Electrostatica studiază fenomenele generate de sarcinile electrice aflate în repaos. Sarcina electric ăeste o m ărime fizică scalar ăcare m… [621550]

CURS 7
Capitolul VII. ELECTROSTATICĂ
7.1Sarcina electrică
Electrostatica studiază fenomenele generate de sarcinile electrice
aflate în repaos.
Sarcina electric ăeste o m ărime fizică scalar ăcare m ăsoarăstarea de
electrizare a unui corp. Exist ădouătipuri de sarcini electrice, cea pozitiv ă,
respectiv cea negativ ă. Cantitatea cea mai mică de sarcină este
C e19106 , 1 . Men ționăm faptul că s arcina electrică a protonilor este egală
cu e, iar cea a electronilor este egală cu e.
Sarcina electrică Q cu care se încarcă un corp satisface condiț ia
Q = ne (7.1)
unde n este un număr întreg.
7.2 Legea lui Coulomb
Legea lui Coulomb este o lege experimentală care afirmă că forța de
interacție dintre două sar cini punctiforme acționează de -a lungul dreptei ce
unește cele două sarcini este direct proporțională cu produsul sarcinilor și
invers proporțională cu pătratul distanței dintre ele. Forța coulombiană este
de atrac ție dac ăsarcinile sunt de semne contrare și de respingere dac ăsarcinile
sunt de acela și fel.
Fie două sarcini electrice punctiforme, Q1și Q2, aflate la distanța r
una de cealaltă (f ig.7.1). Forța coulombiană dintre c ele două sarcini electrice
este
rr
rQQF
221
041
 (7.2)
unde 2 2 12
0 10 854. 8 mNC  este o constantă numită permitivitatea
electrică a vidului .
În sistemul internațional s arcina electric ă se măsoară în coulombi (C).
Fig.7.1 Forța coulombiană dintre 2 s arcini electrice punctiforme.

7.3 Câmpul electric
Câmp electric – stare a materiei generat ăîn jurul unei sarcini electrice
care se manifestă prin acțiunea unor forțe de natură electrică asupra oricărei
sarcini electrice introduse în câmp. Sarcinile electrice statice creaz ăcâmpuri
electrostatice .
Pentru descrierea câmpului electric se utilizează două mărimi fizice
importante, intensitatea câmpului electric și poten țialul câmpului electric.
Intensitatea câmpului electric -este o mărime fizică vectorială
definit ăcu ajutorul relației
qFE
 (7.3)
unde F= forța cu care câmpul electric acționează asupra sarcinii electrice q
introduse în câmp. Pentru câmpul electrostatic generat de sarcina electric ăQ
în care se introduce sarcina electric ăde prob ăq, intensitatea câmpului în
punctul unde este plasat ăsarcina de prob ăeste (conform (7.1) și (7.2))
rr
rQE
2
04(7.4)
unde F
= for ța coulombian ădintre sarcinile Qși q. Vectorul E
are modulul
dat de expresia
2
04rQE
(7.5)
Reprezentarea grafică a câmpurilor electrice se face utilizând liniile de
câmp. Liniile de câmp = curbele la care vectorul intensitate câmp electric
este tangent în fiecare punct; sensul unei linii de câmp este acela al vectorului
intensitate câmp electric.
Pentru sarcinile punctiforme, atât liniile de câmp cât și vectorii
intensitatea câmpului electric au o orientare radială cu sensul spre exterior,
dacă sarcinile electrice sunt pozitive (fig.7.2a), respectiv spre interior (spre
sarcin ă), dacă sarcinile electrice sunt negative (fig. 7.2b). Liniile de câmp ce
descriu câmpul creat de o sarcin ă electric ă pozitiv ă și una negativ ă sunt
îndreptate de la sarcina pozitiv ă spre cea negativ ă.

a b
c
Fig.7.2 Descrierea câmpul electric cu ajutorul liniilor de câmp – câmpul electric
generat de: 1. sarcini electrice punctiforme (a, b); 2. de un dipol electric (c).
7.4 Lucrul mecanic în câmp electric
Fie câmpul electric generat de sarcina Q. În acest câmp se deplasează o
sarcină q, de același semn cu sarcina Q, de-a lungul unui drum oarecare, de la
punctul 1la punctul 2. Lucrul mecanic efectuat de câmp asupra sarcinii qîn
timpul deplas ării la punctul 1la 2se calculeaz ăcu formula (2.34) cunoscut ă
din mecanic ăîn care for ța care produce lucrul mecanic este o for ță
coulombian ă(7.2)



  
2 1 02
011
4 42
12
1rrQqdrrQqr dF Lr
rr
r 
(7.6)
unde 1r, 2r= modulele vectorilor de pozi ție ai punctelor 1și 2. Relația (7.6 )
aratăcălucrul mecanic nu depinde de drum ceea ce ne indic ăfaptul c ăun
câmp electrostatic este un câmp conservativ.
7.5Potențialul câmpului electric
Dacă ținem cont de formula (7.3), lucrul mecanic efectuat de câmpul
electric asupra sarcinii qcare se deplasează de -a lungul unei curbe în acest
câmp (7.6) poate fi exprimat ca
2
12
12
1r
rr
rr
rr dEqr dEq r dF L
(7.7)
Diferența de potențial (între două puncte ale unui câmp electric ) =
lucrul mecanic efectuat de câmp asupra unității de sarcină electrică de probă
q pentru deplasarea acesteia între cele două puncte , adic ă




  
2 1 02 111
4 qV2
1rrQr dELVVr
r
(7.8)
unde am ținut cont de relați a (7.7).
Poten țialul câmpului electric într-un punct al acestuia este o m ărime
fizică scalară definit ăca lucrul mecani c necesar deplasării unității de sarcină
electrică de probă din acel punct până la infinit. Astfel, dac ăîn rela ția (7.8)
presupunem ca punctul 2este plasat la infinit ( 2r )și potenț ialul s ău este
02V , rezult ă
rQV
04 (7.9)
care exprim ăpoten țialul câmpului electric în punctul 1. Deoarece punctul 1
este un punct oarecare al câmpului electric putem renun ța la scrierea indicelui
la poten țial și la vectorul de poziț ie. Rela ția (7.9) permite aflarea valorii
poten țialululi electric al câmpului generat de sarcina punctiform ăQîntr-un
punct aflat la distan ța rde sarcina Q.
Unitatea de m ăsurăpentru poten țialul electric este voltul (CJV1 1 ).
Săconsider ăm un câmp electric uniform ( E
constant ), spre exemplu,
câmpul electric produs între pl ăcile unui condensator cu fe țe plan-paralele;
este descris de linii de câmp paralele și echidistante (Fig.7.3).
Fig.7.3 Câmpul electric uniform.
Fie două puncte, 1și 2, situate în acest câmp electric. D iferența de
potențial între punctele 1și 2este (conform (7.8))

2
12
11 2V l dE l dE V
(7.10)
unde l d
este elementul infinit mic al curbei de- a lungul căreia se calculează
integrala.
Deoarece deplasarea are loc într-un câmp conservativ, pentru calculul
diferen ței de poten țial putem folosi orice drum între punctele 1și 2. Vom
alege deplasarea pe traseul 1→3→2 (vezi fig.7.3)
' V3
12
32
11 2 dEdE l dEl dE l dE V
  (7.11)
În rela ția (7.11) ultimul termen se anuleaz ădeoarece el reprezint ă
produsul scalar a doi vectori perpendiculari. Astfel, diferența de potențial
dintre punctele 1și 2devine
Ed V V 1 3 1 2 V V (7.12)
Punctele 2și 3, aflate într-un plan perpendicular pe liniile de câmp, au
acela și potențial, 2 3V V.
Suprafață echipotențială – locul geometric al punctelor aflate la
același potenț ial.
Dacăîn relația (7.12 ) consider ăm punctul 2(unde se afl ăplasat ă
sarcina ce produce câmpul) un punct oarecare al câ mpului electric și punctul 1
un punct aflat la mare distanță de 2(V2→0), ea devine
Ed V (7.13)
de unde
dVE (7.14)
În cazul cel mai general
V gradVrddVE 
(7.15)
7.6Distribuții de sarcini electrice
Presupunem c ăstudiem acum efectele unei distribu ții de sarcini
electrice punctiforme Qi, în care introducem sarcina electric ăde prob ăq. Forța
totală exercit ată asupra sarcinii qde către sarcinile Qise ob ține însumând
forțel e exercitate de Qiasupra q

i
i ii
ii r
rqQF F 
   3
041
(7.16)
unde ir= vectorul de poziție al sarcinilor Qifață de sarcina q.
Distribuția de sarcini electrice punctiforme Qiva genera un câmp
electric. Intensitatea câmpului creat într-un punct oarecare Pde distribuția de
sarcini electrice punctiforme Qieste dată de relația
 
ii i
i ii
P E r
rQE 
3
041
(7.17)
unde ir= vectorul de poziție al punctului Pfață de sarcina electricăiQ.
Expresia (7.1 7) ne arată că in tensitatea câmpului electric în punctul Peste
egală cu suma intensităților câmpurilor electrice datorate fiecărei sarcini iqîn
parte.
Poten țialul câmpului electric generat de distribu ția de sarcini electrice
punctiforme în punctul Peste dat de rela ția

i ii
PrQV
04(7.18)
unde am folosit rela ția (7.9). Rela ția (7.18) arat ăcăpoten țialul electric în
punctul P este egal cu suma poten țialelor create de sarcinile Qiîn acel punct.
Săobserv ăm faptul c ăpentru un observator plasat într-un punct foarte
îndep ărtat de distribu ția de sarcini electrice, sarcinile acestei distribu ții nu vor
mai fi percepute ca având un caracter discontinuu ci ca și cum ar constitui o
entitate cu o distribu ție continu ă.
Distribuția continuă de sarci ni electrice –o distribuție de sarcini
electrice în care distanțele dintre sarcinile electrice sunt mult mai mici decât
distanța de la aceasta la punctul din care este studiată aceasta (spre exemplu,
punctul în care trebuie calculată intensitatea câmpului electric creat de
distribuția de sarcini studiată).
Pentru caracterizarea unei distribu ții continui de sarcini electrice se
folosesc no țiunile:
-Densitatea de sarcină electrică , , definită ca sarcina electrică a
unității de volum. Un element de volum infinit mic, dV, cu densitatea de
sarcină electrică este încărcat cu sarcina electrică
dV dQ (7.19)
Prin element de volum infinit mic se înțelege un element de volum foar te mic
la scară macroscopică, dar suficient de mare la scară microscopică, astfel încât
să conțină mulți atomi și molecule. Dimensiunea mică a elementului de volum
infinit mic nu se definește conform criteriilor matematice ci în raport de
respectarea unei cerințe cu conținut fizic. Astfel, spre exemplu, elementul de

volum infinit mic din relația (7.1 9) trebuie să fie atât de mic încât în interiorul
său să fie respectată condiția ca densitatea de sarcină electrică să fie constantă.
-Densitatea superficială de sarcină , ; se utilizează în situația în
care sarcina este distribuită pe o suprafață și se definește ca sarcina electrică a
unității de suprafață. Sarcina electrică de pe suprafața elementară dSeste dată
de relația dS dQ .
-Densitatea liniară de sarcină electrică , λ, care permite exprimarea
sarcinii electrice distribuite pe un obiect filiform de lungime infinit mică dlcu
ajutorul relației dl dQ .
Pentru a evalua câmpul electric creat de o asemenea distribuție
continuă de sarcină electrică utilizăm următorul procedeu: divizăm distribuția
de sarcină în elemente de volum infinit mici, fiecare conținând sarcina
electrică infinit mică dQ. Câmpul produs în punctul Pde sarcina elec trică a
unui asemenea din elementul va fi (conform (7.4))
rr
rdQEdP
2
041(7.20)
unde am considerat c ăsarcina electric ădQeste atât de mic ăîncât poate fi
considerat ăo sarcin ăelectric ăpunctiform ă.
Intensitatea totală în punctul Pse obține însumând contribuțiile tuturor
sarcinilor electrice dQ, adică integrând relația (7.20 ) pe tot volumul considerat

VPrr
rdQE
2
041
(7.21)
Cu ajutorul relației (7.1 9) avem
dVrr
rrE
VP
2
0)(
41
(7.22)
unde, dacă cunoaștem funcția )(rQQ , putem calcula integrala (7.22).
Pentru un câmp electric creat de o distribu ție continuă superficială de
sarcină elec trică, intensitatea c âmpului într-un punct Paflat la mare distanță
față de distribuția de sarcină se va calcula cu relația
dSrr
rrE
S
2
0)(
41
(7.23)
unde reprezintă densitatea superficială de sarcină electrică.

Pe baza rela ției (7.18) putem exprima poten țialul câmpului electric
generat de distribu ția continu ăde sarcini electrice în punctul Pca fiind
dVrrdVrdQV
V V  2
02
0)(
41
41
 (7.24)
unde dV=elementul de volum infinit mic.
7.7 Legea lui Gauss
O mărime importantă în studiul câmpului electric este fluxul câmpului
electric . Considerăm un câmp electric uniform de intensitate E
ce strabate o
suprafață plană S, perpendiculară pe liniile de c âmp (vectorul normal la
suprafață ,n, este paralel cu E
) (fig.7.4).
Fig.7.4 Fluxul câmpului electric uniform printr-o suprafa țăSnormal ăla
câmp.
Fluxul câmpului electric prin suprafața S este dat de rela ția
ES (7.25)
Fie suprafa ța Seste înclinat ăfațăde liniile câmpului electric astfel c ă
normala la suprafa ță face unghiul α cu liniile de c âmp (fig.7.5).
Fig.7.5 Fluxul câmpului electric uniform printr-o suprafa țăSînclinata fa țăde
liniile de câmp.
În acest caz fluxul câmpului electric prin suprafa ța Svafi
cosESSnESE 
(7.26)
Produsul Scosα din relați a (7.25 ) reprezintă proiecția suprafeței Sîn planul
normal la liniile câmpului electric. Astfel, utilizarea produsului scalar între EnESn
S

vectorii E
și S
asigură respectarea condițiilor definiției fluxului de la cazul
precedent.
Fie acum cazul cel mai general, cel al unui câmp electric neuniform și
al unei suprafe țe de form ă și orientare oarecare fa țăde liniile câmpului electric
(fig.7.6).
Fig.7.6 Fluxul liniilor câmpului electric printr-o suprafa ță elementar ădS.
Pentru a calcula fluxul câmpului electric vom folosi rezultatul ob ținut
pentru cazul precedent. Astfel, împ ărțim suprafa ța Sîn elemente de suprafață
infinit mici, S d
. Aria elementului de suprafa ță trebuie să fie atâ t de mică încât
să fie respectată cerința ca pentru aria respectivă c âmpul să poată fi considerat
uniform. Vectorul normal la elementul suprafa ță este n(fig.7.6 ). Dacă prin
suprafața elementară S d
valoarea intensit ății câmpului electric este
. constE
, atunci fluxul care trece prin aceast ăsuprafa țăva fi
cosdSE dSnES dE d 
(7.27)
Fluxul prin suprafața macroscopică Sse obține însumând (integrând)
fluxurile prin toate elementele de suprafa țăinfinit mici, S d
,ce alc ătuiesc
suprafa ța S
SdE
S
(7.28)
Fie o sarcină electric ăpunctiform ăqplasat ăîn centrul unei sfere.
Conform (7.5), modulul intensității câmpului electric pentru orice punct de pe
suprafață de raza Ra sferei este
2
04RqE (7.29)
iar fluxul câmpului electric prin suprafața sferei va fi En
dS


S S SdSE dSnE SdE
(7.30)
unde am ținut cont c ăvectorul E
, fiind radial, este perpendicular în fiecare
punct la suprafa ța sferei. Mai departe, ținând cont c ăE = constant pe suprafa ța
sferei, avem
02
2
044 qRRqdSEdSE
S S(7.31)
Gauss a fost cel care a observat c ăacest rezultat poate fi generalizat
pentru o suprafa țăînchis ăde form ăoarecare și a formulat legea lui Gauss
care afirm ă că fluxul liniilor câmpului electric printr- o suprafață închis ăde
form ăoarecare este egal cu raportul dintre sarcina electric ădin interiorul
suprafe ței și permetivitatea electric ăa mediului
0int
qSdE
S
(7.32)
Importanța legii lui Gauss va fi relevată prin prezentarea unor aplicații
în cele ce urmează.
7.8 Conductori în echilibru electrostatic
Material conductor = un material a c ărui p roprietatea esențială este
conferită de mobilitatea sarcinilor electrice din interiorul său. În cele ce
urmează dorim să analizăm modul în care se distribuie sarcina electrică a unui
conductor. În acest sens vom discuta trei afirmații importante privind această
problema.
1. Sarcina electric ănetăeste repartizat ăîn întregime pe suprafa ța
conductorilor și nu în interiorul lor, Q=Q suprafaț a.Aceasta se datorează faptului
că sarcinile electrice plasate eventual în interiorul unui corp se resping, se
depărtează la distanța maximă posibilă și se plasează în final la suprafa ța
acestuia intr-o stare de echilibru electrostatic. Dup ăce sarcinile respective
ajung la echilibru, potențialul electric la suprafața obiectului va fi constant.
2. Pentru un conductor aflat în echilibru electrostatic câmpul electric
în interiorul conductorului este egal cu zero, iar potențialul este constant,
0interiorE
și t cons eriorVtan int . Aceasta se întâ mplă deoarece în interiorul
corpului nu există sarcini electrice.
3. La suprafața conductorilor în echilibru electrostatic câmpul electric
este orientat totdeauna normal la suprafaț a, iar suprafața conductorilor este o

suprafață echipotențială, rafataEsup
//S
. Dacă intensitatea câmpului electric nu
ar fi normală la suprafața conductorului, atunci ar exista o componentă
tangențială a câmpului electric. Cum sarcina de pe obiect este dispusă pe
suprafața conductorului ar rezulta că această sarcină ar fi pusă în mișcare și
conductorul nu ar mai fi în echilibru electrostatic.
Calcul ămîn cele ce urmeaz ăvaloarea câm pului electric la suprafața
conductorilor cunoscând densitatea superficială de sarcină . Se consideră o
suprafață foarte mică S a unui cilindru cu o bază aflată în interiorul
conductorului iar o alta în afară acestuia. Bazele se aleg suficient de mici
pentru ca pe întreaga lor arie câmpul electric să fie normal la suprafaț a
conductorului și să fie constant. Se aplică legea lui Gauss pentru ace st cilindru
și se observ ăcănumai integrala pe aria bazei exterioare a cilindrului, bazaS ,
va aduce o contribu ție diferit ăde zero la fluxul câmpului (în interiorul
conductorului 0E
, iar pe fe țele laterale nE
). Atunci
0qSE dSE EdS S dE S dEbaza
S S S Sbaza baza baza  
   
(7.33)
unde q= sarcina electrica din interiorul elementului de volum (cilindrului)
considerat. Deoarece sarcina totală din interiorul suprafeței considerate este
q=bazaS , intensitatea câmpului electric la suprafața conductorului va fi
0E (7.34)
7.9 Dipolul electric
Dipolul electric este un sistem de două sarcini electrice punctiforme de
mărimi egale și semne contrare, aflate la distanța d
una față de cealaltă
(fig.7.7). El este caracterizat cu ajutorul momentului electric dipolar definit
prin rela ția
dqp (7.35)
Momentul electric dipolar este un vector orientat dinspre sarcina electric ă
negativ ăspre cea pozitiv ă(invers fa ță de sensul liniilor câmpului electric).
Potențialul creat de dipol ulelectric la o distanță mult mai mare decât
distanța dintre sarcinile sale, d r , (fig.7.7) este
1 21 2
0 1 2 0 411
4 rrrr q
r rqV


  (7.36)

Fig.7.8 Dipol electric.
Deoarece s- a presupus că l r
2
2 11 2 cos
rrrdrr
 
(7.37)
iar potențialul devine
2
04cos
rqdV (7.38)
Observăm că produsul   cos cos qdr prrp  , astfel că potențialul
electric al dipolului se poate scrie
3
04 rrpV
 (7.39)
Intensitatea c âmpul electric creat de această distribuție de sarcină
electric ăse poate calcula cu ajutorul relați ei (7.15) dintre intensitatea și
potențialul câmpului electric



3
03
0 41
4 rrp
rrpV E 
 (7.40)
Observăm că
 rpr rrprrp  




3 3 31 1(7.41)
Deoarece momentul de dipol este un vector constant


5 33 1
rr
rp rp




(7.42)
Așadar , intensitatea câmpului creat de un dipol electric la o distan ță
mult mai mare decât cea dintre sarcinile sale este

5
03
0 43
4 rrrp
rpE   (7.43)
7.10 Dipolul în câmp electric
Dacă introducem un dipol într -un câmp electrostatic E
(fig.7.9),
asupra fiec ărei sarcini electrice a dipolului va ac ționa câte o for ță, rezultanta
acestora fiind
   E Eq F FF
(7.44)
unde ) (drE E
 și )(rE E
 sunt intensitățile câmpului în punctele în
care este plasată sarcina pozitivă, respectiv sarcina negativă. Forța rezultantă
poate fi scrisă deci
rEqdrEqF
 (7.45)
sau
    
  krEdrEqjrEdrEqirEdrEqF
z zy y x x

(7.46)
Fig.7.9 Dipolul electric în câmp electrostatic uniform.

Dar


z zz
yz
xz
z zy zy
yy
xy
y yx zx
yx
xx
x x
Ed dzEdyEdxErEdrEEd dzEdyEdxErEdrEEd dzEdyEdxErEdrE

   
(7.47)
Astfel
 Ep EdqkEdqjEdqiEdqFz y x
 (7.48)
Dacă dipolul se află într -un câmp electrostatic uniform, rezultanta
forței ce acț ioneaz ăasupra sa este nul ă(numai în câmpuri electrice neomogene
forța rezultantă este diferit ăde zero). În schimb, în câmpul electric omogen
asupra dipolului acționează un cuplu de for țe caracterizat de un moment al
forțelor în raport cu centrul dipolului
EpEql M
 (7.49)
Când dipolul este orientat de-a lungul liniilor de câmp adic ăatunci
când vectorii pși E
au aceia și direc ție cuplul se anuleaz ă. Aceast ăpoziție
corespunde energiei poten țiale minime a dipolului în câmp electric.
Calculul energiei poten țiale a dipolului în câmp electric se face pornind
de la faptul c ălucrul mecanic efectuat la rota ția dipolului cu un unghi deste
egal cu varia ția energiei sale poten țiale
Md dL dEp  (7.50)
sau
d pE dEp  sin (7.51)
de unde prin integrare rez ultă
Ep pE Ep  cos (7.52)
Poziția de zero a energiei potențiale se alege pentru 2 , adică
atunci când dipolul este perpendicular pe liniile de câmp. În acest caz cele
două sarcini ale dipolului se află în același plan ech ipoten țial.

7.11 Dielectrici în câmp electric
Dielectricii (sau izolatorii) sunt medii în care nu apare curent electric
în prezen ța unui câmp electric extern. Cu toate acestea dielectricii î și modific ă
starea electrică sub ac țiunea câmpurilor electrice. Astfel, proprietatea electric ă
fundamental ăa dielectricilor o constituie apari ția efectului de polarizare sub
acțiunea câmpului electric. Aceasta se datoreaz ăorient ării dipolilor din
dielectrici sub ac țiunea câmpului electric, fenomen numit polarizare . Exist ă
trei mecanisme prin care un dielectric se poate polariza:
a)Polarizarea electronică se datoreaz ăelectronilor din dielectricii
alcătuiți din moleculele simetrice (sau atomi, ioni simetrici), în care centrul
sarcinilor pozitive coincide cu centrul sarc inilor negative. În prezența unui
câmp electric are loc o deplasare relativ ăa centrului sarcinilor negative
(electronii) față de nucleu astfel încât întreg ansamblul atomic sau ionic se
manifest ăca un dipol electric. Polarizarea electronic ănu depinde de agita ția
termic ă. Săobserv ăm faptul c ăîn dielectricii cu molecule simetrice (atomi,
ioni simetrici) nu exist ădipoli electrici permanen ți, ei fiind indu și prin
acțiunea câmpului electric.
b) Polarizarea de orientare dipolară este prezent ăîn dielectricii
constitui ți din molecule nesimetrice (molecule polare) în care centrul
sarcinilor pozitive nu coincide cu centrul sarcinilor negative, deci în care
există dipoli electrici permanenț i. Un exemplu în acest sens îl constituie oxidul
de carbon în care moleculele posed ăun moment dipolar permanent. Din cauza
agitației termice dipolii sunt orientați haotic. În prezența unui câmp electric ei
tind să se ordoneze orientându-se în direc ția acestuia.
c) Polarizarea ionică apare prin deplasarea ionilor din pozițiile de
echilibru sub ac țiunea unui câmp electric. Este caracteristic ăcristalelor ionice.
Este evident faptul c ătoate substan țele prezint ăpolarizare electronic ă.
În plus, u nele substanțe prezintă și polarizare ionică sau polarizare de
orientare.
Observăm faptul că mecanismele responsabile pentru realizarea
procesului de polarizare electrică acționează la scară atomică. În cele ce
urmeză, vom utiliza denumirea de dipoli elementari pentru dipolii ce apar la
nivelul atomilor.
Fie un dielectric ce conține N dipoli electrici elementari pe unitatea de
volum, fiecare având momentul dipolar electric p. Pentru simplitate vom
neglija interac țiunea dintre momentele de dipol precum și câmpul electric
produs de ace știa. Momentul de dipol asociat unui element de volum infinit
mic dveste Ndvp, unde produsul Npse nume ște densitate de polarizare , P
.
Datorit ăalinierii dipolilor elementari în câ mp electric, la suprafața
dipolului produce o acumulare de sarcin ăelectric ă. Vom încerca să asociem
momentele de dipol cu densitatea de sarcină de la suprafața dielectricului.

Pentru aceasta se consideră un element de volum de dielectric, de form ă
paralelipipedic ă, cu suprafa ța bazei dxdy șigrosimea d(Fig.7.10).
Presupunând dielectricul omogen și izotrop, direc ția vectorului de polarizare
generat de elementul de volum de dielectric va coincide cu direc ția câmpului
electric.
Fig.7.10 Câmp electric creat de un element de volum dintr-un dielectric polarizat.
Fie acum un element de volum volum infinitezimal, dxdydz d , din
paralelipipedul considerat. Conform celor afirmate anterior, acesta va avea un
moment dipolar electric
dxdydzP dvP
 (7.53)
iar poten țialul creat de acesta în punctul A(situat suficient de dep ărtat) este
2
04cos
rPdxdydzdV
 (7.54)
Notând dxdy dS și integrând în raport cu zse obține



     
2 1 02
02
011
4 4cos
42
12
1rrPdS
rdr PdS
rdz PdSVr
rz
zA 
(7.55)
Rezultatul obținut este echivalent cu expresia poten țialului creat de
douăsarcini punctiforme egale și de semn contrar având valoarea PdS, cu
sarcina +PdS situat ăun cap ăt al paralelipipedului (la distan ța 1rfațăde
punctul A) și sarcina -PdS situat ăla cel ălalt cap ăt al acestuia (la distan ța 2r
fațăde punctul A). Să observăm că Pjoacă rolul unei densități superficiale de
sarcină electrică.
O plac ădielectric ăintrodus ăîntre pl ăcile unui condensator plan poate
fi descompus ăîn elemente de volum paralelipipedice de tipul prezentat

anterior. În consecin ță, pe suprafa ța plăcii vor apare dou ădistribu ții de sarcini
electrice plan paralele, având densit ățile electrice superficiale P și
P .
DacăP
nu este perpendicular pe suprafa ța dielectricului, densitatea de
sarcin ăde pe suprafa ța acestuia este egal ăcu componenta normal ăa densit ății
de polarizare
  cosP Pn (7.56)
unde θ este unghiul dintre P
și normala la suprafață.
7.12. Capacitatea condensatorului
Fie un condensator cu fe țe plan paralele (Fig.7.11). Introducem între
plăcile condensatorului o placă de material dielectric. Sarcinile electrice
induse prin polarizare la suprafa ța dielectricului produc un câmp electric
macroscopic în interiorul materialului. Acesta se numește câmp de
depolarizare deoarece el este de sens contrar câmpului electric exterior.
Apariția câmpului de depolarizare produce creșterea capacit ății
condensatorului.
Fie Ssuprafa ța arm ăturilor condensatorului, ddistan ța dintre plăcile
sale și densitatea de sarcin ă electrică de pe plăci. Aplicând legea lui Gauss
pentru una dintre pl ăcile condensatorului rezultă

P ESP ES


001
(7.57)
de unde
P E0 (7.58)
Fig.7.11 Condensator plan cu dielectric între pl ăci.
Capacitatea condensatorului cu dielectric este

UqC (7.59)
unde qreprezint ăsarcina electric ăde pe pl ăcile condensatorului iar U
reprezint ădiferen ța de poten țial dintre pl ăci. Tinând cont de rela ția (7.58)
putem scrie mai departe
oCEP
dS
EPCdS
EP E
EdSC







00
00
1 1

(7.60)
Aici
dSCo0 (7.61)
reprezint ăcapacitatea condensatorului în absen ța dielectricului. Factorul rcu
care c rește capacitatea c ondensatorului la introducerea dielectricului între pl ăci
se nume ște permitivitatea electric ărelativ ă a dielectricului
EP
CC
or
01  (7.62)
Menționăm faptul c ărdepinde numai de natura dielectriculu i nu ș i de
dimensiunile acestuia. Din r elație (7.62) se exprim ădensitatea de polarizare
E Pr 01 (7.63)
care poate fi scris ă
E P (7.64)
unde
0) 1 (r (7.65)
se nume ște susceptibilitatea electri căa dielectricului.
7.13 Energia câmpului electrostatic
Orice câmp electrostatic posed ăo energie deoarece existen ța sa
depinde de realizarea distribu ției de sarcini electrice care genereaz ă câmpul.
Fie cazul simplu al câmpului electrostatic dintre pl ăcile condensatorului plan.
Presupunem c ăam realizat acest câmp deplasând sarcini electrice
infinitezimale dqde pe o plac ăpe cealalt ăa condensatorului. Aceste sarcini
electrice trebuie să fie suficient de mici încât la deplasarea lor diferen ța de

poten țial dintre plăcile condensatorului să rămânăneschimbat ă. La deplasarea
sarcinii electrice infinitezimale dqvariatia energiei condensatorului va fi
Udq dL dW (7.66)
Energia total ăînmagazinat ăîn câmpul electric al condensatorului se va afla
însumând toate cantit ățile de sarcin ăelectric ădqpânăla înc ărcarea pl ăcilor
condensatorului cu sarcina q. Aceasta se realizeaz ăintegrând rela ția (7.66)
ceea ce conduce la
CqqdqCdqCqUdq Wq q q
212
0 0 0 (7.67)
unde am folosit relați a (7.59). Rela ția (7.67) se mai poate scrie
VE CUW2 22
02 (7.68)
unde am folosit (7.14) și (7.61), respectiv am ț inut cont c ă SdV este
volumul dintre pl ăcile condensatorului. De aici
w22
0E(7.69
reprezintă densitatea de energie a câmpului electrostatic dintre plăc ile
condensatorului. Relația (7.69 ) nu mai depinde de parametri geometrici ai
condensatorului fiind valabilă pentru orice c âmp electrostatic. O demonstrație
mai riguroasă a acestei formule este prezentată în anexa 7A.