Ecuat ii irat ionale [613961]

universitatea din pites ti
Ecuat ii irat ionale
masterand: [anonimizat] a Didactic a
^Indrum ator
Lect.univ.dr. Deaconu Laurent iu

ECUAT II IRAT IONALE
Ecuat iile irat ionale sunt ecuat iile in care necunoscuta apare sub semnul
radical. Pentru a
area solut iilor unei ecuat ii irat ionale se au in vedere urma-
toarele etape:
punerea condit iilor de existent a a radicalilor de ordin par
eliminarea radicalilor prin diferite transformari (ridic ari la putere, substitut ii,
notat ii, amplic ari cu expresii conjugate etc.) obt in^ andu-se ecuat ii mai
simple de tip cunoscut;
alegerea solut iei ecuat iei date;
S a ilustr am aceste modalit at i pe c^ ateva tipuri de ecuat ii irat ionale mai
desintalnite.
1. Ecuat ii de formanp
f(x) =g(x); n22;3.
In cazul^ n care n este par se impun condit iile de existent  a: f(x)0; g(x)>
0. Ecuat ia se transform a printr-o ridicare la puterea n, in ecuat ia f(x) =
gn(x) care nu mai cont ine radical.
Problem a rezolvat a: S a se rezolve ecuat iile:
a)p
2x= 3x2
b)p
x3+ 7 = x+ 1
Solut ie:
a) Se impun condit iile de existent  a:(
2x0
3x20; si se obt ine domeniul de
existent  a x22
3;2
. Prin ridicarea la p atrat se obt ine ecuat ia (3 x2)2= 2x
cu solut iile x2
1;2
9
. Convine doar solut ia x=1 x2
1;2
9
b) Domeniul de existent  a este R. Prin ridicarea la cub se obt ine ecuatia
(x+ 1)3=x3+ 7 sau 3 x2+ 3x6 = 0 cu solut iile x2f1;2g.
2. Ecuat ii de formanp
f(x) +pp
g(x) =h(x); n; p2f2;3g
^In acest caz domeniul de existent  a se stabile ste in funct ie de paritatea
numerelor n si p. S a consider am c^ ateva cazuri particulare.
Cazul n=p=2
S a se rezolve ecuat iapx1 +px2 = 1
Solut ie:
1

Se impun condit iile de existent  a:(
x10
x20:Domeniul de existent  a este
D= [2;1).
Metoda1. (eliminarea radicalilor prin ridicarea la putere)
Prin ridicarea la p atrat se obt ine egalitatea 2p
(x1)(x2) = 4
2x.Condit ia 42x0 conduce la x2. Cum x2[2;1) singura solut ie
poate  x=2, care veric a ecuat ia dat a.
Metoda 2. (folosirea expresiilor conjugate)
^Inmult im ecuat ia dat a cupx1px2 si rezult a c a x1x+ 2 =px1px2. A sadar vom avea c apx1 +px2 = 1  sipx1px2 = 1, relat ii din care se obt ine c apx2 = 0, deci x=2.
Metoda 3 ( folosirea unor notat ii sau substitut ii)
Se noteaz a de exemplupx1 =a0 si rezult a c a x=a2+ 1. Sub-
stituind x=a2+ 1 in ecuat ia dat a se obt ine c ap
a21 = 1a, iar prin
ridicare la p atrat rezult a a=1 sau a=2.
Metoda 4 (folosirea sistemelor de ecuatii)
Se noteazapx1 =a0;px2 =b0, si rezult a c a x=a2+ 1,
respectiv x=b2+ 2. A sadar avem de rezolvat sistemul:(
a2+ 1 = b2+ 2
a+b= 1
Prin substitut ie va rezulta c a(
a= 1
b= 0deci x=2.
Cazul n=p=3
S a se rezolve ecuat ia:3px1 +3p9x= 2
Solut ie:
Domeniul de existent a al ecuat iei este R. Pentru rezolvare se poate folosi
oricare dintre metodele prezentate in cazul anterior.
Metoda 1.
Folosim formula de calcul ( a+b)3=a3+b3+3ab(a+b). Prin ridicare la cub
vom obt ine: x1+9x+33p
(x1)(9x)(3px1+3p9x) = 8, care se
aduce la forma 33p
(x1)(9x)2 = 0. Solut iile ecuat iei sunt x= 1; x= 9.
Cazul n=2, p=3
Sa se rezolve ecuat iapx+3p8x= 2
Solut ie:
2

Condit ia de existent a este x2[0;1).
Metoda 1 (eliminarea radicalilor prin ridicare la putere).
Avem3p8x= 2px si prin ridicare la cub se obt ine: 8 x= 8
12px+ 6xspxsau , dupa reduceri: 7 x12pxxpx= 0, echivalent a cupx(7sqrtx12x) = 0, de unde x= 0 sau 7px=x+ 12:Prin ridicare pa
p atrat a doua ecuat ie se scrie x225x+ 144 = 0 si are solut iile x2f9;16g
In concluzie ecuat ia dat a are mult imea de solut ii S=f0;9;16g.
Observat ie:
^In cazul n=2, p=3 prin ridic ari la putere se poate ajunge la ecuat ii de grad
mai mare decat 2, mai greu de rezolvat.
ALTE ECUAT II IRAT IONALE
^I n multe cazuri, in rezolvarea ecuat iilor irat ionale, se pot evita ridicarile
la putere prin sesizarea formei speciale a acestora.
Probleme rezolvate: S a se rezolve ecuat iile:
a)p
x2+ 3x+ 4 +p
2×2+ 6x+ 9 = 5
b)q
x+ 34p
x1 +q
x+ 86p
x1 = 1
c)3p
x3+ 7 +3p
x+ 7 = 4
Solut ie:
a) Domeniul de existent a este R. Se observa ca se poate face notat ia x2+
3x+ 4 = tsi avem ecuat iap
t+p2t+ 1 = 5, care se rezolva prin una din
metodele prezentate sau se poate observa ca funct ia f: [0;1)!R; f(t) =p
t+p2t+ 1 este strict crescatoare , deci f(t) = 5 are cel mult o solut ie.
Solut ia unica este t= 4  si se obt ine x2+ 3x= 0 cu solut ia x23;0.
b) Domeniul de existent a este [1 ;1) . Se face notat iapx1 =a0  si
se obt ine x=a2+ 1. Ecuat ia se scriep
a24a+ 4 +p
a26x+ 9 = 1 sau
(a2) + ( a3) = 1. Considerand cazurile a2[0;2]; a2(2;3) sia2[3;1)
se obt ine solut ia a2[2;3] si apoi x2[4;9].
c) Pentru aceasta ecuat ie ridicarile la putere nu sunt convenabile. Se
observa ca funct iile f; g:R!R; f(x) =x3+ 7; g(x) =x+ 7 sunt strict
crescatoare. Cum funct ia radical de ordin 3 este strict crescatoare se obt ine
c a3pf sipgsunt strict crescatoare. A sadar funct ia h:R!R; h(x) =
3p
x3+ 7+3px+ 7 este strict crescatoare si deci ecuat ia h(x) = 4 are cel mult
o solut ie. Cum x= 1 este solut ie, ea este unica solut ie a ecuat iei date.
3

References
[1] Burtea M.Burtea G., Matematica. Manual pentru clasa a X . Ed. Carmi-
nis, Pitesti, 1994. 2
[2] Andronache M., Serbanescu D., Matematica M2 . Ed. Clubul Matemati-
cienilor, Bucure sti, 2011. 3
[3] B alun a. M, Mure san. Mihaela, Bacalaureat 2017 MatematicaM . Ed. Gil,
Zal au, 2017.
4