Ecuat ii s i sisteme de ecuat ii neliniare [630714]

Ecuat ¸ii s ¸i sisteme de ecuat ¸ii neliniare
1 Metoda lui Newton
Fie sistemul neliniar: 

f1(x1; x2; : : : ; x m) = 0
f2(x1; x2; : : : ; x m) = 0
: : :
fm(x1; x2; : : : ; x m) = 0(1)
unde funct ¸iile fi:Rm→ R;1≤i≤m;au derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆai continue pe Rm.
Dac˘a not ˘am:
F=
f1
f2
:
:
:
fm
; F :Rm→ Rm;
atunci sistemul (1) are forma
F(x) = 0; (2)
unde F:Rm→ Rm.
Funct ¸ia Feste diferent ¸iabil ˘a peRms ¸i:
F′(x) =(@fi
@xj(x))
1≤i;j≤m;(∀)x∈ Rm:
Metoda lui Newton este o metod ˘a de calcul a unui s ¸ir de aproximat ¸ii astfel:
x0aproximat ¸ia init ¸ial ˘a dat ˘a
xn+1=xn−[F′(xn)]−1F(xn),∀n≥0.
ˆInAlgoritmul 1 se aplic ˘a metoda lui Newton pentru aproximarea solut ¸iei sistemului de ecuat ¸ii (1) cu o
eroare dat ˘a",ˆıntr-un num ˘ar de iterat ¸ii dat ITMAX.
1

Algorithm 1 Metoda lui Newton pentru sisteme de ecuat ¸ii (varianta 1).
Date de intrare:
-Funct ¸iile fi;1≤i≤m
-Aproximat ¸ia init ¸ial ˘ax= (x1; x2; :::; x m)t
-Eroarea admis ˘a"
-Num ˘arul maxim de iterat ¸ii ITMAX
Date de ies ¸ire:
-Ultima aproximat ¸ie calculat ˘ax= (x1; x2; :::; x m)t
-Num ˘arul de iterat ¸ii efectuate n
n= 1
fori= 1;2; :::; m do
ri=fi(x1; x2; :::; x m)
end for
while max
1≤i≤m|ri|> "s ¸in≤ITMAX do
fori= 1;2; :::; m do
forj= 1;2; :::; m do
aij=@fi
@xj(x)
end for
end for
Calculeaz ˘aA−1= (ij)1≤i;j≤minversa matricei A= (aij)1≤i;j≤m
fori= 1;2; :::; m do
xi=xi−m∑
k=1ikrk
end for
fori= 1;2; :::; m do
ri=fi(x1; x2; :::; x m)
end for
n=n+ 1
end while
ifn > ITMAX then
ˆIn ITMAX iterat ¸ii nu a fost realizat ˘a aproximarea dorit ˘a
else
Aproximarea obt ¸inut ˘a este x= (x1; x2; :::; x m)t
end if
2

ˆIn particular, metoda lui Newton se poate aplica pentru rezolvarea ecuat ¸iilor de forma:
f(x) = 0; (3)
undef:I⊂ R → R este o funct ¸ie derivabil ˘a pe intervalul I.
S ¸irul (xn)nse construies ¸te cu formulele urm ˘atoare:
xn+1=xn−f(xn)
f′(xn); n≥0 (4)
ˆIn acest caz metoda lui Newton are urm ˘atoarea interpretare geometric ˘a: ”xn+1este abscisa punctului de
intersect ¸ie dintre axa Oxs ¸i tangenta la graficul funct ¸iei fdus˘aˆın punctul de abscis ˘axn”. Din acest motiv
metoda lui Newton este cunoscut ˘a s ¸i sub numele de metoda tangentei .
Algorithm 2 Metoda lui Newton pentru ecuat ¸ia f(x) = 0 .
Date de intrare:
-Funct ¸ia f
-Aproximat ¸ia init ¸ial ˘ax
-Eroarea admis ˘a"
-Num ˘arul maxim de iterat ¸ii ITMAX
Date de ies ¸ire:
-Ultima aproximat ¸ie calculat ˘ax
-Num ˘arul de iterat ¸ii efectuate n
n= 1
while |f(x)|> "s ¸in≤ITMAX do
x=x−f(x)
f′(x)
n=n+ 1
end while
ifn > ITMAX then
ˆIn ITMAX iterat ¸ii nu a fost realizat ˘a aproximarea dorit ˘a
else
Aproximarea obt ¸inut ˘a este x
end if
Exemplul 1.1 S˘a construim un procedeu iterativ pentru extragerea radicalului de ordin p(p > 1)dintr-un
num ˘ar real pozitiv a.
Consider ˘am ecuat ¸ia xp−a= 0 s ¸i funct ¸ia f(x) =xp−a.
Din (4) rezult ˘a urm ˘atoarea formul ˘a de calcul pentru iterat ¸ii:
xn+1=1
p[
(p−1)xn+a
xp−1
n]
; n≥0:
ˆIn particular, pentru radicalul de ordinul al doilea rezult ˘a formula:
xn+1=1
2(
xn+a
xn)
; n≥0: (5)
3

Dac˘ax0>0;atunci xn>0;(∀)n.ˆIn acest caz: lim
n→∞xn=√a.
Dac˘ax0<0;atunci xn<0;(∀)n.ˆIn acest caz: lim
n→∞xn=−√a.
Pentru a∈R\{0}fie acum s ¸irul (xn)ndefinit astfel:
x0=a; x n+1=1
2(
xn+|a|
xn)
; n≥0;
Conform celor stabilite anterior rezult ˘a:
lim
n→∞xn=√adac˘aa > 0;
lim
n→∞xn=−√−adac˘aa < 0:
Algorithm 3 Metoda lui Newton pentrup√a.
Date de intrare:
-Num ˘arul real, pozitiv a
-Ordinul radicalului p
-Aproximat ¸ia init ¸ial ˘ax
-Eroarea admis ˘a"
-Num ˘arul maxim de iterat ¸ii ITMAX
Date de ies ¸ire:
-Ultima aproximat ¸ie calculat ˘ax
-Num ˘arul de iterat ¸ii efectuate n
n= 1
while |xp−a|> "s ¸in≤ITMAX do
x=1
p[
(p−1)x+a
xp−1]
n=n+ 1
end while
ifn > ITMAX then
ˆIn ITMAX iterat ¸ii nu a fost realizat ˘a aproximarea dorit ˘a
else
Aproximarea obt ¸inut ˘a este x
end if
Observatie 1.1 Din definit ¸ia derivatei f′avem:
f′(xn) = lim
x→xnf(x)−f(xn)
x−xn:
Pentru x=xn−1facem aproximarea:
f′(xn)∼=f(xn−1)−f(xn)
xn−1−xn:
4

Cu aceast ˘a aproximare, din (4) obt ¸inem:
xn+1=xn−f(xn)(xn−xn−1)
f(xn)−f(xn−1):
Metoda iterativ ˘a descris ˘a de aceast ˘a formul ˘a este cunoscut ˘a sub numele de metoda secantei.
Algorithm 4 Metoda secantei pentru ecuat ¸ia f(x) = 0 .
Date de intrare:
-Funct ¸ia f
-Aproximat ¸iile init ¸iale x0,x1
-Eroarea admis ˘a"
-Num ˘arul maxim de iterat ¸ii ITMAX
Date de ies ¸ire:
-Ultima aproximat ¸ie calculat ˘ax
-Num ˘arul de iterat ¸ii efectuate n
n= 2
while |f(x1)|> "s ¸in≤ITMAX do
x=x1−f(x1)(x1−x0)
f(x1)−f(x0)x0=x1
x1=x
n=n+ 1
end while
ifn > ITMAX then
ˆIn ITMAX iterat ¸ii nu a fost realizat ˘a aproximarea dorit ˘a
else
Aproximarea obt ¸inut ˘a este x
end if
2 Metoda aproximat ¸iilor succesive
Fie ecuat ¸ia:
x=F(x); (6)
undeF:R → R .
Pentru un element oarecare x0∈ R prin metoda aproximat ¸iilor succesive se determin ˘a s ¸irul (xn)nastfel:
xn+1=F(xn); n≥0 (7)
Observatie 2.1 Un sistem de ecuat ¸ii neliniare de forma:
F(x) = 0; (8)
cuF= (f1; f2; :::; f m)tse poate aduce la forma echivalent ˘a:
x=x+AF(x); (9)
5

undeAeste o matrice constant ˘a, inversabil ˘a, oarecare.
Vom pune ˆın acest caz:
G(x) =x+AF(x) (10)
Dac˘aFeste diferent ¸iabil ˘aˆıntr-un domeniu atunci s ¸i Geste diferent ¸iabil ˘aˆın acelas ¸i domeniu s ¸i:
G′(x) =I+AF′(x); (11)
undeIeste matricea unitate de ordinul m. Pentru asigurarea convergent ¸ei trebuie s ˘a avem ∥G′(x)∥ ≤q < 1
pe domeniul considerat. O astfel de condit ¸ie poate fi asigurat ˘a pe o vecin ˘atate a lui x0dac˘a vom impune
condit ¸ia G′(x0) = 0:De aici obt ¸inem:
A=−[F′(x0)]−1:
Rezult ˘a:
G(x) =x−[F′(x0)]−1F(x)
s ¸i deci egalitatea xn+1=G(xn)este echivalent ˘a cu:
xn+1=xn−[F′(x0)]−1F(xn):
Am reg ˘asit astfel o variant ˘a a metodei lui Newton.
Algorithm 5 Metoda aproximat ¸iilor succesive pentru ecuat ¸ia x=f(x).
Date de intrare:
-Funct ¸ia f
-Aproximat ¸ia init ¸ial ˘ax
-Eroarea admis ˘a"
-Num ˘arul maxim de iterat ¸ii ITMAX
Date de ies ¸ire:
-Ultima aproximat ¸ie calculat ˘ax
-Num ˘arul de iterat ¸ii efectuate n
n= 1
while |x−f(x)|> "s ¸in≤ITMAX do
x=f(x)
n=n+ 1
end while
ifn > ITMAX then
ˆIn ITMAX iterat ¸ii nu a fost realizat ˘a aproximarea dorit ˘a
else
Aproximarea obt ¸inut ˘a este x
end if
6

3 Metoda lui Lobacevski
Fie ecuat ¸ia algebric ˘a:
a0xn+a1xn−1+:::+an−1x+an= 0; (12)
undea0; a1; :::; a n∈ R; a0·an̸= 0:
Dac˘axi;1≤i≤n;sunt r ˘ad˘acinile acestei ecuat ¸ii, atunci formulele lui Vi ´ete sunt:


x1+x2+: : :+xn=−a1
a0
x1x2+x1x3+: : :+xn−1xn=a2
a0
: : :
x1x2:::xn= (−1)nan
a0(13)
Consider ˘am r ˘ad˘acinile acestei ecuat ¸ii numerotate ˆın ordinea descresc ˘atoare a valorilor lor absolute, adic ˘a:
|x1| ≥ |x2| ≥:::≥ |xn| (14)
Prima relat ¸ie din (13) se poate scrie sub forma:
x1(
1 +x2
x1+:::+xn
x1)
=−a1
a0:
Dac˘a r˘ad˘acina x1este mult mai mare ˆın valoare absolut ˘a dec ˆat celelalte r ˘ad˘acini, adic ˘a fract ¸iilexi
x1,i≥2;
pot fi neglijate, atunci putem face aproximarea:
x1∼=−a1
a0:
Consider ˆand c ˘a s ¸i celelalte r ˘ad˘acini satisfac condit ¸ia ” ximult mai mare ˆın valoare absolut ˘a dec ˆatxi+1”,
2≤i≤n−1, din formulele lui Vi ´ete deducem succesiv:


x1x2∼=a2
a0
x1x2x3∼=−a3
a0
: : :
x1x2:::xn−1∼=(−1)n−1an1
a0
x1x2:::xn= (−1)nan
a0
Obt ¸inem de aici formulele de aproximare:
xi∼=−ai
ai−1;1≤i≤n (15)
As ¸adar, r ˘ad˘acinile ecuat ¸iei (12), x1; x2; :::; x n, sunt aproximat ¸ii ale r ˘ad˘acinilor ecuat ¸iilor de gradul ˆıntˆai:
ai−1x+ai= 0;1≤i≤n:
ˆIn general, dac ˘a r˘ad˘acinile ecuat ¸iei (12) se separ ˘aˆınpgrupe, astfel ˆıncˆat valorile absolute ale r ˘ad˘acinilor
unei grupe sunt mult mai mari dec ˆat valorile absolute ale r ˘ad˘acinilor din grupa urm ˘atoare, atunci r ˘ad˘acinile
x1; x2; :::; x nsunt aproximat ¸ii ale r ˘ad˘acinilor a pecuat ¸ii de grad inferior (fiecare grup ˘a corespunz ˆand unei
ecuat ¸ii).
Fie:
P(x) =a0xn+a1xn−1+:::+an:
Din:
P(x) =a0(x−x1)(x−x2):::(x−xn)
(−1)nP(−x) =a0(x+x1)(x+x2):::(x+xn)
7

rezult ˘a:
Q(x) = (−1)nP(x)P(−x) =a2
0(x2−x2
1)(x2−x2
2):::(x2−x2
n):
FieP1polinomul obt ¸inut din Qprin ˆınlocuirea lui x2cux:
P1(x) =a(1)
0xn+a(1)
1xn−1+:::+a(1)
n
R˘ad˘acinile polinomului P1suntx2
1; x2
2; :::; x2
n, iar coeficient ¸ii s ˘ai se calculeaz ˘a astfel:
a(1)
k= (−1)ka2
k+ 2n∑
s=1(−1)k−sak−sak+s;0≤k≤n; (16)
undeaj= 0pentru j <0sauj > n .
Repet ˆand procedeul vom construi polinoamele Pk:
Pk(x) =a(k)
0xn+a(k)
1xn−1+:::+a(k)
n; k≥1;
ˆın care coeficient ¸ii lui Pkse exprim ˘aˆın funct ¸ie de coeficient ¸ii lui Pk−1dup˘a relat ¸ii de forma (16). R ˘ad˘acinile
polinomului Pksunt:
x2k
1; x2k
2; :::; x2k
n:
Trat˘amˆın continuare c ˆateva cazuri posibile relativ la natura s ¸i distribut ¸ia valorilor absolute ale r ˘ad˘acinilor
ecuat ¸iei (12).
Cazul 1 .Ecuat ¸ia (12) are r ˘ad˘acini reale, diferite ˆın valoare absolut ˘a.
Fie:
|x1|>|x2|> ::: > |xn|:
Dup˘a un num ˘ar suficient de pas ¸i x2k
ieste mult mai mare dec ˆatx2k
i+1,1≤i≤n−1, astfel ˆıncˆat s˘a putem
face aproxim ˘arile:
x2k
i∼=−a(k)
i
a(k)
i−1;1≤i≤n:
Rezult ˘a de aici:
xi∼=±2kvuut−a(k)
i
a(k)
i−1;1≤i≤n (17)
Pentru fiecare r ˘ad˘acin˘axi, din cele dou ˘a aproxim ˘ari date de (17), se ret ¸ine aceea care verific ˘a (cel mai
bine) ecuat ¸ia dat ˘a (12).
S˘a presupunem c ˘a dup ˘aketape se pot face, ˆın limite admise, aproxim ˘arile (17). Atunci, ˆın etapa
urm˘atoare se pot face aproxim ˘arile:
xi∼=±2k+1vuut−a(k+1)
i
a(k+1)
i−1;1≤i≤n (18)
Deoarece:
a(k+1)
0 =[
a(k)
0]2
din (17) cu (18) obt ¸inem:a(k+1)
i∼=[
a(k)
i]2
;0≤i≤n (19)
As ¸adar, coeficient ¸ii polinomului Pk+1sunt ˆın valoare absolut ˘a aproximativ egali cu p ˘atratele coeficient ¸ilor
polinomului Pk.
8

ˆIndeplinirea acestei reguli o vom lua ca reper pentru atingerea preciziei dorite. V om vedea c ˘a o astfel de
regul ˘a este posibil ˘a numai ˆın acest caz.
Cazul 2 .Ecuat ¸ia (12) are dou ˘a r˘ad˘acini complexe, conjugate :
xp+1=u+iv; x p+2=u−iv;
iar celelalte sunt reale, distincte ˆın valoare absolut ˘a.
Fie:
|x1|>|x2|> ::: > |xp|>|xp+1|=|xp+2|>|xp+3|> ::: > |xn|:
Pentru ksuficient de mare r ˘ad˘acinile reale x2k
ivor fi aproximativ egale cu r ˘ad˘acinile ecuat ¸iilor de gradul
ˆıntˆai:
a(k)
i−1y+a(k)
i= 0; i= 1;2; :::; p; p + 3; :::; n;
iar r˘ad˘acinile complexe x2k
p+1; x2k
p+2vor fi aproximativ egale cu r ˘ad˘acinile ecuat ¸iei de gradul al doilea:
a(k)
py2+a(k)
p+1y+a(k)
p+2= 0:
Pentru r ˘ad˘acinile reale, din ecuat ¸iile de gradul ˆıntˆai, se obt ¸in aproxim ˘arile:
xi∼=±2kvuut−a(k)
i
a(k)
i−1; i= 1;2; :::; p; p + 3; :::; n (20)
Pentru fiecare r ˘ad˘acin˘axi, din cele dou ˘a aproxim ˘ari date de (20), se ret ¸ine aceea care verific ˘a (cel mai
bine) ecuat ¸ia dat ˘a (12).
Din ecuat ¸ia de gradul al doilea avem:
yp+1yp+2=a(k)
p+2
a(k)
p:
Dar:
yp+1yp+2=|yp+1|2∼=|xp+1|2k+1
=(
u2+v2)2k
:
Rezult ˘a:
u2+v2∼=2kvuuta(k)
p+2
a(k)
p(21)
Din:
x1+:::+xp+1+xp+2+:::+xn=−a1
a0
rezult ˘a:
u=−1
2
a1
a0+n∑
i=1
i̸=p+1;p+2xi
 (22)
Din (21) s ¸i (22) se obt ¸in aproximat ¸iile pentru r ˘ad˘acinile complexe xp+1; xp+2:
Prezent ¸a r ˘ad˘acinilor complexe este indicat ˘a de comportarea coeficientului a(k)
p+1(ˆın cazul unei perechi
de r˘ad˘acini complexe) care nu mai respect ˘a regula: ” pentru ksuficient de mare este ˆın valoare absolut ˘a
aproximativ egal cu p ˘atratul coeficientului corespunz ˘ator din pasul anterior ”. Aceast ˘a regul ˘a este respectat ˘a
de tot ¸i ceilalt ¸i coeficient ¸i.
ˆIn mod analog se trateaz ˘a cazul a dou ˘a sau mai multe perechi de r ˘ad˘acini complexe.
9

Exemplul 3.1 Pentru ecuat ¸ia :
x3−3x+ 1 = 0 ;
folosind formulele (16) se construiesc polinoamele P1; P2; :::; P 7, ai c ˘aror coeficient ¸i sunt dat ¸i ˆın urm ˘atorul
tabel, calculele efectu ˆandu-se cu patru cifre semnificative:
k 2ka(k)
0 a(k)
1 a(k)
2 a(k)
3
0 1 1 0 −3 1
1 2 1−6 9 −1
2 4 1−18 69 −1
3 8 1−186 4725 −1
4 16 1−2515·10 2233·104−1
5 32 1−5878·1054986·1011−1
6 64 1−3;445·10172;486·1029−1
7 128 1−11;87·10346;180·1058−1
Se observ ˘a c˘aa(7)
i∼=[
a(6)
i]2
,i= 0;1;2;3. Suntem ˆın primul caz.
Avem:
x128
1∼=−a(7)
1
a(7)
0= 11;87·1034
x128
2∼=−a(7)
2
a(7)
1=6;18
11;87·1024
x128
3∼=−a(7)
3
a(7)
2=1
6;18·1058
de unde:
x1∼=±1;8794; x2∼=±1;5321; x3∼=±0;3473:
Apoi, deoarece:
P(1;8794) = 2 ;0001 P(−1;8794) = −0;0001
P(1;5321) = 0 ;00004 P(−1;5321) = 1 ;9999
P(0;3473) = −0;000009 P(−0;3473) = 2 ;000009 ;
ret ¸inem pentru r ˘ad˘acini urm ˘atoarele aproximat ¸ii:
x1∼=−1;8794; x2∼=1;5321; x3∼=0;3473:
Exemplul 3.2 Pentru ecuat ¸ia:
x4+x3−10×2−34x−26 = 0 ;
rezultatele obt ¸inute pentru calculul coeficient ¸ilor polinoamelor P1,P2, …P6sunt:
k 2ka(k)
0 a(k)
1 a(k)
2 a(k)
3 a(k)
4
0 1 1 1 −10 −34 −26
1 2 1−21 116 −636 676
2 4 1−209 −1;190·104−2;477·1054;570·105
3 8 1−6;748·1043;900·107−7;223·10102;088·1011
4 16 1−4;476·109−8;227·1015−5;2·10214;360·1022
5 32 1−2;005·10192;113·1031−2;704·10431;901·1045
6 64 1−4;020·1038−6;380·1062−7;312·10863;614·1090
Calculele s-au efectuat cu patru cifre semnificative.
10

Pentru i̸= 2 avema(6)
i∼=[
a(5)
i]2
, iara(6)
2̸∼=1
2[
a(5)
2]2
.
Suntem ˆın cazul al treilea. Ecuat ¸ia are dou ˘a r˘ad˘acin reale x1; x4s ¸i dou ˘a complexe x2; x3.
Avem:
x64
1∼=−a(6)
1
a(6)
0= 4;02·1038; x64
4∼=−a(6)
4
a(6)
3=3;614
7;312·104;
de unde:
x1∼=±4;01; x4∼=±1;142:
ˆInlocuind fiecare valoare ˆın ecuat ¸ie, ret ¸inem pentru r ˘ad˘acinile reale aproximat ¸iile:
x1∼=4;01; x2∼=−1;142:
Pentru r ˘ad˘acinile complexe x2;3=u±ivavem:


u2+v2∼=64√
a(6)
3
a(6)
1= 5;676
u=−1
2(
a1
a0+x1+x4)
∼=−1;934
Rezult ˘av∼=1;391s ¸i deci:
x2;3∼=−1;934±1;391i:
11

Diferente nite
1 Diferente ascendente
Denitie 1.1 Fief: [a, b]→ R . Se numeste diferenta ascendenta de ordinul intai,
de pas h, diferenta f(x+h)−f(x)notata ∆hf(x).
Atata timp cat pasul h nu poate fi confundat, vom nota simplu ∆ = ∆ h.
Asadar:
∆f(x) =f(x+h)−f(x) (1)
Diferentele ascendente de ordin p >1 se definesc recurent astfel:
∆p= ∆(∆p1) (2)
De exemplu:
∆2f(x) = ∆(∆ f(x)) = ∆ f(x+h)−∆f(x) =f(x+2h)−f(x+h)−(f(x+h)−f(x))
Deci ∆2f(x) =f(x+ 2h)−2f(x+h) +f(x).
Propozitie 1.1 Diferentele ascendente au urmatoarele proprietati:
1.∆pf(x) =p∑
k=0(−1)kCk
pf(x+ (p−k)h)
2.∆p(αf+βg) =α∆pf+β∆pg,∀f, g: [a, b]→ R
3.∆p(∆q) = ∆p+q
4.f < x, x +h, x+ 2h, . . . , x +ph > =∆pf(x)
hpp!
Presupunem ca functia f este indefinit derivabila intr-o vecinatate a punctului x.
In acest caz, consideram seria Taylor
f(x+h) =1∑
k=0hk
k!f(k)(x) (3)
Notam Dk=dk
dxk. Atunci obtinem:
1

f(x+h) =1∑
k=0hk
k!Dkf(x) = (1∑
k=0hk
k!Dk)f(x)
Notam simbolic1∑
k=0hk
k!Dk=ehD. Atunci
f(x+h) =ehDf(x) (4)
De aici si din relatia (1) obtinem ∆ f(x) =f(x+h)−f(x) =ehDf(x)−f(x).
Deci:
∆ = hD+1
2h2D2+1
6h3D3+. . . (5)
De aici obtinem:
∆2=h2D2+h3D3+7
12h4D4+. . . (6)
Apoi:
∆3=h3D3+3
2h4D4+. . . (7)
. . . . . . . . . . . .
∆p=hpDp+hp+1(. . .) (8)
Din (8) rezulta Dpf(x) =1
hp∆pf(x) +ϵp(h).
Folosind proprietatea de mai sus obtinem:
f(p)(x) =1
hpp∑
k=0(−1)kCk
pf(x+ (p−k)h) +ϵp(h) (9)
Expresia ϵp(h) se numeste eroare de aproximare pentru derivata f(p).
Denitie 1.2 Spunem ca functia z=z(h)este de ordinul lui hkdaca lim
h!0z(h)
hkexista
si e nita.
Se mai spune ca z(h)→0 odata cu hk.
Se noteaza z(h) =O(hk).
In formula (9), eroarea de aproximare, ϵp(h), este de ordinul h, adica ϵp(h) =O(h).
2

2 Diferente descendente
Denitie 2.1 Se numeste diferenta descendenta de ordinul intai, de pas h, diferenta
f(x)−f(x−h), notata cu ∇hf(x).
In continuare vom nota ∇=∇h.
Deci:
∇f(x) =f(x)−f(x−h) (10)
Diferentele descendente de ordin p >1 se definesc recurent astfel:
∇p=∇(∇p1) (11)
Fie seria Taylor f(x−h) =1∑
k=0(h)k
k!f(k)(x).
Cu notatiile anteriore avem:
f(x−h) =ehDf(x) (12)
Avem: ∇f(x) =f(x)−f(x−h) =f(x)−ehDf(x).
Rezulta
∇=hD−1
2h2D2+1
6h3D3−. . . (13)
De aici obtinem:
∇2=h2D2−h3D3+. . . (14)
. . . . . . . . . . . .
∇p=hpDp+hp+1(. . .) (15)
Propozitie 2.1 Diferentele descendente au urmatoarele proprietati:
1.∇pf(x) =p∑
k=0(−1)kCk
pf(x−kh)
2.∇p(αf+βg) =α∇pf+β∇pg,∀f, g: [a, b]→ R
3.∇p(∇q) =∇p+q
Folosind proprietatea de mai sus obtinem:
f(p)(x) =1
hpp∑
k=0(−1)kCk
pf(x−kh) +ϵp(h) (16)
In aceasta formula de aproximare a derivatei de ordinul p, eroarea ϵp(h) este de
ordinul lui h, adica ϵp(h) =O(h).
3

3 Diferente centrale
Denitie 3.1 Se numeste diferenta centrala de ordinul intai, de pas h, diferenta
f(x+h
2)−f(x−h
2), notata cu δhf(x).
Vom nota in continuare δ=δh. Deci:
δf(x) =f(x+h
2)−f(x−h
2) (17)
Diferentele centrale de ordin p >1 se definesc recuriv astfel:
δp=δ(δp1) (18)
Propozitie 3.1 Diferentele centrale au proprietatile
1.δpf(x) =p∑
k=0(−1)kCk
pf(x+ (p−2k)h
2)
2.δp(αf+βg) =αδpf+βδpg,∀f, g: [a, b]→ R
3.δp(δq) =δp+q
Fieµf(x) =1
2[f(x+h
2) +f(x−h
2)]. Avem:
µδf(x) =1
2[δf(x+h
2) +δf(x−h
2)] =
=1
2[f(x+h
2+h
2)−f(x+h
2−h
2) +f(x−h
2+h
2)−f(x−h
2−h
2)]
Rezulta:
µδf(x) =1
2[f(x+h)−f(x−h)] (19)
Apoi, din proprietatea de mai sus obtinem:
δ2f(x) =f(x+h)−2f(x) +f(x−h) (20)
Consideram seriile: f(x±h) =ehDf(x).
Obtinem:
µδ=hD+1
6h3D3+1
120h5D5+. . . (21)
δ2=h2D2+1
12h4D4+1
360h6D6+. . . (22)
µδ3=h3D3+1
4h5D5+. . . (23)
4

δ4=h4D4+1
6h6D6+. . . (24)
µδ2p1=h2p1D2p1+h2p+1(. . .) (25)
δ2p=h2pD2p+h2p+2(. . .) (26)
Obtinem astfel:
f(2p1)(x) =1
2h2p12p1∑
k=0(−1)kCk
2p1[f(x+ (p−k)h) +f(x+ (p−k−1)h)] +ϵ2p1(h2)
f(2p)(x) =1
h2p2p∑
k=0(−1)kCk
2pf(x+ (p−k)h) +ϵ2p(h2)
In aceste formule de aproximare, erorile, ϵ2p1,ϵ2p, sunt de ordinul h2, adica:
ϵ2p1(h2) =O(h2)
ϵ2p(h2) =O(h2)
5

Ecuat ¸ii s ¸i sisteme de ecuat ¸ii neliniare
1 Metoda lui Bairstow
Fie ecuat ¸ia algebric ˘a:
a0xn+a1xn−1+:::+an= 0; ak∈ R;0≤k≤n (1)
Metoda lui Bairstow permite determinarea unui divizor de ordinul al doilea pentru
polinomul:
fn(x) =a0xn+a1xn−1+:::+an
printr-un procedeu de aproximat ¸ii succesive.
Fiex2+px+qun trinom oarecare. Avem:
fn(x) = ( x2+px+q)(b0xn−2+b1xn−3+:::+bn−2) +Rx+S:
Not˘am:R=bn−1,S=bn+pbn−1. Cu aceste notat ¸ii numerele bise calculeaz ˘a
cu formulele:
bi=ai−pbi−1−qbi−2;0≤i≤n; b−2=b−1= 0 (2)
Evident c ˘aRs ¸iSsunt funct ¸ii polinomiale ˆınps ¸iq,R=R(p; q),S=S(p; q).
Determin ˘am numerele ps ¸iqastfel ˆıncˆat:
{R(p; q) = 0
S(p; q) = 0(3)
Acest sistem se rezolv ˘a cu metoda lui Newton. Dac ˘ap0; q0∈ R sunt aproximat ¸iile
init ¸iale, atunci:
(pk+1
qk+1)
=(pk
qk)
−
@R
@p(pk; qk)@R
@q(pk; qk)
@S
@p(pk; qk)@S
@q(pk; qk)
−1
(R(pk; qk)
S(pk; qk))
(4)
pentru k≥0.
Not˘am: 

=@R
@p·@S
@q−@R
@q·@S
@p
P=R@S
@q−S@R
@q
Q=−R@S
@p+S@R
@p(5)
1

Din (4) rezult ˘a:

pk+1=pk−1
kPk
qk+1=qk−1
kQk(6)
unde prin k; Pk; Q kam notat valorile funct ¸iilor ; P , respectiv Qˆın(pk; qk).
Fie : ci−1=−@bi
@p;1≤i≤n.
Din (2) rezult ˘a:
@bi+1
@p=−bi−p@bi
@p−q@bi−1
@p:
Deci:
ci=bi−pci−1−qci2;0≤i≤n−1; c−1=c−2= 0 (7)
Fie:c′
i−2=−@bi
@q;2≤i≤n.
Din (2) rezult ˘a:
@bi+2
@q=−p@bi+1
@q−bi−q@bi
@q;
adic˘a:
c′
i=bi−pc′
i−1−qc′
i−2;0≤i≤n−2; c′
−1=c′
−2= 0 (8)
Din (7) s ¸i (8) rezult ˘a:
c′
i=ci;0≤i≤n−2:
Avem:


@R
@p=@bn−1
@p=−cn−2
@R
@q=@bn−1
@q=−cn−3
@S
@p=@
@p(bn+pbn−1) =−cn−1+bn−1−pcn−2
@S
@q=@
@q(bn+pbn−1) =−cn−2−pcn−3(9)
ˆIn final obt ¸inem:


k=c2
n−2−cn−3cn−1+cn−3bn−1
Pk=−bn−1cn−2+bncn−3
Qk=−bncn−2+bn−1cn−1−b2
n−1(10)
Calculele se opresc atunci c ˆandpk+1; qk+1verific ˘a (suficient de bine) ecuat ¸iile
sistemului (3), adic ˘a:
max {|R|;|S|}< ";
unde R=bn−1; S=bn+pk+1bn−1.
2

Ultimele valori calculate pk+1; qk+1reprezint ˘a aproximat ¸ii ale coeficient ¸ilor trino-
mului x2+px+q, iar r ˘ad˘acinile acestui trinom sunt dou ˘a r˘ad˘acini reale sau complexe
ale ecuat ¸iei fn(x) = 0 .
Metoda se aplic ˘a din nou pentru:
fn−2(x) =b0xn−2+b1xn−3+:::+bn−2:
2 Metoda lui Bernoulli
Fie ecuat ¸ia algebric ˘a cu coeficient ¸i reali:
a0xn+a1xn−1+:::+an= 0; a0̸= 0 (11)
s ¸iy0; y1; :::; y nnumere reale fixate.
Atunci:
a0yn+i+a1yn+i−1+:::+anyi= 0; i≥0; (12)
este o ecuat ¸ie cu diferent ¸e finite a c ˘arei ecuat ¸ie caracteristic ˘a este ecuat ¸ia (11). Dac ˘a
ecuat ¸ia (11) are r ˘ad˘acinile x1,x2, …, xnreale, distincte, atunci solut ¸ia general ˘a a
ecuat ¸iei cu diferent ¸e finite (12) este :
yi=n∑
k=1ckxi
k; i≥0; c1; c2; :::; c n∈ R: (13)
Teorema 2.1 Dac ˘a r˘ad˘acinile xi;1≤i≤n, ale ecuat ¸iei (11) sunt reale, distincte,
|x1|>|xk|;2≤k≤n;s ¸ic1̸= 0, atunci:
lim
i→∞yi+1
yi=x1:
Demonstratie Din (13) rezult ˘a:
yi+1
yi=x1c1+n∑
k=2ck(xk
x1)i+1
c1+n∑
k=2ck(xk
x1)i:
Deoarece |x1|>|xk|,k≥2, rezult ˘a:
lim
i→∞(xk
x1)i
= 0;2≤k≤n;
s ¸i deci:
lim
i→∞yi+1
yi=x1:
Teorema este demonstrat ˘a.
Observatie 2.1 Metoda lui Bernoulli este o metod ˘a iterativ ˘a pentru aproximarea r ˘ad˘acinii
reale maxim ˘aˆın valoare absolut ˘a. Pentru y0; y1; :::; y n−1date, se calculeaz ˘aˆın con-
tinuare yn+i,i≥0, din (12) s ¸i simultan rapoartele:
yi+1
yi; i≥0:
3

Dac ˘a s ¸irul(yi+1
yi)
ieste divergent, atunci r ˘ad˘acina maxim ˘aˆın valoare absolut ˘a
este complex ˘a.
Observatie 2.2 ˆInlocuind ˆın ecuat ¸ia init ¸ial ˘ax=1
z, vom putea aproxima s ¸i cea mai
mic˘a r˘ad˘acin ˘aˆın valoare absolut ˘a a ecuat ¸iei (11), dac ˘a aceasta este real ˘a s ¸i diferit ˘a
ˆın valoare absolut ˘a de celelalte.
Observatie 2.3 Putem alege c1=c2=:::=cn= 1.ˆIn acest caz:
yi=n∑
k=1xi
k;0≤i≤n−1:
Aceste numere pot fi calculate ˆın funct ¸ie de coeficient ¸ii ecuat ¸iei (11) cu formulele
lui Newton:


y0=n
y1=1
yi=yi−11−yi−22+:::+ (−1)iy1i−1+ (−1)i+1ii;
2≤i≤n−1
unde i= (−1)iai
a0;1≤i≤n−1;echivalent cu:


y0=n
y1=−a1
a0
yi=−yi−1a1
a0−yi−2a2
a0−:::−y1ai−1
a0−iai
a0;
2≤i≤n−1(14)
Observatie 2.4 Dac ˘a se cunoas ¸te o aproximat ¸ie a r˘ad˘acinii maxime ˆın valoare ab-
solut ˘a, atunci se poate lua:
y0= 1; y1=; :::; y n−1=n−1;
obt ¸in ˆandu-se o accelarare a convergent ¸ei s ¸irului(yi+1
yi)
i.
4

Matrice. Proceduri de triangularizare
Triangularizarea superioar ˘a a matricei A∈ Rn×nse realizeaz ˘aˆıntr-un num ˘ar de etape ˆın care se deter-
min˘a matricele A(1)=A; A(2); : : : ; A(n)de forma:
A(k)=
a(k)
11a(k)
12: : : a(k)
1k−1a(k)
1k: : : a(k)
1n
0a(k)
22: : : a(k)
2k−1a(k)
2k: : : a(k)
2n
: : : : : : : : : : :
0 0 : : : a(k)
k−1k−1a(k)
k−1k: : : a(k)
k−1n
0 0 : : : 0 a(k)
kk: : : a(k)
kn
: : : : : : : : : : :
0 0 : : : 0 a(k)
nk: : : a(k)
nn
;2≤k≤n:
S˘a presupunem c ˘a am construit matricea A(k),1≤k≤n−1, s ¸i c ˘aa(k)
kk̸= 0. Elementul a(k)
kkˆıl vom
numi pivot .
Fie matricea:
Mk=
1 0 : : : 0 0: : : 0
0 1 : : : 0 0: : : 0
: : : : : : : : : : :
0 0 : : : 1 0: : : 0
0 0 : : : −mk+1k 1: : : 0
: : : : : : : : : : :
0 0 : : : −mnk 0: : : 1
; (1)
unde:
mik=a(k)
ik
a(k)
kk; k+ 1≤i≤n:
Matricea A(k+1)va fi:
A(k+1)=MkA(k):
Elementele matricei A(k+1)se calculeaz ˘a astfel:
a(k+1)
ij =

a(k)
ij pentru 1≤i≤k; i≤j≤n
0 pentru 1≤j≤k; j+ 1≤i≤n
a(k)
ij−mika(k)
kj=a(k)
ija(k)
kk−a(k)
ika(k)
kj
a(k)
kkpentru k+ 1≤i; j≤n(2)
Cele patru elemente care intervin ˆın aceast ˘a expresie determin ˘aˆın matricea A(k)un dreptunghi cu un v ˆarf
ˆın pivot. Regula de calcul ˆın aceast ˘a expresie este regula dreptunghiului:
”Din produsul de pe diagonala pivotului se scade produsul de pe cealalt ˘a diagonal ˘a, iar rezultatul se
ˆımparte la pivot”.
As ¸adar, matricea A(k)se transform ˘aˆın matricea A(k+1)dup˘a urm ˘atoarele reguli:
1

R1. Liniile 1;2; :::; k s ¸i coloanele 1;2; :::; k −1;(k >1);nu se modific ˘a.
R2. Elementele subdiagonale din coloana kse anuleaz ˘a.
R3. Elementele situate ˆın liniile s ¸i coloanele k+1; k+2; :::; n se transform ˘a dup ˘a regula dreptunghiului.
Aceasta este metoda elimin ˘arii a lui Gauss.
Dac˘aa(k)
kk̸= 0;1≤k≤n−1, atunci matricea final ˘aA(n)va fi o matrice superior triunghiular ˘a.
DinA(1)=As ¸iA(k+1)=MkA(k);1≤k≤n−1, rezult ˘a:
A(n)=Mn−1Mn−2:::M 2M1A:
Matricea M=Mn−1Mn−2:::M 2M1este o matrice inferior triunghiular ˘a, nesingular ˘a.
Teorema 0.1 Dac ˘a matricea A∈ Rn×nare proprietatea:
det(Ak)̸= 0;1≤k≤n−1; (3)
undeAk= (aij)1≤i; j≤k;atunci exist ˘a o matrice Minferior triunghiular ˘a, nesingular ˘a, astfel ˆıncˆat matricea
R=MA este superior triunghiular ˘a.
Demosntratie Avˆandˆın vedere rat ¸ionamentul precedent, mai trebuie demonstrat c ˘a dac ˘a matricea Aare
proprietatatea 3 atunci a(k)
kk̸= 0;1≤k≤n−1. Aceast ˘a demonstrat ¸ie o vom face prin induct ¸ie.
Pentru k= 1 avem A1=a11̸= 0. Rezult ˘aa(1)
11=a11̸= 0:
Presupunem c ˘aa(i)
ii̸= 0;1≤i≤k−1.
Atunci, conform rat ¸ionamentului anterior, se pot construi matricele Mi;1≤i≤k−1;s ¸i matricea A(k).
Deoarece:
Mk−1Mk−2:::M 1=
1 0 : : : 0 0 0 : : : 0 0
−m21 1 : : : 0 0 0 : : : 0 0
: : : : : : : : : : : : :
−mk1−mk2: : : −mkk−11 0 : : : 0 0
: : : : : : : : : : : : :
−mn1−mn2: : : −mnk−10 0 : : : 0 1

din egalitatea A(k)=Mk−1Mk−2:::M 1Arezult ˘a:

a(k)
11a(k)
12: : : a(k)
1k−1a(k)
1k
0a(k)
22: : : a(k)
2k−1a(k)
2k
: : : : : : :
0 0 : : : 0 a(k)
kk
=
1 0 : : : 0 0
−m21 1 : : : 0 0
: : : : : : :
−mk1−mk2: : : −mkk−11
·Ak;
iar de aici, pentru c ˘aa(k)
ii=a(i)
ii;1≤i≤k, obt ¸inem:
k∏
i=1a(i)
ii= det( Ak):
Deoarece det(Ak)̸= 0 s ¸ia(i)
ii̸= 0;1≤i≤k−1, din aceast ˘a egalitate rezult ˘aa(k)
kk̸= 0:
S˘a presupunem acum c ˘aˆın etapa kelementul a(k)
kk= 0.ˆIn acest caz se folosesc as ¸a numitele proceduri
de pivotare part ¸ial ˘a sau total ˘a.
10. Procedura de pivotare part ¸ial ˘a.
Se caut ˘aˆın coloana kacel element a(k)
ikkcu proprietatea:
a(k)
ikk= max
k≤i≤na(k)
ik:
2

Dac˘aa(k)
ikk= 0 atunci A(k+1)=A(k).ˆIn acest caz, teoretic, vom considera ˆın rat ¸ionamentul precedent
Mk=I.
Dac˘aa(k)
ikk̸= 0 s ¸iik̸=kse permut ˘a liniile ks ¸iik. Aceast ˘a permutare se poate face prin ˆınmult ¸irea
matricei A(k), la st ˆanga, cu matricea Pkobt ¸inut ˘a din matricea unitate prin permutarea liniilor ks ¸iik. Se
aplic ˘aˆın continuare metoda lui Gauss matricei PkA(k).
Teoretic, ˆın final se obt ¸ine matricea superior triunghiular ˘aA(n)=MA; unde:
M=Mn−1Pn−1Mn−2Pn−2:::M 2P2M1P1:
ˆIn acest produs consider ˘amPk=Iatunci c ˆandˆın etapa knu se efectueaz ˘a permut ˘ari de linii.
Deoarece P2
k=Iputem scrie:
M=M′
n−1M′
n−2:::M′
1Pn−1Pn−2:::P1;
unde: 

M′
n−1=Mn−1
M′
n−2=Pn−1Mn−2Pn−1
M′
n−3=Pn−1Pn−2Mn−3Pn−2Pn−1
: : :
M′
1=Pn−1Pn−2:::P2M1P2:::P n−1
Deoarece matricele M′
k;1≤k≤n−1, sunt inferior triunghiulare, rezult ˘a c˘a matricea M′=M′
n−1M′
n−2:::M′
1
este de asemenea inferior triunghiular ˘a.
FieP=Pn−1Pn−2:::P1.
Am demonstrat astfel urm ˘atoarea teorem ˘a:
Teorema 0.2 Pentru orice matrice A∈ Rn×nexist ˘a o matrice de permutare de linii Ps ¸i o matrice inferior
triunghiular ˘aM′astfel ˆıncˆat matricea R=M′PA este superior triunghiular ˘a.
20. Procedura de pivotare total ˘a.
ˆIn aceast ˘a procedur ˘a se determin ˘a elementul a(k)
ikjkcu proprietatea:
a(k)
ikjk= max
k≤i;j≤na(k)
ij:
Dac˘aa(k)
ikjk= 0 atunci A(n)=A(k).ˆIn acest caz, teoretic, ˆın rat ¸ionamentul precedent vom considera
Mj=I; k≤j≤n−1.
Dac˘aa(k)
ikjk̸= 0 atunci se permut ˘a liniile ks ¸iikdac˘aik̸=k, iar apoi se permut ˘a coloanele ks ¸ijkdac˘a
jk̸=k. Permutarea liniilor k; i kse poate face prin ˆınmult ¸irea matricei A(k)la stˆanga cu matricea Pkdescris ˘a
ˆın procedura de pivotare part ¸ial ˘a, iar permutarea coloanelor k; j kse poate face prin ˆınmult ¸irea matricei A(k)
la dreapta cu matricea Skobt ¸inut ˘a din matricea unitate prin permutarea liniilor ks ¸ijk.
FieS=S1S2:::S n−1.
ˆIn acest produs Sk=Idac˘aˆın etapa knu se fac permut ˘ari de coloane.
Teorema precedent ˘a are acum urm ˘atorul enunt ¸:
Teorema 0.3 Pentru orice matrice A∈ Rn×nexist ˘a o matrice inferior triunghiular ˘aM′s ¸i dou ˘a matrice
P; S de permutare de linii, respectiv coloane, astfel ˆıncˆat matricea R=M′PAS este superior triunghiular ˘a.
Metodele de pivotare part ¸ial ˘a sau total ˘a se recomand ˘a a fi utilizate ˆın general, nu numai ˆın cazul c ˆand
ˆıntr-o anumit ˘a matrice A(k)elementul a(k)
kkeste nul. Aceste metode asigur ˘a stabilitate numeric ˘a algoritmului
de triangularizare s ¸i evit ˘a situat ¸iile ˆın care erorile de rotunjire ˆın calculator au efecte catastrofale asupra
rezultatelor finale.
3

Matrice. Sisteme de ecuat ii liniare
1 Factorizarea LR
^In acest paragraf vom prezenta principalele proceduri de factorizare LRa unei matrice A2Rn×n.
Denition 1.1 FieA= (aij)1≤i;j≤n2Rn×n. O descompunere de forma:
A=L
R; (1)
unde Leste o matrice inferior triunghiular a, iar Reste o matrice superior triunghiular a, se nume ste
factorizare LRa matricei A.
Teorema 1.1 Dac a matricele Ak= (aij)1≤i;j≤k,1kn1, sunt nesingulare, atunci exist a o
factorizare LRa matricei A^ n care Leste o matrice nesingular a.
Demonstratie FieM=Mn−1:::M 2M1matricea obt inut a ^ n procedura de triangularizare a
matricei A. Deoarece Meste o matrice inferior triunghiular a, nesingular a, rezult a c a L=M−1este
inferior triunghiular a  si nesingular a. Din egalitatea A(n)=M
Arezult a A=L
R, unde R=A(n)
este o matrice superior triunghiular a.
Observatie 1.1 Fie:
mk= (0 : : :0mk+1k: : : m nk)t; ek= (0 : : :0 1 0 : : :0)t:
Atunci: Mk=Imket
k:
Deoarece et
kmk= 02Rnobt inem:
(
Imket
k)(
I+mket
k)
=Imket
k+mket
kmket
kmket
k=I:
Rezult a:
M−1
k=I+mket
k:
Deoarece et
pmq= 02Rnpentru orice p siq,p < q; obt inem:
L=n−1∏
k=1M−1
k=n−1∏
k=1(
I+mket
k)
=I+n−1∑
k=1mket
k:
Rezult a:
L=
1 0 0 : : : 0 0
m21 1 0 : : : 0 0
: : : : : : : :
mn1mn2mn3: : : m nn−11
:
1

Observatie 1.2 ^In calculator toate calculele se pot face ^ n matricea A. Pentru aceasta ^ n etapa k
elementele matricei Ase transform a astfel:
1. Liniile 1;2; :::; k  si coloanele 1;2; :::; k1;(k >1), nu se modic a.
2.aij aijakkaikakj
akk; k+ 1i; jn:
3.aik aik
akk; k+ 1in:
^In nal matricea Ava :
A=
a11 a12: : : a 1n−1a1n
m21 a22: : : a 2n−1a2n
: : : : : : :
mn1mn2: : : m nn−1ann
;
de unde:
L=
1 0 : : : 0 0
m21 1 : : : 0 0
: : : : : : :
mn1mn2: : : m nn−11
;
R=
a11a12: : : a 1n−1a1n
0a22: : : a 2n−1a2n
: : : : : : :
0 0 : : : 0 ann
:
Denition 1.2 Factorizarea LR^ n care elementele diagonale ale matricei Lsunt egale cu 1se
nume ste factorizare Doolittle.
Pentru o matrice Afactorizarea Doolittle este unic a.
^Intr-adev ar, dac a A=Li
Ri; i= 1;2;sunt dou a astfel de factoriz ari, atunci din L1
R1=L2
R2
rezult a:
L−1
2
L1=R2
R−1
1:
Matricea L−1
2
L1este inferior triunghiular a cu elementele diagonale egale cu 1, iar matricea
R2
R−1
1este superior triunghiular a. De aceea egalitatea precedent a poate avea loc dac a  si numai
dac a:
L−1
2
L1=R2
R−1
1=I:
Rezult a de aici: L1=L2; R1=R2.
Denition 1.3 Factorizarea LR^ n care elementele diagonale ale matricei Rsunt egale cu 1se
nume ste factorizare Crout.
Unicitatea factoriz arii Crout se demonstreaz a analog ca ^ n cazul precedent.
Elementele matricelor L siR, care realizeaz a factorizarea LRa matricei A, se pot calcula direct
din egalitatea A=L
R:
Fielij;1jin;elementele eventual nenule ale matricei L, iar rij, 1ijn;
elementele eventual nenule ale matricei R.
Din egalitatea A=L
Rrezult a:
aij=min{i;j}∑
h=1lihrhj;1i; jn (2)
2

Pentru factorizarea Doolittle se obt in formulele:


r1j=a1j;1jn
li1=ai1
r11;2in
Pentru k= 2;3; :::; n1 :
rkj=akjk−1∑
h=1lkhrhj; kjn
lik=1
rkk(
aikk−1∑
h=1lihrhk)
; k+ 1in
rnn=annn−1∑
h=1lnhrhn(3)
Pentru factorizarea Crout din 2 se obt in formulele:


li1=ai1;1in
r1j=a1j
l11;2jn
Pentru k= 2;3; :::; n1 :
lik=aikk−1∑
h=1lihrhk; kin
rkj=1
lkk(
akjk−1∑
h=1lkhrhj)
; k+ 1jn
lnn=annn−1∑
h=1lnhrhn(4)
Observatie 1.3 Algoritmul de factorizare LRpoate  completat cu o strategie de pivotare part ial a.
Pentru orice matrice A2 Rn×nexist a o matrice inferior triunghiular a M′ si o matrice de
permutare de linii Pastfel ^ nc^ at R=M′PA este o matrice superior triunghiular a.
Rezult a de aici PA=LR, unde L=M′1este o matrice inferior triunghiular a.
^In descrierea procedurii de pivotare part ial a am stabilit egalitatea M=M′P, unde:
M=Mn−1Pn−1Mn−2Pn−2:::M 1P1;
iar matricea P este produsul matricelor Pkde permutare de linii ^ n A:
P=Pn−1Pn−2:::P1:
^In acest produs avem Pk=I,Iind matricea unitate, dac a ^ n etapa knu se fac permut ari de
linii.
Deci:
L=M′1=Pn−1∏
k=1PkM−1
k:
Am demonstrat astfel urm atoarea teorem a:
Teorema 1.2 Pentru orice matrice A2Rn×nexist a o matrice de permutare de linii Pastfel ^ nc^ at
matricea PA poate  factorizat a LR.
3

Observatie 1.4 Algoritmul de factorizare LRpoate  completat deasemenea cu o strategie de piv-
otare total a.
Pentru orice matrice A2Rn×nexist a o matrice inferior triunghiular a M′ si matricele P,Sde
permutare de linii, respectiv coloane, astfel ^ nc^ at matricea R=M′PAS este superior triunghiular a.
Rezult a de aici PAS =LR, unde:
L=M′1=Pn−1∏
k=1PkM−1
k
este o matrice inferior triunghiular a (v. comentariul 1.3).
Deci:
Teorema 1.3 Pentru orice matrice A2Rn×nexist a matricele P,Sde permutare de linii, respectiv
coloane, astfel ^ nc^ at matricea PAS poate  factorizat a LR.
4

Matrice. Sisteme de ecuat ii liniare
1 Factorizarea QR
Denitie 1.1 Fievk= (0 : : :0vkkvk+1k: : : v nk)t∈ Rn\ {0}.
Matricea Hk∈ Rnndenit a astfel:
Hk=I−vkvt
k
k; (1)
unde k=1
2vt
kvk, se nume ste matrice Householder.
Propozitie 1.1 Matricea Householder Hkeste simetric a  si ortogonal a, adic a:
Hk=Ht
k=H1
k:
Demonstratie Matricea Hkeste simetric a deoarece matricele I sivkvt
k
ksunt
simetrice.
Deci: Hk=Ht
k.
Apoi:
HkHk=(
I−vkvt
k
k)(
I−vkvt
k
k)
=
=I−vkvt
k
k−vkvt
k
k+vkvt
kvkvt
k
2
k:
Deoarece vt
kvk= 2kobt inem:
HkHk=I−2vkvt
k
k+ 2vkvt
k
k=I:
Rezult a: Hk=H1
k:
Proprietatea este demonstrat a.
Propozitie 1.2 Determinantul unei matrice Householder este −1:
1

Proprietatea fundamental a a matricelor Householder este:
Propozitie 1.3 Fiex= (x1x2: : : x n)t∈ Rnun vector nenul. Atunci exist a o
matrice Householder Hkastfel ^ nc^ at primele k−1componente ale vectorului trans-
format Hkxs a coincid a cu primele k−1componente ale vectorului x, iar ultimele
n−kcomponente ale vectorului Hkxs a e nule, adic a:
Hkx= (x1: : : x k1k0: : :0)t(2)
Demonstratie Avem:
Hkx=(
I−vkvt
k
k)
x=x−vkvt
kx
k:
Componentele vectorului transformat Hkxse calculeaz a astfel:
(Hkx)i={xi; 1≤i≤k−1
xi−vik; k≤i≤n(3)
unde:
=1
kn∑
i=kvikxi:
Denim acum num arul real prin:
="vuutn∑
i=kx2
i;
unde "=−1 dac a xk<0  si"= 1 ^ n caz contrar.
Dac a = 0, adic a xi= 0; k≤i≤n, atunci Hkx=x, oricare ar  matricea
Householder Hk, iar Hkxare forma 2.
Pentru ̸= 0 e:
vkk=xk+;
vik=xi; k+ 1≤i≤n:
Rezult a:
k=1
2n∑
i=kv2
ik=1
2(
v2
kk+n∑
i=k+1v2
ik)
=
=1
2(
x2
k+ 2x k+2+n∑
i=k+1×2
i)
=
=1
2(
2x k+ 22)
=(+xk) =vkk̸= 0:
2

Apoi :
=1
kn∑
i=kvikxi=1
k(
x2
k+x k+n∑
i=k+1×2
i)
=
=2+x k
k= 1:
Deci, conform relat iilor 3, componenta ka vectorului Hkxestek=−, ultimele
n−kcomponente sunt nule, iar primele k−1 componente coincid cu primele k−1
componente ale vectorului x.
^In concluzie, transformarea 2 este complet denit a astfel:

="√
n∑
i=kx2
i
vkk=xk+
vik=xi; k+ 1≤i≤n
k=vkk
k=−(4)
unde "=−1 dac a xk<0  si"= 1^ n caz contrar.
Propozit ia este demonstrat a.
^In general, dac a Hkeste o matrice Householder dat a, iar xeste un vector dat,
atunci prin transformarea Hkxprimele k−1 componente ale lui xr am^ an nemodicate,
iar ultimele n−k+ 1 se calculeaz a cu formulele:

(Hkx)i=xi−vik; k≤i≤n
=1
kn∑
i=kvikxi;  k=1
2vt
kvk(5)
Denitie 1.2 FieA= (aij)1i;jn∈ Rnn. O descompunere de forma:
A=Q·R;
unde Qeste o matrice ortogonal a, iar Reste o matrice superior triunghiular a, se
nume ste factorizare QR a matricei A.
Procedura de factorizare QRa matricei A∈ Rnnse realizeaz a ^ n n−1 etape.
Astfel, e A(1)=A siA(k)matricea rezultat a dup a primele k−1 etape, k≥2, de
forma:
A(k)=
a(k)
11a(k)
12: : : a(k)
1k1 a(k)
1k: : : a(k)
1n
0a(k)
22: : : a(k)
2k1 a(k)
2k: : : a(k)
2n
: : : : : : : : : : :
0 0 : : : a(k)
k1k1a(k)
k1k: : : a(k)
k1n
0 0 : : : 0 a(k)
kk : : : a(k)
kn
: : : : : : : : : : :
0 0 : : : 0 a(k)
nk : : : a(k)
nn

3

Dac a ultimele n−kcomponente ale vectorului din coloana kdin matricea A(k)
nu sunt toate nule atunci, lu^ and acest vector drept vectorul x, din 4  si 5 se determin a
matricea:
A(k+1)=HkA(k)
Matricea Hklas a invariante liniile  si coloanele 1 ;2; :::; k −1 din matricea A(k),
anuleaz a elementele subdiagonale din coloana k si transform a celelalte elemente ale
matricei A(k)cu formule de tipul 5.
Dac a vectorul din coloana kdin matricea A(k)are ultimele n−kcomponente
nule, atunci matricea A(k)are forma matricei A(k+1).^In acest caz vom considera
A(k+1)=HkA(k)cuHk=I.
Matricea nal a A(n)va  superior triunghiular a. ^In plus:
A(n)=Hn1Hn2:::H 1A:
De aici rezult a A=Q·R, unde R=A(n),Q=H1H2:::H n1.
Maticea Reste superior triunghiular a, iar matricea Qeste ortogonal a.
Este adev arat a urm atoarea teorem a:
Teorema 1.1 Pentru orice matrice A∈ Rnnexist a o matrice ortogonal a Q si o
matrice superior triunghiular a R, astfel ^ nc^ at A=Q·R.
Exist a cel put in o factorizare A=Q·R, astfel ^ nc^ at elementele diagonale ale
matricei Rs a e nenegative.
Dac a matricea Aeste inversabil a, atunci factorizarea A=Q·R, unde Rare
elementele diagonale pozitive, este unic a.
4

Matrice. Sisteme de ecuat ii liniare
1 Metode directe de rezolvare a sistemelor liniare
Consider am sistemul de ecuat ii liniare:
Ax=b; (1)
unde A∈ Rn×n; b∈ Rn.
Metodele directe de rezolvare a sistemului (1) cuprind dou a etape. ^In prima etap a
se realizeaz a triangularizarea sau factorizarea matricei sistemului. ^In etapa a doua se
rezolv a prin metode elementare unul sau dou a sisteme triunghiulare.
1.1 Metode directe bazate pe proceduri de triangularizare
Pentru matricea Aexist a matricea inferior triunghiular a M′ si matricele de permutare
P; S astfel ^ nc^ at matricea R=M′P AS este superior triunghiular a.
Rezult a de aici:
M′P A=RS−1:
Sistemul (1) se transform a ^ n sistemul:
Ry=c; (2)
unde c=M′P b, iar y=S−1x.
Dup a rezolvarea sistemului triunghiular Ry=cse obt ine solut ia sistemului init ial:
x=Sy
Matricea R=M′P AS  si vectorul c=M′P bse pot determina simultan aplic^ and
procedurile de triangularizare matricei extinse ( A; b), obt in^ and ^ n nal matricea
M′P(AS; b ) = ( R; c)
Fierij;1≤i≤j≤n;(rii̸= 0) ;elementele eventual nenule ale matricei R,
y= (y1y2::: y n)t; c= (c1c2::: c n)t.
1

Sistemul (2) se rezolv a cu urm atoarele formule:


yn=cn
rnn
yi=1
rii(
ci−n∑
k=i+1rikyk)
; i=n−1; n−2; :::;1(3)
Solut ia sistemului (1) este x=Sy.
1.2 Metode directe bazate pe proceduri de factorizare LR
Dac a matricea Aa sistemului Ax=bpoate  factorizat a LR,A=L·R, atunci
sistemul Ax=beste echivalent cu sistemul:
LRx =b:
Pentru determinarea solut iei xvom rezolva succesiv sistemele:
Ly=b; Rx =y:
Dac a lij;1≤j≤i≤n;(lii̸= 0);sunt elementele eventual nenule ale matricei L,
atunci sistemul Ly=bse rezolv a astfel:


y1=b1
l11
yi=1
lii(
bi−i−1∑
k=1likyk)
;2≤i≤n;(4)
Dac a rij;1≤i≤j≤n;(rii̸= 0) ;sunt elementele eventual nenule ale matricei
R, atunci sistemul Rx=yse rezolv a astfel:


xn=yn
rnn
xi=1
rii(
yi−n∑
k=i+1rikxk;)
; i=n−1; n−2; :::;1;(5)
Observatie 1.1 Atunci c^ and se utilizeaz a proceduri de pivotare total a, se realizeaz a
o factorizare LR pentru matricea P AS:
Din egalitatea P AS =LR rezult a:
P A=LRS−1:
Atunci, sistemul Ax=beste echivalent cu sistemul:
LRS−1x=P b:
^In acest caz se rezolv a succesiv sistemele Ly=P b,Rz=y, iar solut ia sistemului
init ial va  x=Sz:
2

1.3 Metode directe bazate pe proceduri de factorizare QR
Fie sistemul liniar:
Ax=b;
unde A∈ Rn×n; b∈ Rn.
Fie deasemenea A=Q·Ro factorizare QR a matricei A, unde Q= (qij)1≤i;j≤n
este o matrice ortogonal a, iar Reste o matrice superior triunghiular a.
Sistemul Ax=beste echivalent cu sistemul:
QRx =b:
Pentru determinarea solut iei xa sistemului Ax=bvom rezolva succesiv sistemele:
Qy=b; Rx =y:
Deoarece matricea Qeste ortogonal a, din egalitatea Qy=brezult a:
y=Qtb:
A sadar, dac a y= (yi)1≤i≤n, atunci sistemul Qy=bse rezolv a cu formulele:
yi=n∑
k=1qkibk;1≤i≤n (6)
Dac a rij;1≤i≤j≤n;(rii̸= 0), sunt elementele eventual nenule ale matricei
R, atunci sistemul Rx=yse rezolv a cu formulele:


xn=yn
rnn
xi=1
rii(
yi−n∑
k=i+1rikxk;)
; i=n−1; n−2; :::;1(7)
3

Metode iterative de rezolvare a sistemelor liniare
Fie sistemul:
Ax=b;
unde A∈ Rn×neste o matrice inversabil a.
1 Metodele Seidel-Gauss  si Jacobi
Pentru sistemul Ax=bdenim aplicat ia T:Rn→ Rnprin:
T(x) =y; (1)
unde x= (x1x2::: x n)t, iar vectorul y= (y1y2::: y n)tse determin a astfel:
yi=1
aii(
bi−i−1∑
j=1aijyj−n∑
j=i+1aijxj)
;1≤i≤n (2)
Apoi ( Rn; d) este spat iu metric complet, unde metrica deste denit a prin:
d(x; y) = max
1≤i≤n|xi−yi|; (3)
unde: x= (x1x2::: x n)t; y= (y1y2::: y n)t:
Teorema 1.1 Dac a Aeste dominant diagonal a pe linii, adic a:
|aii|>n∑
j=1
j̸=i|aij|;1≤i≤n; (4)
atunci aplicat ia Teste o contract ie de coecient q, unde:
q= max
1≤i≤nn∑
j=1
j̸=i|aij|
|aii|(5)
1

Observatie 1.1 Condit ia (4) poate  ^ nlocuit a cu:
|ajj|>n∑
i=1
i̸=j|aij|;1≤j≤n; (6)
adic a matricea As a e dominant diagonal a pe coloane.
^In acest caz ^ n (5) coecientul qare expresia:
q= max
1≤j≤nn∑
i=1
i̸=j|aij|
|ajj|
Observatie 1.2 Teorema (1.1) este adev arat a  si pentru aplicat ia T:Rn→ Rn
denit a prin:
y=T(x); y i=1
aii
bi−n∑
j=1
j̸=iaijxj
;1≤i≤n: (7)
Observatie 1.3 Pentru x(0)∈ Rncalcul am iterat iile:
x(k+1)=T(
x(k))
; k≥0;
unde Teste denit a ^ n (1)-(2) sau (7).
Dac a este adevarat a (4) sau (6), atunci Teste contract ie  si deci x∗= lim
k→∞x(k)
este singurul punct x al aplicat iei T.
Scriind egalitatea x∗=T(x∗)pe componente, din (2) rezult a:
x∗
i=1
aii(
bi−i−1∑
j=1aijx∗
j−n∑
j=i+1aijx∗
j)
;1≤i≤n;
adic a Ax∗=b.
Prin urmare x∗este solut ia sistemului Ax=b.
Analog, egalitatea x∗=T(x∗), unde Teste denit a ^ n (7), este echivalent a cu
Ax∗=b.
Pe baza celor prezentate mai sus, ^ n funct ie de denirea lui T^ n (1)-(2), respectiv
(7), avem urm atoarele metode:
1) Metoda Seidel – Gauss :


x(0)=(
x(0)
1x(0)
2::: x(0)
n)t
∈ Rn;
Pentru k ≥0:
x(k+1)
i =1
aii(
bi−i−1∑
j=1aijx(k+1)
j−n∑
j=i+1aijx(k)
j)
;1≤i≤n:(8)
2

2) Metoda Jacobi:


x(0)=(
x(0)
1x(0)
2::: x(0)
n)t
∈ Rn;
Pentru k ≥0:
x(k+1)
i =1
aii
bi−n∑
j=1
j̸=iaijx(k)
j
;1≤i≤n:(9)
Observatie 1.4 Oprirea procesului iterativ (8) sau (9) se face atunci c^ and:
qk
1−qd(
x(1); x(0))
< ": (10)
unde "este precizia impus a pentru aproximarea solut iei.
2 Metoda relax arii
Consider am sistemul de ecuat ii liniare:


11×1+12×2+:::+1nxn=1
21×1+22×2+:::+2nxn=2
: : :
n1x1+n2x2+:::+nnxn=n;
unde ij;  i∈ R;  ii̸= 0;1≤i; j≤n:
Presupuem c a matricea sistemului este dominant diagonal a pe linii sau coloane.
Aducem acest sistem la forma:


−x1+a12x2+:::+a1nxn+b1= 0
a21x1−x2+a23x3+:::+a2nxn+b2= 0
: : :
an1x1+an2x2+:::+ann−1xn−1−xn+bn= 0(11)
unde:
aij=−ij
ii; bi=i
ii;1≤i; j≤n:
Fiex(k)= (x(k)
1x(k)
2: : : x(k)
n)to aproximat ie a solut iei sistemului  si resturile R(k)
i
calculate cu formulele:
R(k)
i=bi−x(k)
i+n∑
j=1
j̸=iaijx(k)
j;1≤i≤n (12)
3

Fie:
|R(k)
p|= max
1≤i≤n|R(k)
i| (13)
Urm atoarea aproximat ie a solut iei se calculeaz a cu formulele:
{
x(k+1)
p =x(k)
p+R(k)
p
x(k+1)
q =x(k)
q;pentru q̸=p(14)
Pentru noile resturi R(k+1)
i;1≤i≤n, se obt in expresiile:
{
R(k+1)
p = 0
R(k+1)
q =R(k)
q+aqpR(k)
p;pentru q̸=p(15)
Procedeul se continu a p^ an a c^ and resturile se anuleaz a sau devin practic neglijabile.
4

Calculul determinantului si inversei unei matrici
1 Metode pentru calculul determinant ilor
Metode simple pentru calculul determinant ilor decurg din procedurile de triangu-
larizare sau factorizare LR,QR.
FieA= (aij)1i;jn∈ Rnxn si:
A(n)=Mn1Pn1Mn2Pn2:::M 1P1AS1S2:::S n1 (1)
matricea superior triunghiular a obt inut a ^ n urma aplic arii procedurii de triangu-
larizare matricei A.
Matricele Mk;1≤k≤n−1, sunt inferior triunghiulare av^ and elementele diago-
nale egale cu 1 ⇒det(Mk) = 1 ;1≤k≤n−1:
Matricele Pk; S ksunt matrice unitate sau se obt in din matricea unitate prin per-
mutarea a dou a linii atunci c^ and sunt matrice de permutare de linii, respectiv coloane.
De aceea determinant ii acestor matrice au valoarea 1 sau −1.
Rezult a:
det (A) ="n∏
i=1a(n)
ii; (2)
unde "este num arul permut arilor de linii  si de coloane.
Dac a matricea Apoate  factorizat a LR, atunci din egalitatea A=L·Rrezult a:
det(A) =n∏
i=1(R)ii;(Doolittle ) (3)
det(A) =n∏
i=1(L)ii;(Crout ) (4)
Pentru matricea A∈ Rnnexist a o factorizare QR astfel^ nc^ at A=Q·R(det(Q) =
(−1)n=")
det(A) ="n∏
i=1Rii; (5)
O alt a metod a de calcul a determinant ilor este metoda condens arii pivotale.
Aceasta const a ^ n reducerea treptat a a ordinului determinantului dat.
1

Dac a A= (aij)1i;jn sia11̸= 0 atunci:
det (A) =1
an2
11a11a12
a21a22a11a13
a21a23···a11a1n
a21a2n
a11a12
a31a32a11a13
a31a33···a11a1n
a31a3n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : : : . . . . . . . . . . .a11a12
an1an2a11a13
an1an3···a11a1n
an1ann(6)
Aceast a formul a se aplic a succesiv p^ an a c^ and se obt ine un determinant de ordinul
doi.
Dac a apare un caz ^ n care a11= 0 atunci se caut a ^ n prima linie (coloan a) un
element nenul. Dac a toate elementele din prima linie (coloan a), sunt nule atunci
det(A) = 0. ^In caz contrar se permut a coloana (linia) elementului nenul determinat
cu prima coloan a (linie)  si se schimb a semnul determinantului.
2 Metode pentru inversarea matricelor
2.1 Metoda lui Gauss
FieA∈ Rnn:Dac a x(k); e(k);1≤k≤n, sunt coloanele matricelor A1, respectiv I,
atunci din egalitatea A·A1=Ise obt in sistemele:
Ax(k)=e(k);1≤k≤n:
Fiecare din aceste sisteme poate  rezolvat, adic a matricele extinse(
A; e(k))
se
transform a ^ n matricele(
I; c(k))
;1≤k≤n. Dac a pentru unul din sisteme nu este
posibil a aceast a transformare atunci matricea Anu este inversabil a. Apoi:
x(k)=Sc(k);1≤k≤n;
unde Seste produsul matricelor de permutare de coloane din procedurile de pivotare
total a.
Deoarece toate sistemele au aceea si matrice a coecient ilor Arezolvarea acestora
se poate face simultan. Pentru aceasta se transform a matricea extins a:
(
A; e(1); e(2); ::: ; e(n))
= (A; I)
^ n matricea:(
I; c(1); c(2); ::: ; c(n))
= (I; C ):
Apoi:
2

(
x(1); x(2); ::: ; x(n))
=(
Sc(1); Sc(2); ::: ; Sc(n))
echivalent cu:(
x(1); x(2); ::: ; x(n))
=SC
Deci:
A1=SC:
2.2 Metoda descompunerii
Aceast a metod a determin a inversa matricei A∈ Rnncu ajutorul inverselor unor
matrice de ordin inferior.
Descompunem matricea A^ n patru blocuri astfel:
A=(A11A12
A21A22)
;
unde:
A11∈ Rpp; A12∈ Rpq; A21∈ Rqp; A22∈ Rqq; p+q=n:
Matricea A1 si matricea unitate Ise descompun asem an ator, adic a:
A1=(B11B12
B21B22)
; I=(I1O1
O2I2)
;
unde B11∈ Rpp; B12∈ Rpq; B21∈ Rqp; B22∈ Rqq; I1; I2sunt matrice unitate,
I1∈ Rpp; I2∈ Rqq, iar O1,O2sunt matrice nule, O1∈ Rpq; O2∈ Rqp.
DinA·A1=Ise obt ine sistemul matriceal:


A11B11+A12B21=I1
A11B12+A12B22=O1
A21B11+A22B21=O2
A21B12+A22B22=I2(7)
Presupunem c a matricele A11 siA22−A21A1
11A12sunt inversabile.
Din a doua ecuat ie a sistemului 7 rezult a:
B12=−A1
11A12B22 (8)
^Inlocuim aceast a expresie a matricei B12^ n ultima ecuat ie a sistemului 7. Obt inem
ecuat ia:
−A21A1
11A12B22+A22B22=I2:
Rezult a de aici:
B22=(
A22−A21A1
11A12)1(9)
3

Din prima ecuat ie sistemului 7 rezult a:
B11=A1
11−A1
11A12B21 (10)
^Inlocuim aceast a expresie a matricei B11^ n a treia ecuat ie a sistemului 7. Obt inem
ecuat ia:
A21A1
11−A21A1
11A12B21+A22B21=O2:
Rezult a de aici:
B21=−(
A22−A21A1
11A12)1A21A1
11;
adic a, t in^ and cont de 9:
B21=−B22A21A1
11 (11)
A sadar, dac a matricele A11 siA22−A21A1
11A12sunt inversabile, atunci sistemul
7 se rezolv a cu formulele:

B22=(
A22−A21A1
11A12)1
B12=−A1
11A12B22
B21=−B22A21A1
11
B11=A1
11−A1
11A12B21(12)
2.3 Metoda iterativ a
FieAk= (aij)1i;jk, 1≤k≤n, submatricele matricei A. Atunci:
Ak+1=(Akuk
vkk)
;
unde:
uk= (a1k+1a2k+1::: a kk+1)t;
vk= (ak+11ak+12::: a k+1k);
k=ak+1k+1:
Matricea A1
k+1=(Bkxk
ykk)
se determin a cu metoda descompunerii.
Din formulele 12 rezult a:

k=1
k−vkA1
kuk
xk=−kA1
kuk
yk=−kvkA1
k
Bk=A1
k+xkyk
k(13)
Dac a a11̸= 0 atunci A1
1=1
a11. Folosind formulele 13 se calculeaz a succesiv
A1
2; A1
3; :::; A1
n=A1.
4

Polinom caracteristic. Vectori  si valori proprii.
1 Introducere
Denitie 1.1 Fie matricea A∈ Cnn. Num arul pentru care exist a x∈ Cn\ {0}
astfel ^ nc^ at:
Ax=x (1)
se nume ste valoare proprie a matricei A, iar xse nume ste vector propriu corespun-
z ator valorii proprii :
Egalitatea 1 este echivalent˘ a cu:
(I−A)x= 0 (2)
Deci este valoare proprie pentru matricea Adac˘ a ¸ si numai dac˘ a:
det (I−A) = 0 :
Denitie 1.2 Polinomul pAdenit astfel:
pA() = det ( I−A) (3)
se nume ste polinom caracteristic al matricei A:
Polinomul pAeste un polinom unitar, de grad n, cu coeficient ¸i din C:
Denitie 1.3 Mult imea valorilor proprii ale matricei A:
(A) ={1; 2; :::;  n}
se nume ste spectrul matricei A, iar num arul:
(A) = max
1in|i|
se nume ste raz a spectral a a matricei A:
Observatie 1.1 Orice matrice A∈ Cnnare cel put in un vector propriu. Mai precis,
ec arei valori proprii ∈(A)^ i corespunde cel put in un vector propriu.
1

2 Metoda minorilor diagonali.
FieA= (aij)1i; jn∈ Cnn.
Elementele coloanei j;1≤j≤n, din matricea I−Asunt:
(I−A)ij={−aij dac a i̸=j
−aiidac a i=j;1≤i≤n:
De aceea pA() = det( I−A) se poate descompuneˆ ıntr-o sum˘ a de 2ndeterminant ¸i.
Fie ∆ unul dintre ace¸ sti determinant ¸i ¸ si j1; j2; :::; j kindicii coloanelor lui ∆ formate
din elemente ale matricei A. Toate celelalte coloane au pe la intersect ¸ia cu diagonala
principal˘ a ¸ si 0 ˆ ın rest.
Dezvolt˘ am succesiv determinantul ∆ dup˘ a coloanele care-l cont ¸in pe ¸ si scoatem
pe−1 factor comun ˆ ın celelalte. Obt ¸inem:
∆ = ( −1)knkMj1j2:::jk:
Determinantul Mj1j2:::jkeste format cu elemente ale matricei Asituate la intersect ¸ia
liniilor ¸ si coloanelor de indici j1; j2; :::; j k. El se nume¸ ste minor diagonal de ordinul k.
ˆIn dezvoltarea lui pAgrup˘ am termenii dup˘ a puterile lui . Rezult˘ a:
pA() =n−1n1+2n2−3n3+:::+ (−1)nn;
unde:
1=n∑
i=1Mi=n∑
i=1aii
2=∑
1i<jnMij=∑
1i<jnaiiaij
ajiajj
: : :
n=M12:::n= det( A)
Observatie 2.1 Dac a:
pA() =n−1n1+:::+ (−1)nn
este polinomul caracteristic al matricei A, iar 1; 2; :::;  nsunt valorile proprii, din
relat iile lui Vi ete rezult a:


1+2+:::+n=1
∑
1i<jnij=2
: : :
12::: n=n
2

Din prima relat ie se obt ine:
n∑
i=1i=1=n∑
i=1aii:
Num arul tr(A) =n∑
i=1aiise nume ste urma matricei A.
Din ultima relat ie a lui Vi ete se obt ine:
n∏
i=1i=n= det( A):
Deci:n∑
i=1k
i=tr(
Ak)
; k≥1:
De aici rezult˘ a metoda lui Leverrier pentru determinarea polinomului carac-
teristic:
1. Se calculeaz˘ a A2; A3; :::; An.
2. Se calculeaz˘ a sk=tr(
Ak)
, 1≤k≤n.
3. Coeficient ¸ii polinomului caracteristic:
pA() =n−1n1+:::+ (−1)nn
se calculeaz˘ a cu formulele lui Newton:


1=s1
k=1
k[s1k1−s2k2+:::+ (−1)ksk11+ (−1)k+1sk];
2≤k≤n.(4)
3 Metoda lui Fadeev
Fie matricea A∈ Cnn. Metoda lui Fadeev este descris˘ a de formulele:


A1=A;  1=tr(A1); B 1=1I−A1;
Ak=AB k1;  k=1
ktr(Ak); B k=kI−Ak;2≤k≤n(5)
Teorema 3.1 Sunt adev arate urm atoarele armat ii:
(a) Polinomul caracteristic al matricei Aeste:
pA() =n−1n1+:::+ (−1)nn:
3

(b)Bn=O∈ Rnn, (Oeste matricea nul a).
(c) Dac a matricea Aeste inversabil a atunci:
A1=1
nBn1 (6)
4 Metoda lui Kr^ lov
FieA∈ Cnn¸ sipA() =n+c1n1+:::+cnpolinomul caracteristic al matricei A.
Conform teoremei Hamilton-Cayley avem:
pA(A) =An+c1An1+:::+cn1A+cnI=O:
Pentru y(0)∈ Cnoarecare, nenul, rezult˘ a:
Any(0)+c1An1y(0)+:::+cn1Ay(0)+cny(0)= 0:
Fiey(k)=Aky(0), 1≤k≤n.
Obt ¸inem sistemul:
c1y(n1)+c2y(n2)+:::+cn1y(1)+cny(0)=−y(n)(7)
Dac˘ a determinantul acestui sistem este nenul, atunci solut ¸ia sa reprezint˘ a coeficient ¸ii
polinomului caracteristic. Dac˘ a determinantul acestui sistem este nul, atunci trebuie
reluate calculele cu un alt vector init ¸ial y(0).
S˘ a presupunem acum c˘ a valorile proprii 1; 2; :::;  nsunt distincte. ˆIn acest caz
vectorii proprii corespunz˘ atori x(i);1≤i≤n, formeaz˘ a o baz˘ a ˆ ın Cn.
Fiey(0)=n∑
i=1bix(i)expresia vectorului init ¸ial y(0)ˆ ın aceast˘ a baz˘ a. Rezult˘ a:
y(k)=n∑
i=1bik
ix(i);1≤k≤n (8)
Pentru 1 ≤j≤nnot˘ am:
qj() =pA()
−j=n1+q1jn2+:::+qn1j (9)
Deoarece valorile proprii sunt distincte avem:
{
qj(i) = 0, pentru i̸=j
qj(j)̸= 0(10)
4

Din 8, 9 ¸ si 10 deducem:
y(n1)+q1jy(n2)+:::+qn1jy(0)=
=n∑
i=1bix(i)(
n1
i+q1jn2
i+:::+qn1j)
=
=n∑
i=1bix(i)qj(i) =bjqj(j)x(j):
Dac˘ a bj̸= 0 atunci bjqj(j)x(j)este vector propriu corespunz˘ ator valorii proprii
j. Deci:
y(n1)+q1jy(n2)+:::+qn1jy(0)(11)
este un vector propriu corespunz˘ ator valorii proprii j.
5 Metoda LR
Metoda LRpentru calculul valorilor ¸ si vectorilor proprii pentru o matrice A∈ Rnn
se bazeaz˘ a pe metoda de factorizare LRa matricelor.
Aceast˘ a metod˘ a este descris˘ a de formulele:


A1=A
Pentru k≥1 :
Ak=Lk·Rk(factorizare LR)
Ak+1=Rk·Lk(12)
ˆIn cele ce urmeaz˘ a vom folosi factorizarea Doolittle, adic˘ a factorizarea ˆ ın care
alementele diagonale ale matricei Lsunt 1, ( lii= 1;1≤i≤n).
Din 12 rezult˘ a:
Ak+1=L1
kAkLk=RkAkR1
k:
De aici obt ¸inem:
Ak+1=eL1
kAeLk=eRkAeR1
k;
unde:
eLk=L1L2:::L k;eRk=RkRk1:::R 1:
Deci matricele Aksunt asemenea cu A:ˆIn consecint ¸˘ a matricele Ak; k≥1;au
acelea¸ si valori proprii.
Presupunem c˘ a ¸ sirul(
eLk)
keste convergent.
Fie: L= lim
k!1eLk:
DineLk=eLk1Lkrezult˘ a: lim
k!1Lk=I:
Atunci, din Ak=LkRkrezult˘ a c˘ a ¸ sirurile ( Ak)k;(Rk)kau aceea¸ si limit˘ a.
5

Fie: R= lim
k!1Ak= lim
k!1Rk:
Matricea Reste superior triunghiular˘ a ¸ si asemenea cu A. Deci elementele diago-
nale ale matricei Rsunt valorile proprii ale matricei A.
DinAk+1=eL1
kAeLkrezult˘ a: R=L1AL:
Dac˘ a este o valoare proprie a matricei R¸ siyeste vectorul propriu corespunz˘ ator,
atunci Ry=y. De aici rezult˘ a:
A(Ly) =(Ly):
A¸ sadar x=Lyeste vector propriu al matricei Acorespunz˘ ator aceleia¸ si valori
proprii :
Vectorii proprii ai matricei Rse obt ¸in rezolvˆ and sistemele triunghiulare:
Ry(i)=riiy(i); y(i)=(
y(i)
1y(i)
2::: y(i)
n)t
;1≤i≤n:
Aceste sisteme sunt compatibil nedeterminate. Pentru fiecare i= 1;2; :::; n vom
luay(i)
i= 1:
Pentru 1 ≤i≤nse obt ¸in urm˘ atoarele formule:


y(i)
n=y(i)
n1=:::=y(i)
i+1= 0;(i < n );
y(i)
i= 1
y(i)
k=1
rii−rkk·i∑
j=k+1rkjy(i)
j; k=i−1; i−2; :::;1 (i >1)(13)
Vectorii x(i)=Ly(i);1≤i≤n, sunt vectori proprii pentru matricea A.
Primul vector propriu x(1)este prima coloan˘ a a matricei L.
Dac˘ a pentru i∈ {2;3; :::; n }exist˘ a k∈ {1;2; :::; i−1}astfel ˆ ıncˆ at rii=rkk, atunci
vectorul y(i)nu poate fi calculat. ˆIn consecint ¸˘ a vectorul propriu x(i)al matricei Anu
poate fi calculat.
6