Drepte perpendiculare [620747]

Universitatea Babe ș-Bolyai Cluj -Napoca
Facultatea de Psihologie și Științe ale Educa ției
Departamentul de Științe ale Educației

Centrul de Formare Continuă, Învă țământ la Distan ță și cu Frecven ță
Redusă

Specializarea: Pedagogia Învățământului Primar și Preșcolar

SYLLABUS

METODICA PREDǍRII MATEMATICII

Anul de studiu III , Semestrul V

2

METODICA PREDǍRII MATEMATICII

Date de identificare a cursului
Cursul Metodica predǎrii matematicii parte din pachetul de discipline de specialitate ale
specializării Pedagogia învǎțǎmântului primar și preșcolar , nivel licență, din cadrul
Facultății de Psihologie și Științe ale Educației a Universității „Babeș -Bolyai” din Cluj –
Napoca.

Date de contact ale titularului de curs și a
tutorilor :

Nume: Conf . univ. d r. Ioana MAGDAȘ
Birou: Str. Sind icatelor, nr 7
Telefon: 064-590559
Fax: 064-590559
E-mail: [anonimizat] ,
[anonimizat]
Consultații: se stabilesc la începutul
semestrului

Date de identificare curs și contact tutori:

Numele cursului : METODICA PREDĂRII
MATEMATICII
Codul cursului: PIE 3505
Anul, semestrul: Studenții din anul III, sem. I,
de la Facultatea de Psihologie și Științe ale
Educației, specializarea: Pedagogia învățămân –
tului primar și preșcolar
Tipul disciplinei: Disciplină obligatorie.
Pagina web a cursului :
http://sites.google. com/site/ioanamagdas/
Tutori: Conf. univ. dr. Dumitru VǍLCAN ,
Dr. Eugenia SOMEȘAN
Adresa e -mail tutori: [anonimizat] ,
[anonimizat]

Condiționări și cunoștințe prerechizite

Cursul nu este condiționat de alte discipline. Totuși cursanții au nevoie de cuno ștințe de
matematică elementare corespunzătoare claselor primare și care constau în : efectuarea de
calcule folosind operații matema tice cu numere naturale și raționale , unități de măsură și
elemente de geometrie.

Descrierea cursului

Cursul METODICA PREDĂRII MA TEMATICII are două părți componente care
interelaționează. O parte teoretică în care ne propunem să familiarizăm cursanții cu noile

3
tendințe în domeniul didacticii aplicate în matematica din învățământul primar și preșcolar
și o parte practică care se va concretiza prin realizarea unui portofoliu al cursului.
Organizarea temelor în cadrul cursului
Cursul de față face parte din domeniul didacticilor aplicate, mai exact didactica
aplicată în matematica învățământului primar și preșcolar. În elaborarea acestui curs, a m
ținut cont de cele trei întrebări cheie care stau permanent în fața profesorului și anume:
a) Ce? – referitor la conținuturi;
b) Cât? – referitor la structură;
c) Cum? – referitor la strategie;
Pornind de la aceste întrebări am structurat cursul pornind de la ni velul macro al
documentelor oficiale (curriculum național, planuri de învățământ, disciplina în general,
programe școlare manuale) către nivelul microstructural (planificări calendaristice, unități
de învățare, lecții).
Ca urmare temele atinse în partea te oretică vor fi , în ordine , următoarele:
1. LOCUL MATEMATICII DIN ÎNVĂȚĂMANTUL PRIMAR ȘI PREȘCOLAR ÎN
NOUL CURRICULUM NAȚIONAL
2. CONȚINUTURI NOȚIONALE ȘI METODE SPECIFICE DE PREDARE –
ÎNVĂȚARE A ACESTORA
3. STRATEGII DE PREDARE -ÎNVĂȚARE A MATEMATICII ȘI A ACTIVITĂȚILOR
MATEMATICE DIN ÎNVĂȚĂMANTUL PRIMAR ȘI PREȘCOLAR
4. INTEGRAREA EVALUĂRII ÎN PROC ESUL DE INSTRUIRE LA MATEMATICĂ
5. ELEMENTE DE PROIECTARE DIDACTICĂ LA MATEMATICĂ
Activitǎțile practice vor viza următoarele aspecte :
 Aspecte organizatorice ale sistemului de învățământ (Curriculum Național : planuri
cadru, organizarea învățământului matematic primar și preșcolar, programe școlare,
documentele profesorului etc.) ;
 Conținuturile școlare ale matematici i din învățământul primar și preșcolar ;
 Proiectarea activității didactice la matematică pentru cl. I -IV, respectiv a
activităților matematice din învățământul preșcolar;
 Realizarea u nor documente ale profesorului.
Activitǎț ile practice se vor concretiza în portofoliul disciplinei .

4
Formatul și tipul activităților implicate de curs
Cursul teoretic conține toate informațiile necesare cursanților în activitatea de
practica pedagogică. Ca urmare activitățile pe care le presupune cursul sunt lecturarea și
exersarea cunoștințe lor teoretice în cadrul practicii didactice pentru obținerea unor
competențe necesare în activitatea de predare -învățare a matematicii. Cursanții vor
parcurge activitățile practice în ritm propriu și în ordinea dorită de aceștia cu precizarea că
ele trebui e să acopere 4 ore/săptămână.

Materiale bibliografice obligatorii
1) Magdaș, I., (2014), Didactica matematicii în învățământul primar și preșcolar –
actualitate și perspective , ediția a II -a revizuitǎ, Editura Presa Universi tară
Clujeană, Cluj -Napoca
Descriere: Cartea este principalul material ce stă la baza cursului. Lucrarea este structurată
în șase capitole care acoperǎ în întregime tematica disciplinei.
2) Roșu, M., (2007), Didactica matematicii în învățământul preșcolar, PIR
3) Roșu, M ., (2007), Didactica matematicii în învățământul primar, PIR
Descriere : Lucrări le 2 și 3 aprofundeazǎ partea teoretică corespunzăto are temelor 2 și 3 ale
cursului.
4) Magdaș, I., (2017), Probleme pentru pregătirea didactică matematică în
învățământul primar. Ghid pentru studenți , Presa Universitară Clujeană, ISBN 978 –
606-37-0280 -8, disponibil on -line:
http://www.editura.ubbcluj.ro/bd/ebooks/pdf/2206.pdf
5) Roșu, M, (2007), Matematică III, PIR
6) Vălca n, D., (2005), Metodologia rezolvării problemelor de aritmetică , Editura Casa
cărții de știință, Cluj -Napoca
Descriere: Lucrǎrile 4 , 5 și 6 aprofundeazǎ metodele de rezolvare a problemelor de
aritmeticǎ, parte componentǎ a capitolului 2.
7) Ionescu, M., Bocoș, M. ( coord.) (2009), Tratat de didactică modernă , Ed. Paralela
45
Descriere: Lucrarea 7 oferǎ suportul pedagogic necesar întregului curs .
8) MEC, (2008), Curriculum pentru învățământul preșcolar , București

5
9) MEN , (2013 -2014), Programe școlare pentru înv ățământul primar , București
Descriere: Documentele oficiale 7 și 8 oferǎ informații curriculare necesare întregului curs .

Materiale și instrumente necesare pentru curs
Optimizarea secvențelor de formare necesitǎ accesul studenților la urmǎtoarele resurse:
– calculator conectat la internet (pentru a putea accesa bazele de date si resursele electronice
suplimentare dar și pentru a putea participa la secvențele de forma re interactivă on line)
– imprimantă (pentru tiparirea materialelor suport, a temelor redactate, a studiilor de caz)
– acces la resursele bibliografice (ex: abonament la Biblioteca Centrală „Lucian Blaga”)
– acces la echipamente de fotocopiere.

Calendar ul cursului
Verificarea parțială a portofoliului cursului se va face la a doua întâlnire .
Verificarea parțială este opțională. Scopul acestei verificări este de a monitoriza procesul
de acumulare a cunoștințelor și de utilizare a acestora în cadrul pra cticii pedagogice. Pe tot
parcursul semestrului cursanții pot lua legătura prin e -mail cu titularul cursului în orice
problemă legată de desfășurarea practicii. Verificarea și notarea portofoliului se va face la
data fixată a examenului. Examenul scris se va ține în sesiune la data fixată de decanat.

Politica de evaluare și notare
Evaluarea urmărește implicarea studenților în activitățile solicitate, calitatea
portofoliului și performanțele la testări .

Calcularea notei se face prin însumare astfel:
Oficiu: 1 pt.
Examen scris: 7,50 pt.
Portofoliul cursului: 1,50 pt.
Total: 10 pt.

6
 Portofoliu l cursului va fi alcătuit și notat astfel:
Componenta evaluată Punctajul
acordat
Tema 1. Definiți științific 10 noțiuni și proprietăți matematice utilizate în
învățământul preșcolar și primar. (din Anexa 1 de mai jos se rezolvă cei 10
itemi începând cu cel care are nr. ziua de naștere a studentului) 0,75 pt.
Tema 2. Realizați analiza metodic ă a rezolvării unei probleme de
aritmetică (din Anexa 2 de mai jos se analizează problema care are nr.
ziua de naștere a studentului) 0,75 pt.
TOTAL 1,50 pt.
Notă. Materialele portofoliului se vor scrie de mână și se vor aduce la examen.

 Examenul constă dintr -un test scris va fi alcătuit astfel :
Subiectul I: conține itemi obiectivi și sem iobiectivi : cu alegere multiplă , de tip pereche
sau cu completare de răspuns
Subiectul I I: tratarea unuia sau a două subiecte teoretice din curs cu solicitarea u nor
exemplificări din matematică;
Subiectul III: rezolvarea uneia sau a două probleme de aritmetică cel puțin o cerință fiind
de natură metodică .

Studenți cu dizabilități
Cursanții cu dizabilități vor lua legătura prin e -mail sau telefon ic cu titularul de curs
pentru a stabili împreună cu acesta specificul activităților acestora în cadrul cursului.

Strategii de studiu recomandate
Întrucât evaluarea finală presupune și realizarea unui portofliu este recomandat ca
simult an cu partea teoret ică studenții să studieze conținuturile teoretice. Acest lucru se va
realiza astfel: în momentul în care studen tul are de realizat un document se va studia acea
parte teoretică care îi va fi necesarǎ pentru ceea ce are de realizat. Stunde nții vor parcurge
temele în ritm propriu și în ordinea dorită de aceștia cu precizarea că ele trebuie să acopere
4 ore/săptămână.

7

SUPORT DE CURS

8
Modul 1. LOCUL MATEMATICII DIN ÎNVĂȚĂMANTUL PRIMAR ȘI
PREȘCOLAR ÎN NOUL CURRICULUM NAȚIONAL

 Timp de studiu: 4 ore
 Scopul și obiectivele
Acest modul își propune familiarizarea stude nților cu aspectele organizatorice ale
sistemului de învățământ. Pe parcursul modulului cursanții vor fi capabili:
O1.1. să enumere elementele componente ale curriculum ului național;
O1.2. să enumere și să definească conceptele cheie ale curriculumului național;
O1.3. să denumească elementele componente ale programelor școlare de matematică
pentru învățământul primar și preșcolar;
O1.4. să identifice legăturile existente între obiectivele cadru, obiectivele de referință și
conținuturi
O1.4. să analizeze programele și manualele școlare de matematică pentru învățământul
primar și preșcolar în scopul clasificării și selectării domeniilor de conținut studiate .

 Scurtă recapit ulare a conceptelor prezentate anterior
Nu este cazul

 Schema logică a modului
Paragrafele vor fi parcurse liniar în ordinea în care sunt scrise. Noțiunile esențiale ale
modulului sunt următoarele, în ordinea în care apar:
 Curriculum Național (CN);
 Element e componente ale CN: Cadru de referință, Planuri cadru de învățământ,
programe școlare, ghiduri și norme metodologice, manuale alternative;
 Concepte cheie ale CN: arii curriculare, cicluri curriculare, trunchi comun,
curriculum nucleu, curriculum diferenți at, curriculum la decizia școlii (CDȘ) etc.
 Componentele pr ogramelor școlare de matematică.

Schematic avem:

9

 Conținutul informațional detaliat

Conținuturi:
1.1.Curriculum Național actual. Componente
1.2.Principiile de generare a planurilor cadru de învățământ
1.3. Caracteristicile programelor școlare de matematică pentru cls. I -IV și a
activităților matematice din învățământul preșcolar
1.4.Manualul școlar
1.5.Moduri de prezentare a conținutului matematicii în programe și manuale

Macro (MEC) → CN
Cadru de
referință
Planuri cadru
Modul de
structurare al
învățământului
Învățământ
preșcolar
Învățământ primar
Învățământ
gimnazial
Învățământ liceal
(filiere, profiluri,
specializări)
ȘAM
Cicluri
curriculare
Arii curriculare
Discipline
Trunchi comun
Curriculum
nucleu
Curriculum diferențiat
CDȘ, CDL
Ghiduri, norme
metodologice
Programe școlare
Manuale alternative

10
1.1. Curriculum Național actual. Componente

 Întrebare. Ce este Curriculum Național și care sunt componentele acestuia?

Anul 1998 este anul de început al reformei curriculare în România. Fructul de primă
instanță al reformei este elaborarea noului Curriculum Național al școlilor și liceelor.
Pentru prima oară planurile și programele de învățământ se flexibilizează și se dă o anume
autonomie fiecărei uni tăți de învățământ.
Curriculum Național este un set de documente oficiale care plani fică conținutul
educației. El cuprinde:
 Curriculum Național. Cadru de referință este un document reglator care asigu ră
coerența, la nivel național, în ce privește finalitățile edu caționale ale sistemului în
ansamblul său, finalitățile etapelor de școlarizare, reperele generale, principiile și
standardele de elaborare și aplicare ale curriculum -ului;
 Planurile cadru de învățământ reprezintă un document reglator esen țial prin care se
stabilesc ariile curriculare și obiectele de studiu cu resursele de timp necesare abordării
acestora;
 Programele școlare descriu oferta educațională a unei anumite dis cipline pentru un
parcurs școlar determinat;
 Ghiduri, norme metodologice și materiale suport care descriu con dițiile de aplicare și
monitorizare ale procesului curricular;
 Manualele alternative care reflectă programele școlare și prevăd ceea ce este comun
pentru toți elevii.

11
1.2. Principiile de generare a planurilor cadru de învățământ

 Întrebare. Ce a stat la baza elaborării planurilor cadru de învățământ?

Elaborarea planurilor cadru de învățământ s -a făcut ținând cont de anumite principii,
care, la rândul lor, au dus la a pariția unor concepte cheie.
Pentru a vizualiza mai clar principiile de generare a planurilor cadru, am preferat
așezarea lor în următorul tabel:
Principiul Ce vizează? Ce generează?
(1) Selecției și al
ierarhizării culturale Decuparea din
domeniile cunoașterii a
domeniilor
curriculumului școlar Ariile curriculare
(2)Funcționalității Racordarea diverselor
discipline, precum și a
ariilor curriculare Ciclurile curriculare
(3) Coerenței Caracterul omogen al
parcursului școlar Raporturile procentuale, p e orizontală
și verticală, între ariile curriculare, iar
în cadrul ariilor, între discipline
(4) Egalității șanselor Dreptul fiecărui elev de
a descoperi și valorifica
la maximum potențialul
de care dispune Obligativitatea învățământului general
de zece clase;
Trunchiul comun (TC); Curriculum –
nucleu
(5) Flexibilității și
parcursului individual Trecerea de la
învățământul pentru toți
la învățământul pentru
fiecare Curriculum diferențiat (CD)
Curriculum la decizia școlii (CDȘ)
Curriculum în dezvoltare lo cală (CDL)

12
(6) Racordării la social Tipuri variate de ieșiri
din sistem:
– către pregătire
universitară
– către pregătire
postliceală
– către piața muncii Structurarea liceelor pe filiere, profiluri
și specializări
Posibilitatea schimbării traseului
educa țional

În cele ce urmează vom explica fiecare concept cheie din tabelul de mai sus.
 Aria curriculară reprezintă un grupaj de discipline școlare care au în comun anumite
obiective și metodologii și care oferă o viziune multi și/sau interdisciplinară asupra obiectelor
de studiu. Ariile curriculare existente în învățământul românesc sunt: Limbă și comunicare;
Mate matică și Științe ale naturii; Om și societate; Arte; Educație fizică și sport; Tehnologii;
Consiliere și Orientare. Cele șapte arii curricu lare au fost selectate în con formitate cu
finalitățile învățământului și sunt compatibile cu cele opt domenii de competențe -cheie
stabilite la nivel european: co municare în limba maternă; comunicare în limbi străine;
matematică, științe și tehno logii; tehnologia informației și comunicațiilor (TIC); com petențe
interper sonale, interculturale, sociale și civice; cultură antre prenorială; sensibilizarea la
cultură; și „a învăța să înveți”. Ariile curriculare rămân aceleași pe întreaga durată a
școlarităț ii obligatorii și a liceului, dar ponderea lor este variabilă în cadrul ciclurilor
curriculare și de -a lungul anilor de studiu.
 Ciclurile curriculare reprezintă periodizări ale școlarității care au în comun obiective
specifice. Ele grupează mai mulți ani d e studiu, care aparțin uneori de niveluri școlare
diferite, și care se suprapun peste struc tura formală a sistemului de învățământ cu scopul
de a focaliza obiectivul major al fiecărei etape școlare și de a regla procesul de învățământ
prin intervenții de natură curriculară. Fiecare ciclu curricular oferă un set coe rent de
obiective de învățare care consemnează ceea ce ar trebui să do bândească elevii la
terminarea unei anumite etape a par cursului școlar. Prin aceste obiective, ciclurile
curriculare conf eră diferitelor etape ale școlarității o serie de dominante care se reflectă în
alcătuirea programelor școlare. Ciclurile curriculare sunt:
– Ciclul achizițiilor fundamentale (grupa pregătitoare a grădiniței, clasele I și a II -a)

13
– Ciclul de dezvoltare (cl. a III -a – a VI-a)
– Ciclul de observare și orientare (cl. a VII -a – a IX-a)
– Ciclul de aprofundare (cl. a X -a și a XI -a)
– Ciclul de specializare (cl. a XII -a și a XIII -a)
Peste aceste cicluri se suprapune ciclul inferior al liceului (cl. a IX -a și a X -a) și ciclul
superior al liceului (cl. a XI -a și a XII -a).
 Trunchiul comun (TC) reprezintă oferta educațională constând din aceleași discipline,
cu același număr de ore pentru toate filierele, pro filurile și specializările din cadrul
învățământului liceal . Vizând compe tențele -cheie, trunchiul comun va fi parcurs în mod
obligatoriu de toți elevii, indiferent de profilul de formare. Numărul de ore din trunchiul
comun este alocat prin planurile -cadru de învățământ și asigură egalitatea șanselor în
educație. Prin gruparea disciplinelor din structura trunchiului comun în cele 7 arii
curriculare prevăzute în actualul curriculum național, se asigură continuitatea dintre
planurile cadru de învățământ pentru clasele I -VIII și planurile cadru de învățământ pentru
liceu sau pentru școala de arte și meserii. Oferta de trunchi comun contribuie la:
– finalizarea educației de bază, prin continuarea dezvoltării competențelor cheie urmărite
în cadrul învățământului obligatoriu – condiție pentru asi gurarea egalității de șan se pentru
toți elevii, oricare ar fi specificul liceu lui (filieră, profil);
– asigurarea continuității între învățământul gimnazial și cel liceal;
– formarea pentru învățarea pe parcursul întregii vieți.
 Curriculum nucleu este expresia curriculară a trunchiului comun, care cuprinde acel
set de documente esențiale pentru orientarea învățării la o anumită disciplină, și reprezintă
unicul sistem de referință pentru diversele tipuri de evaluări și examinări externe
(naționale) din sistem și pentru elaborarea standardelor curriculare de performanță.
 Curriculum diferențiat (CD) reprezintă oferta educațională stabilită la nivel central,
constând dintr -un pachet de discipline cu alocările orare asociate acestora, diferențiată pe
profiluri (în cazul filierelor teoretică și tehnologică) și pe specializări (în cazul filierei
vocaționale). Această ofertă educațională asigură o bază comună pentru pregătirea de profil
(în cazul filierelor teoretică și tehnologică) și răspunde nevoii de a iniția elevul în trasee de
formare specializate, oferindu -i o bază suficient de diversificată pentru a se putea orienta
în privința studiilor ulterioare sau pentru a se putea integra social și profesional, în cazul

14
finalizării stu diilor. Orele din curricu lum diferențiat sunt ore pe care elevii din profilul sau
specializarea respectivă le efectuează în mod obligatoriu.
 Curriculum la decizia școlii (CDȘ) reprezintă ansamblul proceselor educative și al
experiențelor de învățare pe care fiecare școală le propu ne în mod direct elevilor săi în
cadrul ofertei curriculare proprii. La nivelul planurilor de învățământ, CDȘ reprezintă
numărul de ore alocate pentru dezvoltarea ofertei curriculare proprii fiecărei unități de
învățământ. CDȘ este o componentă a planurilo r-cadru pentru ciclul inferior al liceului și
pentru ciclul superior al liceului, filierele teoretică și vocațională. O deta liere a acestor
aspecte se va face în paragraful 5.4.
 Curriculum în dezvoltare locală (CDL) reprezintă orele alocate pentru dezvolt area
ofertei curriculare specifice fiecărei unități de învă țământ, ofertă realizată în parteneriat cu
agenți economici. CDL este o componentă a planurilor -cadru pentru ciclul superior al
liceului, filiera tehnologică.
 Filierele, profilurile și specializăr ile reprezintă modul de structurare a liceului, după
cum arată tabelul următor:
Filieră Profil Specializare
Teoretică Real Matematică -Informatică
Științele Naturii
Uman Filologie
Științe sociale
Tehnologică
Tehnic Electronică și automatizări,
Electrotehnic, Telecomunicații,
Mecanic etc.
Resurse naturale și
protecția mediului Chimie industrială, Protecția
mediului, Silvic, Veterinar, Agricol,
Industrie alimentară
Servicii Turism și alimentație publică,
Economic, administrativ, Poștă
Vocațională Sportiv
Arte vizuale Arte plastice, Arhitectură
Arte muzicale și
dramatice Muzică, Teatru, Coregrafie
Militar Matematică -Informatică, Științe
sociale, Muzici militare
Teologic Ortodox, Catolic etc.

15
1.3. Caracteristicile programelor școlare de matematică pentru cls. I -IV și a
activităților matematice din învățământul preșcolar

 Întrebare. Care este structura programelor școlare de matematică la nivel preșcolar
și primar ?

Idealul educațional și finalitățile sistemului reprezintă un set de aserțiuni de politică
educațională, care consemnează, la nivelul Legii învățământului , profilul de personalitate
dezirabil la absolvenții siste mului de învățământ, în perspectiva evoluției societății
românești. Acestea au un rol reg lator, ele constituind un sistem de referință în elaborarea
curriculumului național.
Finalitățile pe niveluri de școlarizare constituie o concretizare a finalităților
sistemului de învățământ pe diverse niveluri ale acestuia. Ele descriu specificul fiecăru i
nivel de școlaritate din perspectiva politicii educaționale, reprezintă un sistem de referință
atât pentru elaborarea programelor școlare cât și pentru orientarea demersului didactic la
clasă.
Din explicitarea finalităților pentru disciplinele școlare s e formu lează l a nivelul
învățământului preșcolar, primar și gimnazial:
 Obiectivele cadru : sunt obiective cu un grad ridicat de generalitate și complexitate. Ele
se referă la formarea unor capacități și atitudini generate de specificul disciplinei și sunt
urmărite de -a lungul mai multor ani de studiu. Obiectivele cadru au o structură comună
pentru toate disciplinele aparținând unei arii curriculare și au rolul de a asigura coerența
în cadrul acesteia.
 Obiectivele de referință : sunt obiective care specifică rezultatele așteptate ale învățării
la finalul unui an de studiu și urmăresc pro gresul în formarea de capacități și achiziția
de cunoștințe ale elevului de la un an de studiu la altul.
 Competențele sunt ansambluri structurate de cunoștințe, abilitǎți și atitudini dezvoltate
prin învǎțare, care permit rezolvarea unor problem specific unui domen iu sau a unor
problem generale, în context particulare diverse.

16
 Competențele generale vizate la nivelul disciplinei Matematicǎ și explorarea mediului
jaloneazǎ achizițiile de cunoaștere și de comportament ale elevului pentru întreg ciclul
primar.
 Competen țele specifice sunt derivate din competențele generale, reprezintǎ etape în
dobândirea acestorași se formeazǎ pe durata unui an scolar. Pentru realizarea
competențelor specifice, în program sunt propuse exemple de activitǎți de învǎțare care
valorificǎ exp eriența concretǎ a elevului și care integreazǎ strategii didactice adecvate
unor contexte de învǎțare variate.
 Sugestiile metodologice includ strategii didactice, proiectarea activitǎții didactice,
precum și elemente de evaluare continuǎ.
Figura de mai jos schematizează locul matematicii din învățământul primar și preșcolar în
Curriculum Național actual precum și structura programelor școlare.

Disciplina Matematică și explorarea mediului , conform programei școlare ( MEC, 201 3)
realizează o abordare integrată a conceptelor specifice domeniilor Matematică și Științe ale
Naturii .
Politica educațională
Finalități
Cerințele societății
față de educație
Ariile curriculare
Domeniul Științe
Disciplina
Matematic ǎ
(cl. a II -a și a IV-a)
Programe școlare
Ȋnvǎțǎmânt preșcolar
Notă de prezentare
Obiective cadru
Obiective de referință
Comportamente
Sugestii de conținuturi

Cl.pregǎtitoare, cl. I -IV
Notă de prezentare
Comptențe generale
Competențe specifice și exemple de
activități de învățare
Conținuturile învățării
Sugestii metodologice
Domenii
experiențiale
Învățământ preșcolar Clasele I -XII
defalcate pe 6
mari teme
Disciplina
Matematicǎ și explorarea mediului
(cl. preg, cl. I și cl. a II -a)

17
1.3.1. Obiectivele cadru și de referință ale activităților matematice pentru
învățământul preșcolar
 Ȋntrebare . Care sunt obiectivele cadru , obiectivele de referință și cele 6 mari teme
din învățământul preșcolar la matematică ?

OBIECTIVELE CADRU ale Domeniului Științe pentru învățământul preșcolar , extrase
din programa școlară, sunt:
– Dezvoltarea operațiilor intelectuale prematematice;
– Dezvoltarea capacității de a înțelege și utiliza numere, cifre, unități de măsură,
întrebuințând un vocabula r adecvat;
– Dezvoltarea capacității de recunoaștere, denumire, construire și utilizare a formelor
geometrice;
– Stimularea curiozității privind explicarea și înțelegerea lumii înconjurătoare;
– Dezvoltarea capacității de rezolvare de situații problematice, pri n achiziția de strategii
adecvate;
– Dezvoltarea capacității de cunoaștere și înțelegere a mediului înconjurător, precum și
stimularea curiozității pentru investigarea acestuia;
– Dezvoltarea capacității de observare și stabilire de relații cauzale, spațiale, temporale;
– Utilizarea unui limbaj adecvat în prezentarea unor fenomene din natură și din mediul
înconjurător;
– Formarea și exersarea unor deprinderi de îngrijire și ocrotire a mediului înconjurător,
în vederea educării unei atitudini pozitive față de acesta .
OBIECTIVE DE REFERINȚĂ:
– Să-și îmbogățească experiența senzorială, ca bază a cunoștințelor matematice
referitoare la recunoașterea, denumirea obiectelor, cantitatea lor, clasificarea,
constituirea de grupuri / mulțimi, pe baza unor însușiri comune (formă, mărime,
culoare) luate în considerare separat sau mai multe simultan;
– Să efectueze operații cu grupele de obiecte constituite în funcție de diferite criterii
date ori găsite de el însuși: triere, grupare / regrupare, comparare, clasificare,

18
ordonare, apr eciere a cantității prin punere în corespondență;
– Să înțeleagă și să numească relațiile spațiale relative, să plaseze obiecte într -un
spațiu dat ori să se plaseze corect el însuși în raport cu un reper dat;
– Să înțeleagă raporturi cauzale între acțiuni, fen omene (dacă…atunci) prin observare
și realizare de experimente;
– Să recunoască, să denumească, să construiască și să utilizeze forma geometrică:
cerc, pătrat, triunghi, dreptunghi în jocuri;
– Să efectueze operații și deducții logice, în cadrul jocurilor cu piesele geometrice;
– Să numere de la 1 la 10 recunoscând grupele cu 1 -10 obiecte și cifrele
corespunzătoare;
– Să efectueze operații de adunare și scădere cu 1 -2 unități, în limitele 1 -10;
– Să identifice poziția unui obiect într -un șir utilizând numeralul ord inal;
– Să realizeze serieri de obiecte pe baza unor criterii date ori găsite de el însuși;
– Să compună și să rezolve probleme simple, implicând adunarea / scăderea în
limitele 1 -10;
– Să găsească soluții diverse pentru situații problematice reale sau imaginare întîlnite
în viața de zi cu zi sau în povești, povestiri;
– Să cunoască unele elemente componente ale lumii înconjurătoare (obiecte, aerul,
apa, solul, vegetația, fauna, ființa umană ca parte integrantă a mediului, fenomene
ale naturii), precum și interdep endența dintre ele;
– Să recunoască și să descrie verbal și /sau grafic anumite schimbări și transformări
din mediul apropiat;
– Să cunoască elemente ale mediului social și cultural, poziționând elementul uman
ca parte integrantă a mediului;
– Să cunoască existe nța corpurilor cerești, a vehiculelor cosmice;
– Să comunice impresii, idei pe baza observărilor efectuate;
– Să manifeste disponibilitate în a participa la acțiuni de îngrijire și protejare a
mediului, aplicând cunoștințele dobândite;
– Să aplice norme de compo rtare specifice asigurării sănătății și protecției omului și
naturii.

19
Cele 6 mari teme sunt centralizate în tabelul următor:

TEMA DESCRIEREA TEMEI
Cine sunt/
suntem? O exprimare a naturii umane, a convingerilor și valorilor noastre, a
corpului uman, a stării de sănătate proprii și a familiilor noastre, a
prietenilor, comunităților și culturilor cu care venim în contact
(materială, fizică, sufletească, culturală și spirituală), a drepturilor și
a responsabilităților noastre, a ceea ce înseamnă să fii om.
Când, cum și de
ce se întâmplă? O explorare a lumii fizice și materiale, a universului apropiat sau
îndepărtat, a relației cauză -efect, a fenomenelor naturale și a celor
produse de om, a anotimpurilor, a domeniului științei și tehnologiei
Cum este, a fo st
și va fi aici pe
pământ? O explorare a Sistemului solar, a evoluției vieții pe Pământ, cu
identificarea factorilor care întrețin viața, a problemelor lumii
contemporane: poluarea, încălzirea globală, suprapopularea etc.
O explorare a orientării noastre în spațiu și timp, a istoriilor noastre
personale, a istoriei și geografiei din perspectivă locală și globală, a
căminelor și a călătoriilor noastre, a descoperirilor, explorărilor, a
contribuției indivizilor și a civilizațiilor la evoluția noastră în timp și
spațiu.
Cine și cum
planifică/
organizează o
activitate? O explorare a modalităților în care comunitatea/individul își planifică
și organizează activitățile, precum și a universului produselor muncii
și, implicit, a drumului pe care acestea îl parcurg .
O incursiune în lumea sistemelor și a comunităților umane, a
fenomenelor de utilizare/ neutilizare a forței de muncă și a impactului
acestora asupra evoluției comunităților umane, în contextul formării
unor capacități antreprenoriale.
Cu ce și cum
exprimăm ceea
ce simțim? O explorare a felurilor în care ne descoperim și ne exprimăm ideile,
sentimentele, convingerile și valorile, îndeosebi prin limbaj și prin
arte.
O incursiune în lumea patrimoniului cultural național și universal.

20
Ce și cum vreau
să fiu? O explorare a drepturilor și a responsabilităților noastre, a gândurilor
și năzuințelor noastre de dezvoltare personală.
O incursiune în universul muncii, a naturii și a valorii sociale a
acesteia ( Munca – activitatea umană cea mai importantă, care
transformă năzuințele în realizări ). O incursiune în lumea meseriilor,
a activității umane în genere, în vederea descoperirii aptitudinilor și
abilităților proprii, a propriei valori și a încurajării stimei de sine.

1.3.2. Competențele generale ale mate maticii pentru învățământul primar
 Întrebare. Care sunt competențele generale în învățământul primar la matematică?

Ciclul achizițiilor fundamentale este considerat o perioadă pregătitoare pentru
studiul matematicii. Deoarece există diferențe între competențele matematice ale copiilor,
chiar dacă au frecventat sau nu grădinița, programa oferă o mai mare flexibilitate și
posibilitatea de a se lucra diferențiat.
Studiul matematicii în școala primară își propune să asigure pentru toți elevii
formarea competențelor de bază vizând: calculul aritmetic, noțiuni intuitive de geometrie,
măsurare și măsuri.
În ansamblul său, co ncepția în care a fost construită noua programă de matematică
vizează următoarele:
– schimbări în abordarea conținuturilor: înlocuirea conținuturilor teoretice cu o
varietate de contexte problematice care să dezvolte capacitățile matematice ale elevilor;
– schimbări în ceea ce se așteaptă de la elev: aplicarea mecanică a unor algoritmi se
va înlocui cu elaborarea și folosirea de strategii în rezolvarea de probleme;
– schimbări în învățare:
* schimbarea accentului de la activități de memorare și repetare la a ctivități de
explorare -investigare;
* stimularea atitudinii de cooperare;

21
– schimbări în predare: schimbarea rolului învățătorului de la „transmițător de
informații” la cea de organizator de activități variate de învățare pentru toți copiii,
indiferent de n ivelul și ritmul propriu de dezvoltare al fiecăruia;
Acestea impun ca învățătorul să -și schimbe în mod fundamental orientarea în activitatea
la clasă.
Are mai puțină
importanță: Devine mult mai importantă:
 memorarea mecanică
de reguli;
 matematica făcută cu
„creionul și hârtia”,
respectiv „creta și
tabla”;
 problemele/exercițiile
cu soluții sau
răspunsuri unice;
 activitatea frontală;
 evaluarea cu scopul
catalogării copilului.  activitatea de rezolvare de probleme prin încercări,
implicare activă în situați i practice, căutare de
soluții din experiența de viață a elevilor;
 crearea de situații de învățare diferite prin utilizarea
unei varietăți de obiecte analiza pașilor de rezolvare
a unei probleme, formularea de întrebări,
argumentarea deciziilor luate în rezolvare;
 activitatea învățătorului în calitate de persoană care
facilitează învățarea și îi stimulează pe copii să
lucreze în echipă;
 evaluarea are ca scop surprinderea progresului
competențelor matematice individuale ale elevului.

Competențele generale ale disciplinei Matematică și Explorarea mediului la clasa
pregǎtitoare, clasele I și a II -a, extrase din programele școlare, sunt:
CG 1. Utilizarea numerelor în calcule elementare;
CG 2. Evidențierea caracteristicilor geometrice ale unor obiecte localizate în spațiul
înconjurător;
CG 3. Identificarea unor fenomene/relații/ regularități/structuri din mediul apropiat;
CG 4. Generarea unor explicații simple prin folosirea unor elemente de logică;
CG 5. Rezolvarea de probleme pornind de la sortarea și reprezentarea unor date;
CG 6. Utilizarea unor etaloane convenționale pentru măsurări și estimări.
Competențele generale ale disciplinei Matematică la clasele a III -a și a IV -a,
extrase din programele școlare, sunt:

22
CG 1. Identificarea unor relații/ regu larități din mediul apropiat;
CG 2. Utilizarea numerelor în calcule ;
CG 3. Evidențierea caracteristicilor geometrice ale unor obiecte localizate în mediul
apropiat ;
CG 4 . Utilizarea unor etaloane convenționale pentru măsurări și estimări ;
CG 5. Rezolvarea de probleme ȋn situații familiare.

La nivelul învățământului primar prin parcurgerea programelor școlare pe verticală (de la
clasa pregătitoare, cl. I-IV) se poate observa progresul cognitiv pe care trebuie să -l facă
elevul.

Activitate practică. Comparați progresul cognitiv pe care trebui e sa-l facă elevii de
la clasa pregǎtitoare până la clasa a II -a, pent ru fiecare competențǎ generalǎ . Se va
completa un tabel ca re va pune în corespondențǎ pentru fiecare competențǎ generalǎ,
conținuturile/compe tențele specifice adecvate .

1.4. Manualul școlar
 Întrebări . Ce își propun manualele școlare? Care sunt diferențele dintre manualul
tradițional și cel modern?

Concretizarea conținutului procesului de învățământ reprezintă acți unea de elaborare
a manualelor școlare. Ele au valoarea unui docu ment oficial care asigură concretizarea
programei școlare într -o formă care vizează prezentarea cunoștințelor și capacităților la
nivel sistemic, prin diferite unități didactice operaționalizabile în special di n perspectiva
elevului: capitole, subcapitole, lecții, exerciții rezolvate și propuse etc.
Manualul școlar îndeplinește patru funcții pedagogice destinate elevilor:
 funcția de informare , care evidențiază dimensiunea stabilă a pro gramei școlare;

23
 funcția de formare , care evidențiază dimensiunea flexibilă a pro gramei prin care se
disting unele manuale școlare de altele;
 funcția de antrenare , care evidențiază importanța resurselor meto dologice ale
programei și asigură activarea și menținerea interesului pe ntru învățare;
 funcția de autoinstruire , prin care se dă posibilitatea elevului de a -și monitoriza nivelul
de cunoștințe.
Cele patru funcții pedagogice ale manualului școlar trebuie să stea la baza selecției
unui manual alternativ în detrimentul altuia.
Manualele alternative sunt un semn al normalizării școlii în direc ția democratizării
învățării. Prezentăm în tabelul următor diferențele esențiale între manualele tradiționale și
cele moderne:
Aspecte vizate Manualul tradițional Manualul modern
Selecția
conținuturilor Operează o selecție rigidă a
conținuturilor, din care rezultă
un ansamblu fix de informații,
tratate amplu, academic. O selecție permisivă a
conținuturilor, din care rezultă un
ansamblu variabil de informații în
care elevul și profesorul au spațiu de
creație.
Prezentarea
conținuturilor Se face: standardizat, închis,
concis, conținuturi universal
valabile și suficiente.
Informația constituie un scop în
sine. Se face astfel încât stimulează
interpretări alternative și deschise.
Informațiile co nstituie un mijloc
pentru formarea unor competențe,
valori și atitudini.
Mod de învățare Presupune memorare și
reproducere. Presupune înțelegere și explicare.
Mod de gândire Reprezintă un mecanism de
formare a unei cunoașteri de tip
ideologic. Reprezintă un mecanism de
stimulare a gândirii critice.

24
Temǎ de reflecție. Faceți o analizǎ SWOT a noilor manuale digitale de
matematicǎ .
Explicație: Analiza SWOT provi ne dintr -o cercetare efectuatǎ este o tehnicǎ folositǎ
între anii 1960 -1970 la Stanford Research Institute (SUA). Prin analiza SWOT se
stabilesc punc tele tari (strenghts), pun ctele slabe (weaknesses), oportunitǎțile
(opportunities ) și amenințǎrile (threats ) unui proiect, ale unei acțiuni sau situații. De
obicei datele se centralizeazǎ într -o matrice de 2 x 2.

1.5. Moduri de prezentare a conținutului matematicii în programe și manuale

 Întrebare. Cum sunt selec tate conținuturile matematice în programe și manuale?

Stabilirea structurii tematice a unei discipline școlare presupune asumarea unei duble
perspective de abordare a conținutului instruirii:
 Perspectiva științifică – care presupune includerea celor ma i im portante aspecte
științifice ale disciplinei;

Temǎ de reflecție. Care este baza științificǎ a denumirii de concentru
vehiculatǎ în programele școlare de matematicǎ ?

 Perspectiva pedagogică – care adaptează conținutul științific la nevoile elevilor, la
nivelul fiecărei trepte de școlarizare. Din această a doua perspectivă, structura tematică
a unei pro grame școlare ține cont de următoarele criterii:

25
– accesibilitatea cunoștințelor și capacită ților ce urmează să fie do bândite de elevi în
diferite etape ale școlarității;
– gradarea corectă a cunoștințelor și capacităților în raport cu re sursele de spațiu și
timp existente;
– deschiderea cunoștințelor și capacităților spre diferite tipuri de corela ții
disciplinare, interdisciplinare, transdisciplinare.

Având în vedere cele douǎ perspective p rogramele școlare la matematică sunt structu –
rate liniar sau concentric:
 Prezentarea liniară presupune o înlănțuire succesivă a noți unilor de la o unitate de
învățare la alta și de la un an școlar la altul. Noțiunile se însușesc în formă definitivă, în
întreaga lor sferă de cuprindere, fără a mai fi reluate. Aceste noțiuni se definesc complet,
riguros de la prima întâlnire a elevului cu noțiunea. Revenirea în c lasele următoare se face
numai cu scopul de a ușura înțelegerea altor noțiuni, sau pentru aplicații, rezolvări de
probleme.
 Prezentarea concentrică (în spirală) presupune reluarea acelorași noțiuni, cunoștințe,
deprinderi, într -o formă amplificată pe difer ite trepte ale sistemului școlar. Revenirea se
face din două motive:
1. La prima întâlnire a elevului cu noțiunea, acesta nu o poate cu prinde în toată
rigoarea. Vorbim astfel de o prezentare concentrică calitativă , când însușirea completă,
riguroas ă se face prin restructurări, reinterpretări pe diferite trepte de școlaritate.
2. La prima întâlnire a elevului cu noțiunea, acesta este în măsură să asimileze definiția
noțiunii așa cum apare în știință, dar nu poate cuprinde toate proprietățile, toate v ariantele
echivalente de prezentare a ei. Vorbim astfel de o prezentare concentrică cantitativă , când
revenirea la noțiune se face pentru adăugiri, detalii sau definirea noțiunii în situații noi.
Activitate practică. Dați exemple de conținuturi matematic e ale învățământului
preșcolar și primar, care se tratează liniar, concentric calitativ respectiv concentric
cantitativ.

26
 Sumar
În acest modul sunt prezentate documentele oficiale ale MEC, și conceptele cheie
care se găsesc în acestea .

 Sarcini și teme ce vor fi notate
Nu au fost formulate explicit sar cini de lucru pentru acest modul , ci ele fac parte
integrantă din realizarea portofoliului. Întrebările și activitățile practice au rolul de a orienta
atenția cititorului spre cele mai importante aspecte teoretice. Ca urmare nu vor fi date teme
care să fie notate separat ci doar în contextul realizării portofoliului .

 Test de autoevaluare
1. Care dintre elementele următoare sunt componente ale programelor școlare de
matematicǎ?
a. Competențele specifice
b. Obiectivele cadru
c. Valori și atitudini
d. Unități de învățare

2. Care dintre următoarele afirmații sunt adevărate:
a. Ariile curriculare reprezintă periodizări ale școlarității
b. Ariile curriculare reprezintă grupaje de discipline școlare
c. Ariile curriculare sunt diferite la gimnaziu față de învǎțǎmântul primar
d. Planificarea calendaristică este un document oficial al MEC

3. Competențele generale se definesc pentru o disciplină și se formează pe durata :
a. învățământului liceal, b. unui an școlar, c. unui semestru, d. învățământului
obligatoriu

27
4. Competențele specifice se definesc pentru o disciplină și se formează pe durata :
a. învățământului liceal, b. unui an școlar, c. unui semestru, d. învățământului
obligatoriu

5. Programa școlară este :
a. o parte a Curr iculumului Național , b. Curriculum Național ,
c. programa analitică, d. oferta educaț ională

6. Ciclurile curriculare reprezintă:
a. grupaje de discipline școlare b. period izări ale școlarității
c. o componentă a Curriculumului Național d. modul de structurare al liceului

7. Specificați douǎ funcții ale manualului școlar.

8. Prezentarea liniarǎ a conținuturilor înseamnǎ…..

9. Prezentarea concentrica a conținuturilor înseamnǎ…..

10. Cele douǎ modalitǎți de abordare concentricǎ a conținuturilor sunt :

 Bibliografie modul
MEC, (2008), Curriculum pentru învățământul preșcolar , București
MEN, CNC, (2013 – 2014), Programe școlare pentru învățământul primar , București
Magdaș, I., (2014), Didactica matematicii în învățământul primar și preșcolar – actualitate
și perspective , ediția a II -a, Editura Presa Universitară Clujeană, Cluj -Napoca, 2014

28
Modul 2. CONȚINUTURI NOȚIONALE ȘI METODE SPECIFICE DE
PREDARE -ÎNVĂȚARE A ACESTORA

 Timp de studiu: 12 ore
 Scopul și obiectivele
Acest modul își propune prezentarea și analizarea din punct de vedere metodic a
celor mai importante conținuturi noționale matematice din învățământul primar și
preșcolar. Pe parcursul modulului cursan ții vor fi capabili:
O2.1. să definească științific conceptele matematice întâlnite în învățământul primar și
preșcolar ;
O2.2. să prelucreze concepte științifice matematice la nivelul învățământului primar și
preșcolar;
O2.3. să proiecteze și să experimenteze situații de învăț are în care se utilizează metode
specifice de predare -învățare a matematicii
O2.4. să integreze într-un sistem conceptele matematice din învățământul primar și
preșcolar și să conștientizeze ca acest sistem este incomplet ;

 Scurtă recapitulare a conceptelor prezentate anterior
Conținuturile noționale ale programelor școlare de matematică pentru învățământul
primar și preșcolar și modul lor de abordare în programe și manuale: liniar și concentric .

Activitate practică. Analizând programele școlare identificați conținuturile
noționale matematice abordate în învățământul preșcolar și primar.

 Schema logică a modului
Paragrafele vor fi parcurse liniar în ordinea în care sunt scrise. Noțiunile esențiale ale
modulului sunt următoarele, în ordinea în care apar:
 Număr natural

29
 Operații cu numere naturale
 Număr rațional pozitiv
 Unități de măsură
 Elemente de geometrie
 Tipuri de probleme de aritmetică
Schematic avem :

Conținuturi
noționale ale
matematicii în
învățământul
preșcolar și primar
Aritmetică
Numere
naturale
Numere
raționale
(fracții)
Probleme de
aritmetică
Operații cu numere:
adunarea, scăderea,
înmulțirea, împărțirea
Geometrie
Elemente de bază:
punct , dreaptă, segment,
semidreaptă etc.
Figuri geometrice fundame ntale:
triunghi, paralelogram și
paralelograme particulare , cerc
Aplicațiile
matematicii
Mărimi și uni –
tăți de măsură
lungime
volum
masă
valoare
timp
Corpuri geometrice:cub,
paralelipiped dreptunghic etc.
perimetre, arii

30
 Conținutul informațional detaliat
2.1.Mulțimea numerelor naturale. As pecte ș tiințifice
2.1.1. Numărul natural ca număr cardinal
2.1.2. Axiomatica lui Peano
2.2.Formarea conceptului de număr natural în învățământul preșcolar și primar
2.2.1. Predarea – învățarea numerelor naturale de la 1 pânǎ la 10 în învǎțǎmântul
preșcolar
2.2.2. Predarea – învățarea numerelor naturale din intervalul 0 -10, la clasa
pregǎtitoare și clasa I
2.2.3. Predarea – învățarea numerelor naturale din intervalul 10 – 100
2.2.4. Predarea – învățarea numerelor naturale din intervalul 100 – 1000
2.2.5. Predarea – învățarea numerelor naturale cu mai mult de trei cifre
2.3. Predarea -învățarea operațiilor cu numere naturale
2.3.1. Adunarea și scăderea numerelor naturale în intervalul 0 -10
2.3.2. Adunarea și scăderea numerelor naturale în intervalul 0 -31
2.3.3. Adunarea și scăderea numerelor naturale în celelalte intervale: 0 -100,0 -1 000,
0-10 000 și 0 – 1 000 000
2.3.4. Predarea -învățarea înmulțirii și împărțirii în intervalul 0 -100
2.3.5. Predarea -învățarea înmulțirii și împ ărțirii numerelor naturale mai mici sau
egale cu 1000
2.4. Formarea conceptului de fracție în învățământul primar
2.5. Predarea -învățarea mărimilor și a unităților de măsură
2.6. Predarea -învățarea elementelor de geometrie
2.7. Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică
2.7.1. Etapele metodice de rezolvare a unei probleme
2.7.2. Metode specifice de rezolvare a unor tipuri de probleme de aritmetică

31
2.1. Mulțimea numerelor naturale. Aspecte științifice

 Întrebare. Care a fost primul matematician care a pus bazele axiomatice ale
mulțimii numerelor naturale?

2.1.1. Numărul natural ca număr cardinal
La baza introducerii numǎrului natural ca numǎr cardinal stǎ teoria lui Frege -Russell.
Aceștia au pornit de la mulțimea vidă Ø, și au construit ș irul:
Ø, {Ø}, {Ø, { Ø}}, {Ø, { Ø}, {Ø, { Ø}}},…
în care fiecare termen, începând cu al doilea, este mulțimea termenilor anteriori.
Definiție. Se numesc numere naturale , numerele cardinale ale mulțimilor din șirul de mai
sus. Notăm numerele naturale cu:
0 = Card Ø, 1 = Card {Ø}, 2 = Card {Ø, { Ø}}etc.
iar mulțimea numerelor naturale cu N.
Observație. Numărul natural introdus pe această cale arată aspectul cardinal al
numerelor naturale (câte sunt?).

2.1.2. Axiomatica lui Peano
Giuseppe Peano (1858 -1932) a pus bazele axiomatice ale mulțimii numerelor naturale
prin axiomele care îi poartă numele.
Axiomele lui Peano (1891) sunt:
Se numește mulțimea numerelor naturale o mul țime N pe care se definește o funcție
N Ns:
numită funcție succesor și care satisface proprietățile:
P1) În N există un element (numit zero și notat cu 0) care nu este succesorul nici unui
element;
P2) Funcția succesor
s este injectivă (adică două elemente diferite din N au succesorii
diferiți);

32
P3) Dacă o submulțime P a lui N are proprietatea că dacă
P0 și
Pn implică
Pns)(
atunci P= N.
Observații.
1) Se poate arăta că există un singur triplet (N, 0, s) care satisface proprietățile de mai sus.
2) Funcția succesor este: s(0)=1, s(1)=2, s(2)=3 etc.
3) Proprietatea P3) se numește axioma sau principiul inducției matematice și pe baza ei se
fac demonstrațiile prin inducție matematică.
4) Numărul natural introdus astfel arată aspectul ordinal al numerelor naturale (al
câtelea este?).

Temǎ de reflecție. Cum influențeazǎ teoriile științifice de introducere a
mulțimii numerelo r naturale metodologia introducerii numerelor natural e la școlarii
mici?

2.1.3. Operații cu numere naturale

– Adunarea m + n , citim m plus n sau m adunat cu n . m și n se numesc termenii adunării ,
iar rezultatul adunării se numește suma sau totalul numerelor m și n.
Proprietățile adunării:
1. Asociativitate :
Npnmpn mpnm  ,, ), ( ) (
2. Comutativitate :
Nnmmnnm  ,,
3. Elementul neutru :
Nmmm m  , 00
4. Legea de reducere :
pn pmnm 

– Scăderea m – n, citim m minus n. m se numește descăzut , n se numește scăzător , iar
rezultatul scăderii se numește diferență sau rest.
Observație. În „matematica știință”, s căderea numerelor naturale nu se definește în N ci
numai în Z astfel:
)(y xyx 

33

– Ȋnmulțirea m×n sau m·n, citim m înmulțit cu n sau produsul lui m cu n. m și n se
numesc factorii înmulțirii , iar rezultatul înmulțirii se numește produsul numerelor m și n.
Proprietățile înmulțirii:
1. Asociativitate :
Npnmpnmpnm  ,, ), ( ) (
2. Comutativitate :
Nnmmnnm  ,,
3. Elementul neutru :
Nmmm m  , 11
4. Distributivitatea înmulțirii față de adunare :
– la stânga :
Npnmpmnmpnm  ,,, ) (
sau utilizând comutativitatea:
– la dreapta :
Npnmmpmnmpn  ,,, ) (
5. Legea de simplificare:
pn mpmnm  0 ,

– Ȋmpărțirea.
Teorema împărțirii cu rest. Pentru orice două numere naturale
m și
0 ,nn există în mod
unic numerele naturale
q și
rnumite cât și rest astfel încât:
rqnm și
nr . m se numește
deîmpărțit , n se numește împărțitor , iar împărțirea se scrie m:n și se citește m împărțit la
n.
Cazuri particulare:
– Dacă restul unei împărțiri este 0, atunci spunem că împărțirea este exactă ;
– Dacă deîmpărțitul este 0 , rezultatul împărțirii lui 0 la orice număr diferit de 0 este 0;
– Dacă împărțitorul este 1 , rezultatul împărțirii unui număr la 1 este acel număr.
Observație. Nu se poate efectua împărțirea la 0 .
Proprietăți:
Are loc distributivitatea împărțirii față de adunare și scădere la dreapta :
Npnmmpmnmpn  ,,,: : 🙂 (

2.1.4. Relația de ordine pe N
Definiție. Pe mulțimea numerelor naturale N se definește relația “ mai mic sau egal
cu”, notată
 , astfel:
nm dacă
dmnNd  :

34
Definiție. Spunem că
nm și citim “m mai mic decât n” dacă
nm și
nm .
Proprietăți. Relația
 are următoarele proprietăți:
1. Reflexivitate :
Nnnn,
2. Antisimetrie : Dacă
mn și
nm atunci
nm
3. Tranzitivitate : Dacă
nm și
pn atunci
pm
4. Tricotomie : Dacă
Nnm, atunci
nm sau
nm sau
nm
Definiție. O relație se numește relație de ordine dacă este reflexivă, antisimetrică și
tranzitivă. Relația se numește de ordine totală dacă în plus are loc proprietatea de
tricotomie.
Propoziție. Relația
 este o relație de ordine totală pe N.
Proprietățile relației
 față de adunare și înmulțire sunt:
a) Dacă
nm atunci
Nppnpm  ,
b) Dacă
nm și
*Np atunci
pnpm

2.1.5. Reguli privind ordinea efectuării operațiilor

Regula 1. Dacă exercițiul nu conține paranteze se efectuează mai întâi operațiile de
ordinul II (înmulțirea și împărțirea) , apoi cele de ordinul I (adunarea și scăderea) în ordinea
în care sunt scrise de la stânga spre dreapta;
Regula 2. Dacă exercițiul conține paranteze se efectuează calculele din parantezele
mici, apoi din cele mari (drepte) și la final din acolade conform regulii 1;
Regula 3. După efectuarea calculelor dintr -o paranteză, acea paranteză se înlocuiește
cu rezultatul, și se obișnuiește deși nu este obligatoriu ca paranteza în care era inclusă, dacă
nu mai conține și alte paranteze, să se transforme:
– dacă este mare în paranteză mică,
– dacă este acoladă în paranteză mare.

2.2. Formarea conceptului de număr natural în învățământul preșcolar și primar

Conceptul de numǎr natural este abordat concentric prin reveniri atât cantitative cât
și calitative începând de la grǎdinițǎ pânǎ în clasa a IV -a. Ȋn schema de mai jos sunt

35
evidențiate principalele aspecte care stau la baza formării conceptului de număr natural și
anume: exprimare verbală, exprimare scrisă, aspect cardinal și aspect ord inal.

Este important de observat faptul cǎ studiul numerelor naturale începe cu numerele
cuprinse între 1 și 10, iar apoi studiul vizeazǎ extinderea intervalului pe intervale din ce în
ce mai cuprinzǎtoare. Pentru fiecare interval în parte se vor studia și corel a toate cele patru
caracteristici: exprimare verbalǎ, exprimare scrisǎ, aspect cardinal și aspect ordinal. Astfel
în învǎțǎmântul preșcolar se va studia numerația de la 1 și 10. Potrivit programelor pentru
clasele primare, în clasa pregǎtitoare elevii vor studia numerele naturale 0 -31 defalcate pe
trei intervale: 0 -10; 10 -20 și 20 -31. Programa precizeazǎ urmǎtoarele conținuturi:
recunoaștere, formare, citire, scriere (cu cifre), comparare și ordonare. Ȋn clasa I intervalul
de numere naturale este extins la 0-100 și defalcat în intervalele: 0 -31, respectiv 31 -100.
Fațǎ de clasa pregǎtitoare se adaugǎ numerele pare/impare. La clasa a II -a intervalul studiat
este 0 -1000 defalcat pe: 0 -100 și 100 -1 000. Fațǎ de clasa I se adaugǎ scrierea cu litere a
numerelor. P otrivit programei la clasa a III -a se vor studia numerele naturale de la 0 -10
Conceptul de
numǎr natural
Exprimare
scrisǎ
Exprimare
verbalǎ
Aspect cardinal
(cantitate)
cu cifre arabe
sau romane
cu litere
în sistem
zecimal
Aspect ordinal
(poziție în șir)

comparare
ordonare

36
000, iar la clasa a IV -a de la 0 -1 000 000. Se adaugǎ rotunjirea numerelor și scrierea cu
cifre romane.

2.2.1. Predarea -învățarea numerelor naturale de la 1 pânǎ la 10 în învǎțǎmânt ul
preșcolar

 Întrebări . Care este obiectivul cadru din programa de învățământ preșcolar care
acoperă formarea la preșcolari a conceptului de număr natural? În ce obiective de
referință se defalcă acesta?

Obiectivul cadru care acoperă formarea la preșcolari a conceptului de număr
natural este: Dezvoltarea capacității de a înțelege și utiliza numerele și cifrele.
Elementele pregătitoare introducerii numerelor naturale sunt:
– sesizarea mulțimilor și a relațiilor dintre acestea în realitatea obiectivă (mulțimi de obiecte
din mediul înconjurător, experiența de viață a copiilor, imagini ale unor obiecte și mulțimi
de obiecte concrete);
– operații cu mulțimi de obiecte concrete: reuniunea (punerea la un loc a elementelor a d ouă
mulțimi), intersecția (observarea elementelor comune a două mulțimi) și diferența a două
mulțimi (observarea elementelor care sunt într -o mulțime și nu sunt în cealaltă mulțime).
– stabilirea corespondenței între elementele a două mulțimi făcând cores pondențe element
cu element. Rezultatul se va exprima prin cuvintele : mai mult , mai puțin sau tot atâtea
(obiecte, elemente).
În ceea ce privește materialul didactic folosit, acesta respectă regulile obișnuite
impuse de particularitățile de vârstă: se lu crează întâi cu obiecte concrete (etapa acțională),
apoi cu imagini, reprezentări grafice (etapa iconică) și în final cu simboluri (etapa
simbolică).

37
Specific pentru mijloacele materiale concrete sunt trusele cu piese geometrice. De
exemplu piesele truse i Dienes sunt definite prin patru variabile, fiecare având o serie de
valori distincte:
a) mărime – cu două valori: mare, mic;
b) culoare – având trei valori: roșu, galben, albastru;
c) formă – având patru valori: pătrat, triunghi, dreptunghi, cerc;
d) grosime – având două valori: gros, subțire.
Caietele speciale au un rol extrem de important în etapa reprezentărilor grafice și
cea simbolică, am putea spune chiar că fără acestea rolul educatorului ar fi cu mult mai
dificil.
Etapele metodice ale introducerii unui număr natural n sunt:
 Numărul natural unu apare firesc considerând mulțimi cu un element ca: mulțimea
ușilor unei clase. Copii vor da exemple diverse de mulțimi cu un element din mediul
înconjurător. Toate aceste mulțimi au proprietatea comună de a avea același număr de
elemente pe care îl vom numi unu și îl vom nota cu simbolul grafic (cifra) 1.
 Numerele naturale între 2 și 10 se introduc urmând calea istorică de introducere a
numerelor, respectiv pe baza mulțimilor echipotente și a succesorului unui număr astfel:
– se construiește o mulțime de obiecte având n-1 elemente (deci atât cât este ultimul număr
cunoscut). Dacă de exemplu se introduce numărul cinci se construiește o mulțime cu patru
elemente (din bile, bețișoare, jetoane, figuri geometrice etc.).
– se construiește altă mulțime echipotentă cu prima (deci cu același număr de elemente,
lucru constatat prin punere în corespondență unu la unu);
– se adaugă încă un obiect în cea de a doua mulțime;
– se constată că noua mulțime are cu un obiect mai mult de cât prima mulțime (elementul
adăugat nu corespunde nici unui element din prima mulțime);
– se afirmă că noua mulțime, formată din n -1 obiecte și încă un obiect are n obiecte (deci,
patru obiecte și încă un obiect înseamnă cinci obiecte);
– se construiesc a lte mulțimi, echipotente cu noua mulțime, formate cu alte obiecte, pentru
a sublinia independența de alegerea reprezentanților;

38
– se prezintă cifra (semnul grafic) corespunzătoare noului număr introdus.
Conceptul de număr ridică de cele mai multe ori dificultăți de ordin psihologic
pentru copil datorită celor trei elemente care stau la baza numărului: conceptul numeric (cu
dublu caracter: cardinal și ordinal), exprimarea sa verbală (numărul) și simbolul grafic (sau
exprimarea sa scrisă). Ca urmare, pen tru exersare se vor face exerciții care acoperă toate
cele trei aspecte precizate anterior.
Astfel obiectivele lecțiilor vizând numerele naturale de la 1 la 10 se referă la
următoarele capacități ale copilului:
– să facă corelații între cantitate, număr ș i simbol grafic (cifra) corespunzătoare;
– să stabilească vecinii unui număr dat în secvența învățată;
– să descopere care cifră (număr) lipsește într -un șir dat de cifre (numere);
– să ordoneze crescător (descrescător) șirul numerelor cunoscute;
– să com pare numere naturale, precizând care este mai mare, respectiv mai mic;
– să identifice și să numească primul, ultimul sau elementul din mijlocul unui șir de numere;
– stabilirea locului unui număr într -un șir prin utilizarea adecvată a numeralelor ordinal e:
primul, al doilea etc.
– să compună și să descompună mulțimi cu un număr dat de elemente;
– să estimeze numărul de obiecte dintr -o mulțime dată și să verifice prin numărare.

2.2.2. Predare a-învățare a numerelo r naturale din interval ul 0 -10, la clasa
pregǎtitoare și clasa I
 Întrebare. Există diferențe în introducerea numerelor naturale 0 -10 la clasa
pregǎtitoare față de grădiniță?

39
În clasa pregǎtitoare se reiau pe o treaptă superioară numerele naturale de la 1 la 10
prin completarea șirului acestora până la 100 și cu primul număr natural, numărul zero.
 Numărul natural zero se introduce identificând mulțimi din lumea înconjurătoare
care nu au elemente ca: mulțimea copacilor din sala de clasă. Aceste mulțimi se numesc
mulțimi vide. Numărul de elemente ale unei mulțimi vide este zero, și îl vom nota cu
simbolul (cifra) 0.
 Numărul natural unu se introduce ca la grădiniță.
 Numerele naturale de la 2 la 10 p ot fi introduse la fel ca la grădiniță. Un alt procedeu
care poate fi utilizat valorifică procedeul de compunere și descompunere a unui număr și
pregătește adunarea și scăderea. Acest procedeu l -am exemplificat pentru introducerea
numărului cinci și se des fășoară astfel:
– profesorul începe activitatea de la numărul anterior însușit, respectiv patru, punând pe
tabla magnetică, iar elevii pe bancă patru jetoane (bile, cercuri etc.);
– prin acțiuni pe tabla magnetică se arată că dacă un alt jeton vine spre cele patru existente
se obțin cinci jetoane. Elevii vor executa și ei în bancă aceeași acțiune. În acest fel elevii
vor conștientiza că numărul cinci se compune din unu și patru;
– elevii sunt puși apoi în situația de a găsi alte posibilități de compunere și descompunere
a numărului cinci: din doi și trei, din trei și doi, din patru și unu;
– în etapa următoare elevii sunt puși să deseneze pe caiete ceea ce au executat anterior,
deci se trece de la etapa acțională la cea iconică. Aceste reprezentări vor ar ăta astfel:
● ● ● ● ← ● = ● ● ● ● ●
● ● ● ← ● ● = ● ● ● ● ●
● ● ← ● ● ● = ● ● ● ● ●
● ← ● ● ● ● = ● ● ● ● ●
– asigurându -se că toți elevii au realizat saltul calitativ de la reprezentarea în acțiune la cea
iconică, profesorul trece la învățarea simbolului grafic: cifra 5;
– apoi se va cere copiilor să rescrie reprezentările anterioare făcute prin desene cu ajutorul
cifrelor. Aceste reprezentări simbolice vor arăta astfel:

40
4 ← 1= 5
3 ← 2 = 5
2 ← 3 = 5
1 ← 4 = 5
Sau
1 4 ; 2 3 ; 3 2 ; 4 1
\ / \ / \ / \ /
5 5 5 5
Toate aceste exerciții au ca scop pregătirea operațiilor cu numere natural e în
interval ul 0 – 10.
– următoarea etapă constă în evidențierea relației de ordine în care se găsește numărul
natural patru față de numerele naturale învățate până în acel moment. Pentru realizarea
acestui lucru se prezintă elevilor două mulțimi, una cu patru elemente iar cealaltă cu cinci
elemente. Prin corespondența unu la unu se observă că mulțimea cu patru elemente are cu
un element mai puțin decât cea cu cinci elemente. În acest moment, dacă nu s -au introdus
până atunci, se introduce simbolul „<” car e se citește „mai mic decât” și care se scrie între
numerele corespunzătoare acestor mulțimi, deci 4 < 5. Analog se introduce și simbolul „>”
care se citește „ mai mare decât”. Apoi, folosind cele două simboluri învățate se scriu
numerele în ordine crescăt oare și descrescătoare astfel:

543210  respectiv
012345 
Urmează apoi exerciții de fixare a cunoștințelor, de stabilire a relației de ordine între două
numere, scrierea crescătoare, descrescătoare a unui șir de numere dintre cele învățate,
identificarea numerelor care lipsesc dintr -un șir dat.
Obiectivele lecțiilor vizând numerele naturale de la 0 la 10 sunt asemănătoare celor
din învățământul preșcolar însă cu o mai accentuată prezență a simbolurilor matematice
(cifre, semnele <, > etc.)

41
2.2.3. Predarea – învățarea numerelor naturale din intervalul 10 – 31 și 10 – 100

 Întrebări .
– Cum se in troduc numerele naturale din acest interval e?
– Care este diferența în introducer ea numerelor naturale din interval ul 10 – 31 față
de interval ul 0-10?
– Care este diferența în introducer ea numerelor naturale din interval ul 10 – 100 față
de interval ul 0-31?

Înțelegerea procesului de formare a numerelor naturale mai mari decât 10 și mai
mici decât 20 este esențială pentru extrapolarea la următoarele intervale numerice. Studiul
interval ului 10-20 îi ajută pe elevi să -și consoli deze cunoștințele anterioare și să le transfere
în contexte noi. Este util să se considere zecea ca unitate de numerație și să se utilizeze ca
unitate compactă (de exemplu se leagă 10 bețișoare ca un mănunchi).
 Introducerea numărului 12 se poate realiza a stfel:
– se formează o mulțime cu 10 elemente (o zece);
– se formează o mulțime cu 2 element e;
– se reunesc cele două mulțimi, obținându -se o mulțime form ată din zece elemente și încă
douǎ element e;
– se spune că această mulțime are doisprezece elemente și că scrierea acestui număr este
12, prima reprezentând zecea și cea de a doua unitǎțile . Trebuie insistat că o cifră poate
avea valori diferite în funcție de poziția pe care o are în număr.
 Numărul 20, se construiește din o zece și zece unități, adică d ouă zeci. Numărul format
numai din zeci apare ca o punere împreună a mai multor mănunchiuri astfel formate.
Analog se introduc toate numerele de tipul
0z .

42
 Pentru introducerea tuturor numerelor de tipul
,zu u>0 se procedează ca la introducerea
numărului 11 și anume ca reuniune între o mulțime de zeci și o mulțime formată din unități.
Explicația este aceea că în această etapă a introducerii numerelor naturale dorim ca elevii
să perceapă numerele naturale ca fiind for mate din zeci și unități și deci să înțeleagă
sistemul zecimal de formare a numerelor. Astfel elevul îl va privi de exemplu pe 46 nu în
comparație cu 45 ci ca fiind al cătuit din 4 zeci și 6 unități. Trebuie totodată insistat asupra
faptului că o cifră poa te avea semnificații diferite în cadrul unui număr în funcție de poziția
pe care aceasta o ocupă. De exemplu cifra 3 din numărul 33 are două semnificații diferite:
primul 3 din dreapta semnifică unitățile simple, iar al doilea 3 din stânga semnifică zecile .
 Numărul 100 este primul număr de trei cifre întâlnit de elevi și în acest context el trebuie
privit ca reprezentând 10 zeci.
Dacă aceste etape vor fi corect parcurse, nu vor fi întâmpinate dificultăți în
înțelegerea numerelor până la 100. Pentru prima dată elevii dau o nouă semnificație
cifrelor, semnificație dată de locul pe care acestea îl ocupă în scrierea numerelor.
Obiectivele lecțiilor vizând numerele naturale între 10 și 100 (cl. I) se referă la
următoarele capacități ale copilului:
– să înțel eagă sistemul zecimal de formare a numerelor (din zeci și unități), utilizând obiecte
pentru justificări;
– să scrie, să citească, să compare și să ordoneze numerele naturale de la 0 la 100.
Temǎ de reflecție. Ce dificultǎți pot apare în introducerea n umerelor naturale
din intervalele 0 -31 și 0-100 la clasa pregǎtitoare și clasa I?

2.2.4. Predarea – învățarea numerelor naturale din intervalul 100 – 1000
În predarea -învățarea numerelor naturale în interval ul 100 -1000 se utilizează
procedee analoage celor utilizate în concernul anterior învățat. În acest concern elevii
adaugă o nouă unitate – suta compusă din zece zeci, iar zece sute formează o mie. Formarea

43
unui număr nou mai mare decât 100 se realizează du pă algoritmul cunoscut, de exemplu
452 se formează din patru sute, cinci zeci și două unități. Dificultăți pot apare atunci când
avem numere ce conțin cifra 0. Este necesar ca elevii să facă deosebire între 101 și 110 (de
exemplu), în care 0 arată lipsa ze cilor, respectiv lipsa unităților.
Obiectivele lecțiilor vizând numerele naturale între 100 și 1000 se referă la
următoarele capacități ale copilului:
– să înțeleagă sistemul zecimal de formare a numerelor (din sute, zeci și unități), utilizând
obiecte pe ntru justificări;
– să scrie, să citească, să compare și să ordoneze numerele naturale mai mici decât 1000,
utilizând simbolurile: <. >, =
2.2.5. Predarea – învățarea numerelor naturale cu mai mult de trei cifre
La baza introducerii acestor numere stau no țiunile de ordin și clasă . Până acum
elevii au cunoscut trei unități de calcul: unitatea, zecea și suta. Pentru a ordona și
sistematiza secvențele numerice următoare, fiecărei unități de calcul îi va fi atașat un
„ordin” ce reprezintă poziția ocupată de ci fră în cadrul numărului, poziție numărată de la
dreapta spre stânga. Pe măsură ce se cunosc ordinele, elevii constată că grupuri de trei
ordine consecutive vor forma o grupă numită „clasă” după cum se arată în tabelul de mai
jos:

… Sute
de
mili-
oane Zeci
de
mili-
oane Unități
de
mili-
oane Sute
de
mii Zeci
de
mii Mii Sute Zeci Unități
… 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Ordin
… Clasa milioanelor Clasa miilor Clasa unităților Clasă
Procedeul se poate continua cu unități de miliarde, zeci de miliarde, sute de miliarde
care formează clasa miliardelor, și în principiu acest proces se poate continua.
Concluzionând, obiectivele lecțiilor vizând numerele cu mai mult de trei cifre se
refer ă la următoarele capacități ale elevilor:

44
– să cunoască caracteristicile sistemului de numerație: zecimal (zece unități de un anumit
ordin formează o unitate de ordin imediat superior) și pozițional (o cifră poate reprezenta
diferite valori în funcție de l ocul pe care îl ocupă în scrierea unui număr);
– să scrie, să citească, să compare și să ordoneze numere naturale.

 Test de autoevaluare
1. Care sunt caracteristicile sistemului nostru de numerație?
2. Care sunt principalele aspecte vizate în formarea conceptului de numǎr natural ?
3. Ce intervale de numere naturale se studiazǎ la fiecare clasǎ ?
4. Care este diferența în introducerea numerelor naturale 1 -10 la grǎdinițǎ fațǎ de
învǎțǎmântul primar ?
5. Care este elementul principal care diferențiazǎ introducere a numerelor naturale 1 –
10 fațǎ de 10 – 100 ?
6. Cum se introduc numerele naturale mai mari decât 100 ?

2.3. Predarea -învățarea operațiilor cu numere naturale

 Întrebǎri . Care sunt operațiile cu numere naturale studiate în învățământul
preșcolar și primar și cum sunt sistematizate pentru o mai bunǎ înțelegere ?

Învățarea operațiilor cu numere naturale începe la grădiniță și constituie activitatea
cu ponderea cea mai mare din învățământul primar. Obiectivul cadru care acoperă formarea
la preșcolari a opera țiilor cu numere naturale este: Dezvoltarea capacității de a înțelege și
utiliza numerele și cifrele. La acest obiectiv se revine pe o treaptă superioară în clasele
primare, unde în toate cele patru obiective cadru vom regăsi referiri spre operațiile cu
numere naturale. Adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea numerelor naturale

45
reprezintă așadar baza pe care se pot clădi noi cunoștințe. Înainte de a intra în detalii am
dori să evidențiem că formarea deprinderilor de operare cu numere naturale are ca etape
necesare :
– înțelegerea raționamentului care stă la baza aflării rezultatului;
– cunoașterea algoritmului de calcul;
– exersarea, și în final
– aplicarea în contexte variate.

2.3.1. Adunarea și scăderea numerelor naturale în interval ul 0-10

 Întrebare. Care sunt etapele metodice în predarea -învățarea adunării și scăderii
numerelor în interval ul 0-10?

Adunarea și scăderea numerelor în interval ul 0-10 corespunde atât programei din
învățământul pre școlar cât și programelor clasei pregǎtitoa re și clasei I. Diferența este că
la grădiniță se efectuează adunări și scăderi numai cu 1 -2 unități și în intervalul 1-10. În
acest context se vor introduce operațiile de adunare și scădere utilizând mulțimile și
operațiile cu acestea: reuniunea și diferența.
Se va trece prin următoarele etape:
1. În etapa acțională copiii vor manipula obiecte (jucării, jetoane) și vor verbaliza
ceea ce observă.
2. În etapa iconică , a reprezentărilor , copiii transpun pe hârtie situațiile utilizând
semnele + și – calcule matematice. Aceste reprezentări pot fi diverse.
3. În etapa abst ractă copiii utilizează simbolurile grafice ale numerelor, precum ș i
semnele +, – și = verbalizate de copii. Copiii vor scrie: 3+2=5 și vor citi „trei plus doi este
egal cu cinci”. Această scriere se poate face și la grădiniță. Ceea ce aduce nou etapa
abstractă, în clasa I, sunt denumirile: termeni, adunare, sumă sau total precum și
identificarea și scrierea primelor proprietăți ale adunării: comutativitatea, asociativitatea,

46
elementul neutru 0 pe exemple concrete (pentru detalii științifice vezi paragraful 4.2.3.).
La început nu se va utiliza terminologia dar pe măsură ce se trece la un nou concern, treptat
elevii vor fi obișnuiți să le utilizeze. De asemenea elevii vor fi obișnuiți cu expresii ca: „cu
… mai mult /mai puțin ”, „mărind /micșorând … cu …”, „adă ugând /scăzând … la …” etc.
care semnifică adunări /scăderi .

Legătura dintre adunare și scădere apare ca o cerință a programei de clasa I, dar fără
efectuarea probei. Efectuarea probelor se va face începând cu clasa a II -a astfel:
– Proba adunării T1+T2=S se poate face prin adunare sau scădere astfel:
Proba 1. T2+T1=S
Proba 2. S-T1=T2
Proba 3. S-T2=T1
– Proba scăderii D-S=R se poate face prin adunare sau scădere astfel;
Proba 1. S+R=D
Proba 2. D-R=S
Este foarte important ca elevii să verbalizeze modul de efectuare al aceste probe. În
acest fel pregătim aflarea unui termen necunoscut în cadrul unei relații de tipul: ?+a=b sau
a+?=b, începând cu clasa a II -a. Pentru rezolvarea acestor prime ecuații (făr ă a le denumi
în acest fel) elevii trebuie să fie capabili să răspundă la întrebări ca:
– Cum se determină un termen cunoscând celălalt termen și totalul?
– Cum se determină descăzutul cunoscând scăzătorul și diferența?
– Cum se determină scăzătorul cunoscând de scăzutul și diferența?

2.3.2. Adunarea și scăderea numerelor naturale în intervalul 0 -31

 Întrebǎri . Care sunt t ipurile de exerciții întâlnite î n acest interval și cum se
abordează ele din punct de vedere metodic?

47
Adunarea și scăderea numerelor în intervalul 0 -31 fără și cu trecere peste ordin cu
1-5 unitǎți, prin numǎrare/cu suport intuitiv se studiazǎ conform noilor programe în clasa
pregǎtitoare. Deși cărțile de metodică, în mod tradițional, consideră o primă extindere a
operațiilor de adunare ș i scădere a numerelor naturale din intervalul 0 -10 la intervalul 0 –
20, programele școlare de matematică propun ca următor interval pe 0 -31, introdus din
considerente cotidiene așa cum am precizat anterior. Deși acest interval dă posibilitatea
unei mai mari varietăți de exerciții, totuși o abordare directǎ a adunǎrii și scǎderii numerelor
naturale în acest interval la clasa pregǎtitoare poate fi dificil de înțeles de cǎtre copii.
În cele ce urmează vom prezenta câteva tipu ri de exerciții din acest interval :
1. Adunări și scăderi fără trecere peste ordin :

Exemplificări
Considerații metodice
3+5=8 Este o reactualizare. S -a discutat în concernul anterior 0 -10
10+5=15
20+4=24 Se face direct, elevii recunosc modul de formare al unui număr mai
mic decât 100
10+10=20
10+20=30 Se face direct.
12+4=(10+2)+4=
10+(2+4)=10+6=16
Se introduce scrierea
verticală a numerelor:
12+
4
16 Se descompune primul număr în zeci și unități, unitățile se adună
cu celelalte unități și apoi cu zecile.
Se introduce primul algoritm de adunare a două numere și anume:
„Se așează numerele unul sub altul, unitățile sub unități, zecile sub
zeci și se adună unitățile de același ordin începând de la dreapta
spre stânga.”
Notă. Deocamdată algoritmul este incomplet el va fi completat la
adunările cu trecere peste ordin.
12+14= (10+2)+(10+4)=
(10+10)+(2+4)= 20+6=
26
sau
12+
14 Se descompun numerele în zeci și unități, se adună zecile între ele,
unitățile între ele și apoi se adună zecile obținute cu unitățile
obținute.
Se extinde și se exersează algoritmul prezentat mai sus într -un nou
context.

48
26
28-4=(20+8) -4= 20+(8 –
4)= 20+4=24
28-8= (20+8) -8= 20+(8 –
8)= 20+0= 20
Se introduce scrierea
verticală a numerelor:
28- 28-
4 8
24 20 Se descompune descăzutul în zeci și unități, se scad din unitățile
descăzutului unitățile scăzătorului și rezultatul obținut se adună cu
zecile descăzutului.
Se transpune algoritmul învățat la adunare pentru scădere astfel:
„Se așează numerele unul sub altul, unitățile sub unități, z ecile sub
zeci și se scad unitățile de același ordin începând de la dreapta spre
stânga.”

2. Adunări și scăderi cu trecere peste ordin :

Exemplificări
Considerații metodice
Se adu nă două numere
care au suma 10:
3+7=10 Astfel de exerciții este posibil să se fi făcut și anterior în
concernul 0 -10, chiar dacă sunt cu trecere peste ordin.
6+7=6+(4+3)=
(6+4)+3= 10+3= 13 Se caută un număr care adunat cu primul număr dă o zece
(exercițiu care s -au făcut în etapa a 2 -a). Se descompune al
doilea număr conven abil într -o sumă de două numere în care
unul din termeni este numărul identificat anterior. Acesta
adunat cu primul termen dă o zece. Se adună zecea cu celălalt
termen al celui de al doilea număr.
Suma unităților este 10:
14+6= (10+4)+6 =
10+(4+6)=10+10= 20 Se descompune primul număr în zeci și unități, unitățile se
adună cu unitățile celui de al doilea termen, se obține o zece
care se adună cu zecile primului termen.

49
14+8= (10+4)+8=
10+(4+8)= 10+12= 22
Se introduce scrierea
verticală a numerelor:
+ 12
14 +
8
22
Se descompune primul număr în zeci și unități, se adună
unitățile cu unitățile celui de al doilea număr, iar rezultatul se
adună cu zecile primului număr.
Se extinde algoritmul adunării la noua situație astfel: „Se
așează numerele unul sub altul, unitățile sub unități, zecile
sub zeci și se adună unitățile de același ordin începând de la
dreapta spre stânga, ținând cont că zece unități semnifică o
zece care se adună la cifra zecilor”.
30-7= (20+10) -7=
20+(10 -7)= 20+3= 23 Se ia o zece din zecile descăzutului și din ea se scad unitățile,
rezultatul se adună la zecile rămase ale descăzutului.
Notă. Este pentru prima dată când elevii descompun un
număr altfel decât în zeci și unități, în acest caz ca sumă de
zeci.
Se introduce scrierea
verticală a numerelor:

20+10
30- –
7
23
Se introduc primele
simboluri care semnifică
„luarea unei zeci de la
descăzut” astfel:
‚ 2 10
30- 30-
7 sau 7
23 23 Se extinde algoritmul scăderii la noua situație și se exersează.
Algoritmul scăderii cu trecere peste ordin este mai dificil de
exprimat în cuvinte, de aceea, elevii îl vor exersa cât mai
mult, reținând ideea că pentru a putea efectua scăderea
unităților se ia o zece care se transformă în 10 unități.

15-8= 15 – (5+3)=
(15-5)-3= 10 -3= 7 Se poate proceda în două moduri:

50
sau
15-8= (10+5) -8= (10 -8)
+5= 2+5= 7 – Se descompune scăzătorul în două numere dintre care unul
reprezintă unitățile descăzutului. Acesta se scade din
descăzut și rămâne un număr exact de zeci. Din aceste zeci
se scad unitățile rămase ale scăzătorului.
– Se descompune descăzutul în zeci și unități. Din zecile
descăzutului se scade scăzătorul , iar rezultatul se adună cu
unitățile descăzutului.
Etapa 1. (înțelegere)
23-17=(10+13) -(10+7)=
(10-10)+(13 -7)= 0+6= 6
Etapa a 2 -a. (exersare)
10+13
23- –
17
= 6 care se mai scrie:
1 13
23-
17
= 6 Elevii pot veni cu mai multe idei de calcul. Profesorul însă
trebuie să orienteze gândirea elevilor spre metoda prezentată
în coloana din stânga pentru că această metodă prefigurează
algoritmul de scădere pentru numerele mai mari decât 100.

Se extinde algoritmul scăderii la nou a situație și se exersează.

Temǎ de reflecție. Care sunt tipurile de exerciții de adunare si scǎdere care
trebuie fǎcute mintal și exersate oral pentru cǎ ele se vor constitui în calcule
intermediare pentru adunǎri și scǎderi cu numere mai mari?

2.3.3. Adunarea și scăderea numere lor naturale în celelalte intervale : 0-100,0-1 000,
0-10 000 și 0 – 1 000 000

Programele școlare prevăd ca următoare intervale pentru adunare și scădere pe: 0 -100
în clasa I, 0 -1000 în clasa a II -a, 0-10 000 în clasa a III -a și 0- 1 000 000 în clasa a IV -a.

51
Extinderea adunării și scăderii numerelor naturale de la intervalul 0 -31 la noile intervale
nu ridică probleme deosebite pentru copii. Nu se adaugă noi raționamente ci doar se extind
algoritmii învățați la numere care au m ai mult de două cifre.
Algoritmul adunării a două numere naturale:
Se așează numerele unul sub altul, ordin sub ordin, și se adună unitățile de același
ordin începând de la dreapta spre stânga, ținând cont că zece unități dintr -un ordin
semnifică o unitat e de ordinul imediat superior.
Algoritmul scăderii a două numere naturale:
Se așează numerele unul sub altul, ordin sub ordin, și se scad unitățile de același
ordin începând de la dreapta spre stânga, iar în cazul în care nu se poate efectua o scădere
dintre două numere de un anumit ordin se ia o unitate din ordinul imediat superior al
descăzutului care se transformă în zece unități de ordinul respectiv.
Elevii nu vor reproduce în cuvinte acești algoritmi ci îi vor exersa în exerciții și vor
explica fieca re pas efectuat.
Observație. La scădere elevii nu vor folosi verbul „a împrumuta” care semnifică a lua și
apoi a restitui, ci vor formula „luăm o zece/sută/mie etc. și o transformăm în 10 unități/
respectiv zeci/sute etc.”.
Dificultăți pot apare:
– La adunare atunci când rezultatul adunării a două numere de un anumit ordin ne dă
10, caz în care rămâne 0 la ordinul respectiv și se adaugă un 1 la ordinul imediat superior,
sau în cazul unor transferuri succesive de unități în ordinele superioare;
– La scăder e atunci când descăzutul are mai multe zerouri sau atunci când este nevoie
de „împrumutări succesive”. În aceste cazuri elevii trebuie obișnuiți să efectueze imediat
proba scăderii prin adunare.
– să scrie, să citească, să compare și să ordoneze numere nat urale.

 Test de autoevaluare
1. Scrieți toate tipurile de adunǎri fǎrǎ trecere peste ordin care se pot face în
intervalul 0 – 100.

52
2. Scrieți toate tipurile de adunǎri cu trecere peste ordin care se pot face în intervalul
0- 100.
3. Scrieți toate tipurile de scǎde ri fǎrǎ trecere peste ordin care se pot face în
intervalul 0 – 100.
4. Scrieți toate tipurile de scǎderi cu trecere peste ordin care se pot face în intervalul
0- 100.
5. Explicați metodologia adunǎrii a douǎ numere mai mici decât 10 cu trecere peste
ordin. (exemp lu: 7 + 5 )
6. Explicați metodologia scǎderii dintr -un numǎr natural din intervalul 11 -19 a unui
numǎr de o cifrǎ. (exemplu: 12 – 5 )
7. Scrieți probele operațiilor de adunare și scǎdere. De ce sunt ele importante?

2.3.4. Predarea -învățarea înmulțirii și împărțirii în interval ul 0-100

Conform noilor programe școlare introducerea înmulțirii este pregǎtitǎ încǎ din
clasa I prin efectuarea de adunǎri repetate prin numǎrare dar operația de înmulțire a
numerelor naturale se introduce propriu -zis în clasa a II-a.
Primul interval considerat este 0 -100, obiectivul principal fiind însușirea
semnificației operației de înmulțire și însușirea tablei înmulțirii. Se vor considera numai
înmulțiri cu factori de o cifră chiar dacă acest conce ntru permite și înmulțiri dintre factori
unul de o cifră și celalalt de două cifre. Proprietățile înmulțirii: comutativitate,
asociativitate, element neutru, distributivitatea înmulțirii față de adunare și scădere se
evidențiază dar nu se denumesc ca atare.
Introducerea înmulțirii se face ca adunare repetată de termeni egali. Ca urmare,
primele exerciții trebuie să arate necesitatea efectuării unor astfel de adunări în contextul
vieții de zi cu zi. De exemplu: „8 elevi merg la muzeu. Știind ca prețul unui bi let este 5 lei,
aflați câți lei trebuie să plătească în total?”. Elevii vor efectua: 5+5+5+5+5+5+5+5=40. Se
sugerează un nou mod de a citi suma din membrul stâng și anume: „de 8 ori 5” sau „5 luat
de 8 ori”. Este foarte importantă introducerea unei convenț ii de notație și anume:
5+5+5+5+5+5+5+5= 8
5 care se citește „8 ori 5 ”. Se introduce terminologia specifică pe

53
exemplele concrete: 5 si 8 se numesc factori, operația dintre cele două numere se numește
înmulțire iar rezultatul înmulțiri i se numește produs. În același context se evidențiază
următoarele:
– Dacă întro înmulțire unul dintre factori este 0 atunci produsul este 0;
– Înmulțirea admite elementul neutru 1;
– Comutativitatea înmulțirii pe exemple concrete, în cazul nostru:
8558 . Introducerea
comutativității în acest moment este esențială pentru învățarea conștientă a tablei
înmulțirii.
Predarea -învățarea tablei înmulțirii parcurge următoarele etape:
 Completarea de către elevi a primei linii și a primei coloane a tablei înmulțirii știind că
produsul dintre un număr și 1 este acel număr (vezi tabelul) ;
 Predarea -învățarea tablei înmulțirii cu 2 se face astfel:
– Elevii vor construi, pe baza convenției de notație introduse, tabelul triunghiular al
înmulțirilor cu 2 ast fel:
2022222222222101822222222229162222222228142222222271222222226102222225822222462222342222221


– Elevii completează linia și coloana numărului 2 din tabla înmulțirii ținând cont de
comutativitat ea acesteia (vezi tabelul ) ;
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6
4 4 8
5 5 10
6 6 12

54
7 7 14
8 8 16
9 9 18
10 10 20
Tabel. Tabla înmulțirii (incompletă)
– Elevii observă ca rezultatele cresc din 2 în 2 pentru că la fiecare înmulțire se adună
un 2 în plus față de precedentul calcul;
– Elevii numără din 2 în 2 crescător și descrescător și rețin valorile:
221 ,
1025 și
20210
;
– Pentru a reda rezultatul oricărei alte înmulțiri elevii pornesc de la una dintre cele trei
valori reținute și numără din 2 î n 2 crescător sau descrescător, după caz. De exemplu
pentru a reda
27 elevii au două posibilități:
– pornesc de la
1025 și numără crescător: 12 care reprezintă
26 și apoi
14 care reprezintă
27 , sau
– pornesc de la
20210 și numără descrescător: 18, 16 și se opresc la 14.
 Predarea -învățarea înmulțirii cu un factor dat n mai mare decât 2 și mai mic decât 10 (
de exemplu 5) parcurge mai multe etape:
– Repetarea tablei înmulțirii cu numărul sau numerele precedente insistând asupra
produselor care au un factor numărul dat (în cazul nostru
551 ,
1052 ,
1553 și
2054
);
– Realiz area unui tabel triunghiular asemănător celui de la înmulțirea cu 2 pentru
înmulțirile care au un factor numărul dat și apoi completarea tablei înmulțirii pe linia
și coloana corespunzătoare numărului dat, eventual cu o altă culoare pentru a scoate
în evid ență noile produse;
– Elevii memorează în mod conștient tabla înmulțirii în felul următor:
– numără din n în n crescător și descrescător;
– utilizează produse deja cunoscute pentru a reda produsele când un factor
este n (în cazul nostru pentru a reda
57 elevii pot folosi rezultatul cunoscut
deja
205445  și apoi numără crescător din 5 în 5: 25, 30 și se opresc
la 35;

55
– rețin valoarea extremă
10n pe care o pot folosi mai bine în anumite
contexte (de exemplu în cazul nostru pentru a reda
59 este mai simplu să
se pornească de la
50510 și apoi numărând descrescător cu 5 avem 45
rezultatul final);
Celelalte proprie tăți ale înmulțirii : asociativitatea și distributivitatea înmulțirii
față de adunare și scădere se vor face fie ca lecții inserate în timpul învățării tablei
înmulțirii, fie ca lecții după însușirea acesteia. Depinde de profesor și de manualul
alternativ care variantă se alege.
 Exemplu: Distributivitatea înmulțirii față de adunare
Npnmpmnmpnm  ,,, ) (

se introduce pe exemple concrete, fără a o denumi .
O astfel de problemă este:
Mama a cumpărat pentru fiecare din cei trei copii două banane și patru mere.
Câte fructe a cumpărat mama în total?
Rezolvarea se poate face în două moduri:
Metoda 1. Aflăm mai întâi câte fructe a cumpărat mama pentru fiecare copil:
642
fructe și apoi numărul total de fructe:
1863 fructe. Printr -un exercițiu
putem scrie:
18)42(3 .
Metoda a 2 -a. Aflăm mai întâi câte banane a cumpărat mama în total , respectiv
câte mere:
623 banane și
1243 mere. Astfel numărul total de fructe este:
18126
. Printr -un exercițiu putem scrie:
184323  .
Obținem că:
4323)42(3  .

Împărțirea se introduce ca scădere repetată cu un același termen. La fel ca
înmulțirea și ea se introduce pornind de la exemple cotidiene. Se introduce terminologia
specifică: descăzut, scăzător, cât. Se va face legǎtura între înmulțire și împǎrțire . Se vor
realiza table ale împ ărțirii deduse din tabla înmulțirii cu 2, 3, 4 ș.a.m.d. De exemplu tabla
împǎrțirii cu 2 este dedusǎ astfel:
Înmulțirea cu 2 Împărțirea cu 2

56

2021018291628142712261025824623422221020

102:2092:1882:1672:1462:1252:1042:832:622:412:202:0

Împărțirea cu rest se introduce în clasa a IV -a, după ce în clasa a III -a, conform
programei școlare, se evidențiază restul împărțirii unui număr mai mic decât 50 folosind
desene și scheme sugestive . Pe exemple concrete elevii vor identifica condiția
RCID
care reprezintă proba împărțirii cu rest. Pentru ca elevii să observe condiția restului, și
anume că , trebuie crescut succesiv deîmpărțitul cu câte o unitate până când resturile încep
să se repete .

2.3.5. Predarea -învățarea înmulțiri i și împărțirii numerelor naturale mai mici sau
egale cu 1000
Trecerea de la intervalul 0-100 la intervalul 0-1000 se face în clasa a III -a dar numai
prin înmulțiri și împărțiri cu 10 sau 100 sau la înmulțirile/împărțirile cu un număr de o cifră
prin adună ri/scăderi repetate, grupări, reprezentări. În clasa a IV -a se efectuează înmulțiri
cu factori mai mici sau egali cu 1000, utilizând algoritmul înmulțirii. Algoritmul împărțirii
se va considera numai pentru împărțitori numere de o cifră. Împărțirea cu rest prin
cuprindere și cu verificarea condiției restului (teorema împărțirii cu rest) este o altă cerință
a programei școlare de clasa a IV -a. Obiectivul urmărit este dobândirea competențelor de
calcul prin introducerea unor procedee specifice, pe care le det aliem în tabelul următor:

Tipuri de exerciții
Considerații metodice
15000 1000151500 10015150 1015

Rezultatul se obține adăugând, la dreapta numărului, unul, doi
respectiv trei de zero;

57

15030 30 30 30 30 305
sau
150 1015 10)35()103(5 305


– se pot face înmulțiri fără sau cu trecere peste ordin;
– elevii observă procedeul de calcul: se înmulțesc numere -le obținute
prin îndepărtarea zerourilor care se adaugă apoi la dreapta
rezultatului;
6336013203)120(3213


Se introduce scrierea
verticală a numerelor:

21

3
63
1
24

3
72 2
24

6
144

la prima egalitate s -a folosit descompunerea numărului 21 în sumă
de zeci și unități, iar la a doua egalitate s -a utilizat distributivitatea
înmulțirii față de adunare;
– se identifică cea mai simplă formă a algoritmului de efectuare a
înmulțirii și anume: „Se scriu factorii unul sub altul scriind sus
factorul mai mare. Se înmulțește pe rând factorul de jos cu unitățile,
apoi cu zecile factorului de sus, cifrele obținute scriindu -se de la
dreapta spre stânga.”
– se exersează algoritmul și pentru înmulțiri cu trecere peste ordin;
Notă. Cerința de a scrie sus factorul mai mare nu este obligatorie
însă conduce la calcule mai simple.
642 1230 60043103 2003)410 200(3 2143

sau mai simplu:
1
214

3
642 – s-a folosit descompunerea numerelor în sume de sute, zeci și unități
și apoi distributivitatea înmulțirii față de adunare
Se extinde algoritmul înmulțirii la noua situație și se exersează atât
pentru înmulțiri fără trecere cât și cu trecere peste ordinul zecilor
și/sau sutelor
270 105060 15025105230530)2 10()530( 1235


sau – s-a folosit descompunerea numerelor în sume de zeci și unități și
apoi distributivitatea înmulțirii față de adunare;
– pentru a identifica algoritmul de calcul este bine să se procedeze
în al doilea mod, prin descompunerea mai întâi a celui de al doilea
factor al cărui unități și zeci se înmulțesc cu primul factor;
– doar puțini elevi vor fi capabili sa urmărească demersul făcut de
profesor și vor fi o exc epție cei care vor putea ei înșiși să realizeze
acest demers pe exemple concrete;

58

270 106050 3002523010510302)530(10)530(2351035)2 10(35 1235
sau
1
35

12
70← 2
35(primul
produs parțial)
35←1
 35(al doilea
produs parțial)
420← suma produselor
parțiale – profesorul nu va insista în această etapă ci va trece la explicarea
algoritmului de calcul.
– se extinde algoritmul înmulțirii la noua situație și astfel: „Se scriu
factori i unul sub altul scriind sus factorul mai mare. Se înmulțesc
unitățile celui de al doilea factor cu primul factor și se obține primul
produs parțial. Apoi se înmulțesc zecile celui de al doilea factor cu
primul factor și se obține cel de al doilea produs parțial care se va
scrie sub primul produs parțial, cu o unitate mai la stânga. Prin
adunarea produselor parțiale se obține produsul total căutat.”
– nu este necesară dictarea și notarea în cuvinte a algorit -mului ci
doar explicarea și notarea modalității de calcul pe câteva exemple;
– elevii nu vor reproduce în cuvinte acest algoritm ci îl vor exersa în
exerciții și vor explica fiecare pas efectuat.

 Test de autoevaluare
1. Prezentați etapele metodice de introducere a tablei înmulțirii cu 3.
2. Prezentați etapele metodice de introducere a tablei înmulțirii cu 7.
3. Prezentați etapele metodice de introducere a tablei înmulțirii cu 9.
4. Prezentați o secvențǎ de lecție de descoperire a asociativitǎții adunǎrii.
5. Prezentați o secvențǎ de lecție de descoperire a distr ibutivitǎții înmulțirii fațǎ de
scǎdere.
6. Prezentați o secvențǎ de lecție de descoperire a distributivitǎții adunǎrii fațǎ de
împǎrțire la dreapta.
7. Prezentați o secvențǎ de lecție de descoperire a distributivitǎții scǎderii fațǎ de
împǎrțire la dreapta.
8. Prezentați o secvențǎ de lecție de descoperire a tablei împǎrțirii cu 3 din tabla
înmulțirii cu 3.

59

2.4. Formarea conceptului de fracție în învățământul primar

Conform noilor programe fracțiile se introduc în clasa a II -a, mai precis este vorba
despre jumǎt ate/doime, sfert/pǎtrime și fracții echivalente. Fracțiile se introduc din
considerente practice și reprezintă o extindere a numerelor naturale.
Se consideră mulțimea
 * *, /),( NqNpqp NNE  
Definiție . O pereche (p,q) din mulțimea E se numește fracție. Numărul p se numește
numărător iar q numitor . Uzual se folosește în loc de scrierea sub formă de pereche (p,q)
scrierea sau p/q .
Reprezentarea graficǎ a fracțiilor. Pentru reprezentarea fracției
qp se imparte un întreg
în q părți egale din care se iau în considerare p părți.
Reprezentarea graficǎ și scrierea fracților va fi însoțitǎ de exprimǎri verbale.
 Exemplu: Reprezentarea a trei pătrimi (
43 ) dintr -un cerc se face prin împărți rea
cercului în 4 părți egale și hașurarea a 3 părți ca în figura de mai jos:

Pentru o cât mai bună sistematizare a conținuturilor în cadrul acestei teme se recomandă
abordarea conținuturilor cu respectarea celor trei etape (acționalǎ, iconicǎ și simbolicǎ) în
următoarea ordine:
Clasificarea fracțiilor.
– Unitatea fracționară
q1
– Fracții subunitare
qp ,
qp
– Fracții echiunitare: fracțiile care au numărătorul egal cu numitorul
– Fracții supraunitare
qp ,
qp
– Fracții cu numitorul 1.
qp
trei pătrimi

60
Compararea fracțiilor. Pe mulțimea numerelor raționale pozitive se introduce și relația
de ordine „mai mic” (<) astfel: dacă și numai dacă . Relația < este o relație
de ordine pentru că este: reflexivă, simetrică și tranzitivă. Astfel:
– dintre două fracții cu același numitor este mai mare cea cu numărătorul mai mare;
– dintre două fracții cu același num ărător este mai mare cea cu num itorul mai m ic.
Aflarea unei f racții dintr -un întreg: pentru a afla
qp din n se calculează
pqn:.

 Exemplu: Profesorul propune spre rezolvare următoarea problemă: Mara are 12
bomboane. Ea mănâncă
32 din acestea. Câte bomboane a mâncat Mara? Elevii
trebuie să observe că
32 reprezintă douǎ treimi adicǎ de 2 ori o treime . Astfel
pentru a afla
32 din 12 se află mai întâi o treime din 12 (
43:12 ) după care
rezultatul se înmulțește cu 2 (
824 ). Elevii vor trebui să identifice procedeul de
calcul: pentru a afla Astfel pentru aflarea a
qp din n se calculează
pqn: .

Adunarea și scăderea fracțiilor cu același numitor se face adunând numărători între ei
și păstrând numitorul neschimbat.

2.5. Predarea -învățarea mărimilor și a unităților de măsură

În învățământul preșcolar și primar mărimile care se studiază la matematică sunt:
lungimea, masa, volumul, timpul și valoarea.
 Lungimea. Unitatea de măsură standard este metrul (m). Submultiplii acestuia
sunt milimetrul (mm), centimetrul (cm), decimetrul (dm). Multiplii metrului sunt
decametrul (dam), hectometrul (hm) și kilometrul (km). Avem:
1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm;
1 m = 0,1 dam = 0,01 hm = 0,001 km

''
qp
qp
qp pq ''

61
 Volumul . Unitatea de măsură standard este litrul (l ). Submultiplii acestuia sunt
milili trul (m l), centi litrul (cm), deci litrul (dm). Multiplii litrului sunt deca litrul (da l),
hecto litrul (hm) și kilolitrul (km). Avem:
1 l = 10 d l = 100 c l = 1000 m l;
1 l = 0,1 dal = 0,01 hl = 0,001 kl

 Masa. Unitatea de măsură standard este kilogramul (kg). Multiplii kilogramului
sunt chintalul (q) egal cu 100 kg, tona (t) egală cu 1000 kg și vagolul (v) egal cu 10 000 kg..
Aș după cum sugerează numele 1 kg reprezintă 1000 grame, el fiind așadar un multiplu al
gramului (g). Raportându -ne la gram acesta are ca multiplii decagramul (dag), hectogramu l
(hg) și kilogramul (kg). Submultiplii gramului sunt decigramul (dg), centigramul (cg) și
miligramul (mg).

 Timpul. Unitatea de măsură pentru timp este secunda (s). Multiplii acesteia sunt:
minutul (min): 1 min= 60 s
ora (h): 1 h= 60 min
ziua: 1 zi = 24 h
săptămâna: 1 săptămână= 7 zile (luni, marți, miercuri, joi, vineri, sâmbătă, duminică)
luna: 1 lună = 28, 29, 30 sau 31 zile depinzând de lună (ianuarie: 31 zile, februarie: 28
sau 29 zile în anii bisecți, martie: 31 zile, aprilie: 30 zile, mai: 31 zile, iunie: 30 zile, iulie:
31 zile, august: 31 zile, septembrie: 30 zile, octombrie: 31 zile, noiembrie: 30 zile,
decembrie: 31 zile)
anotimpurile: sunt 4 anotimpuri a câte 3 luni fiecare (primăvara este alcătuită din lunile:
martie, aprilie, mai; vara: iunie, iulie, august; toamna: septembrie, octombrie, noiembrie;
iarna: dece mbrie,ianuarie, februarie)
anul: 1 an = 12 luni = 365 sau 366 zile (în anii bisecți – adică anii ai căror număr se
împarte la 4, de exemplu: 2004, 2008, 2012 etc.)
cincinalul: 1 cincinal = 5 ani
deceniul: 1 deceniu = 10 ani

62
secolul: 1 secol = 100 ani (în prezent suntem în secolul XXI care ține de la 1 ianuarie
2001 până la 31 decembrie 2100)
mileniul: 1 mileniu = 1000 ani

Etapele metodice ale predării -învățării mărimilor și unităților de măsură sunt:
1. Identificarea mărimilor de același fel (din punctul de vedere al măsurării)
2. Necesitatea comparării
3. Identificarea și utilizarea unor tehnici de comparare
4. Necesitatea, introducerea și operarea cu unitatea de măsură standard /
convenționalǎ
5. Necesitatea, introdu cerea și operarea cu multiplii și subm ultiplii unității de măsură
standard
6. Integrarea cunoștințelor în sistemul cognitiv propriu (transformări dintr -o unitate
de măsură într -alta, medii ale înregistrărilor, estimări, probleme și activități practice,
utilizarea mărimilor și a unităților de m ăsură în contexte noi etc.)
2.6. Predarea -învățarea elementelor de geometrie

Elementele de geometrie sunt poate primele elemente de matematică cu care intră în
contact copilul. Încă de la cea mai fragedă vârstă copilul se joacă, pipăie, analizează obiecte
concrete cu forme variate dar care toate pot fi puse în corespondență cu forme geometrice
plane sau spațiale. Începând cu grădinița și continuând cu învățământul primar, elementele
de geometrie se reiau și se completează de la an la an pe o treaptă superioară . Ele dau ocazia
copiilor de a explora și cerceta lumea înconjurătoare, de a -și dezvolta imaginația și treptat
de a-și dezvolta capacitatea de esențializare și abstractizare prin desene și reprezentări
grafice. Deși elementele de geometrie sunt atât de pr ezente în viața cotidiană ele au în spate
o bază matematică riguroasă și de multe ori dificilă cu care elevii intră în contact abia în
învățământul gimnazial.
La baza studiului axiomatic al geometriei stau:
– Noțiunile fundamentale (sau primare) sunt acele noțiuni care nu se definesc ci doar se
descriu. Ele sunt abstrase dintr -o realitate obiectivă. Există diverse posibilități de a alege

63
noțiunile fundamentale, noi însă le vom considera pe următoarele: punctul, dreapta, planul,
distanța (între două puncte), măsura unghiurilor.
– Axiomele sunt adevăruri pe care le putem accepta ca evidențe. Axiomele sunt în general
grupate în categorii ca: axiome de incidență, axioma riglei, axioma de separare a planului,
axiomele unghiului, axioma de congruență și axioma paralelelor (care stă la baza
geometriei euclidiene). O modificare a axiomei paralelor ne conduce spre geometriile
neeuclidiene.
– Definiția constă în reconstituirea noțiunii astfel încât să fie precizate conținutul (adică
totalitate a proprietăților ei) și sfera (adică totalitatea obiectelor reprezentate de acea
noțiune). Deși există mai multe metode de a defini o noț iune, în geometrie vom opera cu
definiția prin gen proxim și diferență specifică:
o genul proxim este o noțiune mai gen erală decât cea pe care o definim (și nu există
una intermediară între cele două), iar
o diferența specifică arată care este proprietatea cara cteristică noțiunii de definit. Este
foarte important atunci când utilizăm acest tip de definiție să nu încercăm să definim prin
supraabundență.
 Exemple:
Noțiunea Genul proxim Diferența specifică
Paralelogram Patrulater Laturile paralele două câte două
Dreptunghi Paralelogram Un unghi drept
Paralelogram Diagonalele congruente
Romb Paralelogram Două laturi alăturate congruente
Pătrat Dreptunghi Două laturi alăturate congruente
Romb Un unghi drept
Trapez Patrulater Două laturi paralele și două
neparalele

Definiții.
– Punctul, dreapta și planul sunt noțiuni fundamentale (nu se definesc, se pot doar descrie).
– Semidreapta [AB este mulțimea punctelor de pe dreaptă care se găsesc în aceeași parte
față de punctul A.

64
– Segmentul [AB] este mulțimea punctelor situate între A și B.
– Se numește linie frântă o mulțime de forma
] […] [] [1 32 21 nnAA AA AA  .
– Se numește poligon o reuniune de segmente de forma
] […] [] [1 32 21 AA AA AAn cu
proprietatea cǎ oricare două laturi nevecine nu au puncte comune și două laturi vecine au
un singur punct comun ș i nu sunt în prelungire.
– Poligonul cu trei vârfuri se numește triunghi .
– Poligonul cu patru laturi se numește patrulater .
– Patrulaterul cu laturile opuse paralele două câte două se numește paralelogram .
– Paralelogramul cu un unghi drept se numește dreptunghi .
– Paralelogramul cu două laturi alăturate congruente se numește romb .
– Dreptunghiul cu două laturi alăturate congruente sau rombul cu un unghi drept se numește
pătrat .
– Patrulaterul cu două laturi paralele și două neparalele se numește trapez .
– Suma lungimilor laturilor unui poligon se numește perimetrul poligonului .
– Perimetrul dreptunghiului este: 2 × L + 2 × l , unde L este lungimea iar l lățimea
dreptunghiului.
– Perimetrul pătratului este 4 × l , unde l este latura pătratului.
Etapele metodice ce trebuie parcurse în formarea unei noțiuni geometrice sunt
următoarele :
– observarea și analizarea de obiecte din mediul înconjurător pentru intuirea noțiunii;
– reprezentarea prin modele materiale (machete de sârmă, plastic, hârtie etc.) a
noțiunii;
– reprezen tarea în desen a noțiunii;
– observarea noțiunii în contextul noțiunilor cu același gen proxim;
– formularea definiției și a proprietăților noțiunii;
– utilizarea noțiunii în rezolvarea de probleme;
– utilizarea noțiunii în contexte noi.
Analizând manualele școlare, auxiliarele precum și problemele date la concursurile
școlare am identificat câteva categorii de greșeli tipice:
 Confuzii între definiția unei noțiuni și descrierea proprietăților acesteia

65
 Exemplu :
Enunț greșit Enunț corect
Poligonul cu trei laturi și
trei vârfuri se numește
triunghi.
Comentariu: Această
formulare pare a fi definiția
triunghiului când în realitate
este vorba despre o descriere
a acestuia Triunghiul are trei laturi și trei vârfuri.
Comentariu metodic: formularea de mai sus evit ǎ
definiția triunghiului, ea fiind doar o descriere a
acestuia. Întrucât elevii operează cu noțiunea de
triunghi încă de la grădiniță, în clasa a IV -a se poate
da definiția triunghiului apelând la genul proxim. În
acest caz genul proxim este poligonul care la
momentul respectiv este cunoscut de elevi ca fiind: O
linie frântă închisă . Astfel definiția triunghiului se
formulează după cum urmează:
Definiție. Poligonul cu trei vârfuri se numește
triunghi .

 Greșeli datorate legăturilor dintre noțiuni
Aceste greșeli apar mai ales la exercițiile în care li se solicită elevilor să numere câte figuri
de un anume fel într -un desen dat. Spre exemplu întrucât pǎtratul e un caz particular de
dreptunghi, când se cere numǎrarea dreptunghiurilor trebuie numǎrate și pǎtratele.
 Greșeli datorate unor cerințe care induc neclaritǎți

 Exemplu:

Probabil cǎ rǎspunsul așteptat era 4 (3 triunghiuri și un dreptunghi). Ȋn realitate
figuri geometrice sunt mai multe, întrucât prin figurǎ geometricǎ se înțelege orice
mulțime nevidǎ de puncte .

66
În momentul în care am identificat aceste greșeli s-au conturat câteva idei de abordare
a conținuturilor. Iată câteva dintre ele:
– Considerǎm cǎ ar trebui ca trusele cu figuri geometrice de la grǎdinițǎ ar trebui să
conțină (sau să fie eliminate din forme astfel încât să conțină) fie doar dreptunghiuri
propriu -zise, fie doar pătrate, fie doar romburi pentru că între cele trei categorii de
figuri apar suprapuneri. Se evită astfel a face legături între cele trei tipuri de figuri
menționat e.
– În clasa pregǎtitoare și clasa I recomandăm doar exerciții de recunoaștere și desenare
a figurilor geometrice evitând exercițiile care pot genera greșeli. S -ar putea utiliza
deja pe lângă riglă și echerul introducând astfel în mod intuitiv noțiunea de u nghi
drept.
– Începând cu a II -a ar trebui introdus paralelogramul care este patrulaterul de referință
pentru dreptunghi, pătrat și romb. Apoi se pot face primele conexiuni între
patrulaterele menționate ca și cazuri particulare de paralelograme. În acest f el elevii
încep să identifice genul proxim și diferența specifică pentru pătrat, dreptunghi și
romb.
– Totodată trebuie avut în vedere ca aspectele teoretice să fie prezentate corect copiilor
evitând definițiile (dacă nivelul copiilor nu permite), dar spec ificând clar că este
vorba de descrierea figurilor geometrice.
– Problemele de tipul celor prezentate să fie rezolvate la clasă corect, să fie sesizați
autorii de manuale, auxiliare și organizatorii de concursuri cu privire la răspunsurile
greșite.

 Tema 1 pentru portofoliu . Definiți științific 10 noțiuni și proprietăți matematice
utilizate în î nvățământul preșcolar și primar ( a se vedea Anexa 1).

2.7. Metode de r ezolvare a problemelor de aritmetică

67

2.7.1. Etapele metodice de rezolvare a unei probleme

 Întrebare. Care sunt etapele metodice de rezolvare a unei probleme de aritmetică?

G. Polya (1965) a fost unul dintre primii matematicieni care a considerat că matematica
trebuie predată și învățată urmând „căile și mijloacele care duc la invenții și decoperiri”.
Astfel, privind rezolvările de probleme ca un proces de invenție, Polya a identifcat etapele
care trebuie parcurse pentru rezolvarea acestora. Pe baza etapelor propuse de acesta
propunem următoarele etapele metodice pentru r ezolvarea problemelor de aritmetică:
1. Însușirea enunțului problemei : expunerea/citirea textului, explicarea cuvintelor,
expresiilor necunoscute.
2. Judecata (examinarea problemei) : discuții privitoare la conținutul problemei (se
găsesc legături între datele problemei și necunoscute, se fac legături cu probleme rezolvate
anterior), concretizarea enunțului problemei prin diferite mijloace intuitive, scrierea datelor
problemei (ce se dă și ce se cere), schematizarea problemei, repe tarea problemei de către
elevi. Finalitatea etapei de analiză a problemei o constituie schematizarea problemei, deci
concretizarea enunțului într -un model al problemei pe baza căruia să se poată face
rezolvarea acesteia. Scrierea datelor problemei poate fi făcută simultan cu repetarea
problemei de către elevi sau cu etapa de discuții. Datele problemei se pot scrie într -o formă
inițială și apoi se trec pe modelul realizat, dar se pot trece direct pe acesta. Această variantă
este o alternativă la copierea datelor problemei și are un rol im portant în analiza acesteia.
Alegerea modelului adecvat reprezintă de cele mai multe ori cheia în identificarea modului
de rezolvare și în rezolvarea propriu -zisă a problemei. Așadar considerăm că aceasta este
etapa cea mai importantă pentru rezolvarea pro blemei.
3. Alcătuirea planului de rezolvare: se descompune problema în probleme simple,
se discută modul de rezolvare al fiecărei probleme simple în parte (se pun oral întrebările

68
care conduc la rezolvarea fiecărei probleme simple), se discută modul de obținere a
rezultatului.
4. Rezolvarea propriu -zisă: se scriu întrebările, se fac calculele și se obține
rezultatul.
5. Extinderi (Activitatea suplimentară după rezolvare) : revederea planului de
rezolvare, verificarea soluției, alte căi de rezolvare, scrierea ex presiei matematice în care
constă rezolvarea (dacă este cazul), rezolvarea de probleme asemănătoare, complicarea
problemei, generalizarea problemei sau a metodei de rezolvare, compuneri de probleme de
același tip etc.

 Tema 2 pentru portofoliu . Rezolvaț i o problemă de aritmetică detaliind etapele
metodice de rezolvare ( a se vedea Anexa 2) .

2.7.2. Metode specifice de rezolvare a unor t ipuri de probleme de aritmetică

METODA FIGURATIVĂ:
Tipuri de probleme: probleme care permit o reprezentare grafică a datelor.
Metoda de rezolvare: Constă în reprezentarea prin desen, schițe, figuri geometrice a
mărimilor necunoscute ale problemei și fixarea în desen a relațiilor dintre ele și a mărimilor
date în problemă. Fig urile ce servesc la rezolvare nu sunt făcute exact la scară dar ele
schematizează enunțul pentru a păstra relațiile matematice.
Pașii metodei:
– se reprezintă fiecare necunoscută printr -o figură (segment , dreptunghi, cerc etc.);
– fiecare relație din textul problemei se schematizează utilizând figurile alese,
obținând modelul grafic al problemei;
– se fac legături pe schemă între necunoscute și datele problemei și se identifică
raționamentul de rezolvare;
– se fac calculele și se determină necunoscutele;

69
– extind eri (se interpretează rezultatul, se găsește un algoritm de rezolvare etc.).
Probleme tip : Rezolvați prin metoda figurativă problemele următoare. Stabiliți algoritmul
de rezolvare pentru fiecare problemă în parte.
1. Aflarea a două numere când se cunoaște suma și diferența lor: Suma a două numere
este s iar diferența lor d. Să se afle numerele.
Exemplu. s = 22, d = 14
2. Aflarea a două numere când se cunoaște suma și raportul lor: Suma a două numere este
s iar raportul lor este r. Să se afle numerele.
Exemplu. s = 35, r = 4
3. Aflarea a două numere când se cunoaște diferența și raportul lor: Diferența a două
numere este d iar raportul lor este r. Să se afle numerele.
Exemplu. d = 21, r =4
4. Aflarea a două numere când se cunoaște suma (diferența), câtul și restul împărțirii
numărului mai mare la cel mai mic: Suma (diferența) a două numere este s (d). Împărțind
numărul mai mare la numărul mai mic se obține câtul c și restul r. Să se afle num erele.
Exemplu. s = 22, c = 4, r = 2 respectiv d = 14, c = 4, r = 2
Extinderi:
– rezolvați și algebric problemele propuse
– la problemele propuse identificați tipul problemei și rezolvați -le atât aritmetic cât
și algebric.

70
Probleme propuse:

1. Un filtru de cafea, un televizor și un CD -player costă împreună 1175 lei. Televizorul
costă cu 70 lei mai mult decât CD -playerul, iar filtrul de cafea costă cu 50 lei mai puțin
decât CD -playerul. Cât costă fiecare produs?
2. Dacă se așează câte un elev întro bancă, rămân 9 elevi fără loc, dacă se așează câte 2
elevi întro banca rămân 3 bănci libere. Aflați câți elevi și câte bănci sunt?
3. Întro curte sunt rațe și purcei, în total 13 capete și 32 de picioare. Câte rațe și câți
purcei sunt?
4. Întrun vas sunt de 5 ori mai multe prune decât mere. Dacă se mai adaugă în vas 2
mere și se scot 14 prune, rămân în vas de 3 ori mai multe prune decât mere. Câte prune
și câte mere au fost?
5. Întrun vas cu fructe sunt de 3 ori mai multe mere decât pere. Doi copii i au fiecare
câte un măr și o pară. Rămân în vas de 4 ori mai multe mere decât pere. Câte fructe de
fiecare fel erau inițial în vas?
6. Câți elevi sunt întro clasă, știind că, dacă se formează grupe din câte un băiat și o
fată, rămân 4 fete, iar dacă se form ează grupe din câte 2 fete și 1 băiat rămân 3 băieți?
METODA FALSEI IPOTEZE
Pașii metodei:
– se face o ipoteză asupra unei (unor) mărimi necu noscute din problemă atribuindu -i
o valoare existentă în problemă sau arbitrară;
– cu aceste valori se face verificarea enunțului și se ajunge la o diferență între
rezultatul căutat și cel presupus;
– pe baza nepotrivirilor observate se trag diferite concluzii care vor duce la aflarea
rezultatului corect.
Probleme tip care se rezolvă prin această metodă sunt:

I. Probleme în care se cunoaște numărul total de unități de două tipuri, valoarea
totală și valoarea fiecărei unități.

71

Probleme propuse:
1. În 10 damigene încap 36 l de vin. Știind că damigenele au capacitățile de 3l
respectiv 5 l, aflați câte damigene sunt de fiecare fel?
2. La o cantină se cumpără făină și zahăr în total 34 kg plătindu -se 82 lei. Știind
că 1 kg de făină costă 2 lei, iar 1 kg de zahăr 3 lei, aflați câte kg de zahăr ,
respectiv făină s -au cumpărat?
3. Întro curte sunt rațe și purcei în total 13 capet e și 32 picioare. Câte rațe și câți
purcei sunt în curte?
4. Într-un bloc sunt apartamente de 2 și 4 camere în total 80 camere și 32
apartamente. Câte apartamente de fiecare fel sunt?
Extindere: rezolvați aceste probleme și prin metoda figurativă

II. Probleme în care se dau două relații între două mărimi necunoscute
Probleme propuse:
1. O cantitate de mere trebuie pusă în lăzi. Dacă s -ar pune câte 5 kg de mere într –
o ladă ar rămâne 25 kg de mere. Dacă s -ar pune câte 8 kg de mere într -o ladă ar
mai încăpea 20 kg de mere. Câte lăzi și câte kg de mere sunt?
2. Dacă se așează câte un elev întro bancă, rămân 9 elevi fără loc, dacă se așează
câte 2 elevi întro bancă rămân 3 bănci libere. Aflați câți elevi și câte bănci sunt?
Extindere: rezolvați aceste probleme și prin metoda figurativă

METODA MERSULUI INVERS (RETROGRADĂ) :
Tipuri de probleme: probleme în care se pornește de la o mărime necunoscută (care
trebuie aflată) asupra căreia se fac niște transformări rămânând în final o valo are cunoscută.

72
Metoda de rezolvare: este inversa metodei directe în sensul că rezolvarea problemei se
face folosind datele problemei de la sfârșitul enunțului spre început. În același timp și
calculele făcute sunt inverse celor din enunțul problemei.
Obser vație. Uneori rezolvarea acestor probleme este mai ușoară dacă pentru rezolvare
folosim un model grafic al problemei.
Probleme propuse:
1. Un teren se ară în trei zile astfel: în prima zi o treime din el, a doua zi un sfert
din rest și în a treia zi ultimel e 75 ha. Câte ha are terenul?
2. Pentru a prepara o casă s -au folosit: ciment, nisip de 2 ori mai mult, pietriș cu
20 kg mai puțin decât nisip, var cu 30 kg mai puțin decât pietriș, adică 150 kg.
Cât ciment s -a folosit?
3. Un casier fiind întrebat cât a încasat întro zi a răspuns: dacă aș mai fi încasat
încă un sfert din cât am încasat și încă 500 lei, atunci aș fi încasat 5500 lei. Cât
a încasat casierul în ziua respectivă?
4. M-am gândit la un număr din care am scăzut 25, am înmulțit diferența cu 2 și
am obținut 2 76. La ce număr m -am gândit?
5. Un țăran vinde cireșe la trei cumpărători. Primului îi vinde jumătate din cantitate
și încă 1 kg, celui de al doilea jumătate din cantitatea rămasă și încă 1 kg, iar
celui de al treilea jumătate din cantitatea rămasă după plecarea celui de al doilea
cumpărător și încă 1 kg. Știind că i -au rămas 2 kg de cireșe să se afle câte kg de
cireșe a avut țăranul?
6. Rezolvați ecuația:
28:}7:)] 6(54[32{1   x
7. Mă gândesc la un număr. Îl măresc cu 1/5 din 205. Rezultatul obținut îl scad din
2000. Micșorez rezultatul obținut cu 42. Noul rezultat îl micșorez de 100 de ori
și obțin în final 19. La ce număr m -am gândit?

METODA ADUCERII LA ACELAȘI TERMEN DE COMPARAȚIE:

73
Tipuri de probleme: se folosește la problemele în care se dau mai multe mă rimi între care
se pot stabili mai multe relații și se cere să aflăm valorile acestor mărimi.
Pașii metodei:
– se compară relațiile date între mărimi;
– se transformă relațiile (prin înmulțiri, adunări etc.) pentru a obține același termen
de comparație (acelea și mărimi pentru două sau mai multe necunoscute);
– prin reducere sau înlocuire se elimină una sau mai multe mărimile necunoscute în
așa fel încât să rămână o singură necunoscută;
– se determină necunoscuta rămasă;
– se determină celelalte necunoscute.
Probleme propuse:
1. Pentru o cantină școlară s -au cumpărat o dată 7 kg de zahăr și 2 kg de ceai în valoare
de 41 lei. În altă zi s -au cumpărat cu același preț 3 kg de zahăr și 2 kg de ceai în valoare
de 29 lei. Cât costă 1 kg de zahăr și cât costă 1 kg de ceai?
2. La un magazin cu suma de 100500 lei se pot cumpăra 9 kg de orez și 6 kg de făină.
Cât costă 1 kg de orez și cât costă 1 kg de făină, dacă 1 kg de orez și 1 kg de făină costă
în total 12500 lei?
3. La o farmacie s -au adus 9 damigene și 8 bidoane cu paraf ină în cantitate totală de
172 litri. Altă dată s -au adus 6 damigene și 9 bidoane cu parafină în cantitate totală de
144 litri. Ce cantitate de parafină conține o damigeană și ce cantitate conține un bidon?
4. O gospodină a cumpărat 5 kg de mere, 4 kg de s truguri și 6 kg de prune plătind 51
lei. A doua oară a plătit 26 lei pentru 4 kg de mere, 5 kg de struguri și 4 kg de prune, iar
a treia oară pentru 9 kg de mere, 9 kg de struguri și 5 kg de prune a plătit 91 lei. C costă
1 kg din fiecare, dacă prețurile a u fost aceleași de fiecare dată?
5. 37 m de pânză și 25 m de mătase costă 1944 lei. Cât costă 1 metru din fiecare material,
dacă mătasea este de 5 ori mai scumpă decât pânza?
6. Pentru 7 kg de lămâi și 9 kg de portocale s -au plătit 73 lei. Cât costă 1 kg d e lămâi și
cât costă 1 kg de portocale știind că 1 kg de portocale este mai scump cu 1 leu decât
unul de lămâi?

74
7. La un magazin pentru un costum, o pălărie și o pereche de pantofi s -au plătit 430 lei.
Costumul este de 2 ori mai scump decât pantofii, iar p ălăria cu 50 lei mai ieftină decât
aceștia. Cât costă fiecare?
Extinderi. Rezolvați problemele și algebric sau prin metoda figurativă.

 Sumar
În acest modul sunt prezentate aspecte metodice ale predării -învățării celor mai
importante conținuturi noționale matematice din învățământul primar și preșcolar.

 Sarcini și teme ce vor fi notate
Sarcinile de lucru pentru acest modul (tema 1 și tema 2) fac parte integrantă din
realizarea portofoliului și se vor nota cu 0,75 pt. fiecare . Testele de autoeva luare și
ȋntrebările au rolul de a orienta atenția cititorului spre cele mai importante aspecte teoretice.
Sugerăm ca problemele propuse să fie rezolvate de cursanți în vederea pregătirii
examenului scris. Conținuturile acestui modul vor fi verificate la e xamen.

 Bibliografie modul
Magdaș, I., (2014), Didactica matematicii în învățământul primar și preșcolar – actualitate
și perspective , ediția a II -a, Editura Presa Universi tară Clujeană, Cluj -Napoca
Magdaș, I., (2017), Probleme pentru pregătirea didactică matematică în învățământul
primar. Ghid pentru studenți , Presa Universitară Clujeană, ISBN 978 -606-37-0280 -8,
disponibil on -line: http://www.editura.ubbcluj.ro/bd/ebooks/pdf/2206.pdf
Roșu, M., (2007), Didactica matematicii în învățământul preșcolar, PIR
Roșu, M., (2007), Didactica matematicii în învățământul primar, PIR
Roșu, M, (2007), Matematică III, PIR
Vălcan, D., (2005), Metodologia rezolvării problemelor de aritmetică , Editura Casa cărții
de știință, Cluj -Napoca

75
Modul 3. STRATEGII DE PREDARE -ÎNVĂȚARE A MATEMATICII ȘI
A ACTIVITĂȚILOR MATEMATICE DIN ÎNVĂȚĂMANTUL PRIMAR ȘI
PREȘCOLAR

 Timp de studiu: 4 ore
 Scopul și obiectivele
Acest modul își propune familiarizarea cursanților cu strategiile de predare -învățare
a matematicii și dezvoltarea competenței cursanților de a selecta strategiile adecvate unei
situații educaționale la ora de matematică . Pe parcursul modulului cursanții vor fi capabili:
O3.1. să definească, să identifice și să aplice la clasă diferite strateg ii didactice ;
O3.2. să antreneze elevii în activități care îmbină corect activitatea frontală, în echipă și
individuală;
O3.3. să analizeze, să modifice sau să conceapă materiale și mijloace de învățământ;
O3.4. să utilizeze metode didactice diverse în predarea -învățarea matematicii;
O3.5. să analizeze eficiența învățării prin aplicarea diferitelor strategii didactice .

 Scurtă recapitulare a conceptelor prezentate anterior și prefigurarea
noilor concepte
Se fac legături între metodele specifice și cele generale de predare -învățare a
matematicii. Metodele și procedeele de predare -învățare a matematicii se obțin prin
combinarea metodelor generale dezvoltate de pedagogie și a metodelor specifice
matematicii dez voltate de „Matematica știință”.

 Schema logică a modului
Paragrafele vor fi parcurse liniar în ordinea în care sunt scrise. Noțiunile esențiale ale
modulului corelate cu cele ale modulului anterior sunt prezentate în următoarea schemă:

76

 Conținutul informațional detaliat
Conținuturi:
3.1. Integrarea mijloacelor de învățământ în procesul de predare -învățare -evaluare a
matematicii
3.2. Metode didactice folosite la matematică
3.2.1. Ex punerea, explicația și conversația
3.2.2. Problematizarea
3.2.3. Învățarea prin descoperire
3.2.4 . Observația sistematică
3.2.5 . Modelarea
3.2.6. Demonstrarea
3.2.7. Jocul didactic matematic
3.3. Forme de organizare a activității didactice la matematică:
3.3.1. Frontală
3.3.2. Individuală
3.3.3. Pe grupe

STRATEGIE
DIDACTICĂ Mijloace de învățământ
Metode didactice

Forme de organizare a
activităților Metode generale

Metode specifice

Frontal

Individual

Grupal

77
3.1. Integrarea mijloacelor de învățământ în procesul de predare -învățare -evaluare a
matematicii

 Întrebare. Care sunt principalele mijloace de învățământ utilizate la matematică?

Mijloacele didactice reprezintă ansamblul instrumentelor materiale, naturale,
tehnice etc. selectate și adaptate pedagogic la nivelul metodelor și al procedeelor de
instruire pentru realizarea mai eficientă a sarcinilor proiectate la nivelul activității de
predare -învățare -evaluare.
Recentele schimbări tehnice și sociale au un impact major și asupra modului în
care trebuie gândit sistemul mijloacelor de învățământ.
Dacă privim din perspectivă istorică, se poate spune ca rolul principal al
profesorului era acel a de a -și însuși informația și de a găsi cele mai bune căi pentru a -i face
pe elevi să o asimileze. El își asuma astfel rolul de sursă primară de informații pentru elevi.
Mijloacele de învățământ erau: tabla, manuscrise, manuale, planșe, retroproiectorul, etc.
Dintr -o perspectivă actuală, probabil că cele mai profunde schimbări care s -au
întâmplat, au fost realizate efectiv când o mare cantitate de informații a devenit disponibilă.
Acest fenomen a fost descris ca fiind noua explozie informațională . A doua mare schimbare
s-a făcut la nivelul căilor prin care informațiile sunt transmise. Dacă la începutul secolului
XX, informația era transmisă preponderent cu ajutorul mijloacelor scrise: cărți, reviste,
jurnale, etc., ulterior alte tehnologii au evoluat înce pând cu cel de al doilea război mondial
și concurează informația scrisă. Este vorba despre radio, televiziune, telefonie și mai recent
Internetul.
Așadar accesul la informație nu mai este făcut numai prin intermediul profesorului
sau al școlii, ci se face oriunde, în orice moment. Apare clară necesitatea familiarizării
profesorilor cu tehnologiile multimedia și, în special, cu calculatorul și aplicațiile acestuia.
Profesorii trebuie să se familiarizeze cu:
 Noțiuni despre mijloacele tehnice;
 Procedee de uti lizare a mijloacelor tehnice la clasă;
 Inițiere în tehnica mânuirii mijloacelor tehnice;

78
 Derularea de aplicații practice în scopul formării deprinderilor;
 Elaborarea de proiecte didactice în care să se prevadă secvențe de predare -învățare cu
ajutorul mijlo acelor tehnice;
 Folosirea mijloacelor tehnice în scopul realizării materialelor didactice și a
documentelor profesorului

Principalele resurse materiale utilizate la matematică sunt:
 Manualul și culegerile de probleme;
 Tabla ;
 Fișele de lucru. Acestea pot f i tipărite, dar și în format electronic, sau chiar făcând
parte dintr -un soft educațional;
 Trusele matematice. În această categorie intră: instrumentele matemat ice (liniare,
compas etc.), modele matematice ale diferitelor figuri si corpuri geometrice, jocu ri
matematice ca: trusa de riglete, trusele Dienes etc.. Acestea pot fi reale sau virtuale;
 Computerul . Acesta este cel mai complex mijloc tehnic de instruire deoarece:
– Lucrează cu programe special concepute;
– Prelucrează texte;
– Prelucrează imagini, grafică provenite de la camere video, aparatură video,
televizor, etc.
– Prelucrează sunete provenite de pe CD – uri, microfoane, etc.
– Redă filme video prin utilizarea de DVD – uri;
– Prin cuplare la un video – proiector el poate înlocui aparatura de proiecție;
– Prin co nectare la rețele, poate vehicula orice informație de la și către orice
utilizator (exemplul cel mai actual fiind Internetul).
Se pot identifica mai multe situații prin care putem integra computerul în procesul
de predare -învățare -evaluare a matemati cii. Chiar dacă prezența calculatorului la clasă nu
este vizibilă, el poate fi folosit de profesor în pregătirea lecțiilor, a documentației, etc. după
cum urmează:
 Calculatorul, ca mijloc de predare -învățare, poate fi utilizat ca un retroproiector
care pe lângă vizualizarea de imagini statice (texte, grafice) permite prezentarea de
softuri educaționale, DVD -uri, informații preluate de pe Internet;

79
 Programele utilitare intervin în procesul de predare -învățare -evaluare prin:
– realizarea documentelor profesor ului (planificări calendaristice, planificări ale
unităților de învățare, proiecte de lecții, etc.);
– realizarea de materiale didactice de către profesor (fișe, teste, planșe, etc.);
– redactarea referatelor și a proiectelor de către elevi;
– ajutor în analiza și centralizarea rezultatelor evaluării (prin realizarea de grafice,
tabele, medii, etc.) utilizând de exemplu Excel -ul;
– realizarea de prezentări prin utilizarea unor softuri de prezentare, ca de exemplu
Power Point.
 Enciclopedii electronice, dicționare, hărți, simulatoare, DVD -uri, etc .
 Utilizarea rețelelor de calculatoare și a mediului Internet pentru:
– transmitere / primire de informații și comunicare cu alte persoane prin: e -mail,
chat, verbal cu ajutorul microfonului, etc.;
– căutare de informații.
Se folosesc puțin sau chiar deloc în grădiniță și învățământul primar.
 Softurile educaționale : sunt produse software rezultat al unei prelucrări pedagogice
a unor conținuturi științifice. Ele asigură realizarea învățării asistată de calculator
și acoperă, de obicei, toate cele trei componente ale procesului de predare -învățare –
evaluare.

Temă de reflecție. Ce aduc nou manualele digitale față de cele ȋn format doar
tipărit?

80
3.2. Metode didactice folosite la matematică

3.2.1. Expunerea, explicația și conversația

Expunerea, explicația și conversația fac parte din categoria metodelor de comunicare
orală.
Expunerea face parte din categoria metodelor didactice în care predomină acțiunea de
comunicare orală, și din subcategoria celor de comu nicare expozitivă.
Metoda expunerii asigură prezentarea orală a unei teme sau probleme într -o organizare
logică, densă, clară, fluentă sub forma narațiunii (în învățământul primar), a explicației (în
învățământul secundar) sau prelegerii (în învățământul s uperior). La grădiniță nu se va
utiliza această metodă, iar în clasele primare vom utiliza așa numita expunere explicativă,
în care expunerea nu are mai mult de 10 de minute și este presărată de explicații. În general
orele care se pretează la această meto dă sunt primele ore ale unui capitol.
Explicația este metoda de comunicare orală cel mai des folosită în învățământul
preșcolar și primar. Explicația poate face apel la diferite procedee :
 Procedeul inductiv se realizează :
– plecând de la cazuri particu lare se ajunge la concluzii generale ;
– plecând de la concret se ajunge la abstract.
 Procedeul deductiv se realizează:
– plecând de la cazuri generale se ajunge la situații particulare ;
– plecând de la abstract se ajunge la concret.
 Procedeul analizei cauzale constă în explicarea cauzei care stă la baza introducerii
conceptului.
 Procedeul comparației și analogiei constă în explicarea analogiilor sau se fac
comparații.
 Procedeul teleologic constă în redarea a ceea ce trebuie explicat în termenii scopului
urmări t

81
Temǎ de reflecție. Dați exemple pentru fiec are tip de explicație în parte.

Conversația face parte din categoria metodelor didactice în care predomină acțiunea
de comunicare orală, subcategoria celor de comunicare orală conversativă. Conversația este
inițiată de profesor și se bazează pe schimburi verbale/dialoguri între profesor și elevi și
între elevi, pentru atingerea obiectivelor operaționale prestabilite.
Conversația poate fi clasificată după mai multe criterii, respectiv:
 După numărul de copii cărora li se adresează întrebarea conversația poate fi:
– individuală: se numește elevul și apoi se inițiază conversația;
– frontală: profesorul inițiază conversația și apoi numește elevul.
 După momentul din lecție în care are loc conversația aceasta poate fi:
– introductivă;
– pentru transmiterea de noi cunoștințe;
– pentru fixarea cunoștinț elor;
– de recapitulare și sistematizare;
– de evaluare a cunoștințelor elevilor.
 După tipul de raționament pe care -l efectuează elevul când dă răspunsul conversația
poate fi:
– catehetică: se adresează memoriei, răspunsurile sunt reproduceri de enunțuri,
definiții, formule, etc.
 Exemplu. Conversația inițiată de profesor pentru fixarea tablei înmulțirii.
– euristică: se adresează gândirii, ea implică elevii activ și interactiv în descoperirea
noului.
 Exemplu. Conversația inițiată de profesor pentru descoper irea tablei
înmulțirii cu o cifră.
 După tipul întrebărilor conversației avem:

82
– conversație convergentă: se bazează pe întrebări închise, reproductiv -cognitive,
care vizează obținerea de la elevi a unui anumit răspuns, formulat în prealabil de
către profes or. Întrebările specifice conversației convergente sunt:
Ce… ? , Ce este… ?, Care este… ?, Când… ?, Cine… ?, Unde.. ?, Cât… ?, Ce ați avut
de învățat… ?, etc.
– conversație divergentă: se bazează pe întrebări deschise, productiv -cognitive, ca re
vizează analizarea de către elevi a mai multor variante sau alternative de răspuns și
deducerea de către aceștia a noilor achiziții prin efort propriu. Întrebările specifice
conversației divergente sunt:
De ce… ?, Cum se explică… ?, Pentru ce… ?, Ce se întâmplă dacă… ?, Caracterizați
comparativ…, Precizați…, Interpretați…, etc.
Direcțiile de modernizare ale explicației și conversației sunt:
– Explicația și conversația va face referire la o activitate practică;
– Intensificarea dialogului care solicită gândirea divergentă, productivă, critică a
elevilor;
– Elevii explică ei înșiși;
– Explicația și conversația se combină cu alte metode și procedee didactice care
să solicite participarea elevilor la propria instruire.

Activitate practică. Realizați proiectul unei secvențe de lecție în care se
deduce tabla împărțirii cu 2 utilizând metodele de comunicare orală. Se va folosi o
structură de forma:
Clasa:
Lecția:
Obiective operaționale:
Activitatea din lecție Strategia didactică

83
3.2.2. Problematizarea

Metoda problematizării urmărește realizarea activității de predare -învățare -evaluare
prin lansarea și rezolvarea unor situații -problemă. Înțelegerea acestei metode presupune
stăpânirea conceptului pedagogic de situație -problemă care nu trebuie confundat cu
conceptul pedagogic de problemă.
Ch. Orange (1993) consideră că în știință relația problemă -cunoaștere este circulară
(fig.A). Problema stă la baza cunoașterii, iar cunoștințele reprezintă cadrul apariției și
construcției p roblemelor.

Relativ la tipologia problemelor există două mari categorii de probleme (fig. B):
 probleme închise : acele probleme care presupun o sarcină rezolvabilă prin aplicarea
unor cunoștințe dobândite anterioare, o c ale de investigație liniară, care angajează un
procent de reușită școlară cu probabilitate maximă;
 probleme deschise : probleme care servesc ca și punct de plecare pentru situațiile de
învățare/ noile concepte.

Cunoaștere
Problemă
Fig. A
Cunoaștere
Problemă
Deschisă
Închisă
Fig. B

84

Situațiile -problemă se integrează în categoria problemelor deschise dar se
identifică prin conflictul cognitiv/contradicții care se declanșează în mintea elevului între
pe de o parte – experiența anterioară și pe de altă parte – elementu l de noutate și de surpriză,
necunoscutul cu care este confruntat.
OBSERVAȚIE. Nu orice întrebare care îl face curios pe elev este o situație -problemă
decât în măsura în care elevul posedă o bază de cunoștințe care îl ajută să se orienteze în
problemă pen tru ca în final să poată fi rezolvată și să conducă la descoperirea unui concept.
Sursele situațiilor -problemă pe care profesorul de informatică le poate exploata
sunt:
 Contradicții generate de cunoștințele empirice sau predicțiile bazate pe acestea.
 Dezacord între cunoștințele dobândite anterior (cunoștințe nefinisate) și condițiile
noi de rezolvare a problemei (cunoștințe finisate).
 Contradicție între cunoștințele dobândite anterior dar inadecvate unei situații date.
 Contradicții între cunoștințele teoretice și imposibilitatea de aplicabilitate practică
a acestora.
 Încadrarea cunoștințelor anterioare într -un sistem, conștientizarea că acest sistem
nu este întotdeauna operațional și de aici necesitatea completării lui.

Temǎ de reflecție. Identifica ți exemple pentru fiecare sursǎ a situațiilor
problemǎ.

Etapele metodice ale problematizării pe care elevul (de obicei, sub îndrumarea
profesorului) le parcurge în rezolvarea situațiilor -problemă sunt următoarele:
1. Realizarea situației -problemă se face în învățământul primar prin oferirea unei
informații și apoi punerea unei întrebări/probleme pe care elevii trebuie să o rezolve;
2. Analiza situației -problemă este etapa în care elevii studiază problema, disting
elementele esențiale, o restructurează, reformulează și găsesc legături între elemente.

85
3. Prezentarea încercărilor de rezolvare a situației -problemă este etapa în care
elevul selectează di n cunoștințele sale anterioare pe acelea care ar putea fi operaționale în
rezolvarea problemei și aleg calea de rezolvare.
4. Rezolvarea situației -problemă este etapa în care elevul rezolvă problema și
descoperă noile cunoștințe.
5. Interpretarea soluție i și integrarea noilor achiziții în sistemul cognitiv propriu
este etapa în care soluția este confruntată cu cunoașterea anterioară. Tot în această etapă
noile cunoștințe sunt sistematizate și integrate în sistemul cognitiv propriu al elevului.

 Exemplu. S ecvență de lecție în care predomină problematizarea.
Clasa: a IV-a
Tema: Drepte perpendiculare
Tipul lecției: Dobândire de noi cunoștințe
Obiective operaționale: Pe parcursul lecției elevul va fi capabil să :
– definească noțiunile de unghi și unghi drept
– descopere definiția dreptelor perpendiculare;
– verifice utilizând echerul dacă diferite drepte sunt perpendiculare sau nu.
Desfășurarea activității:

Activitatea din lecție
(P= profesor, E= elev) Strategia
didactică
Profesorul prin exemple din mediul înconjurător introduce conceptul
de unghi (figura geometrică formată de două semidrepte care
„pornesc din același punct”), unghi drept (unghiul care are
deschizătura egală cu cea mai mare deschizătură a echerului). Conversație:
– frontală
– euristică

P : Câte unghiuri formează două drepte?
E: 4 unghiuri
P: Desenați un unghi drept (folosind echerul) și apoi prelungiți
laturile sale, în direcțiile opuse, în așa fel ca ele să formeze patru
unghiuri. Ce fel de unghiuri s -au format? Problematizare:
1. Real izarea
situației
problemă

86

E: Desenează unghiul drept și prelungesc laturile acestuia în
direcțiile opuse.

P: Sugerează să ia echerul și să compare celelalte unghiuri cu
unghiul drept al echerului.

E: Compară unghiurile formate cu unghiul drept al echerului și
observă că se suprapun perfect. Deci și celelalte trei unghiuri sunt
drepte.

P: Când vom spune că două drepte sunt perpendiculare?
E: Două drepte sunt perpendiculare atunci când formează un unghi
drept.
P: Dacă dau definiția astfel: „Două drepte sunt perpendiculare dacă
formează patru unghiuri drepte” este greșit?
E: Da, pentru că este suficient să spunem că formează un singur
unghi drept.
P: Da așa este, pentru că am văzut că dacă un unghi din cele patru
este drept și celelalte trei vor fi unghiuri drepte.
E: notează în caiete definiția și obs ervația: „Dacă două drepte sunt
perpendiculare atunci toate cele patru unghiuri formate de acestea
sunt unghiuri drepte”.
E: rezolvă exerciții pentru fixarea conceptelor învățate în lecție:
unghi, unghi drept, drepte perpendiculare.
2. Analiza
situației
problemă
Conversație
Dirijarea
învățării

3.Prezentarea
încercărilor de
rezolvare

4. Rezolvarea
problemei
Descoperirea
conceptului de
drepte
perpendiculare
Conversație

5. Interpretarea
rezultatelor

Activitate practic ă.

87
Realizați o scurtă secvență de lecție în care prin utilizarea metodei problematizării
elevii să descopere proprietatea de distributivitate a împărțirii față de adunare (la
dreapta)
Exemplu : (14+35):7= 14:7 + 35:7

3.2.3. Învățarea prin descoperire

Învățarea prin descoperire constă în punerea elevilor în situația de a descoperiri
soluția unei probleme de prin efort propriu, de obicei sub îndrumarea profesorului.
Învățarea prin descoperire apare întotdeauna în învățarea prin problema tizare, în etapa de
rezolvare a situației -problemă, dar poate fi considerată și ca o metodă de sine stătătoare
pentru rezolvarea unei probleme care nu es te situație -problemă (fig. ).

Există următoarele tipuri de descoperiri didactice:
 Descoperirea inductivă bazată pe raționamente de tip inductiv: de la particular spre
general, de la concret spre abstract.
 Descoperirea deductivă bazată pe raționamente de t ip deductiv: de la general spre
particular, dinspre abstract spre concret.
 Descoperirea prin analogie bazată pe raționamente de tip analogic: particular -particular,
general -general.
Avantajele metodice ale utilizării problematizării și învățării prin descoperire sunt:
– Dezvoltă o învățare activă;
– Dezvoltă motivația învățării;
– Problemele pot fi valorificate încă de la începutul activității ;
Situație -problemă
Problemă
Concept
Rezolvare
Învățare prin
descoperire
Descoperire

88
– Aceste metode se pot combina cu ușurință între ele dar și cu alt e metode;
– Sprijină procesul de evaluare întrucât prin rezolvarea situațiilor -problemă elevii
demonstrează că au atins performanțele descrise în obiectivele operaționale cu care
sunt corelate;
– Dezvoltă cunoștințe durabile și raportate la exemple practice.
Dezavantajele metodice ale utilizării problematizării și învățării prin descoperire sunt:
– Solicită o activitate laborioasă din partea profesorului pentru conceperea și
coordonarea activității;
– Activitatea bazată pe problematizare reclamă un volum mai mare de timp în
descoperirea noului, de unde un timp mai mic care se alocă fixării cunoștințelor. Timpul
este însă câștigat în orele următoare datorită faptului că nu mai sunt necesare prea multe
reveniri sau exersări.

3.2.4. Observația sistematică

Metoda observației sistematice valorifică modelul cercetării științifice clasice care
asigură investigarea directă a unor obiecte, fapte, relații, etc. Raționamentele folosite sunt
inductive și deductive. Funcția pedagogică a acestei metode vizează formarea -dezvo ltarea
spiritului de cercetare obiectivă a realității pe baza unor criterii de rigurozitate științifică
adecvate fiecărei etape de școlaritate.
Etapele metodice ale observației sistematice pe care elevul, sub îndrumarea
profesorului, le parcurge în această metodă sunt:
1. Sesizarea elementelor esențiale ale fenomenului/ obiectului studiat;
2. Definirea trăsăturilor generale la nivelul unor categorii observabile;
3. Exprimarea sintetică, la nivel conceptual, a funcției fenomenului studiat/
definiției obiectului studi at. Această etapă poate lipsi la un moment dat la nivelul
învățământului preșcolar și primar cu precizarea că o revenire ulterioară pe o
treaptă superioară va face posibilă și atingerea acestei etape.
Perfecționarea metodei vizează asigurarea saltului de la observația sistematică, dirijată
de profesor, la observarea sistematică, realizată independent de elev prin valorificarea

89
procedeelor de diferențiere a instruirii aplicabile în diferite situații didactice, în condițiile
unui învățământ diferențiat, pe grupe sau individual.
 Exemplu. Secvență de lecție în care se utilizează metoda observației sistematice.
Tema: Pătratul
Clasa: grădiniță, cl. I -IV
Desfășurarea activității

Conținuturi Strategia didactică
(Observația sistematică)

Recunoașterea pătratului.

Sesizarea elementelor esențiale ale
fenomenului studiat.
Elevii analizează diferite obiecte din viață de
zi cu zi și le selectează pe cele cu formă de
pătrat: o tablă de șah, o pernă, un biscuite, o
fereastră, o față a unui zar etc.
Identificarea proprietăților acestuia:
Pătratul are laturile egale; (grădiniță,
I-IV)
Pătratul este un dreptunghi; (cl. a IV –
a)
Pătratul are toate unghiurile drepte;
(cl. a IV -a) Definirea trăsăturilor generale la nivelul unor
categorii observabile
Copiii compară laturile pătratului prin
măsurare.
Copiii compară unghiurile pătratului cu
unghiul drept. (cl. a IV -a, prin suprapunerea
unghiului drept al echerului peste unghiurile
pătratului)
Copiii observă că pătratul este un dreptunghi
care are lungi mea egală cu lățimea. (cl. a IV -a)
Definiție. Pătratul este un dreptunghi
care are lungimea egală cu lățimea
(sau printr -o altă exprimare: cu două
laturi consecutive de lungimi egale ). Exprimarea sintetică, la nivel conceptual, a
definiției obiectului stu diat (numai la nivelul
cl. a IV -a)
– Elevii dau definiția pătratului utilizând genul
proxim și diferența specifică.

90
3.2.5. Modelarea

Modelarea constă în cercetarea indirectă a realității, a obiectelor, fenomenelor, etc. cu
ajutorul unor sisteme numite modele. Modelarea este considerată o metodă activă,
euristică, care valorifică raționamentele prin analogie. Ea reprezintă o cale de familiarizare
a elevului cu cercetarea științifică.
Modelul reprezintă un sistem material sau ideal care reproduce în mod esențializat, prin
analogie,sistemul original.
Caracteristicile pe care trebuie să le aibă un model sunt:
– fidelitatea : calitatea modelului de a prezenta un număr suficient de analogii cu
originalul;
– simplitatea și caracterul esențializat;
– corectitudinea: modelul nu trebuie să aibă simplificări exagerate și să nu conțină
greșeli;
– elementele analogice ale modelului vizează cele trei planuri ale ori ginalului: cel al
formei, al structurii și al funcționării
– accesibilitatea: modelul trebuie să fie adecvat caracteristicilor psihologice ale
elevilor.
Clasificarea modelelor se poate face astfel:
 În funcție de formă și structură avem :
 Modele materiale : prezintă o asemănare fizică reală cu originalul și reproduc la
nivel micro trăsăturile esențiale ale originalului studiat.
 Exemple. Figurile geometrice și corpurile geometrice executate din plastic, carton
sau sârmă.
 Modele figurative: sunt scheme, desen e, fotografii sau reprezentări grafice ale
originalului care au capacitatea de a reproduce forma exterioară, structura internă
și relațiile funcționale specifice originalului studiat.
 Exemple. Desene, fotografii ale unor obiecte din mediul înconjurător car e au
trăsături comune cu figurile, corpurile sau alte noțiuni geometrice.

91
 Modele simbolice: au o formă esențializată, ideală, exprimată prin formule, ecuații,
scheme, reprezentări grafice care au capacitatea de a reproduce la nivelul gândirii
modul de fun cționare al originalului. Ele pot fi de două feluri:
– modele grafice: utilizează o formă grafică de reprezentare.
 Exemple. Realizarea unor scheme de înmulțire și împărțire a numerelor naturale,
rezolvarea unor probleme prin metoda figurativă, realizarea u nei scheme cu
multiplii și submultiplii metrului, litrului, kilogramului.
– modele ideale: utilizează o formă logică exprimată prin idei, formule.
 Exemple. Scrierea unei ecuații pentru rezolvarea problemelor cu text, formula de
efectuare a probei pentru îm părțirile cu rest etc.

 În funcție de rolul pe care îl îndeplinesc în procesul de învățare distingem:
 Modele explicative sprijină procesul de înțelegere: scheme, grafice, desene, figuri,
diagrame, etc.
 Exemple. Schemele folosite pentru multiplii și submultiplii metrului, litrului,
kilogramului etc.
 Modele predictive dezvăluie transformările care vor surveni pe parcurs în sistemul
studiat.
 Exemple. Modelele folosite la rezolvarea problemelor prin metoda figurativă etc.
Etapele metodice ale modelării sunt:
1. Construirea modelului, care presupune:
– Identificarea elementelor originalului care sunt relevante și esențiale pentru
scopul urmărit;
– Construirea modelului pe baza relațiilor existente între componentele
identificate.
2. Investigare și acțiune asupra mod elului presupune studierea proprietăților
modelului, emiterea unor ipoteze, verificarea acestor ipoteze pe model și
stabilirea concluziilor;
3. Transferul concluziilor de la model la original prin analogie;
4. Integrarea noilor cunoștințe în sistemul cognitiv pr opriu.
Avantajele modelării sunt:

92
– Familiarizarea elevilor cu raționamentul prin analogie;
– Dezvoltă capacitatea elevului de a generaliza și abstractiza;
– Exersează elevii în tehnica observației sistematice;
– Oferă elevilor un material mai accesibil puterii lo r de analiză și explorare activă;
– Inițiază elevii în munca de cercetare științifică.
Dezavantajele modelării sunt:
– Analogiile sau simplificările exagerate pot duce la concluzii greșite ;
– Uneori originalul nu poate fi înțeles în ansamblul său.

Activitate practică. Realizați o scurtă secvență de lecție în care prin utilizarea
metodei modelǎrii elevii sǎ rezolve o problemǎ de aritmeticǎ.

Sugestii: la metoda figurativǎ se utilizeazǎ modele explicative și predictive.

3.2.6. Demonstrația

Metoda demonstrației reprezintă acțiunea didactică de prezentare a unor obiecte,
fenomene din natură sau societate, reale sau substituite, în vederea stimulării capacității
elevilor de descoperire și de argumentare a esenței acestora. Ea este o metodă de cercetar e
indirectă a realității și valorifică raționamentele de tip deductiv.
Demonstrația poate lua următoarele forme:
– Demonstrație observațională , numită și “demonstrație vie” se bazează pe
prezentarea unor obiecte sau fenomene reale;
– Demonstrația experimental ă se bazează pe prezentarea unor obiecte sau fenomene
reale în condiții de laborator;
– Demonstrația grafică se bazează pe prezentarea unor obiecte sau fenomene reale
prin intermediul unor fotografii, scheme, tabele, etc.

93
– Demonstrația documentară se bazează pe prezentarea unor obiecte sau fenomene
reale pe baza unei documentații specifice domeniului respectiv;
– Demonstrația analogică se bazează pe prezentarea unor obiecte sau fenomene reale
prin intermediul unor modele;
– Demonstrația programată se bazează pe pr ezentarea unor obiecte sau fenomene
reale prin intermediul instruirii asistate de calculator.
Literatura de specialitate prezintă ca o modalitate specifică de organizare a metodei
demonstrației utilizarea mijloacelor de instruire moderne (în special compu terul).
Etapele metodice ale metodei demonstrației sunt:
1. Prezentarea de către profesor a obiectului, fenomenului;
2. Descoperirea de către elevi a esenței obiectului, fenomenului;
3. Integrarea cunoștințelor în sistemul cognitiv propriu.
 Exemple.
– Profesorul demonstrează elevilor modul de adunare a numerelor cu trecere peste
ordin în concernul 0 -20 cu ajutorul jetoanelor sau a socotitorii. Apoi copiii vor face
același lucru în bănci pe alte exemple.
– Profesorul demonstrează elevilor cum se poate obține o de sfășurare a cubului prin
tăierea unui cub de -a lungul muchiilor. Apoi copiii pot să execute ei înșiși astfel de
desfășurări sau să încerce să reconstruiască cuburi din desfășurări date.

3.2.7. Jocul didactic matematic

Jocul este activitatea specifică vârstei preșcolare și școlare mici. Jucându -se copilul
își satisface nevoia de activitate. Jocul ca orice activitate umană, se învață. Pentru copii
jocul este o conduită formativă, modelatoare.
În jurul teoriei jocului sunt preze nte numeroase dispute în literatura psihologică și
pedagogică. Fără a teoretiza prea mult î n Didactica matematicii jocul didactic este definit
ca un ansamblu de acțiuni și operații care paralel cu destinderea, buna dispoziție și
bucuria pe care le stârneșt e, urmărește un set de obiective de pregătire intelectuală,
tehnică, morală, fizică etc, a copilului.

94
„Dicționarul de termeni pedagogici” precizează că jocul didactic reprezintă o metodă
de învățământ în care predomină acțiunea didactică simulată , ce valorifică la nivelul
instrucției finalități adaptative de tip recreativ proprii activității umane în general, în
anumite momente ale evoluției sale ontogenetice, în mod special.
Jocul didactic face parte din categoria metodelor formative puerocentriste, a decvate
pentru formarea unor capacități de a opera cu informații pentru stimularea capacităților
psihice superioare care intervin în învățare.
Valoarea formativă a jocului didactic este dată de:
– schimbarea produsă la nivelul relației educator -educat; elevu l devine centrul
activității – coparticipant la propria formare;
– realizarea diferențierii, individualizării în pregătire (fiecare elev progresează potrivit
ritmului de lucru, capacităților sale individuale);
– inter-învățarea (învățarea pe orizontală);
– struc turarea de abilități, priceperi, capacități ce solicită o perioadă extinsă pentru
exersare și întărire;
– respectarea „legii efectului” (Thorndike): numai comportamentele de învățare ce se
încheie cu o stare de satisfacție tind să se repete.
Funcțiile joculu i ca metodă de învățământ sunt:
– Funcția cognitivă – traduce în actul de învățare acțiunea proiectată de învățător în
plan mintal, transformând în experiențe de învățare, obiectivele prestabilite de ordin
cognitiv;
– Funcția formativ -educativă contribuie la realizarea obiectivelor din sfera operatorie
și cea atitudinală. Sunt exersate funcțiile psihice și fizice ale copilului și se formează
deprinderi intelectuale, aptitudini, capacități și comportamente;
– Funcția operațională (instrumentală) se rvește drept tehnică de execuție, în sensul că
favorizează atingerea obiectivelor;
– Funcția motivațională – de stimulare a curiozității, de trezirea interesului, a dorinței
de a cunoaște și a acționa, de organizare a forțelor intelectuale ale elevilor;
– Func ția socială se realizează datorită faptului că jocul constituie un element și factor
important de socializare;
– Funcția de echilibrare – tonificare și uneori chiar terapeutică prin faptul că jocul

95
descarcă și reîncarcă potențialitățile personalității;
– Funcț ia normativă permite cadrului didactic dirijarea, corectarea și reglarea acțiunii
instructive;
– Funcția organizatorică permite o bună planificare a timpului elevului și
învățătorului.
Un exercițiu sau o cerință poate deveni joc didactic , dacă:
 realizează un scop sau o sarcină didactică;
 folosește elementele de joc în vederea realizării sarcinii propuse;
 folosește un conținut accesibil și atractiv;
 utilizează reguli de joc, cunoscute anticipat și respectate de elevi.
Componentele de bază ale joculu i didactic matematic sunt:
a) Scopul didactic. Acesta care se formulează în concordanță cu cerințele
programei școlare convertite în finalități funcționale de joc. Formularea trebuie să fie clară
și să oglindească problemele specifice impuse de realizarea jocului. Unele jocuri se referă
la probleme de natură cognitivă (scop cognitiv) altele urmăresc aspecte de ordin formativ
(scop formativ), prin analiză, comparație, selectare, generalizare, abstractizare.
b) Sarcina didactică constituie elementul propriu -zis de instruire prin care se
transpune la nivelul copilului scopul urmărit într -o activitate. Sarcina didactică este legată
de conținutul jocului, de structura lui, referindu -se la ceea ce trebuie să facă în mod concret
elevii în timpul jocului pentru a re aliza scopul propus. Jocul didactic cuprinde și rezolvă
cu succes, în mod obișnuit, o singură sarcină didactică, ce reprezintă esența activității
respective care antrenează intens operațiile gândirii.
c) Elementele de joc se stabilesc de regulă în raport cu cerințele și sarcinile
didactice ale jocului. Într -un joc se pot folosi mai multe elemente sub formă de:
 întrecere (individual sau pe grupe);
 cooperare (spirit de colectivitate);
 recompensare (recompense morale, materia le);
 penalizare în caz de abatere de la regulile jocului;
 aplauze, încurajări.
Se pot organiza jocuri în care întrecerea, recompensa sau penalizarea să fie evitate.

96
d) Conținutul matematic al jocului didactic este corespunzător particularităților
de vârstă ale copiilor cărora se adresează și sarcinii didactice. El trebuie să fie atractiv,
accesibil și recreativ prin forma în care se desfășoară, prin mijloacele de învățământ
utilizate, prin volumul de cunoștințe la care face apel.
e) Materialul didactic trebuie ales și realizat din timp, corespunzător pentru a
contribui efectiv la reușita jocului. Varietatea materialului didactic constă în: jetoane cu
desene, cu operații, figuri geometrice, fișe de observație, bilețelele în trăistuța fermecată,
rebusuri. În p rezent materialul didactic poate lua și forma electronică prin utilizarea unor
CD-uri educaționale sau jocuri online. Un material didactic adecvat conține o problemă
didactică de rezolvat, este ușor manipulat de copii, este atractiv, interesant.
f) Regulil e jocului asigură modalitatea de transpunere în acțiuni concrete a
sarcinii didactice. Ele trebuie să fie formulate clar, corect, concis, să fie înțelese de toți
participanții la joc. In funcție de etapele jocului se stabilesc și punctajele corespunzătoare .
Acceptarea și respectarea regulilor jocului îl determină pe copil să participe la efortul
comun al grupului din care face parte, să -și subordoneze interesele individuale celor ale
colectivului.
Organizarea activităților sub forma jocului didactic oferă o serie de avantaje de
ordin metodologic:
 aceeași sarcină se exersează pe conținuturi și materiale diferite, cu reguli noi;
 același conținut matematic se consolidează, se poate repeta prin modificarea
situațiilor de învățare și a sarcinilor de lucru;
 reguli le și elementele de joc modifică succesiunea acțiunilor, ritmul de lucru;
 stimulează și exersează limbajul, aspecte comportamentale prin reguli de joc;
 într-un joc, repetarea răspunsurilor, în scopul obținerii performanțelor și reproducerea
unui model de l imbaj adaptat conținutului pot fi reguli de joc.
Jocurile didactice matematice pot fi grupate:
 După conținutul matematic :
– jocuri cu numere
– jocuri cu operații aritmetice
– jocuri geometrice
– jocuri pentru formarea / consolidarea deprinderilor de rezolvare de probleme

97
 După aplicabilitate :
– jocuri cu conținut practic (în special bazate pe mărimi și unități de măsură)
– jocuri artificiale
Un loc aparte îl ocupă la matematică jocurile logico -matematice. Acestea pun
accentul pe raționamente logice, conținuturile matematice având un rol secundar.
Raționamentele logice la care se face apel presupune operarea cu operatorii logici:
disjuncție (sau), conjuncție (și), negație, implicație și echivalență. Cum exersarea
operatorilor logici se face cel mai ușor la mulțimi, majoritatea jocurilor logico -matematice
au la bază operații cu mulțimi. Materialele didactice utilizate sunt în general truse cu figuri
geometrice de diferite forme (triunghiuri, pătrate, dreptunghiuri etc.), mărimi, de diferite
culori și de diferite gros imi (trusa Dienes, Logi I, Logi II).
Astfel jocurile logico -matematice bazate pe mulțimi se pot clasifica în:
– jocurile de constituire a mulțimilor
– jocuri de reuniune, intersecție sau diferențe de mulțimi ce familiarizează copiii cu
înțelegerea deosebirilor ce există între diferite piese, după anumite atribute, precum
și a denumirilor corespunzătoare atributelor necesare formării mulțimilor de obiecte
și submulțimilor
– jocuri de formare de perechi în scopu l de a forma și dezvolta deprinderea de a
recunoaște asemănările și diferențele dintre piese
– jocul negației care face să se nască la copii ideea principiului contradicției
– jocul disfuncțiilor în care se construiesc mulțimi în care fiecare element are sau nu,
un anumit atribut.
Alte tipuri de jocuri logico -matematice sunt:
– jocuri de mutare a unor piese în anumite condiții (ca de exemplu problema
Turnurilor din Hanoi)
– jocuri de stabilire a ordinii de așezare a unor obiecte/personaje pe baza unor
informații date
 Exemplu : Jocul „Căsuța cu surprize” face parte din categoria jocurilor cu
operații aritmetice
Grup țintǎ: clasa a II -a
Conținutul matematic: Tabla înmulțirii

98
Scopurile jocului:
– consolidarea tablei înmulțirii;
– formarea deprinderilor de calcul rapid oral;
– afirmarea unor trăsături de îndrăzneală, perseverențǎ;
Sarcini didactice:
– rezolvarea oralǎ a unor exerciții de înmulțire;
– crearea de probleme utilizând exercițiile date.
Materialul didactic
Din carton colorat se confecționează o căsuță și un pitic. Căsuța are două ferestre
care se deschid, în spatele cărora există două discuri mobile, pe care sunt scrise numerele
de la 0 la 10. Între aceste două ferestre se află semnul “ X “ (ori), care indic ă operația ce
trebuie făcută cu ajutorul numerelor din ferestre.
Regulile jocului
Copiii participǎ individual. Fiecare copil va avea de efectuat câte 3 înmulțiri.
Dacǎ greșește una sau timpul de gândire e mai mare de 5 secunde, este eliminat din joc.
Elementele de joc: compețiția, recompensele.
Desfășurarea jocului
Se spune copiilor o poveste inventată despre un pitic. Copiii vor da nume acestui
pitic. Mergând el prin pădure și admirându -i frumusețile, a dat peste o căsuță frumos
colorată. Văzând -o așa fr umoasă, piticul a fost curios cine locuiește în ea. A vrut să intre
în căsuță, însă ușa era închisă. Pentru a putea intra, piticul trebuie să efectueze câteva
operații de înmulțire și ușa se va deschide. Pentru că piticul nu a învățat înmulțirea, cere
ajutor copiilor și împreună cu ei, dorește să depășescă obstacolele pentru a intra în
căsuță. Fiecare copil va veni pe rând la planșetǎ. Pentru început d -na învǎțǎtoare va numi
doi copii care vor roti discurile, iar apoi vor rǎmâne la planșetǎ pe rând copiii c are au
rǎspuns. Cei care rǎspund corect vor primi o recompensă. Elevii care nu reușesc sǎ
îndeplineascǎ sarcinile de lucru vor scrie pe tablǎ înmulțirile greșite. Ora urmǎtoare li se
mai dǎ o șansǎ prin reluarea jocului pentru a putea primi și ei recompens a.
Evaluarea jocului
Evaluarea se va face oral, frontal și în scris. Se vor evalua cunoștințele referitoare
la însușirea înmulțirii. Participă întreaga clasă, fiind antrenați și copiii buni și cei mai

99
slabi, dându -le încredere în forțele proprii. Recompensele constituie ,,întăriri pozitive”.
Prin acest joc evaluarea este mai eficientă și totodată antrenantă. Prin acest joc
învățătorul consolidează, fixează și verifică cunoștințele elevilor. Se poate determina
astfel măsura în care obiectivele pedag ogice au fost atinse și în același timp explicarea
randamentului nesatisfăcător. Jocul poate îmbrăca variante diferite, de la schimbarea
semnului operației și a numerelor până la modificarea recompenselor, în funcție de clasa
la care se aplică.

Activitate practică. Descrieți un joc didactic matematic pentru fixarea operațiilor
de adunare și /sau scădere a numerelor naturale în intervalul 0 – 31.

3.3. Forme de organizare a activității didactice la matematică
Formele de organizare a procesului instruct iv-educativ reprezintă cadrul
organizatoric de desfășurare a activității didactice formale, ansamblul modalităților
specifice și operaționale de derulare a procesului didactic.
Formele posibile de organizare ale activităților didactice sunt:

3.3.1. Frontală
Activitățile frontale sunt formele de organizare ale lecțiilor tradiționale, când
profesorul lucrează simultan cu întreaga clasă și toți elevii rezolvă aceeași sarcină de lucru.
Această formă de organizare a corelației profesor -elev a fost pomenită de Come nius în
opera sa Didactica Magna în anul 1627, deci acum aproape 400 de ani. Ea reprezintă o
modalitate de activitate didactică colectivă proiectată pe baza unui scop pedagogic comun,
realizabil însă în grade diferențiate, în funcție de posibilitățile fie cărui elev.
Avantajele activităților frontale sunt:
– activitatea elevului este dirijată în direcția însușirii cunoștințelor și deprinderilor
specifice;
– orientează inițiativa și creativitatea elevului pe baza unor tehnici de muncă

100
intelectuală dobâ ndite anterior;
– se câștigă timp;
– se prezintă un volum mare de informații;
– cunoștințele prezentate sunt bine sistematizate;
– profesorul primește și oferă un feedback imediat.
Dezavantajele activităților frontale sunt:
– elevul se află într -un raport de depende nță față de profesor;
– nu stimulează în suficientă măsură activitatea independentă și gândirea divergentă
a elevului;
– nu asigură decât în rare cazuri participarea tuturor elevilor la procesul de
învățământ;
– conexiunea inversă este dificil de realizat mai al es la clasele cu un număr mare de
elevi;
– elevii sunt tratați predominant ca și cum ar avea toți aceleași caracteristici.

Pentru îmbunătățirea rezultatelor activităților frontale se recomandă:
– evidențierea situației inițiale a elevilor prin int ermediul diagnosticului inițial;
– combinarea activității frontale cu cele individuale și în grup;
– realizarea de activități frontale cu grupe omogene ale clasei, timp în care ceilalți
elevi ai clasei efectuează activități individuale sau în grup.

3.3.2. Individuală
Învățământul individual reprezintă cea mai veche formă de organizare a corelației
profesor -elev, anterioară învățământului frontal. Ea corespunde momentului în care
societatea avea nevoie de un număr mic de persoane instruite, iar profesorul c hiar dacă
învăța mai mulți copii se ocupa de fiecare în parte.
Activitățile individuale constau în organizarea lecției în așa fel încât elevii să
lucreze individual, aceeași sarcină de lucru sau sarcini diferite, cu sau fără ajutorul cadrului
didactic. La baza acestei forme de organizare a activității stă principiul respectării
particularităților individuale ale elevilor.
Activitatea individuală este realizabilă prin:

101
– teme comune : se solicită fiecărui elev să execute singur și pentru sine exerciți ile
date de profesor, aceste exerciții fiind aceleași pentru toți elevii;
– teme diferențiate : se solicită fiecărui elev să execute singur și pentru sine exercițiile
date de profesor, aceste exerciții fiind diferite ca volum și grad de dificultate pentru
fiecare elev în parte.
Avantajele activităților individuale sunt:
– permite diferențierea sarcinilor de învățare în funcție de particularitățile individuale
ale elevilor;
– activitatea se desfășoară în liniște;
– învățarea se produce în ritm propriu;
– crește re sponsabilitatea elevului față de propria muncă.
Dezavantajele activității individuale sunt:
– facilitează erorile în învățare;
– profesorul nu dă un feedback și nu evaluează în întregime rezultatele de fiecare
dată;
– favorizează competiția;
– comunicarea este apr oape absentă.

3.3.3. Grupală
Învățământul pe grupe reprezintă cea mai nouă formă de organizare a corelației
profesor -elev, fiind o creație a curentului socio -centrist, promovat, îndeosebi, la începutul
secolului XX.
Activitățile în grup sau prin cooperare sunt o modalitate de îmbinare a învățării
individuale cu cea colectivă. Elevii lucrează în grupuri mici, fiecare dintre ei contribuind
la rezultatul final.
Când se pune problema organizării activității în grupuri, profesorilor le este teamă
de zgomot, de pierderea controlului asupra clasei și au rețineri din cauza necunoașterii
tehnicilor prin care îi pot determina pe elevi să lucreze eficient. Se recomandă introducerea
treptată în activitatea didactică a activităț ilor în grup și respectarea unor reguli de lucru
după cum se va vedea în continuare.
Etapele preliminare ale învățării în grup sunt:

102
 aranjarea sălii de clasă prin gruparea meselor (dacă este cazul);
 etapa de orientare , care constă în organizarea de activități cu scopul de a
familiariza elevii, unii cu alții. Câteva astfel de activități sunt :realizarea de
ecusoane cu numele fiecărui elev, fiecare elev se prezintă pe sine și își atribuie un
adjectiv care începe cu inițiala prenumelui, etc. Această eta pă poate lipsi în cazul
unui colectiv care se cunoaște de mai mult timp.
 stabilirea grupelor de lucru .

Etapele metodice ale învățării în grup sunt:
 prezentarea temei și a obiectivelor urmărite;
 împărțirea sarcinilor în cadrul grupurilor;
 realizarea acti vităților în cadrul grupurilor;
 comunicarea rezultatelor;
 evaluarea / notarea activității elevilor .

Organizarea activității de învățare în grup presupune din partea profesorului:
 stabilirea obiectivelor ;
 stabilirea dimensiunii grupurilor : o dimensiune optimă a grupurilor poate fi
considerată de patru -cinci elevi, deoarece astfel fiecare are posibilitatea de a trece
prin rolurile presupuse de activitatea în grup;
 stabilirea strategiei de grupare a elevilor . Există mai multe strategii, de grupare
a elevil or în funcție de obiectivele urmărite astfel:
– gruparea aleatorie este eficientă și ușor de aplicat. De exemplu, pentru ca
elevii să formeze grupuri de patru, ei numără de la 1 la 4. Cei cu același
număr vor forma un grup;
– gruparea omogenă presupune grupare a elevilor în trei categorii: elevii buni,
elevii medii și elevii slabi, caz în care sarcinile de lucru vor fi diferite pentru
aceste categorii;
– formarea grupurilor de către profesor permite profesorului să decidă cine
cu cine lucrează;
– formarea grupurilor de către elevi creează de obicei grupuri eterogene, dar

103
dezechilibrate între ele în așa fel încât unele grupuri nu vor putea atinge
obiectivele proiectate de profesor.
 coordonarea activității pe grupuri . Când activitatea de învățare se desfășoară în
grupu ri, profesorul are numeroase responsabilități:
– instructor : profesorul oferă instrucțiuni clare și precise asupra rolului
membrilor grupului, modului în care se va lucra, modului în care se vor
comunica rezultatele, timpului de lucru pentru fiecare activita te;
– facilitator : profesorul facilitează activitatea și învățarea prin punerea la
dispoziția elevilor a unor materiale de lucru;
– consultant : în această postură profesorul oferă informații suplimentare,
puncte de sprijin, dirijează elevii pentru realizarea s arcinii de lucru;
– participant : în anumite situații profesorul se implică în activitatea grupurilor
prin exprimarea unei opinii, însă doar în cazul unor dispute iscate între
membrii unui grup sau între grupuri;
– observator : profesorul observă procesul de coo perare, dinamica grupurilor,
afinitățile dintre elevi, ritmul de lucru, oferă sarcini de lucru suplimentare
pentru grupurile care termină mai repede;
– motivator : profesorul motivează elevii prin caracteristicile sarcinii de lucru,
prin monitorizarea fiecăru i grup, prin modul de evaluare a rezultatelor.
 evaluarea / notarea activității în grupuri și a rezultatelor elevilor implică
emiterea unor aprecieri formative, notarea, verificarea rezultatelor, obținerea unui
feedback din partea elevilor imediat după acti vitate, care permite îmbunătățirea
unor activități ulterioare de același tip.

Avantajele activităților realizate în grup sunt:
– permite diferențierea sarcinilor de învățare;
– învățarea se produce în ritm propriu;
– elevii învăță unii de la alții;
– crește responsabilitatea elevului față de propria învățare, dar și față de grup;
– cei cu abilități cu nivel scăzut progresează mai ușor;
– elevii buni își dezvoltă abilitățile de comunicare.

104
Dezavantajele activităților realizate în grup sunt:
– creează un oa recare zgomot;
– unii elevi tind să aibă un rol pasiv;
– evaluarea contribuției fiecărui elev se face cu dificultate.
De asemenea implicarea elevilor în realizarea de proiecte didactice realizate în grup
obișnuiesc elevii cu răspunderea pentru propria muncă și cu munca într -o echipă, în care
rezultatele de multe ori depășesc suma competențelor membrilor săi.

Activitate practică. Realizați o secvențǎ de lecție de matematicǎ utilizând metoda
mozaic.
Explicație: Ȋn m etoda mozaic materialul destinat învățării este împărțit în bucăți și
fiecare elev învață / lucrează o parte a materialului pe care apoi o împărtășește celorlalți.
Metoda are diferite variante de lucru care au la bază tehnicile elaborate de Aronson,
Blane y, Stephan, Sikes, Snapp în 1978 respectiv Slavin în 1991.

 Sumar
În acest modul sunt prezentate metodele generale, mijloacele si formele de
organizare a activității cel mai frecvent întâlnite la matematică în în vățământul primar și
preșcolar. Se anal izează fiecare metodă în parte, se stabilesc avantajele, dezavantajele și
oportunitatea folosirii metodei. Se realizează secvențe de lecție utilizând fiecare din
metodele prezentate.

 Sarcini și teme ce vor fi notate
Sarcinile de lucru pentru acest modul nu sunt formulate explicit, ci ele fac parte
integrantă din realizarea portofoliului. Întrebările și activitățile practice au rolul de a orienta
atenția cititorului spre cele mai importante aspecte teoretice. Ca urmare nu vor fi date teme
care să fie notate separat ci doar în contextul realizării portofoliului . Conținuturile acestui
modul vor fi verificate la examen.

105

 Test de autoevaluare
1. Care sunt etapele metodice ale problematizǎrii ?
2. Care sunt etapele metodice ale modelǎrii?
3. Dupǎ ce criterii poate fi clasificatǎ conversația?
4. Care sunt componentele de bazǎ ale jocului didactic matematic?
5. Care sunt avantajele formei de organizare grupalǎ?

 Bibliografie modul
Ionescu, M., Bocoș, M. (coord.) , (2009), Tratat de didactică modernă , Ed. Paralela 45
Magdaș, I., (2014), Didactica matematicii în învățământul primar și preșcolar – actualitate
și perspective , ediția a II -a, Editura Presa Universitară Clujeană, Cluj -Napoca, 2014

106
Modul 4. INTEGRAREA EVALUĂRII ÎN PROCESUL DE INSTRUIRE
LA MATEMATICĂ

 Timp de studiu: 4 ore
 Scopul și obiectivele
Acest modul își propune familiarizarea cursanților cu aspectele privind evaluarea
randamentului școlar al elevilor la matematică. Pe parcursul modulului cursanții vor fi
capabili:
O4.1. să identifice rolul evaluării în procesul de predare -învățare a matematicii;
O4.2. să prezinte obiectivele și funcțiile evaluării;
O4.3. să prezinte și să compare tipurile de evaluări;
O4.4. să exemplifice, utilizând materiale din portofoliul personal, aplicarea la clasă
a metodelor tradiționale și alternative de evaluare;
O4.5. s ă analizeze probe de evaluare ;
O4.6. să interpreteze rezultatele obținute de elevi la probe de evaluare.

 Scurtă recapitulare a conceptelor prezentate ant erior
Nu este cazul

 Schema logică a modului
Paragrafele vor fi parcurse liniar în ordinea în care sunt scrise. Noțiuni le esențiale ale
modulului sunt următoarele, în ordinea în care apar:
 Etapele evaluării didactice: măsurare, apreciere, formularea conclu ziilor
 Tipuri de evaluări didactice
 Metode tradiționale și alternative de verificare și evaluare
 Tipuri de itemi:obiectivi, semiobiectivi, subiectivi

 Conținutul informațional detaliat
Conținuturi:
4.1. Evaluarea, componentă fundamentală a procesului de învățământ

107
4.2.Tipuri de evaluare didactică
4.3. Metode tradiționale și alternative de verificare și evaluare
4.4. Tipuri de itemi

1.1. Evaluarea, componentă fundamentală a procesului de învățământ

Din perspectiva didacticii ne interesează în principal evaluarea randame ntului
școlar al elevilor , a raportului dintre performanța însușită de elevi și cea proiectată de
cadrul didactic. În esență evaluarea didactică reprezintă totalitatea activităților prin care se
colectează, organizează și interpretează datele obținute în u rma aplicării unor instrumente
de măsurare, în scopul emiterii unei judecăți de valoare, pe care se bazează o anumită
decizie în plan educațional.
Procesul de evaluare didactică cuprinde trei etape principale:
 Măsurarea rezultatelor școlare reprezintă oper ația de constatare a
existenței, volumului, corectitudinii și gradului de stăpânire a unor cunoștințe prin aplicarea
unor instrumente de evaluare adecvate scopului urmărit (probe orale / scrise / practice,
proiecte, portofolii, etc.);
 Aprecierea rezultatelor școlare reprezintă procesul de acordare a notei pe baza
unor criterii unitare (bareme de corectare și notare, descriptori de performanță, etc.);
 Formularea concluziilor este un demers de factură explicativ -justificativă,
având rolul de a faci lita înțelegerea, la nivelul elevului, a motivelor care au stat la baza
acordării notei. Argumentarea realizată de profesor se poate manifesta sub două forme:
 Normativă : centrată pe justificarea corectitudinii notei acordate;
 Formativă : profesorul urmăreșt e nu numai conștientizarea elevului cu
privire la nivelul performanțelor sale, dar și mobilizarea lui în direcția
depășirii performanței obținute la un moment dat.

1.2.Tipuri de evaluare didactică

În procesul evaluării avem de -a face cu următoarele tipuri de evaluare didactică:
 În funcție de sistemul de referință față de care facem evaluarea, putem avea:

108
 Elevul considerat în raport cu propriul său standard, ca expresie a capacităților
și motivației pentru învățare. În acest caz interesează în ce măsură elevu l își reeditează sau
depășește statutul anterior. Acest tip de evaluare se numește evaluare de progres .
 Elevul situat în standardele sau norma grupului (clasă sau a unui grup
reprezentativ). Acest tip de evaluare se numește evaluare normativă / clasificatorie .
 Nu se clasifică propriu -zis elevii, ci se stabilește distanța care -i separă de
obiectivele prevăzute în programă, respectiv în documentele de lucru, proiectele de lecție,
etc. Această formă de evaluare se numește evaluare formativă .

 În funcție de momentul în care se realizează evaluarea putem avea:
 Evaluare inițială , care se realizează la începutul unei etape de instruire. Ea își
dovedește utilitatea din două puncte de vedere: stabilirea cu suficientă exactitate încă de la
început a lac unelor existente în pregătirea elevilor și a măsurilor ce permit eliminarea
acestora și, în al doilea rând, se constituie ca punct de reper esențial pentru asigurarea
obiectivității și pertinenței acțiunilor evaluative ulterioare;
 Evaluarea continuă se rea lizează pe parcursul secvențelor de instruire și are
drept obiectiv, pe de o parte, monitorizarea sistematică a progresului elevilor, iar pe de altă
parte, repararea în timp util a eventualelor disfuncționalități survenite în procesul de
predare -învățare;
 Evaluarea finală / sumativă se realizează la sfârșitul unui stadiu de instruire și
urmărește constatarea eficienței acțiunii instructiv -educative întreprinse în acest interval de
timp.

1.3.Metode tradiționale și alternative de verificare și evaluare

Metodele de verificare și evaluare se împart în:
 Metode tradiționale : numite astfel datorită consacrării lor în timp ca fiind cele
mai utilizate. În tabelul următor sunt detaliate cele mai des folosite metode
tradiționale de evaluare pentru ciclul primar la matematică:

109
Metoda Scop Caracteristici
a)
Observația curentă – colectare de informații cu
privire la prestația elevilor în
cursul unei activități;
– optimizarea procesului
instruirii. – se aplică în momentele cheie ale
lecției ca de exemplu: în procesul
cunoașterii elevilor, în procesul
formării de priceperi și deprin deri, în
munca independentă, etc.
b)
Verificarea orală

– aprecierea prin notă a
pregătirii elevilor pentru
lecție;
– reactualizarea cunoștințelor
în corelație cu care se
definesc noile cunoștințe;
– fixarea și sistematizarea
cunoștințelor.

Variante:
– expunerea cunoștințelor;
– prin dialog:
 individual,
 frontal,
 mixt.
Avantaje:
– favorizarea dialogului;
– posibilitatea justificării
răspunsurilor;
– confruntare de idei și opinii;
– autoevaluare imediată.
Dezavantaje:
– întrebările nu au același grad de
dificultate;
– nu permite o verificare completă;
– răspunsurile depind de starea
emotivă.
c)
Verificarea prin
lucrări scrise

c1) Verificare centrată pe
obiective:
Scop: constatarea
competențelor elevului, cu
referire la performanțele
precizate în obiectivele
operaționale. – lucrare neanunțată;
– maxim 10 minute.

110

c2) Extemporalul
Scop: urmărirea progresului
cognitiv al elevilor și
optimizarea procesului
instruirii. – lucrare neanunțată;
– între 10 -20 minute;
– se verifică un volum redus de
cunoștințe din lecția de zi;
– oferă informații aproximative cu
privire la gradul de asimilare a lor;
– se aplică întregii clase sau unui
eșantion.
c3) Lucrarea de control
Scop: evaluarea proce sului
instruirii prin evaluarea
gradului de stăpânire a
competențelor precizate în
obiectivele de referință /
specifice. – lucrare anunțată;
– între 20 -50 minute;
– se verifică conținutul unei teme,
unități de învățare;
– centrată pe cunoștințe integratoare,
relații între cunoștințe.
c5)Testele nestandardizate
Scop: evaluarea proce sului
instruirii prin evaluarea
gradului de stăpânire de către
fiecare elev a obiectivelor de
referință / la nivelul unui
item. – lucrare anunțat ă;
– grad mare de obiectivitate
– verificare rapidă;
– se folosesc diferite tipuri de itemi:
obiectivi, semiobiectivi și subiectivi.

d)
Verificarea prin
probe practice Verificarea deprinderilor
practice. – verificarea competențelor acționale;
– realizarea unor aplicații practice la
teoria studiată.

 Metode complementare de evaluare : reprezintă instrumente suplimentare
nestandardizate de evaluare. Ele se caracterizează prin:
 capacitatea de a transforma relația profesor -elev, introducând un climat de
parteneriat și colaborare;
 posibilitatea transformării procesului de evaluare prin înlocuirea tendinței de a

111
corecta și sancționa prin aceea de a soluționa erorile semnalate;
 posibilitatea de a deprinde elevul cu mecanismele de autocorectare și autonotare
necesare și în procesul de integrare socială;
 utilizarea mai amplă a tehnicilor și metodelor didactice;
 caracterul sumativ al evaluării, realizat prin evaluarea cunoștințelor,
capacităților și atitudinilor pe o perioadă mai lungă de timp și dintr -o arie mai
largă;
 caracterul formativ, realizat prin valorificarea atitudinii elevului în raport cu
propria sa evaluare;
 capacitatea de a realiza o evaluare individualizată;
 capacita tea de a educa spiritul de echipă prin activități de grup;
 caracterul profund integrator realizat prin interdisciplinaritate, educare și
instruire multilaterală.
Dintre m etodele complementare de evaluare care se utilize ază în învățământul
primar putem aminti:
Observarea sistematică a activității și a comportamentului elevilor la clasă
furnizează profesorului informații relevante asupra performanțelor elevilor, din perspectiva
capacității lor de acțiune și relaționare, a competențelor și abilităților de care dispun aceștia.
În mod practic profesorul are la dispoziție trei modalități de înregistrare a acestor
informații:
o Fișa de evaluare ;
o Scara de clasificare ;
o Lista de control / verificare .
Fișa de evaluare se completează de către profesor, în ea înregistrându -se:
– date factuale despre evenimentele cele mai importante pe care profesorul le identifică în
comportamentul sau modul de acțiune al elevilor săi, precum și
– interpretările profesorului asupra celor întâmplate.
Avantaje: nu depinde de capacitatea de comunicare profesor -elev.
Dezavantaje: consum de timp, de aceea N. Grounlund reco mandă elaborarea fișelor
de evaluare numai în cazul elevilor cu probleme, care au nevoie de sprijin și îndrumare.

112
Scara de clasificare însumează un set de caracteristici (comportamente) care
trebuie evaluate conform cu o anumită scară numerică, graf ică sau descriptivă.
 Exemplu:
Caracteristica Niciodată Ocazional Frecvent Întotdeauna
În ce măsură elevul participă la
activitățile practice.
În ce măsură elevul urmărește
indicațiile profesorului.
În ce măsură elevul
definitivează sarcinile de lucru
primite la clasă.

Lista de control / verificare este asemănătoare cu scara de clasificare ca manieră de
structurare întrucât însumează un set de caracteristici, care trebuie evaluate; deosebirea
constând în faptul că prin intermediul ei se constată prezența sau absența caracteristicilor.
 Exemplu:
Caracteristica Da Nu
A urmat instrucțiunile?
A solicitat ajutor atunci când a avut nevoie?
A colaborat cu ceilalți colegi?
A manifestat interes față de activitățile desfășurate?
A finalizat activitățile?

Portofoliul reprezintă o metodă complexă de evaluare care urmărește progresul
realizat de elev la o anumită disciplină, dar și atitudinea acestuia față de această disciplină,
pe o perioadă mai lung ă de timp. Portofoliul reprezintă o colecție de documente, materiale
și alte realizări ale elevilor (lucrări de control, teme de casă, referate, rezolvări de probleme,
etc.) care oferă informații concludente privind evoluția elevului în timp. Profesorul
intervine în alcătuirea portofoliului prin evaluarea pe parcurs a materialelor componente
ale acestuia, ocazie cu care se face și o argumentare formativă.
Organizarea activităților de realizare a portofoliilor presupune din partea

113
profesorului:
 Comunicarea către elevi a intenției de a realiza un portofoliu;
 Alegerea pieselor componente ale portofoliului, dând și elevului posibilitatea de a
adăuga piese pe care le consideră relevante pentru activitatea sa;
 Evaluarea separată a fiecărei piese în momentul realizării ei, dar va asigura și niște
criterii pe baza cărora să se facă evaluarea finală a portofoliului;
 Punerea în evidență a evoluției elevilor;
 Integrarea rezultatului evaluării portofoliului în sistemul general de notare.
Investigația ca metodă comp lementară de evaluare și învățare oferă posibilitatea
elevului de a aplica în mod creativ cunoștințele însu șite în situații noi și variate, pe
parcursul unei ore sau a unei succesiuni de ore de curs.
Investigația implică pe de o parte rezolvarea unor pro bleme întâl nite în cotidian sau
în alte domenii ale disciplinelor școlare și, pe de altă parte, explorarea unor concepte
necunoscute utilizând metode, tehnici, concepte cunoscute.
Etapele investigației propuse în National Standards for Science Education, 1996
sunt:
 observare și formulare de întrebări;
 examinarea surselor de informare;
 proiectarea investigației;
 colectarea, analiza și interpretarea informațiilor;
 propunerea răspunsurilor și a explicațiilor;
 comunicarea rezultatelor.
Investigația valorifică metoda de învățare prin descoperire, ea fiind organizată ca
muncă independentă depusă de elevi, dirijată și sprijinită de profesor în timpul activității
didactice. Organizarea activităților de investigație presupune din partea profesorului:
 formularea g enerală a temei;
 asigurarea surselor bibliografice și tehnice necesare;
 formularea unor indicații de direcționare a activității elevilor;
 urmărirea activității elevului în sensul utilizării eficiente și creatoare a materialului
de investigat;

114
 sprijinirea e levilor care întâmpină dificultăți în înțelegerea temei sau a materialului
de investigat;
 încurajarea și evidențierea activităților creatoare a elevilor, a descoperirilor
neașteptate.

Referatul și proiectul

Proiectul reprezintă o activitate de evaluare mai amplă decât in vestigația. Uneori
este greu de diseminat între rolul său de instrument de evaluare și cel de instrument de
învățare. Proiectul începe la clasă, se continuă acasă pe parcursul unui interval de timp de
câteva zile, săp tămâni sau chiar un an școlar, timp în care elevul are consultări cu
profesorul, și se încheie tot la clasă prin prezentarea produsului realizat în fața colegilor.
Referatul este o variantă a proiectului care necesită un timp mai scurt de realizare
și/sau studiul unei cantități mai mici de material bibliografic.
Etapele realizării proiectului pot fi:
 angajarea în activitate: presupune stabilirea grupurilor de lucru, a titlurilor;
 stabilirea obiectivelor: presupune alegerea conținutului, a formei și a modalităților
de prezentare a proiectului;
 împărțirea sarcinilor în cadrul grupului (dacă proiectul se rea lizează în grup);
 cercetare, creație, investigație: presupune studiul bibliografiei;
 procesarea materialului: presupune realizarea unei forme inter mediare a
proiectului;
 realizarea formei finale;
 prezentarea proiectului se face în fața clasei;
 feedback -ul se obține de la colegi, profesor și prin autoevaluare.
Metoda proiectului valorifică metoda de învățare prin descoperire, ea fiind org anizată
ca muncă independentă depusă de elevi în afara școlii, dirijată și sprijinită de profesor în
timpul unor activități didactice special concepute în acest scop.
Organizarea activităților de realizare a proiectelor (Managementul de
proiect) presu pune din partea profesorului:

115
 stabilirea titlului: profesorul poate decide tema proiectului sau îi poate lăsa pe elevi
să o facă. În acest al doilea caz este bine să se dea elevilor o listă de teme, pentru
fiecare temă fiind indicată o scurtă descriere a s arcinii de lucru și o bibliografie
minimală. Tot în această etapă profesorul prezintă elevilor expectanțele sale cu
privire la modul de prezentare al proiectului și la aspectele care vor fi evaluate.
 stabilirea grupelor de lucru: se va face de către profes or după consultarea prealabilă
a elevilor;
 stabilirea timpului: profesorul trebuie să proiecteze atât timpul acordat elevilor
pentru realizarea proiectului cât și timpul alocat la clasă pentru discuții pe baza
proiectului;
 stabilirea obiectivelor: ele pot fi de două feluri cognitive sau sociale. Tot în această
etapă fiecare grup în parte va alege conți nutul, forma și modalitatea de prezentare
a proiectului;
 ghidarea activității: presupune îndrumarea elevilor cu privire la rolul și la sarcinile
de lucru ale fiecăruia în cadrul grupului, indi cații la părțile pe care elevii nu știu să
le abordeze, recoman darea unei bibliografii suplimentare. Aceste activități vor fi
realizate în timpul unor activități didactice special concepute în acest scop.
 evaluarea acti vității: profesorul decide criteriile după care vor fi eva luați elevii.
Acestea vor fi comunicate încă din faza de dema rare a proiectului. Dintre
componentele care vor fi evaluate amintim: corectitudinea și modul de organizare
al conținuturilor, aspectul estetic, cantitatea de muncă depusă, capacitatea de lucru
în grup, creativitatea, originalitatea, modul de prezentare.
Ca format/mod de prezentare al proiectelor putem aminti:
 Utilizarea video -proiectorului (mai rar în învățământul primar);
 Posterul;
 Document scris de mână sau tehnoredactat.

Autoevaluarea ca metodă de evaluare, permite aprecierea propriilor performanțe în
raport cu obiectivele propuse. În procesul autoevaluării, elevul înțelege mai bine conținutul
sarcinii ce o are de rezolvat, căile pri n care găsește soluțiile concrete și modul în care efortul
său de rezolvare este valorificat. O primă etapă în realizarea autoevaluării o constituie

116
autonotarea, notarea reciprocă și, foarte rar în învățământul primar, grilele de autoevaluare.

Activitate practică. Proiectați o activitate bazatǎ pe metoda proiectului cu titlul:
Metrul, multiplii și submultiplii acestuia .

1.4. Tipuri de itemi

Prin item vom înțelege orice întrebare sau element din structura unui test. Din punct
de vedere al obiectivității în notare, itemii se clasifică în:
 Itemi obiectivi (cu răspuns închis);
 Itemi semiobiectivi ;
 Itemi subiectivi (cu răspuns deschis).
Pentru elaborare a probelor scrise se recomandă următoarele:
– itemii să aibă diferite grade de dificultate;
– formularea lor să fie cât mai variată (itemi obiectivi, semiobiectivi și subiectivi);
– să se adreseze, dacă este posibil, tuturor registrelor de lucru ale elevilor
(acțional, figural, simbolic).

Itemii obiectivi asigură un grad ridicat de obiectivitate în măsurarea rezultatelor școlare și
testează un număr mare de elemente de conținut într -un interval de timp scurt. Răspunsul
așteptat este bine determinat ca și modalitatea de notare a acestuia.
În această categor ie vom include:
o Itemii cu alegere duală solicită identificarea răspunsului din două alternative
posibile: Adevărat / Fals, Corect / Greșit, Da / Nu, etc.
o Itemii cu alegere multiplă solicită alegerea unui răspuns dintr -o listă de variante
oferite .
o Itemii de tip pereche solicită stabilirea unor corespondențe între informațiile
distribuite pe două coloane. Criteriul pe baza căruia se stabilește răspunsul corect

117
este enunțat în instrucțiunile care preced cele două coloane. Tot în enunț se
precizează tipul asocierilor (injective, surjective, bijective).

Itemii semiobiectivi permit ca răspunsul așteptat să nu fie întotdeauna unic determinat,
modalitatea de corectare și notare introducând uneori mici diferențe de la un corector la
altul.
În această c ategorie vom include:
o Itemii cu răspuns scurt de completare solicită ca elevul să formuleze un răspuns
scurt sau să completeze o afirmație astfel încât aceasta să capete sens sau să aibă
valoare de adevăr. În această categorie avem:
– elaborarea unui răspuns scurt: definiție, proprietate, rezultatul unui calcul;
– completarea unei afirmații ce are lipsuri;
– identificarea unei erori și corectarea ei;
– modificarea unei rezolvări, etc. pentru a respecta o cerință dată;
– aranjarea unor elemente într -o succesiune logic ă pentru a îndeplini o anumită
cerință;
– completare de rebusuri;
– completări grafice.
o Întrebările structurate sunt formate dintr -un enunț pentru care sunt formulate mai
multe subîntrebări puse de obicei într -o ordine crescătoare a dificultății.

Itemii subiectivi (cu răspuns deschis) solicită elaborarea unui răspuns amplu, permițând
valorificarea capacităților creative ale elevilor, originalitatea și caracterul personal al
răspunsului. Aceștia sunt ușor de construit, însă problema o constituie modul de e laborare
a schemei de notare pentru a se putea obține uniformitate și unitate la nivelul corectării. În
această categorie vom include în principal rezolvările de probleme . Ele reprezintă o
activitate specifică și foarte des utilizată la matematică, datorit ă caracterului aplicativ al
acestei discipline.

118

 Tema 3 . Realizați o probă de evaluare sumativǎ având minim 7 itemi de tipuri
diferite cu rezolvarea integrală și baremul de evaluare și notare .

 Sumar
În acest modul este prezentată problematica evaluării punându -se accent asupra tendințelor
actuale în acest domeniu.

 Sarcini și teme ce vor fi notate
Sarcinile de lucru pentru acest modul (tema 3) fac parte integrantă din realizarea
portofoliului. Întrebările și activitățile practice au rolul de a orienta atenția cititorului spre
cele mai importante aspecte teoretice. Ca urmare nu vor fi date teme care să fie notate
separat ci doar în contextul realizării portofoliului .

 Bibliografie modul
Ionescu, M., Bocoș, M. (coord.) (2009), Tratat de didactică modernă , Ed. Paralela 45
Magdaș, I., (2014), Didactica matematicii în învățământul primar și preșcolar – actualitate
și perspective , ediția a II -a, Editura Presa Uni versitară Clujeană, Cluj -Napoca
MEC, SNEE (2001), Ghid de evaluare pe discipline Ed itura Aramis, București

119
Modul 5. ELEMENTE DE PROIECTARE DIDACTICĂ LA
MATEMATICĂ

 Timp de studiu: 4 ore
 Scopul și obiectivele
Acest modul își propune familiarizarea cursanților cu aspectele privind proiectarea
didactică la matematică . Pe parcursul modulului cursanții vor fi capabili:
O5.1.să formuleze obiective concrete de conținut, utilizând modelul lui Mager de
operaționalizare a obiectivelor;
O5.2. să realizeze planificări calendaristice;
O5.3 . să realizeze proiecte ale unităților de în vățare și/sau a unităților tematice;
O5.4 . să realizeze proiecte de activități didactice la matematică pentru învățământul
preșcolar și primar;

 Scurtă recapitulare a conceptelor prezentate anterior
Planificările calendaristice, proiectele unităților de învățare și proiectele de lecție
pot fi realizate numai în condițiile în care cursantul stăpânește și are o imagine de ansamblu
a tuturor conținuturilor anterioare. Ca urmare, pentru ca aceste documen te să poată fi
realizate întrun mod optim este necesară revizuirea următoarelor:
– Structura programelor școlare pentru învățământul preșcolar și primar;
– Metode specifice de predare a conținuturilor noționale matematice;
– Strategia didactică (mijloace, metode și forme de organizare a activităților)
– Elemente de evaluare didactică la matematică.

 Schema logică a modului
Paragrafele vor fi parcurse liniar în ordinea în care sunt scrise. Noțiunile esențiale ale
modulului , corelate cu cele ale modulelor anterioare, sunt prezentate în următoarea schemă ,
în care întărite apar noile noțiuni :

120

 Conținutul informațional detaliat
Conținuturi:
5.1. Formularea operațională a obiectivelor concrete
5.2. Planificarea calendaristică
5.3. Proiectarea unităților de învățare
5.4. Proiectul de lecție.

MEC

PROGRAME
ȘCOLARE

PLANIFICARE
CALENDARISTICĂ

PROIECTE ALE
UNITĂȚILOR DE
ÎNVĂȚ ARE

LECȚII

OBIECTIVELE
OPERAȚ IONALE
ALE LECȚ IILOR
PROIECTE DE
LECȚ II

121
5.1. Formularea operațională a obiectivelor concrete

Obiectivele educaționale au diferite grade de generalitate. Obiectivele generale și
cele intermediare (numite și specifice) sunt stabilite la nivel de programe școlare și se
concretizează în:
 obiective cadru și de referință , pentru grădiniță și clasele I – a VIII -a;
 competențe generale și specifice , pentru clasele a IX -a – a XII -a, liceu;
 unități de competență și competențe individuale , pentru clasele ȘAM.
La nivel activităților didactice, profesorul își stabilește propriile obiective concrete.
Ele sunt derivate di n obiectivele intermediare și sunt predominant cognitive.
 Obiectivele concrete descriu rezultate cu caracter concret, fiind formulate pentru
conținutul unei unități tematice.
Considerând că obiectivele concrete descriu ceea ce urmează să știe sau să facă
elevul, respectiv performanța sau competența pe care el trebuie să o dovedească, pe
parcursul sau la finele unei unități tematice (lecții), ele sunt corect definite dacă au
următoarele caracteristici:
– pertinență : rezultatul scontat este conform cu obiectivu l de referință din care este
derivat;
– univocitate : formularea sa nu conține ambiguități;
– este realizabil : elevul posedă toate cunoștințele și capacitățile necesare îndeplinirii
sarcinii ce va conduce la dobândirea competenței scontate;
– este verificabil : dobândirea competenței scontate poate fi verificată cantitativ
(măsurată) și calitativ (observată).
 Operaționalizarea obiectivelor reprezintă operația de transpunere a scopurilor
procesului de învățământ în obiective intermediare și a acestora în obiective concrete.
Acest lucru se realizează prin precizarea unor comportamente cognitive și / sau
psihomotorii observabile și, dacă este p osibil, măsurabile, cu ajutorul verbelor de
acțiune.
Obiectivele operaționale în sfera matematicii pot fi subdivizate în:
 Obiective de învățare, care se referă la date, fapte, reguli și principii care se cer
cunoscute;

122
 Obiective de transfer, care se refer ă la capacitatea subiecților de a utiliza cunoștințele
asimilate în alte situații, fie similare, fie noi;
 Obiective de exprimare, care se referă la capacitățile de comunicare și generalizare,
precum și la posibilitățile de creație ale elevului.
În practica instruirii la matematică, modelul de operaționalizare a obiectivelor care
și-a dovedit utilitatea și eficiența a fost oferit de R. F. Mager și el presupune:
a) Descrierea (denumirea) comportamentului observabil , respectiv precizarea conduitei,
a performanțelor elevului cu ajutorul așa numitelor verbe -acțiuni, evitând verbele cu
spectru larg de genul: a cunoaște, a ști, a asimila, a se familiariza cu…, a -și însuși .
În funcție de complexitatea comportamentului solicitat, obiectivele cognitive
acționează pe diferite nivele taxonomice (după B. J. Bloom, 1950), prezentate în tabelul de
mai jos:
Nivelul taxonomic / Competențe vizate Verbe -acțiuni utilizate în atingerea performanței
1. Cunoașterea
Elevul recunoaște, redă cunoștința
(informația, metod a, faptul) sub aceeași formă
și în același context cognitiv. A recunoaște, a reda, a prezenta, a defini, a preciza,
a indica, a enumera, a aminti, a descrie, a denumi, a
enunța, a scrie, a identifica.
2.Comprehensiunea / înțelegerea
Elevul prezintă cunoș tința sub o formă
diferită, dar în același context cognitiv. A transforma, a modifica, a schimba, a redefini, a
ilustra, a reorganiza, a interpreta, a explica, a
demonstra, a distinge, a estima, a determina, a
completa, a prevedea, a stabili.
3. Aplicarea
Elevul transferă și aplică cunoștințele (sub
aceeași formă sau transformate) în alt context
cognitiv. A folosi, a aplica, a stabili legături, a utiliza, a
organiza, a transfera, a restructura, a clasifica, a
rezolva, a desena, a generaliza, a completa, a scrie.
4. Analiza
Elevul analizează situația / problema în
vederea soluționării (căutând elemente, relații,
principii de organizare)
Obs. Etapa de analiză a problemei este de
obicei urmată de rezolvare, etapă care A analiza, a dis tinge, a detecta, a categorisi, a
compara, a deduce, a selecta, a descompune, a
identifica, a stabili.

123
corespunde aplicării.
5. Sinteza
Elevul prelucrează elementele de conținut, le
condensează și sintetizează, le încadrează
într-un sistem. A elabora, a sintetiza, a prelucra, a condensa, a
încadra, a dezvolta, a combina, a modifica, a
organiza, a proiecta, a crea, a clasifica, a realiza.
6. Evaluarea
Elevul evaluează situația, emite judecăți de
valoare, ia decizii, le argumentează, stabilește
concluzii. A judeca, a argumenta, a evalua, a decide, a
concluziona, a valida, a estima.

b) Specificarea (descrierea) condițiilor în care trebuie să se manifeste comportamentul
respectiv vizează atât procesul învățării realizat pentru atingerea obiectivelor
operaționale stabilite, cât și modalitățile de verificare și evaluare a performanțelor.
Pentru aceasta se folosesc deseori sintagmele: cu ajutorul… , pe baza…, utilizând…,
folosin d…, având la dispoziție…, având acces la…, etc.
c) Stabilirea criteriilor de reușită, a unei performanțe acceptabile se referă la absența sau
prezența unei capacități sau trăsături, număr minim de răspunsuri corecte, numărul de
încercări admise, erori acceptabile. Această etapă nu este absolut obligatorie.
 Exemple de obiective operaționale:
La sfârșitul orei elevul să f ie capabil să adune două numere naturale mai mici decât
1000, pe baza explicațiilor profesorului și prin analogie cu adunarea numerelor mai mici
decât 100. Se observă că au fost respectate toate cele 3 condiții:
1. Descrierea performanțelor elevului este: elevul să fie capabil să adune două numere
naturale mai mici decât 1000;
2. Descrierea condițiilor de manifestare a performanței sunt: pe baza explicațiilor
profesorului;
3. Stabilirea criteriilor de reușită: prin analogie cu adunarea numerelor mai mici d ecât
100.

124

Activitate practică. Pentru o unitate de ȋnvățare (tematică) formulați obiective
operaționale pentru fiecare nivel taxonomic.

5.2. Planificarea calendaristică

Planificarea calendaristică orientativă este un document administrativ, realizat de
profesor la ȋnceputul semestrului/anului școlar , care asociază, într -un mod personalizat,
elemente ale programei cu alocarea de timp considerată optimă de către profesor, pe
parcursul unui an școlar. În elaborarea planificărilor calendaristice se recom andă
parcurgerea următoarelor etape:
1. Realizarea asocierilor dintre obiectivele de referință / competențe specifice și
conținuturi;
2. Împărțirea în unități de învățare. O unitate de învățare reprezintă o structură
didactică, deschisă și flexibilă, care are următoarele caracteristici:
– este coerentă ȋn raport cu competențele specifice;
– este unitară din punct de vedere tematic;
– se desfășoară continuu și sistematic pe o perioadă de timp;
– operează prin intermediul unor modele de ȋnvățare –predare;
– subordonează l ecția ca element operațional;
– se finalizează prin evaluare sumativă .
3. Stabilirea succesiunii de parcurgere a unităților de învățare;
4. Alocarea timpului considerat necesar pentru fiecare unitate de învățare, în
concordanță cu competențele specifice / obiectiv e de referință și conținuturile
vizate.
Planificările calendaristice pot avea următoarea rubricatură:

125

Școala………………………………………………………………………………………. .. .
Profesor:………………………………………………………………………………………
Clasa…………………………/ Specializarea……………………………………
Disciplina…………………………………………………………………………………….
Nr. ore pe săpt…………/ Anul școlar…………………………………………………
Planificare calendaristică (orientativă)
Nr.
crt. Unități de
învățare /
tematice Obiective de
referință /
Competențe
specifice Conținu –
turi vizate Nr. de
ore
alocate Săptămâna Observații
-1- -2- -3- -4- -5- -6- -7-
Repere privind completarea tabelului:
– la -2- se trec titlurile unităților de învățare stabilite de profesor;
– la -3- se trec numerele de ordine ale obiectivelor de referință, așa cum apar în
programa școlară;
– la -4- se vor trece conținuturile din programa școlară;
– la -5- profesorul va stabili numărul de ore alocat unității de învățare, în funcție de
nivelul clasei;
– la -6- se va scrie săptămâna / săptămânile în care se va studia unitatea de învățare;
– la -7- se vor trece modificările legate de aplicarea efectivă la clasă, cuprinsul
planificării fiind orientativ.
Observație: Planificarea calen daristică trebuie să acopere programa școlară integral la
nivel de obiective de referință și conținuturi.

Activitate practică. Realizați o planificare calendaristicǎ la matematicǎ

126
5.3. Proiectarea unităților de învățare

Elementul generator al planificării calendaristice este unitatea de învățare. În
paragraful anterior am prezentat caracteristicile acesteia. Unitățile de ȋnvățare se
diferențiază prin temă. Tema unității de ȋnvățăre poate fi enunțață prin titlu (ȋn termeni de
conținut sau ȋn ter meni de met a-conținut, cu accent pe abordări interdisciplinare) sau ca
scop ( ȋn termeni de obiectiv).
 Exemple (după MEN, 2014) : Titluri de unitate de ȋnvățare enunțate:
– ȋn termeni de conținut: Efecte observabile ale forțelor
– ȋn termeni de context de ȋnvă țare: Ne jucăm cu mașinuțele
– ca scop: Formularea observațiilor asupra mediului apropiat

Înainte de elaborarea proiectului unității de învățare se recomandă parcurgerea
următoarelor întrebări, al căror răspuns reprezintă etape în realizarea proiectului unității de
învățare:
 În ce scop voi face?: Identificarea competențelor →→→→→→
 Ce voi face?: Selectarea conținuturilor →→→→→→→→→→
 Cu ce voi face?: Analiza resurselor →→→→→→→→→→→
 Cum voi face?: Determinarea activităților de învățare →→→→
 Cât am realizat?: Stabilirea instrumentelor de evaluare →→→ PROIECTUL

UNITĂȚII DE

ÎNVĂȚARE

Proiectul unității de învățare poate fi întocmit în următoarea rubricatură:
Școala………………………………………………………………………………… . .
Profesor:……………………………………………………………………………..
Clasa………. ………………../ Specializarea……………………………………
Disciplina…………………………………………………………………………….
Nr. ore pe săpt…………/ Anul școlar………………………………… ………

Unitatea de învățare………………………………………………………………
Nr. de ore alocate………………..

127
Conținuturi
(detalieri) Obiective
de
referință/
Competențe
specifice Activități de
învățare Resurse Evaluare
-1- -2- -3- -4- -5-

Repere privind completarea tabelului:
– la -1- se trec detalieri de conținut (care includ conținuturile din programă) necesare
în explicitarea anumitor parcursuri, respectiv în cuplarea lor la baza proprie de cunoaștere
a elevilor;
– la -2- se trec numerele de ordine ale obiectivelor de referință așa cum apar în
programa școlară;
– la -3- se trec activitățile de învățare care pot fi cele din programa școlară,
completate, modificate sau chiar înlocuite cu altele, pe care profesorul le co nsideră
adecvate pentru atingerea obiectivelor propuse;
– la -4- se vor trece specificări de loc, timp, forme de organizare a clasei, materialul
didactic folosit, etc.;
– la -5- profesorul va menționa instrumentele / modalitățile de evaluare, autoevaluare
aplicate la clasă.
Observație: Ultimul conținut al unității de învățare trebuie să fie o probă de evaluare
sumativă.

Activitate practică. Realizați proiectul unei unitǎți de învǎțare la matematicǎ.

128
5.4. Proiectul de lecție

„Lecția este o unitate didactică fundamentală, o formă a procesului instructiv –
educativ, prin intermediul căreia o cantitate de informații este percepută și asimilată activ
de către elevi, într -un timp determinat, pe calea unei activități intenționate, sistemat ice, cu
autoreglare, provocând în sfera biopsihică a acestora o modificare în sensul formării
dorite… lecția apare ca un program didactic, respectiv, un sistem de cunoștințe, obiective
operaționale, procedee de lucru în stare să activizeze elevii” ( Ionescu , M., Bocoș, M.,
2009) .
Ca urmare, lecția este rezultanta asamblării mai multor componente și a relațiilor
dintre acestea. Componentele specifice oricărei lecții sunt:
 Resursele umane : profesorul și elevii;
 Resursele materiale : mijloacele de învățământ și spațiul de instruire;
 Resursele temporale (ora);
 Resursele ideatice / informaționale (conținutul lecției);
 Resursele procedurale (metode și proceduri didactice de predare -învățare –
evaluare).
În cele ce urmează vom trece în revistă toate aceste aspecte.
1) Tipuri și variante de lecții
Tipul de lecție este un anumit mod de organizare și desfășurare a activității
didactice, funcție de obiectivul fundamental al acesteia. Acestea sunt:
o Lecția de transmitere și dobândire de noi cunoștințe : se caracterizează prin faptul
că, preponderent, la lecție sunt noile cunoștințe care vor fi dobândite de către elevi
prin transmiterea cunoștințelor de către profesor;
o Lecția de dobândire de noi cunoștințe : se caracterizează prin faptul că,
preponderent, la lecție sunt noil e cunoștințe care vor fi dobândite de către elevi într –
un mod activ;
o Lecția de fixare și formare de priceperi și deprinderi : vizează dobândirea unor
procedee de muncă intelectuală, exersarea unor formule sau algoritmi, aplicarea
practică a cunoștințelor;
o Lecția de verificare și apreciere a rezultatelor școlare : vizează, în principal,

129
evaluarea elevilor, în ce măsură elevii și profesorul au realizat obiectivele propuse
și ce ar trebui să întreprindă în viitor în aceste scop;
o Lecția de recapitulare și sistema tizare : vizează actualizarea cunoștințelor și
ordonarea lor într -un sistem de cunoștințe. Se realizează la începutul anului școlar,
la finele unităților de învățare și la sfârșitul anului școlar;
o Lecția mixtă : se caracterizează prin faptul că include activ ități corespunzătoare mai
multor obiective didactice fundamentale: dobândire de noi cunoștințe, formare și
fixare de priceperi și deprinderi, verificare și evaluare, recapitulare și sistematizare.
2) Evenimentele lecției
R. Gagné (1975) a identificat zece etape / secvențe / evenimente ale unei lecții.
Acestea sunt:
Captarea atenției constă într -o focalizare permanentă a atenției elevilor către activitatea
desfășurată la clasă. Acest eveniment se poate realiza pe tot parcursul lecției prin diferite
metode:
a. verbal: profesorul schimbă tonul vocii, folosește exclamația, intervine cu scurte
povestioare (istorice, de exemplu);
b. scris: profesorul evidențiază prin sublinieri, cretă colorată conținuturile esențiale
ale lecției;
c. schimbarea formei de organizare a activi tății didactice etc.
Enunțarea obiectivelor (sau Informarea elevilor asupra obiectivelor urmărite ) se referă
la informarea elevului cu privire la rezultatele / noile cunoștințe pe care le va avea elevul
la sfârșitul lecției. Enunțul obiectivelor se face în tr-un limbaj accesibil elevilor și este
obligatoriu, însă momentul în care se face aceasta depinde în mare măsură de strategia
aleasă de profesor. Dacă obiectivele sunt enunțate în partea a doua a lecției, este obligatoriu
ca în ora următoare să se facă fi xarea cunoștințelor prin reluarea cunoștințelor teoretice și
abia apoi se trece la rezolvări de probleme. Acest eveniment este în concordanță cu
principiul învățării conștiente și active și se face prin:
– scrierea titlului pe tablă;
– punerea în evidență a p aragrafelor etc.
Reactualizarea cunoștințelor însușite anterior se declanșează firesc în momentul în
care pentru a prezenta un nou conținut sau a rezolva probleme etc. ne folosim de cunoștințe

130
învățate anterior.
Prezentarea materialului nou / sarcinilor de învățare constă în prezentarea sarcinilor
de învățare, a conținutului nou. Acest eveniment se realizează prin:
– prezentarea definiției, a proprietății, a metodei;
– enunțul exercițiilor și problemelor.
Acest eveniment este întotdeauna urmat de dirijarea învă țării, până la obținerea
performanței.
Dirijarea învățării se realizează după punerea elevului în situația „de învățare” prin
întrebări care canalizează gândirea elevului spre descoperirea de noțiuni, proprietăți,
rezolvarea problemelor, etc.
Asigurarea conexiunii inverse (feedback -ului) se referă la confirmarea pe care o are
elevul și profesorul cu privire la însușirea corectă a informației (definiție, metodă,
proprietăți). Acest eveniment se realizează în momentul în care profesorul confirmă sau nu
corectitudinea raționamentului pe care îl face elevul pentru rezolvarea unei sarcini de lucru.
Feedback -ul este evenimentul care conduce la reglarea comportamentelor profesorului și
elevilor astfel: profesorul decide dacă poate trece la următoarea secvență de lecție sau
rămâne la același tip de sarcini de lucru până se asigură corectitudinea răspunsului, iar
elevul conștientizează care este gradul de stăpânire al cunoștințelor.
Asigurarea reținerii se realizează printr -un volum mai mare de exerciții, care sun t
aplicații imediate la noțiunea, metoda, proprietatea învățate. Scopul este interiorizarea
cunoștințelor dobândite astfel încât acestea să poată fi folosite în învățarea ulterioară. Acest
eveniment se poate realiza și prin tema de casă.
Obținerea de perfo rmanță este evenimentul care constă în activitatea pe care o
desfășoară elevul pentru a obține performanțele așteptate. Acest eveniment se realizează
prin activitate realizată de către elev, intervențiile profesorului fiind minimale. El este
urmat de asigu rarea conexiunii inverse și de evaluarea / autoevaluarea performanțelor.
Asigurarea transferului este evenimentul care constă în transferul cunoștințelor
dobândite anterior la situații noi de învățare. Acest eveniment se realizează după ce s -a
făcut asigur area reținerii.
Evaluarea / autoevaluarea performanțelor este evenimentul prin care se apreciază
performanțele elevilor.

131
3) Algoritmul proiectării didactice
Proiectarea lecției reprezintă un act de gândire anticipativă asupra demersului didactic,
fiind o pro iectare la nivel „micro” a instruirii. În proiectarea lecției se pornește de la
conținutul fixat prin programele școlare și calitatea ei depinde în mare măsură de:calitatea
planificării calendaristice, calitatea planificării unităților de învățare, calitat ea manualelor
școlare și a surselor bibliografice folosite pentru proiectarea lecției.
Algoritmul proiectării didactice la nivel micro pornește de la trei întrebări cheie:
 Ce voi face?
 Cât voi face?
 Cum voi face?
și include următoarele acțiuni metodico -pedagogice, validate în teoria și practica
instruirii:
 Activitatea preliminarǎ realizǎrii proiectului de lecție constǎ în stabilirea locului lecției
în unitatea de învățare. Ȋn aceastǎ etapă profesorul stabilește:
– Titlul lecției,
– Tipul lecției,
– Obiectivele cadru și de referință respectiv competențele generale și specifice
corespunzătoare lecției. Ele se scot din programa școlară sau din proiectul unității
de învățare din care face parte lecția respectivă.
 Pentru elaborarea proiectului de lecție s e vor parcurge urmǎtoarele etape (vezi figura):
1. Selectarea conținuturilor științifice se face analizând resursele: clasa, nivelul de
cunoștințe al elevilor, abilitățile intelectuale și practice de care dispun aceștia,
precum și resursele materiale de care dispune profesorul: manuale, laborator, etc.
Ȋn aceastǎ etapǎ se poate deja realiza un prim crochiu al lecției ce constă în
realizarea unei schițe a lecției care poate lua forma unui graf al conceptelor sau a
unei diagrame de desfășurare a activităților, punându -se în evidență numai
conținuturile esențiale.
2. Formularea obiectivelor operaționale în formǎ brutǎ prin descrierea
performanțelor elevilor în concordanțǎ cu conținuturile selectate;
3. Structurarea logică a conținuturilor , care poate fi: inductivă, ded uctivă sau prin
analogie;

132
4. Elaborarea s trategiilor, a procedeelor didactice didactice precum și prefigurarea
strategiilor de evaluare care trebuie să fie adaptate la obiective și conținuturi;
5. Formularea obiectivelor operaționale în forma lor finalǎ prin com pletarea cu
condițiile de manifestare a performanței și a criteriilor de reușitǎ;
6. Elaborarea proiectului de lecție . Ȋn aceastǎ etapǎ se stabilește structura procesualǎ
a activității didactice ce vizează eșalonarea în timp în scopul evitării erorilor, a
riscurilor, a timpilor morți, a neîncadrării în timp , a evenimentelor nedorite etc.

Elaborarea proiectelor de lecție nu trebuie privită ca o activitate formală, ci, în limitele
unei anumite rigori, ea trebuie să încurajeze creativitatea didactică a profesorului.
Proiectul de lecție este un instrument de lucru operațional și un ghid pentru profesor care
trebuie să aibă următoarele caracteristici:
– să ofere o perspectivă globală și completă asupra lecției;
– să aibă un caracter realist;
– să fie simplu și operațional; PROIECTUL
DE LECȚIE OBIECTIVE OPERAȚIONALE
STRATEGII ȘI
EVALUARE CONȚINUTURI
a.Descrierea performanței elevilor
b.Condiții de manifestare a performanței
c.Criterii de reușitǎ
structurare logicǎ selectare metode
mijloace
forme de organizare CE ?
CUM ?
CÂT ?

133
– să fie flexibil ;
– să faciliteze realizarea obiectivelor operaționale.
În practica educațională, nu se lucrează cu o structură unică a proiectelor didactice,
dimpotrivă se concep pr oiecte având diferite structuri. În anexe propunem câteva astfel de
modele.

 Sumar
În acest modul este prezentată problematica proiectării didactice punându -se accent asupra
tendințelor actuale în acest domeniu.

 Sarcini și teme ce vor fi notate
Sarcinile de lucru pentru acest modul (tema 4) sunt formulate explicit, ele fac parte
integrantă din realizarea portofoliului. Întrebările și activitățile practice au rolul de a orienta
atenția cititorului spre cele mai importante aspecte teoretice. Ca urm are nu vor fi date teme
care să fie notate separat ci doar în contextul realizării portofoliului . Conținuturile acestui
modul vor fi verificate la examen.

 Bibliografie modul
Ionescu, M., Bocoș, M. (coord.) (2009), Tratat de didactică modernă , Ed. Paralel a 45
Magdaș, I. (2014), Didactica matematicii în învățământul primar și preșcolar – actualitate
și perspective , ediția a II -a, Editura Presa Universitară Clujeană, Cluj -Napoca
MEC (2001 ), Ghid metodologic pentru aplicarea programelor de matematicǎ, București

 Tema 4 . Realizați un proiect de lecție de transmitere și asimilare de noi cunoștințe

134

 Modele de subiect pentru examenul scris:

Model 1

I. ( 5x 0,40 pt.)
1. Rezultatul calculului 228 – 39 x 3 este…
2. Reprezentați grafic: 3/8 și 8/3
3. Efectuați transformările : 1250 dam = …. cm = ….. km
4. Desenați un romb și dați definiția acestuia
5. Aflați necunoscuta x din egalitatea:
3 32]9:)511(3[5  x

II. ( 2x 1,50 pt.) Dezvoltați următoarele teme:
1. Aspecte metodice privind adunarea numerelor naturale în intervalul 0 -31.
2. Realizați un joc matematic prin care elevii să exerseze adunarea numerelor în
intervalul 0 -31.

III. (2x 1 pt.)
1. Compuneți o problemă care se rezolvǎ prin exercițiul:
9 + 12 + 12 × 2 și apoi rezolvați -o aritmetic.
2. Rezolvați aritmetic și denumiți metoda de rezolvare:
O gospodină a cumpărat 3 kg de mere și 2 kg de pere plătind 19 lei. În altă zi
pentru 2 kg de mere și 3 kg de pere gospodina a plătit 21 lei. Cât costă un kg
din fiecare fel de fructe?

135

Model 2

I. ( 5x 0,4 pt.)
1. Rezultatul calculului ( 2036 – 784) : 2 x 13 =
2. Dacǎ descǎzutul este 177 și diferența 88, aflați scǎzǎtorul.
3. Desenați un paralelogram și dați definiția acestuia
4. Aflați 3/4 din 16 și explicați procedeul de calcul.
5. Unitatea standard pentru lungime este … ……Multiplii și submultiplii acesteia
sunt:

II. ( 2 x 1,50 pt.) Dezvoltați următoarele teme:
1. Înmulțirea numerelor naturale.
2. Metoda problematizării. Realizați o scurtă secvență de lecție în care prin
utilizarea metodei problematizării elevii să descopere proprietatea de
distributivitate a înmulțirii față de adunare . Exemplu : (4 + 5) × 7 = 4 × 7 + 5 ×
7
III. (2 x 1 pt.) Rezolvați aritmetic, denumiți metoda de rezolvare:
1. În 10 sticle încap 26 l de vin. Știind că sticlele au capacitățile de 2 l și respectiv 5
l, aflați câte sticle sunt de fiecare fel?
2. Ȋntr -un parc sunt 1325 fire de lalele albe, galbene si roșii. Știind cǎ cele roșii sunt
de trei ori mai multe decât cele albe, iar cele albe cu 5 mai multe decât cele galbene,
aflați câte fire de lalele de fiecare fel sunt.

136

ANEXE

137
Anexa 1. Noțiuni, proprietăți și formule matematice

1. Pătrat – definiție, desen și proprietăți
2. Adunarea – terminologie; Probele adunării
3. Linie frântă, poligon, interior și exterior al unui poligon – definiție și desene
4. Distributivitatea împărțirii față de adunare la dreapta
5. Împărțirea – terminologie; Teorema împărții cu rest (proba împărțirii)
6. Triunghi – definiție și desen
7. Doime, treime, pătrime, zecime – definiție, scriere și reprezentări p rin desen
8. Unitatea de măsură standard pentru masă, multiplii și submultiplii acesteia – schemă
9. Aflarea unei fracții dintr -un întreg – formula
10. Algoritmul împărțirii numerelor naturale
11. Paralelogram – definiție, desen și proprietăți
12. Distributivitatea înmul țirii față de adunare
13. Patrulater – definiție și desen
14. Punct, dreaptă, segment, semidreaptă – definiții și desene
15. Cifrele romane – scriere și semnificație
16. Proprietățile adunării numerelor naturale
17. Procent – definiție; sutime, 25%, 50%, 75% – reprezentări pri n desen
18. Piramidă triunghiulară, piramidă pătratică – doar desene
19. Unitatea de măsură standard pentru lungime, multiplii și submultiplii acesteia -schemă
20. Algoritmul înmulțirii numerelor naturale
21. Dreptunghi – definiție, desen și proprietăți
22. Trapez – defini ție și desen
23. Distributivitatea înmulțirii față de scădere
24. Triunghi dreptunghic – definiție și desen
25. Fracție subunitară, echiunitară, supraunitară – definiții;
26. Ȋnmulțirea – terminologie; Proprietățile înmulțirii numerelor naturale
27. Linie curbă, cerc – definiție și desen
28. Drepte perpendiculare, drepte paralele – definiție și desene
29. Unitatea de măsură standard pentru volum, multiplii și submultiplii acesteia – schemă

138
30. Algoritmul adunării numerelor naturale
31. Romb – definiție, desen și proprietăți
32. Triunghi e chilateral – definiție și desen
33. Cub, Paralelipiped dreptunghic (numit și cuboid) – doar desene și formule pentru
volume
34. Distributivitatea împărțirii față de scădere la dreapta
35. Fracție – definiție, terminologie și scriere;
36. Perimetrul unui poligon – definiție; Perimetrul triunghiului, dreptunghiului, pătratului
– formule
37. Scăderea – terminologie; Probele scăderii
38. Cilindru, con, sferă – doar desene
39. Unghi; unghi ascuțit, drept și obtuz – definiție și desen
40. Algoritmul scăderii numerelor naturale

Anexa 2. Probleme p entru analiză metodică

1. Ȋn patru saci sunt 118 kg de mere. După ce s -au scos din fiecare sac aceeași cantitate de
mere în saci au rămas 20 kg, 18 kg, 28 kg și respectiv 32 kg. Câte kg de mere erau inițial
în fiecare sac?
2. Ana, Bianca și Carmen își strâng ba nii în aceeași pușculiță. Ana are 170 lei iar Bianca cu
28 lei mai puțin decât Ana. Carmen are cu 5 lei mai puțin decât jumătate din suma totală
de bani a Anei și Biancăi. Câți lei au în total cele trei fete?
3. Irina și Andrei au primit trei cutii cu bomboan e pe care doresc să le împartă în mod egal.
Ȋn prima cutie sunt 24 bomboane, în cea de a doua cu 6 mai multe decât în prima, iar în cea
de a treia tot atâtea bomboane cât diferența dintre cele două cutii. Câte bomboane va lua
fiecare copil?
4. Într-un coș sunt 53 de mere. Ana primește de două ori mai puține decât Mihai, iar
Dan cât Ana și Mihai la un loc. Câte mere a primit fiecare copil dacă la final au mai
rămas 5 mere?
5. O gospodină a cumpărat 8 kg de zahăr a 3 lei kilogramul și 2 litri de ulei a 4 lei lit rul. Ce
rest a primit de la 50 lei?

139
6. Karina și sora ei Nicole au împreună 17 de ani. Karina este cu 9 ani mai mare decât
sora ei. Peste câți ani Karina va fi de două ori mai mare decât Nicole?
7. Ȋntro clasă sunt 29 de elevi, băieți cu 3 mai mulți decât fete. Azi lipsesc de la școală
3 fete și de 2 ori mai mulți băieți decât fete. Câți elevi sunt azi la școală?
8. La un magazin de jucării s -au adus 96 de păpuși, de 6 ori mai puține mașinuțe,
jucării de pluș de 5 ori mai multe decât mașinuțe, iar cutii de Lego de 4 ori mai
puține decât jucării de pluș. Câte jucării s -au adus în total?
9. Maria are 5 ani, adică cu 3 ani mai puțin decât sora ei, Ana. Peste un an mama va
avea de patru ori vârsta Anei. Câți ani are mama?
10. Întro livadă sunt 284 de pomi fructiferi. Jumătate din numărul total sunt peri, un
sfert sunt pruni, iar restul caiși. Cu câți caiși sunt mai puțini decât peri?
11. Raluca a plantat în grădină câte 11 lalele pe fiecare dintre cele 3 rânduri, garoafe de
două ori mai multe și 5 rânduri a câte 16 trandafiri. Câte flori a plantat Raluca?
12. Mǎtușa mea își sǎrbǎtorește vârsta de 40 de ani. Cei trei copii ai sǎi au 5 ani, 6 ani
și respectiv 7 ani. Peste câți ani vârsta mǎtușii va fi egalǎ cu suma vârstelor celor 3
veri ai mei?
a) 7; b) 11; c) 14; d) 18 ; e) 21. (Concursul Cangurul , 2011)
13. În tabăra Cangurul, Alex rezolvă 5 probleme pe zi, Sergiu 2 probleme pe zi, iar
Carmen cât Alex și Sergiu la un loc. În câte zile Carmen rezolvă același număr de
probleme pe care -l rezolvă Alex în 14 zile?
14. Mama a cumpărat în două zile fructe pentru cei 3 copii ai săi. Pentru fiecare copil
a cumpărat în fiecare zi câte 2 banane și 3 portocale. Câte fructe a cumpărat mama
în total?
15. Câți ele vi sunt într -o școală știind că jumătate din numărul băieților este 98, iar
numărul fetelor este cu 5 mai mare decât triplul sfertului numărului de băieți?
16. Când Mihaela avea 7 ani, mama avea 39 de ani. Acum mama are de 3 ori vârsta
Mihaelei. Ce vârstă au î n prezent Mihaela și mama?

140
17. Ionel are 25 de lei si Ana 13 lei. Ionel cheltuiește 3 lei pe zi cumpărându -și câte o
plăcintă, iar Ana 1 lei pe zi cumpărându -și câte un covrig. După câte zile cei doi copii
vor avea aceeași sumă de bani?
18. Două loturi de pământ au o suprafață totală de 46 ha. După ce pe primul lot se seamănă
20 de ha, iar pe al doilea 16 ha, suprafețele rămase nesemănate pe cele două loturi sunt
egale. Aflați câte ha are fiecare lot.
19. Suma a trei numere este 569. Dacă din fiecare număr se scade o aceeași valoare se
obțin numerele 178, 197 și respectiv 173. Care sunt cele trei numere?
20. Cartea lui Tudor are 146 de pagini, iar a Dianei cu 15 pagini mai puține decât dublul
numărului de pagini a cărții lui Tudor. Cu câte pagini are de citit mai mult Dia na?
21. La o florărie s -au vândut garoafe galbene și roșii, în total 126 de fire. Știind că au fost
vândute de două ori și jumătate mai multe garoafe galbene decât roșii, aflați câte
garoafe de fiecare fel s -au vândut.
22. Dana, Maria și Andrei au împreună 200 de lei. Câți lei are fiecare copil dacă Dana și
Maria au împreună 116 de lei, iar Maria și Andrei 148 de lei?
23. Oana a cumpărat pentru fratele ei 2 caiete a câte 6 lei și 3 creioane mecanice a câte 8
lei și o ciocolată cu 6 lei. Ce rest a primit de la 50 de lei?
24. La o fermă s -au plantat meri, caiși și vișini. Știind că 5096 nu sunt caiși, 4376 nu sunt
meri, iar 5592 nu sunt vișini, aflați câți pomi fructiferi sunt de fiecare fel.
25. Matei are 57 de lei. De ziua lui primește de la părinți 50 de lei și de la bunici 75 de lei.
Câți lei îi ramân după ce își cumpără o mașinuță de 42 de lei și o jucărie de pluș de
trei ori mai ieftină?
26. Scăzând din 75 dublul numărului 9, se obține un număr cu 17 mai mare decât a. Cât
trebuie adăugat la numărul a pentru a obține 90?
27. Bunic ul are în livadă 148 de peri, cu 68 mai mulți meri și un număr de caiși egal cu
totalul de peri și meri. Câți vișini trebuie să planteze bunicul pentru a avea 900 de
pomi fructiferi?

141
28. Un penar costă cu 24 de lei mai mult decât două stilouri de același fel. Cât costă două
penare și trei stilouri, știind că un stilou costă 108 lei?
29. O carte are 150 de pagini. Mara citește în prima zi 12 pagini, iar în următoarele 5 zile
tot cu câte 3 pagini mai multe decât în ziua precedentă. Câte pagini îi mai rămân de
citit?
30. O carte costă cât jumătate din prețul unui stilou. Stiloul costă cu 14 lei mai mult decât
un penar. Penarul și stiloul costă împreună 98 de lei. Cât costă fiecare obiect?
31. Mama a cumpărat Mariei o fustă, o bluză și o pereche de pantaloni. Prețul rochiei a
fost 145 lei, al bluzei cu 47 de lei mai puțin decât cel al rochiei, iar pantalonii cât
jumătate din totalul prețului rochiei și al bluzei. Câți lei a plătit mama în total?

142
PROIECT DE LECȚIE – model 1

Propunător:
Data:
Clasa:
Lecția:
Tipul lecției:
Obiective cadru:
Obiective de referință:
Obiective operaționale: La sfârșitul lecției elevul va fi capabil să:
O1-
O2-
O3-
O4-
O5-
Strategia didactică:
– Metode:
– Mijloace de învățământ:
– Forme de organizare a activității:
Evaluare:
Bibliografie:
Desfășurarea activității:

Evenimentele
lecției Activitatea din lecție Strategia didactică
(metode, mijloace,
forme de organizare a
activitǎții)

143

144
PROIECT DE LECȚIE – model 2

Propunător:
Data:
Clasa:
Lecția:
Tipul lecției:
Obiective cadru:
Obiective de referință:
Obiective operaționale: La sfârșitul lecției elevul va fi capabil să:
O1-
O2-
O3-
O4-
O5-
Strategia didactică:
– Metode:
– Mijloace de învățământ:
– Forme de organizare a activității:
Evaluare:
Bibliografie:
Desfășurarea activității:

Evenimentele
lecției Obiec –
tive
opera –
ționale Activitatea din lecție Strategia
didactică Evaluare

145
FIȘĂ PENTRU AUTOANALIZA LECȚIEI

Data:
Clasa:
Lecția:

Reflectați!

Completați!
Care au fost obiectivele pe care vi le -ați
propus ?

Care obiective credeți că le -ați atins?

Care obiective credeți că le -ați atins mai
puțin?

Ce probleme/ dificultăți ați anticipat că
se vor crea în lecție?

Care au fost dificultățile întâmpinate
de-a lungul lecției ? (d.p.d.v. științific,
metodic, management al clasei etc.)

Ce probleme neanticipate ați întâlnit de –
a lungul lecției?

Care aspecte care s -au desfășurat
conform proiectului de lecție ?

Ce aspecte v -au plăcut în desfășurarea
lecției ?

146
Ce ați schimba pentru a îmbunătăți
lecția ?

Care aspecte doriți să le discutați cu
mentorul ?

Ce sentimentele personale aveți despre
lecție?

Ce credeți că ați făcut bine în lecție?

Ce nereușite ați avut în lecție?

Ce notă vă acordați pentru lecție?

147
PLANIFICARE CALENDARISTICĂ
Profesor:
Școala:
Disciplina:
Clasa:
Nr. ore/săpt.:
Anul școlar:

Unitatea
de învățare Obiective
de
referință /
Competențe
specifice Conținuturi Nr. ore
alocate Săptămâna Observații

148
PROIECT AL UNEI UNITĂȚI DE ÎNVĂȚARE

Profesor:
Școala:
Disciplina:
Clasa:
Nr. ore/săpt.:
Anul școlar:

Unitatea de învățare:
Nr. de ore alocate:

Conținuturi
(detalieri) Obiective de
Referință /
Competențe
specifice Activități de
învățare Resurse Evaluare

149
Bibliografia cursului :

Anca, M., Ciascai, L., Ciomos, F. (coord.), Dezvoltarea competențelor didactice și de
cercetare în știintele naturii, Editura Casa cărții de știință, Cluj -Napoca, 2006
Banea, H., Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești, 1998.
Bocoș, M., Instruire interactivă. Repere pentru reflecție și acțiune , ediția a II -a, revăzută,
Editura Presa Universitară Clujeană, Cluj -Napoca, 2002
Besnaiou, R., Muller, C., Thouin, C., Conceivoir et utiliser un didacti ciel, Guide pratique,
Les Editions d’Organisation, Paris, 1988
Brânzei , D., B rânzei , R., Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești, 2000.
Cârjan , F., Didactica matematicii , Editura Corint, București, 2002.
Ciascai, L., Didactica știintelor naturii , Editura Casa cărții de știință, Cluj -Napoca, 2006
Cristea, S., Psihopedagogie pentru examenele de definitiva t, gradul didactic II, grad
didactic I, reciclare , Ed. Hardiscon, Pitești, 1996
Ionescu, M., Bocoș, M. (coord.), Tratat de didactică modernă , Ed. Paralela 45 , 2009
Ionescu, M., Chiș, V. (coord.), Pedagogie – suporturi pentru formarea profesorilor , Presa
Universitară Clujeană, 2001, Cluj -Napoca
Ionescu, M., Radu, I. (coord), Didactica modernă , ed. a II -a, revizuită, Ed. Dacia, 2001,
Cluj-Napoca
Ionescu, M., Demersuri creative în predare și învățare , Ed. Presa Universitară Clujeană,
2000, Cluj -Napoca
Lupu, C., Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești, 2000.
Magdaș, I., Didactica matematicii în învățământul primar și preșcolar – actualitate și
perspective , Editura Presa Universitară Clujeană, ediția a II -a revizuită, Cluj -Napoca,
2014
Magdaș , I., Probleme de matematică pentru pregătirea didactică în învățământul primar.
Ghid pentru studenți , Presa Universitară Clujeană, 2017 , disponibilă online la
adresa: http://www.editura. ubbcluj.ro/bd/ebooks/pdf/2206.pdf
Magdaș, I., Vălcan, D., Didactica matematicii în învățământul primar și preșcolar – Ghid
de practică didactică, Editura Casa cărți i de știință, Cluj -Napoca, 2007
Manolescu, M., Curriculum pentru învățământul primar și preșcolar, Teorie și practică ,
Univ. București, Ed. Credis, 2004

150
Muster, D., Moldoveanu, M., Gradul I în învățământ – Ghid practic , Ed. Didactică și
Pedagogică, București, 1998
Neacșu, I. (coord), Metodica predării matematicii la clasele I -IV, EDP, 1988
Neagu, M., Beraru, G., Activități matematice în grădinița de copii, Ed. AS’S, 1995
Neagu, M., Mocanu, M., Metodica predării matematicii în ciclul primar , Ed. Collegium
Polirom, 2007
Păun, E., Iucu, R., Educația preșcolară în România , Ed. Polirom, 2002
Polya, G., Descoperirea în matematică , Ed. Științifică, 1971
Polya, G., Cum rezolvam o problemă? , Ed. Științifică, 1965
Roșu, M., Metodica predării matematicii pentru colegiile universitare de institutori , Univ.
București, Ed. Credis, 2004
Roșu, M., Didactica ma tematicii în învățământul preșcolar, PIR, 2007
Roșu, M., Didactica matematicii în învățământul primar, PIR, 2007
Roșu, M., Dumitru, A., Ilarion, N., Ghidul învățătorului. Matematică pentru clasa I, Ed.
ALL, 2000
Rus, I., Metodica predării matematicii, Editura Servo -Sat, Arad, 1996.
Rusu, E., Problematizare și probleme în matematica școlară , Ed. Didactică și Pedagogică,
București, 1978
Vălcan, D., Metodologia rezolvării problemelor de aritmetică , Editura Casa cărții de
știință, Cluj -Napoca, 2005.
Vîrtopeanu, I., Metodica predării matematicii, Editura Sitech, Craiova, 1998.
***MEC, Curriculum pentru învățământul preșcolar , 2008
***MEN, Programe școlare pentru învățământul primar , București, 2013 -2014
***ME N, Abilitarea curriculară a cadrelor didacti ce din ȋnvățământul primar pentru
clasa pregătitoare , Suport de curs, București, 2014
***MECTS, Fundația pentru integrare europeană Sigma, Institutul pentru dezvoltarea
evaluării în educație, Concursul internațional de matematică aplicată: Cangurul și
Cang urașul matematician, toate edițiile
***Fundația Evaluarea în educație, Concursul Evaluare în educație la matematică, toate
edițiile

151
Scurtă biografie a titularului de curs
NUMELE ȘI PRENUMELE: MAGDAȘ IOANA -CRISTINA
FUNCȚIA DIDACTICĂ: Conferențiar universitar, dr.
Facultatea de Psihologie și Științele Educației,
Catedra de Metodica Științelor Exacte
Universitatea “Babeș -Bolyai”, Cluj -Napoca, România

STUDII ȘI DIP LOME:
1999 Titlul de Doctor în Matematică
Universitatea “Babeș -Bolyai” Cluj -Napoca, România
Titlul Tezei: Contribuții la teoria funcțiilor uniform stelate și uniform convexe
Conducător Științific: Prof. Dr. Petru T. Mocanu, Membru Corespondent al Academiei
Române

1994 Definitivatul , Ministerul Educației și Învățământului, România

1992 Diploma de licență în matematică, Facultatea de Matematică și Informatică,
Universitatea “Babeș -Bolyai” Cluj -Napoca, România

CARIERA DIDACTICĂ:
04.2014 – prezent Conferențiar Universitar,
Facultatea de Psihologie si Științele Educației,
Universitatea “Babeș -Bolyai”, Cluj -Napoca, România

10. 2001 – 04.2014 Lector Universitar,
Facultatea d e Psihologie si Științele Educației,
Universitatea “Babeș -Bolyai”, Cluj -Napoca, România

1994 – sept. 2001 Asistent Universitar,
Facultatea de Psihologie ș i Științele Educației,
Universitatea “Babeș -Bolyai”, Cluj -Napoca, România

1999 – 2001 Profesor vizitator , cu activitate de predare a matematicii în învățământul
preuniversitar , în cadrul programului FACES , South Carolina, SUA

1993 -1994 Profesor de Matematică, Liceul “T. Popoviciu”, Cluj -Napoca, România
1992 -1993 Profesor de Matematică, Liceul Pedagogic, Cluj -Napoca, România

TITLUL ȘTIINȚIFIC: Doctor în Matematică

152

DOMENII DE CERCETARE:
 Didactica Matematicii;
 Didactica Informaticii;
 Pedagogie;
 Matematică generală;
 Analiză complexă.

LISTA CURSURILOR ȘI SEMINARIILOR PRESTATE:
 Cursul, seminarul de Metodica și Practica predării matematicii și a activităților
matematice ;
 Cursul și seminarul de Didactica Informaticii ;
 Seminarul de Didactica Matematicii ;
 Practica Pedagogică la Matematică și Informatică;
 Cursul Învățare asistată de calculator ;
 Cursurile opționale: Strategii centrate pe elev în predarea -învățarea informaticii
și Modele de instruire formativă la matematică și informatică.

ACTIVITATEA ȘTIINȚIFICĂ:
Constă în participări la conferințe și manifestări științifice interne și internaționale,
precum și prin publicarea de cărți sau lucrări științifice în reviste de specialitate.