ECUA ȚII EXPONENȚ IALE ȘI LOGARIT MICE ȊN MATEMATICA DE GIMNAZIU ȘI DE LICEU Coordonator științific: Canditat: Conferențiar universitar doctor… [625770]

MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE
UNIVERSITATEA OVIDIUS DIN CONSTANȚA
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI
DIDACTIC

ECUA ȚII EXPONENȚ IALE ȘI LOGARIT MICE
ȊN MATEMATICA DE GIMNAZIU ȘI DE LICEU

Coordonator științific: Canditat:
Conferențiar universitar doctor Profesor
Denis Ibadula Petre (Cosor) Emilia
Școala Gimnazială „Lucian Grigorescu”
Medgidia

Seria 2019 -2021

ECUA ȚII EXPONENȚ IALE ȘI LOGARITMICE
ȊN MATEMATICA DE GIMNAZIU ȘI DE LICEU

CUPRINS

INTRODUCERE ……………………………………………….………………………………4
A. SEGMENT UL ȘTIINȚIFI C………………………………………………………..….6
I. Funcția exponențialǎ …………………………………….…………………….6
1. Puteri cu exponent rațional…………………….……………………………….7
2. Puteri cu exponent real………………..………………………………………10
3. Funcția exponențială: definiție și grafic………………………….………….11
4. Proprietățile funcției exponențiale ……………….…………………………….….…. 13
II. Funcția logaritmic ă……………………………………………………………15
1. Logari tmi. Definiție………….…………….………….……………….…….15
2. Proprietățile logaritmilor…………… …………………………………..…….16
3. Funcția logaritmică : definiție și grafic…….…………….……………..…….18
4. Proprietățile funcției logaritmice…………………………………….………19
III. Ecuații și inecuații exponențiale ……………………………………………….. 20
IV. Ecuații și inecuații logaritmice …………………………………………………. 26

B. SEGMENTUL METODIC …………………..………………………………….………32
I. Principiile didactic e………………………..…………………………………32
II. Metode de învățământ .……………………………………….…….…….……36
III. Proiectarea activității didactice ………………………………………………49
IV. Curriculum de extindere …………………………………………….……….68
BIBLIOGRAFIE ……………………………………………… …………………………………….. 81

INTRODUCERE
Motto : „Matematica este limba cu care Dumnezeu a scris universul.”
(Galileo Galilei )
Pornind de la acest motto, mă consider privilegiat, ca dascăl, deoarece am ales să mă
specializez într -un domeniu pe cât de atractiv, pe atât de complex și deloc la îndemâna oricui.
În limbaj familiar, matematica poate fi descrisă ca ,, analiza cifrelor și a numerelor” ,
dacă se are în vedere o descriere relevată, ea se prezintă drept o ,,cercetare axiomatică a
structurilor abstracte, folosind raționamente logice și notații matematice” .
Lucrarea pentru care am optat își propune să prezinte posibi le soluții prin care să se
evite o realitate a prezentului, și anume eșecul școlar a numeroși elevi, care nu reușesc să
înțelea gă această disciplină logică și rațională. Aceasta este structurată în două segmente,
segmentu l științific și segmentul metodic.
SEGMENTUL ȘTIINȚIFIC are la bază un fișier teoretic inspirat din literatura de
specialitate și se structurează în patru capitole, după cum urmează:
Capit olul I abordează noțiunea de Funcție exponențială și se compune în patru
subcapitole, în care se prezintă puterea cu exponent număr rațional și exponent număr real,
dar și definirea, proprietățile ș i graficul funcției respective ;
Capitol ul al II -lea aduce în discuție noțiunea de Funcție logaritmică , cu definirea
logaritmului unui număr pozitiv , dar și defin irea, proprietățile și graficul funcției respective .
Capitol ul al III- lea cuprinde tipurile și modurile de rezolvare a ecuații lor și inecuațiilor
exponențiale ;
Capitolul al IV -lea este dedicat tipurilor și modurilor de rezolvare a ecuații lor și
inecuații lor logaritmice .
SEGMENTUL METODIC cuprinde:
Capitolul I prezen tă principiile didactice , pornind de la noțiuni le conceptuale și
încheind cu prezentarea acelor principii specifice matematicii;
Capitolul al II -lea are la bază expunerea unor metode de învățământ specifice
matematicii;
Capitolul al III -lea tratează proiectarea activității lor didactice, a lecțiilor, acestea
fiind mai î ntâi definite și clasificate din punct de vedere al structurii și al etapelor de elaborare;

Capitolul al IV-lea cuprinde Curriculum la decizia școlii , pentru clasa a X -a, cu titlul
Ecuații și inecuații exponențiale .
Lucrarea se încheie cu f ormularea unei concluzii, urmate de prezentarea unei liste
bibliografice și a resurselor web, precizate disctinct, pe cele două componente ale ei.

6
A. SEGMENTUL ȘTIINȚIFIC
I. FUNCȚIA EXPONENȚIALĂ
I.1. Puteri cu exponent rațional
 Puteri cu exponent natural
Definiție : Pentru 𝑏𝑏 ∈ ℝ și n ∈ ℕ*, n ≥ 2, definim noțiunea de putere cu exponent
natural prin relațiil e:
a) 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑏𝑏 ‧𝑏𝑏‧𝑏𝑏… .‧𝑏𝑏 ���������
𝑛𝑛, unde n > 0, unde 𝑏𝑏𝑛𝑛 este putere, b este baza puterii și n este
exponentul puterii;
b) 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 1, dacă n = 0 și b ≠ 0.
Convenție : 00 nu are sens și 𝑏𝑏1 = b.
Observații : a) Pentru n ∈ ℕ* și 0 < 𝑏𝑏 < 1 avem relația 0 <𝑏𝑏𝑛𝑛< 1;
b) Pentru n ∈ ℕ* și 𝑏𝑏> 1, avem relația 𝑏𝑏𝑛𝑛> 1.
Proprietățile puterilor cu exponent natural : (unde 𝑏𝑏 ,𝑐𝑐 ∈ ℝ și 𝑚𝑚,𝑛𝑛 ∈ N* ):
a) Înmulțirea puterilor care au aceeași bază : 𝑏𝑏𝑚𝑚 ‧ 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑏𝑏𝑚𝑚+𝑛𝑛 ;
Exemplu: 24 ‧ 26 = 210 (Se păstrează baza și se adună exponenții)
b) Împărțirea puterilor care au aceeași bază : 𝑏𝑏𝑚𝑚
𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑏𝑏𝑚𝑚−𝑛𝑛 ;
Exemplu: 310: 33 = 37 (Se păstrează baza și se scad exponenții)
c) Puterea produsului : (𝑏𝑏‧𝑐𝑐)𝑚𝑚 = 𝑏𝑏𝑚𝑚‧ 𝑐𝑐𝑚𝑚 ;
Exemplu: (2‧4)3= 23 ‧ 43 (Se ridică fiecare factor la acea putere)
d) Puterea câtului : �𝑏𝑏
𝑐𝑐�𝑚𝑚
= 𝑏𝑏𝑚𝑚
𝑐𝑐𝑚𝑚;
Exemplu: �4
3�3
= 43
33 = 6427 (Se ridică la acea putere at ât numărătorul cât și numitorul )
e) Ridicarea unei puteri la altă putere : (𝑏𝑏𝑚𝑚)𝑛𝑛 = 𝑏𝑏𝑚𝑚 ∙𝑛𝑛.
Exemplu: (310)4= 340 (Se păstrează baza și se înmulțesc exponenții)

7
 Puteri cu exponent întreg
Definiție : Pentru 𝑏𝑏 ∈ ℝ∗ , 𝑏𝑏 ≠ 0 și n ∈ ℕ*, definim puterea cu exponent întreg
negativ prin relația : 𝑏𝑏−𝑛𝑛 = 1
𝑏𝑏𝑛𝑛.
Observație : Dacă n = 1, atunci 𝑏𝑏−1 = 1
𝑏𝑏 reprezintă inversul lui b.
Exemple : a) (3−3)3 = 3−9= 1
39 ; 𝑏𝑏 )((√2)3)−2 = √2−6= 1
√26 .
 Puteri cu exponent rațional
a) Puteri cu exponent rațional pozitiv
Definiție : Prin relația : 𝑏𝑏𝑚𝑚
𝑛𝑛= √𝑏𝑏𝑚𝑚𝑛𝑛, unde b ≥ 0 ; m ∈ ℤ, n ∈ ℕ*, n ≥ 2, definim
noțiunea de putere cu exponent rațional pozitiv .
Observați i: a) Dacă 0 < 𝑏𝑏< 1, atunci 0 <√𝑏𝑏𝑛𝑛< 1; b) Dacă 𝑏𝑏 > 1, atunci √𝑏𝑏𝑛𝑛>
b) Puteri cu exponent rațional negativ
Definiție : Prin relația : 𝑏𝑏−𝑚𝑚
𝑛𝑛 = 1
𝑏𝑏𝑚𝑚
𝑛𝑛 ,unde 𝑏𝑏> 0 ș i m ∈ ℤ, n ∈ ℕ*, n ≥ 2, defin im
noțiunea de putere cu exponent rațional negativ.
Proprietăți :1) a) Pentru 0 < 𝑏𝑏< 1 și x ∈ ℚ+, avem 0 < 𝑏𝑏𝑥𝑥< 1; b) Pentru 0 < 𝑏𝑏< 1 și
x ∈ ℚ−, avem 𝑏𝑏𝑥𝑥> 1; c) Pentru x, y ∈ ℚ, x < y, 0 < 𝑏𝑏< 1, avem 𝑏𝑏𝑥𝑥>𝑏𝑏𝑦𝑦;
2) a) Pentru b > 1 și x ∈ ℚ, x > 0, avem 𝑏𝑏𝑥𝑥> 1; b) Pentru b > 1 și x ∈ ℚ, x < 0, avem
0 <𝑏𝑏𝑥𝑥< 1; c) Pentru x, y ∈ ℚ și x < y, b > 1, avem 𝑏𝑏𝑥𝑥<𝑏𝑏𝑦𝑦.
Demonstrați e: 1) a) Fie x ∈ ℚ și x > 0, de forma x = c
d , unde c, d ∈ ℕ* și d ≥ 2, atunci
bx = b c
d = √bcd. Dacă b∈ (0, 1), rezultă că bc∈ (0, 1) și √bcd∈ (0, 1).
b) Fie x ∈ ℚ , x < 0 și x = −𝑐𝑐
𝑑𝑑 ,unde c, d∈ ℕ*și d≥ 2, obținem bx = b−c
d = 1
√bcd. Știind că
b∈(0, 1), atunci bc∈ (0, 1) și √bcd∈ (0, 1), deci 1
√bcd > 1.
c) Dacă 0 <c
d<p
q , cu d, q ∈ ℕ*, d, q≥ 2 și d, q∈ ℚ+, atunci bc
d = √bcd șibp
q = √bpq.
Se aduc radicalii la același ordin și se obține √bcd = √bc∙qd ∙q și √bpq = √bp∙dd ∙q.
Cum c ‧ q < p ‧ d ș i 0 < b < 1, atunci bc∙q> bp∙d și deci bx> by.

8
2) Dacă b > 1, atunci fie b =1
f , unde f∈ (0,1) și bx= 1
fx, apoi se aplică regula de mai sus.
Observație : Num ărul rațional 𝑚𝑚
𝑛𝑛 este o clasă de fracții echivalente cu 𝑝𝑝
𝑞𝑞, adică punem în locul
lui 𝑚𝑚
𝑛𝑛 o fracție echivalentă 𝑝𝑝
𝑞𝑞, deci 𝑚𝑚
𝑛𝑛 = 𝑝𝑝
𝑞𝑞, adică mq = pn și numărul 𝑏𝑏𝑝𝑝
𝑞𝑞 = 𝑏𝑏𝑚𝑚
𝑛𝑛.( Definiția puterii
nu depinde de alegerea reprezentanților) .
Notație : bm
n = √bmn = √bm∙pn∙q = √bp∙mm∙q = √bpq = bp
q.
Exemplu : 6423 = √6423 = �(26)23 = √2123 = 24 = 16.
Teoremă Fie numerele reale 𝑏𝑏,𝑐𝑐> 0 și 𝑥𝑥,𝑦𝑦 ∈ ℚ. Atunci :1) 𝑏𝑏𝑥𝑥 ‧ 𝑏𝑏𝑦𝑦 = 𝑏𝑏𝑥𝑥+𝑦𝑦; 2) 𝑏𝑏𝑥𝑥
𝑏𝑏𝑦𝑦 =
𝑏𝑏𝑥𝑥−𝑦𝑦; 3) (𝑏𝑏‧𝑐𝑐)𝑥𝑥 = 𝑏𝑏𝑥𝑥‧ 𝑐𝑐𝑥𝑥; 4) �𝑏𝑏
𝑐𝑐�𝑥𝑥= 𝑏𝑏𝑥𝑥
𝑐𝑐 𝑥𝑥 ; 5) (𝑏𝑏𝑥𝑥)𝑦𝑦 = 𝑏𝑏𝑥𝑥 ∙𝑦𝑦.
Demonstrație : 1) Fie x = p
q și y = m
n, unde p, m ∈ ℤ; q, n ∈ ℕ și q, n ≥ 2, atunci
bx ‧ by = bp
q ‧ bm
n . Considerăm �bpq ‧ bm
n �qn
= �bpq �qn
‧ � bm
n �qn
=��bpq
�q
�n
‧��bm
n�n
�q
=
��√bpq�q�n
. Dar��√bmn�n�q
= (bp)n ‧ (bm)q = bpn ‧ bmq = bpn+mq = �√bpn+mq nq�nq =
=�bpn+mq
nq�nq
. Dacă pn+mq
nq = p
q + m
n = x + y , atunci (bx ‧ by)qn = (bx+y)nq, ceea ce rezultă
bx ‧ by = bx+y (conform lemei).
2) Fie x = p
q și y = m
n, unde p, m ∈ ℤ, q, n ∈ ℕ și q, n ≥ 2, atunci bx
by = bp
q
bm
n .
Considerăm �bpq
bm
n �qn
= �bpq �qn
� bm
n �qn = ��bpq
�q
�n
��bm
n�n
�q = ��√bpq�q
�n
��√bmn�n�q = (bp)n
(bm)q = bpn
bmq = bpn−mq =
�√bpn−mq nq�nq = �bpn−mq
nq�nq
. Dar pn−mq
nq = p
q – m
n = x – y , atunci �bx
by�qn
= (bx−y)nq, ceea ce
rezultă bx
by= bx−y (conform lemei).
3) Fie x = p
q, p ∈ ℤ, q ∈ ℕ , q ≥ 2.

9
Considerăm �(b‧c)p
q�q
= ��(𝑏𝑏‧𝑐𝑐)𝑝𝑝q�q
= (b ‧ c )p = bp‧ cp = �√bpq�q‧ �√cpq�q = �bpq
�q
‧
�cpq
�q
=�𝑏𝑏𝑝𝑝
𝑞𝑞‧𝑐𝑐𝑝𝑝
𝑞𝑞�𝑞𝑞
. Deci [(b ‧c)x]q = [bxcx]q, ceea ce rezultă că (b ‧ c )x= bx‧cx.
4) Fie x = p
q, p ∈ ℤ, q ∈ ℕ , q ≥ 2. Considerăm ��𝑏𝑏
𝑐𝑐�pq
�q
= ���𝑏𝑏
𝑐𝑐�𝑝𝑝 q
�q
= �𝑏𝑏
𝑐𝑐�p
= bp
cp = �√bpq�q
�√cpq�q =
�bp
q�q
�cpq
�q = �bpq
cpq�𝑞𝑞
. Deci ��𝑏𝑏
𝑐𝑐�x
�𝑞𝑞
= �bx
cx�𝑞𝑞
, ceea ce rezultă că �b
c�x= bx
c x .
5) F i e x = p
q ș i y = m
n, unde p, m ∈ ℤ, q, n ∈ ℕ și q, n ≥2, atunci (𝑏𝑏𝑥𝑥)𝑦𝑦=�𝑏𝑏𝑝𝑝
𝑞𝑞�𝑚𝑚
𝑛𝑛=
�(𝑏𝑏)𝑝𝑝
𝑞𝑞∙𝑚𝑚𝑛𝑛
=√𝑏𝑏𝑝𝑝𝑚𝑚𝑛𝑛𝑞𝑞=𝑏𝑏𝑝𝑝𝑚𝑚
𝑛𝑛𝑞𝑞=𝑏𝑏𝑝𝑝
𝑞𝑞∙𝑚𝑚
𝑛𝑛=𝑏𝑏𝑥𝑥∙𝑦𝑦.□
Teoremă : 1) Dacă b > 1 și x, y ∈ ℚ, atunci 𝑏𝑏𝑥𝑥<𝑏𝑏𝑦𝑦dacă și numai dacă x < y;
2) Dacă 0 < b < 1 și x, y ∈ ℚ, atunci 𝑏𝑏𝑥𝑥<𝑏𝑏𝑦𝑦 dacă și numai dacă x > y.
Demonstrație : 1) Fie x = p
q și y = m
n, unde p, m ∈ ℤ și q, n ∈ ℕ cu q, n ≥ 2, atunci
bp
q < bm
n . Dacă �bpq �qn
< � bm
n �qn
, atunci ��√bpq�q�n
< ��√bmn�n�q
, rezultă că
(bp)n< (bm)q, adică bpn < bmq . Dacă pn < mq , rezultă p
q< m
n, atunci x < y.
2) Fie x = p
q și y = m
n, unde p, m ∈ ℤ, q, n ∈ ℕ și q, n ≥2. Dacă bpq < bm
n , rezultă că
�bpq �qn
< � bm
n �qn
, adică��√bpq�q�n
< ��√bmn�n�q
, obținem (bp)n< (bm)q , adică
bpn < bmq dacă și numai dacă pn> mq, rezultă că p
q> m
n, atunci x > y . □
Exemplu: Arătăm că pentru orice x, y > 0 are loc inegalitatea: 𝑥𝑥23 + 𝑦𝑦23 > ( 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 )23.
Soluție : Considerăm că x + y = z. După ce împă rțim inegalitatea la 𝑧𝑧2
3, obținem:

10
�𝑥𝑥
𝑧𝑧�2
3 + �𝑦𝑦
𝑧𝑧�23
> 1. Avem 0 < 𝑥𝑥
𝑧𝑧 , 𝑦𝑦
𝑧𝑧 < 1, 𝑥𝑥
𝑧𝑧 + 𝑦𝑦
𝑧𝑧 = 1 și deci �𝑥𝑥
𝑧𝑧�13
< 1, �𝑦𝑦
𝑧𝑧�13
< 1 sau �𝑥𝑥
𝑧𝑧�1− 23
< 1
și �𝑦𝑦
𝑧𝑧�1− 23
< 1, ceea ce rezultă că 𝑥𝑥
𝑧𝑧 < �𝑥𝑥
𝑧𝑧�23
și 𝑦𝑦
𝑧𝑧 < �𝑦𝑦
𝑧𝑧�23
. Dacă adunăm ultimele două
inegalități obținem 𝑥𝑥23 + 𝑦𝑦23 > ( 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 )23.

I.2. Puteri cu exponent real
Puterile cu exponent rațional se pot extinde către puterile cu exponent real. Cu ajutorul
unui exemplu, ilustrăm principiul.
Presupunem că definim b√3 , pentru b > 1. Utilizăm aproximările prin lipsă și prin
adaos, astfel : 1 < 1,7 < 1,73 < 1,732 < …<√3 < 1,733 < 1,74 < 1,8 < 2.
Considerăm următoarele șiruri de inegalități, în funcție de proprietățile puterilor cu exponent
rațional de bază b > 1. Prima relație : b1 < b1,7 < b1,73 < b1,732 < …… și a doua relație :
b2> b1,8> b1,74 > b1,733…….
Fiecare termen din a doua relație este mai mic decât orice termen din prima relație,
atunci numărul b√3 este mai mare decâ t orice termen din prima inegalitate și mai mic decât
oricare termen din a doua inegaliuatate. Deci numărul b√3 poate fi considerat acel
număr μ, unde μ > b, la orice putere rațională care să aproximeze pe √3 prin lipsă și μ < b la
orice putere rațională care să aproximeze pe √3 prin adaos. Acest număr există și este unic,
deoarece este situat la punctul de înt âlnire al celor două șiruri : b1 < b1,7 < b1,73 < b1,732
<…… < b1,733< b1,74 < b1,8 < b2.
Definim în același mod bβcu b > 1 și β un număr irațional pozitiv.
Fie b > 1, β un număr irațional pozitiv și pi un număr rațional, care-l aproximează pe β
prin lipsă, iar p k un număr rațional pozitiv, care -l aproximează pe β prin adaos.
Atunci bpi <μ < bpk , oricare ar fi p k, pi. Un astfel de număr există și este unic. Definim în
același mod bβcu 0 < b < 1 și β un număr irațional pozitiv.
Fie 0 < b < 1 și β un număr irațional pozitiv. Considerăm p i un număr rațional, care -l
aproximează pe β prin lipsă, iar p k un număr rațional pozitiv, care -l aproximează pe β prin
adaos. Atunci bpi >μ > bpk , oricare ar fi p k, pi. Un astfel de număr există și este unic.

11
Dacă b > 0, b ≠ 1, iar β un număr irațional negativ, atunci prin bβ, vom înțelege acel număr
1
bǀβǀ , adică bβ= 1
b−β .
Observații :1. Dacă b = 1, atunci 1𝛽𝛽 = 1 , oricare ar fi 𝛽𝛽 ∈ ℝ; 2. Pentru b > 0 și 𝛽𝛽 ∈ ℝ, avem
𝑏𝑏𝛽𝛽 > 0; 3. Rămân valabile proprietățile , pentru b, c > 0 și x, y ∈ ℝ: a) 𝑏𝑏𝑥𝑥 ‧ 𝑏𝑏𝑦𝑦 = 𝑏𝑏𝑥𝑥+𝑦𝑦;
b) 𝑏𝑏𝑥𝑥
𝑏𝑏𝑦𝑦 = 𝑏𝑏𝑥𝑥−𝑦𝑦; 𝑐𝑐) (𝑏𝑏‧𝑐𝑐)𝑥𝑥 = 𝑏𝑏𝑥𝑥‧ 𝑐𝑐𝑥𝑥 ; d) �𝑏𝑏
𝑐𝑐�𝑥𝑥
= 𝑏𝑏𝑥𝑥
𝑐𝑐 𝑥𝑥 ; e) (𝑏𝑏𝑥𝑥)𝑦𝑦 = 𝑏𝑏𝑥𝑥 ∙𝑦𝑦; f) 𝑏𝑏0 = 1; g) b-x = 1
𝑏𝑏𝑥𝑥;
4. Ordonarea puterilor : 1) a) Pentru b > 1 și x<𝑦𝑦, avem 𝑏𝑏𝑥𝑥<𝑏𝑏𝑦𝑦; b) Pentru 0<𝑏𝑏< 1 și
𝑥𝑥<𝑦𝑦, avem 𝑏𝑏𝑥𝑥>𝑏𝑏𝑦𝑦; 2) a) Pentru b > 1 și 𝛽𝛽> 0, avem 𝑏𝑏𝛽𝛽>1 și dacă b > 1 , 𝛽𝛽< 0, avem
𝑏𝑏𝛽𝛽 < 1
b) Pentru 0 < b < 1 și 𝛽𝛽 < 0, avem 𝑏𝑏𝛽𝛽>1, iar pentru 0 < b < 1 și 𝛽𝛽> 0, avem 𝑏𝑏𝛽𝛽< 1 .
Vom demonstra observația 2) care arăta că dacă b > 1, 𝛽𝛽 > 0 , atunci bβ>1 . Dacă β = p
q ,
p,q ∈ ℕ*, p ≥ 2, atunci bp
q > 1, atunci�bpq
�q
> 1 rezult ă că bm> 1. Dacă β este irațional,
atunci considerăm s un număr rațional pozitiv care aproximează prin lipsă pe β. Din definiția
puterii cu exponent irațional se obține bβ > bs, dar bs > 1 , astfel deducem că bβ>1.□

I.3. Funcția exponențială : definiție și grafic
Definiție : Funcția f : ℝ → (0, ∞), f (x) = bx cu b > 0 și b≠ 1, se numește funcția
exponențială de bază b.
Observații: 1) Baza b trebuie să fie diferită de 1, deoarece dacă b = 1, atunci funcția
f(x) = 1x = 1, pentru orice număr real x, este constantă și nu este o funcție exponențială.
2) Pentru funcția exponențială f (x) = bx cu b > 0, b≠ 1, b este baza puterii bx care este
constantă, iar pentru funcția h(x) = xb cu (∀) x ∈ ℝ, b este exponentul puterii 𝑥𝑥𝑏𝑏 care este
constant.
3) La baza studiului acestei funcții, vor sta proprietățile puterilor cu exponent rațional (real).
Se analizează principalele proprietăți ale acestei funcții în cazurile când baza este
subunitară( 0 < 𝑏𝑏< 1) sau supraunitară (b > 1 ).
Graficul funcției exponențiale
1. Graficul funcției exponențiale f(x) = 𝑏𝑏𝑥𝑥 cu baza subunitară, adică 0 < b < 1.

12
Considerăm funcția g : ℝ → (0, ∞ ), g (x) = �1
2�𝑥𝑥
.
Observație : a) Func ția exponențială c are are baza subunitară, pe tot domeniul de definiție
este strict descrescătoa re;
b) Funcția exponențială ia valori supraunitare la st ânga lui 0 și subunitare la dreapta lui 0,
adică graficul se află deasupra axei Ox;
c) Punctul de intersecție al graficului cu axa O y este punctul (0, 1);
d) Graficul exponenț ialei se aproprie mult de axa Ox, deoarece pentru valori pozitive mari,
funcția exponențială ia valori foarte mici pozitive. Asimptota orizontală pentru graficul
funcției este Ox la ramura de la +∞.
Concluzii : a) Graficul funcției exponențiale cu baza subunitară se găsește deasupra axei Ox și
interesectează axa Oy în ( 0, 1);
b) Graficul funcției exponențiale cu baza subunitară are o ramură ce coboară sub formă
convexă;
c) Cu cât baza este mai mică, cu atât graficul funcției exponențiale cu baza subunitară este mai
apropriat de axele de coordonate
2. Graficul funcției exponențiale f (x) = 𝑏𝑏𝑥𝑥 cu baza supraunitară, adică b > 1.
Considerăm funcția g : ℝ → (0, ∞ ), g (x) = 2𝑥𝑥.
Observație : a) Func ția exponențială cu baza supraunitară este strict crescătoa re pe tot
domeniul de definiție;
b) Funcția exponențială ia valori su bunitare la st ânga lui 0 și supraunitare la dreapta lui 0,
adică graficul se află deasupra axei Ox;
c) Punctul de intersecție al graficuluicu axa Oy este punctul (0, 1);
d) Graficul exponențialei se aproprie mult de axa Ox, deoarece pentru valori negative mici ,
funcția exponențială ia valori foarte mici pozitive. Asimptota orizontală pentru graficul
funcției este Ox la ramura de la −∞.
Concluzii : a) Graficul funcției exponențiale cu baza supraunitară se află deasupra axei Ox și
interesectează axa Oy în ( 0, 1) ;
b) Graficul funcției exponențiale cu baza su praunitară are o ramură ce urcă sub formă
convexă;

13
c) Cu cât baza este mai mare, cu atât graficul funcției exponențiale cu baza su praunitară este
mai apropriat de axele de coordonate.
Exemplu: Să construim graficul funcției f : ℝ→ (0,+∞), f (x) =b x, pentru b ∈ {2 ,1
2 }.
Se întocmește un tablou de valori pentu cele două cazuri :

x −∞ −3 −2 −1 0 1 2 3 +∞
f(x)=�1
2�𝑥𝑥
∞ ↘ 8 ↘ 4 ↘ 2 ↘ 1 ↘ 21 ↘ 14 ↘ 18 ↘ 0

Graficele celor două funcți i :

I.4. Proprietățile funcției exponențiale
Proprietatea 1 . Fie f uncția exponențială f : ℝ→ (0,+∞), f (m) = bm, atunci
f (m+n ) = f( m) ∙ f(n), unde m, 𝑛𝑛 ∈ ℝ.
Demonstrație: Ne folosim de relația 𝑏𝑏𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 = 𝑏𝑏𝑚𝑚∙ bn, unde m,n ∈ ℝ, ceea ce rezultă că x −∞ −3 −2 −1 0 1 2 3 +∞
f(x)= 2x 0 ↗ 81 ↗ 41 ↗ 21 ↗ 1 ↗ 2 ↗ 4 ↗ 8 ↗ ∞
−1
−2
−3
1 2 3 x
C
B
D
E
F
y
27

4 2
−1
−2
−3
1 2 3 x
27
4 2
C
B
D

E
y
f(x)= f(x)=

14
f (m+n) = f( m) ∙ f(n). □
Observați e: Funcția f (m – n) = f(m)
f(n) și f(c m) = [f (m )]c , deoarece bm
bn = 𝑏𝑏𝑚𝑚 − 𝑛𝑛 și ( bm )c =
𝑏𝑏𝑚𝑚𝑐𝑐 cu m ,n, c∈ ℝ,
Proprietatea 2 . Funcția f : ℝ→ (0,+∞), f(x)= bx este strict crescătoare dacă b > 1 și
f : ℝ→ (0,+∞), f (x)= bx este strict descrescătoare dacă 0 < b < 1.
(Monotonia funcției exponențiale )
Demonstrație: Pentru b > 1 și x, y ∈ ℝ, x < y, demonstrăm că f (x) < f (y), adică bx < by.
Dacă x < y, atunci există t > 0, astfel încât y = x + t. Înlocuim pe y în relația de mai sus și
obținem by – bx = bx + t – bx = bx ( bt – 1). Dacă b > 1, atunci bt > 1 și bx > 0, cu x număr real,
atunci by – bx> 0, ceea ce rezultă că by > bx . □
Observații: 1) Monotonia funcției exponențiale se folosește la rezolvarea inecuațiilor
exponențiale
2) Pentru b > 1,atunci bx < by dacă și numai dacă x < y, iar pentru 0 < b < 1,atunci
bx < by dacă și numai dacă x > y.
Proprietatea 3 . Funcția exponențială este convexă .
Observații : 1) Condiția de convexitate este echivalentă cu inegalitatea lui Jensen :
f �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦
2� ≤𝑓𝑓(𝑥𝑥)+𝑓𝑓(𝑦𝑦)
2, (∀) x, y ∈ ℝ.
2) Orice tangentă într -un punct al graficului lasă graficul deasupra tangentei ,
3) Funcția exponențială nu își poate atinge cea mai mare valoare în interiorul intervalului,
deoarece este convexă.
Proprietatea 4. b0 = 1 ; (∀) b > 0;
Proprietatea 5. Funcția exponențială este bijectivă, atunci ea este inversabilă.
Demonstrație : Aratăm că funcția f este injectivă. Fie R∈2 1,x x astfel încât 2 1x x≠.
Atunci are loc 2 1x x< sau 2 1x x>. Să presupunem, de exemplu, că 2 1x x<, atunci după
monotonia funcției exponențiale, rezultă că :
1) Dacă b > 1, atunci ) ( ) (2 1 x f x f< și deci ) ( ) (2 1 x f x f≠ ;

15
2) Dacă 0 < b < 1, atunci ) ( ) (2 1 x f x f> și deci ) ( ) (2 1 x f x f≠ .
Dacă folosim graficul, se observă că orice paralelă dusă prin puncte ale codomeniului (0, + ∞)
graficul funcției este interesectat în cel puțin un punct, deci este surjectivă.
Inversa funcției exponențiale se numește funcție logaritmică.

II. FUNCȚI A LOGARITMICĂ
II.1. Logaritmul unui număr pozitiv
Definiție : Fie b > 0, b ≠ 1 și x > 0, atunci numărul real y definit prin relația y = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑥𝑥
se numește logaritmul n umărului x în baza b, unde y = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑥𝑥 dacă și numai dacă by = x.
Observații: 1. Deoarece by > 0, (∀) y ∈ ℝ, nu definim logaritmul unui număr real negativ.
2. Numărul real x este strict pozitiv.
3. Cele două notații y = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑏𝑏𝑥𝑥 și by = x au același înțeles.
4. Pentru b > 0, b ≠ 1 și x > 0, avem 𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑥𝑥 = x.
Exempl u: 1) Să tranformăm următoarele egalități sub formă logaritmică :
a) 20200 = 1 ;
b) 12-2 = 1
144.
Soluție : a) 20200 = 1, adică log2020 1 = 0; b) 12-2 = 1
144, adică log 121
144 = –2.
2) Să tranformăm următoarele egalități sub formă exponențială:
a) 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙28 = 3;
b) 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙31 = 0.
Soluție : a) log28 = 3 dacă și numai dacă 23 = 8; b) log31 = 0 dacă și numai dacă 30 = 1.
3) Să calculăm următorii logaritmi:
a) 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙16�1
16 ; b) 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙3𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙5𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙232.

16
Soluție : a) log16�1
16 = y , dacă și numai dacă 16y = 1
16 , adică 16y =16-1, rezultă că y = – 1,
prin urmare log16�1
16= – 1 ; b) log232 = log225 = 5 , rezultă că log55 = 1, adică log 31 = 0.
II.2. Proprietățile logaritmilor
Proprietatea 1 . Dacă b > 0, b ≠ 1 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑙𝑙𝑏𝑏1 = 0 și 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑏𝑏 = 1.
Demonstrație: Dacă logb1 = 0 , atunci b0 = 1 și logbb = 1 , atunci b1 = b. □
Proprietatea 2 . Dacă x, y > 0, b > 0, b ≠ 1, atunci 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏(𝑥𝑥𝑦𝑦) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑦𝑦.
(Logaritmul produsului a două numere este suma logaritmilor celor două numere).
Demonstrație: Notăm logbx = t și logby = p ceea ce rezultă că bt = x, bp = y și
bt ∙ bp = bt + p = x ∙ y. Prin urmare log b(xy) = t + p = log bx + logby. □
Observație : logb(x1x2… xk) = logbx1 + logbx2 + …+ log bxk
Proprietatea 3. Dacă x, y > 0, b > 0, b ≠ 1, atunci 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏�𝑥𝑥
𝑦𝑦� = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑥𝑥 – 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑦𝑦.
(Logaritmul câtului este diferența dintre logaritmul numărătorului și logaritmul numitorului).
Demonstrație: Avem logbx = logb�x
y ‧ y�= logb�x
y� + logby. Înlociund în relația
următoare obținem : logbx– logby =logb�x
y� + logby – logby = log b�x
y�. □
Observații : 1. logb�x
y� = log b|x| – logb|y|; dacă xy > 0 ;
2. log b�1
x� = – log bx , dacă x > 0.
Proprietatea 4. Dacă x > 0, b > 0, b ≠ 1, 𝛼𝛼∈ ℝ, atunci 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑥𝑥𝛼𝛼 = 𝛼𝛼 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑥𝑥
(Logaritmul puterii unui număr este egal cu produsul dintre exponentul puterii și logaritmul
numărului).
Demonstrație: Fie logbx = t rezultă că bt = x rezultă că xα = btαdacă și numai dacă
logbxα= t ∙α = α logbx. □
Observație: Dacă 𝛼𝛼 = 2t, t ∈ Z, atunci log𝑏𝑏𝑥𝑥2𝑡𝑡 = 2t log 𝑏𝑏|𝑥𝑥|.

17
Proprietatea 5. ( Formula de schimbare a bazei).Dacă x > 0, c ; d > 0, c, d ≠ 1,
atunci:𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑐𝑐𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑑𝑑𝑐𝑐. (Formula de trecere de la logaritmul unui număr în baza c la
logaritmul aceluiași număr în baza d).
Demonstrație: Fie logcx = t și log dx=p,atunci x = ct, x = dp, rezultă că ct = dp, deci
logcct = logcdp sau t logcc = p log cd sau t= p logcd, adică logcx = logdx∙logcd.
Dacă x = c, atunci 1 = log dc∙logcd ceea ce rezultă că logcd = 1
logdc, adică rezultă
observația de mai jos :
Observație :. 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑑𝑑𝑐𝑐 = 1
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑐𝑐𝑑𝑑, cu c, d > 0 și c, d ≠ 1.
Proprietatea 6. Dacă b, c, d > 0 și b ≠ 1, atunci 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑐𝑐.
Demonstrație: Fie logcx = t și log dx=p,atunci x = ct, x = dp, rezultă că ct = dp, deci
logcct = logcdp sau t logcc = p log cp sau t= p logcp, adică logcx = logdx∙logcd.
Proprietatea 7 . Dacă x > 0, b > 0, b ≠ 1, 𝛼𝛼 ,𝛽𝛽∈ ℝ, 𝛽𝛽 ≠ 0 ceea ce rezultă că
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝛼𝛼𝛽𝛽(𝑥𝑥𝛼𝛼) = 𝛼𝛼
𝛽𝛽∙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑥𝑥;
Demonstrație : Se trece logaritmul din membrul stâng în baza b și obținem log𝛼𝛼𝛽𝛽(𝑥𝑥𝛼𝛼) =
log𝑏𝑏𝑥𝑥𝛼𝛼
log𝑏𝑏𝑏𝑏𝛽𝛽 = α log𝑏𝑏𝑥𝑥
𝛽𝛽log𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝛼𝛼
𝛽𝛽 log𝑏𝑏𝑥𝑥.
Proprietatea 8. Dacă x, y > 0 și b, c > 0, b ≠ 1, c ≠ 1, avem: 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑥𝑥
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑦𝑦= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑐𝑐𝑥𝑥
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑐𝑐𝑦𝑦.
Demonstrație : 1) Observăm că trebuie să trecem de la logaritmi în bază b la logaritmi în
bază c. Folosind formula de schimbare a bazei, log𝑏𝑏𝑥𝑥
log𝑏𝑏𝑦𝑦=log𝑐𝑐𝑥𝑥
log𝑐𝑐𝑎𝑎.
log𝑐𝑐𝑦𝑦
log𝑐𝑐𝑎𝑎. = log𝑐𝑐𝑥𝑥
log𝑐𝑐𝑦𝑦 .
Exempl u: 1. Să rezolvă m : lg 1
2 + lg 23 + …+ lg 9
10 ;
Soluție : Din proprietatea 2), rezultă că lg (12∙23∙…∙9
10) = lg 1
10 = lg 10-1 = – 1 .
2. Să aflăm valoarea numărului x, unde 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 2𝑥𝑥 = 2 + 2𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 25 – 3𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 24.
Soluție : 2 + 2 log25– 3log24 = log222 + log252– log243 = log222 ∙ 52
43 = log2x ,
ceea ce rezult ă că x = 22 ∙ 52
43 = 100
64 = 2516.

18
II.3. Funcția logaritmică- definiție, grafic
Defini ție: Funcția g : (0, ∞) → ℝ, definită prin g (x) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑥𝑥, cu b > 0, b ≠ 1
reprezintă funcția logaritmică de bază b.
Graficul funcției logaritmice :
Fie funcția logaritmică g : (0, ∞) → ℝ, g(x) = logbx ; b > 0, b ≠ 1. Folosim două cazuri
pentru trasarea graficului: Cazul 1. b ∈ (0,1) Cazul 2. b > 1
Observație: Folosim faptul că funcția logaritmică este inversa funcți ei exponențiale, astfel în
raport cu prima bisectoare (y = x) cele două grafice sunt simetrice.
Cazul 1. Graficul funcției logaritmice g(x) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑥𝑥 cu baza subunitară 0 < b < 1.
Observații: 1) Graficul funcției logaritmice cu baza subunitară intersecteză axa Ox în punctul
(1,0), care este simetricul punctului (0,1) în raport cu prima bisectoare.
2) Graficul funcției logaritmice cu baza subunitară coboară convex și este format dintr -o
singură ramură.
Dacă �0 < x < 1, atunci g(x) > 0
x = 1, atunci g(x) = 0
x > 1, atunci g(x) < 0.. Cu cât baza este mai mică, cu atât graficul funcției
logaritmice cu baza subunitară este mai apropiat de axe.
Cazul 2. Graficul funcției logaritmice g(x) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑥𝑥 cu baza supraunitară, b > 1.
Observații: 1) Graficul funcției logaritmice cu baza supraunitară intersectează axa Ox în
punctul (1,0) care este simetricul punctului (0,1), în raport cu prima bisectoare ;
2) Graficul funcției logaritmice cu baza supraunitară urcă concav și este format dintr -o
singură ra mură.
Dacă �0 < x < 1, atunci g(x) < 0
x = 1, atunci g(x) = 0
x > 1, atunci g(x) > 0.

Reprezentare :

19

II.4. Proprietățile funcției logaritmice
Proprietatea 1 . Inversa funcției exponențiale reprezintă funcția logaritmică.
Demonstrație: Arătăm că inversa funcției exponențiale f : ℝ → (0, ∞) ; f (x)= bx este
funcția g : (0, ∞ ) → ℝ unde g(x) = logbx cu b > 0 și b ≠ 1.Verificăm egalitățile :
f o g = 1(0,∞) , g o f = 1 IR. Arătăm că f o g = 1(0,∞). Dacă funcțiile au același domeniu de
definiție, au același codomeniu și coincid, adică ( ∀) t ∈ (0, ∞) să avem (fog) (t) = 1(0,∞) (t) = t,
atunci funcțiile sunt egale. Sau putem avea (f o g)(t) = f ( g(t) ) = f (logbt) = blogbt = t.
Observație : Avem echivalența logbx = logby dacă și numai dacă x = y, deoarece b este
bijectivă.
Proprietatea 2 . Pentru funcția g : (0, ∞) → ℝ, definită prin g(x) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑥𝑥, cu b > 0,
b ≠ 1 , avem g(xy) = g(x) + g(y), ( ∀) x, y > 0
Proprietatea 3. Pentru funcția g : (0, ∞) → ℝ, definită prin g(x) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑥𝑥, cu b > 0,
b ≠ 1, avem g�𝑥𝑥
𝑦𝑦�= g(x)− g(y) (∀) x, y > 0
Proprietatea 4 . Pentru funcția g : (0, ∞ ) → ℝ, definită prin g(x) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑥𝑥, cu b > 0, b
≠ 1 , avem g (xα)= α , (∀) x > 0
Proprietatea 5 . Logaritm din 1 aflat în orice bază este mereu 0, adică 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏1 = 0.

20
Proprietatea 6 . Pentru funcția g : (0, ∞) → ℝ, și b > 1, atunci g(x) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑥𝑥 este strict
crescătoare, iar d acă 0 < b < 1, atunci g(x) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑥𝑥 este strict descrescătoare. (Monotonia
funcției logaritmice)
Demonstrație: Cum f : C → D este bijectivă și strict crescătoare(strict descrescătoare),
atunci inversa sa g : D → C este strict crescătoare (strict descrescătoare), adică funcția inversă
și funcția directă au aceeași monotonie. Cum funcția logaritmică este inversa funcției
exponențiale, observăm că f și g au acceași monotonie. □
Observații: 1. Se poate verifica monotonia lui g d in definiția acesteia și din definiția
logaritmului unui număr x > 0, blogbx = x.

2. Pentru rezolvarea inecuațiilor se folosește monotonia funcției logaritmice:
� a > 1, log𝑎𝑎𝑥𝑥1<log𝑎𝑎𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑ă ș𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑ă 𝑥𝑥1< 𝑥𝑥2
0 < a < 1, log𝑎𝑎𝑥𝑥1<log𝑎𝑎𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑ă ș𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑ă 𝑥𝑥1> 𝑥𝑥2
Proprietatea 7. Funcția logaritmică este concavă, dacă b > 1 și convexă, dacă
0 < b < 1.
Demonstrație: Funcția exponențială este convexă. Inversa f-1 este strict crescătoare și
concavă, deoarece la funcții convexe(concave) f este strict crescătoare. Inversa f-1 este strict
descrescătoare și convexă, deoarece f este strict descrescătoare și convexă. Astfel funcția
logaritmică este concavă. □

III. ECUAȚII ȘI INECUAȚII EXPONENȚIALE
III.1. Ecuații exponențiale
Definiție : Ecuația c are are variabila necunoscută la expone ntul puterii se
numeste ecuație exponentială.
Vom ilustra ecuațiile exponențiale prin c âteva tipuri :
1. Ecuații exponențiale de forma 𝑏𝑏𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑏𝑏𝑔𝑔(𝑥𝑥); b > 0, b ≠ 1.
Observații : Ecua ția este echivalentă cu f(x) = g(x).
Exemplu : Să r ezolvăm ecuația 42𝑥𝑥+1= 4−𝑥𝑥2.
Soluție : 2x+1= – 𝑥𝑥2 ceea ce rezultă că (x +1)2 = 0, astfel obținem solu ția dublă x = 1

21
2. Ecuații exponențiale de forma 𝑏𝑏𝑓𝑓(𝑥𝑥) = c; b > 0, b ≠ 1
Observa ție: 1. Ecuația nu are soluți e daca c ≤ 0;
2. S e logaritmează ambii membri, dacă c > 0;

3. Ecuația este echivalentă cu f(x) = log𝑏𝑏𝑑𝑑 ,dacă se logaritmează în baza b.
E
xemplu : Să r ezolvăm ecuația 2𝑥𝑥−1 = 3.
Soluție : Se logaritmează ambii membri în baza 2 și se obține : log22𝑥𝑥−1 = log23, adică
x -1 = log23, ceea ce rezultă că x = 1 + log23 = log22 + log22 = log 26.
3.
Ecuații exponențiale de forma 𝑏𝑏 1𝑓𝑓(𝑥𝑥) ‧ 𝑏𝑏2𝑓𝑓(𝑥𝑥) =𝑑𝑑1𝑔𝑔(𝑥𝑥) ‧ 𝑑𝑑2𝑡𝑡(𝑥𝑥), unde b i, ci >0; b i, ci ≠ 1.
Exemplu : Să r ezolvăm ecuația 2𝑥𝑥+1= 32𝑥𝑥−1.
Soluție : Se logaritmează în baza zece, astfel lg2x+1=lg32x−1 , adică (x+1)‧lg2 = (2x-1) ‧ lg3,
rezultă că x (lg2-2lg3 ) = – lg3-lg2, adică x lg 2
9 = lg 1
6 , ceea ce rezultă că x = lg1
6
lg29 .
4. Ecuații exponențiale de forma: 𝑑𝑑1𝑏𝑏2𝑓𝑓(𝑥𝑥)+ 𝑑𝑑2𝑏𝑏𝑓𝑓(𝑥𝑥)+ 𝑑𝑑3=0, b > 0, b ≠ 1.
O
bservații : a) Se n
otează 𝑏𝑏𝑓𝑓(𝑥𝑥)= y > 0, ceea ce rezultă că 𝑑𝑑1y2+ 𝑑𝑑2y + 𝑑𝑑3 =0 cu soluțiile 𝑦𝑦1, 𝑦𝑦2;

b) Ecuațiile bf (x) = y i, unde i =1,2 cu soluții , dacă yi > 0;
c) Ecuația de forma f (bx)=0, se rezolvă prin substituție bx = y > 0.
Prin rezolvarea ecuațiilor exponențiale bx = yi, unde y i sunt soluțiile ecuației f(y)=0, mulțimea
soluțiilor e ste reuniunea celor 2 soluții.
Exemplu : Să rezolvăm ecuația: 4x – 3‧2x + 2 = 0.
Soluție : Notăm 2x = y, ceea ce rezultă că y2 -3y + 2 = 0, are soluțiile 𝑦𝑦1=2 și 𝑦𝑦2=1.Prima
ecuație are soluția x = 1 și a doua ecuație are soluția x = 2.
5. Ecuații exponențiale cu parametru
Exemplu : Să determinăm valorile parametrului real m pentru care ecuația:
4𝑡𝑡−𝑛𝑛‧ 2𝑡𝑡−𝑛𝑛+ 3 = 0 are o soluție.
S
oluție : Notăm 2t = y > 0, atunci y2 – my – m + 3 = 0. Ecuația are o soluție dacă și numai dacă
ecuația are o rădăcină pozitivă în y.
�(m−2)(m + 6 )> 0
3−m < 0 cu soluția m > 3 , �(𝑛𝑛−2)(𝑛𝑛+ 6)= 0
𝑛𝑛> 0 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑠𝑠 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛ț𝑖𝑖 𝑑𝑑 𝑛𝑛= 2.
6.
Ecuații exponențiale de forma:

𝑏𝑏1𝑑𝑑𝑓𝑓1(𝑥𝑥)+⋯+𝑏𝑏𝑘𝑘𝑑𝑑𝑓𝑓𝑘𝑘(𝑥𝑥)=𝑑𝑑1𝑑𝑑𝑔𝑔1(𝑥𝑥)+⋯+𝑑𝑑𝑘𝑘𝑑𝑑𝑔𝑔𝑘𝑘(𝑥𝑥), unde 𝑑𝑑,𝑑𝑑> 0,𝑑𝑑,𝑑𝑑 ≠ 0.

22
Î
n acest tip de ecuații, care au baze diferite între ele, se separă într-un membru termenii care
au exponențiale de aceeași bază, iar în celălalt membru termenii care au exponențiale de
aceeași bază, ajungându- se la forma: 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝛼𝛼𝑑𝑑𝑔𝑔(𝑥𝑥).
E
xemplu: Să rezolvăm ecuația: 5𝑥𝑥+ 5𝑥𝑥+1+ 5𝑥𝑥+2= 3𝑥𝑥+ 3𝑥𝑥+1+ 3𝑥𝑥+2.
Soluție : Ecuația se scrie echivalent 5𝑥𝑥+ 5∙5𝑥𝑥+25∙5𝑥𝑥= 3𝑥𝑥+ 3∙3𝑥𝑥+ 9∙3𝑥𝑥, adică
5𝑥𝑥(1 + 5 + 25)= 3𝑥𝑥(1 + 3 + 9 ), rezultă că 31∙5𝑥𝑥=13∙3𝑥𝑥. Dacă �5
3�𝑥𝑥
=1331, rezultă că
𝑥𝑥=𝑙𝑙𝑔𝑔�13
31�
𝑙𝑙𝑔𝑔�53�.
7. Ecuații exponențiale de forma : 𝑏𝑏1𝑑𝑑12𝑓𝑓(𝑥𝑥)+𝑏𝑏2𝑑𝑑22𝑓𝑓(𝑥𝑥)+𝑏𝑏3(𝑑𝑑1∙𝑑𝑑2)𝑓𝑓(𝑥𝑥)= 0,𝑑𝑑𝑖𝑖> 0,𝑑𝑑𝑖𝑖≠0
Acest tip de ecuație se numește ecuație omogenă, deoarece primii doi termini eu același
exponent, iar pentru a rezolva acest tip de ecuație trebuie să împărțim ambii termini la 𝑑𝑑22𝑓𝑓(𝑥𝑥)
și se obține ecuașia echivalentă 𝑏𝑏1�𝑎𝑎1
𝑎𝑎2�2𝑓𝑓(𝑥𝑥)
+𝑏𝑏3�𝑎𝑎1
𝑎𝑎2�𝑓𝑓(𝑥𝑥)
+𝑏𝑏2= 0.
Exemplu: Să rezolvăm ecuația: 3∙16𝑥𝑥+37∙36𝑥𝑥=26∙81𝑥𝑥.
Soluție : Ecuația este echivalentă cu 3∙42𝑥𝑥+37∙62𝑥𝑥=26∙32𝑥𝑥, rezultă că
3∙�4
9�2𝑥𝑥
+37∙�4
9�2𝑥𝑥
−26−0. Notăm �4
9�2𝑥𝑥
=𝑦𝑦> 0, și obținem ecuația 3𝑦𝑦2+37𝑦𝑦−
26= 0 cu soluțiile 𝑦𝑦1=2
3, 𝑦𝑦2=−13. Cum 𝑦𝑦> 0, rezultă că 𝑦𝑦=23. Dacă �4
9�2𝑥𝑥
=𝑦𝑦, rezultă
că 𝑥𝑥=12.

8. Ecuații exponențiale de forma 𝑓𝑓 (𝑥𝑥)𝑔𝑔1(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓 (𝑥𝑥)𝑔𝑔2(𝑥𝑥).
Observație :
Ecuația considerată este exponențială și este echivalentă cu rezolvarea ecuației
𝑙𝑙1(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙2(𝑥𝑥), dacă f (x) > 0, cu f (x) ≠1. Vor fi soluții, acele valori x pentru care f (x) > 0,
f
(x) ≠ 1.
Se analizează următoarele cazuri, dacă f (x) ≤ 0 sau f (x) = 1 nu este eliminată de la început:
a) D
acă f (x) = 1, atunci relația se verifică oricare ar fi 𝑙𝑙1(𝑥𝑥) ; 𝑙𝑙2(𝑥𝑥);
b) D
acă f (x) = − 1, atunci relația devine ( − 1)g1(x) = (− 1)g2(x);
c) D
acă f (x) = 0, atunci relația are loc pentru 𝑙𝑙1(𝑥𝑥) > 0, 𝑙𝑙2(𝑥𝑥) > 0.
Exemplu: Să rezolvăm ecuația (t – 3 ) 𝑡𝑡+1
4 = (t – 3 ) 𝑡𝑡−2
3
Soluție : Să analizăm cazurile:
a) t – 3 > 0, t – 3 ≠ 1, atunci din ecuație rezultă ecuația 𝑡𝑡+1
4 = 𝑡𝑡−2
3 cu soluție 𝑡𝑡 1 = 11
b) t – 3 = 1 rezultă 𝑡𝑡2 = 4 este soluție a ecuației

23
c) t – 3 = − 1 rezultă t = 2. Ecuația se scrie −13
4 = − 10 este imposibil
d) t – 3 = 0 rezultă t = 3 și înlocuind în ecuație obținem 044 = 013. Deoarece 4
4 > 0 și
13 > 0. Rezultă 𝑡𝑡3 = 3 este soluție a ecuației, deci soluțiile sunt 𝑡𝑡1 = 11 ; 𝑡𝑡 2 = 11 ;
𝑡𝑡3 = 3.
Exerciți i :
1. Să se rezolve ecuațiile următoare:
a) 3√2 𝑥𝑥−1 ∙ √27 = 9√2𝑥𝑥−1 ;
b) 21−2𝑥𝑥 − 5
2𝑥𝑥 + 2 = 0 .
2. Să se determine m ∈ R, știind că ecuația 4x – (m + 1) 2x + m + 2 = 0 nu admite
soluții reale.
Rezolvare: 1. a) Condiția de existență: 2x – 1 ≥ 0 rezultă că x ∈ � 12 , +∞) ,
√2 𝑥𝑥 − 1 + 32 =2√2 𝑥𝑥 − 1, rezultă că x = 13
8 ∈ � 12 , +∞) ;
b) N otăm 1
2𝑥𝑥 = t , t > 0, adică 2t2 – 5t + 2 = 0 cu soluțiile 𝑡𝑡1 = 2 rezultă x = – 1 și 𝑡𝑡2= 12
rezultă x = 1.
2. Notăm 2x = t, t > 0 , obținem t2 – (m +1)t + m + 2 = 0 .Atunci ∆ < 0 sau �∆ ≥0
𝑆𝑆 ≤0
𝑃𝑃 ≥0. Prin
calcule obținem ∆ = m2 – 2m – 7 , S = m + 1 și P = m + 2.
Dacă ∆ < 0 rezultă m ∈ ( 1 – 2√2, 1 + 2√2). Pentru �∆ ≥0
𝑆𝑆 ≤0
𝑃𝑃 ≥0 se obține
�𝑛𝑛 ∈ �
− ∞, 1−2√2�∪[ 1 + 2√2, +∞)
𝑛𝑛∈(
− ∞,−1]
𝑛𝑛∈[ − 2, +∞) , ceea ce rezultă că m ∈ [−2, 1 − 2√2].
Rezultă că m ∈ (1−2√2, 1 + 2√2) ∪ [−2, 1−2√2] = [−2, 1 + 2√2).

24
III.2. Inecuații exponențiale
Pentru rezolvarea inecuațiilor exponențiale se utilizează monotonia funcției exponențiale .
Funcția exponențială de bază cu b > 0, b ≠ 1 și f : ℝ → (0, ∞), f (x) = bx este strict
crescătoare, dacă baza este supraunitară și este strict descrescătoare, dacă baza este
subunitară.
Observații: 1. Dacă două inecuații exponențiale au aceleași mulțimi de soluții, atunci ele
sunt echivalente.
2. Pentru rezolvarea inecuațiilor, se foloses c următoarele afirmaț ii:
�𝑏𝑏𝑔𝑔(𝑥𝑥) >𝑏𝑏ℎ(𝑥𝑥)
b > 1 dacă și numai dacă �
𝑙𝑙(
𝑥𝑥) > ℎ (𝑥𝑥)
b > 1
�𝑏𝑏𝑔𝑔(𝑥𝑥) >𝑏𝑏ℎ(𝑥𝑥)
0 < b < 1 dacă și numai dacă �
𝑙𝑙(
𝑥𝑥) > ℎ (𝑥𝑥)
0 < b < 1
3.
În cazul inecuațiilor f (x) ≥ 0 sau f (x) ≤ 0, se aplică următoarea tehnică:
• Rezolvarea ecuației f (x ) = 0;
• Dacă funcția nu se anulează pe un interval, atunci are un semn constant pe acel interval,
astfel realizându -se tabelul de semn;
• Se alege o valoare 𝑦𝑦0 pentru calculul f(𝑦𝑦0) și semnul lui f( 𝑦𝑦0) va fi pe tot intervalul.
Exemplu : Să rezolvăm inecuația 3x− 2∙ 3x-1≥ 2x+1– 3 ∙ 2x-1 .
Soluție : 3x-1 (3− 2) ≥ 2x-1 (4 – 3) , atunci 3x-1 ≥ 2x-1 .Dacă �3
2�𝑥𝑥−1
≥1 = �32�0
,adică x –1 ≥ 0,
rezultă că x ≥ 1, adică x ∈ [1,∞).
Exerciții : 1. Rezolvați inecuațiile:
a) 3∙4𝑥𝑥+3−12≥7√10∙4𝑥𝑥+1+ 3∙23𝑥𝑥+43+11√3∙8𝑥𝑥+2+ 5∙2𝑥𝑥+1+ 35
Rezolvare: Inecuația este echivalentă cu 48∙4𝑥𝑥+1−12≥7√10∙4𝑥𝑥+1+ 6∙2𝑥𝑥+13+
11√24∙8𝑥𝑥+1+ 5∙2𝑥𝑥+1+ 35. Pentru 𝑥𝑥=−1 se realizeză egalitatea și prin împărțirea cu
4𝑥𝑥+1a ambilor termeni se obține 48 ≥ 𝑓𝑓(𝑥𝑥), cu 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) o funcție strict descrescătoare, deci este
o funcție injectivă. Dacă 𝑓𝑓 (−1)=48, atunci relația devine 𝑓𝑓(−1)≥ 𝑓𝑓(𝑥𝑥), adică 𝑥𝑥 ≥ − 1,
rezultă că 𝑥𝑥 ∈ [−1;∞).
b) 13(32𝑙𝑙𝑔𝑔 𝑥𝑥+ 22𝑙𝑙𝑔𝑔 𝑥𝑥≤(3∙3𝑙𝑙𝑔𝑔 𝑥𝑥+ 2∙2𝑙𝑙𝑔𝑔 𝑥𝑥)2);
Rezolvare: Notăm 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥=𝑦𝑦 și inegalitatea este echivalentă cu

25
13(32𝑦𝑦+ 22𝑦𝑦≤(3∙3𝑦𝑦+ 2∙2𝑦𝑦)2). Se aplică teorema lui Cauchy- Buniakovski – Schwarz și
se obține (3∙3𝑦𝑦+ 2∙2𝑦𝑦)2≤(32+ 22)(32𝑦𝑦+ 22𝑦𝑦)=13(32𝑦𝑦+ 22𝑦𝑦), rezultă că 3𝑦𝑦
3=2𝑦𝑦
2,
unde 3𝑦𝑦−1= 2𝑦𝑦−1 cu 𝑦𝑦 = 1 și 𝑥𝑥= 1.
c) 𝑥𝑥log𝑎𝑎𝑥𝑥+1>𝑑𝑑2,𝑑𝑑> 0,𝑑𝑑≠0.
Rezolvare: Se consideră cazurile 𝑑𝑑> 1 și 0 <𝑑𝑑< 1. Dacă 𝑑𝑑> 1, a tunci prin logaritmare în
baza a se obține log𝑎𝑎𝑥𝑥[1 + log𝑎𝑎𝑥𝑥]> 2 + log𝑎𝑎𝑥𝑥, adică log23𝑥𝑥 − 2 > 0 , rezultă că log𝑎𝑎𝑥𝑥<
−√2 sau log𝑎𝑎𝑥𝑥>√2. Se obține 𝑥𝑥 ∈ �0; 𝑑𝑑−√2�∪�𝑑𝑑√2; ∞� . Dacă 0 < 𝑑𝑑< 1, rezultă că
−√2<log𝑎𝑎𝑥𝑥>√2 , adică 𝑥𝑥 ∈ � 𝑑𝑑√2;𝑑𝑑−√2�.
2. Rezolvați inecuațiile:
a) 1
3𝑎𝑎+ 5 < 1
3𝑎𝑎+1− 1
Rezolvare: Se stabilește condiția 3𝑎𝑎+1− 1 ≠ 0, adică a ≠ − 1 și se aduce inecuația la forma f
(a) = 1
3𝑎𝑎+ 5 − 1
3𝑎𝑎+1− 1 < 0
Se efectuează ecuația f (a) = 0 și se obține soluția a = 1. Tabelul de semn al funcției este

a −∞ − 1 1 +∞
f (a) + + + + + + + + 1 – – – – – – – 0 + + + + + + + + +

b) 2𝑎𝑎 ≥ 11 – a
Rezolvare: Se aducem inecuația la forma f (a) = 2𝑎𝑎 + a – 11 ≥ 0. Funcția fiind suma două
funcții strict crescătoare, f este strict crescătoare pe ℝ
(a → 2𝑎𝑎 ; a → a – 11)
Ecuația f (a) = 0 are soluția a = 3, care evident că este unică.
Tabelul de semn al funcției este
a −∞ 3 +∞
f (a) – – – – – – – – – – 0 + + + + + + + + + + +

Deci f (a) = 0, adică a ∈ [3, ∞ )
Observație: Din f (a) ≥ 0 = f (3) și faptul că f este strict crescătoare se obține soluția
inecuației a ≥ 3.

c) Se analizează inecuația exponențială după valorile parametrului real b: 4𝑥𝑥 – b ∙ 2𝑥𝑥 + 3 –
b ≤ 0
Rezolvare: Se face n otația 2𝑥𝑥 = t > 0 și inecuația devine 𝑡𝑡𝑥𝑥 – b ∙ 𝑡𝑡 + 3 – b ≤ 0.

26
Cel puțin o rădăcină reală a ecuației 𝑡𝑡𝑥𝑥 – b ∙ 𝑡𝑡 + 3 – b = 0 trebuie să fie strict pozitivă,
pentru ca această inecuație să aibă soluție.
Discu ție pentru cazurile : a) O rădăcină a ecuației este strict pozitivă, P < 0. Ceea ce
rezultă că b ∈ (3, ∞ ). Rădăcina pozitivă este 𝑡𝑡1 = 𝑏𝑏+ √𝑏𝑏2+ 4𝑏𝑏 − 12
2. Din 2𝑥𝑥 <𝑡𝑡1 rezultă x <
log2𝑡𝑡1.
b) S trict pozitive sunt ambele rădăcini ( ∆ ≥ 0, S > 0, P > 0). Se o bține b ∈ [ 2, 3) , ceea
ce rezultă soluțiile x ∈ [log2𝑡𝑡1 , log2𝑡𝑡2].

IV. ECUAȚII ȘI INECUAȚII LOGARITMICE
IV.1. Ecuați i logaritmic e
Definiție : Ecuația în care necunoscuta x figurează în expresii ce apar ca argumente ale
logaritmilor sau ca baze ale acestora se numește ecuația logaritmică .
Observații: 1) A rezolva o ecuație înseamnă a- i determina soluțiile ; 2) Dacă mulțimile de
soluții coincid, atunci ecuațiile logaritmice sunt echivalente
3) În rezolvarea ecuațiilor logaritmice se folosesc următoarele formule:
a) lg[f(x) ‧g(x)] = lg f(x) + lgg(x) ; unde f (x), g(x) > 0;

lg[f(x)‧ g(x)] = lg [−𝑓𝑓(𝑥𝑥)] +[ lg−𝑙𝑙(𝑥𝑥)]
; unde 𝑓𝑓(𝑥𝑥),𝑙𝑙(𝑥𝑥)
< 0;
b) lg�𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑔𝑔(𝑥𝑥)� = lg[𝑓𝑓(𝑥𝑥)] − [ lg𝑙𝑙(𝑥𝑥)] ; dacă 𝑓𝑓(𝑥𝑥),𝑙𝑙(𝑥𝑥) > 0;
lg�𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑔𝑔(𝑥𝑥)� = lg [−𝑓𝑓(𝑥𝑥)] − lg[−𝑙𝑙(𝑥𝑥)] ; dacă 𝑓𝑓(𝑥𝑥),𝑙𝑙(𝑥𝑥) < 0.
c) lg𝑓𝑓2(𝑥𝑥) = 2lg𝑓𝑓(𝑥𝑥), dacă 𝑓𝑓(𝑥𝑥)> 0;
lg𝑓𝑓2(𝑥𝑥) = 2lg [−𝑓𝑓(𝑥𝑥)] ; dacă 𝑓𝑓(𝑥𝑥)< 0.
Vom ilustra ecuațiile logaritmice prin c âteva tipuri :
1.
Ecuații logaritmice de form a 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑓𝑓(𝑥𝑥) = b ; b ∈ ℝ, unde 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) > 0 ; 𝑙𝑙(𝑥𝑥) > 0 ;
𝑙𝑙(𝑥𝑥)
≠ 1, atunci 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = [ g(x) ]b.
E
xemplu: Să r ezolvăm ecuația: 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡+1(𝑡𝑡2− 3𝑡𝑡+ 1) = 1.
Soluție : Condițiile de existență a logaritmului: t + 1 > 0, t + 1 ≠ 1; t2 – 3t + 1 > 0.
t2 – 3t + 1 = t + 1. Se rezolvă ecuațiile se obține valorile 𝑡𝑡1 = 0 și 𝑡𝑡 2 = 4
Pentru 𝑡𝑡1 = 0 nu se verifică ecuația 𝑡𝑡1 + 1 ≠ 1.
Pentru 𝑡𝑡2 = 4 se verifică toate ecuațiile, ceea ce rezultă că 𝑡𝑡2 = 4 este soluția ecuației date. □

27
2. Ecuații logaritmice ce conțin logaritmi în aceeași bază 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑓𝑓1(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑓𝑓2(𝑥𝑥),
unde 𝑓𝑓1(𝑥𝑥) > 0, 𝑓𝑓2(𝑥𝑥) > 0, g(x) > 0, g(x) ≠ 1, atunci 𝑓𝑓1(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓2(𝑥𝑥).
Observații: 1) Se rezolvă ecuația 𝑓𝑓1(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓2(𝑥𝑥) și dintre valorile conținute, rămân soluțiile
care verifică și celelalte condiții;
2) Se pun condiții de existență, dacă ecuația este mai complexă și apoi se folosesc
proprietățile logaritmilor: a) log𝑏𝑏𝐵𝐵 − log𝑏𝑏𝐶𝐶 = log𝑏𝑏(𝐵𝐵
𝐶𝐶);
b) log 𝑏𝑏𝐵𝐵+ log𝑏𝑏𝐶𝐶 = = log 𝑏𝑏(𝐵𝐵 ∙𝐶𝐶) ;
c) mlog𝑏𝑏𝐵𝐵 = log𝑏𝑏𝐵𝐵𝑚𝑚.
E
xemplu : 1. Să rezolvăm ecuațiile :a) 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 (𝑎𝑎+4 )(𝑑𝑑2− 1) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 (𝑎𝑎+4 )(5− 𝑑𝑑) .
b)(
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2𝑦𝑦)2– 3 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 2𝑦𝑦 – 4 = 0.
Soluție : a) Condițiile de existență a logaritmului: 5 − 𝑑𝑑 > 0 ; 𝑑𝑑+ 4 > 0 ; a2 – 1 > 0 ; 𝑑𝑑+ 4
≠ 1. Din egaliatatea argumenților obținem 5 – a = a2 – 1. Se rezolvă ecuațiilor și se obțin
soluțiile 𝑑𝑑1 = − 3 și 𝑑𝑑2 = 2. Se verifică și celelalte relații pentru a 2 = 2. Atunci a = 2 este
soluția ecuației.
b) Condiție de existență a logaritmului y > 0 și notăm ( log2𝑦𝑦)2= z, obținem 𝑧𝑧2– 3z – 4 = 0
∆ = 25 cu soluțiile 𝑦𝑦1,2 = {−1, 4} .
Dacă log2𝑦𝑦 = − 1 rezultă y = 1
2 > 0 și log2𝑦𝑦 = 4 rezultă y = 16 > 0.□
3. Ecuații logaritmice ce conțin logaritmi în baze diferite
Observație: Se pun condițiile de existență, se aduc logaritmii în aceeași bază folosind formula
log𝑏𝑏𝑥𝑥 = log𝑎𝑎𝑥𝑥
log𝑎𝑎𝑏𝑏 ; unde a, b > 0 și diferiți de 1.
Exemplu: Să r ezolvăm ecuația: 2 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2𝑑𝑑 + 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙√2𝑑𝑑 + 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 1
2𝑑𝑑 = 9.
Soluție : Se aduc la aceeași bază logaritmii: log√2𝑑𝑑 = log2𝑎𝑎
log2√2 = 2log2𝑑𝑑, r ezultă că
log12𝑑𝑑 = log2𝑎𝑎
log22−1 = − log2𝑑𝑑, a dică 2log2𝑑𝑑 + 2log2𝑑𝑑 − log2𝑑𝑑 = 9. Obținem
3 log2𝑥𝑥 = 9 , adică log2𝑥𝑥= 3, ceea ce rezultă că x = 23 = 8 > 0. □
4. Ecuații exponențial e-logaritmice
Exemplu: 1.Să rezolvăm relația : 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2(9− 2𝑎𝑎) = 3 – a.
Soluție : Se pun condițiile: 9 – 2a > 0 și obținem 9 – 2a = 23 – a . Se obțin soluțiile 𝑑𝑑1 = 0 și
𝑑𝑑2= 3 care verifică inegalitatea, atunci ambele valori sunt soluțiile ecuației date. □

28
5. Ecuații logaritmice cu soluție unică:

Pentru o ecuație de forma f(x) = a, a ∈ ℝ, constantă și au rădăcină 𝑑𝑑0 ∈ ℝ se folosește
monotonia funcției (f este strict monotonă injectivă), adica 𝑥𝑥0 = unică.
O
altă metodă este să folosească inegalitățile clasice (în cazul în care avem egalități).
A
lt procedeu este să demonstrăm că cele două membre sunt diferite după înlocuirea unui 𝑑𝑑0.

Exemplu: Arătăm că ecuația următoare are soluție unică: a + a2 + 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎2 = 7.
Soluție : Pentru a > 0, considarăm funcția f : (0, ∞) → ℝ ; f(x) = a + a2 + log𝑎𝑎2 .
Funcția f este crescătoare, deoarece este sumă de funcții crescătoare. Se obține x = 4 soluție
unică. □
Exerciții :
1. Rezolvați ecuațiile : a) 8log3 ) 27(log)113(log5 5 5 + = − + − x x ; b) ; 5,2 log2 log2− = +xx
2. Să se rezolve ecuațiile următoare:
𝑑𝑑)𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑙𝑙23𝑥𝑥 = 2x + 1;
𝑏𝑏)𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2𝑥𝑥−2
𝑥𝑥−1 = 1 + 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 23𝑥𝑥−73𝑥𝑥−1;
c) 2(𝑙𝑙𝑙𝑙𝑔𝑔2𝑥𝑥)2 + 3 ∙ 𝑥𝑥𝑙𝑙𝑙𝑙𝑔𝑔2𝑥𝑥 = 64;
d) 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙3(𝑦𝑦− 1) + 2
log3(𝑦𝑦−1 ) = 3.

3. Să se rezolve: 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙3�𝑡𝑡+ 2 + 2√𝑡𝑡+ 1� + 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙3�1 +√𝑡𝑡+ 1� = 3.
Rezolvare : 1. a)

> −> −
0 270 11 3
xx dacă și numai dacă

>>
27311
xx⇔ 27>x
8
5125
5 5 5 log log )27(log)11 3(log + = − + − x x 1000log))27 )(113((log,5 5 = − − x x, rezultă că
1000 297 92 32= + − x x ; ;0 703 92 32= − − x x ∆ = 130; 𝑥𝑥1 =317; 𝑥𝑥2 =37, r ezult ă x=37.
b) ; 5,2 log2 log2− = +xx pentru x > 0, x ≠ 1.
.01 log5,2 log , 0 5,2 loglog1
22
2 2
2= + + = + + x x xxNotăm ; log2 tx= obținem:

29
21,2 25 ,2 ; 01 5 ,22 12− = − = = ∆ = + +t t t t . Înlocuind valorile lui t și obținem
;22;21log;41; 2 log2 2 = − = = − = x x x x rezult ă S={22,41}.
2. a) 3𝑥𝑥 = 22𝑥𝑥+1, rezultă �3
4�𝑥𝑥
= 2 rezultă x = log3
42.
b) Condiția de existență �𝑥𝑥−2
𝑥𝑥−1 > 0
3𝑥𝑥−7
3𝑥𝑥−1 > 0 și 3×2 – 13x + 12 = 0 cu soluțiile 𝑥𝑥1 = 3 și 𝑥𝑥2= 43 .
c) Condiția de existență x > 0 și obținem 2(log2𝑥𝑥)log2𝑥𝑥 + 3 ∙ 𝑥𝑥log2𝑥𝑥 = 64, adică 𝑥𝑥log2𝑥𝑥 = 16,
rezultă soluțiile 𝑥𝑥1 = 4 și 𝑥𝑥 2 = 14.
d) Condiții de rezolvare �𝑦𝑦− 1 > 0
log3(𝑦𝑦− 1) ≠0 .Notăm log3(𝑦𝑦− 1) = z, obținem z + 2
𝑧𝑧 − 3 = 0,
rezultă 𝑧𝑧1= 0 și 𝑧𝑧2 = −1. Dacă log3(𝑦𝑦− 1) = −2, rezultă y = 10
9 ; log3(𝑦𝑦− 1) = −1, rezultă
y = 43 .
3. Se observă că 𝑡𝑡+ 2 + 2√𝑡𝑡+ 1 = (1 +√𝑡𝑡+ 1)2 ,iar condițiile de existență pentru logaritmi
sunt: 𝑡𝑡+ 2 + 2√𝑡𝑡+ 1 > 0 și 1 +√𝑡𝑡+ 1 > 0. Ecuația devine
log3�1 +√𝑡𝑡+ 1�2 + log3�1 +√𝑡𝑡+ 1� = 3, de unde rezultă 3log 3�1 +√𝑡𝑡+ 1� = 3,
1 +√𝑡𝑡+ 1 = 3 , rezultă că √𝑡𝑡+ 1 = 2. Dacă t + 1 ≥ 0 rezultă că t = 3 ∈ (− 1, ∞ ). □

IV.2. Inecuații logaritmice
Funcția logaritmică de bază b > 0, b ≠ 1, f : (0, ∞) → ℝ, f(x) = log𝑏𝑏𝑥𝑥este strict
crescătoare,dacă baza este supraunitară și este strict descrescătoare, dacă baza este subunitară.
Observații: 1) Dacă două inecuații logaritmice au aceleași mulțimi de soluții, atunci ele
sunt echivalente.
1. Pentru rezolvarea inecuațiilor, se folosesc următoarele afirmații :
�log𝑏𝑏𝑓𝑓(𝑥𝑥)> 0
b > 1 dacă și numai dacă �f(x)> 1
b > 1

30
�log𝑏𝑏𝑓𝑓(𝑥𝑥)> 0
0 < b < 1 dacă și numai dacă � 0 <𝑓𝑓(𝑥𝑥)< 1
0 < b < 1
�log𝑏𝑏𝑓𝑓(𝑥𝑥)< 0
b > 1 dacă și numai dacă �0 <𝑓𝑓(𝑥𝑥)< 1
b > 1
�log𝑏𝑏𝑓𝑓(𝑥𝑥)< 0
0 < b < 1 dacă și numai dacă �f(x) > 1
0 < b < 1 .
2. În cazul inecuațiilor g(x) ≥ 0 sau g(x) ≤ 0, se aplică următoarea tehnică:
• Rezolvarea ecuației g (x) = 0;
• Dacă funcția nu se anulează pe un interval, atunci are un semn constant pe acel interval,
astfel realizându -se tabelul de semn;
• Se alege o valoare 𝑦𝑦0 pentru calculul g (𝑦𝑦0) și semnul lui g (𝑦𝑦0) va fi pe tot intervalul.
Exemplu : Să rezolvăm inecuația 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2(1−2𝑥𝑥)≥𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2(3𝑥𝑥 − 1).
S
oluție : D𝑑𝑑𝑑𝑑ă
1−2𝑥𝑥>
0 și 3𝑥𝑥−1 > 0, rezultă că x ∈ �1
3 ,12�. Fie f : �13 ,12�→ ℝ ;
f (x) = log 2(1−2𝑥𝑥)−log2(3𝑥𝑥 − 1). Ecuația 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0, are soluția x = 25.
Tabelul de semn al funcției:
x 1
3 25 12
f(x) + 0 −
𝑓𝑓(𝑥𝑥)≥ 0, dacă x ∈ �1
3 ,25�.
Exerciții : 1. Să se rezolve inecuația : a)𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎(1 +𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑥𝑥)≥𝑑𝑑(1−𝑥𝑥) 𝑑𝑑≥0,𝑑𝑑≠1.
Rezolvare: Dacă 𝑑𝑑> 1 , rezultă că 𝑥𝑥>1
𝑎𝑎, adică 𝑥𝑥 ∈ �1
𝑎𝑎;∞�, iar dacă 0 <𝑑𝑑< 1, atunci 0 <
𝑑𝑑𝑥𝑥< 1, rezultă că 𝑥𝑥 ∈ �0;1
𝑎𝑎�. Funcția 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=log𝑎𝑎(1 + log𝑎𝑎𝑥𝑥) +𝑑𝑑(1−𝑥𝑥) est e strict
crescătoare în ambele cazuri și ecuația 𝑓𝑓(𝑥𝑥)= 0 are soluție unică 𝑥𝑥= 1care se găsește în
amândouă domenii de definiție. Inecuația de mai sus este echivalentă cu 𝑓𝑓(𝑥𝑥)≥ 𝑓𝑓(1), rezultă
că 𝑥𝑥 ≥ 1. Pentru 𝑑𝑑> 1,
rezultă că 𝑥𝑥 ∈ [1;∞), iar dacă 0 <𝑑𝑑< 1, r
ezultă că 𝑥𝑥 ∈ �1;1
𝑎𝑎�.
2. Să se rezolve inecuația : 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑥𝑥𝑥𝑥 −𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎2𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎3𝑥𝑥𝑥𝑥> 0.

31
Rezolvare : Trecem la baza a și notăm log𝑎𝑎𝑥𝑥=𝑦𝑦, rezultă că 𝑦𝑦�𝑦𝑦2+4𝑦𝑦+5�
(𝑦𝑦+1 )(𝑦𝑦+2 )(𝑦𝑦+3 )≥0 și 𝑦𝑦 ∈
(−∞;−3)∪(−2;−1)∪[0;∞). Dacă log𝑎𝑎𝑥𝑥<log𝑎𝑎𝑑𝑑−3 sau log𝑎𝑎𝑑𝑑−2<log𝑎𝑎𝑥𝑥<
log𝑎𝑎𝑑𝑑−1 sau log𝑎𝑎𝑥𝑥 ≥ log𝑎𝑎1, rezultă că 𝑥𝑥 ∈ (0;𝑑𝑑−3)∪(𝑑𝑑−2;𝑑𝑑−1)∪[1;∞), iar pentru 0 <
𝑑𝑑< 1,
rezultă că 𝑥𝑥 ∈ (𝑑𝑑−3;∞)∪(𝑑𝑑−1;𝑑𝑑−2)∪(0; 1).
3. Rezolvați inecuația: log√3(2−𝑦𝑦) + 4log 9(6−𝑦𝑦) > 2
Rezolvare :Inecuația este echivalentă cu 2 log3(2−𝑦𝑦) + 2log3(6−𝑦𝑦) > 2, rezultă că
log3(2−𝑦𝑦) (6−𝑦𝑦) = 1, dacă și numai dacă (2−𝑦𝑦) (6−𝑦𝑦) = 3, ceea ce rezultă că y = 4
− √7. Pentru y ∈ (−∞ , 2) inecuația se mai scrie: log3(2−𝑦𝑦) (6−𝑦𝑦) > log33, rezultă că
𝑦𝑦2 – 8y + 9 > 0. Rezultă că x ∈ (−∞,− 4 − √7) ∪ (4 + √7) ∩ ( −∞, 2), rezultă că
y ∈ (−∞, 4 − √7 ).

32
B. SEGMENTUL METODIC
I. PRINCIPIILE DIDACTICE
I.1.Didactica – noțiuni conceptuale
Ca ramură a pedagogiei , didactica studiază procesului de învățământ și constituie
principala modalitate de realizare a instruirii și a educației. Originea teremenului „didactică”
este limba greacă, ,, didaskein” însemnând ,, a învăța”, ,, didactikos – ,,instrucție, instruire”,
,,didasko” – ,,învățare, învățământ”, iar ,,didactike” se referă la ,, arta învățării”.
Jan Amos Comenius (1592 – 1670) a consacrat conceptul de didactică, în lucrarea sa
„Didactica Magna”, publicată în anul 1657. Prin prisma principiilor inovatoare propuse,
Comenius a generat modificări revoluționare în teoria și practica învățământului, astfel că el
este considerat „părintele didacticii moderne.”În opinia lui, , învățământul este principala formă de realizare a educației, iar această secretul „artei de a- i învăța pe toți de toate” este
introducerea metodică, sistematică, după anumite principii, a tinerilor în tainele cunoașterii.
Comenius recomandă ca însușirea cunoștințelor să se facă, gradual, pas cu pas, printr -o
continuă extindere a volumului de i nformație. Pornind de la teoria cercurilor concentric, a
elaborat un plan de învățământ și anumite programe școlare. Printre continuatorii ideilor pedagogice ale lui Comenius, se numără și Johann
Friedrich Herbart (1776 – 1841), fondatorul pedagogiei, ca disciplină științifică. El elaborează
o teorie a interesului, ca verigă esențială între idee și acțiune. După umila sa părerer, aspect cel mai important al educației este învățământul, astfel că pedagogul a identificat un algoritm procedural car e să favorizeze procesul de predare și asimilare a cunoștințelor.
În zilele noastre, conceptului de ,,didactică” s -a lărgit și s -au fixat două paliere ale
acesteia: cea tradițională/ clasică și cea modern/ psihologică. În vreme ce didactica clasică studiază esența procesului de învățământ, cu scopul și sarcinile ei, conținutul învățământului, principiile, metodele și formele organizatorice ale activității instructiv -educative, precum și
organizarea învățământului (clasa, școala și sistemul educațional ), cadrul didactic, didactica
modernă vizează, pe lângă întreaga sferă de cuprindere a didacticii tradiționale și didactica adulților, instruire și autoinstruire asistată de calculator, programarea pedagogică.
În concluzie, didactica, ca ramură a științelor educației, studiază patru mari domenii:
învățământul în ansamblul său, pe toate treptele de școlarizare și autoinstruirea, procesul de

33
învățământ din perspectiva pedagogică a predării și învățării obiectelor de studiu, didactica
adulților și au toinstruirea.
I.2. Principiile didacticii în matematică:
Definiție, concept:
Principiile didacticii, denumite și principiile procesului de învățământ sunt norme
generale care stau la baza proiectării, organizării și desfășurării activităților de instructive –
educative, în vederea formării optime a competențelor educaționale.
Cel mai important principiu este cel al participării conștiente și active a elevilor în
activitatea de predare- învățare -evaluare. Acesta pornește de la premiza că elevul trebuie
considerat un subiect al învățării, implicat și cointeresat activ în a cunoaște și a întreprinde. Cunoașterea presupune mai multe aspect, ea fiind de mai multe tipuri:
• mecanică ( elevul receptează, reține și folosește informația în mod b rut, ca în cazul
unei reguli, de exemplu)
• inductivă –(utilizează regula de mai multe ori și constată că aceasta funcționează
corect, inclusiv în contexte mult modificate)
• rațională – (înțelege logic mecanismul și poate să aplice regula cu oarecare variații)
• integrativă –( încadrează regula într -un sistem și poate să o folosească adaptând -o
creativ).
Învățarea conștientă are la bază structura cognitivă preexistentă a formabilului și natura
materialului de învățat și, în condițiile în care s e urmărește descurajarea însușirii mecanice a
cunoștințelor, se recomandă profesorului să parcurgă următoarele etape: atenta reactualizare a achizițiilor anterioare ale elevilor; sublinierea ideii că aceste noțiunile nou însușite pot fi completate ulterior, dacă se impune, prezentarea noilor cunoștințe gradual, vizând itemi itemi ușor de asimilat succesiv, dar cu semnificația lor logică; asigurarea că fiecare secvență este urmărită atent și conștient, prin realizarae reconexării logice a secvențelor; asigurarea feed –
backului pe tot parcursul învățării, prin exerciții sau întrebări; fixarea noilor cunoștințe în structura cognitivă a elevului.
Un alt principiu esențial vizează caracterului intuitiv al învățământului, pornind de
la sensul pe care îl are intuiția în domeniul pedagogiei: cunoaștere directă, prin intermediul
analizatorilor, al obiectelor și al fenomenelor. Formabilii trebuie să treacă prin etapa operării

34
directe cu obiecte sau cu imagini ale acestora, ca să ajungă la nivel ul gândirii abstracte. De
exemplu, când se predă conul, se poate face trimitere la forma pălăriilor chinezești. Elevii își
pot dezvolta reprezentarea spațială, imaginația, încercând ca, din anumite desfășurări plane, să vadă dacă se pot reconstitui piramide și prisme. În enunțarea definițiilor sau teoremelor, putem folosi exemple și reprezentări intuitive, iar în demonstrații și în rezolvarea problemelor, se pot face anumite analogii .
Un aspect important al principiului în discuție este analiza rel ației dintre general și
particular. Prin anumite particularizări putem intui cerința unei probleme , de asemenea, unele
probleme admit extinderi. În legătură cu principiul legării teoriei de practică , comparativ cu alte științe,
legăturile matematicii cu realitatea nu sunt atât de ușor de remarcat. De aceea, ca urmare a legăturii matematicii cu alte științe, anumite domenii ale matematicii au apărut din necesitatea de a lămuri unele situații ivite în cadrul altor discipline. Așadar, activitatea matematicii conduce la crearea unor universuri care aparent nu au legătură cu lumea reală; ele trebuie totuși cercetate, chiar dacă în acel moment sunt lipsite de semnificaț ie. De exemplu, când
elevii încep să studieze „rapoarte și proporții”, este categoric că tema, care presupune
numeroase aplicații practice, se va lega de exercițiile cu conținut economic.
Principiul învățământului sistematic și continuu este realizat de planurile de
învățământ, la nivelul ansamblului mai multor discipline; de programa analitică, pentru
structurarea disciplinei și a capitolelor acesteia; de planurile de lecții realizate de fiecare profesor. Cunoștințele noi trebuie să aibă legătură cu ceea ce s- a însușit până la momentul
respectiv (asigurându -se continuitatea în vățării). Având în vedere că acestea se integrează
treptat, în sisteme din ce în ce mai complexe, se ajunge la sistematizare. Sistematizarea în spirală este recomandată în predarea matematicii. Cunoștințele de algebră și de geometrie dobândite în primele c lase asigură formarea unei structuri cognitive operaționale și a unei baze
acceptabile de modelare intuitivă.
Aplicându- se principiul însușirii temeinice a cunoștințelor , o învățare temeinică
înseamnă o învățare conștientă și activă, obținută prin metode precum: problematizarea, învățarea prin descoperire sau rezolvarea de probleme, în urma aplicării cărora elevul să își fixeze și să poată utiliza oricând, în mod creativ cun oștințele obținute atât în cadrul învățării
formale, cât mai ales în activitatea practică de zi cu zi.

35
Condițiile unei însușiri temeinice a cunoștințelor, priceperilor și a deprinderilor sunt
dezvoltarea capacității de memorare a elevilor, caz în care rol ul profesorului este esențial
deoarece un conținut trebuie prezentat de la început într -un mod cât mai clar, obiectiv, simplu
și concis fără a se neglija metoda intuitivă, utilizându -se exemple relevante, făcându -se apel la
diferite forme de memorare (vizuală, auditivă, motrică, simbolică).
Un alt principiu demn de amintit este cel al respectării particularităților de vârstă și
individuale . Astfel, profesorul trebuie să își adapteze strategia didactică la vocabularul și în
formele de gândire specifice elevului : până la 6 -7 ani domină gândirea în imagini, între 6-7
ani și 11 ani copilul are o gândire concretă, gândirea formală, abstractă începe să se contureze
pe la 10 -11 ani și devine sistematică pe la 14 -15 ani, iar între 14- 15 ani și 18- 19 ani, gândir ea
devine din ce în ce mai independentă și creativă.
De exemplu, noțiunea de ecuație se poate introduce intuitiv (o balanță care își echilibrează brațele în condiții definite), în clasele primare; ca o egalitate valabilă pentru anumite valori date literelor, în gimnaziu; ca un predicat în care apare o singură dată semnul „egal”, în liceu. Principiul accesibilității cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor se ivește ca o
consecință a celui mai sus prezentat și vizează condiția ca materialul expus să poată fi asimilat la vârsta respectivă, pe baza cunoștinŃelor anterioare, în timpul prevăzut, iar
activitățile propuse elevilor să se poată realiza fără a afecta timpul necesar odihnei,
divertismentului sau altor desfășurate de către educabil.
Principiul conexiunii inverse . Pornește de la idea că, pentru a putea controla activitatea
de învăŃare -predare și a o optimiza, cadrul didactic trebuie să evalueze. Evaluarea se poate
realize astfel: stimulându- se autoevaluare, verificându- se permanent tema și valorificându -se
„greșelile.”
Respectându -se principiul caracterului științific al învățământului matematic , se
asigură, în primul rând, corectitudinea informațiilor matematice ce oferite de manualesau asigurat e de nivelul de rigoare adoptat în predarea matematicii și se urmărește însușirea unui
limbaj științific, cel specific disciplinei.
Principiul motivației optime pornește de la ide ea că acțiunea de învățare școlară
prezintă două aspecte: cel motivațional, dar și aspectul procesual al învățării. ÎnvăȚarea are la bază motive externe, cum ar fi lauda, nota, pedeapsa, cât și motive interioare (enumerate mai

36
sus). Nivelul de motivare este întreținut și de conștiința unui bagaj solid de cunoștințe, de
nevoia de deprinderi de tehnici, de crearea unor situații problemă, de demonstrații.
Caracteristic matematicii este principiul problematizării. Problemele sunt considerate,
în matematica școlară, concretul, astfel că principiul presupune reali zarea unei conexiuni între
teoria matematică și probleme. De obicei, procesul de predare trebuie să înceapă cu crearea
unei situații problematice care să justifice demersul rezolutiv, astfel încât să antreneze și să responsabilizeze elevii.

II. METODE DE ÎNVĂȚĂMÂNT
II.1. Delimit ări conceptuale: metodă, metodă activ- participativă
În actualul sistem ,,metoda de învățământ este înțeleasă ca un anumit mod de a proceda
care tinde să plaseze elevul într -o situație de învățare, mai mult sau mai puțin dirijată care să
se apropie până la identificare cu una de cercetare științifică, de urmărire și descoperire a adevărului și de legare a lui de aspectele practice ale vieții” (M.Ionescu, V .Chiș, 2001, p.126).
În același timp, metodele de învățământ reprezintă una dintre condițiile externe ale
învățării, care determină reușita acesteia și, din această realitate, rezultă trebuința alegerii
înțelepte a metodelor potrivite fiecărei activități didactice. În școala modernă, aspectul de bază
în relație cu care sunt considerate metodele de învățământ se referă la caracterul lor activ, în
sensul că sunt cele capabile să genereze implicarea elevilor în activitate, practictă sau
mentală, să le încu rajeze motivația, aptitudinile cognitive și creatoare. O condiție de apreciere
a eficienței metodelor o reprezintăcapacitățile formative ale acestora, impactul lor asupra formării personalității elevilor.
Tendințele de modernizare și de perfecționare a metodologiei didactice justifică
orientarea spre creșterea caracterului acti v al metodelor de învățământ, aplicarea unor metode
cu un important caracter formativ, în utiliza rea noilor tehnologii instrucționale ( inclusive cele
e-learning), în suprapunere a problematizării asupra fiecărei metode și tehnici de învățare,
astfel încât să se influențeze, într- o proporție impresionantă, dezvoltarea întregului potențial
al elevului .

37
Metodele de învățământ se proiectează și se aplică în strânsă legătură cu diferitele
componente ale procesului de învățământ – obiective, conținuturi, mijloace și forme de
organizare didactică – dar și legătură directă cu gradul și profilul învățământului, cu specificul
disciplinei de învățământ, cu tipul activităților didactice și cu nivelul de pregătire al
educabilului; acestea se gândesc, se împletesc și se folosesc, în funcție de trăsăturile
individuale și de vârstă, de modul de a cționare al factorilor educativ . Secretul calității
pedagogice a metodei didactice constă în re ușita schimbării acesteia dintr -o „cale de
cunoaștere propusă de profesor într -o cale de învățare realizată efectiv de preșcolar, elev,
student, în cadrul instruirii formale și nonformale, cu deschideri spre educația permanentă.”
(apud Cristea, S.,1998, p. 303)
Încercând o clasificare a metodelor și tehnicilor interactive, se constată că se pot
identifica, după principala funcție didactică , metode de preda re-învățare interactivă (metoda
predării/ învățării reciproce, metoda mozaicului, metoda piramidei, dezbaterea și discuția,
problematizarea, jocul didactic, studiul de caz), metode de fixare și consolidare a
cunoștințelor și de verificare evaluare interactive (cum ar fi tehnica florii de nufăr, cartonașele
luminoase, portofoliul, jurnalul reflexiv, studiul de caz), metode și tehnici de rezolvare de
probleme prin încurajarea creativității- (brainstorming, metoda păl ăriilor gânditoare, interviul,
exercițiul ) și metode de cercetare (ex erimentul, portofoliul)
Acestor categorii li se adaugă și metodele de raționalizare a procesului de învățare –
predare, și anume: metoda activității cu fișele; algoritmizarea; instruirea programată; instruirea
asistată de calculator .
Selectarea unei metod e sau a alt eia se face în funcție de personalitatea cadrului
didactic, de cunoștințe , de tipurile de învățare ale grupului de elevi cu care dascălul
interacțion ează.
Privind d in această perspectivă, metodele pentru o învățare activă se pot clasifica în:
metode care favorizează înțelegerea conceptelor și ideilor, care valorifică experiența proprie a
elevilor și vizează formarea unei atitudini active, precum discuția, dezbaterea, jocul de rol,
brainstorning -ul, m etode care stimulează gândirea și creativitatea, determinându -i pe elevi să
identific e și să dezvolte soluții p entru diferite probleme, să realizeze reflecții critice și judecăți
de valoare, să compare și să analizeze anumite situații date, în această serie înscriindu -se
conversația euristică, studiu de caz, rezolvarea de probleme, jocul didactic, exercițiul,

38
brainstorming, dar și m etode prin care elevii sunt form ați să lucreze eficient cu alții, să-și
dezvolte calitățile de co operare, precum mozaicul, cafeneaua, proiectul în grupuri mici, cubul.

II.2. Funcții și clasificări ale metodelor de învățământ
Metodele de învățământ au diverse caracteristici , printre care se pot aminti
următoarele: reprezintă demersuri teoretico -acționale executive de predare – învățare, care
garantează derularea și finalizarea cu eficiență a procesului de învățământ, îndeplinind funcții normative (de exemplu: cât să predăm și să învățăm, ce, cât, cum și când să evaluăm
cunoștințele ); pentru că au un pronunțat caracter executiv, metodele de învățământ nu sunt doar banale demersuri didactice de aplicare a teoriei pedagogice teoretice, ci acestea conțin și
aplică elemente pedagogice teoretice, care asigură fundamentu l științific al acțiunilor de
predare – învățare.
Metoda are un caracter multifunctional, având în vedere că aceasta poate participa
deopotrivă la atingerea mai multor obiective instructiv educative. I. Cerghit (apud I. Cerghit,
2001, p.93). inventariază următoarele funcții ale metodelor, printre care cea cognitivă, cea
formativ -educativă, cea motivațională, cea instrumental, dar și cea funcția normativă (de
optimizare) .
Din multitudinea de clasificări ale metodelor de învățământ prezente în literatura de
specializare, am menționat doar pe cele prof. univ. dr. Ioan Cerghit, numit principalul izvor al
învățării, distingând tre i mari categorii, fiecare incluzând la rândul lor mai multe metode,
astfel:

I. Metode de comunicare și dobândire a valorilor social – culturale;
 Metode explozitive: explicația, prelegerea, demonstrația teoretică etc.
 Metode interogative: discuția, dezbaterea, conversația euristică, brainstorming -ul
etc.
 Metode de instruire prin problematizare: rezolvarea de situații problemă etc.
 Metode de comunicare scrisă: analiza de text, documentarea etc.
 Metode de comunicare oral – vizuală: vizionarea de filme etc.
 Metode de comunicare interioară: experimentul mintal etc.
II. Metode de explorare sistematică a realității obiective;
 Metode de explorare directă a realității: observația, studiul de caz etc.

39
 Metode de explorare indirectă a realității: demonstra ția, modelarea etc.
III. Metode fundamentate pe acțiune.
 Metode de acțiune efectivă, reală : exercițiul, elaborarea de proiecte etc.
 Metode de acțiune simulară sau fictivă: jocul didactic etc.
 Metode de raționalizare: algoritmul, instruire asistată de calculator etc.

II.3. Metode activ -participative versus metode tradiționale – avantaje și dezavantaje
Metodele de învățământ tradițional vizea ză, în principiu, căile de transmitere a
conținuturilor. Din acest motiv, dacă folosirea lor nu este adecvată obiectivelor fixate și
conținuturilor impuse, există riscul ca , deși acestea ar putea fi pertinente și relevante, în
anumite contexte, , obiectivele să nu fie atinse , iar conținuturile să nu fie bine transmise.
Atuurile metodelor tradiționale ar fi acelea că fac posibilă transmiterea unui volum mare
de cunoștințe , permit transmiterea unor cunoștințe cu grad mare de conceptualizare ( de
exemplu, formule, ecuații ce nu pot fi descoperite de elevi prin efort personal, pentru că
acestea trebuie să fie prezentate sistematic și coerent)
Deși se consideră că metodele tradiț ionale, expozitive ori frontale , nu ar mai fi în
conformitate cu noile principii ale participării active și conștiente a elevului, acestea pot
căpăta o valoare deosebită , în condițiile unui auditoriu numeros, sau atunci când este
necesară transmiterea unui
Există și modali tăți prin care metodele tradiționale ( explicația, demonstrația,
conversația) să devină eficiente, atunci când se prezi ntă conținuturile într -un mod care să
sporească gradul de atractivitate pentru respectivele conținuturi, când prezentarea conținutului
îmbracă o formă problematizată, încurajând curiozitatea și amplificând motivația. Se
recomandă prezentarea conținuturilor astfel încât să se sublinie ze trecerea de la o idee la alta,
introducerea în cadrul metodei, pe termen scurt, a altor metode de instruire (descoperire, problematizarea) pentru a activiz a metod a și de a oferi elevilor posibilitatea de a avea o
contribuție, realizarea unor corelații între conținuturile predate și cele însușite de elevi ,
indicarea utilizării conținuturilor, u tilizarea materialelor didactice- atractivitate, reprezen tări
corecte despre conținuturi, sau prin depunerea unor efortur i reale și pertinente d e ameliorare a
feed-back -ului.

40
Metodele activ -participative modifică relațiile dintre actorii actului didactic, în sensul că
atribuțiile și responsabilitatea elevilor cresc în amploare , iar profesorul devine organizatorul
grupului școlar pentru situa ția de învățare creată. În acest context, profesorului îi revine
sarcina să admită că nu este unica sursă de influență educativă, să aibă o atitudine creatoare
față de o metodă nouă , să admită că circulația are dublu sens , între cadru didactic și elevi .

II.4. Metode de învățământ specifice activităților matematice
Printre metodele activ -participative folosite în predarea matematicii, se numără : metoda
„ciorchinelui ”, metoda „schimbă perechea”, metoda „cubului”, metoda „turul galeriei”,
metoda „știu/vreau să știu/ am învățat”, metoda „mozaic”, metoda „joc de rol”. La acestea, se
alege exercițiul matematic, conversația euristică, algoritmizarea, învățarea prin descoperire,
demonstrația matematică, rezolvarea de probleme matematice, brainstorming -ul, diagrama
Wenn și lista poate continua, pentru că un cadru didactic creativ poate utiliza orice metodă.
a) Metoda exercițiului : Prin exercițiu se înțelege o acțiune efectuată în mod conștient
si repetat, cu scopul achiziționării unor priceperi, deprinderi și chiar a unor cunostinte noi, pentru dezvolatarea unor aptitudini .
Aplicabilă în aproape toate tipurile de lecții, metoda exercițiul ui generează alte avantaje:
încurajează munca individuală și a discutiile pe marginea asupra diferite lor soluții
identificate, motivează atitudinea critică a elevilor, cu corectarea erorilor și învățarea din propriile greșeli.
Exercițiile se pot clasifica astfel: de recunoaștere a unor noțiuni matematice, aplicative ale unor formule sau algoritmi, de calcul mental, grafice, de favorizarea însușirii de noțiuni noi, de anticipare a noii lecții, exerciții complexe.
b) Demonstrația, produsul matematicii din Grecia antică, se referă la o acțiune, începând
de la anumite propoziții esențiale (axiome sau oricare altă ipoteză precum o teoremă
demonstrată anterior), ajungând la anumite propoziții matematice adevărate. Demonstrațiile
matematice au cunoscut o schimbare prin Euclid , care a in clus metoda axiomelor utilizată și
azi, începând cu termeni nedefiniți și cu axiome considerate ca fiind adevărate, în mod clar și
simț comun – și le -a utilizat cu ajutorul logicii deductive în demostrația teoremelor.

41
Metoda reducerii la absurd ( dovedirea adevărului unei teze prin demonstarea faptului
că acceptarea tezei contradictorii duce la consecințe absurd) este o metodă de demonstrație
matematică.
Cunoștințele însușite prin efort ul propriu se întipărec mult mai bine în memoria elevului,
iar rolul cadrului didactic constă în stabili rea situațiilor de învățare și în a -i îndruma elev i
către rezolvarea situaț iilor create.
c) Conversația euristică se bazează pe învățarea prin descoperire. Formatorul
instruiește elevul prin întrebări, astfel este ajutat să -și adopte propriile cunoștințe și să
propună diverse și inedite soluții de rezolvare a problemei teoretice și practice.
d) Problematizarea reprezintă un mijloc de pregătir prin realizarea unor situații-
problemă, care obligă elevul să folosească, să reorganizeze și să- și completeze unele
cunoștințe anterioare, în vederea rezolvării acestor noi situații, subliniind experiența proprie și
efortu l personal.
e) Brainstorming- ul,se poate folosi în activitatea de compunere de probleme. Se
stabilește să se f ormuleze o problemă, iar pentru enunțul problemei ,apar în mintea copilului
multe idei și mulțim i de operații matematice. Pentru stimularea creativității, se recomandă ca
profesorul să aprecieze efortul fiecărui copil și să accepte orice variantă propusă de elevi.
f) Metoda ciorchinelui este o tehnică care urmărește încurajarea elevilor să gândească
liber și să realizeze asocieri de idei , oferindu- le noi sensuri. P oate fi folosită cu succes atât la
începutul unei lecții pentru reactualizarea cunoștințelor predate anterior, cât și în cazul lecțiilor
de sinteză, de recapitulare, d e sistematizare a cunoștințelor, fiind o variantă mai simplă a
brainstorming -ului.
Etapele metodei:
1) Se scrie pe tablă un cuvânt/ o temă ( care urmează a fi cercetată);
2) Se cerere elevilor să noteze, în jurul temei propuse toate ideile sau
cunoștințele pe care le dețin despre aceasta;
3) Se analizează fiecare idee care se află în jurul temei
4) Se realizează un desen pe baza legăturilor dintre ideile emise.

42
g) O metodă active- participativă care poate fi folosită este cubul , care are la bază
împărțirea clasei de elevi în șase grupe. Se pune în discuție teme de lucru distincte , fiecărei
grupe, cu un grad de dificultate mai mare. Pe fiecare față a cubului apare câ te un verb folosit
la imperativ : „descrie”, „compară”, „explică”, „argumentează”, „analizează” și „aplică”.
j) Algoritmizarea se bazează pe acțiunea de raționalizare a instruirii și promovează o
cale de învățare standardizată, tipică disciplinei în discuție. Funcția specifică metodei
instruirii prin algoritmizare este cea de realizare a învățării prin
decizii prescriptive , înlănțuite logic.
Ea e ste determinată procedural , la nivel de algoritm propus de profesor, pentru a fi preluat
efectiv de clasa de elevi, pentru îndeplinirea obiectivelor concrete fixate.
Scopul pedagogic general al respective metode este acela de orientare valorică a acțiunii
de învățare/autoînvățare raționalizată prin algoritm , pe o linie precisă, valabilă pentru
rezolvarea corectă, imediată, a unei anumite categorii de sarcini didactice .
În realizarea acestei metode de raționalizare a instruirii, sunt valorificate două categorii
de algoritmi didactici : de identificare , elaborați pe baza unei liste care include întrebări
ierarhizate special pentru a permite rezolvarea unei probleme de un anumit ti p.
k) Metoda ,,Știu / Vreau să știu / Am învățat” Această metodă se poate realiza cu
grupuri mici sau cu întreaga clasă, și are la bază reamintirea și actualizarea a ceea ce elevii știu
deja referitor la o anumită temă, după care se formulează întrebări la care se așteaptă aflarea
răspunsului în lecție. La final se verifică ce anume au învățat prin implicarea lor în rezolvarea diferitelor probleme.
Este o metodă de lucru eficace atât în studiul individual, cât și în activitățile didactice
de grup, ducând la organizarea, structurarea și sistematizarea temei, dar și la constituirea rațională a învățării, realizându -se o învățare durabilă.
În încheierea lecției, pentru a se realiza feed -back -ul se evaluează ce au știut la
începutul lecției, ce au vrut să învețe pe parcursul ei și ce au învățat din lecție.
Secvență de acti vitate (,,Știu / Vreau să știu / Am învățat”) :

43
ȘTIU

Definiție Numim funcția
logaritmică, de bază b și argument x,
funcția g: (0, + ∞)→R ,
g(x) = log𝑏𝑏𝑥𝑥, b > 0, b≠1
Proprietatea 1. Inversa funcției
exponențiale reprezintă funcția
logaritmică.
Proprietatea 2 . Pentru funcția g :
(0, ∞) → ℝ, definită prin g(x) =
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑥𝑥, cu b > 0,
b ≠ 1 , avem g(xy) = g(x) + g(y),
(∀) x, y > 0
Proprietatea 3. Pentru funcția g :
(0, ∞) → ℝ, definită prin g(x) =
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑥𝑥, cu b > 0, b ≠ 1, avem
g�𝑥𝑥
𝑦𝑦�= g(x)− g(y)
(∀) x, y > 0
Proprietatea 4. Pentru funcția g :
(0, ∞) → ℝ, definită prin g(x) =
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑥𝑥, cu b > 0, b ≠ 1 , avem g
(xα)= α , (∀) x > 0
Proprietatea 5 . Logaritm din 1
aflat în orice bază este mereu 0,
adică 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏1 = 0.
Proprietatea 6. Pentru funcția g :
(0, ∞) → ℝ, și b > 1, atunci g(x) =
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑥𝑥 este strict crescătoare, iar
dacă 0 < b < 1, atunci g(x) =
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏𝑥𝑥 este strict descrescătoare. VREAU SĂ ȘTIU

1. Determinați a pentru
funcțiile f: (0, + ∞)→R
,f(x) = xalog , dacă:
a) f (2) = 4; b) f(3) =21

2. Reprezentați graficele
funcțiilor f:
+∞,0 ( )→R, definite
prin legile de corespondență:

a) f(x ) =
2
4log x;

b) f(x) = ; log24x

3. Rezolvați grafic ecuațiile:

a)
xx− =5 4 ;

b) xx− =6 2 ;

AM ȊNVĂȚAT
1. Determinați a pentru
funcțiile f: (0, +
∞)→R ,
f(x) = xalog , dacă:
a) 21)3(= f ;
b) f(1 / 25) = – 2.
2. Reprezentați graficele
funcțiilor f:
+∞,0 ( )→R, definite prin
legile de corespondență:
a) f(x) = ; log3 2
2 2x

b) f(x) = ( ). 4 log2x

3. Rezolvați grafic ecuațiile:

a)
x x− =3 log2 ;

b) . 4 log3 x x− =

44

Secvență de activitate ( Brainstorming)
În activitățile de matematică, brainstorming -ul are următoarele etape :
1. S e prezintă grupului de exersare (alcătuit din 2 până la 12 membri) o problemă de
rezolvat
Exemplu : Reprezentați grafic functia f:(1;∞)→ R, f(x)=log 3(x-1) și specificați cel puțin
trei proprietăți ale acesteia.
Metode folosite: brainstorming , munca în grup, explicația ,
Se prezintă grupului două principii :
a) cea care determină calitatea soluțiilor este cantitatea,
b) se face amânat evaluarea soluțiilor , deci în altă etapă decât cea de emitere a lor de
către membrii grupului
Și cele 4 reguli :
a) pe toată durata propunerii soluțiilor se suspendă critica și autocritica,
b) chiar dacă se ajunge la soluții absurd, imaginația să fie liberă,
c) să se prezinte cât mai multe idei,
d) ne putem servi și de ideile altora, pentru formularea propriilor idei.
2. Etapa formulării soluțiilor→ toate soluțiile membrilor grupului sunt notate de către
lider, astfel încât să aibă cunoștințe din ele .
3. Etapa aștept ării→ în timp ce pot fi form ate și comunicate alte idei , este menită și
aranjarea soluțiilor, pe lângă părerea juriului de experți asupra lor.
4. D upă intervalul de amânare este concepută etapa evaluării critice, unde juriul hotărește
calități le ideilor propuse. Vor fi alese ideile care se pot aplica imediat și cele ca re se pot folosi
și în viitor . (Monotonia fu ncției logaritmice)
Proprietatea 7. Funcția
logaritmică este concavă, dacă
b > 1 și convexă, dacă 0 < b < 1.

45
Avantaje: – permite ob ținerea rapidă și ușoară a ideilor noi și a soluțiilor posibile,
-dezvoltă abilitatea de a lucra în echipă

Secvență de activitate- Metoda ciorchinelui
Etape :
– se notează un cuvânt sau o propoziție pe mijlocul paginii ,
– sunt chemați elevii să scrie sintagme sau cuvinte care le vin în minte , în legătură cu
tema propusă,
– noțiunile care se află în centru fac referire la ideile și noțiunile date de elevi,
– fiecare grupă prezintă „ciorchina” proprie, după ce elevii lucrează în grupe,
– se stabilește “ciorchina” pe tablă , îndrumată de professor, după studiul lor.
Elevii dezvolta idei despre tema propusă, folosindu- se de noțiunile create.
Avantaje :
– prezintă legturile între idei și se pot verifica cunoștințele elevilor,
– la evaluarea unei unități de învățare, se folosește cu success,
– participarea tuturor elevilor se încurajează.
Clasa: a X-a
Metode folosite: ciorchinele, munca în grup, explicația ,
Obiective operaționale:
1. să comunice corect utilizând terminologia specifică;
2. să cunoască noțiunile specifice temei propuse,
3. să dobândească încredere în forțele proprii.
Tema de studiu : „Funcția logaritmică. Profesorul formează pe tablă „ciorchinele” , în
baza ideilor expuse de elevi, care sunt sistematizate și structurate cu ajutorul clasei, pornind de
la funcția logaritmică . Se va ajunge la o structură ca în figura următoare:

46
Secvență de activitate- Metoda mozaic
Etape :
1. Se împarte clasa de elevi în patru grupe eterogene cu câte 5 membri. Fiecare mebru
va primi câte o fișă de lucru.
2. Se prezintă subiectul de către profesor, explicând sarcina de lucru.
3. După ce au primit fișele de lucru, elevii se regruprează formând cele 5 grupe.
4. Elevii coopereaza între ei, învață partea de subiect, rezolvă exemplul și se hotărăsc
modului în care vor prezenta noile cunoștințe colegilor din grupul inițial.
5. Revenind în grupul inițial, fiecare membru explică colegilor ce au învățat cât mai bine
și cât mai usor.
Avantaje :
-elevii cap ătă încredere în forțele si cunoștințele lor și se pot obișnui cu ceea ce înseamnă
responsabilități,
-se dezvoltă comunicarea dintre membrii grupului și gândirea logică ,
-implică toți elevii în activitate.
Clasa : a X-a
Metode folosite: mozaic , munca în grup, explicația ,
Obiective operaționale :
1. să comunice corect utilizând terminologia specifică;
2. să-și dezvolte competențele de colaborare între colegi;
3. să-și însușească noțiunile privitoare la cele 5 tipuri de ecuații exponențiale.
Etape :
1. Pregatirea materialului de studiu
Tema de studiu : „Ecuații exponențiale”
Subteme :1. Ecuații exponențiale de forma 𝑏𝑏𝑓𝑓(𝑥𝑥)= c; b > 0, b ≠ 1,

47
2. Ecuația exponențială de tipul 𝑐𝑐f(x) = d,
3. Ecuații exponențiale de forma 𝑐𝑐𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐; c > 0, c ≠ 1,
4. Ecuații care se rezolvă prin intermediul substituției,
5. Ecuații omogene.
Fișele expert cuprind cele 5 subteme și vor fi oferite fiecărui grup.
2. Organizarea colectivului de elevi – 4 grupe a câte 5 elevi .
Fiecare elev primește o fișă numerotată cu 1, 2, 3,4 ,5 și au ca sarcină de studiat
subtema corespunzătoare numărului său ,în mod independent.
3. Faza discuțiilor în grupul de experți. Elevii discută, citesc, dorind să înteleagă cât mai bine, dau exemple să facă întelegerea
noțiunilor mai usoare. Vor folosi cuvinte uzuale, exemple numerice, în teoria predată.
4. Reîntoarcerea în grupurile inițiale.
Elevii se regruprează și prezintă noile conținuturi. În cazul în care apar neclarități ,se
pun întrebări. Profesorul intervine ori de câte ori simte că este nevoie .
Fișă experți 1
Ecuații exponențiale de forma 𝑏𝑏𝑓𝑓(𝑥𝑥)= c; b > 0, b ≠ 1
Observ ații 1. Ecuația nu are soluții , dac ă c ≤ 0,
2. Se logaritmează ecuația, dac ă c > 0,
3. Ecuația este echivalentă cu f(x) = log𝑏𝑏𝑐𝑐 ,dacă se logaritmează în baza b.
Exercițiu : Rezolvați ecuația: 2x-1 = 5.
Rezolvare: Se logaritmează ambii membri în baza 2 și se obține log22𝑥𝑥−1 = log25 , atunci
x -1 = log25, ceea ce rezultă că x = 1 + log25 = log22 + log25 = log210.
Fișă experți 2
Ecuația exponențială de tipul 𝑐𝑐𝑓𝑓(𝑥𝑥) = d, unde c > 0, c ≠ 1 și d > 0, este echivalentă cu
rezolvarea ecuați ei f(x) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑐𝑐𝑑𝑑
Exercițiu : Rezolvați ecuația: 3|𝑥𝑥2− 𝑥𝑥| = 81

48
Rezolvare: Cum log381 = 4, ceea ce rezultă că |𝑥𝑥2− 𝑥𝑥| = 4. Soluțiile lui x sunt: 𝑥𝑥1 = 1+√17
2
și 𝑥𝑥2 = 1−√17
2.
Fișă experți 3
Dacă c > 0 și c ≠ 1, atunci ecuațiile 𝑐𝑐𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑔𝑔(𝑥𝑥) este echivalentă cu f(x) = g(x ).
Observație : Ecuațiile de tipul 𝑐𝑐f(x) = 𝑑𝑑g(x) (c > 0, c ≠ 1, d > 0), se pot înlocui cu
𝑐𝑐f(x) = 𝑐𝑐g(x)∙logcd pentru a obține aceeași bază..
Exercițiu : Rezolvați ecuația : 22𝑥𝑥+1 ∙ 4𝑥𝑥+2
8𝑥𝑥 = 32 .
Rezolvare: 22𝑥𝑥+1 ∙ 22(𝑥𝑥+2 )
23𝑥𝑥 = 25 dacă și numai dacă 2 2x + 1 + 2x + 4 = 23x + 5, ceea ce rezultă că
2x+1+2x+4 −3x = 5, adică x+5=5, deci x= 0.

Fișă experți 4
Dacă ecuația exponențială este de felul F( 𝑐𝑐𝑓𝑓(𝑥𝑥)) = 0, atunci cu ajutorul substituției
t = 𝑐𝑐f(x) se obține F (𝑡𝑡)= 0. Se întâlnesc ecuațiile de tipul A ∙ 𝑐𝑐2f(x) + B ∙ 𝑐𝑐f(x) + C = 0
A ∙ 𝑐𝑐f(x) + C ∙ 𝑎𝑎−f(x) + B = 0 (A, B, C ∈ ℝ). Prin intermediul substituției t = 𝑐𝑐f(x) se obține
ecuația At2 + Bt+C = 0
Exemplu: 4x + 3∙ 4x – 4 = 76
Rezolvare: 4x + 3∙ 4x : 44 = 76. Notăm 4x = t rezultă t + 3t : 16 = 76 rezultă 16t + 3t = 76 ∙ 16
19t = 76 ∙ 16 rezultă t = 64 rezultă 4x = t = 64 rezultă x = 3.

Fișă experți 5
Ecuațiile de tipul: A ∙ 𝑐𝑐2𝑓𝑓(𝑥𝑥) + B ∙ 𝑐𝑐𝑓𝑓(𝑥𝑥)∙ 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥) + C ∙ 𝑑𝑑2(𝑓𝑓(𝑥𝑥)) = 0, unde (A, B, C ∈ ℝ ; A,
B, C ≠0) le numim ecuații omogene. Prin multiplicare cu 1
𝑑𝑑2 f(x), ele ajung la forma ecuați ei
At2 + Bt + C = 0 ; unde t = �𝑅𝑅
𝑑𝑑�𝑓𝑓(𝑥𝑥)
.
Exercițiu : 9 ∙ 22x + 2 – 45 ∙ 6x – 32x + 4 = 0
Rezolvare: 36 ∙ 22x – 45 ∙ 6x – 32x ∙ 81 = 0. Înmulțind cu 1
9 ∙ 32𝑥𝑥, obținem

49
4 ∙ �2
3�2𝑥𝑥
– 5‧ �23�2𝑥𝑥
– 9 = 0. Notăm �23�2𝑥𝑥
= t și obținem ecuația de gradul al doilea
4t2 – 5t – 9 = 0, c u soluțiile 𝑡𝑡1,2= {–1, 9
4}. Cum t > 0, rezultă �23�2𝑥𝑥
= 9
4 , deci x = – 2.

III. PROIECTAREA DE ACTIVITĂȚII DIDACTICE
III.1. Proiect de tehnologie didactică- definiție, structură/etape , clasificare
Proiectul, în literatura de specialitate didactică, este o secvență importantă din cadrul
strategiei didactice gândite de formator. De- a lungul timpului, proiectarea demersului didactic
a fos t denunită plan de lecție, proiect de lecție, proiect de tehnologie didactică. A planifica, a
proiecta un demers didactic presupune anticiparea de către professor a etapelor de învățare și
modalităților de organizare și de desfășurare propriu- zisă a p rocesului instructiv -educativ.
Ȋn proiectarea didactică se pornește de la un conținut fixat prin programele școlare, care
conțin competențele generale ale învățămȃntului, competențele specifice și conținuturi unice,
la nivel național. Se finalizează cu elaborarea unor instrumente de lucru utile cadrului didactic:
planului tematic și a proiectelor de activitate didactică/lecție, pȃnă la secvența elementară de
instruire.
Pentru a -și proiecta corect demersul care face parte dintr -un scena riu de învățare,
cadrul didactic trebuie să identifice răspunsuri la o serie de întrebări: Ce voi face? Cu ce voi
face? Cum voi face ?Ce feedback voi obține? În felul acesta, se conturarează, în mintea celui
care oferă servicii educaționale a etapele pr oiectarii ac tivității didactice.
În prima etapă, se i dentifică obiectivele lecției, în a II -a se analizează resursele care se
vor avea în vedere ( atât cele umane -ale elevului și ale cadrului didactic, cât și cele de conținut
a didactic, de ordin mate rial, de timp și de spațiu). În etapa a III- a, se elaborează strategia
didactică optimă, a cărei eficiență depinde de calitatea demersului de selectare și corelare a celor mai potrivite metode, mijloace si materiale didactice. Funcția evaluativă a lecției se
asigură în cea de -a IV -a etapă, când se elaborează instrumentele de evaluare .
Variabilele procesului de instruire determină variante ale tipului de bază pentru fiecare
categorie/tip de lectie. Principalele categorii/tipuri de lectie sunt :
– L ecția mixtă (comunicare, sistematizare, fixare, verificare) ;
– Lecția de comunicare/însușire de noi cunoștințe ;

50
– Lecția de formare de priceperi și deprinderi ;
– Lectia de fixare și sistematizare (recapitulative) ;
– Lecția de verificare și apreciere ale rezultatelor școlare.

III.2 Modele de proiecte didactice
PLAN DE LECȚIE
Clasa: a X- a
Profesor : Cosor Emilia
Unitatea de învățare: Funcții și ecuații
Disciplina: Matematica
Titlul lectie: Test sumativ – Ecuații exponențiale și logaritmice
Tipul lectiei: Lec ție de verificare și apreciere a cuno ștințelor
Locul de desfășurare : sala de clasă
Durata: 50 minute
Competente specifice:
1. Identificarea metodelor specifice de rezolvare, folosind proprietățile puterilor și funcției
exponențiale;
2. Dezvoltarea flexibilității și mobilității în gândire, cu scopul determinării valorilor
expresiilor ce conțin logaritmi;
3. Formarea priceperii de a compara și identifica asemănările și deosebirile ce apar ,
4. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor.
Strategia didactică:
– metode: explicația, exercițiul.
– mijloace de învățământ: fișe de lucru individuale cuprinzând sarcinile testului și modalități
de evaluare (autoevaluare)
Competențe de evaluat:
C1 -Să utilizeze cunoștințele referitoare la puteri, logaritmi, proprietățile de inversabilitate ale
funcțiilor exponențiale și logaritmice,
C2 -Să înțeleagă conceptul de ecuație logaritmică și exponențială,

51
C3 -Să aplice formulele de calcul în re zolvarea ecuațiilor prin substituții,
C4 -Să analizeze condițiile de existență a radicalilor, a logaritmilor,
C5 -Să stabilească conexiunile între cele doua funcții,
C6 -Să evalueze și să verifice soluțiile.
Material bibliografic:
1. Programa școlară pentru clasa a X -a.
2. Burtea M., Burtea Georgeta, Manual pentruclasa a X -a, Editura Carminis , Pitești, 20 05.
3. Burtea M ., Burtea G.,Cu legere de matematică, clasa a X -a , Ed. Campion, Pitești, 2011.
4. ***Ghid de pregătire Bacalaureat Matematică M2, Ed. Campion, București, 2009.

Desfășurarea activității

1. Moment organizatoric (2 min)
Profesorul prezintă asistența și face prezența. Stabilește liniștea și atmosfera propice
învățării. Elevii răspund la salut și se pregătesc pentru începerea orei.
2. Captarea atenției (1 min)
Profesorul prezintă câteva concluzii referitoare la aplicațiile cunoștințelor teoretice și la
tehnicile de rezolvare ale exercițiilor și problemelor referitoare la ecuațiile exponențiale și
logaritmice .
3. A nunțarea lecției și a obiectivelor (1 min)
Profesorul scrie pe tablă titlul lec ției: „Test de evaluare”. Prezintă conținutul teoretic
propus pentru a fi evaluat: Ecuații exponențiale și logaritmice . Prezintă succinct obiectivele
propuse, într -o formă accesibilă elevilor. Împarte fișele cu testul de evaluare
4. Rezolvarea testului (40 min)
Elevii lucrează independent. Profesorul supraveghează activitatea elevilor, adresând
eventuale observații.
5. Autoevaluare test (4 min)
Elevii calculează un eventual punctaj.
6. Finalizarea activității (2 min)
Profesorul preia de la elevi fișele sau foile cu rezolvarea exercițiilor și a problemelor din
testele de evaluare aplicate, la sfârșitul perioadei de timp alocate.

52
Se comunică tema pentru acasă: exercițiile din test.

Test (de nivel mediu )
Notă: Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.
Toate subiectele sunt obligatorii.
Se acordă 1 punct din oficiu.

Subiectul I – itemi cu răspuns scurt (de completare)
(10 p) 1. Ecuația 1
3𝑥𝑥 = 9𝑥𝑥
27 are soluția ……………. .
(10 p) 2. Soluția ecuației log5√𝑥𝑥3 = 1 este ……………. .
(10 p) 3. Ecuația 10log2𝑥𝑥 = �1
10�−2
are soluția x ……………. .
(10 p) 4. Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației log3(2𝑥𝑥+2+ 17 ) = 4 este ……………. .

Subiectul II. Scrieți pe foaia de test rezolvările complete
(10 p) 1. S ă rezolvăm ecuația : 2
t+ 4 + 2t + 3 + 2t + 2 + 2t + 1 = 120.
(10 p) 2. Să se determine numărul soluțiilor reale ale ecuației 5x – 2 = �1
5�√𝑥𝑥
.
(10 p) 3. Să rezolv ăm ecuația log2(𝑦𝑦2− 𝑦𝑦−2) − log2(2𝑦𝑦− 4) = 1.
(10 p) 4. Să se determine soluțiile reale negative ale ecuației 2y + 2−𝑦𝑦= 2,5.
(10 p) 5. Să se calculeze produsul rădăcinilor ecuației lg2 a – 4lg a + 3 = 0.

53
Barem de evaluare

I. 1.
I. 2.
I. 3.
I. 4. x= 1.
x= 3.
x= 4.
x= 4.

II. 1. 2t ∙ (24 + 2 3 + 2 2 + 2 1) = 120 , deci
2t (16 + 8 + 4 + 2) = 120 . Obținem 2t = 4, adică
2t = 22 rezultă că t = 2 4p + 4p + 2p
II. 2. 5x – 2 = 5−√𝑥𝑥 dacă și numai dacă x – 2 = −√𝑥𝑥 (injectitatea
funcției exponențiale)
Pentru x ∈ [0, 5] ecuația devine x2 – 5x + 4 = 0 cu soluția
x = 1 2p + 2p + 2p +
3p + 1p
II. 3. Logaritmii există dacă y2 – y – 2 > 0 și 2y – 4 > 0, deci y > 2.
Se aplică formula diferenței logaritmilor ; rezultă y2 – 5y + 6 =
0 rezultă că soluția y = 3 2p + 1p + 2p+
3p + 2p
II. 4. Se aplică metoda substituției: 2y = t, t > 0
2t2 – 5t + 2 = 0, cu soluțiile 2 și 1
2.
Revenim la substituție, avem o rădăcină negativă y = –1 2p+ 2p + 2p +
2p + 2p
II. 5. Se aplică metoda substituției lg x = t, t ∈ ℝ, t2 – 4t + 3 = 0 cu
soluții 1 și 3.
Revenim la substituție, avem soluțiile 10 și 1000 rezultă că P
= 10000. 2p + 3p + 3p+
2p

54
Matricea de specificație

Competențe de
evaluat

Conținuturi C1
C2 C3 C4 C5 C6 Total
Bijectivitatea
funcțiilor exponențiale și logaritmice
I.1 (10p) 10p
Injectivitatea
funcțiilor exponențiale și logaritmice
I.2(10p) II.1(10p) II.5(10p) 30p
Substituția și
reducerea la ecuația de gradul II II.4(10p) 10p

Operații cu puteri I.3(10p) II.2(10p)

20p

Operații cu
logaritmi și condiții de existență
I.4(10p) II.3(10p) 20p
TOTAL 10p 20p 30p 10p 10p 10p 90p

55
PROIECT DE LECȚIE
Profesor: Cosor Emilia
Clasa : a X -a
Obiectul : Matematică/ Algebră
Unitatea de ȋnvațare: Funcții și ecuații
Subiectul lecției: Funcția exponențială și logaritmică
Tipul lecției : Formarea priceperilor și deprinderilor
Timpul alocat: 50 min
Competențe specifice:
Identificarea caracteristicilor tipuri de numere utilizate în algebră și a formei de scriere a unui
număr real în contexte variate
Compararea și ordonarea numerelor reale utilizând metode variate
Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu logaritmi în contexte variate
Alegerea formei de reprezentare a unui număr real pentru optimizarea calculelor
Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor
Obiective operaționale: la sfârșitul lecției elevul va fi capabil:
O1–elevul va fixa noțiunea de funcție logaritmică,domeniu de definiție , codomeniu,
definiție,proprietăți pentru cazul 0< a <1 (subunitar) și a > 1(supraunitar).
O2–elevul va fixa noțiunea de funcție exponențială,domeniu de definiție , codomeniu, definiție
,proprietăți , pentru cazul 0< a <1 (subunitar) și a > 1(supraunitar).
O3–elevul va reactualiza proprietățile logaritmilor, puterilor, radicalilor, exponenților.
O4–elevul va cunoaște cazurile, când funcțiile sunt,injective,surjective, bijective, inversabile ,
crescătoare ,descrescătoa re,concave,convexe.
O5–elevul va putea da o interpretare geometrică a soluțiilor ecuației logaritmice sau
exponențiale
Metode și procedee didactice: explicația, conversația, observația, problematizarea,
demonstrația, exercițiul, rebus matematic.
Mijloace de ȋnvațamânt: fișa de lucru, flip- chart, proiectorul.
Forme de organizare : frontal, pe grupe.

56
Resurse: capacitățile de învățare ale elevilor, cunoștințele însuțite de elevi despre piramidele
regulate.
Metode de evaluare: observarea sistematică, aprecierea verbală, notarea.
Bibliografie și material didactic :
Programa școlară pentru clasa a X -a.
Burtea M., Burtea Georgeta, 2005, Manual pentruclasa a X -a, Editura Carminis, Pitești,
Burtea M., Burtea G. , 2011, Culegere de matematică, clasa a X -a , Ed. Campion, Pitești.
***Ghid de pregătire Bacalaureat Matematică M2, , 2009, Ed. Campion, București

Desfășurarea metodică a lecției:
Etapele
lecției Ob Scenariul lecției Metode ș i
procedee Evalua
rea
1.
Moment
organizato –
ric
(3min) – notarea absențelor
– verificarea temei Conversația Apreci
erea
verba
la
2.
Recapitula-
re, sistematiza –
re și sinteza
cunoștințe –
lor

(40 min)

O1
Se reamintesc noțiunilor studiate în lecțiile anterioare :
Elevii ascultă, analizează, rezolvă și formulează
răspunsuri.
– Ce este funcția exponențială?
-Care sunt proprietățile funcției exponențiale?
-prezentați monotonia functiei exponentiale?
-Dar despre injectivitatea ei? Dar despre surjectivitatea
ei?
-Definiți logarimul unui număr pozitiv!
-Care sunt proprietățile logaritmilor?
-Ce este funcția logaritmică?
-Care sunt proprietățile funcției logaritmice?
-Prezentați monotonia functiei logaritmice? .
-Dar despre injectivitatea ei? Dar despre surjectivitatea
ei?
După reamintirea noțiunilor, elevii sunt împărțiți în 2 grupe.
Fiecare grupă va primi câte o fișă de lucru.
Timp de 15-20 minute elevii lucrează în echipă la sarcina

Conversația

Evalua
rea
fronta
lă

57

O2
O3
O4
de lucru primită. Profesorul supraveghează elevii și dă
indicații acolo unde este nevoie. Soluționează eventual și
situațiile în care nu toți elevii se implică în cadrul activității de grup sau atunci când un elev monopolizează toate
activ itățile . Această metodă sintetizează cunoștințele
deținute de elevi raportându-se la următoarele operații:
analiză, abstractizare, descoperire, sistematizare și problematizarea.
Fișă de lucru 1
Funcția exponențial ă: Daca 1 ; 0≠ >a a functia
( ) ( )xa x f Rf = ∞ → ;,0 : -functie
exponentiala. G raficul functiei exponentiale :

Nr.
Crit. proprietati ( ) ,> =a a x fx
( ) 1 0 ,< < =a a x fx

1 Grafic
2 Intersectia cu
axele
3 Paritate
4 Simetrie
5 Convexitate
6 Monotonie
7 Semn
8 Injectivitate
9 Surjectivitate
10 Bijectivitate
Exercițiul
Proble –
matizarea
Demontrația
Explicația

Evalua
rea indivi –
duală

Evalua
rea individuală

58
OA(0,1)( ) 1,> =a a x fx ( ) 1,< =a a x fx
O5
O1

1. Aflați funcția
( ) ,xabx f⋅ = ce trece prin
punctele: a) ( ) ( ) 6,1 ; 3 ,0B A b) ( ) ( ) 2,2 ; 1 ,1B A .
2. Așezati crescător numerele:
�3
4�1
2; �3
4�√35
; �34�−2
; �34�−1
3; �3
4�2,5
.
3. Stabiliți monotonia functiilor:,
( ) ( )x xx f Rf 3 2 ; ,0 : + = ∞ →;
( )xx x
x f53 2+= ; ( )x xx f 25,0 6 ,0+ = .
Fișă de lucru 2
Funcția logaritmică : Daca 1 ; 0≠ >a a functia
( ) ( ) x x f R falog ; ,0 : = → ∞ -functie
logaritmica. Graficul functiei logaritmice :
Nr Proprietăți ( ) , log>= a x x fa
( ) 1 0 , log < < = a x x fa
1 Grafic
2 Intersecția
cu axele
3 Paritate
4 Simetrie
Exercițiul
Proble –
matizarea

59
O A(1,0) xy
( ) 1 , log> = a x x fa
( ) 1 0 , lo g< < =a x x fa
O2
O3

1. Aflați funcția
( ) , log x x fa= ce trece prin
punctele: a) ( )3, 8A b) ( )2,25A c) ( )2,4−A ,
2. Ordonaț i crescator numerele:
a) ( ) 5 log; 6,1log; 3,0 log; 3 log;21log5 5 5 5 5 ; b)
( ) 75,1 log; 3 log; 3,5 log; 37 log;32log5,02
5,0 5,0 5,0 5,0
3. Studiați monotonia funcț iilor 5 Convexitate
6 Monotonie
7 Semn
8 Injectivitate
9 Surjectivita –
te
10 Bijectivitate Demontrația
Explicația
Proble –
matizarea
Demontrația
Explicația

Evalu
area individuală

60

O5 ( ) ( ) x x f R fm9 2log ; ,0 :−= → ∞ ;
( ) x x fm7 3 log+= ; ( ) x x f
yy
493log
+−= Exercițiul
3.
Concluzii și
realizarea feed-back –
ului

(5 min)
Elevii care s -au evidentiat fiind activi si răspunzând corect,
ei sunt lăudati și notați.
Conversatia
Explicatia Evalua
rea
orală
4.
Incheierea
activită tii
(2 min)

Tema pentru acasă: fiecare elev va avea ca temă problemele
avute spre rezolvare în clasă de celelalte grupuri (exemplu :
grupul cu fisa 1 va avea ca temă spre rezolvare problemele
din fișele 2). Conversatia

61
PROIECT DE LECȚIE

Profesor: Cosor Emilia
Clasa: a X -a
Obiectul: Matematică/ Algebră
Unitatea de ȋnvațare: Funcții și ecuații.
Subiectul lecției: Funcția exponențială.
Tipul lecției: Dobândire de noi cunoștințe
Timpul alocat: 50 min
Competențe specifice:
1. Exprimarea relațiilor de tip funcțional în diverse moduri.
2. Prelucrarea informațiilor ilustrate prin gra ficul unei fu ncții în scopul deducerii unor
propietăți algebrice ale acesteia( monotonie, bijectivitate, semn, continuitate, convexitate).
3. Eprimarea în limbaj matematic a unor situașii concrete ce se pot descrie printr -o funcție
de o variabilă. 4. Interpretarea unor probleme de calcul în vederea optimizării rezultatului.
Obiective operaționale:
O1. Să prezinte noțiunea de funcția exponențială;
O2. Să utilizeze proprietățile funcției exponențiale în compararea numerelor și rezolvarea de
inecuații;
O3. Să traseze graficul funcției exponențiale cu baza supraunitară, respectiv subunitară. Metode didactice: explicația, exemplificarea, conversația, problematizarea, demonstrația,
modelarea, exercițiul, mozaic.
Mijloace de ȋnvațamânt : fișa de lucru,video- proiectorul.
Forme de organizare: frontal, individual.
Metode de evaluare : observarea sistematică, aprecierea verbală, notarea.
Bibliografie și material didactic: Programa școlară, 2013, planificarea; Matematica pentru
examenul de bacalaureat – Mari an Andronache, Dinu Serbanescu, Marius Perianu, Grupul
Editorial Art Bucuresti ;
Manual pentru clasa a X -a, Matematică, 2013, Marius Burtea, Georgeta Burtea, E d.
Carminis, Pitesti .

62
Desfășurarea metodică a lecției:
Etapele
lecției Ob Scenariul lecției Metode
procedee Evaluar
ea
1.
Moment
organizato-ric
(3min) Se creează condițiile optime pentru desfășurarea
eficientă a lecției, se notează absențele si se verifică
tema frontal. Conversa –
ția
2.
Captarea atenției
(5min) Verificarea frontală a temei, calitativ și cantitativ prin
sondaj folosind dialogul profesor -elev ,elev -elev, prin
confruntarea rezultatelor (in cazul in care apar diferente
se rezolvă exercițiile la tablă ).
3.
Recapitula-re,
sistemati –
zare și sinteza
cunoștințe
-lor (25min)
O1

O2
O3
Informarea elevilor asupra obiectivelor lectiei: Se
anunță și se scrie pe tabl ă titlul lectiei: Funcția
exponențială.
Puteri cu exponent real
a) Puteri cu exponent real pozitiv
1. Notația unui număr rațional de forma √𝑏𝑏𝑝𝑝𝑞𝑞 este 𝑏𝑏𝑝𝑝
𝑞𝑞.
2. Dacă b > 1 este un număr real, atunci dintre două
puteri cu exponent rațional pozitiv ale acestui număr, este mai mare acela al cărei exponent este mai mare.
3. Dacă 0 < b < 1 este un număr real, atunci dintre două
puteri cu exponent rațional pozitiv ale acestui număr, este mai mare acela al cărei exponent este mai mic.
b) Puteri cu exponent real negativ
Dacă b > 0 și t > 0 este un număr real negativ, atunci
prin definiție are loc: 𝑏𝑏𝑡𝑡= 1
𝑏𝑏−𝑡𝑡.
Observație: 𝑏𝑏0 = 1.
c) Proprietăți ale puterilor cu exponent real
𝑏𝑏𝑚𝑚 ‧ 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑏𝑏𝑚𝑚+𝑛𝑛
𝑏𝑏𝑚𝑚
𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑏𝑏𝑚𝑚−𝑛𝑛
(𝑏𝑏‧𝑐𝑐)𝑚𝑚 = 𝑏𝑏𝑚𝑚‧ 𝑐𝑐𝑚𝑚
�𝑏𝑏
𝑐𝑐�𝑚𝑚
= 𝑏𝑏𝑚𝑚
𝑐𝑐𝑚𝑚;
(𝑏𝑏𝑚𝑚)𝑛𝑛 = 𝑏𝑏𝑚𝑚 ∙𝑛𝑛
Definiție : Funcția f : ℝ → (0, ∞), f (x) = bx cu
b > 0 ș i b≠ 1, se numește funcția exponențială de
bază b.
Observații: 1) Baza b trebuie să fie diferită de 1,

Conversa –
ția

Observa –
rea
sistemat i-
că,

Demonstra-ția
Exercițiul
Problemati

63

O1
O2

deoarece dacă b = 1, atunci funcția
f ( x ) = 1x = 1, pentru orice număr real x, este
constantă și nu este o funcție exponențială.
2) Pentru funcția exponențială f (x) = bx cu b > 0,
b≠ 1, b este baza puterii bx care este constantă, iar
pentru funcția h(x) = xb c u (∀) x ∈ ℝ, b este
exponentul puterii 𝑥𝑥𝑏𝑏 care este constant.
3) La baza studiului acestei funcții, vor sta
proprietățile puterilor cu exponent rațional (real). Se analizează principalele proprietăți ale acestei
funcții în cazurile când baza este subunitară( 0 <
𝑏𝑏< 1) sau supraunitară (b > 1 ).
Proprietățile funcției exponențiale
Proprietatea 1 . Fie funcția exponențială f : ℝ
→
(0,+∞), f (m) = bm, atunci
f (m+n) = f(m ) ∙ f(n), unde m, 𝑛𝑛 ∈ ℝ.
Proprietatea 2 . Funcția f : ℝ→ (0,+∞), f(x)= bx
este strict crescătoare dacă b > 1 și
f : ℝ→ (0,+∞), f (x)= bx este strict descrescătoare
dacă 0 < b < 1.(Monotonia funcției exponențiale)
Observații: 1) Monotonia funcției exponențiale se
folosește la rezol varea inecuațiilor exponențiale
2) Pentru b > 1,atunci bx < by dacă și numai dacă
x < y, iar pentru 0 < b < 1,atunci
bx < by dacă și numai dacă x > y.
Proprietatea 3 . Funcția exponențială este
convexă .
Observații : 1) Condiția de convexitate este
echivalentă cu inegalitatea lui Jensen : -zarea

Explicația

64

O3
O1
O2
O3
f �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦
2� ≤𝑓𝑓(𝑥𝑥)+𝑓𝑓(𝑦𝑦)
2, (∀) x, y ∈ ℝ.
2) Orice tangentă într -un punct al graficului lasă
graficul deasupra tangentei,
3) Funcția exponențială nu își poate atinge cea mai
mare valoare în interiorul intervalului, deoarece este
convexă.
Proprietatea 4. b0 = 1 ; (∀) b > 0;
Proprietatea 5. Funcția exponențială este
bijectivă , atunci ea este inversabilă.
Graficul funcției exponențiale
1. Graficul funcției exponențiale f(x) = 𝑏𝑏𝑥𝑥 cu
baza subunitară, adică 0 < b < 1.
Considerăm funcția g : ℝ → (0, ∞ ), g (x) = �1
2�𝑥𝑥
.
Observație : a) Func ția exponențială c are are baza
subunitară, pe tot domeniul de definiție este strict
descrescătoare;
b) Funcția exponențială ia valori supraunitare la
stânga lui 0 și subunitare la dreapta lui 0, adică
graficul se află deasupra axei Ox;
c) Punctul de intersecție al graficuluicu axa Oy este
punctul (0, 1); d) Graficul exponențialei se aproprie mult de axa Ox, deoarece pentru valori pozitive mari, funcția exponențială ia valori foarte mici pozitive. Asimptota orizontală pentru graficul funcției este Ox la ramura
de la +∞.
Concluzii : a) Graficul funcției exponențiale cu baza
subunitară se găsește deasupra axei Ox și
interesectează axa Oy în ( 0, 1);

65
b) Graficul funcției exponențiale cu baza subunitară
are o ramură ce coboară sub formă convexă;
c) Cu cât baza este mai mică , cu atât graficul funcției
exponențiale cu baza subunitară este mai apropriat de
axele de coordonate
2. Graficul funcției exponențiale f (x) = 𝑏𝑏𝑥𝑥 cu baza
supraunitară, adică b > 1.
Considerăm funcția g : ℝ → (0, ∞ ), g (x) = 2𝑥𝑥.
Observație : a) Func ția exponențială cu baza
supraunitară este strict crescătoare pe tot domeniul de definiție;
b) Funcția exponențială ia valori subunitare la
stânga lui 0 și supraunitare la dreapta lui 0, adică
graficul se află deasupra axei Ox;
c) Punctul de intersecție al graficuluicu axa Oy este
punctul (0, 1); d) Graficul exponențialei se aproprie mult de axa Ox,
deoarece pentru valori negative mici, funcția exponențială ia valori foarte mici pozitive. Asimptota orizontală pentru graf icul funcției este Ox la ramura
de la −∞.
Concluzii : a) Graficul funcției exponențiale cu baza
supraunitară se află deasupra axei Ox și
interesectează axa Oy în ( 0, 1) ;
b) Graficul funcției exponențiale cu baza supraunitară
are o ramură ce urcă sub formă convexă;
c) Cu cât baza este mai mare, cu atât graficul funcției exponențiale cu baza supraunitară este mai apropriat
de axele de coordonate.
Exemplu: Să construim graficul funcției f : ℝ
→

66
(0,+∞), f (x) =b x, pentru b ∈ {2 ,1
2 }.
Se întocmește un tablou de valori pentu cele două
cazuri :

Graficele celor două funcți i. x −∞ −3 −2 −1 0 1 2 3 +∞
f(x)=
�1
2�𝑥𝑥
∞ ↘ 8 ↘ 4 ↘ 2 ↘ 1 ↘ 1
2↘ 1
4 ↘ 1
8 ↘ 0
x −∞ −3 −2 −1 0 1 2 3 +∞
f(x)=
2x 0 ↗ 81 ↗ 41 ↗ 21 ↗ 1 ↗ 2 ↗ 4 ↗ 8 ↗ ∞
4.
Fixare și
consolidare (10 min)
O1
O2

Fiecare elev va primi cate o fișă de lucru .
Pe parcursul rezolvării exercițiilor, profesorul intervine cu întrebări , adresate atât elevilor de la tablă cât și celor din clasă, pentru a se clarifica demersul rezolvării.
Fisa de lucru
Funcția exponențială
Clasa a X – a zi (Științe sociale – 2 ore / săptămână)

1. Aflați mulțimea valorilor lui x pentru care:

1 ) 10( ) 01,0 (3< ⋅x.
Rezolvare. Din relația de mai sus, obținem: Exerc ițiul
Problemati
-zarea

Evalua-re indivi –
duală
−

−

−

1 2 3

C
B
D
E
F
y
27

−

−

−

1 2 3

27

C
B
D

y

67

O3 1 ) 10( ) 01,0 (3< ⋅x, adică �1
100�3
⋅101
2⋅𝑥𝑥< 1, deci
1 10 ) 10 (21
3 2< ⋅⋅⋅−x. Dacă 10−2⋅3⋅101
2⋅𝑥𝑥< 1, rezultă că
0 2610 10<⋅ + −x
, rezultă că 026< + −x, obținem
)12,(−∞∈x .
2. Inegalitățile �1
4�𝑥𝑥
>�12�𝑥𝑥−1
și 1 2− <x x sunt
echivalente ?

3. Construiți graficul funcțiilor R R→:f :
a). 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥 ; b). 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �1
5�𝑥𝑥

5.
Concluz ii
și realizarea feed-back –
ului
(5 min)

Elevii care s -au evidentiat fiind activi si răspunzând
corect, ei sunt lăudati și notați.
Conversa –
tia
Explicația
Evalua-
rea orală
6.
Incheierea
activității
(2min) Tema pentru acasă: fiecare elev va avea ca temă
problemele avute spre rezolvare în clasă de celelalte
grupuri (exemplu : grupul cu fisa 1 va avea ca temă spre
rezolvare problemele din fișele 2). Conversa –
tia

68
IV. CURRICULUM LA DECIZIA ȘCOLII

ECUAȚII ȘI INECUAȚII
EXPONENȚIALE ȘI LOGARITMICE

TIPUL: Optional de extindere
ARIA CURRICULARĂ: Matematică și științe
CLASA: a X-a
PROFESOR: Cosor Emilia

69
PROGRAMĂ ȘCOLARĂ PENTRU DISCIPLINA OPȚIONALĂ

Argument

Pentru a valorifica cele mai de preț însușiri ale elevilor capabili de performanță, în
domeniul matematicii – spirit de observație, logică în gândire, inventivitate -, într -un mediu
armonios, cu o atmosferă de lucru mai relaxată și mai degajată față de cea de la orele de curs,
am elaborat acest opțional care presupune crearea unui grup de excelență, unde să se studieze într-un alt ritm decât cel de la clasă și la un nivel mai înalt. Acești elevi vor contribui la
formarea unei elite românești în domeniul matematicii, dacă beneficiază de o pregătire pe măsura potențialului intelectual.
Elaborarea prezentei programe trebuie înțeleasă ca o etapă necesară unui început de drum,
astfel realizarea unei programe pentru clasele de excelență constituie o noutate pentru învățământul românesc. Profesorul va aborda teme inexistente în programa școlară sau extinderi de materie și, astfel, elevii vor afla noutăți în domeniu, vor învăța alte metode de
rezolvare a unor cerințe și își pot perfecționa unele abilități, în vederea competițiilor. De aceea, în selectarea conținuturilor programei s- a ținut cont de tendințele actuale în formularea
subiectelor la concursuril e și olimpiadele școlare. Temele propuse constituie o extindere
firească a programei analitice obligatorii de matematică și parcurgerea lor este necesară pentru abordarea unor probleme mai dificile. Programa se adresează elevilor de clasa a X -a și a fost
concepută pentru 1 oră/săptămână. Competențele generale au rolul de a orienta demersul
didactic către formarea unor ansambluri structurate de cunoștințe generate de specificul activității intelectuale matematice la nivel de performanțe superioare.
În concluzie, acest opțional va urmări stimularea motivației de a implica elevii în
competiții, transformându -i, treptat, în oameni capabili să se dedice și să exceleze în domeniul
în care au fost îndrumați cu atâta dăruire.

70
Competențe generale
1. Utilizarea corectă a algoritmilor matematici în rezolvarea de probleme cu grade diferite de
dificultate,
2. Analiza unei situații problematice și determinarea ipotezelor necesare pentru obținerea concluziei,
3. Folosirea corectă terminologiei specifice matematicii în contexte variate,
4. Exprimarea și redactarea corectă a strategiilor de rezolvare a unei probleme. Competențe specifice și activități de învățare
Competențe specifice Activităț i de învățare
Utilizarea noțiunilor învățate în vederea
rezolvării exercițiilor și problemelor variate cu grade diferite de dificultate;
Identificarea metodelor specifice de rezolvare, folosind proprietățile puterilor și funcției exponențiale;
Dezvoltarea flexibilității și mobilității în
gândire, cu scopul determinării valorilor expresiilor ce conțin logaritmi; Formarea priceperii de a compara și identifica asemănările și deosebirile ce apar.
Rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor exponențiale
și logaritmice ce duc la ecuații, inecuații
algebrice.
Rezolvarea ecuațiilor exponențiale omogene
Rezolvarea ecuațiilor și inecuațiilor ce conțin
expresii logaritmice și exponențiale;
– ecuații, inecuații ce conțin logaritmi în
diferite baze;
– ecuații, inecuații ce conțin variabilă în baza
logaritmului, baza puterii.
Rezolvarea ecuațiilor și inecuațiilor
exponențiale și logaritmice ce conțin simbolul
modulului, cu parametru.

Valori și atitudini
Curriculumul școlar propus la disciplina matematică pentru clasele de excelență
urmărește formarea următoarelor valori și atitudini la elevi:
• Interesul pentru modul de dezvoltare a rez ultatelor și ideilor matematice;
• Curiozitatea față de noile deschideri în mate matică;
• Dezvoltarea unei unei gândiri reflexive și independente specifică matematicii.

71

Sugestii metodologice
Pe parcursul liceului, pentru clasele de excelență, se intenționează ca elevii să
dobândească competențe și un set de valori și atitudini de înaltă performanță. Acestea se
regăsesc în următoarele aspecte ale învățării :
• Analizarea și elaborarea unui plan de rezolvare pentru problemele mai dificile ;
• Formarea obișnuinței de a formula probleme și analiza problemelor din punct de
vedere al ideilor ;
• Reparcurgerea căii de rezolvare a problemei pentru a dobândi un rezultat mai bun;
• Găsirea metode lor de lucru valabile pentru clase le de elevi;
• Realizarea creativă a unei investigații pornind de la tematica propusă ;
• Formarea deprinderii de a anticipa rezultate matematice pornind de la datele existente.

Obiective operaționale
În decursul orelor, elevii vor fi capabili :
O1- Să opereze cu noțiunile învățate în vederea rezolvării exercițiilor cu grad mai mare de
dificultate;
O2- Să rezolve ecuații și inecuții exponențiale și logaritmice de diverse tipuri,
O3- Să-și dezvolte competențele într -un ritm individual,
O4- Să impună condițiile de existență ale unui logaritm;
O5- Să rezolve exerciții care utilizează operațiile și proprietățile cu logaritmi;
Conținuturile învățării
I. Relații și egalități
II. Inegalități exponențiale și logaritmice
III. Funcții exponențiale și logaritmice
IV. Ecuații exponențiale
V. Ecuații logaritmice
VI. Inecuații exponențiale și logaritmice

72

Modalități de evaluare
• Probe orale
• Probe pract ice
• Probe scrise
• Proiecte individuale și de grup
• Portofoliul individual
Planificare anuală
Nr.
crt. Unități de învățare Obiective
operaționale Nr.
de
ore Orizont
temporal Obs.
I. Relații și egalități O1 5 SEM.I
S1-S5
II. Inegalit ăți exponențiale și
logaritmice O2, O3 6 S6-S11
III. Funcții exponențiale și
logaritmice O2, O1 6 S12-S17
IV. Ecuații exponențiale O2, O1 5 SEM.II
S18-S22
V. Ecuații logaritmice O2, O4 5 S23-S27
VI. Inecuații expoenențiale și
logaritmice O2, O5 6 S28-S33

73
Suport de curs
I. Relații și egalități
Exerciții : 1. Arătați că 1 + 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑐𝑐 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐+𝑑𝑑𝑐𝑐 , dacă și numai dacă 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑥𝑥 + 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑥𝑥 =
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐+𝑑𝑑𝑥𝑥 . (∀) x
(0,
) \ {1}.
Rezolvare: Dacă log cx + log cx
log cd = log cx
log c(c+d ) , rezultă că 1+ log dc = log c+dc. □
2. Dacă x
ℕ* cu x
2, demonstrați că [log xy] = [ log x[y]], (∀) y
(1,
).
Rezolvare: Pentru y = 1 (A devărat ) . Fie y
(1,
)și deoarece x
2, există k ∉ N, astfel încât
xk
[y]
[y] + 1
xk+1 . Logaritmând, avem k ≤log 𝑥𝑥[y] ≤log 𝑥𝑥𝑦𝑦< k + 1, ceea ce rezultă
că k = [ log 𝑥𝑥[𝑦𝑦]] = [ log 𝑥𝑥𝑦𝑦].□
3. Să se arate că avem identitatea [log 2(3x−2)] = [log 2(3x+ 2) ], pentru orice număr
natural x
3.
Rezolvare: Fie k = [ log 2(3𝑥𝑥−2)], rezultă 2k
3x – 2
2k+1 . Presupunem, prin absurd, că
log 2(3𝑥𝑥+ 2) ≥ k+1, ceea ce rezultă că 3x
2kx – 2 și 3x
2k+1 + 2 rezultă că 3x
{2k+1 –1;
2k+1 +1} , imposibil pentru x
3. □
4. Să se determine valorile lui 𝑎𝑎
𝑏𝑏 în cazul : 2 ln (a – 2b) = lg a + lg b ; unde a
2b
0.
Rezolvare: Dacă (a – 2b)2 = ab , rezultă că a2 – 5ab + 4ab2 = 0 , adică �𝑎𝑎
𝑏𝑏�2
– 3𝑎𝑎
𝑏𝑏 + 4 = 0,
rezultă că t2 – 5t + 4 = 0, cu soluțiile t1 = 1 și t 2 = 4 rezultă că 𝑎𝑎
𝑏𝑏 = 4 �𝑎𝑎
𝑏𝑏 = 1 (fals )�.□
5. Să se determine o rela ție între numerele x, y, z
(0,
) \ {1}, x, y, z
1, știind că
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥𝑎𝑎 + 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑦𝑦𝑎𝑎 + 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑧𝑧𝑎𝑎 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧𝑎𝑎, unde a
(0,
) \ {1}.
Rezolvare: Trecând în baza 10, obținem lg𝑎𝑎
lg x + lg𝑎𝑎
lg y + lg𝑎𝑎
lg z =lg𝑎𝑎
lg x + lg y + lg z, iar după
simplificare cu lg𝑎𝑎, avem (lg x + lg y + lg z)
(1
lg x + 1
lg y + 1
lg z ) = 1 (Produsul a două dintre
ele este 1). □
II. Inegalități exponențiale și logaritmice
Exerciții :1. Dacă m, n, p
(1,
), demonstrați inegalitatea:
𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑛𝑛𝑝𝑝 + 𝑛𝑛𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑚𝑚+ 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑛𝑛≥ m + n + p.
Rezolvare: Cum mlog np + nlog pm = mlog np + mlog pm ≥ 2 ‧mlognp+ logpn
2 ≥ 2‧ m�log np+ log pn
= 2m . La fel procedăm și pentru celelalte sume.

74
Prin adunarea celor trei inegalități obținem rezultatul căutat. □
2. Să se arate că 2m + n + 2n + p + 2m + p
1 + 2m + n + p + 1 (∀) m, n, p
(0, ∞).
Rezolvare: Notăm 2m = a ; 2n = b ; 2p = c și avem 2m ‧2n + 2n ‧2p +2m ‧2p
1 + 2m + n + p + 1
Atunci ab + bc + ac
2abc + 1 rezultă că 2abc – ab – bc – ac + 1 = 2(a
1) (b – 1) (c – 1) +
(a
1) (b –1) + (b – 1) (c – 1) + (a
1) (c – 1)
0. □
3. Fie m, n, p
(0,
), dacă numerele a, b, c sunt termenii unei progresie geometrică sau
arimetrică, atunci are loc inegalitatea: (lg n)2
lg m
lg p.
Rezolvare: Fie m, n, p în progresie geometrică dacă și numai dacă n2 = m ∙ p rezultă că n =
√m∙n. Ceea ce rezultă că lg2 n = (lg �m∙p)2 = �lg m+lg p
2�2
≥ lg m ∙lg p. Dacă
n = m+n
2 rezultă că lg2 n = lg2 m+p
2≥ lg2 �m∙p = �lg m+lg p
2�2
≥ lg m ∙lg p. □
4. Dacă x, z, y,
(1,
), astfel încât 𝑥𝑥
𝑦𝑦>𝑧𝑧
𝑥𝑥 , atunci 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥
𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑦𝑦>𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑧𝑧
𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥.
Rezolvare: Se logaritmează inegalitatea, deci lg x – lg y
lg z – lg x , cee ace rezultă că 2 lg x
lg y + lg z ≥ 2 �lg𝑦𝑦 ∙lg𝑧𝑧. □
6. Fie 0
x < 𝑦𝑦 . Să se demonstreze inegalitatea: 2 ∙ 𝑦𝑦−𝑥𝑥
𝑦𝑦+𝑥𝑥 < lng 𝑦𝑦
𝑥𝑥<𝑦𝑦−𝑥𝑥
𝑥𝑥.
Rezolvare: Notăm x log sina cos a > 0 rezultă că log cos asin a = 1
x. Inegalitatea devine
1
√1+x + √x
√1+x≤√2, dacă și numai dacă 1+ √x≤ �2∙(1 + x) , adică (√x – 1) 2
0. □

III. Funcții exponențiale și logaritmice
1. Fie funcțiile f: ℝ
ℝ , f(𝑥𝑥)= (b – 1)
x + bx + c și g: (0,
)
ℝ, g (𝑥𝑥) = (b – 1)
x +
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑏𝑏𝑥𝑥 + c, b
0, b
1, c
ℝ. Să se stabilească bijectivitatea funcțiilor f și g.
Rezolvare: Dacă b
1, rezultă (b – 1)
x + c ; bx; log 𝑏𝑏𝑥𝑥 sunt strict crescătoare , adică f și g
sunt funcții injective. Dacă 0
b
1 , atunci (b – 1)
x + c, bx, log 𝑏𝑏𝑥𝑥 sunt funcții strict
descrescătoare, rezultă că f și g sunt funcții injective.

75
Fie y
ℝ , atunci ecuația (b – 1)
x + c + log 𝑏𝑏𝑥𝑥 = – (b – 1) – c + y are o singură soluție,
deoarece funcțiile sunt de monotonii diferite, iar graficele celor două funcții au un punct
comun.
2. Se consideră funcțiile f : ℝ
ℝ , f(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑥𝑥 și g : ℝ +*
ℝ, g (𝑥𝑥)= 𝑐𝑐𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐶𝐶𝑋𝑋,
unde c, d
(0,
)\ {1}. Studiați monotonia funcțiilor .
Rezolvare: → f și g sunt strict crescătoare, dacă c, d
(1,
) sau ( c, d)
(0, 1).
→f și g sunt strict descrescătoare dacă c și d au poziții diferite față de 1. □
3. Fie funcția f : C
D, f (𝑥𝑥)=𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐶𝐶(𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑥𝑥) +𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑥𝑥); c, d
(0,
) \ {1}.
a) Precizați domeniul de maxim de definiție c;
b) Cercetați monotonia funcției și să se precizeze f(𝑐𝑐).
Rezolvare: Dacă c, d
(1,
) , atunci f este crescătoare, iar din log 𝑐𝑐𝑥𝑥> 0 și log 𝑑𝑑𝑥𝑥>0,
rezultă că x
(1,
) = c și f (𝑐𝑐)= ℝ . Dacă c, d
(0,1), atunci f este strict crescătoare și din
log 𝑐𝑐𝑥𝑥> 0 și log 𝑑𝑑𝑥𝑥>0 , atunci x
(0,1) = A ; f (𝐴𝐴)= ℝ . Dacă c și dau poziții diferite față de
1, rezultă că mulțimea C = ∅.□
4. Determinați funcțiile f : (0,
)
ℝ, astfel încât să fie satisfăcute următoarele condiții:
i) f(𝑡𝑡)
ln t, ( ∀) t
(0,
); ii) f (𝑡𝑡𝑡𝑡)
f(𝑡𝑡) + f(𝑙𝑙), (∀) t, q
(0,
).
Rezolvare: Dacă t = 1, rezultă că f(1)
0. Dacă t = q = 1 , avem f(1)
f (1)+ f (1), rezultă că
f(1)
0, deci f (1)= 0.
Fie q = 1
𝑡𝑡, avem că 0 = f (1)
f(𝑡𝑡) + 𝑓𝑓 �1
𝑡𝑡�, rezultă că 𝑓𝑓 �1
𝑡𝑡�
–f(𝑡𝑡)= ln�1
𝑡𝑡� , atunci
f(𝑡𝑡)
ln(𝑡𝑡), rezultă că f(𝑡𝑡)= ln(𝑡𝑡).□
5. Să se determine funcțiile f : R
R, f(𝑝𝑝+𝑡𝑡) = aq
f (𝑝𝑝)+ f(𝑡𝑡), (∀) p, q
R, p
0, p
1.
Rezolvare: Cum f(p + 1 ) = a
f(𝑝𝑝)+ f(1), p
ℝ ș i f (q + 1 )= aq
f(1) + f(𝑡𝑡), q
ℝ;
Atunci f (𝑝𝑝) = 𝑎𝑎𝑝𝑝− 1
𝑎𝑎−1∙f(1).□
6. Fie f : (0,
)
R, f(𝑡𝑡)= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑎𝑎𝑡𝑡 + 𝑎𝑎𝑡𝑡
𝑡𝑡. Arătați că funcția este injectivă, pentru a
(0,1) .
Rezolvare: Dacă a
(0,1), atunci funcția log 𝑎𝑎𝑡𝑡 este strict descrescătoare, ca produs de funcții
descrescătoare și pozitive, deci f este strict descrescătoare, adic ă injectivă. □

76

IV.Ecuații exponențiale
1. Să se rezolve următoarea ecuație: ay – by = �(𝑎𝑎𝑎𝑎)𝑦𝑦− 𝑎𝑎2𝑦𝑦 , a
b >1 .
Rezolvare: Avem (ay – by)2 = by (ay – by) , rezultă că 𝑦𝑦1= 0. Dacă ay = 2by , atunci 𝑦𝑦2 =
lg 2
lg 𝑎𝑎−lg 𝑏𝑏.□
2. Rezolvați următoarea ecuați e: 2t (2t + t – 4) = t – 3.
Rezolvare: Cum 2t (2t + t – 4) = t – 3, atunci (2t)2 + 2t (t – 4) – t + 3 = 0 , rezultă că
t(2t – 1) + (2t – 1)(2t – 3) = 0 , ceea ce rezultă că (2t – 1) (2t + t – 3) = 0 . Atunci 2t = 1, adică
𝑡𝑡 = 0 și 2t + t – 3 = 0 , rezultă că 2t = – t + 3 cu soluția t = 1.□
3. Să se demonstreze că ecuația c3 + 7 = d4 nu are soluții în mulțimea numerelor întregi.
Rezolvare: Dacă c3 + 7 = d4, atunci l a împărțirea prin 13, numărul întreg c3 dă resturile
(minime în valo are absolută) 0;
1; ± 5 așa că c3 + 7 dă unul din resturile – 6; – 5; –1; 2; 6.
Atunci d4, la împărțirea prin 13, dă unul din resturile – 4 ; 0 ; 1; 3.
Ecuația c3 + 7 = d4 nu are soluții în Z.□
4. Să se rezolve în mulțimea N: 2a
3b = 1 + 5a.
Rezolvare : În relația 2a
3b = 1 + 5a și din 1 + 5c = 2 (mod 4) , rezultă că a = 1
Dacă b
1, obținem o contradicție, deoarece în cazul acesta c = 0 (mod 3) și
1 + 53 divide 1 + 5c, dar 1 + 53 nu divide 2
3b. Așa că b = 1 și c = 1.□
5. Să se rezolve în N: 2x + 3 = y3.
Rezolvare: În relația 2x + 3 = y3 considerăm modulo 7 , rezultă că x = 3k + 2, deci 4
8k + 3 =
y3 și modulo 9 , atunci k impar, k = 2q + 1 și ecuația devine 32
64q = y3 care nu este posibilă
modulo 13.
Cazul mai general: 2x + 3a = y3 se reduce la precedentul, observând că pentru a
1 modulo 9 ,
cee ace rezultă că 2x cub perfect și rezultă ușor că ecuația nu are soluții.
Dar nici pentru x = – modulo 7 nu are soluții. □
6. Să se rezolve în N: mx + my = mz

77
Rezolvare: F ie x
y
z și m
2. Simplificând cu mx expresia de mai sus rămâne : 1 + my – x
= m z – x. Dacă y
x, deci și z
x, ar însemna m ǀ1 fals. Deci y = z, atunci m = 2, z – x = 1 și
Ecuația este obținută din xm + ym = zm prin schimbarea bazelor cu exponentul. □

V. Ecuații logaritmice
1. Fie ecuația: 𝑎𝑎𝑥𝑥
𝑙𝑙𝑛𝑛 𝑏𝑏 + 𝑏𝑏𝑥𝑥
𝑙𝑙𝑛𝑛 𝑎𝑎 = 0, 0
a
1, b
1. Să se demonstreze că ecuația are o
singură soluție reală, soluția este negativă, dacă și numai dacă ab
1.
Rezolvare: Ecuația mai poate fi scrisă �𝑎𝑎
𝑏𝑏�𝑥𝑥
= −ln 𝑏𝑏
ln 𝑎𝑎≥ 0, deci ecuația are o singură soluție
reală x
0, dacă și numai dacă ln 𝑏𝑏
ln 𝑎𝑎> 1 , adică ln b + ln a
0 , rezultă că ab
1.□
2. Să se rezolve:
a) kx = ln (k ∙ x + k);
b) 𝑙𝑙𝑥𝑥2− 𝑥𝑥– 1 = ln( 𝑥𝑥2− 𝑥𝑥 +1).
Rezolvare: a) Se face substituție x + 1 = z , rezultă că kz – 1 = 1 + ln z , adică z = 1 ș i
x = 0 soluție unică. Graficele celor două funcții kz – 1 și ln z + 1 sunt tangente în punctul A (1,
1). Dreapta y = x e ste tangentă comună, kz – 1
z
1 + ln z;
b) Analog 𝑙𝑙𝑥𝑥2− 𝑥𝑥≥ 𝑥𝑥2− 𝑥𝑥 +1
1 + ln( 𝑥𝑥2− 𝑥𝑥 +1) , rezultă că x
{ 0,1}.□
3. Rezolvați următoarea ecuați e :𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑦𝑦 + 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙√𝑚𝑚𝑦𝑦+𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙√𝑚𝑚3𝑦𝑦 + … + 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚+1
2,
n ∈ N* \ {1}.
Rezolvare: Dând factor comun obținem : log 𝑚𝑚𝑦𝑦 ( 1 + 2 + 3 + … + m) = 𝑚𝑚+1
2, rezultă că
y = √𝑚𝑚𝑚𝑚.□
4. Rezolvați următoarea ecuație :
a) 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 2(2𝑡𝑡+ 2) + 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 3(3𝑡𝑡+ 3) + … + 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑛𝑛(𝑛𝑛𝑡𝑡+𝑛𝑛) =�1
2�𝑡𝑡
+�13�𝑡𝑡
+⋯+�1
𝑛𝑛�𝑡𝑡
;
b) 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 2(𝑝𝑝+ 1) + 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 3(𝑝𝑝+ 1) + … + 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑛𝑛(𝑝𝑝+ 1) + n – 1 = �12�𝑝𝑝
+�13�𝑝𝑝
+⋯+�1
𝑛𝑛�𝑝𝑝
.
Rezolvare: Cele două funcții din ce doi membrii au monotonii diferite, deci t = 0 soluție unica
pentru a), iar p = 0 soluție unică pentru p). □
5. Să se resolve ecuația 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 2(𝑘𝑘+ 2) = 2 + 22 + … + 2k – 1, unde x
N, k
2.
Rezolvare: Dacă log 2(𝑘𝑘+ 2) = 2𝑘𝑘− 1
2−1– 1 = 2k – 2, atunci ară tăm că k = 2 e soluție unică.

78
Ecuația se mai scrie log 2(4𝑘𝑘+ 8) = 2k și din reprezentarea grafică a celor doi membrii rezultă
că ecuația mai are o soluție 𝑘𝑘1
�– 7
4, 0� nu aparține mulțimii numerelor naturale nenule.□

VI. Inecuații exponențiale și logaritmice
1. Să se rezolve inecuațiile:
a) 2 ∙ 9
a – 5 ∙ 6a + 3 ∙ 4a ≤ 0;
b) √9𝑎𝑎− 3𝑎𝑎+ 2 ≥ 3a – 9;
c) a2 ∙ 3a – 1 + (3a – 2a) ∙ a ≤ 2 ∙ (2a – 3a – 1) .
Rezolvare: a) a ∈ [0, 1]; b) a ∈ [2,∞); c) a ∈ [0, 2] ∩ [log 2128
31 , ∞].
2. Rezolvați inecuațiile:
a) 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑡𝑡(𝑡𝑡+ 2) ≥ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 (𝑡𝑡+2 )𝑡𝑡 ;
b) log a4a+5
6−5a < 1;
c) log a(2a−1
a−1) ≥ 1.
Rezolvare : a) a ∈ (0, √2 – 1] ∪ (1, ∞); b) a ∈ (0, 1); c) a ∈ �3√5
2 ,1
2� ∪ (1, 3+√5
2� .
3. Rezolvați inecuațiile:
a) 𝑥𝑥3+ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑏𝑏𝑥𝑥 ≤ b2 x2 ; b > 0 ; b ≠ 1;
b) 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑏𝑏(𝑥𝑥2− 3𝑥𝑥 +3)
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑏𝑏(𝑥𝑥2− 5𝑥𝑥 +5) ≤ 0 ; b > 0 ; b ≠ 1.
Rezolvare: a) Dacă b ∈ (0, 1) , rezultă că soluția este (0, b) ∪ �1
𝑏𝑏2 ,∞�, iar dacă b ∈ (1, ∞) ,
rezultă că soluția este �1
𝑏𝑏2 , b�; b) x ∈ [ 2, 4), ( ∀) b > 0 ; b ≠ 1.□
4. Rezolvați inecuațiile:
a) 9a + 20a ≥ 15a + 16a;
b) 33a – 1 + 26a – 1 ≤ 24a ∙ 3a – 1 + 22a – 1 ∙ 32a;

79
c) (2a + 3a) ∙ 6a + (3a + 4a) ∙ 12a ≤ 6a + 1 ∙ 4a – 16a (2a + 1).
Rezolvare : a) Inecuația se mai scrie (4a – 3a) ∙ (3a + 4a – 5a) ≥ 0. După semnul fiecărei funcții
=> a ∈ [0, 2];
b) Inecuația se mai scrie (3a – 4a) ∙ ( 2 ∙ 9a – 3 ∙ 16a – 12a) ≤ 0, unde 3a – 4a = 0 cu a 1
= 0 și 2 ∙ 9a – 3 ∙ 16a – 12a = 0 și a 2 = log 3
43
2 => a ∈ [log 3
43
2 , 0];
c) Notăm 2a = x și 3a = y, ceea ce rezultă că:
x2y + xy2 + x2y2 + x4y + x5 + x4 ≤ 6×3 ∙ y, dar x2y + xy2 + x2y2 + x4y + x5 + x4 ≥ 6 ∙ �𝑥𝑥18𝑦𝑦66 =
6x3y. Dacă x = y, rezultă că 2a = 3a , adică a = 0. □
5. Arătați că:
a) ln t ln p ≤ ln2 (t + p), ( ∀) t, p ∈ (1, ∞ );
b) ln𝑡𝑡+𝑝𝑝
2 ≤ 𝑡𝑡 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑡𝑡+𝑝𝑝 𝑙𝑙 𝑛𝑛𝑝𝑝
𝑡𝑡+𝑝𝑝, (∀) t, p ∈ (0, ∞).
Rezolvare a) Cum ln t ln p < (lnt lnp
2)2 = ln2 �tp ≤ ln2 t+p
2 < ln2 (t+ p);
b) Funcția f( t) = t ln t este convexă, ce ea ce rezultă că t+p
2 ∙ ln t+p
2 ≤ t
2 ∙ ln t
2 + p
2 ∙ ln
p
2.□

CONCLUZII
Ca orice ființă umană, fiecare dintre noi își fixează obiective atât pe plan profesional, cât
și pe plan individual.
Pe măsură ce ne confruntăm cu diferite situații, iar firele de nisip din clepsidra timpului se
scurg, realizăm că reușita noastră profesională se datoreză strategiei didactice pe care o
abordăm. Aceasta trebuie să se plieze pe particularitățile elevului, pe nevoile acestuia și pe
disponibilitatea acestuia de a învăța și de a cunoaște.
Stă în puterea profesorului de matematică să își predea materia astfel încât să desființeze
mitul potrivit căru ia această disciplină este greu accesibilă. Prin i ncluderea activă a elevului în
procesu l didactic , profesorul poate reuși să îmbine utilul cu plăcutul. Prin joc și joacă, prin

80
diverse alte metode moderne, cadrul didactic poate găsi calea de a- l apropia pe formabil de o
disciplină vastă, complex și riguroasă cum este matematica.
Lucr area propune câteva soluții, prezentate sub forma unor proiecte de tehnologie didactică
sau unui curs opțional, iar autorul ei are conștiența că orice demers didactic este perfectibil și
unic, în funcție de viziunea celui care îl proiectează.

81
BIBLIOGRAFIE
1. Brînzei D., Brânzei R, Metodica predării matematicii , Editura Paralela 45, 2010, Pitești;
2. Cerghit I., 2006, Metode de învățământ , Editura Polirom , București;
3. Constantinescu G., Zîrnă C., 2018, Pas cu pas prin matematică, clasa a X -a, Editura Crizon,
Constanța;
4. Cristea S., 1998, Dicționar de termini pedagogici , Editura Didactică și Pedagogică, București;
5. Gheorghe A . ,2006, Exponențiale și Logaritmi , editura Gill, Zalău
6. Ion D. I. , 1981, Algebră, Editura Didactică și Pedagogică, Bucuești ;
7. Mircea G. , 2002, Matematică – manual pentru clasa a X -a, Editura Mathpress, Ploiești;
8. Neacșu I., 2015, Metode și tehnici de învățare eficientă, Editura Polirom, București;
9. Niculescu L. 2006, Matematică – manual pentru clasa a X -a, Ed. Cardinal, Craiova;
10. Revista Tribuna învățământului, 2019;
11. Societatea de științe matematice din România, 2018, Didactică matematică -supliment al
publicației gazeta matematică, București;
12. Societatea de științe matematice din România, Gazeta matematică seria B – supliment cu
exerciții, colecția 2019-2020;
13. Zanoschi A., Iurea Ghe. Bacalaureat 2020, Matematică – bacalaureat 2020, editura Paralela
45, Pitești;
14. https://www.didactic.ro/ ;
15. https://edu.ro/ ;
16. https://www.mateinfo.ro/ .
17. https ://www. wikipedia.ro