Editura Universit˘ at ¸ii ”Lucian Blaga” din Sibiu 2005 2 Cuvˆ ant ˆ ınainte Teoria geometric˘ a a funct ¸iilor univalente a ˆ ınceput s˘ a se dez-… [609414]

Licență

Editura Universit˘ at ¸ii ”Lucian Blaga” din Sibiu 2005 2 Cuvˆ ant ˆ ınainte Teoria geometric˘ a a funct ¸iilor univalente a ˆ ınceput s˘ a se dez-… [609414]

Byadmin ianuarie 1, 2024

Mugur Acu
OPERATORUL INTEGRAL
LIBERA-PASCU S ¸I
PROPRIET ˘AT ¸ILE ACESTUIA CU
PRIVIRE LA FUNCT ¸IILE
UNIFORM STELATE, CONVEXE,
APROAPE CONVEXE S ¸I
®-UNIFORM CONVEXE
Editura Universit˘ at ¸ii ”Lucian Blaga” din Sibiu
2005

2

Cuvˆ ant ˆ ınainte
Teoria geometric˘ a a funct ¸iilor univalente a ˆ ınceput s˘ a se dez-
volte ca ramur˘ a aparte a analizei complexe la ˆ ınceputul sec-
olului al XX-lea cˆ and au ap˘ arut primele lucr˘ ari importante
din acest domeniu datorate lui P. Koebe, T.H. Gromwall, I.
W. Alexander, L. Bieberbach. ˆIn 1916 L. Bieberbach enunt ¸a
celebra conjectur˘ a care ˆ ıi poart˘ a numele ¸ si care a putut ﬁ
demonstrat˘ a abia ˆ ın 1984 de Louis de Branges.
Conjectura lui Bieberbach a impulsionat timp de aproape
un secol cercet˘ arile ˆ ın domeniul funct ¸iilor univalente, una din-
tre direct ¸iile urm˘ arite ﬁind cea a deﬁniri unor subclase de
funct ¸ii univalente pentru care aceast˘ a conjectur˘ a s˘ a poat˘ a ﬁ
veriﬁcat˘ a.
Totodat˘ a au ap˘ arut ¸ si s-au luat dezvoltat noi metode de
cercetare cum ar ﬁ: metoda parametric˘ a a lui L. Loewner,
metoda variat ¸ional˘ a init ¸iat˘ a de M. Schiﬀer ¸ si G.M. Goluzin,
metoda reprezent˘ arilor integrale introdus˘ a de G. Herglotz,
3

metoda punctelor extremale a lui L. Brickman ¸ si T.H. Mac-
Gregor, etc.
Not ¸iunea de funct ¸ie de tip uniform este relativ recent˘ a,
ea ap˘ arˆ and pentru prima dat˘ a ˆ ıntr-un articol (vezi [15]) a lui
A.W. Goodman ˆ ın 1991. Studiul claselor de funct ¸ii de tip
uniform a luat amploare ¸ si continu˘ a ¸ si ˆ ın prezent, de aceea
ˆ ın aceast˘ a carte ˆ ıncerc˘ am, ca un obiectiv secundar, s˘ a intro-
ducem cititorul ˆ ın acest domeniu.
O problem˘ a central˘ a ˆ ın teoria geometric˘ a a funct ¸iilor de o
variabil˘ a complex˘ a este studiul propriet˘ at ¸ilor operatorilor in-
tegrali deﬁnit ¸i pe anumite subclase ale lui A=ffanalitic˘ a ˆ ın U;
f(0) = f0(0)¡1 = 0g.
Primul operator integral a fost introdus ˆ ın 1915 de c˘ atre
J.V. Alexander ˆ ın [6] astfel
I:A!A ; I(f)(z) =Zz
0f(t)
tdt :
ˆIn 1965, R.J. Libera ˆ ın [19] a deﬁnit operatorul integral de
forma
L:A!A ; L (f)(z) =2
zZz
0f(t)dt :
Acest rezultat a fost extins de S.D. Bernardi [7] ˆ ın anul 1969
astfel
Ic:A!A ; I c(f)(z) =1 +c
zcZz
0f(t)tc¡1dt ; c = 1;2;3; ::: :
4

Au fost studiate numeroase generaliz˘ ari ale operatorilor prece-
dent ¸i, dintre care cea mai general˘ a form˘ a care utilizeaz˘ a o
singur˘ a funct ¸ie sub semnul integralei este
La(f)(z) =1 +a
zaZz
0f(t)ta¡1dt
cua2C,Re a¸0:Acest operator a fost introdus ˆ ın aceast˘ a
form˘ a general˘ a ( a2C,Re a¸0) de c˘ atre N.N. Pascu ˆ ın [44]
¸ si a fost numit, de c˘ atre D. Blezu ˆ ın [10], operatorul integral
Libera-Pascu.
Studiul cˆ atorva propriet˘ at ¸i de conservare a unor clase de
funct ¸ii de tip uniform prin intermediul acestui operator con-
stituie subiectul principal al acestei c˘ art ¸i.
Cartea se adreseaz˘ a ˆ ın principal cercet˘ atorilor ˆ ın domeniul
teoriei geometrice a funct ¸iilor univalente cˆ at ¸ si cercet˘ atorilor
ˆ ın devenire (adic˘ a student ¸ii proﬁlelor matematic˘ a), acestora
din urm˘ a le recomand˘ am pentru l˘ amurirea acelor not ¸iuni de
analiz˘ a complex˘ a care apar ˆ ın carte utilizarea lucr˘ arii [18].
Din motive de restrˆ angere a m˘ arimii prezentei monograﬁi
cˆ at ¸ si pentru facilitarea parcurgerii acesteia sunt prezentate
demonstrat ¸ii doar ale rezultatelor care privesc direct obiec-
tivul principal propus ¸ si anume prezentarea cˆ atorva propriet˘ at ¸i
ale operatorului integral Libera-Pascu cu privire la funct ¸iile
de tip uniform.
5

Ment ¸ion˘ am c˘ a aceast˘ a carte se dore¸ ste un omagiu adus
regretatului matematician romˆ an N.N. Pascu (1942 – 2004)
care pe lˆ ang˘ a rezultatele ¸ stiint ¸iﬁce deosebite are marele merit
al dezvolt˘ arii unui puternic centru de cercetare ˆ ın domeniul
teoriei geometrice a funct ¸iilor analitice ˆ ın cadrul Universit˘ at ¸ii
”Transilvania” din Bra¸ sov.
6

Cuprins
Cuvˆ ant ˆ ınainte 3
1 Not ¸iuni ¸ si rezultate preliminarii 9
1.1 Funct ¸ii univalente . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Funct ¸ii stelate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Funct ¸ii convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Funct ¸ii ®- convexe . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 Funct ¸ii aproape convexe . . . . . . . . . . . . 29
1.6 Subordon˘ ari diferent ¸iale.
Metoda funct ¸iilor admisibile . . . . . . . . . . 34
1.7 Subordon˘ ari diferent ¸iale de tip Briot-Bouquet 43
1.8 Funct ¸ii uniform stelate . . . . . . . . . . . . . 45
1.9 Funct ¸ii uniform convexe . . . . . . . . . . . . 49
1.10 Funct ¸ii uniform aproape convexe . . . . . . . 64
1.11 Funct ¸ii ®-uniform convexe . . . . . . . . . . . 66
7

2 Propriet˘ at ¸i ale operatorului integral Libera-Pascu
relative la funct ¸iile de tip uniform 74
2.1 Transformarea funct ¸iilor
n-uniform stelate ¸ si n-uniform
aproape convexe prin operatorul integral Libera-
Pascu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.2 Transformarea funct ¸iilor
®-uniform convexe de c˘ atre
operatorul integral Libera-Pascu . . . . . . . . 82
Bibliograﬁe 87
Abstract 95
Table of contents 99
8

Capitolul 1
Not ¸iuni ¸ si rezultate
preliminarii
1.1 Funct ¸ii univalente
Deﬁnit ¸ia 1.1.1 O funct ¸ie olomorf˘ a (sau meromorf˘ a) ¸ si in-
jectiv˘ a pe un domeniu D din C se nume¸ ste univalent˘ a pe D.
Mult ¸imea funct ¸iilor univalente pe D o vom nota cu Hu(D).
Dac˘ a D=U=fz2C:jzj<1g, atunci Hu(U) este clasa
funct ¸iilor olomorfe ¸ si univalente pe U. Mult ¸imea funct ¸iilor olo-
morfe pe D o vom nota cu H(D).
Exemple
1.1.1) Funct ¸iile omograﬁce sunt univalente pe D=Cnfz0g,
9

unde z0este polul funct ¸iei.
1.1.2) Dac˘ a f2Hu(D); g2Hu(E) ¸ sif(D)½Eatunci
g±f2Hu(D).
1.1.3) f(z) =z2este univalent˘ a ˆ ın semiplanul superior.
1.1.4) Funct ¸ia f(z) =z
(1¡z)2; z2Unumit˘ a funct ¸ia lui Koebe,
este univalent˘ a ˆ ın U.
Teorema 1.1.1 [18] Dac˘ a f2Hu(D), atunci f0(z)6= 0
pentru orice z din D
Reciproca acestei teoreme nu este adev˘ arat˘ a, dup˘ a cum este
cazul funct ¸iei f(z) = ez, unde f0(z)6= 0 ˆ ın C, dar
ez=ez+2¼i. Din teorema 1.1.1 rezult˘ a c˘ a funct ¸iile univalente
sunt reprezent˘ ari conforme.
Not˘ am cu
H[a; n] =ff2H(U) :f(z) =a+anzn+::::g;
A=ff2H(U);f(0) = f0(0)¡1 = 0g (1.1)
¸ si
S=ff2A;funivalent˘ a g (1.2)
Observ˘ am c˘ a o funct ¸ie f din A are o dezvoltare ˆ ın serie
Taylor ˆ ın U de forma
f(z) =z+a2z2+:::+anzn+:::= (1.3)
10

=z+1X
j=2ajzj; z2U;
iarS=A\Hu(U) =ff2Hu(U);fde forma (1 :3)g.
Alegerea discului unitate ¸ si a condit ¸iilor de normare
f(0) = 0 ¸ si f0(0) = 1 nu restrˆ ange ˆ ın mod esent ¸ial studiul
general al funct ¸iilor olomorfe ¸ si univalente ˆ ıntr-un domeniu
simplu conex oarecare D, ci este mai degrab˘ a o simpliﬁcare
datorit˘ a:
Teorema 1.1.2 (Teorema lui Riemann) [18] Fie DµC,
D6=Cun domeniu simplu conex ¸ si ﬁe w02D¸ si
®2(¡¼; ¼). Atunci exist˘ a o funct ¸ie unic˘ a '2Hu(D)astfel
ˆ ıncˆ at '(U) =D,'(0) = w0¸ siarg'0(0) = ®.
Conform Teoremei lui Riemann, domeniul D se poate repre-
zenta conform pe discul unitate U, iar unei funct ¸ii olomorfe ¸ si
univalente ˆ ın D i se asociaz˘ a o funct ¸ie g olomorf˘ a ¸ si univalent˘ a
ˆ ın U. Funct ¸ia gse poate scrie sub forma
g(z) =g(0) + g0(0)f(z);
unde f2S.
Pentru a putea permite studiul funct ¸iilor meromorfe ¸ si uni-
valente, o dat˘ a cu clasa S, se consider˘ a clasaPa funct ¸iilor
meromorfe cu unicul pol (simplu) 1¸ si univalente ˆ ın exteri-
orul cercului unitate U¡care au dezvoltarea ˆ ın serie Laurent
11

de forma
'(³) =³+®0+®1
³+®2
³2+:::+®n
³n+:::;j³j>1:
Orice funct ¸ie 'dinPveriﬁc˘ a deci condit ¸iile de normare
'(1) =1¸ si'0(1) = 1. Complementara imaginii lui U¡
prin'o vom nota
E(') =Cn'(U¡):
Aceasta este o mult ¸ime compact˘ a ¸ si conex˘ a (deci un con-
tinuu) din C, care cont ¸ine mai mult de un punct. Coeﬁcientul
®0din dezvoltarea funct ¸iei 'este dat de formula
®0=1
2¼2¼Z
0'(peiµ)dµ; p > 1:
Vom nota
X
0=f'2X
;'(³)6= 0; ³2U¡g:
Observat ¸ia 1.1.1 Fief2S; f(z) =z+a2z2+:::. Atunci
funct ¸ia
g(z) =fµ1
z¶
=1
z¡1+a2z¡2+:::=z
1 +a2z¡1+:::=
=z¡a2+a3
z+:::2X
¸ sig(z)6= 0pentru orice z2U¡, deoarece f ﬁind din S, nu are
poli.
12

Reciproc, dac˘ a g2P,
g(z) =z+b0+b1
z+:::
¸ sic2C1ng(U¡), atunci funct ¸ia
f(z) =1
g¡1
z¢
¡c=z
1 + (b0¡c)z+:::=z+(c¡b0)z2+:::2S
Deci se poate stabili o biject ¸ie ˆ ıntre S ¸ siP
0.
Teorema 1.1.3 (Teorema ariei Gronwall – Bieberbach)
[17], [8] Fie g o funct ¸ie cu dezvoltarea ˆ ın serie Laurent de
forma
g(z) =z+1X
n=0bnz¡n; z2U¡: (1.4)
Dac˘ a g2P, atunci aria
E(g) =¼Ã
1¡1X
n=1njbnj2!
¸0;
deci
1X
n=1njbnj2·1:
Egalitatea are loc pentru funct ¸ia
gµ(z) =z+eiµ
z; µ2R:
Aceast˘ a teorem˘ a constituie punctul de plecareˆ ın obt ¸inerea
rezultatelor cu privire la problema coeﬁcient ¸ilor ¸ si la teoremele
de deformare.
13

Consecint ¸a 1.1.1 Fieg2Pde forma (1.4). Atunci
jb1j · 1, egalitatea are loc dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
g(z) =z+b0+e2iµ=z, unde b02C¸ siµ2R.
Consecint ¸a 1.1.2 Fief2Scu dezvoltarea (1.3). Atunci
ja3¡a2
2j ·1:
ˆIn plus, dac˘ a feste impar˘ a, atunci ja3j ·1, iarja3j= 1dac˘ a
¸ si numai dac˘ a
f(z) =z
1 +e2iµz2; µ2R:
Teorema 1.1.4 [9] Dac˘ a f2S¸ si
f(z) =z+a2z2+:::; z2U;
atunci ja2j ·2¸ sija2j= 2dac˘ a ¸ si numai dac˘ a f=Kµ; unde
Kµ(z) =z
(1¡eiµz)2=z+1X
n=2ne(n¡1)iµzn; z2U; µ2R:
Se veriﬁc˘ a u¸ sor c˘ a domeniul imagine Kµ(U) este planul
t˘ aiat de-a lungul unei raze care pleac˘ a din punctul ¡1
4e¡iµ.
Ca o consecint ¸˘ a a Teoremei 1.1.4 se obt ¸ine:
Teorema 1.1.5 (Teorema de acoperire Koebe-Bieber-
bach) [9] Dac˘ a f2S¸ siw062f(U), atunci jw0j ¸1=4¸ si
jw0j= 1=4dac˘ a ¸ si numai dac˘ a f=Kµ, unde µveriﬁc˘ a egali-
tatea w0=¡e¡iµ=4.
14

Teorema (1.1.5) are urm˘ atoarea interpretare geometric˘ a:
discul U(0; 1=4) este discul maxim cu centrul ˆ ın origine care
este acoperit de imaginea discului unitate prin orice func;tie
din S. Mai precis
U(0; 1=4) =\
f2Sf(U):
U(0; 1=4) se nume¸ ste discul lui Koebe al clasei S, iar 1/4
este constanta lui Koebe a clasei S.
Teorema 1.1.6 (Teorema de acoperire ¸ si de deforma-
re)[9] Dac˘ a z este un punct ﬁxat din U ¸ si r=jzj, atunci
pentru orice f2Sau loc delimit˘ arile exacte:
r
(1 +r)2· jf(z)j ·r
(1¡r)2(1.5)
1¡r
(1 +r)3· jf0(z)j ·1 +r
(1¡r)3(1.6)
1¡r
1 +r·¯¯¯¯zf0(z)
f(z)¯¯¯¯·1 +r
1¡r: (1.7)
Egalitatea ˆ ın oricare din delimit˘ arile de mai sus are loc
dac˘ a ¸ si numai dac˘ a f=Kµ, pentru o alegere convenabil˘ a a
luiµ.
Observat ¸ia 1.1.2 Notˆ and r1=r
(1+r)2¸ sir2=r
(1¡r)2, ine-
galit˘ at ¸ile (1.5) au urm˘ atoarea interpretare geometric˘ a:
U(0; r1) =\
f2Sf(U(0; r))
15

U(0; r2) =[
f2Sf(U(0; r))
Pe baza delimit˘ arii superioare din (1.5) se poate deduce
c˘ a S este o clas˘ a compact˘ a de funct ¸ii analitice. Inegalit˘ at ¸ile
(1.6) dau delimit˘ ari ale deform˘ arii liniare ˆ ın punctul z, prin
funct ¸iile din clasa S.
Teorema 1.1.7 (Conjectura lui Bieberbach) [9] Dac˘ a
f2S¸ sif(z) =z+a2z2+:::; z2Uatunci janj ·n; n¸2¸ si
cei mai mari coeﬁcient ¸i ˆ ın modul sunt ai funct ¸iilor Kµ; µ2R.
Aceast˘ a conjectur˘ a a impulsionat cercert˘ arile din dome-
niul teoriei geometrice a funct ¸iilor, ducˆ and la obt ¸inerea multor
rezultate interesante ¸ si la dezvoltarea unor noi metode.
ˆIn 1984 Louis de Branges (vezi [14]) a demonstrat con-
jectura lui Bieberbach, utilizˆ and metoda lui Loewner (pentru
detalii privind aceast˘ a metod˘ a se poate consulta [45]).
1.2 Funct ¸ii stelate
Fiefo funct ¸ie olomorf˘ a ˆ ın U, care veriﬁc˘ a condit ¸iile f(0) = 0
¸ sif(z)6= 0, pentru z6= 0. Vom nota cu Crimaginea cercului
fz2C:jzj=rg;0< r < 1, prin funct ¸ia f.
16

Deﬁnit ¸ia 1.2.1 Vom spune c˘ a Creste o curb˘ a stelat˘ a ˆ ın ra-
port cu originea (sau, mai simplu stelat˘ a) dac˘ a unghiul
'='(r; µ) = arg f(reiµ)pe care raza vectoare a punctului
f(z); z=reiµ, ˆ ıl face cu axa real˘ a pozitiv˘ a, este o funct ¸ie
cresc˘ atoare de µ, cˆ and µcre¸ ste de la 0 la 2¼, adic˘ a
@'
@µ=@
@µargf(z)>0; z=reiµ; µ2(0;2¼) (1.8)
Vom spune c˘ a feste stelat˘ a pe cercul fjzj=rgdac˘ a Cr
este o curb˘ a stelat˘ a.
Deoarece f(z)6= 0, pentru z6= 0 putem scrie
Logf(z) = log jf(z)j+iargf(z);
unde z=reiµ. Derivˆ and ˆ ın raport cu µ¸ si t ¸inˆ and seama c˘ a
@z
@µ=@reiµ
@µ=rieiµ=iz;
se obt ¸ine
izf0(z)
f(z)=@
@µlogjf(z)j+i@
@µargf(z)
Din aceast˘ a egalitate deducem c˘ a
@
@µargf(z) =Rezf0(z)
f(z); z=reiµ(1.9)
Deci condit ¸ia (1.8) se poate scrie sub forma
Rezf0(z)
f(z)>0;pentru jzj=r (1.10)
17

care exprim˘ a condit ¸ia necesar˘ a ¸ si suﬁcient˘ a pentru ca fs˘ a ﬁe
stelat˘ a pe cercul fz2C:jzj=rg.
Deoarece funct ¸iazf0(z)
f(z)este armonic˘ a, rezult˘ a c˘ a dac˘ a aceas-
t˘ a inegalitate este veriﬁcat˘ a pentru jzj=r, ea va ﬁ veriﬁcat˘ a
¸ si pentru jzj ·r. De aici deducem c˘ a dac˘ a feste stelat˘ a
pe cercul fz2C:jzj=rgea va ﬁ stelat˘ a pe orice cerc
fz2C:jzj=r0g, unde 0 < r0< r.
Deﬁnit ¸ia 1.2.2 Se nume¸ ste raz˘ a de stelaritate a funct ¸iei f,
num˘ arul r¤(f)deﬁnit de
r¤(f) = sup½
r;Rezf0(z)
f(z)>0;jzj ·r¾
: (1.11)
Dac˘ a r¤(f)¸1vom spune c˘ a funct ¸ia feste stelat˘ a ˆ ın discul
unitate U (stelat˘ a)
Observat ¸ia 1.2.1 1)Egalitatea Rezf0(z)
f(z)= 0pentru un
punct z2Unu poate avea loc deoarece, ˆ ın acest caz,
funct ¸ia fs-ar reduce la o constant˘ a, ceea ce ar ﬁ ˆ ın
contradict ¸ie cu condit ¸iile impuse asupra funct ¸iei f.
2)Dac˘ a fveriﬁc˘ a Rezf0(z)
f(z)>0;jzj<1, atunci ˆ ın mod
necesar f(z)6= 0, pentru 0<jzj<1.
3)Din deﬁnit ¸ie rezult˘ a c˘ a feste stelat˘ a (ˆ ın U) dac˘ a ¸ si
numai dac˘ a este stelat˘ a pe orice cerc
fz2C:jzj=rg;0< r < 1:
18

4)Condit ¸ia de stelaritate Rezf0(z)
f(z)>0; z2U, nu asigur˘ a
univalent ¸a funct ¸iei fˆ ın discul unitate, deci se pune pro-
blema g˘ asirii unei condit ¸ii suplimentare care s˘ a asigure
univalent ¸a funct ¸iei. Dac˘ a presupunem, ˆ ın plus, condit ¸ia
f0(0)6= 0, atunci condit ¸ia Rezf0(z)
f(z)>0, implic˘ a univa-
lent ¸a funct ¸iei f, precum ¸ si faptul c˘ a f(U)este un dome-
niu stelat (ˆ ın raport cu originea), adic˘ a segmentul care
une¸ ste orice punct din f(U)cu originea este cont ¸inut ˆ ın
f(U).
Teorema 1.2.1 [42] Fie f o funct ¸ie olomorf˘ a ˆ ın U cu
f(0) = 0 . Atunci f este univalent˘ a ¸ si f(U) este un dome-
niu stelat ˆ ın raport cu originea dac˘ a ¸ si numai dac˘ a f0(0)6= 0
¸ si
Rezf0(z)
f(z)>0;pentru z2U (1.12)
Deﬁnit ¸ia 1.2.3 Vom nota cu S¤clasa funct ¸iilor olomorfe ˆ ın
U, cu f(0) = 0 ; f0(0) = 1 ¸ si care sunt stelate ˆ ın raport cu
originea ˆ ın U. Deci
S¤=½
f2H(U);f(0) = f0(0)¡1 = 0 ; Rezf0(z)
f(z)>0; z2U¾
:
Observat ¸ia 1.2.2 Folosind deﬁnit ¸ia subordon˘ arii, clasa S¤
se poate deﬁni asrfel: dac˘ a f(z) =z+a2z2+:::; z 2U,
atunci f2S¤dac˘ a ¸ si numai dac˘ azf0(z)
f(z)Á1 +z
1¡z; z2U.
19

Deoarece funct ¸ia lui Koebe Kµ(z) =z
(1+eiµz)2; µ2Rpen-
tru o alegere convenabil˘ a a lui µeste stelat˘ a, rezult˘ a c˘ a teo-
rema de deformare relativ˘ a la clasa S este valabil˘ a ¸ si pentru
clasa S¤.
Teorema 1.2.2 (Teorema de deformare) [42] Dac˘ a
f2S¤au loc delimit˘ arile exacte:
r
(1 +r)2· jf(z)j ·r
(1¡r)2(1.13)
1¡r
(1 +r)3· jf0(z)j ·1 +r
(1¡r)3(1.14)
1¡r
1 +r·¯¯¯¯zf0(z)
f(z)¯¯¯¯·1 +r
1¡r(1.15)
unde z2U;jzj=r, iar funct ¸ia extremal˘ a este funct ¸ia lui
Koebe f=Kµ, pentru o alegere convenabil˘ a a lui µ.
De aici rezult˘ a u¸ sor c˘ a S¤este compact˘ a.
Fie
M[a; b] =f¹: [a; b]!R+; ¹funct ¸ie cresc˘ atoare (1.16)
pe [a, b] ;bZ
ad¹(t) =¹(b)¡¹(a) = 1g
Teorema 1.2.3 [42] Funct ¸ia f(z) =z+a2z2+:::; z2U
apart ¸ine clasei S¤dac˘ a ¸ si numai dac˘ a exist˘ a o funct ¸ie
20

¹2M[0;2¼]astfel ˆ ıncˆ at
f(z) =zexp8
<
:¡22¼Z
0log(1¡ze¡it)d¹(t)9
=
;; z2U:
Dintre submult ¸imile clasei S¤amintim clasa funct ¸iilor ste-
late de ordin ®(0·® <1), notat˘ a cu S¤(®) ¸ si cea a funct ¸iilor
tare stelate de ordin ®(0< ®·1), notat˘ a cu S¤[®].
Deﬁnit ¸ia 1.2.4 Funct ¸ia f2Ase nume¸ ste stelat˘ a de ordinul
®;0·® <1, dac˘ a veriﬁc˘ a inegalitatea
Rezf0(z)
f(z)> ®; z 2U: (1.17)
Not˘ am cu S¤(®)clasa acestor funct ¸ii.
Deﬁnit ¸ia 1.2.5 Funct ¸ia f2Ase nume¸ ste tare stelat˘ a de
ordinul ®;0< ®·1dac˘ a veriﬁc˘ a inegalitatea
¯¯¯¯argzf0(z)
f(z)¯¯¯¯< ®¼
2; z2U: (1.18)
Not˘ am cu S¤[®]clasa acestor funct ¸ii.
Se observ˘ a c˘ a S¤(0) = S¤¸ siS¤[1] = S¤.
1.3 Funct ¸ii convexe
Fiefo funct ¸ie olomorf˘ a ˆ ın U, cu f0(z)6= 0, pentru
0<jzj<1. Vom nota cu Crimaginea cercului
fz2C:jzj=rg, 0< r < 1, prin funct ¸ia f.
21

Deﬁnit ¸ia 1.3.1 Curba Crse nume¸ ste convex˘ a dac˘ a unghiul
Ã(r; µ) =¼
2+ arg zf0(z); z=reiµ
f˘ acut de tangenta la curba Crˆ ın punctul f(z)cu semiaxa real˘ a
pozitiv˘ a este o funct ¸ie cresc˘ atoare de µpe[0;2¼]
Deﬁnit ¸ia 1.3.2 Funct ¸ia fse nume¸ ste convex˘ a pe cercul
jzj=rdac˘ a Creste o curb˘ a convex˘ a.
Se arat˘ a c˘ a feste convex˘ a pe cercul fz2C:jzj=rg
dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
Re½
1 +zf00(z)
f0(z)¾
>0;jzj=r: (1.19)
De aici deducem c˘ a dac˘ a feste convex˘ a pe cercul
fz2C:jzj=rg, atunci ea va ﬁ convex˘ a pe orice cerc
fz2C:jzj=r0g, unde 0< r0< r.
Deﬁnit ¸ia 1.3.3 Prin raza de convexitate a funct ¸iei fˆ ınt ¸ele-
gem num˘ arul
rc(f) = sup½
r;Re½zf00(z)
f0(z)+ 1¾
>0;jzj ·r¾
: (1.20)
Dac˘ a rc(f)¸1, vom spune c˘ a funct ¸ia feste convex˘ a ˆ ın
discul unitate U (sau, mai simplu convex˘ a).
Aceasta ˆ ınseamn˘ a c˘ a fveriﬁc˘ a condit ¸ia
Re½
1 +zf00(z)
f0(z)¾
>0;jzj<1: (1.21)
Relat ¸ia (1.21) implic˘ a f0(z)6= 0, pentru orice 0<jzj<1.
22

Observat ¸ia 1.3.1 Condit ¸ia Re½
1 +zf00(z)
f0(z)¾
>0; z2Unu
asi-gur˘ a univalent ¸a funct ¸iei fˆ ın discul unitate dup˘ a cum arat˘ a
exemplul f(z) =z2
Avem ˆ ıns˘ a urm˘ atoarea condit ¸ie suﬁcient˘ a de univalent ¸˘ a.
Teorema 1.3.1 [42] O funct ¸ie folomorf˘ a ˆ ın Ueste uni-
valent˘ a ¸ si f(U)este un domeniu convex dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
f0(0)6= 0¸ si
Re½
1 +zf00(z)
f0(z)¾
>0;pentru z2U (1.22)
Deﬁnit ¸ia 1.3.4 Vom nota cu Sc(sau K) clasa funct ¸iilor olo-
morfe ˆ ın U, cu f(0) = 0 ; f0(0) = 1 ¸ si care sunt convexe ˆ ın
U.
Deci
Sc=ff2H(U);f(0) = f0(0)¡1 = 0 ; Re½
1 +zf00(z)
f0(z)¾
>0;
z2Ug¸ siSc½S:
Leg˘ atura dintre clasele S¤¸ siSceste dat˘ a de:
Teorema 1.3.2 (Teorema de dualitate a lui Alexander)
[6] Fie f2A¸ sig(z) =zf0(z). Atunci f2Scdac˘ a ¸ si numai
dac˘ a g2S¤.
23

Fie operatorul integral IA:A!A; f =IA(g); g2A,
unde
f(z) =zZ
0g(t)
tdt; z2U: (1.23)
Operatorul IAeste numit operatorul lui Alexander. Cu
ajutorul acestuia, Teorema (1.3.2) se poate reformula astfel:
Sc=IA(S¤) ¸ siIAstabile¸ ste o biject ¸ie ˆ ıntre S¤¸ siSc.
ˆIntre S¤¸ siScse pot stabili ¸ si alte relat ¸ii, cum este cea din:
Teorema 1.3.3 (Teorema lui Marx ¸ si Strohh¨ acker) [35],
[55] Dac˘ a f2A, atunci
Re½
1 +zf00(z)
f0(z)¾
>0; z2U (1.24)
)Rezf0(z)
f(z)>1
2; z2U
Deci Sc½S¤(1=2).
ˆIn ceea ce prive¸ ste coeﬁcient ¸ii funct ¸iilor din clasa Scare
loc urm˘ atoarea teorem˘ a:
Teorema 1.3.4 [42] Dac˘ a f(z) =z+a2z2+a3z3+:::apart ¸ine
clasei Sc, atunci janj ·1, pentru orice n¸2. Egalitatea are
loc dac˘ a ¸ si numai dac˘ a funct ¸ia f are forma f(z) =z
1 +ei¿z,
¿2R; z2U.
Are loc urm˘ atoarea teorem˘ a de deformare.
24

Teorema 1.3.5 [42] Dac˘ a f2Scau loc delimit˘ arile exacte:
r
1 +r· jf(z)j ·r
1¡r(1.25)
1
(1 +r)2· jf0(z)j1
(1¡r)2(1.26)
unde z2U;jzj=r, egalit˘ at ¸ile avˆ and loc pentru funct ¸ia
f(z) =z
1 +ei¿z; ¿2R; z2U, pentru o alegere convenabil˘ a a
lui¿.
Din relat ¸ia (1.25) rezult˘ a c˘ a clasa Sceste compact˘ a.
Observat ¸ia 1.3.2 F˘ acˆ and r!1ˆ ın (1.25) deducem con-
stanta lui Koebe a clasei Sccare este 1/2.
Deﬁnit ¸ia 1.3.5 Spunem c˘ a funct ¸ia f2Aeste convex˘ a de
ordinul ®;0·®; < 1, dac˘ a veriﬁc˘ a inegalitatea
Re½
1 +zf00(z)
f0(z)¾
> ®; z 2U (1.27)
Not˘ am cu Sc(®) clasa acestor funct ¸ii.
1.4 Funct ¸ii ®- convexe
Fiefo funct ¸ie olomorf˘ a ˆ ın Ucuf(0) = 0 ;f(z)f0(z)
z6= 0 ¸ si ﬁe
®un num˘ ar real dat.
Not˘ am cu Â(r; µ) = (1 ¡®)'(r; µ) +®Ã(r; µ).
25

Deﬁnit ¸ia 1.4.1 Curba Crse nume¸ ste ®-convex˘ a dac˘ a funct ¸ia
Â(r; µ)este o funct ¸ie cresc˘ atoare de µ, pentru µ2[0;2¼], adic˘ a
@Â(r; µ)
@µ= (1¡®)@'(r; µ)
@µ+®@Ã(r; µ)
@µ>0 (1.28)
unde µ2[0;2¼]:
Funct ¸ia fse nume¸ ste ®-convex˘ a pe cercul fz2C;jzj=rg
dac˘ a Creste o curb˘ a ®-convex˘ a.
Se arat˘ a c˘ a funct ¸ia feste ®-convex˘ a pe cercul
fz2C;jzj=rgdac˘ a ¸ si numai dac˘ a
ReJ(®; f;z)>0;jzj=r; (1.29)
unde
J(®; f;z) = (1 ¡®)zf0(z)
f(z)+®µ
1 +zf00(z)
f0(z)¶
: (1.30)
Avˆ andˆ ın vedere propriet˘ at ¸ile funct ¸iilor armonice deducem
c˘ a dac˘ a feste®-convex˘ a pe cercul fz2C;jzj=rg, ea va ﬁ
®-convex˘ a pe orice cerc fz2C;jzj=r0g, unde 0 < r0< r.
Deﬁnit ¸ia 1.4.2 Prin raza de ®-convexitate a funct ¸iei fˆ ınt ¸ele-
gem num˘ arul
r®(f) = sup fr;ReJ(®; f;z)>0;jzj ·rg:
Dac˘ a r®(f)¸1vom spune c˘ a funct ¸ia feste®-convex˘ a ˆ ın
discul unitate U. Aceasta ˆ ınseamn˘ a c˘ a fveriﬁc˘ a condit ¸ia
ReJ(®; f;z)>0; z2U: (1.31)
26

Deﬁnit ¸ia 1.4.3 FieM®clasa funct ¸iilor olomorfe ˆ ın U, cu
f(0) = 0 ; f0(0) = 1 ¸ si care sunt ®-convexe ˆ ın U.
Deci
M®=ff2H(U); f(0) = f0(0)¡1 = 0 ; ReJ (®; f;z)>0; z2Ug
¸ si se observ˘ a c˘ a M0=S¤¸ siM1=Sc.
Observat ¸ia 1.4.1 1.Punˆ and p(z) =zf0(z)
f(z)obt ¸inem c˘ a
J(®; f;z) =p(z) +®zp0(z)
p(z);
deci inegalitatea (1.31) se scrie
Re·
p(z) +®zp0(z)
p(z)¸
>0; z2U (1.32)
sau, echivalent, folosind subordonarea
p(z) +®zp0(z)
p(z)Á1 +z
1¡z: (1.33)
2.Dac˘ a are loc (1.32) atunci ˆ ın mod necesar p(z) =zf0(z)
f(z)
este olomorf˘ a ˆ ın U ¸ si p(z)6= 0; z2U. Aceasta ˆ ınseamn˘ a
c˘ a condit ¸iaf(z)f0(z)
z6= 0; z2Ueste ˆ ın mod necesar
veriﬁcat˘ a.
Teorema 1.4.1 [42] Pentru orice ®; ¯2Rcu0·¯=®·1
are loc
M®½M¯:
27

Corolarul 1.4.1 Pentru orice ®2[0;1]are loc
Sc½M®½S¤.
Teorema 1.4.2 (Teorema de dualitate) [42] Dac˘ a ® >0
atunci f2M®dac˘ a ¸ si numai dac˘ a F2S¤, unde
F(z) =f(z) =·zf0(z)
f(z)¸®
:
Ca o consecint ¸˘ a a acestei teoreme de dualitate obt ¸inem
urm˘ atoa-rea reprezentare integral˘ a a funct ¸iilor ®-convexe, pen-
tru® >0.
Teorema 1.4.3 [42] Dac˘ a ® > 0, atunci f2M®dac˘ a ¸ si
numai dac˘ a exist˘ a o funct ¸ie F2S¤astfel ˆ ıncˆ at
f(z) =2
41
®zZ
0F1=®(³)
³d³3
5®
; z2U: (1.34)
Deﬁnit ¸ia 1.4.4 O funct ¸ie fdinM®se nume¸ ste ®-convex˘ a
de ordin °;0·° <1, dac˘ a
ReJ(®; f;z)> °; z 2U: (1.35)
Not˘ am cu M®(°)clasa tuturor aceste funct ¸ii.
Legat de raza de ®-convexitate a clasei Sˆ ın 1972 V.V.
Cernikov ˆ ın [13] arat˘ a urm˘ atorul rezultat:
28

Teorema 1.4.4 [13] Dac˘ a coth1¡1 = 0 :313:::·®·1,
atunci r®(S) = 1 + ®¡p
®(®+ 2):
Apoi ˆ ın 1974 S.S. Miller, P.T. Mocanu, M.O. Reade ˆ ın [40]
arat˘ a c˘ a rezultatul precedent are loc ¸ si pentru ® >1.
Teorema 1.4.5 (Teorema asupra razei de ®-convexitate
a clasei S¤)[40] Raza de ®-convexitate a clasei S¤este dat˘ a
de
r®(S¤) =8
>>>>><
>>>>>:1 +®¡p
®(®+ 2); ®¸0s
2¡p¡®
2 +p¡®;¡3< ® < 0
¡(1 +®)¡p
®(®+ 2); ®· ¡3:
1.5 Funct ¸ii aproape convexe
Deﬁnit ¸ia 1.5.1 Funct ¸ia f2H(U)se nume¸ ste aproape con-
vex˘ a dac˘ a exist˘ a o funct ¸ie 'convex˘ a ˆ ın U, astfel ˆ ıncˆ at
Ref0(z)
'0(z)>0; z2U : (1.36)
Spunem c˘ a funct ¸ia feste aproape convex˘ a ˆ ın raport cu
funct ¸ia '.
ˆIn particular, dac˘ a Re f0(z)>0; z2U, funct ¸ia feste
aproape convex˘ a ˆ ın raport cu fumct ¸ia identic˘ a '(z) = z,
z2U.
29

Teorema 1.5.1 [25],[43](Criteriul de univalent ¸˘ a a lui Ozaki
¸ si Kaplan) Fie D½Cun domeniu simplu conex ¸ si ﬁe funct ¸ia
f2H(D). S˘ a presupunem c˘ a exist˘ a o funct ¸ie '2Hu(D)ast-
fel ˆ ıncˆ at '(D) = ∆ este un domeniu convex. Atunci
Ref0(z)
'0(z)>0; z2D(adic˘ a feste aproape convex˘ a ˆ ın raport
cu') implic˘ a feste univalent˘ a ˆ ın D.
Deﬁnit ¸ia 1.5.2 Vom nota cu CsauCCclasa funct ¸iilor aproa-
pe convexe ¸ si normate ˆ ın U:
CC=½
f2A:9'2K; Ref0(z)
'0(z)>0; z2U¾
:
Observat ¸ia 1.5.1 Pe baza teoremei de dualitate a lui Alexan-
der avem '2Kdac˘ a ¸ si numai dac˘ a g(z) =z'0(z)2S¤, de
unde rezult˘ a imediat c˘ a funct ¸ia f2Aapart ¸ine clasei CC
dac˘ a ¸ si numai dac˘ a exist˘ a g2S¤astfel ˆ ıncˆ at
Rezf0(z)
g(z)>0; z2U : (1.37)
Observat ¸ia 1.5.2 Dac˘ a f2S¤, condit ¸ia (1.37) este veriﬁ-
cat˘ a pentru g=f, ceea ce ˆ ınseamn˘ a c˘ a S¤½CC.
Dac˘ a punem p(z) =zf0(z)
g(z)condit ¸ia (1.37) ˆ ınseamn˘ a
p2 P,de unde se deduce urm˘ atorul rezultat:
30

Propozit ¸ia 1.5.1 Funct ¸ia f2CCdac˘ a ¸ si numai dac˘ a se
poate reprezenta sub forma
f(z) =zZ
0g(t)
tp(t)dt; unde p 2 P; g2S¤;
adic˘ a CC=B(1) =B(1;P; S¤).
M.O. Reade demonstreaz˘ a conjectura lui Bieberbach pen-
tru clasa CC:
Teorema 1.5.2 [46],[47] Dac˘ a f(z) =z+1X
n=2anznapart ¸ine
clasei CC, atunci janj ·n; n = 2;3; :::.
Urm˘ atoarea teorem˘ a, datorat˘ a lui W. Kaplan, d˘ a o carac-
terizare intrinsec˘ a a funct ¸iilor aproape convexe (independent˘ a
de funct ¸ia '):
Teorema 1.5.3 [25] O condit ¸ie necesar˘ a ¸ si suﬁcient˘ a pentru
ca funct ¸ia f2A, cuf0(z)6= 0; z2Us˘ a ﬁe aproape convex˘ a
este ca
Zµ2
µ1Re·
1 +zf00(z)
f0(z)¸
dµ >¡¼; z=reiµ; (1.38)
pentru orice µ1; µ2cu0·µ1< µ2·2¼¸ si orice r2(0;1).
Observat ¸ia 1.5.3 Interpretare geometric˘ a: Condit ¸ia (1.38)
este echivalent˘ a cu arg z 2f0(z2)¡arg z 1f0(z1)>¡¼, unde
31

zk=reiµk; k= 1;2; r < 1. Notˆ and cu Tktangenta la curba
Cr=f(@Ur)ˆ ın punctul f(zk), atunci condit ¸ia precedent˘ a se
poate scrie argT2¡argT1>¡¼, pentru 0·µ1< µ2·2¼¸ si
orice r2(0;1). Adic˘ a, atunci cˆ and curba Creste parcurs˘ a ˆ ın
sens direct, variat ¸ia argumentului tangentei la Crpe orice arc
al lui Creste mai mare decˆ at ¡¼, aceast˘ a proprietate avˆ and
loc pentru orice r2(0;1).
Observat ¸ia 1.5.4 Z. Lewandrowski ˆ ın [26],[27] d˘ a o alt˘ a in-
terpretare geometric˘ a a not ¸iunii de aproape convexitate ¸ si
anume: funct ¸ia f2Hu(U)este aproape convex˘ a dac˘ a ¸ si nu-
mai dac˘ a domeniul f(U)este liniar accesibil, adic˘ a Cnf(U)
este reuniunea unor semidrepte ˆ ınchise astfel ˆ ıncˆ at semidreptele
deschise corespunz˘ atoare s˘ a ﬁe disjuncte dou˘ a cˆ ate dou˘ a.
Domeniu convex ˆ ın direct ¸ia axei imaginare: dac˘ a ˆ ın relat ¸ia
(1.37) lu˘ am g(z) =z
1¡z22S¤obt ¸inem
Re£¡
1¡z2¢
f0(z)¤
>0; z2U : (1.39)
Aceast˘ a relat ¸ie deﬁne¸ ste o subclas˘ a remarcabil˘ a a clasei CC.
Condit ¸ia (1.39) are urm˘ atoarea interpretare geometric˘ a: dac˘ a
consider˘ am familia de arce care trec prin punctele 1 ¸ si ¡1
ﬁind situate ˆ ın discul unitate (ecuat ¸ia unui astfel de arc °®,
care face unghiul ®cu axa real˘ a pozitiv˘ a ˆ ın punctul ¡1,
32

estez=z(t) =et+i®¡1
et+i®+ 1,¡¼
2< ® <¼
2), dind
dtRe f(z(t)) =
= 2Re£¡
1¡z2¢
f0(z)¤
¸ si (1.39) deducem c˘ a funct ¸ia Re f(z(t))
este cresc˘ atoare, adic˘ a orice arc °®este transformat prin funct ¸ia
w=f(z)ˆ ıntr-un arc analitic care se poate reprezenta ca graﬁ-
cul unei funct ¸ii v=v(u), deoarece orice paralel˘ a la axa real˘ a
intersecteaz˘ a acest arcˆ ıntr-un singur punct. De aici rezult˘ a c˘ a
domeniul f(U) are proprieatea c˘ a orice paralel˘ a la axa imag-
inar˘ a sau nu intersecteaz˘ a pe f(U) sau intersect ¸ia sa cu f(U)
este un interval. Spunem c˘ a f(U) este un domeniu convex ˆ ın
direct ¸ia axei imaginare.
S.S. Miller, P.T. Mocanu ¸ si M.O. Reade stabilesc urm˘ atoa-
rea leg˘ atur˘ a dintre not ¸iunile de ®-convexitate ¸ si aproape con-
vexitate:
Teorema 1.5.4 [41] Fie funct ¸ia f2M®0cu0·®0·2¸ si
ﬁe num˘ arul ¸2Castfel ˆ ıncˆ at jarg ¸j ·(1¡ j1¡®j)¼
2, iar
0·®·®0. Atunci funct ¸ia g®(z) =f(z) +¸F®(z), unde
F®(z) = = f(z)·zf0(z)
f(z)¸®
este aproape convex˘ a (deci univa-
lent˘ a).
Deﬁnit ¸ia 1.5.3 Funct ¸ia f2H(U)se nume¸ ste aproape con-
vex˘ a de ordin ® ; ®¸0, dac˘ a exist˘ a o funct ¸ie 'convex˘ a ˆ ın U,
astfel ˆ ıncˆ at
Ref0(z)
'0(z)> ® ; z 2U : (1.40)
33

Not˘ am aceast˘ a clas˘ a cu CC(®).
Evident avem ¸ si: f2CC(®) dac˘ a ¸ si numai dac˘ a ( 9)g2S¤
astfel ˆ ıncˆ at
Rezf0(z)
g(z)> ® ; z 2U : (1.41)
1.6 Subordon˘ ari diferent ¸iale.
Metoda funct ¸iilor admisibile
Deﬁnit ¸ia 1.6.1 Fief¸ sigdou˘ a funct ¸ii analitice ˆ ın U. Spunem
c˘ a funct ¸ia feste subordonat˘ a funct ¸iei g, dac˘ a exist˘ a o funct ¸ie
wanalitic˘ a ˆ ın U; w (0) = 0 ;jw(z)j<1; z2U, astfel ˆ ıncˆ at
f(z) =g(w(z));(8)z2U:
Not˘ am prin Árelat ¸ia de subordonare ¸ si deci vom scrie fÁg
sauf(z)Ág(z).
Teorema 1.6.1 [42] Fie f ¸ si g dou˘ a funct ¸ii olomorfe ˆ ın U,
g univalent˘ a. Atunci fÁgdac˘ a ¸ si numai dac˘ a f(0) = g(0)
¸ sif(U)µg(U).
Principiul 1.5.2 (al subordon˘ arii) Fie o funct ¸ie univa-
lent˘ a ˆ ın U. Atunci f(0) = g(0) ¸ si f(U)µg(U) implic˘ a
34

f(Ur)µg(Ur); r2(0;1]. Egalitatea f(Ur) =g(Ur) pen-
trur <1 are loc dac˘ a ¸ si numai dac˘ a f(U) =g(U), deci dac˘ a
f(z) =g(eiµz); z2U; µ2R.
Metoda subordon˘ arii diferent ¸iale (cunoscut˘ a ¸ si sub numele
de metoda funct ¸iilor admisibile) a fost introdus˘ a ˆ ın [36] ¸ si [37]
de P.T. Mocanu ¸ si S.S. Miller.
Utilizarea acestei metode a permis obt ¸inerea unor rezul-
tate noi ˆ ın teoria geometric˘ a a funct ¸iilor, precum ¸ si generali-
z˘ ari ¸ si extinderi ale unor rezultate anterioare.
ˆIn cele ce urmeaz˘ a vom prezenta pe scurt aceast˘ a metod˘ a.
Fie Ω ¸ si ∆ mult ¸imi oarecare ˆ ın C, ﬁepo funct ¸ie analitic˘ a
ˆ ın U, cu p(0) = a¸ si ﬁe Ã(r; s; t ;z) :C3£U!C.
Punctul de pornire al acestei teorii const˘ a ˆ ın considerarea
urm˘ atoarei implicat ¸ii:
fÃ(p(z); zp0(z); z2p00(z);z)jz2Ug ½Ω)p(U)½∆: (1.42)
Legat de aceast˘ a implicat ¸ie se pot formula trei probleme:
²Problema 1 . Fiind date Ω ¸ si ∆, s˘ a se g˘ aseasc˘ a condit ¸ii
asupra lui Ãastfel ˆ ıncˆ at (1.42) s˘ a aib˘ a loc. O astfel de
funct ¸ie Ãse nume¸ ste funct ¸ie admisibil˘ a.
²Problema 2 . Fiind date Ω ¸ si Ã, s˘ a se g˘ aseasc˘ a ∆ astfel
35

ˆ ıncˆ at (1.42) s˘ a aib˘ a loc. Dac˘ a este posibil s˘ a se g˘ aseasc˘ a
“cel mai mic” ∆.
²Problema 3 . Fiind date ∆ ¸ si Ã, s˘ a se g˘ aseasc˘ a Ω astfel
ˆ ıncˆ at (1.42) s˘ a aib˘ a loc. Dac˘ a este posibil s˘ a se g˘ aseasc˘ a
“cel mai mare” Ω.
Dac˘ a, sau Ω sau ∆ˆ ın (1.42) este un domeniu simplu conex,
atunci (1.42) poate ﬁ rescris˘ a ˆ ın termenii subordon˘ arii.
Dac˘ a ∆ este un domeniu simplu conex cont ¸inˆ ınd punctul
a¸ si ∆6=C, atunci exist˘ a o reprezentare conform˘ a qa lui U
pe ∆ astfel ˆ ıncˆ at q(0) = a.ˆIn acest caz (1.42) poate ﬁ rescris˘ a
astfel:
fÃ(p(z); zp0(z); z2p00(z);z)jz2Ug ½Ω) (1.43)
p(z)Áq(z):
Dac˘ a ¸ si Ω este un domeniu simplu conex ¸ si Ω 6=Catunci
exist˘ a o reprezentare conform˘ a ha lui U pe Ω astfel ˆ ıncˆ at
h(0) = Ã(a;0;0; 0).
Dac˘ a, ˆ ın plus, Ã(p(z); zp0(z); z2p00(z);z) este analitic˘ a ˆ ın
U, atunci (1.42) se rescrie astfel:
Ã(p(z); zp0(z); z2p00(z);z)Áh(z))p(z)Áq(z): (1.44)
36

Acest ultim rezultat conduce la formularea urm˘ atoarelor
deﬁni-t ¸ii.
Deﬁnit ¸ia 1.6.2 FieÃ:C3£U!C¸ si ﬁe ho funct ¸ie uni-
valent˘ a ˆ ın U. Dac˘ a peste o funct ¸ie analitic˘ a ˆ ın U ¸ si satisface
subordonarea diferent ¸ial˘ a:
Ã(p(z); zp0(z); z2p00(z);z)Áh(z); (1.45)
atunci pse nume¸ ste solut ¸ie a subordon˘ arii diferent ¸iale.
Deﬁnit ¸ia 1.6.3 Funct ¸ia univalent˘ a qse nume¸ ste o dominant˘ a
a subordon˘ arii diferent ¸iale (1.45) dac˘ a pÁq, pentru orice p
care satisface (1.45).
Deﬁnit ¸ia 1.6.4 O dominant˘ a eqcare satisface eqÁqpentru
toate dominantele q ale lui (1.45) se nume¸ ste cea mai bun˘ a
dominant˘ a a lui (1.45). (Se observ˘ a c˘ a cea mai bun˘ a domi-
nant˘ a este unic˘ a abstract ¸ie f˘ acˆ and de o rotat ¸ie a lui U).
ˆIn cazul ˆ ın care Ω ¸ si ∆ sunt domenii simple convexe, cele
trei probleme pot ﬁ reformulate astfel:
Problema 10.Fiind date funct ¸iile univalente h¸ siq, s˘ a se
g˘ aseasc˘ a clasa funct ¸iilor admisibile Ã[h; q] pentru care (1.44)
s˘ a aib˘ a loc.
37

Problema 20.Fiind dat˘ a subordonarea diferent ¸ial˘ a (1.44)
s˘ a se g˘ aseasc˘ a q. Dac˘ a este posibil s˘ a se g˘ aseasc˘ a cea mai bun˘ a
dominant˘ a.
Problema 30.Fiind date Ã¸ si dominanta q, s˘ a se g˘ aseasc˘ a
cea mai mare clas˘ a de funct ¸ii hastfel ˆ ıncˆ at (1.44) s˘ a aib˘ a loc.
ˆIn continuare vom prezenta lemele fundamentale.
Pentru z0=r0eiµ0;0< r 0<1, vom nota
Ur0=fz2C;jzj< r 0gdiscul cu centrul ˆ ın origine ¸ si de
raz˘ ar0,Ur0=fz2C;jzj ·r0g.
Lema 1.6.1 Fiez02U¸ sir0=jz0j¸ sif(z) = anzn+
+an+1zn+1+:::continu˘ a ˆ ın Ur0¸ si analitic˘ a pe Ur0[ fz0gcu
f(z)6´0¸ sin¸1. Dac˘ a
jf(z0)j= max fjf(z)j;z2Ur0g (1.46)
atunci exist˘ a m¸n¸1astfel ˆ ıncˆ at
(i)z0f0(z0)
f(z0)=m, ¸ si
(ii)Re½
1 +z0f00(z0)
f0(z0)¾
¸m:
O versiune particular˘ a a punctului (i) din lem˘ a,ˆ ın condit ¸iile
z0=f(z0) = 1 a ap˘ arut ˆ ın 1925 ca o problem˘ a a lui K.
Loewner. Versiunea din lem˘ a a punctului (i) a ap˘ arut ˆ ın
aceast˘ a form˘ a ˆ ıntr-un articol a lui Jack ˆ ın 1971.
38

Pentru a putea extinde ideile din lem˘ a vom deﬁni urm˘ atoa-
rea clas˘ a de funct ¸ii.
Deﬁnit ¸ia 1.6.5 Vom nota prin Qclasa funct ¸iilor qanalitice
¸ si injective, deﬁnite pe UnE(q), unde
E(q) =½
³2@U; lim
z!³q(z) =1¾
;
unde q0(³)6= 0pentru orice ³2@UnE(q).
Lema 1.6.2 Fieq2Qcuq(0) = a¸ sip(z) =a+pnzn+:::
analitic˘ a ˆ ın U, cu p(z)6´a¸ sin¸1. Dac˘ a exist˘ a puncte
z02U¸ si³02@UnE(q)astfel ˆ ıncˆ at p(z0) = q(³0)¸ si
p(Ur0)½q(U), unde r0=jz0j, atunci exist˘ a un m¸nastfel
ˆ ıncˆ at:
(i)z0p0(z0) =m³0q0(³0)¸ si
(ii)Re½z0p00(z0)
p0(z0)+ 1¾
¸mRe½³0q00(³0)
q0(³0)+ 1¾
.
Lema 1.6.3 Fieq2Q, cuq(0) = a¸ si ﬁe p(z) =a+pnzn+:::
analitic˘ a ˆ ın U cu p(z)6´a¸ sin¸1. Dac˘ a p6Áqatunci exist˘ a
puncte z0=r0eiµ02U¸ si³02@UnE(q)¸ si un m¸m¸1
pentru care
(i)p(Ur0)½q(U);
(ii)p(z0) =q(³0),
(iii) z0p0(z0) =m³0q0(³0)¸ si
(iv) Re½z0p00(z0)
p0(z0)+ 1¾
¸Re½³0q00(³0)
q0(³0)+ 1¾
:
39

Deﬁnit ¸ia 1.6.6 FieΩo mult ¸ime din C; q2Q¸ sin2N.
Clasa funct ¸iilor admisibile Ãn[Ω; q]este format˘ a din funct ¸iile
Ã:C3£U!Ccare satisfac urm˘ atoarea condit ¸ie de admisi-
bilitate
Ã(r; s; t ;z)62Ωpentru r=q(³); s=m³q0(³);
Re£t
s+ 1¤
¸mReh
³q00(³)
q0(³)+ 1i
;
z2U; ³2@UnE(q)¸ sim¸n:(1.47)
Vom nota Ã1[Ω; q] =Ã[Ω; q].
ˆIn cazul ˆ ın care Ω este un domeniu simplu conex, Ω 6=C
¸ siho transformare conform˘ a a lui Uˆ ın Ω, vom nota aceast˘ a
clas˘ a cu Ãn[h; q].
Dac˘ a Ã:C2£U!C, atunci condit ¸ia admisibilit˘ at ¸ii
(1.47) se reduce la
Ã(q(³); m³q0(³);z)62Ω;
unde z2U; ³2@UnE(q) ¸ sim¸n.
Dac˘ a Ω ½eΩ, atunci Ãn(eΩ; q)½Ãn(Ω; q) ¸ si de asemenea
Ãn[Ω; q]½Ãn+1[Ω; q]:
Teorema 1.6.2 [42] Fie Ã2Ãn[Ω; q], cuq(0) = a. Dac˘ a
p(z) =a+pnzn+:::este analitic˘ a ˆ ın U ¸ si satisface
Ã(p(z); zp0(z); z2p00(z);z)2Ω; z2U (1.48)
atunci pÁq.
40

Corolarul 1.6.1 FieΩ½C¸ si q o funct ¸ie univalent˘ a ˆ ın U
cuq(0) = a. Fie Ã2Ãn[Ω; q½]; ½2(0;1), unde q½(z) =q(½z).
Dac˘ a p(z) =a+pnzn+:::este analitic˘ a ˆ ın U ¸ si satisface
Ã(p(z); zp0(z); z2p00(z);z)2Ω; z2U
atunci pÁq.
ˆIn continuare vom considera cazul special cˆ and Ω 6=Ceste
un domeniu simplu conex.
Teorema 1.6.3 [42] Fie Ã2Ãn[h; q], cu q(0) = a¸ si
Ã(a;0;0; 0) = = h(0). Dac˘ a p(z) = a+pnzn+:::¸ si
Ã(p(z); zp0(z); z2p00(z);z)este analitic˘ a ˆ ın U, ¸ si satisface
Ã(p(z); zp0(z); z2p00(z);z)Áh(z) (1.49)
atunci pÁq.
Corolarul 1.6.2 Fie h ¸ si q dou˘ a funct ¸ii univalente ˆ ın U cu
q(0) = a. Fie Ã:C3£U!CcuÃ(a;0;0; 0) = h(0)care
satisface una din urm˘ atoarele condit ¸ii:
(i)Ã2Ãn[h; q½], pentru un ½2(0;1)
(ii) exist˘ a ½02(0;1)astfel ˆ ıncˆ at Ã2Ãn[h½; q½]pentru
orice ½2(½0;1), unde q½(z) =q(½z)¸ sih½(z) =h(½z)
41

Dac˘ a p(z) =a+pnzn+:::¸ siÃ(p(z); zp0(z); z2p00(z);z)
este analitic˘ a ˆ ın U ¸ si
Ã(p(z); zp0(z); z2p00(z);z)Áh(z);
atunci pÁq.
Teoremele urm˘ atoare ne dau cele mai bune dominante ale
subordon˘ arii diferent ¸iale (1.49).
Teorema 1.6.4 [42] Fie h o funct ¸ie univalent˘ a ˆ ın U ¸ si
Ã:C3£U!C. Presupunem c˘ a ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
Ã(p(z); zp0; z2p00(z);z) =h(z) (1.50)
are o solut ¸ie q care satisface una din urm˘ atoarele condit ¸ii:
(i)q2Q¸ siÃ2Ã[h; q]
(ii) qeste univalent˘ a ˆ ın U ¸ si Ã2Ã[h; q½], pentru un
½2(0;1)sau
(iii) q este univalent˘ a ˆ ın U ¸ si exist˘ a ½02(0;1)astfel ˆ ıncˆ at
Ã2Ãn[h½; q½]pentru orice ½2(½0;1).
Dac˘ a p(z) =q(0) + p1z+:::¸ siÃ(p(z); zp0; z2p00(z);z)este
analitic˘ a ˆ ın U, ¸ si dac˘ a psatisface (1.49), atunci pÁq¸ si q
este cea mai bun˘ a dominant˘ a.
Din teorema anterioar˘ a se observ˘ a c˘ a problema g˘ asirii celei
mai bune dominante se reduce la g˘ asirea solut ¸iilor univalente
ale ecuat ¸iilor diferent ¸iale.
42

Teorema 1.6.5 [42] Fie Ã2Ãn[Ω; q]¸ si f o funct ¸ie analitic˘ a
ˆ ın U satisf˘ acˆ and f(U)½Ω. Dac˘ a ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
Ã(p(z); zp0; z2p00(z);z) =f(z)
are o solut ¸ie p(z)analitic˘ a ˆ ın U, cu p(0) = q(0), atunci pÁq.
Conform celor prezentate mai sus observ˘ am c˘ a folosind
Teoremele (1.6.2) ¸ si (1.6.3) se pot obt ¸ine dominante ale sub-
ordon˘ arilor diferent ¸iale de forma (1.49). Cea mai bun˘ a domi-
nant˘ a se g˘ ase¸ ste determinˆ and o solut ¸ie a ecuat ¸iei diferent ¸iale
(1.50) care trebuie s˘ a ˆ ındeplineasc˘ a anumite condit ¸ii.
1.7 Subordon˘ ari diferent ¸iale de tip
Briot-Bouquet
Deﬁnit ¸ia 1.7.1 Fie¯¸ si°numere complexe, ho funct ¸ie uni-
valent˘ a ˆ ın U ¸ si ﬁe p(z) =h(0) + p1z+:::o funct ¸ie analitic˘ a
ˆ ın U care satisface subordonarea:
p(z) +zp0(z)
¯p(z) +°Áh(z): (1.51)
Aceast˘ a subordonare diferent ¸ial˘ a de ordinul ˆ ıntˆ ai se nume¸ ste
subordonare diferent ¸ial˘ a de tip Briot-Bouquet.
43

Folosind metoda subordon˘ arilor diferent ¸iale s-au obt ¸inut
ˆ ın [38] ¸ si [39] multe rezultate interesante privind subordon˘ arile
Briot-Bouquet sau generaliz˘ ari ale lor.
Teorema 1.7.1 [38], [39] Fie h convex˘ a ˆ ın U astfel ˆ ıncˆ at
Re[¯h(z) +°]>0; z2U. Dac˘ a p este analitic˘ a ˆ ın U, cu
p(0) = h(0)¸ si p satisface (1.51), atunci pÁh.
Teorema 1.7.2 [38], [39] Fie h convex˘ a ˆ ın U ¸ si presupunem
c˘ a ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
q(z) +zq0(z)
¯q(z) +°=h(z); q(0) = h(0) (1.52)
are o solut ¸ie univalent˘ a q, care satisface qÁh. Dac˘ a p este
analitic˘ a ˆ ın U ¸ si satisface (1.51), atunci pÁqÁh¸ si q este
cea mai bun˘ a dominant˘ a.
Observat ¸ia 1.7.1 Pe baza acestui rezultat, Teorema (1.3.3)
a lui Marx ¸ si Stroh¨ acker se obt ¸ine ca o simpl˘ a veriﬁcare, luˆ and
h(z) = (1 + z)=(1¡z); q(z) = 1 =(1¡z); ¯= 1¸ si°= 0.
Teorema 1.7.3 [38], [39] Fie h convex˘ a ˆ ın U astfel ˆ ıncˆ at
Re[¯h(z)+°]>0; z2U¸ si presupunem c˘ a ecuat ¸ia diferent ¸iala
q(z) +zq0(z)
¯q(z) +°=h(z); q(0) = h(0)
are o solut ¸ie univalent˘ a q. Dac˘ a p este analitic˘ a ˆ ın U ¸ si sa-
tisface (1.51), atunci pÁqÁh¸ si q este cea mai bun˘ a domi-
nant˘ a.
44

Teorema 1.7.4 [38], [39] Fie q convex˘ a ˆ ın U ¸ si j:U!C
cuRe[j(z)]>0. Dac˘ a p2 H (U)¸ si satisface
p(z) +j(z)¢zp0(z)Áq(z), atunci pÁq.
1.8 Funct ¸ii uniform stelate
Not ¸iunea de funct ¸ie uniform stelat˘ a este relativ recent˘ a, ea
ap˘ a-rˆ and pentru prima dat˘ a ˆ ıntr-un articol (vezi [15]) a lui
A.W. Goodman ˆ ın 1991. Ideea introducerii acestei not ¸iuni
apare ca urmare a unei probleme care ˆ ıi este adresat˘ a de c˘ atre
Pinchuk ¸ si pe care o vom prezenta ˆ ın cele ce urmeaz˘ a.
Chestiunea Pinchuk . Fie f2S¤¸ si°un cerc cont ¸inut
ˆ ın U cu centrul ³de asemenea ˆ ın U. Este adev˘ arat c˘ a f(°)
este o curb˘ a ˆ ınchis˘ a stelat˘ a ˆ ın raport cu f(³) ?
R˘ aspunsul la aceast˘ a ˆ ıntrebare este negativ dup˘ a cum a
demnostrat Goodman dar J.E. Brown a demonstrat anterior
lui acela¸ si lucru (vezi [12]).
R˘ aspunsul negativ la chestiunea Pinchuk ˆ ıl determin˘ a pe
Goodman s˘ a ˆ ınlocuiasc˘ a condit ¸ia ca °¸ sa ﬁe cerc, cu una mai
tare, aceea ca °s˘ a ﬁe un arc de cerc cont ¸inut ˆ ın U cu centrul
³de asemenea ˆ ın U. El a formulat deci urm˘ atoarea:
Deﬁnit ¸ia 1.8.1 O funct ¸ie fse nume¸ ste uniform stelat˘ a ˆ ın
U, dac˘ a f2S¤¸ si are proprietatea c˘ a pentru orice arc de cerc
45

°din U, cu centrul ³ˆ ın U, arcul f(°)este stelat ˆ ın raport cu
f(³).
Vom nota prin US¤clasa tuturor acestor funct ¸ii.
Un arc f(°) este stelat ˆ ın raport cu punctul !0=f(³)
dac˘ a arg( f(z)¡!0) este nedescresc˘ ator cˆ and z parcurge arcul
de cerc °ˆ ın direct ¸ia pozitiv˘ a. Se observ˘ a c˘ a pentru
°=Cr=fz2C;jzj=rg¸ si!0= 0 se reg˘ ase¸ ste Deﬁnit ¸ia
1.2.1.
S-a demonstrat ˆ ın [15] c˘ a dac˘ a arcul °este dat de z(t),
atunci f(°) este stelat ˆ ın raport cu !0dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
Im·f0(z)
f(z)¡!0¢dz
dt¸
¸0; (1.53)
pentru zpe°. Pentru °=Cr=fz2C;jzj=rg¸ si!0= 0
se reg˘ ase¸ ste condit ¸ia (1.10).
Pentru un arc de cerc °lu˘ am z=³+reit. Atunci
z0(t) =i(z¡³) ¸ si obt ¸inem:
Teorema 1.8.1 [15] Fie f2S. Atunci f2US¤dac˘ a ¸ si
numai dac˘ a
Ref(z)¡f(³)
(z¡³)f0(z)>0; (1.54)
pentru orice pereche (z; ³)din polidiscul U£U.
46

Teorema 1.8.2 [15] Funct ¸ia
f1(z) =z
1¡Az=z+1X
n=2An¡1zn; z2U (1.55)
este ˆ ın US¤dac˘ a ¸ si numai dac˘ a jAj ·1p
2'0;7071.
Teorema 1.8.3 [15] Dac˘ a
f2(z) =z+Azn; n¸1; z2U (1.56)
¸ sijAj ·p
2=(2n)atunci f2este este ˆ ın US¤.
Observat ¸ia 1.8.1 Dac˘ a f2US¤, atunci luˆ and ³=¡zse
obt ¸ine c˘ a
Re2zf0(z)
f(z)¡f(¡z)¸0; z2U: (1.57)
O funct ¸ie f2Acare ˆ ındepline¸ ste (1.57) se nume¸ ste funct ¸ie
stelat˘ a ˆ ın raport cu puncte simetrice. Aceast˘ a not ¸iune a fost
introdus˘ a de Sakaguci ˆ ın [52].
Teorema 1.8.4 [15] Dac˘ a f2US¤¸ sijzj=r <1, atunci:
r
1 + 2 r· jf(z)j · ¡ r+ 2 ln1
1¡r: (1.58)
Teorema 1.8.5 [15] Fie f2S; f(z) =z+1P
n=2anzn. Dac˘ a
1X
n=2njanj ·p
2=2; (1.59)
atunci f2US¤.
47

Deﬁnit ¸ia 1.8.2 O funct ¸ie f2Sse spune c˘ a este uniform
stelat˘ a de ordinul ®; ®2[0;1)dac˘ a
Ref(z)¡f(³)
(z¡³)f0(z)¸®; (1.60)
pentru orice pereche (z; ³)din polidiscul U£U.
Not˘ am prin US¤(®) clasa tuturor acestor funct ¸ii. Ob-
serv˘ am c˘ a US¤(0) = US¤.
O alt˘ a observat ¸ie este aceea c˘ a uniform stelaritatea de or-
din®nu asigur˘ a stelaritatea de ordinul ®.ˆIntradev˘ ar, con-
siderˆ and ³= 0 ˆ ın condit ¸ia de uniform stelaritate de ordinul
®, pentru ®2(0;1], urmeaz˘ a c˘ a Ref(z)
zf0(z)¸®; z2U, sau
echivalent,zf0(z)
f(z)ia valori ˆ ın discul de centru1
2®¸ si de raz˘ a1
2®,
de unde nu rezult˘ a c˘ a Rezf0(z)
f(z)¸®; z2U.
Teorema 1.8.6 [30] Fie f1(z) =z
1¡Az=z+1P
n=2An¡1zn,
z2U¸ si®2[0;1).
Dac˘ a
jAj ·1¡®p
2(®2+ 1); (1.61)
atunci f12US¤(®).
Teorema 1.8.7 [30] Fie f2S; f(z) = z+1P
n=2anzn¸ si
®2[0;1). Dac˘ a
1X
n=2p
2(®2+ 1)
1¡®njanj ·1; (1.62)
atunci f2US¤(®).
48

1.9 Funct ¸ii uniform convexe
Not ¸iunea de funct ¸ie uniform convex˘ a a ap˘ arut pentru prima
dat˘ a ˆ ıntr-un articol al lui A.W. Goodman ˆ ın 1991 (vezi [16]).
Ideea introducerii acestei not ¸iuni apare prin analogie cu con-
ceptul de funct ¸ie uniform stelat˘ a.
Deﬁnit ¸ia 1.9.1 O funct ¸ie fse nume¸ ste uniform convex˘ a ˆ ın
U dac˘ a f2Sc¸ si are proprietatea c˘ a pentru orice arc de cerc
°din U, cu centrul ³ˆ ın U, arcul f(°)este convex.
Vom nota prin UCV sau UScclasa tuturor acestor funct ¸ii.
Un arc Γ( t); a < t < b se spune c˘ a este convex dac˘ a
argumentul tangentei la Γ( t) este o funct ¸ie nedescresc˘ atoare
det.
ˆIn cazul nostru Γ( t) =f(°) ¸ si dac˘ a arcul °este dat de
z(t), atunci f(°) este convex dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
Im·z00(t)
z0(t)+f00(z)
f0(z)z0(t)¸
¸0; (1.63)
pentru orice zpe Γ.
Pentru °=Cr=fz2C;jzj=rgse reg˘ ase¸ ste condit ¸ia
(1.19).
Pentru un arc de cerc °cu centrul ³lu˘ am z=³+reit.
Atunci z0(t) =i(z¡³); z00(t) =¡(z¡³) ¸ si ˆ ınlocuind ˆ ın (1.63)
obt ¸inem
49

Teorema 1.9.1 [16] Fie f2S, Atunci f2UScdac˘ a ¸ si
numai dac˘ a
1 +Re·f00(z)
f0(z)(z¡³)¸
¸0; (1.64)
pentru orice pereche (z; ³)din polidiscul U£U.
Teorema 1.9.2 [16] Funct ¸ia
f1(z) =z
1¡Az=z+1X
n=2An¡1zn; z2U
este ˆ ın UScdac˘ a ¸ si numai dac˘ a jAj ·1=3.
Teorema 1.9.3 [16] Funct ¸ia
f2(z) =z¡Az2; z2U
este ˆ ın UScdac˘ a ¸ si numai dac˘ a jAj ·1=6.
Teorema 1.9.4 [16] Fie f2S; f(z) =z+1P
n=2anzn. Dac˘ a
1X
n=2n(n¡1)janj ·1
3; (1.65)
atunci f2USc¸ si constanta 1/3 nu poate ﬁ ˆ ınlocuit˘ a cu un
num˘ ar mai mare.
Teorema 1.9.5 [16] Dac˘ a f2USc,f(z) =z+1X
n=2anzn,
atunci
janj ·1
n; n¸2:
50

F. Ronning introduce ˆ ın [48] clasa SPa c˘ arei utilitate
const˘ a ˆ ın posibilitatea translat˘ arii rezultatelor determinate
pentru aceas-t˘ a clas˘ a direct asupra clasei USc.
Deﬁnit ¸ia 1.9.2 SP=fF2S¤jF(z) =zf0(z); f2UScg.
Ma ¸ si Minda (vezi [28]) ,¸ si independent, Ronning (vezi
[48]) dau o caracterizare printr-o variabil˘ a a funct ¸iilor uniform
convexe:
Teorema 1.9.6 [28], [48] Fie f2S. Atunci f2UScdac˘ a
¸ si numai dac˘ a:
Re½
1 +zf00(z)
f0(z)¾
>¯¯¯¯zf00(z)
f0(z)¯¯¯¯; z2U (1.66)
Luˆ and g(z) =zf0(z)obt ¸inem:
Corolarul 1.9.1 [48] O funct ¸ie g2Seste ˆ ın SP dac˘ a ¸ si
numai dac˘ a
Rezg0(z)
g(z)>¯¯¯¯zg0(z)
g(z)¡1¯¯¯¯; z2U: (1.67)
Interpretˆ and geometric relat ¸ia (1.67) observ˘ am c˘ a SP este
clasa funct ¸ilor g2Spentru care zg0(z)=g(z); z2Uia valori
ˆ ın regiunea parabolic˘ a
Ω =f!:j!¡1j< Re! g= (1.68)
=f!=u+iv;v2<2u¡1g:
51

Teorema 1.9.7 [48]g(z) =z+anzneste ˆ ın SP dac˘ a ¸ si numai
dac˘ a
janj ·1
2n¡1: (1.69)
Corolarul 1.9.2 f(z) =z+bnzneste ˆ ın UScdac˘ a ¸ si numai
dac˘ a
jbnj ·1
n(2n¡1): (1.70)
Deﬁnit ¸ia 1.9.3 [49] Vom nota prin SP(®; ¯);® > 0;
¯2[0;1)clasa tuturor funct ¸iilor f2Scu proprietatea c˘ a:
¯¯¯¯zf0(z)
f(z)¡(®+¯)¯¯¯¯·Rezf0(z)
f(z)+®¡¯; z2U: (1.71)
Interpretarea geometric˘ a este aceea c˘ a f2SP(®; ¯) dac˘ a
¸ si numai dac˘ a zf0(z)=f(z); z2U, ia valori ˆ ın regiunea
parabolic˘ a
Ω®;¯=f!:j!¡(®+¯)j ·Re!+®¡¯g= (1.72)
=f!=u+iv:v2·4®(u¡¯)g:
Stankiewicz ¸ si Wisniowska introduc ˆ ın [54], relativ la o
regiune hiberbolic˘ a, o nou˘ a clas˘ a de funct ¸ii astfel:
Deﬁnit ¸ia 1.9.4 O funct ¸ie f2Sspunem c˘ a este ˆ ın clasa
SH(®)dac˘ a
¯¯¯¯zf0(z)
f(z)¡2®³p
2¡1´¯¯¯¯< Re½p
2zf0(z)
f(z)¾
+ 2®³p
2¡1´
; z2U ; ® > 0:
52

Observat ¸ia 1.9.1 Pentru f2SH(®)domeniul imaginilor
luizf0(z)
f(z)este interiorul ramurii pozitive a hiberbolei v2=
4®u+u2; u > 0, iar funct ¸ia H®, cuH®(0) = 1 ¸ siH0®(0)>0,
analitic˘ a ¸ si univalent˘ a care transform˘ a pe Uˆ ın acest domeniu
este dat˘ a prin
H®(z) = (1 + 2 ®)r
1 +bz
1¡bz¡2®
unde
b=b(®) =1 + 4 ®¡4®2
(1 + 2 ®)2:
Deﬁnit ¸ia 1.9.5 O funct ¸ie f2Sse nume¸ ste uniform convex˘ a
de tip ®; ®¸0dac˘ a:
Re½
1 +zf00(z)
f0(z)¾
¸®¯¯¯¯zf00(z)
f0(z)¯¯¯¯; z2U: (1.73)
Not˘ am prin USc(®) clasa tuturor acestor funct ¸ii.
Observat ¸ia 1.9.2 Clasa USc(®)a fost introdus˘ a de Kanas
¸ si Wisniowska ˆ ın [21] astfel:
Fie0·k <1. O funct ¸ie f2Sspunem c˘ a este k-
uniform convex˘ a ˆ ın Udac˘ a imaginea oric˘ arui arc de cerc °
cont ¸inut ˆ ın U, de centrul ³cuj³j ·k, este convex˘ a. Not˘ am
cuk¡UCV clasa tuturor acestor funct ¸ii.
Observ˘ am c˘ a USc(1) = USc¸ siUSc(0) = Sc¸ si astfel se
realizeaz˘ a o trecere continu˘ a de la convexitate la uniform con-
vexitate.
53

Interpretarea geometric˘ a a relat ¸iei este aceea c˘ a f2USc(®)
dac˘ a ¸ si numai dac˘ a 1 + zf00(z)=f0(z) ia valori ˆ ın D®, unde D®
este:
i)regiunea eliptic˘ a:
³
u¡®2
®2¡1´2
¡®
®2¡1¢2+v2
³
1p
®2¡1´2<1;pentru ® >1
ii)regiunea parabolic˘ a:
v2<2u¡1;pentru ®= 1
iii)regiunea hiperbolic˘ a:
³
u+®2
1¡®2´2
¡®
1¡®2¢2¡v2
³
1p
1¡®2´2>1;¸ siu >0;
pentru 0 < ® < 1
iv)semiplanul u >0, pentru ®= 0.
54

ˆIn concluzie USc(®)½Sc¡®
®+1¢
.
Kanas ¸ si Wisniowska dau cˆ ateva rezultate importante pri-
vind clasa USc(®) dintre care amintim condit ¸ia suﬁcient˘ a de
apartenent ¸˘ a ¸ si estimarea coeﬁcient ¸ilor pentru aceast˘ a clas˘ a:
Teorema 1.9.8 [21] Fie f2S; f(z) =z+1P
j=2ajzj¸ si®¸0.
Dac˘ a
1X
j=2j(j¡1)jajj ·1
j+ 2(1.74)
atunci f2USc(®). Num˘ arul 1=(j+ 2) nu poate ﬁ m˘ arit.
Teorema 1.9.9 [22] Fie ®¸0¸ sif2USc(®)cu
f(z) =z+1X
n=2anzn. Atunci janj ·(P1)n¡1
(1)n,n= 2;3; ::: ;unde
(¸)neste simbolul lui Pochhammer, deﬁnit prin (¸)0= 1,
55

(¸)n=¸(¸+ 1):::(¸+n¡1); n2N;
P1(®) =8
>>>>><
>>>>>:8(arccos ®)2
¼2(1¡®2);0·® <1;
8
¼2; ®= 1;
¼2
4p
k(®2¡1)K2(k)(1 + k); ® > 1:
¸ siK(k)este integrala eliptic˘ a a lui Legendre
K(k) =Z1
0dtp
1¡t2p
1¡k2t2; k2(0;1)
astfel ˆ ıncˆ at ®=cosh[¼K0(k)]=[4K(k)]unde K0(k) =K(p
1¡k2)
este integrala complementar˘ a a lui K(k).
Observat ¸ia 1.9.3 ˆIn leg˘ atur˘ a de clasa USc(®)Kanas ¸ si Wis-
niowska introduc ˆ ın [23] clasa ®¡STprin
®¡ST:=ff2S:f(z) =zg0(z); g2USc(®)g; ®¸0;
pentru care dau o serie de rezultate (caracterizarea ˆ ıntr-o vari-
abil˘ a, o condit ¸ie suﬁcient˘ a de apartanent ¸˘ a, estimarea coeﬁcien-
t ¸ilor, etc.).
ˆIn [57] autorii introduc ¸ si studiaz˘ a funct ¸iile uniform con-
vexe de ordin °astfel:
Deﬁnit ¸ia 1.9.6 O funct ¸ie f2Sse nume¸ ste uniform convex˘ a
de ordin °2[¡1;1)dac˘ a
Re½
1 +zf00(z)
f0(z)¾
¸¯¯¯¯zf00(z)
f0(z)¯¯¯¯+°; z2U: (1.75)
56

Not˘ am prin USc[°]clasa tuturor acestor funct ¸ii.
La introducerea urm˘ atoarelor subclase de funct ¸ii se uti-
lizeaz˘ a operatorul diferent ¸ial S˘ al˘ agean, deﬁnit astfel:
Dn:A!A ; n2Nand D0f(z) =f(z)
D1f(z) =Df(z) =zf0(z); Dnf(z) =D¡
Dn¡1f(z)¢
ˆIn 1999 I. Magda¸ s (vezi [31]), ¸ si independent, S. Kanas ¸ si
T. Yaguchi (vezi [24]) introduc a¸ sa numitele funct ¸ii n-uniform
stelate de tip ®:
Deﬁnit ¸ia 1.9.7 O funct ¸ie f2Aspunem c˘ a este n-uniform
stelat˘ a de tip ®; ®¸0¸ sin2Ndac˘ a:
Re½Dn+1f(z)
Dnf(z)¾
¸®¯¯¯¯Dn+1f(z)
Dnf(z)¡1¯¯¯¯; (1.76)
pentru orice z2U.
Not˘ am prin USn(®)clasa tuturor acestor funct ¸ii. Ob-
serv˘ am c˘ a US0(1) = SP; US 1(1) = USc; US 1(®) =USc(®),
unde USc(®)este clasa deﬁnit˘ a prin (1.73).
Interpretarea geometric˘ a a relat ¸iei (1.76) este aceea c˘ a
f2USn(®) dac˘ a ¸ si numai dac˘ a Dn+1f(z)=Dnf(z) ia valori ˆ ın
D®, unde D®este o regiune eliptic˘ a pentru ® >1, parabolic˘ a
pentru ®= 1, hiperbolic˘ a pentru 0 < ® < 1, respectiv semi-
planul u >0 pentru ®= 0 (vezi ¸ si Deﬁnit ¸ia (1.9.5)).
57

ˆIn toate aceste situat ¸ii ReDn+1f(z)
Dnf(z)>®
®+1.
ˆIn concluzie USn(®)½Sn¡®
®+1;1¢
½S¤, de unde rezult˘ a
c˘ a funct ¸iile din USn(®) sunt univalente.
Observat ¸ia 1.9.4 ˆIn [24] S. Kanas ¸ si T. Yaguchi numesc
aceste funct ¸ii (k; n)-uniform convexe ¸ si noteaz˘ a prin (k; n)¡
UCV mult ¸imea acestor funct ¸ii. Pentru funct ¸iile (k; n)-uniform
convexe sunt determinate funct ¸iile extremale ¸ si sunt gasite
exstim˘ ari ale coeﬁcient ¸ilor. Amintim aici acest ultim rezul-
tat:
Dac˘ a ®¸0,n2N¸ sif(z) =z+a2z2+:::apart ¸ine clasei
USn(®), atunci
jajj ·P1(P1+ 1):::(P1+j¡2)
(j¡1)!¢jn; j¸2:
unde P1are semniﬁcat ¸ia din teorema 1.9.9.
Tot ˆ ın acest articol autorii introduc si clasa (k; n)¡ST
astfel:
Pentru f2S,k2[0;1)¸ sin2N, spunem c˘ a feste ˆ ın
clasa (k; n)¡STdac˘ a
ReµDnf(z)
f(z)¶
> k¯¯¯¯Dnf(z)
f(z)¡1¯¯¯¯; z2U :
S ¸i pentru aceast˘ a clasa sunt determinate rezultate asem˘ an˘ a-
toare.
58

Continuˆ and aceast˘ a linie I. Magda¸ s introduceˆ ın [32] funct ¸ii-
le uniform convexe de tip ®¸ si ordin °¸ si apoi ca o generalizare
a acestora funct ¸iile n-uniform stelate de ordin °¸ si tip ®:
Deﬁnit ¸ia 1.9.8 O funct ¸ie f2Aspunem c˘ a este uniform
convex˘ a de tip ®¸ si ordin °; ®¸0; °2[¡1;1); ®+°¸0
dac˘ a:
Re½
1 +zf00(z)
f0(z)¾
¸®¯¯¯¯zf00(z)
f0(z)¯¯¯¯+°; (1.77)
pentru orice z2U.
Not˘ am prin USc(®; °) clasa tuturor acestor funct ¸ii. Ob-
serv˘ am c˘ a USc(®;0) = USc(®) ¸ siUSc(1; °) =USc[°].
Interpretarea geometric˘ a a relat ¸iei (1.77) este aceea c˘ a f2
USc(®; °) dac˘ a ¸ si numai dac˘ a 1+zf00(z)
f0(z)ia valori ˆ ın D®;°, unde
D®;°este:
i)regiune eliptic˘ a:
³
u¡®2¡°
®2¡1´2
h
®(1¡°)
®2¡1i2+v2
³
1¡°p
®2¡1´2<1;pentru ® >1;
ii)regiunea parabolic˘ a:
v2<2(1¡°)u¡(1¡°2);pentru ®= 1;
59

iii)regiunea hiperbolic˘ a:
³
u¡°¡®2
1¡®2´2
h
®(1¡°)
1¡®2i2+v2
³
1¡°p
1¡®2´2>1 ¸ siu >0;pentru 0 < ® < 1;
iv)semiplanul u > ° , pentru ®= 0
ˆIn toate aceste cazuri Ren
1 +zf00(z)
f0(z)o
>®+°
®+1.
ˆIn concluzie USc(®; °)½Sc¡®+°
®+1¢
.
Deﬁnit ¸ia 1.9.9 O funct ¸ie f2Aspunem c˘ a este n-uniform
stelat˘ a de ordin °¸ si tip ®, unde ®¸0; °2[¡1;1); ®+°¸0
¸ sin2Ndac˘ a
ReDn+1f(z)
Dnf(z)¸®¯¯¯¯Dn+1f(z)
Dnf(z)¡1¯¯¯¯+°; (1.78)
pentru orice z2U.
60

Not˘ am prin USn(®; °) clasa tuturor acestor funct ¸ii. Ob-
serv˘ am c˘ a
US1(®; °) =USc(®; °); US 0(®; °) =S¤(°);
US0(1; °) =SPµ1¡°
2;1 +°
2¶
¸ siUSn(®;0) = USn(®):
Interpretarea geometric˘ a a relat ¸iei (1.78) este aceea c˘ a f2
USn(®; °) dac˘ a ¸ si numai dac˘ a Dn+1f(z)=Dnf(z) ia valori ˆ ın
D®;°, unde D®;°a fost deﬁnit la interpretarea geometric˘ a a
deﬁnit ¸iei clasei USc(®; °).
ˆIntrucˆ at pentru f2USn(®; °) avem
Re©
Dn+1f(z)=Dnf(z)ă
>(®+°)=(®+ 1);
urmeaz˘ a
USn(®; °)½Snµ®+°
1 +®¶
½S¤;
de unde rezult˘ a c˘ a funct ¸iile din USn(®; °) sunt univalente.
Deﬁnit ¸ia 1.9.10 Fief; g2A;f(z) =z+1P
j=2ajzj; z2U¸ si
g(z) =z+1P
j=2bjzj; z2U. Vom nota prin f¤gconvolut ¸ia
(sau produsul Hadamard) al celor dou˘ a funct ¸ii, dat prin
(f¤g)(z) =z+1X
j=2ajbjzj; z2U: (1.79)
61

Deﬁnit ¸ia 1.9.11 Deﬁnim operatorul Ruscheweyh Rn:A!
A; n2N; z2U ;prin:
Rnf(z) =z
(1¡z)n+1¤f(z) =z(zn¡1f(z))(n)
n!: (1.80)
Observat ¸ia 1.9.5 1.Dac˘ a f2A; f(z) =z+1P
j=2ajzj; z2
U, atunci
Rnf(z) =z+1X
j=2Cn
n+j¡1ajzj; z2U: (1.81)
2.Se observ˘ a c˘ a inegalitatea
ReRn+1f(z)
Rnf(z)>1
2; z2U (1.82)
este pentru n= 1chiar condit ¸ia de convexitate.
Vom nota prin Knclasa funct ¸iilor f2Acare satisfac
(1.82).
Folosind operatorul Ruscheweyh, I. Magda¸ s introduce ˆ ın
[33] o nou˘ a subclas˘ a de funct ¸ii uniform convexe astfel:
Deﬁnit ¸ia 1.9.12 Fien2N. Vom spune c˘ a o funct ¸ie f2A
este ˆ ın clasa UK n(±); ±2[¡1;1)dac˘ a f satisface condit ¸ia:
ReRn+1f(z)
Rnf(z)¸¯¯¯¯Rn+1f(z)
Rnf(z)¡1¯¯¯¯+±; (1.83)
pentru orice z2U.
62

Interpretarea geometric˘ a a inegalit˘ at ¸ii (1.83) este aceea c˘ a
f2UK n(±), dac˘ a ¸ si numai dac˘ a Rn+1f(z)=Rnf(z) ia valori
ˆ ın domeniul Ω 1¡±
2;1+±
2not= Ω ±m˘ arginit de parabola:
v2= 2(1¡±)u¡(1¡±2): (1.84)
Funct ¸ia Carath´ eodory asociat˘ a este
Q±(z) = 1 +2(1¡±)
¼2µ
log1 +pz
1¡pz¶2
; z2U: (1.85)
Observ˘ am c˘ a funct ¸ia Q±este convex˘ a ¸ si satisface
Re Q ±(z)>1 +±
2:Deci, f2UK n(±) dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
Rn+1f(z)
Rnf(z)ÁQ±(z).
Se observ˘ a c˘ a pentru n= 0 obt ¸inem UK 0(±) =SP¡1¡±
2;1+±
2¢
,
iar pentru n= 1 ¸ si ±= 1=2; UK 1(1=2) = USc.
Legat de clasa UK n(±) I. Magda¸ s arat˘ a, printre alte rezul-
tate, c˘ a operatorul integral Bernardi
Ic(f)(z) =Fc(z) =1 +c
zczZ
0f(t)tc¡1dt ; c = 1;2;3; :::
conserv˘ a aceast˘ a clas˘ a ˆ ın anumite condit ¸ii impuse parametru-
luic, iar ˆ ın [5] autorii arat˘ a c˘ a operatorul integral al lui
Alexander deﬁnit prin (1.23), conserv˘ a ¸ si el,ˆ ın anumite condit ¸ii
impuse lui ±, aceast˘ a clas˘ a.
63

1.10 Funct ¸ii uniform aproape con-
vexe
ˆIn [11] D. Blezu introduce urm˘ atoarele clase de funct ¸ii uniform
aproape convexe:
Deﬁnit ¸ia 1.10.1 O funct ¸ie f2Aspunem c˘ a este n-uniform
aproape convex˘ a de tip ®ˆ ın raport cu funct ¸ia n-uniform ste-
lat˘ a de tip ® g(z), unde ®¸0; n2N, dac˘ a:
ReDn+1f(z)
Dng(z)¸®¢¯¯¯¯Dn+1f(z)
Dng(z)¡1¯¯¯¯; z2U (1.86)
unde ®¸0; n2N.
Not˘ am prin UCC n(®)clasa tuturor acestor funct ¸ii.
Deﬁnit ¸ia 1.10.2 O funct ¸ie f2Aspunem c˘ a este n-uniform
aproape convex˘ a de ordin °¸ si tip ®ˆ ın raport cu funct ¸ia n-
uniform stelat˘ a de ordin °¸ si tip ® g(z), unde ®¸0; °2
[¡1:1); ®+°¸0, dac˘ a:
ReDn+1f(z)
Dng(z)¸®¢¯¯¯¯Dn+1f(z)
Dng(z)¡1¯¯¯¯+°; z2U (1.87)
unde ®¸0; °2[¡1;1); ®+°¸0; n2N.
Not˘ am prin UCC n(®; °)clasa tuturor acestor funct ¸ii.
Interpretarea geometric˘ a a relat ¸iei (1.87) este aceea c˘ a
f2UCC n(®; °) dac˘ a ¸ si numai dac˘ aDn+1f(z)
Dng(z)ia valoriˆ ın dome-
64

niul convex inclus ˆ ın semiplanul drept D®;°, unde D®;°a fost
deﬁnit la interpretarea geometric˘ a a deﬁnit ¸iei (1.9.8).
ˆIn [4] sunt g˘ asite estim˘ ari ale coeﬁcient ¸ilor dezvolt˘ arii ˆ ın
serie a funct ¸iilor din UCC n(®):
Teorema 1.10.1 [4] Dac˘ a f(z) =z+1X
j=2ajzjeste ˆ ın clasa
UCC n(®)atunci
jajj ·j¡2Y
k=0(P1+k)
jn¢(j¡1)!
unde P1are semniﬁcat ¸ia dat˘ a ˆ ın Teorema 1.9.9.
Observat ¸ia 1.10.1 Pentru f=g, adic˘ a f2USn(®), se
obt ¸in estim˘ arile prezentate ˆ ın Observat ¸ia 1.9.4
ˆIn [11] D. Blezu introduce urm˘ atoarea clas˘ a general˘ a de
funct ¸ii n-aproape convexe din care prin particularizare se obt ¸in
funct ¸iile n-uniform aproape convexe de ordin °¸ si tip ®:
Deﬁnit ¸ia 1.10.3 Fieq(z)o funct ¸ie univalent˘ a cu q(0) = 1 ,
Re q(z)>0,q0(0)>0, care transform˘ a discul unitate ˆ ıntr-un
domeniu convex Dsimetric fat ¸˘ a de axa real˘ a. Fie f2A,
spunem c˘ a funct ¸ia festen-aproape convex˘ a ˆ ın raport cu D,
saun-aproape convex˘ a subordonat˘ a funct ¸iei q, dac˘ a exist˘ a o
65

funct ¸ie g2S¤n(q)(unde clasa S¤n(q)este deﬁnit˘ a prin g2A
¸ siDn+1g(z)
Dng(z)Áq(z)), astfel ˆ ıncˆ at
Dn+1f(z)
Dng(z)Áq(z); z2U ; n2N:
Not˘ am cu CCn(q)mult ¸imea tuturor acestor funct ¸ii.
Observat ¸ia 1.10.2 Din deﬁnit ¸ie se deduce u¸ sor c˘ a pentru
q1(z)Áq2(z)avem CCn(q1)½CCn(q2).
Observat ¸ia 1.10.3 Folosind metoda funct ¸iilor admisibile au-
torul demonstreaz˘ a o serie de rezultate privind aceast˘ a clas˘ a
general˘ a de funct ¸ii n-aproape convexe dintre care amintim in-
cluziunea
CCn+1(q)½CCn(q); n2N:
Observat ¸ia 1.10.4 Pentru D=D®;°, unde D®;°este dat ˆ ın
Deﬁnit ¸ia 1.9.8, atunci se obt ¸ine clasa UCC n(®; °)introdus˘ a
prin Deﬁnit ¸ia 1.10.2.
1.11 Funct ¸ii ®-uniform convexe
ˆIn [20] S. Kanas deﬁne¸ ste clasa funct ¸iilor ®-uniform convexe
astfel:
66

Deﬁnit ¸ia 1.11.1 Fie®2[0;1]. O funct ¸ie univalent˘ a fse
nume¸ ste ®-uniform convex˘ a dac˘ a imaginea oric˘ arui arc de
cerc Γz, cu centrul ˆ ın punctul ³2U, cont ¸inut ˆ ın U, este
o curb˘ a ®-convex˘ a (vezi Deﬁnit ¸ia 1.4.1) ˆ ın raport cu punctul
f(³). Clasa tuturor acestor funct ¸ii se noteaz˘ a prin UM(®).
Observ˘ am c˘ a UM(®)½M®, unde prin M®s-a notat clasa
funct ¸iilor ®-convexe introduse de P.T. Mocanu (vezi subcapi-
tolul 1.4).
Teorema 1.11.1 [20] Fie ®2[0;1]. O funct ¸ie univalent˘ a f
este®-uniform convex˘ a dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
Re½
(1¡®)(z¡³)f0(z)
f(z)¡f(³)+®µ
1 +(z¡³)f00(z)
f0(z)¶¾
>0; z; ³2U :
Teorema 1.11.2 [20] Dac˘ a feste ®-uniform convex˘ a ¸ si
0·¯ < ® , atunci feste ¯-uniform convex˘ a, adic˘ a
UM(®)½UM(¯).
ˆIn [34] I. Magda¸ s deﬁne¸ ste ¸ si studiaz˘ a o nou˘ a subclas˘ a de
funct ¸ii analitice ®-convexe pornind de la not ¸iunea de uniform
convexitate:
Deﬁnit ¸ia 1.11.2 Spunem c˘ a o funct ¸ie f2Aeste®-uniform
convex˘ a, ®2[0;1], dac˘ a fsatisface
Re½
(1¡®)zf0(z)
f(z)+®µ
1 +zf00(z)
f0(z)¶¾
¸ (1.88)
67

¸¯¯¯¯(1¡®)µzf0(z)
f(z)¡1¶
+®zf00(z)
f0(z)¯¯¯¯
pentru orice z2U. Not˘ am prin UM ®clasa tuturor acestor
funct ¸ii.
Observat ¸ia 1.11.1 Interpretarea geometric˘ a a relat ¸iei (1.88)
este aceea c˘ a f2UM ®dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
J(®; f;z) = (1 ¡®)zf0(z)
f(z)+®µ
1 +zf00(z)
f0(z)¶
ia valori ˆ ın regiunea parabolic˘ a Ωdat˘ a prin
Ω =fw:jw¡1j ·Re wg=©
w=u+i¢v;v2·2u¡1ă
:
Se observ˘ a c˘ a pentru f2UM ®are loc Re J (®; f;z)>1
2¸ si
astfel UM ®½M®, unde prin M®s-a notat clasa funct ¸iilor
®-convexe introduse de P.T. Mocanu (vezi subcapitolul 1.4).
Observat ¸ia 1.11.2 Se observ˘ a c˘ a UM 0=SP(vezi Deﬁnit ¸ia
1.9.2) ¸ si UM 1=USc(vezi Deﬁnit ¸ia 1.9.1).
Observat ¸ia 1.11.3 f2UM ®dac˘ a ¸ si numai dac˘ a:
J(®; f;z)ÁQ(z)´1 +2
¼2µ
log1 +pz
1¡pz¶2
; z2U :
Teorema 1.11.3 [34] Pentru orice ® ; ¯ 2[0;1]cu® < ¯
are loc UM ¯½UM ®.
68

Observat ¸ia 1.11.4 Din teorema precedent˘ a se deduce ime-
diat c˘ a pentru ®2[0;1]are loc USc½UM ®½SP½S¤:
Teorema 1.11.4 (Teorem˘ a de dualitate) [34] Dac˘ a
®2[0;1]atunci f2UM ®dac˘ a ¸ si numai dac˘ a F2SP,
unde
F(z) =f(z)·zf0(z)
f(z)¸®
:
Din Teorema precedent˘ a se deduce urm˘ atoarea reprezentare
integral˘ a a funct ¸iilor ®-uniform convexe:
Teorema 1.11.5 [34] Dac˘ a ®2[0;1], atunci f2UM ®dac˘ a
¸ si numai dac˘ a exist˘ a o funct ¸ie F2SPastfel ˆ ıncˆ at
f(z) =2
6641
®Zz
0F1
®(³)
³d³3
775®
; z2U :
Tot I. Magda¸ s deﬁne¸ ste ˆ ın [34] urm˘ atoarea subclas˘ a de
funct ¸ii ®-uniform convexe prin intermediul operatorului lui
Ruscheweyh (vezi Deﬁnit ¸ia 1.9.11):
Deﬁnit ¸ia 1.11.3 Fie®2[0;1]¸ sin2N. Spunem c˘ a f2A
este ˆ ın clasa UM n;®(±),±2[¡1;1), dac˘ a fsatisface condit ¸ia
Re·
(1¡®)Rn+1f(z)
Rnf(z)+®Rn+2f(z)
Rn+1f(z)¸
¸
¸¯¯¯¯(1¡®)Rn+1f(z)
Rnf(z)+®Rn+2f(z)
Rn+1f(z)¡1¯¯¯¯+±
pentru orice z2U.
69

Observat ¸ia 1.11.5 Avem UM n;0(±) =UK n(±)(vezi Deﬁnit ¸ia
1.9.12) ¸ si
UM
0;2a
a+ 1µa
a+ 1¶
=UM a; a2[0;1]:
Observat ¸ia 1.11.6 f2UM n;®(±)dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
(1¡®)Rn+1f(z)
Rnf(z)+®Rn+2f(z)
Rn+1f(z)ÁQ±
unde Q±este dat prin (1.85).
ˆIn [1] este introdus˘ a o nou˘ a subclas˘ a de funct ¸ii ®-uniform
convexe, care generalizeaz˘ a unele rezultate anterioare ale lui
I. Magda¸ s, astfel:
Deﬁnit ¸ia 1.11.4 Fie®2[0;1]¸ sin2N. Spunem c˘ a f2A
apart ¸ine clasei UD n;®(¯; °); ¯¸0; °2[¡1;1); ¯+°¸0
dac˘ a
Re·
(1¡®)Dn+1f(z)
Dnf(z)+®Dn+2f(z)
Dn+1f(z)¸
¸
¸¯¯¯¯¯(1¡®)Dn+1f(z)
Dnf(z)+®Dn+2f(z)
Dn+1f(z)¡1¯¯¯¯+°
Observat ¸ia 1.11.7 Avem UD n;0(¯; °) = USn(¯; °)½S¤
(unde USn(¯; °)este dat˘ a prin Deﬁnit ¸ia 1.9.9) , UD 0;®(1;0) =
=UM ®(unde UM ®este dat˘ a prin Deﬁnit ¸ia 1.11.2) ¸ si
UD 0;1(¯; °) =USc(¯; °)½Scµ¯+°
¯+ 1¶
unde USc(¯; °)este
70

clasa funct ¸iilor uniform convexe de tip ¯¸ si ordin °introduse
prin Deﬁnit ¸ia 1.9.8 iar Sc(±)este clasa funct ¸iilor convexe de
ordin ±.
Observat ¸ia 1.11.8 Intepretare geometric˘ a: f2UD n;®(¯; °)
dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
Jn(®; f;z) = (1 ¡®)Dn+1f(z)
Dnf(z)+®Dn+2f(z)
Dn+1f(z)
ia toate valorile ˆ ın domeniul convex inclus ˆ ın semiplanul drept
D¯;°, unde D¯;°este deﬁnit la interpretarea geometric˘ a a deﬁni-
t ¸iei clasei USn(¯; °)¸ si anume:
Teorema 1.11.6 [1] Pentru orice ®; ®02[0;1]cu® < ®0
avem UD n;®0(¯; °)½UD n;®(¯; °).
71

Observat ¸ia 1.11.9 Din Teorema 1.11.6 avem
UD n;®(¯; °)½UD n;0(¯; °)pentru orice ®2[0;1], ¸ si astfel din
Observat ¸ia 1.11.7 deducem c˘ a funct ¸iile din clasa UD n;®(¯; °)
sunt univalente.
ˆIn [2] sunt introduse ¸ si studiate dou˘ a subclase generale de
funct ¸ii ®-uniform convexe care generealizeaz˘ a clasa funct ¸iilor
®-uniform convexe introduse de I. Magda¸ s, respectiv unele
rezultate privind clasa UD n;®(¯; °), astfel:
Fieq(z) o funct ¸ie univalent˘ a cu q(0) = 1, q0(0)>0, care
reprezint˘ a conform discul unitate Uˆ ın domeniul convex inclus
ˆ ın semiplanul drept D.
Deﬁnit ¸ia 1.11.5 Fief2A¸ si®2[0;1]. Spunem c˘ a feste
o funct ¸ie ®-uniform convex˘ a ˆ ın raport cu domeniul D, dac˘ a
J(®; f;z) = (1 ¡®)zf0(z)
f(z)+®µ
1 +zf00(z)
f0(z)¶
Áq(z):
Not˘ am acest˘ a clas˘ a cu UM ®(q).
Observat ¸ia 1.11.10 Interpretare geometric˘ a: f2UM ®(q)
dac˘ a ¸ si numai dac˘ a J(®; f;z)ia toate valorile ˆ ın domeniul
convex inclus ˆ ın semiplanul drept D.
Observat ¸ia 1.11.11 Avem UM ®(q)½M®, unde M®este
clasa funct ¸iilor ®-convexe. Dac˘ a consider˘ am D= Ω (vezi
Observat ¸ia 1.11.1) obt ¸inem clasa UM ®introdus˘ a de I. Magda¸ s.
72

Observat ¸ia 1.11.12 Din deﬁnit ¸ia precedent˘ a rezult˘ a imediat
c˘ aq1(z)Áq2(z)implic˘ a UM ®(q1)½UM ®(q2).
Teorema 1.11.7 [2] Pentru orice ®; ®02[0;1]cu® < ®0
avem UM ®0(q)½UM ®(q).
Deﬁnit ¸ia 1.11.6 Fief2A,®2[0;1]¸ sin2N. Spunem c˘ a
feste o funct ¸ie ®¡n-uniform convex˘ a ˆ ın raport cu Ddac˘ a
Jn(®; f;z) = (1 ¡®)Dn+1f(z)
Dnf(z)+®Dn+2f(z)
Dn+1f(z)Áq(z):
Not˘ am aceast˘ a clas˘ a cu UD n;®(q).
Observat ¸ia 1.11.13 Interpreatre geometric˘ a: f2UD n;®(q)
dac˘ a ¸ si numai dac˘ a Jn(®; f;z)ia toate valorile ˆ ın domeniul
convex inclus ˆ ın semiplanul drept D.
Observat ¸ia 1.11.14 Avem UD 0;®(q) =UM ®(q)¸ si dac˘ a ˆ ın
deﬁnit ¸ia anterioar˘ a consider˘ am D=D¯;°(vezi Observat ¸ia
1.11.8) obt ¸inem clasa UD n;®(¯; °).
Observat ¸ia 1.11.15 Se observ˘ a u¸ sor c˘ a q1(z)Áq2(z)im-
plic˘ a UD n;®(q1)½UD n;®(q2).
Teorema 1.11.8 [2] Pentru orice ®; ®02[0;1]cu® < ®0
avem UD n;®0(q)½UD n;®(q).
Observat ¸ia 1.11.16 Dac˘ a consider˘ am D=D¯;°ˆ ın Teore-
ma 1.11.8 se reg˘ ase¸ ste Teorema 1.11.6 privind clasa UD n;®(¯; °).
73

Capitolul 2
Propriet˘ at ¸i ale
operatorului integral
Libera-Pascu relative la
funct ¸iile de tip uniform
74

2.1 Transformarea funct ¸iilor
n-uniform stelate ¸ si n-uniform
aproape convexe prin operatorul
integral Libera-Pascu
ˆIn [3] se arat˘ a c˘ a operatorul integral Libera-Pascu
La:A!A,
f(z) =LaF(z) =1 +a
zaZz
0F(t)ta¡1dt (2.1)
cua2C,Re a¸0, conserv˘ a clasa USn(®; °) (vezi Deﬁnit ¸ia
1.9.9):
Teorema 2.1.1 [3] Dac˘ a F(z)2USn(®; °),cu®¸0¸ si
° > 0, atunci f(z) =La(F)(z)2USn(®; °),cu®¸0¸ si
° >0.
Demonstrat ¸ie. S ¸tim c˘ a F(z)2USn(®; °) dac˘ a ¸ si numai
dac˘ aDn+1F(z)
DnF(z)ia toate valorile ˆ ın domeniul convex inclus ˆ ın
semiplanul drept D®;°.
Din (2.1) se obt ¸ine imediat:
(1 +a)F(z) =af(z) +zf0(z) (2.2)
Aplicˆ and ˆ ın (2.2) operatorul liniar Dn+1se obt ¸ine:
(1 +a)Dn+1F(z) =aDn+1f(z) +Dn+1(zf0(z))
75

sau
(1 +a)Dn+1F(z) =aDn+1f(z) +Dn+2f(z)
Analog aplicˆ and ˆ ın (2.2) operatorul liniar Dnse obt ¸ine:
(1 +a)DnF(z) =aDnf(z) +Dn+1f(z)
Astfel:
Dn+1F(z)
DnF(z)=Dn+2f(z) +aDn+1f(z)
Dn+1f(z) +aDnf(z)=
=Dn+2f(z)
Dn+1f(z)¢Dn+1f(z)
Dnf(z)+a¢Dn+1f(z)
Dnf(z)
Dn+1f(z)
Dnf(z)+a(2.3)
Notˆ andDn+1f(z)
Dnf(z)=p(z) cup(z) = 1 + p1z+:::avem:
zp0(z) =z¢µDn+1f(z)
Dnf(z)¶0
=
=z(Dn+1f(z))0¢Dnf(z)¡Dn+1f(z)¢z(Dnf(z))0
(Dnf(z))2=
=Dn+2f(z)¢Dnf(z)¡(Dn+1f(z))2
(Dnf(z))2
¸ si
1
p(z)¢zp0(z) =Dn+2f(z)
Dn+1f(z)¡Dn+1f(z)
Dnf(z)=Dn+2f(z)
Dn+1f(z)¡p(z)
Din relat ¸iile de mai sus obt ¸inem:
Dn+2f(z)
Dn+1f(z)=p(z) +1
p(z)¢zp0(z)
76

Astfel din (2.3) deducem:
Dn+1F(z)
DnF(z)=p(z)¢³
zp0(z)¢1
p(z)+p(z)´
+a¢p(z)
p(z) +a=
=p(z) +1
p(z) +a¢zp0(z) (2.4)
Dac˘ a consider˘ am funct ¸ia h(z) univalent˘ a pe discul unitate
U,cuh(0) = 1 ,care reprezint˘ a conform discul unitate ˆ ın
domeniul convex inclusˆ ın semiplanul drept D®;°,atunci ¸ stiind
c˘ aDn+1F(z)
DnF(z)ia toate valorile ˆ ın D®;°,deducem din (2.4) c˘ a:
p(z) +1
p(z) +a¢zp0(z)Áh(z)
ˆIn relat ¸ia de mai sus avem Re h(z)>0 (din construct ¸ie)
¸ siRe a¸0 (din ipotez˘ a) ¸ si astfel Re(h(z) +a)>0.ˆIn aceste
condit ¸ii din Teorema 1.7.1 obt ¸inem p(z)Áh(z). Din subor-
donarea precedent˘ a deducem c˘ aDn+1f(z)
Dnf(z)ia toate valorile ˆ ın
domeniul convex inclus ˆ ın semiplanul drept D®;°,adic˘ a
f(z) =La(F)(z)2USn(®; °)
,cu®¸0 ¸ si° >0.
Observat ¸ia 2.1.1 1.Din Teorema 2.1.1 pentru n= 1
se deduce c˘ a operatorul integral Libera-Pascu conserv˘ a
clasa USc(®; °)cu° >0introdus˘ a de I. Magda¸ s (vezi
Deﬁnit ¸ia 1.9.8);
77

2.Din Teorema 2.1.1 pentru n= 1¸ si°= 0se deduce c˘ a
operatorul integral Libera-Pascu conserv˘ a clasa USc(®)
introdus˘ a de S. Kanas ¸ si A. Visniowska (vezi Deﬁnit ¸ia
1.9.5);
3.Din Teorema 2.1.1 pentru n= 1,° >0,®= 1se de-
duce c˘ a operatorul integral Libera-Pascu conserv˘ a clasa
UScintrodus˘ a de A.W. Goodman (vezi Deﬁnit ¸ia 1.9.1);
4.Din Teorema 2.1.1 pentru n= 0¸ si®= 1se deduce c˘ a
operatorul integral Libera-Pascu conserv˘ a clasa
SPµ1¡°
2;1 +°
2¶
introdus˘ a de F. Ronning (vezi Deﬁ-
nit ¸ia 1.9.3).
Tot ˆ ın [3] se arat˘ a c˘ a operatorul integral Libera-Pascu
deﬁnit prin (2.1) conserv˘ a clasa funct ¸iilor n-uniform aproape
convexe de ordin °¸ si tip ®(vezi Deﬁnit ¸ia 1.10.2):
Teorema 2.1.2 [3] Dac˘ a F(z)2UCC n(®; °)ˆ ın raport cu
funct ¸ia n-uniform stelat˘ a de ordin °¸ si tip ® G(z),cu®¸0
¸ si° >0,atunci f(z) =La(F)(z)2UCC n(®; °)ˆ ın raport cu
funct ¸ia n-uniform stelat˘ a de ordin °¸ si tip ® g(z) =La(G)(z)
cu®¸0¸ si° >0.
Demonstrat ¸ie. S ¸tim c˘ a F(z)2UCC n(®; °) dac˘ a ¸ si numai
dac˘ aDn+1F(z)
DnG(z)ia toate valorile ˆ ın domeniul convex inclus ˆ ın
78

semiplanul drept D®;°.
Din (2.1) se obt ¸in:
(1 +a)F(z) =af(z) +zf0(z)
¸ si
(1 +a)G(z) =ag(z) +zg0(z)
Aplicˆ and ˆ ın relat ¸iile de mai sus operatorul liniar Dn+1,re-
spectiv Dn, obt ¸inem:
(1 +a)Dn+1F(z) =aDn+1f(z) +Dn+2f(z)
¸ si
(1 +a)DnG(z) =aDng(z) +Dn+1g(z)
De aici se deduce u¸ sor c˘ a:
Dn+1F(z)
DnG(z)=Dn+2f(z)
Dn+1g(z)¢Dn+1g(z)
Dng(z)+a¢Dn+1f(z)
Dng(z)
Dn+1g(z)
Dng(z)+a(2.5)
Notˆ andDn+1f(z)
Dng(z)=p(z) ¸ siDn+1g(z)
Dng(z)=h(z) se arat˘ a ime-
diat c˘ a:
Dn+2f(z)
Dn+1g(z)=p(z) +1
h(z)¢zp0(z)
Astfel din relat ¸ia (2.5) se obt ¸ine:
Dn+1F(z)
DnG(z)=p(z) +1
h(z) +a¢zp0(z) (2.6)
79

Dac˘ a consider˘ am funct ¸ia q(z) convex˘ a ˆ ın discul unitate
Ucare reprezint˘ a conform pe Uˆ ın domeniul convex inclus
ˆ ın semiplanul drept D®;°,atunci din faptul c˘ aDn+1F(z)
DnG(z)ia
toate valorile ˆ ın D®;°obt ¸inem folosind (2.6):
p(z) +1
h(z) +a¢zp0(z)Áq(z)
ˆIn relat ¸ia de mai sus avem Re h(z)>0 (din construct ¸ie) ,
Re a¸0 (din ipotez˘ a) ¸ si astfel Re1
h(z) +a>0. Atunci uti-
lizˆ and Teorema 1.7.4 obt ¸inem p(z)Áq(z) , adic˘ a
Dn+1f(z)
Dng(z)ia toate valorile ˆ ın domeniul D®;°. Astfel
f(z) = La(F)(z)2UCC n(®; °) ˆ ın raport cu
g(z) =La(G)(z)2USn(®; °) cu®¸0 ¸ si° >0.
Observat ¸ia 2.1.2 Din Teorema 2.1.2 pentru °= 0se deduce
c˘ a operatorul integral Libera-Pascu deﬁnit prin (2.1) conserv˘ a
clasa UCC n(®)(vezi Deﬁnit ¸ia 1.10.1).
Folosind estim˘ arile g˘ asite ˆ ın Teorema 1.10.1, ˆ ın [4] sunt
determinate ¸ si estim˘ arile pentru subclasa funct ¸iilor n-uniform
aproape convexe de ordin °¸ si tip ®obt ¸inute prin aplicarea
operatorului integral Libera-Pascu:
Teorema 2.1.3 [4] Dac˘ a F(z)2UCC n(®),F(z) =z+1X
j=2bjzj
80

atunci pentru f(z) =LaF(z)cuf(z) =z+1X
j=2ajzjavem:
jajj ·¯¯¯¯a+ 1
a+j¯¯¯¯¢j¡2Y
k=0(P1+k)
jn¢(j¡1)!
unde Laeste operatorul integral Libera-Pascu deﬁnit prin (2.1)
iarP1are semniﬁcat ¸ia dat˘ a ˆ ın Teorema 1.9.9.
Demonstrat ¸ie. Prin diferent ¸ierea relat ¸iei (2.1) se obt ¸ine
(1 +a)F(z) =af(z) +zf0(z); a2C; Re a ¸0 (2.7)
¸ si astfel din (2.7) se obt ¸ine
1X
j=2(1 +a)bjzj=1X
j=2(a+j)ajzj
Prin egalarea coeﬁcient ¸ilor termenilor ˆ ın zjobt ¸inem
aj(a+j) = (1 + a)bj.
Avem astfel jajj ¢ ja+jj=j1 +aj ¢ jbjj.
S ¸tim c˘ a jbjj ·j¡2Y
k=0(P1+k)
jn¢(j¡1)!, de unde obt ¸inem
jajj ·¯¯¯¯a+ 1
a+j¯¯¯¯¢j¡2Y
k=0(P1+k)
jn¢(j¡1)!:
81

Observat ¸ia 2.1.3 Pentru a= 1(operatorul Libera) obt ¸inem
jajj ·2¢j¡2Y
k=0(P1+k)
jn¢j!:
2.2 Transformarea funct ¸iilor
®-uniform convexe de c˘ atre
operatorul integral Libera-Pascu
Cu privire la funct ¸iile ®-uniform convexe ˆ ın [1], respectiv [2],
sunt demonstrate urm˘ atoarele trei teoreme:
Teorema 2.2.1 [1] Dac˘ a F(z)2UD n;®(¯; °)(vezi Deﬁnit ¸ia
1.11.4) atunci f(z) =La(F)(z)2USn(¯; °)(vezi Deﬁnit ¸ia
1.9.9), unde Laeste operatorul integral Libera-Pascu deﬁnit
prin (2.1).
Demonstrat ¸ie. Din (2.1) avem
(1 +a)F(z) =af(z) +zf0(z)
Prin aplicarea operatorului liniar Dn+1obt ¸inem
(1 +a)Dn+1F(z) =aDn+1f(z) +Dn+1(zf0(z))
82

sau
(1 +a)Dn+1F(z) =aDn+1f(z) +Dn+2f(z)
Astfel:
Dn+1F(z)
DnF(z)=Dn+2f(z) +aDn+1f(z)
Dn+1f(z) +aDnf(z)=
=Dn+2f(z)
Dn+1f(z)¢Dn+1f(z)
Dnf(z)+a¢Dn+1f(z)
Dnf(z)
Dn+1f(z)
Dnf(z)+a
Cu notat ¸iaDn+1f(z)
Dnf(z)=p(z) unde p(z) = 1 + p1z+:::
avem:
zp0(z) =z¢µDn+1f(z)
Dnf(z)¶0
=
=z(Dn+1f(z))0¢Dnf(z)¡Dn+1f(z)¢z(Dnf(z))0
(Dnf(z))2=
=Dn+2f(z)¢Dnf(z)¡(Dn+1f(z))2
(Dnf(z))2
¸ si
1
p(z)¢zp0(z) =Dn+2f(z)
Dn+1f(z)¡Dn+1f(z)
Dnf(z)=Dn+2f(z)
Dn+1f(z)¡p(z)
Astfel:
Dn+2f(z)
Dn+1f(z)=p(z) +1
p(z)¢zp0(z)
83

Obt ¸inem:
Dn+1F(z)
DnF(z)=p(z)¢³
zp0(z)¢1
p(z)+p(z)´
+a¢p(z)
p(z) +a=
=p(z) +1
p(z) +a¢zp0(z)
Dac˘ a not˘ amDn+1F(z)
DnF(z)=q(z), cu q(0) = 1, ¸ si consider˘ am
h2 H u(U), cu h(0) = 1, care reprezint˘ a conform discul uni-
tateUˆ ın domeniul convex inclus ˆ ın semiplanul drept D¯;°,
avem din F(z)2UD n;®(¯; °) (vezi Observat ¸ia 1.11.8):
q(z) +®¢zq0(z)
q(z)Áh(z)
Din Teorema 1.7.1 , cu °= 0 obt ¸inem q(z)Áh(z), sau
p(z) +1
p(z) +a¢zp0(z)Áh(z)
Folosind ipoteza ¸ si construct ¸ia funct ¸iei h(z) obt ¸inem din Teo-
rema 1.7.1 p(z)Áh(z) sau f(z)2USn(¯; °) (vezi Deﬁnit ¸ia
1.9.9).
Observat ¸ia 2.2.1 Din Teorema 2.2.1 cu ®= 0se reg˘ ase¸ ste
Teorema 2.1.1.
Teorema 2.2.2 [2] Dac˘ a F(z)2UM ®(q)(vezi Deﬁnit ¸ia
1.11.5) atunci f(z) =La(F)(z)2S¤
0(q)(vezi Deﬁnit ¸ia 1.10.3),
unde Laeste operatorul integral Libera-Pascu deﬁnit prin (2.1)
¸ si®2[0;1].
84

Demonstrat ¸ie. Din (2.1) avem
(1 +a)F(z) =af(z) +zf0(z):
Cu notat ¸iazf0(z)
f(z)=p(z), cu p(z) = 1 + p1z+:::avem
zF0(z)
F(z)=p(z) +zp0(z)
p(z) +a:
Dac˘ a not˘ amzF0(z)
F(z)=h(z), cu h(0) = 1, avem din
F(z)2UM ®(q) (vezi Deﬁnit ¸ia 1.11.5):
h(z) +®¢zh0(z)
h(z)Áq(z);
unde q(z) este univalent˘ a ˆ ın Ucuq(0) = 1, q0(z)>0 ¸ si
reprezint˘ a conform discul unitate Uˆ ın domeniul convex inclus
ˆ ın semiplanul drept D.
Din Teorema 1.7.1 obt ¸inem h(z)Áq(z) sau
p(z) +zp0(z)
p(z) +aÁq(z):
Folosind ipoteza ¸ si construct ¸ia funct ¸iei q(z) obt ¸inem din
Teorema 1.7.1zf0(z)
f(z)=p(z)Áq(z) sau f(z)2S¤
0(q)½S¤.
Teorema 2.2.3 [2] Dac˘ a F(z)2UD n;®(q)(vezi Deﬁnit ¸ia
1.11.6) atunci f(z) =La(F)(z)2S¤
n(q)(vezi Deﬁnit ¸ia 1.10.3),
unde Laeste operatorul integral Libera-Pascu deﬁnit prin (2.1).
Demonstrat ¸ie. Din (1.36) avem (1 + a)F(z) =af(z) +
zf0(z). Prin aplicarea operatorului liniar Dn+1obt ¸inem:
(1 +a)Dn+1F(z) =aDn+1f(z) +Dn+1(zf0(z))
85

sau
(1 +a)Dn+1F(z) =aDn+1f(z) +Dn+2f(z):
Cu notat ¸iaDn+1f(z)
Dnf(z)=p(z), unde p(z) = 1 + p1z+:::,
avem:
Dn+1F(z)
DnF(z)=p(z) +1
p(z) +a¢zp0(z):
Dac˘ a not˘ amDn+1F(z)
DnF(z)=h(z), cu h(0) = 1, avem din
F2UD n;®(q):
h(z) +®zh0(z)
h(z)Áq(z);
unde q(z) este univalent˘ a ˆ ın Ucuq(0) = 1, q0(0)>0, ¸ si
reprezint˘ a conform discul unitate Uˆ ın domeniul convex inclus
ˆ ın semiplanul drept D.
Din Teorema 1.7.1 obt ¸inem h(z)Áq(z) sau
p(z) +zp0(z)
p(z) +aÁq(z):
Folosind ipoteza, din Teorema 1.7.1 deducem p(z)Áq(z)
sauf(z)2S¤
n(q).
Observat ¸ia 2.2.2 Dac˘ a consider˘ am D=D¯;°ˆ ın Teorema
2.2.3 se reg˘ ase¸ ste rezultatul anterior privind clasa UD n;®(¯; °),
iar pentru D=D¯;°¸ si®= 0ˆ ın Teorema 2.2.3 se reg˘ ase¸ ste
Teorema 2.1.1.
86

Bibliograﬁe
[1]M. Acu, On a subclass of ®-uniform convex functions ,
Archivum Mathematicum, (va apare).
[2]M. Acu, Some subclasses of ®-uniformly convex func-
tions, Acta Mathematica, 20(2)-2004.
[3]M. Acu, D. Blezu A preserving property of a Libera type
operator , Filomat, 14(2000), 13-18.
[4]M. Acu, D. Blezu Bounds of the coeﬃcients for func-
tions uniformly close-to-convex , Libertas Matematica,
XXII(2002), 81-86.
[5]M. Acu, D. Blezu Some preserving properties of the
Alexander integral operator , Folia Scientarum Univ.
Tehnicae Resoviensis – Matematyka 27, 212(2004), 5-9.
87

[6]J.W. Alexander, Functions wich map the interior of the
unit circle upon simple regions , Ann. of Math., 17(1915),
12-22.
[7]S.D. Bernardi, Convex and starlike univalent functions ,
Trans. Amer. Math. Soc., 135(1969), 129-446.
[8]L. Bieberbach, Uber einige Extremalprobleme im Gebiete
der konformen Abbildung , Math. Ann., 77(1916), 153-
172.
[9]L. Bieberbach, Uber die Koeﬃzientem derjenigen Poten-
zreihen, welche eine schlithe Abbildung des Einheit-
skreises vermitteln , Preuss. Akad. Wiss. Sitzungsb.,
(1916), 940-955.
[10]D. Blezu, On the n-close to convex functions with respect
to a convex set I , Mathematica, 28(51), 1(1986), 9-19.
[11]D. Blezu, On the n-uniformly close to convex functions
with respect to a convex domain , General Mathematics,
9(2001), no. 3-4, 1-8.
[12]J.E. Brown, Images of disks under convex and starlike
functions , Math. Z., 202(1989), 457-462.
88

[13]V.V. Cernikov, The®-convexity of univalent functions ,
Mat. Zametki, 11, 2(1972), 227-232.
[14]L. De Branges, A proof of the Bieberbach conjecture , Acta
Math., 154(1985), 137-152.
[15]A.W. Goodman, On Uniformly Starlike Functions , Jour-
nal of Math. Anal. and Appl., 155(1991), 364-370.
[16]A.W. Goodman, On uniformly convex functions , Ann.
Polon. Math., LVIII(1991), 82-92.
[17]T. Gronwall, Some remarks on conformal representation ,
Ann. of Math., (2) 16(1914-15), 72-76.
[18]P. Hamburg, P. Mocanu, N. Negoescu, Analiz˘ a Mate-
matic˘ a (Funct ¸ii Complexe) , Editura Didactic˘ a ¸ si Peda-
gogic˘ a, Bucure¸ sti, 1982.
[19]R.J. Libera, Some classes of regular univalent functions ,
Proc. Amer. Math. Soc., 16(1965), 755-758.
[20]S. Kanas, Uniformly ®-convex functions , Int. J. of Appl.
Mathematics, Vol. 1, 3(1999), 305-310.
[21]S. Kanas, A. Wisniowska, Conic regions and k-uniform
convexity , Journal of Comp. and Appl. Mathematics,
105(1999), 327-336.
89

[22]S. Kanas, A. Wisniowska, Conic regions and k-uniform
convexity II , Folia Scient. Univ. Tehn. Resoviensis,
Zeszyty Naukove Pol. Rzeszowskiej, Mathematika 22,
170(1998), 65-78.
[23]S. Kanas, A. Wisniowska, Conic domains and starlike
functions , Revue Roumaine, (1999).
[24]S. Kanas, T. Yaguchi, Subclasses of k-uniformly convex
and starlike functions deﬁned by generalized derivate I ,
Indian J. Pure and Appl. Math. 32, 9(2001), 1275-1282.
[25]W. Kaplan, Close to convex schlicht functions , Michig.
Math. J., 1, 2(1952), 169-185.
[26]Z. Lewandrowski, Sur lˆ ıdentite de certaines classes
de fonctions univalentes I , Ann. Univ. Mariae Curie-
Sklodowska, Sect. A, 12(1958), 131-146.
[27]Z. Lewandrowski, Sur lˆ ıdentite de certaines classes
de fonctions univalentes II , Ann. Univ. Mariae Curie-
Sklodowska, Sect. A, 14(1960), 19-46.
[28]W. Ma, D. Minda, Uniformly convex functions , Ann.
Polon. Math., LVII 2(1992), 165-175.
90

[29]W. Ma, D. Minda, Uniformly convex functions II , Ann.
Polon. Math., LVIII 3(1993), 275-285.
[30]I. Magda¸ s, Suﬁcient conditions or uniform starlikeness
of order ®, Mathematica, 40(63), 2(1998), 219-226.
[31]I. Magda¸ s, On®-type uniformly convex functions , Studia
Mathematica, Vol. XLIV, 1(1999), 11-17.
[32]I. Magda¸ s, A new subclass of uniformly convex functions
with negative coeﬃcients , (va apare).
[33]I. Magda¸ s, A generalizations of a class of uniformly con-
vex functions , Mathematica, 41(64), 2(1999), 187-193.
[34]I. Magda¸ s, On®-uniformly convex functions , Mathema-
tica, 43(66), 2(2001), 211-218.
[35]A. Marx, Untersuchungen uber schlichte Abbildungen ,
Math. Ann., 107(1932-33), 40-67.
[36]S.S. Miller, P.T. Mocanu, Second order diﬀerential
inequalities in the complex plane , J. Math. Anal. Appl.,
65(1978), 298-305.
[37]S.S. Miller, P.T. Mocanu, Diﬀerential subordinations and
univalent functions , Mich. Math., 28(1981), 157-171.
91

[38]S.S. Miller, P.T. Mocanu, Univalent solution of Briot-
Bouquet diﬀerential equations , J. Diﬀerential Equations,
56(1985), 297-308.
[39]S.S. Miller, P.T. Mocanu, On some classes of ﬁrst order
diﬀerential subordinations , Mich. Math., 32(1985), 185-
195.
[40]S.S. Miller, P.T. Mocanu, M.O. Reade, Bazilevic func-
tions and generalized convexity , Rev. Roum. Math. Pures
Appl., 19, 2(1974), 213-224.
[41]S.S. Miller, P.T. Mocanu, M.O. Reade, On the radius
of®-convexity , Studia Univ. Babe¸ s-Bolyai, Math., 22,
2(1977), 44-47.
[42]P.T. Mocanu, T. Bulboaca, G. Salagean, Teoria geo-
metric˘ a a functiilor univalente , Casa Cartii de Stiinta
(Cluj), 1999.
[43]S. Ozaki, On the theory of multivalent functions , Sci.
Rep. Tokyo Bunrika Daigaku, A, 2, 40(1935), 167-1388.
[44]N.N. Pascu, Alpha-close-to-convex functions , Romanian-
Finnish Seminar om Complex Analysis, Bucharest, 1976,
Proc. Lect. Notes Math. 1976, 743, Springer-Verlag,
1979, 331-335.
92

[45]Ch. Pommerenke, Univalent functions , Vanderhoeck –
Ruprecht, Gottingen, 1975.
[46]M.O. Reade, Sur une classe de fonctions univalentes ,
C.R. Acad. Sci. Paris, 239(1954), 1758-1759.
[47]M.O. Reade, On the close-to-convex functions , Michig.
Math. J., 3(1955), 59-62.
[48]F. Ronning, Uniformly convex functions and a corre-
sponding class of starlike functions , Proc. Amer. Math.
Soc., 118, 1(1993), 190-196.
[49]F. Ronning, Integral reprezentations of bounded starlike
functions , Ann. Polon. Math., LX, 3(1995), 289-297.
[50]F. Ronning, On starlike functions associated with
parabolic regions , Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska,
Sect. A, 45(14), 1991, 117-122.
[51]S. Rucheweyh, New criterion for univalent functions ,
Proc. Amer. Math. Soc., 49(1975), 109-115.
[52]K. Sakaguchi, On a certain univalent mapping , J. Math.
Soc. Japan, 1(1969), 72-75.
[53]G.S. S˘ al˘ agean, Geometria planului complex , Ed. Prome-
dia Plus, Cluj-Napoca, 1997.
93

[54]J. Stankiewicz, A. Wisniowska, Starlike functions asso-
ciated with some hyperbola , Folia Scient. Univ. Tehn.
Resoviensis, Zeszyty Naukove Pol. Rzeszowskiej, Mathe-
matika 19, 147(1996), 117-126.
[55]E. Strohhacker, Beitrage zur Theorie der schlichten
Functionen , Math. Z., 37(1933), 356-380.
[56]K.G. Subramanian, G. Murugusundaramoorthy, P.
Balasubrahmanyam, H. Silverman, Subclasses of uni-
formly convex and uniformly starlike functions , Math.
Japonica, 3(1996), 517-522.
[57]K.G. Subramanian, T.V. Sudharsan, P. Balasubrah-
manyam, H. Silverman, Classes of uniformly starlike
functions , (va apare).
94

Abstract
The present book, with the title ”The Libera-Pascu integral
operator and his properties regarding the uniformly starlike,
convex, close to convex and ®-uniformly convex functions”,
have two purposes, a secondary one which is to make a brief
presentation of the classes of uniformly type functions, and a
central one which is to studied some preserving and transform-
ing properties of these classes by using the Libera-Pascu inte-
gral operator La:A!A,f(z) =LaF(z) =1 +a
zaZz
0F(t)ta¡1dt
witha2C,Re a¸0, where A=ff is regular in unit disk U :
f(0) = f0(0)¡1 = 0g, which is the most general integral op-
erator with only one function under the integral sing studied
in the geometric function theory.
The notion of uniformly type function is relative recently,
it was ﬁrst time used by A.W. Goodman in 1991 (see [15]).
In this ﬁeld of work, which is a very productive one and a at-
tractive one to many mathematicians, are deﬁned and studied
95

variously subclasses of uniformly starlike, uniformly convex,
uniformly close to convex and ®-uniformly convex functions.
In the ﬁrst chapter after the presentation of some fundamen-
tally results on the well known classes of starlike, convex,
close to convex and ®-convex functions and on the ”admissible
functions method” and Briot-Bouquet diﬀerential subordina-
tions due to P.T. Mocanu and S.S. Miller (see [36], [37], [38],
[39]), are presented, in subchapters from 1.8 to 1.11, the ba-
sic classes of uniformly starlike, uniformly convex, uniformly
close to convex and ®-uniformly convex functions and the sub-
classes which derive from these. This chapter is easy to read
because the author choose to present the above notions with-
out proofs and in a natural way, but the reader must have
some minimal knowledge of complex analysis.
The second chapter have two subchapters, the ﬁrst one is
dedicated to the transformations of the n-uniformly starlike
andn-uniformly close to convex functions thro0the Libera-
Pascu integral operator, respectively the second one is dedi-
cated to the transformations of some subclasses of ®-uniformly
convex functions. All the results presented in this chapter are
signed (some in collaboration) by the author (see [1], [2], [3],
[4]) and have the complete proofs. The reader which is not
interested in the technical details may choose to skip these
96

proofs which are based on some results on the Briot-Bouquet
diﬀerential subordinations.
This book is dedicated to the great romanian mathemati-
cian N.N. Pascu (1942 – 2004).
97

98

Table of contents
Preface 3
1. Preliminaries notions and results 9
1.1 Univalent functions ……………………………………. 9
1.2 Starlike functions ……………………………………… 16
1.3 Convex functions ……………………………………… 21
1.4®-convex functions ……………………………………. 25
1.5 Close to convex functions ………………………….. 29
1.6 Diﬀerential subordinations.
Admissible functions method ………………………… 34
1.7 Briot-Bouquet diﬀerential subordinations ……. 43
1.8 Uniformly starlike functions ………………………. 45
1.9 Uniformly convex functions ……………………….. 49
1.10 Uniformly close to convex functions ………….. 64
1.11®-uniformly convex functions …………………… 66
2. Properties of the Libera-Pascu integral ope-
rator related to the uniformly type functions 74
99

2.1 Transformations of the n-uniformly starlike
andn-uniformly close to convex functions thro0the
Libera-Pascu integral operator ……………………….. 75
2.2 Transformations of the ®-uniformly convex
functions thro0the Libera-Pascu integral operator 82
References 87
Abstract 95
100

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: Editura Universit˘ at ¸ii ”Lucian Blaga” din Sibiu 2005 2 Cuvˆ ant ˆ ınainte Teoria geometric˘ a a funct ¸iilor univalente a ˆ ınceput s˘ a se dez-… [609414] (ID: 609414)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

Editura Universit˘ at ¸ii ”Lucian Blaga” din Sibiu 2005 2 Cuvˆ ant ˆ ınainte Teoria geometric˘ a a funct ¸iilor univalente a ˆ ınceput s˘ a se dez-… [609414]

Copyright Notice

Conf.dr.ing. NAGY‐GYÖRGY Tamás tamas.nagy ‐gyorgy@upt.ro Șl.dr.ing. FLORUȚ Codruț codrut.florut@upt.ro ‐2015 ‐ ‐V2‐ BIBLIOGRAFIE • SR EN 1992-1-1:… [600599]

CUPRINS………………………………………………………………………………………………………. …….1 REZUMAT… [622775]

SPECIALIZAREA PEDAGOGIA ÎNVĂȚĂMÂNTULUI PRIMA ȘI PREȘCOLAR, [632321]

Proiectarea unui set de trei fre ze disc cu trei [621014]

Dinam ica de structur ă și rol a rețelei inform ative în perioada 1948-1989 [600575]

. Schimbare Tehnologică, Industrii Creative Și Inegalități Intra Urbane Studiu De Caz Zmc [306471]

Copyright Notice

Similar Posts