Ecuatii Matriciale

Cuprins

Introducere

Lucrarea de față s-a dorit a fii un studiu sistematizat al matricilor, determinanților și sistemelor de ecuații liniare.

Începuturile matricelor și determinanților se întâlnesc în secolul 2 î.e.n. deși urmele se pot vedea încă din secolul 4 i.e.n.. Cu toate acestea ei nu au existat până spre sfârșitul secolului 17 când ideea reapare și se dezvoltă. Nu surprinde pe nimeni că începuturile matricelor și determinanților apar datorită studiului sistemelor de ecuații liniare. Babilonienii au studiat probleme care anticipează sistemele de ecuații liniare și câteva dintre acestea sunt păstrate până azi pe tăblițe de lut. De exemplu o plăcuță datând din anul 300 i.e.n. conține următoarea problemă: “ Două terenuri care au împreună 1800 yard2 sunt cultivate cu grâu. De pe primul teren s-au recoltat 2/3 dintr-un bușel (aproximativ 36 l) pe yard2 în timp ce de pe al doilea teren se recoltează ½ bușel pe yard2 . Dacă producția totală e de 1100 bușeli, care este mărimea fiecărui teren?” Și în manuscrise chinezești cuprinse între 200-100 i.e.n. s-au găsit informații despre matrice. Primul exemplu în acest sens este documentul “9 Capitole din Arta Matematicii” scris în timpul dinastiei Han. Problema descoperită în acest document este la fel structurată ca și în exemplul babilonian.

În “Ars Magna” (1545) Cardan dă o regulă pentru rezolvarea unui sistem de două ecuații cu două necunoscute pe care el o numește “regula de modo”. Această regulă stă la baza regulii lui Cramer pentru rezolvarea unui sistem de 2 ecuații cu 2 necunoscute, ea nu a fost finalizată, nu s-a ajuns la definiția determinantului, dar e un pas important pentru obținerea acestei definiții.

Ideea de determinant a apărut în Japonia și Europa cam în același perioadă. Seki (matematician japonez care a trait intre 1642-1708) a fost totuși cel care a publicat mai întâi în 1683 “Metode de rezolvare a problemelor disimulate” care conțin metode matriceale scrise în tabele în același mod ca și metodele chinezești, iar în Europa, Leibniz (matematician german care a trait intre 1646-1716) îi scria lui L’Hopital că sistemul de ecuații are soluție dacă matricea coeficienților are determinantul egal cu 0. Metoda eliminării a lui Gauss (a cărei idee a apărut prima oară în textul “9 Capitole din Arta Matematicii” scris în anul 200 î.e.n., dar despre care Gauss nu știa nimic), a fost utilizată de Gauss în lucrarea sa care studia orbitele asteroidului Pallas.

În 1812 Cauchy ( matematician francez care a trait intre 1789-1875) a utilizat determinanții în sensul modern. La el găsim primele însemnări mai complete despre determinanți. El condamna rezultatele anterioare și a obținut noi rezultate despre minori.

Matricea are o mare importanță în algebra liniară și poate fi folosită în informatică la crearea unui anumit program, în rezolvarea unor probleme scrise în Microsoft Office Excel și alte domenii. Determinantul este, în algebră, o funcție care atribuie oricărei matrici pătrate un număr. Mai poate fi folosit în geometrie și totodată și în alte specialități. Sistemele de ecuații liniare apar în modelarea unor probleme științifice, în metodele numerice de rezolvare a acestora, în economie și alte domenii.

Lucrarea de dizertație este structurată în patru capitole. În primul capitol am prezentat matricea și operațiile care se pot face cu ea. În al doilea capitol am vorbit despre determinanți, și anume cum pot calcula un determinant al unei matrice pătratice de ordin cel mult trei și de ordin cel puțin patru și totodată cum se calculează rangul unei matrice. Al treilea capitol conține noțiuni legate de sisteme de ecuații liniare și metode de rezolvare, iar în ultimul capitol sunt doar aplicații legate de teoria celorlalte trei capitole.

Lucrarea de față reprezintă o sinteză preluată din bibliografia specificată. Originalitatea acestei lucrări este dată de exemple.

Capitolul 1 Matrice

1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mulțimi de matrice

1.1.1. Tabel de tip matriceal

Definiție. Într-un tabel în care datele sunt scrise pe linii și pe coloane se numește tabel de tip matriceal.

Un tabel de tip matriceal format din m linii și n coloane, unde are forma următoare:

Poziția unei date din tabelul de tip matriceal este bine precizată când se indică linia și coloana pe care se află.

Vom utiliza notația pentru a indica elementul situat la intersecția liniei i cu coloana j, unde și

Exemplu

Situația vânzărilor la 4 librării dintr-un oraș într-o perioadă de timp este prezentată ân tabelul de mai jos, ân care se specifică librăria, tipul de carte vândut și numărul de exemplare vândute din fiecare tip.

Din acest tabel putem extrage cu ușurință informații despre vânzările unor librării citind datele situate pe linii, precum și informații privind vânzările unui anumit tip de carte, la cele 4 librării, extrăgând datele situate pe o anumită coloană.

la librăria nr. 2 s-au vândut 30 de exemplare de carte școlară, 24 de exemplare de literatură universală, nicio carte de tehnică, 52 de cărți de beletristică și 10 dicționare;

dicționarele s-au vândut astfel: 2 la librăria nr. 1, 10 la librăria nr. 2, 7 la librăria nr.3 și 9 la ultima librărie;

numărul 50 situat la intersecția liniei a patra cu coloana a patra a tabelului reprezintă numărul de cărți de beletristică vândute la librăria nr. 4.

Datele de mai sus pot fi scrise sub o altă formă, într-un tabel format din 4 linii și 5 coloane astfel:

Pentru tabelul de tip matriceal avem:

elementul situat la intersecția liniei 1 cu coloana 2 este ;

elementul situat la intersecția liniei 3 cu coloana 5 este etc.

1.1.2. Matrice, mulțimi de matrice

Definiție. Se numește matrice de tipul sau matrice cu m linii și n coloane cu elemente din mulțimea o funcție

Numerele se numesc elementele matricei.

Cele elemente ale matricei vor fi așezate într-un tabel de tip matriceal format din m linii și n coloane, obținându-se următoarea formă a matricei:

Prescurtat, o matrice de tipul se notează sub forma:

Exemplu

este matrice de tipul cu elemente din .

Elementele ei sunt:

Observații.

De obicei, matricele se notează cu litere mari ale alfabetului latin, evemtual însoțite de indici:

Mulțimea tuturor matricelor de tipul cu elemente din mulțimea numerelor complexe se notează În mulțimea se disting câteva submulțimi importante de matrice:

– mulțimea matricelor de tipul cu elemente numere reale;

– mulțimea matricelor de tipul cu elemente numere raționale;

– mulțimea matricelor de tipul cu elemente numere întregi.

Deoarece , între mulțimile de matrice enumerate există relația:

Exemplu

Matrice particulare

1. Daca , matricea A este de tipul și se numește matrice coloană.

Aceasta are forma

De exemplu, în calendarul lunii septembrie 2006 ziua de duminică are următoarele date 3, 10, 17, 24 scrise pe coloană.

Așadar, avem matricea unde

2. Daca matricea A este de tipul și se numește matrice linie. Aceasta are următoarea scriere:

De exemplu, săptămâna a 36-a a anului 2006 începe în data de 4 septembrie.

Putem forma astfel matricea linie

3. Dacă numărul m al liniilor este egal cu numărul n al coloanelor, matricea este de tipul și se numește matrice pătratică de ordinul n.

Mulțimea matricelor pătratice de ordinul n cu elemente în se notează Forma generală a matricei pătratice de ordinul n este:

Sistemul ordonat de elementele din matricea pătratică A formează diagonala principală a matricei A, iar sistemul ordonat se numește diagonala secundară a matricei A.

Suma elementelor diagonalei principale se numește urma matricei și se notează .

Exemplu

Fie matricea pătratică

Diagonala principală este , diagonala secundară este , iar urma matricei este

4. Matricea pătratică care are toare elementele diagonalei principale egale cu 1, iar celelalte elemente sunt egale cu 0 se numește matricea unitate de ordinul n notată, Aceasta are forma generală:

Cazuri particulare:

5. Matricea de tipul cu toate elementele egale cu 0 se numește matricea nulă și se notează . Dacă m=n, matricea nulă se notează Avem:

Matrice egale

Definiție. Fie matricele Matricele A și B se numesc matrice egale dacă , și .

Proprietăți ale egalității matricelor

1. Egalitatea matricelor este o relație reflexivă pe mulțimea matricelor:

2. Egalitatea matricelor este o relație simetrică pe mulțimea matricelor:

3. Egalitatea matricelor este tranzitivă:

1.2. Operații cu matrice

1.2.1. Adunarea matricelor

Definiție. Fie matricele , unde . Se numește suma matricelor A și B matricea ale cărei elemente sunt date de egalitățile pentru oricare și .

Suma matricelor A și B se notează . Operația prin care oricăror două matrice din mulțimea se asociază suma lor se numește adunarea matricelor.

Exemplu

Dacă

atunci

Proprietățile adunării matricelor

1. Adunarea matricelor este comutativă:

Într-adevăr, dacă atunci

Deoarece adunarea numerelor complexe este comutativă, au loc egalitățile:

Rezultă că .

2. Adunarea matricelor este asociativă:

Într-adevăr, dacă , folosind proprietatea de asociativitate a numerelor complexe rezultă egalitățile matriceale:

3. Matricea nulă este element neutru pentru adunarea matricelor:

Într-adevăr,

4. Pentru orice matrice există matricea astfel încât

Dacă, definim matricea astfel încât

Matricea B cu această proprietate se numește opusa matricei A și se notează

Exemplu

Dacă

Observații.

Dacă atunci suma se notează și se numește diferența matricelor A și B.

Operația prin care la oricare matrice se asociază diferența lor se numește scăderea matricelor.

Exemplu

Fie matricele pătratice,

Rezultă că

.

1.2.2. Transpusa unei matrice

Se consideră următoarele matrice:

Analizând structura liniilor și coloanelor matricelor A și B se observă că:

liniile matricei A sunt coloane în matricea B și reciproc;

coloanele matricei A sunt linii în matricea B și reciproc.

Definiție. Fie o matrice de tipul . Se numește transpusa matricei A, matricea notată

Operația prin care fiecărei matrice i se asociază matricea se numește operația de transpunere a matricelor.

Observații.

Transpusa matricei A se obține din matricea A schimbând liniile în coloane sau/și coloane în linii.

Dacă matricea A este de tipul, atunci matricea este de tipul .

Dacă atunci și are aceeași diagonală principală ca și A.

Exemplu

Matricea are matricea transpusă

.

Matricea are matricea transpusă

.

1.2.3. Înmulțirea unei matrice cu un scalar

Definiție. Fie matricea și un număr complex. Se numește produsul dintre numărul k și matricea A o matrice ale cărei elemente sunt date de egalitățile Se scrie

Operația prin care oricărui număr complex și oricărei matrice se asociază produsul se numește înmulțirea matricelor cu un scalar.

Exemplu

Fie

Reținem!

Pentru a înmulți o matrice cu un număr complex se înmulțește fiecare element al matrice cu acel număr.

Proprietăți ale înmulțirii matricelor cu scalari

Ținând seama de proprietățile adunării și înmulțirii numerelor complexe, se verifică următoarele proprietăți ale înmulțirii matricelor cu scalari:

1.2.4. Înmulțirea matricelor

Definiție. Fie matricele și Se numește produsul matricelor A și B (în această ordine) matricea ale cărei elemente sunt date de egalitățile:

Matricea produs se notează

Operația prin care fiecărei perechi i se asociază produsul de matrice se numește înmulțirea matricelor.

Observații.

Pentru a obține elementul situat la intersecția liniei i cu coloana k în matricea produs AB se face suma tuturor produselor dintre elementele liniei i din matricea A și elementele omoloage din coloana k a matricei B. Omologia dintre elementele liniei i din matricea A și elementele coloanei k din matricea B se stabilește astfel: elementul îi corespunde elementul ,elementul îi corespunde elementul ,…, elementului îi corespunde elementul (vezi diagrama de mai jos).

Regula de înmulțire a două matrice se numește pe scurt regula de înmulțire a liniilor cu coloanele sau regula linie-coloană.

Din definiție se observă că produsul AB are sens numai dacă numărul de coloane ale matricei A este egal cu numărul de linii ale matricei B. Rezultă că nu orice două matrice pot fi înmulțite.

Dacă atunci are sens produsul AB ți produsul BA. Așadar, operația de înmulțire a matricelor este peste tot definită în mulțimea

Exemplu

Să exemplificăm regula înmulțirii a două matrice. Fie matricele:

Calculăm produsul Avem:

Rezultă Notăm

Aplicând regula de înmulțire linie-coloană se obține:

Așadar,

Calculăm produsul Avem:

Se observă că

Așadar, înmulțirea matricelor nu este operație comutativă.

Proprietăți ale înmulțirii matricelor

1. Înmulțirea matricelor este asociativă:

2. Înmulțirea este distributivă față de adunarea matricelor:

3. Matricea unitate de ordinul n este element neutru la înmulțirea matricelor pătratice:

4.

Puteri de matrice

Fie matricea pătratică

Prin definiție ,

Se observă că

Proprietăți

Cu ajutorul proprietății de asociativitate a înmulțirii matricelor se poate demonstra că au loc următoarele reguli de calcul:

Dacă atunci:

(binomul lui Newton).

Exemplu

Fie Să se calculeze

Rezolvare.

Calculăm câteva puteri consecutive ale matricei A. Avem:

Se observă că are forma

Demonstrăm relația prin inducție matematică.

Pentru , relația este evident adevărată.

Presupunem că și demonstrăm că

Dar,

Așadar,

Capitolul 2 Determinanți

2.1. Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult trei

2.1.1. Determinantul de ordin 2

Fie sistemul de două ecuații de gradul întâi cu necunoscutele x,y de forma:

și matricea formată din coeficienții necunoscutelor x și y.

Să rezolvăm acest sistem prin metoda reducerii. Pentru eliminarea necunoscutei x se înmulțește prima ecuație cu –c și a doua cu a, după care se adună cele două ecuații membru cu membru. Avem:

Prin adunarea ecuațiilor se obține ecuația

Procedând analog pentru eliminarea necunoscutei y avem:

Rezultă:

Prin adunarea ecuațiilor se obține:

În ipoteza ca , din ecuațiile se obține soluția sistemului dată de formulele:

Se observă că numitorul fracțiilor din formulele reprezintă diferemța produsului elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară a matricei A.

Numărul se numește determinantul matricei A sau determinantul de ordinul doi (matricea asociată fiind de ordinul doi).

Definiție. Fie matricea pătratică de ordinul doi Numărul se numește determinantul de ordinul doi sau determinantul matricei A de ordinul doi.

Pentru determinantul de ordinul doi se folosește notația Produsele se numesc termenii determinantului de ordinul doi.

Exemplu

Fie matricea Determinantul ei este numărul

Revenim la formulele care dau soluția sistemului de ecuații . Folosind definiția determinantului de ordinul doi se observă că numitorul fracțiilor este determinantul matricei A, notat

iar numitorii fracțiilor sunt următorii determinanți:

și respectiv

Determinantul s-a obținut din determinantul înlocuind coloana coeficienților necunoscutei x cu coloana formată din termenii liberi m,n ai ecuațiilor sistemului. Determinantul s-a obținut din determinantul înlocuind coloana coeficienților necunoscutei y cu coloana formată cu termenii liberi ai ecuațiilor sistemului.

Astfel, soluția sistemului de ecuații se poate calcula cu ajutorul determinanților de ordinul doi după formulele:

Formulele se numesc formulele lui Cramer pentru sistemul liniar de două ecuații cu două necunoscute.

2.1.2. Determinantul de ordin 3

Prin analogie cu introducerea determinantului de ordinul doi, determinantul de ordinul trei va fi definit strâns legat de rezolvarea unui sistem de trei ecuații de gradul întâi cu trei necunoscute. Scopul introducerii acestuia este de a găsi o metodă nouă și eficientă de rezolvare a unui astfel de sistem.

Să considerăm sistemul de trei ecuații liniare cu necunoscutele x,y,z:

și matricea , formată din coeficienții necunoscutelor x,y,z numită matricea sistemului.

Pentru rezolvarea acestui sistem vom folosi metoda reducerii. Pentru început vom reduce necunoscuta z. Se înmulțește prima ecuație cu și apoi cu după care se adună la ecuația a doua înmulțită cu , respectiv la ecuația a treia înmulțită cu .

Astfel, se obține un nou sistem de două ecuații liniare cu necunoscutele x,y:

În continuare, reducem necunoscuta y din sistemul de ecuații înmulțind prima ecuație cu , iar ecuația a doua cu . După reducere, rezultă ecuația cu necunoscuta x:

După efectuarea calculelor obținem ecuația:

Coeficientul lui x din ecuația este format din produse de câte trei elemente ale matricei A a sistemului, în fiecare produs fiind trei elemente situate pe linii și coloane diferite.

Acest coeficient se numește determinantul matricei A de ordinul trei.

Definiție. Fie matricea pătratică de ordinul trei . Numărul:

se numește determinantul de ordinul 3 sau determinantul matricei

Pentru determinantul de ordinul 3 se folosește notația:

Exemplu

Pentru matricea determinantul ei este numărul:

Revenind la ecuația , cu ajutorul determinantului de ordinul 3 aceasta se scrie sub forma:

unde este determinantul matricei obținută din matricea A a sistemului de ecuații, înlocuind coloana coeficienților necunoscutei x cu coloana formată din termenii liberi ai ecuațiilor sistemului.

Dacă atunci

În mod analog, se va proceda pentru aflarea necunoscutelor y și z:

și

Observație.

Pentru o matrice determinantul acesteia va fi determinantul de ordinul unu,

Exemplu

Matricea are determinantul .

2.1.3. Reguli de calcul pentru determinantul de ordin 3

Analizând definiția determinantului de ordinul trei se observă că valoarea sa este dată de suma a șase termeni, dintre care trei au semnul plus, iar trei au semnul minus. Pentru un calcul mai ușor, bazat pe un suport logic, se poate folosi una dintre urmărtoarele reguli:

A. Regula lui Sarrus

Pentru calculul determinantului de ordinul trei al matricei prin regula lui Sarrus se procedează astfel:

se copiază linia întâi și linia a doua sub determinant (sau sub matrice);

se însumează produsele termenilor situați pe diagonala principală, respectiv pe paralelele la aceasta;

se scad produsele termenilor situați pe diagonala secundară cât și produsele termenilor situați pe paralelele la aceasta.

Aranjarea calculelor este următoarea:

Această regulă de calcul pentru un determinant de ordin trei se numește regula lui Sarrus.

Exemplu

Să se calculeze determinantul matricei

Aplicând regula lui Sarrus se obține:

B. Regula triunghiului

Analizând termenii precedați de semnul „+” ai determinantului de ordinul trei se observă că termenul este produsul termenilor de pe diagonala principală, iar termenii sunt produsele elementelor considerate ca „vârfuri” ale triunghiurilor având fiecare o latură paralelă cu diagonala principală. Termenii precedați de semnul „-” sunt , care este produsul elementelor diagonalei secundare și respectiv care sunt produsul elementelor considerate ca vârfuri de triunghiuri având o latură paralelă cu diagonala secundară.

Regula de obținere a termenilor determinantului de ordin 3 prin acest procedeu se numește regula triunghiului. Această regulă este descrisă în continuare indicând pas cu pas modul de constituire a fiecărui produs:

termenul termenul termenul

termenul termenul termenul

Așadar,

Exemplu

C. Regula minorilor

Fie matricea o matrice pătratică de ordinul n.

Definiție. Se numește minorul elementului determinantul de ordinul care se obține din determinantul matricei A suprimând linia i și coloana j și se notează

Definiție. Numărul se numește complementul algebric al elementului

Exemplu

Fie matricea . Minorul elementului este și complementul algebric este numărul

Minorul elementului este și complementul algebric este numărul

Se dă matricea Să se calculeze matricea unde reprezintă complementul algebric al elementului al matricei

Rezolvare.

Aplicând definiția complementului algebric avem:

În final se obține

Cu ajutorul minorilor și complemenților algebrici ai elementelor unei matrice pătratice se va da o nouă regulă de calcul a determinantului acestuia.

Teorema 2.1.3.1 Fie un determinant de ordinul trei. Valoarea determinantului d este egală cu suma produselor elementelor unei linii (sau coloane) cu complemenții algebrici corespunzători.

(Regula minorilor sau dezvoltarea determinantului după elementele unei linii sau coloane)

Așadar:

Verificarea acestor formule de dezvoltare a determinantului d după elementele unei linii sau coloane se poate face prin calcul direct.

Exemplu

Să se calculeze determinantul matricei

folosind regula minorilor.

Rezolvare.

Pentru aplicarea acestei reguli vom folosi linia a treia care conține cele mai multe elemente nule. Avem:

2.1.4. Proprietăți ale determinanților

P1. Dacă într-un determiannt toate elementele unei linii sau unei coloane sunt nule, atunci determinantul este nul.

Exemplu

(toți termenii determinantului conțin un factor egal cu zero).

P2. Dacă un determinant are două linii sau două coloane identice, atunci valoarea determinantului este zero.

Exemplu

(linia întâi și a treia sunt identice).

P3. Dacă elementele a două linii sau două coloane ale unui determinant sunt proporționale, atunci determinantul este nul.

Exemplu

(coloana întâi și a doua sunt proporționale, factorul de proporționalitate fiind k).

(linia întâi și a doua sunt proporționale, factorul de proporționalitate fiind k=10).

P4. Dacă o linie sau o coloană a unui determinant este o combinație liniară de celelalte linii sau coloane, atunci determinantul este nul.

Exemplu

Fie determinantul Se observă că linia a treia este suma celorlalte două linii. Rezultă că Prin calcul direct se obține într-adevăr valoarea zero.

P5. Dacă toate elementele unei linii sau coloane ale unui determinant sunt înmulțite cu un număr k, atunci valoarea determinantului se multiplică cu k.

Exemplu

Fie și determinantul obținut din d înmulțind

elementele liniei a doua cu Atunci adică

Observație.

Această proprietate permite scoaterea unui factor comun de pe o linie sau coloană, fapt care face ca în continuare calculele să fie mai simple.

Exemplu

Să calculăm determinantul Se observă că se poate scoate factor comun de pe linia întâi și a treia și se obține:

P6. Determinantul unei matrice pătratice este egal cu determinantul matricei transpuse:

Exemplu

Fie matricea și matricea transpusă

Atunci

și

P7. Dacă într-un determinant se permută între ele două linii sau două coloane, atunci determinantul obținut este opusul determinantului inițial.

Exemplu

Fie și determinantul obținut schimbând între ele linia a doua și a treia. Atunci

P8. Dacă într-un determinant se adună la elementele unei linii sau coloane elementele altei linii, respectiv coloane, înmulțite eventual cu un același număr, atunci valoarea determinantului nu se schimbă.

Exemplu

Fie determinantul Înmulțim coloana întâi cu 2 și o adunăm la coloana a doua. Se obține determinantul

Așadar,

P9. Dacă atunci

Exemplu

Fie matricele și având determinanții și Atunci:

și

Așadar,

P10. Într-un determinant suma produselor dintre elementele unei linii (coloane) și complemenți algebrici ai elementelor corespunzătoare de pe altă linie (coloană) este nulă.

Exemplu

Pentru determinantul de ordinul 3 avem:

2.2. Rangul unei matrice

Definiție. Fie o matrice nenulă. Spunem că matricea A are rangul r și notăm dacă A are un minor nenul de ordin r, iar toți minorii lui A de ordin mai mare decât r (dacă există) sunt nuli.

Exemplu

Să se determine rangul matricei

2.3. Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel puțin patru

A. Teorema (metoda) Kronecker

Se ia din matrice un determinant principal de ordin minim diferit de zero, pe care îl bordăm apoi cu elemente ale matricei astfel încât să formăm un determinant de ordin superior cu cel ales anterior; dacă acest determinant este nenul se continuă operațiunea în vederea obținerii unui determinant de ordin superior.

Rangul matricei considerate este egal cu ordinul ultimului determinant nenul ce se obține din matrice în modul arătat.

Exemplu

Să se determine rangul matricei :

Rezolvare.

și bordăm acest determinant astfel

Acum putem merge mai departe și bordăm pe astfel:

și

Cum alți determinanți de ordinul patru nu mai avem, rezultă că rangul matricei este 3, notat cu

B. Forma diagonală (canonică)

Altfel spus, cu elemente situate pe diagonala principală egale numai cu 1 sau 0 în succesiune corespunzătoare, celelalte elemente ale matricei trebuind să fie egale cu zero.

Pentru aceasta putem efectua în matrice orice operațiuni algebrice fără ca rangul acesteia să fie afectat.

Astfel: se pot aduna linii sau coloane între ele; se pot scoate factori pe linii sau coloane; se pot înmulții unele linii sau coloane cu diferiți scalari și apoi adunate sau scăzute; se pot schimba linii sau coloane între ele; etc.

În acest scop este necesar ca primul element al matricei să fie egal

cu 1.

Pentru trecerea matricei de la o formă la alta (prin transformările menționate) se folosește semnul ”” (asemenea).

Exemplu

Să se determine rangul matricei .

Pas 1. Am schimbat linia a doua cu linia a treia;

Pas 2. Am schimbat coloana a treia cu coloana întâi;

Pas 3. Am înmulțit coloana întâi cu 2 și am adunat la coloanele a doua și a treia; apoi am înmulțit coloana întâi cu și am adunat la coloanele a patra și a cincea, coloana întâi rămând neschimbată;

Pas 4. Am făcut operații asemănătoare pentru obținerea de zerouri pe coloana întâi;

Pas 5. În linia a patra am dat factor comun pe 4, apoi am schimbat-o cu linia întâi, celelalte rămând neschimbate;

Pas 6. ”Excludem” linia întâi și coloana întâi și lucrăm cu celelalte coloane și linii ca și cum am avea o matrice pătratică de ordin 4: am scăzut coloana întâi din a doua și apoi am adunat-o la coloanele a treia și a patra;

Pas 7. Am procedat asemănător cu linia întâi pentru a obține elemente de zero pe coloana întîi; am înmulțit prima linia cu (-7 ) și am adunat-o la linia 3, iar apoi am înmulțit-o cu (-4) și am adunat-o la linia 2; am înmulțit linia 2 cu (2) și am scăzut-o cu linia 4;

Pas 8. Considerăm că avem o matrice pătratică de ordin 3: am înmulțit coloana întâi cu (-1) și am dat factor comun pe 2 din coloana a doua și pe 7 din coloana a treia;

Pas 9. Am înmulțit coloana întâi cu (-4) și am adunat la coloana a doua, apoi am scăzut coloana întâi din cea de-a treia;

Pas 10. Am adunat coloana întâi la a doua și apoi am scăzut-o din cea de-a treia, apoi am dat factor comun pe 2 din coloana a treia;

Pas 11. Considerăm că avem o matrice pătratică de ordin 2: se scoate factor pe 7 din penultima coloană și apoi aceasta se scade din ultima coloană.

Având patru elemente de 1 pe diagonala principală, ramgul matricei este , notat

Observație. Forma diagonală se poate aplica și la matriciile pătratice de ordin cel mult trei.

C. Determinanți speciali

Determinantul Vandermonde se notează cu:

unde și .

Demonstrație. Pas 1. Efectuând următoarele calcule, vom transforma liniile în felul următor:

și vom avea următorul determinant:

Pas 2. Vom dezvolta după linia 1 și coloana 1 determinantul:

Pas 3. Vom da factor comun pe fiecare coloană:

Pas 4. Calculând , vom avea:

Pas 5. Calculând determinanții vom ajunge la:

Făcând produsul, vom avea:

Determinant circular

Fie Se numește determinant circular al numerelor

și se notează cu determinantul

Pentru calcul vom considera matricea Vandermonde:

unde sunt rădăcinile de ordin n ale unității

Efectuând produsul matricelor obținem matricea polinomială:

unde

Deoarece rezultă relațiile:

În determinantul se dau factori pe coloane și obținem:

deci

unde

și

Capitolul 3 Sisteme de ecuații liniare

3.1. Matrici inversabile din

Să considerăm matricele pătratice de ordinul 3,

și să calculăm produsele și Avem:

Se observă că s-au obținut egalitățile și Matricea A cu această proprietate se numește matrice inversabilă, iar matricea B este inversa matricei A.

Definiție. O matrice se numește matrice inversabilă dacă există matricea astfel încât

Definiție. Matricea B se numește inversa matricei A și se notează

În mod analog, se poate spune că matricea A este inversa matricei B și au loc relațiile:

și

Teorema 3.1.1. Inversa unei matrice pătratice, dacă există, este unică.

Demonstrație. Fie și astfel încât și

Folosind asociativitatea înmulțirii matricelor și faptul că matricea unitate este element neutru pentru înmulțirea matricelor pătratice, se obține:

În continuare, ne punem problema existenței inversei unei matrice pătratice și a modului de determinare a acesteia atunci când există.

Teorema 3.1.2. O matrice pătratică este matrice inversabilă dacă și numai dacă

Demonstrație. Să presupune că matricea A este inversabilă. Rezultă că există astfel încât Aplicând proprietatea a determinanților obținem că adică ceea ce implică faptul că

Reciproc, să arătăm că dacă , atunci matricea A este inversabilă. Pentru aceasta se va realiza construcția efectivă a matricei

Se scrie matricea transpusă a matricei A.

Se definește matricea numită matricea adjunctă a matricei A,

ale cărei elemente reprezintă complemenții algebrici ai elementelor matricei

transpuse .

Folosind proprietatea a determinanților se arată că:

Din această egalitate, prin înmulțirea cu factorul comun nenul se obține :

egalități din care rezultă că matricea A este matrice inversabilă și inversa ei este dată de formula

Exemplu

Să se determine inversa matricei

Rezolvare.

Calculăm determinantul matricei A pentru a stabili dacă A este matrice inversabilă. Avem:

Rezultă că A este inversabilă și inversa ei este

Scriem matricea transpusă și apoi determinăm matricea adjunctă formată din complemenții algebrici ai elementelor matricei

Se obține și prin urmare

3.2. Ecuații matriceale

O ecuație matriceală este în general o ecuație în care necunoscuta este o matrice.

Au fost deja întâlnite la capitolul ”Matrice” astfel de ecuații, unde matricea necunoscută s-a determinat respectând operațiile cu matrice și egalitatea matricelor.

Noțiunea de matrice inversabilă dă o nouă posibilitate de rezolvare a unor ecuații matriceale de forma:

a) unde și

b) unde și

c) unde:

și

Astfel, pentru ecuația folosind faptul că A este inversabilă avem

Ecuația este echivalentă cu deci Așadar, ecuația b) are soluție unică în mulțimea

Pentru ecuația avem succesiv

În concluzie, ecuația c) are soluție unică în mulțimea

Exemplu

Să se rezolve ecuația matriceală:

Rezolvare.

Ecuația dată este de forma unde

și

Deoarece rezultă că matricea A este inversabilă și ecuația matriceală este echivalentă cu adică

Dar, Rezultă că:

3.3. Sisteme de ecuații liniare cu cel mult trei necunoscute. Forma matriceală

3.3.1. Noțiuni generale

Definiție. Un sistem de ecuații, în care fiecare ecuație este de gradul I, cu una sau mai multe necunoscute se numește sistem de ecuații liniare.

Forma generală a unui sistem de n ecuații liniare cu cel mult 3 necunoscute este:

Asociem sistemului de ecuații liniare următoarele matrice:

A este matricea coeficienților necunoscutelor sau matricea sistemului;

B este matricea termenilor liberi ai ecuațiilor;

C este matricea necunoscutelor sistemului.

Un sistem de ecuații liniare în care matricea termenilor liberi are toate elementele zero se numește sistem liniar omogen.

Un triplet de numere complexe se numește soluție a sistemului de ecuații dacă înlocuind necunoscutele x,y,z respectiv cu aceste numere, toate ecuațiile sistemului sunt identic satisfăcute.

Din punct de vedere a existenței și numărului de soluții ale unui sistem de ecuații liniare se poate face următoarea clasificare:

Sisteme de ecuații liniare care au o singură soluție, numite sisteme compatibile determinate.

Exemplu

Sistemul de ecuații are soluția unică

Sisteme de ecuații liniare care au o infinitate de soluții, numite sisteme compatibile nedeterminate.

Exemplu

Sistemul de ecuații este sistem de ecuații liniare compatibil nedeterminat deoarece are o infinitate de soluții de forma

Sisteme de ecuații liniare care nu au nicio soluție, numite sisteme incompatibile.

Exemplu

Fie sistemul de ecuații Dacă ar exista cuplul de numere complexe care să fie soluție a sistemului, atunci ar rezulta că , ceea ce este fals. Rezultă că sistemul este incompatibil.

3.3.2. Forma matriceală a unui sistem de ecuații liniare

Se consideră sistemul de n ecuații liniare cu cel mult 3 necunoscute, scris în forma generală:

cu matricele asociate:

Calculând produsul se obține matricea

Se observă că elementele matricei reprezintă membrul întâi al fiecărei ecuații a sistemului

Rezultă că sistemul de ecuații liniare se poate scrie sub forma unei ecuații matriceale astfel:

Această formă de scriere reprezintă forma matriceală a sistemului de ecuații liniare.

Dacă matricea A este matrice inversabilă, atunci aplicând tehnica rezolvării unei ecuații matriceale se obține soluția sistemului, dată de:

Această metodă de obținere a soluției unui sistem liniar, cu matricea A inversabilă se numește metoda matriceală de rezolvare a unui sistem liniar.

Exemplu

Să se rezolve sistemul de ecuații prin metoda matriceală.

Rezolvare.

Matricele asociate sistemului de ecuații sunt:

Forma matriceală a sistemului este

Avem:

Rezultă că A este matrice inversabilă și inversa ei este

Matricea X are forma adică care se scrie sub forma echivalentă

Așadar, soluția sistemului de ecuații este perechea care se scrie sub formă de mulțime

3.3.3. Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare cu cel mult 3 necunoscute

A. Metoda Cramer

Definiție. Un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute se numește sistem de tip Cramer dacă determinantul matricei sistemului este nenul.

Rezolvarea unui sistem de tip Cramer se va face folosind determinanți prin metoda denumită metoda lui Cramer.

Metoda lui Cramer pentru n=2

Fie sistemul liniar (S) cu două ecuații și două necunoscute și matricele asociate:

.

Dacă sistemul (S) este de tip Cramer, atunci este compatibil determinat și soluția sa se calculează cu formulele:

,

unde , iar numite formulele lui Cramer.

Metoda lui Cramer pentru n=3

Fie sistemul de trei ecuații liniare cu trei necunoscute:

și matricea asociată:

Dacă sistemul (S) este sistem de tip Cramer, atunci acesta este compatibil determinat și soluția sa se calculează cu formulele:

unde , iar numite formulele lui Cramer.

Exemplu

Să se rezolve următorul sistem de ecuații :

Rezolvare.

unde este matricea completă (extinsă) [definiția ei se află în

subcapitolul 3.4.] .

B. Metoda lui Gauss (metoda eliminării)

Metoda lui Gauss sau metoda eliminării succesive constă în eliminarea câte unei necunoscute din ecuațiile sistemului astfel încât sistemul să aibă o formă triunghiulară sau trapezoidală.

Transformările care se fac asupra unui sistem și care conduc la sisteme echivalente cu sistemul dat sunt:

înmulțirea unei ecuații cu un număr nenul;

adunarea unei ecuații la altă ecuație înmulțită eventual cu un număr nenul;

schimbarea ordinii de scriere a două ecuații în sistem.

Observație.

Metoda lui Gauss este aplicabilă pentru orice fel de sisteme de ecuații liniare.

Trebuie remarcată forma triunghiulară a sistemului și simplitatea rezolvării lui cu cunoștințe elementare, pornind de la ultima ecuație către prima.

Se pune întrebarea dacă un sistem oarecare, de ecuații liniare se poate aduce la o astfel de formă și dacă da, cum se procedează? Răspunsul este afirmativ și procedeul va fi dat de metoda lui Gauss.

Precizare.

Dacă ultima ecuație a sistemului adus la forma triunghiulară (trapezoidală) are două sau mai multe necunoscute, se păstrează una dintre ele ca necunoscută principală, iar celelalte vor fi considerate necunoscute secundare și se vor nota cu parametrii.

Dacă sistemul de ecuații liniare adus la forma triunghiulară, apar ecuații contradictorii (membrul întâi este nul, iar al doilea este nenul), atunci sistemul este incompatibil.

Exemplu

Să se rezolve următorul sistem de ecuații:

.

Rezolvare.

Pașii pe care s-au făcut:

Pas 1. Prima ecuație am păstrat-o, am înmulțit-o cu (-1) , iar apoi am adunat-o la celelalte două ecuații.

Pas 2. Am păstrat primele două ecuații, iar pe a doua am înmulțit-o cu (-2) și am adunat-o la a treia ecuație.

Pas 3. Am calculat z, iar apoi y (în a doua ecuație) și în final l-am aflat pe x.

Pas 4. Am scris soluțiile în ordinea necunoscutelor.

3.4. Metode de rezolvare a sistemului de ecuații liniare cu m ecuații și n necunoscute

Notații.

A. Metoda (teorema) lui Gauss (metoda eliminării)

-este prezentată în subcapitolul anterior

B. Metoda (teorema) Kronecker-Capelli

Un sistem de ecuații este compatibil dacă și numai dacă rangul matricii sistemului coincide cu rangul matricii extinse (matricii complete).

Observație. Matricea extinsă a sistemului se obține prin adăugarea termenilor liberi la matricea sistemului.

Exemplu

Să se rezolve următorul sistem:

Rezolvare.

(am aplicat regula minorilor pentru a calcula determinantul )

necunoscute principale, iar necunoscută secundară, notată cu

C. Metoda (teorema) Rouche

Un sistem de ecuații este compatibil dacă și numai dacă toți minorii caracteristici sunt nuli.

Observație.

~ Minorii caracteristici se obțin prin abordarea unui minor principal cu coloana corespunzătoare termenilor liberi și câte o linie rămasă.

~ Minorul principal este ales din matricea sistemului și are proprietățile de a avea cel mai mare ordin și de a fi nenul.

Observație.

~ De regulă, teorema (metoda) Rouche se aplică atunci când sistemul are necunoscute, deoarece în astfel de situații numărul determinanților caracteristici nu este mare.Dacă numărul de necunoscute este , este recomandabil teorema lui Kronecker-Capelli.

~ În cele ce urmează se va ține seama de următoarele, privind sistemele liniare:

dacă sistemul este compatinil determinat sau sistem Cramer, folosind pentru rezolvare formulele lui Cramer;

dacă sistemul este

– compatibil nedeterminat de ordinul

– incompatibil

aplicându-se pentru discuție una din teoremele menționate (Rouche sau Kronecker-Capelli).

Exemplu

Să se rezolve următorul sistem:

.

Rezolvare.

sistem compatibil nedeterminat sau incompatibil

sistem compatibil nedeterminat de ordinul

necunoscute principale, iar necunoscută secundară, notată cu

Capitolul 4 Aplicații

1. Să se rezolve următorul sistem de ecuații aplicând metoda matriceală:

.

Rezolvare.

2. Să se calculeze următorul sistem de ecuații prin metoda lui Gauss:

.

Rezolvare.

sistem incompatibil

3. Să se rezolve sistemul de ecuații cu metoda (teorema) Kronecker-Capelli:

Rezolvare.

Dacă atunci sistemul este compatibil determinat și se

calculează cu Cramer.

Dacă .

sistem compatibil nedeterminat

Deci x,y necunoscute principale, iar z necunoscută secundară, notată cu

4. Să se calculeze următoarele sisteme de ecuații prin metoda (teorema) Rouche:

a) b)

a)

sistem

compatibil nedeterminat sau incompatibil

sistem compatibil

nedeterminat de ordinul

Deci x,y necunoscute principale, iar z necunoscută secundară, notată cu

b)

sistem

compatibil nedeterminat

Deci, x și y necunoscute principale, iar z și t necunoscute secundare, notate cu și

5. Să se rezolve următorul sistem de ecuații prin metoda (teorema) Kroncker-Cappelli:

.

Rezolvare.

Deci, necunoscute principale, iar necunoscută secundară, notată cu

6. Să se calculeze inversa matricei:

Rezolvare.

7. Se dau matricele :

și

și se cere:

a) să se efectueze rangul fiecăreia;

b) să se precizeze dacă produsul este comutativ.

Rezolvare.

a)

b)

produsul nu este comutativ

8. Să se determine rangul matricei:

Rezolvare.

Pas 1. Scădem ultima linie a matricei din celelalte.

Pas 2. Calculăm minorul principal.

9. Să se rezolve următorul sistem prin metoda lui Cramer:

.

Rezolvare.

(pentru calcularea determinanților am aplicat regula triunghiului)

10. Să se determine numerele reale x, y astfel încat să avem egalitatea de matrici

Rezolvare.

Bibliografie

[1] C. Coșniță și F.Turtoiu, Probleme de algebră, Ediția a patra, Editura Tehnică, București, 1989

[2] I. D. Ion, C. Niță și C. Năstăsescu, Complemente de algebră, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1984

[3] M. Burtea și G. Burtea, Matematică , Clasa XI, Editura Books, București, 2007

[4] Vasile Pop și Ilie Corovei, Algebră liniară, Seminarii-Teme-Concursuri, Editura Mediamira, Cluj-Napoca, 2006

[5] Conf. Univ.Viorica Ionescu, Curs de algebră, Editura de stat didactică și pedagogică, București, 1960

[6] http://civile.utcb.ro/cmat/cursrt/cnc4.pdf

[7] http://www.didactic.ro/materiale-didactice/determinantiistoria-matematicii

[8] http://ftp.utcluj.ro/pub/users/chisalita/Scoala%20Doctorala/2010-2011/CURS%203%20-%20Partea%201.pdf

[9] http://www.scritub.com/stiinta/matematica/MATRICI-SI-DETERMINANTI2222117217.php

[10] https://sites.google.com/site/videomeditatii/clase-liceale-9-12/clasa-a-11-a-materii-de-studiu/programa-scolara-pentru-matematica-clasa-a-xi-a/sisteme-de-ecuatii-liniare-kronecker-capelli