Editura Universit ății din Oradea – 2016 – MECANICA VOL I STATICA 2 Referenți științifici ai primei editii: Prof.dr.doc.ing.ANDREI RIPIANU Membru… [622105]
PRICHICI MARIANA ADRIANA
Editura Universit ății din Oradea
– 2016 –
MECANICA
VOL I STATICA
2
Referenți științifici ai primei editii:
Prof.dr.doc.ing.ANDREI RIPIANU
Membru corespondent al ACADEMIEI TEHNICE
Prof.dr.ing.GAVRIL ROȘCA
Referenți științifici ai editiei a II -a:
Prof.dr.ing.ALEXANDRU RUS
Prof.dr.ing.ALEXANDRU PELE
3
Cuprins
Introducere Pag.
11
Modu lul 1: INTRODUCERE. OBIECTUL MECANICII
Obiective educaționale
Cuvinte cheie 13
13
13
1.1. Obiectul “mecanicii “ 14
1.2. Model ele mecanicii newtoniene 16
1.3. NoȚiuni fundamentale 17
1.4.principiile si diviziunile mecanicii newtoniene 18
1.5 legĂtura “ mecanicii “cu alte discipline 19
Subiecte pentru autoevaluare 22
Întrebări de autoevaluare 22
Teste grilă pentru autoevaluare 24
Subiecte pentru evaluare și control 26
Întrebări de evaluare
Teste grilă
Rezumatul acestui Modulul
Bibliografie obligatorie
Bibliografie
26
27
29
30
30
Modulul 2 STATICA PUNCTULUI MATERIAL
2.1. Definiții
2.2. Problemele staticii
2.3. Reducerea sistemelor de for țe concurente
2.3.1. Reducerea sistemelor de for țe concurente pe ca le grafic ă
Cazuri particulare
Subiecte pentru autoeva luare
Întrebări de autoevaluare
Teste grilă pentru autoevaluare
Subiecte pentru evaluare și control
Întrebări de evaluare
Teste g rilă
Rezumatul acestui Modulul
Bibliografie obligatorie
Bibliografie 31
31
33
34
34
35
41
41
43
46
46
47
49
49
50
Modulul 3: ECHILIBRUL PUNCTULUI MATERIAL
Obiective educaționale
Cuvinte cheie 51
51
51
3.1. Grade de libertate 52
3.2. Echilibrul punctului material liber 53
3.3. Echilibrul punctului material supus la leg Ături
3.3.1 . Clasificarea leg Ăturilor 55
56
Subiecte pentru autoevaluare
Întrebări de autoevaluare
Teste grilă pentru autoevaluare 57
57
59
4
Subiecte pentru evaluare și control
Întrebări de evaluare
Teste grilă
Rezumatul acestui Modul
Bibliografie obli gatorie
Bibliografie
62
62
63
65
65
66
Modulul 4: ECHILIBRUL PUNCTULUI MATERIAL SUPUS LA
LEG ĂTURI IDEALE
Obiective educaționale
Cuvinte cheie
67
67
67
4.1. Cazul p unctului material ce sprijină pe o suprafață
4.2 Cazul punctului material ce sprijina pe o curba
4.3. Echilibrul punctului material cu legături reale 68
71
73
Subiecte pentru autoevaluare
Întrebări de autoevaluare
Teste grilă pentru autoevaluare
Subiecte pentru evaluare și control
Întrebări de evaluare
Teste grilă
Rezumatul acestui Modul
Bibliografie obligatorie
Bibliografie
76
76
78
79
79
82
85
85
86
Modulul 5: ECHILIBRUL PUNCTULUI MATERIAL CU LEG ĂTURI
REALE
Obiective educaționale
Cuvinte cheie
87
87
87
5.1 cazul punctului material ce sprijina pe o suprafata aspra (cu frecare)
5.2 cazul punctului material ce sprijina pe o curba aspra ( cu frecare) 88
90
Subiecte pentru autoevaluare
Întrebări de autoevaluare
Teste grilă pentru a utoevaluare
Subiecte pentru evaluare și control
Întrebări de evaluare
Teste grilă
Rezumatul acestui Modul
Bibliografie obligatorie
Bibliografie
93
93
95
97
97
99
101
101
102
Modulul 6: STATICA SOLIDULUI RIGID
Obiective educaționale
Cuvinte cheie
6.1. Operatii de echivalenta
6.2. Momentul unei for țe
6.2.1 . Momentul unei forte În raport cu un punct
6.3. Momentul unei for țe situat ă În planul x Oy
6.4. Momentul unei for țe În raport cu o ax ă
6.5 Cupluri de for țe
6.6. Reducerea cuplurilor de for țe 103
103
103
104
105
105
108
110
111
113
5
Subiecte pentru autoevaluare
Întrebări de autoevaluare
Teste grilă pentru autoevaluare 114
114
116
Subiecte pentru evaluare și control
Întrebări de evaluare
Teste grilă
Rezumatul acestui Modul
Bibliografie obligatorie
Bibliografie
118
118
120
121
122
122
Modulul 7: REDUCEREA SISTEMELOR DE FOR ȚE OARECARE
ÎNTR -UN PUNCT
Obiective educaționale
Cuvinte cheie
123
123
123
7.1. Reducere a sistemelor de for țe oarecare într-un punct
7.2. Reducerea unui sistem de for țe oarecare într-un punct
7.3. Invarian ții opera ției de reducere a unui sistem de for țe într-un punct
Subiecte pentru autoevaluare
Întrebări de autoevaluare
Teste grilă pentru autoevaluare
Întrebări de evaluare
Teste grilă
Rezumatul acestui Capitol
Bibliografie obligatorie
Bibliografie 124
127
130
134
134
136
138
141
142
143
143
Modulul 8 : TORSOR MINIMAL . AX Ă CENTRAL Ă
Obiective educaționale
Cuvinte cheie 144
144
144
8.1. Torsor minimal . Axă central ă
8.2. Cazuri de reducere ale unui sistem de for țe oarecare . Sistem echivalent
8.3. Teorema momentelor . Teorema lui Varignon
Subiecte pentru autoevaluare
Întrebări de autoevaluare
Teste grilă pentru autoevaluare
Subiecte pentru evaluare și control
Întrebări de evaluare
Teste grilă
Rezumatul acestui modul
Bibliografie obligatorie
Bibliografie
Modulul 9 : CAZURI PARTICULARE DE SISTEME DE FOR ȚE
Obiective educaționale
Cuvinte cheie
9.1 Sisteme de for țe coplanare
9.2 Reducerea unui sistem de for țe coplanare pe cale grafic ă
Poligonul for țelor. Poligon funicular
9.3 Sistem e de for țe paralele
9.4. Determinarea pe cale grafică a centrului forțelor paralele 145
148
150
152
152
154
156
156
158
160
161
161
162
162
162
163
165
167
171
6
Subiecte pentru autoevaluare
Întreb ări de autoevaluare
Teste grilă pentru autoevaluare
Subiecte pentru evaluare și control
Întrebări de evaluare
Teste grilă
Rezumatul acestui modul
Bibliografie obligatorie
Bibliografie
Modulul 10 : ECHILIBRUL SOLIDULUI RIGID
Obiective educaționale
Cuvinte che ie
10.1. Echilibrul solidu lui rigid liber
10.2. Echilibrul solidului rigid supus la legături ideale (fără frecare) tipuri de
legături ideale
1. Reazemul simplu
2. Articulația sferică
3. Articulația cilindrică ( plană)
4. Încastrarea spațială
5. Încastrarea plană
6. Legătura prin fire sau bare rigide
Subiecte pentru autoevaluare
Întrebări de autoevaluare
Teste grilă pentru autoevaluare
Subiecte pentru evaluare și control
Întrebări de evaluare
Teste grilă
Rezumatul acestui modul
Bibliografie obligatori e
Bibliografie
172
172
175
177
177
179
182
183
183
184
184
184
185
188
189
191
193
195
196
197
198
198
200
202
202
204
205
206
206
Modulul 11 : FIXAREA UNUI CORP ÎN PLAN. DETERMINAREA
REACȚIUNILOR
Obiective educaționale
Cuvinte cheie
11.1. Condiții de fixare a solidului rigid legat
11.1.1. Fixarea solidului rigid in spațiu
11.1.2. Fixarea solidului rigid in plan
207
207
207
208
208
209
11.2. Fixarea unui corp în plan
11.2.1. Algoritmul de rezolvare al barei încastrate
11.2.2. Algoritmul de rezolvare al barei simplu rezemate 209
210
211
11.3. Clasificarea încărcărilor exterioare 213
Subiecte pentru autoevaluare
Întrebări de autoevaluare
Teste grilă pentru autoevaluare
Subiecte pentru evaluare și control
Rezumatul acestu i Modu l
Bibliografie obligatorie
Bibliografie 217
217
220
223
229
230
230
7
Modulul 12 : ECHILIBRUL SOLIDULUI RIGID CE REAZEM Ă CU
FRECARE
Obiective educaționale
Cuvinte cheie
231
231
231
12.1. Rezemarea solidului rigid cu frecare. Tipuri de frecari
12.2. Echilibrul solidului rigid ce sprijin ă cu frecare de alunecare
12.2.1 . Caz particular : solid rigid ce sprijin ă cu frecare de alunecare pe
două suprafe țe în dou ă puncte
12.3. Echilibrul solidului rigid ce se reazem ă cu frecare de rostogolire
12.4. Frecarea firelor 232
234
236
237
240
Subiecte pentru autoevaluare
Întrebări de autoevaluare
Teste grilă pentru autoevaluare 244
244
246
Subiecte pentru evaluare și control
Întrebări de evaluare
Teste grilă
Rezumatul acestui Modul
Bibliografie obligatorie
Bibliografie
248
248
250
252
252
253
Modulul 13: STATICA SISTEMELOR
Obiective educaționale
Cuvinte cheie
13.1. Sisteme de solide rigide
13.1.1 . Metoda izolării sau a separării corpurilor
13.1.2 . Cazuri patriculare: sistemul de puncte materiale
13.2. Grinzi cu zăbrele 254
254
254
255
257
258
261
Subiecte pentru autoevaluare
Întrebări de autoevaluare
Teste grilă pentru autoevaluare 267
267
270
Subiecte pentru evaluare și control
Întrebări de evaluare
Teste grilă
Rezumatul acestui Capitol
Bibliografie obligatorie
Bibliografie 272
272
274
276
276
277
Modulul 14:STATICA FIRELOR
Obiective educaționale
Cuvinte cheie
278
278
278
14.1. Generalități
14.2. Ecuația diferențială vectorială de echilibru a firelor
14.3. Ecuațiile diferen țiale de echilibru carteziene 279
280
282
14.4. Firul omogen g reu. Ecuații de echilibru 298
Subiecte pentru autoevaluare
Întrebări de autoevaluare
Teste grilă pentru autoevaluare
Subiecte pentru evaluare și control
Întrebări de evaluare 288
288
290
292
292
8
Teste grilă
Rezumatul acestui Modul
Bibliografie obligatorie
Bibliografie 294
296
296
297
BIBLIOGRAFIE GENERALĂ
298
9
Lista pictogramelor utilizate în text
Suportul pentru studiu individual (SSI) de față conține pictograme care au o semnificație
specifică, după cum urmează:
Obiective educaționale – se prezintă obiectivele Modu lului
Cuvinte cheie – se prezintă cuvintele cheie principale din conținutul
Modulului
Cuprinsul Modulului – se prezintă cuprinsul Modulului
Important! – atrage atenția asupra unei porțiuni de text care conține
noțiuni sau informații importante pentru tine.
Subiecte pentru autoevaluare – se prezintă subiectele destinate
autoevaluării din cadrul unui Modul .
Întrebări de autoevaluare – se prezintă întrebările destinate
autoevaluării cunoștințelor teoretice asimilate din cadrul Capitolul ui
Subiecte pentru evaluare și control propuse pentru un Modul ..
Teste grilă propuse pentru un Modu l.
Studii de caz propuse pentru un Modul .
Jocuri de rol propuse pentru un Modul .
Teme pentru aprofundarea cunoștințelor propuse pentru un Modul .
10
Întrebări de evaluare propuse pentru un Modul .
Aplicații practice/ comentarii/ analize de texte/ situații propuse
pentru un Modul
Probleme/exerciții propuse pentru un Modul .
Referate / lucrări de reacție propuse pentru un Modul .
Rezumatul Unității de învățare inclusă într -un Modul .
Bibliografia obligatorie pentru un Capitol .
Bibliografie disponibilă on -line pentru un Capitol .
Bibliografie suplimentară (facultativă) pentru un Modul . Este
destinată celor care doresc să aprofundeze tematica abordată într -un
Modul .
11
INTRODUCERE
P rin conținutul s ău, cursul de MECANICA VOL.I STATICA își propune să
furnizeze bagajul de cunoștin te necesar pentru a se putea face un calcul de echilibru , de
determinare a oricăror tipuri de reacțiuni din condițiile de echilibru static, cunoștințe
necesare oricărui inginer me canic.
Cursul, partea I , își propune să furnizeze noțiuni și modalități specifice inginerești,
necesare pentru calcule si rezolvări grafice furnizând cunostințe despre determinari de
centre de greutate, cu exemple de calcule pentru stabilirea cazurilor de echilibru de
determinare a rezultantei unui sistem de forte prin metoda grafica a poligonului forțelor
precum și stabilirea grafic ă a axei centrale cu ajutorul poligonului funicular.
Dobândirea cunoștințelor sus menționate duce la dezvoltarea p rofesional ă
manifestarea unei atitudini pozitive și responsabile față de domeniul științific fiind creativă
pentru propriul potențial în activitățile științifice și propria dezvoltare profesională.
Cursul de MECANICA VOL.I STATICA I, este postat în semestrul 2 de școală
(respectiv semestrul II din anul I de școală la facultatile cu profil ingineresc ), fiind urmat
de cel de MECANICA VOL.I I CINEMATICA SI DINAMICA din semestrul următor,
care face continuarea cuno ștințelor dobăndite î n partea de static ă, cu cunostin țe despre
miscarile corpurilor, în capitolul de cinematic ă apoi cu no țiuni fundamentale și legi
fundamentale ale dinamicii solidelor rigide.
Statica primul capitol al Mecanicii, capitol studiat în aceasta lucrare, începe cu
clasificarea corpurilor, apoi cu echilibrul acestora. Sunt studiate echilibrul punctului
material pe o suprafa ță și pe o curb ă lucie (f ără frecare) urm ând apoi a se studia acelaș i
echilibru și pe o suprafa ță curbă aspr ă (cu frecare).Sunt prezentate legile lui Coulomb ce
guverneaz ă frecarea. Se insista pe grade de libertate, care sunt explicate in doua moduri:
atat ca parametri scalari independenti ce definesc la un moment dat pozitia unui corp, dar si
ca posibilități de miscare și sunt explicate și exemplificate la fiecare tip de echilibru al
solidului rigid supus la legaturi f ără frecare.
De asemenea este studiat echilibrul cu frecare, tipurile de frec ări: de alunecare, de
rostogolire, de pivotare, frecarea firelor.
12
Cursurile sunt prezentate sub forma unor module (14 ) urmate de întrebari gril ă [2]
și exemple de calcul sau teme de casa [3].
Studiul este facil nu numai utilizând platforma http://distance.iduoradea.ro . ci și
după manuale ce intră în posesia studenților la începutul fiecărui semestru, înainte de
începerea disciplinei în planul de învățământ.
În planul de învățământ, disciplina are prevăzute pe lângă orele de curs (2 pe
săptămână) ore de laborator, în care se urmărește vizualizarea tiputilor de echilibre,
aplicarea în practica inginerească a noțiunilor învățate. Prezența la aceste ore de laborator
este obligatorie, ea fiind condiție de intrare în examen. De asemenea, nota de intrare în
examen are o pondere de 40% din nota finală de examen, constă din răspunsuri la un test
grilă, la finalul fiecarei lucrări de laborator, note care vor avea o medie M L.[ 3]
Modul de notare la examen este următorul:
-se primesc 4 întrebări grilă din noțiunile teoretice, care vor avea o notă M C,
-rezolvarea unei probleme, notate M P
-nota finală se calculează:
N=0,4.M L+0,3.M C+0,3M P
Fiecare capitol de studiu are la final bibliografia aferentă, dar și bibilografia
suplimentară recomandată.
Vă doresc succes în parcurgerea și învățarea acestei discipline!
Oradea, 15 noiembrie 2016
conf.univ.dr.ing.MARIANA ADRIANA PRICHICI
Modulul 1 – MECANICA vol I STATICA
13 Modulul 1:
INTRODUCERE
1 . 1 OBIECTUL MECANICII
Obiective educaționale
În urma studierii acestui Modul vei dobândi următoarele competențe și aptitudini :
-care sunt problemele rezolvate de mecanica;
-care sunt condițiile pe care trebuie să le îndeplinească corpurile pentru a fi in
miscare sau repaus ;
-denumirile miscarilor in functie de sistemul de referinta ales ;
-clasificarea miscarii.
Cuvinte cheie:
vectori alunec ători, vectori legaț i, n flitate, criteriul economic, probleme de
dimensionare, probleme de vericare, barele, pl ăcile, masivele
Unitatea de Învățare nr. 1
În acest Modul veți afla care este obiectivul Mecanicii , mode lele cu care opereaza
mecanica corpurile utilizate în mecanica clasică , deoarece corpurile care au dimensiuni
diferite , pot fi abstractizate sub forma unor modele mecanice . De asemenea veți afla
care sunt problemele pe care le r ezolvă mecanica . Veti defini miscarile mecanice si
repausul .
1
Timpul mediu necesar pentru studiu: 120 minute.
Modulul 1 – MECANICA vol I STATICA
14
1.1 OBIECTUL MECANICII
Mecanica este știința naturii care studiaz ă cea mai simpl ă form ă de mi șcare ,
mișcarea mecanică , ce presupune mișcarea corpurilor în spa țiu , stabilind leg ătura
dintre mi șcare și cauzele care o determin ă , precum și modul de desf ășurare a mi șcării în
timp și spațiu .
Prin mișcarea mecanic ă a unui corp se înțelege , schimbarea succesiv ă a pozi țiilor
acestuia în timp și spațiu, în raport cu un alt corp ales , considerat fix , numit reper .
Un caz particular al mi șcării mecanice îl constituie repaosul (corpul nu își schimb ă
poziția în raport cu reperul ales). At ât mișcarea c ât și repausul sunt relative (ele depind de
sistemul de referin ță ales ). D acă sistemul este fix , mișcarea este absolut ă , dac ă sistemul
de referință este mobil , mișcarea este relativ ă .
Sistemul de referin ță utilizat în mecanic ă este sistemul triortogonal sau drept, sau
sistemul cartezian , care, legat de p ământ, constituie în mecanica clasic ă un sistem de
referin ța fix, ce se numeste inerțial. Direc țiile acestui sistem de referin ță sunt date de
versorii:
ijk ,, .
Un punct de coordinate (x,y,z) va avea în sistemul de referin ță cartezian, un vector
de pozi ție de forma:
kzjyixr
Acest vector definește poziția sa la un moment dat.
Modulul 1 – MECANICA vol I STATICA
15 Autoevaluare (sarcină de învățare) tip 1:
Dacă a i înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să răspun zi la următoarea întrebare:
Ce studiază mecanica ?
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………… ……………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
Dacă consideri că a i răspuns corect, verifică -te mai jos. Dacă
nu, atunci te rog să revenii asupra paragrafelor parcurse până
acum, pentru a le aprofunda.
Răspunsul corect la întrebarea anterioară este:
“ mecanica “ studiaz ă echilibrul punctului material si a
solidul rigid – acționat de for țe care sunt vectori
alunecatori ( se pot deplasa pe dreapta suport
pastrandu_si modulul si sensul ) .
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Autoevaluare (sarcină de învățare) tip 2:
Dacă a i înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să rezolvi următorul test grilă :
Forțele ce ac ționează asupra corpurilor 😕
a. sunt vectori alunecători ;
b. sunt vectori legati ;
c. sunt încărcări ;
d. sunt reac țiuni.
Scrie aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
și apoi, verifică -te mai jos dacă ai dat răspunsul corect.
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Răspunsul corect este:
a).
Modulul 1 – MECANICA vol I STATICA
16 1 . 2 . MODELELE MECANICII NEWTONIENE
Pe baza unor ipoteze simplificatoare , corpurile utilizate în mecanica clasic ă, care
au dimensiuni diferite , pot fi abstractizate sub forma unor modele mecanice și anume:
punctul material este modelul unui corp de dimensiuni foarte mici, neglijabile ce
devine punct geometric, dotat cu masă proprie , î n centrul s ău de greutate;
sistemul discret de puncte materiale , este constituit dintr-un num ăr finit n de puncte
materiale, în interacț iune mecanic ă între ele, afl ându-se î n interiorul unui domeniu;
sistemul material este constituit din ansamblul discret sau continuu de puncte
materiale care interac ționeaz ă intre ele, aflate într-un volum ce con ține materie;
corp solid rigid este format dintr-o infinitate de puncte materiale, ce constituie un
sistem nedeformabil , indiferent de sistemul de for țe ca ar putea ac ționa asupra lui s ă
îl deformeze ( distan ța dintre dou ă puncte ale sale r ămâne constant ă indiferent de
sistemul de for țe ce ac ționeaz ă aupra sa- ceea ce constituie ipoteza rigidit ății ) ;
In functie de dimensiunile corpului rigid acestea se clasifica si are urmatoarele
denumiri:
Linia materiala dacă una din dimensiunile solidului rigid este mult mai mare
decât celelalte dou ă, care sunt comparabile între ele , se folose ște no țiunea de
bară când este rigid ă ;
– se utilizeaza și notiunea de fir când corpul astfel definit, este considerat
flexibil , inextensibil, torsionabil ;
Suprafața material ă dacă două dimensiuni , comparabile între ele sunt mult mai
mari dec ât a treia numit ă grosime , se folose ște no țiunea de placă dacă este
rigid ă;
– dacă corpul astfel definit este flexibil se utilizeaz ă noțiunea de
membran ă;
– În func ție de forma suprafe ței mediane ( locul geometric al punctelor egal
departate de cele doua fete exterioare se numeste suprafa ță median ă), se
deosebesc : pl ăci plane , plăci curbe (î nvelitori ) , vase , tuburi
volumul material este no țiunea utilizat ă pentru solidul rigid la care toate cele trei
dimensiuni sunt comparabile între ele .
Modulul 1 – MECANICA vol I STATICA
17
1.3 NOȚIUNI FUNDAMENTALE
Mecanica clasic ă are la baz ă urm ătoarele no țiuni fundamentale, considerate absolut
independente: spa țiul, timpul și masa .
Timpul și spațiul sunt dou ă noțiuni independente una de cealalt ă .
În mecanica clasic ă , spațiul este tridimensional , este infinit, cu aceea și unitate de
măsură de lungime, metrul, pe cele trei direc ții, este continuu, omogen, izotrop, sau
denumit simplu spa țiu euclidian .
Timpul stabile ște leg ătura între diferite procese, ce constitue forme de mi șcare a
materiei, stabilind durata și succesiunea lor. Timpul are o singur ă dimensiune, un singur
sens de scurgere, uniform, cresc ător, omogen este ireversibil. În mecanica clasic ă, timpul
definit în acest mod, se nume ște timp absolut . Se m ăsoară în secunde .
Masa este o m ărime scalară ce evidenț iază propriet ățile de iner ție și gravita ție ale
unui corp. Se deosebesc astfel masa gravifică ce determin ă greutatea lor și masa inert ă ce Dacă a i înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să ..raspunzi :
Definiti modelul mecanic al punctulu i material ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………… ……………….
……………………………………………………………………………….
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
punctul material este modelul unui corp de dimensiuni
foarte mici, neglijabile ce devine punct geometric, dotat
cu mas ă proprie , în centrul s ău de greutate
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentr u a le aprofunda.
Modulul 1 – MECANICA vol I STATICA
18 măsoară iner ția unui corp în mi șcare de transla ție. S-a demonstrat experimental egalitatea
între cele dou ă mase . Unitatea de m ăsură pentru mas ă este kilogramul .
În strânsă legătură cu no țiunea de mas ă, apare no țiunea de forță. Ea se define ște ca
măsură a interac țiunii dintre corpuri. Este o m ărime vectorial ă, caracterizat ă prin: punct de
aplica ție, mă rime sau modul, orientare care este dat ă de direc ție și sens. ( fig . 1 )
Fig.1.1
1.4 LEG ĂTURA “ MECANICII “ CU ALTE DISCIPLINE [4]
In mecanica doua forte de pe acela și suport în sensuri contrare , de module egale
( oric ât de mari ) sunt în echilibru ( figura 1.2 )
F FF F1 2 1 2 ,
Fig 1 . 2
În “Rezistența materialelor “ acest echilibru există , at âta timp c ât elementul de
rezisten ță rămâne întreg. La valori mari ale for țelor , sunt dep ășite condi țiile de rezisten ță
și rigiditate stabilite , elementul rup ându – se, echilibrul nu mai are loc.
Modulul 1 – MECANICA vol I STATICA
19 b ) În “ Statică “ forța “ este considerată vector alunecător , iar
momentul vector liber . În “ Rezistența materialelor “ atâ t forța cât și momentul sunt
vectori legaț i de punctul de aplicare . În figura l . 2 , for ța
F1 acționeaz ă în punctul A iar
F2
în punctul B , elementul de rezisten ță fiind astfel întins . Dac ă se deplaseaz ă cele dou ă
forțe pe suportul lor astfel încât punctele de aplica ție să se inverseze , respectiv ,
F1 în B și
F2
în A , echilibrul nu se modific ă dar se schimb ă sensul de ac țiune al acestora ,
elementul devenind în acest caz comprimat , deci solicitarea este diferit ă [4 ].
c ) În “ Mecanica teoretică “ solidul rigid este considerat nedeformabil (cu
rigiditate infinit ă, se aplică principiul rigidității ) , în “ Mecanica fluidelor “ corpurile au
rigiditate nul ă ( de exemplu apa).
d) În “ Rezistența materialelor “ corpurile au rigiditate finit ă . Ele au o anumit ă
elasticitasticitate .
1 . 5 . PRINCIPIILE SI DIVIZIUNILE MECANICII
NEWTONIENE
Mecanica clasic ă are la baz ă principiile enun țate de Isaac Newton ( 1643-1727):
Principiul iner ției “ Un corp îș i păstreaz ă starea de repaus sau de mi șcare rectilinie și
uniform ă atât timp c ât din exterior nu intrevine nici o for ță care s ă modifice aceast ă
stare ” .
Principiul acț iunii for ței “ Variaț ia mi șcării este propor țional ă cu for ța motoare
imprimat ă și este dirijat ă pe direc ția de ac țiune a for ței “. Pornind de la acest principiu
Isaac Newton a stabilit Legea fundamental ă a mecanicii :
F ma
sau
aF
m
( 1.1)
Modulul 1 – MECANICA vol I STATICA
20 Accelera ția este o m ărime vectorial ă de aceeaș i direc ție cu for ța.
Principiul acț iunii și reac țiunii “ La orice acț iune îi corespunde o reac țiune egal ă și de
sens contrar “
Principiul paralelogramului forțelor “ Dacă asupra unui punct material ac ționeaz ă
simultan dou ă forțe concurente , efectul lor este acela și cu cel pe care l-ar avea o forță
care ar avea m ărimea, orientarea diagonalei paralelogramului construit cu cele dou ă
forțe ca laturi , sensul pornind din punctul de concuren ță spre vârful opus al
paralelogramului.”
Poate fi astfel scrisă prima relație vectorială pentru a obține suma vectorială a doi
vectori concurenți:
RF F1 2
( 1. 2 )
Diviziunile mecanicii solidului rigid sunt :
statica se ocup ă cu studiul forț elor aplicate punctului material sau solidului rigid , și al
condi țiilor ce trebuie s ă fie îndeplinite pentru ca acestea s ă fie în echilibru ;
cinematica , studiaz ă mișcarea corpurilor , f ără a ține seama de for țele ce o produc ,
făcând un studiu geometric al mi șcării corpurilor. .
dinamica se ocup ă cu studiul mi șcării corpurilor ținând seam ă de for țele ce acț ioneaz ă
asupra corpurilor si de masa acestora .
Modulul 1 – MECANICA vol I STATICA
21
Dacă a i înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să răspunzi la întrebarea .:
Ce rigiditate au corpurile in mecanica, rezistenta
materialelor, mecanica fluidelor ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
………………………………………………….. …………………………..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
………………………………… …………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
…………….. ………………………………………………………………..
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
În “ Mecanica teoretic ă “ solidul rigid este considerat
nedeformabil (cu rigiditate infinit ă ) , în “ mecanica
fluidelor “ corpurile au rigiditate nul ă ( de exemplu
apa). În “ Rezisten ța materialelor “ corpurile au
rigiditate finit ă . Ele au o anumit ă elasticitasticitate .
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Modulul 1 – MECANICA vol I STATICA
22 Subiecte pentru autoevaluare:
Întreb ări de autoevaluare
1.Care sunt diviziunile mecanicii?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Diviziunile mecanicii sunt: statica, cinematica si dinamica
2.Enuntati principilu inertiei?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Principiul iner ției “ Un corp îș i păstreaz ă starea de repaus sau de mi șcare rectilinie și
uniform ă atât timp c ât din exterior nu intrevine nici o for ță care s ă modifice aceast ă
stare ” .
3. Enuntati principilu actiunii fortei?
Modulul 1 – MECANICA vol I STATICA
23 Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus est
Principiul acț iunii for ței “ Variaț ia mi șcării este propor țională cu for ța motoare
imprimat ă și este dirijat ă pe direc ția de ac țiune a for ței “. Pornind de la acest principiu
Isaac Newton a stabilit Legea fundamental ă a mecanicii :
F ma
sau
aF
m
4. Enuntati principilu ac țiunii si reac țiunii?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Principiul acț iunii și reac țiunii “ La orice acț iune corespunde o reac țiune egal ă și de
sens contrar “
5. Enuntati principilu l paralelogramului for țelor?
Scrie răspunsul tău aici:
………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Principiul paralelogramului forțelor “ Dacă asupra unui punct material ac ționeaz ă
simultan dou ă forțe concurente , efectul lor este acela și cu cel pe care l-ar avea o forță
care ar avea m ărimea,direc ția și sensul diagonalei paralelogramului construit cu cele
două forțe ca laturi , pornind din punctul de concuren ță.”
Modulul 1 – MECANICA vol I STATICA
24 Dacă ați terminat de răspuns la întrebările de mai sus, verificați -vă răspunsurile date
confruntându -le cu materialul teoretic prezentat în acest Capitol .
Nu ați răspuns corect la toate întrebările? Nu fiți dezamăgiți,
căci vă recomandăm să reparcurgeți materialul teoretic și cu
siguranță veți putea răspunde acestor întrebări. E simplu! Puteți
de asemenea, să vă notați eventualele nelămuriri, pentru a le
clarifica în cadrul Activității tutoriale (AT) .
Ați răspuns corect la toate întrebările? FELICITĂRI!!!
Continuați parcurgerea acestui Capitol pentru a vă pregăti
corespunzător în vederea atingerii obiectivelor stabilite pentru
acest Capitol .
Teste grilă pentru autoevaluare:
1.Principiile mecanicii sunt:
a)principiul inertiei
b) calculul efortului capabil
c)principiul paralelogramului fortelor
d)principiul actiunii si reactiunii
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
2. Diviziunile mecanicii sunt:
a) statica ,
b) condiția de rigiditate
c) cinematica
d) condiția de stabilitate
e)dinamica
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
3. Rigiditatea corpurilor in mecanica e ste:
a)finita
b)zero
c)infinita
d)are o valoare fixa
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
Modulul 1 – MECANICA vol I STATICA
25 4 Modele mecanice utilizate în mecanica sunt:
a)bare
b)fire
c)corpuri
d)masive
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
5.Barele sunt
a) sunt elemente de rezisten ță la care dou ă dimensiuni geometrice , comparabile între
ele sunt mult mai mari în compara ție cu a treia , numit ă lungime;
b) sunt elemente de rezisten ță la care dou ă dimensiuni geometrice , comparabile între
ele sunt mult mai mici în compara ție cu a treia , numit ă lungime;
c) sunt elemente de rezisten ță la care dou ă dimensiuni geometrice , comparabile între
ele sunt egale cu a treia , numit ă lungime
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
Dacă ați terminat de răspuns la testele grilă de mai sus, verificați -vă răspunsurile
date confruntându -le cu cele din tabelul următor:
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. a,c,
2. a, c, d,.
3. c
4. a,b,c,.
5. b,
Modulul 1 – MECANICA vol I STATICA
26 Subiecte pentru evaluare și control
Întrebări de evaluare
1. Ce este membrana?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Dacă grosimea unei pl ăci este foarte mic ă , rigiditatea pl ăcii fiind de asemenea
mică , placa se nume ște membran ă .
2. Ce este firul?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de ma i sus este:
Dacă , dimensiunea sec țiunii transversale este foarte mic ă , bara av ând rigiditate foarte
mică neput ând prelua solicit ări de încovoiere, fiind torsionabila, inextensibia, bara se
nume ște fir .
3. Ce este suprafața mediană a unui element de rezistență?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
În interiorul unei pl ăci, la egal ă distan ță de fe țele acesteia , se g ăsește suprafa ța median ă a
plăcii, sau locul geometric al punctelor egal depărtate de fețele plăcii formează suprafața
mediană a acesteia.
Modulul 1 – MECANICA vol I STATICA
27
4. Ce este axa geometric ă a unui element de rezistență?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Locul geometric al centrelor de greutate ale sec țiunilor transversale se nume ște axa
geometric ă a barei
5. În func ție de forma unei suprafe țe mediane , cum se se deosebesc corpurile?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
În func ție de forma unei suprafe țe mediane , se deosebesc : pl ăci plane , plăci curbe
(învelitori ) , vase , tuburi .
Teste grilă:
1..Plăcile sunt elemente de rezisten ță la care:
a) dou ă dimensiuni geometrice , comparabile între ele , sunt mai mari în raport cu a treia ,
numit ă grosime;
b) două dimensiuni geometrice , comparabile între ele sunt mult mai mici în compara ție
cu a treia , numit ă grosime
c) dou ă dimensiuni geometrice , comparabile între ele , sunt mai mari în raport cu a treia ,
numit ă lungime
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
2. Masivele reprezintă modelul unui corp la care:
a) două dimensiuni geometrice , comparabile între ele , sunt mai mari în raport cu a
treia , numit ă lungime
Modulul 1 – MECANICA vol I STATICA
28 b) toate cele trei dimensiuni geometrice sunt comparabile între ele (au aproximativ
acela și ordin de m ărime);
c)bile de rulmenti, batiul unei mașini une lte,
Răspunsul pe care îl consideri corect este: …………………
3. Se nume ște membran ă :
a) placa de grosime foarte mic ă , rigiditatea pl ăcii fiind de asemenea mic ă ,
b) placa de grosime foarte mare, rigiditatea pl ăcii fiind de asemenea mare
c) elemente de rezisten ță la care dou ă dimensiuni geometrice , comparabile între ele
sunt mult mai mari în compara ție cu a treia , numit ă gros ime, având rigiditate mică
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
4. În “ mecanica “ corpurile:
a) au rigiditate infinită;
b) au o anumit ă elasticitasticitate;
c) au dimensiuni mici;
d) sunt numite bare.
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
5.Firul este
a) bara av ând rigiditate foarte mic ă neput ând prelua solicit ări de încovoiere, fiind
torsionabilă,
b) elemental de rezistență care are dimensiunea secț iunii transversale este foarte mic ă
este torsionabil, inextensibil nu poate prelua solicitări de incovoiere
c) elemente de rezisten ță la care dou ă dimensiuni geometrice , comparabile între ele
sunt mult mai mici în compara ție cu a treia , numit ă lungime
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
Modulul 1 – MECANICA vol I STATICA
29 Dacă ați terminat de răspuns la testele grilă de mai sus, verificați -vă ră spunsurile
date confruntându -le cu cele din tabelul următor:
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. a.
2. b, c.
3. a,c.
4. a
5. a,b
Rezumatul acestui Capitol
Mecanica are trei diviziuni: statica , cinematica si dinamica.
Modelele mecanice utilizate sunt: linia materiala care atunci cand este rigida se numeste
bara, cand este flexibila se numeste fir. Suprafata materiala care este palaca atunci can este
rigida si membrana cand este flexibila. Al treilea model mecanic este cela al masivelor, sau
simplu solid rigid.
Modulul 1 – MECANICA vol I STATICA
30 Bibliografie obligatorie
[1] Mariana Adriana PRICHICI . – Mecanica Vol.1 :Statica /Oradea:Editura
Universit ății din Oradea ISBN 973 -9416- 61-6, 1999
[2] Mariana Adriana PRICHICI Mecanica – indrumator de laborator si teme de casa
Vol. 1. – Ed. a 2 -a, rev Ed. Universit ății Oradea- ISBN 973 -613-481-4 ,66 pg. 2014
ISBN 978-606-10-1396 -8 . – ISBN 978 -606-10-1397- 5
Bibliografie disponibilă on -line
[1] http://distance.iduoradea.ro/course/view.php?id=984
[2] http://distance.iduoradea.ro/file.php/984/Capitol%202.pdf
Bibliografie suplimentară (facultativă)
[1] Radoi , T , Deciu , A , Mecanica , Ed. Didactica si Pedagogica Bucuresti , 1982
[2] Ripianu , A, Statica , Ed.Institutului Politehnic Cluj – Napoca , 1981
[3] Ripianu , A, … Mecanica tehnica , Ed, Didactica si pedagogica Bucurasti , 1982
Bibliografie
[1] Hutte, Manualul inginerului. Fundamente Editura Tehnica, Bucuresti,1995
[2] Tocaci , E., Mecanica , Ed. Didactica si pedagogica Bucuresti , 1985
Modulul 2 – MECANICA vol I STATICA
31
Modulul 2:
STATICA PUNCTULUI MATERIAL
Obiective educaționale
În urma parcurgerii acestui capitol veți ști :
-Sa reduceti for țele ce ac ționeaz ă asupra punctului material , ce constituie un sistem
de for țe concurente .
-Sa puteti determina un sistem echivalent mai simplu , care s ă aibă acelaș i efect
asupra punctului material , ca sistemul de for țe dat ,
-a reduce sistemul de for țe la ceva simplu , al cărui effect imediat sa poată fi sesizat.
CUVINTE CHEIE
Forțe concurente , sistem de forte echivalent , sistem de for țe concurente, forte
echivalente.
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE NR. 2
În acest modul veți afla cum puteti sa reduceti for țele ce acț ioneaz ă asupra
punctului material , ce constituie un sistem de for țe concurente . Sa puteti determina un
sistem echivalent mai simplu , care s ă aibă acela și efect asupra punctului material , ca
sistemul de for țe dat , deci a reduce sistemul de for țe la ceva deosebit de simplu al carui
efect imediat sa poata fi sesizat .
2 . 1 DEFINI ȚII
FORȚE ECHIPOLENTE sunt dou ă for țe de aceea și orientare (prin orientare
intelegand direc ția și sensul ) , aceeaș i mărime sau modul dar cu puncte de aplica ție
diferite ;
2
Timpul mediu necesar pentru studiu: 120 minute.
Modulul 2 – MECANICA vol I STATICA
32
SISTEM DE FOR ȚE reprezint ă mulțimea finita a for țelor care ac ționeaz ă asupra unui
punct material ( este un sistem de for țe concurente ) sau a unui solid rigid ( sistem de
vectori alunec ători – se pot deplasa pe dreapta suport , p ăstrându-si modulul și sensul ).
Se noteaza :
n iZYXFi ii i ,…,2,1 , ,,
SISTEME DE FOR ȚE ECHIVALENTE reprezint ă două sisteme de for țe ce
acționeaz ă asupra unui punct material sau unui solid rigid și au acelaș i efect mecanic
asupra lui .
SISTEM DE FOR ȚE ÎN ECHILIBRU sunt sistemele de for țe ce nu au nici un efect
asupra corpurilor , nu modific ă starea lor mecanic ă de repaus sau mi șcare rectilinie
uniform ă .Corpurile asupra c ărora ac ționeaz ă sisteme de for țe în echilibru se afl ă în
echilibru .
Dacă a i înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să .raspunzi la întrebarea .:
Cum se nume sc două forțe de aceea și orientare, aceea și
mărime sau modul dar cu puncte de aplica ție diferite ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
…………………….. ………………………………………………………..
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Forte echipolente
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor p arcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Modulul 2 – MECANICA vol I STATICA
33
2 . 2 PROBLEMELE STATICII
Statica rezolvă două probleme :
Compunerea sau reducerea sistemelor de for țe , pentru determinarea celui mai simplu
sistem echivalent cu cel dat , al c ărui efect s ă poat ă fi determinat imediat ;
Studiul echilibrului , ce presupune stabilirea condi țiilor ce trebuie s ă le îndeplinească
sistemele de for țe ce ac ționeaz ă asupra corpurilor , pentru ca acestea s ă fie în echilibru .
Problemele de echilibru se pun în două moduri :
se cunosc for țele ce acț ioneaz ă asupra corpului și se cere pozi ția de echilibru;
se cunoa ște pozi ția de echilibru a corpului , se cer for țele sau condi țiile pe care aceste
forțe trebuie s ă le îndeplineasc ă pentru echilibru .
Dacă a i înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să raspunzi la întrebarea. :
Ce intelegeti prin „Compunerea sau reducerea” siste
melor de for țe?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
…………………………….. ………………………………………………..
……………………………………………………………………………….
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Compunerea sau reducerea sistemelor de for țe se face
pentru determinarea celui mai simplu sistem echivalent
cu cel dat , al c ărui efect s ă poată fi determinat imediat
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Modulul 2 – MECANICA vol I STATICA
34
2.3 . REDUCEREA SISTEMEL OR DE FORȚ E CONCURENTE
Reducerea sistemelor de forț e concurente se face geometric sau analitic .
2.3.1 REDUCEREA SISTEMELOR DE FOR ȚE CONCURENTE PE CALE
GRAFIC Ă
a) cazul a dou ă for țe concurente :
Asupra punctului material M din figura 2, ac ționeaz ă două forțe concurente
FsiF1 2
ce fac între ele unghiul α . Reducerea lor se face aplic ând principiul
paralelogramului forțelor , ob ținându-se rezultanta dat ă de rela ția vectorial ă ( fig .
2.1 ):
RFF1 2 ( 2 . 1 )
Prin reducerea pe cale grafic ă , se reprezint ă la scar ă cele dou ă forțe , se construie ște cu
cele dou ă forțe ca laturi un paralelogram , iar diagonala acestui paralelogram va fi
rezultanta celor dou ă forțe ( fig . 2.1 ).
Fig.2.1.
Doi vectori liberi pot fi reduși pe cale grafică cu regula triunghiului :
– se construiesc vectori echipolenți cu cei doi vectori de adunat, al doilea
vector in extremitatea primului.Vectorul sumă va fi cel ce unește pu nctul
de aplicație el primului vector cu extremitatea celui de al doilea vector . (
fig . 2.2 ).
Modulul 2 – MECANICA vol I STATICA
35
Fig2.2
Modulul rezultantei poate fi determinat aplicâ nd formula :
R F F FF FF 12
22
12 1 2 2 cos( ,) (2 . 2 )
CAZURI PARTICULARE
Dacă se noteaz ă cu α unghiul pe care îl fac cele dou ă forțe , exist ă urm ătoarele
cazuri particulare :
– α=90 – paralelogramul for țelor devine dreptunghi , rezultanta for țelor calcul ându-
se mai simplu :
R F F
tgF
F
12
22
11
2 ( 2 . 3 )
unde α 1 este ungiul pe care îl face rezultanta cu for ța F2;
-α=0 – cele dou ă forțe sunt coliniare , de acela și sens , rezultanta lor ob ținându-se
prin adunarea celor dou ă forțe :
RFF1 2 ( 2 . 4 )
-α=180- cele dou ă forțe sunt coliniare , de sensuri opuse , rezultanta lor
obținându-se prin sc ăderea celor dou ă module , fiind de acela și sens cu for ța cea a
cărui modul este mai mare .
b)Cazul unui sistem de n for țe concurente concurente
Asupra punctului material M acționeaz ă un sistem de n for țe concurente [ acest
sistem de forte se noteaza
n iZYXFi ii i ,…,2,1 ., ]. Rezultanta acestui sistem
Modulul 2 – MECANICA vol I STATICA
36
(fig.2.1 ) se ob ține grafic aplic ând succesiv regula paralelogramului , ( fig 2.3.a ), sau
aplic ând succesiv regula triunghiului ( regula poligonului ), (fig.2.3.b):
Fig.2.2.a
Fig.2.2b
Modulul 2 – MECANICA vol I STATICA
37
Dacă a i înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să răspunzi la întrebarea .:
Cum se considera fortele ce acționeaza asupra
punctului material ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
………………………………… …………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Fortele ce ac ționeaza asupra punctului material sunt
sisteme de forte concurente
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, p entru a le aprofunda.
B ) REDUCEREA FOR ȚELOR CONCURENTE PE CALE ANALITIC Ă
Reucerea pe cale analitic ă a unui sistem de for țe are la baz ă scrierea analitic ă a
vectorului for ță într-un sistem de coordonate cartezian , a c ărui direc ții sunt definite de
versorii
ijk,, . La baza acestei scrieri st ă teorema proiec țiilor ortogonale care spune “
valoarea proiec ției unui vector pe o ax ă este egel ă cu produsul dintre modulul
vectorului și cosinusul unghiului pe care îl face vrctorul cu direc ția axei pe care se
proiectează “
a) scrierea analitică a unui vector for ță în plan
( fig.2.3 ) Fie vectorul for ță
F, ce face cu direc ția Ox unghiul α . Se noteaz ă proiec ția
acestui vector pe axa Ox cu X și pe Oy cu Y.Valorile acestor proiec ții se ob țin:
Modulul 2 – MECANICA vol I STATICA
38
Fig.2.3
prFXF
prFYF FOx
Oy
cos
cos sin
2 ( 2 . 5 )
Descompun ând for ța F dup ă cele dou ă direc ții , și aplic ând regula paralelogramului se
poate scrie :
FXiYj ( 2 .6 )
ceea ce reprezint ă scrierea analitic ă a unui vector plan.
În mod analog , pentru un vector care are proiec țiile X , Y , Z respectiv pe Ox , Oy și Oz
se poate scrie :
prF XF
prFYF
prFZFOx
Oy
Oz
cos
cos
cos
( 2 . 7 )
în care α , , , reprezint ă unghiurile pe care le face for ța respectiv cu axele Ox , Oy ,
Oz , iar cosinu șii acestor unghiuri se numesc cosinu și directori . Valorile lor se ob țin :
cos
cos
cos
X
F
Y
F
Z
F ( 2 . 8 )
Modulul 2 – MECANICA vol I STATICA
39
Un sistem de for țe concurente ( fig .2.2 ) se reduce la o rezultant ă unică , R , la
determinarea c ăreia pe cale analitic ă se utilizeaz ă următoarea teorem ă :
“ Proiec ția unei sume de vectori pe o ax ă este egal ă cu suma proiec țiilor vectorilor
pe acea axă “ (proiectia sumei este egal ă cu suma proiec țiilor)
Relația vectorial ă de reducere este :
RFF F F Fi n i
in
1 2
1… … ( 2 . 9 )
Dacă forțele sistemului se scriu cu ajutorul proiec țiilor sub forma :
F XiYjZki i i i ( 2 . 10 )
și rezultanta :
RRiRjRkx y z ( 2 . 11 )
Aplic ând teorema enun țată anterior, rela ția ( 2 . 9 ) devine :
R Xi Yj Zki
in
i
in
i
in
1 1 1 ( 2 . 12 )
Din rela țiile ( 2 . 11 ) și ( 2 . 12 ), prin identificarea lor rezult ă proiec țiile
rezultantei , ca fiind :
R X
R Y
R Zx i
in
y i
in
z i
in
1
1
1 ( 2 . 13 )
Modulul rezultantei este :
R R R R
X Y Zx y z
i
in
i
in
i
in
2 2 2
12
12
12 ( 2 . 14 )
Cosinu șii directori vor fi :
Modulul 2 – MECANICA vol I STATICA
40
cos
R
RX
X Y Zxi
in
i
in
i
in
i
in1
12
12
12
cos
R
RY
X Y Zyi
in
i
in
i
in
i
in1
12
12
12
cos
R
RZ
X Y Zzi
in
i
in
i
in
i
in1
12
12
12
. ( 2 . 15 )
În cazul unui sistem de for țe coplanare rezultanta sistemului este :
RRiRj Xi Yjx y i
in
i
in
1 1 ( 2 . 16 )
cu modulul :
R R R X Yx y i
in
i
in
2 2
12
12 ( 2 . 17 )
Direc ția rezultantei se determin ă cunosc ând proiec țiile :
tgR
RX
Yx
yi
in
i
in
1
1 ( 2 . 18 )
Dacă a i înțeles paragrafele parcurse până aici , atunci te rog
să .răspunzi la întrebarea :
Cum se reduc sistemele de forte concurente ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
………….. …………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………….
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Modulul 2 – MECANICA vol I STATICA
41
Subiecte pentru autoevaluare:
Întreb ări de autoevaluare
1.Cum se considera sistemele de forte ce actioneaza asupra punctului material ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Sistemele de forte ce actioneaza asupra punctului material se considera sisteme de forte
concurente .
2 Cum se reduc grafic sistemele de forte ce actioneaza asupra punctului material ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Răspunsul corect este:
Sistem ele de forte concurente se reduc analitic si
grafic.
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Modulul 2 – MECANICA vol I STATICA
42
Sistemele de forte ce actioneaza asupra punctului material se reduc grafic aplicand
succesiv regula paralelogramului.
3 Cu ce relatie se calculeaza rezultanta unui sistem de forte concurente ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Rezultanta unui sistem de forte concurente se calculeaza cu relatia:
RFF F F Fi n i
in
1 2
1… …
4 Cum se calculeaza proiec țiile rezultantei sistemului de forte concurente ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Proiec țiile rezultantei sistemului de forte se calculeaza ca fiind :
R X
R Y
R Zx i
in
y i
in
z i
in
1
1
1
Modulul 2 – MECANICA vol I STATICA
43
5 Cum se determina direc ția rezultantei cunosc ând proiec țiile fortelor dintr un
sistem de forte concurente coplanare?
Scrie răspunsul tău aici:
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Direc ția rezultantei se determin ă cunosc ând proiec țiile :
tgR
RX
Yx
yi
in
i
in
1
1 .
Dacă ați terminat de răspuns la întrebările de mai sus, verificați -vă răspunsurile date
confruntându -le cu materialul teoretic prezentat în acest Capitol .
Nu ați răspuns corect la toate întrebările? Nu fiți dezamăgiți,
căci vă recoman dăm să reparcurgeți materialul teoretic și cu
siguranță veți putea răspunde acestor întrebări. E simplu! Puteți
de asemenea, să vă notați eventualele nelămuriri, pentru a le
clarifica în cadrul Activității tutoriale (AT) .
Ați răspuns corect la toate înt rebările? FELICITĂRI!!!
Continuați parcurgerea acestui Capitol pentru a vă pregăti
corespunzător în vederea atingerii obiectivelor stabilite pentru
acest Capitol .
Teste grilă pentru autoevaluare:
1 Direc ția rezultantei cunosc ând proiec țiile fortelor dintr un sistem de forte
concurente coplanare este?
a)
R X
R Y
R Zx i
in
y i
in
z i
in
1
1
1
Modulul 2 – MECANICA vol I STATICA
44
b)
RFF F F Fi n i
in
1 2
1… …
c)
tgR
RX
Yx
yi
in
i
in
1
1 axă
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ………………………
2 Rezultanta unui sistem de forte concurente se calculeaza analitic :
a)
R X
R Y
R Zx i
in
y i
in
z i
in
1
1
1
b)
RFF F F Fi n i
in
1 2
1… …
c)
tgR
RX
Yx
yi
in
i
in
1
1 axă
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ………………………
3 Directia rezultantei sistemului de forte concurente oarecare este data de cosinusii
dierctori:
a)
prF XF
prFYF
prFZFOx
Oy
Oz
cos
cos
cos
b)
cos
R
RX
X Y Zxi
in
i
in
i
in
i
in1
12
12
12
Modulul 2 – MECANICA vol I STATICA
45
cos
R
RY
X Y Zyi
in
i
in
i
in
i
in1
12
12
12
cos
R
RZ
X Y Zzi
in
i
in
i
in
i
in1
12
12
12
c)
Fma
sau
aF
m
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ………………………
4 Principiu inertiei este:
a) Un corp îș i păstreaz ă starea de repaus sau de mi șcare rectilinie și uniform ă atât timp
cât din exterior nu intrevine nici o for ță care s ă modifice aceast ă stare” .
b) Varia ția mi șcării este propor țională cu for ța motoare imprimat ă și este dirijată pe
direc ția de ac țiune a for ței
c) La orice ac țiune corespunde o reac țiune egal ă și de sens contrar
d) Dacă asupra unui punct material ac ționeaz ă simultan dou ă forțe concurente , efectul
lor este acela și cu cel pe care l-ar avea o for ță care ar avea m ărimea,direc ția și
sensul diagonalei paralelogramului construit cu cele dou ă forțe ca laturi , pornind
din punctul de concuren ță.”
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ………………………
5 Principilul actiunii fortei este?
a) Un corp îș i păstreaz ă starea de repaus sau de mi șcare rectilinie și uniform ă atât timp
cât din exterior nu intrevine nici o for ță care s ă modifice aceast ă stare” .
b) Varia ția mi șcării este propor țională cu for ța motoare imprimat ă și este dirijată pe
direc ția de ac țiune a for ței
c) La orice ac țiune corespunde o reac țiune egal ă și de sens contrar
d) Dacă asupra unui punct material ac ționeaz ă simultan dou ă forțe concurente , efectul
lor este acela și cu cel pe care l-ar avea o for ță care ar avea m ărimea,direc ția și
Modulul 2 – MECANICA vol I STATICA
46
sensul diagonalei paralelogramului construit cu cele dou ă forțe ca laturi , pornind
din punctul de concuren ță.”
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
Dacă ați terminat de răspuns la testele grilă de mai sus, verificați -vă răspunsurile
date confruntându -le cu cele din tabelul următor:
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. c
2. b
3. a,b
4. a
5. b
Subiecte pentru ev aluare și control
Întrebări de evaluare
1.Cu se ocupa statica?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Statica se ocupa cu studiul echilibrului corpurilor.
2 Cu se ocupa cinematica?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Modulul 2 – MECANICA vol I STATICA
47
.
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Cinematica se ocupa cu studiul geometric al miscarii corpurilor.
3 Cu se ocupa dinamica?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Dinamica se ocupa cu studiul miscarii corpurilor tinand seama de fortele ce produc aceasta
miscare si de masa corpurilor.
4.Ce este repausul?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la între barea de mai sus este:
Repausul este starea unui corp a carui pozitie nu se modifica in raport cu un sistem
de referinta considerat fix.
Teste grilă:
1 Un sistem de referinta considerat fix , se nume ște :
a) Inertial daca este legat de pamant.
b) mobil
c) neinertial
d) cartezian
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………….
2 Sistem echivalent de forțe se nume ște :
a) două forțe de aceeași orientare (prin orientare intelegand direcția și sensul ) ,
aceeași mărime sau modul dar cu puncte de aplicați e diferite ;
Modulul 2 – MECANICA vol I STATICA
48
b) două sisteme de forțe ce acționează asupra unui punct material sau unui solid rigid și au
același efect mecanic asupra lui forta axiala
c)
n iZYXFi ii i ,…,2,1 , ,,
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………….
3 Un sistem de fo rțe ce acționează asupra unui punct material se scrie:
a)
tgR
RX
Yx
yi
in
i
in
1
1
b)
n iZYXFi ii i ,…,2,1 , ,,
c) Ca orice sistem echivalent
d) de incovoiere cu taiere
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………….
4 Rezultanta unui sistem de forțe se obtine:
a) grafic ,
b) analitic
c) prin compunere
d) prin adunare algebrică
e) prin adunare vectorială
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………….
5 Direcția rezultantei unui sistem de forțe concurente coplanare este data de formula:
a)
tgR
RX
Yx
yi
in
i
in
1
1
b) de răsucire
c)
n iZYXFi ii i ,…,2,1 , ,,
d) De adunare vectorială
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………….
Modulul 2 – MECANICA vol I STATICA
49
Dacă ați terminat de răspuns la testele grilă de mai sus, verificați -vă răspunsurile
date confruntându -le cu cele din tabelul u rmător:
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. a
2. a
3. b
4. a,b,e
5. a
Rezumatul acestui Capitol:
În acest modul ați aflat cum puteti sa reduceti forțele ce acționează asupra punctului
material , ce constituie un sistem de forțe concurente . Sa puteti det ermina un sistem
echivalent mai simplu , care să aibă același efect asupra punctului material , ca sistemul de
forțe dat , deci a reduce sistemul de forțe la ceva deosebit de simplu al carui efect imediat
sa poata fi sesizat
Bibliografie obligatorie
[1] Mariana Adriana PRICHICI . – Mecanica Vol.1 :Statica /Oradea:Editura
Universit ății din Oradea ISBN 973 -9416- 61-6, 1999
[2] Mariana Adriana PRICHICI Mecanica – indrumator de laborator si teme de casa
Vol. 1. – Ed. a 2 -a, rev Ed. Universit ății Oradea- ISBN 973-613-481-4 ,66 pg. 2014
ISBN 978-606-10-1396 -8 . – ISBN 978 -606-10-1397- 5
Modulul 2 – MECANICA vol I STATICA
50
Bibliografie disponibilă on -line
[1] http://distance.iduoradea.ro/course/view.php?id=984
[2] http://distance.iduoradea.ro/file.php/984/Capitol%202.pdf
Bibliografie suplimentară (facultativă)
[1] Radoi , T , Deciu , A , Mecanica , Ed. Didactica si Pedagogica Bucuresti , 1982
[2] Ripianu , A, Statica , Ed.Institutului Politehnic Cluj – Napoca , 1981
[3] Ripianu , A, … Mecanica tehnica , Ed, Didactica si pedagogica
Bibliografie
[1] Hutte, Manualul inginerului. Fundamente Editura Tehnica, Bucuresti,1995
[2] Tocaci , E., Mecanica , Ed. Didactica si pedagogica Bucuresti , 1985
Modulul 3 – MECANICA vol I STATICA
51
MODULUL: 3
ECHILIBRUL PUNCTULUI MATERIAL
Obiective educaționale
În urma parcurgerii acestui modul veți ști:
-să puneți condițiile de echilibru static atat contiția vectorială de echilibru cat și
condția scalara de echilibru static.
– veți putea determina numărul de grade de libertate a solidul ui rigid sau a pinctului
material.
– daca un corp este liber sau este supus la legaturi.
Cuvinte cheie:
Echilibru static, condiție vectorială de echilibru, condția scalara de echilibru static ,
grade de libertate.
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE NR. 3
În urma parcurgerii acestui modul veți ști:să puneți condițiile de echilibru static atat
contiția vectorială de echilibru cat și condția scalara de echilibru static.
De asemenea veți putea determina numărul de grade de libertate a solidului rigid
sau a pinctului material.
Veti putea stabili daca un corp este liber sau este supus la legaturi
3
Timpul mediu necesar pentru studiu: 120minute.
Modulul 3 – MECANICA vol I STATICA
52
3.1 GRADE DE LIBERTATE
Punctul material liber poate ocupa orice pozi ție în spa țiu . C ând una dintre
deplas ări a sa este împiedicat ă printr-o restricț ie geometric ă (de obicei o curb ă dau o
suprafa ță ), punctul material este supus la leg ături .
Prin defini ție , prin num ărul gradelor de libertate se înțelege , num ărul
parametrilor scalari independen ți ce definesc pozi ția unui corp la un moment dat .
De exemplu ( fig . 3.1 ), pentru a defini pozi ția unui punct material M în spa țiu este
necesar a se cunoaș te vectorul s ău de pozi ție dat de relația ( 3 . 1 ) deci coordonatele x , y ,
z ale punctului M în sistemul cartezian Oxyz , care sunt func ții reale , continue ,
reciproc independente , ce depind numai de timp :
rxtiytjztk
( 3 . 1 )
Prin urmare , punctul material are în spa țiu trei gradede libertate trei parametri scalari
independen ți ce definesc pozi ția sa la un moment dat.
În plan pozi ția punctului material este cunoscut ă atunci c ând se cunosc dou ă
coordonate în raport cu un sistem de referint ă cartezian , care de asemenea sunt func ții de
timp ,reale , continuii , și reciproc independente . Vectorul de pozi ție al punctului M în
plan este :
rxtiytj ( 3 . 2 )
Fig.3.1
Modulul 3 – MECANICA vol I STATICA
53
Dacă a i înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să răspunzi la întrebarea .:
Câte gradede libertate are punctul material în spațiu ți
câți parametri definesc poziția sa la un moment dat ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
…………………………………………………………….. ………………..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
…………………………………………… ………………………………….
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Punctul material are în spațiu trei gradede libertate trei
parametri scalari independenți ce definesc poziția sa
la un moment dat .
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
3.2 ECHILIBRUL PUNCTULUI MATERIAL LIBER
Un punct material este în echilibru când asupra sa ac ționeaz ă un
sistem de for țe în echilibru . Deci pe baza principiului iner ției și al ac țiunii for ței ,
condi ția necesar ă și suficient ă pentru ca un punct material s ă își păstreze starea de
repaus sau de mi șcare rectilinie și uniform ă este ca rezultanta sistemului de for țe ce
acționeaz ă asupra lui s ă fie nul ă :
0:0
1 1 1 1
kRjRiRkZ jY iX F RsauR
z y xn
iin
iin
iin
ii
( 3 . 3 )
Modulul 3 – MECANICA vol I STATICA
54
Aceast ă condi ție de echilibru scrisă sub forma unei relații vectoriale se poate scrie
sub forma unui sistem de trei ecua ții de echilibru scalare pentru sistemele de for țe spa țiale
și de dou ă ecua ții de echilibru scalare în cazul sistemelor de for țe coplanare, proiect ând
relația ( 3 . 3 ) pe axele unui sistem de referin ță cartezian :
în spa țiu :
R X
R Y
R Zx i
in
y i
in
z i
in
1
1
10
0
0, ( 3. 4 )
î n plan:
R X
R Yx i
in
y i
in
1
10
0 ( 3 .5 )
OBSERVA ȚII
* -În cazul în care reducerea sistemului de for țe în echilibru se face pe cale grafic ă ,
trebuie ca poligonul for țelor s ă se închid ă ( vârful ultimei for țe să coincid ă cu punctul de
aplica ție al primei for țe din sistem).
* -Numă rul de ecua ții de echilibru static ce pot fi scrise este trei în spa țiu și dou ă în
plan , ceea ce duce la posibilitatea de calcul a celor trei respectiv doi parametri
scalari ce definesc pozi ția de echilibru în spa țiu respectiv în plan .Deci , num ărul de
ecuații de echilibru static fiind egal cu num ărul de necunoscute , se spune c ă
problema este static determinat ă . Dac ă acest num ăr de ecua ții de echilibru ar fi mai
mic dec ât num ărul de necunoscute , problema supus ă spre rezolvare ar fi static
nedeterminat ă.
Modulul 3 – MECANICA vol I STATICA
55
Dacă a i înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să . răspunzi la întrebarea :
Când u n punct material este în echilibru ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………. …………………………………
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Un punct material este în echilibru când
asupra sa acționează un sistem de forțe în echilibru
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, p entru a le aprofunda.
3.3 ECHILIBRUL PUNCTULUI MATERIAL SUPUS LA LEG ĂTURI
Un punct material asupra c ăruia ac ționeaz ă un sistem de for țe concurente în echilibru , dar
care nu poate ocupa orice pozi ție în spa țiu sau plan , fiind supus unei restric ții oarecare ,
este un punct material supus la leg ături .El este obligat s ă se afle permanent pe o suprafa ța
sau pe o curb ă . Suprafa ța sau curba fiind considerate modele ale leg ăturii . Interacț iunea
dintre corp și legătură se materializeaz ă , conform axiomei l egăturilor ,ce spune c ă “ se
suprim ă leg ătura și se introduc elementele mecanice ce au asupra punctului material
acela și efect ca și legătura considerat ă “ .Aceste elemente mecanice se numesc forțe de
legătură sau reac țiuni .
Deci , asupra punctului material supus la leg ături ac ționeaz ă două sisteme de for țe :
-Sistemul de forț e active , direct aplicate , de rezultant ă Rd
R F RiRjRkd di
in
dx dy dz
1
( 3 . 6 )
Modulul 3 – MECANICA vol I STATICA
56
-Sistemul de forț e de leg ătură , a c ăror rezultant ă este R l
R F RiRjRkl li
in
lx ly lz
1
( 3 . 7 )
Echilibrul punctului material supus la leg ături se studiaz ă în mod identic cu echilibrul
punctului material liber , dar ținînd cont de ambele sisteme de for țe enun țate anterior .
Deci , condi ția vectorial ă de echilibru se exprim ă sub forma :
R Rd l0 ( 3 . 8 )
Dacă relația ( 3 . 8 ) se proiecteaz ă pe axele sistemului de referin ță cartezian , ținând cont
de rela țiile ( 3 . 6),( 3 . 7 ) și se ob ține :
în spa țiu:
R R
R R
R Rdx lx
dy ly
dz lz
0
0
0 ( 3 . 9 )
î n plan :
R R
R Rdx lx
dy ly
0
0 ( 3 . 10)
Relațiile ( 3 .9) și ( 3 . 10 ) reprezint ă condi țiile scalare de echilibru pentru punctul
material supus la leg ături . Deci , s-au putut scrie trei ecua ții și respectiv două ecua ții de
echilibru static în spa țiu și respectiv în plan . Num ărul de ecua ții de echilibru static fiind
egal în fiecare caz în parte cu num ărul de necunoscute ( paramertii scalari
independenț i ce caracterizeaz ă pozi ția punctului material în spa țiu sau în plan ) , se spune
că problema în studiu , respectiv a echilibrului punctului material este o problem ă static
determinat ă .
3.3.1 CLASIFICAREA LEG ĂTURILOR
Legătură unilateral ă este leg ătura ce împiedic ă deplasarea punctului material într-o
singur ă direc ție : restric ția geometric ă este o suprafa ță plan ă ( punct material pe o
suprafa ță plan ă ), sau un fir punctul aterial este suspendat se un fir inextensibil );
Legătură bilateral ă este leg ătura ce împiedic ă deplasarea punctului material în dou ă
direc ții , restric ția geometric ă este o curb ă ( de exemplu o bil ă pe un inel rigid , o bil ă
între două suprafe țe parelele la distan ță egal ă cu diametrul bilei );
Legătură ideal ă ( f ără frecare ), este leg ătura punctului material ce sprijin ă pe o
suprafa ță sau pe o curb ă lucie
( fără frecare sau neglij ând frecarea ) ;
Legătura real ă ( cu frecare ), este legă tura ce exist ă în realitate , la care se ține seam ă
de frecarea ce exist ă între punctul material și suprafa ța sau curba pe care sprijin ă .
Modulul 3 – MECANICA vol I STATICA
57
:
Dacă a i înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să . răspunzi la întrebarea .:
Enunțati principiul forțelor de legătură?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
…………………………………………………. ……………………………
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………….. ……………………………………………..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
“ se suprimă legătura și se introduc elementele
mecanice ce au asupra punctului material același
efect ca și legătura considerată ?
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Subiecte pentru autoevaluare:
Întreb ări de autoevaluare
1 Ce intelegeti prin punct material în echilibru ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
Modulul 3 – MECANICA vol I STATICA
58
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Un punct materi al este în echilibru când asupra sa acționează un sistem de forțe în
echilibru.
2. Cum se calculeaza proiectiile rezultantei unui sistem de forțe coplanare ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Proiectiile rezultantei unui sistem de forțe coplanare se calculează:
R X
R Yx i
in
y i
in
1
10
0
3 . Cum se calculeaza proiectiile rezultantei unui sistem de forțe oarecare ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Proiectiile rezultantei unui sistem de forțe oarecare se calculează:
.
R X
R Y
R Zx i
in
y i
in
z i
in
1
1
10
0
0,
Modulul 3 – MECANICA vol I STATICA
59
4. Care este condiția necesară și suficientă pentru ca un punct material să își păstre ze
starea de repaus sau de mișcare rectilinie și uniformă ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Condi ția necesar ă și suficient ă pentru ca un punct material s ă își păstreze starea de repaus
sau de mi șcare rectilinie și uniform ă este ca rezultanta sistemului de for țe ce acț ioneaz ă
asupra lui s ă fie nul ă.
5. Când este vorba despre un punct material în echilibru ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Un punct material este în echilibru când asupra sa acționează un sistem de forțe în
echilibru
Dacă ați terminat de răspuns la întrebările de mai sus, verificați -vă răspunsurile date
confruntându -le cu materialul teoretic prezentat în acest Capitol .
Nu ați răspuns corect la toate întrebările? Nu fiți dezamăgiți,
căci vă recomandăm să reparcurgeți materialul teoretic și cu
siguranță veți putea răspunde acestor întrebări. E simplu! Puteți
de asemenea, să vă notați eventualele nelămuriri, pentru a le
clarifica în cadrul Activității tutoriale (AT) .
Ați răspuns corect la toate întrebările? FELICITĂRI!!!
Continuați parcurgerea acestui Capitol pentru a vă pregăti
corespunzător în vederea atingerii obiectivelor stabilite pentru
acest Capitol .
Teste grilă pentru autoevaluare:
1 Proiectiile rezultantei unui sistem de forțe coplanare :
a) sunt nule .
Modulul 3 – MECANICA vol I STATICA
60
b)
R X
R Yx i
in
y i
in
1
10
0
c)
R X
R Y
R Zx i
in
y i
in
z i
in
1
1
10
0
0,
d) sunt moment de torsiune
Răspunsul pe care îl consideri core ct este: ……………………….
2 Punctul material are in plan :
a) trei grade de libertate ,
b) doua grade de libertate
c) sase grade de libertate
d)patru grade de libertate
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………….. ……..
3 Punctul material are in spatiu :
a) trei grade de libertate ,
b) doua grade de libertate
c) sase grade de libertate
d)patru grade de libertate
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
4 Proiectiile rezultantei unui sistem de forțe oarecare:
a) sunt nule .
Modulul 3 – MECANICA vol I STATICA
61
b)
R X
R Yx i
in
y i
in
1
10
0
c)
R X
R Y
R Zx i
in
y i
in
z i
in
1
1
10
0
0,
d) sunt grade de libertate
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
5 Un punct material este liber când :
a) asupra lui acționeaza un sistem de forțe in echilibru .
b) poate ocupa orice poziție in plan
c) poate ocupa orice poziție in spatiu
d) asupra lui acționeaza un sistem de forțe nule
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
Dacă ați terminat de răspuns la testele grilă de mai sus, verificați -vă răspunsurile
date confruntându -le cu cele din tabelul următor:
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. b
2. b
3. a
4. c
5. b,c
Modulul 3 – MECANICA vol I STATICA
62
Subiecte pentru evaluare și control
Întrebări de evaluare
1Ce este l egătura reală ( cu frecare )?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Legătura reală ( cu frecare ), este legătura ce există în realitate , la care se ține seamă de
frecarea ce există între punctul material și suprafața sau curba pe care sprijină .
2 Care este ondiția vectorială de echilibru în plan a punctului material supus la legături ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Condiția vectoriala de echilibru în plan a punctului material supus la legaturi este:
R R
R Rdx lx
dy ly
0
0
3 Care este condiția vectorială de echilibru în spațiu a punctului material supus la
legături ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Modulul 3 – MECANICA vol I STATICA
63
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Condiția vectoriala de echilibru în spațiu a punctului material s upus la legaturi este:
R R
R R
R Rdx lx
dy ly
dz lz
0
0
0 .
4.Ce este o legatura reală ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Legatura reală -cu frecare etse legatura la care se ține seama de forța de frecare.
5.Ce este o legatură lucie ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Legatura lucie este legatura punctului material fara frecare.
Teste grilă:
1 Leg ătură unilateral ă este legătura
Modulul 3 – MECANICA vol I STATICA
64
a) ce împiedică deplasarea punctului material într -o singură direcție :
b) restricția geometrică este o suprafață plană ( punct material pe o suprafață plană ),
c) un fir sau punctul material este suspendat se un fir inextensibil ;
d) ce r ăsucește punctul material î n sens trigonometric
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
2 Leg ătură bilateral ă este legătura :
a)ce împiedică deplasarea punctului material î n dou ă direc ții
b)restricția geometrică este o suprafață plană
c)punctului material pe o suprafață plană
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
3.Legătura unulaterală ca model al legăturii punctului material este:
a) atunci când restricția geometrică este o curbă
b) de exemplu o bilă pe un inel rigid ,
c) atunci când restricția geometrică este suprafață
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
4 Exemplu de legături bilaterale sunt:
a) punct material pe o curba lucie
b) o bilă între două suprafețe parelele la distanță egală cu diametrul bilei
c) o bilă pe un inel rigid
d) punct material pe p suprafață lucie .
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
5.Leg ătură ideal ă este
a) legătura fără frecare ,
b) legătura punctului material ce sprijină pe o suprafață lucie
c) legătura punctului material ce sprijină pe o curbă lucie
d ) legătura punctului material ce sprijină fără frecare sau neglij ând frecarea ;
Modulul 3 – MECANICA vol I STATICA
65
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
1- Dacă ați terminat de răspuns la testele grilă de mai sus, verificați -vă
răspunsurile date confruntân du-le cu cele din tabelul următor:
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. a, b,c
2. a
3. c
4. b,c
5. a, b,c,d
Rezumatul acestui Capitol:
S-a văzut care sunt condițiile de echilibru static pentru ca un punct material sa fie in
echilibru. Proiectrand condiți a de echilibru vectorială pe axele sistemului de referința
cartezian se obține contiția de echilibru static sau condția scalară de echilibru static.
De asemenea s-a putut determina numărul de grade de libertate a punctului
material in spațiu ca fiind trei și în plan do uă.
S- a stabilit apoi când un punct material este liber sau este supus la leg ături,care
sunt tipurile de leg ături reale (cu frecare) sau ideale (fără frecare), unilaterale sau
bilaterale.
Bibliografie obligatorie
[1] Mariana Adriana PRICHICI . – Mecanica Vol.1 :Statica /Oradea:Editura
Universității din Oradea ISBN 973 -9416- 61-6, 1999
[2] Mariana Adriana PRICHICI Mecanica – indrumator de laborator si teme de casa
Vol. 1. – Ed. a 2 -a, rev Ed. Universit ății Oradea- ISBN 973 -613-481-4 ,66 pg. 2014
ISBN978 -606-10-1396 -8 . – ISBN 978 -606-10-1397- 5
Modulul 3 – MECANICA vol I STATICA
66
Bibliografie disponibilă on -line
[1] http://distance.iduoradea.ro/course/view.php?id=984
[2] http://distance.iduoradea.ro/file.php/984/Capitol%202.pdf
Bibliografie suplimentară (facultativă)
[1] Rădoi , T , Deciu , A , Mecanica , Ed. Didactică și Pedagogică București , 1982
[2] Ripianu , A, Statica , Ed.Institutului Politehnic Cluj – Napoca , 1981
[3] Ripianu , A, … Mecanica tehnică , Ed, Didactică și pedagogică Bucuraști , 1982
Bibliografie
[1] Hutte, Manualul inginerului. Fundamente Editura Tehnica, Bucuresti,1995
[2] Tocaci , E., Mecanica , Ed. Didactică și pedagogică București , 1985
Modulul 4 – MECANICA vol I STATICA
67
MODULUL 4:
ECHILIBRUL PUNCTULUI MATERIAL SUPUS LA
LEG ĂTURI IDEALE
Obiective educaționale
În urma parcurgerii acestui modul veți ști:
-să determinați condiții de echilibru pe curbe și suprafețe lucii condiții vectoriele,
condiții analitice ;
– să determinați condiții de echilibru pe curbe și suprafețe aspre condiții vectoriele,
condiții analitice;
-să determinați sisteme static determinate sau nedeterminate
.
Cuvinte cheie:
Legături ideale, legături fără frecare, curbă lucie, suprafață lu cie
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE NR. 4
În urma parcurgerii acestui modul veți fi capabili de a determina condiții de
echilibru a punctului material ce sprijină pe suprafețe sau curbe lucii ( curbe sau suprafețe
fără frecare) atât analitic cât și vectorial să impuneți condițiile vectoriale de echilibru, să
determinați sistemele de ecuații de echilibru static, să observați că echilibrul punctului
material pe suprafețe sau curbe lucii sunt sisteme static determinate, respectic numarul de
ecuații de echilibru static este egal cu num ărul de necunoscute ce intervin în problema
echilibrului.
4
Timpul mediu necesar pentru studiu 120 minute.
Modulul 4 – MECANICA vol I STATICA
68
4.1 CAZUL PUNCTULUI MATERIAL CE SPRIJIN Ă PE O SUPRAFA ȚĂ
Se consideră punctul material M ce sprijin ă pe o suprafa ță ( S ) lucie (fara frecare) ,
aflat sub ac țiunea unui sistem de for țe direct aplicate a c ărui rezultant ă Rd poate fi scris ă cu
ajutorul expresiei ( 3 . 8 ) . Se consider ă în punctul M pe suprafa ța (S) , normala , a c ărui
versor este
n , cunoscut , și planul tangent [ T ] in punctul M la suprafa ța (S) ( fig.
4.1).
Fig.4.1
Suportul rezultantei R d împreună cu normala de versor n formează planul I N I
Intersec ția dintre planul INI și planul tangent [T] d ă dreapta [] .
T N (4.1 )
Se descompune rezultanta for țelor direct R d aplicate dup ă direc ția normalei ob ținându-se
componenta R dn și dup ă direc ția tangentei [ ] , ob ținându-se componenta R dt.
Componenta R dn tinde s ă desprindă punctul material de pe suprafa ța (S) . Acestei
componente i de opune reac țiunea normal ă N , egal ă și de sens contrar cu R dn .
Componenta R dt tinde s ă deplaseze punctul material pe suprafa ța (S). Dac ă aceasta este
lucie , f ără frecare , aceast ă componentă trebuie s ă fie nul ă .
Din cele dou ă observa ții rezult ă că pentru echilibru , trebuiesc îndeplinite condi țiile
vectoriale :
R N
Rdn
dt
0
0 ( 4 . 2)
Modulul 4 – MECANICA vol I STATICA
69
sau , pentru echilibru rezultanta for țelor direct aplicate s ă fie dirijat ă după direc ția normalei
la suprafa ță în orice punct. Proiect ând prima rela ție ( 4 . 2 ) pe axele unui sistem de
referință cartezian , ț inând cont de relaț ia ( 3 .6) și de rela ția :
NNiNjNkx y z ( 4 . 3)
se obț ine :
R N
R N
R Ndx x
dy y
dz z
0
0
0 ( 4 . 4 )
STUDIU ANALITIC
Dacă suprafa ța (S) este cunoscut ă cu ajutorul unei ecuaț ii de forma :
fxyz,,0 ( 4 . 5 )
versorul normalei î ntr-un punct este dat de gradientul func ției :
nf
xif
yjf
zk
( 4 . 6 )
iar expresia reac țiunii normale dirijate dup ă normal ă va fi :
N nf
xif
yjf
zk
( 4 . 7 )
în care reprezint ă modulul reac țiunii normale .
Condi ția vectorial ă de echilibru ( 4 . 2 ) , proiectat ă pe axele sistemului de referin ță
cartezian , ț inând cont de rela țiile ( 4 . 6) relația ( 4 . 4 ) ,devine :
Rf
x
Rf
y
Rf
z
fxyzdx
dy
dz
0
0
0
0 ,, ( 4 . 8 )
Modulul 4 – MECANICA vol I STATICA
70
Sistemul ob ținut a fost completat cu ecua ția suprafe ței pe care sprijin ă punctul
material , deoarece , coordonatele punctului trebuie s ă se g ăseasc ă pe suprafa ța ( S) la
echilibru , deci au fost ob ținute patru ecuaț ii cu patru necunoscute : cele trei coordonate ce
definesc pozi ția de echilibru , dar și modulul reac țiunii normale ce nu se cunoa ște . Deci
numărul de ecua ții scalare ce se pot scrie este egal cu num ărul de necunoscute ,
problema echilibrului punctului material pe o suprafa ță este deci o problem ă static
determinat ă .
Sistem static determinat presupune c ă num ărul de ecuații de echilibru static ce pot
fi scrise din condiția de echilibru static , să fie mai mare sau la limit ă egal cu num ărul de
necunoscute ce intervin.
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să raspundeți la întreba rea:
Cum se exprima marimea reacțiunii normale cu
ajutorul versorului normalei n?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
……………… ……………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………….. ..
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Se se exprima mărimea reacțiunii normale cu ajutorul
versorului normalei n:
N nf
xif
yjf
zk
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra p aragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Modulul 4 – MECANICA vol I STATICA
71
4.2 CAZUL PUNCTULUI MATERIAL CE SPRIJINA PE O CURBA
Fie punctul material M ce sprijin ă pe curba ( Γ) ( fig 4.2). În punctul de sprijin ,
rezultanta for țelor direct aplicate este R d ; fie tangenta [ ] și planul normal INI în M . R d și
tangenta [] determin ă planul ITI . Acesta , intersectat cu planul normal INI dă dreapta
normal ă [n] .
n T N ( 4 . 8 )
În mod analog echilibrului punctului material ce sprijin ă pe o suprafat ă , se descompune
rezultanta R d pe cirec ția normalei și tangentei și se ob țin R dt , R dn .
Fig.4.2
* Componenta R dn tinde s ă desprindă punctul material de pe curb ă ; ei i se opune
reacțiunea normal ă N , egal ă și de sens contrar ;
* Componenta R dt tinde s ă deplaseze punctul material pe curb ă . Dac ă punctul
material sprijin ă fără frecare , pentru echilibru , aceast ă component ă trebuie s ă fie nul ă .
Deci condiț ia de echilibru scrisă sub forma vectorial ă este :
R Ndn0 ( 4 . 9 )
sau , ținând cont de rela țiile ( 3 .6 ) și ( 4 . 3) , se scrie condi ția scalară de echilibru sub
forma rela țiilor :
Modulul 4 – MECANICA vol I STATICA
72
R N
R N
R Ndx x
dy y
dz z
0
0
0 ( 4 . 10 )
STUDIU ANALITIC
Dacă , curba (Г ) se cunoa ște analitic sub forma intersec ției dintre dou ă plane a că ror
ecuații sunt :
fxyz
fxyz1
20
0,,
,,
( 4 . 11 )
Consider ând reac țiunea normal ă descompus ă după normalele la cele dou ă suprafe țe ea
se poate scrie :
kzf
zfjyf
yfixf
xfN
2
21
12
21
12
21
1 ) (
( 4. 12 )
relația ( 4.12 ) proiectat ă pe axele sistemului cartezian devine :
Rf
xf
x
Rf
yf
y
Rf
zf
z
fxyz
fxyzdx
dy
dz
11
22
11
22
11
22
1
20
0
0
0
0,,
,, ( 4 . 13 )
Sistemul de ecua ții de echilibru scalar a fost completat cu ecua țiile celor dou ă
plane , deparece , punctul material trebuie s ă se g ăseasc ă la echilibru pe curba
(Г). Deci se ob țin cinci ecua ții cu cinci necunoscute : coordonatele punctului M
(trei) și modulele reac țiunii no rmale – doua ( care se compun apoi dup ă regula
paralelogramului ) .
Deci num ărul de ecua ții scalare ce se pot scrie din condiția de echilibru s tatic, este
egal cu num ărul de necunoscute , problema echilibrului punctului material pe o curbă lucie
este deci o problem ă static determinat ă .
Modulul 4 – MECANICA vol I STATICA
73
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să ………………………………:
Cum se se explica faptul ca echilibrul punctului
material pe o suprafață lucie este o problemă static
determinată .
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………….. ……………..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………… ……………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Numărul de ecuații scalare ce se pot scrie din
condiția de echilibru static, este egal cu numărul de
necunoscute , problema echilibrului punctului material
pe o suprafață lucie e ste deci o problemă static
determinată .
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
4.3ECHILIBRUL PUNCTULUI MATERIAL CU LEG ĂTURI
REALE
GENERALIT ĂȚI . LEGILE LUI COULOMB
Existen ța frec ării se pune în eviden ță cu ajutorul unui experiment extrem de simplu . Pe
o suprafa ță aspr ă ( deci cu frecare ) sprijin ă un corp de greutate G . Prin intermediul
unui scripete , aplică m greut ăți din ce în ce mai mari . Corpul nu se mi șcă până la o
Modulul 4 – MECANICA vol I STATICA
74
anumit ă valoare a for ței. Deci exist ă o for ță de sens opus mi șcării , for ță ce se datoreaz ă
asperit ăților suprafe țelor ce vin în contact (fig.4.3). Rezultanta for țelor de leg ătură ,
forțe ce sunt formate din : componenta normală , ce se opune greut ății corpului , și forța
de frecare ce se opune mi șcării , face cu normala la suprafa ță un unghi α . Pentru
valoarea for ței de frecare maxim ă ( ultima valoare a for ței pentru care corpul nu se
mișcă , rămânând în echilibru ) îi corespunde αmax= , în care tg=μ . μ se numeș te
coeficient de frecare de alunecare , depinde de natura și starea suprafe țelor ce vin în
contact , este un coeficient adimensional . Deci , dac ă corpul este în echilibru p ână când
este egalat ă forța de frecare , ecua ția se echilibru static trebuie completat ă cu condi ția :
0F Ff fmax ( 4 . 14 )
În figura 9 se observ ă că dacă se exprim ă tangenta unghiului , se ob ține pentru for ța
de frecare urm ătoarea expresie :
F tg N Nfmax ( 4 . 15 )
Analiz ând rela ția ( 4 . 15 ) se pot enun ța legile frec ării , legi enun țate pentru prima oar ă
de Coulomb :
1. Forța de frecare depinde de ap ăsarea dintre cele dou ă suprafe țe ( N=G );
2. Forța de frecare depinde de natura și starea celor dou ă suprafe țe ce vin în contact ,
prin intermediul coeficientului de frecare de alunecare ;
3. Forța de frecare nu depinde de m ărimea suprafe țelor ce vin în contact ;
4. Forța de frecare depinde de viteza relativ ă dintre cele dou ă suprafe țe conform
graficului din figura 4.4.
Fig.4.3
Modulul 4 – MECANICA vol I STATICA
75
Fig.4.4
Din grafic se observ ă că pentru v=0 coeficientul de frecare are o valoare ceva mai
mare dec ât pentru viteze diferite de 0 . Acest coeficient se nume ște coeficient de frecare
de aderen ță . De asemenea se observ ă o ușoară și lent ă creștere a coeficientului de
frecare de alunecare , dar acest lucru se produce la valori foarte mari ale vitezei relative
dintre corpuri .
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să .răspunzi la întrebarea .:
Cum se numește coeficient ul de frecare de alunecare
pentru viteze egale cu 0 ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
…………………………………… ………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
…………………. ……………………………………………………………
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Acest coeficient pentru viteze egale cu 0 se nume ște
coeficient de frecare de aderen ță
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Modulul 4 – MECANICA vol I STATICA
76
Subiecte pentru autoevaluare:
Întrebări de autoevaluare
1.Enumerați legile frecării ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Legile frecării sunt:
Forța de frecare depinde de apăsarea dintre cele două suprafețe ( N=G );
Forța de frecare depinde de natura și starea celor două suprafețe ce vin în contact , prin
intermediul coeficientului de frecare de alunecare ;
Forța de frecare nu depinde de mărimea suprafețelor ce vin în contact ;
2.Care sunt ecuațiile de echilibru static in cazul punctului material ce sprijina pe o curbă
lucie?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Modulul 4 – MECANICA vol I STATICA
77
Ecuațiile de echilibru static in cazul punctului material ce sprijină pe o curbă luci e
sunt:
Rf
xf
x
Rf
yf
y
Rf
zf
z
fxyz
fxyzdx
dy
dz
11
22
11
22
11
22
1
20
0
0
0
0,,
,,
3. Ce este coeficientul de frecare de alunecare?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Pentru valoarea forței de frecare maximă ( ultima valoare a forței pentru care corpul
nu se mișcă , rămânând în echilibru ) și corespunde φmax= , în care tg =μ . μ se
numește coeficient de frecare de alunecare ,
5. De ce depinde coeficientul de frecare de alunecare ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Coeficientul de frecare de alunecare depinde de natura și starea suprafețelor ce vin în
contact.
5.Care este unitatea de masură a coeficientului de frecare de alunecare?
Scrie răspunsul tău aici:
Modulul 4 – MECANICA vol I STATICA
78
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Coeficientul de frecare de alunecare, este un coeficient adimensional
Dacă ați terminat de răspuns la întrebările de mai sus, verificați -vă răspunsurile date
confruntându -le cu materialul teoretic prezentat în acest Capitol .
Nu ați răspuns corect la toate întrebările? Nu fiți dezamăgiți,
căci vă recomandăm să reparcurgeți materialul teoretic și cu
siguranță veți putea răspunde acestor întrebări. E simplu! Puteți
de asemenea, să vă notați eventualele nelămuriri, pentru a le
clarifica în cadrul Activității tutoriale (AT) .
Ați răspuns corect la toate întrebările? FELICITĂRI!!!
Continuați parcurgerea acestui Capitol pentru a vă pregăti
corespunzător în vederea atingerii obiectivelor stabilite pentru
acest Capitol .
Teste grilă pentru autoevaluare:
1 Valoarea coeficientului de frecare de alunecare mai mare pentru v=0 presupune:
a)suprafețele în contact aderă
b) coeficient de frecare de aderență
c) coeficient de frecare de alunecare zero
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
2 Valoarea coeficientului de frecare de alunecare variaz ă în funcție de:
a) natura suprafețelor
b) mărimea suprafețelo r în contact
c)viteza dintre suprafețe
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
3 Legile frecării au fost stabilite de către:
a) Isac Newton.
b)Coulomb
c)Cu ajutorul tribometrului
Modulul 4 – MECANICA vol I STATICA
79
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
4 Curba lucie presupune :
a)Curba aspră
b)curba fără frecare
c)modelul mecanic la care două dimensiuni comparabile între ele sunt mult mai mari decât
a treia numită grosime
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
5 Curba aspră presupune
a)Curba lucie
b)curba cu frecare
c)relația lui Navier
Răspunsul pe care îl consideri corect este: …………….. ………..
Dacă ați terminat de răspuns la testele grilă de mai sus, verificați -vă răspunsurile
date confruntându -le cu cele din tabelul următor:
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. a,b
2. a
3. b
4. b
5. b
Subiecte pentru evaluare și control
Întrebări de evaluare
1. Ce condiții trebuie îndeplinite pentru echilibru î n cazul în care punctul
material sprijină pe o suprafață lucie ?
Scrie răspunsul tău aici:
Modulul 4 – MECANICA vol I STATICA
80
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
In cazul în care punctul material sprijină pe o suprafață lucie pentru echilibru trebuie
îndeplinite următoarele condiții :
Rf
x
Rf
y
Rf
z
fxyzdx
dy
dz
0
0
0
0 ,,
2 Ce condiții trebuie îndeplinite pentru echilibru în cazul în care punctul
material sprijină pe o curbă lucie ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
In cazul în care punctul material sprijină pe o curbă lucie pentru echilibru trebuie
îndeplinite următoarele condiții:
Modulul 4 – MECANICA vol I STATICA
81
Rf
xf
x
Rf
yf
y
Rf
zf
z
fxyz
fxyzdx
dy
dz
11
22
11
22
11
22
1
20
0
0
0
0,,
,,
3.Cum se scrie reacțiunea normală în cazul punctului material ce s prijina pe o
curba lucie?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Reacțiunea normală în cazul punctului material ce sprijină pe o curb ă lucie
,
se scrie:
kzf
zfjyf
yfixf
xfN
2
21
12
21
12
21
1 ) (
4.Ce presupune un sistem static determinat ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Modulul 4 – MECANICA vol I STATICA
82
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
problemă static determinată este când i numărul de ecuații scalare ce se pot sc rie din
condiția de echilibru static, este egal sau mai mare decât numărul de necunoscute
5. Problema echilibrului punctului material pe o curbă lucie este o problemă static
determinată sau nu ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Numărul de ecuații scalare ce se pot scrie din condiția de echilibru static, este egal cu
numărul de necunoscute , deci problema echilibrului punctului material pe o curbă
lucie este o problemă static determinată.
Teste grilă:
1 Reacțiunea normală in cazul ân care punctul material sprijina pe o curbă lucie se scrie :
a)
12
1 1 A I Ix yC yCI
b)
kzf
zfjyf
yfixf
xfN
2
21
12
21
12
21
1 ) (
Modulul 4 – MECANICA vol I STATICA
83
c)
Rf
xf
x
Rf
yf
y
Rf
zf
z
fxyz
fxyzdx
dy
dz
11
22
11
22
11
22
1
20
0
0
0
0,,
,,
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
2 Sistem static determinat presupune:
a) Numărul de ecuații scalare ce se pot scrie din condiția de echilibru static, este egal cu
numărul de necunoscute ,
b) problema echilibrului punctului material pe o curbă lucie este deci o problemă static
determinată
c) Numărul de ecuații scalare ce se pot scrie din condiția de echilibru static, este mai mare
decât numă rul de necunoscute
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
3 Sistem static ne determinat presupune:
a) Numărul de ecuații scalare ce se pot scrie din condiția de echilibru static, este mai mic
decât numărul de necunoscute ,
b) problema echilibrului punct ului material pe o curbă lucie este deci o problemă static
nedeterminată
c) Numărul de ecuații scalare ce se pot scrie din condiția de echilibru static, este mai mare
decât numărul de necunoscute
Răspunsul pe care îl consideri corect este: …………….. ………..
4 Ecuațiile de echilibru static pentru punctul material ce sprijina pe o suprafață lucie sunt :
a)
R N
R N
R Ndx x
dy y
dz z
0
0
0
Modulul 4 – MECANICA vol I STATICA
84
b)
Rf
xf
x
Rf
yf
y
Rf
zf
z
fxyz
fxyzdx
dy
dz
11
22
11
22
11
22
1
20
0
0
0
0,,
,,
c)
kzf
zfjyf
yfixf
xfN
2
21
12
21
12
21
1 ) (
5. Ecuațiile de echilibru static pentru punctul material ce sprijina pe o curbă lucie sunt:
a)
R N
R N
R Ndx x
dy y
dz z
0
0
0
b)
kzf
zfjyf
yfixf
xfN
2
21
12
21
12
21
1 ) (
c)
Rf
xf
x
Rf
yf
y
Rf
zf
z
fxyz
fxyzdx
dy
dz
11
22
11
22
11
22
1
20
0
0
0
0,,
,,
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
Modulul 4 – MECANICA vol I STATICA
85
Dacă ați terminat de răspuns la testele grilă de mai sus, verificați -vă răsp unsurile
date confruntându -le cu cele din tabelul următor:
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. b
2. a
3. a
4. a
5. c
Rezumatul acestui Capitol:
S- au determinat condiții de echilibru a punctului material ce sprijină pe suprafețe
sau curbe lucii ( curbe sau suprafețe fără frecare) atât analitic cât și vectorial s -au scris
condițiile vectoriale de echilibru, care proiectate pe axele sistemului cartezian au dus la
obținerea sistemelor de ecuații de echilibru static. S -a observat că echilibrul punctului
materia l pe suprafețe sau curbe lucii sunt sisteme static determinate, respectiv că numărul
de ecuații de echilibru static este egal cu numărul de necunoscute ce intervin în problema
echilibrului.
.
Bibliografie obligatorie
[1] Mariana Adriana PRICHICI . – Mecan ica Vol.1 :Statica /Oradea:Editura
Universității din Oradea ISBN 973 -9416- 61-6, 1999
[2] Mariana Adriana PRICHICI Mecanica – indrumator de laborator si teme de casa
Vol. 1. – Ed. a 2 -a, rev Ed. Universit ății Oradea- ISBN 973 -613-481-4 ,66 pg. 2014
ISBN9 78-606-10-1396 -8 . – ISBN 978 -606-10-1397- 5
Modulul 4 – MECANICA vol I STATICA
86
Bibliografie disponibilă on -line
[1] http://distance.iduoradea.ro/course/view.php?id=984
[2] http://distance.iduoradea.ro/file.php/984/Capitol%202.pdf
Bibliografie suplimentară (facultativă)
[1] Rădoi , T , Deciu , A , Mecanica , Ed. Didactică și Pedagogică București , 1982
[2] Ripianu , A, Statica , Ed.Institutului Politehnic Cluj – Napoca , 1981
[3] Ripianu , A, … Mecanica tehnică , Ed, Didactică și pedagogică Bucuraști , 1982
Bibliografie
[1] Hutte, Manualul inginerului. Fundamente Editura Tehnica, Bucuresti,1995
[2] Tocaci , E., Mecanica , Ed. Didactică și pedagogică București , 1985
Modulul 5 – MECANICA vol I STATICA
87
MODULUL 5:
ECHILIBRUL PUNCTULUI MATERIAL CU
LEG ĂTURI REALE
Obiective educaționale
În urma parcurgerii acestui modul veți ști:
– cum se determină condițiile vectoriele de echilibru static în cazul punctului material ce
sprijină pe o suprafață respectiv pe o curbă aspră
– cu ajutorul proiecțiilor pe axele sistemului de referință cartezian din aceste condiții de
echilibru vectoriale se vor obține sisteme de ecuații de echilibru static
-veți stabili ce fel de sisteme de echilibru sunt punctele materiale ce sprijina pe o suprafață
sau pe o curba reală
Cuvinte cheie:
curbă aspră , suprafață aspră, condiții de echilibru vectoriale , sisteme de ecuații de
echilibru static.
Unitatea de Învățare nr. 5
În acest Modul, veți afla cum se determină condițiile vectoriele de echil ibru static în
cazul punctului material ce sprijina pe o suprafață respectiv pe o curbă aspră ( cu
frecare). Cum se scriu aceste condiții vectoriale de echilibru cu ajutorul proiecțiilor pe
axele sistemului de referință cartezian obținând sisteme de ecuați i de echilibru static.
5
Timpul mediu necesar pentru studiu: 120.. minute.
Modulul 5 – MECANICA vol I STATICA
88
5.1 CAZUL PUNCTULUI MATE RIAL CE SPRIJIN Ă PE O
SUPRAFATA ASPR Ă
Studiul echilibrului punctului material ce sprijin ă pe o suprafa ță cu frecare se studiaz ă în
mod analog cu echilibrul pe o suprafa ță lucie , cu diferen ța că , sistemul de ecua ții de
echilibru static se mai completeaz ă cu o inecua ție ce se demonstreaz ă pornind de la
condi ția :
0 ( 5 . 1 )
Sau
N F Ff max 0 ( 5 . 2 )
condi ție ce deriv ă din rela ția ( 4 . 8 ) , adic ă , componentei R dt ( fig. 5.1 ) i se opune
forța de frecare , care respect ă condi ția ( 5 . 2 ) pentru echilibru . Deci,, în cazul
echilibrului cu frecare a punctului material pe o suprafață aspră , suportul rezultantei
forțelor direct aplicate trebuie s ă fie în interiorul sau la limită pe generatoarea a dou ă
conuri numite conuri de frecare ce se formeaz ă în jurul normalei la suprafa ță în punctul
M , ș i au unghiul la v ârf egal cu 2 (unde, tg=μ) (fig.5.1).
Fig.5.1
Dac ă inegalit ății ( 5 . 1 ) i se aplic ă func ția cosinus , ținând cont c ă aceast ă
funcție este descresc ătoare , rezult ă :
Modulul 5 – MECANICA vol I STATICA
89
cos cos ( 5 . 3 )
Deoarece este cunoscut ă valoarea tangentei unghiului ca fiind egal ă cu
coeficientul de frecare de alunecare μ , se va folosi relaț ia trigonometric ă ce transform ă
cosinusul în tangent ă pentru a face posibil ă aceast ă legătură :
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aic i, atunci te rog
să răspunzi la întrebarea :
Cum se scrie valoarea cosinusului unghiului pe care îl
fac doi vectori concurrent ( R d și n)?
…………………………………………………………………………….
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………. …………
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
………………………………………………….. …………………………..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
………………………………… …………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
………………. ………………………………………………………………
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Valoarea cosinusului unghiului pe care îl fac
doi vectori concurrent ( R d și n) este:
cosRn
Rnd
d .
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Modulul 5 – MECANICA vol I STATICA
90
cos
1
11
12 2tg ( 5 . 4 )
De asemenea , din geometria diferen țială este cunoscut ă valoarea cosinusului
unghiului pe care îl fac doi vectori concuren ți( R d și n) :
cosRn
Rnd
d
( 5 . 5 )
Ținând cont c ă într-un sistem cartezian se pot scrie rela țiile : ( 4 .6 ) , ( 4. 7 ) , ( 4
. 8 ) , ( 5 . 5 ) , condi ția ( 5 . 3 ) devine :
Rn Rn Rn
R R R nnndx x dy y dzz
dx dy dz x y z
2 2 2 2 2 2 21
1
( 5 . 6 )
5.2 CAZUL PUNCTULUI MATE RIAL CE SPRIJINA PE O CURBĂ
ASPR A ( CU FRECARE)
Studiul echilibrului punctului material ce sprijin ă pe o curb ă cu frecare se face în
mod analog cu studiul echilibrului pe o curb ă lucie ( f ără frecare ) , cu deosebirea c ă ,
componentei R dt i se opune for ța de frecar e care pentru echilibru , trebuie s ă satisfac ă
relația ( 5 . 2 ) . Deoarece , în punctul de sprijin al punctului material se pot duce o
infinitate de normale la curba ( Г) dar numai o tangent ă , care se va obține prin
intersectia planului format de rezu ltanta Rd impreună cu tangent si planul normal.
Conurile de frecare se vor forma în jurul tangentei [ ] , deci pentru echilibru , suportul
rezultantei trebuie s ă fie în exteriorul celor dou ă conuri de frecare ( fig. 5.2). Rela ția ( 5
. 1 ) devine :
2
2unde ( 5 . 7 )
Aplic ând inegalit ății ( 5 .7 ) func ția cosinus și ținând cont de faptul c ă aceast ă func ție
este descresc ătoare se poate scrie :
cos cos
cos sin
2
sau ( 5 . 8 )
Modulul 5 – MECANICA vol I STATICA
91
Transform ând func ția sinus în tangent ă :
sin
tg
tg1 12 2 (5. 9 )
Dac ă ecua ția curbei ( Г) se cunoa ște sub form ă parametric ă :
xxt
yyt
zzt
( 5 . 10 )
versorul tangentei la curb ă se scrie :
ndx
dtidy
dtjdz
dtk ( 5 . 11 )
Fig.5.2
Cosinusul unghiului se srie :
cos
Rn
Rnd
d ( 5 . 12 )
Condi ția (5.8 )devine:
2 2 2 2
2 2 21
dtdz
dtdy
dtdxR R RdtdzRdtdyRdtdxR
nRnR
dz dy dxdz dy dx
dd
( 5 . 13 )
Modulul 5 – MECANICA vol I STATICA
92
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să răspunzi la întrebarea:
Pentru echilibrul punctului material pe o curba aspră
unde trebuie să se găsească suportul forțelor direct
aplicate?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
…………………………………………. ……………………………………
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………….. ……………………………………………………..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……… ……………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………… ……….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………. …………………………
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Conurile de frecare se vor forma în jurul tangentei [ ] ,
deci pentru echilibru , suportul rezultantei trebuie să fie
în exteriorul celor două co nuri de frecare
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Modulul 5 – MECANICA vol I STATICA
93
Subiecte pentru autoevaluare:
Întrebări de autoevaluare
1. In jurul cui se construiesc cele două co nuri de frecare la echilibrul
punctului material pe o suprafață aspră ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Cele două conuri de frecare la echilibrul punctului material pe o suprafață aspră se
construiesc în jurul normalei la suprafață in M.
2 Pentru echilibru punctului material pe o curbă aspră în jurul cui se vor forma
conurile de frecare ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Conurile de frecare se vor forma în jurul tangentei [ ] , deci pentru echilibru , suportul
rezultantei trebuie să fie în exteriorul celor două conuri de frecare
3. Pentru echilibru punctului material pe o curbă aspră, unde trebuie sa se găsească
suportul rezultantei față de cele două conuri de frecare ?
Scrie răspunsul tău aici:
Modulul 5 – MECANICA vol I STATICA
94
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Pentru echilibru punctului material pe o curbă aspră suportul rezultantei trebuie să fie în
exteriorul celor două conuri de frecare sau la limită pe generatoarea acestora .
4, Pentru echilibru punctului material pe o suprafață aspră, unde trebuie să se găsească
suportul rezultantei față de cele două conuri de frecare? ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Pentru echilibru punctului material pe o suprafață aspră suportul rezultantei trebuie să fie
în interiorul celor două conuri de frecare sau la limită pe generatoarea a cestora .
5 Cum se scrie cosinusul a doi vectori concurenti (R d si n)?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Cosinusul a doi vectori concurenti se scrie:
cos
Rn
Rnd
d
Modulul 5 – MECANICA vol I STATICA
95
Dacă ați terminat de răspuns la întrebările de mai sus, verificați -vă răspunsurile date
confruntân du-le cu materialul teoretic prezentat în acest Capitol .
Nu ați răspuns corect la toate întrebările? Nu fiți dezamăgiți,
căci vă recomandăm să reparcurgeți materialul teoretic și cu
siguranță veți putea răspunde acestor întrebări. E simplu! Puteți
de as emenea, să vă notați eventualele nelămuriri, pentru a le
clarifica în cadrul Activității tutoriale (AT) .
Ați răspuns corect la toate întrebările? FELICITĂRI!!!
Continuați parcurgerea acestui Capitol pentru a vă pregăti
corespunzător în vederea atingerii obiectivelor stabilite pentru
acest Capitol .
Teste grilă pentru autoevaluare:
1 Cosinusul a doi vectori concurenti se scrie:
a)
cos
Rn
Rnd
d
b)
2 2 2
2 2 2
dtdz
dtdy
dtdxR R RdtdzRdtdyRdtdxR
nRnR
dz dy dxdz dy dx
dd
c)
0
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ………… …………….
2 Forța de frecare de alunecare trebuie să satisfacă condiția:
a)
N F Ff max 0
b)
0
c) suportul rezultantei trebuie să fie în exteriorul celor două conuri de frecare
Răspunsul pe care îl consideri cor ect este: ……………………….
3 Trecerea de la funcția cosinus la tangenta de φ se face:
a) deoarece
F tg N Nfmax
b) deoarece
tg
c)
N F Ff max 0
Modulul 5 – MECANICA vol I STATICA
96
Răspunsul pe care îl consideri corect este: …………………. ……
4 Condiția ce completează sistemul de echilibru static al punctului material ce
sprijină pe o suprafață aspră este? :
a)
Rn Rn Rn
R R R nnndx x dy y dzz
dx dy dz x y z
2 2 2 2 2 2 21
1
b)
cos
1
11
12 2tg
c)
2 2 2 2
2 2 21
dtdz
dtdy
dtdxR R RdtdzRdtdyRdtdxR
nRnR
dz dy dxdz dy dx
dd
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……….. ……………..
5 Condiția ce completează sistemul de echilibru static al punctului material ce sprijină pe
o curbă aspră este?:
a)
Rn Rn Rn
R R R nnndx x dy y dzz
dx dy dz x y z
2 2 2 2 2 2 21
1
b)
cos
1
11
12 2tg
c)
2 2 2 2
2 2 21
dtdz
dtdy
dtdxR R RdtdzRdtdyRdtdxR
nRnR
dz dy dxdz dy dx
dd
Răspunsul pe care îl consideri corect este: …. …………………..
Modulul 5 – MECANICA vol I STATICA
97
Dacă ați terminat de răspuns la testele grilă de mai sus, verificați -vă răspunsurile
date confruntându -le cu cele din tabelul următor:
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. a,b
2. a
3. a,b
4. a
5. c
Subiecte pentru evaluare și contr ol
Întrebări de evaluare
1. Care este condiția ce completează sistemul de echilibru static al punctului material
ce sprijină pe o suprafață aspră?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Condiția ce completează sistemul de echilibru static al punctului material ce sprijină pe o
suprafață aspră este:
Rn Rn Rn
R R R nnndx x dy y dzz
dx dy dz x y z
2 2 2 2 2 2 21
1
Modulul 5 – MECANICA vol I STATICA
98
2 . Care este condiția ce completează sistemul de echilibru static al punctului material ce
sprijină pe o curbă aspră ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Condiția ce completează sistemul de echilibru static al punctului material ce sprijină pe o
suprafață aspră este?:
2 2 2 2
2 2 21
dtdz
dtdy
dtdxR R RdtdzRdtdyRdtdxR
nRnR
dz dy dxdz dy dx
dd
3 Cum se scrie versorul normalei la o curba cunoscuta prin ecuatiile parametrice?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Versorul normalei la o curba cunoscuta prin ecuatiile parametrice se scrie
ndx
dtidy
dtjdz
dtk
4.Care este legătura între coeficientul de frecare de alunecareµ si sin φ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Modulul 5 – MECANICA vol I STATICA
99
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Legătura între coeficientul de frecare de alunecare µ și sin φ este
sin
tg
tg1 12 2
5 Care este legătura între coeficientul de frecare de alunecareµ si cos φ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Legătura între coeficientul de frecare de alunecare µ și cos φ este
cos
1
11
12 2tg
Teste grilă:
1 Legătura între coeficientul de frecare de alunecare µ și sin φ este
a)
cos
1
11
12 2tg –
b)
cosRn
Rnd
d
c)
sin
tg
tg1 12 2 .
Modulul 5 – MECANICA vol I STATICA
100
d) Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
2 Legătura între coeficientul de frecare de alunecare µ și cos φ este
a)
cos
1
11
12 2tg –
b)
cosRn
Rnd
d
c)
sin
tg
tg1 12 2 .
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
.
3 Versorul normalei la o curba cunoscuta prin ecuatiile parametrice se scrie
a)
F tg N Nfmax
b)
ndx
dtidy
dtjdz
dtk
c)
2
2unde
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
4 Condiția de echilibru a puntului material pe o suprafață aspră este :
a) suportul rezultantei trebuie să fie în exteriorul celor două conuri de frecare
b) suportul rezultantei trebuie să fie în interiorul celor două conuri de frecare
c) suportul rezultantei trebuie să fie pe generatoarea celor două conuri de frecare
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
5 Condiția de echilibru a puntului material pe o curbă aspră este:
a) suportul rezultantei trebuie să fie în exteriorul celor două conuri de frecare
b) suportul rezultantei trebuie să fie în interiorul celor două conuri de frecare
c) suportul rezultantei trebuie să fie pe generatoarea celor două conuri de frecare
Modulul 5 – MECANICA vol I STATICA
101
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
Dacă ați terminat de răspuns la testele grilă de mai sus, verificați -vă răspunsurile
date confruntându -le cu cele din tabelul următor:
Nr. întrebării Răspunsul co rect:
1. c
2. a
3. b
4. b,c
5. a,c
Rezumatul acestui Capitol:
În acest Modul, ați determinat condițiile vectoriele de echilibru static în cazul punctului
material ce sprijină pe o suprafață respectiv pe o curbă aspră ( cu frecare).
Aceste condiții vectorial e de echilibru scrise cu ajutorul proiecțiilor pe axele sistemului
de referință cartezian se obțin sisteme de ecuații de echilibru static.
Problema echilibrului punctului material pe o suprafaâă respectiv pe o curbă aspră
constituie sisteme static determin ate( din condițiile de echilibru static s -au putut
determina un numar de ecuații de echilibru static egal cu numărul de necunoscute ce
apareau în fiecare caz în parte.
Bibliografie obligatorie
[1] Mariana Adriana PRICHICI . – Mecanica Vol.1 :Statica /Orad ea:Editura
Universității din Oradea ISBN 973 -9416- 61-6, 1999
[2] Mariana Adriana PRICHICI Mecanica – indrumator de laborator si teme de casa
Vol. 1. – Ed. a 2 -a, rev Ed. Universit ății Oradea- ISBN 973 -613-481-4 ,66 pg. 2014
ISBN978 -606-10-1396 -8 . – ISBN 978 -606-10-1397- 5
Modulul 5 – MECANICA vol I STATICA
102
Bibliografie disponibilă on -line
[1] http://distance.iduoradea.ro/course/view.php?id=984
[2] http://distance.iduoradea.ro/file.php/984/Capitol%202.pdf
Bibliografie suplimentară (facultativă)
[1] Rădoi , T , Deciu , A , Mecanica , Ed. Didactică și Pedagogică București , 1982
[2] Ripianu , A, Statica , Ed.Institutului Politehnic Cluj – Napoca , 1981
[3] Ripianu , A, … Mecanica tehnică , Ed, Didactică și pedagogică Bucuraști , 1982
Bibliografie
[1] Hutte, Manualul inginerului. Fundamente Editura Tehnica, Bucuresti,1995
[2] Tocaci , E., Mecanica , Ed. Didactică și pedagogică București , 1985
Modulul 6 – MECANICA vol I STATICA
103
MODULUL 6:
STATICA SOLIDULUI RIGID
Obiective educaționale
ÎN URMA PARCURGERII ACESTUI MODUL VEȚI ȘTI:
-să determinați un sistem mai simplu, echivalent cu cel dat , deci care s ă aibă acela și
efect ca ți sistemul dat , dar al c ărui efect s ă poat ă fi sesizat imediat,
– să definiți să calculați vectorul moment al unei forte in raport cu un punct ,
– să de finiți să calculați vectorul moment al unei forte in raport cu o axă ,
– sa definiți cuplurile de forțe, să le reduceți
Cuvinte cheie:
Sisteme ehivalente, momentul unei forțe in raport cu un punct, momentul unei forțe in
raport cu o axă , cupluri de forțe
Unitatea de Învățare nr. 6
În urma parcurgerii acestui modul veți putea stabili că sistemele de forțe ce
acționează asupra solidului rigid sunt sisteme de vectori alunecători ( fo rțele se pot
deplasa pe dreapta suport , păstrîndu -și modulul și sensul . Aceste sisteme de forțe
trebuiesc reduse într-un punct , adică trebuiește determinat un sistem mai simplu ,
echivalent cu cel dat , deci care să aibă același efect ca și sistemul dat , dar al cărui efect să
poată fi sesizat imediat .
Veți calcula momentul unei forțe în raport cu un punct, momentul unei forțe în raport cu o
axă.Veți putea reduce cupluri de fo rțe.
6
Timpul mediu necesar pentru studiu: 120 minute.
Modulul 6 – MECANICA vol I STATICA
104
6.1 OPERATII DE ECHIVALENTA
Sistemele de for țe ce ac ționeaz ă asupra solidului rigid sunt sisteme de vectori
alunec ători ( for țele se pot deplasa pe dreapta suport , p ăstrându-și modulul și sensul .
Aceste sisteme de forț e trebuiesc reduse într-un punct , adic ă trebuie ște determinat un
sistem mai simplu , echivalen t cu cel dat , deci care s ă aibă acela și efect ca și sistemul
dat , dar al că rui efect s ă poat ă fi sesizat imediat . Pentru aceasta , trebuiesc cunoscute ,
următoarele opera ții de echivalen ță :
1. Un sistem de for țe concurente într-un punct , poate fi înlocuit prin rezultanta sa f ără
să schimbe efectul asupra solidului rigid prin aplicarea regulii paralelogramului ;
2. O for ță aplicat ă solidului rigid poate fi înlocuit ă prin dou ă forțe , care au punctul de
aplica ție comun cu forț a , a c ăror rezultant ă este for ța dată (cele două forte se obțin
prin aplicarea regulii paralelogramului);
3. Introducerea sau suprimarea a dou ă forțe egale în modul , pe acela și suport , de
sensuri contrare , nu schimb ă efectul asupra solidului rigid ;
4. Un cuplu de for țe poate fi înlocuit prin vectorul moment al cuplului , f ără a schimba
efectul asupra solidului rigid ;
5. Un vector moment poate fi înlocuit printr-un cuplu de for țe fără a schimba efectul
asupra solidului rigid ;
Modulul 6 – MECANICA vol I STATICA
105
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să răspunzi la întrebarea :
De ce trebuie făcută reducerea sistemelor de forțe ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
……………………. …………………………………………………………
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
………………………………………………………………….. …………..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………….. ……………………………..
……………………………………………………………………………….
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Sistemele de forțe trebuiesc reduse într-un punct ,
adică trebuie determinat un sistem mai simplu ,
echivalent cu cel dat , deci care să aibă același efect ca
și sistemul dat , dar al cărui efect să poată fi sesizat
imediat
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
6.2 MOMENTUL UNEI FOR ȚE
6.2.1 MOMENTUL UNEI FORT E ÎN RAPORT CU UN
PUNCT
Prin defini ție momentul unei for țe în raport cu un punct O ( fig.6.1 ) este egal cu
produsul vectorial dintre vectorul de pozi ție al punctului de aplica ție al for ței
AOr
și forța F :
M OAFrFo A ( 6 . 1)
Modulul 6 – MECANICA vol I STATICA
106
Vectorul moment are punctul de aplica ție în punctul fa ță de care se calculeaz ă
(deci este un vector legat ) , are modulul egal cu dublul ariei formate cu cei doi vectori :
cel de pozi ție al punctului de aplica ție al for ței și forță , are direcț ia perpendicular ă pe
planul format de ace știa , sensul dat de regula burghiului drept.
PROPRIETATI
-Momentul unei for țe în raport cu un punct este :
-zero , când punctul fa ță de care se calculeaz ă se g ăsește pe for ță sau pe dreapta
suport a acesteia ; momentul reprezint ă din punct de vedere fizic , capacitatea for ței
de a roti un corp în jurul unui punct . Pentru ca acest lucru s ă se producă este
necesar ca for ță să aibă braț ( perpendiculara din punct pe dreapta suport );
-constant , când punctul fa ță de care se calculeaz ă se deplaseaz ă pe o dreapt ă paralel ă
cu suportul for ței ( bra țul foțtei rămâne constant ) .
Fig.6.1
STUDIU ANALITIC
Dacă se consider ă originea sistemului de referin ță cartezian în punctul O ( fig. 6.1 ) , și
proiec țiile for ței Fși a vestorului r A față de acest sistem cunoscute :
FXiYjZk
r xiyjzkA
( 6 . 2 )
Momentul for ței F î n raport cu punctul O este :
Modulul 6 – MECANICA vol I STATICA
107
MF rFijk
xyz
XYZo A iii
iii ( 6 .3 )
Determinantul se dezvolt ă după prima linie , și se ob țin direct proiec țiile
momentului ca fiind coeficien ții versorilor de pe prima linie :
M yZzY
M zX xZ
M xYyXx ii ii
y ii ii
z ii ii
( 6 . 4)
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să răspunzi la întrebarea:
Cum se definește momentul unei forțe în raport cu un
punct ?
…………………………………………………………………………….
Completează ai ci răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
…………………….. ………………………………………………………..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
………………………………………………………………….. …………..
……………………………………………………………………………….
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Prin definiție momentul unei forțe în raport cu un punct
O este egal cu produsul vectorial dintre vectorul de
poziție al punctului de aplicație al forței
AOr și
forța F
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Modulul 6 – MECANICA vol I STATICA
108
Modulul vectorului moment este :
M M M Mx y z 2 2 2 ( 4 . 5 )
direc ția vectorului moment este dat ă de cosinu șii directori :
cos
cos
cos
Mx
My
MzM
M
M
M
M
M
( 6 . 6 )
6.3 MOMENTUL UNEI FOR ȚE SITUAT Ă ÎN PLANUL
xOy
Dacă forța apar ține acestui plan ea se poate scrie cu ajutorul proiec țiilor pe axele
sistemului cartezian :
FXiYj ( 6 . 7 )
sau
FXY,,0 , iar vectorul de pozi ție al punctului de aplica ție al acestei forț e , va fi
situat în acela și plan :
rxiyj ( 6 .8 )
sau
rxy,,0 . Aplic ând formulele ( 6 .3 ) , ( 6. 4 ) rezult ă:
M rFijk
xy
XYxY yXk
sau
M Mk
cu
M xY yXz
z
0
0 ( 6 . 9 )
Deci momentul unei for țe situat ă în planul xOy este dirijat perpendicular pe
planul for țelor , sau , în general momentul unei for țe este perpendicular pe planul
format de for ță și vectorul s ău de pozi ție în raport cu punctul fa ță de care se
calculeaz ă momentul.
Modulul 6 – MECANICA vol I STATICA
109
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să . răspunzi la întrebarea:
Cum este dirijat momentul unei forțe situată în
planul xOy ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
…………………………………. ……………………………………………
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………….. ……………………………………………………………..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Momentul unei forțe situată în planul xOy este
dirijat perpendicular pe planul forț elor , sau , în
general momentul unei forțe este perpendicular pe
planul format de forță și vectorul său de pozițe în
raport cu punctul față de care se calculează
momentul .
.
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra pa ragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
6.4.MOMENTUL UNEI FOR ȚE Î N RAPORT CU O AX Ă
Fie for ța F ce acț ioneaz ă în punctul A al solidului rigid ( S) , axa [ ] cu versorul
u și
punctul O pe aceast ă axă ( fig . 6.2 ) . Momentul fortei F în raport cu punctul O este :
M rFo
Modulul 6 – MECANICA vol I STATICA
110
Prin defini ție , momentul forț ei F în raport cu axa [ ] este proiec ția momentului
calculat fa ță de un punct oarecare de pe ax ă , pe axa respectiv ă
Fig.6.2
Din figura 6.2 se vede :
M prM uM urF
rF rF
Fdo o
sin , cos
cos
( 6. 10 )
în care :
r rF d sin , ( 6. 11 )
reprezint ă distan ța de la punctul de pe ax ă la dreapta suport a for ței ( și se nume ște
brațul for ței în raport cu punctul O ).
Se observ ă că momentul unei for țe în raport cu o ax ă este o m ărime scalar ă , cu
următoarele propriet ăți :
-Nu depinde de caracterul de vector alunec ător al for ței ;
-Nu depinde de alegerea punctului O pe ax ă . Aleg ând un punct oarecare O’ se poate
scrie :
M urF urOO F
urF uOOF urF M
' ' '
'
( 6. 12 )
deoarece al doilea produs mixt al sumei este nul , vectorii OO’ ș i u fiind coliniari ;
2 -este nul , când forța și axa sunt coplanare .
Modulul 6 – MECANICA vol I STATICA
111
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până ai ci, atunci te rog
să . răspunzi la întrebarea:
Definiți , momentul forței F în raport cu axa [ ] ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………… ……………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………. …………………………………
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Prin definiție , momentul forței F în raport cu axa [ ]
este proiecția momentului calculat față de un punct
oarecare de pe axă , pe axa respectivă
.
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
6.5 CUPLURI DE FOR ȚE
Un sistem de dou ă forțe de module egale , pe suporturi paralele și de sensuri contrare
formeaz ă un cuplu de forte ( fig . 6.3 ).
Cele dou ă suporturi ale for țelor determin ă un plan , numit planul cuplului , iar
distan ța dintre cele dou ă drepte suport se nume ște brațul cuplului .
Modulul 6 – MECANICA vol I STATICA
112
Fig.6.3
Calcul ând rezultanta celor dou ă forțe , ea este nul ă , deci rezultanta cuplului nu
poate caracteriza cuplul de for țe :
RF F0 ( 6 . 13 )
Dac ă se consider ă un punct oarecare O în planul cuplului ( fig . 6.3 ) și se
calculeaz ă în raport cu el momentul cuplului se ob ține :
M rFr F
rr FABFo A B
A B
( 6 . 14 )
Modulul vectorului moment :
M ABF ABF Fdo sin ,
( 6 . 15 )
în care :
AB ABF d sin , ( 6 . 16 )
se nume ște brațul cuplului .
OBSERVA ȚII :
Relația ( 6 . 14 ) arat ă că , alegerea punctului O nu prezint ă importan ță . Deci ,
indiferent de punctul față de cre se calculeaz ă , expresia momentului cuplului de for țe
este aceea și . Rezult ă că , momentul unui cuplu de for țe este un vector liber .
În general , cuplurile ce rotesc în sens trigonometric se consider ă a fi pozitive , iar
cele ce rotesc în sens orar , negativ
Modulul 6 – MECANICA vol I STATICA
113
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să . răspunzi la întrebarea:
Ce fel de vector este momentul unui cuplu de
forțe ?
…………………………………………………………………………….
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
…………………………………………………………………….. ………..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
…………………………………. ……………………………………………
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Momentul unui cuplu de forțe este un vector
liber .
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
6.6 .REDUCEREA CUPLURILOR DE FORȚE
a) CUPLURI SITUATE ÎN PLANE PARALELE
Momentul cuplului fiind un vector perpendicular pe planul cuplului , pentru
cuplurile situate în plane paralele ( sau cupluri coplanare ) momentele acestora vor fi
situate dup ă aceeaș i direcț ie ( dup ă perpendiculara comun ă ) deci reducerea lor se va
efectua prin adunare algebric ă :
M Mi
in
1 ( 6 . 17 )
Modulul 6 – MECANICA vol I STATICA
114
b) CUPLURI SITUATE ÎN PLANE OARECARE
c)
Momentul fiec ărui cuplu , fiind un vector perpendicular pe planul cuplului ,
acestea fiind oarecare , însumarea lor trebuie f ăcută vectorial :
M Mi
in
1 ( 6 . 18 )
Subiecte pentru autoevaluare:
Întrebări de autoevaluare
1 . Cum se reduc c uplurile situate în plane paralele ( sau cupluri coplanare ) ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Cuplurile situate în plane paralele ( sau cupluri coplanare ) momentele acestora , reducerea
lor se va efectua prin adunare algebrică :
M Mi
in
1
……………………………………………………………………………………………….
2. Cum se reduc cuplurile situate in plane oarecare?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Modulul 6 – MECANICA vol I STATICA
115
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Momentul fiecărui cuplu , fiind un vector perpendicular pe planul cup lului , acestea fiind
oarecare , însumarea lor trebuie făcută vectorial :
M Mi
in
1
……………………………………………………………………………………………….
3.Ce este un cuplu de forțe?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Un sistem de două forțe de module egale , pe suporturi paralele și de sensuri contrare
formează un cuplu de forte
4. Cum de numeste planul format de cele două suporturi ale forțelor? .
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Cele două suporturi ale forțelor determină un plan , numit planul cuplului
5. Cum se numește distanța dintre cele două drepte suport ale forțelor ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Modulul 6 – MECANICA vol I STATICA
116
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Distanța dintre cele două drepte suport ale forțelor se numește brațul cuplului
Dacă ați terminat de răspuns la întrebările de mai sus, verificați -vă răspunsurile date
confruntându -le cu materialul teoretic prezentat în acest Capitol .
Nu ați răspuns corect la toate întrebările? Nu fiți dezamăgiți,
căci vă recomandăm să reparcurgeți materialul teoretic și cu
siguranță veți putea răspunde acestor întrebări. E simplu! Puteți
de asemenea, să vă notați eventual ele nelămuriri, pentru a le
clarifica în cadrul Activității tutoriale (AT) .
Ați răspuns corect la toate întrebările? FELICITĂRI!!!
Continuați parcurgerea acestui Capitol pentru a vă pregăti
corespunzător în vederea atingerii obiectivelor stabilite pentr u
acest Capitol .
Teste grilă pentru autoevaluare :
1. Cum se reduc cuplurile oarecare :
a)
M Mi
in
1
b) cuplurile situate în plane paralele ( sau cupluri coplanare ) momentele acestora vor fi
situate după aceeași direcție ( după perpendiculara comună ) deci reducerea lor se va
efectua prin adunare algebrică :
c)
M Mi
in
1
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ………………………
2. Cum se reduc cuplurile situat e în plane paralele :
a)
M Mi
in
1
b) cuplurile situate în plane paralele ( sau cupluri coplanare ) momentele acestora vor fi
situate după aceeași direcție ( după perpendiculara comună ) deci reducerea lor se va
efectua prin adunare algebrică :
Modulul 6 – MECANICA vol I STATICA
117
c)
M Mi
in
1
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ………………………
3 Cele două suporturi ale forțelor determină un plan , numit:
a) planul cuplului
b) brațul cuplului
c) momentul cuplului
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ………………………
4 Distanța dintre cele două suporturi ale forțelor se numește:
a) planul cuplului
b) brațul cuplului
c) momentul cuplului
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ………………………
5 Momentul unui cuplu de forțe este un vector
a) liber,
b) alunecător
c) legat de punctul de aplicație .
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
Modulul 6 – MECANICA vol I STATICA
118
Dacă ați te rminat de răspuns la testele grilă de mai sus, verificați -vă răspunsurile
date confruntându -le cu cele din tabelul următor:
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. a
2. b,c
3. a
4. c
5. a
Subiecte pentru evaluare și control
Întrebări de evaluare
1Cum s e definește momentul unei forțe în raport cu un punct ?
Scrie răspunsul tău aici:
………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Prin definiție momentul unei forțe în raport cu un punct O este egal cu produsul vectorial
dintre vectorul de poziție al punctului de aplicație al forței
AOr și forța F
2Cum se calculează momentul unei forțe în raport cu un punct?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
momentul unei forțe în raport cu un punct O este egal cu produsul vectorial dintre vectorul de
poziție al punctului de aplicație al forței
AOr și forța F
Modulul 6 – MECANICA vol I STATICA
119
M OAFrFo A
3.Ce proprietăți are momentul unei forțe în raport cu un punct ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
-Momentul unei for țe în raport cu un punct este :
-zero , când punctul fa ță de care se calculeaz ă se g ăsește pe for ță sau pe dreapta
suport a acesteia ;
-momentul reprezint ă din punct de vedere fizic , capacitatea forț ei de a roti un corp
în jurul unui punct .
-constant , când punctul fa ță de care se calculeaz ă se deplaseaz ă pe o dreapt ă paralel ă cu
suportul for ței ( bra țul forței rămâne constant )
4Cum definiți momentul unei forțe în raport cu o axă ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Momentul unei f orțe în raport cu o axă este prin definiție proiecția momentului forței in raport cu
un punct de pe axa si axa respectivă.
5.Cum se calculează , momentul unui cuplu de forțe ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Modulul 6 – MECANICA vol I STATICA
120
Momentul unui cuplu de forțe este:
M rFr F
rr FABFo A B
A B
Teste grilă:
1 Momentul unui cuplu de forțe este:
a)
M rFr F
rr FABFo A B
A B
b) Un vector liber
c) momentul unei forțe în raport cu un punct
d) un proces plastic
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
2 Ce este momentul unei forțe în raport cu un punct :
a) un proces de întărire a materialului
b)
M rFr F
rr FABFo A B
A B
c)
M OAFrFo A
Răspunsul pe care îl consideri corect e ste: ……………………….
3. Momentul unei forțe în raport cu o axa:
a) sufer ă deforma ții mari înaintea ruperii
b)
M rFr F
rr FABFo A B
A B
,
c) proiecția momentului forței in raport cu un punct de pe axa si axa respectivă.
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
Modulul 6 – MECANICA vol I STATICA
121
4 Brațul cuplului este :
a) Distanța dintre cele două drepte suport ale forțelor .
b) două suporturi ale forțelor determină un plan ;
c) distanța de la un punct la forță .
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
5 Distanța dintre cele două drepte suport ale forțelor se numește
a)brațul cuplului
c) planul cuplului
d) cea mai mare valoare ce poate fi atinsă fara să se producă ruperea
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
Dacă ați terminat de răspuns la testele grilă de mai sus, verificați -vă răspunsurile
date confruntându -le cu cele din tabelul următor:
Nr. întreb ării Răspunsul corect:
1. a,b
2. c
3. c
4. a
5. a
Rezumatul acestui Capitol:
În urma parcurgerii acestui modul ați aflat că sistemele de forțe ce acționează asupra
solidului rigid sunt sisteme de vectori alunecători ( forțele se pot deplasa pe dreapta
suport, păstrîndu -și modulul și sensul . Aceste sisteme de forțe trebuiesc reduse într-un
Modulul 6 – MECANICA vol I STATICA
122
punct , adică trebuiește determinat un sistem mai simplu , echivalent cu cel dat , deci care
să aibă același efect ca și sistemul dat , dar al cărui efect să poată fi sesizat imediat.
Veți calcula momentul unei forțe în raport cu un punct, momentul unei forțe în raport cu o
axă.Veți putea reduce cupluri de forțe.
Veți sti să calculați momentul unei forțe în raport cu o axă
. Bibliografie obligatorie
[1] Mariana Adriana PRICHICI . – Mecanica Vol.1 :Statica /Oradea:Editura
Universității din Oradea ISBN 973 -9416- 61-6, 1999
[2] Mariana Adriana PRICHICI Mecanica – indrumator de laborator si teme de casa
Vol. 1. – Ed. a 2 -a, rev Ed. Universit ății Oradea- ISBN 973 -613-481-4 ,66 pg. 2014
ISBN978 -606-10-1396 -8 . – ISBN 978 -606-10-1397- 5
Bibliografie disponibilă on -line
[1] http://distance.iduoradea.ro/course/view.php?id=984
[2] http://distance.iduoradea.ro/file.php/984/Capitol%202.pdf
Bibliografie suplimentară (facultativă)
[1] Rădoi , T , Deciu , A , Mecanica , Ed. Didactică și Pedagogică București , 1982
[2] Ripianu , A, Statica , Ed.Institutului Politehnic Cluj – Napoca , 1981
[3] Ripianu , A, … Mecanica tehnică , Ed, Didactică și pedagogică Bucuraști , 1982
Bibliografie
[1] Hutte, Manualul inginerului. Fundamente Editura Tehnica, Bucuresti,1995
[2] Tocaci , E., Mecanica , Ed. Didactică și pedagogică București , 1985
Modulul 7– MECANICA vol I STATICA
123
MODULUL 7:
REDUCEREA SISTEMELOR DE FOR ȚE
OARECARE ÎNTR-UN PUNCT
Obiective educaționale
În urma parcurgerii acestui modul veți dobândi următoarele aptitudini și
competențe :
– veți reuși sa reduceți o forță întrun punct
– veți reuși sa reduceți un sistem de forțe întrun punct
– veți reuși sa determinați sisteme echivalente mai simple, torsoare de reducere al
cărui efect imediat să poată fi sesizat imediat.
– veți cunoaște care sunt invarianții operației de reducere a unui sistem de forțe
intrun punct
Cuvinte cheie:
Torsor de reducere, sistem echivalent, invarianții operației de reducere
Unitatea de Învățare nr. 7
– În urma parcurgerii acestui modul veți putea stabili cum se reduce o forță întrun
punct,cum se reduce un sistem de forțe întrun punct, veți determina sisteme
echivalente care să aibă același efect asupra unui solid rigid, efect ce va putea fi
sesizat imediat. Veți cunoaște care sunt invarianții operației de reducere a unui
sistem de forțe oarecare intrun punct.
7
Timpul medi u necesar pentru studiu: 120 minute.
Modulul 7– MECANICA vol I STATICA
124
7.1 REDUCEREA SISTEMELOR DE FOR ȚE OARECARE ÎNTR-
UN PUNCT
REDUCEREA UNEI FORTE INTR UN PUNCT
Fie silidul rigid ( S ) ac ționat în punctul A de for ța F( fig . 7.1 ) . Trebuie s ă se
determine , efectul acestei for țe în raport cu punctul O , adic ă să se reduc ă forța în
raport cu acest punct . Pentru aceasta, în punctul O se introduc , pe direc ția for ței F ,
două forțe , egale în modul , de sensuri contrare ( conform opera țiunilor de
echivalență acestea nu schimb ă efectul for ței F din punctul O , asupra solidului
rigid).
For ța F cu punctul de aplica ție în A , împreun ă cu -F cu punctul de aplica ție în O
, formeaz ă un cuplu de for țe a c ărui bra ț este, distan ța dintre suporturile for țelor.
Conform opera țiunilor de echivalen ță acest cuplu de for țe poate fi înlocuit prin vectorul
moment al cuplului :
M OAFo
moment ce este dirijat perpendicular pe planul cuplului, sensul fiindu-i dat de regula
burghiului drept, iar modulul .
M Fdo
Fig.7.1
Modulul 7– MECANICA vol I STATICA
125
Deci , prin opera ția de reducere , s-au ob ținut o for ță , egal ă în modul , de
aceea și direc ție și sens cu forț a ce ac ționeaz ă în punctul A , și un moment M o. Cele două
elemente forme ază un torsor de reducere în punctul O , și se noteaz ă :
o
oF
M OAF
( 7 . 1 )
sau :
o o FM, . Cele dou ă elemente ale torsorului de reducere sunt perpendiculare
(fig. 7.2 ) î ntre ele .
Fig.7.2
OBSERVA ȚIE:
Studiind cele dou ă elemente ale torsorului se observ ă că forța este invariabil ă ,
în timp ce vectorul moment se modific ă o dat ă cu schimbarea punctului , deoarece se
schimb ă vectorul OA , ( sau bra țul for ței d);
Problema poate fi pus ă și în sens invers ( fig . 7.2 ), adic ă , atunci c ând , într-un punct
O al solidului rigid , ac ționeaz ă o for ță F și un moment M o , perpendiculare între ele ,
ele provin de la o for ță unic ă , de acela și modul , și orientare cu for ța F respectiv ă ,
situat ă la dist anța :
dM
Fo ( 7 . 2 )
față de punctul O .
Modulul 7– MECANICA vol I STATICA
126
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să răspunzi la întrebarea:
Ce se obține prin operația de reducere a unei forțe
întrun punct ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………… .
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………. …………………
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
………………………………………….. …………………………………..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
………………………… …………………………………………………….
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Prin operația de reducere , s-au obținut o forță ,
egală în modul , de aceeași direcție și sens cu forța
ce acționează în punctul A , și un moment M o. Cele
două elemente formează un torsor de reducere în
punctul O , și se notează :
o
oF
M OAF
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Modulul 7– MECANICA vol I STATICA
127
Dacă asupra solidului rigid ( S ) ac ționeaz ă sistemul de for țe
Fi ni12,,…, , a căror
puncte de aplica ție sunt A i și au în raport cu un punct O , vectorii de pozi ție :
OAri i
( fig .7.3 ).
Fig.7.3
Pentru a reduce acest sistem de for țe în raport cu punctul O, se va proceda la reducerea
fiecărei for țe în raport cu acela și punct , deci se vor ob ține un sistem de for țe concurente
în O , ce se pot înlocui prin rezultanta lor R:
RFF F F Fi n i
in
1 2
1… … ( 7 . 3 )
și un sistem de vectori moment de forma :
M r Fi A ii , care se pot reduce la un
moment rezultant prin adunarea lor vectorial ă :
M M M M M
M r Fo o o oi on
oi
in
A ii
1 2
1… … ( 7 . 4)
Rezultanta R și momentul M o formeaz ă torsorul de reducere în punctul O a
sistemului de for țe ce ac ționeaz ă asupra solidului rigid (S) . El se noteaz ă :
7.2 REDUCEREA UNUI SISTEM DE FORTE OARECARE ÎNTR-
UN PUNCT
Modulul 7– MECANICA vol I STATICA
128
o o
oi
in
o oi
in
A iFM
sau
R F
M M r F
i,
1
1 ( 7 .5 )
CONCLUZIE :
Un sistem de for țe ce ac ționeaz ă asupra solidului rigid se reduce
într-un punct la un torsor de reducere format din rezultanta sistemului de for țe R și
momentul rezultant M o . Rezultanta și momentul rezultant formeaz ă un sistem
echivalent sistemului dat , deci are acela și efect asupra solidului ca și acesta .
STUDIU ANALITIC
Dac ă se raporteaz ă sistemul de for țe la un sistem cartezian , și se cunosc :
coordonatele punctelor de aplica ție ale forț elor A i( xi , y i , z i ) și proiec țiile for țelor din
sistem F i ( X i ,Yi ,Zi ) elementele torsorului vor fi:
– rezultanta :
R F Xi Yj Zk
RiRjRki
in
i
in
i
in
i
in
x y z
1 1 1 1 ( 7 . 6 )
deci cu proiec țiile pe axele sistemului cartezian :
R X
R Y
R Zx i
in
y i
in
z i
in
1
1
1 ( 7 . 7 )
-momentul:
Modulul 7– MECANICA vol I STATICA
129
M M rF
ijk
xyz
XYZ
yZzYi zX xZj
xYyXko i
in
i i
in
iii
iiiin
ii ii ii ii
in
in
ii ii
1 1
1
1 1 ( 7 . 8 )
sau
M MiMjMko ox oy oz
( 7 . 9 )
în care :
M yZzY
M zX xZ
M xYyXox ii ii
in
oy ii ii
in
oz ii ii
in
1
1
1 ( 7 . 10 )
Modulul 7– MECANICA vol I STATICA
130
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să răspunzi la întrebarea
Cum se scrie torsorul de reducere al unui sistem de
forțe întrun punct ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
………………………… …………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
………. ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………. ……
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Torsorul de reducere se scrie:
o o
oi
in
o oi
in
A iFM
sau
R F
M M r F
i,
1
1
.
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pe ntru a le aprofunda.
7.3. INVARIANȚII OPERA ȚIEI DE REDUCERE A UNUI SISTEM
DE FOR ȚE ÎNTR-UN PUNCT
Se consider ă un sistem de for țe ce ac ționeaz ă asupra solidului rigid ( S) ( fig.7.4) , care
se reduce în punctul O la :
Modulul 7– MECANICA vol I STATICA
131
Fig.7.4
un torsor format din R și M o conform rela țiilor ( 7.5), ( 7.8) și ( 7. 9 ). Dac ă reducerea
sistemului de for țe se face în raport cu alt punct O 1 , dup ă modul de determinare a
elementelor torsorului se poate spune c ă rezultanta r ămâne aceea și ( fig. 7.4)
Deci , torsorul de reducere în punctul O este dat de rela ția ( 7 . 5 ) iar cel din
O1 va fi :
oi
in
o A
in
i A
in
i
A i i
in
o
inR F
M r F r OO F
r FOO F M OO Ri i
i11
1 1
11
1
1
11
1
( 7. 11)
Prin urmare : rezultanta este primul invariant al opera ției de reducere al
unui sistem de for țe într-un punct , iar :
M M OO Ro o 1 1 ( 7 . 12)
momentul variaz ă în raport cu schimbarea punctului .
Înmul țind rela ția ( 7 . 12 ) scalar cu vectorul rezultantei se ob ține :
RM RM ROO Ro o 1 1 ( 7 . 13)
Ultimul termen al rela ției fiind nul ( ca produs mixt în care intervin doi vectori identici)
deci :
Modulul 7– MECANICA vol I STATICA
132
RM RM consto o 1 . ( 7 . 14)
sau :
RM RM RM
RM RM RM constx ox y oy z oz
x ox y oy z oz1 1 1
( 7 . 15 )
ceea ce constituie al doilea invariant a opera ției de reducere , sau trinomul
inv aria nt al opera ției de reducere .
Dacă se face proiec ția momentului pe direcț ia rezultantei , se ob ține :
MMR
RMR MR MR
R R RRo ox x oy y oz z
x y z
2 2 2
( 7 . 16 )
se observ ă că la num ărător se g ăsește trinomul invariant al opera ției de reducere , iar la
numitor , modulul rezultantei , ambele invariabile.
Deci proiec ția momentului pe direc ția rezultantei este al treilea invariant al
opera ției de reducere
Modulul 7– MECANICA vol I STATICA
133
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să răspunzi la întrebarea:
Care este primul invariant al operației de reducere al
unui sistem de forțe întrun punct ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
…………. ……………………………………………………………………
……………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………. ……
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………….. ……………………..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………… ……………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………. …………………………………………………………
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Rezultanta este primul invariant al opera ției de reducere
al unui sistem de for țe întrun punct
Dacă ai răs puns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Modulul 7– MECANICA vol I STATICA
134
Subiecte pentru autoevaluare:
Întrebări de autoevaluare
1. Care este al treilea invariant al operației de reducere ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Proiec ția momentului pe direc ția rezultantei este al treilea invariant al opera ției de reducere
2. Care este al doilea invariant a operației de reducere ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Al doilea invariant a operației de reducere , sau trinomul inv ariant al operației de reducere
3Cum se scrie al doilea invariant a operației de reducere ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Modulul 7– MECANICA vol I STATICA
135
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Al doilea invariant a operației de reducere se scrie:
RM RM RM
RM RM RM constx ox y oy z oz
x ox y oy z oz1 1 1
4. Cum se scrie al treilea invariant a operației de reducere
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Al treilea invariant a operației de reducere se scrie:
MMR
RMR MR MR
R R RRo ox x oy y oz z
x y z
2 2 2
5. Cum se mai numește al doilea invariant a operației de reducere , sau trinomul inv
ariant al operației de reducere ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Modulul 7– MECANICA vol I STATICA
136
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Al doilea invariant a operației de reducere se mai numește, trinomul invariant al operației
de reducere .
Dacă ați terminat de răspuns la întrebările de mai sus, verificați -vă răspunsurile date
confruntându -le cu materialul teoretic prezentat în acest Capitol .
Nu ați răspuns corect la toate întrebările? Nu fiți dezamăgiți,
căci vă recomandăm să reparcurgeți materialul teoretic și cu
siguranță veți putea răspunde acestor întreb ări. E simplu! Puteți
de asemenea, să vă notați eventualele nelămuriri, pentru a le
clarifica în cadrul Activității tutoriale (AT) .
Ați răspuns corect la toate întrebările? FELICITĂRI!!!
Continuați parcurgerea acestui Capitol pentru a vă pregăti
corespu nzător în vederea atingerii obiectivelor stabilite pentru
acest Capitol .
Teste grilă pentru autoevaluare:
1. Al treilea invariant al operației de reducere este:
a) al treilea invariant a operației de reducere , este trinomul inv ariant al operației de
reducere
b)
MMR
RMR MR MR
R R RRo ox x oy y oz z
x y z
2 2 2
c) proiecția momentului pe direcția rezultantei este al treilea invariant al operației de
reducere
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
2. Al doilea invariant al operației de reducer e este:
a) al doilea invariant a operației de reducere , este trinomul invariant al operației de
reducere
b)
RM RM RM
RM RM RM constx ox y oy z oz
x ox y oy z oz1 1 1
c) proiecția momentului pe direcția rezultantei este al treilea invariant al operației de
reducere
Răspunsul pe care îl c onsideri corect este: ……………………….
Modulul 7– MECANICA vol I STATICA
137
3. Primul invariant al operației de reducere este:
a)
RM RM RM
RM RM RM constx ox y oy z oz
x ox y oy z oz1 1 1
b)
MMR
RMR MR MR
R R RRo ox x oy y oz z
x y z
2 2 2
c) rezultanta este primul invariant al operației de reducere al unui sistem de forțe întrun
punct
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
4. Cum se calculează proiecția momentului pe direcția rezultantei :
a)
RM RM RM
RM RM RM constx ox y oy z oz
x ox y oy z oz1 1 1
,
b)
MMR
RMR MR MR
R R RRo ox x oy y oz z
x y z
2 2 2
c)
lNl
EAlef
efa
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
5. Cum se calculează trinomul invariant ;
a)
MMR
RMR MR MR
R R RRo ox x oy y oz z
x y z
2 2 2 .
b)
X dA dA AN
deci
AN
sau
N
AA A
0
:
:
c)
RM RM RM
RM RM RM constx ox y oy z oz
x ox y oy z oz1 1 1
Răspunsul pe care îl consideri corect este: …………………….. ..
Modulul 7– MECANICA vol I STATICA
138
Dacă ați terminat de răspuns la testele grilă de mai sus, verificați -vă răspunsurile
date confruntându -le cu cele din tabelul următor:
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. b,c
2. a,b
3. c
4. b
5. c
.
Întrebări de evaluare
1Cum se face reducerea unui s istem de forțe întrun punct .?
Scrie răspunsul tău aici:
………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Pentru a reduce acest sistem de forțe în raport cu punctul O, se va proceda la reducerea
fiecărei forțe în raport cu același punct , deci se vor obține un sistem de forțe concurente
în O , ce se pot înlocui prin rezultanta lo r R:
RFF F F Fi n i
in
1 2
1… …
și un sistem de vectori moment de forma :
M r Fi A ii , care se pot reduce la un
moment rezultant prin adunarea lor vectorială :
M M M M M
M r Fo o o oi on
oi
in
A ii
1 2
1… …
2. La ce se reduce un sistem de forțe intrun punct ?
Modulul 7– MECANICA vol I STATICA
139
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la înt rebarea de mai sus este:
Un sistem de reducere este format din:
o o
oi
in
o oi
in
A iFM
sau
R F
M M r F
i,
1
1
3Ce este un torsor de reducere?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Rezultanta R și momentul M o formează torsorul de reducere în punctul O a sistemului de forțe ce
acționează asupra solidului rigid (S)
4.Cum se calculează elementele torsorului de reducere ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Elementele torsorul ui de reducere se calculează:
Modulul 7– MECANICA vol I STATICA
140
o o
oi
in
o oi
in
A iFM
sau
R F
M M r F
i,
1
1
5. Rezultanta și momentul rezultant ce formează pentru sistemul de forțe dat ?
Scrie răspunsul tău aici:
………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Rezultanta și momentul rezultant formează un sistem echivalent sistemului dat , deci are
același efect asupra solidului ca și acesta
Modulul 7– MECANICA vol I STATICA
141
Teste grilă:
1 Rezultanta R și momentul M o formează
a) torsorul de reducere în punctul O a sistemului de forțe ce acționează asupra
solidului rigid (S)
b)
Nl
lEAcap ef
c)
o o
oi
in
o oi
in
A iFM
sau
R F
M M r F
i,
1
1
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
2. Rezul tanta și momentul rezultant formează
a) un sistem echivalent sistemului dat,
b) deci are același efect asupra solidului ca și acesta
c) un torsor de reducere
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……….. ……………..
3. Invarianții operației de reducere
a)
MMR
RMR MR MR
R R RRo ox x oy y oz z
x y z
2 2 2
b)
RM RM RM
RM RM RM constx ox y oy z oz
x ox y oy z oz1 1 1
,
c) compresiunea
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
Modulul 7– MECANICA vol I STATICA
142
4. Rezultanta sistemului de forte se nume ște
a) primul in variant al operației de reducere al unui sistem de forțe întrun punct
b)
RM RM RM
RM RM RM constx ox y oy z oz
x ox y oy z oz1 1 1
c) Rezultanta și momentul rezultant formează un sistem echivalent sistemului dat ,
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
5 Reducerea sistemelor de forțe inrtun punct se face pentru:
a) calculul rezultantei
b) pentru a determina un sistem echivalent mai simplu
c) calculul momentului
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
Dacă ați terminat de ră spuns la testele grilă de mai sus, verificați -vă răspunsurile
date confruntându -le cu cele din tabelul următor:
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. a,c
2. a,b, c
3. a,b
4. a
5. b
Rezumatul acestui Capitol:
În urma parcurgerii acestui modul puteti stabili cum se reduce o forță
întrun punct, cum se reduce un sistem de forțe întrun punct, determinați sisteme
echivalente care să aibă același efect asupra unui solid rigid, efect ce poate fi
sesizat imediat. Veți cunoaște care sunt invarianții operației de r educere a unui
sistem de forțe oarecare intrun punct: primul invariant al operației de reducere al
unui sistem de forțe întrun punct este REZULTANTA SISTEMULUI DE FORȚE.
Al doilea invariant a operației de reducere este TRINOMUL INVARIANT.
PROIEC ȚIA MOMENTULUI PE DIREC ȚIA REZULTANTEI este al
treilea invariant al oper ației de reducere este al treilea invariant al operației de
reducere
Modulul 7– MECANICA vol I STATICA
143
Bibliografie obligatorie
[1] Mariana Adriana PRICHICI . – Mecanica Vol.1 :Statica /Oradea:Editura
Universității din Oradea ISBN 973 -9416- 61-6, 1999
Vol. 1. – Ed. a 2 -a, rev Ed. Universit ății Oradea- ISBN 973 -613-481-4 ,66 pg. 2014
ISBN978 -606-10-1396 -8 . – ISBN 978 -606-10-1397- 5
Bibliografie disponibilă on -line
[1] http://distance.iduoradea.ro/course/view.php?id=984
[2] http://distance.iduoradea.ro/file.php/984/Capitol%202.pdf
Bibliografie suplimentară (facultativă)
[1] Rădoi , T , Deciu , A , Mecanica , Ed. Didactică și Pedagogică București , 1982
[2] Ripianu , A, Statica , Ed.Institutului Politehnic Cluj – Napoca , 1981
[3] Ripianu , A, … Mecanica tehnică , Ed, Didactică și pedagogică Bucuraști , 1982
Bibliografie
[1] Hutte, Manualul inginerului. Fundamente Editura Tehnica, Bucuresti,1995
[2] Tocaci , E., Mecanica , Ed. Didactică și pedagogică București , 1985
Modulul 8– MECANICA vol I STATICA
144
MODULUL 8:
TORSOR MINIMAL. AX Ă CENTRAL Ă. SISTEM
ECHIVALENT
Obiective educaționale
În urma studierii acestui modul, vei dobândi următoarele competențe și aptitudini:
– de a determina un torsor de reducere si pe baza valorilor obținute sa determinați
cazul de reducere
– veti putea determina torsorul minimal
– de asemenea axa centrală a sistemului dat. .
Cuvinte cheie:
Torsor minimal, axă centrală, sistem echivalent
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE NR. 8
Un sistem de forțe ce acționează asupra unui solid rigid , se poate înlocui prin torsorul de
reducere întrun punct , elementele acestuia având asupra solidului rigid același efect ca și
sistemul de forțe dat , dar efectul putând fi sesizat imediat , după valorile pe care cele două
elemante ale torsorului le iau , și după valoarea produsului scalar :
RM . Se disting patru
cazuri de reducere. Si desigur este necesar a se stabili ce valori extreme pot lua acestea.
8
Timpul mediu necesar pentru studiu: 120. minute.
Modulul 8– MECANICA vol I STATICA
145
8.1 TORSOR MINIMAL . AX Ă CENTRALĂ
Torsorul de reducere într-un punct al unui solid rigid ac ționat de un sistem de for țe F i ,
are a șa cum s-a v ăzut , cele dou ă elemante , R , M o , care în cazul general fac împreun ă
unghiul α . Dac ă se descompune momentul M o după direc ția rezultantei M R , și dup ă
direc ția normal ă la aceasta M N , deci se ob țin dou ă componente , despre care se
cunoa ște deja c ă M R este un invariant. Torsorul minimal este torsorul cu elementele
minime . Dar , cum at ât rezultan ta , cât și proiec ția momentului pe direc ția acesteia
sunt invariabile , au deci valoare fix ă , momentul este minim c ând are doar componenta
MR , deci M N=0 sau α=0. Cu alte cuvinte , rezultanta și momentul sunt coliniare ( fig.
8.1)
Locul geometric al punctelor pentru care se ob ține torsorul minimal se nume ște ax ă
central ă .
Fig.8.1
Fie punctul P ( x p ,yp ,zp ) ce apar ține axei centrale a unui sistem de for țe ce
acționeaz ă asupra unui solid rigid ( figura 8.2 ) și care se reduce în punctul O
(originea sistemului de referin ță ) la un torsor cunoscut .
Modulul 8– MECANICA vol I STATICA
146
Fig.8.2
În conformitate cu rela ția ( 7 . 13 ) momentul în punctul P va fi :
M M OPRMiMjMkijk
xyz
RRRp o ox oy oz ppp
xyz
. ( 8 . 1 )
Dacă momentul din punctul P este cunoscut cu ajutorul proiec țiilor pe axele sistemului
cartezian de forma :
M MiMjMkp px py pz ( 8 . 2 )
aceste proiec ții sunt date de expresiile urm ătoare :
M M yR zR
M M zR xR
M M xR yRpx ox pz py
py oy px pz
pz oz py px
( 8 .3 )
Condi ția ca vectorii R și M s ă fie coliniari se scrie :
Modulul 8– MECANICA vol I STATICA
147
M
RM
RM
R
sau
M yR zR
RM zR xR
R
M xR yR
Rpx
xpy
ypz
z
ox pz py
xoy px pz
y
oz py px
z
: ( 8 . 4 )
Expresia ( 8 . 4) reprezint ă ecua ția unei drepte (obținute ca intersec ția a dou ă plane )
,și anume ecua ția axei centrale .Ea mai poate fi ob ținută și prin alte procedee
matematice , respectiv , efectu ând derivatele par țiale ale proiec țiilor lui M p , și egal ând
aceste derivate cu 0 , sau calcul ând pătratul modulului lui M p și derivâ nd în raport cu
cele trei variabile , egal ând aceste derivate cu 0 .
În cazul sistemelor de for țe coplanare , când produsul scalar dintre rezultant ă
și
moment este nul , cei doi vectori fiind în orice punct perpendiculari , torsorul minimal Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să răspu nzi la întrebarea:
In cazul sistemelor de forțe coplanare , din ce se
formează , torsorul minimal ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
…………………………………………………………….. ………………..
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
În cazul sistemelor de for țe coplanare , când produsul
scalar dintre rezultant ă și moment este nul , cei doi
vectori fiind în orice punct perpendiculari , torsorul
minimal fiind f ormat din rezultant ă și moment nul .
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Modulul 8– MECANICA vol I STATICA
148
fiind format din rezultant ă și moment nul , ecua ția axei centrale în acest caz , se ob ține
egalând expresia momentului cu zero [ a treia ecua ție a sistemului ( 8 . 4) la sitemele
de for țe coplanare situate în planul xOy] :
xR yR Mpy px oz ( 8 . 5 )
Expresia ( 8 . 5 ) reprezint ă ecua ția unei drepte situat ă în planul for țelor .
8.2. CAZURI DE REDUCERE ALE UNUI SISTEM DE FOR ȚE
OARECARE .
SISTEM ECHIVALENT
Un sistem de for țe ce ac ționeaz ă asupra unui solid rigid , se poate înlocui prin torsorul
de reducere într-un punct , elementele acestuia av ând asupra solidului rigid acela și efect
ca și sistemul de for țe dat , dar efectul put ând fi sesizat imediat , dup ă valorile pe care
cele dou ă elemante ale torsorului le iau , și dup ă valoarea produsului scalar :
RM . Se
disting urmă toarele cazuri de reducere :
CAZUL I :
o
oR
M
0
0
( 8 . 6 )
Sistemul de for țe are efect nul asupra solidului rigid . Solidul rigid și sistemul de forț e
ce ac ționeaz ă asupra lui este în echilibru ,sistemul de forț e este echivalent cu 0.
CAZUL II :
o
oR
M
0
0 ( 8 . 7 )
Sistemul de for țe este echivalent cu o for ță aplicat ă pe axa central ă , ce imprim ă
solidului rigid o mi șcare de transla ție în lungul axei centrale.
CAZUL III :
o
oR
M
0
0 ( 8 . 8 )
Sistemul de for țe este echivalent cu un cuplu de for țe situat într-un plan
perpendicular pe direc ția momentului ce imprim ă solidului rigid o mi șcare de rotaț ie în
jurul axei proprii de rota ție perpendicular ă pe planul cuplui
CAZUL IV :
Modulul 8– MECANICA vol I STATICA
149
o
oR
M
0
0 ( 8 . 9 )
a)
RM0 ( 8 . 10 )
Torsorul de reducere în raport cu un punct are cei doi vectori perpendiculari . Deoarece
momentul m inim este nul ( torsorul minimal este format doar din rezultant ă ) sistemul
se reduce la o for ță egal ă cu rezultanta sistemului de for țe aplicat ă pe axa central ă , ce
imprim ă solidului rigid o mi șcare de translaț ie în lungul axei centrale.
b)
RM0 ( 8 . 11 )
Torsorul de reducere în raport cu un punct are cei doi vectori nenuli,
neperpendiculari , torsorul minimal are elementele: rezultanta și momentul minim .
Sistemul de for țe este echivalent cu torsorul minimal aplicat pe axa central ă , sau , cu o
forță egal ă cu rezultanta aplicat ă pe axa central ă și un, aplicat cuplu de for țe
perpendicular pe axa central ă la distan ța : Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te r og
să răspunzi la întrebarea:
După ce se determină sistemul echivalent ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
……………………… ……………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………. …………
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Sistemul echivalent se determina dup ă valorile pe care
cele dou ă elemante ale torsorului le iau , și dup ă
valoarea produsului scalar :
RM .
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Modulul 8– MECANICA vol I STATICA
150
dM
Fmin ( 8 .12 )
8.3.TEOREMA MOMENTELOR . TEOREMA LUI VARIGNON
Aceast ă teorem ă este valabil ă la sistemele de for țe ce se reduc la o rezultant ă unic ă ,
aplicat ă pe axa central ă .Studiind cele patru cazuri de reducere , se poate observa , c ă
acest lucru se produce în cazul în cazul de reducere III și în cazul IV a) .
Dac ă se ține cont de rela ția de defini ție a momentului rezultant al unui sistem
de for țe se poate scrie în raport cu un punct de pe axa central ă :
M M OPR
dar
M rF
rezulta
M rFOPRP o
o i i
in
o i i
0
1:
:
( 8 . 13 )
sau:
MR MFo o i
in
1
( 8 . 14 )
Relația ( 8 . 14 ) reprezint ă teorema momentelor sau teorema lui Varignon , care se
enunță :
-pentru un sistem de for țe care se reduce la o rezultant ă unic ă , momentul rezultantei
în raport cu un punct oarecare este egal cu suma vectorial ă a momentelor for țelor
componente în raport cu acela și punct .
Înmul țind rela ția ( 8 . 14 ) cu versorul u ce caracterizeaz ă o direc ție [ ] , se ob ține :
uMR uMF uMF uMF
uMF
sau
MR MFo o o o i
o n
i
in
1 2
1… …
:
. ( 8 . 15 ) .
Relația ( 8 . 15 ) reprezint ă teorema lui Varignon scrisă pentru momentele axiale și se
enunt ă :
Modulul 8– MECANICA vol I STATICA
151
-pentru un sistem de for țe ce se reduce la o rezultant ă unic ă , momentul rezultantei în
raport cu o ax ă [] este egal cu suma algebric ă a momentelor axiale ale sistemului de
forțe în raport cu aceea și axă .
Dacă ai înțe les paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să răspunzi la întrebarea:
Enunțați teorema lui Varignon ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
………………………………………………………………………. ………
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
…………………………………………………….. ………………………..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
…………………………………… ………………………………………….
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Pentru un sistem de for țe care se reduce la o rezultant ă
unică , momentul rezultantei în raport cu un punct
oarecare este egal cu suma vectorial ă a momentelor
forțelor componente în raport cu acela și punct .
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Modulul 8– MECANICA vol I STATICA
152
Subiecte pentru autoevaluare:
Întreb ări de autoevaluare
1. Care este ecuația axei centrale în cazul unui sistem de forțe coplanare ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Ecuația axei centrale în cazul unui sistem de forțe coplanare este:
xR yR Mpy px oz
2. Care este ecuația axei centrale în cazul unui sistem de forțe oarecare ?
Scrie răspunsul tău aici :
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Ecuația axei centrale în cazul unui sistem de forțe oarecare este:
Modulul 8– MECANICA vol I STATICA
153
M
RM
RM
R
sau
M yR zR
RM zR xR
R
M xR yR
Rpx
xpy
ypz
z
ox pz py
xoy px pz
y
oz py px
z
:.
3. Cum mai poate fi obținută și prin alte procedee matematice , ecuația axei centrale? ?
Scrie răspunsul tău aici:
………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Ea mai poate fi obținută și prin alte procedee matematice , respectiv , efectuând derivatele parțiale
ale proiecțiilor lui M p , li egalănd aceste derivate cu 0 , sau calculând pătratul modulului lui M p și
derivând în raport cu cele trei variabile , egalând aceste derivate cu 0 .
4Cum se determină cazurile de reducere ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Un sistem de forțe ce acționează asupra unui solid rigid , se poate înlocui prin torsorul de reducere
întrun punct , elementele acestuia avînd asupra solidului rigid același efect ca și sistemul de forțe
dat , dar efectul putând fi sesizat imediat , dupî valorile pe care cele douî elemante ale torsorului le
iau , și după valoarea produsului scalar :
RM .
Modulul 8– MECANICA vol I STATICA
154
5.Ce se numește se numește axăcentrală ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Locul geometric al punctelor pentru care se obține torsorul minimal .
Dacă ați terminat de răspuns la întrebările de mai sus, verificați -vă răspunsurile date
confruntându -le cu materialul teoretic prezentat în acest Capitol .
Nu ați răspuns corect la toate întrebările? Nu fiți dezamăgiți,
căci vă recomandăm să reparcurgeți ma terialul teoretic și cu
siguranță veți putea răspunde acestor întrebări. E simplu! Puteți
de asemenea, să vă notați eventualele nelămuriri, pentru a le
clarifica în cadrul Activității tutoriale (AT) .
Ați răspuns corect la toate întrebările? FELICITĂRI!! !
Continuați parcurgerea acestui Capitol pentru a vă pregăti
corespunzător în vederea atingerii obiectivelor stabilite pentru
acest Capitol .
Teste grilă pentru autoevaluare:
1.Cum mai poate fi obținută și prin alte procedee matematice , ecuația axei cen trale?
a) efectuând derivatele parțiale ale proiecțiilor lui M p , și egalănd aceste derivate cu 0
b) calculând pătratul modulului lui M p și derivând în raport cu cele trei variabile , egalând
aceste derivate cu 0
c) egalând cu 0 proiecțiile momentului unei forțe î n raport cu un punct
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
2 Care este ecuația axei centrale în cazul unui sistem de forțe coplanare :
a)
xR yR Mpy px oz
Modulul 8– MECANICA vol I STATICA
155
b)
M
RM
RM
R
sau
M yR zR
RM zR xR
R
M xR yR
Rpx
xpy
ypz
z
ox pz py
xoy px pz
y
oz py px
z
:
c)
0MR
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
3 Cum se produce ruperea barei, dac ă lungimea barei este foarte mare , bara este incastrată,
acționată de o fortă verticală de intindere la capătul liber:
a) secțiunea periculoas ă se afl ă în încastrare
b) secțiunea periculoasă este la mijloc,
c) sub acțiunea forței de întindere rupe capătul liber.
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
4 Câte cazuri de reducere sunt ?
a) patru
b) Patru dar cel de al IV lea are doua subcazuri în funcție de valorile produsului
RM
c) trei
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
5 Cum se definește axa centrală ?
a) Locul geometric al punctelor pentru care se obține torsorul minimal se numește axă
centr ală.
b) secțiunea bare sa fie constantă pe toată lungimea ei
c) Locul geome tric al punctelor pentru care rezultanta și momentul sunt coliniare
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
Modulul 8– MECANICA vol I STATICA
156
Dacă ați terminat de răspuns la testele grilă de mai sus, verificați -vă răspunsurile
date confruntându -le cu cele din tabelul următor:
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. a ,b
2. a
3. a
4. a,b
5. a, c
Subiecte pentru evaluare și control
Întrebări de evaluare
1.Ce reprezintă relația
?
MR MFo o i
in
1
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Relația
MR MFo o i
in
1
reprezintă teorema momentelor sau teorema lui Varignon
Modulul 8– MECANICA vol I STATICA
157
2.Enunțați teorema lui Varignon scris ă pentru momentele axiale ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Pentru un sistem de forțe ce se reduce la o rezultantă unică , momentul rezultantei în
raport cu o axă [ ] este egal cu suma algebrică a momentelor axiale ale sistemului de
forțe în raport cu aceeași axă .
3. Enunțați teorema lui Varignon ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Pentru un sistem de forțe care se reduce la o rezultantă unică , momentul rezultantei în
raport cu un punct oarecare este egal cu suma vectorială a momentelor forțelor
componente în raport cu același punct .
4. Cum se mai numește teorema lui Varignon ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Teorema lui Varignon se mai numește teorema momentelor .
5 In care cazuri poate fi aplicată teorema lui Varignon?
Modulul 8– MECANICA vol I STATICA
158
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Teorema lui Varignon se aplică în cazul de reducere III și în cazul IV a) .
Teste grilă:
1. Enunțați teorema lui Varignon
a) Pentru un sistem de forțe ce se reduce la o rezultantă unică , momentul
rezultantei în raport cu o axă [ ] este egal cu suma algebrică a momentelor
axiale ale sistemului de forțe în raport cu aceeași axă
b) Pentru un sistem de forțe care se reduce la o rezultantă unică , momentul
rezultantei în raport cu un punct oarecare este egal cu suma vectorială a
momentelor forțelor componente în raport cu același punct .
c)
uMR uMF uMF uMF
uMF
sau
MR MFo o o o i
o n
i
in
1 2
1… …
:
Răspunsul pe care îl consideri corect este: …….. ………………..
2. Enunțați teorema lui Varignon scris ă pentru momentele axiale ?:
a) Pentru un sistem de forțe ce se reduce la o rezultantă unică , momentul
rezultantei în raport cu o axă [ ] este egal cu suma algebrică a momentelor
axiale ale sistemu lui de forțe în raport cu aceeași axă
Modulul 8– MECANICA vol I STATICA
159
b) Pentru un sistem de forțe care se reduce la o rezultantă unică , momentul
rezultantei în raport cu un punct oarecare este egal cu suma vectorială a
momentelor forțelor componente în raport cu același punct .
c)
uMR uMF uMF uMF
uMF
sau
MR MFo o o o i
o n
i
in
1 2
1… …
:
Răspunsul pe care îl
consideri corect este: ……………………….
3Ce înseamnă cazul IV a :
a)
RM0
Torsorul de reducere în raport cu un punct are cei doi vectori nenuli,
neperpendiculari , torsorul mi nimal are elementele: rezultanta și momentul
minim .
b) Sistemul de forțe este echivalent cu torsorul minimal aplicat pe axa centrală ,
sau , cu o forță egală cu rezultanta aplicată pe axa centrală și un, aplicat cuplu
de forț e perpendicular pe axa central ă la distan ța :
dM
Fmin
c) R=0 M=0
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
4. Ce presupune cazul I de reducere::
a) Sistemul de forțe are efect nul asupra solidului rigid, sistemul de forțe este
echivalent cu 0.
b) Solidul rigid și sistemul de forțe ce acționează asupra lui este în echilibru
c)
o
oR
M
0
0
a) Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
Modulul 8– MECANICA vol I STATICA
160
5 Ce presupune cazul II de reducere:
a)
o
oR
M
0
0
b) Sistemul de forțe este echivalent cu o forță aplicată pe axa centrală , ce imprimă
solidului rigid o mișcare de translație în lungul axei centrale.
c) echilibru
Răspunsul pe care îl con sideri corect este: ……………………….
Dacă ați terminat de răspuns la testele grilă de mai sus, verificați -vă răspunsurile
date confruntându -le cu cele din tabelul următor:
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. a,b
2. a,c
3. a,b
4. a,b
5. a, b
Rezumatul acestui Capitol:
Un sistem de forțe ce acționează asupra unui solid rigid , se poate înlocui prin torsorul de
reducere întrun punct , elementele acestuia având asupra solidului rigid același efect ca și
sistemul de forțe dat , dar efectul putând fi sesizat imediat , după valorile pe care cele
două elemante ale torsorului le iau , și după valoarea produsului scalar :
RM . Se
disting patru cazuri de reducere. Si desigur este necesar a se stabili ce valori extreme pot
lua acestea. Se determina astfel torsorul minimal și punctele ți care dacă se face reducerea
se obține torsorul minimal.Locul geometric al acestor puncte se numeste axă centrală.
Modulul 8– MECANICA vol I STATICA
161
Bibliografie obligatorie
[1] Mariana Adriana PRICHICI . – Mecanica Vol.1 :Stat ica /Oradea:Editura
Universității din Oradea ISBN 973 -9416- 61-6, 1999
Vol. 1. – Ed. a 2 -a, rev Ed. Universit ății Oradea- ISBN 973 -613-481-4 ,66 pg. 2014
ISBN978 -606-10-1396 -8 . – ISBN 978 -606-10-1397- 5
Bibliografie disponibilă on -line
[1] http://distance.iduoradea.ro/course/view.php?id=984
[2] http://distance.iduoradea.ro/file.php/984/Capitol%202.pdf
Bibliografie suplimentară (facultativă)
[1] Rădoi , T , Deciu , A , Mecanica , Ed. Didactică și Pedagogică București , 1982
[2] Ripianu , A, Statica , Ed.Institutului Politehnic Cluj – Napoca , 1981
[3] Ripianu , A, … Mecanica tehnică , Ed, Didactică și pedagogică Bucuraști , 1982
Bibliografie
[1] Hutte, Manualul inginerului. Fundamente Editura Tehnica, Bucuresti,1995
[2] Tocaci , E., Mecanica , Ed. Didactică și pedagogică București , 1985
Modulul 9– MECANICA vol I STATICA
162
Modu lul 9:
CAZURI PARTICULARE DE SISTEME DE FOR ȚE
Obiective educaționale
În urma parcurgerii acestui modull veți ști:
-ce înseamnă sistem de forțe coplanare sau paralele
-cum se face reducerea sistemelor de forțe coplanare sau paralele analitic și grafic ,
-cum se determină rezultanta grafic cu poligonul forțelor și a axei centrale cu ajutorul
poligonului funicular
Cuvinte cheie:
sistem de forțe coplanare, sistem de forțe paralele, poligonul forțelor , poligon
funicular
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE NR. 9
In acest modul veți afla ce înseamnă sistem de forțe coplanare sau paralele , cum se
face reducerea sistemelor de forțe coplanare sau paralele analitic și grafic, cum se
determină rezultanta sistemului de forțe grafic cu poligonul forțelor și a axei centrale cu
ajutorul poligonului funicular
9
Timpul mediu necesar pentru studiu: 120 minute.
Modulul 9– MECANICA vol I STATICA
163
9.1 SISTEME DE FOR ȚE COPLANARE
Sistemele de for țe coplanare sunt sistemele de for țe situate în acela și plan . Fie acesta
planul xOy . În acest caz , forț a F se scrie cu ajutorul proiec țiilor pe axele unui sistem de
referint ă :
F XiYji i i ( 9 .1 )
iar punctul A i are vectorul de pozi ție în raport cu acela și sistem de referin ță :
rxiyji i i ( 9. 2 )
Fig.9.1
Torsorul de reducere în punctul O este :
oi
in
i
in
i
in
x y
o i i ii
iiii ii oz
in
inR F Xi YjRiRj
M rFijk
xy
XYxYyXkMk
1 1 1
1 10
0
. ( 9 . 3 )
Modulul 9– MECANICA vol I STATICA
164
Deci , rezultanta și momentul unui sistem de for țe coplanare sunt doi vectori
perpendicuari , produsul lor scalar fiind nul :
RM0 . Deci este valabil ă teorema lui
Varignon .
Ecua ția axei centrale este dat ă de rela ția ( 8 . 4 ) .
a) CAZURI DE REDUCERE ALE SISTEMELOR DE FOR ȚE COPLANARE
CAZUL I :
o
oR
M
0
0 Echilibru . Sistemul de for țe este echivalent cu 0 .
CAZUL II :
o
oR
M
0
0 Sistemul de for țe se reduce la un cuplu de for țe , situat într-u
plan perpendicular pe direc ția lui M o deci în planul forț elor. Solidul rigid va efectua o
mișcare de rota ție în jurul unei axe perpendiculare pe planul for țelor .
CAZUL III:
oR
M
0
0 Sistemul de for țe este echivalent cu o for ță egal ă cu rezultanta
aplicat ă pe axa central ă și imprim ă solidului rigid o mi șcare de translaț ie în lungul
acestei axe .
CAZUL IV:
o
oR
M
0
0
–
RM0 , deoarece , reduc ând în orice punct sistemul de for țe coplanare , cei
doi vectori ai torsorului sunt perpendiculari .Deci sistemul de for țe se reduce la o forță
unică egal ă cu rezultanta , aplicat ă pe axa central ă .
Modulul 9– MECANICA vol I STATICA
165
9.2 REDUCEREA UNUI SISTEM DE FOR ȚE COPLANARE PE CALE
GRAFIC Ă
POLIGONUL FOR ȚELOR . POLIGON FUNICULAR
Un sistem de for țe coplanare se reduce la o rezultant ă unic ă , aplicat ă într-un
punct arbitrar al axei centrale . Determinarea pe cale grafic ă a rezultantei unui sistem de
forțe coplanare are la baz ă următoarele propriet ăți :
-rezultanta sistemului de for țe este egal ă cu suma vectorial ă a tuturor forț elor
sistemului și se determin ă ca m ărime direc ție și sens cu ajutorul poligonului for țelor ;
-o for ță este echivalent ă cu dou ă componente situate pe dou ă direc ții coplanare cu
forța , care se intersecteaz ă pe suportul for ței , aceast ă opera ție de descompunere fiind
unică .
A doua proprietate enun țată aplicat ă în mod convenabil , printr-un procedeu
grafic numit poligon funicular , permite fiec ărei for țe a sistemului înlocuirea cu un
sistem echivalent se dou ă forțe concurente , cu punctul de aplica ție pe suportul for ței ,
dar și a rezultantei sistemului ,ce se înlocuie ște cu dou ă forțe echivalente cu punctul de
aplica ție pe suportul rezultantei , acest support fiinf identic cu axa central a sistemului
de forțe .
Fig.9.2
Modulul 9– MECANICA vol I STATICA
166
Dup ă construirea poligonului for țelor ( în acela și mod în care s-a prezentat la
reducerea sistemelor de forte prin metode grafice ) se trece la determinarea axei
centrale ( a suportului rezultantei sistemului de for țe )
Pentru aceasta , se alege un punct arbitrar O ( fig . 9.2 ) , numit pol , ( cu pozi ția
arbitrar ă , dar diferit ă de B 1B5) care se une ște cu punctele de extremitățile forțelod din
poligonul forțelor B1 – B 5, obținându-se astfel razele polare r 1 – r5 .
Se alege un punct arbitrar M o( la st ânga primei forț e a sistemului ) , se construie ște
MoM1 II r 1 M 1 aparținând forței F 1 , M 1M2 II r 2 M 2 aparținând forței F 2, ș.a.m.d. se
obține poligonul funicular M 1M2M3M4 . Se prelungesc M oM1și M 4M respective
paralelele la prima si la ultima rază polară ce se gasesc la extremitățile rezultantei in
poligonul forțelor . Intersecț ia acestor drepte se noteaz ă cu C . Prin C se duce o dreapt ă
paralelă cu B 1B5. Care este suportul rezultantei sistemului de forțe Aceast ă dreapt ă
reprezint ă axa central ă a sistemului de forț e considerat (rezultanta fiind invariabilă axa
centrala este paralela cu aceasta).
CAZURI DE REDUCERE
1.
R
M
0
0 Sistem de forț e în echilibru – poligonul for țelor se închide , poligonul
funicular se închide : prima și ultima latur ă sunt în prelungire .
2.
R
M
0
0 Sistemul este echivalent cu un cuplu , poligonul for țelor se închide ,
poligonul funicular nu se închide , are prima și ultima latur ă paralele .
3.
R
M
0
0 Sistemul este echivalent cu o rezultant ă unic ă , poligonul for țelor și
poligonul funicular nu se închid .
Modulul 9– MECANICA vol I STATICA
167
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să raspunzi la intrebarea :
Ce sunt sistemele de forțe coplanare ?
…………………………………………………………………………….
Completează aici răspunsul conside rat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………… ……………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
Dacă ai terminat de ră spuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Sistemele de forțe coplanare sunt sistemele de forțe
situate în același plan
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
9.3 SISTEME DE FOR ȚE PARALELE
Fie un sistem de for țe paralele a c ăror direc ție este paralel ă cu axa Oz ( fig 9.3 ). For țele
sistemului se scriu :
FZki i ( 9. 4 )
și vectorii de pozi ție ai punctelor de aplica ție ai forț elor :
rxiyjzki i i i ( 9 . 5)
Torsorul de reducere în punctul O are elementele :
oi
in
i
in
z
o i i
in
iii
iin
ii ii ox oy
in
inR F ZkRk
M rFijk
xyz
Z
yZi xZjMiMj
1 1
1 1
1 100
( 9 . 6 )
Modulul 9– MECANICA vol I STATICA
168
Relația ( 9 . 6 ) arat ă că un sistem de for țe parelele se reduce la un torsor a că rui
elemente sunt perpendiculare : rezultanta , dirijat ă pe direc ția comun ă forțelor
sistemului , și un moment con ținut într-un plan perpendicular pe direc ția for țelor
sistemului . Deci întotdeauna ,
RM =0.
Fig.9.3
a) CENTRUL FOR ȚELOR PARELELE
Pe axa central ă a sistemului de for țe paralele se g ăsește un punct C ( x c ,yc , zc )
care se bucur ă de proprietatea c ă în raport cu el suma momentelor tuturor for țelor
sistemului este nul ă .
Vectorul de pozi ție al punctului C se obț ine din condi ția lui de defini ție :
M M OCRC O0 ( 9 . 7 )
Din rela ția ( 4. 56 ) se expliciteaz ă vectorul OC :
OCRM rF
OC F rFO i i
in
i
in
i i
in
1
1 1 ( 9 . 8 )
Ținând cont modul de scriere a for ței F i cu rela ția ( 9 . 4 ) , rela ția ( 9 . 8) devine :
OC Zk rZk
sau
OC Zk rZki i i
in
in
i
in
i i
in
1 1
1 1
( 9 . 9 )
Modulul 9– MECANICA vol I STATICA
169
Relația ( 9 . 9 ) reprezint ă egalitatea a dou ă produse vectoriale , la care în ambii membri
drepț i apare versorul k . Deci , cele dou ă produse sunt egale , dac ă , membrii st ângi ai
produsului sunt egali :
OC Z rZi
in
i i
in
1 1
( 9 . 10 )
Din rela ția ( 9 . 10 ) , explicit ând OC se ob ține
OCrrZ
ZCi i
in
i
in
1
1 ( 9 . 11 )
Dacă se scrie OC cu ajutorul proiec țiilor pe sistemul cartezian :
OCrxiyjzkC C C C ( 9 . 12 )
aceste proiec ții se ob țin , proiect ând rela ția ( 9 . 11 ) pe acelea și axe :
xxZ
Z
yyZ
Z
zzZ
ZCi i
in
i
in
Ci i
in
i
in
Ci i
in
i
in
1
1
1
1
1
1 ( 9 . 13 )
b) PROPRIET ĂȚILE CENTRULUI FOR ȚELOR PARALELE
-Centrul for țelor paralele nu depinde de poziția comun ă a for țelor ( în rela ția (9. 9) ,
produsul vectorial are la al doilea membru direc ția comun ă forțelor );
-Centrul for țelor paralele nu depinde de sistemul de refer ință ales ;
– Centrul for țelor paralele nu își schimb ă pozi ția dac ă toate forț ele sistemului se
rotesc în aceea și direc ție cu acela și unghi α . Axa central ă a noului sistem rotit se va
roti în jurul centrului forț elor paralele cu acela și unghi α . Aceast ă proprietate st ă la
baza determin ării pe cale grafic ă a centrului for țelor paralele .
Modulul 9– MECANICA vol I STATICA
170
– Centrul for țelor paralele nu se schimb ă , dacă toate for țele sistemului se multiplic ă
cu acela și scalar :
rr Z
ZrZ
ZrZ
ZrCi i
in
i
ini i
in
i
ini i
in
i
in C
1
11
11
1 ( 9.14 )
-Dacă corpul admite o ax ă , un plan de simetrie , centrul forț elor perelele se g ăsește pe
axa sau planul de simetrie ;
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să raspunzi la intrebarea:
Unde se găsește centrul forțelor paralele C a sistemului
de forțe paralele și de ce proprietate se bucură ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
……………………………… ……………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………. …………………………………………………………………
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………. …
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Pe axa centrală a sistemului de forțe paralele se găseș te
centrul forțelor paralele C ( x c ,yc , zc ) care se bucură de
proprietatea că în raport cu el suma momentelor tutu ror
forțelor sistemului este nulă .
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Modulul 9– MECANICA vol I STATICA
171
9.4. DETERMINAREA PE CALE GRAFIC Ă A CENTRULUI
FOR ȚELOR PARALELE
Aceast ă determinare are la baz ă proprietatea enun țată anterior , potrivit c ăreia ,
poziția centrului for țelor paralele nu se schimb ă dacă se schimb ă direc ția tuturor for țelor
sistemului cu acela și unghi α în aceea și direc ție . Axa central ă a sistemului se rote ște cu
acela și unghi α în jurul centrului for țelor paralele . De obicei se ia α=90 . Se
construie ște cu ajutorul poligonului for țelor și a poligonului funicular rezultanta și axa
central ă a sistemului de for țe paralele dat , se rotesc apoi toate for țele sistemului cu
acela și unghi α =90 , se ob ține sistemul de forțe paralele notat F’ i pentru care , cu
acela și procedeu se determin ă rezultanta și axa central ă . Punctul de intersec ție dintre
axele centrale ob ținute , este C centrul for țelor paralele c ăutat ( fig. 9.4).
Fig.9.4
Modulul 9– MECANICA vol I STATICA
172
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să raspunzi la intrebarea:
Ce proprietate stă la baza determinării centrului
forțelor paralele prin metoda grafică ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……….. ……………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………….. ……..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Poziția centrului forțelor paralele nu se schimbă dacă se
schimbă direcția tuturor forțelor sistemului cu același
unghi α în aceeași direcție . Axa centrală a sistemului se
roteșt e cu același unghi α în jurul centrului forțelor
paralele
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Subiecte pentru autoevaluare:
Întrebări de autoevaluare
1. La ce se reduce un sistem de forțe paralele ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
Modulul 9– MECANICA vol I STATICA
173
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Un sistem de forțe paralele se reduce la un torsor de reducere de forma:
oi
in
i
in
z
o i i
in
iii
iin
ii ii ox oy
in
inR F ZkRk
M rFijk
xyz
Z
yZi xZjMiMj
1 1
1 1
1 100
2 La ce se reduce un sistem de forțe coplanare ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Un sistem de forțe coplanare se reduce la un torsor de reducere de forma:
oi
in
i
in
i
in
x y
o i i ii
iiii ii oz
in
inR F Xi YjRiRj
M rFijk
xy
XYxYyXkMk
1 1 1
1 10
0
.
3.Ce se înțelege prin sisteme de forțe coplanare ?
Modulul 9– MECANICA vol I STATICA
174
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Sistemele de forțe coplanare sunt sistemele de forțe situate în același plan
4Este valabilă teorema lui Varignon în cazul sistemelor de forțe coplanare ?Explicați de ce?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Rezultanta și momentul unui sistem de forțe coplanare sunt doi vectori perpendicuari , produsul
lor scalar fiind nul :
RM0 . Deci este valabilă teorema lui Varignon .
5 Ce presupune cazul I de reducere în cazul sistemelor de forțe coplanare?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
CAZUL I : înseamna echilibru . Sistemul de forțe este echivalent cu 0 .Torsorul de
reducere are elementele nule:
o
oR
M
0
0 .
Modulul 9– MECANICA vol I STATICA
175
Dacă ați terminat de răspuns la întrebările de mai sus, verificați -vă răspunsurile date
confruntându -le cu materialul teoretic prezentat în acest Capitol .
Nu ați răspuns corect la toate întrebările? Nu fiți dezamăgiți,
căci vă recomandăm să re parcurgeți materialul teoretic și cu
siguranță veți putea răspunde acestor întrebări. E simplu! Puteți
de asemenea, să vă notați eventualele nelămuriri, pentru a le
clarifica în cadrul Activității tutoriale (AT) .
Ați răspuns corect la toate întrebările? FELICITĂRI!!!
Continuați parcurgerea acestui Capitol pentru a vă pregăti
corespunzător în vederea atingerii obiectivelor stabilite pentru
acest Capitol .
Teste grilă pentru autoevaluare:
1 Un sistem de forțe coplanare este :
a)
F XiYji i i
b)
FZki i
c) sistemul de forțe este determinat.
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
2.În cazul în care sistemul ui de forțe paralele
a) un sistem de forțe parelele se reduce la un torsor a cărui elemente sunt
perpendiculare : rezultanta , dirijată pe direcția comună forțelor sistemului , și un
moment conținut într -un plan perpendicular pe direcția forțelor sistemului
b) întotdeauna ,
RM =0.
c) nu se poate rezolva
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
3.Un sistem de forțe paralele este :
a)
F XiYji i i
b)
FZki i
c) sistemul de forțe determinat.
Modulul 9– MECANICA vol I STATICA
176
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
3. Vectorul de poziție al centrului forțelor paralele este :
a)
OCrxiyjzkC C C C
b)
OCrrZ
ZCi i
in
i
in
1
1
c)
xxZ
Z
yyZ
Z
zzZ
ZCi i
in
i
in
Ci i
in
i
in
Ci i
in
i
in
1
1
1
1
1
1
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
4. Proprietățile centrului forțelor paralele sunt:
a) Cent rul forțelor paralele nu depinde de sistemul de referință ales ;
b) Centrul forțelor paralele nu își schimbă poziția dacă toate forțele sistemului se
rotesc în aceeași direcție cu același unghi α. Axa centrală a noului sistem rotit se va
roti în jurul centrului forțelor paralele cu același unghi α
c) Dacă corpul admite o axă , un plan de simetrie , centrul forțelor perelele se găsește
pe axa sau planul de simetrie
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
Modulul 9– MECANICA vol I STATICA
177
Dacă ați terminat de răs puns la testele grilă de mai sus, verificați -vă răspunsurile
date confruntându -le cu cele din tabelul următor:
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. a
2. a, b
3. b
4. a, b
5. a, b,c
Subiecte pentru evaluare și control
Întrebări de evaluare
1. Ce presup une cazul II de reducere în cazul sistemelor de forțe coplanare?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
CAZUL II : de reducere presupune ca elementele torsorului de reducere sunt:
o
oR
M
0
0
Modulul 9– MECANICA vol I STATICA
178
Sistemul de forțe se reduce la un cuplu de forțe , situat într -u plan perpendicular pe
direcț ia lui M o deci în planul forțelor. Solidul rigid va efectua o mișcare de rotație în
jurul unei axe perpendiculare pe planul forțelor .
2. Ce presupune cazul III de reducere în cazul sistemelor de forțe coplanare?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
CAZUL III: de reducere presupune ca elementele torsorului de reducere sunt:
oR
M
0
0
Sistemul de for șe este echivalent cu o for ță egal ă cu rezultanta aplicat ă pe axa central ă
și imprim ă solidului rigid o mi șcare de translaț ie în lungul acestei axe .
.
3. Ce presupune cazul IV de reducere în cazul sistemelor de forțe coplanare?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la înt rebarea de mai sus este:
CAZUL IV: de reducere presupune ca elementele torsorului de reducere sunt:
o
oR
M
0
0
–
RM0 , deoarece , reducând în orice punct sistemul de forțe coplanare , cei
doi vectori ai t orsorului sunt perpendiculari . Deci sistemul de forțe se reduce la o forță
unică egală cu rezultanta , aplicată pe axa centrală .
Modulul 9– MECANICA vol I STATICA
179
4 Cum se scriu forțele sistemului de forțe paralele a căror direcâie este
paralelă cu axa Oz ?
Scrie răspunsul tău ai ci:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Un sistem de forțe paralele a căror direcâie este paralelă cu axa Oz, forțele sistemului
se scriu :
FZki i
5. În cazul sistemelor de forțe coplanare cazul IV de reducere are doua subcazuri?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Nu deoarece
RM0 , reducând în orice punct sistemul de forțe coplanare , cei
doi vectori ai torsorului sunt perpendiculari .
Teste grilă:
1 In cazul doi de reducere la rezolvarea graf ica a sistemului de foțe coplanare:
a)
R
M
0
0 Sistemul este echivalent cu o rezultantă unică , poligonul forțelor și
poligonul funicular nu se închid .
b) poligonul funicular se închide : prima și ultima latură sunt în prelungire
Modulul 9– MECANICA vol I STATICA
180
c)
R
M
0
0 Sistem de forțe în echilibru – poligonul forțelor se închide , poligonul
funicular se închide : prima și ultima latură sunt în prelungire
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
2. In cazul unu de reducer e la rezolvarea grafica a sistemului de foțe coplanare:
a)
R
M
0
0 Sistemul este echivalent cu o rezultantă unică , poligonul forțelor și
poligonul funicular nu se închid .
b) poligonul funicular se închide : prima și ultima latură sunt în pr elungire
c)
R
M
0
0 Sistem de forțe în echilibru – poligonul forțelor se închide , poligonul
funicular se închide : prima și ultima latură sunt în prelungire
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
3. Coordo natele centrului forțelor paralele este:
a)
OCrxiyjzkC C C C
b)
OCrrZ
ZCi i
in
i
in
1
1
c)
Modulul 9– MECANICA vol I STATICA
181
xxZ
Z
yyZ
Z
zzZ
ZCi i
in
i
in
Ci i
in
i
in
Ci i
in
i
in
1
1
1
1
1
1
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
4.La ce se reduce un sistem de forțe coplanare ?
a)
oi
in
i
in
i
in
x y
o i i ii
iiii ii oz
in
inR F Xi YjRiRj
M rFijk
xy
XYxYyXkMk
1 1 1
1 10
0
b)
oi
in
i
in
z
o i i
in
iii
iin
ii ii ox oy
in
inR F ZkRk
M rFijk
xyz
Z
yZi xZjMiMj
1 1
1 1
1 100
c)
o
oR
M
0
0
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ………………………
5 .La ce se reduce un sistem de forțe coplanarein echilibru?
Modulul 9– MECANICA vol I STATICA
182
a)
oi
in
i
in
i
in
x y
o i i ii
iiii ii oz
in
inR F Xi YjRiRj
M rFijk
xy
XYxYyXkMk
1 1 1
1 10
0
b)
oi
in
i
in
z
o i i
in
iii
iin
ii ii ox oy
in
inR F ZkRk
M rFijk
xyz
Z
yZi xZjMiMj
1 1
1 1
1 100
o
oR
M
0
0
Dacă ați terminat de răspuns la testele grilă de mai sus, verificați -vă răspunsurile
date confruntându -le cu cele din tabelul următor:
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. a
2. c
3. c
4. a
5. c
Rezumatul acestui Modul:
In acest modul ați aflat ce înseamnă sistem de forțe coplanare sau paralele , cum se
face reducerea sistemelor de forțe coplanare sau paralele analitic și grafic, cum se
determină rezultanta sistemului de forțe grafic cu poligonul forțelor și a axei centrale cu
ajutorul poligonului funicular. Ați observat cele patru cazuri de reducere la determinarea
grafică a rezultantei sistemului de forțe. Ați determinat centrul forțelore paralele analitic ș i
grafic.
Modulul 9– MECANICA vol I STATICA
183
Bibliografie obligatorie
[1] Mariana Adriana PRICHICI . – Mecanica Vol.1 :Statica /Oradea: Editura
Universității din Oradea ISBN 973 -9416- 61-6, 1999
Vol. 1. – Ed. a 2 -a, rev Ed. Universit ății Oradea- ISBN 973 -613-481-4 ,66 pg. 2014
ISBN978 -606-10-1396 -8 . – ISBN 978 -606-10-1397- 5
Bibliografie disponibilă on -line
[1] http://distance.iduoradea.ro/course/view.php?id=984
[2] http://distance.iduoradea.ro/file.php/984/Capitol%202.pdf
Bibliografie suplimentară (facultativă)
[1] Rădoi , T , Deciu , A , Mecanica , Ed. Didactică și Pedagogică București , 1982
[2] Ripianu , A, Statica , Ed.Institutului Politehnic Cluj – Napoca , 1981
[3] Ripianu , A, … Mecanica tehnică , Ed, Didactică și pedagogică Bucuraști , 1982
Bibliografie
[1] Hutte, Manualul inginerului. Fundamente Editura Tehnica, Bucuresti,1995
[2] Tocaci , E., Mecanica , Ed. Didactică și pedagogică București , 1 988
Modulul 10 – MECANICA vol I STATICA
184
MODULUL 10:
ECHILIBRUL SOLIDULUI RIGID
Obiective educaționale
– În urma parcurgerii acestui Modul veți ști:
– Numă rul de grade de libertate al solidului rigid liber
– Numărul de grade de libertate al solidului rigid supus la legături
– Tipurile de legături ideale: , reazem simplu, solid rigid articulat, solid rigid
incastrat.
Cuvinte cheie:
echilibrul solidului rigid, grade de libertate, solid rigid liber, solid rigid supus la
legături, legături ideale, reazem simplu, solid rigid articulat, solid rigid incastrat.
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE NR. 10
În urma parcurgerii acestui Modul veți putea să determinați numărul de grade de
liberta te al solidului rigid liber, numărul de grade de libertate al solidului rigid supus la
legături în toate tipurile de legături ideale: reazem simplu, solid rigid articulat sau solid
rigid incastrat.
Veți ști ce sunt legăturile ideale sau reale
10
Timpul mediu necesar pentru studiu120 minute.
Modulul 10 – MECANICA vol I STATICA
185
10.1 ECHILIRUL SOLIDUL RIGID LIBER
Solidul rigid liber poate ocupa orice pozi ție în spa țiu . Aceasta poate fi determinat ă
atunci c ând se cunosc coordonatele a trei puncte necoliniare , deci nou ă parametri (fig
. 10.1 ). Între aceste coordonate mai pot fi scrise trei rela ții ce exprim ă distan ța dintre
cele trei puncte , distan ță ce r ămâne constant ă indiferent de sistemul de for țe ce
acționeaz ă asupra solidului rigid (ipoteza rigidit ății ):
AB x x y y z z d
AC x x y y z z d
BC x x y y zz dA B A B A B
A C A C A C
B C B C B C
2 2 2
1
2 2 2
2
2 2 2
3
.
. ( 10 . 1 )
Deci 9-3=6 , solidul rigid are în spa țiu șase grade de libertate .
În plan , trebuiesc determinate coordonatele a dou ă puncte , deci patru
parametri , se poate scrie distan ța dintre cele dou ă puncte , deci 4-1=3 grade de libertate.
Fig.10.1
Problema echilibrului solidului rigid impune determinarea pozi ției de echilibru
când sunt cunoscute for țele direct aplicate asupra sa . Dar sistemul de for țe direct
Modulul 10 – MECANICA vol I STATICA
186
aplicate asupra solidului rigid este în echilibru c ând elementele torsorului de reducere
într-un punct sunt nule :
R
MRRiRjRk
M MiMjMk
sau
R
R
RsiM
M
Mox y z
o ox oy oz
x
y
zox
oy
oz
0
00
0
0
0
00
0
0:
( 10 . 2)
Deci problema echilibrului solidului rigid în spa țiu este static determinat ă
(num ărul de ecua ții de echilibru static este egal cu 6-respectiv rela țiile ( 10 . 1) și sunt
egale cu num ărul de necunoscute -6 respectiv , gradele de libertate sau parametrii scalari
independenț i ce î i definesc la un moment dat pozi ția ).
10.1.CAZURI PARTICULARE DE ECHILIBRU ALE
SOLIDULUI RIGID
10.1.1.SOLID RIGID AC ȚIONAT DE UN SISTEM DE FOR ȚE
COPLANARE
În cazul sistemului de for țe coplanare situate în planul xOy , condiția vectorială de
echilibru este aceeasi ca si la solidul rigid acționat de un system oar ecare de forte.
Respectiv cei doi vectori ai torsorului de reducere rezultanta și momentul in raport cu
punctul de reducere să fie nule. Proiectând elementele torsorului de reducere într-un
punct pe axele sistemului de referință se obțin trei elemente scalare , care pentru
echilibru trebuie să fie nule :
R
R
Mx
y
oz
0
0
0 ( 10 . 3 )
Deci num ărul de ecua ții de echilibri static este suficient pentru a determina parametrii
scalari independen ți ce fixeaz ă pozi ția solidului rigid în plan , problema fiind static
determinat ă .
Modulul 10 – MECANICA vol I STATICA
187
10.1.2.SOLID RIGID SUPUS LA UN SISTEM DE FOR ȚE PARALELE
Dacă sistemul de for țe paralele este dirijat dup ă direc ția axeo Oz , elementele scalare ale
torsorului care trebuiesc s ă fie nule duc la scrierea a trei ecua ții de echilibru static :
R
M
Mz
ox
oy
0
0
0 ( 10 . 4 )
Dacă ai înțeles paragrafele parcur se până aici, atunci te rog
să răspunzi la întrebarea :
Echilibrul solidului rigid în spațiu este o problemă static
determinată.De ce ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
…………………. ……………………………………………………………
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………….. ……………..
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Echilibrul solidului rigid în spațiu este o problemă
static determinată (numărul de ecuații de echilibru
static este egal cu 6 – sunt egale cu numărul de
necu noscute -6 respectiv , gradele de libertate sau
parametrii scalari independenți ce -i definesc la un
moment dat poziția ).
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda .
Modulul 10 – MECANICA vol I STATICA
188
10.2. ECHILIBRUL SOLIDULUI RIGID SUPUS LA LEG ĂTURI
GENERALIT ĂȚI
Solidul rigid supus la leg ături , este obligat s ă respecte unele restricț ii
geometrice ( unele mi șcări ale sale fiind împiedicate prin aceste restric ții ), în întregime
sau numai o parte a sa este constr ânsă să rămână într-un anumit domeniu din spa țiu .
Legăturile realizeaz ă contactul dintre solidul rigid și alt corp numit corp de reazem . În
static ă , corpul de reazem se consider ă fix .
Legăturile solidului rigid se clasific ă în :
- legături ideale ( f ără frecare ) ;
- leg ături cu frecare .
Potrivit axiomei leg ăturilor , se suprim ă leg ătura solidului rigid și se
înlocuie ște cu elemente mecanice ( for țe sau/ și momente ) care au asupra solidului rigid
acela și efect ca și legătura dat ă . Se ob țin astfel ,for țe sau momente de leg ătură , numite
reacțiuni .
Deci asupra solidului rigid supus la leg ături , ac ționeaz ă două sisteme de for țe :
– sistemul de for țe direct aplicate , a c ăror torsor de reducere ( de obicei în punctul de
legătură O ) este :
od
odR
M
( 10 . 5 )
-sistemul de for țe de leg ătură în punctul O :
ol
olR
M
( 10 . 6 )
Condi ția vectorial ă de echilibru a solidului rigid supus la leg ături este :
R R
M Md l
od ol
0
0 ( 10 . 7 )
sau condi ția scalar ă se poate scrie proiect ând rela țiile (10. 7 ) pe axele sistemului
cartezian:
R R
R R
R RsiM M
M M
M Mdx lx
dy ly
dz lzdx lx
dy ly
dz lz
0
0
00
0
0
( 10 . 8)
deci șase ecua ții cu tot at âtea necunoscute , problema echilibrului solidului rigid supus
la legă turi fiind static determinat ă .
Modulul 10 – MECANICA vol I STATICA
189
În cazul solidului rigid supus la leg ături , ac ționat de un sistem de forțe
coplanare condi ția vectorial ă de echilibru este aceea și , dat ă de relaț iile ( 9 . 4 ) iar
scalar se reduce la un sistem de trei ecua ții de forma :
R R
R R
M Mdx lx
dy ly
dz lz
0
0
0 ( 10 . 9 )
10.2.1 ECHILIBRUL SOLIDULUI RIGID SUPUS LA LEG ĂTURI IDEALE
Legăturile ideale sunt leg ăturile solidului rigid fără frecare .
TIPURILE DE LEG ĂTURI IDEALE
1 . REAZEMUL SIMPLU
Reazemul simplu oblig ă un punct al solidului rigid s ă rămână în contact cu o
suprafa ță ( S 1 ), fix ă . Deplasarea pe direc ția normalei comune
n la cele dou ă corpuri în
punctul de contact A , este împiedicat ă în ambele sensuri la reazemul simplu bilateral ,
sau numai î ntr-un sens la reazemul unilateral .
Reazemul simplu suprimă un grad de libertate ( deci este o legă tură simpl ă ) și
lasă libere cinci grade de libertate :deplas ările liniare dup ă două axe concurente într-un
plan [T] , tangent la suprafa ța de rezemare în A , și rotirile dup ă trei axe necoplanare ,
concurente în A ( fig . 26 ).
Fig.10.2
Modulul 10 – MECANICA vol I STATICA
190
Echivalentul mecanic al reazemului simplu este o for ță de legă tură
NA numit ă
reacțiune , aplicat ă în punctul de reazem A , dirijat ă pe direc ția deplas ării împiedicate ,
după normala
n în A .Sensul reac țiunii este oarecare la reazemul bilateral , și sensul de
desprindere al solidului ( S )de pe suprafa ța de reazem , la leg ătura unilateral ă .
OBSERVA ȚII :
-un reazem simplu se poate realiza leg ând un punct al solidului rigid de un punct fix
în spa țiu .O astfel de leg ătură se face fie printr-o tij ă rigid ă ( pendul ) și se nume ște
legătură pendular ă , sau printr-un fir . Reac țiunea va fi dirijat ă pe direc ția pendulului
sau firului ;
-reazemul simplu realizat prin contactul a dou ă corpuri este echivalent cu o reac țiune
dirijat ă pe direc ția normalei comune celor dou ă corpuri în punctul de contact ; dac ă
punctul de contact este un punct singular pentru una din suprafe țe ( cu normal ă
nedeterminat ă ) reacț iunea este dirijat ă pe direc ția normalei celei lalte suprafe țe ( fig .
10.2 );
-în cazul în care corpul este ac ționat de un sistem de for țe coplanare, restric ția
geometric ă este obliga ția sa de a r ămâne pe o curb ă în planul forț elor ( curba de
secțiune a suprafe ței de reazem cu planul for țelor ), leg ătura suprim ă și în acest caz tot
un grad de libertate din cele trei pe care le are solidul rigid în plan , și anume
deplasarea pe direcț ia normalei la curba de reazem;
-reazemul simplu se reprezint ă conven țional ( simbolic ) , ca în figura
10.4.a) , cu reac țiunile ca în figura 10.4.b) .
Fig.10.3
Modulul 10 – MECANICA vol I STATICA
191
Fig.10.4
Fig.10.4
2 .ARTICULAȚ IA SFERICĂ
Articula ția sferic ă sau spa țială , este leg ătura ce oblig ă un punct al solidului
rigid s ă rămână fix în spaț iu . Solidul rigid este în acest caz , cu punct fix ( fig. 10.5 ).
Articula ția sferic ă suprim ă trei grade de libertate , și anume deplas ările
liniare dup ă axe necoplanare concurente în punctul fix A , permi țând rotirea lui în jurul
acestor axe . Punctul fix A se nume ște punct de articulare . Solidul rigid articulat sau
cu punct fix are trei grade de libertate , deci pentru a-i defini pozi ția în raport cu un
sistem de referin ță ales , îi trebuiesc trei parametri scalari independen ți .
Din punct de vedere mecanic , articula ția sferic ă este echivalent ă cu o for ță de leg ătură
Rl ( reac țiune ) care are componente dup ă cele trei axe dup ă care deplas ările sunt
împiedicate :
R RiRjRkl lx ly lz ( 10 . 10 )
Modulul 10 – MECANICA vol I STATICA
192
OBSERVA ȚII
Cum articula ția sferic ă suprim ă trei grade de libertate dup ă trei direc ții necoplanare ,
ea poate fi înlocuit ă cu trei reazeme simple , deci este echivalent ă cu trei leg ături
simple
-Rezult ă că articula ția sferic ă se poate înlocui cu trei penduli necoplanari ( trei bare
rigide ) . În acest caz , componentele reac țiunii sunt dirijate dup ă direc ția celor trei
bare ;
-În mod convenț ional , articula ția sferic ă se reprezint ă ca în figura 10.4 a) , iar
reacțiunea ca în figura 10.4 b).
Fig.10.5
Modulul 10 – MECANICA vol I STATICA
193
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să răspunzi la întrebarea :
Câte grade de libertate are un solid ri gid liber ?
…………………………………………………………………………….
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corec t este:
Solidul rigid liber are în spațiu șase grade de
libertate.
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
3 . ARTICULAȚ IA CILINDRICĂ ( PLAN Ă)
Articula ția cilindric ă sau plană este leg ătura solidului rigid ac ționat de un sistem de
forțe coplanare , la care un punct este fix , în planul for țelor .Deci , articula ția plan ă
suprim ă două grade de libertate , respectiv deplas ările liniare în planul for țelor , l ăsând
liberă rotirea în jurul unei axe perpendiculare pe planul for țelor ( fig . 10.6 ).
Solidul rigid articulat în plan are un grad de libertate, deci pozi ția este
determinat ă față de un sistem de refrin ță ales c ând se cunoa ște un singur parametru
scalar independent .
Din punct de vedere mecanic , articulaț ia plan ă este echivalent ă cu o reacț iune
conținută în planul for țelor d irect aplicate , ce împiedic ă orice deplasare în acest plan .
Deci , vectorial reac țiunea se scrie :
RRiRjx y ( 10 . 11 )
Modulul 10 – MECANICA vol I STATICA
194
Fig.10.6
OBSERVA ȚII
-Deoarece , articula ția plană suprim ă dou ă grade de libertate , este echivalent ă cu
două legături simple , și se poate înlocui cu doi penduli ( dou ă bare rigide ) av ând
direc ții distincte în planul for țelor direct aplicate ;
-În mod convenț ional , articula ția plană se reprezint ă ca în figura 10.7 .
Fig.10.7
Modulul 10 – MECANICA vol I STATICA
195
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să răspunzi la întrebarea:
Câte grade de libertate are solidul rgid simplu
rezemat in s pațiu ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………… .
……………………………………………………………………………….
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Solidul rgid simplu rezemat are în spațiu 5 grade de
libertate.
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
4 .ÎNCASTRAREA SPA ȚIALĂ
Încastrarea spa țială este leg ătura ce oblig ă punctele apar ținând unui solid rigid
să rămână pe o suprafa ță numit ă suprafa ță de încastrare , ce se g ăsește la contactul
dintre solidul rigid și corpul de reazem .
Încastrarea împiedic ă toate deplas ările , deci suprim ă toate cele șase grade de
libertate ale solidului rigid în spa țiu . Pozi ția solidului rigid este fixat ă prin încastrare ,
nedepinz ând de sistemul de forț e ce ac ționeaz ă asupra lui .
Din punct de vedere mecanic , încastrarea se înlocuie ște printr-o for ță R și un moment
M, figura 10.8 a) aplicate în centrul de greutte al suprafe ței de încastrare :
RRiRjRk
M MiMjMkx y z
ol lx ly lz
( 10 . 12 )
Modulul 10 – MECANICA vol I STATICA
196
Fig.10.8
5 .ÎNCASTRAREA PLAN Ă
În cazul în care solidul rigid este ac ționat de un sistem de for țe coplanare ,
încastrarea se nume ște plană .
Din punct de vedere mecanic , încastrarea plan ă este echivalent ă cu o rezultant ă
conținută în planul for țelor ( rezultant ă ce se reprezint ă prin cele dou ă componente
ale sale , respectiv cea vertical ă V și cea orizontal ă H) , și un moment perpendicular pe
acesta ( fig . 33 b ). În aceea și figur ă este prezentat ă simbolizarea încastră rii , modul în
care aceasta se reprezint ă .
OBSERVA ȚII :
-Încastrarea plan ă este echivalent ă cu trei leg ături simple și se poate realiza prin trei
penduli dispu și astfel încât să suprime toate cele trei grade de libertate ale solidului rigid
în plan ;
-O bar ă încastrat ă la un cap ăt se nume ște consol ă;
Modulul 10 – MECANICA vol I STATICA
197
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să răspunzi la întrebarea:
Câte grade de libertate are solidul rgid încastrat ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
………………………………………… …………………………………….
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Solidul rgid încastrat are în spațiu 0 grade de
libertate.Incastrarea suprimă toate gradele de libertate
ale solidului rigid.
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
6 . LEG ĂTURA PRIN FIRE SAU BARE RIGIDE
Ca și în cazul punctului material , leg ătura prin fir sau bar ă rigid ă ( pendul –
legătură pendular ă ) , este o leg ătură simpl ă , unilateral ă- în cazul leg ăturii prin fir și
bilateral ă în cazul leg ăturii pendulare .
Din punct de vedere mecanic , at ât bara c ât și firul sunt echivalente cu o
reacțiune dirijat ă după direc ția firului , în sensul în care firul permite deplasarea , sau
după direc ția pendulului , cu sens oarecare.
Modulul 10 – MECANICA vol I STATICA
198
Subiecte pentru autoevaluare:
Întrebări de autoevaluare
1. Cu ce este echivalentă încastrarea plană ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Încastrarea plană este echivalentă cu trei legături simple și se poate realiza prin trei penduli
dispuși astfel încât să suprime toate cele trei grade de libertate ale solidului rigid în plan ;
2. Cum se numește o bară încastrată la un capăt și liberă la celălalt?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
O bară încastrată la un capăt se numește consolă
3. Din punct de vedere mecanic , prin ce se înlocuiește încastrarea ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Din punct de vedere mecanic , încastrarea se înlocuiește printr -o forță R și un moment M, aplicate
în centrul de greutte al suprafeței de încastrare
Modulul 10 – MECANICA vol I STATICA
199
4. Depinde poziția solidului rigid de sistemul de forțe ce acționează asupra lui?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Poziția solidului rigid este fixată prin încastrare , nedepinzând de sistemul de forțe ce acționează
asupra lui.
5.Câte grade de libertate lasă libere î ncastrarea ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Încastrarea împiedică toate deplasările , deci suprimă toate cele șase grade de libertate ale
solidului rigid în spațiu.
Dacă ați terminat de răspun s la întrebările de mai sus, verificați -vă răspunsurile date
confruntându -le cu materialul teoretic prezentat în acest Capitol .
Nu ați răspuns corect la toate întrebările? Nu fiți dezamăgiți,
căci vă recomandăm să reparcurgeți materialul teoretic și cu
siguranță veți putea răspunde acestor întrebări. E simplu! Puteți
de asemenea, să vă notați eventualele nelămuriri, pentru a le
clarifica în cadrul Activității tutoriale (AT) .
Ați răspuns corect la toate întrebările? FELICITĂRI!!!
Continuați parcurgerea acestui Capitol pentru a vă pregăti
corespunzător în vederea atingerii obiectivelor stabilite pentru
acest Capitol .
Modulul 10 – MECANICA vol I STATICA
200
Teste grilă pentru autoevaluare:
1. Reazemul simplu realizat prin contactul a două corpuri este echivalent:
a) cu o reac țiune dirijat ă pe direc ția normalei comune celor dou ă corpuri în
punctul de contact ;
b) dacă punctul de contact este un punct singular pentru una din suprafeț e ( cu
normal ă nedeterminat ă ) reac țiunea este dirijat ă pe direc ția normalei celei-
lalte suprafe țe ;
c) cu doua reacțiuni pe rpendiculare
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
2. Condiția vectorială de echilibru în cazul solidului rigid liber acționat de un
sistem de forțe oarecare este de forma :
a)
R R
R R
M Mdx lx
dy ly
dz lz
0
0
0
b)
R
MRRiRjRk
M MiMjMk
sau
R
R
RsiM
M
Mox y z
o ox oy oz
x
y
zox
oy
oz
0
00
0
0
0
00
0
0:
c)
R
R
Mx
y
oz
0
0
0
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
3. Condiția scalară de echilibru în cazul solidului rigid liber acționat de un sistem
de forțe oarecare este de forma :
Modulul 10 – MECANICA vol I STATICA
201
a)
R R
R R
M Mdx lx
dy ly
dz lz
0
0
0
b)
R
MRRiRjRk
M MiMjMk
sau
R
R
RsiM
M
Mox y z
o ox oy oz
x
y
zox
oy
oz
0
00
0
0
0
00
0
0:
c)
R
R
Mx
y
oz
0
0
0
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
4.Condiția vectorială de echilibru a solidului rigid supus la legături este :
a)
R R
M Md l
od ol
0
0
b)
R R
R R
R RsiM M
M M
M Mdx lx
dy ly
dz lzdx lx
dy ly
dz lz
0
0
00
0
0
c) :
00
oll
oMR
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
5. Condiția scalară de echilibru a solidului rigid supus la legături este :
a)
R R
M Md l
od ol
0
0
Modulul 10 – MECANICA vol I STATICA
202
b)
R R
R R
R RsiM M
M M
M Mdx lx
dy ly
dz lzdx lx
dy ly
dz lz
0
0
00
0
0
c) :
00
oll
oMR
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
Dacă ați terminat de răspuns l a testele grilă de mai sus, verificați -vă răspunsurile
date confruntându -le cu cele din tabelul următor:
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. a, b
2. b
3. a
4. a
5. b
Subiecte pentru evaluare și control
Întrebări de evaluare
1 Câte grade de libertate are solidul rigoid simplu rezemat în A?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus est e:
Reazemul simplu suprimă un grad de libertate ( deci este o legptură simplă ) și lasă libere
cinci grade de libertate :deplasările liniare după două axe concurente într -un plan [T] ,
Modulul 10 – MECANICA vol I STATICA
203
tangent la suprafața de rezemare în A , ș i rotirile dup ă trei axe necoplanare , concurente în
A.
2Ce sunt legăturile ideale ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întreba rea de mai sus este:
Legăturile ideale sunt legăturile solidului rigid fără frecare .
3Ce sunt legăturile reale ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Legăturile reale sunt legăturile solidului rigid cu frecare .
4 Care este condiția vectorială de echilibru a solidului rigid supus la legături ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răsp unsul corect la întrebarea de mai sus este:
Condiția vectorială de echilibru a solidului rigid supus la legături este :
R R
M Md l
od ol
0
0
5.Ce legaturi suprimă reazemul simplu ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
Modulul 10 – MECANICA vol I STATICA
204
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Reazemul simplu suprimă un grad de libertate ( deci este o legătură simplă ).
Teste grilă:
1. Legăturile solidului rigid se clasifică în :
a) – legături ideale ( fără frecare ) ;
b) – legături cu frecare .
c) Reazem simplu
d) consolă
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ………………….. …..
2 În static ă , corpul de reazem se consider ă :
a) flexibil
b) Fix
c) solid
Modulul 10 – MECANICA vol I STATICA
205
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
3. Articulația plană suprimă :
a) doua grade de libertate lasând liberă rotirea
b) toate gradele de libertate a solidului rigid
c) suprimă doua translații perpendiculare si lasă liberă rotitea în jurul punctului fix
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
4 Încastrarea plană suprimă:
a) doua grade de libertate la sând liberă rotirea
b) toate gradele de libertate a solidului rigid
c) suprimă doua translații perpendiculare si lasă liberă rotitea în jurul punctului fix
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
5.Reazemul simpl u suprimă :
a) toate gradele de libertate a solidului rigid.
b) un singur grad de libertate
c) lasă libere două grade de libertate
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. a,b,c
2. b
3. a,c
4. b
5. b
Rezumatul acestui Capitol:
Usolid rigid este liber când poate ocupa orice poziție in spațiu sau în plan.Cand uns
din deplasări este împiedicată se spune ca este supus la legăruri.Conform axiomei
legăturilor se suprimă legătura și se înlocuiește cu elemente mecanice, forțe sau momente
Modulul 10 – MECANICA vol I STATICA
206
ce au același efect asupra solidului rigid ca și legătura data. Acestea se numesc reacțiuni,
sunt necunoscute.
Legăturile solidului rigid sunt ideale ( fără frecare ) su reale (cu frecare)
Bibliografie obligatorie
[1] Mariana Adriana PRICHICI . – Mecanica Vol.1 :Statica /Oradea:Editura
Universității din Oradea ISBN 973 -9416- 61-6, 1999
Vol. 1. – Ed. a 2 -a, rev Ed. Universit ății Oradea- ISBN 973 -613-481-4 ,66 pg. 2014
ISBN978 -606-10-1396 -8 . – ISBN 978 -606-10-1397- 5
Bibliografie disponibilă on -line
[1] http://distance.iduoradea.ro/course/view.php?id=984
[2] http://distance.iduoradea.ro/file.php/984/Capitol%202.pdf
Bibliografie suplimentară (facultativ ă)
[1] Rădoi , T , Deciu , A , Mecanica , Ed. Didactică și Pedagogică București , 1982
[2] Ripianu , A, Statica , Ed.Institutului Politehnic Cluj – Napoca , 1981
[3] Ripianu , A, … Mecanica tehnică , Ed, Didactică și pedagogică Bucuraști , 1982
Bibliografie
[1] Hutte, Manualul inginerului. Fundamente Editura Tehnica, Bucuresti,1995
[2] Tocaci , E., Mecanica , Ed. Didactică și pedagogică București , 1985
Modulul 11– MECANICA vol I STATICA
207
Modu lul 11:
FIXAREA UNUI CORP ÎN PLAN. DETERMINAREA
REACȚIUNILOR
Obiective educaționale
În urma parcurgerii acestui capitol veți ști:
-să determinati reacțiunile pentru bara simplu rezemetă
-se determinati reacțiunile pentru bara încastrată
-să cunoașteți tipurile de incărcări,
-să definiți eforturile, solicitările simple, compuse, convențiile lor de semne și semnele
convenționale
cuvinte cheie:
Reacțiuni, bara simplu rezemată, bara încastrată, eforturi , solicitări simple, solicitări
compuse
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE NR. 11
În acest modul veți afla modalita tea de calcul al reacțiunilor la două sisteme static
determinate: bara încastrată și bara simplu rezemată. Scopul acestui modul este de a vă
pregăti cunoștințe pentru o disciplină tehnică ce urmează să o parcurgeți in anul următor
de studiu și anume Rezi stența materialelor.
11
Timpul mediu necesar pentru studiu: 120 minute.
Modulul 11– MECANICA vol I STATICA
208
Solidul rigid se spune c ă este legat , dac ă , leg ăturile care îi sunt aplicate
suprim ă toate cele șase grade de libertate în spa țiu , sau cele trei grade de libertate în
plan . Pozitia sa este determinat ă de leg ături și nu de forț ele ce ac ționeaz ă asupra sa .
11.1.1.FIXAREA SOLIDULUI RIGID ÎN SPA ȚIU
Pentru a fixa solidul rigid în spa țiu trebuiesc aplicate cel pu țin un num ăr de
șase leg ături . Pe de alt ă parte , cele șase leg ături trebuiesc aplicate în cel pu țin trei
puncte necoliniare ale solidului rigid .Deci ambele condi ții se aplic ă concomitent , în
următoarele moduri :
a) printr-o î ncastrare ;
b) printr-o articula ție spa țială , o articula ție plan ă și un reazem simplu ;
c) printr-o articu lație spa țială și un reazem simplu ;
d) prin trei articulaț ii plane ;
e) prin dou ă articula ții plane și dou ă reazeme simple ;
f) printr-o articula ție plan ă și patru reazeme simple ;
g) prin șase reazeme simple .
Condi țiile de mai sus , sunt necesare dar nu suficiente . Pentru a fi suficiente ,
trebuie ca leg ăturile s ă fie astfel dispuse încât , torsorul de reducere format din
rezultanta for țelor de leg ătură și momentul rezultant al acestora s ă fie diferit de 0 , fa ță
de orice punct din spa țiu , pentru a putea face echilibrul oric ărui sistem de forț e direct
aplicate solidului rigid .
Ținând seama că orice leg ătură este echivalent ă cu una sau mai multe
legături simple ( reazeme simple ) , pentru varianta g) , dispunerea corect ă presupune
următoerele ( condi țiile se refer ă la direc țiile pe care le poate s ăle aibe cei șase penduli –
respectiv reac țiunile corespunz ătoare lor – condi ții ce sunt acelea și cu cele pe care
trebuie s ă le îndeplinească cele șase drepte fat ă de care se scriu condi țiile de echilibru
ale sistemelor de for țe ce acț ioneaz ă asupra solidului rigid ):
1. direc țiile celor șase penduli s ă nu apar țină aceluia și complex de gradul I – în
particular , s ă nu întâlneasc ă o dreapt ă sau s ă fie paralele cu un plan ;
2. cinci din cele șase direc ții ale pendulilor s ă nu apar țină aceluia și aceluia și
congruien țe de gradul I – în particular , s ă nu întâlneasc ă două drepte din spa țiu ; 11.1 CONDI ȚII DE FIXARE A SOLIDULUI RIGID LEGAT
Modulul 11– MECANICA vol I STATICA
209
3. patru din cele șase direc ții ale pendulilor s ă nu apar țină acelea și familii de
generatoare ale unei cuadrice , în particular , s ă nu fie concurente sau coplanare ;
4. trei din cele șase direc ții să nu apar țină unui fascicol plan – în particular , s ă nu fie
concurente și coplanare sau parelele și coplanare;
5. două din cele șase derecț ii să nu fie confundate .
11.1. 2. FIXAREA SOLIDULUI RIGID ÎN PLAN
Pentru fixarea solidului rigid în plan , trebuiesc suprimate trei grade de libertate
, în planul for țelor direct aplicate . Deci , sunt necesare trei leg ături simple , aplicate în
minim dou ă puncte ale solidului rigid .
Acestea se realizeaz ă prin :
a) o încastrare ;
b) o articula ție plană și un reazem simplu ;
c) trei reazeme simple .
Aceste condi ții sunt și suficiente , dac ă vectorul rezultantei și al momentului for țelor de
legătoră sunt diferite de zero în raport cu orice punct din planul for țelor direct aplicate ,
pentru a putea echilibra aceste for țe .
În cazul c) , pentru a avea echilibru , trebuie ca direc țiile celor trei penduli s ă
nu fie toate concurente sau paralele ;
11.2 . FIXAREA UNUI CORP ÎN PLAN
Pentru fixarea unui corp în plan , trebuiesc suprimate trei grade de libertate , în
planul for țelor direct aplicate adic ă în planul încărcării , deoarece, așa cum știți de la
mecanică, solidul rigid are în plan, trei grade de libertate (posibilități de mișcare). Deci ,
sunt necesare trei leg ături simple , aplicate în minim dou ă puncte ale solidului rigid,
care să împiedice cele trei deplasări, respectiv, o rotire in jurul unei axe perpendicular
pe planul forțelor și două translații in planul forțelor.
Acestea se realizeaz ă prin :
a) o încastrar e (ce împiedică toate cele trei deplasări posibile în plan);
Modulul 11– MECANICA vol I STATICA
210
b) o articula ție plană și un reazem simplu ;
c) trei reazeme simple .
Aceste condi ții sunt și suficiente , dacă vectorul rezultantei și al momentului
forțelor de leg ătoră sunt diferite de zero în raport cu orice punct din planul for țelor
direct aplicate , pentru a putea echilibra aceste for țe .
11.2.1 . ALGORITMUL DE REZOLVARE AL BAREI ÎNCASTRATE
Bara care la un cap ăt are o încastrare, iar celălalt capăt este liber se numește
bară incastrată.
Bara încastrat ă se nume ște consol ă . Din punct de vedere mecanic , încastrarea plan ă
este echivalent ă cu trei reac țiuni : V A, H A , M A , (fig.2.1) fiind necesare trei ecua ții de
echilibru static pentru a determina aceste trei necunoscute .
Fig.11.1
Aceste ecua ții sunt :
( )X H
Y V
M MA
A
A A
0
0
0 ( 11 . 1 )
Primele două ecuații a sistemului sunt ecuații de proiecții de forțe pe axele sistemului
ales astfel încât axa elementului de rezistență sa fie axa Ox, perpendicular pe aceasta
axa Oz.Prima ecuație se obține deci, prim proiectarea tuturor forșelor pe axa Ox, iar a
doua, proiectând pe axa Oy toate forțele ce acționează, atâi cele direct aplicate( care se
obțin din încărcarea barei, elementului de rezistență, cât și cele de legătură care sunt
Modulul 11– MECANICA vol I STATICA
211
cele nec unoscute și dorim să le determinăm.A treia relație este o relație obținută din
egalarea momentului forțelor in raport cu incastrarea cu zero.
Se observă ca în fiecare ecuație apare o singură necunoscută, sistemul de ecuații fiind
simplu de rezolvat.
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să .raspunzi la întrebarea.:
Cum se nume ște bara încastrat ă ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………. …………………
……………………………………………………………………………….
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Bara încastrat ă se nume ște consol ă
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
11.2.2.ALGORITMUL DE REZOLVARE AL BAREI SIMPLU REZEMATE
Bara care la un cap ăt are reazem simplu și la cel ălalt articula ție se nume ște
bară simplu rezemat ă
Din punct de vedere mecanic , cele dou ă legături pe care le are bara simplu rezemat ă
sunt echivalente cu o reac țiune normal ă VA- pentru reazemul simplu și dou ă reac țiuni
VB și H B – pentru articula ție ( fig. 11 .2). Ele se determin ă din ecua țiile de echilibru
static astfel :.
Modulul 11– MECANICA vol I STATICA
212
Fig.11.2
X H
M V
M V
Y seface verificare apentru VsiVB
A B
B A
A B
0
0
0
0 (11 . 2 )
Prima și ultima relație reprezintă ecuații de proiecții ( așa cum am arătat la subpunctul
anterior) iar a doua și a treia ecuație se obțin prin scrierea unor ecuații de moment în
raport cu cele două reazeme.
Se observ ă că posibilitatea de scriere a unei ecua ții de echilibru static în plus fa ță de
numărul de necunoscute , permite verificarea corectitudinii scrierii ecua țiilor de
moment.
Modulul 11– MECANICA vol I STATICA
213
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să raspunzi la întrebarea.:
Cum se nume ște bara care la un cap ăt are reazem
simplu și la cel ălalt articula ție ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………. …………………………………
……………………………………………………………………………….
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Bara care la un cap ăt are reazem simplu și la celălalt
articula ție se nume ște bar ă simplu rezemat ă
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
11.3. CLASIFICAREA ÎNCĂRC ĂRILOR EXTERIOARE
Elementele de rezisten ță sunt supuse ac țiunii sarcinilor exterioare , care pot fi for țe sau
momente ( cupluri de for țe ) , ș i care pot fi clasificate dup ă diferite criterii :
După Capitol de ac țiune al încărcării :
sarcini concentrate aplicate teoretic într-un punct ( fig. 11 . 3 )
Modulul 11– MECANICA vol I STATICA
214
În care:
sincos
A AyA Ax
F FF F (11.3)
2245sin2245cos
C C CyC C Cx
F F FF F F (11.4)
Unitatea de măsură pentru aceste forțe concentrate este Newtonul (N) cu
multiplii: daN, de 10 ori mai mare decât N, sau KN de 1000 de ori mai mare decât
N și de 100 de ori mai mare decât daN.
sarcini distribuite uniform ( fig . 2.4 a ) sau cu intensit ăți variabile în lungul
axei barei ( fig . 2.4 b , c )
Fig.11.4-a
Unitatea de măsură pentru aceste forțe distribuite este Newtonul pe metru(N/m)
cu multiplii: daN/cm, sau KN/m .
Conform principiului lui Saint -Venant ( principiu ce va fi enun țat în cadrul ipotezelor
simplificatoare adoptate în rezistenta materialelor ) aceste sarcini distribuite se î nlocuiesc
prin rezultanta lor ce acț ioneaz ă în centrul de greutate al suprafe ței ce reprezint ă modu l
Modulul 11– MECANICA vol I STATICA
215
de distribuț ie al sarcinii respective, și de intensitate egal ă cu aria acestei suprafe țe (fig . 11 .
4 ).
Fig.11.4-b
Fig.11.4-c
De exemplu, în cazul forț ei distribuite sub forma unui triunghi (fig . 11 . 4-a)., aria
triunghiului fiind baza înmulțită cu înălțimea împărțită la 2, vom avea:
2.lpR
În figura 11.4.c expresia rezultantei este dată de relația:
dxxf ARl
l.
0
moment concentrate (fig.11.5) sunt moment direct aplicate pe axa barei (cupluri
de forțe)
Fig.11.5
Modulul 11– MECANICA vol I STATICA
216
Unitatea de măsură pentru aceste momente concentrate este Newtonul x
metru (Nm) cu multiplii: daN.cm, sau KNm
Dup ă modul de ac ționare în timp :
sarcini statice care se aplic ă lent și progresiv p ână la valoarea maxim ă , apoi
rămân constante ( fig 11 . 3 ) pe tot parcursul ac țiunii ;
sarcini dinamice care se aplică cu viteze de încărcare relativ mari.
Sarcinile dinamice pot fi :
sarcini aplicate prin șoc cu varia ție brusc ă de vitez ă ( fig 11 . 6 b )
sarcini variabile periodic între o valoare maxim ă și una minim ă
(fig.11.6c)
Fig.11.6
La pre zentul curs se vor studia doar sarcini statice, dar i ncărcările studiate vor fi atât
forțe concentrate cât și forțe distribuite sau momente concentrate.
Modulul 11– MECANICA vol I STATICA
217
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să răspunzi la întrebarea.:
Cum se clasifică sarcinile dup ă modu l de ac ționare în
timp?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……….. ……………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………….. ……..
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
După modul de ac ționare în timp există sarcini statice
care se aplic ă lent și progresiv p ână la valoarea maxim ă,
apoi r ămân constante pe tot parcursul ac țiunii ; s arcini
dinamice care se aplic ă cu viteze de încărcare relativ
mari.
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Subiecte pentru autoevaluare:
Întrebări de au toevaluare
1.Cum se nume ște bara î ncastrat ă ?
Modulul 11– MECANICA vol I STATICA
218
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Bara încastrată se numește consolă.
1 Din punct de vedere mecanic , cu ce este echivalent ă încastrarea plan ă ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Încastrarea plană , este echivalent ă din punct de vedere mecanic
cu două reacțiuni, una verticală și una orizontală și un moment aplicat in centrul de
greutate al încastrării ce nu permite rotirea ăn jurul unei axe perpendiculare pe planul
forțelor.
2 Cum se nume ște bara care la un cap ăt are reazem simplu și la cel ălalt articula ție ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Bara care la un cap ăt are reazem simplu și la cel ălalt articula ție .. se se nume ște bară
simplu rezemată.
Modulul 11– MECANICA vol I STATICA
219
3 Din punct de vedere mecanic , cu ce este echivalent ă bara simplu rezemată?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Bara simplu rezemată este echivalentă din punct de vedere mecanic
cu două reacțiuni verticale una in rea zemul simplu și una în articulație și una orizontală
în articulație ce blochează deplasarea pe orizontală.
5 Ce sistem este bara simplu rezemată ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsu l corect la întrebarea de mai sus este:
Bara simplu rezemată este un sistem static determinat.
Dacă ați terminat de răspuns la întrebările de mai sus, verificați -vă răspunsurile date
confruntându -le cu materialul teoretic prezentat în acest Capitol .
Nu ați răspuns corect la toate întrebările? Nu fiți dezamăgiți,
căci vă recomandăm să reparcurgeți materialul teoretic și cu
siguranță veți putea răspunde acestor întrebări. E simplu! Puteți
de asemenea, să vă notați eventualele nelămuriri, pentru a le
clarifica în cadrul Activității tutoriale (AT) .
Ați răspuns corect la toate întrebările? FELICITĂRI!!!
Continuați parcurgerea acestui Capitol pentru a vă pregăti
corespunzător în vederea atingerii obiectivelor stabilite pentru
acest Capitol .
Modulul 11– MECANICA vol I STATICA
220
Teste grilă p entru autoevaluare:
1 Bara încastrat ă se nume ște;
a) bară simplu rezemat ă
b) tirant
c) consol ă
d) axă
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ………………………
2 Din punct de vedere mecanic , încastrarea plan ă este echivalent ă cu:
a) cu un moment incovoietor
b) trei reac țiuni : V A, HA , M A
c) cu o consolă
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ………………………
3 Bara care la un cap ăt are reazem simplu și la cel ălalt articula ție se nume ște
a) bară simplu rezemat ă
b) tirant
c) consol ă
d) axă
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ………………………
4 Din punct de vedere mecanic bara simplu rezemat ă este echivalentă cu:
a) cele dou ă legături pe care le are sunt echivalente cu o reac țiune normal ă VA- pentru
reazemul simplu și dou ă reac țiuni V B și H B – pentru articula ție
b) trei reacțiuni: V A, H A , M A
c) cu un moment incovoietor
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ………………………
5 Ce se nume ște for ță axial ă
a)componenta rezultantei con ținută în planul sec țiunii transversale b)componenta
rezultantei dup ă axa barei
c)dup ă o tangent ă la axa barei în cazul barelor curbe
Modulul 11– MECANICA vol I STATICA
221
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
Dacă ați terminat de răspuns la testele grilă de mai sus, verificați -vă răspunsu rile
date confruntându -le cu cele din tabelul următor:
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. c
2. b
3. c
4. a
5. b, c
Probleme/Exerciții rezolvate:
Rezolvă problemele/exercițiile propuse mai jos.
Sa se calculeze reacțiunile pentru bara simplu rezem eta din figura 2.10
Fig.11.10
Modulul 11– MECANICA vol I STATICA
222
Rezolvă aici problema
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………….
Verifică -te aici dacă ai rezolvat corect problema :
. 1.CALCULUL REACTIUNILOR
Se aplică algoritmul de rezolvare ( 11.2)
Nu există acțiune oritzontală deci și reacțiunea orizontală va fi nulă:
0 309 21 0 0] [902. 5. 0] [210 3. 5. 00 0) (
C B AAC C A BBC C B AB
F V V YVERIFICAREKN VF M V MKN VM F V MH X
Modulul 11– MECANICA vol I STATICA
223
Subiecte pentru evaluare și control
Teme pentru aprofundarea cunoștințelor
Vizitează, în scopul familiarizării cu ele, informațiile postate pe următoarel e pagini
web:
Fiecare student va folosi g- ultima cifra a grupei de studio ( ex. Studentii din grupa
611 au g=1, 911 au g=2) iar k va fi egal cu numărul de ordine al studentului în
grupa de studiu
TEMA DE CONTROL 1
Să se calculeze reacțiunile pentru bara simplu rezemată din figură.
.
g=1
k= 1,6,11,16,21,26,31,36,41.
Modulul 11– MECANICA vol I STATICA
224
k= 2,7,12,17,22,27,32,37,42
k=3,8,13,18,23,28,33,38,43
Modulul 11– MECANICA vol I STATICA
225
k= 4,9,14,19,24,29,34,39,44
k=5,10,15,20,25,30,35,40
Modulul 11– MECANICA vol I STATICA
226
g=2
.k= 1,6,11,16,21,26,31,36,41
,
k= 2,7,12,17,22,27,32,37,42
K=3,8,13,18,23,28,33,38,43
K= 4,9,14,19,24,29,34,39,44
Modulul 11– MECANICA vol I STATICA
227
k=5,10,15,20,25,30,35,40
,
g=3
k= 1,6,11,16,21,26,31,36,41
Modulul 11– MECANICA vol I STATICA
228
k= 2,7,12,17,22,27,32,37,42
k=3,8,13,18,23,28,33,38,43
Modulul 11– MECANICA vol I STATICA
229
k= 4,9,14,19,24,29,34,39,44
k=5,10,15,20,25,30,35,40
Rezumatul acestui Capitol:
In cazul unui sistem de forte coplanare , un sistem static determinat deoarece pot fi scrise 3
ecuații de echilibru static ( două sume de proiecții de forțe și una sau două sume de
momente în raport cu un punct considerat fix) Deci pot apare trei reacțiuni. Acesta se
obține dintro încastrare la un capat de bară și liber la celălalt (consolă), sau din bara simplu
rezemată ce presupune un reazem simplu cu o reacțiune normală, la un capăt și o
articulație la celălalt cu două reacțiuni:una verticală și una orizontală .
Aceste reacțiuni au pentru rezolvare sisteme de ecuații de echilibru static ce constituie un
algoritm ce se aplică înrocmai.
Modulul 11– MECANICA vol I STATICA
230
Bibliografie obligatorie
[1] Mariana Adriana PRICHICI . – Mecanica Vol.1 :Statica /Oradea:Editura
Universității din Oradea ISBN 973 -9416- 61-6, 1999
Vol. 1. – Ed. a 2 -a, rev Ed. Universit ății Oradea- ISBN 973 -613-481-4 ,66 pg. 2014
ISBN978 -606-10-1396 -8 . – ISBN 978 -606-10-1397- 5
Bibliografie disponib ilă on -line
[1] http://distance.iduoradea.ro/course/view.php?id=984
[2] http://distance.iduoradea.ro/file.php/984/Capitol%202.pdf
Bibliografie suplimentară (facultativă)
[1] Rădoi , T , Deciu , A , Mecanica , Ed. Didactică și Pedagogică București , 1982
[2] Ripianu , A, Statica , Ed.Institutului Politehnic Cluj – Napoca , 1981
[3] Ripianu , A, … Mecanica tehnică , Ed, Didactică și pedagogică Bucuraști , 1982
Bibliografie
[1] Hutte, Ma nualul inginerului. Fundamente Editura Tehnica, Bucuresti,1995
[2] Tocaci , E., Mecanica , Ed. Didactică și pedagogică București , 1985
Modulul 12– MECANICA vol I STATICA
231
Modulul 12:
ECHILIBRUL SOLIDULUI RIGID CE REAZEM Ă CU
FRECARE
Obiective educațional e
– În urma parcurgerii acestui modul veți ști:
– Să deosebiți tipurile de frecări ,
– Să cunoașteți frecarea de alunecare, frecarea de rostogolire, frecarea de pivotare,
să stabiliți relația de echilibru în cazul frecării firelor
Cuvinte cheie:
frecarea de alunecare, , frecarea de rostogolire, frecarea de pivotare, frecarea firelor
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE NR. 12
În urma parcurgerii acestui modul veți putea stabili modul de rezemare al
solidului rigid ăn cazul legăturilor reale respectiv cu frecare , să deosebiți tipurile
de frecări.
Veți cunoaște în cazul rezemării solidului rigid cu frecare ce frecări apar: frecarea
de alunecare, frecarea de rostogolire, frecarea de pivotare. Veți stabili relația de
echilibru în cazul frecării firelor : relația lui Eul er.
12
Timpul mediu nece sar pentru studiu: 120 minute.
Modulul 12– MECANICA vol I STATICA
232
12.1 REZEMAREA SOLIDULUI RIGID CU FRECARE. TIPURI
DE FRECARI
Se consideră un solid rigid ( S ) ce sprijin ă cu frecare pe o suprafa ță ( S 1 ) în O
( fig. 12.1 ).Se face reducerea în punctul O a sistemului de for țe direct aplicate și se
obține în cazul general un torsor cu cele dou ă componente : R d și M od .
Suportul rezultantei for țelor direct aplicate , face cu normala comun ă celor
două suprafe țe în punctul O , planul [ P] . Fie planul tangent celor dou ă suprafe țe în O :
[ T ] . Cele dou ă plane se intersecteaz ă după dreapta [ 1 ]. Se descompune rezultanta
Rd pe direc ția normalei și a dreptei [ 1 ] și se ob țin componentele R dn , și respectiv R dt .
Suportul momentrului M od , împreun ă cu direc ția normalei la cele dou ă
suprafe țe în O , determin ă planul [ Q ] . Planul [Q] se intersecteaz ă cu planul [T] dup ă
dreapta [ 2 ] . Componenta momentului M od , se descompune dup ă direc ția normaleiv
și a dreptei [ 2 ] și se ob țin componentele : M odn și M odt .
Se poate spune c ă , efectu ându-se reducerea celor dou ă sisteme de for țe în
punctul O, cel direct aplicate
od d od RM, , cel de leg ătură :
ol l ol RM, .
odd dn dt
od odn odtR R R
M M M
( 12 . 1 )
Componenta R dn ,tinde s ă desprindă solidul rigid( S) de pe ( S 1) ,ei trebuie s ă i se
opună ( pentru echilibru , egal ă și de sens contrar ) o component ă a for țelor de leg ătură ,
N . Deci :
R Ndn0 ( 12 . 2 )
Componenta R dt ,tinde s ă deplaseze solidul rigid ( S) de pe ( S 1) , ei i se opune , în
cazul leg ăturilor cu frecare , o for ță , tangent ă la suprafa ță , egal ă și de sens contrar lui
Rdt , numit ă forță de frecare de alunecare , care apare numai c ând exist ă tendință de
mișcare deci pentru echilibru :
R F
F F Ndt f
f f
0
0max ( 12 . 3 )
În care µ este coeficientul de frecare de alunecare .
Modulul 12– MECANICA vol I STATICA
233
Fig.12.1
Componentei Mo dn a momentului sistemului de for țe direct aplicate ,tinde s ă
roteasc ă solidul rigid în jurul normalei n ; aceast ă mișcare se nume ște de pivotare , i se
opune momentul de pivotare MP . Pentru echilibru :
M M
M M Nodn P
P P
0
0max ( 12 . 4 )
în care υ reprezint ă coeficientul de frecare de pivotare ,ce depinde de natura
suprafe țelor în contact , cu dimensiunea unei lungimi .
Componentei M odt tinde s ă rostogolească solidulul rigid ( S) pe soprafaț a ( S 1),
ei i de opune un moment numit de rostogolire M R , care apare doar câ nd exist ă tendință
de mi șcare . Pentru echilibru , :
M M
M M sNodt R
R R
0
0max ( 12 . 5 )
În care s , reprezint ă coeficientul de frecare de rostogolire , de asemenea cu
dimensiunea de lungime , depinzind de natura suprafe țelor în contact .
Deci , torsorul for țelor de leg ătură are în cazul cel mai general urm ătoarele
componente :
Modulul 12– MECANICA vol I STATICA
234
oll f
ol P NR NF
M M M
( 12 . 6 )
În continuare , se vor studia fiecare din cele trei tipuri de frecare, c ând apar în
mod singular .
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te ro g
să răspunzi la întrebarea următoare :
Cum se numește µ ?
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
…………………………………… ………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
…………………. ……………………………………………………………
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
µ este coeficientul de frecare de alunecare .
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofun da.
12.2 ECHILIBRUL SOLIDULUI RIGID CE SPRIJIN Ă CU FRECARE DE
ALUNECARE
Se consideră acela și solid rigid de la paragraful precedent ( fig . 12.2 ), cu
deosebirea c ă torsorul de reducere în punctul de contact dintre cele dou ă suprafe țe , O ,
al sistemului de for țe direct aplicate are doar elementele :
Modulul 12– MECANICA vol I STATICA
235
odd dn dt
odR R R
M
0 ( 12 . 7 )
Cele dou ă suprafe țe , sunt aspre , caracterizate de coeficientul de frecare de alunecare µ
.
Fig.12.2
* Componenta R dn tinde s ă desprindă solidul rigid ( S ) de pe ( S 1 ) , ei i se opune ,
conform principiului ac țiunii și reac țiunii , for ța de legă tură N,cere pentru echilibru
respect ă condi ția (12 . 2)
* Componenta R dt tinde s ă seplaseze prin alunecare solidul rigid ( S ) pe suprafa ța ( S 1) .
Datorit ă asperit ăților , a frec ării , acestei componente i se opune for ța de frecare F f .
Pentru ca , și rela ția ( 12 . 3 ) al ături de ( 12 . 7 ) s ă fie respectat ă , trebuie ca suportul
rezultantei for țelor direct aplicate s ă fie în interiorul sau la limit ă pe generatoarea a
două conuri opuse la v ârf , numite conuri de frecare ( fig . 12.2). Unghiul la v ârf al
acestor conuri este 2 ,( în care tg =µ ).
Deci , torsorul de reducere al for țelor de leg ătură va avea pentru echilibru
următoarele componente :
oll f
olR NF
M
0 ( 12. 8 )
Modulul 12– MECANICA vol I STATICA
236
12.2.1 CAZ PARTICULAR : SOLID RIGID CE SPRIJIN Ă CU FRECARE DE
ALUNECARE PE DOU Ă SUPRAFE ȚE ÎN DOUĂ PUNCTE
Solidul rigid sprijin ă în O 1 pe suprafa ța ( S 1 ) și în O 2 pe suprefa ța ( S 2) ,(fig .12. 3).
În cele dou ă puncte , se cunosc coeficien ții de frecare µ1 din O 1 și µ2 în O 2, deci și
unghiurile 1 și 2 .Construind cele dou ă conuri în O 1 și O 2 , la intersec ția celor dou ă
generatoare se ob ține patrulaterul ABCD , numit patrulaterul frec ărilor . Rezultanta R d
a sistemului de for țe direct aplicate ( care s ă presupunem că este un sistem de for țe
coplanare ), este situat în acela și plan cu reacț iunile normale N 1 și N 2 . Deci pentru
echilibru cele trei for țe trebuie s ă fir concurente . Echilibrul este posibil c ând rezultanta
Rd traverseaz ă patrulaterul frec ărilor .
Fig.12.3
Modulul 12– MECANICA vol I STATICA
237
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să răspunzi la întrebarea următoare :
Când este posibil echilibrul în cazul solidului rigid ce
sprijină în două puncte ?
…………………………………………………………………………….
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
…………………………………………………………… ………………….
……………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………….
…………………………………………… ………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
…………………………. ……………………………………………………
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Echilibrul este posibil c ând rezultanta R d traverseaz ă
patrulaterul frec ărilor .
Dacă ai răspuns corect, te felic it!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
12.3 ECHILIBRUL SOLIDULUI RIGID CE SE REAZEM Ă CU FRECARE DE
ROSTOGOLIRE
Se consider ă solidul rigid (S) ce sprijin ă cu frecare de rostogolire pe suprafa ța ( S 1) , (fig
. 12.4) . Torsorul de reducere, în punctul de sprijin O, al sistemului de for țe direct
aplicate are urm ătoarele componente :
odd dn dt
od odtR R R
M M
( 12 . 9 )
2 Componenta M odt tinde s ă rostogoleasc ă solidul rigid pe suprafa ța ( S 2) . Ei i se
opune momentul de rostogolire M R , care pentru echilibru , trebuie s ă satisfacă relația
Modulul 12– MECANICA vol I STATICA
238
( 12 . 4 ) . Deci torsorul de reducere al for țelor de leg ătură va avea la echilibru ,
conform ipotezei ac țiunii și reac țiunii ,urm ătoarele componente :
oll f
ol RR NF
M M
( 12 . 10 )
Pentru echilibru solidului rigid cu frecare de rostogolire sunt satisf ăcute urm ătoarele
ecuații( scalare ) :
R N
R F
M Mdn
dt f
odt R
0
0
0 ( 12 . 11 )
care se completeaz ă cu respectarea inecua țiilor :
0
0
F F N
M M sNf f
R Rmax
max ( 12 . 12 )
În afara echilibrului , când sunt satisf ăcute relaț iile ( 12 . 11 ) și ( 12 . 12 ) mai sunt
posibile urm ătoarele situa ții :
M M F FR R f f max max ,0 , solidul rigid se rostogole ște fără frecare ;
0 M M F FR R f f max max , , solidul rigid lunecă f ără să se rostogoleasc ă ;
M M F FR R f f max max , , solidul rigid se rostogole ște și lunec ă în acelaș i timp .
Frecarea de rostogolire se întâlnește în practic ă , în cazul corpurilor cilindrice și
sferice : la ro țile autovehiculelor , la bilele și rolele rulmen ților , datorit ă contactului
dintre cele dou ă suprafe țe , contact ce nu are loc punctual , ci dup ă o suprafa ță ușor
deplasat ă spre direc ția de mi șcare , creind astfel p for ța de presiune a că rei rezultant ă
este drijat ă la o distan ță t față de normala în punctul O , considerat de contact ( fig .
12.4 ) Acest bra ț al rezultantei are valoarea maxim ă egal ă cu coeficientul de frecare de
rostogolire s .
Modulul 12– MECANICA vol I STATICA
239
Fig.12.4
Valoarea lui s , variaz ă între 0, 1 mm pentru ro țile de cale ferat ă pe șină , și 0,001 mm
la bilele rulmen ților care sunt confec ționate din o țel călit .
Modulul 12– MECANICA vol I STATICA
240
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să răspunzi la întrebar ea următoare:
Când este posibil echilibrul în cazul solidului rigid ce
sprijină în două puncte ?
…………………………………………………………………………….
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………….. ………..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………….
……………………………………………………………………………….
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Brațul al rezultantei atunci când are valoarea
maximă aceasta este egal ă cu coeficientul de
frecare de rostogolire s .
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
12.4 . FRECAREA FIRELOR
Studiul frec ării firelor poate fi efectuat în două moduri :
-cu tamburul fix și firul mobil ;
-cu firul fix și tamburul mobil ;
În primul caz , se consider ă un tambur fix , pe care sprijin ă cu frecare un fir
(fig.12.5- a ). Dacă din unghiul θ se desprinde un unghi elementar d , și se studiaz ă
toate for țele ce apar ( fig . 12.5-b ), scriind ecua țiile de echilibru static se va ob ține :
Modulul 12– MECANICA vol I STATICA
241
X TdF TdT d
Y dN TdT df
0 0
0 0cos
sin
( 12 . 13)
Consider ând că :
cos
sind
d d
dTd
1
0
( 12 . 14 )
Fig.12.5
(deoarece , unghiul d este infinit mic ) și introduc ând în rela țiile ( 12 . 13 ) se
obține:
dT dN
dN Td
0
0
( 12 . 14 )
Elimin ând din cele două ecua ții pe dN , și separ ând variabilele se ob ține :
dT
Td ( 12 . 15 )
integr ând între A și B , se ob ține :
Modulul 12– MECANICA vol I STATICA
242
dT
Td
sau
T
T
sau
T
TeTT
B
A
B
AAB
0
:
ln
: ( 12 . 16 )
Relațiile ( 12 . 16 ) reprezint ă situa ția limit ă la mi șcarea spre T B ( adic ă , în
cazul în care T B > T A ).
În cazul general , c ând mi șcarea poate avea loc în orice direc ție , relaț ia
general ă de echilibru va fi :
eT
TeB
A ( 12 . 17 )
Rela ția ( 12 . 17 ) reprezint ă relația general ă de echilibru a lui Euler pentru
frecarea firelor .
Modulul 12– MECANICA vol I STATICA
243
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să răspunzi la întrebarea următoare:
Când este valabila relația lui Euler ?
…………………………………………….. ……………………………..
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
………………………………………………………. …………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
………………………………………. ………………………………………
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
Dacă ai terminat de răs puns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
În cazul general , când mișcarea poate avea
loc în orice direcție , relația generală de echilibru va fi:
eT
TeB
A .
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu , atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Modulul 12– MECANICA vol I STATICA
244
Subiecte pentru autoevaluare:
Întrebări de autoevaluare
1.De ce relația lui Euler este dublă inegalitate ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Relația lui Euler este dublă inegalitate deoarece se aplică în cazul general ,
când mișcarea poate avea loc în orice direcție , relația generală de echilibru va fi astfel:
eT
TeB
A
Modulul 12– MECANICA vol I STATICA
245
2.Ce denumire are coeficientul ce apare la frecarea de rostogolire ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Coeficientul de frecare de rostogolire este coeficientul ce apare la frecarea de rostogolire.
3. Ce unitate de măsură are coeficientul ce apare la frecarea de rostogolire ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Coeficientul de frecare de rostogolire are unitatea de masură unitatea de lungime,
respectiv metrul cu submultiplii săi.
4. Ce unitate de măsură are coeficientul ce apare la frecarea de lunecare ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Coeficientul de frecare de alunecare este adimensional.
5. Ce unitate de măsură are coeficientul ce apare la frecarea de pivotare ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Modulul 12– MECANICA vol I STATICA
246
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Coeficientul de frecare de pivota re are unitatea de masură unitatea de lungime, respectiv
metrul cu submultiplii săi.
Dacă ați terminat de răspuns la înt rebările de mai sus, verificați -vă răspunsurile date
confruntându -le cu materialul teoretic prezentat în acest Capitol .
Nu ați răspuns corect la toate întrebările? Nu fiți dezamăgiți,
căci vă recomandăm să reparcurgeți materialul teoretic și cu
siguranț ă veți putea răspunde acestor întrebări. E simplu! Puteți
de asemenea, să vă notați eventualele nelămuriri, pentru a le
clarifica în cadrul Activității tutoriale (AT) .
Ați răspuns corect la toate întrebările? FELICITĂRI!!!
Continuați parcurgerea acestui Capitol pentru a vă pregăti
corespunzător în vederea atingerii obiectivelor stabilite pentru
acest Capitol .
Teste grilă pentru autoevaluare:
1.Coeficientul de frecare de rostogolire are dimensiunea de:
a) lungime ;
b) adimensional ;
c) formeaza un cuplu de forte , de sens contrar cuplului direct aplicat;
d) este nul .
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
2.Coeficientul de frecare de pivotare are dimensiunea de:
a) lungime ;
b) adimensional ;
c) formeaza un cuplu de forte , de sens contrar cuplului direct aplicat;
d) este nul .
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
3. Coeficientul de frecare de alunecare are dimensiunea de:
Modulul 12– MECANICA vol I STATICA
247
a) lungime ;
b) adimensional ;
c) formeaza un cuplu de forte , de sens contrar cuplului direct aplicat;
d) este nul .
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
4. Coeficientul de frecare de rostogolire , depinde de:
a) momentul de rostogolire
b) natura suprafețelor în contact
c) cu valoarea rea cțiunii din B
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
5 . Coeficientul de frecare de alunecare , depinde de:
a) momentul de rostogolire
b) natura suprafețelor în contact
c) cu valoarea reacțiunii din B
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
Dacă ați terminat de răspuns la testele grilă de mai sus, verificați -vă răspunsurile
date confruntându -le cu cele din tabelul următor:
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. a
2. a
3. a
4. b
5. b
Modulul 12– MECANICA vol I STATICA
248
Subiecte pentru evaluare și control
Întrebări de evaluare
1. Unde trebuie să se găsească suportul rezultantei forțelor direct aplicate în cazul
rezemării cu frecare de alunecare?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răsp unsul corect la întrebarea de mai sus este:
Componenta R dt tinde să seplaseze prin alunecare solidul rigid ( S ) pe suprafața ( S 1) .
Datorită asperităților , a frecării , acestei componente i se opune forța de frecare F f . Pentru
echilibru , trebuie ca suportul rezultantei forțelor direct aplicate să fie în interiorul sau la
limită pe generatoarea a două conuri opuse la vârf , numite conuri de frecare . Unghiul la
vârf al acestor conuri este 2 ,( în care tg =µ ).
2. Care sunt elementele torsorului forțelor direct aplicate in cazul rezemării cu frecare de
alunecare?
Modulul 12– MECANICA vol I STATICA
249
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Sistemul de forțe direct aplicate are doar elementele :
odd dn dt
odR R R
M
0 .
3. Care sunt elementele torsorului forțelor de legătură in cazul general al rezemării cu frecare?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Torsorul forțelor de legătură are în cazul cel mai general următoarele componente :
oll f
ol P NR NF
M M M
4.Cum variază coeficientul de frecare de rostogolire si ce unitate de măsură are?
Scrie răspunsul tău aici:
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Coeficientul de frecare de rostogolire , cu dimensiunea de lungime , depindE de natura
suprafețelor în contact
5.Cum acționează componentei M odt ?
Modulul 12– MECANICA vol I STATICA
250
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Componentei M odt tinde să rostogolească solidulul rigid ( S) pe soprafața ( S1), ei i de opune un
moment numit de rostogolire M R , care apare doar când există tendință de mișcare
Teste grilă:
1 Suportul rezultantei forțelor direct aplicate în cazul rezemării cu frecare de
alunecare trebuie :
a) Pentru echilibru , trebuie ca sup ortul rezultantei forțelor direct aplicate să fie în
interiorul a două conuri opuse la vârf , numite conuri de frecare . Unghiul la vârf al
acestor conuri este 2 ,( în care tg =µ ).
b) Pentru echilibru , trebuie ca suportul rezultantei forțelor direct aplicate să fie în limită
pe generatoarea a două conuri opuse la vârf , numite conuri de frecare . Unghiul la vârf
al acestor conuri este 2 ,( în care tg =µ ).
c) Pentru echilibru , trebuie ca suportul rezultantei forțelor direct aplicate să fie în
exteriorul sau la limită pe generatoarea a două conuri opuse la vârf , numite conuri de
frecare . Unghiul la vârf al acestor conuri este 2 ,( în care tg =µ ).
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
2. Cum variază coeficie ntul de frecare de alunecare , ,
a) în funcție de natura suprafețelor în contact
b) Este sub forma trapezoidală de la m 0 la maxim
c) eset nul
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
Modulul 12– MECANICA vol I STATICA
251
3. Cum variaz ă coeficientul de frecare de rostogolire , ,
a) în funcție de natura suprafețelor în contact
b) Este sub forma trapezoidală de la m 0 la maxim
c) eset nul
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
4. Torsorul forțelor de legătură are în cazul cel mai general următoarele componente :
a)
oll f
ol P NR NF
M M M
a) Pentru echilibru , :
M M
M M sNodt R
R R
0
0max
b) Are elemente nule .
c) Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
5.Pentru echilibru la rezemarea cu frecare de rostogolitre , :
a)
M M
M M sNodt R
R R
0
0max
b)elementele torsorului de reducere sa fie zero
c) coeficientul de frecare de rostogolire , să fie zero
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
Modulul 12– MECANICA vol I STATICA
252
Dacă ați terminat de răspuns la testele grilă de mai sus, verificați -vă răspunsurile
date confruntându -le cu cele din tabelul următor:
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. a,b
2. a
3. a
4. a
5. a
.
Rezumatul acestui Capitol:
Solidul rigid reazemă în cazul legăturilor reale respectiv cu frecare , se deosebesc
mai multe tipurile de frecări ce frecări apar: frecarea de alunecare, frecarea de
rostogolire, frecarea de pivotare.
În cazul frecării firelor : relația lui Euler care este dublă inegalitate trebuie sa fie
satisfăcută.
Bibliografie obligatorie
[1] Mariana Adriana PRICHICI . – Mecanica Vol.1 :Statica /Oradea:Editura
Universității din Oradea ISBN 973 -9416- 61-6, 1999
Vol. 1. – Ed. a 2 -a, rev Ed. Universit ății Oradea- ISBN 973 -613-481-4 ,66 pg. 2014
ISBN978 -606-10-1396 -8 . – ISBN 978 -606-10-1397- 5
Modulul 12– MECANICA vol I STATICA
253
Bibliografie disponibilă on -line
[1] http://distance.iduoradea.ro/course/view.php?id=984
[2] http://distance.iduoradea.ro/file.php/984/Capitol%202.pdf
Bibliografie suplimentară (facultativă)
[1] Rădoi , T , Deciu , A , Mecanica , Ed. Didactică și Pedagogică București , 1982
[2] Ripianu , A, Statica , Ed.Institutului Politehnic Cluj – Napoca , 1981
[3] Ripianu , A, … Mecanica tehnică , Ed, Didactică și pedagogică Bucuraști , 1982
Bibliografie
[1] Hutte, Manualul inginerului. Fundamente Editura Tehnica, Bucuresti,1995
[2] Tocaci , E., Mecanica , Ed. Didactică și pedagogică București , 1985
Modulul 13– MECANICA vol I STATICA
254
Mod ulul 13:
STATICA SISTEMELOR
Obiective educaționale
În urma studierii acestui Modul, ve ți dobândi următoarele competențe și aptitudini:
-cum se trasează corpurile prin m etoda separării corpurilor și se scriu pentru fiecare corp
ecuații de echilibru static
-ca un caz particular de sisteme de corpuri veși reuș i să rezolvați grinda cu zăbrele prin
metoda secțiunilor sau a izolării nodurilor
Cuvinte cheie:
cupluri pe reazeme, sisteme de corpuri, grinda cu zăbrele, metoda secțiunilor, metoda
separarii nodurilor
Unitatea de Învățare nr. 13
În acest Modul veți putea să vedeți cum se separă corpurile prin metoda separării
corpurilor pentru a putea determina forțele de legătura interioare și exterioare și a stabili
toate forțele ce acționează pe sistemele de corpuri în cazul echilibrului
Veți determina reacțiunile prin metoda solidificării si eforturile din barele grinzii cu
zăbrele prin metoda izolării nodurilor ș i prin me toda secțiunilor.Veți putea să aflați care
sunt avantajele si dezavantajele fiecărei metode în parte.
13
Timpul mediu necesar pentru studiu: 120 minute.
Modulul 13– MECANICA vol I STATICA
255
13.1 SISTEME DE SOLIDE RIGIDE
Se numeș te sistem de solide rigide , un complex sau o mul țime de solide rigide în
interac țiune mecanic ă între ele , respectiv , cuplate între ele prin leg ături simple : reazem
simplu , articulaț ie , sferic ă sau plan ă ,sau leg ătură prin fir .
De exemplu , un sistem de opt corpuri ( opt solide rigide ) asupra c ărora ac ționeaz ă
un sistem de for țe direct aplicate, un sistem de for țe de leg ătură exterioare , și interioare
(fig.13.1 ).
* Sistemul de for țe direct aplicate este format din for țeleactive ce ac ționeaz ă asupra
sistemului de corpuri : F ij ( i=1,2 ,…,8 ) , ( j=1, 2 , …,n)
Fig.13.1
* Forțele de leg ătură exterioare sunt produse de legăturile pe care le are
sistemul de solide rigide cu exteriorul în punctele : A , I ,J , K;
* Forțele de leg ătură interioare reprezint ă interac țiunea dintre dou ă corpuri
adiacente ; de exemplu :corpurile 3 și 4 ( fig . 13.2 ), se stabilesc în conformitate cu
principiul acț iunii și reac țiunii , în baza c ăruia , for țele de interacț iune dintre dou ă
solide rigide adiacente legate între ele de obicei printr-o articula ție ( sferic ă sau
plană ), au acela și suport ,acela și modul și sunt de sensuri contrare .
Modulul 13– MECANICA vol I STATICA
256
Fig.13.2
F F
sau
F Fij ji
ij ji
0
: ș i
MF MFO ij O ji 0
( 13 . 1 )
Orice parte a sistemului de corpuri, format ă din cel pu țin dou ă corpuri , constituie
un subsistem .
Necunoscutele ce trebuiesc determinate în cazul general al sistemelor de solide
rigide sunt :
-coordonatele carteziene ce definesc pozi ția de echilibru a sistemului de solide rigide (
coordonate sau unghiuri ) care sunt în num ăr de șase pentru sisteme spa țiale și de trei
la sistemele coplanare ;
-forțele de leg ătură exterioar ă ;
-forțele de leg ătură interioar ă .
Modulul 13– MECANICA vol I STATICA
257
13.1.1 METODA IZOL ĂRII SAU A SEPAR ĂRII CORPURILOR
Sistemul de for țe direct aplicate sistemului de corpuri fiind cunoscut ( se dau
parametrii mecanici și geometrici ai sistemului de corpuri ) , sistemul de for țe de
legătură exterioare și interioare poate fi determinat prin metoda separ ării corpurilor .
Aceasta const ă din parcurgerea urm ătorului algoritm :
-se separ ă rigidele din sistem ;
-se aplic ă fiecărui solid rigid , sistemele de for țe ce-i revin : cele direct aplicate
ce ac ționau asupra sa înainte de separare , cele de leg ătură exterioare ( dac ă are )
și cele interioare (leg ăturile cu corpurile adiacente );
-se scriu ecua țiile de echilibru static pentru fiecare solid rigid în parte ;
-se rezolv ă sistemul de ecua ții de echilibru ob ținut , determinind , for țele de
legătură exterioare și interioare ale sistemului de corpuri;
Dacă ,pentru un sistem de n solide rigide , num ărul de ecua ții de echilibru static ce
pot fi scrise este egal cu 6n- în spa țiu și 3n în plan și este egal num ărul de necunoscute ,
sistemul de corpuri este static determinat. În caz contrar, num ărul de necunoscute ce
intervin este mai mare, sistemul de solide rigide este static nedeterminat .
În exemplul dat în figura 13.1, se separ ă cele opt solide rigide , și se fac urm ătoarele
notații :
RMdi di, , rezultanta și respectiv momentul for țelor direct aplicate ale corpului i ,
i=1,2,…,8
R Mli li int, int,, , rezultanta și respectiv momentul for țelor de leg ătură interioare ,
i=1,2, … , 8;
R Meli eli , , , , rezultanta și respectiv momentul for țelor de leg ătură exterioare,
i=1,2,…,8.
Se scriu ecua țiile de echilibru static pentru fiecare solid rigid în parte :
R R R
M M M idi li eli
di li eli
int, ,
int, , , ,,…,0
0 12 8 ( 13 . 2 )
Pentru un sistem de n solide rigide , pot fi scrise 2n astfel de ecua ții de echilibru
static .
For țele de leg ătură interioare , satisfac rela țiile ( 13 . 1 ).Dacă se însumeaz ă
relațiile ( 13 . 2 ), scrise pentru întregul sistem de solide rigide se ob ține :
Modulul 13– MECANICA vol I STATICA
258
R R R
M M Msist di
ieli
i
di
ieli
i
18
18
18
180
0,
, ( 13 . 3 )
Pentru un sistem de n solide rigide , sumele se fac de la 1 p ână la n .
Se observ ă că ecua țiile generale de echilibru scrise pentru un sistem de n solide
rigide este identic cu cel scris pentru un singur corp .Aceast ă concluzie duce la teorema
solidific ării :
Dacă un sistem deformabil de solide rigide se g ăsește în echilibru sub ac țiunea unui
sistem de for țe direct aplicate și de leg ătură exterioare , sistemul de solide rigide ar
continua s ă rămână în echilibru sub ac țiunea acelora și sisteme de for țe , dacă ar fi
transformat într-un solid rigid unic ( prin rigidizare ) prin intremediul unor leg ături
interioare suplimentare
Teorema nu poate fi aplicat ă în sens invers ( pentru un solid rigid în echilibru ,
fracționând solidul în componente ) .
Rezult ă că ecua țiile vectoriale ( 13 .3) constituie o condi ție necesar ă dar nu
suficientă , pentru echilibrul unui sistem deformabil de solide rigide . În schimb ,
ecuațiile vectoriale ( 13 . 2 ) , constituie condi ția necesar ă și suficient ă, pentru echilibrul
sistemului deformabil de solide rigide .
Teorema echilibrului p ărților : dacă un sistem de solide rigide se afl ă în echilibru
sub ac țiunea unui sistem de for țe direct aplicate și de legătur ă exterioare , fiecare
solid rigid în parte ( constituind un subansamblu ) este în echilibru sub ac țiunea
sistemului se for țe directa aplicate și de legătur ă exterioare ce-i revin .
13.1.2 CAZURI PATRICULARE : SISTEMUL DE PUNCTE
MATERIALE
Se consideră sistemul de n puncte materiale , ( în interac țiune mecanic ă între ele ) ce
este ec ționat de un sistem de forț e direct aplicate
Fi ni12,,…, si de leg ătură
interioare
Fij nij, ,,…,)12 ( fig. 13.2 ).
Deci , fiecare punct material al sistemului va fi în echilibru sub acț iunea for țelor ce- i
revin :
Modulul 13– MECANICA vol I STATICA
259
FF F F Fi i ii ii in , , , , … …1 1 1 0 ( 13 . 4 )
Se alege un pol O , fa ță de care punctul M i are vectorul de pozi ție r i , se înmul țește
vectorial la st ânga rela ția (5 . 4 ) cu r i rzult ând :
rFrF rF rF rF
i ni i i i i ii i ii i n
, , , … …
( ,,…,)1 1 1 0
12
. ( 13 . 5 )
Însum ând cele n rela ții , și ținând seama de principiul ac țiunii și reac țiunii ( fiec ărei
acțiuni îi corespunde o reacț iune egal ă în modul și de sens contrar )se ob ține :
F
rFi
in
i i
in
0
01
1 ( 13 . 6 )
Relațiile ( 13 . 6 ) exprim ă condi țiile necesare de echilibru a for țelor direct aplicate și
de leg ătură a le sistemului de n puncte materiale .
Relațiile ( 13 . 6 ) expr imă condi țiile necesare și suficiente pentru echilibrul sistemului
deformabil de n puncte materiale.
Modulul 13– MECANICA vol I STATICA
260
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să răspunzi la întrebarea .:
Cum se scriu condi țiile necesare de echilibru a for țelor
direct aplicate și de leg ătură ale sistemului de n puncte
materiale ?
…………………………………………………………………………….
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
………………… …………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
………………………………………………………………. ………………
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Relațiile
F
rFi
in
i i
in
0
01
1
exprim ă condi țiile necesare de echilibru a for țelor
direct aplicate și de leg ătură a le sistemului de n
puncte materiale .
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Modulul 13– MECANICA vol I STATICA
261
13.2 . GRINZI CU Z ĂBRELE
GENERALIT ĂȚI
Un sistem de bare articulate la capete , care formeaz ă un ansamblu rigid , poart ă numele
de grind ă cu z ăbrele .
Punctul în care sunt articulate dou ă sau mai multe bare se nume ște nod , iar barele
poart ă denumirea de zăbrele
Dacă ansamblul barelor articulate nu formeaz ă un corp solid rigid ,un sistem
nedeformabil, sistemul devine mecanism .
CLASIFICAREA GRINZILOR CU ZĂ BRELE
Grinzile cu z ăbrele pot fi : plane , atunci c ând axele tuturor barelor se g ăsesc în acela și
plan , sau spa țiale , în caz contrar. În continuare se vor trata grinzile cu z ăbrele plane.
Fig.13. 3
În figura 13.3 este prezentat ă o grind ă cu zăbrele plan ă . Nodurile acesteia sunt notate
cu litere mari : A , B , …,E iar barele acesteia cu numere : 1,2 ,…,7 .Grinda cu z ăbrele
este ac ționată de o forță direct aplicat ă în nodul A . În C și E grinda cu z ăbrele are
legături exterioare ( articula ție în E și reaze m simplu în C) prin urmare are reac țiunile
introduse de aceste leg ături : H C, VE , H E , reac țiuni care se determin ă utiliz ând teorema
solidific ării : se consider ă grinda cu z ăbrele ca un solid rigid , ac ționat se sistemul de
Modulul 13– MECANICA vol I STATICA
262
forțe direct aplicate ( for ța din nodul A – 2P ) , se scriu ecua țiile de echilibru static ( 11 .
7 ) ,( la fel ca și pentru o grind ă – bar ă simplu rezemat ă ), determin ându-se aceste
reacțiuni .
IPOTEZE SIMPLIFICATOARE
* Barele sunt considerate drepte , de sec țiune transversal ă constant ă ( dimensiunile
sunt constante pe toat ă lungimea lor);
* Forțele exterioare ac ționeaz ă doar în noduri ( atunci c ând exist ă o for ță distribuit ă
pe lungimea unei bare , se calculeaz ă o for ță rezultant ă și se distribuie la nodurile limitrofe
barei );
* Greutatea barelor se neglijeaz ă ( în cazul în care nu se poate neglija , se repartizeaz ă
la capete , pe noduri );
* Legăturile în noduri se consider ă a fi articula ții fără frecare;
* Legăturile exterioare ale grinzii cu z ăbrele se consider ă complete , adic ă să nu
permită mișcarea ;
* Barele se consider ă a fi solicitate numai la întindere sau compresiune .
Pentru ca un sistem de bare articulate la capete s ă formeze un sistem geometric
nedeformabil – respectiv s ă poat ă fi numit: grind ă cu z ăbrele – între num ărul de bare – b
și num ărul de noduri – n trebuie să existe urm ătoarea rela ție :
ÎN PLAN :
* -cea mai simpl ă form ă geometric ă nedeformabil ă este triunghiul . Pentru a lega
nedeformabil cele trei v ânfuri (noduri ) sunt necesare trei bare . Pentru a lega un alt punct
( nod ) nedeformabil de v ârfurile triunghiului sunt necesare cel pu țin dou ă bare , articulate
la capete .A șadar , pentru a lega cele m noi puncte de cele trei v ârfuri , adic ă n=m+3
puncte sunt necesare 2m+3 bare articulate la capete , sau :
b m n n 2 32 3 32 3 ( 13 . 7 )
ÎN SPA ȚIU:
-cea mai simpl ă form ă geometric ă spațială este tetraedrul ; pentru a lega nedeformabil
patru col țuri ale acestuia sunt necesare șase bare. Pentru a lega nedeformabil încă un punct
de vâ rfurile tetraedrului , sunt necesare cel pu țin trei bare articulate la capete . Deci , pentru
m puncte și cele patru v ârfuri ale tetraedrului , adic ă n=m+4 puncte în spaț iu , sunt
necesare 3m+6 bare articulate la capete , sau :
bm n n 3 63 4 63 6 ( 5 . 8 )
Modulul 13– MECANICA vol I STATICA
263
OBSERVA ȚII
-Nu întotdeauna patru puncte spațiale legate între ele prin șase bare articulate la capete
formeaz ă un sistem spa țial strict nedeformabil . Exist ă situa ția în care ele tind s ă fie
coplanare ;
-Nu întotdeauna trei puncte coplanare , legate între ele prin trei bare articulate la capete
formeaz ă un sistem plan nedeformabil . Exist ă situa ția critic ă , când cele trei puncte tind
să devin ă coliniare .
-În consecint ă relațiile ( 13 . 7 ) și ( 13 . 8 ) sunt condi ții necesare dar nu suficiente .
Trebuie îndeplinit ă și condi ția de strict ă nedeformabilitate ( primele dou ă observa ții să
fie evitate );
-Barele ce nu îndeplinesc aceast ă condi ție se numesc critice , în practica inginereasc ă
trebuiesc neap ărat evitate .
CALCULUL GRINZILOR CU Z ĂBRELE
Calculul grinzilor cu z ăbrele presupune determinarea eforturilor din barele sale .
Dac ă se separ ă o bară ( fig . 13.4 )dintr-o grind ă cu z ăbrele , prin t ăierea fictiv ă
acesteia la capetele sale , se constat ă că pentru a fi în echilibru , for țele de leg ătură ce
trebuiesc introduse în locul leg ăturilor suprimate , în ipoteza neglij ării greut ății proprii ,
trebuie s ă aibe direc ția barei , s ă fie egale în modul , de acea și direc ție și sensuri contrare .
De aici ipotez ă conform că reia , barele sunt fie întinse ( c ând eforturile ies din sec țiunea
fictiv ă făcută barei ) fie comprimate ( în caz contrar ) .
Forțele care apar prin sec ționarea unei bare , ce reprezint ă acțiunea unei p ărți a
barei asupra celeilalte , datorit ă acțiunii for țelor exterioare ( direct aplicate și de leg ătură
exterioare ) se numesc eforturi . În cazul grinzilor cu z ăbrele , barele sunt solicitete numai
la eforturi axiale de întindere sau compresiune .
Pentru a determina aceste eforturi se sec ționeaz ă aceste bare . Dup ă modul de sec ționare
rezult ă metoda de rezolvare a acestor grinzi .
Modulul 13– MECANICA vol I STATICA
264
Fig.13.4
METODA SEPAR ĂRII NODURILOR
Metoda separ ării nodurilor const ă în sec ționarea tuturor barelor din jurul unui nod ,
și introducerea eforturilor axiale corespunz ătoare , conven țional cu sensul pozitiv pentru
întindere și negativ pentru compresiune , precum și suprimarea leg ăturilor exterioare din
noduri și înlocuirea lor cu reac țiunile respective ( conform axiomei leg ăturilor ) ( fig.
13.5).
Fig.13.5
Modulul 13– MECANICA vol I STATICA
265
În acest mod se separ ă fiecare nod din bar ă , ținându-se cont de eforturile direct aplicate și
de leg ătură exterioare ce apat în fiecare nod . Pentru fiecare nod în parte se scriu ecua țiile
de echilibru static, respective sume de proiectii pe axele unui system de axe ales în mod
convenabil .
CALCULUL ANALITIC
Întruc ât forțele ce sunt aplicate fiec ărui nod sunt sisteme de for țe concurente , vor rezulta n
( num ărul de noduri ) ecuaț ii de forma :
F N i ni ij
j 0 12 ,( ,,…,) ( 13. 9 )
unde :
FF Fi di li ( 13 . 10 )
reprezint ă suma for țelor direct aplicate și a celor de leg ătură a nodului i.
Rela țiile vectoriale ( 13 . 9) , proiectate pe axele unui sistem de referin ță cartezian
conduc la ob ținerea unui sistem de 3n ecua ții scalare – în cazul grinzilor cu z ăbrele spaț iale
, și 2n ecua ții scalare pentru grinzile cu z ăbrele ac ționate de sisteme de for țe coplanare . În
aceste ecua ții scalare sunt necunoscute eforturile din bare dar și for țele de leg ătură
exteroare . Dar :
N Nij ji (13 . 11 )
rezult ă că num ărul eforturilor necunoscute este egal cu num ărul de bare -b ;
Deci , în spa țiu se scriu 3n ecua ții cu b+6 necunoscute , iar în plan 2n ecua ții cu
b+3 necunoscute , sistemul ob ținut fiind liniar , pentru a avea solu ții finite trebuie ca
determinantul coeficien ților necunoscutelor s ă fie diferit de zero , aceasta constituind
condi ția de strict ă nedeformabilitate .
În mod practic , când grinda cu z ăbrele este astfel constituit ă încât să respecte
aceast ă condi ție ( din punct de vedere geometric ) ea este o înlănțuire de triunghiuri
jucstapuse în plan sau în spaț iu ( f ără să se întretaie între ele ) , exist ă totdeauna un nod în
care concur ă cel pu țin dou ă bare în plan sau trei bare în spa țiu , și un nod învecinat în care
concur ă trei bare în plan și patru bare î n spa țiu , ș.a.m.d.
OBSERVA ȚII
Se porne ște calculul cu nodul în care concur ă cel mai mic num ăr de bare ,
deoarece , în acel nod , num ărul de necunoscute este minim ;
Modulul 13– MECANICA vol I STATICA
266
Calculul se continu ă astfel încât , num ărul de ecua ții de echilibru static ce pot fi
scrise s ă fie egal cu num ărul de necunoscute ;
Fforturile din bare detrminate la un nod anterior se vor considera cunoscute la
nodul urm ător .
METODA SEC ȚIUNILOR OARECARE
Aceast ă metod ă se bazeaz ă pe teorema echilibrului pă rților , conform c ăreia se
separ ă grinda cu z ăbrele în dou ă părți , printr-o sec țiune oarecare , care trebuie s ă taie
cel mult trei bare cu eforturi necunoscute și cel mult dou ă bare cu axe concurente , la
grinzile cu z ăbrele plane .
După introducerea eforturilor în bare cu sensul conven țional respectat , se exprim ă
echilibrul uneia dintre p ărți ( de obicei se ia partea cu cele mai pu ține necunoscute ) se
scriu ecua țiile de momente fa ță de noduri convenabil alese .
AVANTAJUL METODEI
-Pot fi determinate eforturile într-o bar ă oarecare , f ără a se detemina pentru aceasta
toate eforturile din barele celelalte.
Modulul 13– MECANICA vol I STATICA
267
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să răspunzi la întrebarea .:
Ce sunt grinzile cu zăbrele ?
…………….. ……………………………………………………………..
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
………………………. ………………………………………………………
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
…….. ………………………………………………………………………..
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Un sistem de bare articulate la capete , care formează
un ansamblu rigid , poartă numele de grindă cu zăbrele
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Subiecte pentru autoevaluare:
Întrebări de autoevaluare
1. În ce constă avantajul metodei secțiunilor în cazul grinzilor cu zăbrele ?
Modulul 13– MECANICA vol I STATICA
268
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Avantajul metodei secțiunilor în cazul grinzilor cu zăbrele constă în faptul ca pot fi
determinate eforturile într -o bară oarecare , fără a se detemina pentru aceasta toate
eforturile din barele celelalte.
2.Câte ecuații de echilibru static pot fi scrise în cazul grinzilor cu zăbrele spațiale ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus es te:
În spațiu se scriu 3n ecuații cu b+6 necunoscute , sistemul obținut fiind liniar , pentru a avea
soluții finite trebuie ca determinantul coeficienților necunoscutelor să fie diferit de zero , aceasta
constituind condi ția de strict ă nedeformabilitate .
2. Câte ecuații de echilibru static pot fi scrise în cazul grinzilor cu zăbrele plane ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Modulul 13– MECANICA vol I STATICA
269
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
În plan se scriu 2n ecuații cu b+3 necunoscute , sistemul obținut fiind liniar , pentru a
avea soluții finite trebuie ca determinantul coeficienților necunoscutelor să fie diferit de
zero , aceasta constituind condiția de strictă nedeformabilitate
4 Care este nodul de la care s e pornește calculul la metoda izolării nodurilor grinzii cu
zăbrele ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Se pornește calculul cu nodul în care concură cel mai mic număr de bare , deoarece , în
acel nod , numărul de necunoscute este minim (maxim 2 necunoscute deoarece pot fi scrise
doua ecuații de proiecții in plan)
5.Ce condiție trebuie să îndeplineasca grinzile cu zăbrele plane ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Modulul 13– MECANICA vol I STATICA
270
Grinzile plane ce nu îndeplinesc condiția
b m n n 2 32 3 32 3 se numesc
critice , În practica inginerească trebuiesc neapărat evitate
Dacă ați terminat de răspuns la întrebările de mai sus, verificați -vă răspunsurile date
confruntându -le cu materialul teoretic prezentat în acest Capitol .
Nu ați răspuns corect la toate întrebările? Nu fiți dezamăgiți,
căci vă recomandăm să reparcurgeți materialul teoretic și cu
siguranță veți putea răspunde acestor întrebări. E simplu! Puteți
de asemenea, să vă notați eventualele nelămuriri, pentru a le
clarifica în cadr ul Activității tutoriale (AT) .
Ați răspuns corect la toate întrebările? FELICITĂRI!!!
Continuați parcurgerea acestui Capitol pentru a vă pregăti
corespunzător în vederea atingerii obiectivelor stabilite pentru
acest Capitol .
Teste grilă pentru autoev aluare:
1.Ce condiție trebuie să îndeplinească grinzile cu zăbrele plane ;
a)
bm n n 3 63 4 63 6
b)
b m n n 2 32 3 32 3
c) Legăturile exterioare ale grinzii cu zăbrele se consideră complete , adică să nu
permită mișcarea
Răspunsul pe care îl consideri core ct este: ……………………….
2. .Ce condiție trebuie să îndeplinească grinzile cu zăbrele spațiale ;
a)
bm n n 3 63 4 63 6
b)
b m n n 2 32 3 32 3
c) Legăturile exterioare ale grinzii cu zăbrele se consideră complete , adică să nu
permită mișcare a
.
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
3. Ce ipoteze simplificatoare se adoptă la grinzile cu zăbrele:
a) Barele se consideră a fi solicitate numai la întindere sau compresiune ;
b) Legăturile exterioare ale grinzii cu zăbrele se consideră complete , adică să
nu permită mișcarea ;
Modulul 13– MECANICA vol I STATICA
271
c) formeaza un cuplu de forte , de sens contrar cuplului direct aplicat
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
4. Ce ipoteze simplificatoare se adoptă la grinzile cu zăbrele ::
a) Greutatea barelor se neglijează ( în cazul în care nu se poate neglija , se
repartizează la capete , pe noduri );
b) Forțele exterioare acționează doar în noduri ( atunci când există o forță
distribuită pe lungimea unei bare , se calculează rezultanta )
c) se înlocuiesc cu valoarea reacțiunii din B
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
5 . Metoda separării nodurilor constă în
a) momentul de bara se mută pe nod
b) secționarea tuturor barelor din jurul unui nod , și introducerea eforturilor axiale
corespunzătoare
c) se înlocuiește efortul cu valoarea reacțiunii din B
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
Dacă ați terminat de răspuns la testele grilă de mai sus, verificați -vă răspunsurile
date confruntându -le cu cele din tabelul următor:
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. b,c
2. a,c
3. a,b
4. a,b
5. b
Modulul 13– MECANICA vol I STATICA
272
Subiecte pentru evaluare și control
Întrebări de evaluare
1. Ce condiție trebuie să îndeplineasca grinzile cu zăbrele spațiale ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Barele ce nu îndeplinesc condiția
bm n n 3 63 4 63 6 se numesc critice , În
practica inginerească trebuiesc neapărat evitate
2. Care este teorema solidific ării?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Dacă un sistem deformabil de solide rigide se g ăsește în echilibru sub ac țiunea unui
sistem de for țe direct aplicate și de leg ătură exterioare , sistemul de solide rigide ar
continua s ă rămână în echilibru sub ac țiunea aceloraș i sisteme de for țe , dac ă ar fi
transformat într-un solid rigid unic ( prin rigidizare ) prin intremediul unor leg ături
interioare suplimentare
.
Modulul 13– MECANICA vol I STATICA
273
3. Care este teorema solidificării ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Dacă un sistem deformabil de solide rigide se găsește în echilibru sub acțiunea unui
sistem de for țe direct aplicate și de leg ătură exterioare , sistemul de solide rigide ar
continua s ă rămână în echilibru sub acț iunea aceloraș i sisteme de for țe , dac ă ar fi
transformat într-un solid rigid unic ( prin rigidizare ) prin intremediul unor leg ături
interioare suplimentare
4.Ce relații exprimă condițiile necesare de echilibru a forțelor direct aplicate și de
legătură ale sistemului de n puncte materiale .
Scrie răspunsul tău aici:
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspu nsul corect la întrebarea de mai sus este:
Relațiile
F
rFi
in
i i
in
0
01
1
exprimă condițiile necesare de echilibru a forțelor direct aplicate și de legătură ale
sistemului de n puncte materiale .
5. Metoda separării nodurilor constă în ce ?
Modulul 13– MECANICA vol I STATICA
274
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Metoda separării nodurilor constă în secționarea tuturor barelor din jurul unui nod , și
introducerea eforturilor axiale corespunzătoare
Teste grilă :
1 Metoda separării nodurilor constă :
a) Pentru echilibru , trebuie ca suportul rezultantei forțelor direct aplicate să fie în
interiorul a două conuri opuse la vârf , numite conuri de frecare . Unghiul la vârf al
acestor conuri este 2 ,( în care tg =µ ).
b) în secționarea tuturor barelor din jurul unui nod , și introducerea eforturilor axiale
corespunzătoare
c) Pentru echilibru , trebuie ca suportul rezultantei forțelor direct aplicate să fie în
exteriorul sau la limită pe generatoarea a două conuri opuse la vârf , numite conuri de
frecare . Unghiul la vârf al acestor conuri este 2 ,( în care tg =µ ).
Răspunsul pe care îl consideri corect este: … …………………….
2. Relațiile
F
rFi
in
i i
in
0
01
1 exprimă :
a) în funcție de natura suprafețelor în contact
b) condițiile necesare de echilibru a forțelor direct aplicate și de legătură ale
sistemului de n puncte materiale .
Modulul 13– MECANICA vol I STATICA
275
c) condițiile necesare și suficiente pentru echilibrul sistemului deformabil de n puncte
materiale.
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
3. Cum variază coeficientul de frecare de rostogolire , ,
a) în funcție de natura suprafețelor în contact
b) Este sub forma trapezoidală de la m 0 la maxim
c) eset nul
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
4. Torsorul forțelor de legătură are în cazul cel mai general următoarele componente :
a)
oll f
ol P NR NF
M M M
d) Pentru echilibru , :
M M
M M sNodt R
R R
0
0max
e) Are elemente nule .
f) Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
5.Pentru echilibru la rezemarea cu frecare de rostogolitre , :
a)
M M
M M sNodt R
R R
0
0max
b)elementele torsorului de reducere sa fie zero
c) coeficientul de frecare de rostogolire , să fie zero
Răspunsul pe care îl consideri corect este: …. ……………………
Modulul 13– MECANICA vol I STATICA
276
Dacă ați terminat de răspuns la testele grilă de mai sus, verificați -vă răspunsurile
date confruntându -le cu cele din tabelul următor:
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. b
2. b,c
3. a
4. a
5. a
Rezumatul acestui Capitol:
Sistem ele de corpuri se rezolvă prin metoda separarii corpurilor. Se separă corpurile prin
metoda separării corpurilor pentru a putea determina forțele de legătura interioare și
exterioare și a stabili toate forțele ce acționează pe sistemele de corpuri în cazul
echilibrului.
Un sistem de bare articulate la capete , care formează un ansamblu rigid , poartă numele de
grindă cu zăbrele .Ele constituie un caz particular de sisteme de corpuri.
Reacțiunile si eforturile din barele grinzii cu zăbrele prin metoda izolăr ii nodurilor si prin
metoda secțiunilor
Bibliografie obligatorie
[1] Mariana Adriana PRICHICI . – Mecanica Vol.1 :Statica /Oradea:Editura
Universității din Oradea ISBN 973 -9416- 61-6, 1999
Vol. 1. – Ed. a 2 -a, rev Ed. Universit ății Oradea- ISBN 973 -613-481-4 ,66 pg. 2014
ISBN978 -606-10-1396 -8 . – ISBN 978 -606-10-1397- 5
Modulul 13– MECANICA vol I STATICA
277
Bibliografie disponibilă on -line
[1] http://distance.iduoradea.ro/course/view.php?id=984
[2] http://distance.iduoradea.ro/file.php/984/Capitol%202.pdf
Bibliografie suplimentară (facultativă)
[1] Rădoi , T , Deciu , A , Mecanica , Ed. Didactică și Pedagogică București , 1982
[2] Ripianu , A, Statica , Ed.Institutului Politehnic Cluj – Napoca , 1981
[3] Ripianu , A, … Mecanica tehnică , Ed, Didactică și pedagogică Bucuraști , 1982
Bibliografie
[1] Hutte, Manualul inginerului. Fundamente Editura Tehnica, Bucuresti,1995
[2] Tocaci , E., Mecanica , Ed. Didactică și pedagogică București , 1985
Modulul 14– MECANICA vol I STATICA
278
MODULUL 14:
STATICA FIRELOR
Obiective educaționale
În urma parcurgerii acestui modul veți ști:
-să trasați diagrame pe bare încastrate.
-să trasați diagrame pe bare solicitate cu încărcări cu grad ridicat de dificultate
-să aplicați princi piul suprapunerii efectelor
Cuvinte cheie:
diagrame de eforturi , bară (grindă) încastrată, consolă , reacț iuni, principiul suprapunerii
eforturilor.
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE NR. 14
În acest Capitol veți învăța ce este consola, bara simplu rezemată cu console, cum
se trasează diagrame pe bare solicitate cu încărcări cu grad ridicat de dificultate și să
aplicați principiul suprapunerii efectel or.
14
Timpul mediu necesar pentru studiu: . 120 minute.
Modulul 14– MECANICA vol I STATICA
279
14.1 GENERALIT ĂȚI
Firul este sistemul material cu o singur ă dimensiune ( sec țiunea transversal ă
fiind neglijabil ă în raport cu lungimea lui ) .Mai poate fi considerat ca linie material ă (
linia care are masa repartizat ă în lungul ei ).
Se admit urm ătoarele ipoteze :
* -firul este inextensibil ( nu- și modific ă lungimea sub ac țiunea sarcinilor );
* -firul este perfect flexibil și torsionabil ( răsucibil ). Fiecare punct se comport ă ca o
articula ție pentru cele dou ă segmente de fir aflate de o part e și de alta ;
Problema staticii firelor este urm ătoare : d ându-se punctele suspendare ale firelor și
forțele care acț iuneaz ă asupra lor , se cere s ă se determine poziția de echilibru a firelor
și forțele de leg ătură exterioare și interioare .
Pozi ția de echilibru pe care o ia firul sub ac țiunea unui sistem de for țe direct
aplicate se nume ște curb ă funicular ă .For țele de leg ătură din punctele de suspendare (
legăturile exterioare )se numesc reacțiuni , iar for ța de legă tură corespunz ătoare unei
secțiuni f ăcute prin fir se nume ște tensiune .
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să răspundeți la întrebarea .:
Cum se numește forța de legătură corespunzătoare
unei secțiuni făcute prin fir ?
………………………………… ………………………………………….
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
…………………………………………… ………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
…………………………. ……………………………………………………
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……….. ……………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………….. ……..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
Modulul 14– MECANICA vol I STATICA
282
14.2ECUA ȚIA DIFERENȚ IALĂ VECTORIAL Ă DE ECHILIBRU A
FIRELOR
Fie un fir AB ( punctele A și B sunt punctele de suspendare cunoscute ) ac ționat de
un sistem de for țe direct aplicate p(s) cu distribu ție oarecare pe lungimea firului
(fig.14.1. a) .
Se consideră punctul A ca punct de origine al arcelor s a c ăror sens pozitiv se
consider ă sensul de la A spre B .
Conform echilibrului p ărților , dac ă firul AB este în echilibru , orice parte a sa este
în echilibru , deci și MN=ds va fi în echilibru sub ac țiunea forț elor direct aplicate și de
legătură ce-i revin .
Fig.14.1
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspun sul corect este:
Forța de legătură corespunzătoare unei secțiuni
făcute prin fir se numește tensiune .
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Modulul 14– MECANICA vol I STATICA
281
Se izoleaz ă arcul MN ( fig . 45. b ) și se introduc asupra lui rezultanta p(s).ds și
tensiunile din fir în A și B ( tensiunile în M și Nse introduc astfel încât să țină firul
întins ) . Se scriu ecua țiile vectoriale de echilibru pentru arcul ds :
T TdT psds
rT rdr TdT rpsds( ) 0
0
.
. ( 14. 1 )
Prima rela ție poate fi scris ă sub forma :
dTpsds0
( 14 . 2 )
Împărțind rela ția ( 6 . 2 ) prin ds se ob ține :
dT
dsps0
( 14 . 3 )
Relația ( 14 . 3 ) reprezint ă ecua ția diferen țială vectorial ă a curbei funiculare , sau
ecuația diferen țială vectorial ă de echilibru a firului .
A doua rela ție ( 14 . 1 ) poate fi scris ă sub forma :
rT rTrdTdrTrpsds 0
. ( 14 . 4 )
în care termenul
drdT0 nu s-a mai scris . Împărțind cu ds rela ția ( 14 . 4 ) se
obține :
rdT
dsdr
dsTrps
sau
rdT
dspsdr
dsT
0
0
( 14 . 5 )
Se observ ă în parantez ă în rela ția ( 14 . 5 ) , expresia ecua ției diferen țiale vectoriale
de echilibru a firului ( expresie egal ă cu zero ) , deci , se poate scrie :
dr
dsT0
( 14 . 6 )
Versorul tangentei într-un punct oarecare la curba funicular ă are expresia :
dr
ds
( 14 . 7 )
Din rela țiile ( 14 . 6 ) și ( 14 . 7 ) se poate scrie :
T 0
( 14 . 8 )
Modulul 14– MECANICA vol I STATICA
282
ceea ce reprezint ă condi ția vectorial ă de coliniaritate a doi vectori , și se exprim ă
astfel : tensiunea T din fir este dirijat ă dupătangenta la fir în orice punct .Aceasta poate
fi scris ș i sub forma :
TT
( 14 . 9 )
Determinarea tensiunilor din fir se rezolv ă integr ând ecua ția diferen țială vectorial ă
de echilibru a firului .
14.3ECUA ȚIILE DIFEREN ȚIALE DE ECHILIBRU CARTEZIENE
Se consider ă firul AB , care este raportat la un sistem de referin ță cartezian
Oxyz ( fig .14.2 )
Fig.14.2
Tangenta la fir într-un punct oarecare are cosinu șii directori în raport cu axele
sistemului cartezian xOyz :
cos
cos
cos
dx
ds
dy
ds
dz
ds ( 14 . 10 )
sau :
dx
dsidy
dsjdz
dsk ( 14 . 11 )
dar :
pspipjpkx y z ( 14 . 12 )
Modulul 14– MECANICA vol I STATICA
283
Rela ția (14 . 2 )poate fi scris ă cu ajutorul relaț iei ( 14 . 9 ) :
d
dsT ps 0 ( 14 . 13 )
sau ținând seama de rela ția ( 14 . 11 ) și ( 14 . 12 ) :
d
dsTdx
dsiTdy
dsjTdz
dsk pipjpkx y z
0
( 14 . 14 )
Dacă se proiecteaz ă relația vectorial ă ( 14 . 14 ) pe axele sistemului cartezian se
obțin :
d
dsTdx
dsp
d
dsTdy
dsp
d
dsTdz
dspx
y
z
0
0
0
( 14 . 15 )
Cele patru rela ții scalare se completeaz ă cu rela ția geometric ă :
ds dx dy dz2 2 2 2
( 14 .16 )
Relațiile ( 14 . 15 ) împreună cu ( 14 . 16 ) formeaz ă un sistem de patru ecua ții
diferenț iale cu patru necunoscute :
Tsxsyszs , , ,
care se ob țin prin integrare .
Condi țiile la limit ă , necesare determin ării constantelor de integrare sunt cele pentru
punctele A
xyzA A A ,, ,
BxyzB B B ,, :
sxx
yy
zzA
A
A
0
( 14 . 17 )
și:
sLxx
yy
zzB
B
B
( 14 . 18 )
în care L reprezint ă lungimea firului AB ( cunoscut ă ) .
Tinând cont c ă versorul tangentei este :
dr
ds
si ținând cont de relaț iile ( 14 . 15 ) ( 14 . 16 )se ob ține :
Modulul 14– MECANICA vol I STATICA
284
T T Tdx
ds
T T Tdy
ds
T T Tdz
dsx
y
z
cos
cos
cos
( 14 . 19 )
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci t e rog
să răspundeți la întrebarea:
Cum se scriu cosinușii directori în raport cu
axele sistemului cartezian xOyz ai tangentei la
fir într -un punct oarecare ?
…………………………………………………………………………….
Comp letează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………. …………………………………………………………………
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………. …
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul c orect este:
Tangenta la fir într -un punct oarecare are
cosinușii directori în raport cu axele sistemului
cartezian xOyz :
cos
cos
cos
dx
ds
dy
ds
dz
ds .
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Modulul 14– MECANICA vol I STATICA
285
14.4 FIRUL OMOGEN GREU . ECUA ȚII DE ECHILIBRU
Firul omogen greu reprezint ă un caz particular al firului încărcat cu o sarcin ă repartizat ă
, care î n acest caz este greutatea p a unit ății de lungime( fig.1 4.3 ).
Se alege sistemul de referin ță cartezian astfel încât , axa Oy s ă treac ă prin cap ătul
A al firului , planul xOy definit de Oy și punctul B , iar axa Oz perpendicular ă pe planul
xOy ( fig.14.3 ).
Fig.14.3
Se ob ține :
p p
p px z
y
0
Ecua țiile ( 14 . 15 ) devin :
d
dsTdx
ds
d
dsTdy
dsp
d
dsTdz
ds
0
0
0 ( 14 . 20 )
În prima ecuaț ie diferen țială , termenul :
Tdx
ds , reprezint ă componenta orizontal ă a
tensiunii T x , deci :
Modulul 14– MECANICA vol I STATICA
286
d
dsTdx
dsd
dsT
sau
T constx
x
0
:
. ( 14 . 21 )
Deci , componenta orizontal ă a tensiunii într-un fir omogen greu este aceea și și egal ă cu
valoarea tensiunii în punctul cel mai de jos al curbei funiculare .
În acest punct , valoarea tensiunii este minim ă deoarece aici tensiunea din fir are o
singur ă component ă orizontal ă H , pe c ând în alte puncte , aceasta se descompune într-o
componentă vertical ă și una orizontal ă ( fig . 14.4 ).
Fig.14.4
Curba funicular ă este o curb ă plan ă :
Tdx
dsH THds
dx
( 14 . 22 )
Relația ( 6 . 22 ) , introdus ă în a treia ecua ție diferen țială se obț ine :
d
dsTdz
dsd
dsHds
dxdz
ds
0
( 14 . 23 )
Integr ând de dou ă ori , pun ând condi țiile la limit ă :
Az
x
si
Bz
xarbitrar
0
0
0
( 14 . 24 )
se obț ine z=0 , ceea ce exprim ă ecua ția planului vertical ce trece prin A și B .
Modulul 14– MECANICA vol I STATICA
287
Dacă ai înțeles paragrafele parcurse până aici, atunci te rog
să răspundeți la întrebarea :
Ce fel de curbă este curba funiculară ?
…………………………….. ……………………………………………..
Completează aici răspunsul considerat corect de către tine:
……………………………………………………………………………….
……………………………………….. ……………………………………..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………… ……………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………. …………
Dacă ai terminat de răspuns, verifică -te mai jos.
Răspunsul corect este:
Curba funiculară este o curbă plană :
Tdx
dsH THds
dx
Dacă ai răspuns corect, te felicit!
Dacă nu, atunci trebuie să revii asupra paragrafelor parcurse
până acum, pentru a le aprofunda.
Modulul 14– MECANICA vol I STATICA
288
Subiecte pentru autoevaluare:
Întrebări de autoevaluare
1 Ce este ecuația diferențială vectorială de echilibru a firului ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Relația
dT
dsps0 reprezină ecuația diferențială vectorială a curbei funiculare , sau
ecuația diferențială vectorială de echilibru a firului
2.Ce ipoteze se admit în cazul firului ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Se admit următoarele ipoteze :
* -firul este inextensibil ( nu- și modifică lungimea sub acțiunea sarcinilor );
* -firul este perfect flexibil și torsionabil ( răsucibil ).
Modulul 14– MECANICA vol I STATICA
289
3 Ce curbă este curba funiculară?
Scrie r ăspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Curba funiculară este o curbă plană de fo rma :
Tdx
dsH THds
dx .
4 Cum se definește firul ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Firul este sistemul material cu o singură dimensiune ( secțiunea transversală
fiind neglijabilă în raport cu lungimea lui ) .Mai poate fi considerat ca linie materială (
linia care are masa repartizată în lungul ei ).
Modulul 14– MECANICA vol I STATICA
290
5 Ce ipoteze se admit în cazul firului ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsu l corect la întrebarea de mai sus este:
Se admit următoarele ipoteze :
* -firul este inextensibil ( nu- și modifică lungimea sub acțiunea sarcinilor );
* -firul este perfect flexibil și torsionabil ( răsucibil ). Fiecare punct se comportă ca o
articulație pentru cele două segmente de fir aflate de o parte și de alta ;
.
Dacă ați terminat de răspuns la întrebările de mai sus, verificați -vă răspunsurile date
confruntându -le cu materialul teoretic prezentat în acest Capitol .
Nu ați răspuns corect la toate între bările? Nu fiți dezamăgiți,
căci vă recomandăm să reparcurgeți materialul teoretic și cu
siguranță veți putea răspunde acestor întrebări. E simplu! Puteți
de asemenea, să vă notați eventualele nelămuriri, pentru a le
clarifica în cadrul Activității tutoria le (AT) .
Ați răspuns corect la toate întrebările? FELICITĂRI!!!
Continuați parcurgerea acestui Capitol pentru a vă pregăti
corespunzător în vederea atingerii obiectivelor stabilite pentru
acest Capitol .
Teste grilă pentru autoevaluare:
1. În cazul firul ui se admit următoarele ipoteze :
a) -firul este inextensibil ( nu- și modifică lungimea sub acțiunea sarcinilor );
b) firul este perfect flexibil și torsionabil ( răsucibil ). Fiecare punct se comportă ca
o articulație pentru cele două segmente de fir aflate de o parte și de alta
c) firul nu are greutate
Modulul 14– MECANICA vol I STATICA
291
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
2 For ța uniform distribuit ă se înlocuie ște prin:
a) rezultanta sa , (conform principiului lui Saint Venan)
b) rezultant ă ce este egal ă cu aria dreptunghiului acoperit de for ța uniform distribuit ă
(R=pl) , ac ționînd în centrul de greutate al acestuia .
c) R=pl la jumatatea distantei l.
d) Un moment concentrat acț ionînd în centrul de greutate al acestuia
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ….. …………………..
3 Forțele de legătură din punctele de suspendare ( legăturile exterioare )se numesc :
a) Forța tăietoare
b) reacțiuni ,
c) Momentul încovoietor
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
4 Poziția de echilibru pe care o ia firul sub acțiunea unui sistem de forțe direct
aplicate se numește
a) curbă funiculară
b) fir greu
c) curbă medie deformată
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
5 Curba funiculară este:
a)
Tdx
dsH THds
dx
b) prin însumarea algebric ă a func țiilor corespunz ătoare fiec ărei încărcări simple,
cand ambele sunt de semen contrare
c) o curbă plană
Răspunsul pe care îl consideri corect este: ……………………….
Modulul 14– MECANICA vol I STATICA
292
Dacă ați terminat de răspuns la testele grilă de mai sus, verificați -vă răspunsurile
date confruntându -le cu cele din tabelul următor:
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. a,b,
2. a,b,c
3. b
4. a
5. a,b,c
Subiecte pentru evaluare și control
Întrebări de evaluare
1 Cum variaza forta t ăietoare , daca bara este incarcata acționată de o forță
concentrată la capătul liber ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Modulul 14– MECANICA vol I STATICA
293
Relația
dT
dsps0 reprezintă ecuația diferențială vectorială a curbei funiculare , sau
ecuația diferențială vectorială de echilibru a firului .
2.Cum variază momentul încovoietor , daca bara este încarcată acționată de o forță
concentrată la capătul liber ?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Momentul încovoietor , dacă bara este încarcată acționată de o forță concentrată la capătul
liber variază liniar.
3Ce valoare au momentele pe reazemele dinspre console la barele cu console?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Momentele pe reazemele dinspre console la barele cu console sunt diferite de 0.
4 In ce conditii se apeleaz ă la principiul suprapunerii eforturilor?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Modulul 14– MECANICA vol I STATICA
294
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Se apeleaz ă la principiul suprapunerii eforturilor în cazul încărcărilor dificile.
5 In ce consta principiul suprapunerii eforturilor?
Scrie răspunsul tău aici:
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
Răspunsul corect la întrebarea de mai sus este:
Acest principiu are la baz ă , considerarea separat ă a încărcării barei – în încărcări simple ,
apoi calculul func țiilor for ței tăietoare și a momentului încovoietor corespunz ătoare lor .
Func ția for ței tăietoare T respectiv a momentului încovoietor M corespunz ătoare fiecă rei
porțiuni de bară se ob ține prin însumarea algebric ă a func țiilor corespunz ătoare fiecă rei
încărcări simple .
Teste grilă:
1 Relația
dT
dsps0 reprezintă :
a) ecuația diferențială vectorială a curbei funiculare
b) ecuația diferențială vectorială de echilibru a firulu i;
c) ecuația diferențială de mișcare.
Modulul 14– MECANICA vol I STATICA
295
2. Ce valoare au momentele pe reazemele dinspre console la barele cu console
a) nule
b) egală cu produsul Fl, în care F este forța aplicată pe consolă iar l lungimea
consolei
c) egală cu valoarea momentului direct aplicat pe consolă
3 Problema staticii firelor este următoare :
a) dându- se punctele suspendare ale firelor și forțele care acțiunează asupra lor , se
cere să se determine poziția de echilibru a firelor
b) dându- se punctele suspendare ale firelor și forțele care acțiunează asupra lor , se
cere să se determine și forțele de legătură exterioare și interioare
c) se cer reacțiunile
4 Se admit următoarele ipoteze :
a) firul este inextensibil ( nu- și modifică lungimea sub acțiunea sarcinilor );
b) -firul este perfect flexibil
c) firul este perfect torsionabil ( răsucibil )
5 Firul este sistemul material ,
a) cu o singură dimensiune , secțiunea transversală fiind neglijabilă în raport cu
lungimea lui
b) În punctele în care are forțe direct aplicate
c) linie materială ( linia care are masa repartizatî în lungul ei ).
Dacă ați terminat de răspuns la testele grilă de mai sus, verificați -vă răspunsurile
date confruntându -le cu cele din tabelul următor:
Nr. întrebării Răspunsul corect:
1. a b
2. ,c
3. a,b
4. a b c
5. a,c
Modulul 14– MECANICA vol I STATICA
296
Rezumatul acestui Capitol:
Firul este sistemul material cu o singură dimensiune ( secțiunea transversală
fiind neglijabilă în raport cu lungimea lui ) .Mai poate fi considerat ca linie materială (
linia care are masa repartizatî în lungul ei ).
Se ad mit următoarele ipoteze :
* -firul este inextensibil ( nu- și modifică lungimea sub acțiunea sarcinilor );
* -firul este perfect flexibil și torsionabil ( răsucibil ). Fiecare punct se comportă ca o
articulație pentru cele două segmente de fir aflate de o parte și de alta ;
Problema staticii firelor este următoare : dându -se punctele suspendare ale firelor și
forțele care acțiunează asupra lor , se cere să se determine poziția de echilibru a firelor
și forțele de leg ătură exterioare și interioare .
Bibliografie obligatorie
[1] Mariana Adriana PRICHICI . – Mecanica Vol.1 :Statica /Oradea:Editura
Universității din Oradea ISBN 973 -9416- 61-6, 1999
Vol. 1. – Ed. a 2 -a, rev Ed. Universit ății Oradea- ISBN 973 -613-481-4 ,66 pg. 2014
ISBN978 -606-10-1396 -8 . – ISBN 978 -606-10-1397- 5
Modulul 14– MECANICA vol I STATICA
297
Bibliografie disponibilă on -line
[1] http://distance.iduoradea.ro/course/view.php?id=984
[2] http://distance.iduoradea.ro/file.php/984/Capitol%202.pdf
Bibliografie suplimentară (facultativă)
[1] Rădoi , T , Deciu , A , Mecanica , Ed. Didactică și Pedagogică București , 1982
[2] Ripianu , A, Statica , Ed.Institutului Politehnic Cluj – Napoca , 1981
[3] Ripianu , A, … Mecanica tehnică , Ed, Didactică și pedagogică Bucuraști , 1982
Bibliografie
[1] Hutte, Manualul inginerului. Fundamente Editura Tehnica, Bucuresti,1995
[2] Tocaci , E., Mecanica , Ed. Didactică și pedagogică București , 1985
298
Bibliografie generală
1. Boiangiu d.d. si alții, Mecanică si rezistența materialelor , Editura didactică și
pedagogică, București, 1982
2. Mariana Adriana Prichici. Mecanică; teste grila : Editura Universității din Oradea,
2006- ISBN(10) 973-759-210-7; ISBN(13) 978-973-759-210– 1
3. Mariana Adriana PRICHICI Mecanic a– indrumator de laborator si teme de casa
Vol. 1. – Ed. a 2 -a, rev Ed. Universit ății Oradea- ISBN 973 -613-481-4 ,66 pg. 2014
ISBN978 -606-10-1396- 8 . – ISBN 978 -606-10-1397- 5
4. Mariana Adriana PRICHICI Rezistenta materialelor , Editura Universității din
Oradea, 2013 – ISBN(10) 978 -606-10-1197 -1
5. Rădoi , T , Deciu , A , Mecanica , Ed. Didactic ă și Pedagogică Bucure ști , 1982
6. Ripianu , A, Statica , Ed.Institutului Politehnic Cluj – Napoca , 1981
7. Ripianu , A, … Mecanica tehnică , Ed, Didactică și pedagogic ă Bucura ști , 1982
8. Roșca , G., Prichici Mariana , Mecanica , Ed. Universit ății Oradea , 1992
9. Tocaci , E., Mecanica , Ed. Didactic ă și pedagogic ă Bucure ști , 1985
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Editura Universit ății din Oradea – 2016 – MECANICA VOL I STATICA 2 Referenți științifici ai primei editii: Prof.dr.doc.ing.ANDREI RIPIANU Membru… [622105] (ID: 622105)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.