Ecuatii Functionale DE Speta A Doua

=== l ===

ECUAȚII FUNCȚIONALE DE SPEȚA A DOUA

În acest capitol va fi studiată ecuația de forma :

x ─ λU(x) =y (*)

unde U este un operator liniar continuu, care aplică spațiul Banach X în el însuși. O astfel de ecuațieva fi numită ecuație de speță a doua, iar operatorul U – nucleul ecuației. Această terminologie este împrumutată din teoria ecuațiilor integrale, unde se numește ecuație de speța a doua ecuația

spre deosebire de ecuația de speța întâi :

Deși formală, ecuația funcțională (*) poate fi scrisă și sub forma unei ecuații „de speța întâi”

T (x) = y (T=λu),

Totuși separarea operatorului identitaate se dovedește a fi indicată, întrucât operatorul U poate avea proprietățile mai bune decât operatorul T, care să permită să se studieze mai complet ecuația (*)

§1. Ecuații cu nucleu compact

În acest paragraf vom considera

x ─ U(x) =y (x, y є X*) (1)

și adjuncta ei

g ─ U*(g) = f (f, g є X*) (2)

presupunând că U (prin urmare și U* – teorema IX.3.3) sunt operatori compacți în spațiul Banach X. Să introducem notația T = I ─ U, unde, ca întotdeauna, prin I s-a notat operatorul identitate în spațiul X. Cu această notație ecuația (1) poate fi scrisă mai scurt :

T(x) = y

Iar ecuația (2) :

T*(g) = f

Întrucât T* = I* ─ U* (IX.3.1) și I*este operatorul identitate în X*.

Vom demonstra în prealabil trei leme.

Lema 1. Mulțimea T (X) este închisă.

Demonstrație. Să notăm

și să considerăm spațiul cât

și operatorulcare aplică în (vezi XII.1.3.).Vom nota , ca si in XII.1.3., prin φ onomofrismul natural al spatiului pe . Fie {yn} T(X) un șir convergent către un element y0 є X. Deoarece există elementele astfel ca Vom găsi mai departe satisfăcând relația(4) din IV.1.8, adică astfel încât

Vom demonstra că șirul este nemărginit. În caz contrar, trecând, dacă este necesar, la un subșir, putem presupune că În virtutea relației (3) șirul este mărginit, de aceea, trecând încă o dată la

subșir, putem considera că converge. Fie, de exemplu,U z . Având în vedere că T(xn) = T (xn) =yn putem scrie

și prin urmare,

deci z є Xo. Dar atunci

ceea ce este imposibil, întrucât = 1 pentru orice n=1,2, … .

Astfel, șirul și conform relației (3), și șirul este mărginit. Putem de aceea considera că {U(xn)} este un șir convergent. Dacă, de exemplu, U (xn)x atunci

Deci obținem

ceea ce trebuie demonstrat.

Lema 2. Șirul de mulțimi

este crescător și conține doar un număr finit de mulțimi distincte.

Demonstrație. Prima parte a afirmației lemei este aproape evidentă, deoarece, dacă atunci și cu atât mai mult adică x

Pentru demonstrarea celei de-a doua părți, vom nota și vom stabili că, dacă, pentru un n=1,2,…,Xn = xn+1 atunci și

Să alegem . Aceasta înseamnă că , adică xє Xn+1. Astfel Deoarece incluziunea opusă are loc întotdeauna, avem, în definitiv, că

Să presupunem acum că pentru fiecare n = 1,2,…

Fiecare Xn este subspațiual spațiului Xn+1, de aceea conform lemei cvasi-perpendiculare (IV.1.7), în Xn+1 poate fi ales un element normat xn+1 astfel că

Fie m n. Să considerăm elementul

unde am notat Vom demonstra că m-1. În acest scop,

Deoarece

Ținând seama de inegalitatea (4), avem

Pe de altă parte este un șir mărginit,. Deci datorită compacității operatorului U din șirul se poate extrage un subșir convergent, ceea ce contrazice (5)

Lema 3. Printre mulțimile

Există doar un număr finit de mulțimi distincte.

Demonstrația este asemănătoare în linii generale cu denonstrația lemei precedente și ca urmare o vom da fără a intra în amănunte.

Să observăm că mulțimile (6) sunt închise conform lemei 1 și în afară de aceasta, formează un șir descrescător. Este clar că din egalitatea

pentru un n, rezultă că

Și lema este, în acest caz, demonstrată.

Admitând că vom construi cu ajutorul lemei cvasiperpendiculare (IV.1.7) un șir astfel încât

Fie m n. Ca și în lema 2, avem

Dar

Și astfel

. Din (7) rezultă atunci

care contrazice compacitatea operatorului U

1.2. Să notăm r cel mai mic dintre numerele intregi nenegative n pentru care

. Dacă, în particular, , punem r = 0

Fie apoi

.

Următoarea teoremă conține o caracterizare a operatorului T și prin urmare, a ecuației (1).

Teorema 1.

a) Operatorul T aplică injectiv subspațiul X’ pe el însuși.

b) Subspațiul este finit dimensional. Operatorul T aplică în el însuși.

c)Fiecare element x є X poate fi reprezentat în mod unic sub forma

pe lângă aceasta, există o constantă M 0 astfel încât

d) Operatorul U admite reprezentarea

unde sunt operatori compacți, care aplică spațiul X în X’ (operatorul ) și în (operatorul ). În plus operatorul are invers bilateral continuu și este valabilă relația

Demonstrație. a) Deoarece

Dacă T(x)=0, unde atunci, alergând conform lemei 2 astfel ca , vom avea și prin urmare există astfel ca Dar atunci și de aceea de unde avem

b)Avem

unde operatorul U este o combinație liniarăde puteri pozitive ale operatorului U.

Astfel în baza teoremei 2 din IX.2.2 operatorul U1 este compact. Deoarece pentru rezultăcă orice mulțime mărginită din este relativ compactă. În virtutea teoremei IV.1.3. este finit-dimensional.

Mulțimea în cazul este evident Dacă și incluziunea este trivială.

c) Să notăm TO operatorul T considerat doar pe mulțimea . Pe baza lemei 1 aplicată operatorului tragem concluzia că mulțimea este închisă și prin urmare este spațiul Banach. De aceea, în vitrutea corolarului din XII.1.4. operatorul T0 care aplicăinjectiv X’ pe el însuși are invers continuu

Fie x un element arbitrar din X, să punem

(12)

Este clar că x’ є X’ și deoarece

─ ─

ceea ce demonstrează posibilitatea reprezentării lui x sub forma (8). Dacă este o altă reprezentare a elementului x în forma (8) deci astfel încât atunci

+

Dar deoarece și de aceea

Și unicitateareprezentării(8) este demonstrată.

Existența estimărilor (9)rezultă pe baza relațiilor (12) din continuitatea operatorului

d) Având în vedere că U=I ─ T avem pentru

deci operatorul U aplică în el însuși. Analog ne convingem că

Să punem pentru arbitrar

Unde și sunt cei din reprezentarea elementului x în forma (8). Ținând seama de estimările (9) ne convingem fără dificultate că și sunt operatori liniari continui. În afară de aceasta este clar că și , Mai departe este evident că

Din aceste relații rezultă că

Operatorul aplică spațiul X în spațiul finit-dimensional în care fiecare mulțime mărginită este relativ compactă.

Să demonstrăm , în sfârșit, că operatorul are invers bilateral continuu. Pentru aceasta este suficient să stabilim în primul rând că implică x = 0 și în al doilea rând că . Fie că Reprezentând x sub forma (8) obținem că

Deoarece vom vedea ca urmare a unicității reprezentării elementului 0 sub forma (8),

și pe baza punctului a) . De aici

Să considerăm acum un element arbitrar . Să-l reprezentăm sub forma

și să punem

Deoarece

Și

Așadar

Teorema este în întregime demonstrată.

Observație. Fie m cel mai mic dintre numerele întregi nenegative n astfel ca . Atunci m = r.

În acest scop luând și reprezentându-l sub forma (8) obținem

ceea ce este posibil în virtutea punctului a) doar pentru De aici și prin urmare .

Mai departe , dacă , atunci punând x în forma (8) vom avea

și prin urmare de asemenea .

Teorema următoare este consecința unui caz particular al acestei observații.

Teorema 2. Pentru ca ecuația (1) să aibă soluție pentru orice y є X este necesar și suficient ca ecuația omogenă

(15)

să aibă soluție unică (evident x = 0).

Într-adevăr rezolubilitateaecuației (1) pentru orice y є X înseamnă că aastfel spus că r = 0. Unicitatea soluției ecuației (15) este echivalentă cu faptul că m = 0.

Observație. Bazându-se pe rezultatele din §2 capitolul precedent , putem da acestei teoreme o demonstrație independentă de teorema 1 folosind doar faptul că mulțimea T(X) este închisă. Propunem cititorului să facă singur raționamentele necesare.

1.3. În teorema următoare se stabilește o legătură între ecuațiile (1) si (2).

Teorema 3. Mulțimile N(T) și N(T) au aceeași dimensiune finită.

Demonstrație. Deoarece și pe baza punctului b)al teoremei 1, este finit – dimensional, rezultă că N(T) va fi finit – dimensional. Întrucât U este tot operator compact, cele spuse sunt aplicabile și mulțimii N(T)

Fie n dimensiunea lui N(T) și m dimensiunea lui N(T). Fie un sistem de elemente liniar independente din N(T) și elementele liniar independente din N(T)

Întrucât elementele sunt liniar independente, li se poate aplica teorema V.7.4, conform căreia există un sistem biortogonal de funcționale

La fel folosind lema III.3.1. găsim elementele astfel că

Să presupunem că . Să considerăm în spațiul X operatorul V=U+W unde

Deoarece operatorul liniar W aplică X într-un spațiu finit – dimensional el este compact. Înseamnă că și V este operator compact. Să considerăm ecuația

Fie o soluție a sa :

Din această egalitate rezultă că

adică tinând seama de relațiile (17)

și prin urmare a faptului că vom avea

Împreună cu (19) aceasta dă , adică și deci poate fi reprezentat sub forma

Deoarece în virtutea relațiilor (16) din (21) rezultă că și de aceea și . Astfel ecuația (18)are soluție unică. Conform teoremei 2 ecuația neomogenă corespunzătoare este rezolubilă pentru orice membru drept. În particular ecuația

are soluție. Să notăm soluția acestei ecuații. Pe de o parte ,

Însă pe de altă parte

Astfel trebuie ca

Posibilitatea inegalității se exclude prin raționamente analoage. Anume, în locul ecuației (18) trebuie considerată în spațiul ecuația

1.4. Reunind teoremeledemonstrate mai sus, obținem următorul rezultat.

Teorema 4. Fie ecuațiile (1) și (2) au soluții pentru orice membru drept și atunci soluțiile lor sunt unice; fie ecuațiile omogene

au același număr finit de soluții liniar independente respectiv . În acest ultim caz pentru ca ecuația (1) (respectiv ecuația (2)să aibă soluție , este necesar și suficient ca

iar soluția generală a ecuației (1) are forma :

iar soluția generală a ecuației (2):

unde este o soluție oarecare a ecuației(1) (respectiv2) iar sunt constatate arbitrare.

A doua parte a teoremei se obține aplicând ecuațiilor (1) și (2) teoremele ale căror condiții sunt îndeplinite ca urmare a lemei 1.

Având în vedere analogia cu teorema cunoscută din teoria ecuațiilor integrale , teorema de fată se numește alternativa lui Fredholm

§2. Asupra spațiilor complexe

După cum va fi clar din ceea ce urmează este natural să considerăm ecuația

în spațiul complex, în particular, dându-i lui valori complexe. În legătură cu aceasta , vom introduce mai jos unele noțiuni ajutătoare , referitoare la spațiile complexe și care permit includerea cazului real în cel complex.

2.1. Fie Z un spațiu normat complex . Vom spune că Z are o structură reală dacă pe Z este definit un operator C numit involuție , care aplică pe Z în el însuși și are următoarele proprietăți :

Mulțimea elementelor pentru care se numește nucleu real al apațiului Z și se notează Re Z; elementele acestei mulțimi se numesc reale.

elementul :

se numește parte reală a elementului z și se notează x=Re z.

Elementul :

se numește partea imaginară a elementului z și se notează

Deoarece :

sunt elemente reale. Evident

și

Ultima relație justifică să numim elementul conjugatul elementului z și să introducem notația obișnuită

Dacă elementul z admite o reprezentare sub forma reali atunci neapărat

Întradevăr și de aceea

Astfel reprezentarea (1) este unică , elementele x și y sunt determinte univoc de elementul z.

Nucleul real X al spațiului Z este spațiu normat real și dacă spațiul Z de plecare este complet X este de asemenea complet.

Întradevăr o combinatie liniară cu coeficienți reali de elemente din X este și ea element al mușțimii X. Faptul că în X sunt satisfăcute axiomele spațiului normat rezultă din faptul că aceste axiome sunt satisfăcute în spațiul dat Z.

Să probăm completitudinea lui X . Fie un șir fundamental de elemente din spațiul X . Considerându-l în spațiul Z și tinând seama de completitudinea acestuia , găsim că există

Deoarece în virtutea condiției

Din unicitatea limitei

Toate spațiile reale concrete considerate mai sus sunt nuclee reale ale unor spații complexe corespunzătoare . Astfel de exemplu real este nucleul real al spațiului complex Aici involuția va fi operatorul de conjugare complexă Același lucru poate fi spus în legătură cu spațiile etc.

În general un spațiu real arbitrar X poate fi considerat ca nucleu real al unui spațiu complex anume ca nucleul real al spațiului Z ale cărui elemente sunt perechile de elemente ale spațiului X ;iar operațiile cu ele sunt introduse după regulile următooare

Pentru a ne convinge că X este nucleul real al spațiului Z este suficient să punem

Atunci în spațiul Z vor fi reale toate elementele de forma (x, 0) și numai ele.

Deoarece

vom obține rezultatul dorit identificând elementul (x, 0) cu elementul x. Această identificare permite ca în locul lui ( x, y) să folosim notația obișnuită x+i y. Spațiul Z se numește complexificatul lui X.

2.2. Fie Z și W spații complexe cu nucleele reale

Un operator liniar continuu U care aplică pe Z în W se numește real dacă trece elementele reale ale spaiului Z în elementele reale ale spațiului W, adică dacă ; un operator real induce astfel un operator liniar continuu din spațiul real X în spațiul real Y.

Reciproc dacă U este operator liniar continuu care aplică spațiul X în spațiul Y și dacă atunci punând

=U(x) + iU(y) (z=x+i y)

obținem un operator liniar continuu din spațiul complex Z în spațiul complex W. Evident pe X operatorul U coincide cu U. Operatorul se numește extensia complexă a operatorului U.

Să remarcăm integralitatea

(3)

Prima parte a integralității este evidentă. A doua parte rezultă din lanțul de integralități

(Aici a fost folosită integralitatea care se demonstrază astfel :

Într-o serie de cazuri se poate demonstra egalitatea Astfel dacă normele în spațiile Z și W sunt definite prin formula (2) atunci

și prin urmare care împreună cu (3) dă

Atunci dacă pentru orice există un element real și normat x astfel ca

de asemenea deoarece în acest caz

Ultima condiție este satisfăcută, de exemplu, când Z și W sunt spații de funcții dintre cele enu merate mai sus iar operatorul este operatorul integral

cu nucleul real K (s, t).

Exact la fel condiția este îndeplinită dacă Z și W sunt spații de șiruri, iar operatorul este definit de o matrice reală

2.3. Dacă operatorul real este compact atunci evident și operatorul U indus de el din este de asemenea compact. Este valabilă și afirmația reciprocă : dacă U este operatorul compact din X în Y atunci extensia lui complexă, operatorul , este compactă.

Pentru a demonstra acest fapt este suficient să observăm că din convergența șirului rezultă convergența șirurilor și reciproc.

2.4.Dacă spațiul Z are o structură reală atunci și spațiul dual are o structură reală.

Întradevăr fie ; definim involuția prin

Vom stabili întâi că f este o funcție liniară continuă. Pentru aceasta

și

Să verificăm acum condițiile 1-3din definiția involuției. Tinând seama de regula de înmulțire a unei funcționale cu un număr complex avem

În sfârșit din integralitatea (5) rezultă că Pe de altă parte

Să notăm X nucleul real al spațiului Z și să demonstrăm că dacă este o funcțională liniară pe spațiul real X atunci extensia complexă f a funcționalei aparține nucleului real al spațiului și că aceasta se compune numai din funcționalele de această formă. Ambele afirmații rezultă fără dificultate din definiția conjugatei unei funcționale . Intradevăr dacă f este extensia complexă a funcționalei

Recciproc dacă funcționala f este un element real al spațiului adică dacă atunci conform definiției (4) . În particular , dacă z =

, adică f(x) este real

Afirmația demonstrată poate fi enunțată astfel : nucleul real al spațiului dual este spațiul dual al nucleului real al spațiului dat.

2.5.Este natural să ne asteptăm ca adjunctul unui operator real să fie la rândul lui un operator real. Fie un operator real care aplică spațiului Z în spațiul W și U operatorul din spațiul X în Y indus de acesta Să demosntrăm că este operatorul real și că operatorul de la spațiul indus de el este . Ultima afirmație trebuie înțeleasă în sensul următor : dacă sunt funcționale pe spațiile X și Y astfel încât

atunci

unde f este extensia complexă a funcționalei iar g este extensia complexă a funcționalei , reciproc dacă funcționalele reale sunt legate prin relația (7) atunci funcționalele induse de ele sunt legate prin relația (6).

Faptul că operatorul este real se demonstrează foarte simplu : dacă este o funcțională reală, adică atunci

Fie mai departe

astfel încât . Tot așa de simplu se stabilește că din relația (7) rezultă relația (6)

§3. Spectrul

3.1. În acest paragraf și în următorul vom studia comportarea ecuației

sau ceea ce este același lucru, a ecuației

ăn funcție de parametrul complex Aici și în cele ce urmează U este presupus a fi un operator liniar continuu în spațiul Banach complex .

Considerăm ambele ecuații având în vedere faptul că ecuația (1) se consideră de obicei în teoria ecuațiilor integrale , pentru care vom da aplicații în § 6, iar ecuația se consideră de obicei în analiza funcțională abstractă la studiul proprietăților spectrale ale operatorului U .

În funcție de rezolubilitatea ecuației (1) planul complex se împarte în doua mulțimi : mulțimea a valorilor lui pentru care ecuația (1) are o soluție unică oricare ar fi membrul drept al ecuației , (prin urmare, operatorul are invers continuu (vezi XII.1.3.) și mulțimea compusă sin celelalte valori ale lui Punctele mulțimii se numesc valori nesingulare ale operatorului U, mulțimea se numeste mulțime caracteristică a operatorului U.

În mod analog vom introduce mulțimea a acelor pentru care ecuația are o soluție unică , pentru orice membru drept și mulțimea complementară

Punctele mulțimii se numesc valori regulare ale operatorului U iar însăși mulțimea se numește spectrul operatorului U.

Dacă pentru o valoare a lui ecuația omogenă

(2)

are soluții diferite de zero atunci se numește valoarea caracteristică a operatorului U. Evident mulțimea atuturor valorilor caracteristice este conținută în mulțimeaFiecare soluție a ecuației (2)se numește element(vector) propriu corespunzător valorii caracteristice date.Mulțimea

se numește subspațiul rădăcină iar dimensiunea lui (finită sau infinită ) se numește multiplicitatea valorii caracteristice Numărul r de mulțimi distincte din șirul se numește rangul valorii caracteristice

Dacă în locul ecuației (2) considerăm o ecuație omogenă corespunzătoare ecuației

atunci ajungem la noțiunea de valoare proprie (sau număr propriu) de element (sau vector) propriu și de subspațiu rădăcină corespunzător valorii proprii date care au fost deja definite pentru operatorii în spațiul Hilbert.

Să observăm că dacă U este operator autoadjunct într-un spațiu Hilbert și este o valoare proprie a sa atunci rangul ei r =1 adică

(3)

și de aceea în acest caz subspațial rădăcina este adică se compune din toți vectorii proprii ai operatorului U

Să demonstrăm relația (3). Deoarece valorile proprii ale unui operator autoadjunct sunt reale operatorul și toate puterile sale sunt operatori autoadjuncți. Omitând pentru simplificare indicele și alegând vom avea pentru

de unde

Continuând astfel ajungem la egalitatea adică și deci . Incluziunea opusă are loc pentru un operator arbitrarar. Astfel

Dacă se consideră mai departe un arbitrar, atunci alegând k astfel încât vom avea incluziunile evidente De aici

Vom menționa acum o legătură simplă între spectrul mulțimii caracteristice a unuia și aceluiași operator U. Este ușor de văzut că dacă atunci

și invers. Evident în același mod sunt legate și valorile caracteristice cu valorile proprii ale operatorului U. Aici este important să avem învedere că elementul propriu corespunzător valorii caracteristice va fi totodată elementul propriu corespunzător valorii proprii și reciproc . Mai departe deoarece pentru observația anterioară se extinde și la subspațiile proprii. Din această cauză nu este necesar să distingem noțiunile de vector propriu corespunzător unei valori caracteristice și de vector propriu corespunzător unei valori proprii fapt care se reflectă și în terminologia introdusă mai sus.

Legătura indicată între mulțimea caracteristică și spectru permite să se considere , după cum este comod, doar una dintre aceste două noțiuni paralele și , în esentă, echivalente dând ambele formulări numai în cazuri excepționale

Vom enunța acum câteva propoziții simple legate de noțiunile introduse mai sus.

Relația este echivalentă cu existența inversului bilateral continuu

Mulțimea valorilor nesingulare este deschisă și prin urmare mulțimea caracteristică este închisă.

Aceasta rezultă din teorema care afirmă că dacă un operator are invers continuu, atunci și un operator suficient de apropiat de normă de aceasta are invers continuu (V.4.6) În cazul nostru

astfel încât dacă există atunci pentru diferența suficient de mică, va exista și

Discul

este conținut în mulțimea ; prin urmare spectrul este în întregime conținuți în discul

Pentru a stabili valabilitatea acestei afirmații este suficient să aplicăm teorema lui Banach privind operatorul invers.

Mulțimile sunt dispuse simetric față de axa reală.

Întradevăr

iar conform teoremei XII.2.4. operatorii există în același timp.

Dacă X este spațiu cu structură reală , Iar U operator real, atunci mulțimea este simetrică față de axa reală. În afară de aceasta dacă este un vector propriu corespunzător , atunci valorii caracteristice îi va corespunde vectorul propriu

Întradevăr

de unde rezultă că egalitatățile sunt echivalente.

Observație. În punctul s-a definit spectrul în cazul unui operator autoadjunct în spațiul Hilbert. Teorema demonstată acolo stabilește echivalența celor două definiții.

3.2. În cazul în care U este operator compact structura mulțimii caracteristice poate fi descrisă suficient de complet.

Teorema 1. Dacă U este un operator compact atunci

mulțimea caracteristică este formată numai din valori caracteristice adică ; pe lângă aceasta fiecare valoare caracteristică are multiplicitate finită

pentru orice discul conține doar un număr finit de valori caracteristice.

dacă și dacă este un element propriuzis corespunzător lui iar este un element propriu corespunzător lui atunci

Demonstrație. a) Conform teoremei XIII.1.4. dacă atunci ecuația omogenă (2) are o soluție nenulă. Faptul că subspațiul propriu este finit-dimensional rezultă din lema 2. Întradevăr confor acestei leme, există un astfel încât De aceea în acest caz, subspațiul propriu este . Dar

unde

este evident operator compact. De aceea pe baza teoremei deja menționate mulțimea soluțiilor ecuațiilor omogene

formează un subspațiu finit-dimensional, iar

b) Să presupunem contrariul anume că într-un disc este conținută o mulțime infinită de valori caracteristice. Să alegem din această mulțime un șir de valori caracteristice distincte un șir de vectori proprii nenuli corespunzători

Vom arăta (prin inducție)că pentru orice n = 1,2, …. elementele sunt liniar independente.Pentru n =1 aceasta este adevărată. Să presupunem că propoziția este adevărată pentru . O vom verifica atunci pentru elementele . Presupunând contrariul vom avea

de unde în virtutea relației (4)

Introducând această expresie în egalitate precedentă vom găsi

Deoarece

abținem astfel elementele sunt liniar dependente contrar ipotezei inducției.

Să formăm mulțimile . Deoarece conform celor demonstrate putem găsi pe baza lemei cvasiperpendicularei elementele astfel încât

(5)

Adică adică dacă

atunci

Totodată

Fie . Să considerăm expresia

conform celor demonstrate și є . Prin urmare

Ca urmare a relațiilor (5)

ar contrazice compacitatea peratorului U întrucât șirul este mărginit

Avem și . Prin urmare

ceea ce este imposibil, în virtutea faptului că numai dacă

În încheiere să remarcăm că dacă U este operator compact într-un spațiu infinit-dimensional X atunci punctul zero aparține spectrului operatorului U

§4. Rezolvența

4.1. Vom continua aici studiul ecuației

(1)

totuși spre deosebire de paragraful precedent ne va interesa acum cazul în care ea admite o soluție unică.

Fie o valoare nesingulară a operatorului U. Operatorul definit din relația

(2)

se numește rezolvența operatorului U. Pentru vom pune

Dacă se are în vedere spectrul și respectiv mulțimea valorilor regulate atunci în locul lui este mai comod să se considere operatorul

(3)

care are sens pentru toate valorile regulate ale operatorului U. Operatorul va fi numit tot rezolvantă. Pericolul de confuzie a celor două noțiuni este exlus deoarece va fi întotdeauna clar din context despre care dintre rezolvante este vorba; în afară de aceasta cele două rezolvante pot fi distinse prin faptul că sunt notate în mod diferit. Să remarcăm că rezolvanta se întâlnește adesea în teoria ecuațiilor integrale , unde este numită rezolvanta Freedholm pe când în teoria în analiza funcțională prin rezolvanta se înțelege de obicei .

Dacă evident

Invers din egalitatea

obținem

Prin urmare pentru

Relațiile (4) și (6) permit reformularea pentru a tuturor propozițiilor demonstrate pentru și reciproc

4.2. Să studiem comportarea rezolvantei pentru mici. Să considerăm seria

Dacă seria converge în spațiul de operatori B (X,X) atunci conform observației la teorema lui Banach suma ei este adică

de unde ca urmare a relației (5)

Această formulă are loc pentru acele valori ale lui pentru care seria (7) converge dacă

și diverge dacă

Ajungem astfel la teorema următoare.

Teorema 1. Rezolvanta admite dezvoltarea (8) în serie după puterile lui a cărei rază de convergență este

Dacă trecem cu ajutorul relațiilor (4) de la rezolvanta la rezolvanta obținem :

Corolar. Rezolvanta admite dezvoltarea în serie după puterile lui

4.3. Raza de convergență a seriei (8) poate fi exprinată și în funcție de localizarea mulțimii caracteristice în planul complex.

Vom demonstra mai întâi două propoziții ajutătoare.

Lema 1. Pentru orice are loc egalitatea

Demonstrație. Din relația (5) avem

Înmulțind la dreapta această egalitate cu și apoi la stânga cu obținem

și prin urmare

ceea ce trebuie demonstrat.

Corolar. Operatorii comută, adică

Se demonstrează analog că pentru toți

Lema 2. Rezolvanta este funcție continuă de parametrul în orice punct al mulțimii adică dacă atunci

Demonstrație. Vom demonstra întâi că funcția reală este continuă pe . Dacă U =0, atunci și afirmația este demonstrată. Dacă atunci ceea ce permite demonstrarea continuitatii funcției .

Din (9) obținem

Prin urmare

de unde obținem rezultatul dorit.

Să stabilim acum continuitatra lui . Deoarece mulțimea este deschisă , iar există un disc conținut în întregime în . Funcția continuă este mărginită pe acest disc, fie de exemplu

Conform relațiilor (9) și (10) ,

lema este astfel demonstrată.

Teorema 2. Raza de convergență r a seriei (8) este egală cu distanța de la punctul la mulțimea caracteristică

Demonstrație. În primul rând, deoarece discul converge și prin urmare , pentru acești rezolvanta există, discul respectiv este conținut în mulțimea valorilor nesingulare. De aceea

Să luăm acum un element arbitrar și o funcție arbitrară și să considerăm funcția de variabilă complexă

Să demonstrăm că este regulată pe mulțimea . Întradevăr dacă atunci în virtutea relației (9)

Când membrul drept are limita . Astfel există derivata continuă

Să dezvoltăm funcția în seria Taylor în vecinătatea punctului

Această dezvoltare are sens în orice disc care nu conține puncte singulare ale lui și deci cu atât mai mult în discul Deoarece în virtutea relației (8)

În plus ca urmare a cunoscutei teoreme din teoria funcțiilor de variabilă complexă , seriile coincid astfel încât seria (12) converge pentru

Să luăm arbitrar. Din convergența seriei (12) pentru rezultă că

și prin urmare , deoarece f este arbitrară

Dar un șir slab convergent este mărginit (VIII.1.1.)

Deoarece această inegalitate este îndeplinită pentru orice iar spațiul X este complet, atunci conform teoremei VII.1.1,

De aceea

și

Deoarece poate fi luată arbitrar de aproape de . Tinând seama și de inegalitatea , demonstrată mai sus obținem de aici ceea ce trebuie demonstrat

Observația 1. Fie o valoare nesingulară a operatorului U. Ca și mai sus se poate observa dezvoltarea

care are loc în discul unde este distanța de la punctul până la mulțime caracteristică sau, ca și în teorema 1

Înlocuind rezolvanta prin rezolvanta obținem următorul rezultat.

Corolar 1 . Dezvoltarea

are loc pentru este raza celui mai mic disc cu centrul în origine care conține în întregime spectrul.

Numărul 1/r se numește raza spectrală a operatorului U.

Observația 2. Dacă U este un operator autodjunct în spațiul Hilbert atunci conform punctului IX.5.3. Împreună cu rezultatul corolarului la teorema 1 aceasta ne conduce la relația interesantă

Corolar 2. Spectrul al unui operator liniar continuu U într-un spațiul Banach complex, nevid.

Demonstrație. Dacă atunci luând în considerare legătura între obținem că mulțimea a valorilor nesingulare este întreg planul complex. Deoarece putem considera avem pentru orice operatorul . Fie Să luăm .

Analog cu demonstrația teoremei 2 obținem funcția

este regulată în tot planul complex

Deoarece continuu de unde obținem ca în lema 2 că pentru Pr in urmare în virtutea relației (6),

Așadar este mărginită, de unde conform teoriei lui Liouville este identic egală cu o constantă care evident nu poate fi decât zero. Totuși Contradicția obținută demonstrează corolarul.

Să remarcăm că dacă am fi încercat să definim spectrul unui operator U într-un spațiu real într-un mod analog celui folosit la punctul 3.1. spectrul ar fi putut fi mulțimea vidă. Aceasta este principala cauză pentru care considerăm cazul complex.

4.4. Să aplică rezultatul demonstrat la studiul convergenței metodei aproximațiilor succesive pentru ecuația

(15)

După cum s-a arătat în secțiunea V.5.1. convergența seriei

(16)

asigură convergența metodei aproximațiilor succesive pentru orice aproximație inițială cu care se începe procesul de aproximare succesivă. Punând în relația (14) ajungem la următorul criteriu de convergență a metodei aproximațiilor succesive pentru relația (15)

Teorema 3. Dacă spectrul operatorului U se află în discul atunci metoda aproximărilor succesive pentru ecuația (15) converge pentru orice și orice aproximare inițială Dacă însă există puncte de spectru în afara discului atunci există o mulțime reziduală* astfel încât pentru procesul de aproximații succesive pentru ecuația (15) începe de la O, diverge

Avem de demonstrat doar partea a doua a teoremei. Să observăm că în acest caz

și ca urmare a observației la teorema VII.1.1

(17)

pentru toți cu excepția poate, doar a unei mulțimi G de primă categorie în X. Dar convergența procesului de aprximații succesive început de la este echivalentă cu convergența seriei

iar conform relației (17) această serie diverge dacă

Observația 1. Dacă operatorul U este astfel încât toate punctele diferite de O ale spectrului său sunt valori proprii atunci teorema poate fi dată într-o formă mai precisă. Anume în acest caz , pentru convergența metodei aproximațiilor succesive este necesar și suficient ca toate valorile proprii ale operatorului U să se afle în discul

Întradevăr conform teoremei demonstrate , dacă metoda aproximațiilor succesive converge, spectrul operatorului U se află în discul . Dacă presupunem că există o valoare proprie pe cercul atunci punând în ecuația (15) unde este un vector propriu corespunzător valorii proprii și alegând abținem următoarea expresie pentru aproximația de ordin n

care nu are limită.

Observația 2. Rezultatul teoremei și observației 1 se simplifică considerabil dacă operatorul U din ecuația (15) este operator autoadjunct într-un spațiu Hilbert. Ținând cont de observația 2 din secțiunea 4.3. avem în acest caz : pentru convergența metodei aproximărilor succesive pentru ecuația (15) este suficient ca Dacă toate punctele diferite de zero ale spectrului sunt valori proprii, atunci această condiție este și necesară.

Să reformulăm teorema 3 în termeni de mulțime caracteristică.

Teorema Dacă mulțimea caracteristică a operatorului U se află în discul metoda aproximărilor succesive pentru ecuația (15) converge spre orice și orice aproximație inițială Dacă în discul se găsesc puncte ale mulțimii caracteristice , atunci există a mulțime reziduală astfel încât dacă procesul de aproximare succesivă început de la diverge. În legătură cu această teoremă se pot face observații analoage observațiilor 1. 2

4.5. Dacă U este un operator compact , atunci rezultatelor teoremelor 1 si 2 li se adaugă fapte mai fine , relative la comportarea rezolvantei în vecinătatea unor valori caracteristice.

Un operator liniar continuu V va fi numit finit-dimensional dacă el aplică spațiului X într-un subspațiu finit-dimensional Să alegem în un sistem complet de elemente liniar independente Prin definiție , pentru arbitrar

Coeficienții depind evident de x. Punând ne convingem că funcționalele sunt liniare și continue.: liniaritatea nu ridică nici un dubiu iar continuitatea rezultă din faptul că dacă un șir de elemente ale unui spațiu normat finit-dimensional converge către zero atunci și fiecare coordonată tinde către zero.

Obținem astfel

(18)

Reciproc orice operator V reprezentabil sub forma (18) va fi desigur finit-dimensional.

Să remarcăm că un operator finit-dimensional este în mod necesar compact.

Să considerăm acum un operator finit compact U și fie o valoare caracteristică a sa. Este variabilă :

Teorema 4. Operatorul U poate fi reprezentat sub forma

unde este un operator finit-dimensional, este compact iar mulțimea caracteristică a operatorului se compune doar din punctul pe când mulțime caracteristică a lui se obține prin înlăturarea punctului din mulțimea caracteristică a lui U.

punerea operatorului U în suma indicată în teorema 1.1. îndeplinește condițiile date.

Vom folosi notațiile din teorema 1.1. Să verificăm că operatorul are unica valoare caracteristică Întradevăr dacă și prin urmare , pe baza definiției operatorului

și este valoarea caracteristică a operatorului

Dacă

pentru un atunci deoarece vom avea și prin urmare astfel că dar

În virtutea egalității (19)

ceea ce este posibildoar pentru

Astfel unica valoare caracteristică a operatorului este

Să demonstrăm acum afirmația teoremă asupra mulțimii caracteristice operatorului

Deoarece conform teoremei 1.1. operatorul are invers 1 nu este valoarea caracteristică a operatorului Fie o valoare catacteristică a operatorului U și un vector propriu corespunzător . Dacă cumva atunci raționând ca și mai sus, am obține

De aceea în descompunerea

trebuie să avem În virtutea unicității descompunerii (20) din relația

obținem adică este valoarea caracteristică a operatorului

Invers , fie o valoare caracteristică operatorului și este un vector propriu asociat . Deoarece

avem adică este valoarea caracteristică a operatorului U.

Ce lelalte afirmații ale teoremei sunt conținute în teorema 1.1.

Teorema este astfel demonstrată.

4.6. O imagine mai completă a comportării rezolvantei în vecinătatea unei valori caracteristice se poate obține pe baza următoarei teoreme.

Teorema 5. Fie o valoare caracteristică a operatorului U. Atunci într-o vecinătate suficient de mică a punctului are loc dezvoltarea

aici r este rangul valorii caracteristice ; iar operatorii sunt finit-dimensionali; operatorul

Seria din numărul drept al relației (21) converge în spațiul de operatori B(X, X)

Demonstrație. Ca și în demonstrația teoremei precedente, vom considera Să remarcăm de la început că , pe baza lemei 2, din secțiunea 1.1. rangul valorii caracteristice este finit. Folosind notațiile teoremei 1.1. pe baza observației la această teoremă , vom observa că

Reprezentând elementul sub forma

și asociind elementul x elementului și elementul vom construi operatorii , proiectorii apațiuluiX pe subspațiile În virtutea aceastei estimări (9) din cap. 1 , acești operatori sunt continui. Să remarcăm că

Să considerăm un element arbitrar . Elementul este soluția ecuației

Înlocuind aici și tinând cont că putem pune ecuația (22) sub forma unui sistem de douî ecuații

Observând că , prima ecuație se poate scrie sub forma

unde am notat, . În virtutea teoremei 4, este valoare regulată a operatorului . De aceea pe baza observației la teoreme 2 dacă este suficient de mic, rezolvanta admite deuvoltarea

unde seria din membrul drept converge în spațiul . Astfel putem scrie

unde și seria din membrul drept converge ca și mai ănainte în spațiul .

Să ne ocupăm acum de a doua ecuație (23)

Să formăm spațiul cât

și să notăm onomorfismul natural al spațiului . Spațiul este evident finit-dimensional. Să alegem în el un sistem complet de elemente liniar independente și fie elemente ale lui astfel încât Elementele fac parte din . Pe lângă aceasta imaginile lor sunt liniar independente deoarece dacă

atunci

altfel spus,

și prin urmare

ceea ce este posibil doar pentru

Să competăm sistemul de elemente cu elemente astfel ca să obținem o bază în . Să alegem apoi astfel că

Continuând să raționăm în acest fel construim pentru fiecare elementele astfel că

În plus elementele

formează pentru fiecare bază în spațiul

Să notăm

Ca urmare a relațiilor (25)

Vom demonstra acum că elementele formează un sistem complet de elemente liniar independente în

Fie

Deoarece prin aplicarea operatorului obținem

și prin urmare Ne convingem analog că și ceilalți coeficienți sunt egali cu zero. Să considerăm acum un element arbitrar Elementul și de aceea există coeficienții astfel încât

De aceea

Continuând prin aceste raționamente asemănătoare obținem în cele din urmă că există astfel încât

și prin urmare

Fie x un element arbitrar din X . Elementul , de unde

și după cum s-a observat în secțiunea 4.5. coeficienții sunt functionale liniare. Dacă notăm

atunci pe baza celor spuse va fi operator continuu din X pe iar

Luând în considerare relația vom scrie membrul drept al celei de a doua ecuații (23) sub forma după care vom înlocui operatorul

Aplicând ambilor membri ai acestei egalități operatorul , tinând cont de (28) obținem

dar

de aceea ca urmare a incluziunii (26)

Folosind această relație putem scrie ecuația (29) într-o formă mai simplă

Din (30) găsim

și prin urmare , pe baza ecuației (31)

și în general pentru orice

Din egalitățile obținute deducem

unde sunt constante și Introducând aceasta în (32) obținem

unde operatorii sunt combinații liniare de operatori de forma și pe baza punctului b) din teorema 1.1., rezultă că operatorii

aplică spațiul X în și prin urmare , sunt finir dimensionali. Apoi din egalitatea (32) se vede că

De aceea dacă de exemplu atunci din relațiile (25)

astfel încât

Din relațiile (24) și (33) obținem dezvoltarea dorită a rezolvantei . Teorema este în întregime demonstrată.

Observație. Dacă U este operator autoadjunct într-un spațiu Hilbert, teorema poate fi întrucâtva precizată , deoarece în acest caz r = 1 și prin urmare , în dezvoltarea (21) va apărea doar un singur termen cu exponent negativ al lui anume Nu vom da formularea amănunțită a rezultatului corespunzător deoarece a fost deja formulat în secțiunea IX.4.5

§5. Altermativa Fredholm

În acest paragraf vor fi menționate condițiile pe care trebuie să le îndeplineascăun operator liniar continuu T care aplică spațiul Banach X în el însuși , pentru ca să aibă loc alternativa Fredholm. În particular se va vedea că dacă o putere a operatorului liniar U este operator compact , atunci pentru T = I – U este valabilă alternativa Fredholm. Rezultatele expuse mai jos aparțin lui S.M Nikolski

5.1. Să considerăm ecuația

și adjuncta ei

Vom considera de asemenea ecuațiile omogene corespunzătoare

Amintim că valabilitatea alternativei Fredholm pentru operatorul T înseamnă că :

fie ecuațiile (1) și (2) au soluții pentru orice membru drept și atunci soluțiile lor sunt unice

fie ecuațiile omogene (3) și (4) au același număr infinit de de soluții liniar independente respectiv , în acest caz pentru ca ecuația (1) respectiv ecuația (2) să aibă soluție , este necesar și suficient ca

respectiv ca

În plus soluția generală a ecuației (1) este dată de egalitatea

iar soluția generală a ecuației (2) de

unde (respectiv ) este o soluție oarecare a ecuației (1) iar sunt constante arbitrare

Teorema următoare arată că clasa operatorilor T pentru care are loc alternativa Fredholm se deosebește în esență puțin de clasa operatorilor de forma T = I – U , unde U este operator compact.

Teorema 1. Fiecare din următoarele două condiții este necesară și suficientă pentru ca alternativa Fredholm să aibă loc pentru operatorul T.

1. Operatorul T poate fi reprezentat sub forma

unde operatorul W are invers bilateral continuu, iar operatorul V este compact.

2. Operatorul T poate fi reprezentat sub forma

unde operatorul are invers bilateral continuu, iar operatorul este finit dimensional.

Demonstrație. Evident ne putem mărgini la demonstrarea suficienței condiției 1) și necesității condiției 2)

Suficiența condiției 1) Fie

unde W are invers bilateral continuu, iar V este compact. Ecuația (1) este echivalentă în acest caz cu ecuația

Mai departe există operatorul invers bilateral de aceea ecuația (2) este echivalentă cu ecuația

în sensul că dacă este o soluție a ecuației(6) atunci va fi soluție a ecuației (2) iar dacă va fi soluția ecuației (2) atunci va fi soluția ecuației (6)

Să introducem notația Tinând cont de faptul că putem reprezenta ecuațiile (5) și (6) sub forma

Deoarece operatorul U este compact pentru ecuațiile (7) și (8) este valabilă concluzia teoremei 1.4. Prin urmare ecuațiile omogene

au același număr(finit) de soluții liniar independente Ecuația omogenă (3) va avea evident același sistem complet de soluții liniar independente ca și ecuația (9) anume. Să demonstrăm că funcționalele

formează un sistem complet de soluții liniar independente ale ecuației(4). Faptul că fiecare din funcționale(11) este soluția ecuației (4) rezultă dinechivalența ecuațiilor (2) și (6) menționate mai sus. Funcționalele (11) sunt liniar independente deoarece relația

rezultă

ceea ce este posibil doar dacă În sfârșit dacă ecuația (4) ar avea o soluție care să nu fie combinație liniară de funcționale (11) atunci funcționala ar fi o soluție a ecuației (10) care ar fi o conbinație liniară de funcționale ceea ce nu ar fi posibil.

Astfel ecuațiile (3) și (4) au același număr finit de soluții liniar independente . Apoi pe baza teoremei 1.4. ecuația (5) și prin urmare și ecuația (1) are soluție atunci și numai atunci când

Această condiție este echivalentă , în virtutea definiției (11)

Analog se verifică faptul că pentru solubilitatea ecuației (2) condițiile

sunt necesare și suficiente.

Necesitatea condiției 2). Fie sisteme complete de soluții liniare independente ale ecuașiilor (3) și (4). Folosind teoreme V.4.7. și lema III.3.1. vom găsi funcționalele și elementele

Să notăm Fiecare element poate fi reprezentat unic sub forma

Întradevăr dacă punem

atunci în virtutea relației (14)

deci ecuația are soluție și prin urmare . Unicitatea reprezentării (15) rezultă din faptul că dacă

atunci ecuația trebuie să aibă soluție și de aceea

Să notăm acum

Se demonstrează analog că fiecare element poate fi reprezentat în mod unic sub forma

Vom construi operatorul W1 punând

și vom demonstra că W1 realizează o aplicație bijectivă a spațiului X pe el însuși și prin urmare are un invers bilateral continuu

Pentru aceasta fie y un element arbitrar din X, reprezentarea lui sub forma (15). Aici

adică ecuația are o soluție care poate fi considerată a fi un element din

Punând

și tinând cont că și totodată de relația (13) obținem

Să arătăm că în afară de elementul x nu există alte soluții ale ecuației y. Întradevăr în caz contrar ar exista un element astfel că

adică

Aici iar

În virtutea unicității reprezentării unui element sub forma (15) ajungem la relațiile

Pentru a încheia demonstrația teoremei este suficient să definim

Observație. Propunem cititorului să demonstreze dacă operatorul T este înlocuit în condițiile 1) sau 2) prin operatorul se obțin două condiții de asemenea necesare și suficiente pentru ca alternativa Fredholm să aibă loc pentru operatorul T .

5.2. Expunerea ulterioară se bazează pe 2 leme simple

Lema 1. Fie A și B doi operatori liniari continui care aplică spațiul narnat X în el însuși. Dacă acești operatori comută iar operatorul C = AB are invers (bilateral ) atunci și operatorii A și B sunt inversabili

Demonstrație. Să demonstrăm întâi că operatorii A și comută, întradevăr avem

Înmulțind această relație la dreapta cu obținem Mai departe folosind faptul demonstrat că A și comută putem scrie

de unde rezultă că există Analog se demonstrează că există

Observație. Dacă operatorul este continuu atunci și operatorii și vor fi continui.

Lema 2. Fie U un operator continuu în spațiul X . Mulțimea caracteristică a operatorului U și mulțimea caracteristică a operatorului sunt legate prin relația

adică dacă,

Demonstrație. Să notăm Avem

Dacă atunci punând

rezultă că există inversul continuu Prin urmare pe baza observației la teorema 1 există inversul continuu

5.3. Presupunând că X este spațiul Banach , ca în secțiunea 5.1. să considerăm un operator liniar continuu U în X .

Teorema 2. Să presupunem că emistă un număr natural m astfel încât operatorul să fie compact. Atunci pentru operatorul este valabilă alternativa Fredholm.

Demonstrașie. Conform lemei 2 mulțimea caracteristică constă din puncte izolate, de aceea pe cercul unitate al planului complex se află doar un număr finit de puncte

Dacă p parcurge mulțimea tuturor numerelor prime numerele

sunt distincte și de aceea pentru suficient de mare

Se poate presupune că m este un număr prim și că . Să scriem descompunerea

unde

Ca urmare a relației (17) operatorii sunt inversabili și prin urmare există operatorul continuu Dar atunci

Deoarece operatorul este inversabil iar operatorul este compact se poate aplica teorema 1 .

Teorema este demonstrată

5.4. Teorema asupra mulțimii caracteristice a unui operator compact se extinde la operatorii de forma considerată în teorema anterioară . Anume are loc

Teorema 3. Dacă pentru un m oarecare operatorul este compact atunci

1) mulțimea caracteristică a operatorului U constă numai din valori caracteristice iar fiecare valoare caracteristică are rang finit și subspațiul propriu corespunzător este finit dimensional ; 2) în fiecare disc al planului complex se află numai un număr finit de valori caracteristice

Demonstrație. Ținând seama de rezultatul lemei 2 ne putem limita la demonstrarea primului punct al teoremei. În plus prima parte rezultă în mod evident din teorema 2. Prin urmare rămâne de demonstrat doar finitudinea dimensiunii subspațiului propriu corespunzător.

Fără a se restrânge generalitatea se poate presupune că valoarea proprie considerată este Pe baza dezvoltării (18) se poate scrie

Deoarece operatorii comută întrei ei avem

De aici rezultă că

Astfel deoarece este operator compact și ținând seama că pentru astfel de operatori afirmația a fost deja stabilită putem conchide pe baza relației (19) că această afirmație este valabilă și în cazul considerat.

În încheiere să dăm un exemplu de operator liniar continuu U care nu este compact dar este compact.

Fie X unul din spațiile Pentru să punem

Evident

Observație. Întrucât teoremele din cap. 4 demonstrate pentru operatorii comnacti, au folosit doar acele proprietăți ale operatorilor compacți care sunt incluse în teorema 1.1. și teorema 3.1. iar acele teoreme se extind fără modoficație la cazul operatorilor de forma considerată mai sus, rezultatele mentionate sunt de asemenea adevărate dacă se presupune doar că o anumită parte a operatorului U este compactă.

§6. Aplicații la ecuații integrale

6.1. Vom considera ecuația integrală

în ipoteza că nucleul este conținut în pătratul Dacă termenul integral este privit ca operator liniar în spațiul atunci ecuația (1) este de tipul ecuațiilor studiate în paragrafele anterioare.

Am putea considera ecuații integrale mai generale decât (1) și anume

unde T este o mulțime închissă arbitrar în spațiul euclidian n dimensional Dar tot ce va fi demonstrat pentru ecuația (1) poate fi generalizat la ecuația fără nici o schimbare esențială a demonstrațiilor ; având în vedere acest fapt vom considera cazul simplu reprezentat de (1)

Operatorul integral U

considerat ca operator din are norma

și este compact (IX.2.1.)

Scriem ecuația (1) sub forma

Soluția a acestei ecuații, se exprimă în funcție de y prin formula

și conform teoremei 4.1. poate fi dezvoltată în serie de puteri

convergentă pentru orice

unde

iar r este distanța de la punctul la mulțimea caracteristică a operatorului U . În acest caz seria (4) este convergentă pentru

După cum s-a arătat în V.3.8. puterile operatorului U sunt de asemenea operatori integrali. Anume

unde sunt nuclee iterate

Înlocuind (5) în (4) obșinem dezvoltarea în serie după puterile parametrului a soluției ecuației integrale (1)

Seria este uniformă convergentă în raport cu

Întrucât seria

…… (6)

converge în spațiul operatorilor din

Ca urmare pentru orice fixat , seria

(7)

converge în spațiul uniform în raport cu . Suma acestei serii, funcția se numește rezolvența ecuației integrale(1). Este limpede că

și ca urmare a formulei (4) poate fi scrisă sub forma

Dacă conform teoremei 1.3. șirul de aproximații succesive pentru ecuația (3) converge ceea ce aplicat la ecuația integrală (1) conduce la următorul rezultat : pentru valorile indicate ale lui soluția ecuației (1) poate fi obținută ca limita unui șir uniform convergent de funcții continue definite prin formula de recurență

unde este o funcție continuă arbitrară.

6.2. Dacă nucleul se anulează pentru atunci ecuația (1) poate fi scrisă sub forma

Ecuațiile de acest tip se numesc ecuații integrale Volterra.

Este ușor de verificat că nucleele iterate ale ecuației Volterra de asemenea se anulează pentru

Presupunând că nucleul este continuu pentru vom demonstra că dezvoltarea (4) este adevărată pentru orice complex adică

Întradevăr pentru mărginirea este trivial satisfăcută și dacă (9) este adevărată pentru atunci

de unde

Rezultă în acest mod că și că un operator integral de tip Volterra nu are valori caracteristice.

6.3. Vom demonstra din nou ecuația (1). Deoarece operatorul (2) este compact pentru ecuația (3) este adevărată alternativa Fredholm. Aceasta conduce la următorul rezultat privind ecuația (1)

Teorema 1. Sau ecuația (1) are soluția continuă oricare ar fi funcția continuă sau ecuația

are un număr infinit de soluții liniar independente În aceaste condiții ecuația

are de asemenea n soluții continue liniar independente În acest caz ecuația (1) are soluție dacă și numai dacă

Valorile pentru care ecuația (10) admite soluții nenule se numesc valori caracteristice ale ecuației (1) sau ale nucleului Astfel spus valorile caracteristice ale ecuației (1) nu sunt altceva decât valori caracteristice ale operatorului U . Ca urmare pentru cea mai mică în modul valoare caracteristică a ecuației integrale este adevărată estimarea

Utilizând dependența de a soluției ecuației 3 pe baza teoremei 4.5. obținem următorul rezultat.

Teorema 2. Într-o vecinătate a unei valori caracteristice soluția ecuației (1) poate fi reprezentată sub forma

unde sunt funcții ce depind numai de y. Seria din membrul drept converge uniform în raport cu

În acest mod este pentru orice valoare fixă a lui s o funcșie meromorfă decu poli în valorile caracteristice

6.4. Vom considera spațiul este un domeniu mărginit în spațiul n dimensional și ecuația integrală

Presupunem că nucleul satisface condițiile teoremei adică

Atunci conform teoremei amintite mai sus, operatorul intergal U cu nucleul este un operator compact din și ca urmare a ecuației (11) I se aplică toate cele afirmate la relativ la ecuația (1). În particular dacă nucleul este de tip potențial adică

unde este o funcție mărginită, continuă pentru atunci condițiile enumerate mai sus sunt îndeplinite.

Dacă în plus este o funcție continuă și

atunci conform teoremei XI.3.7. operatorul U aplică astfel că în acest caz seriile de puteri care reprezintă soluția în vecinătatea valorilor caracteristice sau vecinătatea originii converg uniform.

Formularea detaliată este lăsată pe seama cititorului.