EDITURA UNIVERSIT ĂȚ II TRANSILVANIA BRA ȘOV [603857]

EDITURA UNIVERSIT ĂȚ II “TRANSILVANIA” BRA ȘOV

2008 MONICA ANA PARASCHIVA PURCARU
METODICA METODICA METODICA METODICA
ACTIVIT ACTIVIT ACTIVIT ACTIVITĂȚILOR ĂȚILOR ĂȚILOR ĂȚILOR
MATEMATICE ȘI A MATEMATICE ȘI A MATEMATICE ȘI A MATEMATICE ȘI A
ARITMETICII ARITMETICII ARITMETICII ARITMETICII
PENTRU PENTRU PENTRU PENTRU
II IINSTITUTORI NSTITUTORI NSTITUTORI NSTITUTORI/ ///PP PPROFESORI ROFESORI ROFESORI ROFESORI
DIN ÎNVĂȚĂMÂNTUL DIN ÎNVĂȚĂMÂNTUL DIN ÎNVĂȚĂMÂNTUL DIN ÎNVĂȚĂMÂNTUL
PRIMAR ȘI PREȘCOLAR PRIMAR ȘI PREȘCOLAR PRIMAR ȘI PREȘCOLAR PRIMAR ȘI PREȘCOLAR

A-PDF Merger DEMO : Purchase from www.A-PDF.com to remove the watermark

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodica activit ăților matematice și a aritmeticii

I Cuprins
Introducere ……………………………………………………………………………..VI
Unitatea de înv ățare nr. 1
OBIECTUL METODICII PRED ĂRII MATEMATICII
Obiectivele unit ății de înv ățare…………………………………………………….…… 1
§3.1. Obiectul metodicii pred ării matematicii…………………………………………. 1
§3.2. Sarcinile metodicii pred ării matematicii………………………………………… 2
Test de autoevaluare……………………………………………………………………. 2
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare…………………………….……….. 2
Rezumat…………………………………………………………………………….…… 2
Bibliografie………………………………………………….……………………………. 2

Unitatea de înv ățare nr. 2
JOCUL DIDACTIC MATEMATIC
Obiectivele unit ății de înv ățare…………………………………………………………… 3
§ 2.1. Conceptul de joc didactic……………………………………………………………3
§ 2.2. Valen țele formative ale utiliz ării jocului didactic matematic în cadrul lec ției de
matematic ă a pre școlarului și a școlarului ………………………………………………… 4
§2.3. Caracteristicile jocului didactic matematic………………………………………… 5
§2.4. Metodologia organiz ării și desf ăș ur ării jocului didactic matematic……………….. 6
§ 2.5. Clasificarea jocurilor didactice matematice……………………………………….. 7
§ 2.6. Jocurile logico-matematice. Caracteristici și clasific ări…………………………… 8
Test de autoevaluare………………………………………………………………….….. 9
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare………………………………………. 9
Rezumat………………………………………………………… ……………………….. 9
Bibliografie………………………………………………………………………………. 9

Unitatea de înv ățare nr. 3
FORMAREA CONCEPTULUI DE NUM ĂR NATURAL. PROBLEME METODICE
Obiectivele unit ății de înv ățare………………………………………..………………… 10
§ 3.1. Conceptul de num ăr natural………………………………………………… ……… 10
3.1.1. Numerele naturale ca numere cardinale……………………………………. 10
3.1.2. Aspectul cardinal al num ărului natural……………………………………… 12
3.1.3. Aspectul ordinal al num ărului natural………………………………………. 12
§ 3.2. Probleme generale și specifice ale pred ării-înv ăță rii numera ției în gr ădini ță și
clasa I……………………………………………………………………………… 13
§ 3.3. Compunerea și descompunerea numerelor naturale…………………………………14
§ 3.4. Predarea-înv ățarea numerelor naturale în concentrul 0-10………………………… 15
§ 3.5. Predarea-înv ățarea numerelor naturale în concentrul 10-100……………………… 17
§ 3.6. Predarea-înv ățarea numerelor naturale scrise cu trei sau mai multe cifre…………. 17
Test de autoevaluare…………………………………………………………………….. 18
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare……………………………..……….. 18
Lucrare de verificare…………………………………………………………………..… 18
Rezumat…………………………………………………………………………………. 18
Bibliografie……………………………………………………………………………… 18

Unitatea de înv ățare nr. 4
METODOLOGIA PRED ĂRII-ÎNV ĂȚĂ RII OPERA ȚIILOR ÎN MUL ȚIMEA
NUMERELOR NATURALE
Obiectivele unit ății de înv ățare………………………………………………………….. 20
§ 4.1. Metodologia pred ării-înv ăță rii adun ării și sc ăderii numerelor naturale……………. 20

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodica activit ăților matematice și a aritmeticii

II
4.1.1. Adunarea și sc ăderea numerelor naturale în concentrul 0-10……………….. 20
4.1.2. Adunarea și sc ăderea numerelor naturale în concentrul 0-20……………….. 22
4.1.3. Adunarea și sc ăderea numerelor naturale în concentrul 0-100……………….. . 24
4.1.4. Adunarea și sc ăderea numerelor naturale mai mari decât 100………………… 25
§4.2. Metodologia pred ării-înv ăță rii înmul țirii și împ ărțirii numerelor naturale…… 25
4.2.1. Înmul țirea numerelor naturale mai mici decât 100………………………….. 25
4.2.2. Înmul țirea numerelor naturale mai mici decât 1000………………………… 28
4.2.2.1. Înmul țirea oral ă……………………………………………………… 29
4.2.2.2. Înmul țirea în scris……………………………………………… …… 30
4.2.3. Împ ărțirea numerelor naturale mai mici decât 100………………………….. 31
4.2.4. Împ ărțirea numerelor naturale mai mici decât 1000………………………. 35
4.2.4.1. Împ ărțirea oral ă……………………………………………………… 35
4.2.4.2. Împ ărțirea în scris…………………………………………………. 36
§ 4.3. Metodologia pred ării-înv ăță rii ordinii efectu ării opera țiilor……………………… 37
4.3.1. Ordinea efectu ării opera țiilor……………………………………………… 37
4.3.2. Folosirea parantezelor……………………………………………………….. 38
§ 4.4. Formarea limbajului matematic și a deprinderilor de calcul mintal la școlarul mic.. 39
4.4.1. Limbajul matematic…………………………………………………………. 39
4.4.2. Calculul mintal……………………………………………………………… 40
Test de autoevaluare……………………………………………………………………… 44
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare………………………………………. 44
Lucrare de verificare……………………………………………………………………… 45
Rezumat………………………………………………………………………………… 45
Bibliografie………………………………………………………………………………. 45

Unitatea de înv ățare nr. 5
METODOLOGIA PRED ĂRII-ÎNV ĂȚĂ RII M ĂRIMILOR ȘI UNIT ĂȚ ILOR DE
MĂSUR Ă PENTRU M ĂRIMI

Obiectivele unit ății de înv ățare………………………………………………………….. 46
§5.1. M ărime. M ăsurarea unei m ărimi. Unit ăți de m ăsur ă. Importan ța studierii lor……. 46
§ 5 .2. Obiective și con ținuturi ale pred ării-înv ăță rii m ărimilor și unit ăților de m ăsur ă ale
acestora … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . . . 4 7
§5.3. „Firul ro șu” al pred ării-înv ăță rii unit ăților de m ăsur ă pentru m ărimi la clasele I-IV 49
5.3.1. Lungimea…………………………………………………………………… 49
5.3.2. Capacitatea…………………………………………………………………. 49
5.3.3. Masa………………………………………………………………………… 50
5.3.4. Timpul……………………………………………………………………… 50
Test de autoevaluare…………………………………………………………………….. 51
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare……………………………………… 51
Rezumat…………………………………………………………………………………. 51
Bibliografie…………………………………………………………………………… … 52

Unitatea de înv ățare nr. 6
PREDAREA ELEMENTELOR DE GEOMETRIE
Obiectivele unit ății de înv ățare…………………………………………………………. 53
§ 6.1. Locul și importan ța elementelor de geometrie în procesul de instruire și educare
al școlarului mic………………………………………………………………… .. 53
§ 6 .2. Obiective și con ținuturi ale înv ăță rii elementelor de geometrie……………….….. 54
§ 6.3. Intuitiv și logic în înv ățarea geometriei…………………………………………… 55

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodica activit ăților matematice și a aritmeticii

III § 6 .4. Metodologia pred ării-înv ăță rii elementelor de geometrie…………………………. 56
6.4.1. Înv ățarea no țiunilor de geometrie în special prin procese intuitive și
formarea lor ini țial ă pe calea inductiv ă…………………………………………….. 56
6.4.2. Predarea-înv ățarea cuno știn țelor geometrice în spiritul rigurozit ății
geometriei……………………………………………………………. 58
6.4.3. Func ționalitatea elementelor de geometrie…………………………… 58
§6.5. Formarea conceptelor cu con ținut geometric………………………………… 58
Test de autoevaluare………………………………………………………………. 59
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare………………………………… 59
Rezumat…………………………………………………… ……………………… 59
Bibliografie……………………………………………………………………….. 59

Unitatea de înv ățare nr. 7
PREDAREA FRAC ȚIILOR
Obiectivele unit ății de înv ățare…………………………………………………… 61
§ 7.1. Introducerea no țiunii de frac ție … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . . 6 1
§ 7.2. Compararea frac țiilor ………………………………………………………… 63
§ 7.3. Opera ții de adunare și sc ădere cu frac ții …………………………………… 65
§ 7.4. Aflarea unei frac ții dintr-un întreg …………………………………………. 67
Test de autoevaluare…………………………………………………………..…….68
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare……………………………….. 68
Rezumat…………………………………………………………………………… 68
Bibliografie……………………………………………………………………….. 68

Unitatea de înv ățare nr. 8
METODOLOGIA REZOLV ĂRII ȘI COMPUNERII DE PROBLEME
Obiectivele unit ății de înv ățare…………………………………………………….. 69
§8.1. No țiunea de problem ă matematic ă…………………………………………… 69
§8.2. Valen țele formative ale activit ăților rezolutive………………………………. 70
§8.3. Etapele rezolv ării problemelor de matematic ă………………………………. 71
§ 8.4. Metode pentru rezolvarea problemelor de aritmetic ă………………………… 73
§ 8 .5. Rezolvarea principalelor categorii de probleme aritmeti ce………………… 75
8.5.1. Rezolvarea problemelor simple……………………………………….. 75
8.5.2. Rezolvarea problemelor compuse…………………………………… 77
8.5.3. Metode speciale de rezolvare a problemelor d e matematic ă……………… 77
8.5.3.1. Metoda figurativ ă sau grafic ă……………………………………. 77
8.5.3.2. Metoda compara ției…………………………………………… 78
8.5.3.3. Metoda falsei ipoteze…………………………………………. 78
8.5.3.4. Metoda mersului invers………………………………………. 78
8.5.3.5. Regula de trei simpl ă…………………………… ……………. 79
8.5.3.6. Regula de trei compus ă………………………………………. 79
8.5.3.7. Probleme de mi șcare…………………………………………. 81
8.5.3.8. Probleme nonstandard………………………………………… 81
§ 8.6. Rezolvarea problemelor prin mai multe c ăi, verificarea solu ției aflate și
scrierea formulei numerice………………………………………………………… 81
§ 8.7. Activitatea de compunere a problemelor de c ătre elevi……………………… 82
Test de autoevaluare…………………………………………………………….. 85
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare………………………………… 85
Lucrare de verificare………………………… …………………………………….. 85
Rezumat……………………………………………………………………………. 86
Bibliografie………………………………………………………………………… 86

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodica activit ăților matematice și a aritmeticii

IV

Unitatea de înv ățare nr. 9
PROBLEME SPECIFICE ALE PRED ĂRII-ÎNV ĂȚĂ RII MATEMATICII ÎN
CONDI ȚIILE MUNCII SIMULTANE
Obiectivele unit ății de înv ățare……………… ……………………………………….. 87
§9.1. Elemente de planificare, proiectare și organizare a activit ății simultane…………… 87
9.1.1. Particularit ățile procesului de predare-înv ățare în înv ăță mântul simultan.. 87
9.1.2. Gruparea claselor și repartizarea pe institutori………………………………. 88
9.1.3. Alc ătuirea orarului………………………………………………………….. 89
9.1.4. Planificarea activit ății didactice……………………………………………… 89
§9.2. Model de activitate didactic ă (sugestie metodic ă). Proiect de lec ție………….. 92
§9.3. Aspecte metodice privind activitatea independent ă a elevilor……………………… 95
9.3.1. Importan ța activit ății independente………………………………………… 95
9.3.2. Cerin țe pe care trebuie s ă le îndeplineasc ă activitatea independent ă a elevilor… 95
9.3.3. Forme de activitate independent ă…………………………………………… 96
9.3.4. Controlul și evaluarea activit ății independente………………………… 97
Test de autoevaluare…………………………………………………………………… 98
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare ……………………………………… 98
Rezumat…………………………………………………………………………………… 98
Bibliografie……………………………………………………………………… ………. 98
Unitatea de înv ățare nr. 10
ROLUL MIJLOACELOR DE ÎNV ĂȚĂ MÂNT ÎN LEC ȚIA DE MATEMATIC Ă
Obiectivele unit ății de înv ățare……………………………………………………….… 99
§ 1 0 .1. Conceptul de mijloc de înv ăță mânt…………………………………………….… 99
§ 1 0 .2. Principii de baz ă în folosirea mijloacelor de înv ăță mânt……………………….… 99
§ 1 0 .3. Integrarea mijloacelor de înv ăță mânt în activitatea didactic ă……………………. 100
§ 1 0 .4. Factorii determinan ți în activitatea de confec ționare a materialului didactic…..… 101
§ 1 0 .5. List ă de materiale didactice necesare desf ăș ur ării lec țiilor de matematic ă………. 102
Test de autoevaluare……………………………………………………..………….. 104
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare……………………………………… 104
Rezumat…………………………………………………………………………………. 104
Bibliografie……………………………… ……………………………………………… 104

Unitatea de înv ățare nr. 11
EVALUAREA ÎN CADRUL LEC ȚIILOR DE MATEMATIC Ă
Obiectivele unit ății de înv ățare………………………………………………………… 106
§ 1 1 .1. Preciz ări conceptuale…………………………………………………………….. 106
§ 1 1 .2. Tipuri (forme) de evaluare…………………… ……………………………….. 106
§ 1 1 .3. Evaluarea performan țelor școlare……………………………………………… 107
§ 1 1 .4. Metode și tehnici de evaluare a randamentului școlar la matematic ă…………… 108
§ 1 1 .5. Metodologia elabor ării itemilor…………………………………………………. 110
11.5.1. Clasificarea itemilor…………………………………………………….. 110
11.5.2. Îndrum ări practice, generale pentru elaborarea itemilor………………… 110
Test de autoevaluare…………………………………………………………………… 111
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare…………………………………… 111
Rezumat……………………………………………… ………………………………. 111
Bibliografie…………………………………………………………………………… 112

Unitatea de înv ățare nr. 12
ELEMENTE DE PROIECTARE DIDACTIC Ă LA MATEMATIC Ă

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodica activit ăților matematice și a aritmeticii

V Obiectivele unit ății de înv ățare………………………………………………………… 113
§ 1 2 .1. Conceptul de proiectare didactic ă……………………………………… ……….. 113
§ 1 2 .2. Elemente de proiectare didactic ă………………………………………………… 113
12.2.1. Manualele școlare alternative……………………………………………. 114
12.2.2. Lectura personalizat ă a programelor școlare de matematic ă…………….. 117
12.2.3. Planificarea calendaristic ă…………………… ………………………….. 117
12.2.4. Proiectarea unit ăților de înv ățare………………………………………… 118
12.2.5. Proiectul de lec ție………………………………………………………… 119
Test de autoevaluare……………………………………………………………………. 120
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare……………………………..……… 120
Lucrare de verificare…………………………………………………………………… 120
Rezumat………………………………………………………………………………… 120
Bibliografie……………………………………………………………………….……….120

Bibliografie ……………………………………………………………………… ……….121

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodica activit ăților matematice și a aritmeticii

VI

INTRODUCERE

Aceast ă carte se adreseaz ă în principal studen ților din anul II de la Facultatea de Psihologie
și Știin țele Educa ției-sec ția: Pedagogie Înv ăță mânt Primar și Pre școlar, care se preg ătesc s ă
devin ă institutori/profesori pentru înv ăță mântul primar și pre școlar, atât la forma înv ăță mânt-zi,
cât și la cea la distan ță . Volumul are și un caracter post-universitar, dorind s ă fie util
educatorilor-înv ăță torilor/institutorilor/profesorilor din înv ăță mântul primar și pre școlar ce î și
preg ătesc examene de definitivat sau de grad II, precum și tuturor acelora care doresc s ă-și
confrunte propria experien ță cu ideile vehiculate în text sau celor interesa ți de înv ăță mântul
pre școlar-primar.
Scopul lucr ării de fa ță este s ă-i familiarizeze pe cei interesa ți cu cele mai importante
probleme legate de predarea-înv ățarea matematicii în gr ădini ță și clasele I-IV.
Dup ă parcurgerea și asimilarea acestei lucr ări cititorul va fi capabil:
-să cunoasc ă și s ă aplice metodologia pred ării-înv ăță rii principalelor con ținuturi ale
matematicii pre școlarului și școlarului mic;
-să foloseasc ă creator cuno știn țele expuse în aceast ă carte, în activitatea de proiectare,
organizare și desf ăș urare a unei lec ții de matematic ă;
-să-și formeze capacitatea de autoevaluare a demersului metodic din le c ția de matematic ă.
Lucrarea a fost scris ă astfel ca limbajul, no țiunile și succesiunea temelor s ă fie în
concordan ță cu programele actuale.
Materialul lucr ării este structurat în 12 unit ăți de înv ățare, fiecare cuprinzând rubricile:
“Cuprins, Obiectivele unit ății de înv ățare, Con ținutul unit ății de înv ățare, Test de autoevaluare,
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare, Rezumat, Bibliografie” , iar unit ățile de
înv ățare num ărul: 3, 4, 8, 12 con țin în plus câte o “Lucrare de verificare”. Punctajul propus
pentru evaluarea fiec ărei lucr ări se afl ă men ționat dup ă enun țul subiectelor.
Principiul care a stat la baza structur ării lucr ării const ă în prezentarea problemelor
metodice care se pot conecta la continuturile esen țiale ale matematicii școlare din clasele I-IV,
astfel încât în con ținutul c ărții se reg ăsesc temele: OBIECTUL METODICII PRED ĂRII MATEMATICII,
JOCUL DIDACTIC MATEMATIC, FORMAREA CONCEPTULUI DE N UM ĂR NATURAL- PROBLEME
METODICE, METODOLOGIA PRED ĂRII-ÎNV ĂȚĂ RII OPERA ȚIILOR ÎN MUL ȚIMEA NUMERELOR
NATURALE, METODOLOGIA PRED ĂRII-ÎNV ĂȚĂ RII M ĂRIMILOR ȘI UNIT ĂȚ ILOR DE M ĂSUR Ă PENTRU
MĂRIMI, PREDAREA ELEMENTELOR DE GEOMETRIE, PREDAREA F RAC ȚIILOR, METODOLOGIA
REZOLV ĂRII PROBLEMELOR, PROBLEME SPECIFICE ALE PRED ĂRII-ÎNV ĂȚĂ RII MATEMATICII ÎN
CONDI ȚIILE MUNCII SIMULTANE, ROLUL MIJLOACELOR DE ÎNV ĂȚĂ MÂNT ÎN LEC ȚIA DE
MATEMATIC Ă, EVALUAREA ÎN CADRUL LEC ȚIILOR DE MATEMATIC Ă și ELEMENTE DE PROIECTARE
DIDACTIC Ă LA MATEMATIC Ă.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Obiectul metodicii pred ării matematicii

1 Unitatea de înv ățare nr. 1

OBIECTUL METODICII PRED ĂRII MATEMATICII

Cuprins
Obiectivele unit ății de înv ățare…………………………………………………….….. 1
§1.1. Obiectul metodicii pred ării matematicii…………………………………………. 1
§1.2. Sarcinile metodicii pred ării matematicii………………………………………… 2
Test de autoevaluare…………………………………………………………………… 2
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare…………………………….……… 2
Rezumat…………………………………………………………………………….…. 2
Bibliografie………………………………………………….………………………… 2

Obiectivele unit ății de înv ățare
În urma parcurgerii acestei unit ăți de înv ățare, studen ții vor fi capabili:
-să cunoasc ă obiectul metodicii pred ării matematicii;
-să explice importan ța studierii acesteia;
-să enumere sarcinile metodicii pred ării matematicii.

§ 1 .1. Obiectul metodicii pred ării matematicii

Prin metodic ă se în țelege acea parte a didacticii generale care trateaz ă despre principiile și
regulile de predare proprii fiec ărui obiect de studiu.
Metodica pred ării matematicii este o disciplin ă de grani ță între matematic ă, pedagogie și
psihologie. Obiectul ei de studiu se contureaz ă din analiza rela țiilor ei cu matematica și
pedagogia. Metodica pred ării matematicii studiaz ă înv ăță mântul matematic sub toate
aspectele: con ținut, metode, forme de organizare etc .
Metodica pred ării matematicii pentru înv ăță mântul pre școlar și școlar trebuie s ă indice cum
să se organizeze predarea-înv ățarea eficient ă a no țiunilor de aritmetic ă, algebr ă și geometrie din
înv ăță mântul preuniversitar. Matematica constituie con ținutul asupra c ăruia metodica pred ării î și
exersează metodele. Ea se adapteaz ă și devine specific ă acestui con ținut.
Prin acest fapt devine o disciplin ă matematic ă.
Se încet ățene ște tot mai mult și termenul de metodologie didactic ă, în țeleas ă ca știin ță a
metodelor utilizate în procesul de înv ăță mânt, ca teorie a naturii, locului și a strategiilor,
metodelor, tehnicilor și procedeelor întrebuin țate în predare și înv ățare.
Metodologia înv ăță mântului matematic are ca obiect analizarea legit ăților procesului
studierii matematicii în școal ă, cu toate implica țiile informative și formative ale acestei activit ăți.
Ea are o tripl ă valen ță : teoretic ă, de fundamentare prin cercetare și explicare logico- știin țific ă și
didactic ă a procesului înv ăță rii matematicii; practic ă-aplicativ ă, de fundamentare a bazelor
elabor ării normelor privind organizarea și conducerea știin țific ă a activit ății de înv ățare a
matematicii; de dezvoltare, creare și ameliorare continu ă a demersurilor și solu țiilor metodice
specifice acestei activit ăți, în vederea ob ținerii unei eficien țe tot mai înalte.
Pe baza cunoa șterii celor doi factori principali, matematica și copilul, metodica pred ării-
înv ăță rii matematicii analizeaz ă în spiritul logicii știin țelor moderne: obiectivele, con ținuturile,
strategiile didactice, mijloacele de înv ăță mânt folosite, formele de activitate și de organizare a
elevilor, modalit ățile de evaluare a randamentului și progresului școlar, bazele cultiv ării unor
repertorii motiva ționale favorabile înv ăță rii matematicii . Ea î și propune totodat ă, s ă ofere
alternative teoretico-metodologice, norme și modele posibile de lucru, care s ă asigure optimizarea
înv ăță mântului matematic în ciclul primar.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Obiectul metodicii pred ării matematicii

2 § 1.2. Sarcinile metodicii pred ării matematicii

Principalele sarcini ale metodicii pred ării matematicii sunt:
-selectarea din matematica- știin ță a conceptelor, rezultatelor și ideilor fundamentale care
vor fi predate elevilor, urmat ă de organizarea lor pe anumite trepte de atractivitate și prin anumite
grade de rigoare și complexitate;
-identificarea principalelor tr ăsături, instrumente, metode și aplica ții, caracteristice
diferitelor discipline matematice și indicarea tiparelor de gândire matematic ă accesibile elevilor
la diferite vârste;
-investigarea modului în care cuno știn țele matematice devin utile altor discipline;
-detalierea metodologic ă a fiec ărei teme de studiu indicând c ăile potrivite pentru explicarea
ei cât mai accesibil ă;
-stabilirea mijloacelor specifice de control a activit ății matematice a elevilor, a mijloacelor
specifice de evaluare a progresului de înv ățare;
-indicarea modului de organizare a studiului individual cu referire la folosirea manualelor,
a revistelor de matematic ă, a culegerilor de probleme, a unor activit ăți din afara clasei, cercuri de
matematic ă, olimpiade;
-stabilirea liniilor directoare în organizarea procesului pred ării-înv ăță rii matematicii;
-oferirea de r ăspunsuri adecvate variet ății de situa ții educa ționale întâlnite în practic ă.

Test de autoevaluare
1. Preciza ți importan ța studierii metodicii pred ării matematicii, în formarea unui bun
institutor.
2. Formula ți obiectul metodicii pred ării matematicii.
3. Enumera ți sarcinile metodicii pred ării matematicii.

Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare
1. Revezi 1.1.(Obiectul metodicii pred ării matematicii).
2. Revezi 1.1.(Obiectul metodicii pred ării matematicii).
3. Revezi 1.2.(Sarcinile metodicii predãrii matematicii), enum er ă cel pu țin 5 sarcini.

Rezumat
Aceastã temã are ca scop familiarizarea cu obiectul și importan ța metodicii pred ării
matematicii. Sunt analizate sarcinile metodicii pred ării matematicii.

Bibliografie
Aron, I.: Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactic ă și Pedagogic ă,
Bucure ști, 1975.
Brânzei, D., Brânzei, R.: Metodica pred ării matematicii . Editura Paralela 45, Pite ști, 2000.
Lupu, C., S ăvulescu, D.: Metodica pred ării matematicii. Manual pentru clasa a XI-a. Licee
pedagogice . Editura Paralela 45, Pite ști, 2000.
Neac șu, I.: Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactic ă și Pedagogic ă,
Bucure ști, 1988.
Pan țuru, S., P ăcurar, D.C.: Didactica. Curs de pedagogie. Partea a II-a . Universitatea
Transilvania din Bra șov, 1997.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Jocul didactic matematic

3
Unitatea de înv ățare nr. 2

JOCUL DIDACTIC MATEMATIC

Cuprins
Obiectivele unit ății de înv ățare…………………………………………………………… 3
§ 2.1. Conceptul de joc didactic……………………………………………………………3
§ 2.2. Valen țele formative ale utiliz ării jocului didactic matematic în cadrul lec ției de
matematic ă a pre școlarului și a școlarului ………………………………………………… 4
§2.3. Caracteristicile jocului didactic matematic………………………………………… 5
§2.4. Metodologia organiz ării și desf ăș ur ării jocului didactic matematic……………….. 6
§ 2.5. Clasificarea jocurilor didactice matematice……………………………………….. 7
§ 2.6. Jocurile logico-matematice. Caracteristici și clasific ări…………………………… 8
Test de autoevaluare………………………………………………………………….….. 9
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare………………………………………. 9
Rezumat…………………… …………………………………………………………….. 9
Bibliografie………………………………………………………………………………. 9

Obiectivele unit ății de înv ățare

În urma parcurgerii acestei unit ăți de înv ățare, studen ții vor fi capabili:
-să aplice metodologia organiz ării și desf ăș ur ării jocului didactic matematic;
-să con știentizeze importan ța utiliz ării jocului didactic matematic în cadrul lec ției;
-să integreze jocul didactic matematic în sistemul activit ăților cu con ținut matematic;
-să în țeleag ă mecanismul de transformare a unei probleme matematice în joc didactic și s ă
realizeze exerci ții de acest gen;
-să enumere valen țele formative ale utiliz ării jocului didactic matematic;
-să exemplifice pe modele de jocuri didactice matematice, carac teristicile și momentele
organiz ării și desf ăș ur ării unui joc didactic matematic;
-să cunoasc ă clasific ări ale jocurilor didactice matematice;
-să explice care este locul jocului didactic în cadrul lec ției de matematic ă.

§ 2.1. Conceptul de joc didactic

Defini ție 1 . Jocul didactic este un tip de joc care îmbin ă elementele instructiv-educative cu
elementele distractive.
Defini ție 2 . Jocul didactic este un tip de joc prin care institutorul consolideaz ă, precizeaz ă,
verific ă și îmbog ățește cuno știn țele predate copiilor, înlesnind rezolvarea problemelor propuse
acestora, le pune în valoare și antreneaz ă capacit ățile creatoare ale acestora.
Defini ție 3 . Jocul didactic este o form ă de activitate atractiv ă și accesibil ă copilului, prin
care se realizeaz ă sarcinile instructiv-educative ale înv ăță mântului. El reprezint ă un ansamblu de
ac țiuni și opera ții care, paralel cu destinderea, buna dispozi ție și bucuria, urm ăre ște obiective de
preg ătire intelectual ă, tehnic ă, moral ă, fizic ă a copilului. A șadar, atunci când jocul este utilizat în
procesul de înv ăță mânt, el dobânde ște func ții psiho-pedagogice semnificative, asigurând
participarea activ ă a copilului la lec ții sporind interesul de cunoa ștere fa ță de con ținutul lec țiilor.
Între jocul didactic și procesul instructiv-educativ exist ă o dubl ă leg ătur ă: jocul sprijin ă și
îmbun ătățește procesul instructiv-educativ fiind îns ă și condi ționat de acesta prin preg ătirea
anterioar ă a copilului în domeniul în care se desf ăș oar ă jocul.
Jocul didactic constituie una din principalele metode active, deosebit de eficient ă în
activitatea instructiv-educativ ă cu pre școlarii și școlarii mici. Importan ța acestui mijloc de
instruire și educare este demonstrat ă și de faptul c ă reprezint ă nu numai o metod ă de înv ăță mânt,

Purcaru Monica Ana Paraschiva Jocul didactic matematic

4 ci și un procedeu care înso țește alte metode sau poate constitui o form ă de organizare a activit ății
copiilor.

§ 2.2. Valen țele formative ale utiliz ării jocului didactic matematic în cadrul
lec ției de matematic ă a pre școlarului și a școlarului mic

Pentru sporirea eficien ței lec țiilor cu con ținut matematic pentru preîntâmpinarea e șecului
școlar, eliminarea supraînc ărc ării este necesar a introduce în lec ție elemente de joc prin care s ă se
îmbine într-un tot armonios atât sarcini și func ții specifice jocului, cât și sarcini și func ții
specifice înv ăță turii.
Folosit cu m ăiestrie, jocul didactic matematic creeaz ă un cadru organizatoric care
favorizeaz ă dezvoltarea curiozit ății și interesului copiilor pentru tema studiat ă, a spirilului de
investiga ție și formarea deprinderilor de folosire spontan ă a cuno știn țelor dobândite, rela ții de
colaborare, ajutor reciproc, integrarea copilului în colectiv.
Jocurile didactice matematice au un mare rol în consolidarea, adâ ncirea, sistematizarea și
verificarea cuno știn țelor în dezvoltarea multilateral ă a pre școlarilor și a școlarilor mici.
Prin intermediul jocului didactic ace știa î și îmbog ățesc experien ța cognitiv ă, înva ță s ă
manifeste o atitudine pozitiv ă sau negativ ă fa ță de ceea ce întâlnesc, î și educ ă voin ța și pe aceast ă
baz ă formativ ă î și contureaz ă profilul personalit ății.
Jocul didactic este necesar deoarece prin el copilul trece lent, recreativ, pe nesim țite spre o
activitate intelectual ă serioas ă.
Jocul didactic realizeaz ă cu succes conexiunea invers ă. Prin joc, atât cadrul didactic
cât și copilul primesc informa ții prompte despre efectul ac țiunii de predare-înv ățare, despre
valoarea veridic ă a cuno știn țelor sau a r ăspunsurilor pe care copilul le d ă la sarcina didactic ă
pus ă în eviden ță .
Prin aceast ă informa ție invers ă, imediat efectiv ă despre randamentul și calitatea
procesului didactic devine posibil ă reactualizarea, recon știentizarea și aprecierea procesului
înv ăță rii, dând posibilitatea institutorului s ă controleze și autocontroleze cum au fost
însu șite, în țelese elementele cunoa șterii. Confirmarea imediat ă a r ăspunsului are un efect
psihologic dinamizant, mobilizator pentru elev, sti mulându-i activitatea ulterioar ă de
înv ățare. Bucuria succeselor m ăre ște încrederea în for țele proprii, promoveaz ă progresul
intelectual al celui care înva ță .
Prin folosirea jocului didactic se poate instaura u n climat favorabil conlucr ării
fructuoase între copii în rezolvarea sarcinilor joc ului, se creeaz ă o tonalitate afectiv ă
pozitiv ă de în țelegere, se stimuleaz ă dorin ța copiilor de a- și aduce contribu ția proprie. În joc
institutorul poate sugera copiilor s ă încerce s ă exploreze mai multe alternative, se poate
integra în grupul de elevi în scopul clarific ării unor direc ții de ac țiune sau pentru selectarea
celor mai favorabile solu ții.
Prin intermediul jocului didactic se pot asimila noi informa ții, se pot verifica și consolida
anumite cuno știn țe, priceperi și deprinderi, se pot dezvolta capacit ăți cognitive, afective și
volitive ale copiilor.
Copiii pot fi activiza ți s ă rezolve în joc sarcini didactice cu mari valen țe formativ-
educative cum sunt: analiza și sinteza situa ției problem ă, identificarea situa ției, descrierea
acesteia, identificarea personajelor și descrierea lor, formularea de întreb ări pentru
clarific ări, elaborarea de r ăspunsuri la întreb ări, aprecierea solu țiilor prin comparare,
explorarea consecin țelor.
Prin mobilizarea special ă a activit ății psihice jocul didactic devine terenul unde se pot
dezvolta cele mai complexe și mai importante influen țe formative :
-i se creeaz ă copilului posibilitatea de a- și exprima gândurile și sentimentele; îi d ă prilejul
să-și afirme eu-l, personalitatea;

Purcaru Monica Ana Paraschiva Jocul didactic matematic

5
-stimuleaz ă cinstea, r ăbdarea, spiritul critic și autocritic, st ăpânirea de sine;
-prin joc se încheag ă colectivul clasei (grupa), copilul este obligat s ă respecte ini țiativa
colegilor și s ă le aprecieze munca, s ă le recunoasc ă rezultatele;
-treze ște și dezvolt ă interesul copiilor fa ță de înv ăță tur ă, fa ță de școal ă, fa ță de matematic ă;
-contribuie la dezvoltarea spiritului de ordine, la cultivarea dragos tei de munc ă, îl
obi șnuie ște cu munca în colectiv;
-cultiv ă curiozitatea știin țific ă, fr ământarea, preocuparea pentru descifrarea necunoscutului;
-treze ște emo ții, bucurii, nemul țumiri.

§2.3. Caracteristicile jocului didactic matematic

Jocul didactic este o activitate instructiv-educativ ă care are o structur ă specific ă îmbinând
în mod organic partea distractiv ă cu instruc ția, men ținând îns ă specificul de activitate didactic ă
prin structura sa.
Jocul didactic se deosebe ște de alte jocuri prin anumite caracteristici și anume: scopul
didactic, sarcina didactic ă, elemente de joc, con ținutul matematic, materialul didactic
folosit și regulile jocului .
Scopul didactic – se formuleaz ă în leg ătur ă cu cerin țele programei școlare pentru clasa
respectiv ă, reflectate în finalit ățile jocului. Formularea trebuie s ă fie clar ă și s ă oglindeasc ă
problemele specifice impuse de realizarea jocului respectiv.
Sarcina didactic ă – reprezint ă problema pe care trebuie s ă o rezolve copii în mod concret
în timpul jocului (recunoa ștere, denumire, descriere, reconstituire, compara ție) pentru a realiza
scopul propus. În general, un joc didactic are o singur ă sarcin ă didactic ă. Gradul de realizare al
sarcinii didactice și calitatea ei se constituie în form ă de evaluare.
Elemente de joc – trebuie s ă se împleteasc ă strâns cu sarcina didactic ă și s ă mijloceasc ă
realizarea ei în cele mai bune condi ții, constituindu-se în elemente de sus ținere ale situa ției de
înv ățare, ele pot fi dintre cele mai variate: întrecerea individual ă sau pe echipe, cooperarea între
participan ți, recompensarea rezultatelor bune, penalizarea gre șelilor comise de c ătre cei antrena ți
în jocurile de rezolvare a exerci țiilor sau problemelor, surpriza, a șteptarea, aplauzele, încurajarea,
etc.
Con ținutul matematic – trebuie s ă fie accesibil, recreativ și atractiv prin forma în care se
desf ăș oar ă, prin mijloacele de înv ăță mânt utilizate, prin volumul de cuno știn țe la care se
apeleaz ă. El reprezint ă cuno știn țele predate anterior, sau care urmeaz ă s ă fie predate copiilor.
Materialul didactic – reu șita jocului didactic matematic depinde în mare m ăsur ă de
materialul didactic folosit, de alegerea corespunz ătoare și de calitatea acestuia. Materialul
didactic trebuie s ă fie variat, cât mai adecvat con ținutului jocului, s ă slujeasc ă cât mai bine
scopului urm ărit. Astfel se pot folosi: plan șe, juc ării, folii, fi șe individuale, cartona șe, jetoane,
truse de figuri geometrice.
Regulile jocului – pentru realizarea sarcinilor propuse și pentru stabilirea rezultatelor
întrecerii se folosesc reguli de joc propuse de institutor sau cunosc ute în general de elevi. Aceste
reguli concretizeaz ă sarcina didactic ă și realizeaz ă în acela și timp sudura între aceasta și ac țiunea
jocului. Regulile de joc transform ă de fapt exerci țiul sau problema în joc, activând întregul
colectiv la rezolvarea sarcinilor primite. Ele trebuie s ă fie formulate clar, corect, s ă fie în țelese de
elevi și în func ție de reguli se stabile ște și punctajul.

Un exerci țiu sau o problem ă de matematic ă poate deveni joc didactic matematic dac ă
îndepline ște urm ătoarele condi ții:
-urm ăre ște un scop și realizeaz ă o sarcin ă didactic ă;
-folose ște elemente de joc în vederea realiz ării sarcinii propuse;
-folose ște un con ținut matematic accesibil și atractiv;

Purcaru Monica Ana Paraschiva Jocul didactic matematic

6 -utilizeaz ă reguli de joc cunoscute, anticipate și respectate de elevi.

§2.4. Metodologia organiz ării și desf ăș ur ării jocului didactic matematic

Sub aspect metodic , jocul didactic necesit ă o preg ătire detaliat ă. În jocurile didactice,
institutorul nu mai are rolul de a preda cuno știn țele, de a prezenta și a da de-a gata solu țiile unei
probleme. El provoac ă anumite probleme, anumite situa ții în fa ța c ărora sunt du și copiii. Ace știa
vor descoperi singuri calea de rezolvare, doar în cazul în care joc ul este mai dificil, solu ția va fi
sugerat ă discret de dasc ăl.
Explica țiile cadrului didactic vor fi cât mai simple și scurte, adecvate scopului urm ărit prin
joc, punându-se accent pe în țelegerea elementelor esen țiale. Unele preciz ări se pot face pe
parcursul desf ăș ur ării jocului. Când jocul se repet ă, se poate renun ța la explica ții.
Răspunsurile la întreb ările jocului pot fi date prin ac țiune sau prin explica ții verbale.
Institutorul va acorda aten ție deosebit ă copiilor cu o exprimare greoaie sau capacitate de
în țelegere mai redus ă, ace știa fiind mereu antrena ți și încuraja ți.
Reu șita jocului este condi ționată de proiectarea, organizarea și desf ăș urarea lui metodic ă,
de modul în care, cadrul didactic asigur ă concordan ță între elementele care-l definesc.
Pentru aceasta se impun ni ște cerin țe de baz ă:
-preg ătirea jocului didactic matematic;
-organizarea judicioas ă a acestuia;
-respectarea momentelor jocului;
-ritmul și strategia conducerii lui;
-stimularea elevilor în vederea particip ării active la joc;
-asigurarea unei atmosfere prielnice;
-varietatea elementelor de joc (complicarea jocului).
Preg ătirea jocului didactic matematic presupune:
-preg ătirea institutorului (studierea con ținutului și a structurii jocului; preg ătirea
materialului didactic: procurarea sau confec ționarea lui);
-împ ărțirea corespunz ătoare a copiilor;
-distribuirea materialului necesar desf ăș ur ării jocului.
Desf ăș urarea jocului cuprinde urm ătoarele momente:
-introducerea în joc (prin discu ții preg ătitoare);
-anun țarea titlului și scopului acestuia (sarcina didactic ă);
-prezentarea materialului;
-explicarea și demonstrarea regulilor jocului;
-fixarea regulilor;
-demonstrarea jocului de c ătre institutor;
-executarea de prob ă a jocului;
-executarea jocului de c ătre copii;
-complicarea jocului sau introducerea unor noi variante;
-încheierea jocului (evaluarea conduitei de grup sau individuale).
Introducerea în joc se face în func ție de tema acestuia. Uneori se face printr-o discu ție cu
efect motivator, printr-o expunere, pentru a stârni interesul și aten ția copiilor, sau direct prin
prezentarea materialului.
Anun țarea jocului se face în termeni preci și, excluzând explica țiile ambigue.
Explicarea jocului fiind un element hot ărâtor ,institutorul are urm ătoarele sarcini:
-să fac ă copiii s ă în țeleag ă sarcinile ce le revin;
-să precizeze regulile jocului;
-să prezinte con ținutul jocului, principalele etape în func ție de regulile jocului;
-să arate modul de folosire al materialului didactic;

Purcaru Monica Ana Paraschiva Jocul didactic matematic

7
-să precizeze sarcinile conduc ătorului de joc și cerin țele prin care copilul poate deveni
câ știg ător.
Fixarea regulilor . Regulile realizeaz ă leg ăturile dintre sarcina didactic ă și ac țiunea
jocului. Fiecare joc didactic are cel pu țin dou ă reguli:
-prima regul ă traduce sarcina didactic ă într-o ac țiune concret ă, atractiv ă, astfel exerci țiul
este transpus în joc;
-a doua regul ă are rol organizatoric și precizeaz ă când trebuie s ă înceap ă sau s ă se termine
o anumit ă ac țiune a jocului, ordinea în care trebuie s ă intre în joc.
Executarea jocului . Este important de remarcat faptul c ă ritmul și intensitatea jocului
didactic trebuie s ă creasc ă treptat, de aceea se evit ă în timpul jocului interven țiile inutile. Pentru
a men ține și chiar m ări interesul pentru jocul respectiv este bine s ă se introduc ă pe parcurs unele
reguli noi, materiale noi și în special s ă se complice sarcinile didactice.
Executarea jocului începe la semnal. Se reamintesc regulile și se dau indica ții
organizatorice.
Jocul copiilor poate fi condus direct de institutor sau indirect , când institutorul particip ă
și el la joc, f ără s ă interpreteze rolul de conduc ător. Pe parcursul jocului, cadrul didactic poate
trece de la conducerea direct ă la cea indirect ă.
Sarcinile conduc ătorului de joc sunt:
-să imprime ritmul jocului;
-să men țin ă atmosfera de joc;
-să urm ăreasc ă evolu ția jocului, evitând momentele de monotonie, de întrerupere;
-să controleze modul în care se realizeaz ă sarcina didactic ă;
-să activeze to ți copiii la joc;
-să creeze cerin țele necesare pentru ca fiecare participant s ă rezolve sarcina didactic ă în
mod independent sau în colaborare;
-să urm ăreasc ă comportarea copiilor, precum și rela țiile dintre ei;
-să urm ăreasc ă respectarea regulilor jocului.
În încheierea jocului cadrul didactic formuleaz ă concluzii asupra felului în care s-a
desf ăș urat jocul, s-au executat sarcinile primite, asupra comport ării copiilor, f ăcând recomand ări
și evalu ări cu caracter individual și general.
Rezultatele jocului creeaz ă numeroase manifest ări spontane de bucurie sau sup ărare, de
mul țumire sau regret care nu las ă indiferen ți nici pe elevi, nici pe dasc ăli.
Jocul trebuie oprit la timp, l ăsându-se câteva minute pentru strângerea ordonat ă a
materialului folosit, atât cel demonstrativ, cât și cel individual, obi șnuind în acest fel pe elevi cu
ordinea și disciplina în munc ă.

§ 2.5. Clasificarea jocurilor didactice matematice

Jocurile didactice folosite în predarea matematicii sunt difici l de clasificat, existând
numeroase criterii care pot îmbr ăca forme diferite:
-jocuri didactice sub form ă de exerci ții bazate pe întrecere;
-jocuri de crea ție;
-jocuri distractive;
-jocuri de perspicacitate;
-jocuri logico-matematice;
-jocuri desf ăș urate pe baz ă de materiale;
-jocuri mute.
Dup ă momentul de folosire în cadrul lec ției , exist ă urm ătoarea clasificare:

Purcaru Monica Ana Paraschiva Jocul didactic matematic

8 -jocuri didactice matematice, ca lec ție complet ă, de sine st ătătoare;
-jocuri didactice matematice folosite ca momente propriu-zise ale lec ției ( de
exemplu la începutul lec ției, pentru captarea aten ției);
-jocuri didactice matematice în completarea lec ției , intercalate pe parcursul lec ției
(când copii dau semne de oboseal ă) sau în final .
Dup ă con ținutul capitolelor de însu șit în cadrul matematicii sau în cadrul claselor
exist ă:
-jocuri didactice matematice pentru aprofundarea însu șirii cuno știn țelor specifice
unei unit ăți didactice ( lec ție, grup de lec ții, capitol sau subcapitol );
-jocuri didactice matematice specifice unei vârste și clase.
Dup ă con ținutul unit ăților de înv ățare , se disting urm ătoarele tipuri de jocuri:
-jocuri didactice matematice pentru însu șirea cuno știn țelor despre culori, orientare
spa țial ă, elemente și no țiuni de geometrie;
-jocuri logico-matematice pentru însu șirea cuno știn țelor despre mul țimi;
-jocuri didactice matematice pentru însu șirea șirului de numere naturale;
-jocuri didactice matematice pentru însu șirea opera țiilor cu numere naturale: adunare,
sc ădere, înmul țire, împ ărțire;
-jocuri didactice matematice pentru însu șirea no țiunii de frac ție;
-jocuri didactice matematice pentru însu șirea și consolidarea unit ăților de m ăsur ă.

§ 2.6. Jocurile logico-matematice. Caracteristici și clasific ări

O categorie special ă de jocuri didactice matematice este dat ă de jocurile logico-
matematice, care urm ăresc cultivarea unor calit ăți ale gândirii și exersarea unei logici elementare.
Materialul didactic necesar organiz ării jocurilor logico-matematice este o trus ă cu figuri
geometrice (trusa lui Z. Dienes) cu 48 piese care se disting prin 4 variabile, fiecare având o serie
de valori distincte dup ă cum urmeaz ă:
-form ă cu patru valori: triunghi, p ătrat, dreptunghi, cerc;
-culoare cu 3 valori: ro șu, galben, albastru;
-mărime cu 2 valori: gros, sub țire.
Piesele posed ă cele 4 atribute în toate combina țiile posibile, fiecare fiind unicat
(4 × 3 × 2 × 2 = 48).
În organizarea jocului se poate folosi trusa complet ă sau o parte din ea.
Elevii trebuie s ă cunoasc ă bine dimensiunea pieselor logice sau a figurilor geometrice, să
descrie propriet ățile lor geometrice. În acest scop este necesar a relua anumi te activit ăți din
cadrul gr ădini ței și a le adapta la cerin țele specifice organiz ării instructiv-educative ale
înv ăță mântului primar.
Dup ă no țiunile folosite și opera țiile logice efectuate de elevi se poate face urm ătoarea
clasificare a jocurilor logico-matematice:
-jocuri pentru construirea mul țimilor;
-jocuri de aranjare a pieselor în tablouri;
-jocuri de diferen țe;
-jocuri pentru aranjarea pieselor în dou ă cercuri (opera ții cu mul țimi);
-jocuri de perechi;
-jocuri de transform ări ;
-jocuri de mul țimi echivalente (echipotente).
Fiecare tip de joc are mai multe variante; parcurgerea între gii game de variante nu este
obligatorie și nici strict necesar ă pentru a trece la jocurile de tipul urm ător.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Jocul didactic matematic

9
Test de autoevaluare
1. Prezenta ți caracteristicile unui joc didactic matematic.
2. Defini ți jocul didactic.
3. Enumera ți cel pu țin 5 valen țe formative induse de jocul didactic matematic.
4. Preciza ți locul jocului didactic în lec ția de matematic ă.
5. Exemplifica ți caracteristicile și momentele organiz ării și desf ăș ur ării unui joc didactic
matematic.

Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare

1. Revezi 2.3. (Caracteristicile jocului didactic matemat ic).
2. Revezi 2.1. (Conceptul de joc didactic).
3. Revezi 2.2. (Valen țe formative ale utiliz ării jocului didactic matematic în cadrul lec ției de
matematic ă a pre școlarului și a școlarului mic).
4. Revezi 2.5. (Clasificarea jocurilor didactice matematice- dup ă momentul de folosire în
cadrul lec ției).
5. Revezi 2.3. și 2.4. (Caracteristicile jocului didactic matematic; Metodolog ia organiz ării
și desf ăș ur ării jocului didactic matematic).

Rezumat

Aceastã temã este dedicat ă studierii jocului didactic matematic utilizat în cadrul lec ției
pre școlarului și a școlarului mic. Este definit conceptul de joc didactic și sunt prezentate
valen țele formative ale utiliz ării jocului didactic matematic. Sunt analizate caracteristi cile unui
joc didactic matematic, fiind tratat ă apoi metodologia organiz ării și desf ăș ur ării acestuia. Sunt
prezentate clasific ări ale jocurilor didactice matematice.

Bibliografie

Atanasiu, Gh., Purcaru, M.A.P.: Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, Editura
Universit ății „Transilvania” din Bra șov, 2002.
Bulboac ă, M., Alecu, M.: Metodica activit ăților matematice în gr ădini ță și clasa I . Editura
Sigma, Bucure ști, 1996.
Lupu, C., S ăvulescu, D.: Metodica pred ării matematicii. Manual pentru clasa a XI-a. Licee
pedagogice . Editura Paralela 45, Pite ști, 2000.
Neac șu, I. (coordonator): Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactic ă și
Pedagogic ă, Bucure ști, 1988.
Neagu, M., Beraru, G.: Activit ăți matematice în gr ădini ță . Editura AS’S, 1995.
Ro șu, M.: Didactica matematicii în înv ăță mântul primar, MEC, Unitatea de Management a
Proiectului pentru Înv ăță mântul Rural, 2007.
*** Manualele școlare (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I-IV .
***Ministerul Educa ției, Cercet ării și Tineretului, Consiliul Na țional pentru Curriculum.
Programe școlare pentru înv ăță mântul primar , revizuite. Bucure ști,2003(I,II),2004(III), 2005(IV).
***SNEE, CNC, Descriptori de performan ță pentru înv ăță mântul primar, Editura
ProGnosis.

Purcaru Monica Ana Paraschiva F ormarea conceptului de num ăr natural. Probleme metodice

10
Unitatea de înv ățare nr. 3

FORMAREA CONCEPTULUI DE NUM ĂR NATURAL.
PROBLEME METODICE
Cuprins
Obiectivele unit ății de înv ățare………………………………………..……………………… 10
§ 3.1. Conceptul de num ăr natural………………………………………………………..…… 10
3.1.1. Numerele naturale ca numere cardinale…………………………………………. 10
3.1.2. Aspectul cardinal al num ărului natural………………………………………..… 12
3.1.3. Aspectul ordinal al num ărului natural……………………………………………. 12
§ 3.2. Probleme generale și specifice ale pred ării-înv ăță rii numera ției în gr ădini ță și clasa I… 13
§ 3.3. Compunerea și descompunerea numerelor naturale……………………………………. 14
§ 3.4. Predarea-înv ățarea numerelor naturale în concentrul 0-10……………………………… 15
§ 3.5. Predarea-înv ățarea numerelor naturale în concentrul 10-100…………………………… 17
§ 3.6. Predarea-înv ățarea numerelor naturale scrise cu trei sau mai multe cifre………………. 17
Test de autoevaluare……………………………………………………………………….….. 18
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare……………………………..…………….. 18
Lucrare de verificare…………………………………………………………………..……… 18
Rezumat………………………………………………………………………………………. 18
Bibliografie…………………………………………………………………………………… 18
Obiectivele unit ății de înv ățare
În urma parcurgerii acestei unit ăți de înv ățare, studen ții vor fi capabili:
-să cunoasc ă suportul știin țific al introducerii unui num ăr natural, ca proprietate a
mul țimilor finite echivalente;
-să precizeze problemele generale și specifice ale pred ării-înv ăță rii numera ției în gr ădini ță
și în clasa I;
-să dirijeze procesul de predare-înv ățare pentru însu șirea algoritmilor de compunere și
descompunere a numerelor și de stabilire a rela ției de ordine între acestea;
-să disting ă în descrierea numerelor naturale aspecte legate de semnul graf ic al num ărului
(cifra), denumirea num ărului în plan lingvistic și no țiunea propriu-zis ă de num ăr;
-să aplice metodologia introducerii unui num ăr natural, în gr ădini ță și în clasa I;
-să con știentizeze no țiunile de ordin și clas ă;
-să descrie modalit ăți de predare a numera ției în concentrele: 0-10, 10-100 și pentru
numerele scrise cu trei sau mai multe cifre.

§ 3.1. Conceptul de num ăr natural
3.1.1. Numerele naturale ca numere cardinale

Pentru a contura conceptul de num ăr natural se va porni de la no țiunile de mul țime și
rela ție.

A B Fie A și B dou ă mul țimi. Se va spune c ă cele dou ă
mul țimi sunt echipotente dac ă exist ă o bijec ție ƒ a
mul țimii A pe mul țimea B. Acest fapt se scrie astfel: “ A ~
B” și se cite ște: mul țimea A este echipotent ă cu mul țimea
B. De exemplu, mul țimile A = {a1, a 2, a 3} și B = {b1, b 2,
b3} sunt echipotente – lucru ce rezult ă din fig. 3.1.
Fig. 3.1. a1 •

a2 •

a3 • ∗ b 1

∗ b 2

∗ b 3

Purcaru Monica Ana Paraschiva F ormarea conceptului de num ăr natural. Probleme metodice

11
Rela ția de echipoten ță “~” se bucur ă de urm ătoarele propriet ăți:
1. Rela ția de echipoten ță “~” este reflexiv ă, adic ă A ~ A .
2. Este simetric ă, adic ă, dac ă A ~ B ⇒ B ~ A .
3. Este tranzitiv ă, adic ă, dac ă A ~ B și B ~ C ⇒ A ~ C .
Aceste propriet ăți se verific ă imediat:
1. A ~ A , oricare ar fi mul țimea A, pentru c ă func ția ƒ : A → A, ƒ(x) = x este o bijec ție.
2. A ~ B ⇒ B ~ A , c ăci dac ă exist ă o bijec ție ƒ : A → B, atunci exist ă func ția invers ă
ƒ−1 : B → A, care este tot o bijec ție.
3. A ~ B și B ~ C ⇒ A ~ C , deoarece dac ă exist ă func țiile bijective ƒ : A → B și g : B → C,
atunci func ția compus ă g ° ƒ : A → C este tot o bijec ție.
Rela ția de echipoten ță fiind reflexiv ă, simetric ă și tranzitiv ă este o rela ție de echivalen ță .
Înseamn ă c ă mul țimile sunt împ ărțite de rela ția de echipoten ță “~” în clase de echivalen ță
(disjuncte), numite clase de echipoten ță .
Defini ție : Se numesc cardinale , clasele de echipoten ță determinate de rela ția “~”.
Clasa de echipoten ță căreia îi apar ține mul țimea A se nume ște cardinalul mul țimii A și se
noteaz ă cu A, sau cu card A.
Din defini ție rezult ă c ă A = B ⇔ A ~ B .
Dup ă cum se observ ă, defini ția no țiunii de num ăr cardinal este foarte abstract ă deci ea nu
poate fi introdus ă astfel copiilor. Problema care se pune este cum trebuie introdus acest concept
la micii școlari. Se impune ca institutorul s ă în țeleag ă foarte bine semnifica ția no țiunii de aspect
cardinal care st ă la baza noțiunii de num ăr natural.
Se consider ă o mul țime M și fie mul țimea p ărților ei, P(M). O asemenea mul țime ar fi
format ă din mul țimea vid ă, din mul țimi cu câte un element, din mul țimi cu câte dou ă elemente
ș.a.m.d. Nu intereseaz ă natura elementelor acestor mul țimi.
În aceast ă mul țime P(M) exist ă submul țimi vide, submul țimi cu câte 1 element cu câte 2
elemente, cu câte 3 elemente etc.
Pe aceast ă mul țime se define ște rela ția de echipoten ță “~”, astfel: mul țimea care are un
triunghi este echipotent ă cu mul țimea care are o stelu ță sau cu mul țimea format ă dintr-un
dreptunghi ș.a.m.d. Deci, rela ția de echipoten ță strânge toate mul țimile care au aceast ă
proprietate, anume aceea de a avea un singur element, într-o clas ă de echipoten ță .
Aceast ă clas ă este numit ă num ărul cardinal unu și se noteaz ă cu semnul 1.
La fel, toate submul țimile cu câte dou ă elemente sunt echipotente între ele formeaz ă o nou ă
clas ă, care este numit ă num ărul cardinal doi și se noteaz ă cu simbolul 2. Se observ ă c ă aceast ă
clas ă nu are elemente comune cu prima, deci ele sunt disjuncte.
Procedând în acela și mod, rela ția de echipoten ță adun ă într-o nou ă clas ă toate submul țimile
cu câte trei elemente, ob ținând astfel clasa numit ă num ărul cardinal trei, care se noteaz ă cu
semnul 3.
Mul țimea vid ă va determina clasa c ăreia i se spune zero și care se noteaz ă cu semnul 0.
Se construiesc progresiv toate clasele de echipoten ță , deci toate numerele cardinale.
Ce trebuie în țeles a șadar, prin num ărul cardinal 5? Se în țelege clasa tuturor mul țimilor cu
cinci elemente indiferent de natura elementelor lor (din cinci ca iete, cinci creioane, cinci nuci,
cinci copii etc.). Se re ține numai proprietatea comun ă de a avea cinci elemente. Trebuie, a șadar,
ca elevul s ă în țeleag ă faptul c ă num ărul 2, de pild ă, este proprietatea comun ă a tuturor mul țimilor
formate cu dou ă elemente etc.
Se nume ște num ăr natural cardinalul unei mul țimi finite.

Purcaru Monica Ana Paraschiva F ormarea conceptului de num ăr natural. Probleme metodice

12
Deci, cardinalele construite pe aceast ă cale, în exemplul de mai sus, sunt numere naturale.
Mul țimea numerelor naturale este notat ă cu N și este format ă din urm ătoarele elemente:
N = {0, 1, 2, 3, …}.

3.1.2. Aspectul cardinal al num ărului natural

Înc ă din cele mai vechi timpuri omul a trebuit s ă compare diferite mul țimi de obiecte
pentru a vedea care mul țime con ține mai multe obiecte. Ast ăzi acest lucru se face prin
num ărarea și compararea numerelor ob ținute ca rezultate ale num ărării. Aceasta presupune
că se cunosc deja numerele și c ă se știe a se num ăra.
Cum procedeaz ă micul școlar în fa ța unei asemenea necesit ăți? El realizeaz ă o
ordonare în perechi a elementelor mul țimilor ce se compar ă (bineîn țeles finite), adic ă
realizeaz ă ceea ce se nume ște coresponden ță unu la unu . Dac ă aceast ă ordonare se poate
realiza, atunci cele dou ă mul țimi au tot atâtea elemente sau cele dou ă mul țimi, diferite prin
natura elementelor lor, sunt echipotente. Dac ă îns ă toate elementele primei mul țimi sunt
puse în coresponden ță numai cu o parte a elementelor celei de a doua mul țimi, atunci se
spune c ă prima mul țime are mai pu ține elemente decât a doua sau c ă a doua mul țime are
mai multe elemente decât prima.
O reprezentare grafic ă a acestor situa ții se prezint ă în figura 3.2. În primul caz (fig. 3.2
a) mul țimile A și B au tot atâtea elemente. În cazul al doilea (fig. 3.2 b) mul țimea C are mai
pu ține elemente decât mul țimea D, sau mul țimea D are mai multe elemente decât mul țimea
C.

Fig. 3.2

Toate mul țimile care pot fi ordonate complet în acest fel au o proprietate comun ă, anume
aceea c ă au acela și num ăr de elemente. Astfel se formeaz ă no țiunea de num ăr cardinal.

3.1.3. Aspectul ordinal al num ărului natural

Necesitatea de a stabili o ordine în interiorul une i mul țimi a condus la aspectul ordinal
al num ărului natural. Dup ă un anumit criteriu, de exemplu, rezultatele la înv ăță tur ă
exprimate prin mediile ob ținute, se poate alc ătui o ierarhie a elevilor într-o clas ă stabilind
cine este primul la înv ăță tur ă, cine este al doilea, al treilea ș.a.m.d. (la o disciplin ă, sau ca
medie general ă etc.).
Num ărul de ordine ata șat într-o asemenea succesiune se nume ște num ăr ordinal .
Aspectele cardinale și ordinale s-au dezvoltat într-o leg ătur ă permanent ă unele cu
altele și formeaz ă cele dou ă aspecte ale numerelor naturale, la care se adaug ă num ărul zero.

•
•
•
• ∗

*

*

*
(a) A B •
•
• *

*

*
*
*
(b) C D

Purcaru Monica Ana Paraschiva F ormarea conceptului de num ăr natural. Probleme metodice

13
§ 3.2. Probleme generale și specifice ale pred ării-înv ăță rii numera ției în
gr ădini ță și clasa I

Copiii de vârst ă școlar ă mic ă se g ăsesc în stadiul opera țiilor concrete. Ei înva ță prin intui ție
și manipulare direct ă de obiecte concrete, iar activitatea matematic ă reproduce, între anumite
limite, spa țiul fizic în care ace știa se dezvolt ă.
Cercet ările psihologice arat ă c ă la începutul vârstei școlare mici apar și se dezvolt ă primele
opera ții logice elementare: conjunc ția, disjunc ția logic ă și nega ția.
Formarea mul țimilor dup ă una sau mai multe propriet ăți ale elementelor lor cultiv ă și
dezvolt ă copiilor capacitatea de a lega între ele propriet ățile obiectelor care alc ătuiesc o mul țime,
cu ajutorul elementelor de rela ție: sau – corespunz ător disjunc ției, și – corespunz ător conjunc ției,
nu – corespunz ător nega ției.
Tot prin activit ăți practice, mânuind materialul didactic și verbalizând ac țiunile folosind:
conjunc ția, disjunc ția și nega ția se introduc opera țiile cu mul țimi: reuniunea, intersec ția și
diferen ța a dou ă mul țimi.
Pentru în țelegerea și însu șirea opera țiilor cu mul țimi este necesar ca institutorul s ă
foloseasc ă jocurile logico-matematice, jocul disjunc ției, al conjunc ției, al nega ției, al perechilor,
jocuri de formare a unei mul țimi, jocuri de ordonare a elementelor unei mul țimi etc.
În activit ățile cu mul țimi, institutorul va folosi întotdeauna un limbaj matematic clar,
precis, pe în țelesul și la nivelul de preg ătire al copiilor.
Plecând de la activit ăți logice de comparare a mul țimilor, copiii vor deveni con știen ți de
modul în care se stabile ște coresponden ța (element cu element) a dou ă mul țimi – suportul
constituindu-l numeroase situa ții de via ță . Introducerea conceptului de num ăr natural impune, ca
o etap ă premerg ătoare, familiarizarea copiilor cu no țiunea de rela ție de echivalen ță a mul țimilor,
de clas ă de echivalen ță , de echipoten ță între mul țimi stabilit ă de rela ția bijectiv ă tot atâtea ,
precum și de rela ția de ordine folosindu-se expresiile mai multe , mai pu ține .
Activitatea de punere în coresponden ță a elementelor a dou ă mul țimi se poate desf ăș ura în
dou ă direc ții principale: – stabilirea echipoten ței a dou ă mul țimi (prin rela ția de coresponden ță
element cu element), – construirea mul țimilor echipotente cu o mul țime dat ă (formând o clas ă de
echivalen ță ).
O aten ție deosebit ă trebuie s ă se acorde mijloacelor materiale și de comunicare, formul ării
concluziilor, manipul ării obiectelor prin care se formeaz ă sau se pun în coresponden ță mul țimile
și folosirii unui limbaj adecvat. De exemplu, în loc de func ție bijectiv ă se poate spune:
coresponden ță element cu element sau se folose ște rela ția: tot atâtea elemente , care este o
rela ție de echivalen ță , iar în loc de mul țimi echipotente se spun: mul țimi cu tot atâtea elemente
(care au acela și cardinal).
Coresponden ța element cu element a dou ă mul țimi se poate indica grafic prin unirea cu o
linie a unui element dintr-o mul țime cu un element din cea de-a doua sau prin al ăturarea la
fiecare element din prima mul țime a unui element din cea de-a doua mul țime.
Folosirea rigletelor ofer ă institutorului posibilitatea s ă efectueze cu copiii coresponden țe
între elementele unei mul țimi oarecare, iar o mul țime format ă din riglete unit ăți dispuse în linie
dă posibilitatea copiilor s ă g ăseasc ă riglete cu acela și num ăr de unit ăți cât este num ărul
elementelor unei mul țimi (prin punere în coresponden ță ).
Familiarizarea copiilor cu rigletele se realizeaz ă dup ă ce în prealabil s-au efectuat exerci ții
de recunoa ștere a culorilor și de egalizare a lungimilor. Comparând dou ă riglete copiii vor
deduce dac ă au aceea și lungime sau nu, vor a șeza în prelungire dou ă sau mai multe riglete pentru
a egala o riglet ă de lungime mai mare. Cu ajutorul rigletelor se realizeaz ă o în țelegere mai rapid ă
a compunerii și descompunerii unui num ăr, util ă apoi în efectuarea opera țiilor aritmetice.

Purcaru Monica Ana Paraschiva F ormarea conceptului de num ăr natural. Probleme metodice

14
În prima parte a unei activit ăți de predare a unui num ăr se efectueaz ă exerci ții prin care se
consolideaz ă și se verific ă în ce m ăsur ă copiii st ăpânesc cuno știn țele și deprinderile necesare
pentru în țelegerea num ărului nou.
În cadrul unei lec ții se efectueaz ă cu copiii exerci ții ca:
-formarea mul țimilor;
-echipoten ța mul țimilor;
-raportarea num ărului la cantitate și a cantit ății la num ăr;
-num ăratul în limite cunoscute;
-stabilirea vecinilor numerelor;
-exerci ții de adunare și sc ădere cu o unitate.
Dup ă efectuarea exerci țiilor cu caracter preg ătitor, se trece la predarea num ărului nou.

§ 3.3. Compunerea și descompunerea numerelor naturale

Compunerea și descompunerea numerelor naturale trebuie s ă aib ă ca punct de plecare
procesul de formare a num ărului prin ad ăugarea unei unit ăți la num ărul anterior. Prin
exerci ții de compunere și descompunere se realizeaz ă în țelegerea componen ței num ărului și
preg ătirea copiilor pentru însu șirea opera țiilor aritmetice de adunare și sc ădere.
Pentru a u șura în țelegerea compunerii unui num ăr, se pot confec ționa tablouri
individuale în dou ă culori. Folosind materialul primit, de exemplu 5 crei oane, se va cere copiilor s ă
găseasc ă variante de compunere a num ărului 5, a șezând un num ăr diferit de creioane pe ambele
culori ale tabloului. Fiecare copil anun ță posibilit ățile g ăsite (3+2, 4+1, 1+4, 2+3, 0+5),
explicând cum a lucrat. Pentru a cunoa ște toate variantele de compunere a num ărului 5, se
vor efectua exerci ții pe tabla magnetic ă. Se va a șeza pe tabl ă o mul țime cu 4 creioane, se va
cere copiilor s ă numere elementele mul țimii și s ă a șeze al ături cifra corespunz ătoare. Se va
solicita apoi copiilor s ă specifice câte creioane trebuie ad ăugate pentru a avea 5. Se va trage
concluzia c ă num ărul 5 a fost compus dintr-o mul țime cu 4 elemente la care s-a reunit o
mul țime cu un element. În continuare se va proceda la f el în cazul compunerii num ărului 5
din: 3+2, 2+3, 1+4, 0+5. (fig.3.3.)

Fig. 3.3.
Compunerea se poate realiza și prin desen. Copiii pot desena un num ăr de p ătr ățele pe
care le coloreaz ă în dou ă culori, dup ă preferin ță . La examinarea desenelor se va ar ăta câte
pătr ățele au o culoare și câte alt ă culoare.
Pentru descompunerea numerelor, copiii vor primi câ te un cartona ș desp ărțit în dou ă
părți egale. Imaginar, acest cartona ș reprezint ă o vitrin ă cu două rafturi, pe care copiii
trebuie s ă a șeze 5 mingi, dup ă preferin ță . Discutând variantele g ăsite de copii, ace știa sunt
dirija ți s ă ajung ă la concluzia c ă, oricum ar a șeza elementele mul țimii, tot cinci sunt.
În ultima parte, se procedeaz ă ca în cazul compunerii. Institutorul va a șeza toate
elementele mul țimii pe raftul de sus și va lua pe rând câte o minge și o va a șeza pe raftul de ♥

♥ ♥ ♥

♥ ♥ ♥
♥
♥ ♥ ♥ ♥

♥ ♥

♥ ♥ ♥

♥ ♥
♥
5 5 5 5
3 2 2 3 1 4 0 5

Purcaru Monica Ana Paraschiva F ormarea conceptului de num ăr natural. Probleme metodice

15 jos. Copiii vor citi variantele descompunerii num ărului 5 în: 5 și 0, 4 și 1, 3 și 2, 2 și 3, 1 și
4, 0 și 5. Trebuie s ă li se atrag ă aten ția copiilor c ă fiecare num ăr este format din unit ăți și c ă
atunci când este descompus în dou ă numere, acestea dou ă sunt mai mici fiecare decât
num ărul descompus, dar c ă împreun ă formeaz ă acela și num ăr (fig. 3.4.).

Fig. 3.4.
Este bine ca aceste grup ări, în cazul compunerii și descompunerii numerelor s ă fie citite ca
exerci ții de adunare și sc ădere, apoi scrise la tabla magnetic ă cu ajutorul cifrelor. Opera țiile de
calcul mintal (adunarea și sc ăderea) au la baz ă tocmai aceste reguli pe care copilul le-a descoperit
așezând obiectele în diverse combina ții.

§ 3.4. Predarea-înv ățarea numerelor naturale în concentrul 0-10

Metodologia form ării conceptului de num ăr natural se bazeaz ă pe faptul c ă elevii din
clasele I-IV se afl ă în stadiul opera țiilor concrete, înv ățând în special prin intuire și manipulare
direct ă a obiectelor. Pe m ăsura apropierii de clasa a IV-a are loc trecerea treptat ă c ătre general și
abstract.
În formarea conceptului de num ăr natural, ac țiunea va precede intui ția, parcurgându-se
urm ătoarele etape:
-activit ăți și ac țiuni cu mul țimi de obiecte (etapa ac țional ă);
-schematizarea ac țiunii și reprezentarea grafic ă a mul țimilor (etapa iconic ă);
-traducerea simbolic ă a ac țiunilor (etapa simbolic ă).
Raportul dintre aceste etape se schimb ă în mod treptat pe parcursul evolu ției de la intuitiv
la logic, de la concret la abstract. La început se va acorda un volum mai mare de timp activit ăților
cu mul țimi de obiecte, dup ă care, treptat, se vor utiliza, cu prec ădere, coresponden țele realizate
grafic pe tabl ă sau pe fi șe întocmite de institutor și difuzate copiilor.
La conceptul de num ăr elevul ajunge progresiv și dup ă o anumit ă perioad ă preg ătitoare. În
aceast ă perioad ă este ini țiat în activit ăți de compunere și punere în coresponden ță a mul țimilor
pentru a desprinde ideea de mul țimi echivalente sau mul țimi care au acela și num ăr de elemente,
de constituire, dup ă anumite criterii, de submul țimi date, de num ărare a elementelor unei
mul țimi, de transpunere prin simboluri a unei mul țimi.
Înregistrarea în scris a num ărului reprezint ă o etap ă superioar ă a procesului de
abstractizare. Scrierea numerelor ridic ă, de cele mai multe ori, dificult ăți de ordin psihologic
pentru copil, unele chiar mai mari decât greut ățile pe care el le întâmpin ă când înva ță s ă scrie
primele semne ale alfabetului. Cifra reprezint ă semnul grafic al num ărului, a șa cum litera
reprezint ă semnul grafic al sunetului. Dificult ățile sporesc fiindc ă el trebuie s ă realizeze o
leg ătur ă strâns ă între trei elemente: conceptul numeric, exprimarea sa verbal ă și semnul grafic.
Scrierea de mân ă a cifrei se face o dat ă cu predarea corespunz ătoarea num ărului pentru a se
realiza o strâns ă leg ătur ă între num ăr, exprimarea sa verbal ă și simbolul s ău grafic.
Activit ățile de stabilire a coresponden ței element cu element a mul țimilor urm ăresc s ă
dezvolte la copil în țelegerea con ținutului esen țial al no țiunii de num ăr, ca o clas ă de echivalen ță a
mul țimilor finite echipotente cu o mul țime dat ă.
Elevii construiesc mul țimi echivalente cu o mul țime dat ă și, în acest proces activ de
comparare, în țeleg mai bine propriet ățile numerice ale mul țimilor care au acela și num ăr de
elemente. Folosind denumirea de mul țimi cu tot atâtea elemente se deta șeaz ă progresiv,
no țiunea de num ăr ca o clas ă de echivalen ță . 5
0 4
1 3
2 2
3 1
4 0
5 5

Purcaru Monica Ana Paraschiva F ormarea conceptului de num ăr natural. Probleme metodice

16
Clasa tuturor mul țimilor finite echivalente cu mul țimea cu un singur element este num ărul
natural 1. Clasa mul țimilor echivalente cu o mul țime cu dou ă elemente este num ărul natural 2.
Clasa mul țimilor echivalente cu o mul țime cu trei elemente este num ărul natural 3 ș.a.m.d.
O aten ție special ă trebuie acordat ă procesului de în țelegere a semnifica ției cifrei 0 (zero),
deoarece aceasta reprezint ă pentru copil o dubl ă abstrac ție: cifra zero nu mai exprim ă ceva
concret, ea este simbolul clasei de mul țimi care nu au nici un element, adic ă a mul țimilor vide.
Pentru a-i deprinde pe elevi cu succesiunea numerelor este necesar ca, în acela și timp cu
introducerea num ărului nou, s ă se predea și rela ția de ordine a acestuia cu num ărul și numerele
predate anterior (în ordine cresc ătoare și descresc ătoare).
Procesul construc ției șirului numerelor pân ă la 10 se face progresiv. Din clasa mul țimilor
echivalente cu o mul țime dat ă se aleg 2-3 mul țimi model, ca reprezentan ți ai clasei. Esen țial este
ca elevii s ă în țeleag ă faptul c ă exist ă un num ăr nesfâr șit de mul țimi echivalente cu mul țimea
model, precum și distinc ția dintre num ăr și semnul s ău grafic.
Însu șirea con știent ă a no țiunii de num ăr natural se fundamenteaz ă pe:
-în țelegerea de c ătre copil a num ărului ca proprietate a mul țimilor cu acela și num ăr de
elemente (cardinalul mul țimilor echivalente);
-în țelegerea locului fiec ărui num ăr în șirul numerelor de la 0 la 10 (aspectul ordinal al
num ărului);
-în țelegerea semnifica ției reale a rela ției de ordine pe mul țimea numerelor naturale și a
denumirilor corespunz ătoare (mai mare, mai mic);
-cunoa șterea cifrelor corespunz ătoare num ărului;
-citirea cifrelor de tipar și scrierea cifrelor de mân ă.
Elevii trebuie s ă în țeleag ă c ă rela ția de ordine pe mul țimea numerelor naturale nu este dat ă
de denumirea lor, care de multe ori se înva ță mecanic, ci de rela țiile mai mic sau mai mare care
se stabilesc între numere și care corespund rela țiilor: mai pu țin sau mai mult între mul țimile ce
reprezint ă numerele date.
Din punct de vedere metodico- știin țific , num ărul natural poate fi introdus pe baza:
-no țiunii de coresponden ță element cu element între mul țimi finite;
-no țiunii de succesiune din axiomatica lui Peano;
-exprim ării rezultatului m ăsur ării unei m ărimi.
Calea cea mai folosit ă de predare a numerelor naturale este prima și se realizeaz ă
parcurgând urm ătoarele etape :
-se construie ște o mul țime de obiecte având atâtea elemente cât este ultimul num ăr
cunoscut;
-se construie ște o alt ă mul țime echipotent ă cu prima;
-se adaug ă la cea de a doua mul țime înc ă un element;
-se constat ă, prin formarea de perechi, c ă noua mul țime are cu un obiect mai mult decât
prima mul țime;
-se specific ă num ărul elementelor și modul de ob ținere a mul țimii noi;
-se construiesc și alte mul țimi echipotente cu a doua mul țime, formate din alte obiecte,
pentru a sublinia independen ța de alegerea reprezentan ților;
-se prezint ă cifra corespunz ătoare noului num ăr introdus;
-se fac exerci ții variate cu caracter aplicativ pentru fixarea num ărului predat;
-se cere copiilor: s ă descopere în clas ă mul țimi care s ă aib ă un num ăr de elemente
corespunz ător num ărului predat, s ă a șeze pe etajer ă un anumit num ăr de c ărți, s ă determine prin
pip ăit num ărul de obiecte, s ă bat ă din palme de un anumit num ăr de ori, s ă stabileasc ă locul
num ărului în șirul numerelor naturale, s ă formeze scara numeric ă.

Purcaru Monica Ana Paraschiva F ormarea conceptului de num ăr natural. Probleme metodice

17
§ 3.5. Predarea-înv ățarea numerelor naturale în concentrul 10-100

În aceast ă etap ă sunt urm ărite urm ătoarele aspecte de baz ă, specifice ei;
-în țelegerea zecii ca unitate de numera ție, baz ă a sistemului utilizat;
-lărgirea no țiunii de zece ca unitate de calcul, scrierea și citirea numerelor formate din zeci,
introducerea no țiunii de sut ă.
-formarea, citirea, scrierea și compararea numerelor naturale formate din zeci și unit ăți;
-rela ția de ordine realizat ă prin compararea și ordonarea numerelor înv ățate;
-con știentizarea semnifica ției cifrelor dup ă locul pe care îl ocup ă în scrierea numerelor.
Modalitatea de introducere a numerelor naturale mai mari decât 10 este similar ă cu cea din
concentrul anterior înv ățat.
De exemplu pentru a introduce num ărul 11 se pleac ă de la cea mai mare mul țime format ă
(cea cu 10 elemente), lâng ă care se formeaz ă o mul țime cu un element (se poate face pe tabla
magnetic ă, cu figurine, cu riglete, urmat ă de desen pe tabl ă). Se reunesc cele dou ă mul țimi,
ob ținându-se o mul țime format ă din 10 elemente și înc ă un element. Se spune c ă aceast ă mul țime
are 11 elemente și c ă semnul grafic sau simbolul acestui num ăr este “11” , adic ă dou ă cifre 1,
prima reprezentând zecea și cea de-a doua, unitatea ad ăugat ă zecii respective. Se continu ă cu
aplica ții gen compara ții: 10 < 11, 11 > 10, etc. Se pot g ăsi toate posibilit ățile de compunere a
num ărului 11.
Cu introducerea num ărului 20, ca o zece și înc ă alte 10 unit ăți, adic ă dou ă zeci, se încheie
etapa de baz ă în scopul în țelegerii ulterioare a modului de formare, scriere și citire a oric ărui
num ăr natural.
Prin scrierea numerelor formate din zeci și unit ăți, elevii iau contact cu ideea de baz ă a
sistemului zecimal de scriere și notare a numerelor.
Institutorul va pune accent pe pronun ția și scrierea corect ă a numerelor.

§ 3.6. Predarea-înv ățarea numerelor naturale scrise cu trei sau mai mult e
cifre

În predarea-înv ățarea numerelor naturale scrise cu trei sau mai multe cifre se folose ște
analogia cu procedeele din concentrul anterior înv ățat. Se formeaz ă ideea c ă 10 unit ăți de un
anumit fel formeaz ă o unitate nou ă, mai mare. Elevii adaug ă la unit ățile de numera ție cunoscute:
unitatea simpl ă, zecea, unit ăți noi: suta, mia, ș.a.m.d., fixându- și ideea că zece sute formeaz ă o
mie, ș.a.m.d.
Predarea oric ărui num ăr natural mai mare decât o sut ă se realizeaz ă dup ă algoritmul
cunoscut de la formarea numerelor naturale mai mari decât 10: o sut ă și înc ă o unitate formeaz ă
101, ș.a.m.d.
Problema metodic ă nou ă ce apare în acest concentru este legat ă de formarea, citirea și
scrierea numerelor ce con țin pe 0 (zero), care semnific ă absen ța unit ăților de un anumit ordin.
Tot acum se introduc no țiunile de: ordin (ce reprezint ă num ărul de ordine în scrierea
num ărului: unit ățile vor fi numite unit ăți de ordinul întâi, zecile –unit ăți de ordinul doi, sutele –
unit ăți de ordinul trei, unit ățile de mii –unit ăți de ordinul patru, zecile de mii –unit ăți de ordinul
cinci, ș.a.m.d.) și clas ă (o structur ă nou ă format ă dintr-un grup de trei ordine consecutive:
ordinele întâi, doi și trei formeaz ă clasa unit ăților, ordinele patru, cinci și șase -clasa miilor,
ordinele șapte, opt și nou ă –clasa milioanelor, ș.a.m.d., sugerând astfel c ă procedeul poate fi
aplicat în continuare la nesfâr șit, deci c ă exist ă numere naturale oricât de mari).
În scrierea numerelor naturale din acest concentru eviden țierea claselor se realizeaz ă prin
plasarea unui spa țiu liber între ele.

Purcaru Monica Ana Paraschiva F ormarea conceptului de num ăr natural. Probleme metodice

18
Se vor forma deprinderi corecte și con știente de citire și scriere a numerelor naturale de
mai multe cifre, în special a celor în care lipsesc una sau mai multe unit ăți de un anumit ordin.
Se vor realiza corela ții interdisciplinare, se va matematiza realitatea înconjur ătoare
ob ținând numeroase posibilit ăți de exersare a numerelor, se va utiliza frecvent jocul didacti c
matematic.
Test de autoevaluare
1. Preciza ți suportul știin țific privind formarea conceptului de num ăr natural.
2. Explica ți ce se în țelege prin: aspectul cardinal și aspectul ordinal al unui num ăr natural.
3. Prezenta ți etapele necesare pred ării-înv ăță rii numerelor naturale. Exemplifica ți.
4. Explica ți pe ce se fundamenteaz ă însu șirea con știent ă a no țiunii de num ăr natural.
5. Prezenta ți metodologia pred ării-înv ăță rii numerelor naturale în concentrul 10-100.
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare
1. Revezi 3.1.1. (Numerele naturale ca numere cardinale).
2. Revezi 3.1.2. și 3.1.3. (Aspectul cardinal al num ărului natural. Aspectul ordinal al
num ărului natural).
3. Revezi 3.4. (Predarea-înv ățarea numerelor naturale).
4. Revezi 3.4. (Predarea-înv ățarea numerelor naturale).
5. Revezi 3.5. (Predarea-înv ățarea numerelor naturale în concentrul 10-100).
Lucrare de verificare 1
1. Prezint ă un algoritm prin care se introduce la clasa I, num ărul 5.
2. Precizeaz ă aspectele specifice pred ării-înv ăță rii numerelor naturale scrise cu trei sau mai
multe cifre.
3. Explica ți ce rol joac ă principiul sistemului de numera ție zecimal în predarea-înv ățarea
numera ției?

Sugestii pentru acordarea punctajului
Oficiu: 10 puncte
Subiectul 1: 40 puncte
Subiectul 2: 30 puncte
Subiectul 3: 20 puncte

Rezumat
Aceastã unitate de înv ățare este dedicat ă cunoa șterii conceptului de num ăr natural, precum
și a problemelor metodice legate de predarea-înv ățarea acestei no țiuni în gr ădini ță și clasele I-IV.
Este precizat suportul știin țific privind formarea conceptului de num ăr natural. Este analizat atât
aspectul cardinal, cât și cel ordinal al num ărului natural. Este descris demersul metodo-logic al
pred ării-înv ăță rii numerelor în concentrul 0-10 la pre școlari și la școlarii din clasa I, fiind
precizat ă și metodologia de formare a schemelor operatorii de compunere și descompunere a
unui num ăr natural. Sunt prezentate aspectele specifice pred ării-înv ăță rii numerelor naturale în
concentrul: 10-100 precum și cele pentru numerele naturale scrise cu trei sau mai multe cifre.

Bibliografie
Atanasiu, Gh., Purcaru, M.A.P., Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, Editura
Universit ății „Transilvania” din Bra șov, 2002.
Bulboac ă, M., Alecu, M.: Metodica activit ăților matematice în gr ădini ță și clasa I . Editura
Sigma, Bucure ști, 1996.
Lupu, C., S ăvulescu, D.: Metodica pred ării matematicii. Manual pentru clasa a XI-a. Licee
pedagogice . Editura Paralela 45, Pite ști, 2000.

Purcaru Monica Ana Paraschiva F ormarea conceptului de num ăr natural. Probleme metodice

19 Neac șu, I. (coordonator): Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactic ă și
Pedagogic ă, Bucure ști, 1988.
Neagu, M., Beraru, G.: Activit ăți matematice în gr ădini ță . Editura ASS, 1995.
Păduraru, V.: Activit ăți matematice în înv ăță mântul pre școlar . Editura Polirom, Ia și, 1999.
Rafail ă, E., Țugui, L., Jurebie, S., Apostol, V.: Modele orientative de lucru cu pre școlarii .
Editura ALL, Bucure ști, 1999.
Ro șu, M.: Didactica matematicii în înv ăță mântul primar, MEC, Unitatea de Management a
Proiectului pentru Înv ăță mântul Rural, 2007.
*** Manualele școlare (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I-IV .
***Ministerul Educa ției, Cercet ării și Tineretului, Consiliul Na țional pentru Curriculum.
Programe școlare pentru înv ăță mântul primar , revizuite. Bucure ști,2003(I,II),2004(III), 2005(IV).

Purcaru Monica Ana Paraschiva Meto dologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

20
Unitatea de înv ățare nr. 4

METODOLOGIA PRED ĂRII-ÎNV ĂȚĂ RII OPERA ȚIILOR ÎN
MUL ȚIMEA NUMERELOR NATURALE

Cuprins
Obiectivele unit ății de înv ățare……………………………………………………………… 20
§ 4.1. Metodologia pred ării-înv ăță rii adun ării și sc ăderii numerelor naturale………………. 20
4.1.1. Adunarea și sc ăderea numerelor naturale în concentrul 0-10………………….. 20
4.1.2. Adunarea și sc ăderea numerelor naturale în concentrul 0-20………………….. 22
4.1.3. Adunarea și sc ăderea numerelor naturale în concentrul 0-100…………………. .. 24
4.1.4. Adunarea și sc ăderea numerelor naturale mai mari decât 100………………….. . 25
§4.2. Metodologia pred ării-înv ăță rii înmul țirii și împ ărțirii numerelor naturale………… 25
4.2.1. Înmul țirea numerelor naturale mai mici decât 100…………………………….. 25
4.2.2. Înmul țirea numerelor naturale mai mici decât 1000…………………………… 28
4.2.2.1. Înmul țirea oral ă………………………………………………………… 29
4.2.2.2. Înmul țirea în scris……………………………………………………… 30
4.2.3. Împ ărțirea numerelor naturale mai mici decât 100…………………………….. 31
4.2.4. Împ ărțirea numerelor naturale mai mici decât 1000……………………………. 35
4.2.4.1. Împ ărțirea oral ă………………………………………………………… 35
4.2.4.2. Împ ărțirea în scris………………………………………………………. 36
§ 4.3. Metodologia pred ării-înv ăță rii ordinii efectu ării opera țiilor………………………… 37
4.3.1. Ordinea efectu ării opera țiilor…………………………………………………… 37
4.3.2. Folosirea parantezelor………………………………………………………….. 38
§ 4.4. Formarea limbajului matematic și a deprinderilor de calcul mintal la școlarul mic….. 39
4.4.1. Limbajul matematic……………………………………………………………. 39
4.4.2. Calculul mintal………… ……………………………………………………… 40
Test de autoevaluare………………………………………………………………………… 44
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare…………………………………………. 44
Lucrare de verificare………………………………………………………………………… 45
Rezumat…………………………………………………………………………………….. 45
Bibliografie…………………………………………………………………………………. 45

Obiectivele unit ății de înv ățare

În urma parcurgerii acestei unit ăți de înv ățare, studen ții vor fi capabili:
-să aplice demersul metodologic al pred ării-înv ăță rii opera țiilor cu numere naturale la
clasele I-IV;
-să cunoasc ă metodologia specific ă pentru introducerea ordinii efectu ării opera țiilor;
-să con știentizeze implica țiile calculatorii ale apari ției parantezelor într-un exerci țiu;
-să formeze la elevi limbajul matematic;
-să formeze la elevi deprinderile de calcul mintal și folosirea lor în situa ții practice.
§ 4.1. Metodologia pred ării-înv ăță rii adun ării și sc ăderii numerelor naturale

4.1.1. Adunarea și sc ăderea numerelor naturale în concentrul 0-10

În scopul form ării no țiunii de adunare se porne ște de la opera ții cu mul țimi de obiecte
concrete (etapa perceptiv ă), dup ă care se trece la efectuarea de opera ții cu reprezent ări ce au
tendin ța de a generaliza (etapa reprezent ărilor), pentru ca, în final, s ă se poat ă face saltul la
conceptul matematic de adunare (etapa abstract ă).
Introducerea opera ției de adunare se face folosind reuniunea a dou ă mul țimi disjuncte.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metod ologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

21
În etapa concret ă, elevii formeaz ă, de exemplu, o mul țime de br ădu ți nin și cu 3 elemente
și a mul țime de br ădu ți albi cu 4 elemente. Reunindu-se cele dou ă mul țimi de br ădu ți se
formeaz ă o mul țime care are 7 br ădu ți: nin și sau albi. Se repet ă apoi ac țiunea folosind alte
obiecte (de exemplu, baloane, be țișoare, flori, creioane ș.a.), pân ă ce elevii con știentizeaz ă c ă
reunind o mul țime format ă din 3 obiecte cu o alt ă mul țime format ă din 4 obiecte (indiferent ce
sunt acestea) se ob ține o mul țime format ă din 7 obiecte. În aceast ă etap ă, ac țiunea elevului
vizeaz ă num ăratul sau compunerea unui num ăr, date fiind dou ă componente.
Etapa a doua, semiabstract ă, este caracterizat ă de utilizarea reprezent ărilor simbolice, cum
ar fi:

În aceast ă etap ă se introduc semnele grafice “+” și “=”, explicându-se ce reprezint ă fiecare
și se insist ă pe faptul c ă acestea se scriu doar între numere.
În etapa a treia, abstract ă, dispare suportul intuitiv, folosindu-se doar numerele.
În aceast ă etap ă se introduce terminologia specific ă ( termeni, sum ă/total ) și se scot în
eviden ță propriet ățile adun ării ( comutativitate, asociativitate , existen ța elementului neutru ),
fără utilizarea acestor termeni și cu apelare la intuire, ori de câte ori este necesar. Tot în ace ast ă
etap ă se poate sublinia reversibilitatea opera ției, prin scrierea unui num ăr ca sum ă de dou ă
numere (descompunerea num ărului). Acest tip de solicitare conduce la dezvoltarea creativit ății
elevului care, în urma unui ra ționament probabilistic, trebuie s ă g ăseasc ă toate solu țiile posibile,
anticipând, în acela și timp, opera ția de sc ădere.
Sc ăderea se introduce folosind opera ția de diferen ță dintre o mul țime și o submul țime a sa
(complementara unei submul țimi).
În prima etap ă concret ă, dintr-o mul țime de obiecte ce au o proprietate comun ă se elimin ă
o submul țime de obiecte și se precizeaz ă câte obiecte r ămân în mul țime. Ac țiunea mental ă a
elevului vizeaz ă num ăratul sau descompunerea unui num ăr în dou ă componente, dat ă fiind una
dintre acestea.
Etapa a doua, semiabstract ă, este caracterizat ă de utilizarea reprezent ărilor simbolice, cum
ar fi:

3
= 3 + 4 7 = 3 + 4 7 4 3 4
 

  
 


7 = 4 3 − 7 = 4 3 −

Purcaru Monica Ana Paraschiva Meto dologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

22

În aceast ă etap ă se introduce semnul grafic “ −“ explicându-se ce reprezint ă și se precizeaz ă
că acesta se scrie doar între numere.
În etapa a treia abstract ă, în care se folosesc doar numerele, se introduce terminologia
specific ă ( desc ăzut, sc ăzător, rest/diferen ță ) și se eviden țiaz ă propriet ățile sc ăderii numerelor
naturale (opera ția este posibil ă doar dac ă desc ăzutul este mai mare sau egal cu sc ăzătorul; în
cazul egalit ății, restul este zero), și se compar ă cu propriet ățile adun ării (sc ăderea nu este
comutativ ă) și subliniind faptul c ă, la adunare, rezultatul (suma) este mai mare decât oricare
dintre numerele care se adun ă (termeni), iar la sc ădere, rezultatul (diferen ța) este mai mic decât
desc ăzutul.
Leg ătura dintre adunare și sc ădere trebuie subliniat ă prin realizarea probei fiec ăreia
dintre cele dou ă opera ții: la adunare, se scade din sum ă unul din termeni și trebuie s ă se
ob țin ă cel de-al doilea termen, iar la sc ădere, se adun ă diferen ța cu sc ăzătorul și trebuie s ă se
ob țin ă desc ăzutul. De asemenea, aceste rela ții se eviden țiaz ă și în cazul afl ării unui termen
necunoscut la adunare sau sc ădere, eliminând ghicirea, ce apeleaz ă la memorie sau
procedeul încercare-eroare.
În țelegerea acestor aspecte implic ă în clasele urm ătoare și formarea capacit ății elevilor de a
utiliza terminologia: mai mult cu…, mai pu țin cu… , ce vor sta la baza rezolv ării problemelor
simple.
Rezolvarea unor situa ții-problem ă (îndeosebi ilustrate cu material didactic concret sau
prin imagini, dar și prezentate oral) ce conduc la una dintre cele dou ă opera ții se realizeaz ă
frecvent, înc ă înainte de abordarea conceptului restrâns de problem ă din matematic ă. Și prin
aceste situa ții-problem ă poate fi valorificat ă leg ătura dintre cele dou ă opera ții, anticipând
cunoa șterea faptului c ă din orice problem ă de adunare se pot ob ține dou ă probleme de
sc ădere.
De exemplu, o imagine ce reprezint ă un lac pe care plutesc 5 nuferi, iar pe mal sunt al ți 4
nuferi, poate fi exploatat ă maximal (din punct de vedere matematic) prin formul ări de tipul:
-Pe lac sunt 5 nuferi, iar pe mal sunt 4 nuferi.
Câ ți nuferi sunt în total?
-Pe lac au fost 9 nuferi, iar 4 dintre ei au fost cule și.
Câ ți nuferi au r ămas pe lac?
-Pe lac au fost 9 nuferi, dar acum sunt doar 5.
Câ ți nuferi au fost cule și?

4.1.2. Adunarea și sc ăderea numerelor naturale în concentrul 0-20

Teoria referitoare la predarea-înv ățarea celor dou ă opera ții în concentrul 0-10 r ămâne
valabil ă, în esen ță , și în noul concentru numeric, l ărgindu-se prin abordarea unor probleme
metodice specifice acestui concentru.
În predarea adun ării numerelor naturale mai mici decât 20 se pot distinge urm ătoarele
cazuri:
-adunarea num ărului 10 cu un num ăr de unit ăți (mai mic decât 10);
Acest caz nu ridic ă probleme metodice deosebite, dat fiind și faptul c ă se coreleaz ă cu
problematica form ării numerelor naturale mai mari decât 10 ( zecea și un num ăr de unit ăți),
abordat ă anterior, la numera ție.
-adunarea unui num ăr format dintr-o zece și din unit ăți cu un num ăr format din
unit ăți (f ără trecere peste 10);

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metod ologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

23
În acest caz, este necesar ca elevii se aib ă deprinderile de a aduna corect și rapid numere
mai mici decât 10 și de a descompune num ărul mai mare decât 10 într-o zece și unit ăți, precum și
priceperea de a ac ționa numai cu unit ățile celor dou ă numere, iar la final, s ă revin ă la primul caz.
Din punct de vedere metodic este necesar ă o ac țiune direct ă, demonstrativ ă, apoi, de oricâte ori
este necesar, individual ă, cu obiectele, ac țiuni ce se vor reflecta în pa șii algoritmului:
-descompunerea primului num ăr în 10 și unit ăți;
-adunarea unit ăților celor dou ă numere (cu sum ă mai mic ă sau egal ă cu 10);
-compunerea rezultatului din 10 și suma unit ăților.
-adunarea a dou ă numere mai mici decât 10 și a c ăror sum ă este mai mare decât 10
(cu trecere peste 10);
Pentru în țelegerea acestui caz, elevii trebuie s ă aib ă capacitatea de a forma zecea , ca sum ă
a dou ă numere, dintre care unul este dat (g ăsirea complementului unui num ăr dat în raport cu
10), priceperea de a descompune convenabil un num ăr mai mic decât 10 și deprinderea de a
efectua adunarea zecii cu un num ăr de unit ăți.
Pa șii algoritmului sunt:
-căutarea unui num ăr care, adunat cu primul termen conduce la suma 10;
-descompunerea convenabil ă a celui de-al doilea termen (una dintre componente
fiind num ărul g ăsit anterior);
-adunarea zecii cu cealalt ă component ă a celui de-al doilea termen.
În predarea sc ăderii numerelor naturale mai mici decât 20 , se pot distinge urm ătoarele
cazuri:
-desc ăzutul este cuprins între 10 și 20, iar sc ăzătorul este mai mic decât unit ățile
desc ăzutului;
Predarea acestui caz nu ridic ă probleme metodice deosebite, dac ă elevii observ ă c ă este
suficient ă sc ăderea unit ăților, zecea r ămânând neatins ă.
-desc ăzutul este cuprins între 10 și 20, iar sc ăzătorul este 10;
Nici acest caz nu prezint ă dificult ăți metodice, dac ă elevii observ ă c ă este suficient ă
sc ăderea zecii, unit ățile r ămânând neschimbate.
-atât desc ăzutul, cât și sc ăzătorul sunt cuprinse între 10 și 20;
Acest caz reprezint ă o combina ție a celorlalte dou ă și rezolvarea sa este reductibil ă la
descompunerea celor dou ă numere (în câte o zece și unit ăți), sc ăderea unit ăților de acela și fel
(zece-zece și unit ăți-unit ăți) și adi ționarea rezultatelor.
-desc ăzutul este 20 iar sc ăzătorul este mai mic decât 10;
În acest caz este necesar ă dezlipirea unei zeci și transformarea ei în 10 unit ăți, urmat ă de
sc ăderea din acestea a unit ățile sc ăzătorului.
-desc ăzutul este 20 iar sc ăzătorul este cuprins între 10 și 20;
Acest caz este o generalizare a celui anterior, fiind neces ar ă în plus sc ăderea zecilor.
-desc ăzutul este cuprins între 10 și 20, iar sc ăzătorul, mai mic decât 10, este mai mare
decât unit ățile desc ăzutului;
Acest caz este cel mai dificil pentru elevi și poate fi rezolvat prin mai multe procedee.
Un prim procedeu cuprinde:
-sc ăderea pe rând a unit ăților sc ăzătorului din desc ăzut – cu sprijin în obiecte;
Un al doilea procedeu revine la:
-descompunerea desc ăzutului într-o zece și unit ăți;
-descompunerea sc ăzătorului astfel încât una dintre componente s ă fie egal ă cu unit ățile
desc ăzutului;
-sc ăderea acestei componente a sc ăzătorului din unit ățile desc ăzutului;
-sc ăderea din zecea desc ăzutului a celeilalte componente a sc ăzătorului.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Meto dologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

24
Un al treilea procedeu cuprinde:
-descompunerea desc ăzutului într-o zece și unit ăți;
-sc ăderea din zecea desc ăzutului a unit ăților sc ăzătorului;
-adunarea acestui rest cu unit ățile desc ăzutului.
Prezentarea acestor procedee trebuie realizat ă cu material didactic, analizând fiecare pas și
apoi sintetizând procedeul pe to ți pa șii în ansamblu.

4.1.3. Adunarea și sc ăderea numerelor naturale în concentrul 0-100

Predarea opera țiilor de adunare și sc ădere în concentrul 0-100, trebuie s ă urm ăreasc ă
însu șirea de c ătre elevi a urm ătoarelor idei:
-calculul în acest concentru se realizeaz ă în acela și mod ca și în concentrul 0-20;
-orice num ăr mai mare decât 10 se descompune în zeci și unit ăți;
-zecea este o nou ă unitate de calcul;
-opera țiile se realizeaz ă cu unit ățile de acela și fel (unit ăți, zeci), asamblând apoi rezultatele
par țiale;
-10 unit ăți se restrâng într-o zece, iar o zece se poate transforma în 10 unit ăți (echivalen ța
dintre 10 unit ăți și o zece);
-calculul este mai u șor de efectuat în scris (scrierea pe vertical ă, cu unit ăți sub unit ăți și
zeci sub zeci).
În predarea adun ării numerelor naturale mai mici decât 100 , se disting urm ătoarele
cazuri:
-adunarea a dou ă numere formate numai din zeci;
În acest caz, institutorul trebuie s ă sublinieze c ă zecile sunt și ele unit ăți de calcul, a șadar
se va opera cu ele ca și cu unit ățile.
-adunarea unui num ăr format numai din zeci cu un num ăr mai mic decât 10;
Nici acest caz nu ridic ă probleme metodice deosebite, deoarece are leg ătur ă cu proble-
matica form ării numerelor.
-adunarea unui num ăr format numai din zeci cu un num ăr format din zeci și unit ăți;
În acest caz, algoritmul opera ției presupune:
-descompunerea celui de al doilea num ăr în zeci și unit ăți;
-adunarea zecilor celor dou ă numere;
-adunarea la aceast ă sum ă a unit ăților celui de-al doilea num ăr.
-adunarea unui num ăr format din zeci și unit ăți cu un num ăr mai mic decât 10, f ără
trecere peste ordin;
Se distinge de cazul anterior prin aceea c ă se adun ă unit ățile celor dou ă numere, adunând
apoi și zecile primului num ăr.
-adunarea a dou ă numere formate fiecare din zeci și unit ăți, f ără trecere peste ordin;
În acest caz pa șii algoritmului sunt:
-descompunerea fiec ărui num ăr în zeci și unit ăți;
-adunarea zecilor celor dou ă numere, respectiv a unit ăților;
-adunarea celor dou ă sume par țiale.
-adunarea a dou ă numere formate fiecare din zeci și unit ăți, având suma unit ăților 10;
În acest caz suma unit ăților se restrânge într-o zece, care se va aduna cu suma zecil or celor
dou ă numere.
-adunarea unui num ăr format din zeci și unit ăți cu un num ăr mai mic decât 10, cu
trecere peste ordin;
În acest caz din suma unit ăților se separ ă o zece, care se va aduna cu zecile primului num ăr
și unit ățile r ămase se vor aduna la suma zecilor.
-adunarea a dou ă numere formate fiecare din zeci și unit ăți, cu trecere peste ordin;

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metod ologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

25
În acest caz din suma unit ăților celor dou ă numere (mai mare decât 10) se separ ă o zece,
care se va aduna sumei zecilor celor dou ă numere, iar unit ățile r ămase se vor aduna la zecile
ob ținute.

Metodologia pred ării sc ăderii este asem ănătoare cu cea a adun ării prezentat ă mai sus.

4.1.4. Adunarea și sc ăderea numerelor naturale mai mari decât 100

Acest caz nu ridic ă probleme metodice deosebite, în situa ția în care elevii st ăpânesc
algoritmii celor dou ă opera ții, pe care i-au înv ățat în concentre numerice mai mici. Singura
diferen ță este dat ă de ordinul de m ărime al numerelor, dar acest lucru nu modific ă structura
algoritmilor. Bineîn țeles, pe lâng ă zecea cu care s-a lucrat în concentrele anterioare, apar și alte
unit ăți de calcul, cum sunt: suta, mia, etc., dar ele reprezint ă generaliz ări ale cuno știn țelor și
priceperilor anterioare, pe care elevii le pot descoperi singuri, constatând c ă operarea cu numere
naturale de orice m ărime se face la fel ca și cu numerele naturale mai mici decât 100.
Abordarea cazurilor noi se va face gradat f ără s ă se insiste prea mult pe denumirile
acestora, care sunt neimportante pentru elevi.
O eroare metodic ă din parte institutorului este nedozarea eficient ă a sarcinilor calculatorii.
În situa ția în care nu sunt intercalate și sarcini de alt tip, probabilitatea ca elevii s ă gre șeasc ă este
mai mare și aceasta se datoreaz ă: monotoniei, oboselii, mic șor ării motiva ției pentru efectuarea
calculelor.

§4.2. Metodologia pred ării-înv ăță rii înmul țirii și împ ărțirii numerelor
naturale
Introducerea opera țiilor de înmul țire și împ ărțire cu numere naturale se face dup ă ce elevii
au dobândit cuno știn țe și au priceperi și deprinderi de calcul formate, corespunz ătoare opera țiilor
de adunare și sc ădere. Opera țiile de înmul țire și împ ărțire se introduc separat, mai întâi
înmul țirea (ca adunare repetat ă de termeni egali), apoi împ ărțirea (ca sc ădere repetat ă a aceluia și
num ăr natural). Abia dup ă introducerea lor și st ăpânirea lor de c ătre elevi se va eviden ția leg ătura
dintre aceste dou ă opera ții.
Deoarece predarea-înv ățarea acestor dou ă opera ții se face prin intermediul adun ării și
sc ăderii, intui ția nu mai are un rol predominant în cunoa șterea și în țelegerea lor.

4.2.1. Înmul țirea numerelor naturale mai mici decât 100
Opera ția de înmul țire se introduce ținând seama de defini ția înmul țirii ca: adunarea repetat ă
a aceluia și termen. De aceea pentru stabilirea rezultatului înmul țirii se pot utiliza dou ă
procedee :
-Efectuarea adun ării repetate a num ărului respectiv și exprimarea acestei adun ări prin
înmul țire: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10, deci: 2 × 5 = 10.
-Efectuarea înmul țirii prin grupare:
2 × 2 = 4, 2 × 3 = 6, 4 + 6 = 10, deci: 2 × 5 = 10.
Primul procedeu se întrebuin țeaz ă mai ales pentru stabilirea tablei înmul țirii, iar al doilea
se bazeaz ă pe primul, cu deosebire pe înmul țirile numerelor 1-10 cu numere pân ă la 5.
Ordinea exerci țiilor de înmul țire respect ă ordinea prev ăzut ă în tabla înmul țirii, astfel c ă se
înva ță întâi înmul țirea num ărului 2, apoi a num ărului 3 etc.
Exprimarea în cazul înmul țirii trebuie s ă corespund ă întru totul procesului de gândire care
are loc, astfel încât elevul s ă-și poat ă însu și în mod con știent și cu u șurin ță aceast ă opera ție. De
aceea, se va folosi întâi exprimarea care utilizeaz ă cuvintele: a luat de b ori , apoi exprimarea: a
înmul țit cu b și în sfâr șit exprimarea: a ori b , aceasta fiind cea mai scurt ă și deci cea care se va
folosi mai târziu în mod curent.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Meto dologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

26
Este recomandabil ca la înmul țirea num ărului 2 s ă se întrebuin țeze pentru toate înmul țirile
num ărului, respectiv întâi exprimarea a luat de b ori și numai dup ă ce elevii au deprins aceast ă
exprimare, sau numai la înmul țirile numerelor urm ătoare s ă se treac ă la celelalte moduri de
exprimare.
Pentru stabilirea rezultatului unei înmul țiri, spre exemplu 2 × 3 = 6 se procedeaz ă în felul
urm ător:
-se demonstreaz ă cu ajutorul a 2 – 3 materiale didactice, apoi pe baz ă de reprezent ări cât fac
2 luat de 3 ori și trecându-se pe plan abstract se stabile ște c ă 2 luat de 3 ori fac 6;
-se scrie aceast ă concluzie în dou ă feluri: sub form ă de adunare și sub form ă de înmul țire,
adic ă: 2 + 2 + 2 = 6 2 × 3 = 6
-se cite ște opera ția de înmul țire în cele 3 moduri ar ătate mai sus.
Trecerea de la adunarea repetat ă la înmul țire se face în dou ă moduri .
I. Prin stabilirea rezultatului fiec ărei adun ări repetate a num ărului dat și exprimarea acestei
opera ții sub form ă de adunare, apoi sub form ă de înmul țire, urmat ă de scrierea în cele dou ă feluri a
acesteia; exemple: Cât fac trei creioane luate de 4 ori. Cum a ți socotit ? (3 + 3 + 3 + 3 = 12).
Cum putem spune altfel? (3 luat de 4 ori fac 12). C um scriem? (3 + 3 + 3 + 3 = 12 sau 3 × 4 = 12).
În felul acesta elevii se deprind s ă identifice opera ția de adunare repetat ă a aceluia și termen
cu opera ția de înmul țire, s ă substituie o opera ție prin alta, ceea ce de altfel se și urm ăre ște.
II. Prin stabilirea tuturor opera țiilor de adunare repetat ă a aceluia și termen programate
pentru lec ția respectiv ă și apoi scrierea acestora sub form ă de înmul țiri. Adic ă, dac ă este vorba
despre înmul țirea num ărului 3, se stabilesc și se scriu toate adun ările num ărului 3 pân ă la 18:
3
3 + 3 = 6
3 + 3 + 3 = 9
3 + 3 + 3 + 3 = 12
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18
apoi se transform ă pe rând aceste adun ări în înmul țiri, scriindu-se în dreptul fiec ărei adun ări
înmul țirea corespunz ătoare, astfel:
3 × 1 = 3
3 × 2 = 6
3 × 3 = 9
3 × 4 = 12
3 × 5 = 15
3 × 6 = 18
Dintre aceste dou ă procedee se consider ă c ă primul este mai indicat pentru motivul c ă
elevii sunt pu și în situa ția s ă participe în mod con știent la scrierea fiec ărei adun ări sub form ă de
înmul țire, cât ă vreme dup ă al doilea procedeu, chiar dac ă elevii particip ă con știent la scrierea
primelor dou ă adun ări sub form ă de înmul țiri, celelalte transform ări le vor face mecanic pe baza
observa ției c ă num ărul 3 este luat pe rând de 2 ori, de 3 ori etc.
De altfel, între cele dou ă procedee nu se poate stabili o ierarhizare absolut ă, ele urmând a fi
utilizate dup ă preferin țele propun ătorului și ținând seama de condi țiile în care lucreaz ă.
Semnul înmul țirii se introduce cu prilejul scrierii primei opera ții de înmul țire, ca o
prescurtare a cuvintelor luat de … ori . În opera țiile urm ătoare, se va ar ăta c ă semnul “×× ××” mai
ține locul cuvintelor înmul țit sau ori .

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metod ologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

27
Pentru memorarea tablei înmul țirii se utilizeaz ă procedeele specificate pentru memorarea
tablei adun ării și sc ăderii.
Apoi, la fiecare lec ție, trecerea la predarea cuno știn țelor noi este precedat ă de calcul mintal,
iar în ascultare și în fixarea cuno știn țelor se rezolv ă probleme aplicative. De asemenea este
indicat s ă se rezolve cât mai multe exerci ții în care lipse ște unul din factori, întâi exerci ții în care
lipse ște factorul al doilea, apoi exerci ții în care lipse ște primul factor: 3 × ? = 15 sau ? × 5 = 15,
întrucât aceste categorii de exerci ții contribuie într-o m ăsur ă mai mare la clasificarea și
consolidarea înmul țirilor.
În cadrul numerelor pân ă la 100, tabla înmul țirii se completeaz ă cu toate înmul țirile
numerelor de o singur ă cifr ă, devenind apoi elementul de baz ă în toate calculele care utilizeaz ă
opera țiile de gradul al doilea.
Predarea înmul țirii în acest concentru prezint ă urm ătoarele caracteristici :
-elevii sesizeaz ă rolul pe care îl îndepline ște primul factor ca num ăr ce se repet ă și rolul pe
care îl îndepline ște cel de al doilea factor ca num ăr ce arat ă de câte ori se repet ă primul factor;
-se scoate în eviden ță și se aplic ă proprietatea comutativit ății înmul țirii, în special pentru
stabilirea rezultatelor înmul țirii cu 1, 2, 3, 4, 5 a numerelor 6, 7, 8 și 9. Aceast ă proprietate se
generalizeaz ă în cadrul numerelor pân ă la 100, astfel încât o bun ă parte din tabla înmul țirii va
constitui doar o repetare a celor înv ățate anterior;
-pe baza comutativit ății produsului se alc ătuie ște tabla înmul țirii cu înmul țitorul constant,
care va constitui elementul principal în introducerea împ ărțirii prin cuprindere;
-pentru stabilirea rezultatelor înmul țirilor, elevii vor putea întrebuin ța o mare varietate de
procedee ra ționale: adunarea repetat ă, gruparea, comutativitatea care nu vor avea un caracter
limitat, ci vor c ăpăta un câmp larg de desf ăș urare.
În ceea ce prive ște intui ția, aceasta nu mai are rol predominant, întrucât elevii au dobândit
multe cuno știn țe în leg ătur ă cu opera țiile aritmetice, și-au format anumite priceperi și au sesizat
mecanismul scrierii adun ării repetate sub form ă de înmul țiri și tehnica form ării tablei înmul țirii,
astfel încât insisten ța institutorului de a demonstra totul cu material didactic ar frâ na însu șirea
într-un ritm mai rapid a cuno știn țelor. Nu se renun ță complet la materialul didactic, dar acesta se
utilizeaz ă numai în m ăsura în care el este necesar pentru ca elevii s ă-și însu șeasc ă în mod
con știent opera țiile respective. Astfel pe parcursul aceleia și lec ții, ca și în e șalonarea lec țiilor
apar țin ătoare capitolului respectiv, dozarea materialului didactic se fa ce în a șa fel încât la început
să se utilizeze mai mult material didactic și s ă se treac ă prin toate cele trei faze, apoi din ce în ce
mai pu țin, ajutându-se ca ultimele opera ții s ă se bazeze doar pe gândirea abstract ă.
Exemplu, la înmul țirea num ărului 7:
-primele 6 opera ții nu este necesar s ă fie demonstrate, deoarece se cunosc de la înmul țirile
cu înmul țitorul constant al numerelor 1, 2, …, 6, ci doar se repet ă înmul țirile respective, se
reamintesc demonstra țiile sau se repet ă unele dintre ele dac ă se consider ă necesar;
-opera țiile 7 × 7 și 7 × 8 se pot demonstra cu 1-2 materiale (bile și be țișoare, cuburi și
buline, creioane și o plan șă cu figuri), dintre care un material este indicat s ă fie o plan șă cu figuri
decupate și lipite sau cu figuri mobile, trecându-se apoi la faza semiconc ret ă și apoi abstract ă;
-opera ția 7 × 9 poate fi ilustrat ă numai cu ajutorul unor reprezent ări, dup ă care se trece la
faza abstract ă;
-rezultatul opera ției 7 × 10 se poate stabili numai pe baza fazei abstracte.
De asemenea, în șirul lec țiilor: înmul țirea num ărului 2, înmul țirea num ărului 3 etc., bog ăția
și varietatea materialului didactic trebuie s ă fie în descre ștere, pe m ăsur ă ce elevii dobândesc noi
cuno știn țe și-și formeaz ă noi priceperi și deprinderi.
Ordinea în care se predau cuno știn țele privitoare la înmul țirea numerelor este cea prev ăzut ă
de tabla înmul țirii, iar dup ă epuizarea acesteia se trece la tratarea cazurilor speci ale.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Meto dologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

28
Fazele principale prin care trece o lec ție de înmul țire a unui num ăr, cu stabilirea tablei
înmul țirii respective, sunt urm ătoarele:
-repetarea tablei înmul țirii cu num ărul precedent, sau cu numerele precedente;
-num ărarea ascendent ă cu acel num ăr de unit ăți și scrierea rezultatelor num ărării;
-ad ăugarea repetat ă a acelui num ăr, o dat ă, de dou ă ori etc., cu scrierea pe tabl ă și pe caiete
a opera ției;
-scrierea adun ării repetate sub form ă de înmul țire;
-stabilirea complet ă a tablei înmul țirii cu acel num ăr, inclusiv înmul țirea cu unitatea;
-memorarea tablei stabilite, întrebuin țând forme de activitate și procedee cât mai variate;
-rezolvarea de exerci ții și probleme aplicative în leg ătur ă cu înmul țirile înv ățate.
Procedee pentru stabilirea rezultatelor la înmul țire :
-procedeul adun ării repetate ;
4 × 3 = 12 pentru c ă 4 + 4 + 4 = 12.
-procedeul utiliz ării grup ărilor;
4 × 7 = 28 pentru c ă 4 × 3 = 12, 4 × 4 = 16 și 12 + 16 = 28
sau
4 × 7 = 28 pentru c ă 4 × 5 = 20, 4 × 2 = 8 și 20 + 8 = 28.
-procedeul comutativit ății;
7 × 3 = 21, pentru c ă 3 × 7 = 21
9 × 6 = 54, pentru c ă 6 × 9 = 54.
-procedeul rotunjirii ;
9 × 3 = 27, pentru c ă 10 × 3 = 30, 1 × 3 = 3 și 30 – 3 = 27.

4.2.2. Înmul țirea numerelor naturale mai mici decât 1000

În cadrul numerelor 1-1000 s-a înv ățat tabla înmul țirii numerelor de o singur ă cifr ă, precum
și înmul țirea zecilor cu un num ăr de o singur ă cifr ă f ără trecere peste sut ă.
În cadrul numerelor de trei cifre se studiaz ă opera ția de înmul țire în ansamblu, cu toate
particularit ățile ei și cu toate cazurile pe care le prezint ă.
Pentru ca elevii s ă-și poat ă însu și în condi ții corespunz ătoare opera ția de înmul țire, s ă
pătrund ă sensul ei, s ă-și formeze deprinderi temeinice de calcul corect și rapid, este necesar s ă
st ăpâneasc ă la perfec ție toate cuno știn țele premerg ătoare înmul țirii numerelor de trei cifre.
Aceste cuno știn țe sunt urm ătoarele:
-tabla înmul țirii numerelor de o singur ă cifr ă;
-numera ția oral ă și scris ă a numerelor de mai multe cifre, cu deosebire formarea numerelo r,
compunerea și descompunerea lor în unit ăți componente;
-efectul num ărului zero în cazul înmul țirii;
-no țiunile teoretice elementare privitoare la denumiril e factorilor și a rezultatului
înmul țirii.
Apoi, pentru a putea trece la înmul țirea în scris, elevii trebuie s ă aib ă formate priceperi și
deprinderi temeinice de calcul, s ă cunoasc ă bine cazurile de înmul țire și s ă efectueze cu u șurin ță
adunarea în scris, deoarece înmul țirea în scris utilizeaz ă adunarea ca opera ție auxiliar ă.
La fiecare caz de înmul țire este necesar s ă se stabileasc ă o concluzie care s ă ob țin ă ca
element principal: cazul de înmul țire și procedeul. Aceast ă concluzie poate fi formulat ă ca o
explicare a procedeelor întrebuin țate, sau sub form ă de regul ă.
În ceea ce prive ște exprimarea în desf ăș urarea calculului în scris este indicat s ă se între-
buin țeze, mai ales la primele exerci ții, atât exprimarea complet ă (cu denumirea unit ăților), cât și

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metod ologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

29
exprimarea prescurtat ă, asigurându-se astfel însu șirea con știent ă a tehnicii opera țiilor și
realizându-se în acela și timp trecerea pe nesim țite de la calculul oral la cel scris.
4.2.2.1. Înmul țirea oral ă
Programa școlar ă prevede pentru clasa a IV-a, în cadrul numerelor pân ă la 1000, numai
cazurile simple de înmul țire oral ă, și anume, înmul țirea zecilor și a sutelor cu un num ăr de o
singur ă cifr ă, precum și înmul țirea cu 10, 100 și 1000.
Procedeele de înmul țire în aceste cazuri se bazeaz ă pe regulile stabilite la înmul țirea
unit ăților și a zecilor. Astfel, înmul țirea 50 × 3 se scrie: 5 zeci × 3 = 15 zeci, adic ă 50 × 3 = 150;
sau înmul țirea 300 × 2 se scrie 3 sute × 2 = 6 sute, adic ă 300 × 2 = 600.
Prin urmare, înmul țirea zecilor și a sutelor se reduce la înmul țirea unit ăților, regula fiind:
zecile și sutele se înmul țesc ca și unit ățile, dar la produs se adaug ă un zero, respectiv dou ă
zerouri.
Succesiunea acestor exerci ții de înmul țire oral ă este urm ătoarea:
-înmul țirea sutelor cu un num ăr de o singur ă cifr ă f ără trecere peste mie .
Exemple: 400 × 2; 200 × 3; 500 × 2 etc.
-înmul țirea zecilor cu un num ăr de o singur ă cifr ă.
Exemple: 70 × 4; 50 × 7; 80 × 5; 30 × 9 etc.
În afar ă de acestea, odat ă cu primele exerci ții scrise de înmul țire se introduc no țiunile de
deînmul țit, înmul țitor, factori și produs, ca denumiri ale numerelor care se înmul țesc și rezultatul
înmul țirii.
Dintre toate cazurile de înmul țire oral ă, cel mai important este cel de înmul țire a unui
num ăr format din sute și zeci cu un num ăr de o singur ă cifr ă, pentru c ă acesta constituie un
exerci țiu preg ătitor pentru înmul țirea în scris, mai ales c ă unul din procedeele indicate pentru
înmul țirea oral ă, anume înmul țirea pe rând a sutelor, apoi a zecilor cu num ărul dat și adunarea
rezultatelor, este asem ănător cu cel întrebuin țat la înmul țirea în scris.
Exemplu: 320 × 3 = 960, pentru c ă 300 × 3 = 900, 20 × 3 = 60 și 900 + 60 = 960.
În acest caz de înmul țire se mai întrebuin țeaz ă și un alt procedeu, care const ă în
transformarea num ărului în zeci și apoi înmul țirea num ărului de zeci ob ținut:
320 = 32 zeci; 32 zeci × 3 = 96 zeci, adic ă 320 × 3 = 960.
Regula înmul țirii cu 10 a unui num ăr de dou ă cifre constituie primul procedeu ra țional de
înmul țire rapid ă prev ăzut pentru clasele I-IV. Pe acest procedeu se vor baza apoi cele lalte
procedee, și anume, înmul țirea cu 100 și 1000, sau cu orice num ăr format din cifra 1 urmat ă de
zerouri, sau cu orice num ăr format dintr-o cifr ă oarecare urmat ă de zerouri.
Pentru stabilirea unei concluzii care s ă constituie regula înmul țirii unui num ăr cu 10 , se
studiaz ă mai multe exemple din aceast ă categorie, efectuându-se înmul țirea în mod obi șnuit,
spre exemplu: 38 × 10:
30 × 10 = 300
8 × 10 = 80, 300 + 80 = 380, deci 38 × 10 = 380,
apoi, pe baza metodei compara ției, se constat ă c ă produsul (rezultatul) se deosebe ște de
deînmul țit prin faptul c ă are un zero la urm ă, ceea ce înseamn ă c ă fiecare unitate a deînmul țitului
a devenit de 10 ori mai mare, adic ă întreg num ărul s-a m ărit de 10 ori. Deci, prin înmul țirea cu
10 a num ărului dat i s-a ad ăugat acestuia un zero în partea dreapt ă. F ăcând aceea și constatare în
3-4 sau mai multe cazuri și utilizând opera țiile de abstractizare și generalizare ale gândirii, se
formuleaz ă concluzia : u n num ăr se înmul țește cu 10 ad ăugând la dreapta lui un zero .
În ceea ce prive ște exprimarea, aceasta trebuie s ă cuprind ă toate procesele aritmetice care

Purcaru Monica Ana Paraschiva Meto dologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

30
conduc la opera ția de înmul țire: luarea (repetarea) unui num ăr sau a unei cantit ăți de câteva ori,
mărirea de câteva ori, înmul țirea cu un num ăr, iar exerci țiile trebuie s ă cuprind ă și cazurile în
care se cere s ă se afle unul din factori, cunoscând cel ălalt factor.
4.2.2.2. Înmul țirea în scris
Opera ția de înmul țire în scris cuprinde o mare varietate de exerci ții, a c ăror înmul țire se
poate face în diferite moduri. Astfel:
-ținând seama de concentrul numerelor în care se încadreaz ă rezultatul opera ției, înmulțirea
poate fi cu numere pân ă la 1000 sau de 3 cifre și cu numere de o cifr ă;
-dup ă num ărul cifrelor înmul țitorului, înmul țirea poate fi cu înmul țitorul de o singur ă cifr ă,
de dou ă cifre și de 3 sau mai multe cifre;
-dup ă dificult ățile pe care le precizeaz ă feluritele cazuri de înmul țire, se pot deosebi:
înmul țirea când produsul unit ăților de diferite ordine este mai mic decât 10, egal cu 10 sau cu
zeci întregi și mai mari decât 10;
-cazurile particulare de înmul țire, legate de existen ța zerourilor în unul sau în ambii factori,
la urm ă sau în interior.
Ca exemplu fie urm ătoarele cazuri :
-înmul țirea cu un num ăr de o singur ă cifr ă când fiecare produs ob ținut din înmul-
țirea unit ăților de ordin, respectiv ale deînmul țitului cu înmul țitorul, este mai mic decât 10;
Exemple: 312 × 3; 221 × 4; etc.
În cazul exerci țiilor de înmul țire din aceast ă categorie se urm ăre ște nu atât însu șirea unui
procedeu de calcul, care este cunoscut deja de la înmul țirea oral ă, cât mai ales cunoa șterea și
însu șirea elementelor tehnice ale opera ției de înmul țire: felul de a șezare a factorilor în efectuarea
produsului, precum și reamintirea denumirilor factorilor și a rezultatului înmul țirii, cu sesizarea
func ției pe care o îndepline ște fiecare factor al produsului. Prin urmare este necesar s ă se insiste
în formarea la elevi a deprinderilor de a șezare a factorilor dup ă regula a șez ării termenilor
opera țiilor de gradul I, spre exemplu: 312 × 3 = 312 ×
3
urmând ca mai târziu s ă se introduc ă și s ă se utilizeze a șezarea factorilor în rând, iar produsul sub
deînmul țit, pentru a se realiza economii de spa țiu și energie și pentru a preg ăti trecerea la
împ ărțire, unde termenii se a șeaz ă numai în rând.
Exemplu: 134 × 2 134 × 2
268
Pentru stabilirea unui procedeu de calcul în scris, se folosesc cuno știn țele de calcul oral,
adic ă înmul țirea pe rând a unit ăților de diferite ordine ale deînmul țitului cu înmul țitorul,
însumând rezultatele. Trecându-se la efectuarea calculului în s cris, se scoate în eviden ță
superioritatea acestui calcul fa ță de cel oral, prin faptul c ă produsul se ob ține direct, f ără alte
calcule intermediare. De asemenea se reamintesc, se preci zeaz ă și se aplic ă regulile stabilite la
celelalte opera ții în ceea ce prive ște efectuarea calculului oral și a celui în scris. Anume:
-înmul țirea oral ă se face începând cu unit ățile de ordinul cel mai mare, în cazul de fa ță
începând cu sutele, urmând și unit ățile simple, ob ținându-se în felul acesta produsele
corespunz ătoare înmul țirii fiec ărui ordin cu înmul țitorul, care apoi se însumeaz ă;
-înmul țirea în scris se face începând cu unit ățile de ordinul cel mai mic, deci cu unit ățile
simple, urmând apoi zecile și sutele (de la dreapta spre stânga), analog cu adunarea sau sc ăderea.
Cu utilizarea exemplului de mai sus, aspectul tablei ar fi urm ătorul:
Scrierea opera ției Calculul oral Calculul în scris
312 × 3=936 300 × 3 = 900 312 × deînmul țit
10 × 3 = 30 3 înmul țitor
2 × 3 = 6 936
900 + 30 + 6 = 936.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metod ologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

31
În predarea unui anumit caz de înmul țire, primul exerci țiu se rezolv ă de c ătre institutor, cu
explica ții și justific ări complete și clare, f ăcând astfel demonstrarea procedeului. Explica țiile și
justific ările sunt repetate de elevi și tot ei rezolv ă în continuare exerci țiile urm ătoare, de
asemenea cu explica ții complete referitoare la cazul de înmul țire, scrierea opera ției, efectuarea
calculului oral, a șezarea pentru calculul în scris, efectuarea acestui calcul, denumirea rezultatului
și a factorilor. În urma analizei exemplelor folosite în cursul lec ției se stabile ște regula
corespunz ătoare, în cazul de fa ță regula privitoare la înmul țirea în scris cu un num ăr de o singur ă
cifr ă.
În ceea ce prive ște exprimarea institutorului și a elevilor în timpul efectu ării calculului în
scris, la primele exerci ții aceasta trebuie s ă cuprind ă ambele forme: exprimarea complet ă și
exprimarea prescurtat ă, tehnic. Exprimarea complet ă const ă în întrebuin țarea limbajului
corespunz ător procesului de gândire care are loc, deci cu denumirea unit ăților, f ăcând astfel
leg ătura strâns ă cu felul de exprimare în cazul calculului oral:
– 2 unit ăți luate de 3 ori fac 6 unit ăți, scriem 6 sub unit ăți;
– 1 zece luat de 3 ori fac 3 zeci, scriem 3 sub zeci;
– 3 sute luate de 3 ori fac 9 sute, scriem 9 sub sute.
Exprimarea prescurtat ă, spre care trebuie s ă se tind ă neîncetat, cu perseveren ță , de îndat ă ce
exist ă siguran ța c ă elevii și-au însu șit în mod con știent procedeul de calcul respectiv, const ă în
redarea în cuvinte cât mai pu ține a calculului, accentuându-se caracterul tehnic al acestuia:
– 3 ori 2 fac 6, se scrie 6;
– 3 ori 1 fac 3, se scrie 3;
– 3 ori 3 fac 9, se scrie 9, rezultatul 936.
-înmul țirea cu numere de dou ă cifre;
Particularitatea acestui caz de înmul țire const ă în introducerea no țiunii de produs
par țial, astfel c ă numai asupra acestui lucru este nevoie s ă se atrag ă aten ția elevilor în mod
deosebit, stabilindu-se necesitatea înmul țirii cifrelor care reprezint ă unit ățile de diferite
ordine ale deînmul țitului întâi cu cifra zecilor și a șa mai departe, ob ținându-se un num ăr de
produse par țiale egal cu num ărul cifrelor înmul țitorului. De asemenea se stabile ște ca regul ă
că prima cifr ă a fiec ărui produs par țial se a șeaz ă sub cifra corespunz ătoare a înmul țitorului.
Cu aceste indica ții, prezentate și motivate simplu, elevii reu șesc s ă în țeleag ă și s ă aplice cu
ușurin ță procedeul, a c ărui consolidare se ob ține prin exerci țiile repetate care se rezolv ă în
continuare.

4.2.3. Împ ărțirea numerelor naturale mai mici decât 100
În acest concentru se introduce și se studiaz ă numai împ ărțirea în p ărți egale, deoarece
aceasta, spre deosebire de împ ărțirea prin cuprindere, este în țeleas ă mai u șor de c ătre elevi,
exprimarea întrebuin țat ă este în concordan ță cu datele experien ței și cu procesul de gândire care
are loc, iar demonstrarea opera țiilor se face f ără dificult ăți.
Întrucât împ ărțirea în p ărți egale se bazeaz ă pe înmul țire, ordinea exerci țiilor este aceea și,
adic ă se trateaz ă întâi împ ărțirea numerelor 2, 4 , 6, …, 20 la 2, apoi a numerelor 3, 6, 9, …, 18 la
3 etc.
Demonstrarea opera țiilor se face prin întrebuin țarea unor materiale cât mai variate, unele
dintre ele corespunz ătoare experien ței proprii a elevilor: creioane, caiete, nuci, castane, lei e tc.,
altele din cele întrebuin țate în mod obi șnuit în clas ă: bile, be țișoare, cuburi, buline etc.
Procedeul ini țial este urm ătorul:

Purcaru Monica Ana Paraschiva Meto dologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

32
-se stabile ște num ărul de obiecte ce trebuie împ ărțit și num ărul p ărților, spre exemplu: 18
creioane împ ărțite în mod egal la 6 copii;
-se repartizeaz ă fiec ărei p ărți (fiec ărui copil) câte un creion, deci în total 6 creioane,
stabilindu-se c ă au mai r ămas 12, apoi se mai repartizeaz ă câte înc ă un creion, stabilindu-se c ă au
mai r ămas 6, care de asemenea se repartizeaz ă și nu mai r ămâne nici un creion;
-se verific ă num ărul creioanelor repartizate fiec ărei p ărți (fiec ărui copil);
-se stabile ște, se repet ă și se scrie concluzia: 18 creioane împ ărțite în mod egal la 6 copii
fac 3 creioane, sau 18 creioane împ ărțite în 6 p ărți egale fac 3 creioane.
Pentru a realiza trecerea treptat ă de la concret la abstract, materialele care se întrebuin țeaz ă
în continuare: be țișoare, cuburi, castane etc., chiar pentru aceea și opera ție, se împart în p ărți
egale, deci nu la un num ăr de copii, obiectele a șezându-se în grupe separate, dup ă care se trece la
faza semiconcret ă, în cadrul c ăreia copiii vor împ ărți mintal, în acela și num ăr de p ărți egale,
diferite numere ce reprezint ă obiecte pe care nu le au în fa ță și cu care nu lucreaz ă efectiv: piese,
ma șini, pere, castane, precum și g ăini, ou ă etc.
În rezolvarea primelor exerci ții de împ ărțire, stabilirea rezultatului opera ției se face prin
separarea efectiv ă în p ărți egale și distincte a num ărului total de obiecte, iar verificarea se
face prin înmul țire . Îndat ă îns ă ce elevii dovedesc c ă au p ătruns în țelesul opera ției de împ ărțire
și au reu șit s ă-și însu șeasc ă în condi ții satisf ăcătoare mecanismul acestei opera ții, trebuie s ă
dep ăș easc ă faza împ ărțirii efective a obiectelor și s ă treac ă neîntârziat la stabilirea prin înmul țire
a rezultatului unei împ ărțiri, realizându-se astfel leg ătura strâns ă dintre cele dou ă opera ții. Spre
exemplu: 18 împ ărțit în 6 p ărți egale fac 3, pentru c ă 3 luat de 6 ori fac 18, ceea ce se scrie:
18 : 6 = 3, pentru c ă 3 × 6 = 18.
În stabilirea pe baza înmul țirii a rezultatului unei împ ărțiri nu numai c ă nu se pot evita
încerc ările , dar se consider ă indicat s ă se apeleze mereu la aceste încerc ări, întrucât ele aduc o
contribu ție hot ărâtoare la dezvoltarea gândirii și la în țelegerea rela țiilor de independen ță dintre
cele dou ă opera ții aritmetice, punând astfel accentul pe ceea ce este esen țial în împ ărțire, și
anume faptul c ă este opera ția invers ă înmul țirii.
Exemplu:
18 : 6 fac 1 ? NU, pentru c ă 1 × 6 = 6, nu 18;
18 : 6 fac 2 ? NU, pentru c ă 2 × 6 = 12, nu 18;
18 : 6 fac 3 ? DA, pentru c ă 3 × 6 = 18.

Procedând în acest fel, elevii vor ajunge s ă stabileasc ă rezultatele diferitelor împ ărțiri
numai pe baza tablei înmul țirii pe care au înv ățat-o sau pe care o pot înv ăța cu mai mult ă
ușurin ță .
Exemplu: La împ ărțirea 15 : 3, elevii vor stabili rezultatul r ăspunzând mintal la întrebarea:
cât ori 3 fac 15 ? deci, 15 : 3 = 5 pentru c ă 5 × 3 = 15.
Un alt procedeu pentru stabilirea rezultatului unei împ ărțiri și care se poate introduce
treptat este procedeul grup ărilor , adic ă al descompunerii deîmp ărțitului în dou ă, trei grupe, care
se împart, adunându-se rezultatele.
Exemplu:
12 : 3 = .
9 : 3 = 3
3 : 3 = 1
3 + 1 = 4
În ceea ce prive ște exprimarea , este necesar s ă se întrebuin țeze la început exprimarea
complet ă, corespunz ătoare proceselor practice și de gândire care au loc:

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metod ologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

33
18 împ ărțit în 6 p ărți egale fac 3
și paralel cu aceasta s ă se întrebuin țeze exprimarea prescurtat ă:
18 împ ărțit la 6 fac 3.

Caracteristici specifice împ ărțirii numerelor naturale mai mici decât 100
-în cadrul numerelor pân ă la 100 se studiaz ă atât împ ărțirea în p ărți egale, cât și împ ărțirea
prin cuprindere (în aceast ă ordine);
-opera ția de împ ărțire se studiaz ă în strâns ă leg ătur ă cu înmul țirea, atât în ceea ce prive ște
stabilirea și motivarea rezultatului, cât și prin sesizarea rela țiilor care duc la constatarea c ă cele
dou ă opera ții sunt inverse una alteia, adic ă ceea ce se face prin înmul țire se desface prin împ ărțire
și invers;
-împ ărțirea în p ărți egale se bazeaz ă pe înmul țirea cu înmul țitorul constant, acesta devenind
împ ărțitor;
-ordinea opera țiilor este aceea și ca și la înmul țire.
Procedeele întrebuin țate pentru stabilirea rezultatelor la împ ărțire sunt urm ătoarele :
-leg ătura dintre înmul țire și împ ărțire, leg ătura cu ajutorul c ăreia se g ăse ște și se motiveaz ă
rezultatul;
Exemplu: 24 : 6 = ? Câtul este acel num ăr din înmul țirea c ăruia cu împ ărțitorul se ob ține
deîmp ărțitul, adic ă 4, deci:
24 : 6 = 4, pentru c ă 4 × 6 = 24.
-descompunerea deîmp ărțitului în termeni mai mici, astfel ca ace ști termeni s ă fie divizibili
prin împ ărțitor;
Exemplu: 56 : 7 = 8 pentru c ă: 28 : 7 = 4
28 : 7 = 4 și 4 + 4 = 8.
-împ ărțirea succesiv ă a deîmp ărțitului prin factorii împ ărțitorului;
Exemplu:28 : 4 = 7, pentru c ă: 28 : 2 = 14 și 14 : 2 = 7
Împ ărțirea prin cuprindere se bazeaz ă pe înmul țirea cu împ ărțitorul constant.
Etapele metodice în tratarea împ ărțirii prin cuprindere pot fi formulate astfel:
-formarea no țiunii de împ ărțire prin cuprindere, scrierea și citirea acestei împ ărțiri.
Pentru a ajunge la în țelegerea acestor no țiuni, trebuie s ă se l ămureasc ă și s ă se delimiteze
în țelesul expresiilor: în p ărți egale, în grupe de câte … obiecte, grupate, cuprindere . În acest
scop trebuie s ă se utilizeze exemple concludente, legate de experien ța și cuno știn țele elevilor.
Astfel, elevii sunt a șeza ți în b ănci câte doi , în grupe de câte doi , dar aceia și elevi pot fi grupa ți
câte 3, câte 4 etc., sau în grupe de câte 3, câte 4. Pentru o m ai bun ă precizare a lucrurilor se
consider ă un anumit num ăr de elevi, spre exemplu 16 și se fac toate grup ările posibile: câte 1,
câte 2, câte 4, câte 8 și câte 16, stabilindu-se num ărul grupelor formate și întrebuin țându-se
exprimarea corespunz ătoare:
16 elevi împ ărțiți în grupe de câte 2 elevi fac 8 grupe;
16 elevi împ ărțiți în grupe de câte 4 elevi fac 4 grupe;
16 elevi împ ărțiți în grupe de câte 8 elevi fac 2 grupe etc.
Apoi se l ămure ște procesul de gândire care are loc pentru stabilirea grupelor pre cizându-se
că 16 elevi împ ărțiți în grupe de câte 2 fac 8 grupe, adic ă 2 în 16 se cuprinde de 8 ori, fiindc ă 2
elevi repeta ți de 8 ori fac 16, sau 16 elevi împ ărțiți în grupe de câte 4 fac 4 grupe, adic ă 4 în 16 se
cuprinde de 4 ori, fiindc ă 4 elevi repeta ți de 4 ori fac 16.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Meto dologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

34
Dup ă aceasta se trece la demonstrarea împ ărțirii prin cuprindere întrebuin țând diferite
materiale didactice cu care lucreaz ă atât institutorul cât și elevii.
Exemplu: Dac ă se lucreaz ă cu be țișoare, acestea se grupeaz ă câte 1, câte 2, câte 4,
stabilindu-se de fiecare dat ă num ărul grupelor ce se ob țin, cu repetarea în cuvinte a
procesului aritmetic: 12 be țișoare împ ărțite în grupe de câte 2 be țișoare fac 8 grupe, pentru
că 2 se cuprinde în 16 de 8 ori etc.
Dup ă tratarea a 2-3 exemple concrete, se trece la faza semiconcret ă și apoi abstract ă,
stabilindu-se drept concluzie.
16 împ ărțit în grupe de câte 2 fac 8, sau 2 se cuprinde în 16 de 8 ori;
16 împ ărțit în grupe de câte 4 fac 4, sau 4 se cuprinde în 16 de 4 ori;
16 împ ărțit în grupe de câte 8 fac 2, sau 8 se cuprinde în 16 de 2 ori etc.
Un exemplu sau dou ă din aceste opera ții se scriu pe tabl ă și pe caiete, sco țându-se în
eviden ță faptul c ă scrierea acestei împ ărțiri este cea cunoscut ă, îns ă citirea ei se face altfel.
Exemplu: Opera ția: 16 : 4 = 4 se cite ște ca împ ărțire prin cuprindere astfel: 16 împ ărțit în
grupe de câte 4 fac 4, sau 4 în 16 se cuprinde de 4 ori.
Numai dup ă ce elevii încep s ă p ătrund ă sensul expresiilor care caracterizeaz ă împ ărțirea
prin cuprindere se poate trece la studiul sistematic al aceste i opera ții, tratându-se pe rând
împ ărțirea la 2 prin cuprindere, apoi la 3 și a șa mai departe, în strâns ă leg ătur ă cu înmul țirea
num ărului respectiv și cu împ ărțirea în p ărți egale prin acel num ăr.
-probleme de împ ărțire prin cuprindere.
Tot ceea ce s-a ar ătat pân ă aici în leg ătur ă cu împ ărțirea prin cuprindere are drept scop s ă
familiarizeze pe elevi cu exprimarea caracteristic ă acestei împ ărțiri și s ă-i fac ă s ă p ătrund ă în țelesul
și esen ța opera ției. Dac ă îns ă într-o problem ă este vorba de împ ărțire prin cuprindere, sau de
împ ărțire prin p ărți egale, acestea se pot stabili numai prin textul pr oblemei, mai ales c ă forma sub
care se scrie opera ția corespunz ătoare fiec ărei împ ărțiri este aceea și și difer ă doar exprimarea.
Urm ărind ca elevii s ă fac ă distinc ție clar ă între cele dou ă feluri de împ ărțiri, este necesar s ă
se formeze, cu acelea și date, o problem ă de împ ărțire în p ărți egale și alta prin cuprindere. Spre
exemplu: folosind rela ția 15 : 3 = 5, se pot formula urm ătoarele probleme:
O cantitate de 15 litri de ulei s-a pus în mod egal în 3 bidoane. Câ ți litri de ulei s-au pus
într-un bidon?
Opera ția se scrie:
15 l : 3 = 5 l
și se cite ște:
15 l împ ărțit în 3 p ărți egale (bidoane) fac 5 l.
O cantitate de 15 l de ulei s-a turnat în bidoane de câte 3 l . Câte bidoane sunt
necesare?
Opera ția se scrie:
15 l : 3 l = 5
și se cite ște:
15 l împ ărțit în p ărți (bidoane) de câte 3 l fac 5 (bidoane),
sau:
3 l se cuprind în 15 l de 5 ori, deci sunt necesare 5 bidoane.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metod ologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

35
La împ ărțirea în p ărți egale se observ ă c ă deîmp ărțitul și câtul sunt numere concrete
(reprezint ă unit ăți sau lucruri de acela și fel), iar împ ărțitorul este num ăr abstract și arat ă num ărul
părților egale în care s-a f ăcut împ ărțirea. La împ ărțirea prin cuprindere, deîmp ărțitul și
împ ărțitorul sunt numere concrete, iar câtul este num ăr abstract și arat ă de câte ori se cuprinde
împ ărțitorul în deîmp ărțit. Aceste observa ții caracterizeaz ă în mod general cele dou ă feluri de
împ ărțire.

4.2.4. Împ ărțirea numerelor naturale mai mici decât 1000

Considera ții generale
Opera ția de împ ărțire este cea mai dificil ă dintre opera țiile aritmetice, datorit ă
complexit ății ei, variet ății cazurilor și caracteristicilor pe care le prezint ă, cât și datorit ă
faptului c ă utilizeaz ă simultan toate cele trei opera ții precedente. De aceea, studiul
opera țiilor de împ ărțire și tratarea variet ății cazurilor ei solicit ă o mai mare concentrare a
eforturilor și aten ției elevilor, o bun ă orientare metodic ă a institutorului și o adev ărat ă
măiestrie din partea acestuia în prezentarea sub o fo rm ă simpl ă, accesibil ă, a diferitelor
cazuri, cu o dozare treptat ă și cu grij ă a dificult ăților. Astfel fiind, principiul fundamental al
didacticii: de la u șor la greu, de la simplu la compus î și are aplicarea cu deosebire în
predarea împ ărțirii.
În ceea ce prive ște exprimarea, aceasta devine dificil ă în cazul împ ărțirii în scris, astfel
că necesitatea exprim ării complexe, cu denumirea unit ăților, apare numai în m ăsura în care o
reclam ă însu șirea con știent ă a procedeelor. De aceea, de îndat ă ce elevii reu șesc s ă p ătrund ă
sensul împ ărțirii și încep s ă în țeleag ă tehnica opera ției, trebuie s ă se st ăruie mereu și cu o
perseveren ță din ce în ce mai evident ă asupra form ării deprinderilor de calcul cu utilizarea
mijloacelor tehnice proprii acestei opera ții și pentru cunoa șterea variatelor particularit ăți ale
împ ărțirii în scris. De altfel, în cazul împ ărțirii, nu se poate vorbi de un anumit fel de
exprimare complet ă, ca în cazul înmul țirii, deoarece aceast ă exprimare se confund ă cu
explica ția am ănun țit ă și justificarea procedeelor adoptate, astfel încât t endin ța spre o
exprimare simplificat ă, spre o schematizare a procedeului de împ ărțire în scris trebuie s ă se
manifeste de la primele exerci ții ca o necesitate organic ă.
Clasificarea diferitelor cazuri de împ ărțire prezint ă de asemenea dificult ăți care pot fi
înl ăturate cu u șurin ță . Cea mai frecvent ă clasificare o constituie aceea care se refer ă la
num ărul de cifre ale împ ărțitorului, adic ă: împ ărțirea la un num ăr de o singur ă cifr ă și
împ ărțirea la un num ăr de dou ă cifre. Fiecare din aceste cazuri implic ă procedee speciale și
tratare separat ă.

4.2.4.1. Împ ărțirea oral ă

Împ ărțirea oral ă cuprinde în primul rând: împ ărțirea unui num ăr format din sute
întregi la un num ăr de o singur ă cifr ă, apoi a unui num ăr format din sute și zeci, la un
num ăr de o singur ă cifr ă, fiecare num ăr de sute și fiecare num ăr de zeci împ ărțindu-se
exact la împ ărțitor.
Procedeul pentru împ ărțirea sutelor se stabile ște prin compara ție cu împ ărțirea unit ăților și
a zecilor, formulându-se observa ția corespunz ătoare; sutele se împart ca și unit ățile, ca și zecile.
Pentru împ ărțirea unui num ăr format din sute și zeci, se împart întâi sutele, apoi zecile la
împ ărțitor, însumându-se rezultatele. Procedeul se stabile ște prin aplicarea în acest caz a celor
stabilite la împ ărțirea zecilor și la împ ărțirea sutelor.

Exemplu: 480 : 4 = .
400 : 4 = 100

Purcaru Monica Ana Paraschiva Meto dologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

36
80 : 4 = 20
100 + 20 = 120
Întrucât elevii iau cuno știn ță pentru prima dat ă de cazul împ ărțirii incomplete , adic ă
a împ ărțirii cu rest , iar experien ța arat ă c ă însu șirea acestor no țiuni întâmpin ă serioase
dificult ăți, din cauz ă c ă necesit ă un mai înalt grad de p ătrundere a sensului împ ărțirii, este
necesar s ă se acorde suficient ă aten ție acestei împ ărțiri, cu atât mai mult cu cât în continuare
împ ărțirea cu rest este mai frecvent ă decât cea exact ă, și odat ă ce no țiunile sunt formate și
fixate, se vor putea întrebuin ța cu succes în rezolvarea cazurilor de împ ărțire cu resturi
succesive.
Din aceste motive se recomand ă procedee metodice cât mai apropiate de nivelul de
în țelegere al elevilor, cât mai atractive și mai concludente.
Primele exerci ții de împ ărțire cu rest trebuie s ă reprezinte formularea matematic ă a
unor ac țiuni ce se petrec în fa ța elevilor, pe care le realizeaz ă elevii în șiși, f ăcând constat ări
pe cazuri concrete și extinzând apoi aceste constat ări la alte cazuri asem ănătoare, concrete,
semiconcrete sau abstracte.
Exemplu: Elevii sunt pu și s ă împart ă 2 creioane la 2 elevi, s ă constate c ă împ ărțirea s-a
făcut exact și s ă scrie matematic concluzia: 2 : 2 = 1. Apoi s ă împart ă 3 creioane la 2 elevi,
să constate c ă fiecare elev prime ște câte un creion, dar mai r ămâne 1 creion, deci concluzia
scris ă matematic este: 3 : 2 = 1, rest 1. În mod asem ănător se va proceda în continuare cu
împ ărțirea a 4, 5, 6, … obiecte în dou ă p ărți egale, scriindu-se într-o coloan ă împ ărțirile
exacte și în alt ă coloan ă cele cu rest, astfel:
2 : 2 = 1 3 : 2 = 1, rest 1
4 : 2 = 2 5 : 2 = 2, rest 1
6 : 2 = 3 7 : 2 = 3, rest 1
și a șa mai departe pân ă la 10 sau chiar pân ă la 20.
Analizându-se împ ărțirile scrise pe cele dou ă coloane, se poate stabili cu u șurin ță c ă fiecare
împ ărțire din prima coloan ă s-a f ăcut exact, deci toate acestea sunt împ ărțiri exacte și fiecare din
a doua coloan ă s-a f ăcut cu rest, deci, toate sunt împ ărțiri cu rest.
La fel se procedeaz ă cu împ ărțirile la 3, formulându-se concluzii asem ănătoare, cu
deosebirea c ă în cazul împ ărțirii la 3, resturile pot fi 1 sau 2 și f ăcându-se constatarea c ă fiecare
din aceste resturi este mai mic decât împ ărțitorul.
Se procedeaz ă în acela și fel cu împ ărțirea numerelor 4, 5, 6, 7, 8, … la 4, a numerelor 5, 6,
7, … la 5 etc.
Pentru ca elevii s ă se deprind ă de pe acum cu verificarea cifrei de la cât, este indicat c a la
fiecare împ ărțire s ă se fac ă și verificarea prin înmul țire, la împ ărțirea cu rest ad ăugându-se la
produs restul.
Exemplu: 7 : 3 = 2 rest 1, pentru c ă 2 × 3 = 6 și cu 1 fac 7.
Numai dup ă ce elevii și-au format în mod clar și complet no țiunea de împ ărțire cu rest,
spre deosebire de împ ărțirea exact ă, se poate trece la împ ărțirea cu rest a unui num ăr format
din zeci și unit ăți: 46 : 5; 27 : 8; 75 : 9, apoi a unui num ăr format din sute, zeci și unit ăți:
547 : 2; 928 : 3 etc.

4.2.4.2. Împ ărțirea în scris
Cuprinde numeroase și variate particularit ăți. Se va prezenta ca exemplu împ ărțirea unui
num ăr de trei cifre la un num ăr de o singur ă cifr ă și anume în cazul când unit ățile de
fiecare ordin ale deîmp ărțitului se împart exact la împ ărțitor .
Acest caz de împ ărțire se pred ă în clasa a IV-a, în cadrul împ ărțirii unui num ăr natural mai
mic ca 1000 la un num ăr de o cifr ă și este important din urm ătoarele motive:

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metod ologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

37
-este primul caz de împ ărțire în scris și deci cu ajutorul lui se introduc procedeele împ ărțirii
în scris, procedee care sunt noi și cu totul deosebite de cele întâlnite la celelalte opera ții;
-este singurul caz de împ ărțire în scris care face leg ătura direct ă și complet ă cu împ ărțirea
oral ă, deoarece opera ția se poate efectua cu u șurin ță și oral, cât ă vreme la toate celelalte cazuri
urm ătoare, calculul oral întâmpin ă dificult ăți, motiv pentru care la rezolvarea lor se renun ță
treptat la calculul oral, pe m ăsur ă ce calculul în scris devine mai avantajos;
-este singurul caz de împ ărțire în scris care nu prezint ă nici un fel de particularitate, astfel
încât el ofer ă posibilitatea însu șirii de c ătre elevi a tehnicii împ ărțirii.
Pentru introducerea tehnicii împ ărțirii , se poate proceda în felul urm ător:
Dup ă ce s-a stabilit necesitatea efectu ării unei opera ții din aceast ă categorie, spre exemplu
369 : 3, ori cu ajutorul unei probleme, ori dat ă direct ca exerci țiu, se scrie opera ția pe rând, apoi
se efectueaz ă calculul oral cu scrierea opera țiilor ajut ătoare, dup ă care elevii sunt anun țați c ă li se
va arata felul cum se face împ ărțirea în scris, stabilindu-se în primul rând c ă împ ărțirea în scris se
face ca și cea oral ă, împ ărțindu-se pe rând unit ățile deîmp ărțitului începând cu cele de ordinul cel
mai mare, deci cu sutele și continuând cu zecile și unit ățile simple, dar a șezarea opera ției este
deosebit ă. Împ ărțitorul nu se mai a șeaz ă sub deîmp ărțit și nici câtul, ci în rând. Se trece apoi la
efectuarea în scris a opera ției. Utilizând exprimarea complet ă, adic ă cu denumirea unit ăților:
3 sute împ ărțite în 3 p ărți egale fac 1 sut ă. Se scrie la cât 1 și se face proba: 1 ori 3 fac 3.
Se scrie 3 sub sute, se trage linie, se scade și nu r ămâne nimic. Deci sutele s-au împ ărțit
exact. Se împart acum zecile, dar pentru aceasta se iau se parat, se coboar ă și se spune: 6 zeci
împ ărțite în 3 p ărți egale … etc.
Dup ă ce procedeul împ ărțirii în scris este repetat de elevi, cu exprimarea complet ă, se
trece la exprimarea prescurtat ă pe care o prezint ă tot institutorul și pe care de asemenea o
repet ă elevilor. Exprimarea prescurtat ă este urm ătoarea: 3 în 3 se cuprinde de o dat ă (se scrie
1 la cât), pentru c ă 1 ori 3 fac 3 (se scrie 3 sub sute), se trage lini e, se scade și nu r ămâne
nimic (se trag dou ă linioare); se coboar ă 6; 3 în 6 se cuprinde de 2 ori (se scrie 2 la cât) …
etc.
Cu efectuarea calculelor la acest exerci țiu tabla are urm ătorul aspect:
Scrierea opera ției Calculul oral Calculul în scris
369 : 3 = 123 300 : 3 = 100 369 : 3 = 123
60 : 3 = 20 3 .
9 : 3 = 3 = 6
6 .
= 9
9 .
=

§ 4.3. Metodologia pred ării-înv ăță rii ordinii efectu ării opera țiilor

4.3.1. Ordinea efectu ării opera țiilor
În clasele I-IV elevilor li se cere s ă rezolve diferite exerci ții complexe, adic ă exerci ții care
cuprind mai multe opera ții. Ordinea efectu ării opera țiilor și utilizarea parantezelor se înva ță
în clasa a III-a. De aceea, înainte de a înv ăța ordinea efectu ării opera țiilor, exerci țiile complexe
pe care le rezolv ă elevii, sunt astfel alc ătuite încât opera țiile se efectueaz ă corect în ordinea în
care sunt scrise. Aceste exerci ții se prezint ă sub mai multe forme, dup ă opera țiile pe care le
con țin:
-exerci ții care con țin opera ții de un singur fel, adic ă numai adun ări sau sc ăderi etc.;

Purcaru Monica Ana Paraschiva Meto dologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

38
-exerci ții care con țin opera ții de acela și ordin, adic ă numai adun ări și sc ăderi, sau numai
înmul țiri și împ ărțiri;
-exerci ții care con țin opera ții de ordine diferite: înmul țiri sau împ ărțiri cu adun ări și
sc ăderi.
Rezolvând astfel de exerci ții în clasele I-II (adun ări și/sau sc ăderi), cât și în clasa a III-a
(înmul țiri și/sau împ ărțiri cu adun ări și/sau sc ăderi), elevii se deprind cu efectuarea succesiv ă a
opera țiilor, f ără s ă se gândeasc ă la faptul c ă s-ar putea pune problema existen ței unor anumite
reguli în ceea ce prive ște ordinea efectu ării acestora. De aceea sarcina institutorului const ă în
primul rând în a ar ăta elevilor c ă nu întotdeauna este corect s ă se efectueze opera țiile în ordinea
în care sunt scrise; pentru aceasta, utilizând un exerci țiu în rezolvarea c ăruia prin schimbarea
ordinii opera țiilor se ob țin rezultate diferite, se scoate în eviden ță necesitatea stabilirii unor
norme care s ă reglementeze ordinea efectu ării opera țiilor.
Opera țiile aritmetice se clasific ă în dou ă categorii:
-opera ții de ordinul I : adunarea și sc ăderea;
-opera ții de ordinul II : înmul țirea și împ ărțirea.
Se pot enun ța urm ătoarele reguli :
-dac ă într-un exerci țiu toate opera țiile sunt de acela și ordin, adic ă numai adun ări și sc ăderi,
sau numai înmul țiri și împ ărțiri, ele se efectueaz ă în ordinea în care sunt scrise;
-dac ă un exerci țiu cuprinde atât opera ții de ordinul I, cât și opera ții de ordinul II, atunci
ordinea efectu ării opera țiilor este urm ătoarea:
-în primul rând se efectueaz ă opera țiile de ordinul II, adic ă înmul țirile și împ ărțirile,
în ordinea în care sunt scrise;
-în al doilea rând se efectueaz ă opera țiile de ordinul I, adic ă adun ările și sc ăderile, de
asemenea în ordinea în care sunt scrise.
Precizarea referitoare la efectuarea opera țiilor de acela și ordin exprimat ă prin cuvintele în
ordinea în care sunt scrise este necesar ă deoarece comutativitatea unui șir de adun ări și scăderi
sau a unui șir de înmul țiri se înva ță mai târziu și nerespectarea acestei indica ții constituie o surs ă
permanent ă de gre șeli.
Regulile enun țate mai sus se însu șesc prin aplicarea lor în exerci ții, iar acestea trebuie s ă
utilizeze la început numere mici, astfel încât calculul s ă se poat ă face mintal și f ără dificult ăți,
pentru ca aten ția elevilor s ă fie orientat ă asupra aplic ării regulilor privitoare la ordinea opera țiilor
și nu asupra opera țiilor respective. Trecerea la exerci ții care con țin numere mari și combina ții din
ce în ce mai complicate trebuie s ă se fac ă treptat.
Din punct de vedere metodic este indicat ca în exerci țiile care con țin opera ții de ordine
diferite, dup ă efectuarea opera țiilor de ordinul II s ă se scrie din nou exerci țiul, înlocuind
opera țiile efectuate cu rezultatele ob ținute, r ămânând prin urmare opera țiile de ordinul I, care
apoi se efectueaz ă și ele conform regulilor stabilite. În acest fel sunt mai bine m arcate cele dou ă
momente importante în succesiunea efectu ării opera țiilor: întâi opera țiile de ordinul II, apoi cele
de ordinul I. De asemenea, la primele exerci ții este bine s ă se indice prin numerotare ordinea
opera țiilor pentru ca s ă se evite eventualele confuzii.

4.3.2. Folosirea parantezelor

Parantezele se întrebuin țeaz ă pentru a modifica ordinea opera țiilor în cazurile în care apare
aceast ă necesitate. Cel mai mult întrebuin țate sunt urm ătoarele:
-paranteza mic ă sau rotund ă (…);
-paranteza mare, dreapt ă sau p ătrat ă […];
-paranteza acolad ă {…}.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metod ologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

39
Introducerea parantezelor se poate face prin intermediul unor probleme.
Exemplu:
Maria a cules 11 kg de afine iar sora ei Ana 4 kg. Afinele cul ese au fost puse în caserole de
câte 3 kg fiecare. Câte caserole s-au umplut?
Din rezolvarea acestei probleme se constat ă c ă mai întâi se efectueaz ă adunarea și apoi
împ ărțirea. Pentru a marca acest fapt se folosesc parantezele rot unde, iar formula numeric ă a
rezolv ării problemei este: (11+4):3.
Parantezele p ătrate și acoladele se pot introduce în mod asem ănător, ajungând la
desprinderea regulilor dup ă care se efectueaz ă opera țiile în cadrul exerci țiilor cu paranteze :
-întâi se efectueaz ă opera țiile din interiorul parantezelor, apoi cele din afara lor;
-desfacerea parantezelor are loc în ordinea gradului lor, adic ă întâi se desfac parantezele
rotunde, apoi cele p ătrate și urm ă parantezele acolade (se poate proceda și în ordine invers ă, dar
apar dificult ăți care conduc la gre șeli frecvente);
-în interiorul unei paranteze se respect ă ordinea opera țiilor.
§ 4.4. Formarea limbajului matematic și a deprinderilor de calcul mintal la
școlarul mic

4.4.1 Limbajul matematic

Se știe c ă înv ățarea oric ărei știin țe începe, de fapt, cu asimilarea limbajului ei no țional.
Studiul matematicii urm ăre ște s ă ofere elevilor, la nivelul lor de în țelegere, posibilitatea
explic ării știin țifice a no țiunilor matematice.
Exist ă o leg ătur ă strâns ă între con ținutul și denumirea no țiunilor, care trebuie respectat ă
inclusiv în formarea no țiunilor matematice. Orice denumire trebuie s ă aib ă acoperire în ceea ce
privește în țelegerea con ținutului no țional; altfel, unii termeni apar cu totul str ăini fa ță de limbajul
activ al copilului, care, fie c ă-l pronun ță incorect, fie c ă îi lipsesc din minte reprezent ările
corespunz ătoare, realizând astfel o înv ățare formal ă.
Limbajul matematic, fiind limbajul conceptelor celor mai abstra cte, care constituie
elementul de comunicare sigur ă și precis ă la ora de matematic ă se introduce la început cu unele
dificult ăți. De aceea, trebuie mai întâi asigurate în țelegerea no țiunii respective, sesizarea esen ței,
uneori într-un limbaj accesibil copiilor. Pe m ăsur ă ce se asigur ă în țelegerea no țiunilor respective,
trebuie prezentat ă și denumirea lor știin țific ă. De altfel, problema raportului dintre riguros și
accesibil în limbajul matematic al elevilor este permanent prezent ă în preocup ările institutorilor.
Astfel, rolul institutorului nu se limiteaz ă la a transmite elementele de limbaj, ci a le clarifica
folosindu-le în aplica ții, solicitându-le elevilor s ă formuleze întreb ări și probleme cu acestea, s ă
fie prezentate și folosite comparativ, în aplica ții simple în scopul în țelegerii lor și în aplica ții
complexe pentru consolidarea acestora.
Unul dintre obiectivele cadru este: formarea și dezvoltarea capacit ății de a comunica
utilizând limbajul matematic. Noile programe de matematic ă prev ăd explicit obiective legate de
însu șirea unor deprinderi de comunicare, ce presupun st ăpânirea limbajului matematic și vizeaz ă
capacit ăți ale elevului, cum sunt:
-folosirea și interpretarea corect ă a termenilor matematici;
-în țelegerea formul ării unor sarcini cu con ținut matematic, în diferite contexte;
-verbalizarea ac țiunilor matematice realizate;
-comunicarea în dublu sens (elevul s ă fie capabil s ă pun ă întreb ări în leg ătur ă cu sarcinile
matematice primite și s ă r ăspund ă la întreb ări în leg ătur ă cu acestea).
Limbajul matematic al elevilor din clasele I-IV , trebuie s ă con țin ă elemente cum ar fi:
num ăr, cifr ă, num ăr cu dou ă, trei,… cifre, adunare sc ădere, înmul țire, împ ărțire, ordin, clas ă,
verificare, prob ă, termeni, desc ăzut, sc ăzător, factori, deînmul țit, înmul țitor, deîmp ărțit,

Purcaru Monica Ana Paraschiva Meto dologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

40
împ ărțitor, sum ă, diferen ță , produs, cât, rest, mul țime, elementele unei mul țimi, necunoscut ă,
adev ărat, fals, etc., precum și elemente de comparare: mai mare cu, mai mic cu, de atâte a ori mai
mare, de atâtea ori mai mic și citirea simbolurilor: >, <, =, +, -, x, :. În rezolvare a problemelor
sunt necesare și alte elemente de limbaj în func ție de tipul problemei: doime, jum ătate, p ătrime,
sfert, a patra parte, treime, a treia parte, dublu, triplu, înzecit, însutit, vitez ă, timp, distan ță ,
capacitate, mas ă, volum, perimetru, lungime, l ățime, suprafa ță , timp, unit ăți monetare, mai lung,
mai înalt, mai u șor, mai greu, cel mai lung, mai îndep ărtat, mai apropiat, etc.

4.4.2. Calculul mintal

I) No țiunile de: calcul mintal și calcul în scris

Calculul mintal este calculul care se efectueaz ă în gând, f ără a întrebuin ța mijloace sau
procedee tehnice ale calculului în scris sau ale diferitelor di spozitive: abac, num ărătoare cu bile,
calculator electronic, scheme, grafice etc.
Calculul mintal cuprinde: calculul mintal propriu-zis și calculul oral.
Calculul mintal propriu-zis este acel calcul în cadrul c ăruia se specific ă opera ția cu
indicarea elementelor ei și se cere doar rezultatul. Opera ția se efectueaz ă în minte, f ără a fi
utilizat vreun material didactic, f ără repetarea și f ără scrierea ei.
Calculul oral este acel calcul în care se repet ă atât opera ția, cât și procedeele întrebuin țate
în efectuarea ei, în care se cer și se dau explica ții, indiferent dac ă se scriu sau nu opera țiile de
baz ă și cele auxiliare, f ără a folosi îns ă procedeele tehnice ale calculului în scris. Se poate
întrebuin ța material didactic.
Exerci țiile de calcul mintal care se scriu pe tabl ă sau pe caietele elevilor se numesc
exerci ții scrise .
În calculul mintal, scrierea exerci țiilor nu constituie un procedeu de calcul, ci se face doar
cu scopul de a pune în eviden ță diferite etape ale calculului efectuate în minte în scopul re ținerii
unor rezultate sau al stabilirii procedeelor.
Calculul în scris este calculul în care se folosesc anumite procedee scrise, anum ite
elemente de tehnic ă bazate pe scrierea rezultatelor par țiale și a opera țiilor(cum ar fi ,de exemplu,
procedeul de adunare în scris a numerelor de mai multe cifre, car e utilizeaz ă ca procedeu tehnic
așezarea termenilor unul sub altul, cu unit ățile de anumite ordine de asemenea unele sub altele,
iar ca procedeu de opera ție: adunarea succesiv ă a unit ăților de acela și ordin între ele, începând de
la dreapta la stânga și de jos în sus). Aceast ă tehnic ă este succesoarea calculului mintal, pe care
nu-l elimin ă, ba chiar îl presupune, dar în concentre numerice mici, unde s-au for mat deprinderi
temeinice. Calculul în scris are avantajul c ă poate fi utilizat pe valori numerice oricât de mari,
eliminând eforturile de memorare a unor rezultate par țiale.
Pentru formarea unor deprinderi de ordine, institutorul trebuie s ă urm ăreasc ă la elevi și
plasarea în pagin ă a calculului în scris, rezervând în dreapta paginii un spa țiu pentru redactarea
acestuia.
Nu trebuie confundate exerci țiile scrise, care se refer ă la calculul mintal cu calculul în
scris. Nu exist ă îns ă o delimitare strict ă a calculului în scris de cel mintal, întrucât calculul în
scris nu se poate dispensa de cel mintal, între cele dou ă forme existând o strâns ă
interdependen ță . Calculul mintal constituie o etap ă premerg ătoare și necesar ă pentru calculul în
scris.
II) Importan ța calculului mintal
Din faptul c ă în clasele I-IV cea mai mare parte din exerci ții și probleme se rezolv ă
exclusiv prin calcul mintal și chiar dup ă ce elevii înva ță calculul în scris, în paralel se utilizeaz ă
și cel mintal, rezult ă importan ța acestuia.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metod ologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

41
Formarea priceperilor și a deprinderilor de calcul mintal are o importan ță deosebit ă în
preg ătirea multilateral ă a elevilor și în formarea acestora din punct de vedere matematic,
deoarece:
-calculul mintal, precedând pe cel în scris, ini țiază pe elev în cunoa șterea diferitelor forme
de calcul, formându-i priceperile și deprinderile necesare trecerii la calculul în scris;
-calculul mintal dezvolt ă facult ățile cognitive ale elevului, în special memoria, aten ția,
judecata și rapiditatea gândirii, procesele de analiz ă și sintez ă ale gândirii, contribuie la
formarea de stereotipuri dinamice necesare pentru însu șirea în continuare a cuno știn țelor de
matematic ă, pentru dezvoltarea creativit ății acestuia;
-contribuie la dezvoltarea gândirii matematice la elevi și a capacit ății intelectuale în
general; gândirea elevilor este introdus ă în efort, contribuie la înc ălzirea min ții;
-contribuie la dezvoltarea capacit ății de clasificare a diferitelor no țiuni matematice, de a
integra aceste no țiuni într-un ansamblu de cuno știn țe necesare rezolv ării problemelor.
-și nu în ultimul rând, practica vie ții sociale, cu necesit ățile ei de zi de zi, activitatea
desf ăș urat ă zilnic la serviciu, nu pot fi concepute f ără utilizarea la fiecare pas a calculului
matematic, în special a calculului mintal.
În cadrul orelor de matematic ă elevii sunt pu și în situa ția de a efectua calcule aplicând
procedeele înv ățate și de a alege procedeul de calcul cel mai potrivit cazului dat pent ru a afla mai
repede și mai u șor rezultatul, de a aplica unor variate cazuri particulare princi piul de rezolvare.
Aceasta dezvolt ă puterea de în țelegere, spiritul de ini țiativ ă, perspicacitatea.
De aceea se și spune despre calculul mintal c ă este cea mai simpl ă form ă a muncii creative
a elevului în domeniul matematicii.
III) Locul calculului mintal în predarea matematicii. Organi zarea calculului mintal

În cadrul lec țiilor de matematic ă adesea se utilizeaz ă calculul oral deoarece aici apare
necesitatea folosirii unor explica ții în scopul însu șirii con știente a opera țiilor aritmetice și a
diferitelor procedee de calcul.
În func ție de modul lor de utilizare în cadrul lec țiilor, exerci țiile se pot clasifica astfel:
-exerci ții de calcul oral rezolvate cu institutorul, care constau în comunic area oral ă a
exerci țiului, repetarea lui, efectuarea în minte a opera țiilor, indicarea procedeului de calcul și
comunicarea rezultatului;
-exerci ții scrise rezolvate cu institutorul care constau în comunicarea or al ă a exerci țiului,
scrierea lui, repetarea lui, efectuarea în minte a calculul ui, anun țarea rezultatului și scrierea
acestuia;
-exerci ții scrise și rezolvate prin munc ă independent ă, în cadrul c ăreia institutorul prezint ă
elevilor exerci țiile, urmând citirea acestora și copierea lor de c ătre elevi, care le vor rezolva f ără
nici un ajutor din afar ă, dup ă care se vor citi rezolv ările exerci țiilor și rezultatele ob ținute. În
aceast ă categorie se pot încadra și exerci țiile date ca tem ă pentru acas ă, deoarece procedeul de
lucru este acela și.
Elevii pot lua cuno știn ță de exerci țiile pe care urmeaz ă s ă le rezolve în mai multe moduri:
-prin copierea exerci țiilor din manual sau culegere;
-prin copierea exerci țiilor de pe tabl ă;
-prin dictarea lor de c ătre institutor;
-prin folosirea fi șelor de lucru.
Calculul mintal propriu-zis este utilizat în special pentru forma rea deprinderilor de aplicare
a anumitor reguli sau pentru consolidarea anumitor procedee, dar și pentru formarea unor abilit ăți
necesare calculului rapid. El const ă în comunicarea exerci țiilor printr-un mijloc oarecare,
efectuarea mintal ă a opera țiilor și anun țarea numai a rezultatului, f ără a se cere repetarea
exerci țiului sau indicarea procedeelor folosite în rezolvarea acestora. C omunicarea exerci țiilor se

Purcaru Monica Ana Paraschiva Meto dologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

42
poate face cu ajutorul unor plan șe sau al unor tabele numerice, cu ajutorul figurilor geometrice, al
schemelor, desenelor, etc., institutorul indicând exerci țiile, iar elevii rezolvându-le mintal.
Calculul oral este specific lec țiilor de dobândire de noi cuno știn țe, în care elevii înva ță noi
procedee de calcul, dar se utilizeaz ă și în lec țiile de consolidare a cuno știn țelor, priceperilor și
deprinderilor în care elevii reiau prin exerci ții orale sau scrise procedeele înv ățate în cadrul orelor
anterioare.
Calculul mintal propriu-zis se utilizeaz ă atât în lec țiile de consolidare a cuno știn țelor – ca
form ă de activitate utilizat ă în lec ție, cât și în lec țiile de dobândire de noi cuno știn țe, unde poate
fi folosit în cadrul primei p ărți a lec ției: în timpul verific ării și reactualiz ării cuno știn țelor, sau în
evaluarea cuno știn țelor – ca form ă de activitate cu ajutorul c ăreia elevii î și clarific ă și î și fixeaz ă
no țiunile dobândite în cursul lec ției.
Tehnica desf ăș ur ării exerci țiilor de calcul mintal propriu-zis difer ă de la caz la caz, în
func ție de natura exerci țiilor considerate și de formele lor de prezentare. Oricare ar fi îns ă forma
aleas ă, institutorul trebuie s ă dea în prealabil indica ții detaliate și suficiente în leg ătur ă cu
organizarea și desf ăș urarea calculului, astfel încât pe parcurs s ă nu fie nevoie de reveniri sau
lămuriri suplimentare, care ar deruta elevii sau le-ar distrag e aten ția asupra unor am ănunte
nesemnificative. Ritmul de desf ăș urare al acestei forme de activitate este diferit, trecâ ndu-se
treptat de la un ritm lent în primele lec ții, la unul din ce în ce mai sus ținut.
Întrucât calculul mintal propriu-zis solicit ă într-un grad înalt gândirea elevilor, rezult ă c ă
aceast ă activitate nu trebuie s ă dep ăș easc ă 5 minute, durata optim ă fiind de 2-4 minute.

IV) Procedee de calcul mintal

În via ța cotidian ă, datorit ă deprinderilor formate din cauza nevoilor zilnice, se
întrebuin țeaz ă unele procedee de calcul, mai ales în leg ătur ă cu mânuirea banilor, dar pe care
școala nu le întrebuin țeaz ă în suficient ă m ăsur ă.
Procedeele de calcul mintal se pot grupa în dou ă categorii:
1. Procedee generale , care se aplic ă oric ăror numere (cu excep ția celor scrise în alt ă baz ă
de numera ție) și care se bazeaz ă pe sistemul pozi țional zecimal și pe propriet ățile opera țiilor
aritmetice. Aceste procedee au fost prezentate în momentul intr oducerii opera țiilor aritmetice.
2. Procedee speciale , care se aplic ă numai anumitor numere, cu o structur ă special ă și care
se bazeaz ă pe rela ții aritmetice particulare ce pot fi stabilite între ele. Exist ă o mare varietate de
procedee speciale. Cele mai utilizate sunt:
-procedeul rotunjirii prin lips ă sau prin adaos care const ă în neglijarea sau ad ăugarea
unor unit ăți de un anumit ordin, pentru a ob ține numere cu care calculele sunt mai u șor de
efectuat;
Exemple: adunare: 397 +299 = (400 – 3)+(300 – 1) = 400 + 300 – 3 – 1 = 696
sc ădere: 308 – 206 = (300 + 8) – (200 + 6) = 300 – 200 +8 – 6 = 102
înmul țire : 200 x 13 = 200x (10+3)=200×10+200×3=2000+600=2600
împ ărțire: 392:4=(400-8):4=400:4-8:4=100-2=98
-procedeul bazat pe propriet ățile de comutativitate și asociativitate ale adun ării și
înmul țirii;
Exemplu: 146 + 259 + 54 + 341 =(146 + 54) + (259 + 341) = 200 + 600 = 800
-procedeul înmul țirii succesive const ă în descompunerea unuia dintre factori într-un
produs de factori mai mici, cu efectuarea înmul țirilor în ordinea în care apar;
Exemplu: 48×6=48x2x3=96×3=288.
-procedeul împ ărțirii succesive const ă în descompunerea în factori a împ ărțitorului și
apoi împ ărțirea deîmp ărțitului în mod succesiv la factorii ob ținu ți;
Exemplu: 24 : 8 = 24 : (2x2x2) = 12 : (2×2) = 6 : 2 = 3
-procedeele de înmul țire cu 5, cu 25, cu 50, cu 9, cu 11

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metod ologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

43
Procedeul de înmul țire cu 5 const ă în înmul țirea cu 10 și împ ărțirea la 2, etc.
Exemple: 42 x 5 = 42 x 10 : 2 = 420 : 2 = 210
17×25=17×100:4=1700:4=425
38×50 =38 :2×100=19×100=1900
V) Exerci ții de calcul mintal
Exerci țiile de calcul mintal pot fi grupate în dou ă categorii:
-exerci ții simple care cuprind o singur ă opera ție;
-exerci ții compuse care cuprind dou ă sau mai multe opera ții de acela și fel, de acela și ordin
sau de ordine diferite.
Formele sub care se prezint ă aceste exerci ții sunt de o mare varietate astfel c ă din acest
punct de vedere ele nici nu pot fi încadrate în anumite categorii li mitative. Varietatea formelor
este necesar ă atât pentru a stârni și men ține mereu treaz interesul elevilor în rezolvarea
exerci țiilor, cât și pentru dezvoltarea proceselor de gândire, de formare a unor noi leg ături
temporare în scoar ța cerebral ă, de stabilire a unor stereotipuri dinamice, deoarece dac ă în prima
faz ă opera țiile matematice se efectueaz ă prin procese de gândire și calcul, în faza a doua,
opera țiile fundamentale, procedeele mai importante de calcul mintal tr ebuie s ă se efectueze pe
baza unor procese de memorie și a deprinderilor formate prin repetarea necontenit ă a acestor
opera ții și procedee.
Exerci țiile simple se pot prezenta sub urm ătoarele forme:
-exerciții în care se indic ă opera ția ce urmeaz ă a fi efectuat ă cu numerele date;
Exemplu: Aduna ți numerele 9 și 21.
-exerci ții în care se cere s ă se g ăseasc ă un num ăr care s ă fie mai mare sau mai
mic cu câteva unit ăți sau de câteva ori decât un num ăr dat;
Elevii urmând ca pe baza unor procese de gândire s ă stabileasc ă întâi opera ția
corespunz ătoare și apoi s ă efectueze aceast ă opera ție.
-exerci ții în care se denume ște rezultatul opera ției ce urmeaz ă a se efectua
asupra numerelor date;
Aceste exerci ții solicit ă mai mult gândirea elevilor deoarece mintea copilului trebuie
să g ăseasc ă întâi opera ția corespunz ătoare și s ă se fixeze asupra acesteia pe baza procesului de
asociere stabilit între cele dou ă no țiuni: opera ția și denumirea rezultatului și apoi s ă efectueze
calculul respectiv.
Exemplu: Afla ți suma numerelor 19 și 7.
-exerci ții de stabilire a grup ărilor posibile pentru unit ățile unui anumit num ăr
dat;
Exemplu: Grup ările posibile pentru unit ățile num ărului 48 sunt: 1+47; 2+46;…:
12+36;…; 47+1. Toate aceste grup ări pot fi spuse pe rând, iar calculul devine mai interesant,
antreneaz ă mai mul ți elevi și solicit ă gândirea într-o m ăsur ă mai mare, dac ă institutorul enun ță
unul din termenii grup ării, iar elevii îl folosesc pe cel ălalt.
Exemplu: Institutorul: 15, elevii: 33.
-exerci ții de înmul țire cu un factor constant sau cu produsul constant;
Exemplu: Când unul din factori este 8, elevii spun toate înmul țirile num ărului 8
cunoscute; dac ă produsul este constant (exemplu 36), elevii spun toate perechile de nume re al
căror produs este 36: 6×6, 4×9, 12×3, 18×2, 36×1.
-exerci ții formate cu ajutorul tabelelor numerice;
Acestea pot fi opera ții de un singur fel, de exemplu, numai adun ări sau numai sc ăderi
etc.
a 5 10 100
b 6 7 5

Purcaru Monica Ana Paraschiva Meto dologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

44
axb 30 70 500

-exerci ții formate cu ajutorul figurilor geometrice: unghi, triunghi, p ătrat sau
dreptunghi, pentagon, hexagon, etc ;
În centrul figurii se afl ă semnul care indic ă opera ția ce urmeaz ă a fi efectuat ă și
num ărul respectiv ca termen sau factor constant, iar la vârfuri se afl ă numerele care reprezint ă cel
de-al doilea termen sau factor al opera ției:

-exerci ții prezentate sub form ă de jocuri matematice cum ar fi: ghicirea unor
numere a c ăror sum ă diferen ță sau produs sunt date, jocul mut, p ătratele magice etc.
Exerci țiile compuse cunosc urm ătoarele forme mai importante:
-exerci ții prezentate sub form ă de calcul curent;
Exemplu: 3 + 8 – 5 + 7 + 12 – 10 = sau [(4 + 6)x5 – 8]: 7 =
-exerci ții de adunare succesiv ă sau de sc ădere a aceluia și num ăr.
Exemple:
Adunarea succesiv ă a num ărului 6, începând cu 6: 6 + 6 = 12, 12 + 6 = 18,…
Începând cu 1: 1 + 6 = 7, 7 + 6 = 13,…
Începând cu 2 etc.
Sc ăderea succesiv ă a num ărului 4 începând de la 40: 40 – 4 = 36, 36 – 4= 32,…
Începând de la 39, 38, etc.
În afar ă de aceste tipuri reprezentative de exerci ții exist ă o mare varietate de alte exerci ții
de calcul mintal prezentate sub diferite forme ce se pot utiliz a cu succes, indiferent de capitolul
sau tema lec ției. Valorificarea acestor forme de activitate în cadrul le c țiilor de matematic ă
depinde de imagina ția și personalitatea institutorului, care poate crea și utiliza o gam ă cât mai
divers ă de astfel de exerci ții pentru a stârni interesul elevilor fa ță de lec ția de matematic ă și
pentru a stimula participarea elevilor la lec ție.

Test de autoevaluare
1. Prezenta ți un demers didactic pentru predarea la clas ă a adun ării a dou ă numere naturale
formate fiecare din zeci și unit ăți, f ără trecere peste ordin.
2. Prezenta ți un demers didactic pentru predarea la clas ă a tablei înmul țirii cu 5 (cls a III-a).
3. Preciza ți pa șii algoritmului și eviden ția ți etapele calcului în scris pentru împ ărțirea unui
num ăr de dou ă cifre la un num ăr de o cifr ă, în cazul când unit ățile de fiecare ordin ale
deîmp ărțitului se împart exact la împ ărțitor.
4. Formula ți o problem ă care s ă ilustreze ordinea efectu ării opera țiilor într-un exerci țiu de
tipul X-YxZ.
+122 23
704 165
60 -11 46
23 60 x3 30 21
500
11 9
312
:4 444 48
240
26 9

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metod ologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

45
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare
1. Revezi 4.1.3. (Adunarea și sc ăderea numerelor naturale în concentrul 0-100 -adunarea a
dou ă numere formate fiecare din zeci și unit ăți, f ără trecere peste ordin).
2. Revezi 4.2.1. (Înmul țirea numerelor naturale mai mici decât 100).
3. Revezi 4.2.4. (Împ ărțirea numerelor naturale mai mici decât 1000-4.2.4.2. Împ ărțirea în
scris).
4. Revezi 4.3.1. (Ordinea efectu ării opera țiilor).

Lucrare de verificare 2
1. Prezenta ți un demers didactic pentru predarea la clas ă a sc ăderii în cazul desc ăzutului
cuprins între 10 și 20 și sc ăzătorului de o cifr ă, mai mare decât unit ățile descăzutului.
2. Prezenta ți un demers didactic pentru predarea la clas ă a înmul țirii a dou ă numere naturale
de dou ă cifre.
3. Compune ți o problem ă care s ă ilustreze necesitatea introducerii parantezelor rotunde.
4. Explica ți importan ța calculului mintal în cadrul lec ției de matematic ă a școlarului mic.

Sugestii pentru acordarea punctajului
Oficiu: 10 puncte
Subiectul 1: 30 puncte
Subiectul 2: 30 puncte
Subiectul 3: 20 puncte
Subiectul 4: 10 puncte

Rezumat
Aceastã unitate de înv ățare are ca scop dobândirea unor cuno știn țe și capacit ăți privind
metodologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor de adunare, sc ădere, înmul țire și împ ărțire în mul țimea
numerelor naturale, precum și a ordinii efectu ării opera țiilor și a folosirii parantezelor. În finalul
acestei unit ăți sunt analizate: atât importan ța form ării limbajului matematic la școlarul mic,
precum și locul și rolul calculului mintal în cadrul lec țiilor de matematic ă la clasele I-IV.

Bibliografie
Ana, D., Ana, M.L., Logel, D., Logel-Stroescu , E., : Metodica pred ării matematicii la
clasele I-IV . Editura CARMINIS, Pite ști, 2005.
Atanasiu, Gh., Purcaru, M.A.P., Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, Editura
Universit ății „Transilvania” din Bra șov, 2002.
Lupu, C., S ăvulescu, D.: Metodica pred ării matematicii. Manual pentru clasa a XI-a.
Licee pedagogice . Editura Paralela 45, Pite ști, 1998.
Lupu, C.: Metodica pred ării matematicii. Manual pentru clasa a XII-a. Licee pedagogice .
Editura Paralela 45, Pite ști, 1999.
Neac șu, I., (coordonator): Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactic ă
și Pedagogic ă, Bucure ști, 1988.
Ro șu, M.: Metodica pred ării matematicii pentru colegiile universitare de institutori,
Universitatea din Bucure ști, Editura CREDIS, 2004.
Ro șu, M.: Didactica matematicii în înv ăță mântul primar, MEC, Unitatea de Management
a Proiectului pentru Înv ăță mântul Rural, 2007.
*** Manualele școlare (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I-IV .
***Ministerul Educa ției, Cercet ării și Tineretului, Consiliul Na țional pentru Curriculum.
Programe școlare pentru înv ăță mântul primar , revizuite. Bucure ști,2003(I,II),2004(III), 2005(IV).

Purcaru Monica Ana Paraschiva Meto dologia pred ării-înv ăță rii opera țiilor în mul țimea numerelor naturale

46

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia p red ării-înv ăță rii m ărimilor și unit ăților de m ăsur ă pentru m ărimi

46 Unitatea de înv ățare nr. 5

METODOLOGIA PRED ĂRII-ÎNV ĂȚĂ RII M ĂRIMILOR ȘI
UNIT ĂȚ ILOR DE M ĂSUR Ă PENTRU M ĂRIMI

Cuprins
Obiectivele unit ății de înv ățare……………………………………………………………….. 46
§5.1. M ărime. M ăsurarea unei m ărimi. Unit ăți de m ăsur ă. Importan ța studierii lor…………. 46
§ 5 .2. Obiective și con ținuturi ale pred ării-înv ăță rii m ărimilor și unit ăților de m ăsur ă ale
acestora … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . . . 4 7
§5.3. „Firul ro șu” al pred ării-înv ăță rii unit ăților de m ăsur ă pentru m ărimi la clasele I-IV….. 49
5.3.1. Lungimea………………………………………………………………………… 49
5.3.2. Capacitatea………………………………………………………………………. 49
5.3.3. Masa……………………………………………………………………………… 50
5.3.4. Timpul…………………………………………………………………………… 50
Test de autoevaluare………………………………………………………………………….. 51
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare…………………………………………… 51
Rezumat………………………………………………………………………………………. 51
Bibliografie…………………………………………………………………………………… 52
Obiectivele unit ății de înv ățare
În urma parcurgerii acestei unit ăți de înv ățare, studen ții vor fi capabili:
-să aplice metodologia pred ării-înv ăță rii m ărimilor și a unit ăților de m ăsur ă pentru m ărimi
la clasele I-IV;
-să cunoasc ă specificul introducerii m ărimilor și a unit ăților de m ăsur ă pentru m ărimi, la clasa I;
-să con știentizeze particularit ățile unei lec ții vizând predarea-înv ățarea m ărimilor și a
unit ăților de m ăsur ă pentru m ărimi, la clasele II-IV.

§5.1. M ărime. M ăsurarea unei m ărimi. Unit ăți de m ăsur ă. Importan ța
studierii lor

În clasele I-IV, studiul m ărimilor și al unit ăților de m ăsur ă reprezint ă o interfa ță între
matematic ă și via ța de zi cu zi.
Pe baza observa țiilor și a reprezent ărilor intuitive, elevii fac cuno știn ță cu unele no țiuni de
baz ă despre m ărimi și unit ăți de m ăsur ă de larg ă utilizare, strict necesare omului.
Cunoa șterea unităților de m ăsur ă, formarea capacit ății de a le utiliza cu u șurin ță și corect,
dezvolt ă rigurozitatea în ra ționament a elevilor, precizia și exactitatea. Opera țiile cu unit ățile de
măsur ă și transform ările lor duc simultan și la dezvoltarea gândirii active și opera ționale.
No țiunea de m ărime , ce apare în sistemul pred ării-înv ăță rii matematicii în ciclul primar
este socotit ă ca și cea de mul țime o no țiune primar ă, în țelegerea ei f ăcându-se pe baz ă de
exemple.
Mărimile abordate începând cu clasa I sunt: lungimea, volumul (capacit atea vaselor), masa,
timpul și valoarea.
A m ăsura o mărime oarecare , înseamn ă a compara aceast ă m ărime cu o alta, luat ă ca
unitate de m ăsur ă. Prin opera ția de m ăsurare se stabile ște un raport numeric între m ărimea de
măsurat și unitatea de m ăsur ă considerat ă.
De exemplu a m ăsura masa unui obiect înseamn ă a o compara cu masa unui alt obiect, pe
care îl vom considera drept unitate de m ăsur ă.
Elevii trebuie s ă fie condu și s ă simt ă necesitatea compar ării m ărimilor și introducerii
unit ăților de m ăsur ă. Astfel, pentru a putea executa m ăsur ările, elevii vor trebui înv ățați s ă
în țeleag ă conceptul de unitate de m ăsur ă și cum s ă foloseasc ă instrumentele de m ăsur ă.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia pr ed ării-înv ăță rii m ărimilor și unit ăților de m ăsur ă pentru m ărimi

47
Elevii vor în țelege c ă m ăsur ările pe care le execut ă sunt asociate cu compar ările pe care
încearc ă s ă le fac ă. Astfel, pu și în fa ța situa ției-problem ă de a decide în care dintre dou ă vase
prezentate este un volum mai mare de ap ă, elevii vor încerca diverse rezolv ări. Vor compara
folosind o cea șcă, un pahar, un vas de dimensiuni mai mici, stabilind astfel mai mul te rezultate
ale m ăsur ării. Pe aceast ă baz ă vor în țelege cu mai mult ă u șurin ță necesitatea existen ței unei
unit ăți de m ăsur ă standard și anume în cazul de fa ță litrul (unitatea principal ă cu care se m ăsoar ă
capacitatea vaselor).
În țelegerea m ăsur ării și a unit ăților de m ăsur ă nu implic ă întotdeauna introducerea imediat ă
a unit ăților standard. Institutorul trebuie s ă utilizeze unit ățile nestandard (de exemplu: palm ă,
creion etc.). Dup ă ce se exerseaz ă m ăsurarea unei m ărimi cu o unitate nestandard, este important
să se dea câteva date istorice legate de istoria m ăsur ărilor, la noi și în alte ță ri, din care s ă reias ă
că și în procesul intensific ării schimburilor economice și știin țifice a rezultat ca o necesitate
unificarea unit ăților de m ăsur ă.
O problem ă important ă în vederea succesului interac țion ării copilului cu mediul este aceea
a estim ării dimensiunilor unui obiect sau fenomen (estimarea lungimii unui obiec t sau a unui
drum, a capacit ății unui vas, a masei unui corp, a duratei desf ăș ur ării unui eveniment, etc.). Este
necesar ca estim ările f ăcute de elevi s ă fie verificate prin m ăsurare direct ă pentru ca eroarea de
apreciere s ă scad ă. În acest scop, trebuie f ăcut ă și o conectare la realitatea înconjur ătoare,
solicit ările trebuind s ă vizeze m ărimi și dimensiuni ale unor obiecte, distan țe, fenomene pe care
elevii le întâlnesc frecvent în via ța de zi cu zi.
§ 5 .2. Obiective și con ținuturi ale pred ării-înv ăță rii m ărimilor și unit ăților de
măsur ă ale acestora
Predarea-înv ățarea mărimilor și unit ăților de m ăsur ă ale acestora vizeaz ă realizarea
urm ătoarelor obiective :
-cunoa șterea intuitiv ă a no țiunii de m ărime prin prezentarea m ărimilor des utilizate:
lungime, volum, mas ă, timp;
-dezvoltarea motiva ției la elevi pentru a realiza necesitatea introducerii unit ăților de m ăsur ă
nestandard și apoi standard pentru o m ărime considerat ă;
-în țelegerea m ăsur ării ca o activitate de determinare a num ărului care arat ă de câte ori se
cuprinde etalonul în dimensiunea ce trebuie m ăsurat ă;
-formarea deprinderii de a m ăsura, a alege și a utiliza unele unit ăți de m ăsur ă nestandard și
de a cunoa ște unit ățile principale pentru m ărimea studiat ă;
-formarea și dezvoltarea capacit ății de a cunoa ște și a utiliza instrumentele de m ăsur ă;
-formarea capacit ății de a consemna, compara și interpreta rezultatele m ăsur ărilor;
-formarea capacit ății de a aprecia corect diversele m ărimi din mediul ambiant;
-formarea deprinderii de a opera cu m ăsurile a dou ă obiecte de acela și fel, atât prin ac țiune
direct ă, cât și prin calcul;
Drept obiective specifice pentru clasele a III-a și a IV-a se adaug ă, la cele de mai sus,
urm ătoarele:
-dezvoltarea motiva ției la elevi pentru a realiza necesitatea introducerii multipl ilor și
submultiplilor unit ăților principale de m ăsur ă;
-cunoa șterea multiplilor și submultiplilor unit ăților principale de m ăsur ă ale m ărimilor
studiate;
-formarea deprinderii de a cunoa ște și a utiliza instrumentele de m ăsur ă specifice acestora;
-formarea capacit ății de a m ăsura utilizând multiplii și submultiplii unit ăților de m ăsur ă ale
mărimilor studiate;
-formarea deprinderii de a transforma unit ățile de m ăsur ă folosind multiplii și submultiplii;

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia p red ării-înv ăță rii m ărimilor și unit ăților de m ăsur ă pentru m ărimi

48 -formarea capacit ății de a aplica în probleme cuno știn țele dobândite despre unit ățile de
măsur ă.
Obiectivele de referin ță corespunz ătoare capitolului vizând m ărimile la clasa I solicit ă ca
elevii s ă fie capabili:
-să m ăsoare dimensiunile, capacitatea sau masa unor obiecte, folosind unit ăți de m ăsur ă
nestandard aflate la îndemâna copiilor ;
-să recunoasc ă orele fixe pe ceas.
Con ținuturile înv ăță rii sunt:
-măsur ări cu unit ăți nestandard: (palm ă, creion, bile, cuburi, etc.) pentru lungime,
capacitate, mas ă;
-măsurarea timpului; recunoa șterea orelor fixe pe ceas; unit ăți de m ăsur ă: ora, ziua,
săpt ămâna, luna.
Obiectivele de referin ță corespunz ătoare capitolului vizând m ărimile la clasa a II-a
solicit ă ca elevii s ă fie capabili:
-să m ăsoare și s ă compare lungimea, capacitatea sau masa unor obiecte folosind unit ăți de
măsur ă nestandard adecvate, precum și urm ătoarele unit ăți de m ăsura standard: metrul, litrul;
-să utilizeze unit ăți de m ăsur ă pentru timp și unit ăți monetare.
Con ținuturile înv ăță rii sunt:
-măsur ări folosind etaloane neconven ționale;
-unit ăți de m ăsur ă pentru lungime (metrul), capacitate (litrul), mas ă (kilogramul), timp
(ora, minutul, ziua, s ăpt ămâna, luna), monede;
-utilizarea instrumentelor de m ăsur ă adecvate: metrul, rigla gradat ă, cântarul, balan ța.
Obiectivul de referin ță corespunz ător capitolului vizând m ărimile la clasa a III-a solicit ă
ca elevii s ă fie capabili s ă utilizeze instrumente și unit ățile de m ăsur ă standard și nestandard
pentru lungime, capacitate, mas ă, timp și unit ățile monetare în situa ții variate.
Con ținuturile înv ăță rii:
-măsur ări folosind etaloane neconven ționale;
-unit ăți de m ăsur ă pentru lungime: metrul, multiplii, submultiplii(f ără transform ări);
unit ăți de m ăsur ă pentru capacitate: litrul, multiplii, submultiplii (f ără transform ări) ; unit ăți
de m ăsur ă pentru mas ă: kilogramul, multiplii, submultiplii (f ără transform ări) ; unități de
măsur ă pentru timp: ora, minutul, ziua, s ăpt ămâna, luna, anul ; monede și bancnote, inclusiv
cele europene;
-utilizarea instrumentelor de m ăsur ă adecvate: metrul, rigla gradat ă, cântarul, balan ța.
Obiectivul de referin ță corespunz ător capitolului vizând m ărimile la clasa a IV-a solicit ă
ca elevii s ă fie capabili s ă utilizeze instrumente și unit ățile de m ăsur ă standard și nestandard
pentru lungime, capacitate, mas ă, suprafa ță , timp și unit ățile monetare în situa ții variate.
Con ținuturile înv ăță rii sunt:
-măsur ări folosind etaloane conven ționale: utilizarea instrumentelor de m ăsur ă adecvate:
metrul, rigla gradat ă, cântar, balan ța, ceas;
-unit ăți de m ăsur ă pentru lungime: metrul, multiplii, submultiplii, transform ări prin
înmul țire și împ ărțire cu 10, 100, 1000;
-unit ăți de m ăsur ă pentru capacitate: litrul, multiplii, submultiplii, transform ări prin
înmul țire și împ ărțire cu 10, 100, 1000;
-unit ăți de m ăsur ă pentru mas ă: kilogramul, multiplii, submultiplii, transform ări prin
înmul țire și împ ărțire cu 10, 100, 1000;
-unit ăți de m ăsur ă pentru timp: ora, minutul, secunda , ziua, s ăpt ămâna, luna, anul,
deceniul, secolul, mileniul ; monede și bancnote.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia pr ed ării-înv ăță rii m ărimilor și unit ăților de m ăsur ă pentru m ărimi

49
§5.3. „Firul ro șu” al pred ării-înv ăță rii unit ăților de m ăsur ă pentru m ărimi la
clasele I-IV

Caracteristici generale ale pred ării-înv ăță rii unit ăților de m ăsur ă
-predarea este ciclic ă;
-se porne ște de la unit ăți de m ăsur ă nestandard c ătre cele standard;
-predarea înv ățarea oric ărei unit ăți de m ăsur ă are un pronun țat caracter intuitiv și
participativ;
-se porne ște de la propria experien ță de via ță a copiilor legat ă de m ărimi și m ăsur ă;
-prin m ăsur ători nestandard se ajunge la ideea necesit ății m ăsur ării cu unit ăți standard.

5.3.1. LUNGIMEA
-măsurarea lungimii, l ățimii, în ălțimii cu unit ăți nestandard: mâna, cotul, creionul, pasul,
guma etc.;
-apari ția no țiunilor antagonice: mare-mic, înalt-scund, lung-lat, gros-sub țire, stabilite prin
comparare;
-sublinierea necesit ății apari ției și folosirii unit ății de m ăsur ă standard- metrul, nota ția
folosit ă;
-utilizarea unor instrumente de m ăsur ă potrivite pentru m ăsurarea lungimii: rigla,
centimetrul de croitorie, metrul liniar, metrul tâmplarului, r uleta;
-exersarea capacit ății de m ăsurare pornind de la obiectele din clas ă, acas ă și afar ă (în
practic ă institutorul alege acele lungimi ce pot fi exprimabile în numer ele naturale pe care elevii
le cunosc la acel moment);
-con știentizarea asupra necesit ății introducerii multiplilor și submultiplilor metrului pentru
exprimarea mai comod ă a lungimilor mai mari/mai mici, nota ții folosite;
-asocierea multiplilor cu m ărirea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori și a submultiplilor cu
mic șorarea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori (utilizarea “sc ării”);
-formarea deprinderilor de efectuare rapid ă și precis ă a m ăsur ătorilor utilizând și multipli și
submultipli ai metrului;
-transform ări dintr-o unitate de m ăsur ă în alt ă unitate de m ăsur ă;
-rezolv ări de probleme .
5.3.2. CAPACITATEA
-compararea și sortarea vaselor prin m ăsurare direct ă;
-compararea vaselor de aceea și capacitate și form ă diferit ă;
-diferen țierea: mult-pu țin;
-măsurarea capacit ății unui vas cu unit ăți nestandard;
-sublinierea necesit ății introducerii unit ății standard pentru capacitatea vaselor- litrul,
nota ția folosit ă;
-con știentizarea asupra necesit ății introducerii multiplilor și submultiplilor litrului pentru
exprimarea mai comod ă a capacit ății vaselor mai mari/mai mici, nota ții folosite;
-asocierea multiplilor cu m ărirea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori și a submultiplilor cu
mic șorarea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori (utilizarea “sc ării”);
-utilizarea unor instrumente de m ăsur ă potrivite pentru m ăsurarea capacit ății, întâlnite în
practic ă;
-formarea deprinderilor de efectuare rapid ă și precis ă a m ăsur ătorilor utilizând și multipli și
submultipli ai litrului;
-transform ări dintr-o unitate de m ăsur ă în alt ă unitate de m ăsur ă;
-rezolv ări de probleme.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia p red ării-înv ăță rii m ărimilor și unit ăților de m ăsur ă pentru m ărimi

50 5.3.3. MASA
-compararea prin mânuire direct ă, apari ția no țiunilor: mai u șor-mai greu, tot atât de greu;
-folosirea balan ței cu bra țe egale în stabilirea rela ției dintre masele obiectelor;
-compararea, sortarea și gruparea obiectelor cu aceea și mas ă;
-conservarea masei, folosind un obiect care poate fi descompus în p ărți;
-utilizarea unit ăților de m ăsur ă nestandard în m ăsurarea masei unor corpuri;
-sublinierea necesit ății introducerii unit ății standard pentru mas ă- kilogramul, nota ția
folosit ă;
-utilizarea unor instrumente de m ăsur ă potrivite pentru m ăsurarea masei: cântarul de
buc ătărie, de baie, de la pia ță , balan ța, cântarul electronic, cântarul cu resort, etc.;
-exerci ții practice de m ăsurare;
-con știentizarea asupra necesit ății introducerii multiplilor și submultiplilor kilogramului
pentru exprimarea mai comod ă a maselor mai mari/mai mici, nota ții folosite;
-asocierea multiplilor cu m ărirea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori și a submultiplilor cu
mic șorarea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori (utilizarea “sc ării”);
-formarea deprinderilor de efectuare rapid ă și precis ă a m ăsur ătorilor utilizând și multipli și
submultipli ai kilogramului;
-transform ări dintr-o unitate de m ăsur ă în alt ă unitate de m ăsur ă;
-rezolv ări de probleme.
5.3.4. TIMPUL
-predarea-înv ățarea m ărimii “timp” și a unit ăților de m ăsur ă se face în strâns ă leg ătur ă cu
ac țiunile, fenomenele și evenimentele periodice cunoscute de elevi;
-se începe cu cele mai cunoscute de elev: ora, ziua, s ăpt ămâna ,luna, anul m ăsurate cu
ceasul și calendarul;
-timpul este ciclic și se în țelege studiind programul de activit ăți zilnice ale elevului, ora la
care face acea ac țiune;
-săpt ămâna se con știentizeaz ă prin activit ățile școlare și de acas ă;
-luna ca unitate mai mare decât ziua și s ăpt ămâna, se prezint ă printr-un proces comparativ
de apreciere a activit ăților desf ăș urate într-o s ăpt ămân ă și într-o lun ă;
-denumirea fiec ărei luni ( și anotimp) se asociaz ă cu ordinea în an, din data scris ă zilnic pe
tabl ă;
-no țiunea de an -ca intervalul dintre zilele aniversare, dintre o prim ăvar ă și alta;
-zilele lunilor (30/31/29/28) se pot înv ăța folosind proeminen țele pumnilor;
-deceniul, secolul, mileniul;
-unitatea de m ăsur ă standard- secunda, nota ția folosit ă;
-multipli și submultipli, nota ții folosite;
-utilizarea unor instrumente de m ăsur ă potrivite pentru m ăsurarea timpului: calendarul,
ceasul de mân ă, de perete, pendula, orologiul, cronometrul, ceasul electronic, cle psidra, etc.;
-transform ări dintr-o unitate de m ăsur ă în alt ă unitate de m ăsur ă;
-rezolv ări de probleme.
Referitor la concretizarea și aplicarea practic ă a cuno știn țelor despre timp se vor prezenta
în continuare câteva ac țiuni sau observa ții ce pot fi întreprinse :
-confec ționarea unui cadran de ceas;
-întocmirea calendarului pe o s ăpt ămân ă care s ă cuprind ă denumirile zilelor și datele
respective, sau pe o lun ă, ori pe mai multe luni;
-întocmirea calendarului pe un an sub form ă de band ă a timpului;
-notarea cu consecven ță a datei;
-cunoa șterea, notarea de c ătre elev a datei de na ștere, precum și a datelor de na ștere ale
membrilor din familie;
-exprimarea vârstei lor și a prietenilor, a p ărin ților etc.;

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia pr ed ării-înv ăță rii m ărimilor și unit ăților de m ăsur ă pentru m ărimi

51
-măsurarea și exprimarea în unit ăți corespunz ătoare a timpului necesar pentru a parcurge
anumite distan țe: de acas ă la școal ă, de acas ă pân ă la cel mai apropiat magazin alimentar etc.;
-cunoa șterea vârstei pe care o pot atinge unele animale s ălbatice, animale domestice;
-durata vie ții copacilor și pomilor fructiferi etc.;
-ținerea eviden ței în unit ăți de timp a activit ății pe care o desf ăș oar ă elevul într-o anumit ă
perioad ă: ora de ștept ării, ora plec ării la școal ă, timpul petrecut la școal ă etc.;
-stabilirea unui regim ra țional de munc ă și odihn ă cu precizarea în unit ăți de timp a
activit ăților programate;
-realizarea interdisciplinarit ății matematic ă-comunicare (notarea în unit ăți de timp a datelor
biografice ale unor scriitori etc.);
-realizarea interdisciplinarit ății matematic ă-istorie;
-eviden țierea unor evenimente petrecute în via ța colectivului;
-formularea și rezolvarea unor probleme aplicative legate de începutul, durata sa u sfâr șitul
unui eveniment în cadrul unei ore etc.

Test de autoevaluare

1. Defini ți no țiunea de m ăsurare a unei m ărimi.
2. Exemplifica ți unit ăți de m ăsur ă nestandard care se pot utiliza în m ăsurarea m ărimilor, în
clasa I.
3. Enumera ți cel pu țin patru obiective ale pred ării înv ăță rii m ărimilor și unit ăților de m ăsur ă
ale acestora în ordinea importan ței lor.
4. Preciza ți con ținuturile pred ării-înv ăță rii m ărimilor și unit ăților de m ăsur ă ale acestora la
clasele a III-a și a IV-a.
5. Prezenta ți ”firul ro șu” al pred ării-înv ăță rii unit ăților de m ăsur ă pentru mas ă, la clasele I-
IV.

Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare

1. Revezi 5.1 (M ărime. M ăsurarea unei m ărimi. Unit ăți de m ăsur ă. Importan ța studierii lor)
2. Revezi 5.2 și 5.3. (Obiective și con ținuturi ale pred ării-înv ăță rii m ărimilor și unit ăților de
măsur ă ale acestora; „Firul ro șu” al pred ării-înv ăță rii unit ăților de m ăsur ă pentru m ărimi la
clasele I-IV).
3. Revezi 5.2 (Obiective și con ținuturi ale pred ării-înv ăță rii m ărimilor și unit ăților de m ăsur ă
ale acestora),analizeaz ă și ordoneaz ă cel pu țin 4 obiective.
4. Revezi 5.2 (Obiective și con ținuturi ale pred ării-înv ăță rii m ărimilor și unit ăților de m ăsur ă
ale acestora),enumer ă con ținuturile înv ăță rii uneia dintre cele dou ă clase.
5. Revezi 5.3. și 5.3.3 („Firul ro șu” al pred ării-înv ăță rii unit ăților de m ăsur ă pentru m ărimi la
clasele I-IV; Masa).

Rezumat

Aceastã unitate de înv ățare are ca scop dobândirea unor cuno știn țe asupra m ărimilor și
unit ăților de m ăsur ă pentru m ărimi care se studiaz ă în clasele I-IV, precum și a capacit ăților de
predare-înv ățare a acestora. Dup ă precizarea locului și importan ței m ărimilor și unit ăților de
măsur ă pentru m ărimi în procesul de instruire și educare al școlarului mic, sunt prezentate
no țiunile de: m ărime, m ăsurare a unei m ărimi și unitate de m ăsur ă. Sunt enumerate
obiectivele și con ținuturile înv ăță rii mărimilor și unit ăților de m ăsur ă pentru m ărimi la clasele I-
IV. Unitatea se încheie cu prezentarea particularit ăților pred ării-înv ăță rii unit ăților de m ăsur ă
pentru: lungime, capacitate, mas ă și timp.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia p red ării-înv ăță rii m ărimilor și unit ăților de m ăsur ă pentru m ărimi

52 Bibliografie
Ana, D., Ana, M.L., Logel, D., Logel-Stroescu , E., : Metodica pred ării matematicii la
clasele I-IV . Editura CARMINIS, Pite ști, 2005.
Atanasiu, Gh., Purcaru, M.A.P., Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, Editura
Universit ății „Transilvania” din Bra șov, 2002.
Neac șu, I., (coordonator): Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactic ă
și Pedagogic ă, Bucure ști, 1988.
Ro șu, M.: Metodica pred ării matematicii pentru colegiile universitare de institutori,
Universitatea din Bucure ști, Editura CREDIS, 2004.
Ro șu, M.: Didactica matematicii în înv ăță mântul primar, MEC, Unitatea de Management a
Proiectului pentru Înv ăță mântul Rural, 2007.
*** Manualele școlare (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I-IV .
***Ministerul Educa ției, Cercet ării și Tineretului, Consiliul Na țional pentru Curriculum.
Programe școlare pentru înv ăță mântul primar , revizuite. Bucure ști,2003(I,II),2004(III), 2005(IV).

Purcaru Monica Ana Paraschiva Predarea el ementelor de geometrie

53
Unitatea de înv ățare nr. 6

PREDAREA ELEMENTELOR DE GEOMETRIE

Cuprins
Obiectivele unit ății de înv ățare…………………………………………………………………. 53
§ 6.1. Locul și importan ța elementelor de geometrie în procesul de instruire și educare
al școlarului mic……………………………………………… ………………………….. 53
§ 6 .2. Obiective și con ținuturi ale înv ăță rii elementelor de geometrie……………………….….. 54
§ 6.3. Intuitiv și logic în înv ățarea geometriei…………………………………………………… 55
§ 6 .4. Metodologia pred ării-înv ăță rii elementelor de geometrie…………………………………. 56
6.4.1. Înv ățarea no țiunilor de geometrie în special prin procese intuitive și
formarea lor ini țial ă pe calea inductiv ă…………………………………………….. 56
6.4.2. Predarea-înv ățarea cuno știn țelor geometrice în spiritul rigurozit ății geometriei….. 58
6.4.3. Func ționalitatea elementelor de geometrie………………………………………… 58
§6.5. Formarea conceptelor cu con ținut geometric……………………………………………… 58
Test de autoevaluare……………………………………………………………………………. 59
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare……………………………………………… 59
Rezumat……… ………………………………………………………………………………… 59
Bibliografie…………………………………………………………………………………….. 59
Obiectivele unit ății de înv ățare
În urma parcurgerii acestei unit ăți de înv ățare, studen ții vor fi capabili:
-să aplice metodologia pred ării-înv ăță rii elementelor de geometrie la clasele I-IV;
-să promoveze unitatea dintre intui ție și logic ă în înv ățarea elementelor de geometrie;
-să creeze necesitatea psihologic ă a argument ării afirma țiilor matematice cu con ținut
geometric.
-să con știentizeze particularit ățile unei lec ții vizând predarea-înv ățarea elementelor de
geometrie.

§ 6.1. Locul și importan ța elementelor de geometrie în procesul de instruire și
educare al școlarului mic

Elementele de geometrie reprezint ă o punte ai c ărei piloni sunt sufletul și mintea elevului,
iar drept capete, are natura cu simbolurile ei concrete și matematica cu simbolurile ei abstracte.
No țiunile de geometrie cap ătă o importan ță major ă datorit ă mai multor aspecte:
-ajut ă elevul s ă în țeleag ă legile care domin ă lumea matematicii, în special, și lumea
înconjur ătoare, în general, deoarece elementele geometriei ne înconjoar ă înc ă din primii ani de
via ță ;
-capitolul referitor la no țiunile de geometrie, îl premerge pe cel al form ării conceptului de
num ăr natural. Aceasta din dou ă motive: geometria este u șor adaptabil ă particularit ăților de
vârst ă ale pre școlarului și de aceea se pred ă în gr ădini țe în mod organizat; posibilitatea de a fi
predat ă gradat, permite cadrului didactic s ă foloseasc ă simple no țiuni de geometrie, pe care le-a
dobândit pre școlarul, în formarea no țiunilor abstracte legate de numerele naturale și opera țiile cu
acestea. No țiunile de geometrie devin astfel baza form ării tuturor celorlalte no țiuni matematice,
chiar dac ă nu apar țin în mod special geometriei;
-no țiunile de geometrie pe care elevul le dobânde ște în clase I-IV joac ă un rol important în
în țelegerea, însu șirea și aplicarea celorlalte no țiuni dobândite mai departe, în clasele gimnaziale
și chiar în liceu sau facultate;

Purcaru Monica Ana Paraschiva Predarea el ementelor de geometrie

54
-multe din temele altor obiecte de înv ăță mânt se bazeaz ă pe cunoa șterea și utilizarea
punctelor, liniilor, figurilor geometrice. De exemplu educa ția plastic ă are teme legate de tehnica
Origami și Tangram, tehnici care au la baz ă îndoirea figurilor geometrice din hârtie în vederea
ob ținerii unor juc ării, sau asamblarea unor figuri geometrice pentru a se realiz a diferite figurine.
Alte teme fac referire la no țiunile legate de punct și linie: „Linia- element de limbaj plastic”,
“Punctul-element de limbaj plastic”. Deci no țiunile geometrice asigur ă realizarea conexiunii cu
alte domenii ale cunoa șterii : geografie, biologie, educa ție plastic ă, educa ție fizic ă, etc.
-no țiunile de geometrie dezvolt ă procesele cognitive și pe cele reglatorii, înc ă din primii
ani de via ță ;
-no țiunile de geometrie asigur ă cadrul dezvolt ării unor capacit ăți intelectuale specifice: a
intui ției geometrice, a ra ționamentului ipotetico-deductiv, precum și al celui inductiv-analogic.
-no țiunile de geometrie au o contribu ție valoroas ă la dezvoltarea gândirii logice, a
ra ționamentului, la formarea spiritului de observa ție, la rafinarea opera țiilor de analiz ă și sintez ă
vizând leg ăturile dintre propriet ățile figurilor, orientate progresiv spre redescoperirea rela țiilor
intime în structura figurilor, la formarea conduitei rezolutive vi zând construc ția unor noi c ăi de
rezolvare a problemelor sau de verificare a adev ărurilor geometrice, precum și la stimularea
pl ăcerii de a cerceta și de a descoperi prin for țe proprii.

§ 6 .2. Obiective și con ținuturi ale înv ăță rii elementelor de geometrie

Predarea-înv ățarea elementelor de geometrie vizeaz ă realizarea urm ătoarelor obiective :
-cunoa șterea intuitiv ă a unor no țiuni de geometrie și utilizarea unor concepte specifice
geometriei;
-dezvoltarea capacit ăților de explorare/investigare a mediului înconjur ător, în vederea
form ării unor reprezent ări și no țiuni geometrice concrete precum și ini țierea în rezolvarea
problemelor de geometrie cu un pronun țat caracter practic;
-formarea și dezvoltarea capacit ății de a comunica, prin introducerea în limbajul activ al
elevilor a unor termeni din geometrie;
-dezvoltarea interesului și a motiva ției pentru studiul geometriei și aplicarea acesteia în
contexte variate.
Obiectivul de referin ță corespunz ător capitolului de geometrie la clasa I este: recu-
noa șterea formelor plane, sortarea și clasificarea obiectelor date sau a desenelor dup ă criterii
diverse.
Con ținuturile înv ăță rii sunt: figuri geometrice: triunghi, p ătrat, dreptunghi, cerc.
Obiectivul de referin ță corespunz ător capitolului de geometrie la clasa a II-a este:
recunoa șterea formelor plane și spa țiale, clasificarea figurilor geometrice sau a obiectelor dup ă
criterii variate.
Con ținuturile înv ăță rii sunt:
-forme plane: p ătrat, triunghi, dreptunghi, cerc;
-interiorul și exteriorul unei figuri geometrice;
-forme spa țiale: cub, sfer ă, cilindru, con, cuboid (paralelipiped dreptunghic), f ără
terminologie.
Obiectivul de referin ță corespunz ător capitolului de geometrie la clasa a III-a este:
recunoa șterea și descrierea formelor plane și spa țiale, clasificarea obiectelor și desenelor dup ă
criterii variate.
Con ținuturile înv ăță rii sunt:
-forme plane: p ătrat, triunghi, dreptunghi, cerc, poligon, punct, segment, linie drea pt ă, linie
frânt ă, linie curb ă;
-interiorul și exteriorul unei figuri geometrice;
-observarea și descrierea intuitiv ă a obiectelor cu forme spa țiale: cub, sfer ă, cilindru, con,
cuboid (paralelipiped dreptunghic).

Purcaru Monica Ana Paraschiva Predarea el ementelor de geometrie

55
Obiectivul de referin ță corespunz ător capitolului de geometrie la clasa a IV-a este:
observarea și descrierea propriet ăților simple ale formelor plane și spa țiale și recunoa șterea
propriet ăților simple de simetrie ale unor desene.
Con ținuturile înv ăță rii sunt:
– drepte paralele și drepte perpendiculare;
-figuri geometrice plane:
-observarea și descrierea unor propriet ăți simple referitoare la laturi și unghiuri: triunghi,
pătrat, dreptunghi, romb, paralelogram, trapez;
-figuri geometrice care admit axe de simetrie: p ătrat, dreptunghi, romb;
-utilizarea propriet ăților figurilor plane în calculul perimetrului unor figuri geometric e
plane;
-forme spa țiale:
-observarea și descrierea unor propriet ăți simple referitoare la vârfuri, laturi, fe țe ale
cubului, paralelipipedului dreptunghic (cuboid), piramidei;
-desf ăș urarea cubului și a cuboidului și asamblarea unor desf ăș ur ări date.

§ 6.3. Intuitiv și logic în înv ățarea geometriei

Geometria, spre deosebire de celelalte discipline matematice , ofer ă elevilor posibilitatea
perceperii directe a obiectelor lumii reale sau a imaginilor care reprezint ă aceste obiecte.
Sistemul cuno știn țelor de geometrie din clasele I-IV se întemeiaz ă pe o serie de no țiuni
primare cum sunt: punctul și dreapta, care au o baz ă intuitiv ă, precum și pe un num ăr de
adev ăruri evidente (teoreme în geometria euclidian ă), pe care intui ția și experien ța le accept ă f ără
demonstra ție, accentul fiind pus pe tratarea problemelor aplicative, provenite din realitate.
Ținând seama de faptul c ă gândirea copilului din clasele primare e insuficient dezvoltat ă
pentru a se ridica la abstractiz ări, și nu dispune de capacitatea de a formula ra ționamente
complicate, în procesul însu șirii cuno știn țelor de geometrie se utilizeaz ă preponderent metoda
inductiv ă, completata progresiv cu ra ționament de tip analogic și deductiv, care const ă în
descoperirea adev ărurilor pe baza ra ționamentului logic ipotetico-deductiv. Elevul trebuie s ă
vad ă el însu și, cunoa șterea senzorial ă trebuie s ă fie dublat ă de cea ra țional ă.
Prin predarea și înv ățarea geometriei în ciclul primar, se urm ăre ște ca elevii s ă-și
însu șeasc ă cuno știn țele fundamentale pornind de la observarea obiectelor din realitatea c unoscut ă
și accesibil ă lor. Astfel, primele elemente de geometrie sunt selectate din realitatea
înconjur ătoare – prin observare direct ă, atent ă a corpurilor materiale, dirijat ă de c ătre institutor –
urmând ca acestea s ă fie completate în treptele urm ătoare de școlarizare. Prin activit ățile de
construc ție, desen, pliere și m ăsurare, institutorul va asigura implicarea tuturor organelor de si m ț
în perceperea figurilor și crearea bazelor intuitive necesare cunoa șterii lor știin țifice. Astfel, sub
îndrum ările institutorului, elevii intuiesc în jurul lor forme, figuri și propriet ăți ale acestora, iar
apoi ajuta ți și de unele modele geometrice (confec ționate din carton, plastic, care redau imaginea
realului), vor reprezenta prin desen figurile respective, pe baza unui proces de abstractizare care
se g ăse ște în faz ă incipient ă, la aceast ă vârst ă. Aceast ă abstractizare trebuie împins ă dincolo de
desen, institutorul va st ărui ca, în final, elevii s ă fie capabili sa- și imagineze (reprezinte) figura
fără a avea în fa ță corpul sau desenul și s ă opereze cu figurile astfel imaginate. Cel mai bun
mijloc de în țelegere a unei propriet ăți este îns ă descoperirea ei. No țiunea geometric ă astfel
stabilit ă, se converte ște în limbaj matematic.
Scopul tuturor achizi țiilor geometrice ale elevilor din clasele I-IV trebuie s ă fie preg ătirea,
prefigurarea abilit ăților specifice etapei gândirii formale. Aceasta presupune neces itatea preg ătirii
elevului pentru a descoperi perfec țiunea ra ționamentului geometric.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Predarea el ementelor de geometrie

56
Un concept geometric nu se poate crea spontan, ele se formeaz ă în cursul unui proces
psihic asupra c ăruia î și pun amprenta imagina ția, creativitatea, puterea de generalizare și
abstractizare.
Studiul riguros al geometriei se abordeaz ă pentru prima dat ă în clasa a VI-a, dar acesta
trebuie s ă porneasc ă de la ceea ce elevul cunoa ște din clasele I-IV, de la modul în care el s-a
familiarizat cu unele no țiuni elementare de geometrie.
Desenul de ține un rol important în geometrie, astfel încât, de la primele clase construc ția
figurilor geometrice trebuie s ă primeze în structura lec țiilor cu con ținut geometric. Un element
ajut ător ce trebuie exploatat în sprijinul intui ției este și culoarea, care î și aduce aportul asupra
stimul ării memoriei vizuale și a capt ării aten ției.
Trecerea de la lucrul cu obiecte concrete spre reprezentarea f igurilor cu vergele, creioane
sau be țișoare, iar apoi spre desenul propriu-zis al figurii, se va face t reptat, pentru a le da elevilor
posibilitatea în țelegerii acestor figuri. Desenul va fi mai întâi explicat pentru ca elevii s ă
în țeleag ă coresponden ța existent ă între fiecare segment trasat și modelul real prezentat.
Construc ția unei figuri geometrice are avantajul c ă prezint ă prin câteva linii forma figurilor,
sugereaz ă rela ții între elementele lor, pe baza c ărora elevii sunt pu și s ă descopere alte propriet ăți,
care, apoi, se pot verifica prin ra ționament.
Pe m ăsura dezvolt ării gândirii elevilor, institutorul îi va conduce pe ace știa de la faza
imaginilor vizuale spre abstractiz ări și generaliz ări.
No țiunile de geometrie trebuie s ă parcurg ă la școlarul mic drumul de la imaginea
materializat ă, la imaginea concretizat ă prin desen și apoi la imaginea fixat ă prin limbaj.
Pentru o înv ățare cât mai temeinic ă a cuno știn țelor de geometrie, în procesul de predare-
înv ățare trebuie folosite materiale didactice și mijloace de înv ăță mânt adecvate, care este indicat
să respecte: m ărimea, dimensiunea, aspectul estetic, s ă fie o expresie fidel ă a ceea ce reprezint ă și
să fie în concordan ță cu particularit ățile de vârst ă ale elevilor. Materialele prezente în mediul
clasei și nu numai din acest mediu, plan șele reflectând concretizarea prin desen a no țiunilor,
desenele executate pe tabl ă, modelele confec ționate din materiale rigide care materializeaz ă
no țiunea (set de segmente rigide, unghiuri cu laturi rigide, patrulat ere cu laturi rigide etc.),
instrumente de geometrie (rigla și echerul) și altele, dozate și utilizate ra țional, vor contribui la
înv ățarea temeinic ă a cuno știn țelor de geometrie.

§ 6 .4. Metodologia pred ării-înv ăță rii elementelor de geometrie

Ținând cont de stadialitatea vârstei elevilor din ciclul primar, s e poate afirma c ă succesul în
dobândirea cuno știn țelor de geometrie depinde în mod semnificativ de institutor, de felul cum
acesta reu șește s ă conduc ă procesul pred ării-înv ăță rii și evalu ării, de felul cum sunt orienta ți
elevii s ă poat ă con știentiza, descoperi și aplica prin transfer aceste cuno știn țe, priceperi și
deprinderi.
Reu șita didactic ă a procesului pred ării-înv ăță rii elementelor de geometrie este influen țat ă,
chiar determinat ă în multele ei aspecte, de respectarea urm ătoarelor cerin țe metodice analizate
în continuare.

6.4.1. Înv ățarea no țiunilor de geometrie în special prin procese intuitive și formarea
lor ini țialã pe cale inductiv ă

Aceast ă cerin ță impune ca studiul elementelor de geometrie s ă înceap ă cu cercetarea
direct ă (v ăz, pip ăit, manipulare) a mai multor obiecte din lumea real ă, situate în diverse pozi ții în
spa țiul înconjur ător, în vederea sesiz ării (descoperirii) acelei (acelor) caracteristici comune c are
contureaz ă imaginea geometric ă materializat ă.
Imaginea geometric ă materializat ă în obiecte este apoi transpus ă în imagine, concretizat ă
prin desen, ceea ce reprezint ă o deta șare a imaginii geometrice de obiectele care o genereaz ă.
Concretizarea prin desen a imaginii geometrice se realizeaz ă la tabl ă cu instrumentele de

Purcaru Monica Ana Paraschiva Predarea el ementelor de geometrie

57
geometrie, iar elevii o execut ă în caiete, tot cu ajutorul instrumentelor. Este foarte important ca
aceast ă concretizare prin desen s ă se fac ă în cât mai multe pozi ții pentru a nu crea limite în
recunoa șterea ei.
Aceste concretiz ări pot fi completate cu prezentarea unor plan șe întocmite special pentru
aceasta. Imaginea geometric ă concretizat ă prin desen este apoi proiectat ă în limbajul geometriei
și apare astfel no țiunea geometric ă.
Pe baza limbajului geometric, și prin apel la experien ța perceptiv ă a elevilor, institutorul va
contura imaginea geometric ă a no țiunii considerate și în alte situa ții din realitatea exterioar ă
clasei, altele decât cele cercetate de elevi.
Se va observa, de asemenea, c ă, pe m ăsur ă ce sunt dobândite elementele fundamentale ale
geometriei (punctul, dreapta), elevul va urca spre stadiul în țelegerii și asimil ării unor figuri
geometrice mai complicate (poligoane: dreptunghiul, p ătratul, trapezul, triunghiul). Al ături de
procesele intuitive (perceperea vizual ă și tactil ă a modelelor materiale), respectiv concretizate de
desen, predarea-înv ățarea presupune și ac țiuni de m ăsurare efectiv ă a cestora, de comparare a
rezultatelor, decup ări de figuri, descompuneri ale figurii, prin figuri -componente ce le implic ă etc.
Explica țiile date de institutor referitor la a șezarea instrumentelor și la pozi ția din care
trebuie f ăcut ă citirea rezultatului m ăsur ării și eventualele relu ări ale procesului de m ăsurare, cu
admiterea unor aproxim ări (la mm, în foaia de caiet), vor convinge elevii asupra valorii
concluziilor ob ținute de ei în lec ție pe baza figurilor studiate.
Cu privire la instrumentele de geometrie (rigla și echerul), trebuie avut ă în vedere
necesitatea ca elevii s ă-și formeze deprinderi de folosire corect ă și rapid ă a acestora. Trasarea de
drepte, segmente, unghiuri, drepte perpendiculare, drepte paralele, dreptunghiuri, p ătrate,
romburi etc., în diverse pozi ții în plan (tabla, foaia de hârtie) și realizarea de m ăsur ări trebuie s ă
fie executate cu precizie și rapid.
Referitor la desen, trebuie s ă se țin ă cont de necesitatea efectu ării lui numai cu
instrumentele, atât la tabl ă, cât și în caiete. Acurate țea desenului este o cerin ță important ă, la care
se adaug ă elementele de expresivitate, adic ă folosirea cretei colorate, tras ări discontinue etc.,
pentru a pune în eviden ță anumite p ărți ale figurii care prezint ă interes în planul în țelegerii
no țiunii geometrice.
În utilizarea materialului didactic se impun aten ției câteva condi ții , pe care trebuie s ă le
îndeplineasc ă atât modelul confec ționat, cât și modul, în care este folosit de institutor și elevi:
-materialul confec ționat va avea dimensiuni suficient de mari pentru a fi v ăzut cu claritate
din orice punct al clasei, precum și o construc ție clar ă, satisf ăcând condi țiile estetice;
-materialul didactic trebuie s ă fie expresia fidel ă a ceea ce trebuie s ă reprezinte, s ă
contribuie la u șurarea transpunerii în desen a figurii geometrice studiate, a e lementelor sale și a
rela țiilor ce exist ă între ele (de m ărime, de paralelism, de perpendicularitate etc.);
-materialul didactic trebuie s ă se adreseze elevilor respectând îns ă particularit ățile lor de
vârst ă; cu cât ace știa sunt mai mici se impune ca el s ă fie mai atractiv, dar simplu, am ănuntele
fără interes știin țific s ă nu intre în câmpul aten ției elevilor, r ămânând elemente ale fondului
perceptiv.
Referitor la folosirea materialului didactic se mai impun și alte câteva observa ții :
-o insuficient ă valorificare a acestuia duce la însu șirea formal ă a cuno știn țelor, influen țând
negativ procesul form ării reprezent ărilor spa țiale;
-o folosire în exces a acestuia duce la o satura ție perceptiv ă, la repetare de observa ții cu
amplific ări nefire ști, uneori chiar la observa ții inutile, ceea ce ar putea abate aten ția elevilor de la
scopul observa țiilor și intui ților, afectând modul de utilizare a timpului, producând greut ăți în
realizarea generaliz ărilor, a îns ăș i imaginii geometrice.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Predarea el ementelor de geometrie

58
6.4.2. Predarea-înv ățarea cuno ștințelor geometrice în spiritul rigurozit ății
geometriei

De și suportul de baz ă al pred ării-înv ăță rii elementelor de geometrie în clasele I-IV este cel
intuitiv, totu și sistemul cuno știn țelor de geometrie asimilate de elevi trebuie s ă corespund ă
rigurozit ății geometriei. Întâi, pentru c ă ele trebuie s ă reprezinte elemente corecte ale cunoa șterii
matematice, servind elevului în orientarea și rezolvarea problemelor de adaptare în spa țiul
înconjur ător. În al doilea rând, pentru c ă toate aceste cuno știn țe geometrice vor sta la baza
continuit ății studiului geometriei în clasele urm ătoare, servind treptat la formarea temeinic ă a
conceptelor geometriei.
Intuirea punctului poate începe cu faza de concretizare prin desen, ca fiind urma l ăsat ă pe
hârtie de vârful creionului bine ascu țit (vârful pixului sau al peni ței stiloului) a șezat s ă se sprijine
în vârf, sau pe tabl ă de vârful cretei.
De aici, copilul va în țelege c ă dreapta concretizat ă prin desen este format ă din punctele, pe
care vârful creionului (cretei etc.), sprijinit pe rigl ă și aflat și mi șcare le las ă pe hârtie (tabl ă). El
va mai în țelege c ă segmentul concretizat prin desen este format din puncte, iar ext remit ățile lui
sunt primul și ultimul punct al concretiz ării.
Limbajul geometric este definit prin dou ă propriet ăți simple și anume: corectitudinea și
consecven ța folosirii lui. În acest sens, institutorul trebuie s ă utilizeze corect limbajul simbolic, nu
va utiliza nota ții specifice, cu excep ția not ării prin litere a segmentelor, vârfurilor unui poligo n
(nota ția unghiului prin trei litere este în afara programe i).

6.4.3. Func ționalitatea elementelor de geometrie

O cerin ță de baz ă a activit ății didactice în predarea-înv ățarea elementelor de geometrie o
constituie necesitatea de a sensibiliza gândirea elevilor spre acele cuno știn țe și abilit ăți
geometrice care sunt func ționale, adic ă spre acele cuno știn țe ce pot fi aplicate și transferate
eficient în orice situa ție de mediu (teoretic ă sau practic ă). În aceast ă ordine de idei,
func ționalitatea cuno știn țelor, deprinderilor și priceperilor geometrice trebuie s ă determine la
elevul din clasele I-IV comportamente corespunz ătoare, generate de: necesitatea cunoa șterii
spa țialit ății proxime sub raportul formei și m ărimii; orientarea în spa țiul ambiant și reprezentarea
acestui spa țiu; alegerea drumului celui mai convenabil în deplasarea real ă; rezolvarea corect ă a
problemelor de geometrie puse de institutor, carte, culegeri sau de multiplele situa ții reale
(efectuarea de m ăsur ători, calcule de lungimi, perimetre, arii etc.).
Institutorul trebuie s ă re țin ă c ă:
-abilitatea practic ă a elevilor de a putea s ă rezolve probleme se cap ătă prin exerci țiu, prin
studiu pe modele reale sau create, printr-o activitate îndrumat ă, printr-o activitate de grup și, în
mod obligatoriu, printr-o activitate personal ă;
-activitatea rezolutiv ă asigur ă și consolidarea cuno știn țelor de geometrie, realizând
deschideri în planul motiva țiilor favorabile continu ării studiului, dezvolt ării pe mai departe a
rafinamentului gândirii geometrice.

§ 6 .5. Formarea conceptelor cu con ținut geometric

Etapele , pe care trebuie s ă le aib ă în vedere institutorul în formarea unei no țiuni
geometrice sunt urm ătoarele:
-intuirea obiectelor lumii reale, care eviden țiaz ă no țiunea cu dirijarea aten ției elevilor c ătre
ceea ce se urm ăre ște s ă fie observat;
-observarea propriet ăților caracteristice eviden țiate de obiectele intuite;
-compararea și analizarea propriet ăților pe un material didactic care materializeaz ă
no țiunea;

Purcaru Monica Ana Paraschiva Predarea el ementelor de geometrie

59
-reprezentarea prin desen a no țiunii materializate de obiecte și materialul didactic;
-formularea defini ției, prin precizarea genului proxim și a diferen ței specifice, acolo unde
este posibil, sau prin stabilirea propriet ăților caracteristice care determin ă sfera no țiunii și
proiectarea acesteia în limbajul geometriei;
-identificarea no țiunii și în alte pozi ții, situa ții corespunz ătoare realit ății;
-construirea materializat ă a no țiunii folosind carton, hârtie, be țișoare, etc;
-clasificarea figurilor care fac parte din aceea și categorie;
-utilizarea no țiunii în rezolvarea problemelor specifice și transferul ei în situa ții geometrice
noi.
Este de men ționat c ă unele no țiuni geometrice impun parcurgerea tuturor acestor faze, pe
când altele nu; unele no țiuni sunt realizabile într-o lec ție, pe când altele într-un șir de lec ții.
Adev ăratul proces de formare a no țiunilor geometrice este unul de durat ă și nu trebuie
confundat cu procesul înv ăță rii de no țiuni.

Test de autoevaluare

1. Preciza ți con ținuturile înv ăță rii elementelor de geometrie la clasa a IV-a.
2. Opta ți pentru intuitiv sau logic în predarea elementelor de geometrie, motivând op țiunea
aleas ă.
3. Enumera ți cerin țele metodice care trebuie respectate în procesul pred ării-înv ăță rii
elementelor de geometrie în ciclul primar.
4. Eviden ția ți rolul materialului didactic și al desenului într-o lec ție de geometrie.
5. Enumera ți și exemplifica ți etapele parcurse pentru formarea unei no țiuni geometrice.

Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare

1. Revezi 6.2.(Obiective și con ținuturi ale înv ăță rii elementelor de geometrie).
2. Revezi 6.3.(Intuitiv și logic în înv ățarea geometriei).
3. Revezi 6.3. și 6.4. (Intuitiv și logic în înv ățarea geometriei; Metodologia pred ării-
înv ăță rii elementelor de geometrie).
4. Revezi 6.4.1.(Înv ățarea no țiunilor de geometrie în special prin procese intuitive și
formarea lor ini țial ă pe calea inductiv ă).
5. Revezi 6.5.(Formarea conceptelor cu con ținut geometric).

Rezumat

Aceast ă unitate de înv ățare are ca scop dobândirea unor cuno știn țe asupra elementelor de
geometrie predate în școala primarã, precum și a capacit ăților de predare-înv ățare a
elementelor de geometrie la clasele I-IV. Dup ă prezentarea locului și importan ței elementelor
de geometrie în procesul de instruire și educare al școlarului mic sunt enumerate obiectivele și
con ținuturile înv ăță rii acestora. Este eviden țiat ă leg ătura strâns ă existent ă între intui ție și logic ă
în cadrul acelora și activit ăți. Sunt analizate cerin țele metodice în predarea-înv ățarea elementelor
de geometrie. Unitatea se încheie cu enumerarea etapelor proces ului de formare a no țiunilor
geometrice.

Bibliografie
Ana, D., Ana, M.L., Logel, D., Logel-Stroescu , E., : Metodica pred ării matematicii la
clasele I-IV . Editura CARMINIS, Pite ști, 2005.
Atanasiu, Gh., Purcaru, M.A.P., Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, Editura
Universit ății „Transilvania” din Bra șov, 2002.
Neac șu, I., (coordonator): Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactic ă
și Pedagogic ă, Bucure ști, 1988.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Predarea el ementelor de geometrie

60
Ro șu, M.: Metodica pred ării matematicii pentru colegiile universitare de institutori,
Universitatea din Bucure ști, Editura CREDIS, 2004.
Ro șu, M.: Didactica matematicii în înv ăță mântul primar, MEC, Unitatea de Management a
Proiectului pentru Înv ăță mântul Rural, 2007.
Târnoveanu, M., Purcaru, M.A.P., Târnoveanu, C.,: Fundamente de matematic ă și
metodic ă, Editura TEHNOPRESS, Ia și, 2005.
*** Manualele școlare (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I-IV .
***Ministerul Educa ției, Cercet ării și Tineretului, Consiliul Na țional pentru Curriculum.
Programe școlare pentru înv ăță mântul primar , revizuite. Bucure ști,2003(I,II),2004(III), 2005(IV).

Purcaru Monica Ana Paraschiva Predarea frac țiilor

61
Unitatea de înv ățare nr. 7

PREDAREA FRAC ȚIILOR

Cuprins
Obiectivele unit ății de înv ățare………………………………………………………… 61
§ 7.1. Introducerea no țiunii de frac ție … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 6 1
§ 7.2. Compararea frac țiilor …………………………………………………………….. 63
§ 7.3. Opera ții de adunare și sc ădere cu frac ții …………………………………………. 65
§ 7.4. Aflarea unei frac ții dintr-un întreg ……………………………………………….. 67
Test de autoevaluare……………………………………………………………………. 68
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare…………………………………….. 68
Rezumat…………………… …………………………………………………………… 68
Bibliografie……………………………………………………………………………… 68

Obiectivele unit ății de înv ățare
În urma parcurgerii acestei unit ăți de înv ățare, studen ții vor fi capabili:
-să aplice demersul metodologic de predare-înv ățare a unit ății frac ționare și a introducerii
no țiunii de frac ție, în clasa a IV-a;
-să cunoasc ă metodologia specific ă compar ării frac țiilor și a opera țiilor cu frac ții, precum și a
afl ării unei frac ții dintr-un întreg;
-să con știentizeze extinderea conceptului de num ăr natural și implica țiile psihologice ale
acesteia la elevii clasei a IV-a.

§ 7.1. Introducerea no țiunii de frac ție

Formarea no țiunii de frac ție este un proces mai complicat care va fi urmat în timp de
formarea conceptului de num ăr ra țional. Din cauza dificult ății form ării acestuia se recomand ă ca
institutorul s ă g ăseasc ă procedee și mijloace de motivare psihologic ă a necesit ății introducerii
acestor numere. O cale poate fi punerea elevilor în situa ția de a rezolva probleme-ac țiune (legate
de efectuarea unor cump ărături, sau a unor m ăsur ători etc.) ce nu au solu ție în mul țimea
numerelor naturale, de împ ărțire a unui num ăr natural la altul, împ ărțire care, de asemenea, s ă nu
aib ă solu ție în mul țimea studiat ă etc.
Studiul numerelor ra ționale începe înc ă din clasa a II-a o dat ă cu înv ățarea termenilor de
jum ătate (doime) și a sfertului (p ătrime) se continu ă în clasa a III-a odat ă cu înv ățarea opera ției
de împ ărțire și în special în a IV-a când se l ărge ște conceptul de num ăr prin introducerea no țiunii
de frac ție.
Elevii în țelegând faptul c ă o frac ție cu numitorul 1 reprezint ă un num ăr natural, vor înv ăța
că mul țimea numeric ă nou construit ă o include pe cea a numerelor naturale. În clasa a IV-a,
studiul numerelor ra ționale va începe cu repetarea no țiunilor de jum ătate-doime și sfert-pătrime.
Programa școlar ă prevede introducerea no țiunilor de doime și de p ătrime și simbolurile
grafice corespunz ătoare 
41 și 21. Se va continua apoi cu introducerea: treimii, cincimii,
șesimii, optimii etc. și a simbolurilor grafice respective 81 61 51 ,,,31 etc. Se va scoate în
eviden ță , de fiecare dat ă, c ă:
o unitate frac ționar ă este o parte luat ă din p ărțile la fel de mari în care s-a împ ărțit un întreg:
obiect, imagine, form ă geometric ă sau num ăr.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Predarea frac țiilor

62 La predarea-înv ățarea unit ății frac ționare se va folosi un bogat și sugestiv material intuitiv,
se vor utiliza metode și procedee didactice de natur ă s ă-i incite pe elevi, s ă activeze conduita
intelectual ă a acestora. Totodat ă, se vor folosi procedee de evaluare care s ă surprind ă progresele
făcute în planul opera ționalit ății specifice gândirii matematice.
Ținând cont de experien ța matematic ă redus ă a elevilor din ciclul primar se recomand ă ca
însu șirea de c ătre elevi a no țiunii de unitate frac ționar ă trebuie s ă se realizeze în mai multe etape :
-etapa de frac ționare a unor obiecte concrete și de parti ție a unor mul țimi de obiecte
concrete;
Se începe cu aceast ă etap ă pentru c ă la aceast ă vârst ă, copiilor le este foarte greu s ă lucreze cu
no țiuni abstracte. Obiectele care se vor frac ționa ar trebui s ă fie și la îndemâna copiilor: m ăr,
pâine, portocal ă, etc., iar mul țimile care se vor frac ționa pot fi: be țișoare, jetoane, creioane,
riglete, nuci, etc.
-etapa de frac ționare prin îndoirea unor figuri geometrice plane admi țând axe de
simetrie, confec ționate din hârtie sau carton: dreptunghi, p ătrat, cerc;
-etapa de frac ționare prin trasarea unor linii pe un desen geometric dat pe care îl
împart în p ărți la fel de mari (împ ărțirea unui segment în mai multe segmente de aceea și lungime,
trasarea axelor de simetrie într-un dreptunghi, p ătrat, cerc sau a altor linii prin care s ă se
frac ționeze aceste figuri geometrice plane) sau frac ționarea imaginilor unor obiecte –
(împ ărțirea în jum ătate sau în sfert prin trasarea unor linii pe imaginea unui m ăr sau a unei
cl ădiri);
-etapa de frac ționare a numerelor, care se reduce la împ ărțirea lor la un num ăr dat
(pentru a afla o p ătrime dintr-un num ăr se împarte acel num ăr la patru).
În cadrul fiec ărei etape se va pune în eviden ță unitatea frac ționar ă accentuându-se faptul c ă
întregul a fost împ ărțit în p ărți la fel de mari.
Concomitent cu introducerea unit ății frac ționare și a simbolului s ău grafic format din dou ă
numere suprapuse desp ărțite printr-o linie orizontal ă, se va explica și defini elevilor c ă: num ărul
de sub linie poart ă denumirea de numitor și arat ă în câte p ărți egale (de aceea și m ărime) s-a
împ ărțit întregul, linia dintre numere se nume ște linie de frac ție , și c ă num ărul de deasupra liniei
de frac ție se nume ște num ărător și arat ă c ă din num ărul de p ărți egale în care s-a împ ărțit
întregul s-a luat doar o singur ă parte.
Dup ă însu șirea corect ă a no țiunii de unitate frac ționar ă (ca no țiune, ca limbaj, ca mod de
scriere și citire), se introduce no țiunea de frac ție: ca fiind una sau mai multe unit ăți frac ționare.
De exemplu: t ăind un m ăr în patru p ărți egale se ob țin patru sferturi sau p ătrimi de m ăr.
Dac ă se al ătur ă dou ă dintre ele se vor ob ține dou ă p ătrimi de m ăr (sau dou ă sferturi de m ăr) și se
exprim ă acest lucru în scris prin simbolul 42 .
În continuare, se vor face exerci ții de citire și scriere de unit ăți frac ționare și de frac ții, se
va realiza reprezentarea lor pe desene folosind creioane colorate. În citirea unei frac ții se va
urm ări corectitudinea exprim ărilor elevilor (de exemplu: 42 se va citi dou ă p ătrimi și nu “2 pe
4” sau „ 2 supra 4”). Se recomand ă de asemenea ca num ărătorii și numitorii ale și s ă fie numere
naturale mai mici decât 10.
Sarcinile date elevilor pot fi: precizarea frac ției corespunz ătoare unor p ărți dintr-un întreg
împ ărțit în p ărți egale, ha șurarea sau colorarea p ărții dintr-un întreg (împ ărțit deja în p ărți egale)
corespunz ătoare unei frac ții date, sau aceea și sarcin ă precedat ă de împ ărțirea întregului în p ărți
egale, îndoirea unei foi de hârtie de form ă dreptunghiular ă astfel încât s ă se ob țin ă un num ăr de
părți egale urmat ă de colorarea a câtorva dintre acestea, corespunz ător unei frac ții date, sau

Purcaru Monica Ana Paraschiva Predarea frac țiilor

63
prezentarea unor obiecte concrete de dou ă feluri sau imagini ale acestora, cerându-se elevilor s ă
scrie frac ția ce reprezint ă num ărul obiectelor de primul fel fa ță de cele de felul al doilea.
Intuitiv, prin sec ționare de obiecte sau figurativ, se va defini egalitatea dintre frac ții: dou ă
sau mai multe frac ții sunt egale dac ă fiecare reprezint ă aceea și parte dintr-un întreg.

1

21
21

41
41
41
41

81
81
81
81
81
81
81
81

Fig. 7.1 De exemplu, în fig. 7.1 se observ ă c ă 21 din
segment reprezint ă cât 42 din acela și segment
sau cât 84 din el. Deci 84
42
21 == . Se poate
proceda și astfel: se iau trei cercuri egale: unul
se împarte în jum ătate, altul în patru p ărți și al
treilea în opt p ărți egale. Se face observa ția c ă
o jum ătate ( 21 din cerc), sau dou ă sferturi
(42 din cerc), sau patru optimi ( 84 din cerc) reprezint ă fiecare aceea și parte din cerc (o
jum ătate de cerc), deci toate sunt frac ții egale.
Prin aplica ții practice, prin observa ții și compara ții (folosind segmente, cercuri,
dreptunghiuri) se poate descoperi c ă și alte frac ții sunt egale.
Dac ă elevii î și însu șesc bine no țiunea de egalitate a frac țiilor, li se poate sugera modalitatea
de a ob ține frac ții egale dintr-o frac ție dat ă prin înmul țirea atât a numitorului, cât și a
num ărătorului (amplificare a frac ției), sau împ ărțirea atât a numitorului cât și a num ărătorului
(simplificare a frac țiilor) cu acela și sau prin acela și num ăr diferit de zero (în cazul în care
împ ărțirea se poate face exact).

§ 7.2. Compararea frac țiilor

Aceasta se realizeaz ă în dou ă sensuri:
I) compararea unei frac ții cu întregul;
II) compararea a dou ă sau mai multe frac ții (dac ă au acela și numitor sau acela și
num ărător) între ele.
I) Urm ătoarele cuno știn țe pe care le dobândesc elevii se refer ă la tipurile de frac ții date de
compararea cu întregul. Se revine asupra faptului c ă un întreg poate fi exprimat printr-o frac ție în
care num ărătorul și numitorul sunt numere naturale egale:
144
33
22==== … .
Prin ac țiune direct ă cu obiecte sau cu imagini se introduc: frac ția echiunitar ă ca fiind
orice frac ție care este egal ă cu un întreg, frac ția subunitar ă ca fiind o frac ție în care num ărul
părților luate (num ărătorul) este mai mic decât num ărul p ărților în care s-a împ ărțit întregul
(numitorul) și frac ția supraunitar ă în care num ărătorul este un num ăr mai mare decât cel de la
numitor. De exemplu existen ța acestei ultime no țiuni se poate realiza prin împ ărțirea a doi sau
mai mul ți întregi – fiecare în acela și num ăr de p ărți egale și luarea unui num ăr mai mare de p ărți
decât a fost împ ărțit fiecare întreg (în fig. 7.2 s-au ha șurat 5/4).

Purcaru Monica Ana Paraschiva Predarea frac țiilor

64
Fig. 7.2.

Se poate apela și la experien ța de via ță a copiilor. Spre exemplu, dac ă elevul se duce la
magazin și solicit ă o pâine și jum ătate, vânz ătoarea îi d ă o pâine – deci dou ă jum ătăți și înc ă o
jum ătate din alt ă pâine. Deci, în total, trei jum ătăți. Adic ă, 23 pâini.
Treptat, concretul reprezentat de obiecte sau imagi ni va disp ărea, elevii formându- și, prin
simpla comparare a num ărătorului cu numitorul, deprinderea de a sesiza tipul frac ției.
II)Compararea frac țiilor care au acela și num ărător sau acela și numitor este o tem ă
relativ dificil ă pentru elevii din clasa a IV-a. Greutatea const ă în aceea c ă ordonarea se face
de la mic la mare, dac ă frac țiile au num ărătorii ordona ți de la mic la mare și numitorii egali,
ordonarea se realizeaz ă invers – adic ă de la mare la mic, dac ă frac țiile au aceia și num ărători
iar numitorii se ordoneaz ă de la mic la mare.
Pentru a mic șora greutatea de în țelegere și însu șire de c ătre elevi a compar ării frac țiilor
se recomand ă ca institutorul s ă înceap ă cu compararea unit ăților frac ționare:
10 1
91
81
71
61
51
41
31
21>>>>>>>> (vezi fig. 7.3) pe calea reprezent ărilor, sau concret.

…

21 > …… > 10 1
Fig. 7.3.
Se poate concluziona c ă doimea este cea mai mare unitate frac ționar ă, c ă o urmeaz ă
treimea… în general c ă, între dou ă unit ăți frac ționare mai mare este aceea care are numitorul
mai mic (
81
51>, deoarece 5 < 8 sau deoarece 8 > 5), (vezi fig. 7.4).

Fig. 7.4. Fig. 7.5. 1 .
5 1 .
8 3 .
8 3 .
4

Purcaru Monica Ana Paraschiva Predarea frac țiilor

65
Se trece, în acela și mod de reprezentare, sau concret, la compararea f rac țiilor care au
același numitor. Dac ă se împarte un singur cerc în opt p ărți de aceea și m ărime și se ha șureaz ă
cinci dintre ele se poate observa: partea din cerc ha șurat ă ( 85 din suprafa ța cercului) este mai
mare decât partea din cerc neha șurat ă ( 83 din suprafa ța cercului) și se va scrie 83 85 >.
Se generalizeaz ă: dintre dou ă frac ții care au acela și numitor mai mare este frac ția care
are num ărătorul mai mare. De exemplu:
10 1
10 5> fiindc ă 5 > 1.
În sfâr șit, folosind acela și procedeu figurativ (fig. 7.5), se trece la compar area frac țiilor care
au acela și num ărător, dar numitorii diferi ți. Prin observa ție, compara ție și analiz ă se poate
conchide: frac ția 83
43> fiindc ă prima frac ție reprezint ă mai mult dintr-un întreg decât cea de a
doua frac ție. Dup ă mai multe exerci ții se generalizeaz ă: dintre dou ă frac ții care au acela și
num ărător este mai mare frac ția care are numitorul mai mic.
Ca sarcini date elevilor pot fi: ob ținerea unor frac ții egale cu frac ții date și scrierea șirului
de egalit ăți, se va realiza corelarea cu activit ățile de la educa ție tehnologic ă, scrierea întregului
sub forma unor frac ții echivalente, stabilirea celei mai mari frac ții dintre mai multe frac ții având
acela și numitor sau acela și num ărător, compararea și ordonarea cresc ătoare a mai multor astfel
de frac ții, urmat ă de ordonarea lor descresc ătoare.

§ 7.3. Opera ții de adunare și sc ădere cu frac ții

În clasa a IV-a, programa școlar ă prevede numai efectuarea opera țiilor de adunare și
sc ădere a numerelor ra ționale care au acela și numitor.
Introducerea opera ției de adunare se poate face prin mai multe modalit ăți, fiecare având
îns ă un suport intuitiv. Elevii trebuie s ă în țeleag ă c ă pentru adunarea frac țiilor care au acela și
numitor se procedeaz ă ca și la adunarea numerelor concrete (2 mere + 4 mere = 6 mere), c ă se
adun ă un num ăr de unit ăți frac ționare cu un alt num ăr de unit ăți frac ționare cu acela și numitor


=+ eptimi ș ase ș rezultatul dau eptimi ș patru cu adunate eptimi ș dou ă sau , 76
74
72.
Dac ă se împarte un cerc (prin introducerea a patru diam etre) în opt p ărți de aceeași m ărime
(fig. 7.6) și se ha șureaz ă într-o direc ție dou ă dintre cele opt p ărți și într-o alt ă direc ție alte patru
părți, se observ ă, împreun ă cu elevii, c ă partea ha șurat ă din figur ă este format ă din șase p ărți din
cele opt în care s-a împ ărțit cercul. Deci, se va scrie:

82+ 84 = 86.

Se va spune c ă frac ția 86 este suma dintre frac țiile 82 și 84. Se va accentua ideea c ă
num ărătorul 6 al sumei este ob ținut prin adunarea num ărătorilor frac țiilor care se adun ă.
Se vor numi frac țiile care se adun ă: termeni , iar rezultatul adun ării: sum ă sau total .

Purcaru Monica Ana Paraschiva Predarea frac țiilor

66
Fig. 7.6. Fig. 7.7.
Sau, folosind un desen asem ănător (fig. 7.7), dac ă din șase p ărți ha șurate se vor sc ădea
dou ă p ărți ha șurate și ele, dar altfel, se vor ob ține patru p ărți ha șurate. Cu ajutorul simbolurilor
corespunz ătoare se va scrie:
84
82
86=− .
Se vor numi și aici termenii sc ăderii – desc ăzut și, respectiv, sc ăzător , iar rezultatul
sc ăderii – rest sau diferen ță .
Se va ajunge în acest fel la regulile : pentru a aduna sau sc ădea dou ă frac ții cu acela și
numitor se adună respectiv se scad num ărătorii, iar ca numitor se p ăstreaz ă numitorul comun.
Se va insista asupra faptului c ă pentru a se putea efectua sc ăderea trebuie nu numai ca
desc ăzutul și sc ăzătorul s ă aib ă acela și numitori, dar și num ărătorul desc ăzutului s ă fie un num ăr
natural mai mare sau egal cu cel de la num ărătorul sc ăzătorului.
În cazul în care institutorul consider ă c ă nivelul clasei nu permite s ă se introduc ă aceste
opera ții pe baz ă de imagini se poate apela la un material intuitiv concret: împ ărțirea în p ărți egale
a unui m ăr, portocal ă etc. și operarea sub form ă de adunare sau sc ădere cu o parte dintre ele.
În scopul cultiv ării reversibilit ății gândirii elevilor, datorit ă propriet ății de simetrie a
rela ției de egalitate este necesar ă abordarea unor sarcini de tipul scrierii unei fra c ții ca o sum ă
sau diferen ță de frac ții având acela și numitor. De exemplu : ??
82
87 += ; ??
5?
53+= ; ??
??
32+=
și analog pentru sc ădere.
La nivelul trunchiului comun al programei, este suf icient s ă se opereze cu frac ții
subunitare, deoarece utilizarea celorlalte tipuri d e frac ții ar atrage dup ă sine: scoaterea întregilor
din frac ție.
Atât adunarea, cât și sc ăderea frac țiilor cu acela și numitor se pot introduce și prin utilizarea
unor probleme-ac țiune simple și semnificative din via ța practic ă a elevilor.
Institutorul trebuie s ă insiste asupra procesului de formare a deprinderii de scriere
corect ă a frac țiilor în succesiunea lor în cadrul exerci țiilor: scrierea semnului opera ției (+
sau −) în dreptul liniei de frac ție a primului termen, iar dup ă semn, pe aceea și linie cu cea
orizontal ă de la “+” sau cu “ −”, se va trasa mai întâi linia de frac ție a urm ătorului termen și
apoi se vor scrie num ărătorul și numitorul s ău.
Se pot realiza și sarcini de genul: calcularea sumei sau a diferen ței a dou ă frac ții cu acela și
numitor, scrierea unei frac ții ca sum ă de dou ă frac ții cu acela și numitor, calcularea sumei și a
diferen ței a dou ă frac ții apelând la diferite suporturi intuitive, rezolva rea unor probleme în care
datele și solu ția s ă fie frac ții.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Predarea frac țiilor

67

§ 7.4. Aflarea unei frac ții dintr-un întreg

Unul dintre obiectivele urm ărite prin predarea frac țiilor în clasa a IV-a îl constituie aflarea
unei frac ții dintr-un întreg.
Procesul de calculare a unei frac ții dintr-un întreg parcurge dou ă etape distincte:
I) calcularea unei singure unit ăți frac ționare dintr-un întreg (un num ăr natural), adic ă
aflarea unei p ărți dintr-un întreg;
II) calcularea unei frac ții oarecare dintr-un întreg, adic ă aflarea mai multor p ărți la fel de
mari dintr-un întreg.
I) Pentru prima categorie de exerci ții se procedeaz ă intuitiv, folosind mai întâi material
didactic tridimensional, obiecte și figuri geometrice plane decupate sau imagini, fig uri geome-
trice desenate, apoi cantit ăți, lungimi, mase, volume etc., ajungându-se la nume re.
Exemplu:
– să se afle 41 din aria unei suprafe țe dreptunghiulare;
– să se afle 31 din: 18 kg, 60 kg, 84 kg …;
– să se afle 21 din: 22 l, 40 l, 52 l …;
– să se afle 41 din numerele: 8, 24, 32, 40 …
Opera țiile se vor scrie astfel:
31
din 18 kg reprezint ă 18 kg : 3 = 6 kg.
21 din 22 l reprezint ă 22 l : 2 = 11 l.
41 din 8 reprezint ă 8 : 4 = 2.
Utilizând mai multe exemple asem ănătoare și f ăcând analiza lor, se va stabili atât opera ția,
cât și procedeul de aflare a unei singure unit ăți frac ționare dintr-o m ărime sau num ăr și anume se
ajunge la concluzia c ă aflarea unei unit ăți frac ționare dintr-un întreg este reductibil ă la împ ărțirea
acestuia în atâtea p ărți egale cât arat ă numitorul.
II) Pentru a doua categorie de exerci ții sunt necesare dou ă opera ții:
– împ ărțirea pentru aflarea unei singure unit ăți frac ționare de felul celei pe care o arat ă
numitorul;
– înmul țirea pentru aflarea num ărului de unit ăți frac ționare pe care îl arat ă num ărătorul.
Exemplu:
Într-o clas ă sunt 36 de elevi. Fetele reprezint ă 98 din totalul elevilor. Câte fete sunt în acea clas ă?
La început opera țiile de împ ărțire și înmul țire se scriu separat, pentru ca elevii s ă-și
formeze în mod con știent deprinderile și priceperile necesare calcului. Se porne ște de la regula c ă
pentru a afla o frac ție dintr-o m ărime sau cantitate se afl ă mai întâi, prin împ ărțire, o singur ă
parte (o unitate frac ționar ă) apoi, prin înmul țire, mai multe p ărți (mai multe unit ăți frac ționare).
Astfel, se afl ă o noime din 36:
91 din 36 (elevi) reprezint ă 36 : 9 = 4 (elevi).

Purcaru Monica Ana Paraschiva Predarea frac țiilor

68 Se constat ă c ă opt astfel de noimi, înseamn ă de opt ori mai mult decât una singur ă, deci
înmul țire cu 8:
98 din 36 (elevi) reprezint ă 4 ⋅ 8 = 32 (fete).
Dup ă rezolvarea mai multor cazuri particulare se genera lizeaz ă procedeul de rezolvare,
ob ținându-se regula : pentru a afla cât reprezint ă o frac ție dintr-un num ăr natural se împarte
num ărul la numitorul frac ției și se înmul țește rezultatul cu num ărătorul acesteia.
În func ție de particularit ățile clasei, și aceast ă ultim ă etap ă poate fi parcurs ă trecând prin
fiecare dintre fazele: concret ă, semiconcret ă și abstract ă sau numai prin ultimele dou ă sau numai
prin ultima.

Test de autoevaluare

1. Preciza ți etapele înv ăță rii no țiunii de unitate frac ționar ă, la clasa a IV-a.
2. Enumera ți modalit ăți de ob ținere a unei frac ții, la clasa a IV-a.
3. Scrie ți un demers didactic vizând compararea unei frac ții cu întregul.
4. Scrie ți un demers didactic vizând compararea a dou ă sau mai multe frac ții cu acela și
num ărător.
5. Prezenta ți metodologia afl ării unei frac ții dintr-un întreg.
6. Argumenta ți prin intermediul compunerii și rezolv ării de probleme, necesitatea introdu-
cerii frac țiilor.

Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare
1. Revezi 7.1. (Introducerea no țiunii de frac ție ).
2. Revezi 7.1.(Introducerea no țiunii de frac ție-frac ții egale).
3. Revezi 7.2.(Compararea frac țiilor-compararea unei frac ții cu întregul), extrage esen țialul
și reformuleaz ă.
4. Revezi 7.2. (Compararea frac țiilor-compararea a dou ă sau mai multe frac ții), selecteaz ă
și reformuleaz ă.
5.Revezi 7.4.(Aflarea unei frac ții dintr-un întreg), extrage esen țialul și reformuleaz ă.

Rezumat

Aceastã unitate de înv ățare are ca scop dobândirea unor cuno știn țe asupra frac țiilor și a
capacit ăților de predare-înv ățare a acestora la clasele I-IV. Dup ă introducerea no țiunilor de
unitate frac ționarã și frac ție, sunt prezentate aspecte metodice privind: preda rea-înv ățarea
frac țiilor, compararea frac țiilor, opera ții cu frac ții care au acela și numitor și aflarea unei frac ții
dintr-un întreg.

Bibliografie
Atanasiu, Gh., Purcaru, M.A.P.: Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, Editura
Universit ății „Transilvania” din Bra șov, 2002.
Neac șu, I., (coordonator): Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactic ă
și Pedagogic ă, Bucure ști, 1988.
Ro șu, M.: Metodica pred ării matematicii pentru colegiile universitare de institutori,
Universitatea din Bucure ști, Editura CREDIS, 2004.
Ro șu, M.: Didactica matematicii în înv ăță mântul primar, MEC, Unitatea de Management a
Proiectului pentru Înv ăță mântul Rural, 2007.
*** Manualele școlare (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I-IV .
***Ministerul Educa ției, Cercet ării și Tineretului, Consiliul Na țional pentru Curriculum.
Programe școlare pentru înv ăță mântul primar , revizuite. Bucure ști,2003(I,II),2004(III), 2005(IV).

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia rezolv ării și compunerii de probleme

69 Unitatea de înv ățare nr. 8

METODOLOGIA REZOLV ĂRII ȘI COMPUNERII DE
PROBLEME

Cuprins
Obiectivele unit ății de înv ățare………………………………………………………….. 69
§8.1. No țiunea de problem ă matematic ă………………………………………………… 69
§8.2. Valen țele formative ale activit ăților rezolutive……………………………………. 70
§8.3. Etapele rezolv ării problemelor de matematic ă……………………………………. 71
§ 8.4. Metode pentru rezolvarea problemelor de aritmetic ă……………………………… 73
§ 8 .5. Rezolvarea principalelor categorii de probleme aritmeti ce………………………… 75
8.5.1. Rezolvarea problemelor simple…………………………………………….. 75
8.5.2. Rezolvarea problemelor compuse…………………………………………… 77
8.5.3. Metode speciale de rezolvare a problemelor d e matematic ă…………………… 77
8.5.3.1. Metoda figurativ ă sau grafic ă…………………………………………. 77
8.5.3.2. Metoda compara ției…………………………………………………… 78
8.5.3.3. Metoda falsei ipoteze………………………………………………. 78
8.5.3.4. Metoda mersului invers……………………………………………. 78
8.5.3.5. Regula de trei simpl ă………………………………………………. 79
8.5.3.6. Regula de trei compus ă……………………………………………. 79
8.5.3.7. Probleme de mi șcare………………………………………………. 81
8.5.3.8. Probleme nonstandard……………………………………………… 81
§ 8.6. Rezolvarea problemelor prin mai multe c ăi, verificarea solu ției aflate și scrierea
formulei numerice……………………………………………………………………… 81
§ 8.7. Activitatea de compunere a problemelor de c ătre elevi…………………………… 82
Test de autoevaluare…………………………………………………………………….. 85
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare……………………………………… 85
Lucrare de verificare…………………………………………………………………….. 85
Rezumat…………………………………………………… ……………………………. 86
Bibliografie……………………………………………………………………………… 86

Obiectivele unit ății de înv ățare
În urma parcurgerii acestei unit ăți de înv ățare, studen ții vor fi capabili:
-să aplice metodologia rezolv ării problemelor de matematic ă la clasele I-IV;
-să con știentizeze valen țele formative ale activit ăților de rezolvare și compunere de
probleme, cu exemplific ări;
-să aleag ă din multitudinea c ăilor de rezolvare a unei probleme pe cea mai rapid ă și elegant ă;
-să stabileasc ă raportul dintre îndrum ările date elevilor de c ătre institutor și activit ățile creatoare
ale acestora;
-să priveasc ă activitatea de compunere a problemelor ca importan t ă modalitate de cultivare și
educare a creativit ății gândirii pre școlarului și a școlarului mic.

§ 8 .1. No țiunea de problem ă matematic ă

Cuvântul problem ă î și are originea în limba latin ă (problema) și a intrat în vocabularul
românesc prin limba francez ă (problème) .
Termenul de problem ă nu este suficient delimitat și precizat, având un con ținut larg și
cuprinzând o gam ă larg ă de preocup ări și ac țiuni din domenii diferite. Etimologic, în german ă
pro-ballein înseamn ă înaintea unei bariere , obstacol care st ă în cale , ceea ce ar mai putea fi
interpretat ca o dificultate teoretic ă sau practic ă a c ărei rezolvare nu se poate face prin aplicarea

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia rezolv ării și compunerii de probleme

70
direct ă a unor cuno știn țe și metode cunoscute, ci este nevoie de investigare, tatonare, c ăutare.
Etimologia greac ă a cuvântului problem ă arat ă c ă ea reprezint ă o provocare la c ăutare, la
descoperirea solu ției.
Revenind la spa țiul didactic, se consider ă drept problem ă orice dificultate teoretic ă sau
practic ă, în care elevul pentru a-i g ăsi solu ția, trebuie s ă depun ă o activitate proprie de cercetare,
în care s ă se conduc ă dup ă anumite reguli și în urma c ăreia s ă dobândeasc ă noi cuno știn țe și
experien ță .
Dup ă Dic ționarul Explicativ al Limbii Române, (DEX), cuvântul problem ă are urm ătoa-
rele defini ții:
Problem ă: “Chestiune care intr ă în sfera preocup ărilor, a cercet ărilor cuiva, obiect
principal al preocup ărilor cuiva; tem ă, materie”;
Problem ă: “Chestiune important ă care constituie o sarcin ă, o preocupare (major ă) și cere o
solu ționare (imediat ă)”;
Problem ă: “Dificultate care trebuie rezolvat ă pentru a ob ține un anumit rezultat; greutate,
impas”;
Problem ă: “Lucru greu de în țeles, greu de rezolvat sau de explicat; mister, enigm ă”;
și în sfâr șit:
Problem ă de matematic ă: “Chestiune în care, fiind date anumite ipoteze, se cere
rezolvarea, prin calcule sau prin ra ționamente, asupra unor date.”
Între probleme și exerci ții se poate face distinc ție, în general, în func ție de prezen ța sau
absen ța textului prin care se dau datele și leg ăturile între ele.
Exerci țiul con ține datele, numerele cu care se opereaz ă și semnele opera țiilor respective,
elevul având sarcina de a efectua calculele dup ă tehnici și metode cunoscute.
Problema conduce, pentru rezolvarea ei, la o activitate de descoperi re. Textul problemei
indic ă datele, rela țiile dintre date și necunoscut ă și întrebarea problemei, care se refer ă la
valoarea necunoscutei.
Matematic vorbind, distinc ția între exerci țiu și problem ă nu trebuie f ăcut ă dup ă forma
exterioar ă a acestora, ci dup ă natura rezolv ării.
Trebuie îns ă f ăcut ă observa ția c ă un enun ț poate fi o problem ă pentru un copil din clasa I,
un exerci țiu pentru cel din clasa a V-a și ceva perfect cunoscut pentru un matematician.
Pe m ăsur ă ce elevul î și însu șește modalit ăți de rezolvare mai generale, pe m ăsur ă ce cre ște
experien ța lui în rezolvarea problemelor, treptat, enun țuri care constituiau pentru el probleme,
devin simple exerci ții.

§ 8 .2. Valen țele formative ale activit ăților rezolutive

Este unanim recunoscut faptul c ă rezolvarea problemelor de matematic ă este una din cele
mai sigure c ăi ce duce la dezvoltarea gândirii, imagina ției, aten ției și spiritului de observa ție al
elevilor. Aceast ă activitate pune la încercare în cel mai înalt grad capacit ățile intelectuale ale
elevilor, le solicit ă acestora toate disponibilit ățile psihice, în special inteligen ța, motiv pentru
care, programa de matematic ă din ciclul primar acord ă rezolv ării problemelor o importan ță
deosebit ă. Acesta este eviden țiat ă de faptul c ă unul dintre cele patru obiective cadru ale
programei este centrat pe acest tip de activitate. Nu este vorba de a parcurge cât mai multe tipuri
de probleme sau metode de rezolvare, ci despre a-i crea elevului s itua ții noi de înv ățare, la care s ă
răspund ă cât mai adecvat, în urma unui demers de explorare și investiga ție.
Dar nu numai procesele de cunoa ștere sunt mobilizate în rezolvarea unei probleme, ci
întreaga personalitate a celui ce rezolv ă problema, în toate coordonatele ei ra ționale, afective,
volitive.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia rezolv ării și compunerii de probleme

71 Problemele de matematic ă fiind strâns legate, adesea, prin însu și enun țul lor, de via ță , de
realitate, de practic ă, genereaz ă la elevi un sim ț al realit ății de tip matematic, formându-le
deprinderea de a rezolva problemele practice pe care via ța le scoate în calea lor.
Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea con știent ă a unei probleme presupune o mare
mobilizare a proceselor psihice de cunoa ștere, volitive, motiva țional-afective.
Gândirea prin opera țiile logice de analiz ă, sintez ă, compara ție, abstractizare și
generalizare este cel mai solicitat și antrenat proces cognitiv.
Prin rezolvarea de probleme, elevii î și formeaz ă priceperi și deprinderi de a analiza
situa ția dat ă de problem ă, de a intui și descoperi calea prin care se ob ține ceea ce se cere în
problem ă. Rezolvarea problemelor contribuie astfel la culti varea și dezvoltarea capacit ăților
creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilit ății ei, a capacit ăților anticipativ-imaginative, la
educarea perspicacit ății și spiritului de ini țiativ ă, la dezvoltarea încrederii în for țele proprii.
Activitatea de rezolvare a problemelor de matematic ă contribuie la clasificarea,
aprofundarea și fixarea cuno știn țelor teoretice înv ățate. De asemenea, predarea multora
dintre problemele teoretice se face prin rezolvarea uneia sau mai multor probleme,
subliniindu-se proprietatea, defini ția sau regula ce urmeaz ă a fi explicate.
Prin activitatea rezolutiv ă la matematic ă elevii î și formeaz ă deprinderi eficiente de
munc ă intelectual ă, care vor influen ța pozitiv și studiul altor discipline de înv ăță mânt, î și
educ ă și cultiv ă calit ățile.
De asemenea, activit ățile matematice de rezolvare și compunere a problemelor
contribuie la îmbog ățirea orizontului de cultur ă general ă al elevilor prin folosirea în textul
problemelor a unor cuno știn țe pe care nu le studiaz ă la alte discipline de înv ăță mânt. Este
cazul informa țiilor legate de: distan ță , vitez ă, timp, pre ț de cost, cantitate, dimensiune, mas ă,
arie, durata unui fenomen, etc.
Rezolvând sistematic probleme de orice tip, elevii î și formeaz ă seturi de priceperi,
deprinderi și atitudini pozitive, care le confer ă posibilitatea de a rezolva și a compune ei
în șiși, în mod independent, probleme.
Problemele de matematic ă prin con ținutul lor, prin tehnicile de abordare în scopul
găsirii solu ției, contribuie la cultivarea și educarea unor noi atitudini fa ță de munc ă, la
formarea disciplinei con știente, la dezvoltarea spiritului de competi ție cu sine însu și și cu
al ții, la dezvoltarea prietenei.
Nu se pot omite nici efectele benefice ale activit ății de rezolvare a problemelor de
matematic ă pe planul valorilor autoeducative.
Prin enumerarea valen țelor formative în personalitatea elevilor, pe care le genereaz ă
activitatea de rezolvare și compunere a problemelor de matematic ă, se justific ă de ce
programele școlare acord ă o atât de mare importan ță acestei activit ăți școlare și de ce și
institutorul trebuie s ă-i acorde importan ța cuvenit ă.

§ 8 .3. Etapele rezolv ării problemelor de matematicã

În activitatea de rezolvare a unei probleme de matematic ă se parcurg mai multe etape. În
fiecare etap ă are loc un proces de reorganizare a datelor și de reformulare a problemei.
Aceste etape sunt:
1. Cunoa șterea enun țului problemei
2. În țelegerea enun țului problemei.
3. Analiza problemei și întocmirea planului logic, cu efectuarea opera țiilor corespunz ătoare
succesiunii judec ăților din planul logic.
4. Organizarea și redactarea întregii rezolv ări a problemei.
5. Activit ăți suplimentare:

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia rezolv ării și compunerii de probleme

72
– verificarea rezultatului;
– scrierea rezolv ării sub form ă de exerci țiu;
– g ăsirea altei c ăi sau metode de rezolvare;
– generalizare;
– compunere de probleme dup ă o schem ă asem ănătoare.
1. Cunoa șterea enun țului problemei
În aceast ă etap ă de început în rezolvarea oric ărei probleme, rezolvitorul trebuie s ă ia
cuno știn ță cu datele problemei, cu leg ăturile existente între ele și bineîn țeles cu necunoscuta
problemei. Dup ă citirea textului problemei de c ătre institutor sau de c ătre elevi, se va repeta
problema de mai multe ori, pân ă la înv ățarea ei de c ătre to ți elevii, sco țându-se în eviden ță
anumite date și leg ăturile dintre ele, precum și întrebarea problemei. Se vor scrie pe tabl ă și pe
caiete datele problemei.
2. În țelegerea enun țului problemei
Enun țul problemei con ține un minim necesar de informa ții. Pentru ca elevul s ă poat ă
formula ni ște ipoteze și s ă construiasc ă ra ționamentul rezolv ării problemei, este necesar s ă
cunoasc ă și s ă în țeleag ă problema. Datele și condi ția problemei reprezint ă termenii de orientare a
ideilor, a analizei și sintezei, precum și a generaliz ărilor ce au loc treptat, pe m ăsur ă ce se
înainteaz ă spre solu ție. Întrebarea problemei este direc ția în care trebuie s ă se orienteze
formularea ipotezelor. Prin citirea textului problemei, prin ilus trarea cu imagini sau chiar cu
ac țiuni când este cazul, enun țul problemei este în țeles de c ătre elevi.
3. Analiza problemei și întocmirea planului logic
Este etapa în care se elimin ă aspectele care nu au semnifica ție matematic ă și se elaboreaz ă
reprezentarea matematic ă a enun țului problemei.
În aceast ă etap ă se construie ște ra ționamentul prin care se rezolv ă problema. Prin
exerci țiile de analiz ă a datelor, a semnifica ției lor, a leg ăturilor dintre ele și a celor existente între
date și necunoscute se ajunge, prin dep ăș irea situa țiilor concrete pe care le prezint ă problema, la
nivelul abstract care vizeaz ă rela țiile dintre parte și întreg; vitez ă, distan ță și timp; cantitate, pre ț,
valoare; etc.
Prin transpunerea problemei într-un desen, într-o imagine sau într-o s chem ă, prin scrierea
rela țiilor dintre ele într-o coloan ă, se va eviden ția esen ța matematic ă a problemei, adic ă
reprezentarea matematic ă a con ținutului ei.
În momentul în care elevii au transpus problema în rela ții matematice, prin efectuarea
opera țiilor corespunz ătoare succesiunii din planul logic de rezolvare, prin con știentizarea
semnifica ției rezultatelor par țiale care se ob țin, solu ția este descoperit ă.
4. Organizarea și redactarea întregii rezolv ări a problemei
Cunoscând metodele de rezolvare și calcul, se va trece în aceast ă etap ă la redactarea clar ă
și într-o form ă cât mai îngrijit ă, a întregii rezolv ări a problemei.
5. Activit ăți suplimentare dup ă rezolvarea problemei
Aceast ă etap ă are o mare importan ță în formarea abilit ăților, a priceperilor și deprinderilor
de a rezolva probleme, deoarece aici intr ă verificarea solu ției problemei, g ăsirea și a altor metode
de rezolvare, cu alegerea celor mai elegante. Este deci et apa prin care se realizeaz ă și
autocontrolul asupra felului în care s-a însu șit enun țul problemei, asupra ra ționamentului realizat
și a demersului de rezolvare parcurs.
La sfâr șitul rezolv ării unei probleme, se indic ă categoria din care face parte problema, se
fixeaz ă algoritmii ei de rezolvare, se transpune rezolvare a problemei într-un exerci țiu sau, dup ă caz,
în fragmente de exerci țiu. Prin rezolvarea de probleme asem ănătoare, prin compunerea de
probleme cu acelea și date sau cu date schimbate, dar rezolvabile dup ă acela și exerci țiu,
institutorul descoper ă cu elevii schema general ă de rezolvare a unei categorii de probleme. Este o

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia rezolv ării și compunerii de probleme

73 cerin ță care nu duce la schematizarea, la fixitatea sau rigiditat ea gândirii, ci dimpotriv ă, la
cultivarea și educarea creativit ății, la antrenarea permanent ă a gândirii elevilor.

§ 8.4. Metode pentru rezolvarea problemelor de arit metic ă
Metodele aritmetice se clasific ă în dou ă categorii: metode aritmetice fundamentale sau
generale și metode aritmetice speciale sau particulare .
I.) Metode aritmetice generale
Metodele aritmetice generale se aplic ă într-o m ăsur ă mai mare sau mai mic ă în rezolvarea
tuturor problemelor. Utilizarea acestor metode se bazeaz ă cu deosebire pe opera țiile de analiz ă și
sintez ă ale gândirii, motiv pentru care se numesc metoda analitic ă și metoda sintetic ă.
I1.) Metoda analitic ă
A examina o problem ă prin metoda analitic ă înseamn ă a privi întâi problema în
ansamblu, apoi, pornind de la întrebarea ei, a o descompune în problemele simple din care e
alc ătuit ă și a orândui aceste probleme simple într-o succesiune logic ă astfel încât rezolvarea lor
să contribuie în mod convergent la formularea r ăspunsului pe care îl cere întrebarea problemei
date.
Cu alte cuvinte, metoda analitic ă reprezint ă calea de abordare a problemei, plecând de la
cerin țe spre date.
Exemplu:
Într-o întreprindere lucreaz ă dou ă echipe de strungari: prima cu 6 strungari, care strunjesc
câte 18 piese pe zi, a doua cu 7 strungari care strunjesc câte 16 piese pe zi. S ă se stabileasc ă
valoarea pieselor executate într-o zi de cele dou ă echipe, știind c ă o pies ă este evaluat ă în medie
la 48 lei.
Examinarea problemei:
Pentru a afla valoarea total ă a pieselor, cunoscând valoarea unitar ă, ar trebui s ă se știe
num ărul total al pieselor strunjite de cele dou ă echipe. În acest scop este necesar s ă se afle
întâi num ărul pieselor strunjite de prima echip ă, apoi num ărul de piese strunjite de a doua
echip ă. Num ărul pieselor strunjite de o echip ă se poate afla utilizând datele problemei, și
anume înmul țind num ărul pieselor strunjite de un strungar cu num ărul strungarilor din echip ă.
Schematic, examinarea problemei prin metoda analitic ă se înf ățișeaz ă astfel:

Detaliile stabilite analitic se sintetizeaz ă sub forma unui plan de rezolvare care cuprinde
enun țarea problemelor simple în care s-a descompus problema dat ă și indic ă succesiunea acestor
probleme în procesul de efectuare a calculelor: Valoarea unei
piese (48 lei) Valoarea total ă
a pieselor
Num ărul total
de piese
Num ărul pieselor
strunjite de echipa I Num ărul pieselor
strunjite de echipa II
Num ărul strungarilor
din echipa I Num ărul strungarilor
din echipa II Num ărul pieselor
executate de un
strungar Num ărul pieselor
executate de un
strungar

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia rezolv ării și compunerii de probleme

74
1) Care este num ărul pieselor strunjite de echipa I?
18 piese ⋅ 6 = 108 piese
2) Care este num ărul pieselor strunjite de echipa a II-a?
16 piese ⋅ 7 = 112 piese
3) Care este num ărul total de piese strunjite de cele dou ă echipe?
108 piese + 112 piese = 220 piese
4) Care este valoarea pieselor executate?
48 lei ⋅ 220 = 10 560 lei.
I2.) Metoda sintetic ă
A examina o problem ă prin metoda sintetic ă înseamn ă a orienta gândirea elevilor asupra
datelor problemei, a grupa aceste date dup ă rela țiile dintre ele, astfel încât s ă se formuleze cu
aceste date toate problemele simple posibile și a a șeza aceste probleme simple într-o succesiune
logic ă astfel alc ătuite încât s ă se încheie cu acea problem ă simpl ă a c ărei întrebare coincide cu
întrebarea problemei date.
Pe scurt, metoda sintetic ă reprezint ă calea de abordare a problemei, plecând de la date
spre cerin țe.
Exemplu:
Problema enun țat ă și studiat ă mai sus se examineaz ă prin metoda sintetic ă astfel:
1) Cunoscând num ărul strungarilor din prima echip ă și num ărul pieselor strunjite de
fiecare, se afl ă num ărul pieselor executate de întreaga echip ă.
2) Analog pentru echipa a II-a.
3) Dac ă se afl ă câte piese au fost strunjite de prima echip ă și câte de a doua, atunci se poate
afla num ărul total de piese strunjite de cele dou ă echipe.
4) Cunoscând num ărul total de piese și valoarea medie a unei piese, se poate afla valoarea
lor total ă.
Schema examin ării problemei prin metoda sintetic ă este urm ătoarea:

În leg ătur ă cu cele dou ă metode generale de examinare a unei probleme, se men ționeaz ă
faptul c ă procesul analitic nu apare și nici nu se produce izolat de cel sintetic, întrucât cele dou ă
opera ții ale gândirii se g ăsesc într-o strâns ă conexiune și interdependen ță , ele condi ționându-se Num ărul
strungarilor din
echipa I Num ărul
strungarilor din
echipa II Num ărul pieselor
executate de un
strungar Num ărul pieselor
executate de un
strungar
Num ărul pieselor
strunjite de echipa I Num ărul pieselor
strunjite de echipa II
Num ărul total
de piese Valoarea unei
piese (48 lei)
Valoarea total ă
a pieselor

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia rezolv ării și compunerii de probleme

75 reciproc și realizându-se într-o unitate inseparabil ă. De aceea nu poate fi vorba de utilizarea în
mod exclusiv a uneia sau alteia din aceste metode, în examinarea unei probleme intervenind
ambele metode ca laturi separate ale procesului unitar de gândire , îns ă în anumite momente sau
situa ții una din ele devine dominant ă. Astfel, descompunerea unei probleme compuse în
problemele simple din care este alc ătuit ă, constituie în esen ță un proces de analiz ă, iar formularea
planului de rezolvare, cu stabilirea succesiunii problemelor simple, constituie un proces de
sintez ă. Din aceste motive, cele dou ă metode apar adeseori sub o denumire unic ă: metoda
analitico-sintetic ă.
În practic ă s-a demonstrat c ă metoda sintetic ă este mai accesibil ă, dar nu solicit ă prea mult
gândirea elevilor. Mai mult, se constat ă c ă unii elevi pierd din vedere întrebarea problemei și
sunt tenta ți s ă calculeze valori de m ărimi care nu sunt necesare în g ăsirea solu ției problemei.
Metoda analitic ă pare mai dificil ă, dar solicit ă mai mult gândirea elevilor și folosind-o, îi ajut ă pe
copii s ă priveasc ă problema în totalitatea ei, s ă aib ă mereu în aten ție întrebarea problemei.
II.) Metode aritmetice speciale
Metodele aritmetice speciale sunt mai variate și difer ă de la o categorie de probleme la alta,
adoptându-se specificului acestora. Cele mai importante și mai frecvente sunt urm ătoarele:
metoda figurativ ă sau grafic ă, metoda compara ției, metoda falsei ipoteze, metoda mersului
invers.
În rezolvarea problemelor nu este întotdeauna eficient ă aplicarea unei singure metode, fiind
necesar ă combinarea metodelor, în anumite etape ale rezolv ării, predominând una dintre ele.
Alteori orientarea se face dup ă felul cum au fost rezolvate problemele înrudite, procedând
similar, adic ă aplicând metoda analogiei.
De asemenea, în afar ă de metodele men ționate mai sus, exist ă și alte metode speciale
aplicabile în rezolvarea unor anumite categorii de probleme, cum sunt problemele de: regula de
trei simpl ă sau compus ă, în rezolvarea c ărora se utilizeaz ă reducerea la unitate și metoda
propor țiilor, apoi problemele de împ ărțire în p ărți propor ționale, problemele cu procente,
problemele de amestec și aliaj, problemele de mi șcare, problemele nonstandard, etc.

§ 8 .5. Rezolvarea principalelor categorii de proble me aritmetice

O prim ă clasificare a problemelor conduce la dou ă categorii: probleme simple (cele
rezolvabile printr-o singur ă opera ție) și probleme compuse (cele rezolvabile prin cel pu țin dou ă
opera ții).

8.5.1. Rezolvarea problemelor simple

Specific clasei I este primul tip de probleme, a c ăror rezolvare conduce la o adunare sau
sc ădere din concentrele numerice înv ățate.
Rezolvarea acestora reprezint ă, în esen ță , solu ționarea unor situa ții problematice reale, pe
care copiii le întâlnesc sau le pot întâlni în via ță , în realitatea înconjur ătoare. Pe plan psihologic,
rezolvarea unei probleme simple reprezint ă un proces de analiz ă și sintez ă în cea mai simpl ă
form ă. Problema trebuie s ă cuprind ă date (valori numerice și rela ții între ele) și întrebarea
problemei (ce se cere a fi aflat). La cea mai simpl ă analiz ă a întreb ării problemei se ajunge la
date și la cea mai simpl ă sintez ă a datelor se ajunge la întrebarea problemei. A rezolva în mod
con știent o problem ă simpl ă, înseamn ă a cunoa ște bine punctul de plecare (datele problemei) și
punctul la care trebuie s ă se ajung ă (întrebarea problemei), înseamn ă a stabili între acestea un
drum ra țional, o rela ție corect ă, adic ă a alege opera ția corespunz ătoare, impus ă de rezolvarea
problemei.
Predarea oric ărui nou con ținut matematic trebuie s ă se fac ă, de regul ă, pornind de la o
situa ție-problem ă care îl presupune. Și din acest motiv, abordarea problemelor trebuie s ă înceap ă
suficient de devreme și s ă fie suficient de frecvent ă pentru a sublinia (implicit, dar uneori și
explicit) ideea c ă matematica este impus ă de realitatea înconjur ătoare, pe care o reflect ă și pe
care o poate solu ționa cantitativ.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia rezolv ării și compunerii de probleme

76
În momentul în care elevii cunosc numerele naturale dintr-un anumit conc entru și opera țiile
de adunare/sc ădere cu acestea, introducerea problemelor ofer ă copiilor posibilitatea aplic ării
necesare și plauzibile a tehnicilor de calcul, capacitatea de a recunoa ște și discrimina situa țiile
care implic ă o opera ție sau alta, precum și exersarea unei activit ăți specific umane: gândirea.
Stabilirea opera ției corespunz ătoare constituie un proces de gândire dificil, fiind necesar ă
precizarea cazurilor care determin ă o anumit ă opera ție, acest lucru realizându-se în urma unei
analize pe cât mai multe cazuri particulare
Copiii întâmpin ă dificult ăți în rezolvarea problemelor simple, din pricina neîn țelegerii
rela țiilor dintre date (valori numerice), text și întrebare. Valorile numerice sunt greu legate de
con ținut și de sarcina propus ă în problem ă și pentru c ă numerele exercit ă asupra copiilor o
anumit ă fascina ție, care îi face s ă ignore con ținutul problemei.
Un alt grup de dificult ăți apare din pricina limbajului matematic, de aceea, una dintre
sarcinile importante ale institutorului este aceea de a înv ăța pe copii s ă traduc ă textul unei
probleme în limbajul opera țiilor aritmetice.
Având în vedere caracterul intuitiv-concret al gândirii micului școlar, primele probleme ce
se rezolv ă cu clasa vor fi prezentate într-o form ă cât mai concret ă, prin punere în scen ă, prin
ilustrarea cu ajutorul materialului didactic și cu alte mijloace intuitive.
Con știentizarea elementelor componente ale problemei, ca și no țiunile de: problem ă,
rezolvarea problemei, r ăspunsul la întrebarea problemei le cap ătă copiii cu ocazia rezolv ării
problemelor simple, când se prezint ă în fa ța lor probleme vii, probleme-ac țiune, fragmente
autentice de via ță . Școlarii mici trebuie mai întâi s ă tr ăiasc ă problema, ca s ă înve țe s ă o rezolve.
În manualul clasei I, prezentarea problemelor se face gradat, trecând prin etapele:
– probleme dup ă imagini;
– probleme cu imagini și text;
– probleme cu text.
Introducerea problemelor cu text este condi ționat ă și de înv ățarea de c ătre elevi a citirii/
scrierii literelor și cuvintelor componente.
Manualul sugereaz ă și modalitatea de redactare a rezolv ării unei probleme, urmând ca, în
absen ța unui text scris, institutorul s ă-i obi șnuiasc ă pe elevi s ă scrie doar datele și întrebarea
problemei. Dup ă rezolvarea problemei, men ționarea explicit ă a r ăspunsului îi determin ă pe elevi
să con știentizeze finalizarea ac țiunii, fapt ce va deveni vizibil și în caietele lor, unde acest
răspuns va separa problema rezolvat ă de alte sarcini ulterioare de lucru (exerci ții sau probleme).
De și rezolv ările de probleme simple par u șoare, institutorul trebuie s ă aduc ă în aten ția
copiilor toate genurile de probleme care se rezolv ă printr-o singur ă opera ție aritmetic ă.
Problemele simple bazate pe adunare pot fi:
-de aflare a sumei a doi termeni;
-de aflare a unui num ăr mai mare cu un num ăr de unit ăți decât un num ăr dat;
-probleme de genul cu atât mai mult .
/f020 Problemele simple bazate pe sc ădere pot fi:
-de aflare a restului;
-de aflare a unui num ăr care s ă aib ă cu un num ăr de unit ăți mai pu ține decât un num ăr dat;
-de aflare a unui termen atunci când se cunosc suma și cel ălalt termen al sumei;
-problemele de genul cu atât mai pu țin .
Problemele simple bazate pe înmul țire sunt, în general:
-de repetare de un num ăr de ori a unui num ăr dat;
-de aflare a produsului;
-de aflare a unui num ăr care s ă fie de un num ăr de ori mai mare decât un num ăr dat.
Problemele simple bazate pe împ ărțire pot fi:

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia rezolv ării și compunerii de probleme

77 -de împ ărțire a unui num ăr dat în p ărți egale;
-de împ ărțire prin cuprindere a unui num ăr prin altul;
-de aflare a unui num ăr care s ă fie de un num ăr de ori mai mic decât un num ăr dat;
-de aflare a unei p ărți într-un întreg;
-de aflare a raportului dintre dou ă numere.

8.5.2. Rezolvarea problemelor compuse

Rezolvarea acestor probleme nu înseamn ă, în esen ță , rezolvarea succesiv ă a unor probleme
simple. Nu rezolvarea problemelor simple la care se reduce proble ma compus ă constituie
dificultatea principal ă într-o problem ă cu mai multe opera ții, ci leg ătura dintre verigi, constituirea
ra ționamentului. De aceea, este necesar ă o perioad ă de tranzi ție de la rezolvarea problemelor
simple (cu o opera ție) la rezolvarea problemelor compuse (cu dou ă sau mai multe opera ții). Se va
porni astfel de la rezolvarea unor probleme alc ătuite din succesiunea a dou ă probleme simple.
În cadrul acestei activit ăți elevii realizeaz ă mersul ra ționamentului și învață s ă elaboreze
tactica și strategia rezolv ării prin elaborarea planului de rezolvare a problemei.
Examinarea unei probleme compuse se face, de regul ă prin metoda analitic ă sau sintetic ă.
Cele dou ă metode se pot folosi simultan sau poate s ă predomine una sau alta, caz în care metoda
care predomin ă î și impune specificul asupra c ăilor care duc la g ăsirea solu ției. Atât o metod ă, cât
și cealalt ă constau în descompunerea problemei date în probleme simple care, prin rezolvare
succesiv ă, duc la g ăsirea solu ției finale. Deosebirea dintre ele const ă practic, în punctul de
plecare al ra ționamentului.
O dat ă cu analiza logic ă a problemei se formuleaz ă și planul de rezolvare. Planul trebuie
scris de institutor pe tabl ă și de elevi pe caietul lor, mai ales la rezolvarea primelor pr obleme,
scopul fiind acela al form ării deprinderilor de a formula întreb ări și pentru alte rezolv ări de
probleme.
O aten ție deosebit ă trebuie s ă acorde institutorul problemelor ce admit mai multe procedee
de rezolvare. Și aceasta pentru c ă prin rezolvarea lor se cultiv ă mobilitatea gândirii, creativitatea ,
se formeaz ă sim țul estetic al școlarului. Adesea elevii nu observ ă de la început existen ța mai
multor c ăi de rezolvare. Institutorului, prin tactul lui pedagogic, prin anal iza întreprins ă cu clasa,
prin întreb ări ajut ătoare, trebuie s ă-i determine pe elevi s ă se gândeasc ă și la alte modalit ăți de
rezolvare.

8.5.3. Metode speciale de rezolvare a problemelor d e matematic ă

8.5.3.1. Metoda figurativ ă sau grafic ă
Metoda artitmetic ă, care pentru reprezentarea m ărimilor din problem ă și a rela țiilor dintre
ele utilizeaz ă elemente grafice sau desene și scheme se nume ște metod ă figurativ ă.
În aplicarea acestei metode se poate face apel la orice cat egorie de elemente grafice sau
combina ții ale acestora cu condi ția ca ele s ă fie adecvate naturii datelor problemei și specificului
lor. Astfel, se pot întâlni:
-desene care reprezint ă ac țiunea problemei și p ărțile ei componente (pentru clasele mici);
-figuri geometrice diferite: segmentul de dreapt ă, triunghiul, dreptunghiul, p ătratul, cercul;
-figurarea schematic ă a rela țiilor matematice dintre datele problemei;
-diverse semne conven ționale, unele obi șnuite, altele stabilite de comun acord cu elevii;
-litere și combina ții de litere;
-elemente grafice simple: puncte, linii, ovale, cercule țe, etc.
Metoda figurativ ă ajut ă la formarea schemei problemei, la concentrarea asupra tuturor
condi țiilor problemei.
În rezolvarea unei probleme care face apel la aceast ă metod ă, sprijinul se face pe
ra ționament, folosind în țelesul concret al opera țiilor.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia rezolv ării și compunerii de probleme

78
Metoda figurativ ă este situat ă pe primul loc în ceea ca prive ște utilitatea ei, datorit ă
avantajelor pe care le prezint ă. Astfel:
-are caracter general, utilizându-se la orice categorii de probleme în care se preteaz ă
figurarea și pe diferite trepte ale școlariz ării;
-are caracter intuitiv, în țelegerea rela țiilor dintre datele problemei f ăcându-se pe baza
imaginilor vizuale, uneori intervenind ac țiunea direct ă, mi șcarea și transpunerea acesteia pe plan
mintal;
-prin dimensiunile elementelor figurative și prin propor țiile dintre ele se creeaz ă variate
modalit ăți de stabilire a rela țiilor cantitative dintre diferitele valori ale m ărimilor, se sugereaz ă
aceste rela ții, se pun în eviden ță .
8.5.3.2. Metoda compara ției
Metoda compara ției const ă în a face ca una dintre cele dou ă m ărimi s ă aib ă aceea și
valoare și în acest mod problema se simplific ă, devenind cu o singur ă necunoscut ă. Într-o astfel
de problem ă, a șezarea datelor se face prin respectarea rela țiilor stabilite între m ărimi și astfel
încât compara ția dintre valorile aceleia și m ărimi s ă fie pus ă în eviden ță în mod direct, a șezând
valorile de acela și fel unele sub altele.
Procedeul aritmetic de rezolvare a unor astfel de probleme duce la eliminarea uneia dintre
mărimi prin reducere, adic ă prin adunare sau sc ădere. Dac ă valorile aceleia și m ărimi sunt egale
prin enun țul problemei, reducerea este imediat ă prin sc ăderea rela țiilor respective. Dac ă din
enun țul problemei nu rezult ă valori egale, atunci apare necesitatea aducerii la acela și termen de
compara ție.
8.5.3.3. Metoda falsei ipoteze
Problemele din aceast ă categorie sunt foarte numeroase. Prin aceast ă metod ă poate fi
rezolvat ă orice problem ă ale c ărei date sunt m ărimi propor ționale.
Metoda falsei ipoteze este metoda aritmetic ă prin care rezolvarea unei probleme are loc pe
baza unei presupuneri, a unei ipoteze, confruntând apoi situa ția real ă cu cea creat ă prin
introducerea datelor ipotetice. Numele metodei se justific ă prin faptul c ă ipoteza care se face nu
corespunde decât întâmpl ător cu rezultatul problemei. Ea se utilizeaz ă în toate cazurile în care,
prin ipotezele care se fac, se poate ajunge la stabilirea re la țiilor dintre datele problemei și deci la
rezolvarea ei.
De regul ă, se pleac ă de la întrebarea problemei, în sensul c ă asupra m ărimii care se caut ă se
face o presupunere complet arbitrar ă. Se reface apoi problema pe baza presupunerii f ăcute.
Deoarece m ărimile sunt propor ționale, rezultatele ob ținute pe baza presupunerii se translateaz ă în
plus sau în minus, dup ă cum presupunerea f ăcut ă este mai mic ă, respectiv mai mare decât
rezultatul real. Ref ăcând, a șadar, problema, se ajunge la un rezultat care nu concord ă cu cel real
din problem ă. El este fie mai mare, fie mai mic decât acesta. În acest moment se compar ă
rezultatul pe baza presupunerii, cu cel real din punct de vedere al c âtului și se observ ă de câte ori
s-a gre șit când s-a f ăcut presupunerea. Se ob ține, a șadar, un num ăr cu ajutorul c ăruia se
corecteaz ă presupunerea f ăcut ă, în sensul c ă se mic șoreaz ă sau se m ăre ște de acest num ăr de ori.
Metoda are și unele variante de aplicare, dar, în principiu, ea r ămâne cea descris ă mai sus.
Problemele care se rezolv ă prin aceast ă metod ă se pot clasifica în dou ă categorii, în func ție
de num ărul ipotezelor care sunt necesare, pentru orientarea ra ționamentului și determinarea
rezultatelor:
1) Probleme de categoria I pentru rezolvarea c ărora este suficient ă o singur ă ipotez ă;
2) Probleme de categoria a II-a , pentru rezolvarea c ărora sunt necesare dou ă sau mai
multe ipoteze succesive.
8.5.3.4. Metoda mersului invers
Prin metoda mersului invers se rezolv ă aritmetic anumite probleme în care elementul

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia rezolv ării și compunerii de probleme

79 necunoscut apare în faza de început a șirului de calcule care se impun. Aceast ă metod ă de rezol-
vare a problemelor de aritmetic ă se nume ște a mersului invers , deoarece opera țiile se
reconstituie în sens invers ac țiunii problemei, adic ă de la sfâr șit spre început, fiec ărei opera ții
corespunzându-i inversa ei. Metoda mersului invers se aplic ă atât în rezolvarea exerci țiilor
numerice care con țin necunoscuta, cât și în rezolvarea problemelor care se încadreaz ă în tipul
respectiv, adic ă în care datele depind unele de altele succesiv, iar enun țul respectivei probleme
trebuie urm ărit de la sfâr șit spre început și în fiecare etap ă se face opera ția invers ă celei ap ărute
în problem ă. Deci, nu numai mersul este invers, ci și opera țiile care se fac pentru rezolvare sunt
inverse celor din problem ă.
Proba se face aplicând asupra num ărului g ăsit opera țiile indicate în enun țul problemei.
8.5.3.5. Regula de trei simpl ă
Regula de trei simpl ă reprezint ă o schem ă de a șezare a datelor și de utilizare a acestor
date în orientarea și desf ăș urarea procesului de gândire care intervine în examinarea și rezolvarea
unor probleme cu m ărimi propor ționale.
În problemele care se rezolv ă prin regula de trei simpl ă intervin dou ă m ărimi direct sau
invers propor ționale, fiecare m ărime cu câte o pereche de valori, una din aceste valori fiind
necunoscut ă. Prin urmare, în aceast ă categorie de probleme se dau trei valori cu ajutorul c ărora se
găse ște cea de-a patra valoare, fapt care justific ă numele pe care îl poart ă: regula de trei .
Se consider ă m ărimile X, Y, cu perechile de valori x 1, x 2, respectiv y 1, y 2, corespunz ătoare,
în a șa fel încât:
valorii x 1 ∈ X îi corespunde valoarea y 1 ∈ Y
valorii x 2 ∈ X îi corespunde valoarea y 2 ∈ Y
una din cele 4 valori fiind necunoscut ă.
Dac ă m ărimile X, Y sunt direct propor ționale, se poate scrie:
21
21
yy
xx= sau
22
11
yx
yx= ,
propor ții în care termenul necunoscut reprezint ă cel de-al patrulea propor țional și se poate afla ca
atare.
Dac ă m ărimile X, Y sunt invers propor ționale, se poate scrie:
12
21
yy
xx= sau
12
21
yx
yx= sau x 1 y 1 = x 2 y 2.
Din cele de mai sus rezult ă c ă pentru rezolvarea problemelor prin regula de trei simpl ă este
suficient s ă se a șeze datele conform acestei reguli, iar în rezolvare și calcul s ă se utilizeze
metoda propor țiilor (aflarea celui de-al patrulea propor țional).
Dar metoda care se utilizeaz ă cu deosebire în rezolvarea problemelor prin regula de trei simpl ă
este metoda reducerii la unitate.
8.5.3.6. Regula de trei compus ă
Problemele care se rezolv ă prin regula de trei compus ă exprim ă dependen ța direct sau
invers propor țional ă a unei m ărimi fa ță de alte dou ă sau mai multe m ărimi. Ele au în general
caracter practic aplicativ întrucât ilustreaz ă prin elemente matematice o serie de situa ții reale,
întâlnite în via ța de toate zilele sau în diferitele aspecte ale pro cesului de produc ție.
Rezolvarea unei probleme prin regula de trei compus ă presupune aplicarea succesiv ă a
regulii de trei simple, asociind m ărimii care con ține necunoscuta pe rând câte una din celelalte
mărimi și exprimând valoarea necunoscut ă în func ție de acestea.
În cazul când în problem ă intervin trei m ărimi, schema a șez ării datelor este urm ătoarea:

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia rezolv ării și compunerii de probleme

80
– mărimile : X Y Z
– valorile : x 1 … y 1 … z 1
x2 … y 2 … z 2

Dac ă m ărimea Z, care con ține necunoscuta z 2, este direct propor țional ă cu m ărimile X, Y,
atunci în prima problem ă cu regula de trei simpl ă care se formuleaz ă, întâi se consider ă mărimea
Y constant ă, având valoarea y 1, astfel c ă Z va depinde numai de X, judecata f ăcându-se dup ă cum
urmeaz ă:
x1 … y 1 … z 1
1 … y 1 …
11
xz
x2 … y 1 …
11
xz ⋅ x 2 = z 1 ⋅
12
xx.
Notând cu z’ valoarea z 1 ⋅
12
xx a m ărimii Z, corespunz ătoare valorii x 2 a m ărimii X, când
valoarea y 1 a m ărimii Y r ămâne neschimbat ă, se ob ține:

z’ = z 1 ⋅
12
xx.

Se formuleaz ă a doua problem ă cu regula de trei simpl ă, considerând m ărimea X constant ă,
valoarea corespunz ătoare pentru x 2 fiind z’. În aceast ă situa ție Z depinde numai de Y și se ob ține:

x2 …… y 1 …… z’
x2 …… 1 ……
1y' z
x2 …… y 2 ……
1yz' ⋅ y 2 = z’ ⋅
12
yy, unde z’ = z 1 ⋅
12
xx
deci:
z 2 = z 1 ⋅
1 12 2
yxyx
⋅⋅ sau
12
12
12
yy
xx
zz⋅ = .

În general , considerând mai multe m ărimi direct propor ționale:

X Y Z ..… Q P
x1 …… y 1 …… z 1 …… q 1 …… p 1
cu valorile lor: x 2 …… y 2 …… z 2 …… q 2 …… p 2

unde p 2 reprezint ă valoarea necunoscut ă a m ărimii P, dependen ța acestei m ărimi fa ță de celelalte
se exprim ă astfel:
1 1 1 12 2 2 2
1 2q… zyxq… zyxp p⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
sau

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia rezolv ării și compunerii de probleme

81 12
12
12
12
12
qq… zz
yy
xx
pp⋅⋅⋅⋅ = .
Dac ă m ărimea Z este direct propor țional ă cu X și invers propor țional ă cu Y, se ob ține
rela ția:
2 11 2
1 2yxyxz z⋅⋅⋅= sau
21
12
12
yy
xx
zz⋅ = ,
iar dac ă m ărimea Z este invers propor țional ă atât cu X, cât și cu Y, se ob ține rela ția:

2 21 1
1 2yxyxz z⋅⋅⋅= sau
21
21
12
yy
xx
zz⋅ = .
8.5.3.7. Probleme de mi șcare
Problemele de mi șcare sunt acele probleme de matematic ă în care se afl ă una dintre
mărimile: spa țiul (distan ța), viteza sau timpul, când se cunosc dou ă dintre ele sau diferite rela ții
între acestea.
Spa țiul ( s) este lungimea drumului parcurs de un mobil (tren, autoturism, om, e tc.)
exprimat în unit ăți de lungime (metri, multipli sau submultipli ai acestuia).
Timpul ( t) este num ărul de unit ăți de timp (secunde, minute, ore, zile) în care se parcurge
un spa țiu.
Viteza ( v) este num ărul de unit ăți de lungime parcurse de un mobil într-o unitate de timp,
exprimat ă prin unit ăți de lungime pe unit ăți de timp (exemplu: m/s, km/h).
În problemele de mi șcare se va vorbi, în general, despre mi șcarea uniform ă a unui mobil .
În acest caz se folosesc formulele:
s = v × t, v = ts, t = vs.
În scopul rezolv ării problemelor de mi șcare se pot folosi metodele aritmetice: figurativ ă, a
compara ției, a falsei ipoteze, a mersului invers, cât și cele algebrice, de cele mai multe ori aceste
metode fiind întrep ătrunse.
Problemele de mi șcare se pot clasifica în mai multe grupe:
1) Probleme ce conduc direct la probleme simple de aflare a spa țiului, vitezei sau
timpului;
2) Probleme de întâlnire, când deplasarea mobilelor se face în se nsuri opuse;
3) Probleme de urm ărire, când deplasarea mobilelor se face în acela și sens.
8.5.3.8. Probleme nonstandard
O categorie aparte de probleme (recreative, rebusistice, de pe rspicacitate), care nu se
supune exigen țelor vreunui criteriu de clasificare discutat pân ă acum și care nu permite aplicarea
unei metode (înv ățate) este cunoscut ă sub numele de probleme nonstandard .
Aceast ă categorie include probleme în fa ța c ărora, dup ă citirea enun țului, rezolvitorul, chiar
și cel cu experien ță , nu reu șește s ă le introduc ă în canoanele vreunei metode de rezolvare bine
știute. În aceast ă situa ție, gândirea și imagina ția sunt în plin ă activitate, elevul devenind, în
situa ția în care reu șește rezolvarea, un creator.
Conduita este creativ ă deoarece nici o problem ă nu seam ănă cu alta, de fiecare dat ă
rezolvitorul fiind obligat s ă g ăseasc ă o anume cale de rezolvare proprie fiec ărei probleme.

§ 8.6. Rezolvarea problemelor prin mai multe c ăi, verificarea solu ției aflate și
scrierea formulei numerice

În munca cu elevii, rezolvarea problemelor prin mai multe c ăi constituie o modalitate de

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia rezolv ării și compunerii de probleme

82
dezvoltare a gândirii logice, creatoare. Aceast ă activitate impulsioneaz ă elevii la c ăutarea unor
solu ții originale. Important este ca ei s ă în țeleag ă în mod con știent toate modalit ățile de
rezolvare, s ă le explice și apoi s ă le reproduc ă.
Verificarea (proba) solu ției aflate pentru o problem ă dat ă este foarte important ă pentru
realizarea scopului formativ, pentru dezvoltarea creativit ății gândirii elevilor.
În general, proba se face pe dou ă c ăi principale :
1) înlocuind rezultatele aflate, în con ținutul problemei; în acest caz, elevul trebuie s ă
poat ă încadra rezultatele (numerele) aflate în enun țul problemei și s ă poat ă verifica
condi ționarea lor astfel ca s ă ob țin ă datele (numerele) ini țiale;
2) rezolvând problema în dou ă sau mai multe moduri; în acest caz, elevul trebuie s ă ob țin ă
acela și rezultat prin toate c ăile de rezolvare, pentru a putea trage concluzia c ă solu ția
problemei este bun ă. Acest procedeu este mai eficient din punct de vedere al antren ării
elevului la munc ă independent ă, creatoare.
Complicarea problemei prin introducerea de noi date, sau prin modificarea întreb ării
contribuie în mare m ăsur ă la dezvoltarea flexibilit ății și creativit ății gândirii.
Formula numeric ă (sau literal ă) pentru rezolvarea unei probleme constituie un alt mijl oc
de stimulare a gândiri logice a elevilor, adesea folosit în ac tivitatea de rezolvare a problemelor,
este transpunerea rezolv ării unei probleme sub forma unui singur exerci țiu, folosind datele
problemei, sau înlocuindu-le cu litere, indiferent dac ă este sau nu încadrat ă într-o problem ă
tipic ă.
O asemenea activitate cu elevii este o munc ă de crea ție, de gândire, de stabilire de leg ături
logice, pentru a putea pune sub forma unui singur exerci țiu, ceea ce de fapt se realizeaz ă în mai
multe etape, prin exerci ții distincte.
Dac ă se înlocuiesc numerele din exerci țiu (datele problemei) prin litere, atunci procesul
devine complet prin generalizare.
Elevii trebuie f ăcu ți s ă în țeleag ă, c ă în formula numeric ă a problemei se folosesc datele
cunoscute ale acesteia, sau opera țiile prin care s-au aflat necunoscutele, folosindu-se la nevoie
parantezele rotunde, p ătrate sau acolade. În alc ătuirea exerci țiului trebuie s ă se țin ă cont de
ordinea opera țiilor din probleme, de ordinul opera țiilor care apar (ordinul I, ordinul II), ca și de
propriet ățile opera țiilor (comutativitate, asociativitate).
Rezolvarea exerci țiului trebuie s ă conduc ă la rezultatul problemei. În caz contrar, fie s-a
gre șit rezolvarea problemei, fie c ă s-a alc ătuit sau rezolvat gre șit exerci țiul.
Câmpul de aplicabilitate al acestei activit ăți creatoare, este deschis aproape la orice lec ție
unde se rezolv ă probleme.

§ 8.7. Activitatea de compunere a problemelor de c ătre elevi

Compunerea problemelor de c ătre elevi ofer ă terenul cel mai fertil din domeniul
activit ăților matematice pentru cultivarea și educarea creativit ății și a inventivit ății .
Activitatea de rezolvare a exerci țiilor și problemelor se întrep ătrunde și se completeaz ă
reciproc cu activitatea de compunere a problemelor.
Rezolvarea unei probleme înv ățate ofer ă mai pu țin teren pentru creativitate decât
rezolvarea unor probleme noi, care, la rândul ei, este dep ăș it ă de activitatea de compunere a unor
noi probleme.
Creativitatea gândirii, mi șcarea ei liber ă, nu se poate ob ține decât pe baza unor depinderi
corect formate. În activitatea de rezolvare a problemelor, depri nderile și abilit ățile se refer ă în
special la analiza datelor, la capacitatea de a în țelege întrebarea problemei și a orienta întreaga
desf ăș urare a ra ționamentului în direc ția g ăsirii solu ției problemei.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia rezolv ării și compunerii de probleme

83 Prin compuneri de probleme, elevii sesizeaz ă leg ătura care exist ă între exerci ții și
probleme, deoarece în procesul formul ării unei probleme, elevii au în minte și planul de
rezolvare.
Activitatea de compunere a problemelor prin munc ă independent ă, în clas ă și acas ă,
reprezint ă un mijloc eficient de dezvoltare a spiritului de independen ță și creativitate și începe
imediat ce elevi au în țeles conceputul de problem ă. Este o activitate complex ă, elevul fiind
obligat s ă respecte cerin ța propus ă și în raport cu aceasta s ă elaboreze textul al c ărui ra ționament
să conduc ă la rezolvarea primit ă.
Criteriile care determin ă complexitatea acestui gen de activitate sunt acelea și ca la
activitatea rezolutiv ă: st ăpânirea tehnicilor de calcul, deprinderea de a realiza ra ționamente
logice, vocabular bogat, capacitatea de a selecta din multitudinea de cuno știn țe dobândite, pe
acelea care conduc la elaborarea textelor cu con ținut realist. Se pot compune și crea probleme în
numeroase forme, într-o succesiune gradat ă:
1. Compunerea de probleme dup ă obiecte concrete, tablouri și imagini
Primele probleme create de elevi sunt asem ănătoare cu cele ale institutorului rezolvate de
ei în clas ă, prin folosirea de obiecte.
Se trece apoi la fraza semiconcret ă, când se folosesc reprezent ările obiectelor și, în locul
ghiozdanelor, creioanelor, etc., se folosesc jetoane cu acestea.
Dup ă ce elevii s-au obi șnuit s ă creeze probleme pe baz ă intuitiv ă, li se cere s ă le alc ătuiasc ă
pe baza datelor scrise pe tabl ă.
Se urm ăre ște ca elevii s ă în țeleag ă interdependen ța dintre enun ț și întrebare.
2. Compunerea unei probleme dup ă modelul unei probleme rezolvate anterior
3. Completarea întreb ării unei probleme
De la primele semne scrise se insist ă asupra separ ării întreb ării de con ținut. În vederea
form ării și dezvolt ării deprinderii de a în țelege cele dou ă p ărți ale problemei: enun țul și întrebarea,
s-au compus probleme din enun țul dat, fie când acestuia îi lipsea întrebarea, fie având între barea
și lipsind con ținutul. La acela și enun ț pot fi puse dou ă sau mai multe întreb ări.
Separarea întreb ării de enun ț și re ținerea ei cu claritate este o secven ță foarte important ă în
rezolvarea problemelor.
Elevul trebuie orientat spre finalitatea fireasc ă: aflarea r ăspunsului la întrebare. Formularea
întreb ării este un pas înainte și presupune din partea elevilor o vedere analitic ă asupra întregii
probleme.
Se poate da apoi o problem ă la care întrebarea este gre șit ă. Dup ă ce se rezolv ă problema, se
cere s ă se schimbe enun țul problemei astfel încât s ă fie bun ă întrebarea.
4. Compunerea problemelor dup ă scheme sau dup ă desene
Compunerea problemelor dup ă scheme simple și apoi mai complicate ofer ă posibilitatea
elevilor de a-și forma deprinderi solide de formulare a problemelor.
5. Probleme de completare a datelor când se cunoa ște întrebarea
Nu to ți elevii vor reu și s ă completeze corect datele problemei. Cei mai mul ți î și aleg
numere formate din zeci și unit ăți, dar întâmpin ă greut ăți în rezolvare având calcule cu trecere
peste ordin. Vor fi probabil și elevi care aleg la întâmplare datele problemei, f ără s ă gândeasc ă ce
opera ții au de f ăcut cu ele.
6. Compunerea problemelor cu indicarea opera țiilor matematice ce trebuie efectuate
Se porne ște de la compuneri de probleme dup ă exerci ții simple, formulate de elevi sub
îndrumarea institutorului și apoi independent.
Dac ă elevii știu s ă alc ătuiasc ă corect și cu u șurin ță probleme dup ă o singur ă opera ție, li se
poate cere apoi s ă compun ă probleme indiferent de num ărul de opera ții.
Un accent deosebit trebuie pus pe formularea unor probleme compuse, car e ridic ă
probleme deosebite.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia rezolv ării și compunerii de probleme

84
Dup ă ce elevii st ăpânesc bine compunerea problemelor dup ă formule numerice, se va trece
la compunerea lor dup ă formule literale. Formulele literale dau posibilitatea elevul ui s ă-și aleag ă
singur numerele și domeniul.
7. Compunerea de probleme dup ă un plan stabilit
În momentul în care elevii știu s ă rezolve corect și con știent problemele compuse pe baz ă
de plan, se poate da elevilor un plan de rezolvare, dup ă care s ă alc ătuiasc ă o problem ă. Înainte de
a formula problema, se analizeaz ă despre ce se vorbe ște în problem ă, ce con țin întreb ările, ce
date numerice se folosesc.
8. Compunerea problemelor cu început dat
9. Compunerea de probleme cu m ărimi date, cu valori numerice date
10. Probleme cu date incomplete
Unii elevi vor sesiza imediat lipsa unei date, al ții îns ă î și vor da seama de acest lucru numai
când se vor apuca de lucru.
11. Probleme cu date suplimentare
Aceste probleme solicit ă gândirea elevilor, dezvolt ă aten ția și-i depisteaz ă pe cei care
lucreaz ă mecanic, f ără să analizeze suficient datele problemei.
12. Compunerea de probleme cu corectarea con ținutului și modificarea datelor
Elevii vor fi solicita ți s ă confrunte datele problemei și vor observa gre șelile sau
incorectitudinea întreb ării. Ei pot corecta enun țul problemei în mai multe variante.
13. Probleme cu mai multe solu ții și probleme f ără solu ție
Via ța, realitatea, demonstreaz ă c ă nu toate situa țiile – problem ă care se întâlnesc au o
solu ționare unic ă sau sunt unic determinate. Majoritatea admit mai multe solu ții (conducând la
alt ă problem ă: aceea a alegerii variantei optime de rezolvare, în func ție de condi țiile date), iar
altele nu admit solu ții.
Cum matematica trebuie s ă modeleze realitatea, este necesar a introduce și pentru elev astfel de
probleme, cu solu ții multiple sau f ără solu ție. Se ofer ă astfel multor elevi posibilitatea s ă-și
prezinte propria rezolvare (corect ă), se obi șnuiesc cu existen ța unor astfel de probleme, sau a
unor probleme de decizie (alegerea solu ției celei mai convenabile, dintr-un anumit punct de
vedere). Dup ă rezolvarea unei astfel de probleme, institutorul trebuie s ă aib ă o interven ție
centralizatoare, enumerând solu țiile g ăsite (eventual ordonându-le dup ă un anumit criteriu),
sistematizându-le (pentru a oferi certitudinea c ă nu au fost omise solu ții), propunând alegerea
celei mai bune solu ții (în anumite condi ții și dintr-un anumit punct de vedere), contribuind la
elucidarea situa ției.
În elaborarea textului unei probleme este necesar ca institutorul s ă utilizeze date în
concordan ță cu realitatea, mijloace și procedee care s ă ofere elevilor împrejur ări de via ță
corespunz ătoare, ac țiuni veridice, s ă stabileasc ă între datele problemei rela ții matematice
corespunz ătoare.
În activitatea de compunere a problemelor trebuie s ă se țin ă seama de posibilit ățile elevilor,
prin sarcini gradate, trecându-se treptat de la compunerea liber ă la cea îngr ădit ă de cerin țe din ce
în ce mai restrictive.
Institutorul are sarcina s ă conduc ă aceast ă activitate prin indica ții clare, prin exemple
sugestive, prin cerin țe ra ționale, s ă canalizeze gândirea și aten ția elevilor prin asocieri din ce în
ce mai pu țin întâmpl ătoare. În acela și timp trebuie s ă-i fac ă pe elevi s ă aib ă încredere în ei, s ă le
stimuleze eforturile intelectuale, s ă le educe calit ățile moral-volitive, s ă le dezvolte interesul și
sensibilitatea, s ă fie receptivi la situa țiile problematice cu con ținut matematic.
Posibilit ățile intelectuale ale elevilor permit rezolvarea unor probleme de dificultate, în m ă-
sura în care ei dispun de o anumit ă experien ță și de competen țe necesare activit ății de rezolvare a

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia rezolv ării și compunerii de probleme

85 problemelor. Rezolvarea problemelor cu variante constituie un exerci țiu de cultivare a flexibilit ă-
ții gândirii, cu condi ția de a face din aceast ă activitate un antrenament sistematic și permanent.
Este de dorit ca periodic s ă se fac ă investiga ții în rândul elevilor pentru stabilirea nivelului
lor de cunoa ștere, pentru constatarea gradului de competen ță în rezolvarea și compunerea
problemelor de matematic ă, pentru depistarea la timp a eventualelor r ămâneri în urm ă la
înv ăță tur ă, pentru a asigura progresul fiec ărui elev în parte.
Se recomand ă, de asemenea, ca atât compunerea problemelor, cât și rezolvarea acestora s ă
se fac ă și în situa ții de joc didactic. Competi ția generat ă de joc va contribui nu numai la
activizarea intelectual ă a copiilor, cât și la formarea personalit ății lor. S-ar putea g ăsi, crea și
folosi o mul țime de forme și procedee, cum ar fi:
-care echip ă compune prima, corect și frumos, o problem ă dup ă anumite cerin țe;
-o echip ă s ă formuleze con ținutul problemei și cealalt ă întrebarea, iar rezolvarea ei s ă se
fac ă de ambele echipe simultan;
-să se g ăseasc ă de c ătre fiecare echip ă cât mai multe întreb ări la un con ținut dat, sau mai
multe metode de rezolvare a unei probleme date sau compuse;
-să se elimine dintr-un enun ț datele de prisos, sau s ă se corecteze un enun ț formulat
inten ționat gre șit, etc.
Este necesar ca în activitatea de compunere a problemelor, insti tutorul s ă aib ă permanent în
aten ție îmbun ătățirea continu ă a exprim ării corecte a copiilor, atât din punct de vedere matematic
cât și gramatical, îmbog ățirea vocabularului matematic, cre șterea continu ă a volumului lor de
cuno știn țe, de transfer și de folosire a acestora în practic ă.
Compunerea de probleme la clasele I-IV poate constitui o premis ă real ă și eficient ă pentru
o viitoare munc ă de cercetare, pentru activitatea ulterioar ă de crea ție și cu siguran ță o modalitate
sigur ă de sporire a rolului formativ al înv ăță mântului matematic din ciclul primar, în strâns ă
corela ție cu celelalte discipline de înv ăță mânt.

Test de autoevaluare
1. Enumera ți valen țele formative ale activit ăților de rezolvare și compunere a problemelor
de matematic ă.
2. Descrie ți etapele rezolv ării unei probleme de matematic ă.
3. Explica ți în ce const ă metoda analitic ă de rezolvare a unei probleme. Exemplifica ți
întocmind și schema.
4. Compune ți câte o problem ă din fiecare tip prezentat în teorie.
5. Prezenta ți un demers didactic complet vizând rezolvarea urm ătoarei probleme:
Câtul a dou ă numere naturale este 6, iar restul 13. Care sunt nu merele dac ă diferen ța lor
este 463.

Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare

1. Revezi 8.2. (Valen țele formative ale activit ăților rezolutive).
2. Revezi 8.3. (Etapele rezolv ării problemelor de matematic ă).
3. Revezi 8.4. (Metode pentru rezolvarea problemelor de aritmetic ă- I1 Metoda analitic ă).
4. Revezi 8.7. (Activitatea de compunere a problemelor de c ătre elevi).
5. Revezi 8.3. ; 8.5.3. și 8.5.3.1. (Etapele rezolv ării problemelor de matematic ă; Metode
speciale de rezolvare a problemelor de matematic ă -Metoda figurativ ă). R:553; 90.

Lucrare de verificare 3
1. Defini ți metoda sintetic ă de rezolvare a unei probleme de matematic ă. Prezenta ți avantajele
și dezavantajele care apar în folosirea acestei meto de.
2. Compune ți dou ă probleme simple de înmul țire și împ ărțire.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia rezolv ării și compunerii de probleme

86
3. Alege ți una dintre etapele rezolv ării unei probleme compuse și preciza ți activit ățile ce se
desf ăș oar ă în aceast ă etap ă.
4. Prezenta ți un demers didactic complet vizând rezolvarea urm ătoarei probleme:
Dac ă pe fiecare banc ă dintr-un parc se a șeaz ă câte 5 persoane, atunci 10 persoane nu au
loc, dar dac ă se a șeaz ă câte 6 persoane pe fiecare banc ă, atunci r ămân 5 b ănci libere. Câte
bănci și câte persoane sunt în parc?
5. Considera ți c ă însu șirea algoritmilor de rezolvare a problemelor tipice conduce la
șabloane, la re țete în detrimentul gândirii, sau o ajut ă, o elibereaz ă, îi d ă frâu liber?
Motiva ți.

Sugestii pentru acordarea punctajului:
Oficiu: 10 puncte
Subiectul 1: 10 puncte
Subiectul 2: 10 puncte
Subiectul 3: 10 puncte
Subiectul 4: 50 puncte
Subiectul 5: 10 puncte

Rezumat
Aceast ă unitate de înv ățare este dedicat ă însu șirii de cuno știn țe, tehnici, priceperi și
deprinderi temeinice, privind activit ățile de rezolvare și compunere a problemelor la școlarii mici
precum și dobândirii capacit ăților de a conduce metodic aceste activit ăți. Este eviden țiat ă
no țiunea de problem ă matematic ă, precum și importan ța activit ăților rezolutive. Sunt analizate
etapele rezolv ării problemelor de matematic ă și metodele de rezolvare a acestora. Sunt prezentate
principalele categorii de probleme care se întâlnesc în clasel e I-IV: problemele simple;
problemele compuse; problemele care se rezolv ă prin metodele: figurativ ă, a compara ției, a falsei
ipoteze, a mersului invers, probleme care se rezolv ă prin regula de trei simpl ă sau de trei
compus ă, probleme de mi șcare, nonstandard.
Se insist ă asupra rezolv ării problemelor prin mai multe c ăi, cu verificarea solu ției g ăsite și
scrierea formulei numerice, dar și pe complicarea problemei prin introducerea de noi date, sau
prin modificarea întreb ării acesteia. Sunt prezentate diferitele modalit ăți folosite în activitatea de
compunere a problemelor.

Bibliografie
Ana, D., Ana, M.L., Logel, D., Logel-Stroescu , E., : Metodica pred ării matematicii la
clasele I-IV . Editura CARMINIS, Pite ști, 2005.
Atanasiu, Gh., Purcaru, M.A.P., Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, Editura
Universit ății „Transilvania” din Bra șov, 2002.
Neac șu, I., (coordonator): Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactic ă
și Pedagogic ă, Bucure ști, 1988.
Ro șu, M.: Metodica pred ării matematicii pentru colegiile universitare de institutori,
Universitatea din Bucure ști, Editura CREDIS, 2004.
Ro șu, M.: Didactica matematicii în înv ăță mântul primar, MEC, Unitatea de Management a
Proiectului pentru Înv ăță mântul Rural, 2007.
*** Manualele școlare (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I-IV .
***Ministerul Educa ției, Cercet ării și Tineretului, Consiliul Na țional pentru Curriculum.
Programe școlare pentru înv ăță mântul primar , revizuite. Bucure ști,2003(I,II),2004(III), 2005(IV).
***SNEE, CNC, Descriptori de performan ță pentru înv ăță mântul primar, Editura
ProGnosis.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Probleme specifice ale pred ării-înv ăță rii matematicii în condi țiile muncii simultane

87
Unitatea de înv ățare nr. 9

PROBLEME SPECIFICE ALE PRED ĂRII-ÎNV ĂȚĂ RII
MATEMATICII ÎN CONDI ȚIILE MUNCII SIMULTANE

Cuprins
Obiectivele unit ății de înv ățare……………………………………………………….. 87
§9.1. Elemente de planificare, proiectare și organizare a activit ății simultane……………87
9.1.1. Particularit ățile procesului de predare-înv ățare în înv ăță mântul simultan.. 87
9.1.2. Gruparea claselor și repartizarea pe institutori…………………………………. 88
9.1.3. Alc ătuirea orarului…………………………………………………………….. 89
9.1.4. Planificarea activit ății didactice………………………………………… ……… 89
§9.2. Model de activitate didactic ă (sugestie metodic ă). Proiect de lec ție…………… 92
§9.3. Aspecte metodice privind activitatea independent ă a elevilor…………………….. 95
9.3.1. Importan ța activit ății independente…………………………………………. 95
9.3.2. Cerin țe pe care trebuie s ă le îndeplineasc ă activitatea independent ă a elevilor… 95
9.3.3. Forme de activitate independent ă…………………………………………… 96
9.3.4. Controlul și evaluarea activit ății independente………………………….. 97
Test de autoevaluare……………………………………………………………………… 98
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare ……………………………………… 98
Rezumat…………………………………………………………………………………… 98
Bibliografie………………………………………………………………………………. 98
Obiectivele unit ății de înv ățare
În urma parcurgerii acestei unit ăți de înv ățare, studen ții vor fi capabili:
-să aplice metodologia pred ării-înv ăță rii matematicii în condi țiile muncii simultane la
clasele I-IV;
-să cunoasc ă particularit ățile procesului de predare-înv ățare în înv ăță mântul simultan;
-să se familiarizeze cu specificul activit ății de planificare și proiectare a activit ății didactice
și de realizare a orarului în înv ăță mântul simultan;
-să con știentizeze importan ța activit ății independente a elevilor în înv ăță mântul simultan.

§9.1. Elemente de planificare, proiectare și organizare a activit ății simultane

9.1.1. Particularit ățile procesului de predare-înv ățare în înv ăță mântul simultan.
Proiectarea, organizarea și desf ăș urarea procesului de înv ăță mânt la clase simultane, apare
ca necesar ă în anumite cazuri, cum ar fi: existen ța unei popula ții școlare reduse, sau a unor
așez ări rurale mai îndep ărtate. Institutorul trebuie, în aceste situa ții, s ă-și desf ăș oare activitatea cu
dou ă (respectiv patru) categorii de elevi de vârste diferite, s ă conduc ă înv ățarea dup ă programe
diferite, trecând de la o tem ă la alta în cadrul aceleia și lec ții, prestând astfel o munc ă dificil ă și
complex ă pentru a respecta în întregime programele școlare pentru fiecare clas ă, ca și timpul normal
afectat pentru realizarea acestora.
Singura modalitate prin care se pot realiza aceste obiective e ste alternarea momentelor de
munc ă independent ă cu activit ăți ce au loc sub directa îndrumare a institutorului. Elevii fiec ărei
clase î și pot însu și cuno știn țele, î și pot forma priceperile, deprinderile și atitudinile prev ăzute în
program ă, numai printr-o organizare corespunz ătoare, riguroas ă a muncii lor.
Particularit ățile activit ății didactice simultane :
-comparativ cu lec ția obi șnuit ă, ritmul de lucru este alert, deoarece institutorul acord ă doar
o parte din timp pentru activitatea desf ăș urat ă efectiv cu elevii în scopul îndeplinirii sarcinilor
impuse de programa școlar ă;

Purcaru Monica Ana Paraschiva Probleme specifice ale pred ării-înv ăță rii matematicii în condi țiile muncii simultane

88 -în timpul desf ăș ur ării unei activit ăți directe cu una dintre clase este solicitat ă capacitatea
cadrului didactic de a- și distribui aten ția în urm ărirea și a elevilor celorlalte clase, care au
activit ăți independente;
-cu importan ță în reu șita lec ției este și alegerea judicioas ă a subiectelor lucr ărilor
independente efectuate în clas ă sau acas ă, precum și dozarea materialului pentru clasele cu care
se lucreaz ă direct. Realizarea acestor cerin țe, presupune desf ăș urarea zilnic ă a unei temeinice
preg ătiri știin țifice și metodice;
-specificul activit ății simultane se reflect ă și în elaborarea tuturor documentelor școlare:
orar, planificare calendaristic ă, proiecte de lec ție.
Avantajele activit ății simultane:
-preg ătirea unui num ăr mic de elevi;
-varietatea formelor de activitate din cadrul lec ției;
-se poate preîntâmpina e șecul școlar deoarece exist ă condi ții mai bune pentru: evaluarea
nivelului de cuno știn țe al elevilor, pentru urm ărirea progresului la înv ăță tur ă, pentru formarea și
consolidarea deprinderilor de munc ă independent ă, datorit ă num ărului mic de elevi dintr-o clas ă;
-prin cunoa șterea îndeaproape a fiec ărui elev, institutorul reu șește s ă alc ătuiasc ă colective
omogene în fiecare clas ă, caracterizate prin colaborare și cooperare între copii și care s ă fie
integrate organic în colectivul mare al claselor care- și desf ăș oar ă activitatea simultan;
-se formeaz ă la elevi deprinderi de citire, scriere și calcul, datorit ă faptului c ă înv ățarea se
produce, o mare parte din timp, sub forma muncii independente. Aceasta constituie o condi ție
principal ă a succesului școlar;
-activitatea independent ă le confer ă elevilor o încredere în for țele proprii, îi face s ă fie
creatori și inventivi.

9.1.2. Gruparea claselor și repartizarea pe institutori.

Iscusin ța institutorului de a folosi echilibrat timpul prev ăzut pentru munca independent ă a
elevilor, ca și distribuirea corespunz ătoare a claselor între institutori joac ă un rol important în
asigurarea succesului la înv ăță tur ă al copiilor. Experien ța arat ă c ă cel mai indicat mod de
repartizare este acela în care unui institutor i se încredin țeaz ă clasele I și a III-a, iar altuia, clasele
a II-a și a IV-a, atunci când în școal ă exist ă dou ă posturi, deoarece trebuie avut în vedere faptul
că elevii mici (clasa I și a II-a) nu au formate deprinderile de munc ă independent ă, institutorul
fiind nevoit s ă lucreze în mod direct mai mult cu aceste clase. Stadiul de f ormare al deprinderilor
de munc ă independent ă la elevii claselor a III-a și a IV-a este în progres, ace știa fiind capabili s ă
îndeplineasc ă singuri unele sarcini.
Un alt avantaj al modului de împ ărțire a claselor men ționat mai sus, este c ă acela și cadru
didactic poate avea continuitate la clas ă pân ă sfâr șitul unui ciclu școlar, nefiind în situa ția s ă
renun țe la elevii cu care a lucrat un an, deoarece, dac ă într-un an școlar a avut clasele I și a III-a,
anul viitor va avea a II-a și a IV-a, iar în anul urm ător, din nou clasa I și a III-a.
În situa ția în care num ărul de elevi este mic și școala func ționeaz ă cu un singur institutor
pot ap ărea urm ătoarele situa ții:
-institutorul lucreaz ă cu toate cele patru clase și atunci elevii claselor I și a III-a încep
programul de la ora 8 pân ă la 10, apoi împreun ă cu clasele a II-a și a IV-a pân ă la orele 12 sau 13,
activitatea continuând cu clasele a II-a și a IV-a pân ă la orele 14 sau 15;
-institutorul lucreaz ă cu clasele I, a II-a și a III-a. În aceast ă situa ție se lucreaz ă pân ă la ora
10 cu clasele I și a III-a, apoi și cu clasa a II-a pân ă la 12 sau 13, r ămânând cu clasa a II-a pân ă la
orele 14 sau 15;
-institutorul lucreaz ă cu clasele I, a II-a și a IV-a. Elevii din clasa I vor veni diminea ța,
urmând ca s ă se lucreze cu toate clasele de la ora 10;
-institutorul lucreaz ă cu clasele a II-a, a III-a și a IV-a. Este indicat s ă se cupleze clasele a
II-a cu a III-a diminea ța, iar cu clasa a IV-a de la 10, pentru a se acorda mai mult timp clasei

Purcaru Monica Ana Paraschiva Probleme specifice ale pred ării-înv ăță rii matematicii în condi țiile muncii simultane

89
terminale.
Un alt criteriu de cuplare a claselor îl constituie și num ărul de copii din fiecare clas ă.

9.1.3. Alc ătuirea orarului

De o mare importan ță în realizarea sarcinilor complexe ale procesului de înv ăță mânt,
desf ăș urat în condi ții de activitate simultan ă, este organizarea zilnic ă a activit ății pe baza unui
orar bine gândit.
În vederea întocmirii acestui document de baz ă al institutorului trebuie s ă se țin ă seama de
unele indica ții pedagogice, cum ar fi:
-asigurarea cupl ării unor materii, care asigur ă posibilit ăți optime de alternare a muncii
directe a institutorului, cu activitatea independent ă a elevilor;
-respectarea curbei de efort a elevului în cadrul unei zile și al unei s ăpt ămâni;
-programarea orelor care apar țin aceleia și discipline la intervale aproximativ egale de timp
în cursul unei s ăpt ămâni;
-realizarea unei îmbin ări armonioase a obiectelor de studiu. În acest scop trebuie s ă
urm ăreasc ă îndeplinirea urm ătoarelor obiective :
-planificarea simultan ă a unor obiecte care fac posibil ă folosirea unor tipuri de lec ții
diferite în cadrul aceleia și ore;
-alegerea corect ă a obiectelor care se predau în aceea și or ă, la clase diferite, pentru a
permite acordarea de tip suficient muncii directe cu clasa, sa u la obiectul care solicit ă
acest lucru;
-matematica și comunicarea nu se pot programa mai târziu de ora a III-a;
-nu se pot cupla în aceea și or ă citirea cu comunicarea simultan la dou ă clase;
-se pot planifica lec ții de matematic ă la ambele clase, dat fiind num ărul egal de ore
prev ăzut în planul cadru pentru înv ăță mântul primar obligatoriu (trunchiul comun).
Cerin țele de mai sus î și g ăsesc o bun ă rezolvare prin cuplarea claselor a șa cum s-a ar ătat în
paragraful precedent și prin folosirea orarului prelungit (6-7 ore zilnic).
Acest mod de lucru are urm ătoarele avantaje :
-asigur ă timp suficient pentru munca direct ă a institutorului cu clasa;
-dă posibilitatea acord ării unei importan țe deosebite orelor de matematic ă și de limba
român ă, în cadrul c ărora se formeaz ă și consolideaz ă cuno știn țe și deprinderi de munc ă
intelectual ă;
-se pot utiliza strategii mai variate pentru a-i antrena pe e levi în dezvoltarea vocabularului
matematic;
-previne suprasolicitarea elevilor;
-permite folosirea în condi ții mai bune a activit ății diferen țiate cu elevii, stimulând
capacit ățile intelectuale ale celor cu ritm rapid de lucru și înl ăturând r ămânerile în urm ă pentru
elevii cu rezultate slabe la înv ăță tur ă;
-creeaz ă condi ții pentru o mai bun ă evaluare a randamentului școlar, în scopul depist ării și
înl ătur ării gre șelilor și lacunelor în cuno știn țe, deprinderi și priceperi.
Institutorul va urm ări, în scopul alc ătuirii orarului, s ă planifice în orele când se lucreaz ă cu
o singur ă clas ă (sau cu dou ă, dac ă activitatea se desf ăș oar ă la patru clase) obiectele care solicit ă
mai mult timp pentru îndrumarea direct ă, urmând ca în celelalte ore s ă fie prev ăzute obiecte care
ofer ă posibilit ăți mai variate de munc ă independent ă.

9.1.4. Planificarea activit ății didactice
Organizarea activit ății în condi țiile înv ăță mântului simultan, necesit ă elaborarea unei
planific ări calendaristice, din care s ă rezulte paralelismul optim ce caracterizeaz ă activitatea la

Purcaru Monica Ana Paraschiva Probleme specifice ale pred ării-înv ăță rii matematicii în condi țiile muncii simultane

90 aceste clase, întocmirea orarului și a proiectelor de lec ții, deoarece aceste documente au o
structur ă deosebit ă fa ță de cele întocmite pentru predarea la o singur ă clas ă.
Este indicat ca structura formal ă a planific ării s ă fie realizat ă în a șa fel, încât s ă fie u șor de
urm ărit atât gruparea lec țiilor, cât și con ținutul muncii independente care alterneaz ă cu activitatea
direct ă a institutorului.
Planificarea calendaristic ă pentru fiecare obiect de studiu se va realiza ca în situa ția când se
lucreaz ă cu o singur ă clas ă.
Planificarea anual ă, semestrial ă, iar în cazul muncii simultane și s ăpt ămânal ă, trebuie s ă
aib ă o rubrica ție simpl ă, care s ă duc ă la realizarea și parcurgerea întregii materii.
Planificarea s ăpt ămânal ă rezultat ă din planificarea semestrial ă va u șura activitatea, în
sensul c ă institutorul va ști precis cum s ă cupleze obiectele din orarul s ăpt ămânii, ținând cont de
curba de efort a elevilor.
Sunt posibile trei tipuri fundamentale de lec ții:
-lec ții de dobândire de noi cuno știn țe la fiecare clas ă;
-lec ții în care într-o clas ă se dobândesc cuno știn țe noi, iar în cealalt ă se consolideaz ă sau
se verific ă con ținutul lec ției anterioare;
-lec ții de consolidare sau verificare la toate clasele.
Cel mai dificil de rezolvat sunt lec țiile de dobândire de noi cuno știn țe, simultan, dat ă fiind
dificultatea îmbin ării muncii independente a elevilor cu activitatea desf ăș urat ă sub directa
îndrumare a institutorului. Acest mod de cuplare a lec țiilor prezint ă dificult ăți și din cauz ă c ă în
cadrul aceleia și ore de curs institutorul trebuie ca, simultan, s ă dirijeze dobândirea și fixarea de
cuno știn țe la fiecare clas ă.
Mai u șor de realizat sunt lec țiile în care la o clas ă se dobândesc noi cuno știn țe, iar la alta se
repet ă cuno știn țele. Se va începe activitatea cu clasa la care scopul principa l este predarea-
înv ățarea de noi cuno știn țe, în timp ce elevii celeilalte clase vor efectua în mod indepe ndent
exerci ții din materia care se repet ă. Dup ă ce se termin ă predarea noilor cuno știn țe, se d ă tema
(sarcina) ce va fi efectuat ă în mod independent, în timp ce institutorul controleaz ă activit ățile
celeilalte clase.
În cazul lec țiilor de consolidare a cuno știn țelor, priceperilor și deprinderilor la anumite
clase, se va da uneia din clase activitate independent ă, iar cu cealalt ă se va lucra direct, circa 20
minute, apoi se inverseaz ă activitatea direct ă a institutorului și cea independent ă a elevilor. În
acest mod ambele clase vor avea 20-25 minute de munc ă sub îndrumarea direct ă a cadrului
didactic și aproximativ acela și interval de timp pentru munca independent ă.
Din punct de vedere metodic este bine ca institutorul s ă înceap ă lec ția cu clasa unde se
poate desf ăș ura mai u șor o lucrare independent ă, sau unde tema pentru munca independent ă
poate fi precedat ă de exerci ții orale sau de o discu ție cu elevii. Dac ă într-o lec ție institutorul
inten ționeaz ă s ă dea o sarcin ă de munc ă independent ă uneia dintre clase, atunci el trebuie s ă
înceap ă munca cu aceast ă clas ă. Dup ă ce li s-a precizat tema (sarcina) pentru activitatea
independent ă, copiii pot lucra singuri în cursul întregii lec ții.
În lec țiile de acest tip este obligatorie munca direct ă a cadrului didactic cu elevii ambelor
clase, atât pentru explicarea temei date ca munc ă independent ă, cât și în finalul ei, pentru
verificarea realiz ării obiectivelor propuse.
Institutorul trebuie s ă acorde o aten ție deosebit ă preg ătirii lec țiilor și folosirii fiec ărui
moment al lec ției, în scopul asigur ării densit ății necesare acesteia.
Proiectele de lec ție realizate în vederea pred ării matematicii în condi ții de activitate
simultan ă, trebuie ca pe lâng ă datele generale cunoscute, s ă cuprind ă principalele secven țe
specifice lec țiilor de acest tip și con ținutul acestora, cu alternative pentru activitatea
independent ă con ținând și fi șe de diferen țiere a sarcinilor didactice pentru unii elevi, pe baza
progreselor survenite în urma desf ăș ur ării lec țiilor anterioare, dac ă este cazul. În cadrul

Purcaru Monica Ana Paraschiva Probleme specifice ale pred ării-înv ăță rii matematicii în condi țiile muncii simultane

91
proiectului de lec ție, secven țele de activitate direct ă a institutorului cu elevii unei clase, trebuie
clar delimitate de momentele de activitate independent ă pentru elevii celeilalte clase.
Ținând cont de rolul esen țial al activit ății independente în condi țiile muncii simultane, este
necesar s ă se realizeze o judicioas ă selectare, dozare și un control exigent, eventual un auto-
control al îndeplinirii sarcinilor.
Pentru activitatea independent ă trebuie alese teme variate și dozate astfel încât s ă stimuleze
participarea elevilor la lec ție.
În predarea lec țiilor în condi țiile activit ății simultane, trebuie s ă se foloseasc ă în special
metodele active.
Trebuie bine realizat ă evaluarea randamentului școlar al elevilor în vederea prevenirii
eșecului școlar.
În proiectarea și desf ăș urarea actului didactic institutorul trebuie s ă dovedeasc ă flexibilitate
prin aplicarea unor m ăsuri corective în func ție de condi țiile și evolu ția elevilor din clasele
cuplate, prin complet ări sau modific ări în planificare (s ăpt ămânal) sau în orar (dac ă este cazul).
Activitatea didactic ă în condi țiile pred ării orelor de matematic ă la mai multe clase în
acela și timp, poate fi sintetizat ă în modul urm ător:
-se va da mai întâi o sarcin ă scris ă de munc ă independent ă nu prea mare ca volum clasei de
care institutorul inten ționeaz ă s ă se ocupe în primul rând;
-cealalt ă clas ă va rezolva o tem ă în continuarea exerci țiilor din lec ția precedent ă sau o
sarcin ă de munc ă independent ă preg ătit ă anterior și a c ărei durat ă trebuie s ă fie egal ă cu durata
activit ății directe din prima clas ă;
-se controleaz ă munca independent ă a elevilor din clasa cu care institutorul și-a început
lec ția, se explic ă lec ția nou ă sau se rezolv ă exerci ții și probleme tipice sub directa lui îndrumare
și se încheie activitatea direct ă, apoi se d ă elevilor tema pentru munca independent ă în clas ă și
acas ă;
-institutorul controleaz ă munca independent ă a elevilor celeilalte clase și d ă îndrum ări
pentru continuarea ei, sau, dup ă caz, continu ă activitatea, îndrumând elevii sau explicând
elemente din noul con ținut și d ă apoi și pentru aceast ă clas ă munc ă independent ă în clas ă și
acas ă, vizând fixarea cuno știn țelor noi sau consolidarea cuno știn țelor și deprinderilor (în func ție
de tipul lec ției).
Momentele lec ției în activitatea simultan ă sunt redate în tabelul urm ător:

Evenimentul instruc țional și activitatea de instruire
(predare-înv ățare)
Clas ă cu elevi mai mici (I, II)
Timpul Clas ă cu elevi mai mari
(III, IV)
Captarea aten ției (I)
• Activitate direct ă 5 min. • Activitate
independent ă
Enun țarea obiectivelor (II) 2 min.
Recapitularea celor însu șite anterior (III)
– reactualizarea cuno știn țelor
• Activitate independent ă 3 min. • Activitate direct ă
Prezentarea con ținutului și a sarcinilor de înv ățare (IV)
• Activitate direct ă 5 min. • Activitate
independent ă
Dirijarea înv ăță rii și ob ținerea performan țelor (V-VI)
– realizarea sarcinii I
– realizarea sarcinii II
………………………….
Asigurarea feed-back-ului (VII) 15 min.
(2 min.)
(5 min.)
(3 min.)
2 min. • Activitate direct ă

Purcaru Monica Ana Paraschiva Probleme specifice ale pred ării-înv ăță rii matematicii în condi țiile muncii simultane

92 (aprecierea grupului de elevi)
• Activitate independent ă
Evaluarea formativ ă (VIII)
– aplicarea testului formativ (autoevaluarea, comun icarea
rezultatelor)
• Activitate direct ă
Sarcini pentru acas ă 13 min. • Activitate
independent ă
Asigurarea reten ției (fix ării) și transferului (IX-X)
Comunicarea temei pentru acas ă – sarcinile fixate pe
obiective actuale și viitoare 5 min. Sarcini pentru acas ă

§9.2. Model de activitate didactic ă (sugestie metodic ă). Proiect de lec ție.

Clasa : II
Obiectul : Matematic ă
Subiectul lec ției : Adunarea unui num ăr format
din zeci și unit ăți cu un num ăr format numai
din unit ăți.
Tipul lec ției : de comunicare-asimilare de noi
cuno știn țe.
Obiectivul fundamental : însu șirea procedeului
de efectuare a adun ării, prin calcul desf ăș urat și
direct, a unui num ăr format din zeci și unit ăți
cu un num ăr format din unit ăți simple.
Obiective opera ționale :
O1 – s ă descompun ă numerele cuprinse între 20
și 100 în zeci și unit ăți;
O2 – s ă foloseasc ă diferite materiale didactice
(riglete, bile, be țișoare, etc.) pentru în țelegerea
tehnicii de calcul;
O3 – s ă stabileasc ă rezultatele conform descrip-
torilor stabili ți;
O4 – s ă selecteze dintr-o list ă de exerci ții pe
acelea care au acela și rezultat;
O5 – s ă foloseasc ă cazul de adunare înv ățat în
probleme simple, date de institutor sau formu-
late de elevi, sau sugerate prin imagini.
Metode și procedee : explica ția, demonstra ția,
exerci țiul, lucrul cu manualul, munca
independent ă.
Mijloace de înv ăță mânt : riglete, num ărători
cu bile, be țișoare, plan șe ilustrative.
Forme de organizare : frontal ă, individual ă.
Material bibliografic : Programa de
matematic ă; Manualul de matematic ă pentru
clasa II; Caietul elevului; Metodica pred ării Clasa : a IV-a
Obiectul : Matematic ă
Subiectul lec ției : Adunarea și sc ăderea
numerelor naturale peste 1000 – exerci ții și
probleme recapitulative.
Tipul lec ției : de formare a priceperilor și
deprinderilor.
Obiectivul fundamental : formarea deprinderii
de a rezolva exerci ții și probleme cu adun ări și
sc ăderi ale numerelor naturale peste 1000.
Obiective opera ționale :
O1 – s ă utilizeze regulile de adunare și sc ădere a
numerelor naturale peste 1000, conform
descriptorilor stabili ți;
O2 – s ă determine termenul necunoscut la
adunare și sc ădere cu numere care trec peste
1000;
O3 – s ă selecteze, dintr-o list ă de numere, pe
acelea care îndeplinesc anumite condi ții;
O4 – s ă formuleze și s ă scrie corect planul logic
și opera țiile unor probleme aplicative date;
O5 – s ă compun ă probleme pe baza unor
formule numerice.
O6 – s ă testeze valoarea de adev ăr a unei rela ții
în cazul înlocuirii variabilei cu numere date.
Metode și procedee : exerci țiul, conversa ția,
problematizarea, munca independent ă.
Mijloace de înv ăță mânt : fi șe de munc ă
independent ă, manualul, caietul.
Forme de organizare : frontal ă, individual ă.
Material bibliografic : Programa de
matematic ă; Manualul de matematic ă pentru
clasa a IV -a; Caietul elevului; Metodica

Purcaru Monica Ana Paraschiva Probleme specifice ale pred ării-înv ăță rii matematicii în condi țiile muncii simultane

93
matematicii la clasele I-IV; Culegere de
probleme de matematic ă pentru clasele I-IV. clasa a IV-a; Caietul elevului; Metodica
pred ării matematicii la clasele I-IV; Culegere
de probleme de matematic ă pentru clasele I-IV.
Desf ăș urarea lec ției
I. Reactualizarea cuno știn țelor
Activitate independent ă (10 min.)
Elevii lucreaz ă pe fi șe:
a) Să se calculeze:
6 + 3 20 + 3
60 + 30 3 + 20
6 + 30 23 – 3
60 + 3 23 – 20
b) S ă se determine termenul necunoscut:
30 + a = 36 70 + d = 74
b + 6 = 67 d + 50 = 55
c + 40 = 43 20 + e = 27

Activitate direct ă (20 min.)
Institutorul controleaz ă și apreciaz ă
activitatea independent ă a elevilor.

II. Enun țarea scopului și a obiectivelor

III. Prezentarea noului con ținut al înv ăță rii
1. Institutorul prezint ă problema:
♦ Maria are 56 de baloane. A mai
cump ărat 4 baloane. Câte baloane are
acum Maria?
Elevii, orienta ți de institutor, vor analiza
problema, observând c ă:
– rezolvarea problemei se face pe baza
adun ării a doi termeni;
– primul termen al adun ării este format
numai din zeci și unit ăți; I. Reactualizarea cuno știn țelor
Activitate direct ă (10 min.)
1. Verificarea temei de acas ă.
2. Exerci ții de calcul oral.
Elevii r ăspund oral:
300 + 500 =
1540 + 1300 =
460000 + 120000 =
6900 – 5400 =
24000 – 15000 =
880000 – 190000 =
3. Rezolvarea problemei:
♦ Alina a cump ărat 8 bomboane cu lapte a
126 lei bomboana și 6 bomboane cu fructe a
94 lei bomboana. Câ ți lei a pl ătit Alina?
Fiecare elev î și întocme ște pe caiet schema
problemei.

II. Asigurarea conexiunii inverse
Institutorul face observa ții și aprecieri asupra
etapelor de lucru și a rezultatelor ob ținute de elevi.

III. Evaluarea cuno știn țelor
Activitate independent ă (20 min.)
4. Lucrul elevilor pe fi șe:
Grupa I:
a) Să se calculeze și s ă se fac ă proba (prin adunare
și sc ădere):
12341 + 1960 =
196012 + 43149 =
b) S ă se determine termenul necunoscut din:
x + 1649 = 23143
x – 394160 = 43192
96149 – x = 14848
c) Într-un aprozar erau 23920 kg de cartofi și cu
1643 kg mai multe ro șii decât cartofi. Câte kg
de cartofi și ro șii erau la un loc în aprozar?
Grupa a II-a:

Purcaru Monica Ana Paraschiva Probleme specifice ale pred ării-înv ăță rii matematicii în condi țiile muncii simultane

94 numai din zeci și unit ăți;
– al doilea termen al adun ării este format
numai din unit ăți simple.

IV. Dirijarea înv ăță rii
Efectua ți adun ările cu ajutorul materialului
didactic.
Elevii folosesc riglete și lucreaz ă
concomitent cu institutorul care folose ște
num ărătoarea.
Institutorul scrie pe tabl ă, iar elevii scriu pe
caiete etapele intermediare ale opera ției.
56 + 4 = 50 + 6 + 4
= 50 + 10
= 60
4 + 56 = 4 + 50 + 6
= 4 + 6 + 50
= 10 + 50
= 60

2. Efectuarea adun ării 85 + 4. Un elev
lucreaz ă la tabl ă și ceilal ți în b ănci.

3. Prezentarea lec ției din manual. Elevii
numi ți vor citi, pe rând, adun ările rezolvate
în manual.

V. Ob ținerea performan ței
Activitate independent ă (10 min.)
Elevii rezolv ă urm ătoarele adun ări, scriind și
etapele intermediare:
36 + 2 9 + 48
8 + 23 28 + 5
82 + 6 84 + 7

Activitate direct ă (6 min.) a) Să se calculeze:
93956 – 233 × 4 =
(143 × 9) + (195 × 7) =
b) S ă se determine termenul necunoscut din:
19140 + x = 46119 + 23192
201149 + 121400 = x + 53120
c) Într-un magazin de juc ării s-au vândut într-o
lun ă 15129 de mingi. Dintre acestea 8326 au
fost de culoare ro șie, cu 2142 mai pu ține de
culoare albastr ă decât cele ro șii, iar restul verzi.
Câte mingi de culoare verde s-au vândut?

Activitate direct ă (10 min.)
Institutorul observ ă modul cum au rezolvat elevii
fi șele.
Trei elevi care au lucrat bine prezint ă pe rând,
etapele și solu țiile corecte.
Elevii î și autocorecteaz ă lucr ările.

Asigurarea conexiunii inverse
Institutorul stabile ște nivelul de realizare a sarci-
nilor pe întreaga clas ă și pe fiecare elev.

IV. Intensificarea reten ției și asigurarea
transferului cuno știn țelor
Elevii vor formula o alt ă problem ă, utilizând
datele unei probleme din manual.
Elevii vor compune o alt ă problem ă, folosind
enun țul problemei de mai sus, schimbând datele.

Activitate independent ă (6 min.)

Purcaru Monica Ana Paraschiva Probleme specifice ale pred ării-înv ăță rii matematicii în condi țiile muncii simultane

95
Institutorul verific ă rezultatele și comunic ă
elevilor nivelul la care au ajuns în atingerea
obiectivelor.
VI. Asigurarea transferului cuno știn țelor
Elevii compun și rezolv ă probleme dup ă
ilustra ții.
Exemple:
1.Într-o clas ă de elevi erau 15 b ăie ți și 9 fete.
Câ ți elevi erau în total în clas ă?
2.Radu a colec ționat 59 de timbre cu p ăsări
și 6 de timbre cu ma șini. Câte timbre are
Radu?
Activitate independent ă (4 min.)
Elevii compun oral probleme dup ă modelul
opera țiilor:
53 + 5 8 + 21
și dup ă imaginile din manual.
Activitate direct ă
Verificarea unor probleme compuse de elevi. Elevii lucreaz ă pe fi șe:
a) Să se afle diferen ța dintre produsul numerelor 5
și 213 și, respectiv câtul numerelor 215 și 5.
b) Compune ți și rezolva ți o problem ă dup ă
formula numeric ă:
12921 + 43 × 5.

Activitate direct ă (4 min.)
Controlul temelor efectuate independent.

Tem ă pentru acas ă.

§9.3. Aspecte metodice privind activitatea independ ent ă a elevilor

9.3.1. Importan ța activit ății independente

Institutorul care lucreaz ă simultan cu dou ă sau mai multe clase are nevoie de un volum și
de o mare varietate de con ținuturi și forme de munc ă pe care s ă le dea elevilor ca sarcini de
exersare. El trebuie s ă stabileasc ă obiectivele fiec ărei activit ăți, volumul de munc ă și dificult ățile
inerente, durata efectu ării activit ății respective și criteriile de evaluare.
Cadrul didactic trebuie s ă stimuleze activitatea independent ă a elevilor și s ă sus țin ă
ritmicitatea efortului lor prin con ținutul interesant al temelor, atractivitatea formelor de acti vitate,
distribuirea unor sarcini diferen țiate, folosirea unui material didactic interesant, etc.
Pentru reamintirea informa țiilor predate anterior în scopul trecerii la predarea noilor
cuno știn țe, se poate apela la activitatea independent ă a elevilor. De asemenea, și dup ă
transmiterea noilor cuno știn țe, pentru fixarea și consolidarea acestora, se poate folosi acest tip de
activitate.
Prin munca independent ă, ca mijloc de instruc ție și educa ție, se rezolv ă o mare parte din
problemele pred ării-înv ăță rii. Importan ța acestei forme de organizare a activit ății, nu se reduce
doar la formarea deprinderilor de munc ă independent ă la elevi, ci prin ea se îndeplinesc sarcinile
fundamentale ale procesului de înv ăță mânt: dobândirea de noi cuno știn țe, priceperi și deprinderi,
aplicarea lor în practic ă, repetarea și sistematizarea cuno știn țelor, evaluarea.
Prin activitatea independent ă a elevilor se urm ăre ște și îndeplinirea unor obiective
formative ca: formarea spiritului de observa ție la elevi, dezvoltarea proceselor psihice de
cunoa ștere (a gândirii, memoriei, formarea spiritului de independen ță și a ini țiativei, formarea
unor tr ăsături pozitive de voin ță și caracter cum ar fi: dârzenia, perseveren ța, curajul de a învinge
greut ățile cu for țe proprii, etc.).
9.3.2. Cerin țe pe care trebuie s ă le îndeplineasc ă activitatea independent ă a elevilor

În scopul ob ținerii unei adev ărate eficien țe, se impune ca activitatea independent ă a
elevilor s ă îndeplineasc ă anumite cerin țe:

Purcaru Monica Ana Paraschiva Probleme specifice ale pred ării-înv ăță rii matematicii în condi țiile muncii simultane

96 -în procesul de predare-înv ățare, sarcinile date elevilor pentru a fi rezolvate de ace știa cu
for țe proprii trebuie s ă se refere, în primul rând, la cerin țele programei; ele trebuie formulate în
așa fel încât s ă stimuleze la lucru pe fiecare elev, indiferent de nivelul lui de preg ătire, s ă vizeze
îndeplinirea obiectivelor instructiv-educative propuse pentru lec ția respectiv ă și s ă constituie o
continuare fireasc ă a materialului studiat;
-folosirea ra țional ă a exerci țiilor de munc ă independent ă: la clasele mici (I și a II-a), în
special în prima perioad ă a anului școlar, când se pun bazele deprinderilor de munc ă
independent ă, institutorul trebuie s ă acorde o mai mare aten ție activit ății directe și s ă efectueze o
supraveghere și o îndrumare mai atent ă a activit ății independente a elevilor;
-sarcinile date elevilor în cadrul activit ății lor independente, trebuie s ă fie accesibile
acestora, s ă nu cuprind ă no țiuni necunoscute elevilor, ele trebuie s ă fie formulate și explicate clar,
încât s ă fie în țelese de elevi; cerin țele trebuie s ă vizeze realizarea unor obiective precise și s ă
stimuleze interesul și poten țialul creativ al copiilor, corespunzând scopului și con ținutului lec ției;
-institutorul trebuie s ă realizeze dozarea ra țional ă a volumului și dificult ăților pe care le
implic ă sarcinile de munc ă independent ă, în scopul evit ării atât a supraînc ărc ării elevilor, cât și
rămânerii f ără ocupa ție a acestora; institutorul trebuie s ă aib ă preg ătite și subiecte de rezerv ă
pentru elevii cu ritm mai rapid de lucru;
-orice sarcin ă de munc ă independent ă trebuie verificat ă și evaluat ă (notat ă), deoarece în
cazul în care se dau teme a c ăror realizare nu se apreciaz ă, aceasta conduce la mic șorarea
interesului și responsabilit ății elevului, la sc ăderea motiva ției pentru rezolvarea sarcinilor;
-activitatea elevilor trebuie s ă se desf ăș oare în lini ște, s ă se bazeze uneori pe cooperare,
efectuând câteodat ă în colectiv sarcinile primite;
-activitatea independent ă a elevilor precede activitatea direct ă: în sarcinile date elevilor, se
va ține cont dac ă volumul de cuno știn țe anterioare permite acestora s ă fac ă singuri un pas mai
departe în întregirea materialului ce va fi transmis în acti vitatea direct ă ce va urma;
-nu se vor da spre rezolvare elevilor tipuri de exerci ții și probleme care nu au fost rezolvate
sub îndrumarea institutorului;
-activitatea independent ă a elevilor trebuie s ă fie precedat ă de o etap ă preg ătitoare, în care
institutorul precizeaz ă obiectivele urm ărite și metodele de lucru care vor fi folosite pentru
efectuarea activit ății; în aceast ă etap ă se poate rezolva un exerci țiu, se poate repeta o regul ă pe
care se bazeaz ă rezolvarea lui, urmând ca elevii s ă rezolve apoi alte exerci ții de acela și fel sau
mai complicate.

9.3.3. Forme de activitate independentã

În func ție de obiectivele și de con ținutul lec ției, de obiectul de înv ăță mânt, de clasa și etapa
în care se desf ăș oar ă, etc., munca independent ă a elevilor care înva ță în condi ții simultane
îmbrac ă o varietate de forme.
Con ținutul activit ății independente , care va constitui etapa preg ătitoare a lec ției
planificate pentru ziua respectiv ă, sau etapa de încheiere a acesteia, poate cuprinde:
– rezolvarea unor exerci ții și probleme din manual sau formulate de institutor;
– construc ția unor exerci ții sau probleme asem ănătoare cu cele rezolvate sub îndrumarea
institutorului;
– rezolvarea unor probleme prin alte procedee, atunci când este posibil;
– desenarea unor figuri geometrice;
– măsurarea unor dimensiuni;
– calcularea perimetrelor unor figuri geometrice.
La obiectul matematic ă se pot folosi urm ătoarele forme de activitate independent ă:
1. Munca independent ă preg ătitoare pentru predarea noilor cuno știn țe.
Aceast ă form ă de activitate independent ă se poate utiliza la toate clasele I-IV, cu condi ția
să fie corect propor ționat ă cu specificul individual, cu vârsta elevilor și s ă fie în strâns ă leg ătur ă

Purcaru Monica Ana Paraschiva Probleme specifice ale pred ării-înv ăță rii matematicii în condi țiile muncii simultane

97
cu subiectul lec ției respective.
Exemple:
1. /f020La predarea sc ăderii la clasa I se pot da ca munc ă independent ă pentru predarea cuno știn țelor
exerci ții de tipul:

Calculeaz ă cu ajutorul imaginilor:

OO . OOO . O . OOOOO
OOO OO OOOO
5 – 3 =' 5 – 2 = ' 5 – 4 =' 5 – 0 ='
'= 5 – 3 '= 5 – 2 '= 5 – 4 '= 5 – 0

2. /f020La clasa a III-a se pot da ca munc ă independent ă preg ătitoare pred ării înmul țirii cu 3,
exerci ții de tipul:
Efectua ți:
0 + 3 = 6 + 3 = 12 + 3 =
3 + 3 = 9 + 3 = 15 + 3 =

3. /f020La clasa a IV-a se poate da ca munc ă independent ă pentru preg ătirea pred ării: unit ățile de
măsur ă pentru capacitatea (volumul) vaselor:

Efectua ți:
32 ⋅ 10 = ' 24 000 : 100 = ' 50 000 : 1 000 + 500 = '
45 ⋅ 100 = ' 600 000 : 10.000 = '

Efectua ți transform ările:
30 m = ' dm = ' cm = ' mm
5000 g = ' dag = ' hg = ' kg, etc.

Se pot da numeroase exemple de acest gen, putând folosi în acest scop ca materiale
bibliografice: manualele, diferite c ărți și culegeri de exerci ții și probleme, caietele elevului.
2. Munca independent ă cu rol de fixare a cuno știn țelor predate la lec ția respectiv ă
cuprinde: rezolvarea de exerci ții și probleme cu aplicarea opera țiilor înv ățate, compunerea de
exerci ții și probleme dup ă anumite cerin țe date de institutor, desenarea figurilor geometrice
înv ățate, calculul perimetrului, rezolvarea diferitelor exerci ții-joc de completare a semnului
opera țiilor aritmetice (+); ( −); ( ×); (:), în a șa fel încât s ă fie adev ărat ă expresia dat ă, rezolvarea
exerci țiilor de aflare a termenului necunoscut, etc.
3. Munca independent ă având ca scop recapitularea cuno știn țelor , prin care se reiau și
se sistematizeaz ă la sfâr șitul semestrului sau a anului școlar în diverse combina ții cuno știn țele
acumulate anterior dintr-un întreg capitol, sau cele legate de o anumit ă tem ă.

9.3.4. Controlul și evaluarea activit ății independente

Activitatea independent ă a elevilor este indicat ca s ă se efectueze pe fi șe individuale,
pentru a se evita distragerea aten ției elevilor din celelalte clase.
Cadrul didactic este obligat cu ocazia distribuirii fi șelor s ă dea explica ții și sarcini clare, iar
pe parcursul activit ății s ă fie efectuat ă supravegherea și date eventuale îndrum ări.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Probleme specifice ale pred ării-înv ăță rii matematicii în condi țiile muncii simultane

98 Notarea acestor forme de activit ăți ale elevilor se face pe baza unui punctaj dinainte stabilit
în funcție de obiectivele, scopul general și de gradul de dificultate al sarcinilor de rezolva t.
Pe tot parcursul activit ății independente a elevilor, institutorul exercit ă o supraveghere
general ă, trecând periodic printre b ănci pentru a verifica dac ă sarcinile date au fost în țelese de
către to ți elevii și dac ă ace știa le trateaz ă cu seriozitate. Când situa ția o cere, cadrul didactic
poate interveni pentru a-i antrena pe to ți elevii la lucru, sau pentru a preveni gre șelile tipice.
Lucr ările independente ale elevilor se verific ă atât sub aspect cantitativ, cât și calitativ. În situ-
ația în care acestea sunt de scurt ă durat ă, nu este necesar ca s ă se efectueze mereu un control
am ănun țit.
Verificarea muncii independente a elevilor trebuie s ă aib ă loc în cadrul tuturor tipurilor de
lec ții, dar mai ales la cele de verificare și evaluare a cuno știn țelor, de repetare și sistematizare, de
formare a priceperilor și deprinderilor. În aceste lec ții se pot da sarcini pentru întreaga or ă, iar
verificarea acestora se va realiza acas ă, de c ătre institutor, finalizându-se cu notarea și analiza
acestora, cu ajutorul elevilor în ora urm ătoare.
Autocontrolul elevilor, în condi țiile muncii simultane, exercit ă un rol important în
cadrul verific ării lucr ărilor efectuate independent. Acesta se realizeaz ă prin confruntarea
rezultatelor ob ținute de ei cu cele indicate de cadrul didactic, sa u aflate în manual, la rubrica
de r ăspunsuri. Tot ca form ă de verificare, se poate utiliza controlul reciproc al elevilor
pentru lucr ările efectuate.
Ultimele dou ă forme de verificare a corectitudinii efectu ării lucr ărilor nu trebuie s ă
înlocuiasc ă îns ă controlul zilnic, sau pe cel periodic exercitat de institutor.
Test de autoevaluare
1. Preciza ți particularit ățile procesului de predare-înv ățare în înv ăță mântul simultan.
2. Prezenta ți obiectivele pe care trebuie s ă le aib ă în vedere institutorul , la întocmirea
orarului.
3. Eviden ția ți importan ța activit ății independente.
4. Enumera ți cerin țele pe care trebuie s ă le îndeplineasc ă activitatea independent ă a elevilor.
5. Exemplifica ți forme de activitate independent ă pentru predarea noilor cuno știn țe la clasa a
II-a.
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare
1.Revezi 9.1.1.( Particularit ățile procesului de predare-înv ățare în înv ăță mântul simultan ).
2. Revezi 9.1.3. (Alc ătuirea orarului).
3. Revezi 9.3.1.( Importan ța activit ății independente).
4. Revezi 9.3.2.(Cerin țe pe care trebuie s ă le îndeplineasc ă activitatea independent ă a elevilor).
5.Revezi 9.3.3.( Forme de activitate independent ă), extrage și reformuleaz ă.

Rezumat
Aceast ă unitate de înv ățare are ca scop cunoa șterea unor probleme specifice procesului de
predare-înv ățare a matematicii la clase simultane, cum ar fi: grupare a claselor și repartizarea pe
institutori, alc ătuirea orarului, precum și elemente de planificare, proiectare și organizare a
activit ății simultane, cu exemplific ări. Sunt prezentate de asemenea unele aspecte metodice
privind activitatea independentã a elevilor.
Bibliografie
Atanasiu, Gh., Purcaru, M.A.P., Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, Editura
Universit ății „Transilvania” din Bra șov, 2002.
Lupu, C.: Metodica pred ării matematicii. Manual pentru clasa a XII-a. Licee pedagogice .
Editura Paralela 45, Pite ști, 1999.
Neac șu, I. (coordonator): Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactic ă
și Pedagogic ă, Bucure ști, 1988.
Spulber, Ș., Spulber, C.: Practica pedagogic ă. Editura “Grigore Tabacaru”, Bac ău, 1999.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Rolul mijloacelor de înv ăță mânt în lec ția de matematic ă

99
Unitatea de înv ățare nr. 10

ROLUL MIJLOACELOR DE ÎNV ĂȚĂ MÂNT ÎN LEC ȚIA DE
MATEMATIC Ă

Cuprins
Obiectivele unit ății de înv ățare……………………………………………………….… 99
§ 1 0 .1. Conceptul de mijloc de înv ăță mânt…………………………………………….… 99
§ 1 0 .2. Principii de baz ă în folosirea mijloacelor de înv ăță mânt……………………….… 99
§ 1 0 .3. Integrarea mijloacelor de înv ăță mânt în activitatea didactic ă……………………. 100
§ 1 0 .4. Factorii determinan ți în activitatea de confec ționare a materialului didactic…..… 101
§ 1 0 .5. List ă de materiale didactice necesare desf ăș ur ării lec țiilor de matematic ă………. 102
Test de autoevaluare…………………………………………………………………..… 104
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare……………………………………… 104
Rezumat…………………………………………………………………………………. 104
Bibliografie……………………………………………… ……………………………… 104
Obiectivele unit ății de înv ățare

În urma parcurgerii acestei unit ăți de înv ățare, studen ții vor fi capabili:
-să precizeze conceptul de mijloc de înv ăță mânt;
-să în țeleag ă principiile de folosire a acestora în activitatea didactic ă;
-să descrie mijloacele de înv ăță mânt tradi ționale, eviden țiind rolul lor în cadrul lec țiilor de
matematic ă;
-să prezinte mijloacele de înv ăță mânt moderne, insistând asupra importan ței lor în cadrul
lec țiilor de matematic ă;
-să cunoasc ă factorii determinan ți în activitatea de confec ționare a materialului didactic cu
elevii;
-să enumere materiale didactice necesare desf ăș ur ării lec țiilor de matematic ă.
§ 1 0 .1. Conceptul de mijloc de înv ăță mânt
Termenul de mijloc de înv ăță mânt desemneaz ă totalitatea resurselor materiale concepute
și realizate în mod explicit pentru a servi institutorului în acti vitatea de predare și elevilor în
activitatea de înv ățare.
În sensul cel mai larg, prin mijloace de înv ăță mânt se în țelege totalitatea materialelor,
dispozitivelor și opera țiilor cu ajutorul c ărora se realizeaz ă transmiterea informa ției didactice,
înregistrarea și evaluarea rezultatelor ob ținute. A șadar, mijloacele de înv ăță mânt pot fi definite ca
un ansamblu de instrumente materiale produse, adaptate și selec ționate în mod inten ționat pentru
a servi nevoilor organiz ării și desf ăș ur ării procesului de înv ăță mânt. Ele amplific ă valoarea
metodelor și împreun ă cu acestea contribuie la realizarea obiectivelor educa ției.
Mijloacele de înv ăță mânt sunt instrumente care faciliteaz ă transmiterea informa ției ca act
al pred ării, sprijinind și stimulând în acela și timp activitatea de înv ățare. Ele, îns ă, nu se
substituie activit ății de predare, ci doar amplific ă și diversific ă func țiile acesteia printr-o mai
bun ă ordonare și valorificare a informa ției transmise. Oricât s-ar perfec ționa aceste mijloace, ele
nu vor putea înlocui activitatea institutorului, ci doar îl vor ajuta pe ntru a-și îndeplini mai bine
sarcinile ce-i revin.
§ 1 0 .2. Principii de bazã în folosirea mijloacelor de înv ăță mânt
Folosirea mijloacelor de înv ăță mânt se bazeaz ă pe unele principii a c ăror aplicare este necesar ă:
-orice comentariu oral, mai ales a unui subiect complicat sau nou, trebuie înso țit, dac ă este
posibil, cu elemente audio-vizuale pentru a fi re ținute sau pentru a suscita discu ții;
-ilustrarea audio-vizual ă a punctelor importante trebuie s ă fie repartizate echitabil, în a șa

Purcaru Monica Ana Paraschiva Rolul mijloacelor de înv ăță mânt în lec ția de matematic ă

100 fel încât s ă incite elevii, s ă dea via ță unui subiect mai pu țin atr ăgător, s ă încurajeze discu ția sau
să dea mai mult ă greutate unei explica ții;
-o prezentare cu ajutorul mijloacelor de înv ăță mânt a cuno știn țelor de înv ățat permite o
asimilare mai rapid ă și o activitate mai intens ă; astfel institutorul, poate deseori s ă abandoneze pe
moment rolul s ău pur pedagogic și s ă se integreze în grup pentru a discuta documentele
prezentate, con ținutul unui film, a unei simul ări etc.;
-adoptând atitudinea unui observator discret, aparent pasiv, institutorul poa te, dac ă a ales
cu grij ă mijloacele de înv ăță mânt, s ă creeze o situa ție în care grupul se autoinstruie ște, s ă
dezvolte la membrii s ăi spiritul critic, care îi va permite s ă ob țin ă înv ăță minte pentru situa ții reale
de via ță ;
-exerci țiile bazate pe jocurile didactice, pe simul ări (eventual prin utilizarea unui calculator
electronic), sunt eficiente: o problem ă devine tangibil ă, elevii ac ționeaz ă ei în șiși, sunt antrena ți
să participe, s ă fac ă apel la propria lor experien ță ;
-folosirea mijloacelor de înv ăță mânt permite cadrelor didactice s ă l ărgeasc ă câmpul de
cuno știn țe al elevilor, prin abordarea interdisciplinar ă a problematicii predate.
§ 1 0 .3. Integrarea mijloacelor de înv ăță mânt în activitatea didacticã
Prezen ța mijloacelor de înv ăță mânt în cadrul formelor de organizare a activit ății didactice se
justific ă atunci când: contribuie la perfec ționarea procesului de comunicare, prezentând inform a ții
despre cele mai diferite obiecte, fenomene, evenimen te etc.; aduc în laborator sau cabinet obiecte și
fenomene care nu pot fi percepute direct de c ătre elevi; ofer ă componente și aparate indispensabile
în realizarea unor montaje experimentale pentru dobâ ndirea cuno știn țelor prin efort propriu în
cadrul practic ării înv ăță rii prin descoperire; sprijin ă procesul de formare a no țiunilor, capacit ăților
de analiz ă, sintez ă, generalizare etc.; ofer ă un suport pentru efectuarea de exerci ții și rezolvarea de
probleme; prezint ă situa ții-problem ă ale c ăror solu ții urmeaz ă s ă fie analizate în lec ție; provoac ă și
dezvolt ă motiva ția înv ăță rii și, în acela și timp, declan șeaz ă o atitudine emo țional ă; ofer ă posibilit ăți
de conexiune invers ă și contribuie la evaluarea rezultatelor școlare.
Eficien ța mijloacelor de înv ăță mânt în activitatea de predare-înv ățare este determinat ă în
ultim ă instan ță de metodologia folosit ă de cadrul didactic pentru integrarea acestora în activitatea
didactic ă. Metodologia utiliz ării mijloacelor de înv ăță mânt nu este ceva exterior con ținutului
înv ăță mântului, ci reprezint ă o component ă de baz ă, care face parte din organizarea acestuia.
Eficien ța mijloacelor de înv ăță mânt depinde nu numai de calitatea lor, ci, în primul rând,
de modul în care sunt integrate în activitatea didactic ă. Indiferent de categoria lor, ele pot
contribui la ridicarea eficien ței și calit ății înv ăță rii numai atunci când sunt selec ționate și folosite
ra țional, când sunt subordonate atingerii obiectivelor didactice. În orice sistem de înv ățare
metodele și mijloacele de înv ăță mânt sunt interdependente, se condi ționeaz ă reciproc. Adaptarea
riguroas ă a mijloacelor de înv ăță mânt la sarcinile care trebuiesc realizate în activitatea de
înv ăță mânt constituie o condi ție indispensabil ă a eficien ței acestor mijloace.
Realizarea unei eficien țe sporite a mijloacelor de înv ăță mânt în procesul instructiv-educativ
depinde, totodat ă, și de m ăiestria cu care cadrul didactic reu șește s ă integreze efectiv aceste
mijloace în cadrul formelor de organizare. Procesul de integrare a acestor mijloace de înv ăță mânt
solicit ă cadrului didactic o preg ătire activ ă complex ă, care începe cu mult înainte de desf ăș urarea
activit ății propriu-zise și se încheie o dat ă cu stabilirea concluziilor desprinse din evaluarea
acesteia, pe baza c ărora se vor adopta apoi m ăsuri pentru optimizarea activit ății didactice.
Înainte de începerea activit ății didactice este necesar s ă se stabileasc ă și s ă se formuleze
clar obiectivele urm ărite prin folosirea mijloacelor de înv ăță mânt. Aceste obiective se stabilesc în
func ție de specificul fiec ărei activit ăți și au ca scop precizarea clar ă a modului în care mijloacele
de înv ăță mânt trebuie s ă contribuie la în țelegerea fenomenelor, proceselor pentru care expunerea
cadrului didactic nu este suficient ă.
Totodat ă, cadrul didactic stabile ște mijloacele de înv ăță mânt necesare (aparatura de uz
general, truse, subansamble, filme, folii, diapozitive ș.a.), ținând seama de obiectivele fundamen-

Purcaru Monica Ana Paraschiva Rolul mijloacelor de înv ăță mânt în lec ția de matematic ă

101
tale și opera ționale ale activit ății ce urmeaz ă s ă se desf ăș oare cu elevii, de cuantumul de
cuno știn țe, priceperi și deprinderi pe care trebuie s ă le însu șeasc ă ace știa. Apoi verific ă și
preg ăte ște în detaliu, tot înainte de lec ție, mijloacele de înv ăță mânt care vor fi folosite: truse,
subansamble, studiaz ă atent îndrum ările (instruc țiunile) de folosire a mijlocului de înv ăță mânt,
efectueaz ă experimentul în cele mai mici detalii, preg ăte ște materialele necesare efectu ării
experimentelor de c ătre elevi și fi șele de lucru, stabile ște modalit ățile de efectuare a
experimentului, sarcinile de lucru, concluziile par țiale și finale ce urmeaz ă s ă fie desprinse din
experimentele efectuate, elaboreaz ă probele de evaluare a rezultatelor etc. În cazul folosirii
mijloacelor audio-vizuale, institutorul verific ă starea de func ționare a aparaturii de proiec ție,
proiecteaz ă filmele, diapozitivele sau foliile selec ționate și stabile ște cu exactitate imaginile care
sunt necesare pe parcursul secven țelor, ca și modalitatea de a le valorifica.
Pentru a putea recep ționa cantitatea de informa ții ce urmeaz ă s ă fie transmis ă și pentru a
crea atmosfera necesar ă de lucru impus ă de folosirea mijloacelor de înv ăță mânt, este necesar ă o
preg ătire prealabil ă a elevilor de c ătre cadrul didactic. El trebuie s ă se conving ă de nivelul
fondului teoretic și deprinderile practice ale noilor cuno știn țe și abilit ăți pe care le vor dobândi
elevii prin intermediul mijloacelor de înv ăță mânt. Elevii vor putea s ă-și însu șeasc ă con știent
noile cuno știn țe numai în m ăsura în care cadrul didactic este convins c ă ace știa posed ă un
ansamblu de informa ții care s ă le permit ă în țelegerea, nu memorarea mecanic ă a noilor
cuno știn țe.
În condi țiile folosirii mijloacelor audio-vizuale, cadrul didactic trebuie s ă prezinte elevilor
obiectivele urm ărite, s ă sublinieze ideile principale, s ă formuleze întreb ări-problem ă la care
elevii s ă caute un r ăspuns în timpul proiec ției, s ă stabileasc ă alte sarcini ce trebuie îndeplinite în
timpul activit ății didactice.
Utilizarea mijloacelor de înv ăță mânt în cadrul lec țiilor se face cu ajutorul institutorului care
explic ă cum se folosesc (uneori f ăcând un instructaj de protec ție) și cum se mânuiesc pentru
formarea priceperilor și deprinderilor.
§ 1 0 .4. Factorii determinan ți în activitatea de confec ționare a materialului
didactic
Cerin țele esen țiale – tehnice, sociale și psihopedagogice – sunt în interac țiune și
interdependen ță și constituie factori determinan ți în activitatea de confec ționare a
materialului didactic cu elevii .
1.) Cerin țe sociale
Preocuparea cadrelor didactice de a lega no țiunile teoretice de formarea deprinderilor
practice la elevi, face s ă apar ă necesitatea confec țion ării cu elevii de material didactic nou, a
repar ării și între ținerii celui existent.
Ac țiunea de autodotare a dus la crearea în școli a numeroase noi laboratoare audio-vizuale,
la crearea și la îmbog ățirea sortimentelor de material didactic.
Ea înseamn ă nu numai producerea de valori materiale, deoarece autodotarea intere seaz ă nu
numai sub aspect economic, ci mai mult sub aspect educativ, pentru c ă se urm ăre ște preg ătirea
oamenilor capabili s ă f ăureasc ă obiecte utile.
Scopul final al activit ății de confec ționare a materialului didactic cu elevii este preg ătirea
tân ărului pentru via ță , via ța f ăcându-l apt s ă tr ăiasc ă în sânul societ ății ca om instruit, cu spirit
creator și cu personalitate profesional ă.
2.) Cerin țe tehnice
Școala are nevoie de material didactic cu caracteristici tehni ce și didactice superioare, cu
gabarite și performan țe care trebuie s ă r ăspund ă exigen țelor moderniz ării întregului înv ăță mânt
matematic.
Plecând de la aceast ă cerin ță , în realizarea diferitelor dispozitive și aparate, s-a urm ărit ca

Purcaru Monica Ana Paraschiva Rolul mijloacelor de înv ăță mânt în lec ția de matematic ă

102 materialul didactic confec ționat cu elevii s ă întruneasc ă anumite cerin țe tehnice :
-să fie cât mai simplu, spre a fi cât mai u șor intuit;
-să fie cât mai comod de mânuit (materialul didactic s ă fie demontabil);
-să aib ă un anumit dinamism, care s ă stimuleze interesul elevului pentru studiu;
-să promoveze concep ția modern ă dinamic ă asupra matematicii, în locul concep ției
tradi ționale cu caracter static;
-să fie astfel construit încât s ă atrag ă privirea elevului, s ă-l determine s ă-și pun ă întreb ări și
să-l ajute s ă le afle r ăspunsul;
-modelul trebuie s ă fie fidel; se în țelege prin aceasta c ă trebuie s ă existe între model și
original analogii destul de numeroase, pentru ca sugestiile f ăcute de func ționarea modelului s ă fie
valabile pentru original;
-materialul didactic confec ționat s ă fie adaptat, în limita posibilit ăților, la elementele
moderne, care au fost introduse în programele și manualele școlare și s ă contribuie eficient la
construirea unei tehnologii didactice moderne;
-materialul didactic confec ționat trebuie înso țit de cataloage, instruc țiuni și normative cu
privire la valoarea intuitiv ă, metodica folosirii, prezentarea și între ținerea lui.
3.) Cerin țe psihopedagogice
În misiunea sa delicat ă de a conduce elevul de la cuno știn țe intuitive la cuno știn țe
logice, cadrul didactic se sprijin ă adesea pe folosirea judicioas ă a materialului didactic.
Institutorul simte nevoia s ă confec ționeze singur, sau, pe baza concep ției lui, împreun ă cu elevii,
diferite dispozitive, aparate, plan șe, scheme etc., menite s ă determine o mai bun ă însu șire a
no țiunilor predate.
Dac ă dasc ălul pleac ă de la concep ția c ă matematica este o colec ție de structuri
(axiomatice), atunci munca sa de predare cu siguran ță va fi influen țat ă de aceast ă concep ție.
În cazul când acesta st ăruie asupra concep ției c ă matematica nu se manifest ă decât în
leg ătur ă cu situa țiile vie ții practice, materia va fi probabil prezentat ă ca un amestec de experien țe
și de procese de gândire asupra acestor experimente. Cadrul didacti c trebuie s ă foloseasc ă aceste
concep ții în mod echilibrat, f ără s ă absolutizeze una în dauna celeilalte.
Rolul dasc ălului la matematic ă const ă în a conduce elevul s ă treac ă de la cuno știn țele
căpătate pe planul intuitiv la cuno știn țele organizate la nivelul logic.
Modernizarea con ținutului și spiritului matematicii elementare necesit ă o revizuire
complet ă, o nou ă optic ă în ceea ce prive ște materialele și mijloacele folosite în clas ă. Folosirea
desenului, a modelului spa țial, a filmului etc., trebuie f ăcut ă judicios, la locul și timpul potrivit
din lec ție. Utilizarea abuziv ă, f ără discern ământ, a materialului didactic la lec ție constituie un
pericol, dezvolt ă la elevi intui ția în dauna logicii; prin logic ă, demonstrezi, prin intui ție inventezi.
Confec ționarea materialului didactic cu elevii contribuie la educarea lor prin munc ă și
pentru munc ă.
În activitatea practic ă de confec ționare a materialului didactic se realizeaz ă obiectivele
educa ționale privitoare la dezvoltarea spiritului aplicativ, a aptitudinil or creatoare, îndemânarea,
gustul pentru frumos, formarea personalit ății în ac țiune etc. Elevilor, care știu c ă au de lucrat
ceva folositor și v ăd cu proprii lor ochi c ă ceea ce au f ăcut se utilizeaz ă la lec ții, le spore ște
încrederea în for țele proprii și se descoper ă pe ei în șiși. Aceasta este o cerin ță esen țial ă a educ ării
prin munc ă.
De asemenea, se manifest ă la elevi colectivismul, cât și grija pentru gospod ărirea și
păstrarea materialului didactic.
§ 1 0 .5. List ă de materiale didactice necesare desf ășur ării lec țiilor de
matematic ă
Lista care urmeaz ă este orientativ ă. În func ție de resursele locale, o serie de materiale pot fi
înlocuite cu altele, similare din punct de vedere al obiectivului de atins. Materialele sunt, în
general, u șor de procurat; ele pot fi confec ționate în școal ă, de c ătre elevi, sau pot fi solicitate

Purcaru Monica Ana Paraschiva Rolul mijloacelor de înv ăță mânt în lec ția de matematic ă

103
părin ților.
Pentru desf ăș urarea optim ă a lec țiilor de matematic ă sunt necesare urm ătoarele materiale:
Pentru cadrul didactic :
-o cutie cu creioane;
-be țișoare;
-bile colorate (ro șii, verzi, albastre);
-monede, bancnote sau mulaje ale acestora (din carton);
-cuburi care se îmbin ă;
-cubul lui Rubik;
-un calendar;
-3-4 cutii de form ă paralelipipedic ă, al c ăror volum poate fi m ăsurat prin umplere cu cuburi
de dimensiuni egale;
-plan șe reprezentând construc ții simple f ăcute numai din cuburi;
-material didactic conceput și confec ționat în spirit problematizat;
-un ceas mare, din carton sau plastic, pe care limbil e se pot deplasa (ceasul demonstrativ);
-un ceas electronic;
-un cronometru;
-o cutie cu be țe de chibrit;
-o balan ță sau un cântar;
-num ărătoare de pozi ționare;
-figuri geometrice de pozi ționare;
-figuri geometrice decupate, de diferite culori: p ătrat, dreptunghi, triunghi, cerc etc.;
-plan șe reprezentând adunarea și sc ăderea cu 2 a numerelor pare de la 0 la 20;
-plan șe cu modele de rezolvare a ecua țiilor;
-plan șe reprezentând axe ale numerelor;
-tabl ă magnetic ă;
-corpuri geometrice: cub, paralelipiped, piramid ă, sfer ă, cilindru, con;
-plan șe reprezentând dou ă castele construite folosind cât mai multe din corpurile
geometrice studiate;
-figuri geometrice care admit una sau mai multe axe de sime trie;
-una sau dou ă plan șe cu figuri care au colorate câte o doime, o treime sau o p ătrime din
întreaga figur ă;
-o plan șă cu tabla înmul țirii vizibil ă din orice punct al clasei;
-diferite obiecte care se pot compara în mod semnificativ din punct de vedere al lungimii
lor (lungi și înguste);
-rigl ă de lemn;
-un metru de tâmpl ărie, un centimetru, un metru folosit pentru textile;
-o foaie de calc pe care este desenat ă o re țea de p ătrate vizibil ă din orice punct al clasei;
-desene cu imagini sugerând temperaturi ridicate și sc ăzute;
-vase transparente de diferite m ărimi, pentru m ăsurat capacit ăți;
-mase de 1 kg, 500 grame, 250 grame;
-plastilin ă;
-termometru medical.
Pentru fiecare elev, sau pentru un grup de doi elevi :
-be țișoare;
-pătrate și discuri colorate (10 ro șii, 10 verzi, 10 albastre);
-cartona șe decupate con ținând exerci ții de înmul țire și împ ărțire;
-cartona șe decupate reprezentând figuri geometrice: p ătrat, dreptunghi, triunghi, cerc,
pentagon, hexagon, octogon;

Purcaru Monica Ana Paraschiva Rolul mijloacelor de înv ăță mânt în lec ția de matematic ă

104 -cuburi care se pot îmbina (ca la jocul "Lego", sau mai simple) construite din material
plastic;
-un ceas decupat, pe care se pot fixa limbile cu o pionez ă;
-be țe de chibrit (f ără g ămălie);
-balan țe;
-num ărători de pozi ționare;
-figuri geometrice de pozi ționare;
-trus ă de corpuri geometrice;
-figuri geometrice pe care sunt puse în eviden ță câte o doime, o treime, o p ătrime;
-o foarfec ă;
-un metru de croitorie;
-rigl ă gradat ă;
-cuburi cu latura de 1 cm;
-plastilin ă;
-mulaje din hârtie sau carton ale monedelor și bancnotelor;
-hârtie milimetric ă;
-cartoane decupate ce con țin denumirile pentru zilele s ăpt ămânii și lunile anului.
Test de autoevaluare
1. Defini ți conceptul de mijloc de înv ăță mânt.
2. Enumera ți, folosind cuvinte proprii, principiile de baz ă în folosirea mijloacelor de
înv ăță mânt.
3. Prezenta ți factorii determinan ți în activitatea de confec ționare a materialului didactic.
4. Specifica ți care dintre materialele didactice de la 10.5 pot fi confec ționate în gr ădini ță
împreun ă cu copiii, respectiv în școal ă împreun ă cu elevii, și care pot fi solicitate
părin ților.
5. Concepe ți diferite alternative metodologice pentru predarea-înv ățarea diferitelor
con ținuturi din manualele alternative de matematic ă și analiza ți mijloacele de
înv ăță mânt ce pot fi utilizate pentru atingerea obiectivelor propuse.
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare
1. Revezi 10.1 (Conceptul de mijloc de înv ăță mânt).
2. Revezi 10.2 (Principii de baz ă în folosirea mijloacelor de înv ăță mânt)
3. Revezi 10.4 (Factorii determinan ți în activitatea de confec ționare a materialului
didactic)
Rezumat
Această tem ă este dedicat ă dezvolt ării și aprofund ării problematicii privind cunoa șterea și
posibilitatea folosirii mijloacelor de înv ăță mânt în activitatea didactic ă, cu scopul de a spori
eficien ța acesteia. Este prezentat conceptul de mijloc de înv ăță mânt, cu descrierea principiilor de
folosire a acestora în activitatea didactic ă. Este discutat ă integrarea mijloacelor de înv ăță mânt în
activitatea didactic ă. Dup ă enumerarea factorilor determinan ți în activitatea de confec ționare a
materialului didactic este prezentatã o list ă orientativ ă a materialelor didactice necesare
desf ăș ur ării lec țiilor de matematic ă la clasele I-IV.
Bibliografie

Jinga, I., Istrate, E.: Manual de pedagogie . Editura ALL, Bucure ști, 2001.
Lupu, C., S ăvulescu, D.: Metodica pred ării matematicii. Manual pentru clasa a XI-a.
Licee pedagogice . Editura Paralela 45, Pite ști, 1998.
Neagu, M., Beraru, G.: Activit ăți matematice în gr ădini ță . Editura AS’S, Ia și, 1995.
Pan țuru, S., P ăcurar, D.C.: Didactica. Curs de pedagogie. Partea a II-a . Reprografia
Universit ății Transilvania, Bra șov, 1997.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Rolul mijloacelor de înv ăță mânt în lec ția de matematic ă

105
Radu, N., Singer, M.: Matematic ă pentru clasa a II-a. Ghid pentru înv ăță tori și p ărin ți.
Editura Sigma, Bucure ști, 1994.
Radu, N., Singer, M.: Matematic ă pentru clasa a III-a. Ghid pentru înv ăță tori și p ărin ți.
Editura Sigma, Bucure ști, 1995.
Singer, M., P ădureanu, V., Mogo ș, M.: Matematic ă pentru clasa a IV-a. Ghid pentru
înv ăță tori și p ărin ți. Editura Sigma, Bucure ști, 2000.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Evaluarea în cadrul lec țiilor de matematic ă

106 Unitatea de înv ățare nr. 11

EVALUAREA ÎN CADRUL LEC ȚIILOR DE MATEMATIC Ă
Cuprins
Obiectivele unit ății de înv ățare………………………………………………………… 106
§ 1 1 .1. Preciz ări conceptuale…………………………………………………………….. 106
§ 1 1 .2. Tipuri (forme) de evaluare……………………………………………… …….. 106
§ 1 1 .3. Evaluarea performan țelor școlare……………………………………………… 107
§ 1 1 .4. Metode și tehnici de evaluare a randamentului școlar la matematic ă…………… 108
§ 1 1 .5. Metodologia elabor ării itemilor…………………………………………………. 110
11.5.1. Clasificarea itemilor………………………… ………………………….. 110
11.5.2. Îndrum ări practice, generale pentru elaborarea itemilor………………… 110
Test de autoevaluare…………………………………………………………………… 111
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare…………………………………… 111
Rezumat………………………………………………………………………………. 111
Bibliografie…………………………………………………………………………… 112

Obiectivele unit ății de înv ățare

În urma parcurgerii acestei unit ăți de înv ățare, studen ții vor fi capabili:
-să cunoasc ă noul sistem de evaluare în scopul cre ării unor modalit ăți eficiente de m ăsurare
a nivelului de realizare a obiectivelor noului curriculum;
-să aplice strategiile de evaluare;
-să descrie principalele metode și tehnici de evaluare specifice lec țiilor de matematic ă;
-să compare metodele de evaluare în raport cu avantajele și limitele specifice;
-să aplice metodologia evalu ării randamentului școlar la matematic ă;
-să con știentizeze importan ța evalu ării într-un demers didactic la matematic ă;
-să realizeze practic teste de evaluare didactic ă la disciplina matematic ă, ținând cont de
indica țiile metodice din aceast ă tem ă.

§ 1 1 .1. Preciz ări conceptuale

Câteva sensuri ale conceptului de evaluare mai frecvent întâlnite în literatura de specialitate
sunt:
1. Evaluarea = reglare a înv ăță rii și pred ării, adic ă ob ținerea de informa ții despre efectele
pred ării și recept ării cuno știn țelor.
2. Evaluarea = m ăsurarea efectelor înv ăță rii. Ea const ă în aplicarea unor tehnici, probe,
pentru a cunoa ște efectele ac țiunii instructiv-educative. Pot fi m ăsurate num ărul de cuno știn țe
memorate sau în țelese de elevi, deprinderile și priceperile nou formate, num ărul și gravitatea
gre șelilor în executarea unei activit ăți.
3. Evaluarea = proces de ob ținere a informa țiilor asupra elevului, profesorului, sau asupra
programului educativ și de folosire a acestora în scopul formul ării unor aprecieri, sau al adopt ării
unor decizii.
4. Evaluarea = proces de m ăsurare și apreciere a valorii rezultatelor sistemului de
înv ăță mânt, sau a unei p ărți a acestuia a eficien ței resurselor și strategiilor folosite, prin
compararea rezultatelor cu obiectivele propuse, în vederea lu ării unor decizii de îmbun ătățire..

§ 1 1 .2. Tipuri (forme) de evaluare

Dup ă modul cum se realizeaz ă: la începutul, pe parcursul, sau la sfâr șitul unei unit ăți de
înv ățare se eviden țiaz ă urm ătoarele forme de evaluare :
1. evaluarea ini țial ă (predictiv ă);

Purcaru Monica Ana Paraschiva Evaluarea în cadrul lec țiilor de matematic ă

107
2. evaluarea continu ă (formativ ă);
3. evaluarea sumativ ă (final ă).
1. Evaluarea ini țial ă se realizeaz ă prin raportare la obiectivele terminale ale capitolu lui anterior.
Tehnica de evaluare o constituie proba ini țial ă sau predictiv ă, care este aplicat ă la
începutul fiec ărei unit ăți de con ținut.
Evaluarea ini țial ă (predictiv ă) se realizeaz ă la începutul anului școlar, sau al semestrului,
sau la trecerea de la un capitol studiat la altul. Permite s tabilirea nivelului de dezvoltare și de
preg ătire și anticipeaz ă evolu ția elevilor. Sugereaz ă institutorului strategiile didactice care pot fi
utilizate. Rezultatele din evalu ările ini țiale direc ționeaz ă activitatea institutorului în dou ă planuri:
-modalitatea de predare-înv ățare a noului con ținut (adaptarea strategiilor didactice la
posibilit ățile de asimilare ale elevilor);
-aprecierea necesit ății organiz ării unor programe de recuperare pentru întreaga clas ă sau a
unor programe diferen țiate, menite s ă aduc ă elevii la capacit ățile necesare abord ării unei noi
unit ăți de înv ățare.
2. Evaluarea continu ă se realizeaz ă pe tot parcursul unit ății didactice, descriind achizi țiile
elevului în cursul înv ăță rii, în raport cu obiectivele stabilite. Scopul principal al aces tui tip de
evaluare este acela de a dezvolta la fiecare elev autocunoa șterea și încrederea în sine, având, în
acela și timp, caracter diagnostic și recuperativ.
3. Evaluarea sumativ ă stabile ște un bilan ț final al unei secven țe de înv ățare, având drept scop
măsurarea nivelului de realizare a obiectivelor opera ționale propuse. Se realizeaz ă la finalul
programului de instruire (sfâr șit de unitate de înv ățare, sfâr șit de semestru sau de an școlar).
Deoarece aceast ă form ă de evaluare nu înso țește procesul didactic pas cu pas, nu permite
ameliorarea acestuia decât dup ă perioade îndelungate de timp.

§ 1 1 .3. Evaluarea performan țelor școlare

Scopul principal al evalu ării rezultatelor școlare este perfec ționarea continu ă a procesului
de predare-înv ățare. Pentru a-și îndeplini acest scop, evaluarea trebuie s ă descrie în mod obiectiv
ceea ce pot realiza elevii, s ă clarifice natura dificult ăților pe care ace știa le au în înv ățare și s ă
indice solu ții pentru îmbun ătățirea rezultatelor întregului proces.
Evaluarea performan țelor elevilor este necesar ă pentru:
-cunoa șterea nivelului de preg ătire al fiec ărui elev în scopul organiz ării eficiente a
activit ății de predare-înv ățare;
-determinarea nivelului atins de fiecare elev în vederea form ării și dezvolt ării capacit ăților
cuprinse în obiective;
-eviden țierea progresului înregistrat de elev în raport cu sine însu și pe traseul atingerii
obiectivelor prev ăzute de program ă; important este s ă fie evaluat ă nu atât cantitatea de informa ții
de care dispune elevul, ci, mai ales, ceea ce poate s ă fac ă el, utilizând ceea ce știe sau ceea ce
intuie ște;
-asigurarea unei inform ări continue asupra rezultatelor pred ării-înv ăță rii, pentru a preveni la
timp deregl ările procesului sau pentru a le corecta atunci când ele s-au produs;
-asigurarea unei raport ări la standarde na ționale pentru a oferi o apreciere corect ă a
rezultatelor unei promov ări reale, pe baza performan țelor ob ținute, care s ă asigure continuitatea
cu succes a studiilor în clasa urm ătoare;
-raportarea activit ății institutorului la obiectivele vizate prin program ă; autoaprecierea
muncii proprii;
-stabilirea unor criterii unitare și obiective de evaluare a activit ății institutorului în raport
cu obiectivele programei de c ătre factorii de îndrumare și control: directori, metodi ști, inspectori
școlari.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Evaluarea în cadrul lec țiilor de matematic ă

108 Pentru ca evaluarea progresului școlar al elevilor s ă-și ating ă scopurile propuse, o serie de
ac țiuni de ordin strategic și practic devin necesare:
-înlocuirea evalu ării oarbe, exprimate prin cifre sau corecturi nerelevante pentru
determinarea stadiului atins de elev în formarea unor capacit ăți și, prin urmare, nerelevante
pentru depistarea și eliminarea blocajelor, cu evaluarea calitativ ă, de tip descriptiv, realizat ă pe
baza descriptorilor de performan ță , ce ofer ă datele necesare regl ării procesului de înv ățare;
-înlocuirea probelor de evaluare clasice, vizând evaluarea cantit ății de informa ții
memorate , ce permit un grad înalt de subiectivitate, cu teste de evaluare compuse din itemi bine
structura ți, ce asigur ă o evaluare obiectiv ă nu numai a informa țiilor acumulate de elevi, ci și a
deprinderilor, a capacit ăților intelectuale și a tr ăsăturilor de personalitate – aspecte care constituie
rezultatul cel mai important al activit ății școlare;
-modificarea raportului dintre evaluarea sumativ ă, care inventariaz ă, selecteaz ă și
ierarhizeaz ă prin not ă, și evaluarea formativ ă, ce are drept scop valorificarea la maximum a
poten țialului intelectual de care dispun elevii și conduce la perfec ționarea continu ă a stilului și a
metodelor proprii de înv ățare;
-restabilirea echilibrului dintre evaluarea scris ă și evaluarea oral ă care, de și presupune un
volum mare de timp pentru aprecierea tuturor elevilor și blocaje datorate emo ției sau timidit ății,
prezint ă avantaje deosebite, precum: realizarea interac țiunii elev-institutor, demonstrarea
stadiului de formare a unor capacit ăți sau competen țe prin interven ția institutorului cu întreb ări
ajut ătoare, demonstrarea comportamentului comunicativ și de interrela ționare a elevului,
evaluarea de ordin atitudinal-comportamental, eviden țierea unor tr ăsături de personalitate etc.;
-folosirea cu o mai mare frecven ță a metodelor de autoevaluare și de evaluare prin
consultare în grupuri mici , vizând verificarea modului în care elevii î și exprim ă liber opinii
proprii sau accept ă cu toleran ță opiniile celorlal ți, modul cum utilizeaz ă în practica vorbirii
formulele de ini țiere, de men ținere și de încheiere a unui dialog sau capacitatea de a- și sus ține și
motiva propunerile.

§ 1 1 .4. Metode și tehnici de evaluare a randamentului școlar la matematic ă

Metodele tradi ționale utilizate în evaluarea rezultatelor școlare sunt: examinarea oral ă,
examinarea prin probe scrise, examinarea prin probe practice, te xtul decimologic.
Metodele alternative utilizate în evaluarea rezultatelor școlare sunt: observarea
sistematic ă a comportamentului de înv ățare al elevilor, investiga ția, proiectul, portofoliul,
autoevaluarea.
Programa școlar ă reprezint ă instrumentul didactic principal care descrie condi țiile
dezirabile pentru reu șita înv ăță rii, exprimate în termeni de obiective, con ținuturi și activit ăți de
înv ățare. Ea descrie oferta educa țional ă a unei anumite discipline pentru un parcurs școlar
determinat.
Obiectivele de referin ță specific ă rezultatele a șteptate ale înv ăță rii și urm ăresc achizi ția
progresiv ă a cuno știn țelor și a competen țelor, de la un an de studiu la altul. Aceste obiective sunt
exprimate în termeni de posibilitate.
În activitatea de evaluare, obiectivele de referin ță ale programei sunt transformate în
descriptori de performan ță , exprima ți în termeni de realizare.
Aplicarea descriptorilor de performan ță nu înseamn ă înlocuirea pur formal ă a notei
tradi ționale cu un calificativ care urm ăre ște numai ierarhizarea rezultatelor școlare ob ținute de
elevi. Perceput astfel, noul sistem de apreciere a rezultate lor școlare prin calificative nu ar servi
cu nimic sensului pozitiv al reformei din acest domeniu, care este trecerea de la o evaluare pur
cantitativ ă și nesemnificativ ă, la o evaluare calitativ ă, de tip descriptiv , care s ă se constituie cu
adev ărat într-un factor activ, reglator, generator de progres școlar.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Evaluarea în cadrul lec țiilor de matematic ă

109
Pentru în țelegerea noului concept de evaluare, fiecare activitate de evalua re a rezultatelor
școlare trebuie înso țit ă, în mod sistematic, de o autoevaluare a procesului pe care institutorul l-
a desf ăș urat cu to ți elevii și cu fiecare elev în parte, pentru ob ținerea rezultatelor școlare
eviden țiate prin evaluare. Numai astfel poate fi descris nivelul de for mare al fiec ărui elev și pot fi
stabilite modalit ățile prin care va fi reglat ă, de la o etap ă la alta, activitatea de înv ățare-formare a
elevilor în mod diferen țiat, pentru ca to ți cei cu o dezvoltare intelectual ă normal ă s ă poat ă atinge,
în final, standardele de performan ță curriculare .
Cu alte cuvinte, calificativele: excelent, foarte bine, bine și suficient , men ționate în
descriptori, ca și calificativul insuficient trebuie traduse de institutor în termeni care s ă-i
ghideze reglarea procesului de predare-înv ățare:
• excelent = capacitate/competen ță constituit ă stabil, capabil ă de autodezvoltare;
• foarte bine = capacitate/competen ță format ă;
• bine = capacitate/competen ță care necesit ă antrenament pentru consolidare;
• suficient = capacitate/competen ță aflat ă în curs de formare;
• insuficient = capacitate/competen ță nerealizat ă.
Noul sistem de evaluare a rezultatelor înv ăță rii la matematic ă urmeaz ă s ă se constituie
într-un act unitar și coerent care s ă ofere tuturor elevilor, indiferent de specificul unit ății școlare
sau de manualul alternativ dup ă care lucreaz ă, repere la care ace știa s ă-și poat ă raporta nivelul de
performan ță atins în înv ățare. Ținând seama de acest principiu important, toate instrumentele de
evaluare: matricele de evaluare, descriptorii de performan ță , probele de evaluare, sunt
derivate din obiectivele-cadru și din obiectivele de referin ță ale curriculum-ului școlar. În
proiectarea evalu ării, se trece de la obiectivele de referin ță ale programei la descrierea lor în
termeni de competen țe realizabile, cuprinse în descriptori de performan ță .
Descriptorii de performan ță pot fi utiliza ți pentru evaluarea și aprecierea rezultatelor
școlare la toate formele sau probele de evaluare, or ale sau scrise, proiectate în matrice.
Ace știa se pot adapta atât la con ținuturile de înv ățare evaluate, cât și la tipul de prob ă de
evaluare administrativ ă.
Tipul probelor (metodelor) de evaluare se selecteaz ă în func ție de doi parametri:
obiectivul-cadru vizat și competen țele pe care institutorul î și propune s ă le formeze la elevi în
cadrul procesului de predare-înv ățare, pentru a asigura atingerea obiectivelor. Corela ția dintre
competen țele evaluate și instrumentele folosite pentru a realiza aceast ă evaluare este redat ă
sintetic în matricele de evaluare .
Pentru a asigura eficien ța activit ății de evaluare a rezultatelor școlare este necesar ca
aceasta s ă fie înso țit ă de o autoevaluare a procesului pe care institutorul l-a desf ăș urat cu to ți
elevii și cu fiecare elev în parte în scopul ob ținerii rezultatelor școlare eviden țiate prin evaluare.
Numai astfel poate fi descris nivelul achizi țiilor fiec ărui elev în înv ățare și pot fi stabilite
modalit ățile prin care va fi reglat ă, de la o etap ă la alta, înv ățarea-formarea elevilor în mod
diferen țiat, astfel încât to ți cei cu o dezvoltare intelectual ă normal ă s ă poat ă atinge, în final,
standardele curriculare de performan ță .
Standardele curriculare de performan ță pentru școala primar ă reprezint ă o descriere
sintetic ă a nivelului de competen țe recomandate a fi dobândite de elevi pân ă la sfâr șitul
clasei a IV-a.
În condi țiile existen ței unor standarde curriculare de performan ță , obliga ția institutorului
este ca:
-să asigure atingerea nivelului minim de c ătre to ți elevii;
-să creeze condi țiile ca fiecare elev s ă avanseze cât mai mult, în func ție de posibilit ățile și
disponibilit ățile sale, c ătre nivelul achizi țiilor dezirabile, exprimate în documentele curriculare în

Purcaru Monica Ana Paraschiva Evaluarea în cadrul lec țiilor de matematic ă

110 termeni de performan ță optimal ă.
În scopul asigur ării unei corectitudini a rezultatelor evalu ării, instrumentele de evaluare
(probele) trebuie s ă se caracterizeze prin: validitate (calitatea de a m ăsura ceea ce este destinat s ă
măsoare), fidelitate (calitatea de a da rezultate constante î n cursul aplic ării succesive),
obiectivitate (gradul de concordan ță între aprecierile f ăcute de evaluatori diferi ți), aplicabilitate
(calitatea de a fi u șor administrat ă și interpretat ă).

§ 1 1 .5. Metodologia elabor ării itemilor
11.5.1. Clasificarea itemilor
Informa țiile despre felul cum au înv ățat și ce au înv ățat elevii, se colecteaz ă cu ajutorul
unor tehnici și instrumente de evaluare. Acestea sunt: probe, chestionare, test e de evaluare care
se compun din unul sau mai mul ți itemi.
Itemii reprezint ă elemente componente ale unui instrument de evaluare și pot fi: simple
întreb ări, un enun ț urmat de o întrebare, exerci ții, eseuri. Itemii mai con țin și tipul de r ăspuns
așteptat, deci: item = întrebare + r ăspuns .
În construirea itemilor se parcurg urm ătoarele etape :
− precizarea disciplinei de studiu, a clasei și a capitolului;
− definirea obiectivului pe care itemul îl m ăsoar ă;
− formularea enun țului itemului;
− schema de notare;
− observa ții (acolo unde este cazul).
Din punct de vedere al tipului de r ăspuns a șteptat și al gradului de obiectivitate a not ării,
itemii se împart în:
1. Itemi obiectivi:
− itemi tip pereche;
− itemi cu alegere dual ă;
− itemi cu alegere multipl ă.
2. Itemi semiobiectivi:
− itemi cu r ăspuns scurt;
− întreb ări structurate.
3. Itemi cu r ăspuns deschis:
− itemi tip rezolvare de probleme;
− eseu structurat;
− eseu nestructurat.

11.5.2. Îndrumãri practice, generale pentru elaborarea itemilor
Itemii verific ă un e șantion reprezentativ al domeniului de evaluat atât din punct de vedere
al con ținutului cât și al comportamentului solicitat. În elaborarea lor se utilizeaz ă un limbaj
precis și clar. Itemii sunt independen ți unul fa ță de altul. R ăspunsul la un item nu trebuie s ă
depind ă de r ăspunsul la alt item.

Itemi de tip pereche

Le solicit ă elevilor stabilirea unor coresponden țe între informa țiile distribuite pe dou ă
coloane. Informa țiile din prima coloan ă se numesc premize , iar cele din a doua coloan ă se
numesc răspunsuri .
Acest tip de itemi urm ăresc dezvoltarea puterii de asociere în gândirea elevilor.
Se pot asocia:
-exerci ții – rezultatele acestora;
-termeni – defini ții, etc.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Evaluarea în cadrul lec țiilor de matematic ă

111
Itemi cu alegere dubl ă
Ofer ă elevului posibilitatea s ă aleag ă r ăspunsul corect din dou ă alternative: adev ărat-fals;
da-nu; corect-incorect.
Itemi cu alegere multipl ă
Pe baza unui enun ț se cere elevului s ă aleag ă r ăspunsul corect sau cea mai bun ă alternativ ă
dintr-o list ă de r ăspunsuri alternative.
Itemi cu r ăspuns scurt
Solicit ă elevilor formularea r ăspunsului sub forma unui cuvânt, propozi ție, num ăr, cerin ța
fiind de tip intrebare direct ă.
Modalit ăți de utilizare:
-se d ă elevului o defini ție și i se cere s ă scrie numele conceptului definit;
-se d ă un concept și i cere s ă-l defineasc ă;
-se d ă un concept și i se cere s ă enumere caracteristicile sale;
-se cere elevilor s ă adauge cuvântul ce lipse ște dintr-o defini ție.

Întreb ări structurate
Sunt formate din mai multe subîntreb ări de tip obiectiv sau semiobiectiv, legate între ele
printr-un element comun.
Itemi cu r ăspuns deschis
Ofer ă elevilor posibilitatea de a formula o descriere, a prezenta sa u a explica diferite
concepte, rela ții, metode de rezolvare.
Tipuri de itemi cu r ăspuns deschis:
-rezolvarea de probleme;
-eseu structurat;
-eseu liber.

Itemi de tip eseu
Itemul de tip eseu cere elevului s ă construiasc ă, s ă produc ă un r ăspuns liber în conformitate
cu un set de cerin țe date.

Test de autoevaluare
1. Construi ți o prob ă de evaluare predictiv ă pentru un capitol la alegere din matematica
clasei a IV-a.
2. Construi ți o prob ă de evaluare formativ ă pentru o lec ție la alegere din capitolul ales
anterior.
3. Pentru capitolul ales construi ți o prob ă de evaluare sumativ ă.

Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare
Resurse necesare:
***Manualele școlare (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I-IV.
***Ministerul Educa ției, Cercet ării și Tineretului, Consiliul Na țional pentru Curriculum.
Programe școlare pentru înv ăță mântul primar , revizuite. Bucure ști,2003(I,II),2004(III), 2005(IV).
***SNEE, CNC, Descriptori de performan ță pentru înv ăță mântul primar, Editura
ProGnosis.

Rezumat
Aceast ă tem ă este dedicat ă dobândirii unor cuno știn țe referitoare la metodologia evalu ării
la matematic ă. Dup ă precizarea conceptului de evaluare sunt date câteva repere privind t ipuri de

Purcaru Monica Ana Paraschiva Evaluarea în cadrul lec țiilor de matematic ă

112 evaluare. Sunt prezentate metodele și tehnicile de evaluare a randamentului școlar la matematic ă.
Este analizat ă de asemenea și metodologia elabor ării itemilor.

Bibliografie
Cristea, S.: Dic ționar de termeni pedagogici . Editura Didactic ă și Pedagogic ă, Bucure ști,
1998.
Manolescu, M.: Evaluarea școlar ă-metode, tehnici și instrumente, Editura METEOR
PRESS, 2005.
Neac șu, I. (coordonator): Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactic ă
și Pedagogic ă, Bucure ști, 1988.
Pan țuru, S., P ăcurar, D.C.: Didactica. Curs de pedagogie. Partea a II-a . Reprografia
Universit ății Transilvania, Bra șov, 1997.
Radu, I.: Evaluarea în procesul didactic . Editura Didactic ă și Pedagogic ă, Bucure ști, 2000.
*** Manualele școlare (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I-IV .
***Ministerul Educa ției, Cercet ării și Tineretului, Consiliul Na țional pentru Curriculum.
Programe școlare pentru înv ăță mântul primar , revizuite. Bucure ști,2003(I,II),2004(III), 2005(IV).
***SNEE, CNC, Descriptori de performan ță pentru înv ăță mântul primar, Editura
ProGnosis.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Elemente de proiectare didactic ă la matematic ă

113 Unitatea de înv ățare nr. 12

ELEMENTE DE PROIECTARE DIDACTIC Ă LA
MATEMATIC Ă

Cuprins
Obiectivele unit ății de înv ățare………………………………………………………… 113
§ 1 2 .1. Conceptul de proiectare didactic ă……………………………………………….. 113
§ 1 2 .2. Elemente de proiectare didactic ă………… ……………………………………… 113
12.2.1. Manualele școlare alternative……………………………………………. 114
12.2.2. Lectura personalizat ă a programelor școlare de matematic ă…………….. 117
12.2.3. Planificarea calendaristic ă……………………………………………….. 117
12.2.4. Proiectarea unit ăților de înv ățare………………………………………… 118
12.2.5. Proiectul de lec ție………………………………………………………… 119
Test de autoevaluare……………………………………………………………………. 120
Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare……………………………………… 120
Lucrare de verificare……………………………………………………………………. 120
Rezumat………………………………………………………………………………… 120
Bibliografie……………………………………………………………………………… 120
Obiectivele unit ății de înv ățare
În urma parcurgerii acestei unit ăți de înv ățare, studen ții vor fi capabili:
-să realizeze proiectarea unei unit ăți de înv ățare, la matematic ă;
-să realizeze proiecte de lec ție la matematic ă;
-să con știentizeze importan ța proiect ării didactice la matematic ă.

§ 1 2 .1. Conceptul de proiectare didactic ă

Proiectarea didactic ă este o activitate complex ă, un proces de anticipare a ceea ce dore ște
institutorul s ă realizeze împreun ă cu elevii s ăi în cadrul unei lec ții, sistem de lec ții, tem ă, capitol sau
pe parcursul întregului an școlar, pentru realizarea obiectivelor programei .
Proiectarea didactic ă cuprinde totalitatea ac țiunilor și opera țiilor angajate în cadrul activi-
tății didactice pentru realizarea finalit ăților asumate la nivel de sistem și de proces, în vederea
asigur ării func țion ării optime a acestora. În cadrul activit ății de proiectare didactic ă sunt
cuprinse: definirea anticipat ă a obiectivelor, con ținuturilor, strategiilor înv ăță rii, probelor de eva-
luare și a rela țiilor dintre acestea, în condi țiile induse de un anumit mod de organizare a proce-
sului de înv ăță mânt, fiind conectate de asemenea activit ățile de planificare și programare a
instruirii.
Pe scurt, proiectarea didactic ă reprezint ă activitatea desf ăș urat ă de institutor ce const ă în
anticiparea etapelor și a ac țiunilor concrete de realizare a pred ării.

§ 1 2 .2. Elemente de proiectare didactic ă

Proiectarea didactic ă cuprinde urm ătoare produse, care pot fi delimitate dup ă cele dou ă
niveluri ale sistemului educa țional:
I. La nivel macro:
-planurile de înv ăță mânt;
-programele pe discipline;
-manualele școlare;
-ghidurile metodologice.
II. La nivel micro (realizat ă de cadrul didactic):
-lectura personalizat ă a programelor școlare la matematic ă;

Purcaru Monica Ana Paraschiva Elemente de proiectare didactic ă la matematic ă

114 -proiectarea activit ății anuale sau calendaristice;
-proiectarea unit ăților de înv ățare;
-proiectarea lec țiilor specifice fiec ărei unit ăți de înv ățare.

12.2.1. Manualele școlare alternative.

Apari ția manualelor alternative pe pia ța c ărții didactice nu este un fapt de marketing, ci o
component ă a reformei înv ăță mântului ini țiat ă de Ministerul Educa ției, Cercet ării și Tineretului
și realizat ă cu pasiune și profesionalism de c ătre dasc ăli, prin munca de elaborare a manualelor
sau a altor lucr ări auxiliare, bazate pe practica didactic ă.
Manualele alternative:
-se constituie într-o abordare sistemic ă, eficient ă a procesului de predare-înv ățare;
-se caracterizeaz ă prin formule grafice foarte atractive;
-se impun prin coeren ță pedagogic ă, ob ținut ă prin “decuparea” unit ăților, echilibrarea
informa țiilor, a exerci țiilor și instrumentelor de control.
Organizarea fiec ărui capitol este u șor de recunoscut datorit ă unor simboluri grafice
prezentate într-o prefa ță , cu care încep manualele. Tot aici se explic ă, într-un limbaj simplu,
modul în care poate fi folosit ă lucrarea.
Accesul elevului la gândirea matematic ă este facilitat prin explica ții clare, reguli și
recomand ări care vin s ă-l sprijine în în țelegerea no țiunilor noi și fixarea celor însu șite.
Temele și lec țiile din manuale sunt organizate foarte clar:
-o situa ție practic ă ce ofer ă cadrul no țiunii de înv ățat; elevul este îndemnat s ă observe, s ă
repete procedeul, s ă stabileasc ă o concluzie pe care apoi o verific ă urm ărind nota țiile, rezultatul
observa ției;
-situa ții de înv ățare ordonate de la simplu la complex, prin care elevului i se form eaz ă
deprinderi de calcul sau de rezolvare a problemelor; cerin țe de înv ățare care integreaz ă no țiunea
în sistemul general de cuno știn țe matematice;
-o regul ă, o concluzie, observa ție sau conven ție subliniate grafic;
-jocuri sau curiozit ăți matematice.
În lec țiile de recapitulare, de aplicare a testului se restructurea z ă no țiunile, conceptele
formate, mai mul ți termeni matematici utiliza ți sunt nota ți, apoi integra ți într-un sistem coerent
de cerin țe; elevul este îndemnat s ă foloseasc ă la unele manuale “Dic ționarul matematic în
imagini”.
În cazul unor manuale, fiecare capitol este încheiat cu “Probleme mai dificile, dar
frumoase”.
Organizarea lec țiilor (de predare-înv ățare, recapitulare, evaluare) ofer ă lucr ărilor o
durabilitate deosebit ă și posibilit ăți de educare a elevului în spiritul colectivit ății.
Manualele alternative pun în valoare experien ța bogat ă a înv ăță mântului românesc, dar și
pe cea a școlii primare din diferite ță ri ale lumii. Era firesc ca în aceste condi ții manualul s ă
con țin ă informa ții mai noi sau altfel structurate, s ă solicite cât mai mult spiritul creativ al
elevului, s ă mobilizeze la rezolvarea problemelor cu o solu ție sau cu mai multe solu ții, la discu ția
cu privire la cazurile când o problem ă are solu ție sau nu și în final în țelegerea faptului c ă
înv ăță mântul distribuie cuno știn țele copiilor și tinerilor cu scopul realiz ării unei “b ătăi lungi” în
con ținutul matematicii și al capacit ății aplic ării acesteia în practica prezent ă și viitoare.

Prezent ăm în cele ce urmeaz ă un studiu comparativ al unor manuale alternative în vigoare,
pentru disciplina matematic ă, la clasa a IV-a.

Titlul: Matematic ă- manual pentru clasa a IV-a Nr.
crt. Mihaela Singer
Ed.Sigma 2006 Gheorghe
Cătrun ă
Liliana C ătrun ă
EDP R.A.,2006 Ștefan Pacearc ă
Mariana Mogo ș
Ed. Aramis 2006 Rodica Chiran
Ed.Aramis 2006 Victoria P ădureanu
Eugenia Cre țoi
Ed.Vox 2006 Marinela Chiriac
Doina Bur țil ă
Ana Bo șoag ă
Ed.Tiparg2006
1. Format mic Format mic Format mare<A4 Format mare<A 4 Format mare<A4 Format A4
2. Are dic ționar
matematic Nu are dic ționar
matematic Are dic ționar matematic Nu are dic ționar
matematic Nu are dicționar
matematic Nu are dic ționar matematic
3. Are cuprins Are cuprins Are cuprins Are cuprins Are cuprins + îndru-
mări de proiectare
pentru institutor Are cuprins + îndrum ări de
proiectare pentru înv ăță tor
4. Con ținuturi
intercalate Con ținuturile din
program ă sunt
urmate fidel Con ținuturi intercalate Con ținuturile din
program ă sunt
urmate fidel Con ținuturile din
program ă sunt urmate
fidel Con ținuturile din
program ă sunt urmate fidel
5. Recapitulare final ă Recapitulare
final ă+teste finale Recapitulare final ă+teste
finale Recapitulare
final ă+teste finale Recapitulare
final ă+teste finale Recapitulare final ă+teste
finale
6. Recapitulare la
început de an Recapitulare la
început de an Recapitulare la început de
an Recapitulare la
început de an Recapitulare la
început de an Recapitulare la început de
an
7. Unitatea de înv ățare
este încheiat ă prin
R-E-sporim
performan țele Unitatea de
înv ățare este
încheiat ă prin R-E Unitatea de înv ățare este
încheiat ă prin R-E-
recuperare+dezvoltare Unitatea de
înv ățare este
încheiat ă prin R-E Unitatea de înv ățare
este încheiat ă prin R-
E pe dou ă rânduri Unitatea de înv ățare este
încheiat ă prin R-E-
recuperare+dezvoltare
8. Evaluare cu
descriptori
cantitativi Evaluare f ără
descriptori Evaluare cu descriptori
cantitativi Evaluare cu
descriptori canti-
tativi pe itemi Evaluare cu
descriptori cantitativi Evaluare cu descriptori
cantitativi+autoevaluare
9. Fără observa ții
metodice Fără observa ții
metodice Fără observa ții metodice F ără observa ții
metodice Fără observa ții
metodice Fără observa ții metodice
10. Pagini aglomerate
și viu colorate Pagini aglomerate
și viu colorate Organizare clar ă a paginii Organizare clar ă a
paginii Organizare clar ă a
paginii Pagini aglomerate și viu
colorate
11. Unit ățile de
înv ățare sunt
structurate pe teme
transdisciplinare Unit ățile de
înv ățare au
con ținutul
specificat la Nu are unit ăți de înv ățare
specificate. Con ținuturile
se succed sub form ă de
titluri. Nu are unit ăți de
înv ățare
specificate.
Con ținuturile se Unit ățile de înv ățare
au con ținutul
specificat la începutul
lor Unit ățile de înv ățare au
con ținutul specificat la
începutul lor

începutul lor succed sub form ă
de titluri.
12. Manualul este
înso țit de auxiliare.
-caiet -CD cu jocuri didactice -ex de fixare, antrenament și
dezvoltare -documentele înv. Manualul nu este
înso țit de auxiliare
(nu se specific ă) Manualul nu este înso țit de
auxiliare (nu se specific ă) Manualul nu este
înso țit de auxiliare
(nu se specific ă) Manualul nu este
înso țit de auxiliare
(nu se specific ă) Manualul nu este înso țit de
auxiliare (nu se specific ă)
13. Se explic ă
pictogramele care
înso țesc
con ținuturile Nu are pictograme
ci benzi cu
explica ții scrise Nu are pictograme ci benzi
cu explica ții scrise Nu are pictograme
ci benzi cu
explica ții scrise Se explic ă
pictogramele care
înso țesc con ținuturile Are pictograme explicate
pe parcurs în benzi scrise
14. Singura form ă de
joc este „Concurs”
cu lucru în echip ă și
proiecte. Nu are activit ăți
de joc, concurs
sau lucru în
echip ă Exist ă o singur ă form ă de
joc. Are activit ăți în
echip ă, joc premiu
dup ă evalu ările
sumative,
concursuri pe
echipe Are activit ăți cu
cerin țe de lucru în
perechi, grupe sau
individual, jocuri
matematice, cercul
iste ților, ateliere,
proiecte, portofoliu și
jocuri de crea ție Are activit ăți cu cerin țe de
lucru în perechi.
15. Are con ținuturi cu
grad sporit de
dificultate dup ă
evalu ările sumative
(Sporim
performan țele) Nu are con ținuturi
cu grad sporit de
dificultate (*) Are con ținuturi pentru
dezvoltare la sfâr șitul
evalu ărilor sumative. Nu are con ținuturi
cu grad sporit de
dificultate (*) Are con ținuturi cu
grad sporit de
dificultate „Cercul
iste ților” Are con ținuturi pentru
dezvoltare la sfâr șitul
evalu ărilor sumative.
16. Debuteaz ă în
studiul frac țiilor
doar prin
observarea
imaginilor. Debuteaz ă în
studiul fracțiilor
prin lucrul concret
cu materialul sub
form ă de atelier. Debuteaz ă în studiul
frac țiilor prin repetarea a
trei no țiuni
cunoscute:doime,treime,
pătrime dar nu solicit ă
lucrul concret. Debuteaz ă în
studiul frac țiilor
prin lucrul concret
cu materialul
(fructe, pâine) Debuteaz ă în studiul
frac țiilor doar prin
observarea
imaginilor. Debuteaz ă în studiul
frac țiilor prin lucrul
concret cu materialul.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Elemente de proiectare didactic ă la matematic ă

117 12.2.2. Lectura personalizat ă a programelor școlare de matematic ă.

În contextul noului Curriculum Na țional, conceptul central al proiect ării didactice este
demersul didactic personalizat, iar instrumentul acestuia este unitatea de înv ățare.
Demersul didactic personalizat exprim ă dreptul institutorului precum și al autorului de
manual, de a lua decizii asupra modalit ăților pe care le consider ă optime în cre șterea calit ății
procesului de înv ăță mânt, respectiv, r ăspunderea personal ă pentru a asigura elevilor un parcurs
școlar individualizat, în func ție de condi ții și cerin țe concrete.
Predarea-înv ățarea matematicii la clasele I-IV presupune mutarea accentul ui de pe
achizi ționarea de informa ții, pe formarea de capacit ăți. În aceste condi ții noul Curriculum
Na țional asociaz ă în mod personalizat elementele programei (obiective de referin ță , con ținuturi,
activit ăți de înv ățare) cu alocarea de resurse (procedurale, materiale, temporal e), considerate a fi
optime de c ătre institutor.
Deoarece actualele programe școlare sunt centrate pe obiective, ele nu mai asociaz ă
con ținuturilor știin țifice resursele temporale și nici succesiunea obligatorie a acestora, crescând
astfel rolul institutorului în conceperea și organizarea activit ății didactice.
Programa școlar ă, element central în realizarea proiect ării didactice, reprezint ă un
document reglator, stabilind obiective care trebuie realizate indiferent de manualul alternativ
utilizat (manualul fiind un mijloc de realizare a obiectivelor pre v ăzute de program ă).
În programa școlar ă, fiec ărui obiectiv cadru îi sunt asociate obiective de referin ță .
Atingerea acestora se realizeaz ă cu ajutorul con ținuturilor, care se reg ăsesc la sfâr șitul programei.
Institutorul poate opta pentru folosirea activit ăților de înv ățare recomandate prin program ă sau
poate propune alte activit ăți adecvate condi țiilor concrete din clas ă (exemplele din program ă au
caracter orientativ, utilizarea lor în procesul didactic nefiind obligatorie).

12.2.3. Planificarea calendaristic ă

Conform noului Curriculum Na țional, planificarea calendaristic ă/semestrial ă este un
document administrativ, care asociaz ă într-un mod personalizat elemente ale programei
(obiective de referin ță și con ținuturi), cu alocarea de timp considerat ă optim ă de c ătre cadrul
didactic, pe parcursul unui an școlar/semestru (din disponibilit ățile de timp alocate prin num ărul
de ore s ăpt ămânal cu care este prev ăzut ă disciplina în planul de înv ăță mânt).
Planificarea calendaristic ă/semestrial ă se realizeaz ă parcurgând urm ătoarele etape:
-realizarea asocierilor între obiectivele de referin ță și con ținuturi în unit ăți de înv ățare;
-stabilirea succesiunii de parcurgere a unit ăților de înv ățare;
-alocarea timpului considerat necesar pentru fiecare unitate de î nv ățare în concordan ță cu
obiectivele de referin ță /competen țele vizate și con ținuturile delimitate.
Planific ările calendaristice pot fi întocmite pornind de la urm ătoarea rubrica ție:

Școala……………………….. Cadrul didactic……………………..
Disciplina…………………… Clasa………………………………..
Aria curricular ă……………… Disciplin ă cu nr.ore pe s ăpt ămân ă….
An școlar……………………………

Planificarea calendaristic ă
Unitatea de
înv ățare Obiective de referin ță /
competen țe specifice Con ținuturi Nr. ore
alocate Săpt ă-
mâna Obser-
va ții

Preciz ări privind completarea tabelului:
-în rubrica referitoare la “unitatea de înv ățare” se vor trece titluri (teme) stabilite de c ătre
institutor;

Purcaru Monica Ana Paraschiva Elemente de proiectare didactic ă la matematic ă

118 -în rubrica referitoare la “obiective de referin ță ” se vor trece numerele acestora din
programa școlar ă;
-în rubrica referitoare la “con ținuturi” se vor trece cele extrase din lista de con ținuturi ale
programei;
-în rubrica referitoare la “nr. ore alocate” se va trece num ărul de ore alocate stabilit de
cadrul didactic în func ție de obiectivele vizate, con ținuturile de parcurs și specificul clasei cu
care se lucreaz ă, în limitele num ărului de ore alocate prin planul de înv ăță mânt;
-în rubrica referitoare la “observa ții” se vor trece, de-a lungul anului, modific ări
determinate de aplicarea efectiv ă a programei în scopul îmbun ătățirii demersului didactic.
12.2.4. Proiectarea unit ăților de înv ățare.
Elementul generator al planific ării calendaristice este unitatea de înv ățare, astfel proiec-
tarea la nivelul unit ății de înv ățare reprezint ă o etap ă de baz ă a organiz ării demersului didactic.
Unitatea de înv ățare reprezint ă o structur ă didactic ă deschis ă și flexibil ă care are
urm ătoarele caracteristici :
-determin ă formarea la elevi a unui comportament specific, generat de inte grarea unor
obiective de referin ță ;
-este unitar ă din punct de vedere tematic;
-se desf ăș oar ă în mod sistematic și continuu pe o perioad ă de timp;
-se finalizeaz ă prin evaluare sumativ ă.
În condi țiile noului Curriculum Na țional, institutorul poate grupa temele în unit ăți de
înv ățare, poate recurge la ad ăugiri, omiteri, adapt ări, înlocuiri a materialelor suport oferite de
manualele alternative.
Proiectarea pe unit ăți de înv ățare are urm ătoarele avantaje :
-creeaz ă un mediu de înv ățare coerent pe termen mediu și lung;
-implic ă elevii în proiecte de înv ățare personal ă cu accent pe explorare și reflec ție;
-ofer ă institutorului posibilitatea adapt ării demersului didactic-aplicativ la ritmul propriu de
înv ățare al elevilor;
-presupune o viziune de ansamblu, unitar ă asupra con ținuturilor care urmeaz ă a fi abordate
în actul de predare-înv ățare-evaluare.
Proiectarea unei unit ăți de înv ățare este algoritmic ă, con ținând urm ătorii pa și:
-identificarea obiectivelor (În ce scop voi face?);
-selectarea con ținuturilor (Ce voi face?);
-analiza resurselor (Cu ce voi face?);
-determinarea activit ăților de înv ățare (Cum voi face?);
-stabilirea instrumentelor de evaluare (Cât s-a realizat?).
Rubrica ția unui proiect al unei unit ăți de înv ățare este:

Școala……………………….. Cadrul didactic……………………..
Disciplina…………………… Clasa………………………………..
Unitatea de înv ățare………… Disciplin ă cu nr.ore pe s ăpt ămân ă….
An școlar……………………………

Proiectul unit ății de înv ățare
Con ținuturi
(detaliere) Obiective de referin ță /
competen țe specifice Obiective
opera ționale Activit ăți de
înv ățare Strategii
didactice Evaluare

Preciz ări privind completarea tabelului:
-în rubrica referitoare la “con ținuturi” se vor trece inclusiv detalieri de con ținut induse de
alegerea unui anumit parcurs;

Purcaru Monica Ana Paraschiva Elemente de proiectare didactic ă la matematic ă

119 -în rubrica referitoare la “obiective de referin ță ” se vor trece numerele acestora din
planificarea calendaristic ă/programa școlar ă;
-în rubrica referitoare la “obiective opera ționale” se vor trece cele deduse din fiecare
obiectiv de referin ță ;
-în rubrica referitoare la “activit ăți de înv ățare” se vor trece activit ăți care pot fi cele din
programa școlar ă, sau altele, pe care institutorul le consider ă potrivite pentru atingerea
obiectivelor propuse;
-în rubrica referitoare la “strategii didactice” se vor tre ce resursele procedurale (metode și
procedee), materiale (mijloace de înv ăță mânt) și temporale, forme de organizare a clasei;
-în rubrica referitoare la “evaluare” se vor trece instrumente le sau modalit ățile de evaluare
utilizate la clas ă.
Fiecare unitate de înv ățare se încheie cu o evaluare sumativ ă, pentru a m ăsura ce s-a
realizat în raport cu ceea ce s-a propus.
12.2.5. Proiectul de lec ție.
Proiectarea pe unit ăți de înv ățare nu con ține suficiente elemente pentru a oferi o imagine
complet ă asupra fiec ărei activit ăți didactice. Din acest motiv este necesar ă proiectarea fiec ărei
activități didactice, lec ția trebuind s ă fie în țeleas ă ca o component ă opera țional ă pe termen scurt
a unit ății de înv ățare.
Lec ția trebuie s ă asigure realizarea unor obiective opera ționale precis formulate,
subordonate obiectivelor de referin ță , m ăsurabile pe parcursul sau în finalul lec ției.
Proiectul de lec ție nu reprezint ă decât o variant ă aleas ă de c ătre institutor, în aplicarea
căreia trebuie s ă dovedeasc ă flexibilitate.
Proiectul de lec ție trebuie s ă con țin ă:
-date de identificare: data, clasa, școala, institutorul, disciplina (matematica);
-datele pedagogice ale lec ției: subiectul lec ției, tipul lec ției (dobândire de noi cuno știn țe,
formare de priceperi și deprinderi, recapitulare și sistematizare, evaluare), obiectivele de
referin ță , obiectivele opera ționale, strategii didactice folosite, bibliografia;
-desf ăș urarea lec ției care con ține: e șalonarea în timp a situa țiilor de înv ățare (etapele
lec ției), obiectivele opera ționale urm ărite, con ținuturile, strategiile didactice și modalit ățile de
evaluare pentru fiecare etap ă în parte.

Tabelul de specificarea coresponden țelor este urm ătorul:

Activitatea Strategia didactic ă
Resurse Eșalonarea în
timp a
situa țiilor de
înv ățare Obiective
opera țio-
nale cadrului
didactic elevilor
proce-
du-
rale mate
riale tempo-
rale Forma
de org Evalu-
are Indici
de
perfor-
man ță
Moment
organizatoric
Verificarea
temei de cas ă
și a preg ătirii
elevilor
Captarea
aten ției
Anun țarea
temei și a
obiectivelor
Prezentarea
situa ției de
învățare.
Dirijarea
înv ăță rii

Purcaru Monica Ana Paraschiva Elemente de proiectare didactic ă la matematic ă

120 Asigurarea
feedback-ului
Realizarea
performan ței
Reten ție/tema
de cas ă
Test de autoevaluare
1.Realiza ți un proiect, la alegere, al unei unit ăți de înv ățare din matematica clasei a IV-a.

Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare
1. Revezi 12.2.4. (Proiectarea unit ăților de înv ățare).
Lucrare de verificare 4
1. Realiza ți un proiect de lec ție -la alegere, dintr-o unitate de înv ățare -la alegere, din
matematica clasei a IV-a.

Sugestii pentru acordarea punctajului
Oficiu: 10 puncte
Stabilirea corect ă și corelarea tipului de lec ție cu obiectivele și strategiile
didactice de înv ățare și evaluare: 30 puncte
Reflectarea, în desf ăș urarea lec ției a etapelor unei lec ții de matematic ă de
tipul precizat: 40 puncte
Alegerea adecvat ă a instrumentelor de evaluare: 20 puncte

Rezumat
Aceastã tem ă are ca scop familiarizarea cu metodologia proiect ării didactice la matematic ă.
Este definit conceptul de „proiectare didactic ă”. Sunt analizate manualele alternative la
matematic ă, fiind prezentat și un studiu comparativ al manualelor de matematic ă pentru clasa a
IV-a. Sunt descrise produsele proiect ării didactice la nivel micro: planificarea calendaristic ă,
proiectarea unit ăților de înv ățare și proiectul de lec ție.

Bibliografie
Ana, D., Ana, M.L., Logel, D., Logel-Stroescu , E., : Metodica pred ării matematicii la
clasele I-IV . Editura CARMINIS, Pite ști, 2005.
Atanasiu, Gh., Purcaru, M.A.P.: Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, Editura
Universit ății „Transilvania” din Bra șov, 2002.
Manolescu, M.: Curriculum pentru înv ăță mântul primar și pre școlar. Teorie și practic ă,
Universitatea din Bucure ști, Editura CREDIS, 2004.
Pan țuru, S.: Proiectarea didactic ă în teoria și metodologia instruirii și teoria și
metodologia evalu ării, Universitatea „Transilvania” din Bra șov, 2006.
Ro șu, M.: Didactica matematicii în înv ăță mântul primar, MEC, Unitatea de Management a
Proiectului pentru Înv ăță mântul Rural, 2007.
Singer, M., Neagu, M. și colab.: Ghid metodologic pentru aplicarea programelor de
matematic ă primar-gimnaziu, Aramis Print SRL, Bucure ști, 2001.
*** Manualele școlare (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I-IV .
***Ministerul Educa ției, Cercet ării și Tineretului, Consiliul Na țional pentru Curriculum.
Programe școlare pentru înv ăță mântul primar , revizuite. Bucure ști,2003(I,II),2004(III), 2005(IV).
***SNEE, CNC, Descriptori de performan ță pentru înv ăță mântul primar, Editura
ProGnosis.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodica Activit ăților matematice și a aritmeticii

121
BIBLIOGRAFIE

Ana, D., Ana, M.L., Logel, D., Logel-Stroescu , E., : Metodica pred ării matematicii la
clasele I-IV . Editura CARMINIS, Pite ști, 2005.
Aron, I.: Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactic ă și Pedagogic ă,
Bucure ști, 1975.
Atanasiu, Gh., Purcaru, M.A.P.: Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, Editura
Universit ății „Transilvania” din Bra șov, 2002.
Brânzei, D., Brânzei, R.: Metodica pred ării matematicii . Editura Paralela 45, Pite ști, 2000.
Bulboac ă, M., Alecu, M.: Metodica activit ăților matematice în gr ădini ță și clasa I . Editura
Sigma, Bucure ști, 1996.
Cristea, S.: Dic ționar de termeni pedagogici . Editura Didactic ă și Pedagogic ă, Bucure ști,
1998.
Jinga, I., Istrate, E.: Manual de pedagogie . Editura ALL, Bucure ști, 2001.
Lupu, C.: Metodica pred ării matematicii. Manual pentru clasa a XII-a. Licee pedagogice .
Editura Paralela 45, Pite ști, 1999.
Lupu, C., S ăvulescu, D.: Metodica pred ării matematicii. Manual pentru clasa a XI-a. Licee
pedagogice . Editura Paralela 45, Pite ști, 1998.
Lupu, C., S ăvulescu, D.: Metodica pred ării matematicii. Manual pentru clasa a XI-a. Licee
pedagogice . Editura Paralela 45, Pite ști, 2000.
Manolescu, M.: Evaluarea școlar ă-metode, tehnici și instrumente, Editura METEOR
PRESS, 2005.
Manolescu, M.: Curriculum pentru înv ăță mântul primar și pre școlar. Teorie și practic ă,
Universitatea din Bucure ști, Editura CREDIS, 2004.
Neac șu, I.: Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactic ă și Pedagogic ă,
Bucure ști, 1988.
Neagu, M., Beraru, G.: Activit ăți matematice în gr ădini ță . Editura AS’S, 1995.
Păduraru, V.: Activit ăți matematice în înv ăță mântul pre școlar . Editura Polirom, Ia și, 1999.
Pan țuru, S.: Proiectarea didactic ă în teoria și metodologia instruirii și teoria și
metodologia evalu ării, Universitatea „Transilvania” din Bra șov, 2006.
Pan țuru, S., P ăcurar, D.C.: Didactica. Curs de pedagogie. Partea a II-a . Universitatea
Transilvania din Bra șov, 1997.
Radu, I.: Evaluarea în procesul didactic . Editura Didactic ă și Pedagogic ă, Bucure ști, 2000.
Radu, N., Singer, M.: Matematic ă pentru clasa a II-a. Ghid pentru înv ăță tori și p ărin ți.
Editura Sigma, Bucure ști, 1994.
Radu, N., Singer, M.: Matematic ă pentru clasa a III-a. Ghid pentru înv ăță tori și p ărin ți.
Editura Sigma, Bucure ști, 1995.
Rafail ă, E., Țugui, L., Jurebie, S., Apostol, V.: Modele orientative de lucru cu pre școlarii .
Editura ALL, Bucure ști, 1999.
Ro șu, M.: Metodica pred ării matematicii pentru colegiile universitare de institutori,
Universitatea din Bucure ști, Editura CREDIS, 2004.
Ro șu, M.: Didactica matematicii în înv ăță mântul primar, MEC, Unitatea de Management a
Proiectului pentru Înv ăță mântul Rural, 2007.
Singer, M., Neagu, M. și colab.: Ghid metodologic pentru aplicarea programelor de
matematic ă primar-gimnaziu, Aramis Print SRL, Bucure ști, 2001.
Singer, M., P ădureanu, V., Mogo ș, M.: Matematic ă pentru clasa a IV-a. Ghid pentru
înv ăță tori și p ărin ți. Editura Sigma, Bucure ști, 2000.

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodica activit ăților matematice și a aritmeticii

122 Spulber, Ș., Spulber, C.: Practica pedagogic ă. Editura “Grigore Tabacaru”, Bac ău, 1999.
Târnoveanu, M., Purcaru, M.A.P., Târnoveanu, C.,: Fundamente de matematic ă și
metodic ă, Editura TEHNOPRESS, Ia și, 2005.
*** Manualele școlare (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I-IV .
***Ministerul Educa ției, Cercet ării și Tineretului, Consiliul Na țional pentru Curriculum.
Programe școlare pentru înv ăță mântul primar , revizuite. Bucure ști,2003(I,II),2004(III), 2005(IV).
***SNEE, CNC, Descriptori de performan ță pentru înv ăță mântul primar, Editura
ProGnosis.