Elemente de Geometrie In Ciclul Primar

Capitolul II

Elemente de geometrie în ciclul primar

II.1. Importanța studierii noținilor de geometrie în ciclul primar

Astăzi, ca și în trecut, geometria se bucură de o mare apreciere atât prin caracterul ei practic cât și prin contribuția pe care o aduce la formarea și dezvoltarea personalității școlarului mic și mai ales prin caracterul ei deductiv.

Din punct de vedere instructiv, studiul sistematic al geometriei în clasele primare urmărește ca elevii să-și însușească un sistem de cunoștințe coerente, bine structurat, despre forma obiectelor, a lumii reale, despre mărimea obiectelor și proprietățile acestora. Noțiunile de geometrie conduc la formarea și dezvoltarea la elevi a reprezentărilor spațiale, a deprinderilor de a aplica practic cunoștințele de geometrie în efectuarea măsurătorilor, stabilirea unor mărimi sau distanțe, calcularea perimetrului, a suprafeței, a volumului.

Caracteristic pentru învățământul primar este faptul că prin predarea geometriei se urmărește îndeosebi ca elevii să-și formeze competențe generale pornind de la observarea obiectelor din realitatea înconjurătoare, care le este accesibilă lor, să-și formeze imagini clare și bine conturate despre formele geometrice plane și completarea acestor imagini cu noțiuni elementare, care să constituie un suport pentru predarea geometriei în clasele următoare și totodată o bază pentru dezvoltarea raționamentului.

Prin activități de observare, construcție, desen, pliere sau măsurare se asigură implicarea multor organe de simț în perceperea figurilor și crearea bazelor intuitive necesare cunoașterii lor științifice. Prin caracterul însușirii lor active, manipulative și iconice aceste cunoștințe promovează intuiția ca bază de predare – învățare. Elevii nu vor rămâne numai la nivelul unor imagini vizuale, ci treptat, ei vor fi conduși să se ridice la unele abstractizări (schematizări) ale figurilor și corpurilor geometrice. Abstractizarea trebuie împinsă dincolo de desen, până la imaginarea formelor plane și spațiale desprinse complet de suportul lor material. Elevii vor fi îndrumați să-și imagineze figura independent de desen și să opereze cu astfel de figuri imaginate.

De exemplu: se va solicita elevilor să-și imagineze linia dreaptă prin prelungirea unei anumite muchii, fie a unui cub, fie a unui dulap din sala de clasă. La operații cu unghiuri, cadrul didactic va urmări ca elevii să alăture sau să așeze unul peste altul unghiurile și „în minte” nu numai cu ajutorul materialului didactic sau prin desen.

Cel mai bun mijloc de înțelegere a noțiunilor de geometrie, de formare corectă a acestor

noțiuni este descoperirea de către elevi a proprietăților figurilor și formelor geometrice. Dacă elevii „descoperă” prin observarea figurilor geometrice proprietatea, atunci desigur ei au înțeles-o. Ținând seama de caracterul concret al gândirii elevilor, descoperirea proprietăților se va realiza cel mai ușor prin observarea unor exemple tipice. În mod treptat, elevii se vor desprinde de contactul cu realitatea obiectivă și vor putea studia figurile/formele fără ca ele să fie întotdeauna legate nemijlocit de exemple concrete. Cu alte cuvinte, observația simplă cu care elevii sunt deprinși încă de la grădiniță, va continua în clasele pregătitoare, I și a II-a și treptat trebuie transformată într-o observare critică, astfel încât să se deschidă calea spre raționamentul geometric, specific geometriei moderne.

Geometria ca știință a parcurs o cale lungă de dezvoltare de la primele reguli practice de calculare a ariilor și volumelor deduse din experiență (care aparțin antichității) până la forma de știință bine structurată într-un sistem strict logic.

În dezvoltarea istorică a geometriei se disting următoarele etape:

Geometria empirică a popoarelor antice;

Geometria preeuclidiană;

Geometria lui Euclid;

Geometria modernă.

Cele mai vechi urme ale geometriei se găsesc în Egiptul antic și Babilon, în jurul anului 3000 î. Hr. și începuturile acestei științe au fost marcate de o colecție de principii empirice în legătură cu lungimea, unghiul, aria și volumul, care au fost dezvoltate pentru a fi puse în practică în construcții, astronomie și alte științe.

Prin lucrarea sa „Elemente”, Euclid (325- 265 î. Hr.) realizează o revoluție în gândirea geometrică și științifică în general: abordarea logică și riguroasă.

În Renaștere, în locul „Elementelor” lui Euclid, au fost publicate lucrări mai accesibile pentru învățământ, datorate diverșilor pedagogi ai vremii.

Primul sistem axiomatic complet al geometriei a fost elaborat de D. Hilbert, în 1899.

Pentru a înțelege o astfel de construcție logică se cere o gândire matură, bine structurată și atent exersată. Tocmai de aceea este limpede că un curs de geometrie pur deductiv sau axiomatic nu poate fi predat în școala primară. De aceea la nivelul învățământului primar geometria are un caracter apropiat de cel empiric și este împletită cu probleme de calcul, fiind încorporată în aritmetică.

II.2. Scopul învățării noțiunilor de geometrie în clasele primare

Predarea-învățarea noțiunilor de geometrie în ciclul primar are drept scop principal dezvoltarea reprezentărilor spațiale la copii, necesare în clasele următoare pentru însușirea sistematică și logică a geometriei, deci o bază reală și sigură pentru dezvoltarea raționamentului privind formele spațiale ale materiei.

Prin natura și caracterul lor, cunoștințele de geometrie impun un tip de învățare inițială dominant intuitivă. Aceasta nu înseamnă că elevii nu vor rămâne numai la nivelul unor imagini vizuale, ci treptat, trebuie conduși să realizeze operații de abstractizare și generalizare necesare înțelegerii proprietăților și relațiilor existente, specifice formelor geometrice plane și spațiale studiate.

Studiul geometriei în clasele primare implică dobândirea de competențe generale de către elevi, bine structurate, despre formele obiectelor lumii reale, mărimea și proprietățile acestora de a efectua măsurători, de a stabili mărimi și distanțe, de a calcula, a defini corect noțiunile și elementele care să constituie apoi fundament pentru învățarea în clasele următoare a cursului sistematic și logic al geometriei.

Geometria are pentru elevii claselor primare un pronunțat caracter educativ prin aportul ei la dezvoltarea facilităților mintale și prin valențe formative. Ea are o contribuție valoroasă la formarea spiritului de observație, la rafinarea operațiilor de analiză și sinteză vizând legăturile dintre proprietățile formelor geometrice plane și spațiale, orientate progresiv spre redescoperirea relațiilor din structura figurilor precum și formarea conduitei rezolutive vizând construcția de noi căi de rezolvare a problemelor sau de verificare a adevărurilor matematice (geometrice).

II.3. Structura Programei școlare la matematică în învățământul primar

Trecerea sistematică de la învățământul instructiv la cel de modelare a capacităților intelectului a impus elaborarea prezentului curriculum de matematică pentru învățământul primar, ca o continuitate a curriculum-ului pentru învățământul preșcolar și ca o bază pentru învățământul gimnazial.

Proiectarea Curriculum-ului de matematică s-a realizat conform următoarelor principii:

asigurarea continuității la nivelul claselor și ciclurilor de învățământ;

actualitatea informațiilor predate și adaptarea lor la nivelul de vârstă al elevilor;

diferențierea și individualizarea predării-învățării;

corelarea transdisciplinară și interdisciplinară (eșalonarea optimă a conținuturilor matematice corelate cu disciplinele reale pe arii curriculare, asigurând-se coerența pe verticală și orizontală);

delimitatea unui nivel obligatoriu de pregătire matematică a tuturor copiilor și profilarea posibilităților de avansare în învățare și obținerea de noi performanțe.

Acest curriculum are drept obiectiv crearea de condiții favorabile fiecărui elev de a asimila materialul într-un ritm propriu, individual, de a-și transfera cunoștințele/competențele acumulate dintr-o zonă în alta. Astfel, accentele induse de finalitățile învățământului primar vizează următoarele:

schimbări în abordarea conținuturilor: trecerea de la o aritmetică teoretică la o varietate de contexte problematice care generează aritmetică, în care activitatea pentru rezolvarea de probleme prin tatonări, încercări, implicare activă în situații practice și căutarea de soluții dincolo de cadrul strict al celor învățate capătă o importanță deosebită;

schimbări în ceea ce privește ceea ce se așteaptă de la elevi: aplicarea mecanică a unor algoritmi se va înlocui cu elaborarea și folosirea de strategii în rezolvarea de probleme;

schimbări la nivelul tipurilor de învățare solicitate: transferarea accentului de pe activități de memorare și repetare la activități de explorare – investigare, stimularea atitudinii de cooperare;

schimbarea perspectivei de predare: schimbarea rolului învățătorului de la transmițător de informații la cel de creeare de activități variate de învățare pentru toți copiii, în funcție de nivelul și ritmul propriu de dezvoltare al fiecăruia;

schimbări în evaluare: trecerea de la subiectivismul și rigurozitatea notei la transformarea evaluării într-un mijloc de autoapreciere și stimulare a copilului.

În contextul celor prezentate anterior, rămâne valabilă o maximă de acum 2000 de ani a lui Plutarh: „Capul copilului nu este un vas pe care să-l umpli, ci o făclie pe care să o aprinzi, astfel încât, mai târziu să lumineze cu lumina proprie”.

Începând cu anul școlar 2012- 2013 ciclul primar este format din cinci clase, împărțite pe două cicluri de învățământ: ciclul achizițiilor fundamentale care cuprinde clasa pregătitoare, clasa I și clasa a II-a și ciclul de dezvoltare care cuprinde clasele a III-a și a IV-a și două clase din învățământul gimnazial.

O dată cu integrarea clasei pregătitoare în școală Programa școlară s-a modificat. Astfel pentru clasele pregătitoare, I și a II-a avem disciplina școlară numită Matematică și explorarea mediului, programa pentru această disciplină a fost elaborată având la bază un nou model de proiectare curriculară, centrat pe competențe. Construcția programei este realizată astfel încât să contribuie la dezvoltarea profilului de formare al elevului din ciclul primar. „Din perspectiva disciplinei de studiu, orientarea demersului didactic pornind de la competențe, permite accentuarea scopului pentru care se învață și a dimensiunii acționale în formarea personalității elevului.” (13)

Structura Programei școlare pentru disciplina Matematică și explorarea mediului cuprinde:

notă de prezentare, competențe generale, competențe specifice și exemple de activități de învățare, conținuturi, sugestii metodologice.

Competențele generale sunt ansambluri structurate de cunoștințe, abilități și atitudini dezvoltate prin învățare, care permit rezolvarea de probleme specifice unui domeniu sau a unor probleme generale în contexte particulare, diverse.

Competențele specifice sunt derivate din competențele generale, reprezintă etape în dobândirea acestora și se formează pe parcursul unui an școlar.

Conținuturile învățării se constituie din inventarul achizițiilor necesare elevului pentru alfabetizarea cu elemente de bază ale celor două domenii integrate: matematică și explorarea mediului. Astfel ele sunt grupate pe următoarele domenii:

Numere;

Figuri și corpuri geometrice;

Măsuri;

Date;

Științele vieții;

Științele Pământului;

Științe fizice.

Disciplina Matematică și explorarea mediului are un caracter de noutate în raport cu disciplinele studiate până acum în clasele I și a II-a din învățământul primar. „Principalele motive care au determinat abordarea integrată a matematicii și a unor elemente de științe ale naturii în cadrul aceleiași discipline sunt următoarele:

o învățare holistică la această vârstă are mai multe șanse să fie interesantă pentru elevi, fiind mai apropiată de universul lor de cunoaștere;

contextualizarea învățării prin referirea la realitatea înconjurătoare sporește profunzimea înțelegerii conceptelor și a procedurilor utilizate;

armonizarea celor două domenii: matematică și științe ale naturii permite folosirea mai eficientă a timpului didactic și mărește flexibilitatea interacțiunilor.” (14)

Noua programă școlară pentru clasele a III-a și a IV-a are un rol important în dezvoltarea abilităților și dorinței elevilor de a utiliza moduri matematice de gândire logică și spațială, corespunzătoare nivelurilor de vârstă pentru rezolvarea unor probleme din mediul apropiat, astfel: – realizarea unor calcule elementare cu ajutorul numerelor;

– identificarea unor relații / regularități;

explorarea caracteristicilor geometrice ale unor obiecte;

utilizarea unor etaloane pentru măsurări și estimări.

II.3.1. Competențe generale / competențe specifice privind elementele de geometrie în ciclul achizițiilor fundamentale

Sintetizând într-o viziune pedagogică competențele generale prevăzute în programa în vigoare pentru predarea-învățarea elementelor de geometrie în ciclul achizițiilor fundamentale, se poate afirma că acestea au în vedere următoarele:

Evidențierea caracteristicilor geometrice ale unor obiecte localizate în spațiul înconjurător;

Identificarea unor fenomene / relații / regularități / structuri din mediul apropiat;

Generarea unor explicații simple prin folosirea unor elemente de logică;

Rezolvarea de probleme pornind de la sortarea și reprezentarea unor date.

Din competențele generale derivă competențele specifice, acestea din urmă reprezintă etape în dobândirea primelor și se formează pe parcursul unui an școlar. Astfel pentru ciclul achizițiilor fundamentale, în vederea formării competențelor generale sunt propuse următoarele competențe specifice:

clasa pregătitoare:

clasa I

clasa a II-a

II.3.2. Competențe generale / competențe specifice privind elementele de geometrie în ciclul de dezvoltare

Ciclul de dezvoltare cuprinde clasele a III-a și a IV-a. Noua Programă școlară, sub aspect tematic, prevede că elevii vor intra în contact cu noi elemente de geometrie și reprezentări grafice diverse. Această programă școlară va intra în vigoare începând cu anul școlar 2015-2016.

Competențele generale prevăzute de aceasta sunt:

1. Identificarea unor relații/ regularități din mediul apropiat

2. Utilizarea numerelor în calcule elementare

3. Explorarea caracteristicilor geometrice ale unor obiecte localizate în mediul apropiat

4. Utilizarea unor etaloane convenționale pentru măsurări și estimări

5. Rezolvarea de probleme pornind de la situații familiare.

Competențele specifice prevăzute sunt:

clasa a III-a

clasa a IV-a

Din lecturarea acestor competențe specifice se desprind câteva cerințe metodice fundamentale în predarea- învățarea elementelor de geometrie:

noțiunile de geometrie vor fi învățate prioritar prin procese intuitive și formate inițial pe cale inductivă;

cunoștințele de geometrie vor fi predate și învățate în spiritul rigorii științifice;

corectitudinea limbajului specific geometriei și consecvența utilizării lui în toate împrejurările;

cunoștințele de geometrie trebuie să fie funcționale adică să poată fi aplicate și transferate eficient în orice situație de mediu, teoretică sau practică.

În acest sens, funcționalitatea cunoștințelor, deprinderilor și priceperilor geometrice trebuie să determine elevului comportamente corespunzătoare, generate de:

•necesitatea cunoașterii spațialității înconjurătoare din punct de vedere al formei și mărimii;

•orientarea în mediul ambiant și reprezentarea (de exemplu referitor la drumul casă-școală);

•rezolvarea corectă a problemelor de geometrie în fața cărora ar putea fi pus elevul, de multiple situații din viața de zi cu zi (efectuarea de măsurători, calcule de lungimi, perimetre, arii).

Noțiunile de geometrie vor fi predate prioritar prin procese intuitive și formate inițial pe cale inductivă. Această cerință impune ca studiul elementelor de geometrie să înceapă cu cercetarea directă (văz, pipăit, manipulare) a mai multor obiecte din lumea reală, situate în diferite poziții în spațiul înconjurător, cu material didactic atractiv și sugestiv, cu figuri geometrice plane, toate realizate ca machete ce reprezintă corpul geometric ca în realitate, în vederea sesizării (descoperirii) acelor caracteristici comune care conturează imaginea geometrică materializată.

Treptat aceeași figură geometrică va fi reprezentată prin bețișoare, vergele, cu ajutorul cărora se vor pune în evidență laturile, diagonalele, unghiurile și relațiile dintre ele și numai după aceea se va trece la desenul propriu-zis al figurii respectiv corpului geometric.

Desenul reprezintă o detașare a imaginii geometrice de obiectele materiale care o generează. Concretizarea prin desen a imaginii geometrice se realizează la tablă cu instrumente de geometrie, iar elevii o execută pe caiete tot cu ajutorul instrumentelor.

Este foarte important ca această concretizare prin desen să se facă în cât mai multe poziții pentru a nu crea limite în recunoașterea ei. Aceste concretizări pot fi completate cu prezentarea unor planșe întocmite special pentru aceasta. Imaginea geometrică concretizată prin desen este apoi proiectată în limbajul geometriei și apare astfel noțiunea geometrică.

Noțiunile primare de geometrie învățate în ciclul primar nu pot fi gândite de elevi ca abstracții depline, deoarece ei nu le pot concepe desubstanțializate.

Pe baza limbajului geometric, și prin apel la experiența perceptivă a elevilor, învățătorul va contura imaginea geometrică a noțiunii considerate și în alte situații din realitatea exterioară clasei, altele decât cele cercetate de elevi.

Se va observa, de asemenea, că, pe măsură ce sunt dobândite elementele fundamentale de bază ale geometriei (punctul, dreapta, planul) elevul va urca spre stadiul înțelegerii și asimilării unor figuri geometrice mai complicate, poligoanele: dreptunghiul, pătratul, triunghiul, paralelogramul, trapezul, rombul. Alături de procesele intuitive, predarea-învățarea presupune și acțiuni de măsurare efectivă a acestora, de comparare a rezultatelor, decupări de figuri, descompuneri ale figurii. Astfel, înainte de a preda noțiunile de geometrie propriu-zise, se vor preda unitățile de măsură cu multiplii și submultiplii corespunzători, insistând asupra transformărilor ce se pot efectua, deoarece acestea le vor fi necesare în rezolvarea exercițiilor și problemelor de geometrie. Micile inexactități care apar în procesul de măsurare și relativitatea unora dintre rezultatele obținute pot fi puse pe seama lipsei de îndemânare a copiilor sau al imperfecțiunea instrumentelor de măsurare. Explicațiile date de învățător cu privire la așezarea instrumentelor și la poziția din care trebuie făcută citirea rezultatului măsurării și eventualele reluări ale procesului de măsurare, cu admiterea unor aproximări (la mm, în foaia de caiet), vor convinge elevii asupra valorii concluziilor scoase de ei în lecție pe baza figurilor studiate.

Cu privire la instrumentele de geometrie (rigla și echerul), este necesar ca elevii să-și formeze deprinderi de folosire corectă și rapidă a acestora. Trasarea de drepte, segmente, unghiuri, drepte perpendiculare, drepte paralele, dreptunghiuri, pătrate, romburi, în diverse poziții în plan (tabla, foaia de hârtie) și realizarea de măsurări trebuie să fie executate cu precizie și rapid.

Referitor la desen, este necesar efectuarea lui numai cu instrumentele, atât la tablă cât și în caiete. Acuratețea desenului este o cerință importantă, la care se adaugă elementele de expresivitate, adică folosirea cretei colorate, trasări discontinui, pentru a pune în evidență anumite părți ale figurii care prezintă interes în planul înțelegerii noțiunii geometrice.

În utilizarea materialului didactic se impun atenției câteva condiții pe care trebuie să le îndeplinească atât modelul confecționat, cât și modul în care este folosit de învățător și elevi:

Materialul confecționat va avea dimensiuni suficient de mari pentru a fi văzute cu claritate din orice punct al clasei precum și o construcție clară, satisfăcând condițiile estetice.

De exemplu: un material confecționat din vergele rigide sau elemente de carton care în timpul folosirii s-ar dezmembra (fără a intenționa acest lucru), ar crea perturbări și ar distrage atenția elevilor de la conținutul obiectivului urmărit.

Materialul didactic trebuie să fie expresia fidelă a ceea ce trebuie să reprezinte, să contribuie la ușurarea transpunerii în desen a figurii geometrice studiate, a elementelor sale și a relațiilor ce există între ele (de mărime, de paralelism, de perpendicularitate).

Materialul didactic trebuie să se adreseze elevilor respectând însă particularitățile lor de vârstă; cu cât aceștia sunt mai mici se impune ca el să fie mai atractiv, dar simplu, amănuntele fără interes științific să nu intre în câmpul atenției elevilor, rămânând elemente ale fondului perceptiv.

O insuficientă valorificare a materialului didactic duce la însușirea formală a cunoștințelor, influiențând negativ procesul formării reprezentărilor spațiale.

O folosire în exces a materialului didactic duce la o saturație perceptivă, la repetare de observații cu amplificări nefirești, uneori chiar la observații inutile, ceea ce ar abate atenția elevilor de la scopul observațiilor și intuițiilor, afectând modul de utilizare a timpului, producând greutăți în realizarea generalizărilor, a însăși imaginii geometrice.

Aceste atenționări conduc la sublinierea faptului că nu abundența de material didactic determină succesul lecției, ci competența învățătorului în alegerea unui material didactic reprezentativ, de natură să asigure cercetarea inductivă și asimilarea cunoștințelor geometrice propuse.

Cunoștințele de geometrie vor fi predate și învățate în spiritul rigurozității geometriei.

Deși suportul de bază al predării și învățării elementelor de geometrie în clasele pregătitoare -IV este cel intuitiv, sistemul cunoștințelor de geometrie asimilate de elevi trebuie să corespundă rigurozității geometriei. În primul rând pentru că ele trebuie să reprezinte elemente corecte ale cunoașterii matematice, servind elevului în orientarea și rezolvarea problemelor de adaptare în spațiul înconjurător. În al doilea rând, pentru că toate aceste cunoștințe geometrice vor sta la baza continuității studiului geometriei în clasele următoare, servind treptat la formarea temeinică a conceptelor geometriei în sistematica conduitei matematice a elevilor.

De exemplu formarea noțiunii de dreaptă: pentru aceasta se pornește de la observarea unor modele mărginite, dar învățătorul trebuie să dirijeze formarea ei astfel încât treptat elevul s-o imagineze cu atributul său, nemărginirea. Începând cu clasa a III-a prin revenirea asupra unor întrebări de felul: ,,Se poate prelungi porțiunea de dreaptă desenată cu rigla pe tablă, dacă am gândi tabla tot mai mare?” ,,Dacă la desenul trasat cu ajutorul riglei am fixa capete, ce am obține?” ,,Dreapta are capete?” ,,Putem desena toate punctele unei drepte?” ele ne pot servi eficient scopului inițial propus.

Unele dintre întrebările considerate presupun formată noțiunea de punct, care se formează în paralel cu noțiunea de dreaptă, în ordinea dreaptă, punct. Intuirea ,,punctului” poate începe cu faza de concretizare prin desen, ca fiind urma lăsată pe hârtie de vârful creionului bine ascuțit sau de cretă pe tablă.

De aici, copilul va înțelege că dreapta concretizată prin desen, este formată din punctele pe care vârful creionului, cretei, sprijinit pe riglă și aflat în mișcare, le lasă pe hârtie, tablă. El va mai înțelege că segmentul concretizat prin desen este format din puncte, iar extremitățile sunt primul și ultimul punct al concretizării.

Este necesar de adăugat două cerințe importante referitor la limbajul geometric, definit prin două proprietăți simple: corectitudinea și consecvența folosirii lui.

În acest sens, învățătorul trebuie să utilizeze corect limbajul simbolic:

-,,punctele se notează cu litere mari ale alfabetului”;

Fig. 1

x A -citim: punctul A . B -citim: punctul B

-,,dreptele se notează cu litere mici ale alfabetului” sau ,,AB”, dacă A și B sunt două puncte distincte ale dreptei:

Fig. 2

-citim: dreapta d -citim: dreapta AB

d A B

-,,unghiul determinat de semidreptele OA, OB se notează ,,AOB” sau ,,BOA”, iar citirea se face prin verbalizarea literelor respective, de la stânga la dreapta”:

Fig. 3 A

-citim: unghiul AOB

O

B

-,,notarea unui poligon se face cu ajutorul literelor mari atribuite vârfurilor, într-o succesiune rezultată din parcurgerea vârfurilor ca și când acestea ar fi pe un cerc, iar cercul este parcurs într-un anumit sens; citirea se face tot de la stânga la dreapta”:

Fig. 4 A E B -citim poligonul ABCDE

C D

Atenție deosebită trebuie să se acorde și exprimărilor nesimbolice din limbajul geometric, deoarece nivelul corectitudinii lor evidențiază nivelul conștientizării cunoștințelor de geometrie. De exemplu vor fi corectate exprimările de felul: ,,aceasta este o linie”, în loc de ,,aceasta este o linie dreaptă” AB; sau ,,acesta este un segment” în loc de ,,acesta este un segment de dreaptă MN”.

Cunoștințele de geometrie trebuie să fie funcționale. Pornind de la obiectivele predării și învățării elementelor de geometrie în ciclul primar se va constata că, în mod firesc, acestea au în vedere ca, în ansamblul ei, pregătirea geometrică a elevilor să vizeze asimilarea de cunoștințe, formarea de capacități și deprinderi, precum și înzestrarea cu instrumente științifice, în baza cărora elevul să poată înțelege și acționa eficient asupra mediului înconjurător, atât sub raportul organizării, cât și al cunoașterii lui tot mai adâncite.

O altă cerință de bază a activității didactice în predarea-învățarea elementelor de geometrie o constituie necesitatea de a sensibiliza gândirea elevilor spre acele cunoștințe și abilități geometrice care sunt funcționale, adică spre acele cunoștințe ce pot fi aplicate și transferate eficient în orice situație de mediu (teoretică sau practică). În acest sens, funcționalitatea cunoștințelor, deprinderilor și priceperilor geometrice trebuie să determine la școlarul din ciclul primar comportamente corespunzătoare, generate de: necesitatea cunoașterii spațialității proxime sub raportul formei și mărimii; orientarea în spațiul ambiant și reprezentarea acestui spațiu, de exemplu orientarea și reprezentarea relative la drumul casă-școală; alegerea drumului celui mai convenabil în deplasarea reală; rezolvarea corectă a problemelor date de învățător, manual, culegeri sau de multiplele situații reale: efectuarea de măsurători, calcule de lungimi, perimetre.

În această ordine de idei trebuie reținut că:

abilitatea practică de a ști, a putea să rezolvi probleme se capătă prin exercițiu, prin

studiu pe modele reale sau create, printr-o activitate îndrumată, printr-o activitate de grup și în mod obligatoriu printr-o activitate personală;

activitatea de rezolvare de probleme asigură și consolidarea cunoștințelor de geometrie, realizând deschideri în planul motivațiilor favorabile continuării studiului, dezvoltării pe mai departe a rafinamentului gândirii geometrice.

II.4. Predarea –învățarea elementelor de geometrie în clasele P- IV

II.4.1. Intuitiv și logic în predarea – învățarea elementelor de geometrie

Geometria, spre deosebire de celelalte discipline matematice, oferă elevilor posibilitatea perceperii directe a obiectelor lumii reale sau a imaginilor care reprezintă aceste obiecte.

În afară de metoda deductivă, care constă în descoperirea adevărurilor pe baza raționamentului logic ipotetico-deductiv, unele proprietăți ale figurilor geometrice sunt puse în evidență și conștientizate de elevi prin intuiție. În clasele P- IV, programa prevede introducerea noțiunilor de geometrie, segment, linie, câteva din figurile geometrice, prin intuiție. Prin această cerință se înțelege că elevul trebuie dirijat să conștientizeze (înțeleagă) și să asimileze enunțurile de bază, cum sunt: ce este perimetrul unei figuri, care sunt proprietățile specifice ce se pot stabili între elementele unei figuri geometrice, prin intuiție, adică prin participarea nemijlocită a elevului la descoperirea (prin deducere) și stabilirea definițiilor și proprietăților figurilor cu care fac cunoștință. Dar, așa cum se simte nevoia exprimării și transpunerii în scris a ,,cuvintelor”, a ,,numerelor”, a anumitor operații și în geometrie această exprimare devine la fel de necesară.

În geometrie desenul este de o importanță covârșitoare, rațiune pentru care încă de la primele clase construcția figurilor trebuie să constituie o verigă importantă a structurii lecțiilor cu conținut geometric. Construcția unei figuri geometrice are avantajul că prezintă prin câteva linii forma figurilor, sugerează relații între elementele lor, pe baza cărora elevii sunt puși să descopere alte proprietăți, care apoi, se pot verifica prin raționament.

Dacă pentru un adult desenul pare a fi explicit și i se pare normal să reprezinte prin desen o anumită figură, pentru elevi, de multe ori, desenul realizat apare ca fiind fără o legătură directă cu modelul pe care-l reprezintă, adică nu le spune nimic. De aceea se impune ca începând cu primele clase, lecțiile cu conținut geometric să se realizeze pe baza lucrului cu obiecte concrete, cu material didactic, cu figuri geometrice plane, toate realizate ca machete. Treptat aceeași figură va fi reprezentată prin vergele, în care se pun în evidență laturi, diagonale, unghiuri și relații dintre ele și numai de la această formă se va trece la desenul propriu-zis al figurii (corpului geometric). Desenul trebuie mai întâi să fie explicat, pentru ca fiecare segment trasat să-și găsească corespondentul în modelul real alăturat.

Elevii nu trebuie să rămână la faza imaginilor vizuale, ci, pe măsura dezvoltării gândirii, să ajungă la abstractizări și generalizări, continuându-se procesul cu utilizarea raționamentului deductiv.

Predarea-învățarea noțiunilor de geometrie în clasele primare impune ca necesare câteva precizări:

Elevii nu trebuie să învețe definițiile pe de rost. Definițiile și proprietățile figurilor se vor

deduce din analiza modelelor. În multe cazuri nici nu se poate da o definiție strict logică și aceasta deoarece elevii fac cunoștință cu noțiunea specie mai înainte de noțiunea gen.

De exemplu: dreptunghiul se studiază înaintea paralelogramului și se vor pune în evidență următoarele proprietăți: congruența laturilor opuse, apoi după studiul paralelogramului, în clasa a IV-a elevii vor putea defini dreptunghiul ca paralelogramul cu un unghi drept.

La studierea figurilor geometrice învățătorul va folosi prioritar activitatea individuală a elevilor, sugestiile și ideile acestora.

Elevii vor construi figura, vor examina și descompune imaginea acesteia. Învățătorul le va prezenta cazuri variate și poziții variate și nu se va rezuma numai la studierea unui caz particular. Folositoare sunt modelele mobile, care permit elevilor să înțeleagă și să rețină proprietățile figurilor.

Toate observațiile și concluziile vor avea la bază intuiția și experiența elevilor, raționamentul de tip analogic și inductiv, dar și elemente de deducție atât de necesare dezvoltării gândirii elevilor. Ca bază pentru concluzii nu trebuie să se folosească o singură experiență. Pentru aceasta, elevii trebuie orientați să observe, să compare și să generalizeze cu precauție, știut fiind faptul că, de regulă, concluzia rezultată dintr-un caz particular poate fi greșită.

Primul element strict logic pe care îl întâlnesc elevii este definiția. Învățătorul va trebui să acorde atenția necesară pregătirii și înțelegerii noțiunii de definiție. Pentru ca elevii să atingă stadiul înțelegerii și formulării definițiilor vor fi îndrumați să distingă tocmai acele proprietăți esențiale ale obiectelor care constituie elemente structurale ale definiției noțiunii. Se vor avea în vedere acele elemente care-i aparțin, care exprimă genul proxim și apoi elementele care precizează diferența specifică.

Prin lecțiile de geometrie se va urmări ca un număr cât mai mare de cunoștințe să poată fi folosite în activitatea următoare la geometrie, dar și la alte discipline cuprinse în noul curriculum școlar.

Se impune ca unele cunoștințe cu conținut geometric să fie descoperite de elevi prin activitatea lor practică. Se va avea în vedere ca elevii: să știe să definească o figură; să formuleze corect proprietățile unei figuri; să deosebească figurile între ele după aceste proprietăți; să stabilească asemănările și deosebirile dintre figurile geometrice prin activități proprii conduse de învățător.

Unul din principiile învățării geometriei, conform căruia, ,,atunci când avem de predat o ramură a științei (sau o teorie sau un concept), trebuie procedat în așa fel încât, în procesul de învățare, copilul să parcurgă în mintea lui etapele principale ale evoluției intelectuale ale speciei umane.

Nu este vorba, desigur, să-l facem să repete în detaliu o mie și una de erori ale trecutului,

ci numai etapele principale ale evoluției”. (16)

Pentru a sublinia și mai mult corelația care trebuie să existe între planul intuiției și planul logic în predarea și învățarea elementelor de geometrie trebuie amintite și unele concluzii ale psihologiei, epistemologiei și didacticii moderne.

Cercetările psihologice moderne asupra dezvoltării și învățării au ajuns la ideea-cadru conform căreia evoluția psihomentală a copilului se realizează stadial, fiecare perioadă cuprinzând un interval variabil de câțiva ani, fiecărui stadiu fiindu-i specifice anumite particularități, deci și anumite strategii formative. În cadrul stadialității psihologice, școlarii claselor I-IV parcurg de fapt două stadii:- unul de la 4 la 7 ani și cel de la 7 la 11 ani pentru care există câteva trăsături caracteristice. Astfel, în stadiul preoperațional, de la 4 la 7 ani, crește capacitatea actelor de percepție asupra realității mediului ambiant și sferei acțiunilor proprii, prezența intuiției fiind logică și având statut de factor al gândirii cu sprijin efectiv pe imagini. În a doua jumătate a acestui studiu, percepția dirijată poate conduce la generalizări, la apariția incipientă a unor elemente de logică, precum și la operații logice eficiente.

Stadiul ,,operațiilor concrete”, 7-11 ani, este caracterizat de faptul că acum copilul ajunge la coordonarea mobilă și reversibilă a activității mentale, deși funcționarea acestei activități continuă să aibă ca suport intuiția. În această perioadă devin posibile unele clasificări, ierarhizări, sintetizări, generalizări și abstractizări matematice, se dobândește conceptul de număr natural, se formează operațiile fundamentale în mulțimea numerelor naturale dar, cu toate acestea, operațiile mentale încă au nevoie de suportul acțiunilor directe cu obiecte reale.

Ținând seama de natura concretă a operațiilor mentale rezultă că pentru a determina asimilarea temeinică a cunoștințelor de geometrie prevăzute de programă trebuie să se pornească de la manipularea și cercetarea obiectelor materiale corespunzătoare și nu la enunțuri verbale. Încă din secolul trecut, un dialectician afirma: ,,ca și noțiunea de număr, noțiunea de figură este luată exclusiv din lumea exterioară și nu s-a născut în cap din gândire pură. Trebuie să fi existat obiecte care să aibă anumite forme, pe care omul să le compare între ele înainte de a se fi putut ajunge la noțiunea de figură”. (17)

Pornind de la faptul că activitatea de învățare este esențial o activitate de cunoaștere, iar cunoașterea științifică urmează o dialectică specifică, didactica generală a asimilat și promovează o nouă viziune asupra legităților instruirii școlare, inclusiv asupra celor aplicate geometriei.

Astfel, în domeniul principiilor didactice, principiul intuiției, stabilit de I.A. Comenius ca ,,regula de aur” a didacticii, și care exprimă cerința ca ,,însușirea cunoștințelor de către elevi să se bazeze pe contactul nemijlocit cu obiectele (fenomenele lumii reale sau imaginile acestora) este în prezent formulat ca principiul interdependenței dintre senzorial și rațional, dintre concret și abstract. Percepțiile, imaginile intuitive nu sunt simple impresii senzoriale care se nasc în contact cu realitatea, ci rezultatul unui proces complex și unitar la care își aduc contribuția atât formele cunoașterii senzoriale, cât și formele cunoașterii raționale.

Acest principiu al didacticii, a cărei bază științifică este justificată atât de ,,calea dialectică a cunoașterii”, cât și de ,,caracterul intuitiv-concret al gândirii școlarului”, cere ca predarea și învățarea elementelor de geometrie la clasele I-IV să se realizeze în conformitate cu însăși baza sa științifică și logică.

De aceea, cunoașterea și dobândirea elementelor de geometrie trebuie să înceapă cu procese de intuire, adică cu perceperea nemijlocită a mai multor cazuri particulare de obiecte care evidențiază materializat noțiunea de figură geometrică ce urmează să fie detașată. Apoi, cu ajutorul cuvântului, printr-o dirijare atentă a observației, se va ajunge la ceea ce este esențial în actul percepției. Noțiunea geometrică se convertește în limbaj matematic. Apoi, de la suportul material al noțiunilor de geometrie se trece la concretizarea acestora prin desen, ceea ce reprezintă un prim pas pe drumul către abstractizarea acestor noțiuni.

Intuiția geometrică și calea inductivă (calea observării și cercetării mai multor cazuri particulare), folosite în predarea și învățarea elementelor de geometrie, nu sunt și nu trebuie să devină scopuri în sine, ci mijloace pentru atingerea scopului propus. În prima etapă se are în vedere asimilarea conștientă sub raport concret a noțiunilor geometrice, iar în etapa următoare deplasarea acestora prin procese semiconcrete (adică reprezentări prin desen) spre zona operațiilor și gândirii logice.

Practica educațională arată că după ce elevii au asimilat activ primele noțiuni de geometrie, spre exemplu dreapta, sfera logică a gândirii facilitează învățarea altor noțiuni geometrice implicate logic de prima noțiune, semidreapta, segmentul, unghiul. Punctul de pornire este tot intuiția, dar care, progresiv, se ridică la planul imaginilor, al reprezentării noțiunii care implică și realizează apoi descoperirea noilor noțiuni prin reprezentarea materializată în natura înconjurătoare. Evident că pentru descoperirea noțiunilor ,,implicate” se poate urma și calea de descoperire a noțiunilor, dar dificultățile cresc.

Noțiunile de geometrie descoperite prin procese de intuiție și raționament inductiv trebuie să parcurgă la școlarul mic drumul care duce de la imaginea materializată a noțiunii la imaginea concretizată prin desen a noțiunii și apoi la imaginea fixată prin limbaj.

Nu se poate aștepta însă ca, la această vârstă, elevii din clasele P- IV să poată abstractiza deplin noțiunile de geometrie, deoarece ei nu pot gândi fără corespondentul lor real. Elevii trebuie să ajungă treptat, pe măsura gândirii lor operative și a dobândirii cunoștințelor de geometrie, la stadiul utilizării raționamentului deductiv.

Chiar din clasele II-IV, elevii pot fi pregătiți pentru a putea înțelege un element logic important cum este definiția. Pentru aceasta ei vor fi îndrumați să distingă notele esențiale ale obiectelor, să conștientizeze definiția, clasele de figuri geometrice și, de aici, să sesizeze anumite operații logice. Relația intuitiv-logic în predarea și învățarea elementelor de geometrie în ciclul primar determină și necesitatea folosirii în lecții a unor materiale didactice sau mijloace de învățământ adecvate. Materialele prezente în mediul clasei și nu numai din acest mediu, planșe reflectând concretizarea prin desen a noțiunilor, desenele executate pe tablă, modelele confecționate din materiale rigide care materializează noțiunea, instrumente de geometrie și altele, dozate și utilizate rațional, vor contribui la învățarea temeinică a cunoștințelor de geometrie.

II.4.2. Formarea conceptelor geometrice

Cerințele metodice prezentate sunt de natură să sintetizeze și să sugereze, pe de o parte anumite faze ale procesului de formare a noțiunilor geometrice iar, pe de alta, nevoia unui ansamblu de metode și procedee ale procesului predării și învățării geometriei.

Sistemica procesului de formare și mai ales de învățare, a noțiunilor de geometrie s-ar putea configura astfel:

Intuirea obiectelor care evidențiază materializat noțiunea (figura), cu dirijarea atenției elevilor către ceea ce interesează să fie observat.

Observarea proprietăților caracteristice evidențiate de obiectele intuitive.

Compararea și analizarea proprietăților pe un material didactic care materializează noțiunea.

Reprezentarea prin desen a noțiunii materializate de obiecte și materialul didactic: se indică elementele componente stabilite prin observare directă, se fac notații, se evidențiază din nou proprietățile caracteristice.

Formularea definiției (prin analiza genului proxim și a diferenței specifice) sau stabilirea proprietăților caracteristice care intră în conținutul noțiunii (figurii) și proiectarea acesteia în limbajul geometriei.

Identificarea noțiunii (figurii) și în alte situații corespondente din mediul înconjurător.

Construirea materializată a noțiunii (figurii) folosind carton, hârtie, bețisoare sau alte materiale.

Clasificarea figurilor care fac parte din aceeași categorie, de exemplu: unghiuri, patrulatere.

Utilizarea noțiunii (figurii) în rezolvarea problemelor specifice și transferul ei în situații geometrice noi.

Trebuie menționat că unele noțiuni geometrice (figuri) impun parcurgerea tuturor acestor faze, pe când altele nu, unele noțiuni pot fi studiate într-o lecție, altele într-un șir de lecții sau capitole.

Adevăratul proces de formare a noțiunilor de geometrie este unul de durată și nu trebuie confundat cu procesul învățării de noțiuni.

II.5. Elemente de geometrie în ciclul primar

În Programa școlară pentru clasa pregătitoare, clasa I și clasa a II-a sunt prevăzute următoarele conținturi ale învățării în ceea ce privește noțiunile de geometrie:

Figuri și corpuri geometrice

La clasele a III-a și a IV-a conținuturile învățării prevăzute în Programa școlară sunt:

II.6. Metode, mijloace și procedee de lucru specifice în predarea- învățarea elementelor de geometrie

În predarea- învățarea elementelor de geometrie din ciclul primar se utilizează:

metode tradiționale – care fac apel la comunicarea directă;

metode moderne – expresie a celor mai recente inovații pedagogice, cu accent pe dezvoltarea personalității.

„Ținând cont că acțiunea cu obiectele declanșează actul intelectual, metodele se pot clasifica în:

metode intuitive (concret-senzoriale) – copilul observă obiectele, recepționează și acumulează percepții și reprezentări, realizând o cunoaștere intuitivă;

metode active – copilul acționează cu obiectele însușindu-și treptat și nuanțat reprezentări;

metode verbale – copilul ajunge la cunoaștere prin intermediul cuvântului.” (18)

Metodele verbale devin procedee de realizare a metodelor intuitive și active, iar cele intuitive devin procedee pentru metodele active.

În predarea-învățarea elementelor de geometrie din ciclul primar, se folosesc un număr

mare de metode și procedee care contribuie în foarte mare măsură la dezvoltarea spiritului de investigare, a imaginației și a creativității elevilor. Prin folosirea lor eficientă de către învățător, elevii dobândesc cunoștințe și își formează deprinderi și priceperi specifice, învață să gândească logic, devin participanți activi la propria lor formare matematică.

„Explicația este o metodă verbală de asimilare a cunoștințelor prin care se progresează în cunoaștere, oferind un model descriptiv la nivelul relațiilor.” (19) Pentru o eficiență crescută în utilizarea acestei metode în cadrul lecțiilor cu conținut geometric se impun a fi respectate câteva cerințe:

– să fie precisă, centrând atenția asupra unui aspect;

– să fie corectă, adică adaptată nivelului experienței lingvistice și cognitive a copiilor;

– să fie concisă.

De exemplu la clasa pregătitoare cu ajutorul acestei metode, dar folosind și demonstrația se poate arăta foarte simplu cum un dreptunghi are laturile egale două câte două. Astfel utilizându-se un dreptunghi confecționat din carton și a cărui laturi au fost colorate cu culori diferite, atât pe față cât și pe verso, se suprapun lungimile pentru a observa că au aceeași dimensiune, se procedează identic și cu lățimile.

Fig. 5

Explicația este metoda folosită atât de cadrul didactic cât și de elevi.

“Demonstrația este metoda învățării pe baza contactului cu materialul intuitiv, contact prin care se obține reflectarea obiectului învățării la nivelul percepției și reprezentării.” (20) Așa cum se precizează în definiția de mai sus, putem spune că această metodă se utilitează cu precădere în lecțiile cu conținut geometric deoarece în clasele primare pentru formarea competențelor specifice în domeniul geometrie se face apel la intuiție.

Conversația este metoda de instruire cu ajutorul întrebărilor și răspunsurilor în scopul realizării unor sarcini și situații de învățare. Conversația este utilizată atât ca metodă cât și ca procedeu. Ca metodă aceasta ajută la stimularea gândirii elevilor, orientând atenția spre elementele importante, dar neglijate ale unei situații problemă, ajută elevii spre a-și valorifica și reorganiza propiile cunoștințe pentru a ajunge la noi structuri cognitive prin întrebări ajutătoare.

Problematizarea reprezintă una dintre metodele cele mai utile metode, prin potențialul ei euristic și activitazor.

„Problematizarea are o deosebită valoare formativă:

se consolidează structuri cognitive;

se stimulează spiritul de explorare;

se formează un stil activ de muncă;

se cultivă autonomia și curajul în afișarea unor poziții proprii.

Utilizarea acestei metode presupune o antrenare plenară a personalității elevilor, a componentelor intelectuale, afective și voliționale.” (21)

De exemplu: elevilor li se solicită elevilor să precizeze dacă două dreptunghuri ABCD și MNPQ au aceeași arie, prezentându-se următorul desen:

Fig. 6

A D M Q

N P

B C

Învățătorul întrebă: Pot avea cele două dreptunghiuri aceeași arie? Elevii vor fi conduși să observe că, chiar dacă nu li se oferă date numerice pentru lățimile, respectiv lungimile celor două dreptunghiuri. Ele sunt alcătuite fiecare din câte 12 pătrate identice, ceea ce arată că cele două dreptunghiuri au aceeași arie, chiar dacă cele două dreptunghiuri au lățimi, respectiv lungimi cu dimensiuni diferite. De fapt se ajunge la următoarea relație numerică: 3 x 4 = 2 x 6.

Această situație problemă simplă se poate generaliza și extinde chiar la figuri geometrice

plane diferite.

Învățarea pe bază de probleme – presupune ca învățătorul să le relateze și să le folosească, în clasă, fie ca punct de plecare în trezirea interesului pentru dobândirea cunoștințelor, fie ca punct de punere în valoare a informației elevilor pentru noi combinări sau restructurări în vederea elaborării de noi concepte.

1. Situație problemă în predarea rombului

Identificați poligonul pe care nu-l cunoașteți sau identificați forma geometrică plană care nu este triunghi, nu este nici pătrat, nici dreptunghi.

Fig. 7

Ghidați de întrebările învățătorului, elevii vor descoperi prin măsurare că figura geometrică care s-a cerut a fi descoperită are toate laturile egale (congruente) între ele. Spre deosebire de pătrat unghiurile nu sunt unghiuri drepte. Se va denumi respectivul patrulater: romb. În completare, elevii pot desena pe foaia de hârtie diagonalele rombului și astfel pot fi puse în evidență și alte proprietăți ale acestui patrulater regulat.

2. Situație-problemă:

La lecția ,,Perimetrul dreptunghiului”- clasele a III-a, a IV-a, folosind strategia predării-învățării prin descoperire, elevii cunoscând deja noțiunile de dreptunghi și perimetrul unui poligon, se poate proceda la lansarea următoarelor sarcini operaționale:

Se cere elevilor să calculeze prin mai multe căi perimetrul unui dreptunghi care are care are dimensiunile L și l (L fiind măsura lungimii, l fiind măsura lățimii).

Se cere elevilor să aprecieze și să argumenteze care este cea mai rapidă formulă de calcul.

Demersul metodic și operațional poate fi :

•Elevii vor stabili inițial formula: L+l+L+l, apoi vor ajunge la: 2 x L+2 x l;

•În continuare, dacă elevii s-au oprit, vor fi ajutați să-și aducă aminte de proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de adunare:

a x (b+c) = a x b + a x c, care va fi scrisă pe tablă astfel:

a x b + a x c = a x ( b +c ), subliniind cum se mai poate scrie o adunare în care termenii sunt produse și conțin un factor comun.

•După aceea elevii vor observa și vor stabili că: 2 x (L+l) reprezintă perimetrul dreptunghiului exprimat prin cea mai rapidă formulă (cu cel mai mic număr de operații).

Tot în acest fel se poate proceda și pentru calculul perimetrelor altor figuri geometrice învățate.

În predarea-învățarea elementelor de geometrie totdeauna se va pleca de la realitatea înconjurătoare, de la obiectele noastre uzuale și care seamănă cu diferite figuri geometrice. Astfel elevii vor recunoaște că în clasa lor, tabla are formă dreptunghiulară, fețele unui cub au forma pătrată, tubul de neon are forma unui cilindru, mingea este ca o sferă.

O altă metodă didactică aplicată în lecțiile de geometrie este exercițiul. Această metodă se poate folosi cu scopul de a consolida cât mai bine cunoștințele însușite, de a forma priceperi și deprinderi, de a dezvolta capacități creatoare.

„Exercițiile trebuie să respecte câteva cerințe:

modelul de imitat să fie accesibil;

la baza exercițiului să stea idei clare;

să fie variate, gradate progresiv, eșalonate;

cantitatea și durata exercițiilor să asigure formarea de priceperi și deprinderi.” (22)

Multe dintre exerciții pot fi prezentate sub formă de joc, cu rolul de a-i atrage pe elevi să cunoască foarte bine figurile geometrice și mai ales să nu le confunde.

Încă de la clasa pregătitoare exercițiile variate vin să consolideze cunoștințele elevilor în lecțiile de geometrie. Un exemplu de exercițiu care poate dezvolta capacități creatoare poate fi următorul: „Construiți cu ajutorul figurilor geometrice un roboțel.”. Acest tip de exercițiu se poate extinde la toate clasele învățământului primar, gradul de dificultate sporind de la un an de studiu la altul.

Metoda cubului este folosită în cazul în care se dorește explorarea unui subiect, a unei situații din mai multe perspective. Se dezvoltă astfel la elevi posibilitatea de a-și dezvolta competențele necesare unei abordări complexe și creatoare.

Etapele metodei sunt: se confecționează un cub pe care se notează cuvintele: descrie, compară, analizează, asociază, aplică, argmentează.

De exemplu la clasa a IV-a această metodă poate fi aplicată în cadrul lecțiilor de recapitulare a formelor geometrice plane și spațiale. Elevii vor fi împărțiți pe grupe, iar fiecărei grupe îi corespunde unul din cuvintele notate pe cub. Pe o foaie de hârtie fiecare grupă va avea notat cuvântul de pe cub corespunzător și sarcina ce trebuie pusă în discuție:

Descrie: Cubul / Trapezul;

Compară: Ce e asemănător și ce e diferit între dreptunghi și paralelogram? / Ce e asemănător și ce e diferit între cub și paralelipiped?

Asociază: Dreptunghiul cu alte obiecte din mediul înconjurător. / Cilindrul cu alte obiecte din mediul înconjurător.

Analizează: Ce devine un dreptunghi care are lungimea egală cu lățimea? / Ce devine un pătrat care are unghiurile ascuțite și obtuze?

Aplică: Care e perimetrul unui pătrat cu latura de 4 cm? / Care e latura unui triunghi echilateral cu perimetrul de 27 cm?

Argumentează: De ce trapezul nu este un paralelogram? / De ce cuboidul nu e un cub?

Metoda Știu / Vreau să știu / Am învățat – această metodă trece în revistă foarte clar noțiunile pe care elevii le au deja, apoi formulează întrebări și se așteaptă să găsească răspunsuri în lecție.

De exemplu la clasa a IV-a în lecția „Dreptunghiul” se face apel la cunoștițele pe care elevii le au deja din clasa a III-a.

Organizatorul grafic ca metodă de învățare activă ușurează esențializarea unui material informativ care urmează să fie exprimat în scris, schematizând ideea sau ideile. Atât pentru cadrul didactic cât și pentru elevi organizatorul grafic este o grilă de sistematizare a noțiuilor studiate, o gândire vizuală prin reprezentarea grafică a unui material.

Noua programă școlară prevede dezvoltarea de competențe specifice la elevi în ceea ce privește organizarea datelor în tabele, completarea de tabele utilizând calculatorul, stabilirea coordonatelor unui obiect dintr-o reprezentare tip rețea, vizualizarea pe internet a unor planuri, hărți, reprezentarea de planuri sub formă de desen, a unor trasee reale sau imaginare.

Organizatorul grafic se poate utiliza cu succes pentru formarea unor astfel de competențe specifice. Există mai multe moduri:

Organizatorul grafic pentru monitorizarea construcțiilor de tip comparativ: prin această metodă li se poate solicita elevilor să găsească asemănări și deosebiri între figurile geometrice sau formele geometrice.

Fig. 8

Organizatorul grafic de tip descriere (ciorchinele)

Elevilor li se solicită ca plecând de la o noțiune de geometrie să noteze caracterisicile, proprietățile acesteia.

Fig. 9

sau

Organizatorul grafic pentru structuri de tip secvențial

Într-un magazin de jucării se află: 12 mașinuțe, 14 mingi, 17 păpuși, 15 ursuleți, 10 roboți și 16 cuburi. Reprezentați grafic numărul de jucării de fiecare fel.

Elevii, încă de la clasa a III-a vor putea reprezenta grafic astfel:

Fig. 10

Elevii pot ordona mai întâi crescător numărul de obiecte, apoi se le reprezinte grafic, reprezentarea grafică fiind una crescătoare.

Acest tip de probleme se abordează mai întâi plecând de la citirea unor astfel de grafice, precizându-se numărul de obiecte de fiecare fel, apoi ajungându-se la reprezentarea grafică.

Organizatorul grafic de tip cauză-efect

Prin această metodă, elevii sunt îndemnați să descopere legătura dintre cauză și efectul rezultatului unei acțiuni. De exemplu: Lungimea unui teren în formă de dreptunghi este de 30 metri, iar lățimea este 20 metri. Dacă lungimea se mărește cu 10 m atunci câți metri de sârmă sunt necesari pentru împrejmuirea terenului cu câte 3 rânduri de sârmă.

Fig. 11

Jocul didactic matematic – reprezintă una dintre formele de învățare cu cele mai bogate valențe formativ–educative, un foarte bun mijloc de activizare și stimulare a resurselor intelectuale ale elevilor.

Utilizarea jocului didactic în lecțiile de geometrie ajută la formarea capacității de observare o proprietăților figurilor geometrice, la dobândirea de cunoștințe specifice, la dezvoltarea capacității de a aplica cunoștințele de geometrie. În plus, elevii sunt angajați într-o activitate intensă, în care li se solicită să folosească instrumentele de geometrie, să facă măsurători, calcule.

Jocul didactic matematic este utilizat la toate clasele din învățământul primar, dar cu precădere la clasa pregătitoare, clasa I și a II-a. Organizarea unui joc didactic presupune rigurozitate științifică din punct de vedere al cunoașterii componentelor și pregătire metodologică, avându-se în vedere următoarele:

scopul didactic, care se formulează în conformitate cu cerințele programei;

sarcina didactică a jocului matematic este conținutul jocului, făcând referiri la ceea ce trebuie să facă copilul în mod concret;

elementele de joc se stabilesc în raport cu cerințele și sarcina didactică;

conținutul matematic care trebuie să fie corespunzător sarcinii didactice și particularităților de vârstă, trebuie să fie accesibil, recreativ și atractiv prin forma și mijloacele de învățământ utilizate;

materialul didactic contribuie efectiv la succesul unui joc didactic. Acesta trebuie să fie atractiv și adecvat jocului, trebuie să fie mobil și ușor de mânuit de elevi și să conțină o problemă didactică de rezolvat.

Jocul „Ce numere v-au rămas?”

Scopul didactic: recunoașterea figurilor geometrice

Sarcina didactică: -identificarea figurilor geometrice;

-găsirea numerelor pare sau impare din interiorul lor;

Material didactic: planșă, fișe.

Desfășurarea jocului: Elevii împărțiți în două grupe vor trebui să rezolve rapid si atent următoarele cerințe:

– Tăiați cu o linie verticală numerele pare care sunt în triunghi sau pătrat;

-Tăiați cu o linie orizontală numerele impare care se află în interiorul unui cerc sau al unui pătrat;

– Tăiați cu un X numerele impare care sunt în cercuri sau în triunghiuri.

Fig. 12

Ce numere v-au rămas?

Câștigă echipa care a tăiat figurile geometrice după cerințe și a obținut corect numerele cerute.

Jocul ,,Cine a găsit mai multe pătrate, dreptunghiuri, triunghiuri?”

Fig. 13

Scopul didactic: recunoașterea figurilor geometrice;

Sarcina didactică: identificarea tuturor figurilor geometrice formate;

Desfășurarea jocului: Elevii vor fi împărțiți în trei grupe: G1- va număra pătratele; G2- va număra triunghiurile; G3- va număra dreptunghiurile.

Câștigă echipa care a găsit toate figurile formate în desene.

Jocul „Reconstituire" (din 6 triunghiuri dreptunghice formați un paralelogram, luați 2 triunghiuri și spuneți ce-ați descoperit).

Fig. 14

1 2 3 4 5 6

Joc cu bețișoare:

Scopul: fixarea reprezentărilor despre figurile geometrice, dezvoltarea atenției.

Sarcina didactică: să construiască pătrate, dreptunghiuri, triunghiuri.

Elemente de joc: manipularea materialelor, întrecerea, recompensa.

Material didactic folosit: 20 bețișoare pentru fiecare elev.

Regula jocului: elevii construiesc individual figurile geometrice pe bancă, într-un timp stabilit în prealabil.

Desfășurarea jocului: Fiecare elev a primit câte 20 de bețișoare, din care să construiască cât mai repede figuri geometrice cunoscute: triunghi, pătrat, dreptunghi.

Jocul va începe la o bătaie din palme a învățătorului și va înceta la două bătăi.

Câștigătorul jocului va fi cel care va termina primul, clasificarea făcându-se în continuare în funcție de durata și corectitudinea execuției.

Pe tot parcursul învățării geometriei, învățătorul va arăta elevilor la tablă, cu creta în mână, cum se utilizează corect rigla, echerul, compasul, raportorul. Creta colorată nu va lipsi de la nici o oră de geometrie.

Când se va constata că toți elevii știu să mânuiască instrumentele de geometrie, li se va cere să deseneze pe caietele lor drepte, segmente, semidrepte, în diferite poziții și să le noteze corespunzător, lucrând singuri, fără ajutor.

Dacă la clasele pregătitoare, I și a II-a elevii au folosit doar rigla, începând cu clasa a III-a ei vor învăța să folosească și echerul, ținând cont de faptul că vor avea de desenat drepte paralele, drepte perpendiculare, triunghiuri dreptunghice.

O atenție deosebită se va acorda ,,unghiului”, pornind de la construcția corectă, notarea și citirea lui, până la compararea unghiurilor.

Deoarece în clasa a III-a, nu se folosește raportorul pentru a măsura un unghi, se poate folosi o foiță (folie) transparentă, pentru a face compararea unghiurilor prin suprapunere directă. În acest timp se vor lucra în clasă cât mai multe exerciții de construcție, pentru ca elevii să folosească bine și corect instrumentele de geometrie.

O figură bine realizată devine aproape concludentă în ceea ce privește rezolvarea problemei, adică ,,te conduce” aproape sigur pe ,,calea cea bună”.

II.7. 1. Noțiuni elementare de geometrie: punct, dreaptă, semidreaptă, segment de dreaptă, unghiuri

Punctul, dreapta, planul nu există ca atare, ci doar ca entități asociate unor obiecte materiale reflectate în conștiința umană. Obiectele materiale independente fără nici o dimensiune, cum este punctul, cu o dimensiune, dreapta, sau cu două dimensiuni, planul, nu pot exista.

Referitor la figura geometrică aceasta reflectă proprietățile obiective în mod pur și anume proprietăți spațiale pure. Nimic altceva nu este luat în considerare când ne referim la figura geometrică, decât spațiul pur, forma și dimensiunile. Figura geometrică nu reproduce direct aspectul spațial al obiectelor, ci îl reproduce idealizându-l. Dreapta și cercul posedă o perfecțiune ce n-o găsim la obiectele concrete. Figura geometrică, deși particulară în raport cu clasa de figuri din care face parte, este totuși generală în raport cu varietatea obiectelor materiale care posedă forma și dimensiunile respective.

Figura geometrică este pe de o parte o entitate abstractă întrucât reflectă o proprietate pură, idealizată și pe de altă parte o entitate mentală, intuitivă. Astfel, în timp ce se caută soluția unei probleme nu ne putem dispensa de aportul figurii care sugerează căi de rezolvare și soluții posibile.

La clasele a II-a și a III-a este necesar să se pună accentul pe activitatea practică a elevilor în legătură cu unele figuri geometrice simple, construite din lemn sau carton, plastilină, bețișoare și în legătură cu activitățile de măsurare a distanțelor și lungimilor. Pe această bază ei își pot forma primele reprezentări geometrice, reprezentări legate de formele și dimensiunile unor obiecte reale, concrete.

În predarea geometriei este bine să se înceapă cu studiul corpurilor geometrice pentru că este justificată de următoarele aspecte:

proprietățile figurilor plane sunt fie prea simple, fie prea complicate pentru nivelul inițial;

corpurile solide sunt mai puțin abstracte decât figurile plane, copilul putându-le manipula. În acest sens trusa stereometrică favorizează mult înțelegerea proprietăților respective;

copiii fac cunoștință cu spațiul încă de la cea mai fragedă vârstă.

Practica din alte țări a demonstrat că cei care au început studiul geometriei cu obiecte tridimensionale nu a întâmpinat greutăți când au trecut la planimetrie.

În clasa a IV-a este indicat să se pună accent pe desen, bineînțeles pornind tot de la figuri reale. Figura geometrică este încă, în această etapă, o figură desenată sau imaginea mentală a acesteia. Proprietățile geometrice simple și calculul perimetrelor se raportează la aceste figuri grafice fără a se vorbi de figura ideală.

Punctul este o noțiune care nu se definește; îl putem imagina ca urma lăsată pe foaia de caiet de vârful unui creion bine ascuțit sau de vârful cretei pe tablă. El nu are nici o dimensiune. Îl notăm cu literele mari ale alfabetului.

De exemplu:

• A – citim punctul A; x B – citim punctul B. ●Punctul este cunoscut de elev ca semn de punctuație.

●În matematică, punctul se mai redă și ,,x”, ceea ce sugerează faptul că el este rezultat al intersecției a două drepte.

Linia dreaptă

Pentru ca elevul să se familiarizeze cu noțiunea de linie dreaptă o vom concretiza prin:

urma lăsată de un creion în mișcare de-a lungul riglei pe care se sprijină;

un fir de ață bine întins;

urma obținută prin îndoirea unei foi de hârtie.

Linia dreaptă se construiește și se desenează cu ajutorul riglei; ea are o singură dimensiune numită lungime. Se atrage atenția elevilor asupra faptului că linia dreaptă este nesfârșită, că poate fi prelungită oricât de mult. Se notează cu două litere mari ale alfabetului sau cu o singură literă mică, ca în figurile de mai jos:

Fig. 15 Fig. 2

A B sau d

citim: dreapta AB sau dreapta d.

Se precizează și se arată prin desen că două puncte determină o singură dreaptă sau că prin două puncte se desenează o linie dreaptă și numai una singură. Se poate explica procedeul utilizat de zugravi în obținerea liniilor drepte pe pereți. Aceștia își fixează două cuie pe pereți, la unesc printr-o ață bine întinsă care a fost în prealabil trecută prin vopsea. Se trage puțin sfoara spre exterior și i se dă imediat drumul. La atingerea cu peretele, sfoara astfel vopsită lasă o urmă de forma unei linii drepte ce trece prin punctele fixate, cele două cuie.

Semidreapta. Se prezintă elevilor o dreaptă pe care se fixează un punct, de exemplu A:

Fig. 16

A

Elevii vor sesiza cele două părți în care a fost împărțită dreapta. Dirijați, vor constata că semidreapta nu este altceva decât una din părțile dreptei determinată de punctul A; punctul A poartă numele de originea semidreptei.

Pe tablă poate apărea următoarea configurație:

Fig. 17

Ideea (intuitivă) de semidreaptă poate fi sugerată elevilor înnodând un fir de ață și urmărind cele două părți de pe firul întins de o parte și de alta a nodului.

Pentru a citi semidreapta se folosește punctul ales (originea) și încă un punct arbitrar de pe semidreaptă.

Fig. 18

…………..

A B

citim: semidreapta AB.

În continuarea lecției, pentru mai buna înțelegere a noțiunii se propune elevilor să deseneze semidrepte cu originea în diferite puncte ale planului și cu direcții diferite. Se va insista asupra notației și asupra citirii începând cu originea.

Segmentul de dreaptă. Pentru a explica elevilor ce este segmentul de dreaptă se desenează o dreaptă pe tablă și se fixează două puncte pe dreaptă.

Fig. 19

A B D

……………. ………….

C

Se citește: segmentul de dreaptă AB; segmentul de dreaptă CD. Punctele A și B, respectiv C și D se numesc capetele (extremitățile) celor două segmente. De asemenea se va insista și pe notarea corectă a unui segment (AB), orice segment are o lungime [AB] sau simplu AB.

La început elevii identifică segmentul cu urma pe care o lasă creionul pe hârtie atunci când se unesc cu ajutorul riglei două puncte. Segmentul de dreaptă este o porțiune a unei drepte cuprinsă între două puncte ale ei. De aici reiese că drumul cel mai scurt dintre două puncte date este segmentul de dreaptă.

Învățătorul va avea grijă să evite ,,definiția” falsă a segmentului ca fiind ,,o dreaptă mărginită la ambele capete”. Astfel s-ar contrazice ideea de nemărginire a dreptei.

În etapele următoare ale lecției elevii vor construi segmente de dreaptă, le vor măsura, le vor compara în raport cu rezultatul măsurătorilor, precum și după pozițiile lor (orizontale, verticale, oblice).

Cu măsurile a două segmente elevii pot efectua operații de adunare și scădere. În cazul în care cele două segmente notate AB și BC sunt situate pe aceeași dreaptă, prin suma lor se înțelege un al treilea segment notat AC și numit segment sumă:

A B C

Fig. 20

A C

Prin diferența segmentelor AB și CB reprezentate pe aceeași dreaptă se înțelege segmentul AC, numit segment diferență:

A C B

Fig. 21

A C

Linia frântă și linia curbă

Învățarea acestor noțiuni poate începe apelând la experiența de viață a copiilor. Aceștia pot recunoaște ușor linia frântă închisă sau deschisă sau linia curbă închisă sau deschisă asemănându-le cu dinții unui fierăstrău, partea superioară a unui gard, conturul unei scânduri, drumul șerpuit, marginea unui platou oval. Dirijați, ei pot sesiza și pune în evidență exteriorul și interiorul unei figuri geometrice.

Dacă în primele clase, elevii desenează numai segmente, linii frânte și linii curbe, în clasele următoare vor forma și vor desena linii frânte închise numite poligoane și vor soluționa unele probleme legate de acestea, clasificări, proprietăți, perimetre, arii.

În clasa pregătitoare elevii învață liniile drepte, verticale, orizontale, oblice, linii frânte, linii curbe ca elemente pregătitoare pentru învățarea scrierii cifrelor, a semnelor grafice, a literelor, dar sunt familiarizați și cu figurile și corpurile geometrice în special la formarea mulțimilor de elemente în vederea înțelegerii noțiunii de număr natural. Astfel aceste tipuri de linii sunt utilizate în exerciții de tipul următor, cerința fiind de a continua modelul, precizându-se tipul de linii orizontale, verticale respectiv oblice sau după caz:

Fig. 22

Atunci când elevii învață despre segmentul de dreaptă, în clasa a III-a, ei vor desena segmente în poziții diferite:

Fig. 23 D E M

A B

C F N

segmente în poziție oblică segment în poziție segment în poziție

orizontală verticală

Dacă așezăm segmentele de mai sus astfel încât al doilea capăt de la primul segment să coincidă cu primul capăt al celui de-al doilea segment și apoi al treilea segment să înceapă unde se termină al doilea segment și tot așa în continuare desenăm mai multe segmente în diferite poziții, vom obține o linie frântă.

B

Fig. 24 E

A

C D F

Linia frântă care are două extremități (capete) A și F se numește linie frântă deschisă.

Dacă segmentele sunt desenate astfel încât primul capăt al primului segment să coincidă cu al doilea capăt al ultimului segment, atunci obținem o linie frântă închisă care se numește poligon. E

Fig. 25

A D

B C

Folosind metrul de tâmplărie sau alte segmente articulate (de lungimi diferite), se poate arăta practic cum ajungem de la o linie frântă deschisă la o linie frântă închisă și invers. De asemenea se va arăta că nu putem obține o linie frântă închisă cu doar două segmente. Considerând cel puțin trei segmente se poate forma o linie frântă închisă, numită triunghi.

A

Fig. 26

B C

Măsurând lungimile segmentelor componente ale liniei frânte prin însumarea lor se obține lungimea liniei frânte sau perimetrul ei.

Linia curbă

Prezentând elevilor imagini preluate din mediul înconjurător cu anumite particularități pe care elevul le percepe exclusiv vizual, se poate introduce linia curbă. El va trebui să o denumească, să o deosebească de o linie frântă sau de un segment și să realizeze singur în desen cele văzute.

Fig. 27 B

A

A≡ B

Linie curbă deschisă Linii curbe închise

Acestea se pot concretiza prin: marginile unui lac, șerpuirea unui râu, roata de la căruță sau volanul de la mașină. Liniile curbe pot fi deschise, dacă A și B sunt puncte distincte, sau linii curbe închise dacă A și B coincid. Aceste noțiuni sunt prevăzute în programa școlară a clasei a III-a. Atât linia curbă închisă cât și linia frântă închisă separă o regiune din plan (foaia de caiet sau tabla) numită interiorul figurii geometrice, iar ce rămâne în afara figurii se numește exteriorul figurii geometrice.

Fig. 28 A F

B E

C D

interiorul liniei frânte interiorul liniei curbe

Elevii trebuie obișnuiți să identifice apartenența sau neapartenența unui punct la interiorul sau exteriorul unei figuri geometrice. Sub îndrumarea învățătorului elevii vor executa următoarele sarcini:

construiesc pe bănci, din diferite materiale linii frânte și linii curbe;

scriu litere mari de tipar, pe coli A4, formate numai din linii frânte, cum ar fi N, M, H sau numai din linii curbe, O, apoi pe cele care conțin segmente și linii curbe D, G, R;

determină lungimea liniei frânte folosind măsurile segmentelor componente;

stabilesc măsura liniei curbe așezând de-a lungul ei o sfoară pe care o măsoară după ce au luat-o de lângă contur;

colorează (hașurează) interiorul sau exteriorul unei figuri geometrice;

scriu numere în interiorul și în exteriorul figurilor geometrice, cu care apoi pot rezolva diferite operații. Astfel putem propune spre rezolvare următoarele tipuri de exerciții:

1. Află suma numerelor care se află în interiorul dreptunghiului.

Fig. 29 32

888

754

2. Află diferența dintre sumanumerelor din exteriorul cercului și sma celor din exterior.

Fig. 30 86

31 24

99

După ce elevii au deprins competențele specifice acestor noțiuni, sarcinile exercițiilor se pot extinde. De exemplu:

Cu cât este mai mare suma numerelor din interiorul dreptunghiulul decât suma numerelor din exteriorul dreptunghiului? Scrie sub forma unui exercițiu;

Află diferența dintre cel mai mare număr din exteriorul dreptunghiului și cel mai mic număr din exteriorul acestuia.

Sarcinile se pot extinde introducând în exerciții chiar cele patru operații cunoscute de elevii claselor a III-a.

Unghiul

Unghiul este figura geometrică care se studiază începând cu clasa a III-a. La începutul lecției în care se studiază unghiul, învățătorul va prezenta în fața clasei unele materiale: două șipci subțiri unite la un capăt, două tije cu articulație mobilă, planșe cu diferite figuri geometrice. Din discuțiile purtate elevii vor desprinde ideea că unghiul este tot o figură geometrică formată din două ,,segmente” de dreaptă ce pornesc din același punct.

Pentru a respecta rigoarea științifică, învățătorul va completa constatările elevilor, generate de materialul concret prezentat, precizând că unghiul este figura geometrică formată din două semidrepte care pornesc din același punct. Acest punct se numește vârful unghiului, iar semidreptele se numesc laturile unghiului. După înțelegerea definiției se va concretiza unghiul apelând la suprafețele și corpurile din clasă sau din trusa de geometrie: două margini vecine ale băncii, două muchii vecine ale unui cub, două margini ale echerului. Acum elevii vor recunoaște mai ușor unghiurile de pe planșa cu diferite figuri geometrice.

La tablă și pe caietele elevilor vor fi desenate unghiuri diferite:

Fig. 31 A E M P R

O

B C D O N Q

În toate desenele se va insista pe faptul că unghiul este format din două semidrepte și că acestea pot fi prelungite oricât vrem.

O atenție deosebită se va da notării și citirii unghiurilor. Astfel dacă laturile sunt notate, de exemplu OA și OB, atunci unghiul se citește AOB sau BOA și se notează: AOB sau AOB. Totdeauna litera din mijloc desemnează vârful unghiului. Unghiul poate fi notat și cu ajutorul unei singure litere, care este obligatoriu să desemneze vârful unghiului. De exemplu C și citim unghiul C.

Având la bază informațiile despre interiorul și exteriorul unei linii frânte închise, elevii pot evidenția cu ușurință interiorul și exteriorul unui unghi:

A

Fig. 32 O interior

B

Din exemplele anterioare elevii vor constata că nu toate unghiurile sunt la fel de mari, ele deosebindu-se prin mărimea deschiderii dintre laturi, prin care o punem în evidență prin desenarea unui arc în interiorul lui:

Fig. 33 A M P

O

B

O N Q R

Referitor la mărimea unghiurilor se poate demonstra cu ajutorul unui unghi format din două tije metalice subțiri, cu articulație mobilă care va permite apropierea sau depărtarea tijelor, obținându-se unghiuri de diferite mărimi. Păstrând fixă o tijă și rotind-o pe cealaltă în jurul vârfului se pot evidenția unghiuri mai mici sau mai mari. Această acțiune realizată în fața elevilor conduce la conștientizarea de către elevi a dependenței dintre deschiderea dintre laturi și mărimea unui unghi. În funcție de nivelul clasei se pot face unele generalizări despre unghi, unghi cu laturi în prelungire, unghiuri mai mari de 180°.

În continuare se poate propune elevilor să deseneze unghiuri după notații date și în diferite poziții, să recunoască elementele, laturi, vârfuri și să le citească.

În ciclul primar nu se utilizează raportorul sau compasul pentru determinarea măsurii unui unghi. Pentru compararea unghiurilor se recomandă metoda suprapunerii, pe cale inductivă. Astfel, se desenează pe o foaie transparentă un unghi, de exemplu CED, iar pe caiet se desenează AOB. Se suprapune foaia transparentă pe caiet, astfel încât vârful E să coincidă cu vârful O și latura ED să se suprapună peste OB, iar EC și OA să fie de aceeași parte a lui OB. Se pot ivi următoarele situații:

Latura EC să coincidă cu OA și se va spune că unghiurile sunt egale. Se va scrie: AOB=CED;

Latura EC poate fi situată în interiorul unghiului AOB și se va spune că CED este mai mic decât AOB;

Latura EC este în exteriorul unghiului AOB și se va spune că CED este mai mare decât AOB.

Dacă avem desenate două în unghiuri ca figura de mai jos spunem că cele două unghiuri au o latură comună și vârful este comun.

A

Fig. 34

O C

B

Deci latura OC este comună pentru AOC și COB sau BOC. Dacă nivelul clasei ne permite putem preciza că cele două unghiuri sunt adiacente, de unde rezulă și definiția: două unghiuri care au o latură comună și vârf comun se numesc adiacente. Unghiurile adiacente pot fie egale sau nu, unul poate fi mai mare decât celălalt. De asemenea se poate face următoarea precizare: un unghi este mai mare cu cât deschizătura dintre laturile sale este mai mare. Există mai multe situații când unghiurile pot avea vârf comun, nu doar cea prezentată anterior, ca în exemplu de mai jos:

Fig. 35 A D

E

B C

Vârful E este comun pentru cele două perechi de unghiuri opuse la vârf care s-au format: AEB care are aceeași măsură cu unghiul DEC, respectiv unghiurile AED și BEC tot egale.

Familiarizarea copiiilor cu unghiul drept se va face folosind echerul. Învățătorul va prezenta echerul orientând observațiile copiilor asupra mărimilor unghiurilor lui. Prin dirijare, ei trebuie să constate că unul dintre ele este mai mare. Acesta se va numi unghi drept. Se impune, în acest caz, ca învățătorul să ceară elevilor să recunoască unghiuri drepte din mediul ambiant: unghiurile formate de două margini vecine ale tablei, ale caietului, ale tocului de la ușă, ale riglei. Suprapunând echerul peste obiectele la care s-a făcut referire în exemplele date, elevii vor ajunge la concluzia că toate unghiurile drepte sunt la fel de mari. Fiind familiarizați cu echerul, elevii vor înțelege ușor tehnica de construcție a unghiului drept, cu ajutorul echerului.

C

Fig. 36

A B

O

Foarte practic în predarea unghiului drept este să ne folosim de rețeaua caietului de matematică. Sub îndrumarea cadrului didactic, elevii pot desena un segment de dreaptă pe orizontală care să aibă 6 pătrățele lungime, se marcheză capetele A, respectiv B, mijocul după 4 pătrățele care se notează cu C, apoi din punctul C pe verticală de ridică un alt segment care are lungimea de 4 pătrățele, capătul notându-se cu D, formându-se unghiurile drepte ACD și BCD.

Fig. 37

După însușirea unghiului drept, elevii pot să compare celelalte unghiuri cu acesta și vor găsi unghiuri mai mici sau mai mari decât unghiul drept. Se vor numi unghiuri ascuțite, respectiv unghiuri obtuze.

La clasa a IV-a toate noțiunile învățate despre unghi se actualizează și consolidează, pentru că intervin noțiuni noi: drepte paralele, drepte perpendiculare.

Poziția relativă a două drepte

În activitatea pregătitoare elevii vor avea fiecare pe bănci câte două vergele metalice sau două bețisoare de bambus. La cererea învățătorului, elevii le vor așeza pe bancă în diferite poziții una față de alta. Învățătorul va concretiza diferitele situații realizate de elevi folosind de asemenea două vergele mai mari. Pentru fiecare situație, învățătorul va executa desenul la tablă, iar elevii pe caiete. Aceste noțiuni se pot preda la clasa a III-a sub formă de exercițiu, fără a denumi poziția celor două drepte. Denumirea poziției în care se află dreptele se va face la clasa a IV-a.

Fig. 38 Drepte concurente sau secante – au un punct comun

A D A A

C B

B C B C D

Fig. 39 Drepte confundate

A ………………………….. B A B D

C D C

Fig. 40 Drepte paralele

A B

C D

Dreptele paralele – nu vor avea niciodată un punct comun, nu se vor întâlni oricât le-am prelungi. În acest caz li se cere elevilor să traseze pe caiete o dreaptă. La o distanță de doi centimetri mai jos să se traseze o dreaptă identică cu prima. Observația va fi că oricât s-ar prelungi cele două nu se vor intersecta niciodată. Notația pentru drepte paralele: AB ║CD. Folosind rigla și echerul vom reuși să trasăm împreună cu elevii drepte paralele. Mai întâi se va trasa o dreaptă orizontală, apoi se fixează echerul cu unghiul drept pe dreapta orizontală, iar rigla pe ipotenuza echerului și prin translare se vor construi drepte paralele la diferite distanțe între ele.

Fig. 41 B D F

A C E

Din exemplele date la ,,drepte concurente”, se distinge o situație aparte, cea a dreptelor perpendiculare. Li se cere elevilor să specifice tipurile de unghiuri formate și numărul lor. Folosind echerul, elevii vor observa că toate cele patru unghiuri sunt drepte. În acest caz se va afirma că dreptele AB și CD sunt perpendiculare și se notează AB ┴ CD sau CD ┴ AB. Elevii vor înțelege faptul că două drepte sunt perpendiculare dacă unul din unghiurile formate de ele este drept, iar cu ajutorul echerului vor constata că toate unghiurile sunt drepte.

Fig. 42 A D

A

C O D

B C B

Activitatea va continua cu exerciții de construcție a dreptelor perpendiculare în diferite poziții din plan, atât cu ajutorul instrumentelor cât și cu mâna liberă folosindu-se de liniatura caietului de matematică.

Exercițiu: Din perechile de drepte mai jos desenate recunoașteți dreptele perpendiculare.

Fig. 43

a) b) c) d)

Drepte (segmente) paralele

Pentru identificarea dreptelor paralele se recomandă a se porni de la modelele concrete din clasă: cele două margini, orizontale sau verticale, ale tablei, ale tablourilor, ale cărților, ale penarului. Folosind o planșă cu figuri geometrice plane, elevii vor reuși să evidențieze și în alte situații exemple de drepte paralele. Atenția elevilor trebuie orientată asupra perechilor de drepte (segmente) paralele, enumerându-le două câte două:

Fig. 44

A B E H P J L

S R

D C F G M K

Q

AB ║ CD ; AD ║ BC ; EH ║ FG ; PR ║ QS ; PS ║ RQ ; JM ║ KL ; JL ║ KM .

Se reamintește elevilor faptul că segmentele aparțin unor drepte, deci și perechile de segmente evidențiate anterior sunt situate pe drepte paralele. Se va arăta aceasta prin desenul:

Fig. 45 A B

D C

II.7.2. Figuri geometrice: dreptunghiul, pătratul, triunghiul, paralelogramul, rombul, trapezul, cercul

Dreptunghiul

Elevii din clasa pregătitoare dețin cunoștințe despre figurile geometrice încă din grădiniță. Ei știu să identifice un pătrat, un dreptunghi, un cerc. La acest nivel lecțiile cu conținut geometric vin să completeze aceste competențe specifice pe care elevii le dețin. Astfel, la clasa pregătitoare, sub îndrumarea cadrului didactic, elevii descoperă anumite proprietăți ale acestor figuri geometrice. Mai întâi elevii vor trasa după contur dreptunghiul.

Fig. 46

Se vor descoperi în sala de clasă forme dreptunghiulare. Materialul didactic trebuie să fie prezent obligatoriu în aceste lecții. Astfel învățătorul are la dispoziție dreptunghiuri confecționate din carton, foi de hârtie. Se poate demonstra că laturile opuse ale dreptunghiului au aceeași lungime.

Fig. 47

Elevii vor număra laturile și vârfurile figurii geometrice respective.

Dacă la clasa pregătitoare ne rezumăm doar la conturarea figurilor geometrice la clasa I elevii vor reprezenta grafic dreptunghiul, recapitulând totodată noțiunile anterioare.

La clasa a II-a ca elemente de noutate apar:

notarea figurii geometrice specificând că în geometrie se folosesc de regulă doar litere mari de tipar, notându-se vârfurile dreptunghiului;

axa de simetrie a unei figuri geometrice;

marcarea jumătății/sfertului de suprafață a unei figuri geometrice cu fracția corespunzătoare:, respectiv

Fig. 48 A B M N

D C Q P

E F J K

H G M L

După însușirea conștientă a proprietăților dreptunghiului se va face o secvență de activitate practică ce va consta în îndoirea unei coli de hârtie dreptunghiulară în două părți egale. Se va marca printr-o culoare linia după care s-a făcut îndoirea. Elevii vor descoperi, prin suprapunere, că cele două părți coincid. Prin această acțiune se va sugera elevilor ideea a ceea ce înseamnă axă de simetrie. Se explică elevilor că linia colorată se numește axă de simetrie și este linia care împarte o figură geometrică în două părți egale care coincid prin suprapunere. Existența celeilalte axe de simetrie a dreptunghiului va fi pusă în evidență prin metoda descoperirii și a problematizării.

La clasa a III-a după familiarizarea copiilor cu dreptunghiul se explică procedeul de a desena un dreptunghi cu ajutorul instrumentelor. Urmează notarea și citirea unghiurilor, desprinderea definiției și a proprietăților dreptunghiului folosind desenele realizate de elevi. Prin reactualizarea cunoștințelor despre tipuri de linii, elevii vor desprinde ,,o primă definiție” a dreptunghiului:

– o linie frântă închisă, care se numește poligon;

– poligonul cu patru laturi se numește patrulater.

În concluzie, elevii vor reține că dreptunghiul este un patrulater care are laturile două câte două egale, două laturi mai lungi numite lungimi (L), două laturi mai scurte numite lățimi (l), și toate unghiurile sunt drepte. Diagonalele (segmente ce unesc două vârfuri opuse ale unui patrulater), sunt egale între ele și se întâlnesc într-un punct care le împarte în părți egale.

Tot la clasa a III-a elevii se vor întâlni pentru prima dată cu noțiunea de perimetru al unei figuri geometrice. Pentru ca elevii să înțeleagă cum se află perimetrul unui poligon li se va aminti despre perimetrul unei linii frânte. Măsurând segmentele componente ale unei linii frânte, prin însumarea lor se obține lungimea liniei frânte sau perimetrul ei. Poligonul fiind o linie frântă închisă, se poate calcula perimetrul unui poligon, măsurând lungimile laturilor și calculând suma lor. Se va putea da o definiție a perimetrului: Perimetrul unui poligon este egal cu suma lungimilor tuturor laturilor.

În funcție de nivelul clasei în determinarea perimetrului dreptunghiului se mai poate apela la o activitate practică, înainte de a folosi definiția perimetrului. Se confecționează un dreptunghi din sârmă, se colorează diferit dimensiunile (lungimea și lățimea), se taie dreptunghiul într-un vârf al său și se întinde sârma. Lungimea acestei sârme reprezintă perimetrul dreptunghiului. Astfel elevii vor observa mai ușor că perimetrul este format din două lungimi și două lățimi. După această demonstrație, se va desena un dreptunghi, se vor stabili dimensiunile, apoi se va scrie:

Fig. 49 A D PABCD = AB+BC+CD+DA=

L l = L+l +L+l = 2xL+ 2xl.

B C

La clasa a IV-a anterior studiului figurilor geometrice se învață noțiunile de drepte paralele, drepte perpendiculare, paralelogramul. După ce vom studia paralelogramul, vom defini dreptunghiul respectând rigorile unei definiții (gen proxim și diferență specifică) conform căreia ,,dreptunghiul este un paralelogram cu un unghi drept”. Elevii vor fi tentați să spună că și diagonala poate fi axă de simetrie, dar prin activitate practică vor constata că deși împarte dreptunghiul în părți egale, acestea nu se suprapun. Ca urmare elevii vor reține că dreptunghiul are doar două axe de simetrie. Se vor evidenția proprietățile dreptunghiului:

AB║CD, AD║BC: laturile opuse sunt paralele;

unghiurile dreptunghiului sunt drepte: A=B=C=D=90⁰;

diagonalele au lungimi egale și se înjumătățesc AC= BD, AO= OB= CO= DO;

dreptunghiul este paralelogramul care are laturile consecutive perpendiculare.

Pentru a demonstra că diagonalele au lungimi egale și se înjumătățesc, la nivelul de înțelegere al elevilor de clasa a IV-a, se folosește din nou noțiunea de axă de simetrie, îndoind un dreptunghi decupat după una din axele sale de simetrie, după ce au fost trasate diagonalele dreptunghiului și fiecare parte a diagonalei colorată diferit (de exemplu: AO roșu, BO galben, CO albastru și DO verde).

La acest nivel apare în programa școlară și studiul noțiunii de arie a unei suprafețe, prin reprezentări, estimând-o cu ajutorul unei rețele de pătrate cu latura de 1cm. Implicit se va afla și aria dreptunghiului, căutându-se pentru început să se construiască dreptunghiuri care să se poată împărți în mod egal într-un număr întreg de pătrate cu latura de 1cm.

Fig. 50 A B A ABCD= L x l= 6 x AMDNP.

D C

Pătratul

Încă de la vârste fragede copiii manipulează în jocurile lor de construcție cuburi, fie ele din lemn sau plastic. La clasa pregătitoare calea intuitivă de a prezenta elevilor pătratul este acela de a-l ,,desprinde” dintr-un cub. El este recunoscut ca fiind o față a cubului. Una din fețele cubului poate fi acoperită cu hârtie colorată pentru a evidenția mai bine pătratul.

Tot pe cale intuitivă se poate obține un pătrat folosind două benzi de hârtie de aceeași lățime așezate una peste cealaltă:

Fig. 51

La clasa pregătitoare și clasa I elevii trebuie să recunoască pătratul în diferite tipuri de reprezentări grafice, să-l deseneze după contur, să decoreze diferite obiecte cu figuri geometrice studiate, să reproducă prin desen pătratul cu ajutorul unor șabloane sau mâna liberă pe foaia cu pătrățele a caietului de matematică.

La clasa a II-a, li se poate solicita elevilor să deseneze pe caiete o figură geometrică respectând indicațiile: o linie orizontală cu o lungime de 5 pătrățele ale caietului, apoi din capătul din stânga, respectiv din dreapta al liniei desenate, să traseze câte o linie verticală cu lungimea de 5 pătrățele, la final să unească pe orizontală capetele celor două linii verticale. Folosind problematizarea, învățătorul poate adresa întrebări elevilor: Ce figură geometrică ați construit? De unde știm că este pătrat? Astfel elevii vor observa că pătratul are patru laturi egale între ele, are patru vârfuri. Ca și în cazul dreptunghiului elevii vor învăța să noteze corect figura și anume vârfurile cu litere mari de tipar.

Tot la clasa a II-a elevii fac cunoștință cu noțiunea de axă de simestrie. Având la dispoziție pătrate confecționate din hârtie sau carton, învățătorul poate plia pătratul pe orizontală, pe verticală sau după diagonale observând că se obțin noi figuri geometrice identice una cu cealaltă.

Fig. 52 A D

B C

La clasa a III-a după studiul unghiului, elevii vor observa că pătratul are toate unghiurile drepte. Studiind anterior dreptunghiul, elevii vor descoperi că pătratul este un dreptunghi a cărui lungime este egală cu lățimea și făcând analogiile corespunzătoare perimetrul pătratului este PABCD= l+ l + l + l= 4x l, unde l= latura pătratului.

La clasa a IV-a elevii vor defini pătratul ca dreptunghiul cu laturile alăturate egale. Într-un pătrat diagonalele sunt perpendiculare și au lungimi egale. Cunoscând deja aria dreptunghiului și plecând de la definiție elevii vor trage concluzia că aria pătratului este egală cu produsul dintre două laturi.

Fig. 53 A D AABCD = AB x BC= l x l.

B C

Pentru compararea pătratului cu dreptunghiul, elevii vor desena un pătrat și un dreptunghi stabilind:

Triunghiul

Ca și în cazul pătratului și al dreptunghiului, triunghiul este o figură geometrică pe care elevii o cunosc din perioada preșcolară. În clasa pregătitoare și clasa I elevii vor recunoaște triunghiul în mediul înconjurător, în materiale tipărite, vor reproduce prin desen cu ajutorul șabloanelor sau cu mâna liberă pe foaia caietului de matematică.

La clasa a II-a noțiunile despre triunghi se consolidează. Ca și în cazul celorlalte figuri geometrice studiate se va învăța modalitatea de notare a triunghiului, identificarea numărului de triunghiuri dintr-un desen, dintr-o figură geometrică „fragmentară”.

La clasa a III-a prezentarea triunghiului ca figură geometrică se realizează prin ,,desprinderea” lui dintr-o piramidă. Urmărind o față laterală a piramidei, pe care eventual se poate lipi hârtie colorată pentru a ieși în evidență, elevii pot desprinde elementele triunghiului: trei laturi, trei vârfuri, trei unghiuri. Triunghiul este un poligon cu trei laturi.

Reprezentarea în desen a triunghiului se va face cu ușurință deoarece deprinderile de realizare a unui desen cu ajutorul instrumentelor au fost exersate anterior. Se vor face convenții de notare. Vârfurile se notează cu litere mari, urmând ca laturile să fie citite ca și segmentele de dreaptă.Se vor crea intenționat situații de învățare din care elevii să constate că există triunghiuri cu unele particularități. Aceasta se va putea realiza urmărind o planșă pe care sunt desenate diferite triunghiuri. Analizându-le, elevii vor descoperi că sunt triunghiuri cu toate laturile egale (echilaterale), cu două laturi egale (isoscele) și că există triunghiuri fără laturi egale (triunghiuri oarecare).

Fig. 54 A M D

B C N O E F

triunghi oarecare triunghi isoscel triunghi echilateral

ABAC BC MN MO DE = EF = DF

MNO= MON D= E = F

Copiii vor avea pe bănci câte un triunghi din fiecare fel, confecționate din carton, dacă se poate, de culori diferite. Mai întâi vor măsura laturile fiecărui triunghi și vor raporta culoarea la felul triunghiului. Apoi vor trasa pe caiete conturul fiecărui triunghi, vor nota cu litere mari, după care le vor citi. Se poate sugera modul de construcție corectă a triunghiului isoscel folosind rețeaua cu pătrățele și proprietatea acestuia de a avea înălțimea coborâtă pe bază ca axă de simetrie.

Fig. 55 A

B D C B C B C

În clasa a III-a elevii învață noțiunea de unghi, dar abia în clasa a IV-a după studiul dreptelor paralele, perpendiculare se poate face clasificarea triunghiurilor după unghiuri: triunghi obtuzunghic, triunghi dreptunghic și triunghi ascuțitunghic.

Fig. 56

Se notează formula perimetrului triunghiului P∆= suma lungimilor celor trei laturi, în cazul triunghiului echilateral P∆= 3 x l deoarece laturile au aceeași lungime.

Paralelogramul

Această figură geometrică se studiază în clasa a IV-a. Deoarece paralelogramul nu poate fi desprins din corpurile geometrice cunoscute până acum de copii, o primă imagine intuitivă pe care și-o vor forma elevii despre paralelogram ar putea fi aceea obținută prin ,,deformarea” unui dreptunghi construit din tije metalice articulate. Această operație păstrează lungimile laturilor, dar modifică toate unghiurile.

Fig. 57

inițial după deformare

Figura obținută după deformare este un paralelogram. O altă cale intuitivă de obținere a paralelogramului poate fi utilizarea a două benzi de hârtie de lățimi diferite așezate astfel:

Fig. 58

paralelogram dreptunghi

Marcând marginile porțiunii comune se obține pe fiecare bandă un paralelogram sau un dreptunghi. Se va formula un nou demers metodic pentru introducerea și definirea riguroasă a noțiunii de paralelogram evidențiind genul proxim și diferența specifică. În acest sens se impune o reactualizare a cunoștințelor referitoare la linia frântă. Se va propune elevilor să deseneze o linie frântă închisă cu patru laturi, numind această figură patrulater. Copiii vor desena apoi pe caiete 2-3 patrulatere. Intenționat, învățătorul va desena pe tablă un patrulater special.

Va urma o succesiune de întrebări ajutătoare:

– Această figură este un patrulater? (da);

– Prin ce se deosebește de celelalte patrulatere?;

– Priviți o pereche de laturi opuse! Ce poziție au una față de cealaltă? (paralele) Dar celelalte două laturi opuse?

– Cum ne putem convinge că sunt paralele? (folosind mișcarea de translație sau măsurând distanțele dintre ele);

Încercați să definiți paralelogramul!

Paralelogramul este un patrulater care are laturile două câte două paralele. Sub îndrumarea învățătorului elevii vor desena un paralelogram, mai întâi se vor desena laturile orizontale, apoi laturile în poziție oblică.

Fig. 59 A D

B C

Se vor da ca sarcini pentru elevi să identifice perechile de laturi paralele și să consemneze în scris folosind notația ,,║”: (AB ║ CD ; AD ║ BC). În continuare se va cere elevilor să măsoare laturile paralele și să scrie cum sunt dimensiunile lor. După măsurare elevii vor constata că laturile paralele sunt și egale două câte două. Adică AB = CD și AD = BC. Referitor la unghiuri se poate face măsurarea, comparând unghiurile, folosind o foaie de hârtie transparentă pe care este desenat un unghi drept și prin suprapunere elevii vor vedea că la paralelogram unghiurile opuse sunt egale între ele, dar două sunt mai mici și două sunt mai mari decât un unghi drept. În concluzie, paralelogramul nu are nici un unghi drept, ci două sunt obtuze și două sunt ascuțite.

Se poate continua cu o activitate de depistare a asemănărilor și deosebirilor dintre un paralelogram și un dreptunghi.

Cunoscând asemănările și deosebirile dintre paralelogram și dreptunghi, copiii vor putea înțelege definiția conform căreia ,,dreptunghiul este un paralelogram cu un unghi drept”.

Rombul

Cel mai autentic exemplu pentru obținerea unui romb îl constituie ,,deformarea” unui pătrat construit din vergele cu articulații mobile. Prin această acțiune lungimile laturilor se

păstrează, dar se modifică unghiurile. Figura nou obținută reprezintă un romb.

Fig. 60 D C D

inițial după deformare

A C

A B B

Evidențierea rombului se mai poate realiza folosind două benzi de hârtie de aceeași lățime așezate oblic una față de cealaltă. Marcând marginile comune, se obține câte un romb pe fiecare bandă. Se decupează rombul astfel obținut, se așază pe planul caietului și se trasează conturul figurii obținute. Schimbând poziția rombului model elevii vor desena încă 2-3 romburi, apoi vor fi întrebați cu ce figură geometrică seamănă rombul (paralelogramul) și ce pot spune despre laturi (sunt egale).

În acest moment elevii pot ,,defini” rombul ca fiind un paralelogram cu toate laturile egale. Învățătorul va interveni subliniind că paralelogramul care are două laturi alăturate egale se numește romb.

Se vor face notații ce permit citirea laturilor, a vârfurilor, a diagonalelor și a unghiurilor. Pe un model care permite îndoirea, elevii pot descoperi faptul că diagonalele rombului sunt axe de simetrie. Această proprietate poate fi folosită în desenarea rombului: se desenează două drepte perpendiculare. Pe fiecare din ele se aleg câte două segmente egale situate de o parte și de alta față de punctul lor de intersecție. Unind capetele segmentelor se obține un romb.

Fig. 61 A

B D

C

Dacă se deformează un romb articulat încât să formeze un unghi drept (verificat cu echerul) vom obține un pătrat. Folosind această trecere de la pătrat la romb și de la romb la pătrat elevii vor fi conduși către o altă definiție a pătratului, pornind de la romb.

Se pot adresa întrebările:

– Pătratul este romb? (da).

– Rombul este un pătrat? (nu). Ce condiție trebuie să îndeplinească rombul pentru a fi pătrat? (să aibă un unghi drept). Deci, pătratul este rombul cu un unghi drept.

Tot în cadrul acestei lecții se vor evidenția proprietățile specifice rombului:

– diagonalele sunt perpendiculare;

– diagonalele sunt axe de simetrie.

Trapezul

În predarea-învățarea cunoștințelor despre trapez se poate începe cu o activitate practică. Pentru fiecare elev se va pregăti ca material didactic: un paralelogram roșu, foarfecă, creion, riglă, echer. Se va cere elevilor să ia paralelogramul, să traseze cu ajutorul riglei o linie dreaptă care să intersecteze două laturi opuse, dar să nu fie paralelă cu celelalte două. Se taie cu foarfeca paralelogramul în lungul liniei trasate și elevii vor analiza cu atenție părțile obținute. Se va obține o figură necunoscută de elevi, care va fi numită de învățător, trapez.

Elevii vor analiza această figură geometrică și vor descoperi:

– are câte patru laturi, deci este patrulater;

– două laturi opuse sunt paralele între ele;

– celelalte două laturi sunt neparalele;

– unele dintre ele au și unghiuri drepte.

În continuare se va cere elevilor să traseze pe caiete conturul trapezului obținut. Plecând de la figura conturată se pot desena mai multe tipuri de trapeze. Învățătorul va numi figurile desenate trapeze și dă definiția : Trapezul este patrulaterul cu două laturi opuse paralele și două laturi neparalele. Se va preciza și că laturile paralele se numesc baze (baza mică și baza mare) și așa cum se observă cele două baze au dimensiuni diferite.

D C P O H G

Fig. 62

A B M N E F trapez isoscel trapez dreptunghic trapez oarecare

AB║DC; PMN= OPM= 90⁰ EF║HG

AB baza mare OP ║ MN

CD baza mică PM ┴ MN

AD= BC

În continuare se va cere elevilor să deseneze, cu ajutorul instrumentelor geometrice, un trapez, să îl noteze și să recunoască elementele: baze, laturi neparalele, unghiuri.

Intuitiv se va da elevilor noțiunea de ,,înălțime” a unui trapez, pornind de la trapezul dreptunghic în care latura comună celor două unghiuri drepte reprezintă o înălțime a trapezului (drumul cel mai scurt dintre baze).

Fig. 63

D baza mică C

înălțime î latură oblică

A baza mare B

E

Pentru un trapez oarecare înălțimea se desenează, de regulă, dintr-un vârf al bazei mici.

Fig. 64 Q P

Î î

M N

Perimetrul trapezului este egal cu suma lungimilor tuturor laturilor,

PMNPQ = MN+ NP+ PQ+ QM.

Cercul

Pentru ajuta elevii să-și însușească noțiunea de cerc, li se va aminti că cilindrul are două baze (discuri sau cercuri), și conul are o singură bază în formă de disc sau cerc. Plimbând arătătorul pe marginea acestor discuri, se descrie de fapt un cerc. Pentru reprezentarea în desen a cercului se așează cilindrul sau conul pe tablă și se marchează cu creta conturul bazei. Urma lăsată pe tablă, observabilă după înlăturarea corpului, este un cerc.

Reprezentarea cercului se mai poate realiza cu ajutorul unui cui sau țăruș înfipt în pământ de care este legată o sfoară de lungime dată. La capătul celălalt al sforii se leagă un alt cui. Menținând sfoara perfect întinsă și plimbând al doilea cui pe pământ, acesta va trasa un contur sub formă de cerc. Acest procedeu favorizează înțelegerea faptului că orice punct de pe cercul descris este la aceeași depărtare de cuiul fixat. Acestuia i se atribuie rolul de centrul cercului, iar lungimea sforii reprezintă raza cercului.

Fig. 65

Elevii vor realiza pe caiete o acțiune similară obținând cercuri de diferite mărimi, conturând monede sau alte corpuri. După caz se poate folosi și compasul. Pentru înlăturarea confuziei dintre cer și disc se va arăta elevilor un pahar cilindric, explicând că fundul paharului este un disc, iar gura paharului este un cerc.

II.7.3. Formarea noțiunilor de suprafață și arie

Noțiunea de suprafață se introduce prin observarea și cercetarea figurilor geometrice și a corpurilor din mediul înconjurător, luându-se în considerare atât suprafețe plane, cât și suprafețe curbe, pentru ca această noțiune să nu fie asimilată incomplet. Suprafețele se arată prin mișcarea palmei cu degetele desfăcute pe întreaga suprafață, în special în sensul lungimii, întărind gestul prin cuvinte „aceasta este suprafața mesei” etc.

Se desprind următoarele concluzii:

a) ceea ce desparte un corp de mediul înconjurător reprezintă suprafața sa;

b) suprafețele pot fi curbe sau plane;

c) figurile geometrice plane delimitează porțiuni de suprafață plană.

Se insistă pe desfășurarea corpurilor (cub, cilindru) unde suprafețele sunt mult mai evidente.

Noțiunea de arie se introduce prin constatarea pe care elevii, sub îndrumarea cadrului didactic, o pot face în legătură cu întinderile diferitelor suprafețe mărginite. Pentru aceasta se poate proceda în mai multe moduri:

a) Se compară între ele două figuri plane identice (confecționate din materiale și culori diferite) folosind metoda suprapunerii. Se cuncluzionează:

figurile geometrice identice delimitează porțiuni de suprafață la fel de mari;

cele două figuri geometrice au aceeași arie.

b) Se compară între ele figuri de aceeași formă (omotetice) dar de mărimi diferite. Se concluzionează:

figurile geometrice plane care delimitează suprafețe plane omotetice inegale au arii inegale;

figura geometrică care delimitează o suprafață plană mai mare are aria mai mare.

c) Se prezintă elevilor două figuri geometrice diferite: un dreptunghi și un pătrat, dar cu arii egale (fără ca elevii să cunoască acest lucru) și li se va cere să compare cele două arii. Pentru a putea compara ariile celor două suprafețe este necasară o unitate de măsură.

Unitatea de măsură pentru suprafață este metrul pătrat. Se prezintă elevilor un pătrat confecționat din carton cu latura de 1 m, a cărui arie este un metru pătrat cu următoarea notație – 1 m². Se precizează că așa cum metru, ca unitate de măsură pentru lungime, are submultipli și multipli și metrul pătrat ca unitate de măsură pentru suprafață are la rândul lui submultipli și multipli, se numesc aceste unități de măsură, arătându-se și raportul care există între aceste unități de măsură pentru arie.

Pentru a consolida aceste noțiuni se vor face aplicații practice, chiar și măsurarea suprafeței sălii de clasă, a terenului de sport etc.

II.7.4. Corpuri geometrice introduse intuitiv la clasele primare: paralelipipedul dreptunghic, cubul, piramida, cilindrul, conul, sfera

Studiul corpurilor geometrice nu deține o pondere prea mare în clasele primare, rolul lor constând în aceea că prin mijlocirea lor elevii înțeleg mai bine figurile plane care le mărginesc. Astfel, privind un paralelipiped, jucându-se cu el, va desprinde forma plană de dreptunghi; din piramidă va desprinde triunghiul; din con va observa cercul. Este un mod nou, eficient de a familiariza elevii cu figurile plane.

Pentru a transmite informații despre corpurile geometrice pe măsura înțelegerii copiilor din ciclul primar, se poate provoca o discuție cu elevii din care să rezulte că orice lucru sau ființă ocupă un loc în spațiu, loc ce nu poate fi ocupat în același timp de un alt lucru sau ființă și că acest obiect sau ființă se numește corp. Masa, catedra, banca, copiii sunt exemple de corpuri. Din mulțimea corpurilor existente desprindem o categorie aparte pe care o numim corpuri geometrice (figuri spațiale) care vor fi prezentate pe rând în fața elevilor și le vor denumi: cub, cuboid (paralelipiped), cilindrul, conul, piramida, sfera.

În prima parte vom orienta atenția copiilor asupra poliedrelor- corpuri mărginite de suprafețe plane.

Se va cere copiilor să urmărească, să observe și să arate formele plane cunoscute de ei în diferite ocazii dar mai ales cu ocazia jocurilor de construcții din grădiniță. Aceste forme vor fi numite fețe ale corpului respectiv. În acest moment elevii pot evidenția prin plimbarea palmei pe corpul studiat o formă de dreptunghi, pătrat, triunghi. În continuare se vor arăta copiilor corpurile rotunde: cilindrul, conul, sfera. Copiii vor urmări forma de cerc (disc), evidențiind-o prin același gest al mișcării palmei pe el.

În concluzie, în predarea-învățarea corpurilor geometrice se respectă drumul care începe cu intuirea, observarea corpului respectiv prin utilizarea tuturor analizatorilor, se continuă cu prezentarea imaginii corpului în desen și se termină cu fixarea imaginii prin limbaj. Din acest moment școlarul este capabil să reconstituie drumul invers. Se impune o observație de ordin metodic care obligă învățătorul să orienteze atenția copiilor asupra figurilor plane ce mărginesc corpul și nu asupra altor însușiri ca forma, mărimea, înălțimea, culoarea sau a materialului din care este construit. Realizarea acestor sarcini ar favoriza mai mult dezvoltarea capacității copilului de abstractizare minimalizând gândirea intuitivă.

Paralelipipedul dreptunghic (cuboidul)

Pentru a economisi timp, în lecțiile de abilități practice se pot confecționa din carton sau din alte materiale, pe bază de model, unele ,,cutii” ale căror elemente și proprietăți vor constitui subiecte de predare-învățare în lecțiile referitoare la paralelipiped și cub.

Se va începe prin observarea de către elevi a ,,cutiei” pe care au confecționat-o anterior lecției. Învățătorul va cere elevilor să-și orienteze atenția asupra unei părți a acestui corp de-a lungul căreia alunecă palma și care se numește față a corpului. Copiii vor recunoaște această față ca fiind dreptunghi.

Continuându-se observațiile asupra corpului, elevii vor constata că toate fețele acestuia sunt dreptunghiuri. Pentru întrebarea ,,Câte fețe în formă de dreptunghi sunt?”, elevii vor găsi răspunsul prin numărare.

Revenind la observațiile asupra unei fețe a corpului se va cere elevilor să urmărească marginile acestei fețe. Odată cu învățătorul, elevii plimbă degetul arătător în direcția sus-jos sau dreapta-stânga, evidențiind aceste margini cărora li se dă denumirea de muchii. Copiii vor constata că orice muchie separă două fețe alăturate. Fiind îndemnați să numere, vor afla câte muchii are corpul. Vor fi conduși să observe că unele muchii sunt egale, altele nu. Deasemeni vor observa că unele muchii sunt paralele, altele sunt perpendiculare.

Demersul metodic va continua cu observarea, intuirea și denumirea vârfurilor corpului geometric studiat. Copiii vor număra aceste vârfuri pe modelul propriu și vor fi îndrumați să observe că din orice vârf pornesc trei muchii, iar ca element suplimentar, orice vârf este parte comună pentru trei fețe vecine (alăturate).

După această prezentare intuitivă a corpului geometric-model, învățătorul îl va denumi ca fiind un paralelipiped dreptunghic (cuboid).

Se continuă cu activități de recunoaștere a corpului învățat printre obiectele lumii reale (dulapuri, cărți, sală de clasă, unele penare). Pe exemplele găsite, elevii vor fi puși în situația de a recunoaște fețele, muchiile, vârfurile, ocazie ce realizează fixarea cunoștințelor.

O etapă importantă, distinctă, o constituie prezentarea în fața elevilor a unui paralelipiped construit din sârmă. Acest model va da posibilitatea copilului să înțeleagă mai bine redarea în desen a unui paralelipiped. Se poate afirma că acesta este momentul în care se pun bazele reprezentărilor spațiale și ale gândirii ,,în spațiu” ale elevilor în clasele gimnaziale.

Elevii vor desena paralelipipedul numai pe baza unor elemente de sprijin care constau în indicarea unor puncte esențiale ale acestuia (vârfurile corpului).

Pe tablă, elevii vor observa următoarea configurație:

Fig. 66

Modelul confecționat din sârmă

Unirea acestor puncte o vor face elevii dirijați de învățător, care va lucra la tablă, urmărind în același timp muchiile paralelipipedului din sârmă. Mai dificilă ar fi redarea în desen a unui paralelipiped din carton, tablă, lemn sau alte materiale opace, care nu permit vizualizarea tuturor muchiilor, indiferent din ce poziție le-am privi.

Convenim cu elevii ca muchiile care nu se văd să fie redate prin linii punctate, ca în figura următoare:

Fig. 67

Exersarea operațiilor gândirii, în special analiza și sinteza, se realizează eficient prin acțiunile de desfășurare și asamblare a paralelipipedului. Acestea pot constitui subiectele unor activități practic-aplicative care pun în valoare cunoștințele învățate.

Desfășurarea corpului reprezintă o acțiune practică de tăiere a corpului de-a lungul unui număr minim de muchii care să permită ca toate fețele să poată fi așezate pe o suprafață plană sub forma unui poligon.

Model de desfășurare a unui paralelipiped respectând secvențele:

Numerotarea muchiilor:

Fig. 68

Se desprinde fața laterală din dreapta prin tăierea muchiilor 2, 6, 10:

Fig. 69

Se desprinde fața laterală din stânga prin tăierea de-a lungul muchiilor 5, 4, 12:

Fig. 70

Tăind în lungul uneia din muchiile 1, 3, 11 sau 9 obținem desfășurarea completă a paralelipipedului:

Fig. 71

Asamblarea presupune parcurgerea inversă a secvențelor anterioare.

Cubul

Pentru cunoașterea de către elevi a cubului se va face apel la etapele parcurse în predarea-învățarea paralelipipedului dreptunghic. Învățătorul va avea pe masă un cub și un paralelipiped din carton sau plastic și altele din sârmă. Comparând cele două corpuri, elevii vor descoperi:

Asemănări:

au fețe, muchii, vârfuri;

numărul acestora este același pentru fiecare din cele două corpuri.

Deosebiri:

– cubul are toate fețele pătrate egale între ele;

– paralelipipedul nu are toate fețele egale între ele, ci numai două câte două.

Cubul confecționat din sârmă va ajuta la reprezentarea lui în desen. Folosind punctele de sprijin și urmărind modelul din sârmă, elevii împreună cu învățătorul vor trasa muchiile cubului: AB, BC, CD, AD, AE, EH, HG, GF, EF, HD, GC ȘI FB.

Fig. 72 H ̊ ̊G

E ̊ ̊F

D ̊ ̊C

A ̊ ̊ B

Copiii vor fi puși în situația de a recunoaște pe desen vârfurile, muchiile și fețele cubului. Ca și la paralelipiped se va realiza o activitate suplimentară pentru fixarea cunoștințelor despre cub concretizată în confecționarea și desfășurarea cubului.

Piramida

Pentru predarea-învățarea cunoștințelor despre piramidă, învățătorul va pregăti pe catedră poliedre și corpuri rotunde, le prezintă elevilor, după care va alege doar piramidele. Va orienta atenția elevilor asupra unei singure piramide, luând-o în mână și încercând să o descrie.

Amintind elevilor despre corpurile învățate, cubul și paralelipipedul, va evidenția fețele, muchiile, vârfurile.

Se va preciza că fața pe care se sprijină piramida se numește bază și poate avea formă de triunghi, dreptunghi, pătrat sau alt poligon. Celelalte fețe diferite de bază se numesc fețe laterale. Toate fețele laterale ale piramidei sunt numai triunghiuri.

Vârful opus bazei se numește vârful piramidei. Elevii vor fi solicitați să observe deosebirile dintre piramidă și celelalte corpuri studiate.

Fig. 73

A B

piramida paralelipipedul

are o singură bază; – are două baze;

are un singur vârf; – are mai multe vârfuri;

fețele laterale sunt triunghiuri. – fețele laterale sunt dreptunghiuri.

Corpuri rotunde

Predarea-învățarea cunoștințelor despre corpurile geometrice rotunde poate începe prezentând elevilor mai multe corpuri geometrice, din care se vor alege numai corpurile rotunde, câte unul din fiecare. Elevii vor fi întrebați dacă le sunt cunoscute aceste corpuri și prin ce se deosebesc ele de celelalte corpuri. Învățătorul, după ce ascultă răspunsurile copiilor, le va spune că aceste corpuri se numesc corpuri rotunde.

Vor fi prezentate pe rând cilindrul, conul și sfera, în vederea unei prime familiarizări cu ele.

Cilindrul

Se poate concretiza prin prezentarea unor obiecte care au forma unui cilindru: cutii de conserve, bucăți de țeavă, imagini cu alte obiecte în formă de cilindru. Elementele cilindrului se intuiesc pe model. Suprafața pe care sprijină se numește bază, care are formă de disc (cerc). Orice cilindru are două baze egale. Partea cuprinsă între cele două baze și care îl mărginește se numește suprafață laterală.

Este bine ca elevii să aibă pe bănci cilindri confecționați într-o activitate anterioară, din carton (la orele de abilități practice) și vor fi cilindri cu bazele cercuri și nu discuri. Cu modelele în față elevii vor realiza desenul pe caiete urmărind indicațiile învățătorului. De asemenea pot realiza desfășurarea cilindrului identificând suprafața laterală cu un dreptunghi.

Fig. 74

Conul

Din mulțimea corpurilor geometrice pregătite de învățător pe masă, se va alege un con care va fi prezentat elevilor și se vor descrie elementele:

suprafața pe care se sprijină conul se numește bază;

suprafața care mărginește corpul se numește suprafață laterală;

orice con are un vârf.

Elevii vor arăta elementele conului pe modelele ce le au pe bănci.

Executarea desenului de către învățător la tablă va fi urmărită de elevi în vederea realizării desenului pe caiete.

Fig. 75 vârf

suprafață laterală

disc (cerc)

Sfera

Aceasă lecție poate începe cu prezentarea în fața elevilor a mai multe corpuri sferice: mingi de diferite mărimi, bile, globul pământesc. Copiii sunt încurajați să le pipăie, să le observe, să caute deosebiri și asemănări și să le compare cu celelalte corpuri învățate. Vor ajunge la concluzia că un corp sferic nu are nici baze, nici vârfuri și are o singură suprafață care nu este plană. Din trusa de corpuri geometrice se alege o sferă secționată. Se va arăta elevilor prin gestul de alunecare a palmei pe una din cele două secțiuni că are formă de disc. Plimbând arătătorul numai pe marginea discului se indică forma geometrică numită cerc.

Fig. 76

sferă

II.7. 5. Tipuri de probleme cu conținut geometric

Problemele cu conținut geometric pot fi probleme simple sau probleme compuse, dar pot fi și probleme care se pot rezolvă printr-o metodă specifică (metoda grafică), cu deosebirea că este esențial a realiza un desen al unei figuri geometrice sugerate de textul problemei. În general problemele cu conținut geometric se rezolvă respectând etapele rezolvării problemelor:

Cunoașterea enunțului problemei;

Înțelegerea enunțului problemei;

Analiza problemei și întocmirea planului logic;

Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din planul logic;

Activități suplimentare:

verificarea rezultatului;

scrierea sub formă de exercițiu;

găsirea altei căi sau metode de rezolvare;

generalizare;

compunere de probleme după o schemă asemănătoare.

Tipuri de probleme:

Probleme simple

●De reprezentare prin desen a noțiunilor de geometrie învățate ce presupun activități de măsurare;

Exemple:

Desenați o linie frântă deschisă formată din 3 segmente: AB= 3 cm, BC= 4 cm, CD= 5 cm.

Fig. 77 Rezolvare:

A C

B D

2. Desenați un unghi drept, un unghi obtuz și un unghi ascuțit.

Fig. 78 Rezolvare:

A M E

F

B C N P G

unghi drept unghi obtuz unghi ascuțit

3. Desenați un segment AB= 4 cm în poziție orizontală, un segment CD= 3 cm în poziție verticală și un segment MN= 5 cm în poziție oblică.

Fig. 79 Rezolvare: M

A B C

poziție orizontală

D N

poziție verticală poziție oblică

●De reprezentare prin desen a unor figuri geometrice studiate, având măsurile laturilor cunoscute sau necunoscute;

6. Desenați un trapez care are baza mică de 3 cm și baza mare de 5 cm. Atenție: trapezul să aibă un unghi drept.

Rezolvare:

A 3 cm D

Fig. 82

B 5 cm C

●De aflare a perimetrului unui poligon;

Exemple:

Aflați perimetrul unui romb care are latura de 4 cm.

Plan și rezolvare: Fig. 83

A

4 cm 4 cm

B D

4cm 4cm

C

Aflați perimetrul unui teren în formă de dreptunghi care are lungimea de 50 m, iar lățimea de 35 m.

Plan și rezolvare:

Fig. 84

A D

B C

●De aflare a măsurilor laturilor când este dat perimetrul;

Exemple:

Să se afle cât măsoară latura unui pătrat, știind că perimetrul este de 52 cm.

Rezolvare:

Fig. 85 A D

•Știind că: AB = BC = CD = DA

P = 4 x l => 52 cm = 4 x l =>

l = 52 : 4 = 13 cm. B C

Verificare: P = 4 x l = 4 x 13 cm =52 cm.

Răspuns: Latura pătratului este de 13 cm.

Probleme compuse:

Exemple:

●Care presupun efectuarea mai multor operații matematice înainte de a cunoaște dimensiunile unei figuri geometrice;

10. Latura unui romb este egală cu sfertul celui mai mic număr natural de două cifre diferite de 0, (măsura estimată în cm). Aflați perimetrul rombului.

Plan și rezolvare:

•Cel mai mic număr natural de două cifre diferite de 0 este 12.

•Aflăm latura rombului.

12 : 4 = 3 cm.

•Reprezentarea rombului prin desen:

Fig. 86 A

3 cm 3 cm

B D

3 cm 3 cm

C

11. Suma lungimilor unui dreptunghi este de 24 cm, iar suma lățimilor este de 16 cm. Să se afle perimetrul dreptunghiului.

Plan și rezolvare:

•Vom reprezenta prin desen un dreptunghi respectând proprietățile acestuia.

Fig. 87 A D

B C

●Care fac legătura cu realitatea în care trăim;

Exemple:

12. Un teren în formă de dreptunghi are lățimea de 80 m, iar lungimea este egală cu dublul lățimii. Aflați lungimea gardului ce împrejmuiește acest teren.

Plan și rezolvare:

•Reprezentarea prin desen a terenului în formă de dreptunghi ținând seama de datele problemei:

•Dublul lățimii = 2 x 80m.

Fig. 88 A D

80 m 80 m

B C

•Aflăm măsura lungimii.

2 x 80 m = 160 m.

•Lungimea gardului ce împrejmuiește terenul este egală cu perimetrul terenului.

P = 2 x ( L + l ) => P = 2 x ( 80 m + 160 m) = 2 x 240 m = 480 m.

Răspuns: Lungimea gardului ce împrejmuiește terenul este de 480 m.

13. Pentru împrejmuirea unui teren în formă de dreptunghi s-au adus 400 m plasă de sârmă. Lungimea este de 100 m, iar lățimea cu 20 m mai scurtă.

a. Cât măsoară perimetrul terenului?

b. Ajunge plasa de sârmă pentru împrejmuirea terenului?

c. Pentru a atașa 3 rânduri de sârmă ghimpată, câți m trebuie să cumpere proprietarul?

Plan și rezolvare:

•Se va reprezenta prin desen un dreptunghi, respectând datele problemei:

A 100 m D

Fig. 89

B C

•Aflăm cât măsoară lățimea terenului:

100 m – 20 m = 80 m.

•Aflăm perimetrul terenului.

P = 2 x ( L + l ) => P = 2 x ( 100 m + 80 m ) = 2 x 180 m = 360 m.

•Aflăm dacă ajung cei 400 m de plasă de sârmă.

360 < 400

400 m – 360 m = 40 m.

•Câți m de sârmă ghimpată trebuie să cumpere proprietarul?

3 x 360 m = 1 080 m.

Răspuns: •Perimetrul terenului este de 360 m.

•Plasa ajunge pentru împrejmuirea terenului și mai rămân 40 m.

•Proprietarul trebuie să cumpere 1 080 m sârmă ghimpată.

C. Probleme care se rezolvă prin metoda grafică:

●De aflare a două numere când se cunosc suma și diferența dintre ele;

Perimetrul unui dreptunghi este de 96 cm. Lungimea este cu 8 cm mai mare decât lățimea. Aflați cât măsoară lungimea și cât măsoară lățimea dreptunghiului.

Plan și rezolvare

După analiza enunțului problemei, elevii vor observa că această problemă se poate rezolva prin metoda grafică cu ajutorul segmentelor.

Se va reprezenta astfel:

Fig. 90 L

l 8 cm 96 cm

L

l 8 cm

•Eliminăm diferența dintre lungimi și lățimi.

96 cm – 16 cm = 80 cm.

După eliminarea diferenței, au rămas 4 segmente egale.

80 cm

•Ce măsură are lățimea?

80 cm : 4 = 20 cm.

•Ce măsură are lungimea?.

20 cm + 8 cm = 28 cm.

În acest moment se cunosc măsurile laturilor și se poate reprezenta prin desen dreptunghiul. A D

Fig. 91

B C

Verificare:

PABCD = 2 x ( L+ l ) =˃ P = 2 x ( 28 cm + 20 cm ) == 2 x 48 cm = 96 cm.

●De aflare a două numere când se cunosc suma și raportul dintre ele;

15. Lățimea unui dreptunghi este un sfert din lungime, iar perimetrul este de 40 cm. Află cât măsoară lungimea și cât măsoară lățimea dreptunghiului.

După analiza enunțului problemei se stabilește că această problemă se poate rezolva ținând cont de suma laturilor și raportul dintre ele. Lățimea este un sfert din lungime înseamnă de 4 ori mai mică. Vom reprezenta lungimea printr-un segment. Apoi lățimea prin alt segment care este un sfert din primul.

Fig. 92

Observând cu atenție schema, vom constata că s-au format 10 segmente egale, care împreună au 40 cm. Cum putem afla cât măsoară unul dintre cele 10 segmente? (împărțind 40 cm la 10). Împărțind cei 40 cm la 10 vom afla cât măsoară un segment. De fapt aflăm cât măsoară lățimea dreptunghiului. Știind ca lungimea este cât 4 lățimi vom afla cât măsoară lungimea.

Plan și rezolvare:

Cât măsoară lățimea?

40 cm : 10 = 4 cm.

Cât măsoară lungimea?

4 cm x 4 = 16 cm.

Acum se poate reprezenta prin desen dreptunghiul:

Fig. 93 A 16 cm D

4 cm

B 16 cm C

Verificare P = 2x (L+l) => P= 2 x ( 16 + 4) => P = 2x 20 = 40 cm.

Răspuns: L = 16 cm; l = 4 cm.

Metoda cubului aplicată într-o problemă cu elemente de geometrie

Un teren în formǎ dreptunghiularǎ va fi împrejmuit cu gard. Ce lungime va avea gardul știind cǎ lǎțimea este jumǎtate din lungime, iar suma lǎțimilor este de 60m?

Grupa I: Descrie! – Desenați forma geometricǎ a terenului. Descrieți proprietǎțile figurii geometrice desenate.

Grupa a II-a: Comparǎ! – mǎrimea a douǎ laturi opuse;

– mǎrimea a douǎ laturi alǎturate.

Grupa a III-a: Asociazǎ! – Desenați un pǎtrat cu perimetrul egal cu al dreptunghiului dat.

Grupa a IV-a: Analizeazǎ! – Un țǎran vrea sǎ împartǎ terenul său în douǎ pǎrți egale. Ce forme geometrice pot avea cele douǎ terenuri obținute? (Prezentați toate variantele posibile.

Grupa a V-a: Aplicǎ! – Scrieți planul de rezolvare al problemei.

Grupa a VI-a: Argumenteazǎ! – Terenul trebuie împrejmuit cu trei rânduri de sârmǎ. De câți metri de sârmǎ are nevoie țǎranul? Câte asemenea terenuri pot fi împrejmuite doar cu un singur rând de sârmǎ?

Probleme- joc.

Ionuț, Marius și Andrei participă la un concurs de tragere cu arcul la țintă. Observați desenul și spuneți a cui săgeată va nimeri centrul țintei. (Ionuț- roșu, Marius- verde, Andrei- albastru)

Fig. 94

Problema se poate rezolva prelungind fiecare săgeată cu linie punctată.

Un pitic mai…. special

Observați desenul apoi aflați:

Fig. 96

342 123

471 96 6

jumătatea numărului aflat doar în interiorul cercului și nu al triunghiului;

dublul numărului aflat și în interiorul cercului și în al triunghiului;

sfertul numărului aflat în interiorul triunghiului dar în exteriorul cercului;

produsul numerelor aflate în interiorul dreptunghiului dar în exteriorul triunghiului.

Completează tabelul cu datele necesare:

Observați corpurile geometrice, apoi completați tabelul:

Fig. 97

Ghicitori … geometrice

Descoperiți numele corpului sau figurii geometrice din ghicitorile de mai jos; apoi realizați un desen reprezentativ pe verso-ul paginii.

•Am muchii egale și 8 vârfuri. ( …………………….. )

•Par un sul de hârtie. ( ……………………… )

•Am 6 fețe pătrate. ( …………………….. )

•Mi-am găsit două fețe pătrate și 4 dreptunghiuri. ( ………………………………. )

•Distanța din centru până la fața mea este aceeași, oricare drum îl alegi. ( …………………)

•Sunt cornetul de înghețată. ( ………………….. )

•Am un singur vârf și o față cer. ( ………………… )

•Nu am vârfuri și mă rostogolesc ca o minge. ( ………..)

•Am 2 fețe cercuri , dar vârfuri nu. ( …………….. )

•Par un pachet de unt. ( …………….. )

•Am chipul unei conserve. ( ………………… )

•Copiii mă aseamănă cu un coif. ( …………….. )

•Pot avea 6 fețe dreptunghiulare. ( …………………….. ).

Ghicitori în versuri:

1

2

3

4

5

6

7

8

II.8. Forme de organizare a activității de învățare

Lecția ca formă de organizare a învățării

Lecția constituie forma prin care se stabilesc relațiile între învățător și elev în procesul învățării. Elevul asimilează cunoștințe și își formează deprinderi prevăzute în programa școlară sub îndrumarea cadrului didactic.

În lucrările de specialitate se înregistrează numeroase definiții: „formă de organizare a procesului de învățământ”, „formă dominantă”, „formă de bază”. Orice denumire ar purta, lecția este forma de bază a activității de învățare prin care se urmărește realizarea unor obiective proiectate riguros, într-un timp delimitat prin intermediul unor metode de învățare adecvate. Datorită numeroaselor sale calități lecția ocupă un loc central în ansamblul formelor de organizare a procesului de învățământ.

Caracterul procesual, secvențial al învățării face ca lecția să fie structurată ca o succesiune de evenimente, secvențe de instruire care au un anumit conținut, fiecărei secvențe îi corespund anumite obiective didactice, anumite sarcini didactice, respectiv metode și procedee de învățământ. Pentru a fi eficientă lecția trebuie corelată cu lecțiile anterioare și bineînțeles lecțiile viitoare, lecția trebuie să facă parte dintr-un sistem, corespunzătoare unei unități de învățare.

Formele de organizare ale procesului de învățământ sunt asociate tot mai frecvent cu un anumit mod de abordare și concepere a învățării – trecerea de la organizare frontală a activității la o organizare care să accentueze valențe de lucru în grup: pe grupe de interes, de activități, de aptitudini, de dificultăți, valorice, de control, funcționale. În funcție de situație și prin raportare la anumite criterii, grupul poate fi format doar din doi elevi, pereche, sau grupuri mai mari formate din cinci-șase elevi.

Pe parcursul unei lecții putem combina mai multe forme de organizare:

activitate frontală – caracterizată prin o sarcină frontală unică, elevii rezolvă sarcina colectiv, iar cadrul didactic sintetizează răspunsul colectiv;

activitate individuală – caracterizată prin o sarcină frontală unică, elevii rezolvă sarcina individual, iar cadrul didactic sintetizează răspunsul fiecărui elev;

activitate independentă în grupuri eterogene – caracterizată printr-o sarcină unică, frontală, nediferențiată, elevii rezolvă sarcina în cadrul grupului, cooperând, învățătorul sintetizează răspunsurile primite de la fiecare grupă în parte;

activitate independentă în grupuri omogene – caracterizată print-o sarcină frontală, unică, diferențiată, echivalentă, elevii rezolvă individual în cadrul grupului, răspund independent, învățătorul sintetizează răspunsurile primite de la fiecare grup în parte;

activitate independentă individualizată – caracterizată prin sarcini individualizate, conținut, realizare, elevii rezolvă independent sarcina, învățătorul urmărește modul de rezolvare a sarcinii, eventual îndrumă elevii acolo unde este cazul și apreciază activitatea fiecărui elev.

Aceste forme de organizare trebuie îmbinate pe parcursul unei ore.

Învățătorul are un rol fundamental în stabilirea obiectivelor, a sarcinilor de lucru, în cunoașterea nivelului de dezvoltare a fiecărui elev, în îndrumare și finalizare, deci cadrul didactic are rol de dirijare, realizând mai multe aspecte formative, educative.

A lucra în grup sau în echipă presupune rezolvarea sarcinii didactice de către toți membrii echipei, fiecare contribuind cu puterile sale. Fiecare echipă își poate stabili câte un lider pentru fiecare sarcină în parte, astfel fiecare își asumă responsabilitatea în rezolvarea unor probleme.

Prin munca în echipă, elevul își exersează și dobândește capacități de cooperare, de sprijin, de primire și asumare de sarcini, de coordonare, de subordonare, de respectare de reguli, de asumare de reguli, de asumare a răspunderii, de manifestare a inițiativei.

Activitatea diferențiată în cadrul lecțiilor de matematică este una din căile menite să realizeze o tratare adecvată a copiilor. Strategia diferențierii conduce la o gamă foarte variată de forme de lucru și modalități de organizare a activității pentru a îmbina cele trei forme de activitate: frontală, pe grupe și individuală.

Învățătorul trebuie să urmărească aplicarea întregului sistem diferențiat. De exemplu pe o fișă de lucru sarcinile didactice trebuie să pornească de la un grad scăzut de dificultate, sporind treptat, dând astfel tuturor elevilor posibilitatea de a rezolva un număr de sarcini.

În cazul muncii independente pe care elevii o rezolvă pe caiete, pentru început învățătorul propune spre rezolvare un număr de exerciții și probleme pentru toți elevii din clasă, sunt de regulă sarcini de dificultate medie. Aceste sarcini trebuie rezolvate de tot colectivul într-un timp determinat, dar sunt elevi care își termină corect sarcinile într-un timp foarte scurt. În acest caz, învățătorul trebuie să fie pregătit pentru a propune spre rezolvare sarcini din ce în ce mai dificile pentru elevii capabili de performanță.

Munca independentă se poate regăsi în diferite secvențe ale lecției, dar cel mai des este utilizată în partea de fixare a cunoștințelor unei lecții. Aceast procedeu poate constitui o imagine clară asupra modului în care elevii au înțeles și și-au însușit noile cunoștințe. Totodată această etapă oferă posibilitatea pregătirii prealabile a elevilor pentru tema de acasă.

Tratarea diferențiată a elevilor promovează principiile toleranței și echității, răspunzând unei game largi de calități, stiluri de învățare, nevoi și personalități ale elevilor din clasă. Prin tratarea diferențiată a elevului se creează motivația de învățare, deoarece elevul este apreciat pentru ceea ce a realizat.

De regulă, elevii răspund pozitiv comportamental și motivațional atunci când sunt apreciați atât verbal cât și prin calificative. Tratarea diferențiată induce astfel de comportamente, îi ajută pe copiii cu dificultăți de învățare să progreseze, să obțină rezultate superioare. De asemenea, tratarea diferențiată îi stimulează și pe elevii cu un potențial intelectual crescut să fie mai creativi, să găsească soluții rapide de rezolvare a unor probleme, să-și dorească sarcini din ce în ce mai dificile, care să constituie o permanentă provocare.

Pe parcursul lecțiilor cele trei forme de organizare a activității (frontală, individuală, pe grupe) trebuie îmbinate cât mai eficient, având menirea să conducă la dezvoltarea competențelor generale pentru fiecare elev.

II.9. Strategii de evaluare utilizate în formarea noțiunilor intuitive de geometrie

În procesul educației se disting trei componente: predarea, învățarea și evaluarea. Tot acest proces depinde foarte mult de modul în care este proiectată, aplicată și interpretată evaluarea.

Există mai multe tipuri de evaluare:

evaluare inițială sau predictivă – care se aplică la începutul unui an școlar sau la începutul unui semestru școlar sau poate fi aplicată chiar înaintea începerii unei noi unități de învățare, prin care cadrul didactic depistează nivelul cunoștințelor în momentul respectiv;

evaluarea continuă sau formativă – are loc pe tot parcursul desfășurării procesului instructiv- educativ, are un caracter permanent și poate îmbrăca diferite forme;

evaluarea sumativă sau cumulativă – care se aplică la intervale mai mari de timp, de regulă după terminarea unei unități de învățare, la sfârșitul unui semestru sau la sfârșitul anului școlar.

Așa cum am precizat anterior, evaluarea continuă poate îmbrăca diferite forme:

observarea și aprecierea verbală;

chestionarea orală;

probe scrise;

verificarea prin lucrări practice.

Observarea și aprecierea verbală se utilizează zilnic în fiecare moment al lecției și are rolul de a aprecia verbal răspunsurile elevilor, de a-i stimula.

Chestionarea orală este o formă de conversație prin care se verifică cantitatea și calitatea cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor elevilor.

Probele scrise permit verificarea tuturor elevilor dintr-o clasă într-un timp foare scurt. De exemplu după predarea unei noi noțiuni, învățătorul poate aplica o evaluare scurtă elevilor, rezolvarea unui exercițiu, unei probleme care să cuprindă aspecte esențiale ale noii lecții. Această formă de evaluare oferă o imagine foarte clară învățătorului asupra modului în care au fost însușite noile noțiuni. Astfel cadrul didactic poate interveni cu noi explicații dacă este cazul.

Verificarea prin lucrări practice se utilizează cu precădere în lecțiile cu conținut geometric. Încă de la clasa pregătitoare sau clasa I se poate aplica această modalitate de evalare: „Decupează după contur figurile geometrice. Constuiește cu ele o casă.”

Acestă lucrare practică se poate aplica și la clasa a IV-a, cerința exercițiului fiind mult mai complexă: Construiește un dreptunghi cu lățimea de 10 cm, lungimea de 12 cm, un triunghi isoscel cu baza de 12 cm, două pătrate cu latura de 3 cm și un alt dreptunghi cu lățimea de 4 cm și lungimea de 6 cm. Pentru fiecare figură geometrică alege hârtie glasse de altă culoare, doar pătratele să aibă aceeași culoare. După ce ai desenat figurile corespunzătoare, decupează-le și construiește o casă.

Testul docimologic este cel mai important instrument de evaluare. Pentru elaborarea unui test învățătorul trebuie să redacteze itemi în funcție de obiectivele urmărite, de materia ce urmează a fi evaluată și de capacitățile subiecților evaluați.

Itemii pot fi:

– obiectivi, care constituie baza în realizarea testelor standardizate și pot fi:

cu răspuns unic:

cu alegere duală:

Completează cu DA sau NU:

Dreptele paralele se intersectează.

Dreptele perpendiculare formează un unghi drept.

Pătratul este un romb.

Laturile paralele ale unui trapez se numesc baze.

Oricare două drepte sunt paralele.

de tip pereche:

cu alegere multiplă:

Colorează răspunsul corect:

Perimetrul unui pătrat cu latura de 4 cm este

Doi copii au identificat în figura de mai jos:

Numără și tu și colorează caseta cu răspunsul corect.

Fig. 99

semiobiectivi, care pun elevul în situația de a construi răspunsul. Acești itemi pot fi:

cu răspuns scurt:

Semiperimetrul unui dreptunghi cu lungimea de 3 m și lățimea de 2 m este ………. .

Rombul cu un unghi drept se numește ……………………. .

de completare:

Măsura unui unghi este dată de …………………….., nu de ………………………. laturilor.

Pătratul are ……… de simetrie.

întrebări structurate:

Cum se numesc două drepte care se află la aceeași distanță una de alta?

Câte vârfuri are un cub?

cu răspuns deschis:

Un dreptunghi are perimetrul 320 m, lungimea fiind de trei ori mai mare decât lățimea. Află dimensiunile dreptunghiului, apoi suprafața acestuia.

Un triunghi echilateral are perimetrul egal cu perimetrul unui pătrat, fiind egal cu 60 m. Află latura pătratului. Doi elevi înconjoară fiecare de câte 5 ori triunghiul, respectiv pătratul.

Ce distanță parcurge fiecare? Cum sunt cele două distanțe? De ce?

Evaluarea inițială- se efectuează la începutul unei etape de instruire pentru a cunoaște nivelul de pregătire și a capacității de învățare a elevilor. Această formă de evaluare are o funcție predictivă, descoperirea unor lacune în cunoștințele elevilor obligând la reproiectarea programelor de învățare, la conceperea unor programe compensatorii.

Evaluarea formativă (diagnosticul) – presupune verificarea rezultatelor pe secvențe mici, pe parcursul activității de instruire, permițând luarea imediată a unor măsuri corective. Acest tip de evaluare furnizează un feed-back despre gradul de însușire al cunoștințelor, dificultățile întâmpinate, având ca rol ameliorarea procesului de învățare și stimularea dezvoltării elevilor.

Evaluare formativă

Elemente intuitive de geometrie – clasa a IV-a

Obiective operaționale

O1. Să identifice corect formele geometrice plane;

O2. Să identifice corect formele geometrice spațiale;

O3. Să scrie corect denumirile formelor geometrice plane și spațiale;

O4. Să calculeze perimetrul unei figuri geometrice;

O5. Să calculeze exercițiile problemă propuse.

Itemi (Model de test de evaluare- Elemente intuitive de geometrie)

a) Scrie în tabel litera corespunzătoare fiecărei forme geometrice plane:

Fig. 100

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

b) Continuă fiecare din desenele următoare pentru a obține :

a) un triunghi b) dreptunghi c) un romb

Fig. 101

Observă, apoi completează: Fig. 102 A D

AB este paralelă cu ….; AD este paralelă cu ……;

AC și DB sunt ………………………………;

AB = BC = …….. = ……… . B C

3. Completează enunțurile :

a) Cubul are ….. fețe în formă de …………….., are ….. unghiuri și …. muchii.

b) Piramida poate avea baza …………… sau …………… .

c) Fețele paralelipipedului sunt ………………………… .

Denumește figurile geometrice de mai jos

Fig. 103

Realizează, prin săgeți, corespondența între desen, definiție și denumire:

Fig. 104

4. Află lungimea laturii unui pătrat cu perimetrul de 16 cm.

5. Aflați perimetrul unui dreptunghi care are lungimea egală cu suma numerelor 23 și 25, iar lățimea de două ori mai mică.

6. La un concurs de alergare concurenții trebuie să parcurgă de 5 ori traseul în formă de pătrat cu latura de 75 m.

Care va fi distanța parcursă de concurenți ?

7. Perimetrul unui triunghi este de 32 cm.Lungimea unei laturi este 3/8 din lungimea perimetrului. Celelalte doua laturi sunt egale. Află lungimea laturilor triunghiului.

8. O grădină în formă de triunghi are dimensiunile de: 240m, din 240m și din 240m. Aflați lungimea gardului ce înconjoară terenul.

Descriptori de performanță

După aplicarea testului, analizând rezultatele, am stabilit cauzele care au determinat nerezolvarea în totalitate a obiectivelor de către toți copiii și m-am preocupat în mod special de recuperarea lor prin muncă individuală și în grupuri mici, rezolvând fișe de lucru de recuperare. Pentru elevii care au efectuat corect sarcinile didactice am pregătit fișe de lucru de dezvoltare cu sarcini care să le dezvolte potențialul creativ.

Pentru a putea gestiona eficient tehnicile și instrumentele de evaluare pot fi întocmite matrice de evaluare:

Metode alternative de evaluare

Portofoliul reprezintă o colecție de produse ale activității elevului. Acesta poate cuprinde: fișe de muncă independentă, teste de evaluare inițială, formativă și finale, proiecte sau alte produse realizate de elevi. Portofoliul are o funcție importantă, aceea de investigare a majorității „produselor” elevului/ elevilor, totodată prin această metodă se poate observa progresul elevului de la un semestru la altul sau de la un an la altul.

Exemplu de sarcină de lucru:

Clasa a IV-a

Tema: Forme geometrice

Desenați pe o foaie de hârtie un cub desfășurat. Decupează după contur figura respectivă, apoi îndoaie după fiecare muchie bine.

Această sarcină poate fi aplicată și într-o lecție de educație tehnologică.

Investigația oferă posibilitatea elevului de a aplica în mod creativ cunoștințele însușite, în situații noi și variate, pe parcursul unei ore sau a unei succesiuni de ore de curs.

Activitatea didactică desfășurată prin intermediul acestei practici evaluative poate fi organizată individual sau pe grupuri de elevi, iar aprecierea modului de realizare a investigației este de obicei de tip holistic. Aportul acestui tip de activitate asupra dezvoltării capacităților de ordin aplicativ al elevilor este considerabil.

Proiectul reprezintă o activitate mai amplă de evaluare decât investigația.

Proiectul începe în sala de clasă prin definirea și înțelegerea sarcinii de lucru și se continuă acasă pe parcursul mai multor zile sau chiar săptămâni, timp în care elevii se consultă permanent cu învățătorul, se cer anumite lămuriri sau prin noile cunoștințe dobândite se dezvoltă și conturează proiectul. Ca și investigația, proiectul are mai multe etape și se poate realiza individual sau pe grupe.

Printre capacitățile elevilor posibil de evaluat prin intermediul acestei metode enumerăm:

adecvarea metodei de lucru și a instrumentului ales la obiectivele propuse prin proiect;

folosirea corespunzătoare a materialelor din dotare;

oferirea unei soluții corecte;

realizarea cu acuratețe a produsului;

posibilitatea generalizării problemei;

prezentarea proiectului;

modul de colaborare între membrii echipei (dacă este cazul).

Exemplu:

Aplicații practice cu figuri geometrice/ corpuri geometrice. (Elevii clasei împărțiți pe grupe pot realiza macheta școlii lor.)

Autoevaluare, prin informațiile pe care le furnizează, are un rol deosebit de important în ceea ce privește întregirea imaginii elevului din perspectiva judecății de valoare a învățătorului.

Pentru ca evaluarea să fie resimțită de elev ca având efect formativ, raportându-se la diferite capacități ale sale în funcție de progresul realizat și de dificultățile pe care le are de depășit, este foarte utilă formarea capacității de autoevaluare. Elevii au nevoie să se cunoască, acest lucru are implicații în plan motivațional și atitudinal.

Elevul aflat în situația de învățare are nevoie de anumite puncte de refetință care să-i definească rolul, natura și direcțiile activității sale, prin autoevaluare elevul își poate conștientiza progresul și achizițiile făcute, să-și elaboreze stilul propriu de lucru în clasă, să se poată situa în raport cu exigențele de învățare.

Modalități de autoevaluare utilizate sunt:

autocorectarea sau corectarea reciprocă, evaluare;

autonotarea controlată- elevul își acordă un calificativ, care va fi definitivat de învățător;

notarea reciprocă pune elevii în situația de a-și nota colegii prin reciprocitate în lucrările scrise.

În toate aceste modalități de autoevaluare elevii trebuie să cunoască și să folosească criteriile de notare, pentru a ști exact ceea ce este corect sau greșit.

Tema pentru acasă vine să consolideze noținile pe care elevii și le însușesc în clasă, totodată tema pentru acasă dezvoltă deprinderile de muncă individuală.

Evaluarea ritmică a temelor de acasă poate oferi învățătorului, dar și elevului soluții pentru eficientizarea și optimizarea demersului didactic. Tema de acasă trebuie să îndeplinească câteva cerințe: sarcinile de lucru să fie diferențiate, să consolideze noțiunile studiate în clasă, pentru elevii foarte buni se pot da teme de perfecționare, pentru elevii care întâmpină dificultăți de învățare se pot da teme de recuperare.

Utilizarea metodelor alternative de evaluare în cadrul activităților didactice este importantă pentru accentuarea dimensiunii formative ale procesului instructiv-educativ în ansamblul său.