Econometriemsbank2007 [619259]
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE
CATEDRA DE MONED Ă
Programul de Master Specializat
Managementul Sistemelor Bancare
MODULUL : Econometrie aplicat ă
utilizând EViews 5.1
– NOTE DE CURS –
Adrian Codirla șu, CFA
Octombrie 2007
1
Obiective
Cursul de econometrie bancar ă are ca obiective însu șirea de c ătre studen ți a tehnicilor
econometrice de baz ă utilizate în domeniul bancar. Principalele teme abordate în cadrul
acestui curs se refer ă la modelarea seriilor de timp, estimarea volatilit ății activelor
financiare, modelarea riscului.
De asemenea, cursul are ca obiectiv și însușirea de c ătre studen ți a cuno ștințelor
necesare model ării econometrice a datelor cu ajutorul programului Eviews 5.1.
Tematic ă
Serii de timp: momentele seriilor de timp, sta ționaritate/nesta ționaritate,
sezonalitate, distribu ții, componente pe termen lung;
Teste statistice;
Regresia liniar ă: estimare, teste, interpretare;
Modele cu date calitative;
Modele ARMA ;
Modele cu date panel;
Modele ARCH/GARCH ;
Modele de evaluare a riscului de pia ță (Value at Risk ).
2
Bibliografie
Alexander, Carol și Elizabeth Sheedy editori (2004) „The Professional Risk
Managers’s Handbook. Volume II: Mathematical Foundations of Risk Measurement”, PRMIA
Alexander, Carol și Elizabeth Sheedy editori (2004) „The Professional Risk
Managers’s Handbook. Volume III: Risk Measurement Practices”, PRMIA
DeFusco, Richard A., Dennis W. McLeavey, Jerald E. Pinto și David E. Runkle
(2001) „Quantitative Methods for Invstment Analysis”, AIMR
Enders, Walter (2004) „Applied Econometric Time Series Second Edition”, Wiley
Greene, William H. (2000) „Econometric Analysis, Fourth Edition”, Prentice Hall
International
Hamilton, James D. (1994) „Time Series Analysis”, Princeton University Press
J. P. Morgan (1996) „RiskMetrics – Technical Document”, J. P. Morgan
Lutkepohl, Helmut și Mekus Kratzig (2004) „Applied Time Series Econometrics”,
Cambridge University Press
Pindyck, Robert S. și Daniel L. Rubinfeld (1991) „Econometric Models and
Economic Forecasts” McGraw-Hill
Quantitative Micro Software (2005) „EViews 5.1 User’s Guide”, Quantitative
Micro Software
3Cuprins
CAPITOLUL I. SERII DE TIMP 5
CAPITOLUL II. TESTE STATISTICE 8
II.1. DISTRIBU ȚII 8
II.2. TESTAREA IPOTEZELOR 14
II.3. TESTAREA MEDIEI 17
II.4. TESTAREA VARIAN ȚEI 18
CAPITOLUL III. ANALIZA SERIILOR DE TIMP ÎN EVIEWS 20
III.1. INTRODUCEREA SERIILOR ÎN EVIEWS 20
III.2. PRELUCAREA SERIILOR 22
III.3. STAȚIONARITATEA SERIILOR DE TIMP 23
III.4. DISTRIBU ȚIA SERIILOR 30
III.5. FUNCȚIA DE AUTOCORELA ȚIE A SERIILOR DE TIMP 33
III.6. TRENDUL SERIILOR DE TIMP 35
III.7. AJUSTAREA SEZONIER Ă A SERIILOR DE TIMP 37
CAPITOLUL IV. REGRESIA LINIAR Ă MULTIPL Ă 41
IV.1. FORMA GENERAL Ă ȘI IPOTEZE 41
IV.2. TESTE STATISTICE SI INDICATORI AI REGRESIEI 42
IV.3. REGRESII CU VARIABILE CALITATIVE 44
IV.4. REGRESII CU SERII DE TIMP ÎN EVIEWS 45
IV.5. REGRESII CU SERII CROSSEC ȚIONALE ȘI VARIABILE CALITATIVE ÎN EVIEWS 57
CAPITOLUL V. MODELE ARMA 60
V. 1. PROCESE AR 60
V. 2. PROCESE MA 61
V. 3. PROCESE ARMA 61
V. 4. ESTIMAREA MODELELOR ARMA ÎN EVIEWS 63
CAPITOLUL VI. MODELE CU DATE PANEL 76
VI. 1. UTILIZAREA MODELELOR CU DATE PANEL 76
VI. 2. ESTIMAREA MODELELOR CU DATE PANEL ÎN EVIEWS 76
CAPITOLUL VII. MODELE GARCH 85
VII.1. TIPURI DE MODELE ARCH 85
4VII.2. ESTIMAREA MODELELOR ARCH ÎN EVIEWS 88
CAPITOLUL VIII. MODELE VALUE AT RISK 93
VIII.1. MĂSURA VAR 93
VIII.2. VAR ANALITIC 93
VIII.3. VAR CALCULAT PE BAZA SIMUL ĂRII MONTE CARLO 94
VIII.4. VAR ISTORIC 95
VIII.5. UTILIZAREA MODELELOR DE VOLATILITATE ÎN CALCULUL VAR 97
VIII.5.1. CALCULUL VAR UTILIZÂND EWMA 97
VIII.5.2. CALCULUL VAR UTILIZÂND MODELE GARCH 98
VIII.6.C ALCULUL VAR PENTRU UN PORTOFOLIU DE AC ȚIUNI 99
5Capitolul I. Serii de timp
O serie de timp reprezint ă o secven ță de valori înregistrate de o variabil ă aleatoare
specifică într-o anumit ă perioadă de timp.
Principalele caracteristici ale seriilor de timp, care trebuie avute în vedere în analiza
econometric ă a datelor sunt:
1. Frecven ța seriei de timp reprezint ă periodicitatea cu care este observat ă variabila.
Funcție de specificul seriei de timp, frecven ța poate fi zilnic ă (cum este cazul pre țurilor
activelor financiare – cursurile ac țiunilor, ratele de dobând ă, cursul de schimb), lunar ă
(de exemplu, rata infla ției, salariul mediu pe economie, rata șomajului), trimestrial ă (cum
este produsul intern brut) sau anual ă.
2. Populație versus eșantion . Popula ția reprezint ă totalitatea observa țiilor unei
variabile. E șantionul reprezint ă un subset de observa ții al variabilei aleatoare.
3. Momentele seriei de timp:
Primele patru momente ale unei serii de timp sunt: Media (calculat ă ca suma observa țiilor împărțită la numărul de observa ții).
Deviația standard a seriei, care reprezint ă o mă
sură a dispersiei observa țiilor.
Formula de calcul a dispersiei ( s) pentru un e șantion de observa ții este:
()
112
−−
=∑
=
Nyy
sN
ii
,
unde:
N reprezint ă numărul de observa ții din eșantion,
yi – observa țiile incluse în e șantion, N i,1=
y – valoarea medie a e șantionului.
Coeficientul de asimetrie – care reprezint ă o măsură a asimetriei distribu ției față de
media sa.
Formula de calcul a coeficientului de asimetrie ( S) pentru o serie de timp este:
3
11∑
=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=N
iiyy
NSσ) ,
unde:
N reprezint ă numărul de observa ții din eșantion,
yi – observa țiile incluse în e șantion, N i,1=
y – valoarea medie a e șantionului,
6σˆ – un estimator al devia ției standard a seriei: NNs1ˆ−=σ .
s – dispersia seriei de timp.
Coeficientul de asimetrie pentru o distribu ție normal ă este zero.
Kurtotica – care m ăsoară înălțimea distribu ției seriei. Kurtotica ( K) este calculat ă
după cum urmeaz ă (notațiile de mai sus se men țin):
4
11∑
=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=N
iiyy
NKσ) .
Pentru o distribu ție normal ă, kurtotica are valoarea 3. Dac ă distribuția are kurtotica mai
mare decât 3, aceasta se nume ște leptocurtotic ă (și are o în ălțime mai mare decât o
distribuție normal ă), iar în cazul în care kurtotica are o valoare mai mic ă decât 3,
distribuția se nume ște platycurtotic ă (și are o în ălțime mai mic ă comparativ cu o
distribuție normal ă).
În general seriile de date financiare au o distribu ție leptokurtotic ă. O caracteristic ă a
acestei distribu ții este faptul c ă probabilitatea apari ției de evenimente extreme este mai
mare în cazul distribu ției leptokurtotice decât în cazul distribu ției normale.
4. Staționaritatea seriei de timp.
Condițiile ce trebuie îndeplinite pentru ca o serie de timp s ă fie staționară sunt:
media seriei de timp s ă fie constant ă sau cu alte cuvinte, observa țiile trebuie s ă
fluctueze în jurul mediei.
varian ța seriei s ă fie constant ă.
Din punct de vedere economic, o serie este sta ționară dacă un șoc asupra seriei este
temporar (se absoarbe în timp) și nu permanent.
Exemple de serii sta ționare: rata de cre ștere a PIB real, rata infla ției (cu excep ția
perioadelor de hiperinfla ție). Exemple de serii nesta ționare: cursul de schimb nominal,
indicele preturilor de consum, nivelul PIB real.
În cazul în care seria nu este sta ționară, prin diferen țiere, se ob ține o serie sta ționară.
Astfel, ordinul de integrare a seriei reprezint ă numărul de diferen țieri succesive necesare
pentru ob ținerea unei serii sta ționare (sau num ărul de rădăcini unitare al seriei). În
economie, cele mai întâlnite serii nesta ționare sunt integrate de ordinul I (necesit ă o
singură diferențiere, au o r ădăcină unitară).
De asemenea, exist ă serii de timp trend-sta ționare: serii de timp care pot fi f ăcute
staționare prin eliminarea (sc ăderea) trendului (deterministic) al seriei.
75. Sezonalitatea seriei de timp. Seriile de timp cu frecven ță lunară sau trimestrial ă
prezintă adesea evolu ții care au o anumit ă ciclicitate. De exemplu activitatea economic ă
se încetine ște în lunile de iarn ă, prețurile cresc mai mult în lunile reci decât în perioada
de vară etc.
În analiza econometric ă, pentru a elimina aceste evolu ții sezoniere și a eviden ția doar
impactul pe care îl are o anumit ă variabilă asupra alteia, seriile de timp sunt ajustate
sezonier.
8Capitolul II. Teste statistice
Inferența statistic ă are dou ă subdiviziuni: estimarea parametrilor modelelor (abordat ă in
următoarele capitole) și testarea ipotezelor.
Estimarea parametrilor r ăspunde întreb ării: care este valoarea parametrului (de exemplu
care este media popula ției). Răspunsul la aceast ă întrebare este prezentat sub forma
unui interval de încredere construit în jurul valorii estimate.
În schimb, testarea ipotezelor trebuie s ă răspundă întrebării: este x valoarea
parametrului?
Pentru a putea r ăspunde ambelor întreb ări este esen țială cunoașterea distribu ției seriei
de date ai c ărei parametrii se analizeaz ă.
II.1. Distribu ții
Distribu ția de probabilitate/func ția de densitate a unei variabile (aleatoare). Aceasta
este reprezentarea tuturor valorilor pe care le poate lua o variabil ă aleatore si a
probabilit ății de apari ție a acestor valori.
În cazul unei variabile aleatoare discrete (variabil ă care poate lua numai anumite valori),
distribuția de probabilitate este reprezentat ă printr-o func ție care returneaz ă
probabilit ățile de apari ție pentru valorile variabilei aleatoare.
În cazul unei variabile aleatoare continue (variabil ă care poate lua orice valori în cadrul
unui anumit interval) este utilizat ă funcția de densitate. Deoarece, pentru o variabil ă
aleatoare continu ă, probabilitatea de a avea o anumit ă valoare este 0, se calculeaz ă
probabilitatea ca valoarea înregistrat ă de variabila aleatoare s ă aparțină unui anumit
interval.
Astfel, probabilitatea ca valoarea înregistrat ă de variabila aleatoare x să aparțină
intervalului [a, b] este () ( )∫=≤≤b
adxxf bxaPr , iar probabilitatea ca valoarea înregistrat ă
de variabila aleatoare s ă fie mai mica decât o valoare c este () ( )∫
∞−=≤b
dxxf cxPr .
Cele mai utilizate distribu ții de probabilitate în econometrie sunt:
Distribu ția normal ă (sau Gaussian ă).
Ecuația acestei distribu ții este: ()2
21
21⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−−
=σμ
πσx
e xf ,
9unde:
μ reprezint ă media distribu ției,
σ – abaterea medie p ătratică a acesteia,
x – variabila aleatoare,
14159.3≈π
71828.2≈e .
După cum se poate observa din ecua ție, aceast ă distribuție poate fi construit ă numai pe
baza primelor dou ă momente ale seriei (media și abaterea medie p ătratică).
Dacă variabila x este distribuit ă normal, nota ția utilizat ă este: ),(~2σμNx .
În graficul de mai jos sunt prezentate exemple de distribu ții normale în func ție de medie
și deviație standard:
Distribu ția lognormal ă.
O variabil ă este lognormal distribuit ă dacă logaritmul natural al variabilei este nomal
distribuit.
Funcția densității de probabilitate au unei variabile lognormal distribuite este:
()2)ln(
21
21⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−−
⋅⋅=σμ
πσx
e
xxf ,
10unde:
μ reprezint ă media distribu ției,
σ – abaterea medie p ătratică a acesteia,
x – variabila aleatoare.
Funcție de diverse valori ale abaterii medii p ătratice, în tabelul de mai jos sunt
prezentate exemple de distribu ții lognormale.
Distribu ția t.
Această distribuție este folosit ă pentru modelarea mediei unui e șantion mic de date (sub
30 de observa ții) extras dintr-o popula ție cu o distribu ție normal ă, în cazul în care
abaterea medie p ătratică a eșantionului nu este cunoscut ă. Pentru e șantioane mari de
observații, distribu ția t converge c ătre distribu ția normal ă.
Pentru e șantioane mici de date, aceast ă distribuție are o kurtotic ă mai mare decât o
distribuție normal ă; datorit ă acestei caracteristici este folosit ă în modelarea
randamentelor activelor financiare.
Spre deosebire de distribu ția normal ă, forma acestei depinde și de num ărul de grade de
libertate a seriei de date. Distribu ția t este de fapt o familie de distribu ții, (există o
distribuție pentru fiecare valoare posibil ă a gradelor de libertate).
11Numărul de grade de libertate este o m ăsură a numărului de unit ăți de informa ție
independente pe baza c ăruia un parametru este estimat. Pentru un parametru (media,
abaterea medie p ătratică a unei distribu ții, coeficientul unei variabile independente
dintr-o ecua ție de regresie) num ărul de grade de libertate este egal cu num ărul
observațiilor pe baza c ărora s-a realizat estimarea minus num ărul de parametri adi ționali
calculați pentru estimarea acestui parametru.
Dacă )1,0(~Nz și []n x2~χ și x este independent de z, atunci raportul
nxzt=
urmează o distribu ție t cu n grade de libertate, []ntt~ .
De asemenea, dac ă []ntt~ , atunci []nFt ,1~2.
În graficul de mai jos sunt prezentate exemple de distribu ții t funcție de num ărul de
grade de libertate, k.
Distribu ția Chi pătrat (2χ).
Această distribuție este printre cele mai folosite distribu ții în testele statistice.
Distribuția 2χ este asimetric ă, și ca și în cazul distribu ției t, este o familie de distribu ții
(există o distribu ție pentru fiecare valoare posibil ă a gradelor de libertate n – 1 ).
Distribuția 2χ este mărginită de zero (toate valorile sunt pozitive).
12Dacă )1,0(~Nz , atunci []1 ~2 2χ zx= , x este distribuit ă 2χ cu un grad de libertate.
Dacă nx xx ,…,,2 1 sunt n variabile independente având fiecare o distribu ție []12χ , atunci
[]n xn
iiχ~
1∑
=.
Proprietăți
• Dacă iz, n i ,…,2,1= sunt variabile independente care urmeaz ă distribu ții
()1,0N , atunci []n zn
ii2
12~χ∑
=;
• Dacă iz, n i ,…,2,1= sunt variabile independente care urmeaz ă distribu ții
()2,0σN , atunci []nzn
ii 22
1~χσ∑
=⎟⎠⎞⎜⎝⎛;
• Dacă []12
1~ n xχ și []22
2~ n xχ sunt variabile independente, atunci
[]2 12
2 1 ~ nn xx + +χ .
În graficul de mai jos sunt prezentate distribu ții 2χ funcție de num ărul de grade de
libertate, k.
13 Distribu ția F.
Ca și distribu ția 2χ, distribu ția F este o familie de distribu ții asimetrice, care sunt
mărginite de zero (sunt întotdeauna pozitive). Fiecare distribu ție F este definit ă de către
două valori de grade de libertate, denumite grade de libertate ale num ărătorului și ale
numitorului.
Dacă []12
1~ n xχ și []22
2~ n xχ sunt variabile independente, atunci []2 1
2211
, ~ nnF
nxnx
F= .
În graficul de mai jos sunt prezentate distribu ții F funcție de num ărul de grade de
libertate, 1d și 2d.
14II.2. Testarea ipotezelor
O ipoteză este definit ă ca o afirma ție referitoare la una sau mai multe popula ții.
Pentru testarea unei ipoteze trebuie parcur și următorii pași:
1. Definirea ipotezei; 2. Identificarea testului statistic ce va fi utilizat și a distribu ției de probabilitate a
acestuia;
3. Specificarea nivelului de relevan ță al testului;
4. Specificarea regulii de decizie; 5. Colectarea datelor și estimarea parametrului;
6. Luarea deciziei statistice; 7. Luarea deciziei economice.
1. Primul pas în testarea ipotezei este specificarea ipotezei nule și a ipotezei alternative.
Ipoteza nul ă, notată cu
0H, reprezint ă ipoteza ce este testat ă, iar ipoteza alternativ ă,
notată cu aH, este ipoteza acceptat ă în cazul în care ipoteza nul ă este respins ă.
Exemple de formul ări de ipoteze:
a) 0 0: xxH= versus 0 : xx Ha≠;
b) 0 0: xxH≤ versus 0 : xx Ha>;
c) 0 0: xxH≥ versus 0 : xx Ha<.
Prima formulare reprezint ă un test care se refer ă la ambele cozi ale distribu ției (two
tailed test ), ipoteza nul ă fiind respins ă fie dacă x este mai mare, fie dac ă x este mai mic
decât 0x. A doua și a treia formulare sunt teste care se refer ă la o singur ă coadă a
distribuției (one tailed test ), ipoteza nul ă este respins ă numai dac ă x este mai mare
(punctul b)), respectiv mai mic (punctul c)) decât 0x.
2. Al doilea pas const ă în identificarea testului statistic aplicabil și a distribu ției de
probabilitate a acestuia.
Testul statistic reprezint ă o cantitate calculat ă pe baza unui e șantion, a c ărei valoare st ă
la baza deciziei de acceptare sau respingere a ipotezei nule.
De exemplu, testul statistic pentru media unei popula ții este:
parametru std eroareH sub populatie parametru esantion parametrustatistic test_ __ _ _ __0 −=
Astfel, dac ă media unui e șantion cu n observa ții extras dintr-o popula ție este x, eroarea
standard a mediei poate fi calculat ă prin dou ă metode:
15 fie ca
nxσσ= în cazul în care abaterea medie p ătratică a popula ției este
cunoscut ă,
sau ca
nssx= atunci când abaterea medie p ătratică a popula ției nu este
cunoscut ă, dar este cunoscut ă abaterea medie p ătratică a eșantionului, s.
3. Al treilea pas const ă în specificarea nivelului de relevan ță al testului. Pe baza valorii
testului, dou ă acțiuni sunt posibile:
Ipoteza nul ă este respins ă;
Ipoteza nul ă nu este respins ă.
Acceptarea sau respingerea ipotezei nule se bazeaz ă pe compararea valorii calculate a
testului statistic cu valorile specifice (tabelate) ale testului statistic. Valorile cu care se compară valorile calculate sunt stabilite func ție de nivelul de relevan ță ales. Nivelul de
relevanță reflectă cât de multe „dovezi” (probabilitate) avem nevoie pentru respingerea
ipotezei nule.
Atunci când test ăm o ipotez ă nulă pot apărea patru situa ții:
Se respinge o ipotez ă nulă falsă. Aceasta este ac țiunea corect ă.
Se respinge o ipotez ă nulă adevărată. Aceasta este o eroare de tipul I.
Nu se respinge o ipotez ă nulă falsă. Aceasta este o eroare de tipul II.
Nu se respinge o ipotez
ă nulă adevărată. Aceasta este ac țiunea corect ă.
Probabilitatea unei erori de tipul I se noteaz ă cu α și se nume ște nivelul de relevan ță al
testului statistic. De exemplu, un nivel de relevan ță de 0.05 (nivelul de relevan ță cel mai
utilizat în luarea deciziilor statistice) înseamn ă că, cu o probabilitate de 5 la sut ă există
riscul de a respinge o ipotez ă nulă adevărată.
Probabilitatea unei erori de tipul II se noteaz ă cu β.
În luarea deciziei statistice, trebuie g ăsit un compromis între cele dou ă tipuri de erori.
Astfel, dac ă scădem probabilitatea de a face o eroare de tipul I vom cre ște probabilitatea
de a face o eroare de tipul II și invers. Singura metod ă de a reduce ambele tipuri de erori
este creșterea num ărului de observa ții din eșantion, n.
4. Al patrulea pas în testarea ipotezei este stabilirea regulii de decizie. Astfel, atunci
când este testat ă ipoteza nul ă, dacă valoarea absolut ă calculată a testului statistic este
mai mare sau egal ă cu valoarea tabelat ă pentru testul respectiv pentru nivelul de
relevanță α, ipoteza nul ă este respins ă (parametrul estimat este semnificativ din punct
de vedere statistic). În caz contrar ipoteza nul ă nu este respins ă, adică parametrul
estimat nu este semnificativ din punct de vedere statistic. Valorile cu care se compar ă
valorile calculate ale testului statistic se numesc valori critice.
16Pentru un test care se refer ă la o singur ă coadă a distribu ției (one tailed test ) valoarea
critică este indicat ă cu expresia αz, unde z reprezint ă valoarea critic ă iar α nivelul de
relevanță. Pentru un test care se refer ă la ambele capete ale distribu ției (two tailed test ),
valoarea critic ă este indicat ă cu
2αz.
Astfel, în cazul testului z (care este normal distribuit) pentru testarea mediei unui
eșantion și considerând un nivel de relevan ță de 0.05 rezult ă următoarele posibilit ăți:
Pentru testul 0 0:μμ= H versus 0 :μμ≠aH sunt dou ă puncte de respingere a
ipotezei nule, unul pozitiv și unul negativ. Având în vedere c ă testul se refer ă la
ambele capete ale distribu ției, pentru un nivel de relevan ță de 0.05,
probabilitatea total ă pentru apari ția unei erori de tipul I nu trebuie s ă fie mai mare
de 0.05. Astfel, o probabilitate de 025.0205.0= trebuie luat ă în considerare
pentru fiecare coad ă a distribu ției pentru testarea ipotezei nule. Ca o consecin ță,
cele dou ă puncte de respingere sunt 96.1025.0= z și 96.1025.0−=−z . Dacă
consider ăm z ca fiind valoarea calculat ă a testului statistic, atunci respingem
ipoteza nul ă dacă 96.1−<z sau 96.1>z .
Pentru testul 0 0:μμ≤ H versus 0 :μμ>aH , la nivelul de relevan ță de 0.05,
valoarea critic ă este 645.105.0=z . Ipoteza nul ă se respinge dac ă 645.1>z .
Pentru testul 0 0:μμ≥ H versus 0 :μμ<aH , la nivelul de relevan ță de 0.05,
valoarea critic ă este 645.105.0−=−z . Ipoteza nul ă este respins ă dacă 645.1<z .
5. Al cincilea pas în testarea ipotezei este colectarea datelor și calculul testului statistic.
Astfel, majoritatea testelor solicit ă cel puțin un num ăr de 20 – 30 de observa ții.
6. Al șaselea pas este reprezentat de luarea deciziei statistice: acceptarea sau
respingerea ipotezei nule.
7. Ultima etap ă constă în luarea deciziei economice. Aceasta trebuie s ă ia în
considerare nu numai decizia statistic ă ci si toate celelalte informa ții disponibile.
Programele software econometrice raporteaz ă, pe lâng ă valoarea testului statistic și
probabilitatea α asociată acestui test (valoarea p). Aceasta reprezint ă cel mai mic nivel
de relevan ță la care ipoteza nul ă poate fi respins ă. Astfel decizia statistic ă este
simplificat ă, aceasta putând fi luat ă prin compararea valorii p cu nivelul de relevan ță la
care se lucreaz ă.
17II.3. Testarea mediei
Pentru testarea mediei sunt folosite dou ă tipuri de teste: testul z și testul t. Modul de
calcul al celor dou ă teste este identic, ceea ce difer ă sunt valorile critice ale testului.
Modalitatea de calcul al testului este:
parametru std eroareH sub populatie parametru esantion parametrustatistic test_ __ _ _ __0 −= .
Decizia de a utiliza unul dintre cele dou ă teste se ia func ție de distribu ția popula ției și
numărul de observa ții disponibile astfel:
Eșantion mare
(n > 30) Eșantion mic
(n < 30)
Populația are o distribu ție
normală Testul t sau testul z Testul t
Populația nu are o
distribuție normal ă Testul t sau testul z Nu se poate testa
De exemplu, se analizeaz ă evoluția randamentelor unui fond de investi ții. Astfel
eșantionul este format din 24 de observa ții care reprezint ă randamentele lunare ale
fondului în ultimii 2 ani. Media acestor randamente este 1.5 la sut ă iar abaterea lor
standard este de 3.60 la sut ă. Datorită nivelului de risc sistematic al investi țiilor acestui
fond, acesta ar trebui s ă obțină un randament lunar de 1.10 la sut ă. Se cere s ă se
determine, cu un nivel de relevan ță de 10 la sut ă, dacă rezultatele fondului sunt
consistente cu cerin ța de a ob ține un randament lunar de 1.10 la sut ă.
În aceste condi ții testul statistic are ca ipotez ă nulă este 10.1 :0=μH versus ipoteza
alternativ ă 10.1 :≠μaH .
Deoarece varian ța popula ției nu este cunoscut ă se va utiliza un test t cu 21 – 1 = 23
grade de libertate (prin calculul mediei s-a pierdut un grad de libertate).
Având în vedere c ă este un test care ține cont de ambele capete ale distribu ției,
valoarea critic ă este 23,05.01,2t t
n=
−α . Conform tabelelor distribu ției t, valoarea critic ă
corespunz ătoare nivelului de relevan ță de 0.05 și a 23 de grade de libertate este 1.714.
Ca urmare, cele dou ă puncte de respingere a ipotezei nule sunt 1.714 și respectiv –
1.714. Cu alte cuvinte, ipoteza nul ă va fi respins ă dacă 714.1>t sau 714.1−<t .
18Valoarea testului statistic este: 544331.0734847.04.0
2460.310.15.1
23 = =−=t .
Deoarece 0.544331 nu satisface nici una din condi țiile 714.1>t sau 714.1−<t , ipoteza
nulă nu este respins ă.
Funcție de valorile critice ale testului parametrului, și a erorii standard a acestuia se
poate construi intervalul de confiden ță al parametrului astfel: ⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡+−x x stxstx
2 2;α α .
Astfel, pentru exemplul de mai sus, cu un nivel de relevan ță de 90 la sut ă, cele dou ă
valori sunt () 240472.0 734847.0 714.15.1 = ⋅− și ( ) 759528.2 734847.0 714.15.1 = ⋅+ .
Astfel, intervalul de confiden ță al mediei, la un nivel de relevan ță de 90 la sut ă este
[] 759528.2; 240472.0 . Cum valoarea de 1.10 la sut ă aparține acestui interval, ipoteza
nulă nu este respins ă.
II.4. Testarea varian ței
Varianța și deviația standard sunt m ăsuri utilizate frecvent pentru m ăsurarea riscului în
investițiile financiare.
Ca și în cazul testelor de medie, considerând 2
0σ valoarea cu care se compar ă varianța
eșantionului, 2σ, ipotezele ce pot fi formulate pentru varian ța unei popula ții sunt:
a) 2
02
0:σσ= H versus 2
02:σσ≠aH ;
b) 2
02
0:σσ≤ H versus 2
02:σσ>aH ;
c) 2
02
0:σσ≥ H versus 2
02:σσ<aH .
Pentru testele statistice referitoare la varian ța unei popula ții cu distribu ție normal ă este
folosit testul 2χ.
Dacă dispunem de un e șantion de n observa ții extrase dintr-o popula ție normal
distribuită, testul statistic pentru testarea varian ței este:
()
2
02
2 1
σχs n−= ,
cu n – 1 grade de libertate.
()
12
1 2
−−
=∑
=
nxx
sn
ii
reprezint ă varianța eșantionului de date utilizat.
19Dacă alegem un nivel de relevan ță al testului, α, punctele de respingere ale ipotezei
nule pentru cele trei tipuri de teste sunt:
a) 2
02
0:σσ= H versus 2
02:σσ≠aH . Respingem ipoteza nul ă dacă valoarea
testului statistic este egal ă cu sau mai mare decât punctul cel mai la dreapta
(cel mai mare) 2α a distribu ției 2χ cu n – 1 grade de libertate (notat cu 2
2αχ)
sau dacă valoarea testului statistic este egal ă cu sau mai mic ă decât punctul
cel mai la stânga (cel mai mic) 2α a distribu ției, (notat cu 2
21αχ
−).
b) 2
02
0:σσ≤ H versus 2
02:σσ>aH . Respingem ipoteza nul ă dacă valoarea
testului statistic este egal ă cu sau mai mare decât punctul cel mai la dreapta
(cel mai mare) α a distribu ției 2χ cu n – 1 grade de libertate.
c) 2
02
0:σσ≥ H versus 2
02:σσ<aH . Respingem ipoteza nul ă dacă valoarea
testului statistic este egal ă cu sau mai mic ă decât punctul cel mai la stânga (cel
mai mic) α a distribu ției 2χ cu n – 1 grade de libertate.
Revenind la exemplul utilizat în cazul testului privind media unei popula ții, presupunând
că, pe parcursul celor 24 de luni de observa ție a randamentelor fondului de investi ții,
deviația standard a randamentelor lunare ale acestuia a fost de 3.60 la sut ă, se cerea s ă
se analizeze dac ă strategia de investi ții a fondului a urm ărit (și a reușit) o abatere
standard a randamentelor lunare de cel mult 4 la sut ă.
În aceste condi ții, ipoteza nul ă este 16 :2
0≥σH iar ipoteza alternativ ă este
16 :2<σaH .
Testul statistic folosit este testul 2χ cu 24 – 1 = 23 grade de libertate. La 05.0=α ,
valoarea critic ă a testului este 13.091.
Valoarea testului statistic este:
()63.181608.298
46.323 1
22
2
02
2==⋅=−=σχs n
Deoarece valoarea calculat ă a testului statistic, 18.63, nu este mai mic ă decât valoarea
critică, 13.091, nu respingem ipoteza nul ă.
Deci strategia de investi ții a fondului a avut ca rezultat o devia ție standard a
randamentelor lunare înregistrate de fondul de investi ții mai mic ă decât 4 la sut ă.
20Capitolul III. Analiza seriilor de timp în EViews
III.1. Introducerea seriilor în EViews
Crearea unui fi șier de lucru ( workfile ) în EViews
Fișierul de lucru poate s ă conțină următoarele tipuri de date:
Serii cros-sec ționale sau serii de timp nedatate (op țiunea Unstructured/Undated );
Serii de timp cu frecvent ă constant ă (opțiunea Dated – regular frequency );
Serii de tip panel – serii care sunt în acela și timp cros –sec ționale cât și serii de
timp (opțiunea Balanced Panel ).
Analizăm seria de timp cu frecven ță zilnică a cursului de schimb pentru perioada
ianuarie 1999 – mai 2006. De și seria are frecven ță constant ă, datorită sărbătorilor
legale, care nu pot fi definite în EViews, nu se poate alege op țiunea Dated , ci opțiunea
Unstructured/Undated .
Pentru perioada analizat ă, sunt disponibile aproximativ 2000 de observa ții. În cazul
realizării de prognoze, trebuie alocate observa ții și pentru perioada pentru care se face
prognoza. De aceea, este recomandat ca intervalul specificat s ă fie mai mare decât
numărul de observa ții disponibile. De aceea, intervalul specificat în EViews va fi de 2500
observații.
21
În acest fi șier de lucru trebuie definite seriile cu care for fi folosite în analiza
econometric ă.
Definirea seriilor: click buton dreapa mouse în interiorul fi șierului de lucru, selectarea
opțiunii new object , alegerea op țiunii series și specificarea numelui seriei. Seria creat ă
se nume ște eur.
22Introducerea datelor în seria creat ă: selectarea serie, click buton stânga mouse,
selectare op țiune edit +/- în fereastra seriei, introducerea datelor cu copy (din fișierul
Excel) și paste în prima coloan ă a fișierului seriei.
III.2. Prelucarea seriilor
Asupra seriilor introduce pot fi aplicate opera ții matematice. Cele mai utilizate sunt
logaritmarea și prima diferen ță.
Cu excep ția seriilor care au și valori negative, sau zero, analiza econometric ă se
realizeaz ă cu serii logaritmate, logaritmarea facilitând interpretarea coeficien ților obținuți
din regresie (ace știa sunt elasticit ăți).
Prima diferen ță (1−−t txx ) este utilizat ă pentru sta ționarizarea seriilor.
Prelucrarea se realizeaz ă cu opțiunea generate (genr) din fereastra fi șierului de lucru și
introducerea ecua ție. De exemplu se logaritmeaz ă seria eur, seria de logaritmi se
numește l_eur . Asupra seriei l_eur se aplic ă operatorul prim ă diferență, seria de prime
diferențe fiind denumit ă dl_eur .
Comenzile ce trebuie scrise în fereastra Generate sunt:
l_eur=log(eur)
dl_eur=d(l_eur) sau dl_eur=l_eur-l_eur(-1)
x(-n) reprezint ă lag-ul n al seriei, adic ă observa ția ntx−. x(n) reprezint ă lead-ul n al seriei,
adică observa ția ntx+.
23
III.3. Sta ționaritatea seriilor de timp
Opțiunile pentru analiza seriilor de timp sunt disponibile în fereastra seriei, prin op țiunea
view.
Opțiunile disponibile sunt:
Spreadsheet permite vizualizarea/modificarea datelor seriei;
Graph permite reprezentarea grafic ă a seriei;
Descriptive Statistics prezintă primele patru momente ale distribu ției seriei;
Test of Descriptive Statistics permite efectuarea de teste statistice asupra
momentelor seriei;
Distribuțion prezintă distribuția seriei;
Correlogram prezintă funcția de autocorela ție și autocorela ție partial ă.
Seriile ce vor fi analizate sunt l_eur și dl_eur .
24Graficele celor dou ă serii ( View/Graph/Line ) sunt prezentate mai jos:
0.20.40.60.81.01.21.41.6
500 1000 1500 2000 2500
L_EUR
-.06-.04-.02.00.02.04.06.08
500 1000 1500 2000 2500
DL_EUR
Din grafice rezult ă că l_eur (seria cursului de schimb) ar trebui sa fie o serie nesta țonară
iar seria dl_eur (variatia zilnic ă a cursului de schimb) o serie sta ționară. Dar aceste
observații trebuie confirmate prin testele de sta ționaritate.
Testele de sta ționaritate cele mai folosite sunt ADF (Augmented Dickey-Fuller ) și PP
(Phillips-Perron ).
Pentru a testa sta ționaritatea unei serii de timp: View/Unit Root Test
Opțiunile disponibile sunt:
Test type : tipul testului de r ădăcină unitară (Augmented Dickey-Fuller , Phillips-
Perron );
Test unit root in :
• Level – seria nivel (seria efectiv ă);
25• 1st difference – prima diferen ță a seriei (de obicei în cazul în care testul
aplicat asupra seriei nivel a ar ătat că seria este nesta ționară);
• 2nd difference – a doua diferen ță a seriei (atunci când și testul aplicat primei
diferențe a arătat că seria de prime diferen țe este nesta ționară.
Include in test equation
• Intercept – dacă testul să includă și un termen constat. Acesat ă opțiune se
alege atunci când din graficul seriei se observ ă că aceasta fluctueaz ă în jurul
unei anumite valori sau porne ște dintr-o anumit ă valoare.
• Trend and intercept – în cazul în care seria prezint ă un trend.
• None – in cazul în care seria fluctueaz ă în jurul valorii 0.
Prima parte a testului prezint ă informații cu privire la tipul testului (AFD, variabilele
exogene introduse – constant ă, trend) și cuprinde rezultatul testului, valorile critice
pentru fiecare nivel de relevan ță (1, 5 și 10 la sut ă), și probabilitatea, p, asociată
rezultatului testului.
În acest exemplu, pentru l_eur, ADF are valoarea – 0.981155 și valoarea p asociată
acestuia este de 0.9448. Dac ă valoarea testului este mai mare decât valoarea critic ă, nu
este respins ă ipoteza nul ă – seria are o r ădăcină unitară (este nesta ționară). În acest
caz nu este respins ă ipoteza nul ă – seria este nesta ționară.
Utilizând valoarea p, este acceptat ă ipoteza nul ă – seria este nesta ționară – pentru un
anumit nivel de relevan ță, ori de câte ori probabilitatea p este mai mare decât acel nivel
de relevan ță.
Partea a doua a testului prezint ă ecuația estimat ă, pe baza c ăreia a fost calculat testul
ADF.
Testul ADF pentru l_eur :
Null Hypothesis: L_EUR has a unit root
Exogenous: Constant, Linear Trend
Lag Length: 3 (Automatic based on SIC, MAXLAG=25)
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -0.981155 0.9448
Test critical values: 1% level -3.962327
5% level -3.411905
10% level -3.127850
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(L_EUR)
26Method: Least Squares
Date: 09/22/07 Time: 12:51
Sample (adjusted): 5 2148
Included observations: 2144 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
L_EUR(-1) -0.000783 0.000798 -0.981155 0.3266
D(L_EUR(-1)) 0.066581 0.021554 3.089033 0.0020D(L_EUR(-2)) -0.089595 0.021512 -4.164953 0.0000
D(L_EUR(-3)) -0.074095 0.021552 -3.437954 0.0006
C 0.002038 0.000567 3.593461 0.0003
@TREND(1) -6.76E-07 3.97E-07 -1.702470 0.0888
R-squared 0.027608 Mean dependent var 0.000428Adjusted R-squared 0.025334 S.D. dependent var 0.006209
S.E. of regression 0.006129 Akaike info criterion -7.348637
Sum squared resid 0.080324 Schwarz criterion -7.332769Log likelihood 7883.739 F-statistic 12.14042
Durbin-Watson stat 1.995360 Prob(F-statistic) 0.000000
Pentru a determina ordinal de integrare al seriei (de câte diferen țieri este nevoie pentru
a obține o serie sta ționară, se va testa sta ționaritatea seriei de prime diferen țe (dl_eur ).
27Testul ADF pentru dl_eur :
Null Hypothesis: D(L_EUR) has a unit root
Exogenous: Constant Lag Length: 2 (Automatic based on SIC, MAXLAG=25)
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -29.44682 0.0000
Test critical values: 1% level -3.433203
5% level -2.862686
10% level -2.567426
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(L_EUR,2)
Method: Least Squares Date: 09/22/07 Time: 13:13
Sample (adjusted): 5 2148
Included observations: 2144 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
D(L_EUR(-1)) -1.071989 0.036404 -29.44682 0.0000
D(L_EUR(-1),2) 0.1474 25 0.029223 5.044887 0.0000
D(L_EUR(-2),2) 0.0651 75 0.021560 3.023036 0.0025
C 0.000459 0.000134 3.425652 0.0006
R-squared 0.469264 Mean dependent var 5.00E-06
Adjusted R-squared 0.468520 S.D. dependent var 0.008448
S.E. of regression 0.006159 Akaike info criterion -7.340058
Sum squared resid 0.081168 Schwarz criterion -7.329479
Log likelihood 7872.542 F-statistic 630.7120Durbin-Watson stat 1.994158 Prob(F-statistic) 0.000000
Cum valoarea testului este mai mic ă decât valoarea critic ă pentru oricare dintre nivelele
de relevan ță, alegând nivelul de relevan ță cel mai restrictiv, 1 la sut ă, se poate spune c ă
la 1 la sut ă nivel de relevan ță, ipoteza nul ă (seria este nesta ționară) este respins ă. Acest
rezultat rezult ă și din valoarea probabilit ății asociate, p. Astfel, aceasta este mai mic ă
decât cel mai restrictiv nivel de relevan ță, de 1 la sut ă și ca urmare, ipoteza nul ă – seria
este nesta ționară – este respins ă. Deci ordinul de integrare al seriei este 1 sau seria
este I(1).
Testul PP funcționează pe acela și principiu ca și ADF. Rezultatul ob ținut aplicând testul
PP este similar.
28Cele dou ă teste, pentru nivel și pentru prima diferen ță sunt:
Testul PP pentru l_eur :
Null Hypothesis: L_EUR has a unit root
Exogenous: Constant, Linear Trend
Bandwidth: 18 (Newey-West using Bartlett kernel)
Adj. t-Stat Prob.*
Phillips-Perron test statistic -0.937060 0.9502
Test critical values: 1% level -3.962321
5% level -3.411902
10% level -3.127848
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Residual variance (no correction) 3.82E-05HAC corrected variance (Bartlett kernel) 3.09E-05
Phillips-Perron Test Equation
Dependent Variable: D(L_EUR) Method: Least Squares
Date: 09/22/07 Time: 13:21
Sample (adjusted): 2 2148 Included observations: 2147 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
L_EUR(-1) -0.000808 0.000802 -1.006972 0.3141
C 0.001905 0.000568 3.355915 0.0008
29@TREND(1) -5.70E-07 3.98E-07 -1.430085 0.1528
R-squared 0.008674 Mean dependent var 0.000427
Adjusted R-squared 0.007749 S.D. dependent var 0.006208
S.E. of regression 0.006184 Akaike info criterion -7.332410
Sum squared resid 0.081982 Schwarz criterion -7.324485
Log likelihood 7874.342 F-statistic 9.379616Durbin-Watson stat 1.866028 Prob(F-statistic) 0.000088
Testul PP pentru dl_eur :
Null Hypothesis: D(L_EUR) has a unit root
Exogenous: Constant
Bandwidth: 14 (Newey-West using Bartlett kernel)
Adj. t-Stat Prob.*
Phillips-Perron test statistic -42.86625 0.0000
Test critical values: 1% level -3.433200
5% level -2.862685
10% level -2.567426
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Residual variance (no correction) 3.83E-05HAC corrected variance (Bartlett kernel) 3.20E-05
Phillips-Perron Test Equation Dependent Variable: D(L_EUR,2)
Method: Least Squares
Date: 09/22/07 Time: 13:27 Sample (adjusted): 3 2148
Included observations: 2146 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
D(L_EUR(-1)) -0.925715 0.021537 -42.98208 0.0000
C 0.000394 0.000134 2.941322 0.0033
R-squared 0.462853 Mean dependent var 1.60E-07Adjusted R-squared 0.462603 S.D. dependent var 0.008449
S.E. of regression 0.006193 Akaike info criterion -7.329739Sum squared resid 0.082240 Schwarz criterion -7.324453
Log likelihood 7866.810 F-statistic 1847.459
30Durbin-Watson stat 1.986885 Prob(F-statistic) 0.000000
III.4. Distribu ția seriilor
Momentele seriilor și testul Jarque-Bera pentru testarea distribu ției normale sunt
disponibile prin op țiunea View/Descriptive Statistics/Histogram and Stats .
Pentru seria varia țiilor zilnice ale cursului de schimb, dl_eur , momentele seriei sunt
prezentate mai jos:
0100200300400500600700800900
-0.050 -0.025 -0.000 0.025 0.050Series: DL_EUR
Sample 1 2500Observations 2147
Mean 0.000427
Median -2.90e-05Maximum 0.068792Minimum -0.051064
Std. Dev. 0.006208
Skewness 0.857072Kurtosis 14.10991
Jarque-Bera 11304.70
Probability 0.000000
Ouput-ul prezint ă histograma distribu ției, media, mediana, valorile minime și maxime,
deviația standard, coeficientul de asimetrie, kurtotica seriei și testul Jarque-Bera.
Pentru o distribu ție normal ă:
• Coeficientul de asimetrie ( skewness ) este zero – distribu ția normal ă este
simetrică.
• Kurtotica ( kurtosis ) este 3. Dac ă acest indicator are o valoarea mai mare decât 3,
atunci distribu ția se nume ște leptokurtotic ă, iar dacă acesta este mai mic decât 3
atunci distribu ția se nume ște platikurtotic ă.
În exemplul de mai sus, conform rezultatelor statistice, distribu ția evoluțiilor zilnice ale
cursului de schimb are media apropiat ă de zero, prezint ă asimetrie pozitiv ă (ceea ce
înseamn ă că, în perioada analizat ă cursul de schimb EUR/RON a avut o tendin ța de
creștere – leul s-a depreciat) iar kurtotica are o valoare de peste 14, ceea ce înseamn ă
că această distribuție este leptokurtotic ă.
O asemenea distribu ție au majoritatea activelor financiare. Într-o distribu ție
leptokurtotic ă, probabilitatea de apari ție a unui eveniment extrem este superioar ă
probabilit ății de apari ție a acelui eveniment implicat ă de o distribu ție normal ă. Ca urmare
31modelele de evaluare a pre țului și riscului activului respectiv pot genera erori dac ă
presupun distribu ția normal ă a acestuia.
Jarque-Bera testeaz ă dacă o distribu ție este normal distribuit ă. Testul m ăsoară diferența
dintre coeficientul de asimetrie și kurtotica distribu ției analizate cu cele ale distribu ției
normale. Testul are ca ipoteza nul ă: seria este normal distribuit ă. Astfel, dac ă
probabilitatea asociat ă testului este superioar ă nivelului de relevan ță ales (1, 5 sau 10 la
sută), atunci ipoteza nul ă este acceptat ă.
În exemplul de mai sus, cum valoarea probabilit ății asociate este zero, se respinge
ipoteza nul ă, cum că seria este normal distribuit ă.
O altă modalitate de testare a normalit ății distribu ției este utilizând op țiunea
View/Distribution/Quantile-Quantile Graph și alegând op țiunea Normal Distribution :
Prin aceast ă metodologie sunt reprezentate grafic quantilele distribu ției teoretice
(normale) versus quantilele distribu ției care se analizeaz ă. Astfel, cu linie continu ă sunt
reprezentate quantilele distribu ției normale, iar cu puncte cele ale distribu ției efective. Cu
cât acestea din urm ă se abat mai mult fa ță de cele teoretice, distribu ția nu este normal
distribuită.
În exemplul analizat se observ ă că distribuția seriei evolu țiilor zilnice ale cursului de
schimb EUR/RON nu este normal distribuit ă.
32-12-8-404812
-.06 -.04 -.02 .00 .02 .04 .06 .08
DL_EURNormal QuantileTheoretical Quantile-Quantile
Reprezentarea grafic ă a distribu ției se realizeaz ă cu View/Distribution/Kernel Density
Graphs :
33020406080100
-.04 -.02 .00 .02 .04 .06
DL_EURKernel Density (Epanechnikov, h = 0.0018)
III.5. Func ția de autocorela ție a seriilor de timp
Corelograma erorilor este utilizat ă în analiza erorilor ecua ției de regresie și pentru
alegerea specifica ției modelelor ARMA .
Analiza coeficien ților de autocolela ție si a coeficien ților de corela ție parțială ai seriilor
este disponibil ă cu opțiunea View/Correlogram .
34Specifica țiile corelogramei:
• Correlogram of
o Level – corelograma serie în nivel;
o 1st Difference – corelograma seriei în prime diferen țe,
o 2nd Difference – corelograma celei de a doua diferen țe a seriei.
• Lags to include – numărul lag-urilor ce sunt incluse.
Coeficientul de corela ție de ordinul k, (coeficientul de corela ție dintre tX și ktX−este
calculat dup ă cum urmeaz ă:
()()()
()∑∑
=+=−
−−−⋅−
=
n
ttn
ktkt t
k
nX XknX XX X
121ρ
unde:
kρ reprezint ă coeficientul de corela ție de ordinul k;
n – numărul de observa ții al seriei;
X – media seriei tX
Coeficientul de autocorel ție parțială la lag-ul k reprezint ă coeficientul de regresie al lui
ktX− , atunci când tX este regresat func ție de ktX− și o constant ă.
Pentru o serie nesta ționară coeficien ții de corela ție încep de la o valoare apropiat ă de -1
sau 1 și scad foarte încet.
Coeficien ții parțiali de autocorela ție pentru un proces autoregresiv de ordin p, AR(p) se
opresc la lag-ul p, iar coeficien ții parțiali de autocorela ție pentru un proces medie mobil ă,
MA, converg gradual c ătre zero.
Q-Statistic și probabilitatea asociat ă acestuia reprezint ă un test statistic care are ca
ipoteză nulă că nu exist ă autocorela ție până la lag-ul k. Dacă probabilitatea asociat ă
testului Q-Statistic este superioar ă nivelului de relevan ță, ipoteza nul ă este respins ă
și este acceptat ă ipoteza alternativ ă – există autocorela ție până la lag-ul k.
În exemplul ales, conform rezultatelor st atistice, seria cursului de schimb EUR/RON,
l_eur , prezintă autocorela ție persistent ă, conține o rădăcină unitară și de asemenea, și
seria evolu ției zilnice a cursului de schimb (seria în prim ă diferență a serie nivel a
cursului de schimb), dl_eur prezintă autocorela ție serială pentru primele 3 lag-uri.
35
III.6. Trendul seriilor de timp
Pentru estimarea unei componente pe termen lung a seriei de timp (trend), cea mai
simplă metodă ce poate fi utilizat ă în programul EViews este filtrul Hodrick-Prescot.
Determinarea componentei pe termen lung a seriei prin filtrul Hodrick-Prescot se
realizeaz ă în EViews prin op țiunea Proc/Hodrick-Prescot Filter apelat ă din fereastra
seriei de timp.
36
Opțiuni:
Smoothed series repreprezint ă numele seriei trend ce va fi generat ă;
Cycle series – numele seriei abaterii de la trend (calculat ă ca diferen ță între seria
efectivă și seria trend).
Pentru seria cursului de schimb EUR/RON, trendul și abaterea de la trend sunt
prezentate în graficul de mai jos.
-.05.00.05.10
0.00.40.81.21.6
500 1000 1500 2000 2500
L_EUR Trend CycleHodrick-Prescott Filter (lambda=14400)
37III.7. Ajustarea sezonier ă a seriilor de timp
Pentru analiza sezonalit ății unei serii s-a folosit seria de PIB trimestrial al României,
pentru perioada trimestrul I 1998 – trimestrul IV 2006.
Pentru introducerea seriei de date în EViews a fost creat un fi șier de lucru cu date
trimestriale pentru perioada 1998 – 2007 și a fost creat ă seria gdp.
Se observ ă sezonalitatea seriei din reprezentarea ei grafic ă:
300004000050000600007000080000
98 99 00 01 02 03 04 05 06 07
GDP
38De asemenea, sezonalitatea poate fi pus ă în eviden ță prin op țiunea
View/Graph/Seasonal Stacked Line apelată din fereastra seriei de timp analizate:
300004000050000600007000080000
GDP Means by SeasonQ1 Q2 Q3 Q4GDP by Season
Graficul prezint ă evoluția PIB-ului pe fiecare trimestru și media observa țiilor pentru
fiecare trimestru (linia orizontal ă). În cazul în care sunt diferen țe semnificative între
mediile trimestriale, cum este cazul exemplului de mai sus, seria de timp prezint ă
sezonalitate.
Desezonalizarea seriei de timp se realizeaz ă cu opțiunea Proc/Seasonal Adjustment
apelată din fereastra seriei de timp.
Cele mai utilizate metodologii de ajustare sezonier ă sunt:
Census X12 – dezvoltat ă de Biroul de Statistic ă al Statelor Unite;
Tramo/Seats – utilizat ă în special de Eurostat (Biroul de Statistic ă al Comisiei
Europene).
39
Opțiunile pentru cele dou ă metodologii sunt:
Component Series to Save /Series to Save – Generarea de serii.
Generarea seriei ajustat ă sezonier – bifarea op țiunii _SA. Va vi generat ă o serie
numele seriei initiale_SA care reprezint ă seria ajustat ă sezonier;
Cele dou ă proceduri pot genera, similar cu filtrul Hodrick-Prescot și trendul/ciclul
seriei – op țiunea _TC pentru X12 și respectiv, op țiunile _TRD și _CYC pentru
Tramo-Seats.
De exemplu, în cazul aplic ării metodologiei X12, a fost generat ă seri gdp_sa .
Pentru a reprezenta pe acela și grafic cele dou ă serii, se selecteaz ă seriile cu CTRL +
click buton stânga mouse, apoi click buton dreapta mouse/ Open as group și apoi, în
fereastra grupului View/Graph/Line .
40
Cele dou ă serii, cea nedesezonalizat ă, gdp, și cea ajustat ă sezonier, gdp_sa sunt
prezentate în graficul de mai jos.
300004000050000600007000080000
98 99 00 01 02 03 04 05 06 07
GDP_SA GDP
41Capitolul IV. Regresia liniar ă multiplă
IV.1. Forma general ă și ipoteze
Cu ajutorul regresiei liniare, se poate determina impactul pe care îl au mai multe
variabile independente asupra anumite variabile (numit ă variabilă dependent ă).
Forma general ă a ecuației de regresie multipl ă este:k
t kt k t t t Xb Xb XbbY ε+++++= …2 2 11 0
unde:
n t ,…,2,1= sunt observa țiile din eșantion,
tY – observa ția t a variabilei dependente,
jX – variabilele independente, k j ,…,2,1= ,
jtX – observa ția t a variabilei independente jX,
0b – constanta (termenul liber al ecua ției),
kb b,…,1 – coeficien ții variabilelor independente,
tε – termenul de eroare al ecua ției.
Coeficientul variabilei independente arat ă cu cât se modific ă variabila dependent ă, tY,
atunci când variabila independent ă, jtX, se modific ă cu o unitate, în condi țiile în care
celelalte variabile independente r ămân constante.
Dacă variabila dependent ă și variabilele independente sunt specificate în logaritmi
naturali, atunci coeficien ții variabilelor independente pot fi interpreta ți ca elasticit ăți.
Astfel, ace ști coeficien ți vor arăta cu cât la sut ă se modific ă variabila dependent ă dacă
variabila independent ă se modific ă cu 1 la sut ă.
Pentru ca inferen ța bazată pe rezultatele regresiei liniare multiple s ă fie valid ă, trebuie
îndeplinite un set de șase ipoteze, regresia bazat ă pe acest set de ipoteze fiind
cunoscut ă ca modelul clasic normal de regresie multipl ă.
Ipoteze:
1. Legătura dintre variabila dependent ă și variabilele independente este liniar ă.
2. Variabilele independente sunt aleatoare. De asemenea între variabilele
independente incluse într-o regresie nu exist ă nici o rela ție liniară. Dacă
variabilele independente sunt corelate atunci exist ă multicoliniaritate.
3. Valoarea a șteptată a termenului de eroare, tε, este zero, ()0=tEε .
4. Varian ța termenului de eroare, tε, este aceea și pentru toate observa țiile,
()2 2
εσε=tE . Aceste erori se numesc homoskedastice. Dac ă, în schimb, varian ța
42termenului de eroare este variabil ă, erorile se numesc heteroskedastice, și
trebuie utilizate metode diferite de estimare a regresiei.
5. Termenul de eroare, tε, este necorelat între observa ții, () ts Es t ≠=× ,0εε .
Dacă există corelație serială a erorilor, trebuie folosite utilizate metode diferite de
estimare a regresiei.
6. Termenul de eroare este normal distribuit.
Impactul înc ălcării uneia dintre ipoteze asupra rezultatelor regresiei este prezentat în
tabelul de mai jos:
Heteroskedasticitate Erorile standard ale regresiei sunt incorecte
Corelație serială a erorilor Erorile standard ale regresiei sunt incorecte
Multicoliniaritate Valori mari ale lui 2R și valori mici ale valorilor
t-statistic ale coeficien ților variabilelor independente
IV.2. Teste statistice si indicatori ai regresiei
Abaterea p ătratică totală lui iY, numită și variația totală, (total sum of squares , TSS) este
calculată ca ()2
1∑
=−n
iiYY .
Suma total ă a pătratelor erorilor regresiei, numit ă și variația neexplicat ă (residual sum of
squares , sum of squared erros , SSE) se calculeaz ă ca ()2
1ˆ∑
=−n
ii iYY , unde iYˆ reprezint ă
valoarea lui iY obținută conform rezultatelor regresiei (valoarea estimat ă a lui iY).
Partea din abaterea p ătratică totală a lui iY obținută din regresie, numit ă și variația
explicată (regression sum of squares , RSS) se calculeaz ă ca ()2
1ˆ∑
=−n
iiYY , unde Y
reprezint ă media lui iY.
Între cele trei m ăsuri exist ă relația:
TSS = SSE + RSS .
Eroarea standard a estim ării, (standard error of estimate , SEE) reprezint ă eroarea
standard a reziduului ecua ției.
()
()1ˆ
)1(ˆ… ˆ ˆˆ
12
12
2 2 11 0
+−=+−−−−−−
=∑ ∑
= =
kn knXb Xb XbbY
SEEn
ttn
tkt k t t t ε
,
43unde xˆ reprezint ă x obținut din regresie ( x estimat).
Media pătratelor regresiei ( mean regression sum of squares , MSR ) se calculeaz ă ca
kRSS, unde k este num ărul variabilelor independente incluse în regresie.
Media erorii p ătratice ( mean square error , MSE ) se calculeaz ă ca ()1+−knSSE.
Similar cu testarea mediei unui e șantion, coeficien ții ecuației de regresie pot fi testa ți
printr-un test t. Ipoteza nul ă a testului este 0k kb b= , unde kb este coeficientul ob ținut din
regresie iar 0kb valoarea testat ă a coeficientului.
Testul t se calculeaz ă conform rela ției:
kbk k
sbbt0−= ,
unde
kbs este eroarea standard a coeficientului.
Dacă valoarea testului este mai mare decât valoarea critic ă, atunci ipoteza nul ă este
respinsă.
Programele software econometrice testeaz ă prin testul t, pentru fiecare coeficient,
ipoteza nul ă că acel coeficient are valoarea zero. Sunt raportate atât valorile testului t,
cât și probabilit ățile, p, asociate. Dac ă probabilitatea asociat ă este inferioar ă nivelului de
relevanță la care se lucreaz ă (1, 5 sau 10 la sut ă), atunci se respinge ipoteza nul ă și
coeficientul este considerat ca fiind semnificativ din punct de vedere statistic. În cazul in care probabilitatea, p, este superioar ă nivelului de relevan ță la care se lucreaz ă, atunci
ipoteza nul ă este acceptat ă, iar coeficientul este considerat ca având, din punct de
vedere statistic, valoarea zero.
Testul F măsoară cât de bine variabilele independent explic ă evoluția variabilei
dependente. El determin ă dacă toți coeficien ții regresiei, în acela și timp au valoarea zero
din punct de vedere statistic. Acesta are ca ipotez ă nulă că toți coeficien ții din regresie
au valoarea zero.
Testul F se calculeaz ă ca:
()MSEMSR
knSSEkRSS
F =
+−=
1
Testul F are o distribu ție F cu (k, n – (k + 1)) grade de libertate.
44Ca și în cazul testului t, programele software econometrice raporteaz ă valoarea testului
și probabilitatea, p, asociată acestuia.
Dacă valoarea p este inferioar ă nivelului de relevan ță la care se lucreaz ă, atunci ipoteza
nulă este respins ă, ceea ce înseamn ă că cel puțin unul dintre coeficien ții din regresie
este semnificativ din punct de vedere statistic. Îns ă dacă valoarea p este superioar ă
nivelului de relevan ță, atunci este acceptat ă ipoteza nul ă, ceea ce înseamn ă că toți
coeficien ții din regresie sunt considera ți nesemnificativi din punct de vedere statistic
(egali cu zero).
Un alt indicator care arat ă dacă modelul de regresie este bine specificat este 2R. Acesta
arată cât la sut ă din varian ța totală a variabilei dependente este datorat ă variabilelor
independente.
2R se calculeaz ă ca TSSSEE TSSR−=2
2R ia valori între 0 și 1, cu cât valoarea acestuia este mai apropiat ă de 1, regresia este
bine specificat ă.
De fiecare dat ă când este introdus ă în regresie o nou ă variabilă independent ă care este
cât de pu țin corelat ă cu variabila dependent ă, 2R crește, dar în acela și timp se pierde
un grad de libertate.
De aceea, o m ăsură îmbunătățită a lui 2R este 2R ajustat (2R), acesta ținând cont de
numărul de variabile independente incluse în regresie. Formula de calcul a lui 2R este
()2 2111 RknnR −⋅⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
−−−= ,
unde:
n reprezint ă numărul de observa ții,
k – numărul de variabile independente incluse în regresie.
Astfel, atunci când sunt introduse variabile independente suplimentare în regresie, 2R
poate să crească, dar 2R poate s ă scadă penalizând astfel introducerea de variabile
independente care au o relevan ță mică asupra variabilei dependente.
IV.3. Regresii cu variabile calitative
De multe ori este nevoie de introducerea unor vari abile calitative în regresie. Unul dintre
tipurile de variabile calitative cele mai des folosite în regresii sunt variabilele dummy .
Acestea iau valoarea 1 dac ă o anumit ă condiție este adev ărată și valoarea 0 în caz
contrar.
45De exemplu, dac ă se testeaz ă dacă randamentele ob ținute de o ac țiune sunt diferite în
luna ianuarie fa ță de restul lunilor din an, se va include în regresie o variabil ă dummy ,
care ia valoarea 1 în luna ianuarie și valoarea zero în celelalte luni ale anului.
Numărul de variabile dummy este cu 1 mai mic decât num ărul de condi ții, în caz contrat
existând multicoliniaritate. În exemplul de mai sus, randamentul ob ținut de c ătre acțiune
în celelalte luni ale anului este captat de termenul liber al regresiei.
Variabilele dummy pot fi utilizate și pentru captarea impactului sezonier asupra variabilei
independente, introducând cel mult 11 variabile dummy pentru datele cu frecven ță
lunară sau cel mult 3 variabile dummy pentru datele cu frecven ță trimestrial ă, asta în
cazul în care datele nu au fost ajustate sezonier în prealabil.
IV.4. Regresii cu serii de timp în EViews
În exemplu urm ător se va estima și o ecua ție de regresie pentru randamentul unei
acțiuni funcție de randamentul pie ței (modelul de pia ță).
Astfel, se va estima randamentul ac țiunii Banca Transilvania (TLV) func ție de
randamentul BET, utilizând date zilnice pentru perioada ianuarie 1999 – mai 2005.
Serii utilizate:
dln_tlv – prima diferen ță a seriei de logaritmi naturali a pre țurilor zilnice ale ac țiunii
Banca Transilvaina (adic ă randamentul zilnic al ac țiunii);
dl_bet – prima diferen ță a seriei de logaritmi naturali a indicelui BET.
Definirea ecua ției: click buton dreapta mouse în interiorul fi șierului de lucru, selectarea
opțiune new object ; în fereastra New Object selectare op țiune Equation .
Apoi în fereastra Equation Estimation la categoria Equation specification se specific ă
ecuația de regresie dup ă cum urmeaz ă: variabila dependent ă (dln_tlv ), spațiu, constanta
(c), spațiu, variabila/variabilele independente cu spa țiu între ele ( dl_bet ). La categoria
Estimation settings se selecteaz ă LS – Least Squares .
46
Rezultatul ecua ției este:
Dependent Variable: DLN_TLV
Method: Least Squares
Date: 09/24/07 Time: 21:06
Sample (adjusted): 2 2091 Included observations: 2090 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.001601 0.000635 2.520559 0.0118
DL_BET 0.521952 0.040160 12.99691 0.0000
R-squared 0.074845 Mean dependent var 0.002376
Adjusted R-squared 0.074402 S.D. dependent var 0.030051
S.E. of regression 0.028912 Akaike info criterion -4.248194Sum squared resid 1.745314 Schwarz criterion -4.242792
Log likelihood 4441.363 F-statistic 168.9196
Durbin-Watson stat 2.186437 Prob(F-statistic) 0.000000
Pentru fiecare variabil ă independent ă și constant ă EViews raporteaz ă eroarea standard
a coeficientului, testul t-Statistic și probabilitatea asociat ă acestuia. Presupunând ca se
lucrează la nivelul de relevan ță de 5 la suta, cum, în exemplul de mai sus probabilit ățile
atașate testului t-statistic sunt inferioare acestui nivel, coeficien ții sunt considera ți
semnificativi din punct de vedere statistic.
EViews raporteaz ă 2R și 2R, prezentate anterior.
47Durbin Watson statistic (DW) este un test statistic care testeaz ă corelația serială a
erorilor. Dac ă erorile nu sunt corelate, atunci valoarea lui DW va fi în jur de 2. În
exemplul de mai sus acest indicator are valoarea 2.18, și ca urmare, exist ă corelație
serială a erorilor.
EViews raporteaz ă și două criterii informa ționale: Akaike info criterion și Schwarz
criterion . Acești indicatori sunt folositori atunci când trebuie aleas ă o ecuație din mai
multe variante. Conform criteriului informa țional, se alegea specifica ția pentru care
criteriile informa ționale au valorile cele mai mici.
În alegerea unei ecua ții din mai multe ecua ții posibile, de asemenea importante sunt și
2R și 2R (care trebuie s ă fie cât mai mari) și testele de corela ție serial ă și
heteroskedasticitate. În majoritatea cazurilor fiecare dintre teste va indica o ecua ție
diferită, de aceea va trebui s ă se găsească un compromis în alegerea unei ecua ții.
De asemenea este raportat și F-statistic și probabilitatea asociat ă acestuia. Cum
această probabilitate este mai mic ă decât nivelul de relevan ță, conform acestui test
rezultă că cel puțin un coeficient din regresie este semnificativ din punct de vedere
statistic.
Testele pentru ecua ția de regresie sunt disponibile cu meniul View din fereastra ecua ției
de regresie.
Cu opțiunea View/Actual, Fitted, Residual/Actual, Fitted, Residual Graph se reprezint ă
grafic valoarea efectiv ă a variabilei dependente, valoarea sa estimat ă și erorile din
regresie.
48-.4-.2.0.2.4.6
-.4-.2.0.2.4.6
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000
Residual Actual Fitted
Cu opțiunea View/Residual tests se testeaz ă erorile ecua ției de regresie.
Astfel, cu op țiunea View/Residual tests/Correlogram – Q-statistics se testeaz ă
autocorela ția erorilor ecua ției de regresie (similar cu testarea autocorela ției seriilor de
timp).
49
Conform rezultatelor acestui test, pentru primele 3 lag-uri ale erorilor exist ă corelație
serială a erorilor (valoarea coeficientului de autocorela ție depășește intervalul punctat în
grafic). Existen ța autocorela ției este confirmat ă și de testul Q-statistic și probabilitatea
asociată acestuia.
Cu opțiunea View/Residual tests/Correlogram Squared Residuals se testeaz ă
autocorela ția erorilor p ătratice ale ecua ției de regresie dup ă aceleași principii ca și
testarea autocorela ției erorilor. Dac ă există aotocorela ție ale erorilor p ătratic, acest fapt
este o indica ție a existen ței heteroskedasticit ății (termeni ARCH ).
50
Conform rezultatelor econometrice, pentru ecua ția estimat ă anterior, exist ă corelație
serială a erorilor p ătratice, deci este posibil s ă existe termeni ARCH .
Cu opțiunea View/Residual tests/Histogram – Normality test se analizeaz ă (similar cu
analiza distribu ției unei serii) distribu ția erorilor rezultate din regresie.
5102004006008001000
-0.25 -0.00 0.25Series: Residuals
Sample 2 2091
Observations 2090
Mean 6.64e-20
Median -0.000847
Maximum 0.474478Minimum -0.265550Std. Dev. 0.028905
Skewness 4.453284
Kurtosis 93.72818
Jarque-Bera 723743.4
Probability 0.000000
Conform rezultatelor testului Jarque-Bera , erorile nu sunt distribuite normal. Distribu ția
normală a erorilor este importat ă în special când se dore ște realizarea de prognoze pe
baza ecua ției econometrice estimate.
Existența corela ției seriale, ar ătată de corelograma erorilor se confirm ă cu ajutorul
testului Serial Correlation LM test, disponibil cu ajutorul op țiunii View/Residual
tests/Serial Correlation LM Test.
Alegând 3 lag-uri pentru acest test, rezultatul este prezentat mai jos.
Cea mai important ă parte a output-ului testului este prima parte care prezint ă cele dou ă
teste statistice F-Statistic și R-squared și probabilit ățile asociate acestor teste.
Ipoteza nul ă a celor dou ă teste este c ă nu exist ă corelație serială a erorilor ecua ției de
regresie pân ă la lag-ul k (specificat mai sus). Dac ă probabilitatea asociat ă celor dou ă
teste este inferioar ă nivelului de relevan ță la care se lucreaz ă, atunci ipoteza nul ă este
respinsă, deci se respinge inexisten ța corelației seriale. În caz contrar ipoteza nul ă este
acceptat ă, (nu exist ă corelație serială).
52
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic 29.24197 Prob. F(3,2085) 0.000000
Obs*R-squared 84.38578 Prob. Chi-Square(3) 0.000000
Test Equation:
Dependent Variable: RESID Method: Least Squares
Date: 09/24/07 Time: 22:31
Sample: 2 2091 Included observations: 2090
Presample missing value lagged residuals set to zero.
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -3.51E-05 0.000623 -0.056369 0.9551
DL_BET 0.021783 0.039474 0.551838 0.5811
RESID(-1) -0.124563 0.021741 -5.729423 0.0000RESID(-2) -0.131478 0.021684 -6.063482 0.0000
RESID(-3) -0.133612 0.021736 -6.146925 0.0000
R-squared 0.040376 Mean dependent var 6.64E-20Adjusted R-squared 0.038535 S.D. dependent var 0.028905
S.E. of regression 0.028342 Akaike info criterion -4.286537Sum squared resid 1.674845 Schwarz criterion -4.273032
Log likelihood 4484.431 F-statistic 21.93148
Durbin-Watson stat 1.997878 Prob(F-statistic) 0.000000
Conform rezultatelor statistice exist ă corelație serială a erorilor ecua ției de regresie pân ă
la lag-ul 3.
Testul similar (testului Serial Correlation LM ) pentru testarea corela ției seriale a erorilor
pătratice este ARCH LM Test , disponibil cu ajutorul op țiunii View/Residual testsARCH
LM Test. Testul func ționează pe acelea și principii ca și testul pentru autocorela ția
erorilor.
Alegând tot 3 lag-uri pentru acest test, conform celor dou ă probabilit ăți asociate, este
respinsă ipoteza nul ă (inexisten ța corelației seriale a erorilor p ătratice ale ecua ției de
regresie).
53ARCH Test:
F-statistic 22.96701 Prob. F(3,2083) 0.000000
Obs*R-squared 66.82299 Prob. Chi-Square(3) 0.000000
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares Date: 09/24/07 Time: 22:44
Sample (adjusted): 5 2091
Included observations: 2087 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.000618 0.000176 3.522445 0.0004
RESID^2(-1) 0.143865 0.021895 6.570647 0.0000RESID^2(-2) 0.069810 0.022066 3.163664 0.0016
RESID^2(-3) 0.037151 0.021881 1.697844 0.0897
R-squared 0.032019 Mean dependent var 0.000826Adjusted R-squared 0.030625 S.D. dependent var 0.008043
S.E. of regression 0.007919 Akaike info criterion -6.837130Sum squared resid 0.130634 Schwarz criterion -6.826314
Log likelihood 7138.545 F-statistic 22.96701
Durbin-Watson stat 1.998429 Prob(F-statistic) 0.000000
Testele de stabilitate ale ecua ției și coeficien ților estima ți sunt disponibile cu op țiunea
View/Stability Tets/Recursive Estimates (OLS only) .
Cele mai utilizate teste de stabilitate sunt:
CUSUM Tests ;
CUSUM of Squares Tests ;
Recursive Coeficients .
54
Testul CUSUM se bazeaz ă pe suma cumulativ ă a erorilor recursive ale ecua ției de
regresie.
EViews reprezint ă grafic suma cumulativ ă a erorilor recursive împreun ă cu liniile critice
de 5 la sut ă. Parametrii ecua ției nu sunt considera ți stabili dac ă suma cumulativ ă a
erorilor recursive iese în afara celor dou ă linii critice.
Erorile recursive sunt calculate dup ă cum urmeaz ă: folosind primele k + 1 observa ții,
unde k reprezint ă numărul de coeficien ți ai ecuației de regresie, se estimeaz ă coeficien ții
ecuației, se prognozeaz ă variabila dependent ă pentru a k + 2 -a observa ție și se
calculeaz ă eroarea de prognoz ă (prin compararea valorii variabilei dependente
prognozate cu valoarea efectiv ă a acesteia). Apoi se mai introduce o observa ție în
eșantion (acesta având k + 2 observa ții) și se repet ă procedura descris ă anterior.
Suma cumulativ ă a erorilor recursive este:
T k ktswWT
ktt
T ,…,2,1 ,
1++= =∑
+=,
unde:
TW reprezint ă suma cumulativ ă a erorilor recursive pentru primele T observa ții;
tw – eroarea recursiv ă calculată pe baza primelor t observa ții din eșantion;
k – numărul de coeficien ți ai regresiei;
s – eroarea standard a regresiei.
Pentru ecua ția analizat ă, testul CUSUM este prezentat în graficul de mai jos.
55-150-100-50050100150
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000
CUSUM 5% Significance
Conform rezultatelor statistice, coeficien ții ecuației sunt stabili.
Testul CUSUM of Squares se calculeaz ă și interpreteaz ă similar cu testul CUSUM , cu
deosebirea c ă în locul erorilor recursive sunt folosite erorile recursive ridicate la p ătrat.
Pentru ecua ția analizat ă, conform acestui test, coeficien ții ecuației nu sunt stabili.
-0.20.00.20.40.60.81.01.2
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000
CUSUM of Squares
5% Significance
Recursive Coefficients prezintă coeficien ții ecuației de regresie calcula ți recursiv.
56Coeficien ții sunt stabili dac ă, odată cu mărirea eșantionului, valoarea acestora nu se
modifică.
Pentru calcului coeficien ților recursivi se porne ște cu primele k + 1 observa ții, unde k
reprezint ă numărul de coeficien ți ai ecua ției de regresie, se estimeaz ă coeficien ți
ecuației de regresie. Apoi se m ărește eșantionul cu urm ătoarea observa ție și se
reestimeaz ă coeficien ții de regresiei. Se procedeaz ă similar pân ă se estimeaz ă
coeficien ții pe baza întregului e șantion de date disponibile. Apoi coeficien ții recursivi se
reprezint ă grafic.
Pentru ecua ția analizat ă, coeficien ții recursivi sunt reprezenta ți în graficele de mai jos.
-.028-.024-.020-.016-.012-.008-.004.000.004.008
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000
Recursive C(1) Estimates
± 2 S.E.
-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000
Recursive C(2) Estimates
± 2 S.E.
57IV.5. Regresii cu serii crossec ționale și variabile calitative în EViews
Pentru a analiza impactul variabilelor macroeconomice asupra evolu ției spread-ului
pentru obliga țiunile externe cu scaden ța de 10 ani1 emise de țările în curs de dezvoltare,
au fost estimate dou ă ecuații de regresie pe un e șantion de 382 de țăr i î n c u r s d e
dezvoltare.
Variabila dependent ă este evolu ția spread-ului obliga țiunilor acestor țări în primele 6 luni
ale anului 2006 (perioad ă care a consemnat dou ă crize valutare – în Islanda și Turcia) și
respectiv în primele trei trimestre ale aceluia și an.
Variabilele independente sunt:
– media soldului contului curent, calculat ca pondere în PIB, pentru anii 2004 și
2005 pentru aceste țări, (CA05+CA04)/2;
– media soldului bugetului de stat, calculat ca pondere în PIB, pentru anii 2004 și
2005, (BGBAL05+BGBAL04)/2;
– variabil ă dummy, care ia valoarea 1 în cazul în care datoria extern ă totală a țării
(calculată ca procent în PIB) s-a situat atât în anul 2004 cât și în anul 2005 peste
media datoriei externe totale a e șantionului de țări în curs de dezvoltare
(DUMMY_DEBT);
– variabil ă dummy care ia valoarea 1 dac ă țara inclus ă în eșantion este din
America Latin ă (DUMMY_LATAM).
Conform rezultatelor statistice, în prima jum ătate a anului 2006 (perioad ă care a cuprins
cele dou ă episoade de criz ă valutară):
– atât soldul contului curent cât și soldul bugetului de stat și-au pus amprenta
asupra evolu ției spread-ului obliga țiunilor externe în anul 2006 în sensul c ă un
deficit mai mare a condus la o majorare a spread-ului;
– soldul bugetului de stat a avut o importan ță mai mare asupra evolu ției spread-
ului decât soldul contului curent;
– asupra spread-ului și-a pus amprenta și datoria extern ă totală a țării, în sensul c ă
o valoare a acestei datorii superioar ă valorii medii a e șantionului în anii 2004 și
2005 a condus la o majorare a spread-ului în perioada analizat ă;
– țările în curs de dezvoltare din America Latin ă au înregistrat o majorare a spread-
ului în anul 2006 inferioar ă celorlalte țari în curs de dezvoltare.
Rezultatele econometrice sunt prezentate în tabelul de mai jos.
1 În cazul în care țara respectiv ă nu are obliga țiuni externe emise cu scaden ța de 10 ani, în analiz ă
a fost inclus spread-ul pentru obliga țiunile externe cu scaden ța cea mai apropiat ă de aceast termen.
2 Africa de Sud, Argentina, Brazilia, Bulgaria, Cehia, Chile, China, Columbia, Coreea de Sud,
Croația, Ecuador, Egipt, Estonia, India, Indonezia, Israel , Letonia, Lituania, Malaezia, Maroc, Mexic, Noua
Zeelandă, Peru, Philipine, Polonia, România, Rusia, Singapore, Slovacia, Slovenia, Tailanda, Taiwan,
Tunisia, Turcia, Ucraina, Ungaria, Uruguay, Venezuela
58Dependent Variable: S_30DEC30JUN
Method: Least Squares
Sample (adjusted): 1 38
Included observations: 38 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
(CA05+CA04)/2 -2.055125 0.882112 -2.329777 0.0261
(BGBAL05+BGBAL04)/2 -4.171597 2.120765 -1.967025 0.0576
C -20.53730 10.84948 -1.892930 0.0672
DUMMY_DEBT 31.00363 13.34970 2.322420 0.0265
DUMMY_LATAM -51.07850 14.70051 -3.474608 0.0015
R-squared 0.496125 Mean dependent var -9.815789 Adjusted R-squared 0.435049 S.D. dependent var 48.65091
S.E. of regression 36.56759 Akaike info criterion 10.15828
Sum squared resid 44127.21 Schwarz criterion 10.37375
Log likelihood -188.0073 F-statistic 8.123107 Durbin-Watson stat 2.209404 Prob(F-statistic) 0.000113
În cazul extinderii perioadei de calcul a evolu ției spread-ului la primele trei trimestre ale
anului 2006, coeficien ții celor dou ă variabile macroeconomice devin nesemnificativi din
punct de vedere statistic ceea ce sugereaz ă reducerea aversiunii fat ă de risc a
investitorilor, în trimestrul III al anului 2006, c ătre nivelurile anterioare celor dou ă
episoade de criz ă.
Rezultatele econometrice sunt prezentate în tabelul de mai jos. Conform atât testelor individuale t cât și testului F, coeficien ții din ecua ția de regresie
sunt nesemnificativi din punct de vedere statistic.
59Dependent Variable: S_30DEC30SEP
Method: Least Squares
Sample (adjusted): 1 38
Included observations: 38 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
(CA05+CA04)/2 0.158311 1.689682 0.093693 0.9259
(BGBAL05+BGBAL04)/2 -1.485595 4.062315 -0.365702 0.7169
C -1.132544 20.78213 -0.054496 0.9569
DUMMY_DEBT 7.083560 25.57130 0.277012 0.7835
DUMMY_LATAM -63.35821 28.15876 -2.250036 0.0312
R-squared 0.161209 Mean dependent var -10.10526 Adjusted R-squared 0.059537 S.D. dependent var 72.22816
S.E. of regression 70.04505 Akaike info criterion 11.45823
Sum squared resid 161908.2 Schwarz criterion 11.67371
Log likelihood -212.7064 F-statistic 1.585581 Durbin-Watson stat 1.891845 Prob(F-statistic) 0.201263
60Capitolul V. Modele ARMA
Modelele ARMA (autoregresive moving average ) sunt modele univariate – modele prin
care variabila dependent ă este modelat ă funcție de propriile observa ții.
Această clasă de modele cuprinde:
Modele autoregresive ( AR);
Modele cu medii mobile ( MA);
Modele ARMA – care combin ă cele dou ă tipuri de procese.
V. 1. Procese AR
O serie sta ționară, tY, urmeaz ă un proces AR(p) dacă este îndeplinit ă condiția:
∑
=−+ +=p
it iti t Y Y
10 εφφ ,
unde ),0(~2
εσε Nt serie sta ționară,()0=tEε , ()2 2σε=tE , () st daca Est ≠ = , ,0εε
În aceast ă ecuație, p valori anterioare ale lui Y sunt folosite pentru a prognoza valoarea
curentă.
Polinomul caracteristic ata șat procesului AR(p) este:
pp p pP φλφλφλφλ −−−−=− −… )(2
21
1 0 .
Procesul AR(p) este sta ționar dac ă valorile absolute ale r ădăcinilor polinomului s ău
caracteristic sunt strict mai mici decât 1.
Media procesului AR(p) se obține rezolvând ecua ția ∑
=−+ +=p
it iti t Y Y
10 εφφ , pentru 0=ε
și Y Y YYpt t t ====− −…1 . Pentru un proces autoregresiv sta ționar, media procesului
este finit ă și independent ă de timp; procesul se întoarce la medie (este mean reverting ).
În cazul în care procesul este nesta ționar, media nu este o valoare finit ă.
Condițiile suplimentare pentru ca procesul s ă fie staționar (în covarian ță) sunt:
Varian ța procesului nu depinde de timp,
Covarian ța nu depinde de timp.
Unul dintre modelele de tip AR cele mai folosite în finan țe este modelul Random Walk ,
model pentru care p = 1 , 00=φ și 11=φ .
Reprezentarea modelului este: t t tYYε+=−1 ,
unde ),0(~2
εσε Nt serie sta ționară, ()0=tEε , ()2 2σε=tE , () st daca Est ≠ = , ,0εε .
61Ca urmare, valoarea unei serii într-o anumit ă perioad ă depinde de valoarea seriei în
perioada anterioar ă și de un termen de eroare aleator a c ărui valoare a șteptată este 0.
Astfel, cea mai bun ă prognoz ă a valorii seriei este valoarea sa anterioar ă.
Acest model este foarte utilizat în analiza pie țelor financiare și în special a cursului de
schimb.
Acest proces este nesta ționar (exploziv), și, ca urmare nu are medie.
Cea mai simpl ă metodă de testare a procesului este testarea termenului 1−−=t t t YYε
(care reprezint ă prima diferen ță a seriei):
testarea mediei seriei tε: care trebuie s ă fie zero;
testarea sta ționarității seriei tε: seria trebuie s ă fie staționară.
Procesul random walk poate să aibă și un trend ( random walk with drift ), în exemplul de
mai sus, pentru 00≠φ . Reprezentarea acestui model este:
t t t Y Y εφ++=−1 0 ,
unde ),0(~2
εσε Nt , () 0=tEε , ()2 2σε=tE , () st daca Est ≠ = , ,0εε .
V. 2. Procese MA
Deoarece majoritatea seriilor de timp financiare au caracteristicile unor procese
autoregresive, modelele AR sunt cele mai utilizate modele de prognoz ă. Dar, anumite
serii urmeaz ă alte tipuri de procese, numite procese de medii mobile ( MA). De exemplu,
conform testelor statistice prezentate în literatura de specialitate, indicele bursier S&P 500 urmeaz ă mai degrab ă un proces MA decât AR.
Procesul
tY este urmeaz ă un proces medie mobil ă de ordinul q, dacă este definit prin
egalitatea:
qtq t t tY− −−−−= εθεθε …1 1 ,
unde ),0(~2
εσε Nt serie sta ționară, ()0=tEε , ()2 2σε=tE , () st daca Est ≠ = , ,0εε .
V. 3. Procese ARMA
Utilizând ambele procese AR și MA, analiza și prognoza seriilor de timp poate fi
îmbunătățită. Astfel, prin combinarea celor dou ă procese se ob ține un model generalizat,
autoregresiv medii mobile ( ARMA ).
Modelul ARMA combin ă atât lag-urile autoregresive ale variabilei dependente cât și
erorile procesului medie mobil ă. Ecuația unui asemenea model, cu p termeni
autoregresivi și q termeni medie mobil ă, notat ARMA(p,q) este:
62∑∑
=−
=− + ++ =p
iitq
ii t iti t Y Y
110 εθεφφ ,
unde ),0(~2
εσε Nt serie sta ționară, ()0=tEε , ()2 2σε=tE , () st daca Est ≠ = , ,0εε .
Estimarea modelelor ARMA prezintă limitări severe. În primul rând parametrii în
modelele ARMA pot fi foarte instabili, modific ări mici ale e șantionului utilizat putând
conduce la parametri foarte diferi ți de la o estimare la alta. În al doilea rând, alegerea
modelului ARMA cel mai potrivit depinde mai mult de experien ță decât de indicatori
statistici. În plus, un model odat ă selectat, poate s ă nu prognozeze foarte bine.
Procedura de estimare a unui model ARMA cuprinde urm ătorii pași:
1. Testarea sta ționarității seriei. Dac ă este sta ționară se trece la pasul trei, dac ă nu
se parcurg cerin țele pasului urm ător.
2. Se st ționarizeaz ă seria de date prin diferen țiere. Marea majoritate a seriilor
nestaționare sunt integrate de ordinul 1, I(1), așa că seria se sta ționarizeaz ă prin
prima diferen ță.
3. Pe baza coeficien ților de autocorela ție (func ției de autocorela ție) și a
coeficien ților de corela ție parțială (funcției de autocorela ție parțială) se determin ă
modelele autoregresive de start pentru analiza seriei de date. Astfel, dac ă există
o valoare a lui h egală cu q începând de la care valoarea func ției de
autocorela ție scade brusc c ătre zero, atunci pentru prelucrarea seriei se
folosește un proces MA(q) sau un proces ARMA ce cuprinde o component ă
MA(q). În cazul în care valoarea func ției de autocorela ție parțială scade
instantaneu c ătre zero, începând cu o valoare a decalajului egal ă cu p, atunci se
recomand ă ca seria de timp s ă fie prelucrat ă prin intermediul unui proces AR(p)
pur sau printr-un proces ce cuprinde și această component ă.
4. Se estimeaz ă parametrii modelelor ARMA .
5. Se testeaz ă caracteristicilor modelelor autoregresive ce au fost estimate în etapa
anterioar ă. Astfel se verific ă dacă coeficien ții modelului sunt semnificativi (diferi ți
de zero) din punct de vedere statistic, autocorelarea reziduurilor regresiei, proprietatea de homoscedasticitate, stabilitatea parametrilor și caracteristicile
distribuției rezidurilor.
6. Se alege cel mai potrivit model folosind diverse criterii de analiz ă. Astfel, se
alege modelul care are valoarea cea mai mare pentru
2Rajustat sau valoarea
cea mai mic ă pentru varian ța sau dispersia reziduurilor. De asemenea se alege
modelul care are valorile cele mai mici pentru criteriile informa ționale (Akaike,
Schwartz).
7. Pe baza modelului selectat se fac diverse analize și prognoze.
63V. 4. Estimarea modelelor ARMA în EViews
Utilizând seria de date cu frecven ță lunară a BUBOR 1W pentru perioada ianuarie 1997
– august 2007 au fost estimate trei modele AR, MA și ARMA care s ă descrie evolu ția
ratei lunare a dob ănzii BUBOR 1W.
Graficul seriei utilizate este:
050100150200250
97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07
BUBOR
Conform testelor de sta ționaritate ADF și PP seria este sta ționară.
Testul de sta ționaritate ADF
Null Hypothesis: BUBOR has a unit root
Exogenous: Constant, Linear Trend
Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12)
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -5.024900 0.0003
Test critical values: 1% level -4.031899
5% level -3.445590
10% level -3.147710
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(BUBOR)
64Method: Least Squares
Sample (adjusted): 1997M02 2007M08
Included observations: 127 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
BUBOR(-1) -0.328208 0.065316 -5.024900 0.0000
C 33.57762 7.478112 4.490120 0.0000
@TREND(1997M01) -0.303782 0.074919 -4.054833 0.0001
R-squared 0.169420 Mean dependent var -0.383937Adjusted R-squared 0.156024 S.D. dependent var 21.04233
S.E. of regression 19.33121 Akaike info criterion 8.784657
Sum squared resid 46338.27 Schwarz criterion 8.851843
Log likelihood -554.8257 F-statistic 12.64663Durbin-Watson stat 1.581948 Prob(F-statistic) 0.000010
Testul de sta ționaritate PP
Null Hypothesis: BUBOR has a unit root
Exogenous: Constant, Linear Trend
Bandwidth: 3 (Newey-West using Bartlett kernel)
Adj. t-Stat Prob.*
Phillips-Perron test statistic -5.437216 0.0001
Test critical values: 1% level -4.031899
5% level -3.445590
10% level -3.147710
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Residual variance (no correction) 364.8682HAC corrected variance (Bartlett kernel) 462.5140
Phillips-Perron Test Equation Dependent Variable: D(BUBOR)
Method: Least Squares
Sample (adjusted): 1997M02 2007M08 Included observations: 127 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
BUBOR(-1) -0.328208 0.065316 -5.024900 0.0000
65C 33.57762 7.478112 4.490120 0.0000
@TREND(1997M01) -0.303782 0.074919 -4.054833 0.0001
R-squared 0.169420 Mean dependent var -0.383937Adjusted R-squared 0.156024 S.D. dependent var 21.04233
S.E. of regression 19.33121 Akaike info criterion 8.784657
Sum squared resid 46338.27 Schwarz criterion 8.851843Log likelihood -554.8257 F-statistic 12.64663
Durbin-Watson stat 1.581948 Prob(F-statistic) 0.000010
Funcția de autocorela ție a acestei serii este prezentat ă în graficul de mai jos.
66Atât func ția de autocorela ție (care porne ște de la o valoare ridicat ă și scade gradual) cât și funcția
de autocorela ție parțială (care scade brusc) indic ă că această serie este preponderent un proces
AR.
Pentru specificarea ecua ției, se procedeaz ă similar ca în cazul estim ării unei ecua ții de regresie
liniară: click buton dreapta mouse în interiorul ferestrei fi șierului de lucru ( workfile )/new
object/equation :
Variabilele AR se specific ă ca lag-uri ale variabilei dependente (în exemplul de mai sus,
bubor(-1) ), iar variabilele MA, se specific ă MA(x) unde x reprezint ă ordinul.
În selectarea specifica ției ARMA se ține cont de autocorela ția erorilor ecua ției de regresie (s ă nu
existe autocorela ție), autocorela ția erorilor p ătratice (s ă nu existe termeni ARCH ), 2R și 2R,
criteriile informa ționale.
De asemenea, în cazul modelelor care con țin termeni AR, valoarea absolut ă a unui coeficient AR
trebuie s ă fie mai mic ă decât 1 (dac ă este egal ă atunci exist ă o rădăcină unitară, iar dacă este
mai mare decât 1 atunci procesul este exploziv). De asemenea suma coeficien ților termenilor AR
trebuie sa fie mai mic ă decât 1 (în caz contrar pr ocesul fiind exploziv).
În plus, pentru ca ecua ția să fie stabil ă, valoarea absolut ă a rădăcinilor ecua ției trebuie s ă fie mai
mici decât 1.
67Estimarea modelului MA
Specifica ția modelului este MA(4) .
Dependent Variable: BUBOR
Method: Least Squares
Sample (adjusted): 1997M01 2007M08 Included observations: 128 after adjustments
Convergence achieved after 15 iterations
Backcast: 1996M09 1996M12
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 41.54023 5.901126 7.039374 0.0000
MA(1) 0.734234 0.051566 14.23862 0.0000MA(2) 0.495279 0.026993 18.34853 0.0000
MA(3) 0.863535 0.025672 33.63763 0.0000
MA(4) 0.804961 0.050194 16.03709 0.0000
R-squared 0.838087 Mean dependent var 43.94414Adjusted R-squared 0.832822 S.D. dependent var 42.18206
S.E. of regression 17.24715 Akaike info criterion 8.571450
Sum squared resid 36588.11 Schwarz criterion 8.682858
Log likelihood -543.5728 F-statistic 159.1672Durbin-Watson stat 1.582016 Prob(F-statistic) 0.000000
Inverted MA Roots .42-.90i .42+.90i -.78+.45i -.78-.45i
Analiza r ădăcinilor ecua ției se realizeaz ă cu opțiunea View/ARMA Structure/Roots :
68Rădăcinile polinomului caracteristic pot fi reprezentate atât ca tabel cât și grafic.
-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
MA rootsInverse Roots of AR/MA Polynomial(s)
Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s) Specification: BUBOR C MA(1) MA(2) MA(3) MA(4)
Sample: 1997M01 2007M12
Included observations: 128
MA Root(s) Modulus Cycle
0.416806 ± 0.900818i 0.992572 5.524002 -0.783923 ± 0.450021i 0.903910 2.397739
No root lies outside the unit circle. ARMA model is invertible.
Conform rezultatelor statistice, modulul r ădăcinilor polinomului caracteristic este mai mic decât 1,
și ca urmare ecua ția este stabil ă.
Dar, conform corelogramei erorilor, prezentat ă în graficul de mai jos, exist ă autocorela ție serială
la al 5-lea lag.
69
Valoarea efectiv ă și cea estimat ă de model a BUBID 1W este prezentat ă în graficul de
mai jos.
-80-4004080
050100150200250
97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07
Residual Actual Fitted
70Estimarea modelului AR
Specifica ția modelului este AR(1)
Dependent Variable: BUBOR
Method: Least Squares
Sample (adjusted): 1997M02 2007M08 Included observations: 127 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 4.985180 2.639138 1.888943 0.0612
BUBOR(-1) 0.878633 0.043240 20.32007 0.0000
R-squared 0.767617 Mean dependent var 43.85480
Adjusted R-squared 0.765758 S.D. dependent var 42.33696
S.E. of regression 20.49047 Akaike info criterion 8.893420Sum squared resid 52482.45 Schwarz criterion 8.938210Log likelihood -562.7322 F-statistic 412.9052
Durbin-Watson stat 1.709848 Prob(F-statistic) 0.000000
Coeficientul termenului AR este mai mic decât 1, deci ecua ția este stabil ă.
De asemenea, conform corelogramei erorilor, nu exist ă corelație serială a erorilor.
Valorile efective și cele estimate ale variabilei dependente sunt prezentate în graficul de mai jos.
71-100-50050100150
050100150200250
97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07
Residual Actual Fitted
Estimarea modelului ARMA
Specifica ția modelului este ARMA(1,10)
Dependent Variable: BUBOR
Method: Least Squares
Sample (adjusted): 1997M02 2007M08 Included observations: 127 after adjustments
Convergence achieved after 21 iterations
Backcast: 1996M04 1997M01
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
BUBOR(-1) 0.974210 0.017718 54.98466 0.0000
MA(5) -0.243541 0.056540 -4.307386 0.0000MA(6) -0.226437 0.055472 -4.081987 0.0001
MA(7) -0.332302 0.055472 -5.990446 0.0000
MA(10) 0.476373 0.060775 7.838351 0.0000
R-squared 0.867500 Mean dependent var 43.85480Adjusted R-squared 0.863156 S.D. dependent var 42.33696
S.E. of regression 15.66150 Akaike info criterion 8.378862
Sum squared resid 29924.46 Schwarz criterion 8.490837
Log likelihood -527.0577 Durbin-Watson stat 2.297258
Inverted MA Roots .88+.16i .88-.16i .56+.83i .56-.83i
-.02-.90i -.02+.90i -.53+.73i -.53-.73i
-.89+.33i -.89-.33i
72Conform rezultatelor statistice, modulul r ădăcinilor polinomului caracteristic este mai mic decât 1,
și ca urmare ecua ția este stabil ă.
-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
MA rootsInverse Roots of AR/MA Polynomial(s)
Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)
Specification: BUBOR BUBOR(-1) MA(5) MA(6)
MA(7) MA(10) Sample: 1997M01 2007M12
Included observations: 127
MA Root(s) Modulus Cycle
0.558806 ± 0.826275i 0.997494 6.436651 -0.890402 ± 0.332511i 0.950463 2.256737
-0.528267 ± 0.734115i 0.904428 2.863081 -0.022438 ± 0.897521i 0.897802 3.937348
0.882301 ± 0.159193i 0.896548 35.19821
No root lies outside the unit circle. ARMA model is invertible.
De asemenea, conform corelogramei erorilor, nu exist ă corelație serială la 1 la sut ă nivel de
relevanță.
73
Valorile efective și cele estimate ale variabilei dependente sunt prezentate în graficul de mai jos.
-80-4004080120
050100150200250
97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07
Residual Actual Fitted
Indicatorii statistici pentru cele trei specifica ții de modele sunt prezenta ți in tabelul de mai
jos.
MA(4) AR(1) ARMA(1,10)
Adjusted R-squared 0.832822 0.765758 0.863156
Akaike info criterion 8.571450 8.893420 8.378862
Schwarz criterion 8.682858 8.938210 8.490837
74Conform tuturor celor trei criterii (cea mai mare valoare a 2R și, respectiv, cele mai mici
valori înregistrate de criteriile informa ționale), este aleas ă specifica ția ARMA(1,10) .
Pe baza acestei specifica ții se va prognoza dobânda BUBOR 1W pentru lunile
septembrie – decembrie 2007.
Opțiunea pentru realizarea de prognoze este Proc/Forecast apelată din fereastra
ecuației de regresie.
Opțiunile disponibile din fereastra Forecast sunt:
Forecast sample – perioada pentru care se realizeaz ă prognoza. În cazul de fa ță
este septembrie 2007 – decembrie 2007.
Method :
• Dynamic forecast – prognozeaz ă valoarea în perioada t + 1 pe baza datelor
efective pân ă în momentul t, apoi pentru toate perioadele urm ătoare
folosește datele deja prognozate începând din momentul t + 1.
• Static forecast – prognozeaz ă o observa ție înainte numai pe baza datelor
efective.
75Utilizând o prognoz ă dinamic ă, valorile prognozate și marjele de eroare (simbolizate cu
linii roșii întrerupte sunt prezentate în graficul de mai jos.
-60-40-20020406080
2007M09 2007M10 2007M11 2007M1 2
BUBORF
76Capitolul VI. Modele cu date panel
VI. 1. Utilizarea modelelor cu date panel
Modelele cu date panel constau în estimarea de ecua ții de regresie în care sunt folosite
serii care sunt în acela și timp atât serii de timp cât și date crosssec ționale.
De exemplu, dac ă dispunem de serii de timp pentru evolu ția pe o anumit ă perioadă a
acțiunilor mai multor companii și dorim s ă determin ăm cum influen țează anumite
variabile macroeconomice randamentul acelor ac țiuni, o solu ție este utilizarea de
modele cu date panel. Astfel, cu ajutorul acestui tip de modele poate fi determinat un singur coeficient care s ă exprime impactul unei variabile macroeconomice asupra
randamentului unui grup de companii.
Modelele cu date panel permit:
Rezumarea printr-un singur coeficient al impactului unei variabile asupra unui
grup de serii de timp variabile dependente (grup de companii, de țări, etc.).
Estimarea de coeficien ți specifici (constant ă sau coeficien ți ai variabilelor
independente) pentru fiecare serie de timp considerat ă ca variabil ă dependent ă –
efecte fixe.
Gruparea variabilelor dependente în categorii și estimarea impactului categoriei
din care face parte variabila dependent ă asupra evolu ției acesteia.
VI. 2. Estimarea modelelor cu date panel în EViews
În vederea studierii impactului a șteptărilor pieței bancare asupra spread-ului practicat de
către bănci, au fost estimate, utilizând metodologia panel data , ecuații pentru spread-
urile active și pasive pentru persoane fizice și juridice func ție de așteptările operatorilor
bancari referitoare la evolu ția viitoare a ratei infla ției și dobânzilor din pia ța monetar ă.
Spread-ul activ a fost calculat ca diferen ță dintre dobânzile active pentru clien ții
nebancari neguvernamentali și rata dobânzii de interven ție a BNR, iar spread-ul pasiv a
fost calculat ca diferen ță dintre dobânda de interven ție a BNR și ratele dobânzii pasive
pentru clien ții nebancari neguvernamentali. Ca urmare, spread-ul total este suma dintre
cele dou ă măsuri.
Eșantionul pe care s-au estimat regresiile a fost format din 13 b ănci.
Perioada pe care s-a realizat analiza este ianuarie 2005 – iulie 2005, rezultând un
număr de 84 de observa ții.
77Date utilizate:
Rata dobânzii active practicate pentru persoane fizice (ACT_PF);
Rata dobânzii active practicate pentru persoane juridice, clien ți nebancari,
neguvernamentali (ACT_PJ);
Rata dobânzii pasive practicate pentru persoane fizice (PAS_PF);
Rata dobânzii pasive practicate pentru persoane juridice, clien ți nebancari
neguvernamentali (PAS_PJ);
Rata dobânzii la opera țiunile de sterilizare ale BNR (RN_BNR);
Rata dobânzii bonificate de BNR pentru rezervele minime obligatorii în lei
(DOB_RMO);
Rata anual ă a infla ției așteptată de operatorii bancari peste 24 de luni
(A_INFL_24);
Deviația standard a r ăspunsurilor participan ților la sondaj cu privire la rata anual ă
a inflației așteptate peste 12 luni (A_INFL_12_DEV), utilizat ă ca variabil ă proxy
pentru incertitudinea din pia ța bancar ă cu privire la evolu ția inflației din
următoarele 12 luni;
Rata dobânzii pentru depozitele pe pia ța monetar ă cu scaden ța de o săptămână
așteptate de operatorii din sistemul bancar pentru un orizont de 12 luni
(RN_1W_12).
Conform rezultatelor econometrice, spread-ul activ, atât pentru persoane fizice cât și
pentru persoane juridice, este influen țat de a șteptările privind rata infla ției pe
următoarele 24 de luni și de volatilitatea dobânzii de interven ție a BNR (aproximat ă prin
valoarea absolut ă a modific ărilor lunare ale acesteia).
Astfel, atât o majorare a anticipa țiilor infla ționiste cât și o creștere a volatilit ății ratei
dobânzii de interven ție conduc la majorarea spread-ului activ.
Cum era de a șteptat, rata de dobând ă bonificat ă de BNR pentru depozitele minime
obligatorii este corelat ă negativ cu spread-ul, în sensul c ă o majorare a acesteia
conduce la reducerea spread-ului (datorit ă reducerii costului fondurilor atrase).
Definirea modelului panel re realizeaz ă cu click buton dreapta mouse selectarea op țiunii
New object/Pool
78
În fereastra Cross Section Identifiers se introduc datele de identificare a seriilor de date
crossecționale. În cazul de fa ță _x, unde x reprezint ă banca. Astfel, fiecare serie de date
care se refer ă la banca x, va avea termina ția _x.
Cu opțiunea View/Spreadsheet (stacked data) se definesc seriile specifice fiec ărei bănci
și seriile comune tuturor b ăncilor. Seriile se separ ă cu spațiu.
Dacă seriile sunt comune tuturor b ăncilor (de exemplu rata de sterilizare a BNR, rn_bnr )
seriile se definesc tip ărindu-se numele lor.
Dacă, în schimb este o serie specific ă fiecărei bănci (cum este cazul, de exemplu,
așteptărilor privind rata infla ției pentru urm ătoarele 24 de luni, a_infl_24 ), seria se
definește tipărind numele acesteia și ? (a_infl_24? ). În acest fel se genereaz ă câte o
serie a_infl_24 pentru fiecare banca, serie având termina ția _01 până la _13.
79
Apoi seriile (atât cele comune cât și cele pentru fiecare banc ă) se introduc în tabel co
copy și paste .
Ecuația de regresie se estimeaz ă cu opțiunea Estimate apelată din fereastra modelului
panel.
Opțiunile disponibile sunt:
Dependent variable – variabila dependent ă. Dacă seriile sunt specifice fiec ărei
bănci se folose ște caracterul ?.
Regressors and AR() terms :
• Common coefficients – variabilele independente comune. De asemenea,
dacă seriile sunt specifice fiec ărei bănci se folose ște caracterul ?.
• Cross-section specific coefficients – variabile specifice fiec ărei bănci. În acest
caz se va estima câte un coeficient pentru fiecare banc ă.
Estimation method :
80• Fixed and Random Effects – dacă se introduc efecte fixe sau efecte
aleatoare.
• Weights – se alege metoda de estimare, metod ă care poate s ă țină cont de
autocorela ția erorilor și de heteroskedasticitate.
Estimările econometrice sunt prezentate în tabelele de mai jos.
Persoane fizice
Dependent Variable: ACT_PF?-RN_BNR
Method: Pooled Least Squares
Sample (adjusted): 2005M01 2005M07
Included observations: 7 after adjustments Cross-sections included: 13
Total pool (unbalanced) observations: 84
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 6.765733 4.985221 1.357158 0.1792
A_INFL_24?(-1) 1.656481 0.914590 1.811172 0.0745
ABS(D(RN_BNR(-2) )) 0.479254 0.1603 56 2.988678 0.0039
DOB_RMO(-1) -0.815756 0.218100 -3.740277 0.0004
Fixed Effects (Cross)
_01–C 3.516078 _02–C 0.905852
_03–C -4.735097
_04–C 0.278803 _05–C 2.714437
_06–C -4.188903
_07–C -4.893096 _08–C -1.829393
_09–C -0.853592
_10–C 4.154242 _11–C 0.885616
_12–C 3.170805
_13–C 4.375301
Effects Specification
Cross-section fixed (dummy variables)
R-squared 0.734933 Mean dependent var 14.42240
Adjusted R-squared 0.676462 S.D. dependent var 3.906075
S.E. of regression 2.221790 Akaike info criterion 4.604147Sum squared resid 335.6718 Schwarz criterion 5.067159
Log likelihood -177.3742 F-statistic 12.56926
Durbin-Watson stat 1.527998 Prob(F-statistic) 0.000000
81
Persoane juridice
Dependent Variable: ACT_PJ?-RN_BNR
Method: Pooled Least Squares
Sample (adjusted): 2005M01 2005M07
Included observations: 7 after adjustments Cross-sections included: 13
Total pool (unbalanced) observations: 84
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.913003 3.831831 0.238268 0.8124
A_INFL_24?(-1) 1.448644 0.702989 2.060692 0.0432
ABS(D(RN_BNR(-2) )) 0.454094 0.1232 56 3.684154 0.0005
DOB_RMO(-1) -0.355659 0.167640 -2.121559 0.0375
Fixed Effects (Cross)
_01–C -5.443339 _02–C 2.078863
_03–C -1.012100
_04–C -0.762182 _05–C 2.232951
_06–C -5.844925
_07–C 1.399169 _08–C 3.272944
_09–C 1.465961
_10–C -0.405522 _11–C -1.299828
_12–C 1.946907
_13–C 4.696545
Effects Specification
Cross-section fixed (dummy variables)
R-squared 0.762877 Mean dependent var 8.847317Adjusted R-squared 0.710571 S.D. dependent var 3.174343
S.E. of regression 1.707752 Akaike info criterion 4.077877
Sum squared resid 198.3165 Schwarz criterion 4.540889
Log likelihood -155.2708 F-statistic 14.58477Durbin-Watson stat 1.666125 Prob(F-statistic) 0.000000
82În cazul spread-ului pasiv, conform rezultatelor econometrice, atât pentru persoanele
fizice cât și pentru cele juridice, asupra acestuia î și pun amprenta a șteptările în privin ța
evoluțiilor în urm ătoarele 12 luni a ratelor dobânzii cu scaden ța de o săptămână, evoluția
ratei dobânzii de sterilizare a BNR și incertitudinea în privin ța ratei infla ției așteptate în
următoarele 12 luni.
Astfel, anticiparea unei cre șteri a ratei dobânzii pe pia ța monetar ă conduce la majorarea
spread-ului. O explica ție a acestui rezultat ar fi faptul c ă, în general, durata activelor este
superioar ă duratei pasivelor (riscul de modificare a ratei dobânzii în sensul cre șterii are
un impact negativ ce nu este compensat în totalitate de impactul pozitiv asupra pasivelor), și ca urmare modificarea ratei dobânzii are efecte asimetrice asupra
profitabilit ății. Astfel, cre șterea dobânzii ar trebui s ă conducă la majorarea spread-ului.
Aceasta este explica ția și in cazul celeilalte variabile explicative – evolu ția ratei dobânzii
la operațiunile de sterilizare.
De asemenea, o majorare a incertitudinii cu privire la rata infla ției conduce la cre șterea
spread-ului.
Rezultatele estim ărilor econometrice sunt prezentate în tabelele de mai jos.
Persoane fizice
Dependent Variable: RN_BNR-PAS_PF?
Method: Pooled Least Squares Sample (adjusted): 2005M01 2005M07
Included observations: 7 after adjustments
Cross-sections included: 13 Total pool (unbalanced) observations: 84
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -1.337440 1.035142 -1.292036 0.2007
RN_1W_12?(-1) 0.141256 0.049085 2.877769 0.0053
A_INFL_12_DEV(-1) 3.914145 2.020029 1.937667 0.0568
D(RN_BNR(-1)) 0.850040 0.102701 8.276861 0.0000
Fixed Effects (Cross)
_01–C 3.131380
_02–C 2.789540 _03–C -1.556827
_04–C 0.639623
_05–C 1.432939 _06–C 2.100246
_07–C -0.007815
_08–C 0.166481 _09–C -1.142894
_10–C -2.221507
83_11–C -3.607794
_12–C -1.586480
_13–C -2.490128
Effects Specification
Cross-section fixed (dummy variables)
R-squared 0.875738 Mean dependent var 1.062269
Adjusted R-squared 0.848327 S.D. dependent var 2.527695
S.E. of regression 0.984416 Akaike info criterion 2.976106
Sum squared resid 65.89703 Schwarz criterion 3.439119Log likelihood -108.9965 F-statistic 31.94872
Durbin-Watson stat 1.812217 Prob(F-statistic) 0.000000
Persoane juridice
Dependent Variable: RN_BNR-PAS_PJ?
Method: Pooled Least Squares
Sample (adjusted): 2005M01 2005M07 Included observations: 7 after adjustments
Cross-sections included: 13
Total pool (unbalanced) observations: 84
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -3.231045 0.898741 -3.595079 0.0006
RN_1W_12?(-1) 0.441803 0.042617 10.36672 0.0000
A_INFL_12_DEV(-1) 7.083072 1.753850 4.038586 0.0001
D(RN_BNR(-1)) 0.943739 0.089168 10.58385 0.0000
Fixed Effects (Cross)
_01–C -0.256768
_02–C 1.184713
_03–C -1.211410 _04–C 0.113818
_05–C 1.972395
_06–C -1.387390 _07–C 2.614700
_08–C -0.363632
_09–C -0.560105 _10–C -0.916297
_11–C -0.282755
_12–C -1.574537 _13–C 0.080688
Effects Specification
84Cross-section fixed (dummy variables)
R-squared 0.844103 Mean dependent var 3.770087
Adjusted R-squared 0.809714 S.D. dependent var 1.959340
S.E. of regression 0.854699 Akaike info criterion 2.693508Sum squared resid 49.67468 Schwarz criterion 3.156521
Log likelihood -97.12734 F-statistic 24.54573
Durbin-Watson stat 1.970847 Prob(F-statistic) 0.000000
În concluzie, conform estim ărilor econometrice, asupra spread-ului dintre dobânzile
active și pasive î și pun amprenta:
Atât anticipa țiile inflaționiste cât și gradul lor de incertitudine;
Anticipa țiile cu privire evolu ția ratei dobânzii pe pia ța monetar ă;
Atât evolu ția ratei dobânzii la opera țiunile BNR, cât și nivelul volatilit ății acestei
rate a dobânzii.
85Capitolul VII. Modele GARCH
VII.1. Tipuri de modele ARCH
Modelele ARCH au fost introduse de Engle (1982) și generalizate ( GARCH ) de
Bollerslev (1986).
În construirea unui model ARCH trebuie luate în considerare doua ecua ții distincte: una
pentru media condi ționată (ecuația de evolu ție a randamentelor activului) și una pentru
varianța condiționată (ecuația volatilit ății).
Modelul GARCH (p,q) , propus de Bollerslev (1986), are urm ătoarea specifica ție:
tn
jtj
jm
iti
i t L rL r εεβ ββ + + += ∑∑
= = 1,2
1,1 0
),0(t t h N≈ε
∑∑
= =+ +=q
jtj
jp
iti
i t L hL h
12
,2
1,1 0 εα αα
unde:
tr este un proces ARMA(m,n) sau un model Random Walk (atunci când m ii ,1,0,1==β ,
si n jj ,1,0,2==β );
th (volatilitatea) este un proces ARCH(q) și GARCH(p) ;
parametrii α1 reprezint ă persisten ța volatilit ății;
parametrii α2 reprezint ă viteza de reac ție a volatilit ății la șocurile din pia ță.
Pentru a nu fi un proces exploziv (volatilitate exploziv ă), trebuie îndeplinit ă condiția
∑∑
==<+p
iq
ji i
11,2 ,1 1αα
În plus, coeficien ții termenilor ARCH și GARCH trebuie sa fie subunitari și pozitivi.
Interpretat într-un context financiar, acest model descrie modul în care un agent
încearcă să prognozeze volatilitatea pentru urm ătoarea perioad ă pe baza mediei pe
termen lung (0α) a varian ței, a varian ței anterioare (termenul GARCH ) și a informa țiilor
privind volatilitatea observat ă în perioada anterioara (termenul ARCH ). Dacă
randamentul activului din perioada anterioar ă a fost, în mod nea șteptat, mare în valoare
absolută, agentul va m ări varianța așteptată în perioada urm ătoare.
Modelul accept ă și fenomenul de volatility clustering , situația în care modific ărilor mari
ale cursului activelor financiare este probabil s ă le urmeze în continuare varia ții mari ale
acestuia.
86Testele efectuate pe pie țele financiare mature au eviden țiat o vitez ă de reac ție a
volatilității cursului de schimb, în general, inferioar ă plafonului de 0,25 și un grad de
persisten ță a acesteia, superior pragului de 0,7.
Modelul GARCH a fost ulterior extins, pentru a relaxa anumite ipoteze sau pentru
încorpora asimetria impactului randamentului cursului activelor financiare sau a separa volatilitatea în trend și volatilitate pe termen scurt.
Cele mai cunoscute extensii sunt:
GARCH integrat ( IGARCH ),
GARCH in Mean (GARCH-M ),
Treshold ARCH (TARCH ),
GARCH exponen țial (EGARCH ).
Modelul IGARCH
Presupunând c ă,
tt t vh=ε unde tv este independent și identic distribuit cu media zero
și dispersia 1 și th îndepline ște specifica ția GARCH(p,q) :
2 2
2 22
1 1 2 2 1 1 … …qtq t t ptp t t t h h h kh− − − − − − ++++++++= εαεαεαδ δδ,
adăugând tε la ambii termeni ai ecua ției și scriind i i iδαα−′= rezultă
qtq t t t rt r r t t t w w w w k− − − − − − −−−−++++++++= δ δδ εαδ εαδεαδε … ) (… ) ( ) (2 2 1 12 2
2 2 22
1 1 12
unde t t t h w−=2ε și {}qp p , max= . th este valoarea prognozat ă pentru tε iar
t t t h w−=2ε este eroarea asociat ă acestei prognoze.
Rezultă că tε urmează un proces ARMA . Acest proces ARMA va avea un unit root dacă
1
1 1=+∑∑
= =q
jjp
iiαδ .
Engle si Bollerslev (1986) numesc modelul care satisface condi ția de mai sus GARCH
integrat sau IGARCH .
Dacă tε urmeaza un proces IGARCH , atunci varian ța necondi ționataăa lui tε este
infinită (un șoc într-o anumit ă perioad ă nu se atenueaz ă), deci nici tε și nici 2
tε nu
satisfac condi țiile unui proces sta ționar în covarian ță (covariance–stationary ).
Modelul GARCH-in-Mean (GARCH-M )
Teoria financiar ă sugereaz ă ca un activ cu un risc perceput ca ridicat, în medie, va avea
un randament superior. Presupunând c ă tr este descompus într-o component ă
anticipată de agen ți la momentul t – 1 (notata tμ) și o componenta neanticipat ă (notata
tε), atunci:
87t t trαμ+= .
În plus, teoria sugereaz ă faptul că randamentul mediu (tμ) este corelat cu varian ța sa
(th).
Modelul ARCH-M , introdus de Engle, Lilien și Robins (1987) este ob ținut prin
introducerea în ecua ția randamentelor a varian ței sau a devia ției standard condi ționate
(th sau th).
Efectul perceperii unui risc ridicat este cuantificat de coeficientul lui th din ecua ția
randamentului ( ω):
t tn
jtj
jm
iti
i t h L rL r εωεβ ββ ++ + += ∑∑
= = 1,2
1,1 0 .
Modele ARCH asimetrice
Pe piețele financiare s-a observat c ă agenții percep volatilitatea în mod diferit, func ție de
semnul varia ției zilnice a cursului activului financ iar respectiv. De exemplu, pentru
acțiuni, mișcările în jos ale pie ței sunt urmate de o volatilitate mai mare decât mi șcările
în sens cresc ător de aceea și amplitudine.
Cele mai utilizate modele ARCH care permit analiza r ăspunsului asimetric la șocuri sunt
modelele Treshold ARCH (TARCH ) și GARCH Exponential (EGARCH ).
Modelul TARCH , introdus în mod independent de Zakoian (1990) și Glosten,
Jaganathan si Runkle (1993), are urm ătoarea specifica ție pentru ecua ția varian ței
(TARCH(p,q) ):
12
1
12
,2
1,1 0 −−
= =+ + += ∑∑ t tq
jtj
jp
iti
i t d L hL h λεεα αα ,
unde 1=td daca 0<tε și 0=td în caz contrar.
În acest model, ve știle bune ( 0<tε ) și vestile rele ( 0>tε ) au efecte diferite asupra
varianței condiționate – ve știle bune au un impact de 1α în timp ce ve știle rele au un
impact de λα+1 . Dacă 0≠λ , atunci efectul informa țiilor asupra volatilit ății este
asimetric.
Modelul EGARCH , propus de Nelson (1991) are urm ătoarea specifica ție pentru ecua ția
varianței condiționate:
11
11
1) log( ) log(
−−
−−
− + + +=
tt
tt
t th hh hελεα βω .
88Confirm acestui model, efectul informa țiilor este exponen țial (și nu pătratic) iar varian ța
prognozat ă va fi obligatoriu non-negativ ă. Impactul informa țiilor este asimetric dac ă
0≠λ .
VII.2. Estimarea modelelor ARCH în EViews
Se calculeaz ă, utilizând modele ARCH/GARCH volatilitatea cursului EUR/RON pentru
perioada ianuarie 1999 – mai 2007 pentru o serie cu frecven ță zilnică.
Seria evolu țiilor zilnice ale cursului de schimb (calculate ca diferen ță de logaritmi
naturali, 1 ln ln−−t t x x ) este denumita dl_eur .
Specificarea ecua ției ARCH: click buton dreapta mouse în fereastra fi șierului de lucru,
alegerea op țiunii New object/Equation și se selecteaz ă din meniul Method opțiunea
ARCH – Autoregresssive Conditional Heteroskedasticity .
89Opțiunile disponibile sunt:
Mean Equation – specificarea ecua ției variabilei c ărei i se calculeaz ă volatilitatea
(în cazul de fa ță a ecuației evoluției zilnice a cursului de schimb).
ARCH-M – dacă modelul este ARCH in Mean – adică dacă în ecua ția de
regresie a evolu ției cursului este introdus ă și volatilitatea acestuia.
Variance and distribution specification – specificarea ecua ției varian ței
(volatilității) cursului de schimb:
• Model – tipul modelului: GARCH , EGARCH .
• ARCH – termenii ARCH .
• GARCH – termenii GARCH .
• Asymetric order – dacă se introduce asimetrie în ecua ția de regresie a
varianței.
• Variance regressors – dacă se introduc variabile independente în ecua ția de
regresie a varian ței.
• Error distribution – distribu ția erorilor (în cazul în care se presupune c ă
distribuția erorilor nu este normal ă și se dore ște corectarea ecua ției de
varianță pentru ne-normalitatea erorilor).
Condițiile ce trebuie îndeplinite de coeficien ții unui model GARCH sunt:
Coeficien ții ecuației varian ței sa fie pozitivi;
Suma coeficien ților ecua ției varian ței să fie mai mic ă decât 1. În caz contrar,
modelul este GARCH integrat ( I-GARCH ), iar volatilitatea este exploziv ă.
Modelele EGARCH sunt mai pu țin restrictive, neavând condi ții impuse valorilor
coeficien ților ecua ției volatilit ății.
Conform estim ărilor, pentru cursul EUR/RON modele GARCH estimate au fost GARCH
integrate.
De exemplu, modelul GARCH(1,1) este:
Dependent Variable: DL_EUR
Method: ML – ARCH (Marquardt) – Normal distribution
Sample (adjusted): 2 2148 Included observations: 2147 after adjustments
Convergence achieved after 19 iterations
Variance backcast: ON GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*GARCH(-1)
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
C 0.000198 8.77E-05 2.260467 0.0238
Variance Equation
90C 2.50E-07 5.08E-08 4.926018 0.0000
RESID(-1)^2 0.138819 0.009128 15.20872 0.0000
GARCH(-1) 0.868095 0.008286 104.7609 0.0000
R-squared -0.001355 Mean dependent var 0.000427Adjusted R-squared -0.002757 S.D. dependent var 0.006208
S.E. of regression 0.006216 Akaike info criterion -7.718359
Sum squared resid 0.082811 Schwarz criterion -7.707792Log likelihood 8289.659 Durbin-Watson stat 1.848831
Ca urmare, a fost estimat un model EGARCH(2,1,1) (acesta fiind mai pu țin restrictiv). Modelul a
acceptat atât coeficient de asimetrie în ecua ția de volatilitate cât și volatilitatea cursului EUR/RON
(măsurată prin abaterea medie p ătratică) în ecua ția de medie.
Ecuația de regresie a modelului este prezentat ă mai jos.
Dependent Variable: DL_EUR
Method: ML – ARCH (Marquardt) – Ge neralized error distribution (GED)
Sample (adjusted): 2 2148 Included observations: 2147 after adjustments
Convergence achieved after 25 iterations
Variance backcast: ON LOG(GARCH) = C(3) + C(4)*ABS(RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1))) +
C(5)*ABS(RESID(-2)/ @SQRT(GARCH(-2))) + C(6)*RESID(-1)
/@SQRT(GARCH(-1)) + C(7)*LOG(GARCH(-1))
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
@SQRT(GARCH) 0.1126 35 0.039554 2.847620 0.0044
C -0.000457 0.000156 -2.932430 0.0034
Variance Equation
C(3) -0.284286 0.056336 -5.046247 0.0000C(4) 0.399824 0.049811 8.026844 0.0000C(5) -0.170567 0.049394 -3.453202 0.0006
C(6) -0.026267 0.013602 -1.931131 0.0535
C(7) 0.989348 0.004282 231.0737 0.0000
GED PARAMETER 1.293394 0.047198 27.40373 0.0000
R-squared 0.002000 Mean dependent var 0.000427Adjusted R-squared -0.001266 S.D. dependent var 0.006208
S.E. of regression 0.006212 Akaike info criterion -7.788111
Sum squared resid 0.082534 Schwarz criterion -7.766977
91Log likelihood 8368.537 F-statistic 0.612409
Durbin-Watson stat 1.855328 Prob(F-statistic) 0.746122
Coeficientul volatilit ății cursului din ecua ția de medie, fiind pozitiv, arat ă că, atunci când
volatilitatea cre ște, RON-ul se depreciaz ă (cursul EUR/RON cre ște).
Coeficientul de asimetrie din ecua ția volatilit ății este c(6) este semnificativ din punct de vedere
statistic și arată că, dacă în perioada anterioar ă cursul a crescut, volatilitatea se reduce.
Conform corelogramei erorilor p ătratice (prezentat ă în graficul de mai jos), nu mai exist ă termeni
ARCH suplimentari.
Pe baza ecua ție de volatilitate estimate, se genereaz ă seria istoric ă de volatilitate
condiționată. Volatilitatea poate fi m ăsurată prin varian ță sau abatere medie patratic ă
(radicalul varian ței).
Seria de volatilitate se reprezint ă grafic cu ajutorul op țiunii View/GARCH
Graph/Conditional Standard Deviation sau Conditional Variance accesat ă din fereastra
ecuației de regresie.
92
Volatilitatea (m ăsurată prin abaterea medie p ătratică) a cursului EUR/RON este
prezentat ă în graficul de mai jos.
.000.004.008.012.016.020.024.028
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000
Conditional standard deviation
93Capitolul VIII. Modele Value at Risk
VIII.1. Măsura VaR
Valoarea la risc ( VaR) este o încercare de a reprezenta printr-un singur num ăr riscul
total dintr-un portofoliu de active financiare. Aceast ă măsură a fost introdus ă de către J.
P. Morgan în 1994 și în prezent este folosit ă pe scar ă largă atât de c ătre institu țiile
financiare cât și în trezoreriile corpora țiilor și în fondurile de investi ții. De asemenea, și
Comitetul de Supraveghere Bancar ă al Băncii Reglementelor Interna ționale o folose ște
pentru calculul cerin țelor de capital pentru b ănci.
VaR-ul reprezint ă pierderea estimat ă a unui portofoliu fix de instrumente financiare pe
un orizont fix de timp iar utilizarea acestui indicator implic ă alegerea arbitrar ă a doi
parametri: perioada de de ținere a instrumentelor financiare (orizontul de timp) și nivelul
de relevan ță. Conform Acordului de la Basel privind Adecvarea Capitalului, orizontul de
timp este de dou ă săptămâni (10 zile), iar nivelul de relevan ță este de 1 la sut ă.
În practic ă sunt utilizate mai multe metode de calcul al VaR, cele mai cunoscute fiind
metoda analitic ă, metoda istoric ă și simularea Monte Carlo. Alegerea metodei de calcul
depinde de:
instrumentele financiare asupra c ărora poate fi aplicat ă;
acurate țea măsurilor de risc, inclusiv ipotezele statistice pe care se bazeaz ă;
cerințele de implementare (modelele de ev aluare a riscului, descompunerea
riscului, cerin țele de date);
sistemele informatice necesare;
ușurința de comunicare a rezultatelor c ătre utilizatori.
VIII.2. VaR analitic
Ipoteza pe care se bazeaz ă această metodă este că randamentele activelor din
portofoliu ( R) pe orizontul de de ținere ( h) sunt normal distribuite, având media μ și
deviația standard σ: ()σμ, ~NR .
Dacă valoarea prezent ă a portofoliului este S, VaR-ul pentru orizontul de h zile, cu
nivelul de relevan ță () % 1100α− este:
Sx VaRh α α−=, ,
unde αx este cea mai mic ă percentil ă α a distribu ției ()σμ,N .
Folosind transformarea normal ă, putem scrie ()
σμα
α−=xZ , de unde rezult ă:
μσαα+=Z x ,
unde αZ este cea mai mic ă percentil ă α a distribu ției normale standard.
94Din cele dou ă relații de mai sus rezult ă:
() S Z VaR μσα+−= .
Metoda analitic ă una din cele mai simple și ușor de implementat metodologii de calcul al
VaR, ea bazându-se pe estim ări ale parametrilor pe baza datelor istorice (volatilitate,
coeficien ți de corela ție, randamente medii ale activelor).
Principalul dezavantaj al acestei metode este ipoteza statistic ă pe care se bazeaz ă –
evoluția prețului activelor financiare are o distribu ție normal ă, ipoteză care rar este
îndeplinit ă în practic ă. Alte dezavantaje ale acestei metode rezult ă din faptul c ă multe
senzitivit ăți (volatilit ăți, coeficien ți de corela ție) sunt variabile în timp, iar aceast ă
variabilitate are un impact semnificativ asupra m ăsurilor de risc în special în cazul
portofoliilor care con țin opțiuni. De asemenea, metoda analitic ă nu este recomandat ă în
cazul portofoliilor care con țin payoff -uri discontinue (de exemplu op țiuni cu bariere).
VIII.3. VaR calculat pe baza simul ării Monte Carlo
Simularea Monte Carlo presupune specificarea proceselor aleatoare pentru factorii de
risc ai portofoliului, a modului în care ace știa afecteaz ă portofoliul și simularea unui
număr mare de evolu ție a acestor factori și implicit de valori finale ale portofoliului pe
baza acestor ipoteze. Fiecare simulare conduce la un posibil profit/pierdere. Dac ă este
simulat un num ăr suficient de mare de valori posibile ale profitului/pierderii, atunci se
poate construi densitatea de probabilitate pentru profitul/pierderea posibil ă și se poate
genera VaR-ul pe baza celei mai mici percentile a distribu ției.
Metodologie analizei Monte Carlo pentru pre țul unei ac țiuni, S, este prezentat ă după
cum urmeaz ă. Presupunând c ă S urmează o mișcare Brownian ă geometric ă, atunci:
dW dtSdSσμ+= ,
unde :
μ este randamentul a șteptat pe unitatea de timp,
σ este volatilitatea cursului spot al ac țiunii,
dW este un proces Wiener, care poate fi scris () 21
dt dWϕ= , unde ϕ este o variabil ă
aleatoare și are o distribu ție normal ă standard. Substituind pentru dW se obține:
() 21
dt dtSdSσϕμ+= .
Randamentul instantaneu al pre țului acțiunii, SdS, evolueaz ă funcție de trend, dtμși de
termenul aleatoriu ϕ. În practic ă, în general se folose ște modelul în timp discret. Astfel,
dacă tΔ reprezint ă frecvența de timp la care se m ăsoară randamentul pre țului acțiunii,
atunci,
95t tSSΔ+Δ=Δσϕμ ,
unde SΔ reprezint ă modificarea pre țului acțiunii în intervalul de timp tΔ, iar SSΔ
reprezint ă randamentul ac țiunii în timp discret.
Randamentul ac țiunii este considerat a avea o distribu ție normal ă, cu media tΔμ și
deviația standard tΔσ .
Presupunând c ă dorim simularea evolu ției prețului acțiunii pentru o perioad ă de lungime
T, atunci diviz ăm T într-un num ăr mare, N, de sub-perioade, tΔ (NTt=Δ ). Consider ăm
o valoare ini țială a lui S, S(0), se extrage o valoare aleatoare pentru ϕ și se determin ă
valoarea ac țiunii pentru prima sub-perioad ă. Acest proces se repet ă pentru toate sub-
perioadele tΔ. Acest proces se reia pentru a genera un num ăr suficient de mare de
traiectorii ale cursului ac țiunii. Cu cât num ărul de simul ări ale traiectoriei pre țului acțiunii
este mai mare, cu atât distribu ția simulat ă a cursului ac țiunii la momentul T se apropie
de distribu ția reală a prețului la finalul orizontului avut în vedere.
VaR-ul estimat al cursului ac țiunii se determin ă pe baza distribu ției prețului acțiunii la
momentul T, S(T).
Principalele avantaje ale simul ării Monte Carlo sunt:
poate fi capturat ă o varietate mare de comportamente ale pie ței,
poate aborda eficient payoff -urile neliniare sau dependente de traiectoria
cursului,
poate captura riscul inclus în scenarii care nu presupun modific ări extreme ale
pieței,
poate, de asemenea, furniza informa ții despre impactul scenariilor extreme.
Principalul dezavantaj al acestei metodologii de calcul al VaR constă în necesitatea
ridicată de putere de calcul.
VIII.4. VaR istoric
Această metodologie se bazeaz ă pe ipoteza c ă informa țiile incluse în pre țurile din
trecutul apropiat sunt suficiente pentru cuantificarea riscului din viitorul apropiat.
Modelul de baz ă pentru calculul VaR prin simulare istoric ă constă în calculul unei serii
ipotetice de profit și pierdere ( P/L) sau randamente pentru portofoliul curent, pentru o
perioadă istorică specifică. Aceste randamente sunt m ăsurate pe un interval standard de
timp (de exemplu o zi) pe un set suficient de mare de observa ții istorice. Presupunând
că portofoliul este format din n active, și pentru fiecare activ i, randamentul este calculat
96pentru fiecare interval T. Dacă tir, este randamentul activului i pentru sub-perioada t, și
iA este suma investit ă în activul i, atunci P/L-ul simulat pentru portofoliul curent în sub-
perioada t este:
()∑
==n
itii t rA LP
1, / .
Calculând P/L pentru to ți t, se obține P/L-ul ipotetic pentru portofoliul curent pentru tot
eșantionul. VaR-ul este estimat pe baza distribu ției seriei P/L.
Alte metodologii pentru calculul VaR istoric pondereaz ă valorile P/L folosite în
construirea distribu ției seriei P/L.
Astfel, Boudoukh, 1998, consider ă că informa țiile noi au un con ținut informa țional,
referitor la riscurile viitoare, mai mare decât informa țiile vechi, și, ca urmare, este
justificată ponderarea valorilor P/L funcție de vârst ă astfel încât informa țiile mai noi s ă
aibă o pondere mai mare.
În cazul în care volatilitatea activelor este variabil ă, datele pot fi ponderate func ție de
volatilitatea contemporan ă estimată (Hull și White, 1998). Astfel, presupunând c ă se
dorește estimarea VaR pentru ziua T, considerând tir, randamentul istoric al activului i în
ziua t, ti,σ volatilitatea prognozat ă în ziua t – 1 a randamentului activului i pentru ziua t și
Ti,σ cea mai recent ă prognoz ă a volatilit ății activului i, randamentele efective tir, sunt
înlocuite cu randamentele ajustate func ție de volatilitate, *
,tir:
ti
tiTi
ti r r,
,, *
,σσ= .
Principalele avantaje ale simul ării istorice sunt:
Aceast ă metodologie este intuitiv ă și simplă din punct de vedere conceptual, ca
urmare fiind simplu de comunicat c ătre management.
Permit simularea evenimentelor istorice extreme.
Sunt u șor de implementat pentru orice tip de pozi ții, inclusiv contracte derivate.
Datele necesare sunt u șor de procurat.
Deoarece nu sunt dependente de ipoteze referitoare la parametrii de evolu ție a
piețelor, aceast ă metodologie se poate acomoda distribu țiilor leptokurtotice, celor
cu asimetrie și altor distribu ții non-normale.
Simularea istoric ă poate fi modificat ă în sensul acord ării unei influen țe mai mari
anumitor observa ții (în func ție de anotimp, vechime, volatilitate).
Principala deficien ță a simulării istorice este legat ă de faptul c ă rezultatele sunt complet
dependente de setul de date folosit:
97 Dacă în perioada folosit ă pentru calcul VaR piețele au fost neobi șnuit de calme
(sau de volatile) și condițiile s-au schimbat între timp, simularea istoric ă va
produce estim ări ale VaR care sunt prea mici (mari) pentru riscurile actuale.
Simularea istoric ă prezintă dificultăți în luarea în considerare a modific ărilor în
evoluția piețelor intervenite în perioada luat ă în considerare.
Măsurile VaR ob ținute prin simulare istoric ă nu capteaz ă riscul asociat producerii
unor evenimente plauzibile în viitor dar care nu s-au întâmplat în trecut.
VIII.5. Utilizarea modelelor de volatilitate în calculul VaR
VIII.5.1. Calculul VaR utilizând EWMA
Modelul EWMA (Exponentially Weighted Moving Average ) pentru estimarea volatilit ății a
fost propus de c ătre RiskMetrics în anul 1996. Conform acestei abord ări, volatilitatea
curentă, tσˆ, depinde (este o media ponderat ă a) de randamentul anterior și de
volatilitatea anterioar ă:
2
12
12ˆ ) 1(ˆ− −+−=t t t rσλλσ
unde
λ reprezint ă o constant ă de ponderare,
1−tr o – randamentul în perioada anterioar ă.
Parametrul λ arată persisten ța volatilit ății activului financiar, cu cât acesta este mai
mare cu atât un șoc apărut la un moment dat în pia ță este mai persistent. Parametrul
λ−1 arată rapiditatea cu care volatilitatea activului r ăspunde la un șoc indiferent de
direcție, cu cât acest parametru este mai mare, cu atât reac ția volatilit ății la șoc este mai
mare. RiskMetrics utilizeaz ă o valoare a λ pentru date zilnice de 0,94.
Volatilitatea calculat ă prin modele EWMA poate fi încorporat ă în modele VaR în
următoarele moduri:
Simulare istoric ă cu ponderarea datelor func ție de volatilitate. Randamentele
istorice sunt standardizate pe baza volatilit ății condiționate.
Simulare Monte Carlo utilizând EWMA . Randamentele pot fi simulate
considerând c ă urmează o distribu ție normal ă, dar matricea de covarian ță este
creată utilizând EWMA .
VaR analitic utilizând EWMA .
În generarea matricei de covarian ță este folosit ă o ecuație analog ă ecuației varian ței:
()1,12 1,21,1 ,12 ˆ 1 ˆ− −−+ −=t t t t rr σλ λ σ ,
unde:
t,12ˆσ reprezint ă covarian ța dintre activele 1 și 2,
1,1−tr și 1,2−tr reprezint ă randamentele celor dou ă active în perioada anterioar ă.
98Odată ce matricea de covarian ță a fost definit ă, aceasta poate fi folosit ă pentru calculul
VaR utilizând fie metoda analitic ă (indicată pentru portofolii simple), fie simularea Monte
Carlo (pentru portofolii ce includ op țiuni).
În simularea analitic ă, VaR-ul pentru h zile, cu nivelul de relevan ță α este:
σα α PZ VaRh=,
unde:
αZ este valoarea critic ă a distribu ției normale standard pentru α nivel de relevan ță,
P – valoarea curent ă a portofoliului,
σ – deviația standard prognozat ă pentru un orizont de h zile.
Deviația standard este calculat ă pe baza unei matrice de covarian ță a randamentelor
pentru h zile:
reprezentat ă la nivel de active:
Vww'=σ
unde:
()nw ww w ,…,2 1= reprezint ă ponderile activelor în portofoliu,
V reprezint ă prognoza, pe un orizont de h zile, a matricei de covarian ță pentru
randamentele activelor incluse în portofoliul.
reprezentat ă la nivel de factor de risc:
ββσ V'=
unde:
()nββββ ,…,2 1= reprezint ă factorii de senzitivitate ai portofoliului,
V reprezint ă prognoza, pe un orizont de h zile, a matricei de covarian ță pentru
randamentele factorilor de risc.
În cazul portofoliilor simple, prognoza matricei de covarian ță pe un orizont de h zile se
obține aplicând regula t, multiplicând matricea de covarian ța pentru un orizont de o zi
cu h. Dar aceast ă metodologie va conduce la rezultate incorecte în cazul portofoliilor
care au incluse și opțiuni, în acest caz fiind indicat ă utilizarea unei matrice de covarian ță
pentru orizontul h.
VIII.5.2. Calculul VaR utilizând modele GARCH
Aceste modele permit calculul VaR prin luarea în considerare a impactului asupra
volatilității viitoare a evenimetelor recente. De asemenea, cele dou ă serii (randamente și
volatilitatea) fiind serii sta ționare, aceste modele permit prognoza volatilit ății pentru
fiecare sub-perioad ă (zi) a orizontului avut în vedere pentru calculul VaR. De exemplu,
pentru a ob ține o prognoz ă a volatilit ății pentru urm ătoarele 10 zile, se însumeaz ă cele
10 varian țe, se multiplic ă cu 10250 și se extrage r ădăcina pătrată.
99Includerea modelelor GARCH în calculul VaR, ca și în cazul modelelor EWMA , poate fi
realizată prin:
VaR analitic, similar ca în cazul EWMA , prin utilizarea unei matrice de covarian ță
bazată pe modele GARCH .
Simulare istoric ă în care datele sunt ponderate func ție de volatilitate – datele
sunt standardizate func ție de volatilitatea lor estimat ă prin modele GARCH .
Simulare Monte Carlo. Evolu ția randamentelor poate fi simulat ă pe baza unei
matrice de covarian ță calculate pe baz ă de modele GARCH , ceea ce permite
atât simularea evolu ției volatilit ății cât și simularea evolu ției randamentelor
activelor – ceea ce reprezint ă un avantaj în cazul în care portofoliul con ține și
opțiuni.
Pentru calculul matricei de covanrian ță, coeficientul de corela ție poate fi considerat
constant și calculat ă covarian ța funcție de coeficien ții de corela ție și varianțe:
1, 1, 1, ++ +=tj tiij tij σσρσ ,
unde:
1,+tijσ reprezint ă covarian ța dintre cele dou ă active i și j,
ijρ – coeficientul de corela ție dintre cele dou ă active,
1,+tiσ și 1,+tjσ reprezint ă varianțele celor dou ă active.
În practic ă a fost sugerat ă chiar utilizarea modelelor GARCH pentru modelarea direct ă
P/L-ului portofoliului și calculul VaR funcție de volatilitatea condi ționată a acestuia, în
acest fel evitându-se calculul matricelor de covarian ță.
VIII.6.Calculul VaR pentru un portofoliu de ac țiuni
Considerând un portofoliu format din patru ac țiuni – Antibiotice Ia și (ATB), Impact
București (IMP), Turbomecanica (TBM) și Banca Transilvania (TLV) având ponderi
egale, se calculeaz ă VaR-ul portofoliului pe baza metodologiilor descrise în Capitolul
VIII. Calculul VaR va fi realizat pe date zilnice, perioada analizat ă fiind ianuarie 1999 –
mai 2007.
Măsurile VaR calculate sunt: VaR analitic, VaR istoric, VaR prin maparea pozi țiilor pe
baza modelului CAPM , VaR pe baza de volatilitate EWMA și VaR pe bază de volatilitate
estimată prin modele GARCH .
Conform testului ADF, seriile randamentelor celor patru ac țiuni, indicelui BET și
portofoliului sunt sta ționare, iar conform testului Jarque Berra seriile randamentelor nu
au o distribu ție normal ă (ci leptokurtotic ă).
100Testul de sta ționaritate ADF
t-statistic Probabilitate asociat ă
ATB -45.0283 0.0001
IMP -27.9898 0.0000
TBM -45.7567 0.0001
TLV -31.7558 0.0000
BET -36.4676 0.0000
Portofoliu -11.4080 0.0000
Valorile critice asociate testului ADF
Nivel de relevan ță t-statistic
1% -3.43330
5% -2.86273
10% -2.56745
101Testul Jarque-Berra
ATB
0200400600800100012001400
-0.0 0.5 1.0 1.5Series: DLN_ATB
Sample 1 2100
Observations 2090
Mean 0.002217
Median 0.000000Maximum 1.579562
Minimum -0.162751Std. Dev. 0.046814
Skewness 18.17779Kurtosis 619.4992
Jarque-Bera 33212976
Probability 0.000000IMP
020040060080010001200
-0.2 -0.1 -0.0 0.1 0.2Series: DLN_IMP
Sample 1 2100
Observations 2090
Mean 0.001208
Median 0.000000
Maximum 0.241944Minimum -0.270620
Std. Dev. 0.040241
Skewness -0.370415
Kurtosis 12.44658
Jarque-Bera 7818.918
Probability 0.000000
TBM
0200400600800100012001400
-0.0 0.5 1.0 1.5Series: DLN_TBM
Sample 1 2100Observations 2090
Mean 0.001890
Median 0.000000
Maximum 1.798494
Minimum -0.184093
Std. Dev. 0.051122
Skewness 20.74361Kurtosis 732.6264
Jarque-Bera 46509111
Probability 0.000000
TLV
0200400600800100012001400
-0.25 -0.00 0.25Series: DLN_TLV
Sample 1 2100
Observations 2090
Mean 0.002376
Median 0.000000
Maximum 0.474894
Minimum -0.262364Std. Dev. 0.030051
Skewness 3.754518Kurtosis 77.53756
Jarque-Bera 488732.0
Probability 0.000000
Portofoliu
02004006008001000
-0.000 0.125 0.250 0.375 0.500Series: DLN_PORTOFOLIU
Sample 1 2100Observations 2090
Mean 0.001923
Median 0.001221
Maximum 0.487856Minimum -0.099785
Std. Dev. 0.023377Skewness 6.518779
Kurtosis 132.5431
Jarque-Bera 1476185.
Probability 0.000000
102Cele patru momente ale distribu țiilor sunt prezenetate în tabelul de mai jos. Ca urmare,
măsurile VaR bazate pe ipoteza distribu ției normale a seriilor pot subestima riscul.
Momentele distribu țiilor seriilor de randamente
Medie Deviație
standardAsimetrie Kurtotic ă
ATB 0.0022 0.0468 18.1778 619.4992
IMP 0.0012 0.0402 -0.3704 12.4466
TBM 0.0019 0.0511 20.7436 732.6264
TLV 0.0024 0.0301 3.7545 77.5376
BET 0.0015 0.0158 -0.0568 9.0518
Portofoliu 0.0019 0.0234 6.5188 132.5431
Matricea de corela ție dintre cele patru ac țiuni, calculat ă pe baza e șantionului de date
pentru perioada analizat ă, este:
Coeficien ții de corela ție ai seriilor de randamente
ATB IMP TBM TLV
ATB 10 . 0 80 . 0 90 . 0 7
IMP 0.08 1 0.05 0.06
TBM 0.09 0.05 1 0.05
TLV 0.07 0.06 0.05 1
Evoluția randamentelor zilnice pentru perioada analizat ă este prezentat ă în graficele de
mai jos. Din grafice se observ ă fenomenul de volatility clustering , care considerat
împreună cu distribu ția leptokurtotic ă a randamentelor, conduce la concluzia c ă măsurile
VaR calculate pe baza ipotezei normalit ății datelor tind s ă subestimeze riscul. În aceast ă
situație sunt recomandate m ăsurile VaR care țin cont de volatilitatea variabil ă a acțiunilor
(EWMA și GARCH ).
103Evoluția randamentelor zilnice ale ac țiunilor și a portofoliului
-0.40.00.40.81.21.6
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000DLN_ATB
-.3-.2-.1.0.1.2.3
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000DLN_IMP
-0.40.00.40.81.21.62.0
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000DLN_TBM
-.3-.2-.1.0.1.2.3.4.5
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000DLN_TLV
-.16-.12-.08-.04.00.04.08.12
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000DL_BET
-.2-.1.0.1.2.3.4.5
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000DLN_PORTOF
104Pentru calculul VaR prin metoda analitic ă a fost calculat ă deviația standard a P/L-ului
portofoliului de ac țiuni pe ultimele 250 de zile, pσ, și pe baza acestei serii, considerând
o valoare a portofoliului de o unitate monetar ă (1 RON), un nivel de relevan ță de 1 la
sută și un orizont de prognoz ă de 10 zile a fost generat ă măsura VaR pe baza rela ției
10 32635.2 ⋅⋅ =p VaR σ .
Pentru calculul VaR prin simulare istoric ă, măsura VaR pentru un orizont de 10 zile a
fost considerat ă percentila 1 la sut ă pentru seria de randamente zilnice ale portofoliului
de acțiuni înmul țită cu 10.
Pentru calculul VaR prin EWMA , luând în considerare un coeficient λ pentru date
zilnice de 0,94, pornind, ca observa ție inițială, de la abaterea medie p ătratică istorică au
fost generate seriile de volatilitate pentru cele patru monede, conform rela ției
2
12
12ˆ ) 1(ˆ− −+−=t t t rσλλσ ,
iar apoi, pe baza coeficien ților de corela ție istorici a fost calculat ă seria volatilit ății
portofoliului. Seriile de volatilit ăți EWMA sunt prezentate în graficele de mai jos.
Măsura VaR care încorporeaz ă volatilitățile calculate pe baza metodologiei EWMA a fost
generată prin metoda analitic ă, orizontul de timp fiind de 10 zile, iar nivelul de relevan ță
de 1 la sut ă.
105Volatilitatea zilnic ă a seriilor de cursuri de schimb și a portofoliului
calculată pe baza metodologiei EWMA
.0.1.2.3.4
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000EWMA_ATB
.00.02.04.06.08.10
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000EWMA_IMP
.0.1.2.3.4.5
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000EWMA_TBM
.00.02.04.06.08.10.12.14
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000EWMA_TLV
.00.02.04.06.08.10.12.14
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000EWMA_PORTOFOLIU
106Specifica ția modelelor ARCH utilizate a fost aleas ă funcție de testele de autocorela ție a
erorilor (modelele s ă nu prezinte autocorela ție), testele de autocorela ție a erorilor
pătratice (s ă nu existe termeni ARCH suplimentari), suma și semnul coeficien ților ARCH
și GARCH (să nu existe procese ARCH integrate iar volatilitatea s ă fie strict mai mare
decât zero). Ecua ția de volatilitate pentru cele patru ac țiuni este determinat ă după cum
urmează:
Relația de calcul pentru aceast ă măsura de VaR este:
10 32635.2_⋅⋅ =EWMAp EWMAVaR σ ,
unde EWMAp_σ reprezint ă volatilitatea portofoliului calculat ă pe baza volatilit ății EWMA a
celor patru ac țiuni.
Pentru încorporarea volatilit ății calculate prin modele GARCH , au fost calculate
volatilitățile seriilor randamentelor ac țiunilor incluse în portofoliu și a portofoliului prin
modele GARCH , EGARCH și TARCH , cu distribu ții de erori generalizate ( Generalised
Error Distribution, GED ), având în vedere c ă distribuția seriilor nu este normal ă. Conform
estimărilor, coeficientul GED a fost mai mic decât 2 ceea ce concord ă cu ipoteza
distribuției leptokurtotice a datelor.
Modelele GARCH estimate sunt prezentate în tabelele de mai jos.
ATB – GARCH(1,1)
Dependent Variable: DLN_ATB
Method: ML – ARCH (Marquardt) – Ge neralized error distribution (GED)
Sample (adjusted): 2 2091
Included observations: 2090 after adjustments Convergence achieved after 369 iterations
Variance backcast: ON
GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*GARCH(-1)
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
C 4.80E-06 0.000448 0.010706 0.9915
Variance Equation
C 0.000259 1.74E-05 14.88917 0.0000
RESID(-1)^2 0.565227 0.063491 8.902477 0.0000
GARCH(-1) 0.202583 0.030073 6.736352 0.0000
GED PARAMETER 1.201038 0.016458 72.97498 0.0000
R-squared -0.002234 Mean dependent var 0.002217Adjusted R-squared -0.004157 S.D. dependent var 0.046814
107S.E. of regression 0.046911 Akaike info criterion -4.557171
Sum squared resid 4.588325 Schwarz criterion -4.543667
Log likelihood 4767.244 Durbin-Watson stat 1.966671
IMP – TARCH(1,1,1)
Dependent Variable: DLN_IMP
Method: ML – ARCH (Marquardt) – Ge neralized error distribution (GED)
Sample (adjusted): 2 2091
Included observations: 2090 after adjustments
Failure to improve Likelihood after 20 iterations Variance backcast: ON
GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0)
+ C(5)*GARCH(-1)
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
C 6.55E-07 0.000263 0.002493 0.9980
Variance Equation
C 6.59E-05 1.17E-05 5.626147 0.0000
RESID(-1)^2 0.236443 0.041600 5.683800 0.0000
RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) -0.174430 0.041201 -4.233653 0.0000
GARCH(-1) 0.779160 0.021360 36.47797 0.0000
GED PARAMETER 0.863561 0.032980 26.18441 0.0000
R-squared -0.000901 Mean dependent var 0.001208 Adjusted R-squared -0.003303 S.D. dependent var 0.040241
S.E. of regression 0.040308 Akaike info criterion -4.495144
Sum squared resid 3.385916 Schwarz criterion -4.478939 Log likelihood 4703.426 Durbin-Watson stat 1.804807
TBM – TARCH(1,1,1)
Dependent Variable: DLN_TBM
Method: ML – ARCH (Marquardt) – Ge neralized error distribution (GED)
Sample (adjusted): 2 2091
Included observations: 2090 after adjustments
Convergence achieved after 31 iterations Variance backcast: ON
GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0)
+ C(5)*GARCH(-1)
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
108C 1.42E-05 0.000505 0.028193 0.9775
Variance Equation
C 0.000224 1.77E-05 12.65842 0.0000
RESID(-1)^2 0.219177 0.030526 7.180124 0.0000
RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) -0.088261 0.031463 -2.805261 0.0050
GARCH(-1) 0.438176 0.035206 12.44611 0.0000
GED PARAMETER 1.201112 0.012932 92.87931 0.0000
R-squared -0.001346 Mean dependent var 0.001890 Adjusted R-squared -0.003749 S.D. dependent var 0.051122
S.E. of regression 0.051217 Akaike info criterion -4.640161
Sum squared resid 5.466790 Schwarz criterion -4.623955
Log likelihood 4854.968 Durbin-Watson stat 2.000499
TLV – GARCH(1,1)
Dependent Variable: DLN_TLV
Method: ML – ARCH (Marquardt) – Ge neralized error distribution (GED)
Sample (adjusted): 2 2091 Included observations: 2090 after adjustments
Convergence achieved after 112 iterations
Variance backcast: ON GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*GARCH(-1)
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
C 2.24E-06 0.000313 0.007136 0.9943
Variance Equation
C 8.81E-05 8.79E-06 10.02665 0.0000
RESID(-1)^2 0.280243 0.021989 12.74448 0.0000
GARCH(-1) 0.444706 0.030250 14.70095 0.0000
GED PARAMETER 1.092402 0.010476 104.2764 0.0000
R-squared -0.006242 Mean dependent var 0.002376Adjusted R-squared -0.008172 S.D. dependent var 0.030051
S.E. of regression 0.030174 Akaike info criterion -5.063941
Sum squared resid 1.898285 Schwarz criterion -5.050436Log likelihood 5296.818 Durbin-Watson stat 2.096818
109Portofoliu – EGARCH(1,1)
Dependent Variable: DLN_PORTOFOLIU
Method: ML – ARCH (Marquardt) – Ge neralized error distribution (GED)
Sample (adjusted): 2 2091
Included observations: 2090 after adjustments
Convergence achieved after 38 iterations Variance backcast: ON
LOG(GARCH) = C(2) + C(3)*ABS(RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1))) +
C(4)*LOG(GARCH(-1))
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
C 0.001263 0.000241 5.230850 0.0000
Variance Equation
C(2) -0.494389 0.057658 -8.574443 0.0000
C(3) 0.305973 0.032896 9.301278 0.0000
C(4) 0.966439 0.005821 166.0242 0.0000
GED PARAMETER 1.069191 0.027914 38.30279 0.0000
R-squared -0.000797 Mean dependent var 0.001923Adjusted R-squared -0.002717 S.D. dependent var 0.023377
S.E. of regression 0.023409 Akaike info criterion -5.424265
Sum squared resid 1.142504 Schwarz criterion -5.410760
Log likelihood 5673.357 Durbin-Watson stat 1.836015
Volatilitatea pentru un orizont de 10 zile a fost calculat ă ca radical din suma varian țelor
la momentele 9 ,…,1,++ t tt .
Volatilitățile pe un orizont de 10 zile seriilor și ale portofoliului sunt prezentate în graficele
de mai jos.
Pe baza acestei volatilit ăți a fost calculat ă măsura VaR pentru un nivel de relevan ță de 1
la sută, conform rela ției:
ARCH VaR σ⋅ =32535.2 ,
unde ARCHσ reprezint ă volatilitatea portofoliului calculat ă prin modele GARCH , pentru un
orizont de 10 zile.
110Volatilitatea cursurilor ac țiunilor și a portofoliului
calculată prin modele GARCH
0.00.20.40.60.81.01.21.4
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000STDEV_ARCH_ATB
.05.10.15.20.25.30.35.40
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000STDEV_ARCH_IMP
0.00.20.40.60.81.01.2
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000STDEV_ARCH_TBM
.00.05.10.15.20.25.30.35.40
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000STDEV_ARCH_TLV
.0.1.2.3.4.5
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000STDEV_ARCH_PORTOFOLIU
.00.04.08.12.16.20.24.28.32.36
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000STDEV_ARCH_PORTOFOLIU_AN
111unde ST_DEV_ARCH_PORTOFOLIU_AN reprezint ă volatilitatea portofoliului calculat ă
prin metoda analitic ă, pe baza volatilit ăților celor patru ac țiuni incluse în portofoliu și a
coeficien ților de corela ție dintre acestea (considera ți constan ți pentru perioada
analizată), iar ST_DEV_ARCH_PORTOFOLIU este volatilitatea portofoliului calculat ă
printr-un model GARCH pentru randamentele portofoliului.
Măsurile VaR calculate pe baza celor cinci metodologii de mai sus sunt prezentate în
graficele de mai jos împreun ă cu randamentele pe 10 zile ale portofoliului, înmul țite cu -1
pentru comparabilitate (cu m ăsurile VaR).
Conform rezultatelor:
Modelul bazat pe EWMA a performat cel mai bine, în perioada analizat ă
producând o singur ă eroare, în 1841 de observa ții (incadrându-se în nivelul de
relevanță de 1 la sut ă).
De asemenea și modelul pe baz ă de simulare istoric ă, modelul analitic și
modelele bazate pe estimarea volatilit ății prin modele GARCH se încadreaz ă în
nivelul de relevan ță de 1 la sut ă (au produs fiecare câte dou ă erori în 1841 de
observații pentru modelul analitica și modelul istoric și, respectiv, 2072 de
observații pentru modelele GARCH ). Dintre aceste patru modele se deta șează
modelele bazate pe GARCH , care fa ță de celelalte dou ă implică cerințe de
capital mai reduse.
Dintre cele dou ă modele GARCH , modelul bazat pe metoda analitic ă implică
cerințe de capital inferioare modelului GARCH aplicat randamentelor
portofoliului, dar în acela și timp implic ă cerințe de calcul superioare.
112Măsurile VaR bazat pe mapare a pozi țiilor, istoric, analitic și EWMA
-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2
12/22/1999
3/22/2000
6/22/20009/22/2000
12/22/2000
3/22/2001
6/22/2001
9/22/2001
12/22/2001
3/22/2002
6/22/2002
9/22/2002
12/22/2002
3/22/2003
6/22/2003
9/22/2003
12/22/2003
3/22/2004
6/22/20049/22/2004
12/22/2004
3/22/2005
6/22/2005
9/22/2005
12/22/2005
3/22/2006
6/22/2006
9/22/2006
12/22/2006
3/22/2007(-1)*Randament 10 zile VaR analitic
VaR istoric VaR EWMA
Măsurile VaR calculate pe baz ă de modele GARCH
-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.2
1/18/1999
4/18/1999
7/18/1999
10/18/1999
1/18/2000
4/18/2000
7/18/2000
10/18/2000
1/18/2001
4/18/20017/18/2001
10/18/2001
1/18/2002
4/18/2002
7/18/2002
10/18/2002
1/18/2003
4/18/2003
7/18/2003
10/18/2003
1/18/2004
4/18/2004
7/18/2004
10/18/2004
1/18/2005
4/18/2005
7/18/2005
10/18/2005
1/18/2006
4/18/2006
7/18/2006
10/18/2006
1/18/2007
4/18/2007(-1)*Randament 10 zile VaR GARCH
VaR GARCH analitic
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Econometriemsbank2007 [619259] (ID: 619259)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.