Elemente de Aritmetica In Matematica Preuniversitara
Elemente de aritmetică în
Matematica preuniversitară
CUPRINS
INTRODUCERE. MOTIVAREA ALEGERII TEMEI
CAPITOLUL 1 .
ELEMENTE DE ARITMETICĂ
Divizibilitate pe ℕ
Divizibilitate pe ℤ
Teorema fundamentală a aritmeticii
Congruențe pe ℤ
Fracții periodice
Teoremele lui Euler, Fermat și Wilson
Teorema chinezească a resturilor
CAPITOLUL 2.
MULȚIMEA NUMERELOR PRIME
2.1 Teoreme referitoare la infinitatea numerelor prime
2.2 Ciurul lui Eratostene
2.3 Teorema Bertrand- Cebîșev
2.4 Inegalitățile lui Cebîșev
2.5 Teorema lui Scherk
CAPITOLUL 3.
TEOREME DE REPREZENTARE PENTRU NUMERE ÎNTREGI
3.1 Reprezentarea unui număr natural ca sumă de două pătrate de numere întregi
3.2 Reprezentarea numerelor naturale ca sumă de patru
pătrate de numere întregi
CAPITOLUL 4.
APLICAȚII – Exerciții propuse și soluții
CAPITOLUL 5.
CONSIDERAȚII METODICE
5.1 Cercetarea pedagogică
5.2 Strategii didactice activ-participative utilizate în cadrul orelor de matematică
5.3 Proiectare didactică
6.4 Programă de opțional pentru clasa a VI-a
CONCLUZII
BIBLIOGRAFIE
INTRODUCERE. MOTIVAREA ALEGERII TEMEI
Învățământul reprezintă un rol important în dezvoltarea societății și este caracterizat de pregătirea, educarea și formarea tinerei generații. La ridicarea continuă a nivelului de pregătire și cunoaștere a elevilor contribuie și învățământul matematic.
Studiul matematicii trebuie să asigure elevilor formarea unor competențe legate de folosirea calculelor, algoritmilor sau a raționamentelor matematice.
Tema propusă pentru cercetare se numește „ Elemente de aritmetică în matematica preuniversitară” și am ales-o pornind de la considerente generale date de importanța studierii ,aritmeticii în școală, pentru dezvoltarea gândirii matematice, cât și luând în considerare experiența personală.
Evocarea începuturilor matematice este impresionantă și educativă pentru oricine, deoarece arată cât de lungă a fost calea de la calculul aritmetic pe nisip la teoria numerelor. Este cunoscut faptul că manualele școlare cuprind și astăzi noțiuni despre divizor, multiplu, criterii de divizibilitate, numere prime.
Lucrarea de față urmărește conștientizarea faptului că matematica este o activitate de descriere și de rezolvare a problemelor, folosind un limbaj unitar, aceasta făcând ca ea să fie o disciplină dinamică, strâns legată de societate prin relevanța sa în cotidian și prin rolul său în științele naturii, în științele economice, în tehnologii, în științele sociale etc.
Studiul matematicii în școală urmărește dezvoltarea capacităților elevilor de a reflecta asupra lumii, de a formula și rezolva probleme pe baza relaționării cunoștințelor din diferite domenii, precum și înzestrarea cu un set de competențe, valori și atitudini menite să asigure o integrare profesională optimă. Astfel, față de un demers strict disciplinar și teoretic, curriculum propune organizarea activității didactice pe baza relaționării și corelării domeniilor de studiu, precum și pe baza utilizării în practică și în contexte variate a competențelor dobândite prin învățare.
Programele școlare de matematică sunt concepute astfel încât să nu îngrădească, prin concepție sau mod de redactare, libertatea profesorului în proiectarea activităților didactice.
În condițiile realizării competențelor specifice (și, implicit, a competențelor generale) și a parcurgerii integrale a conținuturilor programelor, profesorul are posibilitatea:
să aleagă succesiunea parcurgerii elementelor de conținut (ținând însă cont de logica internă a științei);
să grupeze în diverse moduri elementele de conținut în unități de învățare, cu respectarea logicii interne de dezvoltare a conceptelor matematice;
să aleagă sau să organizeze activități de învățare adecvate condițiilor concrete din clasă.
Curriculum are în vedere:
Dezvoltarea unei gândiri deschise și creative; dezvoltarea inițiativei, independenței în gândire și în acțiune pentru a avea disponibilitate de a aborda sarcini variate
Manifestarea tenacității, perseverenței, capacității de concentrare și a atenției distributive
Dezvoltarea spiritului de observație
Dezvoltarea simțului estetic și critic, a capacității de a aprecia rigoarea, ordinea și eleganța în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii
Formarea obișnuinței de a recurge la concepte și metode matematice în abordarea unor situații cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice
Formarea motivației pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viața socială și profesională
După definirea problemei și desfășurarea etapei de documentare am procedat la stabilirea ipotezei generale pentru cercetarea pedagogică întreprinsă.
Dacă voi utiliza strategii didactice activ-participative variate în studierea noțiunilor de aritmetică, atunci voi contribui la dezvoltarea gândirii elevilor și la dezvoltarea capacității de înțelegere a modului de aplicare a acestora în rezolvarea exercițiilor și problemelor?
Poate fi influențat interesul și motivația elevilor dacă se creează un cadru afectiv adecvat prin prezentarea istoricului apariției și dezvoltării aritmeticii prin propunerea, utilizarea la clasă a unor probleme practice ?
Pornind de la ipotezele stabilite, obiectivele acestei cercetări pot fi formulate astfel:
Prezentarea aspectelor teoretice referitoare la elementele de aritmetică
Ilustrarea teoremelor celebre
Analiza modului în care aceste conținuturi sunt regăsite în programele școlare
Prezentarea unor modalități de proiectare și realizare a unor lecții de matematică având ca subiect aceste conținuturi
Analiza strategiilor didactice de predare-învățare-evaluare în cadrul orelor de matematică și formularea unor concluzii metodice în raport cu rezultatele obținute
Prezentarea unor studii de caz cu referiri directe la progresul înregistrat de elevi
Am constatat că elevii sunt preocupați de aplicarea noțiunilor de aritmetică în practică. În activitatea didactică, am constatat că un rol deosebit în obținerea unor rezultate bune îl are modul în care reușim să-i motivăm pe elevi, să le trezim interesul pentru studiul matematicii.
Astfel, este util ca profesorul să orienteze demersul didactic spre realizarea următoarelor tipuri de activități:
formularea de sarcini de prelucrare variată a informațiilor, în scopul formării competențelor vizate de programele școlare;
alternarea prezentării conținuturilor, cu moduri variate de antrenare a gândirii;
solicitarea de frecvente corelații intra și interdisciplinare;
punerea elevului în situația ca el însuși să formuleze sarcini de lucru adecvate;
obținerea de soluții sau interpretări variate pentru aceeași unitate informațională;
susținerea comunicării elev-manual prin analiza pe text, transpunerea simbolică a unor conținuturi, interpretarea acestora;
prevederea de sarcini rezolvabile prin activitatea în grup;
organizarea unor activități de învățare permițând desfășurarea sarcinilor de lucru în ritmuri diferite;
sugerarea unui algoritm al învățării, prin ordonarea sarcinilor.
Cadrele didactice își pot alege metodele și tehnicile de predare și își pot adapta practicile pedagogice în funcție de ritmul de învățare și de particularitățile elevilor.
CAPITOLUL I
ELEMENTE DE ARITMETICĂ
Divizibilitate pe ℕ
Definiția 1.1.1 Fie a, bℕ, b0.Spunem că b divide a și vom nota ba dacă există cℕ astfel încât a=bc. Spunem ca b este un divizor al lui a , iar a este un multiplu al lui b.
De exemplu 530 ,deoarece există numărul natural 6 astfel încât 30=56.
In mod evident , relația de divizibilitate pe mulțimea numerelor naturale este reflexivă, antisimertică și tranzitivă , adică ( ℕ, ) este o mulțime parțial ordonată în care 1 este cel mai mic element (element inițial) iar 0 este cel mai mare element (numit element final).
Definiția 1.1.2 Un număr mℕ m2 se numește număr prim dacă singurii săi
divizori sunt 1 și m.
Cele mai mici numere prime sunt 2, 3, 5, 7, 11,13,17,19,23,29, 31,37,41,43,47, etc.
Observația 1.1.1 Singurul număr prim par este 2.
Teorema 1.1.1 Fiind date două numere a, bℕ, există dℕ (vom nota d=(a,b)) astfel încât d|a, d|b, iar dacă mai avem ℕ astfel încât | a și | b, atunci | d (adică în mulțimea parțial ordonată (ℕ, |) pentru orice două elemente a și b există (a, b) ).
Demonstrație. Conform teoremei împărțirii cu rest, putem scrie
a=bc1+r1, cu c1, r1 ℕiar 0 r1< b.
Dacă r1=0 atunci b|a și în mod evident d=(a, b)=b.
Dacă r1atunci conform aceleiași teoreme de împărțire cu rest putem scrie
b=r1 c2+r2 ,cu c2, r2 ℕiar 0 r2< r1.
Dacă r2=0, atunci d= r1. Într-adevăr, din b=r1 c2 deducem că d|b, iar din a=bc1+r1 deducem că d|a . Dacă mai avemℕ astfel încât | ași | b atunci cum r1=a-bc1, deducem că
| r1 =d.
Dacă r2atunci din nou putem scrie r1=r2 c3+r3, cu0 r3< r2, și
algoritmul descris până acum continuă, obținându-se un șir descrescător de numere naturale :
r1, r2, … astfel încât rm-2 = rm-1 cm (m 3). Folosind faptul că orice șir descrescător de numere naturale este staționar, șirul r1, r2, r3,… este staționar.
Astfel, dacă pentru un anumit p, rp+1=0, atunci d=r p, pe când, dacă rp+1=1 atunci d=1.
De exemplu : Dacă a=48 și b=30 avem :
48=1·30+18 (c 1=1, r1=18)
30=1·18+ 12 (c 2=1, r2= 12 )
18=1·12+6 (c 3=1, r3=6 )
12=2·6 (c 4=2, r4=0 )
Deoarece ultimul rest nenul este 6, deducem că (48, 30)=6.
Dacă a=90 și b=49 avem:
90=1·49+41 (c 1=1, r1=41)
49=1·41+ 8 (c 2=1, r2= 8)
41=5·8+1 (c 3=5, r3=1 )
Deoarece ultimul rest nenul este 1 ,deducem că cele două numere sunt prime între ele (90, 49)=1.
Observația 1.1.2 Dacă cel mai mare divizor comun a două numere naturale este 1, vom spune că cele două numere sunt prime între ele.
De exemplu 21 și 8 deoarece (21,8)=1.
Observația 1.1.3 Algoritmul de găsire a celui mai mare divizor comun a două numere
naturale descris mai înainte poartă numele de algoritmul lui Euclid .
Observația 1.1.4 Inductiv se arată că pentru oricare p numere naturale a1 , a2 , …,ap (p2) există d ℕ astfel încât d|aj pentru orice 1 j< p și dacă mai avemℕ astfel încât
| aj pentru orice 1 j< p, atunci |d . Numărul d se notează prin d=(a1 , a2 , …,ap ) și poartă
numele de cel mai mare divizor comun al numerelor a1 , a2 , …,ap .
Exemplu (15,30,75)=15.
Divizibilitate pe ℤ
Definiția 1.2.1 Dacă a, bℤ, b0 , vom spune că b divide a (vom scrie b|a ) dacă există cℤ astfel încât a=bc ( ca și în cazul lui ℕ nu vom defini, nici în cazul lui ℤ divizibilitatea prin 0).
Evident, dacă aℤ atunci 1|a, -1|a și a|0.
Numerele prime în ℤ se definesc ca fiind acele numere întregi m cu
proprietatea că m -1, 0, 1, iar singurii divizori ai lui m sunt mEvident,
numerele prime din ℤ sunt numerele de forma mcu m2 număr prim în ℕ.
Se verifică imediat că dacă a, b, cℤ, atunci :
1) a|a (a0)
2) Dacă a|b și b|a, atunci a=±b (deci în ℤ relația de divizibilitate nu mai
este antisimetrică).
3) Dacă a|b și b|c, atunci a|c.
Teorema 1.2.1( Teorema împărțirii cu rest în ℤ ) Dacă d, îℤ î>0, atunci există c, rℤ astfel încât d=îc+r, cu 0 r< î.
Demonstratie. Fie P={d-xî / xℤ}; evident în P avem și numere naturale. Fie r=d-cî cel mai mic număr natural din P (cu cℤ). (un astfel de număr există deoarece dubletul (ℕ, ≤) este o mulțime bine ordonată). Avem 0≤r<î căci dacă r=d-cî≥î atunci 0≤d-(c+1)î<r, ceea ce contrazice minimalitatea lui r.
Observația 1.2.1 Putem formula teorema împărțirii cu rest din ℤ și sub forma : Dacă d, î ℤ,î , atunci există c, rℤ astfel încât d=ci+r, iar 0≤r<|î|.
Observația 1.2.2 Numerele c și r cu proprietatea de mai sus poartă numele de câtul,
respectiv restul împărțirii lui d la î, și sunt unice cu proprietatea respectivă, căci dacă am mai avea și ℤ astfel încât d=î+,cu 0≤ <|î|, atunci cî+r=î+ implică
(c-)î =-r, adică î|-r. Cum 0≤r, rʹ <|î|, dacă am presupune, de exemplu, că rʹ > r, atunci rʹ-r < îiar condiția î rʹ-r implică rʹ-r = 0 rʹ = r și cum (c-cʹ)î=rʹ-r=0, deducem imediat că c=cʹ.
Definiția 1.2.2 Numim ideal al inelului (ℤ, +, ·) orice submulțime nevidă a ℤ astfel încât:
a) Dacă x, y a, atunci x-y a
b) Dacă x a, și bℤ, atunci bx a .
Propoziția 1.2.1 . Fie a ℤ un ideal. Atunci există dℕ astfel încât a=dℤ.
Demonstrație. Dacă a={0}, atunci d=0. Să presupunem că a{0}. Atunci
există x a, x0. Dacă x>0, atunci x∈ℕ*, iar dacă x<0, cum a este un ideal, -x a ,
și atunci -xℕ*.
Deci, în concluzie a ℕ*Putem alege d∈ a ℕ* ca fiind cel mai mic element din
a ℕ* și să demonstrăm ca a=dℤ. Cum d a și a este ideal al inelului ℤ, incluziunea dℤa este imediată. Fie acum a a , iar conform Teoremei împărțirii cu rest putem scrie a=cd+r, cu c, r∈ℤ și 0≤r<d, pentru că d∈ℕ*.
Scriind r=a-cd cum a, d a , deducem că r∈a. Datorită minimalității lui d deducem că r=0 și astfel a=cd∈dℤ, de unde și incluziunea inversă a dℤcare ne asigură egalitatea
a =dℤ.
Propoziția 1.2.2 Fie a1, a2 , …,an ∈ℤ. Dacă notăm prin < a1, a2 , …,an > idealul generat de { a1, a2 , …,an }, atunci < a1, a2 , …,an >= { k1a1+k2 a2 +…..+kn an ki∈ℤ , 1≤i≤n}.
Demonstrație. Dacă facem notația a={ k1a1+k2 a2 +…..+kn an ki∈ℤ , 1≤i≤n}, putem arăta imediat că a este ideal al lui ℤ ce conține elementele { a1, a2 , …,an }. Dar cum
< a1, a2 , …,an > este cel mai mic ideal al lui ℤ ce include { a1, a2 , …,an }, deducem că
< a1, a2 , …,an >a.
Pentru incluziunea inversă ținem cont că < a1, a2 , …,an > b
b ℤ ideal,
{ a1, a2 , …,an } b
și fie atunci b ℤ un ideal astfel încât { a1, a2 , …,an }∈ b . Atunci pentru orice numere
k1,k2 , …..,kn∈ ℤ deducem că k1a1+k2 a2 +…..+kn an ∈ b, adică a b și cum b este oarecare,
deducem că a b=< a1, a2 , …,an >, de unde rezultă egalitatea dorită.
Definiția 1.2.3Fiind date numerele a1, a2 , …,an intregi prin cel mai mare divizor comun al lor înțelegem acel număr d∈ℤ astfel încât d|ai pentru orice 1≤i≤n și în plus dacă mai avem
dʹ ai pentru orice 1≤i≤n , atunci dʹ|d.
Observația 1.2.3 Evident, dacă un astfel de d există, atunci și –d are aceeași proprietate .
Observația 1.2.4 Convenim să alegem pentru rolul de cel mai mare divizor comun al numerelor întregi a1, a2 , …,an acel număr natural d cu proprietățile de mai înainte și vom
nota d=( a1, a2 , …,an).
Teorema 1.2.2 Fiind date n numere întregi a1, a2 , …,an cu an 2, dacă notăm prin d numărul natural a cărui existență este asigurată de Propoziția 1.2.1 pentru idealul a = < a1, a2 , …,an >, atunci d=( a1, a2 , …,an ).
Demonstrație. Într-adevăr, cum fiecare ai a1, a2 , …,an >=dℤ deducem că ai dℤ, adică d|ai pentru orice 1≤i≤n.
Fie acum dʹℤ astfel încât dʹ|ai pentru1≤i≤n, iar cum ddℤ, există k1,k2 , …..,knℤ astfel încât și astfel deducem că |d, adică d=( a1, a2 , …,an ).
Teorema fundamentală a aritmeticii
Fie a ∈ℤ* și p∈ℕ cu p2, un număr prim. În mod evident, există k∈ℕ astfel încât
pk ași pk+1 ł a (altfel zis k este cel mai mare număr natural cu proprietatea pk a). Convenim să notăm k=op(a) și să-l numim ordinul sau exponentul lui p în a. Dacă a=0 vom lua op(0)=-∞ iar op(a)=0 dacă și numai dacă p ł a.
Propoziția 1.3.1 Orice număr natural nenul se scrie ca un produs de numere naturale prime.
Demonstrație. Fie M mulțimea numerelor naturale nenule ce nu se scriu ca produs de numere naturale prime. Dacă prin absurd propoziția nu ar fi adevărată, atunci M .
În aceste condiții mulțimea M va conține un element minimal x. În particular, x >1 și cum x nu este prim putem scrie x=m·n cu 1<m, n<x. Cum m, n<x, iar x=inf(M), deducem că m, n nu sunt elemente ale mulțimii M, deci m și n se scriu ca produse de numere prime. Atunci și x=m·n se scrie ca produs de numere prime-absurd . Deci M= și cu aceasta propoziția este demonstrată.
Corolar 1.3.1 . Pentru orice n∈ℤ* există numerele întregi prime p1,…,pm astfel încât
n=∈ℕ.
Putem folosi notația , unde , după cum n este pozitiv sau negativ, iar exponenții sunt numere naturale nenule numai pentru un număr finit de p-uri.
Corolar 1.3.2 Fiind date n numere întregi a1, a2 , …,an , n, d=( a1, a2 , …,an ) dacă și numai dacă există k1,k2 , …..,knℤ astfel încât d= k1a1+k2 a2 +…..+kn an.
Lema 1.3.1 Dacă a, b, cℤ astfel încât (a, b)=1 și a|bc, atunci a|c.
Demonstrație. Într-adevăr, cum (a, b)=1 conform Corolarului anterior există p, mℤ a.î. pa+mb=1, de unde c=pac+mbc. Cum a|bc deducem că a|pac+mbc=c, adică a|c .
Observația 1.3.1 Dacă (a, b), atunci lema de mai înainte nu mai este adevărată tot timpul căci, de exemplu, 12|4·9=36, dar 12ł4 și 12ł9.
Corolar 1.3.3 Dacă p, a, b∈ℤ astfel încât p este prim și p|ab, atunci p|a sau p|b.
Demonstrație. Într-adevăr, singurii divizori ai lui p în ℤ sunt p
Atunci (p,b)=1 sau p|b. Dacă p|b totul este în regulă, iar dacă (p, b)=1, atunci se aplică Lema enunțată anterior.
Observația 1.3.2 Putem utiliza corolarul de mai înainte și sub forma : dacă p, a, b∈ℤ astfel încât p este prim iar p ł a, p ł b, atunci p ł ab.
Corolar 1.3.4 Presupunem că p, a, b∈ℤ iar p este prim. Atunci op(ab)=op(a)+op(b).
Demonstrație. Dacă p(a), p(b), atunci a=pα c și b=pβ d, cu p ł c și p ł d. Atunci
ab=pα+β cd și cum p∤cd , deducem că op (ab)=α+β=op (a)+op (b).
Teorema 1.3.1 . Teorema fundamentală a aritmeticii
Pentru orice număr întreg nenul n, există o descompunere a lui în factori primi
cu exponenții e(p) în mod unic determinați de n (de fapt e(p)=op(n)).
Demonstrație. Scrierea lui n sub forma din enunț rezultă din Corolarul 1.3.1. Să probăm acum unicitatea acestei scrieri . Aplicând pentru un prim q, oq în ambii membrii ai egalității obținem : oq (n)= (n)oq(-1)+ oq (p) .
Însă oq(-1)=0 iar oq (p)= de unde deducem că op(n) și astfel această teoremă este demonstrată.
Corolar 1.3.5 Pentru orice n∈ℕ* există și sunt unice numerele prime distincte
p1,p2 , …..,pn și numerele naturale k1,k2 , …..,kn astfel încât n= în aceste condiții spunem că această scriere a lui n este descompunerea lui n în factori primi.
Corolar 1.3.6 Fie a, b, c, n∈ℕ* astfel încât (a,b)=1 și ab=cn. Atunci există x, y ∈ℕ* astfel încât a=xn și b=yn.
Demonstrație. Fie a= si b= descompunerea numerelor a și b în factori primi (deci kiși lj pentru i=1, 2,…,s și j=1, 2,…,t). Din (a,b)=1 deducem că {p1,…,ps}{q1,…,qt}=. Obținem deci că cn , egalitate ce dă descompunerea lui cn în factori primi. Însă, conform Teoremei anterioare, descompunerea unui număr natural în produs de puteri de numere prime distincte este unică . Astfel, dacă
c atunci cn de unde deducem că nni=ki și nmj=lj , 1≤i≤s, 1≤j≤t.
În aceste condiții putem considera x=și y=
Teorema 1.3.2(Legendre) Dacă n∈ℕ iar p este un număr prim, atunci exponentul lui p în n ! este dat de.
Demonstrație. În mod evident exponentul ep al lui p în n! este dat de ep1 k1 2 k 2 …. , unde k1 este numărul numerelor luate dintre 1, 2, …, n care se divid cu p dar nu cu p2, k2 este numărul numerelor luate dintre 1, 2, …, n care se divid cu p2 dar nu cu p3, etc
Să calculăm acum un ki . Numerele ce se divid prin pi dintre 1, 2, …, n sunt 1·pi, 2·pi, …, ti·pi, cu ti·pi ≤n< (ti+1)·pi , deoarece dacă j este luat dintre 1, 2,..,n și pi|j avem j=t·pi și cum 1≤j≤n avem 1≤t·pi ≤n. Dar titi1 , deci ti=.
Numerele dintre 1, 2, …, n care se divid cu pi+1 se află toate printre numerele dintre
1, 2, …, n care se divid cu pi.
Dacă din numerele luate dintre 1, 2, …, n care se divid cu pi (ce sunt în număr de ti) extragem toate numerele 1, 2,…,n care se divid cu pi+1 (ce sunt în număr de ti+1=) obținem numai numerele dintre 1, 2,…,n care se divid cu pi dar nu se divid cu o putere mai mare a lui p (deoarece nu se divid cu pi+1).
Conform celor de mai sus numărul acestora este egal cu ki=ti-ti+1.
Avem deci ep1 t1 t 2 2 t 2t 3…. t1 t 2 …. …. această sumă este finită deoarece va exista un k∈ℕ* astfel încât pk≤n<pk+1 și atunci =0 pentru orice s≥k+1).
Observația 1.3.3 Dacă p>n atunci ep=0.
Congruențe pe ℤ
Definiția 1.4.1 Fie n∈ℕ, n≥2 un număr fixat. Vom spune că a, b∈ℤ sunt congruente modulo n dacă n|a-b ; în acest caz scriem ab(mod n).
Propoziția 1.4.1 . Relația de congruență modulo n este o echivalență pe ℤ compatibilă cu operațiile de adunare și înmulțire de pe ℤ adică este o congruență pe inelul (ℤ, +, ·).
Demonstrație. Faptul că relația de congruentă modulo n este o relație de echivalență pe ℤ se probează imediat. Pentru a proba compatibilitatea acesteia cu operațiile de adunare și înmulțire de pe ℤ, fie a, b, a', b'∈ℤ a.î. ab(mod n) și a' b'(mod n), adică a-b=kn și a'- b'=k' n, cu k, k' ∈ℤ. Atunci a+ a'-(b+ b')=(k+k')n, adică a+a' b+b'(mod n) și scriind
aa' -bb'=a(a'-b')+b'(a-b)=ak'n+b'kn=(ak'+b'k)n deducem că și aa' bb'(mod n).
Corolar 1.4.1 Fie ai, bi ∈ℤ astfel încât . aibi(mod n) pentru orice i=1,2,3,…,k.
Atunci : și .In particular dacă a,b∈ℤ astfel încât ab(mod n) și k∈ℕ*, atunci akbk(mod n).
Pentru x ∈ℤ vom nota prin clasa de echivalență a lui x modulo n. Deoarece resturile împărțirii unui număr oarecare din ℤ prin n sunt 0, 1,…,n-1, se deduce imediat că dacă notăm mulțimea claselor de echivalență modulo n prin ℤn, atunci ℤn=, iar pentru k∈{0, 1,…,n-1} avem ={k+nt t∈ℤ}. Pe mulțimea ℤn, se definesc operațiile de adunare și înmulțire astfel: și , fiind bine definite conform propoziției anterioare.
Propoziția 1.4.2 . (ℤn , +, ·) este inel comutativ în care unitățile sale sunt
U(ℤn , +, ·)={ ∈ ℤn | (x, n)=1}
Demonstrație. Cum verificarea anumitor axiome nu ridică probleme deosebite, vom reaminti doar că elementul neutru din ℤn față de adunare este , – iar elementul neutru față de înmulțire este . Dacă ∈ U(ℤn) atunci există astfel încât
=n xy-1, de unde deducem că (x, n)=1.
Reciproc, dacă x∈ {0,1,…,n-1} și (x, n)=1, atunci, există r, s∈ℤ astfel încât r·n+s·x=1, de unde deducem că , deci ∈ U(ℤn).
Corolar 1.4.2 (ℤn , +, ·) este corp n este prim.
Observația 1.4.1 Dacă în inelul ℤ considerăm idealul =nℤ, urmărind tehnica factorizării unui inel (comutativ ) printr-un ideal, dacă am fi construit inelul factor ℤ/nℤ se obținea de fapt tot ℤn.
Fie acum a, b∈ℕ*, n∈ℤ, n 2 și d=(a, n).
Propoziția 1.4.3 Ecuația =are soluție în ℤn dacă și numai dacă d|b ; dacă d|b atunci ecuația are exact d soluții în ℤn .
Demonstrație. Dacă x0∈ ℤneste o soluție a ecuației =, atunci n|ax0-b, de unde deducem că d|b (căci d|n și d|a).
Reciproc, să presupunem că d|b. Cum d=(a, n),atunci există ∈ℤ astfel încât
d=ax0'-ny0'. Dacă c=, atunci -n=b, adică =, deci este o soluție a ecuației=.
Să presupunem acum că 0 și 1 sunt două soluții ale ecuației= . Atunci n|ax0-b și n|ax1-b, de unde n|a(x1-x0). Dacă notăm și atunci =1 și obținem 1-x0, adică x1=x0+kn', cu k∈ℤ.
Pe de altă parte se verifică imediat că este soluție a ecuației = cu
k∈{0, 1,…,d-1}. Cum nu e posibil să avem pentru pentru
k, k′1,…,d-1} și k≠k' , deducem că dacă 0 ∈ ℤn este o soluție a ecuației atunci această ecuație are d soluții și anume:0 , ,……..
Corolar 1.4.3 Dacă n este număr prim, atunci ecuația = are soluție unică ℤn dacă și numai dacă (a, n)=1 , adică ,dacă și numai dacă n ł a.
Fracții periodice
Fiind dată fracția ∈ℚ, n∈ ℕ* prin împărțirea numărătorului la numitor putem scrie fracția sub formă zecimală a0 ,a1…… cu a0 ,a1……∈ ℕ.
Vom presupune că fracția este subunitară, (m).
Dacă ar fi supraunitară împărțind pe m la n putem scrie m=n·q+r , q∈ℤ și 0 și atunci fracția se poate scrie q și astfel se continuă studiul lui cu fractie subunitară ; în aceste condiții putem nota q.
De exemplu: .
În cazul în care 0<a<1, a0=0 astfel că prin împărțiri repetate vom scrie α=0,a1a2…, cu
ai∈ ℕ iar după cum se va vedea în continuare șirul a1a2…, poate fi finit sau infinit;
Dacă șirul este finit fracția zecimală se numește fracție zecimală finită iar dacă șirul este infinit și periodic fracția se numește fracție zecimală periodică.
Exemple:
α=
α=
α=
α=
α=
α=
In exemplele 1, 2 și 3 împărțirea se termină cu una sau două zecimale exacte,iar in exemplele 4, 5,și 6 împărțirea se continuă indefinit.
In exemplele 1, 2 și 3 fracțiile zecimale sunt finite, in exemplul 4 fracția zecimală este periodică simplă, iar în exemplele 5 și 6 fracțiile sunt periodice mixte.
În cele ce urmează vom proba că în general dacă avem o fracție subunitară, atunci șirul a1, a2, … este sau finit sau periodic.
În exemplul 5 resturile parțiale trebuie să fie mai mici decât 12, deci sunt posibile 11 resturi și după cel mult 12 împărțiri parțiale trebuie să obținem un rest care a mai fost obținut și știm de îndată ce restul se repetă și cifrele încep să se repete.
În general, dacă q este câtul, resturile parțiale fiind mai mici decât q, după cel mult q împărțiri parțiale resturile parțiale și deci cifrele câtului încep să se repete. Am subliniat cel mult q împărțiri, deoarece exemplele ne arată că repetarea resturilor parțiale poate începe și înainte de a fi trecut prin toate resturile posibile a priori.
Să adâncim acum chestiunea :
Observația de bază este următoarea: fiind dată fracția subunitară pentru a găsi primele n cifre ale fracției zecimale în care se transformă ea, facem împărțirea întreagă 10na:b.
De exemplu pentru a găsi primele 3 zecimale ale fracției , facem împărțirea 7000:15. 466
60
100
90
100
90
10
Să considerăm acum o fracție cu numărătorul 1, de exemplu și să facem împărțirile întregi 10:14 , 100:14, 1000:14, etc. Resturile acestor împărțiri reproduc tocmai resturile parțiale din împărțirea
10:14=0,7142……
0
100
98
20
14
60
56
40
28
12
10:14=0 rest 14 100:14=7 rest 2 1000:14=71 rest 6.
Pentru a ști în ce fel se transformă fracția , trebuie deci să urmărim resturile obținute prin împarțirea lui 10, 102, 103,….prin a.
Să începem cu cazul a este prim cu 10 (adică a descompus în factori primi nu are nici pe 2 nici pe 5 ca factori).
Știm din cele expuse mai înainte că, în acest caz, resturile încep să se repete după ce întâlnim restul 1, până acolo resturile fiind toate diferite. Știm că dacă 10d 1 (mod a), d este un divizor al lui φ(a). Știm că, dacă a=pqr…, cel mai exponent n, astfel ca să avem
bn 1 (mod a) oricare ar fi b prim cu a, este cel mai mic multiplu comun al numerelor
φ(p), φ(q), φ(r), …
Rezultă că: dacă a este prim cu 10, primul rest care se repetă în împărțirea 1:a este1, adică numărul cu care am început, deci în aceste condiții fracția este fracție zecimală periodică simplă.
De exemplu , 33=3·11 iar, φ(3)=2 și φ(11)=9, cel mai mic multiplu comun
al numerelor φ(3) și φ(11) este 18, deci fracția este periodică simplă cu perioada divizor al
lui 18.
Dacă numărătorul nu este 1, ci un alt număr prim cu a, rezultatele enunțate se mențin.
Fie acum cazul a=2 , adică a are numai factori primi ai lui 10. De exemplu,
a=40=2 3sau a=25=52. În acest caz, 10 ridicat la puterea dacă sau la puterea dacă se divide cu a (dacă a=40, 10 3=233 se divide cu 23dacă a=25, 102=222 se divide cu 52).
Rezultă că, în acest caz, fracția zecimală rezultând din are un număr finit de zecimale, egal cu cel mai mare din numerele α și β.
De exemplu: 40=23atunci fracția are trei zecimale .
În general =, dacă sau dacă însă împărțirea unui număr cu10α se face despărțind prin virgulă cifre.
Dacă a=2 ·pm·qn….., fracția poate fi scrisă dacă
Fracția se transformă într-o fracție periodică simplă. Dacă ea este mai mare decât 1 – ceea ce se poate întâmpla din cauza înmulțirii cu 5- ea se transformă tot într-o fracție periodică simplă, având însă și întregi. Această fracție înmulțită cu (adică mutând virgula cu cifre spre stânga ), ne dă fracția, care va avea ca parte neperiodică cele cifre, iar partea periodică aceeași ca și a fracției.
Dacă procedăm analog.
Exemplu: , atunci, ;
· , atunci,.
Teorema 1.5.1 Orice fracție se transformă într-o fracție zecimală cu un număr finit de zecimale sau într-o fracție zecimală cu un număr infinit de zecimale, în care caz zecimalele admit o perioadă ce se repetă.
Reciproc, să vedem cum rescriem o fracție zecimală (simplă, periodică sau periodică mixtă ) sub forma p,q∈ ℕ q0.
Cazul 1. Dacă α=a0,a1a2….an, atunci în mod evident .
De exemplu: α=2,5=, ,
Cazul 2. Să presupunem acum că . atunci:
++….
+.
Însă = astfel că:
α=+ =.
De exemplu: α=2,(3)=2 , α.
Cazul 3. Să presupunem că α este o fracție zecimală periodică mixtă de forma:
Atunci:
.
De exemplu: α=1,2(3)=, 7,12(14)=.
Teorema 1.5.2 (i) Dacă α=a0,a1a2….an, atunci .
(ii) Dacă
(iii) Dacă, atunci
.
Teoremele lui Euler, Fermat și Wilson
Lema1.6.1 Dacă G este un grup (multiplicativ) finit cu n elemente(n≥2), atunci xn=1, pentru orice x∈G.
Demonstrație. Fie x∈G, iar k=o(x) (ordinul lui x). Atunci xk=1 și conform Teoremei lui Lagrange k|n, adică n=k·p cu p∈ℕ. Deducem imediat că xn=xkp=(xk)p=1p=1.
Observația 1.6.1 În cazul că G este comutativ există o demonstrație elementară ce evită Teorema lui Lagrange. Pentru aceasta se alege G={x1, x2,…,xn} și x∈G. Cum {xx1, xx2,…,xxn}=G={x1,…,xn}, deducem că(xx1)…(xxn)=x1…xn xn(x1…xn) = x1…xnxn=1.
Corolar 1.6.1(Euler) Dacă n ≥ 2 este un număr natural iar a∈ℤ astfel încăt (a, n)=1, atunci (φ fiind indicatorul lui Euler).
Demonstrație. (ℤn , ·) este un monoid cu φ(n) elemente inversabile. Astfel, dacă aplicăm Lema anterioară grupului G=U(ℤn , ·) (ce are φ(n) elemente) pentru a ∈ G obținem că :
Corolar 1.6.2(Mica teoremă a lui Fermat) Dacă p≥ 2 este un număr prim , iar a∈ℤ astfel încât p∤a , atunci .
Demonstrație .Cum p este un număr prim, φ(p)=p-1 și acum totul rezultă din
Corolarul 1.6.1.
Lema1.6.2 Fie G un grup (multiplicativ) finit comutativ iar produsul tuturor elementelor din G. Atunci .
Demonstrație .Vom scrie . Însă în cadrul produsului
vom grupa fiecare element x cu x-1 cu x x-1 ,dacă x= x-1 atunci x2=1 și deci o(x)=2 ceea ce este absurd și astfel =1, de unde deducem că
Corolar 1.6.3(Wilson) Dacă p≥2 este un număr prim, atunci(p-1)!+10(mod p).
Demonstrație. Cum p este prim (ℤp*, ·) este grup cu p-1 elemente și conform
Lemei 1.6.2
.Rămăne să punem în evidență elementele cu propietatea că p|x2-1=(x-1)(x+1) p|x-1 sau p|x+1 de unde deducem că
= sau , astfel că
(p-1)!+10(mod p).
Voi prezenta în continuare câteva variante de generalizare ale Teoremei lui Wilson.
Lema1.6.3 Fie p≥2 un număr prim, iar n≥2 un număr natural. Atunci :
Dacă p=2 și n în grupul U(, ·) numai elementele au ordinul cel mult doi.
Dacă p atunci în grupul U(, ·) numai elementele au ordinul cel mult doi.
Demonstrație. Avem că U(, ·)= Să determinăm acest grup elementele astfel încât adică acele numere naturale a astfel încât 1≤a, cu
și a2-1 .
Evident dacă a=1 este verificată a2-1, iar dacă a atunci putem scrie a-1=pku și a+1=ptv cu k,t≥0, (p,u)=(p,v)=1 , iar k+t≥n.
Dacă k=0, atunci t≥n iar in aceste condiții a+1 și cum a rezultă că a+1= de unde a= și astfel obținem elementul ceea ce verifică de asemenea a2-1.
Dacă t=0 atunci k deci a-1 și cum a rezultă că a-1=0 du unde obținem că a=1, ceea ce este fals.
Dacă k≠0, t≠0 atunci 2= ptv- pku, adică 2|p, deci p≥2 și se obține o contradicție.
În concluzie dacă p, atunci în U() avem numai elementele=ce au ordinul cel mult doi.
Dacă p=2 , atunci din 2=2tv-2ku rezultă t=1 sau k=1. Dacă t=1 atunci k≥n-1, deci
a-1=2ku≥2n-1u și cum 12n avem că u=2 și k=n-1. Deci ,în acest caz , dacă a verifică
a2-1 ,atunci a=2n-1+1.
Dacă k=1 atunci t≥n-1, deci a+1=2tv≥2n-1v și cum 12n rezultă că v=1 sau v=2 , cazul v=2 fiind exclus deoarece (v,2)=1.
Dacă v=1 atunci t=n-1 sau t=n. În cazul în care t=n-1 rezultă a=2n-1-1, iar dacă t=n atunci a=2n-1.
În concluzie dacă p=2 și n în U() numai elementele au ordinul cel mult doi.
Corolar 1.6.4(O generalizare a teoremei lui Wilson) Dacă p este un număr prim și n un număr natural, atunci:
Dacă p și n≥2 atunci pn| ;
Dacă p=2 și n atunci 2n|;
Dacă p=2 și n=2 atunci 22|.
Demonstrație .
Totul rezultă imediat din Lema 1.6.2 ținând cont de cele stabilite în Lema 1.6.3.
Teorema chinezească a resturilor
Fie m1, m 2, …,m t ℕ astfel încât (mi, mj)=1 pentru orice i≠j, m=m1m2…m t, iar b1, b2,…,bt
Teorema 1.7.1 Teorema chinezească a resturilor
Sistemul are soluție în ℤ și oricare două soluții diferă printr-un multiplu de m.
Demonstrație. Dacă ni=, atunci (mi, ni)=1 pentru orice 1≤i. Astfel există ri,siastfel încât ri mi+sini=1 pentru orice 1≤i.
Dacă notăm ei=sini, atunci ei mod mi) și ei mod mj) pentru 1≤i, j≤t, i≠j.
Dacă vom considera , atunci vom avea x0 mod mi) și astfel x0 mod mi) pentru orice 1≤i de unde concluzia că x0 este soluție a sistemului din enunțul teoremei.
Să presupunem că x1 este o altă soluție a sistemului . Atunci x1-x0mod mi) pentru
1≤iadică mi x1-x0 pentru orice 1≤i, și cum (mi , mj)=1 pentru i≠j, deducem că m=m1m2…m tx0-x1, adică x0 x1mod m).
Să interpretăm acum teorema chinezească a resturilor din punct de vedere al teoriei inelelor.
Fie pentru aceasta (Ai)iI o familie nevidă de inele (unitare).Vom considera un nou inel notat și având mulțimea subiacentă , iar pentru
x ,y x= și y= definim x+y= și x·y.
Se verifică imediat că () este un inel unitar în care elementul nul este 0=
Cu pentru orice iar pentru x=, -x= elementul unitate este 1= cu pentru orice , iar dacă x= atunci x dacă și numai dacă pentru orice , astfel zis =.
Fie m1 , m 2, …,m t astfel încât (mi, mj)=1 pentru orice i≠j, m=m1m2…m t.
Teorema 1.7.2 Avem următorul izomorfism de inele : m.
Demonstrație. Pentru fiecare 1≤i , :, morfismul surjectiv canonic de inele ce duce fiecare element xℤ în clasa sa de echivalență modulo mi.
Definim fprin f(x)=
pentru orice xℤ.
Dacă x,y ℤ și f(x)=f(y) atunci (mod ) pentru orice 1≤i, deoarece (mi, mj)=1 pentru 1≤i≠j≤t pentru orice 1≤i. Deducem astfel că f este bine definită și că funcția f este o injecție. Se verifică imediat că f este morfism de inele unitare .
Surjectivitatea lui f rezultă fie din teorema chinezească a resturilor, fie observând că
m1m2…m t.
Deci f este un izomorfism de inele unitare.
Corolar 1.7.1 Cu notațiile de la teorema precedentă avem următorul izomorfism de grupuri multiplcative : U ( Z m) U () … U () .
Corolar 1.7.2 Fie φ:ℕℕ indicatorul lui Euler.
Dacă m1, m 2, …,m t ℕ astfel încât (mi, mj)=1 pentru orice i≠j, atunci φ(m1m2…m t)= φ(m1) φ(m2)….. φ(mt);
Dacă p≥2 este număr prim și n ℕ*, atunci φ(pn)=pn-pn-1=pn(1-);
Dacă n= este descompunerea în factori primi a lui n , atunci
φ(n)=n(1-)… (1-).
Demonstrație.
Am văzut că = φ(m) pentru orice m ℕ, m≥2, iar dacă ținem cont de corolarul anterior deducem că
φ (m)= φ(m1) ….. φ(mt).
Prin calcul direct se deduce că între 1 și pn există pn – pn-1 numere naturale mai mici strict decât pn și prime cu pn (adică cu p), de unde egalitatea φ(pn)=pn-pn-1.
Ținând cont de (i) și (ii) deducem că:
φ (n)= φ()=( )… ( )=
=(1-)… (1-)= n(1-)… (1-).
De exemplu: φ(15)= φ(3·5)=15(1-) (1-)=15··=8.
CAPITOLUL II
MULȚIMEA NUMERELOR PRIME
2.1 Teoreme referitoare la infinitatea numerelor prime
Reamintim că un număr n∈ℕ, n≥2 se numește prim dacă singurii săi divizori naturali sunt 1 și n. Numărul natural 2 este singurul număr prim par iar pentru n≥3 dacă n este prim atunci cu necesitate n este impar (condiție insuficientă după cum se poate dovedi facil în cazul lui 11 care este impar dar nu este prim).
S-a pus de foarte mult timp întrebarea câte numere prime există ?
În cadrul acestui paragraf voi prezenta anumite rezultate ce răspund într-un fel la această întrebare.
Vom nota prin P mulțimea numerelor prime.
Teorema 2.1.1( Euclid ) Mulțimea P este infinită.
Demonstrație. Să presupunem prin absurd că mulțimea P este finită,
P={p1, p2, … pn } (unde în mod evident p1=2, p2=3, p3=5, etc.).
Vom considera p=p1p2…pn +1 și să observăm că p >1 iar pi∤p pentru
1≤i≤n. Ținând cont de teorema fundamentală a aritmeticii , va exista un număr prim
q >1 care să dividă pe p. Cum toate numerele prime sunt presupuse a fi doar p1,…, pn deducem că q=pi cu 1≤i≤n, ceea ce este absurd căci pi∤p pentru orice 1≤i≤n. Deci P este mulțime infinită.
Observația 2.1.1 În continuare pentru fiecare număr natural n≥1 vom nota
prin pn al n-ulea număr prim, astfel că P={p1, p2, …,pn,…} (evident p1=2, p2=3, p3=5, etc).
O altă întrebare firească legată de mulțimea numerelor prime a fost dacă
anumite submulțimi infinite ale lui ℕ conțin sau nu o infinitate de numere prime. În acest sens merită amintit un rezultat celebru al lui Dirichlet :
Teorema 2.1.2 (Dirichlet) Dacă a, b∈ℕ* iar (a, b)=1, atunci mulțimea
{an+b | n∈ℕ} conține o infinitate de numere prime.
Pentru anumite valori particulare ale lui a și b voi prezenta în cadrul acestei lucrări demonstrații complete.
Iată la început două exemple:
Teorema 2.1.3 Există o infinitate de numere prime de forma 4n-1 cu n∈ℕ*.
Demonstrație. Să presupunem prin reducere la absurd că mulțimea
{4n-1| n∈ℕ*} conține numai un număr finit de numere prime, fie acestea q1,…,
q t și să considerăm numărul q=4q1q2…q t –1.
Numărul q trebuie să aibă un factor prim de forma 4k-1 (căci dacă toți
factorii primi ai lui q ar fi de forma 4k+1 atunci și q ar trebui să fie de forma
4k+1. Deci ar trebui ca qi să dividă pe q, ceea ce este absurd.), de unde concluzia din enunț.
Teorema 2.1.4 Există o infinitate de numere prime de forma 6n-1, n∈ℕ*.
Demonstrație. Să presupunem prin absurd că există doar un număr finit de numere prime de forma 6n-1 și anume q1, q2,…,qk. Să considerăm numărul q=6q1q2…qk -1. Cum un număr prim este de forma 6t-1 sau 6t+1, deducem că q trebuie să conțină un factor prim de forma 6t-1 (căci în caz contrar ar trebui ca q să fie de forma 6k+1. Deci ar trebui ca un qi să dividă pe q, ceea ce este absurd.), de unde concluzia din enunț.
2.2 Ciurul lui Eratostene
Fiind dat un număr natural n≥2, pentru a stabili dacă el este prim sau nu este suficient să verificăm dacă el este divizibil doar prin acele numere prime p≤ .
Într-adevăr, să presupunem că n este compus și că toate numerele prime ce-l divid verifică inegalitățile p n . Dacă un anumit număr prim p0 divide pe n, atunci putem scrie p=p0n0 pentru un n0≥2. Atunci și n0|n. Numărul n0 va avea cel puțin un factor prim (care va fi mai mic decât ) – absurd !.
Obținem astfel un criteriu simplu de a determina dacă un număr natural este prim sau nu: Dacă un număr natural n nu este divizibil prin nici un număr prim p≤ atunci numărul n este prim.
Acest criteriu stă la baza ,,ciurului” prin care Eratostene a stabilit care numere dintr-o mulțime finită de numere naturale sunt prime.
Mai precis, el a scris de exemplu toate numerele de la 2 la n în ordine crescătoare. A tăiat toți multiplii proprii ai lui 2, apoi toți multiplii proprii ai lui 3, pe urmă pe cei ai lui 5.
Se observă că cel mai mic număr natural superior lui 5 care nu a fost tăiat este 7 și se taie atunci și toți multiplii lui 7. Se continuă în felul acesta procedeul de tăiere până se ajunge la etapa când cel mai mic număr natural din șirul 2, 3, …,n care nu a fost tăiat este ≥ .
Atunci procedeul se oprește deoarece conform criteriului enunțat mai înainte
toate numerele netăiate din șirul 2, 3, …,n sunt numere prime p≤n.
De exemplu numărul 223 nu se divide cu 2, 3, 5, 7, 11 și 13. Este inutil să verificăm dacă se mai divide cu 17 căci 172=289 >223, rezultând astfel că 223 este prim. Procedeul descris mai sus poartă numele de ciurul lui Eratostene.
Pe această cale se poate obține următorul șir de numere prime mai mici decât 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
În anul 1909 au fost editate tabele cu numerele prime <10.000.000, în care se dau cei mai mici divizori primi pentru fiecare număr natural ≤10.170.600 care nu se divid la 2, 3, 5 sau 7.
În anul 1951 au fost publicate tabele de numere prime până la11.000.000.
Jacob Philipp Kulik (1793-1863) a întocmit tabele de numere prime până la 100.000.000 (manuscrisul se păstrează la Academia Austriacă de Științe din Viena).
C. L. Baker și J. F. Gruenberger au întocmit în anul 1959 un microfilm care conține toate numerele prime mai mici decât p 6000000=104. 395. 301 .
2.3 Teorema Bertrand- Cebîșev
Teorema 2.3.1 Dacă n∈ℕ, n≥4, atunci între n și 2(n-1) se află cel puțin un număr natural prim.
Acest rezultat a fost formulat încă din anul 1845 de către J. Bertrand însă cel care a prezentat primul o soluție a acestuia a fost P. L. Cebîșev în anul 1850.
În cele ce urmează voi prezenta o soluție a lui P. Erdös (adaptată de L. Kalmar).
Această soluție se bazează pe demonstrarea câtorva leme:
Lema 2.3.1 Dacă n∈ℕ, n, atunci .
Demonstrație. Facem inducție după n. Pentru n=2, relația din enunț este adevărată deoarece ceea ce este adevărat.
Cum , pentru a proba relația din enunț pentru n+1 este suficient să demonstrăm că
4n2+4n+14n2+4n ceea ce este evident.
Lema 2.3.2 Dacă definim P1=1 iar pentru , Pn=, atunci Pn4n, pentru orice n∈ℕ*.
Demonstrație. Facem din nou inducție după n. Pentru n =1, 2 totul este clar. Presupunem lema adevărată pentru toate numerele <n și să o demonstrăm pentru n.
Dacă n este par, atunci Pn=Pn-1 și totul este clar. Dacă n este impar, n=2k+1 (k∈ℕ*), atunci orice număr prim p astfel încât k+2≤p≤2k+1 este un divizor al lui
.
Din =2 deducem că . Produsul tuturor numerelor prime p astfel încât k+2≤p≤2k+1 divizând este inferior lui ținând cont de faptul că . Scriind că Pn=P2k+1=Pk+1· și ținând cont de ipoteza de inducție Pk+14k+1și astfel demonstrația este realizată.
Lema 2.3.3 Dacă p este un număr prim ce divide astfel încât , atunci p apare cu exponentul 1 în descompunerea lui în factori primi.
Demonstrație. Exponentul lui p în va fi egal cu .
Dacă avem că (pentru egalitate n=2 lema este adevărată ), atunci pentru n3 avem , de unde se poate deduce că =, de unde și astfel se obține demonstrația.
Pentru un număr real pozitiv x, prin desemnăm numărul numerelor prime q
astfel încât q
Lema 2.3.4 Dacă p este un număr prim r∈ℕ* astfel încât pr|, atunci pr2n și .
Demonstrație. Din pr|, deducem că exponentul lui p din descompunerea lui în factori primi care este verifică egalitatea .
Dacă am avea pr pentru k am avea și atunci
.
Cum pentru orice x avem ar trebui să avem
ceea ce contrazice faptul că .
Deci pr2n.
Pentru a demonstra că ținem cont că în descompunerea în factori primi a lui nu pot să apară numai numere prime q, de unde deducem că
Lema 2.3.5 Dacă n∈ℕ, n atunci nici un număr prim p astfel încât nu poate să dividă .
Demonstrație. Dacă , atunci și , deci și , de unde deducem că . Cum pentru orice x, deducem că
Pentru k , avem și atunci pentru n, deci
pentru k și n. In aceste condiții deducem că pentru n p∤
Pentru n=3 sau n=4 , cu necesitate p=3 și din nou această lemă este adevărată deoarece , nu se divid prin 3.
Lema 2.3.6 Un număr prim p astfel încât apare în descompunerea lui în factori primi cu exponentul 1 ().
Demonstrație. Dacă , atunci și , deci și .
Pentru , avem , deci pentru n avem și ca și
Deci exponentul al lui p în este 1.
Lema 2.3.7 Dacă n, , atunci (n).
Demonstrație. Se verifică imediat că (14)=6=, adică lema este adevărată pentru n=14.
În șirul 1,2,…,n numerele 4,6,…,2· sunt compuse . Pe de altă parte , pentru n, șirul 1,2,…,n conține și numere impare compuse 1,9,15 de unde deducem că (n) și astfel lema este probată ,iar pentru n15 avem (n) .
Lema 2.3.8 Fie sau dacă nu există astfel de numere prime.
Atunci , pentru avem .
Demonstrație. După felul în care am definit pe Rn deducem că , deci putem scrie , unde n. Conform Lemei 2.3.6 dacă p este un număr prim astfel încât n<p<2n , atunci p∤Qn și prin urmare dacă p este prim și p|Qn , cu necesitate p≤n. Conform Lemei 2.3.5 avem chear mai mult , astfel că produsul divizorilor primi ai lui Qn va fi cel mult egal cu iar conform Lemei 2.3.2. acest produs va fi .
Conform Lemei 2.3.3, cum Qn| se vede că exponentul unui număr prim p din descompunerea lui Qn nu va fi >1 decât dacă p< .
Numărul acestor numere prime va fi conform Lemei 2.3.7. (înlocuind în aceasta pe n prin, lucru posibil deoarece de unde obținem , de unde și
) inferior lui .
Conform Lemei 2.3.4 produsul puterilor acestor numere prime , care divid pe Qn, iar în aceste condiții și pe va fi cel mult egal cu , de unde se poate deduce că
·.
Astfel cum deducem ținând cont de Lemei 2.3.1 și de · că
= adică inegalitatea din enunț.
Lema 2.3.9 Dacă k∈ℕ, k≥8, atunci 2k >18(k+1).
Demonstrație. Cum 28=256 >18·9 iar dacă 2k>18(k+1), atunci 2k+1=2·2k>2·18(k+1))=36k+36>18k+36=18(k+2), deducem conform principiului inducției matematice că lema este adevărată pentru orice k ≥8.
Lema 2.3.10 Dacă x∈ℝ, x≥8, atunci 2x >18x .
Demonstrație. Pentru x∈ℝ, x≥8 avem [x]≥8 și conform Lemei anterioare
avem 2x ≥2[x] ≥18([x]+1) >18x .
Lema 2.3.11 Dacă k∈ℕ, k≥6, atunci 2k >6(k+1).
Demonstrație. Se face inducție matematică după k (sau, dacă ținem cont
de Lema 2.3.9 mai avem de demonstrat inegalitățile pentru k=6 și k=7 care sunt
adevărate deoarece 26 >64 > 6·7 și 27>128>6·8) .
Lema 2.3.12 Dacă n∈ℕ, n≥648, atunci Rn >2n.
Demonstrație. Ținând cont de Lema 2.3.8. este suficient să demonstrăm că pentru n≥648
avem . Cum pentru n≥648, , conform faptului că pentru x 2x avem , de unde dacă ridicăm la puterea ambii membrii deducem că .
De asemenea , din n≥648, deducem că și conform Lemei 2.3.10 avem de unde .
Deci ,pentru n≥648 , și de unde deducem că și astfel demonstrația este realizată.
Lema 2.3.13 Dacă n≥6, atunci între n și 2n se află cel puțin două numere prime distincte.
Demonstrație. Dacă n≥648, atunci conform definirii lui Rn, dacă în intervalul (n, 2n) nu ar exista nici un număr prim, sau numai unul, atunci Rn ≤2n, ceea ce ar fi în contradicție cu Lema demonstrată anterior.
Dacă n=6, lema este adevărată căci între 6 și 12 se află numerele prime 7 și 11.
Mai avem de demonstrat Lema pentru 7≤n≤647. Acest lucru poate fi făcut fie direct (utilizând un tabel de numere prime ≤1000), fie construind un șir de numere prime q0, q1,…qm astfel ăncât q0=7, qk < 2qk-2, 2≤k≤m și qm-1>a=647.
O dată construit un astfel de șir (cum ar fi de exemplu șirul 7, 11, 13, 19, 23, 37, 43, 73, 83, 139, 163, 277, 317, 547, 631, 653, 1259 pentru m=16), să vedem cum rezultă Lema pentru 7≤n≤a=647.
Primul termen al șirului q0, q1, …qm nu depășește pe n decât dacă qm>qm-1 >a≥n, deci qm>n.
Există deci un indice maximal k<m-1 astfel încât qk<n. Atunci k+2 ≤m, n<qk+1 și cum qk+2<2qk≤2n, între n și 2n există cel puțin numerele prime q k+1 și qk+2 și cu aceasta lema este complet demonstrată.
Teorema 2.3.2(Cebîșev) Dacă n∈ℕ, n≥4, atunci între n și 2(n-1) avem cel puțin un număr prim.
Demonstrație. Pentru n=4 și n=5 teorema este adevărată în mod evident deoarece între 4 și 6 se află 5 iar între 5 și 8 se află 7. Pentru n≥6, conform Lemei 2.3.13. între n și 2n se află cel puțin două numere prime distincte p și q cu p<q.
Dacă cel mai mare dinte acestea este q=2n-1, celălalt trebuie să fie <2n-2 căci 2(n-1) este par și compus pentru n≥6. Deci n<p<2(n-1). Dacă q<2n-1, cum p<q, din p<q deducem că n<p<2n-2 și cu aceasta Teorema lui Cebîșev este complet demonstrată.
În continuare voi prezenta câteva corolare la Teorema lui Cebîșev.
Corolar 2.3.1 Dacă n∈ℕ, n≥2, atunci între n și 2n se află cel puțin un număr prim.
Demonstrație. Dacă n≥4 totul rezultă din teorema lui Cebîșev. Dacă n=2 între 2 și 4 se află 3 iar dacă n=3 atunci între 3 și 6 se află 5. Astfel Corolarul este demonstrat pentru orice n≥2.
Observația 2.3.1 În anul 1892 J. J. Sylvester a demonstrat următoarea generalizare a Corolarului anterior:
Dacă n, k ∈ℕ, n>k, atunci în șirul n, n+1, …n+k-1 se află cel puțin un număr admițând un divizor prim > k.
Corolarul anterior se poate deduce acum din acest rezultat pentru n=k+1.
Această generalizare a mai fost demonstrată și de I. Schur în 1929 ca și
de P. Erdös în 1934.
Corolar 2.3.2 Dacă k∈ℕ, k>1, atunci pk<2k (unde pk este al k-lea număr prim).
Demonstrație. Facem inducție după k. Pentru k=2 avem p2=3<22. Dacă
pk<2k, conform Corolarului 2.3.2. există cel puțin un număr prim p astfel încât
2k<p<2·2k=2k+1 și astfel corolarul este demonstrat.
Corolar 2.3.3 Dacă n∈ℕ, n≥2, atunci în descompunerea lui n! în factori primi găsim cel puțin un număr prim cu exponentul egal cu 1.
Demonstrație Corolarul este în mod evident adevărat pentru n=2 și n=3. (2!=2, 3!=2·3) .
Fie acum n≥4. Dacă n este par, n=2k, atunci k≥2 și conform Corolarului 2.3.1. între k și 2k=n găsim cel puțin un număr prim p astfel încât k<p<2k=n.
Vrem să demonstrăm că p apare cu exponentul 1 în descompunerea în factori primi a lui n!. Într-adevăr, următorul număr din n! ce ar fi multiplu de p este 2p însă din k<p ⇒2k<2p ⇔2p>n.
Dacă n este impar, n=2k+1⇒k≥2 și din nou conform Corolarului 2.3.1. între k și 2k găsim cel puțin un număr prim p (k<p<2k). Avem deci p<2k<n și2p>2k ⇒2p>2k+1=n și din nou ajungem la concluzia că p apare în descompunerea lui n! cu exponentul 1.
Observația 2.3.2 De fapt, Corolarele 2.3.1. și 2.3.3. sunt echivalente.
Într-adevăr, mai înainte am văzut cum Corolarul 2.3.1. implică Corolarul 2.3.3.
Reciproc, să admitem că ceea ce afirmă Corolarul 2.3.3. este adevărat (adică pentru orice număr natural n≥1 în n! există cel puțin un număr prim cu exponentul 1) și să demonstrăm Corolarul 2.3.1. (adică pentru orice n≥2, între n și 2n se află cel puțin un număr prim).
Într-adevăr, fie p numărul prim ce apare în descompunerea în factori primi a lui (2n)! cu exponentul 1. Avem p<2n<2p căci dacă am avea 2p≤2n, atunci în (2n)!=1·2·…·(n-1)·n ·(n+1)·…·(2n) apar și p și 2p și astfel exponentul lui p în (2n)! ar fi cel puțin 2. În concluzie, 2n<2p, adică n<p și cum p<2n deducem că n<p<2n.
Corolar 2.3.4 Pentru orice k∈ℕ, k≥4, avem inegalitatea pk+2<2pk.
Demonstrație. Pentru k≥4 avem pk>p3=5 și atunci conform Lemei 2.3.13. între pk și 2pk există cel puțin două numere prime distincte. Cum cele mai mici dintre aceste numere vor fi pk+1 și pk+2 avem pk+2<2pk .
Corolar 2.3.5 Pentru orice k∈ℕ, k≥2 avem pk+2<pk+1+pk .
Demonstrație. Pentru k=2, 3 se verifică imediat prin calcul iar pentru k≥4 totul rezultă din corolarul precedent.
Corolar 2.3.6 Dacă n, k∈ℕ, n≥2, atunci
ℕ.
Demonstrație.Dacă x= ℕ, atunci și cum , cu necesitate și deci .
Fie p cel mai mare număr prim ≤n+k. Atunci 2p>n+k . Conform Corolarului 2.3.1. , între p și 2p găsim cel puțin un număr prim q, iar dacă am avea 2p≤n+k, atunci p<q<n+k, în contradicție cu alegerea lui p. Deci n+k<2p.
Cum k≥n, atunci n+k≥2n și din nou conform Corolarului 2.3.1. , între n și 2n există un număr prim r. Cum r<2n≤n+k, ținând cont de felul în care l-am ales pe p deducem că r≤p.
De asemenea, deoarece n<r, avem n<p≤n+k<2p.
Deducem de aici că printre termenii sumei x= există numai unul al cărui numitor să fie divizibil prin p. Punând pe x sub formă de fracție (cu numitorul n n 1… n k ) se observă că printre termenii ce dau numărătorul lui x există unul ce nu se divide prin p. Atunci , dacă scriem (cu t= n n 1… n k ),
p|t și p∤m, de unde concluzia că x=ℕ.
2.4 Inegalitățile lui Cebîșev
Reamintim că pentru x∈ℝ+, prin π(x) am notat numărul numerelor prime p≤x. Astfel, π(1)=0, π(2)=1, π(3)=π(4)=2, π(5)=π(6)=3, π(100)=25, π(1000)=168, etc.
În anul 1958, D. H. Lehmer a calculat π(108) și π(109) arătând că π(108)=5761455 și π(109)=50847534.
Evident, π(pn)=n pentru orice n≥1.
Reamintim că în cadrul Lemei 2.3.8. am definit pentru n≥1,.
Există π(2n)–π(n) numere prime p astfel încât n<p≤2n și cum toate aceste numere prime sunt ≤2n deducem că Rn ≤ 2n π2 n πn . Ținând cont de Lema 2.3.8., deducem că pentru avem inegalitatea 2n π2 n πn , de unde logaritmând în baza 10 obținem inegalitatea π2 n πn
Dar cum , din relația anterioară deducem că
Corolar 2.4.1 Pentru orice număr natural k există un număr natural mk astfel încât pentru orice n≥mk , există cel puțin k numere prime între n și 2n.
Fie acum p1,…pr numerele prime ce intră în descompunerea în factori primi a lui , evident p1,…pr. Fiecare număr pi apare la puterea
, unde qi este cel mai mare număr natural pentru care .
Cum pentru orice , =0 sau 1 deducem că
, astfel că fiecare pi apare în descompunerea lui la o putere , deci .
Cum r=(2n) deducem că .
Pe de altă parte se divide cu produsul tuturor numerelor prime
ps+1, ps+2,…pr mai mari decât n și mai mici decât 2n (am notat prin p1,… ps toate numerele prime mai mici decât n).
Astfel .
Cum r=(2n) s=(n) , deducem că n π2 n πn
Pentru orice număr natural , avem . (3)
Comparând (2) cu (3) deducem că , de unde prin logaritmare obținem
(4)
Pentru avem deducem că
,
sau .
Propoziția 2.4.1 Pentru orice număr natural n>1, avem inegalitatea .
Din combinația inegalităților (2) și (3) deducem că n π2 n πn pentru orice
, de unde prin logaritmare deducem că 2n lg2, adică
.
Fie acum un număr real. Dacă notăm atunci în mod evident x=2n sau 2n+1 și vom avea deoarece .
Se verifică imediat că pentru , din rezultă ,deci pentru avem .
Este ușor de verificat că ultima inegalitate este valabilă și pentru .
Într-adevăr , dacă , diferența evident poate fi egală cu doi, cu unu sau cu zero; în toate aceste cazuri , produsul va lua valoarea cea mai mare.
Astfel pentru orice x∈ℝ+ avem: . (5)
Din ultima inegalitate deducem că
(folosind faptul că ).
Deci .
Fie acum n număr natural și . Conform ultimei inegalități obținem:
………………………….
Vom alege k astfel încât .
Adunând aceste inegalități deducem că:
Cum pentru și deci , deducem că .
Am obținut astfel că dacă
Propoziția 2.4.2 Pentru orice număr natural , avem dubla inegalitate
.
Observația 2.4.1 Dacă trecem la logaritmi naturali, Propoziția anterioară capătă o formulare mai elegantă , astfel că variația funcției
Este redată cu o mai mare exactitate de funcția . aceste rezultate obținute aparțin de asemenea lui Cebîșev.
Observația 2.4.1 Cebîșev a demonstrat de asemenea că dacă raportul :
tinde (pentru ) la o limită l, atunci această limită este egală cu 1. Faptul că limita raportului : există pentru a fost demonstrat prima dată de J. Hadamard (la aproximativ 50 de ani de la lucrările remarcabile ale lui P. L. Cebîșev) utilizând un aparat matematic complicat, specific matematicilor superioare (o demonstrație elementară a fost totuși dată ceva mai târziu de matematicianul danez A. Selberg).
Obținem deci pentru .
Teorema 2.4.1 (Cebîșev) Pentru orice număr real , avem dubla inegalitate:
.
Demonstrație. Pentru prima inegalitate ținem cont de două inegalități stabilite anterior și anume: n π2 n πn și ,
pentru ℕ, , de unde deducem că π2 n πn și π2 n
Pentru x număr real , alegem acum ℕ astfel încât , astfel că π2 n
Să stabilim acum a doua inegalitate.
Pentru un număr real oarecare y, alegem ℕ astfel încât .
Astfel
π2 n πn
.
Am demonstrat că pentru y număr real y, avem .
Evident pentru avem și cum funcția își atinge valoarea minimă în y=e, de unde deducem că pentru
Cum însă deducem că pentru orice .
Astfel, pentru avem :
.
Fie acum x număr real , și rℕ astfel încât 2r+12r+2. Înlocuind în ultima egalitate pe rând pe y cu x, , ,……. , , obținem r+1 inegalități și adunând membru cu membru aceste inegalități , ținând cont de faptul că , obținem , adică a doua inegalitate din enunț.
Teorema 2.4.2 Pentru nℕ , avem.
Demonstrație. Ținând cont de teorema demonstrată anterior pentru nℕ , avem , de unde deducem prima inegalitate din enunț.
Cum funcția f: (0,+), pentru , este descrescătoare pentru iar f(e9) deducem că pentru avem . Deci , dacă avem
.
Pe de altă parte , pentru , avem . Combinând cele două inegalități obținem că dacă , atunci , ceea ce implică printre altele că și că .
Deducem că pentru , și astfel membrul drept al inegalității din enunț este verificat pentru . Pentru inegalitatea din enunț se varifică prin calcul direct.
Teorema 2.4.3 Pentru orice x, , există două constante reale pozitive c1,c2, astfel încât:
Demonstrație. Fie x, . Cum avem:
Conform inegalitățiilor lui Cebîșev deducem că pentru avem
, de unde deducem că
Prin inducție matematică se probează că pentru orice k, avem
.
De asemenea pentru orice x, avem .
În aceste condiții deducem existența unei constante astfel încât
Evaluând acum obținem constantele din enunțul teoremei.
Observația 2.4.1 Dacă pentru două funcții reale f și g scriem dacă
atunci vom menționa următoarele rezultate:
. Acest rezultat cunoscut și sub numele de Teorema elementului prim sau Legea de repartiție a numerelor prime a fost intuit de Legendre și Gauss în secolul al 18-lea și demonstrat în 1896, independent de J. Hadamard (1865-1963) și G. J. de la Vallée-Poussin cu metode specifice analizei complexe.
2. La 15 ani Gauss a conjecturat că
Deoarece și
deducem că de unde se deduce că .
Teorema 2.4.4 Seria este divergentă.
Demonstrație. Fie p1, p2,….,pl(n) toate numerele prime mai mici decât n și să definim
Deoarece , atunci . În particular și astfel pentru n Avem : lg
Însă astfel că
lg.
Este cunoscut faptul că și atunci este convergentă, astfel dacă presupunem că este convergentă , atunci trebuie să existe o constantă M astfel încât
lg dacă și numai dacă , ( pentru n)ceea ce este imposibil , de unde deducem că este divergentă.
2.5 Teorema lui Scherk
Rezultatul prezentat în continuare este datoorat lui H.F. Scherk și prezintă un fel de recurență pentru șirul al numerelor prime.
Teorema 2.5.1(H.F. Scherk) Pentru orice număr natural există o alegere convenabilă a semnelor + sau – satfel încât:
și
.
Observația 2.5.1 Formulele (1) și (2) au fost enunțate de Scherk în anul 1830
S. S. Pillai a fost primul care a prezentat o demonstrație a lor în anul 1928.
În cele ce urmează voi prezenta o soluție dată de W. Sierpinski în anul 1952.
Vom spune că un șir de numere naturale impare are proprietate (P) dacă el este strict crescător, q1=2, q 2=3, q3=5, q4=7, q5=11, q6=13, q7=17 și qn+1 <2qn , pentru orice n∈ℕ*.
Ținând cont de relațiile de la Teorema lui Cebîșev deducem imediat că șirul pn n 1 al numerelor prime este un exemplu de șir cu proprietatea (P).
Astfel, pentru probarea formulelor (1) și (2) ale lui Scherk, este suficient să le probăm pe acestea pentru un șir qn n1 ce are proprietatea (P).
Lema 2.5.1 Dacă qn n1 este un șir cu proprietatea (P), atunci pentru orice număr natural impar m ≤ q2n+1 (n ≥3), există o alegere convenabilă a semnelor ,,+’’ sau ,,–” astfel încât m q1 q2 …. q2 n1 q2 n .
Demonstrație. Vom demonstra această lemă făcând inducție matematică după n≥3. Dacă n=3, atunci q7=17 iar numerele impare m ≤ 17 sunt 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17.
Deoarece prin calcul direct se verifică egalitățile :
1 = -q1 + q2 + q3 – q4 – q5 + q6
3 = q1 – q2 – q3 + q4 – q5 + q6
5 = q1 + q2 + q3 – q4 – q5 + q6
7 = – q1 – q2 – q3 – q4 + q5 + q6
9 = q1 + q2 – q3 + q4 – q5 + q6
11 = q1 – q2 – q3 – q4 + q5 + q6
13 = q1 – q2 + q3 + q4 – q5 + q6
15 = -q1 + q2 + q3 + q4 – q5 + q6
17 = q1 + q2 – q3 – q4 + q5 + q6
deducem că lema este adevărată pentru n=3.
Să observăm că pentru n=2 lema este falsă căci atunci q2=11 iar 5 de exemplu nu se poate scrie sub forma 2 3 5 7 pentru nici o alegere a lui ,,+’’ sau ,,-’’.
Să presupunem acum că lema este adevărată pentru n≥3, și fie 2k-1 un număr impar astfel încât 2k-1≤q2n+3.
Cum șirul qn n1 are proprietatea (P) deducem că q2n+3<2q2n+2 și prin urmare deducem că
–q2n+2<2k-1-q2n+2<q2n+2 astfel că pentru o alegere convenabilă a semnelor ,,+” sau ,,–” avem
0 2k 1 q2n 2 q2n 2 .
Cum din q2n+2<2q2n+1 deducem căq2n 1 2k 1 q2n 2 q2n 1 q2n 1 și astfel pentru o nouă alegere convenabilă a semnelor ,,+” sau ,,–” avem
0 2k 1 q2n 2 q2n 1 q2n 1 . Cum q2n+2 și q2n+1 sunt numere impare, deducem că și numărul m 2k 1 q2n 2 q2n 1 este impar și cum m≤q2n+1, conform ipotezei de inducție găsim o alegere convenabilă a semnelor ,,+” sau ,,–” astfel încât
m 2k 1 q2n 2 q2n1 q1 q 2 …. q2n 1 q2n , de unde deducem că la o alegere convenabilă a semnelor ,,+” sau ,,–” avem 2k 1 q1 q2 …. q2n 1 q2n 2 și astfel Lema este demonstrată.
Corolar 2.5.1 Pentru o alegere convenabilă a semnelor ,,+” sau ,,–” avem egalitatea q2n +1 = q1 q 2 …. q2n 1 q2n .
Pentru n=1 și n=2 se verifică imediat relațiile q3=q1+q2 și q5=q1-q2+q3+q4.
Să demonstrăm acum formulele (1) și (2) din Teorema lui Scherk.
Într-adevăr, pentru n≥3, numărul q2n+1-q2n-1 este impar și <q2n+1 și deci conform lemei anterioare, la o alegere convenabilă a semnelor ,,+” sau ,,–” avem egalitatea
q2n 1 q2n 1 q1 q 2 …. q2n 1 q2n ,de unde
q2n1 1 q1 … q2n1 2q2n și astfel formula (2) rezultă imediat considerând pentru n≥1, qn=pn.
Pentru n=1 sau n=2, prin calcul direct se verifică egalitățile q3=1-q1+2q2 și q5=1-q1+q2-q3+2q4, astfel că formulele (2) sunt valabile pentru orice n∈ℕ*.
Pentru a proba formulele (1) să observăm că q2n+2<2q2n+1 și q2n+2-q2n+1-1 este impar și <q2n+1, deci conform lemei putem alege convenabil semnele ,,+” sau,,–”astfel încât
q2n + 2 – q2n +1 – 1 = ± q1 ± … ± q2n -1 + q2n ,de unde
q2n + 2 = 1 ± q1 ± … ± q2n -1 + q2n + q2n +1 deci ( luând în loc de n+1 pe n )
q2n = 1 ± q1 ± … ± q2n -3 + q2n – 2 + q 2n -1 și astfel și (1) sunt verificate pentru n≥3.
Pentru n=0,1 sau 2 ,cum q2=1+q1, q4=1-q1+q2+q3 iar q6=1+q1-q2-q3+q4+q5 deducem că formulele (1) sunt valabile pentru orice n∈ℕ* (qn=pn).
CAPITOLUL III
TEOREME DE REPREZENTARE PENTRU NUMERE ÎNTREGI
3.1 Reprezentarea unui număr natural ca sumă de două pătrate de numere întregi
Pentru un număr natural n, prin d(n) vom nota numărul divizorilor lui n iar prin da(n) numărul divizorilor d ai lui n cu proprietatea că d≡a(mod4). Astfel, d1(n) reprezintă numărul divizorilor de forma 4k+1 ai lui n iar d3(n) numărul divizorilor de forma 4k+3 ai lui n (k∈ℕ).
Conform teoremei fundamentale a aritmeticii pe n îl putem scrie sub forma n=2k·n1·n2 cu k∈ℕ, iar .
În cadrul acestui paragraf vom găsi răspuns la următoarele chestiuni :
P1. Pentru care numere naturale n există x, y∈ℤ astfel încât n=x2+y2 (1).
P2. În caz că pentru n fixat ecuația (1) are cel puțin o soluție atunci să se determine numărul tuturor soluțiilor sale.
Observația 3.1.1 Dacă ecuația (1) are o soluție (x, y) în ℕ×ℕ, atunci în ℤ ×ℤ ecuația n=x2+y2 va avea soluțiile (±x, ±y).
Astfel :
Dacă x=y=0 atunci cu necesitate n=0 și ecuația (1) are o unică soluție: (0, 0).
Dacă x≠0 și y=0 atunci soluția (x, 0) din ℕ×ℕ generează patru soluții în ℤ ×ℤ și anume: (x, 0), (0, x), (-x, 0) și (0, -x).
Dacă x=0 și y≠0 atunci soluția (0, y) din ℕ×ℕ generează de asemenea patru soluții în ℤ ×ℤ și anume: (0, y), (y, 0), (0, -y), (-y, 0).
Dacă x≠0, y≠0 și x≠y atunci soluția (x, y) din ℕ×ℕ generează opt soluții în ℤ ×ℤ și anume: (x, y), (y, x), (-x, y), (y, -x), (x, -y), (-y, x), (-x, -y), și (–y, -x).
Dacă x≠0, y≠0 și x=y atunci soluția (x, x) din ℕ×ℕ generează patru soluții în ℤ ×ℤ și anume: (x, x), (-x, x), (x, -x) și (–x, -x).
Această observație ne arată că atunci când vorbim despre numărul de soluții pentru ecuația (1), trebuie să specificăm neapărat următoarele:
Dacă este vorba de numărul de soluții din ℕ×ℕ sau din ℤ ×ℤ.
Ce înțelegem prin soluții distincte ? (altfel spus, dacă soluțiile (x, y) și (y, x) pentru x≠y sunt considerate distincte sau nu) .
Pentru a nu crea confuzii vom ține cont de ordinea termenilor în cadrul soluției (x, y) (pentru x≠y) urmând ca atunci când nu ținem cont de lucrul acesta să-l menționăm expres.
Exemple 1. Ecuația x2+y2=1 are două soluții în ℕ×ℕ: (1, 0) și (0, 1) pe când în
ℤ ×ℤ are patru soluții: (1, 0), (0, 1), (-1, 0) și (0, -1).
Dacă nu ținem cont de ordinea termenilor concluzionăm că ecuația x2+y2=1 are o unică soluție în ℕ×ℕ (pe (1, 0)) pe când în ℤ ×ℤ are două soluții(pe (1, 0) și (-1, 0)).
2. Ecuația x2+y2=2 are în ℕ×ℕ o soluție unică și anume pe (1, 1), pe când în ℤ ×ℤ are patru soluții și anume : (1, 1), (1, -1), (-1, 1) și (-1, -1).
Dacă nu ținem cont de ordinea termenilor concluzionăm că ecuația x2+y2=2 are în ℤ ×ℤ trei soluții și anume : (1, 1), (-1, 1) și (-1, -1).
3. Ecuația x2+y2=5 are în ℕ×ℕ două soluții: (1, 2) și (2, 1) pe când în ℤ ×ℤ are opt soluții: (1, 2), (1, -2), (-1, 2), (-1, -2), (2, 1), (-2, 1), (2, -1), (-2, -1) Dacă nu ținem cont de ordinea termenilor concluzionăm că ecuația x2+y2=5 are o unică soluție în ℕ×ℕ
(pe (1, 2)) pe când în ℤ ×ℤ are patru soluții: (1, 2), (-1, 2), (1, -2), și (–1, -2).
Lema 3.1.1 Dacă p este număr prim de forma 4k+1, atunci
.
Demonstrație. Scriind că
Deducem imediat egalitățile modulo p:
.
Conform teoremei lui Wilson astfel că
.
Lema 3.1.2 (Thue) Dacă p∈ℕ este un număr prim iar a∈ℤ astfel încât p∤a, atunci există numerele naturale nenule x, y astfel încât la o alegere convenabilă a semnelor + sau – să avem ax ± y ≡ 0 (mod p) .
Demonstrație. Dacă , atunci (m+1)2 și considerăm mulțimea X={ax-y ∣0≤x, y≤m}. Cum ∣X∣=(m+1)2>p, rezultă că există două perechi diferite (x1, y1), (x2, y2)∈X cu x1≥x2 și p∣(ax1-y1)-(ax2-y2)= =a(x1-x2)-(y1-y2). Egalitatea x1=x2 este imposibilă, căci în caz contrar ar rezulta că p∣y1-y2, lucru imposibil deoarece De asemenea , egalitatea y1=y2 este imposibilă, căci în caz contrar ar rezulta , deci
p∣x1-x2 ,imposibil deoarece
Deci x=x1-x2∈ℕ* (dacă x<0, atunci notăm x=x2-x1) și cum y1-y2 ∈ℤ*, există o alegere convenabilă a semnelor + sau – astfel încât y=±(y1-y2)∈ℕ*.
Cum x=, deducem că , și astfel numărul ax±b (care la o alegere convenabilă a semnelor + și – este egal cu a(x1-x2)-(y1-y2)) se divide prin p.
Teorema 3.1.1(Fermat) Orice număr prim p de forma 4k+1 se poate scrie ca suma pătratelor a două numere naturale.
Demonstrație. Considerăm . Evident , a∈ℕ* și (a,p)=1.
Conform Lemei 3.1.2 , există o alegere convenabilă a semnelor + și – astfel încât ax±y≡0(mod p). Atunci a2x2-y2=(ax+y)(ax-y)≡0(mod p) și conform Lemei 3.1.1. a2 +1≡0(mod p), de unde deducem că a2x2+x2≡0(mod p) iar de aici că (a2x2+x2)-(a2x2-y2)=x2+y2≡0(mod p), adică putem scrie x2+y2=kp cu k∈ℕ*.
Cum deducem că x2+y22p, adică kp2p, deci k, adică k=1deoarece x,y∈ℕ*. Deducem că p= x2+y2 și astfel teorema este demonstrată.
Corolar 3.1.1 Dacă n∈ℕ* conține în descompunerea sa în factori primi numai numere prime de forma 4k+1, atunci n se poate scrie sub forma n=x2+y2 cu x, y∈ℕ.
Demonstrație. Totul rezultă din Teorema 3.1.1. și din aceea că un produs finit de expresii de forma x2+y2 este de aceiași formă (conform identității
(x2+y2)(z2+t2)=(xz+yt)2+(xt-yz)2 ).
Vom demonstra acum că scrierea unui număr natural ca sumă de două pătrate de numere naturale este unică, dacă nu ținem cont de ordinea termenilor.
Propoziția 3.1.1 Fie a, b∈ℕ. Dacă un număr natural prim p se scrie sub forma p=ax2+by2 cu x, y∈ℕ atunci această scriere este unică (cu convenția ca în cazul în care a=b=1 să nu ținem cont de ordinea termenilor).
Demonstrație. Să presupunem că p are două descompuneri: cu x, y, x1, y1∈ℕ.
Atunci
p2=(axx1+byy1)2+ab(xy1-yx1)2=(axx1-byy1)2+ab(xy1+yx1)2 și cum
(axx1+byy1)(xy1+yx1)=(ax2+by2)x1y+()xy=p(x1y1+xy) deducem că p∣axx1+byy1 sau p∣xy1+yx1.
Dacă p∣axx1+byy1, atunci din prima reprezentare a lui p deducem că xy1-yx1=0 și deci xy1=yx1 , p=axx1+byy1 , px=(ax2+by2)x1=px1, de unde x=x1 și atunci y=y1.
Dacă p∣xy1+yx1, atunci din a doua reprezentare a lui p deducem că axx1-byy1=0 și p2=ab(xy1+yx1)2, de unde a=b=1.
Vom avea deci p=xy1+yx1 și xx1-yy1=0, de unde px=(x2+y2)y1=py1, adică x=y1 și din p=x2+y2= , deducem că y=x1 (astfel că în acest caz descompunerile se pot deosebi doar prin ordinea termenilor).
Observația 3.1.2 Din propoziția de mai înainte deducem că dacă numărul natural n poate fi reprezentat în cel puțin două moduri diferite ca sumă de două pătrate de numere naturale (cu condiția să nu considerăm diferite descompunerile ce se deosebesc numai prin ordinea termenilor), atunci cu necesitate n nu este prim.
De exemplu, din egalitățile 2501=12+502=102+492 deducem că numărul 2501 nu este prim.
Observația 3.1.3 Dacă numărul n are doar o singură descompunere într-o sumă de două pătrate de numere naturale, nu rezultă cu necesitate că n este prim.
De exemplu, se demonstrează cu ușurință că numerele 10, 18 și 45 au descompuneri unice sub forma 10=12+32, 18=32+32, 45=32+62 și totuși ele nu sunt numere prime ( se subânțelege că nu am ținut cont de ordinea termenilor).
Putem acum răspunde la chestiunea P1 formulată la începutul paragrafului.
Teorema 3.1.3 (Fermat-Euler) Un număr natural n (scris sub forma n=2kn1n2) se poate scrie sub forma n=x2+y2 cu x, y∈ℕ dacă și numai dacă toți exponenții s din scrierea lui n2 sunt numere pare.
Demonstrație. Revenim la scrierea lui n sub forma n=2kn1n2 cu k∈ℕ,
și .
Cum 2=12+12 iar conform Teoremei 1.3.1 fiecare factor prim p≡1(mod 4) din scrierea lui n1 se scrie sub forma x2+y2 cu x, y∈ℕ deducem imediat că n1 se poate scrie sub aceiași formă și aceiași proprietate o va avea și 2kn1 (adică2kn1=z2+t2 cu z, t∈ℕ). Dacă presupunem că fiecare exponent s din scrierea lui n2 este par, atunci în mod evident n2=m2
cu m∈ℕ și atunci n=2kn1n2=(z2+t2)m2=(zm)2+(tm)2.
Reciproc, fie n∈ℕ ce se poate scrie sub forma n=x2+y2 cu x, y∈ℕ și să demonstrăm că dacă qs este cea mai mare putere a unui număr prim q≡3(mod 4) ce intră în descompunerea în factori primi a lui n (de fapt a lui n2) atunci cu necesitate s este par. Presupunem prin absurd că s este impar. Dacă d=(x, y), atunci d2n și dacă notăm , , , obținem cu .
Conform presupunerii s este impar iar d2 (prin care am împărțit egalitatea n=x2+y2 ) conține eventual o putere pară a lui q, deducem că q|n1 și că q nu divide simultan pe x1 și y1 (să zicem că q∤y1).
Privind acum egalitatea în ℤq deducem că dacă și numai dacă de unde =1.
Însă și cim q3(mod 4) deducem că este impar, astfel că , absurd.
Deci s este par. Raționând inductiv deducem că toți exponenții s din descompunerea lui n2 sunt pari și cu aceasta teorema este demonstrată.
Pentru a răspunde la chestiunea P2 de la începutul paragrafului avem nevoie să reamintim anumite chestiuni legate de aritmetica întregilor lui Gauss, ℤ[i]={a+bi | a, b∈ℤ}.
Se cunoaște faptul că ( ℤ[i], +, ·) este un inel comutativ în care
U( ℤ[i], +, ·) ={±1, ±i}, precum și faptul că elementele prime din ℤ[i] sunt (până la o multiplicare cu ±1 sau ±i ) următoarele :
1±i;
Numerele prime p din ℤ cu p≡3(mod 4);
Numerele de forma a+bi cu a, b ∈ℕ* și a2+b2=p, unde p este un număr natural prim și p≡1(mod 4).
Reamintim că descompunerea numerelor din ℤ[i] în factori primi este unică (în ipoteza că nu se ține seama de multiplicările cu ±1, ±i, și de ordinea factorilor).
Pentru z=a+bi∈ℤ[i] definim norma lui z prin N(z)=a2+b2. Evident, dacă N(z)=p cu p prim, p≡1(mod 4), atunci a≠b (căci în caz contrar p=2a2≡0(mod 2) ).
Fie acum n∈ℕ pe care îl scriem sub forma n=2kn1n2 cu k∈ℕ,
iar .
Atunci descompunerea lui n în factori primi va fi :
.
Ținând cont de unicitatea descompunerii lui n de mai înainte deducem că fiecărei reprezentări a lui n sub forma n=u2+v2=(u+iv)(u-iv) (cu u, v∈ℤ) îi corespund pentru u+iv și
u-iv descompuneri de forma :
cu t∈{0, 1, 2, 3}, k1+ k2=k, r1+r2=r și s1+s2=s.
Observăm că factorii primi asociați lui u+iv determină în mod unic factorii primi ai lui u-iv (și reciproc). De asemenea, fiecare pereche de numere complex conjugate (u+iv, u-iv) cu u, v∈ℤ dată de relațiile (1) și (2) de mai sus verifică egalitatea n=u2+v2.
Observăm de asemenea că schimbarea i→-i nu afectează factorii reali q astfel că s1=s2 iar s=2s1 (ținând cont de Teorema 3.1.3.).
Pentru alegerea lui t avem 4 posibilități (căci t∈{0, 1, 2, 3}). Pentru k1 avem k+1 posibilități de alegere (căci k1∈{0, 1, … ,k}) iar pentru k1 ales, k2 se determină din k2=k-k1.
Analog, pentru r1 avem r+1 posibilități de alegere (căci r1∈{0, 1, ..,r}) iar r2=r-r1.
Astfel, avem un număr total de 4(k+1) r posibilități de a asocia lui u+iv factorii primi Gauss din descompunerea lui n în factori primi (în ℤ[i]) (unde produsul
r se face după toți primii p≡1(mod 4) astfel încât pr∣n).
Să vedem câte dintre aceste asocieri sunt diferite.
Ținând cont de egalitatea , dacă avem un factor atunci egalitatea devine astfel că numărul căutat este 4 deoarece, .
Din cele de mai înainte deducem că numărul total de soluții întregi ale ecuației x2+y2=n este 4d(n1). Să arătăm acum că d(n1)=d1(n)-d3(n).
Pentru aceasta să observăm că numărul divizorilor impari ai lui n este egal cu numărul termenilor sumei
Dacă d∣n, atunci este clar că avem d≡1(mod 4) dacă și numai dacă în (3) este par, în caz contrar având .
Dacă înlocuim pe q cu -1 atunci produsul este zero chiar dacă un singur exponent s este impar, iar dacă toți exponenții s sunt pari atunci
=1 și astfel membrul drept din relația (3) devine
astfel că termenii dezvoltării acestui produs sunt exact toți divizorii lui n1. Pentru a obține d(n1) fiecare termen trebuie numărat ca 1. Acest lucru este ușor de realizat dacă în (3) înlocuim în partea dreaptă și pe p cu 1, obținând
. Dacă privim acum membrul stâng al egalității (3) după ce în partea dreaptă am înlocuit fiecare p cu 1 și fiecare q cu –1 este clar că fiecare d∣n, d≡1(mod 4) este numărat ca +1 și fiecare d∣n, d≡3(mod 4) este numărat ca -1.
Astfel membrul stâng din (3) devine d1(n)-d3(n) iar membrul drept d(n1), de unde egalitatea d(n1)=d1(n)-d3(n).
Teorema 3.1.3 Fie n∈ℕ* iar n=2kn1n2 cu k∈ℕ, și
descompunerea lui n în factori primi.
Atunci ecuația x2+y2=n are soluție în ℤ dacă și numai dacă toți exponenții s din descompunerea lui n2 sunt pari.
Numărul soluțiilor din ℤ×ℤ ale ecuației x2+y2=n este egal cu 4(d1(n)-d3(n)) unde da(n) este numărul divizorilor d ai lui n cu proprietatea că d≡a(mod 4), a=1, 3.
Exemple
Dacă n=1, atunci d1(1)=1 și d2(1)=0, astfel că în ℤ×ℤ ecuația x2+y2=1 va avea 4(1-0)=4 soluții.
Dacă n=2, atunci d1(2)=1 și d2(2)=0, astfel că în ℤ×ℤ ecuația x2+y2=2 va avea 4(1-0)=4 soluții.
Dacă n=5, atunci d1(5)=2 și d2(5)=0, astfel că în ℤ×ℤ ecuația x2+y2=5 va avea 4(2-0)=8 soluții.
Am văzut mai înainte (Teorema 3.1.1.) că dacă p este un număr prim de forma 4k+1, atunci există x, y∈ℕ* astfel încât p=x2+y2.( cum d1(p)=2 iar d3(p)=0, conform teoremei anterioare ecuația x2+y2=p va avea în ℤ×ℤ 4(2-0)=8 soluții).
3.2 Reprezentarea numerelor naturale ca sumă de patru
pătrate de numere întregi
Scopul acestui paragraf este acela de a demonstra că orice număr natural poate fi scris ca sumă a patru pătrate de numere întregi.
Ținând cont de identitatea lui Euler, potrivit căreia dacă x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4∈ℤ, atunci +
+
.
Pentru a demonstra că un număr natural se scrie ca sumă de patru pătrate de numere naturale, este suficient să probăm lucrul acesta pentru numere prime.
Teorema 3.2.1(Lagrange) Fie p este un număr prim; atunci:
Există m și x1, x2, x3, x4∈ℕ astfel încât mp= ;
Dacă m este cel mai mic număr natural ce verifică (1), atunci m=1.
Demonstrație. Pentru a proba (1) , să considerăm mulțimile:
și .
Să observăm că elementele lui X și Y nu sunt congruente două câte două modulo p (separat).
Într-adevăr, dacă există x1,x2∈ astfel încât cu x1x2 atunci
ceea ce este imposibil deoarece .
Analog se arată că elementele lui Y nu sunt congruente două câte două modulo p.
Dacă notăm prin numărul de elemente ale lui X modulo p , atunci cum
, deducem că există x,y∈ astfel încât , astfel zis există m∈ℕ astfel încât mp=x2+y2+1.
Deci,
.
Pentru a proba (2) să observăm că dacă m este par, atunci toate xi-urile sunt impare sau două.
Dacă toate xi-urile sunt impare atunci egalitatea de la (1) se mai scrie sub forma:
iar cum x1±x2 și x3±x4 sunt numere pare se contrazice minimalitatea lui m.
Dacă numai x1 și x2 sunt pare iar x3 și x4 sunt impare, din nou se contrazice minimalitatea lui m (căci din nou x1±x2 și x3±x4 sunt numere pare).
Analog dacă xi-urile sunt pare.
Deci m trebuie să fie impar.
Dacă m=1 nu avem ce demonstra.
Să presupunem deci că 3 ≤ m<p.
Alegem y1, y2, y3, y4 astfel încât și în mod evident deci mn= pentru un anumit n.
Mai mult,
Evident, n ≠ 0 (căci în caz contrar ar rezulta yj= 0 pentru orice j=1, 2, 3, 4, ceea ce ar implica x j≡0(mod m), j=1, 2, 3, 4, și deci mp= de unde
, ceea ce este imposibil deoarece 3 ≤ m<p.
Deci și deducem imediat că
,
unde , ,
.
Cum , atunci și din egalitatea de mai sus rezultă că .
Avem deci că ceea ce contrazice din nou minimalitatea lui m.
În concluzie m=1 si totul este clar.
CAPITOLUL IV
APLICAȚII – EXERCIȚII PROPUSE ȘI SOLUȚII
1. Fie numărul . Arătați că, dacă , atunci se divide cu 13.
Soluție:
.
2. Să se arate că este divizibil cu 13.
Soluție:
Calculăm suma primilor 2 termeni ai sumei, suma primilor trei termeni ai sumei etc., până ce rezultatul este divizibil cu 13.
Am obținut că suma primilor trei termeni se divide cu 13, grupăm termenii sumei în grupe de câte 3. Observăm că suma are 2013 termeni și
3. Dacă , demonstrați că numărul este
divizibil cu 17.
Soluție:
4. Arătați că pentru orice număr natural n, fracția este ireductibilă.
Soluție:
Vom demonstra că numerele 10n+9 și 15n+1 sunt prime între ele.
Fie , atunci și de aici obținem că . Rezultă că și cum este evident că 15n+1 nu se divide cu 5 obținem că d=1.
5. a) Dacă și arătați că .
b) Aflați numărul de forma știind că are loc relația:
Soluție:
a) .
Obținem dar (7, 11)=1 rezultă și cum
(1).
(2).
Din (1), (2) rezultă că .
b) Observăm că și cum relația inițială se scrie
, avem:
, de unde obținem
6. Se consideră mulțimea .
a) Determinați cel mai mic număr din mulțimea A care este divizibil cu 15.
b) Câte cifre are cel mai mare număr divizibil cu 90 din mulțimea A ?
Soluție:
a) și și cum este evident că
,trebuie ca .
Cel mai mic număr din mulțimea A care este divizibil cu 15 este
b) Deoarece și obținem că
Cel mai mare număr din mulțimea A care este divizibil cu 90 este .
7. Aflați numerele naturale de trei cifre care prin împărțirea la 7 dau restul 1, prin împărțirea la 8 dau restul 4 și prin îmărțirea la 9 dau restul 7.
Soluție :
Notăm numărul căutat cu n.
Din teorema împărțirii cu rest rezultă că există astfel încât
. Adunăm la cele trei relații un număr natural p și obținem și căutăm numărul p astfel încât
.
.
Se observă că cel mai mic număr p cu această proprietate este 20. Pentru p=20 avem:
, de unde obținem că n+20 este multiplu comun al numerelor 7, 8 și 9, deci și cum singurul multiplu cu n are trei cifre obținem n+20=504, de unde n=484.
8. Suma a două numere naturale este este 78. Aflați cele două numere știind că un număr are doi divizori, al doilea are trei divizori, iar suma celor cinci divizori este 85.
Soluție:
Notăm cele două numere cu a, b.
Cum a are doi divizori, rezultă că a este număr prim și cum b are trei divizori, rezultă număr prim.
.
Din ipoteză avem și , rezultă sistemul
. Numerele sunt 53 și 25.
9. Arătați că numărul se divide cu 14.
Soluție:
.
.
.
10. Fie a un număr natural nenul astfel încât numerele a+2, a+4, a+8, a+10, a+16 sunt simultan numere prime. Arătați că este divizibil cu 10, oricare ar fi n un număr natural.
Soluție:
Observăm că dacă a este par atunci a+2, a+4, a+8, a+10, a+16 sunt numere prime pare diferite, ceea ce este imposibil, deci a este impar.
Deci unde este ultima cifră a numărului a.
Dacă , atunci și cum a+4 este prim obținem că a+4=5, deci a=1, imposibil deoarece a+8=9.
Dacă , atunci și cum a+2 este prim obținem că a+2=5, deci a=3, numerele sunt :5, 7, 11, 13, 19.
Dacă , atunci și cum a+10 este prim obținem că a+10=5, imposibil.
Dacă , atunci și cum a+8 este prim obținem că a+8=5, imposibil.
Am demonstrat că a=3, mai rămâne de arătat că
.
Dacă n=4k, atunci .
Dacă n=4k+1, atunci .
Dacă n=4k+2, atunci .
Dacă n=4k+3, atunci .
Ceea ce încheie demonstrația.
11. Arătați că numărul S = 1! + 2! + 3! + … + 2000! + k nu este pătrat perfect,
pentru k{-1;0;1;2;3;4;5}.
Soluție :
pentru k{-1;0;4;5}
Ultima cifră a numerelor 5!, 6!, … , 2000! este 0 deoarece , ele sunt produse de numere naturale în care apar numerele 2 și 5.
Ultima cifră a sumei 1! + 2! + 3! + … + 2000! este de fapt ultima cifră a sumei
1! + 2! + 3! + 4! = 33, deci în acest caz, U(S) poate fi 2, 3, 7 sau 8, adică S nu este pătrat perfect.
pentru k = 3
S = 1 + 2 + 3! + 4! + 5! + …+ 2000! + 3 = 3 + 3! + 4! + … + 2000! + 3 care este
divizibil cu 3 .
( dacă n>3, atunci n! = 123 … 3 )
Pe de altă parte
S = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 6! + 7! + … + 2000! + 3 = 156 + 6! + 7! + … + 2000! și
6! = 809 9 , 7! = 6!7 9 , … , 2000! = 6!…. 9 .
Am obținut că toate factorialele numerelor de la 6 până la 2000 sunt divizibile cu 9 și cum 156 nu este divizibil cu 9 S nu este divizibil cu 9.
pentru k = 1
Orice număr natural poate fi scris sub una din formele 7p, 7p + 1, 7p + 2, 7p + 3, 7p + 4, 7p + 5 sau 7p + 6 ( aceste forme sunt date de Teorema împărțirii cu rest pentru împărțitorul 7 ). În concluzie un patrat perfect oarecare are una din formele (7p)2, (7p + 1)2, (7p + 2)2, (7p + 3)2, (7p + 4)2, (7p + 5)2 sau (7p + 6)2. Efectuând ridicările la pătrat obținem forma unui pătrat perfect: 7t, 7t +1, 7t + 2 sau 7t + 4.
( de exemplu: (7p+3)2 = 49p2 + 42p + 9 = 7(7p2 + 6p + 1) +2 = 7t + 2 ).
Pe de altă parte, suma noastră poate fi scrisă astfel:
S = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 +7! + 8! + … + 2000! + 1
sau S = 847 + (7! + 8! + … + 2000!) = 7124 + 6 + M7 S = 7t + 6, adică S nu este pătrat perfect.
pentru k = 2
S = 1+2+6+120 + (6! + …+2000!) + 2 = 155 + M6 = 6q + 5 care nu este pătrat perfect.
12. a) Să se demonstreze că A = 3265n + 1029n – 45n este divizibil cu 4.
b) Să se demonstreze că B = 342n+1 + 4 15n + 4134n este divizibil cu 7.
Utile în aceste probleme sunt rezultatele de mai jos :
( a + 1 )n = Ma + 1; ( a + b )n = Ma + bn = Mb + an.
Exemple: 25n = ( 24 + 1 )n = M24 + 1 = M6 + 1 sau 25n = ( 7 + 18 )n = M7 + 18n .
( a – 1 )n = Ma + 1; (a-b)n = Ma + bn dacă n este număr natural par (*)
( a – 1 )n = Ma – 1; (a-b)n = Ma – bn dacă a este număr natural impar (**).
an-bn=(a-b)K.
Exemple: 73n = ( 72 + 1 )n = M72 + 1; 342n+1 = ( 35 – 1)2n+1 = M35 – 1.
Soluție :
a) Avem: 3265n = 3(264 + 1)n = 3( M264 + 1 ) = M4 + 3 ( 264 4 ).
1029n = 10(28 + 1 )n = 10( M28 + 1 ) = M4 + 10.
45n = ( 44 + 1)n = M44 + 1 = M4 + 1.
Deci A = M4 + 3 + 10 – 1 = M4 + 12 = M4.
b) Vom scrie: 34 = 35 – 1 = M7 – 1, 15 = 14 + 1 = M7 + 1 și 134 = M7 + 1. Folosind rezultatele de mai sus obținem succesiv:
342n+1= ( M7 – 1)2n+1 = M7 – 1 ( folosind (**) );
4 15n = 4( M7 + 1)n = M7 + 4;
4134n = 4( M7 + 1)n = M7 + 4.
Adunănd acum relațiile, obținem: B = M7 –1 + 4 +4 = M7 , adică ce aveam de arătat.
13. Demonstrați că A = 1+2+22+23+ … + 22003 este divizibil cu 15.
Soluția 1:
În primul rând să observăm că suma respectivă are 2004 termeni ( de la 1=20 pana la 22003 sunt 2004 numere ).
Apoi calculam suma primilor 2 termeni ai sumei, suma primilor 3 termeni ai sumei etc. până când rezultatul găsit este divizibil cu 15. Deci:
1+2 = 3 nu este divizibil cu 15;
1+2+22 = 7 nu este divizibil cu 15;
1+2+22+23 = 15 este divizibil cu 15 .
Am obținut că suma primilor 4 termeni este un număr divizibil cu 15. Să vedem ce putem spune despre suma următorilor 4 termeni:
24+25+26+27 = 24(1+2+22+23) = 2415 care este divizibil cu 15.
Cei 2004 termeni pot fi aranjați în 501 grupe de câte 4 termeni în ordinea crescatoare a exponenților, obținând:
A = (1+2+22+23) + 24(1+2+22+23) + … + 22000+22001+22002+22003
A = (1+2+22+23) + 24(1+2+22+23) + … + 22000(1+2+22+23) = 15(1+24+28+…+22000) care este un număr divizibil cu 15.
Soluția 2:
Folosind formula: 1+x+x2+x3+…+xn=, x1.
De fapt, trebuie să demonstrăm că: (1+x+x2+ … +xn-1+xn )(x-1)=xn+1-1 .
Avem succesiv:
(1+x+x2+ … +xn-1+xn )(x-1)=x+x2+x3+…+xn+xn+1-1-x-x2-x3- … -xn și se observă că în afară de termenii subliniați, ceilalți se reduc.
Exemplu: 1+7+72+73+…+72002+72003 =
În formula de mai sus, pentru n=2003 și x=2, obținem: 1+2+22+23+… + 22002+22003 = .
Pe de altă parte, avem: 22004-1 = -1=16501-1=(15+1)501-1=M15+1-1=M15.
14. Determinați nℕ, 1100<n<1300 cu proprietatea că prin împărțirea la 15, 18 și 20 se obțin resturile 12, 15 și respectiv 17.
Soluție: Din teorema împărțirii cu rest, avem:
sau adunând 3 în ambii membri ai fiecărei egalități:
n+3 este un multiplu comun al numerelor 15, 18 și 20. Avem [15;18;20]=180 și cum 1100:180=6,(1), 1300:180=7,(2) alegem n+3 = 7180=1260, adică n = 1257.
15. Să se determine toate numerele de forma divizibile cu 18.
Solutie:
Dacă18, atunci 2 si . Avem y{0;2;4;6;8} și 5+x+y9.
Numerele căutate sunt 14130; 12132; 10134; 19134; 17136; 15138.
16. Să se arate că numărul n3+5n6, oricare ar fi n ℕ*.
Soluție:
n3+5n=n3-n+6n=(n-1)n(n+1)+6n6.
1)Produsul a două numere naturale consecutive este divizibil cu 2.
2) Produsul a trei numere naturale consecutive este divizibil cu 6.
17. Să se afle numărul natural nN , n2 , și numerele prime p , p,…,p știind că : p+2p+4p+…+2p=2046 .
Soluție :
Din relația de mai sus , obținem evident ca p este număr par , și prim
p=2 . Atunci relația din enunț devine :
2(p+2p+…+2p)=2044 p+2p+…+2p=1022 .
Se reia procedeul p=2 .
În final se obține p=2 și p+…+2p=2 . În această situație
evident n=10 si p=2 . Deci p= p=…=p=2 .
18. Să se afle cel mai mic număr natural care împărțit la 5 să dea câtul 7 și restul diferit de zero.
Soluție:
Notăm cu x numerele căutate.
x = 5 ∙ 7 + r, cu r ≠ 0.
Din teorema împărțirii cu rest, știm că restul este mai mic decât 5. Deci, ținând cont că r ≠ 0, urmează că restul poate fi 1, 2, 3 sau 4. Cum x este cel mai mic număr cu această proprietate, rezultă că r = 1.
Așadar, x = 5 ∙ 7 + 1, adică x este 36.
19. Să se afle un număr natural care împărțit la un număr natural de două cifre să dea câtul 72 și restul 98.
Soluție:
Fie a numărul căutat și b împărțitorul. Vom avea că:
a = b ∙ 72 + 98, cu 0 ≤ 98 ≤ b.
Cum b are două cifre, din condiția de mai sus rezultă că b = 99; de unde, înlocuind,
obținem a = 7226.
20. Un număr natural de patru cifre are primele două cifre identice, iar cifra unităților 5. Acest număr se împarte la un număr de două cifre și se obține restul 98. Aflați deîmpărțitul, împărțitorul și câtul.
Soluție:
= x ∙ q + 98, 0 ≤ 98 < x și, cum x are două cifre, rezultă că x = 99.
Așadar, = 99 ∙ q + 98. De unde rezultă că ultima cifră a lui 99 ∙ q + 98 este 5, deci ultima cifră a lui q este 3.
Dar 1105 ≤ ≤ 9995 1105 ≤ 99 ∙ q + 98 ≤ 9995, de unde se obține că 11 ≤ q ≤ 99 și, cum ultima cifră a lui q este 3, urmează că q {13, 23, 33, …, 93}.
Rezultă că deîmpărțitul este 3365, împărțitorul este 99 și câtul este 33.
21. Aflați cel mai mic număr natural a care, împărțit la 169 și apoi la 13, să dea același rest 11 și câturile diferite de zero.
Soluție:
a = 169 ∙ x + 11
a = 13 ∙ y + 11, cu x ≠ 0 și y ≠ 0.
Egalând cele două relații se obține că 13x = y.
Deoarece se cere cel mai mic număr a, căutăm cel mai mic număr x. Acesta este x = 1
Deci a = 180.
22. Arătați că dublul sumei numerelor naturale care împărțite la 1995 dau câtul și restul egale se poate scrie ca produsul a trei numere naturale consecutive.
Soluție:
Fie x numerele naturale cu proprietatea din enunț. Avem că
x = 1995 ∙ q + q, 0 ≤ q ≤ 1995.
Fie S suma acestor numere.
S = 1995 ∙ (0 + 1 + 2 + … + 1994) + (0 + 1 + 2 + … + 1994) = (0 + 1 + 2 + … + 1994) ∙ 1996, de unde 2 ∙ S = 1994 ∙ 1995 ∙ 1996.
(Am ținut cont de faptul că 0 + 1 + 2 + … + 1994 = (1994 ∙ 1995) : 2).
23. Fie numerele a = 8 ∙ 3n+2 ∙ 25n+1 și b = 7 ∙ 5n+2 ∙ 15n+1, n fiind număr natural.
a). Comparați numerele a și b.
b). Arătați că a și b dau același rest la împărțirea cu 165, pentru orice n număr natural.
Soluție:
a). a = 8 ∙ 9 ∙25 ∙ 75n = 1800 ∙ 75n
b = 7 ∙ 25 ∙ 15 ∙ 75n = 2625 ∙75n . Așadar, a < b.
b). Se poate scrie:
a = (10 ∙ 165 + 150) ∙ 75n = M165 + 150 ∙ 75n
b = (15 ∙ 165 + 150) ∙ 75n = M165 + 150 ∙ 75n.
Așadar, a și b dau același rest la împărțirea la 165.
24. Aflați cel mai număr natural de trei cifre care împărțit la 13 dă restul 9.
Soluție:
Scriem teorema împărțirii cu rest
=13q+9, unde -9=13q
cum minim găsim =100.
25. Să se afle cel mai mic număr natural de trei cifre care împărțit la un număr format dintr-o singură cifră să dea restul 8.
Soluție:
Notăm numărul cerut în enunț. Avem =qt+8, 0≤8<t<9.
Atunci =9q+8=>-8=99. Cum minim, avem -8=99, de unde =107.
CAPITOLUL V
CONSIDERAȚII METODICE
5.1 CERCETAREA PEDAGOGICĂ
Cercetarea pedagogică reprezintă o strategie desfășurată în vederea surprinderii unor relații noi între componentele acțiunii educaționale și elaborării pe această cale a unor soluții optime ale problemelor pe care le ridică procesul educațional în conformitate cu exigențele sociale și cu logica internă a desfășurării lui. Cercetarea pedagogică este o acțiune de observare și investigare, pe baza căreia cunoaștem, ameliorăm sau inovăm fenomenul educațional.
Perfecționarea și autoperfecționarea sistemului de învățământ presupune o atentă și permanentă cercetare pedagogică, în cazul nostru didactică.
Ea este chemată să răspundă unor întrebări pe care practica educativă le ridică neîncetat. Răspunsurile obținute în urma cercetării sunt concomitent explicații ale acestor întrebări și sugestii pentru îmbunătățirea și ameliorarea procesului instructiv-educativ.
Metodele folosite în cercetarea pedagogică sunt diverse și pot fi delimitate după criterii.
Metoda observației
Această metodă constă în urmărirea faptelor de educație așa cum se desfășoară ele în condiții obiective. Avantajul observației constă în aceea că permite observarea diferitelor aspecte în desfășurare naturală a fenomenului. Se folosește în toate etapele cercetării și însoțește de obicei toate celelalte metode de cercetare oferind date suplimentare asupra fenomenului investigat.
Sursele observației sunt nelimitate, ele concentrându-se în jurul activităților elevilor în diferite situații la lecții, la activitățile extrașcolare.
Atunci când se referă la activitatea elevilor este important ca aceștia să nu-și dea seama că sunt observați.
Ca metodă de cercetare se deosebește de observarea spontană prin aceea că presupune elaborarea prealabilă a unui plan de observare cu precizarea obiectivelor ce vor fi urmărite, a cadrului în care se desfășoară și a eventualelor instrumente ce pot fi folosite pentru înregistrarea celor observate.
Fără observarea provocată nu este posibilă utilizarea nici unei alte metode de colectare a datelor unei cercetări. În orice cercetare observația este prezentă, și deci, de regulă, termenii “observare și experiment” sunt prezentați ca termeni diferiți, chiar când este vorba de “experiment”, adică de intervenții ale cercetătorului în desfășurarea fenomenului studiat.
Un autentic observator este educatorul însuși, cel integrat în desfășurarea fenomenului propriu-zis.
Metoda convorbirii, a anchetei
Această metodă constă într-un dialog între cercetător și subiecții supuși investigației în vederea acumulării unor date, opinii în legătură cu anumite fenomene și manifestări. Atunci când se desfășoară în scris pe baza unui chestionar îmbracă forma anchetei.
Discuția purtată cu elevii nu trebuie să aibă aerul unui interogatoriu, deși trebuie să fie dirijată, ci să decurgă familiar, liber. De asemenea, discuția trebuie să se desfășoare într-o atmosferă plină de încredere și într-o ambianță naturală, obișnuită. Situația artificială produce suspiciuni și inhibiții în relatările elevilor.
Convorbirea se desfășoară pe baza unui plan și a unor întrebări dinainte elaborate, ceea ce nu înseamnă că pe parcurs profesorul nu se poate abate de la întrebările fixate în funcție de situațiile neprevăzute ce pot apărea.
Dialogul trebuie să fie cât mai natural, profesorul să manifeste multă elasticitate, evitându-se întrebările care angajează, incomodează personalitatea copilului, dar apelând la întrebări colaterale menite a-l stimula pe acesta în a-și expune gândurile și opiniile.
Când se folosește chestionarul, o atenție deosebită trebuie acordată întocmirii acestuia. Astfel: întrebările să fie cât mai clare, să fie adecvate situației și să se refere la un aspect concret fără însă ca obiectivul general al anchetei să fie formulat în mod explicit, acesta trebuind să rezulte din totalitatea întrebărilor luate la un loc.
Respectarea unei logici interne a întrebărilor îl obligă pe cel care răspunde să fie consecvent cu el însuși și să nu se contrazică de la o întrebare la alta. De aceea este recomandabil ca întrebările să nu fie citite în prealabil și în același timp cu completarea răspunsului; după regulă se citește întrebarea și se răspunde trecându-se apoi mai departe. Referitor la felurile întrebărilor se pot deosebi: întrebări închise, întrebări deschise și întrebări cu răspunsurile formulate dinainte.
Întrebările închise sunt acelea care oferă 2-3 posibilități de răspuns: „da”, „nu”, „nu știu”.
Întrebările deschise sunt acelea care oferă libertatea deplină a copilului pentru a formula răspunsuri conform gândurilor și opiniilor sale.
În cadrul celei de-a treia categorii de întrebări copilul urmează să aleagă răspunsul din mai multe răspunsuri date.
Metoda experimentului pedagogic
Experimentul pedagogic este metoda cea mai complexă, cu acțiuni educative ameliorative de amploare, cu rol dominant în verificarea ipotezei, în construirea de noi ipoteze parțiale, pe parcurs. Se deosebește de experiența curentă, prin existența explicită a ipotezei, definirea variabilelor, a timpului de verificare, a planificării acțiunilor de intervenție, a modului de consemnare și interpretare a datelor specifice.
Experimentul pedagogic presupune crearea unei situații noi prin introducerea unor modificări în desfășurarea acțiunii educaționale cu scopul verificării ipotezei care a declanșat aceste inovații.
Înseamnă deci că experimentul pedagogic presupune intervenție și modificare în desfășurarea fenomenului pentru că pe baza rezultatelor înregistrate și a măsurilor efectuate să se aprecieze veridicitatea intervențiilor ce s-au aplicat.
Orice experiment pedagogic presupune 3 categorii de variabile: variabile independente, variabile dependente și variabile intermediare.
Variabilele independente sunt modificările ce s-au introdus și care vor in fluența desfășurarea experimentului.
Variabilele dependente sunt alcătuite din totalitatea modificărilor ce s-au produs și care urmează să fie măsurate și aplicate.
Variabilele intermediare sau exclamatorii sunt acelea care mijlocesc relațiile dintre variabilele independente și variabilele dependente constituite din factori sociali și psihici.
Experimentul pedagogic constă în evidențierea unor relații cauzale, funcționale sau de dependență dintre variabilele dependente și cele independente, în vederea ameliorării și perfecționării acțiunii educaționale. De aici rezultă și cele două funcții ale experimentului: una cneosiologică, de cunoaștere a unor relații și aspecte noi privitoare la acțiune a educațională și alta pracsiologică care constă în modificarea acțiunii educaționale, în perfecționarea educativă nemijlocită. În desfășurarea lui experimentul pedagogic trece prin 3 faze:
a) Faza prealabilă intervenției factorului experimental, când se selectează eșantioanele, se testează situația și trăsăturile; altfel spus se înregistrează date privitoare la variabilele implicate înaintea experimentului, ea precizează factorul experimental și se stabilește strategia desfășurării experimentului;
b) Faza administrării factorilor experimentali când eșantionul experimental este supus unei acțiuni deosebite de ceea ce se petrece în eșantionul de control. Este cea mai lungă fază avându-se în vedere că factorul experimental nu poate fi aplicat instantaneu, iar apariția rezultatelor nu este imediată;
c) Faza înregistrării rezultatelor sau a testării variabilelor dependente după intervenția factorului experimental. Pe această bază se stabilesc diferențele dintre cele două eșantioane după ce în prealabil s-au stabilit diferențele în cadrul fiecărui eșantion între cele înregistrate în faza inițială și cele înregistrate după intervenția factorului experimental.
Experimentul se utilizează sub două forme principale: experimentul de laborator și experimentul natural. Consider că cel mai util este experimentul natural care se desfășoară într-o ambianță naturală de viață și activitate.
Metode statistice – metoda testelor
Un loc important în scopul colectării datelor îl ocupă testele.
Testul este constituit dintr-o probă sau o serie de probe elaborate în vederea înregistrării prezenței sau absenței unui fenomen psihic, a unui comportament sau reacție la un stimul dat. Pentru ca aceste probe să răspundă cerințelor unui test trebuie standardizate și etalonate.
Standardizarea constă în precizarea unor reguli și cerințe privitoare la administrarea testului, înregistrarea și evaluare lui cum ar fi: instructajul înainte de administrare, stabilirea modalităților de răspuns și a felului în care se face evaluarea rezultatelor.
Etalonarea constă în elaborarea unei scări considerată ca etalon, la care vor fi apoi raportate rezultatele individuale și în funcție de care se va face măsurarea și evaluarea acestora.
După ce testul a fost elaborat și se aplică unui eșantion cât mai reprezentativ selectat dintre elevii pentru care s-a întocmit testul, pentru ca pe baza lui și a rezultatelor obținute și prelucrate statistic să se întocmească scara etalon.
Standardizarea și etalonarea contribuie la înlăturarea subiectivismelor, în măsurarea și interpretarea rezultatelor individuale, conferind testului calitatea de a fi un instrument de evaluare și pe această bază un instrument de diagnosticare și prognosticare.
Metoda analizei produselor activității școlare
Produsele activității școlare sunt rezultate ale muncii școlarilor desfășurate în cadrul școlii și în afara ei, dar sub îndrumarea pedagogică a profesorului. Cum este firesc toate acestea se caracterizează printr-un randament obiectivat sub diferite forme comportamentale, care oferă prilejul cunoașterii elevilor.
Datele culese cu ajutorul acestei metode sunt supuse analizei pentru desprinderea unor aprecieri și exprimări asupra individualității copilului, a comportamentului său, a preocupărilor și înclinațiilor sale.
De cele mai multe ori datele consemnate sunt corelate cu constatările desprinse în urma aplicării altor metode de cercetare. Sunt introduse în aceste produse ale cercetării tot ceea ce poate reda un rezultat al muncii elevilor.
Cunoașterea tuturor aspectelor de educare prin și pentru matematică constituie principalul sistem de referință în perfecționarea continuă a muncii cu copilul pentru îndeplinirea sarcinilor prevăzute în programa școlară.
Analiza produselor activității se poate efectua prin organizarea unui colț în care sunt expuse lucrările, prin participarea la concursurile școlare a celor mai buni elevi, prin trimiterea de rezolvări de probleme la revistele școlare.
Produsele activității elevilor ne permit să facem previziuni în legătură cu dezvoltarea personalității lor pentru a depista cauzele unor manifestări comportamentale pozitive sau negative și a interveni acolo unde este necesar, cu mult tact pentru a nu leza personalitatea lor.
5.2 STRATEGII DIDACTICE ACTIV-PARTICIPATIVE UTILIZATE ÎN CADRUL ORELOR DE MATEMATICĂ
Reconsiderarea metodelor tradiționale în paralel cu metodele moderne reprezintă o problemă controversată ce alimentează noi discuții și experimentări. În plus, numărul metodelor de învățământ este mare și acest număr sporește atât prin elaborarea unor metode cât și prin importanța pe care o dobândesc unele procedee de predare a anumitor teme, transformându-le astfel în metode.
Metodele de învățământ au anumite caracteristici, între care un rol determinant îl ocupă demersurile teoretico-acționale. Acestea sunt forme exclusive de predare-învățare care asigură desfășurarea și finalizarea cu eficiență a procesului de învățământ îndeplinind funcții normative de genul: ce și cât predăm și învățăm, ce, cât, cum și când să evaluăm cunoștințele contribuind la îndeplinirea obiectivelor didactice. Alte caracteristici ale metodelor de învățământ sunt legate de demersurile de cunoaștere științifică, de documentare și experimental-aplicative, contribuind la dezvoltarea teoriei și practicii pedagogice, îmbinându-se în acest scop cu formele cunoașterii și cu operații logice.
Metodele nu sunt simple practici didactice de aplicare a teoriei pedagogice, ci ele cuprind și dinamizează elemente pedagogice teoretice care asigură fundamentarea științifică a acțiunilor de predare-învățare, contribuind la evoluția teoriei pedagogice.
Metodele de învățământ se elaborează și se aplică în strânsă legătură cu specificul disciplinei de învățământ, cu felul activității didactice, cu nivelul de pregătire al elevilor. Au caracter dinamic în sensul că mențin ceea ce este valoros și elimină ceea ce este uzat moral, fiind astfel deschise înnoirilor și perfecționărilor în pas cu societatea informațională. Totodată ele au un caracter sistemic în sensul că, fără a-și pierde specificitatea, se îmbină, alcătuind un ansamblu metodologic coerent.
Metodele se clasifică în:
Metode care stau sub incidența muncii profesorului: predarea, conversația.
Metode care servesc mai ales munca elevului: învățarea, exercițiul.
Este necesar ca toate metodele, separat sau îmbinat să contribuie la realizarea cu succes atât a predării cât și a învățării. În cadrul orelor de curs, pentru obținerea unor rezultate pozitive în actul predării-învățării, profesorii au obligația să îmbine și să folosească adecvat și creator metodele didactice.
Clasificarea metodelor didactice după profesorul Constantin Cucoș:
din punct de vedere istoric: metode tradiționale clasice (expunerea, conversația, exercițiul), metode moderne (algoritmizarea, problematizarea, instruirea programată);
în funcție de sfera de specialitate: metode generale (expunerea, prelegerea, conversația), metode particulare (exercițiul, exemplul);
după gradul de angajare al elevilor la lecție: metode expozitive sau pasive, centrate pe memoria reproductivă și pe ascultarea pasivă și metode active, care se bazează pe angajarea directă a elevului;
după forma de organizare a muncii: metode individuale, metode de predare-învățare în grupuri, metode frontale, metode combinate;
în funcție de axa de învățare prin receptare (mecanică) – prin descoperire (conștientă): metode de învățare mecanică (expunerea, demonstrația), metode de învățare prin descoperire dirijată (conversația euristică, observația dirijată, instruirea programată, studiul de caz), metode de învățare prin descoperirea propriu-zisă (observația, exercițiul, rezolvarea de probleme).
Pe lângă accentuarea caracterului activ și creator al metodelor moderne se impune ca utilizarea acestora în predarea-învățarea matematicii să asigure o îmbinare judicioasă a muncii independente a elevilor cu activitatea colectivă, metodele și procedeele nu se folosesc izolat ci întotdeauna integrate într-un sistem metodic.
Specific metodelor interactive de grup este faptul că ele promovează interacțiunea dintre mințile participanților, dintre personalitățile lor, ducând la o învățare mai activă și cu rezultate evidente.
Metodele și tehnicile interactive de grup se clasifică, după funcția principală didactică în:
a) Metode de predare –învățare interactivă în grup: metoda predării / învățării reciproce (Reciprocal teaching –Palinscar); metoda “mozaicului” (Jigsaw); metoda “Cascadei”(Cascade); metoda învățării pe grupe mici(“STAD-[anonimizat] Division”); metoda “turnirului între echipe”(“TGT-Teams/Games/Tournaments”); metoda schimbării perechii(“Share-Pair Circles”); metoda “Piramidei”.
b) Metode de fixare și sistematizare a cunoștințelor și de verificare: harta cognitivă/ conceptual; matricile; ”Lanțurile cognitive”; ”Scheletul de pește”; diagrama cauzelor si a efectului; ”Pânza de păianjen”; ”Tehnica florii de nufăr”; ”Cartonașe luminoase”.
c) Metode de rezolvare de probleme prin stimularea creativității: ”Brainstorming”; ”Explozia stelara”; ”Metoda palariilor ganditoare”; ”Caruselul”; ”Multi-voting”; ”Masa rotunda”; interviul de grup; studiul de caz; ”Incidentul critic”; ”Phillips 6/6”; ”Tehnica 6/3/5”; ”Controversa creativa”; ”Tehnica acvariului”; ”Tehnica focus-grup”; ”Patru colțuri”; ”Metoda Frisco”; Sinectica; ”Buzz-groups”; ”Metoda Delphi”
d) Metode de cercetare în grup: tema / proiectul de cercetare în grup; experimentul pe echipe; portofoliul de grup.
Exemple de metode interactive de grup
Metoda “Turul galeriei”
Turul galeriei presupune evaluarea interactivă și profund formativă a produselor realizate de grupuri de elevi.
1. În grupuri de trei sau patru, elevii lucrează întâi la o problemă care se poate materializa într-un produs (o diagramă, de exemplu), pe cât posibil pretându-se la abordări variate.
2. Produsele sunt expuse pe pereții clasei.
3. La semnalul profesorului, grupurile se rotesc prin clasă, pentru a examina și a discuta fiecare produs. Își iau notițe și pot face comentarii pe hârtiile expuse.
4. După turul galeriei, grupurile își reexaminează propriile produse prin comparație cu celelalte și citesc comentariile făcute pe produsul lor.
Aplicarea acestei metode are următoarele avantaje: elevii oferă și primesc feed-back referitor la munca lor; șansa de a compara produsul muncii cu al altor echipe și de a lucra în mod organizat și productiv.
Metoda “Schimbă perechea”
Este o metodă interactiva de lucru în perechi. Elevii au posibilitatea de a lucra cu fiecare dintre membrii colectivului. Stimulează cooperarea în echipă, ajutorul reciproc, înțelegerea și toleranța față de opinia celuilalt.
Etape: Se împarte clasa în două grupe egale ca număr de participanți. Se formează două cercuri concentrice, copiii fiind față în față pe perechi. Profesorul dă o sarcină de lucru. Fiecare pereche discută și apoi comunică ideile. Cercul din exterior se rotește în sensul acelor de ceasornic, realizându-se astfel schimbarea partenerilor în pereche.
Copiii au posibilitatea de a lucra cu fiecare membru al grupei. Fiecare se implică în activitate și își aduce contribuția la rezolvarea sarcinii.
Metoda mozaicului
Metoda mozaicul presupune învățarea prin cooperare la nivelul unui grup și predarea achizițiilor dobândite de către fiecare membru al grupului unui alt grup. Are avantajul că implică toți elevii în activitate și că fiecare dintre ei devine responsabil atât pentru propria învățare, cât și pentru învățarea celorlalți. De aceea, metoda este foarte utilă în motivarea elevilor cu rămâneri în urmă: faptul că se transformă pentru scurt timp, în ‚,profesori” le conferă un ascendent moral asupra colegilor.
Etape: Se împarte clasa în grupe eterogene de 4 elevi, fiecare primind câte o fișă numerotate de la 1 la 4, ce conține părți ale unui material ce urmează a fi înțeles și discutat de către elevi. Elevii sunt regrupați în funcție de numărul fișei primite și încearcă să înțeleagă conținutul informativ de pe fișe și stabilesc modul în care pot preda ceea ce au înțeles colegilor din grupul lor original. Se revine în gruparea inițială și are loc predarea secțiunii pregătite celorlalți membri.
Și în final are loc trecerea în revistă a materialului dat prin predarea orală cu toată clasa, cu toți participanții.
Metoda Brainstorming
Metoda Brainstorming înseamnă formularea a cât mai multe idei oricât de fanteziste ar părea ca răspuns la o situație enunțată, după principiul cantitatea generează calitatea. Obiectivul fundamental constă în exprimarea liberă a opiniilor elevilor așa cum vin ele în mintea lor, indiferent dacă acestea conduc sau nu la rezolvarea problemei.
Etape: Se alege sarcina de lucru, solicitarea exprimării într-un mod cât mai rapid a tuturor ideilor legate de rezolvarea problemei. Se înregistrează pe tablă răspunsurile și se regrupează pe categorii, simboluri, cuvinte cheie, etc. În final are loc selectarea și ordonarea ideilor care conduc la rezolvarea problemei.
Metoda cubului
Este o metodă folosită în cazul în care se dorește explorarea unui subiect, a unei situații din mai multe perspective.
Etape:
1. Se realizează un cub pe ale cărei fețe se notează: descrie, compară, analizează, asociază, aplică, argumentează;
2. Se anunță tema / subiectul pus în discuție;
3. Se împarte grupul în șase subgrupuri, fiecare subgrup rezolvând una dintre cerințele înscrise pe fețele cubului;
4. Se comunică forma finală a scrierii, întregului grup (se pot afișa/ nota pe caiet).
Această metodă are următoarele avantaje: permite diferențierea sarcinilor de învățare, stimulează gândirea logică, sporește eficiența învățării (elevii învață unii de la alții).
Metoda “Ciorchinele”
Ciorchinele este o metodă de brainstorming neliniară care stimulează găsirea conexiunilor dintre idei și care presupune următoarele etape:
1. Se scrie un cuvânt / temă (care urmează a fi cercetat) în mijlocul tablei sau a foii de hârtie;
2. Se notează toate ideile, sintagmele sau cunoștințele care vă vin în minte în legătură cu tema respectivă în jurul acestuia, trăgându-se linii între acestea și cuvântul inițial;
3. Pe măsură ce se scriu cuvinte, idei noi, se trag linii între toate ideile care par a fi conectate;
4. Activitatea se oprește când se epuizează toate ideile sau când s-a atins limita de timp acordată;
Etapele pot fi precedate de brainstorming în grupuri mici sau în perechi. În acest fel se îmbogățesc și se sintetizează cunoștințele. Rezultatele grupurilor se comunică profesorului care le notează la tablă într-un ciorchine fără a le comenta sau judeca. În etapa finală a lecției, ciorchinele poate fi reorganizat utilizându-se anumite concepte supraordonate găsite de elevi sau de profesor.
Aplicarea acestei metode are următoarele avantaje: nu se critică ideile propuse; poate fi utilizată ca metodă liberă sau cu indicare prealabilă a categoriilor de informații așteptate de la elevi.
Metoda “Știu/ Vreau să știu/ Am învățat”
Prin această metodă se trece în revistă ceea ce elevii știu deja despre o anumită temă și apoi se formulează întrebări la care se așteaptă găsirea răspunsului în lecție.
Se constuiește pe tablă un tabel cu următoarele coloane: Știu/ Vreau să știu/ Am învățat (Ogle 1986). În prima rubrică se trec ideile pe care elevii consideră că le dețin despre tema investigată, în cea de-a doua notează ideile despre care au îndoieli, iar în ultima rubrică, după învățarea noilor cunoștințe, inventariază noile idei.
În încheierea lecției elevii revin la schema S/V/I și decid ce au învățat din lecție. Unele dintre întrebările lor s-ar putea să rămână fără răspuns și s-ar putea să apară întrebări noi. În acest caz întrebările pot fi folosite ca punct de plecare pentru investigații ulterioare.
Metoda “Jocul matematic”
Jocul matematic poate fi sub formă de rebus, probleme cu conținut haios, dezlegarea unor puzzle-uri, etc.
Cunoscând locul pe care jocul îl ocupă în viața copilului se înțelege eficiența folosirii lui în procesul instructiv-educativ.
Folosind jocul matematic elevul devine interesat de activitatea pe care o desfășoară, învață de plăcere cu un minim de efort, își reglementează comportamentul, iese din egocentrismul său și învață să colaboreze, elevii timizi devin mai volubili.
5.3 PROIECTARE DIDACTICĂ
PROIECT DIDACTIC
Școala: Liceul Tehnologic Baia de Fier
Profesor: Dungan Cătălin
Clasa: a V-a
Obiectul: Matematica
Unitatea de învățare: Împărțirea numerelor naturale
Tema: Împărțirea cu rest a numerelor naturale
Tipul lecției: Mixtă
Obiective operaționale:
a). cognitive:
La sfârșitul lecției elevul va fi capabil să:
Cunoască termenii unei împărțiri
Efectueze împărțiri cu rest de numere naturale
Verifice corectitudinea unui calcul comparând resturile parțiale cu împărțitorul
Estimeze rezultatul unei împărțiri
b). afective:
Stimularea curiozității si dezvoltarea simțului critic
Dezvoltarea spiritului de observație
Concentrarea afectivă la lecție
Strategii didactice:
Metode si procedee:
Conversația
Expunerea
Explicația
Exercițiul
Activitatea independentă
Mijloace de realizare:
Manualul
Fișe de lucru
Culegere de exerciții si probleme
Forme de organizare:
Frontală si individuală
DESFĂȘURAREA LECȚIEI
FIȘĂ DE LUCRU
Exerciții propuse pentru reactualizarea cunoștințelor învățate.
1.Efectuați:
a) 135:3= ; b) 275:5= ;
c) 1955:17= ; d) 7028:14= .
2.Aflați numărul de trei ori mai mic decât 222.
3.Aflați împărțitorul unei împărțiri știind că deîmpărțitul este 54, iar câtul 9.
Exerciții propuse pentru fixarea noilor cunoștințe.
1. Aflați câtul si restul împărțirilor:
a). 26:5= b). 121:10=
c). 457:12= d). 1235:20=
2. Aflați un număr natural care împărțit la 17 dă catul 23 si restul 11.
3. Aflați numărul natural care împărțit la un număr mai mic decât 43 dă restul 41 și câtul 19.
4. Aflați toate numerele naturale care împărțite la 5 dau catul 12.
5. Suma a două numere naturale este 926. Prin împărțirea numărului mai mare la numărul mai mic se obține câtul 34 si restul 16. Aflați numerele.
6. Se dau numerele 780 si 660. Aflați catul dintre suma și diferența lor.
7. Determinați cel mai mic număr natural care împărțit la 6 să dea restul 5 si împărțit la 5 să dea restul 4.
8. Aratați că nu există numere naturale care împărțite la 12 dau restul 4 și împărțite la 18 dau restul 8.
9. Calculați restul împărțirii numărului 1∙2∙3∙4∙5∙…….∙20+39 prin 35.
10. Determinați suma tuturor numerelor naturale care dau câtul 130 la împărțirea cu7.
PROIECT DIDACTIC
Școala: Liceul Tehnologic Baia de Fier
Profesor: Dungan Cătălin
Clasa: a VI-a
Obiectul: Matematica
Unitatea de învațare: Divizibilitatea numerelor naturale
Tema: Divizibilitatea numerelor naturale
Tipul lecției: Fixare și consolidare a cunoștințelor
Obiective operaționale:
a). cognitive:
La sfârșitul lecției elevul va fi capabil să:
Cunoască noțiunile de divizor și multiplu
Cunoască criteriile de divizibilitate
Descompună numerele în factori primi
Să enumere divizori și multipli ai numerelor naturale
b). afective:
Stimularea curiozității si dezvoltarea simțului critic
Dezvoltarea spiritului de observație
Concentrarea afectivă la lecție
Strategii didactice:
Metode si procedee:
Conversația
Expunerea
Explicația
Exercițiul
Activitatea independentă
Mijloace de realizare:
Manualul
Fișe de lucru
Culegere de exerciții si probleme
Forme de organizare:
Frontală si individuală
DESFĂȘURAREA LECȚIEI
FIȘĂ DE LUCRU
1. Scrieți toate numerele naturale divizibile cu 3, de forma:
a). ; b). ; c). .
2. Determinați mulțimile: D15, M5 , .
3. Descompuneți in factori primi numerele:
a). 24; b). 144; c). 480 .
4. Determinați numerele de forma divizibile cu 15.
5. Arătați că numărul este divizibil cu 37.
6. Determinați astfel încât .
7. Determinați valorile lui x astfel încât:
a). ; b). .
8. Determinați elementele mulțimilor:
, .
9. Arătați că numerele :
a). ; b). sunt divizibile cu 11.
10. Arătați că:
a). ; b). .
11. Scrieți numerele naturale multiplii ai lui 3, care sunt soluții ale inecuației: 2x<26.
12. Aflați numerele naturale x pentru care rezultatul calcului este număr natural.
13. Scrieți elementele mulțimilor: D14, D10 , M5, M3 .
14. Determinați numărul natural x astfel încât: .
PROIECT DIDACTIC
Școala: Liceul Tehnologic Baia de Fier
Profesor: Dungan Catalin
Clasa: a VI-a
Obiectul: Matematica
Unitatea de învațare: Mulțimea numerelor naturale
Tema: Descompunerea numerelor naturale în factori primi
Tipul lecției: Mixtă
Obiective operaționale:
a). cognitive:
La sfârșitul lecției elevul va fi capabil să:
Să exemplifice numere ce se pot descoupune în factori primi
Să determine numărul de divizori folosind descomopunerea
Să cunoască algoritmul de descompunere în factori primi
Să stabilească dacă un număr natural este prim sau compus
b). afective:
Stimularea curiozității si dezvoltarea simțului critic
Dezvoltarea spiritului de observație
Concentrarea afectivă la lecție
Strategii didactice:
Metode si procedee:
Conversația
Expunerea
Explicația
Exercițiul
Activitatea independentă
Mijloace de realizare:
Manualul
Fișe de lucru
Culegere de exerciții si probleme
Forme de organizare:
Frontală si individuală
DESFĂȘURAREA LECȚIEI
TEST DE EVALUARE
Clasa a VI-a
Divizibilitatea numerelor naturale
20p 1. Precizați care din următoarele afirmații sunt adevărate și care sunt false:
a). ;
b). ;
c). ;
d). Dacă și atunci .
20p 2. Determinați mulțimile și .
10p 3. Determinați numerele de forma .
10p 4. Descompuneți în factori primi numerele 54 și 144 .
10p 5. Determinați astfel încât
10p 6. Se consideră mulțimile
și .
Să se calculeze și .
10p 7. Arătați că numărul este divizibil cu 29.
Notă:
Toate subiectele sunt obligatorii
Se acordă 10p din oficiu
Timp de lucru 50 minute
Barem de corectare și de notare
1.
-Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctaj maxim, fie 0 puncte.
-Nu se acordă punctaje intermediare.
5p x 4 =20p
-Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător.
-Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat.
Total 100 de puncte din care 10 puncte din oficiu
Nota finală se obține prin împărțirea punctajului obținut la 10
5.4 PROGRAMA DE OPȚIONAL PENTRU CLASA A VI-A
Proiect de curs opțional
Disciplina: MATEMATICĂ
Durata: un an școlar
Clasa: a VI-a
Ore pe săptămână: 1 oră
Profesor propunător: Dungan Cătălin
Școala:Liceul Tehnologic Baia de Fier
Aria curriculară:
MATEMATICĂ ȘI ȘTIINȚE ALE NATURII
Opțional la nivelul disciplinei
Disciplina implicată – MATEMATICĂ
Denumirea opționalului
„ELEMENTE DE ARITMETICĂ”
ARGUMENT
Opționalul răspunde nevoilor de dezvoltare a personalității elevilor prin formarea de capacități, competențe și atitudini bazate pe gândirea critică, logică, divergentă și creativă.
În alegerea opționalului au fost implicați și părinții, iar conținuturile învățării au fost stabilite în funcție de aptitudinile și interesele elevilor.
Strategia didactică are ca dominantă lucrul în echipă care favorizează comunicarea și asumarea de către elevi a diverselor roluri în cadrul unui grup.
Abordarea opționalului ca activitate de rezolvare a unor contexte problematice variate asigură alternative în învățare și evaluare, ducând la o destindere sănătoasă în urma unor lecții dificile sau pot face obiectul unui studiu individual pentru elevii dotați.
Opționalul îi pregătește pe elevi pentru rezolvarea unor situații problematice din viața cotidiană prin cultivarea perseverenței, încrederii în sine, voinței de a duce la bun sfârșit un lucru început.
COMPETENȚE GENERALE
1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite;
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice;
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete;
4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora;
5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă
6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii;
COMPETENȚE SPECIFICE
CONȚINUTURILE ÎNVĂȚĂRII
Divizor, multiplu
Criteriile de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3, 9
Alte criterii de divizibilitate
Numere pare și numere impare
Numere prime între ele. Teoreme de divizibilitate
Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime
Proprietăți ale relației de divizibilitate
Numărul de divizori al unui număr natural
Divizori comuni a două sau mai multor numere naturale; c.m.m.d.c.
Multipli comuni a două sau mai multor numerenaturale; c.m.m.m.c.
Relația dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.
Probleme deosebite cu multiplii și divizori comuni
Probleme-surpriză care se rezolvă cu ajutorul divizibilității numerelor naturale
Numere gemene
Numere trigemene
Numere perfecte
Numere prietene
Ultima cifră a unei puteri
Pătrate perfecte
Cuburi
Probleme pregătitoare pentru concursurile școlare
SUGESTII METODOLOGICE
Abordarea majoră a referințelor actuale în predarea-învățarea-evaluarea matematicii constă în mutarea accentului de la predarea de informații la formarea unor competențe de aplicare a cunoștințelor dobândite în vederea dezvoltării creativității elevilor. Opționalul de față dorește să fie un adevărat folos elevilor în acest sens, încercând să dezvolte acestora capacitatea de a trece dincolo de simplele bariere de calcul și teoretizări ale matematicii și să îi ajute să descopere că matematica, chiar dacă poate de cele mai multe ori îi „sperie”, se regăsește în tot ceea ce facem, poate chiar și atunci când nu suntem conștienți, pornind de la simplele operații pe care toată lumea le face la magazin și ajungând la operațiile mai complexe din sistemul bancar.
Astfel, este util ca în procesul didactic să avem în vedere:
– construirea unei varietăți de contexte problematice, în măsură să genereze deschideri către diferite domenii ale matematicii, cu care chiar și fără voia noastră fiecare persoană ajunge să intre, mai devreme sau mai târziu, în contact;
– folosirea unor strategii diferite în rezolvarea aceleiași probleme, atunci când este cazul;
– organizarea unor activități variate de învățare pentru elevi, în echipă și/ sau individual, în funcție de nivelul și de ritmul propriu de dezvoltare al fiecăruia, îmbinarea exercițiului de aplicare a proprietăților operațiilor cu exerciții practice, în teren;
– construirea unor secvențe de învățare care să permită activități de explorare/investigare la nivelul noțiunilor de bază studiate.
PLANIFICAREA ANUALĂ LA DISCIPLINA
„ELEMENTE DE ARITMETICĂ”
PLANIFICAREA MATERIEI PE SEMESTRUL I
PLANIFICAREA MATERIEI PE SEMESTRUL al II-lea
VALORI ȘI ATITUDINI
• Dezvoltarea unei gândiri deschise și creative; dezvoltarea inițiativei, independenței în gândire și în acțiune pentru a avea disponibilitate de a aborda sarcini variate;
• Manifestarea tenacității, perseverenței, capacității de concentrare și a atenției distributive;
• Dezvoltarea spiritului de observație;
• Dezvoltarea simțului estetic si critic, a capacității de a aprecia rigoarea, ordinea și eleganța în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii;
• Formarea obișnuinței de a recurge la concepte si metode matematice în abordarea unor situații cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice;
• Formarea motivației pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viața socială și profesională;
Resurse materiale ( M )
Manual;
Instrumente pentru tablă;
Machete, modele matematice;
Corpuri geometrice;
Cretă colorată;
Culegeri de probleme;
Seturi de exerciții create de profesor;
Fișe de lucru;
Instrumente geometrice.
Tipuri de evaluare
Predictivă;
Formativă;
Sumativă.
Metode; instrumente de evaluare ( E )
Tradiționale:
Probe scrise;
Probe orale;
Probe practice.
Complementare:
Observarea sistematică;
Investigația;
Portofoliul;
Tema pentru acasă;
Tema de lucru în clasă;
Autoevaluarea;
Evaluarea pe bază de referate, note matematice, seturi de exerciții prezentate de elevi;
Evaluarea pe baza lucrului suplimentar efectuat de elev.
Resurse procedurale ( P )
Demonstrația matematică;
Explicația;
Expunerea;
Conversația individuală;
Conversația frontală;
Conversația introductivă;
Conversația în cadrul prezentării noului conținut;
Conversația pentru fixarea noilor cunoștințe;
Conversația pentru recapitulare;
Conversația în procesul de evaluare;
Conversația euristică;
Conversația catihetică;
Problematizarea;
Algoritmizarea;
Învățarea prin descoperire inductivă;
Învățarea prin descoperire deductivă;
Învățarea prin descoperire analogică;
Modelarea similară;
Modelarea analogică;
Demonstrarea materialului intuitiv prin desen;
Demonstrarea materialului intuitiv prin planșe;
Exerciții de recunoaștere;
Exerciții aplicative;
Exerciții de fixare;
Exerciții de calcul mintal;
Exerciții de construcții grafice;
Exerciții analizate;
Munca independentă;
Munca cu manualul;
Munca cu alte surse( culegeri, fișe );
Învățarea pe grupe mici;
Jocuri diactice;
Instruirea programată.
Modalități de evaluare:
probele orale, scrise;
autoevaluare;
observarea sistematică a elevilor.
Se va face o evaluare „corectă” dar stimulativă, bazată pe interesul și participarea efectivă la realizarea activităților de învățare.
Bibliografie:
Programa școlară extinsă
Manual școlar
Culegere de probleme „Mate 2000+” clasa a VI-a
www.didactic.ro
CONCLUZII
Prin lucrarea de față am urmărit să perfecționez, să valorific experiența mea la catedră, considerând că misiunea mea ca profesor de matematică este de a trezi interesul elevilor pentru studiul matematicii, a elementelor de aritmetică tratate, prin alegerea celor mai potrivite metode și mijloace de învățământ.
Folosind datele relatate în lucrare se pot rezolva numeroase probleme fără a implica cunoștințe deosebite față de programă, solicitând doar ingeniozitate și creativitate din partea elevilor.
Am tratat în lucrare probleme de aritmetică cu aplicabilitate directă la nivel gimnazial , considerând că acestea sunt semnificative și stimulative pentru elevi, dar și probleme cu grad mai ridicat de dificultate ce pot fi folosite pentru pregătirea examenelor și a concursurilor școlare.
Testul sumativ pe care l-am administrat elevilor din clasa a VI a în cadrul orei de matematică la unitatea de învățare: „Divizibilitate’’ a urmărit realizarea unor deprinderi comportamentale specifice vârstei și activităților matematice precum:
Fixarea și consolidarea noțiunilor de divizor și multiplu
Cunoașterea criteriilor de divizibilitate
Să descompună numere naturale în produs de puteri de numere prime
Să verifice dacă un număr natural este prim sau compus
Să găsească cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun a două sau mai multor numere naturale
Rezolvarea unor probleme folosind divizibilitatea
Rezultatele testului sunt prezentate în diagramele următoare:
Elevii clasei a VI a și-au însușit noțiunile cu ajutorul cărora sunt capabili să rezolve diverse tipuri de exerciții.
Rostul școlii nu este acela de a însuma niște cunoștințe , ci acela de a forma capacități de gândire creatoare, lipsită de prejudecăți.
În demersul didactic, centrul acțiunii devine elevul și nu predarea noțiunilor matematice ca atare. Accentul trece de la "ce să se învețe, la "în ce scop și "cu ce rezultate. Evaluarea se face în termeni calitativi; capată semnificație dimensiuni ale cunoștințelor dobândite, cum ar fi: esențialitate, profunzime, funcționalitate, durabilitate, stabilitate, mobilitate, diversificare, amplificare treptată.
Declarație de autencitate
Subsemnatul (a) …………………………………………………….. având funcția didactică ………………………. la unitatea școlară ……………………..……………………
declar pe propria răspundere că lucrarea cu titlul ……………………………………………
………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………….. având coordonator științific …………………………………………………………………. a fost elaborată personal pe baza studierii bibliografiei de specialitate, a experienței personale și îmi aparține în întregime. De asemenea nu am folosit alte surse decât cele menționate în bibliografie, nu au fost preluate texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări, fără a fi citate și fără a fi precizată sursa preluării, inclusiv în cazul în care sursa o reprezintă alte lucrări ale candidatului.
Data Semnătura candidatului
………………….. ………………………….
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Elemente de Aritmetica In Matematica Preuniversitara (ID: 149780)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.