Ecuatii Diferentiale de Ordinul I Si Metode de Rezolvare a Ecuatiilor Diferentiale de Ordinul Ii

CAPITOLUL 1

Ecuații diferențiale de ordinul I

1.1.Istoric

Teoria ecuațiilor diferențiale și a ecuațiilor cu derivate parțiale reprezintă un domeniu fundamental al matematicii cu numeroase aplicații în diferite domenii ale științei și tehnicii,precum:mecanică,astronomie,termodinamică, optică,elasticitate,chimie,biologie,etc.

Necesitatea creării acestei teorii a început odată cu apariția calculului diferențial și integral ce provine din faptul că numeroase fenomene și procese din natură se modelează matematic prin ecuații diferențiale sau prin ecuații cu derivate parțiale.

Câteva dintre aceste procese ar fi: mișcarea unui punct material într-un câmp conservativ,vibrațiile unui sistem oscilant,căderea liberă a corpurilor,deplasarea unei membrane elastice sub acțiunea unei încărcări continue, propagarea căldurii într-o bară,dezintegrarea radioactivă,creșterea populației,diverse reacții chimice,etc.

Primele contribuții notabile în teoria ecuațiilor diferențiale aparțin creatorilor analizei matematice Isaac Newton (1642-1727) și G.M.Leibniz(1646-1716).

Studiul fenomenelor naturii conduce aproape permanent la ecuații diferențiale(ordinare sau,în general,cu derivate parțiale) sau la sisteme de ecuații diferențiale,pe care le satisfac mărimile variabile care caracterizează un fenomen.

Să luăm fenomenul fizic cel mai simplu care conduce la o ecuație diferențială ordinară de ordinul întâi.

Ecuația fundamentală a dinamicii punctului material se scrie vectorial:

, (1.1)

fiind accelerația punctului de masă m, iar ,rezultanta forțelor care acționează asupra lui.

Să luăm cazul cel mai simplu,când punctul material este obligat să aibă o traiectorie prestabilită,dreapta sau chiar curba.Fie,de exemplu, cazul când traiectoria lui este o dreaptă pe care s-a luat ca axă Ox.

Ecuația (1.1) devine în acest caz

, (1.2)

Componenta X a forței după Ox,depinzând,în general,de poziția mobilului,de viteza lui și de timp.Aceasta este o ecuație diferențială ordinară de ordinul al doilea,care trebuie să dea pe ca funcție de t.Vom considera un caz particular al ecuației (1.2) și anume,să presupunem că X nu depinde de poziția mobilului,adică de .În acest caz,dacă punem:

,

ecuația devine , (1.3)

unde am pus .

Ecuația (1.3) este,relativă la viteza v a mobilului, o ecuație diferențială ordinară de ordinul întâi sub formă explicită.

Deci,orice ecuație diferențială de ordinul întâi are o interpretare în dinamica punctului material.

1.2.Noțiunea de ecuație diferențială

Prin ecuație diferențială se înțelege acea ecuație a cărei necunoscută este o funcție de una sau mai multe variabile și în care pe lângă funcția necunoscută mai participă și derivatele acesteia până la un anumit ordin.

Ordinul maxim al derivatelor participante la ecuație se numește ordinul ecuației.

Dacă funcția necunoscută are o singura variabilă,ecuația diferențială se numește ordinară,iar dacă funcția necunoscută are mai multe variabile atunci ecuația se numește cu ecuație cu derivate parțiale.

Forma generală a ecuației de ordinul I este:

unde (2.1)

este derivabilă,iar este o funcție definită pe o submulțime a lui.

Modelele care conțin o astfel de ecuație diferențială conțin și o ecuație Cauchy:

, (2.2)

Dacă relația (2.1) se poate explicita în raport cu ( definește în funcție de și ) adică:

(2.1’)

spunem că ea are o formă canonică.

Definiția 1:

Se numește soluție a ecuației (2.1) o funcție derivabilă care verifică relația pentru .

Altfel spus,funcția este soluție a ecuației diferențiale dacă prin înlocuire o transformă pe aceasta într-o identitate pe o submulțime a lui .

Definiția 2:

Se numește soluție particulară a ecuației (2.1),o soluție a sa care verifică o condiție Cauchy de forma (2.2).
Mulțimea tuturor soluțiilor particulare formează soluția generală a ecuației.

Observație :

Soluția generală a ecuației (2.1’) este defintă de o familie de funcții descrisă de o constantă arbitrară de formă: (2.3)

Definiția 3:

Soluția singulară a ecuației diferențiale de ordinul I este o soluție care nu se obține din soluția generală particularizând constanta. Asemenea soluție apare datorită existenței unei alternative în procesul de rezolvare.

Observație:

Soluția generală (2.3) definește o familie de curbe a căror ecuație verifică (2.1). Soluția singulară, dacă există,la rândul ei, reprezintă o curbă a cărei ecuație verifică și ea ecuația (2.1).

Întrebarea pe care ne-o punem este:ce relație există între familia de curbe,soluție generală și curbă(sau curbele)și soluție singulară. Un răspuns foarte ușor de demonstrat este dat de următoarea teorema:

Teorema 1:

Dacă ecuația canonică (2.1’) are soluția generală (2.3) care reprezintă o familie de curbe și soluția singulară ce reprezintă curba și dacă prin fiecare punct al curbei trece o curbă din familie, atunci este o înfășurătoare a familiei .

Demonstrație:

Fie un punct ,deci prin care trece curba din familia generală,deci .Există evident, derivabilele și și acestea sunt egale fiindcă ele reprezintă valoarea funcției f din (2.1’) în , adică:

și

Cum reprezintă panta tangentei,rezultă atunci că și au în aceeași tangentă ceea ce motivează afirmația făcută.

Teorema2(Teorema de existență):

Fie problema formată din ecuația (2.1’) și condiția (2.2) adică ; ; în care are proprietățile:

este continuă pe

satisface o condiție Lipschitz în raport cu y adică a.î. avem:

, (2.4)

Atunci: unic determinat,soluție a problemei .

Demonstrație:

Mai întâi să remarcăm că în condițiile teoremei, problema este echivalentă cu ecuația integrală : (2.5)

Într-adevăr,dacă y satisface (2.1’) și (2.3) prin integrare în și obținem (2.5),deci y satisface (P),implică y satisface (2.5).Reciproc dacă y satisface (2.5) se vede că luând , ea satisface condiția (2.3), iar prin derivarea lui (2.5)(f este continuă) se obține (2.1’).

Astfel,aceasta se reduce la rezolvarea ecuației integrală (2.5). Pentru aceasta vom folosi “metoda aproximațiilor succesive”(recurente) a lui E.Picard.

Construim șirul de funcții cu relația de recurența:

(2.6)

despre care vom arăta că:

I.Este uniform convergent pe

II.Limita sa verifică ecuația integrală (2.5).

I.În prima parte a demonstrației trebuie deci,să arătăm că dacă atunci avem deci integrala din (2.6) este definită.

Într-adevăr avem,

Considerăm seria , care are ca șir al sumelor parțiale tocmai șirul .Într-adevăr avem :

Vom arăta că această serie este uniform convergentă ceea ce înseamnă că șirul deci și , este uniform convergent.Uniform convergența seriei va rezulta din inegalitatea:

(2.7)

unde iar este constanta din condiția (2.4).

Stabilim această inegalitate prin inducție.

-pentru avem din (2.5) :

Din -continuă rezultă astfel încat

Presupunem că ea este adevărată până la n-1 și vom dovedi că ea este valabilă și pentru n.Avem în ipoteza deci:

Folosind (2.6) deducem că:

(2.7’)

Din inegalitatea (2.7) rezultă:

Seria cu termenul general din membrul doi al inegalității (2.7’) este convergentă și conform criteriului lui Weierstrass obținem uniform convergența seriei considerate.

II. În a doua parte a demonstrației vom arăta,că verifică relația (2.5)

Pentru aceasta trecem la limită pentru în relația (2.6). Avem deci:

adică:

Vom arăta că :

și atunci rezultă că satisface (2.6).

Pentru aceasta calculăm diferența:

Fie dat. Atunci astfel încât:

,

Folosind aceasta în inegalitatea de mai sus , avem în continuare:

de unde rezultă afirmația făcută.

Cu aceasta,teorema este complet demonstrată.

Observație:

Metoda aproximațiilor succesive a lui Picard folosită în demonstrație,constituie și o metodă de rezolvare a problemei.

Cunoașterea șirului și a limitei sale înseamnă cunoașterea soluției problemei .Pe de altă

parte,fiecare termen al șirului construit cu (2.6) reprezintă o “soluție aproximativă” a problemei , deci această constituie și o metodă aproximativă de rezolvare a problemei de unde numele de metoda aproximațiilor succesive sau recursive.

În afara acestei metode nu se cunosc procedee exacte pentru o problemă cu așa caracter de generalitate ci numai pentru forme particulare ale funcției f din (2.1’).

Mai generale sunt metodele aproximative numerice care au devenit foarte comode în ipoteza folosirii calculatorului.

1.3.Ecuații cu diferențiale totale,ecuații cu variabile separabile

Fie relația :

; (3.1)

Aceasta reprezintă o ecuație diferențială fiindcă este echivalentă cu relația

, care este de forma (2.1).

Din cunoștințele de analiză știm că o expresie de forma , care are forma unei diferențiale, este efectiv “o diferențială”(diferențiala totală exactă) dacă funcțiile și sunt derivabile și

(3.1’)

În aceste condiții există f astfel încât: și funcția este :

(3.2)

unde .

Astfel,prin reamintirea acestor cunoștințe,putem enunța următoarele:

Teorema3:

Fiind dată relația (3.1) în care și au derivate continue pe D și ,atunci soluția ecuației (3.1) este :

(3.2’)

unde și este o constantă arbitrară.

Demonstrație:

Din condiția rezultă că astfel încât unde f este dat de (3.2).Atunci ecuația (3.1) devine , deci , adică :

Notând obținem relația (3.2’) care definește implicit pe funcție de sau funcție de soluție a ecuației (3.1).

Pentru fiecare valoare numerică plauzibilă dată lui obținem o soluție a ecuației (3.1) deci (3.2’) reprezintă soluția generală a ecuației (3.1).

Observația 1:

Uneori ecuația (3.1) nu este o diferențială totală exactă,dar ea devine de acest tip,dacă se înmulțește cu un factor , numit factor integrant.

Care este condiția ca ecuația să fie ecuație diferențială totală ?

Din (3.1’) deducem succesiv:

(3.3)

Ecuația (3.3) se numește ecuația factorului integrant. O soluție a acestei ecuații dă posibilitatea scrierii soluției generale a ecuației (3.1) sub forma :

(3.2’’)

Observația 2:

Dacă funcțiile și sunt funcții numai de ,respectiv de atunci ecuația :

(3.4)

se numește ecuație cu variabile separate și este un caz particular de ecuație cu diferențiale totale fiindcă .

Soluția ei este deci:

(3.4’)

sau cum se mai obișnuiește:

; (3.4’’)

Dacă ecuația este de forma:

( continuă) (3.5)

ea se numește cu variabile separabile putându-se scrie sub forma:

și integra:

sau

Remarcă:

Dacă ecuația are rădăcina , atunci este soluție singulară a ecuației (3.5). Într-adevăr,fiindcă se vede că relația (3.5) este identic verificată de funcția .

Exemplu:

Ecuația se poate scrie sub forma :

Observăm că și prin urmare ecuația este diferențială totală.

Soluția ei generală este deci:

care este soluția generală a ecuației scrisă sub formă implicită.

1.4.Ecuații omogene și reductibile la omogene

Ecuațiile omogene sunt ecuațiile de forma:

(4.1)

unde este o funcție integrabilă pe domeniul în care se face integrarea.

Ecuația (4.1) se numește omogenă fiindcă funcția din membrul II este omogenă de ordinul zero în sensul lui Euler:

Propoziție:

Ecuația (4.1) se transformă într-o ecuație cu variabile separabile prin schimbarea de funcție:

(4.1’)

Demonstrație:

Într-adevăr prin schimbarea (4.1’) avem , deci ecuația (4.1) devine:

de unde

(4.1’’)

adică o ecuație de forma (3.5).

Soluția generală este de forma :

și soluțiile singulare sunt unde este o soluție a ecuației .

Ecuația (4.1) se poate integra și introducând coordonate polare.

Fie:

; ; .

Ecuația (4.1) se scrie:

sau

în care se pot iarași separa variabilele

din care obținem :

Ecuațiile de forma :

(4.2)

se numesc ecuații reductibile la ecuații omogene,deși dupa cum vom vedea ele nu se reduc la omogene în toate variantele furnizate de constantele .

Cazul I :

În acest sens se poate efectua o schimbare și de funcție și de variabilă dată de:

(4.2’)

unde reprezintă soluția sistemului:

(4.2’’)

soluție asigurată de condiția impusă.

Într-adevăr cu (4.2’’) avem și înlocuind în (4.2) avem:

deci conform lui (4.2’’) avem:

care este omogenă fiindcă împărțind în argumentul lui cu avem:

care este de forma (4.1).

Cazul II:

În acest caz putem scrie și deci adică ecuația

(4.2) devine:

Făcând aici schimbarea de funcție:

(4.3)

Obținem:

deci

și apoi ecuația cu variabile separabile:

care se integrează cu metoda cunoscuta.

Cazul III :

Adică și ecuația devine:

adică -constant.

Soluția generală a acestei ecuații este:

Observație:

Ecuația (4.2) are urmatoarele soluții singulare:

În cazul I:

unde este o rădăcină a ecuației .

În cazul II:

unde este de asemenea o soluție a ecuației .

1.5.Ecuații liniare

Ecuația :

a,b-continue (5.1)

se numește ecuația liniară de ordinul I neomogenă.Denumirea de liniară provine de la faptul că expresia (5.1) este liniară în și și neomogenă deoarece are termen liber.

Definiție:

Ecuația

(5.1’)

se numește ecuație liniară și omogenă atașată ecuației (5.1).

Teorema4:

Soluția generală a ecuației (5.1) este de forma :

(5.2)

unde este soluția generală a ecuației liniare și omogene atașată și Y este o soluție particulară a ecuației (5.1).

Demonstrație:

Fie o soluție particulară a ecuației (5.1). Efectuăm schimbarea de funcție ,atunci și înlocuind în ecuația (5.1) obținem:

soluție generală a ecuației (5.1’).

Atunci avem ,adică afirmația teoremei.

Exemplu:

Fie ecuația :

Se observă ușor că este soluție a ecuației,deci ne mai trebuie soluția generală a “ecuației omogene atașată”.

Avem deci soluția generală a ecuației date :

Observație:

Pentru soluționarea ecuației liniare neomogene (5.1) trebuie să știm a gasi soluția generală a ecuației (5.1’) și o soluție particulară a ecuației date (5.1).

Prima soluție o gasim ușor fiindcă ecuația (5.1’) este cu variabile separabile și atunci :

Problema soluționării ecuației (5.1) se reduce la aflarea unei soluții particulare a ecuației date.

Pentru aceasta vom expune o metodă utilizată în rezolvarea ecuațiilor diferențiale și anume,metoda variației constantei(constantelor).Această metodă este rezultatul următoarei propoziții:

Teorema5:

Daca ecuația (5.1’) admite soluția generală,atunci există o soluție:

(5.3)

unde se va determina.

Demonstrație:

Din faptul că verifică (5.1) rezultă că .

Fie . Pentru ca aceasta să verifice (5.1) trebuie ca să avem

de unde

și apoi , adică avem

Exemplu:

Să gasim soluția generală a ecuației de mai sus

Avem,prin urmare.Există deci o funcție , ce verifică ecuația neomogenă. Adică :

Înlocuim în expresia lui și obținem:

Soluția pe care am remarcat-o și mai sus,deci soluția generală a ecuației date este:

1.6.Ecuații Bernoulli

Ecuațiile de forma :

(6.1)

unde și se numesc ecuații Bernoulli.

Corolar:

Ecuația (6.1) se reduce la ecuație liniară prin schimbarea de funcție dată de :

(6.1’)

Într-adevăr,împărțind ecuația (6.1) cu avem:

Efectuând schimbarea (6.1’) avem:

deci :

și atunci ecuația (6.1) devine:

(6.1’’)

care este o ecuație liniară neomogenă.

1.7.Ecuația Riccati

Ecuația diferențială de forma

(7.1)

cu neidentic nulă se numește ecuație Riccati.

Această ecuație nu este așa des întâlnită,dar a stârnit interesul prin proprietățile sale.

Proprietăți:

Dacă este o soluție a ecuației (7.1) atunci prin schimbarea de funcție:

(7.1’)

ecuația (7.1) se transformă într-o ecuație liniară.

Într-adevăr dacă și fiindcă atunci obținem:

adică

care este o ecuație Bernoulli cu p=2 și deci cu schimbarea de funcție obținem o ecuație liniară:

(7.1’’)

Soluția generală a ecuației (7.1) este o funcție omografică de constantă arbitrară.Într-adevăr fiindcă ecuația (7.1’’) este liniară avem,deci :

Notând și avem:

(7.2)

Reciproc orice funcție de forma (7.2) verifică o ecuație Riccati,rezultat ce se obține direct.

Dacă pentru ecuația (7.1) se cunosc două soluții particulare atunci pentru integrarea sa este necesară o singură cuadratură.

Dacă pentru ecuația (7.1) se cunosc trei soluții particulare,atunci soluția generală a ecuației se poate scrie fără nicio cuadratură.

Oricare patru soluții ale ecuației (7.1) au raportul armonic constant.

(7.2’)

Observație:

Toate proprietățile ecuației (7.1) și a soluțiilor sale pornesc de la cunoașterea a cel puțin unei soluții particulare,dar există ecuații care nu pot fi integrate prin cuadraturi.

1.8.Ecuații explicite în y

Se consideră câteva cazuri particulare ale ecuațiilor de forma:

(8.1)

Metodele prin care se determină soluția generală.

A. Cea mai simplă ecuație de aceasta forma este:

(8.2)

Soluția acestor ecuații se determină parametric.

Se notează -parametru,ceea ce implică ;

Din relația:

ori din exprimarea: obținem:

deci

și în caz de integrabilitate avem soluția generală sub forma parametrică:

Forma carteziană a acestei soluții se gasește eliminând .

Parametrul are o semnificație geometrică; el este tangent trigonometric în fiecare punct al curbei.

B.Ecuații Lagrange

Acestea exprimă pe ca funcție liniară de ,cu coeficienții funcției de ,adică

(8.3)

Și aici efectuăm schimbarea care dă .

Derivăm în raport cu x și avem:

și după înlocuirea lui avem:

(8.3’)

Deosebim două cazuri:

Cazul a. Dacă nu este identic nulă,ecuația este efectiv Lagrange și schimbând rolurile lui și avem:

(8.3’’)

care este o ecuație liniară.

Soluția sa generală,după cum știm,este de forma:

unde -funcții derivabile.

Atunci se exprimă de mai sus:

și soluția generală se reprezintă sub formă parametrică:

(8.4)

Observație:

Dacă nu este identic nulă , dar pentru avem atunci este soluție pentru ecuația (8.3’), deci avem soluția :

(8.4’)

care este o funcție liniară și reprezintă o soluție singulară a ecuației (8.3).

Cazul b. Dacă atunci ecuația (8.3) se numește ecuație Clairaut, care este o particularizare a ecuației Lagrange și,după schimbarea folosită obținem din (8.3’):

de unde obținem

sau

(8.4’)

care reprezintă soluția generală a ecuației (8.3) când .

sau

adică soluția singulară:

(8.4’’)

Și aici se constată ușor că (8.4’’) reprezintă o înfășurătoare pentru (8.4’).

Într-adevăr,considerând relația (8.4’) și derivata sa în raport cu parametrul c obținem sistemul:

Exprimând și în funcție de ,obținem ecuațiile parametrice (parametrul ) ale înfășurătoarei:

care coincide cu (8.4’’).

1.9.Aplicații geometrice ale ecuațiilor diferențiale de ordinul întâi

Fie doua familii și de curbe plane,depinzând fiecare de câte un parametru pe care îl notăm respectiv cu și ,

(9.1)

. (9.2)

Se definește în fiecare punct , comun la o curbă și la o curbă , unghiul dintre aceste curbe ca fiind unghiul tangentelor lor în M.

Fig 1.1

Prin urmare,acest unghi este dat de :

(9.3)

Să presupunem că, curbele (9.1) sunt definite de ecuația diferențială:

(9.1’)

și ne propunem să căutăm curbele care le taie în fiecare punct sub un unghi dat .

Ele vor fi soluții ale ecuației diferențiale:

(9.4)

care se obține din (9.3) înlocuind pe cu , iar pe cu și rezolvând apoi în raport cu ; s-a notat cu , care este cunoscută.

Când este constant,avem o familie de traiectorii izogonale ale curbelor (9.1) sau (9.1’).

În cazul particular, , avem traiectoriile ortogonale ale curbelor (9.1).

Ecuația lor este:

(9.5)

și se obține din (9.4) făcând .

Dacă ecuația curbelor este dată sub forma

(9.6)

ecuația traiectoriilor lor izogonale,sub unghiul , astfel ca , va fi:

(9.6’)

iar a celor ortogonale va fi:

(9.6’’)

CAPITOLUL 2

Ecuații diferențiale de ordinul II

2.1. Integrale prime

Cea mai simplă ecuație diferențială de ordinul II este:

(1.1)

Soluția ei generală este un polinom de gradul 1

(1.1’)

adică depinde de 2 constante arbitrare.

Același grad de generalitate prezintă și ecuația generală de ordinul II,pe care putem s-o scriem sub forma:

(1.2)

Dacă se presupune a fi rezolvată în raport cu și să scriem

(1.3)

Integrala ei generală depinde de 2 constante arbitrare.Aceasta se poate vedea imediat dacă considerăm propoziția inversă,anume să considerăm o familie de curbe depinzând de 2 constante arbitrare:

(1.4)

Dacă considerăm și relațiile care se obțin derivând de 2 ori relația (1.4) în raport cu ,vom obține următoarele 2 relații:

, (1.4’)

Se poate întâmpla să gasim ca soluțiile ecuației (1.2) să satisfacă și o altă ecuație,însă de ordinul I , și care conține o constantă arbitrară,fie această ecuație de forma:

(1.5)

O astfel de ecuație,verificată de orice integrală a ecuației (1.2) se numește integrala primă a acesteia.

De asemenea,ecuația (1.2) sau (1.3) poate fi scrisă sub forma unui sistem de 2 ecuații diferențiale de ordinul întâi,dacă punem :

(1.6)

Unei ecuații diferențiale de ordin superior(în acest caz de ordinul II) îi corespund,deci:

O integrala generală ,care conține efectiv atâtea constante arbitrare cât este ordinul ecuației;ea este de forma (1.4);

Integrale particulare,care se obțin dând valori precise constantelor arbitrare;

Integrale prime,care sunt ecuații diferențiale de ordin mai mic cu o unitate;

Integrale singulare ale ecuației,care nu se pot obține particularizând constantele în integrala generală.

2.2.Tipuri de ecuații integrabile sau reductibile la ecuații de ordin inferior

a)Fie ecuația

(2.1)

Ecuația se integrează printr-o cuadratură de forma:

Putem scrie integrala generală însă și sub forma:

(2.2)

fiind un polinom arbitrar. Într-adevăr,să notăm cu

Derivând după regula de derivare sub semnul integrala,obținem

deci este o soluție particulară a ecuației (2.1),iar în (2.2) avem integrala generală care conține 2 constante arbitrare.De altfel,(2.1) este o ecuație diferențială liniară de ordinul 2 cu membrul al doilea.

Observație:

Dacă ecuația este sub formă implicită

(2.1’)

astfel încât ea nu se poate rezolva în raport cu , se pot gasi, întocmai ca în cazul ecuațiilor implicite de ordinul întâi,curbele integrale sub formă parametrică.

Așadar,să presupunem că pentru curba avem urmatoarea reprezentare parametrică:

Vom lua atunci,

, ,

Iar din

deducem

Apoi,punem

Astfel că,în definitiv,vom avea curbele integrale sub forma:

.

b)În cazul în care nu intra explicit în ecuația diferențiala,adică avem o ecuație de forma:

(2.3)

atunci ordinul ei se poate reduce cu o unitate,dacă luăm pe ca variabilă independentă.

Să punem luându-l ca noua funcție necunoscută.Atunci,

,

adică derivata de ordinul 2 în raport cu se exprimă prin derivatele lui în raport cu ,însă aceste derivate nu intervin decât până la ordinul întâi.

c)Ecuația omogenă în și derivatele lui,adică de forma

(2.4)

sunt reductibile la o ecuație de ordin inferior cu o unitate.Facem schimbarea de funcție.

Avem atunci:

deci,ecuația devine

(2.4’)

Punând acum , se vede că ordinul ecuației s-a micșorat cu o unitate.

d)Fie ecuația omogenă în raport cu (care nu se schimbă când înlocuim pe prin și pe prin ). Să punem . Se formeaza o ecuație în , de ordinul ecuației inițiale; suntem astfel în cazul precedent,deoarece nu se schimbă,după cum am mai spus,când inlocuim pe prin , luând apoi pe ca variabilă și pe ca funcție.

2.3.Ecuații liniare și omogene

O clasă foarte importantă de ecuații diferențiale de ordinul II,atât prin proprietățile de care se bucură,cât și prin faptul că ele se întâlnesc foarte des în probleme de fizică matematică și tehnică,sunt ecuațiile diferențiale liniare,adică de gradul întâi atât în funcție necunoscută,cât și în raport cu derivatele ei.

Prin urmare,forma generală a ecuației liniare și omogene de ordinul II este:

(3.1)

sau,cum , putem încă să o scriem sub forma

(3.1’)

Daca ecuația este însă de forma

(3.2)

atunci se numește ecuație cu membru al doilea,neomogenă,sau cu partea a doua.

Din forma însăși a ecuației (3.1),rezultă că dacă sunt doua soluții particulare,adică

atunci și este soluție,oricare ar fi constantele .

Aceasta este proprietatea fundamentală ecuațiilor liniare. Într-adevăr,avem:

Prin urmare,dacă avem 2 integrale particulare, , atunci

(3.3)

este încă o integrala a ecuației (3.1). Aceasta este integrală generală dacă sunt liniar independente,adică nu există între ele nicio relație de forma

(3.4)

-constante,nu ambele nule.

Un astfel de sistem se numește sistem fundamental de soluții. Ca să putem vedea când acesta are loc,adică în ce caz (3.3) este integrală generală a ecuației (3.4),ar trebui ca să putem elimina pe din (3.3) primele 2 derivate și să obținem ecuația (3.1).

În acest sens,vom scrie încă o dată ecuația (3.3) și prima derivată

(3.5)

Din acest sistem trebuie să putem deduce pe și înlocuindu-le în

(3.6)

să obținem ulterior ecuația (3.1). Pentru aceasta este necesar și suficient ca determinantul

(3.7)

să fie diferit de zero.

Acest determinant se numește wronskianul celor 2 funcții sau determinantul lui Wronski.

Reciproc ,dacă , funcțiile sunt în dependență liniară și ele nu pot constitui un sistem fundamental de soluții.

Prin urmare,să considerăm sistemul algebric de 2 ecuații liniare și omogene:

(3.8)

unde – necunoscute.

Dacă ,putem spune atunci că (3.8) admite,pentru soluții,nu toate nule,după teoria sistemelor de ecuații liniare și omogene.

În general,aceste soluții sunt funcții de ,deci nu putem deduce din prima relatie (3.8) că funcțiile sunt în dependență liniară. Așadar,deducem că, condiția necesară și suficientă pentru ca aceste funcții să fie liniar independente este ca .

Observație:

Propoziția nu mai este adevărată dacă funcțiile pentru care , nu sunt presupuse soluții ale unei ecuații liniare de ordinul 2 de forma (3.1’), cu coeficienți funcții continue de .

Daca sunt 2 soluții liniar independente ale ecuației

(3.1’’)

integrala generală a ecuației este dată de

(3.9)

Rezultă, atunci,că dacă este prima integrală particulară a ecuației (3.1’’),ea trebuie să se obțină din (3.9),dând valori particulare lui , deci este de forma:

, adică 3 solutii particulare ale ecuației (3.1’’) sunt întotdeauna în dependență liniară.

De obicei,nu se cere integrala generală a ecuației (3.1’), ci o anumită integrală care satisface anumite condiții. De cele mai multe ori,aceste condiții sunt de forma următoare: se cere soluția care pentru satisface relațiile:

(3.10)

numite condițiile lui Cauchy, fiind dați .

Cunoscând integrala generală (3.9) putem obține ușor integrala particulară care satisface relațiile (3.10), determinând constantele arbitrare prin sistemul :

Aceasta este posibil daca determinantul sistemului,care este tocmai , este diferit de zero,ceea ce are loc dacă sistemul de soluții este fundamental.

2.4.Ecuații liniare și omogene cu coeficienți constant

Cea mai simplă ecuație liniară la care se cunosc ușor 2 integrale particulare este ecuația cu coeficienți constanți:

(4.1)

unde =const. În acest caz,putem obține imediat un sistem fundamental de soluții. Prin urmare,să căutăm o integrala particulară de forma:

, (4.2)

unde -exponent numeric,nedeterminat pentru moment.

Prin derivare,obținem . Înlocuind în (4.1) ecuația devine:

Cum , iar nu se anulează,va trebui ca să avem

(4.3)

Am ajuns astfel la o ecuație algebrică de gradul 2, care se numește ecuația caracteristică a ecuației .

Să presupunem că ecuația caracteristică are rădăcinile distincte . Soluțiile particulare ale ecuației (4.2) sunt atunci :

. (4.4)

Ele sunt liniar independente. Pentru a vedea aceasta formăm wronskianul funcțiilor (4.4)

(4.5)

Sau

(4.5’)

unde este determinantul Vandermonde al celor 2 rădăcini . Cum ele sunt distincte(din presupunerea făcută),rezultă că diferit de zero și el.

Deci integrala generală este o combinație liniară a integralelor particulare (4.4).

2.5.Ecuațiile lui Euler

Pe lângă ecuația liniară cu coeficienți constanți,căreia putem să-i cunoaștem prin operații elementare integralele particulare,o altă clasă de ecuații care se bucură de această proprietate sunt ecuațiile lui Euler,care sunt de forma:

(5.1)

unde sunt constante. Aceste ecuații pot fi aduse la tipul precedent prin schimbarea de variabilă independentă . (5.2)

Avem

,

Prin urmare,

și (5.3)

De aici avem:

(5.4)

Așadar, se prezintă ca o expresie liniară cu coeficienți constanți în .

Cel mai simplu mod de a găsi integralele particulare ale ecuațiilor lui Euler este de forma :

(5.5)

Dacă sunt rădăcinile ei presupuse reale simple,integrala generală a ecuației (5.1) este atunci

.

Dacă și sunt două rădăcini complexe conjugate,integralele particulare corespunzătoare sunt:

2.6.Ecuații liniare neomogene

Ecuația liniară neomogenă este ecuația de forma

(6.1)

În cazul în care se cunoaște o integrală particulară a ecuației cu membrul al doilea,fie ea , atunci rămâne de integrat numai o ecuație liniară omogenă.

Așadar,punem: (6.2)

Atunci

Dar,prin ipoteză, , de unde rezultă că rămâne ,adică este o soluție a ecuației omogene.Cum avem

(6.3)

fiind 2 integrale particulare ale ecuației omogene,rezultă că integrala generală a ecuației (6.1) este de forma

Totul revine,deci,la găsirea unei integrale particulare a ecuației (6.1).Dacă ecuația este cu coeficienți constanți , putem gasi în unele cazuri prin încercări,integrale particulare.

CAPITOLUL 3

Aplicații

1.Fie ecuația .Să se determine soluția generală a acesteia.

Rezolvare:

Ecuația este de tip Bernoulli cu și .

Împărțind cu obținem:

Efectuăm schimbarea de funcție , adică .

Dar , deci . Atunci ecuația este : ,care este o ecuație liniară.

Considerăm ecuația omogenă:

Observăm că este soluție particulară,atunci: și apoi

care este soluția generală a ecuației.

2.Fie ecuația de tip Riccati . Care este soluția generală a acestei ecuații?

Rezolvare:

O soluție particulară este .

Efectuăm atunci schimbarea de funcție adică și avem:

Ecuația omogenă corespunzătoare este:

Căutăm o soluție particulară a ecuației de forma :

Înlocuind în ecuația neomogenă obținem:

Avem deci soluția particulară

Rezultă că soluția generală a ecuației liniare este:

Dar

Notăm cu și avem atunci

, -constantă.

3.Fie ecuația explicită în ,. Să se determine soluția generală a acesteia.

Rezolvare:

Notăm

Soluția generală este sub formă parametrică , și anume:

Soluția generală este deci:

4.Să se rezolve ecuația de tip Clairaut .

Rezolvare:

Notăm , de unde . Derivăm în raport cu și obținem:

Dacă și deci soluția este:

Dacă ,adică soluția este :

După eliminarea lui obținem parabola: .

5.Să se rezolve ecuația .

Rezolvare:

Întru-cât , ecuația este Lagrange.

Notăm deci și avem:

Derivăm în raport cu obținând:

Prin urmare:

, adică

Dacă presupunem ecuația este liniară în funcția necunoscută , adică:

Ecuația omogenă corespunzătoare este:

Integrăm și obținem:

-soluția generală a ecuației.

Determinăm o soluție particulară a ecuației neomogene cu metoda variației constantelor.

Avem: și înlocuind în ecuația liniară avem:

Prin integrare avem:

Soluția generală a ecuației este:

sau

Notăm și avem :

Înlocuind pe în expresia lui obținem :

Soluția generală este deci :

Dacă atunci ecuația este verificată de funcția constantă . Aceasta dă pentru ecuația initială singulară :

.

6.Se consideră ecuația . Să se determine integrala generală a acesteia.

Rezolvare:

Condiția de a fi o diferențială totală exacta, este satisfăcută,deci euația se poate integra.

Fie valorile inițiale.Avem:

Însă

deoarece ,

iar

Deci,integrala generală este:

7.Fie .

Rezolvare:

În aceasta ecuație putem separa variabilele.Într-adevăr, împărțind cu , obținem

Integrala generală,dată sub forma implicită,este:

Sau prin integrare:

8.Fiind considerată ecuația omogenă următoare,să se găseasă soluția acesteia

Rezolvare:

Punând ,ecuația devine

, de unde , deci

Dar

Așadar,

După efectuarea calculelor,se obține

Prin integrare,avem:

de unde

Dar ,deci soluția ecuației date este:

9.Să se integreze ecuația ,care este o ecuație reductibilă la ecuații omogene.

Rezolvare:

Deoarece dreptele și sunt concurente în punctul ,

facem translația

, .

Ecuația devine

care este omogenă.

Așadar,punem deci, și obținem:

, .

Separăm variabilele

De aici avem:

sau

Dar .

Integrala generală a ecuației propuse este,deci :

.

10.Să considerăm ecuația

care este o ecuație de tip Riccati. Se cere să se afle soluția generală a acesteia.

Rezolvare:

O soluție particulară a acestei ecuații se observă că este .

Așadar,facem subsituția:

și găsim ecuația:

sau

,

ecuație liniară,care integrată ne dă

Deci

sau încă

Se vede acum că soluția particulară corespunde lui .

11.Să se rezolve ecuația

Rezolvare:

Punem . Avem atunci

.

Această ecuație se poate rezolva și în raport cu și deci, o putem trata direct.

Anume,avem:

Să separăm variabilele:

.

Prin integrare,obținem

Dacă,însă aplicăm formulele ecuațiilor parametrice ale curbelor integrale,obținem:

care este reprezentarea parametrică a curbelor integrale rezultate anterior.