorie de exemple este constituit din contraexemple prin care se justifică că o afirmație cu un anumit grad de generalitate este falsă.
Problemele de matematică constau, în general, în demonstrarea unor propoziții adevărate. Cu toate acestea, încă din clasele mici, elevii sunt puși în situația de a demonstra că anumite propoziții sunt false sau de a rezolva probleme de tipul ”Verificați dacă P este adevărată”. Prin metoda contraexemplului înțeleg metoda de rezolvare a acestor probleme.
Consider implicația p(x)q(x), o propoziție care în funcție de xA poate fi adevărată sau falsă. Demonstrarea propoziției: că este falsă, înseamnă să găsesc un element a astfel încât p(a) să fie adevărată și q(a) să fie falsă. Elementul ”a” oferă un contraexemplu pentru propoziția (1), adică conduce la infirmarea acesteia.
Descoperirea elementului ”a” nu este foarte ușoară. Aceasta necesită cunoștințe vaste de matematică și experiență în rezolvarea de probleme.
Prezint în cele ce urmează trei probleme legate de tetraedru care vin în sprijinul folosirii acestei metode.
PROBLEMA 4.8. Verificați dacă tetraedrul în care suma distanțelor unui punct din interior la fețe este egală cu înălțimea tetraedrului, este regulat.
Soluție. Tetraedrul nu este neaparat regulat.
Contraexemplu:
Fie ABCD tetraedru echifacial (fețele laterale sunt triunghiuri congruente).
Din ΔABC rezultă că înălțimile tetraedrului sunt congruente.
Fie un punct P în interiorul tetraedrului.
Din VPABC+VPABD+VPACD+VPBCD=VABCD ⇒ suma distanțelor de la P la fețe este egală cu înălțimea tetraedrului.
PROBLEMA 4.9. Verificați dacă tetraedrul cu înălțimile congruente este regulat.
Soluție. Tetraedrul nu este neaparat regulat.
Contraexemplu: tetraedrul echifacial (teorema 3.8., cap. III sau problema precedentă).
PROBLEMA 4.10. Fie ABCD tetraedru, unde notez cu H proiecția punctului D pe planul (ABC) și SA aria feței opuse punctului A. Dacă tetraedrul este tridreptunghic în D, demonstrați că (2).
Este adevărată reciproca?
Soluție. Fie ABCD tetraedru cu DA⊥DB⊥DC⊥DA și (ADE) planul perpendicular pe BC ce conține punctul D.
În ΔADE dreptunghic (m(∢ADE)=90o) avem:
DE2=HEAE echivalent cu (DEBC)2=(AE)(HEBC) ⇒ relația (2).
Pentru a demonstra că reciproca este falsă construiesc următorul contraexemplu:
Fie planul α ce conține pe BC și este perpendicular pe (ABC) și fie D’ și H’ simetricele lui D și H față de α.
Din congruențele triunghiurilor
ΔHBCH’BC și ΔDBC ΔD’BC ⇒SHBC=SH’BC și SD’BC=SA, relația (2) este îndeplinită de tetraedrul ABCD’ fără ca acesta să fie tridreptunghic în D.
Rezolvarea problemelor de tetraedru folosind paralelipipedul lui Monge
Voi rezolva o serie de probleme de geometrie a tetraedrului, folosind un paralelipiped special asociat tetraedrului. Adică în loc să rezolv problema pentru tetraedru, o voi rezolva pentru un paralelipiped, după ce în prealabil am obținut legătura între anumite proprietăți ale tetraedrului și paralelipipedului. Astfel o problemă dificilă pentru tetraedru se poate rezolva ușor pentru paralelipiped.
DEFINIȚIA 4.3. Fie tetraedrul ABCD oarecare. Paralelipipedul delimitat de planele duse prin muchiile tetraedrului paralele cu muchiile opuse se numește paralelipiped circumscris tetraedrului ABCD sau paralelipipedul lui Monge asociat tetraedrului ABCD.
OBSERVAȚIA 4.2. Muchiile tetraedrului ABCD reprezintă diagonalele fețelor paralelipipedului lui Monge.
PROPRIETĂȚI:
Tetraedrul ABCD este echifacial (are muchiile opuse congruente) echivalent cu
faptul că paralelipipedul lui Monge asociat tetraedrului ABCD este paralelipiped dreptunghic.
DEMONSTRAȚIE. Necesitatea. Fie tetraedrul ABCD echifacial. Atunci [AC][BD] ⇒AC’CA’ dreptunghi, analog și celelalte fețe ale paralelipipedului sunt dreptunghiuri ⇒ AC’BD’A’CB’D este paralelipiped dreptunghic.
Suficiența este evidentă.
Tetraedrul ABCD este regulat echivalent cu paralelipipedul lui Monge este cub.
Demonstrația este evidentă.
Raportul dintre volumul unui tetraedru și volumul paralelipipedului lui Monge
asociat tetraedrului este .
DEMONSTRAȚIE. Notez cu Vf volumul tetraedrului ABCD și cu Vp volumul paralelipipedului lui Monge.
Voi demonstra că: .
(1)
Cum (2)
Dar d(C, AC’B)=d(D, ABD’)=d(A. A’CD)=d(B, B’CD)=h
Din (1)+(2)+(3) ⇒.
Aplicații ale paralelipipedului lui Monge
Fie un tetraedru echifacial de muchii a, b, c care are volumul egal cu , atunci
tetraedrul este regulat.
(Concurs de matematică)
DEMONSTRAȚIE. Fie paralelipipedul lui Monge asociat tetraedrului ABCD.
Conform proprietății 1, evident, acesta este paralelipiped dreptunghic.
Notez AB=CD=a; BC=AD=b; AC=BD=c și AC’=x; C’B=y; CC’=z.
Imediat obțin: a2 =x2+y2; b2=y2+z2; c2=x2+z2.
Din proprietatea (3) ⇒
.
Din ipoteză:
(1)
Din egalitatea mediilor obțin:
(2)
Din (1)+(2) obțin x=y=z adică tetraedrul ABCD este regulat.
Din (1)+(2) obțin x=y=z adică tetraedrul ABCD este regulat.
Să se arate că într-un tetraedru echifacial triplul volumului este egal cu produsul bimedianelor.
(Concurs de matematică)
DEMONSTRAȚIE.
Necesitatea. Din presupunerea că ABCD este echifacial rezultă că paralelipipedul lui Monge este dreptunghic.
Notez AB=CD=a; BC=AD=b; AC=BC=c și AC’=x; C’B=y; CC’=z (figura anterioară)
Am demonstrat că .
Paralelipipedul este dreptunghic ⇒ bimedianele tetraedrului sunt congruente cu laturile paralelipipedului. Atunci triplul volumului este egal cu produsul bimedianelor.
Suficiența. Dacă triplul volumului este egal cu produsul bimedianelor rezultă că volumul paralelipipedului este egal cu produsul bimedianelor și paralelipipedul este dreptunghic atunci tetraedrul ABCD este echifacial.
Demonstrați că dacă într-un tetraedru perpendicularele comune ale muchiilor opuse
sunt două câte două perpendiculare, atunci tetraedrul este echifacial.
DEMONSTRAȚIE. Folosesc figura problemei 1. Perpendiculara comună muchiilor AB și CD este perpendiculară pe planul (AC’BD’) și perpendiculara comună a muchiilor AD și BC este perpendiculară pe planul (AD’DA’). Dar perpendicularele muchiilor (AB, CD) și (AD, BC) sunt perpendiculare între ele (ipoteză) atunci (AC’BD’)⊥(AC’CA’) și (AD’DA’)⊥(AC’CA’). Rezultă că paralelipipedul AC’BD’A’CB’D este dreptunghic și tetraedrul ABCD este echifacial.
IV.2. Evaluarea rezultatelor în procesul de învățământ
În acest subcapitol am folosit lucrările [2], [8], [17], [30] din bibliografie.
Evaluarea rezultatelor în procesul de învățământ reprezintă o acțiune managerială proprie sistemelor socio-umane, care solicită raportarea rezultatelor obținute într-o activitate, la un ansamblu de criterii specifice domeniului în vederea luării unei decizii optime.
În accepția aceasta, evaluarea procesului de învățământ reprezintă o acțiune psihosocială complexă, bazată pe operații de apreciere și măsurare a rezultatelor de sistem angajate operațional la nivelul corelației dintre obiectul și subiectul educației, dintre elev și profesor.
Ținta evaluării este de perfecționare a procesului educativ, de stabilire a acțiunilor precise pentru a adapta cvontinuu strategiile educative la particularitățile elevilor, la condițiile economice și instituționale existente.
Tipuri de evaluare didactică
După momentul în care se realizează se disting trei forme sau tipuri de evaluare: evaluare inițială, evaluare continuă și evaluare cumulativă sau sumativă.
Evaluarea inițială se realizează la începutul unei perioade de instruire în vederea cunoașterii nivelului psihopedagogic real al colectivului de elevi, exprimat în termeni de performanțe și competențe actuale și potențiale. Evaluarea inițială mai este definită ca evaluare didactică predictivă datorită faptului că îndeplinește o funcție pedagogică prioritar predictivă. Această funcție se referă la capacitatea evaluării de prezicere corectă a desfășurării activității de instruire.
Evaluarea continuă (permanentă) angajează operațiile de măsurare, apreciere și decizie pe întreg parcursul activității de instruire.
Evaluarea didactică permanentă răspunde cerințelor proiectării curriculare, ea fiind ”parte componentă a procesului de învățământ” care valorifică gradual ”informațiile pe care profesorul le culege despre efectele acțiunii sale” și asigură ”comanda și controlul” iar dacă este cazul, intervenția promptă prin măsuri ameliorative de maximă operativitate și oportunitate pedagogică. (”Ghid general de evaluare și examinare 1996”).
Evaluarea didactică permanentă îndeplinește o funcție pedagogică formativă.
Evaluarea didactică sumativă (finală) se realizează la sfârșitul unei perioade de formare, în vederea cunoașterii nivelului de performanță al elevilor și de săpânire a materiei după parcurgerea unor perioade și secvențe de instruire, conform competențelor programelor școlare, adaptate de profesor la condițiile concrete ale colectivului de elevi. Acest tip de evaluare îndeplinește o funcție prioritar cumulativă.
Prin coroborarea celor două criterii se poate ajunge la următoarea clasificare:
Evaluarea cumulativă (sumativă);
Evaluarea continuă (formativă).
Analiza comparativă, realizată de I. T. Radu (1998) pune în evidență o serie de
caracteristici, demonstrând astfel, că ambele strategii au avantaje cât și dezavantaje, încât cele două moduri nu trebuie utilizate în mod autarhic, exhaustiv, ci, prin ”îmbinare și complementaritate”.
IV.3. Probe de evaluare. Analiza rezultatelor la teste și interpretarea lor
În acest subcapitol am folosit lucrările [2], [8], [10], [12], [17], [30] din bibliografie.
Prin evaluarea rezultatelor școlare se înțelege determinarea măsurii în care competențele programului de instruire au fost atinse, precum și eficacitatea metodelor de predare-învățare.
Creșterea nivelului de pregătire al elevilor presupune și o mai bună integrare a actului de evaluare în desfășurarea activității didactice prin verificarea și evaluarea sistematică a tuturor elevilor după fiecare capitol.
Actul de evaluare la matematică presupune măsurarea și aprecierea progreselor elevilor în materie de cunoștințe, priceperi și deprinderi matematice, ca rezultate ale procesului de instruire, precum și aspecte educative ale activității, materializate în aptitudinile și comportamentul elevilor.
În continure voi evidenția câteva aspecte legate de evaluarea rezultatelor școlare, cât și etapele acțiunii de evaluare pe care am realizat-o la clasa a VIII-a, precum și interpretarea acestora.
În programa școlară a clasei a VIII-a, este prezentă tema ”Piramida: descriere și reprezentare; tetraedrul” în primul capitol ”Relații între puncte drepte și plane”. De asemenea în capitolul III ”Calcularea de arii și volume” regăsim ”Piramida triunghiulară regulată, tetraedrul regulat, piramida patrulateră regulată, piramida hexagonală regulată: descriere, desfășurare, aria laterală, aria totală și volum”.
Tetraedrul este o piramidă triunghiulară de aceea poate fi regăsit în noțiunile predate conform programei elevilor clasei a VIII-a.
Înainte de trecerea la lecția ”Tetraedrul regulat” am administrat un test predictiv din lecția ”Piramida triunghiulară regulată”.
După predarea temei și rezolvarea a cât mai multor probleme, în care s-a regăsit și tetraedrul regulat, am efectuat un test de sumativ aplicat competențelor specifice acestei teme, prin care am determinat nivelul de pregătire al elevilor și randamentul procesului de predare-învățare.
Obținerea informațiilor de evaluare cu ajutorul probelor bazate pe competențe specifice necesită parcurgerea următoarelor etape.
Aplicarea testului și obținerea răspunsurilor de la elevi.
Compararea fiecărui răspuns cu etalonul de rezolvare și acordarea punctajului corespunzător pentru rezolvări corecte.
Acordarea notei școlare prin aplicarea criteriilor de convertire a punctajului în notă.
Interpretarea rezultatelor și adaptarea măsurilor cu caracter ameliorativ.
Cercetarea
Obiectivele generale și operaționale ale procesului de predare-învățare au scopul de a verifica eficiența programului de instruire și corelarea mediilor din catalog cu rezultatele obținute de elevi.
Înainte de a trece la prezentarea probelor de evaluare este bine de amintit că problema evaluării rezultatelor și progreselor obținute la matematică este subordonată preocupărilor de evaluare a eficienței procesului de predare-învățare, constituind obiect de studiu al didacticii.
Evaluarea urmărește să aprecieze și să măsoare progresele elevilor în materie de cunoștințe, priceperi și deprinderi matematice, care zultate ale procesului de instruire, precum și aspecte educative ale activității în aptitudinile și comportamentul elevilor.
În acest subcapitol voi evidenția atât unele aspecte legate de evaluarea rezultatelor școlare, cât și etapele acțiunii de evaluare pe care am realizat-o la clasa a VIII-a, precum și interpretarea acestora.
Un specialist în domeniu (Ausubel) referindu-se la evaluarea inițială spunea: “Ceea ce influențează cel mai mult învățarea sunt cunoștințele pe care elevul le posedă la plecare. Asigurați-vă de ceea ce el știe și instruiți-l în consecință.”
Ipoteza cercetării
Îmi propun să observ modul în care elevii percep piramida regulată și tetraedrul regulat, dacă pentru ei aceste lucruri sunt abstracte sau nu, dacă îi atrag diversele tipuri de probleme propuse deși gradul de dificultate crește, și nu în ultimul rând dacă elevii sunt capabili să coreleze teoria cu aplicațiile.
Eșantionul de lucru
Cercetarea s-a desfășurat asupra unui singur eșantion format din 20 elevi, din clasa a VIII- a C, de la Școala Gimnazială Asău. Este o clasă cu o componență omogenă, fiind o clasă cu un nivel de pregătire mediu. Scopul experimentului a fost de a vedea nivelul de înțelegere a cunoștințelor despre piramidă și tetraedru și interesul elevilor în însușirea acestora.
Test de evaluare
Piramida triunghiulară regulată
Competențe specifice
Recunoșterea și descrierea unor proprietăți ale unor figuri geomatrice plane în configurații date în spațiu sau pe desfășurări ale acestora.
Calcularea ariilor și volumelor corpurilor geometrice studiate.
Analizarea și interpretarea condițiilor necesare pentru ca o configurație geometrică să verifice anumite cerințe.
Transpunerea unor situații-problemă în limbaj geometric, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului.
Obiective operaționale
Să redea definiția piramidei regulate
Să cunoască formulele pentru aria bazei, aria laterală, aria totală și volumul unui tetraedru regulat
Să aplice corect formulele de calcul pentru apoteme și înălțime în piramida triunghiulară regulată.
Să rezolve probleme specifice, pornind de la o configurație dată.
Itemii evaluării
Definiți și notați piramida triunghiulară regulată
Determinați apotema bazei și apotema piramidei regulate cu vârful V și baza ABC dacă VA=13 cm și BC=10 cm.
Aflați aria bazei și aria laterală unei piramide triunghiulare regulate având muchia bazei de 6 cm și muchia laterală de 5 cm.
O piramidă patrulateră regulată are toate muchiile congruente și aria laterală m2.
Aflați aria totală și volumul piramidei;
Arătați că două muchii laterale opuse sunt perpendiculare.
Rezolvare test
Definiție. O piramidă care are baza poligon regulat și muchiile laterale congruente se numește piramidă regulată
,
a) ; .
VB2+VD2=BD2⇒VB⟘VD.
Punctajul acordat pe fiecare item
Oficiu 1p
I1 2p
I2 2p
I3 2p
I4 3p – a) 2p
b) 1p
Total 10 puncte
Nota 10
Timp de lucru 50 minute.
Rezultatele testului ”Piramida regulată”, clasa a VIII-a
Interpretarea rezultatelor, concluzii
Un singur elev nu a desenat corect piramida triunghiulară regulată..
40% nu cunosc sau nu reușesc să se exprime corect în limbaj matematic referitor la definiția piramidei triunghiulare regulate.
30% cunosc formula volumului piramidei regulate dar nu stăpânesc operațiile de calcul cu numere reale.
55% nu cunosc formula ariei bazei și ariei laterale a unei piramide triunghiulare regulate sau nu au finalizat calculele.
75% nu au formate abilitățile necesare de calcul a apotemelor unei piramide regulate.
75% nu au formate priceperile și deprinderile rezolvării unei probleme dificile plecând de la o indicație dată.
Media clasei 5,5
Test de evaluare
Tetraedrul regulat
Competențe specifice
Recunoșterea și descrierea unor proprietăți ale unor figuri geomatrice plane în configurații date în spațiu sau pe desfășurări ale acestora.
Calcularea ariilor și volumelor corpurilor geometrice studiate.
Analizarea și interpretarea condițiilor necesare pentru ca o configurație geometrică să verifice anumite cerințe.
Transpunerea unor situații-problemă în limbaj geometric, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului.
Obiective operaționale
Să redea definiția tetraedrului regulat.
Să cunoască formula volumului unui tetraedru și să o folosească.
Să cunoască și să aplice formula ariei totale pentru un tetraedru regulat.
Să cunoască formula volumului unei piramide în general, să descopere formula înălțimii și formula volumului unui tetraedru regulat.
Să rezolve probleme plecând de la indicația dată.
Itemii evaluării
Definiți și desenați tetraedrul regulat.
Să se afle distanța de la A la planul (BCD) în tetraedrul ABCD, știind că volumul tetraedrului este 100 cm3, iar aria feței (BCD) este de 30 cm2.
Aflați aria totală a unui tetraedru regulat cu muchia de lungime cm.
Determinați înălțimea și apoi volumul unui tetraedru regulat de muchie a.
Calculați suma distanțelor de la un punct din interiorul unui tetraedru regulat la fețele sale știind că muchia tetraedrului are lungimea de 6 cm.
Indicație: VABCD=VMABC+VMACD+VMABD+VMBCD, unde M este un puct din interiorul tetraedrului.
Rezolvare test
Definiție 1. Piramida triunghiulară cu toate fețele echilaterale se numește tetraedru regulat.
Se deduce că toate muchiile unui tetraedru regulat sunt congruente.
⇒d=10cm.
.
Vezi problema 1, capitolul II.
(înălțimea tetraedrului regulat)
(volumul tetraedrului regulat).
Fie x, y, z, t distanțele de la punctul M, interior tetraedrului ABCD la fețele (ABC), (ACD), (ABD) respectiv (BCD).
.
.
.
.
, dar a=6 și se obține .
Punctajul acordat pe fiecare item
Oficiu 1p
I1 2p
I2 2p
I3 1p
I4 2p – înălțimea 1p
volumul 1p
I5 2p
Total 10 puncte
Nota 10
Timp de lucru 50 minute.
Rezultatele testului ”Tetraedrul regulat”, clasa a VIII-a
Procentul răspunsurilor corecte pe itemi
I1 – 65%
I2 – 45%
I3 – 65%
I4 – 20%
I5 – 15%
Media clasei: 5,95
Interpretarea rezultatelor, concluzii
Toți elevii au desenat corect tetraedrul regulat.
35% nu cunosc sau nu reușesc să se exprime corect în limbaj matematic referitor la definiția tetraedrului regulat.
55% cunosc formula volumului tetraedrului dar nu stăpânesc operațiile de calcul cu numere reale.
25% nu cunosc formula ariei totale a unui tetraedru regulat sau nu au finalizat calculele.
75% nu au formate abilitățile necesare de calcul a înălțimii și volumului unui tetraedru regulat de muchie a.
85% nu au formate priceperile și deprinderile rezolvării unei probleme dificile plecând de la o indicație dată.
Transformând notele în calificative obțin:
Analiza comparativă a datelor colectate
Analizând rezultatele obținute la testele date, se poate observa în graficele ce urmează, progresul elevilor de la un test la altul.
Pentru a diagnostica progresul elevilor, am calculat media fiecărui test in parte:
unde este suma notelor obținute iar N este numărul subiecților incluși în experimentul psihopedagogic, adică 20, neavând absenți la niciunul din testele aplicate
.
Media testului inițial 5, 5
Media testului final 5,95
Analizând rezultatele obținute de elevi la testarea inițiala și finală se poate constata un progres al competențelor de comunicare, al deprinderilor de calcul și utilizarea corectă a noțiunilor matematice.
Linia albastră semnifică rezultatele obținute la testul inițial, iar cea roșie la testul final. Din acest poligon al frecvențelor comparativ între testul inițial și testul final se observă posibilitățile de progres ale elevilor. Numarul notelor de 4 și 3 a scăzut iar numărul notelor peste 5 a crescut.
Metode de analiză a rezultatelor evaluaării și metode alternative post-evaluare
Preocupările profesorilor în direcția perfecționării proceselor evaluative fac parte dintr-un obiectiv mai larg, și anume creșterea continuă a calității activității didactice, evaluarea rezultatelor este o condiție necesară pentru realizarea unui proces didactic reușit.
O metodă de analiză a rezultatelor evaluării presupune următoarele etape:
Administrarea și corectarea unui test inițial (predictiv), înainte de a trece la predarea unei unități de învățare pentru a se constata nivelul de pregătire al elevilor;
Realizarea de evaluări formative (de progres) pe durata parcurgerii unității de învățare pentru a se constata progresul elevilor și pentru a se lua măsuri de îmbunătățire a procesului de predare-învățare;
Administrarea și corectarea unui test sumativ (final) după parcurgerea unității de învățare. Prin acest test se scoate în evidență randamentul școlar.
O metodă ameliorativă post-evaluare presupune următoarele aspecte:
Deplasarea accentului dinspre evaluarea sumativă spre evaluarea formativă pentru a se face trecerea de la ierarhizare și selecție spre valorificarea potențialului de care dispun elevii și conduce la perfecționarea continuă a stilului și a metodelor proprii de învățare;
Realizarea unui echilibru dinamic dintre evaluarea scrisă și evaluarea orală, aceasta din urmă, pe lângă faptul că este consumatoare mare de timp pentru aprecierea tuturor elevilor și blocaje datorate emoțiilor sau timidității, prezintă avantaje deosebite: demonstrarea comportamentului comunicativ și de inter-relaționare al elevului, realizarea interacțiunii elev-profesor, demonstrarea stadiului de dezvoltare al unor competențe prin intervenția cu întrebări ajutătoare;
Folosirea cu o mai mare frecvență a metodelor de evaluare prin consultare în grupuri mici și autoevaluare, pentru observarea modului în care elevii își exprimă liber opinii proprii sau sunt toleranți cu opiniile celorlalți, capacitatea de a-și susține și motiva propunerile.
Metodă de analiză a rezultatelor evaluării elevilor clasei a VIII-a, folosind ca tehnică de evaluare alternativă – referatul
Rezultate referate, clasa a VIII-a
Centralizator de rezultate ale referatelor: NC, NS, N
Concluzii
Prin metoda referatului au fost evaluați individual toți elevii clasei a VIII-a.
Elevii au fost examinați folosind această metodă pentru prima dată, având ca efect psihologic relația de colaborare profesor-elev și dezvoltarea capacității de autoevaluare. Am întâlnit situații când nota de la susținere a fost mai mică decât nota de la conținut, acest lucru denotă faptul că unii elevi sunt timizi sau doar nu stăpânesc destul de bine cunoștințele.
Elevii au respectat indicațiile profesorului, așa cum le-au fost prezentate inițial: sarcina de lucru, modul de întocmire a unui referat.
Această metodă de evaluare a fost ”îndrăgită” de elevi. Acest lucru se observă comparând notele obținute prin această metodă cu alte note ale elevilor.
Capitolul V
Puterea Piramidei
Pentru a răspunde la întrebarea ce legătură există între piramidă și tetraedru răspunsul este simplu: tetraedrul este o piramidă triunghiulară și orice fenomen fizic nu poate fi înțeles, nu poate fi explicat, decât cu ajutorul matematicii, prin explicarea legilor fizice care intervin în fenomenul respectiv, prin formule matematice.
Științele naturii lumii antice se bazau pe numere și geometrie, și din acest motiv credem că construcțiile încorporau în modul de construcție și planurile geometrice, fructul cel mai înalt al științei acelui timp. Este interesant să ne închipuim că Marea Piramidă a fost construită de o cultură egipteană (sau preegipteană) fiind un perfecționat instrumet științific, care se bazează pe o știință mult mai înaltă decât credeam până acum. Egiptenii considerau că piramida conține formula de bază a Universului, trebuia să-l ajute pe om să se orienteze în Cosmos și să fie o măsură potrivită pentru timp și spațiu.
Dr. Livio Steccini, expert în istoria măsurătorilor și cântăririlor, fost profesor de artă antică la Academia Wiliam Patterson din New Jersey, a demonstrat că egiptenii făceau măsurători exacte de lungimi încă de prin 2800 î.e.n., ceea ce s-a întâmplat doar prin secolul XVIII e.n. Învățații antici puteau să calculeze atât latitudinea cât și longitudinea țării lor, cât și coordonatele geografice ale tuturor punctelor importante din zona lor, de la Marea Mediterana până la Ecuator. Pentru a realiza aceasta, ei au trebuit să facă observații astronomice care rivalizează în exactitate cu cele ale telescoapelor și cronometrelor actuale.
Steccini a scris o postfață cu titlul ”Considerații asupra legăturilor între măsurătorile antice și piramidă”, pentru cartea lui P. Tompkins ”Secretele Marii Piramide” și s-a ocupat timp de 20 de ani cu studiul datelor matematice și astronautice conținute pe tăblițele de lut babiloniene și din vechiul Sumer. După studiul ziguratelor și piramidelor din Orientul Apropiat și Mijlociu, el a observat că toate aceste construcții sunt așezate potrivit unei metode simple de reprezentare cartografică a bolții cerești și a blocului pământesc. Steccini consideră că aceste construcții demonstrează o temeinică dezvoltare a matematicii, cu ajutorul căreia pot fi rezolvate și probleme de trigonometrie.
Vîrful Marii Piramide stă drept Pol Nord iar perimetrul bazei ei corespunde lungimii Ecuatorului. Fiecare parte a piramidei a fost măsurată în acest fel încât reprezintă câte un sfert din emisfera nordică sau dintr-o cupolă sferică.
Dacă se reprezintă un segment de sferă drept triunghi, atunci baza acestuia trebuie sa aibă aceeași lungime ca lungimea segmentului de sferă. În plus, ambele figuri trebuie bineînțeles, să fie la fel de înalte. La Marea Piramidă, aceasta nu se întâmplă decât dacă este secționată de-a lungul meridianului. Unghiul de înclinare dă relația lui ⫪ dintre înălțime și latura bazei. Dacă se consideră piramida din față, atunci aria unei fețe a ei se micșorează până la mărimea proiecției pe direcția de privire, în perspectivă. Ceea ce în realitate este exact triunghiul care se formează la secționarea verticală a piramidei.
Conform relatărilor făcute de preoții egipteni, istoricul Herodot relatează că piramida a fost astfel construită încât suprafața oricărei fețe să fie exact pătratul înălțimii sale. Cu siguranță aceasta era cheia enigmei geometrice și numerice-matematice a piramidei. Ea încorporează pe lângă mărimea ⫪ și valoarea constantă Phi (1,618), denumită în Renaștere ”Secțiunea de aur”.
Phi este un număr zecimal infinit și apare într-un sistem de numere interesant, ca o sumă a numerelor care formează șirul lui Fibonacci. Seria începe cu 1 și fiecare nouă valoare este egală cu suma primelor: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. Etc.
Phi sau 1,618… este obținut prin împărțirea oricărei valori din șir prin precedenta valoare. Cu cât valorile sunt mai mari, cu atât valoarea lui Phi este mai exactă. Exemplu: 3:2=1,5; 13:8=1,625; … 233:144=1,6180555.
Phi a fost denumit și secțiune divină, deoarece dacă un segment de dreaptă AC este împărțit de B astfel încât segmentele AB și AC să respecte raportul 1/1,618, atunci și segmentele BC și AB se află în același raport.
Artiștii Renașterii s-au ghidat după această secțiune, căci ea prevede toate proporțiile estetice. Și proporțiile corpului omenesc ar fi trebuit să respecte acest principiu, iar diagonalele stelei sfinte cu cinci colțuri (Pentagrama) se taie reciproc în același raport.
Piramidele cu secțiunea lor de aur sunt un mijloc simplu pentru proiectarea segmentelor de sferă pe suprafețele plane.
Egiptenii foloseau ca unitatea de măsură cotul. Un cot reprezintă miimea segmentului parcurs de Pământ la Ecuator prin rotația sa timp de o secundă. Proiectanții au trasat baza piramidei ca având o lungime egală cu segmentul parcurs de Pământ în timp de o jumătate de secundă.
Astăzi considerăm demonstrat faptul că învățații antici calculau circumferința polară a Pământului cu ajutorul obeliscurilor. Pentru stabilirea rotației Pământului, ei urmăreau stele pe deasupra obeliscurilor. Pentru a calcula curbura, era suficient să se măsoare distanța dintre două obeliscuri și lungimea umbrelor lor. Chiar și o fracțiune a curbei dintre două obeliscuri așezate pe meridian, adică diferența de latitudine, poate fi suficientă pentru a stabili un raport al lungimii umbrelor obeliscurilor cu lungimea acestora, dacă măsurarea se făcea pe timp de soare sau al echinocțiilor. Știindu-se că Pământul are nevoie pentru o rotație 86 400 secunde (24h) și că parcurge în acest timp 1 296 000 de secunde de arc, prin diferența de timp ce apărea la observarea răsăritului stelei de către doi observatori, se putea calcula circumferința ecuatorială.
Piramida a fost astfel construită încât să se poată calcula cu ajutorul ei atât suprafața cercului, cât și volumul sferei, și se pare că proiectanții ei au dorit să sublinieze că geometria statică a unghiului poate fi transformată în cea dinamică a curbelor. Piramida se poate compara cu un cub, iar acesta cu o sferă.
La o scară de 1:43 200, Marea Piramidă slujește ca model și ca proiecție cartografică a emisferei nordice a Pământului. Această scară concordă numeric cu viteza de precesiune a echinocțiilor – unul din cele mai caracteristice mecanisme planetare ale Pământului. Este clar că ne aflăm în fața unei decizii de proiectare deliberate: o decizie care s-a dorit a fi recunoscută de orice cultură care a ajuns la o cunoaștere precisă a dimensiunilor Pământului și la o cunoștere exactă a vitezei de precesiune.
Datorită lucrărilor lui Robert Bauval, acum putem fi siguri că în construcția Marii Pramide a fost implementată o idee de proiectare, de asemenea deliberată. În acest caz proiectul poartă amprenta acelorași arhitecți, implicând și cea de a doua și a treia Piramidă ca pe un model la scară a Pământului. Semnul lor distinctiv pare să fi fost precesiunea- poate că erau atrași de regularitatea și predictibilitatea ei matematică. Astfel au folosit precesiunea pentru a alcătui un plan care să poată fi înțeles corect numai de o cultură înaintată din punct de vedere științific.
Lucrarea lui Robert Bauval ”The Orion Mystery” a fost un succes internațional, la publicarea sa în 1994 și mulți astronomi distinși au salutat descoperirile lui Bauval ca pe un progres.
Rădăcinile descoperirilor făcute de Bauval la Gizeh, datează din anii 1960-1970, când egiptologul și arhitectul Dr. Alexander Badawy și astronomul american Virginia Trimble au demonstrat că puțul sudic al Camerei Regelui din Marea Piramidă era ațintit, în Epoca Piramidelor, adică între anii 2600-2400 î.e.n., ca o țeavă de tun către Brâul lui Orion din Constelația Orion. Bauval a constatat că, în Epoca Piramidelor, puțul sudic din Camera Reginei era îndreptat către steaua Sirius. Inginerul german Rudolf Gantenbrink a dovedit cu ajutorul robotului său Upuaut, în martie 1993, că ceea ce a observat Bauval este cât se poate de corect. Robotul Upuaut a făcut uimitoarea descoperire a unei bariere culisante ce bloca puțul la o distanță de aproximativ două sute de picioare de la Camera Reginei. Echipat cu un clinometru de înaltă tehnicitate, mica mașinărie furnizaze, prima citire efectuată vreodată cu o precizie perfectă de înclinare a puțului de 39o30’.
Iată explicația lui Bauval: ”Am efectuat calculele și acestea au stabilit că puțul fusese orientat către trecerea peste meridian a lui Sirius, în jurul anului 2400 î.e.n. Nu putea exista absolut nicio îndoială. Am recalculat și orientarea Brâului lui Orion, determinată de Badawy și Trimble, folosind noile date pe care mi le-a furnizat Gantenbrik cu privire la înclinarea puțului sudic din Camea Regelui. Valoarea măsurată de el era exact de 45o, în timp ce Badawy și Trimble căpătaseră, pe baza datelor lui Flinders Petrie, o valoare ceva mai puțin exactă de 44o30’. Noile date mi-au îngăduit să îmbunătățesc cifrele orientării determinate de Badawy și Trimble. Am constatat că puțul era orientat cu precizie spre Al Nitak, cea mai de jos dintre cele trei stele ale Brâului, care intersecta meridianul la o înălțime de 45o aproximativ în anul 2475 î.e.n.”
Până în acest punct conluziile lui Bauval se încadrau în limitele stabilite de egiptologii tradiționaliști, care fixaseră data construcției Marii Piramide în jurul anului 2520 î.e.n.
Bauval a mai făcut și o altă descoperire cu mult mai tulburătoare legată tot de stelele din Brâul Orion:
”Ele sunt dispuse de-a lungul unei diagonale orientate pe direcția sud-vest față de axa Căii Lactee, iar Piramidele sunt înșiruite pe o diagonală orientată pe direcția sud-vest fașă de axa Nilului. Dacă o privești cu atenție într-o noapte senină, vei vedea că și cea mai mică dintre cele trei stele, cea de sus, pe care arabii o numesc Mintaka, este ușor deviată spre est față de diagonala principală determinată de Piramida lui Khafre (care reprezintă steaua din mijloc, Al Nilam) și de Marea Piramidă, care reprezintă steaua Al Nitak. Este într-adevăr foarte evident că toate aceste monumente au fost amplasate în conformitate cu un plan de situația unică, care a redat cu o extraordinară precizie amplasamentul celor trei stele… Ceea ce s-a făcut la Gizeh a fost construirea pe Pământ a Brâului lui Orion”.
Folosind un program de calculator complex, capabil să reprezinte grafic modificările pe care precesiunea le producea în declinațiile tuturor stelelor vizibile pe cer, din orice parte a lumii și din orice epocă, Bauval a observat că acea legătură dintre Piramide și Brâul lui Orion este generală și evidentă în toate epocile, dar specifică și exactă numai în una singură:
”În anul 10 450 î.e.n. – și numai la acea dată – constatăm că aranjamentul pe Pământ al Piramidelor constituie o reflectare perfectă a aranjamentelor pe Cer al stelelor. Vreau să spun că este o potrivire perfectă – fără nicio eroare – și nu poate fi accidentală, deoarece întregul aranjament reprezintă corect două evenimente cerești foarte neobișnuite, care au avut loc numai la acea dată. Mai întâi, și din pură întâmplare, Calea Lactee, așa cum se vedea de la Giseh în anul 10 450 î.e.n. reproducea cu exactitate cursul meridional al văii Nilului, în al doilea rând, la est de Caleea Lactee, cele trei stele din Brâul lui Orion, se aflau la cea mai mică altitudine de-a lungul ciclului lor precesional, iar Al Nitak, steaua reprezentată prin Marea Piramidă, intersecta meridianul la 11o08’”.
Se știe modul în care precesiunea axială a Pământului face ca răsăritul soarelui la echinocțiul de primăvară să migreze de-a lungul fâșiei zodiacale într-un ciclu de aproximativ 26 000 de ani. Același fenomen afectează și declinația (asfințitul) tuturor stelelor vizibile, producând, în Constelația Orion, modificări de altitudine treptate dar importante. Din cel mai înalt punct al său la intersectarea cu meridianul (58o11’ deasupra orizontului sudic, așa cum se vedea de la Giseh), Al Nitak are nevoie de aproximativ 13 000 de ani, stelele din Brâu se înalță încet din nou, până când Al Nitak revine la 58o11’; apoi, în timpul următorilor 13 000 de ani, coboară încă o dată treptat până la 11o08’. Acest ciclu este etern: 13 000 de ani în jos și tot așa veșnic.
”Ceea ce vedem pe platoul de la Giseh este configurația exactă pentru anul 10 450 î.e.n. – ca și cum un maestru-arhitect ar fi venit aici în acea epocă și s-ar fi decis să traseze pe Pământ o hartă uriașă, folosind un amestec de caracteristici naturale și artificiale. A utilizat cursul meridional al Văii Nilului pentru a reprezenta Calea Lactee, așa cum arăta atunci. Și a așezat cele trei Piramide în exact aceeași poziție în raport cu Valea Nilului ca și cea ocupată atunci de cele trei stele față de Calea Lactee. Era un mod foarte inteligent, foarte ambițios, foarte precis de a semnala acea epocă – dacă vreți, de a fixa pentru totdeauna în arhitectură o anumită dată…”
Implicația corelației cu Orion este complicată și interesantă. Puțurile sudice ale Marii Piramide ”ancorează din punct de vedere precesional” de Al Nitak și Sirius în pozițiile lor din anii 2475-2400 î.e.n., date ce coincid cu epoca în care egiptologii susțin că au fost construite monumentele.
Aranjamentul celor trei piramide în raport cu Valea Nilului semnalează data mult anterioară de 10 450 î.e.n. John West și Robert Schoch au făcut descoperiri geologige controversate conform cărora în Egipt exista o civilizație înaintată în al unsprezecela mileniu î.e.n. La aranjamentul piramidelor nu s-a ajuns la nimereală sau printr-un procedeu întâmplător, ci se pare că a fost ales deliberat pentru că marca un eveniment important din punct de vedere al precesiunii: punctul cel mai de jos, începutul ”Primul timp” din ciclul ”urcător” de 13 000 de ani ai lui Orion.
De asemenea Sfinxul era un reper echinocțial, privirea fiindu-i îndreptată cu precizie spre punctul de răsărit din echinocțiul de primăvară, pe care omul din vechime îl considera ca fiind reperul erei astronomice. ”Constelația care răsărea la est, chiar înaintea soarelui, marca ”locul” în care se odihnea soarele.. Era cunoscută sub denumirea de ”purtătoare” a soarelui, iar echinocțiul de primăvară era recunoscut ca punct de referință al ”sistemului”, determinând primul grad al ciclului anual al soarelui”.
Piramida ne oferă posibilitatea de a atinge forme mai înalte ale priceperii. Istoricii, probabil, au dreptate când spun că nu există înțelegere a viitorului fără cunoșterea trecutului. Piramida reprezintă poate, o fereastră spre Univers, cât și deschiderea către viitor, marcând totuși, inevitabil și legăturile inerente dintre acestea.
ANEXE
Opțional la nivelul disciplinei
Disciplina: Matematică
Durata: 1 an școlar
Clasa a VIII-a
Ore pe săptămână: 1 oră
Profesor: Văsîi Ionela
Școala Gimnazială Asău
Aria curriculară MATEMATICĂ ȘI ȘTIINȚE
Denumirea opționalului: ”Matematică aplicată”
Argument
”Obiectul matematica este atât de serios încât este util să nu pierdem ocazia de a-l face mai puțin distractiv.” Blaise Pascal
Prin acest opțional mi-am propus revigorarea și menținerea interesului pentru matematică al elevilor. Problemele de matematică sunt variate și nu poate fi dată o standarizare a rezovării lor . Prin acest opțional doresc acoperirea, chiar și parțială a lipsurilor existente în manualele de matematică.
Prezentarea într-un ansamblu sistematizat și accesibil, a informațiilor cu specific didactic și matematic rezidă din necesitatea ca elevii să își însușească o anumită obișnuință în rezolvarea problemelor dificile.
Principalul obiectiv al opționalului ”Matematică aplicată” este de introducere a elevilor, prin ”exercițiu”, în largul evantai de metode și tehnici de rezolvare a problemelor de geometrie plană și în spațiu.
Abordarea opționalului ca o activitate de rezolvare a unor contexte variate asigură o continuitate și întrepătrundere suplă cu celelalte discipline și reprezintă un fundament al culturii generale.
COMPETENȚE GENERALE
Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite.
Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri.
Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete.
Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora.
Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă.
Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii.
VALORI ȘI ATITUDINI
Dezvoltarea unei gândiri deschise și creative; dezvoltarea inițiativei, independența în gândire și în acțiune pentru a avea disponibilitate de a aborda sarcini variate
Manifestarea tenacității, perseverenței, capacității de concentrare și a atenției distributive
Dezvoltarea spiritului de observație
Dezvoltarea simțului estetic și critic, a capacității de a aprecia rigoarea, ordinea și eleganța în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teoreii
Formarea obișnunței de a recurge la concepte și metode matematice în abordarea unor situații cotidiene sau pentru rezovarea unor probleme practice
Formarea motivației pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viața socială și profesională
COMPETENȚE SPECIFICE ȘI ACTIVITĂȚI DE ÎNVĂȚARE
CG. 1 Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în contextul în care au fost definite
CG. 2 Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri.
CG. 3 Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete.
CG. 4 Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora.
CG. 5 Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă.
CG. 6 Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii.
CONȚINUTURI
Elemente de istoria matematicii
Numerația. Primele universități
Matematica evului mediu
Matematiceieni români celebri
Concurența liniilor importante în triunghi
Concurența medianelor, mediatoarelor, bisectoarelor și înălțimilor
Cercul înscris în triunghi, cercul circumscris și exînscris unui triunghi
Teoremele Menelaus și Ceva
Teorema lui Menelaus
Teorema lui Ceva
Reciprocele teoremelor lui Menelaus și Ceva
Teorema Van-Aubel
Probleme de coliniaritate
Metode de demonstrare a coliniarității unor puncte
Teorema lui Euler; dreapta lui Simpson
Teorema lui Gauss
Relația lui Carnot
Probleme de concurență
Metode de demonstrare a concurenței unor drepte
Teorema lui Nagel și Gergone
Teorema lui Steiner
Relații metrice în triunghi și patrulater
Teorema Pitagora generalizată
Teorema medianei
Relația lui Stewart
Relația lui Euler pentru patrulatere
Clase de tetraedre
Tetraedre ortocentrice
Tetraedre echifaciale
Tetraedre Crelle
Tetraedre regulate
Metode și tehnici de evaluare
Metode tradiționale de evaluare (evaluarea orală, evaluarea prin probe scrise, evaluarea prin probe practice)
Observarea sistematică a activității și a comportamentului elevilor
Investigația, experimentul
Referatul
Proiectul
Portofoliul
Evaluarea cu ajutorul calculatorului (AEL)
PLANIFICARE ANUALĂ LA DISCIPLINA
”MATEMATICĂ APLICATĂ”
PLANIFICARE CALENDARISTICĂ
SEM. I
PLANIFICARE CALENDARISTICĂ
SEM. II
Bibliografie
Lalescu, Traian, Geometrie triunghiului, Editura Apollo, Craiova, 1993
Pascaru, Ion, Nachila Petre, Matematica gimnazială în concursurile școlare, Editura Tiparg, 2005
Chițescu, Ion, Chirița, Marcel, Geometria patrulaterului, Editura Teora, 1998
Ionescu, Constantin, Geometria plană și în spațiu pentru admitere, Editura Albatros, 1976
Nicolescu, Liviu, Boskoff, Vladimir, Probleme practice de geometrie, Editura Tehnică, București, 1990
Oprea, Miron, Scurta istorie a matematicii, Editura Premier, Ploiești, 2000
Proiect didactic
Clasa: a VIII-a C
Data: 17.03.2015
Profesor: Văsîi Ionela
Școala Gimnazială Asău
Aria curriculară: Matematică și științe ale naturii
Disciplina: Matematică
Subiectul lecției: Tetraedrul regulat
Tipul lecției: de fixare și sistematizare
Competențe generale:
Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite
Precizarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice
Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete
Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora
Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă
Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii
Competențe specifice
Identificarea unor elemente ale figurilor geometrice plane în configurații geometrice spațiale date
Calcularea ariilor și volumelor corpurilor geometrice studiate
Clasificarea corpurilor geometrice după anumite criterii date sau alese
Exprimarea proprietăților figurilor și corpurilor geometrice în limbaj matematic (axiomă, teoremă directă, teoremă reciprocă, ipoteză, concluzie, demonstrație)
Analizarea și interpretarea condițiilor necesare pentru ca o configurație geometrică să verifice anumite cerințe
Transpunerea unor situații-problemă în limbaj geometric, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului
Obiective operaționale
La sfârșitul lecției elevii vor fi capabili:
O1: Să prezinte oral sau scris, definițiile corpurilor: piramidă, tetraedru, piramidă regulată, tetraedru regulat și să recunoască aceste corpuri.
O2: Să definească și să identifice apotemele unor piramide regulate.
O3: Să cunoască și să aplice relațiile dintre perpendiculare și oblice.
O4: Să calculeze diferite distanțe: înălțimea tetraedrului, apotema tetraedrului, apotema bazei.
O5: Să reproducă formule sau modalități de calcul pentru aria laterală, aria totală și volumul corpurilor remarcabile și să le aplice
O6: Să cunoască unitățile de lungime, arie și volum, precum și relațiile dintre ele.
O7: Să determine elemente (de lungime) ale corpurilor remarcabile, când se cunosc volume și/sau arii.
Strategie didactică:
Metode și procedee didactice: conversația, explicația, exercițiul, problematizarea, învățarea prin descoperire, metoda cubului
Forme de organizare: pe grupe
Mijloace de învățământ: fișe de lucru, caietele elevilor, cub confecționat din carton, tablă, cretă
Forme de evaluare: observarea sistematică a activității și comportamentului elevilor, aprecieri verbale, autoevaluare
Bibliografie:
Corneliu Savu, Gina Caba, Emil Teodorescu, Dan Popoiu, Manual de matematică pentru clasa a VIII-a, Editura Teora, 2000
Gheorghe Iurea, Dorel Luchian, Gabriel Popa, Ioan Șerdean, Aadrian Zanoschi, Evaluare națională 2015, Editura Paralela 45, 2014
Liviu Ardelean, Nicolae Secelean, Didactica matematicii, Editura Universității ”Lucian Blaga”, Sibiu 2007
DESFĂȘURAREA LECȚIEI
Fișe de lucru – metoda cubului
DESCRIE
Descrieți tetraedrul regulat specificând numărul de fețe, numărul de muchii și numărulde vârfuri ale acestuia.
Descrieți suprafața laterală a unui tetraedru regulat.
COMPARĂ
Comparați lungimea înălțimii cu lungimea unei muchii laterale a unui tetraedru regulat, generalizați.
Comparați aria totală, cu aria laterală și cu aria bazei unui tetraedru regulat cu muchia de 4 cm. Ce observați?
ASOCIAZĂ
Se dă tetraedrul regulat de muchie 6 cm. Calculați: apotema bazei (ab), apotema tetraedrului (at), raza cercului circumscris bazei (R), raza cercului înscris bazei (r), aria bazei (Ab).
Asociați cifra corespunzătoare din coloana A cu răspunsul corect din coloana B.
A B
ab a)
at b)
R c) 3
r d)
Ab e)
f) 27
ANALIZEAZĂ
Un tetraedru regulat de muchie 12 cm se secționează cu un plan paralel cu baza la distanța de cm de vârf. Analizează corpurile geometrice obținute și calculează volumul noului tetraedrului obținut.
ARGUMENTEAZĂ
La fiecare din propozițiile de mai jos scrieți ”A” dacă afirmația este adevărată și ”F” dacă afirmația este falsă:
Un tetraedru cu toate muchiile congruente se numește tetraedru regulat.
Dintr-un punct se poate duce pe un plan o perpendiculară și numai una.
Înălțimea teraedrului este înălțimea unei fețe a tetraedrului.
Suma ariilor fețelor laterale ale unui tetraedru se numește aria totală a tetraedrului.
Volumul unui tetraedru este egal cu o treime din produsul dintre aria bazei și înălțime.
Argumentați răspunsul găsit, eventual folosindu-vă de calcule și desen .
APLICĂ
O bucată de rocă sub forma unei piramide triunghiulare regulate VABC de vârf V are lungimea muchiei laterale egală cu 7 cm, iar lungimea înălțimii piramidei este egală cu 1cm.
Aplicând formulele de calcul, calculați:
Aria bazei.
Aria totală.
Volumul piramidei.
BIBLIOGRAFIE
[1] Andonie, George Ștefan, Varia Mathematica, Ed. Tineretului 1969.
[2] Ardelean Liviu, Secelean, Nicolae, Didactica matematicii, Editura Universității ”Lucian Blaga”, Sibiu, 2007
[3] Barbilian, Dan, Opera matematica, EDP, 1966
[4] Bell, Diana, Arie, masă, volum, EDP, București, 1981
[5] Brânzei, Dan, Aniță, Ștefan și Cocea, Constantin, Planul și spațiul euclidian, Ed. Academiei, Bucucurești, 1986
[6] Brânzei, Dan, Onofraș, Eugen, Anița, Sebastian, Isvoranu, Gheorghe, Bazele raționamentului geometric, Editura Academiei, 1983
[7] Chițescu, Ion, Chirița, Marcel, Geometria patrulaterului, Editura Teora, 1998
[8] Cojocariu, Venera, Mihaela, Teoria și metodologia instruirii, EDP, 2002
[9] Colecția Gazeta Matematică 8-9/1990
[10] Corneliu Savu, Gina Caba, Emil Teodorescu, Dan Popoiu, Manual de matematică pentru clasa a VIII-a, Editura Teora, 2000
[11] Daniken, Erich von, Ochii Sfinxului, București, Editura Elensis, 2000
[12] Gheorghe Iurea, Dorel Luchian, Gabriel Popa, Ioan Șerdean, Aadrian Zanoschi, Evaluare națională 2015, Editura Paralela 45, 2014
[13] Graham Hancock, Enciclopedia civilizațiilor, Editura Elis, București, 2003
[14] Hadamarad, Jacques, Lecții de geometrie elementară, Editura, Tehnică, București, 1961
[15] Ionescu, Constantin, Geometria plană și în spațiu pentru admitere, Editura Albatros, 1976
[16] Lalescu, Traian, Geometria triunghiului, Editura Apollo, Craiova, 1993
[17] Lupu, Costică și Săvulescu, Dumitru, Metodica Predării geometriei, Editura Paralela 45, 2000
[18] Miculiță, Mihai, Brânzei, Dan, Analogii triunghi-tetraedru, Editura Paralela 45, 2000
[19] Miculiță,Mihai, Introducere în geometria tetraedrului, Editura Minied, Iași, 1994
[20] Miron, Radu, Brânzei, Dan, Fiundamentele aritmeticii și geometriei, Editura Academiei, 1983
[21] Miron, Radu, Geometria elemntară. EDP, București, 1968
[22] Moise, Edwin, Downs, Floyd, Geometrie, EDP, București, 1983
[23] Moise, Edwin, Geometrie elementară dintr-un punct de vedere superior, EDP, București, 1980
[24] Neagu, Gheorghe, Metode de rezolvare, Ed. Plumb, 1997
[25] Nicolescu, Liviu și Boskoff, Vladimir, Probleme practice de geometrie, Editura Tehnică, 1990
[26] Oprea, Miron, Scurta istorie a matematicii, Editura Premier, Ploiești, 2000
[27] Pascaru, Ion, Nachila Petre, Matematica gimnazială în concursurile școlare, Editura Tiparg, 2005
[28] Popescu, Olimpia, Radu, Valeria, Metodica predării geomtriei în gimnaziu, EDP, București, 1983
[29] Postolică, Vasile, Sinteze din fundamentele matematicii, Editura Matrix Rom, București 1999
[30] Sacară, Liliana, Dumitriu, Iulia-Cristina, Psihopedagogie, sinteze pentru definitivare și gradul didactic II, Editura, Alma Mater, Bacău, 2007
[31] Schule, Bill, Pettit, Edgar, Secretele Marii Piramide, Editura Nova, București, 1994
[32] Turcitu, George, Basarab Constantin, Rizea, Ionică, Duncea, Maria, Chiriac, Ion, Ciungu, Petre, Manual de matematică pentru clasa a VI-a, Editura, Radical, 2007
[33] Țițeica, Gheorghe, Probleme de geometrie, Editura Thenică, Bucrești
[34] www.google.ro/search?q=Precesiunea+si+stele+ce+formeaza+centura+constelatiei+Orion,+fotografie.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Elemente de Metodica Privind Rezolvarea Problemelor Specifice Tratraedrului (ID: 159315)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.