Dumitru Bu sneag [621729]

Doctorat

Dumitru Bu sneag [621729]

Byadmin ianuarie 1, 2024

Despre autori
Dumitru Bu sneag
Este absolvent: [anonimizat]˘ at ¸ii de Matematic˘ a a Universit˘ at ¸ii din Bucure¸ sti, promot ¸ia
1974.
In perioada 1974-1980 a funct ¸ionat ca profesor de matematic˘ a ˆ ın ˆ ınv˘ at ¸˘ amˆ antul
preuniversitar (la Liceul de Industrie alimentar˘ a ¸ si Colegiul Nat ¸ional ≪Carol I ≫din
Craiova).
Din anul 1980 devine Asistent universitar la Facultatea de Matematic˘ a-Informatic˘ a
a Universit˘ at ¸ii din Craiova.
In anul 1985 ˆ ı¸ si sust ¸ine teza de doctorat intitulat˘ a Contribut ii la studiul algebrelor
Hilbert ˆ ın cadrul Institutului Central de Matematic˘ a din Bucure¸ sti sub coordonarea dom-
nului Dr. Doc. Nicolae Popescu-Membru corespondent al Academiei Romˆ ane.
Din anul 1995 ocup˘ a funct ¸ia didactic˘ a de Profesor la Catedra de algebr˘ a ¸ si geometrie
a Facult˘ at ¸ii de Matematic˘ a-Informatic˘ a a Universit˘ at ¸ii din Craiova.
Din anul 1978 este membru al Comisiei Centrale a MEdC pentru concursurile de
matematic˘ a ale elevilor, iar din anul 2000 Pre¸ sedinte al Comisiei de organizare al Con-
cursului interjudet ¸ean de matematic˘ a ≪Gheorghe T ¸ it ¸eica ≫pentru echipaje de elevi,
concurs ajuns la a XXIX-a edit ¸ie.
Florentina Chirte s
Este absolvent˘ a a Facult˘ at ¸ii de Matematic˘ a-Informatic˘ a a Universit˘ at ¸ii din Craiova,
promot ¸ia 1997.
In anul universitar 1997-1998 urmeaz˘ a Studiile aprofundate de algebr˘ a ¸ si geometrie
la Facultatea de Matematic˘ a-Informatic˘ a a Universit˘ at ¸ii din Craiova.
In anul 1999 devine Preparator universitar, ˆ ın anul 2003 Asistent iar din 2007 Lector
la Catedra de algebr˘ a ¸ si geometrie a Facult˘ at ¸ii de Matematic˘ a-Informatic˘ a a Universit˘ at ¸ii
din Craiova.
Din 2000 face parte din Comitetul de organizare al Concursului interjudet ¸ean de
matematic˘ a ≪Gheorghe T ¸ it ¸eica ≫pentru echipaje de elevi.
In anul 2007, pe 26 ianuarie ¸ si-a sust ¸inut teza de doctorat intitulat˘ a Contribution
to the study of LMn-algebras ˆ ın cadrul Facult˘ at ¸ii de Matematic˘ a ¸ si Informatic˘ a a Uni-
versit˘ at ¸ii din Bucure¸ sti sub coordonarea domnului Prof. univ. dr. Sergiu Rudeanu.
1

Dana Piciu
Este absolvent˘ a a Facult˘ at ¸ii de Matematic˘ a-Informatic˘ a a Universit˘ at ¸ii din Craiova,
promot ¸ia 1997.
In perioada 1997-1999 a funct ¸ionat ca profesoar˘ a de matematic˘ a ˆ ın ˆ ınv˘ at ¸˘ amˆ antul
preuniversitar iar ˆ ın anul universitar 1997-1998 urmeaz˘ a Studiile aprofundate de algebr˘ a
¸ si geometrie la Facultatea de Matematic˘ a-Informatic˘ a a Universit˘ at ¸ii din Craiova.
In anul 1999 devine Preparator universitar la Facultatea de Matematic˘ a-Informatic˘ a
a Universit˘ at ¸ii din Craiova.
In anul 2004 ˆ ı¸ si sust ¸ine teza de doctorat intitulat˘ a Localizations of MV and BL-
algebras ˆ ın cadrul Facult˘ at ¸ii de Matematic˘ a¸ si Informatic˘ a a Universit˘ at ¸ii din Bucure¸ sti
sub coordonarea domnului Prof. univ. dr. George Georgescu.
Din anul 2005 ocup˘ a funct ¸ia didactic˘ a de Lector la Catedra de algebr˘ a ¸ si geometrie
a Facult˘ at ¸ii de Matematic˘ a-Informatic˘ a a Universit˘ at ¸ii din Craiova.
Din 2000 face parte din Comitetul de organizare al Concursului interjudet ¸ean de
matematic˘ a ≪Gheorghe T ¸ it ¸eica ≫pentru echipaje de elevi.
2

Prefat a
Aceast˘ a lucrare este ˆ ın esent ¸˘ a o edit ¸ie revizuit˘ a ¸ si ˆ ımbun˘ at˘ at ¸it˘ a a lucr˘ arii [6] elabo-
rat˘ a de aceea¸ si autori ¸ si acoper˘ a atˆ at programa analitic˘ a a cursului de Teoria elementar a
a numerelor t ¸inut de autori student ¸ilor de la Facultatea de Matematic˘ a-Informatic˘ a a
Universit˘ at ¸ii din Craiova, cˆ at ¸ si programa tradit ¸ionalelor concursuri de matematic˘ a ale
elevilor din ˆ ınv˘ at ¸˘ amˆ antul preuniversitar.
Lucrarea este structurat˘ a pe 9 capitole ¸ si ˆ ın cea mai mare parte are un caracter
elementar, fapt ce o face accesibil˘ a unor categorii destul de numeroase de cititori: elevi,
student ¸i, profesori precum ¸ si tuturor celor ce iubesc matematicile elementare.
Tehnoredactarea ¸ si corectura sunt efectuate de autori.
Craiova, 11 mai 2007 Autorii
3

4

Cuprins
1 Elemente de aritmetic a 7
1.1 Divizibilitate pe N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Divizibilitate pe Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Teorema fundamental˘ a a aritmeticii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Congruent ¸e pe Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Fract ¸ii periodice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Teoremele lui Euler, Fermat ¸ si Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Teorema chinezeasc˘ a a resturilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 R˘ ad˘ acini primitive modulo un num˘ ar prim . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9 Reprezentarea numerelor naturale ˆ ıntr-o baz˘ a dat˘ a . . . . . . . . . . . . . 27
2 Mult imea numerelor prime 35
2.1 Teoreme referitoare la inﬁnitatea numerelor prime . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Ciurul lui Eratostene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Teorema Bertrand-Cebˆ ı¸ sev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Inegalit˘ at ¸ile lui Cebˆ ı¸ sev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Teorema lui Scherk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6 Exist˘ a funct ¸ii care deﬁnesc numerele prime? . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7 Numere prime gemene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Funct ii aritmetice 55
3.1 Generalit˘ at ¸i. Operat ¸ii cu funct ¸ii aritmetice . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Funct ¸ii multiplicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 Funct ¸ia Jordan Jk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4 Funct ¸ia von Sterneck Hk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5 Funct ¸ii complet multiplicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 Resturi p atratice 63
4.1 Generalit˘ at ¸i. Simbolul lui Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Legea reciprocit˘ at ¸ii p˘ atratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Alte cazuri particulare ale teoremei lui Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 66
5

5 Fract ii continue 69
5.1 Fract ¸ii continue. Propriet˘ at ¸i elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 Aproxim˘ ari ale numerelor reale prin numere rat ¸ionale . . . . . . . . . . . 74
5.3 Fract ¸ii periodice ¸ si pur periodice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6 Teoreme de reprezentare pentru numere ^ ntregi 83
6.1 Reprezentarea unui num˘ ar natural ca sum˘ a de dou˘ a p˘ atrate de numere
ˆ ıntregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.2 Reprezentarea numerelor naturale ca sum˘ a de patru p˘ atrate de numere
ˆ ıntregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3 Scrierea numerelor naturale sub forma x2+ 2y2. . . . . . . . . . . . . . . 92
6.4 Alte teoreme de reprezentare a numerelor ˆ ıntregi . . . . . . . . . . . . . . 93
7 Ecuat ii diofantice 99
7.1 Ecuat ¸ia ax+by+c= 0,a,b,c ∈Z(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2 Ecuat ¸ia x2+y2=z2(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3 Ecuat ¸ia x4+y4=z4(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.4 Ecuat ¸ii de tip Pell: x2−Dy2=±1(D∈N) (5) . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.5 Ecuat ¸ii de tipul ax2+by2+cz2= 0, cua,b,c∈Z(6) . . . . . . . . . . . 104
7.6 Ecuat ¸ii de tip Bachet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.7 Rezolvarea ˆ ın numere ˆ ıntregi a sistemelor de ecuat ¸ii liniare . . . . . . . . . 107
8 Puncte laticeale ^ n plan si spat iu 123
8.1 Puncte laticeale ˆ ın plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.2 Puncte laticeale ˆ ın spat ¸iu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9 Clase speciale de numere ^ ntregi 131
9.1 Numere de tip Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.2 Numere de tip Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.3 Numere de tip Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.4 Alte cazuri speciale de numere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10 Exercit ii propuse (enunt uri) 141
10.1 Elemente de aritmetic˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.2 Mult ¸imea numerelor prime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.3 Funct ¸ii aritmetice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.4 Resturi p˘ atratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.5 Fract ¸ii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.6 Teoreme de reprezentare pentru numere ˆ ıntregi . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.7 Ecuat ¸ii diofantice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.8 Puncte laticeale ˆ ın plan ¸ si spat ¸iu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.9 Clase speciale de numere ˆ ıntregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6

11 Solut ii 151
11.1 Elemente de aritmetic˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
11.2 Mult ¸imea numerelor prime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
11.3 Funct ¸ii aritmetice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.4 Resturi p˘ atratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11.5 Fract ¸ii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
11.6 Teoreme de reprezentare pentru numere ˆ ıntregi . . . . . . . . . . . . . . . 170
11.7 Ecuat ¸ii diofantice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
11.8 Puncte laticeale ˆ ın plan ¸ si spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
11.9 Clase speciale de numere ˆ ıntregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
ANEXA 1 181
ANEXA 2 184
ANEXA 3 185
7

8

Capitolul 1
Elemente de aritmetic a
1.1 Divizibilitate pe N
Denit ia 1.1.1. Fiea,b∈N,b̸= 0.Vom spune c˘ a b divide a ¸ si vom scrie b|a, dac˘ a
exist˘ ac∈Nastfel ˆ ıncˆ at a=bc(nu deﬁnim divizibilitatea prin 0!). In acest caz vom
spune c˘ abeste un divizor al luia(sau c˘ aaestemultiplu deb).
In mod evident, relat ¸ia de divizibilitate de pe Neste reﬂexiv˘ a, antisimetric˘ a ¸ si
tranzitiv˘ a, adic˘ a ( N,|) este o mult ¸ime partial ordonat˘ a ˆ ın care 1 este cel mai mic element
(element init ¸ial) iar 0 este cel mai mare element (element ﬁnal).
Denit ia 1.1.2. Un num˘ ar p∈N,p≥2 se zice prim dac˘ a singurii s˘ ai divizori
sunt 1 ¸ sip.
Cele mai mici numere prime sunt 2, 3, 5, 7, etc. (vom demonstra mai tˆ arziu c˘ a exist˘ a
o inﬁnitate de numere prime). Astfel, singurul num˘ ar prim par este 2. Reamintim c˘ a ˆ ın
[6], Corolarul 4.9 am demonstrat teorema ˆ ımp˘ art ¸irii cu rest ˆ ın N: dac˘ aa,b∈N,b≥1,
atunci exist˘ a ¸ si sunt unici c,r∈Nastfel ˆ ıncˆ at a=bc+r, iar 0 ≤r < b ; num˘ arulc
se nume¸ ste c^ atul ˆ ımp˘ art ¸irii lui blaa, iarrrestul acestei ˆ ımp˘ art ¸iri (evident b|adac˘ a ¸ si
numai dac˘ a r= 0).
Teorema 1.1.3. Fiind date dou a numere a,b∈N, exist ad∈N(vom nota
d= (a,b)) astfel ^ nc^ at d|a,d|b, iar dac a mai avem d′∈Nastfel ^ nc^ at d′|a sid′|b, atunci
d′|d(adic a ^ n mult imea part ial ordonat a (N,|)pentru orice dou a elemente a sibexist a
a∧b).
Demonstrat ie. Conform teoremei ˆ ımp˘ art ¸irii cu rest, putem scrie a=bc1+r1, cu
c1,r1∈N, iar 0 ≤r1<b.
Dac˘ ar1= 0 atunci b|a¸ si ˆ ın mod evident d= (a,b) =b.
Dac˘ ar1̸= 0, atunci conform aceleia¸ si teoreme de ˆ ımp˘ art ¸ire cu rest putem scrie
b=r1c2+r2, cuc2,r2∈N, iar 0 ≤r2<r 1.
Dac˘ ar2= 0, atunci d=r1. Intr-adev˘ ar, din b=r1c2deducem c˘ a d|b, iar din
a=bc1+r1deducem c˘ a d|a. Dac˘ a mai avem d′∈Nastfel ˆ ıncˆ at d′|a¸ sid′|b, atunci cum
9

r1=a−bc1, deducem c˘ a d′|r1=d.
Dac˘ ar2̸= 0, atunci din nou putem scrie r1=r2c3+r3, cu 0≤r3<r 2, ¸ si algoritmul
descris pˆ an˘ a acum continu˘ a, obt ¸inˆ andu-se un ¸ sir descresc˘ ator de numere naturale r1,r2,…
astfel ˆ ıncˆ at rj−2=rj−1cj(j≥3). Conform Corolarului 4.6. de la Capitolul 1, §4 din
lucrarea [6], ¸ sirul r1,r2,r3,…este stat ¸ionar.
Astfel, dac˘ a pentru un anumit k,rk+1= 0, atunci d=rk, pe cˆ and, dac˘ a rk+1= 1
atuncid= 1.
De exemplu: Dac˘ a a= 49 ¸ sib= 35 avem :
49 = 1 ·35 + 14 ( c1= 1,r1= 14)
35 = 2 ·14 + 7 ( c2= 2,r2= 7)
14 = 2 ·7 (c3= 2,r3= 0)
de unde deducem c˘ a (49 ,35) = 7.
Dac˘ aa= 187 ¸ sib= 35 avem:
187 = 5 ·35 + 12 ( c1= 5,r1= 12)
35 = 2 ·12 + 11 ( c2= 2,r2= 11)
12 = 1 ·11 + 1 ( c3= 1,r3= 1)
de unde deducem c˘ a (187 ,35) = 1.
Observat ii.
1. Num˘ arul dpoart˘ a numele de cel mai mare divizor comun al luia¸ sib.
2. Algoritmul de g˘ asire a celui mai mare divizor comun a dou˘ a numere naturale
descris mai ˆ ınainte poart˘ a numele de algoritmul lui Euclid .
3. Dac˘ a pentru a,b∈Navem (a,b) = 1, vom spune despre a¸ sibc˘ a sunt prime
ˆ ıntre ele.
4. Inductiv se arat˘ a c˘ a pentru oricare nnumere naturale a1,a2,…,a n(n≥2) exist˘ a
d∈Nastfel ˆ ıncˆ at d|aipentru orice 1 ≤i≤n¸ si dac˘ a mai avem d′∈Nastfel ˆ ıncˆ at d′|ai
pentru orice 1 ≤i≤n, atuncid′|d. Num˘ arul dse noteaz˘ a prin d= (a1,a2,…,a n) ¸ si
poart˘ a numele de cel mai mare divizor comun al numerelor a1,a2,…,a n.
1.2 Divizibilitate pe Z
Denit ia 1.2.1. Dac˘ aa,b∈Z,b̸= 0, vom spune c˘ a bdividea(vom scrie b|a)
dac˘ a exist˘ a c∈Zastfel ˆ ıncˆ at a=bc( ca ¸ si ˆ ın cazul lui Nnu vom deﬁni, nici ˆ ın cazul lui
Z, divizibilitatea prin 0).
Evident, dac˘ a a∈Zatunci 1 |a,−1|a¸ sia|0.
Numerele prime ˆ ınZse deﬁnesc ca ﬁind acele numere ˆ ıntregi pcu proprietatea c˘ a
p̸=−1,0,1, iar singurii divizori ai lui psunt±1,±p. Evident, numerele prime din Z
sunt numerele de forma ±p, cup≥2 num˘ ar prim ˆ ın N.
10

Se veriﬁc˘ a imediat c˘ a dac˘ a a,b,c∈Z, atunci:
1)a|a(a̸= 0).
2) Dac˘ aa|b¸ sib|a, atuncia=±b(deci ˆ ın Zrelat ¸ia de divizibilitate nu mai este
antisimetric˘ a).
3) Dac˘ aa|b¸ sib|c, atuncia|c.
Teorema 1.2.2. (Teorema ^ mp art irii cu rest ^ n Z) Dac aa,b∈Z,b > 0, atunci
exist ac,r∈Zastfel ^ nc^ at a=cb+r, cu0≤r<b .
Demonstrat ie. FieP={a−xb:x∈Z}; evident ˆ ın Pavem ¸ si numere naturale. Fie
r=a−cbcel mai mic num˘ ar natural din P(cuc∈Z)(un astfel de num˘ ar exist˘ a conform
Teoremei 4.5 din [6]). Avem 0 ≤r<b c˘ aci dac˘ ar=a−cb≥batunci 0 ≤a−(c+1)b<r ,
ceea ce contrazice minimalitatea lui r.
Observat ii.
1. Putem formula teorema ˆ ımp˘ art ¸irii cu rest din Z¸ si sub forma: Dac˘ a a,b∈Z,b̸=
0, atunci exist˘ a c,r∈Zastfel ˆ ıncˆ at a=cb+r, iar 0 ≤r<|b|.
2. Numerele c¸ sircu proprietatea de mai sus poart˘ a numele de c^ atul , respectiv
restul ˆ ımp˘ art ¸irii lui alab, ¸ si sunt unice cu proprietatea respectiv˘ a, c˘ aci dac˘ a am mai avea
c′,r′∈Zastfelˆ ıncˆ at a=c′b+r′, cu 0≤r′<|b|, atuncicb+r=c′b+r′⇔(c−c′)b=r′−r,
adic˘ ab|r′−r. Cum 0 ≤r,r′<|b|, dac˘ a am presupune, de exemplu, c˘ a r′> r, atunci
r′−r<|b|, iar condit ¸ia b|r′−rimplic˘ ar′−r= 0⇔r′=r¸ si cum (c−c′)b=r′−r= 0,
deducem imediat c˘ a c=c′.
Denit ia 1.2.3. Numim ideal al inelului ( Z,+,·) orice submult ¸ime nevid˘ a a∈Z
astfel ˆ ıncˆ at
i) Dac˘ ax,y∈a, atuncix−y∈a,
ii) Dac˘ ax∈a¸ sib∈Z, atuncibx∈a.
Propozit ia 1.2.4. Fiea∈Zun ideal. Atunci exist a d∈Nastfel ^ nc^ at a=dZ.
Demonstrat ie. Dac˘ aa={0}, atuncid= 0. S˘ a presupunem c˘ a a̸={0}. Atunci
exist˘ ax∈a,x̸= 0. Dac˘ a x > 0, atuncix∈N∗, iar dac˘ ax < 0, cumaeste un ideal,
−x∈a, ¸ si atunci −x∈N∗.
In concluzie, a∩N∗̸=∅. Conform Teoremei 4.5 din [6], putem alege d∈a∩N∗ca
ﬁind cel mai mic element din a∩N∗¸ si s˘ a demonstr˘ am c˘ a a=dZ. Cumd∈a¸ siaeste
ideal al inelului Z, incluziunea dZ∈aeste imediat˘ a. Fie acum a∈a. Conform Teoremei
1.2.2 putem scrie a=cd+r, cuc,r∈Z¸ si 0≤r<d (c˘ acid∈N∗). Scriindr=a−cd,
cuma,d∈a, deducem c˘ a r∈a. Datorit˘ a minimalit˘ at ¸ii lui ddeducem c˘ a r= 0 ¸ si astfel
a=cd∈dZ, de unde ¸ si incluziunea invers˘ a a∈dZ, care ne asigur˘ a egalitatea a=dZ.
Propozit ia 1.2.5. Fiea1,a2,…,a n∈Z. Dac a not am prin <a 1,a2,…,a n>idealul
generat de {a1,a2,…,a n}, atunci<a 1,a2,…,a n>={k1a1+…+knan:ki∈Z,1≤i≤
n}.
Demonstrat ie. Dac˘ a not˘ am a={k1a1+…+knan:ki∈Z,1≤i≤n}, se arat˘ a
imediat c˘ aaeste ideal al lui Zce cont ¸ine {a1,a2,…,a n}. Cum<a 1,a2,…,a n>este cel
mic ideal al lui Zce include {a1,a2,…,a n}, deducem c˘ a <a 1,a2,…,a n>⊆a.
11

Pentru incluziunea invers˘ a t ¸inem cont de faptul c˘ a:
<a 1,a2,…,a n>=∩
b
b⊆Zideal,
{a1,a2,…,a n} ⊆b
¸ si ﬁe decib∈Zun ideal astfel ˆ ıncˆ at {a1,a2,…,a n} ∈b. Atunci pentru orice k1,..,k n∈Z
avemk1a1+…+knan∈b, adic˘ aa⊆b¸ si cumbeste oarecare, deducem c˘ a a⊆∩b=<
a1,a2,…,a n>, de unde egalitatea dorit˘ a.
Fiind datea1,a2,…,a n∈Z, prin cel mai mare divizor comun al numerelor a1,a2,…,
anˆ ınt ¸elegem acel num˘ ar d∈Zastfel ˆ ıncˆ at d|aipentru orice 1 ≤i≤n¸ si ˆ ın plus dac˘ a
mai avemd′|aipentru orice 1 ≤i≤n, atuncid′|d. Evident, dac˘ a un astfel de dexist˘ a,
atunci ¸ si −dare aceea¸ si proprietate. Convenim s˘ a alegem pentru rolul de cel mai mare
divizor comun al numerelor ˆ ıntregi a1,a2,…,a nacel num˘ ar natural dcu propriet˘ at ¸ile de
mai ˆ ınainte ¸ si vom nota d= (a1,a2,…,a n) (vezi ¸ si §1 pentru cazul numerelor naturale).
Teorema 1.2.6. Fiind date n numere ^ ntregi a1,a2,…,a n(n≥2), dac a not am
prin d num arul natural a c arui existent a este asigurat a de Propozit ia 1.2.4 pentru idealul
a=<a 1,a2,…,a n>, atuncid= (a1,a2,…,a n).
Demonsrat ie. Intr-adev˘ ar, cum ﬁecare ai∈< a 1,a2,…,a n>=dZdeducem c˘ a
ai∈dZ, adic˘ ad|aipentru 1 ≤i≤n.
Fie acumd′∈Zastfel ˆ ıncˆ at d′|aipentru 1 ≤i≤n. Cumd∈dZ, exist˘ ak1,…,k n∈
Zastfel ˆ ıncˆ at d=n∑
i=1kiai¸ si astfel deducem c˘ a d′|d, adic˘ ad= (a1,a2,…,a n).
Corolar 1.2.7. Fiind date n numere ^ ntregi a1,a2,…,a n(n≥2),d= (a1,a2,…,
an)dac a si numai dac a exist a k1,…,k n∈Zastfel ^ nc^ at d=k1a1+…+knan.
1.3 Teorema fundamental a a aritmeticii
Fiea∈Z∗¸ sip∈N,p≥2, un num˘ ar prim. In mod evident, exist˘ a k∈Nastfel ˆ ıncˆ at
pk|a¸ sipk+1-a(altfel zis, keste cel mai mare num˘ ar natural cu proprietatea pk|a).
Convenim s˘ a not˘ am k=op(a) ¸ si s˘ a-l numim ordinul sauexponentul luipˆ ına. Dac˘ a
a= 0 vom lua op(0) =−∞, iarop(a) = 0⇔p-a.
Propozit ia 1.3.1. Orice num ar natural nenul se scrie ca un produs de numere
naturale prime.
Demonstrat ie. FieAmult ¸imea numerelor naturale nenule ce nu se scriu ca produs
de numere naturale prime. Dac˘ a prin absurd propozit ¸ia nu ar ﬁ adevarat˘ a, atunci A̸=∅.
Conform Teoremei 4.5 din [6] mult ¸imea Ava cont ¸ine un element minimal x. In particular
x > 1 ¸ si cumxnu este prim putem scrie x=m·ncu 1< m,n < x . Cumm,n < x ,
iarx=inf(A), deducem c˘ a m,n /∈A, deci m¸ sinse scriu ca produse de numere prime.
Atunci ¸ six=m·nse scrie ca produs de numere prime, absurd! Deci A=∅¸ si cu aceasta
propozit ¸ia este demonstrat˘ a.
12

Corolar 1.3.2. Pentru orice n∈Z∗exist a numerele ^ ntregi prime p1,…,p mastfel
^ nc^ atn=pk1
1…pkmmcuk,…,k m∈N.
Putem folosi ¸ si notat ¸ia: n= (−1)ε(n)∏
pprim,
p≥2pe(p), undeε(n)∈ {0,1}(dup˘ a cum n
este pozitiv sau negativ) iar exponent ¸ii e(p) sunt numere naturale nenule numai pentru
un num˘ ar ﬁnit de p-uri.
Lema 1.3.3. Dac aa,b,c∈Z∗astfel ^ nc^ at (a,b) = 1 sia|bc, atuncia|c.
Demonstrat ie. Intr-adev˘ ar, cum ( a,b) = 1 conform Corolarului 1.2.7 exist˘ a r,s∈Z
astfel ˆ ıncˆ at ra+sb= 1, de unde c=rac+sbc. Cuma|bcdeducem c˘ a a|rac+sbc=c,
adic˘ aa|c.
Observat ie.
Dac˘ a (a,b)̸= 1, atunci lema de mai ˆ ınainte nu mai este adevar˘ at˘ a tot timpul c˘ aci,
de exemplu, 6 |3·8 = 24, dar 6 -13 ¸ si 6-18.
Corolar 1.3.4. Dac ap,a,b ∈Zastfel ^ nc^ at p este prim si p|ab, atuncip|asau
p|b.
Demonstrat ie. Intr-adev˘ ar, singurii divizori ai lui p∈Zsunt±1,±p.
Atunci (p,b) = 1 saup|b. Dac˘ ap|btotul este ˆ ın regul˘ a, iar dac˘ a ( p,b) = 1, atunci
se aplic˘ a Lema 1.3.5.
Observat ie.
Putem utiliza corolarul de mai ˆ ınainte ¸ si sub forma: dac˘ a p,a,b∈Zastfel ˆ ıncˆ at p
este prim iar p-a,p-b, atuncip-ab.
Corolar 1.3.5. Presupunem c a p,a,b ∈Ziar p este prim. Atunci op(ab) =
op(a) +op(b).
Demonstrat ie. Dac˘ aα=op(a),β=op(b), atuncia=pαc¸ sib=pβd, cup-c¸ si
p-d. Atunciab=pα+βcd¸ si cump-cd, deducem c˘ a op(ab) =α+β=op(a) +op(b).
Teorema 1.3.6. (Teorema fundamental a a aritmeticii) Pentru orice num ar ^ ntreg
nenul n, exist a o descompunere a lui ^ n factori primi n= (−1)ε(n)∏
pprim,
p≥2pe(p)cu
exponent ii e(p) ^ n mod unic determinat i de n (de fapt e(p) =op(n)).
Demonstrat ie. Scrierea lui nsub forma din enunt ¸ rezult˘ a din Corolarul 1.3.2. S˘ a
prob˘ am acum unicitatea acestei scrieri. Aplicˆ and pentru un qprimoqˆ ın ambii membrii
ai egalit˘ at ¸ii n= (−1)ε(n)∏
pprim,
p≥2pe(p)obt ¸inem:oq(n) =ε(n)oq(−1)+∑
pe(p)oq(p). Ins˘ a
oq(−1) = 0 iar oq(p) ={
1,dac˘ ap=q
0,dac˘ ap̸=qde unde deducem c˘ a e(q) =oq(n) ¸ si astfel
teorema este demonstrat˘ a.
Corolar 1.3.7. Pentru orice n exist a si sunt unice numerele prime distincte
13

p1,p2,…,p m si numerele naturale k1,k2,…,k mastfel ^ nc^ at n=pk1
1…pkmm(spunem c a
aceast a scriere a lui n este descompunerea lui n ^ n factori primi).
Corolar 1.3.8. Fiea,b,c,n ∈N∗astfel ^ nc^ at (a,b) = 1 siab=cn. Atunci exist a
x,y∈N∗astfel ^ nc^ at a=xn sib=yn.
Demonstrat ie. Fiea=pk1
1…pkss,b=ql1
1…qlt
tdescompunerea numerelor a¸ sibˆ ın
factori primi (deci ki≥1,lj≥1 pentrui= 1,2,…,s ¸ sij= 1,2,…,t ). Din (a,b) = 1
deducem c˘ a {p1,…,p s}∩{q1,…,q t}=∅. Obt ¸inem deci c˘ a cn=pk1
1…pkssql1
1…qlt
t, egalitate
ce d˘ a descompunerea lui cnˆ ın factori primi.
Ins˘ a, conform Teoremei 1.3.6, descompunerea unui num˘ ar natural ˆ ın produs de
puteri de numere prime distincte este unic˘ a (abstract ¸ie facˆ and de ordinea factorilor).
Astfel, dac˘ a c=pn1
1…pnssqm1
1…qmt
t, atuncicn=pnn1
1…pnnssqnm1
1…qnmt
t, de unde deducem
c˘ anni=ki¸ sinmj=lj,1≤i≤s,1≤j≤t.
Atunci putem considera x=pn1
1…pnss¸ siy=qm1
1…qmt
t.
Teorema 1.3.9. (Legendre) Dac a n∈Niarpeste un num ar prim, atunci expo-
nentul luip^ nn!este dat de∑
k∈N∗[n
pk].
Demonstrat ie. In mod evident exponentul epal luipˆ ınn! este dat de ep= 1·k1+
2·k2+…, undek1este num˘ arul numerelor dintre 1 ,2,…,n care se divid cu pdar nu cu
p2,k2este num˘ arul numerelor dintre 1 ,2,…,n care se divid cu p2dar nu cup3, etc.
S˘ a calcul˘ am acum un ki. Numerele ce se divid prin pidintre 1,2,…,n sunt 1 ·pi,2·
pi,…,t i·pi, cuti·pi≤n<(ti+ 1)·pi, deoarece dac˘ a jeste luat dintre 1 ,2,…,n ¸ sipi|j
avemj=t·pi¸ si cum 1 ≤j≤navem 1 ≤t·pi≤n. Darti≤n
pi<ti+ 1, deciti= [n
pi].
Numerele dintre 1 ,2,…,n care se divid cu pi+1se aﬂ˘ a toate printre numerele dintre
1,2,…,n care se divid cu pi. Dac˘ a din numerele dintre 1 ,2,…,n care se divid cu pi(ce
sunt ˆ ın num˘ ar de ti) extragem toate numerele 1 ,2,…,n care se divid cu pi+1(ce sunt
ˆ ın num˘ ar de ti+1= [n
pi+1]) obt ¸inem numai numerele dintre 1 ,2,…,n care se divid cu pi
dar nu se divid cu o putere mai mare a lui p(deoarece nu se divid cu pi+1).
Conform celor de mai sus, num˘ arul acestora este egal cu ki=ti−ti+1.
Avem deci ep= 1·(t1−t2) + 2·(t2−t3) +…=t1+t2+…= [np] + [n
p2] +…
(aceast˘ a sum˘ a este ﬁnit˘ a deoarece va exista un k∈N∗astfel ˆ ıncˆ at pk≤n < pk+1¸ si
atunci [n
ps] = 0 pentru orice s≥k+ 1).
Observat ie. Dac˘ ap>n atunciep= 0.
1.4 Congruent e pe Z
Denit ia 1.4.1. Fien∈N,n≥2 un num˘ ar ﬁxat. Vom spune c˘ a a,b∈Zsunt
congruente modulo n dac˘ an|a−b; ˆ ın acest caz scriem a≡b(mod n ).
Propozit ia 1.4.2. Relat ia de congruent a modulo n este o echivalent a pe Zcom-
patibil a cu operat iile de adunare si ^ nmult ire de pe Z(adic a este o congruent a pe inelul
(Z,+,·)).
14

Demonstrat ie. Faptul c˘ a relat ¸ia de congruent a modulon este o relat ¸ie de echivalent ¸˘ a
peZse probeaz˘ a imediat. Pentru a proba compatibilitatea acesteia cu operat ¸iile de
adunare ¸ siˆ ınmult ¸ire de pe Z, ﬁea,b,a′,b′∈Zastfelˆ ıncˆ at a≡b(modn) ¸ sia′≡b′(modn),
adic˘ aa−b=kn¸ sia′−b′=k′n, cuk,k′∈Z. Atuncia+a′−(b+b′) = (k+k′)n, adic˘ a
a+a′≡b+b′(modn) ¸ si scriindaa′−bb′=a(a′−b′)+b′(a−b) =ak′n+b′kn= (ak′+b′k)n
deducem c˘ a ¸ si aa′≡bb′(modn).
Corolar 1.4.3. Fieai,bi∈Zastfel ^ nc^ at ai≡bi(modn )pentru orice i= 1,2,…,k .
Atunci:k∑
i=1ai=k∑
i=1bi(modn) sik∏
i=1ai=k∏
i=1bi(modn). In particular, dac a a,b∈Z
astfel ^ nc^ at a≡b(mod n ) sik∈N∗, atunciak≡bk(mod n ).
Pentrux∈Zvom nota prin bxclasa de echivalent ¸˘ a a lui x modulo n . Deoarece
resturile ˆ ımp˘ art ¸irii unui num˘ ar oarecare din Zprinnsunt 0,1,…,n−1, deducem ime-
diat c˘ a dac˘ a not˘ am mult ¸imea claselor de echivalent ¸˘ a modulo n prinZn, atunci Zn=
{b0,b1,…,[n−1}, iar pentru k∈ {0,1,…,n−1}avembk={k+nt:t∈Z}. Pe mult ¸imea
Znse deﬁnesc operat ¸iile de adunare ¸ si ˆ ınmult ¸ire astfel: bx+by=[x+y¸ sibx·by=dx·y
(t ¸inˆ and cont de Propozit ¸ia 1.4.2 deducem c˘ a acestea sunt bine deﬁnite).
Propozit ia 1.4.4. (Zn,+,·) este inel comutativ ^ n care unit at ile sale sunt
U(Zn,+,·) ={bx∈Zn: (x,n) = 1}.
Demonstrat ie. Cum veriﬁcarea anumitor axiome nu ridic˘ a probleme deosebite, vom
reaminti doar c˘ a elementul neutru din Znfat ¸˘ a de adunare este b0 ,−bx=\n−xiar elemen-
tul neutru fat ¸˘ a de ˆ ınmult ¸ire este b1. Dac˘ abx∈U(Zn), atunci exist˘ a by∈Znastfel ˆ ıncˆ at
bx·by=b1⇔dx·y=b1⇔n|xy−1, de unde deducem c˘ a ( x,n) = 1.
Reciproc, dac˘ a x∈ {0,1,..,n−1}¸ si (x,n) = 1, atunci, conform Corolarului 1.2.7
exist˘ ar,s∈Zastfel ˆ ıncˆ at r·n+s·x= 1, de unde deducem c˘ a bsbx=b1⇔bx−1=bs, deci
x∈U(Zn).
De exemplu :U(Z12) ={b1,b5,b7,c11}.
Pentru un num˘ ar natural n≥1 deﬁnimφ(1) = 1 iar pentru n≥2,φ(n) =num˘ arul
numerelor naturale m < n astfel ˆ ıncˆ at ( m,n) = 1. Astfel, φ(1) =φ(2) = 1,φ(3) = 2,
etc., iar |U(Zn)|=φ(n).
Funct ¸iaφ:N∗→Ndeﬁnit˘ a mai sus poart˘ a numele de indicatorul lui Euler . Ea a
fost studiat˘ a de Euler ˆ ınc˘ a din anul 1760. Notarea funct ¸iei lui Euler prin φa fost f˘ acut˘ a
de Gauss ˆ ın anul 1801.
Corolar 1.4.5. (Zn,+,·)este corp ⇔neste prim.
Observat ie. Dac˘ a ˆ ın inelul Zconsider˘ am idealul a=nZ, urm˘ arind tehnica fac-
toriz˘ arii unui inel (comutativ) printr-un ideal, dac˘ a am ﬁ construit inelul factor Z/nZse
obt ¸inea de fapt tot Zn.
Fie acuma,b∈N∗,n∈Z,n≥2 ¸ sid= (a,n).
Propozit ia 1.4.6. Ecuat iababx=bbare solut ie ^ n Zndac a si numai dac a d|b; dac a
d|batunci ecuat ia babx=bbare exact d solut ii ^ n Zn.
Demonstrat ie. Dac˘ abx0∈Zneste o solut ¸ie a ecuat ¸iei babx=bb, atuncin|ax0−b, de
unde deducem c˘ a d|b(c˘ acid|n¸ sid|a).
15

Reciproc, s˘ a presupunem c˘ a d|b. Cumd= (a,n), conform Corolarului 1.2.7, exist˘ a
x′
0,y′
0∈Zastfel ˆ ıncˆ at d=ax′
0−ny′
0. Dac˘ ac=b
d, atuncia(x′
0c)−n(y′
0c) =b, adic˘ a
ba(dx′
0c) =bb, decidx′
0ceste o solut ¸ie a ecuat ¸iei babx=bb.
S˘ a presupunem acum c˘ a bx0¸ sibx1sunt dou˘ a solut ¸ii ale ecuat ¸iei babx=bb. Atunci
n|ax0−b¸ sin|ax1−b, de unden|a(x1−x0). Dac˘ a notam n′=n
d¸ sia′=a
d, atunci
(a′,n′) = 1 ¸ si obt ¸inem c˘ a n′|x1−x0, adic˘ ax1=x0+kn′, cuk∈Z.
Pe de alt˘ a parte se veriﬁc˘ a imediat c˘ a \x0+kn′este solut ¸ie a ecuat ¸iei babx=bb
cuk∈ {0,1,…,d−1}. Cum nu e posibil s˘ a avem \x0+k=\x0+k′pentruk,k′∈
{0,1,…,d−1}¸ sik̸=k′(c˘ aci ar trebui ca n|n′(k−k′)⇔d|k−k′-absurd!), deducem
c˘ a dac˘ abx0∈Zneste o solut ¸ie a ecuat ¸iei babx=bb, atunci aceast˘ a ecuat ¸ie are dsolut ¸ii ¸ si
anume:bx0,\x0+n′,…,\x0+ (d−1)n′.
Exemplu. S˘ a consider˘ am ˆ ın Z15ecuatiab6·bx=b3 . Avemd= (6,15) = 3 ¸ si 3 |3, deci
ecuat ¸ia va avea solut ¸ie ˆ ın Z15. Cumn′=15
3= 5 iarb3 este o solut ¸ie particular˘ a, celelalte
solut ¸ii vor ﬁ [3 + 5 =b8 ¸ si\3 + 2·5 =c13 . In concluzie, ecuat ¸ia b6·bx=b3 are ˆ ın Z15d= 3
solut ¸ii:b3,b8,c13.
Corolar 1.4.7. Dac a n este num ar prim, atunci ecuat ia babx=bbare solut ie unic a
^ nZndac a si numai dac a (a,n) = 1 ( adic a, dac a si numai dac a n-a).
1.5 Fract ii periodice
Fiind dat˘ a fract ¸ia α=p
q∈Q, (cuq∈N∗), prin ˆ ımp˘ art ¸irea lui plaqputem scrie pe α
sub forma de fract ie zecimal a :α=a0,a1a2,…cua0,a1,a2,…∈N(ˆ ın cele ce urmeaz˘ a
prin diferite exempliﬁc˘ ari se va deduce cu claritate modalitatea general˘ a de reprezentare
a numerelor rat ¸ionale sub forma de fract ¸ii zecimale). In cele ce urmeaz˘ a vom presupune
c˘ a fract ¸iaαeste subunitar˘ a ( dac˘ a ea este supraunitar˘ a, ˆ ımp˘ art ¸ind pe plaqputem scrie
p=cq+r, cuc∈Z¸ si 0≤r<q ¸ si atunciα=p
q=c+rq, astfel c˘ a se continu˘ a studiul lui
αcurqcare este subunitar˘ a; convenim ˆ ın acest caz s˘ a scriem α=p
q=crq. De exemplu
35
21= 12
3).
In cazul ˆ ın care 0 < α < 1,a0= 0 astfel c˘ a prin ˆ ımp˘ art ¸iri repetate vom scrie
α= 0,a1a2…, cuai∈N(dup˘ a cum se va vedea ˆ ın continuare ¸ sirul a1,a2,…poate ﬁ ﬁnit
sau inﬁnit; ˆ ın cazul inﬁnit anumite grupuri de cifre se vor repeta periodic).
Iat˘ a cˆ ateva exempliﬁc˘ ari:
E1:α=7
20= 0,35;
E2:α=2
3= 0,666…(se repet˘ a cifra 6; convenim s˘ a scriem α= 0,(6));
E3:α=8
21= 0,380952380952 …(se repet˘ a grupul de cifre 380952 ¸ si vom scrie
α= 0,(380952));
E4:α=1
7= 0,142857142857 …= 0,(142857);
E5:α=5
24= 0,208333…(se repet˘ a 3 caz ˆ ın care vom scrie α= 0,208(3));
E6:α=7
22= 0,31818…(se repet˘ a 18 caz ˆ ın care vom scrie α= 0,3(18)).
16

S˘ a facem acum cˆ ateva observat ¸ii:
1. In exemplul 1 ˆ ımp˘ art ¸irea se termin˘ a cu dou˘ a zecimale.
2. In exemplele 2 ¸ si 3 ˆ ımp˘ art ¸irea se continu˘ a indeﬁnit, grupurile de cifre 6 ¸ si 380952
repetˆ andu-se de o inﬁnitate de ori. In aceste cazuri convenim s˘ a spunem c˘ a avem de a
face cu fract ii periodice simple .
In cazul exemplului 6, fract ¸ia zecimal˘ a obt ¸inut˘ a este tot periodic˘ a, cu perioada 18,
dar observ˘ am c˘ a perioada nu ˆ ıncepe imediat dup˘ a virgul˘ a (ca ˆ ın exemplul 2) ci este
precedat˘ a de o parte care nu se repet˘ a (cifra 3). Convenim s˘ a spunem c˘ a avem de a face
cu o fract ie periodic a mixt a .
In cele ce urmeaz˘ a vom proba c˘ a ˆ ın general dac˘ a avem o fract ¸ie subunitar˘ a, atunci
¸ sirula1,a2,…este sau ﬁnit sau periodic.
S˘ a urm˘ arim exemplul 4: resturile part ¸iale trebuie s˘ a ﬁe mai mici decˆ at 7.
In cazul exemplului 3 sunt posibile a priori 20 de resturi, deci dup˘ a cel mult 20 de
ˆ ımp˘ art ¸iri part ¸iale trebuie s˘ a ˆ ıntˆ alnim un rest care a mai fost obt ¸inut ¸ si ¸ stim c˘ a de ˆ ındat˘ a
ce restul se repet˘ a ¸ si cifrele ˆ ıncep s˘ a se repete.
In general, dac˘ a qeste cˆ atul, resturile part ¸iale ﬁind mai mici decˆ at q, dup˘ a cel multq
ˆ ımp˘ art ¸iri part ¸iale resturile part ¸iale ¸ si deci cifrele cˆ atului ˆ ıncep s˘ a se repete. Am subliniat
cel mult q ˆ ımp˘ art ¸iri, deoarece exemplele ne arat˘ a c˘ a repetarea resturilor part ¸iale poate
ˆ ıncepe ¸ si ˆ ınainte de a ﬁ trecut prin toate resturile posibile a priori.
S˘ a adˆ ancim acum chestiunea:
Observat ¸ia de baz˘ a este urmatoarea: ﬁind dat˘ a fract ¸ia subunitar˘ aba, pentru a g˘ asi
primelencifre ale fract ¸iei zecimale ˆ ın care se transform˘ a ea, facem ˆ ımp˘ art ¸irea ^ ntreag a
10nb:a.
Exemplu . Pentru a g˘ asi primele 4 zecimale ale fract ¸iei8
21, facem ˆ ımp˘ art ¸irea.
80000 : 21 = 3809
170
200
11
S˘ a consider˘ am acum o fract ¸ie cu num˘ ar˘ atorul 1, de exemplu1
21¸ si s˘ a facemˆ ımp˘ art ¸irile
ˆ ıntregi 10 : 21; 100 : 21; 1000 : 21, etc. Resturile acestor ˆ ımp˘ art ¸iri reoproduc tocmai res-
turile part ¸iale din ˆ ımp˘ art ¸irea
17

10: 21 = 0,47619…
100
84
160
147
130
126
40
21
190
189
1
10: 21 = 0 100 : 21 = 4 1000 : 21 = 47 10000 : 21 = 476
10 16 13 4
100000 : 21 = 4761 1000000 : 21 = 47619
19 1
Pentru a ¸ sti ˆ ın ce fel se transform˘ a fract ¸ia1a, trebuie deci s˘ a urm˘ arim resturile
obt ¸inute prin ˆ ımp˘ art ¸irea lui 10 ,102,103,…prina. Este o chestiune deja studiat˘ a .
1). S˘ a ˆ ıncepem cu cazul aeste prim cu 10 (adic˘ aadescompus ˆ ın factori primi nu
are nici pe 2 nici pe 5 ca factori).
S ¸tim din cele expuse mai ˆ ınainte c˘ a, ˆ ın acest caz, resturile ˆ ıncep s˘ a se repete dup˘ a ce
ˆ ıntˆ alnim restul 1, pˆ ana acolo resturile ﬁind toate diferite. S ¸tim c˘ a dac˘ a 10d≡1(moda),
deste un divizor al lui φ(a). S ¸tim c˘ a, dac˘ a a=pαqβrγ…, cel mai mic exponent n, astfel
ca s˘ a avem bn≡1(moda) oricare ar ﬁ bprim cua, este c. m. m. m. c al numerelor
φ(pα),φ(qβ),φ(rγ),….
Rezult˘ a c˘ a dac˘ a aeste prim cu 10, primul rest care se repet˘ a ˆ ın ˆ ımp˘ art ¸irea 1 : a
este 1 (adic˘ a num˘ arul cu care am ˆ ınceput), deci fract ia zecimal a este periodic a simpl a .
De exemplu:1
21,21 = 3 ·7;φ(3) = 2;φ(7) = 6; c.m.m.m.c. al numerelor φ(3) ¸ si
φ(7) este 6. Fract ¸ia1
21este periodic˘ a simpl˘ a ¸ si perioada ei este un divizor al lui 6.
Dac˘ a num˘ ar˘ atorul nu este 1, ci un alt num˘ ar prim cu a, rezultatele enunt ¸ate se
ment ¸in. De exemplu, ˆ ın ˆ ımp˘ art ¸irea 8 : 21 obt ¸inem ca resturile ˆ ımp˘ art ¸irilor ˆ ıntregi succe-
sive 80 : 21; 8 ·102: 21; 8 ·103: 21…Aceste resturi se pot obt ¸ine dac˘ a ˆ ınmult ¸im resturile
(2) cu 8 ( mod 21):
8·10 = 80 ≡17(mod 21); 8 ·16 = 128 ≡2(mod 21); 8 ·13 = 104 ≡20(mod 21)
8·4 = 32 ≡11(mod 21); 8 ·19 = 152 ≡5(mod21); 8 ·1 = 8≡8(mod 21).
18

Dac˘ a resturile ¸ sirului (1) sunt toate diferiteˆ ıntre ele, prinˆ ınmult ¸irea lor cu 8 obt ¸inem
tot resturi diferite (dac˘ a 8 r1ar ﬁ congruent cu 8 r2, atunci 8r1−8r2≡0(mod 21); 8( r1−
r2)≡0(mod 21), 8 este prim cu 21 pentru c˘ a fract ¸ia a fost reductibil˘ a; r2−r1<21, deci
nu putem avea 8( r2−r1)= multiplu de 21.
Rezult˘ a c˘ a fract ¸ia8
21este tot periodic˘ a simpl˘ a, iar num˘ arul cifrelor perioadei este
acela¸ si ca ¸ si la fract ¸ia1
21.
Fie acum cazul a= 2α·5β, adic˘ aaare numai factori primi ai lui 10. (De exemplu,
a= 40 = 23·5 saua= 25 = 52, etc). In acest caz, 10 ridicat la puterea α, dac˘ aα>β ,
sau la puterea β, dac˘ aβ >α se divide cu a(dac˘ aa= 40,103= 23·53se divide cu 23·5;
dac˘ aa= 25,102= 22·52se divide cu 52).
Rezult˘ a c˘ a, ˆ ın acest caz, fract ¸ia zecimal˘ a rezultˆ and din1aare un num˘ ar ﬁnit de
zecimale, egal cu cel mai mare dintre numerele α¸ siβ.
De exemplu : 20 = 22·5; 7 : 20 = 0 ,35.
In general:b
2α·5β=b·5α−β
10α(dac˘ aα > β ) sau =b·5β−α
10β(dac˘ aα < β ), ˆ ıns˘ a
ˆ ımp˘ art ¸irea unui num˘ ar cu 10αse face desp˘ art ¸ind prin virgul˘ a αcifre.
30·a= 2α·5β·pm·qn…
In acest caz, fract ¸iabapoate ﬁ scris˘ aba=1
10α·b·5α−β
pm·qn…(dac˘ aα>β ).
Fract ¸iab·5α−β
pm·qn…se transform˘ a ˆ ıntr-o fract ¸ie periodic˘ a simpl˘ a. Dac˘ a ea este mai
mare decˆ at 1 – ceea ce se poate ˆ ıntˆ ampla din cauza ˆ ınmult ¸irii cu 5α−β- ea se transform˘ a
tot ˆ ıntr-o fract ¸ie periodic˘ a simpl˘ a, avˆ and ˆ ıns˘ a ¸ si ˆ ıntregi. Aceast˘ a fract ¸ie ˆ ınmult ¸it˘ a cu1
10α
(adic˘ a mutˆ and virgula cu αcifre spre stˆ anga ), ne d˘ a fract ¸iaba, care va avea ca parte
neperiodic˘ a cele αcifre, iar partea periodic˘ a aceea¸ si ca ¸ si a fract ¸ieib·5α−β
pm·qn….
Dac˘ aβ >α proced˘ am analog.
Exemplu.7
22=7
2·=1
10·5·7
11;35
11= 3,1818…, deci7
22= 0,31818…= 0,3(18).
Dar1
22=1
2·11=1
10·5
11;5
11= 0,4545…. Deci1
22= 0,04545…= 0,0(45) partea
neperiodic˘ a este 0.
Rezumˆ and cele de mai sus obt ¸inem:
Teorema 1.5.1. Orice fract ie se transform a ^ ntr-o fract ie zecimal a cu un num ar
nit de zecimale sau ^ ntr-o fract ie zecimal a cu un num ar ^ nnit de zecimale, ^ n care caz
zecimalele admit o perioad a ce se repet a.
Reciproc, s˘ a vedem cum rescriem o fract ¸ie zecimal˘ a α(simpl˘ a, periodic˘ a sau peri-
odic˘ a mixt˘ a) sub forma cup
qcup,q∈N.
Cazul 1 . Dac˘ aα=a0,a1a2…an, atunci ˆ ın mod evident α=a0a1a2…an
10k . De
exemplu:
α= 1,7 =17
10, α = 0,3 =3
10.
19

Cazul 2. S˘ a presupunem acum c˘ a α=a0,(a1a2…an). Atunci:
α=a0+ (a1
10+a2
102+…+an
10n) + (a1
10n+1+a2
10n+2+…+an
102n) +…
=a0+a1
10(1 +1
10n+1
102n+…) +a2
102(1 +1
10n+1
102n+…) +…+
+an
10n(1 +1
10n+1
102n+…).
Ins˘ a 1 +1
10n+1
102n+…=10n
10n−1astfel c˘ a:
α=a0+ (a1
10+a2
102+…+an
10n)10n
10n−1
=a0+an+an−110 +…+ 10n−1
10n−1=a0+a1a2…an
99…9|{z}
nori.
De exemplu, α= 3,(6) = 3 +6
9=27 + 6
9=33
9=11
3iar dac˘ aα= 2,(154), atunci
α= 2 +154
999=1998 + 154
999=2152
999.
Cazul 3. S˘ a presupunem c˘ a αeste o fract ¸ie zecimal˘ a periodic˘ a mixt˘ a: α=a0,a1a2…
ak(ak+1ak+2…ak+n).
Atunciα=a0,a1a2…ak+0,00…0(ak+1ak+2…ak+n) =a1a2…an
10k+0,(ak+1…ak+n)
10k =
a1a2…an
10k+ak+1…ak+n
99…9|{z}
nori00…0|{z}
kori
De exemplu, dac˘ a α= 3,7(2) =37
10+2
90=37·9 + 2
90=333 + 2
90=335
90=67
18iar
dac˘ aα= 2,15(172) =215
100+172
99900=215·999 + 172
99900=214957
99900.
Rezumˆ and cele trei cazuri de mai sus obt ¸inem:
Teorema 1.5.2. (i) Dac aα=a0,a1a2…an, atunciα=a0a1a2…an
10k .
(ii) Dac aα=a0,(a1a2…an),atuncia0+an+an−110 +…+ 10n−1
10n−1=a0+a1a2…an99…9|{z}
nori.
(iii) Dac aα=a0,a1a2…ak(ak+1ak+2…ak+n), atuncia1a2…an
10k+ak+1…ak+n
99…9|{z}
nori00…0|{z}
kori.
Observat ie. Acest paragraf a fost redactat ˆ ın cea mai mare parte dup˘ a lucrarea [20].
1.6 Teoremele lui Euler, Fermat si Wilson
Lema 1.6.1. Dac a G este un grup (multiplicativ) nit cu n elemente ( n≥2),
atuncixn= 1, pentru orice x∈G.
Demonstrat ie. Fiex∈G, iark=o(x) (ordinul lui x). Atuncixk= 1 ¸ si conform
Teoremei lui Lagrange k|n, adic˘ an=k·pcup∈N. Deducem imediat c˘ a xn=xkp=
(xk)p= 1p= 1.
Observat ie. Dac˘ aGeste comutativ exist˘ a o demonstrat ¸ie elementar˘ a ce evit˘ a
Teorema lui Lagrange. Pentru aceasta se alege G={x1,x2,…,x n}¸ six∈G. Cum
20

{xx1,xx 2,…,xx n}=G={x1,…,x n}, deducem c˘ a ( xx1)…(xxn) =x1…xn⇔xn(x1…xn) =
x1…xn⇔xn= 1.
Corolar 1.6.2. (Euler) Dac a n≥2este un num ar natural iar a∈Zastfel ^ nc^ at
(a,n) = 1 , atunciaφ(n)≡1(modn)(φind indicatorul lui Euler).
Demonstrat ie. Am vazut mai ˆ ınainte c˘ a ( Zn,·) este un monoid cu φ(n) elemente
inversabile. Astfel, dac˘ a aplic˘ am Lema 1.6.1 grupului G=U(Zn,·) (ce areφ(n) elemente)
pentruba∈Gobt ¸inem c˘ a:
baφ(n)=b1⇔[aφ(n)=b1⇔n|aφ(n)−1⇔aφ(n)≡1(modn).
Corolar 1.6.3. (Mica teorema a lui Fermat) Dac a p≥2este un num ar prim, iar
a∈Zastfel ^ nc^ at p-a, atunciap−1≡1(modp).
Demonstrat ie. Cumpeste un num˘ ar prim, φ(p) =p−1 ¸ si acum totul rezult˘ a din
Corolarul 1.6.2.
Lema 1.6.4. Fie G un grup (multiplicativ) nit comutativ iar∏
x∈Gxprodusul tuturor
elementelor din G. Atunci∏
x∈Gx=∏x
x∈G,
o(x)≤2.
Demonstrat ie. Vom scrie∏
x∈Gx=∏x
x∈G,
o(x)≤2·∏x
x∈G,
o(x)>2. Ins˘ a ˆ ın cadrul produsului
∏x
x∈G,
o(x)>2vom grupa ﬁecare element xcux−1(avemx̸=x−1c˘ aci dac˘ ax=x−1
atuncix2= 1 ¸ si deci o(x) = 2, absurd) ¸ si astfel∏x
x∈G,
o(x)>2= 1, de unde concluzia c˘ a
∏
x∈Gx=∏x.
x∈G,
o(x)≤2
Corolar 1.6.5. (Wilson) Dac a p≥2este un num ar prim, atunci (p−1)! + 1 ≡
0(modp).
Demonstrat ie. Cumpeste prim ( Z∗
p,·) este grup cu p−1 elemente, conform Lemei
1.6.4,∏
bx∈Z∗
pbx=∏bx.
bx∈Z∗
p,
o(bx)≤2R˘ amˆ ane s˘ a punem ˆ ın evident ¸˘ a elementele bx∈Z∗
pcu propri-
etatea c˘ ao(bx) = 2 ⇔bx2=b1⇔cx2=b1⇔p|x2−1 = (x−1)(x+ 1)⇔p|x−1 sau
p|x+ 1 de unde deducem c˘ a bx=−b1 =[p−1 saubx=b1, astfel c˘ ab1·b2·…[p−1 =−b1⇔
\(p−1)! + 1 =b0⇔(p−1)! + 1 ≡0(modp).
Vom prezenta ˆ ın continuare diferite variante de generalizare a Teoremei lui Wilson.
21

Lema 1.6.6. Fiep≥2un num ar prim, iar n≥2un num ar natural. Atunci :
(i)Dac ap= 2 sin > 2^ n grupulU(Z2n,·)numai elementele b1,−b1,\2n−1+ 1,
\2n−1−1au ordinul cel mult 2;
(ii)Dac ap > 2atunci ^ n grupul U(Zpn,·)numai elementele b1,−b1au ordinul cel
mult 2 .
Demonstrat ie. Avem c˘ aU(Z∗
pn,·) ={ba∈Z∗
pn: (a,p) = 1}. S˘ a determin˘ am ˆ ın acest
grup elementele ba∈U(Z∗
pn,·) astfel ˆ ıncˆ at ba2= 1, adic˘ a acele numere naturale aastfel
ˆ ıncˆ at 1 ≤a<pn, cu (a,p) = 1 ¸ sipn|a2−1 (∗).
Evidenta= 1 veriﬁc˘ a ( ∗). Dac˘ aa>1, atunci putem scrie a−1 =pku¸ sia+1 =ptv
cuk,t≥0,(p,u) = (p,v) = 1, iark+t≥n.
Dac˘ ak= 0 atunci t≥n, decipn|a+ 1 ¸ si cum a < pnrezult˘ a c˘ aa+ 1 =pn, de
undea=pn−1 ¸ si astfel obt ¸inem elementul ba=\pn−1 =−b1 ce veriﬁc˘ a de asemenea ( ∗).
Dac˘ at= 0 atunci k>n , decipn|a−1 ¸ si cuma<pnrezult˘ a c˘ aa−1 = 0 de unde
a= 1, contradict ¸ie.
Dac˘ ak̸= 0,t̸= 0 atunci 2 = ptv−pku, adic˘ ap|2, deci dac˘ a p≥2, obt ¸inem o
contradict ¸ie.
In concluzie: dac˘ a p>2, atunci ˆ ın U(Z∗
pn) avem numai elementele b1 ¸ si−b1 =\pn−1
ce au ordinul cel mult 2, obt ¸inˆ and astfel concluzia de la ii).
Dac˘ ap= 2, atunci din 2 = 2tv−2kurezult˘ a c˘ at= 1 sauk= 1. Dac˘ at= 1 atunci
k≥n−1, decia−1 = 2ku≥2n−1u¸ si cum 1< a < 2navem c˘ au= 2 ¸ sik=n−1.
Deci, ˆ ın acest caz, dac˘ a averiﬁc˘ a ( ∗) atuncia= 2n−1+ 1.
Dac˘ ak= 1 atunci t≥n−1, decia+ 1 = 2tv≥2n−1v¸ si cum 1<a< 2nrezult˘ a
c˘ av= 1 sauv= 2 (cazulv= 2 este exclus c˘ aci ( v,2) = 1).
Dac˘ av= 1 atunci t=n−1 saut=n. In cazult=n−1 rezult˘ aa= 2n−1−1, iar
dac˘ at=natuncia= 2n−1.
In concluzie : dac˘ a p= 2 ¸ sin > 2 ˆ ınU(Z∗
2n) numai elemente b1,−b1,\2n−1+ 1,
\2n−1−1 au ordinul cel mult 2, obt ¸inˆ and astfel concluzia de la (i).
Corolar 1.6.7. (O generalizare a teoremei lui Wilson) Dac a p este un num ar prim
si n un num ar natural, atunci :
(i) Dac ap>2 sin≥2atuncipn|∏a
1≤a<pn,
(a,p) = 1+ 1;
(ii) Dac ap= 2 sin>2atunci 2n|∏a
1≤a<2n,
(a,2) = 1−1;
(iii) Dac ap= 2 sin= 2atunci 22|∏a
1≤a<22,
(a,2) = 1+ 1.
Demonstrat ie. Totul rezult˘ a imediat din Lema 1.6.4 t ¸inˆ and cont de cele stabilite ˆ ın
Lema 1.6.6.
22

1.7 Teorema chinezeasc a a resturilor
In cadrul acestui paragraf vom prezenta sub alt˘ a form˘ a a¸ sa zis˘ a teorem˘ a chinezeasc˘ a a
resturilor (vezi ¸ si [7]). Fie m1,m2,…,m t∈Nastfel ˆ ıncˆ at ( mi,mj) = 1 pentru orice
i̸=j,m=m1m2…m t, iarb1,b2,…,b t∈Z.
Teorema 1.7.1. (Teorema chinezeasc a a resturilor)
Sistemul
(S)

x=b1( modm1)
……………………….
x=bt( modmt)
are solut ie ^ n Z si oricare dou a solut ii difer a printr-un multiplu de m.
Demonstrat ie. Dac˘ ani=mmi, atunci (mi,ni) = 1 pentru orice 1 ≤i≤t. Astfel
exist˘ ari,si∈Zastfel ˆ ıncˆ at rimi+sini= 1 pentru orice 1 ≤i≤t.
Dac˘ a not˘ am ei=sini, atunciei≡1(modmi) ¸ siei≡0(modmj) pentru 1 ≤i,j≤
t,i̸=j.
Dac˘ a vom considera x0=t∑
i=1biei, atunci vom avea x0≡biei(modmi) ¸ si astfel
x0≡bi(modmi) pentru orice 1 ≤i≤t, de unde concluzia c˘ a x0este solut ¸ie a sistemului
(S).
S˘ a presupunem c˘ a x1este o alt˘ a solut ¸ie a lui (S). Atunci x1−x0≡0(modmi)
pentru 1 ≤i≤t, adic˘ ami|x1−x0pentru orice 1 ≤i≤t, ¸ si cum (mi,mj) = 1 pentru
i̸=j, deducem c˘ a m=m1m2…m t|x0−x1, adic˘ ax0≡x1(modm).
S˘ a interpret˘ am acum teorema chinezeasc˘ a a resturilor din punct de vedere al teoriei
inelelor.
Fie pentru aceasta ( Ai)i∈Io familie nevid˘ a de inele (unitare).
Vom considera un nou inel notat∏
i∈IAi, avˆ and mult ¸imea subiacent˘ a∏
i∈IAi={(xi)i∈I:
xi∈Aipentru orice i∈I}, iar pentru x,y∈∏
i∈IAi,x= (xi)i∈I¸ siy= (yi)i∈Ideﬁnim
x+y= (xi+yi)i∈I¸ six·y= (xi·yi)i∈I.
Se veriﬁc˘ a imediat c˘ a (∏
i∈IAi,+,·) devine inel unitar ˆ ın care elementul nul este
0 = (xi)i∈Icuxi= 0 pentru orice i∈I, iar pentru x= (xi)i∈I,−x= (−xi)i∈I; elementul
unitate este 1 = ( xi)i∈Icuxi= 1 pentru orice i∈I, iar dac˘ ax= (xi)i∈I∈∏
i∈IAi,
atuncix∈U(∏
i∈IAi) dac˘ a ¸ si numai dac˘ a xi∈U(Ai) pentru orice i∈I, altfel zis,
U(∏
i∈IAi) =∏
i∈IU(Ai).
Dac˘ a I este ﬁnit˘ a not˘ am∏
i∈IAi=X
i∈IAi.
Fie acumm1,m2,…,m t∈N∗astfel ˆ ıncˆ at ( mi,mj) = 1 pentru orice i̸=j,1≤i,j≤
t¸ sim=m1m2…m t.
Teorema 1.7.2. Avem urm atorul izomorsm de inele:
Zm1×Zm2×…×Zmt≈Zm.
23

Demonstrat ie. Pentru ﬁecare 1 ≤i≤t, ﬁeπi:Z−→Zmimorﬁsmul surjectiv
canonic de inele ce duce ﬁecare element x∈Zˆ ın clasa sa de echivalent ¸˘ a modulo mi.
Deﬁnimf:Zm−→Zm1×Zm2×…×Zmtprinf(x) = (π1(x),…,π t(x)) pentru
oricex∈Z.
Dac˘ ax,y∈Z¸ sif(x) =f(y) atuncix≡y(modm)⇔x≡y(modmi) pentru
orice 1 ≤i≤t(c˘ aci (mi,mj) = 1 pentru 1 ≤i̸=j≤t)⇔πi(x) =πi(y) pentru orice
1≤i≤t. Deducem astfel c˘ a feste bine deﬁnit˘ a ¸ si c˘ a funct ¸ia feste o inject ¸ie. Se veriﬁc˘ a
imediat c˘ a feste morﬁsm de inele unitare.
Surjectivitatea lui frezult˘ a ﬁe din teorema chinezeasc˘ a a resturilor, ﬁe observˆ and
c˘ a|Zm1×Zm2×…×Zmt|=|Zm|=m=m1…m t.
Decifeste un izomorﬁsm de inele unitare.
Corolar 1.7.3. Cu notat iile de la teorema precedent a avem urm atorul izomorsm
de grupuri multiplcative :
U(Zm)≈U(Zm1)×U(Zm2)×…×U(Zmt).
Corolar 1.7.4. Fieφ:N−→Nindicatorul lui Euler.
(i) Dac am1,m2,…,m t∈N∗astfel ^ nc^ at (mi,mj) = 1 pentrui̸=j, atunci
φ(m1…m t) =φ(m1)…φ(mt);
(ii) Dac ap≥2este num ar prim si n∈N∗, atunciφ(pn) =pn−pn−1=pn(1−1p);
(iii) Dac an=pk1
1…pkt
teste descompunerea ^ n factori primi a lui n, atunci φ(n) =
n(1−1p1)…(1−1pt).
Demonstrat ie. (i). Am v˘ azut c˘ a |U(Zm)|=φ(n) pentru orice n∈N,n≥2. Dac˘ a
t ¸inem cont de Corolarul 1.7.3 deducem c˘ a:
|U(Zm)|=|U(Zm1)×…×U(Zmt)|=|U(Zm1)|…|U(Zmt)| ⇔φ(m) =φ(m1)…φ(mt).
(ii). Prin calcul direct se deduce c˘ a ˆ ıntre 1 ¸ si pnexist˘ apn−pn−1numere naturale
mai mici strict decˆ at pn¸ si prime cu pn(adic˘ a cup), de unde egalitatea φ(pn) =pn−pn−1.
(iii). T ¸ inˆ and cont de (i) ¸ si (ii) deducem c˘ a:
φ(n) =φ(pk1
1…pkt
t) = (pk1
1−pk1−1
1)…(pkt
t−pkt−1
t) =pk1
1…pkt
t(1−1
p1)…(1−1
pt)
=n(1−1
p1)…(1−1
pt).
De exemplu, φ(12) =φ(23·3) = 12(1 −1
2)(1−1
3) = 12 ·1
2·2
3= 4.
1.8 R ad acini primitive modulo un num ar prim
Fien∈N∗,a∈Z,(a,n) = 1. Conform Teoremei lui Euler (Corolarul 1.6.2) ¸ stim c˘ a
aφ(n)≡1(modn).
24

Denit ia 1.8.1. Cel mai mic num˘ ar natural nenul pentru care am≡(modn) se
nume¸ ste gaussian sauordin al luia¸ si se noteaz˘ a prin γn(a). De fapt, γn(a) =ord(ba) ˆ ın
(U(Zn),·).
Observat ie.
1. Dac˘ aam≡1(modp), atunciγn(a)|m;
2.γn(a)|φ(n);
3. Dac˘ aar≡as(modn), atuncir≡s(modγn(a)).
Dac˘ an=pk1
1…pksseste descompunerea ˆ ın factori primi a lui n, conform Corolarului
1.7.3,U(Zm)≈U(Zpk1
1)×…×U(Zpkss) astfel, pentru a determina structura grupului
multiplicativ U(Zn) este suﬁcient s˘ a studiem structura grupurilor de forma U(Zpn) cup
prim ¸ sin∈N.
Vomˆ ıncepe cu cazul cel mai simplu ¸ si anume cu U(Zp) cupprim. Cum Zpeste corp,
U(Zp) =Z∗
p. Dac˘ af=a0+a1X+…+anXn∈Z[X], vom notabf=ba0+ba1X+…+banXn∈
Zp[X].
Lema 1.8.2. Fie K un corp comutativ si f∈K[X]cu grad(f)=n. Atunci f are cel
mult n r ad acini distincte.
Demonstrat ie. Facem induct ¸ie matematic˘ a dup˘ a n. Cum pentru n= 1 totul este
clar, s˘ a presupunem c˘ a aﬁrmat ¸ia din enunt ¸ este adev˘ arat˘ a pentru orice polinom din K[X]
de grad ≤n−1.
Dac˘ afnu are r˘ ad˘ acini ˆ ın Ktotul este clar.
Dac˘ a exist˘ a α∈Kastfel ˆ ıncˆ at f(α) = 0, atunci f(x) =q(x)(x−α) ¸ sigrad(q) =
n−1.
Dac˘ aβeste o alt˘ a r˘ ad˘ acin˘ a a lui f,β̸=α, atunci 0 = f(β) = (β−α)q(β) ceea ce
implic˘ aq(β) = 0. Cum prin ipoteza de induct ¸ie qare cel mult n−1 r˘ ad˘ acini distincte,
deducem c˘ a fare cel mult nr˘ ad˘ acini distincte.
Corolar 1.8.3. Fie K un corp comutativ f,g∈K[X]astfel ^ nc^ at grad(f)=grad(g)=n.
Dac a avem n+1 elemente distincte α1,α2,…,α n+1astfel ^ nc^ at f( αi)=g(αi) pentru orice
1≤i≤n+ 1, atunci f=g.
Demonstrat ie. Considerˆ and h=f−g, atuncigrad(h)≤n¸ si cumharen+ 1
r˘ ad˘ acini distincte α1,α2,…,α n+1, deducem c˘ a h= 0, adic˘ af=g.
Corolar 1.8.4. Dac ap≥2este un num ar prim, atunci orice x∈Z, avem:
xp−1−1≡(x−1)(x−2)…(x−p+ 1)( modp).
Demonstrat ie. Cumpeste prim, Zpeste corp comutativ. Considerˆ and f= (Xp−1−
b1)−(X−b1)(X−b2)…(X−[p−1)∈Zp[X] avem c˘ a grad( f)≤p−2 ¸ sif(bx) =b0 pentru
bx=b1,b2,…,[p−1 (t ¸inˆ and cont ¸ si de mica teorem˘ a a lui Fermat, adic˘ a de Corolarul 1.6.3).
Conform Corolarului 1.8.2, f= 0.
Observat ie. Dac˘ a ˆ ın Corolarul 1.8.3 consider˘ am x= 0 obt ¸inem c˘ a ( p−1)!≡
−1(modp), adic˘ a teorema lui Wilson (Corolarul 1.6.5).
Propozit ia 1.8.5. Fiep≥2un num ar prim si d|p−1. Atunci congruent a
xd≡1(modp)are exact d solut ii.
25

Demonstrat ie. Dac˘ ap−1 =dd′, atunci:xp−1−1
xd−1=(xd)d′−1
xd−1= (xd)d′−1+
(xd)d′−2+…+xd+1 =g(x), adicaxp−1−1 = (xd−1)g(x) ¸ si astfelxp−1−b1 = (xd−b1)bg(x).
Cumxp−1−b1 are exact p−1 r˘ ad˘ acini (¸ si anume b1,b2,…,[p−1-conform micii teoreme
a lui Fermat), t ¸inˆ and cont de Lema 1.8.1 deducem c˘ a xd−b1 are exact dr˘ ad˘ acini ˆ ın Zp
¸ si astfel congruent ¸a xd≡1(modp) are exact dsolut ¸ii ˆ ın Zp.
Teorema 1.8.6. Dac a p este un num ar prim, atunci U(Zp)este un grup ciclic.
Demonstrat ie.
Solut ¸ia 1: Evident |U(Zp)|=|Z∗
p|=p−1 iar pentru d|p−1, ﬁeψ(d) num˘ arul
elementelor din Z∗
pde ordind. Conform Propozit ¸iei 1.8.4 elementele din Z∗
pce satisfac
congruent ¸a xd≡1(modp) formeaz˘ a un grup de ordin d. Ins˘ a∑
c|dψ(c) =d, de unde se
deduce c˘ aψ(d) =φ(d) (φﬁind indicatorul lui Euler). In particular, ψ(p−1) =φ(p−1)>
1 (dac˘ ap≥3). Deducem c˘ a ˆ ın Z∗
p,φ(p−1) elemente au ordinul p−1 ¸ si astfel oricare
dintre ace¸ stia genereaz˘ a pe Z∗
p, adic˘ a Z∗
peste grup multiplicativ ciclic.
Solut ¸ia 2: Fie p−1 =ql1
1…qlt
tdescompunerea ˆ ın factori primi a lui p−1 ¸ si s˘ a
consider˘ am congruent ¸ele:
(1)xqli−1
i≡1(p)
(2)xqli
i≡1(p) , cu 1 ≤i≤t.
In mod evident orice solut ¸ie a congruent ¸ei (1) este solut ¸ie ¸ si a congruent ¸ei (2). Mai
mult, congruent ¸a (2) are mai multe solut ¸ii decˆ at congruent ¸a (1). Pentru ﬁecare 1 ≤i≤t
ﬁegio solut ¸ie a congruent ¸ei (2) ce nu este solut ¸ie a congruent ¸ei (1) iar g=g1g2…gt.
Evident,bqigenereaz˘ a un subgrup al lui Z∗
pde ordinqli
i,1≤i≤t. Deducem c˘ a bg
genereaz˘ a un subgrup al lui Z∗
pde ordinp−1 =ql1
1…qlt
t. Atunci<bg>=Z∗
p.
Denit ia 1.8.7. Fiep≥2 un num˘ ar prim. Un element a∈Zse zice r ad acin a
primitiv a modulo p dac˘ abagenereaz˘ a Z∗
p.
De exemplu, 2 este r˘ ad˘ acin˘ a primitiv˘ a modulo 5 (se veriﬁc˘ a imediat c˘ a 4=5-1 este
cel mai mic num˘ ar natural npentru care 2n≡1(mod 5)), pe cˆ and 2 nu este r˘ ad˘ acin˘ a
primitiv˘ a modulo 7 (de exemplu, 23≡1(mod 7)).
Not ¸iunea de r˘ ad˘ acin˘ a primitiv˘ a se poate generaliza astfel:
Denit ia 1.8.8. Fien∈N. Un element a∈Zse zice r ad acin a primitiv a modulo
ndac˘ a ˆ ın Zngenereaz˘ aU(Zn)(echivalent cu a spune c˘ a φ(n) este cel mai mic num˘ ar
natural pentru care aφ(n)≡1(modn), adic˘ aγn(a) =φ(n)).
Observat ie. In general nu rezult˘ a c˘ a U(Zn) este ciclic.
De exemplu, elementele lui U(Z8) suntb1,b3,b5,b7 iarb12=b1,b32=b1,b52=b1,b72=b1,
neexistˆ and deci ˆ ın U(Z8) elemente de ordin 4 = φ(8).
Rezult˘ a c˘ a nu orice ˆ ıntreg posed˘ a r˘ ad˘ acini primitive.
Lema 1.8.9. Dac a p este un num ar natural prim si 1≤k<p atuncip|Ck
p.
Demonstrat ie. AvemCk
p=p!
k!(p−k)!∈N¸ si cump!
k!(p−k)!=p·p−1)!
k!(p−k)!iarp
nu divide nici pe k! ¸ si nici pe ( p−k)!, deducem c˘ a dac˘ a not˘ am q=(p−1)!
k!(p−k)!, atunci
26

q∈N¸ si cumCk
p=p·q, rezult˘ a c˘ a p|Ck
p.
Observat ie. Utilizˆ and Lema 1.8.9 putem prezenta o nou˘ a demonstrat ¸ie a micii
teoreme a lui Fermat: Dac˘ a peste un num˘ ar prim ¸ si a∈Zastfel ˆ ıncˆ at p-a, atunci
p|ap−1−1. Intr-adev˘ ar, s˘ a not˘ am sa=ap−a. Cumsa+1= (a+ 1)p−(a+ 1) =
ap+C1
pap−1+…+Cp−1
pa+ 1−(a+ 1) = (ap−a)+p−1∑
k=1Ck
pap−k=sa+p−1∑
k=1Ck
pap−k.
T ¸ inˆ and cont de Lema 1.8.9 deducem c˘ a sa+1≡sa(modp). Astfel,sa≡sa−1≡
sa−2≡…≡s1(modp) ¸ si cums1= 1a−1 = 0 deducem c˘ a sa≡0(modp), adic˘ a
p|ap−a=a(ap−1−1) ¸ si cump-aobt ¸inem c˘ a p|ap−1−1.
Lema 1.8.10. Dac an≥1este un num ar natural, p≥2un num ar prim si a,b∈Z
astfel ^ nc^ at a≡b(modpn), atunciap≡bp(modpn+1).
Demonstrat ie. Putem scrie a=b+cpn, cuc∈Z. Atunciap= (b+cpn)p=
bp+C1
pbp−1cpn+x(cux∈Z¸ sipn+2|x) astfel c˘ aap=bp+bp−1cpn+1+x, de unde
ap≡bp(modpn+1).
Corolar 1.8.11. Dac a p este un num ar prim, p≥3,n∈N,n≥2, atunci (1 +
ap)pn−2≡1 +apn−1(modpn)pentru orice a∈Z.
Demonstrat ie. Facem induct ¸ie dup˘ a n, pentrun= 2 aﬁrmat ¸ia ﬁind trivial˘ a.
S˘ a presupunem acum c˘ a aﬁrmat ¸ia din enunt ¸ este adev˘ arat˘ a pentru n¸ si s˘ a ar˘ at˘ am
c˘ a este adev˘ arat˘ a pentru n+ 1. Conform Lemei 1.8.10 avem: (1 + ap)pn−1≡(1 +
apn−1)p(modpn+1). Dezvoltˆ and cu ajutorul binomului lui Newton obt ¸inem (1+ app−1)p=
1 +C1
papn−1+β, undeβeste o sum˘ a de p−2 termeni. Utilizˆ and din nou Lema 1.7.9 se
veriﬁc˘ a imediat c˘ a tot ¸i termenii lui βsunt divizibili prin p1+2( n−1), exceptˆ and eventual
ultimul termen appp(n−1). Cumn≥2,1 + 2(n−1)≥n+ 1 ¸ si cum p(n−1)≥n+ 1,
adic˘ apn+1|β¸ si astfel (1 + ap)pn−1≡1 +apn−1(modpn), adic˘ a c.c.t.d.
Observat ie. Fiea,n∈Zastfel ˆ ıncˆ at ( a,n) = 1. Vom spune c˘ a aareordinul k
modulo n dac˘ a este cel mai mic num˘ ar natural pentru care ak≡1(modn). Acest lucru
este echivalent cu a spune c˘ a badinZnare ordinul kˆ ın grupulU(Zn).
Corolar 1.8.12. Dac ap̸= 2este un num ar prim astfel ^ nc^ at p-a, atunci ordinul
lui1 +apmodulopneste egal cu pn−1(n∈N,n≥2).
Demonstrat ie. Conform Corolarului 1.8.11, (1 + ap)pn−2≡1 +apn(modpn+1), de
unde deducem c˘ a (1 + ap)pn−2≡1 +apn−1(modpn) adic˘ apn−2nu este de ordinul lui
1 +ap, rezultˆ and astfel c˘ a ordinul lui 1 + apmodulopneste egal cu pn−1.
Teorema 1.8.13. Fiep≥3un num ar prim si n∈N∗. AtunciU(Zpn)este grup
ciclic (adic a exist a ^ n acest grup r ad acini primitive modulo pn).
Demonstrat ie. Conform Teoremei 1.8.56. exist˘ a o r˘ ad˘ acin˘ a primitiv˘ a modulo p.
Dac˘ ag∈Zeste o astfel de r˘ ad˘ acin˘ a, atunci ˆ ın mod evident ¸ si g+peste. Dac˘ a gp−1≡
0(modp2), atunci (g+p)p−1≡gp−1+ (p−1)gp−2p≡1 + (p−1)gp−2p(modp2). Cump2
nu divide (p−1)gp−2pputem presupune pentru ˆ ınceput c˘ a geste o r˘ ad˘ acin˘ a primitiv˘ a
modulop¸ si c˘ agp−1≡1(modp2).
S˘ a ar˘ at˘ am c˘ a un astfel de gpoate ﬁ r˘ ad˘ acin˘ a primitiv˘ a modulo pniar pentru aceasta
este suﬁcient s˘ a demonstr˘ am c˘ a dac˘ a gm≡1(modpn), atunciφ(pn)|m.
27

Avem c˘ agp−1= 1 +ap, undep-a. Conform Corolarului 1.8.11, pm−1este de
ordinul lui 1 + apmodulopm. Deoarece (1 + ap)m≡1(modpn) atuncipn−1|m. Fie
m=pn−1m′. Atuncigm′≡1(modp). Deoarece geste o r˘ ad˘ acin˘ a primitiv˘ a modulo p,
p−1|m′¸ si astfelpn−1(p−1) =φ(pn)|m.
Pentru cazul p= 2 vom demonstra:
Teorema 1.8.14. Num arul 2nare r ad acini primitive pentru n= 1 sau 2 iar
pentrun≥3nu are. Dac a n≥3, atunci {(−1)a5b:a= 0,1 si0≤b<2n−2}constituie
un sistem redus de resturi modulo 2n. Rezult a c a pentru n≥3,U(Z2n)este produsul
direct a dou a grupuri ciclice (unul de ordin 2 iar cel alalt de ordin 2n−2).
Demonstrat ie. Num˘ arul 1 este r˘ ad˘ acin˘ a primitiv˘ a modulo 2 iar 3 este r˘ ad˘ acin˘ a
primitiv˘ a modulo 22= 4, deci putem presupune n≥3.
Intent ¸ion˘ am s˘ a demonstr˘ am c˘ a:
(1) 52n−1≡1 + 2n−1(mod 2n).
Evident, pentru n= 3, (1) este adev˘ arat˘ a.
S˘ a presupunem c˘ a (1) este adev˘ arat˘ a pentru n¸ si s˘ a demonstr˘ am pentru n+ 1.
La ˆ ınceput s˘ a not˘ am c˘ a: (1 + 2n−1)2= 1 + 2n+ 22n−2¸ si c˘ a 2n−2≥n+ 1 pentru
n≥3.
Aplicˆ and Lema 1.8.10 congruent ¸ei (1) obt ¸inem
(2) 52n−1≡1 + 2n(mod 2n+1)
¸ si astfel (1) este probat˘ a prin induct ¸ie.
Din (2) se vede c˘ a 52n−2≡1(mod 2n) pe cˆ and din (1) avem c˘ a 52n−3≡1(mod 2n).
Atunci 5 are ordinul 2n−2modulo 2n.
S˘ a consider˘ am mult ¸imea {(−1)a5b:a= 0,1 ¸ si 0 ≤b < 2n−2}format˘ a din 2n−1
numere ¸ si s˘ a prob˘ am c˘ a acestea nu sunt congruente modulo 2n(deoareceφ(2n) = 2n−1
deducem c˘ a mult ¸imea de mai sus cont ¸ine un sistem redus de resturi modulo 2n).
Dac˘ a prin absurd, ( −1)a5b≡(−1)a′5b′(mod 2n),n≥3, atunci ( −1)a≡(−1)a′(mod 4),
adic˘ aa≡a′(mod 2), deci a=a′. Atunci 5b≡5b′(mod 2n) ¸ si astfel 5b−b′≡1(mod 2n),
de undeb≡b′(mod 2n), decib=b′.
In ﬁnal s˘ a not˘ am c˘ a ( −1)a5bridicat la puterea 2n−2este congruent cu 1 modulo
2n, astfel c˘ a 2nnu are r˘ ad˘ acini primitive modulo 2n, dac˘ an≥3.
Din Teoremele 1.8.13 ¸ si 1.8.14 deducem urm˘ atoarea descriere complet˘ a a grupurilor
U(Zn) pentrunarbitrar:
Teorema 1.8.15. Fien= 2apa1
1…panndescompunerea lui n ^ n factori primi distinct i.
Atunci:
U(Zn)≈U(Z2a)×U(Zpa1
1)×…×U(Zpann)
GrupurileU(Zpai
i)sunt grupuri ciclice de ordin pai−1
i(pi−1),1≤i≤niarU(Z2a)
este grup ciclic de ordin 1 si2pentrua= 1, respectiva= 2. Dac aa≥3, atunciU(Z2a)
este produsul direct a dou a grupuri ciclice de ordine 2 si respectiv 2n−2.
Putem acum r˘ aspunde la ˆ ıntrebarea: care numere ˆ ıntregi posed˘ a r˘ ad˘ acini primi-
tive?
28

Teorema 1.8.16. Num aruln∈Nposed a r ad acini primitive dac a si numai dac a
n este de forma 2, 4, pasau2pacua∈Niarp≥3un num ar prim.
Demonstrat ie. Conform Teoremei 1.8.14, putem presupune c˘ a n̸= 2kcuk≥3.
Dac˘ annu este de forma din enunt ¸, este u¸ sor de v˘ azut c˘ a nse poate atunci scrie ca
produsm1m2cu (m1,m2) = 1 ¸ sim1,m2>2.
Atunciφ(m1) ¸ siφ(m2) sunt simultan pare iar U(Zn)≈U(Zm1)×U(Zm2). Ins˘ a
U(Zm1) ¸ siUZm2) au elemente de ordin 2 iar acest lucru ne arat˘ a c˘ a U(Zn) nu este
ciclic(deoarece cont ¸ine cel mult un element de ordin 2).
Atuncinnu posed˘ a r˘ ad˘ acini primitive.
Reciproc, am v˘ azut c˘ a 2 ,4, ¸ sipaposed˘ a r˘ ad˘ acini primitive. Deoarece U(Z2pa)≈
U(Z2)×U(Zpa) deducem c˘ a U(Z2pa) este ciclic, adic˘ a 2 paposed˘ a r˘ ad˘ acini primitive ¸ si
cu aceasta teorema este demonstrat˘ a.
1.9 Reprezentarea numerelor naturale^ ntr-o baz a dat a
Din cele mai vechi timpuri s-a impus g˘ asirea unor procedee de scriere a numerelor naturale
care s˘ a permit˘ a o rapid˘ a estimare a ordinului lor de m˘ arime, precum ¸ si elaborarea unor
reguli simple de a efectua principalele operat ¸ii cu acestea (adunarea, ˆ ınmult ¸irea). Acestei
probleme i s-au dat rezolv˘ ari speciﬁce diferitelor etape de dezvoltare a matematicilor
(adaptarea sistemului de numerat ¸ie zecimal cu care suntem obi¸ snuit ¸i azi s-a ˆ ıncheiat abia
ˆ ın secolele XVI-XVII cˆ and acesta a cunoscut o larga r˘ aspˆ andire ˆ ın Europa). In cele ce
urmeaz˘ a vom fundamenta ceea ce ˆ ınseamn˘ a scrierea numerelor naturale ^ n baza u , unde
u∈N,u≥2.
Lema 1.9.1. Fie u un num ar natural >1. Oricare ar num arul natural a >0,
exist a numerele naturale n, q0,q1,…,q n−1,a0,a1,…,a nastfel ^ nc^ at:
a=uq0+a0,0≤a0<u
q0=uq1+a1,0≤a1<u
….. … …………………………
qn−2=uqn−1+an−1,0≤an−10. Exist˘ aq1,a1∈Nastfel ˆ ıncˆ at q0=uq1+a1, 0≤a1<u,
¸ si a¸ sa mai departe.
Dac˘ aqi̸= 0, atunci din 1 q 0>q 1>…>q i−1>qi>…≥0.
Este clar c˘ a exist˘ a nastfel ˆ ıncˆ at qn−1̸= 0 ¸ siqn= 0. Rezult˘ a c˘ a 0 <qn−1=an<u
¸ si lema este demonstrat˘ a.
29

Lema 1.9.2. Fie u,a0,a1,…,a n∈Nastfel ^ nc^ at u > 1,0≤ai1. Oricare ar num arul a > 0,
exist a numerele naturale n, an,an−1,…,a 0unic determinate astfel ^ nc^ at: a=anun+
an−1un−1+…+a1u+a0, unde 0<a 0<u si0≤ai<upentru orice 0≤i≤n−1.
Demonstrat ie. Conform Lemei 1.9.1, exist˘ a n,q 0,…,q n−1¸ sia0,a1,…,a nastfel
ˆ ıncˆ at:
a=uq0+a0,0≤a0<u
q0=uq1+a1,0≤a1<u
…… …… …………………………
qn−2=uqn−1+an−1,0≤an−1<u
qn−1=an,0≤an<u.
Inmult ¸im aceste egalit˘ at ¸i respectiv cu 1 ,u,u2,…,un. Adunˆ and apoi termen cu ter-
men egalit˘ at ¸ile ce se obt ¸in, rezult˘ a: a=anun+an−1un−1+…+a1u+a0.
R˘ amˆ ane s˘ a dovedim unicitatea numerelor n,a 0,a1,…,a n. Fie de asemenea numerele
naturalen′,a′
0,a′
1,…,a′
nastfelˆ ıncˆ at a=a′
n′un′+a′
n′−1un′−1+…+a′
1u+a′
0cu 0<a′
n′<u
¸ si 0≤a′
i<upentru 0 ≤i<n′.
Dac˘ an<n′, atuncin+ 1≤n′¸ si din Lema 1.9.2 rezult˘ a:
a=n∑
i=0aiui<un+1≤un′≤n′∑
i=0a′
iui=a, decia<a -contradict ¸ie.
Analog se arat˘ a c˘ a nu este posibil ca n′<n, de unden=n′.
S˘ a demonstr˘ am acum c˘ a ai=a′
i,0≤i≤n. Dac˘ an= 0, atunci a0=a=a′
0.
Presupunem c˘ a n>0 ¸ si c˘ a aﬁrmat ¸ia este adev˘ arat˘ a pentru n−1. Din egalit˘ at ¸ile:
a=u(anun−1+an−1un−2+…+a1) +a0=u(a′
n′un′−1+a′
n′−1un′−2+…+a′
1) +a′
0,
unde 0 ≤a0<u¸ si 0≤a′
0<urezult˘ a, folosind unicitatea cˆ atului ˆ ımp˘ art ¸irii lui aprinu,
c˘ aa0=a′
0¸ sianun−1+an−1un−2+…+a1=a′
n′un′−1+a′
n′−1un′−2+…+a′
1. Folosind
ipoteza de induct ¸ie, din ultima egalitate deducem c˘ a ai=a′
i,i= 1,2,…,n .
Teorema este astfel complet demonstrat˘ a.
Suntem acum ˆ ın m˘ asur˘ a s˘ a deﬁnim ceea ce este cunoscut sub numele de sistem de
numerat ie ^ n baza u , unde u este un num˘ ar natural >1.
30

La ﬁecare num˘ ar natural a > 0 facem s˘ a corespund˘ a secvent ¸a ﬁnit˘ a de numere
naturaleanan−1…a1a0, undeai<u, 0≤i≤n,an̸= 0 ¸ sia=n∑
i=0aiui.
A¸ sadar,anan−1…a1a0=anun+an−1un−1+…+a1u+a0.
Din Teorema 1.9.3 rezult˘ a c˘ a se stabile¸ ste astfel o corespondent˘ a biunivoc˘ a ˆ ıntre
numerele naturale >0 ¸ si secvent ¸ele ﬁnite anan−1…a1a0de numere naturale ai< u, cu
an̸= 0. Cˆ and se impune s˘ a atragem atent ¸ia asupra bazei sistemului de numerat ¸ie, se
obi¸ snuie¸ ste s˘ a se scrie anan−1…a1a0(u)sauanan−1…a1a0(u).
Dac˘ a baza sistemului de numerat ¸ie este zece (notat˘ a 10) el este numit sistemul
zecimal . Cifrele sistemului de numerat ¸ie se numesc cifre zecimale . Ele sunt numerele mai
mici ca zece ¸ si se noteaza ˆ ın ordine cu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Secvent ¸a de cifre zecimale 75038 sau mai precis 75038 (10)reprezint˘ a, a¸ sadar, num˘ arul
natural: 7 ·104+ 5·103+ 0·102+ 3·10 + 8.
Dac˘ au= 2, atunci avem sistemul de numerat ¸ie binar, cifrele binare ﬁind 0 ¸ si 1.
Astfel: 11010 (2)= 1·24+ 1·23+ 0·22+ 1·2 + 0 = 26 (10).
Printre sistemele de numerat ¸ie mai des folosite se num˘ ara ¸ si cel de baz˘ a u=
16(10)= 10000 (2)numit sistemul de numerat ie hexazecimal , cifrele hexazecimale ﬁind
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E .
Astfel, avem 27 (10)= 1A(16)= 11011 (2).
Iat˘ a o list˘ a de probleme care se pun ˆ ın mod natural ˆ ın leg˘ atur˘ a cu reprezentarea
numerelor ˆ ıntr-o baz˘ a:
(I) Stabilirea raportului de m˘ arime ˆ ıntre dou˘ a numere reprezentate ˆ ın aceea¸ si baz˘ a.
(II) Stabilirea unor reguli (algoritmi) de efectuare a sumei, produsului etc. a doua
numere reprezentate ˆ ın aceea¸ si baz˘ a.
(III) Elaborarea unor algoritmi pentru reprezentarea unui num˘ ar ˆ ıntr-o baz˘ a dat˘ a.
In continuare se va ar˘ ata cum pot ﬁ solut ¸ionate aceste probleme pentru numere
naturale. S˘ a ˆ ıncepem cu problema (I).
In teorema urmatoare se d˘ a un criteriu foarte comod de a stabili raportul de m˘ arime
ˆ ıntre dou˘ a numere naturale reprezentate ˆ ın aceea¸ si baz˘ a.
Teorema 1.9.4. Fie a si b dou a numere naturale, a=amam−1…a1a0(u) sib=
bnbn−1…b1b0(u). Atuncia<b dac a si numai dac a m<n siap<bp, unde p este cel mai
mare i astfel ^ nc^ at ai̸=bi.
Demonstrat ie. Dac˘ am < n , din Lema 1.9.2. rezult˘ a a < um+n≤un≤b, deci
a(bp−ap)up+ (bp−1up−1+…+b0)−up≥
up+ (bp−1up−1+…+b0)−up≥0, de unde b−a>0, decia n implic˘ ab < a .
Dac˘ am < n , nu mai avem nimic de demonstrat. Dac˘ a m=n, ﬁep=max{i|ai̸=bi}.
Avemap< bp, ˆ ıntrucˆ atap> bpimplic˘ a, conform primei part ¸i a demonstrat ¸iei, b < a .
Teorema este astfel demonstrat˘ a.
31

Astfel pentru numerele 125302 ¸ si 95034 date ˆ ın baza zece avem 125302 >95034. La
fel, pentru numerele 101101 ¸ si 100110 date ˆ ın baza doi avem 101101 >100110.
Referitor la problema (II) se va arata cum se face adunarea ¸ si ˆ ınmult ¸irea numerelor
naturale reprezentate ˆ ıntr-o baz˘ a u. In particular, dac˘ a u= 10, se reg˘ asesc cunoscutele
procedee de adunare ¸ si ˆ ınmult ¸ire a numerelor naturale.
Fiea¸ sibdou˘ a numere naturale, a=amam−1…a1a0(u),b=bnbn−1…b1b0(u). Trebuie
s˘ a g˘ asim cifrele c0,c1,…ale num˘ arului a+bˆ ın bazau. Putem scrie a=a0+a1u+a2u2+…
¸ sib=b0+b1u+b2u2+…. Cuma0< u ¸ sib0< u, rezult˘ a c˘ a a0+b0<2u, deci
a0+b0=uε1+c0,0≤c0<u,ε 1= 0 sauε1= 1; mai precis, avem ε1= 0 ¸ sic0=a0+b0
dac˘ aa0+b0< u iarε1= 1 ¸ sic0=a0+b0−udac˘ au≤a0+b0<2u. Rezult˘ a
a+b=c0+(a1+b1+ε1)u+(a2+b2)u2+…. Evident,a1+b1+ε1<2u, de undea1+b1+ε1=
uε2+c1,0≤c1<u, undeε2= 0 sauε2= 1. Avem a+b=c0+c1u+(a2+b2+ε2)u2+…,
s.a.m.d.
Se deduce c˘ a cifrele c0,c1,c2,…ale sumeia+bsuntci= (ai+bi+εi)(modu),
i= 0,1,2,…, undeε0= 0, ¸ si pentru i>0:
εi= 0⇔ai−1+bi−1+εi−1<u¸ si atuncici−1=ai−1+bi−1+εi−1,
εi= 1⇔ai−1+bi−1+εi−1≥u¸ si atuncici−1=ai−1+bi−1+εi−1−u.
Cˆ andm=n, num˘ arula+bare: 1)mcifre dac˘ aan+bn+εn<u,
2)m+1 cifre dac˘ a an+bn+εn≥u, cifra de rang m+1 ﬁind ˆ ın acest caz cm+1= 1.
Dac˘ am̸=n, de exemplu m > n , atunci cele de mai sus r˘ amˆ an adev˘ arate luˆ and
bn+1=…=bm= 0.
Se observ˘ a c˘ a pentru a efectua a+bˆ ın bazaumai trebuie s˘ a cunoa¸ stem, sau s˘ a avem
posibilitatea s˘ a consult˘ am, tabla adun˘ arii numerelor naturale < u. De exemplu, dac˘ a
u= 5, tabla adun˘ arii numerelor naturale <5, cu rezultatele exprimate ˆ ın baza 5, este
cea din tabelul 1. In acest tabel la intersect ¸ia liniei num˘ arului icu coloana num˘ arului j
este pusi+jreprezentat ˆ ın baza 5.
+0 1 2 3 4
00 1 2 3 4
11 2 3 4 10
22 3 4 10 11
33 4 10 11 12
44 10 11 12 13
Cititorul poate singur acum s˘ a redacteze un algoritm al adun˘ arii numerelor naturale
ˆ ın bazau, luˆ and ca motivat ¸ie teoretic˘ a a acestuia considerat ¸iile de mai sus. Observ˘ am c˘ a
ˆ ın acest algoritm apare variabila εcare are valoarea init ¸ial˘ a ε0= 0 iar valorile εi,i≥1,
sunt egale cu 1 cˆ and ai−1+bi−1+εi−1≥u, respectiv 0 cˆ and ai−1+bi−1+εi−1<u. Se
spune c˘ a varibila εrealizeaz˘ a transportul unit˘ at ¸ii de la cifrele de rang ila cele de rang
i+ 1,i= 0,1,….
In calculul cu ”creionul ¸ si hˆ artia” al sumei a dou˘ a numere naturale, operat ¸iile din
32

algoritmul adun˘ arii ˆ ın baza use sistematizeaz˘ a astfel:
amam−1…a1a0+
bmbm−1…b1b0
cm+1cmcm−1…c1c0
εmεm−1…ε1ε0
ultima linie, care descrie transportul unit˘ at ¸ii, de regul˘ a se omite.
Astfel, dac˘ a u= 2,a= 1011101 (2),b= 101101 (2), atuncia+bse face dup˘ a cum
urmeaz˘ a:
1011101 +
101101
10001010
1111101
decia+b= 10001010 (2). S-a folosit ¸ si tabla adun˘ arii numerelor naturale <2, care este:
+0 1
00 1
11 10
rezultatele ﬁind reprezentate ˆ ın baza 2.
In continuare se va ar˘ ata c˘ a ˆ ınmult ¸irea a dou˘ a numere naturale ˆ ın baza use reduce
la urmatoarele tipuri de operat ¸ii:
1) ˆ ınmult ¸irea unui num˘ ar natural acu o putere uja bazeiu;
2) ˆ ınmult ¸irea unui num˘ ar natural acu o cifr˘ a a sistemului de numerat ¸ie (deci cu un
num˘ ar natural j,0≤j <u );
3) adunarea ˆ ın baza u.
Fiea=amam−1…a1a0(u)=amum+am−1um−1+…+a1u+a0. Atunciauj=
amum+j+am−1um−1+j+…+a1u1+j+a0uj=amam−1…a1a000..0|{z}
j(u)¸ si acum este clar
cum se face ˆ ın baza uo ˆ ınmult ¸ire de tipul 1).
Dac˘ ai¸ sijsunt dou˘ a numere naturale < u, atunciij < u2, de unde, folosind
teorema ˆ ımp˘ art ¸irii cu rest pentru numerele naturale, avem:
ij=uq(i,j) +r(i,j),0≤r(i,j)<u, 0≤q(i,j)<u (∗)
cˆ atulq(i,j) ¸ si restulr(i,j) ˆ ımp˘ art ¸irii num˘ arului ijprinudepinzˆ and de i¸ sij.
Fie acumaun num˘ ar natural dat ˆ ın baza u,a=amam−1…a1a0(u)=m∑
i=0aiui¸ sijo
cifr˘ a a sistemului de numerat ¸ie de baz˘ a u, deci 0 ≤j <u . Avem:
aj=m∑
i=0aijui=m∑
i=0(uq(ai,j) +r(ai,j))ui=∑
i≥0r(ai,j)ui+∑
i≥0q(ai,j)ui+1,
33

deci efectuarea produsului ajˆ ın bazaurevine la a face suma ˆ ın baza ua numerelor a′¸ si
a′′reprezentate ˆ ın baza u:
a′=r(a0,j) +r(a1,j)u+r(a2,j)u2+…¸ si
a′′=q(a0,j) +q(a1,j)u2+….
A¸ sadar, s-a l˘ amurit cum se face ˆ ın baza u¸ si o ˆ ınmult ¸ire de tipul 2).
In sfˆ ar¸ sit, dac˘ a b=bnbn−1…b1b0(u)=n∑
j=0bjuj, atunciab=n∑
j=0abjuj, deci produsul
abse poate efectua f˘ acˆ and suma ˆ ın baza ua numerelor abjuj,j= 0,1,2,…,n . Dar
abjuj= (abj)uj. A¸ sadarabjeste o operat ¸ie de tipul 2) ¸ si ˆ ın sfˆ ar¸ sit ( abj)uje o operat ¸ie
de tipul 1).
Cititorul se poate convinge usor c˘ a regula de ˆ ınmult ¸ire a numerelor naturale ˆ ın
baza zece se motiveaz˘ a din punct de vedere teoretic prin considerat ¸iile de mai sus, luˆ and
u= 10. Un instrument important alˆ ınmult ¸irii numerelorˆ ın baza zece este tablaˆ ınmult ¸irii
numerelor<10. Pe de alt˘ a parte, se observ˘ a c˘ a ˆ ın regula de ˆ ınmult ¸ire a numerelor ˆ ın
bazautrebuie s˘ a cunoa¸ stem numerele q(i,j) ¸ sir(i,j),0≤i,j <u , din relat ¸ia ( ∗). Din
relat ¸ia (ast) rezult˘ a c˘ a q(i,j) ¸ sir(i,j) sunt cifrele num˘ arului ij,0≤i,j <u , reprezentat
ˆ ın bazau(dac˘ aij <u , avemq(i,j) = 0). A¸ sadar, procedeul de ˆ ınmult ¸ire expus uzeaz˘ a
de tabla ˆ ınmult ¸irii numerelor naturale <u, cu rezultatele reprezentate ˆ ın baza u.
In tabelele 2 ¸ si 3 sunt date tablele ˆ ınmult ¸irii ˆ ın baza u= 5, respectiv u= 2.
·0 1 2 3 4
00 0 0 0 0
10 1 2 3 4
20 2 4 11 13
30 3 11 14 22
40 4 13 22 31
Tabelul 2: Tabla ˆ ınmult ¸irii ˆ ın baza 5
·0 1
00 0
10 11
Tabelul 3: Tabla ˆ ınmult ¸irii ˆ ın baza 2
Pentru calculul cu ”creionul ¸ si hˆ artia” calculele pot ﬁ sistematizate ca ˆ ın ﬁgura
urm˘ atoare:
S˘ a ne ocup˘ am acum de problema (III).
Trebuie observat c˘ a num˘ arul natural ace urmeaza s˘ a ﬁe reprezentat ˆ ıntr-o baz˘ a u
este dat, de regul˘ a, ˆ ıntr-o baz˘ a v¸ si de fapt se face trecerea lui adin bazavˆ ın bazau.
Se pot distinge 3 variante:
1) Trecerea lui adin bazavˆ ın bazaucu efectuarea calculelor ˆ ın baza v;
2) Trecerea lui adin bazavˆ ın bazaucu efectuarea calculelor ˆ ın baza u;
3) Trecerea lui adin bazavˆ ın bazaucu efectuarea calculelor ˆ ıntr-o baz˘ a interme-
diar˘ aw.
34

Pentru a trece pe adin bazavˆ ın bazaucu metoda 1) se reprezint˘ a mai ˆ ıntˆ ai uˆ ın
bazav¸ si apoi se aplic˘ a algoritmul sistemelor de numerat ¸ie pentru a¸ siucu efectuarea
calculelor ˆ ın baza v. Cum ˆ ın calculatoare numerele sunt, de regul˘ a, reprezentate ˆ ın baza
v= 2, metoda 1) se aplic˘ a atunci cˆ and se livreaz˘ a rezultatele numerice (de regul˘ a ˆ ın
bazau= 10), execut ¸ia algoritmului sistemelor de numerat ¸ie putˆ and ﬁ astfel ˆ ıncredint ¸at˘ a
calculatorului (calculele se fac ˆ ın baza v= 2). Aceea¸ si metod˘ a se aplic˘ a ¸ si cˆ and se trece
cu ”hˆ artia ¸ si creionul” un num˘ ar din baza v= 10, ˆ ıntr-o alt˘ a baz˘ a u, preferˆ andu-se
calculele ˆ ın baza v= 10 din motive lesne de ˆ ınt ¸eles.
Pentru exempliﬁcare, s˘ a trecem num˘ arul a= 234 dat ˆ ın baza v= 10 ˆ ın baza u= 7.
Algoritmul sistemelor de numerat ¸ie este ˆ ın acest caz:
de undea= 453 (7).
Pentru a trece pe a=anan−1…a1a0(v)din bazavˆ ın bazaucu metoda 2) se
reprezint˘ a mai ˆ ıntˆ ai a0,a1,…,a n¸ sivˆ ın bazaucu ajutorul algoritmului sistemelor de
numerat ¸ie. Se introduce a0,a1,…,a n¸ sivastfel reprezentat ¸iˆ ın expresia anvn+an−1vn−1+
…+a1v+a0¸ si se face calculul acesteia folosind algoritmului adun˘ arii ¸ si algoritmul
ˆ ınmult ¸irii ˆ ın baza u. Se obt ¸ine, ˆ ın ﬁnal, reprezentarea lui aˆ ın calculator. Numerele sunt
date de regul˘ a ˆ ın baza u= 2; efectuarea calculelor ˆ ın baza u= 2 poate ﬁ ˆ ıncredint ¸at˘ a
calculatorului.
Metoda 3) este evident o combinat ¸ie a primelor dou˘ a. Astfel, dac˘ a dorim s˘ a trecem
un num˘ aradintr-o baz˘ a v̸= 2, ˆ ıntr-o baz˘ a u̸= 2, folosind un calculator care lucreaz˘ a
cu numere reprezentate ˆ ın baza 2, atunci trecem pe aˆ ın baza 2 cu metoda 2) ¸ si apoi
ˆ ıl trecem ˆ ın baza ucu metoda 1). Procedˆ and astfel, toate calculele pot ﬁ ˆ ıncredint ¸ate
calculatorului. Cˆ and v̸= 10 ¸ siu̸= 10, iar trecerea de la baza bla bazauvrem s˘ a o facem
cu ”creionul ¸ si hˆ artia”, prefer˘ am baza intermediar˘ a w= 10 pentru a putea executa toate
calculele ˆ ın baza 10, cu care suntem obi¸ snuit ¸i.
Observat ii.
1. Trecerea unui num˘ ar natural adin bazavˆ ın bazause simpliﬁc˘ a considerabil
cˆ andv=ur,rnum˘ ar natural >1. Metoda se justiﬁc˘ a prin faptul c˘ a un num˘ ar natural
b<urpoate ﬁ scris ˆ ın mod unic sub forma
b=cr−1ur−1+…+c1u+c0,0≤ci<u, 0≤i<r. (∗∗)
De aici, rezult˘ a c˘ a pentru a reprezenta num˘ arul a=anan−1…a1a0(v)=anvn+an−1vn−1+
…+a1v+a0ˆ ın bazau, undev=urcur>1, ﬁecare cifr˘ a aise scrie ca ˆ ın ( ∗∗), anume
ai=cir−1ur−1+…+ci1u+ci0¸ si se ˆ ınlocuie¸ ste ﬁecare aicu secvent ¸a, cir−1…ci1ci0, deci
obt ¸inem secvent ¸a cnr−1…cn1cn0cn−1,r−1…cn−1,1cn−1,0…c01c00.
Inl˘ aturˆ and cifrele egale cu 0 de laˆ ınceputul secvent ¸ei de mai sus se obt ¸ine repreprezentarea
luiaˆ ın bazau.
Astfel, pentru a reprezenta num˘ arul a= 375 (8)ˆ ın bazau= 2 (deciv=u), scriem
35

mai ˆ ıntˆ ai:
a0= 5 = 1 ·22+ 0·2 + 1·1 =c02·22+c01·2 +c00,
a1= 7 = 1 ·22+ 1·2 + 1·1 =c12·22+c11·2 +c10,
a3= 3 = 0 ·22+ 1·2 + 1·1 =c22·22+c21·2 +c20,
a¸ sadar secvent ¸a de mai sus este ˆ ın acest caz: 011 111 101.
2. Cˆ andvr=u,r > 1, trecerea unui num˘ ar din baza vˆ ın bazause face printr-o
metod˘ a care urmeaz˘ a calea invers˘ a a metodei de la observat ¸ia 1. In acest caz, pentru a
trece ˆ ın baza unum˘ arula=anan−1…a1a0(v)se separ˘ a de la dreapta la stˆ anga grupe de
cˆ atercifre (ultima grup˘ a avˆ and cel mult rcifre) ¸ si ﬁecare grup˘ a va reprezenta o cifr˘ a
ˆ ın bazau, cu care vom ˆ ınlocui grupa respectiv˘ a. Se obt ¸ine astfel reprezentarea lui aˆ ın
bazau.
Astfel, dac˘ a u= 8 ¸ siv= 2, deciv3=u, num˘ arula= 11111101 (2)are ˆ ın baza 8
reprezentarea a= 375 (8)pentru c˘ a cifrele lui aˆ ın baza 2 pot ﬁ grupate astfel:
11|{z}111|{z}101|{z}
¸ si grupele obt ¸inute reprezint˘ a ˆ ın baza 2 respectiv cifrele 3, 7 ¸ si 5 ale bazei 8.
3. Inconvenientul sistemului binar de numerat ¸ie const˘ a ˆ ın faptul c˘ a reprezentarea
numerelor mari necesit˘ a secvent ¸e de cifre binare exagerat de lungi. Aceasta complic˘ a mult
lectura numerelor precum ¸ si aprecierea ordinului lor de m˘ arime. O metoda de a atenua
aceste inconveniente este de a folosi sisteme de numerat ¸ie cu baze mixte. Un exemplu
este sistemul de numerat ¸ie zecimal codat ˆ ın binar, rezervˆ andu-se cˆ ate patru pozit ¸ii binare
ﬁec˘ arei cifre zecimale. Astfel, num˘ arul a= 793 (10)se reprezint˘ a ˆ ın sistemul zecimal codat
ˆ ın binar dupa cum urmeaz˘ a:
0111|{z}
71001|{z}
90011|{z}
3
In practic˘ a se folose¸ ste curent sistemul de numerat ¸ie cu baz˘ a mixt˘ a. Astfel expresia:
8 ani, 3 luni, 2 s˘ apt˘ amˆ ani, 15 ore ¸ si 35 minute este un model de reprezentare a timpului
ˆ ıntr-un sistem de numerat ¸ie cu ¸ sase baze.
Observat ie. Acest paragraf a fost redactat ˆ ın cea mai mare parte dup˘ a lucrarea [20].
36

Capitolul 2
Mult imea numerelor prime
2.1 Teoreme referitoare la innitatea numerelor prime
Reamintim c˘ a un num˘ ar n∈N,n≥2 se zice prim dac˘ a singurii s˘ ai divizori naturali
sunt 1 ¸ sin. Num˘ arul natural 2 este singurul num˘ ar prim par iar pentru n≥3 dac˘ a
neste prim atunci cu necesitate neste impar (condit ¸ie insuﬁcient˘ a dup˘ a cum se poate
dovedi facil ˆ ın cazul lui 9 care este impar dar nu este prim). S-a pus de foarte mult timp
ˆ ıntrebarea cˆ ate numere prime exist˘ a? In cadrul acestui paragraf vom prezenta anumite
rezultate ce r˘ aspund ˆ ıntr-un fel la aceast˘ a ˆ ıntrebare.
Vom nota prin Pmult ¸imea numerelor prime.
Teorema 2.1.1. (Euclid )Mult imea Peste innit a. Demonstrat ie. S˘ a presupunem
prin absurd c˘ a mult ¸imea Peste ﬁnit˘ a, P={p1,p2,…,p n}(unde ˆ ın mod evident p1=
2,p2= 3,p3= 5, etc.). Vom considera p=p1p2…pn+ 1 ¸ si s˘ a observ˘ am c˘ a p > 1 iar
pi-ppentru 1 ≤i≤n. T ¸ inˆ and cont de teorema fundamental˘ a a aritmeticii va exist˘ a un
num˘ ar prim q >1 care s˘ a divid˘ a pe p. Cum toate numerele prime sunt presupuse a ﬁ
doarp1,..,p ndeducem c˘ a q=pipentru uni∈ {1,…,n}, ceea ce este absurd c˘ aci pi-p
pentru orice 1 ≤i≤n. Deci Peste mult ¸ime inﬁnit˘ a.
Observat ie. In continuare pentru ﬁecare num˘ ar natural n≤1 vom nota prin pnal
n-ulea num˘ ar prim, astfel c˘ a P={p1,p2,..,p n,…}(evidentp1= 2,p2= 3,p3= 5, etc).
O alt˘ a ˆ ıntrebare ﬁreasc˘ a legat˘ a de mult ¸imea numerelor prime a fost dac˘ a anumite
submult ¸imi inﬁnite ale lui Ncont ¸in sau nu o inﬁnitate de numere prime. In acest sens
merit˘ a amintit un rezultat celebru al lui Dirichlet :
Teorema 2.1.2. (Dirichlet) Dac a a,b∈N∗iar(a,b) = 1 , atunci mult imea {an+b:
n∈N}cont ine o innitate de numere prime.
In cadrul acestei lucr˘ ari nu vom prezenta o demonstrat ¸ie complet˘ a a Teoremei 2.1.2
Totu¸ si, pentru anumite valori particulare ale lui a¸ sibvom prezenta ˆ ın cadrul acestei
lucr˘ ari demonstrat ¸ii complete.
Iat˘ a la ˆ ınceput dou˘ a exemple:
37

Teorema 2.1.3. Exist a o innitate de numere prime de forma 4n−1cun∈N∗.
Demonstrat ie. S˘ a presupunem prin reducere la absurd c˘ a mult ¸imea {4n−1 :n∈
N∗}cont ¸ine numai un num˘ ar ﬁnit de numere prime, ﬁe acestea q1,..,q t¸ si s˘ a consider˘ am
num˘ arulq= 4q1q2..qt−1. Num˘ arul qtrebuie s˘ a aib˘ a un factor prim de forma 4 k−1
(c˘ aci dac˘ a tot ¸i factorii primi ai lui qar ﬁ de forma 4 k+ 1 atunci ¸ si qar trebui s˘ a ﬁe de
forma 4k+1). Deci ar trebui ca qis˘ a divid˘ a pe q, ceea ce este absurd), de unde concluzia
din enunt ¸.
Teorema 2.1.4. Exist a o innitate de numere prime de forma 6n−1cun∈N∗.
Demonstrat ie. S˘ a presupunem prin absurd c˘ a exist˘ a doar un num˘ ar ﬁnit de numere
prime de forma 6 n−1 ¸ si anume q1,q2,…,q k¸ si s˘ a consider˘ am num˘ arul q= 6q1q2…qk−1.
Cum un num˘ ar prim este de forma 6 t−1 sau 6t+ 1, deducem c˘ a qtrebuie s˘ a cont ¸in˘ a un
factor prim de forma 6 t−1(c˘ aci ˆ ın caz contrar ar trebui ca qs˘ a ﬁe de forma 6 k+1). Deci
ar trebui ca un qis˘ a divid˘ a pe q, ceea ce este absurd, de unde concluzia din enunt ¸.
Teorema 2.1.5. (A. Rotkiewicz). Fie pun num ar prim xat. Exist a o innitate
de numere prime de forma pn+ 1, cun∈N.
Demonstrat ie. S˘ a presupunem c˘ a exist˘ a un num˘ ar ﬁnit p1,p2,…,p tde numere prime
de forma din enumt ¸ si s˘ a consider˘ am a=p·p1p2…pt(in caz c˘ a exist˘ a numere prime de
formapn+ 1) saua=pˆ ın caz contrar.
Consider˘ am de asemenea num˘ arul N=ap−1+ap−2+…+a+ 1>1 ¸ si ﬁequn
divizor al lui N. Atunciq|N(a−1) =ap−1, deciap≡1(modq). Atunciγq(a) = 1
sauγq(a) =p. Dac˘ aγq(a) = 1, atunci a≡1(modq) ¸ si 0≡N=ap−1+…+a+ 1≡
p(modq),q|p,q=p,p|N. Cump|a¸ sip|N, atuncip|N−ap−1−ap−2−…−a= 1,
contradict ¸ie.
Deciγq(a) =p¸ sip|φ(q) =q−1, adic˘ aq−1 =pscus∈N, deciq=ps+ 1. Cum
am presupus c˘ a p1,…,p tsunt toate numerele prime de forma pn+ 1, deducem c˘ a q=pi
cu 1≤i≤t. Atunciq|a¸ siq|N¸ si din nou obt ¸inem contradict ¸ia c˘ a q|1.
Deci pentru un num˘ ar prim pﬁxat exist˘ a o inﬁnitate de numere prime de forma
pn+ 1.
2.2 Ciurul lui Eratostene
Fiind dat un num˘ ar natural n≥2, pentru a stabili dac˘ a el este prim sau nu, este suﬁcient
s˘ a veriﬁc˘ am dac˘ a el este divizibil doar prin acele numere prime p≤√n. Intr-adev˘ ar, s˘ a
presupunem c˘ a neste compus ¸ si c˘ a toate numerele prime ce-l divid veriﬁc˘ a inegalit˘ at ¸ile√n<p<n . Dac˘ a un anumit num˘ ar prim p0divide pen, atunci putem scrie p=p0n0
pentru unn0≥2. Atuncin0=np0<np0=√n¸ sin0|n. Num˘ arul n0va avea cel putin
un factor prim (care va ﬁ mai mic decˆ at√n)- absurd!
Obt ¸inem astfel un criteriu simplu de a determina dac˘ a un num˘ ar natural este prim
sau nu:
Dac a un num ar natural nnu este divizibil prin nici un num ar prim p≤√n, atunci
38

num arulneste prim. Acest criteriu st˘ a la baza ,,ciurului” prin care Eratostene a stabilit
care numere dintr-o mult ¸ime ﬁnit˘ a de numere naturale sunt prime. Mai precis, el a scris
de exemplu toate numerele de la 2 la nˆ ın ordine cresc˘ atoare. A t˘ aiat tot ¸i multiplii proprii
ai lui 2, apoi tot ¸i multiplii proprii ai lui 3, pe urm˘ a pe cei ai lui 5. Se observ˘ a c˘ a cel mai
mic num˘ ar natural superior lui 5 care nu a fost t˘ aiat este 7 ¸ si se taie atunci ¸ si tot ¸i multiplii
lui 7. Se continu˘ a ˆ ın felul acesta procedeul de t˘ aiere pˆ an˘ a se ajunge la etapa cˆ and cel mai
mic num˘ ar natural din ¸ sirul 2 ,3,…,n care nu a fost t˘ aiat este ≥√n. Atunci procedeul
se opreste deoarece conform criteriului enunt ¸at mai ˆ ınainte toate numerele net˘ aiate din
¸ sirul 2,3,…,n sunt numere prime p≤n.
De exemplu, num˘ arul 223 nu se divide cu 2 ,3,5,7,11 ¸ si 13. Este inutil s˘ a veriﬁc˘ am
dac˘ a se mai divide cu 17 c˘ aci 172= 289>223, rezultˆ and astfel c˘ a 223 este prim.
Procedeul descris mai sus poart˘ a numele de ciurul lui Eratostene . Pe aceast˘ a cale
se poate obt ¸ine urm˘ atorul ¸ sir de numere prime mai mici decˆ at 100 : 2 ,3,5,7,11,13,17,
19,23,29,31,37,41,43,47,51,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.
In anul 1909 au fost editate tabele cu numerele prime <10.000.000, ˆ ın care se dau
cei mai mici divizori primi pentru ﬁecare num˘ ar natural ≤10.170.600 care nu se divid la
2,3,5 sau 7.
In anul 1951 au fost publicate tabele de numere prime pˆ an˘ a la 11 .000.000. Ja-
cob Philipp Kulik (1793-1863) a ˆ ıntocmit tabele de numere prime pˆ an˘ a la 100 .000.000
(manuscrisul se p˘ astreaz˘ a la Academia Austriac˘ a de S ¸tiint ¸e din Viena). In ﬁnalul lucr˘ arii,
ˆ ın cadrul Anexei 1 prezent˘ am numerele prime de la 1 la 10 .000. C. L. Baker ¸ si J. F. Gru-
enberger au ˆ ıntocmit ˆ ın anul 1959 un microﬁlm care cont ¸ine toate numerele prime mai
mici decˆ atp6000000 = 104.395.301.
2.3 Teorema Bertrand-Ceb^ sev
In cadrul acestui paragraf vom demonstra urm˘ atorul rezultat:
Teorema 2.3.1. Dac an∈N,n≥4, atunci ^ ntre n si2(n−1)se a
a cel put in un
num ar natural prim.
Acest rezultat a fost formulat ˆ ınc˘ a din anul 1845 de catre J. Bertrand ˆ ıns˘ a cel care
a prezentat primul o solut ¸ie a acestuia a fost P. L. Cebˆ ı¸ sev ˆ ın anul 1850. In cele ce
urmeaz˘ a vom prezenta o solut ¸ie a lui P. Erd¨ os (adaptat˘ a de L. Kalmar). Aceast˘ a solut ¸ie
se bazeaz˘ a pe demonstrarea cˆ atorva leme:
Lema 2.3.2. Dac an∈N,n> 1, atunci
Cn
2n>4n
2√n(1).
Demonstrat ie. Facem induct ¸ie dup˘ a n. Pentrun= 2, (1) este adev˘ arat˘ a deoarece
C2
4= 6>42
2√
2=8√
2⇔6√
2>8⇔3√
2>4⇔18>16 ceea ce este evident.
39

CumCn+1
2n+2= 2·2n+ 1
n+ 1·Cn
2n, pentru a proba (1) pentru n+1, este suﬁcient s˘ a
demonstr˘ am c˘ a 2 ·2n+ 1
n+ 1·4n
2√n>4n+1
2√n+ 1⇔2n+ 1
n+ 1·1√n>2√n+ 1⇔2n+ 1>
√
4n(n+ 1)⇔4n2+ 4n+ 1>4n2+ 4n⇔1>0 ceea ce este evident.
Lema 2.3.3. Dac a denim P1= 1 iar pentru n≥2,Pn=∏p
pprim,
p≤n, atunci
Pn<4n, pentru orice n∈N∗.
Demonstrat ie . Facem din nou induct ¸ie dup˘ a n. Pentrun= 1,2 totul este clar.
Presupunem lema adev˘ arat˘ a pentru toate numerele <n¸ si s˘ a o demonstr˘ am pentru n.
Dac˘ aneste par, atunci Pn=Pn−1¸ si totul este clar. Dac˘ a neste impar, n= 2k+ 1
(k∈N∗), atunci orice num˘ ar prim pastfel ˆ ıncˆ at k+ 2≤p≤2k+ 1 este un divizor al
luiCk
2k+1=(2k+ 1)2k(2k−1)…(k+ 2)
1·2·…·k. Din (1 + 1)2k+1> Ck
2k+1+Ck+1
2k+1= 2Ck
2k+1
deducem c˘ a Ck
2k+1<4k. (2)
Produsul tuturor numerelor prime pastfel ˆ ıncˆ at k+ 2≤p≤2k+ 1 divizˆ and Ck
2k+1
este inferior lui 4k(t ¸inˆ and cont de (2)). Scriind c˘ a Pn=P2k+1=Pk+1·∏p
pprim,
k+ 2≤p≤n
¸ si t ¸inˆ and cont de ipoteza de induct ¸ie, Pk+1<4k+1¸ si de (2) deducem c˘ a Pn<4k+1·4k=
42k+1= 4n¸ si astfel Lema 2.3.3 este demonstrat˘ a.
Lema 2.3.4. Daca p este un num ar prim ce divide Cn
2nastfel ^ nc^ at p≥√
2n,
atunci p apare cu exponentul 1^ n descompunerea lui Cn
2n^ n factori primi .
Demonstrat ie. Exponentul lui pˆ ınCn
2n=(2n)!
(n!)2va ﬁα=∑
k≥1([2n
pk]−2[n
pk]).
Dacap≥√
2n(avemp=√
2n⇔n= 2 ˆ ın care caz lema este adev˘ arat˘ a c˘ aci
C2
4= 2·3), atunci pentru n≥3 avemp≥√
2n, de unde deducem imediat c˘ a α=
[2np]−2[np]<2 , de unde α= 1 ¸ si astfel lema este demonstrat˘ a.
Pentru un num˘ ar real pozitiv x, prinπ(x) desemn˘ am num˘ arul numerelor prime q
astfel ˆ ıncˆ at q≤x.
Lema 2.3.5. Dac a p este un num ar prim, r∈N∗astfel ^ nc^ at pr|Cn
2n, atunci
pr≤2n siCn
2n≤(2n)π(2n).
Demonstrat ie. Dinpr|Cn
2n, deducem c˘ a exponentul lui pˆ ın descompunerea lui Cn
2n
ˆ ın factori primi (care este α=∑
k≥1([2n
pk]−2[n
pk])) veriﬁc˘ a inegalitatea α≥r.
Dac˘ a am avea pr>2n, pentruk≥ram avea [2n
pk]−2[n
pk] = 0 ¸ si atunci α=r−1∑
k=1
([2n
pk]−2[n
pk]). Cum pentru orice x∈Ravem [2x]−2[x]≤1 ar trebui s˘ a avem α≤r−1
ceea ce contrazice faptul c˘ a α≥r. Decipr≤2n. T ¸ inˆ and cont ¸ si de lucrul acesta,
pentru a demonstra partea a doua a lemei t ¸inem cont de faptul c˘ a ˆ ın descompunerea ˆ ın
factori primi a lui Cn
2nnu pot s˘ a apar˘ a decˆ at numere prime q≤2n, de unde deducem c˘ a
Cn
2n≤(2n)π(2n).
40

Lema 2.3.6. Dac an∈N,n > 2, atunci nici un num ar prim p astfel ^ nc^ at
2
3n<p ≤nnu poate s a divid a Cn
2n.
Demonstrat ie. Dac˘ a2
3n 1, avempk>4
9n2¸ si atunci2n
pk<9
2n<1 pentrun > 4, deci [2n
pk]−
2[n
pk] = 0 pentru k>1 ¸ sin>4. Rezult˘ a astfel c˘ a pentru n>4,p-Cn
2n.
Pentrun= 3 saun= 4, cu necesitate p= 3 ¸ si din nou lema este adev˘ arat˘ a c˘ aci
C3
6= 20 iarC4
8= 70 ce nu se divid prin 3.
Lema 2.3.7. Un num ar prim p astfel ^ nc^ at n < p < 2napare ^ n descompunerea
luiCn
2n^ n factori primi cu exponentul 1 ( n≥2).
Demonstrat ie. Dac˘ an 1 avem2n
pk<1 ¸ si [2n
pk] = 0
ca ¸ si [n
pk] = 0.
Deci exponentul αal luipˆ ınCn
2neste 1.
Lema 2.3.8. Dac an∈N,n≥14, atunciπ(n)≤n
2−1.
Demonstrat ie. Se veriﬁc˘ a imediat c˘ a π(14) = 6 =14
2−1, adic˘ a lema este adevarat˘ a
pentrun= 14.
In ¸ sirul 1,2,…,n numerele 4,6,…,2·[n
2] (ˆ ın num˘ ar de [n
2]−1) sunt compuse. Pe de
alta parte, pentru n≥15, ¸ sirul 1,2,…,n cont ¸ine ¸ si numerele impare compuse 1 ,9 ¸ si 15,
de unde deducem c˘ a π(n)≤n−([n
2]−1 + 3) =n−[n
2]−2<n
2−1 (c˘ aci [n
2]>n
2−1)
¸ si astfel lema este probat˘ a (observˆ and c˘ a pentru n≥15 avem chiar π(n)<n
2−1).
Lema 2.3.9. FieRn=∏p
pprim,
n<p< 2n(sauRn= 1dac a nu exist a astfel de numere
prime). Atunci, pentru n≥98avemRn>3√
4n
2√n·(2n)√n
2(3) .
Demonstrat ie. Dup˘ a felul ˆ ın care am deﬁnit pe Rndeducem c˘ a Rn|Cn
2n, deci putem
scrieCn
2n=Rn·Qn, cuQn∈N∗. Conform Lemei 2.3.7, dac˘ a peste un num˘ ar prim astfel
ˆ ıncˆ atn < p < 2n, atuncip-Qn¸ si prin urmare dac˘ a peste prim ¸ si p|Qn, cu necesitate
p≤n. Conform Lemei 2.3.6 avem chiar mai mult, p≤2
3n, astfel c˘ a produsul divizorilor
primi ai lui Qnva ﬁ cel mult egal cu P[2n
3]iar conform Lemei 2.3.3 acest produs va ﬁ
<4[2n3]≤42n3.
Conform Lemei 2.3.4, cum Qn|Cn
2nse vede c˘ a exponentul unui num˘ ar prim pdin
descompunerea lui Qnnu va ﬁ>1 decˆ at dac˘ a p<√
2n.
Num˘ arul acestor numere prime va ﬁ conform Lemei 2.3.8 (ˆ ınlocuind ˆ ın aceasta pe
nprin [√
2n], lucru posibil deoarece n≥98⇒√
2n≥14, de unde ¸ si [√
2n]≥14) inferior
lui√
2n
2.
41

Conform Lemei 2.3.5, produsul puterilor acestor numere prime (care divid Qn,
deci ¸ si peCn
2n) va ﬁ cel mult egal cu (2 n)√
2n
2, de unde deducem ˆ ın ﬁnal c˘ a Qn<
42n3·(2n)√
2n
2. (4)
Astfel, cum Rn=Cn
2n
Qndeducem, tinˆ and cont de Lema 2.3.2 ¸ si inegalitatea (4) c˘ a
Rn>4n
2√n·1
42n3·(2n)√
2n
2=3√
4n
2√n·(2n)√n2adic˘ a exact inegalitatea (3).
Lema 2.3.10. Dac ak∈N,k≥8, atunci 2k>18(k+ 1).
Demonstrat ie. Cum 28= 256>18·9 iar dac˘ a 2k>18(k+1), atunci 2k+1= 2·2k>
2·18(k+ 1) = 36k+ 36>18k+ 36 = 18(k+ 2), deducem conform principiului indut ¸iei
matematice c˘ a lema este adev˘ arat˘ a pentru orice k≥8.
Lema 2.3.11. Dac ax∈R,x≥8, atunci 2x>18x.
Demonstrat ie. Pentrux∈R,x≥8 avem [x]≥8 ¸ si conform Lemei 2.3.10. avem
2x≥2[x]≥18([x] + 1)>18x.
Lema 2.3.12. Dac ak∈N,k≥6, atunci 2k>6(k+ 1).
Demonstrat ie. Se face indut ¸ie matematic˘ a dup˘ a k(sau, dac˘ a t ¸inem cont de Lema
2.3.10 mai avem de demonstrat inegalit˘ at ¸ile pentru k= 6 ¸ sik= 7 care sunt adevarate
deoarece 26>64>6·7 ¸ si 27>128>6·8).
Lema 2.3.13. Dac ax∈R,x≥6, atunci 2x>6x.
Demonstrat ie. Ca ˆ ın cazul Lemei 2.3.11.
Lema 2.3.14. Dac an∈N,n≥648, atunciRn>2n.
Demonstrat ie. T ¸ inˆ and cont de Lema 2.3.9 este suﬁcient s˘ a demonstr˘ am c˘ a pentru
n≥648 avem3√
4n>4n√n·(2n)√n
2. Cum pentru n≥648,√
2n
6≥6, conform Lemei
2.3.13 avem 2√
2n
6>√
2n, de unde ridicˆ and ambii membrii la puterea√
2ndeducem c˘ a
3√
2n>(2n)√n
2.
De asemenea, din n≥648, deducem c˘ a2n
9>8 ¸ si atunci conform Lemei 2.3.11
avem 22n9>4n, de unde 2n3>4n√
4n>4n√n.
Deci, pentru n≥648,2n3>(2n)√n
2¸ si 2n3>4n√nde unde3√
4n>4n√n·(2n)√n
2
¸ si cu aceasta lema este demonstrat˘ a.
Lema 2.3.15. Dac an≥6, atunci ^ ntre n si 2n se a
a cel put in dou a numere
prime distincte.
Demonstrat ie. Dac˘ an≥648, atunci conform deﬁnirii lui Rn, dac˘ a ˆ ın intervalul
(n,2n) nu ar exista nici un num˘ ar prim, sau numai unul, atunci Rn≤2n, ceea ce ar ﬁ
ˆ ın contradict ¸ie cu Lema 2.3.14.
Dac˘ an= 6, lema este adev˘ arat˘ a c˘ aci ˆ ıntre 6 ¸ si 12 se aﬂa numerele prime 7 ¸ si 11.
Mai avem de demonstrat Lema 2.3.15 pentru 7 ≤n≤647. Acest lucru poate ﬁ
facut ﬁe direct (utilizˆ and un tabel de numere prime ≤1000), ﬁe construind un ¸ sir de
42

numere prime q0,q1,…,q mastfel ˆ ıncˆ at q0= 7,qk<2qk−2,2≤k≤m¸ siqm−1>a= 647.
O dat˘ a construit un astfel de ¸ sir (cum ar ﬁ de exemplu ¸ sirul 7 ,11,13,19,23,37,43,
73,83,139,163,277,317,547,631,653,1259 pentru m= 16), s˘ a vedem cum rezult˘ a Lema
2.3.15. pentru 7 ≤n≤a= 647.
Primul termen al ¸ sirului q0,q1,…,q mnu dep˘ a¸ se¸ ste pe ndecˆ at dac˘ a qm> qm−1>
a≥n, deciqm>n.
Exist˘ a deci un indice maximal k<m −1 astfel ˆ ıncˆ at qk<n. Atuncik+2≤m,n<
qk+1¸ si cumqk+2<2qk≤2n, ˆ ıntren¸ si 2nexist˘ a cel put ¸in numerele prime qk+1¸ siqk+2
¸ si cu aceasta lema este complet demonstrat˘ a.
Teorema 2.3.16. (Ceb^ sev )Dac an∈N,n≥4, atunci ^ ntre n si 2(n-1) avem cel
put in un num ar prim.
Demonstrat ie. Pentrun= 4 ¸ sin= 5 teorema este adev˘ arat˘ a ˆ ın mod evident
deoarece ˆ ıntre 4 ¸ si 6 se aﬂ˘ a 5 iar ˆ ıntre 5 ¸ si 8 se aﬂ˘ a 7.
Pentrun≥6, conform Lemei 2.3.15 ˆ ıntre n¸ si 2nse aﬂ˘ a cel put ¸in dou˘ a numere
prime distincte p¸ siqcup < q . Dac˘ a cel mai mare dinte acestea este q= 2n−1,
cel˘ alalt trebuie s˘ a ﬁe <2n−2 c˘ aci 2(n−1) este par ¸ si compus pentru n≥6. Deci
n<p< 2(n−1). Dac˘ aq<2n−1, cump<q , dinp<q deducem c˘ a n<p< 2n−2 ¸ si
cu aceasta Teorema lui Cebˆ ı¸ sev este complet demonstrat˘ a.
In continuare vom prezenta cˆ ateva corolare la Teorema lui Cebˆ ı¸ sev.
Corolar 2.3.17. Dac an∈N,n≥2, atunci ^ ntre n si 2n se a
a cel put in un
num ar prim.
Demonstrat ie . Dac˘ an≥4 totul rezult˘ a din teorema lui Cebˆ ı¸ sev. Dac˘ a n= 2 ˆ ıntre
2 ¸ si 4 se aﬂ˘ a 3 iar dac˘ a n= 3 atunci ˆ ıntre 3 ¸ si 6 se aﬂ˘ a 5. Astfel corolarul este demonstrat
pentru orice n≥2.
Observat ie. In anul 1892 J. J. Sylvester a demonstrat urmatoarea generalizare a
Corolarului 2.3.17: Dac an,k∈N,n > k , atunci ^ n sirul n, n+1,…,n+k-1 se a
a cel
put in un num ar admit ^ and un divizor prim >k.
Corolarul 2.3.17 se deduce acum din acest rezultat pentru n=k+ 1.
Aceast˘ a generalizare a mai fost demonstrat˘ a ¸ si de I. Schur ˆ ın 1929 ca ¸ si de P. Erd¨ os
ˆ ın 1934.
Corolar 2.3.18. Dac ak∈N,k> 1, atuncipk<2k.
Demonstrat ie. Facem indut ¸ie dup˘ a k. Pentruk= 2 avemp2= 3<22. Dac˘ a
pk<2k, conform Corolarului 2.3.17 exist˘ a cel put ¸in un num˘ ar prim pastfel ˆ ıncˆ at 2k<
p<2·2k= 2k+1¸ si astfel corolarul este demonstrat.
Corolar 2.3.19. Dac an∈N,n≥2, atunci ^ n descompunerea lui n!^ n factori
primi g asim cel put in un num ar prim cu exponentul egal cu 1.
Demonstrat ie. Corolarul este ˆ ın mod evident adev˘ arat pentru n= 2 ¸ sin= 3(2! =
2,3! = 2 ·3).
Fie acumn≥4. Dac˘ aneste par,n= 2k, atuncik≥2 ¸ si conform Corolarului
2.3.17 ˆ ıntre k¸ si 2k=ng˘ asim cel put ¸in un num˘ ar prim pastfel ˆ ıncˆ at k < p < 2k=n.
43

Vrem s˘ a demonstr˘ am c˘ a papare cu exponentul 1 ˆ ın descompunerea ˆ ın factori primi
a luin!. Intr-adev˘ ar, urm˘ atorul num˘ ar din n! ce ar ﬁ multiplu de peste 2pˆ ıns˘ a din
k<p⇒2k<2p⇔2p>n .
Dac˘ aneste impar, n= 2k+ 1⇒k≥2 ¸ si din nou conform Corolarului 2.3.17
ˆ ıntrek¸ si 2kg˘ asim cel put ¸in un num˘ ar prim p(k 2k⇒2p>2k+1 =n¸ si din nou ajungem la concluzia c˘ a papare ˆ ın descompunerea
luin! cu exponentul 1.
Observat ie. De fapt, Corolarele 2.3.17 ¸ si 2.3.19 sunt echivalente.
Intr-adev˘ ar, mai ˆ ınainte am v˘ azut cum Corolarul 2.3.17 implic˘ a Corolarul 2.3.19
Reciproc, s˘ a admitem c˘ a ceea ce aﬁrm˘ a Corolarul 2.3.19 este adev˘ arat (adic˘ a pentru
orice num˘ ar natural n≥1 ˆ ınn! exist˘ a cel put ¸in un num˘ ar prim cu exponentul 1) ¸ si s˘ a
demonstr˘ am Corolarul 2.3.17 (adic˘ a pentru orice n≥2, ˆ ıntren¸ si 2nse aﬂ˘ a cel put ¸in
un num˘ ar prim). Intr-adev˘ ar, ﬁe pnum˘ arul prim ce apare ˆ ın descompunerea ˆ ın factori
primi a lui (2 n)! cu exponentul 1. Avem p<2n<2pc˘ aci dac˘ a am avea 2 p≤2n, atunci
ˆ ın (2n)! = 1 ·2·…·(n−1)·n(n+ 1)·…·(2n) apar ¸ sip¸ si 2p¸ si astfel exponentul lui p
ˆ ın (2n)! ar ﬁ cel put ¸in 2. In concluzie, 2 n<2p, adic˘ an1.
Corolar 2.3.21. Pentru orice k∈N,k≥4, avem inegalitatea pk+2<2pk.
Demonstrat ie . Pentruk≥4 avempk>p 3= 5 ¸ si atunci conform Lemei 2.3.15 ˆ ıntre
pk¸ si 2pkexist˘ a cel put ¸in dou˘ a numere prime distincte. Cum cele mai mici dintre aceste
numere vor ﬁ pk+1¸ sipk+2avempk+2<2pk.
Corolar 2.3.22. Pentru orice k∈N,k≥2avempk+2<pk+1+pk.
Demonstrat ie. Pentruk= 2,3 se veriﬁc˘ a imediat prin calcul, iar pentru k≥4 totul
rezult˘ a din corolarul precedent.
Corolar 2.3.23. Dac an,k∈N,n≥2, atunci
1
n+1
n+ 1+…+1
n+k/∈N.
Demonstrat ie. Dac˘ ax=1n+1
n+ 1+…+1
n+k∈N, atuncix≥1 ¸ si cum
x<k+ 1n, cu necesitate k+ 1>n¸ si decik≥n.
Fiepcel mai mare num˘ ar prim ≤n+k. Atunci 2p>n +k. Conform Corolarului
2.3.17, ˆ ıntre p¸ si 2pg˘ asim cel put ¸in un num˘ ar prim q, iar dac˘ a am avea 2 p≤n+k, atunci
p<q<n +k, ˆ ın contradict ¸ie cu alegerea lui p. Decin+k<2p.
Cumk≥n, atuncin+k≥2n¸ si din nou conform Corolarului 2.3.17, ˆ ıntre n¸ si 2n
exist˘ a un num˘ ar prim r. Cumr<2n≤n+k, t ¸inˆ and cont de felul ˆ ın care l-am ales pe
pdeducem c˘ a r≥p. De asemenea, deoarece n<r , avemn<p ≤n+k<2p.
Deducem de aici ca printre termenii sumei x=1n+1
n+ 1+…+1
n+kexist˘ a
numai unul al c˘ arui numitor s˘ a ﬁe divizibil prin p. Punˆ and pe xsub form˘ a de fract ¸ie
44

(cu numitorul n(n+ 1)…(n+k)) se observ˘ a c˘ a printre termenii ce dau num˘ aratorul lui x
exist˘ a unul ce nu se divide prin p. Atunci, dac˘ a scriem x=m
t(cut=n(n+1)…(n+k)),
p|t¸ sip-m, de unde concluzia c˘ a x /∈N.
2.4 Inegalit at ile lui Ceb^ sev
Reamintim c˘ a pentru x∈R+, prinπ(x) am notat num˘ arul numerelor prime p≤x.
Astfel,π(1) = 0,π(2) = 1,π(3) =π(4) = 2,π(5) =π(6) = 3,π(100) = 25,π(1000) = 168,
etc.
In anul 1958, D. H. Lehmer a calculat π(108) ¸ siπ(109) aratˆ and c˘ a π(108) = 5761455
¸ siπ(109) = 50847534.
Evident,π(pn) =npentru orice n≥1.
Reamintim c˘ a ˆ ın cadrul Lemei 2.3.9 am deﬁnit pentru n≥1,Rn=∏p.
pprim,
n<p< 2n
Exist˘ aπ(2n)−π(n) numere prime pastfel ˆ ıncˆ at n 3√
4n
2√n·(2n)√n2, de unde,
logaritmˆ and ˆ ın baza 10 deducem inegalitatea
(1)π(2n)−π(n)>n
3 lg(2n)[lg(4)−3 lg(4n)
2n−3 lg(2n)√
2n].
Cum lim
x→∞lg(x)√x= lim
x→∞lg(x)
x= 0, din (1) deducem c˘ a lim
x→∞[π(2n)−π(n)] =∞.
De aici deducem:
Corolar 2.4.1. Pentru orice num ar natural k exist a un num ar natural mkastfel
^ nc^ at pentru orice n≥mk, exist a cel putin k numere prime ^ ntre n si 2n.
Fie acump1,…,p rnumerele prime ce intr˘ a ˆ ın descompunerea ˆ ın factori primi a lui
Cn
2n(evidentp1,p2,…,p r≤2n). Fiecare num˘ ar piapare la puterea ([2npi]−2[npi]) +…+
([2n
pqi
i]−2[n
pqi
i]), undeqieste cel mai mare num˘ ar natural pentru care pqi
i≤2n.
Cum pentru orice a≥0, [2a]−2[a] = 0 sau 1, deducem c˘ a suma∑
k=1([2n
pk
i]−2[n
pk
i])≤
1 +…+ 1|{z}
qi=qi, astfel c˘ a ﬁecare piapare ˆ ın descompunerea lui Cn
2nla o putere ≤qi, deci
Cn
2n≤pq1
1…pqrr≤(2n)…(2n) = (2n)r.
Cumr=π(2n) deducem c˘ a Cn
2n≤(2n)π(2n)(este de fapt o redemonstrare a
inegalit˘ at ¸ii din cadrul Lemei 2.3.5!).
Pe de alta parte, Cn
2n=2n(2n−1)…(n+ 1)
1·2·…·nse divide prin produsul tuturor nu-
merelor prime ps+1,ps+2,…,p rmai mari decˆ at n¸ si mai mici decˆ at 2 n(am notat prin
p1,…p stoate numerele prime mai mici decˆ at n).
Astfel,Cn
2n≥ps+1ps+2…pr>n·n·…·n|{z}
r−sori=nr−s.
45

Cumr=π(2n) ¸ sis=π(n), deducem c˘ a
(2)nπ(2n)−π(n)<Cn
2n<(2n)π(2n).
De asemenea, pentru orice num˘ ar natural n≥1, avem
(3) 2n<Cn
2n<4n.
Comparˆ and (2) cu (3) deducem c˘ a 2n<2π(2n), de unde prin logaritmare ˆ ın baza
10 deducem:
(4)π(2n)>lg 2
2·2n
lg(2n)= 0,15051…·2n
lg(2n).
Cum pentru n≥1 avem2n
2n+ 1≥2
3deducem c˘ a:
π(2n+ 1) lg(2n+ 1)> π(2n) lg(2n)>0,15051…·2n >2
3·0,15051…·(2n+ 1) =
0,10034…·(2n+ 1) sauπ(2n+ 1)>0,10034…·2n+ 1
lg(2n+ 1).
Obt ¸inem astfel urm˘ atorul rezultat:
Propozit ia 2.4.2. Pentru orice num ar natural n>1, avem inegalitatea
π(n)>0,1·n
lgn.
Tot din combinat ¸ia inegalit˘ at ¸ilor (2) ¸ si (3) deducem c˘ a nπ(2n)−π(n)<22npentru
oricen > 1, de unde prin logaritmare deducem c˘ a [ π(2n)−π(n)] lgn < 2nlg 2, adic˘ a
π(2n)−π(n)<2 lg 2·n
lgn.
Fie acumx≥0 un num˘ ar real. Dac˘ a not˘ am [x
2] =n, atunci ˆ ın mod evident x= 2n
sau 2n+ 1 ¸ si vom avea
π(x)−π(x
2)≤π(2n)−π(n) + 1<0,60206…·n
lgn+ 1<1,60206…·n
lgn(deoarece
n
lgn>1).
Se veriﬁc˘ a imediat c˘ a pentru n≥3, dinn < x rezult˘ an
lgn<x
lgx, deci pentru
[x
2]≥3 avemπ(x)−π(x
2)<1,60206…·x
lgx.
Este u¸ sor de veriﬁcat c˘ a ultima inegalitate este valabil˘ a ¸ si pentru [x
2]<3; ˆ ıntr-
adev˘ ar, dac˘ a [x
2]<3, diferent ¸a π(x)−π(x
2) evident poate ﬁ egal˘ a cu 2 (pentru 2 ,5≤
x
2<3), cu unu sau cu zero; ˆ ın toate aceste cazuri, produsul 1 ,60206…·x
lgxva lua
valoarea cea mai mare.
Astfel, pentru orice x∈R+:
(5)π(x)−π(x
2)<1,60206…·x
lgx.
Din (5) deducem mai departe c˘ a
π(x) lgx−π(x
2) lgx
2= [π(x)−π(x
2)] lgx+π(x
2)[lgx−lgx
2]<lgx·1,60206…·x
lgx+
lg 2·π(x
2)<(1,60206…+lg 2
2)·x≈1,75257…·x(am folosit faptul evident: π(x
2)<x
2).
Deciπ(x) lgx−π(x
2) lgx
2<1,75257…·x.
46

Fie acumn∈N,n> 1. Conform ultimei inegalit˘ at ¸i avem:
π(n) lgn−π(n
2) lgn
2<1,75257…·n
π(n
2) lgn
2−π(n
4) lgn
4<1,75257…·n
2
…………………………
π(n
2k−1) lgn
2k−1−π(n
2k) lgn
2k<1,75257…·n
2k−1
(vom alege pe kastfel ˆ ıncˆ at 2k>n).
Adunˆ and aceste inegalit˘ at ¸i deducem c˘ a :
π(n) lgn−π(n
2k) lgn
2k<1,75257…·(n+n
2+…+n
2k−1) = 1,75257…·n−n
2k
1−1
2
<3,50514…·n<4n.
Cum pentru 2k>n,n
2k<1, ¸ si deciπ(n
2k) = 0, deducem c˘ a π(n)<4·n
lgn.
Am obt ¸inut astfel:
Propozit ia 2.4.3. Dac an>1,π(n)<4·n
lgn.
Din Propozit ¸iile 2.4.2 ¸ si 2.4.3 deducem:
Propozit ia 2.4.4. Pentru orice num ar natural n>1, avem dubla inegalitate
0,1·n
lgn<π(n)<4·n
lgn.
Observat ii.
1. Dac˘ a trecem la logaritmi naturali, Propozit ¸ia 2.4.4 cap˘ at˘ a o formulare mai
elegant˘ a 0,92·n
lnn< π(n)<1,11·n
lnn, astfel c˘ a variat ¸ia funct ¸iei π(n) este redat˘ a cu
o mai mare exactitate de funct ¸ian
lnn(factorii numerici 0,92 ¸ si 1,11 difer˘ a put ¸in de 1).
Aceste rezultate apart ¸in de asemenea lui Cebˆ ı¸ sev.
2. Cebˆ ı¸ sev a demonstrat de asemenea c˘ a dac˘ a raportul π(n) :n
lgntinde (pentru
n→ ∞ ) la o limit˘ a l, atuncil= 1. Faptul c˘ a limita raportului π(n) :n
lgnexist˘ a pentru
n→ ∞ (¸ si deci este egal˘ a cu 1) a fost demonstrat pentru prima dat˘ a de J. Hadamard (la
aproximativ 50 de ani de la lucr˘ arile remarcabile ale lui P. L. Cebˆ ı¸ sev) utilizˆ and un aparat
matematic complicat, speciﬁc matematicilor superioare (o demonstrat ¸ie elementar˘ a a
fost totu¸ si dat˘ a ceva mai tˆ arziu de matematicianul danez A. Selberg; pentru detalii
recomand˘ am cititorului lucrarea [36]).
Obt ¸inem deci π(n)≈n
lgnpentrun>1.
Teorema 2.4.5. (Ceb^ sev) Pentru x∈R,x≥2avem dubla inegalitate :
lg 2
4·x
lgx<π(x)<9 lg 2·x
lgx.
Demonstrat ie. Pentru prima inegalitate t ¸inem cont de dou˘ a inegalit˘ at ¸i stabilite mai
ˆ ınainte ¸ si anume:
nπ(2n)−π(n)<Cn
2n<(2n)π(2n)¸ si 2n<Cn
2n<4n
47

pentrun∈N,n≥2, de unde deducem c˘ a π(2n)−π(n)≤2 lg 2·n
lgn¸ siπ(2n)≥lg 2·n
lgn.
Pentrux∈R,x≥2, alegem acum n∈Nastfel ˆ ıncˆ at n≤x
2< n+ 1, astfel c˘ a
π(x)≥π(2n)≥lg 2·n
lg(2n)≥lg 2·n
lgx≥lg 2
4·2n+ 2
lgx>lg 2
4·x
lgx.
S˘ a stabilim acum a doua inegalitate.
Pentru un num˘ ar real oarecare y≥4, alegemn∈Nastfel ˆ ıncˆ at n−1<y
2≤n.
Astfel,
π(y)−π(y
2)≤π(2n)−π(n) + 1≤2nlg 2
lgn+ 1≤(y+ 2) lg 2
lgy
2+ 1
≤2(y+ 2) lg 2
lgy+ 1≤3ylg 2
lgy+ 1<4ylg 2
lgy.
Am demonstrat astfel c˘ a pentru y∈R,y≥4, avemπ(y)−π(y
2)<4 lg 2·y
lgy.
Evident c˘ a pentru 2 ≤y < 4 avemπ(y)−π(y
2)≤2 ¸ si cum funct ¸ia y→y
lgyˆ ı¸ si
atinge valoarea minim˘ a ˆ ın y=e, deducem c˘ a π(y)−π(y
2)≤2ey
lgypentru 2 ≤y≤4.
Cum ˆ ıns˘ a2e<4 lg 2, deducem c˘ a π(y)−π(y
2)<4 lg 2·y
lgypentru orice y≥2.
Astfel, pentru y≥2, avem:
π(y) lgy−π(y
2) lgy
2= [π(y)−π(y
2)] lgy+π(y
2) lg 2<4ylg 2 +y
2lg 2 =9
2lg 2.
Fie acumx∈R,x≥2 ¸ sir∈Nastfel ˆ ıncˆ at 2r+1≥x<2r+2. Inlocuind ˆ ın ultima
egalitate pe rˆ and pe ycux,x
2,x
22,…,x
2r, obt ¸inemr+ 1 inegalit˘ at ¸i ; adunˆ and membru
cu membru aceste inegalit˘ at ¸i ¸ si t ¸inˆ and cont de faptul c˘ a π(x
2r+1) = 0 obt ¸inem ˆ ın ﬁnal c˘ a
π(x) lgx<9
2(x+x
2+…+x
2rlg 2<(9 lg 2)x, adic˘ a a doua inegalitate din enunt ¸ .
Observat ie. In cartea lui G.Tenenbaum : Introduction a la th eorie analitique
des nombres (Universit e de Nancy, 1991, p.22) se demonstreaz˘ a c˘ a pentru x≥52
avemx
lgx·(1 +1
2 lgx)<π(x)<x
lgx·(1 +3
2 lgx).
Teorema 2.4.6. Pentrun∈N,n≥2avemnlgn
9 lg 2<pn<8nlgn
lg 2.
Demonstrat ie. T ¸ inˆ and cont de Teorema 2.4.5, pentru n∈N,n≥1 avemn=
π(pn)<(9 lg 2) ·pn
lgpn, de unde deducem prima inegalitate din enunt ¸.
Cum funct ¸ia f: (0,+)→R,f(x) =lgx√xpentrux>0, este descresc˘ atoare pentru
x>e2iarf(e9)<lg 2
4deducem c˘ a pentru x≥e9avemlgx√x<lg 2
4. Deci, dac˘ a pn≥e9
avemlgpn√pn<lg 2
4.
Pe de alt˘ a parte, pentru n≥1, avemn=π(pn)>lg 2
4·pn
lgpn. Combinˆ and cele
dou˘ a inegalit˘ at ¸i obt ¸inem c˘ a dac˘ a pn≥e9, atuncilgpn√pn<lg 2
4<nlgpnpn, ceea ce implic˘ a
printre altele c˘ a√pn<n¸ si c˘ a lgpn<2 lgn.
48

Deducem c˘ a pentru pn≥e9,lg 2
4·pn,n·lgpn<2n·lgn¸ si astfel membrul drept al
inegalit˘ at ¸ii din enunt ¸ este veriﬁcat pentru pn≥e9. Pentru 2 ≤pn<e9inegalitatea din
enunt ¸ se veriﬁc˘ a prin calcul direct.
Observat ie. In lucrarea lui B. Rosser : The n-th Prime is Greater than n
lg(n) din Proc. London Math. Soc., vol. 49, 1939, pp. 21- 44 se demonstreaz˘ a
c˘ a dac˘ an≥4, atuncinlgn+nlg(lgn)−10n<p n<nlgn+nlg(lgn) + 8n.
Intr-o lucrare mai recent˘ a a lui B. Rosser ¸ siL. Schoenfeld :Aproximate for-
mulas for some functions of prime numbers din Ilinois J. Math vol. 6, 1962,
pp. 64-89 se demonstrez˘ a urm˘ atoarele:
1) Pentru orice n∈N,n≥2 avempn>n(lnn+ ln(lnn)−3
2);
2) Pentru orice n∈N,n≥20 avempn<n(lnn+ ln(lnn)−1
2).
Teorema 2.4.7. Pentru orice x∈R,x≥3, exist a dou a constante reale pozitive
c1,c2>0, astfel ^ nc^ at :
c1lg(lgx)<∑
pprim,
p≤x1
p<c 2lg(lgx).
Demonstrat ie. Fiex∈R,x≥3. Cumπ(n)−π(n−1) ={1,dac˘ anprim
0,ˆ ın restavem:
∑
pprim,
p≤x1
p=∑
2≤n≤xπ(n)−π(n−1)
n=∑
2≤n≤xπ(n)·(1
n−1
n+ 1) +π(x)
[x] + 1
=∑
2≤n≤xπ(n)
n(n+ 1)) +π(x)
[x] + 1.
Conform inegalit˘ at ¸ilor lui Cebˆ ı¸ sev (Teorema 2.4.5) deducem c˘ a pentru x≥2 avem
lg 2
4 lgn<π(n)
n<9 lg 2
lgn, de unde deducem c˘ a
lg 2
4∑
2≤n≤x1
(n+ 1) lgn<∑
2≤n≤xπ(n)
n(n+ 1)<9 lg 2·∑
2≤n≤x1
(n+ 1) lgn.
Prin indut ¸ie matematic˘ a se probeaz˘ a c˘ a pentru orice k∈N,k≥1 avem lgk <
k∑
n=11n≤lgk+ 1.
De asemenea, pentru orice x∈R,x≥1 avem |∑
n∈N∗,
n≤x1n−lgx| ≤1.
Din cele de maiˆ ınainte deducem existent ¸a unei constante c>0 astfelˆ ıncˆ at |∑
2≤n≤x1
(n+ 1) lgn)−
lg(lgx)|<c. Evaluˆ and acumπ(n)
[x] + 1obt ¸inem constantele c1¸ sic2din enunt ¸.
49

Observat ie. Dac˘ a pentru dou˘ a funct ¸ii reale f¸ sigscriemf∼gdac˘ a lim
x→∞f(x)
g(x)= 1,
atunci vom ment ¸iona urm˘ atoarele rezultate:
1.π(x)∼x
lgx. Acest rezultat cunoscut ¸ si sub numele de Teorema elementului prim
sauLegea de repartit ie a numerelor prime a fost intuit de Legendre ¸ si Gauss ˆ ın secolul
al 18-lea ¸ si demonstrat ˆ ın 1896, independent de J. Hadamard (1865-1963) ¸ si G. J. de la
Vall´ ee-Poussin cu metode speciﬁce analizei complexe.
Pentru o demonstrat ¸ie elementar˘ a a Teoremei num˘ arului prim cititorul este rugat s˘ a
consulte P. Erd¨ os : ,, On a New Method in Elementary Number Theory which
leads to an Elementary Proof of the Prime Number Theorem", Proc. Nat.
Acad. Sci. , Washington , vol 35, 1949, pp. 347-383 sauA. Selberg : ,, An
Elementary Proof of the Prime Number Theorem", Ann. Math. Vol 50,
1949, pp. 303-313 .
2. La 15 ani Gauss a conjecturat c˘ a π(x)∼Li(x) =x∫
21
lgtdt.
Deoarecex∫
21
lgtdt=x
2−2
lg 2+x∫
21
(lgt)2dt¸ si 0<x∫
21
(lgt)2dt=√x∫
21
(lgt)2dt+x∫
√x
1
(lgt)2dt <√x−2
(lg 2)2+x−√x
1
4·(lg 2)2<√x
(lg 2)2+4x
(lg 2)2, deducem c˘ a 0 <x∫
21
(lgt)2dt
x
lgx<
lgx√x(lg 2)2+4
lgx, de unde acum se deduce facil c˘ ax
lgx∼Li(x).
Teorema 2.4.8. Seria∑
n≥11pneste divergent a.
Demonstrat ie. Fiep1,p2,…,p l(n)toate numerele prime mai mici decˆ at n¸ si s˘ a
deﬁnimλ(n) =l(n)∏
i=1(1−1pi)−1. Deoarece (1 −1pi)−1=∞∑
ai=01
pai
i, atunciλ(n) =∑(pa1
1…pai
i)−1
(unde sumarea se face dupa toate l-upurile de numere naturale ( a1,…,a l)). In particular
1 +1
2+…+1n<λ(n) ¸ si astfelλ(n)→ ∞ pentrun→ ∞ . Avem:
lgλ(n) =−l∑
i=1lg(1−1pi) =l∑
i=1∞∑
m=1(mpm
i)−1=p−1
1+…+p−1
l+l∑
i=1∞∑
m=2(mpm
i)−1.
Ins˘ a∞∑
m=2(mpm
i)−1<∞∑
m=2p−m
i=p−2
i(1−p−1
i)−1≤2p−2
iastfel c˘ a lg λ(n)<p−1
1+
…+p−1
l+ 2(p−2
1+…+p−2
l).
Este ˆ ıns˘ a cunoscut faptul c˘ a∑
n≥11
n2=π2
6. Atunci∑
i≥1p−2
ieste convergent˘ a, astfel
c˘ a dac˘ a presupunem c˘ a∑
n≥11pneste convergent˘ a, atunci trebuie s˘ a existe o constant˘ a M
astfel ˆ ıncˆ at lg λ(n)< M⇔λ(n)< eM, ceea ce este imposibil (deoarece am stabilit c˘ a
λ(n)→ ∞ pentrun→ ∞ ), de unde deducem c˘ a∑
n≥11pneste divergent˘ a.
50

2.5 Teorema lui Scherk
Rezultatul pe care ˆ ıl prezent˘ am ˆ ın continuare este datorat lui H. F. Scherk ¸ si prezint˘ a
un fel de recurent ¸˘ a ,,slab˘ a” pentru ¸ sirul ( pk)k≥1al numerelor prime.
Mai precis, vom demonstra:
Teorema 2.5.1. (H. F. Scherk) Pentru orice num ar natural n≥1exist a o alegere
convenabil a a semnelor + sau – astfel ^ nc^ at :
(1)p2n= 1±p1±p2±…±p2n−2+p2n−1¸ si
(2)p2n+1= 1±p1±p2±…±p2n−1+ 2p2n.
Observat ie.
Formulele (1) ¸ si (2) au fost enunt ¸ate de Scherk ˆ ın anul 1830 iar S. S. Pillai a fost
primul care a prezentat o demonstrat ¸ie a lor ˆ ın anul 1928.
In cele ce urmeaz˘ a vom prezenta o solut ¸ie dat˘ a de W. Sierpinski ˆ ın anul 1952.
Vom spune c˘ a un ¸ sir ( qn)n≥1de numere naturale impare are proprietate ( P) dac˘ a el
este strict cresc˘ ator, q1= 2,q2= 3,q3= 5,q4= 7,q5= 11,q6= 13,q7= 17 ¸ siqn+1<2qn,
pentru orice n∈N∗.
T ¸ inˆ and cont de relat ¸iile de la Teorema lui Cebˆ ı¸ sev deducem imediat c˘ a ¸ sirul ( pn)n≥1
al numerelor prime este un exemplu de ¸ sir cu proprietatea ( P).
Astfel, pentru probarea formulelor (1) ¸ si (2) ale lui Scherk, este suﬁcient s˘ a le
prob˘ am pe acestea pentru un ¸ sir ( qn)n≥1ce are proprietatea ( P).
Lema 2.5.2. Dac a (qn)n≥1este un sir cu proprietatea (P), atunci pentru orice
num ar natural impar m≤q2n+1(n≥3), exist a o alegere convenabila a semnelor ,,+"
sau ,,-" astfel ^ nc^ at m=±q1±q2±…±q2n−1+q2n.
Demonstrat ie. Vom demonstra aceast˘ a lem˘ a f˘ acˆ and induct ¸ie matematic˘ a dup˘ a n≥
3. Dac˘ an= 3, atunci q7= 17 iar numerele impare m≤17 sunt 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,
17. Deoarece prin calcul direct se veriﬁc˘ a egalit˘ at ¸ile:
1 = −q1+q2+q3−q4−q5+q6
3 =q1−q2−q3+q4−q5+q6
5 =q1+q2+q3−q4−q5+q6
7 = −q1−q2−q3−q4+q5+q6
9 =q1+q2−q3+q4−q5+q6
11 =q1−q2−q3−q4+q5+q6
13 =q1−q2+q3+q4−q5+q6
15 = −q1+q2+q3+q4−q5+q6
17 =q1+q2−q3−q4+q5+q6
deducem c˘ a lema este adevarat˘ a pentru n= 3.
51

S˘ a observ˘ am c˘ a pentru n= 2 lema este fals˘ a c˘ aci atunci q2= 11 iar 5 de exemplu
nu se poate scrie sub forma ±2±3±5 + 7 pentru nici o alegere a lui ,,+” sau ,,-”.
S˘ a presupunem acum c˘ a lema este adevarat˘ a pentru n≥3, ¸ si ﬁe 2k−1 un num˘ ar
impar astfel ˆ ıncˆ at 2 k−1≤q2n+3.
Cum ¸ sirul ( qn)n≥1are proprietatea ( P) deducem c˘ a q2n+3<2q2n+2¸ si prin urmare
deducem c˘ a −q2n+2<2k−1−q2n+2< q 2n+2astfel c˘ a pentru o alegere convenabil˘ a a
semnelor ,,+” sau ,,-” avem 0 ≤ ±(2k−1−q2n+2)<q 2n+2.
Cum dinq2n+2<2q2n+1deducem c˘ a −q2n+1≤ ±(2k−1−q2n+2)−q2n+1<q 2n+1
¸ si astfel pentru o nou˘ a alegere convenabil˘ a a semnelor ,,+” sau ,,-” avem 0 ≤ ±[±(2k−
1−q2n+2)−q2n+1]< q 2n+1. Cumq2n+2¸ siq2n+1sunt numere impare, deducem c˘ a ¸ si
num˘ arulm=±[±(2k−1−q2n+2)−q2n+1] este impar ¸ si cum m≤q2n+1, conform
ipotezei de indut ¸ie g˘ asim o alegere convenabil˘ a a semnelor ,,+” sau ,,-” astfel ˆ ıncˆ at
m=±[±(2k−1−q2n+2)−q2n+1] =±q1±q2±…±q2n−1±q2n, de unde deducem c˘ a la o
alegere convenabil˘ a a semnelor ,,+” sau ,,-” avem 2 k−1 =±q1±q2±…±q2n+1±q2n+2
¸ si astfel Lema 2.5.2. este demonstrat˘ a.
Corolar 2.5.3. Pentru o alegere convenabil a a semnelor ,,+" sau ,,-" avem egali-
tateaq2n−1=±q1±q2±…±q2n−1+q2n.
Demonstrat ie. Pentrun= 1 ¸ sin= 2 se veriﬁc˘ a imediat relat ¸iile q3=q1+q2¸ si
q5=q1−q2+q3+q4.
S˘ a demonstr˘ am acum formulele (1) ¸ si (2) din Teorema lui Scherk.
Intr-adev˘ ar, pentru n≥3, num˘ arul q2n+1−q2n−1 este impar ¸ si < q 2n+1¸ si deci
conform lemei anterioare, la o alegere convenabil˘ a a semnelor ,,+” sau ,,-” avem egalitatea
q2n+1−q2n−1 =±q1±q2±…±q2n−1+q2n, de undeq2n+1= 1±q1±q2±…±q2n−1+2q2n
¸ si astfel formula (2) rezult˘ a imediat considerˆ and pentru n≥1,qn=pn.
Pentrun= 1 saun= 2, prin calcul direct se veriﬁc˘ a egalit˘ at ¸ile q3= 1−q1+ 2q2¸ si
q5= 1−q1+q2−q3+ 2q4, astfel c˘ a formulele (2) sunt valabile pentru orice n∈N∗.
Pentru a proba formulele (1) s˘ a observ˘ am c˘ a q2n+2<2q2n+1¸ siq2n+2−q2n+1−1 este
impar ¸ si<q 2n+1, deci conform lemei putem alege convenabil semnele ,,+” sau ,,-” astfel
ˆ ıncˆ atq2n+2−q2n+1−1 =±q1±q2±…±q2n−1+q2n, de undeq2n+2= 1±q1±q2±…±q2n−1+
q2n+q2n+1deci (luˆ and ˆ ın loc de n+1 pen)q2n= 1±q1±q2±…±q2n−3+q2n−2+q2n−1
¸ si astfel ¸ si (1) sunt veriﬁcate pentru n≥3.
Pentrun= 0,1 sau 2, cum q2= 1 +q1,q4= 1−q1+q2+q3iarq6= 1 +q1−q2−
q3+q4+q5deducem c˘ a formulele (1) sunt valabile pentru orice n∈N∗(luˆ and din nou
qn=pn).
2.6 Exist a funct ii care denesc numerele prime?
In continuare dorim s˘ a clariﬁc˘ am existent ¸a unor funct ¸ii (calculabile) f:N∗→N∗care
s˘ a satisfac˘ a una din urm˘ atoarele condit ¸ii:
a)f(n) =pn, pentru orice n= 1 (unde reamintim c˘ a pneste aln-ulea num˘ ar prim);
52

b) Pentru orice n∈N∗,f(n) este num˘ ar prim iar feste functie injectiv˘ a.
1. Funct ii satisf ac^ and condit ia a)
Hardy ¸ si Wright ¸ si-au pus urm˘ atoarele probleme:
1) Exist˘ a o formul˘ a care s˘ a ne dea al n-ulea num˘ ar prim pn?
2) Exist˘ a o formul˘ a care s˘ a ne dea expresia ﬁec˘ arui num˘ ar prim ˆ ın funct ¸ie de nu-
merele prime precedente?
In cele ce urmeaz˘ a vom prezenta o formul˘ a pentru calculul lui pn.
Reamintim c˘ a pentru orice num˘ ar real strict pozitiv xprinπ(x) am notat num˘ arul
numerelor prime pastfel ˆ ıncˆ at p≤x.
La ˆ ınceput vom prezenta o formul˘ a pentru π(m) dat˘ a de Willans ˆ ın anul 1964.
Pentru aceasta, pentru ﬁecare num˘ ar natural j≥1 ﬁe
F(j) = [cos2π(j−1)! + 1
j].
Astfel, pentru orice num˘ ar natural j >1,F(j) = 1 pentru jprim iarF(j) = 0 ˆ ın caz
contrar (evident F(1) = 1). Deducem c˘ a π(m) =−1+m∑
j=1F(j).
Willans a dat formula π(m) =m∑
j=1H(j),m= 2,3,…unde
H(j) =sin2((j−1)!)2
j
sin2π
j.
Min´ aˇ c a dat o alt˘ a expresie pentru π(m) ˆ ın care nu mai intervine sinusul sau cosi-
nusul ¸ si anume
π(m) =m∑
j=2[(j−1)! + 1
j−[(j−1)!
j]].
Iat˘ a o demonstrat ¸ie simpl˘ a pentru formula lui Min´ aˇ c. Incepem cu observat ¸ia c˘ a
pentrun̸= 4, care nu este prim, ndivide (n−1)!. Intr-adev˘ ar, ﬁe neste de forma n=ab
cu 2≤a,b≤n−1 ¸ sia̸=b; ﬁen=p2̸= 4. In primul caz, ndivide (n−1)! ˆ ın timp ce ˆ ın
al doilea caz 2 <p≤n−1 =p2−1, ¸ si atunci 2 p≤p2−1 ¸ sindivide 2p2=p·2pcare la
rˆ andul s˘ au divide pe ( n−1)!.
Conform Teoremei lui Wilson, pentru ﬁecare num˘ ar prim jputem scrie ( j−1)!+1 =
kj,(k∈N∗), deci
[(j−1)! + 1
j−[(j−1)!
j]] = [k−[k−1
j]] = 1.
Dac˘ ajnu este num˘ ar prim, atunci dup˘ a remarca precedent˘ a ( j−1)! =kj(k∈N∗)
¸ si astfel [(j−1)! + 1
j−[(j−1)!
j]] = [k+1
j−k] = 0.
In ﬁne, dac˘ a j= 4, atunci [3! + 1
4−[3!
4]] = 0 ¸ si astfel formula lui Min´ aˇ c este
demonstrat˘ a.
53

Utilizˆ and cele de mai sus se obt ¸ine formula lui Willans pentru pn:
pn= 1+n∑
m=1[[n
m∑
j=1F(j)]1
n] saupn= 1+n∑
m=1[[n
1 +π(m)]1
n].
O alt˘ a formul˘ a pentru cel mai mic num˘ ar prim superior unui num˘ ar natural dat
m≥2, a fost dat˘ a de Ernvall ˆ ın 1975: Fie d= ((m!)m!−1,(2m)!),t=dd
(dd,d!)iara
unicul num˘ ar natural pentru care dadividetiarda+1nu dividet. Atunci cel mai mic
num˘ ar prim psuperior lui mestep=d
(t
da,d).
Dac˘ a vom lua m=pn−1obt ¸inem din nou o formul˘ a pentru pn.
Reamintim cum se deﬁneste functia lui M¨ obius : µ(1) = 1,µ(n) = (−1)rdac˘ an
este un produs de rnumere prime distincte iar µ(n) = 0 dac˘ anare ca factor un p˘ atrat.
Cu ajutorul acestei funct ¸ii,ˆ ın 1971 Ghandi a ar˘ atat c˘ a dac˘ a not˘ am Pn−1=p1p2…pn−1,
atunciPn= [1−1
log 2·log(−1
2+∑
d|Pn−1µ(d)
2d−1)] sau, analog, Pneste singurul num˘ ar nat-
ural pentru care 1 <2Pn(−1
2+∑
d|Pn−1µ(d)
2d−1)<2.
Iat˘ a o demonstrat ¸ie a formulei lui Ghandi prezentat˘ a ˆ ın 1972 de Vanden Eynden:
S˘ a not˘ amQ=Pn−1pn=p¸ siS=∑
d|Qµ(d)
2d−1. Atunci
(2Q−1)S=∑
d|Qµ(d)2Q−1
2d−1=∑
d|Qµ(d)(1 + 2d+ 22d+…+ 2Q−d).
Dac˘ a 0 ≤t<Q termenulr(d)·2tapare exact atunci cˆ and d|(t,Q). Deci coeﬁcientul
lui 2tˆ ın sum˘ a este∑
d|(t,Q)µ(d); ˆ ın particular, pentru t= 0, coeﬁcientul este egal cu∑
d|Qµ(d)
.
Reamintim c˘ a∑
d|Qµ(d) ={1,dac˘ am= 1
0,dac˘ am> 1.
Dac˘ a scriem∑′
0<t<Qpentru suma extins˘ a la toate valorile lui tastfel ˆ ıncˆ at 0 <t<Q
¸ si (t,Q) = 1, atunci (2Q−1)S=∑′
0<t<Q2t; cel mai mare indice ˆ ın aceast˘ a sum˘ a este
t=Q−1. Rezult˘ a c˘ a 2(2Q−1)(−1
2+S) =−2(2Q−1) +∑′
0<t<Q2t+1= 1 +∑′
0<t<Q2t+1.
Dac˘ a 2 ≤j < p n=p, exist˘ a un num˘ ar prim qastfel ˆ ıncˆ at q < p n< p(deciq|Q)
¸ siq|Q−j. Fiecare indice tdin suma considerat˘ a mai ˆ ınainte satisface deci condit ¸ia
0<t≤Q−p.
Atunci2Q−p+1
2·2Q<−1
2+S=1 +∑′
0<t≤Q−p2t+1
2(2Q−1)<2Q−p+2
2·2Q. Inmult ¸ind cu 2pdeducem
c˘ a 1<2p(−1
2+S)<2.
54

2. Funct ii satisf ac^ and condit ia b)
Num˘ arulf(n) = [θ3n] este prim pentru orice n≥1, (aiciθ≈1,3064…-vezi – W.
H. Mills : Prime- representing function, Bull. Amer. Math. Soc.,53 , p 604 ).
De asemenea, g(n) = [22···!
] (cu un ¸ sir de nexponent ¸i) este un num˘ ar prim pentru
orice num˘ ar natural n≥1 (aiciω≈1,9287800…-vezi – E. M. Wright: A prime-
representing function, Amer. Math. Monthly, 58, 1951, pp.616-618 ).
Din p˘ acate, numerele θ¸ siωse cunosc doar cu aproximat ¸ie iar valorile lui f(n) ¸ si
g(n) cresc foarte repede, a¸ sa c˘ a cele doua funct ¸ii nu sunt prea utile ramˆ anˆ and doar ca
ni¸ ste curiozit˘ at ¸i (de ex, g(1) = 3,g(2) = 13,g(3) = 16381 ,g(4) are deja mai mult de 5000
de cifre !).
Tentat ¸ia de a g˘ asi o funct ¸ie polinomial˘ a cu coeﬁcient ¸i din Zastfel ˆ ıncˆ at valorile sale
s˘ a ﬁe numere prime este sortit˘ a e¸ secului deoarece dac˘ a f∈Z[X] este neconstant, atunci
exist˘ a o inﬁnitate de ˆ ıntregi ncu proprietatea c˘ a |f(n)|nu este num˘ ar prim.
Intr-adev˘ ar, deoarece feste neconstant problema este trivial˘ a dac˘ a toate valorile lui
fsunt numere compuse. S˘ a presupunem deci c˘ a exist˘ a n0≥0 un num˘ ar natural astfel
ˆ ıncˆ at|f(n0)|=peste num˘ ar prim. Cum fnu este constant deducem c˘ a lim
x→∞|f(x)|=
+∞, deci exist˘ a n1> n 0astfel ˆ ıncˆ at dac˘ a n≥n1⇒ |f(n)|> p. Astfel, pentru orice
ˆ ıntreghpentru care n0+ph≥n1avemf(n0+ph) =f(n0) +Mp =Mp. Dac˘ a
|f(n0+ph)|>p, atunci |f(n0+ph)|este num˘ ar compus.
Cum dac˘ af∈C[X1,…,X m](m≥2) are proprietatea c˘ a ia valori numere prime
pentru orice X1,…,X nnaturale, atunci cu necesitate feste constant, deducem c˘ a ¸ si
tentat ¸ia de a g˘ asi o funct ¸ie polinomial˘ a neconstant˘ a de mai multe nedeterminate care s˘ a
ia valori numere prime pentru oricare valori naturale ale nedeterminatelor este sortit˘ a
e¸ secului.
Dac˘ af(x) =x2+x+41 (faimosul polinom al lui Euler) atunci pentru k= 0,1,…,39,
f(k) este prim: 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313,
347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163,
1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601 (pentru k= 40⇒f(40) = 1681 = 412).
Dac˘ a vom considera f(x) =x2+x+q, (qprim) atunci sunt echivalente:
1)x2+x+qeste prim pentru x= 0,1,…,q−2;
2)q= 2,3,5,11,17, sau 41.
Frobenius (1912) ¸ si Hendy (1974) au demonstrat c˘ a:
i) singurele polinoame f(x) = 2×2+p(cupprim) astfel ˆ ıncˆ at f(k) este prim pentru
x= 0,1,…,p−1 sunt pentru p= 3,5,11,29.
ii) singurele polinoame de forma f(x) = 2×2+2x+p+ 1
2(cupprim,p≡1(mod 4))
astfel ˆ ıncˆ at f(x) este prim pentru x= 0,1,…,p−3
2sunt cele pentru p= 5,13,37.
55

2.7 Numere prime gemene
Dac˘ ap¸ sip+ 2 sunt simultan numere prime, vom spune despre ele c˘ a sunt gemene .
Exemple : (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), etc.
In 1949, Cl ement [Cl ement, P. A. : Congruences for sets of primes, Amer.
Math. Monthly, 56, 1949, 23-25] a prezentat urm˘ atorul rezultat legat de numerele
prime gemene: Pentru n≥2,n¸ sin+ 2 sunt simultan prime dac˘ a ¸ si numai dac˘ a 4[( n−
1)! + 1] +n≡0(modn(n+ 2)) (din p˘ acate din punct de vedere practic acest rezultat nu
are nici o utilitate).
Problema principal˘ a este de a decide dac˘ a exist˘ a sau nu o inﬁnitate de numere prime
gemene.
Dac˘ a not˘ am pentru x>1 prinπ2(x)=num˘ arul numerelor prime pastfel ˆ ıncˆ at p+ 2
este prim ¸ si p+ 2≤x, atunci Brun a demonstrat ˆ ın 1920 c˘ a exist˘ a un num˘ ar natural x0
(efectiv calculabil) astfel ˆ ıncˆ at pentru orice x≥x0s˘ a avemπ2(x)<100x
(lgx)2.
Intr-un alt articol celebru din 1919 ( La serie1
5+1
7+1
11+1
13+1
17+1
19+…, ou
les denominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou nie,
Bull. Sc. Math., vol.43, pp. 100-104 ¸ si124-128 ) tot Brun a demonstrat c˘ a seria
B=∑(1p+1
p+ 2) (unde suma este extins˘ a dup˘ a perechile de numere gemene ( p,p+ 2))
este convergent˘ a sau mult ¸imea acestor numere gemene este ﬁnit˘ a. Num˘ arul Bpoart˘ a
numele de constanta lui Brun iar Shanks ¸ si Wrench (ˆ ın 1974) iar Brent (ˆ ın 1976) au
ar˘ atat c˘ aB≈1,90216054….
Printre cele mai mari numere prime gemene cunoscute amintim 1706595 ·211235±1
¸ si 571305 ·27701±1 ([38]) ca ¸ si 665551035 ·280025±1 (David Underbakke).
De aici rezult˘ a c˘ a mult ¸imea numerelor prime gemene, dac˘ a este inﬁnit˘ a(lucru nepro-
bat pˆ an˘ a acum), atunci ele se apropie foarte mult unele de altele.
56

Capitolul 3
Funct ii aritmetice
3.1 Generalit at i. Operat ii cu funct ii aritmetice
Denit ia 3.1.1. Numim funct ie aritmetic a orice funct ¸ie f:N∗→C.
In cadrul acestui capitol vom prezenta mai multe exemple de astfel de funct ¸ii.
FieA={f:N∗−→C}mult ¸imea funct ¸iilor aritmetice.
Pentruf,g∈Adeﬁnimf+g,fg,f ∗g:N∗→Castfel:
(f+g)(n) =f(n) +g(n),
(fg)(n) =f(n)·g(n) ¸ si
(f∗g)(n) =∑
d|nf(d)g(n
d) pentru orice n∈N∗.
Observat ie. f∗gpoart˘ a numele de produsul Dirichlet de convolut ie al lui f ¸ si g.
Propozit ia 3.1.2. (A,+,∗)este inel comutativ unitar.
Demonstrat ie. Faptul c˘ a ( A,+) este grup abelian este imediat. S˘ a prob˘ am c˘ a ( A,∗)
este monoid comutativ. Intr-adev˘ ar, dac˘ a f,g,h ∈A, atunci:
(f∗(g∗h))(n) =∑
d|nf(d)∑
e|n
dg(e)h(n
de) =∑
D|n(∑
e|Df(De)g(e)h(n
D) = ((f∗g)∗h)(n)
(D=de), pentru orice n∈N∗, adic˘ a ,, ∗” este asociativ˘ a (am t ¸inut cont de faptul c˘ a
atunci cˆ and dparcurge divizorii lui n, acela¸ si lucru ˆ ıl face ¸ sin
d). Cu acela¸ si argument
rezult˘ a ¸ si comutativitatea produsului de convolut ¸ie.
Elementul neutru pentru ∗esteδ:N∗−→C,δ(n) ={
1,dac˘ an= 1
0,dac˘ an̸= 1., deoarece
se veriﬁc˘ a imediat c˘ a f∗δ=δ∗f=f, pentru orice f∈A.
Pentru a ˆ ıncheia, s˘ a mai prob˘ am c˘ a dac˘ a f,g,h ∈A, atuncif∗(g+h) = (f∗
g) + (f∗h). Intr-adev˘ ar, dac˘ a n∈N∗, atunci:f∗(g+h))(n) =∑
d|nf(d)g(n
d) +h(n
d) =
∑
d|nf(d)g(n
d) +∑
d|nf(d)h(n
d) = (f∗g)(n) + (f∗h)(n) = (f∗g+f∗h)(n).
57

Propozit ia 3.1.3. f∈U(A)⇔f(1)̸= 0.
Demonstrat ie . Dac˘ af∈U(A), atunci exist˘ a g=f−1∈Aastfel ˆ ıncˆ at f∗f−1=
f−1∗f=δ. Deci 1 =δ(1) =f(1)f−1(1), adic˘ af(1)̸= 0.
Reciproc, dac˘ a f(1)̸= 0, deﬁnim inductiv
g(n) =

1
f(1),dac˘ an= 1
−1
f(1)∑
d|n,d> 1f(d)g(n
d),dac˘ an>1.
Se veriﬁc˘ a imediat c˘ a g=f−1.
Iat˘ a cˆ ateva exemple de funct ¸ii aritmetice:
1.Funct iaφa lui Euler deﬁnit˘ a ˆ ın paragraful §4 de la Capitolul 1.
2. Pentruk∈Ndeﬁnimσk:N∗→Castfelσk(n) =∑
d|ndkiarξk(n) =nk.
In particular σ1se va nota cu σ(deciσ(n)=suma divizorilor lui n),σ0cuτ(deci
τ(n)=num arul divizorilor lui n) iarξ0=ξ(ξpoart˘ a numele de funct ia zeta ¸ si deci
ξ(n) = 1 pentru orice n∈N∗).
Dac˘ an=pα1
1…pαk
keste descompunerea canonic˘ a a lui nˆ ın produs de numere prime,
atunciσ(n) va ﬁ suma produselor de forma pβ1
1…pβk
kcuβi≤αi,1≤i≤k, adic˘ a
σ(n) = (1 + p1+…+pα1
1)(1 +p2+…+pα2
2)…(1 +pk+…+pαk
k)
=pα1+1
1
p1−1·pα2+1
2
p2−1·…·pαk+1
k
pk−1.
3. Funct ¸iaτ:N∗→N∗,τ(n) =num˘ arul divizorilor naturali ai lui n(n∈N∗). Se
veriﬁc˘ a imediat c˘ a dac˘ a n=pα1
1…pαk
katunciτ(n) = (1 +α1)…(1 +αk).
Observat ie. Conform Propozit ¸iei 3.1.3 funct ¸ia zeta ξare invers˘ a ˆ ın inelul A;ξ−1se
noteaz˘ a cu µ¸ si poart˘ a numele de funct ia lui M¨obius . Deoarece µ∗ξ=δ, deducem c˘ a
∑
d|nµ(d) ={
1,dac˘ an= 1
0,dac˘ an̸= 1.
In particular, dac˘ a peste un numar prim iar α≥2 atunciα∑
j=0µ(pj) = 0. Astfel
µ(1) = 1,µ(p) =−1, iarµ(pα) = 0, pentru orice α≥2.
Observat ie. Dac˘ af,g∈A¸ sif=g∗ξ, atuncig=f∗µ. Acest fapt este cunoscut
sub numele de formula clasic a de inversare a lui M¨obius .
Dac˘ a scriem explicit obt ¸inem:
Propozit ia 3.1.4. Dac af sigsunt funct ii aritmetice atunci f(n) =∑
d|ng(d)pentru
oricen∈N∗⇔g(n) =∑
d|nf(d)µ(n
d)pentru orice n∈N∗.
Ca un exemplu avem c˘ a: σk(n) =∑
d|ndkpentru orice n∈N∗astfel c˘ ank=
∑
d|nσk(d)µ(n
d) pentru orice n∈N∗.
Lema 3.1.5. Pentrun∈N∗ sid|n, eSd={xn
d: 1≤x≤d,x∈N∗,(x,d) = 1}.
Atunci pentru d|n,e|n,d̸=e,Sd∩Se=∅iar∪
d|nSd={1,2,…,n}.
58

Demonstrat ie. Presupunˆ and c˘ a Sd∩Se=∅, exist˘ ax,y∈N∗astfel ˆ ıncˆ at 1 ≤x≤
d,1≤y≤e,(x,d) = (y,e) = 1 ¸ sixn
d=yn
e⇔xe=yd.
Cum (x,d) = 1,x|y¸ si analogy|x, decix=y, adic˘ ad=e- absurd!.
Cum pentru d|n,1≤m≤n¸ si (m,n) =n
d, dac˘ am=xn
d, atunci (x,d) = 1 ¸ si
1≤x≤dmn≤d, deducem c˘ a m∈Sdadic˘ a {1,2,…,n} ⊆∪
d|nSd¸ si cum incluziunea
invers˘ a este imediat˘ a deducem egalitatea cerut˘ a.
Corolar 3.1.6. CumSdareφ(d)elemente, deducem c a n=∑
d|nφ(d), pentru orice
n∈N∗.
Conform Propozitiei 3.1.4 deducem c˘ a φ(n) =∑
d|ndµ(n
d) pentru orice n∈N∗. In
particular, dac˘ a peste prim ¸ si α≥1 natural,
φ(pα) =α∑
j=0pjµ(pα−j) =pα−pα−1=pα(1−1
p).
3.2 Funct ii multiplicative
Denit ia 3.2.1. O funct ¸ie aritmetic˘ a fse zice funct ie multiplicativ a dac˘ af̸= 0 ¸ si
f(mn) =f(m)f(n), pentru orice m,n∈N∗cu (m,n) = 1.
Observat ie. Dac˘ afeste multiplic˘ ativ˘ a atunci din f̸= 0 exist˘ a un n∈N∗astfel
ˆ ıncˆ atf(n)̸= 0 ¸ si cum f(n) =f(1·n) =f(1)·f(n) deducem c˘ a f(1) = 1, adic˘ a ˆ ın inelul
A,feste inversabil˘ a. Dac˘ a n∈Niarn=pα1
1…pαk
keste descompunerea ˆ ın factori primi
a luin, atuncif(n) =f(pα1
1)…f(pαk
k) =k∏
i=1f(pαi
i), astfel c˘ a o funct ¸ie multiplicativ˘ a este
complet determinat˘ a de valorile ei pe mult ¸imile de forma pαcupprim ¸ siα∈N. S˘ a
not˘ am cu Mfamilia funct ¸iilor aritmetice multiplicative.
Propozit ia 3.2.2. Dac af∈M, atunci sif−1∈M.
Demonstrat ie. Fiem,n∈Ncu (m,n) = 1. Dac˘ a m=n= 1 atunci f−1(mn) =
f−1(m)f−1(n).
Presupunem acum c˘ a mn̸= 1 ¸ si c˘ af−1(m1n1) =f−1(m1)f−1(n1) pentru orice
pereche (m1,n1) de numere naturale cu m1n1<mn ¸ si (m1,n1) = 1.
Cum dac˘ am= 1 saun= 1 din nou f−1(mn) =f−1(n)f−1(m), r˘ amˆ ane s˘ a analiz˘ am
cazulm̸= 1 ¸ sin̸= 1.
Conform Propozit ¸iei 3.1.3 avem f−1(mn) =−∑
d|mn,
d>1f(d)f−1(mn
d).
Deoarece (m,n) = 1, orice divizor dal luimnse scrie unic sub forma d=d1d2,
unded1|m¸ sid2|n. Atunci (d1,d2) = 1 ¸ si (m
d1,n
d2) = 1.
59

Astfel c˘ a:
f−1(mn) =−∑
d1|m,d 2|n,
d1d2>1f(d1d2)f−1(mn
d1d2) = ( deoarecem
d1·n
d2<mn ) =
−∑
d1|m,d 2|n,
d1d2>1f(d1)f(d2)·f−1(m
d1)f−1(n
d2) =−f−1(m)∑
d2|n,
d2>1f(d2)f−1(n
d2)
−f−1(n)∑
d1|m,
d1>1f(d1)f−1(m
d1)−(∑
d1|m,
d1>1f(d1)f−1(m
d1))·(−∑
d2|n,
d2>1f(d2)f−1(n
d2)
=f−1(m)f−1(n) +f−1(m)f−1(n)−f−1(m)f−1(n) =f−1(m)f−1(n) ¸ si totul
este clar.
Observat ie. Cum funct ¸ia zeta ξeste multiplicativ˘ a, inversa sa, care este funct ¸ia lui
M¨obius ,µeste multiplicativ˘ a. Astfel:
µ(n) =

1,dac˘ an= 1,
(−1)t,dac˘ aneste produs de tprimi distinct ¸i ,
0,ˆ ın rest.
Avem ˆ ın felul acesta o alt˘ a deﬁnire a funct ¸iei lui M¨obius .
Propozit ia 3.2.3. Dac af,g∈M, atuncif∗g∈M.
Demonstrat ie. (f∗g)(1) =f(1)g(1) = 1 iar dac˘ a ( m,n) = 1, atunci:
(f∗g)(mn) =∑
d|mnf(d)g(mn
d) =∑
d1|m,
d2|nf(d1)f(d2)g(m
d1)g(n
d2)
= (∑
d1|mf(d1)g(m
d2))·(∑
d2|nf(d2)g(n
d2)) = [(f∗g)(m)][(f∗g)(n)].
Observat ii .
1. Deoarece ξkeste multiplicativ˘ a ¸ si σk=ξk∗ξdeducem c˘ a ¸ si σkeste multiplicativ˘ a.
Astfel, dac˘ a k≥1,peste num˘ ar prim iar α≥1 atunciσk(pα) =α∑
j=0pjk=p(α+1)k−1
pk−1
iar dac˘ an=pα1
1…pαt
tatunciσk(n) =t∏
i=1p(αi+1)k
i −1
pk
i−1.
In particular, σ(n) =t∏
i=1pαi+1
i−1
pk
i−1.
Deoareceτ(pα) =α+ 1,τ(n) =t∏
i=1(αi+ 1).
2. Cum funct ¸ia lui Euler φeste multiplicativ˘ a ¸ si φ=ξ1∗µatunci pentru orice
60

n∈N∗:φ(n) =n∏
p|n,
pprim(1−1p).
3. Funct ¸ia φa lui Euler este o funct ¸ie calculabil˘ a (adic˘ a pentru orice n,φ(n) este
cardinalul unei mult ¸imi ¸ si anume a mult ¸imii {x: 1≤x≤n¸ si (x,n) = 1}).
Funct ¸iile calculabile pot ﬁ cˆ ate o dat˘ a evaluate t ¸inˆ and cont de principiul includerii
¸ si excluderii.
3.3 Funct ia Jordan Jk
Funct ¸ia Jordan Jkreprezint˘ a o generalizare a funct ¸iei φa lui Euler ¸ si se deﬁne¸ ste astfel:
Denit ia 3.3.1. Pentrun∈N∗,Jk(n)=numarul k-uplurilor ordonate de numere
naturale (x1,…,x k) astfel ˆ ıncˆ at 1 ≤xi≤n,1≤i≤k¸ si (x1,x2,…,x k,n) = 1.
Observat ie. EvidentJ1=φ. Fien=pα1
1…pαt
tdescompunerea ˆ ın factori primi a
luin,S=mult ¸imea k-uplurilor ( x1,…,x k) astfel ˆ ıncˆ at 1 ≤xi≤n,1≤i≤k, iarAi
=multimea acelor k-upluri din Spentru care pi|(x1,…,x k),1≤i≤t, atunci:Jk(n) =
|S−(A1∪…∪At)|iar|Ai1∩…∩Aij|=npi1…pij.
Astfel:
Jk(n) =nk+t∑
j=1(−1)j∑
1≤i1<…<i j≤t(npi1…pij)k=∑
d|n(n
d)kµ(d) =∑
d|ndkµ(n
d).
Deducem astfel c˘ a Jk=ξk∗µ¸ si astfel rezult˘ a c˘ a Jkeste funct ¸ie multiplicativ˘ a.
Dac˘ apeste prim ¸ si α≥1, atunciJk(pα) =pαk−p(α−1)k=pαk(1−1
pk), astfel c˘ a
Jk(n) =nk∏
p|n(1−1
pk).
3.4 Funct ia von Sterneck Hk
Iat˘ a acum o alt˘ a generalizare a funct ¸iei lui Euler (numit˘ a funct ¸ia von Sterneck ).
Denit ia 3.4.1. Pentrun,k∈N∗deﬁnimHk(n) =∑
[e1,…,e k]=nφ(e1)…φ(ek), suma
f˘ acˆ andu-se dup˘ a toate k-uplurile (e1,…,e k) de numere naturale astfel ˆ ıncˆ at 1 ≤ei≤
n,1≤i≤k¸ si [e1,…,e k] =n.
Observat ie. In mod evident φ=H1iarHk(1) = 1.
Presupunem acum c˘ a ( m,n) = 1 ¸ si c˘ a [ e1,…,e k] =mn. Pentrui= 1,…,k,e ipoate
ﬁ descompus ˆ ın mod unic sub forma ei=cidi, undeci|m¸ sidi|n, iar [c1,…,c k] =m¸ si
[d1,…,d k] =n. Astfel:
Hk(mn) =∑
[e1,…,e k]=mnφ(e1)…φ(ek) =∑
[c1,…,c k] =m,
[d1,…,d k] =n(φ(c1)…φ(ck))(φ(d1)…φ(dk))
=∑
[c1,…,c k]=mφ(c1)…φ(ck)∑
[d1,…,d k]=nφ(d1)…φ(dk) =Hk(m)Hk(n),
61

adic˘ aHkeste funct ¸ie multiplicativ˘ a.
Propozit ia 3.4.2. Pentru orice k≥1,Hk=Jk.
Demonstrat ie . Facem induct ¸ie matematic˘ a dup˘ a k.
Am v˘ azut mai ˆ ınainte c˘ a H1=φ=J1. Fiek>1 ¸ si presupunem c˘ a Hk−1=Jk−1.
CumHk¸ siJksunt funct ¸ii multiplicative, a demonstra c˘ a Hk=Jkeste suﬁcient s˘ a
demonstr˘ am c˘ a Hk(pα) =Jk(pα) undepeste prim, iar α≥1. Conform ipotezei de
induct ¸ie avem c˘ a Hk−1(pα) =Jk−1(pα) iar
Hk(pα) =∑
max (β1,…,β i)=αφ(pβ1)…φ(pβi) =∑
max (β1,…,β i)=αφ(pβ1)…φ(pβi−1)φ(pβi) +
∑
max (β1,…,β i)≤αφ(pβ1)…φ(pβi−1)φ(pα) =Hk−1(pα)∑
d|pφ(d) + (∑
d|pφ(d))k−1φ(pα) =
pα−1Hk−1(pα) +pα(k−1)φ(pα) =pα−1Jk−1(pα) +pα(k−1)φ(pα) =pα−1pα(k−1)(1−
1
pk−1) +pα(k−1)pα(1−1
p) =pαk[1
p(1−1
pk−1) + (1 −1
p)] =pαk(1−1
pk) =Jk(pα).
3.5 Funct ii complet multiplicative
Denit ia 3.5.1. O funct ¸ief∈Ase zice complet multiplicativ a dac˘ a exist˘ a n∈N∗
astfel ˆ ıncˆ at f(n)̸= 0 iarf(mn) =f(m)f(n), pentru orice m,n∈N(dac˘ a not˘ am prin
Mcclasa acestor funct ¸ii, atunci ˆ ın mod evident Mc⊆M⊆A).
Avem, de exemplu, µ(2) = −1,µ(6) = 1,µ(2·6) =µ(22·3) = 0, deci µ(2·6)̸=
µ(2)·µ(6), adic˘ aµnu este complet multiplicativ˘ a.
Propozit ia 3.5.2. Dac af∈M, atuncif∈Mc⇔f−1=µf.
Demonstrat ie . Dac˘ af∈Mc, atunci pentru orice n∈N:
(µ∗f)(n) =∑
d|nµ(d)f(d)f(n
d) =f(n)∑
d|nµ(d) ={
f(1),dac˘ an= 1
0,dac˘ an̸= 1,
adic˘ aµ∗f=δ⇔f−1=µf.
Invers, s˘ a presupunem c˘ a f−1=µf. Pentru a proba c˘ a f∈Mceste suﬁcient s˘ a
prob˘ am c˘ a dac˘ a peste prim ¸ si a≥1, atuncif(pα) = (f(p))α. Acest lucru ˆ ıl vom face
prin induct ¸ie matematic˘ a dup˘ a α; evident, pentru α= 1 totul este clar.
S˘ a presupunem c˘ a α≥2 ¸ si c˘ af(pα−1) = (f(p))α−1. Deoarece pentru oricare β≥
2,f−1(pβ) =µ(pβ)f(pβ) = 0, deducem c˘ a 0 = ( f−1∗f)(pα) =f(pα) +f−1(p)f(pα−1) =
f(pα) +f−1(p)(f(p))α−1. Deoarece f−1(p) =−f(p)⇒f(pα) = (f(p))α.
Corolar 3.5.3. Dac af∈M, atuncif∈Mc⇔f−1(pα) = 0 , pentru orice p prim
siα≥2.
Propozit ia 3.5.4. Fief∈M. Atuncif∈Mc⇔f(g∗h) = (fg)∗(fh), pentru
oriceg,h∈A.
Demonstrat ie. Dac˘ af∈Mc, atunci pentru orice g,h∈Aavem(f(g∗h))(n) =
f(n)∑
d|ng(d)h(n
d) =∑
d|nf(d)g(d)f(n
d)h(n
d) = (fg∗fh)(n).
62

Invers, s˘ a presupunem c˘ a f(g∗h) = (fg)∗(fh), pentru orice g,h∈A. In particular,
pentrug=ξ¸ sih=µavemδ=fδ=f(ξ∗µ) =fξ∗fµ=f∗fµ, adic˘ af−1=µf, adic˘ a
f∈Mc(conform Propozit ¸iei 3.5.2).
Propozit ia 3.5.5. Dac af∈M, atunci exist a g,h∈Mcastfel ^ nc^ at f=g∗h⇔
f−1(pα) = 0 , pentru orice p prim si orice α≥3.
Demonstrat ie. S˘ a presupunem c˘ a f=g∗hcug,h∈Mc¸ si ﬁepprim iar
α≥3. Atuncif−1(pα) = (g−1∗h−1)(pα) =α∏
j=0g−1(pj)h−1(pα−j) =g−1(1)h−1(pα) +
g−1(p)h−1(pα−1) = 0 (c˘ aci g,h∈Mc¸ siα≥3).
Invers, ﬁef∈Mastfel ˆ ıncˆ at f−1(pα) = 0 pentru orice pprim ¸ siα≥3. Alegem
g∈Mcastfel ˆ ıncˆ at pentru orice pprim,g(p) este o r˘ ad˘ acin˘ a a ecuat ¸iei: X2+f−1(p)X+
f−1(p2) = 0. Dac˘ a alegem h=g−1∗f, atuncih∈M¸ si pentru orice pprim ¸ siα≥2,
avem:h−1(pα) = (g∗f−1)(pα) =g(pα−1)f−1(p) +g(pα−2)f−1(p2) =g(pα−2)[(g(p))2+
f−1(p)g(p) + +f−1(p2)] = 0.
Conform Propozit ¸iei 3.5.4, h∈Mc¸ si astfelf=g∗h.
Teorema 3.5.6. Pentruf∈M, urm atoarele condit ii sunt echivalente :
(1)Exist ag,h∈Mcastfel ^ nc^ at f=g∗h;
(2)Exist aF∈Mastfel ^ nc^ at pentru orice m,n:f(mn) =∑
d|(m,n)f(m
d)f(n
d)F(d);
(3)Exist aB∈Mcastfel ^ nc^ at pentru orice m,n:f(m)f(n) =∑
d|(m,n)f(mn
d2)B(d);
(4)Pentru orice p prim si α≥1:f(pα+1) =f(p)f(pα) +f(pα−1)[f(p2)−(f(p))2].
Demonstrat ie. Vom demonstra c˘ a (1) ⇒(4),(4)⇒(1),(2)⇒(4),(4)⇒(2), adic˘ a
(1)⇔(2)⇔(4), iar apoi (2) ⇒(3) ¸ si (3) ⇒(4).
(1)⇒(4). Presupunem c˘ a f=g∗hcug,h∈Mc.
Dac˘ ag(p) =M¸ sih(p) =N, atuncif(p) =M+N¸ sif(p2) =M2+MN +N2.
Dac˘ aα≥1 atunci partea dreapt˘ a a egalit˘ at ¸ii din (4) este egal˘ a cu:
(M+N)α∑
i=0MiNα−1−MNα−1∑
i=0MiNα+1−i=α∑
i=0Mi+1Nα−i+α∑
i=0MiNα+1−i−
α−1∑
i=0Mi+1Nα−1=Mα+1+α∑
i=0MiNα+1−i=α+1∑
i=0MiNα+1−i=f(pα+1).
(4)⇒(1). Pentru ﬁecare pprim, ﬁeM¸ siNsolut ¸iile ecuat ¸iei: X2−f(p)X+
(f(p))2−f(p2) = 0 (evident M¸ siNsunt funct ¸ii de p).
Fieg,h∈Mcastfel ˆ ıncˆ at pentru orice pprimg(p) =M¸ sih(p) =N. Atunci
f(p) =M+N= (g∗h)(p) iar pentru α≥2:
(g∗h)(pα) =α∑
i=0MiNα−1= (M+N)α−1∑
i=0MiNα−1−i−MNα−2∑
i=0MiNα−2−i=
f(p)f(pα−1) +f(pα−2)[f(p2)−(f(p))2] =f(pα).
Cumf∈Mdeducem c˘ a f=g∗h.
(2)⇒(4). Fiepun num˘ ar prim ¸ si α≥1. Punem ˆ ın ecuat ¸ia din (2) m=pα¸ si
n=p. Atuncif(pα+1) =f(p)f(pα) +f(pα−1)F(p). Dac˘ a particulariz˘ am α= 1 obt ¸inem
63

F(p) =f(p2)−f(p))2.
(4)⇒(2). Dac˘ a ( mn,m′n′) = 1 atunci (( m,n),(m′,n′)) = 1 ¸ si ( mm′,nn′) =
(m,n)(m′,n′).
Astfel, pentru a proba (2) este suﬁcient s˘ a ar˘ at˘ am c˘ a exist˘ a f∈Mastfel ˆ ıncˆ at
pentru orice pprim ¸ siα,β≥1,f(pα+β) =min (α,β)∑
i=0f(pα−i)f(pβ−i)F(pi)(de fapt este
cazul ˆ ın care F=µB′cuB′∈Mcastfel ˆ ıncˆ at B′(p) =f(p2)−(f(p))2pentru orice p
prim).
F˘ ar˘ a a reduce din generalitate, s˘ a presupunem c˘ a β≤α¸ si s˘ a facem induct ¸ie dup˘ a
β.
Dac˘ aβ= 1 totul este clar. Presupunem c˘ a β > 1 ¸ si c˘ a (2) este adev˘ arat˘ a pentru
β−1 ¸ si oriceα≥β−1.
CumF=µB′,F(p2) =F(p3) =…= 0 iarf(pα+β) =f(pα+1+β−1) =f(pα+1)
f(pβ−2)F(p) = [f(p)f(pα)−f(pα−1)B′(p)]f(pβ−1)−f(pα)f(pβ−2)B′(p) =f(pα)[f(p)
f(pβ−1)−f(pβ−2)B′(p)]−f(pα−1)f(pβ−1)B′(p) =f(pα)f(pβ) +f(pα−1)f(pβ−1)F(p).
(2)⇒(3). Pentru orice m,n avem:
∑
d|(m,n)f(mn
d2)B′(d) =∑
d|(m,n)∑
D|(m
d,n
d)f(m/d
D)f(n/d
D)µ(D)B′(D)B′(d) =
∑
d|(m,n)∑
e|(m,n),
d|ef(m
e)f(n
e)µ(e
d)B′(e) =∑
e|(m,n)f(m
e)f(n
e)B′(e)∑
d|eµ(e
d)
=f(m)f(n).
Astfel, funct ¸ia B′∈Mcserve¸ ste pe post de Bcerut ˆ ın (3).
(3)⇒(4). Dac˘ a peste prim ¸ si alegem m=n=p, atunci obt ¸inem B(p) =
(f(p))2−f(p2), adic˘ aB=B′. Fieα≥1. Dac˘ a alegem m=pα¸ sin=pobt ¸inem (4).
Observat ie. Funct ¸iaf∈Ace satisface una din condit ¸iile teoremei de mai sus
poart˘ a numele de funct ie multiplicat a special a . Dup˘ a cum am observat ˆ ınainte σkeste
o astfel de funct ¸ie. Pentru σkavem c˘ aB=ξk; ˆ ıntr-adev˘ ar, dac˘ a peste prim, atunci
B(p) = (σk(p))2−σk(p2) = (1 +pk)2−(1 +pk+p2k) =pk=ξk(p). Deci pentru orice
m,n avem:σk(mn) =∑
d|(m,n)σk(m
d)σk(n
d)µ(d)dk[S.Ramanujan pentru k= 0, ˆ ın 1916] ¸ si
σk(m)σk(n) =∑
d|(m,n)dkσk(mn
d2)[Busche-1906].
64

Capitolul 4
Resturi p atratice
4.1 Generalit at i. Simbolul lui Legendre
Fiem∈N,m> 1 un num˘ ar natural ﬁxat.
Denit ia 4.1.1. Un num˘ ara∈Zcu (m,a) = 1 se zice rest p atratic modulo m dac˘ a
ecuat ¸iax2≡a(modm) are solut ¸ie. In caz contrar ase zice non-rest p atratic modulo m .
In mod evident, dac˘ a a,b∈Z¸ sia≡b(modm), atunciaeste rest p˘ atratic modulo
m⇔beste rest p˘ atratic modulo m.
Datorit˘ a acestei observat ¸ii este mai comod s˘ a lucr˘ am ˆ ın Zpdecˆ at ˆ ın Z, distinct ¸ia
facˆ andu-se ˆ ın contextul ˆ ın care se lucreaz˘ a (not˘ am deseori elementele lui Zpprin 0,1,…,
p−1).
Observat ii.
1. Fiepun num˘ ar prim; dac˘ a p= 2 ¸ sia∈Zeste impar, a= 2k+1 cuk∈Z, atunci
ecuat ¸iax2≡a(mod 2) are solut ¸ie pentru x= 1 saux=a. Deci orice num˘ ar impar este
rest p˘ atratic modulo 2.
2. Dac˘ apeste impar (deci p≥3), atuncia∈Zeste rest p˘ atratic modulo p⇔
restul ˆ ımp˘ at ¸irii lui alapeste din Z∗2(sauZ∗2
p). Aici Z∗2={x2|x∈Z∗}¸ si analog Z∗2
p.
Intr-adev˘ ar, dac˘ a a∈Zeste rest p˘ atratic modulo p, atunci exist˘ a x∈Zastfel ˆ ıncˆ at
x2≡a(modp)⇔exist˘ ac∈Zastfel ˆ ıncˆ at a−x2=cp⇔a=cp+x2.
Reciproc, dac˘ a putem scrie a=cp+r2, cu 0≤r2<p, atunci ecuat ¸ia x2≡a(modp)
are solut ¸ie pe x=r.
In cele ce urmeaz˘ a prin pvom desemna un num˘ ar prim impar ( p≥3).
Cump−1
2∈N, funct ¸iaσ:Z∗
p→Z∗
p, este morﬁsm de grupuri multiplicative. Cum
σ(x)2=xp−1= 1 deducem c˘ a σ(x) =±1 (ˆ ın Z∗
p) (deciσ:Z∗
p→ {± 1}).
Mai mult
1.σ(x) =−1 pentru un anumit x∈Z∗
p(c˘ aci ˆ ın caz contrar polinomul Xp−1
2−1
ar avea mai multe r˘ ad˘ acini decˆ at gradul s˘ au).
65

2. Dac˘ ax=t2∈Z∗2
p, atunciσ(x) =xp−1
2= (t2)p−1
2=tp−1= 1 (reamintim c˘ a
am notat Z∗2
p={a2|a∈Z∗
p}).
Din cele de mai sus deducem c˘ a: Z∗2
p⊆kerσ ⊆Z∗
p¸ si cum [ Z∗
p: kerσ] =
|Z∗
p/kerσ|=|Imσ|= 2 deducem c˘ a 2 = [ Z∗
p:Z∗2
p] = [Z∗
p: kerσ][kerσ:Z∗2
p], de
unde [kerσ:Z∗2
p] = 1, adic˘ a ker σ=Z∗2
p.
Denit ia 4.1.2. Numim simbolul lui Legendre morﬁsmul de grupuri multiplicative
σ= (p) :Z∗
p→ {± 1}.
Deci (ap) =σ(a) =ap−1
2, pentru orice a∈Z∗
p(evidentp-a, c˘ acia∈Z∗
p).
Mai mult
(1) (ap) ={
1,dac˘ aaeste rest p˘ atratic modulo p
−1,dac˘ aanu este rest p˘ atratic modulo p
In particular
(2) (−1p) = (−1)p−1
2¸ si (abp) = (ap)(bp) pentru orice a,b∈Z∗
p.
Lema 4.1.3. (Gauss) Fie Z∗
p=X∪Y, undeX={b1,b2,…,\p−1
2}iarY={\p+ 1
2,…,
[p−1}(evidentX∩Y=∅). Pentruba∈Z∗
p, ebaX={ba·bx|x∈X}. Atunci (ap) = (−1)g,
undeg=|baX∩Y|.
Demonstrat ie. S˘ a observ˘ am la ˆ ınceput c˘ a funct ¸ia ma:Z∗
p→Z∗
p,ma(bx) =abx,
pentrux∈Z∗
p, permut˘ a doar elementele lui Z∗
p.
Astfel, dac˘ a not˘ am X′=baX∩X={cx1,…,cxk},Y′=baX∩Y={by1,…,byg}, atunci
X′∪Y′=baXiarX′∩Y′=∅, decig+k=p−1
2.
FieZ={cx1,…,cxk,\p−y1,…,\p−yg} ⊆X. S˘ a observ˘ am c˘ a elementele lui Z sunt
distincte dou˘ a cˆ ate dou˘ a (ca elemente ale lui Zp).
Intr-adev˘ ar, dac˘ a exist˘ a i,jastfel ˆ ıncˆ at xi=p−yj⇒xi+yj= 0 (ˆ ın Zp). Ins˘ a
xi=ar,y j=ascu 1≤r,s≤p−1
2, decia(r+s) = 0 ¸ si cum a̸= 0 deducem c˘ a
r+s= 0 ceea ce este imposibil deoarece 2 ≤r+s<p−1. Deducem atunci c˘ a Z=X
(c˘ aciZ⊆X¸ si|Z|=|X|), deci (ˆ ın Zp) avem : 1 ·2…p−1
2=x1…xk(p−y1)…(p−yg) =
(−1)gx1…xky1…yg= (−1)ga·2a·…·p−1
2a(c˘ aciX′∪Y′=baX!) = (−1)gap−1
2·1·2…p−1
2,
de unde ( −1)gap−1
2= 1, de unde
(−1)g=ap−1
2= (a
p).
Corolar 4.1.4. Pentru orice num ar prim p impar (deci p≥3) avem
(2
p) = (−1)p2−1
8.
Demonstrat ie. S˘ a observ˘ am la ˆ ınceput c˘ ap2−1
8∈N. Intr-adev˘ ar, dac˘ a p=
8m+r(r= 1,3,5,7), atunci:p2−1
8=(8m+r)2−1
8= 2n+r2−1
8(n∈N) ¸ si cum
r2−1
8∈Npentrur= 1,3,5,7 totul este clar.
66

Pentru 1 ≤x <p−1
2avem c˘ a 2x p−1
4, adic˘ ag=p−1
2−[p−1
4]. Considerˆ and p= 8m+r,(r= 1,3,5,7),
avemg= 4m+r−1
2−[2m+r−1
2] = 4m+r−1
2−2m−[r−1
4] = 2m+r−1
2−[r−1
4],
care ne duce la concluzia c˘ a geste par pentru r= 1,7 ¸ si impar pentru r= 3,5, adic˘ ag
¸ sip2−1
8au aceea¸ si paritate, de unde (2p) = (−1)g= (−1)p2−1
8.
4.2 Legea reciprocit at ii p atratice
In vederea demonstr˘ arii legii reciprocit˘ at ¸ii p˘ atratice, s˘ a stabilim la ˆ ınceput urmatoarea
lem˘ a:
Lema 4.2.1. Dac a p si q sunt dou a numere prime impare ( p,q≥3), distincte,
atunci
p−1
2∑
j=1[jq
p]+q−1
2∑
j=1[jp
q] =p−1
2·q−1
2.
Demonstrat ie. Notˆ ands(p,q) =p−1
2∑
j=1[jq
p], egalitatea din enunt ¸ devine : s(p,q) +
s(q,p) =(p−1)(q−1)
4.
Este u¸ sor de observat c˘ a pentru orice j= 1,2,…,p−1
2,[jq
p] este num˘ arul de numere
naturale din intervalul (0 ,jq
p).
Deci pentru ﬁecare jca mai sus, [jq
p] este num˘ arul acelor puncte laticiale din plan
situate pe dreapta x=j(delimitate strict superior de dreapta y=qx
p¸ si inferior de
y= 0).
Astfel,s(p,q) reprezint˘ a num˘ arul punctelor laticiale din interiorul dreptunghiului
OABC (deci nesituate pe conturul lui OABC !) situate sub dreapta de ecuat ¸ie y=q
px
(vezi Fig.1).
Analog,s(q,p) reprezint˘ a num˘ arul punctelor laticiale din interiorul dreptunghiului
OABC situate deasupra dreptei de ecuat ¸ie y=q
pxastfel c˘ as(p,q) +s(q,p)=num˘ a- rul
de puncte laticiale din interiorul dreptunghiului OABC =p−1
2·q−1
2¸ si astfel lema
este probat˘ a.
Teorema 4.2.2. (Legea reciprocit at ii p atratice) Dac a p si q sunt doua numere
prime impare distincte, atunci
(p
q)(q
p) = (−1)p−1
2·q−1
2.
.
Demonstrat ie. Revenim la notat ¸iile din Lema 4.1.3 a lui Gauss (numai c˘ a de data
aceasta elementele xi¸ siyivor ﬁ privite ca numere ˆ ıntregi, deci nu ca elemente din Zp).
67

Fieα=k∑
j=1xj,β=g∑
j=1yj.
Avem∑
x∈Xx= 1 + 2 +…+p−1
2=p2−1
8.
Analog ca ˆ ın demonstrat ¸ia lemei lui Gauss vom avea:
∑
z∈Zz=k∑
j=1xj+g∑
j=1(p−yj) =α−β+pg¸ si cumX=Zdeducem c˘ ap2−1
8=
α−β+pg.
Acum, pentru j= 1,2,…,p−1
2, ﬁetjrestul ˆ ımp˘ art ¸irii prin pa luijq. Evident
cˆ atul este [jq
p], decijq= [jq
p]·p+tj. F˘ acˆ andj= 1,2,…,p−1
2¸ si sumˆ and obt ¸inem:
q(p2−1)
8=p·s(p,q)+p−1
2∑
j=1tj=p·s(p,q)+k∑
j=1xj+g∑
j=1yj
sauq(p2−1)
8=p·s(p,q) +α+β.
Cump2−1
8=α−β+p·gdeducem c˘ a(q−1)(p2−1)
8=p[s(p,q)−g] + 2β.
Deoarecep¸ siqsunt primi impari ¸ sip2−1
8∈N, deducem c˘ a s(p,q)−g≡0(mod 2),
astfel c˘ a (q
p) = (−1)g= (−1)s(p,q).
Schimbˆ and rolul lui pcuqdeducem c˘ a (p
q) = (−1)s(q,p), de unde
(p
q)(q
p) = (−1)s(p,q)+s(q,p)= (−1)p−1
2·q−1
2.
Legea reciprocit˘ at ¸ii p˘ atratice a fost intuit˘ a de Euler, formulat˘ a de Legendre ¸ si
des˘ avˆ ar¸ sit˘ a de Gauss.
Aplicat ie. Fiep= 1009 ¸ sia= 45 = 32·5. Avem
(45
1009) = (32
1009)(5
1009) = (5
1009) = (1009
5)(−1)1009 −1
2·5−1
2= (1009
5) = (9
5) = 1,
deci 45 este rest p˘ atratic modulo 1009 (adic˘ a 45 este p˘ atrat ˆ ın Z∗
1009).
4.3 Alte cazuri particulare ale teoremei lui Dirichlet
Dup˘ a cum am v˘ azut, pentru orice num˘ ar prim p, (2p) = (−1)p2−1
8(conform Corolarului
4.1.4). De aici deducem c˘ a 2 este rest p˘ atratic modulo ppentrupde forma 8k±1 ¸ si
non-rest p˘ atratic pentru pde forma 8k±3 (cuk∈N∗).
Propozit ia 4.3.1. Exist a o innitate de numere prime de forma 8n-1, n∈N∗.
Demonstrat ie. Fien∈N,n≥2; atunci num˘ arul N= 2(n!)2−1>1 are cel put ¸in
un divizor prim pimpar care nu este de forma 8 k+1 (c˘ aciNeste de forma 8 k−1 iar dac˘ a
tot ¸i divizorii primi impari ai lui Nar ﬁ de forma 8 k+ 1, atunci ¸ si Nar trebui s˘ a ﬁe de
aceea¸ si form˘ a). Atunci p|N⇔2(n!)2≡12(modp), de unde deducem c˘ a (2(n!)2
p) = 1.
Ins˘ a (2(n!)2
p) = (2p)(n!p)2= (2p), deci (2p) = 1, adic˘ a ptrebuie s˘ a ﬁe de forma 8 k±1.
Cumpnu este de forma 8 k+ 1 ramˆ ane doar c˘ a pprim trebuie s˘ a ﬁe de forma 8 k−1.
68

Cump|Ndeducem c˘ a p>n . Am probat deci c˘ a pentru orice n∈N,n> 1, exist˘ a
un primp>n de forma 8k−1.
S˘ a presupunem acum c˘ a avem un num˘ ar ﬁnit de numere prime de forma 8 k−1 ¸ si
anumeq1,q2,…,q t.
Considerˆ and num˘ arul n= 8q1…qt−1, conform celor de mai ˆ ınainte exist˘ a un num˘ ar
prim de forma 8 k−1 (adic˘ a un qi) astfel ˆ ıncˆ at qi>n, ceea ce este absurd.
Propozit ia 4.3.2. Exist a o innitate de numere prime de forma 8n+ 3,n∈N∗.
Demonstrat ie. Fien>1 ¸ sia=p2p3…pn(undepneste aln-lea num˘ ar prim).
Cumaeste impar, a2va ﬁ de forma 8 t+1 iarN=a2+2 va ﬁ de forma 8 t+3. Dac˘ a
orice divizor prim al lui Neste de forma 8 t±1,Nˆ ınsu¸ si este de aceast˘ a form˘ a -absurd!.
DeciNare cel put ¸in un divizor prim impar pce nu este de forma 8 t+ 3 sau 8t+ 5.
Cump|N=a2+ 2 deducem c˘ a a2≡ −2(p) ¸ si deci (−2p) = 1.
Ins˘ a, (−2p) = (−1p)(2p) = (−1)p−1
2(−1)p2−1
8.
Dac˘ ap= 8t+ 5 atunci (−2p) =−1 absurd, de unde concluzia c˘ a peste de forma
8t+ 3. Ins˘ a din p|a2+ 2 deducem c˘ a p>p n¸ si astfel avem o inﬁnitate de numere prime
de forma 8t+ 3.
Propozit ia 4.3.3. Exist a o innitate de numere prime de forma 8n+5, cun∈N∗.
Demonstrat ie. Fien >1 natural ¸ si a=p2p3…pn. Cumaeste impar, N=a2+ 4
este de forma 8 t+ 5.
Dac˘ a toti divizorii lui N ar ﬁ de forma 8 t±1, atunci ¸ si Nar ﬁ de aceea¸ si form˘ a
ceea ce este imposibil.
AtunciNar trebui s˘ a aib˘ a un divizor prim pde forma 8t+ 3 sau 8t+ 5.
Dac˘ ap= 8t+ 3 atunci din p|N=a2+ 4⇒a2≡ −4(modp), deci (−4p) = 1 ¸ si
astfel (−4p) = (−1p)(2p)2= (−1)p−1
2¸ si cump= 8t+ 3⇒(−4p) =−1, contradict ¸ie!
Decipeste de forma 8 t+ 5 ¸ si astfel din p|a2+ 4 ¸ sia=p2p3…pndeducem c˘ a p>p n,
de unde rezult˘ a imediat c˘ a avem o inﬁnitate de numere prime de forma 8 n+ 5.
Observat ie. Din legea reciprocit˘ at ¸ii p˘ atratice deducem
Corolar 4.3.4. Exist a o innitate de numere prime de forma 5n−1, cun∈N∗.
Demonstrat ie. Fien∈N∗,n > 1 iarN= 5(n!)2−1. CumN > 1 ¸ si este impar,
atunciN, cum nu este de forma 5 t+ 1, va avea cel put ¸in un divizor prim p(p̸= 5) ce
este de forma 5 t+ 1. Evident p>n .
Cump|N⇒5(n!)2≡1(modp), adic˘ a (5p) = 1 . Atunci ¸ si (p
5) = 1.
Avem c˘ ap̸= 5 poate s˘ a ﬁe de forma 5 k±1 sau 5k±2.
Dac˘ ap= 5k±2, atunci (p
5) = (±2
5) = (±1
5)(2
5) ¸ si cum (±1
5) = 1,(2
5) =−1,
deducem c˘ a (p
5) =−1, contradict ¸ie!
Cum am v˘ azut c˘ a pnu poate ﬁ de forma 5 k+ 1 deducem c˘ a ptrebuie s˘ a ﬁe de
forma 5k−1. De aici corolarul rezult˘ a imediat.
Observat ie. Din demonstrat ¸ia Corolarului 4.3.3 deducem c˘ a num˘ arul prim peste
de formap= 5k−1(k∈N). Evidentk= 2t, decip= 10t−1.
De aici rezult˘ a
69

Corolar 4.3.5. Exist a o innitate de numere prime de forma 10n−1,n∈N∗.
70

Capitolul 5
Fract ii continue
5.1 Fract ii continue. Propriet at i elementare
Vrˆ and s˘ a construiasc˘ a un planetariu cu rot ¸i dint ¸ate, Cristian Huyghens (matematician,
ﬁzician ¸ si astronom, 1629-1695) a avut de rezolvat problema: care raport ˆ ıntre num˘ arul
de dint ¸i a dou˘ a rot ¸i care se angreneaz˘ a (egal cu raportul duratelor lor de rotat ¸ie) este mai
apropiat de raportul αdintre duratele de rotat ¸ie ale planetelor respective. Din motive
tehnice, num˘ arul de dint ¸i de pe o roata nu putea s˘ a ﬁe prea mare.
O problem˘ a similar˘ a a ap˘ arut la alc˘ atuirea calendarului: ce num˘ ar pde ani bisect ¸i
(de 366 zile) trebuie pus ˆ ıntr-un ciclu de qani pentru ca durata medie a anului cal-
endaristic, Ac=q·365 +p
q= (365 +p
q) zile, s˘ a ﬁe cˆ at mai aproape de durata reala
A= 365,24219878…zile ?
Calendarul iulian a ales q= 4,p= 1. Calendarul gregorian, dup˘ a care tr˘ aim
introdus la sfˆ ar¸ situl secolului XVI, l-a aproximat mai bine pe A, alegˆ andq= 400 ¸ si
p= 97; anii bisect ¸i sunt acei multipli de 4 care nu sunt multipli de 100, except ¸ie f˘ acˆ and
multiplii de 400. Anul nostru calendaristic dureaz˘ a deci 365 +97
400= 365,2425 zile. Alte
alegeri, cap= 8,q= 33, saup= 31,q= 128, ar ﬁ dus la 365 ,24(24) sau 365 ,24218…,
dar nu era comod s˘ a avem un ciclu de 33 sau 128 de ani.
Asemenea probleme de aproximare cu numere rat ¸ionale apar ˆ ın numeroase domenii.
O solut ¸ie este dat˘ a de fract iile continue . Dup˘ a cum vom vedea, fract ¸iile continue pot ﬁ
folosite cu succes ¸ si la rezolvarea unor probleme care, cel put ¸in aparent, nu au legatur˘ a
cu aproximarea numerelor.
Fieα∈Q. Atunci putem scrie α=p
q, cup∈Z¸ siq∈N∗.
71

F˘ acˆ and mai multe ˆ ımp˘ art ¸iri cu rest g˘ asim c˘ a pentru un anumit k∈Navem:
p=a0q+q1,0<q 1<q
q=a1q1+q2,0<q 2<q 1
q1=a2q2+q3,0<q 3<q 2
….. … ………………………….
qk−2=ak−1qk−1+qk,0<qk<qk−1
qk−1=akqk,
undea0∈Ziara1,…,a k∈N∗. Conform algoritmului lui Euclid, ultimul rest nenul qk
este cel mai mare divizor comun al lui p¸ siq.
S˘ a observ˘ am c˘ a numerele a0,a1,…depind numai de α, nu ¸ si de reprezentareap
q:
a0= [α],a1= [p
q1] = [1α−a0], etc.
Cunoscˆ and cˆ aturile a0,a1,…,a nputem scrie: α=a0+1
a1+1
…+1ak.
Convenim s˘ a scriem asemenea fract ¸ii etajate sub forma:
α=a0+1|
|a1+1|
|a2+…+1|
|ak. (1)
In fract ¸ia de mai sus, a0∈Ziara1,…,a k∈N.
Scrierea lui αsub forma (1) nu mai este a¸ sa de simpl˘ a dac˘ a αeste irat ¸ional;
Procedˆ and ca mai sus obt ¸inem a0= [α]∈Z. Evidentα1=1α−a0>1 ¸ si din nou
dac˘ aa1= [α1]∈N∗, atunciα2=1α1−a1>1.
Putem scrie c˘ a α=a0+1|
|a1+1|
|α2. Continuˆ and procedeul obt ¸inem scrieri interme-
diare de forma
α=a0+1|
|a1+1|
|a2+…+1|
|an+1|
|αn+1. (2)
S˘ a observ˘ am c˘ a procesul de scriere al lui αsub forma (2) poate continua atˆ ata timp
cˆ atαn/∈N. Dup˘ a cum am v˘ azut, dac˘ a α∈Q, pentru un anumit k∈N,αk∈N.
Dac˘ a ˆ ıns˘ a α /∈Q, acest proces poate continua oricˆ at de mult, deoarece ﬁecare
αk/∈Q. Se obt ¸ine astfel o fract ¸ie etajat˘ a inﬁnit˘ a:
α=a0+1|
|a1+1|
|a2+…+1|
|an+…(3) Semnul egal de mai sus
este pus convent ¸ional: nu ¸ stim deocamdat˘ a ce reprezint˘ a membrul drept. S˘ a comprim˘ am
¸ si mai mult scrierea fract ¸iilor etajate (1), (2), (3), notˆ andu-le [ a0;a1,a2,…,a n] pentru
(1), [a0;a1,a2,…,a n,αn+1] pentru (2), ¸ si [ a0;a1,a2,…] pentru (3).
Vom prezenta ˆ ın continuare cˆ ateva propriet˘ at ¸i ale fract ¸iilor continue.
Pentru o fract ¸ie continu˘ a [ a0;a1,a2,…,a n,…] (undea0∈Ziaran∈N∗pentru
n≥1) s˘ a not˘ am
πn=pn
qn= [a0;a1,a2,…,a n].
Numereleπnsunt, evident, rat ¸ionale ¸ si se numesc redusele fract ¸iei continue.
72

Observat ie. Fract ¸ia continu˘ a [ a0;a1,a2,…,a m,1] se poate scrie mai scurt [ a0;a1,
a2,…,a m+ 1]. Cu convent ¸ia ak≥2, scrierea [ a0;a1,a2,…,a k] a numerelor rat ¸ionale
neˆ ıntregi este unic˘ a.
Fiep
q= [a0;a1,a2,…,a n] ¸ sip′
q′= [a1;a2,a3,…,a n]. Se vede c˘ a leg˘ atura dintre cele
dou˘ a numere estep
q=a0+q′
p′. Dac˘ ap′
q′este o fract ¸ie ireductibil˘ a, atunci ¸ sip′a0+q′
p′ este
ireductibil˘ a, deci putem aﬁrma c˘ a, dac˘ a ¸ sip
qeste o fract ¸ie ireductibil˘ a, atunci p=p′a0+q
¸ siq=p′. (4)
Aceast˘ a observat ¸ie arat˘ a c˘ a maniera natural˘ a de a calcula valoarea unei fract ¸ii
continue ﬁnite este exact inversul algoritmului de dezvoltare ˆ ın fract ¸ie continu˘ a. Intr-
adev˘ ar, dac˘ a α= [a0;a1,a2,…,a n], atunciαn=an1este o fract ¸ie ireductibil˘ a, deci
formulele (4) permit calculul lui αn−1= [an−1;αn], apoi al lui αn−2= [an−2;αn−1],
etc. Aceast˘ a modalitate de calcul poate deveni laborioas˘ a pentru ndestul de mare ¸ si nu
sugereaz˘ a nimic despre calculul ,,valorii” unei fract ¸ii continue inﬁnite.
Propozit ia 5.1.1. Num ar atorii si numitorii reduselor veric a relat ile :
p0=a0,p1=a0a1+ 1,…,p n+1=an+1pn+pn−1(n= 1,2,…) (5)
q0= 1,q1=a1,…,q n+1=an+1qn+qn−1(n= 1,2,…).
Demonstrat ie. Avemp0q0=a0=a01;p1q1=a0+1a1=a1a0+ 1
a1¸ sip2q2= [a0;a1,a2] =
a0+a2a2a1+ 1=a2(a1a0+ 1) +a0
a2a1+ 1=a2p1+p0a2q1+q0, deci relat ¸iile (5) se veriﬁc˘ a pentru
n= 1.
Presupunem c˘ a ele sunt adev˘ arate pentru n≤k−1 ¸ si ar˘ at˘ am c˘ a sunt adev˘ arate ¸ si
pentrun=k. Avem
pk+1qk+1= [a0;a1,…,a k+1] = [a0;α1], undeα1= [a1;a2,…,a k+1].
Fiep′
0
q′
0,p′
1
q′
1,…,p′
k
q′
k=α1redusele fract ¸iei α1. Conform ipotezei de induct ¸ie,
p′
k=akp′
k−1+p′
k−2
q′
k=akq′
k−1+q′
k−2.
Pe de alta parte, din (4), avem
pk+1 =a0p′
k+q′
k,qk+1=p′
k
pk=a0p′
k−1+q′
k−1,qk=p′
k−1
pk−1=a0p′
k−2+q′
k−2,qk−1=p′
k−2,
¸ si deci,
qk+1 =p′
k=ak+1p′
k−1+p′
k−2=ak+1qk+qk−1,
pk+1 =a0p′
k+q′
k=a0(ak+1p′
k−1+p′
k−2) +ak+1q′
k−1+q′
k−2
=ak+1(a0p′
k−1+q′
k−1) +a0p′
k−2+q′
k−2=ak+1pk+pk−1.
73

Folosind principiul induct ¸iei complete, propozit ¸ia este demonstrat˘ a.
In demonstrat ¸ie nu am folosit faptul c˘ a an+1este natural, prin urmare, aplicˆ and
relat ¸iile (5) cu αn+1ˆ ın loc dean+1, obt ¸inem
Propozit ia 5.1.2. Dac aα= [a0;a1,…,a n,αn+1]atunci
α=αn+1pn+pn−1
αn+1qn+qn−1. (6)
Relat ¸iile de recurent ¸˘ a (5) permit calculul u¸ sor al ¸ sirului reduselor unei fract ¸ii con-
tinue. Este comod s˘ a punem p−1= 1 ¸ siq−1= 0; relat ¸iile (5) sunt valabile atunci ¸ si
pentrun= 0. Redusele se obt ¸in completˆ and de la stˆ anga la dreapta tabelul:
aa0a1a2…an+1
p1p0=a0p1p2…an+1pn+pn−1
q0q0q1q2…an+1qn+qn−1
Exemplu. Fieα=√
5 + 1
2. Avema0= 1,α−a0=√
5−1
2,α1=2√
5−1=
2(√
5 + 1)
4=√
5 + 1
2=α, decia1=a0¸ siα1=α.
Este u¸ sor de v˘ azut c˘ a αn=α¸ sian=a0= 1, pentru ﬁecare nnatural. Fract ¸ia
continu˘ a ata¸ sat˘ a este, deci [1; 1 ,1,1…]. S˘ a calcul˘ am cˆ ateva reduse:
a 1 1 1 1 1 1 1 …
p1 1 2 3 5 8 13 21 …
q0 1 1 2 3 5 8 13 …
Propozit ia 5.1.3. Au loc relat iile

qnpn−1−pnqn−1= (−1)n,n≥0 (7)
qnpn−2−pnqn−2= (−1)n−1an,n≥1 (8)
πn−1−πn=(−1)n
qnqn−1,n≥1 (9)
πn−2−πn=(−1)n−1
qnqn−2,n≥2 (10)
Demonstrat ie . Deoarece q0= 1,p0=a0,q−1= 0,p−1= 1 avemq0p−1−p0q−1=
(−1)0, deci relat ¸ia (7) este adev˘ arat˘ a pentru n= 0. Presupunem c˘ a pentru un navem
qnpn−1−pnqn−1= (−1)n.
Folosind (5), avem qn+1pn−pn+1qn= (an+1qn+qn−1)pn−(an+1pn+pn−1)qn=
−(qnpn−1−pnqn−1) = (−1)n+1.
Deci am demonstrat prin indut ¸ie relat ¸ia (7).
Folosind ˆ ıntˆ ai (5), apoi (7), avem : qnpn−2−pnqn−2= (anqn−1+qn−2)pn−2−
(anpn−1+pn−2)qn−2=an(qn−1pn−2−pn−1qn−2) = (−1)n−1anadic˘ a relat ¸iile (8).
Relat ¸iile (9) ¸ si (10) sunt simple transcrieri ale lui (7) ¸ si (8) ¸ si astfel propozit ¸ia este
demonstrat˘ a.
O consecint ¸˘ a imediat˘ a a relat ¸iilor (9) ¸ si (10) o constituie:
Propozit ia 5.1.4. Au loc inegalit at ile
π0<π 2<π 4<…<π 5<π 3<π 1.
74

Fieα= [a0;a1,…,a n,an+1] un num˘ ar real oarecare. Folosind (6), avem:
α−πn=αn+1pn+pn−1
αn+1qn+qn−1−pn
qn=qnpn−1−pnqn−1
qn(qnαn+1+qn−1)=(−1)n
qn(qnαn+1+qn−1).
Egalitatea obt ¸inut˘ a arat˘ a c˘ a redusele de ordin par sunt mai mici decˆ at α, iar cele
de ordin impar sunt mai mari decˆ at α. Intru-cˆ at αn+1≥an+1avem ¸ si
|α−πn|=1
qn(qnαn+1+qn−1)≤1
qn(qnan+1+qn−1)=1
qnqn+1.
Egalitatea din mijloc este posibil˘ a numai dac˘ a an+1=αn+1, deci dac˘ a αeste
rat ¸ional ¸ siα=πn+1. Pe de alt˘ a parte an+1+ 1>αn+1, deci:
|α−πn|=1
qn(qnαn+1+qn−1)>1
qn[qn+ (qnan+1+qn−1)]=1
qn(qn+qn−1).
Rezumˆ and cele de mai sus, am demonstrat:
Propozit ia 5.1.5. Dac aα= [a0;a1,…,a n,αn+1] ,atunci
1
qn(qn+qn−1)<|α−pn
qn| ≤1
qnqn+1(11)
egalitatea din dreapta av^ and loc numai dac a α=pn+1qn+1.
Suntem ˆ ın m˘ asur˘ a s˘ a d˘ am sens egalit˘ at ¸ii din (3). Din (5) este u¸ sor de dedus c˘ a,
pentru fract ¸ii continue inﬁnite, qn+1>qn, ˆ ıncepˆ and cu n= 1 ¸ si deci qn≥n.
Pornind de la un num˘ ar irat ¸ional α, ¸ sirul (πn)n≥1aproximeaz˘ a din ce ˆ ın ce mai
bine num˘ arul α. In limbajul analizei matematice asta ˆ ınseamn˘ a c˘ a lim
n→∞πn=α. Dac˘ a
pornim de la o fract ¸ie continu˘ a inﬁnit˘ a, Propozit ¸ia 5.1.4, ˆ ımpreun˘ a cu (9), garanteaz˘ a c˘ a
¸ sirul (πn)n≥1converge. L˘ as˘ am ˆ ın seama cititorului s˘ a arate c˘ a fract ¸ia continu˘ a ata¸ sat˘ a
acestui num˘ ar este tocmai fract ¸ia continu˘ a de la care am plecat. Ideea demonstrat ¸iei este
urm˘ atoarea:
Dac˘ a
[a0;a1,…,a 2n]<β= [b0;β1]<[a0;a1,…,a 2n,a2n+1],
atunci
b0=a0¸ si [a1;a2,…,a 2n+1]<β 1= [b1;β2]<[a1;a2,…,a 2n].
S˘ a mai demonstr˘ am o proprietate a reduselor:
Propozit ia 5.1.6. Fiea0≥1,pn−1qn−1= [a0;a1,…,a n−1] sipnqn= [a0;a1,…,a n].
Atunci [an;an−1,…,a 0] =pnpn−1 si[an;an−1,…,a 1] =qnqn−1.
Demonstrat ie. Proced˘ am prin indut ¸ie dup˘ a n.
Pentrun= 1,[a0;a1] =a0a1+ 1
a1=p1q1,a01=p0q0.
Avem [a1;a0] =a0a1+ 1
a0=p1p0,a1=q1q0.
Presupunem aﬁrmat ¸ia adevarat˘ a pentru n. Atunci:
[an+1;an,…,a 1] =an+1+1
[an;an−1,…,a 1]=an+1+qn−1
qn=an+1qn+qn−1
qn=qn+1
qn.
75

Tot cu ajutorul lui (5), avem ¸ si
[an+1;an,…,a 0] =an+1+1
[an;an−1,…,a 0]=an+1+pn−1
pn=an+1pn+pn−1
pn=pn+1
pn.
ceea ce trebuia demonstrat.
5.2 Aproxim ari ale numerelor reale prin numere rat ionale
Vom prezenta ˆ ın continu˘ are cˆ ateva chestiuni legate de aproximarea numerelor reale.
Fieαun num˘ ar real. Problema aproxim˘ arii lui cu numere rat ¸ionale are urm˘ atoarea
interpretare geometric˘ a. In planul xOy consider˘ am dreapta ( d) de ecuat ¸ie y=αx¸ si
ret ¸eaua de puncte ,,laticiale” din semiplanul drept, adic˘ a mult ¸imea punctelor de coor-
donate ˆ ıntregi ( q,p) cuq >0 (vezi Fig. 2). C˘ aut˘ am puncte P(q,p) pentru carep
qeste
aproape de α, adica puncte P(q,p) situate ,,aproape” de dreapta ( d). Aceast˘ a apropiere
o putem m˘ asura prin abaterea dintre pantele dreptelor ( d) ¸ siOP(de ecuat ¸ie y=p
qx), ﬁe
prin distant ¸a de la Pla dreapta ( d) sau, ceea ce este echivalent, prin lungimea |qα−p|
a segmentului PQ, undeQeste punctul de pe dreapta ( d) care are abscisa egal˘ a cu P.
Vom spune c˘ ap
qeste o cea mai bun a aproximare de spet a ^ nt^ ai a luiαdac˘ a pentru
orice alt˘ a fract ¸iep′
q′, cu 0< q′≤qavem|α−p
q|<|α−p′
q′|. Num˘ arulp
qse nume¸ ste o
cea mai bun a aproximare de spet a a doua a luiαdac˘ a|qα−p|<|q′α−p′|, pentru orice
(q′,p′)̸= (q,p) pentru care q′≤q. Se vede imediat c˘ a orice cea mai bun˘ a aproximare de
spet ¸a a doua este ¸ si o cea mai bun˘ a aproximare de spet ¸a ˆ ıntˆ ai. Ne ocup˘ am aici numai
de cele mai bune aproxim˘ ari de spet ¸a a doua ¸ si le vom numi pe scurt cele mai bune
aproxim˘ ari.
Propozit ia 5.2.1. Orice cea mai bun a aproximare a lui αeste o redus a a fract iei
continue a lui α.
Demonstrat ie. Fiep
qo cea mai bun˘ a aproximare a lui α= [a0;a1,…,a n,…].
Dac˘ ap
q< a 0(=π0), atunci |1·α−a0|=|α−p0q0|<|α−p
q|, decip
qn-ar ﬁ o cea
mai bun˘ a aproximare.
Dac˘ ap
q>p1q1(=π1) atunci |α−p
q|>|p
q−p1q1| ≥1qq1(c˘ aci avem urm˘ atoarea
ordonare deci |qα−p|>1q1.
Pe de alt˘ a parte, din (11),1q1=1a1≥ |1·α−a0|¸ si, din nou,p
qnu ar ﬁ o cea mai
bun˘ a aproximare. Am stabilit deci c˘ a π0≤p/q≤π1.
Presupunem c˘ ap
qnu coincide cu nici o redus˘ a a lui α. Atuncip
qeste cuprins ˆ ıntre
dou˘ a reduse πn−1¸ siπn+1, cu rangurile de aceea¸ si paritate. Avem
|p
q−pn−1
qn−1| ≥1
qqn−1¸ si|p
q−pn−1
qn−1|<|pn
qn−pn−1
qn−1|=1
qnqn−1
de unde deducem qn<q. Pe de alta parte,
|α−p
q| ≥ |pn
qn−pn−1
qn−1| ≥1
qnqn−1
76

deci|qα−p| ≥1qn−1¸ si din (11),1qn+1≥ |qnα−pn|adic˘ aqn<q¸ si|qnα−pn| ≤ |qα−p|,
ˆ ın contradict ¸ie cu faptul c˘ ap
qeste o cea mai bun˘ a aproximare ¸ si astfel propozit ¸ia este
demonstrat˘ a.
Observat ie. Dac˘ aαeste rat ¸ional ¸ sip
qnu este o redus˘ a a lui α, atunci g˘ asim redusa
pnqn, cu|qnα−pn| ≤ |qα−p|¸ siqn<q.
Este adev˘ arat˘ a ¸ si reciproca:
Propozit ia 5.2.2. Orice redus a este o cea mai bun a aproximare, cu except ia even-
tual a a redusei π0=p0q0.
Observat ie. Dac˘ aα= [a0; 2], atunci π0=a01nu este o cea mai bun˘ a aproximare,
c˘ aci|1·α−a0|=1
2=|1·α−a0−1|. In schimb, π1=αeste, evident, o cea mai bun˘ a
aproximare.
Vom examina numai cazul α̸= [a0; 2]. Fiepmqmo redus˘ a a lui α, cum≥1.
Consider˘ am numerele |yα−x|, undey∈N∗,y≤qm, iarxeste [yα] sau [yα] + 1.
Fie|y0α−x0|cel mai mic dintre ele. Dac˘ a minimul este atins de mai multe valori y,
am notat cu y0cea mai mic˘ a dintre ele; x0este atunci unic determinat, deoarece, dac˘ a
|y0α−x0|=|y0α−x0−1|, atunciy0α−x0=x0+ 1−y0α, deciα=2×0+ 1
2y0este
rat ¸ional.
Fieα= [a0;a1,…,a n], cuan≥2, fract ¸ia continu˘ a a lui α. Avemn≥1 ¸ si deoarece
cazul [a0; 2] l-am exclus, rezult˘ a ﬁe an>2, ﬁean= 2 ¸ sin > 1. Avem 2 y0=qn=
anqn−1+qn−2¸ si 2×0+1 =pn=anpn−1+pn−2, de undeqn−1<y 0, dar|qn−1α−pn−1|=
1qn=1
2y0≤1
2=|y0α−p0|, ceea ce ar contrazice alegerea lui y0. Num˘ arulx0y0este deci
o cea mai bun˘ a aproximare a lui α¸ si, conform teoremei precedente,x0y0=pkqk. Cum ¸ sirul
q1,q2,…este strict cresc˘ ator, avem k≤m(c˘ aciqk≤qm). Dac˘ ak=m, am terminat,
dac˘ a, ˆ ıns˘ a, k<m , atunci, folosind (11), avem
|qkα−pk|>1
qk+qk+1≥1
qm−1+qm≥1
qm−1+am+1qm=1
qm+1≥ |qmα−pm|
ceea ce ar contrazice deﬁnit ¸ia lui y0.
In prima parte a demonstrat ¸iei am ar˘ atat c˘ a, exceptˆ and numerele α= [a0; 2], luˆ and
unq∈N∗(ˆ ın locul lui qm), exist˘ a o cea mai bun˘ a aproximarex0y0(deci o redus˘ a a lui α)
cuy0≤q. In cazulq= 1, aceast˘ a cea mai bun˘ a aproximare este π0saua0+ 1
1¸ si deci,π0
este o cea mai bun˘ a aproximare a lui α, exceptˆ and cazul cˆ and q1= 1, deciα= [a0; 1,…].

5.3 Fract ii periodice si pur periodice
In continu˘ are ne vom ocupa de dezvoltarea ˆ ın fract ¸ii continue periodice a numerelor
irat ¸ionale p˘ atratice.
Denit ia 5.3.1. Fract ¸ia continu˘ a inﬁnit˘ a [ a0;a1,…] se zice periodic a dac˘ a exist˘ a
h∈N∗¸ sik∈N∗cuan=an+h+1pentru ﬁecare n≥k. Convenim s˘ a not˘ am o asemenea
77

fract ¸ie continu˘ a cu [ a0;a1,…,a k−1,ak,ak+1,…,a k+h].
Pentru asemenea fract ¸ii continue putem calcula valoarea mai simplu decˆ at ca limit˘ a
a ¸ sirului de reduse.
Exemplu. Fieα= [1; 2,2,2,2,…].Avemα= [1;α1], undeα1= [2; 2,2,2,2,…] = [2].
De asemenea, α1= [2;α2], undeα2=α1, deciα1= 2 +1α1, adic˘ aα2
1−2α1−1 = 0, de
undeα1= 1 +√
2. Revenind la α, obt ¸inemα= 1 +1α1=√
2.
In general, dac˘ a α= [a0;a1,…,a k−1,ak,ak+1,…,a k+h] , atunci
αk= [ak;ak+1,…,a k+h] =ak+h+1¸ si, conform lui (6)
α=αkpk−1+pk−2
αkqk−1+qk−2=αkpk+h+pk+h−1
αkqk+h+qk+h−1.
Din a doua egalitate urmeaz˘ a c˘ a αkeste r˘ ad˘ acina unei ecuat ¸ii de gradul doi cu
coeﬁcient ¸i ˆ ıntregi
Aα2
k+Bαk+C= 0
iar prima egalitate ne d˘ a
α=−qk−2α+pk−2
qk−1α−pk−1
de unde:
A(pk−2−αqk−2)2+B(pk−2−αqk−2)(αqk−1−pk−1) +C(αqk−1−pk−1)2= 0
deci ¸ siαeste r˘ ad˘ acin˘ a a unei ecuat ¸ii de gradul doi cu coeﬁcient ¸i ˆ ıntregi.
Denitia 5.3.2. Numerele irat ¸ionale, r˘ ad˘ acini ale unei ecuat ¸ii de gradul doi cu
coeﬁcient ¸i ˆ ıntregi (nu tot ¸i nuli), se numesc irat ionale p atratice .
In anul 1770, Joseph Louis de Lagrange (1736-1813) a demonstrat urm˘ atorul rezul-
tat
Propozit ia 5.3.3. (Lagrange) Un num ar irat ional este p atratic dac a si numai dac a
fract ia sa continu a este periodic a.
Demonstrat ie. Am ar˘ atat deja c˘ a orice fract ¸ie continu˘ a periodic˘ a este un irat ¸ional
p˘ atratic.
S˘ a presupunem acum c˘ a αeste r˘ ad˘ acin˘ a a ecuat ¸iei cu coeﬁcient ¸i ˆ ıntregi Ax2+Bx+
C= 0, undeA̸= 0 ¸ si 0<B2−4ACnu este p˘ atrat perfect.
Fieα= [a0;a1,…,a n−1,αn]. Cu relat ¸ia (6), avem
α=αnpn−1+pn−2
αnqn−1+qn−2
¸ si, deci,
A(pn−1an+pn−2)2+B(qn−1an+qn−2)(pn−1an+pn−1) +C(qn−1an+qn−2)2= 0
adicaαneste r˘ ad˘ acina ecuat ¸iei Anx2+Bnx+Cn= 0, unde
An=Ap2
n−1+Bpn−1qn−1+Cq2
n−1(12)
Bn=Apn−1pn−2+B(pn−1qn−2+qn−1pn−2) +Cqn−1qn−2(13)
Cn=Ap2
n−2+Bpn−2qn−2+Cq2
n−2.(14)
78

S˘ a observ˘ am ˆ ıntˆ ai c˘ a Cn=An−1. Din (7) deducem c˘ a pn−1qn−2+qn−1pn−2este
impar ¸ si deci B¸ siBnau aceea¸ si paritate. Prin calcul direct se veriﬁc˘ a ¸ si c˘ a
B2
n−4AnCn= (B2−4AC)(pn−1qn−2+qn−1pn−2)2=B2−4AC. (15)
Folosind ˆ ıns˘ a faptul c˘ a Aα2+Bα+C= 0, relat ¸ia (12) se scrie:
An=Ap2
n−1+Bpn−1qn−1+Cq2
n−1−q2
n−1(Aα2+Bα+C)
=A(p2
n−1−q2
n−1α2) +B(pn−1−αqn−1)qn−1
= (pn−1−αqn−1)(A(pn−1+αqn−1) +Bqn−1).
Cu ajutorul lui (11), vom avea
|An| ≤1
qn|A(pn−1+αqn−1) +Bpn−1| ≤1
qn−1|A(pn−1+αqn−1) +Bpn−1|
≤ |A||pn−1
qn−1+α|+|B| ≤ |A|(|pn−1
qn−1−α|+ 2|α|) +|B| ≤ |A|(1 + 2|α|) +|B|.
Vedem de aici c˘ a ¸ sirul de ˆ ıntregi Ania un num˘ ar ﬁnit de valori ¸ si deci Cn(=An−1)
ia un num˘ ar ﬁnit de valori; ˆ ın ﬁne, din cauza lui (15), αnia un num˘ ar ﬁnit de valori.
Rezult˘ a c˘ a pentru anumit ¸i k,h, vom avea αk=αk+h+1.
Este u¸ sor de dedus de aici c˘ a ak=ak+h+1,ak+1=ak+1+h+1¸ si prin induct ¸ie,
an=an+h+1pentrun≥k, deci fract ¸ia continu˘ a a lui αeste periodic˘ a.
Cele mai simple fract ¸ii continue periodice sunt cele pur periodice(adic˘ a cele pentru
carea0=an+ 1). Fie deci α= [a0;a1,…,a n] o fract ¸ie continu˘ a pur periodic˘ a. Avem
a0=an+1≥1 ¸ siα= [a0;a1,…,a n,α], deci, folosind (6), α=αpn+pn−1αqn+qn−1, adic˘ a:
qnα2+ (qn−1−pn)α−pn−1= 0.
Pentru trinomul f(x) =qnx2+ (qn−1−pn)x−pn−1, avemf(−1) =qn−qn−1+
pn−pn−1>0,f(0) =−pn−1<0.
Cum, evident, α>a 0≥0, deducem c˘ a cealalt˘ a r˘ ad˘ acin˘ a a trinomului este cuprins˘ a
ˆ ıntre -1 ¸ si 0. Evident αeste de formaP+√
D
Q, iar cealalt˘ a r˘ ad˘ acin˘ a esteP−√
D
Q.
Pentru un irat ¸ional p˘ atratic α=P+√
D
Q, vom notaeα=P−√
D
Q¸ si ˆ ıl vom numi pe eα
conjugatul lui α.
Denitia 5.3.4. Num˘ arul irat ¸ional p˘ atratic αse nume¸ ste redus dac˘ aα > 1, iar
eα∈(−1,0).
Teorema care urmeaz˘ a a fost demonstrat˘ a ˆ ın 1828 de Evariste Galois (1811-1832),
pe atunci elev.
Propozit ia 5.3.5. (E. Galois) Fract ia continu a a lui αeste pur periodic a dac a si
numai dac a este un irat ional p atratic redus.
Demonstrat ie. Am v˘ azut mai sus c˘ a orice fract ¸ie continu˘ a pur periodic˘ a este un
irat ¸ional p˘ atratic redus (vom prescurta ˆ ın continuare prin i.p.r).
Fieαun i.p.r. Avem α1=1α−a0>1 ¸ sifα1=1
eα−a0∈(−1,0), c˘ acia0≥1.
Prin induct ¸ie, rezult˘ a c˘ a αneste i.p.r. pentru ﬁecare n. S ¸tim c˘ a fract ¸ia continu˘ a a lui
79

αeste periodic˘ a. Dac˘ a nu este pur periodic˘ a, atunci α= [a0;a1,…,a k−1,ak,…,a k+h],
undeak−1̸=ak+h.
Am v˘ azut ˆ ıns˘ a c˘ a αk−1= [ak−1;αk] este i.p.r. ¸ si la fel este ak+h= [ak+h;αk+h+1] =
[ak+h;αk]. Avem decieαk−1= (ak−1+1αk)∼=ak−1+1
eαk∈(−1,0),eαk+h=αk+h+1
eαk∈
(−1,0).
Deducem de aici c˘ a ak−1∈(−1−1
eαk,−1
eαk) ¸ siak+h∈(−1−1
eαk,−1
eαk), deci
ak−1=ak+h= [−1
eαk].
Am ajuns la o contradict ¸ie, deci α= [a0;a1,…,a h].
Ce se ˆ ıntˆ ampl˘ a dac˘ a ,,r˘ asturn˘ am” perioada unui i.p.r.?
Propozit ia 5.3.6. Fieα= [a0;a1,…,a n] siβ= [a0n;an−1,…,a 0]. Atunciα=
−1
eβ.
Demonstrat ie. Intrucˆ atα= [a0;a1,…,a n,α] , folosind (6), avem, dup˘ a cum am mai
v˘ azut,
qnα2+ (qn−1−pn)α−pn−1= 0.(16)
Cumβ= [an;an−1,…,a 0,β], cu ajutorul Propozit ¸iei 5.1.6 se deduce, analog,
pn−1β2+ (qn−1−pn)β−qn= 0,
de undepn−1eβ2+ (qn−1−pn)eβ−qn= 0,
−eβ2(qn(−1
eβ)2+ (qn−1−pn)(−1
eβ)−pn−1) = 0
¸ si, deoarece ecuat ¸ia (16) are o singur˘ a r˘ ad˘ acin˘ a pozitiv˘ a, α=−1
eβ.
Cele mai simple irat ¸ionale p˘ atratice sunt cele de forma√
D, undeD∈Q+¸ si√
D /∈Q. Fract ¸iile lor continue, ˆ ın cazul D> 1, au propriet˘ at ¸i remarcabile:
Propozit ia 5.3.7. FieD∈Q,D> 1,√
D /∈Q. Atunci
√
D= [a0;a1,…,a n,2a0].
In plus, partea a1,a2,…,a na perioadei este simetric a, adic a ak=an+1−k, pentru
1≤k≤n.
Demonstrat ie. Avema0= [√
D], deciα=a0+√
D> 1 ¸ sieα=a0−√
D∈(−1,0),
deciαeste i.p.r. ¸ si [ α] = 2a0, deciα= [2a0;a01,…,a n]. Deducem de aici c˘ a:√
D=
[a0;a1,…,a n,2a0] ¸ si, ˆ ınc˘ a, −a0+√
D= [0;a1,…,a n,2a0], de undeβnot=1
−a0+√
D=
[a1;a2,…,a n,2a0].
Folosind Propozit ¸ia 5.3.3, vom avea:
−1
eβ= [2a0;an,…,a 1] =a0+√
D=α= [2a0;a1,…,a n]
de unde rezult˘ a an+1−k=ak.
80

Putem demonstra ¸ si reciproca:
Dac˘ aα= [a0;a1,…,a n,2a0],(a0≥1), undeak=an+1−k, atunciα+a0=
[2a0;a1,…,a n] ¸ si1α−a0= [a1;a2,…,a n,2a0] = [an;an−1,…,a 1,2a0] ¸ si, din Propozit ¸ia
5.3.3, vom avea α+a0= (−α+a0)∼, deciα=−eα, adic˘ a ˆ ın scrierea α=P+√
D
Q, avem
P+√
D
Q=−P+√
D
Q, de undeP= 0, deciα=√√
D
Q2.
Pe noi ne intereseaz˘ a informat ¸ia pe care ne-o d˘ a Propozit ¸ia 5.3.7 despre fract ¸ia
continu˘ a a lui√
Dˆ ın cazulD∈N, cu√
D /∈Q.
Exemple 1. S˘ a dezvolt˘ am ˆ ın fract ¸ie continu˘ a num˘ arul α=√
5.
Avema0= 2,α1=1√
5−2=√
5 + 2,
a1= 4,α2=1α1−a1=1√
5−2=√
5 + 2 =α1, deci√
5 = [2; 4].
2. S˘ a g˘ asim fract ¸ia continu˘ a a lui√
7.
a0= 2,α1=1√
7−2=√
7 + 2
3
a1= 4,α2=3√
7−1=3(√
7 + 1)
6=√
7 + 1
2
a2= 1,α3=2√
7−1=2(√
7 + 1)
6√
7 + 1
3
a3= 1,α4=3√
7−2=3(√
7 + 2)
3=√
7 + 2
a4= 4,α5=1√
7−1=α1, deci√
7 = [2; 1,1,1,4].
Acest ¸ sir poate ﬁ destul de lung:√
991 = [31; 2,12,10,2,2,2,1,1,2,6,1,1,1,1,3,1,8,4,1,2,1,2,3,1,4,1,20,6,4,31,4,
6,20,1,4,1,3,2,1,4,8,1,3,1,1,1,1,2,1,1,2,2,2,10,12,2,62].
In continu˘ are vom pune ˆ ın evident ¸˘ a un algoritm de dezvoltare a lui α=√
Dˆ ın
fract ¸ie continu˘ a (cu D∈N∗astfel ˆ ıncˆ at α /∈Q).
Avema0= [√
D], deci√
D=a0+1α1, deciα1=1√
D−a0=√
D+a0
D−a2
0
=√
D+b1c1undeb1=a0¸ sic1=D−a2
0>0 (deoarece a0= [√
D]).
AvemD−b2
0=c1. Continuˆ and obt ¸inem: a1= [α1] ¸ siα1=a1+1α1, deci
α2=1
α1−a1=1√
D+b1c1−a1=c1√
D+b1−a1c1=c1(√
D+a1c1−b1)
D−(a1c1−b1)2
=c1(√
D+a1c1−b1)
D−b2
1−a2
1c2
1+ 2a1b1c1=√
D+a1c1−b1
1−a2
1c1+ 2a1b1=√
D+b2
c2
undeb2=a1c1−b1¸ sic2= 1−a2
1c1+ 2a1b1.
Pentrun∈N,n≥2, ﬁebn+1=ancn−b1¸ sicn+1=cn−1−a2
1cn+ 2anbn¸ si s˘ a
ar˘ at˘ am c˘ a pentru n≥2:
(1)D−b2
n=cn−1cn.
Vom proba (1) prin induct ¸ie matematic˘ a relativ la n≥2.
81

Pentrun= 2 avem D−b2
2=D−(a1c1−b1)2=D−b2
1−a2
1c2
1+ 2a1b1c1=
c1−a2
1c2
1+ 2a1b1c1=c1(1−a2
1c1+ 2a1b1) =c1c2.
S˘ a presupunem c˘ a pentru n≥2 avemD−b2
n=cn−1cn. Atunci:
D−b2
n+1=D−(ancn−bn)22 =D−b2
n−a2
nc2
n+2anbncn=cn−1cn−a2
nc2
n+2anbncn=
cn(cn−1−a2
ncn+ +2anbn) =cncn+1¸ si astfel (1) este adev˘ arat˘ a pentru orice n≥2.
S˘ a ar˘ at˘ am acum c˘ a pentru orice n≥1
(2)αn=√
D+bn
cn
Dup˘ a calculele de la ˆ ınceput avem c˘ a (2) se veriﬁc˘ a pentru n= 1,2.
Dac˘ a presupunem c˘ a (2) este veriﬁcat˘ a pentru n, atunci:
αn+1 =1
αn−an=1√
D+bncn−an=cn√
D+bn−ancn=cn(√
D+ancn−bn)
D−(ancn−bn)2
=cn(√
D+bn+1)
cncn+1=√
D+bn+1
cn+1
(am t ¸inut cont ¸ si de (1)), astfel c˘ a (2) este adev˘ arat˘ a pentru orice n∈N.
In mod evident c1∈N. Atuncib1=a0= [√
D]<√
D¸ si astfel 0<√
D−b1<1,
deci 0<√
D−b1c1<1. Cumα1>1 deducem c˘ a√
D+b1c1>1. Astfel 0 <√
D−b1c1<
1<√
D+b1c1.
S˘ a ar˘ at˘ am acum c˘ a pentru orice n∈N∗
(3) 0<√
D−bn
cn<1<√
D+bn
cn
(pentrun= 1 (3) este adev˘ arat˘ a datorit˘ a celor stabilite mai sus).
S˘ a presupunem c˘ a (3) este adev˘ arat˘ a pentru un anumit n¸ si s˘ a o prob˘ am pentru
n+ 1.
Conform cu (2) avem√
D+bn+1cn+1=αn+1>1 astfel c˘ a
√
D−bn+1
cn+1=√
D−b2
n+1
cn+1(√
D+bn+1)=cn√
D+bn+1=cn√
D+ancn−bn=1√
D−bncn+an
de unde deducem c˘ a 0 <√
D−bn+1cn+1<1 (t ¸inˆ and cont ¸ si de ipoteza de induct ¸ie).
Astfel (3) este adev˘ arat˘ a pentru orice n∈N.
Dac˘ acn<0 pentru un anumit n∈N, atunci din (3) deducem c˘ a√
D−bn<0 ¸ si√
D+bn<0, deci 2√
D< 0 – absurd!.
Decicn>0 pentru orice n∈N∗.
In consecint ¸˘ a√
D−bn<cn<√
D+bn, deci√
D−bn<√
D+bn¸ si astfelbn>0
pentru orice n∈N∗.
82

Din (3) deducem c˘ a bn<√
D¸ si astfelcn<√
D+bn<2√
D. Din observat ¸ia de
mai ˆ ınainte deducem c˘ a num˘ arul perechilor ( bn,cn) este mai mic decˆ at 2 D.
Astfel, printre termenii ¸ sirului αn=√
D+bncnnumai un num˘ ar ﬁnit dintre ei sunt
diferit ¸i, ﬁecare dintre ace¸ stia ﬁind mai mici decˆ at 2 D. Astfel, cel put ¸in doi termeni ai
¸ sirului (αn)n≥1sunt egali.
Deci exist˘ a k,s∈Nastfel ˆ ıncˆ at k,s < 2D¸ si (4)αk=αk+s. Deoarece αn+1=
1
αn−[αn]pentrun≥1, din (4) deducem c˘ a αk+1=αk+s+1¸ si mai general, αn=αn+s
pentrun≥k.
Astfel, ¸ sirurile ( αn)n≥1¸ si (an)n≥1sunt periodice (c˘ aci an= [αn] pentrun≥1).
Fie (5)α′
n=√
D−bncnpentrun≥1; t ¸inˆ and cont de (1) deducem imediat c˘ a
an= [1
x′
n+1] pentru orice n≥1.
Mai mult, cum αk=αk+sdeducem c˘ a α′
n=α′
n+k¸ si deci pentru k > 1 avem
ak−1= [1
x′
k] = [1
x′
k+s] =ak+s−1. T ¸ inˆ and cont de relat ¸iile αn=an+1αn+1¸ siαk=αk+s
deducem c˘ a αk−1=αk+s−1. Repetˆ and rat ¸ionamentul anterior pentru k>2 obt ¸inem c˘ a
αk−2=αk+s−2. Astfel,αn+s=αn¸ sian+s=anpentru orice n∈N∗.
Deducem imediat formulele:
α1=a1+1|
|a2+…+1|
|as+1|
|α1¸ si1
α′
1=as+1|
|as−1+…+1|
|a1+1|
|1
x′
1.
Deoareceα1>1 ¸ si1
α′
1>1 aceste ultime relat ¸ii ne dau: as= 2a0= 2[√
D],a1=
as−1,a2=as−2,…,a s−1=a1(adic˘ a ¸ sirul a1,a2,…,a s−1este simetric).
T ¸ inˆ and cont c˘ a dac˘ a x∈R¸ sik∈N∗, atunci [x
k] = [[x]
k] avem (conform cu relat ¸iile
(1)):an= [αn] = [√
D+bncn] = [[√
D] +bncn] = [a0+bncn], adic˘ aan= [a0+bncn] pentru
oricen≥1.
Rezumˆ and cele expuse mai ˆ ınainte obt ¸inem urm˘ atorul algoritm de dezvoltare a lui√
D(cuD∈N∗astfel ˆ ıncˆ at√
D /∈Q) ˆ ın fract ¸ie continu˘ a.
Alegema0= [√
D],b0= 0,c0= 1 ¸ si apoi construim ¸ sirurile ( an)n≥0,(bn)n≥0¸ si
(cn)n≥0cu ajutorul recurent ¸elor :
(6)

an= [a0+bncn]
bn=an−1cn−1−bn−1,pentrun≥1.
cn=D−b2
ncn−1
Construim apoi ¸ sirul ( b2,c2),(b3,c3),…¸ si g˘ asim cel mai mic indice spentru care
bs+1=b1¸ sics+1=c1. Atunci√
D= [a0;a1,…,a s].
Observat ie. Conform unei teoreme a lui T. Muir (vezi O. Perron: Die Lehre von
den Kettenbr uchen 1, Stuttgart 1954 ), dac˘ a num˘ arul sde termeni ai perioadei este
par, atunci k=s/2 este cel mai mic indice pentru care bk+1=bk, pe cˆ and dac˘ a seste
impar atunci k= (s−1)/2 este cel mai mic indice pentru care ck+1=ck.
Practic se procedeaz˘ a astfel:
83

Pentruα=√
D(cuD∈N∗astfel ˆ ıncˆ at√
D /∈Q) alegema0= [√
D],b0=
0,c0= 1 ¸ si apoi construim prin recurent ¸˘ a ¸ sirurile ( an)n≥0,(bn)n≥0¸ si (cn)n≥0cu ajutorul
formulelor: (6) bn=an−1cn−1−bn−1,cn=D−b2
ncn−1,an= [cn=a0+bncn], pentrun≥1.
Calculele se continu˘ a pˆ an˘ a cˆ and bn+1=bnsau pˆ an˘ a cˆ and cn+1=cn.
Dac˘ abn+1=bn, atunci√
D= [a0;a1,…,a n−1,an,an−1,…,a 1,2a0] (adic˘ a lungimea
perioadei minime este par˘ a).
Dac˘ acn+1=cn, atunci√
D= [a0;a1,…,a n,an,…,a 1,2a0] (adic˘ a lungimea pe-
rioadei minime este impar˘ a).
Numerelebn,cn∈Nsunt cele din scrierea lui αn= [√
D+bncn].
Exemple. 1. FieD= 1009 ¸ siα=√
1009. Avem a0= [√
D] = [√
1009] = 31,b0=
0,c0= 1.
Conform recurent ¸elor (6) avem:
b1=a0c0−b0=a0= 31,c1=1009−b2
1c0=1009−312
1= 48,a1= [a0+b1c1] =
[31 + 31
48] = 1.
Apoi:b2=a1c1−b1= 17,c2=1009−b2
2c1= 15,a2= [a0+b2c2] = [31 + 17
17] = 3.
Aplicˆ and din nou recurent ¸ele (6) g˘ asim b3=a2c2−b2= 28,c3=1009−b2
3c2= 1 =
c2.
Conform algoritmului descris mai ˆ ınainte avem√
1009 = [31; 1,3,3,1,62], iarα3=
28 +√
1009
15.
2. Fiea∈N,a≥3,D=a2−2 ¸ siα=√
D=√
a2−2.
Cum (a−1)2=a2−2a+1<a2−2<a2, deducem c˘ a a0= [√
a2−2] =a−1. Deci,
b1=a0=a−1,c1=D−a2
0=a2−2−(a−1)2= 2a−3,a1= [a0+b1c1] = [2a−2
2a−3] =
[1 +1
2a−3] = 1.
Continu˘ am, b2=a1c1−b1= 2a−3−(a−1) =a−2,c2=D−b2
2c1=a2−2−(a−2)2
2a−3=
4a−6
2a−3= 2,a2= [a0+b2c2] = [a−1 +a−2
2] = [a−3
2] =a−2.
Apoib3=a2c2−b2= (a−2)2−(a−2) =a−2,c3=D−b2
3c2=a2−2−(a−2)2
2=
4a−6
2= 2a−3,a3= [a0+b3c3] = [a−1 +a−2
2a−3] = 1;
b4=a3c3−b3= 2a−3−(a−2) =a−1,c4=D−b2
4c3=a2−2−(a−1)2
2a−3= 1,a4=
[a0+b4c4] = [a−1 +a−1
1] = 2a−2.
In sfˆ ar¸ sit,b5=a4c4−b4= 2a−2−(a−1) =a−1 =b4,c5=D−b2
5c4=
a2−2−(a−1)2
1= 2a−3 =c1.
Din cele expuse maiˆ ınainte avem s= 4, astfel c˘ a√
a2−2 = [a−1;1,a−2,1,2a−2].
Analog se obt ¸ine√
a2+ 1 = [a;2a] ¸ si√
a2+ 2 =]a;a,2a] pentru orice a∈N.
Observat ie. Acest paragraf a fost redactat ˆ ın cea mai mare parte dup˘ a lucrarea [16].
84

Capitolul 6
Teoreme de reprezentare
pentru numere ^ ntregi
6.1 Reprezentarea unui num ar natural ca sum a de
dou a p atrate de numere ^ ntregi
Pentru un num˘ ar natural n, prind(n) vom nota num˘ arul divizorilor lui niar prinda(n)
num˘ arul divizorilor dai luincu proprietatea c˘ a d≡a(mod4). Astfel, d1(n) reprezint˘ a
num˘ arul divizorilor de forma 4 k+1 ai luiniard3(n) num˘ arul divizorilor de forma 4 k+3
ai luin(k∈N).
Conform teoremei fundamentale a aritmeticii pe n ˆ ıl putem scrie sub forma n=
2k·n1·n2cuk∈N,n1=∏
pprim
p≡1(mod 4)priarn2=∏
qprim
q≡3(mod 4)qs.
In cadrul acestui paragraf vom da r˘ aspuns la urm˘ atoarele chestiuni:
P1. Pentru care numere naturale nexist˘ ax,y∈Zastfel ˆ ıncˆ at n=x2+y2(∗).
P2. In caz c˘ a pentru nﬁxat ecuat ¸ia ( ∗) are cel put ¸in o solut ¸ie atunci s˘ a se determine
num˘ arul tuturor solut ¸iilor sale.
Observat ie . Dac˘ a ecuat ¸ia ( ∗) are o solut ¸ie ( x,y) ˆ ınN×N, atunci ˆ ın Z×Zecuat ¸ia
(∗) va avea solut ¸iile ( ±x,±y).
Astfel
i) Dac˘ ax=y= 0 atunci cu necesitate n= 0 ¸ si ecuat ¸ia ( ∗) are o unic˘ a solut ¸ie:
(0,0);
ii) Dac˘ ax̸= 0 ¸ siy= 0 atunci solut ¸ia ( x,0) din N×Ngenereaz˘ a patru solut ¸ii ˆ ın
Z×Z¸ si anume: ( x,0),(0,x),(−x,0) ¸ si (0,−x);
iii) Dac˘ ax= 0 ¸ siy̸= 0 atunci solut ¸ia (0 ,y) din N×Ngenereaz˘ a de asemenea
patru solut ¸ii ˆ ın Z×Z¸ si anume: (0 ,y),(y,0),(0,−y),(−y,0);
85

iv) Dac˘ ax̸= 0,y̸= 0 ¸ six̸=yatunci solut ¸ia ( x,y) din N×Ngenereaz˘ a opt solut ¸ii
ˆ ınZ×Z¸ si anume: ( x,y),(y,x),(−x,y),(y,−x),(x,−y),(−y,x),(−x,−y), ¸ si (−y,−x);
v) Dac˘ ax̸= 0,y̸= 0 ¸ six=yatunci solut ¸ia ( x,x) din N×Ngenereaz˘ a patru
solut ¸ii ˆ ın Z×Z¸ si anume: ( x,x),(−x,x),(x,−x) ¸ si (−x,−x).
Aceast˘ a observat ¸ie ne arat˘ a c˘ a atunci cˆ and vorbim despre num˘ arul de solut ¸ii pentru
ecuat ¸ia ( ∗), trebuie s˘ a speciﬁc˘ am neap˘ arat urmatoarele:
a) Dac˘ a este vorba de num˘ arul de solut ¸ii din N×Nsau din Z×Z;
b) Ce ˆ ıntelegem prin solut ¸ii distincte? (altfel spus, dac˘ a solut ¸iile ( x,y) ¸ si (y,x)
pentrux̸=ysunt considerate distincte sau nu).
Pentru a nu crea confuzii ˆ ın cadrul acestei lucr˘ ari vom t ¸ine cont de ordinea terme-
nilor ˆ ın cadrul solut ¸iei ( x,y) (pentrux̸=y) urmˆ and ca atunci cˆ and nu t ¸inem cont de
lucrul acesta s˘ a-l ment ¸ion˘ am expres.
Exemple.
1. Ecuat ¸ia x2+y2= 1 are dou˘ a solut ¸ii ˆ ın N×N: (1,0) ¸ si (0,1) pe cˆ and ˆ ın Z×Z
are patru solut ¸ii: (1 ,0),(0,1),(−1,0) ¸ si (0,−1).
Dac˘ a nu t ¸inem cont de ordinea termenilor concluzion˘ am c˘ a ecuat ¸ia x2+y2= 1 are
o unic˘ a solut ¸ie ˆ ın N×N(pe (1,0)) pe cˆ and ˆ ın Z×Zare dou˘ a solut ¸ii (pe (1 ,0) ¸ si (−1,0)).
2. Ecuat ¸ia x2+y2= 2 are ˆ ın N×No solut ¸ie unic˘ a ¸ si anume pe (1 ,1), pe cˆ and ˆ ın
Z×Zare patru solut ¸ii ¸ si anume: (1 ,1),(1,−1),(−1,1) ¸ si (−1,−1).
Dac˘ a nu t ¸inem cont de ordinea termenilor concluzion˘ am c˘ a ecuat ¸ia x2+y2= 2 are
ˆ ınZ×Ztrei solut ¸ii ¸ si anume: (1 ,1),(−1,1) ¸ si (−1,−1).
3. Ecuat ¸ia x2+y2= 5 are ˆ ın N×Ndou˘ a solut ¸ii: (1 ,2) ¸ si (2,1) pe cˆ and ˆ ın Z×Z
are opt solut ¸ii: (1 ,2),(1,−2),(−1,2),(−1,−2),(2,1),(−2,1),(2,−1),(−2,−1).
Dac˘ a nu t ¸inem cont de ordinea termenilor concluzion˘ am c˘ a ecuat ¸ia x2+y2= 5 are o
unic˘ a solut ¸ie ˆ ın N×N(pe (1,2)) pe cˆ and ˆ ın Z×Zare patru solut ¸ii: (1 ,2),(−1,2),(1,−2)
¸ si (−1,−2).
Lema 6.1.1. Dac a p este un num ar prim de forma 4k+1, atunci
[(p−1
2)!]2+ 1≡0(modp).
Demonstrat ie. Scriind c˘ a
(p−1)! = (1 ·2·…·p−1
2)[p+ 1
2·…·(p−1)] = (p−1
2)![p+ 1
2·…·(p−1)]
deducem imediat egalit˘ at ¸ile modulo p:
(p−1)! = (p−1
2)!(−1)p−1
2(p−1
2)! = [(p−1
2)!]2.
Conform teoremei lui Wilson ( p−1)!+1 ≡0(modp), astfel c˘ a [(p−1
2)!]2+1≡0(modp).

Lema 6.1.2. (Thue) Dac a p∈Neste un num ar prim iar a∈Zastfel ^ nc^ at p-a,
atunci exist a numerele naturale nenule x,y <√pastfel ^ nc^ at la o alegere convenabil a a
semnelor + sau – s a avem ax±y≡0(modp).
86

Demonstrat ie. Dac˘ am= [√p], atunci (m+ 1)2> p¸ si consider˘ am mult ¸imea X=
{ax−y: 0≤x,y≤m}. Cum |X|= (m+ 1)2>p, rezult˘ a c˘ a exist˘ a dou˘ a perechi diferite
(x1,y1),(x2,y2)∈Xcux1≥x2¸ sip|(ax1−y1)−(ax2−y2) =a(x1−x2)−(y1−y2).
Egalitatea x1=x2este imposibil˘ a, c˘ aci ˆ ın caz contrar ar rezulta c˘ a p|y1−y2
(lucru imposibil c˘ aci 0 ≤y1,y2≤m≤√p < p ). De asemenea, egalitatea y1=y2este
imposibil˘ a, c˘ aci ˆ ın caz contrar ar rezulta p|a(x1−x2), decip|x1−x2- imposibil (c˘ aci
0≤x1,x2≤m≤√p<p ).
Decix=x1−x2∈N∗(dac˘ ax<0, atunci not˘ am x=x2−x1) ¸ si cumy1−y2∈Z∗,
exist˘ a o alegere convenabil˘ a a semnelor + sau – astfel ˆ ıncˆ at y=±(y1−y2)∈N∗.
Cumx=x1−x2≤x1≤m <√p, deducem c˘ a 0 < x,y <√p¸ si astfel num˘ arul
ax±b(care la o alegere convenabil˘ a a semnelor + ¸ si – este egal cu a(x1−x2)−(y1−y2))
se divide prin p.
Teorema 6.1.3. (Fermat) Orice num ar prim p de forma 4k+1 se poate scrie ca
suma p atratelor a dou a numere naturale.
Demonstrat ie. Consider˘ am a= (p−1
2)!. Evident, a∈N∗¸ si (a,p) = 1.
Conform Lemei 6.1.2, exist˘ a o alegere convenabil˘ a a semnelor + ¸ si – astfel ˆ ıncˆ at
ax±y≡0(modp). Atuncia2x2−y2= (ax+y)(ax−y)≡0(modp) ¸ si conform Lemei
6.1.1a2+ 1≡0(modp), de unde deducem c˘ a a2x2+x2≡0(modp) iar de aici c˘ a
(a2x2+x2)−(a2x2−y2) =x2+y2≡0(modp), adic˘ a putem scrie x2+y2=kpcu
k∈N∗.
Cumx,y <√pdeducem c˘ a x2+y2<2p, adic˘ akp < 2p, decik <2, adic˘ ak= 1
(c˘ acix,y∈N∗). Deducem c˘ a p=x2+y2¸ si astfel Teorema lui Fermat este complet
demonstrat˘ a.
Corolar 6.1.4. Dac an∈N∗cont ine ^ n descompunerea sa ^ n factori primi numai
numere prime de forma 4k+1, atuncinse poate scrie sub forma n=x2+y2cux,y∈N.
Demonstrat ie. Totul rezult˘ a din Teorema 6.1.3 ¸ si din aceea c˘ a un produs ﬁnit de
expresii de forma x2+y2este de aceea¸ si form˘ a (conform identit˘ at ¸ii ( x2+y2)(z2+t2) =
(xz+yt)2+ (xt−yz)2).
Vom demonstra acum c˘ a scrierea unui num˘ ar natural ca sum˘ a de dou˘ a p˘ atrate de
numere naturale este unic˘ a, dac˘ a nu t ¸inem cont de ordinea termenilor.
In fapt, vom demonstra o propozit ¸ie mai general˘ a :
Propozitia 6.1.5. Fiea,b∈N. Dac a un num ar natural prim p se scrie sub forma
p=ax2+by2cux,y∈N, atunci aceasta scriere este unic a (cu conventia c a ^ n cazul ^ n
carea=b= 1s a nu t inem cont de ordinea termenilor).
Demonstrat ie. S˘ a presupunem c˘ a pare dou˘ a descompuneri: p=ax2+by2=
ax2
1+by2
1cux,y,x 1,y1∈N.
Atuncip2= (axx 1+byy1)2+ab(xy1−yx1)2= (axx 1−byy1)2+ab(xy1+yx1)2¸ si
cum (axx 1+byy1)(xy1+yx1) = (ax2+by2)x1y1+(ax2
1+by2
1)xy=p(x1y1+xy) deducem
c˘ ap|axx 1+byy1saup|xy1+yx1.
Dac˘ ap|axx 1+byy1, atunci din prima reprezentare a lui pdeducem c˘ a xy1−yx1= 0
87

¸ si decixy1=yx1,p=axx 1+byy1,px= (ax2+by2)x1=px1, de undex=x1¸ si atunci
y=y1.
Dac˘ ap|xy1+yx1, atunci din a doua reprezentare a lui pdeducem c˘ a axx 1−byy1= 0
¸ sip2=ab(xy1+yx1)2, de undea=b= 1.
Vom avea deci p=xy1+yx1¸ sixx1−yy1= 0, de unde px= (x2+y2)y1=py1,
adic˘ ax=y1¸ si dinp=x2+y2=x2
1+y2
1, deducem c˘ a y=x1(astfel c˘ a ˆ ın acest caz
descompunerile se pot deosebi doar prin ordinea termenilor).
Observat ii .
1. Din propozit ¸ia de mai ˆ ınainte deducem c˘ a dac˘ a num˘ arul natural npoate ﬁ
reprezentat ˆ ın cel put ¸in dou˘ a moduri diferite ca sum˘ a de dou˘ a p˘ atrate de numere naturale
(cu condit ¸ia s˘ a nu consider˘ am diferite descompunerile ce se deosebesc numai prin ordinea
termenilor), atunci cu necesitate nnu este prim.
De exemplu, din egalit˘ at ¸ile 2501 = 12+ 502= 102+ 492deducem c˘ a num˘ arul 2501
nu este prim.
2. Dac˘ a num˘ arul nare doar o singur˘ a descompunere ˆ ıntr-o sum˘ a de dou˘ a p˘ atrate
de numere naturale, nu rezult˘ a cu necesitate c˘ a neste prim.
De exemplu, se demonstreaz˘ a cu u¸ surint ¸˘ a c˘ a numerele 10, 18 ¸ si 45 au descompuneri
unice sub forma 10 = 12 + 32,18 = 32+ 32,45 = 32+ 62¸ si totu¸ si ele nu sunt numere
prime ( se subˆ antelege c˘ a nu am t ¸inut cont de ordinea termenilor).
Putem acum r˘ aspunde la chestiunea P1formulat˘ a la ˆ ınceputul paragrafului:
Teorema 6.1.6. (Fermat-Euler) Un num ar natural n (scris sub forma n= 2kn1n2
ca la ^ nceputul paragrafului) se poate scrie sub forma n=x2+y2cux,y∈Ndac a si
numai dac a tot i exponent ii s din scrierea lui n2sunt numere pare.
Demonstrat ie. Revenim la scrierea lui nsub forma n= 2kn1n2cuk∈N,
n1=∏
pprim
p≡1(mod 4)pr¸ sin2=∏
qprim
q≡3(mod 4)qs.
Cum 2 = 12+ 12iar conform Teoremei 6.1.3 ﬁecare factor prim p≡1(mod 4) din
scrierea lui n1se scrie sub forma x2+y2cux,y∈Ndeducem imediat c˘ a n1se poate
scrie sub aceea¸ si form˘ a ¸ si aceea¸ si proprietate o va avea ¸ si 2kn1(adic˘ a 2kn1=z2+t2cu
z,t∈N).
Dac˘ a presupunem c˘ a ﬁecare exponent sdin scrierea lui n2este par, atunci ˆ ın mod
evidentn2=m2cum∈N¸ si atuncin= 2kn1n2= (z2+t2)m2= (zm)2+ ™2.
Reciproc, ﬁe n∈Nce se poate scrie sub forma n=x2+y2cux,y∈N¸ si s˘ a
demonstr˘ am c˘ a dac˘ a qseste cea mai mare putere a unui num˘ ar prim q≡3(mod 4) ce
intr˘ a ˆ ın descompunerea ˆ ın factori primi a lui n(de fapt a lui n2) atunci cu necesitate s
este par. Presupunem prin absurd c˘ a seste impar. Dac˘ a d= (x,y), atuncid2|n¸ si dac˘ a
not˘ amx1=x
d¸ siy1=y
d,n1=n
d2, obt ¸inem c˘ a n1=x2
1+y2
1cu (x1,y1) = 1.
Conform presupunerii, seste impar iar d2(prin care am ˆ ımp˘ art ¸it egalitatea n=
x2+y2) cont ¸ine eventual o putere par˘ a a lui q, deducem c˘ a q|n1¸ si c˘ aqnu divide
88

simultan pe x1¸ siy1(s˘ a zicem c˘ a q-y1).
Privind acum egalitatea n1=x2
1+y2
1ˆ ınZqdeducem c˘ a 0 = x2
1+y2
1¸ si cum am
presupus c˘ a q-y1deducem c˘ a 0 = x2
1(y−1
1)2+ 1⇔(x1y−1
1)2=−1 de unde (−1q) =
((x1y−1
1)2
q) = 1.
Ins˘ a ˆ ın cadrul Capitolului 4 am stabilit c˘ a (−1q) = (−1)q−1
2¸ si cumq≡3(mod 4)
deducem c˘ aq−1
2este impar, astfel c˘ a (−1q) =−1, absurd.
Deciseste par. Rat ¸ionˆ and inductiv deducem c˘ a tot ¸i exponent ¸ii sdin descom-
punerea lui n2sunt pari ¸ si cu aceasta teorema este demonstrat˘ a.
Pentru a r˘ aspunde la chestiunea P2de la ˆ ınceputul paragrafului avem nevoie s˘ a
reamintim anumite chestiuni legate de aritmetica ˆ ıntregilor lui Gauss, Z[i] ={a+bi:
a,b∈Z}. Se cunoa¸ ste faptul c˘ a ( Z[i],+,·) este un inel comutativ ˆ ın care U(Z[i],+,·) =
{±1,±i}, precum ¸ si faptul c˘ a elementele prime din Z[i] sunt (pˆ an˘ a la o multiplicare cu
±1 sau±i) urmatoarele:
(i) 1±i;
(ii) Numerele prime pdinNcup≡3(mod 4);
(iii) Numerele de forma a+bicua,b∈N∗¸ sia2+b2=p, undepeste un num˘ ar
natural prim ¸ si p≡1(mod 4).
Reamintim c˘ a descompunerea numerelor din Z[i] ˆ ın factori primi este unic˘ a (ˆ ın
ipoteza c˘ a nu se t ¸ine seama de multiplic˘ arile cu ±1,±i, ¸ si de ordinea factorilor).
Pentruz=a+bi∈Z[i] deﬁnim norma luizprinN(z) =a2+b2. Evident, dac˘ a
N(z) =pcupprim,p≡1(mod 4), atunci a̸=b(c˘ aciˆ ın caz contrar p= 2a2≡0(mod 2)).
Fie acumn∈Nscris sub forma n= 2kn1n2cuk∈N,n1=∏
pprim
p≡1(mod 4)priar
n2=∏
qprim
q≡3(mod 4)qs.
Atunci descompunerea lui n ˆ ın factori primi ˆ ın Z[i] va ﬁ:
n= [(1 +i)(1−i)]kn1·∏
a2+b2=p
pprim
p≡1(mod 4)[(a+bi)(a−bi)]r·∏
qprim
q≡3(mod 4)qs(unde
r¸ sisvariaz˘ a o dat˘ a cu p¸ siq).
T ¸ inˆ and cont de unicitatea descompunerii lui nde mai ˆ ınainte deducem c˘ a ﬁec˘ arei
reprezent˘ ari a lui nsub forman=u2+v2= (u+iv)(u−iv) (cuu,v∈Z) ˆ ıi corespund
pentruu+iv¸ siu−ivdescompuneri de forma:
(∗)u+iv=it·(1 +i)k1(1−i)k2·∏
[(a+bi)r1(a−bi)r2]·qs1
(∗∗)u+iv=i−t·(1 +i)k2(1−i)k1·∏
[(a+bi)r2(a−bi)r1]·qs2
89

cut∈ {0,1,2,3},k1+k2=k,r1+r2=r¸ sis1+s2=s.
Observ˘ am c˘ a factorii primi asociat ¸i lui u+ivdetermin˘ a ˆ ın mod unic factorii primi
ai luiu−iv(¸ si reciproc).
De asemenea, ﬁecare pereche de numere complex conjugate ( u+iv,u−iv) cuu,v∈Z
dat˘ a de relat ¸iile ( ∗) ¸ si (∗∗) de mai sus veriﬁc˘ a egalitatea n=u2+v2.
Observ˘ am de asemenea c˘ a schimbarea i→ −inu afecteaz˘ a factorii reali qastfel c˘ a
s1=s2iars= 2s1(tinˆ and cont de Teorema 6.1.6).
Pentru alegerea lui tavem 4 posibilit˘ at ¸i (c˘ aci t∈ {0,1,2,3}). Pentruk1avemk+ 1
posibilit˘ at ¸i de alegere (c˘ aci k1∈ {0,1,…,k}) iar pentru k1ales,k2se determin˘ a din
k2=k−k1.
Analog, pentru r1avemr+ 1 posibilit˘ at ¸i de alegere (c˘ aci r1∈ {0,1,…,r}) iar
r2=r−r1.
Astfel, avem un num˘ ar total de 4( k+ 1)∏(r+ 1) posibilit˘ at ¸i de a asocia lui u+iv
factorii primi Gauss din descompunerea lui nˆ ın factori primi (ˆ ın Z[i]) (unde produsul∏(r+ 1) se face dup˘ a tot ¸i primii p≡1(mod 4) astfel ˆ ıncˆ at pr|n).
S˘ a vedem cˆ ate dintre aceste asocieri sunt diferite.
T ¸ inˆ and cont de egalitatea 1 + i=i·(1−i), dac˘ a avem un factor (1 + i)k1(1−i)k2
atunci acesta devine ik1(1−i)k1(1−i)k2=ik1(1−i)k1+k2=ik1(1−i)kastfel c˘ a num˘ arul
c˘ autat este de fapt 4∏
pprim
pr|n(1 +r) =d(n1) (c˘ acin1=∏
pprim
p≡1(mod 4)pr).
Din cele de mai ˆ ınainte deducem c˘ a num˘ arul total de solut ¸ii ˆ ıntregi ale ecuat ¸iei
x2+y2=neste 4d(n1).
S˘ a arat˘ am acum c˘ a d(n1) =d1(n)−d3(n).
Pentru aceasta s˘ a observ˘ am c˘ a num˘ arul divizorilor impari ai lui neste egal cu
num˘ arul termenilor sumei
(∗ ∗ ∗)∑
0≤mi≤ri
0≤kj≤sjpm1
1·…·pmn
n·qk1
1·…·qkt
t=∏
pr|n
p≡1(mod 4)(1 +p+…+pr)·
∏
qs|n
q≡3(mod 4)(1 +q+…+qs).
Dac˘ ad|n, atunci este clar c˘ a avem d≡1(mod 4) dac˘ a ¸ si numai dac˘ a ˆ ın ( ∗∗∗)t∑
j=1kj
este par, ˆ ın caz contrar avˆ and d≡3(mod 4).
Dac˘ a ˆ ınlocuim pe qcu−1 atunci produsul∏
qs|n
q≡3(mod 4)(1 +q+…+qs) este
90

zero chiar dac˘ a un singur exponent seste impar; dac˘ a tot ¸i ace¸ sti exponent ¸i ssunt pari
atunci∏
qs|n
q≡3(mod 4)(1 +q+…+qs) = 1 ¸ si astfel membrul drept din ( ∗ ∗ ∗) devine
∏
pr|n
p≡1(mod 4)(1 +p+…+pr) astfel c˘ a termenii dezvolt˘ arii acestui produs sunt exact
tot ¸i divizorii lui n1. Pentru a obt ¸ine d(n1) ﬁecare termen trebuie s˘ a ﬁe num˘ arat ca 1.
Acest lucru este u¸ sor de realizat dac˘ a ˆ ın ( ∗ ∗ ∗) ˆ ınlocuim ˆ ın partea dreapt˘ a ¸ si pe pcu 1,
obt ¸inˆ and∏
pr|n
p≡1(mod 4)(1 +r). Dac˘ a privim acum membrul stˆ ang al egalit˘ at ¸ii ( ∗ ∗ ∗)
dup˘ a ce ˆ ın partea dreapt˘ a am ˆ ınlocuit ﬁecare pcu 1 ¸ si ﬁecare qcu -1 este clar c˘ a ﬁecare
d|n,d≡1(mod 4) este num˘ arat ca +1 ¸ si ﬁecare d|n,d≡3(mod 4) este num˘ arat ca -1.
Astfel, membrul stˆ ang din ( ∗∗ ∗) devined1(n)−d3(n) iar membrul drept d(n1), de
unde egalitatea d(n1) =d1(n)−d3(n).
Sumˆ and cele expuse pˆ an˘ a aici obt ¸inem urm˘ atorul rezultat ce include ¸ si Teorema
6.1.6 (Fermat-Euler) :
Teorema 6.1.7. Fien∈N∗iarn= 2kn1n2(cuk∈N,n1=∏
pprim,p|n
p≡1(mod 4)pr
iarn2=∏
qprim,q|n
q≡3(mod 4)qs) descompunerea lui n ^ n factori primi.
Atunci ecuat ia x2+y2=nare solut ie ^ n Zdac a si numai dac a tot i exponent ii s
din descompunerea lui n2sunt pari.
Num arul solut iilor din Z×Zale ecuat iei x2+y2=neste egal cu 4(d1(n)−d3(n))
undeda(n)este num arul divizorilor d ai lui n cu proprietatea c a d≡a(mod 4),a= 1,3.
Exemple .
1. Dac˘ an= 1, atunci d1(1) = 1 ¸ sid3(1) = 0, astfel c˘ a ˆ ın Z×Zecuat ¸iax2+y2= 1
va avea 4(1-0)=4 solut ¸ii.
2. Dac˘ an= 2, atunci d1(2) = 1 ¸ sid3(2) = 0, astfel c˘ a ˆ ın Z×Zecuat ¸iax2+y2= 2
va avea 4(1-0)=4 solut ¸ii.
3. Dac˘ an= 5, atunci d1(5) = 2 ¸ sid3(5) = 0, astfel c˘ a ˆ ın Z×Zecuat ¸iax2+y2= 5
va avea 4(2-0)=8 solut ¸ii.(Se conﬁrm˘ a astfel cele stabilite la exemplele 1-3 de la ˆ ınceputul
paragrafului 1).
4. Am v˘ azut mai ˆ ınainte (Teorema 6.1.3) c˘ a dac˘ a peste un num˘ ar prim de forma
4k+ 1, atunci exist˘ a x,y∈N∗astfel ˆ ıncˆ at p=x2+y2( cumd1(p) = 2 iard3(p) = 0,
conform Teoremei 6.1.7 ecuat ¸ia x2+y2=pva avea ˆ ın Z×Z4(2-0)=8 solut ¸ii. Se
reconﬁrm˘ a concluzia de la observat ¸ia de la ˆ ınceputul paragrafului 1, cazul iv)).
In continuare vom prezenta o metod˘ a de g˘ asire a numerelor x,yatunci cˆ and se d˘ a p
91

(metoda dat˘ a de Lagrange ˆ ın anul 1808, dupa ce, tot el demonstrase ˆ ın 1785 c˘ a lungimea
perioadei pentru fract ¸ia continu˘ a a lui√peste impar˘ a pentru numerele prime pde forma
4k+ 1).
Pentru aceasta s˘ a ne reamintim c˘ a la capitolul de fract ¸ii continue a fost prezentat
urm˘ atorul algoritm de dezvoltare ˆ ın fract ¸ie continu˘ a a unui irat ¸ional p˘ atratic α=√
D:
Punema0= [√
D],b0= 0,c0= 1 ¸ si apoi construim prin recurent ¸˘ a
an+1= [a0+bn+1
cn+1],bn+1=ancn−bn,cn+1=D−b2
n+1
cn.
Calculul se continu˘ a pˆ an˘ a cˆ and bn+1=bnsaucn+1=cn.
i) Dac˘ abn+1=bn, atunci√
D= [a0;a1,…,a n−1,an,an−1,…,a 1,2a0](adic˘ a lungimea
perioadei minime este par˘ a);
ii) Dac˘ acn+1=cn, atunci√
D= [a0;a1,…,a n,an,…,a 1,2a0](adic˘ a lungimea pe-
rioadei minime este impar˘ a).
Numerelebn¸ sicnde mai sus sunt cele din scrierea lui αn=bn+√
D
cn.
S˘ a trecem acum la rezolvarea ecuat ¸iei x2+y2=p, cupun num˘ ar prim de forma
4k+ 1 (de exemplu ˆ ın N×N).
Dup˘ a cum am amintit mai sus, lungimea perioadei minime pentru fract ¸ia continu˘ a
a lui√peste impar˘ a. Deci√p= [a0;a1,…,a n,an,…,a 1,2a0].
Num˘ arulαn+1= [an;an−1,…,a 1,2a0,a1,…,a n] are perioada simetric˘ a, deci – t ¸inˆ and
cont de Propozitia 5.3.14 – deducem c˘ a αn+1·eαn+1=−1 (notat ¸iile sunt cele de la Capi-
tolul 5).
Pe de alt˘ a parte, αn+1=bn+1+√p
cn+1,eαn+1=bn+1−√p
cnastfel c˘ a obt ¸inem
bn+1+√p
cn+1·bn+1−√p
cn=−1⇔b2
n+1+c2
n+1=p
¸ si astfel (bn+1,cn+1) este singura solut ¸ie din N×Na ecuat ¸ieix2+y2=p(evident dac˘ a
nu t ¸inem cont de ordinea termenilor).
Exemplu . S˘ a se rezolve ecuat ¸ia x2+y2= 1009 ˆ ın N×N.
Evident, num˘ arul p= 1009 este prim de forma 4 k+1. Avem a0= 31,b0= 0,c0= 1
¸ si apoi
b1=a0c0−b0= 31,c1=1009−b2
1c0= 48,a1= [31 + 31
48] = 1,
b2=a1c1−b1= 17,c2=1009−b2
2c1= 15,a2= [31 + 17
15] = 3,
b3=a2c2−b02= 28,c3=1009−b2
3c2= 15 =c2. Prin urmare suntem ˆ ın cazul ii)
astfel c˘ a√
1009 = [31; 1,3,3,1,62] ¸ siα3=28 +√
1009
15a¸ sa ˆ ıncˆ at 282+ 152= 1009, deci
ˆ ın acest caz solut ¸ia ecuat ¸iei x2+y2= 1009 din N×Neste (15, 28) (dac˘ a nu t ¸inem cont
de ordinea termenilor).
92

6.2 Reprezentarea numerelor naturale ca sum a de pa-
tru p atrate de numere ^ ntregi
Scopul acestui paragraf este acela de a demonstra c˘ a orice num˘ ar natural poate ﬁ scris ca
sum˘ a a patru p˘ atrate de numere ˆ ıntregi. T ¸ inˆ and cont de identitatea lui Euler, potrivit
c˘ areia dac˘ a x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4∈Z, atunci
(x2
1+x2
2+x2
3+x2
4)(y2
1+y2
2+y2
3+y2
4) = (x1y1+x2y2+x3y3+x4y4)2+ (x1y2−
−x2y1+x3y4−x4y3)2+ (x1y3−x3y1+x4y2−x2y4)2+ (x1y4−x4y1+x2y3−x3y2)2
pentru a demonstra c˘ a un num˘ ar natural se scrie ca sum˘ a de patru p˘ atrate de numere
naturale, este suﬁcient s˘ a prob˘ am lucrul acesta pentru numere prime.
Teorema 6.2.1. (Lagrange) Fie p este un num ar prim; atunci:
(1)Exist a m si x1,x2,x3,x4∈Nastfel ^ nc^ at mp=x2
1+x2
2+x2
3+x2
4(1≤m<p );
(2)Dac a m este cel mai mic num ar natural ce veric a (1), atunci m= 1.
Demonstrat ie. Pentru a proba (1), s˘ a consider˘ am mult ¸imile:
X={x2:x= 0,1,2,…,p−1
2}¸ siY={−x2−1 :x= 0,1,2,…,p−1
2}.
S˘ a observ˘ am c˘ a elementele lui X¸ siYnu sunt congruente dou˘ a cˆ ate dou˘ a modulo
p(separat).
Intr-adev˘ ar, dac˘ a exist˘ a x1,x2∈ {0,1,2,…,p−1
2}astfel ˆ ıncˆ at x2
1≡x2
2(modp) cu
x1>x 2atuncip|(x1−x2)(x1+x2) ceea ce este imposibil deoarece 1 ≤x1+x2≤p−1.
Analog se arat˘ a c˘ a elementele lui Ynu sunt congruente dou˘ a cˆ ate dou˘ a modulo p.
Dac˘ a not˘ am prin |X|num˘ arul de elemente ale lui Xmodulop, atunci cum |X|+|Y|=
p+ 1
2+p+ 1
2=p+ 1> p, deducem c˘ a exist˘ a x,y∈ {0,1,2,…,p−1
2}astfel ˆ ıncˆ at
x2≡ −y2−1(modp), altfel zis exist˘ a m∈Nastfel ˆ ıncˆ at mp=x2+y2+ 1.
Clar
1≤m=1
p(x2+y2+ 1)≤1
p[2(p−1
2)2+ 1] =p−1
2·p−1
2+1
p<p−1
2+1
p<p.
Pentru a proba (2) s˘ a observ˘ am c˘ a dac˘ a meste par, atunci sau toate xi-urile sunt
impare sau dou˘ a.
Dac˘ a toate xi-urile sunt impare, atunci egalitatea de la (1) se mai scrie sub forma:
(x1+x2
2)2+ (x1−x2
2)2+ (x3+x4
2)2+ (x3−x4
2)2=m
2·p
iar cumx1±x2¸ six3±x4sunt numere pare se contrazice minimalitatea lui m.
Dac˘ a numai x1¸ six2sunt pare iar x3¸ six4sunt impare, din nou se contrazice
minimalitatea lui m(c˘ aci din nou x1±x2¸ six3±x4sunt numere pare).
Analog dac˘ a xi-urile sunt pare.
Decimtrebuie s˘ a ﬁe impar.
Dac˘ am= 1 nu avem ce demonstra.
93

S˘ a presupunem deci c˘ a 3 ≤m<p .
Alegemy1,y2,y3,y4astfel ˆ ıncˆ at xi≡yi(modm),−m−1
2≤yi≤m−1
2,i=
1,2,3,4 ¸ si ˆ ın mod evident y2
1+y2
2+y2
3+y2
4≡0(modm), decimn=y2
1+y2
2+y2
3+y2
4
pentru un anumit n. Mai mult, 0 ≤n≤4m·(m−1
2)2<m.
Evident,n̸= 0 (c˘ aci ˆ ın caz contrar ar rezulta yj= 0 pentru orice j= 1,2,3,4, ceea
ce ar implica xj≡0(modm),j= 1,2,3,4, ¸ si decimp=x2
1+x2
2+x2
3+x2
4≡0(modm2),
de undep≡0(modm), ceea ce este imposibil deoarece 3 ≤m<p ).
Decin≥1 ¸ si deducem imediat c˘ a m2np= (x2
1+x2
2+x2
3+x2
4)(y2
1+y2
2+y2
3+y2
4) =
z2
1+z2
2+z2
3+z2
4, undez1=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4,z2=x1y2−x2y1+x3y4−x4y3,z3=
x1y3−x3y1+x4y2−x2y4,z4= (x1y4−x4y1+x2y3−x3y2.
Cumxi≡yi(modm)(−m−1
2≤yi≤m−1
2),i= 1,2,3,4 atuncim|zj,j= 2,3,4
¸ si din egalitatea de mai sus rezult˘ a c˘ a m|z1.
Avem deci c˘ a np= (z1m)2+ (z2m)2+ (z3m)2+ (z4m)2, ceea ce din nou contrazice
minimalitatea lui m(c˘ aci n<m ).
In concluzie m= 1 ¸ si totul este acum clar.
Corolar 6.2.2. (Iacobi) Pentru orice num ar natural nexist ax,y,z,t ^ ntregi astfel
^ nc^ atn=x2+ 2y2+ 3z2+ 6t2.
Demonstrat ie. Conform Teoremei 6.2.1 exist˘ a a,b,c,d ∈Zastfel ˆ ıncˆ at n=a2+
b2+c2+d2. S˘ a ar˘ at˘ am c˘ a modulo ni¸ ste renumerot˘ ari sau schimb˘ ari de semn, putem
presupune c˘ a 3 |a+b+c. Acest lucru este evident dac˘ a cel put ¸in trei dintre numerele
a,b,c,d sunt multiplii de 3. Presupunem c˘ a numai dou˘ a dintre ele (s˘ a zicem c¸ sid) sunt
multiplii de 3. Atunci a≡ ±1(mod 3) ¸ si b≡ ±1(mod 3), deci la o alegere convenabil˘ a
a semnelor + ¸ si – avem 3 |a±b, deci 3 |a±b+c. In sfˆ ar¸ sit, dac˘ a cel put ¸in 3 dintre
numerelea,b,c,d (s˘ a zicema,b,c ) nu sunt divizibile cu 3, atunci la o alegere convenabil˘ a
a semnelor + ¸ si – avem 3 |a±b±c. Putem astfel presupune c˘ a a+b+c= 3zcu
z∈Z. Cum pentru 3 numerre ˆ ıntregi cel put ¸in dou˘ a sunt congruente modulo 2, putem
presupune c˘ a a≡b(mod 2), adic˘ a a+b= 2kcuk∈Z, decia−b= 2(k−b) = 2ycu
y∈Z. Cum avem identitatea
3(a2+b2+c2) = (a+b+c)2+ 2(a+b
2−c)2+ 6(a+b
2)2
deducem c˘ a 3( a2+b2+c2) = (a+b+c)2+ 2(k−c)2+ 6y2, de unde rezult˘ a c˘ a 3 |k−c,
decik−c= 3tcut∈Z.
Atuncia2+b2+c2= 3z2+ 6t2+ 2y2, decin=a2+b2+c2+d2=d2+ 2y2+
3z2+ 6t2.
6.3 Scrierea numerelor naturale sub forma x2+ 2y2
Lema 6.3.1. Un num ar prim pse scrie sub forma p=x2+ 2y2dac a si numai dac a
p= 2saup≡1(mod 8)saup≡3(mod 8).
94

Demonstrat ie. Pentrup= 2 avem 2 = 02+ 2·12, a¸ sa c˘ a ﬁep≥3 (deci (p,2) = 1)).
Dac˘ ap=x2+2y2rezult˘ a (x,2p) = 1 ¸ si (y,p) = 1, iarx2≡ −2y2(modp). Fiez∈Zastfel
ˆ ıncˆ atyz≡1(modp). Atunci ( xz)2≡ −2(modp) ¸ si deci (−2p) = 1, adic˘ a (−1p)(2p) =
1⇔(−1)p−1
2·(−1)p2−1
8= 1⇔p−1
2+p2−1
8= 2kcuk∈Z⇔(p−1)(p+ 5)
8= 2k⇔
p≡1(mod 8) sau p≡3(mod 8).
Reciproc, dac˘ a p≡1(mod 8) sau p≡3(mod 8) atunci (−2p) = 1 ¸ si deci exist˘ a
a∈Zastfel ˆ ıncˆ at a2≡ −2(modp). Din Lema lui Thue(Lema 6.1.2) deducem c˘ a exist˘ a
numereleˆ ıntregi x¸ siycu 0<x,y<√p¸ sip|(ax2−y2). Atuncip|(a2+2))x2−(2×2+y2)]
¸ si cump|(a2+ 2)⇒2×2+y2=pk,0<2×2+y2<3pdecik= 1 sauk= 2.
Pentruk= 1 rezult˘ a c˘ a p= 2×2+y2.
Pentruk= 2 rezult˘ a c˘ a 2 p= 2×2+y2⇒2|y,y= 2⇒p=x2+ 2z2.
Lema 6.3.2. Dac a num arul prim p este de forma p= 8k+ 5saup= 8k+ 7iar
p|x2+ 2y2cux,y∈Z, atuncip|x sip|y.
Demonstrat ie. Dac˘ ap-x⇒p-y, deci exist˘ a z∈Zastfel ˆ ıncˆ at yz≡1(modp).
Cumx2≡ −2y2(modp)⇒(xz)2≡ −2(modp). Cum (xz,p) = 1 ⇒(−2p) = 1 ⇒p≡
1(modp) saup≡3(modp)- absurd! Deci p|x¸ si implicitp|y.
Teorema 6.3.3. Fiind datn∈N, exist ax,y∈Zastfel ^ nc^ at n=x2+ 2y2dac a
si numai dac a factorii primi ai lui nde forma 8k+ 5 si8k+ 7au exponentul par.
Demonstrat ie. Fien=a2bcubliber de p˘ atrate; num˘ arul nse scrie sub forma
x2+ 2y2dac˘ a ¸ si numai dac˘ a bse scrie sub aceea¸ si form˘ a. Dac˘ a p≡5 sau 7(mod 8), p|b
¸ sib=x2+2y2din Lema 6.3.2 rezult˘ a c˘ a p|x¸ sip|y, adic˘ ap2|b- absurd. Deci b=k∏
i=1pi
undepi= 2 saupi= 1 sau 3(mod 8). Atunci, conform Lemei 6.3.1, b=x2+2y2. Rezult˘ a
ˆ ın ﬁnal c˘ an= (ax)2+ 2(ay)2.
6.4 Alte teoreme de reprezentare a numerelor ^ ntregi
Teorema 6.4.1. (Erd os-Suranyi) Orice num ar k∈Zse poate scrie ^ ntr-o innitate de
moduri sub forma k=±12±22±…±m2cum∈N.
Demonstrat ie. Facem induct ¸ie matematic˘ a observˆ and c˘ a este suﬁcient s˘ a pre-
supunemk∈N.
Observam c˘ a
0 = 12+ 22−32+ 42−52−62+ 72
1 = 12
2 = −12−22−32+ 42
3 = −12+ 22
4 = −12−22+ 32.
S˘ a presupunem acum c˘ a pentru un k∈Navemk=±12±22±…±m2.
95

Cum (m+ 1)2−(m+ 2)2−(m+ 3)2+ (m+ 4)2= 4, avemk+ 4 = ±12±22±…
±m2+ (m+ 1)2−(m+ 2)2−(m+ 3)2+ (m+ 4)2¸ si astfel teorema este demonstrat˘ a.
Inﬁnitatea descompunerii rezult˘ a din identitatea ( m+ 1)2−(m+ 2)2−(m+ 3)2+
(m+ 4)2−(m+ 5)2+ (m+ 6)2+ (m+ 7)2−(m+ 8)2= 0 ¸ si astfel ˆ ın descompunerea lui
kˆ ınlocuim pe mcum+ 8 ¸ s.a.m.d.
In leg˘ atur˘ a cu alte tipuri de reprezent˘ ari ale numerelor ˆ ıntregi recomandam citi-
torului lucrarea lui Emil Grosswald: Representations of Integers as Sums of
Squares, Springer-Verlag, 1985.
Printre alte rezultate, ˆ ın cartea respectiv˘ a se prezint˘ a ¸ si urmatoarele:
Teorema 6.4.2. Un num ar natural n se poate scrie sub forma n=x2+y2+z2,
cux,y,z ∈Zdac a si numai dac a n nu este de forma 4k(8m+ 7) cuk,m∈N.
Demonstrat ie. Pentru a p˘ astra caracterul elementar al acestei c˘ art ¸i, vom prezenta
doar demonstrat ¸ia unei implicat ¸ii: dac an= 4k(8m+ 7) cuk,m∈Natuncinnu se
poate scrie sub forma n=x2+y2+z2cux,y,z ∈Z.
S˘ a analiz˘ am laˆ ınceput cazul k= 0 ¸ si s˘ a presupunem prin absurd c˘ a exist˘ a x,y,z ∈Z
astfel ˆ ıncˆ at 8 m+7 =x2+y2+z2. Cum 8m+7 este impar deducem c˘ a ori toate numerele
x,y,z sunt impare, ori unul este impar ¸ si celelalate dou˘ a sunt pare. Este simplu de v˘ azut
c˘ a dac˘ ax∈Zeste impar atunci x2≡1(mod 8), astfel c˘ a dac˘ a x,y,z sunt impare, atunci
x2+y2+z2≡3(mod 8), deci egalitatea 8 m+ 7 =x2+y2+z2este imposibil˘ a.
Dac˘ a de exemplu xeste impar iar y,zsunt pare, atunci deducem imediat c˘ a c˘ a
x2+y2+z2≡1 sau 5(mod 8), deci din nou egalitatea 8 m+ 7 =x2+y2+z2este
imposibil˘ a.
Presupunem acum c˘ a exist˘ a k∈N∗¸ sim∈Nastfel ˆ ıncˆ at n= 4k(8m+ 1) se poate
scrie sub forma x2+y2+z2cux,y,z ∈Z¸ si ﬁek0cel mai mic num˘ ar natural nenul
cu proprietatea c˘ a exist˘ a m0∈N¸ si astfel ˆ ıncˆ at 4k0(8m0+ 7) =x2+y2+z2. Cum
4k0(8m0+ 7) este par, deducem c˘ a numerele x,y,z sunt ﬁe toate pare, ﬁe unul par iar
celelalte dou˘ a impare.
Dac˘ ax= 2×1,y= 2y1,z= 2z1cux1,y1,z1∈Zatunci din egalitate 4k0(8m0+7) =
x2+y2+z2⇒4k0−1(8m0+ 7) =x2
1+y2
1+z2
1. T ¸ inˆ and cont de alegerea lui k0rezult˘ a
c˘ ak0−1 = 0, adic˘ a k0= 1 ¸ si atunci obt ¸inem egalitatea 8 m0+ 7 =x2
1+y2
1+z2
1ceea ce
este imposibil datorit˘ a primei p˘ art ¸i a demonstrat ¸iei.
Dac˘ a de exemplu xeste par iar y,zsunt impare, din nou egalitate 4k0(8m0+ 7) =
x2+y2+z2este imposibil˘ a deoarece 4k0(8m0+ 7)≡0(mod 4), pe cˆ and x2+y2+z2≡
2(mod 4).
Pentru ceal˘ alalt˘ a implicat ¸ie (care implic˘ a printre altele rezultate superioare precum
teorema lui Minkowski asupra corpului convex ¸ si teorema lui Dirichlet privind numerele
prime ˆ ıntr-o progresie aritmetic˘ a), recomand˘ am cititorului lucrarea [36].
Teorema 6.4.3. Num arul solut iilor ^ ntregi (x, y, z) ale ecuat iei x2+y2+z2=n
96

este dat de16π·√n·L(1,χ)·q(n)·P(n), unden= 4an1,(4-n1),
q(n) =

0,dac˘ an1≡7(mod 8);
2−a,dac˘ an1≡3(mod 8);
3·2−a−1,dac˘ an1≡1,2,5 sau 6(mod 8) .
P(n) =∏
pprim
p≥3
p2b|n[1+b−1∑
j=1p−j+p−b(1−−n
p2b
p·1
p)−1]
(P(n) = 1 dac a n nu cont ine p atrate), iar L(s,χ) =∞∑
m=1χ(m)m−s, cuχ(m) = (−4nm)
(simbolul lui Jacobi !).
Cum ¸ si demonstrat ¸ia acestei teoreme este destul de laborioas˘ a, am renunt ¸at la
prezentarea ei ˆ ın detaliu (cititorul interesat poate g˘ asi aceast˘ a demonstrat ¸ie ˆ ın cartea
citat˘ a mai sus).
Teorema 6.4.4. (H.E.Richert) Orice num ar natural n>6se poate scrie ca sum a
de diferite numere prime.
Demonstrat ie. Pentru a demonstra teorema lui Richert avem nevoie de dou˘ a rezul-
tate preliminare:
Lema 1. Fiem1,m2,…un sir innit cresc ator de numere naturale astfel ^ nc^ at
pentru unk∈N, (1)mi+1≤2mipentru orice i>k .
Presupunem c a exist a a∈N sir,sr−1∈Nastfel ^ nc^ at sr−1≥mk+rastfel ^ nc^ at
ecare dintre numerele :
(2)a+1,a+2,…,a +sr−1este suma diferitelor numere din sirul m1,m2,…,m k+r−1.
Atunci ecare dintre numerele :
(3)a+ 1,a+ 2,…,a +sreste suma diferitelor numere din sirul m1,m2,…,m k+r¸ si
mai mult,sr≥mk+r+1.
Intr-adev˘ ar, ﬁe nun num˘ ar din ¸ sirul (3). Dac˘ a n≤a+sr−1nu mai avem ce demon-
stra deoarece conform ipotezei neste sum˘ a de diferit ¸i termeni ai ¸ sirului m1,m2,…,m k+r−1.
S˘ a presupunem c˘ a n > a +sr−1. Cumsr−1≥mk+r, avemn≥a+ 1 +mk+r,
decin−mk+r≥a+ 1, adic˘ a num˘ arul n−mk+reste un termen al ¸ sirului (2) ¸ si ˆ ın
consecint ¸˘ a se va scrie ca sum˘ a de termeni din ¸ sirul m1,m2,…,m k+r−1. Rezult˘ a c˘ a ¸ si n
este atunci sum˘ a de diferit ¸i termeni din ¸ sirul m1,m2,…,m k+r. Mai mult, t ¸inˆ and cont de
(1) deducem c˘ a mr+k+1≤2mk+r¸ si astfelsr=sr−1+mk+r≥2mk+1≥mk+r+1. Astfel
Lema 1 este probat˘ a.
Lema 2 .Fiem1,m2,…un sir innit de numere naturale astfel ^ nc^ at (1) are loc
pentru un num ar natural k, si exist a s0,a∈Nastfel ^ nc^ at s0≥mk+1astfel ^ nc^ at
ecare dintre numerele (4) a+ 1,a+ 2,…,a +s0este sum a de diferit i termeni din sirul
m1,m2,…,m k.
97

Atunci orice num ar natural >ase scrie ca sum a de termeni ai sirului m1,m2,….
Intr-adev˘ ar, conform Lemei 1 (cu r= 1,2,…,t,t ∈N) ﬁecare dintre numerele (5)
a+ 1,a+ 2,…,a +stse scrie ca sum˘ a de termeni din ¸ sirul m1,m2,…,m k+t. Cum ˆ ıns˘ a
sr> sr−1,r= 1,2,…,t , observ˘ am c˘ a pentru orice num˘ ar natural nexist˘ a un num˘ ar
naturaltastfel ˆ ıncˆ at n≤a+st.
In consecint ¸˘ a, orice num˘ ar natural n>a este unul dintre termenii ¸ sirului (5) cu t
convenabil ales ¸ si astfel va ﬁ sum˘ a de diferiti termeni din ¸ sirul m1,m2,…. Cu aceasta
Lema 2 este ¸ si ea probat˘ a.
S˘ a revenim acum la demonstrat ¸ia teoremei. Fie mi=picui= 1,2,…(pi-ﬁind al
i-ulea num˘ ar prim). Conform Corolarului 2.3.21 de la Capitolul 2, numerele miveriﬁc˘ a
condit ¸iile Lemei 2 (cu a= 6,s0= 13,k= 5). Aceasta deoarece 13 = p6¸ si ﬁecare
dintre numerele 7 ,8,…,19 se scriu ca sum˘ a de diferite numere prime ≤p5= 11 dup˘ a
cum urmeaz˘ a: 7=2+5, 8=3+5, 9=2+7, 10=3+7, 11=11, 12=5+7, 13=2+11, 14=3+11,
15=3+5+7, 16=5+11, 17=2+3+5+7, 18=7+11, 19=3+5+11.
Teorema rezult˘ a acum ca o consecint ¸˘ a imediat˘ a a Lemei 2.
Corolar 6.4.5. Orice num ar natural n≥10se poate scrie ca sum a de diferite
numere prime impare.
Demonstrat ie. Intr-adev˘ ar, dac˘ a alegem mi=pi+1atunci condit ¸iile Lemei 2 de
la demonstrat ¸ia Teoremei 6.3.4 sunt satisf˘ acute (cu a= 9,s0= 19,k= 6), deoarece
19 =p8=m7, decis0=m6+1¸ si mai mult, ﬁecare dintre numerele 10 ,11,…,28
se scriu ca sum˘ a de diferite numere prime impare, ≤m6= 19 dup˘ a cum urmeaz˘ a:
10=3+7, 11=11, 12=5+7, 13=13, 14=3+11, 15=3+5+7, 16=5+11, 17=17, 18=5+13,
19=3+5+11, 20=7+13, 21=3+5+13, 22=5+17, 23=3+7+13, 24=11+13, 25=5+7+13,
26=3+5+7+11, 28=3+5+7+13.
Observat ie. In lucrarea A. Makowski, Partitions into unequal primes din
Bull. Acad. Sci. S er. Sci. Math. Astr. Phys., 8(1960), pp. 125-126 se
demonstreaz˘ a urmatoarele rezultate :
Teorema 6.4.6. Orice num ar natural n > 55se poate scrie ca sum a de diferite
numere prime de forma 4k-1.
Teorema 6.4.7. Orice num ar natural n>121se poate scrie ca sum a de numere
prime de forma 4k+1.
Teorema 6.4.8. Orice num ar natural n>161se poate scrie ca sum a de numere
prime de forma 6k-1.
Teorema 6.4.9. Orice num ar natural n>205se poate scrie ca sum a de numere
prime de forma 6k+1.
S˘ a mai amintim ¸ si un rezultat al lui L. Schnirelman:
Teorema 6.4.10. (Schnirelman) Exist a un num ar natural s astfel ^ nc^ at orice
num ar natural mai mare sau egal cu 2 se scrie ca sum a a cel mult s numere prime
(nu neap arat distincte).
Cititorul poate g˘ asi demonstrat ¸ia acestei teoreme ˆ ın lucrarea [20], p.107 (preluat˘ a
98

dupa articolul original al lui Schnirelman: Uber additive Eigeenschaften von
Zahlen din Math. Ann. 107, 1933, pp. 649-690 ).
In lucrarea lui Vinogradov: Representation of an odd number as a sum of
three primes din Comptes Rendus (Doklady) de l'Academie de Sciences de
l'URSS, nr 15, 1937, pp. 191-294 , se demonstreaz˘ a (din p˘ acate neelementar):
Teorema 6.4.11. (Vinogradov) Orice num ar natural impar sucient de mare se
scrie ca sum a a cel mult trei numere prime.
Din Teoremele lui Schnirelman ¸ si Vinogradov deducem imediat:
Corolar 6.4.12. Exist an0∈N,n0≥2, astfel ^ nc^ at orice num ar natural n, n≥n0,
se scrie ca sum a a cel mult patru numere prime.
Observat ii.
1.Shapiro ¸ siWarga ˆ ın lucrarea: O n representation of large integers as
sums of primes din Comm. Pure Appl. Math, 3, 1950, p. 153 demonstreaz˘ a
elementar un rezult˘ at mai slab: Orice num ar natural sucient de mare se scrie ca sum a
a cel mult 20 numere prime .
2. Raﬁnˆ and procedeul lui Schnirelman, Yin Wen-Lin , ˆ ın lucrarea Note on the
representation of large integers as sums of primes din Bull. Ac ad. Polon.
Sci. cl III, 4, 1956, pp. 793-795 demonstreaz˘ a elementar c˘ a orice num ar natural
sucient de mare se scrie ca sum a a cel mult 18 numere prime.
3. S˘ a reamintim aici ¸ si o conjectur˘ a a lui Goldbach :Orice num ar natural par mai
mare sau egal cu 4 se scrie ca sum a a dou a numere prime.
Dac˘ a aceast˘ a conjectur˘ a ar ﬁ adevarat˘ a (lucru neprobat pˆ an˘ a acum) atunci ar
rezulta c˘ a orice num ar natural mai mare sau egal cu 2 se scrie ca sum a a cel mult 3
numere prime.
Cel mai bun rezultat demonstrat pˆ an˘ a acum este datorat lui Chen: e xist an0∈N
asfel ^ nc^ at orice num ar natural n≥n0se poate scrie sub forma n=p+m, undepeste
prim iarmeste prim sau produs de dou a numere prime.
4. In 1770, Waring a conjecturat (iar ˆ ın 1909 Hilbert a demonstrat) c˘ a pentru orice
num˘ ar natural k≥2 exist˘ as∈N∗(ce depinde de forma lui k) astfel ˆ ıncˆ at orice num˘ ar
naturalnse scrie sub forma n=s∑
i=1nk
icuni∈N,1≤i≤s.
99

100

Capitolul 7
Ecuat ii diofantice
In cele ce urmeaz˘ a prin ecuat ie diofantic a ˆ ıntelegem o ecuat ¸ie de forma
f(x1,…,x n) = 0,cuf∈Z[X1,…,X n].
A rezolva o astfel de ecuat ¸ie diofantic˘ a revine la a g˘ asi toate n-uplurile (a1,…,a n)∈
Znpentru care f(a1,…,a n) = 0.
Observat ie.
Denumirea de ecuat ¸ii diofantice provine de la numele matematicianului grec Diofant
(aprox. secolul III era noastr˘ a).
7.1 Ecuat ia ax+by+c= 0; a; b; c ∈Z (1)
Lema 7.1.1. Ecuat ia (1) are solut ie ^ n Zdac a si numai dac a d= (a,b)|c.
Demonstrat ie . In mod evident, dac˘ a x,y∈Zastfel ˆ ıncˆ at ax+by+c= 0, atunci
cumc=−ax−bydeducem c˘ a d|c⇔c=dtcut∈Z.
Reciproc, s˘ a presupunem c˘ a d|c. Atunci din algoritmul lui Euclid deducem c˘ a exist˘ a
x1,y1∈Zastfel ˆ ıncˆ at d=ax1+by1. Atuncic=dt= (ax1+by1)t=a(x1t) +b(y1t)⇔
a(x1t) +b(y1t)−c= 0⇔a(−x1t) +b(−y1t) +c= 0, adic˘ a ( −x1t,−y1t) este solut ¸ie a
ecuat ¸ieiax+by+c= 0.
Lema 7.1.2. Dac a (a,b) = 1 iar(x0,y0)este solut ie particular a a ecuat iei (1),
atunci solut ia general a din Za acestei ecuat ii este dat a de x=x0−kb siy=y0+ka,
cuk∈Z.
Demonstrat ie . Dac˘ ax=x0−kb¸ siy=y0+ka(cu (x0,y0)∈Z2solut ¸ie particular˘ a a
lui (1) ¸ sik∈Z), atunciax+by+c=a(x0−kb)+b(y0+ka)+c=ax0+by0+c−abk+abk=
0.
Fie acum ( x,y)Z2astfel ˆ ıncˆ at ax+by+c= 0. Atunci ax0+by0=ax+by⇔
a(x0−x) =b(y−y0). Cum (a,b) = 1 deducem c˘ a a|y−y0, adic˘ ay−y0=ka(cuk∈Z)
⇔y=y0+ka. Deducem imediat c˘ a a(x0−x) =bka, de undex=x0−kb.
101

Corolar 7.1.3. Fiea,b,c∈Zastfel ^ nc^ at d= (a,b)|c,a=da′,b=db′,c=dc′.
Dac a (x0,y0)∈Z2este o solut ie particular a a ecuat iei a′x+b′y+c′= 0, atunci solut ia
general a a ecuat iei (1) este dat a de x=x0−kb′,y=y0+ka′cuk∈Z.
Observat ie.
T ¸ inˆ and cont de Lema 7.1.2 ¸ si Corolarul 7.1.3 deducem c˘ a atunci cˆ and suntem pu¸ si
ˆ ın situat ¸ia de a rezolva o ecuat ¸ie diofantic˘ a de forma (1) (ˆ ın cazul ˆ ın care d= (a,b)̸=c)
este recomandabil s˘ a ˆ ımp˘ art ¸im ambii membrii ai ecuat ¸iei prin d, transformˆ and-o astfel ˆ ın
ecuat ¸ia echivalent˘ a a′x+b′y+c′= 0 (cua′=a/d,b′=b/d,c′=c/d). Cum (a′,b′) = 1,
forma general˘ a a solut ¸iilor ecuat ¸iei a′x+b′y+c′= 0 este data de Lema 7.1.2.
S˘ a prezent˘ am acum un procedeu de a gasi o solut ¸ie particular˘ a ( x0,y0) a ecuat ¸iei
(1) (cua,b,c∈Z,(a,b) = 1). Pentru aceasta vom dezvolta num˘ arul rat ¸ional α=a
bˆ ın
fract ¸ie continu˘ a. P˘ astrˆ and notat ¸iile de la Capitolul 5 observ˘ am c˘ a ultima redus˘ apnqna
luiαeste chiarpnqn=a
b=α.
T ¸ inˆ and cont de Propozit ¸ia 5.1.3 de la Capitolul 5 putem scrie:
pn
qn−pn−1
qn−1=(−1)n−1
qnqn−1⇔a
b−pn−1
qn−1=(−1)n−1
qnqn−1⇔aqn−1−bpn−1+ (−1)n= 0
de unde (prin ˆ ınmult ¸ire a ambilor membrii ai ultimei egalit˘ at ¸i cu ( −1)nc) obt ¸inem c˘ a
a[(−1)ncqn−1] +b[(−1)n+1cpn−1] +c= 0.
Deducem c˘ a x0= (−1)ncqn−1¸ siy0= (−1)n+1cpn−1este o solut ¸ie particular˘ a a
ecuat ¸iei (1).
Conform Lemei 7.1.2 solut ¸ia general˘ a a ecuat ¸iei (1) va ﬁ atunci x= (−1)ncqn−1−bk
¸ siy= (−1)n+1cpn−1+akcuk∈Z.
Exemplu
S˘ a se rezolve ecuat ¸ia diofantic˘ a ( ∗) 317x+ 182y+ 94 = 0.
Avema= 317,b= 182,c= 94 ¸ si se observ˘ a c˘ a ( a,b) = 1, astfel c˘ a ecuat ¸ia ( ∗) are
solut ¸ie ˆ ın Z2(conform Lemei 7.1.2).
Pentru a g˘ asi solut ¸ia general˘ a a ecuat ¸iei ( ∗) s˘ a g˘ asim o solut ¸ie particular˘ a ( x0,y0)∈
Z2a ecuat ¸iei ( ∗).
Prin calcul direct g˘ asim urmatoarea dezvoltare ˆ ın fract ¸ie continu˘ a a lui α=317
182:
317
182= [1; 1,2,1,6,1,5].
Redusele lui α=317
182se obt ¸in completˆ and de la stˆ anga la dreapta tabelul:
a 1 1 2 1 6 1 5
p1 1 2 5 7 47 54 317
q0 1 1 3 4 27 31 182
Deducem c˘ a α=p6q6=317
182, adic˘ an= 6.
O solut ¸ie particular˘ a va ﬁ x0= (−1)ncqn−1= (−1)6·94·q5= 94·31 = 2914,y0=
(−1)n+1cpn−1= (−1)7·94·p5=−94·54 =−5076.
Astfel, solut ¸ia general˘ a a ecuat ¸iei ( ∗) va ﬁx= 2914 −182k,y=−5076 + 317k, cu
k∈Z.
102

7.2 Ecuat ia x2+y2=z2(2)
In primul rˆ and trebuie observat c˘ a dac˘ a tripletul ( x,y,z ) de numereˆ ıntregi veriﬁc˘ a ecuat ¸ia
(2), atunci aceea¸ si ecuat ¸ie va ﬁ satisfacut˘ a de orice triplet de forma ( λx,λy,λz ), cuλ∈Z
¸ si reciproc.
De aceea, pentru a g˘ asi toate solut ¸iile ecuat ¸iei (2) (constˆ and din numere diferite de
zero) este suﬁcient s˘ a g˘ asim (solut ¸iile ( x,y,z ) pentru care numerele x,y,z sunt relativ
prime (adic˘ a nu au nici un divizor prim diferit de 1)).
Este clar c˘ a dac˘ a ˆ ıntr-o solut ¸ie ( x,y,z ) a ecuat ¸iei (2) dou˘ a dintre numerele x,y,z
au un divizor comun λ̸=±1, atunci ¸ si al treilea num˘ ar se divide cu λ.
De aceea ne putem restrˆ ange la solut ¸iile ce constau din numere relativ prime dou˘ a
cˆ ate dou˘ a, pe care le vom numi solut ii primitive .
Dac˘ a (x,y,z ) este o solut ¸ie a lui (2), atunci ˆ ın mod evident ¸ si ( y,x,z ) este solut ¸ie.
Pe de alta parte, dac˘ a ( x,y,z ) este solut ¸ie, atunci xsauyeste par (c˘ aci dac˘ a x¸ si
yar ﬁ impare atunci x2+y2ar ﬁ de forma 4 k+ 2, pe cˆ and p˘ atratul unui num˘ ar ˆ ıntreg
nu poate ﬁ decˆ at de forma 4 ksau 4k+ 1).
In plus, dac˘ a ( x,y,z ) este solut ¸ie, atunci ¸ si ( ±x,±y,±z) vor ﬁ solut ¸ii.
Lema 7.2.1. Orice solut ie particular a (x, y, z) de numere naturale (cu n par)
a ecuat iei (2) este de forma x= 2mn,y =m2−n2,z=m2+n2cum,n∈N si
n<m, (n,m) = 1 iar m, n au parit ati diferite.
Demonstrat ie . Identitatea (2 mn)2+ (m2−n2)2= (m2+n2)2arat˘ a c˘ a numerele de
forma din enunt ¸ sunt solut ¸ii ale ecuat ¸iei (2) cu xpar.
Dac˘ ax,y,z au un divizor comun λ≥2, atunciλdivide ¸ si numerele 2 m2= (m2+
n2)2+ (m2−n2)2¸ si 2n2= (m2+n2)2−(m2−n2)2. Rezult˘ a c˘ a λ= 2 (c˘ aci (m,n) = 1).
Ins˘ a atunci m2¸ sin2sunt simultan pare sau impare, ceea ce este imposibil c˘ aci prin
ipotez˘ am¸ sinau parit˘ at ¸i diferite. Deci solut ¸ia din enunt ¸ este primitiv˘ a.
Reciproc, ﬁe ( x,y,z ) o solut ¸ie primitiv˘ a a lui (2) cu x,y,z ∈Niarx= 2a. Atunci
y¸ sizsunt impare, deci numerele z+y¸ siz−ysunt pare (ﬁe z+y= 2b,z−y= 2c).
Orice divizor comun al lui b¸ sicdivide pez=b+c¸ si pey=b−c, de aceeaλ=±1,
astfel c˘ a (b,c) = 1. Pe de alt˘ a parte 4 a2=x2=z2−y2= 4bc, de undea2=bc, adic˘ a
b=m2¸ sic=n2(m,n∈N) iar de aici a2=m2n2⇔a=mn, decix= 2a= 2mn,y =
b−c=m2−n2iarz=b+c=m2+n2(se observ˘ a c˘ a n<m ).
Corolar 7.2.2. Solut ia general a a ecuat iei (2) este x= 2rmn,y =r(m2−n2),z=
r(m2+n2)cur,m,n ∈Z.
7.3 Ecuat ia x4+y4=z4(3)
In cadrul acestui paragraf vom demonstra un rezultat ceva mai general ¸ si anume:
Lema 7.3.1. Ecuat iax4+y4=z2(4)nu are solut ii ^ n Z∗.
103

Demonstrat ie . S˘ a presupunem c˘ a ar exist˘ a o solut ¸ie ˆ ın Z∗a ecuat ¸iei (4). Putem
presupune ˆ ın mod evident c˘ a aceast˘ a solut ¸ie const˘ a din numere din N∗.
Cum orice mult ¸ime nevid˘ a de numere naturale are un cel mai mic element, atunci
printre solut ¸iile ecuat ¸iei (4) exist˘ a una ( x,y,z ) cuzminim.
Analog ca ˆ ın cazul ecuat ¸iei (2) se arat˘ a c˘ a xsauytrebuie sa ﬁe par; s˘ a presupunem
c˘ axeste par. Cum ( x2)2+ (y2)2=z2iarx2,y2¸ sizsunt naturale ( ¸ si pot ﬁ presupuse
relativ prime), atunci conform celor stabilite la §2 exist˘ a numerele naturale m,n,m>n ,
relativ prime ¸ si de parit˘ at ¸i diferite astfel ˆ ıncˆ at x2= 2mn,y2=m2−n2¸ siz=m2+n2.
Dac˘ am= 2k¸ sin= 2t+ 1 atunci y2= 4(k2−t2−t−1) + 3, ceea ce nu se poate (c˘ aci
y2trebuie s˘ a ﬁe de forma 4 ksau 4k+ 1).
Rezult˘ a c˘ a meste impar iar neste par. Fie n= 2q; atuncix2= 4mna¸ sa c˘ a
mq= (x
2)2. Cum (m,n) = 1 deducem c˘ a m=z2
1,q=t2cuz1,tnaturale ¸ si ( z1,t) = 1.
In particular, observ˘ am c˘ a y2= (z2
1)2−(2t2)2⇔(2t2)2+y2= (z2
1)2. Aplicˆ and din
nou cele stabilite la §2 deducem c˘ a exist˘ a a,b∈N∗,a>b, (a,b) = 1 ¸ si de parit˘ at ¸i diferite
astfel ˆ ıncˆ at 2 t2= 2ab⇔t2=ab,y =a2−b2,z2
1=a2+b2.
Cum (a,b) = 1 iart2=abdeducem c˘ a a=x2
1,b=y2
1¸ si atuncix4
1+y4
1=z2
1.
Deducem c˘ a ( x1,y1,z1) este o solut ¸ie a lui (4) ¸ si conform alegerii lui zar trebui c˘ a
z1≥z⇔z2
1≥z⇔m≥m2+n2, ceea ce este absurd.
Corolar 7.3.2. Ecuat ia (3) nu poate avea solut ii (x, y, z) cu x,y,z ∈Z∗.
Observat ie. Ecuat ¸ia (3) este legat˘ a de ceea ce ˆ ın teoria numerelor a fost cunoscut˘ a
ˆ ıncepˆ and cu anul 1637 sub numele de Marea teorema a lui Fermat (de¸ si corect ar ﬁ fost
s˘ a ﬁe numit˘ a Marea Conjectur a a lui Fermat !):
Dac an≥3,x,y,z ∈Zastfel ^ nc^ at xn+yn=zn, atuncixyz= 0(evident, este
suﬁcient s˘ a presupunem c˘ a neste prim).
Pentrun= 4 am v˘ azut mai sus c˘ a ecuat ¸ia lui Fermat x4+y4=z4nu are solut ¸ii ˆ ın
Z∗(Corolarul 7.3.2).
Printre hˆ artiile lui Fermat a fost g˘ asit˘ a demonstrat ¸ia teoremei numai pentru cazul
n= 4 (interesant este c˘ a aceasta este singura demonstrat ¸ie a unui rezultat de teoria
numerelor care s-a p˘ astrat de la Fermat!).
In ce prive¸ ste cazul general, n > 4, Fermat a notat (pe marginea unei pagini din
,,Aritmetica” lui Diofant) c˘ a a g˘ asit ,,o demonstrat ¸ie cu adev˘ arat minunat˘ a” a acestui
fapt, dar ,,aceasta margine este prea ˆ ıngust˘ a pentru a o cuprinde”.
Cu toate eforturile multor matematicieni, aceast˘ a demonstrat ¸ie nu a fost g˘ asit˘ a ¸ si
este ˆ ındoielnic c˘ a ea ar ﬁ existat. Mai mult, numai pentru n= 4 s-a reu¸ sit s˘ a se dea o
solut ¸ie elementar˘ a.
Astfel se explic˘ a de ce speciali¸ stii ˆ ın teoria numerelor au fost convin¸ si de imposi-
bilitatea demonstr˘ arii Marii teoreme a lui Fermat prin procedee elementare. Paradoxul
const˘ a totu¸ si ˆ ın aceea c˘ a ˆ ın toate cazurile ˆ ın care Fermat a aﬁrmat categoric c˘ a a demon-
strat o aﬁrmat ¸ie sau alta, ulterior s-a reu¸ sit a se demonstra aceast˘ a aﬁrmat ¸ie.
Cel care a reu¸ sit s˘ a demonstreze conjectura lui Fermat este matematicianul englez
104

Andrew Wiles de la Universitatea din Princeton (S.U.A). De fapt acesta a demonstrat
o alt˘ a conjectur˘ a (a¸ sa zisa conjectur˘ a a lui Shimura-Taniyama-Weil) din care conjectura
lui Fermat rezult˘ a ca un corolar.
Din p˘ acate demonstrat ¸ia lui Wiles este destul de diﬁcil˘ a, ea neavˆ and un carac-
ter elementar, limitˆ and astfel accesul la ˆ ınt ¸elegerea ei pentru un foarte mare num˘ ar de
matematicieni.
Celor care poseda cuno¸ stiint ¸e solide de aritmetica geometriei algebrice le reco-
mand˘ am lucrarea lui A.Wiles din care rezult˘ a conjectura lui Fermat:
A.Wiles: Modular Elliptic Curves and Fermat's Last Theorem, Annals
of Math., vol. 141, pp. 443-551, 1995.
7.4 Ecuat ii de tip Pell: x2−Dy2=±1(D∈N)(5)
Ca ¸ si ˆ ın paragrafele precedente, pentru a rezolva ecuat ¸ia (5) ˆ ın Zeste suﬁcient s˘ a g˘ asim
solut ¸iile sale x,y∈N∗. Dac˘ aD=n2cun∈N∗, atunci (x−ny)(x+ny) = 1 ¸ si se arat˘ a
imediat c˘ a aceast˘ a ecuat ¸ie nu are solut ¸ii ( x,y) cux,y∈N∗.
R˘ amˆ ane deci s˘ a ne ocup˘ am doar de cazul D∈N∗¸ si√
D∈I.
In Capitolul 5 (Propozitia 5.3.7) am v˘ azut c˘ a fract ¸ia continu˘ a a lui√
Deste de
forma:√
D= [a0;a1…,a n,2a0], adic˘ a√
D= [a0;a1…,a n,a0+√
D], de unde√
D=
pn(a0+√
D) +pn−1
qn(a0+√
D) +qn−1iar de aici, Dqn+√
D(qna0+qn−1) = (pna0+pn−1) +pn√
D.
Cum√
D∈I, deducem c˘ a Dqn=pna0+pn−1¸ sipn=qna0+qn−1.
Atuncip2
n−Dq2
n= (qna0+qn−1)pn−(pna0+pn−1)qn=−(qnpn−1−pnqn−1) =
(−1)n+1, adic˘ ap2
n−Dq2
n= (−1)n+1.
Aceast˘ a ultim˘ a egalitate ne sugereaz˘ a:
Lema 7.4.1. Toate solut iile ecuat iei (5) sunt date de reduse ale lui√
D.
Demonstrat ie . Egalitatea p2
n−Dq2
n= (−1)n+1r˘ amˆ ane adev˘ arat˘ a ¸ si dac˘ a ˆ ın locul lui
npunemk(n+ 1)−1 (deoarece nu este nevoie s˘ a consider˘ am cea mai scurt˘ a perioad˘ a).
Astfel
(∗)p2
k(n+1)−1−Dq2
k(n+1)−1= (−1)k(n+1),
ceea ce ne arat˘ a c˘ a o inﬁnitate de reduse ale lui√
Dne dau solut ¸ii pentru ecuat ¸ia
x2−Dy2=±1.
Fie acump,q∈N∗astfel ˆ ıncˆ at |p2−Dq2|= 1. Vrem s˘ a demonstr˘ am c˘ ap
qeste o
redus˘ a a lui√
D. S˘ a presupunem prin absurd c˘ ap
qnu este o redus˘ a a lui√
D. Atunci
conform observat ¸iei de dup˘ a Propozit ¸ia 5.2.1 de la Capitolul 5, exist˘ a o redus˘ apkqka lui√
Dcu :|qk−pk|<|q−p|¸ siqk<q.
Avem |qk+pk| ≤2qk√
D+|pk−Dqk| ≤2(q−1)√
D+|q√
D−p|= 2q√
D−(2√
D−
|q√
D−p|)<2q√
D− |q√
D−p| ≤ |q√
D+p|, de unde rezult˘ a c˘ a: 0 <|p2
k−Dq2
k|=
|qk√
D−pk| · |qk√
D+pk|<|q2D−p2|= 1 , ceea ce este absurd.
105

Rezult˘ a deci c˘ a toate solut ¸iile ecuat ¸iei x2−Dy2=±1 sunt date de reduse ale lui√
D.
Fie acump2
k−Dq2
k=±1 o astfel de solut ¸ie.
Avem√
D= [a0;a1,…,a k,αk+1]. S ¸tim c˘ aαk+1este un irat ¸ional p˘ atratic redus care
satisface ecuat ¸ia:
Ak+1×2+Bk+1x+Ck+1= 0,undeAk+1=p2
k−Dq2
k=±1
.
In plus,B2
k+1−4Ak+1Ck+1= 4D¸ siBk+1este par.
Rezult˘ aαk+1=Bk+1
2+√
D¸ si cumαk+1este irat ¸ional p˘ atratic redus avem ak+1=
a0+√
D¸ si deci [2a0;a1,…,a k] este o perioad˘ a a lui√
D, deci toate solut ¸iile ecuat ¸iei (5)
sunt de forma ( ⋆).
Observat ie. Este de ret ¸inut algoritmul de g˘ asire a solut ¸iei x2
0−Dy2
0= 1, cu cele
mai micix0¸ siy0naturale nenule:
x0y0={
[a0;a1,…,a n], dac˘ a perioada minim˘ a are lungimea par˘ a;
[a0;a1…,a n,2a0,a1,…,a n],dac˘ a neste par (adic˘ a perioada este impar˘ a).
S˘ a remarc˘ am ¸ si faptul c˘ a dac˘ a lungimea perioadei lui√
Deste par˘ a, atunci ecuat ¸ia
x2−Dy2=−1 nu are solut ¸ii.
Exemple
a) Ecuat ¸ia x2−7y2= 1.
Avem:√
7 = [2; 1,1,1,4],p3q3= [2; 1,1,1] =8
3, decix0= 8 ¸ siy0= 3.
b) Ecuat ¸ia x2−13y2=−1.
Avem:√
13 = [3; 1,1,1,6],p4q4=18
5, decix0= 18 ¸ siy0= 5.
S˘ a mai not˘ am faptul c˘ a ecuat ¸iile de forma x2−Dy2=mcuD,m∈Zsunt cunoscute
sub numele de ecuat ii de tip Pell (de¸ si Pell nu s-a ocupat de studiul unor astfel de ecuat ¸ii,
aceast˘ a gre¸ seal˘ a de numire datorˆ andu-se lui Euler).
7.5 Ecuat ii de tipul ax2+by2+cz2= 0, cu a; b; c∈Z (6)
In cadrul acestui paragraf ne vom ocupa de rezolvarea ecuat ¸iei diofantice (6), unde
a,b,c∈Zsunt libere de p˘ atrate (adic˘ a nu cont ¸in ˆ ın descompunerea lor factori de forma
d2cudprim), iar ( a,b) = (b,c) = (c,a) = 1.
In mod evident, dac˘ a a,b,c≥0 saua,b,c≤0 atunci ecuat ¸ia (6) are solut ¸ie trivial˘ a
x=y=z= 0. Prin urmare vom presupune c˘ a a,b,c nu sunt simultan negative sau
pozitive.
Dac˘ am,n∈Z, vom scrie mRndac˘ a exist˘ a x∈Zastfel ˆ ıncˆ at x2≡m(modn),
(adic˘ ameste rest p˘ atratic modulo n).
Teorema 7.5.1. (Legendre) Fie a,b,c∈Z, libere de patrate, oricare dou a relativ
prime, neav^ and toate acela si semn. In aceste condit ii ecuat ia ax2+by2=z2(7) are o
solut ie netriviala dac a si numai dac a urm atoarele condit ii sunt ^ ndeplinite:
106

(i)−abRc;
(ii)−acRb;
(iii)−bcRa.
Este preferabil s˘ a demonstr˘ am teorema lui Lagrange sub urmatoarea form˘ a echiva-
lent˘ a:
Teorema 7.5.2. Fie a, b numere naturale libere de patrate. Atunci ecuat ia ax2+
by2+cz2= 0are o solut ie netrivial a ^ ntreag a dac a si numai dac a urm atoarele condit ii
sunt ^ ndeplinite:
(i)aRb;
(ii)bRa;
(iii)-(ab/d2)Rd,unded= (a,b).
Intr-adev˘ ar, s˘ a presupunem c˘ a Teorema 7.5.2 este adevarat˘ a ¸ si s˘ a consider˘ am ecuat ¸ia
ax2+by2+cz2= 0 cua,b,c ca ˆ ın enunt ¸ul Teoremei 7.5.1 (s˘ a presupunem c˘ a a,b> 0, iar
c<0). Atunci −acx2−bcy2−z2= 0 satisface condit ¸iile din Teorema 7.5.2 Dac˘ a ( x,y,z )
este o solut ¸ie netrivial˘ a, atunci, deoarece ceste liber de p˘ atrate, c|z. Punˆ andz=cz′
¸ si simpliﬁcˆ and ajungem la o solut ¸ie netrivial˘ a pentru (6). L˘ as˘ am ca exercit ¸iu probarea
faptului c˘ a Teorema 7.5.1 implic˘ a Teorema 7.5.2.
S˘ a trecem acum la demonstrarea Teoremei 7.5.2.
Dac˘ aa= 1 totul este clar. S˘ a presupunem c˘ a a > b (c˘ aci dac˘ ab > a schimb˘ am
pexcuy, iar dac˘ aa=batunci −1 este p˘ atrat modulo b, ¸ si se veriﬁc˘ a imediat c˘ a
exist˘ ar,s∈Zastfel ˆ ıncˆ at b=r2+s2; ˆ ın aceste condit ¸ii o solut ¸ie a ecuat ¸iei (6) va ﬁ
x=r,y=s,z=r2+s2).
S˘ a construim acum o nou˘ a form˘ a Ax2+by2=z2satisfacˆ and acelea¸ si condit ¸ii c˘ a
ˆ ın enunt ¸ul Teoremei 7.5.2, 0 < A < a ¸ si astfel ˆ ıncˆ at dac˘ a forma astfel construit˘ a are o
solut ¸ie netrivial˘ a, atunci acea solut ¸ie veriﬁc˘ a ¸ si forma din enunt ¸ul Teoremei 7.5.2.. Astfel,
dup˘ a un num˘ ar de pa¸ si, schimbˆ and de ﬁec˘ are dat˘ a pe Acubdac˘ aA < b ajungem la
unul din cazurile a= 1 saua=bcare au fost deja discutate.
Iat˘ a cum ajungem la aceste cazuri.
Conform cu (ii), exist˘ a T,c∈Zastfel ˆ ıncˆ at (8) c2−b=aT=aAm2, cuA,m∈Z,A
liber de p˘ atrate, iar |c| ≤a. S˘ a ar˘ at˘ am c˘ a 0 <A<a .
Intr-adev˘ ar, din (8) deducem c˘ a 0 ≤c2=aAm2+b<a (Am2+1), adic˘ aA≥0. Cum
beste liber de p˘ atrate deducem c˘ a A> 0. Mai mult, din (8) deducem c˘ a aAm2<c2≤a2
4
astfel c˘ aA=Am2<a
4<a. S˘ a ar˘ at˘ am acum c˘ a ARb.
Fieb=b1d,a=a1d, cu (a1,b1) = 1 ¸ si s˘ a observ˘ am c˘ a ( a1,d) = (b1,d) = 1 deoarece
a¸ sibsunt libere de p˘ atrate. Atunci (8) devine: (9) c2−b1d=a1dAm2¸ si cumd
este liber de p˘ atrate deducem c˘ a d|c. Punˆ andc=c1d¸ si simpliﬁcˆ and obt ¸inem (10)
dc2
1−b1=a1Am2. AtunciAa1m2≡ −b1(modd) sauAa2
1m2≡ −a1b1(modd).
107

Ins˘ a (m,d) = 1 deoarece din (10) deducem c˘ a ˆ ın caz contrar un factor comun al lui
m¸ sidar divideb1¸ sid¸ si astfelbnu ar mai ﬁ liber de p˘ atrate.
Utilizˆ and (iii) ¸ si faptul c˘ a meste o unitate modulo ddeducem c˘ a ARd.
Mai mult,c2≡aAm2(modb1) iar deoarece aRbavem c˘ aaRb1. De asemenea
(a,b1) = 1 deoarece ˆ ın caz contrar un factor comun ar divide d¸ sib1, contrazicˆ and faptul
c˘ ab=b1deste liber de p˘ atrate.
Similar (m,b 1) = 1, ceea ce arat˘ a c˘ a ARb1. AtunciARdb1sauARb.
Vom scrie acum A=rA1,b=rb2,(A1,b2) = 1 ¸ si trebuie s˘ a demonstr˘ am c˘ a
−A1b2Rr.
Din (8) deducem c˘ a: c2−rb2=arA 1m2(11). Cum reste liber de p˘ atrate deducem
c˘ ar|c. Dac˘ ac=rc1atunciaA1m2≡ −b2(modr). CumaRbrezult˘ a c˘ aaRr. Scri-
ind acum c˘ a −aA1b2m2≡b2
2(modr) ¸ si observˆ and c˘ a ( a,r) = (m,r) = 1, concluzion˘ am
c˘ a−A1b2Rr.
S˘ a presupunem acum c˘ a AX2+bY2=Z2are o solut ¸ie netrivial˘ a. Atunci AX2=
Z2−bY2(12). Din (12) ¸ si (6) prin multiplicare obt ¸inem : A(Axm )2= (Z2−bY2)(c2−b) =
(Zc+bY)2−b(cY+Z)2.
Atunci (6) are solut ¸ia : x=AXm,y =cY+Z,z=Zc+bYceea ce completeaz˘ a
demonstrat ¸ia (c˘ aci X̸= 0 ¸ sim̸= 0 deoarece beste liber de p˘ atrate).
Corolar 7.5.3. Fiea,b,c∈Zlibere de p atrate, cu (a,b)=(a, c)=(b, c)=1 si nu au
toate acela si semn. Dac a pentru un num ar prim p≥2congruent a ax2+by2+cz2≡
0(modpm)are solut ie (x,y,z )∈Z3, pentru orice m∈N∗astfel ^ nc^ at nici o component a
a sa nu se divide prin p, atunci ax2+by2+cz2= 0are solut ie netrivial a ^ ntreag a (x, y,
z).
Demonstrat ie . Fiem= 2 ¸ si s˘ a presupunem c˘ a p|a. Atunci dac˘ a ( x,y,z ) este o
solut ¸ie ca ˆ ın corolar, s˘ a ar˘ at˘ am c˘ a p-yz.
Dac˘ ap|y, atuncip|cz2care implic˘ a p|z(deoarece (a,c) = 1). Atunci p2|ax2¸ si
cump-xobt ¸inem contradict ¸ia p2|a. Similarp-z. Atunciby2+cz2≡0(modp), de
unde deducem c˘ a −bcRp, ceea ce implic˘ a −bcRa.
Similar −abRc¸ si−acRbiar acum corolarul rezult˘ a din teorema lui Legendre
(pus˘ a sub prima form˘ a).
Observat ii.
1. Acest corolar conﬁrm˘ a principiul lui Hasse conform c˘ aruia rezolubilitatea local˘ a
implic˘ a rezolubilitatea global˘ a (aici rezolubilitatea local˘ aˆ ınseamn˘ a c˘ a ecuat ¸ia considerat˘ a
are solut ¸ie netrivial˘ a modulo pmpentru orice pprim ¸ simnatural nenul, iar rezolubilitatea
global˘ a ˆ ınseamn˘ a c˘ a ecuat ¸ia are o solut ¸ie ˆ ıntreag˘ a).
2. Pentru forme p˘ atratice acest principiu funct ¸ioneaz˘ a ˆ ıns˘ a fals dac˘ a ecuat ¸ia are
grad mai mare.
De exemplu: ecuat ¸ia x4−17y4= 2z4are solut ¸ie netrivial˘ a modulo pmpentru
oricepprim ¸ sim∈N¸ si o solut ¸ie real˘ a, ˆ ıns˘ a nu are solut ¸ie netrivial˘ a ˆ ıntreag˘ a [vezi H.
Reichardt: Einige im Kleinen uberall l osbare, im Grossen unl osbare diophan-
108

tische Gleichungen, J. Reine Angew und Math., 184(1942) pp. 12-18 ].
7.6 Ecuat ii de tip Bachet
Prin ecuat ie diofantic a de tip Bachet ˆ ınt ¸elegem ecuat ¸iile de forma
y2=x3+kcuk∈Z.(7)
Aceste tipuri de ecuat ¸ii au generat la vremea lor interes deosebit, iar ˆ ın 1621 Bachet
a aﬁrmat c˘ a pentru k=−2 ecuat ¸ia (7) are solut ¸ie unic˘ a x= 3,y= 5.
Teorema 7.6.1. (Lebesque) Ecuat ia y2=x3+ 7nu are solut ie ^ n Z2.
Demonstrat ie. Dac˘ axeste par atunci y2≡3(mod 4) ceea ce este absurd. De
asemenea, dac˘ a x≡3(mod 4) atunci y2≡2(mod 4) din nou absurd. Deci x≡1(mod 4).
Scriindy2+ 1 =x3+ 8 = (x+ 2)(x2−2x+ 4), cumx2−2x+ 4≡3(mod 4), deducem
c˘ ay2≡ −1(mod 4) ⇔y2≡3(mod 4) din nou absurd.
Teorema 7.6.2. Ecuat iay2=x3−16nu are solut ie ^ n Z2.
Demonstrat ie. Dac˘ axeste par,x= 2a, atunciyeste de asemenea par, deci y= 2b
cua,b∈Z. Atuncib2+ 4 = 2a3, decib= 2c¸ sia= 2d(c,d∈Z). Atuncic2+ 1 = 4d3-
absurd. Deci x¸ siysunt impare. Deducem c˘ a x3≡1(mod 8), deci x≡1(mod 8). Atunci
x−2≡ −1(mod 8) ¸ si ( x−2)|(x3−8) =y2+ 8. Deducem c˘ a x−2 nu poate avea factori
primipde formap≡1,3(mod 8), deci exist˘ a un prim pce dividey2+8 iarp≡5(mod 8)
saup≡7(mod 8).
Atunci 1 = (y2
p) = (−8p) = (−2p), contradict ¸ie (vezi Ex. 8 de la Capitolul 4).
7.7 Rezolvarea^ n numere^ ntregi a sistemelor de ecuat ii
liniare
In cadrul acestui paragraf vom prezenta condit ¸ii necesare ¸ si suﬁciente ca un sistem de m
ecuat ¸ii liniare cu nnecunoscute cu coeﬁcient ¸i din Zs˘ a aib˘ a solut ¸ie ˆ ıntreag˘ a precum ¸ si
modul de aﬂare a solut ¸iei generale ˆ ın caz de compatibilitate.
Denit ia 7.7.1. O matriceU∈Mn(Z)(n≥2) se zice unimodular a dac˘ adet(U) =
±1.
In mod evident Ueste unimodular˘ a dac˘ a ¸ si numai dac˘ a Ueste inversabil˘ a ˆ ın Mn(Z).
Grupul unit˘ at ¸ilor monoidului ( Mn(Z),·) se noteaz˘ a prin GLn(Z) ¸ si poart˘ a numele de
grupul general liniar de ordin n al lui Z.
Pentrun≥1,i,j∈N,i̸=j,1≤i,j≤n¸ siλ∈Zvom nota prin Tij(λ) maticea din
Mn(Z) ce are 1 pe diagonala principal˘ a, λpe pozit ¸ia ( i,j) ¸ si 0 ˆ ın rest.
Reamintim c˘ a pentru m,n∈N,m,n ≥2, matricea unitate Ineste matricea din
Mn(Z) ce are 1 pe diagonala principal˘ a ¸ si 0 ˆ ın rest, iar matricea nul˘ a Om,neste matricea
dinMm,n(Z) ce are 0 pe toate pozit ¸iile.
109

De asemenea, pentru 1 ≤i≤nvom nota prin Dimatricea ce difer˘ a de matricea
unitateIndoar pe pozit ¸ia ( i,i), undeDiare -1.
In mod evident det(Tij(λ)) = 1 ¸ sidet(Di) =−1, de unde deducem c˘ a Ti,j,Di∈
GLn(Z).
Denit ia 7.7.2. Matricele de forma Tij(λ) ¸ siDicuλ∈Z,1≤i,j≤ndeﬁnite
anterior se numesc elementare . Inmult ¸irea la stˆ anga sau la dreapta a unei matrice Acu
o matrice elementar˘ a poart˘ a numele de transformare elementar a .
Din felul ˆ ın care se ˆ ınmult ¸esc dou˘ a matrice, urm˘ atorul rezultat este imediat:
Teorema 7.7.3. Fiem,n∈N,m,n≥2 siA∈Mm,n(Z).
1)Dac aTij(λ)este o matrice elementar a din Mm(Z), atunci matricea Tij(λ)Ase
obt ine dinAadun^ and la elementele liniei ipe cele ale coloanei j^ nmult ite cu λ:
2)Dac aTij(λ)este o matrice elementar a de ordinul n, atunci matricea ATij(λ)se
obt ine din A, adun^ and la elementele coloanei j pe cele ale coloanei i ^ nmult ite cu λ;
3)Dac aDieste o matrice elementar a de ordin m, atunci matricea DiAse obt ine
din A ^ nmult ind elementele liniei i cu -1;
4)Dac aDieste o matrice elementar a de ordin n, atunci matricea ADise obt ine
din A ^ nmult ind elementele coloanei i cu -1.
Exemple Fiem= 3 ¸ sin= 4 ¸ siA=
a11a12a13a14
a21a22a23a24
a31a32a33a34
.
1. Dac˘ aT23(λ) =
1 0 0
0 1λ
0 0 1
∈M3(Z), atunci
T23(λ)A=
a11 a12 a13 a14
a21+λa31a22+λa32a23+λa33a24+λa34
a31 a32 a33 a34
.
2. Dac˘ aT12(λ) =
1λ0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
∈M4(Z), atunci
AT12(λ) =
a11a12+λa11a13a14
a21a22+λa21a23a24
a31a32+λa31a33a34
.
3. Dac˘ aD2=
1 0 0
0−1 0
0 0 1
∈M3(Z), atunci
D2A=
a11a12a13a14
−a21−a22−a23−a24
a31a32a33a34
.
110

4. Dac˘ aD4=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 −1
∈M4(Z), atunci
AD 4=
a11a12a13−a14
a21a22a23−a24
a31a32a33−a34
.
Denit ia 7.7.4. Fien∈N,n≥2 ¸ si 1 ≤i,j≤n. Matricea Pij∈Mn(Z) ce se
obt ¸ine dinInpunˆ and pe pozit ¸iile ( i,i) ¸ si (j,j) ˆ ın loc de 1 pe 0 ¸ si care ˆ ın plus pe pozit ¸iile
(i,j) ¸ si (j,i) are 1 poart˘ a numele de matrice de transpozit ie .
Exemplu . Dac˘ an= 4, atunci P23=
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
.
Corolar 7.7.5. T in^ and cont de Teorema 7.7.3 deducem c a
Pentru orice n∈N,n≥2 si1≤i,j≤navem egalitatea
Pij=DiTij(1)Tij(−1)Tji(1).
In particular, det(Pij) =−1, deciPij∈GLn(Z).
De asemenea avem urm˘ atorul rezultat:
Lema 7.7.6. Fiem,n∈N,m,n ≥2 siA∈Mm,n(Z).
1)Dac aPijare ordinul m, atunci matricea PijAse obt ine din A permut^ and linia i
cu linia j;
2)Dac aPijare ordinul n, atunci matricea APijse obt ine din A permut^ and coloana
i cu coloana j.
Denit ia 7.7.7. Fiem,n∈N,m,n ≥2 ¸ siA,B∈Mm,n(Z). Vom spune c˘ a Aeste
aritmetic echivalent a cuB, ¸ si vom scrie A∼B, dac˘ a exist˘ a U∈GLm(Z) ¸ siV∈GLn(Z)
astfel ˆ ıncˆ at UAV =B.
Se veriﬁc˘ a imediat c˘ a relat ¸ia ∼este o echivalent ¸˘ a pe Mm,n(Z).
Lema 7.7.8. Oricare ar A∈Mm,n(Z)exist a 0≤r≤min{m,n} sid1,…,d r∈
N∗astfel ^ nc^ at
A∼
d1 0
d2
…
dr
0
…
0 0
∈Mm,n(Z).
111

Demonstrat ie . Pentru ﬁec˘ are matrice A= (aij)1≤i≤m
1≤j≤n∈Mm,n(Z) deﬁnim:
m(A) ={0,dac˘ adet(A) = 0;
min{|aij|,aij̸= 0},dac˘ adet(A)̸= 0.
Vom face induct ¸ie matematic˘ a dup˘ a m(A). Lema este ˆ ın mod evident adev˘ arat˘ a
dac˘ aA=Om,n. S˘ a presupunem c˘ a A̸=Om,n¸ si c˘ a lema este adev˘ arat˘ a pentru toate
matriceleB∈Mm,n(Z) cum(B)<m(A) ca ¸ si pentru matricele din Mm−1,n−1(Z).
Exist˘ a atunci 1 ≤i0≤m¸ si 1≤j0≤nastfel ˆ ıncˆ at m(A) =|ai0j0|. Prin diferite
permut˘ ari de linii ¸ si coloane ale lui Aputem presupune c˘ a i0=j0= 1 (adic˘ a A∼
P1i0AP1j0). Astfel, putem presupune c˘ a m(A) =a11¸ si chiar mai mult c˘ a a11>0 (c˘ aci
dac˘ aa11<0, atunci ˆ ın loc de Aputem luaD1A).
Cazul 1. Presupunem c˘ a a11|a1jpentru 2 ≤j≤n¸ sia11|ai1pentru 2 ≤i≤m,
adic˘ a exist˘ a q1j,qi1∈Zastfel ˆ ıncˆ at a1j=a11·q1jcu 2≤j≤n¸ siai1=a11·qi1cu
2≤i≤m.
Adunˆ and la coloanele 2 ,3,…,n coloana 1 a lui Aˆ ınmult ¸it˘ a respectiv cu −q12,−q13,
…,−q1n¸ si procedˆ and analog pentru linii, obt ¸inem: A∼(
a11 0
0A′)
, cuA′∈Mm−1,n−1(Z).
Aplicˆ and ipoteza de induct ¸ie lui A′deducem c˘ a exist˘ a U′∈GLm−1(Z) ¸ siV′GLn−1(Z)
astfel ˆ ıncˆ at
U′A′V′=
d2 0
…
dr
0
…
0 0
∈Mm−1,n−1(Z), undedi∈N∗pentru
2≤i≤r.
Alegˆ andU=(
1 0
0U′)
,V=(
1 0
0V′)
,d1=a11avemU∈GLm(Z),V∈
GLn(Z) ¸ siA∼U(
a11 0
0A′)
V=
d1 0
d2
…
dr
0
…
0 0
cuA∈Mm,n(Z).
Cazul 2. S˘ a presupunem c˘ a exist˘ a ˆ ın prima linie (sau prima coloana) a lui Aun
element (s˘ a zicem a1j0, cu 2 ≤j0≤n) ce nu divide pe a11. Imp˘ art ¸ind pe a1j0laa11
putem scrie a1j0=a11·q1j0+r1j0cu 0<r 1j0<a 11.
Adunˆ and la coloana j0a matriciiAcoloana ˆ ıntˆ ai ˆ ınmult ¸it˘ a cu −q1j0se obt ¸ine o
112

matriceB∼Acare are ˆ ın pozit ¸ia (1 ,j0) elementul r1j0.
Cumm(B)≤r1j0<a 11=m(A), conform ipotezei de induct ¸ie, Beste echivalent˘ a
cu o matrice de forma celei din enunt ¸ ¸ si atunci ¸ si Ava avea aceea¸ si proprietate.
Observat ie. Analizˆ and demonstrat ¸ia Lemei 7.7.8 se observ˘ a c˘ a matricea diagonal˘ a
cu c˘ areAeste echivalent˘ a se obt ¸ine aplicˆ and asupra lui Aun num˘ ar ﬁnit de transform˘ ari
elementare.
Lema 7.7.9. Orice matrice unimodular a U∈GLn(Z), este egal a cu produsul unui
numar nit de matrici elementare.
Demonstrat ie . Conform observat ¸iei anterioare, exist˘ a matricele elementare R1,…,
Rs,Q1,…,Q tastfel ˆ ıncˆ at
R1…RsUQ 1…Qt=D=
d1 0
d2
…
dr
0
…
0 0
∈Mm(Z).
Cum 1 = |det(U)|=det(D), rezult˘ a c˘ a det(D)̸= 0, decir=n. Dindi∈N∗,1≤
i≤n¸ sid1…dn= 1 deducem c˘ a d1=d2=…=dn= 1, adic˘ a D=In¸ si atunci
U=R−1
1…R−1
sQ−1
t…Q−1
1. DinT−1
ij(λ) =Tij(−λ) ¸ siD−1
i=Direzult˘ a c˘ a ¸ si matricile
R−1
i¸ siQ−1
jsunt elementare, deci Ueste produs ﬁnit de matrici elementare.
Lema 7.7.10. Pentru orice a,b∈Zavem(
a0
0b)
∼(
(a,b) 0
0 [a,b])
.
Demonstrat ie . Fied= (a,b) ¸ sia1,b1∈Zpentru care a=da1¸ sib=db1. Conform
Corolarului 1.2.7 de la Capitolul 1, exist˘ a h,k∈Zastfel ˆ ıncˆ at d=ha+kb, de unde
1 =ha1+kb1. Alegˆ andU=(
1 1
−kb1ha1)
¸ siV=(
h−b1
k a 1)
avem c˘ adet(U) =
det(V) =ha1+kb1= 1, adic˘ aU,V∈GL 2(Z) ¸ si cumab= (a,b)[a,b] obt ¸inem c˘ a :
(
a0
0b)
∼U(
a0
0b)
V=(
(a,b) 0
0 [a,b])
.
In cele ce urmeaz˘ a vom prezenta un rezultat important (cunoscut sub numele de
Teorema factorilor invariant i ).
Teorema 7.7.11. Fiem,n∈N,m,n ≥2 siA∈Mm,n(Z). Atunci exist a
113

f1,…,f r∈N∗cur=min{m,n}unic determinat i astfel ^ nc^ at f1|f2|…|fr si
A∼
f1 0
…
fr
0
…
0 0
∈Mm,n(Z).
Demonstrat ie . Conform Lemei 7.7.9 avem
A∼
d1 0
…
dr
0
…
0 0
=D
cudi∈N∗,1≤i≤r=min{m,n}iarD∈Mm,n(Z).
F˘ acˆ and la nevoie permut˘ ari de linii sau coloane putem presupune c˘ a d1≤d2≤…≤
dr.
Dac˘ a pentru i<j,d i-dj, atunci conform Lemei 7.7.10 exist˘ a matricile unimodulare
U=(
x y
z w)
,V=(
p q
s t)
astfel ˆ ıncˆ at
U(
di0
0dj)
V=(
(di,dj) 0
0 [di,dj])
.
Consider˘ am acum matricele U′de ordinmce se obt ¸ine din Impunˆ and pe pozit ¸ia
(i,i) pex, pe pozit ¸ia ( j,j) pew, pe pozit ¸ia ( i,j) peyiar pe pozit ¸ia ( j,i) pez¸ si matricea
V′de ordinnce se obt ¸ine din Inpunˆ and pe pozit ¸ia ( i,i) pep, pe pozit ¸ia ( j,j) pet, pe
pozit ¸ia (i,j) peqiar pe pozit ¸ia ( j,i) pes.
In mod evident, U′∈GLm(Z),V′∈GLn(Z) iar matricea U′DV′se obt ¸ine din D
ˆ ınlocuind pe dicu (di,dj) iar pedjcu [di,dj].
Dac˘ ad1|dj,2≤j≤ratunci se deﬁne¸ ste f1=d1. Dac˘ a exist˘ a j≥2 astfel ˆ ıncˆ at
d1-djatuncid1se ˆ ınlocuie¸ ste cu ( d1,d2), iardjcu [d1,dj] ¸ si observ˘ am c˘ a ˆ ın acest caz
114

(d1,d2)<d 1¸ si (d1,d2)|[d1,d2]. Dup˘ a un num˘ ar ﬁnit de pa¸ si se ajunge la
A∼
d′
1 0
d′
2
…
d′
r
0
…
0 0

cud′
i|d′
jcu 2≤j≤r¸ si se iaf1=d′
1. Dac˘ ad′
2|d′
j,3≤j≤ratunci vom lua f2=d′
2.
In caz contrar, se aplic˘ a procedeul de mai ˆ ınainte ¸ s.a.m.d.. Astfel, dup˘ a un numar ﬁnit
de pa¸ si se obt ¸ine o matrice de forma celei din enunt echivalent˘ a cu A.
S˘ a ar˘ at˘ am acum unicitatea numerelor r,f1,f2,…,f r.
Pentru matricea A, prin ∆ i(A) vom nota cel mai mare divizor comun al minorilor
de ordinial matricei A.
Atunci dac˘ a A∼Bˆ ın mod evident ∆ i(A) = ∆ i(B),i= 1,2,…,n iar pentru ma-
triceaD=
f1 0
…
fr
0
…
0 0
cuf1|f2|…|fr, avem ∆ 1(D) =f1,∆2(D) =
f1f2,…,∆r(D) =f1f2…friar ∆ i(D) = 0, pentru r≤i≤min{m,n}.
Cu aceasta teorema este complet demonstrat˘ a.
Denit ia 7.7.12. Dac˘ aA∈Mm,n(Z), atunci matricea unic determinat˘ a
B=
f1 0
…
fr
0
…
0 0
∈Mm,n(Z), cuf1|f2|…|frastfel ˆ ıncˆ at
A∼Bse nume¸ ste forma diagonal canonic a a luiA. Numerele f1,…,f r>1 se zic
factorii invariant i ai luiA.
Exemplu ([22]). S˘ a g˘ asim forma diagonal c˘ anonic˘ a a matricei
A=
6 2 −12 8
−6 0 12 −6
12 2 −24 14
.
Inmult ¸ind pe rˆ and la dreapta matricea Acu matricile P12,T12(−3),T13(6),T14(−4)
115

de ordin 4 ¸ si apoi la stˆ anga cu matricea T31(−1) de ordin 3, se obt ¸ine matricea B=
T31(−1)AP12T12(−3)T13(6)T14(−4) =
2 0 0 0
0−6 12 −6
0 6 −12 6
.
Inmult ¸ind la stˆ anga matricea Bcu matricea D2de ordin 3, apoi pe rˆ and la dreapta
cu matricile T23(2),T24(−1) de ordin 4 ¸ si ˆ ın sfˆ ar¸ sit la stˆ anga cu matricea T32(−1) de ordin
3 se obt ¸ine matricea D=T32(−1)D2BT23(2)T24(−1) =
2 0 0 0
0 6 0 0
0 0 0 0
ce reprezint˘ a
forma diagonal c˘ anonic˘ a a matricei A, 2 ¸ si 6 ﬁind factorii invariant ¸i ai acesteia.
FieU=T32(−1)D2T31(−1) =
1 0 0
0−1 0
−1 1 1
¸ si
V=P12T12(−3)T13(6)T14(−4)T23(2)T24(−1) =
0 1 2 −1
1−3 0 −1
0 0 1 0
0 0 0 1
.
AvemU∈GL 3(Z),V∈GL 4(Z) ¸ siUAV =
2 0 0 0
0 6 0 0
0 0 0 0
.
Cu ajutorul celor stabilite anterior vom studia ˆ ın continuare sistemele liniare de m
ecuat ¸ii cunnecunoscute:
(S)

a11X1+…+a1nXn=b1
a21X1+…+a2nXn=b2
……………………………..
am1X1+…+amnXn=bm
cu coeﬁcient ¸ii aij,bj∈Z,1≤i≤m,1≤j≤n.
Prin solut ie ^ ntreag a a lui (S) ˆ ınt ¸elegem un n-uplu (λ1,…,λ n)∈Znastfel ˆ ıncˆ at
n∑
j=1aijλj=bipentru orice 1 ≤i≤m.
Dac˘ a not˘ am A=
a11… a 1n
……
am1… a mn
,b=
b1
…
bm
¸ siX=
X1
…
Xn
atunci
sistemul (S) se scrie matricial sub forma AX=b.
Denit ia 7.7.13. Dac˘ aU∈GLn(Z),U= (uij)1≤i≤m
1≤j≤natunci transformarea
Xi=n∑
j=1uijYj,1≤i≤n( sau matriceal X=UY) se nume¸ ste substitut ie ^ ntreag a
116

unimodular a , undeY=
Y1
…
Yn
.
Propozit ia 7.7.14. FieU∈GLn(Z),U= (uij)1≤i≤m
1≤j≤n si numerele reale
αi,βicu1≤i≤nastfel ^ nc^ at βi=n∑
j=1uijαj,1≤i≤n.
Atunciβi∈Zpentru 1≤i≤ndac a si numai dac a aj∈Zpentru 1≤j≤n. Mai
mult, (β1,…,β n)este solut ie ^ ntreag a a sistemului (S) dac a si numai dac a (α1,…,α n)
este solut ie ^ ntreag a a sistemului (AU)Y=b.
Demonstrat ie . O implicat ¸ie este evident˘ a.
S˘ a presupunem acum c˘ a βi∈Zpentru 1 ≤i≤n¸ si ﬁeV∈GLn(Z) astfel ˆ ıncˆ at
VU=UV=In. Atunci

α1
…
αn
=VU
α1
…
αn
=V
β1
…
βn
=
n∑
i=1v1iβi
…
n∑
i=1vniβi
,
de unde deducem c˘ a αi∈Zpentru 1 ≤i≤n. Ultima aﬁrmat ¸ie este evident˘ a.
Lema 7.7.15. Dac aa1,…,a n∈Z, atunci exist a U∈GLn(Z)astfel ^ nc^ at (a1,…,a n)U=
(d,0,…,0), unded= (a1,a2,…,a n).
Demonstrat ie . Facem induct ¸ie matematic˘ a dup˘ a n¸ si s˘ a ar˘ at˘ am la ˆ ınceput c˘ a lema
este adev˘ arat˘ a pentru n= 2.
Dac˘ ad= (a1,…,a 2), atuncia1=da′
1¸ sia2=da′
2cua′
1,a′
2∈Ziar (a′
1,a′
2) = 1,
de unde deducem c˘ a exist˘ a h,k∈Zastfel ˆ ıncˆ at ha′
1+ka′
2= 1 ¸ si ﬁeU=(
h−a′
2
k a′
1)
(cumdet(U) =ha′
1+ka′
2= 1 deducem c˘ a U∈GL 2(Z)).
Avem c˘ a (a1,a2)U= (ha1+ka2,−a1a′
2+a2a′
1) = (d,0).
Fien > 2 ¸ si s˘ a presupunem c˘ a lema este adev˘ arat˘ a pentru n−1. Atunci exist˘ a
V1∈GLn−1(Z) astfel ˆ ıncˆ at ( a2,…,a n)V1= (d1,0,…,0), unded1= (a2,a3,…,a n) astfel
c˘ a dac˘ a not˘ am V=(
1 0
0V1)
∈GLn(Z) avem (a1,…,a n)V= (a1,d1,0,…,0).
Conform cazului n= 2 exist˘ aW1∈GL 2(Z) astfel ˆ ıncˆ at ( a1,d1)W1= (d1,0), unde
d= (a1,d1).
Dac˘ a alegem W=
W1 0
1
…
0 1
∈GLn(Z) atunciW∈GLn(Z) ¸ si (a1,…,a n)U=
(d,0,…,0), undeU=VW ( se observ˘ a c˘ a d= (a1,…,a n)).
S˘ a consider˘ am acum ecuat ¸ia:
117

(∗)a1X1+…+anXn=b, cua1,…,a n,b∈Z.
Pentrun= 2 am ar˘ atat ˆ ın §1 ˆ ın ce condit ¸ii aceast˘ a ecuat ¸ie are solut ¸ii ˆ ıntregi ¸ si felul
ˆ ın care acestea se g˘ asesc. In cele ce urmeaz˘ a vom face acela¸ si lucru cu ecuat ¸ia ( ∗) pentru
n≤2 (prezentˆ and deci o generalizare a Lemelor 7.1.1 ¸ si 7.1.2).
Teorema 7.7.16. Ecuat ia ( ∗) cu coecient i ^ ntregi admite solut ii ^ ntregi dac a
si numai dac a d|(a1,…,a n). Dac aU∈GLn(Z),U= (uij)1≤i,j≤neste astfel ^ nc^ at
(a1,…,a n)U= (d,0,…,0), (conform Lemei 7.6.15) atunci (x0
1,…,x0
n)cux0
i=ui1·b
d,1≤
i≤neste solut ie ^ ntreag a particular a a ecuat iei ( ∗). Solut ia general a din Za ecuat iei
(∗) va de forma (x1,…,x n)cu ,xi=x0
i+n∑
j=2uijtj,tj∈Z,1≤i≤n.
Demonstrat ie . Dac˘ aU∈GLn(Z) ca ˆ ın enunt ¸, atunci f˘ acˆ and substitut ¸ia ˆ ıntreag˘ a
unimodular˘ a X=UYobt ¸inem (d,0,…,0)Y=b. Atunci deducem c˘ a aceasta ultim˘ a
ecuat ¸ie are solut ¸ie ˆ ıntreag˘ a dac˘ a ¸ si numai dac˘ a d|biar o solut ¸ie ˆ ıntreag˘ a particular˘ a a
acesteia este (b
d,0,…,0), solut ¸ia general˘ a ﬁind de forma (b
d,t2,…,t n) cutj∈Z,2≤j≤n
arbitrare. Conform Propozit ¸iei 7.7.14 obt ¸inem c˘ a

x0
1
…
x0
n
=U
b
d
0
…
0
=
u11b
d…
un1b
d

este solut ¸ia ˆ ıntreag˘ a particular˘ a a ecuat ¸iei ( ∗) iar dac˘ a ( x1,…,x n) este solut ¸ia ˆ ıntreag˘ a
oarecare a lui ( ∗), atunci

x1
…
xn
=U
b
d
t2
…
tn
=
u11b
d+n∑
j=2u1jtj,tj
…
un1b
d+n∑
j=2unjtj,tj

adic˘ axi=x0
i+n∑
j=2uijtj,tj∈Z,1≤i≤n.
Observat ii.
1. Cˆ andd|b, descrierea solut ¸iilor ˆ ıntregi ale ecuat ¸iei ( ∗) din enunt ¸ul teoremei
precedente se face cu ajutorul matricei unimodulare U. Calculul lui Use face folosind
den−1 ori algoritmul lui Euclid extins.
Intr-adev˘ ar, ˆ ıntr-o prim˘ a etap˘ a, cu ajutorul acestui algoritm determin˘ am succesiv:
d1= (an−1,an),h1an−1+k1an=d1
d2= (an−2,d1),h2an−2+k2d1=d2
… … ………………………………………..
d=dn−1= (a2,dn−2),hn−1an−1+k1dn−2=dn−1=d
118

¸ si atunci avem
U=
1 0
…
1
h1−an
0 k1a′
n−1

1 0
…
1
h2−d′
1
k2a′
n−1
0 1
…

hn−1−d′
n−1 0
kn−1a′
1
1
…
0 1
, undean=d1a′
n,an−1=d1a′
n−1,d1=d2d′
1,an−2=
d2a′
n−2,etc.
2. Cˆ andn= 2 obt ¸inem rezultatele de la §1.
Lema 7.7.17. Fien≥2 siA= (aij)1≤i,j≤n∈Mn(Z)astfel ^ nc^ at ∆ =det(A)>0.
Atunci exist a U∈GLn(Z)astfel ^ nc^ at
AU=
c11 0… 0
c21c22… 0
… … … …
cn1cn2… c nn
undecii>0,1≤i≤n si0≤ci1,ci2,…,c ii−1<
cii,1≤i≤n.
Demonstrat ie . Fiec11= (a11,a12,…,a 1n). Conform Lemei 7.7.15 exist˘ a U1∈
GLn(Z) astfel ˆ ıncˆ at ( a11,a12,…,a 1n)U1= (c11,0,…,0) ¸ si deci
AU1=
c11 0… 0
a′
21a′
22… a′
2n
… … … …
a′
n1a′
n2… a′
nn
undea′
ij∈Z.
Aplicˆ and din nou aceea¸ si lem˘ a g˘ asim V∈GLn−1(Z) astfel ˆ ıncˆ at ( a′
22,a′
23,…,
a′
2n)V= (c22,0,…,0) undec22= (a′
22,a′
23,…,a′
2n). Punˆ and U2=(
1 0
0V)
avem
U2∈GLn(Z) ¸ si se obt ¸ine
AU1U2=
c11 0 0… 0
a′′
21c22 0… 0
a′′
31a′′
32a′′
33… a′′
3n
… … … … …
a′′
n1a′′
n2a′′
n3… a′′
nn
.
Dac˘ a 0 ≤a′′
21< c 22lu˘ amc21=a′′
21, ˆ ın caz contrar scriem a′′
21=c22q21+r21cu
119

0≤r21<c 22. AtunciAU1U2T21(−q21) =
c11 0… 0
r21c22… 0
… … … …
¸ si alegemc21=r21.
Continuˆ and se g˘ ase¸ ste matricea U=U1U2…∈GLn(Z) astfel ˆ ıncˆ at matricea AU
este de forma celei din enunt ¸.
Teorema 7.7.18. Fie (S1)n∑
j=1aijXj=bi,1≤i≤nun sistem de n ecuat ii
liniare cu n necnoscute astfel ^ nc^ at aij,bi∈Z sidet(A)>0(A ind matricea A=
(aij)1≤i,j≤n).
Atunci sistemul ( S1) admite solut ie ^ ntreag a dac a si numai dac a congruent ele (C)
n∑
j=jaijXj≡bi(modm),1≤i≤nau solut ie ^ ntreag a pentru orice m∈Zastfel ^ nc^ at
0<m≤∆.
Demonstrat ie . Implicat ¸ia de la stˆ anga la dreapta este evident˘ a.
S˘ a presupunem acum c˘ a ( C) are solut ¸ie pentru orice 0 < m≤∆. Scriem pe ( C)
sub forma matricial˘ a astfel AX≡b(modm),0<m≤∆.
Dac˘ aX=UYeste o substitut ¸ie ˆ ıntreag˘ a unimodular˘ a, atunci ( AU)Y≡b(modm),
0<m≤∆. Alegˆ and U∈GLn(Z) dat˘ a de Lema 7.7.15 sistemul ( S1) devine


c11Y1=b1
c21Y1+c22Y2=b2
………………………..
cn1Y1+cn2Y2+…+cnnYn=bn
Evident ∆ = c11c22…cnn, deci 0<c 11c22…cii≤∆,1≤i≤n.
Cum 0<c 11≤∆, congruent ¸a c11Y1=b1(modc11) are solut ¸ie, deci exist˘ a h,k∈Z
astfel ˆ ıncˆ at c11h=b1+kc11, de undec11α1=b1cuα1=h−k.
Adunˆ and ecuat ¸ia c11Y1=b1(ˆ ınmult ¸it˘ a cu −c21) cu ecuat ¸ia c12Y1+c22Y2=b2
(ˆ ınmult ¸it˘ a cu c11) se obt ¸ine c11c22Y2=−c21b1+c11b2.
Conform ipotezei, congruent ¸a c11c22Y2=c21b1+c11b2(modc11c22) are solut ¸ie, deci
exist˘ ah′,k′∈Zastfel ˆ ıncˆ at c11c22h′=−c21c11α1+c11b2+k′c11c22. Simpliﬁcˆ and cu
c11̸= 0, obt ¸inem c21α1+c22α2=b2, undeα2=h′−k′∈Z.
Analog, din primele trei ecuat ¸ii ˆ ın Y1,Y2,Y3obt ¸inemc11c22c33Y3=c11c22b3−
c31c22b1−c11c22b1−c11c32b2+c21c32b1.
Inlocuindb1=c11α1,b2=c21α1+c22α2¸ si pornind de la condit ¸ia c˘ a aceasta ultim˘ a
ecuat ¸ie s˘ a ﬁe solubil˘ a modulo c11c22c33, g˘ asimα3∈Zastfel ˆ ıncˆ at c31α1+c32α2+c33α3=
b3.
Continuˆ and ˆ ın acela¸ si mod g˘ asim o solut ¸ie ˆ ıntreag˘ a ( α1,α2,…,α n) a sistemului
AUY =b¸ si atunci (β1,β2,…,β n), undeβi=n∑
j=1uijαj,1≤i≤neste o solut ¸ie ˆ ıntreag˘ a
a sistemului ( S1)AX=b.
Observat ie. Cum Zm-urile sunt ﬁnite, rezult˘ a din teorema de mai sus c˘ a putem
stabili printr-un numar ﬁnit de ˆ ıncerc˘ ari dac˘ a sistemul ( S1) are sau nu solut ¸ii ˆ ıntregi.
120

Teorema urm˘ atoare solut ¸ioneaz˘ a cazul sistemelor omogene.
Teorema 7.7.19. Sistemul de ecuat ii liniare ( S2)n∑
j=1aijXj= 0,1≤i≤mcu
aij∈Z,(m < n )admite o solut ie ^ ntreag a netrivial a (x1,…,x n)ce satisface condit ia
|xj| ≤(a1a2…am)1n−m,1≤j≤n, undeai=n∑
j=1|aij|,1≤i≤m.
Demonstrat ie . FieLi(X1,…,X n) =n∑
j=1aijXj,1≤i≤m,b i=∑
aij>0aij,−ci=
∑
aij<0aijXj,1≤i≤m.
Atunciai=bi+cicu 1≤i≤m¸ si ﬁea∈N. Dac˘ a 0 ≤αj≤acu 1≤j≤n,
atunci −cia≤Li(α1,…,α n)≤bia,1≤i≤m, deciLi(α1,…,α n) ia cel mult aia+ 1
valori ˆ ıntregi.
Alegˆ andα= [(a1a2…am)1
n−m] (partea ˆ ıntreag˘ a!) atunci a >(a1a2…am)1
n−m−1,
de unde (a+ 1)n>(a+ 1)ma1…an>(a1a+ 1)…(ama+ 1).
Deducem c˘ a exist˘ a ( α′
1,…,α′
n)̸= (α′′
1,…,α′′
n) cu 0≤α′
i,α′′
i≤aastfelˆ ıncˆ at Li(α′
1,…,α′
n) =
Li(α′
1,…,α′
n),1≤i≤n.
Alegˆ andxi=α′
i−α′′
i,1≤i≤n, avem c˘ a Li(x1,…,x n) = 0,1≤i≤m¸ si
|xj| ≤(a1a2…am)1
n−m,1≤j≤n. Mai mult, ( x1,…,x n)̸= (0,…,0) ¸ si astfel teorema este
demonstrat˘ a.
Cu ajutorul formei diagonal canonice a matricelor din Mm,n(Z) putem acum solut ¸iona
problema existent ¸ei ¸ si descrierii solut ¸iilor ˆ ıntregi ale unui sistem de mecuat ¸ii liniare cu
nnecunoscute cu coeﬁcient ¸i ˆ ıntregi.
Teorema 7.7.20. Fie sistemul de m ecuat ii liniare ^ n n necunoscute cu coecient i
^ ntregi
(S)n∑
j=1aijXj=bi,1≤i≤m,1≤i≤n.
Dac aA= (aij)1≤i≤m
1≤j≤n∈Mm,n(Z) siU∈GLm(Z),V∈GLn(Z),U=
(uij),V= (vij)sunt astfel ^ nc^ at UAV =
f1 0
…
fr
0
…
0 0
(vezi Teorema
7.7.11), atunci condit ia necesar a si sucient a ca (S) s a aib a solut ii ^ ntregi este ca fk|m∑
j=1
ukjbj,1≤k≤r sim∑
j=1uijbj= 0,r<j ≤min{m,n}.
In aceste condit ii (x0
1,…,x0
n), undex0
i=r,m∑
k,j=1vikukjbj
fk,1≤i≤n, este o solut ie
^ ntreag a a sistemului (S). Mai mult, un sistem (x1,…,x n)de numere ^ ntregi este solut ie
121

a lui (S) dac a si numai dac a xi=x0
i+n∑
k=r+1viktk,tk∈Z,1≤i≤n.
Demonstrat ie . Scriem sistemul (S) sub forma matriciala AX=b. CumUAVV−1X=
Ub, notˆ andY=V−1Xavem (S′)DY=ULunde
D=
f1 0
…
fr
0
…
0 0

.
Deducem c˘ a fkYk=m∑
j=1ujkbj,1≤k≤r¸ si 0 =m∑
j=1ukjbj,r <k ≤min{m,n}. Este
clar c˘ aDY=Ubadmite solut ¸ie ˆ ıntreag˘ a dac˘ a ¸ si numai dac˘ a fk|m∑
j=1ukjbj, 1≤k≤r¸ si
o solut ¸ie particular˘ a a sistemului ( S′) este:
(m∑
j=1u1jbj
f1,…,m∑
j=1urjbj
fr,0,…,0)
iar solut ¸ia general˘ a a sistemului ( S′) este:
(m∑
j=1u1jbj
f1,…,m∑
j=1urjbj
fr,tr+1,…,t n)
cutr+1,…,t narbitrari din Z. CumX=VYdeducem c˘ a solut ¸iile sistemului (S) sunt
cele din enunt ¸.
Exemplu . S˘ a consider˘ am sistemul:
(∗)

6X1+ 2X2−12X3+ 8X4= 10
−6X1+ 12X3−6X4= 18
12X1+ 2X2−24X3+ 14X4=−8
AvemA=
6 2 −12 8
−6 0 12 −6
12 2 −24 14
.
Dup˘ a exemplul de la Teorema 7.7.11 avem c˘ a UAV =
2 0 0 0
0 6 0 0
0 0 0 0
, unde
U=
1 0 0
0−1 0
−1 1 1
,V=
0 1 2 −1
1−3 0 −1
0 0 1 0
0 0 0 1
.
122

Avemr= 2,f1= 2,f2= 6.
Din
4∑
j=1u1jbj= 10 ¸ si 2 |10,unde 2 =f1
3∑
j=1u2jbj=−18 ¸ si 6 | −18,unde 6 =f2
3∑
j=1u3jbj= 0
rezulta c˘ a sistemul ( ∗) are solut ¸ie ˆ ın numere ˆ ıntregi (conform Teoremei 7.7.20).
Urmˆ and algoritmul dat de Teorema 7.7.20, deducem c˘ a o solut ¸ie particular˘ a a lui
(∗) este (x0
1,×0
2,×0
3,×0
4) = (−3,14,0,0) iar solut ¸ia general˘ a este:
x1=−3 + 2t3−t4
x2= 14 −t4
x3=t3
x4=t4
cut3,t4∈Zarbitrare.
Observat ie. Acest paragraf a fost redactat ˆ ın cea mai mare parte dup˘ a lucrarea [22].
123

124

Capitolul 8
Puncte laticeale ^ n plan si
spat iu
8.1 Puncte laticeale ^ n plan
S˘ a consider˘ am planul euclidian Eraportat la un sistem ortogonal de axe de coordonate.
Denit ia 8.1.1. Un punctMde coordonate ( a,b) din planul euclidian Ese zice
punct laticeal dac˘ aa,b∈Z.
Teorema 8.1.2. (Steinhaus-Sierpinski )Pentru ecare num ar n∈N∗exist a ^ n
planul euclidian Eun cerc ce cont ine ^ n interiorul s au exact npuncte laticeale.
Demonstrat ie. S˘ a consider˘ am ˆ ın EpunctulCde coordonate (√
2,1
3) ¸ si s˘ a demon-
str˘ am c˘ a dac˘ a M(a,b) siN(c,d) sunt dou˘ a puncte laticeale din Ece au aceea¸ si distant ¸˘ a
la punctulC, atunciM≡N. Intr-adev˘ ar, dac˘ a CM =CN, atunci:
(a−√
2)2+ (b−1
3)2= (c−√
2)2+ (d−1
3)2⇔
2(c−a)√
2 =c2+d2−a2−b2+2
3(b−d),
de undea=c¸ sic2+d2−a2−b2+2
3(b−d) = 0⇔(d−b)(d+b−2
3) = 0 ¸ si cum b,d∈Z,
d+b−1
3= 0, ceea ce implic˘ a b=d, adic˘ aM≡N.
T ¸ inˆ and cont de observat ¸ia de mai ˆ ınainte, punctele laticeale din Epot ﬁ ordonate
ˆ ın funct ¸ie de distant ¸ele lor la C(√
2,1
3). Fie deciM1punctul laticeal a c˘ arui distant ¸˘ a d1
laCeste cea mai mic˘ a, M2urm˘ atorul (adic˘ a acel punct pentru care distant ¸a d2de la
M2laCeste cel mai apropiat num˘ ar natural fat ¸˘ a de d1) ¸ s.a.m.d. Obt ¸inem astfel ¸ sirul
M1,M2,…de puncte laticeale cu proprietatea c˘ a dac˘ a not˘ am prin didistant ¸a de la Mila
C,i= 1,2,…, atuncid1<d 2<d 3<…. Atunci cercul cu centru ˆ ın punctul C¸ si de raz˘ a
dn+1cont ¸ine ˆ ın interiorul s˘ au doar punctele laticeale M1,M2,…,M nce sunt ˆ ın num˘ ar de
n¸ si astfel teorema este demonstrat˘ a.
125

Observat ie. Exist˘ a un rezultat datorat lui Hugo Steinhaus potrivit c˘ aruia pentru
ﬁecare num˘ ar natural n∈Nexist˘ a un cerc de arie nce cont ¸ine ˆ ın interiorul s˘ au exact
npuncte laticeale.
Teorema 8.1.3. (A. Schinzel) Pentru orice num ar natural n∈Nexist a ^ n Eun
cerc ce cont ine pe circumferint a sa exact npuncte laticeale.
Demonstrat ie. Dac˘ aneste par, adic˘ a n= 2kcuk∈N, vom demonstra c˘ a cercul
de centru (1
2,0) ¸ si raz˘ a1
2·5k−1
2cont ¸ine pe circumferint ¸a sa exact npuncte laticeale,
pe cˆ and atunci cˆ and neste impar, adic˘ a n= 2k+ 1 cuk∈N, cercul de centru (1
3,0)
¸ si raza1
3·5kcont ¸ine pe circumferint ¸a sa exact npuncte laticeale. Pentru aceasta vom
apela la Teorema 6.1.7 potrivit c˘ areia num˘ arul total de perechi ( x,y) din Z×Zpentru
carex2+y2=neste egal cu 4( d1(n)−d3(n)), unded1(n) este num˘ arul divizorilor lui
nde forma 4t+ 1 iard3(n) este num˘ arul divizorilor primi de forma 4 t+ 3(atunci cˆ and
num˘ ar˘ am perechile ( x,y) facem distinct ¸ie ˆ ıntre ( x,y) ¸ si (y,x) pentrux̸=y).
Cazul 1 :n= 2k,k∈N. S˘ a consider˘ am ecuat ¸ia (1) x2+y2= 5k−1. Tot ¸i divizorii
lui 5k−1sunt puteri ale lui 5, deci tot ¸i ace¸ sti divizori sunt de forma 4 t+ 1. Cum num˘ arul
acestor divizori este kdeducem c˘ a d1(5k−1) =kiar cumd3(5k−1) = 0 atunci num˘ arul
perechilor ( x,y)∈Z×Zpentru care x2+y2= 5k−1 este 4(k−0) = 4k. Cum 5k−1
este impar trebuie ca xsauys˘ a ﬁe impar.
Cercul de centru C1(1
2,0) ¸ si raz˘ a1
2·5k−1
2are ecuat ¸ia:
(α−1
2)2+β2=1
4·5k−1⇔(2α−1)2+ 4β2= 5k−1⇔(2α−1)2+ (2β)2= 5k−1(2).
Deci un punct M(α,β) se aﬂ˘ a pe circumferint ¸a cercului C1dac˘ a ¸ si numai dac˘ a coordo-
natele sale ( α,β) veriﬁc˘ a (2). Se observ˘ a c˘ a dac˘ a M(α,β) se aﬂ˘ a pe cercul C1nu rezult˘ a
c˘ a ¸ siM(β,α) se aﬂ˘ a pe C1. Astfel, num˘ arul punctelor M(α,β) de pe cercul C1cu
(α,β)∈Z×Zeste egal cu num˘ arul perechilor ordonate ( α,β)∈Z×Zce veriﬁc˘ a ecuat ¸ia
(2). Se observ˘ a c˘ a ecuat ¸ia (2) este de tipul (1), astfel c˘ a num˘ arul solut ¸iilor ( α,β)∈Z×Z
ale lui (2) este egal cu num˘ arul solut ¸iilor ordonate ( x,y)∈Z×Zce veriﬁc˘ a (1), adic˘ a
cu4k
2= 2k=n.
Cazul 2 :n= 2k+1,k∈N. Ca ˆ ın cazul 1, dac˘ a vom considera ecuat ¸ia x2+y2= 52k
(3); num˘ arul perechilor ( α,β)∈Z×Zce veriﬁc˘ a (3) este egal cu
4[d1(52k)−d3(52k)] = 4[(2k+ 1)−0] = 8k+ 4.
S˘ a observ˘ am acum c˘ a punctul M(α,β) se aﬂ˘ a pe circumferint ¸a cercului C2(1
3,0) ¸ si
raz˘ a 5k⇔(α−1
3)2+β2=1
9·52k⇔(4)(3α−1)2+ (3β)2= 52k. Astfel, num˘ arul de
puncte laticeale M(α,β) de peC2este egal cu num˘ arul solut ¸iilor ordonate ( x,y)∈Z×Z
ale ecuat ¸iei (3) cu x= 3α−1 ¸ siy= 3β. Pentru a determina num˘ arul acesta, s˘ a ˆ ımp˘ art ¸im
cele 8k+ 4 solut ¸ii din Zale lui (3) ˆ ın 8 familii:
(x,y),(x,−y),(−x,y),(−x,−y),(y,x),(y,−x)(−y,x),(−y,−x).
Dac˘ ax= 0 atunci familia se reduce la 4 solut ¸ii: (0 ,y),(0,−y),(y,0),(−y,0).
126

De asemenea, dac˘ a x=yexist˘ a numai 4 solut ¸ii ˆ ın familia de mai sus: ( x,x),(−x,
x),(x,−x),(−x,−x). Cum 52keste impar aceast˘ a posibilitate este exclus˘ a.
Solut ¸iile lui (3) cu o component˘ a nul˘ a sunt: (0 ,5k),(0,−5k),(5k,0) ¸ si (−5k,0).
In consecint ¸˘ a, familia celor 8 k+ 4 solut ¸ii se ˆ ımparte ˆ ın kfamilii de 8 solut ¸ii ¸ si o
familie de 4 solut ¸ii.
Observ˘ am de asemenea c˘ a ecuat ¸ia (4) este de tipul (3), cu x≡ − 1(mod 3) ¸ si
y≡0(mod 3) ) ¸ si c˘ a 52k= 25k≡1k≡1(mod 3). Deoarece p˘ atratul unui num˘ ar ˆ ıntreg
este congruent cu 0 sau 1 modulo 3, dac˘ a (x,y)∈Z×Z¸ six2+y2= 52katunci trebuie
ca unul dintre x2sauy2s˘ a ﬁe congruent cu 1 iar cel˘ alalt cu 0 modulo 3.
Fiex¸ si−xtermeni din familia celor 8 solut ¸ii ce sunt divizibili prin 3. In acest caz
ysau−yeste congruent cu −1modulo 3. S˘ a presupunem c˘ a y≡ −1(mod 3). Atunci
numai cele 2 solut ¸ii ( y,x) ¸ si (y,−x) au primul termen congruent cu −1 modulo 3 ¸ si pe
al doilea congruent cu 0 modulo 3 (observ˘ am c˘ a ˆ ın familia celor 4 solut ¸ii, ( −5k,0) sau
(5k,0) este de tipul de mai ˆ ınainte ).
In concluzie, ﬁecare din cele kfamilii de 8 solut ¸ii ( x,y) ale lui (3) cont ¸in exact 2
solut ¸ii ale lui (4) ¸ si o singur˘ a familie din cele 4 solut ¸ii ale lui (3) cont ¸ine o singura solut ¸ie
a lui (4). Obt ¸inem ˆ ın total 2 k+ 1 =nsolut ¸ii pentru (4), astfel c˘ a pe cercul C2se aﬂ˘ a
exact 2k+ 1 =npuncte laticeale.
Teorema 8.1.4. (G. Browkin) Pentru orice num ar natural n∈N, exist a ^ n Eun
p atrat ce cont ine ^ n interiorul s au exact npuncte laticeale.
Demonstrat ie. Vom ˆ ıncerca s˘ a ,,ordonam” punctele laticeale din Eˆ ıntr-un ¸ sir
P1,P2,….Pentru aceasta vom utiliza funct ¸ia f:Z×Z→R+,f(x,y) =|x+y√
3−1
3|+
|x√
3−y−1√
3|, pentru orice ( x,y)∈Z×Z.
S˘ a ar˘ at˘ am la ˆ ınceput c˘ a dac˘ a ( a,b),(c,d)∈Z×Z¸ sif(a,b) =f(c,d), atunci
(a,b) = (c,d), adic˘ aa=c¸ sib=d.
Intr-adev˘ ar, egalitatea f(a,b) =f(c,d) este echivalent˘ a cu:
p(a+b√
3−1
3) +q(a√
3−b−1√
3) =r(c+d√
3−1
3) +s(c√
3−d−1√
3)
cup,q,r,s ∈ {± 1}.
T ¸ inˆ and cont c˘ a√
3 este num˘ ar irat ¸ional ¸ si c˘ a o egalitate de forma x+y√
3 =x′+y′√
3
cu (x,y),(x′,y′)∈Z×Zimplic˘ ax=x′¸ siy=y′, din (1) deducem c˘ a:
(2){
pa−qb−rc+sd+r−p
3= 0 ¸ si
rd+sc−pb−qa+q−s
3= 0.
Din (2) deducem cu necesitate c˘ ar−p
3=q−s
3, lucru posibil doar pentru r=p¸ si
q=s, astfel c˘ a (2) cap˘ at˘ a forma echivalent˘ a:
(3){
p(a−c) +q(d−b) = 0 ¸ si
p(d−b) +q(c−a) = 0.
Multiplicˆ and prima egalitate din (3) cu p¸ si pe a doua cu q¸ si sc˘ azˆ andu-le, obt ¸inem
egalitatea ( a−c)(p2+q2) = 0⇔2(a−c) = 0⇔a=c. Deducem atunci ¸ si c˘ a b=d.
127

S˘ a vedem ce interpretare geometric˘ a are f.
Pentru aceasta consider˘ aam ˆ ın Edrepteled¸ sid′de ecuat ¸ii:
(d) :x+y√
3−1
3= 0
(d′) :x√
3−y−1√
3= 0.
Evident,d⊥d′¸ si (d)∩(d′) ={(1
3,0)}.
T ¸ inˆ and cont de formula ce d˘ a distant ¸a unui punct P(x,y) la (d) ¸ si respectiv ( d′),
deducem imediat c˘ a f(x,y) = 2PQ+ 2PS, adic˘ af(x,y) este perimetrul dreptunghiului
PQRS din ﬁgura 3 de mai sus.
G˘ asim atunci un punct laticeal P1(x1,y1) ˆ ın apropierea lui Rpentru care f(x1,y1)
este cea mai mic˘ a valoare a lui f(x,y) (cˆ andx,y∈Z). Conform celor stabilite la ˆ ınceput
punctulP1este unic.
In felul acesta putem ordona punctele laticeale ˆ ıntr-un ¸ sir P1,P2,…(scriind c˘ a
Pi(xi,yi)<Pi+1(xi+1,yi+1)⇔f(xi,yi)<f(xi+1,yi+1)).
Dac˘ aPn(xn,yn) este aln-lea punct laticeal ˆ ın aceast˘ a ordonare, s˘ a not˘ am an=
f(xn,yn), iar
h(x,y) =x(1 +√
3) +y(√
3−1)−1
3−1√
3
g(x,y) =x(1−√
3) +y(√
3 + 1) −1
3+1√
3.
S˘ a consider˘ am acum cele 4 drepte: h(x,y) =±an+1¸ sig(x,y) =±an+1; se veriﬁc˘ a
imediat c˘ a cele 4 drepte formeaz˘ a un p˘ atrat.
Dac˘ a avem un punct laticeal P(x,y) atunci −an+1<h(x,y)<an+1⇔ |h(x,y)|<
an+1, adic˘ aPse g˘ ase¸ ste ˆ ıntre dreptele de ecuat ¸ie h(x,y) =an+1¸ sih(x,y) =−an+1¸ si
reciproc.
Similar, se deduce c˘ a punctul P(x,y) se aﬂ˘ a ˆ ıntre dreptele de ecuat ¸ii g(x,y) =an+1
¸ sig(x,y) =−an+1⇔ |g(x,y)|<an+1.
Astfel, punctul P(x,y) se aﬂaˆ ın interiorul p˘ atratului din ﬁgura 4 ⇔ |h(x,y)|<an+1
¸ si|g(x,y)|<an+1.
Ins˘ a se veriﬁc˘ a imediat c˘ a pentru numerele reale a,b,c (c >0):|a|< c¸ si|b|< c
⇔ |a+b
2|+|a−b
2|<c¸ si astfel:


|h(x,y)|<an+1,
|h(x,y) +g(x,y)
2|+|h(x,y)−g(x,y)
2|<an+1⇔f(x,y)<an+1,
|g(x,y)|<an+1adic˘ a punctul
laticealP(x,y) se aﬂ˘ a ˆ ın interiorul p˘ atratului din Fig. 4 dac˘ a ¸ si numai dac˘ a f(x,y)<
an+1.
Atunci ˆ ın interiorul p˘ atratului din ﬁgur˘ a sunt exact punctele laticeale P1,P2,…,P n,
ce sunt ˆ ın num˘ ar de n.
128

Teorema 8.1.5. (Pick) Fie Pun poligon convex ^ n plan care cont ine mpuncte
laticeale ^ n interiorul s au, kpuncte laticeale pe laturi sau v^ arfuri si v^ arfurile sale sunt
puncte laticeale. Atunci Aria( P)=m+k
2−1.
Demonstrat ie . S˘ a demonstr˘ am formula la ˆ ınceput pentru cazul m= 0,k= 3
(aceasta exprim˘ a faptul c˘ a Peste un triunghi cu vˆ arfurile ˆ ın nodurile ret ¸elei ¸ si care nu
mai cont ¸ine alte noduri pe laturi sau ˆ ın interior). Atunci S=1
2(vezi ﬁgura 5).
S˘ a trecem acum la cazul general. Descompunem poligonul Pˆ ın triunghiuri cu
vˆ arfurile ˆ ın puncte laticeale ¸ si care nu mai cont ¸in puncte laticeale pe laturi sau ˆ ın interior.
Vom calcula num˘ arul nde triunghiuri de mai sus ˆ ın dou˘ a moduri exprimˆ and ˆ ın
dou˘ a moduri suma unghiurilor lor.
Pe de o parte, suma unghiurilor lor este 180◦·niar pe de alta parte, suma unghi-
urilor lor este egal˘ a cu suma unghiurilor poligonului ¸ si a unghiurilor din jurul punctelor
interioare, adic˘ a 180◦·(k−2) + 360◦·m.
Deci 180◦= 180◦·(k−2)+360◦·m, de unden= 2m+k−2 ¸ si cumS=n
2deducem
c˘ aS=m+k
2−1.
Observat ii.
1. Teorema lui Pick este valabil˘ a ¸ si pentru poligoane oarecare (nu neap˘ arat convexe),
ˆ ıns˘ a demonstrat ¸ia ei este diferit˘ a de cazul convex.
Pentru aceasta vom considera dou˘ a poligoane Q1¸ siQ2care au toate vˆ arfurile ˆ ın
puncte laticeale ¸ si care sunt adiacente prin una din laturile comune AB (vezi ﬁgura 6).
S˘ a presupunem cunoscut ¸ si formula S=m+k
2−1 este adevarat˘ a pentru amˆ andou˘ a
aceste poligoane; vom demonstra c˘ a ˆ ın acest caz, formula va ﬁ adevarat˘ a ¸ si pentru
poligonul mai mare Q, obt ¸inut prin reuniunea lui Q1¸ siQ2.
Intr-adev˘ ar, ﬁe S1,m1¸ sik1- aria, num˘ arul punctelor laticeale din interiorul poligonu-
lui ¸ si num˘ arul punctelor laticeale de pe frontiera lui Q1, iarS2,m2¸ sik2-numerele core-
spunzatoare pentru poligonul Q2.
Conform ipotezei avem S1=m1+k12−1 ¸ siS2=m2+k22−1.
Vom nota cu k′num˘ arul nodurilor ret ¸elei de p˘ atrate situate pe segmentul AB, care
cont ¸ine punctele A¸ siB. Pentru poligonul Q, aria saS, num˘ arulmde puncte laticeale
din interiorul sau ¸ si num˘ arul kde puncte laticeale de pe frontiera sa vor ﬁ exprimate cu
ajutorul lui m1,m2,k1,k2¸ sik′astfel:S=S1+S2,m=m1+m2+ (k′−2) (la punctele
laticeale interioare se vor ad˘ auga toate punctele laticeale situate pe ABcu except ¸ia lui
A¸ siB) ¸ sik= (k1−k′) + (k2−k′) + 2 ( ˆ ın ultimul termen +2 ﬁgureaza nodurile A¸ siB
). Deci:
S=S1+S2=m1+k1
2−1 +m2+k2
2−1
= (m1+m2+k′−2) +k1+k2−2k′+ 2
2−1
=m+k
2−1.
Formula de demonstrat la modul general se poate stabili acum inductiv.
129

2. Merit˘ a s˘ a mai amintim ¸ si un rezultat datorat lui Hermann Minkowski legat de
punctele laticeale:
Dac a un poligon convex simetric fata de centrul sau (care este un punct
laticeal) nu mai cont ine ^ n interiorul s au alte puncte laticeale, atunci aria sa
este<4(ca unitate de arie se considera aria unui p atrat al ret elei).
Nu vom prezenta aici demonstrat ¸ia teoremei lui Minkowski deoarece ea este destul
de laborioas˘ a, dar ˆ ın esent ¸˘ a este asemanatoare cu cea a teoremei lui Pick (indic˘ am citi-
torului lucrarea [20]).
Pentru un num˘ ar natural nﬁet(n)=num˘ arul de reprezent˘ ari ale lui nca suma de
doua p˘ atrate de numere naturale (dou˘ a reprezent˘ ari ﬁind considerate diferite dac˘ a difer˘ a
ordinea termenilor) – vezi Teorema 6.1.7 de la Capitolul 6.
De exemplu : τ(1) = 4,τ(2) = 4,τ(3) = 0,τ(5) = 8,τ(6) = 0,τ(7) = 0,τ(8) =
4,τ(9) = 4,τ(10) = 8.
Dup˘ a cum am v˘ azut mai ˆ ınainte, orice num˘ ar prim de forma 4 k+ 1 are o unic˘ a
reprezentare ca sum˘ a de dou˘ a p˘ atrate de numere naturale (dac˘ a nu t ¸inem cont de ordinea
termenilor; vezi Propozitia 6.1.5. de la Capitolul 6). De aici deducem c˘ a dac˘ a peste
prim de forma 4 k+ 1, atunci τ(p) = 8 (c˘ aci dac˘ a ( a,b) este o solut ¸ie, atunci sunt solut ¸ii
¸ si (b,a) ca ¸ si ( ±a,±b),(±b,±a)).
Observ˘ am c˘ a dac˘ a n=x2+y2, atunci |x|,|y| ≤√n; deducem imediat c˘ a τ(n)≤√
4.
Pentrun∈N∗, ﬁeT(n) =τ(1) +τ(2) +…+τ(n). AtunciT(n) este num˘ arul de solut ¸ii
dinZale inegalit˘ at ¸ilor: 0 <x2+y2≤n.
Lema 8.1.6. Pentru orice n∈N∗,T(n) = 4[√n]∑
k=0[√
n−k2].
Demonstrat ie. Dac˘ ax= 0, atunci y2≤n⇔ |y| ≤√n, deci num˘ arul numerelor y
pentru care 0 <x2+y2≤neste 2[√n].
Dac˘ ax=k̸= 0, atunci k2≤n, deci|k| ≤√niary2≤n−k2, adic˘ a |y| ≤√
n−k2
(deci num˘ arul y-cilor este 1 + 2[√
n−k2]; am adunat ¸ si pe 1 deoarece y= 0 trebuie
considerat).
Deoarecek∈ {± 1,±2,…,±[√n]}iar semnele ±nu inﬂuent ¸eaz˘ a valoarea lui k2,
obt ¸inem c˘ a:
T(n) = 2[√n] + 2[√n]∑
k=0[1 + 2√
n−k2] = 4[√n] + 4[√n]∑
k=0[√
n−k2] = 4[√n]∑
k=0[√
n−k2].
Astfel, de exemplu, pentru n= 100 avem
T(100) = 4([√
100]+[√
99]+[√
96]+[√
91]+[√
84]+[√
75]+[√
64]+[√
51]+[√
36]+
[√
19]) = 4(10 + 9 + 9 + 9 + 9 + 8 + 8 + 7 + 6 + 4) = 316 .
Interpretare geometric a pentru T(n)
Pentrun∈N,1+T(n) reprezint˘ a num˘ arul de perechi din Z2ce satisface inegalitatea
x2+y2≤n.
130

Astfel, 1+T(n) reprezint˘ a num˘ arul punctelor laticeale din interiorul cercului Cnde
centru (0,0) ¸ si raz˘ a√n(eventual de pe circumferint ¸˘ a).
In continuare, la ﬁecare punct laticeal vom asocia un p˘ atrat ce are centrulˆ ın punctul
respectiv, laturile paralele cu axele de coordonate ¸ si aria 1 (vezi Fig.7).
Dac˘ a not˘ am cu Paria acoperit˘ a de p˘ atratele asociate punctelor laticeale care nu
sunt ˆ ın afara cercului Cn, aceasta este egal˘ a cu num˘ arul acestora, adic˘ a P= 1 +T(n).
CerculC1nde centru (0 ,0) ¸ si raz˘ a√n+1√
2contine ˆ ın interior sau pe circumferint ¸˘ a toate
punctele acoperite de p˘ atratele asociate punctelor laticeale din Cn(aceasta deoarece ˆ ın
mod evident1√
2este cea mai mare distant ¸˘ a posibil˘ a a unui punct din interiorul p˘ atratului
de arie 1 la centrul p˘ atratului).
AtunciP≤aria(C1n)⇔P≤π(√n+1√
2)2.
Pe de alt˘ a parte, dac˘ a not˘ am cu C2ncercul de centru (0 ,0) ¸ si raza√n−1√
2, atunci
dinaria(C2n)≤Pdeducem c˘ a π(√n−1√
2)2≤P.
InlocuindP= 1 +T(n) deducem c˘ a π(√n−1√
2)2−1<T(n)<π(√n+1√
2)2−1.
Cumπ√
2<5 ¸ si 0<1
2π−1<1≤√ndeducem c˘ a:
π(√n+1√
2)2−1 =πn+π√
2√n+1
2π−1<πn + 6√n¸ si
π(√n−1√
2)2−1 =πn−π√
2√n+1
2π−1<πn−6√n
de undeπn−6√n<T (n)<πn + 6√n⇔ |T(n)
n−π|<6√niar de aici deducem:
Propozit ia 8.1.7. lim
n→∞T(n)
n=π
Dup˘ a cum am v˘ azut T(100) = 316, deciT(100)
100= 3,16. Analog T(400) = 1256,
deciT(400)
400= 3,14 iarT(1000)
1000= 3,148.
Avem astfel posibilitatea de a aproxima pe πconsiderˆ and valori din ce ˆ ın ce mai
mari pentru n.
8.2 Puncte laticeale ^ n spat iu
Consider˘ am spat ¸iul R3raportat la un sistem ortogonal de axe 0 xyz.
Denit ia 8.2.1 Un punctM(x,y,z )∈R3se zice punct laticeal , dac˘ a (x,y,z )∈Z3.
Multe rezultate legate de puncte laticeale din plan au extinderi aproape imediate
la puncte laticeale din spat ¸iu.
Lema 8.2.2. Dac ap,q,r∈Q sip√
2 +q√
3 +r√
5∈Q, atuncip=q=r= 0.
Demonstrat ie. Fiep√
2+q√
3+r√
5 =k∈Q. Atuncip√
2+q√
3 =k−r√
5, de unde
2p2+2pq√
6+3q2=k2−2kr√
5+5r2. Deducem c˘ a 2 pq√
6+2kr√
5 =k2+5r2−2p2−3q2∈
Q, de unde 2 pq= 2kr=k2+ 5r2−2p2−3q2= 0 iar de aici p=q=r= 0.
131

Teorema 8.2.3. Pentru orice num ar natural n∈N∗exist a ^ n spat iu o sfer a ce
cont ine ^ n interiorul s au exact npuncte laticeale .
Demonstrat ie. S˘ a ar˘ at˘ am la ˆ ınceput c˘ a sfera de centru (√
2,√
3,√
5) are cel mult
un punct laticeal pe suprafat ¸a ei.
Intr-adev˘ ar, s˘ a presupunem c˘ a pe suprafat ¸a sferei cu centrul ˆ ın punctul de coordo-
nate (√
2,√
3,√
5) exist˘ a dou˘ a puncte laticeale de coordonate ( a,b,c ) respectiv ( d,e,f ).
Scriind c˘ a
(a−√
2)2+ (b−√
3)2+ (c−√
5)2= (d−√
2)2+ (e−√
3)2+ (f−√
5)2
obt ¸inem 2√
2(d−a) + 2√
3(e−b) + 2√
5(f−c) =d2+e2+f2−a2−b2−c2∈Q¸ si atunci
conform Lemei 8.2.2, d−a=e−b=f−c= 0⇔a=d,b=e,c=f.
Ca ˆ ın cazul plan (Teorema 8.1.2) putem ordona punctele laticeale din spat ¸iu ˆ ıntr-
un ¸ sir cresc˘ ator M1,M2,…ˆ ın funct ¸ie de distant ¸ele d1,d2,…ale acestora la punctul de
coordonate (√
2,√
3,√
5). Astfel, sfera cu centrul ˆ ın punctul de coordonate (√
2,√
3,√
5)
¸ si razadn+1cont ¸ine ˆ ın interiorul s˘ au exact npuncte laticeale din spat ¸iu ¸ si anume pe
M1,M2,…,M n.
Teorema 8.2.4. (T. Kulikowski) Pentru orice num ar natural n∈N∗exist a ^ n
spat iu o sfer a ce cont ine pe suprafat a sa exact npuncte laticeale.
Demonstrat ie. Conform Teoremei 8.1.3 exist˘ a un cerc ˆ ın planul 0 xyde ecuat ¸ie
(x−a)2+ (y−b)2=c(cua,b,c ∈Q,c > 0) ce trece prin exact npuncte laticeale
de coordonate ( x,y). Identiﬁcˆ and punctele laticeale de coordonate ( x,y) din planul 0 xy
cu punctele de coordonate ( x,y,0) din spat ¸iul 0 xyz putem trage concluzia c˘ a cercul
(x−a)2+ (y−b)2=ccont ¸ine exact npuncte laticeale ( x,y,0) din spat ¸iu.
S˘ a consider˘ am acum sfera cu centrul ˆ ın punctul de coordonate ( a,b,√
2) ¸ si de raz˘ a√c+ 2 a c˘ arei ecuat ¸ie ˆ ın sistemul de axe 0 xyzeste:
(1) (x−a)2+ (y−b)2+ (z−√
2)2=c+ 2⇔
(2) (x−a)2+ (y−b)2+z2−2z√
2 =c.
Conform Teoremei lui Schinzel, a,b,c∈Q( putem avea de exemplu a=1
2sau1
3
¸ sib= 0 iarcp˘ atratul unui num˘ ar ˆ ıntreg).
Astfel, dac˘ a ( x,y,z )∈Z3veriﬁc˘ a ecuat ¸ia (2), atunci cu necesitate z= 0 ¸ si atunci
obt ¸inem (x−a)2+ (y−b)2=cce are numai nsolut ¸ii.
Celenpuncte laticeale de pe sfera de ecuat ¸ie (1) sunt cele ce se obt ¸in intersectˆ and
suprafat ¸a sferic˘ a cu planul de ecuat ¸ie z= 0 (obt ¸inˆ and astfel cercul de ecuat ¸ie (2) ce trece
prin exactnpuncte laticeale).
In concluzie, sfera de centru ( a,b,√
2) ¸ si raz˘ a√c+ 2 trece prin exact npuncte
laticeale din spat ¸iu, de forma ( x,y,0).
132

Capitolul 9
Clase speciale de numere
^ ntregi
9.1 Numere de tip Fermat
Se numesc numere de tip Fermat numerele naturale de forma Fn= 22n+ 1 cun∈N;
avem deciF0= 3,F1= 5,F2= 17,F3= 65537,F4= 2294967297 ¸ s.a.m.d.
Fermat a ajuns la studiul numerelor de forma Fndin mai multe considerente.
El a observat c˘ a dac˘ a num˘ arul 2m+ 1(m≥1) este prim, atunci cu necesitate m
este de forma m= 2ncun∈N. Intr-adev˘ ar, dac˘ a exist˘ a un divizor impar kal luim,
atuncim=ktcut∈N¸ si atunci 2m+1 = (2t)k= (2t+1)[(2t)k−1−(2t)k−2+…−2t+1]
contrazicˆ and faptul c˘ a 2m+ 1 este prim.
Pe de alt˘ a parte, tot Fermat a observat c˘ a numerele F0,F1,F2,F3¸ siF4sunt prime
iar de aici el a tras concluzia pripit˘ a c˘ a Fneste num˘ ar prim pentru orice n∈N. Numai c˘ a
Euler l-a contraziz, ar˘ atˆ and c˘ a F5este compus avˆ andu-l ca divizor pe 641(vom vedea mai
tˆ arziu cum arat˘ a divizorii primi ai unui num˘ ar Fn). Iat˘ a ˆ ıns˘ a rapid o solut ¸ie a faptului c˘ a
F5se divide prin 641. Avem F5= 225+1 = 228(54+24)−(5·27)4= 228·641−(6404−1) =
228·641−(640−1)(640 + 1)(6402+ 1) = 641[228−639·(6402+ 1)] = 641 ·6700417.
Important ¸a numerelor lui Fermat a ˆ ınceput s˘ a creasc˘ a datorit˘ a unui celebru rezultat
al lui Gauss potrivit c˘ aruia un poligon regulat cu nlaturi(n≥3) poate ﬁ construit cu
rigla ¸ si compasul dac˘ a ¸ si numai dac˘ a neste de forma n= 2kp1p2…prundek,r∈Niar
ﬁecare dintre numerele 3 ≤p1<p 2<…<p rsunt numere Fermat prime.
Legat de mult ¸imea numerelor Fermat ( Fn)n∈Nse pun mai multe probleme(nerezol-
vate ˆ ınc˘ a!):
P1: In ¸ sirul (Fn)n∈Nexist˘ a o inﬁnitate de numere prime?
P2: In ¸ sirul (Fn)n∈Nexist˘ a o inﬁnitate de numere compuse?
Legat de P1s˘ a amintim c˘ a ˆ ın afar˘ a de numerele F0,F1,F2,F3,F4¸ siF5nu se mai
133

cunoa¸ ste un alt num˘ ar Fermat prim!
Legat de P2s˘ a amintim c˘ a se cunosc peste 100 de numere Fermat compuse (cel mai
mare ﬁindF23471 care are un num˘ ar de 107000cifre ¸ si care se divide prin 5 ·223473+ 1).
Nu se ¸ stie ˆ ın schimb dac˘ a F22este prim sau compus.
Propozit ia 9.1.1. (i) Numerele Fermat sunt de forma 12k+ 5cuk∈N∗;
(ii)Pentru orice num ar natural n,Fn= (Fn−1)2+2iarFn+1=FnFn−1…F 1F0+2;
dac am,n∈N,m̸=n, atunci (Fm,Fn) = 1;
(iii)Dac aneste par atunci Fn≡3(mod 7)iar dac aneste impar, atunci Fn≡
5(mod 7);
(iv)Pentru nicio valoare a lui n, num arulFnnu este p atrat sau cub perfect ;
(v)Pentrun≥2divizorii primi pai luiFnsunt de forma p= 2n+2·k+1(k∈N∗).
Demonstrat ie. (i). Scriem 2n= 2·m¸ si cum 4m≡4(mod 12), deducem c˘ a Fn=
4m+ 1≡5(mod 12).
(ii). Prima egalitate se face prin calcul direct iar pentru a doua utiliz˘ am induct ¸ia
matematic˘ a dup˘ a n, obt ¸inˆ and c˘ a F1= 5 =F0+ 2 iarFn+1= (Fn−2)Fn+ 2 ¸ si aplic˘ am
ipoteza de induct ¸ie pentru Fn. Fie de exemplu m < n ¸ sid= (Fm,Fn). Din a doua
egalitate deducem c˘ a d|2 ¸ si cumFm¸ siFnsunt impare, atunci d= 1.
(iii). Evident, F0= 3≡3(mod 7). Cum pentru orice n≥1,Fn+1= (Fn−1)2+ 2,
atunciFn+2= (Fn+1−1)2+ 2 = [(Fn−1)2+ 2−1]2+ 2 = [(Fn−1)2+ 1]2+ 2 =
(Fn−1)4+ 2(Fn−1) + 3 iar dac˘ a presupunem c˘ a Fn= 7k+ 3, atunci Fn+2= 7k1+ 24+
2(7k2+ 2) + 3 = 7 k3+ 16 + 4 + 3 = 7 k3+ 3 ¸ si totul rezult˘ a prin induct ¸ie.
Pentru cazul impar proced˘ am analog.
(iv). Dac˘ a prin absurd pentru un anumit n∈Nexist˘ ak∈Nastfel ˆ ıncˆ at Fn=
k2⇒22n= (k−1)(k+ 1)⇒k−1 = 2a,k+ 1 = 2bcua<b⇒2b−1−2a−1= 1⇒a=
1⇒k= 3⇒22n= 8 – absurd!
S˘ a presupunem de asemenea prin absurd c˘ a pentru un anumit n∈Nexist˘ ak∈N
astfel ˆ ıncˆ at Fn=k3. Conform celor stabilite mai ˆ ınainte, pentru orice n∈N,Fn≡
3(mod 7) sau Fn≡5(mod 7) pe cˆ and k3≡ −1,0,1(mod 7), deci ¸ si egalitatea Fn=k3
este imposibil˘ a.
(v). Dac˘ apeste un divizor prim al lui Fn, atunci 22n≡ −1(modp)⇒22n+1≡
1(modp). Fiei∈Ncel mai mic num˘ ar natural cu proprietatea c˘ a 2i≡1(modp) (vezi
§8 de la Capitolul 1). Atunci i|2n+1, decii= 2kcuk≤n+ 1. Dac˘ a k≤n, din
22k≡1(modp) deducem c˘ a 22n≡1(modp)- absurd!. Deci k=n+ 1. Conform micii
teoreme a lui Fermat, 2p−1≡1(modp) ¸ si atunci 2n+1|p−1, adic˘ ap−1 = 2n+1hcu
h≥1 iarn≥2. Astfelp= 8t+ 1 ¸ si (2p) = (−1)p2−1
8= 1, adic˘ a 2 este rest p˘ atratic
modulo p. Atunci 2p−1
2≡1(modp)⇒p−1
2|2n+1·k¸ s ˆ ın ﬁnalp= 2n+2·k+ 1.
Observat ie. Punctul (v) al propozit ¸iei de mai sus permite identiﬁcarea cu u¸ surint ¸˘ a a
acelor numere prime care ar putea ﬁ divizori ai unui num˘ ar Fermat. De exemplu, pentru
F5, eventualii divizori primi ai s˘ ai trebuie s˘ a ﬁe de forma p= 27·k+ 1 = 128k+ 1, adic˘ a
257,641, ¸ s.a.m.d., a¸ sa c˘ a a fost relativ u¸ sor pentru Euler s˘ a identiﬁce factorul 641 al lui
134

F5. De asemenea, ˆ ın [48] la p. 349 se demonstreaz˘ a c˘ a 5 ·21947+ 1|F1945.
Teorema 9.1.2. (Lucas-1891) Pentru n∈N,Fneste num ar prim dac a si numai
dac aFn|3Fn−1
2+ 1.
Demonstrat ie. ,,⇒”. Conform celor stabilite ˆ ın cadrul Propozit ¸iei 9.1.1, (i), Fneste
de forma 12 k+ 5. Pe de alt˘ a parte, dac˘ a un num˘ ar prim peste de forma p= 12k+ 5,
atunci (p
3) = (−1
3) =−1, deci 3p−1
2≡ −1(modp). Astfel, dac˘ a p=Fneste prim, atunci
Fn=p|3p−1
2+ 1 = 3Fn−1
2+ 1.
,,⇐”. S˘ a presupunem c˘ a Fn|3Fn−1
2+ 1; atunci 3 -Fn¸ si ﬁep|Fnun divizor prim,
p̸= 3 iaricel mai mic num˘ ar natural pentru care 3i≡1(modp)(vezi §8 de la Capitolul
1). Conform micii teoreme a lui Fermat, p|3Fn−1−1⇒3Fn−1≡ −1(modp)⇒322n
≡
1(modp)⇒i|22n. Dac˘ ai= 2kcuk < 2n, atunci 2k|22n−1 =Fn−1
2⇒i|Fn−1
2.
Cump|3i−1,p|3Fn−1
2−1 ¸ si astfel din p|Fn⇒p|3Fn−1
2+ 1, de unde p|2,
adic˘ ap= 2 ceea ce este imposibil deoarece Fneste impar. Prin urmare i= 22n¸ si cum
i|p−1⇒p= 22nk+ 1. Cump≥22n+ 1 =Fn¸ sip|Fn⇒Fn=p, deciFneste prim.

9.2 Numere de tip Mersenne
Se numesc numere de tip Mersenne , numerele naturale de forma Mn= 2n−1. Astfel,
M0= 0,M1= 1,M2= 3,M3= 7,M4= 15, etc. In mod evident, dac˘ a neste compus,
atunci ¸ siMneste compus, astfel c˘ a pentru ca Mns˘ a ﬁe prim cu necesitate ¸ si ntrebuie
s˘ a ﬁe prim. Cum M11= 211−1 = 2047 = 23 ·89, tragem concluzia c˘ a pentru ca Mns˘ a
ﬁe prim nu este suﬁcient doar ca ns˘ a ﬁe prim.
Marin Mersenne a tr˘ ait ˆ ın secolul 17 (1588-1648), ˆ ıns˘ a numerele ce-i poart˘ a azi
numele erau cunoscute ˆ ınc˘ a din antichitate de Euclid.
Din p˘ acate nu se ¸ stie pˆ an˘ a azi dac˘ a exist˘ a o inﬁnitate de numere prime pastfel ˆ ıncˆ at
Mps˘ a ﬁe prim, dup˘ a cum nici dac˘ a exist˘ a o inﬁnitate de numere prime ppentru care Mp
este compus. Unul din lucrurile importante care a impus studiul numerelor Mersenne
este acela c˘ a cele mai mari numere prime cunoscute pˆ an˘ a acum sunt de tip Mersenne(se
cunosc 42 de astfel de numere).
Iat˘ a un criteriu care ne permite s˘ a stabilim dac˘ a un num˘ ar Mersenne este compus
sau nu:
Propozit ia 9.2.1. Fie p un num ar prim, p≥3astfel ^ nc^ at q= 2p+ 1este prim
sip≡3(mod 4). Atunciq|Mp, deciMpeste compus .
Demonstrat ie. Dinp= 4k+ 3 deducem c˘ a q= 8k+ 7, deci (2p) = 1, adic˘ a
2q−1
2≡1(modq)⇒2q−1≡1(modq)⇒q|2q−1−1.
Observat ie. Din propozit ¸ia de mai ˆ ınainte deducem c˘ a 23 |M11,47|M23,167|
M83,263|M131,2039|M1019, etc.
Propozit ia 9.2.2. Fiep≥3un num ar prim, 1≤h < p,n =hp+ 1saun=
hp2+ 1,n-2h−1, dar 2n−1≡1(modn). Atunci n este num ar prim .
135

Demonstrat ie. Fien=hpb+ 1, undeb∈ {1,2}¸ sid=ord2(modn)(decideste cel
mai mic num˘ ar natural nenul cu proporietatea c˘ a 2d≡1(modn)). Atuncid|n−1,d-h
¸ si cumn−1 =hpb⇒p|d. Ins˘ ad|φ(n), decip|φ(n) =pα1−1
1…pαk−1
k(p1−1)…(pk−1),
undenare descompunerea n=pα1
1…pαk
k. Cump-n⇒p|(p1−1)…(pk−1)⇒pare un
factor prim q≡1(modp), adic˘ ap=mq+ 1.
Cumn≡1≡q(modp)⇒m≡1(modp). Dac˘ am> 1, atuncin= (up+ 1)(vp+
1),1≤u≤v¸ sihpp−1=uvp+v+u.
Dac˘ ab= 1 se obt ¸ine hp=uvp+v+u, de undep≤uvp<h1
2p
¸ siuv<h<p,uv ≤p−2,u≤p−2
v<2(p−2)
p<2. Deciu= 1, dac˘ av≥p−1,u≥p−1-
din nou absurd!
Rezult˘ am= 1 ¸ sin=qeste prim. S˘ a presupunem acum c˘ a 2 p+ 1|Mp¸ si s˘ a
consider˘ am h= 2 ¸ sin= 2p+ 1 ˆ ın enunt ¸ul propozit ¸iei anterioare. Avem h<p ¸ si-2h−1
dar 2n−1= 22p≡1(modn). Deci 2p+ 1 este prim.
In [37] se demonstreaz˘ a:
Teorema 9.2.3. (Lucas-Lehmer) Pentru p∈N∗num ar prim impar, Mp= 2p−1
este prim dac a si numai dac a Mp|ap−1, unde (ai)i≥1este dat dea1= 4 sian+1=a2
n−2
pentrun≥1.
Observat ii.
1. Nu se ¸ stie ˆ ınc˘ a dac˘ a exist˘ a o inﬁnitate de numere Mersenne Mpcupprim; cel mai
mare num˘ ar Mersenne prim cunoscut este M6972593 ¸ si are 2098960 cifre(a fost determinat
ˆ ın 1999 de Nayan Hajratwala).
2. Cel mai mare num˘ ar Mersenne compus cunoscut este Mpcup= 39051 ·26001−
1(care este prim); acest num˘ ar a fost pus ˆ ın evident ¸˘ a ˆ ın 1987 de A. Keller.
9.3 Numere de tip Fibonacci
Numim sir Fibonacci ¸ sirul (Fn)n≥1deﬁnit prin F1=F2= 1 ¸ siFn+1=Fn+Fn−1pentru
n≥2.
Acest ¸ sir de numere a fost introdus ˆ ın anul 1228 de c˘ atre matematicianul italian
Leonardo Fibonacci pornind de la studiul ˆ ınmult ¸irii iepurilor de cas˘ a.
T ¸ inˆ and cont c˘ a ecuat ¸ia caracteristic˘ a ata¸ sat˘ a ¸ sirului lui Fibonacci este x2−x−1 = 0
cu r˘ ad˘ acinile x1=1−√
5
2¸ six2=1 +√
5
2, deducem imediat c˘ a pentru orice n≥1,
Fn=1√
5(xn
2−xn
1) =1
2n√
5[(1 +√
5)n−(1−√
5)n].
Urm˘ atorul rezultat cont ¸ine o serie de propriet˘ at ¸i interesante ale ¸ sirului ( Fn)n≥1.
Propozit ia 9.3.1. (i) Pentru orice m,n≥2are loc egalitatea Fm+n=Fm−1Fn+
FmFn−1;
(ii) Pentru orice n≥1avem (Fn,Fn+1) = 1;
136

(iii) Dac am|n, atunciFm|Fn;
(iv) Dac an≥5 siFneste prim, atunci si neste prim.
Demonstrat ie. (i). Se face induct ¸ie matematic˘ a dup˘ a m(saun).
(ii). Presupunem prin absurd c˘ a exist˘ a m≥1 astfel ˆ ıncˆ at ( Fm,Fm+1) =d >1 ¸ si
ˆ ıl alegem pe mminim cu aceast˘ a proprietate. Cum Fm+1=Fm+Fm−1deducem c˘ a
d|Fm−1¸ si atunci (Fm−1,Fm)≥d>1, contrazicˆ and minimalitatea lui m.
(iii). S˘ a presupunem c˘ a m|n, adic˘ an=mkcuk≥1. CumFn=1√
5(xn
2−xn
1) ¸ si
Fm=1√
5(xm
2−xm
1) avemFn
Fm=xn
2−xn
1xm
2−xm
1=(xm
2)k−(xm
1)k
xm
2−xm
1=xm(k−1)
1 +xm(k−2)
1xm
2+
…+xm(k−1)
2 = [xm(k−1)
1 +xm(k−1)
2 ] + [xm(k−2)
1xm
2+xm
1xm(k−2)
2 ] +…∈Z(deoarece din
x1+x2= 1 ¸ six1x2=−1 deducem c˘ a xt
1+xt
2∈Zpentru orice t≥1), de unde concluzia.
(iv).S˘ a presupunem prin absurd c˘ a nnu este prim; atunci n=ktcuk≥3 ¸ si din
(i) deducem c˘ a Fk|Fn(cuFk≥2) contrazicˆ and faptul c˘ a Fneste prim.
Corolar 9.3.2. (i) Pentru orice n,k≥1avem (Fnk−1,Fn) = 1 ;
(ii) Pentru orice m,n≥1avem (Fm,Fn) =F(m,n);
(iii) Dac am,n≥1 si(m,n) = 1 , atunciFmFn|Fmn.
Demonstrat ie. (i). Fie (Fnk−1,Fn) =d>1. CumFnk+1=Fnk+Fnk−1,d|Fn¸ si
Fn|Fnkdeducem c˘ a d|Fnk¸ si deci (Fnk−1,Fnk)≥d>1 ceea ce este absurd (conform
cu (ii) din Propozit ¸ia 9.3.1).
(ii). Fied= (m,n). Dac˘ an > m atunci scriind algoritmul lui Euclid n=mq1+
r1,m=r1q2+r2,r1=r2q3+r3,…,r i−1=riqi+1, atuncid=ri. T ¸ inˆ and cont de
Propozit ¸ia 9.3.1 avem:
(Fm,Fn) = (Fm,Fmq1+r1) = (Fm,Fmq1−1Fr1+Fmq1Fr1+1) = (Fm,Fmq1−1Fr1) = (Fm,Fr1).
Ins˘ a (Fm,Fr1) = (Fr1,Fr2), deci
(Fm,Fn) = (Fm,Fr1) = (Fr1,Fr2) =…= (Fri−1,Fri) =Fri=Fd.
(iii).Din (m,n) = 1 ¸ si (ii) deducem c˘ a ( Fm,Fn) =F1= 1. Din Propozit ¸ia 9.3.1
deducem c˘ a Fm|Fmn¸ siFn|Fmniar cum (Fm,Fn) = 1 deducem c˘ a FmFn|Fmn.
Teorema 9.3.3. Fiep≥2un num ar prim.
(i) Dac ap= 5k±1, atuncip|Fp−1;
(i) Dac ap= 5k±2, atuncip|Fp+1.
Demonstrat ie. (i). Cum pentru p= 2,F3= 2, putem presupune p̸= 2 ¸ sip̸= 5.
CumFn=1
2n√
5[(1 +√
5)n−(1−√
5)n] deducem c˘ a 2n−1Fn=C1
n+C3
n5 +C5
n52+….
Pentrun=p, cump|Ck
ppentru 1 ≤k≤p−1 ¸ si 2p−1≡1(modp), deducem c˘ a
Fp≡5p−1
2(modp). Atunci 5p−1
2≡(5p)(modp) ¸ si deciFp≡ ±1(modp).
Din cele de mai sus deducem imediat c˘ a 2pFp+1≡C1
p+1+Cp
p+15p−1
2≡1 +
5p−1
2(modp), deci 2Fp+1≡1 + 5p−1
2(modp).
137

Din legea reciprocit˘ at ¸ii p˘ atratice a lui Gauss(vezi Teorema 4.2.2) avem (5p)(p
5) =
(−1)p−1
2·5−1
2= 1, deci (5p) = (p
5), adic˘ a (p
5)≡p5−1
2(modp), de unde deducem c˘ a
(5p) = (p
5) = 1 dac˘ a p= 5k±1 ¸ si (5p) = (p
5) =−1 dac˘ ap= 5k±2.
In primul caz deducem c˘ a Fp≡5p−1
2≡1(modp),2Fp+1≡1 + 5p−1
2≡2(modp),
Fp+1≡1(modp),Fp−1=Fp+1−Fp≡1−1≡0(modp), iar ˆ ın cazul al doilea 2 Fp+1≡
1 + 5p−1
2≡0(modp) ¸ si atunciFp+1≡0(modp).
Teorema 9.3.4. (Zeckendorf) Orice num ar natural n≥1se reprezint a ^ n mod unic
ca sum a de termeni distinct i si neconsecutivi ai sirului lui Fibonacci:
n=m∑
j=1Fij,ij−ij−1≥2.
Demonstrat ie. Se veriﬁc˘ a imediat c˘ a proprietatea din enunt ¸ este adev˘ arat˘ a pentru
n≤F4= 3.
S˘ a presupunem c˘ a ea este adev˘ arat˘ a pentru toate numerele naturale pˆ an˘ a la Fk,k≥
4 ¸ si s˘ a o demonstr˘ am pentru num˘ arul nastfel ˆ ıncˆ at Fk< n≤Fk+1. Dac˘ an=Fk+1
totul este clar. In caz contrar, n=Fk+ (n−Fk) ¸ sin−Fk< F k+1−Fk=Fk−1, deci
conform ipotezei de induct ¸ie
n−Fk=Fi1+…+Fir,ij+1≤ij−2,i1≤k−2.
Deducem c˘ a n=Fk+Fi1+…+Fir. Unicitatea reprezent˘ arii din enunt ¸ rezult˘ a
tot prin induct ¸ie, observˆ and c˘ a dac˘ a Fk≤n < F k+1atunciFkapare obligatoriu ˆ ın
reprezentarea lui n. Intr-adev˘ ar, o sum˘ a de numere Fibonacci Fkicuki+1≤ki−2,i=
1,…,r−1 ¸ sikr≥2 este cel mult Fk1+Fk1−2+…= (Fk1+1−Fk1−1)+(Fk1−1−Fk1−3)+…=
Fk1+1−1.
Deducem c˘ a dac˘ a n=Fkatunci aceasta este reprezentarea unic˘ a a lui n, iar dac˘ a
Fk<n<F k+1atunci reprezentarea lui nˆ ıl cont ¸ine obligatoriu pe Fk¸ sin−Fk<Fk−1.
In continuare folosim reprezentarea unic˘ a a lui n−Fk.
9.4 Alte cazuri speciale de numere
a. Numere perfecte
Un num˘ ar natural nse zice perfect dac˘ aσ(n) = 2n(adic˘ a suma σ(n)−na divizorilor
s˘ ai naturali strict mai mici decˆ at neste egal˘ a cu n).
Numerele perfecte au fost studiate ˆ ınc˘ a din antichitate, ﬁind cunoscute numerele
perfecte mai mici decˆ at 10000 ¸ si anume: 6, 28, 496 ¸ si 8128.
Caracterizarea numerelor perfecte este dat˘ a de:
Teorema 9.4.1. Un num ar natural neste perfect dac a si numai dac a n= 2t(2t+1−
1), cut∈Niar2t+1−1este num ar prim .
138

Demonstrat ie. Necesitatea(Euler) . S˘ a presupunem c˘ a n= 2tm(cut∈N¸ sim
impar) este perfect, adic˘ a σ(2tm) = 2t+1m. Cum (2t,m) = 1 iarσeste multiplicativ˘ a,
σ(2tm) =σ(2t)·σ(m), astfel c˘ a σ(n) =σ(2tm) =σ(2t)·σ(m) = (1 + 2 + 22+…+
2t)σ(m) == (2t+1−1)σ(m) = 2t+1m.
Din ultima egalitate deducem c˘ a 2t+1|(2t+1−1)σ(m) ¸ si deoarece (2t+1,2t+1−1) = 1
(ﬁindc˘ a 2t+1−1 este impar) rezult˘ a c˘ a 2t+1|σ(m), adic˘ aσ(m) = 2t+1dcud∈N.
Rezult˘ a c˘ a m= (2t+1−1)d.
Dac˘ ad̸= 1, numerele 1 ,d¸ si (2t+1−1)dsunt divizori distinct ¸i ai lui m¸ si vom
aveaσ(m)≥1 +d+ (2t+1−1)d= 2t+1d+ 1>2t+1d. Darσ(m)>2t+1deste ˆ ın
contradict ¸ie cu σ(m) = 2t+1d, decid= 1, adic˘ a m= 2t+1−1. Dac˘ amnu este prim
atunciσ(m)>(2t+1−1) + 1 = 2t+1(ﬁindc˘ a ar avea ¸ si alt ¸i divizori ˆ ın afar˘ a de 1 ¸ si
2t+1−1) ¸ si contrazice σ(m) = 2t+1.
Deci dac˘ aneste perfect atunci cu necesitate n= 2t(2t+1−1) cut∈N¸ si 2t+1−1
prim.
Sucient a(Euclid) . Dac˘ an= 2t(2t+1−1) cut∈N¸ si 2t+1−1 prim, atunci
σ(n) =σ(2t(2t+1−1)) =σ(2t)·σ(2t+1−1) = (1 + 2 + 22+…+ 2t)(1 + (2t+1−1)) =
(2t+1−1)2t+1= 2n, adic˘ aneste perfect.
Astfel, numerele pare perfecte sunt strˆ ans legate de numerele prime Mersenne; cum
nu se ¸ stie ˆ ınc˘ a dac˘ a exist˘ a sau nu o inﬁnitate de numere prime Mersenne, nu se ¸ stie nici
dac˘ a exist˘ a sau nu o inﬁnitate de numere pare perfecte.
Legat de numerele impare perfecte, din p˘ acate nu se ¸ stie pˆ an˘ a acum nici dac˘ a exist˘ a
astfel de numere!
In [43] ¸ si [37] sunt date anumite rezultate ale lui Euler, Pomerance, Chein, Muskat,
Gr¨ un, Touchard ¸ si Perisastri legate de condit ¸ii necesare ca un num˘ ar perfect s˘ a ﬁe perfect.
b. Numere pseudo-prime, absolut pseudo-prime si Carmichael
Un num˘ ar natural compus nse zice:
i)pseudo-prim dac˘ a 2n≡2(modn);
ii)absolut pseudo-prim dac˘ a pentru orice ˆ ıntreg aaveman≡a(modn);
iii)num ar Carmichael dac˘ aan−1≡1(modn) pentru orice ˆ ıntreg apentru care
(a,n) = 1.
Legat de aceste numere, o concluzie este clar˘ a: aceste categorii de numere au ap˘ arut
ˆ ın strˆ ans˘ a leg˘ atur˘ a cu mica teorem˘ a a lui Fermat(vezi §6 de la Capitolul 1): dac˘ a peste
prim, atunci pentru orice num˘ ar ˆ ıntreg a,ap≡a(modp).
In particular, 2p≡2(modp) pentru orice num˘ ar prim p.
Astfel, o ˆ ıntrebare se pune ˆ ın mod natural: dac˘ a n∈N¸ si 2p≡2(modp) (adic˘ an
este pseudo-prim) rezult˘ a c˘ a neste prim?
Pentrun≤300 se ¸ stie (ˆ ınc˘ a de acum 4500 de ani de matematicienii chinezi!) c˘ a
r˘ aspunsul la ˆ ıntrebarea de mai sus este aﬁrmativ.
139

Numai c˘ a pentru n= 341 conform Exc. 65 de la Capitolul 1 avem c˘ a 2341≡
2(mod 341) pe cˆ and 341 nu este prim ci compus: 341 = 11 ·31.
Observat ii ([37]).
1. Numerele pseudo-prime mai mici ca 10000 sunt 341, 361 ¸ si 1103.
2. H. Beezer a demonstrat c˘ a exist˘ a o inﬁnitate de numere pare ce sunt pseudo-
perfecte, cel mai mic ﬁind 161038 = 2 ·73·1103.
3. Exist˘ a numere pseudo-prime ce sunt p˘ atrate perfecte precum 10932¸ si 35112; nu
se ¸ stie ˆ ınc˘ a dac˘ a exist˘ a o inﬁnitate de astfel de numere.
Legat de numerele pseudo-prime impare avem urm˘ atorul rezultat:
Teorema 9.4.2. Dac aneste impar pseudo-prim, atunci si N= 2n−1este pseudo-
prim.
Demonstrat ie. Avem 2n−1≡1(modn) ¸ si deci2n−1−1n=k∈N, astfel c˘ a 2N−1−
1 = 22n−2−1 = (2n)2k−1 = (2n−1)(2n(2k−1)+ 2n(2k−2)+…+ 1)≡0(modN), deci
2N≡2(modN).
Corolar 9.4.3. Exist a o innitate de numere pseudo-prime impare.
Ca exemple de numere absolut pseudo-prime avem pe 561 = 3 ·11·17 sau 278545 =
5·17·29·113(vezi [37]).
In schimb, num˘ arul 341 nu este absolut pseudo-prim, de¸ si este pseudo-prim (vezi
Exc. 65 de la Capitolul 1).
Cel mai mic num˘ ar Carmichael este 561; alte exemple sunt: 1105, 1729, 2465, 2821,
6601 sau 8911; cel mai mare num˘ ar Carmichael cunoscut are 1057 cifre.
Nu se ¸ stie ˆ ıns˘ a dac˘ a exit˘ a sau nu o inﬁnitate de numere Carmichael.
In [37] este dat˘ a urm˘ atoarea teorem˘ a de caracterizare a numerelor Carmichael:
Teorema 9.4.3. Un num ar compus n=pα1
1pα2
2…pαk
keste num ar Carmichael dac a
si numai dac a sunt ^ ndeplinite urm atoarele condit ii:
(i) n este impar;
(ii)k≥3;
(iii)αi= 1 sipi−1|n−1pentru orice 1≤i≤k.
Demonstrat ie. ,,⇒”.Presupunem c˘ a exist˘ a 1 ≤i≤kastfel ˆ ıncˆ at αi≥2. Fie
a=p1p2…pk+ 1 ¸ si deci ( a,n) = 1. Dac˘ a an−1≡1(modn), atunci avem succesiv:
an−1≡1(modp2
i)⇔(p1p2…pk+ 1)n−1≡1(modp2
i)⇔C0
n−1(p1p2…pk)n−1+…
+Cn−3
n−1(p1p2…pk)2+Cn−2
n−1(p1p2…pk)n−2≡0(modp2
i)
⇔(n−1)p1p2…pk≡0(modp2
i).
Cum (p2
i,n) = 1, rezult˘ a contradict ¸ia p2
i|p1p2…pk¸ si deciαi= 1 pentru orice
1≤i≤k, adic˘ an=p1p2…pk.
Fiebo r˘ ad˘ acin˘ a primitiv˘ a (mod pi) ¸ sim=n/pi. Consider˘ am ecuat ¸ia b+λpi=
µm+ 1. Deoarece ( pi,m) = 1, aceast˘ a ecuat ¸ie are solut ¸ia ( λ0,µ0). Num˘ arul a=b+λ0pi
este r˘ ad˘ acin˘ a primitiv˘ a (mod pi) ¸ si ˆ ın plus ( a,n) = 1.
140

Avem deci an−1≡1(modpi) ¸ sin−1 = (pi−1)ci+ri,0≤ri< pi−1. A¸ sadar
ari≡1(modpi) ¸ si cumaeste r˘ ad˘ acin˘ a primitiv˘ a, rezult˘ a ri= 0, adic˘ a pi−1|n−1
pentru orice 1 ≤i≤k.
Cel put ¸in unul dintre factorii pieste impar ¸ si deci pi−1 este par ¸ si, cum pi−1|n−1,
rezult˘ a c˘ aneste impar.
Pentruk= 2 avemn=p1p2,p1< p 2. Fieao r˘ ad˘ acin˘ a primitiv˘ a pentru p2¸ si ˆ ın
plus (a,n) = 1. Din ap1p2−1≡1(modp2) rezult˘ aap1(p2−1)+p1−1≡1(modp2) ¸ si deci
ap1−1≡1(modp2). Aceasta constituie o contradict ¸ie deoarece p1−1<p 2−1 ¸ siaeste
r˘ ad˘ acin˘ a primitiv˘ a.
,,⇐”.Fie (a,n) = 1. Rezult˘ a api−1≡1(modpi) pentru orice 1 ≤i≤k¸ si deci,
notˆ andM= [p1−1,p2−1,…,p k−1], rezult˘ a aM≡1(modpi), 1≤i≤k. Cum
n=p1p2…pk, rezult˘ aaM≡1(modn). Deoarece pi−1|n−1 pentru orice 1 ≤i≤k
rezult˘ aM|n−1 ¸ sian−1≡1(modn).
c. Numere triunghiulare
Pentrun∈N, aln-ulea num˘ ar triunghiular se deﬁne¸ ste ca ﬁind tn=n(n+ 1)
2=
1 + 2 +…+n.
Iat˘ a cˆ ateva propriet˘ at ¸i importante ale numerelor triunghiulare:
Teorema ([37], [47])
(1) Exist a o innitate de numere triunghiulare care sunt p atrate perfecte ;
(2)Nu exist a numere triunghiulare care s a e puterea a patra a unui num ar natural ;
(3)Dac ar∈Q+ si√r /∈Q+, atunci exist a m,n naturale astfel ^ nc^ at r=tmtn;
(4)Dintre numerele r∈Q+cu√r∈Q+exist a o innitate care se scriu sub forma
r=tmtn si o innitate care nu se scriu sub aceast a form a.
141

142

Capitolul 10
Exercit ii propuse (enunt uri)
10.1 Elemente de aritmetic a
1. S˘ a se arate c˘ a num˘ arul natural neste divizibil cu 2 (cu 5) dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
cifra unit˘ at ¸ilor sale este divizibil˘ a prin 2 respectiv prin 5).
2. S˘ a se arate c˘ a num˘ arul natural neste divizibil cu 4 (cu 25) dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
num˘ arul format din ultimele sale dou˘ a cifre este divizibil cu 4 (respectiv cu 25).
Mai general, num˘ arul natural neste divizibil cu 2k(cu 5k) dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
num˘ arul format de ultimele kcifre din scrierea sa ˆ ın baza zecimal˘ a este divizibil cu 2k
(respectiv cu 5k).
3. S˘ a se arate c˘ a num˘ arul natural neste divizibil cu 3 (cu 9) dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
suma cifrelor sale este divizibil˘ a cu 3 (respectiv cu 9).
4. S˘ a se arate c˘ a num˘ arul natural neste divizibil cu 11 dac˘ a ¸ si numai dac˘ a suma
alternant˘ a a cifrelor sale este divizibil˘ a cu 11.
5. S˘ a se arate c˘ a num˘ arul natural neste divizibil cu 17 (cu 49) dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
diferent ¸a, respectiv suma, dintre dublul num˘ arului obt ¸inut din num˘ arul dat suprimˆ andu-
i ultimele dou˘ a cifre ¸ si num˘ arul format de cifrele suprimate ˆ ın ordinea ˆ ın care se aﬂ˘ a ˆ ın
num˘ arul dat sunt divizibile cu 17 (respectiv cu 49).
6. S˘ a se arate c˘ a num˘ arul natural neste divizibil cu 17 (cu 59) dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
diferent ¸a dintre triplul num˘ arului obt ¸inut din num˘ arul dat suprimˆ andu-i ultimele trei
cifre ¸ si num˘ arul format din cifrele suprimate ˆ ın ordinea ˆ ın care se aﬂ˘ a num˘ arul dat este
multiplu de 17 (respectiv 59).
7. S˘ a se arate c˘ a num˘ arul natural neste divizibil cu 97 (cu 103) dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
suma, respectiv diferent ¸a, dintre triplul num˘ arului obt ¸inut din num˘ arul dat suprimˆ andu-i
ultimele dou˘ a cifre ¸ si num˘ arul format din cifrele suprimate ˆ ın ordinea ˆ ın care se aﬂ˘ a ˆ ın
num˘ arul dat este multiplu de 97 (respectiv 103).
8. S˘ a se arate c˘ a num˘ arul natural neste divizibil cu 101 dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
desp˘ art ¸indu-l ˆ ın grupe de cˆ ate dou˘ a cifre ˆ ıncepˆ and de la dreapta, diferent ¸a dintre suma
143

numerelor formate de grupele de rang impar ¸ si suma numerelor formate de grupele de
rang par este divizibil˘ a cu 101.
9. S˘ a se arate c˘ a num˘ arul natural neste divizibil prin 10 k±1 dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
suprimˆ andu-i ultima cifr˘ a ¸ si sc˘ azˆ and, respectiv adunˆ and, de kori cifra suprimat˘ a se
obt ¸ine un num˘ ar divizibil cu 10 k±1.
Ca aplicat ¸ie s˘ a se enunt ¸e criterii de divizibilitate cu 19, 29, 49, 21, 31 ¸ si 41.
10. In ce sistem de numerat ¸ie este valabil˘ a ˆ ınmult ¸irea 25 ×314 = 10274?
11. In ce baz˘ a 297 este divizor al lui 792 ?
12. In orice sistem de numerat ¸ie, num˘ arul 10101 este divizibil cu 111.
13. In orice baz˘ a mai mare ca 7 num˘ arul 1367631 este cub perfect.
14. Un num˘ ar natural este divizibil cu 2, ˆ ın sistemele de numerat ¸ie cu baz˘ a par˘ a,
dac˘ a ¸ si numai dac˘ a ultima sa cifr˘ a este par˘ a, ¸ si ˆ ın sistemele de numerat ¸ie cu baz˘ a impar˘ a,
dac˘ a ¸ si numai dac˘ a num˘ arul cifrelor impare este par.
15. Un num˘ ar natural este divizibil cu 3, ˆ ın sistemele de numerat ¸ie cu baza b= 3m,
dac˘ a ultima sa cifr˘ a este multiplu de 3, ˆ ın sistemele de numerat ¸ie cu baza b= 3m+1, dac˘ a
suma cifrelor sale este multiplu de 3, ˆ ın sistemele de numerat ¸ie cu baza b= 3m−1, dac˘ a
diferent ¸a ˆ ıntre suma cifrelor de ordin par ¸ si suma cifrelor de ordin impar este multiplu
de 3.
16. S˘ a se arate c˘ a diferent ¸a dintre un num˘ ar natural ¸ si inversul s˘ au, scrise ˆ ın baza
b, se divide cu b−1. Dac˘ a num˘ arul cifrelor num˘ arului dat este impar aceast˘ a diferent ¸˘ a
se divide ¸ si prin b+ 1.
17. Un num˘ ar natural scris ˆ ın baza bse divide prin bk+ 1 saubk−1 (undekeste
tot natural) dac˘ a ¸ si numai dac˘ a suprimˆ andu-i ultima cifr˘ a ¸ si sc˘ azˆ and respectiv adunˆ and
dekori cifra suprimat˘ a se obt ¸ine un num˘ ar divizibil prin bk+ 1 saubk−1.
18. Se a¸ saz˘ a cifrele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ˆ ıntr-o ordine oarecare ¸ si se obt ¸ine num˘ arul n
ˆ ın sistemul de numera¸ sie cu baza 12, apoi ˆ ıntr-o alt˘ a ordine oarecare ¸ si se obt ¸ine num˘ arul
m(ˆ ın aceea¸ si baz˘ a). S˘ a se arate c˘ a n-m.
19. S˘ a se arate c˘ a oricare ar ﬁ num˘ arul nscris ˆ ın sistemul de numerat ¸ie cu baza 10,
exist˘ a un alt num˘ ar de ncifre, scris doar cu cifrele 1 ¸ si 2 divizibil prin 2n. S˘ a se studieze
problema ¸ si ˆ ın sistemele de numerat ¸ie cu baza 4 ¸ si 6.
20. S˘ a se demonstreze c˘ a ˆ ın sistemul de numerat ¸ie cu baza 6, nici un num˘ ar format
din mai multe cifre, toate egale, nu este p˘ atrat perfect.
21. S˘ a se arate c˘ a ˆ ın sistemul de numerat ¸ie cu baza 12, nici un num˘ ar format din
mai multe cifre, toate egale nu poate ﬁ p˘ atrat perfect.
22. S˘ a se demonstreze c˘ a ˆ ın sistemul de numerat ¸ie cu baza 6, nici un num˘ ar cu
toate cifrele egale nu este cub perfect.
23. S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice num˘ ar natural navemS(8N)
S(N)≥1
8, unde
S(A) este suma cifrelor num˘ arului A (ˆ ın scrierea zecimal˘ a).
24. S˘ a se arate c˘ a pentru n≥4 num˘ arul 1! + 2! + …+n! nu este p˘ atrat perfect.
25. Fien∈N.
144

(i)S˘ a se arate c˘ a 16 |24n2+ 8n;
(ii)S˘ a se deduc˘ a de aici c˘ a restul ˆ ımp˘ art ¸irii lui (2 n+ 1)4prin 16 este 1;
(iii)Dac˘ a exist˘ a x1,…,x k∈Nastfel ˆ ıncˆ at 16 n+ 15 =x4
1+x4
2+…+x4
k, atuncik≥15.
26. S˘ a se arate c˘ a dac˘ ap
q¸ sirssunt fract ¸ii ireductibile astfel ˆ ıncˆ atp
q+rs= 1, atunci
q=s.
27. S˘ a se arate c˘ a dac˘ a a,b∈N∗, atunci (a,b)[a,b] =a·b.
28. Fiex1,x2,…,x n∈ {± 1}astfel ˆ ıncˆ at x1x2+x2x3+…+xn−1xn+xnx1= 0. S˘ a
se demonstreze c˘ a 4 |n.
29. S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice num˘ ar prim p, num˘ arul: 11 …1|{z}
pori22…2|{z}
pori33…3|{z}
pori…
99…9|{z}
pori−123456789 se divide prin p.
30. Dac˘ an∈N∗, atunci cea mai mare putere natural˘ a a lui 2 ce divide pe [(1 +√
3)2n+1] esten+ 1.
31. Dac˘ ap≥3 este un num˘ ar prim, atunci:
[(√
5 + 2)p]−2p+1≡0(modp)
32. S˘ a se arate c˘ a pentru orice num˘ ar natural n∈N∗exponentul maxim al lui 2
ˆ ın (n+ 1)(n+ 2)…(2n) esten.
33. S˘ a se arate c˘ a orice num˘ ar natural n∈N∗admite multiplii ce se scriu ˆ ın
sistemul zecimal doar cu 0 ¸ si 1. S˘ a se deduc˘ a de aici c˘ a orice num˘ ar natural n∈Nastfel
ˆ ıncˆ at (n,10) = 1 admite multiplii ˆ ın care toate cifrele sunt 1.
34. S˘ a se arate c˘ a dac˘ a a,m,n ∈N∗,a≥2 iarneste impar, atunci ( an−1,am+ 1)
este 1 sau 2.
35. Dac˘ aa,m,n ∈N∗¸ sim̸=n, atunci:
(a2m+ 1,a2n+ 1) ={
1,dac˘ aaeste par
2,dac˘ aaeste impar.
36. Fien∈N∗¸ six= [(2 +√
3)n]. Atunci(x−1)(x+ 3)
12este p˘ atratul unui num˘ ar
natural.
37. Dac˘ an∈N,n≥2, atuncin-2n−1.
38. Dac˘ apeste un num˘ ar prim, atunci Cp
2p≡2(modp).
39. Fiepun num˘ ar prim iar a,b∈Nastfel ˆ ıncˆ at a≥b. AtunciCpb
pa≡Cb
a(modp).
40. Dac˘ aa,b,c∈N∗, atunci ([a,b],c) = [(a,c),(b,c)].
41. Dac˘ aa,b,c∈N∗, atunci [a,b,c ] =abc(a,b,c )
(a,b)(a,c)(b,c).
42. Dac˘ aa,b,c∈N∗, atunci[a,b,c ]2
[a,b][a,c][b,c]=(a,b,c )2
(a,b)(a,c)(b,c).
43. Fiea1,a2,a3,a4,a5∈Z. Dac˘ a:
145

(i)9|3∑
k=1a3
k, atunci 3 |3∏
k=1ak;
(ii)9|5∑
k=1a3
k, atunci 3 |5∏
k=1ak.
44. S˘ a se arate c˘ a 22·73·1103−2≡0(mod 2 ·73·1103).
45. S˘ a se arate c˘ a 225+ 1≡0(mod 641).
46. S˘ a se rezolve sistemul: 

x≡1(mod 7)
x≡4(mod 9)
x≡3(mod 5).
47. Fief∈Z[X] ¸ sin=pα1
1…pαt
tdescompunerea lui nˆ ın factori primi. S˘ a se arate
c˘ af(x)≡0(modn) are solut ¸ie dac˘ a ¸ si numai dac˘ a f(x)≡0(modpαi
i) are solut ¸ie pentru
i= 1,2,…,t .
48. S˘ a se arate c˘ a x2≡1(mod 2b) are o solut ¸ie dac˘ a b= 1, dou˘ a solut ¸ii dac˘ a b= 2
¸ si 4 solut ¸ii dac˘ a b≥3.
49. Factorialul c˘ aror numere naturale nse termin˘ a ˆ ın 1000 zerouri?
50. Dac˘ am,n∈N, atunci(2m)!(2n)!
m!n!(m+n)!∈N.
51. Dac˘ ad1,d2,…,d ksunt tot ¸i divizorii naturali ai unui num˘ ar natural n≥1 atunci
(d1d2…dk)2=nk.
52. FieA=1
1·2+1
3·4+…+1
1997·1998¸ siB=1
1000·1998+1
1001·1997+…+
1
1998·1000. Ar˘ atat ¸i c˘ aA
B∈N∗.
53. Demonstrat ¸i c˘ a un produs de opt numere naturale consecutive nu poate ﬁ
p˘ atratul unui num˘ ar natural.
54. Fiea,b,c∈Zastfel ˆ ıncˆ at a+b+c|a2+b2+c2. Demonstrat ¸i c˘ a exist˘ a o inﬁnitate
de valori naturale distincte ale lui npentru care a+b+c|an+bn+cn.
55. Dac˘ an∈N¸ sian= 1n+ 2n+ 3n+ 4n, atunci ultima cifr˘ a a lui aneste 4 dac˘ a
n≡0(mod 4) ¸ si 0 ˆ ın rest.
56. Demonstrat ¸i c˘ a 1 +1
2+1
3+…+1n/∈Npentru orice n∈N∗,n≥2.
57. S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice num˘ ar natural n≥1, num˘ arul
Sn= 1 +1
3+1
5+…+1
2n−1+1
2n+ 1
nu este ˆ ıntreg.
58. S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice num˘ ar impar ase g˘ ase¸ ste un num˘ ar natural
bastfel ˆ ıncˆ at 2b−1 se divide la a.
59. Fiem,n naturale cu m> 1 ¸ si 22m+1−n2≥0. S˘ a se arate c˘ a 22m+1−n2≥7.
60. Fiepun num˘ ar prim iar 1 +1
2+1
3+…+1
p−2+1
p−1=mncum,n∈
N∗,(m,n) = 1. S˘ a se demonstreze c˘ a p|m.
61. Fiem,n∈N∗. S˘ a se arate c˘ a pentru orice alegere a numerelor ε1,ε2,…,ε m+1∈
{±1}, num˘ arulN=ε1·1n+ε2·1
n+ 1+ε3·1
n+ 2+…+εm+1·1n+m/∈Z.
62. Fiea,m,n numere naturale nenule. S˘ a se arate c˘ a ( am−1,an−1) =a(m,n)−1.
146

63. Dac˘ aa,b,c∈Z¸ si 6|a+b+catunci 6 |a3+b3+c3.
64. S˘ a se arate c˘ a primele 100 de cifre de dup˘ a virgul˘ a ale num˘ arului (√
26 + 5)101
sunt toate zero.
65. S˘ a se arate c˘ a 2341≡2(mod 341).
10.2 Mult imea numerelor prime
1. Fiea,b,c,d ∈N∗astfel ˆ ıncˆ at ad=bc. S˘ a se arate c˘ a a+b+c+dnu poate ﬁ
num˘ ar prim.
2. Determinat ¸i toate numerele naturale n∈Npentru care numerele n+ 1,n+
3,n+ 7,n+ 9,n+ 13 ¸ sin+ 15 sunt simultan prime.
3. Determinat ¸i toate numerele naturale n∈Npentru care numerele n,n+ 2,n+
6,n+ 8,n+ 12 ¸ sin+ 14 sunt simultan prime.
4. S˘ a se determine numerele prime ppentru care p|2p+ 1.
5. Fien∈Nastfel ˆ ıncˆ at 2n+ 1 este num˘ ar prim. Atunci n= 0 saun= 2m, cu
m∈N.
6. Dac˘ an≥10, atunci p2
n<2n(pnﬁind aln-ulea termen din ¸ sirul numerelor
prime).
7. Fiepun num˘ ar prim ¸ si b1,b2,…,b rnumere ˆ ıntregi cu 0 < bi< ppentru orice
1≤i≤r. S˘ a se arate c˘ a utilizˆ and numerele b1,b2,…,b rse pot forma r+ 1 sume ce dau
resturi diferite la ˆ ımp˘ art ¸irea prin p.
8. Dac˘ apeste un num˘ ar prim arbitrar, atunci din orice 2 p−1 numere ˆ ıntregi se
pot alegepastfel ˆ ıncˆ at suma lor s˘ a se divid˘ a prin p.
9. Dac˘ an≥2 este un num˘ ar natural oarecare, atunci dintre oricare 2 n−1 numere
ˆ ıntregi se pot alege nastfel ˆ ıncˆ at suma lor s˘ a se divid˘ a prin n.
10. Demonstrat ¸i c˘ a orice num˘ ar natural n≥7 se poate scrie sub forma n=a+b
cua,b∈N,a,b≥2 ¸ si (a,b) = 1.
11. Demonstrat ¸i c˘ a pentru orice k≥3,pk+1+pk+2≤p1p2…pk.
12. Pentru ﬁecare n∈N∗not˘ am prin qncel mai mic num˘ ar prim astfel ˆ ıncˆ at qn-n.
S˘ a se arate c˘ a lim
n→∞qnn= 0 .
13. S˘ a se arate c˘ a pentru n≥12,npn<1
3.
14. S˘ a se arate c˘ a pentru orice n≥230,p2n+1<3pn−2.
10.3 Funct ii aritmetice
1. S˘ a se determine toate numerele n∈N∗pentru care φ(n!) = 2n.
2. Dac˘ am,n∈N∗, atunciφ(mn)≤√
φ(m2)φ(n2).
3. S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n∈N∗
τ(1) +τ(2) +…+τ(n) = [n
1] + [n
2] +…+ [n
n]
147

(unde reamintim c˘ a τ(n) =num˘ arul divizorilor naturali ai lui n).
4. S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n∈N∗
σ(1) +σ(2) +…+σ(n) = [n
1] + 2·[n
2] +…+n·[n
n]
(unde reamintim c˘ a σ(n)=suma divizorilor naturali ai lui n).
5. S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice n∈N∗
τ(n) =∑
m≥1([n
m]−[n−1
m]).
6. Dac˘ ax∈R¸ sin∈N∗, atunci
[x] + [x+1
n] + [x+2
n] +…+ [x+n−1
n] = [nx].
(Hermite)
7. S˘ a se demonstreze c˘ a pentru un num˘ ar natural n≥2,π(n−1)
n−1<π(n)
ndac˘ a ¸ si
numai dac˘ a neste prim (π(n)=num˘ arul numerelor prime mai mici decˆ at n).
8. S˘ a se demonstreze c˘ a lim
n→∞σ(n!)
n!=∞.
9. Fief:∈N∗→N∗astfel ˆ ıncˆ at f(mn) =f(m)f(n) pentru orice m,n∈N∗
iar (pk)k≥0¸ sirul numerelor prime. Dac˘ a f(pk) =k+ 1 pentru orice k∈N, atunci∑
n≥11
f2(n)= 2.
10. Funct ¸ia µeste multiplicativ˘ a.
11. Dac˘ am,n sunt numere naturale, m,n≥1, atunci
[mx] + [mx+m
n] +…+ [mx+(n−1)m
n] = [nx] + [nx+n
m] +…+ [nx+(m−1)n
m].
10.4 Resturi p atratice
1. S˘ a se calculeze (15
71),(6
35) ¸ si (335
2999).
2. S˘ a se arate c˘ a exist˘ a o inﬁnitate de numere prime de forma 4 n+ 1, cun∈N.
3. Dac˘ ap≥5 este un num˘ ar prim, atunci:
(−3
p) ={
1,dac˘ ap≡1(mod 6)
−1,dac˘ ap≡ −1(mod 6)
4. S˘ a se arate c˘ a exist˘ a o inﬁnitate de numere prime de forma 6 n+ 1, cun∈N.
5. S˘ a se stabileasc˘ a dac˘ a congruent ¸a x2≡10(mod 13) are sau nu solut ¸ii.
6. Aceea¸ si chestiune pentru congruent ¸a x2≡21(mod 23).
7. Dac˘ apeste un num˘ ar prim de forma 6 k+ 1, atunci exist˘ a x,y∈Nastfel ˆ ıncˆ at
p= 3×2+y2.
8. S˘ a se arate c˘ a (−2p) ={
1,dac˘ ap≡1,3(mod 8)
−1,dac˘ ap≡ −1,−3(mod 8).
148

10.5 Fract ii continue
1. S˘ a se arate c˘ a:
√
a2−1 = (a−1;1,2a−2),√
a2−a= (a−1;2,2a−2),pentrua∈N,a≥2.
2. Dac˘ aaeste un num˘ ar impar atunci
√
a2+ 4 = (a;a−1
2,1,1,a−1
2,2a) dac˘ aa≥2 ¸ si
√
a2+ 4 = (a−1;1,a−3
2,2,a−3
2,1,2a−2) dac˘ aa≥4.
3. Dac˘ aa∈N∗, atunci√
4a2+ 4 = (2a;a,4a).
4. Dac˘ aa,n∈N∗, atunci
√
(na)2+a= (na;2n,2na),
√
(na)2+ 2a= (na;n,2na),
√
(na)2+−a= (na−1;1,2n−2,1,2(na−1))(n≥2).
5. S˘ a se determine numerele naturale de 3 cifre xyxastfel ˆ ıncˆ at 317 |xyz398246.
6. Fieα= [a0;a1,…,a n,an+1,…,a 2n+1] undean+i=an−i+1,1≤i≤n. Dac˘ a
not˘ am redusele lui αprinπn=pnqn, atuncip2n+1=p2
n+p2
n−1¸ siq2n=q2
n+q2
n−1, pentru
oricen∈N.
7. Fieα= [1;a1,…,a n,an,…,a 2,a1] iarπn=pnqnan-a redus˘ a a lui α(n∈N∗). S˘ a
se arate c˘ a q2n=p2np2n+1−1
p2n+p2n+1.
8. Dac˘ aπn=pnqneste an-a redus˘ a a fract ¸iei continue ata¸ sat˘ a lui√
2 atunci
lim
n→∞{(n∑
k=0qk)√
2} −qn+1=−√
2
2.
9. Dac˘ aπn=pnqneste an-a redus˘ a a lui√
2, atunci
(i)pn+1=pn+ 2qn, (ii)qn+1=pn+qn,
(iii)pn+1=qn+1+qn, (iv) 6pn+1=pn+3+pn−1(n≥3),
(v)6qn+1=qn+2+qn−1(n≥3), (vi)pn+1= 6(pn−pn−2) +pn−3(n≥3),
(vii)qn+1= 6(qn−qn−1) +qn−3(n≥3), (viii)p2
n−2q2
n= (−1)n+1,
(ix)p2
n−1−pnpn−2= 2(−1)n−1(n≥2).
10. S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice a∈N∗numitorii reduselor de rang par ai
fract ¸iei continue a lui√
a2+ 1 sunt numere naturale impare, iar cei de rang impar sunt
numere naturale pare.
11. S˘ a se dezvolteˆ ın fract ¸ie continu˘ a√
DcuD= [(4m2+1)n+m]2+4mn+1,m,n∈
N∗.
149

10.6 Teoreme de reprezentare pentru numere ^ ntregi
1. Fieq∈Q,0<q< 1. S˘ a se arate c˘ a exist˘ a n∈N∗astfel ˆ ıncˆ at1
n+ 1≤q<1n.
S˘ a se deduc˘ a de aici c˘ a orice q∈Qcu 0< q < 1 se poate reprezenta sub forma
q=k∑
i=01
ni+ 1cuni∈Ntoate distincte ¸ si k∈N∗. S˘ a se efectueze aceast˘ a descompunere
ˆ ın cazurile particulare q=7
22¸ siq=47
60.
2. S˘ a se arate c˘ a orice num˘ ar natural nse poate reprezenta ˆ ın mod unic sub forma
n=e0+ 3e1+…+ 3kek
unde pentru orice i,0≤i≤k,ei∈ {− 1,0,1}.
3. S˘ a se arate c˘ a orice fract ¸ie subunitar˘ a ireductibil˘ aa
bse poate scrie sub forma
a
b=1
q1+1
q1q2+…+1
q1q2…qn
undeq1,…,q n∈N∗,q1≤q2≤…≤qn.
4. Demonstrat ¸i c˘ a orice num˘ ar ˆ ıntreg nadmite o inﬁnitate de reprezent˘ ari sub
forman=x2+y2−z2cux,y,z numere naturale mai mari ca 1.
5. Demonstrat ¸i c˘ a num˘ arul 32k(cuk∈N∗) se poate scrie ca sum˘ a a 3knumere
naturale consecutive.
6. Demonstrat ¸i c˘ a pentru orice z∈Z, un num˘ ar rat ¸ional x>1 se poate scrie sub
forma
x= (1 +1
k)(1 +1
k+ 1)…(1 +1
k+s),cus∈N¸ sik∈Z,k>z.
7. S˘ a se arate c˘ a orice num˘ ar prim p≥3 se poate scrie ˆ ın mod unic ca diferent ¸a a
dou˘ a p˘ atrate de numere naturale.
8. Care numere naturale pot ﬁ scrise ca diferent ¸˘ a de dou˘ a p˘ atrate de numereˆ ıntregi?
9. S˘ a se arate c˘ a numerele ˆ ıntregi de forma 4 m+3 nu se pot scrie sub forma x2−3y2
cux,y∈N.
10. S˘ a se arate c˘ a dac˘ a nse poate scrie sub forma x2−3y2cux,y∈N, atuncin
se poate scrie sub aceast˘ a form˘ a ˆ ıntr-o inﬁnitate de moduri.
11. Dac˘ apeste prim,p>3 atunci 4p2+ 1 se poate scrie ca sum˘ a de 3 p˘ atrate de
numere naturale.
12. S˘ a se arate c˘ a orice fract ¸ie ireductibil˘ amncu 0<mn<1 poate ﬁ scris˘ a sub
forma
m
n=1
q1+1
q2+…+1
qr
undeqi∈N∗pentru 1 ≤i≤rastfel ˆ ıncˆ at q1< q 2< … < q r¸ siqk|qk−1pentru orice
2≤k≤r.
13. Demonstrat ¸i c˘ a dac˘ a n∈N∗, atunci orice num˘ ar k∈ {1,2,…,n(n+ 1)
2}se
poate scrie sub forma k=1a1+2a2+…+nancua1,a2,…,a n∈N∗.
150

14. S˘ a se arate c˘ a num˘ arul descompunerilor unui num˘ ar natural nenul nca sum˘ a
de numere naturale nenule consecutive este egal cu num˘ arul divizorilor impari ai lui n.
15. S˘ a se demonstreze c˘ a orice num˘ ar natural npoate ﬁ scris sub forma
(x+y)2+ 3x+y
2,
undex¸ siysunt numere naturale ¸ si c˘ a aceast˘ a reprezentare este unic˘ a.
10.7 Ecuat ii diofantice
1. S˘ a se arate c˘ a ˆ ın Z3ecuat ¸iax2+y2+z2= 2xyzare numai solut ¸ia banal˘ a (0, 0,
0).
2. S˘ a se arate c˘ a ˆ ın Z3ecuat ¸iax2+y2+z2+t2= 2xyzt are numai solut ¸ia banal˘ a
(0, 0, 0, 0).
3. S˘ a se arate c˘ a ˆ ın N2ecuat ¸ia 3x−2y= 1 admite numai solut ¸iile (1,1) ¸ si (2,3).
4. S˘ a se rezolve ecuat ¸ia x2+y2+2xy−mx−my−m−1 = 0 ˆ ın N2¸ siind c˘ am∈N.
5. S˘ a se arate c˘ a ecuat ¸ia x2−y3= 7 nu admite solut ¸ii ( x,y)∈N2.
6. S˘ a se arate c˘ a ecuat ¸ia x2−2y2+ 8z= 3 nu admite solut ¸ii ( x,y,z )∈Z3.
7. Dac˘ ax,y,z ∈Niarx2+y2+ 1 =xyz, atunciz= 3.
8. S˘ a se rezolve ˆ ın N∗3ecuat ¸ia1x+1y+1z= 1.
9. S˘ a se rezolve ˆ ın N∗2ecuat ¸ia1x+1y=1a, undea∈Z∗.
10. S˘ a se rezolve ˆ ın Q∗
+ecuat ¸iaxy=yx.
11. S˘ a se rezolve ˆ ın N∗4ecuat ¸ia1
x2+1
y2+1
z2+1
t2= 1.
12. S˘ a se demonstreze c˘ a exist˘ a o inﬁnitate de perechi ( x,y)∈N2pentru care
3×2−7y2+ 1 = 0.
13. S˘ a se rezolve ˆ ın N4ecuat ¸iax2+y2+z2=t2.
14. S˘ a se determine x,y,z,t ∈Npentru care xy=zt.
15. Dac˘ ax,y,z ∈Nastfel ˆ ıncˆ at x2+y2+z2= 1993, atunci x+y+znu este p˘ atrat
perfect.
16. Dac˘ an,p∈N∗, atunci ecuat ¸ia xp
1+…+xp
n= (x1+…+xn)p+ 1 nu are solut ¸ii
ˆ ın numere ˆ ıntregi.
17. S˘ a se arate c˘ a ecuat ¸ia y2=x5−4 nu are solut ¸ii ˆ ıntregi.
18. S˘ a se arate c˘ a ecuat ¸ia y2=x3+ 7 nu are solut ¸ii ˆ ıntregi.
19. S˘ a se arate c˘ a ecuat ¸ia y2=x3+ 47 nu are solut ¸ii ˆ ıntregi.
20. S˘ a se arate c˘ a ecuat ¸ia x3+ 2y3+ 4z3−6xyz= 0 nu are ˆ ın Z3decˆ at solut ¸ia
(0,0,0).
21. S˘ a se arate c˘ a ecuat ¸ia x2+y2= 4znu are solut ¸ii ˆ ın N∗3.
151

10.8 Puncte laticeale ^ n plan si spat iu
1. S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a un cerc avˆ and raza de lungime un num˘ ar natural trece
prin dou˘ a puncte laticeale situate la distant ¸a 1 unul de cel˘ alalt, atunci pe circumferint ¸a
sa nu se mai aﬂ˘ a nici un alt punct laticeal.
2. S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a pentru orice num˘ ar natural nexist˘ a ˆ ın plan un cerc
de centru avˆ and coordonatele ( a,b) ce cont ¸ine ˆ ın interiorul s˘ au exact npuncte laticeale,
atuncia¸ sibnu pot ﬁ simultan rat ¸ionale.
3. Fie Ccercul circumscris p˘ atratului determinat de punctele laticeale de coordonate
(0, 0), (1978, 0), (1978, 1978) ¸ si (0, 1978).
S˘ a se demonstreze c˘ a Cnu mai cont ¸ine pe circumferint ¸a sa nici un alt punct laticeal
diferit de cele patru vˆ arfuri ale p˘ atratului.
4. S˘ a se demonstreze c˘ a oricare ar ﬁ 9 puncte laticeale ˆ ın spat ¸iu, exist˘ a cel put ¸in
un punct laticeal situat ˆ ın interiorul unui segment determinat de punctele date.
10.9 Clase speciale de numere ^ ntregi
1. Demonstrat ¸i c˘ a nici unul dintre numerele lui Fermat Fn= 22n+ 1 cun > 1 nu se
poate scrie sub foma p+q, cup¸ siqnumere prime.
2. Ar˘ atat ¸i c˘ a F4este cel mai mic divizor prim al num˘ arului 12215+ 1.
3. S˘ a se arate c˘ a orice num˘ ar impar neste divizor pentru o inﬁnitate de numere
Mersenne.
4. S˘ a se arate c˘ a pentru m,n≥2 nu putem g˘ asi k∈Nastfel ˆ ıncˆ at Mk=km.
5. Cˆ ate cifre are num˘ arul M101= 2101−1?
6. S˘ a se demonstreze c˘ a pentru orice num˘ ar compus impar ncare divide pe Mn−1,
exist˘ a un num˘ ar compus impar mcum>n care de asemenea divide pe Mm−1.
7. S˘ a se arate c˘ a num˘ arul n= 2·73·1103·2089 este pseudo-prim.
8. S˘ a se arate c˘ a t2
132+t2
143=t2
164.
9. S˘ a se arate c˘ a ¸ sirul ( Fn)n≥de numere Fibonacci veriﬁc˘ a relat ¸iile:
(i)n∑
k=1F2k=F2n+1−1;
(ii)F2n+F2
n= 2FnFn+1;
(iii)F2n=F2
n+1−F2
n−1;
(iv)2n−1∑
k=1FkFk+1=F2
2n;
(v)F2
n+3−2F2
n+2−2F2
n+1+F2
n= 0.
152

Capitolul 11
Solut ii
11.1 Elemente de aritmetic a
1. Vom scrie nˆ ın sistemul zecimal sub forma n=am10m+am−110m−1+…+
a2102+a110 +a0, undea0,a1,…,a msunt numere naturale cuprinse ˆ ıntre 0 ¸ si 9, am̸= 0.
Prin urmare a0reprezint˘ a cifra unit˘ at ¸ilor, a1cifra zecilor, a2cifra sutelor, ¸ s.a.m.d.
Intr-adev˘ ar, n= 10(am10m−1+am−110m−2+…+a210+a1)+a0, decin= 10k+a0.
Prin urmare, 2 |nimplic˘ a 2 |(n−10k), adic˘ a 2 |a0. Reciproc, 2 |a0implic˘ a 2 |10k+a0,
adic˘ a 2 |n.
Demonstrat ¸ia divizibilit˘ at ¸ii cu 5 se face analog.
2. Solut ¸ia este asem˘ anatoare cu cea de la exc. 1.
3. Avemn=am10m+am−110m−1+…+a2102+a110 +a0=am(10m−1) +
am−1(10m−1−1) +…+a2(102−1) +a1(10−1) + (am+am−1+…+a1+a0).
Din formula 10k−1 = (10 −1)(10k−1+10k−2+…+1) = 9k′, rezult˘ a c˘ a 10k−1 este
multiplu de 9, oricare ar ﬁ k∈N∗. Prin urmare, n= 9k+ (am+am−1+…+a1+a0),
adic˘ aneste divizibil cu 3, respectiv cu 9, dac˘ a ¸ si numai dac˘ a suma cifrelor sale este
divizibila cu 3, respectiv cu 9.
4. Vom scrie nˆ ın sistemul zecimal sub forma n=am10m+am−110m−1+…+
a2102+a110+a0, undea0,a1,…,a msunt numere naturale cuprinse ˆ ıntre 0 ¸ si 9, am̸= 0.
Trebuie demonstrat c˘ a 11 |m∑
k=0(−1)kal.
Pentru a demonstra aceast˘ a aﬁrmat ¸ie, vom scrie cu ajutorul formulei binomului lui
Newton:
10k= (11−1)k= 11k−C1
k·11k−1+…+ (−1)k= 11k′+ (−1)k,k′∈Z.
Prin urmare, n= 11p+m∑
k=0(−1)kal¸ si decineste divizibil cu 11 dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
m∑
k=0(−1)kaleste divizibil˘ a cu 11.
153

5. FieN=anan−1…a1a0num˘ arul dat iar N′=anan−1…a2num˘ arul obt ¸inut
dinNsuprimˆ andu-i ultimele dou˘ a cifre. In mod evident, N= 102N′+a1a0. Atunci
102(2N′−a1a0) = 2(102N′)−100·a1a0= 2(N−a1a0)−100·a1a0= 2N−102·a1a0=
2N−17·6·a1a0, de unde deducem c˘ a 17 |N⇔17|(2N′−a1a0).
Cum 102(2N′+a1a0) = 2(102N′) + 100 ·a1a0= 2(N−a1a0) + 100 ·a1a0=
2N+ 98·a1a0= 2N+ 2·49·a1a0, deducem c˘ a 49 |N⇔49|(2N+a1a0).
6, 7. Solut ¸ia este asem˘ an˘ atoare cu cea de la exc. 4.
8. FieN=anan−1…a1a0un num˘ ar cu n+ 1 cifre. S˘ a presupunem c˘ a neste
impar. Atunci numerele formate din cˆ ate dou˘ a cifre de rang impar sunt a1a0,a5a4,…,
an−6an−7,an−2an−3iar cele de rang par vor ﬁ a3a2,a7a6,…,an−4an−5,anan−1astfel c˘ a
dac˘ a not˘ am N1=a1a0+a5a4+…+an−6an−7+an−2an−3¸ siN2=a3a2+a7a6+…+
an−4an−5+anan−1atunci
N1=a0+a4+…+an−7+an−3+ 10(a1+a5+…+an−6+an−2),
N2=a2+a6+…+an−5+an−1+ 10(a3+a7+…+an−4+an),iar
N1−N2= (a0+ 10a1−a2−10a3) + (a4+ 10a5−a6−10a7) +…+ (an−3+
10an−2−an−1−10an).
Scriind c˘ aN=an10n+an−110n−1+…+a2102+a110 +a0avem:
N−(N1−N2) = (102+ 1)a2+ (103+ 10)a3+ (104−1)a4+ (105−10)a5+
(106+ 1)a6+ (107+ 10)a7+…+ (10n−3−1)an−3+ (10n−2−10)an−2+
(10n−1+ 1)an−1+ (10n+ 10)an= (102+ 1)a2+ 10(102+ 1)a3+ (104−1)a4+
10(104−1)a5+ (106+ 1)a6+ 10(106+ 1)a7+…+ (10n−3−1)an−3+
10(10n−3−1)an−2+ (10n−1+ 1)an−1+ 10(10n−1+ 1)an.
Se arat˘ a u¸ sor acum c˘ a tot ¸i coeﬁcient ¸ii lui a2,a3,…,a nse divid prin 101, de unde
concluzia (cazul npar tratˆ andu-se analog).
9. FieN=anan−1…a1a0num˘ arul dat iar N′=anan−1…a1, adic˘ aN= 10N′+a0.
Atunci 10(N′−ka0) = 10N′−10ka0=N−a0−10ka0=N−(10k+ 1)a0, de unde
concluzia c˘ a (10 k+ 1)|N⇔(10k+ 1)|(N′−ka0).
Analog pentru cazul 10 k−1.
Observ˘ am c˘ a 19 = 2 ·10−1,29 = 3 ·10−1,49 = 5 ·10−1,21 = 2 ·10+1,31 = 3 ·10+1,
¸ si 41 = 4 ·10 + 1 iar acum criteriile de divizibilitate prin 19 ,…,41 se enunt ¸˘ a t ¸inˆ and cont
de formularea general˘ a.
10. Notˆ and cu xbaza sistemului de numerat ¸ie avem: (2 x+ 5)(3×2+x+ 4) =x4+
2×2+7x+4 de unde rezult˘ a c˘ a x4−6×3−15×2−6x−16 = 0 sau ( x+2)(x−8)(x2+1) = 0.
Decix= 8.
11. In baza 19.
154

12. Rezult˘ a din identitatea : b4+b2+ 1 = (b2+b+ 1)(b2−b+ 1).
13.b6+ 3b5+ 6b4+ 7b3+ 6b2+ 3b+ 1 = (b2+b+ 1)3.
14. FieN=anan−1…a1a0(u)cuu= 2k. Deducem imediat c˘ a 2 |N⇔2|a0.
Dac˘ au= 2k+ 1 atunci N=a0+a1(2k+ 1) +…+an(2k+ 1)n¸ si se observ˘ a c˘ a
2|N⇔2|(a0+a1+…+an) iar 2 |(a0+a1+…+an)⇔num˘ arul numerelor impare
din mult ¸imea {a0,a1,…,a n}este par.
15. FieN=anan−1…a1a0(b)=a0+a1b+…+anbncu 0≤ai≤b,1≤i≤n.
Dac˘ ab= 3m, atunciN−a0este multiplu de b, deci de 3, astfel c˘ a 3 |N⇔3|a0.
Dac˘ ab= 3m+1, atunciN=a0+a1(3m+1)+…+an(3m+1)n=a0+a1+…+an+3t,
cut∈N, de unde deducem c˘ a 3 |N⇔3|(a0+a1+…+an).
Dac˘ ab= 3m−1, atunciN=a0+a1(3m−1)+…+an(3m−1)n=a0−a1+a2−a3+…+
an(−1)n+3t, cut∈N, de unde deducem c˘ a 3 |N⇔3|(a0−a1+a2−a3+…+an(−1)n) =
[a0+a2+…−(a1+a3+…)].
16. FieN=anan−1…a1a0(b)¸ siN=a0a1…an−1an(b)inversatul sau. Atunci
N=a0+a1b+…+anbniarN=an+an−1b+…+a0bn, deciN−N=a0(1−bn) +
a1(b−bn−1) +…+an(bn−1), de unde concluzia c˘ a b−1|N−N.
Num˘ arul cifrelor lui Nesten+ 1. Dac˘ an+ 1 este impar atunci neste par,n= 2k
cuk∈N. Cum ˆ ın acest caz 1 −bn,b−bn−1=b(1−bn−2),…,bn−1 se divid prin
b2−1 == (b−1)(b+ 1), deducem c˘ a b+ 1|N.
17. FieN=anan−1…a1a0(b)=a0+a1b+…+anbniarN′=anan−1…a1(b)num˘ arul
obt ¸inut din Nsuprimˆ andu-i ultima cifr˘ a a0, evidentN=a0+bN′.
AvemN′−ka0=a1+…+anbn−1−ka0, decib(N′−ka0) =a1b+…+anbn−kba 0=
(a0+…+anbn)−a0(kb+ 1) =N−a0(kb+ 1), de unde deducem c˘ a bk+ 1|N′−ka0.
Analog pentru bk−1.
18. Suma cifrelor, scris˘ a ˆ ın baza 10, este 36, deci n=M11+ 3 ¸ sim=M11+ 3. Nu
putem avea m=nq,M 11+ 3 = (M11+ 3)qcu 1<q< 8.
19. Prin induct ¸ie dup˘ a n. Pentrun= 1 saun= 2, se veriﬁc˘ a pentru c˘ a avem 2 |2
¸ si 22|12. Presupunem c˘ a pentru nproprietatea este adev˘ arat˘ a, adic˘ a exist˘ a un num˘ ar
Ndencifre astfel ˆ ıncˆ at 2n|N. S˘ a o demonstr˘ am pentru n+ 1.
FieN= 2nq. Dac˘ aqeste par, atunci num˘ arul 2 ·10n+N, care aren+ 1 cifre, se
divide cu 2n+1. Dac˘ aqeste impar, atunci num˘ arul 10n+N= 2n(5n+q), care aren+ 1
cifre, se divide cu 2n+1.
20. Se t ¸ine cont de faptul c˘ a ˆ ın baza 6 un num˘ ar este divizibil cu 4 dac˘ a ¸ si numai
dac˘ a num˘ arul format din ultimele sale dou˘ a cifre este divizibil cu 4.
21. P˘ atratul unui num˘ ar par este M4, iar p˘ atratul unui num˘ ar impar este M8+ 1.
Ultima cifr˘ a a unui p˘ atrat perfect scris ˆ ın baza 12 poate ﬁ 0, 1, 4, 9. R˘ amˆ an deci posibile
numai numerele formate cu cifra 1, 4 sau 9. Dar 11 …1 =M8+ 5,44…4 =M4,99…9 =
155

M8+ 5. Dar din faptul c˘ a numerele de forma 11 …1 nu pot ﬁ p˘ atrate perfecte, rezult˘ a c˘ a
nici numerele de forma 44 …4 = 4·11…1 nu pot ﬁ p˘ atrate perfecte, ¸ si nici cele de forma
99…9.
22. Pentru ca un num˘ ar s˘ a ﬁe cub perfect, el trebuie s˘ a ﬁe de forma 9 msau 9m±1.
T ¸ inˆ and cont c˘ a ˆ ın sistemul de numerat ¸ie cu baza 6, un num˘ ar este divizibil cu 9 dac˘ a
¸ si numai dac˘ a num˘ arul format din ultimele sale dou˘ a cifre este divizibil cu 9, ¸ si cum
numerele de forma aa…a sunt 11…1 =M9+ 7,22…2 =M9+ 5,33…3 =M9+ 3,44…4 =
M9+ 1,55…5 =M9−1, rezult˘ a c˘ a numerele formate numai cu cifra 1 , 2 sau 3 nu pot
ﬁ cuburi perfecte. Dar nici numerele formate numai cu cifra 4 nu pot ﬁ cuburi perfecte
pentru c˘ a am avea 44 …4 =A3. Cum membrul stˆ ang este par, rezult˘ a c˘ a ¸ si membrul
drept este par, deci 2 |A3⇒2|A⇒8|A3, dar 44…4 = 4 ·11…1 = 4(2k+ 1) ¸ si deci
8-44…4.
Ramˆ an doar numerele formate cu cifra 5. Dar 55 …5 = 5 ·11…1 = 5(1 + 6 + 62+
…+ 6n−1) = 5·6n−1
5= 6n−1.
Dac˘ a am avea 6n−1 =A3sauA3+ 1 = 6nar trebui ca As˘ a ﬁe impar, deci A+ 1
par. DarA3+ 1 = (A+ 1)(A2−A+ 1) = 6n. Deoarece numerele A+ 1,A2−A+ 1
sunt prime ˆ ıntre ele sau au pe 3 ca divizor comun ¸ si A+ 1 este par, rezult˘ a c˘ a A+ 1 =
2n·3k¸ siA2−A+ 1 = 3n−k,k= 0 sauk= 1. Iar din aceste dou˘ a relat ¸ii deducem c˘ a
22n·32k−2n·3k+1+ 3 = 3n−k.
Pentruk= 0, aceast˘ a relat ¸ie nu poate ﬁ satisfacut˘ a ﬁindc˘ a 3 -22n.
Pentruk= 1, de asemenea nu poate ﬁ satisfacut˘ a ﬁindc˘ a ar rezulta n= 2 ¸ si
totodat˘ a, 24·32−22·32+ 3 = 3, care este fals˘ a.
23. Se observ˘ a c˘ a S(8·125) =S(1000) = 1.
Ne sunt necesare urmatoarele proprietati ale functiei S(N):
1)S(A+B) =S(A) +S(B),
2)S(A1+…+An) =S(A1) +…+S(An),
3)S(nA)≤nS(A),
4)S(AB)≤S(A)S(B).
Pentru a ne convinge de 1) este suﬁcient s˘ a ne ˆ ınchipuim c˘ a numerele A¸ siBse
adun˘ a scrise unul sub cel˘ alalt. Proprietatea 2) rezult˘ a din 1) printr-o induct ¸ie simpl˘ a, 3)
este un caz particular al lui 2). Dac˘ a ne ˆ ınchipuim c˘ a numerele A¸ siBse ˆ ınmult ¸esc scrise
unul sub celalalt ¸ si la ﬁcare cifr˘ a a num˘ arului B aplic˘ am 3) rezult˘ a 4). Acum este u¸ sor s˘ a
demonstr˘ am inegalitatea cerut˘ a: S(N) =S(1000N) =S(125·8N)≤S(125)·S(8N) =
8·S(8N) adic˘ aS(8N)
S(N)≥1
8.
24. Putem scrie mn= 1! + 2! + …+n! = 33+5∑
k=5k! ¸ si astfel ultima cifr˘ a a lui mn
este 3, deci mnnu poate ﬁ p˘ atrat perfect. Cum m4= 33, nicim4nu este p˘ atrat perfect.
156

25. i) Putem scrie 24 n2+ 8n= 8n(3n+ 1) ¸ si se consider˘ a acum cazurile cˆ and neste
par sau impar.
ii) Se dezvolt˘ a (2 n+ 1)4¸ si se t ¸ine cont de i).
iii) Fiea∈N. Dup˘ a punctul precedent, dac˘ a aeste impar, atunci restul ˆ ımp˘ art ¸irii
luia4prin 16 este 1 pe cˆ and atunci cˆ and aeste par, evident 16 |a4. Putem presupune,
f˘ ar˘ a a restrˆ ange generalitatea c˘ a x1,…,x psunt impare iar xp+1,…,x ksunt pare (1 ≤p≤
k). Atuncix4
1+…+x4
p−15 = 16n−(x4
p+1+…+x4
k).
Ins˘ a membrul drept se divide prin 16 ¸ si cum resturileˆ ımp˘ art ¸irii prin 16 a lui x1,…,x p
sunt toate egale cu 1 deducem c˘ a membrul stˆ ang este de forma 16 t+p−15, de unde cu
necesitatep≥15, cu atˆ at mai mult k≥15.
26. Putem presupune c˘ a q,s∈N∗. Condit ¸ia din enunt ¸ se scrie atunci sp=q(s−r)
de unde deducem c˘ a s|q(s−r). Pe de alta parte, deoarecerseste ireductibil˘ a, avem
(s,s−r) = 1, de unde cu necesitate s|q. Analogq|s, de undeq=s.
27. Fiea=pα1
1…pαnn¸ sib=pβ1
1…pβnndescompunerile ˆ ın factori primi ale lui a
¸ sib(cuαi,βi∈N,1≤i≤n). Atunci ( a,b) =pγ1
1…pγnniar [a,b] =pδ1
1…pδnnunde
γi=min(ai,bi) iarδi=max(ai,bi), 1≤i≤n, astfel c˘ a: ( a,b)[a,b] =pγ1+δ1
1…pγn+δnn =
pα1+β1
1…pαn+βnn = (pα1
1…pαnn)(pβ1
1…pβnn) =ab(am t ¸inut cont de faptul c˘ a γi+δi=
min(αi,βi) +max(ai,bi) =ai+bi, pentru orice 1 ≤i≤n).
28. Cum suma x1x2+…+xnx1are exactntermeni (ﬁecare ﬁind -1 sau 1) deducem
cu necesitate c˘ a neste par (c˘ aci num˘ arul termenilor egali cu -1 trebuie s˘ a ﬁe egal cu
num˘ arul termenilor egali cu +1; dac˘ a keste num˘ arul acestora, atunci n= 2k).
Deoarece (x1x2)(x2x3)…(xnx1) = (x1x2…xn)2= 1 deducem c˘ a -1 apare de un
num˘ ar par de ori, adic˘ a k= 2k′¸ si decin= 4k′cuk′∈N∗.
29. Fie 12…9 =A,11…1|{z}
pori…99…9|{z}
pori=B,100…0|{z}
pori200…0|{z}
pori…800…0|{z}
pori=C,11…1|{z}
pori=D.
AtunciC= 108p+2·107p+3·106p+…+8·10p+9 iarB=D·C,C−A= 3(108p−
108)+2(107p−107)+3(106p−106)+…+8(10p−10), 10p−10 = (9D+1)−10 = 9(D−1).
Conform Micii Teoreme a lui Fermat (Corolarul 1.5.3. de la Capitolul 1) 10p−
10,102p−102,…,108p−108se divid prin pca ¸ si 9(D−1). Astfel,B−A=DC−AD+
AD−A=D(C−A) +A(D−1), adic˘ ap|B−A.
30. Avem:
(1 +√
3)2n+1= 1 +C1
2n+1√
3 +C2
2n+13 +C3
2n+13√
3 +…+C2n
2n+13n+C2n+1
2n+13n√
3
iar
(1−√
3)2n+1= 1−C1
2n+1√
3 +C2
2n+13−C3
2n+13√
3 +…+C2n
2n+13n−C2n+1
2n+13n√
3,
de unde
(1 +√
3)2n+1+ (1−√
3)2n+1= 2[1 +C2
2n+13 +…+C2n
2n+13n]
157

sau
(1 +√
3)2n+1= (√
3−1)2n+1+ 2[1 +C2
2n+13 +…+C2n
2n+13n].
Cum 0<√
3−1<1 ¸ si (1 +√
3)2n+1+ (1−√
3)2n+1∈N, deducem c˘ a
[(1 +√
3)2n+1] = (1 +√
3)2n+1+ (1−√
3)2n+1.
Ins˘ a prin calcul direct deducem c˘ a:
(1 +√
3)2n+1+ (1−√
3)2n+1= 2n{(2 +√
3)n+ (2−√
3)n+√
3[(2 +√
3)n−(2−√
3)n]}.
Dac˘ a (2 +√
3)n=an+bn√
3 (cuan,bn∈N), atunci (2 −√
3)n=an−bn¸ si astfel:
[(2 +√)2n+1] = 2n(2an+ 6bn) = 2n+1(an+ 3bn).
Ins˘ aan+ 3bneste impar (deoarece ( an+ 3bn)(an−3bn) =a2
n−9b2
n= (a2
n−3b2
n)−
6b2
n= (an−bn√
3)(an+bn√
3)−6b2
n= (2−√
3)n(2 +√
3)n−6b2
n= 1−6b2
n, de unde
concluzia c˘ a n+ 1 este exponentul maxim al lui 2 ˆ ın [(1 +√
3)2n+1].
31. Analog ca ˆ ın cazul exercit ¸iului 30, deducem c˘ a (√
5+2)p−(√
5−2)p∈Z¸ si cum
0<√
5−2<1, atunci [(√
5+1)p] = (√
5+2)p−(√
5−2)p= 2[C1
p5p−1
2·2+C3
p5p−3
2·23+
…+Cp−2
p5·2p−2] + 2p+1, astfel c˘ a [(√
5 + 2)p]−2p+1= 2[C1
p5p−1
2·2 +…+Cp−2
p5·2p−2]
de unde concluzia din enunt ¸ (deoarece se arat˘ a imediat c˘ a Ck
p≡0(modp) pentruk=
1,2,…,p−2).
32. FieEn= (n+1)(n+2)…(2n). CumEn+1= (n+2)(n+3)…(2n)(2n+1)(2n+2) =
2En(2n+ 1), prin induct ¸ie matematic˘ a se probeaz˘ a c˘ a 2n|En, ˆ ıns˘ a 2n+1-En.
33. Pentru ﬁecare k∈N∗, ﬁeak=11…1|{z}
kori. Considerˆ and ¸ sirul a1,a2,…,a n,an+1,…,
conform principiului lui Dirichlet exist˘ a p,q∈N∗,p<q astfel ˆ ıncˆ at n|aq−ap.
Ins˘ aaq−ap=m·10p, undem=11…1|{z}
q−pori. Dac˘ a (n,10) = 1 atunci meste multiplu
den.
34. Fied= (an−1,am+ 1). Atunci putem scrie an=kd+ 1,am=rd−1
cuk,r∈N∗, astfel c˘ a amn= (an)m= (kd+ 1)m=td+ 1 (cut∈N∗) ¸ si analog
amn= (am)n== (rd−1)n=ud−1 (cuu∈N∗, cacineste presupus impar).
Deducem c˘ a td+ 1 =ud−1⇔(u−t)d= 2, de unde d|2.
35. Fied= (a2m+ 1,a2n+ 1) ¸ si s˘ a presupunem c˘ a m<n .
Cuma2n−1 = (a−1)(a+ 1)(a2+ 1)(a22+ 1)…(a2n−1+ 1), iara2m+ 1 este unul
din factorii din dreapta, deducem c˘ a d|a2n−1.
Deoareced|a2n+1 deducem c˘ a d|(a2n+1)−(a2n−1) = 2, adic˘ a d= 1 saud= 2.
Dac˘ aaeste impar, cum a2n+ 1 ¸ sia2m+ 1 vor ﬁ pare, deducem c˘ a ˆ ın acest caz
(a2m+ 1,a2n+ 1) = 2, pe cˆ and dac˘ a aeste par, cum 2 -a2m+ 1 ¸ si 2-a2n+ 1, deducem
c˘ a ˆ ın acest caz ( a2m+ 1,a2n+ 1) = 1.
158

36. Prin induct ¸ie matematic˘ a dupa nse arat˘ a c˘ a (2+√
3)n=pn+qncupn,qn∈N
¸ si 3q2
n=p2
n−1 (t ¸inˆ and cont c˘ a pn+1= 2pn+ 3qn¸ siqn+1=pn+ 2qn).
Atunci (2 +√
3)n=pn+√
3q2n=pn+√
p2n−1 ¸ sip2
n−1
3=q2
neste p˘ atrat perfect.
Cum ˆ ıns˘ apn−1≤√
p2n−1< p ndeducem c˘ a 2 pn−1≤pn+√
p2n−1<2pnsau
2pn−1≤(2 +√
3)n<2pn¸ si astfelx= [(2 +√
3)n] = 2pn−1.
Deducem c˘ a
(x−1)(x+ 3)
12=(2pn−2)(2pn+ 2)
12=p2
n−1
3=q2
n.
37. Presupunem prin absurd c˘ a exist˘ a n∈N,n≥2 astfel ˆ ıncˆ at n|2n−1. Cum
2n−1 este impar, cu necesitate ¸ si neste impar. Fie p≥3 cel mai mic num˘ ar prim cu
proprietatea c˘ a p|n. Conform teoremei lui Euler, 2φ(p)≡1(modp). Dac˘ ameste cel
mai mic num˘ ar natural pentru care 2m≡1(modp), atunci cu necesitate m|φ(p) =p−1
astfel c˘ amare un divizor prim mai mic decˆ at p.
Ins˘ a 2n≡1(modn) ¸ si cump|ndeducem c˘ a 2n≡1(modp) ¸ si astfelm|n. Ar
rezulta c˘ anare un divizor prim mai mic decˆ at p-absurd!.
38. Avem
4p= (1 + 1)2p=C0
2p+C1
2p+…+Cp−1
2p+Cp
2p+Cp+1
2p+…+C2p−1
2p+C2p
2p
= 2 + 2(C0
2p+C1
2p+…+Cp−1
2p) +Cp
2p.
Ins˘ a pentru 1 ≤k≤p−1,
Ck
2p=(2p)(2p−1)…(2p−k+ 1)
1·2·…·k=p·(2p)(2p−1)…(2p−k+ 1)
1·2·…·k
¸ si cumCk
2p∈Niar pentru 1 ≤k≤p−1,k-p, atunci nici 1 ·2·…·k-p, deci
Ck
2p≡0(modp).
Deducem c˘ a 4p≡(2 +Cp
2p)(modp) sau (4p−4)≡(Cp
2p−2)(modp).
Dac˘ ap= 2 atunci C2
4= 6 iarC2
4−2 = 6−2 = 4≡0(mod 2).
Dac˘ ap≥3, atunci (4 ,p) = 1 ¸ si conform Teoremei lui Euler, 4p−4≡0(modp), de
unde ¸ siCp
2p−2≡0(modp)⇔Cp
2p≡2(modp).
39. Am v˘ azut c˘ a pentru orice 1 ≤k≤p−1,p|Ck
p, deci ˆ ın Zp[X] avem (1 + X)p=
1 +Xp.
Astfelpa∑
k=0Ck
paXk= (1 +X)pa= [(1 +X)p]a= (1 +Xp)a=a∑
j=0Cj
aXjp. Deoarece
coeﬁcient ¸ii acelora¸ si puteri trebuie s˘ a ﬁe congruent ¸i modulo p, deducem c˘ a Cpb
pa≡
Cb
a(modp) (deoarece Cpb
paeste coeﬁcientul lui Xpbdin stˆ anga iar Cb
aeste coeﬁcientul
tot al luiXpbˆ ıns˘ a din dreapta) pentru 0 ≤b≤a.
40. Se alege a=pα1
1…pαnn,b=pβ1
1…pβnn¸ sic=pγ1
1…pγnn, cup1,p2,…,p nnumere
prime iarαi,βi,γi∈Npentru 1 ≤i≤n.
159

Atunci
[a,b] =pmax( α1,β1)
1…pmax( αn,βn)
n pe cˆ and
([a,b],c) =pmin(max( α1,β1),γ1)
1 …pmin(max( αn,βn),γn)
n iar
[(a,c),(b,c)] = [pmin(α1,γ1)
1…pmin(αn,γn)
n,pmin(β1,γ1)
1…pmin(βn,γn)
n ]
=pmax(min( α1,γ1),min(β1,γ1))
1 …pmax(min( αn,γn),min(βn,γn))
n ,
de unde egalitatea cerut˘ a deoarece pentru oricare trei numere reale α,β,γ :
min[max(α,β),γ] =max[min(α,γ),(β,γ)]
(se t ¸ine cont de diferitele ordon˘ ari pentru α,β,γ , de ex.α≤β≤γ).
41. T ¸ inˆ and cont de exercit ¸iile 27 ¸ si 40 avem:
[a,b,c ] = [[a,b],c] =[a,b]·c
([a,b],c)=abc
(a,b)
[(a,c),(b,c)]=abc
(a,b)[(a,c),(b,c)]
=abc
(a,b)·(a,c)·(b,c)
((a,c),(b,c))=abc(a,b,c )
(a,b)(a,c)(b,c).
42. Se procedeaz˘ a analog ca la exercit ¸iul precedent.
43. i) Se t ¸ine cont de faptul c˘ a dac˘ a anu este multiplu de 3, adic˘ a a= 3k±1,
atuncia3este de aceea¸ si form˘ a (adic˘ a a3≡ ±1(mod 3)).
Cum 9-±1±1±1 deducem c˘ a cel put ¸in unul dintre numerele a1,a2,a3trebuie s˘ a
se divid˘ a prin 3.
ii) Analog ca la i) t ¸inˆ andu-se cont de faptul c˘ a 9 -±1±1±1±1±1.
44. Avem 2 ·73·1103 = 161038 ¸ si 161037 = 32·29·617. Deci 2161037−1 se divide
prin 29−1 ¸ si 229−1, dar cum 29≡1(mod 73) ¸ si 229≡1(mod 1103) deducem c˘ a el se
divide ¸ si prin 73 ·1103 (numerele ﬁind prime ˆ ıntre ele).
45. Cum 641 = 640 + 1 = 5 ·27+ 1 ¸ si 641 = 625 + 16 = 54+ 24rezult˘ a c˘ a
5·27≡ −1(mod 641) ¸ si 24≡ −54(mod 641).
Din prima congruent ¸˘ a rezult˘ a 54 ·228≡1(mod 641), care ˆ ınmult ¸it˘ a cu a doua d˘ a
54·232≡ −54(mod 641), de unde 232≡ −1(mod 641) (vezi ¸ si §1 de la Capitolul 9).
46. In cazul nostru particular avem: b1= 1,b2= 4,b3= 3,m1= 7,m2= 9,m3= 5
(t ¸inˆ and cont de notat ¸iile de la Teorema 1.6.1.) iar m= 315.
Cu notat ¸iile de la demonstrat ¸ia Teoremei 1.6.1., avem n1= 315/7 = 45,n2=
315/9 = 35 iarn3= 315/5 = 63.
Alegemri,si∈Z,1≤i≤3 astfel ˆ ıncˆ at
r1·7 +s1·45 = 1 (cu ajutorul algoritmului lui Euclid)
r2·9 +s2·35 = 1
r3·5 +s3·63 = 1.
160

Alegemei=si·ni,1≤i≤3 (adic˘ ae1= 45s1,e2= 35s2¸ sie3= 63s3) iar solut ¸ia
va ﬁx0= 1·e1+ 4·e2+ 3·e3.
47. Dac˘ af(x)≡0(modn) are o solut ¸ie, atunci acea solut ¸ie veriﬁc˘ a ¸ si f(n)≡
0(modpαi
i) pentru orice 1 ≤i≤t.
Reciproc, dac˘ a xieste o solut ¸ie a congruent ¸ei f(x)≡0(modpαi
i) pentru 1 ≤i≤t,
atunci conform Teoremei 1.6.1., sistemul x≡xi(modpαi
i) cu 1 ≤i≤tva avea o solut ¸ie
¸ si astfelf(x)≡0(modpα1
1·…·pαt
t=n).
48. Totul rezult˘ a din Teorema 1.8.14.
49. Fien∈Nastfel ˆ ıncˆ at n! se termin˘ a ˆ ın 1000 de zerouri. Cum la formarea
unui zerou particip˘ a produsul 2 ·5, num˘ arul zerourilor ˆ ın care se termin˘ a n! va ﬁ egal cu
exponentul lui 5 ˆ ın n! (acesta ﬁind mai mic decˆ at exponentul lui 2 ˆ ın n!).
Avem deci [n
5] + [n
52] +…= 1000 (conform Teoremei 1.3.9.).
Cum [n
5] + [n
52] +…≤n
5+n
52+… <n
5·1
1−1
5=n
4, cu necesitate 1000 <n
4⇔
n>4000.
De aici ¸ si din faptul c˘ a [ a]>a−1 deducem c˘ a 1000 >n
5+n
52+n
53+n
54+n
55−5>
n
5(1 +1
5+1
25) + 6 + 1 −5 =31
125n+ 2, de unde n<(1000−2)·125
31= 4025,2.
Num˘ aruln= 4005 veriﬁc˘ a, dar n= 4010 nu mai veriﬁc˘ a .
Decin∈ {4005,4006,4007,4008,4009}.
50. Se demonstreaz˘ a u¸ sor c˘ a dac˘ a a,b∈R+, atunci:
[2a] + [2b]≥[a] + [b] + [a+b].(∗)
Exponentul unui num˘ ar prim pˆ ın (2m)!(2n)! estee1=∑
k∈N∗([2n
pk] + [2m
pk] iar ˆ ın
m!n!(m+n)! estee2=∑
k∈N∗([n
pk] + [m
pk] + [n+m
pk](conform Teoremei 1.3.9.).
Conform inegalit˘ at ¸ii ( ∗)e1≥e2de unde concluzia c˘ a(2m)!(2n)!
m!n!(m+n)!∈N.
51. Dac˘ ad1= 1,d2,…,d k−1,dk=nsunt divizorii naturali ai lui n, atuncin
d1,n
d2,…,n
dk
sunt aceia¸ si divizori, rearanjat ¸i ˆ ıns˘ a, de unde deducem c˘ a d1·d2·…·dk=n
d1·n
d2·…·n
dk⇔
(d1·d2·…·dk)2=nk
52. Cum1
k(k+ 1)=1
k−1
k+ 1pentru orice k∈N∗, avem
A= 1−1
2+1
3−1
4+…+1
1997−1
1998= 1 +1
2+1
3+…+1
1998
−2(1
2+1
4+…+1
1998) = 1 +1
2+…+1
1998−1−1
2−…−1
999
=1
1000+1
1001+…+1
1998.
161

Astfel,
2A=1
1000+1
1998+1
1001+1
1997+…+1
1998+1
1000
=2998
1000·1998+…+2998
1998·1000= 2998 ·B,
de undeA
B= 1499 ∈N∗.
53. Fiep= (n−3)(n−2)(n−1)n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)(n+ 4) cun∈N,n≥4.
Dac˘ an∈ {4,5,6}prin calcul direct se arat˘ a c˘ a pnu este p˘ atrat perfect.
Pentrun≥7 avem:
p= (n2−3n)(n2−3n+2)(n2+5n+4)(n2+5n+6) = [(n2−3n+1)2−1]·[(n2+5n+5)2−1]
¸ si atunci (utilizˆ and faptul c˘ a ( a2−1)(b2−1) = (ab−1)2−(a−b)2) se arat˘ a c˘ a
[(n2−3n+ 1)(n2+ 5n+ 5)−2]2<p< [(n2−3n+ 1)(n2+ 5n+ 5)−1]2.
Cumpeste cuprins ˆ ıntre dou˘ a p˘ atrate consecutive atunci el nu mai poate ﬁ p˘ atrat
perfect.
54. Dac˘ aa+b+c|a2+b2+c2, atuncia+b+c|2(ab+ac+bc).
Din identitatea ( ab+ac+bc)2=a2b2+a2c2+b2c2+ 2abc(a+b+c) deducem c˘ a
a+b+c|2(a2b2+a2c2+b2c2).
Utilizˆ and identit˘ at ¸ile:
(a2kb2k+a2kc2k+b2kc2k)2=a2k+1b2k+1+a2k+1c2k+1+b2k+1c2k+1+2akbkck(a2k+b2k+c2k)
¸ si
(a2k+ +b2k+c2k)2=a2k+1+b2k+1+c2k+1+ 2(a2kb2k+b2kc2k+a2kc2k),
prin induct ¸ie matematic˘ a (dup˘ a k) se arat˘ a c˘ a a+b+c|a2k+b2k+c2k¸ sia+b+c|
2(a2kb2k+b2kc2k+a2kc2k), pentru orice k∈N.
55. Avem 1n+4≡1n(mod 10) ¸ si 2n+4≡2n(mod 10),3n+4≡3n(mod 10) ¸ si 4n+4≡
4n(mod 10), de unde deducem c˘ a an+4≡an(mod 10).
Astfel, dac˘ a:
i)n≡0(mod 4), ultima cifr˘ a a lui ancoincide cu ultima cifr˘ a a lui an= 1 + 8 +
16 + 256, adic˘ a 4 ;
ii)n≡1(mod 4), ultima cifr˘ a a lui ancoincide cu ultima cifr˘ a a lui a1= 1+2+3+4,
care este zero;
iii)n≡2(mod 4), ultima cifr˘ a a lui ancoincide cu ultima cifr˘ a a lui a2= 1+4+9+16,
care este zero;
iv)n≡3(mod 4), ultima cifr˘ a a lui ancoincide cu ultima cifr˘ a a lui a3= 1 + 8 +
27 + 64, care este zero.
162

56. Fiescel mai mare num˘ ar natural cu proprietatea c˘ a 2s=n¸ si consider˘ am
n∑
k=02s−1
kcare se poate scrie sub formaa
b+1
2cubimpar.
Dac˘ aa
b+1
2∈N∗, atuncib= 2 (conform exc. 26), absurd.
57. Fiem=max{k∈N: 3k≤2n+ 1<3k+1} ≥1. Fiecare termen al sumei Sn
are ca numitor un num˘ ar impar; printre ace¸ sti numitori exist˘ a unul singur egal cu 3miar
ceilalt ¸i vor avea forma 3k·tcutimpar, 0 ≤k≤m¸ si 3 nu ˆ ıl divide pe t. Atunci cel mai
mic multiplu comun al numitorilor va avea forma 3k·rcurnedivizibil prin 3. Astfel
Sn=3l+r
3m·r/∈N.
58. Consider˘ am numerele 20−1,21−1,22−1,…,2a−1. Acestea sunt a+1 numere.
Dou˘ a dintre ele cel put ¸in dau acelea¸ si resturi la ˆ ımp˘ art ¸irea prin aconform Principiului
lui Dirichlet. S˘ a presupunem c˘ a 2k−1 ¸ si 2m−1 dau resturi egale la ˆ ımp˘ art ¸irea prin a¸ si
k<m . Atunci num˘ arul (2m−1)−(2k−1) = 2k(2m−k−1) se divide prin a¸ si ˆ ıntrucˆ at
aeste impar, rezult˘ a c˘ a 2m−k−1 se divide la a.
La fel se demonstreaz˘ a ¸ si urmatoarea aﬁrmat ¸ie mai general˘ a: dac˘ a numerele nat-
uralea¸ sicsunt prime ˆ ıntre ele atunci se g˘ ase¸ ste un num˘ ar natural bastfel ˆ ıncˆ at
cb−1 se divide prin a. Aﬁrmat ¸ia rezult˘ a din urmatoarea Teorem˘ a a lui Euler : Pen-
tru orice numere naturale a¸ sic, num˘ arulaφ(a)+1−cse divide cu a, undeφ(a) este
num˘ arul numerelor naturale mai mici decˆ at a¸ si prime cu el, avˆ and formula de calcul
φ(pα1
1pα2
2…pαrr) = (pα1
1−pα1−1
1)…(pαrr−pαr−1
r).
59. Vom demonstra c˘ a ecuat ¸iile ( ∗) 22m+1−n2=k,k= 0,1,…,6 nu au solut ¸ii. S˘ a
observ˘ am c˘ a 8 divide 22m+1.
i). Pentruk= 0 ecuat ¸ia ( ∗) nu are solut ¸ie deoarece 22m+1nu este p˘ atrat perfect;
ii). Pentru k= 1,3 sau 5, dac˘ a ( ∗) ar avea solut ¸ie ar rezulta c˘ a neste impar; atunci
ar rezulta c˘ a n2este de forma 8 t+1 ¸ si decik(k= 1,3,5) ar trebui s˘ a ﬁe de forma 8 r−1,
absurd!
iii). Dac˘ ak= 2 sau 4 atunci nar trebui s˘ a ﬁe par ¸ si 4 |22m+1−n2adic˘ a 4 |k
(pentruk= 2,4), absurd! Deci 22m+1−n2≥7.
60. Cump−1 este par, suma din stˆ anga are un num˘ ar par de termeni, a¸ sa c˘ a ˆ ıi
putem grupa astfel:
1 +1
2+…+1
p−2+1
p−1= (1 +1
p−1) + (1
2+1
p−2) +…=p
p−1+p
2(p−2)+…,
deci ˆ ın ﬁnal obt ¸inem o egalitate de formap·q
(p−1)!=mn⇔pqn= (p−1)!m¸ si cum
p-(p−1)! deducem c˘ a p|m.
61. Pentru ﬁecare 1 ≤k≤mscriemn+k= 2αk·ukcuukimpar ¸ si ﬁe αt=
max{αk: 1≤k≤m}.
Pentruε1,ε2,…,ε m+1∈ {± 1}avemN=ε1·1n+ε2·1
n+ 1+…+εm+1·1n+m=
m∑
k=1εk2αkuk=sum˘ a de numere pare + un num˘ ar impar
2t·ucuuimpar. Deci N=p
qcup
impar iarqpar, de unde concluzia c˘ a N /∈Z.
163

62. S˘ a presupunem c˘ a m≥n¸ si ﬁed= (am−1,an−1). Imp˘ art ¸ind pe mlan
putem scrie m=nq1+r1cu 0≤r1< n. Cumd|am−1 ¸ sid|an−1 deducem
c˘ ad|am−an=an(am−n−1)⇒d|am−n−1. Continuˆ and recursiv deducem c˘ a
d|am−2n−1,…,d|am−nq1−1 =ar1−1. Scriind c˘ a n=r1q2+r2cu 0≤r2<r 1, ca
mai sus deducem d|ar2−1. T ¸ inˆ and cont de algoritmul lui Euclid de g˘ asire a lui ( m,n)
deducem c˘ a d|a(m,n)−1. Cum ˆ ın mod evident a(m,n)−1|am−1,an−1⇒a(m,n)−1|d,
de unded=a(m,n)−1.
63. Avem c˘ a a3+b3+c3−3abc= (a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca). Din
6|a+b+cdeducem c˘ a cel put ¸in unul din numerele a,b,c este par ¸ si atunci 6 |3abc, de
unde concluzia c˘ a 6 |a3+b3+c3.
64. Scriem (√
26 + 5)101= [(√
26 + 5)101−(√
26−5)101] + (√
26−5)101¸ si observ˘ am
c˘ aa= (√
26 + 5)101−(√
26 +−5)101∈Ziar (√
26−5)101=1
(√
26 + 5)101<1
(2·5)101=
1
10101, deci (√
26 + 5)101=a,0…0|{z}
100 ori1.
65. Avem c˘ a 210≡1(mod 31) ¸ si cum 210≡1(mod 11) ⇒210≡1(mod 11 ·31),
astfel c˘ a 2340≡1(mod 341), deci 2341≡2(mod 341).
11.2 Mult imea numerelor prime
1. Din condit ¸ia ad=bcdeducem existent ¸a numerelor naturale x,y,z,t astfel ˆ ıncˆ at
a=xy,b =xz,c =yt¸ sid=zt. Atuncia+b+c+d= (x+t)(y+z) care este altfel
num˘ ar compus.
2. Pentrun= 0,n+ 15 = 15 este compus. Pentru n= 1,n+ 3 = 4 este compus,
pentrun= 2,n+ 7 = 9 este compus, pentru n= 3,n+ 3 = 6 este compus, pe cˆ and
pentrun= 4 obt ¸inem ¸ sirul: 5 ,7,11,13,17,19 format din numere prime.
S˘ a ar˘ at˘ am c˘ a n= 4 este singura valoare pentru care problema este adevar˘ at˘ a. Fie
decin= 5. Dac˘ a n= 5k, atunci 5 |n+ 15. Dac˘ a n= 5k+ 1, atunci 5 |n+ 9, dac˘ a
n= 5k+ 2, atunci 5 |n+ 3, dac˘ an= 5k+ 3, atunci 5 |n+ 7, pe cˆ and dac˘ a n= 5k+ 4,
atunci 5 |n+ 1.
Observat ie. A. Schinzel a emis conjectura c˘ a exist˘ a o inﬁnitate de numere npentru
care numerele n+ 1,n+ 3,n+ 7,n+ 9 ¸ sin+ 13 sunt prime (de exemplu pentru n= 4,
10 sau 100 conjectura lui Schinzel se veriﬁc˘ a).
3. Ca la exercit ¸iul 2 se arat˘ a c˘ a numai n= 5 satisface condit ¸iile enunt ¸ului.
4. Conform Micii Teoreme a lui Fermat p|2p−2. Cum trebuie ¸ si ca p|2p+ 1
deducem cu necesitate c˘ a p|3 adic˘ ap= 3. Atunci 3 |23+ 1 = 9.
5. Dac˘ an= 0 atunci 20+ 1 = 2 este prim.
Dac˘ an= 1 atunci alegem m= 0 ¸ si 220+ 1 = 3 este prim.
164

S˘ a presupunem acum c˘ a n≥2. Dac˘ a prin absurd nnu este de forma 2mcum= 1,
atuncinse scrie sub forma n= 2k(2t+ 1) , cut,k∈N¸ si atunci 2n+ 1 = 22k(2t+1)+ 1 =
(22k)2t+1+ 1 =M·(22k+ 1) ¸ si deci 2n+ 1 nu mai este prim, absurd. Deci n= 0 sau
n= 2m, cum∈N.
6. Facem induct ¸ie matematic˘ a dup˘ a n. Pentrun= 10,p10= 29 ¸ si 292<210.
Conform Lemei 2. 3.15., dac˘ a n≥6, atunci ˆ ıntre n ¸ si 2n g˘ asim cel put ¸in dou˘ a numere
prime, deducem c˘ a pn−1<pn<pn+1<2pn−1, deci dac˘ a admitem inegalitatea din enunt ¸
pentru orice kcu 10<k≤n, atuncip2
n<4p2
n−1<4·2n−1= 2n+1.
7. Facem induct ¸ie dup˘ a r; pentrur= 1 totul este clar deoarece sumele dau ca
resturi 0 ¸ si b1.
S˘ a presupunem aﬁrmat ¸ia adev˘ arat˘ a pentru r=k < p −1 ¸ si neadev˘ arat˘ a pentru
r=k+ 1 ¸ si vom ajunge la o contradict ¸ie.
Presupunem c˘ a sumele formate din ktermenib1,b2,…,b kdauk+ 1 resturi diferite
0,s1,s2,…,s k. Atunci, ˆ ıntrucˆ at dup˘ a adaugarea lui b=bk+1num˘ arul sumelor diferite
nu trebuie s˘ a se m˘ areasc˘ a, toate sumele 0 + b,s1+b,…,s k+b(modulo p) vor ﬁ cuprinse
ˆ ın mult ¸imea {0,s1,s2,…,s k}(cu alte cuvinte, dac˘ a la orice element al acestei mult ¸imi
se adaug˘ ab, atunci se obt ¸ine din nou un element din aceea¸ si mult ¸ime). Astfel, aceasta
mult ¸ime cont ¸ine elementele 0 ,b,2b,3b,…, (p−1)b.
Deoareceib−jb= (i−j)biar 0< i−j < p ¸ si 0< b < p , atunci ˆ ın Zp,ij̸=jb.
Contradict ¸ia provine din aceea c˘ a mult ¸imea {0,s1,s2,…,s k}cont ¸inepelemente diferite
de¸ si am presupus c˘ a k+ 1<p.
8. Fiea1=a2=…=ap=ap+1=…=a2p−1resturile ˆ ımp˘ art ¸irii celor 2 p−1
numere lap. S˘ a con¸ sider˘ am acum numerele:
(∗)ap+1−a2,ap+2−a3,…,a 2p−1−ap.
Dac˘ a unul dintre aceste numere este 0, de exemplu ap+j−aj+1= 0, atunci aj+1=
aj+2=…=aj+piar suma celor pnumereaj+1,aj+2,…,a j+pse divide la p.
S˘ a examin˘ am cazulˆ ın care toate numerele din (*) sunt nenule. Fie xrestulˆ ımp˘ art ¸irii
sumeia1+a2+…+aplap. Dac˘ ax= 0 totul este clar. Dac˘ a x̸= 0, t ¸inˆ and cont de
exercit ¸iul 8, putem forma din diferentele (*) o sum˘ a care s˘ a dea restul p−xla ˆ ımp˘ art ¸irea
cup.
Ad˘ augˆ and respectivele diferent ¸e la a1+a2+…+ap¸ si efectuˆ and reducerile evidente
obt ¸inem o sum˘ a format˘ a din ptermeni care se divide prin p.
9. S˘ a demonstr˘ am c˘ a dac˘ a aﬁrmat ¸ia problemei este adev˘ arat˘ a pentru n=a¸ sin=b
atunci ea este adev˘ arat˘ a ¸ si pentru n=ab.
Astfel este suﬁcient s˘ a demonstr˘ am aﬁrmat ¸ia pentru nprim (aplicˆ and exercit ¸iul 9).
Fie date deci 2 ab−1 numere ˆ ıntregi. Intrucˆ at aﬁrmat ¸ia este presupus˘ a adev˘ arat˘ a
pentrun=b¸ si 2ab−1>2b−1, din cele 2 ab−1 numere se pot alege bastfel ˆ ıncˆ at suma
acestora se divide prin b.
165

Apoi din cele r˘ amase (dac˘ a nu sunt mai put ¸ine de 2 b−1) alegem ˆ ınc˘ a bnumere
care se bucur˘ a de aceast˘ a proprietate, ¸ s.a.m.d.
Deoarece 2ab−1 = (2a−1)b+ (b−1) atunci aceast˘ a operat ¸ie se poate repeta de
2a−1 ori ¸ si s˘ a se obt ¸in˘ a 2 a−1 alegeri de cˆ ate bnumere astfel ˆ ıncˆ at media aritmetic˘ a a
celorbnumere este num˘ ar ˆ ıntreg. Cum aﬁrmat ¸ia este presupus˘ a adev˘ arat˘ a pentru n=a,
din aceste 2 a−1 medii aritmetice se pot alege aastfel ˆ ıncˆ at suma acestora s˘ a se divid˘ a
prina.
Este clar atunci c˘ a cele abnumere formate din cele aalegeri de cˆ ate bnumere au
proprietatea cerut˘ a, c˘ aci ab=a+a+a+…+a(debori).
10. Dac˘ aneste impar, n≥7 atuncin= 2 + (n−2) ¸ si cumn−2 este impar,
(2,n−2) = 1 iar 2 >1 ¸ sin−2>1.
S˘ a presupunem acum c˘ a neste par ¸ sin≥8.
Dac˘ an= 4k(cuk≥2), atuncin= (2k+ 1) + (2k−1) ¸ si cum 2k+ 1>2k−1>1
iar (2k+ 1,2k−1) = 1 din nou avem descompunerea dorit˘ a.
Dac˘ an= 4k+ 2(k≥1), atuncin= (2k+ 3) + (2k−1) iar 2k+ 3>2k−1>1. S˘ a
ar˘ at˘ am c˘ a (2 k+ 3,2k−1) = 1. Fie d∈N∗astfel ˆ ıncˆ at d|2k+ 3 ¸ sid|2k−1. Deducem
c˘ ad|(2k+ 3)−(2k−1) = 4, adic˘ a d|4. Cumdtrebuie s˘ a ﬁe impar deducem c˘ a d= 1.
11. Cumk= 3,p1p2…pk≤p1p2p3= 2·3·5>6, deci conform exercit ¸iului 11 putem
scriep1p2…pk=a+bcua,b∈N∗,(a,b) = 1. Avem deci ( a,pi) = (b,pj) = 1 pentru
oricei,j∈ {1,2,…,k}. Fiep|a¸ siq|bcup¸ siqprime ¸ si s˘ a presupunem c˘ a p<q . Cum
(p,p 1p2…pk) = 1 rezult˘ a c˘ a p≥pk+1, deciq=pk+2. Cuma+b=p+qdeducem relat ¸ia
cerut˘ a.
12. Fiem∈N,m≥4, ¸ sin∈Nastfel ˆ ıncˆ at n > p 1p2…pm. Exist˘ a atunci
k≥m≥4 astfel ˆ ıncˆ at p1p2…pk≤n pk+1dup˘ a alegerea lui qn, atunci ﬁecare dintre numerele
p1,p2,…,p k,pk+1vor ﬁ divizori ai lui n¸ si am avea n=p1p2…pkpk+1, absurd).
Cumk≥4, conform exercit ¸iului 12 avem qn 12 astfel ˆ ıncˆ at
npn>1
3. Alegem cel mai mic ncu aceast˘ a proprietate. Atuncin−1pn−1<1
3, de unde
deducem c˘ a pn−1<pn<3n2
2x+ 1¸ si1
ln(x−2)>1
ln(2x+ 1)deducem
imediat c˘ a
f′(x) =4
3·1
x−2+4
3·1
ln(x−2)·1
x−2−2
2x+ 1−1
ln(2x+ 1)·2
2x+ 1>0,
adic˘ afeste cresc˘ atoare pe intervalul [230 ,+∞).
166

Folosind tabelele de logaritmi se arat˘ a imediat c˘ a f(230)≈0,0443 ¸ si cum eroarea ˆ ın
scrierea logaritmilor este de cel mult 0,0001, din cele de mai sus deducem c˘ a f(230)>0,
adic˘ af(x)>0, pentru orice x≥230.
Deducem astfel c˘ a pentru orice n∈N,n≥230, avem inegalitatea:
4
3(ln(n−2) + ln(ln(n−2))−4
3)>ln(2n+ 1)−ln(ln(2n+ 1))−1
2.
T ¸ inˆ and cont de aceast˘ a ultim˘ a inegalitate, de inegalit˘ at ¸ile din observat ¸ia dinaintea
Teoremei 2.4.7. de la Capitolul 2, ca ¸ si de faptul c˘ a pentru n≥230 avem 3( n−2)>
4
3(2n+ 1) deducem c˘ a pentru n≥230 avem:
3pn−2>3(n−2)[ln(n−2) + ln(ln(n−2))−3
2]>4
3[ln(n−2) + ln(ln(n−2))−3
2]
>[ln(2n+ 1) + ln(ln(2 n+ 1))−1
2]·(2n+ 1)>pn+1
Observat ie . In [36] p.149 se demonstreaz˘ a c˘ a inegalitatea din enunt ¸ este valabil˘ a ¸ si
pentru orice 18 ≤n<230.
De asemenea se demonstreaz˘ a ¸ si urmatoarele inegalit˘ at ¸i:
1)p2n+1<p 2n+pnpentru orice n∈N,n≥3;
2)p2n<pn+ 2pn−1pentru orice n∈N,n≥9,nimpar;
3)p2n+1<p 2n+ 2pn−1−1 pentru orice n∈N,n≥10,npar.
11.3 Funct ii aritmetice
1. Dinφ(n!) = 2ndeducem c˘ a φ(1·2·3·…·n) = 2n. Cumφeste multiplicativ˘ a
iar pentrun≥6,n= 3α·mcuα≥2 ¸ si (3,m) = 1 deducem c˘ a φ(n!) =φ(3α·m) =
φ(3α)·φ(m) = (3α−3α−1)·φ(m) = 3α−1·2·φ(m), astfel c˘ a ar trebui ca 3α−1|2n-
absurd. Deci n≤5. Prin calcul direct se arat˘ a c˘ a numai n= 5 convine.
2. Fiepifactorii primi comuni ai lui m¸ sin,qjfactorii primi ai lui mce nu apar
ˆ ın descompunerea lui n¸ sirkfactorii primi ai lui nce nu apar ˆ ın descompunerea lui m.
Atunci:
φ(mn) =mn∏
i(1−1
pi)∏
j(1−1
qj)∏
k(1−1
rk)
φ(m2) =m2∏
i(1−1
pi)∏
j(1−1
qj)
φ(n2) =n2∏
i(1−1
pi)∏
k(1−1
rk)
(produsele se ˆ ınlocuiesc cu 1 dac˘ a nu exist˘ a factori primi pi,qj,rk).
Ridicˆ and la p˘ atrat ambii membrii ai inegalit˘ at ¸ii din enunt ¸ ¸ si t ¸inˆ and cont de egalit˘ at ¸ile
precedente, aceasta se reduce la inegalitatea evident˘ a
∏
j(1−1
qij)∏
k(1−1
rk)≤1.
167

Avem egalitate atunci cˆ and m¸ sinau aceia¸ si factori primi.
3. Avem
(*) [n+ 1
k] ={
[n
k[ + 1,dac˘ ak|n+ 1
[n
k[,dac˘ ak-n+ 1.
Vom face induct ¸ie dup˘ a n(pentrun= 1 totul va ﬁ clar).
S˘ a presupunem egalitatea din enunt ¸ adev˘ arat˘ a pentru n¸ si s˘ a o demonstr˘ am pentru
n+ 1, adic˘ a
τ(1) +τ(2) +…+τ(n+ 1) = [n+ 1
1] + [n+ 1
2] +…+ [n+ 1
n] + [n+ 1
n+ 1].
Conform cu (*) ˆ ın membrul al doilea r˘ amˆ an neschimbat ¸i termenii al c˘ aror numitor
nu divide pe n+ 1 ¸ si cresc cu 1 acei termeni al c˘ aror numitor k|n+ 1 cuk≤n. Deci
membrul drept cre¸ ste exact cu num˘ arul divizorilor lui n+ 1 (adic˘ a cu τ(n+ 1)) ¸ si astfel
proprietatea este probat˘ a pentru n+ 1.
4. Ca ¸ si ˆ ın cazul exercit ¸iului 4 se face induct ¸ie matematic˘ a dup˘ a n.
5. Dac˘ am|n, atuncin=mq¸ si [nm] =q,n−1 =mq−1 =m(q−1) +m−1, deci
[n−1m] =q−1 . Astfel [nm]−[n−1m] =q−(q−1) = 1, deci∑
m|n([nm]−[n−1m]) =τ(n).
Dac˘ am-n, atuncin=mq+rcu 0<r<m ¸ si [nm] =q. Darn−1 =mq+r−1,
0≤r−1<m ¸ si deci [n−1m] =q, adic˘ a [nm]−[nm] = 0 pentru m-n.
Avem deci∑
m≥1([nm]−[n−1m]) =τ(n).
6. Dac˘ af(x) = [x] + [x+1n] +…+ [x+n−1n]−[nx], atuncif(x+ 1) =f(x), deci
este suﬁcient s˘ a demonstr˘ am egalitatea din enunt ¸ pentru 0 ≤x≤1.
Scriind c˘ akn≤x <k+ 1ncuk≤n, atunci [nx] =kiarf(x) = 0 +…+ 0|{z}
(n−k) ori+
1 +…+ 1|{z}
kori−k= 0.
7. Dac˘ aneste prim, atunci π(n) =π(n−1) + 1, deciπ(n)
n−π(n−1)
n−1=1n·(1−
π(n−1)
n−1). Cumπ(k)<kpentruk≥1 deducem imediat c˘ aπ(n)
n>π(n−1)
n−1.
S˘ a presupunem acum c˘ aπ(n)
n>π(n−1)
n−1. Dac˘ annu este prim, atunci el este
compus ¸ siπ(n) =π(n−1) astfel c˘ a am obt ¸ine c˘ a1
n−1<1n, absurd!.
8. Se arat˘ a usor c˘ aσ(m)
m=1
d1+…+1
dtunded1,…,d tsunt divizorii naturali ai
luim(evidentt=τ(m)).
Deoarece printre divizorii lui n! g˘ asim cel put ¸in numerele naturale ≤n, deducem
c˘ aσ(n!)
n!≥1
1+1
2+…+1n−→
n→∞∞.
9. Conform unei observat ¸ii anterioare, pn<ln(lnn+ ln lnn) pentru orice n≥6; de
unde deducem c˘ a pn<(n+ 1)5
3pentru orice n≥6.
168

De asemenea deducem c˘ a f(1) =f(1)·f(1), de unde f(1) = 1,f(2) =f(p1) =
2,f(3) =f(p2) = 3,f(5) = 4,f(7) = 5,f(11) = 6, respectiv, f(6) =f(2)·f(3) =
6,f(4) =f(2)·f(2) = 4,f(8) =f3(2) = 8,f(9) =f2(3) = 9,f(10) =f(2)·f(5) = 2 ·4 =
8, ¸ s.a.m.d.
Cump1= 2<25
3,p2= 3<35
3,p3= 5<45
3,p4= 7<55
3,p5= 11<65
3, deducem
c˘ a (1)pn<(n+ 1)5
3pentru orice n≥1.
S˘ a demonstr˘ am prin induct ¸ie c˘ a ¸ si f(n)>n5
3pentru orice n≥2.
Dac˘ aneste prim, atunci exist˘ a k≥1 astfel ˆ ıncˆ at n=pk¸ sif(n) =f(pk) =k+ 1>
p5
3
k=n5
3
Dac˘ aneste compus atunci n=pα1
1…pαss¸ sif(n) =s∏
i=1f(pαi
i)>s∏
i=1(p5
3
i)αi=n5
3
Cum seria∑
n≥11
f2(n)este absolut convergent˘ a, conform unei Teoreme a lui Euler
S=∏
pprim1
1−1
f2(p)=∞∏
k=11
1−1
f2(pk)=∞∏
k=11
1−1
(k+ 1)2
=∞∏
k=1(k+ 1)2
k(k+ 2)= lim
n→∞2(n+ 1)
(n+ 2)= 2
de undeS= 2.
10. Fiem,n∈N∗cu (m,n) = 1. Dac˘ a mare factori p˘ atratici atunci ¸ si mnare
factori p˘ atratici ¸ si astfel µ(mn) =µ(m)·µ(n) = 0.
Fiem=p1…pk,n=q1…qtcupi¸ siqjnumere prime distincte. Atunci mn=
p1…pkq1…qt¸ si cum (m,n) = 1, atunci pi̸=qj, deciµ(mn) = (−1)k+t= (−1)k(−1)t=
µ(m)·µ(n).
11. Avemm−1∑
k=0[x+km+j
n] = [mx+mj
n] ¸ sin−1∑
j=0[x+km+j
n] = [nx+nkm] ¸ si astfel
ambele sume din enunt ¸ sunt egale cum−1∑
k=0n−1∑
j=0[x+km+j
n].
11.4 Resturi p atratice
1. Avem (15
71) = (3
71)(5
71) =−(71
3)(71
5) =−(2
3)(1
5) = 1,
(6
35) = (6
5)(6
7) = (1
5)(−1
7) =−1,
(335
2999) =−(2999
335) =−(−16
335) =−(−1
335) = 1.
2. Presupunem prin reducere la absurd c˘ a exist˘ a doar un num˘ ar ﬁnit de numere
prime de forma 4 n+ 1 cun∈N∗; ﬁe acestea p1,p2,..,p k. Consider˘ am num˘ arul N=
1 + (2p1p2…pk)2>1. In mod evident, divizorii primi naturali ai lui Nsunt numere
impare (c˘ aci Neste impar). Fie p|Nun divizor prim impar al lui N. Deducem c˘ a
p|1 + (2p1p2…pk)2⇔(2p1p2…pk)2≡ −1(modp) deci (−1p) = 1 adic˘ a peste de forma
169

4t+ 1 (c˘ aci am v˘ azut c˘ a (−1p) = (−1)p−1
2). Deci, cu necesitate p∈ {p1,p2,…,p k}¸ si am
obt ¸inut astfel o contradict ¸ie evident˘ a: p|1 + (2p1p2…pk)2.
3. Avem (−3p) = (−1·3p) = (−1p)(3p) = (−1)p−1
2(p
3)(−1)p−1
23−1
2= (p
3) = (r
3) cu
p≡r(mod 3),r= 0,1,2. Evident nu putem avea r= 0.
Dac˘ ar= 1, atunci (1
3) = 1 . Dac˘ a r= 2, atunci (2
3) = (−1)9−1
8=−1.
Darp≡2(mod 3) ⇔p≡ −1(mod 3). De asemenea 3 |p±1⇔6|p±1 deoarecep
este impar.
4. Presupunem ca ¸ siˆ ın cazul precedent c˘ a ar exista numai un num˘ ar ﬁnit p1,p2,…,p k
de numere prime de forma 6 n+ 1. Vom considera N= 3 + (2p1p2…pk)2>3. CumN
este impar, ﬁe pun divizor prim impar al lui N.
Obt ¸inem c˘ a (2 p1p2…pk)2≡ −3(modp) = 1, adic˘ a (−3p). T ¸ inˆ and cont de exercit ¸iul
3 de mai ˆ ınainte deducem c˘ a peste de forma 6 t+ 1, adic˘ ap∈ {p1,p2,…,p k}- absurd
(c˘ aci dinp|N⇒p= 3 care nu este de forma 6 t+ 1).
5. T ¸ inˆ and cont de exercit ¸iul 2 avem:
(10
13) = (2·5
13) = (2
13)(5
13) = (−1)132−1
8(−1)5−1
2·13−1
2(13
5) =−(13
5) =−(3
5)
=−(−1)5−1
2·3−1
2(5
3) =−(5
3) =−(2
3) =−(−1)−−3−1
4= 1,
deci 10 este rest patratic modulo 13 ¸ si ˆ ın consecint ¸˘ a ecuat ¸ia x2≡10(mod 13) are solut ¸ii.
6. Avem (21
23) = (−1)21−1
2·23−1
2(23
21) = (−1)20
2·22
2(2
21) = (−1)212−1
2=−1, deci
congruent ¸a x2≡1(mod 23) nu are solut ¸ii.
7. S˘ a presupunem c˘ a peste un num˘ ar prim de forma 6 k+ 1. Atunci (3p) =
(−1)p−1
2(p
3) ¸ si cum (p
3) = (1
3) = 1 deducem c˘ a:
(−3
p) = (−1
p)(3
p) = (−1)p−1
2(3
p) = (p
3) = 1
adic˘ a -3 este rest p˘ atratic modulo p, deci exist˘ a a∈Zastfel ˆ ıncˆ at a2+ 3≡0(modp).
Conform lemei lui Thue (vezi Lema 6.1.2. de la Capitolul 6) exist˘ a x,y∈Nastfel
ˆ ıncˆ atx,y≤√pcare au proprietatea c˘ a la o alegere convenabil˘ a a semnelor + sau -,
p|ax±y. Deducem c˘ a p|a2x2−y2¸ sip|a2+3⇒p|3×2+y2⇔3×2+y2=ptcut∈N
(cumx,y≤√p⇒3×2+y2<4p, adic˘ at<4). R˘ amˆ ane valabil numai cazul t= 1 (dac˘ a
t= 2 va rezulta c˘ a pnu este prim iar dac˘ a t= 3 deducem c˘ a 3 |y,y= 3z¸ sip=x2+ 3).
8. Avem ¸ a (−2p) = (−1p)(2p) = (−1)p−1
2(−1)p2−1
8. Dac˘ ap≡1,3(mod 8) atunci
(−1p) = (2p) =±1, deci (−2p) = (±1)2= 1. Dac˘ a p≡ −1,−3(mod 8) atunci (−1p) =
−(2p), deci (−2p) = (−1)·1 =−1.
170

11.5 Fract ii continue
1.- 4. Se aplic˘ a algoritmul de dup˘ a Propozit ¸ia 5.3.15.
5. Dac˘ a not˘ am cu a=xyz, cum 1000000 = 3154 ·317+182 ¸ si 398 ·246 = 1256 ·317+94
obt ¸inem c˘ a 182 a+ 94 = 317 bsau−182a+ 317b= 94.O solut ¸ie particular˘ a este a0=
−5076,b0=−2914 iar solut ¸ia general˘ a este:
a=−5076 + 317t
b=−2914 + 182t,cut∈Z.
Pentru caas˘ a ﬁe un num˘ ar de 3 cifre trebuie s˘ a luam t= 17,18 ¸ si 19 obt ¸inˆ and
corespunzator numerele a= 316,630 ¸ si 947.
6. Pentru 0 ≤s≤navem:
pn−s·pn+s+pn+s−1·pn−s−1= (pn−s−1·an−s+pn−s−2)pn+s+pn+s−1·pn−s−1=
=pn−s−1(pn+s·an+s+pn+s−1) +pn+s·pn−s−2=pn−s−1(pn+s·an+s+1+pn+s−1) +
+pn+s·pn−s−2=pn−s−1·pn+s+1+pn+s·pn−s−2=pn−(s+1)·pn+(s+1)+
+pn+(s+1)−1·pn−(s+1)−1
Pentrus= 0 obt ¸inem
pn·pn+pn−1·pn−1=pn−1·pn+1+pn·pn−2=…=p−1·p2n+1+p2n·p−2=p2n+1
saup2n+1=p2
n+p2
n−1.
Analog se arat˘ a c˘ a
qn−s·qn+s+qn+s−1·qn−s−1=qn−(s+1)·qn+(s+1)+qn+(s+1)−1·qn−(s+1)−1pentru 1 ≤s≤n,
de unde pentru s= 0 obt ¸inem
q2
n+q2
n−1=qn−1·qn+1+qn·qn−2=…=q−1·q2n+1+q2n·q2=q2n.
7. Se deduc imediat relat ¸iile: q2n=p2n+1−q2n+1¸ sip2n+1·q2n−p2n·q2n+1=−1,
de undeq2n=p2np2n+1−1
p2n+p2n+1.
8. Avemq0= 1,q1= 2 ¸ siqn= 2qn−1+qn−2pentrun≥2, de unde deducem c˘ a
pentru orice k∈N,qk=(1 +√
2)k+1−(1−√
2)k+1
2√
2.
Astfel (n∑
k=0qk)√
2 =qn+1−√
2
2+√
2
2(1−√
2)n+2, de unde concluzia.
9. Se face induct ¸ie matematic˘ a dup˘ a nt ¸inˆ andu-se cont de relat ¸iile de recurent ¸˘ a
pentru (pn)n≥0¸ si (qn)n≥0(date de Propozitia 5.3.1.).
171

10. Se ¸ stie c˘ a√
a2+ 1 = [a;2a]. Prin induct ¸ie matematic˘ a se arat˘ a c˘ a
q2n= 2an−1∑
k=0q2k+1+ 1 ¸ siq2n+1= 2an∑
k=0q2k.
11. Cum [(4 m2+1)n+m]2≥D≤[(4m2+1)n+m+1]2deducem c˘ a: a0= [√
D] =
(4m2+ 1)n+m.
AvemD−a2
0= 4mn+ 1 iar dac˘ a√
D=a0+1α1deducem c˘ a α1=1√
D−a0=
√
D+a0
D−a2
0¸ si cuma0<√
D<a 0+ 1,2a0<√
D< 2a0+ 1 ¸ si cum a0= (4mn+ 1)m+n
avem 2m+2n
4mn+ 1<√
D+a0
D−a2
0<2m+2n+ 1
4mn+ 1.
T ¸ inˆ and cont c˘ a2n+ 1
4mn+ 1<1 avem c˘ aa1= [α1] = 2m.
Scriind c˘ aα1=a1+1α2deducem c˘ a α2=1α1−a1=√
D+ (4mn+ 1)m−n
4mn+ 1.
Cuma0<√
D < a 0+ 1 ¸ si (4mn+ 1)m+n <√
D < (4mn+ 1)m+n+ 1, avem
2m<α 2<2m+1
4mn+ 1de undea2= [α2] = 2m.
Scriind acum α2=a2+1α3deducem imediat c˘ a
α3=(4mn+ 1)[√
D+ (4mn+ 1)m+n]
D−[(4mn+ 1)m+n]2=√
D+ (4mn+ 1)m+n=√
D+a0,
de undea3= [α3] = 2a0, de unde√
D= [(4mn+ 1)m+n;2m,2m,2(4mn+ 1)m+ 2n].
11.6 Teoreme de reprezentare pentru numere ^ ntregi
1. Pentru prima parte putem alege n= [1q] dac˘ a1q/∈N¸ sin= [1q]−1 dac˘ a1q∈N.
Fie acumq∈Q∩(0,1). Conform celor de mai ˆ ınainte, exist˘ a n0∈Nastfel ˆ ıncˆ at
1
n0+ 1≤q <1n0. Dac˘ aq=1
n0+ 1atunci proprietatea este stabilit˘ a. In caz contrar
avem: 0<q−1
n0+ 1=q1<1
n0(n0+ 1)<1, deciq1∈Q∩(0,1).
Din nou exist˘ a n1∈Nastfel ˆ ıncˆ at1
n1+ 1≤q1<1n1. Deoarece1
n1+ 1≤q1=
q0−1
n0+ 1<1n0−1
n0+ 1=1
n0(n0+ 1)deducem imediat c˘ a n1+1>n 0(n0+1)≥n0+1
iar de aici faptul c˘ a n1>n 0.
Procedˆ and recursiv, dup˘ a kpa¸ si vom g˘ asi qk∈Q∩(0,1) ¸ sink∈Nastfel ˆ ıncˆ at
1
nk+ 1≤qk<1nk¸ sink>nk−1>…>n 0.
S˘ a ar˘ at˘ am c˘ a procedeul descris mai sus nu poate continua indeﬁnit iar pentru aceasta
s˘ a presupunem c˘ a qk=ak
bk. Vom avea qk+1=ak+1
bk+1=ak
bk−1
nk+ 1=ak(nk+ 1)−bk
bk(nk+ 1),
de undeak+1=ak(nk+ 1)−bk. Dinaknk−bk<0 rezult˘ a imediat ak+1< ak¸ si din
aproape ˆ ın aproape ak+1<ak<…<a 0.
172

Cum ˆ ıntre 1 ¸ si a0exist˘ a numai un num˘ ar ﬁnit de numere naturale, va exista k0∈N
pentru care qk0−1
nk0+ 1= 0, de unde q=k0∑
i=01
ni+ 1(faptul c˘ a termenii sumei sunt
distinct ¸i este o consecint ¸˘ a a inegalit˘ at ¸ilor nk0>nk0−1>…>n 0).
In cazurile particulare din enunt ¸ reprezent˘ arile sunt date de:
7
22=1
3 + 1+1
14 + 1+1
559 + 1¸ si47
60=1
1 + 1+1
3 + 1+1
29 + 1.
2. Facem induct ¸ie matematic˘ a dup˘ a n. Pentrun= 1, aveme0= 1 iarei= 0 pentru
i≥1.
S˘ a presupunem aﬁrmat ¸ia adevarat˘ a pentru n¸ si ﬁei0primul dintre indicii 0 ,1,…,k
pentru care ei0este -1 sau 0. Atunci:
n+ 1 =e′
0+ 3e′
1+…+ 3ke′
k,undee′
i

−1,pentruii 0.
Dac˘ a un astfel de indice nu exist˘ a, urmeaz˘ a e′
0=e′
1=…=e′
k= 1 ¸ si atunci
n+ 1 = −1−3 +…+ 3k+ 3k+1. Unicitatea se stabile¸ ste prin reducere la absurd.
3. Fieq1∈N∗cu proprietatea1q1≤a
b<1
q1−1. Atuncia
b−1q1=aq1−b
bq1¸ si are
num˘ aratorul mai mic strict decˆ at a(c˘ aci dina
b<1
q1−1⇒aq1−b<a ).
Fieq2∈N∗astfel ˆ ıncˆ at1q2≤aq1−b
b<1
q2−1. Deoarece aq1−b < a rezult˘ a
aq1−b
b<a
b, deciq2≥q1.
Rezult˘ a1q1q2≤aq1−b
b<1
q1(q2−1).
Avema
b−1q1−1q1q2=aq1q2−bq2−b
bq1q2(fract ¸ie cu num˘ arator mai mic decˆ at aq1−b).
Continuˆ and procedeul, num˘ aratorul fract ¸iei scade continuu cu cel put ¸in 1 la ﬁecare
pas.
Dup˘ a un num˘ ar ﬁnit de pa¸ si el va ﬁ zero, decia
b=1q1+1q1q2+…+1q1q2…qn.
4. Fien= 2k−1 cuk∈N. Atunci pentru e>k avem identitatea:
n= 2k−1 = (2e2−k)2+ (2e)2−(2e2−k+ 1)2
(deci putem alege x= 2e2−k,y= 2e,z= 2e2−k+ 1).
Dac˘ aneste par, adic˘ a n= 2k, de asemenea pentru e>k avem identitatea:
n= 2k= (2e2+ 2e−k)2+ (2e+ 1)2−(2e2+ 2e−k+ 1)2
(deci ˆ ın acest caz putem alege x= 2e2+ 2e−k,y= 2e+ 1,z= 2e2+ 2e−k+ 1).
Evident, ˆ ın ambele cazuri, putem alege e>k astfel ˆ ıncˆ at x,y,z> 1.
5. Scriind c˘ a 32k= (n+ 1) + (n+ 2) +…+ (n+ 3k) deducem c˘ a n=3k−1
2∈N.
173

6. Pentru orice k,s∈N∗avem (1 +1
k)(1 +1
k+ 1)…(1 +1
k+s) = 1 +s+ 1
k.
Dac˘ ax > 1,x∈Qatunci putem scrie x−1 =mncum,n∈N∗¸ sin > z (cuz
arbitrar, c˘ aci nu trebuie neap˘ arat ca ( m,n) = 1 !). Este suﬁcient acum s˘ a alegem k=n
¸ sis=m−1.
7. Fiep=x2−y2cux>y ¸ si decip= (x−y)(x+y) ¸ si cumpeste primx−y= 1
¸ six+y=p(ˆ ın mod unic!), de unde x=p+ 1
2¸ siy=p−1
2.
Decip= (p+ 1
2)2−(p−1
2)2.
8. Dac˘ a num˘ arul natural nse poate scrie ca diferent ¸˘ a de dou˘ a p˘ atrate ale numerelor
ˆ ıntregia¸ sib, atuncineste impar sau multiplu de 4 ¸ si reciproc.
Intr-adev˘ ar, ﬁe n=a2−b2. Pentrua¸ sibde aceea¸ si paritate rezult˘ a c˘ a neste
multiplu de 4. Pentru a¸ sibde parit˘ at ¸i diferite rezult˘ a nimpar.
Reciproc, dac˘ a n= 4m, atuncin= (m+ 1)2−(m−1)2iar dac˘ an= 2m+ 1, atunci
n= (m+ 1)2−m2.
9. Se t ¸ine cont de faptul c˘ a p˘ atratul oric˘ arui num˘ ar ˆ ıntreg impar este de forma
8m+ 1.
10. Se t ¸ine cont de identitatea (2 x+ 3y)2−3(x+ 2y)2=x2−3y2.
11. Dinpprim ¸ sip>3 rezult˘ ap= 6k±1 ¸ si atunci:
4p2+ 1 = 4(6k±1)2+ 1 = (8k±2)2+ (8k±1)2+ (4k)2.
12. Facem induct ¸ie matematic˘ a dup˘ a m(pentrum= 1 atunci aﬁrmat ¸ia este ev-
ident˘ a). S˘ a presupunem aﬁrmat ¸ia adevarat˘ a pentru toate fract ¸iile cu num˘ aratorii mai
mici cam¸ si s˘ a o demonstr˘ am pentru fract ¸iile cu num˘ aratorii m.
S˘ a presupunem deci c˘ a 1 <m<n . Imp˘ art ¸ind pe nlamavem:
(1)n=m(d0−1) +m−k=md0−kcud0>1 ¸ si 0<k<m,
de undemd0=n+k⇔
(2)m
n=1
d0(1 +k
n).
Cumk<m , aplic˘ and ipoteza de induct ¸ie luiknavem:
(3)k
n=1
d1+1
d1d2+…+1
d1d2…dr,cudi∈N,di>1 pentru 1 ≤i≤r.
Din (2) ¸ si (3) deducem c˘ a:
m
n=1
d0+1
d0d1+…+1
d0d1…dr
¸ si cu aceasta aﬁrmat ¸ia este probat˘ a.
De exemplu:5
7=1
2+1
2·3+1
2·3·4+1
2·3·4·7=1
2+1
6+1
24+1
168.
174

13. Clar, dac˘ a k=1a1+2a2+…+nancua1,…,a n∈N∗, atuncik≤1+2 +…+n=
n(n+ 1)
2.
S˘ a probam acum reciproca. Dac˘ a k= 1 atunci putem alege a1=a2=…=an=
n(n+ 1)
2. Dac˘ ak=nalegema1= 1,a2= 2,…,a n=n.
Pentru 1< k < n alegemak−1= 1 ¸ siai=n(n+ 1)
2−k+ 1(c˘ acin∑
i=1iai=
k−1 +n(n+ 1)
2−k+ 1
n(n+ 1)
2−k+ 1=k).
Dac˘ an<k<n(n+ 1)
2atunci scriind pe ksub formak=n+p1+p2+…+picu
n−1≥p1>p 2>…>p i≥1, atunci putem alege ¸ si aj=jˆ ın rest.
14. Fien∈N∗. Dac˘ an=a+ (a+ 1) +…+ (a+k−1),(k > 1) atuncin=
k(2a+k−1)
2¸ si pentrukimpar,keste divizor impar al lui n, iar pentru kpar, 2a+k−1
este divizor impar al lui n. Deci oric˘ arei descompuneri ˆ ıi corespunde un divizor impar al
luin.
Reciproc, dac˘ a qeste un divizor impar al lui n, consider˘ am 2 n=pq(cuppar) ¸ si
ﬁea=1
2|p−q|+1
2¸ sib=1
2(p+q) +1
2.
Se observ˘ a c˘ a a,b∈N∗¸ sia≤b. In plus,
a+b=p+q+|p−q|
2iarb−a+ 1 =p+q− |p−q|
2.
Deci (a+b)(b−a+ 1) =pq= 2n. Am obt ¸inut c˘ a a+ (a+ 1) +…+b=
(a+b)(b−a+ 1)
2=n. (Se observ˘ a c˘ a dac˘ a q1̸=q2sunt divizori impari ai lui natunci
cele dou˘ a solut ¸ii construite sunt distincte).
15. Vom nota suma x+yprins¸ si vom transcrie formula dat˘ a astfel:
n=(x+y)2+ 3x+y
2=s2+s
2+x. (1)
Condit ¸ia c˘ a x¸ siysunt numere naturale este echivalent˘ a cu x≥0 ¸ sis≥x,x¸ sis
numere naturale. Pentru sdat,xpoate lua valorile 0 ,1,…,s . In mod corespunzator, n
determinat de formula (1) ia valoriles2+s
2,s2+s
2+ 1,…,s2+s
2+s. Astfel, ﬁec˘ arui
s= 0,1,2…ˆ ıi corespunde o mult ¸ime format˘ a din s+ 1 numere naturale n. S˘ a observ˘ am
c˘ a ultimul num˘ ar al mult ¸imii corespunzatoare lui seste cu 1 mai mic decˆ at primul num˘ ar
al mult ¸imii corespunzatoare lui s+ 1:s2+s
2+ 1 +s=(s+ 1)2+ (s+ 1)
2. De aceea,
aceste mult ¸imi vor cont ¸ine toate numerele naturale n¸ si ﬁecarenva intra numai ˆ ıntr-o
astfel de mult ¸ime, adic˘ a lui ˆ ıi va corespunde o singur˘ a pereche de valori s¸ six.
11.7 Ecuat ii diofantice
1.x=y=z= 0 veriﬁc˘ a ecuat ¸ia. Dac˘ a unul dintre numerele x,y,z este zero atunci
¸ si celelalte sunt zero. Fie x>0,y> 0,z > 0.Cum membrul drept este par trebuie ca ¸ si
175

membrul stˆ ang s˘ a ﬁe par astfel c˘ a sunt posibile situat ¸iile ( x,yimpare,zpar) sau (x,y,z
pare).
In primul caz membrul drept este multiplu de 4 iar membrul stˆ ang este de forma
4k+ 2, deci acest caz nu este posibil.
Fie decix= 2αx1,y= 2βy1,z= 2γz1cux1,y1,z1∈Zimpare iarα,β,γ ∈N∗.
Inlocuind ˆ ın ecuat ¸ie obt ¸inem
22αx2
1+ 22βy2
1+ 22γz2
1= 2α+β+γx1y1z1,
astfel c˘ a dac˘ a, de exemplu, α=min(α,β,γ ),
(1) 22α(x2
1+ 22(β−α)y2
1+ 22(γ−α)z2
1) = 2α+β+γ+1x1y1z1.
Dac˘ aβ >α ¸ siγ >α ⇒α+β+γ >2α¸ si egalitatea (1) nu este posibil˘ a (membrul
stˆ ang este impar iar cel drept este par). Din acelea¸ si considerente nu putem avea α=
β=γ.
Dac˘ aβ=α¸ siγ >α din nouα+β+γ+ 1>2α+ 1 (din parantez˘ a se mai scoate
21) ¸ si din nou (1) nu este posibil˘ a.
R˘ amˆ ane doar c˘ azul x=y=z= 0.
2. In esent ¸˘ a solut ¸ia este asem˘ an˘ atoare cu cea a exercit ¸iului 1. Sunt posibile cazurile
:
i)x,ypare,z,timpare – imposibil (c˘ aci membrul drept este de forma 4 kiar cel
stˆ ang de forma 4 k+ 2);
ii)x,y,z,t impare, din nou imposibil (din acelea¸ si considerente);
iii)x,y,z,t pare :x= 2αx1,y= 2βy1,z= 2γz1¸ sit= 2δt1cux1,y1,z1,t1impare
iarα,β,γ,δ ∈N∗.
Fieα=min(α,β,γ,δ ); ˆ ınlocuind ˆ ın ecuat ¸ie se obt ¸ine:
(2) 22α(x2
1+ 22(β−α)y2
1+ 22(γ−α)z2
1+ 22(δ−α)t2
1) = 2α+β+γ+δ+1x1y1z1t1.
Dac˘ aβ,γ,δ > α egalitatea (1) nu este posibil˘ a deoarece paranteza din (1) este
impar˘ a ¸ siα+β+γ+δ+ 1>2α.
Dac˘ aβ=α,γ,δ > α , din paranteza de la (1) mai iese 2 factor comun ¸ si din nou
α+β+γ+δ+ 1>2α+ 1.
Contradict ¸ii rezult˘ a imediat ¸ si ˆ ın celelalte situat ¸ii.
R˘ amˆ ane deci doar posibilitatea x=y=z=t= 0.
3. Se veriﬁc˘ a imediat c˘ a (1 ,1) ¸ si (2,3) sunt solut ¸ii ale ecuat ¸iei. S˘ a arat˘ am c˘ a sunt
singurele.
Fie (x,y)∈N2,2x≥3,y> 1 astfel ˆ ıncˆ at 3x−2y= 1; atunci 3x−1 = 2ysau
(1) 3x−1+ 3x−2+…+ 3 + 1 = 2y−1.
176

Dac˘ ay >1, membrul drept din (1) este par, de unde concluzia c˘ a xtrebuie s˘ a ﬁe
par. Fiex= 2ncun∈N. Deoarece x̸= 2 deducem c˘ a x≥4, deciy > 3. Ecuat ¸ia
init ¸ial˘ a se scrie atunci 9n−1 = 2y, sau 9n−1+ 9n−2+…+ 9 + 1 = 2y−3.
Deducem din nou c˘ a neste par, adic˘ a n= 2mcum∈N. Ecuat ¸ia init ¸ial˘ a devine
34m−1 = 2ys˘ au 81m−1 = 2y, imposibil (c˘ aci membrul stˆ ang este multiplu de 5).
4. Ecuat ¸ia se mai scrie sub forma ( x+y+ 1)(x+y−m−1) = 0 ¸ si cum x,y∈N,
atuncix+y+ 1̸= 0, decix+y=m+ 1 ce admite solut ¸iile ( k,m+ 1−k) ¸ si (m+ 1−k,k)
cuk= 0,1,…,m + 1.
5. Dac˘ ay≡0(mod 2) atunci x2≡7(mod 8) ceea ce este imposibil c˘ aci 7 nu este
rest p˘ atratic modulo 8. Dac˘ a y≡1(mod 2),y= 2k+ 1 atunci x2+ 1 =y3+ 23=
(y+ 2)[(y−1)2+ 3], de unde trebuie ca (2 k)2+ 3|x2+ 1. Acest lucru este imposibil
deoarece (2 k)2+ 3 admite un divizor prim de forma 4 k+ 3 pe cˆ and x2+ 1 nu admite un
astfel de divizor.
6. Dac˘ ayeste par,x2=y2−8z+ 3≡0(mod 8), ceea ce este imposibil. Dac˘ a y
este impar, y= 2k+ 1,×2= 3−8z+ 8k2+ 8k+ 2≡5(mod 8), ceea ce este de asemenea
imposibil (c˘ aci xeste impar ¸ si modulo 8 p˘ atratul unui num˘ ar impar este egal cu 1).
7. Presupunem c˘ a z̸= 3 ¸ si ˆ ıl ﬁx˘ am. Fie ( x,y)∈N2o solut ¸ie a ecuat ¸iei (cu zﬁxat).
Dac˘ ax=y, atuncix=y= 1 ¸ si deci z= 3, absurd!.
Putem presupune x<y iar dintre toate solut ¸iile va exist˘ a una ( x0,y0) cuy0minim.
Fiex1=x0z−y0¸ siy1=x0.
Avem:y0(x0z−y0) =x2
0+ 1>1, decix1∈N. Cum
x2
1+y2
1+ 1 = (x0z−y0)2+x2
0+ 1 =x2
0+y2
0+ 1 +x2
0z2−2x0y0z
=x0y0z+x2
0z2−2x0y0z=x2
0z2−x0y0z=x0z(x0z−y0)
=x0zx1=x1y1z.
adic˘ a ¸ si (x1,y1) este solut ¸ie a ecuat ¸iei. Cum x1<y 1iary1<y 0se contrazice minimali-
tatea luiy0, absurd, deci z= 3.
8. Ecuat ¸ia ﬁind simetric˘ a ˆ ın x,y¸ sizs˘ a g˘ asim solut ¸ia pentru care x≤y≤z.
Atunci1x+1y+1z≤3x⇔1≤3x⇔x≤3.
Cazulx= 1 este imposibil. Dac˘ a x= 2 atunci ecuat ¸ia devine1y+1z=1
2¸ si deducem
imediat c˘ a y=z= 4 sau {y,z}={3,6}.
Dac˘ ax= 3 atunci ecuat ¸ia devine1y+1z=2
3, de undey=z= 3.
Prin urmare x=y=z= 3 sau {x,y,z}={2,4}(dou˘ a egale cu 4) sau {x,y,z}=
{2,3,6}.
9. Ecuat ¸ia se pune sub forma echivalent˘ a ( x−a)(y−a) =a2. Dac˘ a not˘ am prin n
num˘ arul divizorilor naturali ai lui a2, atunci ecuat ¸ia va avea 2 n−1 solut ¸ii, ele obt ¸inˆ andu-
se din sistemul:
177

{
x−a=±d
y−a=±a2
d( cud|a2,d∈N∗).
Nu avem solut ¸ie ˆ ın cazul x−a=−a¸ siy−a=−a.
10. O solut ¸ie evident˘ a este y=xcux∈Q∗
+.
S˘ a presupunem c˘ a y̸=x,y >x . Atunciw=xy−x∈Q∗
+¸ siy= (1 +1w)x. Astfel
xw=x(1+1w)x¸ si cumxy=yxatuncix(1+1w)x=yxceea ce d˘ ax1+1w=y= (1 +1w)x,
de undex1w= 1 +1w, decix= (1 +1w)w,y= (1 +1w)w+1(1).
Fiew=nm¸ six=rsdinQireductibile. Din (1) deducem c˘ a (m+nn)nm=rs,
de unde(m+n)n
nn =rm
sm. Cum ultima egalitate este ˆ ıntre fract ¸ii ireductibile deducem
c˘ a (m+n)n=rm¸ sinn=sm. Deci vor exist˘ a numerele naturale k,lastfel ˆ ıncˆ at
m+n=km,r=kn¸ sin=lm,s=ln. Astfelm+lm=km, de undek≤l+ 1.
Dac˘ am > 1, am avea km≤(l+ 1)m≤lm+mlm−1+ 1> lm+m, prin urmare
km>lm+m, imposibil.
Astfelm= 1, de unde w=nm=n¸ si astfel avem solut ¸ia x= (1 +1n)n,y==
(1 +1n)n+1cun∈N∗arbitrar.
De aici deducem c˘ a singura solut ¸ie ˆ ın Neste pentru n= 1 cu {x,y}={2,4}.
11. Evident nici unul dintre x,y,z,t nu poate ﬁ egal cu 1. De asemenea nici unul
nu poate ﬁ superior lui 3, c˘ aci dac˘ a de exemplu x≥3, cumy,z,t≥2 atunci:1
x2+1
y2+
1z+1
t≤1
4+1
4+1
4+1
9=31
36<1, imposibil!. Deci x= 2 ¸ si analog y=z=t= 2.
12. Se observ˘ a imediat c˘ a perechea (3 ,2) veriﬁc˘ a ecuat ¸ia din enunt ¸. Dac˘ a ( a,b)∈
N2este o solut ¸ie a ecuat ¸iei atunci t ¸inˆ and cont de identitatea :
3(55a+ 84b)2−7(36a+ 55b)2= 3a2−7b2
deducem c˘ a ¸ si (55 a+ 84b,36a+ 55b) este o alt˘ a solut ¸ie (evident diferit˘ a de ( a,b)).
13. S˘ a observ˘ am la ˆ ınceput c˘ a cel put ¸in dou˘ a dintre numerele x,y,z trebuie s˘ a ﬁe
pare, c˘ aci dac˘ a toate trei sunt impare atunci x2+y2+z2va ﬁ de forma 8 k+ 3, deci
nu putem g˘ asi t∈Nastfel ˆ ıncˆ at t2≡3(mod 8) (p˘ atratul oric˘ arui num˘ ar natural este
congruent cu 0 sau 1 modulo 4).
S˘ a presupunem de exemplu c˘ a y¸ sizsunt pare, adic˘ a y= 2l¸ siz= 2mcul,m∈N.
Deducem imediat c˘ a t>x ¸ si ﬁet−x=u. Ecuat ¸ia devine x2+ 4l2+ 4m2= (x+u)2⇔
u2= 4l2+ 4m2−2xu. Cu necesitate ueste par, adic˘ a u= 2ncun∈N. Obt ¸inem
n2=l2+m2−nx, de undex=l2+m2−n2
niart=x+u=x+ 2n=l2+m2+n2
n.
Cumx∈N, deducem c˘ a n2<l2+m2⇔n<√
l2+m2.
In concluzie
(1)x=l2+m2−n2
n,y= 2l,z= 2m,t=l2+m2+n2
n
cum,n,l ∈N,n|l2+m2¸ sin<√
l2+m2.
178

Reciproc orice x,y,z,t dat ¸i de (1) formeaz˘ a o solut ¸ie pentru ecuat ¸ia x2+y2+z2=t2.
Intr-adev˘ ar, cum
(l2+m2−n2
n)2+ (2l)2+ (2m)2= (l2+m2+n2
n)2
pentru orice l,m,n , t ¸inˆ and cont de (1) deducem c˘ a x2+y2+z2=t2.
14. Alegem x¸ sizarbitrare ¸ si atunci cum (x
(x,z),z
(x,z)) = 1, dinx
(x,z)·y=z
(x,z)·t
deducem c˘ az
(x,z)|y, adic˘ ay=uz
(x,z), decit=ux
(x,z).
Pe de alt˘ a parte, luˆ and pentru x,z,u valori arbitrare ¸ si punˆ and y=uz
(x,z)¸ sit=
ux
(x,z)obt ¸inem c˘ a solut ¸ia general˘ a ˆ ın N4a ecuat ¸ieixy=ztestex=ac,y =bd,z =ad¸ si
t=bccua,b,c,d ∈Narbitrari.
15. Presupunem prin absurd c˘ a x2+y2+z2= 1993 ¸ six+y+z=a2, cua∈N.
Cuma2=x+y+z<√
3(x2+y2+z2) =√
5979<78, deducem c˘ a a2∈ {1,4,9,…,64}.
Cum (x+y+z)2=x2+y2+z2+ 2(xy+yz+xz) deducem c˘ a x+y+ztrebuie s˘ a
ﬁe impar, adic˘ a a2∈ {1,9,25,49}. De asemenea, din ( x+y+z)2> x2+y2+z2¸ si
252<1993 deducem c˘ a a2= 49, de unde sistemul
{
x2+y2+z2= 1993
x+y+z= 49
Inlocuindy+z= 49−xobt ¸inem (49 −x)2= (y+z)2>y2+z2= 1993 −x2, adic˘ a
x2−49x+ 204>0, decix <49−√
1585
2saux >49 +√
1585
2. In primul c˘ az x≥45
decix2= 2025>1993, absurd. In al doilea c˘ az x≤4. Problema ﬁind simetric˘ a ˆ ın x,y,z
deducem analog c˘ a ¸ si y,z≤4, deci 49 = x+y+z= 4 + 4 + 4 = 12, absurd.
Observat ie. De fapt ecuat ¸ia x2+y2+z2= 1993 are ˆ ın N3doar solut ¸iile: (2 ,30,33),
(2,15,42),(11,24,36),(15,18,38),(16,21,36) ¸ si (24,24,29).
16. Ecuat ¸ia nu are solut ¸ii ˆ ın numere ˆ ıntregi pentru c˘ a membrii s˘ ai sunt de parit˘ at ¸i
diferite.
Intr-adev˘ ar, xp
1+…+xp
n≡x1+…+xn(mod 2) ¸ si ( x1+…+xn)2≡x1+…+
xn(mod 2) sau ( x1+…+xn)2+ 1≡x1+…+xn+ 1(mod 2), de unde deducem c˘ a
xp
1+…+xp
n−(x1+…+xn)2−1 este impar, deci nu poate ﬁ zero.
17. Reducˆ and modulo 11 se obt ¸ine c˘ a x5≡ ±1(mod 11) (aplicˆ and Mic˘ a Teorema a
lui Fermat) iar x5≡0(mod 11) dac˘ a x≡0(mod 11).
Pe de alt˘ a parte, y2+ 4≡4,5,8,2,9,7(mod 11) deci egalitatea y2=x5−4, cu
x,y∈Zeste imposibil˘ a.
18. Avemy2=x3+7⇔y2+1 =x3+8 = (x+2)(x2−2x+4). Dac˘ axeste par, atunci
y2≡7(mod 8); cum p˘ atratul oric˘ arui num˘ ar ˆ ıntreg este congruent cu 1 modulo 8, acest
caz este imposibil, deci xeste impar. Atunci x2−2x+4 = (x−1)2+3 este de forma 4 k+3,
deci va avea un divizor prim de qde aceea¸ si form˘ a. Atunci q|y2+ 1⇒y2≡ −1(modq).
179

Din teorema lui Fermat deducem c˘ a yq−1≡1(modq). Cumy4≡1(modq)⇒4|q−1,
adic˘ aqeste de forma 4 k+ 1, absurd!
19. Dac˘ ay2=x3+47, atunci y2+132=y2+169 =x3+216 = (x+6)(x2−6x+36).
Dac˘ ax≡0,2,3(mod 4) atunci y2≡2,3(mod 4), absurd. Dac˘ a x≡1(mod 4) atunci
exist˘ a un prim p≡3(mod 4) ce divide x2−6x+ 36, deci y2≡ −13(modp). Astfel,
1 = (y2
p) = (−132
p) = (−1p), absurd!
20. Evident, (0,0,0) este solut ¸ie a ecuat ¸iei. Se duduce imediat c˘ a dac˘ a ( x,y,z ) este o
solut ¸ie a ecuat ¸iei din enunt ¸, atunci x= 2×1,y= 2y1,y= 2y1cux1,y1,z1∈Z. Deducem
imediat c˘ a x3
1+ 2y3
1+ 4z3
1−6x1y1z1= 0. Continuˆ and procedeul deducem c˘ a la rˆ andul
lor numerele x1,y1,z1sunt pare, ¸ s.a.m.d., adic˘ a 2n|x,2n|y,2n|zpentru orice n∈N,
de unde cu necesitate x=y=z= 0.
21. Se duduce imediat c˘ a dac˘ a ( x,y,z )∈N∗3este o solut ¸ie a ecuat ¸iei din enunt ¸,
atuncix= 2×1,y= 2y1,y= 2y1cux1,y1,z1∈N∗. Atuncix2
1+y2
1= 4z−1, astfel c˘ a
dac˘ a alegem solut ¸ia ( x,y,z ) cuzminim tot solut ¸ie este ¸ si ( x/2,y/2,z−1) iarz−1<z,
contradict ¸ie.
11.8 Puncte laticeale ^ n plan si spatiu
1. FieA¸ siBpuncte laticeale situate la distant ¸a 1 ˆ ıntre ele prin care trece cercul C
din enunt ¸ (de raz˘ a r∈N∗). Vom considera un sistem ortogonal de axe cu originea ˆ ın A
avˆ and peABdrept axax′x¸ si perpendiculara ˆ ın ApeABdrept axay′y(vezi Fig. 9)
Dac˘ aCeste centrul acestui cerc, atunci coordonatele lui Csunt (1
2,√
r2−1
4).
Dac˘ aM(x,y) mai este un alt punct laticeal prin care trece C, atuncix,y∈Z¸ si
(x−1
2)2+ (y−√
r2−1
4)2=r2⇔x2−x+1
4+y2+r2−2y√
r2−1
4−1
4=r2
⇔x2+y2−x= 2y√
r2−1
4=y√
4r2−1.
Ultima egalitate implic˘ a 4 r2−1 =k2cuk∈Z⇔(2r−k)(2r+k) = 1⇔{
2r−k= 1
2r+k= 1sau{
2r−k=−1
2r+k=−1⇔{
r=1
2
k= 0sau{
r=−1
2
k= 0- absurd !.
2. Fiex=p
q¸ siy=rqcup,q,r∈Z,q̸= 0.
Atunci punctele laticeale de coordonate ( r,−p) ¸ si (−r,p) au aceea¸ si distant ¸˘ a pˆ an˘ a
la punctul de coordonate ( x,y) deoarece:
(r−p
q)2+ (−p−r
q)2= (−r−p
q)2+ (p−r
q)2.
Prin urmare, pentru orice punct de coordonate rat ¸ionale exist˘ a doua puncte laticeale
distincte egal dep˘ artate de acel punct.
Dac˘ a presupunem prin absurd c˘ a a∈Q¸ sib∈Q, atunci conform cu observat ¸ia de
mai ˆ ınainte, exist˘ a doua puncte laticeale distincte ce sunt egal dep˘ artate de punctul de
180

coordonate ( a,b). Astfel dac˘ a cercul cu centrul ˆ ın punctul de coordonate ( a,b) contine
ˆ ın interiorul s˘ au npuncte laticeale, atunci un cerc concentric cu acesta ˆ ıns˘ a de raz˘ a mai
mare va cont ¸ine ˆ ın interiorul s˘ au cel put ¸in n+ 2 puncte laticeale, neexistˆ and astfel de
cercuri cu centrul ˆ ın punctul de coordonate ( a,b) care s˘ a cont ¸in˘ a ˆ ın interiorul s˘ au exact
n+ 1 puncte laticeale -absurd !. Deci a∈Qsaub∈Q.
3.
Se observ˘ a (vezi Fig. 10) c˘ a centrul cercului va avea coordonatele (989, 989) ¸ si raza
r= 989√
2, astfel c˘ a un punct M(x,y)∈C⇔
(1) (x−989)2+ (y−989)2= 2·9892.
Cum membrul drept din (1) este par deducem c˘ a dac˘ a ( x,y)∈Z2, atuncix−989
¸ siy−989 au aceea¸ si paritate.
AstfelA=1
2(x+y)−989 ¸ siB=1
2(x−y)−989 sunt numere ˆ ıntregi.
Deducem imediat c˘ a x−989 =A+B¸ siy−989 =A−B¸ si cum (A+B)2+(A−B)2=
2A2+ 2B2, (1) devine:
(2)A2+B2= 9892.
Observ˘ am c˘ a n= 9892= 232 ·432. Conform Teoremei 6.1.7. de la Capitolul 6
ecuat ¸ia (2) va avea solut ¸ii ˆ ıntregi.
Prin calcul direct se constat˘ a c˘ a num˘ arul d1(n) al divizorilor lui nde forma 4k+ 1
ested1(n) = 5 iar num˘ arul d3(n) al divizorilor lui nde forma 4k+ 3 ested3(n) = 4 astfel
c˘ a ˆ ın conformitate cu Teorema 6.1.7. de la Capitolul 6, num˘ arul de solut ¸ii naturale ale
ecuat ¸iei (2) este 4( d1(n)−d3(n)) = 4(5 −4) = 4.
Cum (0, 0), (0, 989), (989, 0) ¸ si (989, 989) veriﬁc˘ a (2) deducem c˘ a acestea sunt
toate, de unde ¸ si concluzia problemei.
4. Fie date punctele laticeale Pi(xi,yi,zi),xi,yi,zi∈Z,1≤i≤9.
Deﬁnimf:{P1,…,P 9} → { 0,1} × { 0,1} × { 0,1}prin
f(Pi) = (xi−2[xi
2],yi−2[yi
2],zi−2[zi
2]),1≤i≤9.
Cum domeniul are 9 elemente iar codomeniul are 8, fnu poate s˘ a ﬁe injectiv˘ a. Deci
exist˘ ai,j∈ {1,2,…,9},i̸=jpentru care f(Pi) =f(Pj), adic˘ axi−xj,yi−yj,zi−zj∈2Z.
In acest cazxi+xj
2,yi+yj
2,zi+zj
2∈Z. Am g˘ asit astfel punctul laticeal P(xi+xj
2,
yi+yj
2,zi+zj
2) care este mijlocul segmentului PiPj.
Observat ie. Problema se poate extinde imediat la cazul a m≥2k+1 puncte laticeale
dinRk.
11.9 Clase speciale de numere ^ ntregi
1. Cum pentru n>1Fneste impar, dac˘ a exist˘ a p,qprime astfel ˆ ıncˆ at Fn=p+q
atunci cu necesitate p= 2 ¸ siq>2 ¸ si astfelq= 22n−1 = (22n−1+ 1)(22n−1−1)-absurd.
181

2. Analog ca ˆ ın cazul Propozit ¸iei 9.1.1 care stabile¸ ste forma divizorilor primi ai unui
num˘ ar Fermat, se demonstreaz˘ a mai general c˘ a dac˘ a aeste un num˘ ar natural par, n∈N
¸ sipeste prim astfel ˆ ıncˆ at p|a2n+ 1, atunci peste de forma p= 2n+1·k+ 1 cuk∈N.
Deci dac˘ apeste prim ¸ si p|12215+ 1 atunci p= 216·k+ 1≥216+ 1 =F4. CumF4
este prim, conform Propozit ¸iei 9.1.1 F4|3215+ 1, adic˘ a 3215≡ −1(modF4). Ins˘ a 2216=
2F4−1≡1(modF4), deci 4215≡1(modF4) ¸ si atunci 12215= 3215·4215≡ −1(modF4),
adic˘ aF4|12215+ 1, deciF4este cel mai mic divizor prim al lui 12215+ 1.
3. Fiem=kφ(n) cuk∈N∗. Atunci 2m−1 = 2kφ(n)−1 = (2φ(n))k−1, de unde
concluzia c˘ a 2φ(n)−1|Mn. Cum (2,n) = 1, conform teoremei lui Euler deducem c˘ a
n|2φ(n)−1⇒n|Mm.
4. Presupunem prin absurd c˘ a pentru m,n≥2 exist˘ ak∈N∗astfel ˆ ıncˆ at 2n−1 =
km⇔2n=km+1 (cu necesitate keste impar ¸ si k≥3). Pentrumpar rezult˘ a contradict ¸ia
2n≡2(mod 8) iar pentru mimpar avem 2n= (k+ 1)(km−1−km−2+…+ 1), egalitate
contradictorie deoarece km−1−km−2+…+ 1 este impar ¸ si ≥3.
5. Se ¸ stie c˘ a dac˘ a a∈N∗,10n−1≤a<10n⇔n−1≤lga<n , atunciaarencifre.
AvemM101+ 1 = 2101⇒lg(M101+ 1) = 101 ·lg2≈101·0,30103 = 30,40403, deci
M101are 31 cifre.
6. Fien=n1n2cun1,n2impare ¸ sin1,n2≥3 astfel ˆ ıncˆ at n|2n−1−1. Notˆ and
m= 2n−1, ˆ ın mod evident m > n . Cumm= 2n−1 = (2n1)n2−1⇒2n1−1|m¸ si
cum 1<2n1−1<m deducem c˘ a meste compus. Avem 2n−1−1 =kn¸ sim−1 = 2kn,
astfel c˘ a 2m−1−1 = 22kn−1 = (2n)2k−1⇒m= 2n−1|2m−1−1.
7. ([38]) Trebuie s˘ a demonstr˘ am c˘ a 2n≡2(modn). S˘ a observ˘ am c˘ a numerele 73,
1103 ¸ si 2089 sunt prime. De asemenea putem scrie 73 = 72 + 1 ,2·1103 = 72k+ 46 iar
2089 = 72h+1, decin−1 = 72l+45, de unde deducem c˘ a 2n−1−1 = 272l·245−1. Din mica
teorem˘ a a lui Fermat deducem c˘ a 272≡1(mod 73) ¸ si deci 2n−1−1≡245−1(mod 73).
Cum 29−1≡0(mod 73) deducem c˘ a (1) 2n−1−1≡1(mod 73).
Avem 2089 ≡ −115(mod 1102); 2 ·73≡146(mod 1102) ¸ si astfel n−1≡841(mod
1102). Cum ( ∗) 1103 ·2089·233 = 229−1 deducem c˘ a 229≡1(mod 1103); cum 841 = 292
deducem c˘ a 2n−1≡(229)29≡1(mod 1103)(2). De asemenea n−1≡261(mod 2089) ¸ si
deci 2n−1≡2261≡(229)9(mod 2089). T ¸ inˆ and cont de ( ∗) deducem c˘ a 229≡1(mod 2089)
¸ si astfel 2n−1≡1(mod 2089) (3). Din (1), (2) ¸ si (3) deducem c˘ a 2n≡2(modn), adic˘ an
este pseudo-prim.
8. Prin calcul direct.
Observat ie. Nu se ¸ stie ˆ ınc˘ a dac˘ a exist˘ a o imﬁnitate de numere triunghiulare pitagor-
eice.
9. Pentru (ii), (iii) ¸ si (vi) facem calcule directe iar pentru (i), (iv) ¸ si (v) facem
induct ¸ie matematic˘ a dup˘ a nt ¸inˆ and cont c˘ a Fn=1√
5(αn−βn), undeα=1 +√
5
2¸ si
β=1−√
5
2.
182

ANEXA 1: Numerele prime de la 1 la 10000(numerele scrise bold reprezint a
perechi de numere prime gemene)
2 167 389 631 883 1153 1447 1709 2011 2309 2617 2887
3 173 397 641 887 1163 1451 1721 2017 2311 2621 2897
5 179 401 643 907 1171 1453 1723 2027 2333 2633 2903
7 181 409 647 911 1181 1459 1733 2029 2339 2647 2909
11 191 419 653 919 1187 1471 1741 2039 2341 2657 2917
13 193 421 659 929 1193 1481 1747 2053 2347 2659 2927
17 197 431 661 937 1201 1483 1753 2063 2351 2663 2939
19 199 433 673 941 1213 1487 1759 2069 2357 2671 2953
23 211 439 677 947 1217 1489 1777 2081 2371 2677 2957
29 223 443 683 953 1223 1493 1783 2083 2377 2683 2963
31 227 449 691 967 1229 1499 1787 2087 2381 2687 2969
37 229 457 701 971 1231 1511 1789 2089 2383 2689 2971
41 233 461 709 977 1237 1523 1801 2099 2389 2693 2999
43 239 463 719 983 1249 1531 1811 2111 2393 2699 3001
47 241 467 727 991 1259 1543 1823 2113 2399 2707 3011
53 251 479 733 997 1277 1549 1831 2129 2411 2711 3019
59 257 487 739 1009 1279 1553 1847 2131 2417 2713 3023
61 263 491 743 1013 1283 1559 1861 2137 2423 2719 3037
67 269 499 751 1019 1289 1567 1867 2141 2437 2729 3041
71 271 503 757 1021 1291 1571 1871 2143 2441 2731 3049
73 277 509 761 1031 1297 1579 1873 2153 2447 2741 3061
79 281 521 769 1033 1301 1583 1877 2161 2459 2749 3067
83 283 523 773 1039 1303 1597 1879 2179 2467 2753 3079
89 293 541 787 1049 1307 1601 1889 2203 2473 2767 3083
97 307 547 797 1051 1319 1607 1901 2207 2477 2777 3089
101 311 557 809 1061 1321 1609 1907 2213 2503 2789 3109
103 313 563 811 1063 1327 1613 1913 2221 2521 2791 3119
107 317 569 821 1069 1361 1619 1931 2237 2531 2797 3121
109 331 571 823 1087 1367 1621 1933 2239 2539 2801 3137
113 337 577 827 1091 1373 1627 1949 2243 2543 2803 3163
127 347 587 829 1093 1381 1637 1951 2251 2549 2819 3167
131 349 593 839 1097 1399 1657 1973 2267 2551 2833 3169
137 353 599 853 1103 1409 1663 1979 2269 2557 2837 3181
139 359 601 857 1109 1423 1667 1987 2273 2579 2843 3187
149 367 607 859 1117 1427 1669 1993 2281 2591 2851 3191
151 373 613 863 1123 1429 1693 1997 2287 2593 2857 3203
157 379 617 877 1129 1433 1697 1999 2293 2609 2861 3209
163 383 619 881 1151 1439 1699 2003 2297 2617 2879 3217
183

3221 3547 3881 4231 4591 4951 5303 5653 6011 6343 6719 7069
3229 3557 3889 4241 4597 4957 5309 5657 6029 6353 6733 7079
3251 3559 3907 4243 4603 4967 5323 5659 6037 6359 6737 7103
3253 3571 3917 4253 4621 4969 5333 5669 6043 6361 6761 7109
3257 3581 3919 4259 4637 4973 5347 5683 6047 6367 6763 7121
3259 3583 3923 4261 4639 4987 5351 5689 6053 6373 6779 7127
3271 3593 3929 4271 4643 4993 5381 5693 6067 6379 6781 7129
3299 3607 3931 4273 4649 4999 5387 5701 6073 6389 6791 7151
3301 3613 3943 4283 4651 5003 5393 5711 6079 6397 6793 7159
3307 3617 3947 4289 4657 5009 5399 5717 6089 6421 6803 7177
3313 3623 3967 4297 4663 5011 5407 5737 6091 6427 6823 7187
3319 3631 3989 4327 4673 5021 5413 5741 6101 6449 6827 7193
3323 3637 4001 4337 4679 5023 5417 5743 6113 6451 6829 7207
3329 3643 4003 4339 4691 5039 5419 5749 6121 6469 6833 7211
3331 3659 4007 4349 4703 5051 5431 5779 6131 6473 6841 7213
3343 3671 4013 4357 4721 5059 5437 5783 6133 6481 6857 7219
3347 3673 4019 4363 4723 5077 5441 5791 6143 6491 6863 7229
3359 3677 4021 4373 4729 5081 5443 5801 6151 6521 6869 7237
3361 3691 4027 4391 4733 5087 5449 5807 6163 6529 6871 7243
3371 3697 4049 4397 4751 5099 5471 5813 6173 6547 6883 7247
3373 3701 4051 4409 4759 5101 5477 5821 6197 6551 6899 7253
3389 3709 4057 4421 4783 5107 5479 5827 6199 6553 6907 7283
3391 3719 4073 4423 4787 5113 5483 5839 6203 6563 6911 7297
3407 3727 4079 4441 4789 5119 5501 5843 6211 6569 6917 7307
3413 3733 4091 4447 4793 5147 5503 5849 6217 6571 6947 7309
3433 3739 4093 4451 4799 5153 5507 5851 6221 6577 6949 7321
3449 3761 4099 4457 4801 5167 5519 5857 6229 6581 6959 7331
3457 3767 4111 4463 4813 5171 5521 5861 6247 6599 6961 7333
3461 3769 4127 4481 4817 5179 5527 5867 6257 6607 6967 7349
3463 3779 4129 4483 4831 5189 5531 5869 6263 6619 6971 7351
3467 3793 4133 4493 4861 5197 5557 5879 6269 6637 6977 7369
3469 3797 4139 4507 4871 5209 5563 5881 6271 6653 6983 7393
3491 3803 4153 4513 4877 5227 5569 5897 6277 6659 6991 7411
3499 3821 4157 4517 4889 5231 5573 5903 6287 6661 6997 7417
3511 3823 4159 4519 4903 5233 5581 5923 6299 6673 7001 7433
3517 3833 4177 4523 4909 5237 5591 5927 6301 6679 7013 7451
3527 3847 4201 4547 4919 5261 5623 5939 6311 6689 7019 7457
3529 3851 4211 4549 4931 5273 5639 5953 6317 6691 7027 7459
3533 3853 4217 4561 4933 5279 5641 5981 6323 6701 7039 7477
3539 3863 4219 4567 4937 5281 5647 5987 6329 6703 7043 7481
3541 3877 4229 4583 4943 5297 5651 6007 6337 6709 7057 7487
184

7489 7673 7883 8117 8329 8581 8761 8999 9203 9419 9629 9839
7499 7681 7901 8123 8353 8597 8779 9001 9209 9421 9631 9851
7507 7687 7907 8147 8363 8599 8783 9007 9221 9431 9643 9857
7517 7691 7919 8161 8369 8609 8803 9011 9227 9433 9661 9859
7523 7699 7927 8167 8377 8623 8807 9013 9239 9437 9677 9871
7529 7703 7933 8171 8387 8627 8819 9029 9241 9439 9679 9883
7537 7717 7937 8179 8389 8629 8821 9041 9257 9461 9689 9887
7541 7723 7949 8191 8419 8641 8831 9043 9277 9463 9697 9901
7547 7727 7951 8209 8423 8647 8837 9049 9281 9467 9719 9907
7549 7741 7963 8219 8429 8663 8839 9059 9283 9473 9721 9923
7559 7753 7993 8221 8431 8669 8849 9067 9293 9479 9733 9929
7561 7757 8009 8231 8443 8677 8861 9091 9311 9491 9739 9931
7573 7759 8011 8233 8447 8681 8863 9103 9319 9497 9743 9941
7577 7789 8017 8237 8461 8689 8867 9109 9323 9511 9749 9949
7583 7793 8039 8243 8467 8693 8887 9127 9337 9521 9767 9967
7589 7817 8053 8263 8501 8699 8893 9133 9341 9533 9769 9973
7591 7823 8059 8269 8513 8707 8923 9137 9343 9539 9781
7603 7829 8069 8273 8521 8713 8929 9151 9349 9547 9787
7607 7841 8081 8287 8527 8719 8933 9157 9371 9551 9791
7621 7853 8087 8291 8537 8731 8941 9161 9377 9587 9803
7639 7867 8089 8293 8539 8737 8951 9173 9391 9601 9811
7643 7873 8093 8297 8543 8741 8963 9181 9397 9613 9817
7649 7877 8101 8311 8563 8747 8969 9187 9403 9619 9829
7669 7879 8111 8317 8573 8753 8971 9199 9413 9623 9833
185

ANEXA 2: Funct ia π(x) si estim arile sale
Reamintim c˘ a pentru x∈R, prinπ(x) am notat num˘ arul numerelor prime p≤
x(vezi§3 de la Capitolul 2) iar pentru x≥2,Li(x) =x∫
21
lntdt.
Avem urm˘ atorul tabel care ne d˘ a estim˘ ari pentru π(x),x
lgx,Li(x),π(x)
x/lgx,π(x)
Li(x)¸ si
din care deducem felul ˆ ın care au fost sugerate anumite conjecturi(ˆ ın special cele aLe lui
Gauss):
x π(x)x
lgxLi(x)π(x)
x/lgxπ(x)
Li(x)
1000 168 145 178 1,158 0,9438
10000 1229 1086 1246 1,132 0,9864
100000 9592 8686 9630 1,104 0,9961
1000000 78498 72382 78628 1,084 0,9983
10000000 664579 620420 664918 1,071 0,9994
100000000 5761455 5428681 5762209 1,061 0,99986
1000000000 50847478 48254630 50849253 1,054 0,99996
Astfel, Gauss a conjecturat c˘ a pentru orice x∈R+,π(x)< L i(x)(se observ˘ a c˘ a
aceast˘ a inegalitate este adev˘ arat˘ a pentru valorile lui xdin tabel). Cu toate acestea,
conjectura lui Gauss este fals˘ a. Astfel J.E. Littewood ˆ ın articolul Sur la distribution
des nombres premiers dinC.R. Acad. Sci. Paris, vol 158, 1914, pp. 1869-
1872 , numai c˘ a a inﬁrmat conjectura lui Gauss dar a ¸ si probat existent ¸a unui ¸ sir ( xn)n≥0
de numere reale astfel ˆ ıncˆ at lim
n→∞xn=∞¸ si (−1)n+1[π(x)−Li(x)]>0 pentru orice
n∈N(rezultˆ and astfel c˘ a π(x)−Li(x) ˆ ı¸ si schimb˘ a semnul de o inﬁnitate de ori).
186

ANEXA 3: Numerele lui Fermat, numerele lui Mersene si numere per-
fecte
In tabelul urm˘ ator am selectat anumite informat ¸ii despre numerele F1,F2,…,F 22:
n Factori primi Descoperit de Data descoperirii
1 5 Fermat
2 17 Fermat
3 257 Fermat
4 65537 Fermat
5 641 Euler 1732
5 6700417 Euler 1732
6 274177 Landry 1880
6 67280421310721 Landry, LeLasseur, Gerardin 1880
7 59649589127497217 Morrison, Brillhart 1970
7 5704689200685129054721 Morrison, Brillhart 1970
8 1238926361552897 Morehead, Western 1909
9 2424833 Western 1903
9 compus Brillhart 1967
10 45592577 Selfridge 1953
10 6487031809 Brillhart 1962
10 455925777 Brillhart 1967
11 319489 Cunningham 1899
11 974849 Cunningham 1899
12 114689 Lucas, Pervouchine 1877
12 26017793 Western 1903
12 63766529 Western 1903
12 190274191361 Hallyburton, Brillhart 1974
13 2710954639361 Hallyburton, Brillhart 1974
14 compus(factor necunoscut) Selfridge, Hurwitz 1961
15 1214251009 Kraitchik 1925
16 825753601 Selfridge 1953
17 compus
18 13631489 Western 1903
19 70525124609 Riesel 1962
20 compus Young, Bell 1988
21 448529642913 Wrathall 1963
22 natur˘ a necunoscut˘ a
Din analiza acestui tabel se desprind urm˘ atoarele:
1) Numerele F1,F2,F3,F4sunt prime;
187

2) Primul num˘ ar Fermat care nu este prim este F5(inﬁrmˆ andu-se astfel o conjectur˘ a
a lui Fermat potrivit c˘ areiatote numerele Fn,n≥1 sunt prime);
3) Pˆ an˘ a la acest moment doar pentru n= 5,6,7,8,9 ¸ si 11 se cunoa¸ ste c˘ a sunt
numere compuse(cunoscˆ andu-se complet descompunerea lor ˆ ın factori primi);
4)F14este cel mai mic num˘ ar Fermat despre care se ¸ stie c˘ a este compus, f˘ ar˘ a ˆ ıns˘ a
a i se cunoa¸ ste factorii primi;
5)F22este cel mai mic num˘ ar Fermat despre care nu se cunoa¸ ste dac˘ a este prim
sau nu.
Iat˘ a tabelul primelor 12 numere Mersenne:
p Mp= 2p−1
2 3
3 7
5 31
7 127
13 8191
17 131071
19 524287
31 2147483647
61 2305843009213693951
89 618970019642690137449562111
107 162259276829213363391578010288127
127 170141183460469231731687303715884105727
Conform Teoremei 9.4.1 de la Capitolul 9, num˘ arul neste perfect da˘ a ¸ si numai dac˘ a
neste de forma n= 2p−1(2p−1) cup∈N∗iarMp= 2p−1 este prim(acest rezultat
datorˆ adu-se lui Euclid ¸ si Euler).
Iat˘ a tabelul primelor 30 de numere perfecte n= 2p−1(2p−1):
n Num˘ arul de cifre Data descoperirii Descoperit de
6 = 2(22−1) 1 ? Cunoscut de Euclid
28 = 22(23−1) 2 ? Cunoscut de Euclid
496 = 24(25−1) 3 ? Cunoscut de Euclid
8128 = 26(27−1) 4 ? Cunoscut de Euclid
33550336 = 212(213−1) 8 1456 Necunoscut
8589869056 = 216(217−1) 10 1588 Cataldi
137438691328 = 218(219−1) 12 1588 Cataldi
230(231−1) 19 1772 L.Euler
260(261−1) 37 1883 I.M. Pervouchine
288(289−1) 54 1911 R.E. Powers
188

n Num˘ arul de cifre Data descoperirii Descoperit de
2106(2107−1) 65 1914 R.E. Powers
2126(2127−1) 77 1876 E. Lucas
2520(2521−1) 314 1952 R. Robinson
2606(2607−1) 366 1952 R. Robinson
21278(21279−1) 770 1952 R. Robinson
22202(22203−1) 1327 1952 R. Robinson
22280(22281−1) 1373 1952 R. Robinson
23216(23217−1) 1937 1957 H. Riesel
24252(24253−1) 2561 1961 A. Hurwitz
4422(24423−1) 2663 1961 A. Hurwitz
29688(29689−1) 5834 1963 D. Gillies
29940(29941−1) 5985 1963 D. Gillies
211212(211213−1) 6571 1936 D. Gillies
219936(219937−1) 12003 1971 B. Tuckerman
221700(221701−1) 13066 1978 L. Nickel, C. Noll
223208(223209−1) 13973 1979 C. Noll
244496(244497−1) 26790 1979 H. Nelson, D. Slowinski
286242(286243−1) 51924 1982 D. Slowinski
2110502(2110503−1) 66530 1988 W.N. Colquitt, L. Welsh
2132048(2132049−1) 79502 1991 W.N. Colquitt, L. Welsh
Observat ie . Laura Nickel ¸ si Curt Noll avea numai 18 ani cˆ and au pus ˆ ın evident ¸˘ a
al 25-lea num˘ ar perfect. Nu se cunoa¸ ste dac˘ a exist˘ a sau nu numere perfecte ˆ ıntre cele
corespunz˘ atoare lui p= 132049 ¸ si p= 216091.
189

190

Bibliography
[1]Albu,T., Ionescu,I., Principiul includerii si excluderii , Gazeta matematic˘ a, Seria
B, nr.6 (1969).
[2]Alexandru, V., Go¸ soiu, M. N., Elemente de teoria numerelor , Ed. Universit˘ at ¸ii
Bucure¸ sti, 1999.
[3]Andreescu, T., Andrica, D., O introducere ^ n studiul ecuat iilor diofantiniene , Ed.
Gil, Zal˘ au, 2002.
[4]Banea, H., Probleme de matematic a traduse din revista sovietic a Kvant , Ed. Di-
dactic˘ a ¸ si Pedagogic˘ a, Bucure¸ sti, 1983.
[5]Bu¸ sneag, D, Maftei, I.V., Teme pentru cercurile si concursurile de matematica ale
elevilor , Ed. Scrisul Romˆ anesc, Craiova, 1983.
[6]Bu¸ sneag, D., Boboc, Fl., Piciu, D., Aritmetic a si teoria numerelor , Ed. Universi-
taria, Craiova, 1999.
[7]Bu¸ sneag, D., Piciu, D., Lect ii de algebr a , Ed. Universitaria, Craiova, 2002.
[8]Bu¸ sneag, D., Dinc˘ a, A., Ebˆ anc˘ a, D., Niculescu, C.P., Popescu, M., Vladimirescu,
I., Vraciu, G., Concursul de matematic a "Gheorghe T it eica ” 1979-1998, Ed. Gil,
Zal˘ au ,1999.
[9]Bu¸ sneag, D., Chirte¸ s, Fl., Piciu, D., Probleme de logic a si teoria mult imilor , Ed.
Universitaria, Craiova, 2003.
[10] Bu¸ sneag, D., Chirte¸ s, Fl., Piciu, D., Complemente de algebr a , Ed. Gil, Zal˘ au, 2006.
[11] Carthy, Mc., Introduction to Arithmetical Functions , Springer-Verlag, 1986.
[12] Chahal, J.S., Topics in Number Theory , Plenum Press ,1988.
[13] Cuculescu, I., Olimpiadele internat ionale de matematic a ale elevilor , Ed. Tehnic˘ a,
Bucure¸ sti, 1984.
191

[14] Cucurezeanu, I., Probleme de aritmetic a si teoria numerelor , Ed. Tehnic˘ a, Bu-
cure¸ sti, 1976.
[15] Descombes, E., Elem ents de th eorie des nombres , Press Universitaires de France,
1986.
[16] Eckstein, G., Fract ii continue , Revista Matematic˘ a de Timi¸ soara, nr. 1 (1986),
17-36.
[17] Herman, J., Kuˇ cera, R., ˇSimˇ sa, J., Equations and Inequalities, Elementary Prob-
lems and Theorems in Algebra and Number Theory , Springer(CMS), 2000.
[18] Hincin, A.I., Fract ii continue , Ed. Tehnic˘ a, Bucure¸ sti, 1960.
[19] Honsberger, R., Mathematical gems , The Mathematical Association of America,
vol.1,1973.
[20] Iaglom, A.M., Iaglom, I.M., Probleme neelementare tratate elementar , Ed.Tehnic˘ a,
Bucure¸ sti,1983.
[21] Iliescu, I., Ionescu, B., Radu, D., Probleme de matematic a pentru admiterea ^ n
^ nv at am^ ntul superior , Ed. Didactic˘ a ¸ si Pedagogic˘ a , Bucure¸ sti, 1976.
[22] Ion,D.I., Nit ¸˘ a, C., Elemente de aritmetic a cu aplicat ii ^ n tehnici de calcul , Ed.
Tehnic˘ a, Bucure¸ sti, 1978.
[23] Ion, I.D., Radu, N., Algebra , Ed. Didactic˘ a ¸ si Pedagogic˘ a, Bucure¸ sti, 1991.
[24] Ion, I.D., Nastasescu, C., Nit ¸˘ a, C., Complemente de Algebr a , Ed. S ¸tiint ¸iﬁc˘ a ¸ si
Enciclopedic˘ a, Bucure¸ sti, 1994.
[25] Irleand, K., Rosen, M.A., Classical Introduction to Modern Number Theory , Second
edition, Springer, 1990.
[26] Konisk, J.M., Mercier, A., Introduction a la th eorie des nombers , Modulo Editeur,
1994.
[27] Mollin, A.R., Fundamental number theory with applications , CRC Press LLC, New
York, 1998.
[28] Morozova, A.E., Petakov, I.S., Skortov, V.A., Olimpiadele internat ionale de
matematic a , Ed. Tehnic˘ a, Bucure¸ sti, 1978.
[29] N˘ ast˘ asescu, C., Introducere ^ n teoria mult imilor , Ed. Didactic˘ a ¸ si Pedagogic˘ a, Bu-
cure¸ sti, 1974.
[30] N˘ ast˘ asescu, C., Asupra grupurilor nite , Gazeta matematic˘ a (Perfect ¸ionare
metodic˘ a ¸ si metodologic˘ a), nr.4 (1981).
192

[31] N˘ ast˘ asescu, C., Nit ¸˘ a, C., Vraciu, C., Bazele algebrei , Vol. I, Ed. Academiei, Bu-
cure¸ sti, 1986.
[32] N˘ ast˘ asescu, C., T ¸ ena, M., Andrei, G., Od˘ ar˘ a¸ sanu, I., Probleme de structuri alge-
brice , Ed.Tehnic˘ a, Bucure¸ sti, 1988.
[33] N˘ ast˘ asescu, C., Nit ¸˘ a, C., Brandiburu, M., Joit ¸a, D., Exercit ii de algebr a , Ed. Di-
dactic˘ a ¸ si Pedagogic˘ a , Bucure¸ sti, 1992.
[34] N˘ ast˘ asescu, C., Nit ¸˘ a, C., Vraciu, C., Aritmetic a si algebr a , Ed. Didactic˘ a ¸ si Peda-
gogic˘ a S.A., Bucure¸ sti, 1993.
[35] Niven, I., Zuckerman, H.S., Montgomery, H.L., An introduction to the Theory of
Numbers , Fifth edition, John and Sons, Inc., 1991.
[36] Panaitopol, L., Gica, L., Probleme celebre de teoria numerelor , Ed. Universit˘ at ¸ii
din Bucure¸ sti, 1998.
[37] Panaitopol, L., Gica, L., O introducere ^ n aritmetic a si teoria numerelor , Ed. Uni-
versit˘ at ¸ii din Bucure¸ sti, 2001.
[38] Panaitopol, L., Gica, L., Probleme de aritmetic a si teoria numerelor. Idei si metode
de rezolvare , Ed. Gil, Zal˘ au, 2006.
[39] Popescu, D., Oboroceanu, G., Exercit ii si probleme de algebr a, combinatoric a si
teoria mult imilor , Ed. Didactic˘ a ¸ si Pedagogic˘ a, Bucure¸ sti, 1983.
[40] Popovici, C.P., Teoria Numerelor , Ed. Didactic˘ a ¸ si Pedagogic˘ a, Bucure¸ sti, 1973.
[41] Posnikov, M.M., Despre teorema lui Fermat (Introducere ^ n teoria algebric a a nu-
merelor) , Ed. Didactic˘ a ¸ si Pedagogic˘ a, Bucure¸ sti, 1983.
[42] Radovici M˘ arculescu, P., Probleme de teoria elementar a a numerelor , Ed. Tehnic˘ a,
Bucure¸ sti, 1983.
[43] Ribenboim, P., Nombres premiers; mysteres et records , Press Universitaire de
France, 1994.
[44] Rosen, K.H., Elementary Number Theory and its Applications , Addison-Wesley
Publishing Company, 1988.
[45] Rusu, E., Bazele teoriei numerelor , Ed. Tehnic˘ a, Bucure¸ sti, 1953.
[46] Serre, J.P., A Course in Arithmetics , Springer-Verlag, 1973.
[47] Shidlovsky, A.B., Transcedental numbers , Walter de Gayter, 1989.
[48] Sierpinsky, W., Elementary Theory of Numbers , Polski Academic Nauk, Warsaw,
1964.
193

[49] Sierpinsky, W., Ce stim si ce nu stim despre numerele prime , Ed. S ¸tiint ¸iﬁc˘ a, Bu-
cure¸ sti, 1966.
[50] Sierpinsky, W., 250 Problemes des Th eorie Elementaire des Nombres , Collection
Hachette Universite, 1972.
[51] Tomescu, I.(coordonator) ¸ si alt ¸ii, Probleme date la olimpiadele de matematic a pen-
tru licee (1950 – 1990) , Ed. S ¸tiint ¸iﬁc˘ a, Bucure¸ sti, 1992.
[52] Colect ia Gazeta matematic a , 1964-2007.
194

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: Dumitru Bu sneag [621729] (ID: 621729)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

Dumitru Bu sneag [621729]

Copyright Notice

Managementul investigării fraudelor în [626545]

Vă rugăm să ne sprijiniți în realizarea unei cercetări privind activitatea turistică, răspunzând cu sinceritate la într ebările din acest chestionar…. [625279]

COMUNICAREA ORGANIZAȚIONALĂ – PREMISĂ A EFICIENȚEI ȘI EFICACITĂȚII ORGANIZAȚIONALE Conducător științific, Prof.dr. Liviu Ilieș Doctorand, Zelter (că… [625839]

Teza Draft 11.07. [616457]

Transmisiunea patrimoniului succesoral în [631375]

Ing. Sergiu – Claudiu Hârtopanu [609774]

Copyright Notice

Similar Posts