Elemente DE Aritmetică ÎN Mulțimea Numerelor Întregi

Politehnica

Elemente DE Aritmetică ÎN Mulțimea Numerelor Întregi

Byadmin ianuarie 1, 2024

ELEMENTE DE ARITMETICĂ ÎN MULȚIMEA NUMERELOR ÎNTREGI

PLANUL LUCRĂRII

INTRODUCERE

CAPITOLUL I : Elemente de aritmetică în Mulțimea Numerelor Naturale

§ 1. Construcția numerelor naturale

Aplicații

§ 2 . Relația de divizibilitate în mulțimea numerelor naturale

Aplicații

§ 3. Cel mai mare divizor comun a două numere naturale

Aplicații

§ 4. Cel mai mic multiplu comun

Aplicații

§ 5. Numere prime. Numere nedecompozabile

Aplicații

CAPITOLUL II : Divizibilitatea în mulțimea numerelor întregi

§ 1. Construcția numerelor întregi

Aplicații

§ 2. Relația de divizibilitate în Z

Aplicații

§ 3. Cel mai mare divizor comun și Cel mai mic multiplu comun al

numerelor întregi

Aplicații

§ 4. Criterii de divizibilitate

Aplicații

CAPITOLUL III : Cercetare metodică

§ 1. Proiectarea didactică

§ 2. Proiecte didactice

CONCLUZII

BIBLIOGRAFIE

INTRODUCERE

Matematica este o disciplină importantă care contribuie la formarea unei gândiri logice, a unei judecăți corecte, precise și riguroase, precum și la crearea unei ordini în viață și în muncă.

Aritmetica este ramura matematicii care se ocupă cu relațiile dintre numere iar numerele întregi sunt un exemplu de bază pentru o mulțime de numere în care pot fi folosite relațiile aritmetice, cum ar fi divizibilitatea. . Continuarea aritmeticii pe un plan superior este „teoria numerelor”.

Titlul lucrării alese pentru susținerea examenului de Gradul I este „Elemente de aritmetică în mulțimea numerelor întregi” .

Am ales această temă deoarece este suficient de generoasă, utilă, cu aplicabilitate în practică . Dublată de experienta la catedră, elaborarea lucrării este un demers de la teorie la practică. Dacă în primele capitole rolul meu a fost acela de a cerceta materialele existente în domeniu, ultimul capitol este o expresie a implementării conținutului ales în activitatea didactică pe care o desfășor. Selectarea temei este dată de perspectivele diferite pe care le oferă predarea acestor noțiuni.

Lucrarea este structurată în trei capitole.

Primul capitol, intitulat “Elemente de aritmetică în Mulțimea Numerelor Naturale” este format din cinci subcapitole. În primul subcapitol se prezintă noțiuni referitoare la construcția numerelor naturale cu ajutorul sistemului axiomatic al lui Peano, noțiuni legate de operațiile de adunare și înmulțire pe mulțimea Numerelor Naturale, proprietățile acestora , demonstrându-se că mulțimea numerelor naturale este o mulțime bine ordonată.

În subcapitolul II am introdus relația de divizibilitate în mulțimea numerelor naturale, iar în subcapitolele III și IV am prezentat cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun. În subcapitolul V am introdus numerele prime, numerele nedecompozabile, am prezentat Ciurul lui Eratostene – metodă de obținere a numerelor prime mai mici decât un număr dat – , cât și teorema fundamentală a aritmeticii. Toate subcapitolele primului capitol sunt dublate de aplicații.

Al doilea capitol poate fi văzut ca o extindere a primului capitol, prezentând elemente de aritmetică în Mulțimea Numerelor Întregi. Se păstrează aceeași structură și se oferă informații teoretice referitoare la : construcția numerelor întregi, criterii de divizibilitate, divizor și multiplu comun. Am inserat și exerciții și probleme ilustrative pentru partea teoretică prezentată.

Capitolul al III-lea este o sinteză a cercetării metodice cu privire la conținuturile prezentate în capitolele anterioare. Acesta cuprinde noțiuni teoretice referitoare la modul de realizare a proiectării didactice, la algoritmul procedural care trebuie urmat pentru realizarea proiectării unei lecții, care presupune răspunsul la patru întrebări :„ce voi face?”, „cu ce voi face?”, „cum voi face?” , „cum voi știi dacă am realizat ce mi-am propus?” .

Un proiect didactic bine construit este o condiție necesară pentru realizarea unei lecții reușite. Proiectele didactice realizate înfățișează modul de desfășurare al unei lecții pe teme de divizibilitate la clasa a V-a și a VI-a.

Scopul lecțiilor prezentate este acela de a aprofunda cunoștințele elevilor legate de divizibilitate, de a-i ajuta să-și dezvolte gândirea științifică, de a-și perfecționa tehnicile de calcul și de a-și însuși noi algoritmi de lucru. Sunt înfățișate mai multe tipuri de lecție (lecții de însușire de noi cunoștințe, lecții de fixare și consolidare a cunoștințelor și o lecție mixtă), care utilizează atât metode și procedee tradiționale, cât și moderne .

CAPITOLUL I

Elemente de aritmetică în mulȚimea numerelor naturale

§ 1. CONSTRUCȚIA NUMERELOR NATURALE

Vom introduce noțiunea de număr natural cu ajutorul sistemului axiomatic al lui Peano. Pentru acest sistem axiomatic noțiunile primare sunt : noțiunea de număr natural (un element al unei mulțimi ) și numărul natural zero ( un element fixat al mulțimii N) iar relația primară este cea de succesor. Presupunem cunoscute elemente de teoria mulțimilor, noțiunile de funcție , funcție injectivă , surjectivă și bijectivă .

Fie N o mulțime nevidă ,0 N un element fixat al său și o funcție s: N N , pentru care sunt satisfăcute urmatoarele axiome (Axiomele lui Peano) :

P1 : 0 nu este succesorul unui număr natural ;

P2 : s este aplicație injectivă ;

P3 : Dacă M este inclus în N astfel încat 0M și m M rezultă s(m) M atunci M = N .

Axioma (P3) se mai numește și axioma inducției . Succesorul s(n) al unui element nN se mai noteaza n’.

Să presupunem că (N,o,s) este un triplet care verifică axiomele (P1) – (P3). Dupa (P1) , o și deci s(N) este o submulțime proprie a lui N. Dar dupa (P2), s este bijecție a lui N pe s(N) și deci N este o mulțime infinită.

Numerele naturale 0 , 1=s (0), 2=s(1) , …, n’=s(n) se numesc zero, unu, doi,… și sunt în mod curent folosite ca “etichete” pentru mulțimile fără nici un element, cu un element, cu un element și înca un element… .

Vom folosi axioma (P3) pentru a demonstra următoarele două propoziții.

Propoziția 1.1. Orice element al lui N , diferit de 0 este succesorul unui anumit element al lui N.

Vom nota cu M = s(N) {0} , unde s (N) = { s(x)| x }. Este evident că M , 0 M , s(M) M . Din axioma (P3) rezultă că M=N și …… 0, se obține că s(N) = N \{0}. Ultima egalitate arată că astfel încât

Propoziția 1.2. ( Primul principiu al inducției) Presupunem că fiecarui număr natural “n” i se asociază o propoziție P(n) . Fie P(0) adevărată și să presupunem că dacă P(k) este adevărată, rezultă P(k’) adevărată. Atunci P(n) este adevărată pentru orice .

Vom folosi axioma P(3) pentru a demonstra. Fie M = { k N | P(k) adevărată}. Atunci

M și i) 0M ii) kk’M

Deci din axioma (P3) rezultă că M=N , adica P(n) este adevarată pentru orice n .

Pe baza axiomelor lui Peano, întreaga teorie a numerelor naturale se poate construi prin deducție . Cea mai importantă este axioma inducției , care se folosește pentru definirea operațiilor de adunare și înmulțire pe mulțimea numerelor naturale, precum și pentru demonstrarea proprietăților acestor operații.

Teorema 1.3. Există o unică operație algebrică pe N, pe care o notăm aditiv “+” și

numai una, astfel încât :

(A1)

(A2) n’ =( m+n )’ ,

Unica operație algebrică pe N care satisface (A1) și (A2) se numește adunarea numerelor naturale iar condițiile A1 și A2 se numesc axiomele adunării numerelor naturale.

Lema 1.4. Adunarea numerelor naturale are proprietățile :

(A10) 0+m= m , m

(A20 ) m’+ n = (m+n)’ ,m,n .

Fie M ={ m | 0+m=m }. Deoarece 0 + 0 = 0 , atunci 0 M .

Dacă mM , atunci 0 + m’= (0 + m)’= m’ și deci m’ M . Din axioma inducției rezultă M=N și (A10) este demonstrată.

Fie M= { n | m’ + n = (m + n)’ } . Evident 0 M . Dacă n M , atunci

m’ + n’ = (m’ + n)’=((m+n)’)’=(m+n’)’ , deci n’ M . Așadar, din axioma de inducție rezultă

M = N , deci și (A20) este adevărată.

Teorema 1.5. Adunarea numerelor naturale are următoarele proprietăți:

1) (m + n) + p= m + (n + p) , m, n, p

2) m + n = n + m , m, n

3) 0 + n = n + 0 , n

4) m + n = 0 m = 0 și n = 0

5) m + n = m + p n = p

Teorema 1.6. Există o unică operație algebrică pe N , pe care o notăm multiplicativ

“ ∙” astfel încât:

( I1) m∙ 0 = 0

( I2) m ∙ n’ = m ∙ n + m m , n

Unica lege de compoziție pe N care satisface (I1) și (I2) se numește înmulțirea numerelor naturale iar condițiile (I1) și (I2) se numesc axiomele înmulțirii numerelor naturale.

Lema 1.7. Înmulțirea numerelor naturale are proprietățile :

I1o) 0 ∙ m=0 ,

I2o) m’∙ n = m∙ n + n ,

Fie M ={ m | 0 ∙ m = 0 }. Din (I1) rezultă că 0 ∙ 0 = 0, deci 0 M.

Dacă mM, atunci 0 ∙ m’= 0 ∙ m + 0 = 0 + 0 = 0, deci și m’M . Rezultă că M=N , deci (I1o) este verificată.

Fie M = {n | m’∙ n = m∙ n + n }. Evident 0 M . Fie nM , deci m’∙ n = m∙ n + n, arătăm că n’M . Avem :

m’n’= m’n+m’= (mn+n)+m’=mn+(n+m’) = mn+(n+m) = mn+(m+n’) = (mn+m)+n’= mn’+n’, deci n’M . Rezultă că M = N , deci și ( I2o ) este adevărată.

Teorema 1.8. Înmulțirea numerelor naturale are următoarele proprietăți :

1) m ∙ (n+p)=m∙ n+m∙ p , m, n, p

2) (m ∙ n ) ∙ p= m∙ (n ∙ p ) , m, n, p

3) m ∙ n = n ∙ m , m,n,

4) 1∙ n = n ∙ 1 , n,

5) m ∙ n = 0 m = 0 sau n = 0

6) m ∙ n = m ∙ p și m 0 n = p

7) m∙ n =1 m = 1 și n = 1

Observația 1 : Din proprietățile 1) , 2) , 3) stabilite în teorema 2.3. rezultă că (N, + ) este semigrup comutativ cu element neutru .

Observația 2 : Din proprietățile 2), 3), 4) stabilite în teorema 2.6. rezultă că (N, ∙) este un semigrup comutativ cu element neutru.

Un concept fundamental pentru mulțimea N a numerelor naturale este relația de ordine.

Definiția 1.9. Fie m și n numere naturale . Spunem că m este mai mic decât n și scriem

m < n, dacă există u , u astfel încât m + u = n .

Teorema 1.10. Dacă m < n există un singur număr natural u astfel încât n = m + u.

Existența lui u este asigurată direct de definiție. Dacă există d astfel încât n = m + d, urmează că m + d = m + u. Dintr-o proprietate a adunării numerelor naturale rezultă că d = u .

Teorema 1.11. Oricare ar fi două numere naturale m și n , una și numai una din relațiile următoare este adevărată : m < n , m = n , n < m (regula de tricotomie ).

Definiția 1.12. Fie m , n . Spunem că m este mai mic sau egal cu n și scriem

m n dacă m < n sau m = n .

Se observă că m n dacă există u astfel încât m + u = n , egalitatea avand loc cand u = 0 .

Propoziția 1.13. Relația binară “” este reflexivă , antisimetrică și tranzitivă , deci :

(O1) n n , n (reflexivă)

(O2) m n și n m m = n (antisimetrică)

(O3) m n și n p m p (tranzitivă )

Așadar cuplul (N , ) este o mulțime ordonată iar “” se numește relație de ordine naturală.

Din teorema 1.11 rezultă că oricare două numere naturale m și n sunt compatibile : avem m n sau n m . Cu alte cuvinte (N , ) este o mulțime total ordonată. Mai mult,

(N , ) este o mulțime bine ordonată : orice parte nevida a lui N conține un cel mai mic număr .

Teorema 1.14. ( Principiul bunei ordonări ) Dacă A este o mulțime nevidă de numere naturale, atunci există a A astfel încât a x , x A (orice submulțime nevidă a mulțimii N are un prim element ) .

Fie M = { n | n x , x A }. Evident 0 M . Dacă n M , avem n’M , atunci rezultă că M = N . Să arătăm că acest lucru nu e posibil.

Fie b A . Cum b’N =M rezultă că b’ x ,x și în particular b’ b , ceea ce este absurd.

Rămâne adevărat că există a M astfel încât a’M , deci NM . Dacă a A atunci a < x , x A. Din a < x rezultă a + u = x cu u , u 0 . Fie

(O2) m n și n m m = n (antisimetrică)

(O3) m n și n p m p (tranzitivă )

Așadar cuplul (N , ) este o mulțime ordonată iar “” se numește relație de ordine naturală.

Din teorema 1.11 rezultă că oricare două numere naturale m și n sunt compatibile : avem m n sau n m . Cu alte cuvinte (N , ) este o mulțime total ordonată. Mai mult,

(N , ) este o mulțime bine ordonată : orice parte nevida a lui N conține un cel mai mic număr .

Teorema 1.14. ( Principiul bunei ordonări ) Dacă A este o mulțime nevidă de numere naturale, atunci există a A astfel încât a x , x A (orice submulțime nevidă a mulțimii N are un prim element ) .

Fie M = { n | n x , x A }. Evident 0 M . Dacă n M , avem n’M , atunci rezultă că M = N . Să arătăm că acest lucru nu e posibil.

Fie b A . Cum b’N =M rezultă că b’ x ,x și în particular b’ b , ceea ce este absurd.

Rămâne adevărat că există a M astfel încât a’M , deci NM . Dacă a A atunci a < x , x A. Din a < x rezultă a + u = x cu u , u 0 . Fie v astfel încât u = v’. Atunci x = a + u = a + v’ = a’ + v , deci a’ x . Deducem că a’ M ceea ce contrazice ipoteza făcută asupra lui a . Rămâne deci adevărat că a A și a x , x A .

Dacă A este o mulțime nevidă de numere naturale, atunci elementul a A cu proprietatea a x , x A este unic . Într-adevăr, dacă pentru ao A avem de asemenea ao x , x A , atunci în particular ao a și a ao , de unde a = ao .

Elementul aA cu proprietatea a x , x A se numește cel mai mic număr al lui A.

Proprietatea mulțimii numerelor naturale de a fi bine ordonată stă la baza celui de al doilea principiu de inducție , mai oportun pentru unele demonstrații.

Teorema 1.15. (Al doilea principiu de inducție) Presupunem că fiecarui număr natural n i se asociază o propoziție P(n). Fie P(0) adevărată și să presupunem că dacă P(s) este adevărată pentru orice s < k , rezultă că P(k) adevărată . Atunci P(n) este adevărată pentru oricare număr natural n .

Observație : Așa cum am remarcat mai înainte la baza celui de al doilea principiu de inducție matematică, care de altfel este echivalent cu primul principiu de inducție, stă proprietatea mulțimii numerelor naturale de a fi bine ordonată. Astfel, acest principiu poate fi extins și la alte mulțimi de numere bine ordonate.

Teorema 1.16. Relația de ordine pe mulțimea numerelor naturale este compatibilă cu adunarea și înmulțirea numerelor naturale:

1) m < n m + p < n + p , p

2) m < n m ∙ p < n ∙ p , p , p 0

Fie u , u 0 astfel încât m + u = n . Atunci (m + p ) + u = n + p , deci m + p < n + p. De asemenea m∙ p + u∙ p = n ∙ p și dacă p0 , atunci u∙ p0, deci m∙ p < n∙ p .

Lema 1.17. (Lema lui Arhimede ) Fie n un număr natural diferit de zero . Atunci oricare ar fi m există t astfel încât t ∙n > m .

Fie u astfel încât n = u’.Cum m∙ n = m∙ u’ =m∙ u + m m , rezultă că m∙ n m . Fie t = m + 1 . Atunci t ∙ n = ( m + 1 ) ∙ n = m∙ n +n >m∙ n m , deci t ∙ n > m .

Teorema 1.18. ( Teorema împărțirii cu rest ) Fie n, n 0 . Atunci oricare ar fi m , există q , r unic determinați , astfel încât m = n ∙ q + r , r < n .

Dacă m = 0 putem lua q = 0 și r = 0 .

Presupunem că m = n∙ q + r , r < n și să arătăm că există q* , r* astfel încât

m’ = n∙ q*+ r*, r*< n . Avem m’ = m + 1 = n ∙ q + r +1 .

Fie u , u 0 astfel încât r + u = n și fie v astfel încât u = v’ .

Avem n = r + u = r + v’= r+ (v +1) = (r +1 ) + v . Dacă v = 0 luam q* = q + 1 și r*=0 iar dacă v 0 luăm q*= q și r* = r +1 și avem m’ = n ∙ q*+ r* , r * < n . Așadar partea de existență a teoremei este demonstrată prin inducție asupra lui m.

Presupunem că m = n ∙ q1+ r1= m∙ q2 + r2 , r1, r2 < n și arătăm că q1 = q2 și r1 = r2 . Dacă q1 < q2 , atunci q1 + u =q2 , u , u 0 .

Avem n ∙ q1+ r1 = n ∙ q2 + r2 = n ∙ (q1+ u ) + r2 = n∙ q1 + n∙ u + r2 , de unde r1 = n∙ u + r2 n∙ u n , ceea ce este absurd . Analog se arată că nu putem avea q2 < q1 .

Rămâne adevărat că q1 = q2 și atunci și r1 = r2 .

Aplicații

1) Să se afle cel mai mic număr natural care împărțit la 8 dă câtul 12 și restul diferit de zero.

Rezolvare : Notăm cu x numerele căutate x= 8∙ 12 + r , cu r ≠0 .

Din Teorema împărțirii cu rest știm că r<8, deci r poate fi 1,2,3,4,5,6 sau 7. Cum x este cel mai mic număr cu această proprietate, rezultă că r=1, așadar x= 8∙ 12 + 1, adică x = 97.

2) Să se afle un număr natural care împărțit la un număr de două cifre să dea câtul 63 și restul 98.

Rezolvare : Fie a numarul căutat și b împărțitorul. Vom avea a = b∙ 63 + 98, 0≤98≤b.

Cum b are două cifre, din condiția de mai sus rezultă b= 99.

Înlocuind, obținem a = 99∙ 63 + 98 , a = 6335 .

3) Aflați cel mai mic numar natural „a” care împărțit la 289 și apoi la 17 , să dea același rest 11 iar câturile diferite de zero.

Rezolvare : a = 289 ∙ x + 11 , a = 17 ∙ y + 11 , cu x≠0 , y≠0.

Egalăm cele două relații și obținem 289 ∙ x + 11= 17 ∙ y + 11 , 289 x = 17 y 17x =y. Deoarece se cere cel mai mic număr natural a , vom căuta cel mai mic număr x, acesta este x=1. Deci a = 289 ∙ 1 +11 ; a = 300 .

4) Arătați că dublul sumei numerelor naturale, care împărțite la 1885 dau câtul și restul egale , se poate scrie ca produsul a trei numere naturale consecutive.

Rezolvare : Fie x numerele naturale cu x=1885 ∙ c + r, c = r <1885

r ={1884, 1883,…., 2,1,0}

x = 1885 ∙ 1884 +1884 x = 1884∙ 1886

x = 1885 ∙ 1883 +1883 x = 1883∙ 1886

……………………………….

x = 1885 ∙ 2 +2 x = 2∙ 1886

x = 1885 ∙ 1 +1 x = 1∙ 1886

x = 1885 ∙ 0 +0 x = 0∙ 1886

Fie S suma acestor numere S = 1884∙ 1886 +1883∙ 1886 + …+ 2∙ 1886+1∙ 1886+0∙ 1886

S = 1886 ∙ (1884 +1883 +…+2+1+0)

Dar 1884 +1883 +…+2+1+0 = (1884∙ 1885) : 2

Deci 2S = 2 ∙ 1886 ∙ (1884 +1883 +…+2+1+0) = 2 ∙ 1886 ∙ (1884∙ 1885) : 2

2S = 1886 ∙ 1884∙ 1885

5) Să se afle două numere naturale știind că suma lor este 458 și că prin împărțirea unuia la celălalt obținem câtul 7 și restul 18 .

Rezolvare : Fie a și b cele două numere .

Aplicând Teorema împărțirii cu rest obținem a = 7b +18 , iar a+b = 458.

Deci 7b+18+b = 458 8b = 458 -18 , 8b = 440, b = 440 : 8 , b=55 , a = 458 – 55 , a = 403.

6) Care numere de trei cifre dau același rest la împărțirile cu 5,7 și 9? (G.M. nr 12/2004)

Rezolvare : Cel mai mic multiplu comun al numerelor 5,7 și 9 este 315. Resturile posibile comune sunt r = 0,1,2,3,4 . Numerele căutate sunt de forma 315k +r < 999 .

Pentru k = 1 , r = 0,1,2,3,4 numerele căutate sunt 315, 316, 317, 318, 319 .

Pentru k = 2 , r = 0,1,2,3,4 numerele căutate sunt 630, 631, 632, 633, 634 .

Pentru k = 3 , r = 0,1,2,3,4 numerele căutate sunt 945, 946, 947, 948, 949 .

7) Un număr natural a , împărțit la 15 dă câtul c1 și restul 14, împărțit la 18 dă câtul c2 și restul 2, împărțit la 24 dă câtul c3 și restul 14. Dacă c1 – c2 +c3 = 12, să se determine restul împărțirii numărului a la 25 . (G.M. nr 4/ 2004)

Rezolvare : Din teorema împărțirii cu rest avem a = 15c1 +14 , a = 18c2 +2 , a = 24c3 +14 . Deci 15c1 = a – 14 , 18c2 = a – 2 , 24c3 = a – 14

Cum c.m.m.m.c al numreleor 15,18,24 este 360, prin inmulțiri convenabile obținem :

360 c1 = 24a – 336 , 360 c2 = 20a – 40 , 360 c3 = 15a – 210 . Rezultă :

360 c1 – 360 c2 + 360 c3 = 24a – 336 -20a + 40 + 15a – 210 .

360(c1 – c2 + c3) = 19a – 506 360∙12 = 19a – 506 4826 = 19a a = 4826 : 19 a = 254

Iar 254 : 25 = 10 rest 4 , deci restul cerut este 4 .

8) Determinați cel mai mic număr natural n cu proprietatea că împărțit la 11 dă restul 7, împărțit la 9 dă restul 5 și împărțit la 5 dă restul 2 . (Gazeta Matematică nr. 12/2002 pag 493)

Rezolvare : Fie n numărul natural cu proprietățile de mai sus , c1, c2, c3

n = 11c1 +7

n = 9c2 + 5

n = 5c3 + 2 , Adunăm cu 103 fiecare membru și rezultă :

n +103 = 11c1 +110 n +103 = 11(c1 +10)

n +103 = 9c2 + 108 n +103 = 9 (c2 +12)

n +103 = 5c3 + 105 n +103 = 5(c3 + 21), deci 11| n+103 , 9| n+103 și 5|n+103 n+103=[11,9,5] ∙ k , unde k .

Deci n = 495 ∙ k – 103. Cel mai mic număr natural cu proprietatea cerută este n = 495 ∙ 1 -103, adică n = 392 .

9) Între împărțitor, cât și rest există relația î2 + c2 + r2 = 29 . Cât este împărțitorul? (Revista de Matematică din Timișoara, nr 1/ 2000).

Rezolvare : Conform teoremei împărțirii cu rest, d = î∙c + r, unde d, î, c, r și 0 ≤ r < î . Dacă r = 0 , atunci î2 + c2 =29, de unde obținem î = 2 și c = 5 (sau î = 5 și c = 2), deci d =10 .

Dacă r = 1 , atunci î2 + c2 =28, egalitate imposibilă.

Dacă r = 2 , atunci î2 + c2 =25, de unde obținem î = 5 și c = 0, care conduce la d=2 și î=3, c=4 (sau î = 4 și c = 3), deci d =14 .

Dacă r = 3 , atunci î2 + c2 =20, de unde obținem î = 4 și c = 2 , deci d =11 . Prin verificare se constată că nu mai există alte soluții. Mulțimea valorilor lui d este {2, 10,11,14}.

10) Câte numere naturale de două cifre împărțite la 8 dau câtul egal cu o treime din rest? (Gazeta matematică nr. 2/2005).

Rezolvare : Fie numărul cerut, c și r câtul și restul împărțirii lui la 8 .

Avem = 8c + r și r < 8 . Din datele problemei rezultă = 8c+3c = 11c și 3c < 8

c = {1,2} . Prin urmare avem două numere care îndeplinesc condițiile problemei și anume {11,22}.

§ 2 . RELAȚIA DE DIVIZIBILITATE ÎN MULȚIMEA NUMERELOR

NATURALE

Dacă a și b sunt două numere naturale, spunem că “a divide b” și scriem a | b dacă există un număr natural c astfel încât b = a∙ c .

Dacă a | b se mai spune că “b este multiplu de a” sau că “b se divide prin a”.

Teorema 2.1. Relația de divizibilitate în N este o relație de ordine parțială .

10) a | a , a (reflexivă)

20) a | b și b | a a = b (antisimetrică )

30) a | b și b | c a | c (tranzitivă )

Se poate demonstra 10) Cum a = a ∙ 1 , rezultă că a | a .

20) Dacă a |b și b|a u , v astfel încât b = a ∙ u și a = b∙ v .

Dacă a = 0 , atunci b = a∙ v =0∙ v = 0

Dacă a 0 atunci din a = a∙ u∙ v rezultă 1 = u de unde u = v = 1 . Deci a =b.

30) Dacă a|b și b|c , avem b = a∙u și c = b∙v cu u , v . Deci c = a ∙u∙ v a |c .

Teorema 2.2. Relația de divizibilitate pe N are următoarele proprietăți :

1o) 1 | a , a

2o) c | a și c | b c | ( a x + b y ) , x , y

3o) a | b a | b c , c

4o) a | b și b 0 a b

5o ) a | b și c | d a∙ c | b∙ d

6o) a | b atunci a ∙c | b ∙c , c

7o) a∙ c | b ∙c iar c0 atunci a | b

Teorema 2.3. Dacă fiecare termen al unei sume de două numere naturale se divide cu un număr natural , atunci suma se divide cu acel număr natural .

Fie suma S = a + b , unde a, b ;

m | a n , a = m ∙ n

m | b p ; b = m ∙ p .

a + b = m ∙ n + m ∙ p a + b = m ∙ (n + p ) cum m ∙ n (m + n )

m | ( a + b ) m | S .

Observație : Reciproca nu este adevărată .

Teorema 2.4. Dacă unul din factorii unui produs de numere naturale este divizibil cu un număr natural atunci produsul se divide cu acel număr natural .

Fie produsul a ∙ b și m | a n iar a = m ∙ n

a ∙ b = (m ∙ n ) ∙ b = m (n b ) , unde n, b ( am folosit asociativitatea produsului) rezultă că m | a b .

Teorema 2.5. Dacă un număr natural se divide cu alt număr natural atunci primul se divide cu toți divizorii celui de al doilea .

Dacă b | a și m | b m | a

Cum b | a n , a = b ∙ n

m | b p , b = m ∙ p

a = (m ∙ p) n ; a = m ∙ (p ∙ n) m | a

Aplicații

1) Aflați cel mai mare număr natural x , știind că x| 24 și 5| (x+2).

Rezolvare : Din x|24 x ={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Din 5|(x+2) x+2 = 5k x= 5k -2, K N

Pentru x =1 5k – 2 = 1 k = N ; Pentru x = 2 5k – 2 = 2 k = N

Pentru x = 3 5k – 2 = 3 k = N ; Pentru x = 4 5k – 2 = 4 k = N

Pentru x = 6 5k – 2 = 6 k = N ; Pentru x = 8 5k – 2 = 8k = N

Pentru x =12 5k – 2 = 12 k = N ; Pentru x = 24 5k – 2 = 24 k = N

Deci cel mai mare număr natural care îndeplinește condițiile este numărul 8 .

2) Arătați că daca 9| , atunci 9| .

Rezolvare : Din 9| 9| x + y + z .

Deoarece = (410 +x) + (810 +y) + (670+z) = 1890 + (x + y + z) .

Cum 9|1890 și 9| x + y + z, rezultă 9| 1890 + (x + y + z ), deci 9| .

3) Determinați toate numerele naturale de forma divizibile cu 15 .

Rezolvare : 15| 5| și 3|, unde (3 ; 5)=1

Dar 5| y = {0, 5} = {, }

Cum 3| 3|(6+x+0) 3| 6 + x x = {0, 3, 6, 9} = {600, 630, 660, 690}

Cum 3| 3|(6+x+5) 3| 11+ x x = {1, 4, 7} = {615, 645, 675}

Numerele căutate sunt : 600, 615, 630, 645, 660, 675, 690 .

4) Arătați că dacă 10|(3a + b) , atunci 10| (7a + 9b) , unde a, b N.

Rezolvare : 10| (3a + b) , dar 10| (10a +10b) 10| (10a + 10 b) – (3a + b) 10| (7a +9b)

5) Determinați n N dacă (2n-1) |(4n+5).

Rezolvare :

(2n-1) |(4n+5) (2n-1) |(4n+5) (2n-1) | (4n+5) – (4n – 2) (2n-1) | 4n+5-4n +2

(2n-1)|(2n-1) | ∙2 (2n-1)|4n-2

(2n-1)| 7 2n -1 = {1,7} , deci 2n = {2, 8} n = {1, 4}.

6) Demonstrați că dacă 19| , atunci 19|(5a + ) . (Gazeta Matematică nr. 2 /2003, pag 78).

Rezolvare : Avem – 5a – = 100a + – 5a – = 100a – 5a = 95a = 19 ∙5a , de unde 19| – (5a +) . Cum 19| , atunci 19| |(5a + ) .

7) Demonstrați că n2 -7 se divide cu 3, oricare ar fi numărul n ≥ 4, nedivizibil cu 3 . (Revista de Matematică din Timișoara nr.1/ 2005).

Rezolvare : Cum n ≥ 4 nedivizibil cu 3 , vom studia cazurile n = 3k+1 și n = 3k+2. Deci avem: (3k+1) 2 – 7 = 9k2 + 6k + 1 – 7 = 9k2 + 6k -6 = 3 (3k2 + 2k -2)

(3k+2) 2 – 7 = 9k2 + 12k + 4 – 7 = 9k2 + 12k – 3 = 3 (3k2 + 4k -1) . Din cele două relații rezultă că n2 -7 se divide cu 3 .

8) Determinați numerele de forma divizibile cu 13, cu proprietatea că este divizibil cu 13 . (Gazeta Matematică nr. 3/ 2005).

Rezolvare : Numărul = 100x + 10y + z = 13∙7x + (9x +10y +z) se divide cu 13 dacă și numai dacă 13| 9x +10y + z .

Astfel, 13| și 13| 13| 9a + 10b + c iar 13| 9c +10b +a 13| 8(a-c) a = c .

Pentru a = c, avem 13| 10a +10b 13| a+b.

Se obțin numerele = {494, 585, 676, 767, 858, 949}.

§ 3. CEL MAI MARE DIVIZOR COMUN A DOUĂ NUMERE NATURALE

Definiție: Fie a și b două numere naturale . Un număr natural d se numește cel mai mare divizor comun (pe scurt c.m.m.d.c. ) al lui a și b dacă îndeplinește condițiile:

(D1) d | a și d | b

(D2) dacă c | a și c | b atunci c | d

Să observăm că dacă d1 satisface condițiile ( D1) și (D2) atunci d1 = d . Într-adevăr, cum d1 | a și d1 | b rezultă d1| d și analog se arată că d |d1 . Așadar , există u , v astfel încât d = d1∙ u și d1 =d ∙ v . Dacă d = 0 atunci d1 = 0 , deci d = d1 .

Dacă d 0 atunci din d = d (u∙ v ) rezultă 1 = u∙ v , deci u = v = 1 unde d = d1.

Cel mai mare divizor comun al numerelor a și b se noteaza ( a , b ) .

Lema 3.1. Fie a , b , q, r patru numere naturale astfel încât a = b q + r . Atunci (a,b) există dacă și numai dacă (b, r) există și avem (a, b) = (b, r).

Presupunem că (a, b) există și fie d =( a, b). Cum d | b rezultă că d | q .

Din c | a și c | b rezultă c | d . Deci (b, r ) există și (b, r ) = d = (a, b ) . Analog se arată că dacă (b, r ) există atunci (a, b ) există și (a, b) = (b, r).

Teorema 3.2. Oricare ar fi a, b , c.m. m.d.c. al lui a și b exista și este unic.

Consecința 3.3. Oricare ar fi numerele naturale a , b , c avem (c ∙ a , c ∙ b) = c ∙ (a, b ) Fie a , c 0 . Înmulțind egalitățile (0) , (1), (2),…, (n), (n+1) cu c se obține lista de împărțiri din algoritmul lui Euclid pentru c ∙ a și c ∙ b , ultimul rest diferit de zero fiind c ∙ rn .

Definiție : Doua numere naturale a , b astfel încât (a , b ) =1 se numesc relativ prime sau prime între ele .

Teorema 3.4. Cel mai mare divizor comun al numerelor naturale are proprietățile :

1 ) ((a , b ) , c ) = (a , (b , c )) , a , b , c

2) (a , b ) = ( b , a ) , a , b

3) ( a , a ) = a , a

4) (a , b ) =1 , ( a , c ) =1 (a , b ∙ c ) = 1

5) a | b ∙ c și (a , b ) = 1 a | c

6) a | c și b | c și (a , b ) = 1 a ∙ b | c

Teorema 3.5. Dacă a și b sunt două numere naturale și d este c.m.m.d.c. al lor , atunci există două numere naturale k și l astfel încât d = ka+lb .

Fie d = (a, b ) . Dacă b | a atunci d = b = 0 ∙ a + b , deci k = 0 și l = 1 .

Dacă b nu divide pe a , fie sirul impartirilor succesive din algoritmul lui Euclid :

(1) a = b∙q1 + r1

(2) b = r1∙q2 +r2

(3) r1 = r2∙q3 +r3

………………………………………………..

(n) rn-2= rn-1∙qn+ rn

(n+1) rn-1= rn∙qn-1

Ultimul rest nenul rn , fiind chiar (a,b) .

Din (1) obținem că r1 = 1∙a+(-q1) ∙b= k1∙a+l1 ∙b .

Din (2) obținem că r2= b-r1∙q2 = b – (k1∙a+ l1∙b) q2 = ( -k1∙q2) a + ( 1- l1∙q2)b =k2a +l2b , cu k2= -k1q2 și l2 = 1-l1q2 .

Presupunem că pentru orice m (1 m n – 1 ) există numerele ki și li astfel încât ri= ki∙a + lib . Din egalitatea (m+1 ) – a rezultă că rm+1 = rm-1 – rmqm+1 = km-1a +lm-1b – ( kma +lmb )qn+1 =( km-1- kmqm+1) a + (lm-1+lmqm+1)b = km+1a +lm+1b , unde km+1= km-1 -kmqm+1 și lm+1 = lm-1-lmqm+1 .

În felul acesta , prin inducție , rezultă că rn= kna +lnb și deci (a,b) = ka +lb cu k=kn , l = ln .

Aplicații

1) Aflați elementele mulțimii D36 .

Rezolvare : D36 = {x | x N și x|36 }.

Deoarece x |36 36 x rezultă că x poate fi 1, 2, 3 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Deci D36 = {1, 2, 3 4, 6, 9, 12, 18, 36}.

2) Aflați cel mai mare divizor comun al numerelor 216, 300 și 432.

Rezolvare : 216 = 23 ∙ 33, 300 = 22 ∙3 ∙52 , 432 = 22 ∙ 33 . Deci (216, 300, 432) = 22 ∙3 = 12 .

3) Calculați numărul maxim de copii cărora le putem împărți, în mod egal 112 portocale și 252 mere .

Rezolvare: 112 = 24∙ 7 , 252 = 22 ∙ 32 ∙7 , (112, 252) = 22 ∙7 = 4 ∙ 7 = 28.

Numărul maxim de copii este 28.

4) Aflați perechile de numere care au suma 60 și cel mai mare divizor comun este 12 .

Rezolvare : Fie a și bN cele două numere .

Cum (a,b) = 12 12|a c1 N , a = 12 c1

12|b c2 N , b = 12 c2 , unde (c1 ; c2) = 1

a + b = 60 12 c1 + 12 c2 = 60 12 (c1 + c2) = 60 c1 + c2 = 5

Dacă c1 = 1 și c2 = 4 a = 12 ∙ 1 = 12 și b = 12 ∙4 = 48 . Avem perechea (12, 48)

Dacă c1 = 4 și c2 = 1 a = 12 ∙ 4 = 48 și b = 12 ∙1 = 12 . Avem perechea (48, 12)

Dacă c1 = 2 și c2 = 3 a = 12 ∙ 2 = 24 și b = 12 ∙3 = 36 . Avem perechea (24, 36)

Dacă c1 = 3 și c2 = 2 a = 12 ∙ 3 = 36 și b = 12 ∙2 = 24 . Avem perechea (36, 24) .

5) Aflați numerele naturale a și b astfel încât (a,b) = 7 și a∙ b = 588 .

Rezolvare : Cum (a,b) = 7 7| a c1 N , a = 7 ∙ c1

7|b c2 N , b = 7∙ c2 , unde (c1 ; c2) = 1

a∙b = 588 7 ∙ c1 ∙7 ∙ c2 = 588 49 ∙c1 ∙ c2 = 588 c1 ∙ c2 = 12

Dacă c1 = 1 și c2 = 12 a = 7 ∙ 1 = 7 și b = 7 ∙12 = 84 . Avem perechea (7, 84)

Dacă c1 = 12 și c2 = 1 a = 7 ∙ 12 = 84 și b = 7 ∙1 = 7 . Avem perechea (84, 7)

Dacă c1 = 3 și c2 = 4 a = 7 ∙ 3 = 21 și b = 7 ∙ 4 = 28 . Avem perechea (21, 28)

Dacă c1 = 4 și c2 = 3 a = 7 ∙ 4 = 28 și b = 7 ∙ 3 = 21 . Avem perechea (28, 21) .

6) Numerele 1333 și 351 dau resturile 13 și respectiv 15 la împărțirea cu același număr natural diferit de zero. Aflați acest număr !

Rezolvare : 1333 = a ∙ c1 + 13 , cu a > 15 1333 -13 = a ∙ c1 1320 = a ∙ c1 a| 1320

351 = a ∙ c2 + 15 351 – 15 = a ∙ c2 336 = a ∙ c2 a| 336

a| (1320, 336) a | 24 și a > 15 . Deci a = 24

7) Împărțind 2301 , 3004 și 3559 la un număr natural se obține același rest nenul . Să se afle numărul .

Rezolvare : 2301 = n ∙ c1 + r , r < n , r ≠0

3004 = n ∙ c2 + r

3559 = n ∙ c3 + r

Scădem membru cu membru câte două egalități și obținem :

3004 – 2301 = n ∙ c2 + r – (n ∙ c1 + r) = n (c2 – c1 ) 703 = n (c2 – c1 )

3559 – 3004 = n ∙ c3 + r – (n ∙ c2 + r) = n (c3 – c2 ) 555 = n (c3 – c2 )

3559 – 2301 = n ∙ c3 + r – (n ∙ c1 + r) = n (c3 – c1 ) 1258 = n (c3 – c1 )

Deci n | 703 , n| 555 și n | 1258 n | (703, 555, 1258)

703 = 19 ∙ 37 ; 555 = 5∙ 3∙ 37 ; 1258 = 2 ∙ 37 ∙ 17

Deci (703, 555, 1258) = 37 .

8) Determinați c.m.m.d.c. al numerelor 5364 și 2578 .

Rezolvare : Folosim Algoritmul lui Euclid :

5364 = 2578 ∙ 2 +208

2578 = 208 ∙ 12 + 82

208 = 82∙ 2 + 44

82 = 44∙1 + 38

44 = 38∙1 +6

38 = 6∙ 6 +2

6 = 2∙3

Cel mai mare divizor comun al numerelor 5364 și 2578 este ultimul rest diferit de 0 .

Deci (5364 , 2578) = 2

9) Determinați numărul de divizori naturali ai numărului 3024 .

Rezolvare : Descompunem numărul în produs de puteri de factori primi :

3024 = 24 ∙ 33 ∙ 7 Numărul de divizori = (4+1) ∙ (3+1) ∙ (1+1) = 5∙ 4∙ 2 = 40 divizori .

10) Să se arate că produsul divizorilor din mulțimea N ai numărului 2004 , este cubul unui număr natural. (Gazeta Matematică nr.8/2005)

Rezolvare : Pentru rezolvarea acestei probleme ne bazăm pe următoarea lemă:

Dacă d1, d2 ,….., dk sunt divizorii naturali ai numărului n , n ≠0, atunci (d1 ∙d2∙….. ∙dk)2 = nk

Dacă n = 2004 = 22∙3 ∙167 are 12 divizori : 1, 2, 3, 4, 6, 12, 167, 2∙167, 3∙167, 4∙167 .

Conform lemei, produsul divizorilor face 20046 = (20042)3, care este un cub perfect .

11) Determinați numerele naturale n pentru care suma divizorilor lui n este cu 8 mai mare decât n . (Revista de Matematică din Timișoara, nr 3-4/1998)

Rezolvare: Fie s suma divizorilor proprii ai numărului n. Atunci 1+ n +s = n + 8 .

Deci s = 8 – 1, deci s = 7 . Avem cazurile :

Dacă 7 este singurul divizor propriu n are divizorii : 1,7,n . Rezultă n =49.

Dacă 2 și 5 sunt singurii divizori proprii. Rezultă că n are divizorii 1, 2, 5, n.

Deci n = 10.

Deci cele două soluții sunt 49 și 10.

§ 4. CEL MAI MIC MULTIPLU COMUN

Definiție : Un număr natural m se numește cel mai mic multiplu comun, și se notează c.m.m.m.c. al lui a și b dacă are următoarele proprietăți :

M1. a | m , b | m

M2. m’ a | m’ , b | m’ m | m’

Teorema 4.1. Oricare ar fi a , b , cel mai mic multiplu comun există și este unic .

Notăm cu Ma mulțimea multiplilor lui a . Ma ={ c | a | c } și cu

Mb = { d | b | d }; Ma,b – mulțimea multiplilor comuni . Ma,b = Ma Mb , a,ba,b .

Cum Ma,b rezultă din principiul bunei ordonări că mMa,b cu m m’ , m’Ma,b

Să arătăm că m | m’ m’Ma,b . Din teorema împărțirii cu rest rezultă că există q , r unice , m’ = mq + r ; 0 r < m . Dacă r = 0 m | m’.

Presupunem că 0 < r < b ; r = m’- mq .

Cum a | m’ , a | m a | r și

b | m’ , b|m b | r r a,b . Contradicție. Rezultă r = 0 m | m’ .

Unicitatea : Presupunem că mai există un cel mai mic multiplu comun care satisface cele doua condiții. 1. a| , b|

2. a|’ , b|’ |’ . Dacă m este c.m.m.m.c. m | .

Dacă este c.m.m.m.c. | m | m .

Teorema 4.2. Cel mai mic multiplu comun are proprietățile:

(1) [[a,b] ,c] = [a, [b,c] ] a,b,c

(2) [a,b] = [b,a] a,b

(3) [a,a] = a a

(4) ([a,b], a ) = a

(5) [ ( a,b) ,a] = a

Teorema 4.3. Între c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. al numerelor naturale există următoarea relație : a ∙ b = (a, b) ∙ [a, b] .

Aplicații

1) Aflați cel mai mic multiplu comun al numerelor 24, 48 și 72 .

Rezolvare : Descompunem numerele în produs de puteri de numere prime.

24 = 23∙ 3 ; 48 = 24∙ 3 ; 72 = 23∙32 . Se iau factorii primi comuni și necomuni, o singură dată, la puterea cea mai mare și se înmulțesc între ei.

[24, 48, 72] = 24∙32 = 16 ∙9 = 144

2) Aflați cel mai mic numar natural care împărțit la 9 dă restul 8 , împărțit la 8 dă restul 7 și împărțit la 7 dă restul 6 .

Rezolvare : Fie n cel mai mic numar natural care îndeplinește aceste condiții. Din Teorema Împărțirii cu rest n = 9 ∙ c1 + 8 n +1 = 9 ∙ c1 + 9 n+1 = 9 (c1 + 1) n+1 = [7, 8, 9 ] ;

n = 8 ∙ c2 + 7 n +1 = 8 ∙ c2 + 8 n+1 = 8 (c2 + 1)

n = 7 ∙ c3 + 6 n +1 = 7 ∙ c3 + 7 n+1 = 7 (c3 + 1)

Deci n+1 = 504, n=503

3) Aflați cel mai mic număr de elevi care se pot alinia în coloane de câte 7 elevi, 9 elevi și 21 elevi .

Rezolvare : [7, 9, 21] = 63 , deci cel mai mic număr de elevi care se pot alinia în coloane de câte 7, 9 și 21 de elevi este numărul 63.

4) Numărul elevilor unei școli este cuprins între 500 și 1000. Împărțind numărul elevilor la 18, 20 sau 24 se obține de fiecare data restul 9 . Câți elevi are școala?

Rezolvare : 500 < n< 1000

n = 18∙ c1 + 9 n – 9 = 18∙ c1 18| n-9 n-9 = [18, 20, 24] ∙ k

n = 20∙ c2 + 9 n – 9 = 20∙ c2 20| n-9

n = 24∙ c3 + 9 n – 9 = 24∙ c3 24| n-9

18 = 32 ∙ 2 [18, 20, 24] = 23∙ 32∙ 5 =360

20 = 22∙ 5

24 = 23∙ 3

Deci n – 9 = 360 ∙ k .

Dacă k = 1 , n = 369 < 500, deci nu poate fi acesta numarul de elevi.

Dacă k = 2 , n = 729 , unde 500 < 729< 1000. Deci școala are 729 de elevi

Dacă k = 3 , n = 1089 > 1000 , deci nu poate fi acesta numarul de elevi.

5) Să se determine cel mai mic număr natural care împărțit la 5 dă restul 1, împărțit la 8 dă restul 3 iar împărțit la 9 dă restul 4 .

Rezolvare : Fie “a” cel mai mic numar care îndeplinește condițiile din enunț.

a = 5∙ c1 + 1 ; a = 8∙ c2 + 3 ; a = 9∙ c3 + 4

Din ultimele două relații deducem că :

a + 5 = 8∙ c2 + 3 + 5 = 8∙ c2 + 8 = 8(c2 + 1) ;

a + 5 = 9∙ c3 + 4 + 5 = 9∙ c3 + 9 = 9(c3 + 1) ;

Deci a + 5 = [8, 9] ∙ k

a +5 = 72 ∙ k a = 72k – 5

Din prima relație deducem că “a” trebuie să se termine în 1 sau 6 .

Pentru k = 1 a = 72 -5 = 67 , număr care nu îndeplinește prima condiție.

Pentru k = 2 a = 72 ∙ 2 – 5 = 144 – 5 = 139 , număr care nu îndeplinește prima condiție.

Pentru k = 3 a = 72 ∙ 3 – 5 = 216 – 5 = 211 , număr care îndeplinește prima condiție.

Deci numărul 211 este cel mai mic număr care îndeplinește cele trei condiții.

6) Trei frigidere sunt pornite la ora 7:00 . Primul frigider funcționează 6 minute și stă 18 minute, al doilea funcționează 9 minute și stă 21 de minute, iar al treilea funcționează 5 minute și stă 13 minute. La ce oră cele trei frigidere vor porni din nou în același moment?(Revista de Matematică din Timișoara, nr 3-4/1998)

Rezolvare : Numărul de minute (funcționare și oprire) corespunzător celor trei frigidere este de 24, 30 șo 18 minute . Cel mai mic multiplu comun al acestor numere va fi :

24 = 23 ∙ 3 , 30 = 5∙2∙3 , 18 = 2∙32 , iar c.m.m.m.c = 23 ∙32∙ 5 = 360 minute, adică 6 ore. Deci la ora 13:00 cele trei frigidere vor porni din nou în același moment.

7) Aflați toate numerele n , n ≠ 0, pentru care 5n2 +24n este multiplu al sumei primelor n numere naturale nenule pare. (Revista de Matematică din Timișoara, nr 2/1998)

Rezolvare : Primele n numere naturale nenule pare sunt 2 ∙1, 2∙2, 2∙3, ….2∙n , iar suma lor este

2(1+2+3+…+n) = n(n+1). Vom căuta numerele naturale n pentru care numărul este natural . Atunci , deci n ≠1 este divizorul lui 19, de unde rezultă n =18.

8) Să se determine cel mai mic număr natural care se divide cu 7 și care împărțit la 6 dă restul 1, iar împărțit la 8 dă restul 3 . (Revista de Matematică din Timișoara, nr 2/1999)

Rezolvare : n = 6c1 +1 n+5 = 6(c1+1)

n = 8c2 +3 n+5 = 8(c2+1) , deci n+5 = [6,8] ∙k , n+5 = 24∙k , k .

Căutăm deci cel mai mic număr natural multiplu de 7 astfel încât n+5 să se dividă cu 24.

Pentru k =1 n=19 nu este multiplu de 7 .

Pentru k = 2 n = 24∙2 – 5 = 43 nu este multiplu de 7

Pentru k = 3 n = 24∙3 – 5 = 67 nu este multiplu de 7

Pentru k = 4 n = 24∙4 – 5 = 91 este multiplu de 7 . Deci cel mai mic număr natural care îndeplinește condițiile din enunț este numărul 91.

§ 5. NUMERE PRIME . NUMERE NEDECOMPOZABILE

Definiție: Un număr natural p >1 se numește prim dacă p|ab p|a sau p|b .

Definiție: Un număr natural p>1 se numește indecompozabil (sau ireductibil) dacă :

d | p d =1 sau d = p .

Un număr natural a >1 care nu este indecompozabil se numește decompozabil (sau reductibil).

Lema 5.1. 1) Dacă a | b și b0 , atunci 1 a b .

2) Dacă d | a , d | b și a = b + c , atunci d | c .

Fie uastfel încât b = a ∙ u . Cum b0 , rezultă că a0 și u0 . Fie c,v astfel încât c’ = a și v’ = u . Cum 0 c rezultă că 1 = 0 + c c + 1 = c’ = a , deci 1 a . De asemenea b = au = av’= av + a a , deci a b .

Dacă a = 0 , atunci b = c = 0 , deci d | c . Dacă a0, atunci d0 . Fie u, v astfel încât a = du , b = dv . Cum du = dv + c , avem du dv și deci u v caci d0 (teorema 1.16.)

Fie w astfel încât u = v + w . Se deduce că b + c = b + dw, de unde c = dw , deci d | c (teorema 1.5).

Lema 5.2. Fie a , a >1 .Următoarele afirmații sunt echivalente :

1) a este decompozabil

2) există b, castfel încât a = bc , 1 < b < a și 1 < c < a .

1) 2) Fie b un divizor al lui a ; b1, ba. Fie c astfel încât a = bc. Cum 1 b a și b1, ba , rezultă 1 < b < a. Cum c | a , avem 1 c a .

Dacă c = 1 , atunci b = a iar dacă c = a , atunci b = 1 , ambele cazuri fiind imposibile . Rămâne adevărat că 1 < c < a .

2) 1) Din ipotezele lui 2 ) rezultă că b este un divizor diferit de 1 și a este divizor al lui a , deci a este decompozabil.

Lema 5.3. Orice număr natural a > 1 admite un divizor indecompozabil.

Fie A = { d, d > 1 , d | a }. Cum a A . Fie P cel mai mic număr din A și evident p > 1 . Dacă p este decompozabil , atunci b astfel încât

b | p și 1 < b < p . Din b | p și p | a b | a, deci bA , de unde p b. Contradicție . Rămâne adevărat că p este indecompozabil și lema este demonstrată.

Teorema 5.4. Pentru un număr natural p > 1 sunt echivalente afirmațiile:

1) p este prim

2) p este indecompozabil

Observații asupra șirului numerelor prime : Dacă n, n 2 și nu este prim, atunci el admite un divizor prim p . Într-adevăr , cum n nu este prim , avem n = a ∙ b unde a ,b >1. Evident putem presupune că a b . Atunci a2 a∙b = n , de unde a .

Dar din Lema 5.3. rezultă că are un divizor prim p , care este la randul sau divizor al lui n și mai mult p a . În concluzie pentru a dovedi că un număr natural n2 este prim este suficient să verificăm că el nu are divizori primi mai mici decat . De exemplu fie n=97. Cum<10 , avem de considerat numerele prime < 10 , adica 2, 3, 5, 7. Se vede imediat că nici unul dintre aceste numere nu divide pe 97.

Ciurul lui Eratostene este o metodă de obținere a numerelor prime mai mici decât un număr dat n2 . Considerăm mai întai șirul tuturor numerelor naturale de la 2 la n. Apoi deoarece 2 este primul număr prim p1 ,vom înlătura din sir toate numerele mai mari decat p1, și divizibile cu p1 = 2 . Primul dintre numerele rămase este 3 = p2. Acum vom înlătura din șir toate numerele mai mari decat p2 și divizibile cu p2 . Primul număr rămas este 5 = p3 . Să presupunem că dacă după pasul k am aflat numărul prim (al k-lea că marime între numerele prime) . Vom înlătura din șir toate numerele prime mai mari decat pk și prime cu pk . Primul număr care nu a fost înlăturat va fi pk+1 , al (k+1)- lea număr prim. Acest procedeu se termină la pasul m , unde pm este cel mai mare număr prim .

Teorema 5.5. Șirul numerelor prime este infinit.

Teorema fundamentală a aritmeticii : Orice număr natural a >1 poate fi descompus în mod unic ca produs finit de numere prime .

Dacă notăm cu S mulțimea numerelor prime cu proprietatea că nu pot fi reprezentate ca produse finite de numere prime.

S ={s; 1 < s | s nu admite o scriere de produse finite de factori primi }

Prin reducere la absurd presupunem că S l s ,s S . Deci l poate fi nedecompozabil sau decompozabil . Dacă l ar fi nedecompozabil el ar fi prim deci ar admite o scriere de factori primi . Dacă l ar fi decompozabil atunci admite divizori proprii , deci l1l2 , astfel încât l = l1l2 , 1 < l1 < l , 1 < l2 < l , deducem că l1 S , l2 S.

Deci l1 și l2 pot fi reprezentate ca produse finite de numere prime și atunci l = l1l2 cu aceeași proprietate. Contradicție. Rămane adevărat că orice număr natural a > 1 se poate reprezenta că produs finit de numere prime . Pentru demonstrarea unicității presupunem că a admite două descompuneri în factori primi. Deci admitem că 1 < a , a = p1p2p3……pn și a= q1q2q3…..qk .

Arătăm că n = k și pi = qi , i = 1,2,3,….n. Demonstrăm prin inducție cu privire la n. Deci n=1 și presupunem că 1< k , în timp ce a= p1=q2q3…..qkq1| p1 . Cum p1, q1 sunt numere prime q1=p1 .

Dacă q1= p1= q2q3………..qk=1 q2=q3= …………=qk=1 . Contradicție pentru că q2,q3…..qk fiind numere prime, prin definiție sunt mai mari decat 1 k = 1 n = k = 1 ; q1=p1 .

Presupunem că proprietatea are loc pentru numere naturale care acceptă o scriere ca produs de factori mai mic de n factori. Putem arăta că are loc și pentru n factori, p1p2….pn=q1q……qk pn | q1q2….qk pn| qkpn=qk , simplificând prin pn=qk p1p2…..pn-1 =q1q2……qk-1 este un număr care admite o scriere că produs de un număr de factori mai mic decât n; deci n-1=k-1;pi=qi, i= 1,2,…,n-1k=l , pi=qi, i=1,2,…,n.

Aplicații

1) Arătați că numărul 113 este prim.

Rezolvare : Împărțim numărul 113 la numerele prime 2,3,5,7,11,13,… Împărțind numărul 113 la 2, apoi 3 și apoi 5, de fiecare dată restul împărțirii nu este 0 . Împărțim 113 la 7 și obținem câtul 15 și restul 1 . Împărțind 113 la 11 obținem câtul 10 și restul 3 . Cum câtul 10 este mai mic decât împărțitorul 11 și restul este 3 . Rezultă că 113 este număr prim.

2) Arătați că numărul 361 este compus.

Rezolvare : Numărul 361 este divizibil cu 3, 2 și 5. Împărțim numărul 361 la numerele prime 7, 11, 17 și 19 , obținem :

361 = 7 ∙51 + 4

361 = 11 ∙32 + 9

361 = 13 ∙27 + 10

361 = 17 ∙21 + 4

361 = 19 ∙19 + 0 361 este un număr compus.

3) Descompuneți în factori primi și aflați numărul de divizori ai numerelor : 32 , 1350.

Rezolvare : 32 = 25 . Numărul de divizori este 5+1 = 6 divizori .

1350 = 2 ∙ 33∙52 , deci numărul de divizori este (1+1) ∙(3+1) ∙(2+1) =2∙4∙3 = 24 divizori .

4) Arătați că (5n+3, 2n+1) = 1

Rezolvare : Fie “d” divizorul lor comun.

(5n+3, 2n+1) =d d |5n+3 d| 2∙ (5n+3) d|(10n +6) d|10 n+6 –(10n+5) d|1 d=1

d | 2n+1d| 5∙ (2n+1) d| (10n +5)

Deci numerele 5n+3 și 2n+1 sunt prime între ele .

5) Să se determine numărul natural n astfel încât numerele n-12, n-10, n-4, n-2, n+2, n+4 să fie simultan numere prime.

Rezolvare : Cum cele 6 numere din enunț sunt toate numere naturale, rezultă că n este număr natural mai mare sau egal cu 12 , n≥12 .

Dacă n este 12, numerele sunt 0, 2, 8, 10, 14, 16

Dacă n este 13 , numerele sunt 1, 3, 9, 11, 15, 17

Dacă n este 14 , numerele sunt 2, 4, 10, 12, 16, 18

Dacă n este 15, numerele sunt 3, 5, 11, 13, 17, 19

Observăm că dacă n {12,13,14} cel puțin unul dintre cele 6 numere nu este prim.

Dacă n= 15, toate cele 6 numere sunt prime.

Să arătăm că oricare ar fi nN, n≥16 nu este soluție a problemei. Numărul n poate să fie de forma 3k sau 3k+1 sau 3k+2 , unde k N , k > 5 .

Dacă n =3k , atunci numărul n-12 = 3k-12 = 3(k-4) este compus.

Dacă n=3k+1, atunci numărul n-10 = (3k+1) – 10 = 3(k-3) este compus.

Dacă n=3k+2 atunci numărul n+4 = 3k+2+4 =3(k+2) este compus.

Deci n=15 este soluția unică a problemei.

6) Să se determine numerele prime a, b, c pentru care 2a+3b+4c = 30

Rezolvare : Din 2a+3b+4c = 30 rezultă că 2a+4c = 30 – 3b 2(a+2c) = 3(10-b)

Cum numerele 2 și 3 sunt prime între ele, trebuie ca 10 – b să fie divizibil cu 2. Cum 10 este număr par b trebuie să fie tot un număr par. Dar singurul număr par prim este 2, rezultă că b=2. Atunci 2(a+2c) = 24 a+2c = 12 a= 12- 2c a = 2(6-c) , cum a este număr prim a=2∙1, de unde a=2 și 6 – c = 1 c=5

7) Suma a șase numere prime consecutive este un număr prim. Aflați numerele .

Rezolvare : Cele 6 numere prime consecutive nu pot fi toate impare deoarece suma ar fi un număr par mai mare decât 2, care nu ar putea fi număr prim. Rezultă că unul din aceste numere trebuie să fie par și prim, adică numărul 2 . Deci numerele căutate sunt : 2, 3, 5, 7, 11, 13 , iar suma lor este 41 .

8) Fie numerele a = 2n+3 și b = 3n+2 , nN. Să se arate că dacă numerele a și b au un divizor comun, acesta nu poate fi decât 1 sau 5 . (Revista Cardinal)

Rezolvare : Fie d un divizor comun al lui a și b.

d|a d| 2n +3 , înmulțim cu 3 , d| 3(2n+3) d|6n+9 (1)

d|b d| 3n +2, înmulțim cu 2, d| 6n+4 (2)

Din relațiile (1) și (2) rezultă că d divide diferența lor d| 6n+9-6n-4 d|5 d = {1,5}.

9) Aflați toate numerele naturale care se divid cu 30 și au 30 de divizori. (Revista de Matematică din Timișoara, nr.2/1999)

Rezolvare : Numerele căutate sunt de forma 2a∙3b∙5c∙A unde a ≥1, b≥1, c≥1, iar A nu are factorii 2, 3 sau 5. Dacă A = p1α1∙p2α2∙….∙ pkαk atunci A are (α1+1)(α2+1)…(αk+1) divizori iar 2a∙ 3b∙5c∙A are (a+1)(b+1)(c+1) (α1+1)(α2+1)…(αk+1) divizori.

Trebuie deci să determinăm a, b, c și α1,α2,..,αk astfel incat unde a ≥1, b≥1, c≥1 și (a+1)(b+1)(c+1) (α1+1)(α2+1)…(αk+1) = 30 .

Cum 30 = 2∙3∙5 deducem că A=1 și {a+1, b+1,c+1} = {2, 3, 5} se obțin soluțiile :

a =1 , b =2 , c =4 a =2 , b =4 , c =1

a =2 , b =1 , c =4 a =4 , b =2 , c =1

a =1 , b =4 , c =2 a =4 , b =1 , c =2

Deci numerele căutate sunt : 2∙32∙54 , 22∙34∙5 , 22∙3∙54 , 24∙32∙5 , 2∙34∙52 , 24∙3∙52 .

10) Dacă p > q , p și q două numere prime mai mari decât 3, atunci p2 – q2 este divizibil cu 24.

Rezolvare : Deoarece p este număr prim >3, el este de forma 6k ± 1 , p2 = 36k2 ± 12k+1 = 12k(3k ± 1) +1 , iar k(3k±1) este par, deci p2 = M24+1 . În mod identic q2 = M24+1, urmează că și p2 – q2 se divide cu 24 .

CAPITOLUL II

ELEMENTE DE ARITMETICĂ ÎN MULȚIMEA NUMERELOR ÎNTREGI

§ 1. CONSTRUCȚIA NUMERELOR ÎNTREGI

Plecând de la mulțimea numerelor naturale vom construi mulțimea numerelor întregi .

Considerăm produsul cartezian . Pe acest produs cartezian definim relația binara ,,~„ prin (a,b)~(c,d) a +d = b+c .

Propoziția 1.1. Relația ,,~” este echivalenta pe .

10) (a,a)~(a,a) are loc pentru că a+b=b+a .

20) (a,b)~(c,d) (c,d)~(a,b) are loc deoarece a+d=b+c (b+c)=(a+d) c+b=d+a .

30) (a,b) ~(c,d) , (c,d) ~(e,f) (a,b) ~(e,f) .

a + d = b + c c + f = d + e a + f = b + e

a + f + c + d = b + e + c + d (simplificam fata de adunare cu c + d ) a + f = b + e .

= | ,, ~” un element al acestei mulțimi se numește un număr întreg , iar se numește mulțimea numerelor întregi . Cum este mulțimea claselor de echivalență în raport cu ,, ~ ” vom nota cu [m, n] numărul întreg determinat de perechea (m,n) .

[m, n] = {(p,q)| (p, q) ~ (m, n)}.

Propoziția 1.2. Pe mulțimea vom defini două legi de compunere :

) ,, + ” ; [a,b] + [c,d] = [a+c , b+d ] .

) ,, . ” ; [a,b] . [c,d] = [ac+bd , ad +bc

Teorema 1.3. Mulțimea a numerelor întregi împreună cu operațiile de adunare și înmulțire are o structură de inel comutativ cu unitate fără divizori ai lui zero.

Arătăm că (, + ) grup comutativ, (, .) monoid comutativ.

1) asociativitatea : ([a,b]+[c,d] )+[e,f]= [a,b]+([c,d]+[e,f]) , [a,b],[c,d],[e,f] ;

[a+c,b+d] +[e,f]=[ a+c+e , b+d+f ] .

[a,b]+[c+e , d+f]=[a+c+e ,b+d+f] .

2) comutativitatea : [a,b]+[c,d] =[c,d]+[a,b] ; [a+c ,b+d]=[c+a,d+b] .

3) element neutru . , cu proprietatea 0+[a,b] =[a,b] +0=[a,b] , [a,b] ; este suficientă numai egalitatea deoarece adunarea este comutativă . În clasa reprezentată de perechea [0,0] se găsesc toate perechile care au componentele egale și numai acestea:

(a,a) [0,0] și (a,b) [0,0] a=b. Trebuie să arătăm acest lucru.

(a,a) [0,0](a,a)~(0,0) a+0 = a +0 adevărat.

(a,b) [0,0] (a,b)~(0,0) a+0 =b+0 a = b . Arătăm că perechea (0,0) este element neutru. [0,0]+[a,b] = [0+a ,0+b]=[a,b] .

4) [a,b] , opusul său –[a,b] ; [a,b] +{-[a,b]} =0 . –[a,b]=[b,a];

[a,b]+[b,a]= [a+b , b+a ] =0 ; a+b=b+a deci am obținut o clasă reprezentată de o pereche cu componente egale [0,0] (, +) grup comutativ.

Vom arăta că (, .) monoid comutativ.

1) asociativitatea – {[a,b] [c,d]} [e,f] =[a,b] {[c,d] [e,f]} , [a,b], [c,d] , [e,f] ;

{[a,b] [c,d]} [e,f] =[ac+bd , ad+bc] [e,f]=[(ac+bd)e +(ad+bc)f , (ac+bd)f +(ad+bc)e]=[a(ce+df)+b(cf+de) , a(cf+de)+b(ce+df)] .

[a,b] {[c,d][e,f]}= [a,b][ce+df ,cf+de] =[a(ce+df)+b(cf+de) , a(cf+de)+b(ce+df)] .

2) comutativitatea – [a,b] [c,d] = [c,d] [a,b] , [a,b], [c,d] ;

[a,b] [c,d] =[ac+bd , ad +bc]

[c,d] [a,b] = [ca+db , cb+da] .

3) element neutru : 1 cu proprietatea 1. =. 1 = , .

Definitia 1.4. Fie [a,b] [c,d] două numere întregi . Vom spune că , [a,b] < () [c,d] , dacă a+d < () b + c .

Proprietăți ale relației de ordine :

1) [m; n] [0; 0] m n există u astfel încât m+u = n dacă și numai dacă

[ m, n ] = [0, u] [0,0] ;

2) [m,n ] [ 0,0 ] m n există v astfel încât n+ v = m dacă și numai dacă

[ m,n ] = [ v , 0 ] [ 0 ,0 ]

3) “” este o relație de ordine totală (este reflexivă , antisimetrică, tranzitivă și totală )

4) Este compatibilă cu operația de adunare ; x, y , z avem x y x + z y + z și x0 y0 rezultă x + x0 y + y0;

5) este compatibilă cu operația de înmulțire ; x, y , z

pentru z > [0 , 0] avem x < y x· z < y· z

pentru z < [0 , 0] avem x < y x· z > y· z

Teorema 1.5. Oricare ar fi două numere întregi ele se află în una și numai în una din relațiile următoare : [a,b] , [c,d] , [a,b] < [c,d] sau [a,b] = [c,d] sau [a,b]> [c,d] . Aceasta proprietate ne spune că (Z , ) este o relație de ordine totală .

Teorema 1.6. Există o aplicație : N Z , (n) = [n,0 ] are următoarele proprietăți :

1) este injectivă

2) este aditivă (compatibilă cu operațiile corespunzatoare de adunare )

φ (a+b) = φ (a) + φ (b), a ,b N

3) este multiplicativă ( compatibilă cu operațiile de înmulțire) φ (a.b )= φ (a) ∙ φ (b) a,b N

4) este monotonă (compatibilă cu relațiile corespunzatoare de ordine ) a b (a) (b)

Deoarece : N (N) este o bijecție , vom identifica N cu (N) ( spunem că am scufundat mulțimea numerelor naturale în mulțimea numerelor întregi ). Aceasta înseamnă că vom identifica numărul natural n cu numărul întreg [n,0] 0 = [0,0] . Deoarece simetricul la adunare (opusul) numărului întreg [m,n] este – [m,n] = [n,m], identificarea n = [n,0] ne permite să identificam de asemenea –n= -[n,0] = [0,n] 0 . Pe baza acestor identificări vom putea descrie elementele mulțimii numerelor întregi astfel : Z ={ .. , -5 ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

Teorema 1.7. (Teorema împărțirii cu rest în Z) : Pentru orice două numere întregi a și b , b 0 , există și sunt unice numerele întregi q și r astfel încât a= bq + r și 0 r < |b|

Aplicații

1) Să se determine cel mai mic număr natural care împărțit la -7 să dea restul 3 și împărțit la 11 să dea restul 2 .

Rezolvare : Fie n numărul căutat .

n = -7c1 + 3 , n= 11c2 +2

Rezultă că 11c2 +2 = -7c1 + 3 , deci 11c2 +7c1 = 1, unde c1 < 0 și c2> 0 .

Se observă că c2 = 2 și c1 = -3 reprezintă o soluție . Cum n este cel mai mic număr atunci n = 11∙2 + 2 = 24.

2) Împărțind numărul 185 la un număr natural se obține restul 15 . Aflați împărțitorul.

Rezolvare : 185 = x ∙ c +15 185 – 15 = x∙c , deci 170 = x∙c . Cum 170 = 2∙5∙17 și x > 15, rezultă că x poate fi 17 sau x = 2∙17 = 34 sau x = 5∙17 = 85 sau x = 2∙5∙17 = 170 .

Așadar împărțitorul aparține mulțimii : 17, 34, 85, 170 .

3) Să se determine numerele întregi pozitive a și b care satisfac condițiile a + b = 165 și câtul împărțirii lui a la b este 10 .

Rezolvare : a = 10b + r , unde 0 ≤ r < b

a + b = 165 10b + r + b = 165 , 11 b + r = 165 , 11b + r = 11 ∙15 , r este divizibil cu 11 .

Rezultă că r = 11x 11(b+x) = 11 ∙15 b+x = 15 x = 1 .

Deoarece r = 11x < b r = 11 b=14 a = 151 .

4) Aflați restul pe care îl dă un număr la împărțirea cu 18, știind că acesta dă restul 6 la împărțirea cu 14 și restul 9 la împărțirea cu 45. (Revista de Matematică din Timișoara, nr. 2/2005)

Rezolvare: Conform Teoremei împărțirii cu rest, a = 14c1 +6 și a = 45c2 +9. De aici a = 2(7c1+3) și a = 9(c2+1), rezultă 2|a și 9|a . Cum (2,9) =1 rezultă a se divide cu 2∙19 = 18 . Deci restul cautat este 0 .

5) Să se determine restul împărțirii lui 1n + 2n + 4n la 3 . (C.Năstăsescu, C.Niță, Algebră clasa a X-a)

Rezolvare : 1n = 1 , 4n = (3+1)n = 3k +1 și deci restul împărțiriii lui 4n la 3 este 1 .

Dacă n este par atunci n=2p și deci 2n = 22p= 4p și are restul împărțirii la 3 egal cu 1 .

În concluzie pentru n par restul împărțirii lui 1n + 2n + 4n la 3 este 0.

Dacă n este impar atunci n = 2p +1 și avem 2n = 4p∙2 și restul împărțirii la 3 este evident 2 .

În concluzie pentru n impar restul împărțirii lui 1n + 2n + 4n la 3 este restul împărțirii lui 4 la 3, adică 1 .

§ 2 . RELAȚIA DE DIVIZIBILITATE ÎN Z

Relația de divizibilitate în Z se definește ca și relația de divizibilitate în N cu mici deosebiri.

Definiția 2.1. Un număr întreg b este divizor al unui întreg „a” dacă există un întreg c, astfel încât a = b∙ c.

În cazul în care există un c Z, spunem că „b” este un divizor al lui a și a este un multiplu de b. În acest caz mai spunem că a se împarte exact cu b sau că b îl divide pe a și scriem: ba sau a∶b

În caz contrar scriem: b∤a (b nu divide pe a).

Relația de divizibilitate în mulțimea numerelor întregi este o relație binară, pe această mulțime.

Proprietățile relației de divizibilitate :

1. Relația de divizibilitate este reflexivă pentru orice aZ: a = a∙1 deci aa

2. Dacă ab și ba, atunci a = b sau a = -b. Avem b = ac1 și a = bc2, deci a = ac1c2, de unde 1=c1c2, deci: c1=c2=1. rezulta a=b sau c1=c2=-1 și rezulta a=- b

3. Relația de divizibilitate este tranzitivă: a|b, b|c ⇒ a|c , a , b .c Z

b=aq, c=bq1 ⇒ c=a(qq1)

4. Orice număr întreg divide pe zero: 0=n×0 ⇒ n|0

5. Zero nu este divizorul nici unui număr întreg p 0 . Nu există: p=q×0 când p0.

6. Numerele +1, -1 și +a și -a sunt întotdeauna divizori lui a. Numerele +1 ,-1 și +a, -a se numesc divizori improprii ai lui a, orice alt divizor n se numește divizor propriu. Un număr întreg diferit de 1 care nu admite divizori proprii se numește număr nedecompozabil. Un număr întreg care admite divizori proprii se numește număr compus.

7. Orice divizor al unui număr întreg p, diferit de zero, este cel mult egal cu p.

Generalitatea propoziției nu se restrânge în ceea ce privește relația de divizibilitate dacă vom considera întregii pozitivi. Dacă p0 și q0, avem q1 și nqn, sau pn.

8. Dacă np și nq, atunci oricare ar fi întregii x și y, n(px+qy).

Dacă: n‌‌‌‌|p, n|q ⇒ p=hn și q=kn , avem px+qy=hnx+kny=n(kx+ky) .

În particular: n|(p+q) și n|(p–q).

Aplicații

1) Să se arate că dacă pN , p > 3 are proprietatea că p și 2p+1 nu sunt divizibile cu 3, atunci 4 p+1 este divizibil cu 3 .

Rezolvare : Cum p nu este divizibil cu 3, atunci el este de forma 3k+1 sau 3k+2 .

Dacă p = 3k+1 2p+1 = 2( 3k+1) + 1 = 6k+2+1 = 6k+3 = 3(2k+1), deci 3 | 2p+1

Dacă p = 3k+2 4p+1 = 4( 3k+2) + 1 = 12k +8 +1 = 12k +9 = 3(4k +3) , deci 3 | 4p+1

2) Demonstrați că dacă x, y Z au același rest la împărțirea cu 7 , atunci

7| x – y .

Rezolvare : x = 7c1 + R

y = 7c2 + R , deci x – y = 7c1 -7c2 x – y = 7(c1 – c2) x – y 7

3) Arătați că dacă 5| (3x+y) atunci 5|(2x – y) , .

Rezolvare : 5|3x+y

5|5x , deci 5| (5x-3x-y) 5|(2x – y)

4) Determinați elementele mulțimii A = {| }.

Rezolvare : x-1 | 15 x-1 ={1, 3, 5, 15, -1, -3, -5, -15}

x = {2, 4, 6, 16, 0, -2, -4, -14}

5) Fie a, b Z astfel încât a+b divide 7a+13b. Demonstrați că a + b divide 13a +7b .

Rezolvare : a+b| (7a+13b) și a+b|20 (a+b) a+b | 20a + 20b

Deci a+b | 20 a +20 b -7a – 13b a+b| 13a + 7b

6) Determinați valorile întregi ale lui x astfel încât :

a) x| (x+8) ; b) (2x+1)|(4x+5) ; c) (2x+3) | (3x+15)

Rezolvare : a) x| x+8 și x|x , deci x| x+8-x x|8 x = {±1, ±2, ±4, ±8}

b) (2x+1)|(4x+5) și (2x+1)|(2x+1) 2x+1 | 4x+ 5 – 4x -2 2x+1 | 3 2x+1 ={±1, ±3} 2x = {2, 4, 0, -4} x={1, 2, 0, -2}.

c) (2x+3) | (3x+15) și (2x+3) | (2x+3) , înmulțim cu 2, respectiv cu 3 și rezultă :

2x+3| 6x+30 și 2x+3| 6x+9 2x+3| 6x+30 – 6x – 9 2x+3 | 21 2x+3 = {±1, ±3, ±7, ±21}

2x = {-4, -6, -10, -24, -2, 0, 4, 18} x={-2, -3, -5, -12, -1, 0, 2, 9}.

7) Fie a,b,c . Demonstrați echivalența (2a + 3b +4c) divizibil cu 17

(7a +2b+14c) divizibil cu 17 . (Gazeta Matematică nr. 11/2002)

Rezolvare : Vom nota cu x = 2a + 3b + 4c și y = 7a + 2b +14c . Atunci 3x +4y = 6a + 9b +12c +28ª +8b +56c = 34a +17b +68c = 17 (2a +b+4c) , deci 17| 3x +4y (1)

Avem 17|x 17| 3x , ținând cont de relația (1) 17| 4y 17|y .

8) Să se găsească toate numerele întregi n cu proprietatea n – 3 | n3 -3 .

(C. Năstăsescu, C. Niță, Algebră clasa a X-a)

Rezolvare : Avem n3 -3 = n3 -33 + 33 -3 . Cum n – 3 | n3 -33 rezultă că n – 3 | n3 -3 adică

n-3 | 24. Deci n-3 ={ ±1, ±2, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24}

Deci n {-21, -9, -5, -3, -1, 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 15, 27}.

9) Fie x, y astfel încât x divide pe 2, y divide pe 3 și x+y divide pe 6 . Rezultă că x divide pe 3 și y divide pe 2 ?

10) Determinați numărul prim p și numerele întregi x pentru care

x2 + p∙x – 444p = 0 . (Revista de Matematică din Timișoara, nr.2/1999)

Rezolvare : Din x2 + p∙x – 444p = 0 x2 = 444p – p∙x x2 = p( 444 – x) p|x2 , cum p este prim rezultă p|x . Dacă x = k∙p egalitatea din enunț devine k2p2 + p2k – 444p = 0. Simplificând cu p rezultă că k2p + pk – 444 = 0 kp(k+1) =444 k(k+1) p = 444. Deoarece 444 = 22 ∙ 3 ∙ 37 , singura posibilitate este p = 37 iar k =3 sau k = – 4 .

Deci p = 37 iar x = 37∙3 x = 111 sau p = 37 iar x = 37∙(-4) x = – 148 .

§ 3. Cel mai mare divizor comun Și cel mai mic multiplu comun al numerelor Întregi

Definiția 3.1. Se numește divizor comun al numerelor întregi a și b , un număr întreg c cu propietatea c | a și c| b .

Definiția 3.2. Vom numi cel mai mare divizor comun (pe scurt c.m.m.d.c.) al numerelor întregi a și b , un număr întreg d , care verifică următoarele condiții :

1) d este un divizor comun al lui a și b ( adica d|a și d|b)

2) orice alt divizor comun d’ al lui a și b divide neapărat și pe d ( adica d’ |a și d’| b , implicit d’|d)

Teorema 3.3. (Algoritmul lui Euclid de existență a c.m.m.d.c.) : Fie a și b două numere întregi. Atunci există un c.m.m.d.c.al lui a și b .

Din definiția c.m.m.d.c rezultă că (a,b) = (-a,b) = (a,-b) = (-a,-b). Deoarece relația de divizibilitate pe Z nu este antisimetrică c.m.m.d.c al lui a și b nu mai este unic determinat. Mai precis , d este c.m.m.d.c al lui a și b dacă și numai dacă – d este c.m.m.d.c al lui a și b . Cu condiția ca d 0 , atunci c.m.m.d.c al lui a și b este unic determinat și notăm :

d=(a,b)= (|a| , |b| ). Calea de determinare a c.m.m.d.c este tot cu ajutorul algoritmului lui Euclid. Ultimul rest diferit de zero este c.m.m.d.c.al numerelor a și b .

Cel mai mare divizor comun al numerelor întregi are proprietățile demonstrate pentru numerele naturale.

Definiția 3.4. Un număr întreg se numește cel mai mic multiplu comun și se notează c.m.m.m.c dacă are următoarele proprietăți :

1) a |m ,b|m a ,b Z

2) dacă a|m’ și b|m’ atunci m|m’ m’ Z

Cel mai mic multiplu comun al numerelor întregi a și b este c.m.m.m.c al modulelor celor două numere m = [a ,b] = [ |a,|b| ] . Cel mai mic multiplu comun al numerelor întregi are proprietățile demonstrate pentru numere naturale.

Definiția 3.5 Dacă c.m.m.d.c a două numere întregi este 1 atunci ele sunt prime.

Dat un număr întreg a -1 ,0, 1 admite măcar patru divizori: 1, -1, a, -a . Aceștia se numesc divizori improprii.

Definitia 3.6 Un număr a este nedecompozabil dacă admite numai divizori improprii.

Definiția 3.7 Un număr p -1, 0, 1 se numește număr prim dacă din p|ab rezultă p|a sau p|b.

Aplicații

1) Folosind teorema fundamentală a aritmeticii să se găsească cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun al următoarelor numere : 325, 526, 169, 1014 .

Rezolvare : 325 = 52·13 169 = 132

526 = 2 · 263 1014 = 2·3·132

c.m.m.d.c = 1

c.m.m.m.c = 2· 3 ·52· 13 ·263 = 6667050 .

2) Să se găsească cel mai mic multiplu comun al numerelor -960 și 1200 .

Rezolvare : [-960,1200] =

Calculăm (-960, 1200) folosind algoritmul lui Euclid.

1200 = 960·1 + 240

960 = 240·4 + 0 . Deci (-960, 1200) =240 .

[-960,1200] =

3) Să se găsească două numere întregi a și b astfel încât (a,b)=3 și [a,b] = 72

Rezolvare : Cum (a,b) = 3 rezultă că a = 3c1 și b = 3c2

[a,b] = . Deci 72 = a·b = 216

Deci 3c1· 3c2 = 216 , c1· c2 = 24 iar (c1, c2) = 1 , rezultă

c1= 1 și c2=24 ; c1= 3 și c2=8 ; c1= 8 și c2=3 ; c1= 24 și c2=1 ;

Deci avem soluțiile : a =3 și b=72 ; a =9 și b=24 ; a =24 și b=9 ;

a =72 și b=3 .

4) Să se afle c.m.m.d.c al numerelor 375, 645, -600 și -1515 folosind algoritmul lui Euclid .

Rezolvare : (375, 645, -600, -1515) = (375, 645, 600, 1515)

Se află c.m.m.d.c al numerelor 645 și 600 :

645 = 600· 1 +45 , 600 = 45·13 +15 , 45 = 15 ·3 +0 . Deci (645, 600) = 15

Calculăm (375, 15) . 375 = 15·25+0 , deci (375, 15) = 15

Calculăm (1515, 15) . 1515 = 15· 101 +0 , deci (1515, 15) =15

În concluzie (375, 645, -600, -1515) = 15

5) Arătați că pentru orice n , număr natural impar, numărul A = 2n+3n+7n+8n este multiplu de 5 .

Rezolvare: , n = 4k sau n=4k+1 sau n=4k+2 sau n=4k+3 . Dacă în plus , n este număr impar , atunci n = 4k + 1 sau n = 4k + 3 .

Dacă n = 4k + 1 U(24k+1) = U(21) = 2 ; U(34k+1) = 3 ; U(74k+1) = 7 ; U(84k+1) = 8

Deci U(A) = U(2+3+7+8) = 0 A este multiplu de 5

Dacă n = 4k + 3 U(24k+3) = U(23) = 8 ; U(34k+3) = 7 ; U(74k+3) = 3 ; U(84k+3) = 2

Deci U(A) = U(8+7+3+2) = 0 A este multiplu de 5 .

6) Să se arate că 2k +1 și 9k + 4 sunt prime între ele, .

Rezolvare : Fie d = (2k+1, 9k+4), atunci d | 2k+1 și d| 9k +4.

Rezultă d| 18k + 9 și d| 18 k +8 , adică d| 1 d= 1 . Deci (2k+1, 9k+4) = 1 .

7) Să se determine cel mai mic număr natural care are exact 20 de divizori întregi.

Rezolvare : Fie n ≥ 1 , nN , n = p1α1∙ p2α2∙…… ∙ psαs , αi ≥ 1 , descompunere în factori primi, atunci numărul de divizori ai lui n este (α1+1)( α2+1)….( αs+1) . Numărul divizorilor naturali va fi egal cu 20 : 2 = 10 . Deci trebuie să avem (α1+1)( α2+1)….( αs+1) = 10 = 2∙ 5

Deci 1 ≤ s ≤ 2. Cum se cere cel mai mic număr , p1 și p2 trebuie să fie primele numere prime, adică 2 și 3 .

Dacă s=1 vom avea α1+1 = 10 , adica α1 = 9 și n = 29

Dacă s=2 vom avea α1+1 = 5 și α2+1= 2 , adica α1 = 4 și α2 = 1 , n = 24∙ 3 = 48 .

Dacă α1+1 = 2 și α2+1= 5 , adica α1 = 1 și α2 = 4 , n = 2∙ 34 = 162 .

Cum n este cel mai mic număr, rezultă că soluția este n = 48 .

8) Să se găsească un număr natural care să aibă exact 15 divizori naturali și singurii săi divizori primi să fie 7 și 11 .

Rezolvare : Numerele naturale n vor fi de forma n = 7α ∙ 11β cu (α+1) ∙ (β+1) = 15 = 3 ∙ 5 .

Dacă α+1= 3 și β+1 = 5 α = 2 și β = 4 și avem n = 72 ∙ 114

Dacă α+1= 5 și β+1 = 3 α = 4 și β = 2 și avem n = 74 ∙ 112 . Cum n este cel mai mic număr, atunci n = 74 ∙ 112 = 290521 .

9) Demonstrați că pentru orice n număr natural, fracția este ireductibilă . (Gazeta Matematică nr. 11/2002)

Rezolvare : Fie d cel mai mare divizor comun al numerelor 74n +3 și 185n +7 . Avem :

d| 74n +3 d| 5(74n+3) și d| 185n +7 d| 2(185n+7), rezultă d| 5(74n+3) – 2(185n+7) d| 370n +15 -370n-14 d|1 . Deci d=1 și fracția este ireductibilă.

10) Pentru n număr natural , n ≥1, fie numărul a = 2n∙7n + 2n+1∙7n+2 . Aflați:

a) Demonstrați că a se divide cu 1386.

b) Dacă n=1, determinați divizorii întregi ai numărului a . (Gazeta Matematică nr. 9/1004)

Rezolvare : a) Numărul a = 2n∙7n + 2n+1∙7n+2 = 14n + 14n ∙98 = 14n(1+98) = 14n∙ 99 =

14 ∙ 14n-1 ∙99 = 1386∙14n-1 care se divide cu 1386.

b) Pentru n = 1 a = 1386 ∙141-1 = 1386 = 2∙32∙7∙11 . Numărul divizorilor lui a este egal cu (1+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 2∙3∙2∙2 = 24. Deci a are 24 divizori naturali.

§ 4. CRITERII DE DIVIZIBILITATE

Pentru a găsi criterii de divizibilitate pentru un număr întreg n , vom scrie numărul n în sistemul de numerație zecimal, sub forma n= an·10n + an-1·10n-1+….+ a2·102 +a1·101 +a0 , unde a0, a1, ….., an sunt numere naturale cuprinse între 0 și 9 , iar an ≠0 . Prin urmare a0 reprezintă cifra unităților lui n, a1 cifra zecilor, a2 cifra sutelor și așa mai departe .

Pentru ca n să fie divizibil cu 2 (sau cu 5) este necesar și suficient ca cifra unităților să fie divizibilă prin 2 (respectiv prin 5) .

Într-adevăr n =10· (an·10n-1 + an-1·10n-2+….+ a2·102 +a1) + a0 , deci n=10k+ a0 .

Demonstrația pentru divizibilitatea cu 5 se realizează în mod analog :

5|n 5|(n-10k) adică 5| a0 , reciproc 5| a0 5|(10k+ a0) adică 5|n .

Pentru ca n să fie divizibil cu 4 sau cu 25 , este necesar și suficient ca numărul format din ultimele sale două cifre să fie divizibil cu 4 , respectiv cu 25 . Mai general, numărul natural n este divizibil cu 2L (sau cu 5L) dacă și numai dacă numărul format de ultimele L cifre din scrierea sa în baza zecimală, este divizibil cu 2L (respectiv cu 5L) .

Numărul natural n este divizibil cu 3 (respectiv cu 9) dacă și numai dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3 (respectiv cu 9) .

Într-adevar, avem n = am·10m + am-1·10m-1+….+ a2·102 +a1·101 +a0 = am(10m-1) + am-1(10m-1-1)+….+a1(10 – 1) + an + an-1+ …+a1 +a0 .

Din formula 10L-1 = (10-1)(10L-1+10L-2+…+1) = 9k’

Prin urmare, n=9k + (am +am-1+…+a1+a0) , adică n este divizibil cu 3 (respectiv cu 9), dacă și numai dacă suma cifrelor sale, a m +am-1+…+a1+a0 .

Numărul natural n este divizibil cu 11 dacă și numai dacă suma alternată a cifrelor sale este divizibilă cu 11.

11|

Pentru a demonstra această afirmație , vom scrie cu ajutorul formulei binomul

lui Newton :

10L= (11 -1)L = 11L + ∙11L-1 +….+(-1)L = 10k’ +(-1)L , unde k’Z .

Prin urmare n = 11k + și deci n este divizibil cu 11 este divizibil cu 11 .

Aplicații

1) Aflați numerele de forma divizibile cu 3 .

Rezolvare : 3| 6+x+5 = M3 11+x = {12,15,18} , deci x = {1, 4, 7}

Deci numerele sunt 615, 645 și 675 .

2) Determinați cifra x astfel încât să fie adevărată propoziția 2|.

Rezolvare : 2| x = {0,2,4,6,8} . Numerele de forma 3070 , 3272, 3474, 3676, 3878 sunt divizibile cu 2 .

3) Arătați că produsul a trei numere consecutive este întotdeauna divizibil cu 3.

Rezolvare : Fie x, x+1 și x+2 cele trei numere naturale consecutive și p = x(x+1)(x+2) produsul acestor numere .

Ținând cont de faptul că dacă împărțim numărul x la 3 putem obține restul 0 , 1 sau 2 , vom avea : x = 3n sau x = 3n +1 sau x = 3n + 2 .

Dacă x=3n atunci 3|x deci 3|p .

Dacă x = 3n +1 atunci x+2 = 3n+3 = 3(n+1) . Deci 3|(x+2) și 3|p .

Dacă x=3n+2 atunci x+1 = 3n+3 =3(n+1) , deci 3|(x+1), ceea ce implica 3|p .

4) Aflați cel mai mic și cel mai mare număr natural de forma divizibil cu 18.

Rezolvare : Numerele divizibile cu 18 sunt divizibile cu 2 și cu 9 . Pentru a fi divizibile cu 2 trebuie ca y {0,2,4,6,8}. Suma cifrelor cunoscute 6+1+9+7 = 23, de aceea x+y trebuie să fie 4 sau 13. Cum y trebuie să fie număr par rezultă că :

y = 0, 2 , 4 și x = 4, 2, 0

sau y = 4, 6, 8 și x = 9, 7, 5

Deci rezultă că numerele pot fi 619470 , 619272, 619074, 619974 , 619776, 619578 . Deci cel mai mic număr este 619074 iar cel mai mare este 619974 .

5) Să se afle cifrele x și y știind că numărul se divide cu 45 .

Rezolvare : Numerele divizibile cu 45 sunt divizibile cu 9 și 5 . Numerele sunt divizibile cu 5 dacă y este 0 sau 5 .

Dacă y = 0 9| 4 + x + 0 = M9 , 4 + x = 9 x = 5 . Numărul obținut este 450 .

Dacă y = 5 9| 4 + x + 5 = M9 , 9 + x = 9 sau 9 + x = 18 x = 0 sau x =9 . Numerele obținute sunt 405 și 495.

Deci soluțiile problemei sunt numerele 450, 405 și 495 .

6) Aflați numerele de forma divizibile cu 15 , știind că a+b = 11 ,

a ≠ b ≠ c. Care dintre ele este divizibil cu 11 .

Rezolvare : Numerele divizibile cu 15 sunt divizibile cu 5 și cu 3 . Cum numărul este divizibil cu 5 rezultă că ultima cifră trebuie să fie 0 sau 5 .

Dacă a este 0 nu convine , deci a = 5 .

Cum a + b = 11 , rezultă că b=6 .

Deci este divizibil cu 3 dacă 5+6+5+c = M3 , 16 +c = M3 , 16 + c = {18, 21, 24} , rezultă că c poate fi 2, 5 sau 8 . Dar c nu poate fi 5 deoarece a ≠ c .

Deci soluțiile sunt 5625 și 5685 . Nici o soluție nu este divizibilă cu 11 .

7) Să se arate că expresia E = 10n + 44 este divizibilă cu 6 , , n ≠ 0 .

Rezolvare : 10n= 100..00 , cu n zerouri , atunci E = 100…00 +44 , E= 1000…44.

Se observă că suma cifrelor lui E este egală cu 9 deci E este divizibil cu 3 . De asemenea, ultima cifra este un număr par, deci numărul este divizibil și cu 2 . Rezultă că E este divizibil cu 6 .

8) Să se arate că 5| a, unde a = 212 – 211 + 210 – 29+28- 27+26-25+24- 23+22-2 .

Rezolvare : Grupând câte 2 termeni, obținem

a = 210(22+1) – 29(22+1) +26(22+1) – 25(22+1) + 22(22+1) – 2(22+1)

a = 210∙5 – 29∙5 +26∙5- 25∙5+ 22∙5 – 2∙5

a = 5∙( 210- 29 +26- 25+ 22- 2) este divizibil cu 5

9) Determinați x și y știind că numărul de 4 cifre este divizibil cu 4 iar y <x și y este cifră pară .

Rezolvare : Pentru ca un număr să fie divizibil cu 4 , numărul format de ultimele sale 2 cifre trebuie să fie divizibil cu 4, deci este divizibil cu 4 dacă x este 4 sau 8 .

Dacă x = 4 , y < 4 și y par y = 2. Se obține numărul 2144 .

Dacă x = 8, y < 8 și y par y = 6 sau y = 4 sau y=2 . Se obțin numerele 6148, 4148 și 2148 .

10) Să se arate că 1000k -1 este divizibil cu 37 , .

Rezolvare : Deoarece 1000 = 37∙27 +1 1000k -1 = (37∙27 +1)k -1 = 37∙m +1 – 1 = 37m și deci 37|1000k -1 (am folosit binomul lui Newton) .

11) Să se arate că A = 1+11+ 111 + 1111+ ….+11111…111 este divizibil cu 9.

2007 de cifre de 1

Rezolvare : A =

A = =

A= .

Cum numărul are 2003 cifre de 1 , înseamnă că suma cifrelor din care este compus este 2003 + 9 + 1+3 = 2016 , care se divide la 9 , deci și A este divizibil cu 9.

CAPITOLUL III

CERCETARE METODICĂ

§ 1. PROIECTAREA DIDACTICĂ

Procesul de învățământ cuprinde un ansamblu de acțiuni, dintre care esențiale sunt:

– proiectarea, în care se prezintă schematic modalitățile de desfășurare și de evaluare a activităților instructiv-educative și, în final, se întocmesc proiecte pedagogice;

– aplicarea efectivă, atunci când se redă în practică proiectul pedagogic care este considerat cel mai eficient;

– evaluarea performanțelor elevilor și a activității instructiv-educative în ansamblu. Informațiile obținute sunt folosite drept punct de plecare pentru activitățile desfășurate ulterior.

În acest context, proiectarea didactică poate fi definită drept o operație de anticipare a modului în care se va desfășura activitatea instructiv-educativă într-o anumită perioadă de timp.

În funcție de perioada de timp luată în considerare, proiectarea pedagogică poate fi: globală sau eșalonată.

Proiectarea pedagogică globală este realizată pe o perioadă mai mare de timp (un ciclu de învățământ) și se finalizează prin realizarea planurilor cadru și a programelor școlare. Modul de asociere a disciplinelor obligatorii cu disciplinele opționale pentru fiecare clasă alcătuiesc schema orară.

Proiectarea pedagogică eșalonată se referă la perioade de timp mai scurte (an școlar, semestru, capitol, lecție). Aceasta este realizată de cadre didactice și se concretizează în:

a. proiectarea activității anuale, pe baza planului de învățământ și a programei școlare. Aceasta presupune:

– identificarea obiectivelor generale urmărite în predarea disciplinei;

– analiza conținutului, identificarea unităților mari de conținut (capitole, teme) și a succesiunii lor;

– repartizarea în timp (precizarea numărului de ore pentru fiecare unitate și precizarea datei sau a săptămânii din structura anului școlar);

– repartizarea timpului pe tipuri de activități : predare, fixare și sistematizare, evaluare.

b. proiectarea activității trimestriale este o continuare a proiectării anuale și poate include, pe lângă elementele caracteristice ale unei proiectări anuale, o anticipare a strategiilor didactice și a modalităților de evaluare, în funcție de obiectivele propuse și de conținutul detaliat.

c. proiectarea activității didactice se referă de obicei la proiectarea lecției datorită faptului ca lecția ocupă o pondere mare în totalitatea formelor de organizare și desfășurare a activității didactice.

În ceea ce privește proiectarea unei lecții, se va ține seama de un algoritm procedural care presupune răspunsurile unui set de patru întrebări:

1. Ce voi face? Acestă întrebare se referă la prima parte din proiectarea lecției, adică la fixarea obiectivelor educaționale (ce se urmărește în fiecare etapă a lecției).

2. Cu ce voi face? A doua întrebare se referă la acțiunea de identificare a resurselor necesare cadrului didactic în procesul de predare. În acest scop sunt luate în considerare:

a) resursele umane ; b) resursele materiale:

3. Cum voi face? A treia etapă se bazează pe elaborarea unor strategii didactice adaptate elevilor pentru a duce la bun sfârșit obiectivele deja fixate. Această etapă se mai numește și “etapa corelării celor trei M” (metode, materiale și mijloace).

Strategia didactică este un mod de a realiza activitatea de predare și învățare prin îmbinarea metodelor, mijloacelor de învățământ și formelor de organizare a activității elevilor cu scopul atingerii unor obiective. Alegerea acestor strategii se face în funcție de obiectivele fixate, forma conținutului, particularitățile individuale ale elevilor, competențele cadrului didactic, condițiile de dotare și timpul disponibil. Alegerea unui anumit tip de strategie implică precizarea metodelor, mijloacelor de învățământ și formelor de organizare a activității elevilor.

În cadrul lecției, formele de organizare a activității elevilor (de grupare a elevilor) pot fi:

frontală, pe grupe, individuală.

Un element de bază în realizarea strategiei didactice este identificarea tipurilor de capacități/rezultate ale învățării pe care elevii le vor acumula o dată cu această lecție: informații factuale, concepte, deprinderi etc. Oricare ar fi capacitatea care se învață, printr-o activitate de învățare se organizează o serie de evenimente care acționează asupra elevilor ajutându-i să atingă obiectivul propus. Aceste evenimente, numite evenimente ale instruirii se parcurg in urmatoarea ordine:

Captarea atenției este o condiție fundamentală a învățării, care se realizează prin procedee variate: sublinierea noutății temei, scoaterea în evidență a utilității practice a celor învățate, varierea materialului didactic.

Anunțarea obiectivelor lecției motivează elevii și îi transformă în coparticipanți ai activității didactice.

Reactualizarea elementelor anterior învățate :

– se reactualizează acele capacități considerate indispensabile pentru noua învățare;

– se realizează prin conversație, observație, rezolvare de probleme, cu antrenarea unui număr cât mai mare de elevi. Răspunsurile nu sunt notate.

Prezentarea conținutului învățării și dirijarea învățării :

– noul conținut poate fi prezentat prin comunicare verbală sau cu ajutorul unor imagini, demonstrații, experimente etc.;

– dirijarea învățării se face prin solicitări adresate elevilor: să observe, să compare, să explice, să demonstreze, să rezolve etc.

Obținerea performanței marchează momentul în care elevii au dobândit capacitatea țintită și o pot proba (pot explica , pot exemplifica)

Asigurarea conexiunii inverse :

– oferă informații cadrului didactic dar și elevilor privitor la atingerea obiectivelor și permite luarea unor măsuri de reglare / corectare a activității;

– se realizează o dată sau de mai multe ori pe parcursul lecției.

Evaluarea performanței se realizează cu ajutorul probelor de evaluare, prin raportare la obiectivele propuse.

Asigurarea retenției și a transferului celor învățate se realizează prin fixare, recapitulare, efectuare de aplicații practice, teme pentru acasă etc.

Evenimentele instruirii nu se succed întotdeauna în aceeași ordine. Ele pot să nu fie prezente în totalitatea lor pe parcursul unei singure lecții ( de exemplu lecțiile de verificare sau de recapitulare nu conțin toate aceste evenimente) .

4. Cum voi știi dacă am realizat ceea ce mi-am propus? A patra întrebare necesită elaborarea modalităților de evaluare a gradului în care obiectivele au fost atinse. Evaluarea se face cu mai multe scopuri care pot fi desprinse din funcțiile acesteia. Construirea instrumentelor de evaluare se realizează pornind de la obiectivele activității didactice. Ele pot îmbrăca forme variate și pot fi utilizate în diferite momente ale activității didactice.

În multitudinea modurilor de organizare a procesului educative, organizarea pe

clase și lecții și-a dovedit eficiența. În raport cu obiectivul pedagogic fundamental se folosesc în practica pedagogică următoarele tipuri de lecții: lecția de comunicare/ însușire de noi cunoștințe, lecția de recapitulare și sistematizare a cunoștințelor, lecția de formare și consolidare a priceperilor și deprinderilor, lecția de verificare și apreciere a rezultatelor, lecția mixtă.

Proiectarea didactică a unei lecții presupune stabilirea scopului, a tipului de lecție, operaționalizarea obiectivelor, pregătirea materialelor necesare, alegerea strategiilor didactice, a intrumentelor prin care se va evalua.

Proiectarea unei lecții se finalizează cu elaborarea proiectului de lecție.

În literatura de specialitate există diferite modele de proiecte de lecții, toate vizând aceleași aspecte de bază. Cadrul didactic va opta pentru acel model pe care-l consideră mai util și eficient.

Eficiența este stabilită dacă un proiect de lecție îndeplinește următoarele cerințe :

– adecvarea la situațiile didactice concrete;

– operaționalitate, putând fi ușor de descompus în operațiuni distincte, pentru a fi aplicat în practică;

– flexibilitate și adaptabilitate la situații noi, care cer modificări „din mers”, pe parcursul desfășurării lecției;

– economicitate, astfel încât, într-un cadru strategic simplu, să se poată realiza cât mai mult din punct de vedere practic.

Proiectul de lecție este un instrument al activității cadrului didactic. Un proiect didactic bine construit este o condiție necesară pentru realizarea unei lecții reușite. El este menit a așeza pe baze științifice demersul didactic, fără însă a șabloniza activitatea instructiv-educativă și a încorseta creativitatea cadrului didactic.

§ 2. PROIECTE DIDACTICE

PROIECT DIDACTIC

OBIECTUL: Matematică

CLASA: a VI-a

PROPUNĂTOR : AVRAM OLGUȚA

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: Mulțimea Numerelor Naturale

TEMA : Divizibilitatea numerelor naturale

TIPUL LECȚIEI : Lecție de fixare și consolidare a cunoștințelor

LOCUL DESFĂȘURĂRII LECȚIEI : Cabinetul de matematică

COMPETENȚE SPECIFICE:

1. Identificarea în exemple, în exerciții sau în probleme a noțiunilor: divizor, multiplu, numere prime, numere compuse, c.m.m.d.c,

c.m.m.m.c .

2. Aplicarea criteriilor de divizibilitate (cu 10, 2, 5, 3, 9) pentru descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime .

3. Utilizarea algoritmilor pentru determinarea c.m.m.d.c și c.m.m.m.c a două sau a mai multe numere naturale .

4. Exprimarea unor caracteristici ale relației de divizibilitate în mulțimea numerelor naturale, în exerciții și probleme care se rezolvă folosind divizibilitatea.

5. Deducerea unor reguli de calcul cu puteri și a unor proprietăți ale divizibilității în mulțimea numerelor naturale, în exerciții și probleme .

6. Transpunerea unei situații-problemă în limbajul divizibilității în mulțimea numerelor naturale, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului .

OBIECTIVE OPERAȚIONALE: Pe parcursul lecției elevii vor fi capabili :

O.1 sǎ aplice corect criteriile de divizibilitate în rezolvarea exercițiilor.

O.2 să aplice proprietățile relației de divizibilitate în rezolvarea exercițiilor .

O.3 să rezolve probleme cu conținut practic care conduc la utilizarea cmmdc și cmmmc.

O.4 să utilizeze algoritmii pentru determinarea cmmmc și cmmdc .

O.5 să descompună numerele naturale în produs de puteri de numere prime.

RESURSE PROCEDURALE:

metode și procedee de instruire: conversația , exercițiul, explicația, brainstorming-ul, , problematizarea , demonstrația, algoritmizarea, turul galeriei.

metode de evaluare: autoevaluarea, interevaluarea, observarea sistematică a activității și comportamentului elevilor

forme de activitate: activitate frontală combinată cu activitate individuală pe grupe și în perechi

Resurse materiale : coli , markere, fișe de lucru, Flip-chart

BIBLIOGRAFIE:

Mate 2000+ consolidare clasa a VI-a-Dan Zaharia, Maria Zaharia

Suport curs „Metode și tehnici interactive de predare – învățare” Conf.Univ.Dr. Elena Răfăilă

M. Ed. C. SNEE – Ghid de evaluare la matematică, București, Editat de Trithemius Media, 1999

Metodica predării matematicii , Horea Banea, ed. Paralela 45

www.didactic.ro

DESFĂȘURAREA LECȚIEI

Anexa 2

GRUPA NR. 1 1. Determinați toate numerele naturale de forma 15 .

2 Calculați ( 30,48, 76 ) .

3. Aflați numerele naturale a și b astfel încât ( a ,b ) =18 și a + b = 324 .

GRUPA NR. 2 1. Determinați toate numerele naturale de forma 12 .

2. Calculați [ 24 , 48 , 72 ] .

3. Aflați numerele naturale a și b astfel încât (a, b ) = 48 și [ a , b ] =144 .

GRUPA NR. 3 1. Determinați numerele naturale a și b , știind că (a , b ) = 12 și a∙b =2160 .

2. Determinați toate numerele naturale de forma 3 .

3. Determinați cel mai mic număr natural care împărțit pe rând la 12 și la 18 să dea restul 7 și câtul diferit de

zero.

GRUPA NR. 4 1. Determinați x număr natural astfel încat .

2. Descompuneți în factori primi numerele 1960 și 2420 .

3. Care este cel mai mic număr de elevi care se pot alinia în coloane de cate 8 elevi , 12 elevi și 15 elevi.

PROIECT DIDACTIC

OBIECTUL : MATEMATICĂ

CLASA: a V-a

PROFESOR : AVRAM OLGUȚA

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE : Mulțimea Numerelor Naturale

TEMA : Divizibilitatea numerelor naturale. Divizor Multiplu.

TIPUL LECȚIEI : Însușire de noi cunoștințe

COMPETENȚE SPECIFICE:

1. Identificarea în exemple, în exercitii sau probleme a noțiunilor de divizor, multiplu.

2. Exprimarea unor caracteristici ale relației de divizibilitate în mulțimea numerelor naturale, în exerciții și probleme care se rezolvă folosind divizibilitatea.

OBIECTIVE OPERAȚIONALE : Elevii vor fi capabili :

O.1 să verifice dacă un număr natural este ( sau nu ) divizibil cu un alt număr natural (nenul), utilizând împărțirea numerelor naturale

O.2 să utilizeze corect notațiile relației de divizibilitate (, , | , ∤ )

O.3 să identifice divizorii unui număr natural

O.4 să identifice multiplii unui număr natural

RESURSE PROCEDURALE :

metode și procedee de instruire : conversația , explicația , exercițiul , demonstrația, algoritmizarea , problematizarea.

tipuri , forme, strategii și instrumente de evaluare : formativă , orală , individuală și în grup, observarea sistematică a activității și comportamentului elevilor.

forme de activitate : activitate frontală combinată cu activitate individuală și pe grupe.

resurse materiale : fișe de lucru, culegere de probleme , manualul, videoproiector, calculator, ecran.

BIBLIOGRAFIE :

Suport de curs – Metode și tehnici interactive de predare – învățare – Conf. Univ. Dr. Elena Răfăilă

M . Ed. C. S.N.E.E. – Ghid de evaluare la matematică , Bucuresti

Mate 2000 + consolidare – Dan Zaharia

Manual clasa a V-a – Turcitu George , Ed Radical.

Metodica predării matematicii , Horea Banea, ed. Paralela 45

www.didactic.ro

DESFĂȘURAREA LECȚIEI

Anexa 1

Fișă de lucru

1) Verificați dacă : 100 este divizibil cu 5

2749 este divizibil cu 73

60 este divizibil cu12

120 este divizibil cu 7

2) Puneți semnul corect , , | , ∤ între fiecare două numere pentru a obține o propoziție adevarată.

14__6 14__3 7__15 8___4 81__20 10__81

3) Din tabela cu următoarele numere : 0 , 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, alegeți divizorii și multiplii lui 8 și lui 10.

Anexa 2

Fișă de lucru

1) Scrieți toți divizorii lui 16.

2) Scrieți toți multiplii lui 6 mai mici decât 100 .

3) Precizați care din următoarele afirmații sunt adevărate și care sunt false.

a) 35 5 b) 9 | 20 c) 6 ∤33 d) 40 8 e) 13 | 13 f) 5 5 g) 36 8

4) Dacă 12 4 atunci

12 se numește ………………………………………………………………….

4 se numește…………………………………………………………………..

Dacă 5 | 30 atunci

5 se numește…………………………………………………………………

30 se numește……………………………………………………………….

PROIECT DIDACTIC

OBIECTUL : MATEMATICĂ

CLASA: a V-a

PROFESOR : AVRAM OLGUȚA

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE : Mulțimea Numerelor Naturale

TEMA : Criteriul de divizibilitate cu 2, 5, 10.

TIPUL LECȚIEI : Însușire de noi cunoștințe

COMPETENȚE SPECIFICE:

Identificarea în exemple, în exerciții sau probleme a noțiunilor de divizor, multiplu

Exprimarea unor caracteristici ale relației de divizibilitate în mulțimea numerelor naturale, în exerciții și probleme care se rezolvă folosind divizibilitatea

Selectarea și utilizarea de algoritmi pentru efectuarea operațiilor cu numere naturale și pentru divizibilitatea cu 10, 2 și 5

OBIECTIVE OPERAȚIONALE : Elevii vor fi capabili :

O.1 să utilizeze corect notațiile relației de divizibilitate (, , | , ∤ )

O.2 să identifice divizorii unui număr natural

O.3 să identifice multiplii unui număr natural

O.4 să identifice numerele divizibile cu 2, 5 sau 10 dintr-un șir de numere naturale

O.5 să utilizeze criteriile de divizibilitate pentru numerele scrise în baza 10 care au în componența lor litere în loc de cifre .

RESURSE PROCEDURALE :

Metode și procedee de instruire : conversația , explicația , exercițiul , demonstrația, descoperirea

Tipuri , forme, strategii și instrumente de evaluare : formativă , orală , individuală și în grup, observarea sistematică a activității și comportamentului elevilor.

Forme de activitate : activitate frontală combinată cu activitate individuală și pe grupe.

Resurse materiale : fișe de lucru, culegere de probleme , manualul, flip-chart, coli.

BIBLIOGRAFIE :

Suport de curs – Metode și tehnici interactive de predare –învățare – Conf. Univ. Dr. Elena Răfăilă

M . Ed. C. S.N.E.E. – Ghid de evaluare la matematică , București

Mate 2000 + consolidare – Dan Zaharia

Manual clasa a V-a – Turcitu George , Ed. Radical.

Metodica predării matematicii , Horea Banea, Ed. Paralela 45

www.didactic.ro

DESFAȘURAREA LECȚIEI

Anexa 1

Fișă de lucru (1)

1) Completați spațiile punctate cu „este divizibil” sau „nu este divizibil”

35 ……………………………………… cu 10

30 ………………………………………. cu 6

35 ………………………………………. cu 7

28 ………………………………………. cu 9

2) Precizați prin A( adevărat) sau F (fals) valabilitatea următoarelor afirmații:

28 ⋮7 9 | 36

8 | 36 50 ⋮ 5

4 ∤ 20 12 | 12

10 ∤ 27 70⋮10

3) Scrieți toți divizorii numărului 20.

4) Scrieți multiplii lui 4 mai mici decât 30.

Fișă de lucru (2)

1) Alegeți dintre numerele următoare 42 , 31, 68 , 24, 47, 50, 19, 36 , pe cele divizibile cu 2 .

Care este ultima cifră a numerelor alese ?

2) Care din următoarele numere 20, 37, 35, 58, 69, 10 , 85 sunt divizibile cu 5? Care este ultima cifră a numerelor alese ?

3) Care din următoarele numere 30, 45, 70 , 29,80 ,12 sunt divizibile cu 10. Care este ultima cifră a numerelor alese ?

Fișă de lucru (3)

1) Se consideră următoarele numere naturale: 26, 34, 70, 102, 355, 1070, 495, 28000, 12385 . Dintre aceste numere,

Scrieți numerele divizibile cu 2 . b) Scrieți numerele divizibile cu 5 .

c) Scrieți numerele divizibile cu 10 . d) Scrieți numerele care se divid cu 2 și nu se divid cu 5 .

e) Scrieți numerele care se divid cu 2 și cu 5 .

2) Scriețí numerele de forma divizibile cu 2 .

3) Scriețí numerele de forma divizibile cu 2 .

4) Scriețí numerele de forma divizibile cu 5 .

5) Scriețí numerele de forma divizibile cu 10 .

REBUS :

Orizontal :

Numerele naturale care au exact doi divizori se numesc numere …..

Numarul 7 este divizibil cu 7 și cu ……

Cum citim simbolul din 21 3 ?

Numărul de divizori ai lui 4 este …….

Mulțimea divizorilor pari ai lui 9 .

Numerele de forma 2n sunt numere …….

O colecție de obiecte formează o ……..

Zero este element ….. la adunare .

PROIECT DIDACTIC

OBIECTUL : MATEMATICĂ

CLASA: a VI-a

PROFESOR : AVRAM OLGUȚA

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: Mulțimea Numerelor Naturale

TEMA : Multiplii comuni a două sau a mai multe numere naturale. C.m.m.m.c.

TIPUL LECȚIEI : Mixtă

COMPETENȚE SPECIFICE:

1. Identificarea în exemple, în exerciții sau în probleme a noțiunilor: divizor, multiplu, numere prime, numere compuse, c.m.m.d.c, c.m.m.m.c

2. Aplicarea criteriilor de divizibilitate (cu 10, 2, 5, 3, 9) pentru descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime

3. Utilizarea algoritmilor pentru determinarea c.m.m.d.c, c.m.m.m.c a două sau mai multe numere naturale

4. Transpunerea unei situații-problemă în limbajul divizibilității în mulțimea numerelor naturale, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului

OBIECTIVE OPERAȚIONALE: Elevii vor fi capabili :

O.1 să descompună numerele naturale în produs de puteri de factori primi.

O.2 să aplice criteriile de divizibilitate în descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de factori primi.

O.3 să calculeze c.m.m.d.c a două sau mai multe numere naturale.

O.4 să calculeze c.m.m.m.c a două sau mai multe numere naturale.

O.5 să identifice c.m.m.m.c. a două numere naturale studiind mulțimile multiplilor celor două numere.

O.6 să rezolve probleme cu conținut practic care conduc la utilizarea c.m.m.m.c. și c.m.m.d.c.

RESURSE PROCEDURALE :

Metode și procedee de instruire : conversația , explicația , exercițiul , demonstrația, algoritmizarea , problematizarea.

Tipuri, forme, strategii și instrumente de evaluare : formativă , orală , individuală și în grup, observarea sistematică a activității și comportamentului elevilor.

Forme de activitate : activitate frontală combinată cu activitate individuală și pe grupe.

Resurse materiale: fișe de lucru, culegere de probleme , manualul

BIBLIOGRAFIE :

Manualul cls a VI-a , Culegere Mate 2000+, www.didactic.ro,

Metodica predării matematicii , Horea Banea, ed. Paralela 45

Pedagogie , Constantin Cucos, Ed. Polirom 2002.

DESFĂȘURAREA LECȚIEI

Anexa 1

Fișa de lucru nr.1

1) Calculați c.m.m.d.c. al numerelor:

a) ( 120,220) b) ( 65, 169,130) .

2) Aflați numerele a și b știind că a + b = 168 și ( a ,b ) = 24

3) Numerele 1343, 1509, 1982, împărțite la același număr , dau resturile 69, 53, respectiv 71. Aflați împărțitorul!

Fișa de lucru nr. 2

1) Să se calculeze c.m.m.m.c. al numerelor:

a) [ 24,108, 36] b) [90 , 100,300] .

2) Care este cel mai mic număr de elevi care se pot așeza în coloane de câte 4, 6 sau 12 elevi.

3) Să se afle cel mai mic număr care împartit pe rând la 8, 12 și 15 dă de fiecare dată restul 3 și câtul diferit de zero.

4) Scrieți cinci multipli comuni ai numerelor 160 și 120.

CONCLUZII

Matematica este o disciplină importantă care contribuie la formarea unei gândiri logice, a unei judecăți corecte, precise și riguroase, precum și la crearea unei ordini în viață și în muncă.

Prin învățarea matematicii se exersează modul de gândire, se antrenează capacitatea elevului de organizare logică a ideilor, crește atenția și puterea logică, ajută la construirea unui simț critic, dezvoltă obiectivitatea și precizia.

Alegerea temei „Elemente de aritmetică în mulțimea numerelor întregi” a fost motivată de importanța deosebită pe care o are înțelegerea noțiunii de divizibilitate în gimnaziu. Elevii întâmpină dificultăți în rezolvarea problemelor cu conținut practic, care conduc la utilizarea celui mai mic multiplu comun, celui mai mare divizor comun și a Teoremei împărțirii cu rest.

Deseori elevii nu pot face legătura între teoria asimilată și aplicarea ei în viața de zi cu zi. De aceea în proiectele didactice prezentate în cercetarea didactică am încercat să elimin aceste deficiențe prin propunerea unor jocuri matematice, a unor metode și procedee de învățare care să ajute elevii să aprofundeze cunoștințele legate de elementele de aritmetică în mulțimea numerelor întregi, să-și lărgească capacitatea de aplicare și transfer a cunoștintelor, să-și dezvolte gândirea științifică.

Un proiect didactic bine construit este o condiție necesară pentru realizarea unei lecții reușite. El are rolul de a așeza pe baze științifice demersul didactic, fără a șabloniza activitatea instructiv-educativă și a îngrădi creativitatea profesorului.

În proiectarea didactică am căutat să surprind o paletă cât mai largă de tipuri de lecții, precum: lecții de însușire de noi cunoștințe, lecții de fixare și consolidare a cunoștințelor și o lecție mixtă.

În elaborarea proiectelor didactice am urmat pașii descriși în prima parte (teoretică) : captarea atenției, anunțarea obiectivelor lecției, reactualizarea elementelor anterior învățate, prezentarea conținutului învățării și dirijarea învățarii, obținerea performanței, asigurarea conexiunii inverse , evaluarea performanței și asigurarea retenției și a transferului celor învățate.

În cele patru proiecte de lecție am utilizat metode și procedee interactive, care să-i facă pe elevi să interacționeze, să lucreze în echipe, dar fără a distruge spiritul competitiv. Metodele și procedeele de învățare folosite au fost atât cele moderne precum problematizarea, algoritmizarea, demonstrația, jocurile didactice, brainstorming-ul, turul galeriei, tehnica ciorchinelui, jocul bingo și rebusul, cât și cele tradiționale , cum ar fi conversația, explicația și exercițiul. Fișele de lucru utilizate în clasă au rolul de a fixa cunoștințele dobândite de elevi și de a transmite un feed-back profesorului asupra conținutului predat .

BIBLIOGRAFIE

[1] Andrei, Gh., Caragea, C., Probleme alese de matematică, Ed. Gil, 1999

[2] Banea, H., Metodica predării matematicii, Ed. Paralela 45 , 1998

[3] Bălan, B., Boncu, S., Cosmovici, A., Cozma, T., CreȚu, C., CucoȘ ,C., Psihopedagogie pentru examenele de definitivare și grade didactice , Ed. Polirom, 1998

[4] BuȘneag, D., Boboc, F., Piciu, D., Aritmetica și teoria numerelor, Ed. Universitaria, Craiova, 1999

[5] Brânzei, D., Brânzei, R., Metodica predării matematicii, Ed. Paralela 45, Pitești, 2000

[6] Cerghit, I., Metode de învățământ, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1976

[7] Cerghit, I., Perfecționarea lecției în școala modernă, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1995

[8] Cerghit, I., Vlăsceanu, L., Curs de pedagogie, Universitatea București, 1988

[9] Cristea, S., Studii de pedagogie generală, Ed. Didactică și Pedagogică RA, București, 2004

[9] CucoȘ, C., Pedagogie, Ed. Polirom, București, 2002

[10] Cucurezeanu, I., Probleme de aritmetică și teoria numerelor, Ed. Tehnică, București, 1976

[11] Dumitru, G.V., Galbură, A., Matematică – Divizibilitate, Ed. Scorpion 7, București, 1997

[12] Marin, C., Procesul instructiv – educativ, București, Ed. Didactică și Pedagogică, 1995

[13] Mortici , C., Sfaturi matematice – Teme și probleme, Ed. Minus, Târgoviște, 2007

[14] Mortici , C., 600 de probleme, Ed. Gil, Zalău, 2000

[15] Mortici , C., Bazele Matematicii – Teorie și probleme , Ed. Minus, Târgoviște, 2007

[16] Mortici , C., Probleme pregătitoare pentru concursurile școlare, Ed. Gil, 1999

[17] Năstăsescu , C., NiȚă, C., Algebră clasa a X-a , Ed. Rotech Pro, 1998

[18] Năstăsescu , C., NiȚă, C., Vraciu, C., Aritmetică și Algebră, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1993

[19] NeacȘu, I., Metode și tehnici de învățare eficientă, Ed. Militară, București, 1990

[20] Negrilă , A., Negrilă, M., Mate 2000+ – Algebră, Geometrie clasa a VIII-a, Ed. Paralela 45, 2003

[21] Raischi, V., Matematică – probleme și teste clasa a V-a, Ed. Sigma, București, 1994

[22] Stoica, M., Pedagogie Școlară , Ed. Gheorghe Cârțu-Alexandru, 1995

[23] Stoica, A., Evaluarea curentă și examenele , Ed. ProGnosis, București, 2001

[24] Turcitu, Gh., PuȘcaȘ, E., Săvulescu, D., Matematică – Probleme de concurs pentru clasele V-a – XII–a , Ed. Radical, 1994

[25] Zaharia , D., Zaharia, M., Mate 2000+ – Consolidare Algebră, Geometrie, clasa a VI-a, Ed. Paralela 45, 2012

[26] REVISTA DE MATEMATICĂ DIN TIMIȘOARA, Editura Bîrchi, 1998 – 2005 ,

[27] GAZETA MATEMATICĂ, Revistă de cultură matematică pentri tineret, Societatea de Științe matematice din România, 2002 – 2005