Dreptul de copyright: [611551]
Dreptul de copyright:
Cartea downloadat ă de pe site-ul www.mateinfo.ro nu poate fi publicat ă pe un alt
site și nu poate fi folosit ă în
scopuri comerciale f ără specificarea sursei ș i acordul autorului
,
2
Referenți științifici:
Profesor metodist Apostol Constantin
Colegiul Naț ional Alexandru Vlahu ță, Râmnicu Să rat
Profesor grad I Stanciu Neculai
director Grupul Școlar Tehnic”Sf. Mc. SAVA”,Berca
3 Dedic aceast ă carte elevilor mei de la Grupul
Școlar Tehnic „ Sfântul Mucenic Sava”, Berca.
4
A(a+ib)
A’(a-ib)O xy
cb
a
5
Aplicaț ii ale numerelor complexe
în geometrie
În geometria plan ă, se poate utiliza ca metod ă de rezolvare a
unor probleme sau teoreme numerele complexe fie sub forma
algebrică z=x+iy, fie sub forma trigonometric ă z=rϕie unde r= z iar
ϕ=arg z întrucât fiec ărui punct din plan îi corespunde un num ăr
complex z=x+iy numit afixul punctului respectiv. De asemenea,
fiecărui segment orientat îi putem asocia num ărul complex
corespunz ător.
Dac ă 1M, 2M, 3M,…..nMsunt puncte în plan iar
nOM OM OM OM , ,……… , , 3 2 1 sunt vectorii de pozi ție
corespunz ători, atunci vectorul OM se scrie ca o combina ție liniară
de acești vectori astfel:
OM = nnOM k OM k OM k OM k ……… 332211 + + + . Pentru a
transcrie această relație în complex, consideră m
nz z z z,…., , ,3 2 1 afixele punctelor 1M, 2M, 3M,…..nMiar z afixul
lui M atunci:
z= n nz k z k z k z k++++ ….3 3 2 2 1 1 .
6 1.Raportul în care un punct împarte un segment
Fie 1M,2Mpuncte în plan de afixe 2 1,z ziar punctul M de afix z împarte
segmentul orientat 1M2M în raportul k>0 astfel:
kkz zz kMMM M
++= ⇒ =12 1
21.Din
kkz zzkz kz z z z z k z z kz zz zkMMM M
++=⇒− + = ⇒ − = − ⇒ =−−⇒ =
1) (
2 12 1 2 1
21
21
Dacă M este mijlocul lui 1M2M atunci k=1 ⇒ 22 1z zz+= .
Dacă G este centrul de greutate al triu nghiului ABC situat pe mediana AM,
atunci 2=GMAG⇒ k=2 ⇒ .3 2 12C B A M A
Gz z z z zz++=++=
2.Măsura unui unghi .
Fie ) ( ), (2 2 1 1z M z M. Atunci
12
1 2 1 2 1 2 arg arg arg ) ˆ( ) ˆ ( ) ˆ (zzz z x O M m x O M m M O M m= − = − =
Pentru punctele ) ( ), (2 2 1 1z M z M, ) (3 3z M,
1 21 3
2 1 3arg ) ˆ (z zz zM M M m−−= .
3.Puncte coliniare .
Punctele ) ( ), (2 2 1 1z M z M, ) (3 3z Msunt coliniare ⇔ Rz zz z∈−−
1 21 3.
7 ) ( ), (2 2 1 1z M z M, ) (3 3z Msunt coliniare
⇔ {}π, 0 ) (2 1 3∈ 〈 M M M m
⇔ {}⇒ ∈−−π, 0 arg
1 21 3
z zz zRz zz z∈−−
1 21 3.
) ( ), ( ), (3 3 2 2 1 1z M z M z M sunt coliniare în aceast ă ordine
⇔ R kkkz zz ∈++= ,13 1
2
4.Drepte perpendiculare .
Două drepte M 1M2, M 3M4 perpendiculare:
0 Re ,
4 32 1
4 32 1
4 3 2 1 =−−⇔ ∈−−⇔ ⊥z zz ziRz zz zM M M M
Dacă dreptele 4 3 2 1 M M si M M sunt perpendiculare atunci unghiul
dintre ele este
0 Re23,2arg23,24 32 1
4 32 1=−−⇔
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=−−⇔z zz z
z zz zsauπ π π π .
5.Patrulater inscriptibil .
Fie ) ( ), ( ), ( ), (4 3 2 1 z D z C z B z A. Patrulaterul ABCD este inscriptibil
⇔ Rz zz z
z zz z∈−−
−−
2 41 4
2 31 3: .
ABCD este inscriptibil ⇔ ⇔〈=〈 ) ( ) ( ADB m ACB m
⇔−−=−−
4 24 1
3 23 1arg argz zz z
z zz zRz zz z
z zz z∈−−
−−
2 41 4
2 31 3: .
⇔−−=−−
4 24 1
3 23 1arg argz zz z
z zz zRz zz z
z zz z∈−−
−−
2 41 4
2 31 3: .
8
Patru puncte A,B,C,D sunt conciclice dacă și numai dac ă patrulaterul
ABCD este inscriptibil. 6.Triunghiuri asemenea .
Două triunghiuri ABC și A’B’C’ cu vârfurile de afixe
' , ' , ' , ,3 2 1 3 2 1 z z z respectiv z z z sunt asemenea dac ă și numai dac ă:
1 31 2
1 31 2
' '' '
z zz z
z zz z
−−=−−.
Relația se ob ține din scrierea asem ănării triunghiurilor:
⇒−−=−−−−=−−⇔ 〈 = 〈
1 31 2
1 31 21 31 2
1 31 2
' '' '' '' 'arg arg ) ' ' ' ( ) (
z zz z
z zz zsiz zz z
z zz zC A B m BAC m
ABCΔ ~ ' ' 'C B AΔ ' '' '
C AB A
ACAB= ⇒ și
1 31 2
1 31 2
' '' '
z zz z
z zz z
−−=−−
.
Relația se mai poate scrie și astfel:
3 2 13 2 1
' ' '1 1 1
z z zz z z =0.
Astfel putem ar ăta că un triunghi ABC este echilateral ⇔
, 02= + ⋅ + ⋅C B A z z zε ε unde
ε este rădăcina de ordinul trei a unit ății, diferită de 1.
9
TEOREME ȘI PROBLEME
REZOLVATE CU AJUTORUL NUMERELOR COMPLEXE
1. a) Să se arate c ă mijloacele laturilor unui patrulater sunt vârfurile
unui paralelogram.
b) Să se arate c ă se poate construi un patrulater cu distan țele de la
un punct T la mijloacele patrulaterului dat .
Rezolvare: a) Fie D C B Az z z z, , , afixele vârfurilor A,B,C,D ale
patrulaterului respectiv .
Atunci: afixul mijlocului lui AB este: 2B A
Mz zz+= ;
afixul mijlocului lui BC este: 2C B
Nz zz+= ;
afixul mijlocului lui CD este: 2D C
Pz zz+= ;
afixul mijlocului lui DA este: 2A D
Qz zz+=:
Pentru a fi paralelogram, trebuie ar ătat că mijloacele diagonalelor
patrulaterului MNPQ coincid,
ceea ce este echivalent cu a ar ăta că : 2 2Q N P Mz z z z+=+, relație care
este adevărată dacă înlocuim rela țiile de mai sus.
b) Din punctul a) rezult ă că MNPQ este paralelogram
⇒+=+ ⇔Q N P Mz z z z 0=−+−Q P N Mz z z z . Fie Tz afixul
punctului T
⇒=−+−+−+− ⇒ 0 ) ( ) ( ) ( ) (Q T T P N T T M z z z z z z z z
⇒ = + + +0 TQ PT TN MT că se poate forma un patrulater cu
lungimile vectorilor
Q T P T N T T M z z TQ z z TP z z TN z z TM− = − = − = − = , , , .
102. Fie O punctul de intersec ție a diagonalelor unui patrulater ABCD.
Să se arate c ă ABCD este paralelogram dac ă și numai dac ă
4D C B A
Oz z z zz+++= .
Rezolvare: Dac ă ABCD este paralelogram atunci diagonalele AC și BD au
același mijloc , a șadar rela ția dată este adev ărată. Reciproc, fie M respectiv
N mijloacele diagonalelor BD respectiv AC. Atunci
2C A
Mz zz+= și 2D B
Nz zz+= . Cum 4D C B A
Oz z z zz+++=
⇒ ON Mzz z=+
2 ⇒
O este mijlocul segmentului MN ceea ce se întâmpl ă numai dac ă M , N, O
sunt identice ⇒ ABCD este paralelogram.
3. Fie triunghiul ABC cu vârfurile de afixe C B Az z z, ,, și laturile BC,
CA, AB, de lungime a, b respectiv c.
Dacă Iz este afixul centrului cercului înscris în triunghiul ABC atunci
să se arate c ă are loc relaț ia:
c b az c z b z azC B A
I+ +⋅+⋅+⋅= .
Rezolvare:
Fie D ∈BC astfel încât AD este bisectoarea unghiului A și E ∈ AC astfel
încât BE este bisectoarea unghiului B . Not ăm cu I intersec ția dintre AD și
BE. Aplicând Teorema bisectoarei în triunghiul ABC
Rezultă: bc
DCBD= și de aici rezult ă c bc aBD+⋅= .
Din Teorema bisectoarei în triunghiul ABD
ac b
c bc ac
IDAI
BDAB
IDAI +=
+⋅= ⇒ = ⇒ .
Cum D împarte segmentul orientat BC în raportul bc
c bz c z b
bczbcz
zC BC B
D+⋅ + ⋅=
+⋅ +
= ⇒
1 .(*)
11Punctul I împarte segmentul orientat AD în raportul
c b az c b z a
ac bzac bz
zac bD AD A
I+ +⋅ + + ⋅=++⋅++
= ⇒+ ) (
1
Din (*)⇒ c b az c z b z azC B A
I+ +⋅+⋅+⋅= .
A
B CE
DIA
BC
DA’H
O
4. a) Dac ă C B Az z z, , respectiv Hz sunt afixele vârfurilor respectiv
ortocentrului triunghiului ABC s ă se arate c ă : C B A Hz z z z++= .
b) Dac ă ) ( ), ( ), (3 3 2 2 1 1z G z G z Gsunt centrele de greutate ale
triunghiurilor BHC, CHA, AHB, și O este centrul cercului circumscris
triunghiului ABC , s ă se arate că centrul de greutate al triunghiului
3 2 1G G Geste situat pe dreapta OH.
Rezolvare:
a) Se consider ă O centrul cercului circumscris triunghiului ABC și D un
punct în plan astfel încât OC OB OD+ = .
Cum OB =OC rezultă că patrulaterul OBCD este romb ⇒ BC OD⊥ .
OB OC OA OD OA OH+ + = + = (*)
Cum H AA H BC AA si AA OD⇒ ∈ ⇒ ⊥' ' ' se află și pe
înălțimile BB’, CC’.
12 Dacă într-un sistem de axe ortogonale lu ăm punctul O drept originea
sistemului , atunci din (*) C B A Hz z z z++=⇒ . Mai mult
G H z z3= ⇒ adică OH= 3OG
b) Fie G(Gz) centrul de greutate al triunghiului 3 2 1G G G: ⇒ Gz=
=+ +
33 2 1z z z
⇒ =+ + +=+++++++ +
HH C B AB H A C H A H C B
zz z z zz z z z z z z z z
95
93 ) ( 29
G aparține lui OH.
5. Fie C B Az z z, , afixele vârfurilor triunghiului ABC, cu
0≠+ +C B Az z z . Să se arate c ă dacă p u n c t e l e M , N , P a u a f i x e l e
C A B A A Mz z z z z z⋅ + ⋅ + =2,
C B A B B Nz z z z z z⋅ + ⋅ + =2,
B C A C C Pz z z z z z⋅ + ⋅ + =2
atunci triunghiurile MNP și ABC sunt asemenea.
Rezolvare:
Cum ) )( (C B A B A N Mz z z z z z z++−=− ,
) )( (C B A C B P Nz z z z z z z++−=− ,
⇒ + +−=− ) )( (C B A A C M P z z z z z z z
⇒ ≠ + + =−−=−−=−−0C B A
A CM P
C BP N
B AN Mz z zz zz z
z zz z
z zz z
MNPΔ ~ ABCΔ .
6. Dacă ABC și MNP sunt dou ă triunghiuri echilaterale din acela și
plan la fel orientate, s ă se arate c ă se poate forma un triunghi cu
segmentele AM, BN, CP.
13Rezolvare:
ABCΔ ~ ⇔−−=−−⇔ Δ
P MC A
N MB A
z zz z
z zz zMNP
⇔−−=−− ) )( ( ) )( (C A N M P M B A z z z z z z z z
o z z z z z z z z zA B P C A N B C M=−+−+− ) ( ) ( ) ( . Cum
o z z z z z z z z zA B C C A B B C A=−+−+− ) ( ) ( ) ( , prin scăderea
celor două egalități ⇒
o z z z zz z z z z z z z
A B C PC A B N B C A M
= − −+−−+−−
) )( () )( ( ) )( (
(*)
iar prin trecere la modul ⇒
⇔ − ⋅ −+ − ⋅ − ≤ − ⋅ −
) ( ) () ( ) ( ) ( ) (
A B C PC A B N B C A M
z z z zz z z z z z z z
AB CP AC BN BC AM⋅+⋅≤⋅ . Triunghiul ABC este echilateral
(AB=AC=BC) ⇒ CP BN AM+≤ . Din rela ția (*) pot fi scrise și
celelalte dou ă inegalități ceea ce implic ă faptul că AM, BN și CP pot fi
laturile unui triunghi.
7. Fie P un punct situat pe cercu l circumscris unui triunghi ABC. S ă
se arate c ă ortocentrele triunghiurilor PAB, PBC, PCA formeaz ă un
triunghi congruent cu triunghiul dat.
Rezolvare:
Fie P de afix z și punctul O centrul cercului circumscris
triunghiului ABC as tfel încât 0 =Oz .
Fie 1H ortocentrul triunghiu lui MAB de afix : B Az z z z++=1
Fie 2H ortocentrul triunghiul ui MAC de afix :
z z z zC A++ =2
Fie 3H ortocentrul triunghiului MBC de afix :
⇒++ =C Bz z z z3
14BC z z z z H HB C= − = − =1 2 2 1
AC z z z z H HA C= − = − =1 3 3 1
. . . .2 3 3 2 d t c c AB z z z z H HA B⇒ = − = − =
8. Fie ABC și A’B’C’ două triunghiuri cu centrele de greutate G
respectiv G’ și punctele M, N, P situate pe segmentele AA’, BB’,
CC’ care le împart în raportul k. S ă se arate c ă centrul de greutate al
triunghiului MNP este situat pe segmentul GG’ și îl împarte pe acesta
tot în raportul k.
Rezolvare: Fie ), ( ), ( ), (3 2 1 z C z B z A
). ( ), ( ), ( ), ' ( ' ), ' ( ' ), ' ( '3 2 1 P N M z P z N z M z C z B z Aastfel încât
kPCCP
NBBN
MAAM= = =' ' '
Atunci : kkz zzM++=1'1 1, kkz zzN++=1'2 2, kkz zzP++=1'3 3.
Centrul de greutate al triunghiului ABC este G(Gz)
.33 2 1z z zzG++= ⇒
Centrul de greutate al tr iunghiului A’B’C’ este G’(
Gz' )
.3' ' ''3 2 1z z zzG++= ⇒
Dacă notăm cu G’’(g) centrul de greutate al triunghiului MNP
atunci =++= ⇒3P N Mz z zg
⇒+⋅ +=+ +⋅+++++⋅+=++++++=
kz k z z z z
kkz z z
k kz z z k z z z
G G
1'
3' ' '
13 11
) 1 ( 3) ' ' ' (
3 2 13 2 1 3 2 1 3 2 1
G,G’,G’’ sunt coliniare și punctul G’’ împarte segmentul GG’
în raportul k.
15
9. (Teorema lui Pappus). Fie triunghiul ABC și punctele A’,B’,C’
situate pe laturile BC, AC respectiv AB le împart pe acestea în același
raport k. S ă se arate c ă triunghiurile ABC și A’B’C’ au acela și centru
de greutate.
Rezolvare: Fie punctele
), ( ), ( ), (3 2 1 z C z B z A ) ' ( ' ), ' ( ' ), ' ( '3 2 1 z C z B z Ași
⇒ = = =kB CAC
A BCB
C ABA
''
''
''
,1'3 2
1kkz zz++= ,1'1 3
2kkz zz++= ,1'2 1
3kkz zz++= centrul de
greutate al triunghiului A’B’C’ este G’(g’) cu g’=
gz z z
kz z z k z z z z z z=+ +=++ + + + +=+ +
3 ) 1 ( 3) (
3' ' '3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1,
unde G(g) este centrul de gr eutate al triunghiului ABC.
A
B C
A’B’
C’ G=G’
10. S ă se arate c ă în orice triunghi are loc rela ția
92 2 2
2 2 CA BC ABR OG+ +− = . (Teorema lui Euler)
unde O este centrul cercului ci rcumscris triunghiului, G centrul s ău
de greutate iar R este raza cercului circumscris.
Rezolvare:
Fie O originea sistemului de axe. ⇒
92 2 2
2 2 CA BC ABR OG+ +− = ⇔
2 2 2 2 2 2 23 3 3 9 CA BC AB R R R OG− − − + + = ⇔
16
() ()
() ⇔ − −− − − − + + = ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+ +
22 2 2 2 22
3 3 339
C AB C A B C B AC B A
z zz z z z z z zz z z
) ( 2 2 2 23 3 3 ) ( 2
2 2 22 2 2 2 2 2
A C C B B A C B AC B A A C C B B A C B A
z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z
+ + + − − −− + + = + + + + +
ceea ce este adev ărat, rezult ă că teorema este demonstrată .
11. Fie A, B, C, D patru punc te oarecare, distincte din plan. S ă se arate
că există un unic punct G astfel încât , 0=+++D C B Az z z z unde
D C B Az z z z, , ,sunt afixele punctelor A,B,C,D.
Rezolvare.
Fie O originea sistemului cartezian și M,N,P,Q mijloacele
laturilor AB, BC, CD, DA . Cum mijloacele laturilor unui patrulater sunt vârfurile unui paralelogram rezult ă că
intersecția diagonalelor MP ș i NQ pe care o notă m cu G este
un punct de afix
4 22 2
2D C B AD C B A
P M
Gz z z zz z z z
z zz+ + +=+++
=+= .
⇔ =0Gz O Gz z= adică G coincide cu originea sistemului
cartezian ⇒ există și este unic punctul G astfel încât
0=++ +D C B Az z z z .
12. Fie ABCD și A’B’C’D’ paralelograme astfel încât punctele
M,N,P,Q împart segmentele AA’, BB’, CC’, DD’ în acela și raport k.
Să se arate c ă MNPQ este paralelogram .
Rezolvare: Fie ) ( ), ( ), ( ), (4 3 2 1 z D z C z B z A,
) ' ( ' ), ' ( ' ), ' ( ' ), ' ( '4 3 2 1 z D z C z B z A vârfurile paralelogramelor de
17afixe corespunzătoare ⇔ 4 2 3 1z z z z+=+ ,
4 2 3 1' ' ' 'z z z z+= + . (*)
Fie ) ( ), ( ), ( ), (Q P N M z Q z P z N z M punctele care împart
segmentele AA’,BB’,CC’,DD’ în raportul k.
kQDDQ
PCCP
NBBN
MAAM= = = =' ' ' '
Atunci rezult ă: kkz zzM++=1'1 1, kkz zzN++=1'2 2, kkz zzP++=1'3 3,
kkz zzQ++=1'4 4. Rezultă :
kz z k z zz zP M++++= +1) ' ' (3 1 3 1,
kz z k z zz zQ N++ + += +1) ' ' (4 2 4 2. Din relațiile (*) rezult ă
Q N P Mz z z z+= + ceea ce este echivalent cu faptul c ă MNPQ
este paralelogram.
13. Fie ABCD un patrulater convex și punctele M, P ∈(BD), iar
N, Q ∈(AC) împart segmen tele orientate în
raportul k astfel : kQCQA
NANC
PBPD
MDMB= = = =.
a) Să se arate c ă centrul de greutate al patrulaterului ABCD
coincide cu centrul de greu tate al patrulaterului MNPQ.
b) Fie E mijlocul lui (BD) și F mijlocul lui (AC). S ă se arate c ă mijlocul
segmentului EF este centrul
de greutate al patrulaterului MNPQ.
Rezolvare: a) Să presupunem c ă G este centrul de greutate al patrulaterului
ABCD și s ă arătăm că G este și centrul de greutate al
patrulaterului MNPQ
⇔ =+++D C B Az z z z
Q P N Mz z z z++ +
Din kz k zz kMDMBD B
M−⋅ −= ⇒ =1,
18 kz k zz kQCQAC A
Q−⋅ −= ⇒ =1 ,
kz k zz kPBPDB D
P−⋅ −= ⇒ =1,
kz k zz kNANCA C
N−⋅−= ⇒ =1.⇒
⇒ + + + =−+++−+++= + + +
D C B AD C B A D C B A
Q P N M
z z z zkz z z z k z z z zz z z z1) (
c.c.t.d.
b) Fie G mijlocul segmentului EF. A ară ta că G este centrul de
greutate al patrulaterului M N P Q r e v i n e l a a a r ăta că G este
centrul de greutate al lui ABCD ⇔ .4D C B A
Gz z z zz+++=
G este mijlocul lui EF ⇒
. . . .4 22 2
2
d t c cz z z zz z z z
z zzD C B AC A D B
F E
G
⇒+ + +=+++
=+=
A
B
CD
MPQ
NEF
GO
BCD A M
N
1914. Fie ABCD un trapez cu AD BC și punctele M ∈ (AD) ,
N∈(BC) astfel încât NCNB
MDMA= . Notând cu O punctul de
intersecț ie a dreptelor AB cu CD s ă se demonstreze că punctele O, M,
N, sunt coliniare.
Rezolvare:
Fie punctele
) ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), (O N M D C B A z O z N z M z D z C z B z A cu afixele
corespunz ătoare.
Din kz k zzkz k zz kNCNB
MDMAC B
ND A
M−⋅−=−⋅ −= ⇒ 〈 = =1,10 .
Cum AD BC ⇒ 〉 = = ⇒0tDCOD
ABOA
tz t zztz t zzC O
DB O
A+⋅+=+⋅+=1,1
Pentru a ar ăta că O, M, N sunt coliniare este suficient s ă
arătăm că tz t zz tMNOMN O
M+⋅ += ⇔ =1.
Așadar , punctele O, M, N sunt coliniare.
tz t zztt
tzk tz k
k tztk tk
k tzktz t zktz t z
kz k zz
N O
N OC BOC O B O
D A
M
+⋅ += ⋅+++⋅ ==⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
− +⋅−− +++⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
− +−− +==−+⋅+⋅ −+⋅+
=−⋅ −=
1 1 11) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 () 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 (111 1
1
2015. Să se demonstreze c ă dacă ABCD este un patrulater inscriptibil
atunci centrele de greutate ale triunghiurilor ABC, BCD, CDA, DAB
sunt puncte conciclice.
Rezolvare: Fie punctele )( ), ( ), ( ), (D C B A z D z C z B z A- vârfurile
patrulaterului ABCD .
ABCD este inscriptibil
()() ⇔−−=−−⇔ = ⇔
C AC B
D AD B
z zz z
z zz zB C A m B D A m arg arg ˆ ˆ
Rz zz z
z zz z
C AC B
D AD B∈−−
−−: . (*)
Fie ) (1 1z G- centrul de greutate al triunghiului ABC de afix1z
31C B Az z zz++= ⇒ ;
) (2 2z G- centrul de greutate al triunghiului BCD de afix2z
32D C Bz z zz++= ⇒ ;
)(3 3z G- centrul de greutate al triunghiului CDA de afix3z
33A D Cz z zz++= ⇒ ;
) (4 4z G- centrul de greutate al triunghiului ABD de afix4z
34D B Az z zz+ += ⇒ .
4 3 2 1G G G G ⇒ este inscriptibil
()() ⇔−−=−−⇔ = ⇔
4 24 3
1 21 3
2 4 3 2 1 3 arg arg ˆ ˆ
z zz z
z zz zG G G m G G G m
Rz zz z
z zz zRz zz z
z zz z
A CB C
A DB D∈−−
−−⇔ ∈−−
−−⇔ : :
4 24 3
1 21 3 r e l a ție
adevărată din (*). Rezult ă că patrulaterul
214 3 2 1G G G G este inscriptibil adic ă vârfurile sale sunt patru
puncte conciclice.
16. Fie ABC un triunghi, M un punct în planul triunghiului, G centrul
său de greutate iar A’ , B’ respect iv C’ mijloacele laturilor BC, CA,
respectiv AB. S ă se arate c ă are loc relaț ia:
). ' ' ' ( 4 92 2 2 2 2 2 2MC MB MA MG MC MB MA + + = + + +
Rezolvare:
M
GA
C B
A’B’C’
Fie M un punct în exteri orul triunghiului ABC și C B Az z z,,
afixele punctelor A,B,C , atunci rela ția
) ' ' ' ( 4 92 2 2 2 2 2 2MC MB MA MG MC MB MA + + = + + + devine:
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+ ++ + +
2 2 22
2 2 2
2 2 2439
B A C A C BC B A
C B A
z z z z z zz z zz z z
, unde punctul M
este originea sistemului ortogonal de axe. Mai departe rezult ă
( )
() ()A C C B B A C B AA C C B B A C B A C B A
z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z
+ + + + + == + + + + + + + +
2 22
2 2 22 2 2 2 2 2
ceea ce este adev ărat , rezult ă de aici c ă relația dată este
adevărată.
22
17. Pe laturile AB și BC ale triunghiului ABC se construiesc p ătrate
având centrele D și E , astfel încât punctele C și D sunt situate de
aceeași parte a dreptei AB, iar punctele A și E sunt separate de dreapta
BC. Să se arate c ă dreptele AC și DE se intersecteaz ă după un unghi de
45ș.
Rezolvare:
Fie E D C B Az z z z z, , , , afixele punctelor A, B, C, D, E.
Cum segmentul BD se ob ține din rota ția lui AD cu un unghi de
90ș ⇒
()D A D B z z i z z − ⋅⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+ = −2sin2cosπ π=i()D Az z−⋅ ⇒
1−−=iz izzB A
D .
De asemenea BE se ob ține din rota ția lui CE cu un unghi de
90ș ⇒ 1−−=iz izzB C
E .
⇒⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+ == + =−=
−+ − −−=−−
4sin4cos 211
1
π πiiii
iz iz z izz z
z zz z
B C B AC A
E DC A
AC și DE formeaz ă între ele un unghi de 45ș.
23A
BC
*E*DA
B
MNPD
ECF
18. Fie ABCD și CMNP dou ă pătrate care nu au puncte interioare
comune. Să se arate c ă mijlocul lui BM, C și piciorul perpendicularei
din C pe DP sunt trei puncte coliniare.
Rezolvare:
Fie E mijlocul lui BM și se prelunge ște EC până se
intersecteaz ă cu DP în F.
Așadar a ară ta că punctele E, C, F sunt coliniare este suficient
să arătăm că EF este perpendicular pe DP echivalent cu
.iRz zz z
P DF E∈−−
Rotind pe DC cu 90ș se ob ține BC astfel:
()
B CB C
DC D C D C B
iz z iiz z izz z i z z i z z
− + =+ −= ⇒− = − ⋅ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+ = −
) 1 () 1 () (2sin2cosπ π
.
Analog CP se obț ine din CM printr-o rota ție de unghi 90ș ⇒
24() . ) 1 (2sin2cosM C P C M C P iz z i z z z i z z + − = ⇒ − ⋅ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+ = −π π
E, C, F coliniare ⇒ E C s e o b ține din CF printr-o rota ție de
180ș ⇒
() ). sin (cosπ πiCFCEz z z zC F C E + ⋅ − = − Notăm cu r raportul
CFCE. Cum 2M B
Ez zz+=
rz z r zzz r z r z r zz z
M B C
FF C F CM B
2) 1 ( 22
− − +=⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ − = −+⇒
19. Se consider ă patrulaterul convex ABCD, iar E respectiv F
mijloacele diagonalelor AC respectiv BD .
Să se arate c ă are loc relaț ia:
2 2 2 2 2 2 24EF BD AC DA CD BC AB+ + = + + +
(Relaț ia lui Euler) .
Rezolvare.
Fie F E D C B Az z z z z z, , , , , afixele punctelor A, B, C, D, E, F.
Avem de ar ătat următoarea rela ție:
. 42 2 22 2 2 2
E F B D A CD A C D B C A B
z z z z z zz z z z z z z z
− + − + −= − + − + − + −
Cum E respectiv F sunt mijloacele diagonalelor AC respectiv
BD ⇒ .21
) 2 ( 2) 2 )( 1 (DP EF iR irr
z z z riz z z r
z zz z
C M BC M B
P DF E⊥ ⇒ ∈ ⋅+=− + −−++=−−
25()
⇒+ +++ +−−+ += + ⋅ − = −
42
2 22422
2 22 2
2 2 2
D D B B D B C AC C A A
F F E E F E
z z z z z z z zz z z zz z z z z z
()
⇒ + + + −− − − − + + = −
2 22 2 2
2 22 2 2 2 4
D D B B D CB C D A B A C C A A F E
z z z z z zz z z z z z z z z z z z
()
) 2 ( ) 2 () 2 ( ) 2 () 2 ( ) 2 ( 4
2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2
D D B B D C A AA D A D D D C CB C B C B B A A F E
z z z z z z z zz z z z z z z zz z z z z z z z z z
+ − − + − −− + + + −+ + − + + − = −
Am adunat și am scăzut suma ⇒ + + +2 2 2 2
D C B Az z z z
() ()()()()
() () ⇒ − − − −− − + − + − + − = −
2 22 2 2 2 24
D B C AA D D C C B B A F E
z z z zz z z z z z z z z z
⇒ − − − −− − + − + − + − = −
2 22 2 2 2 24
D B C AA D D C C B B A F E
z z z zz z z z z z z z z z
2 2 2 2 2 2 24 BD AC DA CD BC AB EF− − + + + = c.c.t.d.
20. Să se arate c ă într-un patrulater convex exist ă relația:
BC AD CD AB BD AC⋅+⋅≤⋅ .
(Inegalitatea lui Ptolemeu)
Rezolvare:
Fie D C B Az z z z, , , afixele punctelor A, B, C, D. Atunci
⇒ = − ⋅ − ++−⋅−+−⋅−
0 ) ( ) () ( ) ( ) ( ) (
C B A DD C A B B D A C
z z z zz z z z z z z z
) ( ) () ( ) ( ) ( ) (
B C A DC D A B B D A C
z z z zz z z z z z z z
− ⋅ − ++−⋅−=−⋅−
Prin trecere la modul ⇒
⇒ − ⋅ − + − ⋅ − ≤ − ⋅ −B C A D C D A B B D A Cz z z z z z z z z z z z
BC AD CD AB BD AC⋅+⋅≤⋅ .
26
21. Fie ) ( ), ( ), (C B A z C z B z A vârfurile unui patrulater iar D este un
punct de afix
C B AC B C A B A
Dz z zz z z z z zz+ +++= . Să se arate c ă patrulaterul
ABCD este inscriptibil.
Rezolvare:
Dacă punctele A, B, C sunt pe un cerc de raz ă r atunci
⇒ 〉 = = =0r z z zC B A
2r z z z z z zC C B B A A= = =, mai rămâne s ă arătăm că și D se
află pe cerc r zD= ⇔2r z zD D= ⇔
il inscriptib este ABCD r z zz z z z z zz z z r
z z zz z z z z zz
D DC A C B B AC B A
C B AA C C B B A
D
⇒ = ⋅ ⇒+ ++ +=
+ +⋅ + ⋅ + ⋅=
22) (
22. Fie triunghiul ABC cu BM ⊥AB , BM=AB, CP ⊥AC, CP=AC,
E∈BC, EB=EC astfel încât NE ⊥BC, NE=2BC. Să se arate c ă
punctele M, N, P sunt coliniare.
Rezolvare:
2 2 2 2) ( ) () ( ) (
B C C B
NB C C B
NC A C P C A C PB A B M B A B M
z ziz zzz ziz zzi z z z z i z z z zi z z z z i z z z z
−++= ⇒−=+−− − = ⇒ ⋅ − − = −−+=⇒⋅−= −
⇒ ∈ =−−⇒ Rz zz z
N PM P2 M, N, P sunt coliniare
27
A
BCENP
M
23. Să se determine mul țimea punctelor M de afix z astfel încât
punctele A(1), M(z), B(21 z z++ ) să fie coliniare .
Rezolvare:
Fie z=x+iy afixul punctului M.
iy x iy x z zA M +−=−+=− ⇒ 1 1
) 2 ( ) ( 1 12 2 2 2xy y i y x x iy x iy x z z z zA B + + − + = + + + = − + + = −
Punctele A, M, B sunt coliniare ⇔vectorii
) 2 , ( ), , 1 (2 2xy y y x x AB si y x AM+ − + − să fie coliniari
⇔(x-1)(y+2xy)-y(2 2y x x− +)=0
0 ) 1 2 (2 2= − − + ⇒ x y x y⇒ locul geometric c ăutat este
cercul de centru A(1,0) și de rază 2.
24. Fie ABC un triunghi iar pe latur ile sale se construiesc în exterior
triunghiurile echilaterale ABP, BMC, CNA. S ă se arate c ă centrele lor
de greutate formeaz ă un triunghi echilateral.
Rezolvare:
MBCΔ echilateral ⇒
0 02 2 2= ⋅ + + ⋅ ⇒ ⋅ = + +ε ε ε ε εC M B C M B z z z z z z (1)
ACNΔ echilateral ⇒ 02= ⋅ + ⋅ +A N C z z zε ε (2)
28APBΔ echilateral ⇒
⇒ ⋅ = + +ε ε ε 02
B P A z z z 02= + ⋅ + ⋅B P A z z zε ε (3)
Adunând cele trei rela ții ⇒
03 : 0 ) ( ) (
22
3 2 1= ⋅ + ⋅ +⇒ = ⋅ + + + ⋅ + + + + +
ε εε ε
G G GB A P C N A M C B
z z zz z z z z z z z z
⇒ 3 2 1G G Geste echilateral.
A
BC
MN
P
G1G2 G3A
B
CDM
N
PQ
25. Pe laturile patrulaterului ABCD se construiesc în exterior
triunghiurile dreptunghice isos cele AMB, BNC, CPD, DQA. S ă se arate
că MP este perpendicular pe NQ.
Rezolvare.
i z z i z i z z z zA B M M A M B ⋅ − = − ⇒ ⋅ − = − ) 1 ( ) (
i z z i z i z z z zB C N N B N C ⋅ − = − ⇒ ⋅ − = − ) 1 ( ) (
i z z i z i z z z zC D P P C P D ⋅ − = − ⇒ ⋅ − = − ) 1 ( ) (
⇒ ⋅ − = − ⇒ ⋅ − = −i z z i z i z z z zD A Q Q D Q A ) 1 ( ) (
29i z z z z i z zC A B D M P ⋅−+−=−− ) ( ) 1 )( (
⇒ ⋅ − = −⇒⋅−+−=−−
i z z z zi z z z z i z z
N Q M PD B C A N Q
) () ( ) 1 )( (
NQ MP= ⇒ și ⊥MP NQ.
26. Fie paralelogramul ABCD și P ∈(BD), M∈(AD), N∈(AB) astfel
încât PM AB și PN AD. Să se arate că triunghiul MNC și
triunghiul ale c ăror vârfuri sunt centrele de greutate ale triunghiurilor
DMP, BNP, BCD au acela și centru de greutate.
Rezolvare:
Este suficient s ă arătăm că 3 2 1z z z z z zC N M ++=++ , unde
3 2 1, ,z z z sunt afixele centrelor de greutate ale triunghiurilor
DMP, BNP, BCD.
Avem: P M Dz z z z++=13
P N Bz z z z++=23
⇒++=D C Bz z z z33
). ( 2 ) ( 33 2 1 B D P C N M z z z z z z z z z+++++=++
Cum ABCD este paralelogram
.P D B P C A P D B C Az z z z z z z z z z z+ + = + + ⇒ + + = + ⇒
Din AMNP paralelogram
⇒+=+ ⇒N M P Az z z z
⇒++=++=+ +P D B C N M P C Az z z z z z z z z
. . . . 3 : ) ( 3) ( 2 ) ( 33 2 1
d t c c z z zz z z z z z z z z
C N MB D P C N M
⇒ + + ==+++++=+ +
30CDA
BM PN A
BCEa
bc
27. Fie E un punct situat arbitrar pe latura BC a triunghiului ABC. S ă
se arate c ă are loc rela ția:
BC AE BC EC BE BE AC EC AB⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅2 2 2
(Teorema lui Stewart).
Rezolvare:
Dacă asociem vectorilor AE, BE , EC numerele complexe
corespunz ătoare a,b,c atunci lui AC îi corespunde num ărul
a+c, lui AB numărul a-b, iar lui BCnumărul b+c.
Plecând de la identitatea:
) ( ) ( ) ( ) (2 2 2c b bc c b a c a b b a c+ + + = + + −pe care trecând-o
la module, vom obț ine tocmai rela ția din teorema lui Stewart.
28. Fie ABCD un patrulater convex cu E ∈(AD), F∈(BC) astfel încât
FCBF
EDAE= și M∈(AB), N∈(EF), P∈(CD)
astfel încât PCDP
NFEN
MBAM= = . Să se arate c ă M, N, P sunt coliniare.
Rezolvare:
Fie FCBF
EDAE= =k kkz zzD A
E++= ⇒1 kkz zzC B
F++=1
31 și PCDP
NFEN
MBAM= = =t ;1ttz zzB A
M++= ⇒ ;1ttz zzF E
N++=
;1ttz zzC D
P++=
Prin înlocuirea lui zE și a lui zF în zN rezultă:
kkz z
kttz zkttz zk tktz kz tz z
tkkz ztkkz z
z
P MC D B AC D B AC B D A
N
++=++++++
==+ ++ + +=++++++
=
1 11 1) 1 )( 1 ( 11 1
⇒ M, N, P sunt coliniare.
32
BIBLIOGRAFIE
– Culegere de probleme de matematic ă – Mihai Cocuz,
Editura Academiei, Bucure ști 1984;
– Culegere de probleme de matematic ă pentru clasa a X-a
, – Maria Batine țu-Giurgiu ș i colaboratori, Editura
Porto-Franco, 1993:
– Culegere de probleme pentru concursurile de
matematic ă- D. Acu și colaboratori, Editura Societ ății
de Științe Matematice din România, Bucure ști, 1997;
– Exercices et problemes de mathematiques- Joseph Gibert;
–
Matematica în concursurile școlare2001,2004-Dan
Brânzei și colaboratori, Editura Paralela 45;
– Numere complexe, Virgil Nicula;
– Probleme din Gazeta Matematic ă, N. Teodorescu și
colaboratori, Editura Tehnică , București 1984.
– Probleme de geometrie și de trigonometrie – Stere
Ianuș , Nicolae Soare și colab. Editura Didactic ă și
Pedagogică , București ,1991
– Probleme practice de geomet rie – Liviu Nicolescu,
Vladimir Boskoff, Editura tehnic ă, București,1990;
– Probleme de geometrie – I.C.Dră ghicescu, Editura
Tehnică,1987
– Manual de matematic ă pentru clasa a X-a, Costel
Chiteș, Editura Sigma 2000;
– Manual de matematic ă pentru clasa a X-a, Mircea
Ganga, Editura Mathpress 2005;
33
34
Dreptul de copyright:
Cartea downloadat ă de pe site-ul www.mateinfo.ro nu poate fi publicat ă pe un alt
site și nu poate fi folosit ă în
scopuri comerciale f ără specificarea sursei ș i acordul autorului
35
1. Mulțimea numerelor reale
1.. Scrierea în baza zece :
d c b a abcd+ ⋅ + ⋅ + ⋅ =10 10 102 3
a-cifra miilor; b-cifra sute lor; c-cifra zecilor; d-cifra unit ăților;
001 . 0 01 . 0 1 . 0 1010 10 10 10 ,3 2 1
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ == ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =− − −
g f e ag f e a efg a
e-cifra zecimilor; f-cifra suti milor; g-cifra miimilor.
2. Fracții
-Fracții zecimale finite: ;100, ;10,abcbc aabb a = =
-Fracții zecimale periodice:-
simple: ;99) ( , ;9) ( ,a abcbc aa abb a−=−=
mixte: ;990) ( , ;90) ( ,ab abcdcd b aab abcc b a−=−=
3.. Rapoarte și proporții
, , ; 0*Q n kn bn a
bab raport numeste seba∈ =⋅⋅= ≠ ∀
k se nume ște coeficient de propor ționalitate ;
Proprietatea fundamental ă a propor țiilor :
c b d adc
ba⋅ = ⋅ ⇒ =
4. Propor ții derivate :
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
=−−=++=±=±
±=±= = =
⇒ =
.22
22
dc
basaud bc a
basaud bc a
badd c
bb asaud cc
b aadb
casauac
bdsaucd
ab
dc
ba
36
5. Sir de rapoarte egale :
nn
nn
b b b ba a a a
ba
ba
ba
+ + + +++++= = = =………………
3 2 13 2 1
22
11 ;
() ( )n n b b b b și a a a a ,…. , , ,…… , ,3 2 1 3 2 1 sunt direct
proporționale kba
ba
ba
nn= = = = ⇔ ..
22
11.
() ( )n n b b b b și a a a a ,…. , , ,…… , ,3 2 1 3 2 1 sunt invers
proporționale n nb a b a b a⋅==⋅=⋅⇔ ..2 2 1 1
6. Modulul numerelor reale Propriet ăți:
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
〈 −=〉
0 ,0 , 00 ,
a aaa a
def a
1. R a a∈ ∀ ≥ , 0 ; 2 . 0 , 0= ⇔ =a a ;
3. R a a a∈ ∀ − = , ; 4. b a b a± = ⇔ = , ;
5. b a b a⋅ = ⋅; 6. ba
ba= ;
7. b a b a b a+ ≤ ± ≤ − ;
8. 0 , , 〉 ± = ⇒ =a a x a x ;
9. 0 ], , [ ,〉 − ∈ ⇔ ≤a a a x a x ;
10. 0 ], , [ ] , [ ,〉 +∞ ∪ − −∞ ∈ ⇔ ≥a a a x a x .
7. Reguli de calcul în R
1. () ; 22 2 2b ab a b a+ + = +
2. () ; 22 2 2b ab a b a+ − = −
3. (a+b)(a-b= a2-b2;
374. () ca bc ab c b a c b a2 2 22 2 2 2+ + + + + = + +
5. ()3 2 2 3 33 3 b ab b a a b a+ + + = + ;
6. ()3 2 2 3 33 3 b ab b a a b a− + − = − ;
7. ) )( (2 2 3 3b ab a b a b a+ + − = − ;
8. ) )( (2 2 3 3b ab a b a b a+ − + = + .
8. Puteri cu exponent întreg
factori nna a a a def a⋅ ⋅ ⋅ ⋅……
. . 8 0 ; . 40 , . 7 ) ( . 30 ,1. 6 . 2) ( . 5 ; 0 0 ; ; 1 . 11
n m a a a aaabba
bab a b aaaa a a aa a a a a
n m n m
nmnn n
n n nnn n m n mn m n m n o
= ⇔ = ≠ =≠ = ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⋅ = ⋅≠ = ⋅ == = = =
−− +⋅
9. Proprietăț ile radicalilor de ordinul doi
1.
R a a a∈ ∀ ≥ =, 02
2. b a b a⋅ = ⋅
3. 0 ,≠ =bba
ba
4. 2) (n
n na a a= = ,
5. 2 22 2b a a b a ab a− −±− += ±
unde a²-b=k² .
3810. Medii
Media aritmetic ă 2y xma+=
Media geometric ă y x mg⋅ =
Media ponderat ă ponderileq pq py q x pmp −+⋅+⋅= , ;
Media armonic ă
y xxy
y xmh+=
+=2
1 12 .
Inegalitatea mediilor
22 y xxyy xxy +≤ ≤+
11. Ecuații
0 , 0 ≠ − = ⇒ = + ⋅aabx b x a
0 ,2≥ ± = ⇒ =a a x a x ;
aac b bx c x b x a2402
2 , 12 − ± −= ⇒ = + ⋅ + ⋅ .
. 0 4 , 02≥ − ≠ac b a
. 0 ,a x a a x± = ⇒ ≥ =
20 , a x a a x= ⇒ ≥ =
[] ) 1 , [ 1+∈⇔+〈≤⇒ = a a x a x a a x .
12. Procente
p % din N =
Np⋅100
39D =12 100⋅⋅ ⋅n p S …. Dobânda obținută prin depunerea la banc ă a unei
sume S de bani pe o perioad ă de n luni cu procentul p al dobândei
anuale acordate de banc ă .
Cât la sut ă reprezint ă numărul a din N.
x % din N =a Nax100⋅= ⇒ .
13. Partea întreag ă
1.[]{}x x x+ = , R x∈∀ , []Z x∈ și {} ) 1 , 0 [∈x
2. []<≤x x[]1+x [] 1+<≤ ⇒= a x a a x
3. [] [] y x= ⇔ ZK∈∃ a. î. [] 1 1 , , < − ⇔ + ∈y x k k y x
4. [] []x k k x+=+ , Z k∈∀ , R x∈
5.
{}{}x k x=+ , R x∈∀ , Z k∈∀
6. Dacă
{}{} Z y x y x∈−⇒=
7. Dacă
R x∈ ⇒ [][][]Z x x∈=
{}[]0=x , []{}0=x , {}{}{}x x=
8. Identitatea lui Hermite [] []x x x221=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+ + , R x∈∀
9. [][][]y x y x+≥ + , R y x∈∀,
10. Prima zecimală , după virgulă, a unui num ăr N este dat ă
de {}[] N⋅10 sau []()[ ]10⋅−N N
402. Inegalit ăți
1. 1>a k ka a<−1 ∀ 1≥k
()1 , 0∈a 1−<k ka a ∀ 1≥k
2. b a≤ < 0 ()()0≥ − − ⇒n n m mb a b a ∀ N n m∈,
3. 21≥ +aa ()∀ 0>a 21− ≤ +aa ∀ . 0<a
4.
k21<
11
− +k k=k- 1−k
k21>
11
+ +k k= 1+k -k.
5. 22 2b a+≥2
2⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+b a ab≥∀ R b a∈,
6. b ab a
++2 2
≥≥+
2b a
b aab1 12
+≥ ,∀ 0 ,>b a
7. ca bc ab c b a+ + ≥ + +2 2 2∀ R c b a∈, ,
8. ) ( ()2 2 2 23 c b a c b a+ + ≥ + + ∈∀ c b a, , R
9. () c b ac b ac b a+ + ≥+++ +
312 2 2
∀ R c b a∈, ,
10. () 0 , ,33≥ ∀ + + ≥ + +c b a c b a c b a
11. ()()( )n n n n a a a a a a a a a a n1 3 2 1 2 12 2
1 … … 2 … 1−+ + + + ≥ + + −
12. () ( )2
12 2
1 … …n n a a a a n+ + ≥ + + ,∀ N n∈
13. . 0 , , ,2 22
> ∈ ∀ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+≥+b a N nb a b an n
14. . 0 , 2 0 > ∀++< ⇒ < < rrbr a
ba
ba
0 , 1 > ∀++> ⇒ < rrbr a
ba
ba
41 15. xa≤ ()0>a ⇔ .axa≤≤−
16. b a b a+ ≤ ±, R b a∈, sauC .
17. n n a a a a a+ + ≤ ± ± ±… …1 2 1 , inRsau C .
18. b a b a− ≤ −inRsau C .
19. () n n n n n n n1
11
11 1 1
2−−=−≤⋅=
() n n n n n1
11
11
!1−−=−<
20. Z b a∈, , Z n m∈, , Qnm∉ . 12 2≥ − ⇒ nb ma
21. Numerele pozitive c b a, ,pot fi lungimile laturilor unui triunghi
dacă și numai dac ă ∃ *, ,+∈R z y x i a.
,z y a+ = ,z x b+= .yxc+=
22. 1≥⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−b a
ba b a≠ ∀ 0 ,>b a ,
23. . 6 , ,*≥+++++⇒ ∈+ba c
ac b
cb aR c b a
24. Dacă 0 ,…,1≥nx x si k x xn=++…1 constant atunci produsul
nx x x…2 2⋅ e maxim când . …1nkx xn= = =
25. Dacă. 0 ,…,1<nx x si k xin
i=∏
=1constant nx x++⇒ …1 e
minimă atunci când . …1n
n k x x= = =
26. Dacă 0 ,…,1≥nx x si ==++ k x xn …1 constant atunci
np
np px x x…1 1
2 2⋅ este maxim când
n i N pp pk
px
px
px
i
n nn, 1 , ,……*
1 22
11= ∈+ += = =
4227. Teorema lui Jensen:
Dacă :fΙ ,R→ (Ι interval) si ()()()
2 22 1 2 1 x f x f x xf+≤⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+
≥
∈ ∀2 1,x xΙ ()()()
nx f x f
nx xfn n + +≤⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+ +⇒≥… …1 2
∈ ∀ixΙ , . , 1n i=
28. Inegalitatea mediilor …….1…11
1
1na aa a
a ann n
n
n+ +≤ ≤
+ +
29.() .1…1…2
12 1 na aa a a
nn ≥⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+ + + + + ∀ . , 1 , 0n i ai= ≥
egalitate când . , 1 , ,n j i aj ai = ∀ =
30. Inegalitatea lui Cauchy-Buniakowsky-Schwartz.
()()( )2
1 12 2
12 2
1 … … …n n n n b a b a b b a a+ + ≥ + + + + . ,R b ai i∈∀
31. Inegalitatea mediilor generalizate: . " "bjaj
biai= ⇔ =
ββ βαα α1
11
1 … …
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+ +≥⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+ +
na a
na an n, , , ,βα≥∈∀+R b ai i
. ,R∈βα
⇓
32.na a
na an n + +≥⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+ + … …121
2 2
1
33.Inegalitatea lui Bernoulli:
() . , 1 , 1 1N n a na an∈ ∀ − ≥ + ≥ +
43
3.Mulț imi. Opera ții cu mulțimi.
1. A
sociativitatea reuniunii si a intersec ției:
A
(B
C)=(A
B)
C A
(B
C)=(A
B)
C
2. Comutativitatea reuniunii si a intersec ției:
A
B=B
A A
B=B
A
3. Idempoten ța reuniunii si intersec ției:
A
A=A A
A=A
4. A
Ø=A A
Ø=Ø
5. Distributivitatea reuniunii fa ță de intersec ție:
A
(B
C)=(A
B)
(A
C)
6. Distributivitatea intersec ției față de reuniune:
A
(B
C)=(A
B)
(A
C)
7. A,B
E,
(A
B)=
A
B
(A
B)=
A
B
8. A
E,
(
A)=A
9. A\B=
(A
B)
10. A\(B
C)=(A\B)\C
A\(B
C)=(A\B)
(A\C)
(A
B)\C=(A\C)
(B\C)
(A
B)\C=A
(B\C)=(A\C)
B
11. A×(B
C)=(A×B)
(A×C)
A×(B
C)=(A×B)
(A×C)
A×(B\C)=(A×B)\ (A×C)
A×B≠B×A
A
B⇔(
x) (x∈A=>x∈B)
A
B⇔ (
x)((x∈A)
(x
B))
x∈A
B⇔ (x∈A)
(x∈B)
x∈A
B⇔ (x∈A)
(x∈B)
x∈C EA⇔ (x∈E)
(x
A)
x∈A\B ⇔ (x∈A)
(x
B)
44
12. Relațiile lui de Morgan
1. ך( p
q)=ךp
ךq, ך(p
q)= ךp
ךq .
2. p
(q
r) = (p
q)
(p
r), p
(q
r)=(p
q)
(p
r).
3. ךp
p=A, ךp
p = F.
4. p ⇒q
ךp
q.
5. p⇔q
(p⇒q)
(q⇒p)
(ךp
q)
(ך q
p).
6. p
A = p , p
A=A
7. p
q = q
p , p
q = q
p
8. ך(ךp)=p
9. p
ךp =F , p
ךp =A
10. (p
q)
r = p
(q
r)
(p
q)
r = p
(q
r)
11. p
F = p p
F = F
454. Progresii
1. Șiruri
Se cunosc deja șirul numerelor naturale 0,1,2,3,4,……., șirul
numerelor pare 2,4,6,…… Din observa țiile directe asupra acestor șiruri,
un șir de numere reale este dat în forma ,….. , ,3 2 1a a a unde
3 2 1, ,a a a sunt termenii șirului iar indicii 1,2,3, reprezint ă poziț ia pe
care îi ocup ă termenii în șir.
Definiție: Se nume ște șir de numere reale o funcție f: N*→R ,
definită prin f(n)= an
Notă m ()*N n na∈ șirul de termen general , an
Observație: Numerotarea termenilor unui șir se mai poate face începând
cu zero: ,….. , ,2 1 0a a a
ia , i≥1 se nume ște termenul de rang i.
Un șir poate fi definit prin :
a) descrierea elementelor mul țimii de termeni. 2,4,6,8,……..
b) cu ajutorul unei formule an=2n
c) printr-o rela ție de recurență . 21+=+ n n a a
Un șir constant este un șir în care to ți termenii șirului sunt constan ți :
5,5,5,5,…..
Două șiruri n n n nb a) ( , ) ( sunt egale dac ă N n b an n∈∀=,
Orice șir are o infinitate de termeni.
46 2. Progresii aritmetice
Definiție: Se numește progresie aritmetic ă un ș ir în care diferen ța
oricăror doi termeni consecutivi este un num ăr constant r, numit ra ția
progresiei aritmetice.
1. Relația de recuren ță între doi termeni consecutivi:
1 ,1 ≥∀+=+ n r a an n
2. a1,a2, … a n-1, an, an+1 sunt termenii unei progresii aritmetice ⇔
21 1+ −+=n n
na aa
3. Termenul general este dat de :
()r n a an 11−+=
4. Suma oric ăror doi termeni egal departa ți de extremi este egal cu
suma termenilor extremi :
n k n k a a a a+=++ − 1 1
5. Suma primilor n termeni :
()
21 n a aSn
n⋅ +=
6. Șirul termenilor unei progresii aritmetice:
r a r a r a a3 , 2 , ,1 1 1 1 +++ ,…….
()r n m a an m−=−
7. Trei numere x 1, x2, x3 se scriu în progresie aritmetic ă de forma :
x 1 = u – v x 2 = u x 3 = u + v ∀ u,v ℜ∈ .
8. Patru numere x 1, x2, x 3, x 4 se scriu în progresie aritmetic ă
astfel:
x 1 = u – 3v, x 2 = u – v , x 3 = u + v , x 4 = u + 3v, ∀ u,v ℜ∈ .
9 . Dacă
21
1++
+〈 ⇒ ÷
kk
kk
iaa
aaa
47
4. Progresii geometrice
Definiție : Se nume ște progresie geometric ă un șir în care raportul
oricăror doi termeni consecutivi este un num ăr constant q, numit
rația progresiei geometrice.
1. Relația de recuren ță : 1 ,1 ≥∀⋅=+ n q b bn n
2. b1,b2, … b n-1, bn, bn+1 sunt termenii unei progresii geometrice cu
termeni pozitivi ⇔ 1 1+ −⋅ =n n n b b b
3. Termenul general este dat de : 1
1−⋅ =n
n q b b
4. Produsul oricaror doi termeni egal departati de extremi este egal
cu produsul extremilor
n k n k b b b b⋅=⋅+ − 1 1
5. Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice :
qqb Sn
n−−⋅ =11
1
6. Șirul termenilor unei progresii geometrice :
,…. ,… , ,12
1 1 1nq b q b q b b⋅ ⋅ ⋅
7. Trei numere x 1, x2, x3 se scriu în progresie geometric ă de forma :
x 1 = vu x 2 = u x 3 = v u⋅, +∈ ∀*, R v u
8. Patru numere x 1, x2, x3, x4 se scriu în progresie geometric ă astfel :
x 1 = 3vu
x 2 = vu
x 3 = v u⋅
x 4 = 3v u⋅ +∈ ∀*, R v u
48
5. Funcții
I. Fie ƒ: A →B.
1 ) Funcț ia ƒ este injectiv ă,dacă
∀ x,y ∈A, x≠ y=>ƒ(x)≠ ƒ(y).
2) Funcția ƒ este injectiv ă,dacă din ƒ(x)=ƒ(y) =>x=y.
3) Funcția f este injectiv ă, dacă orice paralel ă la axa 0x
intersecteaz ă graficul func ției în cel mult un punct.
II.
1)Funcția ƒ este surjectiv ă, dacă ∀ y ∈ B, există cel puț in un
punct x ∈A, a.î. ƒ(x)=y.
2) Funcția ƒ este surjectiv ă, daca ƒ(A) =B.
3) Funcția ƒ este surjectiv ă, dacă orice paralelă la axa 0x, dus ă
printr-un punct al lui B, intersecteaz ă graficul funcț iei în cel
puțin un punct.
III.
1) Funcția ƒeste bijectiv ă dacă este injectiv ă și surjectiv ă.
2) Funcția ƒ este bijectiv ă dacă pentru orice y ∈ B există un
singur x ∈ A a.î. ƒ(x) =y (ecua ția ƒ(x)=y,are o singur ă
soluție,pentru orice y din B)
3) Funcția ƒ este bijectiv ă dacă orice paralel ă la axa 0x, dus ă
printr-un punct al lui B, intersecteaz ă graficul funcț iei într-un
punct și numai unul.
IV.
1A: A→A prin 1 A(x) =x, ∀ x ∈ A.
1) Funcția ƒ: A→B este inversabil ă , dacă există o funcț ie
g:B→A astfel încât g o ƒ = 1 A si ƒ o g =1 B, funcț ia g este
inversa func ției ƒ și se notează cu ƒ-1.
2) ƒ(x) = y <=> x= ƒ-1(y)
3) ƒ este bijectiv ă <=> ƒ este inversabil ă.
49V. Fie ƒ:A→B si g: B→ C, două funcții.
1) Dacă ƒ si g sunt injective, atunci g o ƒ este injectiv ă.
2) Dacă ƒ si g sunt surjective,atunci g o ƒ este surjectiv ă.
3) Dacă ƒ si g sunt bijective, atunci g o ƒ este bijectiv ă.
4) Dacă ƒ si g sunt (strict) crescatoare,atunci g o ƒ este
(strict) crescatoare. 5)
Dacă ƒ si g sunt (strict) de screscatoare, atunci g o ƒ este
(strict) descrescatoare. 6)
Dacă ƒ si g sunt monotone, de monotonii diferite,atunci
g o ƒ este descrescatoare.
7) Dacă ƒ este periodic ă, atunci g o ƒ este periodic ă.
8) Dacă ƒ este pară, atunci g o ƒ este pară.
9) Dacă ƒ si g sunt impare, atunci g o ƒ este impar ă,
10) Dacă ƒ este impară si g pară, atunci g o ƒ este pară.
VI. Fie
ƒ: A→ B si g:B→ C, două funcții.
Dacă g o ƒ este injectiv ă, atunci ƒ este injectiv ă.
Dacă g o ƒ este surjectivă , atunci g este surjectiv ă.
Dacă g o ƒ este bijectiv ă, atunci ƒ este injectiv ă si g
surjectivă.
Dacă ƒ,g: A → B iar h: B→ C bijectivă si h o ƒ = h o ƒ,
atunci ƒ = g.
VII. Fie ƒ: A→B si X,Y mul țimi oarecare.
Funcț ia ƒ este bijectiv ă, dacă și numai dac ă oricare ar fi
funcțiile
u,v: X→A,din ƒ o u =ƒ o v, rezultă u=v.
Funcț ia ƒ este surjectiv ă, daca și numai dacă oricare ar fi
funcțiile u,v :B→Y, din u o ƒ = v o ƒ, rezultă u=v
50
VIII.
1)Dacă ƒ :A→B este strict monoton ă,atunci ƒ este injectiv ă.
2) Daca ƒ : R→ R este periodic și monoton ă, atunci ƒ este
constantă.
3) Daca ƒ : R→R este bijectiv ă și impară,atunci ƒ-1 este
impară.
4) Fie A finit ă și ƒ :A→A. Atunci ƒ este injectiv ă <=> este
surjectivă.
IX. Fie
ƒ: E → F, atunci
1)
ƒ injectivă <=> (∃) g : F →E (surjectiv ă) a.i. g o ƒ=1E.
2) ƒ surjectivă <=>(∃) g : E→F (injectiv ă) a.i. ƒ o g =1 F
3) ƒ bijectivă <=> inversabilă .
X. Fie
ƒ : E → F.
1)Funcția ƒ este injectiv ă dacă și numai dac ă (∀) A,B ⊂ E
ƒ(A ∩ B) = ƒ (A) ∩ (B).
2) Funcția ƒ este surjectiv ă dacă și numai dac ă (∀) B ⊂ F
există A ⊂ E, astfel încât ƒ(A)=B.
3) Funcția ƒ este injectiv ă dacă ƒ(A— B)=ƒ(A) — ƒ(B),
∀ A, B ⊂ E.
XI. Fie
ƒ : E → F si A⊂ E, B ⊂ E, atunci
ƒ(A) ={ y ∈ F ⏐ ∃ x ∈ A a.i. ƒ(x)=y}
ƒ-1 (B) = { x ∈ E ⏐ƒ(x)∈ B}.
1.Fie
ƒ: E→ F si A,B ⊂ E, atunci
a) A ⊂ B => ƒ(A) ⊂ ƒ(B),
b) ƒ(A ∪ B)= ƒ(A) ∪ ƒ(B),
c) ƒ(A ∩ B) ⊂ ƒ(A) ∩ ƒ(B),
d) ƒ(A) — ƒ(B) ⊂ ƒ(A — B).
512.Fie ƒ: E → F si A,B ⊂ F atunci
a) A ⊂ B => ƒ-1 (A) ⊂ ƒ-1 (B),
b)ƒ-1 (A) ∪ ƒ-1 (B) ⊂ ƒ–1 (A ∪ B),
c)ƒ-1 (A) ∩ ƒ-1 (B) = ƒ-1 ( A ∩ B),
d) ƒ-1 (A) — ƒ-1 (B) = ƒ-1 (A— B),
e) ƒ-1 (F) = E.
Funcția de gradul al doilea
Forma canonică a funcției f:R→R,
0 , , , , ) (2≠ ∈ + + = a R c b a c bx ax x f este
R xa abx a x f ∈ ∀Δ−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+ = ,4 2) (2
;
Graficul func ției este o parabol ă de vârf ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛Δ− −a abV4,2, unde
ac b42− = Δ
0〉a f este convexă;
0〈Δ; x1,x2 ∈ C
f(x) >0, R x∈∀ ;
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛Δ− −a abV4,2 – punct
de minim;
52
0=Δ , x1=x2∈R
f(x) ≥0, R x∈∀ ;
f(x)=0 abx2− = ⇔
R x x∈≠〉Δ2 1 , 0 f(x) ≥0,
) , [ ] , (2 1+∞ ∪ −∞ ∈∀ x x x ;
f(x)<0, ) , (2 1x x x∈∀
Pentru ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛− ∞ − ∈abx2,f u n c ția este strict descresc ătoare;
Pentru ), ,2[+∞ − ∈abx funcția este strict cresc ătoare
53
a<0 funcția este concav ă
0〈Δ; x1,x2 ∈ C
f(x) <0, R x∈∀ ;
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛Δ− −a abV4,2 – punct de
maxim
0=Δ , x1=x2∈R
f(x) ≤0, R x∈∀ ;
f(x)=0 abx2− = ⇔
R x x∈≠〉 Δ2 1 , 0
f(x) ≥0, ] , [2 1x x x∈∀ ;
f(x)<0,
) , ( ) , (2 1+∞ ∪ −∞∈∀ x x x
54Pentru ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛− ∞ − ∈abx2,f u n c ția este strict cresc ătoare;
Pentru ), ,2[+∞ − ∈abx funcția este strict descresc ătoare.
6. NUMERE COMPLEXE
1. NUMERE COMPLEXE SUB FORM Ă ALGEBRIC Ă
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧− = ∈ + = =1 , , ,2i R b a ib a z z C
– mulțimea numerelor complexe.
z=a+ib=Re z+Im z
OPERAȚII CU NUMERE COMPLEXE
Fie id c z ib a z+ = + =2 1 , . Atunci:
1. d b si c a z z= = ⇔ =2 1 .
2. ). ( ) (2 1 d b i c a z z+++=+
3. ). ( ) (2 1 c b d a i d b c a z z⋅+⋅+⋅−⋅=⋅
4. ,1 ib a z− = conjugatul lui 1z
5. 2 2 2 2
21
d cd a c bi
d cd b c a
zz
+⋅ − ⋅+
+⋅ + ⋅=
6.2 2 2 2
11
b abi
b aa
z +−
+= .
55PUTERILE LUI i
1. 14=ki ;
2. i ik=+1 4;
3. 12 4− =+ki ;
4. i ik− =+3 4 ;
5. iiiiinn− = = =− − 1,11 ;
6.
⎪⎩⎪⎨⎧
−= ⋅ − = − =−
impar n ipar n i
i i i
nn
n n n n
,,
) 1 ( ) (
PROPRIET ĂȚILE MODULULUI
2 2b a z+ = – modulul nr. complexe
1. 0 0 , 0= ⇔ = ≥z z z 2. 2z z z= ⋅ 3. z z=
4. 2 1 2 1z z z z⋅ = ⋅
5. 0 ,2
21
21≠ =zzz
zz
6. 2 1 2 1 2 1z z z z z z+ ≤ ± ≤ − 7. n nz z=
8. z z z R z C z= ⇔ = ⇔ ∈ ∈ 0 Im ;
ECUAȚII:
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡+ + −±+ +± =⇒ + ± = ⇒ + =
2 22 2 2 2
2 , 12 , 12
b a aib a azib a z ib a z
‚+’ dacă b pozitiv; ‚-‚ dacă b negativ
56020 4240
2 , 122
2 , 12
〈 ΔΔ − ± −=≥ − = Δ− ± −= ⇒ = + +
dacaai bxsau ac b dacaaac b bx c bx ax
NUMERE COMPLEXE SUB FORM Ă GEOMETRIC Ă
Forma trigonometric ă a numerelor complexe:
z= ) sin (cos ϕϕρ i+ ,
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
∈∈∈
= + =
IV b aIII II b aI b a
k kabarctg
) , ( , 2, ) , ( , 1) , ( , 0
,π ϕ
ρ=2 2b a z+ = se numește raza polar ă a lui z
Fie z 1= ) sin (cos1 1 1 ϕϕρ i+ și z2= ) sin (cos2 2 2 ϕϕρ i+ ;
z1=z2 π ϕ ϕ ρ ρ k i a Z k exista si + = ∈ =2 1 2 1 . ,
) sin( ) [cos(2 1 2 1 2 1 2 1 ϕϕ ϕϕρρ +++ ⋅= ⋅ i z z
) sin (cos1 1 1 1 ϕ ϕ ρi z − =
57)] sin( ) [cos(1 1
1 1
1 1ϕ ϕρ− + − = iz
[] ) sin( ) cos(1 2 1 2
12
12ϕ ϕ ϕ ϕρρ− + − = izz
R n n i n zn n∈ + = ), sin (cos1 1 1 1 ϕ ϕ ρ
1 , 0 ),2sin2(cos1 1
1 1 − ∈+++= n knkinkzn nπϕπϕρ
7. FUNCTIA EXPONENTIAL Ă
Def. f: R→ (0,∞ ), f(x)= 1 , 0 ,≠ 〉a a ax
Dacă a ⇒ 〉1 f este strict cresc ătoare
2 1
2 1x xa a x x〈 ⇒ 〈
Dacă a ()⇒ ∈1 , 0 f este strict descresc ătoare
2 1
2 1x xa a x x〉 ⇒ 〈
Proprietăț i:
Fie a,b () ⇒∈≠∞∈ R y x b a , , 1 , , , 0
58 ()
()
xxxxx xy x
yxy xyxy x xy x y x
a defineste se nu a pentruaaaabba
baa aaaa aa a b aa a a
, 00 ,110 ,0 ,
0
〈≠ ==≠ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛≠ ==⋅ = ⋅= ⋅
−−⋅+
Tipuri de ecua ții:
1. a b x f b a a bax flog ) ( 0 , 1 , 0 ,) (= ⇒ 〉 ≠ 〉 =
2. a )( ) ( 1 , 0 ,) ( ) (x g x f a a ax g x f= ⇒ ≠ 〉 =
3. a b x g x f b a b a bax g x flog ) ( ) ( 1 , , 0 , ,) ( ) (⋅ = ⇒ ≠ 〉 =
4. ecuații exponen țiale reductibile la ecua ții algebrice printr-o
substituție.
5. ecuații ce se rezolv ă utilizând monotonia func ției
exponențiale.
Inecuații
a>1, ) ( ) () ( ) (x g x f a ax g x f≤ ⇒ ≤
a ) ( ) ( ) 1 , 0 () ( ) (x g x f a ax g x f≥ ⇒ ≤ ∈
59
FUNCTIA LOGARITMIC Ă
Def: f:(0,∞) →R, f(x)= xalog , 1 , 0≠〉a a ,x>0
Dacă a ⇒ 〉1 f este strict cresc ătoare
2 1 2 1 log log x x x xa a〈⇒ 〈
Dacă a ()⇒ ∈1 , 0 f este strict descresc ătoare
2 1 2 1 log log x x x xa a〉 ⇒ 〈
Proprietăț i:
Fie a,b() ⇒∈∞∈≠∞∈ R m y x c b a c ), , 0 ( , , 1 , , , , 0
y xyxy x y xx y x a
a a aa a aay
log log loglog log loglog 0
− =+ = ⋅= ⇒ 〉 =
60. 1 log , 0 1 log,loglog1,loglogloglog log , log
log log log
= == == == =
aa x c aab abbb m b m a
a ax a cb
a cc
aam
am
a
a b b
Tipuri de ecua ții:
1.b
x f x f x g f g f b x g) ( ) ( 1 , 0 , , ) ( log) ( = ⇒ ≠ 〉 =
2. ) ( ) ( ) ( log ) ( logx g x f x g x fa a = ⇒ =
3. ) ( log) ( ) ( log ) ( logx g
b aba x f x g x f= ⇒ =
4. ecuații logaritmice reductibile la ecua ții algebrice printr-o
substituție.
5. ecuații ce se rezolvă utilizând monotonia func ției logaritmice.
Inecuații
a>1, ) ( ) ( ) ( log ) ( logx g x f x g x fa a ≤⇒ ≤
a ) ( ) ( ) ( log ) ( log ) 1 , 0 (x g x f x g x fa a ≥ ⇒ ≤ ∈
61
8. BINOMUL LUI NEWTON
În 1664 Isaac Newton (1643-1727) a g ăsit următoarea formul ă
pentru dezvoltarea binomului (a+b)n. Deși formula era cunoscut ă încă din
antichitate de c ătre matematicianul arab Omar Khayyam (1040-1123),
Newton a extins-o și pentru coeficienț i raționali.
TEOREM Ă: Pentru orice num ăr natural n și a și b numere reale
există relaț ia:
()nn
nk k n k
nn
nn
nn
nnb C b a C b a C b a C a C b a+ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + = +− − −….. ……….2 2 2 11 0
(1)
Numerele n
n n n C C C,…., ,1 0 se numesc coeficien ții binomiali ai
dezvoltării;
Este necesar să se facă distincție între coeficientul unui termen
al dezvoltă rii și coeficientul binomial al acelui termen.
Exemplu: (a+2b)4= a4 + 4a 3 .2b+…..
Coeficientul celui de-al doilea termen este 8 iar
coeficientul binomial este C 41 =4;
Pentru (a-b)n avem urm ătoarea form ă a binomului lui Newton:
()nn
nn k k n k
nk n
nn
nn
nnb C b a C b a C b a C a C b a ) 1 ( ….. ) 1 ( . ……….2 2 2 11 0− + + ⋅ − + − ⋅ + ⋅ − = −− − −
(1’)
Proprietăți:
1. Numărul termenilor dezvolt ării binomului (a+b)n este n+1;
Dacă n=2k ⇒ coeficientul binomial al term enului din mijloc al dezvolt ării
este C nk și este cel mai mare.
Dacă n=2k+1 ⇒ Cnk și Cnk+1 sunt egali și sunt cei mai mari;
C no<C n1<……<C nk >C nk+1>…..>C nn daca n este par, n=2k
62 C no<C n1<……<C nk =C nk+1>…..>C nn daca n este impar, n=2k+1.
2. Coeficien ții binomiali din dezvoltare, egal dep ărtați de termenii
extremi ai dezvolt ării sunt egali între ei.
k n
nk
nC C−=
(2)
3. Termenul de rang k+1 al dezvolt ării (sau termenul general al
dezvoltării) este
n k b a C Tk k n k
n k ,…., 2 , 1 , 0 ,1 = ⋅ =−
+
(3)
⇒ Formula binomului lui Newton scris ă restrâns are forma:
()∑
=−= +n
kk k n k
nnb a C b a
0.
(4)
4. Relația de recurență între termenii succesivi ai dezvolt ării este
următoarea:
ab
kk n
TT
kk⋅+−=
++
112
(5)
5. Pentru a=b=1 se ob ține
n n
n n n n C C C C ) 1 1 ( … ……….2 1 0+ = + + + +
(6)
ceea ce înseamn ă că numărul tuturor submul țimilor unei mul țimi cu n
elemente este 2n .
63
9. Vectori și operații cu vectori
Definiție:
Se nume ște segment orientat, o pereche ordonat ă de
puncte din plan; Se nume ște
vector , mulțimea tuturor segmentelor
orientate care au aceea și direcție, aceeași lungime și același
sens cu ale unui segment orientat.
Observații:
Orice vector ABse caracterizeaz ă prin:
– modul (lungime,norm ă), dat de lungimea segmentului
AB;
– direcție, dată de dreapta AB sau orice dreapt ă paralelă
cu aceasta;
– sens, indicat printr-o s ăgeată de la originea A la
extremitatea B.
Notații: AB vectorul cu originea A și extremitatea B;
2
02
0 ) ( ) (y y x x AB− + − = – modulul vectorului AB unde
A(x 0,y0), B(x.y).
Definiție:
Se numesc vectori ega li, vectorii care au aceea și direcție,
același sens și același modul. Doi vectori se numesc opu și dacă
au aceeași direcție, același modul și sensuri contrare:
– AB=BA.
Adunarea vectorilor se poate face dup ă regula triunghiului sau
după regula paralelogramului:
64
R v sau v ∈ ∀ = = ⇔ = ⋅ λ λ λ , 0 0 0
v v v v Daca ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ≠ ≠λ λ λ λ , 0 , 0 are direcția și sensul
vectorului vdacă 0〉λ și sens opus lui v dacă 0〈λ.
Definiție:
Doi vectori se numesc coliniari dacă cel puțin unul este nul sau
dacă amândoi sunt nenuli și au aceeaș i direcție. În caz contrar
se numesc necoliniari.
vectori coliniari vectori necoliniari
Teoremă :
Fie 0≠u și vun vector oarecare.
Vectorii u și v sunt coliniari u v i a R⋅ = ∈ ∃ ⇔ λ λ . . .
65Punctele A, B, C sunt coliniare
AC AB i Ra coliniarisunt AC si AB ⋅ = ∈ ∃ ⇔ ⇔ λ λ . . .
CD si AB CD AB ⇔ sunt coliniari;
Dacă u și v sunt vectori necoliniari atunci
0 0 . . , = = ⇔ = ⋅ + ⋅ ∈ ∃y x v y u x i a R y x .
Teoremă : Fie a și bdoi vectori necoliniari. Oricare ar fi
vectorul v, există ) ( , unice R∈βα astfel încât b a v⋅ + ⋅ =β α.
Vectorii a și b formează o bază.
βα,se numesc coordonatele vectorului v în baza ()b a,.
Definiție:
Fie XOY un reper cartezian. Consider ăm punctele A(1,0),
B(0,1). Vectorii OB j si OA i= = se numesc versorii axelor
de coordonate. Ei au modulul egal cu 1, direc țiile axelor și
sensurile semiaxelor pozitive cu OX și OY.
Baza ()j i, s e n u m e ște bază ortonormată .
66
j y i x B A B A v⋅ + ⋅ = + = ' ' ' ' ' ' x=x B- xA, y=y B- yA
j v pr i v pr vOY OX ⋅ + ⋅ = 2 2) ( ) (A B A B y y x x AB− + − =
Teoremă :
Fie ) ' , ' ( ), , (y x v y x u. Atunci:
1) u+v are coordonatele (x+x’.y+y’);
2) v R⋅ ∈ ∀λ λ, are coordonatele ( λx’, λy’);
3) ) ' , ' ( ), , (y x v y x usunt coliniari
. 0 ' ' . 0 ' , ' ,' '= − ⇔ ≠ = = ⇔y x xy y x kyy
xx
4) Produsul scalar a doi vectori nenuli.
]. , 0 [ , ) , ( cos π α α α ∈ = ⋅ ⋅ = ⋅ v u m unde v u v u
2 2 2 2) ' ( ) ' (' 'cos
y x y xy y x x
+ ⋅ +⋅+⋅=α
0 ] ,2( ; 0 ]2, 0 [ 〈 ⋅ ⇒ ∈ ≥ ⋅ ⇒ ∈v u v u ππαπα
Fie ) ' , ' ( ), , (y x v y x u nenuli. Atunci:
. 0 ' ' 0 = ⋅ + ⋅ ⇔ ⊥ ⇔ = ⋅y y x x v u v u
. 0 ; 1. 0 0. , 02
= ⋅ = ⋅ = ⋅= ⇔ = ⋅∀ ≥ = ⋅
j i j j i iu u uu u u u
Vectori de poziț ie. Dacă B Ar r,
sunt vectori de pozi ție, atunci: A Br r AB− =
67
10. Func ții trigonometrice
Semnul func țiilor trigonometrice:
Sin: []1 , 12,2− →⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−π π
arcsin:[-1,1] → ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−2,2π π
Cos:
[][]1 , 1 , 0−→π
arccos:[-1,1] []π, 0→
68
Tg: R→⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−2,2π π
arctg:R→ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−2,2π π
Reducerea la un unghi ascu țit
Fie u )2, 0 (π∈ Notăm sgn f= semnul func ției f; cof = cofunc ția lui f
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
= ⋅ ±= ⋅ ±
=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛±
impar k u u k fpar k u u k f
u k
, cos )2( sgn, sin )2( sgn
2sinππ
π Analog pentru
celelalte;
În general,
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
= ⋅ ±= ⋅ ±
= ±
impar k u cof u k fpar k u f u k f
u k f
), ( )2( sgn), ( )2( sgn
)2(ππ
π
69Ecuații trigonometrice
Fie x un unghi, a un num ăr real și kZ∈ .
] 1 , 0 [ , arcsin ) 1 ( 1 , sin ∈ + − = ⇒ ≤ = a dacă k a x a a xkπ
= ] 0 , 1 [ , arcsin ) 1 (1− ∈ + −+a dacă k akπ
] 1 , 0 [ , 2 arccos 1 , cos ∈ + ± = ⇒ ≤ = a dacă k a x a a x π
= ] 0 , 1 [ , ) 1 2 ( arccos − ∈ + + ± a dacă k aπ
πk arctga x R a a tgx+=⇒∈=,
πk a x a xk+ − = ⇒ =) 1 ( ) arcsin(sin
πk a x a x2 ) arccos(cos +±=⇒=
πk a x a tgx arctg+=⇒=) (
πk x g x f x g x fk+ − = ⇒ = ) ( ) 1 ( ) ( ) ( sin ) ( sin
πk x g x f x g x f2 ) ( ) ( ) ( cos ) ( cos+±=⇒ =
Z k k x g x f x tgg x tgf∈+=⇒ = , ) ( ) ( ) ( ) (π
Ecuații trigonometrice reductibile la ecuaț ii care con țin aceeași
funcție a aceluia și unghi;
Ecuații omogene în sin x și cos x de forma: asin x+bcos x=0; asin2
x+bsin x .cos x+ ccos2 x=0
Ecuații trigonometrice care se rezolvă prin descompuneri în factori;
Ecuații simetrice în sin x și cos x;
Ecuații de forma:
⇒ − = + ⇒ = + +acx tg x a c x b x acos sin : 0 cos sinϕ
π ϕ ϕ kacxk+ − − = + ) cos arcsin( ) 1 (
2 2cos sin b a x b x a+ ≤ +
Observație important ă: Prin ridicarea la putere a unei ecua ții
trigonometrice pot ap ărea soluții străine iar prin împă rțirea unei ecua ții
trigonometrice se pot pierde solu ții;
70
FORMULE TRIGONOMETRICE
1.
α αα α α α
22 2 2
cos 1 sin; sin 1 cos 1 cos sin
− ± =− ± = ⇒ = +R∈α
2.
;cos11coscos 1
sin 1sin
222
2 αααα
ααα = + ⇒−± =
−± = tg tg
3. ;
1sin ;
11cos
2 2ααα
αα
tgtg
tg +± =
+± =
4. βαβαβα sin sin cos cos ) cos(− =+ ;
5. βαβαβα sin sin cos cos ) cos(+ =− ;
6. αββαβα cos sin cos sin ) sin(+ =+ ;
7. αββαβα cos sin cos sin ) sin(− =− ;
8. ;1) ( ;1) (β αβαβ αβ αβαβ αtg tgtg tgtgtg tgtg tgtg⋅ +−= −⋅ −+= +
9.
;1) ( ;1) (β αβαβ αβ αβαβ αctg ctgctg ctgctgctg ctgctg ctgctg−+⋅= −+−⋅= +
10. ; cos sin 2 2 sinα α α =
11. α α α α α2 2 2 2sin 2 1 1 cos 2 sin cos 2 cos− = − = − =
12. 22 cos 1sin ;22 cos 1cos2 2 αααα−=+= ;
13. ;2cos 1
2sin ;2cos 1
2cosα α α α −± =+± =
14. αα α
αα α
cos 1cos 1
2;cos 1cos 1
2 −+± =+−± = ctg tg
15. ;212 ;1222
2ααααααctgctgctgtgtgtg−=−=
7116. ;
2221
;
21222
2 αα
ααα
α
tgtg
ctg
tgtg
tg−
=
−=
17.
;1 333 ; cos 3 cos 4 3 cos3 133 ; sin 4 sin 3 3 sin
23
323
3
−−= − =−−= − =
αα αα α α ααα αα α α α
ctgctg ctgctgtgtg tgtg
18. ;
21
sincos 1
cos 1sin
2 ααα
ααα
ctgtg =−=+=
19. ;
2121
cos ;
2122
sin
22
2 αα
ααα
α
tgtg
tgtg
+−
=
+=
2cos2sin 2 sin sinb a b ab a−⋅+= +
2cos2sin 2 sin sinb a b ab a+⋅−= −
2sin2sin 2 cos cosb a b ab a−⋅+− = −
2cos2sin 2 cos cosb a b ab a+⋅−= +
b ab atgb tgacos cos) sin(
⋅−= − b ab actgb ctgasin sin) sin(
⋅+= +
b aa bctgb ctgasin sin) sin(
⋅−= − b ab atgb tgacos cos) sin(
⋅+= +
72
2) cos( ) cos(cos cosb a b ab a−++= ⋅
) 1 1 arcsin( arcsin arcsin2 2x y y x y x− + − = +
arcsin x+arccos x=2π arctg x +arcctg x=2π
arctg x+arctg21π=x arccos(-x)= π-arccos x
2) sin( ) sin(cos sinb a b ab a−++= ⋅
2) cos( ) cos(sin sinb a b ab a+−−= ⋅
73
11. ECUA ȚIILE DREPTEI ÎN PLAN
1
. Ecuaț ia cartezian ă generală a dreptei:
ax+by+c=0 (d)
Punctul M(x 0,y0) 00 0 = + ⋅ + ⋅ ⇔ ∈c y b x a d
2. Ecuaț ia dreptei determinat ă de punctele A(x 1,y1), B(x 2,y2):
1 21
1 21
x xx x
y yy y
−−=−−
3. Ecuaț ia dreptei determinat ă de un punct M(x 0,y0) și o
direcție dată( are panta m)
y-y 0=m(x-x 0)
4. Ecuaț ia explicit ă a dreptei (ecua ția normal ă):
y=mx+n , unde
1 21 2
x xy ytg m−−= =ϕ este panta
dreptei și n este ordonata la origine.
5. Ecuaț ia dreptei prin t ăieturi: . 0 , , 1≠ = +b aby
ax
6. Fie (d): y=mx+n și (d’): y=m’x+n’
Dreptele d și d’ sunt paralele ⇔m=m’și n≠n’.
Dreptele d și d’ coincid ⇔m=m’și n=n’.
Dreptele d și d’ sunt perpendiculare ⇔ mm’= -1.
Tangenta unghiului ϕ a celor dou ă drepte este
' 1'
m mm mtg⋅ +−=ϕ
7. Fie d: ax+by+c=0 și d’: a’x+b’y+c’=0 cu a’,b’,c’ . 0≠și
) ' , (d d m〈 =θ
Dreptele d și d’ sunt paralele ⇔' ' 'cc
bb
aa≠ =
74 Dreptele d și d’ coincid ⇔' ' 'cc
bb
aa= =
Dreptele d și d’ sunt concurente ⇔ ≠ ⇔' 'bb
aa
ab’-ba’ . 0≠
2 2 2 2' '' '
''cos
b a b ab b a a
v vv v
+ ⋅ +⋅ + ⋅=
⋅⋅=θ unde
) ' , ' ( ' ), , (a b v a b v− − sunt vectorii direct ori ai dreptelor
d și d’.
Dreptele d și d’ sunt perpendiculare,
0 ' ' '=⋅+⋅⇔⊥ b b a a d d
8. Fie punctele A(x 1,y1), B(x 2,y2), C(x 3,y3), D(x 4,y4) în plan.
Dreptele AB și CD sunt paralele, AB|| CD
⇔ CD AB î a Rα α = ∈ ∃ . *, sau mAB=mCD.
Dreptele AB și CD sunt perpendiculare,
0= ⋅ ⇔ ⊥CD AB CD AB
Condiția ca punctele A(x 1,y1), B(x 2,y2), C(x 3,y3) să fie
coliniare este:
1 21 3
1 21 3
x xx x
y yy y
−−=−−
9. Distanț a dintre punctele A(x 1,y1) și B(x 2,y2) este
() ()2
1 22
1 2 y y x x AB− + − =
Distanța de la un punct M 0(x0,y0) la o dreaptă h de ecua ție
(h): ax+by+c=0 este dat ă de:
2 20 0
0) , (
b ac by axh M d
++ += .
75
12. CONICE
1.CERCUL
Definiție: Locul geometric al tuturor punctelor din plan egal dep ărtate de un
punct fix, numit centru se nume ște cerc.
} | ) , ( { ) , (r OM y x M r O C= =
1. Ecuația general ă a cercului
A(x² + y²) + Bx + Cy + D = 0
2. Ecuația cercului de centru: O(a, b) respectiv O(0, 0) si raza „r”
(x – a)² + (y + b)² = r² ; x² + y² = r² 3. Ecuația cercului de diametru A(x
1;y1), B(x 2; y2)
(x – x 1)(x – x 2) + ( y- y 1)(y – y 2) = 0
4. Ecuația tangentei dup ă o direcție
O(0,0) : y = mx ± r m² 1+
O(a,b) : y-b = m(x-a) ± r m² 1+
5. Ecuația tangentei în punctul M(x 0, y0)
(x· x 0) + (y ·y 0) = r² respectiv
(x – a)(x 0 – a) + (y – b)(y 0 – b) = r²
6. Ecuatia normala a cercului
76x² + y² + 2mx + 2ny + p = 0 cu
O(-m; -n) ș i r² = m² + n² – p
7. Ecuația tangentei în punctul M(x 0,y0)
x · x 0 + y · y0 + m(x + x 0) + n(y + y 0) + p = 0
8. Distanta de la centrul cercului O(a, b) la dreapta de ecua ție
y = mx + n este
d(0,d) =
1 ²| |
++−
mn b ma sau (
² ²| | 0 0
b ac by axd
++=+)
9. Ecuațiile tangentelor din punctul exterior M(x 0, y0)
I. Se scrie ecua ția 4 și se pune condi ția ca M să aparț ină cercului de
ecuație 4.
II. y – y 0 = m(x – x 0)
x² + y² = r² , Δ=0
2. ELIPSA
Definiție: Locul geometric al punctelor din plan care au suma
distanțelor la dou ă puncte fixe, constant ă, se nume ște elipsă.
F,F’- focare, FF’ distan ța focală
E={} a MF MF y x M2 ' ) , (= +
MF,MF’- raze focale
1. Ecuaț ia elipsei
77
1²²
²²= +by
ax , b² = a² – c²
2. Ecuaț ia tangentei la elips ă
y = mx ± ² ² ²b m a+
3.
Ecuaț ia tangentei în punctul M(x 0, y0) la elipsă
1² ²0 0=⋅+⋅
by y
ax x ,
00
²²
yx
abm⋅ − =
4. Ecuaț iile tangentelor dint r-un punct exterior M(x 0, y0) la
elipsă
VAR I Se scrie ecua ția 2 și se pune condi ția ca M să aparțină
elipsei de ecua ție 2 de unde rezult ă m
VAR II Se rezolv ă sistemul y – y 0 = m(x-x0)
,
cu conditia Δ = 0
3. HIPERBOLA
Definiție: Locul geometric al punctelor din plan a c ăror
diferență la două puncte fixe este constant ă, se nume ște
hiperbolă
1²²
²²= +by
ax
78
H: = { M(x,y) | |MF – MF’| = 2a }
y = ± xab –ecuația asimptotelor
1. Ecuația hiperbolei
1²²
²²= −by
ax , b² = c² – a² ;
Daca a = b => hiperbola echilateral ă
2.Ecuația tangentei la hiperbol ă
y = mx ± ² ² ²b m a−
3. Ecuația tangentei în punctul M(x 0, y0)
1² ²0 0=⋅−⋅
by y
ax x ,
00
²²
yx
abm⋅ =
4. Ecuațiile tangentelor dintr- un punct exterior M(x 0, y0)
VAR I. Se scrie ecua ția 2 si se pune condi ția ca M să aparțină
hiperbolei de ecua ție 2, de unde rezult ă m.
VAR II. Se rezolva sistemul
y – y 0 = m(x – x 0)
1²²
²²= −by
ax , cu Δ = 0
4. PARABOLA
Definiție: Locul geometric al punctelor egal dep ărtate de un punct
fix, (numit focar) și o dreapt ă fixă (numită directoare), se nume ște
parabolă.
79
P: = { M(x, y) | MF = MN }
(d): x =
2p− ( locul geometric al punctelor din plan de unde putem
duce tangente la o parabol ă).
1. Ecuația parabolei
y² = 2px
2. Ecuația tangentei la parabol ă
y = mx + mP
2
3. Ecuația tangentei în M (x 0, y0)
y·y 0 = p(x + x 0)
4. Ecuatia tangentelor dintr-un punct exterior M(x 0, y0)
VAR I. Se scrie ecua ția 2 și se pune condi ția ca M∈ (ecuatia 2) =>
m
VAR II. Se rezolvă sistemul
y – y 0 = m(x – x 0)
y² = 2px cu Δ = 0
80
13. ALGEBRA LINIAR Ă
1. MATRICE.
Adunarea matricelor ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
+ ++ +=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
t d z cy b x a
t zy x
d cb a
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⋅ ⋅⋅ ⋅=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛⋅t a z ay a x a
t zy xa
Înmulțirea matricelor
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛⋅⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
t d y c z d x ct b y a z b x a
t zy x
d cb a
Transpusa unei matrice ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
d bc a
d cb aT
2. DETERMINAN ȚI.
c b d ad cb a⋅ − ⋅ =;
d b i a h f g e c f b g c h d i e a
i h gf e dc b a
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
Proprietăți:
1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantul
matricei transpuse; 2. Dacă toate elementele unei linii (s au coloane) dintr-o matrice
sunt nule, atunci determinantul matricei este nul; 3. Dacă într-o matrice schimb ăm două linii(sau coloane) între
ele obț inem o matrice care are de terminantul egal cu opusul
determinantului matricei ini țiale.
4. Dacă o matrice are dou ă linii (sau coloane) identice atunci
determinantul s ău este nul;
815. Dacă toate elementele unei linii(sau coloane) ale unei
matrice sunt înmulț ite cu un element a, ob ținem o matrice al
cărei determinant este egal cu a înmul țit cu determinantul
matricei iniț iale.
6. Dacă elementele a dou ă linii(sau coloane) ale unei matrice
sunt propor ționale atunci determinantul matricei este nul;
7. Dacă la o matrice p ătratică A de ordin n presupunem c ă
elementele unei linii i sunt de forma ' ' '
ij ij ija a a+ =
atunci det A = det A’ +det A’’;
8. Dacă o linie (sau coloan ă) a unei matrice p ătratice este o
combinație liniară de celelate linii(sau coloane) atunci
determinantul matricei este nul. 9. Dacă la o linie (sau coloan ă) a matricei A adun ăm
elementele altei linii (sau coloane) înmul țite cu acela și element
se obț ine o matrice al c ărei determinant este egal cu
determinantul matricei ini țiale;
10. Determinantul Vandermonde:
) )( )( (1 1 1
2 2 2b c a c a b
c b ac b a − − − =;
11. Dacă într-un determinant toate elementele de deasupra
diagonalei principale sau de dede subtul ei sunt egale cu zero,
atunci determinantul este egal cu f c a⋅⋅ ;
f c a
f e dc ba
⋅ ⋅ = 00 0
12. Factor comun
r v up n mz y x
b a
r v up b n b m bz a y a x a
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
82
3. Rangul unei matrice
Fie A ) (,C Mn m∈ , r∈N, ) , min( 1n m r≤≤ .
Definiție: Se nume ște minor de ordinul r al matricei A,
determinantul format cu elementele matricei A situate la
intersecția celor r linii ș i r coloane.
Definiție: Fie An mO,≠ o matrice . Num ărul natural r este
rangul matricei A ⇔există un minor de ordinul r al lui A,
nenul iar to ți minorii de ordin mai mare decât r+1 (dac ă există)
sunt nuli.
Teorema : Matricea A are rangul r ⇔ există un minor de
ordin r al lui A iar to ți minorii de ordin r+1 sunt zero.
Teorema : Fie A )( ), (, , C M B C Ms n n m∈ ∈ . Atunci orice minor
de ordinul k , ) , min( 1 s m k≤≤ al lui AB se poate scrie ca o
combinație liniară de minorii de ordinul k al lui A (sau B).
Teorema : Rangul produsului a dou ă matrice este mai mic sau
egal cu rangul fiecă rei matrice.
Definiție: ) (C Mn∈ . A este inversabil ă ⇔det A≠ 0.( A este
nesingular ă).
Teorema : Inversa unei matrice dac ă există este unică .
Observații: 1) det (A·B) =det A· det B.
2) *det11AAA ⋅ =−
(1
,) ) 1 (( *− +→ − = → →A d A A Aj i ijj i τ
)
3) A-1) (Z Mn∈⇔det A = 1±.
Stabilirea rangului unei matrice:
Se ia determinantul de ordinul k-1 și se bordeaz ă cu o
linie (respectiv cu o coloan ă). Dacă noul determinant este nul
rezultă că ultima linie(respectiv coloan ă )este combinaț ie
liniară de celelalte linii (respectiv coloane).
83Teorema : Un determinant este nul ⇔una din coloanele
(respectiv linii) este o combina ție liniară de celelalte
coloane(respectiv linii).
Teorema : Rangul r al unei matric e A este egal cu num ărul
maxim de coloane(respectiv linii) care se pot alege dintre coloanele (respectiv lin iile) lui A astfel încât nici una dintre ele
să nu fie combina ție liniară a celorlalte.
4. Sisteme de ecua ții liniare
Forma generală a unui sistem de m ecua ții cu n necunoscute
este:
(1
⎪⎩⎪⎨⎧
= + + += + + +
m n mn m mn n
b x a x a x ab x a x a x a
…………… ………. ………. ………. ……….. ……….
2 2 1 11 1 2 12 1 11
sau
=∑
=n
jj ijx a
1ib
Unde A (a ij) m i≤≤1 , n j≤≤1 – matricea coeficien ților
necunoscutelor.
Matricea
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
=
m mn mn
b a ab a a
A
……….
11 1 11
se numește matricea extins ă
a sistemului.
Definiție: Un sistem de numere nααα ,……. ,2 1 se nume ște
soluție a sistemului (1) ⇔
m i b ain
jj ij , 1 ,
1= = ∑
=α .
Definiție:
– Un sistem se nume ște incompatibil ⇔nu are solu ție;
– Un sistem se nume ște compatibil ⇔ are cel pu țin o soluție;
– Un sistem se nume ște compatibil determinat ⇔ are o
singură soluție;
84 – Un sistem se nume ște compatibil nedeterminat ⇔ are o
infinitate de solu ții;
Rezolvarea matriceal ă a unui sistem
Fie A, ) (C M Bn∈ .
n j b aAX B A X B X A Ain
iij j , 1 ,det1
11 1= ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⋅∑
=− −.
Rezo lvarea sistemelor prin metoda lui Cramer:
Teorema lui Cramer : Dacă det A 0≠ Δ not , atunci sistemul
AX=B are o solu ție unică X i=ΔΔi.
Teorema lui Kronecker- Capelli : Un sistem de ecua ții liniare
este compatibil ⇔ rangul matricei sistemului este egal cu
rangul matricei extinse.
Teorema lui Rouche : Un sistem de ecua ții liniare este
compatibil ⇔toți minorii caracteristici sunt nuli.
Notăm cu m-num ărul de ecua ții;
n- num ărul de necunoscute;
r -rangul matricei coeficien ților.
I m=n=r Sistem compatibil
determinat 0≠Δ
II m=r n〈 Sistem compatibil nedeterminat Minorul principal este nenul
III
n=r
m〈 Sistem compatibil
determinat sau Dacă toți
minorii caracteristici sunt nuli
85Sistem
incompatibil Există cel
puțin un minor
caracteristic nenul
IV m r n r〈〈, Sistem compatibil nedeterminat sau Dacă toți
minorii caracteristici sunt nuli
Sistem incompatibil Există cel
puțin un minor
caracteristic nenul
Teorema : Un sistem liniar și omogen admite numai solu ția
banală ⇔ 0≠Δ
86
14. SIRURI DE NUMERE REALE
1. Vecinătăți. Puncte de acumulare .
Definiția 1 : Se nume ște șir , o func ție f : N → R definită prin f(n) =
an.
Notă m () .. ,……… , , …. ,……… , , :3 2 1 2 1 0 a a a sau a a a aN n n∈
Orice șir are o infinitate de termeni; aneste termenul general al
șirului ()N n na∈.
Definiția 2 : Dou ă șiruri ()N n na∈, ()N n nb∈ sunt egale
N k n b an n∈≥∀= ⇔,
Definiția 3 : Fie a ∈R. Se nume ște vecinătate a punctului a ∈R, o
mulțime V pentru care ∃ ε >0 ș i un interval deschis centrat în a de
forma (a- ε , a+ ε) ⊂ V.
Definiția 4 : Fie D ⊆R. Un punct α ∈ R s e n u m e ște punct de
acumulare pentru D dacă în orice vecin ătate a lui α există cel puțin
un punct din D- {}α⇔ V ∩ (D-{}α) ≠Ǿ. Un punct x ∈D care nu e
punct de acumulare se nume ște punct izolat.
2. Șiruri convergente
Definiția 5 : Un ș ir ()N n na∈ este convergent că tre un num ăr a ∈R
dacă în orice vecin ătate a lui a se află toți termenii șirului cu excep ția
unui num ăr finit și scriem an an⎯⎯→⎯∞ →sau
∞→=
na an lim
a se nume ște limita șirului .
Teorema 1 : Dacă un șir e convergent , atunci limita sa este unic ă.
Teorema 2 : Fie ()N n na∈ un șir de numere reale. Atunci:
()N n na∈ este monoton cresc ător ⇔ an N n an∈∀≤+,1 sau
1 , 01
1 ≥ ≥ −+
+
nn
n naasau a a ;
87()N n na∈ este stict cresc ător ⇔ an N n an∈∀〈+,1 sau
1 , 01
1 〉 〉 −+
+
nn
n naasau a a ;
()N n na∈ este monoton descresc ător ⇔ an N n an∈∀≥+,1 sau
1 , 01
1 ≤ ≤ −+
+
nn
n naasau a a ;
()N n na∈ este strict descresc ător ⇔ an N n an∈∀〉+,1 sau
1 , 01
1 〈 〈 −+
+
nn
n naasau a a .
Definiția 6. Un șir ()N n na∈ este mărginit ⇔ ∃ M ∈ R astfel
încât M an≤ sau
β α β α ≤ ≤ ∈ ∃na încât astfel R , .
Teorema 3: Teorema lui Weierstrass: Orice șir monoton și
mărginit este convergent.
Definiția 7: Dacă un șir are limit ă finită ⇒ șirul este convergent.
Dacă un șir are limit ă infinită ⇒ ∞ − ∞ + sau șirul este
divergent.
Teorema 4 : Orice șir convergent are limită finită și este mărginit dar
nu neapărat monoton.
Teorema 5: Lema lui Cesaro :
Orice șir mărginit are cel pu țin un subșir convergent.
Definiția 8 : Un ș ir e divergent fie dacă nu are limit ă, fie dacă are o
limită sau dacă admite două subșiruri care au limite diferite.
OBS: Orice șir crescător are limit ă finită sau infinit ă.
Teorema 6 : Dacă ()N n na∈∈*
+R este un șir strict cresc ător și
nemărginit atunci
∞ →= ⇒ +∞ =
naa
nn 01lim lim. Un ș ir
descrescător cu termenii pozitivi este m ărginit de primul termen și de
0.
883. Operații cu șiruri care au limit ă
Teorema 7 : Fie ()N n na∈, ()N n nb∈ șiruri care au limit ă:
an an⎯⎯→⎯∞ →, bn bn⎯⎯→⎯∞ →.
Dacă operațiile
a+b,ab
ită au abab a a b a b așirurile atunci sens au aba
nb
n
nn
n n n n n n nb
lim , , , , ,,
⋅ ⋅ − +α.
lim(n nb a+)= limna+limnb;
lim(n nb a⋅)=limna.limnb;
n∞ → n∞→ n∞→
lim(na⋅α )=α·limna; lim
nn
nn
ba
ba
limlim=
limn n b
nb
n a alim) (lim=
() ()n a n a a a lim log log lim=
k
nk
n a a lim lim =
Prin conven ție s-a stabilit: ∞+∞=∞ ; a+∞=∞,a∈R; a+(-∞)=-∞; –
∞+(-∞)=-∞; a·∞=∞ ,a>0;
a·∞=-∞,a<0; ∞ ·(-∞)=-∞; -∞·(-∞)=∞; = ∞ ∞ = ∞−∞ ∞; 0;
⎪⎩⎪⎨⎧
〈〉 ∞= ∞ =∞
0 , 00 ,; 0 0
a dacăa dacăa
Nu au sens opera țiile: ∞-∞, 0·(±∞); . , 1 , 1 ,0∞∞ ±∞±∞ − ∞
Teorema 8 : Dacă a a b și b a an n n n n ⎯⎯→⎯ ⇒ → ≤ −∞ →0
Dac ă ∞ ⎯⎯→⎯ ⇒ ∞ → ≥∞ →n n n n n a bși b a
89 Dac ă −∞ ⎯⎯→⎯ ⇒ −∞ → ≤∞ →n n n n n a bși b a
Dac ă a a a an n n n ⎯⎯→⎯ ⇒ ⎯ ⎯→⎯∞ → ∞ →.
Dac ă 0 0 ⎯⎯→⎯ ⇒ ⎯ ⎯→⎯∞ → ∞ → n n n n a a .
Teorema 9 : Dacă șirul ()N n na∈este convergent la zero,
iar()N n nb∈este un șir mărginit, atunci șirul produs n nb a⋅este
convergent la zero.
4. Limitele unor șiruri tip
N
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
− ≤〉 ∞=− ∈
=∞ →
1 ,1 ,1 , 1) 1 , 1 ( , 0
lim
q dacă există nuq dacăq dacăq dacă
qn
n
N()
⎪⎩⎪⎨⎧
〈 ∞ −〉 ∞= + + +−
∞ → 0 ,0 ,…. lim
00 1
1 0
aaa n a n app p
n
N
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎧
〈 〉 ∞ −〉 〉 ∞=〈
=+ + ⋅ + ⋅+ + ⋅ + ⋅−−
∞ →
. 0 ,0 ,,, 0
…………lim
000000
1
1 01
1 0
bași q p dacăbași q p dacăq p dacăbaq p dacă
b n b n ba n a n a
qq qpp p
n
90
lim …… 71 , 211 ≈ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+ enn
lim exnx
n=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+11
n→∞ xn →∞
lim() e x nxn= +1
1 lim 1sin=
nn
xx
xn→0 xn→0
lim 1arcsin=
nn
xx lim 1=
nn
xtgx
xn→0 xn→0
lim 1=
nn
xarctgx
lim 11 ln()=+
nn
xx
xn→0 xn→0
lim axa
nxn
ln1=− lim()rxx
nr
n=− +1 1
xn→0 xn→0
lim ∞ =p
nx
xen
lim 0ln=p
nn
xx
xn →∞ xn →∞
91
15. LIMITE DE FUNC ȚII
Definiție
: O funcție f:D R R→ ⊆ are limită laterală la stânga (
respectiv la dreapta) în punctul de acumulare
∈ ⇔sl există x0 R (respectiv ∈dlR) a. î. lim f(x)= sl,
(respectiv lim f(x) = dl).
00
x xx x
〈→
00
x xx x
〉→
Definiție: Fie f:D R R→ ⊆ , D x∈0 un punct de acumulare.
Funcția f are limită în )( ) (0 0 0 x l x l xd s=⇔
Proprietăți:
1. Dac ă lim f(x) exist ă, atunci aceast ă limită este unic ă.
0x x→
2. Dacă lim f(x) =l atunci
0. ) ( lim
x xl x f
→=
0x x→ Reciproc nu.
3. Dacă
00 ) ( lim 0 ) ( lim
x xx f x f
→= ⇒ =
4. Fie f,g:D R R→ ⊆ , ∃ U o vecin ătate a lui D x∈0 astfel
încât f(x)≤ g(x) {}0x U D x−∈∀∩ și dacă există
0 0,) ( lim ), ( lim
x x x xx g x f
→ →⇒
0 0) ( lim ) ( lim
x x x xx g x f
→→〈
925. Dacă {}
. ) ( lim ) ( lim ) ( lim) ( ) ( ) (0
l x g l x h x fși x U D x x h x g x f
= ∃ ⇒ = = ∃− ∈ ∀ ≤ ≤∩
x→x0 x→x0 x→x0
6.
Dacă {}
l x f x gși x U D x x g l x f
= ⇒ =− ∩ ∈ ∀ ≤ −
) ( lim 0 ) ( lim) ( ) (0
7.
0 ) ( ) ( lim) ( . . 0 0 ) ( lim
= ⋅ ⇒≤ 〉 ∃ =
x g x fM x g î a M și x f Dacă .
8.
. ) ( lim( lim ) ( ) (. ) ( lim) ( lim ) ( ) (
−∞ = ⇒−∞ = ≤+∞ = ⇒+∞ = ≥
x fx g și x g x f Dac ăx fx g și x g x f Dac ă
OPERAȚII CU FUNC ȚII
1 1
21
2 1 2 1 2 12 1
, , , , ,) ( lim , ) ( lim
2l llll l l l l l operatiile sensauși l x g l x f exist ă Dacă
l⋅ − += =
atunci:
1. lim(f(x) ±g(x))= 2 1l l±.
2. limf(x)g(x)= 2 1l l⋅
933.lim
21
) () (
ll
x gx f=
4.lim2
1) () (l x gl x f=
5.lim1 ) ( l x f=
P(X)=a
0xn + a 1xn-1 + ……………..+a n ,a0≠0
lim
±∞⎯→⎯xna x P ) ( ) (0±∞ =
0, dac ă q()1 , 1−∈
lim
∞⎯→⎯x qx = 1, dac ă q=1
∞, dac ă q>1
nu
există, dacă q 1−≤
94
N
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎧
〈 〉 ∞ −〉 〉 ∞=〈
=
+ + ⋅ + ⋅+ + ⋅ + ⋅
−−
∞ →
. 0 ,0 ,,, 0
…………lim
000000
1
1 01
1 0
bași q p dac ăbași q p dac ăq p dacă
baq p dacă
b x b x ba x a x a
qq qpp p
x
a>1 ∞ =
∞⎯→⎯x
xalim 0 lim=
−∞⎯→⎯x
xa
a ) 1 , 0 (∈ 0 lim=
∞⎯→⎯x
xa ∞ =
−∞⎯→⎯x
xalim
a>1 ∞=
∞⎯→⎯xa
xloglim −∞=
⎯→⎯xa
xloglim
0
a ) 1 , 0 (∈ −∞=
∞⎯→⎯xa
xloglim ∞=
⎯→⎯xa
xloglim
0
lim
0⎯→⎯x1sin=xx
()()
()1sinlim
0=
⎯→⎯ x ux u
x u
lim
0⎯→⎯x1=xtgx
()()
()1 lim
0=
⎯→⎯ x ux tgu
x u
lim
0⎯→⎯x1arcsin=xx
()()
()1arcsinlim
0=
⎯→⎯ x ux u
x u
lim
0⎯→⎯x1=xarctgx
()()
()1 lim
0=
⎯→⎯ x ux arctgu
x u
lim
0⎯→⎯x() e x x= +1
1
()()() () e x u x u
x u= +
⎯→⎯1
01lim
95exx
x=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+
∞⎯→⎯11lim
() ()()
011 lim=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
∞⎯→⎯x u
x u x u
lim
0⎯→⎯x()11 ln=+
xx
()()()
()11 lnlim
0=+
⎯→⎯ x ux u
x u
lim
0⎯→⎯xaxax
ln1=−
()()ax uax u
x uln1) (
0lim=−
⎯→⎯
lim
0⎯→⎯x()rxxr
=− +1 1
()()()
()rx ux ur
x u=− +
⎯→⎯1 1lim
0
0 lim=
∞⎯→⎯xk
x ax
()()
()0 lim=
∞⎯→⎯x uk
x u ax u
lim
∞⎯→⎯x0ln=kxx
()()
()0lnlim=
∞⎯→⎯k
x u x ux u
96
16. FUNCȚII CONTINUE
DEFINIȚIE. O func ție f : D ⊂ R → R se nume ște continuă în
punctul de acumulare x0 ∈D ⇔ oricare ar fi vecin ătatea V a lui f(x 0) ,
există o vecinătate U a lui x0, astfel încât pentru orice
x ∈ U ∩ D ⇒ f(x) ∈ V.
DEFINIȚIE. f : D ⊂ R → R este continu ă în x 0 ∈ D ⇔ f are limită în
x0 și lim f(x) = f(x 0)
sau ls (x0 ) = l d (x0 ) = f(x 0).
x0 se numește punct de continuitate.
Dacă funcția nu este continuă în x 0 ⇒ f.se nume ște discontinuă în x0
și x0 se numește punct de discontinu itate. Acesta poate fi:
– punct de discontinuitate de prima spe ță dacă ls (x0 ), ld (x0 )
finite, dar ≠ f(x0);
– punct de discontinuitate de a doua spe ță dacă cel puț in o
limită laterală e infinită sau nu exist ă.
DEFINIȚIE. f este continu ă pe o mulț ime ( interval) ⇔ este
continuă în fiecare punct a mulț imii ( intervalului).
• Funcțiile elementare sunt continue pe domeniile lor de
definiție.
Exemple de func ții elementare : funcția constant ă c, funcția
identică x, funcția polinomială f(x) = a 0xn + a 1xn-1 + …….a n , funcția
rațională f(x)/g(x), funcția radical nx f) ( , funcția logaritmic ă log
f(x), funcția putere xa, funcția exponen țială ax, funcțiile
trigonometrice sin x, cos x, tg x, ctg x.
PRELUNGIREA PRIN CONTINUITATE A UNEI FUNC ȚII
ÎNTR-UN PUNCT DE ACUMULARE
DEFINIȚIE. Fie f : D ⊂ R → R. Dacă f are limita
l ∈ R în punctul de acumulare x0 ∉ D ⇒
f: D ∪ { x0} →R, f(x) =
⎩⎨⎧
=∈
0 ,), (
x x lD x x f
97este o func ție continuă în x0 și se nume ște prelungirea prin
continuitate a lui f în x0.
OPERAȚII CU FUNC ȚII CONTINUE
T1. Dacă f,g:D→R sunt continue în x 0
( respectiv pe D) atunci f+g, αf, f•g,f/g, fg,f
sunt continue în x0 ( respectiv pe D ); α ∈ R, g ≠ 0.
T2. Dacă f:D→R e continu ă în x 0 ∈D ( respectiv pe D) ⇒ ) (x f e
continuă în x0 ∈ ( respectiv pe D).
Reciproca nu e valabilă .
T3. Fie f:D→R continuă în în x0 ∈A și g:B →A continuă în x 0 ∈B,
atunci g•f e continu ă în x 0 ∈A.
lim f( g (x) = f( lim g(x)) x→x
0 x →x0
Orice func ție continuă comută cu limita.
PROPRIETĂȚ ILE FUNC ȚIILOR CONTINUE PE UN INTERVAL
LEMĂ . Dacă f este o func ție continuă pe un interval [ a,b] și dacă are
valori de semne contrare la extremit ățile intervalului
( f(a) • ( f(b) <0 ) atunci exist ă cel puțin un punct c ∈ ( a,b)
astfel încât f(c) = 0.
• Dacă f este strict monoton ă pe [ a,b] ⇒ ecuația f(x) = 0 are
cel mult o r ădăcină în intervalul ( a, b).
f este strict monoton ă ⇔ f: I →J – continuă
f(I) =J – surjectivă
f – injectiv ă
Orice func ție continuă pe un interval compact este m ărginită și își
atinge marginile.
98STABILIREA SEMNULUI UNEI FUNC ȚII
PROP. O func ție continu ă pe un interval, care nu se anuleaz ă pe
acest interval p ăstrează semn constant pe el.
DEFINIȚIE. Fie f : I ⊂ R → R ( I = interval) f are proprietatea lui
Darboux.
⇔ ∀ a,b ∈ I cu a < b și ∀ λ ∈ ( f(a), f(b)) sau λ ∈ ( f(b),
f(a)) ⇒∃ c ∈ ( a,b), a.î. f(c) = λ.
TEOREM Ă. Orice func ție continuă pe un
interval are P.D.
Dacă f :I → R are P.D. atunci ⇒ f( I) e interval.
( Reciproca e în general fals ă).
CONTINUITATEA FUNC ȚIILOR INVERSE
T1. Fie f : I ⊂ R → R o funcție monoton ă a.î.
f( I) e interval. Atunci f este continu ă.
T2. Orice func ție continuă și injectivă pe un
interval este strict monoton ă pe acest interval.
T3. Fie f : I → R, I, J ⊂ R intervale.
Dacă f e bijectiv ă și continuă atunci inversa sa
f-1 e continuă și strict monoton ă.
99
17. DERIVATE
FUNCȚIA DERIVATA
C 0
x 1
xn nxn-1
xa axa-1
ax axlna
ex ex
x1 -21
x
nx1 -1+nxn
x
x21
nx
n nx n11
−
sin x cosx
cos x -sinx
tg x x2cos1
ctg x -x2sin1
arcsin x
211
x−
100 arccos x –
211
x−
arctg x 211
x+
arcctg x -211
x+
lnx x1
logax a xln1
(uv)’ = v. uv-1.u’ + uv.v’.lnu
f(x)=d cxb ax
++
f’(x)=2) (d cxd cb a
+
REGULI DE DERIVARE
(f.g)’=f’g+fg’
()'fχ='fχ
'
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
gf=2' '
gfg g f−
()()) (1) (
0' 0'1
x fx f f=−
101
18. STUDIUL FUNC ȚIILOR
CU AJUTORUL DERIVATELOR
Proprietăț i generale ale func țiilor derivabile .
1.Punctele de extrem ale unei func ții.
Fie Ι un interval și f:Ι→R.
Definiție. Se numeș te punct de maxim (respectiv de minim)(local) al
funcției f, un punct ∈aΙ pentru care exist ă o vecinătate V a lui a
astfel încât ()()( )( )()∀≥ ≤ a f x f respectiv a f x f . ∈xV.
•Un punct de maxim sau de minim se nume ște punct de extrem.
•ase numeș te punct de maxim(respec tiv de minim) global dac ă
() () ()() ( )a f x f resp a f x f≥ ≤ . . ∀∈xΙ.
Obs.1.O func ție poate avea într-un inte rval mai multe puncte de
extrem.(vezi desenul).
Obs.2.O func ție poate avea într-un punct
aun maxim (local), f ără a
avea în acea mai mare valoare din interval.(vezi desenul
() () c f a f< ).
-puncte de maxim
-puncte de minim
()()()()c f c a f a, , ,
()() ()()d f d b f b, , ,
102TEOREMA LUI FERMAT
Dacă feste o func ție derivabil ă pe un interval Ι si 0
0I x∈un punct
de extrem,atunci ()00'=x f .
Interpretare geometric ă:
•Deoarece ()⇒ =00'x f tangenta la grafic în punctul ()()0 0 ,x f x
este paralel ă cu OX.
Obs.1. Teorema este adev ărată și dacă funcția este derivabil ă numai
în punctele de extrem.
Obs.2. Condi ția ca punctul de extrem 0xsă fie interior intervalului
este esențială.
(dacă ar fi o extremitate a intervalului I atunci s-ar putea ca
() 00'≠x f ). Ex.().x x f=
Obs.3. Reciproca T. lui FERMAT nu este adev ărată.(se pot găsi
funcții astfel încât ()00'=x f dar 0xsă nu fie punct de extrem).
•Soluțiile ecuației ()0'=x f se numesc puncte critice . Punctele de
extrem se gă sesc printre acestea.
•Teorema lui Fermat d ă condiț ii suficiente (dar nu si necesare)
pentru ca derivata într-un punct s ă fie nulă .
O altă teoremă care dă condiții suficiente pentru ca derivata s ă se
anuleze este :
103
TEOREMA LUI ROLLE.
Fie :fI→R, ∈b a, I, .b a<Dacă:
1.feste continu ă pe []; ,b a
2.feste derivabil ă pe ()b a,;
3.()(),b f a f= atunci ∃cel puțin un punct ()b a c,∈ a.î (). 0'=c f
INTEPRETAREA GEOMETRICA
Dacă funcția
fare valori egale la extremit ățile unui interval
[] , ,b aatunci exist ă cel puțin un punct în care tangenta este paralel ă
cu axa ox.
Consecin ța 1. Între dou ă rădăcini ale unei func ții derivabile se afl ă
cel puțin o rădăcină a derivatei.
Consecin ța 2. Între dou ă rădăcini consecutive ale derivatei se află
cel mult o r ădăcină a funcției.
TEOREMA LUI LAGRANGE (sau a cre șterilor finite)
Fie :fI →R,I (interval, ∈b a, I, .b a< Dacă:
1.feste continu ă pe[]b a,
1042.feste derivabil ă pe(), ,b aatunci exist ă cel puțin un punct
()b a c,∈ a.î să avem
() ()().'c fa ba f b f=−−
INTERPRETAREA GEOMETRICĂ
Dacă graficul func ției fadmite tangent ă în fiecare punct(cu excep ția
eventual,a extremit ăților) există cel puțin un punct de pe grafic(care
nu coincide cu extremit ățile), în care tangenta este paralel ă cu coarda
care unește extremit ățile.
()()
a ba f b ftg−−=α tangenta la grafic în M are coeficientul.
unghiular ()c f'dar
()()()
a ba f b fc f−−='
Obs.1. Daca ()()⇒=b f a f Teorema lui Rolle.
Consecin ța 1. Dacă o funcție are derivata nula pe un interval,atunci
ea este constanta pe acest interval.
•Dacă o funcție are derivata nula pe o reuniune disjuncta de
intervale proprietate nu mai r ămâne adev ărată în general.
Expl.()()3 , 2 1 , 0 :∪ f ()()
()⎩⎨⎧
∈∈=3 , 2 , 21 , 0 , 1
xxx f
105Consecin ța 2. Dacă fsi gsunt două funcții derivabile pe un
interval I și dacă au derivatele egale ' 'g f= atunci ele difer ă
printr-o constant ă. .c g f=− R c∈
•Dacă fsi gsunt definite pe o reuniune disjunct ă de intervale,
proprietatea e fals ă în general. Expl. ()tgx x f=
()
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛∈ −⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛∈ +
=
πππ
2, 12, 0 , 1
,
x tgxx tgx
x g
Consecin ța 3.
Daca () 0'>x f pe I ⇒fe strict cresc ătoare pe I.
Daca () 0'<x f pe I ⇒ fe strict descresc ătoare I.
Consecin ța 4. , :R i f→ I x∈0 Daca () ()−
∈ = =R l x f x fd s 0'
0'.
f⇒ are derivata în 0xși ().0'x f=
Dacă f l⇒ ∞ < e derivabila in .0x
Consecin ța 5.Daca ()0'≠x f pe I 'f⇒ păstrează semn constant pe
I.
ETAPELE REPREZENT ĂRII
GRAFICULUI UNEI FUNC ȚII
1. Domeniul de defini ție;
2. Intersec ția graficului cu axele de coordonate :
Intersectia cu axa Ox con ține puncte de forma{x,0},unde x este
o rădăcină a ecuației f(x)=0 {daca exist ă}.
Intersecția cu axa Oy este un punct de forma {0,f{0}} {dac ă
punctul 0 apar ține domeniului de definitie}
3. Studiul continuit ății funcției pe domeniul de defini ție :
106Dacă funcț ia este definită pe R se studiaz ă limita funcț iei la
∞ ± iar dacă este definit ă pe un interval se studiaz ă limita la
capetele intervalului.
4.Studiul primei derivate :
a. Calculul lui f’.
b. Rezolvarea ecua ției f’(x)=0.R ădăcinile acestei ecua ții vor fi
eventuale puncte de maxim sau de minim ale functiei ; c. Stabilirea intervalelor pe car e semnul lui f este constant.
Acestea reprezinta intervalel e de monotonie pentru f.
5.Studiul derivatei a doua :
a.Se calculeaz ă f’’
b.Se rezolva ecuatia f’’(x)=0. R ădăcinile acestei ecua ții vor fi
eventuale puncte de infl exiune ale graficului
c.Determinarea intervalelor pe care semnul lui f este constant. Astfel,pe intervalele pe care f’’>0 functia este convex ă și pe
cele pe care f’’<0, func ția eate concavă.
6.Asimptote :
a. Asimptotele orizontale sunt drepte de forma y=a, unde
a= N ) ( limx f
x±∞ →dacă cel pu țin una din aceste limite are sens și
există în R.
b) Asimptotele verticale s unt drepte de forma x=x 0, dacă exist ă
cel puț in o limită laterală a funcției în x 0, infinită.
c) Asimptotele oblice sunt dr epte de forma y=mx+n, unde
N N R mx x f n si Rxx fm
x x∈ − = ∈ =
∞ → ∞ →) ) ( ( lim) (lim , analog și pentru
-∞.
7. Tabelul de varia ție;
8. Trasarea graficului.
107
19. PRIMITIVE
Primitive. Proprietăț i.
Fie I un interval din R.
Definiția 1. Fie f: I → R. Se spune c ă f admite primitive pe I
dacă ∃F : I →R astfel încât
a) F este derivabil ă pe I;
b) F’(x) =f(x), ∀ x ε I.
F se nume ște primitiva lui f . ( I poate fi și o reuniune finit ă disjunctă de
intervale).
Teorema 1.1 Fie f : I → R. Dacă R I FF→: ,2 1sunt
două primitive ale func ției f, atunci exist ă o constant ă c ∈R
astfel încât ∀+= , ) ( ) (2 1c x x F Fx∈I.
Demonstra ție : Dacă FF 2 1, sunt primitive atunci FF 2 1, sunt
derivabile ) ( ) ( ' ) (
2'
1x f x xF F= = ⇒ ∀x ε I
⇔ 0 ) ( ' ) ( ) ( ) (
2'
1'
2 1= − = −x x xF F F F, x ε I.
c x x F F=−⇒ ) ( ) (2 1, c= constant ă
OBS 1 . Fiind dat ă o primitiv ă F 0a unei func ții, atunci orice primitiv ă F a
lui f are forma F = 0F + c , c= constant ă
⇒ f admite o infinitate de primitive.
OBS 2 . Teorema nu mai r ămâne adev ărată dacă I este o reuniune disjunct ă
de intervale Expl: f: R- }{0, f(x) = x²
F = 33x, G=
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
++
2313
33
xx
F, G sunt primitive ale lu i f dar F-G nu e constant ă . Contradic ție cu T 1.1
OBS 3 . Orice func ție care admite primitive are Proprietatea lui Darboux .
Se știe că derivata oric ărei funcții are Proprietatea lui Darboux , rezult ă că f
are Proprietat ea lui Darboux . F’ =f.
108
OBS 4 . Dacă I este interval și f(I) { }I x x f def∈/ ) ( nu este interval
atunci f nu admite primitive.
Dacă presupunem c ă f admite primitive atunci din OBS 3 rezult ă că f are P
lui Darboux, rezult ă f(I) este interval ceea ce este o contradic ție.
OBS 5. Orice func ție continuă definită pe un interval admite primitive.
Definiția 2 . Fie f: I →R o func ție care admite primitive.
Mulțimea tuturor primitivelor lui f se nume ște integrala
nedefinit ă a funcției f și se noteaz ă prin simbolul ∫) (x fdx.
Operația de calculare a primitivelor unei func ții(care admite
primitive ) se nume ște integrare .
Simbolul ∫a fost propus pentru prima dat ă de Leibniz, în
1675.
Fie F(I)= {}R I f→: Pe aceast ă mulțime se introduc opera țiile
:
(f+g)(x) =f(x)+ g(x) ,
(αf)(x)=α.f(x) R x∈ ∀,α constant ă
C= {} R f R I f∈→ / :
∫) (x fdx ={ }f lui a primitivă F I F F/ ) (∈ .
F
P.D P C D
109
Teorema 1.2 Dacă f,g:I→ R sunt func ții care admit
primitive și α ∈ R, α ≠0, atunci func țiile f+g, αf admit
de asemenea primitive și au loc rela țiile:
∫(f+g) =∫f +∫g, ∫αf=α∫f, α≠0, ∫f =∫f +C
Formula de integrare prin p ărți.
Teorema 1.1 Dac ă f,g:R→R sunt func ții derivabile cu
derivatele continue, atunci func țiile fg, f’g, fg’ admit
primitive și are loc rela ția:
∫f(x)g’(x)dx =f(x)g(x)- ∫ f’(x)g(x)dx
Formula schimb ării de variabil ă
(sau metoda substitu ției).
Teoremă: Fie I,J intervale din R și
: , : , : ile proprietatcu functii R J f J I → →ϕ
1)ϕ este derivabil ă pe I;
2) f admite primitive. (Fie F o primitiv ă a sa.)
Atunci func ția (f oϕ)ϕ’ admite primitive, iar func ția F oϕ este o
primitivă a lui (f oϕ)ϕ’ adică:
()()() C Fo dt t t f+ = ⋅ ∫ϕ ϕ ϕ'
5. Integrarea func țiilor trigonometrice
Calculul integralelor trigonometrice se poate face fie folosind
formula integr ării prin p ărți, fie metoda substituției. În acest caz
se pot face substitu țiile:
1. Dacă funcția este impar ă în sin x,
R(-sin x,cos x)=-R(sin x,cos x) atunci cos x=t. 2. Dacă funcția este impar ă în cos x,
R(sin x,-cos x)=-R(sin x,cos x) atunci sin x=t. 3. Dacă funcția este par ă în raport cu ambele variabile R(-sin x,-cos
x) atunci tg x=t.
1104. Dacă o funcție nu se încadreaz ă în cazurile 1,2,3,atunci se
utilizează substituțiile universale:
2 11cos ,
12sin22
2xtg t unde
ttx
ttx =
+−=
+=
5. Se mai pot folosi și alte formule trigonometrice:
sin 2x=2sin x .cos x,
22 cos 1cos22 cos 1sin2 2 xxxx+=−=
Integrarea func țiilor raționale
Definiție: O func ție f:I→R , I interval, se nume ște rațională dacă
R(x)= , , 0 ) ( ,) () (I x x gx gx f∈ ≠ unde f,g sunt func ții polinomiale.
Dacă grad f ≥grad g, atunci se efectueaz ă împărțirea lui f la g
⇒f=gq+r, 0≤grad r<grad g și deci
.) ( .) () () () () () (
simple rationale functii de suma ca scriereaface se x R Pentrux gx rx qx gx fx R + = =
PRIMITIVELE FUNC ȚIILOR CONTINUE SIMPLE
1. ∫∈ + ⋅ =R c C x c cdx ,
2. Cnxdx xn
n++=∫+
11
3. Cxdx x ++=+
∫11
αα
α
4. ∫+ =Caadx ax
x
ln
111
5. ∫+ =C e dx ex x
6. C x dxx+ = ∫ln1
7. ∫+ − =C ctgx dxx2sin1
8. ∫+ =C tgx dxx2cos1
9. ∫+ − =C x xdx cos sin
10. ∫+ =C x xdx sin cos
11. Caxarctgadxa x+ =+∫1 1
2 2
12. ∫++−=−Ca xa x
adxa xln21 1
2 2
13. C x a x dx
a x+ + + =
+∫) ln(12 2
2 2
14.
∫+ − + =
−C a x x dx
a x2 2
2 2ln1
15.
∫+ =
−Caxdx
x aarcsin1
2 2
11216. C x tgxdx + − = ∫cos ln
17. C x ctgxdx + = ∫sin ln
18. C a x dx
a xx+ + =
+∫2 2
2 2
19. C a x dx
a xx+ − =
−∫2 2
2 2
20. C x a dx
x ax+ − − =
−∫2 2
2 2
21. C a x xaa xxdx a x + + + + + = + ∫2 22
2 2 2 2ln2 2
22. C a x xaa xxdx a x + − + − − = − ∫2 22
2 2 2 2ln2 2
23. ∫+ + − = − Cax ax axdx x a arcsin2 22
2 2 2 2
24. C b axadxb ax+ + =+∫ln1 1
25. Ca b ax ndxb axn n+ ⋅+ −− =+∫ −1
) )( 1 (1
) (1
1
26. ()
()dxa xxadxa x aC
a xx a x
adxa x
∫∫∫ ∫
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
+−⋅ −+= +
+− +=+
'
2 2 2 2 2 222 22 2 2
2 2 2 2
21 1 1 11
) (1
11327. ∫
∫∫
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
〈 Δ
Δ −+ +〉 Δ
Δ− +
=+ +0 ,
] )2( )2[(10 ,
] )2( )2[(1
1
2 22 2
2
dx
a abx adx
a abx a
dxc bx ax
28. C c bx ax dxc bx axb ax+ + + =+++∫2
2ln2
29.
∫∫ ∫
+ +⋅ + + + ⋅=+ +++=+ ++
dxc bx axn c bx ax mdxc bx axn b ax mdxc bx axB Ax
222 2
1ln) 2 (
114
Bibliografie:
– Arno Kahane. Complemente de matematic ă, Editura
Tehnică, Bucure ști, 1958.
– C. Năstăsescu,C. Ni ță, Gh. Rizescui:”Matematic ă-
Manual pentru clasa a IX-a”, E.D.P., Bucure ști, 1982.
– C. Năstăsescu, C Ni ță, I. Stănescu: Matematic ă-Manual
pentru clasa a X-a-Algebr ă”, E.D.P., Bucure ști,1984.
– E. Beju, I. Beju:”Compendiu de matematică”, editura
Științifică și Enciclopedic ă, Bucure ști, 1996.
– E. Rogai,”Tabele și formule matematice”,Editura
tehnică,1983.
– „Mică enciclopedie matematic ă”, Editura tehnic ă,
București,1980.
– Luminița Curtui,” Memorator de Matematic ă-Algebra,
pentru clasele 9-12”, Editura Booklet,2006.
115
Probleme propuse ș i rezolvate
1.Să se determine numerele întregi a și b astfel încât
; 3 2 14 6 4b a+ = +
Rezolvare:
Ridicăm la puterea a doua expresia dat ă:
; 3 6 2 2 14 6 42 2b ab a+ + = +
Din egalarea termenilor asemenea între ei rezult ă : ab=2 și
2a2+3b2=14 rezult ă: a=1 și b=2.
2.Dacă aa1− =7, să se calculeze a4 + 41
a.
Rezolvare:
Ridicăm la puterea a doua rela ția dată: (aa1−)2=49,
a2+21
a=51 procedând analog se ob ține
259912 511
44 2
44= + ⇒ − = +aaaa .
3.Aflaț i X din X.3 2008 = (3 2008 – 1) : (1+
2007 231…….
31
31+ + + )
Rezolvare: , după formula
20082008
200731 3
23
31……..² 31
311−⋅ = + + + +
11……… ² 11
−−= + + + ++
XXX X Xn
n
32
1 33
32] 1 3 [ 320082008
2008 2008= ⇒−⋅ − = ⋅ ⇒ X X
1162 2 723 11
23 117 4 11 = ⇒ − =−−+= − a
1 6 6 3 4 6 22 3) 2 3 )( 3 2 2 (
2 33 2 2+ = − − + =−+ −=
−−
()
()
()()
133 3 433 3 4
33 4 3
312 3 6 3 10 1512 93 2 3 3 2 5
3 2 33 2 51 1 3 2 31 1 3 2 3
1 ² 1 31 ² 1 31 , 1 3 1 3
=⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡−−=−−=−− + −==−− +=
++==
− + ++ + +=
− ++ +⇒ = + = ⇒ + = b aba4. Să se calculeze:
aa
−−
33 2 unde 7 4 11 7− − = a
Rezolvare:
5. Știind că 1 3− =ba să se calculeze partea întreag ă a
numărului ² ²² ²
b ab a
−+
Rezolvare:
6.Se dă numarul x = 5 2 6 5 2 6+ − −
Să se arate ca x² = 4
Să se calculeze (X+2)2007
Rezolvare:
a)
117()()
4 ² 2 5 1 5 1 5 1 5 1² 5 1 ² 5 1
= ⇒ − = − − + − = + − −= + − −
x
101
66066
9 3 22366
9 223 2007662007 = =− ⋅=
− ⋅⇒ =
b bbb a
x =
b. x =
()2 0 2 2+⇒=+⇒ − x x2007 = 0
7. Dacă
2007=ba, să se calculeze
b ab
9 22366
−.
Rezolvare:
8.Să se calculeze suma
S = 2007 3 22 ………. 2 2 2+ + + + .
Rezolvare: S=
Am adăugat și am scăzut 1.
( )
()
() ()
()() . 1 1 2 ] 1 2 [1 1 2 2 … ………. 2 2 11 1 2 … ………. 2 2 22 .. ………. 2 2 1 22 .. ………. 2 22 .. ………. 2 2 2
10041003 21003 3 21003 22006 4 22007 5 3
− + − == − + + + + + == − + + + + + ++ + + + + ==⎟⎠⎞⎜⎝⎛+ + + ++ + + + + =
1189.Calcula ți: ( )50 68 51 683 : 2 3 2 3 4 7 3 2 4+ − + − + + = E
Rezolvare:
() () ()
. 6 3 3 3 : 3 33 : 2 3 2 3 2 1 3 0 3 23 221 7
21 73 4 71 322 4
22 43 2 4
50 5150 68 51 68173174
= + = + =+ + − + − + + = ⇒ < −− =−−+= −+ =−++= +
E
10.Determinati Z n∈ astfel încât .5 2 6 5 6 14Zn∈− + −
Rezolvare
()()
{} 2 , 1 , 1 , 221 5 5 3 1 5 5 3 1 5 5 32 2
− − ∈ ⇔ ∈ =− + −=− + −
=− + −
n Znn n n
11. Să se rezolve ecua ția: (2x-4)(2x-3)(2x+1)(2x+2)=-6
Rezolvare:
Ecuația dată este echivalentă cu:
(2x-4)(2x+2)(2x-3)(2x+1)=-6 ⇔(4×2 –4x-8) (4×2 –4x-3)=-6
Notam 4×2 –4x-8=t
⇒ t(t-5)=-6 ⇒t2-5t+6=0 ⇒t1=2 si t 2=3
⇒4×2 –4x-8=2⇒x1,2=
211 1± 4×2 –4x-
8=3⇒x3,4=23 2 1±.
119
12 . Se dă ecuaț ia:
x² + 18x + 1 = 0. Se cere s ă se calculeze
3
23
1 x x+ , unde
x1, x2 sunt solu țiile ecuaț iei .
Rezolvare :
Fie A = 3
23
1 x x+ . Se ridic ă la puterea a treia
A³ = x 1 + x 2 + 3 3
2 1x x · A
Cum x 1 + x 2= – 18 x 1+x2=1 (Rela țiile lui Viete)
A³- 3A + 18= 0 ; Solu ția reală a acestei ecua ții este A = -3 ;
restul nu sunt reale
A³+ 3A²-3A²-9A+6A+18=0 A²(A+3) – 3A (A+3)+6(A+3)=o (A+3)(A²-3A+6)=0 A=-3
13. Doua drepte perpendiculare între ele în punctul M(3;4)
intersecteaz ă axa OY în punctual A si OX în punctual B.
a) să se scrie ecua ția dreptei AB
b) să se arate ca diagonalele patrulaterului AOBM sunt
perpendiculare ,unde 0 este originea sistemului.
Rezolvare : Scriem ecua țiile dreptelor AM si MB
() ()3 4 : 1−=− x m y AM cum AM MB⊥
() ()314 : 2 − − = −xmy MB
Aflam coordonatele lui A:
– din (1) când m y x3 4 0−=⇒=
Aflam coordonatele lui B:
– din (2) când 3 4 0+=⇒= m x y
120Fie P(x,y) mijlocul lui AB
()drepteiABec y xx yxyxxmyMX
. 0 25 8 69 6 16 843 23 4 243 2
23 4,23 4
= − + ⇒⇒ + − = ⇒−⋅ − = ⇒−= ⇒−=+= ⇒
⇒panta dreptei AB este .43− =m
Panta dreptei OM este evident
34
0 30 4=−−1−=⋅⇒om ABm m .AB OM⊥⇒
A
M(3,4) O B
14. Se dau punctele A (2,6), B(-4,3), C(6,-2). Se cere:
a) perimetrul triunghiului ABC și natura sa ;
b) coordonatele centrului de greutate;
c) ecuaț ia dreptei BC;
d) ecuaț ia medianei AM și lungimea sa;
e) ecuaț ia înălțimii din A pe BC și lungimea sa ;
f) ecuația dreptei care trece prin A și face un unghi de 300
cu axa OX;
121g) ecuaț ia dreptei care trece prin A și este paralel ă cu BC;
h) ecuaț ia bisectoarei din A și lungimea ei
i) aria triunghiului ABC.
Rezolvare:
a) Aplicând formula distan țe i p e n t r u c e l e t r e i l a t u r i a l e
triunghiului () ()2
1 22
1 2 y y x x AB− + − = obținem:
AB = 53 , BC = 55, A C = 54 5 12= ⇒P ;
Se verific ă cu reciproca teoremei lui Pitagora c ă triunghiul este
dreptunghic cu unghiul de 900 în vârful A.
b) Coordonatele centrului de greu tate sunt date de formula:
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ + + + +
3,33 2 1 3 2 1y y y x x xG ⇒ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
37,34G ;
c) Ecua ția dreptei BC se scrie folosind formula:
1 21
1 21
x xx x
y yy y
−−=−− ⇒
104
53+=−− x y ⇒ 5x+10y-10=0 x+2y-2=0
(forma general ă a dreptei )sau 121+ − =x y (forma normal ă);
d) Coordonatele mijlocului segmentului BC sunt : M )21, 1( ⇒
ecuaț ia medianei este:
6216
2 12
−−=−− y x⇒ 11x-2y-10 =0; Pentru calculul lungimii
medianei AM se poate folosi faptul c ă într-un triunghi
dreptunghic mediana corespunză toare ipotenuzei este jum ătate
din ipotenuz ă:
⇒ AM = 25 5
2=BC, altfel se poate aplica formula distan ței.
e) Fie AD în ălțimea din A ⇒ AD ș i BC sunt perpendiculare
ceea ce înseamn ă că produsul pantelor este egal cu -1. Cum
122panta dreptei BC este 21− ⇒ panta lui AD este 2. R ămâne să
scriem ecuaț ia dreptei care trece prin A și are panta 2 :
y-6=2(x-2) ⇒ 2x-y+2=0 este ecua ția înălțimii din A;
Pentru calculul în ălțimii (într-un triunghi dreptunghic) este
convenabil s ă aplicăm formula:
AD = 55 12
5 55 4 5 3=⋅=⋅
BCAC AB;
Altfel, trebuia rezolvat sistemul format din ecua țiile dreptelor
BC și AD pentru a determina coordonatele lui D.
f) y-6=33( x – 2 ) ; A m a p l i c a t f o r m u l a y – y 0=m(x-x 0) în
condițiile în care panta este tg300
g) y-6= 21−(x-2) unde 21− este panta dreptei BC .
h) Fie AE bisectoarea unghiului A.
Din teorema bisectoarei k= ACAB
ECBE= ⇒k= 43.Folosindu-ne
de raportul în care un punct împarte un segment rezult ă
coordonatele lui E ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
76,72 . Atunci ecua ția bisectoarei este:
⇒
−−=
−−
6766
2722 y x 21x-7y=0. Pent ru a calcula lungimea
bisectoarei ne putem folosi și de formula
AC ABAAC AB
AE+⋅
=2cos 2
care este utilizat ă de obicei când se
cunoaște măsura unghiului a c ărei bisectoare se calculeaz ă.
⇒AE =710 12.
i) Aria triunghiului dreptunghic ABC este dat ă de formula A =
302=⋅AC AB.
123Se va insista pe faptul c ă dacă triunghiul nu ar fi fost
dreptunghic ar fi trebuit s ă se calculeze distan ța de la A la
dreapta BC adic ă tocmai lungimea în ălțimii iar aceasta s-ar
putea face mai simplu folosind formula :
Distanț a de la un punct M 0(x0,y0) la o dreaptă h de ecuaț ie
(h): ax+by+c=0 este dat ă de:
2 20 0
0) , (
b ac by axh M d
++ += .
15. Sa se rezolve ecua ția :
1 2005 2005 4 2005 6 2005 200643
4 2+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+ + ⋅ = −x x x
x x
Rezolvare : Ecua ția dată este echivalent ă cu :
4
41 2005 2006⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+ =x
x
Ridică m la puterea
1 2005 2006 1 2005 2006414 4 4 4= − ⇒ + = ⇒x x x x
()x
Din monotonia funcț iei ()()x xa a x f− + = 1 care e strict
crescătoare ⇒ecuaț ia()x are soluție unică 4=⇒x
16 . Să se rezolve ecua ția:
2x x
x x 3 3
2007 – 2006 = 3(2006 + 2006 ) + 1
124Rezolvare:
Ecuația dată este echivalent ă cu:
x
x 3 3 2007 = (2006 + 1) . Ridic ăm la puterea 1/3 =>
x
x
3 3 2007 = 2006 +1 => x
x
3 3 2007 – 2006 =1 (*) Din monotonia funcț iei f(x) = (1+ a)
x – ax care e strict
crescătoare => ecua ția (*) are solu ție unică : x = 3
17. Să se determine num ărul de cifre din care este compus
numărul 72007.
Rezolvare: 10
2 < abc <103 ; p = 3
______ 10
3 < abcd < 104 ; p = 4
(*) 10
p-1 ≤ N < 10p , unde p reprezint ă numărul de cifre ale lui
N. Din (*) => lg 10
p-1 ≤lg N <lg 10p => p-1 ≤ lg N <p .
Pentru N = 7
2007 => lg N = 2007 lg 7 ≈ 1696 de cifre.
125
18. Să se arate c ă matricea A =
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
db
ca()Z M2∈ e
inversabil ă , unde :
20062005=a
11 … 111 … 111 11 16 … 6 6 62006 3 2
+ + + + =+ + + + =
cb
2006 ori de 1
20052006=d
Rezolvare :
A e inversabil ă ⇔≠⇔ 0 detA ultima cifr ă a numărului det A
0≠e
()
()
()()
6665
====
c ub ud ua u
() . 0 det 0 4 6 0 6 6 6 5 det≠⇒≠=−=⋅−⋅= ⇒ A A u
126
Probleme – sinteze
I. NUMERE REALE. APLICA ȚII.
1. Să se calculeze:
a) 99 50 44 98+ − − .
b) ). 3 2 2 ( ) 3 6 2 5 ( ) 3 8 2 7 (+ − + − − −
()[]{}
.
5 21:
201
51).
66 6 2
2 32 3 12
3 23 2 12). 2 : 2 2 3 2 2 3 4 3 8 3 2 5 ).
2 2 3 312
2 32
3 23). 16 : ) 3 3 2 ( ). 9 : ) 5 3 5 ( ). 10 ) 50 45 ( ) 18 20 ( )
1220 58 58 8714 20 30 20
−
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−−++−−− ⋅ + ⋅ + − ⋅ +−⋅ −− −− +− + ⋅ −
ihgfedc
127()
. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 )2 3 :
2 21
322
2 31). 5184 1225 6561 )
1
+ − ⋅ + + ⋅ + ⋅⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+ −− +
−
lkj
()()
()() ()
()
.
2516). 1 2 2 4 6 2 2 3 ). 5 2 3 3 2 2 2 3 ). 7 2 7 3 )
241622 2 22 2
yxponm
− − − + +− − − + −− + −
()()()() . 2 3 2 3 2 3 2 3 ).
3 2 23 2
3 2 23 2).
3 23 2
3 23 2). 2 4 9 2 4 6 2 6 11 )). 3 2 ( ) 2 6 ( 3 2 )). 7 5 7 13 ( 7 3 )
2 2− + + − − +− −−+
+ +++−+
−++ + − + −+ ⋅ − ⋅ −− − − ⋅ +
vutsrq
2. Dacă a=2006.2007, ar ătați că . 2007〈 + +a a a
3. Să se calculeze num ărul 5 , 46 5 , 2422 2= = − bși a pentru b a
128
4. Compara ți numerele:
() ()()()
. 5 6 14 2 5 2 6 5 2 6. 5 6 4 3 5 2 5 3 3 52 2 2
− + + + − =− + + + − + − =
ba
5. Dacă .
3 4993, 1996
b abcalculatiba
+ ⋅=
6. Arătați că numărul
( ) 2 41 , 1 3 : 2 3 2 2 41 , 152 51 34 51− + + − + − = a e pătrat perfect.
7. Să se arate c ă expresia
7 4 11 1 75 4 9 5 322
− − − =− + − = ∈+−=
ba ca stiind Qb ab aE
8. Să se aducă la o form ă mai simpl ă expresia:
. 0 , 16 5 6 6 ) (32 16 8 4〉 + + + = a a a a a a E
9. Care num ăr este mai mare: 2 33 2 sau .
10*. Să se arate c ă: a)
Q R n bQ R n a
− ∈ +− ∈ +
13 5 )7 5 )
11. Să se arate c ă:
N n N bN n Q a
n n n nn n n n
∈ ∀ ∈ ⋅ + ⋅∈ ∀ ∈ ⋅ − ⋅
+ ++ + + +
, 3 4 9 2 ), 6 2 4 3 )
2 2 1 23 2 1 2 3 2 2 2
.
12. Stabili ți valoarea de adev ăr a propozi ției: . 32 31 ……. 3 2 1Q∈ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
13. Să se afle x știind că . 2 ……. 2 2 2 2 1 2999 3 2 1 0+ + + + + + =x
14. Să se afle numerele întregi x pentru care .54 2Zxx∈+−
15. Să se verifice egalit ățile:
3 5 4 9 5 4 9 )2 7 2 5 7 2 5 )
3 33 3
= − + += − − +
ba
16. Să se ordoneze cresc ător numerele: 6 36 , 3 , 2.
17. Să se raționalizeze numitorii frac țiilor:
129
3 32 51)
−a .
1 21)
3+b ;
3 35 91)
+c ; d)
3 2 23 2 2
− +− −
; e)
33 21
−.
18. Să se determine r ădăcina pătrată a numărului a= 6 2 2 2 3 2 6− − +
19. Să se determine cel mai mare num ăr natural n cu proprietatea:
2 3
1 4 21………. ……….
15 41
3 21
2≤
− ++ +
++
+ n n.
20. Fie a,b,c numere ra ționale astfel încât ab+ac+bc=1. S ă se demonstreze c ă:
() () ()Q c b a∈ + + +1 1 12 2 2.
21. Să se demonstreze c ă 5 3 2+ + nu este un num ăr rațional.
II. PROGRESII ARITMETICE
1. Să se scrie primii patru termen i ai progresiei aritmetice ()nna dacă :
a) 1a=-3 ; r=5 b) 1a=7 ;r=2 c) 1a= 1,3 ; r= 0,3
2. Să se găsească primii doi termeni ai progresiei aritmetice ()nna :
a) ,…… 27 , 21 , 15 , ,2 1a a b) ,…….. 5 , 2 , 9 , ,2 1−−a a
3. Să se calculeze primii cinci termeni ai șirului cu termenul general na
a) na=3n+1 ; b) na= 3 + (-1)n c) na= n 12+ +n
4. Fie ()nna o progresie aritmetic ă . Dacă se dau doi termeni ai progresiei
să se afle ceilal ți :
? ?, , 125 , 5 )? ?, , 36 , 2 )? ?, , 20 , 40 )? ?, , 13 , 7 )
19 7 9 211 9 10 610 7 20 815 9 5 3
= = − = − == = = == = − = =====
a a a a da a a a ca a a a ba a a a a
5. Fie ()nna o progresie aritmetic ă. Se dau :
130 5 , 0 , 2 )1=−= r a a se cere a12
b) 5 , 1 , 31−==r a se cere a19
c) 12 , 13110 == r a se cere 1a
d) 3 , 0200 −==r a se cere 1a
6. Să se găsească primul termen și rația unei progresii aritmetice dac ă :
2 , )3 , 8 )28 , 16 )21 , 42 )92 , 0 )60 , 27 )
12 5 4 3 7 3 2 13 5 105 1 4 23 10 7 160 2027 5
+ = + + = + +− = == ⋅ = += − = +− = ===
a a a a a a a a fS S S ea a a a da a a a ca a ba a a
7. Șirul ()nnx este dat prin formula termenului general.
a) xn=2n-5 ; b) xn=10-7n. S ă se arate c ă ()nnx e o progresie aritmetic ă.
Să se afle primul termen și rația.
8. ia÷ . Să se afle S100 dacă :
5 , 7 , 5 , 5 )5 , 2 )150 , 10 )
100 11100 1
= =− = ===
a a cr a ba a a
9.Cunoscând Sn s ă se găsescă :
a) primii cinci termeni ai progresiei aritmetice dac ă Sn =5n2+3n ; Sn =3
n2 ; Sn = nn−42
.
b) 1a= ?, r= ? dacă Sn = 2 n2 +3n ;
10. Este progresie aritmetică un ș ir pentru care :
a) Sn = n2-2n ; b) Sn= 7n-1 ; c) Sn = -4 n2+11.
11. ia÷ , S10 = 100, S30 =900 . S ă se calculeze S50.
12. Determină x ∈R astfel încât urm ătoarele numere s ă fie în progresie
aritmetică.
131a) x-3, 9, x+3 ; b) () x xx x2 2 22 4 , 3 , 2+ − + c)
2 , 18 , 2− +x x
13. Să se rezolve ecuaț iile :
a) 1+7+13+….+x =280 ;
b) 1+3+5+…..+x = 169 ;
c) (x+1)+(x+4)+(x+7)+…..+(x+28) = 155 ; d) (x+1)+(x+3)+(x+5)+ ……..+(x+25) = 338 ;
e) x+(x+5)+(x+10)+………+(x+100) = 2100.
14. Să se arate c ă următoarele numere sunt în progresie aritmetic ă :
a) (a+b)² , a²+b² , (a-b)² ;
b) ) (,2,) ( a b ab
abb a
b a ba
−+
− ;
c) . 0 , 1 ,) 1 (1,21,12
≠ − ≠+− + − +
+x xx xa x
xa x
xa
15. Să se arate c ă dacă numerele a b a c c b+ + +1,1,1 sunt în progresie
aritmetică atunci numerele 2 2 2, ,c b a sunt în progresie aritmetic ă.
16. Fie ()nna o progresie aritmetic ă.
Să se arate c ă : 2 ,1 1…….1 1
1 1 3 2 2 1≥ ∀⋅−=⋅+ +⋅+⋅−na an
a a a a a an n n.
17. Fie ecua ția ax² +bx+c =0 cu solu țiile x 1,×2. Dacă numerele a,b,c sunt în
progresie aritmetic ă atunci exist ă relația : 2(x 1+x2)+x 1.×2 +1 = 0
18. Să se demonstreze : a) c b a ab c ca b bc a, , , ,2 2 2÷ ⇔ − − − ÷
b)
b a a c c bab c ca b bc a− − −÷ ⇔ + + + ÷1,1,12 , 2 , 22 2 2
c)
2 2 2 232
32
32
32
, , , , , , d c b aabcddabdccacdbbbcdaa ÷ ⇒ ÷
132
III. PROGRESII GEOMETRICE
1. Să se scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice (bn)ndacă :
a) 2 , 61==q b b) 5 , 0 , 241 −=−= q b
c) 21, 102 = − =q b d) 3 , 5 , 02= =q b
e) 5 , 11==q b
2. Să se găsească primii doi termeni ai progresiei geometrice (bn)n :
a) ,……. 54 , 36 , 24 , ,2 1b b b) ….. ,……,.. 81 . 135 , 225 , ,2 1− b b
3. Dacă se cunosc doi termeni ai progresiei geometrice (bn)n
a) 24 , 65 3==b b , să se găsească 10 9 7, ,b b b
b) 10 , 108 5 −== b b ,…………….3 12 6, ,b b b.
4. Să se scrie formula termenulei al n-lea al progresiei geomertice date prin :
a) n n b b b3 , 21 1==+ b) n n b b b3 , 41 1 −==+
c) n n b b b2 , 91 1==+ d) n n b b b51, 101 1 = =+
5. Este progresie geometric ă un ș ir pentru care suma primilor n termeni
este :
a) Sn = n² -1 ; b) Sn = 1 2−n ; c) Sn = 1 3+n
6. Să se determine x a.î. numerele urm ătoare să fie în progresie
geometric ă :
a) a+x, b+x, c+x ; b) 32 , , 24 2x x ; c) 2 26 , , 1x x− ;
7. Să se găsească primul termen b 1 și rația q a progresiei geometrice
(bn)ndacă :
133a)
⎩⎨⎧
= −− = −
84
1 31 2
b bb b
b)
⎩⎨⎧
= −= −
4812
2 42 3
b bb b
c)
⎩⎨⎧
==
925
86
bb
8.Să se calculeze sumele :
a) 2008 3 22 ……… 2 2 2 1+ + + + +
b) 2008 3 22 ……… 2 2 2 1+ + − + −
c) 2008 3 221…….21
21
21+ + + +
d) 2008 3 221…….21
21
21− − + −
e) 1+11+111+1111+………111111…1 (de n ori 1)
f) 3+33+333+……..33333…..3 g) 7+77+777+…..7777…7(de n ori 7)
h) 2007 3 22 100 ….. 2 4 2 3 2 2 1⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +
9. Să se rezolve ecua țiile :
a) 1 , 0 ….. 12007 3 2≠ = + + + +x x x x x
b) 0 , 0 ) 1 ( …….. ) 1 ( ) 1 ( 12007 2≠ = + + + + + + +x x x x
IV. LOGARITMI
1. Să se logaritmeze expresiile în baza a : a) E=a2 7 6ab .
b) E=4
53
ba.
c) E=23
b ab a
⋅⋅
2. Să se determine expresia E știind că : lg E=2 lga-21lgb-3 lg3.
3 . Să se arate c ă log 26+log 62>2.
4 . Să se calculeze expresiile: a) 25
121log11
134 b) 49
4log1
7
c) E=log 225-log 2 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛
214log320
2.
d) )) 216 (log (log log6 3 5
e) )) 243 (log (log log3 5 2
f)
2 log 649 log 125 log
22 log3
3 5
8+−
g)
3 log 2 log81 log 49
33
233 log7
−+
5. Să se arate c ă expresia: E=3
3 3 33
2 2 2
log log loglog log log
z y xz y x
+ ++ +
este
independent ă de valorile strict mai mari ca 1 ale variabilelor
x,z,y.
6 . Să se calculeze expresiile: a) E= 2 log192 log
2 log24 log
122
962− .
b) E= 121 log 7 log 14 32 3−+
7.Să se calculeze suma:
nn n
n n n log … 2 log 1 log1…log …. 2 log 1 log1
log … 2 log 1 log1
3 3 3 2 2 2
+ + ++ ++ + +++ + +
8. Să se arate c ă dacă a,b,c sunt în progresie geometric ă atunci are loc
egalitatea:
{} 0 , 1 , ,log1
log1
log2*〉 − ∈ ∀ + = + x R c b ax x xc a b
9. Să se arate c ă dacă x, y, z sunt în progresie geometric ă atunci
z y xc b a log , log , log sunt în progresie aritmetic ă.
135
PRIMITIVE
1. Să se calculeze primitivele urm ătoarelor func ții.
1. ∫(3x dx x x) 2 3 23 5− + − 2. ∫ x(x-1)(x-2)dx
3. ∫ dx x x x) 1 )( 1 (+ − + 4. ∫ dx
x xx )1(
33+
5. ( )dx x x x ∫+ −5 34 2 6. dx
x x x∫ ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+ −2 3 5
3 5
7. ∫ x dx x3) 1 (− 8. dx
xxx∫ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛− +23 52
9. ∫( e dx
exx)1+ 10. ∫ (x dxx) 55+
11. dxxx24 5∫ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+ 12. ()∫+dx
xx
332
13. ∫ dx x42+ 14. ∫ dx x92−
15. ∫ dx x24− 16. ∫ dx
x x11
2− +
17. dx
xx∫++
23
22
18. dx
xx∫−−
32
22
19. dx
x x∫ 2 2cos . sin1 20. dxx x∫cos . sin1
21. dxxx∫−+
11
1362..Să se calculeze primitivele urm ătoarelor func ții compuse.
1. ∫⋅dxx525 2.∫dxx43 3. ∫xdx4 sin 4
4. ∫xdx3 cos 3 5. ∫+dxx3 51 6. dxx∫+9 41
2
7. dxx∫−16 41
2 8. dxx∫−29 251 9. dxx∫3 cos1
2
10. ∫dxx5 sin1
2 11. ∫xdx tg4 12. ∫xdx ctg22
13. dx
x∫+2 24 161 14. dx
x∫−216 91
3. Să se calculeze primitivele urm ătoare utilizând metoda
integrării prin p ărți:
1. ∫xdxln 2. ∫xdx xln 3. ∫⋅xdx xln2
4. ∫xdxxln1 5. ∫xdxxln1
2 6.∫dxxx) ln(ln
7. ∫xdx2ln 8. ∫+dxx)21ln( 9. dxxx
23ln∫
10. dxxx
22ln∫ 11.∫dx x) cos(ln 12. ∫dx x) sin(ln
13. ∫+ − xdx x xln ) 3 2 (2 14. ∫−dx x x) 1 ln(
15. dx x
xx) 1 1 ln(
12
2+ +
+∫ 16. dxxxx∫+−
11ln
17. () dx e xx⋅ +∫12 18. dx e xx−⋅∫
19. () dx e x xx3 22⋅ +∫ 20. dx e xx⋅∫2
21. dx e xx2 2⋅∫ 22. dx e x xx2 2 3) 2 5 (⋅ − + ∫
23. dx e xx−⋅∫2 24. ∫⋅ + ⋅dxe
xx x
22 2 3
13725. ∫⋅xdx exsin 26. ∫⋅ xdx excos
27. ∫⋅ xdx ex2sin 28. ∫⋅ xdx ex2cos
29. ∫⋅xdx xsin 30. ∫⋅ xdx xcos
31. ∫⋅xdx xsin2 32. ∫⋅ xdx xcos2
33. ∫⋅ xdx x2 sin2 34. ∫⋅ xdx x2 cos2
35. ∫⋅ xdx x2sin 36. ∫⋅ xdx x2cos
37. ∫dxxx
2cos 38. ∫dxxx
2sin
39. ∫−⋅dx
xx x
21arcsin 40. ∫dxxx
2arcsin
41.∫⋅−xdx ex 2sin 42. dx x) (ln cos2∫
43. ∫− ⋅dx x x92 44. ∫+ ⋅dx x x162
45.∫− ⋅dx x x24 46. ∫xdx xln
47.∫+ −dx
ex x
x5 22
3. Să se calculeze integralele prin metoda substitu ției
1. ()∫+ dx b axn 2. ()∫−dx x91 2
3. ()∫−dx x x91 2 4. ()∫− dx x x723 5
5. ()∫+dx x x63 21 6. ()∫++dx x xnk k11
7. dx xx∫⋅27 8. dxee
xx
∫+1
9. dxee
xx
∫+12 10. ∫dx ex
11. ∫dx
xex
12. dxee
xx
∫−12
13813. dx
ee
xx
∫−123
14. ∫−dx x x1
15. ∫+dx x5 2 16. ∫+dx x x21
17. ∫−dx x x4 31 18. dx x x∫+5 3 22
19. dx x35 2+ 20. ∫− −dx x x7 62
21. ∫+ − −dx x x22 22. dxxx∫ln
23. dxxx∫ln 24. ∫xdx xln
25. dx
xx x∫−
32 26. ()∫−dx
x xx21
27. ∫− +dx
x x3 2 41
2 28. ∫+ + −dx
x x4 31
2
29. dx
xx∫+41 30. ∫+dx
xx
12
31.()∫+dx
x x4ln 11 32. ()dx
x x∫+8 ln1
2
33. ∫−dx
x x2ln 31 34.∫dxx xln1
35. dxxx∫+3ln 1 36 . dx x x22 3+∫
37. dxx x∫+2006) ln 2005 (1 38. ∫−dx
x x11
2
4. Să se calculeze primitivele urm ătoarelor func ții
trigonometrice:
1.∫⋅ xdx xcos sin3 2. ∫⋅ xdx x2 sin cos3
3.∫+dx x) 5 2 sin( 4. ∫⋅ xdx x2 3cos sin
1395. ()∫+ dx x tg tgx3 6. ∫+dxxx
2sin 1cos
7. ∫dxxx
cossin3
8. ∫dx x
xcos1
9. ∫−dxxx
cos 1 10. ∫xdx3sin
11.∫xdx3cos 12. ∫−dx
xx
21arcsin
13. dxxx∫−4 cossin
2 14.
()dx
xx∫
−22cos 12 sin
15. dx
x x∫⋅ −2 2arcsin 11 16.∫dxxsin1
17.∫dxxcos1 18. ∫⋅ xdx x3 10cos sin
19. dx
x x∫+ ⋅ −2006 2) arcsin 2005 ( 11 20. ()dxxarctgx∫+22006
1
5.Să se calculeze primitivele urm ătoarelor func ții raționale:
1. ∫+dxx5 31 2. ∫++dxxx
1 23 2 3. ∫+dxxx
4
4. ∫+−dxxx
3 23 1 5. ()∫+dx
x20053 21 6. ∫−dxx91
2
7. ∫+dxx 41
2 8. ∫−dxxx
222
9. ∫+dxxx
122
10.∫+dxx 5 31
2 11.() ()∫− −dxx x2 11
12.() ()∫+ +dxx x2 11 13. ()∫+dxx x21
14014. ∫+−dx
x x 2 31
2 15. ∫−−dxx x 3 21
2
16. ∫++dxx x 1 31
2 17. ∫+−dxx x 5 21
2
18. ∫+−−dxx xx
1 3 23 4
2 19. ∫+−−dxx xx
5 2 32 6
2
20. ∫+−−dxx xx
6 52 3
2 21. ∫+−dxxx
42 5
2
22. ∫+++dxx xx
10 21
2 23. ∫−dxxx
362
24. ∫
+dx
xx
414 25. ∫+dxxx
412
26. ∫+dx
xx
83
1 27. ()∫−dx
xx
123
1
28. ()∫−dx
xx
101 29. ∫+dxxx
462
141
ISTORICUL NO ȚIUNILOR MATEMATICE
Sec. 18 î.e.n . mesopotamienii creează primele tabele de
înmulțire;
sec. 6 î.e.n. este cunoscut ă asemănarea triunghiurilor
de că tre Thales ;
Sec. 5 î.e.n. pitagorienii introduc no țiunile de num ăr
prim, num ăr compus, numere relativ prime, numere prime
perfecte;
Sec. 4 î.e.n.
Aristotel (384-322 î.e.n) filo zof grec a introdus
noțiunile de perimetru, teorem ă, silogism.
Sec. 3 î.e.n.
Matematicianul grec Euclid (330-275 î.e.n ) cel care a
întemeiat celebra școală din Alexandria (în 323 î.e.n)
a introdus no țiunile de semidreapt ă, tangentă la o curb ă,
puterea unui punct față de un cerc sau sfer ă, sau
denumirile de paralelogram, poliedru, prism ă, tetraedru.
A enunțat teorema catetei ș i a înălțimii pentru un triunghi
dreptunghic și a demonstrat concuren ța mediatoarelor
unui triunghi;
Apolonius din Perga (262-200 î.e.n), unul din cei mai
mari geometri ai antichit ății introduce pentru prima dat ă
denumirile pentru conice, de elips ă, hiperbol ă, parabolă
și noțiunile de focare, normale ș i definește omotetia și
inversiunea și dă o aproximare exact ă a lui πcu patru
zecimale.
este dată aria triunghiului în func ție de laturi sau în
funcție de raza cercului înscris și semiperimetru ;
Eratostene din Cyrene (275-195 î.e.n) introduce
metoda de determinare a tuturor numerelor prime mai
mici decât un num ăr dat, metod ă cunoscut ă sub numele
de „Ciurul lui Eratostene”
142
în prima carte din „Elementele” lui Euclid este
cunoscută teorema împ ărți r i i c u r e s t și „algoritmul lui
Euclid” pentru aflarea c.m.m.d.c. a dou ă numere întregi
85-168 matematicianul grec Ptolemeu prezintă în
cartea sa „Almagest”, pe lâng ă vaste cuno ștințe de
astronomie și trigonometrie și diviziunea cercului în 360
de părți congruente și exprimarea acestora în frac ții
sexagesimale.
Sec. 3 s-a dat formularea teoremei celor trei
perpendiculare de c ătre Pappos ; acesta a mai dat și
definiția conicelor precum și teorema despre volumul
corpurilor de rota ție
Sec. 7
sunt cunoscute regulile de trei direct ă și inversă de
către Bragmagupta , matematician indian;
Arhimede (287-212 î.e.n) precur sor al calculului
integral, a determinat aria și volumul elipsoidului de
rotație și ale hiperboloidului de rota ție cu pânze.
1202- Leonardo Fibonacci (1170-1240) matematician
italian introduce nota ția pentru frac ția ordinar ă;
1228- Fibonacci introduce denumirea pentru num ărul
zero, precum și sistemul de numera ție zecimal. Tot prin
opera sa „Liber abaci” sunt introduse pentru dată în
Europa numerele negative, fii nd interpretate ca datorii;
1150- este descrisă extragerea ră dăcinii pătrate și a celei
cubice în cartea „ Lilavati” a matematicianului indian
Bhaskara (1114-1185), tot el prezint ă și operațiile de
înmulțire și împărțire cu numere negative;
1515- rezolvarea ecua țiilor de gradul al treilea cu o
necunoscut ă de că tre Scipio del Fero, iar mai târziu de
Niccolo Tartaglia în 1530, ș i pe acelea de gradul al
patrulea de Ludovico Ferrari în 1545. Acestea au fost
făcute cunoscute abia în 1545 de că tre Girolamo
Cardano(1502-1576) în lucr ările sale, de și promisese
autorilor lor s ă nu le divulge;
143
1591- matematicianul francez Francois Viete (1540-
1603) introduce formulele cunoscute sub numele de
relațiile lui Viete;
1614- inventarea logaritmilor naturali de c ătre John
Neper (1550-1617);
1637- este introdus ă noțiunea de variabil ă de către
Rene Descartes (1596-1650), cel care a introdus literele
alfabetului latin pentru nota ții și a folosit coordonatele
carteziene (definite dup ă numele să u), reducând
problemele de geometrie la probleme de algebr ă;
1640- este introdus ă denumirea pentru cicloid ă de că tre
Galileo Galilei (1564-1642);
1654- începutul cre ării teoriei probabilit ăților datorat
coresponden ței dintre Pierre Fermat (1601-1665) și
Blaise Pascal (1623-1662) și dezvoltarea combinatoricii
odată cu apariț ia lucrării lui Pascal, „Combina ționes”;
1656- matematicianul englez John Wallis (1616-1703)
introduce simbolul ∞ cu nota țiile 01,01=∞∞ =și a
denumirilor de interpolare respectiv mantis ă
1670- este determinat semnul sinusului și desenat ă
sinusoida respectiv secantoida de c ătre John Wallis);
1678- este dată teorema lui Ceva de c ătre Ceva
Giovani (1648-1734);
1679- în „Varia opera mathematica” ap ărută postum, a
lui Pierre Fermat(1601-1665), a fost dat ă „Marea
teoremă a lui Fermat”, reguli de integrare, defini ția
derivatei.
1692 – este scris primul manua l de calcul integral de
către matematicianul elve țian Jean Bernoulli (1667-
1748)” Lectiones mathematicae de methodo integralium aliisque”, tip ărit abia în 1742 și de
asemenea a mai scris un manual de calcul diferen țial,
descoperit abia în 1920. „Regula lui l’Hospital” este dat ă de că tre Jean Bernoulli
lui Guillaume de l’Hospital pe care acesta o public ă în
1696;
144
1690- este propus ă denumirea de integral ă de către
Jacques Bernoulli (1654-1705)
1692- sunt descoperite propriet ățile spiralei logaritmice
(Jacques Bernoulli)
1694- este descoperit ă curba numită lemniscat ă,
caracterizat ă de inegalitatea
(1+x)n ≥1+nx (Jacques Bernoulli);
1696-1697- introducerea calculului varia țional, punerea
problemei izoperimetrelor de c ătre Jean Bernoulli.
1705- este dat ă „Legea numerelor mari” de c ătre
Jacques Bernoulli;
1711- realizarea dezvolt ării în serie a func țiilor ex, sinx,
cosx,arcsinx, de că tre matematicianul englez Isaac
Newton (1642-1727) cel care a pus bazele calculului
diferențial și integral concomitent cu Gottfried
Leibniz (1646-1716);
1729- este demonstrat ă existența rădăcinilor complexe
în număr par a unei ecua ții algebrice cu coeficien ți reali
de că tre Mac Laurin Colin (1698-1746;
1731- utilizarea sistemului de ax e perpendiculare pentru
a determina pozi ția unui obiect în func ție de cele trei
coordonate;
1733- crearea trigonometriei sferoidale de că tre Alexis
Clairaut (1713-1765);
1735- Matematicianul elve țian Leonhard Euler(1707-
1783) introduce și calculeaz ă constanta
e= ) ln1…31
211 lim( nn− + + + + =0,577215…, n→∞ ;
1739- introducerea conceptului de integral ă curbilinie
de că tre Alexis Clairaut;
1746- relația lui Stewart este demonstrat ă de Mathew
Stewart după ce în prealabil ea îi fusese comunicat ă de
către Robert Simson în 1735;
1747
este enun țată problema celor trei corpuri de că tre
Clairaut;
145
introducerea metodei multiplicatorilor nedetermina ți
în studiul sistemelor de ecua ții diferen țiale de c ătre
Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783);
1750- Gabriel Cramer dă o regul ă de rezolvare a
sistemelor cunoscută sub denumirea de metoda lui
Cramer;
1755- sunt puse bazele calculului varia țional de c ătre
Lagrange(1736-1813) concomitent cu Euler,
1765- începutul cre ării geometriei de scriptive de c ătre
Gaspard Monge (1746-1818);
1766- crearea mecanicii analitice de c ătre Joseph
Lagrange (1736-1813) cu enun țarea principiului
vitezelor virtuale și a ecuațiilor Lagrange;
1767- demonstrarea ira ționalității lui πde că tre
Heinrich Lambert (1728-1777);
1768- demonstrarea existența factorului integrant la
ecuaț iile diferen țiale de ordinul întâi de c ătre
D’Alembert;
1771- a fost dat ă ecuația planului normal și formula
distanței dintre dou ă puncte din spa țiu de către
matematicianul francez G. Monge;
1775- introducerea no țiunilor de solu ție general ă și
soluție particular ă în teoria ecua țiilor diferen țiale de
către Leonhard Euler ; acesta a introdus și funcția
) (nϕ – indicatorul lui Euler, precum și notaț iile e, i,
f(x)și a creat teoria fracț iilor continue;
1780- au fost introduse liniile de curbur ă ale
suprafeț elor(G. Monge);
sunt descoperite funcț iile automorfe de
matematicianul francez Henri Poincare(1854-1912);
1785- a fost dată ecuaț ia planului tang ent(G. Monge);
1796- este dată „Teorema lui Fourier” de determinare a
numărului rădăcinilor reale cuprinse într-un interval, de
către Joseph Fourier(1768-183);
1797- este dată formula cre șterilor finite, cunoscut ă sub
denumirea de „teorema lui Lagrange”;
146
1798- au fost considerate cosinusurile directoare ale
unei drepte(G. Monge);
este introdus simbolul [.], pentru partea întreag ă de
către Arien Marie Legendre
(1752-1833);
1807- , 1822 sunt date seriile F ourier care au contribuit
la crearea teorie i analitice a c ăldurii.
1812- este introdus ă seria hipergeometric ă de că tre Carl
Friedrich Gauss(1777-1855) matematician german, cel care a demonstrat teorema fundamentală a algebrei;
1816-1835- Augustin Cauchy (1789-1857), fondatorul
analizei matematice moderne, a enun țat criteriul de
convergen ță al seriilor, criteriu care-i poart ă numele, a
dat primele teoreme de existen ță din teoria ecua țiilor
diferențiale și al ecua țiilor cu derivate par țiale, a
introdus no țiunile de afix, modul al unui num ăr
complex, numere conjugate, transpozi ție;
1820- introducerea no țiunii de raport anarmonic de
către Chasles Michel (1793-1880), fondatorul
geometriei proiective al ături de matematicianul francez
Jean Poncelet;
1822
introducerea funcț iilor Bessel de c ătre Friedrich
Bessel ;
este introdus ă notaț ia pentru integrala definită
∫b
adx x f) (, de că tre Fourier. ;
este propus ă denumirea de reprezentare conform ă
de că tre Gauss;
cercul lui Euler sau cercul celor nou ă puncte este
considerat pentru prima dat ă de că tre Charles
Brianchon , Jean Poncelet și Karl Feuerbach,
atribuinduse din gre șeală numele lui Euler acestei
teoreme;
147
1823-1831- începutul cre ării primei geometrii
neeuclidiene de c ătre Janoș Bolyai (1802-1860)
concomitent și independent de cea a lui Lobacevski.
1824-
este dată denumirea de geometrie neeuclidian ă de
către Gauss;
Niels Abel (1802-1829) demonstrează
imposibilitatea rezolv ării cu ajutorul radicalilor, a
ecuaț iilor algebrice de grad mai mare decât patru;
1825- Abel introduce integralele ce-i poart ă numele;
1827- este creată teoria func țiilor eliptice de c ătre Abel;
1828
sunt introduse formele fundamentale ale suprafe țelor
și curburii total ă a unei suprafe țe(curbura Gauss) de
către Gauss;
demonstrarea teoremei lui Fermat pentru n=5 de c ătre
matematicianul german Dirichlet (1805-1859);
1830- este propus ă denumirea de grup cu în țelesul
actual de c ătre matematicianul francez Evariste
Galois(1811-1832);
1831- definitivarea calculului cu numere complexe de
către Gauss ;
1834- introducerea no țiunii de factor de discontinuitate,
referitor la integralele
1837- introducerea nota țiilor pentru limite laterale de
către Dirichlet și a funcției care îi poart ă numele,
funcția Dirichlet;
W. Hamilton introduce terme nul de asociativitate a
unei legi de compozi ție;
1839- introducerea no țiunii de integrale
multiple(Dirichlet);
1840- este dată o formă a eliminantului a dou ă ecuaț ii
algebrice de c ătre James Sylvester (1814-1897),
matematician englez;
1841- descoperirea invarian ților de c ătre
matematicianul irlandez George Bole (1815-1864);
148introducerea no țiunilor de margine inferioar ă și
superioară ale unei func ții, de convergen ță uniformă de
către Weierstrass( 1815-1897);
1843- descoperirea cuaternionilor de c ătre William
Hamilton (1805-1865);
1845- „Teorema limit ă centrală ” este dat ă de
matematicianul rus Pafnuti Cebâ șev;
1846- Legea numerelor mari – Cebâșev;
introducerea variabilei complexe în teoria numerelor
imaginare de c ătre D’Alembert;
1847
este introdus calculul logic de George Boole ,
creatorul algebrei booleene;
este introdus ă noțiunea de ideal de c ătre Ernest
Kummel (1810-1893);
1851- sunt introduse noț iunile de rang și signatur ă a
unei forme p ătratice și sunt propuse no țiunile de
matrice și jacobian(J. Sylvester);
introducerea sufrafe țelor riemann de c ătre
matematicianul german Be rnhard Riemann(1826-1866),
lui datorându-se studiul integralei definite.
1852- introducerea segmentelor orientate ABde că tre
Chasles Michael(1793-188) care a formulat și
proprietățile axei radicale a dou ă cercuri precum și a
conicelor și cuadricelor.
1853- Kronecker(1823-1891) introduce nota ția
) det(ij ij a a= ;
1854- este introdus ă noțiunea de oscila ție într-un punct
de că tre Riemann care creeaz ă o nouă geometrie
neeuclidian ă, numită geometria sferic ă;
1858- crearea calculului matriceal de c ătre Arthur
Cayley (1821-1895) matematician englez ;
1871 Dedekind introduce no țiunile de corp și modul
ceeace în limbajul actual exprim ă noțiunile de subcorp
și Z-submodul ale lui C. Tot el introduce mul țimea
întregilor unui corp de numere algebrice, definind și
149idealele acestei mul țimi și demonstreaz ă teorema
fundamental ă de descompunere unic ă a oricărui ideal în
produs de ideale prime;
1872-
introducerea structurilor de subinel și modul de c ătre
Dirichlet ;
introducerea numerelor ra ționale prin tă îeturi de
către Dedekind ;
1873- Charles Hermite (1822-1901) demonstrează
transcenden ța numărului e= …. 718281 , 2 )11 ( lim= +
∞ →n
n n
1874- este dată denumirea de subgrup de că tre Sophus
Lie(1842-1899);
1874-1897- crearea teoriei mul țimilor de c ătre Georg
Cantor (1845-1918). El a introdus no țiunile de mul țime
deschisă , mulțime închisă , mulțime densă, mulțime bine
ordonată, mulțime num ărabilă, punct de acumulare,
punct izolat, produs cartezian, reuniune, intersec ție.
1878- rezolvarea problemei celor patru culori pentru
colorarea h ărților de către Cayley;
1880- sunt descoperite func țiile automorfe de
matematicianul francez Henri Poincare(1854-1912);
1882- Ferdinand Lindemann (1852-1939) a
demonstrat trascenden ța numărului π=3,141592……;
(un număr se nume ște transcedent dac ă nu este solu ția
niciunei ecua ții algebrice cu coeficien ți raționali); tot el
demonstreaz ă imposibilitatea cvadraturii cercului cu
rigla și compasul;
1893- H. Weber , asociază conceptului de corp, sensul
de astăzi, ca o structur ă cu o lege de grup aditiv și o
înmulțire asociativ ă, distributiv ă și în care orice element
e inversabil;
1897- introducerea denumirii de inel de c ătre
Hilbert( 1862-1943);
1899 -axiomatizarea geometriei de c ătre David
Hilbert ;
150
1900- introducerea axiomatic ă a numerelor
întregi(D.Hilbert);
1905- este introdus ă noțiunea de distan ță între dou ă
mulțimi închise de c ătre matematicianul român Dimitrie
Pompeiu(1873-1954);
1910- este introdus ă denumirea de func țională de că tre
Jacques Hadamard (1865-1963), unul din fondatorii
analizei func ționale;
1912 – este descoperit ă noț iunea de derivat ă
areolară(Pompeiu)
1927- s-a stabilit formula Oni cescu referitoare la
geodezice dat ă de Octav Onicescu (1892-1983);
1928 – este introdus ă funcția areolar-conjugată de către
matematicianul român Miron Nicolescu (1903-1975);
1933 -introducerea funcț iilor convexe de ordin superior
de că tre Tiberiu Popoviciu (1906-1975);
1936 – Matematicianul român Gheorghe Mihoc (1906-
1981) dă o metod ă cunoscut ă sub numele de metoda
Schulz-Mihoc, de determinare a legilor limit ă ale unui
lanț Markov;
1941 – teorema lui Moisil referitoare la geodezicele unui
spațiu riemannian este introdus ă de Grigore
Moisil (1906-1973);
1944 -este introdus ă în domeniul algebrei moderne
noțiunea de signatur ă de către matematicianul român
Dan Barbilian (1895-1961);
1950 – este introdus ă noțiunea de Δ- derivată de către
Dan Barbilian;
1996 – celebra conjectur ă a lui Fermat este demonstrat ă
de că tre Andrew Wiles de la institutul Isaac Newton
din Cambridge.
2000 – este determinat cel mai mare num ăr prim 26972593-
1, având dou ă milioane de cifre, ob ținut cu ajutorul a 20
de mii de calculatoare puse în re țea;
151
BIBLIOGRAFIE.
1: N. Mih ăileanu- Istoria matematicii,vol.1,vol2.,Editura
Științifică și enciclopedic ă; București,1974/ 1981;
2: Vasile Bobancu- Caleidoscop matematic, Editura Niculesu;
3. Neculai Stanciu, 100 de probl eme rezolvate. Editura Rafet;
4. Mică enciclopedie matematic ă, Editura Tehnic ă, București
152
Cuprins
Aplicații ale numerelor complexe în geometrie………….5
Sinteze matematice
Mulțimea numerelor reale…………………………………….37
Inegalități…………………………………………………………..42
Mulțimi. Opera ții cu mulț imi………………………………. 45
Progresii…………………………………………………………….47 Funcții……………………………………………………………….50
Numere complexe……………………………………………….56 Funcția exponen țială și logaritmic ă……………………….59
Binomul lui Newton…………………………………………….63
Vectori și operații cu vectori………………………………. .65
Funcții trigonometrice………………………………………….69
Formule trigonometrice………………………………………..72
Ecuațiile dreptei în plan……………………………………….75
Conice………………………………………………………………..77 Algebră liniară ……………………………………………………..82
Șiruri de numere reale…………………………………………..88
Limite de șiruri…………………………………………………….93
Funcții continue…………………………………………………..98
Derivate……………………………………………………………..101 Studiul func țiilor cu ajutorul derivatelor…………………103
Primitive…………………………………………………………….109 Probleme propuse și rezolvate………………………………117
Probleme.sinteze…………………………………………………128 Istoricul no țiunilor matematice……………………………..143
153
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Dreptul de copyright: [611551] (ID: 611551)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.