Ecuatii Diferentiale

Definiție: Fie F (t, y, y′,…, y(n)) o funcție reală definită pe un interval , având ca argumente variabila și funcția reală y, împreună cu derivatele sale, Relația

(1)

poartă denumirea de ecuație diferențială de ordinul n, dacă se cere determinarea funcțiilor de tipul , definite pe intervalul , având derivatele , așa încât să avem

pentru orice

CAPITOLUL 2. METODE GENERALE PENTRU INTEGRAREA ECUAȚIEI

2.1. Metoda aproximațiilor succesive

Fie ecuația diferențială y′= f(x,y) (1) cu condiția inițială y (x0) = y0 (2). Dacă pentru ecuațiile (1) și (2) sunt satisfăcute condițiile:

Funcția f(x,y) e continuă în punctul P0(x0,y0) pe un domeniu D = (x,y); x-x0 a și y-y0b ;

Funcția f(x,y) este funcție Lipschitz pe domeniul , adică () (x,y1) D, () (x,y2) , atunci rezultă f(x,y1) – f(x,y2) Ly2-y1, cu L0, atunci () o constantă ha si () funcția y= (x), așa încât x-x0h. Funcția (x) este funcție unică, derivabilă si satisface condițiile:

(3)

Metoda aproximațiilor succesive se bazează pe generarea unui șir de funcții

nN, astfel încât , pentru .

Șirul de funcții nN se definește astfel:

.

.

.

(4)

2.2. Metoda seriilor Taylor

Metoda aceasta are o aplicabilitate redusă în practică, dar este foarte importantă din punct de vedere teoretic, dupa cum vom vedea pe parcurs.

Presupunem că am obținut într-un mod oarecare o aproximație a soluției y(x) pentru ecuația , cu . Pentru intervalul considerăm diviziunea : .

Aplicând formula Taylor în punctul pentru y(x), obținem:

,

cu și k N* (5), unde:

Dacă luăm diviziunea echidistantă, cu norma , atunci:

, pentru t 1, 2, …, n.

Înlocuind în (5) pe x cu xt+1= xt + h, vom obține:

Eliminând ultimul termen, care va fi considerat ca fiind eroarea de trunchiere (eT), rezultă formula de aproximare dată de metoda seriilor Taylor:

Eroare de trunchiere este:

Cu cât k va fi mai mare, aproximația va fi tot mai bună, dar este necesară evaluarea mai multor derivate ale funcției y(x).

Luându-se în considerare ecuația (1), se pot exprima derivatele ale funcției y(x) în punctul xt cu ajutorul derivatelor parțiale ale funcției f(x,y) în xt astfel:

Prin derivarea relației (1), obținem:

Înlocuind în (11) pe x cu xt, rezultă:

Dacă derivăm relația (11), obținem:

Înlocuind în (13) pe x cu xt, rezultă:

Dacă derivăm relația încă o dată, va rezulta:

Înlocuind în pe x cu xt, vom avea:

Din relația pentru k=1 și folosind reiese că

Relația reprezintă formula de aproximare a ecuației prin metoda seriilor Taylor pentru k=1 și care are eroarea de trunchiere

Din relația pentru k=1 și folosind reiese că

Relația reprezintă formula de aproximare a ecuației prin metoda seriilor Taylor pentru k=2 și care are eroarea de trunchiere

Din relația pentru k=3 și folosind reiese că

Relația reprezintă formula de aproximare a ecuației prin metoda seriilor Taylor pentru k=3 și care are eroarea de trunchiere

Din relația pentru k=3 și folosind reiese că

Relația reprezintă formula de aproximare a ecuației prin metoda seriilor Taylor pentru k=4 și care are eroarea de trunchiere

Observații:

1. Metodele (17), (19), (21), (23) calculează, din aproape în aproape pe, care reprezintă soluțiile aproximative ale ecuațiilor diferențiale ordinare (1) cu condițiile (2).

2. Această metodă determină valoarea funcției în pucntul următor xt+1, în condițiile în care știm valoarea funcției în punctul anterior xt.

3. Faptul că este complicat de determinat derivatele parțiale ale funcției ne arată că metodele seriilor Taylor sunt greu de aplicat în practică.

4. Precizia acestei metode poate crește dacă se iau în considerare mai mulți termeni din formula lui Taylor. În acest mod, pentru k=4 se obține o precizie mai bună.

2.3. Metodele Euler

2.3.1 Metoda liniei poligonale

Presupunem că știm valoarea aproximativă a soluției ecuației (1) cu (2) în punctul . Putem trasa dreapta care are panta în punctul , notată cu . (25)

Dar cum și pentru , vom calcula ordonata în acest punct . (26)

Astfel, vom obține punctul , pentru

Cu ajutorul relației (26), se va determina soluția aproximativă a ecuației (1) cu (2). Această relație este identică cu relația (17), dată de metoda seriilor Taylor, pentru k=1. Eroare de trunchiere este dată de relația (18),

.

2.3.2. Metoda Euler îmbunătățită

Presupunem că știm soluția aproximativă în punctul . Aaceastă metodă constă în aplicarea metodei Euler pentru determinarea punctului , unde este dat de relația (26) și se află pe drapta D1.

Calculăm panta dreptei D2 în punctul Trasăm dreapta D ce trece prin punctul și cum dreapta D1 are panta , iar dreapta D2 are panta (27), atunci dreapta D va avea panta m, care reprezintă semisuma pantelor dreptelor D1 și D2:

Ecuația dreptei D ce trece prin punctul și are panta m este

Punctul se obține din (28), ca urmare a înlocuirii lui x cu

Deci,

și reprezintă metoda Euler îmbunătățită.

Pentru determinarea erorii de trunchiere a metodei Euler îmbunătățite se va folosi formula lui Taylor pentru funcții de două variabile care să conțină diferența de ordinul unu calculată în :

unde reprezintă restul formulei lui Taylor și are expresia

Înlocuind în (30) punctul cu, cu se obține

Înlocuind pe (32) în (29), obținem

După efectuarea calculelor, va rezulta că

Calculând în punctul , se obține:

cu, reprezentând eroarea.

Atunci soluția ecuației (1) cu condițiile (2) calculată în este

Formula dată de metoda Euler îmbunătățită este identică cu metoda seriilor Taylor pentru j=2 din de relația (19). Deci, această metodă a lui Euler reprezină o metodă Runge-Kutta de ordin doi.

Eroarea de trunchiere reiese din formulele (20) și (35):

2.3.3. Metoda Euler modificată

Principiul acestei metode constă în evaluarea pantei dreptei L, care se scrie în punctul ca fiind egală cu panta tangentei în punctul dat de mijlocul segmentului care unește punctul cu , unde este dat de relația (26):

Fie M mijlocul segmentului având coordonatele Mși panta în acest punct

Ecuația dreptei L ce trece prin cu panta este

Prin intersectarea dreptei L cu , vom obține punctul dat de metoda Euler modificată

Pentru a evalua eroarea acestei metode, vom folosi formula lui Taylor pentru o funcție de două variabile (30) pe care o calculăm în punctul M

unde

Dacă notăm K=, cu atunci

Înlocuind (41) cu (40), rezultă

Deci, formula de calcul a soluției aproximative pentru (1) cu (2) prin metoda Euler modificată este

care coincide cu relația (19) dată de metoda seriilor Taylor pentru j=2. De aici reiese că metoda Euler modificată este o metodă Runge-Kutta de ordinul doi.

Eroarea de trunchiere este dată de (20) și (43):

2.3.4. Generalizarea metodelor Euler

Prin metoda Euler îmbunătățită și modificată, expresia soluției aproximative calculată în este de forma

În acest fel, dacă și , vom obține metoda Euler îmbunătățită, iar dacă , vom obține metoda Euler modificată.

Relația (47) reprezintă o formulă de tip Runge-Kutta pentru care avem nevoie de valorile lui și și valoarea funcției în punctul

Astfel, vom căuta valorile parametrilor pentru ca relația (47) să fie o formulă Runge-Kutta și vom stabili ordinul ei.

Dacă evaluăm funcția în punctul vom obține cu ajutorul formulei lui Taylor:

Notând:

cu

atunci

Prin înlocuirea relației (48) în (47), vom obține:

Observăm că (51) se identifică cu metoda seriilor Taylor pentru j=2 și obținem:

Prin notarea lui soluția sistemului (52) va fi:

Dacă înlocuim (53) în (47), vor rezulta formulele de calcul pentru determinarea ecuației (1) cu (2) pentru metodele Euler generale, care sunt metode Runge-Kutta de ordin doi:

cu , care are eroarea de trunchiere: