Ecuat ,ii s ,i sisteme de ecuat ,ii diferent ,iale de ordinul I [604265]

1

Chapter 1
Ecuat ,ii s ,i sisteme de ecuat ,ii diferent ,iale de ordinul I
rezolvabile efectiv
Ecuat ,iile diferent ,iale de ordinul I au forma:
f(x;y;y0) = 0; (1.1)
dar cel mai adesea ele se g asesc sub forma explicit a:
f(x;y) =y0: (1.2)
Solut ,ia lor generala depinz^ and de o singura constanta. Exist a mai multe tipuri de ecuat ,ii
diferent ,iale de ordinul I, iar din punct de vedere al rezolv arii analitice, acestea se clasic a ^ n:
ˆEcuat ,ii fundamentale: dintre care amintim: ecuat ,ii cu variabile separabile, ecuat ,ii
liniare de ordinul I, ecuat ,ii cu diferent ,ial a total a exact a.
ˆEcuat ,ii reductibile la ecuat ,ii fundamentale: cum ar :ecuat ,ii de tip Bernoulli,ecuat ,ii
de tip Riccati, ecuat ,ii de tip Lagrange
1.1 Ecuat ,ii cu variabile separabile
Forma general a a ecuat ,iei este:
y0=f(x)g(y); (1.3)
undef,gsunt funct ,ii reale date,continue pe domeniul lor de denit ,ie.
Observat ,ii:
1).Dac ag(y) = 0, solut ,iile ecuat ,iei sunt solut ,ii singulare.
2

2).Dac ag(y)6= 0, rezolvarea ecuat ,iei se face prin metoda separ arii variabilelor, ind ur-
mat a de integrare.
Etapede rezolv arii:
1.Se rezolv a ecuat ,iag(y) = 0, unde solut ,iiley(x) =y1;y(x) =y2;:::;y (x) =ynsunt solut ,ii
singulare.
Domeniul lor de denit ,ie ind domeniul de denit ,ie al funct ,ieif.
2.Se scrie ecuat ,ia sub formay0
g(y)=f(x), atunci c^ and g(y)6= 0 s ,i se obt ,ine integrala general a
a ecuat ,iei:
Zdy
g(y)=Z
f(x)dx+c; (1.4)
mai exact forma inplicit a a solut ,iei.
3.Prin rezolvarea integralei (dac a este posibil) se calculeaz a ys,i se obt ,ine forma explicit a a
solut ,iei.
Aplic^ and condit ,ia init ,iala,y(x0) =y0obt ,inem solut ,ia particular a a ecuat ,iei, care se
deduce din integrala:Zy
y0ds
g(s)=Zx
x0f(t)dt
O form a particular a a ecuat ,iei cu variabile separabile este y0(x) =f(x).
Solut ,ia general a a ecuat ,iei ind:
y(x) =Z
f(x)dx:
Exemple
S a se g aseasc a solut ,ia general a a urm atoarelor ecuat ,ii diferent ,iale.
1. (1 +x2)yy0+x(1 +y2) = 0
care ^ ndeplines ,te condit ,ia init ,ial ay(1) = 2
Rezolvare: Ecuat ,ia se pune sub forma echivalent a:
y0y
1 +y2=x
1 +x2()
3

()y
1 +y2dy=x
1 +x2dx:
Integr^ and, obt ,inem:
Zy
1 +y2dy=Zx
1 +x2dx
deci
1
2ln(1 +y2) =1
2ln(1 +x2) +1
2lnC;C>0:
Din condit ,ia init ,ial a
y(1) = 2;
obt ,inem
C= 10
s,i mai departe
y=r
9x2
1 +x2:
Evident, solut ,ia c autat a este:
y=r
9x2
1 +x2; x2(3;3):
2.xy0=y; x> 0;y> 0:
Rezolvare:
Se observ a c a ecuat ,ia diferent ,ial a dat a se poate scrie sub forma echivalent a:
dy
y=dx
x
Integr^ and ^ n ambii membri, se obt ,ine:
lny= lnx+ lnC;C2R
+
4

sau
y=Cx;C2R
+
Observ am c a, des ,i calculele sunt f acute ^ n domeniul D= (0;1)(0;1);funct ,ia
y=Cx;C2Rveric a ecuat ,ia diferent ,ial a pe R2
As,adar, solut ,ia general a a ecuat ,iei diferent ,iale date, este:
y=Cx;C2R:
1.2 Ecuat ,ii liniare de ordinul I
Forma general a a ecuat ,iei liniare este:
y0=P(x)y+Q(x); (1.5)
undeP;Q :I!R,IRinterval,sunt funct ,ii date continue pe domeniul de denit ,ie.Aceast a
ecuat ,ie rezolv^ andu-se prin metoda variet ,iei constantelor.
Metoda de rezolvare:
1.Se rezolv a ecuat ,ia omogen a y0=P(x)ycare este o ecuat ,ie cu variabile separabile. Astfel
se obt ,ine solut ,ia nenul a
y0=CeRx
0P(x)dx=Cf(x): (1.6)
2.Pentru a rezolva ecuat ,ia liniar a neomogen a s ,i pentru a obt ,ine o solut ,ie particular a a aces-
teia, se consider a constanta Cca ind ^ n funct ,ie dex, adic a se scrie:
yp(x) =C(x)f(x); (1.7)
3.Se calculeaz a y0
p(x) =C0(x)f(x) +C(x)f0(x) s,i se introduce ^ n ecuat ,ia (5). Termenii care
cont ,inC(x) se reduc s ,i se obt ,ine o ecuat ,ie de forma:
C0(x) =g(x): (1.8)
5

4.Se rezolv a ecuat ,iaC0(x) =g(x) cu solut ,ia
C(x) =Z
g(x) +K; (1.9)
unde K este o constant a arbitrar a.
5.Se introduce expresia lui C(x) ^ n (6) s ,i se obt ,ine forma explicit a a ecuat ,iei liniare neomo-
gene.
6. Solut ,ia ecuat ,iei liniare (5) se obt ,ine prin adunare celor dou a solut ,ii ale ecuat ,iilor liniare
omogene, respectiv neomogene.
Observat ,ie:
Forma explicit a a ecuat ,iei liniare se poate obt ,ine s ,i din urm atoarea relat ,ie:
y(x) =
K+Zx
x0Q(s)es
x0R
P(x)dxds
eRx
x0P(t)dt(1.10)
Aplicat ,ii
S a se g aseasc a solut ,ia general a a urm atoarelor ecuat ,ii liniare diferent ,iale.
1.y0+ysinx=sinxecosx
Solut ,ie:
Folosim formula (6) cu P(x) = sinxs,iQ(x) =sinxcosx:
^Inlocuind ^ n (6), obt ,inem:
y=eR
sinxdxC ()y=Cecosx
T,in^ and cont de metoda variat ,iei constantei, consider am constanta C^ n funct ,ie dex)
y(x) =C(x)ecosx:Derivam expresia lui y(x):
y0(x) =C0(x)ecosx+C(x)ecosx(sinx)
S,i ^ nlocuind in formula (5), obt ,inem:
C0(x)ecosxC(x)ecosxsinx+C(x)ecosxsinx=sincecosx)
)C0(x)ecosx=sincecosx)
)C0(x) =sinx)
6

)C(x) =Z
sinxdx)
)C(x) = cosx+K
As,adar, solut ,ia ecuat ,iei liniare este
y(x) = (cosx+K)ecosx
2.8
<
:xy0+yex= 0()
y(a) =b
Rezolvare:
Rezolv am ecuat ,ia omogen a y0
O=y
xprin metoda separ arii variabilelor. Deci,
y0
O=yO
x()dy
dx=yO
x()dy
yO=dx
x()
() lnjyOj=lnjxj+C () lnjyOj= lnC
x;8C2R()
()yO=C
x;8C2R
Pentru a g asi o solut ,ie particular a a ecuat ,iei folosim metoda variat ,iei constantelor, astfel
^ nc^ at:yp(x) =C(x)
x:
yp(x) trebuie s a verice ecuat ,ia init ,ial a, as ,adar calcul am derivata de ordin I a lui yp(x)
s,i ^ nlocuim ^ n relat ,ia (*):
y0
p(x) =C0(x)xC(x)
x2)
)xC0(x)xC(x)
x2+C(x)
xex= 0()
() C0(x)C(x)
x+C(x)
x=ex()
() C0(x) =ex() C (x) =Z
exdx()
() C (x) =ex)
7

)yp(x) =ex
x:
Deci solut ,ia ecuat ,iei init ,iale este:
y(x) =yO(x) +yp(x))y(x) =C
x+ex
x
Dar, din condit ,ia init ,iala avem c a y(a) =b, as ,adar:
C
a+ea
a=b)
)C =baea:
^Inlocuind constanta C, obt ,inem :
y(x) =ex
x+baex
x
1.3 Ecuat ,ii cu diferent ,ial a total a exact a
Forma general a a ecuat ,iei cu diferent ,ial a total a exact a este:
P(x;y)dx+Q(x;y)dy= 0; (1.11)
undePs,iQsunt funct ,ii date de clas a C2pe domeniul DR2s,i satisfac relat ,ia:
@P
@y(x;y) =@Q
@x(x;y);8(x;y)2D
Rezolvarea ecuat ,iei se bazeaz a pe faptul c a exist a o funct ,ie de forma:
U(x;y) =Zx
x0P(t;y)dt+Zy
y0Q(x;t)dt
astfel ^ nc^ at dU(x;y) =P(x;y)dx+Q(x;y)dy:
^In acest caz, putem arma c a ecuat ,ia are diferent ,ial a total a.
Metoda de rezolvare:
1.Se identic a ^ n ecuat ,ieP(x;y) s,iQ(x;y).
8

2. Se veric a egalitatea:
@P
@y(x;y) =@Q
@x(x;y): (1.12)
3.Se determina funct ,iaU
4.Se scrie solut ,ia ecuat ,iei sub form a implicit a U(x;y) =C.
Din aceast a egalitate se determin a y^ n funct ,ie dexs,i se obt ,ine forma explicit a a solut ,iei.
Aplicat ,ii
S a se rezolve urm atparele ecuat ,ii diferent ,iale:
a).tdt+xdx= 0
Rezolvare:
Observ am c a : P(t;x) =ts,iQ(t;x) =x
Veric am egalitatea (12) :
@P
@x(t;x) =@Q
@t(t;x) = 0)
)ecuat ,ia dat a este cu diferent ,ial a total a exact a.
Funct ,iaUo a
 am din sistemul:8
<
:@U
@t(t;x) =P(t;x)
@U
@x(t;x) =Q(t;x)()
()8
<
:@U
@t(t;x) =tjRt
t0ds)
@U
@x(t;x) =x
)U(t;x) =Rt
t0sds+h(x) =s2
2jt
t0+h(x) =t2
2t2
0
2+h(x)j0
x)@U
@x(t;x) =h0(x)
Dar@U
@x(t;x) =x
)h0(x) =x)h(x) =x2
2+c1,c12R)
)U(t;x) =t2
2t2
0
2+x2
2+c1
DarU(t;x) =c2)
)t2
2t2
0
2+x2
2+c1=c2()t2
2+x2
2=c2c1+t2
0
2)
Solut ,ia veric a ecuat ,ia:
t2
2+x2(t)
2=C;C2R
9

b). (t+x)dt+tdx= 0
Rezolvare:
S,tim c a :P(t;x) =t+xs,iQ(t;x) =t
Veric am egalitatea (12) :
@P
@x(t;x) =@Q
@t(t;x) = 1)
)ecuat ,ia dat a este cu diferent ,ial a total a exact a.
Pentru a a
a funct ,iaUtrebuie s a rezolv am sistemul:8
<
:@U
@t(t;x) =P(t;x)
@U
@x(t;x) =Q(t;x)()
()8
<
:@U
@t(t;x) =t+x
@U
@x(t;x) =tjR
dx)
)U(t;x) =R
tdx+h(t) =tx+h(t)j0
t)@U
@t(t;x) =h0(t) +x
Dar@U
@t(t;x) =t+x
)h0(t) =t)h(t) =t2
2+c1,c12R)
)U(t;x) =tx+t2
2+c1
DarU(t;x) =c2)
)tx+t2
2+c1=c2()tx+x2
2=c2c1)
Solut ,ia veric a ecuat ,ia:
tx(t) +t2
2=C;C2R
1.4 Ecuat ,ii diferent ,iale de tip Bernoulli
Forma general a a ecuat ,iei este:
y0=P(x)y+Q(x)y; (1.13)
unde2R;0;1 s,iP;Q :I!Rsunt funct ,ii date, continue pe I.
10

Pentru>0, ecuat ,ia (12) are o singur a solut ,ie singular a:
y:I!R;y(x) = 0:
Prin substitut ,iaz=y1^ n ecuat ,ia (13) se va obt ,ine o ecuat ,ie liniar a.
Dac a solut ,ia ecuat ,iei estezl, atunci ecuat ,ia init ,ial a are solut ,ia
y=z1
l:
Exemple:
S a se g aseasc a solut ,ia general a a ecuat ,iei diferent ,iale :
1.y0y
3x=1
3y4lnx; x2(0;1):
^Imp art ,ind cuy4, pentruy6= 0, rezult a y4
y01
3xy3=1
3lnx
Dac a not am cu z=y3, atunciz0=3y4y0s,i ecuat ,ia devine:
z0+1
xz=lnx
Aceasta este o ecuat ,ie diferent ,ial a liniar a de ordinul ^ nt^ ai, cu P(x) =1
xs,iQ(x) =lnx:
Folosind formula y=eR
P(x)dx
C+R
Q(x)
eR
P(x)dx

(formula (10) din subcapitolul
2.2) obt ,inem:
z=elnx(CZ
lnxelnxdx) =1
x(CZ
xlnxdx)()
()z=C
x+x
4x
2
lnx
As,adar avem:
y3=C
x+x
4x
2
lnx; x> 0; y6= 0
Diferite solut ,ii particulare se obt ,in preciz^ and condit ,iile init ,iale.
1.5 Ecuat ,ii diferent ,iale de tip Riccati
Forma general a a ecuat ,iei este:
y0+P(x)y2+Q(x)y+R(x) = 0; (1.14)
11

undeP;Q s,iRsunt funct ,ii continue pe un interval I:
Observat ,ie:
1).Ecuat ,iile de acest tip se pot rezolva doar dac a cunoas ,tem o solut ,ie particular a a lor.
Dac a se cunoas ,te o solut ,ie particular a a ecuat ,iei diferent ,iale (14), anume
yp:JI!R;
atunci efectu^ and schimbarea de funct ,ie
y=yp+1
z;
ecuat ,ia diferent ,ial a se reduce la o ecuat ,ie diferent ,ial a liniar a de ordinul ^ nt^ ai.
^Intr-adev ar, deriv^ and s ,i ^ nlocuind ^ n ecuat ,ia (14) obt ,inem:
y0
pz0
z2=P(x)
y2
p+ 2yp
z+1
z2
+Q(x)
yp+1
z
+R(x):
t,in^ and seama c a ypveric a ecuat ,ia (14), deci c a
y0
p=P(x)
y2
p+Q(x)
yp+R(x);
rezult a
z0+ [2ypP(x) +Q(x)]z=P(x): (1.15)
Se observ a c a ecuat ,ia diferent ,ial a (15) este o ecuat ,ie diferent ,ial a liniar a de ordinul ^ nt^ ai.
Exemple:
S~ a se rezolve ecuat ia :
y0+1
x31y2=x2
x31y2x
x31= 0 ,  stiind c~ a admite solut ia y1=x2
Rezolvare:
Dac~ a se cunoa ste solut ia y1se face schimbarea de variabil~ a : y=1
zx2, adic a y'=-1
z2z02x.
Se obt ,ine ecuat ,ia: (x31)(1
z2z02x) + (1
zx2)2=x2(1
zx2)2x= 0, din care, dup a
efectuarea calculelor rezult a ecuat ,ia liniar a:
z0+3×2
x31z1
x31= 0
cu solut ,ia:z=k+x
x31:Rezult ay=1kx2
x+k:
12

1.6 Sisteme de dou a ecuat ,ii diferent ,iale liniare rezol-
vabile efectiv
Forma general a a sistemului este:
8
<
:X0
1=a11X1+a12X2
X0
2=a21X1+a22X2(1.16)
undeA=
a11a12
a21a22!
2M2;2(R):
Metoda de abordare:
Se caut a solut ,ii sub forma :
X(t) =ertV;
unde r2R, iar V2R2, V0.
X0=AX; undeX=
X1
X2!
^Inlocuind forma solut ,iei avem c a:

ertV
0=AertV)
)rertVAertV= 0j:ert)
)(ArI2)V= 0:
As,adar:
det(ArI2) = 0 (1.17)
Aceast a ecuat ,ie algebric a (ecuat ,ia caracteristic a asociat a sistemului) este ecuat ,ia valorilor
proprii ale matricei A.a11r a 12
a21a22r= 0()
()r2(a11+a22)r+ (a11a22a12a21) = 0;
undea11+a22=tr(A), iara11a22a12a21=det(A):
13

Deci:
r2tr(A)r+det(A) = 0 (1.18)
Distingem trei cazuri:
Cazul I :
Atunci c^ and r1;r22Rdistincte,
>0
r1!V16= 0
r2!V26= 0
-valorilor le corespund c^ ate un vctor propriu.
-vectorii proprii rezult a din rezolvarea sistemului :
(AriI2)Vi= 0;i2f1;2g
Deci,X1=er1tV1s,iX2=er2tV2sunt sulutii liniar independente pentru sistemul (16).
U= (X1;X2) este o matrice fundamental a a sistemului. Solut ,ia generala a sistemului se
calculeaz a: X(t) =U(t)C, undeC=
C1
C2!
2R2
Exemplu:
S a se determine matricea fundamental a a sistemului s ,i s a se scrie solut ,ia general a:8
<
:x0
1=2×14×2
x0
2=x1+x2
Rezolvare:
Se scrie matricea sistemului: A=
24
1 2!
, undetrA=1 s,idetA =6
Rezolv am ecuat ,ia caracteristic a : r2+r6 = 0

= 25>0)r1;2=1p
25
2)
)8
<
:r1=3
r2= 2:
Determin am vecrorii proprii corespunz atori:
a).r=r1=3
(Ar1I2)V1= 0)"
24
1 1!
+
3 0
0 3!#
V1
1
V1
2!
=
0
0!
()
14

()
14
1 4!
V1
1
V1
2!
=
0
0!
()
()8
<
:V1
14V1
2= 0
V1
1+ 4V1
2= 0()
V1
1= 4V1
2
AlegemV1
2= 1)V1
1= 4)V1=
4
1!
b).r=r2= 2
(Ar2I2)V2= 0)"
24
1 1!

2 0
0 2!#
V2
1
V2
2!
=
0
0!
()
()
44
11!
V2
1
V2
2!
=
0
0!
()
()8
<
:4V2
14V2
2= 0
V2
11V2
2= 0()
V2
1=V2
2
AlegemV2
1= 1)V2
2=1)V2=
1
1!
As,adar, avem c a:
X1=e3t
4
1!
;
X2=e2t
1
1!
;
)U(t) =
4e3te2t
e3te2t!
)
)Solut ,ia sistemului este: S=(
X(t) =U(t)CjC=
C1
C2!
2R2)
Cazul II :
Atunci c^ and r=r1=r22R,
= 0
As,adar pentru X1avem:
X1=ertV;
unde peV^ l calcul am din ecuat ,ia:
15

(ArI2)V=O2
Iar pentru a-l a
a pe X2vom proceda ^ n felul urm ator:
X2=ert(tV+W);undeW2R2)X0
2=rert(tV+W) +ertV
X0
2trebuie verice ecuat ,ia din sistem, deci:
rert(tV+W) +ertV=ertA(tV+W)j:ert)
)rtV+rW+V=AtV +AW)
)V=t(ArI2)V+ (ArI2)W)
)(ArI2)W=V
Singura necunoscut a din ecuat ,ia de mai sus ind W, se calculeaz a s ,i se introduce ^ n
formula lui X2.
Exemplu: S a se rezolve sistemul:8
<
:x0
1= 5×13×2
x0
2= 3×1x2
Rezolvare:
Se scrie matricea sistemului: A=
53
31!
, undetrA=4 s,idetA = 4
Atas , am ecuat ,ia caracteristic a : r24r+ 4 = 0

= 0)r1=r2=4p
0
2)
)r=r1=r2= 2
Determin am vecrorii proprii corespunz atori:
(ArI2)V= 0)"
53
31!
+
2 0
0 2!#
V1
V2!
=
0
0!
()
()
33
33!
V1
V2!
=
0
0!
()
() 3V13V2= 0
Fix amV1= 1)V2= 1)V=
1
1!
)X1=
e2t
e2t!
16

X2=e2t(tV+W)
(ArI2)W=V)"
53
31!

2 0
0 2!#
W1
W2!
=
V1
V2!
()
()
33
33!
W1
W2!
=
1
1!
()
() 3W13W2= 1
AlegemW2= 1)W2=4
3)V=
4
3
1!
Rezult a c a:
X2=e2t
t+4
3
t+ 1!
;
)U(t) =
X1X2
)
)Solut ,ia general a a sistemului este: S=(
X(t) =U(t)CjC=
C1
C2!
2R2)
Cazul III:
Atunci c^ and r1;2=i,;2R, iar
<0
^In acest caz, X este o solut ,ie complex a a sistemului (16).
X=ertV=r(+i)tV=et(cost+isint) (V1+iV2))
)X=et[V1costV2sint+i(V1sint+V2cost)])
)X=et(V1costV2sint) +iet(V1sint+V2cost)
Dar sistemul (15) este liniar s ,i omogen, rezult a c a Re( X) s,i Im(X) sunt solut ,ii reale
pentru acest sistem.
X1=et
V1costV2sint

X2=et
V1sint+V2cost

Atunci:fX1;X2gsunt solut ,ii liniar independente pentru sistemul (16).
Deci,U(t) = (X1;X1) este o matrice fundamentala pentru sistem (m.f.s).
Exemplu:
S a se rezolve sistemul:8
<
:x0
1= 5×19×2
x0
2= 2×1x2
17

Rezolvare:
Se scrie matricea sistemului: A=
59
21!
, undetrA= 4 s ,idetA = 13
Atas , am ecuat ,ia caracteristic a : r24r+ 13 = 0

=36<0)r1;2=4ip
36
2)
)r1;2= 23i
Alegem cazul ^ n care r= 2 + 3i
(ArI2)V= 0 2)"
59
21!

2 + 3i 0
0 2 + 3i!#
V1
V2!
=
0
0!
()
()
33i9
233i!
V1
V2!
=
0
0!
()
()8
<
:(33i)V19V2= 0
2V1+ (33i)V2= 0
AlegemV1= 3)3(33i) = 9V2)V2= 1i
)V=
3
1i!
)V=
3
1!
+i
0
1!
)8
>>>>>><
>>>>>>:V1=0
@3
11
A
V2=0
@0
11
A
As,adar solut ,iile sistemului sunt:
X1=e2t"
3
1!
cos 3t
0
1!
sin 3t#
=
e2t3 cos 3t
e2t(cos 3t+ sin 3t)!
X2=e2t"
3
1!
sin 3t
0
1!
cos 3t#
=
e2t3 sin 3t
e2t(sin 3tcos 3t)!
18

1.7 Sisteme de dou a ecuat ,ii diferent ,iale neliniare re-
zolvabile efectiv
Ecuat ,iile diferent ,iale neliniare de ordinul ^ nt^ ai au forma geneneral a :
x0=f(t;x) (1.19)
iar sistemele bidimensionale sau planare sunt de forma:
8
<
:x0=f(t;x;y )
y0=g(t;x;y ): (1.20)
Un exemplu de model matematic reprezentat prin sisteme neliniare este sistemul lui
Lotka-Volterra de dou a ecuat ,ii diferent ,iale neliniare care constituie un model matematic
utilizat ^ n biologie, care descrie evolut ,ia ^ n timp a dou a specii prad a-pr ad ator (de exemplu
sardine-rechini).
Forma general a a sistemului este:
8
<
:x0=rxaxy
y0=my+bxy;unde (1.21)
x(t) = populat ,ia prad a ;
y(t) = populat ,ia pr ad atoare ;
x0,y0= reprezint a ratele de cres ,tere instantanee ale celor dou a populat ,ii;
t= timpul ;
r,a,m,b= parametri reali pozitivi care descriu interact ,iunea celor dou a specii.
Se presupune c a prada are o alimentare nelimitat a s ,i se reproduce exponent ,ial, cu except ,ia
cazului^ n care este supus a pred arii; aceast a cres ,tere exponent ,ial a este reprezentat a^ n ecuat ,ia
de mai sus prin termenul rx. Rata de pr adare a pradei se presupune a  proport ,ional a cu
rata la care se ^ nt^ alnesc pr ad atorii s ,i prada, aceasta este reprezentat a mai sus de axy. Dac a
x sau y este zero, atunci nu poate exista predare.
Cu aces ,ti doi termeni, ecuat ,ia de mai sus poate  interpretat a dup a cum urmeaz a: rata de
modicare a populat ,iei pradei este dat a de rata proprie de cres ,tere, minus rata cu care este
pradat a.
^In aceast a ecuat ,ie, bxy reprezint a cres ,terea populat ,iei de pr ad atori. ( asem an ator cu
rata de pr adare; cu toate acestea, se utilizeaz a o constant a diferit a, deoarece rata la care
19

cres ,te populat ,ia de pr ad atori nu este neap arat egal a cu rata cu care consum a prada). my
reprezint a rata pierderilor pr ad atorilor datorit a mort ,ii naturale sau emigr arii, duce la o
degradare exponent ,ial a ^ n absent ,a pradei.
Prin urmare, ecuat ,ia exprim a faptul c a rata de schimbare a populat ,iei pr ad atorului depinde
de rata cu care consum a prada, minus rata sa de moarte intrinsec a.
1.8 Portretul fazic
Fie un sistem diferet ,ial autonom de doua ecuat ,ii, cu dou a functt ,ii necunoscute
8
<
:x0=f(x;y)
y0=g(x;y)
Fie (x;y) o solut ,ie a sistemului.
Dac a reprezent am grac cele dou a funct ,ii de variabil a t, ^ n acelas ,i sistem de coordonate,
putem vizualiza modul ^ n care m arimile xs,iyvaziaz a cu timpul, ca s ,i modul ^ n care se
relat ,ioneaz a ^ ntre ele la diverse momente de timp.
Inspirat din astronomie, un alt mod de reprezentare a solut ,iei (x;y) const a ^ n reprezentarea
^ n planulxOy a curbei de ecuat ,ii parametrice: x=x(t);y=y(t), atunci c^ and t2J,
undeJeste intervalul de denit ,ie al solut ,iei. Curba corespunz atoare se numes ,te orbit a sau
treiectorie, iar planul ^ n care se realizeaz a aceast a reprezentare este planul fazelor.Rezultatul
reprezent arii ^ n planul fazelor a mai multor orbite ale aceluias ,i sistem se numes ,te portret
fazic.
Pot exista orbite care se reduc la un singur punct ( x0;y0). Acestea corespund solut ,iilor
constante, stat ,ionare sau de echilibru ale sistemului, adic a solut ,iilor pentru care x0=y0= 0.
As,adar, determinarea orbitelor revine la rezolvarea sistemului:
8
<
:f(x;y) = 0
g(x;y) = 0
1.9 Stabilitatea solut ,iilor
Consider am sistemul de forma:
x0=f(t;x);unde
20

feste denit a, continu a s ,i local lipschitzian a ^ n raport pe xpeD= [a;+1)D0, iarD0
este o mult ,ime deschis a din Rn.
Not am cux(t;t0;x0) solut ,ia saturat a a solut ,iei Cauchy, cu condit ,ia init ,ial ax(t0) =x0,
unde (t0;x0)2D. Dac a o solut ,ieeste denit a pe un interval compact [ t0;t0+T), atunci
ea depinde continuu de valoarea init ,ial a, mai exact,8>0;9=(;t0)>0 astfel ^ nc^ at:
kx0(t0)k)kx(t;t0;x0)(t)k;8t2[t0;t0+T):
Denit ,ie
1.O solut ,ie2C1([a;1);Rn) a sistemului de mai sus se numes ,te solut ,ie stabil a dac a8>0
s,i8t02[a;1),9=(;t0) astfel ^ nc^ at:
kx0(t0)k)kx(t;t0;x0)(t)k;8t2[t0;1):
2.O solut ,ie2C1([a;1);Rn) a sistemului de mai sus se numes ,te solut ,ie asimptotic stabil a
dac a este stabil a s ,i dac a pentru orice t02[a;1), exist a=(t0)>0 astfel ^ nc^ at:
kx0(t0)k)lim
t!1kx(t;t0;x0)(t)k= 0
Ne intereseaz a stabilitatea solut ,iilor stat ,ionare sau de echilibru, adic a solut ,iile constante ^ n
timp. Dac a este o solut ,ie a sistemului de mai sus, remarc am c a studiul stabilit at ,ii solut ,iei
poate  redus la studiul stabilit at ,ii solut ,iei nule. Not^ and cu y=xs,i fac^ and schimbarea
de variabil a ^ n sistem , obt ,inemy0=f(t;y+)0(t). Observ am c a solut ,ieix=a
sistemului init ,ial ii corespunde solut ,iay= 0 a noului sistem.
As,adar, constat am c a solut ,iaa sistemului init ,ial este stabil a, respectiv asimptotic sta-
bil a dac a s ,i numai dac a solut ,ia nul a a noului sistem este stabil a, respectiv asimptotic stabil a.
21

1.9.1 Stabilitatea sistemelor liniare
Fie sistemul liniar de forma :
x0=A(t)x+B(t);unde
A2C([a;1);Mn(R)) s ,iB2C([a;1);Rn):
Fac^ and substitut ,iay=x)y0=A(t)y:
Teorema de stabilitate a sistemelor liniare
I.Urm atoarele armat ,ii sunt echivalente:
(a) Sistemul liniar este stabil.
(b) Sistemul admite o matrice fundamental a U(t) m arginit a pe [ a;1).
(c) Orice matrice fundamental a a sistemului este m arginit a pe [ a;1).
(d) Toate solut ,iile sistemului omogen asociat sunt m arginite pe [ a;1).
II.Urm atoarele armat ,ii sunt echivalente:
(a) Sistemul liniar este asimptotic stabil.
(b) Sistemul admite o matrice fumdamental a U(t) cu proprietatea c a U(t)!0;pentru
t!1 .
(c) Orice matrice fundamental a a sistemului tinde la matricea nul a pentru t!1 .
(d) Toate solut ,iile sistemului omogen asociat tind la zero pentru t!1 .
Teorema de stabilitate a sistemelor liniare cu coecient ,i constant ,i
(I) Un sistem liniar cu coecient ,i constant ,i este stabil dac a s ,i numai dac a toate valorile
proprii ale matricei coecient ,ilor au partea real a nenegativ a s ,i cele cu parte real a egal a cu
zero sunt simple.
(II) Un sistem liniar cu coecient ,i constant ,i est asimptotic stabil dac a s ,i numai dac a
toate valorile proprii ale matricei coecient ,ilor au partea real a negativ a.
Stabilitatea originii unui sistem liniar de dou a ecuat ,ii diferent ,iale se precizeaz a ^ n funct ,ie
de valorile proprii ale matricei coecient ,ilor, adic a de r ad acinile ecuat ,iei caracteristice
r2(trA)r+detA> 0
Originea este asimptotic stabil a dac a valorile proprii sunt reale s ,i negative sau dac a sunt
complexe cu partea real a negativ a. Acest a condit ,ie are loc dac a s ,i numai dac a: trA < 0 s,i
detA> 0.
22

23

Chapter 2
Modele matematice guvernate de ecuat ,ii diferent ,iale
de ordinul I
2.1 Modele matematice de cres ,tere a populat ,iei
2.1.1 Un model demograc
Primul model matematic de cres ,tere a populat ,iei a fost propus ^ n anul 1798 de c atre Thomas
Robert Malthus.
Thomas Robert Malthus a fost un cleric s ,i un teoretician economic englez, fondatorul teoriei
care ^ i poart a numele. Conform teoriei lui Malthus, populat ,ia cres ,te ^ n progresie geometric a,
^ n timp ce mijloacele de subzistent , a cresc ^ n progresie aritmetic a. Teoria sa este cunoscut a
sub numele de malthusianism; ca o consecint , a a acestei relat ,ii dintre populat ,ie s ,i starea
economic a, Malthus considera c a s ar acia, bolile, epidemiile s ,i r azboaiele sunt factori poz-
itivi pentru omenire, dat ind c a asigur a echilibrul ^ ntre num arul populat ,iei s ,i cantitatea
mijloacelor de subzistent , a.
As,adar, dac a not am cu x(t) num arul de indivizi de pe glob la momentul ts,i cuy(t)
cantitatea de resurse utilizate pentru supraviet ,uire, dup a Malthus, viteza instantanee de
cres ,tere al num arului de indivizi la momentul teste direct proport ,ional a cux(t), ^ n timp ce,
viteza instantanee de cres ,tere a resurselor este constant a.
Atunci, avem urm atorul model matematic exprimat printr-un sistem de ecuat ,ii diferent ,iale
de forma: 8
<
:x0=cx
y0=k
^ n care c s ,i k sunt constante strict pozitive.
24

Solut ,ia sa general a este dat a de:
8
<
:x(t;") ="ect
y(t;) =+kt
pentrut0, unde"s,ireprezint a num arul de indivizi , respectiv, cantitatea de resurse la
momentult= 0. Se constat a c a acest model descrie relativ bine fenomenul real numai pe
intervale de timp foarte scurte. Din acest motiv, au fost propuse alte modele, mai ranate
s,i, ^ n acelas ,i timp, mai realiste care pornesc de la observat ,ia c a num arul de indivizi la un
moment dat nu poate dep as ,i un anumit prag critic care depinde de resursele din acel moment.
Astfel, dac a not am cu h>0 cantitatea de hran a necesar a unui individ pentru a supraviet ,ui
momentului t, putem presupune c a xs,iyveric a un sistem de forma:
8
<
:x0=cx(y
hx)
y0=k
care exprim a o leg atur a mai reasc a dintre evolut ,ia resurselor s ,i cres ,terea sau descres ,terea
populat ,iei.^In unele modele, precum cel propus de Verhulst ^ n anul 1845, pentru simplitate,
se consider a k= 0, ceea ce exprim a matematic faptul c a resursele sunt presupuse constante
^ n timp (y(t) =;8t2R), ajung^ andu-se la o ecuat ,ie diferent ,ial a de forma
x0=cx(bx)
, pentrut0, undeb=
h>0. Aceast a ecuat ,ie, cunoscut a sub numele de ecuat ,ia logistic a
este cu variabile separabile s ,i poate  integrat a. Obt ,inem solut ,ia general a
x(t;) =becbt
1 +ecbt
pentrut0, unde0 este o constant a, la care mai trebuie s a adaug am solut ,ia singular a
x=b, eliminat a ^ n cadrul procesului de integrare. Pentru a individualiza o anumit a solut ,ie
din solut ,ia general a trebuie s a determin am constanta corespunz atoare . Acest lucru se face,
de obicei, impun^ and condit ,ia init ,ial a
b
1 +="
, unde"reprezint a num arul de indivizi la momentul t= 0, num ar presupus cunoscut.
25

Deducem astfel c a solut ,iax(;") a ecuat ,iei logistice care satisface condit ,iax(0;") ="este
x(t;") =b"ecbt
b+"(ecbt1)
pentru orice t0. Toate modelele descrise mai sus pot  puse sub forma general a x0=
d(t;x), unded(t;x) reprezint a diferent ,a dintre rata natalit at ,ii s ,i rata mortalit at ,ii pentru o
populat ,ie cu x indivizi, la momentul t.
2.1.2 Modelul prad a-r apitor
Imediat dup a terminarea primului r azboi mondial s-a constatat c a rezerva de pes ,ti din Marea
Adriatic a a fost drastic diminuat a comparativ cu perioada de dinainte de^ nceperea r azboiului
s,i aceasta, ^ n poda faptului c a majoritatea pescarilor din zon a, ^ nrolat ,i ind, nu s ,i-au mai
putut practica meseria pe o perioad a destul de lung a. ^In ^ ncercarea de a explica acest
fenomen, vom relua un model matematic amintit ^ ntr-o sect ,iune anterioar a, s ,i anume, mod-
elul matematic Lotka – Volterra.
Vito Volterra a propus un model matematic care descrie evolut ,ia a dou a specii care conviet ,uiesc
^ n acelas ,i areal, dar se a
 a ^ n competit ,ie. Mai precis, el a considerat dou a specii de animale
care tr aiesc ^ n aceeas ,i regiune, prima av^ and la dispozit ,ie resurse nelimitate de subzistent , a,
specie numit a prad a, iar cea de-a doua, numit a pr ad ator, av^ and drept unic a surs a de hran a
indivizii din specia prad a. Not^ and cu x(t) s,i cuy(t) num arul de indivizi din specia prad a,
respectiv pr ad ator la momentul t s ,i presupun^ and c a at^ at xc^ at s ,iysunt funct ,ii de clas aC1,
deducem c a xs,iytrebuie s a satisfac a sistemul de ecuat ,ii diferent ,iale
8
<
:x0= (aky)x
y0=(bhx)y
, undea,b,k,hsunt constante pozitive. Prima ecuat ,ie exprim a ^ n limbaj matematic faptul c a
viteza de \cres ,tere" a num arului de indivizi prad a este proport ,ional a cu num arul de indivizi
din specie la momentul considerat s ,i scade cu num arul de ^ nt^ alniri dintre indivizii celor dou a
specii. Analog, cea de-a doua ecuat ,ie exprim a faptul c a viteza instantanee de cres ,tere a
num arului de indivizi din specia pr ad ator la momentul t scade proport ,ional cu num arul lor
la acel moment t s ,i cres ,te proport ,ional cu num arul de ^ nt^ alniri dintre indivizii celor dou a
specii.
26