Ecuatii Liniare Si Neliniare

CUPRINS:

Introducere……………………………………………………………………………………………………..2

Capitolul 1: Considerații asupra ecuațiilor algebrice și transcendente……………….3

Funcția: noțiune și clasificare………………………………………………………………….3

1.2 Funcții algebrice

1.3 Funcții transcedente

1.4 Rădăcina unei ecuații

Capitolul 2: Aspecte teoretice referitoare la principalele metode iteratice de rezolvare a ecuațiilor algebrice și trancendente

2.1 Metoda aproximațiilor succesive

2.2 Metoda tangentelor sau metoda Newton-Raphson

2.3 Metoda înjumătățirii intervalului(bisecției)

2.4 Metoda coardelor / secantei sau metoda falsi sau metoda falsei poziții

Capitolul 3: Prezentarea rezolvării unor ecuații liniare/neliniare algebrice și trancendente prin diferite metode iterative

3.1 Aplicații ale metodei iterației sau aproximațiilor succesive

3.2 Aplicații ale metodei tangentelor sau metodei Newton-Raphson

3.3 Aplicații ale metodei înjumătățirii intervalului(bisecției)

3.4 Aplicații ale metodei coardelor(secantei)

Concluzii

Bibliografie

Anexe

Introducere

Lucrarea are ca temă ″Metode iterative de rezolvare a ecuațiilor algebrice și trancendente″.

Când ne imaginăm un sistem fizic sau orice alt sistem aleatoriu, pentru a-i studia proprietățile, ajungem de multe ori peste ecuații liniare/neliniare algebrice și transcendente.

Pentru a le găsi soluția putem folosi metode analitice pentru a le rezolva, în acest caz, vom obține un rezultat exact și precis. Cu toate acestea, dacă nu putem obține o soluție folosind metoda directă, putem folosi metode numerice, care sunt în mare parte iterative pentru a găsi o soluție aproximativă, dar corectă.

Lucrarea este structurata pe patru capitole după cum urmează:

Capitolul 1: Considerații referitoare la ecuații algebrice și transcendente;

Capitolul 2: Aspecte teoretice referitoare la principalele metode iteratice de rezolvare a ecuațiilor algebrice și trancendente;

Capitolul 3: Prezentarea rezolvării unor ecuații liniare/neliniare algebrice și trancendente prin diferite metode iterative;

Concluzii.

Capitolul I a acestei lucrări va acoperi prezentarea ecuațiilor algebrice și transcendente, dar și al noțiunii de rădacină a unei ecuații.

În capitolul al II-lea mi-am propus să prezint aspecte teoretice referitoare la metode numerice de a găsi rădăcina unei ecuații, respectiv metoda bisecției succesive și metoda falsei poziții, dar și alte metode iterative de rezolvare a ecuațiilor algebrice și transcendente.

Capitolul al III-lea conține rezolvări ale unor ecuații prin fiecare dintre cele cinci metode.

Lucrarea se finalizează cu principale concluzii care reies în urma elaborării studiului.

Capitolul 1: Considerații asupra ecuațiilor algebrice și transcendente

Funcția: noțiune și clasificare

În matematică conceptul de funcție exprimă ideea intuitivă că o cantitate determină complet o altă cantitate.

O ecuație va fi o funcție în cazul în care pentru orice x în domeniul ecuației există exact o valoare a lui y. Mai mult formal, o funcție este definit un tip de relație care are doar o singură valoare de ieșire în raport cu orice valoare de intrare admisă. Argumentul și valoarea poate fi numere reale, dar ele pot fi, de asemenea, elemente de orice tip de seturi de date: domeniu, co -domeniul funcției și toate valorile alocate care sunt în intervalul funcției. Este important modul în care vom atribui valorile fiecărui element al domeniului.

Funcții care aparțin unor grupe de funcții numite " familii" care împărtășesc similitudini. Există multe familii de funcții; familiile exterioare includ cele interioare.

De exemplu, funcțiile transcendente le includ pe cele algebrice, familiile raționale, polinoame. Cu toate acestea, familiile interioare nu includ familiile exterioare(familia de funcții algebrice nu include funcții transcedente.

Fig. 1: Tipuri de funcții

Pot exista diferite clasificări ale funcțiilor în matematică .

Clasificarea funcțiilor pe baza proprietăților poate fi după cum urmează :

(1) Funcția Pară

(2) Funcția Impară

(3) Funcția monotonă

(4) Funcția surjectivă

(5) Funcția bijectivă

(6) Funcția injectivă

Funcțiile pot fi clasificate pe baza variabilelor utilizate :

(1) Funcția algebrică

(2) Funcția exponențială

(3) Funcția logaritmică

(4) Funcția Analitică

(5) Funcția Inversă

(6) Funcția monotonă

(7) Funcția polinomială

(8) Funcția liniară

(9) Funcția Pătratică

(10) Funcția eliptică

(11) Funcția de identitate

(12) Funcția Constantă

(13) Funcția periodică

(14) Funcția liniară etc.

În continuare voi detalia mai multe despre câteva dintre tipurile menționate mai sus de funcții, respectiv despre funcțiile algebrice și despre funcțiile trancedentale.

1.2 Funcții algebrice

O funcție algebrică, cu o singură variabilă, să zicem x, este o expresie care implică operații aritmetice între anumite numere reale și puteri raționale ale lui x. Este reprezentată ca f(x) și sub denumirea de "funcție de x" . Atunci când mai mult de o variabilă alcătuiește o funcție algebrică, este apoi menționată ca o funcție de variabile multiple. În plus, în funcție de cât de mulți termeni alcătuiesc o funcție, aceasta este menționată ca un monom(termen unic), binom(doi

termeni), polinomul(mai mult de doi termeni).

În matematică, o funcție algebrică este o funcție care poate fi definită ca fiind rădăcina unei ecuații polinomiale. Destul de des funcții algebrice pot fi exprimate folosind un număr finit de termeni, care implică numai operațiile algebrice de adunare, scădere, înmulțire, împărțire, și ridicarea la o putere fracționată.

Definiția informală a unei funcții algebrice oferă o serie de indicii cu privire la proprietățile funcțiilor algebrice. Pentru a obține o înțelegere intuitivă, poate fi util să se considere funcțiile algebrice ca funcții care pot fi formate prin operațiile algebrice obișnuite: adunare, înmulțire, împărțire și ținând seama de un radical. Desigur, acest lucru este o schematizare; funcțiile algebrice nu trebuie sa fie exprimabile de radicali .

O funcție algebrică poate fi gândită ca o mașină. Orice număr real poate fi introdus în aparat în cazul în care acesta funcționează pe alt număr și apoi scuipă un alt număr. Este important de remarcat, totuși că numărul acestora va fi acceptat, atâta timp cât acesta nu este împărțit de 0 sau nu produce o rădăcină pătrată negativă.

Există mai multe tipuri diferite de functii algebrice: liniare, pătratice, cubi, polinoame, rațională și ecuații radicale .

Numărul care este introdus se numește intrare x. Numărul care este scuipat afară este numit de ieșire y. Funcția sau mașina poate face multe operații matematice în domeniu, atâta timp cât intervalul este o valoare pentru fiecare domeniu inserat, respectiv o singură valoare ca și intrare, o singură valoare de ieșire.

Exemple de funcții algebrice sunt după cum urmează:

f(x) = x² + 2x conține doi termeni și este, prin urmare, un binom într-o singură variabilă x;

f(x,y) = 2xy² + 6x²y + 8xy.

Voi arăta modalități de a identifica o funcție algebrică. Prima cale este printr-un tabel.

Un tabel poate fi folosit pentru a vedea dacă există un domeniu și o gamă. Uneori, funcția adaugă domeniu, cum ar fi x + 2. Uneori funcțiile se multiplică domeniului pentru a obține gama, cum ar fi 3x. Funcția poate, de asemenea, scădea sau împărți domeniul sau de a folosi o combinație de operații pentru a produce gama. Atâta timp cât regula "unul înăuntru / unul afară" este păstrată, funcția există.

În cazul în care mașina noastră(funcția) spune pentru a adăuga 2 în domeniu, putem crea un tabel pentru a afișa funcția:

Tabel 1: Funcția algebrică

După cum se poate vedea, pentru fiecare domeniu, avem o gamă. Aceste perechi de X și Y se numesc valori perechi ordonate pentru că noi le-am pus în ordinea (x,y) .

Tabelul nostru poate fi transformat în perechi ordonate pentru a arăta o funcție : (1,3),(4,6),(-2,0) și(-3,-1). O valoare x corespunde unei valori y.

O altă modalitate de a arăta o funcție algebrică este de printr-un grafic. Noi putem transfera perechile ordonate pe un sistem de coordonate carteziene . X-valorile sunt pe linia orizontală, în timp ce y-valorile sunt pe linia verticală. Locul în care valorile se întâlnesc este punctul din grafic. Odată ce am unit x și y-valorile , putem vedea o linie dreaptă astfel încât funcția x + 2, este considerată o funcție liniară și pot fi scrisă în notație funcțională ca f(x)= x + 2. f(x) este doar un alt mod de a scrie y. Aceasta se numește f -funcția.

Fig.2: Funcția algebrică liniară f(x) = x+2

În matematică, o ecuație polinomială, sau ecuație algebrică, este o ecuație de forma unde P este o funcție polinomială de orice ordin iar x este necunoscuta. Ecuațiile polinomiale cu coeficienți complecși au un număr de soluții complexe egal cu gradul polinomului P. Aceste soluții sunt chiar rădăcinile polinomului P atașat ecuației polinomiale.

Întrucât toate polinoamele de o variabilă sunt echivalente cu un polinom de forma următoare:

,

aceasta poate fi considerată și forma generală a unei ecuații polinomiale:

În această expresie, cea mai mare putere, care este prezentă în expresia se numește gradul funcției polinomiale.

După grad avem diferite tipuri de funcții polinomiale după cum urmează:

În cazul în care gradul este unul, atunci putem spune că funcția dată polinomială este liniară;

În cazul în care gradul doi este atunci putem spune că funcția dată polinomială este pătratică;

În cazul în care gradul este de trei, atunci putem spune că funcția polinomială este cubică.

Cazuri particulare:

Ecuația de gradul întâi

Ecuația de gradul întâi este un caz particular și cel mai simplu de ecuație polinomială, în care polinomul P este un polinom de gradul întâi. O astfel de ecuație poate fi scrisă generic:

Soluția ecuației este unică, cu condiția ca a, coeficientul necunoscutei, să fie nenul, fiind dată de fracția:

Ecuația de gradul al doilea

Ecuația de gradul al doilea este un caz particular de ecuație polinomială, în care polinomul P este un polinom de gradul al doilea. O astfel de ecuație poate fi scrisă generic:

Ecuația are are 2 soluții complexe conjugate, dacă discriminantul (Δ = b2 – 4ac) este negativ, respectiv reale, dacă acesta este pozitiv sau nul, notate cu .

Ecuatia se rezolvă cu ajutorul formulei cuadratice,

Ecuația de gradul al treilea

Ecuația de gradul al treilea este, ca și celelalte cazuri de mai sus, un caz particular de ecuație polinomială, în care polinomul P este un polinom de gradul al treilea. O astfel de ecuație poate fi scrisă generic:

Natura rădăcinilor unei ecuații cubice

Fiecare ecuație cubică (sau de gradul trei) cu coeficienți reali are cel puțin o soluție reală nepereche și alte două care formează o pereche. Acestea pot fi ambele reale sau ambele complexe. Astfel, în funcție de valoarea discriminantului ecuației (Δ), care este un număr rezultat ca o combinație ai celor patru coeficienți ai ecuației, pot exista trei cazuri distincte.

Următoarele trei cazuri sunt cele mai importante de urmărit:

– Dacă Δ > 0, atunci ecuația are trei rădăcini reale distincte;

– Pentru Δ < 0, ecuația are o rădăcină reală și o pereche de numere complex conjugate ca celelalte două soluții

– Atunci când Δ = 0, cel puțin două din cele trei rădăcini coincid. S-ar putea ca ecuația să aibe o dublă rădăcină reală și o a treia reală dar distinctă sau ca toate cele trei rădăcini reale să fie confundate.

Ecuația de gradul al patrulea

Ecuația de gradul al patrulea, sau bicuadratică, este, ca și celelalte cazuri de mai sus, un caz particular de ecuație polinomială, în care polinomul P este un polinom de gradul al patrulea. O astfel de ecuație poate fi scrisă generic:

pentru orice coeficient a nenul, pentru că atunci polinomul/funcția/ecuația de grad patru nu ar exista.

1.3 Funcții transcedente

O funcție care nu este algebrică este o funcție transcendentă. Ele sunt, de asemenea, denumite funcții non-algebrice. De exemplu, funcțiile trigonometrice, funcțiile exponențială, inversul lor, logaritmul și combinații ale acestora etc.

Termenii de funcție-variabilă unică, funcția de mai multe variații, monom, binom și polinomiale înseamnă același lucru pentru funcțiile transcendente.

O funcție transcendentă este o functie analitică care nu satisface o ecuație polinomială, în contrast cu o funcție algebrică. Polinoamele necesita uneori coeficienți raționali.

Cu alte cuvinte, funcția " transcende" algebra în sensul că nu poate fi exprimată în termenii unei secvențe finite a operațiilor algebrice de adunare, înmulțire și extracție rădăcină.

Formal, o funcție analitică f(z) a unei variabile z reală sau complexă este transcendentă dacă este algebric independentă de acea variabilă. Acest lucru poate fi extins la variabilele mai multor funcții.

Următoarele funcții sunt transcendente:

Caz particular, pentru ƒ2 dacă am stabilit c egal cu e, baza logaritmului natural, atunci obținem că ex este o funcție transcendentă. În mod similar, în cazul în care am stabilit c egal cu e în ƒ5, atunci obținem că , adică logaritmul natural este o funcție transcendentă.

Cele mai cunoscute funcții transcendente sunt logaritmul, funcția exponențială(cu orice bază de non-trivială), funcțiile trigonometrice, funcțiile hiperbolice și inversele acestora. Mai puțin familiarizați sunt funcțiile speciale de analiză, cum ar fi funcțiile: gamma, eliptică, zeta care sunt toate transcendente. Funcțiile hipergeometrice și Bessel generalizate sunt transcendente, în general, dar algebrice pentru anumite valori speciale ale parametrilor.

O funcție care nu este transcendentală este algebrică. Exemple simple de funcții algebrice sunt funcțiile raționale și funcția de rădăcină pătrată, dar, în general, funcțiile algebrice nu pot fi definite ca fiind formule finite ale funcțiilor elementare.

Integrala nedefinită a multor functii algebrice este transcendentală. De exemplu, funcția logaritm a apărut din funcția reciprocă într-un efort de a găsi aria unui sector hiperbolică.

În cazul în care ƒ(z) este o funcție algebrică și α este un număr algebric, atunci ƒ(α, va fi, de asemenea, un număr algebric. Contrariul nu este adevărat. Există întregi funcții ƒ transcedente (z) astfel încât ƒ (α) este un număr algebric pentru orice α algebric în multe cazuri. Cu toate acestea , setul de numere algebrice α , unde ƒ(α) este algebric este destul de mic. De exemplu, dacă ƒ este funcțIe exponențială, ƒ(z)= ez, atunci singurul număr algebric α unde ƒ(α) este de asemenea algebrică este α= 0, unde ƒ(α)= 1. Pentru o funcție transcendentală această set de numere algebrice care dau rezultate algebrice se numește setul excepțional al funcției.

1.4 Rădăcina unei ecuații

Pentru o ecuație cu o singură variabilă, să zicem f(x) =0 definită pe intervalul [a,b], un punct x* care satisface ecuația f(x*) = 0, x* este cunoscut ca rădăcină a ecuației. În funcție de natura funcției f(x), ecuația f(x) = 0 poate avea una sau mai multe rădăcini. O ecuație liniară în x va avea o rădăcină, o ecuație pătratică va avea două rădăcini, o ecuație cubică va avea trei rădăcini și așa mai departe. Rădăcinile pot fi în continuare distincte sau repetate.

De exemplu ,

2x – 1 = 0este o ecuație algebrică liniară și are o rădăcină x =1/2;

x² – 1 = 0 este o ecuație pătratică și are două rădăcini distincte, respectiv x = -1 și x = +1;

(x – 1)² = 0 este , de asemenea, o ecuație pătratică cu rădăcini duble de x=1.

Cele trei ecuații de mai sus au fost ecuații algebrice. Un exemplu al unei ecuații transcendente pe de altă parte, ar fi 2sin(x) – 1 = 0, care are ca soluție

x = sin¹(1/2) = π/6 + 2πn (unde n=0,1,2,…). De reținut că această ecuație are multe rădăcini care corespund diferitelor valori ale lui n .

Descoperirea rădăcinilor exacte ale ecuației algebrice sau transcendente(adică ecuațiile care nu sunt algebrice, de exemplu trigonometrice, logaritmice sau iraționale) este destul de frecvent o problemă dificilă care nu poate fi rezolvată analitic prin intermediul unor formule finale. Mai departe, uneori, în practică, ecuația conține factori pentru care valorile sunt date aproximativ; așadar să vorbim despre soluția exactă a ecuațiilor în astfel de cazuri nu are deloc nici un sens . Prin urmare, problemele definiției abordate de rădăcini ale ecuației și o estimare corespunzătoare a preciziei lor au o mare valoare și astăzi. Metodele abordate ale soluției ecuației pot fi împărțite în mod condiționat pe cele grafice și numerice. Vom lua în considerare doar metode numerice ale soluției.

Se consideră ecuația:

(1)

unde F ( x ) – este o funcție continuă , definită în intervalul

În unele cazuri, existența și continuitatea primei și celei de-a doua dintre derivatele acestei funcții este necesară, F′ și F″, ca de fiecare data se va prevedea în mod special.

Orice valoare la care :

(2)

se numește o rădăcină a ecuației (1) sau zero a funcției F(x).

Să considerăm, că ecuația (1) are numai rădăcinile izolate, adică pentru fiecare rădăcină a ecuației (1), există o vecinătate care nu conține alte rădăcini ale acestei ecuații. Procesul de separare a rădăcinilor este în detaliu descris [1,2].

Descoperirea de rădăcini reale izolate se realizează în două etape :

     1) Determinarea valorii vecinătății apropiate a unei rădăcini- așa-numita vecinătate zero.

     2) precizarea vecinătății apropiate a rădăcinii ecuației prin iterații sau aproximări succesive până cănd se va obține o soluție cât mai precisă.

Ne oprim asupra celei de-a doua etapă ca etapă de constatare a vecinătății zero, problema rezolvată, de obicei, fie pe baza unorcaracteristici de proiectare fizică, sau prin reprezentarea grafică a ecuației.

În acest sens în următorul capitol voi analiza aspecte teoretice referitoare la principalele metode iterative de rezolvare a ecuațiilor algebrice și transcendente, respectiv metoda aproximațiilor succesive, metoda tangentelor sau metoda Newton-Raphson, metoda înjumătățirii și metoda coardei sau metoda falsei poziții.

Capitolul 2: Aspecte teoretice referitoare la principalele metode iterative de rezolvare a ecuațiilor algebrice și trancendente

2.1 Metoda aproximațiilor succesive

Un proces iterativ converge în cazul în care la executarea unor iterații consecutive primim valori de rădăcini tot mai apropiate de valoarea exactă a unei rădăcini. Altfel, un proces iterativ este considerat divergent.

Copiem ecuația (1) sub forma:

(3).

Schimbăm .

Fie – vecinătatea zero, adică valoarea inițială a vecinătății cea mai apropiată a rădăcinii ecuației (3).

În cele ce urmează ca primă vecinătate vom accepta cea de-a doua vecinătate va fi până vom ajunge la n vecinătatea

(4)

Aici există o întrebare: când ajunge creșterea n mai aproape de adevărata soluție a ecuației (3) ?

Altfel spus dacă procesul iterativ (4) converge.

Condițiile de convergență ale unei metode de iterații (2) în cazul în care la toate valorile calculate din procesul de rezolvare (4):

1) , cee ce înseamnă că procesul iterativ este convergent;

2) , ceea ce înseamnă că procesul iterative este divergent.

Dacă în unele puncte derivatul pe modul este mai mic de 1, iar în alte puncte este mai mare decât 1, să spunem ceva despre convergența procesului iterativ este imposibil. Procesul poate fi atât convergent, cât și divergent.

În cazul în care un proces iterativ este divergent vecinătatea-zero se găsește greoi sau fără succes. Așa că, pe Fig.1 se arată, că alegerea vecinătății-zero influențează în mod esențial convergența unui proces iterativ. Ea este direct legată de condiția existenței unei vecinătăți-zero în domeniul în care sunt îndeplinite condițiile de convergență a procesului iterativ.

Fig. 3: Dependența convergenței procesului iterative de existența unei vecinătăți-zero

Procedeul (4) este considerat finalizat dacă

reprezintă soluția cu acuratețe a ecuației.

2.2 Metoda tangentelor sau metoda Newton-Raphson

Se consideră ecuația:

unde F(x) este o funcție diferențiată definită în intervalul

Se extinde funcția F(x) într-o serie de puteri și care vor fi limitate la o parte liniară:

(5)

care este echivalent cu schimbul funcției F(x), în orice punct x la tangentă.

Apoi de la ecuația (1) la ecuația (5) urmează:

(6)

Pentru a găsi vecinătatea-zero cu formula (6) aplicăm următoarea formulă:

(7).

De aici rezultă că vecinătatea (n+1) va fi găsită cu ajutorul formulei:

(8).

Corelația (8) este metoda tangentelor sau metoda Newton-Raphson.

Condițiile de convergență pentru procedeul (8) arata astfel:

1) se apropie de zero, este aleasă ca fiind destul de aproape de o rădăcină a ecuației

2) derivat F"(x) nu devine prea mare,

3) derivat F'(x) nu este prea aproape de 0.

Ultima condiție înseamnă că nu există două rădăcini aproape una de o alta și că satisface condițiile 2) și 3), respectiv corespunde metodei iterațiilor.

Procesul este considerat corect când:

satisface cu acuratețe soluția ecuației.

Metoda Newton-Raphson se aplică în general pentru rezolvare a sistemelor de ecuații neliniare.

2.3 Metoda înjumătățirii intervalului(bisecției)

Se consideră ecuația:

(1)

unde F(x)- este o funcție continuă, definită în segmentul și

Asta înseamnă că funcția F(x) are în segmentul cel puțin o rădăcină. Să considerăm un caz, atunci când rădăcina în segmentul este unică.

Înjumătățim segmentul.

Dacă , atunci este rădăcina ecuației (1).

Dacă considerăm că jumătate din segmentul pe care se încheie funcția F(x) are semne diferite.

Noul segment mai îngust îl reducem la jumătate din nou și repetăm.

Ca rezultat al acestui pas vom obține fie valoarea exactă a unei rădăcină a ecuației (1), fie secvența segmentelor închise reciproc:

astfel încât

(9)

și

(10)

Capetele din stânga ale acestor segmente formează o secvența limitată monoton (nu descrescătoare), iar partea dreapta se termină – secvența limitată monoton (nu în creștere) .

Prin urmare, prin egalitatea (10), există o limită generală

Trecând în iterația(9) până la o limită la , prin continuitatea funcției F(x) vom obține

Prin urmare , adică este o rădăcină a ecuației (1).

În practică procesul (10) este considerat complet dacă

unde respectă acuratețea soluției.

2.4 Metoda coardelor / secantei sau metoda falsi sau metoda falsei poziții

Din nou ne vom raporta la ecuația :

(1)

unde F(x)- este o funcție continuă, definită pe segmentul și

Este o cale mai rapidă de găsire a rădăcinii izolate a ecuației (1) situată în segmentul . Să presupunem că În loc să înjumătățim segmentul , vom împărți relația

Se obține astfel o primă vecinătate a rădăcinii ecuației (1):

(12)

Următorul pas e să ne raportăm la segmentul .

Obținem într-un final inegalitatea respectă acuratețea soluției ecuației.

Geometric metoda este echivalentă schimbării curbei у= F(x) cu o coardă care conduce prin punctele și apoi coardele conduc prin capetele segmentelor primite (fig. 4). De aici metoda poartă denumirea de metoda coardelor sau secantei.

Fig. 4: Reprezentarea geometrică a metodei coardelor

Capitolul 3: Prezentarea rezolvării unor ecuații liniare/neliniare algebrice și trancendente prin diferite metode iterative

3.1 Aplicații ale metodei iterației sau aproximațiilor succesive

a ) Să se rezolve ecuația cubică cu prezizia relativă = 0,001 folosind metoda iterației.

Soluție. Copiem ecuația dată în formă de ecuația(3):

unde Apoi, din formula (4) vom primi:

Condiția de convergență în acest caz arată astfel dar în acest interval nu există rădăcini ale ecuației . Mai mult decât atât , pentru funcția într-o vecinătate a rădăcinii = 2 are loc inegalitatea care este condiția de convergență nu este efectuată și pentru a căuta soluția ecuației sub formă de aceasta nu este semnificativ întrucât procesul numeric va fi divergent. Prin urmare este necesar să se scrie în jos ecuația dată într-un alt mod:

ulterior

Să acceptăm din nou la zero abordare = 3 . Apoi vom primi :

La acest pas se ajunge la următoarea precizie relativă:

.

prin urmare procesul de constatare al unei rădăcini al ecuației poate fi considerată încheiată. Rădăcina găsită a ecuației este egală cu 2.000050. Astfel, aici din nou, rădăcina necesară este găsită pentru 4 iterații cu precizie relativă dată.

Să se găsească rădăcina ecuației x = 2 + sin(x)/ 2.

Soluție. Aici f(x) = 2 + sin(x)/ 2 si f'(x) = cos(x)/ 2, iar condiția

|f'(x)| < k < 1 este satisfăcută de x.

Se ia x0 = 2, după care se calculează x1,x2,…

Obținem următoarele valori:

x₁ = 2.45464871341284

x₂ = 2.31708861973148

x₃ = 2.36710557531865

x₄ = 2.34967477062353

x₅ = 2.35585092904743

x₆= 2.35367483693284

x₇ = 2.35444309931047

x₈ = 2.35417205822186

x₉ = 2.35426770472895

x₁₀ = 2.35423395542163

x₁₁ = 2.35424586438903

x₁₂= 2.35424166217094

x₁₃= 2.35424314497835

x₁₄= 2.35424262175115

x₁₅= 2.35424280637852

x₁₆=2.35424274123042

x₁₇ = 2.35424276421875

x₁₈ = 2.35424275610703

x₁₉ = 2.35424275896935

x₂₀ = 2.35424275795934

Valoarea rădăcinii este 2.35424275822278.

c) Încercăm să rezolvăm ecuația x3 + 4 x2 – 1 = 0 cu ajutorul metodei iterației sau aproximațiilor successive.

Soluție. Putem rescrie ecuația ca fiind x = x + (x3 + 4 x2 – 1).

xo = 0.5 este prima aproximare a rădăcinii ecuației.

Dar f(x) ar fi aici egal cu x + x3 + 4 x2 – 1, iar condiția |f'(x)| < k < 1 nu este satisfăcută.

Așadar transformăm ecuația în x = x + r.(x3 + 4 x2 – 1).

Acum putem alege valoarea lui r fără să schimbăm rădăcina, ceea ce înseamnă că f(x) = x + r.(x3 + 4 x2 – 1).

Din teoremă noi știm că convergența este foarte rapid dacă f'(x) are o valoare apropiată de 0 în mediul apropiat de rădăcină.

f'(x) = 1 + r.(3×2 + 8t)

Cum rădăcina este apropiată de 0.5 alegem r astfel:

f'(0.5) = 1 + r.(3 (0.5)2 + 8.(0.5) = 0

r = – 0.21052631579 , dare se alege r = – 0.21.

Acum f'(x) este aproape 0 în mediul de lângă rădăcină.

Aplicăm iterația x = x – 0.21(x3 + 4 x2 – 1) începând cu x=0.5.

Obținem astfel următoarele valori x1,x2,…

x₁ = 0.47375

x₂ = 0.472892306269531

x₃ = 0.472837688600127

x₄ = 0.472834153854809

x₅ = 0.472833924859327

x₆= 0.472833910023068

x₇ = 0.472833909061846

x₈ = 0.47283390899957

x₉ = 0.472833908995535

Rădăcina ecuației este 0.472833908995535.

d) Să se găsească rădăcina ecuației: f(x) = x3 – 2x + 3 a cărei soluții aproximative este

x = -2.

3.2 Aplicații ale metodei tangentelor sau metodei Newton-Raphson

a) Să se rezolve ecuația cubică unde = 0,001 cu metoda Newton-Raphson a tangentelor.

Soluție:

În acest caz

Prin urmare

Ca abordare zero, vom accepta = 3 (valoarea exactă a unei rădăcini = 2 ). Apoi, din formula (7) reiese că:

Să verificăm , dacă ajunge la dat precizie relativă:

Să continuăm iterațiile:

Din nou vom verifica dacă ajunge la dat precizie relativă:

În urma iterației dă o valoare exactă șase semne zecimale a unei rădăcini:

Cu toate acestea, aici din nou, este necesar să se verifice, dacă se ajunge la dat precizie relativă:

Rădăcina găsită a ecuației este egală cu 2.0000001. Astfel, procesul de calcul a convers pentru 4 iterații, și am primit o rădăcină necesară cu precizie relativă dată.

b) Să se găsească rădăcina ecuației: 2x²+ x- 6 = 0 având în vedere că există o soluție aproape de x= 1,4.

c) Să se găseasca rădăcina ecuației sinx = x2

Soluție.

În acest caz este convenabil să se folosească metoda poziției false pentru a obține o aproximare inițială.

Tabelar ar arăta astfel:

Tabel 3: Aplicarea metodei poziției false asupra ecuaței sinx =x²

Vom vedea că există o rădăcină în intervalul 0,75 < x < 1, la aproximativ:

1

X˳= ______________ ∣ 0,75 0,1191

=0,1589 -0,1191 ∣ 1 -0,1585

= 1

___________ (-0,1189 -0,1191)

0,2777

0,2380

= ____________ = 0,8573

0,2777

În continuare , dacă vom folosi metoda Newton – Raphson avem:

f(0,8573)= sin(0,8573) –(0,8573)²

= 0,7561 -0,7349 =0,0211

și f’(x)= cosx -2x,

ceea ce înseamnă că f’(0,8573) = 0,6545 -1,7145 = -1,0600

În consecință , o mai bună aproximare este:

x₁= 0,8573 + 0,0211 = 0,8573+0,0200 = 0,8772

1,0600

Repetând iterația obținem:

f(x₁) = f(0,8772) = -0,0005

și f’(x₁) = f’(0,8772)= -1,1151

astfel încât x₂ =0,8772 – 0,0005 = 0,8772 -0,0005 = 0,8767

1,1151

Deoarece f(x₂) = 0.0000, am ajuns la concluzia că rădăcina este 0,877.

d)Să se găsească rădăcina ecuației pentru segmentul folosind metoda Newton-Raphson.

Soluție.

Se dă:

și .

Luăm și . Atunci și .

Dar .

Așadar repetăm procesul, iar rezultatele le trecem în următorul tabel.

Tabel:

3.3 Aplicații ale metodei înjumătățirii intervalului(bisecției)

a) Să se rezolve ecuația cubică cu precizia relativă

=0.001 folosind metoda bisecției.

Soluție. Aici Aici, voi considera segmentul [0,3] pe extremitățile căreia funcția F(x) acceptă diferite semne

Apoi, conform formulei (11) reiese că: de unde rezultă că astfel încât pentru realizarea unei soluțiii precise a acestei ecuații printr-o metodă de reducere la jumătate a segmentului [0,3] este necesar să efectuăm nu mai puțin de 12 iterații.

Obținem astfel următorul tabel:

Tabel 2: Rezolvarea ecuaței cu =0.001 folosind metoda bisecției

La iterația 12 conform unei estimări bazată pe formula (11) precizia soluției este atinsă:

prin urmare, pentru soluția acestei ecuații cu precizia dată de metoda înjumătățirii intervalului în segmentul [0,3] au fost necesare 12 iterații. Rădăcina găsită a ecuației este egală cu 1.999878.

b) Să se găsească rădăcina ecuației f(x)= 2x³ -2x +7 a cărei soluție estimată este x= -2.

Să se calculeze aproximări numerice pentru cu ajutorul metodei bisecției. Am stabilit f(x)= x2 -2. Să începem cu un interval de lungime unu : a0 = 1 și b1 = 2.

De notat că f(a0) = f(1) = -1 < 0 și f(b0) = f(2) = 2 > 0. Aici sunt primele 20 de iterații ale algoritmului de înjumătățirii intervalului:

Tabel:

d) Să se găsească rădăcina ecuației xeͯ = 1 despre care se știe că este între 0 și 1.

Soluție.

Fie f(x) = xeͯ -1.

Punând x = 0, f(0) = 0, e⁰ -1 = -1 ‹ 0.

x = 1, f(1) = 1, e⁰ -1 = 1,718 › 0.

Deoarece f(0) este negative și f(1) este pozitiv, rădăcina este cuprinsă între 0 și 1.

Așadar x˳= 0+1 = 0.5 și f(x˳) = 0,5e^0,5 -1 = -0,1756 ‹ 0

2

Obținem astfel următorul tabel:

Tabel 4: Rezolvarea ecuației xeͯ = 1

Așadar, rădăcina ecuației este 0,5674.

3.4 Aplicații ale metodei coardelor(secantei)

a) Să se rezolve ecuația cubică folosind metoda coardelor.

Să cautam solutia pe segmentul [0,4](să reamintim că valoarea exactă a rădăcinii = 2 ) . Să acceptăm ca la abordarea zero = 0. Apoi, din formula (12) reiese că:

La acest pas se ajunge la dat precizia relativă :

și, prin urmare procesul de constatare a unei rădăcină pot fi considerat finalizat. Rădăcina găsită a ecuației este egală cu 1.9986328. Aici se găsește rădăcina necesară pentru 12 iterații cu precizia relativă dată.

b) Funcția are o rădăcină între -3 și -4. Să se aproximeze această rădăcină cu patru zecimale .

Fie x0 = -3 și x1 = -4.

În continuare , folosind formula de recurență în cazul în care:

și

avem

În următoarea iterație utilizăm f(x1) = .6835 și f(x2) = .0342 și observăm că:

În mod similar , putem calcula x₄si x₅. Aceste calcule au fost organizate în tabelul de mai jos :

Tabel :

Observăm că ecuația converge către -3.2665 după 4 iterații.

Să se găsească o aproximare corectă cu patru zecimale pentru folosind metoda secantei la .

Soluție.

Știm că .

Să presupunem că x0 = 2 și x1 = 3. Atunci f(x0) = f(2) = -1 și f(x1) = f(3) = 4.

La prima iterație avem:

.

La a doua iterație avem f(x1) = 4, f(x2) = -0.16 și atunci:

În mod similar putem calcula x3 și x4, după cum se poate observa în următorul tabel:

Tabel :

După patru iterații prin metoda secantei rădăcina converge către 2.2361, o valoare corectă aproximativă cu patru zecimale pentru .

Să se găsească rădăcina ecuației prin cinci iterații folosind metoda secantei începând cu x0 = -1 și x1 = 0.

Prima iterație : x0 = -1, x1 = 0, f(x0) = -0.63212 și f(x1) = 1. Apoi:

A doua iterație: x1 = 0, x2 = -.6127, f(x1) = 1 și f(x2) = -.07081. Apoi:

A treia iterație: x2 = -.6127, x3 = -.57218, f(x2) = -.07081 și f(x3) = -.00789. Apoi:

A patra iterație: x3 = -.57218, x4 = -.5671, f(x3) = -.00789 și f(x4) = 6.7843*10-5. Apoi:

A cincea iterație: 5th Iteration: x4 = -.5671, x5 = -.56714, f(x4) = 6.7843*10-5 și

f(x5) = 5.1565*10-6. Apoi:

În concluzie, după cinci iterații rădăcina ecuației converge la

-.56714.

Concluzii

O funcție algebrică este o expresie care implică operații aritmetice între anumite numere reale și puteri raționale ale lui x . În timp ce o funcție transcendentală este pur și simplu o funcție non algebrică . De exemplu, funcțiile trigonometrice, funcțiile exponențiale etc.

Există două moduri de a rezolva o ecuație. Metoda analitică , care este cunoscută și ca metodă directă și metodele numerice.

Metode numerice, care sunt în mare parte iterative sunt folosite pentru a găsi o soluție aproximativă, dar precisă pentru ecuații algebrice și trascendente liniare si neliniare. Acestea sunt clasificate ca închise și metode deschise.

Metoda bisecție și aproximațiilor succesivesunt metode închise, iar metoda Newton – Raphson și metoda secantă sunt metode deschise .

Metoda bisecției converge întotdeauna liniar și împărțire în două la rădăcina ecuației f(x) = 0 , cu condiția ca funcția f(x) să fie continuă în intervalul dat [ a, b ​​].

Cel mai mare dezavantaj al metodei este că procesul de împărtire este foarte lent.

Metoda poziție false este similară cu metoda bisecției, dar converge mai rapid decât aceasta.

În comparație cu metoda de împărțire în două, metoda converge mai repede.

În raport cu metodele iterative deschise, aceste două metode(metoda bisecției și metoda falsei poziții) sunt foarte lente .

O comparație a metodei și metoda de împărțire în două Newton – Raphson. Metoda Newton – Raphson este adesea mult mai rapidă decât metoda de împărțire în două.

Metoda Newton – Raphson poate fi de încredere în cazul în care algoritmul întâlnește un punct x , unde f '( x ) = 0 , se blochează; în cazul în care se confruntă cu puncte în care derivatul este foarte aproape de 0, aceasta va deveni nesigură .Metoda bisecței va lucra întotdeauna, odată ce s-au găsit puncte de pornire a și b în cazul în care funcția ia semne opuse.

Metoda de bisecței, este metoda cea mai primitivă pentru a găsi rădăcinile reale ale funcției f(x) = 0 , unde f este o funcție continuă. Această metodă se bazează pe următoarea teoremă: în cazul în care funcția f(x) = 0 este continuu între f ( l) și f ( u ) și au semne opuse și mai miiă decât zero , atunci există cel puțin o rădăcină. Converge întotdeauna; această metodă este foarte utilă pentru rezolvările bazate pe calculator. După ce se efectuează iterații interval devine redus la jumătate. Eroarea poate fi controlată.

Convergența este garantată. În schimb, există unele capcane. Metoda este foarte lentă deoarece converge liniar. Metoda face mai multe încercări de a găsi soluția aproximativă.

Metoda Newton Raphson este cea mai populară metodă pentru a găsi rădăcinile de ecuații neliniare. Funcția poate fi aproximată prin linia tangentă. Acesta începe cu o presupunere inițială că aceasta este aproape de rădăcină. Diferența de bază dintre Newton și alte metode este că este necesară o presupunere inițială. Metoda Newton este eficientă în cazul în care aproximarea este aproape de rădăcină . Pe de altă parte, metoda Newton

funcționează lent dacă procesul este divergent sau soluția aproximativă nu este aproape de rădăcină. Un avantaj al metodei Newton este factul că aceasta converge rapid. Cel mai bun lucru pentru Newton Metoda Raphson este că consumă mai puțin timp și mai puține iterații pentru a găsi rădăcina decât metoda falsei poziții și metoda bisecției. Prezintă dezavantajul unor calcule mai complicate. Acesta se aseamana cu metoda bisecței; în acest fel, utilizatorul poate anticipa cu ușurință exact cât de multe iteratii sunt necesare pentru a ajunge la rădăcină. Este mai rapidă în comparație cu metoda falsei poziții și metoda bisecției în cazul în care converge .

Metoda secantei nu are nevoie de derivata unei funcții precum metoda Newton-Raphson. Avem nevoie de două valori inițiale pentru ca metoda să funcționeze. În cazul celor două valori nu este necesar să aibă semne diferite ca în cazul metodei bisecției. Un nou punct este obținut în cazul în care linia dreaptă traversează axa x. Acest nou punct înlocuiește punctul vechi utilizat în calcul. Acest proces poate fi continuat pentru a obține o rădăcină aproximativă.

În cazul metodei secantei este nevoie de două presupuneri. Acesta este motivul pentru care converge mai rapid în comparație cu

Metoda secantei poate eșua dacă funcția este plată. Unul dintre dezavantajele metodei secant este că panta linie secantei poate deveni foarte mică, ceea ce poate face ca acesta să se deplaseze departe de punctele aproximative.

Metoda falsei poziții combină caracteristicile metodei bisecție și metodei secantei. Două aproximări inițiale sunt necesare pentru a începe această metodă, astfel încât în funcție de aceste două valori inițiale funcția este mai mică decât zero. Înseamnă că

funcțiile trebuie să fie de semne opuse. Noua valoare este găsită ca intersecția dintre coarda care unește funcțiile de aproximare inițială și axa x.

Motivul din spatele descoperirea acestei metode falsei poziții a fost că metoda de împărțire în două converge lent. Așa că metoda falsei poziții este mai eficientă decât metoda bisecției.

Bibliografie:

Demidovich B.P. and Maron I.A., Principles of Numerical Mathematics. – Moscow: Publishing House Nauka, 1970

http://jwilson.coe.uga.edu/emt669/student.folders/frietag.mark/homepage/roots/roots.html

http://math.stackexchange.com/questions/142399/interval-bisection-to-find-a-root-of-fx

http://mpec.sc.mahidol.ac.th/numer/STEP10.HTM

http://ourcivil.blogspot.ro/2014/09/lecture-3-problems-and-solutions-of.html

http://w3.gazi.edu.tr/~balbasi/mws_gen_nle_txt_secant.pdf

http://www.a-levelmathstutor.com/iteration.php

http://www.mathnotes.org/index.php?pid=11#?pid=11

http://www.simumath.com/library/book.html?code=Alg_Equations_Chords

http://www.simumath.com/library/book.html?code=Alg_Equations_Examples

http://www.simumath.com/library/book.html?code=Alg_Equations_Halving

http://www.simumath.com/library/book.html?code=Alg_Equations_Iterations

http://www.simumath.com/library/book.html?code=Alg_Equations_Tangents

http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon07/limcon07.html

https://ece.uwaterloo.ca/~dwharder/NumericalAnalysis/10RootFinding/secant/examples.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_function

https://en.wikiversity.org/wiki/Numerical_Analysis/The_Secant_Method

https://ro.wikipedia.org/wiki/Ecua%C8%9Bie_polinomial%C4%83

https://www.siam.org/books/textbooks/fr16_book.pdf

McCracken D.D. and Dorn W.S., Numerical Methods and FORTRAN Programming with application in engineering and science. – Moscow: Publishing House Mir, 1977

L. Panaitopol, I. C. Drăghicescu – Polinoame și ecuații algebrice, Ed. Albatros, 1980

Octavian Cira M- Metode numerice pentru rezolvarea ecuațiilor algebrice, Ed. Academiei Române, 2008

S. C. Andronescu- Algebra, Editura Universitatii din Pitesti, 2004

O. Sacter – Elemente de teoria ecuatiilor algebrice si transcendente, Ed.Tehnică, 1962

Ioan Pop, Gh. Neagu- Algebră liniară și geometrie analitică în plan și în spațiu, Ed. PLUMB BACĂU, 1996

Gary K. Rockswold -College algebra with modeling and visualization, Ed. Pearson, 2003

M.R. Buneci – Metode numerice-aspecte teoretice și practice, Ed. Academică Brâncuși Târgu-Jiu, 2009

ANEXA 1

Fig. : Reprezentarea grafică a ecuației algebrice de gradul 2

Curbele de gradul doi sunt hiperbole, concave sau convexe. Dacă hiperbola intersectează abscisa, ecuația de gradul doi corespunzătoare polinomului de grad doi are două soluții reale, dacă nu o intersectează cele două soluții sunt complex conjugate.

ANEXA 2

Fig. : Reprezentarea grafică a ecuației de gradul patru

Graficul unei funcții polinomiale de grad patru are trei puncte critice. Intersecțiile cu abscisa, dacă există, reprezintă numărul și valorile rădăcinilor reale ale ecuației bicuadratice.