Drago ș-Pătru Covei [609014]
Drago ș-Pătru Covei
Gheorghe Caralicea-M ărculescu Vasile Lupulescu
MATEMATIC Ă
pentru institutori (înva ță tori)
• Definitivat
• Licen ță
• Probleme date la concursul pentru ocuparea catedrel or vacante
• Probleme date la examenul de gradul II
Referen ți Știin țifici:
Prof. univ. dr. George Vraciu
Conf. univ. dr. Ion Chiriac
Tehnoredactare computerizat ă:
Drago ș-Pătru Covei
Editura: SITECH
ISBN :
2005
-2-
-3- Prefa ță
Aceast ă lucrare se adreseaz ă în mod special studen ților de la
specializarea: Pedagogia înv ăță mântului primar și pre școlar și are scopul
de a constitui un sprijin considerabil în sus ținerea de c ătre ace știa a
examenelor de licen ță și de definitivat. Din acest motiv s-a avut în veder e ca
prin con ținutul s ău lucrarea s ă acopere ,,Programa de perfec ționare prin
definitivat”-partea de teoria mul țimilor-, în vigoare, și extins pe cea de
licen ță .
Pentru îndeplinirea obiectivului, linia de conduit ă s-a îndreptat cu
aten ție spre prezentarea materialului știin țific de pe pozi ții de în țelegere și
independen ță fa ță de alte lucr ări. Cunoa șterea manualelor de liceu asigur ă
parcurgerea lesnicioas ă a lucr ării.
În aceea și idee, acolo unde suportul teoretic merge spre o
accentuat ă abstractizare, au fost introduse exemple de exerci ții rezolvate.
Pentru fixarea cuno știn țelor fiecare capitol con ține și un set de exerci ții
propuse spre rezolvare.
Lucrarea poate fi utilizat ă cu folos și de c ătre cei care într-un mod
sau altul vin în contact, la un anumit moment, cu t eorii ale matematicii.
-4-
-5-
Capitolul I. Elemente de logic ă matematic ă
Fiecare disciplin ă știin țific ă necesit ă un ra ționament clar și logic,
precum și o exprimare riguroas ă și precis ă. Din acest punct de vedere,
enun țurile trebuie s ă fie lipsite de ambiguit ăț i și contradic ții.
Prin enun ț vom în țelege orice text lingvistic în care se afirm ă ceva
cu privire la unul sau mai multe obiecte. O astfel de afirma ție poate avea sau
nu o anume semnifica ție. Obiectul sau obiectele unui enun ț trebuie s ă
apar țin ă unui domeniu bine specificat, numit domeniul (mul țimea) de
referin ță al enun țului. Din punct de vedere sintactic, la orice enun ț vom
distinge: partea predicativ ă și subiectul sau subiectele . Subiectul sau
subiectele unui enun ț reprezint ă obiectul sau obiectele la care se refer ă
enun țul.
Un enun ț poate avea toate subiectele determinate sau poate avea
unul sau mai multe subiecte nedeterminate .
În func ție de domeniul de referin ță , același enun ț poate fi
adev ărat sau fals sau nu i se poate stabili o valoare de adev ăr, adic ă este
indecidabil .
Enun țul:
p: " Mingea este rotund ă"
este adev ărat dac ă domeniul de referin ță este fotbalul, este fals
dac ă domeniul de referin ță este Rugby-ul și indecidabil dac ă domeniul de
referin ță este Sportul.
Un enun ț cu toate subiectele determinate se nume ște propozi ție
dac ă este sau adev ărat sau fals, nu și una și alta simultan. Un enun ț cu unul
sau mai multe subiecte nedeterminate se nume ște predicat dac ă pentru orice
valoare dat ă subiectelor nedeterminate devine propozi ție. Subiectele
nedeterminate ale unui predicat se numesc variabilele predicatului.
În func ție de num ărul subiectelor nedeterminate distingem
predicate cu o variabil ă ( unare ), cu dou ă ( binare ), etc.
Enun țul
p: "Oaia este carnivor ă"
are domeniul de referin ță zoologia iar partea predicativ ă const ă din textul
". . . este carnivor ă"
-6- Enun țul are un singur subiect determinat: "Oaia", deci r eprezint ă –
propozi ție.
Nota ția p: semnific ă faptul c ă enun țul " Oaia este carnivor ă " va fi
reprezentat prin simbolul p.
Enun țul
p(x): " x este divizibil prin 2"
are domeniul de referin ță teoria numerelor iar partea predicativ ă const ă din
textul
". . . este divizibil prin . . ."
Enun țul are dou ă subiecte:
"x" și "2", dintre care unul nedeterminat.
Observ ăm c ă dând lui x valori enun țul devine adev ărat sau fals îns ă
nu și una și alta simultan, prin urmare este un predicat cu o variabil ă.
Enun țul
p(x,y ): " x este divizibil prin y"
este un predicat cu dou ă variabile având domeniul de referin ță teoria
numerelor.
1. Elemente de calculul propozi țiilor
Dup ă cum am v ăzut o propozi ție este un enun ț cu toate subiectele
determinate care este adev ărat sau fals nu și una și alta simultan. Astfel de
propozi ții le numim propozitii simple .
O propozi ție poate fi adev ărat ă sau fals ă dac ă corespunde sau nu
unei st ări de fapt din domeniul s ău de referin ță . Calitatea unei propozi ții
de a fi adev ărat ă sau fals ă se nume ște valoarea de adev ăr a propozi ției
respective.
Propozi țiile simple le not ăm prin:
p, q , r , . . .
În continuare, propozi țiilor adev ărate le atribuim valoarea de
adev ăr 1 iar propozi țiilor false valoarea de adev ăr 0 .
Plecând de la una sau mai multe propozi ții simple prin aplicarea
unui num ăr finit de operatori (conectori) logici ob ținem alte propozi ții
numite propozi ții compuse.
Exist ă patru operatori logici de baz ă:
ר (citit non ), ∧ (citit și), ∨ (citit sau ) și → (citit implic ă).
Defini ție. Fie p propozi ție. Propozi ția care se ob ține punând
particula " nu " în fa ța p ărții predicative a propozi ției p se nume ște nega ția
propozi ției p și se noteaz ă prin simbolul רp.
Nega ția propozi ției p este adev ărat ă numai când p este fals ă.
-7- Exemplu . " 2 este num ăr par " cu domeniul de referin ță mul țimea
numerelor naturale.
Nega ția lui p este
רp: " 2 nu este num ăr par "
p fiind o propozi ție adev ărat ă, pe când רp este o propozi ție fals ă.
Este u șor s ă folosim un tabel de adev ăr pentru a verifica rela țiile
dintre valorile de adev ăr ale propozi țiilor.
Tabelul de adev ăr pentru רp în func ție de valoarea de adev ăr a lui
p este:
p רp
1 0
0 1
Defini ție. Fie p, q propozi ții. Propozi ția care se ob ține punând
particula " și" între p ărțile predicative se nume ște conjunc ția propozi țiilor p,
q și se noteaz ă prin simbolul p∧q.
Propozi ția p∧q este adev ărat ă numai când ambele propozi ții sunt
adev ărate.
Exemplu. Propozi ția "2 este num ăr par și 3 este num ăr par" cu
domeniul de referin ță mul țimea numerelor naturale este conjunc ția
propozi țiilor:
p: "2 este num ăr par"
q: "3 este num ăr par",
p fiind adev ărat ă iar q fals ă.
Valoarea de adev ăr a propozi ției p∧q în func ție de valorile de
adev ăr ale propozi țiilor p, q este dat ă în tabelul:
p q p∧q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Defini ție. Fie p, q propozi ții. Propozi ția care se ob ține punând
particula " sau " între p ărțile predicative se nume ște disjunc ția propozi țiilor
p, q și se noteaz ă prin simbolul p∨q.
Propozi ția p∨q este adev ărat ă numai când una din propozi ții este
adev ărat ă.
Exemplu. Propozi ția " 8 este multiplu de 2 sau 5 este num ăr
întreg" cu domeniul de referin ță mul țimea numerelor naturale este
disjunc ția propozi țiilor:
-8- p: " 8 este multiplu de 2 " ; q: " 5 este num ăr întreg ", p, q fiind adev ărate.
Valorea de adev ăr a propozi ției p∨q în func ție de valorile de
adev ăr ale propozi țiilor p, q este dat ă în tabelul:
p q p∨q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Defini ție. Fie p, q propozi ții. Exprimarea " p implic ă q " este o
nou ă propozi ție, numit ă implica ția propozi țiilor p, q. Implica ția
propozi țiilor p, q se noteaz ă p → q.
Implica ția propozi țiilor p, q este o propozi ție fals ă când propozi ția q este
fals ă iar p este o propozi ție adev ărat ă și adev ărat ă în celelalte cazuri.
Exemplu. Propozi ția ,, x2 ≤ 0 implic ă x = 0 " cu domeniul de
referin ță mul țimea numerelor reale este implica ția propozi țiilor:
p: " x2 ≤ 0 " ; q: " x = 0 " ea fiind o propozi ție adev ărat ă.
Pentru exprimarea " p implic ă q " se mai folose ște:
• " dac ă p atunci q "
• " p este suficient pentru q "
• " q este necesar pentru p "
Valorea de adev ăr a propozi ției p → q în func ție de valorile de
adev ăr ale propozi țiilor p, q este dat ă în tabelul:
p q p → q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Propozi ția q → p se nume ște reciproca propozi ției p → q.
Dac ă combin ăm propozi ția p → q cu propozi ția q → p, ob ținem o
nou ă propozi ție c ăreia îi spune echivalen ța propozi țiilor p, q. Echivalen ța
propozi țiilor se noteaz ă p ↔ q.
Defini ție. Fie p, q propozi ții. Echivalen ța p ↔ q este acea
propozi ție care este adev ărat ă când p, q au aceea și valoare de adev ăr și este
fals ă în rest.
Propozi ția p ↔ q se cite ște « p dac ă și numai dac ă q ».
-9- Exemplu . Propozi ția " x3 ≤ 0 dac ă și numai dac ă x ≤ 0 " cu
domeniul de referin ță mul țimea numerelor reale este echivalen ța
propozi țiilor:
p: " x3 ≤ 0 implic ă x ≤ 0 " ; q: " x ≤ 0 implic ă x3 ≤ 0 "
ea fiind o propozi ție adev ărat ă.
Not ăm c ă echivalen ța p ↔q este adev ărat ă când p → q și q → p sunt
adev ărate.
Pentru exprimarea " p dac ă și numai dac ă q " se mai folose ște:
• " p este necesar și suficient pentru q"
• " dac ă p atunci q, și invers "
Valoarea de adev ăr a propozi ției p ↔ q în func ție de valorile de
adev ăr ale propozi țiilor p, q este dat ă în tabelul:
p q p ↔ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Vom nota prin A sau A ( p, q, r,…), B sau B ( p, q, r,…) propozi țiile
compuse (sau expresii logice) ob ținute prin aplicarea diferi ților operatori
logici propozi ților simple p, q, r,….
A (p, q, r) : ( p∨q) → r ………….
Calculul propozi țiilor studiaz ă expresiile logice din punctul de
vedere al adev ărului sau falsului lor în raport cu valorile logice ale
propozi țiilor simple care le compun.
O expresie logic ă A ( p, q, r,…) care este adev ărat ă indiferent de
valorile de adev ăr ale propozi țiilor p, q, r, … se nume ște tautologie .
Dac ă
A ( p, q, r, …) → B ( p, q, r,…)
este o tautologie atunci scriem
A ( p, q, r, …) ⇒ B ( p, q, r, …)
Dac ă
A ( p, q, r, …) ↔ B (p, q, r,…)
este o tautologie scriem
A ( p, q, r, …) ⇔ B ( p, q, r, …)
Observa ții :
1. Semnul → este o opera ție din care deducem valoarea de
adev ăr a propozi ției A → B în timp ce ⇒ indic ă leg ătura între propozi țiile
A ( p, q, r,..), B(p, q, r,…).
-10- 2. Semnul ↔ este o opera ție din care deducem valoarea de
adev ăr a propozi ției A↔B în timp ce ⇔ indic ă leg ătura între propozi țiile
A ( p, q, r,…), B ( p, q, r,…).
Exemple de tautologii :
1. legea ter țului exclus: p ∨(רp)
2. legea silogismului: [( p → q) ∧ ( q → r)] → ( p → r)
3. legea de reflexivitate: p ↔ p
4. legea idempoten ței conjunc ției: p ∧p ↔ p
5. legea idempoten ței disjunc ției: p ∨p ↔ p
6. legea dublei nega ții: ר(רp)↔p
7. legea de comutativitate a conjunc ției: (p∧q)↔(q∧p)
8. legea de comutativitate a disjunc ției: (p∨q)↔(q∨p)
9. legea de asociativitate a conjunc țíei:
[( p∧q)∧r]↔[p∧(q∧r)]
10. legea de asociativitate a disjunc țíei:
[( p∨q)∨r]↔[p∨(q∨r)]
11. Legile lui De Morgan :
ר(p∧q)↔(רp) ∨(רq)
ר(p∨q)↔(רp) ∧ (רq)
12. Legea de distributivitate a conjunc ției:
-în raport cu disjunc ția: [p∧ ( q∨r)] ↔[( p∧q) ∨ ( p∧r)]
13. Legea de distributivitate a disjunc ției :
-în raport cu conjunc ția:
[p∨(q∧r)] ↔[( p∨q) ∧ ( p∨r)]
14. ( p→q)↔( רq→רp)
Demonstr ăm 1 :
p רp p∨(רp)
1 0 1
0 1 1
Demonstr ăm 2.
p q r p→q q→r (p→q) ∧(q→r)] p→r [( p→q) ∧(q→r)] →(p→r)
1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1 1
1 0 1 0 1 0 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0 1
0 1 0 1 0 0 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 1 0 0 1
-11-
2. Elemente de calculul predicatelor
Amintim c ă prin predicat se în țelege un enun ț cu unul sau mai
multe subiecte nedeterminate care depinde de o vari abil ă sau de mai multe
variabile și are proprietatea c ă pentru orice valori date variabilelor se ob ține
o proprozi ție adev ărat ă sau o propozi ție fals ă.
Observa ție. Ori de câte ori definim un predicat, trebuie s ă
indic ăm și mul țimile în care variabilele iau valori.
Exemplu.
Predicatul
p(x): " x < 4, x ∈ R "
are domeniul de referin ță mul țimea numerelor reale iar partea predicativ ă
const ă în textul
" …este mai mic decât … "
Predicatul are dou ă subiecte: " x" și "4", dintre care unul
nedeterminat, prin urmare, este un predicat cu o va riabil ă.
Exemplu.
Fie p(x, y) predicatul " 2 x+y=2 ". Care sunt valorile de adev ăr ale
propozi țiilor p(2,0) și p(1,0) ?
Propozi ția p(2,0) ob ținut ă atribuind lui x, y valorile x = 2, y = 0 este
o propozi ție fals ă, în timp ce propozi ția p(1,0) ob ținut ă atribuind lui x, y
valorile x = 1, y = 0 este o propozi ție adev ărat ă.
Exerci țiu. Fie p(x) predicatul " x < 4, x ∈R ". Care sunt valorile
de adev ăr ale propozi țiilor p(5) și p(4) ?
În general, un predicat cu n variabile x1, x2, . . ., xn este notat prin
p(x1, x2, . . ., xn).
Fie p(x), q( x) predicate unare. Cu ajutorul operatorilor logici
construim și alte predicate unare, anume:
רp(x), p(x) ∨q(x), p(x) ∧q(x), p(x)→q(x), p(x) ↔q(x)
Astfel, de exemplu, pentru predicatul p(x), רp(x) este predicatul
căruia pentru fiecare valoare x = a îi corespunde propozi ția רp(a).
Strâns legat ă de no țiunea de predicat apare no țiunea de
cuantificator . Distingem urm ătoarele tipuri de cuantificatori:
Defini ție. Propozi ția universal ă a lui p(x) este propozi ția
" p(x) este o propozi ție adev ărat ă pentru orice valoare a lui x din domeniul
de referin ță ". Nota ția ()()xpx∀ denot ă propozi ția universal ă a lui p(x).
Semnul ∀ se nume ște cuantificator universal .
Pentru propozi ția universal ă a lui p(x) se folosesc și exprim ările:
-12- " pentru to ți x, p(x) "
" pentru fiecare x, p(x) ".
Exemplu. Orice elev din clasa a IX -a cunoa ște mul țimea
numerelor naturale.
Predicatul este
p(x): " Orice elev cunoa ște mul țimea numerelor naturale"
Mul țimea în care p(x) este adev ărat este elevii clasei a IX -a.
Dac ă propozi ția )) ( )()( ( xq xpx → ∀ este adev ărat ă, atunci vom
folosi nota ția p(x) ⇒ q(x) și citim: " p(x) implic ă q(x) ". Se mai spune, în
acest caz, c ă predicatul q(x) este o consecin ță logic ă a predicatului p(x).
Exemplu. Considerând predicatele
p(x): " x = 1 "
și
q(x): " x3-1=0, x∈R "
cu domeniul de referin ță mul țimea numerelor reale, avem p(x) ⇒ q(x).
Dac ă propozi ția )) ( )()( ( xq xpx ↔ ∀ este adev ărat ă, atunci vom
folosi nota ția p(x) ⇔q(x) și citim: " p(x) dac ă și numai dac ă q(x) ". Se mai
spune, în acest caz, c ă predicatele p(x), q(x) sunt echivalente logic.
Exemplu. Considerând predicatele
p(x): " x > 0, x ∈ R "
și
q(x): " x3 > 0, x ∈ R "
cu domeniul de referin ță mul țimea numerelor reale, avem p(x) ⇔ q(x).
Observa ție. Rela țiile de consecin ță logic ă și echivalen ță logic ă
pot fi definite și între predicate n-are , unde n ≥ 2, într-un mod asem ănător.
Defini ție. Propozi ția existen țial ă a lui p(x) este propozi ția
" exist ă cel pu țin un x din domeniul de referin ță astfel încât p(x) ".
Nota ția ()()xpx∃ denot ă propozi ția existen țial ă a lui p(x) și este o
propozi ție adev ărat ă când exist ă cel pu țin un element x0 din domeniul de
referin ță astfel încât p(x0) este adev ărat ă.
Semnul ∃ se nume ște cuantificator existen țial .
Pentru propozi ția existen țial ă a lui p(x) se folose ște și exprimarea:
" exist ă x, p(x) "
Exemplu . Dac ă consider ăm predicatul
p(x): " x+5=0, x ∈ R "
cu domeniul de referin ță mul țimea numerelor întregi, atunci propozi ția
existen țial ă lui p(x) este adev ărat ă, deoarece pentru x = -5 ) 0 5 )( ( =+ ∃xx
astfel propozi ția
p(-5): " -5+5=0 "
-13- este adev ărat ă.
Consider ăm în continuare predicatul p(x) definit numai pentru un
num ăr finit de valori ale variabilei x, anume x1, x2, . . . , xn, atunci:
p(x) ⇔ p(x1) ∧ p(x2) ∧ … ∧ p(xn)
și
p(x) ⇔ p(x1) ∨ p(x2) ∨ … ∨ p(xn)
Ținând cont de legile lui De Morgan (vezi paragraful 1 proprietatea
11), rezult ă
ר p(x) ⇔ רp(x1) ∨ רp(x2) ∨ … ∨ רp(xn)
și
ר p(x) ⇔ רp(x1) ∧ רp(x2) ∧ … ∧ רp(xn)
Regulile de nega ție stabilite mai sus, sunt valabile și în cazul
general. Deci pentru orice predicat unar p(x) avem:
a) ר p(x) ⇔ ()x∃( רp(x))
b) ר ()x∃ ( רp(x)) ⇔ ()x∀ ( רp(x))
Exemplu. Să consider ăm predicatul
p(x): " ) ( Nx∈∃ astfel încât x+1=2 "
a c ărui valoare de adev ăr este adev ărul.
Nega ția ei este propozi ția
רp(x): " ) ( Nx∈∀ , avem x+1 ≠2"
evident o propozi ție fals ă.
Predicate binare. Fie p(x, y) un predicat binar.
Folosind cuantificatorii ∀ ∃ i s
'putem forma predicatele unare:
y) x)p(x, ( i s ),()(
'∀ ∃ yxpx
unde y este variabila acestor dou ă predicate. Din aceste predicate unare
putem forma predicatele:
y)" x)p(x, y)( ( i s y) x)p(x, y)( (y), x)p(x, y)( ( ), ,())( ( "
'∀∀ ∀∃ ∃∀ ∃∃ yxpxy
În continuare vom ar ăta cum se deduc legile de nega ție pentru
predicatele binare, din legile de nega ție pentru predicate unare.
Adic ă:
)) ,( )( )( ( )) ,()(( )) ,()()(( ) ')) ,( )( )( ( )) ,()(( )) ,()()(( ) '
b) ) b) )
yxp xy yxpx y yxpxy byxp xy yxpx y yxpxy a
din bdin din adin
¬∀∀⇔ ∃¬∀⇔ ∃∃¬¬∀∃⇔ ∃¬∃⇔ ∃ ∀¬
Analog se extind aceste rezultate la predicate n -are . ()x∀()x∀
)(x∃
)(x∃()x∀
-14-
3. Teorem ă direct ă, teorem ă reciproc ă.
Metoda demonstra ției prin reducere la absurd.
O teorem ă este o propozi ție adev ărat ă care stabile ște c ă unul sau
mai multe obiecte posed ă o proprietate, forma lor general ă fiind:
p(x1, x2, . . . , xn) ⇒ q(x1, x2, . . . , xn),
unde p(x1, x2, . . . , xn) se nume ște ipoteza teoremei iar q(x1, x2, . . . ,
xn) se nume ște concluzia teoremei.
Teoremele care se accept ă f ără demonstra ție se numesc axiome.
Demonstra ția unei teoreme const ă în trecerea succesiv ă de la
ipotez ă la concluzie pe baza unor deduc ții logice. Demonstra ția se face pe
baza unor defini ții și axiome cunoscute mai înainte.
Adic ă: demonstra ția teoremei p ⇒ q este un șir finit de implica ții
logice de forma:
p = p1, p1 ⇒ p2, …, pn-1 ⇒ pn = q
fiecare element al acestui șir fiind o implica ție adev ărat ă.
Dac ă mai multe teoreme au aceea și ipotez ă și concluzii diferite,
atunci ele pot fi înlocuite cu o teorem ă, care are ipoteza comun ă, iar drept
concluzie, conjunc ția concluziilor teoremelor.
Fie teorema
p(x1, x2, . . . , xn) ⇒ q(x1, x2, . . . , xn).
care exprim ă faptul c ă predicatul q(x1, x2, . . . , xn) este consecin ță logic ă a
predicatului p(x1, x2, . . . , xn).
Dac ă și predicatul ר q (x1, x2, . . . , xn) este consecin ță logic ă a
predicatului ר p (x1, x2, . . . , xn) atunci are loc teorema:
ר p (x1, x2, . . . , xn) ⇒ ר q (x1, x2, . . . , xn)
numit ă contrara teoremei date.
Exemplu. Consider ăm teorema:
" Dac ă cel mai mare divizor comun a dou ă numere întregi a, b este 1 atunci
numerele nu pot fi amândou ă pare "
Ea este format ă din predicatele:
p(x): " Dac ă cel mai mare divizor comun a dou ă numere întregi a, b
este 1 "
q(x): " atunci numerele nu pot fi amândou ă pare "
Predicatul רp(x) const ă din enun țul:
" Dac ă cel mai mare divizor comun a dou ă numere întregi a, b este
diferit de 1 "
Predicatul רq(x) const ă din enun țul:
" atunci numerele pot fi amândou ă pare "
-15- Contrara teoremei date este:
" Dac ă cel mai mare divizor comun a dou ă numere întregi a, b este diferit de
1 atunci numerele pot fi amândou ă pare "
Fie teorema
p(x1, x2, . . . , xn) ⇒ q(x1, x2, . . . , xn),
putem forma:
-teorema reciproc ă
q(x1, x2, . . . , xn) ⇒ p(x1, x2, . . . , xn).
-teorema contrar ă:
רp(x1, x2, . . . , xn) ⇒ רq(x1, x2, . . . , xn).
-teorema contrar ă reciprocei :
רq(x1, x2, . . . , xn) ⇒ רp(x1, x2, . . . , xn)
Datorit ă tautologiei:
(p → q) ∨ ( רq → רp)
din calculul cu propozi ții, teorema direct ă
p(x1, x2, . . . , xn) ⇒ q(x1, x2, . . . , xn)
este adev ărat ă dac ă și numai dac ă contrara reciprocei sale
רq(x1, x2, . . . , xn) ⇒ רp(x1, x2, . . . , xn)
este adev ărat ă. Acest lucru ne arat ă c ă pentru a demonstra
p(x1, x2, . . . , xn) ⇒ q(x1, x2, . . . , xn)
este totuna cu a demonstra
רq(x1, x2, . . . , xn) ⇒ רp(x1, x2, . . . , xn)
Acest ra ționament poart ă denumirea de metoda reducerii la absurd .
În rezumat, metoda reducerii la absurd se aplic ă dup ă urm ătoarea
schem ă:
a) Etapa neg ării concluziei . În aceast ă etap ă, se presupune c ă ceea
ce avem de demonstrat nu este adev ărat.
b) Etapa contrazicerii . În aceast ă etap ă, pornind de la presupunerea
făcut ă în etapa anterioar ă, printr-o serie de ra ționamente logice, se caut ă s ă
se ajung ă la un rezultat care s ă fie contradictoriu cu un adev ăr (o axiom ă, o
teorem ă etc.).
c)Etapa deciziei . În aceasta, se pune întrebarea: de unde s-a ajun s
la contradic ția din etapa a doua? R ăspunsul este firesc ținând seama de
presupunerea f ăcut ă în etapa a) c ă ceea ce trebuia demonstrat nu este
adev ărat.
-16- 4.Exerci ții
1.Care din enun țurile urm ătoare sunt propozi ții și ce valori de
adev ăr au:
a) (2-1)(2+1)=2 2-1;
b) Un num ăr întreg a pentru care ( a,2)=2 este num ăr par;
c) 3>6;
d) m(Â)=90 0 ⇒ Â este unghi drept.
2.Din propozi țiile:
p: “4=6”
și
q: “9<10”
alc ătui ți conjunc ția, disjunc ția, implica ția și echivalen ța celor dou ă
propozi ții.
3.Fie, predicatul
p( x,y): „( x,y)= 5”
unde x,y desemneaz ă numere naturale.
a)S ă se determine valorile de adev ăr pentru propozi țiile:
p(5,0), p(1,5), p(25 ,50 )
b)S ă se determine valorile de adev ăr ale propozi țiilor:
()()()()()()()()()()()() , i s , ,, ,,
'yxpyx yxpxy yxpyx yxpyx ∃∃ ∀∀ ∃∀ ∀∀
c)S ă se spun ă dac ă propozi ția:
()()()()()() ( )yxpyx yxpxy , , ∀∃→ ∃∀
este adev ărat ă sau fals ă.
4.Determina ți valoarea de adev ăr a propozi țiilor:
a) ()( )( )( ) [ ]0 0 0 =∨<∨> ∀ x x xx , unde x desemneaz ă un
num ăr real oarecare.
b) x+y=0 ⇔[( x2=y2) ∧(xy <0)], unde x desemneaz ă un num ăr real
oarecare.
5.Fie teorema:
“dac ă ABC este un triunghi dreptunghic în A, atunci BC 2=AB 2+AC 2”
S ă se formuleze teorema reciproc ă, teorema contrar ă, teorema
contrar ă reciprocei.
-17-
Capitolul II . Elemente de teoria mul țimilor
1. No țiunea de mul țime, rela ția de incluziune,
egalitatea mul țimilor
No țiunea de mul țime este fundamental ă în matematic ă, nu o
definim pentru c ă nu o putem subordona unei no țiuni mai generale. Vom
apela în schimb la în țelegerea ei intuitiv ă drept colec ție de obiecte de natur ă
oarecare bine distincte și bine determinate, conceput ă ca un tot unitar.
Obiectele unei mul țimi, pe care le vom numi elementele mul țimii, pot fi de
orice natur ă: literele alfabetului, puncte, linii, oameni, etc.
În concluzie se poate vorbi de mul țimea punctelor din plan,
mul țimea literelor alfabetului, etc.
Mul țimile sunt de obicei notate prin literele mari ale alfabetului
(A, B, C, . . . , etc).
Rela ția de apartenen ță .
Pentru a pune in eviden ță faptul c ă x este un element al unei
mul țimi A vom scrie " x ∈ A" și vom citi : " x apar ține mul țimii A ". Dac ă x
nu este un element al mul țimii A atunci vom scrie " x ∉ A " și vom citi : " x
nu apar ține mul țimii A ".
Nota ții pentru mul țimi
Mul țimea A ale c ărei elemente îndeplinesc proprietatea P este
notat ă prin:
A = { xx satisface P}
sau
A = { x: x satisface P}
Exemplu.
A = { x∈N x<6}
Mul țimea A ale c ărei elemente se pot numi individual, se specific ă
scriind între acolade elementele sale:{ a, b, c, d ,…}.
Exemplu.
A={-2,0,3}
-18- Sunt dou ă lucruri importante de observat:
-unul este c ă mul țimea în sine este un obiect diferit de elementele
ei. Mul țimea este o colec ție de obiecte și obiect, con ținând celelalte
elemente.
-al doilea lucru de observat este c ă mul țimea se analizeaz ă func ție
de un element particular, și este posibil s ă decidem dac ă apar ține sau nu
elementelor mul țimii.
Rela ția de egalitate
Fie A, B mul țimi de numere reale date prin ecua țiile x2-1 = 0 și
x4-1 = 0 respectiv. În limbajul nota țiilor avem
A ={ x ∈ Rx2-1 = 0}
și
B ={ x ∈ Rx4-1 = 0}
Reiese c ă A și B au acelea și 2 elemente, 1 și –1. Pentru astfel de mul țimi ca
A, B scriem A = B. Nu conteaz ă dac ă mul țimile A, B sunt definite în feluri
diferite. Deoarece ele au acelea și elemente, ele sunt egale , asta înseamn ă c ă
ele sunt una și aceea și mul țime.
Defini ție . Despre mul țimile A, B spunem c ă sunt egale (scriem
A = B, dac ă orice element din A este element și în B și orice element din B
este element și în A.
Exemplu. {3, 4, 2} = {3, 2, 4} c ăci " {3, 4, 2} " ∧ " {3, 2, 4} "
reprezint ă aceea și mul țime.
Accept ăm existen ța mul țimii fără nici un element și o numim
mul țime vid ă. Mul țimea vid ă o not ăm prin semnul " Ø ".
Semnul de egalitate " = " transmite între mul țimi propriet ăț ile:
1. Reflexivitatea : A = A, ∀A
2. Simetria : A = B ⇒ B = A , ∀A, B
3. Tranzitivitatea : ( A = B ∧ B = C ) ⇒ A = C , ∀ A, B, C
În mod analog, scriem " A ≠ B " și citim " A diferit ă de B " dac ă nu
este adev ărat c ă A = B, altfel, dac ă exist ă elemente în A care nu sunt în B sau
exist ă elemente în B care nu sunt în A.
Rela ția de incluziune.
Defini ție. Fie A, B mul țimi. Dac ă toate elementele mul țimii A
apar țin și mul țimii B spunem c ă mul țimea A este inclus ă în mul țimea B (sau
că A este o submul țime a lui B) (scriem A ⊆ B) sau c ă B include A (scriem
B ⊇ A).
Exemplu. Dac ă A={1,2,3}, B={0,1,2,3,4} atunci A ⊆B.
Când vrem s ă punem în eviden ță c ă B mai are și alte elemente
decât ale lui A, folosim semnele de incluziune strict ă " ⊂ " sau " ⊃ " și
scriem B⊃A sau A⊂B.
-19- În exemplul de mai sus putem folosi semnul de incluziune strict ă.
Observ ăm c ă mul țimile A, B sunt egale când oricare element din A
este în B (deci A ⊆ B) și oricare element din B este în A (deci B ⊆ A).
Rezult ă urm ătoarea metod ă pentru a verifica egalitatea a dou ă
mul țimi A, B:
Ar ătăm c ă:
A ⊆ B, adic ă " x ∈ A ⇒ x ∈ B "
B ⊆ A, adic ă " x ∈ B ⇒ x ∈ A "
Semnul de incluziune " ⊆ " transmite între mul țimi propriet ăț ile:
1. Reflexivitatea : A ⊆ A, A
2. Antisimetria : ( A ⊆ B ∧ B ⊆ A) ⇒ B = A, ∀ A, B
3. Tranzitivitatea : ( A ⊆ B ∧ B ⊆ C ) ⇒ A ⊆ C, ∀A, B, C
Un mod convenabil pentru a observa rela țiile dintre mul țimi este
diagrama Venn-Euler . Reprezent ăm o mul țime de referin ță U printr-o
mul țime de puncte dintr-un dreptunghi. Alte submul țimi ale mul țimii de
referin ță sunt reprezentate prin mul țimea punctelor din interiorul unui cerc.
Pentru o submul țime A a lui U, definim complementara lui A în raport cu U
ca fiind mul țimea acelor elemente din U care nu sunt în A, și o not ăm prin
CU A.
Mul țimea p ărților unei mul țimi
Defini ție. Fie A mul țime. Mul țimea care are ca elemente toate
submul țimile lui A se nume ște mul țimea p ărților lui A și se noteaz ă cu P(A).
Așadar:
P (A) ={ X | X ⊆ A}
De observat este faptul c ă mul țimea vid ă Ø și mul țimea total ă A
sunt elemente ale lui P (A).
Exemplu. Dac ă A = { a, b, c } atunci:
P (A) ={Ø, { a}, { b}, { c}, { a, b}, { a, c}, { b, c}, { a, b, c}}
2. Opera ții cu mul țimi.
Defini ție. Fie A, B mul țimi. Mul țimea { x | ( x ∈ A) ∧ ( x ∈ B)}
elementelor comune mul țimilor A, B se nume ște intersec ția dintre mul țimea
A și mul țimea B și se noteaz ă prin A ∩ B. CU A
A
∀
-20- Astfel:
A ∩ B={ x | ( x ∈ A) ∧ ( x ∈ B)}
Cu ajutorul diagramelor Venn-
Euler intersec ția a dou ă mul țimi
este reprezentat ă în por țiunea
ha șurat ă:
Dac ă mul țimile A, B nu au elemente comune, atunci A ∩ B = Ø și
mul țimile se numesc disjuncte .
Exemplu. Dac ă A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} și B = {1, 2, 8, 9, 12, 34}
atunci A ∩ B = {1, 2}.
Defini ție. Fie A, B mul țimi. Mul țimea { x | ( x ∈ A) ∨ ( x ∈ B)}
tuturor elementelor care apar țin cel pu țin uneia din mul țimile A sau B se
nume ște reuniunea mul țimilor A, B și se noteaz ă prin A ∪ B.
Astfel:
A ∪ B = { x | ( x ∈ A) ∨ ( x ∈ B)}
Cu ajutorul diagramelor Venn-
Euler reuniunea a dou ă mul țimi
este reprezentat ă în por țiunea
ha șurat ă:
Exemplu. Dac ă A = {1, 2, 3, 8, 9} și B = {2, 4, 5, 6, 7,10,12,23}
atunci A ∪ B={1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, 10, 12, 23}
Analog se define ște intersec ția și reuniunea unui num ăr finit de
mul țimi. De exemplu, dac ă A i∈I ( I este o mul țime de indici) sunt mul țimi,
definim:
}j I, i i,j , A x Ax{x Aj} ,i I i,j , A x Ax{x A
j i iIij i iIi
≠ ∈ ∀ ∈ ∨ ∈ =≠ ∈ ∀ ∈ ∧ ∈ =
∈∈
UI
Defini ție. Fie A, B mul țimi. Mul țimea { x | ( x ∈ A) și ( x ∉ B)} se
nume ște diferen ța dintre mul țimea A și mul țimea B și se noteaz ă A \ B. Astfel,
A \ B = { x| ( x ∈ A) ∧ ( x ∉ B)}
Cu ajutorul diagramelor Venn-
Euler diferen ța a dou ă mul țimi este
reprezentat ă în por țiunea
ha șurat ă:
Exemplu. Dac ă A = {1,2,3,4,5,10,11} și B = {1,2,8,9,10} atunci
A \ B={3,4,5,11}.
-21- Defini ție . Fie A, B mul țimi. Diferen ța simetric ă a mul țimilor
A, B este mul țimea
A ∆ B = ( A \ B) ∪ ( B \ A)
Exemplu. Dac ă A = {1,2,3,4,5,10} și B = {1,2,8,9,10} atunci
A \ B={3,4,5}, B \ A={8,9}, deci A ∆ B = ( A \ B) ∪ ( B \ A)={3,4,5,8,9}.
Teorem ă (Legile lui De Morgan). Fie A, B submul țimi ale unei
mul țimi U. Atunci:
a ) CU (CU (A)) = A,
b ) CU (A ∩∩ ∩∩ B) = C UA ∪∪ ∪∪ CUB,
c ) C U (A ∪∪ ∪∪ B) = C UA ∩∩ ∩∩ CUB.
Demonstra ție .
a) x ∈ CU (CU (A)) ⇔ x ∉ CU A ⇔ x ∈ A
b) x ∈ CU ( A ∩ B) ⇔ x ∉ A ∨ x ∉ B ⇔ x∈ CU A ∨ x ∈ CU B⇔ x
∈ CU A ∪ CU B
c) x ∈ CU ( A ∪ B) ⇔ x ∉ A ∪ B ⇔ x ∉A ∧ x ∉ B ⇔ x∈CU A
∧ x∈CU B ⇔ x ∈ CU A ∩ CU B
Produs cartezian
Fie A, B mul țimi și fie elementele a din A și b din B.
Prin defini ție, perechea ordonat ă care are pe a ca prim element și
pe b ca al doilea element este notat ă simbolic ( a, b).
Dou ă perechi ordonate ( x, y ) și ( u, v ) sunt egale dac ă și numai dac ă
x = u și y = v . În acest sens, (1,2) ≠ (2,1), de și {1,2}={2,1}.
Defini ție. Fie A, B mul țimi. Mul țimea tuturor perechilor
ordonate ( a, b) cu a din A și b din B se nume ște produsul cartezian al
mul țimilor A, B și se noteaz ă A × B.
Avem:
A × B = {( a, b) a ∈ A și b ∈ B }
Produsul cartezian al lui A cu A se mai noteaz ă cu A2.
Exemplu. Fie A = {-1,0,2} și B = {0,3}.
Atunci:
A × B={(-1,0), (-1,3), (0,0), (0,3), (2,0), (2,3)}
B × A = {(0,-1), (0,0), (0,2), (3,-1), (3,0), (3,2)}
Se observ ă c ă A × B ≠ B × A egalitatea având loc numai pentru A = B.
Definim produsul cartezian a n mul țimi:
Fie A1, A2, A3, . . . , An cele n mul țimi. Atunci:
A1 × A2 × A3 ×. . . × An = {( a1, a2, . . . , an)a1 ∈ A1, a2 ∈ A2,…, an ∈ An}
Dac ă A1= A2= A3= . . . = An=A atunci A1 × A2 × A3 ×. . . × An not
= An.
-22- Propriet ăți ale opera țiilor cu mul țimi.
Fie A, B, C mul țimi incluse într–o mul țime U. Atunci:
1) A ⊆ B ⇔ CU B ⊆ CU A;
2) CU U = Ø;
3) C Ø = U.
4) reuniunea este comutativ ă: A ∪ B = B ∪ A
5) reuniunea este asociativ ă: ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C)
6) dac ă A = B atunci A ∪ C = B ∪ C pentru orice mul țime C.
7) A ∪ B = B ⇔ A ⊆ B.
8) intersec ția este comutativ ă: A ∩ B = B ∩ A
9) intersec ția este asociativ ă: ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C)
10) dac ă A = B atunci A ∩ C = B ∩ C
11) A ∩ B = B ⇔ A ⊆ B.
12) A ∩ B = Ø ⇔ A ⊆ CB ⇔ B ⊆ CA;
13) intersec ția este distributiv ă fa ță de reuniune:
A ∩ ( B ∪ C) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C)
14) Intersec ția este distributiv ă fa ță de sc ădere.
A ∩ ( B \ C) = ( A ∩ B) \ ( A ∩ C)
15) ( A \ B) ∪ C = ( A ∪ C) \ B ⇔ B ⊆ A
16) A \ ( A \ B) = A ∩ B
17) A \ B = B \ A ⇔ A = B
18) reuniunea este distributiv ă în raport cu intersec ția .
19) A \ B = A ∩ CB
Demonstr ăm ca model propriet ăț ile 1), 13), 18) și 19)
1) ( A⊆B) ∧ ( x∈ CU B) ⇔ (A ⊆ B) ∧ ( x∉B)⇔x∉A⇔x∈CU A
13) Ar ătăm mai întâi c ă A ∩ ( B ∪ C) ⊆ ( A ∩ B) ∪ ( B ∩ C).
Fie x ∈ A ∩ ( B ∪ C), deci x ∈ A și x ∈ B ∪ C.
Dac ă x ∈ B, atunci x ∈A ∩ B , deci x ∈(A ∩ B) ∪ ( A ∩ C).
Analog dac ă x ∈ C.
Astfel A ∩ ( B ∪ C) ⊆ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C).
Demonstr ăm incluziunea reciproc ă.
Fie x ∈ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C).
Dac ă x ∈ ( A ∩ B), atunci x ∈ B și x ∈ A, deci x ∈ B ∪ C. Dar x
∈ A, prin urmare x ∈ A ∩ ( B ∪ C).
Analog se trateaz ă cazul x ∈ A ∩ C.
18) ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C) = [( A ∪ B) ∩ A] ∪ [( A ∪ B) ∩ C] =
A ∪ [( A ∩ C) ∪ ( B ∩ C)] = [ A ∪ ( A ∩ C)] ∪ ( B ∩ C) = A ∪ ( B ∩ C)
19) Fie x ∈ U, atunci: x ∈ A \ B ⇔ ( x ∈ A) și ( x ∉ B) ⇔
x ∈ A ∩ CB.
-23- 3.Exerci ții
1.Care din urm ătoarele propozi ții sunt adev ărate și care false:
a) {1,2,3}={2,3,1};
b) 9 ∈{9};
c) Ø ⊂{2};
d) Ø ∈{0}.
2.S ă se determine mul țimile:
. ,3 313 2 ); ,36 4 )
22
∈+++= ∈ =
∈+= ∈ =
Nnnn nxNx BbNnnnxNx Aa
3.Determina ți toate submul țimile urm ătoarelor mul țimi:
A={ ⇔,⇒ , ∧}, B={9,10}.
4.Fie A={1,5} și B={2,3,6}. S ă se determine mul țimile
A×B, A ×A, B ×A, B ×B.
5.S ă se determine mul țimile A, B știind c ă:
a) A ∪ B={a,b,c,d,e};
b) A ∩ B={a,b};
c)d ∉ A \ B;
d)B are mai pu ține elemente decât A.
-24-
Capitolul III . Rela ții binare
Defini ție. Se nume ște rela ție între mul țimile E, F orice
submul țime f a produsului cartezian E × F.
Exemplu. Fie E = {2,4,6,8}, F = {3,5,7,9}. Produsul lor
cartezian este:
E × F = {(2,3), (2,5), (2,7), (2,9), (4,3), (4,5), (4,7) , (4,9), (6,3), (6,5), (6,7),
(6,9), (8,3), (8,5), (8,7), (8,9) }
Din mul țimea E × F alegem perechile ordonate care au
propriet ăț ile:
1) suma elementelor fiec ărei perechi ordonate este egal ă cu 9;
2) diferen ța dintre a doua component ă și prima component ă a
fiec ărei perechi ordonate este 1.
Submul țimea f a produsului cartezian E × F este
f = { (4,5) }
Defini ție. Diagonala unei mul țimi E se define ște ca fiind rela ția
∆={( x, x)x ∈ E}
submul țime a lui E × E.
Exemplu. Fie E = {2,4,6,8}. Produsul cartezian al lui E cu E
este: E × E = {(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (4,2), (4,4), (4,6) , (4,8), (6,2), (6,4),
(6,6), (6,8), (8,2), (8,4), (8,6), (8,8)}
Diagonala mul țimii E este
∆={(2,2), (4,4), (6,6), (8,8)}
Defini ție. Fiind dat ă o rela ție f între E, F se nume ște domeniul
de defini ție al lui f mul țimea:
Dom f = { x x ∈ E și ( x, y) ∈ f pentru cel pu țin un y din F }
iar imaginea lui f mul țimea:
Im f = { y y ∈ F și ( x, y) ∈ f pentru cel pu țin un x din E}.
Rela ția invers ă lui f se define ște ca fiind urm ătoarea submul țime a
lui F × E:
f-1 = {( y, x) (x, y) ∈ f }.
Exemplu. Fie E = {2,4,6,8}, F = {3,5,7,9}. Produsul lor cartezian
este: E × F={(2,3), (2,5), (2,7), (2,9), (4,3), (4,5), (4,7), (4,9), (6,3), (6,5),
(6,7), (6,9), (8,3), (8,5), (8,7), (8,9) }
-25- Din mul țimea E × F alegem perechile ordonate care au
proprietatea:
"suma elementelor perechilor ordonate este egal ă cu 9".
Avem :
f = { (2,7), (4,5), (6,3) } ⇔ f = {( x, y) ∈ X × Y x + y=9 }
Pentru acest exemplu
Dom f = {2, 4, 6}
Im f = {7,5,3}
f-1 = {(7,2), (5,4), (3,6)}
În cele ce urmeaz ă, pentru a marca faptul c ă ( x, y) ∈ f, vom utiliza
nota ția:
x f y .
Defini ție. O rela ție de echivalen ță pe o mul țime nevid ă E este
orice semn " ≈ " între E și E care verific ă urm ătoarele trei propriet ăț i:
1) Reflexivitatea : x ≈ x, ∀x ∈ E ;
2) Simetria : x ≈ y ⇒ y ≈ x, ∀ x,y ∈ E;
3) Tranzitivitatea : ( x ≈ y și y ≈ z) ⇒ x ≈ z, ∀x,y,z ∈ E.
Exemplu.
1) Rela ția de egalitate definit ă pe mul țimi;
2) Rela ția de congruen ță și de asem ănare definit ă pe mul țimea
triunghiurilor.
Clase de echivalen ță .
Fie E o mul țime nevid ă pe care s-a definit o rela ție de echivalen ță
notat ă " ≈ ". Fiec ărui element x din E îi putem asocia clasa sa de ech ivalen ță
notat ă:
{ }x yy x ≈ =∧ .
Defini ție. Mul țimea
∈ =≈∧
ExxE tuturor claselor de echivalen ță
în raport cu rela ția " ≈" se nume ște mul țimea cât (sau factor ) a lui E prin
rela ția " ≈".
Teorem ă. Dou ă clase de echivalen ță sau coincid sau sunt
disjuncte.
Demonstra ție. Dac ă x ≈ y și z∈xˆ (adic ă z ≈ x) atunci z≈y (din
tranzitivitatea rela ției ≈). Din z ≈ y avem z ∈yˆ , adic ă xˆ ⊂ yˆ . Analog
rezult ă incluziunea invers ă de unde xˆ = yˆ . S ă presupunem acum c ă
x nu este în rela ție cu y și c ă xˆ ∩ yˆ ≠ Ø.
Atunci z∈ xˆ ∩ yˆ implic ă (x ≈ z și z ≈ y) adic ă x ≈ y ceea ce este în
contradic ție cu presupunerea.
-26- Defini ție. O rela ție de ordine pe o mul țime E este o rela ție " ≤ "
între E și E care verific ă propriet ățile:
1) Reflexivitatea: x ≤ x, ∀x∈E;
2) Antisimetrie: (x ≤ y și y ≤ x) ⇒ x = y, ∀x,y ∈E ;
3) Tranzitivitate: (x ≤ y și y ≤ z ) ⇒ x ≤ z ∀x,y,z ∈E.
Exemplu .
1) Rela ția de incluziune definit ă între mul țimi;
Defini ție. Numim mul țime ordonat ă orice pereche ( E, ≤) format ă
dintr-o mul țime nevid ă E și o rela ție de ordine " ≤" pe E. Not ăm E în loc
de ( E, ≤), în cazul în care nu exist ă pericol de confuzie privind " ≤" .
Exemplu.
1)( N , ≤) este o mul țime ordonat ă.
Defini ție. O rela ție de ordine " ≤" pe o mul țime nevid ă E este o
rela ție de ordine total ă dac ă pentru orice x, y din E avem sau x≤ y sau y ≤ x.
Exemplu.
rela ția " ≤" definit ă pe N, Z,Q și R este o rela ție de ordine total ă.
Defini ție. O mul țime ordonat ă ( E, ≤) se nume ște mul țime total
ordonat ă dac ă rela ția de ordine " ≤" este total ă.
Exemplu.
1)( N , ≤), ( Z , ≤) sunt mul țimi total ordonate.
Defini ție. O rela ție de ordine f a produsului cartezian E × E este
numit ă de ordine par țial ă, dac ă exist ă cel pu țin un element x din E și un
element y din E, pentru care nu avem adev ărat ă nici una din rela țiile x f y
sau y f x .
Exemplu.
1)În mul țimea p ărților unei mul țimi rela ția de incluziune nu este o
rela ție de ordine total ă.
Defini ție. O rela ție f între elementele unei mul țimi este de ordine
strict ă dac ă nu este reflexiv ă, nu este simetric ă dar este tranzitiv ă.
Exemplu.
1)Într-o mul țime de oameni, rela ția f “… este urma ș al lui … ” este
o rela ție de ordine strict ă.
Nu putem avea “ a este urma ș al lui a” deci rela ția nu este reflexiv ă.
Dac ă avem “ a este urma ș al lui b”, nu mai putem avea “ b este
urma ș al lui a”. Aceasta spune c ă rela ția nu este simetric ă.
Dac ă “a este urma ș al lui b” și “b este urma ș al lui c”, atunci
spunem c ă “a este urma ș al lui c”. Rela ția este deci tranzitiv ă.
-27- Exerci ții
1.Demonstra ți c ă o rela ție simetric ă și tranzitiv ă pentru care orice
element satisface cele dou ă rela ții, este și reflexiv ă.
2.Pe mul țimea dreptelor din plan definim rela țiile:
a)Rela ția f asociaz ă oricare dou ă drepte paralele sau identice;
b)Rela ția g asociaz ă oricare dou ă drepte perpendiculare.
Care sunt propriet ăț ile și felurile rela țiilor de mai sus?
3.Pe mul țimea punctelor unei drepte d din plan definim rela țiile:
a)Rela ția f asociaz ă oricare dou ă puncte cu condi ția c ă primul este
la dreapta celui de-al doilea;
b)Rela ția g asociaz ă dou ă puncte astfel încât primul este identic
sau la stânga celui de-al doilea;
Care sunt propriet ăț ile și felurile rela țiilor de mai sus?
4.În cercul C(O,r) dou ă coarde oarecare sunt în rela ția f dac ă sunt
egal dep ărtate de centrul cercului. Demonstra ți c ă aceast ă rela ție este de
echivalen ță .
5.În mul țimea studen ților din România consider ăm rela țiile :
a)Rela ția f asociaz ă oricare dou ă persoane cu acelea și medii;
b)Rela ția g asociaz ă oricare dou ă persoane cu aceea și vârst ă;
c)Rela ția h asociaz ă oricare dou ă persoane care locuiesc în mediul
urban.
Care sunt propriet ăț ile și felurile rela țiilor de mai sus?
-28-
Capitolul IV . Func ții
1. No țiunea de func ție.
Defini ție. Fie X, Y mul țimi nevide. Se nume ște func ție definit ă pe
X cu valori în Y orice rela ție f între X, Y care verific ă urm ătoarele
condi ții:
F 1) Dom f = X , adic ă pentru orice x ∈ X exist ă y ∈ Y astfel încât
(x,y ) ∈ f;
F 2) Rela ția f este univoc ă, adic ă dac ă ( x, y1) ∈ f și ( x, y2) ∈ f
atunci y1 = y2.
În acord cu F 2), pentru fiecare x ∈ X not ăm cu f(x) unicul element
y ∈ Y astfel încât ( x, y) ∈ f. Simbolul f(x) se nume ște valoarea lui f în
punctul x, sau imaginea lui x prin f.
O func ție se noteaz ă indicând cele dou ă mul țimi și legea de
coresponden ță astfel:
f : X → Y, f = f(x); f : X → Y; f : x → f(x); y = f(x), x ∈ X; y = f(x); f;
Exemple.
1)Fie X mul țimea tuturor ora șelor din România, iar B mul țimea
tuturor jude țelor din România.
Definim func ția f : X → Y prin: oric ărui ora ș i se asociază jude țul s ău.
Pentru aceast ă func ție avem, spre exemplu, f(Tg-Jiu) = Gorj , f(Craiova ) =
Dolj , etc.
2)Fie P(X) mul țimea tuturor părților lui X. Definim f:P(X) → P(X)
prin f(A, B) = AUB.
Fie A ⊂ X și B acea parte a lui Y care corespunde prin f lui A.
Spunem c ă B este imaginea direct ă a lui A prin f și scriem f(A) = B.
Dac ă imaginea lui X prin f const ă dintr-un singur element al lui
Y, spunem c ă func ția f este constant ă.
Astfel, conceptul de func ție trebuie în țeles ca un triplet format din
domeniul de defini ție, mul țimea în care se iau valori și rela ția dintre ele .
Func țiile f1 : E1 → F1, f2 : E2 → F2 sunt egale dac ă:
1) E1 = E2,
2) F1 = F2,
3) f1(x) = f2(x) pentru orice x ∈ E1.
-29- Defini ție. Fie U mul țime și A submul țime a sa. Definim 1 A:U →
{0,1} prin:
∈∉=AxAx
Apentru , 1pentru , 01
și o numim func ția caracteristic ă a lui A.
Exemplu. Dac ă U = {1,2,3,4,5,6,7,8} atunci
lui A={2,4,5,7,8} îi corespunde secven ța
2. Moduri de a defini o func ție.
Exist ă dou ă moduri de a defini o func ție:
a) Func ții definite sintetic . În multe cazuri func ția f : X → Y poate
fi definit ă numind pentru fiecare element în parte din X elementul ce i se
asociaz ă din mul țimea Y.
Exemplu. Fie X = { a, b, c, d } și Y= {a, e, f }. Definim f:X→Y
prin:
f ( a) = a; f ( b) = e; f (c) = a; f ( d) = f
f
În fig 1 s ăge țile indic ă legea de definire
a func ției f de la mul țimea X la
mul țimea Y.
x
a b c d
f(x) a e a f În tabelul al ăturat în prima linie sunt
trecute elementele mul țimii pe care este
definit ă func ția, iar în linia a doua
elementele din mul țimea unde func ția ia
valori.
b) Func ții definite analitic . O func ție f : X → Y poate fi definit ă
specificând o proprietate (rela ție) ce leag ă un element arbitrar x ∈ X de
elementul f(x) din Y.
Exemplu. Dac ă E ( x) = x3 atunci putem defini func ția
f : R → R, f(x) = x3. a
b
c
d a
e
f 0 1 0 1 1 0 1 1
-30-
3. Compunerea func țiilor.
Fie X, Y, Z mul țimi nevide și f:X→Y, g:Y→Z func ții. Din defini ția
func ției f deducem c ă pentru orice element x ∈ X exist ă un unic
element notat f(x) din Y. Cum f(x) ∈ Y din defini ția func ției g deducem
că exist ă un unic element notat g(f ( x)) din Z. Prin urmare perechii de func ții
(f,g) îi corespunde o nou ă func ție notat ă g◦f și numit ă func ția compus ă a lui
f prin g care aplic ă pe X în Z.
Defini ție. Func ția g◦f:X→Z se define ște prin ( g◦f)( x) = g(f ( x)),
∀x∈X.
Schematic func ția g◦f poate fi reprezentat ă cu ajutorul diagramei:
Exemplu. Dac ă f:R→R și g:R→R sunt definite prin f(x) = x + 5 și
g(x) = 3 – x atunci g◦f:R→R se define ște prin
(g◦f)( x) = g(f(x)) = 3 – ( x + 5) = -2 – x.
Observa ție 1. Dac ă not ăm cu y argumentul func ției g, iar func ția
îns ăș i cu g(y), atunci func ția compus ă se ob ține substituind argumentul y
prin f (x), deci g(y) = g(f ( x)) = ( g◦f )( x)
Observa ție 2. Dac ă g◦f are sens nu rezult ă c ă și f◦g are sens. Dac ă
g◦f, f◦g au sens, atunci, în general f◦g ≠ g◦f;
Teorem ă. Compunerea func țiilor este asociativ ă, adic ă pentru
orice func ții f:X→→ →→Y, g:Y→→ →→Z și h:Z→→ →→V avem ( h◦g)◦f = h ◦ ( g◦f).
4. Graficul unei func ții
Defini ție . Dac ă f:X→Y, atunci mul țimea Gf={( x,y)y=f(x), x∈X} ⊆
X×Y se nume ște graficul lui f .
Exemplu. Dac ă X={ a, b, c, d}, Y={1, 2, 4} și f:X→Y prin
f(a)=2, f(b)=1, f(c)=2, f(d)=4
atunci
Gf={( a,2), ( b,1), ( c,2), ( d,4)}
4.1. Func ții numerice și reprezentarea grafic ă a lor
Defini ție. f:X→Y se nume ște func ție numeric ă, dac ă X, Y sunt
submul țimi ale mul țimii numerelor reale.
-31- y1
y2 Exemplu. f :R→R, f(x)= x+10
Fie f:X→Y func ție numeric ă și Gf graficul s ău. Fie xOy un sistem
de axe perpendiculare din plan. Dac ă ( x,y) este un element din Gf, atunci îi
asociem punctul P(x,y) din plan ( x abscisa, iar y ordonata punctului P).
Mul țimea tuturor punctelor din plan de coordonate x și y unde ( x,y) este un
element oarecare din Gf se nume ște reprezentarea geometric ă a graficului
func ției f. F ără a face vreo confuzie în loc de reprezentarea geom etric ă a
unei func ții spunem graficul func ției f.
Exemplu. Dac ă X={ 1, 2, 3, 4}, Y={ 1, 2, 4} și f:X→Y prin
f(1)= 2, f(2)= 1, f(3)= 2, f(4)= 4
atunci
Gf={( 1,2), ( 2,1), ( 3,2), ( 4,4)}
Reprezentarea geometric ă a mul țimii Gf este mul țimea punctelor A(1,2),
B(2,1), C(3,2), D(4,4) din figura:
5. Func ții injective, surjective, bijective. Inversa unei f unc ții.
Defini ție. Spunem c ă o func ție f:X→Y este injectiv ă dac ă pentru
orice dou ă elemente x1 ,x 2∈X cu x1≠x2⇒ f(x1)≠f(x2).
Exemple schematice.
X Y
f
10) f aplic ă pe X în Y. Cum x 1≠x2 și f(x 1)=f(x 2)
aplica ția nu este injectiv ă. x1
x2
x3
-32- 1
2
3
4
5 y1
y2
1
2
3
4 a
b
c
d
1
2
3
4 a
b
c
d x1
x2
x3 y1
y2
y3
f
2 0) f aplic ă mul țimea X în mul țimea Y. Avem
x1≠x2≠x3⇒ f(x 1) ≠f(x 2) ≠f(x 3)
și deci aplica ția este injectiv ă.
Defini ție. Spunem c ă f:X→Y este o func ție surjectiv ă dac ă pentru
orice element y∈Y exist ă cel pu țin un element x∈A astfel încât f(x)= y.
Exemple schematice.
X f Y
i) f:X →Y este o aplica ție surjectiv ă.
X Y
f
ii) func ția f:X →Y nu este o aplica ție
surjectiv ă deoarece elementul b ∈Y nu este
imaginea prin f a nici unui element din X.
Defini ție . O func ție f:X→Y simultan injectiv ă și surjectiv ă se
nume ște func ție bijectiv ă.
Exemplu schematic.
X Y
f
Observ ăm c ă oric ărui element din X îi
corespunde un unic element din Y.
-33- Pentru func țiile f:X→X, f(x)= x vom folosi nota țiile 1X sau id X și citim
func ția identic ă a mul țimii X.
Inversa unei func ții
Defini ție. Spunem c ă f:X→Y este o func ție inversabil ă dac ă exist ă
o func ție g:Y→X astfel încât g◦f=1X și f◦g=1Y.
Exemplu. Dac ă X={1, 2, 3, 4}, Y={a, b, c, d} și f:X→Y definit ă
prin f(1)=b, f(2)=a, f(3)=c, f(4)=d
atunci exist ă func ția invers ă f-1:Y →X definit ă prin f-1(b)=1 , f -1(a)=2 ,
f-1(c)=3 , f -1(d)=4 .
Dac ă exist ă g’ cu propriet ăț ile din enun ț atunci
g=1X◦g=( g’◦f)◦g=g’◦(f◦g)= g’◦1Y=g’ deci, inversa unei func ții dac ă exist ă este
unic ă. Vom nota inversa func ției f cu f-1, ca în exemplul dat.
Defini ție. Mul țimea tuturor elementelor din X a c ăror imagine
prin f este Y, spunem c ă formeaz ă imaginea reciproc ă prin f a lui Y și se
noteaz ă cu f-1(Y).
Din f(X)= Y urmeaz ă f-1(Y)⊇X.
Observa ție. Graficele func țiilor f, f -1 sunt simetrice fa ță de prima
bisectoare a axelor.
Într-adev ăr, fie y0=f(x0), deci x0=f-1(y0), punctul B(x0,y0)∈Gf, iar punctul
A(y0,x0)∈Gf-1; deci punctele B(x0,y0) și A(y0,x0) sunt simetrice fa ță de prima
bisectoare, deoarece prima bisectoare este chiar bi sectoarea unghiului xOy.
6. Func ții monotone, func ții pare, func ții impare.
Defini ție. Fie X, Y submulțimi ordonate ale lui R. Spunem c ă
f:X→Y este cresc ătoare (respectiv descresc ătoare ) dac ă x≤y în X implic ă
f(x)≤f(y) (respectiv f(x)≥f(y)) în Y.
Înlocuind peste tot " ≤" cu " <" ( și respectiv " ≥" cu " >") ob ținem no țiunile de
func ție strict cresc ătoare (respectiv func ție strict descresc ătoare ). Func țiile
cresc ătoare și func țiile descresc ătoare alc ătuiesc la un loc clasa func țiilor
monotone . Clasa func țiilor strict monotone se define ște similar.
Exemplu. Func ția f:R+→R+, f(x)= x+1 este o func ție strict
cresc ătoare.
Observa ție. Fie f:X→R și M, N⊂X submul țimi nevide. Dac ă f este
strict cresc ătoare pe M și N atunci f nu rezult ă c ă este strict cresc ătoare și pe
M∪N.
Într-adev ăr, func ția f(x)= x1− , x∈R\{0} este un exemplu suficient.
Pe M=(-∞,0), N=(0,+ ∞) func ția este strict cresc ătoare, dar pe M∪N= R\{0}
-34- nu este strict cresc ătoare cum ar fi de exemplu pentru -1 <1⇒
f(-1) >f (1).
Fie D⊂R o submul țime real ă simetric ă fa ță de originea axelor și
f:D→R.
Defini ție. Func ția f se nume ște func ție par ă dac ă f(-x)= f(x) pentru
orice x∈D.
Exemplu. Func ția f:R →R, f ( x)= x 2 este o func ție par ă.
Graficul s ău este simetric fa ță de axa O y, adic ă ∀(a,b)∈R2 apar ținând
graficului, simetricul s ău ( -a,b) fa ță de axa O y apar ține graficului.
Defini ție. Func ția f se nume ște impar ă dac ă f(-x)=-f(x) pentru
orice x∈D.
Exemplu. Func ția f:R→R, f(x)= x3 este o func ție impar ă;
Graficul unei func ții impare este simetric fa ță de originea axelor, adic ă
∀(a,b)∈R2 apar ținând graficului, simetricul s ău fa ță de origine (- a,-b)
apar ține graficului. O func ție care nu îndepline ște condi țiile de mai sus se
nume ște func ție fără paritate .
7.Exerci ții
1.Fie func ția f:R →R definit ă prin:
( )
≥ +< ≤ −< −
=
5 , 3 25 1 , 71 , 2 5
xadac x-x adac xadac x
xf
(((
a)S ă se calculeze f(-3), f(-1), f(3), f(5), f(6) ;
b)S ă se traseze graficul func ției f.
2.Folosindu-se diagrama asociat ă unei func ții s ă se determine
num ărul func țiilor injective de la mul țimea A={a,b} în mul țimea B={c,d,e}.
Exist ă func ții surjective de la A la B?
3. Consider ăm func țiile:
( )
( )
−> −−≤= →
>≤ −= →
1 dac ă , 11 dac ă ,g ; :0 dac ă ,0 dac ă , 1 3 ; :
2
x xx xx R Rgx xx xxfR Rf
Determina ți g◦f, f◦g .
-35- 4. Fie func ția f:N→N definit ă prin:
( )
≥==
1 3 0 , 1
n a , dac a lui acifr ultima nadac nfn( ((
a)S ă se arate c ă f(n+4) =f(n);
b)S ă se schi țeze graficul func ției f.
5. Fie func ția f:R →R definit ă prin:
( )
<≥=0 ,0 ,3
x adac x x adac xxf ((
a)S ă se arate c ă f este bijectiv ă;
b)S ă se traseze graficele lui f și f -1.
-36-
Capitolul V . Structuri agebrice
1. Lege de compozi ție intern ă
Defini ție. Fiind dat ă o mul țime nevid ă M, se nume ște opera ție
algebric ă intern ă sau lege de compozi ție intern ă, definit ă pe M, orice
func ție
φ:M×M→M; ( a,b) → φ(a,b)∈M.
Exemplu. Pe mul țimea P ( M) a tuturor p ărților lui M definim:
φ: P ( M)× P ( M)→ P ( M), ( A,B)→φ(A,B)= A∪B.
Observa ție. Dac ă φ:M×M→M este o opera ție algebric ă pe
mul țimea M, în loc de φ se mai folosesc nota țiile:
-, +, ∆, □, ◊, ●, Θ, ®, ©, ٧ , ٨ etc.
Defini ție. Fie M o mul țime pe care este dat ă o lege de compozi ție
φ. O submul țime H a lui M cu proprietatea:
a,b∈H ⇒ φ(a,b)∈H
se nume ște parte stabil ă a lui M în raport cu H.
Exemplu. Fie A mul țime și F(A)={ f:A →A}. Definim opera ția
algebric ă:
φ:F(A) ×F( A) →F( A) , ( f,g )→ φ(f,g)=f og.
Not ăm prin H mul țimea tuturor func țiilor bijective din F(A). Este
evident c ă H este parte stabil ă a lui F(A).
Observa ție. Dac ă H este parte stabil ă a lui M în raport cu legea de
compozi ție φ:M×M→M, atunci pe H putem defini legea de compozi ție:
φ’:H×H→H, φ’(a,b)= φ(a,b)∈H, ∀ a,b∈H.
și spunem c ă φ’ este legea de compozi ție indus ă pe H de c ătre φ sau c ă
opera țía din G induce o opera ție pe H.
2. Propriet ățile opera ției interne
Asociativitatea.
Defini ție. Fie M≠Ø mul țime și φ:M×M→M o opera ție algebric ă
pe mul țimea M. Spunem c ă φ este o opera ție algebric ă asociativ ă, dac ă:
∀a, b, c∈M ⇒ φ(a, φ(b,c))= φ(φ(a,b), c). ∀
-37- Exemplu. Pe mul țimea P ( M) a tuturor p ărților lui M definim
φ: P ( M)× P ( M)→ P ( M), ( A,B)→φ(A,B)= A∪B.
Demonstr ăm c ă φ este asociativ ă. Avem:
φ(A,φ(B,C))= φ(A, B∪C)= A∪(B∪C) ( 1)
φ(φ(A,B), C)= φ(A∪B,C)=(A∪B) ∪C ( 2)
folosind ( 1) și ( 2) avem c ă φ(A,φ(B,C))= φ(φ(A,B), C) din asociativitatea
reuniunii. În concluzie opera ția algebric ă definit ă mai sus pe mul țimea
părților unei mul țimi este asociativ ă.
Comutativitatea.
Defini ție. Fie M≠Ø o mul țime și φ:M×M→M o opera ție algebric ă
pe mul țimea M. Spunem c ă φ este o opera ție algebric ă comutativ ă, dac ă:
∀a, b∈M ⇒ φ(a,b)= φ(b,a).
Exemplu. Pe mul țimea P ( M) a tuturor p ărților lui M definim:
φ: P ( M)× P ( M)→ P ( M), ( A,B)→φ(A,B)=A∪B.
Demonstr ăm c ă φ este comutativ ă.
Avem:
φ(A,B)= A∪B ( 3)
φ(B,A)= B∪A ( 4)
iar din ( 3) și ( 4) avem c ă φ(A,B)= φ(B,A), adic ă φ este comutativ ă.
În cazul în care φ nu este comutativ ă, se spune c ă φ este o opera ție
algebrică necomutativ ă.
Element neutru.
Defini ție. Fie M≠Ø o mul țime și φ:M×M→M o opera ție algebric ă
pe mul țimea M. Spunem c ă e∈M este element neutru pentru opera ția φ,
dac ă:
∀a∈M ⇒ φ(a,e)= φ(e,a)= a
Dac ă consider ăm o opera ție algebric ă oarecare, notat ă prin:
∆:M×M→M, ( a,b)→a∆b
atunci condi ția de mai înainte a elementului neutru se scrie:
a∆e=e∆a=a, ∀a∈M.
Exemplu. Fie A mul țime și F(A)={ f:A →A}. Definim opera ția
algebric ă:
φ:F(A) ×F( A) →F( A) , (f,g )→ φ(f,g)=f og.
Aplica ția identic ă 1A a mul țimii A este elementul neutru al
opera ției de compunere a func țiilor din F( A).
Teorem ă. Elementul neutru, dac ă exist ă, este unic determinat.
Demonstra ție.
Presupunem c ă e și e1 sunt elemente neutre pentru opera ția
algebric ă " ∆". Avem:
e=e∆e1=e1
-38- Elemente simetrizabile.
Defini ție. Fie M≠Ø o mul țime și φ:M×M→M o opera ție algebric ă
pe mul țimea M cu element neutru e. Dac ă a∈M este un element al lui M, se
spune c ă a este simetrizabil fa ță de opera ția dat ă, dac ă:
∃b∈M, astfel încât φ(a,b)= φ(b,a)= e ∀a,b ∈M.
Exemplu. Orice num ăr ra țional este simetrizabil în raport cu
adunarea numerelor ra ționale. Simetricul lui bafiind ba− .
Teorem ă. Dac ă M≠≠ ≠≠Ø este o mul țime, iar ∆:M×× ××M→→ →→M,
(a,b)→→ →→a∆b, este o opera ție algebric ă pe M, care admite element neutru
e, atunci e este simetrizabil, simetricul s ău fiind e.
Demonstra ție.
Avem e ∆e=e.
Teorem ă. Fie M≠≠ ≠≠Ø o mul țime înzestrat ă cu o opera ție
algebric ă asociativ ă ∆:M×× ××M→→ →→M, ( a,b)→→ →→a∆b, și cu element neutru e.
Dac ă a∈∈ ∈∈M este simetrizabil, atunci simetricul s ău este unic.
Demonstra ție.
Fie a∈M iar b,c∈M, simetrici ai lui a, adic ă a∆b=b∆a=e și
a∆c=c∆a=e atunci c∆(a∆b)= c∆e=c iar ( c∆a)∆b=e∆b=b. Opera ția fiind
asociativ ă, avem c∆(a∆b)=( c∆a)∆b de unde c=b.
Observa ție . Dac ă opera ția algebric ă ∆ nu este asociativ ă atunci
simetricul nu este unic.
Demonstra ție.
Fie M={e, a, b, c} și ∆:M×M→M, ( a,b)→a∆b definit ă prin:
e∆x=x∆e=x, pentru orice x∈M
a∆a=a∆b=b∆a=e
c∆a=a
c∆b=b∆c=b
c∆c=a∆c=b∆b=c
Aceast ă opera ție nu este asociativ ă, de exemplu ( a∆b)∆c=c≠e=a∆(b∆c).
Elementul a are ca simetrice pe a și pe b.
O mul țime nevid ă M înzestrat ă cu o opera ție algebric ă ∆ o not ăm,
uneori prin perechea ( M, ∆), punând în eviden ță mul țimea și opera ția
algebric ă.
3.Tabla unei legi de compozi ție.
Fie M o mul țime finit ă, M={ a1, a 2, . . . ,an}. În acest caz o lege de
compozi ție φ:M×M→M, se poate reprezenta prin ceea ce este cunoscut de
tabla opera ției φ, care const ă dintr-un tabel cu n linii și n coloane afectate
-39- celor n elemente ale lui M. Tabla legii de compozi ție φ con ține la intersec ția
liniei lui ai cu coloana aj elementul φ(ai,aj) și este reprezentat ă prin:
φ a 1 a 2 . . . . . . . . aj an
a1
a2
. . .
ai
an
φ(ai,aj)
Din tabla unei legi de compozi ție dat ă pe o mul țime finit ă M se pot
verifica opera țiile algebrice definite mai sus.
Spre exemplu:
-comutativitatea unei legi de compozi ție, pentru ca opera ția φ s ă fie
comutativ ă trebuie ca elementul φ(ai,aj) de la intersec ția liniei lui ai cu
coloana lui aj s ă fie egal cu elementul φ(aj,ai) de la intersec ția liniei lui aj cu
coloana lui ai.
Cu un ra ționament analog se verific ă celelalte opera ții.
Exerci țiu. Fie C mul țimea numerelor complexe și H= {1,-1,i,-i}
submul țime a lui C. Pe H definim “•” (înmul țirea) prin:
•:H×H→H; ( a,b)→a•b, ∀a,b∈H .
Folosind tabla legii de compozi ție verifica ți c ă opera ția algebric ă
definit ă pe H×H este comutativ ă, admite element neutru și element
simetrizabil precum și faptul c ă H este parte stabil ă pe C.
4. Structura de monoid.
Defini ție. O mul țime nevid ă M se nume ște monoid în raport cu o
lege de compozi ție:
φ:M×M→M; ( a,b)→φ(a,b)
dac ă sunt îndeplinite simultan rela țiile:
M1) φ(a,φ(b,c))= φ(φ(a,b), c),
M2) ∃ e∈M astfel încât φ(a,e)= φ(e,a)= a, ∀ a, b, c∈M.
Dac ă în plus este îndeplinit ă și condi ția
M3) φ(a,b)= φ(b,a), ∀ a, b∈M
spunem c ă monoidul M este comutativ .
Exemplu. Pe mul țimea P ( M) a tuturor p ărților lui M definim:
φ: P ( M)× P ( M)→ P ( M), ( A,B)→φ(A,B)= A∪B.
Atunci ( P(M), ∪) este monoid comutativ.
-40-
Reguli de calcul într-un monoid
Presupunem în continuare c ă M este monoid cu element neutru e
și c ă opera ția algebric ă de pe M este dat ă în nota ție multiplicativ ă (" · ").
Definim produsul unui num ăr finit de elemente a 1, a 2, … ,a n (n ≥1)
astfel:
a1a2…a n= (a 1a2… a n-1 )a n⇔ a1a2…a n= (a 1a2…a k)( a k+1 …a n) (1)
Dac ă a1=a2…=a n=a, în loc de a 1a2…a n scriem a n și definim inductiv
puterile lui a astfel:
a0=e; a 1=a; a 2=a·a; a 3=a 2·a, . . . ,a n=a n-1·a, . . . .
Teorem ă. Oricare ar fi numerele naturale m și n avem:
am·a n=a m+n , (a m)n=a m·n
Dacă legea de compozi ție a monoidului M este adunarea (+),
definim multiplii n ai lui a, cu n ∈N, astfel:
=> + −=0n daca 00n daca ) 1 ( aa nna def
Rezultatul din teorem ă se scrie aditiv astfel:
ma+na=(m+n)a, n(ma)=(nm)a oricare ar fi m, n ∈N.
5.Structura de grup
Defini ție. Se nume ște grup o mul țime nevid ă G, înzestrat ă cu o
opera ție algebric ă:
φ:M×M→M; ( a,b)→φ(a,b)
care satisface urm ătoarele condi ții:
G 1) φ(a,φ(b,c))= φ(φ(a,b), c),
G 2) ∃e∈M astfel încât φ(a,e)= φ(e,a)= a, ∀ a∈M,
G 3)orice element din G este simetrizabil, adic ă:
∀a∈G, ∃ a’∈G astfel încât φ(a,a’)= φ(a’,a)= e.
Dac ă în plus opera ția algebric ă φ este comutativ ă, se spune c ă grupul este
comutativ sau abelian .
Exemplu. Fie G mul țimea r ădăcinilor ecua ției x 3=1. Definim “•”
(înmul țirea-nota ția multiplicativ ă) prin:
•:G×G→G; ( a,b)→a•b, ∀a,b∈G
atunci ( G, •) este grup abelian .
Subgrup.
Defini ție. Spunem c ă o submul țime nevid ă H a grupului G este un
subgup al lui G, dac ă opera ția algebric ă din G induce pe H o opera ție
algebric ă fa ță de care H este grup.
-41- Exemplu. Fie 0≥n num ăr întreg și nZ={nh h∈Z} mul țimea
multiplilor lui n. În aceste ipoteze nZ este subgrup al grupului ( Z,+ ).
Teorem ă. Fie ( G,·) grup cu element neutru e și H o submul țime
nevid ă a sa. Urm ătoarele afirma ții sunt echivalente:
1) H este subgrup al lui G,
2)
10) ∀a,b∈∈ ∈∈H produsul ab , efectuat conform opera ției
din G, este un element din H,
20)e∈∈ ∈∈H,
30) ∀a∈∈ ∈∈H, inversul s ău a-1 în G, apar ține lui H,
3) ∀ a,b∈∈ ∈∈H, a b-1 (sau a-1b) efectuat în G, apar ține lui H.
Demonstra ție. Exerci țiu
Observa ție.
Dac ă G este un grup, atunci G însu și este un subgrup al lui G,
numit subgrupul total al lui G. De asemenea submul țimea { e} a lui G este
subgrup, numit subgrupul nul al lui G. Subgrupul total și subgrupul nul al
lui G se numesc subgrupuri improprii ale lui G. Orice subgrup diferit de
acestea se nume ște subgrup propriu .
Reguli de calcul într-un grup.
Dac ă a1, a2, . . . , an ( n≥0) sunt elemente ale unui grup G (în nota ție
multiplicativ ă) cu element neutru e, atunci
(a1a2 . . . an)-1=an-1. . . a2-1a1-1
Într-adev ăr, ținând cont de asociativitatea opera ției multiplicative avem:
(a1a2 . . . an)( a1a2 . . . an)-1=( an-1. . . a2-1a1-1) ( a1a2 . . . an)= e.
În particular ( ab )-1=b-1a-1 iar dac ă a1=a 2= . . . =a n=a , atunci pentru
orice n≥0 are loc
(an)-1=( a-1)n (1)
Într-adev ăr, ( an)-1=(( a-1)-n)-1=(( a-1)-1)-n=( a)-n=( a-1)n.
Observa ție. Rela ția (1) se extinde și pentru n<0.
Ca și la monoizi și la grupuri, pentru orice numere naturale m și n avem:
am·an=am+n , ( am)n=am·n
mai mult într-un grup sunt adev ărate regulile de simplificare:
10)Dac ă (a, b, c ∈G și ab=ac ) atunci b=c ;
20)Dac ă (a, b, c ∈G și ba=ca ) atunci b=c
6.Structura de inel
Defini ție. Se nume ște inel o mul țime nevid ă I, înzestrat ă cu dou ă
legi de compozi ție notate de obicei "+" și "·", astfel încât:
-42- a) ( I, +) are o structur ă de grup.
b) opera ția "·" este asociativ ă.
c) opera ția "·" este distributiv ă în raport cu legea "+".
Pentru a eviden ția faptul c ă pe mul țimea I s-au considerat dou ă
opera ții vom nota ( I,+,·).
Exemplu. Fie Z[i]={ a+bi a,b ∈Z }. Dac ă definim:
+ : Z[i]× Z[i]→ Z[i] prin ( a+bi )+( c+di )=( a+c )+( b+d )i∈ Z[i]
și
· : Z[i]× Z[i]→ Z[i] prin ( a+bi ) · ( c+di )=( ac-bd )+( ad+bc )i∈ Z[i]
atunci ( Z[i],+,·) este inel.
Observa ție. Dac ă mul țimea I este format ă dintr-un singur element
a atunci putem defini o singur ă structur ă de inel punând a+a=a·a=a. În acest
caz a=1=0 iar I se nume ște inel nul . Un inel care con ține cel pu țin dou ă
elemente se nume ște inel nenul ;
Observa ție. Dac ă legea de compozi ție "·" a inelului I are
proprietatea de comutativitate atunci inelul I se nume ște comutativ ;
Observa ție. Inelul I se nume ște unitar sau inel cu element unitate
dac ă opera ția de "·" are element unitate.
Teorem ă. Fie ( I,+, ·) un inel. Dac ă 0 este element unitate pentru
opera ția "+" din I, atunci 0·a=a·0=0, pentru orice a∈∈ ∈∈I.
Demonstra ție.
Avem 0· a=(0+0)· a=0·a+0·a și deci adunând la ambii membri ai
acestei rela ții pe –(0· a), ob ținem 0· a=0. Pentru cealalt ă egalitate scriem
a·0=a·( 0+0)= a·0+a·0 și deci adunând în ambii membri pe – a·0 se ob ține
a·0=0.
Dac ă ( I,+,·) este un inel unitar, atunci elementele lui I simetrizabile
în raport cu opera ția "·" se numesc elemente inversabile sau unit ăți ale
inelului I. Inversul sau simetricul lui a în raport cu legea "·" se noteaz ă cu
a-1 iar în raport cu legea "+" se noteaz ă cu -a. Mul țimea unit ăț ilor lui I se
noteaz ă cu U(I). Elementul unitate 1 al inelului I este unul din unit ăț ile
inelului I și are rol de element neutru în grupul ( U(I),·).
Defini ție. Elementul a∈I, se nume ște divizor la stânga (la dreapta)
al lui zero dac ă exist ă b∈I, b≠0, astfel încât a·b=0 (b·a=0).
Dac ă inelul este comutativ, atunci b·a=a·b=0 și deci no țiunile de
divizor la stânga și divizor la dreapta al lui zero coincid.
Defini ție. Un inel ( I,+,·) nenul, comutativ, unitar și f ără divizori ai
lui zero diferi ți de zero se nume ște domeniu de integritate sau inel integru .
Subinele
Defini ție. Fie ( I,+,·) un inel și S o submul țime nevid ă a sa. S se
nume ște subinel al lui I dac ă opera țiile din I induc pe S o structur ă de inel.
-43- Din defini ție rezult ă, în particular, c ă S este subgrup al grupului
(I,+) și S este o parte stabil ă a lui I în raport cu opera ția " ·".
Prin urmare condi țiile:
S 1)a-b∈S, pentru orice a,b∈S;
S2) a·b ∈S, pentru orice a,b∈S;
sunt condi ții necesare și suficiente pentru ca S s ă fie un subinel al lui I.
Observa ție. Dac ă (I,+,·) este un inel, atunci I și submul țimea {0}
a lui I este subinel.
7. Structura de corp.
Defin ție. Un inel (K,+,·) unitar și care con ține cel pu țin dou ă
elemente se nume ște corp dac ă orice element nenul din K este inversabil
fa ță de opera ția "·" din K.
Existen ța elementelor inversabile este asigurat ă de faptul c ă inelul
admite element unitate în raport cu opera ția "·".
Faptul c ă elementul unitate al opera ției "·" este diferit de elementul
unitate al opera ției "+" este asigurat de faptul c ă inelul este diferit de inelul
nul.
Exemplu. Fie 1 , 0≠d num ăr care nu se divide prin p ătratul nici
unui num ăr prim. Not ăm
[]{ }Qbadba dQ ∈ += ,
Definim:
[][][], : dQ dQdQ → × +
( )( )( )( ) []dQ vb ua dvu dba ∈ +++= ++ + d
și
[][][], : dQ dQdQ → × ⋅
( )( )( )( ) []dQ bu av dbv au dvudba ∈ + + + = +⋅ + d
Atunci [] ( )⋅+,,dQ este corp.
Teorem ă. Orice divizor al lui zero într-un inel nenul I nu este
inversabil.
Demonstra ție.
Fie a un divizor al lui zero la stânga, adic ă exist ă b≠0, b∈I astfel
încât ba =0. Dac ă a ar fi inversabil în I, atunci ar exista a’ ∈I astfel încât
aa’ = a’a =1. Deducem c ă baa’ =0a’ =0=b lucru care intr ă în contradic ție cu
b≠0. În concluzie un corp nu are divizori ai lui zero diferi ți de zero.
-44- Defini ție. Un corp se nume ște comutativ dac ă "·" este opera ție
comutativ ă.
Observa ție. Deoarece orice corp este inel, toate propriet ăț ile
inelelor r ămân valabile în cazul corpurilor.
Subcorpuri.
Defini ție. O submul țime nevid ă k a unui corp ( K,+,·) se nume ște
subcorp dac ă opera țiile de înmul țire și adunare de pe K induc pe k opera ții
algebrice împreun ă cu care este corp.
Din defini ție deducem: k împreun ă cu opera ția aditiv ă este subgrup
în K, ceea ce este echivalent cu
a) oricare ar fi x,y∈k⇒x-y∈k
iar din faptul c ă elementele din k\{0} formeaz ă subgrup al grupului
elementelor nenule din K, avem:
a)oricare ar fi x,y ∈k\{0}⇒xy -1∈k .
Exemplu. (Q,+, ·) este subcorp al lui ( R,+, ·)
Observa ții.
1.Condi ția x≠0 putea fi eliminat ă deoarece pentru x=0 se ob ține
totdeauna xy -1∈k.
2.Din defini ția subcorpului rezult ă c ă orice subcorp con ține
elementul nul și elementul unitate al corpului.
Caracteristica unui corp.
Fie K un corp și e elementul unitate la înmul țire în K.
Defini ție. Caracteristica lui K este cel mai mic num ăr natural p>0
cu proprietatea :
0=pe =e+e+…+ e, de p ori.
Dac ă nu exist ă nici un num ăr natural cu aceast ă proprietate vom
spune c ă, corpul K este de caracteristic ă 0.
Teorem ă. Num ărul p cu proprietatea de mai sus dac ă exist ă
este prim.
Demonstra ție.
Dac ă p=p1p2, atunci pe =( p1e)( p2e) și pe =0, iar K fiind corp, se
ob ține p1e=0 sau p2e=0.
Din proprietatea de minimalitate a lui p se ob ține sau p1=p sau p2=p.
Se noteaz ă
∈∀ ≠⋅= ⋅ ∈
=
*
K*
Nn 0 1n , 0}0 1 min{
)(Kdef nNn
kc
Teorem ă. Orice domeniu de integritate are caracteristica 0 sau
un num ăr prim p.
Demonstra ție.
-45- Fie K domeniu de integritate și presupunem caracteristica lui k≠ de
un num ăr prim ⇒ c(K)= mn ⇒1<m,n<c(K).
m1 K n1 K=mn1 K=c(K)1K=0⇒m1 K=0 sau n1 K=0. Din prima rela ție rezult ă
m>c(K) iar din a doua n>c(K) ceea ce este absurd.
8.Exerci ții
1.Pe R se define ște legea de compozi ție “*” :
* :R×R→R, (x,y ) →x*y =xy +2 ax+by
Determina ți a,b ∈R astfel încât legea de compozi ție “*” s ă fie
comutativ ă și asociativ ă.
2.Pe R se define ște legea de compozi ție “*” :
* :R×R→R, (x,y )→x*y=xy -4x-4y+20
Ar ăta ți c ă (G,*) este monoid comutativ.
3.Pe R se define ște legea de compozi ție “*” :
* :R×R→R, (x,y )→x*y=ax+by+c ; ∀a,b,c ∈R și ab ≠0.
Determina ți valorile lui a,b,c pentru care (R,*) este grup cu
elementul neutru 2005.
4.Fie a,b,c ∈R. Pe R se definesc legile de compozi ție “∆” și “*” :
∆:R×R→R, (x,y )→x ∆ y=ax+ by-2, ∀x,y ∈R
*: R×R→R, (x,y )→x * y =xy-2x-2y+c , ∀x,y ∈R
care sunt valorile lui a,b,c ∈R astfel încât ( R, ∆,*) s ă fie corp?
5.Pe C se define ște legea de compozi ție “*” :
* : C×C →C, (z1,z2)→z1*z2=z1z2+i(z1+z2)-i-1
Se cere:
a)Elementul neutru;
b)Elementele simetrizabile;
c)S ă se rezolve ecua ția z*( i-1)=3+ i.
-46-
Capitolul VI . Analiza combinatorie
Teorem ă. Dac ă A este o mul țime cu n elemente, iar B o mul țime cu
m elemente atunci A×× ××B are n·m elemente, adic ă:
A×× ××B = A B
Demonstra ție.
Observ ăm c ă pentru fiecare a∈A putem construi n perechi ordonate
de forma ( a,y), cu y∈B . Cum B are m elemente, num ărul total de perechi
ordonate este n·m.
Defini ție. Fie A mul țime cu n elemente. Mul țimea A se nume ște
ordonat ă dac ă fiec ărui element al s ău i se asociaz ă un anumit num ăr de la 1
la n, numit rangul elementului, astfel încât la element e diferite ale lui A
corespund numere diferite.
1. Aranjamente
Defini ție. Dac ă A este o mul țime cu n elemente atunci
submul țimile ordonate lui A având fiecare câte r elemente, unde 0 ≤r≤n, se
numesc aranjamente de n elemente luate câte r și se noteaz ă r
nA .
Teorem ă. Num ărul aranjamentelor de n obiecte luate câte r
este dat de ()( )( )1 … 2 1 +− − − = rn n nn Ar
n.
Demonstra ție . În construc ția unui aranjament de r -elemente
dintr-o mul țime A cu n elemente, la fiecare pas p se poate alege un
element dintr-o mul țime cu n – (p – 1) = n – p + 1 elemente. Aplic ăm
regula produsului A x B=A·B și rezult ă ce era de demonstrat.
Observa ție. Un calcul simplu conduce la
( )( ) ( )( ) !!1 … 2 1rnnrn n nn
r−=+− − −4444 34444 21
unde n ! = n(n-1) …3·2·1 (cite ște „ n factorial”).
Nota ții : Prin conven ție, punem 1 și 10
00= = A An. Cu aceste
nota ții
( ) !!
rnnAr
n−= , pentru 0 ≤ r ≤ n ; 0 ! = 1.
-47- Exemplu . Num ărul de moduri în care pot fi a șeza ți 3 studen ți pe 6
locuri este:
120 456 A3
6 =⋅⋅= .
2. Permut ări
Fie n ≥ 1, întreg fixat. Aranjamentele de n elemente dintr-o
mul țime A cu n elemente (distincte) se numesc permut ări ale mul țimii A.
Num ărul Pn = ! n An
n= . Prin conven ție, se extinde aceast ă formul ă și la
cazul când A = Ø, punând P0 = 0 ! = 1.
Exemplu . Câte moduri posibile de a șezare a 9 oameni în jurul
unei mese pot fi f ăcute ?
Solu ție. Fie A = {a1, a2, …, a9} mul țimea celor 9 oameni.
Not ăm cu X mul țimea tuturor permut ărilor și cu Y mul țimea permut ărilor
din jurul meselor, din A. Definim func ția f : X → Y stabilind c ă pentru
orice permutare x1, x2, …, x9, f(x1, x2, …, x9) este permutare circular ă
legând x1 și x9 împreun ă pentru a forma un cerc. Este clar c ă func ția f
este bijectiv ă și cele 9 permut ări:
x1 x2 … x9, x2 x 3 … x9 x 1, x9, x1, …, x8
sunt corespondente permut ările circulare.
Avem Y . 40320 ! 899! == =
Analog, num ărul a șez ărilor a n oameni în jurul unei mese este
( ) !. 1n! −=nn
3. Combin ări
Defini ție . Fie A o mul țime cu n elemente ( n ≥ 1) și r fixat,
1≤r≤n . Se nume ște combinare de r elemente din A orice submul țime a
lui A având r elemente.
Teorem ă. Num ărul r
nC de combin ări de r elemente ale unei
mul țimi A cu n elemente este
()( )( )
( ) ! r – n ! r !
! 1 … 2 1 n
rrn n nnCr
n =+− − −= .
Demonstra ție . Fie B = {a1, a2, …, ar} o combinare fixat ă de r
elemente din A. Putem asocia acestei combin ări r ! aranjamente de r
-48- elemente din A . În felul acesta, se ob țin toate aranjamentele. A șadar
r!r
nr
nA C= de unde rezult ă formula din enun ț.
Conven ții. Vom extinde formula combin ărilor și la cazul r = 0,
prin 10=nC (exist ă o singur ă submul țime cu 0 elemente, anume Ø). De
asemenea, 10=nC .
Aceste conven ții sunt compatibile cu o conven ție mai veche 0! = 1.
Trebuie remarcat c ă natura elementelor mul țimii A nu joac ă nici
un rol pentru calculul lui k
nC (ceea ce explic ă absen ța mul țimii A din
nota ție). De aceea, k
nC se mai cite ște „ combin ări de n luate câte k”.
Exemplu . Se dau cinci puncte distincte într-un plan, o ricare patru
necoliniare. Câte patrulatere se pot forma având vâ rfurile în cele patru
puncte ?
Solu ție. Avem 51
545
54
5 = = =−C C C patrulatere.
4. Principiul cuibului
Teorema 1. (Principiul cuibului). Dac ă n obiecte sunt plasate
în m căsu țe și n > m, atunci exist ă cel pu țin o c ăsu ță care con ține dou ă
sau mai multe obiecte.
Principiul cuibului vine de la un chinez care a spus: când pui
porumbei în cuiburi cu mai mul ți porumbei decât cuiburi, atunci cel pu țin
doi porumbei trebuie pu și în acela și cuib.
Exemplul 1. Printre cele cinci numere între 1 și 8, sunt cel pu țin
dou ă din ele care adunate dau 9.
Solu ție. Putem divide mul țimea {1,2, … ,8} în patru submul țimi
distincte unde fiecare are dou ă elemente care adunate dau 9: {1,8}, {2,7},
{3,6}, {4,5}. Când selectezi cinci numere din acest e patru submul țimi, cel
pu țin dou ă din cele cinci numere selectate trebuie s ă fie din aceea și
submul țime. Suma elementelor fiec ăreia este 9.
Exemplul 2. Arat ăm c ă în fiecare grup de doi sau mai mul ți
oameni exist ă doi oameni care au acela și num ăr de prieteni (Este presupus
că dac ă x este prietenul lui y atunci y este de asemenea prietenul lui x).
Solu ție. Presupunem c ă sunt n oameni în grup. Num ărul
prietenilor unei persoane x trebuie s ă fie între 0 și n-1. Dac ă exist ă o
persoan ă x* care are n – 1 prieteni, atunci oricine este prieten cu x*.
Astfel 0 și n – 1 nu pot fi ambele num ărul de prieteni a unor oameni din
-49- grup. Deci principiul cuibului ne spune c ă sunt cel pu țin dou ă persoane care
au acela și num ăr de prieteni.
Teorema 2. Dac ă n obiecte sunt plasate în m c ăsu țe, atunci
una din c ăsu țe trebuie s ă con țin ă cel pu țin
mnobiecte, unde
mndenot ă cel mai mic întreg sau egal cu mn(adic ă, partea întreag ă a
lui mn) .
5. Rela ția de probabilitate
Sunt multe probleme în via ța noastr ă zilnic ă legate de șans ă,
posibilitate sau probabilitate . Când arunc ăm cu o moned ă putem avea dou ă
posibilit ăț i externe: Cap și Pajur ă. Dac ă moneda este adev ărat ă șansa s ă
avem pe partea extern ă Cap este 1 la jum ătate sau 50 %. Când rotim o
pereche de zaruri putem avea pe exterior o colec ție de perechi de numere
între 1 și 6. Șansa evenimentului de a arunca cu un zar 6 este de 61, pe
amândou ă zarurile s ă avem 6 este 36 1
61
61=⋅ ,…(În acest caz spunem c ă
rezultatul arunc ării cu un zar este independent de cel ălalt zar).
Probabilitatea ca un eveniment A s ă se întâmple, este dat ă de :
PA = posibile cazuri de total Nr favorabile cazuri de total Nr
. .
Exemplu. Presupunem c ă urna U i con ține a i bile albe și b i bile
negre, i=1,2. Din fiecare urn ă extragem la întâmplare câte o bil ă. S ă se
calculeze probabilitatea ca bila extras ă s ă fie alb ă.
Solu ție. Observ ăm c ă num ărul cazurilor egal posibile este
(a 1+b 1)(a 2+b 2) întrucât un eveniment elementar posibil este o pe reche (m,n),
unde m este bila provenit ă din U 1 și n este bila provenit ă din U 2. Fie acum A
evenimentul ca bilele extrase s ă fie albe. Num ărul cazurilor favorabile
producerii lui A este a 1a2 întrucât eveniment elementar favorabil lui A este o
pereche (m,n) format ă cu o bil ă alb ă din U 1 și o bil ă alb ă din U 2.
-50- Deci 🙂 () (2 2 1 121
ba baaaPA+⋅ +=
6.Exerci ții
1.Câte numere diferite se pot forma cu cifrele 0, 3, 5, 6, 7 dac ă
fiecare astfel de cifr ă intr ă o singur ă dat ă?
2. Dintr-un grup de 6 persoane se aleg un rector, u n prorector, și un
secretar știin țific, fiind interzis cumulul de func ții. În câte moduri se poate
face alegerea ?
3. Câte numere diferite se pot forma cu cifrele 0, 3, 5, 6, 7?
4.Ar ăta ți c ă dac ă a1, a2, …, ak sunt întregi nu necesar distinc ți,
atunci se pot g ăsi unele care adunate dau un num ăr multiplu de k.
5.Dându-se zece numere a1, a 2, a 3, …, a 10 astfel încât 0 ≤ ai <
100, demonstra ți c ă putem g ăsi submul țimi A, B de forma suma
elementelor din A s ă fie egal ă cu suma elementelor din B.
-51-
Capitolul VII . Mul țimea numerelor naturale
1. Rela ția de echipoten ță . Cardinalul unei mul țimi.
Defini ție. Fie A, B mul țimi. Spunem c ă mul țimile A, B sunt
echipotente dac ă exist ă o func ție bijectiv ă f:A→B.
Not ăm prin:
A ≈ B
faptul c ă A, B sunt echipotente.
Exemplu. Dac ă B={ a,b,c}, A={1,2,3} atunci f:A→B definit ă prin
f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c este bijectiv ă, deci A,B sunt echipotente.
Teorem ă. Simbolul " ≈ " este o rela ție de echivalen ță .
Demonstra ție.
Reflexivitatea: A ≈ A rezult ă din faptul c ă 1A:A→A este bijectiv ă.
Simetria: ( A ≈ B⇒B ≈ A) rezult ă din faptul c ă dac ă f:A→B este
bijectiv ă atunci și f-1:B→A este bijectiv ă.
Tranzitivitatea: [( A ≈ B și B ≈ C)]⇒A≈C rezult ă din faptul c ă dac ă
f:A→B și g:B→C sunt func ții bijective atunci și g◦f:A→C este bijectiv ă.
Rela ția " ≈ " fiind reflexiv ă, simetric ă și tranzitiv ă este o rela ție de
echivalen ță , deci împarte mul țimile în clase de echivalen ță .
Exemplu.
A1={ a1}, A 2={ a2}, . . . , A n={ an}, . . .
B1={ a1,b1}, B 2={ a2,b2}, . . . , B n={ an,bn}, . . .
C1={ a1,b1,c1}, C 2={ a2,b2,c2}, . . . , C n={ an,bn,cn}, . . .
Mul țimile A 1, A 2, . . .,A n, . . . formeaz ă o clas ă. Mul țimile B 1, B 2,
. . .,B n, . . . formeaz ă o alt ă clas ă etc.
O clas ă de echivalen ță , definit ă de rela ția de echipoten ță , se
noteaz ă prin simbolul și se nume ște num ăr cardinal sau puterea fiec ărei
mul țimi din clasa respectiv ă.
Dac ă mulțimile A,B sunt echipotente, ele au aceea și putere și li se
asociaz ă acela și num ăr cardinal.
Not ăm cardinalul mul țimii A cu A.
Prin defini ție
A=B⇔ A≈B
-52- 2. Axiomele lui Peano
Mul țimea numerelor naturale constitue un sistem ( N,0, f) format
dintr-o mul țime N, un element fixat 0 ∈N al s ău și o func ție f:N→N (numit ă
func ție de succesiune) pentru care sunt satisf ăcute urm ătoarele axiome:
P1) n∈N⇒f(n)≠0 (0 nu este succesorul nici unui num ăr natural)
P2) n,m∈N, f(n)= f(m)⇒n=m
P3) ( M⊆N)٨(0∈M) ٨(n∈M⇒f(n)∈M)⇒M=N
Elementul 0 poart ă numele zero.
Axioma P3) st ă la baza demonstra ției prin induc ție (primul principiu
de induc ție).
Teorem ă. Fie ( N,0, f) un sistem Peano. Atunci:
1) y∈N, y≠0, x∈N astfel încât y=f(x);
2) Oricare ar fi tripletul ( M,ō,g) format cu o mul țime nevid ă M, un element
ō∈M și o func ție g:M→M exist ă o unic ă func ție h:N→M, astfel încât h(0)=
ō și hof=goh, adic ă h(f(x))= g(h(x)), ∀x∈N.
3) Dac ă ( M,ō,g) este de asemenea un sistem Peano, atunci f este func ție
bijectiv ă.
Not ăm
f(n)= n+.
Presupunem îndeplinite axiomele P 1) – P 3) pentru o mul țime N.
Not ăm 0 + prin 1, 1 + prin 2, 2 + prin 3, . . . ceea ce conduce la:
N={0,1,2,3, . . . , n, . . . }
Elementele mul țimii N se numesc numere naturale . Numerele 0,
1, 2, 3, . . . se numesc respectiv zero , unu , doi , trei , . . . și sunt folosite
pentru a exprima cantitatea de elemente pentru mul țimile f ără nici un
element, cu un element, cu un element și înc ă un element, . . .
Axiomele P1)-P3) poart ă numele axiomele lui Peano și mai pot fi
formulate astfel:
P 1) 0 nu este succesorul nici unui num ăr natural;
P 2) numere naturale diferite au succesori diferi ți;
P3)dac ă M este o submul țime a lui N ( M ⊆ N), care con ține
pe 0 și dac ă con ține pe n va con ține și pe n+, atunci M=N
Observa ții :
• Orice num ăr natural n afar ă de 0 este succesorul unui alt num ăr
natural numit precedent al lui n.
• În continuare not ăm N\{0} prin N*. ∀ ∃
-53- 3. Opera ții cu numere naturale.
Adunarea.
Teorem ă. Exist ă o unic ă opera ție algebric ă pe N (notat ă prin
″″ ″″ + ″″ ″″ și numit ă adunarea numerelor naturale astfel încât pentru or ice
m,n ∈∈ ∈∈N s ă avem:
A1: 0 + m = m
A2: n+ + m = ( n + m ) +
Demonstra ție. Prob ăm unicitatea. Pentru aceasta s ă presupunem c ă
mai exist ă o opera ție algebric ă “ ⊕ “ pe N astfel încât sunt satisf ăcute A 1 și
A2.
Fie P={n ∈Nn + m = n ⊕ m, pentru orice m∈N}⊆N
Din A 1 deducem c ă 0 ∈P (deoarece 0+0=0 și 0 ⊕ 0=0) iar din A 2
deducem c ă dac ă n∈P, atunci n + + m = n + ⊕ m ⇔ ( n + m ) + = ( n ⊕
m ) + ceea ce este adev ărat (lucru rezultat din axioma P 2 a lui Peano). Deci
P=N, adic ă cele dou ă opera ții coincid.
Teorem ă. Pentru orice m,n ∈∈ ∈∈N avem:
A 0
1: n + 0 = n
A 0
2: n + m + = ( n + m ) +
Demonstra ție. Fie P={ m∈N m + 0 = m}⊆N. Dac ă în A 1 facem
pe m = 0, deducem c ă 0+0=0, adic ă 0 ∈P. Dac ă m∈P, (adic ă m + 0 = m),
atunci m + + 0 = ( m + 0) + = m + , adic ă m+∈P, deci P=N. Anolog se probeaz ă
și a doua rela ție.
Înmul țirea.
Teorem ă. Exist ă o unic ă opera ție algebric ă pe N notat ă ″″ ″″⋅⋅ ⋅⋅″″ ″″ și
numit ă înmul țirea numerelor naturale astfel încât pentru orice m,n ∈∈ ∈∈ N
să avem:
I1: m ⋅⋅ ⋅⋅ 0 = 0
I2: m ⋅⋅ ⋅⋅ n + = m ⋅⋅ ⋅⋅ n + m
În cazul în care nu exist ă pericol de confuzie, vom scrie n⋅m=nm
pentru n,m ∈N.
Teorem ă. ∀n,m ∈∈ ∈∈ N avem:
I10 : 0 ⋅⋅ ⋅⋅m = 0
I20 : n + ⋅⋅ ⋅⋅ m = n ⋅⋅ ⋅⋅ m + m
Pornind de la observa ția c ă o sum ă de de mai mul ți termeni, to ți
egali (de exemplu: 5+5+5+5), poate fi înlocuit ă prin scrierea ce reprezint ă
produsul dintre num ărul termenilor și termenul în sine (în exemplul nostru
cu 4 ·5), s-a pus problema scrierii prescurtate a produs ului a n numere egale
-54- ca valoare (de exemplu: 5 ·5·5·5). S-a convenit ca un asemenea produs s ă se
înlocuiasc ă cu scrierea „num ărul dat num ărul apari țiilor sale ” (în exemplul nostru
54).
Propriet ăți ale opera țiilor cu numere naturale:
1) Adunarea este asociativ ă:
( n + p ) + r = n + ( p + r ), ∀ p,n,r ∈N
2) Adunarea este comutativ ă:
n + p = p + n , ∀ p,n ∈N
3) ∀p,n,r ∈N, p + n = n + r ⇔p=r .
4) Dou ă numere naturale au suma zero dac ă și numai dac ă
amândou ă numerele sunt zero.
5) Înmul țirea este asociativ ă:
(n⋅p) ⋅ r = n ⋅ ( p ⋅ r ), ∀p,n,r ∈N
6) Înmul țirea este comutativ ă:
n ⋅ p = p ⋅ n , ∀p,n ∈N
7) Înmul țirea numerelor naturale este distributiv ă fa ță de adunare :
m⋅ (n + p )= m⋅n + m ⋅ p, ∀ m,n,p ∈N
8) ∀n∈∈ ∈∈N ⇒ n ⋅ 1= n
9)Suma a p elemente toate egale cu n este egal ă cu p⋅n.
Demonstr ăm ca exemplu propriet ăț ile 1), 2), 3), 7), 8) și 9):
1) Fie
P={ r∈N ( n + p ) + r = n + ( p + r ) ∀n,m ∈N}⊆N.
Pentru r = 0 avem ( n + p )+0 = n + p și p + 0 = p deci n + ( p
+ 0) = n + p , prin urmare:
(n + p ) + 0 = n + ( p + 0 ) = n + p și egalitatea este adev ărat ă.
Ar ătăm c ă dac ă egalitatea este adev ărat ă pentru r, va fi de
asemenea adev ărat ă pentru r + .
Avem ( n + p ) + r + = [(n + p ) + r]+=[ n + ( p + r )]+ = n + ( p + r )+= n
+ ( p + r +) de unde totul este clar.
Din axioma P3) și cele de mai sus ⇒1).
2) Fie P={ n∈N n + p = p + n ∀ p∈N}⊆N.
Evident 0 ∈N.
Demonstr ăm c ă dac ă n∈P atunci și n + ∈P.
Într-adev ăr, n + + p = p + n + ⇔ ( n + p )+ = ( p + n )+ iar din axioma
P2 avem n + p = p + n ceea ce este adev ărat.
3) P={ n∈N p + n = n + r ⇔p=r ,∀ p,n ∈N}⊆N.
Observ ăm c ă 0 ∈N.
Presupunem n∈N și demonstr ăm c ă n+∈N. Egalitatea p+n +=r+n +
este echivalent ă cu ( p + n ) + = ( r + n ) + , iar din axioma P2) deducem c ă
-55- p + n = r + n ⇔ p = r .
Prin urmare proprietatea 3) este adev ărat ă.
7) Fie P = { p∈N m⋅ (n + p ) = m⋅n + m ⋅p,∀m,n ∈N}⊆N.
Ținând cont de I1 deducem c ă 0 ∈P. S ă presupunem acum c ă p∈P
și fie m,n ∈ N. Avem m⋅ (n + p + ) = m⋅ (( n+p )+) = m⋅ (n+p )+ m = m⋅n + m ⋅p
+ m = m⋅n + m ⋅p + , adic ă p + ∈P de unde P= N.
8)Într-adev ăr, n ⋅ 1 = n ⋅ 0 += n ⋅ 0 + n = n
9)Într- adev ăr, dup ă defini ția înmul țirii avem:
n⋅(1 +) = n⋅1+ n = n + n = 2 ⋅n
Dac ă suma S p = n1+n2+ . . . + np, unde to ți termenii sunt egali cu n
este egal ă cu p⋅n, atunci deducem c ă:
Sp+1 = S p + n = n⋅p + n = n⋅p + = ( p+1) ⋅n
1) Prin urmare, oricare ar fi p avem S p = p⋅n.
Exerci țiu. Ce structur ă algebric ă este ( N,+) și ( N, ⋅)?
4. Rela ția de ordine în N
4.1. Rela ția de ordine total ă
Defini ție. Pentru m,n ∈N scriem m ≤ n ( și spunem c ă m este mai
mic sau egal decât n sau c ă n este mai mare sau egal decât m) dac ă exist ă
p∈N astfel încât m +p = n .
Propriet ățile rela ției " ≤ "
Rela ția "≤ " este reflexiv ă: n≤ n. Adev ărat deoarece exist ă 0 ∈N
astfel încât n+0= n.
Rela ția "≤ " este antisimetric ă: (n≤m și m≤n) ⇒ m=n . Adev ărat
deoarece exist ă numerele naturale p și q astfel încât m=n+p și n=m+q .
Adun ăm ultimele dou ă egalit ăț i:
m+n=m+n+p+q ⇒0= p+q .
Numerele p și q fiind naturale, ultima egalitate este adev ărat ă numai dac ă
p=q =0.
Rela ția "≤ " este tranzitiv ă: (n≤ m și m≤ r ) ⇒ n≤ r . Adev ărat
deoarece exist ă numerele naturale p, q astfel încât m=n+p și r=m+q .
Adun ăm ultimele dou ă egalit ăț i:
m+r=n+m+p+q ⇒r=n+ (p+q )⇒ n≤ r .
Rela ția "≤" fiind reflexiv ă, antisimetric ă, și tranzitiv ă este o rela ție de
ordine.
Observa ție. În loc de m ≤ n se mai scrie n ≥ m .
Teorem ă. Fiind date numerele naturale n, p are loc una și
numai una din rela țiile: n ≤≤ ≤≤ p sau p ≤≤ ≤≤ n .
-56- Demonstra ție. Presupunem dat un num ăr natural n. Ar ătăm c ă
rela ția dat ă ordoneaz ă toate celelalte numere naturale în raport cu n, adic ă
avem: n ≤ p sau p ≤ n . Folosim axioma P 3 a lui Peano. Observ ăm c ă 0 este
ordonat în raport cu n, deoarece n = 0 + n ⇒ n ≥ 0. Presupunem c ă un
num ăr natural oarecare p este de asemenea ordonat în raport cu n, adic ă
avem una din rela țiile: n ≤ p sau p ≤ n . Arătăm c ă în acest caz și p + este
ordonat în raport cu n. Dac ă n ≤ p atunci exist ă a∈N a.î. p = n + a deci
p + =( n + a )+ = n + a + , prin urmare n ≤ p+.
Cum "≤" este o rela ție de ordine deducem c ă "≤" este o rela ție de
ordine total ă, astfel N este o mul țime total ordonat ă.
Rela ția de ordine total ă și adunarea
Teorem ă. Fie m,n,p,q ∈∈ ∈∈N.
1) Dac ă m+p ≤≤ ≤≤n+p atunci m≤≤ ≤≤n și reciproc.
2) Dac ă m≤≤ ≤≤n și p≤≤ ≤≤q atunci m+p ≤≤ ≤≤n+q .
Rela ția de ordine total ă și înmul țirea
Teorem ă. Fie m,n,p,q ∈∈ ∈∈N.
1) Dac ă m≤≤ ≤≤n atunci mp ≤≤ ≤≤np ( p≠0) și reciproc.
2) Dac ă m≤≤ ≤≤n și p≤≤ ≤≤q atunci mp ≤≤ ≤≤nq .
Observa ție. A sc ădea dintr-un num ăr natural N, numit, desc ăzut,
un alt num ăr natural M, numit sc ăzător, înseamn ă a g ăsi un al treilea num ăr
natural A, numit rest sau diferen ță , care, adunat cu sc ăzătorul, s ă ne dea
desc ăzutul, scriem:
A = N – M ”
4.2.Rela ția de ordine strict ă
Defini ție. Pentru m,n ∈N scriem m<n ( și spunem c ă m este strict
mai mic decât n sau c ă n este mai mare strict decât m) dac ă exist ă p∈N*
astfel încât m +p = n .
Propriet ățile rela ției " << << "
Rela ția "< " nu este reflexiv ă : n nu este mai mic ca n. Adev ărat deoarece
pentru p∈N* ⇒ p+n ≠n.
Rela ția "< " nu este simetric ă. Adev ărat, deoarece dac ă m< n nu mai putem
avea n<m.
Rela ția "< " este tranzitiv ă, adic ă (n< m și m < r )⇒n< r . Adev ărat deoarece
exist ă numerele naturale p, q nenule astfel încât m=n+p și r=m+q . Adun ăm
ultimele dou ă egalit ăț i:
m+r=n+m+p+q ⇒r=n+ (p+q )⇒ n< r .
-57- O rela ție "r" nereflexiv ă, nesimetric ă, și tranzitiv ă se nume ște rela ție de
ordine strict ă. În cazul nostru "< " este rela ție de ordine strict ă.
Rela ția de ordine strict ă are acelea și propriet ăț i ca rela ția de ordine total ă
„≤” introdus ă pe N în raport cu adunarea și înmul țirea.
Observa ție. În loc de m < n se mai scrie n> m .
Teorem ă. Dac ă m,n ∈∈ ∈∈N și m << << n , atunci m + ≤≤ ≤≤ n.
Demonstra ție. Din m < n rezult ă c ă exist ă p∈N* a.î. m + p = n.
Cum p∈N* exist ă k∈N a.î. p = k+. Atunci din m + p = n deducem
că m + k += n ⇒ ( m + k )+ = n ⇒ m+ + k = n ⇒ m + ≤ n .
Consecin ță . Pentru orice n ∈N avem n < n +.
Teorem ă. Dac ă n∈∈ ∈∈N atunci toate numerele naturale sunt
ordonate în raport cu n.
Demonstra ție.
Dac ă p < n avem n = p + b cu b ≠ 0.Cum b ≠ 0 ⇒ exist ă a∈N
astfel încât b=a+. În concluzie n = p + ( a + 1) = ( p + 1) + a = p + + a de unde
p + ≤ n. Analog cazul p>n .
Teorem ă. Orice submul țime nevid ă A⊆⊆ ⊆⊆N are un cel mai mic
element.
Demonstra ție. Fie
P={ n∈Nn≤m, ∀m∈A } ⊆N
Avem 0 ∈P din axioma P1). Dac ă pentru orice n∈P ar rezulta
n+∈P, atunci am deduce c ă P=N. Astfel pentru q∈A avem c ă q∈P, deci
q+∈P. În particular ar rezulta c ă q+≤q ceea ce este absurd. În concluzie P≠N,
adic ă exist ă p∈P astfel încât p+∉P.
Demonstr ăm c ă p∈A și c ă p este cel mai mic element al lui A.
Într-adev ăr, dac ă p∉A, atunci pentru orice m∈A avem p<m, de unde p+≤m,
adic ă p+∈P ceea ce este absurd. În concluzie p∈A și cum p∈P deducem c ă
p≤m pentru orice m∈A, adic ă p este cel mai mic element al lui A.
Consecin ță . Orice șir descresc ător de numere naturale este
sta ționar.
Demonstra ție. Fie ( an)n∈N un șir descresc ător de numere naturale
iar
P={ an n∈N } ⊆ N.
Știim c ă P are un cel mai mic element ak ; atunci pentru orice m≥k avem
am≥ak și cum am≤ak deducem c ă am=ak, adic ă șirul ( an)n∈N este sta ționar.
5. Împ ărțirea
Lema lui Arhimede. Fie n un num ăr natural diferit de zero. Atunci
oricare ar fi m∈N exist ă p∈N astfel încât pn>m .
-58- Demonstra ție. Fie q∈N astfel încât n=q+. Cum
mn=mq +=mq+m ≥m, rezult ă c ă mn ≥m. Fie p=m +1. Atunci
pn= (m+1) n=mn+n >mn ≥m, deci pn >m.
Teorema împ ărțirii. Oricare ar fi numerle a,b ∈∈ ∈∈N, a ≥≥ ≥≥ b ( b≠≠ ≠≠0),
exist ă și sunt unice dou ă numere naturale q și r astfel încât a=bq+r și
r<b.
Num ărul a se nume ște deîmp ărțit, b împ ărțitor, q cât și r rest.
Demonstra ție. Dac ă a=0 putem lua q=0 și r=0. Presupunem c ă
a=bq+r cu r<b și ar ătăm c ă exist ă q*, r *∈N astfel încât a+=bq *+r *, r *<b.
Avem a+=a+1= bq+r+ 1.
Fie p∈N, p≠0 astfel încât r+p=a și fie s∈N astfel încât p=s +. Avem
a=r+p=r+s +=r+ (s+1)=( r+1)+ s. Dac ă s=0 lu ăm q*=q+ 1 și r*=0 iar dac ă
s≠0 lu ăm q*=q și r*=r +1 și avem
a+=bq *+r *, r *<b
Astfel partea de existen ță a teoremei este demonstrat ă conform
axiomei P3) a lui Peano.
Să demonstr ăm acum unicitatea numerelor q și r. Presupunem c ă q
și r nu sunt unice. Atunci a = bq + r = bq 1 + r1, cu r, r1 < b și s ă ar ătăm c ă
q = q 1 și r = r 1.
Să presupunem de exemplu c ă q < q 1, adic ă q + s = q 1 cu s∈N*.
Avem a =bq 1 + r1 =b(q + s ) + r1 =bq + bs + r 1, adic ă r= bs + r 1 > b
ceea ce este absurd. În concluzie q,r sunt unice.
Algoritm de determinare a câtului și restului.
Numerele de mai jos sunt multiplii lui b:
0<b<2b<3b< . . . <qb <(q+1) b< . . .
Dac ă a este multiplul lui b atunci a=nb , q=n și r=0, unice.
Dac ă a nu este multiplul lui b, el se situeaz ă între doi multipli
consecutivi de b. În acest caz
bq <a<(q+1) b⇒a=bq+r și r<b, q și r sunt unice.
6. Mul țimi finite. Mul țimi infinite. Mul țimi num ărabile. Mul țimi
nenum ărabile.
În acest paragraf vom studia mul țimile din punctul de vedere al
cantit ăț ii de elemente pe care le con țin.
Defini ție. O mul țime A se nume ște finit ă dac ă este echivalent ă cu
mul țimea {1, 2, . . . , n}.
Defini ție. O mul țime care nu este finit ă se nume ște infinit ă.
Cardinalul mul țimii N.
Fie f:N→N*, f(n)= n+1. Aceast ă aplica ție fiind bijectiv ă, mul țimile
N și N* sunt echipotente și au acela și cardinal. Pe de alt ă parte
-59- N*={1, 2, 3, . . . , n, . . . } are cardinalul N*
N={0, 1, 2, 3, . . . , n, . . . } are cardinalul N*+1.
Rezult ă c ă N*=N*+1, deci N nu este finit.
Defini ție. O mul țime A se nume ște num ărabil ă dac ă este cardinal
echivalent ă cu mul țimea numerelor naturale. O mul țime care nu este
num ărabil ă se nume ște nenum ărabil ă.
Teorem ă . Orice mul țime infinit ă A con ține o submul țime
num ărabil ă.
Demonstra ție.
A infinit ă putem alege a1 în A. Deoarece A\{a1}≠ Ø putem alege a2 în
A\{a1} și în general a n în A\{a 1, . . . ,a n-1} pentru fiecare n ≥2. Mul țimea
{a1,a2, . . .} astfel construit ă constitue o submul țime num ărabil ă a lui A.
Consecin ță . Dac ă A este o mul țime infinit ă și B este o submul țime
finit ă a sa atunci A și A\B sunt mul țimi cardinal echivalente.
Teorem ă. Dac ă A, B sunt num ărabile și A∩∩ ∩∩B=Ø, atunci A∪∪ ∪∪B
este num ărabil ă.
Demonstra ție.
Dac ă A={a1, a2, . . . }, B={ b1,b2, . . . } atunci A∪B={ a1,b1,a2,b2, . . . }
este num ărabil ă.
7. Sisteme de numera ție
Defin ție. Se nume ște sistem de numera ție totalitatea regulilor de
reprezentare a numerelor folosind un anumit set de simboluri diferite, numit
alfabet .
După felul de grupare și ordonare a semnelor se deosebesc dou ă
sisteme de numera ție:
a) sisteme de numera ție nepozi ționale.
b) sisteme de numera ție pozi ționale.
a) Sisteme de numera ție nepozi ționale. Cel mai cunoscut sistem de
numera ție nepozi țional este sistemul de numera ție roman care folose ște
urm ătoarele semne (cifre romane):
I V X L C D M
1 5 10 50 100 50 0 1000
Reguli de scriere cu cifre romane.
În cadrul unui num ăr scris în sistemul roman nu pot s ă apar ă mai
mult de trei semne consecutive de acela și fel.
De aceea:
-orice semn pus la stânga altuia de valoare mai mar e decât a lui, se
scade.
-60- Astfel urm ătoarele numere se scriu cu dou ă semne, primul
reprezentând un num ăr care se scade din al doilea:
IV IX XL XC CD CM
4 9 40 90 400 900
-orice semn pus la dreapta altuia de valoare mai ma re sau egal ă
decât a lui, se adun ă.
Un num ăr oarecare pân ă la 4000 se scrie al ăturând numere scrise
mai sus începând cu cel mai mare.
Exemple.
LXXXIV=50+10+10+10+4=84;
MMCDXXVIII=2428.
Pentru numere mai mari de 4000, indic ăm num ărul miilor punând
deasupra num ărului de mii o linie, deasupra num ărului zecilor de mii dou ă
linii ș.a.m.d.
Exemplu.
b)Sisteme de numera ție pozi ționale. În sistemele de numera ție
pozi ționale, un simbol din alc ătuirea unui num ăr (cifr ă) are valoare
intrinsec ă dar și o valoare prin pozi ția pe care o ocup ă un num ăr. Aceasta
implic ă existen ța unui simbol cu valoare intrinsec ă nul ă (zero). În unele din
sistemele pozi ționale (spre exemplu babilonian) în care regulile o permit,
este posibil s ă se renun țe la acest simbol. În continuare prezent ăm sistemul
de numera ție indian care folose ște urm ătoarele semne (cifre arabe): 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (de altfel fiind sistemul de nu mera ție folosit în prezent).
Principiul numera ției de pozi ție. Fie a un num ăr natural, pe care
îl numim baz ă a sistemului de numera ție.
Teorem ă. Orice num ăr natural N poate fi scris sub forma
N=x nan+x n-1an-1+ . . . +x 1a+x 0,
unde numerele xk sunt numere naturale care verific ă rela ția
0 ≤≤ ≤≤ xk ≤≤ ≤≤ a – 1, k=1,2, . . .,n și a>1.
Demonstra ție. Admi țând c ă expresia exist ă vom nota
Rk= x kak + x k-1ak-1 + . . . + x 1a + x 0
N-R k= x nan + x n-1an-1 + . . . + x k+1 ak+1 = Q kak+1
Qk și Rk sunt câtul și restul împ ărțirii lui N la ak+1 , fiindc ă avem
Rk ≤ (a – 1) a k + (a – 1) a k-1 + . . . + (a – 1) a + (a – 1) = a k+1 – 1.
Vom defini coeficien ții xk din aproape în aproape, în ordinea descresc ătoare
a indicilor, luând drept xn – câtul împ ărțirii lui N la an, drept xn a + x n-1– 12410600 =DC CDX XII 4100 =CIV
-61- câtul împ ărțirii lui N la an-1, drept xn a 2 + x n-1a + x n-2 – câtul împ ărțirii lui N
la an-2, etc.
Se ob ține astfel singura solu ție posibil ă dac ă aceasta exist ă. Or
numerele xk introduse sunt realmente mai mici decât a, dac ă n a fost definit
prin an ≤ N < a n+1 fiindc ă dac ă una din împ ărțiri este N = Q kak+1 + R k,
împ ărțirea urm ătoare este N = (Q ka + x k)a k + R k-1, de unde, Rk = x kak + R k-1 <
ak+1 , prin urmare xk < a.
În fine, ultima împ ărțire, cea de la a, d ă pe x 0 și demonstreaz ă c ă
expresia ob ținut ă este apt ă s ă reprezinte pe N.
Deci, exist ă o coresponden ță biunivoc ă între numerele N care
verific ă a ≤ N < a n+1 și șirurile de n+1 numere xi, 0 ≤ x i < a .
Supraliniind pentru a evita confuzia cu un produs, vom scrie
( )a nn xx xx N ) … (01 1− =
Se spune c ă N este scris în baza a, iar dac ă a=10 vom spune c ă num ărul
este scris în baza zece.
Astfel am fundamentat ideea de scriere a unui num ăr natural în
baza a :
( ) 0 1 11
01 1 ) … ( xax… axax xx xx Nnn
nn
a nn + ++ + = =−−
−
Teorem ă. Dac ă( )a mm xx xxN01 1… − = , ( )a nn yy yy M01 1… − = ,
a∈N* atunci N<M ⇔ nm≤ și xp<y p, unde p ∈N este cel mai mare
i∈N astfel încât xi≠ y i .
Exemplu. ( ) ( )2 2100110 1001101 >
Trecerea unui num ăr din baza 10 în baza a.
Pentru a trece un num ăr din baza 10 într-o alt ă baz ă de numera ție a,
a>1 se aplic ă algoritmul:
Se fac împ ărțiri întregi, succesive la baza a, pornind de la num ărul
întreg care se converte ște;
– în urma fiec ărei împ ărțiri se ob ține un cât și un rest;
– noul cât este deîmp ărțitul urm ătoarei împ ărțiri întregi;
– algoritmul se încheie când se ob ține câtul 0;
– resturile ob ținute, începând cu ultimul și pân ă la primul,
reprezint ă cifrele num ărului c ăutat.
Demonstra ție. Fie N num ărul natural în baza 10 care se converte ște în
baza a și fie reprezentarea în baza a ob ținut ă prin transformare de forma:
-62- ( )a nn x xx0 1… −
Algoritmul este corect dac ă se termin ă într-un num ăr finit de pa și și dac ă:
∑
==n
ii
iax N
0
Not ăm cu a 1 câtul ob ținut dup ă prima împ ărțire întreag ă și cu x 0 restul
acestei împ ărțiri; au loc rela țiile x0 = N – a 1a, cu a1 < N.
Cu a2 câtul ob ținut dup ă a doua împ ărțire întreag ă (la baza a) și cu x1
restul acestei împ ărțiri, au loc rela țiile: x1 = a 1 – a 2a, a 2 < a 1.
Analog pentru i=2,…,n+1 au loc rela țiile xi-1=a i -1 – a Ia, a i < a i-1.
Din șirul de inegalit ăț i ai < a i-1 (i = 2,…,n) rezult ă finititudinea
algoritmului.
Fie ultimul rest, xn = a n-an+1 a, unde an+1 =0.
Rezult ă N = x 0 + a 1a = x 0 + x 1a + a 2a2 =. . .= x 0+x 1a1+x 2a2 +… + x n-1an-1
+ a nan = x 0a0 + x 1a1 +. . . + x n-1an-1+xnan .
Exemplu. Să se treac ă num ărul 327 din baza 10 în baza 4
Num ăr Baz ă Cât Rest
327 :4 81 3
81 :4 20 1
20 :4 5 0
5 :4 1 1
1 :4 0 1
Rezultatul ob ținut este 327 = 11013 (4) .
Opera ții într-un sistem de numera ție dat.
În continuare vom stabili anumite reguli de efectua re a sumei,
produsului, sc ăderii și împ ărțirii a dou ă numere reprezentate în aceea și baz ă.
Adunarea
Fie N și M dou ă numere scrise în aceea și baz ă a. Vom ar ăta cum se
va scrie în baza a num ărul A = N + M numit suma lui N cu M. .
Avem:
( ) 0 1 11 n
01 1 … a ) … ( xax xax xx xx Nnn
n a nn + ++ + = =−−
−
respectiv
( ) 0 1 11 m
01 1 … a ) … ( yay yay xy yy Mmm
m a mm + ++ + = =−−
−
Dac ă n >m, atunci adun ăm la M, f ără a-i schimba valoarea, expresia:
0 … y unde , … 1 1 n1
11
1 = == = ++ ++ −+
+−
− m nm
mn
nn
n y y ay ay ay
Atunci:
-63- ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )0 0 1 12
2 21
1 1
… …
yxayx ayxayx ay x ayx MNi
i in
n nn
n n
+ + + + + +++ + ++ + + + = +−
− −
Dac ă toate numerele ( xi + y i) sunt mai mici decât a, num ărul
A = N + M
se scrie:
( )( )( )( )( )( ). … … 0 0 1 1 1 1 a i i n n n n yxyx yx y xyx A + + + + + =− −
Dac ă exist ă numere ( xi + y i) mai mari sau egale cu a, vom scrie:
Atunci avem:
și vom înlocui: xi + y i prin zi, iar xi+1 + y i+1 prin xi+1 + y i+1 +1
Exemplu. Fie ()( ) ()( ) 7147 M i s 5376 N8'8 = =
Să afl ăm num ărul A:
6+7=a+5=15 Scriem 5 și re ținem 1 Aranjarea folosit ă:
7+4+1 = a+4=14 Scriem 4 și re ținem 1
3+1+1=5 Scriem 5
5+7=a+4=14 Scriem 14
14545 7147 5376 +
( )( )8 14545 =A Deci
Sc ăderea
Fie N și M dou ă numere scrise în aceea și baz ă a.
Vom ar ăta cum se va scrie în baza a num ărul A = N – M numit
sc ăderea lui N cu M.
Avem:
( ) 0 1 11 n
01 1 … a ) … ( xax xax xx xx Nnn
n a nn + ++ + = =−−
−
respectiv
( ) 0 1 11 m
01 1 … a ) … ( yay yay xy yy Mmm
m a mm + ++ + = =−−
−
Pentru ca opera ția s ă fie posibil ă este necesar s ă avem N ≥ M .
Dac ă n>m, atunci sc ădem la N, f ără a-i schimba valoarea, expresia:
0 … y unde , … 1 1 n1
11
1 = == = ++ ++ −+
+−
− m nm
mn
nn
n y y ay ay ay
Atunci: a zayxi i i < += +iz ,
( ) ( )i
ii i
ii
i i az a aza ayx + = += ++1
-64- ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )0 0 1 12
2 21
1 1
… …
yxayx ayxayx ay x ayx MNi
i in
n nn
n n
− + − + − +++ − ++ − + − = −−
− −
Dac ă toate numerele (x I-yi) sunt definite, num ărul A = N – M se scrie:
( )( )( )( )( )( ). … … 0 0 1 1 1 1 a i i n n n n yxyx yx y xyx A − − − − − =− −
Dac ă exist ă vreo diferen ță ( xi – y i) care nu se poate efectua înseamn ă c ă
exist ă un num ăr i, astfel ca yi > x i caz în care scriem:
( ) ( )( ) ( )i
i ii
i ii
i ii
i i ayxa a y x ayx ay x −++ − − = − + −+
+ ++
+ +1
1 11
1 1 1
Dar: 0 < x i < y i < a ceea ce atrage 0 < a + x i – y i < a . Cifra unit ăț ilor de
ordinul i din diferen ță este deci a + x i – y i , iar cifra unit ăț ilor de ordinul i+1
este mic șorat ă cu o unitate.
Exemplu. ( )( ) ()( )8 8 5376 M 14545 ie = = si NF .Să afl ăm num ărul A:
a+5-6=7 Scriem 7 re ținem 1 Aranjarea folosit ă:
a+4-(7+1)=4 Scriem 4 re ținem 1
a+4-3=1 Scriem 1 re ținem 1
a+4-5=7 Scriem 7 re ținem 1
1-1=0 S-a terminat sc ăderea 7147 5376 14545 −
Deci ()( ) 7147 A8 =
Înmul țirea
Fie N, M dou ă numere scrise în aceea și baz ă a. Vom ar ăta cum se
va scrie în baza a num ărul A = NM .
Avem:
( ) 0 1 11 n
01 1 … a ) … ( xax xax xx xx Nnn
n a nn + ++ + = =−−
−
respectiv
( ) 0 1 11 m
01 1 … a ) … ( yay yay xy yy Mmm
m a mm + ++ + = =−−
−
Ar ătăm c ă înmul țirea numerelor naturale scrise în aceea și baz ă se
reduce la urm ătoarele opera ții:
a) înmul țirea num ărului natural N cu o putere a j a bazei a;
b) înmul țirea num ărului natural N cu un num ăr j cu proprietatea 0
≤ j < a.
c) adunarea în baza a.
-65- a) ( )
( )
ori – j01 101
1 11 jn j
01 1
) 0… 00 … (… a a ) … (
a nnj j
njn
n a nnj
xx xxax ax x ax xx xx Na
−+
−−+ +
−
== + ++ + =⋅ =
adic ă am ar ătat cum se face o înmul țire de tipul a)
b) Dac ă i și j sunt dou ă numere naturale < a, avem c ă ij < a2 iar dup ă
teorema împ ărțirii cu rest pentru numere naturale, avem:
ij = aq(i,j) + r(i,j), 0 ≤ r(i,j) < q(i,j), 0 ≤ q(i,j) < a
câtul q(i,j) și restul r(i,j) împ ărțirii num ărului ij prin a depinzând de i și j.
Fie acum j o cifr ă a sistemului de numera ție de baz ă a. Atunci:
( ) ( )( )
( ) ( )∑ ∑∑ ∑
≥ ≥+= =
+ == + = =⋅
0 010 0
, , , ,
i ii
ii
im
im
ii
i ii
i
ajaq ajxrajxr jxaq ja x jN
Deci efectuarea produsului Nj în baza a revine la a face suma numerelor N1
și N2 reprezentate în baza a:
( )( ) ( )
( ) ( ) … , , Nrespectiv … , , ,
1
1 0 22
2 1 0 1
+ + =+ + + =
ajxq j xqaj xr ajxr j xr N
Astfel am v ăzut cum se face o înmul țire de tipul b)
Concluzion ăm c ă:
∑
==⋅m
jj
jaNy MN
0
Adic ă produsul NM se poate efectua f ăcând suma în baza a a numerelor
Ny jaj, j=0,1,2, . . ., m . Ținând cont c ă Ny jaj= (Ny j)a j avem Ny j este o opera ție
de tipul b) și c ă (Ny j)a j este o opera ție de tipul a).
Exemplu. Se consider ă N=3523 și M=500 scrise în baza 7. Se cere
A = NM. Afl ăm num ărul A:
5·3=2·7+1 Scriem 1 re ținem 2 Aranjarea folosit ă:
2+5·2=1·7+5 Scriem 5 re ținem 1
1+5·5=3·7+5 Scriem 5 re ținem 3
3+5·3=2·7+4 Scriem 24 2455100 500 3523 ×
( )( ) 2455100 A7 =
Împ ărțirea
Împ ărțirea unui num ăr x numit deîmp ărțit la un num ăr y numit
împ ărțitor se reduce la g ăsirea numerelor q și r unice astfel încât:
x = yq + r și r < y.
-66- Fie
x = a n-1an-1 + a n-2an-2 + . . . + a 1a + a 0
și
y = a n-1an-1 + a n-2an-2 + . . . + a 1a + a 0
numere scrise în baza a.
G ăsirea câtului ( q) și restului ( r) presupune parcurgerea etapelor :
E1: Determinarea num ărului de cifre a câtului;
E2: Determinarea primei cifre a câtului;
E3: Determinarea altor cifre a câtului;
E4: Aranjarea practic ă a opera ției;
E1. În cazul c ă:
a) y > x, câtul este q = 0 și r = x;
b) y = x, câtul este q = 1 și r = 0
Presupunem y < x.
Teorem ă. Dac ă exist ă dou ă numere q1 și q2 astfel ca yq 1 ≤ x < yq 2, câtul q
verifică q1 ≤ q< q2.
Demonstra ție. Presupunem c ă exist ă dou ă numere naturale q1 și q2
astfel ca yq 1 ≤ x < yq 2.
Observ ăm c ă
q1 > q rezultă q1 ≥ q + 1 sau yq 1 ≥ y (q+1 ) > x, contradic ție
cu defini ția câtului;
q2 ≤ q rezult ă yq ≥ yq2 > x, contradic ție cu defini ția
câtului.
Deci, nu putem avea nici q1 > q și nici q2 ≤ q .
Am demonstrat q1 ≤ q < q2.
Teorem ă. Num ărul cifrelor câtului q este num ărul minim de 0 care
trebuie scrise la dreapta lui y, pentru ca num ărul ob ținut s ă fie superior
lui x.
Demonstra ție.
Not ăm cu r num ărul minim de 0 pe care trebuie s ă le scriem la
dreapta lui y pentru ca num ărul y’ astfel ob ținut s ă fie s ă fie mai mare ca x.
Num ărul y’ este produsul lui y prin ar.
Din alegerea lui r avem ya r-1 ≤ x < ya r care rezult ă q1 = a r-1 și
q2 = a r îndeplinind condi țiile din teorem ă. Câtul q are în baza a un num ăr
de r cifre.
E2. Calcul ăm prima cifr ă a câtului cr-1.
Avem:
cr-1ar-1 ≤ q < ( c r-1+1) a r-1.
Cum toate numerele sunt naturale, avem:
cr-1ar-1 ≤ q < q+1 ≤ ( c r-1+1) ar-1
de unde :
-67- cr-1ar-1y ≤ qy <x < (q+1)y ≤ ( c r-1+1) ar-1y
din care deducem:
cr-1ar-1y ≤ x < ( c r-1+1) ar-1y.
Cifra cr-1 este deci câtul dintre x și ar-1y.
E3. Dup ă determinarea lui cr-1 scriem:
x = cr-1ar-1y + x 1 cu x 1 < ar-1y.
Câtul dintre x și y este suma dintre cr-1ar-1 și câtul dintre x 1 și y.
Un calcul analog cu cel precedent ne d ă prima cifr ă cr-2 a câtului
dintre x1 și ar-2y.
Avem:
x1 = cr-2ar-2y+ x 2 cu x 2 < ar-2y.
Din aproape în aproape, avem rela ții analoage de forma:
xi = c r-i-1ar-i-1y + x i+1 cu x i+1 < ar-i-1y,
care pentru
i=r-2 ne d ă xr-2 = c1ay + x r-1 cu xr-1 < ka
i=r-1 ne d ă xr-1 = c0y + s cu s < y.
Scoatem din aceste egalit ăț i rela ția:
x = y[c r-1ar-1+ c r-2ar-2+…+ c r-i-1ar-i-1+…+c 1a+c 0]+s cu s < y.
Câtul q se scrie în baza a sub forma:
cr-2cr-1….c 2c1c0 .
E4. Scriem datele astfel:
x y
cr-1ar-1a
x1
cr-2ar-2y
x2
.
.
. cr-1cr-2
Exemplu.
Să se efectueze împ ărțirea dintre numerele 4628 și 35 scrise în
baza 9.
4628 35
3500
1128
710
318
314
4 128
Astfel c ă în baza 9 câtul dintre 4628 și 35 este q=128, restul r=4.
Avem: 4628=128·35+4
-68- 8.Exerci ții
1.Fie șirul 1, 4, 7, 10, 13, ….
a)Completa ți șirul cu înc ă doi termeni;
b)G ăsi ți al o sut ă-lea termen;
2.Calcula ți:
222 -221 -220 – . . . -2-1
3.Demonstra ți c ă nu exist ă k ∈N* astfel încât 5n+7=k 2, ∀n∈N.
4.Demonstra ți c ă printre n+1 numere naturale cel pu țin dou ă dau
acela și rest prin împ ărțirea la n.
5.Determina ți a, b, c, d, e, f ∈N astfel încât:
__________ ___ __________ ___ __________
6019 598 73 24 f e dc ab = −
-69-
Capitolul VIII . Divizibilitate pe N
1. Teorema fundamental ă a aritmeticii
Din teorema împ ărțirii cu rest rezult ă c ă:
∀a,b cu b ≠ 0, !∃ q,r∈N astfel încât a = bq + r și 0 ≤r<b.
În cazul particular în care r=0 spunem c ă a este un multiplu al lui
b, sau c ă a este divizibil cu b, sau c ă b divide pe a, sau c ă b este un divizor
al lui a.
În scris, exprim ăm aceasta prin unul din simbolurile: ba, care se
cite ște b divide pe a, sau a M b, care se cite ște a este divizibil cu b.
Exerci țiu. Verifica ți c ă dac ă a,b,c ∈N atunci:
aa
(ab și ba) ⇒ a = b.
(ab și bc)⇒ac.
Observa ție. Nu definim divizibilitatea prin 0.
Numere prime.
Defini ția numerelor prime vine din școala lui Pitagora (sec. 6
î.e.n.). Poate c ă numai forma de exprimare a c ăpătat transform ări,
con ținutul r ămânând obligatoriu acela și: ”prim este num ărul care se divide
numai cu el însu și și cu 1”. Num ărul 1, având numai un divizor nu face
parte din numerele prime.
Putem recunoa ște dac ă un num ăr n este prim încercând ca divizori
numerele prime inferioare primului num ăr prim p al c ărui p ătrat este mai
mare decât num ărul dat n ( p2 > n).
Exemplu. Pentru a stabili c ă 167 este num ăr prim, având 13 2≈167,
va fi suficient s ă verific ăm c ă el se divide cu numerele 2, 3, 5, 7, 11.
În continuare ne vom ocupa de cea mai important ă problem ă din
domeniul numerelor prime: posibilitatea descompuner ii oric ărui num ăr în
factori primi. Aceasta revine la a scrie în mod uni c orice num ăr natural sub
forma unui produs de numere prime.
Teorem ă. ( Teorema fundamental ă a aritmeticii ) Orice num ăr
natural se scrie în mod unic ca produs de numere pr ime.
-70- Demonstra ție.
Etapa 1 : Ar ătăm c ă orice num ăr natural nenul se scrie ca un produs
de numere naturale prime.
Într-adev ăr, fie A mul țimea numerelor naturale nenule ce nu se scriu ca
produs de numere naturale prime. Dac ă prin absurd propozi ția este fals ă,
atunci A ≠ Ø. A fiind submul țime a lui N deducem c ă A are un cel mai mic
element pe care-l not ăm prin m. Spre exemplu, m>1 și cum m nu este prim
putem scrie m=xy cu 1 <x,y <m. Cum x,y <m iar m este cel mai mic element
din A deducem c ă x,y ∉A, deci x și y se scriu ca produse de numere prime –
absurd. Deci A = Ø și cu aceasta propozi ția este demonstrat ă.
Etapa 2 : Demonstr ăm c ă descompunerea în factori primi a lui n
este unic ă.
Presupunem posibile urm ătoarele descompuneri ale lui n:
n = p1p2 … pm
n = q1q2 … qs
unde p1, p2, … , pm și q1, q2, … , qs sunt numere prime.
Avem:
p1p2 … pm = q1q2 … qs (1 ′)
Membrul întâi al egalit ăț ii este divizibil prin p1; deci și membrul al
doilea va fi divizibil prin p1. Deducem c ă unul din factorii q1, q2, … , qs se
împarte la p1. Admitem c ă acesta este q1. Cum q1 este prim, el se împarte
numai prin 1 și prin el însu și ceea ce impune cu necesitate q1 = p1.
Împ ărțind egalitatea (1 ′) prin p1 ob ținem p2 … pm = q2 … qs .
Repetând ra ționamentul ajungem la concluzia q2 = p2, iar dup ă o
nou ă simplificare, la rela ția p3p4 … pm = q3q4 … qs .
Tot astfel g ăsim p3 = q3, p4 = q4, . . . , pm = qs, prin urmare avem tot
atâ ția factori q câ ți p; fiecare q este egal cu câte un p, adic ă cele dou ă
descompuneri ale lui n în factori primi sunt identice.
Unii factori se pot repeta. Deci, orice num ăr n poate fi reprezentat
în mod unic sub forma:
k
kp pnα α… 1
1=
unde p1.p2, . . , pk sunt numere prime diferite iar α1, . . . , αk∈N sunt numi ți
exponen ți și reprezint ă multiplicit ăț ile factorilor diferi ți.
Aceast ă ultim ă reprezentare este denumit ă descompunere canonic ă
în factori.
Teorem ă. Exist ă o infinitate de numere prime.
Demonstra ție.
Presupunem c ă exist ă un num ăr finit de numere prime, fie ele p1,
p2, . . ., pk.
-71- Observ ăm c ă a = p1p2. . . pk+1 nu este divizibil prin p1, p2, . . ., pk
deoarece ar rezulta c ă a1. Din rezultatele anterioare deducem c ă exist ă
p∈N\{0,1} astfel încât pa.
Din presupunerea c ă p1, p2, . . ., pk sunt singurele numere prime
deducem c ă exist ă i∈{1,2,. . ., k } astfel încât pi = p. Absurd deoarece a nu
este divizibil prin pi. Deci exist ă o infinitate de numere prime.
2. Criterii de divizibilitate.
Defini ție. O regul ă pe baza c ăreia putem spune c ă a este divizibil
cu b f ără a face împ ărțirea se nume ște criteriu de divizibilitate .
Teorem ă. ( Criteriul de divizibilitate cu 2 k și cu 5 k) Un num ăr
natural m este divizibil cu 2 k (sau cu 5 k) dac ă și numai dac ă num ărul
format de ultimele k cifre din scrierea sa în baza zece este divizibil cu
2k
(sau cu 5 k).
Demonstra ție. Scriem m în sistemul zecimal sub forma m = an10 n
+ . . . + ak+1 10 k+1 +ak10 k+ ak-1ak-2 . . . a1a0 unde a0,a1, . . . , an sunt numere
cuprinse între 0 și 9, an≠0. Prin urmare a0 reprezint ă cifra unit ăț ilor, a1 cifra
zecilor, a2 cifra sutelor ș.a.m.d.,
astfel c ă m =10 k(an10 n-k+an-110 n-k-1+ . . . + ak+1 10+ ak)+ ak-1ak-2 . . . a1a0.
Deci m = 10 kt+ ak-1ak-2 . . . a1a0 unde t = an10 n-k+an-110 n-k-1+ . . .
+ak+1 10+ ak.
Atunci 2 km rezult ă 2 k(n-10 kt), adic ă 2 k ak-1ak-2 . . . a1a0 .
Reciproc, 2 k ak-1ak-2 . . . a1a0 rezult ă 2 k10 kt+ ak-1ak-2 . . . a1a0
adic ă 2 km. Analog se procedeaz ă pentru 5 k.
Exemple.
/head2right numerele 3724 și 18760 sunt divizibile cu 2 2 (pentru c ă 24
și 60 sunt multiplii de 4).
/head2right numerele 6900; 4925; 3250; 1475; 5000 sunt divizibi le cu
25.
Teorem ă. ( Criteriul de divizibilitate cu 3 și cu 9 ) Un num ăr
natural m este divizibil cu 3 (respectiv cu 9) dac ă și numai dac ă suma
cifrelor sale este divizibil ă cu 3 (respectiv cu 9).
Demonstra ție. Scriem m în sistemul zecimal sub forma:
m = an10 n+an-110 n-1+ . . . + a210 2+a110+ a0 = an(10 n-1)+ an-1(10 n-1-1)+. ..+
a2(10 2-1)+ a1(10-1)+( an+an-1+…+ a1+a0).
Din formula
10 k-1-1=(10-1)(10 k-1+10 k-2+…+1)=9 k′,
rezult ă 10 k-1-1 este multiplu de 9, oricare ar fi k∈N*. Prin urmare m =
9k +( an+an-1+…+ a1+a0) adic ă m este divizibil cu 3, respectiv cu 9, dac ă și
numai dac ă suma cifrelor sale este divizibil ă cu 3, respectiv cu 9.
-72- Teorem ă. (Criteriul de divizibilitate cu 7, 11, 13 ) Un num ăr
natural a este divizibil respectiv prin 7, 11 sau 13 dac ă diferen ța
ob ținut ă prin sc ăderea num ărului reprezentat de ultimele 3 cifre ale
num ărului dat, din num ărul reprezentat de toate celelalte cifre (sau
invers) este egal ă cu 0 (zero) sau se divide prin 7 sau prin 11 sau p rin
13.
Demonstra ție.
Fie
n=num ărul reprezentat de ultimele trei cifre ale lui a;
m=num ărul reprezentat de toate celelalte cifre ale acelui a ș
num ăr a;
Avem
a=m ּ1000+n= m ּ1000+n+m-m= m ּ1001+n-m
Caz I. Dac ă m<n scriem
a= m ּ1001+(n-m)
Caz II.Dac ă m>n scriem
a= m ּ1001-(m-n)
Cum 1001=7 ּ11 ּ13 deducem c ă m ּ1001 este divizibil cu 7, 11 și 13.
Exemplu. Num ărul 367311 este divizibil cu 7 deoarece
m-n=367-311=56=7 ּ8.
Teorem ă. ( Criteriul (2) de divizibilitate cu 11 ) Un num ăr natural
n este divizibil cu 11 dac ă și numai dac ă diferen ța dintre sumele
alternante ale cifrelor sale este divizibil ă cu 11.
Exemplu. Num ărul 18326 este divizibil cu 11 deoarece suma
alternant ă a cifrelor sale este 1-8+3-2+6=0 divizibil ă cu 11 .
3.Divizorii unui num ăr natural.
Teorem ă. Dac ă k
kp pnα α… 1
1= este descompunerea canonic ă a
num ărului n ∈∈ ∈∈ N atunci, to ți divizorii lui n sunt toate numerele de
forma
k
kp ppdβ β β… 2 1
2 1=
(1) 0 ,…, 0 , 0k 2 2 1 1 k p α β α β α ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
Demonstra ție. Presupunem c ă dn. Atunci n = dq cu q∈N* și prin
urmare, to ți divizorii primi ai lui d intr ă în descompunerea canonic ă a lui n
cu exponen ții ce nu sunt mai mici decât aceia cu care ei intr ă în
descompunerea canonic ă a lui d. Din aceast ă cauz ă, d are forma (1).
Reciproc, orice d de forma (1) îl divide, evident pe n.
-73- Exemplu. To ți divizorii num ărului 720=2 4325 se ob țin dac ă vom
face ca în expresia 3 2 1532β ββ exponen ții 3 2 1,,βββ s ă parcurg ă
independent unul de altul valorile
; 1 , 0 ; 2 , 1 , 0 ; 4 , 3 , 2 , 1 , 03 2 1 = = = β β β
De aceea, ace ști divizori sunt: 1,2,4,8,16,3,6,12,24,48,9,18,
36,72,144,5,10,20,40,80,15,30,60,120,240,45,90,180, 360,720.
Dac ă to ți β sunt nuli, ob ținem d = 1; dac ă k kα β= , ob ținem
d = n.
Num ărul divizorilor.
Folosim tabelul:
1
12
11
10
1 … αpppp ( )termeni – 11+ −α
2
22
21
20
2 … αpppp ( )termeni – 12+ −α
…………………… …………………………..
k
k kkk ppppα… 210 ( )termeni – 1+ −kα
Înmul țind pe rând fiecare num ăr din linia I cu fiecare num ăr din
linia II, ob ținem
( )( ) . p 1 12 1
2 1 2 1β βα α p forma produse de + +
Continuând s ă le înmul țim cu fiecare num ăr din linia III, ob ținem
( )( )( ) .ppp 1 1 13 2 1
3 2 1 3 2 1β β βα α α forma de produse + + +
Analog, procedând pân ă la ultima linie, ob ținem produsele de forma
, … 2 1
2 1k
kp ppβ β β
adic ă to ți divizorii.
Num ărul lor este:
( )( )( )1 … 1 12 1 + + +kα α α
Exemplu. Num ărul 720=2 4325 are (4+1)(2+1)(1+1)=30 divizori.
Suma divizorilor.
Să efectu ăm produsul de k sume, având termenii pe cele k linii
considerate mai sus.
( )( )( )
11… 11
11… 1… … 1 … 1
1
21
2
11
12 2 12
1 1
2 12 1
−−
−−
−−== ++ ++ + ++ ++
+ + +
kkk
pp
pp
ppp p p p pp
kk
α α αα α α
Exemplu. Suma divizorilor num ărului 72=2 332 este
-74- ,195 1313
12123 4
=−−
−−
ceea ce se poate verifica u șor.
4. Divizori și multipli comuni a dou ă sau mai multe numere naturale.
Defini ții.
1) Orice întreg care divide simultan întregii a, b, c, . . . , m se
nume ște divizor comun al lor. Cel mai mare dintre divizorii comuni se
nume ște cel mai mare divizor comun (prescurtat c.m.m.d.c) și se noteaz ă
prin simbolul ( a,b,c,…, m). Existen ța sa este evident ă deoarece num ărul
divizorilor comuni este finit.
2)Dac ă cel mai mare divizor comun al numerelor a,b,c,…, m este 1,
atunci a,b,c, . . . , m se numesc prime între ele sau relativ prime .
3)Dac ă fiecare dintre numerele a, b, c, . . . , m este prim cu oricare
altul dintre aceste numere, atunci a, b, c, . . . , m se numesc prime dou ă câte
dou ă.
Exemple:
1. Numerele 6, 10 și 15 au (6,10,15)=1
2.Numerele 8, 13, 21 sunt prime dou ă câte dou ă, deoarece
(8,13)=(8,21)=(13,21)=1.
Teorem ă. Dac ă a este un multiplu al lui b, atunci mul țimea
divizorilor comuni ai lui a și b coincide cu mul țimea divizorilor lui b, iar
(a,b) = b.
Teorem ă. Dac ă d,a,b ∈∈ ∈∈N sunt astfel încât d=( a,b) atunci exist ă
x,y∈∈ ∈∈N cu d=ax+by .
Demonstra ție. Este evident pentru a=b =0. Presupunem c ă a, b nu
sunt simultan nule și consider ăm S={ au+bv u,v∈N}. Mul țimea S nu este
vid ă deoarece a2+b2>0. Fie s cel mai mic element din S cu proprietatea
s=au 0+bv 0 și u0,v0∈N. Ar ătăm c ă d=s . Este clar c ă d divide toate elementele
din S . În particular, d divide s; astfel c ă d ≤ s. Din teorema împ ărțirii cu
rest exist ă q,r∈N unici astfel încât
au+bv = qs+r , 0 ≤r<s.
Atunci r=a(u-qv 0)+ b(v-qv 0)∈S, deci, d divide r. Cum r∈S și r<s intr ăm în
contradic ție cu minimalitatea lui s. Dac ă r=0, atunci, s divide au+bv . În
particular, când ( u,v )=(0,1) și ( u,v )=(1,0), deducem c ă s este divizor comun
al lui a,b . Prin urmare s≤d.
Teorem ă. Dac ă a = bq+r atunci mul țimea divizorilor comuni ai
numerelor a și b coincide cu mul țimea divizorilor comuni ai numerelor
b și r.
-75- Demonstra ție. Dac ă ( n divide a și n divide b) atunci ( n divide pe r)
și deci n este divizor comun al numerelor b și r. Reciproc, aceea și egalitate
ne arat ă c ă dac ă ( n divide b) și ( n divide r) atunci ( n divide pe a). În
particular, trebuie s ă coincid ă și cei mai mari dintre ace ști divizori, adic ă
(a,b )=( b,r ).
Observa ție. Din teorem ă deducem c ă pentru g ăsirea divizorilor
comuni ai lui a și b (cazul a nu este multiplu de b) este mai u șor s ă-i c ăut ăm
pe cei ai numerelor b și r.
Exemplu. Calcul ăm cel mai mare divizor comun pentru 297 și 3627
astfel:
3627=12·297+63
297=4·63+45
63=1·45+18
45=2·18+9
18=2·9;
(297,3627)=(63,297)
=(45,63)
=(18,45)
=(9,18)
=9
5.Algoritmul lui Euclid.
Fie a, b numere naturale ≠0 astfel încât a>b. Conform teoremei
împ ărțirii, form ăm șirul de egalit ăț i:
a=bq 0 + r0 , 0 ≤r0 <b
b=r0q1+r1 , 0 ≤r1 < r0
r0=r1q2+r2 , 0 ≤r2 < r1
……………………………………..
rk-2=rk-1qk+rk , 0 ≤rk < rk-1
rk-1=rkqk+1 +0 , ( rk+1 =0)
Cum s-a ar ătat, acest lucru este inevitabil, deoarece șirul b, r0, r1, …, rk,rk+1
fiind un șir de întregi descresc ători, nu poate con ține mai mult decât b
numere pozitive.
Considerând egalit ăț ile de mai sus și ținând cont de rezultatele de
mai sus ne convingem c ă divizorii comuni ai numerelor a și b sunt aceea și
cu divizorii comuni ai numerelor r0 și r1, ai numerelor r1 și r2, . . . , ai
numerelor rk-1 și rk și, în sfâr șit, c ă sunt aceia și cu divizorii num ărului rk.
Totodat ă avem: ( a,b )=( b,r 0)=( r0,r1)= . . . =( rk-1,rk)= rk .
Ajungem la urm ătoarele concluzii:
-76- 1) Mul țimea divizorilor comuni ai numerelor a și b coincide cu
mul țimea divizorilor celui mai mare divizor comun al lo r.
2) Acest cel mai mare divizor comun al lor este rk, adic ă egal cu
ultimul rest diferit de zero din algoritmul lui Euc lid.
Exemplu. S ă se g ăseasc ă (525,231), aplicând algoritmul lui Euclid.
525
462
231
189 :63
3 :231
2
525=231·2+63
231=63·3+42
63=42·1+21
42=21·2
63
42 :42
1
42
42
== :21
2
Ultimul rest fiind r4=21 avem (525,231)=21.
Mai practic, men țion ăm procedeul uzual (cel pu țin în Fran ța) în
cadrul c ăruia câturile sunt plasate deasupra divizorilor cor espunz ători.
Exemplu.
2 3 1 2
525 231 63 42 21 0
Deci, (525,231)=21.
Remarc ă. În cazul în care ultimul împ ărțitor este 1, c.m.m.d.c. este
1, numerele sunt prime între ele.
Exemplu. Pentru numerele 616 și 285 avem:
2 6 5
616 285 46 9 1
6.Cel mai mic multiplu comun.
Defini ție. Orice întreg divizibil simultan prin întregii a, b, c, . . . ,
m, se nume ște multiplu comun al lor. Cel mai mic dintre multiplii comuni se
nume ște cel mai mic multiplu comun (prescurtat c.m.m.m.c) și se noteaz ă
prin simbolul:[ a,b,c,…, m].
Teorem ă. Cel mai mic multiplu comun a dou ă numere este egal
cu produsul lor împ ărțit prin cel mai mare divizor comun al lor.
-77- Demonstra ție. Fie m un multiplu comun oarecare al întregilor a și
b. Avem m=ak , unde k este un întreg. Atunci și bak este întreg.
Facem nota țiile ( a,b )= d, a=a1d, b=b1d.
Atunci
( ) 1 ,a 1 1
11
11= = = b unde bka
dbdk a
bak
De aceea, trebuie b1k, adic ă k=b1t, unde t este întreg.
Din nota ții
dab ak m impune ce ceea dbk deci ,1 t tdbb = = = =
Cel mai mic multiplu comun se ob ține pentru t=1, el fiind
(1) dab m=
Remarc ă. Algoritmul lui Euclid permite aflarea c.m.m.d.c. f ără
descompunerea în factori primi, iar rela ția (1) permite aflarea c.m.m.m.c
fără descompunerea în factori primi.
7.Exerci ții
1.S ă se înlocuiasc ă literele prin cifre, știind c ă:
a)num ărul a306 este divizibil prin 6;
b)num ărul cb28 71 este divizibil prin 45, dar nu prin 2.
2.Într-un anumit moment, planetele Mercur și Venus ocup ă o
anumit ă pozi ție. Dup ă cât timp se vor afla în aceea și pozi ție, știind c ă
Mercur face ocolul Soarelui în timp de 88 de zile, iar Venus în 225 de zile?
3.Determina ți numerele naturale n astfel încât:
2 2 ) 1 4 , 2 11 () 1 (2 ] 1 ,[ + = ++ +nn nnn n
4.Determina ți numerele de trei cifre care au suma cifrelor 13 și
sunt divizibile cu 11.
5.Fie ___
ab și ___
cd numere în baza 10 astfel încât ___
ab > ___
cd și ___
ab –
___
cd =10. Determina ți a, b, c, d știind c ă 25 _______
abcd .
-78-
Capitolul IX . Mul țimea numerelor întregi
1. Construc ția mul țimii numerelor întregi
Pe E= N×× ××N definim rela ția " ≈" prin:
( ) ( ) Nnn m,m nmnm nm nmdef
∈ ∀+ =+ ⇔ ≈1 1 1 1 1 1 ,, , ,
Ar ătam c ă rela ția " ≈" este o rela ție de echivalen ță pe E.
Într-adev ăr,
din comutativitatea adun ării numerelor naturale:
m+n=n+m ⇒ ( m,n )≈(m,n ), ∀m,n ∈N
⇒"≈" este reflexiv ă.
Din proprietatea de simetrie a semnului "=":
m+n 1=m 1+n ⇔m1+n=m+n 1⇒[(m,n )≈(m1,n1)⇒(m1,n1)≈(m,n )],
∀m,n ,m1,n1∈N
adic ă " ≈" este simetric ă.
De asemenea avem:
[( m,n )≈(m1,n1) și (m1,n1)≈(m2,n2)] ⇒(m,n )≈(m2,n2) ∀m,n,m 1,n1,m2,n2∈N,
deoarece:
(m,n )≈(m1,n1) ⇔m+n 1=m1+n (*)
(m1,n1)≈(m2,n2) ⇔ m1+n2=m2+n1 (**)
Înmul țind (*) cu –1 și adunând la (**) ob ținem
-m-n 1+m 2+n 1=-m1-n+m 1+n 2⇔–m+m 2=-n+n 2 ⇔ m+n 2=m2+n
adic ă ( m,n )≈(m2,n2) a șadar " ≈" este tranzitiv ă.
Rela ția " ≈" definit ă mai sus, fiind o rela ție de echivalen ță
determin ă o împ ărțire unic ă a lui N2 în clase de echivalen ță . Mul țimea
tuturor claselor de echivalen ță N×× ××N/≈ o not ăm cu Z și o numim mul țimea
numerelor întregi. Un element al acestei mul țimi se nume ște num ăr întreg.
Teorem ă. Fie m,n ∈∈ ∈∈N. Rela ția " ≈" are propriet ățile:
10) ( m,m )≈(0,0) pentru orice num ăr natural m;
20) ( m,n )≈(m-n, 0) pentru orice m>> >>n;
30) (m,n) ≈(0,n-m) pentru orice n >> >>m;
Teorem ă. Dac ă ( m,n )≈(p,q ) și ( r,s )≈(u,v ) oricare ar fi
m,n,p,q,r,s,u,v ∈∈ ∈∈N atunci:
1) (m+r,n+s )≈(p+u,q+v )
2) (mr+ns,ms+nr )≈(pu+qv,pv+qu )
-79- Demonstra ție.
Din ( m+q=p+n și r+v=u+s) ⇒ m+r+q+v=p+u+n+s adic ă:
(m+r,n+s )≈(p+u,q+v )
Analog ⇒ 2).
Cum Z este mul țimea claselor de echivalen ță în raport cu " ≈", vom
nota cu [ m,n ] num ărul întreg determinat de ( m,n ).
Consecin ță . Aplica țiile + :Z ×× ××Z→→ →→Z, · :Z ×× ××Z→→ →→Z definite prin
[m,n]+[r,s]=[m+r,n+s]
respectiv
[m,n]·[r,s]=[mr+ns,ms+nr]
sunt corect definite.
Astfel + și · sunt opera ții binare pe mul țimea Z și le numim
adunarea respectiv înmul țirea numerelor întregi.
Teorem ă. (Z,+, ·) este un domeniu de integritate.
Demonstra ție.
1)( Z,+) este grup abelian.
∀m,n,p,q,r,s ∈N au loc:
-Asociativitatea:
[m,n ]+([ p,q ]+[ r,s ])=[ m,n ]+[ p+r,q+s ]=[ m+p+r,n+q+s ]=
=[ m+p,n+q ]+[ r,s ]=([ m,n ]+[ p,q ])+[ r,s ]
-Elementul neutru este [0,0]:
[m,n ]+[0,0]=[ m,n ]
-Opusul -[ m,n ] al num ărului [ m,n ] este [ n,m ] deoarece
[m,n ]+[ n,m ]=[ m+n,m+n ]=[0,0]
-Comutativitatea:
[m,n ]+[ p,q ]=[ m+p,n+q ]=[ p,q ]+[ m,n ]
2) · este asociativ ă:
([ m,n ]·[ p,q ])·[ r,s ]=[ mp+nq ,mq+np ]·[ r,s ]=
=[ mpr+nqr+mqs+nps,mps+nqs+mqr+npr ]=[ m,n ]·([ p,q ]·[ r,s ])
3) Elementul neutru fa ță de · este [1,0]:
[m,n ]·[1,0]=[ m,n ]
4) · este comutativ ă:
[m,n ]·[ p,q ]=[ mp+nq,mq+np ]=[ p,q ]·[ m,n ]
5) înmul țirea este distributiv ă fa ță de adunare:
[m,n ]·([ p,q ]+[ r,s ])=[ m,n ]·[ p+r,q+s ]=
=[ mp+mr+nq+ns,mq+ms+np+nr ]=[ m,n ]·[ p,q ]+[ m,n ]·[ r,s ]
6) Absen ța divizorilor lui zero:
Fie [ m,n ]·[ p,q ]=[0,0]. Presupunem c ă m>n , deci exist ă u≠0 astfel
încât m=n+u de unde [ m,n ]=[ u,0]. Egalitatea in țial ă devine
[u,0]·[ p,q ]=[0,0], adic ă up =uq de unde p=q , adic ă [ p,q ]=[0,0].
Am probat faptul c ă (Z,+, ·) este un domeniu de integritate.
-80- Fie z=[ m,n ]∈Z. Dac ă m=n , atunci z=0 conform propriet ăț ii 1 0).
Dac ă m<n, atunci exist ă p∈N* astfel încât m+p=n (în acest caz
convenim s ă not ăm p=n-m și astfel m+ (n-m)= n iar z=[0, p]=-[p,0] se
identific ă cu num ărul întreg – p.
Dac ă n<m, atunci exist ă q∈N* astfel încât n+q =m și astfel z=[ q,0]
identificându-se cu num ărul natural q.
Ținând cont de acestea putem scrie pe Z sub forma
Z=(-N)∪N∪{0}
unde – N={ -nn∈N}.
Astfel:
Z={…, -n,… ,-1,0,+1,+2,+3,…, +n ,…}
Mul țimea – N (respectiv N*) se noteaz ă cu Z- (respectv Z+) și se
nume ște mul țimea numerelor întregi strict negative (respectiv m ul țimea
numerelor întregi strict pozitive).
Teorem ă. Urm ătoarele afirma ții au loc:
1)Z=Z -∪∪ ∪∪Z+∪∪ ∪∪{0}
2)Orice num ăr întreg apar ține uneia și numai uneia din
mul țimile Z -, Z+, {0}.
Demonstra ție.
1) Rezult ă din defini țiile mul țimilor Z-, Z+, {0}.
2) Fie [ m,n ] un num ăr întreg oarecare și ( m,n ) un reprezentant al s ău.
Dac ă ( m,n )≈(p,q ) și m>n , atunci p>q , deoarece m+q=p+n și
m+q>n+q ⇒p+n>n+q ⇒p>q . Deducem c ă m>n nu depinde de
reprezentan ți, ci numai de num ărul întreg [ m,n ]. Folosindu-ne de mul țímea
numerelor naturale, avem sau m>n și atunci [ m,n ]∈Z+, sau m=n și atunci
[m,n ]=0 sau m<n și atunci [ m,n ]∈Z-, având loc o singur ă situa ție.
Observa ție. Uneori not ăm Z*=Z\{0}
2. Ordonarea numerelor întregi
Defini ție. Se spune c ă num ărul întreg m este mai mic decât num ărul
întreg n dac ă diferen ța n-m∈Z+. Vom nota aceast ă rela ție prin semnul < și
vom pune m≤n dac ă m<n sau m=n .
Teorem ă. Mul țimea (Z, ≤≤ ≤≤) este total ordonat ă.
Demonstra ție .
Reflexivitatea : m≤m ∀m,n ∈Z – adev ărat.
Antisimetria : ( m≤n și n≤m)⇒m=n , ∀m,n ∈Z – adev ărat deoarece:
m≤n⇒n-m∈Z+∪{0} ⇒ k1∈Z+∪{0} astfel încât n-m=k1
n≤m⇒m-n∈Z+∪{0} ⇒ k2∈Z+∪{0} astfel încât m-n=k2
Rela ții care conduc la k1+k2=0 ⇔k1=k2=0 ⇒m=n .
-81- Tranzitivitatea : exerci țiu !
Rela ția de ordine ≤ este total ă – adev ărat deoarece:
Pentru m,n numere întregi, deducem din rezultatele de mai sus c ă
num ărul întreg m-n apar ține fie lui Z- fie lui Z+ fie lui {0}, dar numai uneia
dintre aceste mul țimi disjuncte. Dac ă acest num ăr apar ține lui Z+ atunci
n<m . Dac ă el este zero, atunci m=n . Dac ă acest num ăr apar ține lui Z- atunci
n>m .
Axa numerelor întregi. Axa numerelor este o dreapt ă pe care
fix ăm un punct O ( numit origine), un sens pozitiv (ind icat de s ăgeat ă) și o
unitate de m ăsur ă.
Originea O A
d(O,A)=1 sensul pozitiv
d(O,A) reprezint ă lungimea segmentului cuprins între O și A, fiind aleas ă ca
unitate de m ăsur ă.
Defini ție. Distan ța m ăsurat ă pe axa numerelor între origine și
punctul corespunz ător num ărului întreg a se nume ște modulul lui a și se
noteaz ă a. Spunem c ă a este abscisa punctului respectiv.
Teorem ă. Urm ătoarele afirma ții sunt adevărate:
1) Pentru orice num ăr întreg a a ≥≥ ≥≥0;
2) a =0 atunci și numai atunci când a=0;
3) Pentru orice a∈∈ ∈∈Z: -a = a
– a dac ă a<< <<0
4) a = 0 dac ă a=0
a dac ă a>> >>0
Demonstra ție .
3)
-a A1 O A
a d(O,A)=d(O,A1)=a sensul pozitiv
Defini ție . Dou ă numere întregi se numesc opuse dac ă sunt
abscisele a dou ă puncte simetrice de pe axa numerelor.
Dac ă a∈Z, not ăm opusul lui a cu – a.
Exemplu . Opusul lui 20 este –20; opusul lui –10 este 10;
Teorem ă. (Împ ărțirea numerelor întregi). Oricare ar fi a,b ∈∈ ∈∈Z,
b≠≠ ≠≠0, exist ă q,r ∈∈ ∈∈Z astfel încât a = bq + r și 0 ≤≤ ≤≤r<< << b .
Demonstra ție.
Fie A={ a-zb z∈Z} care evident con ține și numere naturale. Fie
acum r=a-qb cel mai mic num ăr natural din A (cu q∈Z). Avem 0 ≤r<b c ăci {
1
{
-82- dac ă r=a-qb ≥b am 0 ≤a-(q+1) b<r, în contradic ție cu r cel mai mic num ăr
natural din A.
Observa ție. Numerele q,r cu proprietatea de mai sus poart ă
numele de câtul, respectiv restul împ ărțirii lui a la b, și sunt unice cu
proprietatea respectiv ă. Într-adev ăr, dac ă am mai avea q1,r1∈Z astfel încât
a = bq 1 + r1 și 0 ≤r1<b, atunci bq + r= bq 1 + r1 care se mai scrie b(q-
q1)= r1-r, adic ă b(r1-r). Din 0 ≤r,r1<b, cu presupunerea c ă r1 > r,
deducem r1-r<b, iar condi ția b(r1-r) implic ă r1-r=0 și de aici r1=r și
q=q1.
Spunem c ă dac ă a,b sunt numere întregi cu b≠0, câtul dintre a și b,
notat a:b, este acel num ăr întreg q, în cazul în care el exist ă, pentru care
a=bq . Num ărul a se nume ște deîmpărțit iar b împ ărțitor.
3. Divizibilitate pe Z.
Defini ție . Dac ă a,b ∈Z, b ≠0, spunem c ă a divid e b (scriem ab)
dac ă exist ă c∈Z astfel încât b=ac .
Observa ție . Ca și în cazul lui N nu vom defini, nici în cazul lui Z
divizibilitatea prin 0.
Numerele prime din Z se definesc ca fiind acele numere întregi p cu
proprietatea c ă p≠-1,0,1 iar singurii divizori ai lui p sunt –1, 1, p, -p.
Deducem c ă numerele prime din Z sunt numerele de forma -p, +p , cu p
num ăr prim în N.
Teorem ă. Fie a, b, c numere întregi. Atunci:
1) a a ;
2)Dac ă ( a b și b a) atunci ( a=b sau a=-b ) adic ă rela ția de
divizibilitate nu este antisimetric ă;
3)Dac ă ( a b și b c) atunci a c.
Demonstr ăm spre exemplu 2):
– din ab deducem c ă exist ă c num ăr întreg astfel încât b=ac (1)
– din ba deducem c ă exist ă k num ăr întreg astfel încât a=bk (2)
Prin înmul țirea rela țiilor (1) și (2) deducem c ă ba=abck care prin
simplificare devine ck =1. Produsul a dou ă numere întregi fiind 1 deducem
că avem ( c=1 și k=-1) sau ( c=-1 și k=1) adic ă se verific ă 2).
4.Exerci ții
1.Suma mai multor numere întregi consecutive este 2 3. Afla ți câte
numere sunt dac ă numerele pozitive sunt cu dou ă mai multe decât numerele
negative.
-83- 2.S ă se afle cel mai mare num ăr întreg negativ x pentru care
441 ּx=n3.
3.Fie n-2; n-1; n; n +1; n+2 patru numere întregi.
a)S ă se determine valorile pe care le poate lua suma lo r în cazul
când produsul lor este zero.
b)S ă se determine valoarea produsului acestor numere în cazul în
care suma lor este zero.
4.Este adev ărat ă reciproca propozi ției:
“Oricare ar fi numerele a,b ∈Z atunci a+b și a-b∈Z”?
5.Determina ți perechile de numere întregi ( x,y ) cu x ≠0, y≠0, pentru
care 2≤x2+y2≤13
-84-
Capitolul X . Mul țimea numerelor ra ționale
1. Construc ția mul țimii Q
Not ăm
E= Z×Z*={( p,q )p∈Z și q∈Z*}.
Pe mul țimea E definim rela ția " ≈" prin:
(p,q )≈(p1,q1)def
⇔ pq 1=qp 1
Teorem ă. Rela ția " ≈" este o rela ție de echivalen ță .
Demonstra ție .
Reflexivitatea : ( m,n )≈(m,n ), ∀(m,n )∈E;
Adev ărat, din comutativitatea înmul țirii numerelor naturale
(m·n =n·m ).
Simetria : ( m,n )≈(m1,n1)⇒(m1,n1)≈(m,n ), ∀(m,n ),( m1,n1)∈E;
Din proprietatea de simetrie a semnului "=":
m·n 1=m1·n⇔m1·n=m·n 1 ⇒ ( m,n )≈(m1,n1)⇒(m1,n1)≈(m,n )
Tranzitivitatea :
[( p,q )≈(p1,q1) și ( p1,q1)≈(p2,q2)] ⇒ ( p,q )≈(p2,q2), ∀(p,q ), ( p1,q1), ( p2,q2)∈E;
Într-adev ăr,
( p,q )≈(p1,q1) ⇔ pq 1= qp 1 (c)
( p1,q1)≈(p2,q2) ⇔ p1q2=q1p2 (d)
Prin înmul țirea membru cu membru a rela țiilor (c), (d) ob ținem
pq 1p1q2=qp 1q1p2, rela ție care simplificat ă prin p1q1 conduce la:
pq 2=qp 2 def
⇔(p,q )≈(p2,q2)
În concluzie " ≈" este o rela ție de echivalen ță .
Rela ția " ≈" determin ă pe mul țimea E, clase de echivalen ță .
Pentru ( p,q )∈E not ăm prin
qp clasa sa de echivalen ță în ≈E .
Mul țimea tuturor claselor de echivalen ță determinate de mul țimea
E în raport cu rela ția de echivalen ță " ≈" se noteaz ă prin Q.
-85- Deci:
}Zq si {**∈ ∈ =≈×= ZpqpZZQ
Exemplu . În clasa 53 se afl ă toate perechile ( p,q ), astfel încât
(p,q )≈(3,5) ⇔p5= q3 cu p∈Z și q∈Z* , adic ă perechile (6,10); (9,15);
(12,20); . . .
Un element din Q îl numim num ăr ra țional.
Perechile ( p,q ) aflate în rela ția de echivalen ță defint ă, le numim
frac ții și le not ăm tot prin
qp.
Propriet ăț ile aritmetice ale mul țimii Z ne permit s ă identific ăm
orice num ăr întreg n cu num ărul ra țional 1n. Prin urmare avem șirul de
incluziuni N⊂Z⊂Q.
Deci, mul țimea numerelor ra ționale este de fapt o extindere a
mul țimii Z a numerelor întregi.
Defini ție. Num ărul întreg q se nume ște numitor iar num ărul întreg
p se nume ște num ărător . Linia orizontal ă " – " se nume ște linie de frac ție .
Dac ă p<q frac ția se nume ște subunitar ă. Dac ă p>q frac ția se nume ște
supraunitar ă. În cazul p=q frac ția se nume ște echiunitar ă.
Defini ție . Dac ă pּq>0, p,q sunt numere întregi atunci qp se
nume ște num ăr ra țional pozitiv iar mul țimea lor se noteaz ă prin Q+, iar
dac ă pּq<0 atunci qp se nume ște num ăr ra țional negativ iar mul țimea lor
se noteaz ă prin Q- .
2. Egalitatea frac țiilor.
Fie qp, sr frac ții. Spunem c ă sr
qp= dac ă p=r și q=s .
Exemplu.
;1514
2212
13111
43
−−=++=+++=
-86- Teorem ă. Egalitatea frac țiilor este o rela ție de echivalen ță .
Demonstra ție.
Reflexivitatea : qp
qp= , ∀p∈Z și q∈Z\{0};
pqqqp
qp⋅=⋅ = p deoarece
Simetria : qp
sr
sr
qp=⇒= , ∀p,r ∈Z și q,s ∈Z\{0};
sp deoarece spqr qrqp
sr
sr
qp⋅=⋅⇒⋅=⋅ =⇒=
Tranzitivitatea : i s
' nm
qp
nm
sr sr
qp=⇒
= = ,∀p,r,m ∈Z și
q,s,n ∈Z\{0};
(f) (e)
smnrnm
srqrspsr
qp
⋅=⋅⇒=⋅=⋅⇒=
Din (e) și (f) ob ținem
psrn=rqms .
Împ ărțind prin sr pentru r≠0 ob ținem pn=qm , adic ă nm
qp= .
Observ ăm c ă și în cazul r=0 proprietatea r ămâne adev ărat ă.
3. Amplificarea frac țiilor.
A amplifica o frac ție înseamn ă a înmul ți și numitorul și
num ărătorul prin acela și num ăr natural diferit de 1. Simbolic vom scrie:
} N\{ nqnpn
qpn
1 😉
∈⋅⋅=
-87- Exemplu .
86
4232
43912
3343
34
)2)3
=⋅⋅==⋅⋅=
4. Simplificarea frac țiilor.
A simplifica o frac ție înseamn ă a împ ărți și numitorul și
num ărătorul prin acela și num ăr natural diferit de 1 (atunci când este
posibil).
Simbolic vom scrie:
1 ;::(
} N\{ nnqnp
qpn
∈ =
Exemplu .
54
5:25 5 :20
25 20 53
3 :15 3 : 9
15 9
5 (3 (
= == =
Observa ție. Prin amplificarea și simplificarea unei frac ții se ob ține
o nou ă frac ție egal ă cu cea ini țial ă.
Defini ție . O frac ție ce nu poate fi simplificat ă se nume ște
ireductibil ă.
Teorem ă. Frac ția qp (p ∈∈ ∈∈Z și q ∈∈ ∈∈Z*), este ireductibil ă dac ă și
numai dac ă ( p,q )=1.
Demonstra ție.
-dac ă
qp este ireductibil ă atunci nu exist ă n∈∈ ∈∈Z\{1} astfel încât
np și n q ceea ce conduce la ( p,q )=1.
-dac ă ( p,q )=1 și exist ă d∈Z astfel încât d p, d q atunci d 1,
deci qp este ireductibil ă.
-88- 5.Rela ția de ordine pe mul țimea frac țiilor.
Fie qpx= cu p∈Z iar q∈Z*. Observ ăm c ă în cazul q<0, putem
scrie
qp
qpx−−== și deci orice x ∈Q , se scrie sub forma
srx= cu
s=-q>0 (adic ă s ∈N*).
Defini ție . Fie sryqpx = = , , ∀p,r∈Z și q,s ∈N\{0}.
Definim pe Q rela ția " ≤" prin x≤y⇔ps-qr ≤0.
Teorem ă. Rela ția " ≤≤ ≤≤" este rela ție de ordine total ă pe Q.
Demonstra ție.
1) " ≤" este reflexiv ă: x≤x , ∀x∈Q;
Fie qpx= . Avem c ă p q-q p qp
qpdef
0≤⋅⋅ ⇔ ≤ ultima rela ție
fiind adev ărat ă deducem c ă " ≤" este reflexiv ă.
2) " ≤" este antisimetric ă: ( x≤y și y≤x) ⇒ x=y, ∀x,y ∈Q.
Într-adev ăr,
(h) 0(g) 0Avem Fie
s q-p rqp
sr i s q s-r p sr
qp : . sri y s qp x
def 'def '
≤⋅ ⋅ ⇔ ≤≤⋅ ⋅ ⇔ ≤= =
Din rela țiile (g) și (h) avem c ă ps-rq =0⇔ps =rq ⇔x=y, deducem c ă
"≤" este antisimetric ă.
3) " ≤" este tranzitiv ă: ( x≤y și y≤z) ⇒ x≤z, ∀x,y,z ∈Q
Alegem în plus nmz= cu n∈N* astfel încât x≤y și y≤z, adic ă
ps-rq ≤0 și rn-ms ≤0.
Cum q, s, n ∈N* deducem c ă [(ps-rq )n≤0 și ( rn-ms )q≤0], adic ă
[psn-rqn ≤0 și rnq-msq ≤0], deci psn-msq ≤0⇔s(pn-mq )≤0⇔ pn-mq ≤0⇔x≤z,
adic ă ≤ este tranzitiv ă.
-89- Din 1), 2) și 3) deducem c ă "≤" este o rela ție de ordine pe Q.
Faptul c ă rela ția " ≤" este total ă pe Q rezult ă din aceea c ă ordinea natural ă
"≤" de pe Z este total ă.
Observa ție .
'qp , 0'pp qqp>⇒> >
6.Opera ții fundamentale cu frac ții.
Teorem ă.
. s Atunci . i s cu i s Fie
'' '
sv ru
qn pm i sv su rv
nq mq pn vu
nm
sr
qpZv q, s, n, Z p, r, m, u *
=+=+= = ∈ ∈
Demonstra ție.
Avem c ă ps =rq și mv =nu astfel c ă:
⇔+=+ sv su rv
nq mq pn
(pn +mq )sv =( rv +su )nq ⇔pnsv +mqsv =rvnq +sunq ⇔mqsv -sunq =rvnq –
pnsv ⇔(mv-un )sq =( rq-ps )nv , adev ărat deoarece ps =rq și mv =nu .
Prin înmul țirea membru cu membru a rela țiilor ps=rq și mv=nu
ob ținem: psmv=nurq
sv ru
qn pm = ⇔
Aceast rezultat ne sugereaz ă c ă sr , Qqp∈ ∀ opera țiile de
adunare (+) și înmul țire ( ּ )definite prin prin:
qs pr
sr
qp qs rq ps
sr
qp= ⋅+= + is
'
sunt corect definite.
Exemplu .
21 8
74
32) 221 26
734372
74
32) 1
=⋅=⋅⋅+⋅= +
-90- 7.Propriet ățile adun ării frac țiilor .
a)Adunarea este comutativ ă:
qp
sr
sr
qp+=+
b)Adunarea este asociativ ă:
) ( ) (nm
sr
qp
nm
sr
qp++=++
c)Existen ța elementului neutru:
Qb∈∃0 astfel încât Q∈ ∀ba s ă avem:
ba
ba
bbba=+=+00;
d)Opusul unui num ăr ra țional:
QbaQba∈
−∃ ∈∀ , astfel încât:
0=+
−=
−+ba
ba
ba
ba
Num ărul b0 s-a considerat 0.
8.Proprietățile înmul țirii frac țiilor
a)Înmul țirea este comutativ ă:
qp
sr
sr
qp⋅=⋅
b)Înmul țirea este asociativ ă:
) ( ) (nm
sr
qp
nm
sr
qp⋅⋅=⋅⋅
c)Elementul neutru:
ba
ba
ba=⋅=⋅11
11
d)Înmul țirea este distributiv ă fa ță de adunare:
-91- sr
nm
qp
nm
sr
qp
nm⋅+⋅=
+⋅
e)Inversul unui num ăr ra țional:
1qp ea proprietat are 0pq atunci , 0 =⋅=⋅ ≠ ≠qp
pq
pq
qp
Deci, inversul lui qp este pq.
Ce structur ă algebric ă are (Q,+, ּ ?)
9.Împ ărțirea frac țiilor.
Defini ție. Frac ția pq se nume ște inversa frac ției qp; p,q ∈Z*.
Defini ție . Împ ărțirea frac ției ) (s,q srprin qp0 ≠ este produsul
dintre qp și inversa frac ției sr.
Scriem:
rqsp
rs
qp
sr
qp
⋅⋅=⋅=:
Exemplu.
10 21
23
57
32:57=⋅=
Observa ție. Rela ția de echivalen ță " ≈" definit ă pe mul țimea
frac țiilor ne permite s ă extindem toate rezultatele și în cazul mul țimii
numerelor ra ționale.
Scrierea sub form ă de numere zecimale.
Defin ție. O frac ție al c ărei numitor este 10, 100, 1000 . . ., în
general 10 n cu n num ăr natural oarecare se nume ște frac ție zecimal ă.
O frac ție zecimal ă este egal ă cu num ărul zecimal care se ob ține astfel: se
despart de la num ărător, de la dreapta spre stânga atâtea cifre zecimal e câte
zerouri are numitorul. Dac ă num ărul cifrelor de la num ărător este mai mic
decât num ărul zerourilor de la numitor, complet ăm cu zerouri ad ăugate la
stânga.
-92- Num ărul
10 5 (reprezint ă 5 zecimi) îl not ăm cu 0,5
Num ărul 1000 456 (reprezint ă 456 miimi) îl not ăm cu 0,456.
10.Reprezentarea pe ax ă a numerelor ra ționale.
Am v ăzut c ă axa numerelor este o dreapt ă pe care fix ăm un punct
O (numit origine), un sens pozitiv (se indic ă printr-o s ăgeat ă) și o unitate de
măsur ă.
A reprezenta pe ax ă un num ăr ra țional, înseamn ă:
-reprezentarea pe ax ă a numitorului;
-num ărarea atâtea p ărți din numitor cât este num ărătorul, de la
origine spre direc ția în care a fost reprezentat numitorul;
-figurarea în desen a num ărului ra țional în dreptul ultimei p ărți de
la pasul precedent.
Să reprezent ăm pe o ax ă num ărul ra țional 32.
Originea O
32 A sensul pozitiv
d(O,A)=1
Analog cum s-a definit modulul pentru numere întreg i, se define ște și pentru
numere ra ționale.
11.Opera ții de grad superior cu numere ra ționale.
Ridicarea la putere. În general, pentru numere întregi pozitive n
avem:
Putere 4434421L
întreg 0, n , 〉⋅⋅⋅⋅
a factori na aaa = a n Se cite ște ca a n-a putere a lui a, sau
a la puterea n.
– a se nume ște baz ă,
– n se nume ște exponent
Ridicarea la putere reprezint ă o înmul țire repetat ă a aceluia și num ăr.
Este opera ție de gradul 3.
Deoarece 0·0 = 0, avem 0n = 0
Asemenea, 1·1 = 1, deci 1n = 1
-93- Puteri a c ăror baz ă este cuprins ă între 0 și 1 devin mai mici la o
majorare a exponentului: L〉〉〉4 3 2
21
21
21
Puterea unui num ăr negativ va avea o valoare pozitiv ă în cazul unui
exponent par și o valoare negativ ă în cazul unui exponent impar.
Înmul țirea și împ ărțirea puterilor .
a) puteri cu acela și exponent . Din ( ab )n = ab· ab· ab·… ·ab ( n factori) și
aplicând proprietatea de comutativitate a înmul țirii deducem c ă
()n n
factori n factori nnba .·b b·b·b·b·.. aaaaa ab · ··…· · ··
= =4 34214 3421.
Re ținem deci c ă ()n n nba ab ·=
Analog, ridicarea la putere a unei frac ții: nn n
ba
ba=
b) puteri cu aceea și baz ă. Înmul țirea. Conform defini ției puterii avem:
am·an = 4434421K4 3421K4 3421K
factori nm factori n factori ma aaaa aaa aa
+⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Deci nm n ma aa+=⋅
Împ ărțirea . Deoarece fiecare împ ărțire poate fi exprimat ă printr-o
frac ție, ob ținem la am:an o frac ție cu m factori a la num ărător și n factori a
la numitor.
Prin simplificare,
– dac ă m >n , dup ă simplificare vor r ămâne m-n factori a la
num ărător,
– dac ă m < n , dup ă simplificare vor r ămâne n-m factori a la numitor
iar num ărătorul va deveni 1,
– dac ă m=n , dup ă simplificare rezultatul va fi 1.
Așadar:
1 : :1: :: :
= == 〈= 〉
−−
n mmnn mnm n m
aa nmaaa nma aa nm
Dezvoltarea no țiunii de
putere a0= 1 a-n = na1
-94-
Ridicarea la o putere a unei puteri . Pentru a calcula puterea unei puteri
(am)n avem: ()4434421K44 344 21K
factori nm factori nm m mnma aaa a aa a
×⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ = . Deci,
()mn nma a =
Rădăcina p ătrat ă. Prin r ădăcina p ătrat ă a x= , din num ărul
nenegativ a în țelegem num ărul nenegativ x, care înmul țit cu el însu și d ă
o valoare egal ă cu a.
2xa a x =⇒ =
Deoarece r ădăcina p ătrat ă este opera ție invers ă ridic ării la putere vom putea
stabili urm ătoarele: rădăcina p ătrat ă a unui num ăr format din 2 n și 2 n-1
cifre va fi un num ăr format din n cifre.
Algoritmul extragerii r ădăcinii p ătrate . Împ ărțim cifrele num ărului de sub
radical în grupe de dou ă cifre pornind de la virgul ă și spre stânga și spre
dreapta. Rezultatul va avea înaintea virgulei tot a tâtea cifre câte grupe sunt
înaintea virgulei, iar dup ă virgul ă tot atâtea cifre câte grupe sunt dup ă
virgul ă.
De exemplu:
89 88 48, 44 44
va fi un num ăr zecimal cu partea întreag ă format ă din 3 cifre, iar partea
frac ționar ă din 2 cifre.
41 4 va fi un num ăr de dou ă cifre, adic ă de forma a+b , unde a este un
multiplu de 10. Deci:
41 4 = ( a+b )2 = a2+2 ab +b2=a2+b(2 a+b). Aceast ă egalitate se folose ște
la extragerea r ădăcinii p ătrate f ăcând întâi sc ăderea lui a2 și apoi a lui
b(2 a+b ):
441
= 20 + 1 = 21
-a2 -400 a b a + b
41
-b(2a+b) -41
0
Analog se calculeaz ă o r ădăcin ă p ătrat ă care va avea trei, patru … cifre.
Exemplific ăm pentru 3 cifre:
-95- 64 , 5745 = 70 + 5 + 0,8 = 75,8
-a2 -4900 a b c a+b+c
845
-b(2a+b) -725
120,64
-c(2a+2b+c) -120,64
〈 −=〉
==
0,0 , 00,
2
xxxxx
x x
În continuare, prezent ăm propriet ăț ile radicalilor de ordinul 2.
1. ab ba =.
2.
ba
ba=
Opera ții cu radicali .
Scoaterea unui factor de sub semnul radical : se descompune
num ărul de sub radical în factori și se aplic ă proprietatea 1.
Introducerea uni factor sub semnul radical : Se introduce sub
semnul radical puterea a 2-a a factorului.
Ra ționalizarea numitorului . Este opera ția de eliminare a radicalilor
de la numitorul frac țiilor, prin amplificare fie cu radicalul de la numi tor, fie
cu conjugatul numitorului.
Expresia b a b a − + expresia conjugat are .
12.Exerci ții
1. Aduce ți la o form ă mai simpl ă expresia:
=−++−+− 1 100 1… 131
121
2 2 2
2.S ă se simplifice frac ția:
-96- nn
⋅++++⋅++++
3… 9634… 12 84
3.Ar ăta ți c ă S= n+1+2(1+2+3+…+ n) este p ătrat perfect.
4.S ă se determine num ărul natural n pentru care num ărul
26
−+=nnp este num ăr natural.
5.Calcula ți:
( )n
n nn
331
31
31
1 22
−⋅
+ −
−+ ++
, unde n∈N.
-97-
Capitolul XI . Frac ții zecimale
Frac ții zecimale finite. Fie sppp … 1= scrierea zecimal ă a
num ărului natural p și N n ,10 ∈np frac ție.
Folosind opera țiile din sistemul zecimal și opera țiile cu frac ții putem scrie:
ns
sn ns
ns
ns
nsns ss s
ns
n
p p p p p pp p p p ppp p
10 … 10 10 10 10 … 10 10
10 10 10 10 … 10 10
10 …
10
11 12
21
112
21
1 21
++ = +⋅++⋅+⋅==+⋅ ++ ⋅ + ⋅= =
−−−− −−− −
În continuare:
==
=+ +
is -n daca , … p 0…0 0, in – s daca , … ,… p
10 21ori – i2 1 21
ss i i i not
nppp ppppp
și spunem c ă frac ția N n ,10 ∈npeste sub form ă de frac ție zecimal ă
finit ă.
Exemple.
5siar 5 n deoarece ; 23456 , 010 23456 7siar 2 n deoarece ;89 , 45637 10 4563789
52
= = == = =
-98- Observa ții.
1) Grupul de cifre aflat în stânga virgulei se nu me ște partea
întreag ă a frac ției, iar cel aflat în dreapta se nume ște partea frac ționar ă a
sa.
2) În scrierea unei frac ții zecimale finite avem atâtea cifre dup ă
virgul ă câte unit ăț i are exponentul lui 10 în frac ția
np
10 .
Teorem ă. Dac ă numitorul unei frac ții are ca factor prim numai
pe 2 sau pe 5 atunci frac ția admite scrierea zecimal ă cu un num ăr finit
de cifre dup ă virgul ă.
Demonstra ție.
Fie qp o frac ție cu numitorul de forma 2 i · 5 k; i,k ∈N.
Prin amplificarea frac ției ob ținem:
>⋅≥⋅
=⋅−
ik ,10 2aki ,10 5
52i – k
kiki
k ia
p
rela ții care conduc la demonstrarea teoremei.
Exemplu.
6875 , 010 6875
10 625 11
10 511
211
16 11 14 , 010 14
10 27
257
50 7
4 4 44
42 2 2
= =⋅=⋅= == =⋅=⋅=
Întrucât numerele zecimale reprezint ă doar nota ții pentru numere
cunoscute, propriet ăț ile de adunare, sc ădere, înmul țire și împ ărțire sunt cele
ar ătate la numerele naturale, întregi și cele frac ționare.
Exemplu.
018 ,24 1000 24018
1000 22340 1678
100 2234
1000 1678 34 ,22 678 , 1 = =+= + = +
-99- Acest exemplu ne conduce la
scrierea unele sub altele: unit ăți sub
unit ăți, zeci sub zeci, . . . , zecimi
sub zecimi, sutimi sub sutimi etc.. 018 ,24 34 ,22 678 , 1 +
748652 , 31000000 3748652
1000 2234
1000 1678 22,34 1,678 = = × = ×
Se observ ă c ă înmul țirea frac țiilor zecimale finite se
bazeaz ă pe urm ătorul ra ționament:
-se înmul țesc numerele ca și când nu ar avea virgule,
apoi la rezultat punem virgula desp ărțind de la dreapta
spre stânga atâtea cifre zecimale câte au avut
deînmul țitul și înmul țitorul împreun ă.
748652 , 3 3356 3356 5034 6712 34 ,22 678 ,1
+×
Consider ăm împ ărțirea 67,32:3,7. Scriind numerele date sub form ă
de frac ții, avem:
370 6732
37 100 10 6732
10 37 :100 6732 7 , 3 : 32 ,67 =⋅⋅= =
Concluzion ăm c ă împ ărțirea frac țiilor zecimale finite se reduce la o
împ ărțire în N
Se desprinde astfel urm ătoarea regul ă:
-pentru a împ ărți un num ăr zecimal la un num ăr întreg, proced ăm
la fel ca la împ ărțirea numerelor naturale, punem virgula la cât în mo mentul
când coborâm la rest cifra zecimilor. Dac ă este nevoie partea zecimal ă a
deîmp ărțitului o complet ăm cu zerouri, pentru a putea scoate cifre zecimale
mai multe la cât.
-pentru a împ ărți un num ăr (întreg sau zecimal) la un num ăr
zecimal, înmul țim și deîmp ărțitul și împ ărțitorul cu 10 dac ă împ ărțitorul are
o zecimal ă, cu 100 dac ă el are 2 zecimale, cu 1000 dac ă are 3 zecimale etc.;
în acest fel ob ținem o împ ărțire la care împ ărțitorul este num ăr întreg și care
are acela și cât ca și împ ărțirea dat ă.
-100- Frac ții zecimale infinite.
Teorem ă. Orice frac ție
qp ireductibil ă și subunitar ă pentru
care numitorul se afl ă în una din situa țiile:
a) ( q,10)=1;
b) exist ă a prim diferit de 2 și 5 cu ( q,a )≠≠ ≠≠1 și ( q,10) ≠≠ ≠≠1
nu se poate scrie sub form ă de frac ție zecimal ă finit ă.
Demonstra ție.
Să presupunem c ă
10. lui al este nu q deducem 1 (q,10) Din .10 pq … 10 pcu echivalent este care 10 … p
qp , … , 0
s
2 1ss2 1
2 1
divizor p ppqp pdeci p ppqp
ss
s
= ⋅⇒ ⋅= ⋅= =
Am ob ținut astfel o contradic ție. În concluzie exist ă frac ții care nu
pot fi scrise sub form ă de frac ție zecimal ă finit ă.
Frac țiile zecimale care nu se pot scrie sub form ă de frac ție
zecimal ă finit ă se numesc frac ții zecimale infinite și se noteaz ă prin:
p1,p2p3 . . . .
Exemplu. Frac ția
71 nu poate fi scris ă sub form ă de frac ție
zecimal ă finit ă. Se observ ă c ă (7,10)=1 iar dup ă teorema de mai sus
deducem c ă
71 nu poate fi scris ă ca frac ție zecimal ă finit ă.
1. Frac ții zecimale periodice .
Fie frac ția
qp ireductibil ă și subunitar ă în care numitorul satisface
una din condi țiile teoremei precedente. Din teorema împ ărțirii cu rest pentru
p și q se ob țin cel mult q-1 resturi nenule r1, r2, . . ., rq-1. Deoarece produsul
acestor resturi este diferit de zero rezult ă c ă algoritmul împ ărțirii lui a la b
se continu ă la infinit. Mul țimea { r1, r2, . . ., rq-1} fiind finit ă deducem c ă
unele resturi se vor repeta periodic, rezultat care spune c ă exist ă cifre care
se repet ă după cât.
Fie acum p0,p1p2p3 . . . o frac ție zecimal ă infinit ă cu proprietatea c ă
exist ă m,n ∈N astfel încât pa+m =pa, ∀a≥n. Mul țimea tuturor frac țiilor cu
aceast ă proprietate alc ătuie ște o nou ă clas ă de frac ții, numit ă clasa frac țiilor
zecimale periodice .
Vom nota frac țiile zecimale periodice prin:
-101- ) … ( … ,1 1 1 0 −+ − an n n pp ppp
Secven ța 1 1… −+ − pn nn p pp se nume ște perioada frac ției
zecimale.
Distingem dou ă cazuri:
I. pentru n=1 perioada începe dup ă virgul ă iar frac ția se nume ște
frac ție zecimal ă periodic ă simpl ă;
II. pentru n>1 spunem c ă frac ția este frac ție periodic ă mixt ă.
2. Frac ții periodice simple.
Teorem ă . Dac ă ( q,10)=1 frac ția
qp este periodic ă simpl ă.
Demonstra ție.
Prin împ ărțirea lui p la q ob ținem acelea și resturi care se ob țin prin
împ ărțirea la q a numerelor:
p; p·10; p·10 2 . . . p·10 q-1; p·10 q; . . . (a)
Fie rp; r1; r2; . . . rq-1; rq; șirul resturilor (dac ă q<p, rq=q). Fie
p·10 a+m și p·10 m dou ă numere din șirul (a) care dau acela și rest prin
împ ărțirea la q, deci p·10 a+m – p·10 m =10 m(p·10 a-p)= q·k cu k num ăr natural.
Cum ( q,10)=1 deducem c ă q(p·10 a-p), iar din defini ția rela ției " "
deducem c ă p·10 a-p=q·k ’ cu k’ num ăr natural. Ultima rela ție arată c ă exist ă a
astfel încât p·10 a și p dau acela și rest prin împ ărțirea la q.
Concluzia este c ă printre resturile par țiale g ăsim repetat și primul
rest. Dac ă frac ția ar fi periodic ă mixt ă, primul rest care se repet ă ar fi rq, ci
nu r1, sau r2, . . . sau ri (i ≥2), adic ă în șirul resturilor par țiale nu ar mai
reap ărea niciodat ă restul rq. Deci frac ția este periodic ă mixt ă.
3. Frac ții periodice mixte.
Teorem ă. Fie
qpo frac ție cu q=2 i · 5 j·q1, unde ( q1,10)=1. În aceste
ipoteze
qp se transform ă în frac ție zecimal ă periodic ă mixt ă.
Demonstra ție. Dac ă i > j , avem
1 1 15
10 1
10 5
52 qq
qq
qp
qpji
n nji
j i− −⋅⋅ =⋅=⋅⋅=
unde n este cel mai mare dintre i și j.
-102- Frac ția
15
qqji−⋅
conform teoremei din subcapitolul precedent, se tra nsform ă în frac ție
zecimal ă periodic ă simpl ă.
Prin înmul țirea cu
n10 1 se mut ă virgula spre stânga peste n cifre.
Aceste n cifre formeaz ă partea periodic ă.
Analog se trateaz ă cazul i<j ( se amplific ă cu 2 j-i).
Observ ăm c ă frac țiile periodice mixte se deduc din cele simple.
Se poate demonstra c ă orice num ăr ra țional se reprezint ă sub
form ă de frac ție zecimal ă infinit ă periodic ă, care nu are perioada 9, de
asemenea c ă orice frac ție zecimal ă periodic ă, care are perioada diferit ă de 9,
reprezint ă un num ăr ra țional, care se ob ține prin algoritmul de împ ărțire.
4. Trecerea de la scrierea zecimal ă la scrierea cu linie de
frac ție
a) Transformarea frac țiilor zecimale finite .
Exemplu.
100 532
100 32 100 5
100 32 5100 2 30 5100 2
10 35 32 , 5100 53
100 3 50
100 3
10 553 , 0
=+ ⋅= =++ = + + ==+= + =
not
În general,
11
12
1 12
1 13 2
1 2110 …
10 …
10 …
10 … 100 10 … ,− − − −= = += ++ ++=ss
ssnot
ss
ss
sppppppppp pppppp
b) Transformarea frac țiilor zecimale infinite periodice simple .
Fie frac ția zecimal ă
)… ( , 021 sppp
și
)… ( , 021 spppqp=
scrierea ei cu linie de frac ție.
Deci
) … ( , … 10 21 21 s ssppppppqp=⋅ (1).
-103- Înmul țind rela ția (1) cu 10 s se ob ține
Prin sc ăderea acestei egalit ăț i cu egalitatea (i) avem:
ori s 9… 9… unde de , … ) 1 10 (1
1
de p p
qpp pqps
ss= =⋅−
Desprindem urm ătoarea regul ă:
O frac ție zecimal ă periodic ă simpl ă subunitar ă se transform ă în
frac ție astfel: scriem la num ărător perioada, iar la numitor cifra 9 de atâtea
ori câte cifre are perioada.
Exemplu.
3s ,999 567 ) 567 ( , 0 = =
c) Transformarea frac țiilor zecimale infinite periodice mixte .
Consider ăm frac ția zecimal ă
)… (… , 021 21 j i qqqppp
și qp scrierea ei cu linie de frac ție.
Deci
(2) ) … ( … , 021 21 j i qqqp ppqp=
Înmul țind rela ția (2) cu 10 i+j respectiv 10 i avem:
(4) ) … ( , … 10 (3) ) … ( , … … 10
21 2 121 21 2 1
j iij j iji
q qq p ppqpq qq q qqp ppqp
=⋅=⋅+
Prin sc ăderea rela țiilor (3) și (4) avem:
ori j 10 99 .. 99 … … …
qp … … … ) 1 10 ( 10
1 1 11 1 1
de p p qqp punde de p p qqp pqp
ii j ii j ij i
⋅−=− =⋅−
Deci:
-104- ori i de – ori j 00 .. 00 99 .. 99 … … …
qp ) … ( … , 01 1 1
21 21
de pp qqppqqqp ppqp i j i
j i−= = =
Desprindem urm ătoarea regul ă:
O frac ție zecimal ă periodic ă mixt ă subunitar ă se transform ă în frac ție astfel:
-la num ărător: consider ăm num ărul începând de la virgul ă pân ă se
termin ă prima perioad ă; din el sc ădem partea neperiodic ă;
-la numitor: scriem de atâtea ori cifra 9 câte cif re are perioada, apoi
în continuare de atâtea ori cifra 0 câte cifre are partea neperiodic ă.
Exemplu.
9900 4101
9900 41 4142 )42 (41 , 0 =−=
5.Exerci ții
1.Pentru frac țiile zecimale, periodice urm ătoare, s ă se g ăseasc ă
num ărul ra țional pe care-l reprezint ă și s ă se verifice apoi prin algoritmul de
împ ărțire c ă se ob ține frac ția zecimal ă ini țial ă:
a)2,11(2); b)0,(3); c)-0,(12); d)2,01(13).
2.Fie x=2,31 și y=1,245. S ă se g ăseasc ă primele trei cifre dup ă
virgul ă ale sumei x+y .
3.Fie x=1,734 și y=1,245. S ă se g ăseasc ă primele dou ă cifre dup ă
virgul ă ale produsului x cu y.
4.S ă se scrie sub form ă de frac ție zecimal ă infinit ă, numerele :
a) 713 ; b) 41; c) 32.
5.Ar ăta ți c ă un num ăr ra țional nm, astfel încât n este prim cu m și
cu 9, se reprezint ă sub forma unei frac ții zecimale a c ărei perioad ă
reprezint ă un num ăr multiplu de 9.
-105-
Capitolul XII . Mul țimea numerelor reale
Ar ătăm c ă nu exist ă numere ra ționale care ridicate la p ătrat s ă fie 2.
Într-adev ăr,
presupunând contrariul ar exista
qp num ăr ra țional astfel încât
22
=
qp
Putem presupune c ă ( p,q )=1.
Din 22
=
qp⇒ p2=2q 2.
Cum 2q 2 este par, deducem c ă și p2 este par și deci p este par. Fie
p=2 x, x un num ăr întreg. Înlocuind p=2 x în rela ția precedent ă ob ținem
(2 x)2=2 q2 , adic ă 2 x2=q2, deci și q este par. Din cele demonstrate deducem
că q și p au divizor comun pe 2, care este contradictoriu cu ( p,q)=1.
Astfel de exemple conduc la extinderea mul țimii numerelor
ra ționale.
Defini ție. Numim num ăr ira țional (pozitiv sau negativ) un num ăr
care poate fi reprezentat cu ajutorul unei frac ții zecimale neperiodice, cu
partea zecimal ă format ă din numere care nu se repet ă periodic .
Mul țimea tuturor numerelor ira ționale se noteaz ă prin I.
Reunind mul țimea Q a numerelor ra ționale cu mul țimea I a
numerelor ira ționale, ob ținem o nou ă mul țime care o not ăm prin R și o
numim mul țimea numerelor reale.
Elementele acestei mul țimi se numesc numere reale . Între
mul țimile N, Z, Q , R exist ă rela ția de incluziune:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
1.Ordonarea numerelor reale.
Fie x=x0,x1x2x3 . . . și y=y0,y1y2y3 . . . dou ă numere reale, unde
frac țiile x0,x1x2x3 . . . și y0,y1y2y3 . . . au perioada diferit ă de 9.
Spunem c ă x=y dac ă oricare ar fi j=0, 1, 2, 3, . . . avem xj=yj.
-106- Exemplu.
2,345=2,345 deoarece x0=y0; x1=y1; x2=y2; x3=y3.
2,(9)=2,(9) deoarece xj=yj oricare ar fi j=0, 1, 2, . . .
Defini ție. Num ărul real x=x0,x1x2x3 . . . este mai mic decât num ărul
real y=y0,y1y2y3 . . . și scriem x<y, dac ă exist ă un num ăr natural k≥0, astfel
încât xk<yk și xj=yj pentru orice j<k.
În acest caz se mai spune c ă y este mai mare decât x și se scrie y>x.
Exemplu.
7,823 . . . <8,273 . . ., deoarece x0=7 <8= y0
7,8234 . . . <7,8235 . . ., deoarece x0=y0=7; x1=y1=8; x2=y2=2;
x3=y3=3; x4<y4 (4 <5).
Dac ă x<0 num ărul real x se nume ște negativ, iar dac ă x>0 atunci
x se nume ște pozitiv. Este clar c ă un num ăr real x=x0,x1x2x3 … este negativ
dac ă și numai dac ă x0 este un num ăr negativ.
Observ ăm c ă dac ă x și y sunt numere reale, atunci este adev ărat ă
una și numai una din rela țiile:
x>y, x<y, x=y
Defini ție. Num ărul real x este mai mic sau egal cu num ărul real y,
și scriem x≤y dac ă x<y sau x=y .
Rela ția " ≤" are urm ătoarele propriet ăț i:
1)este reflexiv ă: x≤x, ∀x∈R;
2)este antisimetric ă: ( x≤y și y≤x) ⇒x=y , ∀x,y ∈R;
3)este tranzitiv ă: ( x≤y și y≤z)⇒x≤z, ∀x,y,z ∈R.
Din propriet ăț ile 1), 2) și 3) și observa ția de mai sus deducem c ă
"≤" este o rela ție de ordine total ă pe mul țimea numerelor reale.
2. Aproxim ări zecimale ale numerelor reale.
Fie x un num ăr real oarecare reprezentat sub form ă de frac ție
zecimal ă infinit ă. Aproxim ările zecimale prin lips ă ale num ărului x se
definesc ca fiind numerele care se ob țin prin înl ăturarea succesiv ă a tuturor
cifrelor sale a șezate dup ă virgul ă, începând cu prima cifr ă, apoi cu cea de-a
doua, dup ă aceea cu cea de-a treia etc.
Exemplu.
Pentru num ărul x=3,456217 . . ., aproxim ările zecimale prin lips ă
vor fi:
3; 3,4; 3,45; 3,456; 3,4562; 3,45621; 3,456217; . . . . .
Dac ă la ultimul num ăr de dup ă virgul ă al fiec ărei aproxim ări
zecimale prin lips ă a num ărului x se adaug ă 1, atunci se ob țin aproxim ările
(valorile aproximative) zecimale prin adaos ale num ărului x.
-107- De exemplu, pentru num ărul 3,456217 . . ., astfel de aproxim ări
vor fi:
4; 3,5; 3,457; 3,4563; 3,45622; 3,456218; . . . . . .
Având în vedere rela ția de ordine pe mul țimea numerelor reale,
introdus ă mai sus deducem c ă num ărul x este cuprins între:
1) 3 și 4; re ținem 4-3=1;
2) 3,4 și 3,5; re ținem 3,5-3,4=0,1;
3) 3,45 și 3,46; re ținem 3,46-3,45=0,01 etc.
aceste aproxim ări zecimale sunt, respectiv, cu o eroare mai mic ă decât 1,
0,1=10 -1 respectv 0,01=10 -2 etc.
În general pentru un num ăr real pozitiv reprezentat sub form ă de
frac ție zecimal ă definit ă, adic ă x=x0,x1x2x3 . . . xn . . . aproxim ările zecimale
cu o eroare mai mic ă decât 10 -n sunt:
-pentru numere reale pozitive:
i)prin lips ă: x’n=x0,x1x2x3 . . . xn
ii)prin adaos: x’’ n=x0,x1x2x3 . . . xn+10 -n
-pentru numere reale negative:
i)prin lips ă: x’’ n=x0,x1x2x3 . . . xn-10 -n
ii)prin adaos: x’n=x0,x1x2x3 . . . xn
Astfel c ă num ărului x i-au asociat aproxim ările sale zecimale:
-prin lips ă: x’0, x’1, x’2, x’3, . . . ,
-prin adaos: x’’ 0, x’’ 1, x’’ 2, x’’ 3, . . . ,
astfel încât:
x’0≤x< x’’ 0
x’1≤x< x’’ 1
x’2≤x< x’’ 2
. . . . . . . .
Observ ăm c ă aproxim ările zecimale prin lips ă și prin adaos ale
unui num ăr real x sunt totdeauna numere ra ționale.
3. Adunarea și înmul țirea numerelor reale.
Fie x, y dou ă numere reale reprezentate sub form ă de frac ție
zecimal ă definit ă și fie aproxim ările zecimale prin lips ă și adaos cu o eroare
mai mic ă decât 10 -n. Atunci:
x’n≤x< x’’ n
y’n≤y< y’’ n
Cum x’n, x’’ n, y’n, y’’ n sunt ra ționale deducem c ă au sens sumele
x’n+ y’n și x’’ n+ y’’ n pentru orice n.
Defini ție. Se nume ște suma numerelor reale x și y un num ăr real s,
care pentru orice num ăr natural n, satisface inegalit ăț ile:
-108- x’n+ y’n ≤ s < x’’ n+ y’’ n
Exemple.
a)S ă g ăsim primele patru cifre dup ă virgul ă pentru suma numerelor
3=x și 7 y= .
Avem:
64576 , 2 7 64575 , 2 73206 , 1 3 73205 , 1 6458 , 2 7 6457 , 2 7321 , 1 3 7320 , 1 646 , 2 7 645 , 2 733 , 1 3 732 , 1 65 , 2 7 64 , 2 74 , 1 3 73 , 1 7 , 2 7 6 , 2 8 , 1 3 7 , 1 3 7 2 2 3 1
< ≤ < ≤< ≤ < ≤< ≤ < ≤< ≤ < ≤< ≤ < ≤< ≤ < ≤
Deci x’5+ y’5=4,3778 ≤ s= 7 3+ < x’’ 5+ y’’ 5=4,37782 de unde
c=4,3778
b)S ă se g ăseasc ă primele patru cifre dup ă virgul ă pentru suma
numerelor x=-7,43562 . . . . . și y=5,34187 . . .
Avem:
x’ 5+ y’ 5=-2,09376 ≤ x+y < x’’ 5+ y’’ 5=-2,09374
Astfel putem scrie patru cifre dup ă virgul ă pentru suma
x+y =-2,0937
Produsul numerelor reale pozitive se define ște asem ănător ca suma
numerelor reale pozitive, adic ă:
Defini ție. Se nume ște produsul numerelor reale pozitive x și y, un
num ăr real p, care pentru orice num ăr natural n, satisface inegalit ăț ile:
x’n· y’n ≤ p < x’’ n· y’’ n
Observa ție.
1.Analog se define ște modulul (valoarea absolut ă) unui num ăr real;
2. Dac ă unul sau ambele numere sunt negative, atunci se în mul țesc
valorile lor absolute și apoi se ține seama de regula semnelor:
a)produsul este pozitiv dac ă ambii factori au acela și semn și atunci:
x·y =x·y
b)produsul este negativ dac ă semnele factorilor sunt diferite și
atunci:
x·y = -x·y
Consider ăm c ă sunt suficiente exemplele pentru suma a dou ă
numere reale, pentru produsul lor se face un ra ționament analog.
-109- 4. Propriet ățile adun ării și înmul țirii numerelor reale.
1) Adunarea este asociativ ă și comutativ ă.
2)Exist ă num ărul real 0 (zero) astfel încât x+0= x, pentru orice x∈R
3)Pentru orice x∈R exist ă num ărul – x∈R astfel încât x+(-x)=0.
Observ ăm c ă dac ă mai exist ă 0’ ∈R cu x+0’= x, pentru orice x∈R
atunci pentru x=0, rezult ă 0+0’=0 și pe de alt ă parte din 2) pentru x=0’
rezult ă 0’+0=0’, a șadar 0=0’ de unde deducem unicitatea elementului 0.
Analog rezult ă c ă pentru orice x∈R exist ă un unic element y astfel
încât x+y =0, anume y=-x ; în plus, -( -x)= x. Dac ă x,y ∈R, atunci se noteaz ă x-
y =x+(-y) și se nume ște diferen ța numerelor x și y.
4) Înmul țirea este asociativ ă și comutativ ă.
5)Exist ă num ărul real 1 (1 ≠0) astfel încât x·1= x pentru orice x∈R.
6) Pentru orice x∈R, x≠0 exist ă num ărul x-1 (notat și x1 ) din R,
astfel încât x·x-1=1. Dac ă x,y ∈R și y≠0, se noteaz ă 1−=xy yx și reprezint ă
câtul numerelor x și y.
7)Înmul țirea este distributiv ă în raport cu adunarea, adic ă
x(y+z )= xy+xz , pentru orice x,y,z ∈R.
Din propriet ăț ile enun țate deducem c ă 1 este unic, având
proprietatea 5) și, de asemenea, pentru x≠0 dat inversul x-1 este unic.
Apoi x·0=0 [Deoarece x·0= x·(0+0)= x·0+i·0, conform cu 7);
notând x·0= y rezult ă y=y+y , deci y=0]
Demonstr ăm c ă dac ă x·y =0, atunci x=0 sau y=0. Într-adev ăr, dac ă x·y =0 și
x≠0, atunci exist ă x-1 și înmul țind rela ția anterioar ă cu x-1 rezult ă x-1(xy )=0,
adic ă ( x-1x)y=0, 1· y=0, deci y=0.
Exerci țiu. Ce structur ă algebric ă are ( R,+, ּ?)
Reprezentarea geometric ă a lui R.
Mul țimea R a numerelor reale va fi identificat ă cu mul țimea
punctelor de pe axa numerelor. Aceast ă identificare a punctelor de pe
dreapt ă cu elementele din R, justific ă faptul c ă mul țimea R este uneori
numit ă dreapta real ă, iar numerele reale se mai numesc puncte .
Consider ăm o ax ă având originea O, alegem: o unitate de m ăsur ă
având lungimea segmentului OU=1 și un sens pozitiv notat “+”.
Fie P mul țimea punctelor axei, definim aplica ția f : R → P care
asociaz ă oric ărui num ăr real x acel unic punct M ∈P astfel încât OM= x.
O U M +
{
x
-110- Așadar f(x) =M și în particular f(0) =O, f(1)=U.
Aplica ția f este bijectiv ă și se nume ște reprezentarea geometric ă a
lui R pe P; inversa ei f -1:P → R asociaz ă oric ărui punct al lui P abscisa
acestui punct, adic ă x.
5.Exerci ții
1.Demonstra ți c ă dac ă a, b∈R\{0} sunt astfel încât a+b = -a3 b3
atunci
+ −≤⋅3 31 1
b aba
2.Demonstra ți c ă dac ă a, b∈R sunt numere reale strict pozitive
atunci:
2 112 baba
ba+≤⋅ ≤
+
(cite ște: media armonic ă ≤ media geometric ă ≤ media aritmetic ă)
3.Fie numerele:
131b , b ,
1 313 2131 , ,
1 313 2
−−≠ ∈
+−− +=−−≠ ∈
+−+ +=
R
b bbBaRa
a aaA
Afla ți media aritmetic ă și media geometric ă a numerelor date.
4.a)S ă se arate c ă num ărul 5 3 2 + + este ira țional;
b)S ă se extrag ă 43 cu dou ă zecimale exacte.
5.Dac ă a, b, c, d ∈R, determina ți echivalen ța propozi țiilor:
p1: a-b+c-d =0 și a2-b2+c2-d2=0;
p2: an-bn+cn-dn=0 , ∀n∈R.
-111-
Capitolul XIII . Ecua ții și inecua ții de gradul I.
Sisteme de ecua ții și inecua ții de gradul I
1. Ecua ții de gradul I.
Defini ție. Predicatul
p( x): " a x=b; a,b ∈R " (1)
se nume ște ecua ție de gradul I în necunoscuta x.
O valoare a variabilei x pentru care egalitatea este verificat ă se
nume ște solu ție (r ădăcin ă) a ecua ției. A rezolva o ecua ție înseamn ă a-i g ăsi
mul țimea solu țiilor.
Consider ăm ecua ția a x=b; a,b ∈R.
Pentru rezolvarea ecua ției distingem cazurile:
a)a=0 și b ≠0 caz în care ecua ția nu are solu ții.
b)a=0 și b=0 caz în care ecua ția are ca solu ție orice num ăr real.
c)a ≠0 caz în care ecua ția are solu ția .abx=
Observa ție. Nu toate ecua țiile se prezint ă sub forma (1), îns ă se
pot aduce la ecua ții de acest tip.
Exemple. a) S ă se rezolve în R ecua ția
(x+3)( x-2)=( x+1)( x+2)+2
Rezolvare . Avem
(x+3)( x-2) = ( x+1)( x+2)+2 ⇔ x2-2x+3 x-6 = x2+2 x+x+2+2 ⇔
x2-2x+3 x-x2-2x-x = 6+2+2 ⇔ -2x=10.
Ultima ecua ție are solu ția -5 și este echivalent ă cu prima.
b) S ă se rezolve în R ecua ția: m x+3m=2 x+6, unde m este
un parametru real.
Rezolvare.
mx+3m=2 x+6 ⇔mx-2x=6-3m ⇔(m-2) x=3(2-m) (2)
Coeficientul necunoscutei x poate fi și 0 (anume, atunci când m=2). Se
impune deci s ă facem o analiz ă a cazurilor ce pot ap ărea.
-112- Cazul m ≠2. În acest caz împ ărțim ambii membri ai ecua ției (2) cu
num ărul nenul m-2 și ob ținem ecua ția: x=-3 care are solu ția –3.
Cazul m=2. În acest caz ecua ția inițial ă se scrie
2x+3 ·2=2 ·x+6 ⇔0=0
în concluzie mul țimea solu țiilor este R.
2. Inecua ții de gradul I.
Defini ție. Predicatul
p(x): ax+b>0; a,b ∈R (1 ’)
se nume ște inecua ție de gradul I în variabila x.
O valoare a variabilei x pentru care (1 ’) este verificat ă se nume ște
solu ție (rădăcin ă) a inecua ției. A rezolva o inecua ție înseamn ă a-i g ăsi
mul țimea solu țiilor. Not ăm mul țimea valorilor variabilei x prin S.
Consider ăm inecua ția a x+b>0; a,b ∈R⇔ax>-b
Atunci:
a) dac ă , 0abx a −>⇒> mul țimea valorilor solu țiilor
este:
∞−= ,abS .
b)dac ă a=0 , 0 b−>⇒ scriem c ă S= Ф (dac ă b<0) sau S=R (dac ă
b>0);
c)dac ă , 0abx a −<⇒< scriem c ă −∞−=abS , ;
Observa ție. Nu toate inecua țiile se prezint ă sub forma (1 ’), îns ă se
pot aduce la aceasta.
Exemplu .
S ă se rezolve în R inecua ția:
061
42
3≥++−−x x x
Rezolvare. Dup ă aducerea la acela și numitor inecua ția devine:
( )( )012 12 23 4≥+ + − − x x x
Cum 12 ≥ 0 punem condi ția ca 4 x-3(2- x)+2(1+ x) ≥ 0
Desfacem parantezele și reducem termenii; atunci: 9 x-4≥0
-113- aflându-ne în cazul a) deducem c ă
+∞ = ,94S .
3. Sisteme de ecua ții de gradul I .
Defini ție. Predicatul
p( x,y ): " a x+b y=c și d x+ey=f " (a, b, c, d, e, f ∈R) (1 ’’ )
se nume ște sistem de ecua ții de gradul I cu dou ă necunoscute.
Simbolic rela ția (1 ’’ ) se scrie:
= += +
f ey dx c by ax
a și d se numesc coeficien ții lui x; b și e se numesc coeficien ții lui y, iar c și
f sunt numi ți termeni liberi .
A rezolva un sistem de dou ă ecua ții cu dou ă necunoscute înseamn ă
a g ăsi mul țimea perechilor ( x,y )∈R×× ××R care verific ă (1 ’’ ).
Pentru rezolvarea sistemelor de ecua ții de gradul I cu dou ă
necunoscute prezent ăm 2 metode:
I. Metoda substitu ției care const ă în:
a1) " scoatem " dintr-una din ecua țiile sistemului o necunoscut ă în
func ție de cealalt ă;
b1) o înlocuim în cealalt ă ecua ție a sistemului, ob ținând astfel o
ecua ție cu o necunoscut ă pe care o rezolv ăm;
c1) având " valoarea " unei necunoscute, ob ținem solu ția
sistemului.
Exemplu. S ă se rezolve în mul țimea numerelor reale sistemul:
= +=−
10 2 32 2
y xyx
Rezolvare. Din 2 x-y=2 deducem c ă y=2 x-2.
Din 3 x+2 y=10 și y=2 x-2 deducem prin înlocuire 3 x+2(2 x-2)=10,
adic ă 7 x=14. Deci x=2. Apoi y=2·2-2=2.
Deci, dac ă ( x.y ) este o solu ție a sistemului, atunci
x=2 și y=2.
II. Metoda reducerii care const ă în:
R1) Înmul țind ecua țiile, respectiv, cu e și –b, în a șa fel încât prin
adunare termenii în y s ă se reduc ă, ob ținem:
ae x-bd x=ce-fb echivalent cu (ae-bd) x=ce-fb
-114- R2) Înmul țind acum în mod convenabil, pentru ca termenii în x s ă
se reduc ă, ob ținem: (ae-bd) y=af-cd
R3) Observ ăm c ă dac ă ae-bd ≠0, atunci sistemul are o solu ție
unic ă:
−−=−−=
bd ae cd af ybd ae fb ce x
Exemplu. S ă se rezolve sistemul:
== +
-16 5y -2x 14 2y 3x
în mul țimea numerelor reale.
Rezolvare. Reducem pe y. Pentru aceasta observ ăm c ă y are în
prima ecua ție coeficientul 2, iar în a doua ecua ție coeficientul –5. Vom
înmul ți ambii membri ai primei ecua ții cu 5, iar ai celei de-a doua cu 2; în
acest fel ob ținem sistemul echivalent
== +
-32 10y -4x 70 10y 15x
Adunând membru cu membru ecua țiile ob ținem 19 x=38, de unde x=2.
Reducem acum pe x. Observ ăm c ă x are în prima ecua ție coeficientul 3, iar
în a doua coeficientul 2. Vom înmul ți prima ecua ție cu 2, iar a doua cu –3,
ob ținându-se sistemul echivalent
= += +
48 15y 6x -28 4y 6x
Adunând ecua țiile membru cu membru vom ob ține 19 y=76, de unde y=4.
Sistemul are solu ția x=2 și y=4.
4. Sisteme de inecua ții de gradul I.
Defini ție. Predicatul
P( x,y ): "a x+b >0 și c x+d >0" (a,b,c,d ∈R) (1 ’’’ )
se nume ște sistem de inecua ții de gradul I .
Simbolic rela ția (1 ’’’ ) se scrie:
>+>+
0d cx 0b ax
A rezolva un sistem de inecua ții de gradul I înseamn ă:
-115- -a determina mul țimile de solu ții ale inecua țiilor componente;
-a determina intersec ția acestor mul țimi de solu ții, ob ținându-se
astfel mul țimea solu țiilor sistemului.
Exemplu. S ă se rezolve în R sistemul:
≤−≥++−−
052061
42
3
xx x x
Rezolvare. Fie S mul țimea solu țiilor primei inecua ții din sistem, S 1
mul țimea solu țiilor celei de-a doua inecua ții din sistem.
Am v ăzut c ă
+∞ = ,94S .
Determin ăm S 1.
Avem 2 x-5≤0 echivalent cu 2 x≤5, deci
+∞−=25,1S
Cum 25
94< deducem c ă
= ∩25,94
2SS
reprezint ă mul țimea solu țiilor sistemului.
5.Exerci ții
1.Afla ți x∈R astfel încât:
() ( ) ()21 … 212 1 +=⋅+++⋅+⋅+ nxn x n , n∈N
2.S ă se discute și s ă se rezolve ecua ția:
x2-m2=0
în func ție de valorile parametrului real m.
3.Rezolva ți în N ecua ția:
x+yz=3+xyz
-116- 4.Rezolva ți în mul țimea numerelor naturale sistemul:
=⋅ +=⋅−
10 )2 3 (2 ) 2 (
yy xxyx
5.Rezolva ți în R sistemul:
≤−≥⋅++−−
05 20 )61
42
3(
xxx x x
-117-
Capitolul XIV . Mu țimea numerelor complexe
Fie
R×R={(x,y )x, y ∈R}
Definim adunarea "+" ("+: R×R→R ") și înmul țirea"·" (" · : R×R→R « )
prin :
(x1,y1)+( x2,y2)=( x1+x2, y1+y2) (1)
și
(x1,y1)·( x2,y2)=( x1x2 – y1y2, x1y2 + x2y1) (2)
Defini ție. Elementele mul țimii R×R, pe care sunt definite cele
dou ă opera ții precedente (1) și (2), se numesc numere complexe .
Func ția f: R→R×R definit ă prin f( x)=( x,0) este bijectiv ă, rezultat ce permite
să identific ăm orice pereche de forma ( a,0) prin num ărul real a.
Observ ăm c ă
(x,y )=( x,0)+(0, y)=( x,0)+( y,0)·(0,1) și c ă (0,1) 2=(0,1)·(0,1)=(-1,0)=-1.
Not ăm cu C mul țimea R ×R împreun ă cu opera țiile “+“ și “·“ și o
numim mul țimea numerelor complexe .
1. Propriet ăți ale adun ării și înmul țirii numerelor
complexe.
10)Adunarea este asociativ ă:
(z1+z2)+ z3=z1+( z2+z3), ∀z1, z2, z3∈C
20) Înmul țirea este asociativ ă:
(z1·z2)· z3=z1·( z2·z3), ∀z1, z2, z3∈C
30)Adunarea este comutativ ă:
z1+z2=z2+z1,∀z1, z2∈C
40)Înmul țirea este comutativ ă:
z1·z2=z2·z1,∀z1, z2∈C
50) ∀z∈C avem z+0=0+ z=z (0 este element neutru la adunare).
60) ∀z∈C avem z·1=1· z=z (0 este element unitate la înmul țire).
70) Orice num ăr complex are un opus în raport cu adunarea, mai ex act
∀z∈C, ∃num ărul, notat – z astfel încât:
z+(-z)=(-z)+ z=0
-118- 80)Orice num ăr complex diferit de 0 are un invers în raport cu î nmul țirea:
∀z∈C\{0} exist ă un num ăr complex notat z-1, astfel încât zz -1=z-1z=1.
90)Înmul țirea este distributiv ă fa ță de adunare, adic ă oricare ar fi z1, z2, z3
din C, avem z1(z2+ z3)= z1 z2 + z1 z3
Demonstr ăm proprietatea 1 0)
Fie
z1=( x1,y1), z2=( x2,y2) și z3=( x3,y3).
Avem:
(z1+z2)+ z3=(( x1,y1)+( x2,y2))+( x3,y3)=( x1+x2, y1+y2)+( x3,y3)=
(x1+x2+x3,y1+y2+y3) ( *)
z1+( z2+z3)=( x1,x2)+(( x2,y2)+( x3,y3))=( x1,x2)+( x2+x3, y2+y3)=
(x1+x2+x3,y1+y2+y3) ( ** )
Din ( *) și ( ** ) ob ținem 1 0).
Demonstr ăm proprietatea 4 0)
Fie
z1=( x1,y1) și z2=( x2,y2).
Avem:
z1·z2=( x1,y1)·( x2,y2)=( x1x2-y1y2,x1y2+x2y1)=( x2x1-y2y1,x2y1+x1y2)=
(x2,y2)·( x1,y1)= z2·z1 .
Am folosit propriet ăț ile mul țimii R.
Demonstr ăm proprietatea 8 0)
Fie
z=( a,b) diferit de (0,0).
Dac ă ( x,y ) este un num ăr complex astfel încât ( a,b )( x,y )=1 deducem c ă:
(ax-by ,bx+ay )=(1,0).
Din egalitatea a dou ă
perechi avem c ă:
Sistem cu solu țiile:
2 2 2 2ab-y ,
b b aax
+=
+=
Folosind și proprietatea de comutativitate a numerelor comple xe avem c ă:
+−
+=−
2 2 2 21,bab
baaz
Uneori se scrie z1 în loc de z -1
= += −
01
ay bx by ax
-119- Împ ărțirea a dou ă numere complexe z, z1 se noteaz ă prin
1zzși se define ște
prin:
1 11
zzzzdef
⋅=
2. Forma algebric ă a numerelor complexe.
Fie z=( x,y ) un num ăr complex.
Am v ăzut c ă
(x,y )=( x,0)+(0, y)=( x,0)+( y,0)·(0,1)
Vom nota (0,1) cu i și îl vom numi unitate imaginar ă, iar perechile ( x,0) și
(y,0) le identific ăm prin numerele reale x respectiv y.
Avem a șadar ( x,y )= x+y·i deci C={(x,y )x, y ∈R}={ x+y·i x, y ∈R}.
Num ărul x+y·i va fi notat prin z iar expresia z=x+y·i se nume ște forma
algebric ă a num ărului complex i . Numerele de forma y·i se numesc
imaginare iar y coeficientul p ărții imaginare (se va nota y=Imz ). Num ărul x
se nume ște partea real ă a num ărului complex (se noteaz ă x=Rez ).
Fie z1=x1+y1·i și z2= x2+y2·i dou ă numere complexe reprezentate
sub forma lor algebric ă. Observ ăm c ă
z1·z2=( x1+y1·i)·( x2+y2·i)= x1x2-y1y2+( x1y2+x2y1)· i
și c ă
z1+z2=( x1+x2)+ ( y1+y2)· i
Adic ă, suma a dou ă numere complexe este un num ăr complex a c ărui parte
real ă, respectiv imaginar ă, este suma p ărților reale, respectiv imaginare, ale
numerelor date.
3. Numere complexe conjugate.
Fie z=x+iy un num ăr complex.
Num ărul x-iy se nume ște conjugatul lui z și se noteaz ă prin
iy prin sau _
+x z .
Se observ ă c ă dintre toate numerele complexe, numerele reale sun t egale cu
conjugatele lor.
Observa ție.
Când nu exist ă pericolul de confuzie, în loc de x+i·y scrie x+iy .
Propriet ăți.
10)Suma a dou ă numere complexe conjugate este un num ăr
complex;
-120- 20)Conjugatul sumei (respectiv produsului) a dou ă numere
complexe este egal cu suma (respectiv produsul) con jugatelor numerelor
respective (proprietatea r ămâne adev ărat ă și pentru un num ăr oarecare de
numere complexe).
4. Modulul unui num ăr complex.
Modulul unui num ăr complex z=x+iy se define ște ca fiind num ărul
real 2 2y x+ notat prin z=x+iy .
Exemplu.
a) 13 32 322 2= + =+i
Propriet ăț i:
Fie z, z1 dou ă numere complexe, atunci:
10) z=0 ⇔ z=0
10) zz 1=zz1;
20) z-z1≤ z+z1≤ z+z1
5. Puterile num ărului i
Am v ăzut c ă i2=-1. Avem c ă i3=i2i=-i; i4=i3i=-i·i=-i2=-(-1)=1.
Obsev ăm c ă pentru un num ăr oarecare n avem:
+ =+ =∈ ∀+ ==
=
3 q n pentru i, -2 4p n pentru 1, -N qp, m, k, , 1 m4 n pentru ,4 n pentru , 1
ik
in
Exemple.
i12 =i4·3 =1
i23 =i4·5+3 =-i
6. Reprezentarea geometric ă a numerelor complexe.
Am v ăzut c ă mul țimea numerelor complexe este de fapt
produsul cartezian al lui R cu el însu și. Deducem c ă fiec ărui num ăr complex
z=x+iy îi corespunde un punct M din plan de coordonate ( x,y ). Punctul M se
nume ște imaginea num ărului complex x+iy iar num ărul x+iy se nume ște
afixul punctului M.
Fie XOY un sistem de coordonate, M 1(0, y) și M 2(0, x).
-121- y
M1 M(x,y)
y
O x M2
x Cum ∆OMM 2 este dreptunghic ⇒
z y xMM OM OM
= + == + =
2 22
22
1
și deci lungimea segmentului OM
este egal ă cu modulul lui z.
Observ ăm c ă fiec ărui punct din plan
îi corespunde un num ăr complex,
lucru ce explic ă interpretarea
geomtric ă a numerelor complexe.
7.Exerci ții
1.S ă se g ăseasc ă numerele x și y din ecua ția:
(5 x+4 yi)+(3 y-5xi )=2-i
2.S ă se calculeze:
(i-1) 4+( i-1) 6+….+( i-1) 2n
∀n∈N, num ăr par.
3.S ă se reprezinte în plan numerele complexe:
a)3+5 i;
b)2+7 i;
4.Dac ă x+yi este un num ăr complex dat, s ă se g ăseasc ă numerele
complexe z=x+iy , astfel încât z2=x+iy .
5.S ă se determine perechile ( x,y ) din plan pentru care:
10 4 42=⋅− ++ i y x
-122-
Capitolul XV . Metode de rezolvare a problemelor de
aritmetic ă
No țiunea de problem ă are un con ținut vast și poate fi definit ă ca
fiind totalitatea obstacolelor întâmpinate de gândi re în activitatea practic ă
sau teoretic ă pentru care se caut ă un r ăspuns.
Rezolvarea oric ărei probleme se realizeaz ă în mai multe etape, în
care datele problemei apar în combina ții noi, reorganizarea lor la diferite
nivele ducând c ătre solu ția problemei.
Cu toat ă varietatea lor, problemele de matematic ă nu sunt
independente, izolate, ci fiecare problem ă se încadreaz ă într-o anumit ă
categorie care se rezolv ă printr-o anumit ă metod ă.
Organizarea activit ăț ii de rezolvare a problemelor se
fundamenteaz ă pe cinci etape principale și momentul de efort mintal pe
care îl parcurg elevii, anume :
• cunoa șterea enun țului problemei
• în țelegerea enun țului problemei
• analiza și schematizarea problemei
•• •• rezolvarea propriu-zis ă a problemei
•• •• verificarea rezolv ării problemei și punerea rezolv ării sub
form ă de exerci țiu, formularea de alte probleme ce se rezolv ă
dup ă acela și exerci țiu, generalizarea etc.
-123- 1.Probleme tip
Prin problem ă tip în țelegem acea construc ție matematic ă a c ărei
rezolvare se realizeaz ă pe baza unui algoritm. O asemenea problem ă
se consider ă teoretic rezolvat ă în momentul în care i-am stabilit tipul
și suntem în posesia algoritmului de rezolvare.
Metoda figurativ ă.
Metoda figurativ ă este o metod ă ce const ă în reprezentarea
prin desen a m ărimilor necunoscute și fixarea în desen a rela țiilor
dintre ele și m ărimile date în problem ă.
Figura reprezint ă o schematizare a enun țului, pentru a se p ăstra în
aten ție rela țiile matematice și nu toate aspectele concret. Rezolvitorul
de probleme de aritmetic ă simte nevoia s ă-și apropie datele problemei,
precum și rela țiile dintre acestea. Pentru aceasta realizeaz ă un desen, o
figur ă, un model, care s ă oglindeasc ă datele problemei. Dac ă rezolvitorul
este la început de drum desenul s ău este cât mai detaliat, iar pe
măsur ă ce el i și formeaz ă unele priceperi și deprinderi, figura devine cât
mai abstract ă, cât mai schematic ă, ea prinzând în cadrul modelului numai
esen țialul.
Problemele care se rezolv ă prin metoda figurativ ă le putem
împ ărți în probleme cu m ărimi discrete, caz în care m ărimile pot fi
num ărate și probleme cu marimi continui , caz în care, le figur ăm prin
segmente.
Exemple.
1) Suma a trei numere este 144. Dac ă lu ăm51 din primul și o
ad ăug ăm la al treilea numerele devin egale. Care sunt num erele ?
Rezolvare.
Primul num ăr este:
Al doilea num ăr este:
Al treilea num ăr este: …….
Avem în total 12 segmente a c ăror sum ă este 144. În concluzie un segment
reprezint ă num ărul 144:12=12, deci: {51
-124- -primul num ăr este 12·5=60
-al doilea num ăr este 12·4=48
-al treilea num ăr este 12·3=36
2) Un elev a participat la 53 din num ărul olimpiadelor
desf ăș urate în 2005. Câte olimpiade s-au ținut în 2005 dac ă elevul respectiv
nu a participat la doar patru olimpiade ?
Rezolvare.
Num ărul de olimpiade este:
53 din acest num ăr este: (ad ic ă num ărul de
olimpiade la care a participat elevul).
Num ărul de olimpiade la care nu a participat elevul es te:
(din problem ă el fiind egal și cu cifra 4).
În concluzie, un segment este egal cu num ărul 4:2=2, deci num ărul de
olimpiade ținute în 2005 este 2·5=10.
3) Mihai îi spune lui Sorin:
-D ă-mi trei postere și o s ă avem acela și num ăr de postere.
Sorin la rândul s ău spune:
-Ba nu, d ă-mi tu mie 5 postere și eu o s ă am de trei ori
mai multe decât tine.
Câte postere avea Sorin ? Dar Mihai ?
Rezolvare.
Num ărul de postere ale lui Mihai este:
Num ărul de postere ale lui Sorin este: 3-postere 3-postere
Presupunem c ă Mihai îi d ă lui Sorin 5 postere, deci Sorin va avea:
+5-postere 3-postere 3-postere +5-postere
iar Mihai va avea: -5-postere
Din problem ă deducem c ă lui Mihai îi r ămân de trei ori mai pu ține postere,
adic ă un num ăr de: (5+3+3+5):2=8 postere.
În concluzie Sorin avea 8+5+3+3=19 postere iar Miha i 8+5=13 postere. {{
{{{ {
{
-125- 4) Dac ă elevii unei clase ar fi a șeza ți câte 2 în banc ă ar mai r ămâne
3 elevi în picioare, iar dac ă s-ar a șeza câte 3 în banc ă ar r ămâne 2 b ănci
libere. Câ ți elevi și câte b ănci sunt în clas ă ?
Rezolvare.
Figur ăm b ăncile prin linii orizontale, iar elevii prin linii verticale.
În prima situa ție elevii și b ăncile pot fi figurate astfel:
. . . . . . . . . Fig.1
În a doua situa ție se figureaz ă astfel:
. . . . . . . Fig. 2
Distribuim cei trei elevi r ăma și în picioare din Fig.1 câte unul în
celelate b ănci cu 2 elevi:
. . . . Fig. 3
Avem acum b ănci cu câte trei elevi și cu câte 2 elevi.
Eliber ăm acum 4 elevi din b ăncile cu câte 2 elevi în patru b ănci cu câte 2
elevi. Fig. 2 ne spune c ă ne r ămân 2 b ănci libere iar restul b ăncilor cu câte 3
elevi.
Avem deci:
Deci, în clas ă sunt 9 b ănci și 3·7=21 de elevi.
5) S ă se g ăseasc ă trei numere, știind c ă raportul dintre primul și al
doilea este 3/2, raportul dintre al doilea și al treilea este 8/5, iar suma lor
este 400.
Rezolvare.
Primul num ăr este: Fig. 1
Al doilea reprezint ă 2/3 din primul, adic ă: Fig. 2
-126- Al treilea reprezint ă 5/8 din al doilea, adic ă: Fig. 3
Un segment mic ca în Fig. 3 reprezint ă num ărul 400:(5+8+12)=16.
În concluzie primul num ăr este 12·16=192; al doilea num ăr este 8·16=128;
al treilea num ăr este 5·16=80.
6) Într-o gr ădin ă zoologic ă sunt iepuri și porumbei. În total sunt 22
de capete și 72 de picioare. Câ ți iepuri și câ ți porumbei sunt?
Rezolvare.
Figur ăm iepurii în desenul al ăturat:
. . . .
Figur ăm porumbeii în desenul al ăturat:
. . . .
Pentru rezolvarea problemei vom decupa dou ă picioru șe ale iepura șilor,
deci:
. . . .
Problema ne spune c ă avem 22 de capete, în concluzie au r ămas 22·2=44 de
picioare.
Ne întreb ăm acum câte picioare am decupat de la iepuri ?
Răspunsul este: 72-44=28. Deoarece am decupat 2 picio are de la iepuri au
mai r ămas iepurilor tot 28 de picioare.
Putem afirma c ă iepuri sunt (28+28):4=14 iar g ăini 22-14=8.
Metoda compara ției.
În aritmetic ă sunt unele probleme, în care, pentru rezolvare, es te
nevoie s ă se compare între ele m ărimile cunoscute.
Pe baza rela țiilor ce se stabilesc între aceste m ărimi, prin opera ții
de adunare, sc ădere sau înlocuire, se înl ătur ă pe rând câte una din m ărimi,
pân ă când se stabile ște o diferen ță între cele r ămase, care duc la aflarea
rezultatului.
-127- Exemplu.
1) 3 kg de f ăin ă de calitatea I și 4 kg de f ăină de calitatea a II -a
cost ă 55000 de lei. 5 kg de f ăin ă de calitatea I și 2 kg f ăin ă de calitatea a II -a
cost ă 59000 de lei. Cât cost ă un kilogram de f ăin ă din fiecare calitate ?
Rezolvare:
Așez ăm datele problemei astfel:
3 kg de f ăin ă (cal I) . . . . 4 kg de f ăin ă (cal a II -a) . . . 55000 de lei
5 kg de f ăin ă (cal I) . . . . 2 kg de f ăin ă (cal a II -a) . . . 59000 de lei
Presupunând c ă a doua oar ă am lua cantit ăț i de 2 ori mai mari, pre țul va fi
de dou ă ori mai mare, deci vom avea:
3 kg de f ăin ă (cal I) . . . . 4 kg de f ăin ă (cal a II -a) . . . 55000 de lei
10 kg de f ăin ă (cal I) . . . 4 kg de f ăin ă (cal a II -a) . . .118000 de lei
Observ ăm c ă avem aceea și cantitate de f ăin ă de calitatea a II -a, deci
diferen ța de pre țuri se datoreaz ă diferen ței cantit ăț ilor de f ăin ă de calitatea
I. Rezult ă c ă un kilogram de f ăin ă de calitatea I cost ă
(118000-55000):7=63000:7=9000 lei iar 1 kilogram de f ăin ă de calitatea a
II -a cost ă (55000-3·9000):4=28000:4=7000 lei.
Metoda falsei ipoteze.
Problemele din aceast ă categorie sunt foarte numeroase. Orice
problem ă ale c ărei date sunt m ărimi propor ționale poate fi rezolvat ă prin
metoda falsei ipoteze. De regul ă, se pleac ă de la întrebarea problemei,
în sensul c ă asupra m ărimii ce o c ăut ăm facem o presupunere complet
arbitrar ă. Dup ă aceea, refacem problema pe baza presupunerii f ăcute.
Deoarece m ărimile sunt propor ționale, rezultatele ob ținute pe baza
presupunerii se translateaz ă în plus sau în minus, dup ă cum
presupunerea f ăcut ă este mai mare, respectiv mai mic ă, decât rezultatul
real. Ref ăcând problema, ajungem la un rezultat care nu concord ă cu
cel real din problem ă. Este, fie mai mare, fie mai mic decât acesta .
În acest moment se compar ă rezultatul pe baza presupunerii cu
cel real, din punct de vedere al câtului și observ ăm de câte ori am
gre șit când am f ăcut presupunerea. Ob ținem, a șadar, un num ăr cu
ajutorul c ăruia corect ăm presupunerea f ăcut ă în sensul c ă o mic șorăm
sau o m ărim de acest num ăr de ori.
Problemele a c ăror rezolvare se bazeaz ă pe metoda presupunerilor
sau ipotezelor, a falsei ipoteze, se pot clasifica în dou ă categorii:
a)Probleme pentru rezolvarea c ărora este suficient ă o singur ă
ipotez ă.
b)Probleme pentru rezolvarea c ărora sunt necesare dou ă sau mai
multe ipoteze succesive.
-128- Exemplu.
1)La un concurs de matematic ă candida ții au avut de rezolvat 30
de probleme. Știind c ă pentru fiecare problem ă bine rezolvat ă ei au primit 6
puncte, iar pentru o problem ă gre șit rezolvat ă li s-a sc ăzut 3 puncte, s ă se
spun ă câte probleme a rezolvat un candidat care a primit 81 de puncte.
Rezolvare.
Presupunem: candidatul respectiv a rezolvat bine to ate problemele.
În aceast ă ipotez ă el ar fi avut 6·30=180 de puncte. Diferen ța dintre acest
punctaj și cel real se datoreaz ă faptului c ă fiecare problem ă gre șit rezolvat ă
a fost înlocuit ă cu o problem ă bine rezolvat ă. La fiecare înlocuire num ărul
punctelor cre ște cu 6 în loc s ă se scad ă 3 puncte. Înseamn ă: candidatul
nostru a rezolvat gre șit un num ăr de (180-81):(6+3)=99:9=11 probleme.
Deci 30-11=19 probleme a rezolvat corect.
Metoda mersului invers.
Aceast ă metod ă const ă în faptul c ă enun țul unei probleme
trebuie urm ărit de la sfâr șit spre început. Analizând opera țiile f ăcute în
problem ă și cele pe care le facem noi în rezolvarea problem ei, constat ăm
că de fiecare dat ă, pentru fiecare etap ă, facem opera ția invers ă celei
făcute în problem ă. Deci, nu numai mersul este invers, ci și opera țiile pe
care le facem pentru rezolvare sunt opera țiile inverse celor din problem ă.
Exemplu.
1)Sorin, Alina și Mihai au împreun ă 3000000 de lei. Alina îi d ă lui
Sorin cât avea acesta și înc ă 100.000 iar acesta îi d ă lui Mihai cât avea
acesta și înc ă 150000 de lei. Știind c ă dup ă o astfel de opera ție Mihai
rămâne cu 2000000 de lei iar Alina cu 100000 de lei m ai mult decât Sorin
să se spun ă câ ți bani au avut fiecare la început.
Rezolvare.
La sfâr șit Mihai avea
(3000000-2000000-100000):2=900000:2=450000 de lei i ar Alina avea
450000+100000=550000 de lei.
Folosim metoda mersului invers: înainte de a ob ține 2000000 Mihai avea
(2000000-150000):2=1850000:2=925000 de lei. Cunoscâ nd câ ți lei avea
Mihai la început problema devine: Alina și Sorin au împreun ă 3000000-
925000=20750000. Alina îi d ă lui Sorin cât avea acesta și înc ă 100000 de
lei. Știind c ă dup ă o astfel de opera ție Alina r ămâne cu 925000-
100000=825000 de lei mai pu țin s ă se spun ă câ ți bani au avut fiecare la
început.
La sfâr șit Alina avea (2075000-825000):2=625000 iar Sorin
625000+825000=1450000 de lei. Înainte de avea ace ști bani Sorin avea
-129- (1450000-100000):2=1350000:2=675000 de lei iar Alin a
625000+675000+100000=1400000.
În concluzie la început Sorin avea 675000 de lei; A lina 1400000 de lei;
Mihai 925000 de lei.
Probleme cu m ărimi propor ționale.
Se pot grupa în mai multe categorii dup ă structura și complexitatea
lor:
a) Probleme care se rezolv ă prin regula de trei simpl ă.
În aceast ă categorie de probleme se dau trei valori cu ajutor ul
cărora se g ăse ște cea de a patra valoare:
Fie A={ a, b } și B={ c,d } astfel încât
a c (lui a îi corespunde c)
b d (lui b îi corespunde d)
și una din cele 4 valori este necunoscut ă.
Dac ă m ărimile A și B sunt direct propor ționale, adic ă dac ă dc
ba= , putem
scoate termenul necunoscut din aceast ă rela ție.
Dac ă m ărimile A și B sunt invers propor ționale, adic ă dac ă cd
ba= ,
putem scoate termenul necunoscut din aceast ă rela ție.
Procedeul care se folose ște pentru determinarea num ărului
necunoscut din dou ă mul țimi de câte dou ă numere între care exist ă o
propor ționalitate direct ă sau o propor ționalitate invers ă se nume ște regula de
trei simpl ă.
Exemple.
1) Un tren a parcurs distan ța de 120 Km în 3 ore, considerând
viteza constant ă, s ă se afle distan ța pe care o va parcurge în 5 ore.
Rezolvare. Form ăm mai întâi mul țimea {3,5}, în care numerele
exprim ă orele parcurse de tren. Form ăm, apoi, mul țimea {120, x}, în care
numerele exprim ă kilometri parcur și de tren. Între aceste dou ă mul țimi
exist ă o propor ționalitate direct ă, deoarece rapoartele
53și x120
sunt egale valoarea lor comun ă fiind viteza de deplasare a trenului.
În concluzie
-130- Km 200 35 120 =⋅=x
2) Știind c ă o echip ă de 7 muncitori termin ă o lucrare în 8 zile, s ă
se afle în câte zile termin ă aceea și lucrare 24 de muncitori.
Rezolvare.
Form ăm mai întâi mul țimea {7,28}, în care numerele exprim ă
muncitorii. Form ăm, apoi, mul țimea {8, x}, în care numerele exprim ă zilele
lucrate de muncitori. Între aceste dou ă mul țimi exist ă o propor ționalitate
invers ă, deoarece rapoartele 28 7și 8x reprezint ă aceea și lucrare.
În concluzie
228 87=⋅=x (dou ă zile).
b) probleme care se rezolv ă prin regula de trei compus ă.
Problemele din aceast ă categorie exprim ă dependen ța direct sau
invers propor țional ă a unei m ărimi în func ție de alte dou ă sau mai multe.
În cazul când în problem ă intervin trei m ărimi, avem schema:
Mărimile X
Valorile a 1 b 1 c 1
Procedeul prin care o problem ă se rezolv ă prin aplicarea de mai
multe ori a regulei de trei simpl ă se nume ște regula de trei compus ă.
Exemple.
1)Un num ăr de 3 avioane pot transporta 432 de c ălători în 6 zile,
făcând câte 2 transporturi pe zi. Câte zile sunt nece sare pentru ca acela și
num ăr de avioane s ă transporte 15120 de persoane dac ă se fac zilnic 5
transporturi.
Rezolvare. Enun țul problemei îl scriem sub forma urm ătoarei
scheme:
3·2 avioane(f ăcând un transport pe zi) . . 432 de c ălători . . în 6 zile
3·5 avioane(f ăcând un transport pe zi). .15120 de c ălători . . în x zile
Notând cu y num ărul de zile în care cele 15 avioane transport ă acela și
num ăr de persoane, avem:
3·2 avioane(f ăcând un transport pe zi) . . 432 de c ălători . . în 6 zile
3·5 avioane(f ăcând un transport pe zi) . . 432 de c ălători . . în y zile
Acum între mul țimile {6,15} și {6,y} avem o propor ționalitate invers ă. A B C
a b c
-131- Deci, avem o problem ă care se rezolv ă prin regula de trei simpl ă. Cu
metoda propor ției ob ținute 15 36
15 66
6y 15 6=⋅=⇒= y
Știind c ă 3·5 avioane(f ăcând un transport pe zi) transport ă 432 de c ălători
în 15 36 zile putem afla în câte zile transport ă acelea și avioane (f ăcând un
transport pe zi) un num ăr de 15120 de c ălători, f ăcând urm ătoarea schem ă:
15 avioane . . . . 432 de c ălători . . . . 15 36
15 avioane . . . . 15120 de c ălători . . . . x zile
Între mul țimile {4320, 15120} și {
15 36 , x} exist ă o propor ționalitate
direct ă.
Avem o problem ă care se rezolv ă prin regula de trei simpl ă.
Deci:
zile x 84 64800 544320
432 15 15120 36 = =⋅⋅=
15 avioane . . . . 15120 de c ălători . . . . 84 zile
Probleme de mi șcare.
Sunt acelea în care se caut ă una din m ărimile: spa țiu (sau distan ță
notat ă prin d), vitez ă (notat ă prin v) sau timp (notat prin t). Pentru
problemele de acest tip se utilizeaz ă formulele:
vd t t; vd ; = ⋅= =tdv
Se clasific ă în:
a)probleme de întâlnire, când deplasarea se face în sensuri opuse;
b)probleme de întâlnire, când deplasarea se face în acela și sens;
c)probleme care utilizeaz ă direct formulele;
În rezolvarea problemelor de mi șcare se pot folosi metodele
aritmetice folosite pân ă în prezent.
a) de întâlnire (când deplasarea se face în sensuri op use) ;.
Datele problemei se transpun ca în desenul:
A D B
v1 v2
-132- Formula dup ă care se calculeaz ă timpul de întâlnire într-o problem ă de
mi șcare în sensuri contrare este
2 1vvDt+= .
Exemplu.
Din ora șul A pleac ă la ora 7 00 un tren spre ora șul B cu o vitez ă de
70 km/ h . Dup ă o or ă pleacă un al doilea tren din ora șul B spre ora șul A cu
viteza de 80 km/ h. Când și la ce distan ță de ora șul A se vor întâlni cele dou ă
trenuri știind c ă distan ța dintre cele dou ă ora șe este de 1120 km?
Rezolvare.
Datele problemei se transpun ca în desenul:
D=1120 km
A 70 km B
v1=70 km/ h 1050 km v2=80 km/ h
Pân ă în momentul plec ării din B a celui de-al doilea tren, primul parcurg e
70 km. El se afl ă la distan ța de 1120-70=1050 km fa ță de trenul care pleac ă
din localitatea B.
Am redus astfel problema la o problem ă de mi șcare în sensuri contrare. În
fiecare or ă distan ța dintre cele dou ă se mic șoreaz ă cu 70+80=150 km.
Pentru ca trenurile s ă se întâlneasc ă trebuie s ă treac ă atâtea ore de
câte ori se cuprinde 150 în 1050, adic ă 1050:150=105:15=7 ore.
Deci cele dou ă trenuri se întâlnesc dup ă 7 ore de la plecarea celui din B, sau
la 7+1=8 ore dup ă plecarea celui din A.
Trenurile se vor întâlni la ora 7+8=15 00 la distan ța de 8·70=560Km de
ora șul A.
b) probleme de întâlnire (când deplasarea se face în a cela și sens)
Datele problemei se transpun ca în desenul:
A D B
v1
v2
Rela ția dup ă care se calculeaz ă timpul de întâlnire într-o problem ă
de mi șcare în acela și sens este
1 2vvDt−=
Exemplu.
Un tren personal pleac ă din ora șul A cu o vitez ă de 70 km/ h. Dup ă
o or ă pleac ă tot din ora șul A, în aceea și direc ție, un tren accelerat, având }}{
-133- viteza de 80 km/ h. În cât timp și la ce distan ță de ora șul A va ajunge trenul
accelerat trenul personal ?
Rezolvare.
Fix ăm datele problemei astfel:
A B
v1=70 km/h
v2=80 km/h
Într-o or ă trenul personal parcurge distan ța de 70 km. Trenul accelerat
parcurge în fiecare or ă, în plus: 80-70=10 km.
Cei 70 km vor fi recupera ți în 70:10=7 ore, timp dup ă care trenul personal
va fi ajuns.
Distan ța de întâlnire va fi: 80·7=560 km.
c)probleme care utilizeaz ă direct formulele .
Exemplu.
Dou ă trenuri parcurg distan ța de la A la B. Primul tren a sosit în B
cu o or ă mai târziu decât al doilea. Viteza primului tren e ste de 70 km/ h iar a
celui de-al doilea este de 80 km/ h. Determina ți distan ța dintre cele dou ă
localit ăț i.
Rezolvare.
v 1=70 km/h
v 2=80 km/h
Avem c ă v 2-v1=10 km/h.
Deci în fiecare or ă, primul tren r ămâne în urma celui de-al doilea cu 10 km.
Pân ă ce al doilea tren a ajuns în B, primul tren a r ămas în urm ă o distan ță pe
care a f ăcut-o într-o or ă, adic ă:
D=70 km/h·1 ore = 70 km
Aceast ă r ămânere în urm ă s-a realizat într-un timp t=70 km:10 km/h=7 ore
Al doilea turist a parcurs o distan ță de 6·80=480 km.
2.Probleme nonstandard.
O problem ă care nu necesit ă aplicarea unei metode anume și care
pune gândirea și imagina ția rezolvitorului la creativitate se nume ște
problemă nonstandard .
Exemple.
1) S ă se ridice la p ătrat f ără hârtie și creion num ărul 65.
Rezolvare.
Un calcul mintal
(10 n+5) 2=100 n2+100 n+25= n(n+1)100+25, }{
-134- deci 65 2=6·7·100+25=4225.
2) La un turneu de fotbal de tip eliminator partici p ă n echipe. Câte
meciuri trebuie jucate (sau câ știgate prin neprezentare) pentru a ști cine este
câ știg ătorul?( turneul de fotbal )
Rezolvare.
În fiecare meci va exista un învins. Fiecare echip ă (în afara echipei
câ știg ătoare) trebuie s ă fie învins ă o dat ă. Vor fi n-1 echipe învinse și ca
atare vor fi n-1 meciuri.
3) S ă se înmul țeasc ă 5746320819 cu 125. ( înmul țire u șor de efectuat )
Rezolvare.
125=1000/8, deci (5746320819)(125)=5746329819000/8 =
=718290102375.
4) Înmul țiți 91 cu 109 mintal.
Rezolvare.
Aplicând identitatea ( a-b)( a+b )= a2-b2, avem:
91·109=(100-9)(100+9)=10000-81=9919
3.Exerci ții
1.O flor ăreas ă a avut în co ș un anumit num ăr de flori. La prima or ă
a dimine ții a vândut 41 din ele; în a doua or ă 32 din cele r ămase.
Num ărând pe cele din co ș, a constatat c ă i-au mai r ămas 5 flori.
Câte flori au fost în co ș?
2.Peste 3 ani tata lui Ionu ț va împlini 30 de ani. Câ ți ani are Ionu ț
atunci, dac ă vârsta lui reprezint ă acum 31 din vârsta tat ălui?
3.Câte g ăini sunt într-o curte dac ă fiecare g ăin ă ou ă din 2 în 2 zile
câte un ou iar într-un interval de 10 zile 60 de ou ă, toate?
4.Doi raci pornesc unul spre cel ălalt pe o distan ță de 10 m cu
acea și vitez ă. Cunoscând c ă unul din raci merge 3 m înainte și 2 înapoi s ă se
spun ă câ ți metri a parcurs racul care merge doar înainte, pâ n ă la întâlnire?
5. (Problema lui Newton) Pe întreaga întindere a luncii, iarba cre ște uniform
și la fel de repede. Știind c ă 70 de vaci, ar putea pa ște aceast ă iarb ă în 24 de
zile, iar 30 de vaci, în 60 de zile, câte vaci, ar fi p ăscut iarba de pe lunc ă în
96 de zile?
-135-
Capitolul XVI . Unit ăți de m ăsur ă pentru lungime,
volum, mas ă, timp
În curgerea vremii unit ăț ile de m ăsur ă au fost structurate în trei
categorii: m ărimi fundamentale, m ărimi derivate și m ărimi suplimentare.
Mărimile fundamentale folosite în matematic ă sunt metrul
(unitatea de m ăsur ă pentru lungime), kilogramul (unitatea de m ăsur ă pentru
mas ă), secunda (unitatea de m ăsur ă pentru timp), amperul (unitatea de
măsur ă pentru intensitatea curentului electric), kelvinul (unitatea de m ăsur ă
pentru temperatur ă), molul (unitatea de m ăsur ă pentru cantitatea de
substan ță ), candela (unitatea de m ăsur ă pentru intensitatea luminoas ă).
Mărimile derivate sunt acele m ărimi a c ărei unitate de m ăsur ă
depinde de una sau mai multe unit ăț i de m ăsur ă ale m ărimilor fundamentale
și se grupeaz ă în unit ăț i de m ăsur ă pentru: arii, volum și vitez ă.
Mărimile suplimentare sunt folosite în practic ă pentru a permite
scrieri economice ca num ăr de cifre și spa țiu.
1.Unit ăți de m ăsur ă pentru lungime .
Str ămo șii babilonienilor și ai altor popoare din antichitate și-au
fr ământat mintea ca s ă stabileasc ă o metod ă de măsurare a lungimilor de
care se foloseau în via ța de toate zilele. La acest rezultat s-a putut ajun ge
abia dup ă ce a fost stabilit un sistem de numera ție și dup ă ce oamenii s-au
familiarizat cu linia dreapt ă și propriet ăț ile ei. Dup ă ce au știut c ă o parte
din linia dreapt ă se a șaz ă exact peste alt ă parte a ei, au în țeles c ă lungimile
liniilor puteau fi comparate, stabilindu-se care es te mai mare și chiar de
câte ori.
Pentru aceast ă opera ție era de ajuns s ă stabileasc ă o unitate de
lungime, iar aceast ă unitate nu era greu de g ăsit : putea fi palma, degetul,
cotul, bra țul întreg, piciorul, pasul , unitatea aleas ă fiind indicat ă de îns ăș i
mărimea ce trebuia m ăsurat ă. Numai c ă aceste unit ăț i de m ăsur ă de și aveau
numiri asem ănătoare în majoritatea zonelor, nu erau fixe și nici acelea și
peste tot. Tocmai aceste deosebiri care îngreunau o pera țiile comerciale
dintre diferite state au condus la introducerea une i unit ăț i interna ționale de
măsurare a lungimilor, unitate care a fost numit ă metru . Aceast ă nou ă
unitate de lungime, cu multipli și submultipli exprima ți în sistemul de
numera ție zecimal, a fost introdus ă mai întâi în Fran ța, în 1795, adic ă dup ă
-136- Revolu ția francez ă. Țara noastr ă a fost una dintre primele ță ri care au
adoptat sistemul metric, anume prin legea din 1864, care urma s ă se aplice
începând din anul 1866.
Dar chiar înainte de aceast ă dat ă, leg ăturile noastre culturale cu
Fran ța au f ăcut ca, în c ărțile tip ărite la noi în țar ă, s ă fie explicat ă odat ă cu
unit ăț ile de m ăsur ă folosite din str ămo și și no țiunea, foarte modern ă pe
atunci, de metru. Astfel în cartea de Geometrie tip ărit ă de Gheorghe Asachi
la Ia și în 1838 g ăsim : « Unitatea legiut ă a m ăsurei pentru lungimi este
stânjenul, deci a m ăsura o linie este a c ăuta câ ți stânjeni cuprinde, sau frac ții
ale stânjenului. Îns ă, de și guvernurile se îngrijesc de a p ăstra pururea
aceea și lungime a stânjenului, totu și aceast ă m ăsur ă, neatârnând de vreo
baz ă statornic ă, se schimb ă de la loc și epoc ă, de aceea urmeaz ă sminteli
între num ărătoarea m ăsurilor vechi și a celor noi. Pentru a se feri de
asemenea sminteli v ătămătoare, în epoca reformelor, în Fran ța s-a
determinat o m ăsur ă neschimb ătoare, în urma unor mari opera ții
astronomice prin care s-a hot ărât împrejmurimea P ământului, împ ărțind
dep ărtarea de la pol la ecuator, sau p ătrariul de cerc, în zece milioane de
părți din care una au luat-o drept metru ».
Se vorbe ște despre sistemul metric și în Aritmetica imprimat ă la
Bucure ști de Ion Heliade R ădulescu în 1832 și apoi în Mo ș P ătru sau
înv ăță torul de sat , publicat ă de Alexe Marin, f ără a-și men ționa numele, în
1839, de unde cit ăm : « toat ă unimea de m ăsur ă trebuie s ă aib ă o baz ă pe
care s ă se razime, afar ă de aceasta, spre mai mult ă înlesnire a calcului, ar
trebui s ă se supun ă acest stânjen și sistemei zecimale. De aceea pân ă atunci,
noi vom lua o m ăsur ă fran țuzeasc ă, care este numai pe jum ătatea acestui
stânjen, numit ă metru, și a c ărei lungime este atâta c ă înconjurând P ământul
cu o a ță ar fi tocmai de 40 000 000 de metruri ».
În scopul m ăririi preciziei de materializare a metrului, în anu l 1983
au fost înlocuite defini țiile date metrului prin urm ătoarea:
"Metrul este lungimea drumului parcurs de lumin ă în vid în timp
de 1/299.792.458 dintr-o secund ă".
Vom nota prin litera m metrul. M ăsur ătorile efectuate au urmat s ă
se extind ă și asupra lungimilor mai mici sau mai mari decât met rul dând
na ștere la noi categorii de unit ăț i de m ăsur ă numite submultiplii metrului
respectiv multiplii metrului.
Submultiplii metrului:
-decimetrul ( dm ) = 0,1 m
-centimetrul ( cm ) = 0,1 dm = 0,01 m
-milimetrul ( mm ) = 0,1 cm =0,01 dm = 0,001m
-137- Multiplii metrului:
-decametrul ( dam ) = 10 m
-hectometrul ( hm ) = 10 dam = 100 m
-kilometrul ( km ) = 10 hm = 100 dam = 1000 m
Denumirile s-au alc ătuit cu prefixele din limba greac ă veche și
latin ă: deca = zece, hecto = o sut ă, kilo = o mie, deci = o zecime, centi = o
sutime, mili = o miime.
2.Unit ăți de m ăsur ă pentru arie.
Unitatea de m ăsur ă pentru arii este aria unui p ătrat cu latura de 1
m, arie numit ă un metru p ătrat (se noteaz ă 1 m2). Deoarece s-a stabilit ca
unitatea de m ăsur ă a ariei s ă fie aleas ă ca fiind aria unui p ătrat de latur ă
egal ă cu o unitate de lungime, spunem c ă aria este o m ărime derivat ă, având
la baz ă lungimea.
Multiplii sunt:
1 dam 2=100 m 2
1 hm 2=100 dam 2 = 10000 m 2
1 km 2=100 hm 2 = 10000 hm 2 = 1000000 m 2
Submultiplii sunt:
1 dm 2 = 0,01 m 2
1 cm 2 = 0,01 dm 2 = 0,0001 m 2
1 mm 2= 0,01 cm 2 = 0,0001 dm 2 = 0,000001 m 2
3.Unit ăți de m ăsură pentru volum.
Unitatea de m ăsur ă pentru volum este volumul unui cub cu
muchia de 1 m, volum numit un metru cub (se noteaz ă 1 m3)
Analog definim multiplii și submultiplii metrului cub, adic ă:
Multiplii sunt:
1 dam 3=1000 m3
1 hm 3 = 1000 dam 3 = 1 000 000 m 3
1 km 3 = 1000 hm 3 = 1 000 000 dam 3 = 1 000 000 000 m 3
Submultiplii sunt:
1 dm3=0,001 m 3
1 cm3=0,001 d m3 = 0,000001 m 3
1 mm3=0,001 c m3 = 0,000001 dm 3 = 0,000000001 m 3
Cum determin ăm volumul unui corp solid, cu aproxima ție?
Se scufund ă corpul într-un vas gradat cu lichid, astfel încât s ă fie
acoperit complet. Se cite ște pe grada ția de nivel volumul lichidului înainte
și dup ă scufundare ; diferen ța dintre aceste volume este chiar volumul
corpului respectiv.
-138- 4.Unit ăți de m ăsur ă pentru capacitate
Unitatea de m ăsur ă pentru capacitate este litrul și este
echivalentul unui dm 3 de ap ă. Prin nota ția 1 l în țelegem un litru. Avem deci
egalitatea 1 l=1 dm 3 .
Multiplii sunt:
1 decalitru (1 dal ) = 10 l
1 hectolitru (1 hl ) = 100 l
1 kilolitru (1 kl ) = 1000 l
Submultiplii sunt:
1 decilitru (1 dl ) = 0,1 l
1 centilitru (1 cl ) = 0,1 dl = 0,01 l
1 mililitru (1 ml ) = 0,1 cl = 0,01 dl = 0,001 l
5 .Unit ăți de m ăsur ă pentru mas ă.
Masa unui centimetru cub de ap ă distilat ă, la temperatura de 4 0
Celsius s-a considerat ca fiind 1 gram și s-a notat prin 1 g. S-a știut c ă la
aceast ă temperatur ă densitatea apei este maxim ă. Cantit ăț ile mai mari decât
gramul dau na ștere urm ătoarelor categorii:
Multiplii gramului:
10 g=1 decagram (se noteaz ă 1 dag )
100 g= 1 hectogram (se noteaz ă 1 hg )
1000 g=1 kilogram (se noteaz ă 1 kg )
100000 g=1 chintal (se noteaz ă 1 q)
1000000 g=1 ton ă (se noteaz ă 1 t)
Submultiplii gramului:
1 g=10 decigrame (se noteaz ă 10 dg )
=100 centigrame (se noteaz ă 100 cg )
=1000 miligrame (se noteaz ă 1000 mg )
6. Unit ăți de m ăsur ă pentru timp.
Ziua solar ă este intervalul de timp care trece din momentul câ nd
soarele trece la meridianul locului (când are în ălțimea deasupra orizontului
maxim ă, ceea ce popular se zice amiaz ă) pân ă a doua zi când trece din nou
la meridianul locului.
Ziua sideral ă este intervalul de timp scurs între dou ă treceri
consecutive ale unei stele fixe la meridianul locul ui și este egal ă cu timpul
unei rota ții complete a P ământului în jurul axei polilor .
Între ziua solar ă și cea sideral ă este o diferen ță de aproximativ 4
minute. Aceast ă diferen ță , cu trecerea mai multor zile, se acumuleaz ă și se
ajunge la situa ția ca într-o zi soarele s ă treac ă la meridian (s ă fie miezul
-139- zilei) la ora sideral ă 12, pentru ca dup ă șase luni, tot la ora sideral ă 12
soarele s ă fie la meridian în partea cealalt ă, adic ă s ă fie miezul nop ții.
Ziua solar ă mijlocie se poate defini ca fiind intervalul de timp în
care un mobil se mi șcă uniform (mi șcarea unui mobil este uniform ă dac ă
între diferite intervale de timp egale parcurge dis tan țe egale) astfel încât este
când înaintea, când în urma soarelui (în intervale de timp nu prea mari).
O zi solar ă mijlocie se împarte în 24 de ore ; ora în 60 de minute ;
minutul în 60 de secunde ; intervalele mai mici ca o secund ă se m ăsoar ă cu
zecimea, sutimea etc., de secund ă. Aceast ă împ ărțire pentru unit ăț ile de
timp, p ăstreaz ă împ ărțirea sexagesimal ă, r ămas ă de la babilonieni.
Șapte zile alc ătuiesc săpt ămâna , 4 s ăpt ămâni alc ătuiesc luna, 12
luni alc ătuiesc anul , care este intervalul de timp în care P ământul face o
rota ție complet ă în jurul Soarelui. El are 365,2422 zile. Deoarece nu are un
num ăr întreg de zile s-a stabilit ca anul calendaristic s ă aib ă 365 de zile iar
din 4 în 4 ani s ă aib ă 366 de zile. Anul cu 366 de zile se mai nume ște și an
bisect . Lunile : ianuarie, martie, mai, iulie, august, oc tombrie și decembrie
au câte 31 de zile ; lunile : aprilie, iunie, septe mbrie și noiembrie au câte 30
zile, iar luna februarie are 28 de zile (în anul bi sect 29 zile)
Globul P ământesc se împarte în 24 de fusuri orare, un fus fi ind
cuprins între dou ă meridiane ale c ăror longitudine difer ă prin 15 0.
X X
X
Pare de neîn țeles faptul c ă, de și prima Comisie interna țional ă
pentru introducerea sistemului metric în cele mai m ulte ță ri din Europa și
din celelalte continente s-a întrunit în anul 1875, abia în 1960 a fost fixat în
mod definitiv, sistemul interna țional de m ăsuri, bazat pe sistemul zecimal,
având ca unit ăț i fundamentale metrul, kilogramul, secunda, etc.
Anglia a recunoscut, în mod oficial, abia în anul 1065 c ă „ vechiul
sistem de unit ăț i de m ăsur ă a fost dep ăș it de dezvoltarea tehnic ă actual ă” și,
în consecin ță „urmeaz ă s ă se preg ăteasc ă în timp de 10 ani condi țiile
necesare pentru folosirea sitemului metric”.
7.Exerci ții
1.Renumitul matematician Arhimede a murit în anul 2 12 i.e.n.
Câte secole și câ ți ani au trecut de la data mor ții lui Arhimede pân ă în ziua
de ast ăzi?
2.Un ceas merge înainte cu 13 minute și 20 de secunde și arat ă ora
2,5 minute și 30 de secunde. Ce or ă este în realitate?
-140- 3.Un balot de stof ă are 138 m și 5 dm. Din el se taie buc ăț i de câte
285 cm, fiecare bucat ă pentru un costum. Câte costume vor ie și și ce bucat ă
rămâne?
4.O platform ă de beton armat are 36 m 3. La fiecare metru cub de
beton armat s-au folosit 6 saci de câte 50 Kg de ci ment și 110 Kg de fier.
Cât cost ă materialul platformei, dac ă 1 Kg de ciment cost ă 3000 lei, iar 1
Kg de fier cost ă 50000 lei?
5.Câte c ăru țe sunt necesare ca s ă transporte p ământul scos prin
săparea unei gropi care are o lungime de 7 m, o l ăț ime de 2,5 m și o
adâncime de 3,5 m, dac ă 1 m 3 de p ământ cânt ăre ște 2 t și fiecare c ăru ță
încarc ă în medie 350 Kg?
-141-
Capitolul XVII. Probleme date la examene și
concursuri pentru înv ăță tori (institutori)
1.Probleme date la concursul pentru ocuparea catedr elor
vacante
-Februarie 1972-
1.Mul țimea A are trei elemente, numere naturale, dou ă din ele fiind
1 și 2, al treilea necunoscut. Mul țimea B are tot trei elemente, numere
naturale, dou ă din ele fiind 3 și 4, al treilea necunoscut. S ă se afle cele dou ă
elemente necunoscute, știind c ă:
BA×⊂ ×} 2 { } 3 , 1 {
(Semnul × este folosit pentru produsul cartezian al mul țimilor).
Rezolvare. Fie A={ 1, 2, x }, B={ 3, 4, y }.
Din ipotez ă
{1,3 }×{2}={( 1,2 ), ( 3,2 )} ⊂
A×B={( 1,3 ), ( 1,4 ), ( 1,y ), ( 2,3 ), ( 2,4 ), ( 2,y ), ( x,3 ), ( x,4 ), ( x,y )}
rela ție care conduce la x=3 și y=2.
2.Un turist c ălătore ște 4 ore și 30 minute cu trenul și 2 ore cu
automobilul, parcurgând 565 Km. În alt ă c ălătorie parcurge 706 Km,
mergând 3 ore și 12 minute cu automobilul și 5 ore cu trenul. Știind c ă atât
automobilul cât și trenul nu și-au modificat viteza medie, s ă se calculeze:
a)Viteza medie a trenului și viteza medie a automobilului;
b)Distan ța parcurs ă cu automobilul de fiecare dat ă;
c)Cât la sut ă din distan ța parcurs ă în fiecare din cele dou ă c ălătorii
a mers cu automobilul.
Rezolvare. Transpunem datele din problem ă:
Nota ții Desenul
d1 (respectv d 2): distan ța
parcurs ă cu trenul în prima
călătorie (respectiv cu
automobilul în prima
călătorie);
VT (V A): viteza medie a
trenului (respectiv viteza
medie a automobilului)
-142- d3 (respectv d 4): distan ța
parcurs ă cu automobilul în
a doua c ălătorie c ălătorie
(respectiv cu trenul în a
doua c ălătorie);
VT (V A): viteza medie a
trenului (respectiv viteza
medie a automobilului)
a)Din Fig. 1 avem:
(1) 2v 4,5 v 565 2v 4,5 v dd2v d4,5 vd
A TA T 2 1
A 2T 1
⋅ +⋅ =⇔⋅ +⋅ = +⇒
⋅ =⋅ =
Din Fig. 2 avem:
(2) 2 , 3 v5v 706 2 , 3 v5v d d5v d3,2 v d
A TA T 4 3
T 4A 3
⋅ +⋅ =⇔⋅ +⋅ = +⇒
⋅ =⋅ =
Din (1) și (2) rezult ă sistemul:
=⋅ +⋅=⋅ +⋅
706 3,2 v5v565 2v 4,5 v
A TA T
cu solu ția v T=90 Km/h, v A=80 Km/h.
b)
d1=90 ּ 4,5=405 Km;
d2=80 ּ 2=160 Km;
d3=80 ּ 3,2=256 Km;
d4=90 ּ 5=450 Km.
c)
Distan ța parcurs ă cu automobilul este:
d2+d 3=160+256=416
Distan ța total ă parcurs ă cu cele dou ă mijloace de transport este:
706+565=1271;
Cu automobilul a mers
≈32 , 01271 416 32%.
3.Pe distan ța de 6,885 Km sunt a șezate 980 conducte, unele de
8,25 m și altele de 5,75 m fiecare. Câte conducte, de fieca re fel, sunt
folosite?
-143- Rezolvare. Presupunem: pe distan ța de 6,885 Km=6885 m sunt
așezate conducte numai de 8,25 m. În aceast ă ipotez ă am avea conducte pe
distan ța 980 ּ8,25=8085 m. Diferen ța dintre aceast ă distan ță și distan ța real ă
se datoreaz ă faptului c ă fiecare conduct ă de 5,75 m a fost înlocuit ă cu o
conduct ă de 8,25 m. La fiecare înlocuire distan ța pe care sunt a șezate cele
980 conducte cre ște cu 8,25-5,75=2,5 m. Înseamn ă c ă avem (8085-
6885):2,5=480 conducte de 5,75 m și 980-480=500 conducte de 8,25 m.
-Martie 1974-
1. Să se afle ce num ăr trebuie pus în locul lui x pentru a avea
egalitatea:
13 :10 53:54256 45
323527 =
+
+−⋅− x
Rezolvare.
⇔=
+
+−⋅
− 13 :10 53:54256 45
323527 x
⇔=
+
+−⋅
− 13 :10 53:54256 45
311
537 x
⇔=
+
+−⋅
− 13 :10 53:54256 45
311
537 x
⇔=
+⋅
+−⋅ 13 :10 35
54256 45
15 56 x
⇔=
+⋅
+ 13 :10 35
541 x
⇔=
+⋅ 13 :10 35
59x
13:x=13 ⇔x=1
2.Din acela și port pleac ă la aceea și or ă 3 vapoare; unul face cursa
dus și întors în 72 ore, altul în 14 ore, iar cel de al treilea în 192 ore.
Dup ă câte zile vapoarele vor pleca din nou în aceea și zi și la
aceea și or ă?
-144- Rezolvare. Transpunem datele din problem ă:
Nota ții Desenul
V1:primul vapor;
V2:al doilea vapor;
V3:al treilea vapor;
d1:distan ța parcurs ă de V 1
pân ă la destina ție;
d2:distan ța parcurs ă de V 2
pân ă la destina ție;
d3:distan ța parcurs ă de V 3
pân ă la destina ție;
Din ipotez ă
V1 parcurge pân ă la întâlnire multiplii de 72 h;
V2 parcurge pân ă la întâlnire multiplii de 14 h;
V3 parcurge pân ă la întâlnire multiplii de 192 h;
Aceasta sugereaz ă c ă vapoarele se vor întâlni dup ă
[ ]
24 192 ,72 ,14 zile, adic ă dup ă 168 24 4032 = zile.
3.Într-un vas se pune ap ă 32 din capacitatea sa. Se scoate apoi 41
din con ținut și mai r ămân 75 litri. Care este capacitatea vasului?
Rezolvare. Transpunem datele din problem ă:
Desenul
Din ipotez ă dup ă ce se scoate
41 din ap ă r ămân 75 l.
Deci s-au scos 75:3=25 l de
ap ă.
Astfel, în vas se afl ă 100 l de
ap ă, aceasta reprezentând 32
din capacitatea vasului.
Concluzie: capacitatea
vasului este 100+50=150 l
4.Câte c ărți a 4 lei și câte c ărți a 10 lei se pot cump ăra cu 200 lei
astfel ca în total s ă fie 32 c ărți?
-145- Rezolvare. Presupunem: se cump ără c ărți a c ăror valoare este de 10
lei. În aceast ă ipotez ă c ărțile ar costa 32 = 10 ּ 320 lei. Diferen ța dintre
aceast ă sum ă și cea real ă provine dela faptul c ă fiecare carte a 4 lei a fost
înlocuit ă cu o carte a 10 lei. La fiecare înlocuire am pus l a suma total ă 10-
4=6 lei. Înseamn ă c ă avem (320-200):6=20 c ărți a 4 lei și 32-20=12 c ărți a
10 lei.
5.În 12 zile o echip ă de muncitori ar efectua 52 dintr-o lucrare, iar
alt ă echip ă 94 din rest. În câte zile, lucrând împreun ă, ar termina lucrarea
cele dou ă echipe?
Rezolvare. Transpunem datele din problem ă
Lucrarea
Prima echip ă ar efectua
A doua echip ă ar efectua
Din figur ă deducem c ă în 12 zile cele dou ă echipe ar efectua 3 ּ 3+1=10
segmente mici. Problema se reduce astfel, la rezolv area unei probleme prin
regula de trei simpl ă:
în 12 zile echipele efectueaz ă 10 segmente mici
în x zile echipele efectueaz ă 15 35=⋅ segmente mici
în care m ărimile sunt direct propor ționale.
Deci 18 10 12 35=⋅⋅=x zile.
-Martie 1975-
1.Dou ă discuri metalice, de aceea și grosime, au razele de 3 cm și 4
cm. Ele se topesc la un loc și se face un disc cu o grosime de 4 ori mai mic ă.
Care va fi diametrul noului disc?
Rezolvare. Transpunem datele din problem ă
Nota ții Desenul
V1:volumul discului 1;
V2:volumul discului 2;
V3:volumul discului ob ținut
dup ă topirea celor dou ă
discuri, a c ărui raz ă o
not ăm cu R;
G:grosimea celor dou ă
discuri.
-146- Se știe c ă
4GRπ V2
3 ⋅⋅= (1)
Din ipotez ă V 3=V 1+V 2= G G G ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅ π π π 25 4 32 2 (2).
Din (1) și (2) avem:
.10 52 25 42
=⋅=⇒ = RR
2.Dac ă unui dreptunghi îi m ărim lungimea cu 2 m și îi mic șor ăm
lăț imea cu 1m, aria acestuia cre ște cu 1 m 2; dac ă se mic șoreaz ă lungimea cu
2 m și se m ăre ște l ăț imea cu 2 m, aria se mic șoreaz ă cu 2 m 2. Care sunt
dimensiunile ini țiale ale dreptunghiului?
Rezolvare. Transpunem datele din problem ă
Desenul
Ini țial dreptunghiul este
Dup ă ce m ărim lungimea
(L) cu 2 m și mic șor ăm
lăț imea (l) cu 1 m
dreptunghiul devine
Dup ă ce mic șor ăm
lungimea (L) cu 2 m și
mărim l ăț imea (l) cu 2 m
dreptunghiul devine
Din ipotez ă:
++ −=⋅⋅+=⋅
2 2) 2)(l (L lL 1 -1) -(l 2) (L lL
sistem care conduce la
= +−=−
2 2L 2l 3L2l
cu solu ția L=5 m și l=4 m.
3.Trei bicicli ști pornesc din acela și loc, în acela și timp și au viteze
constante. Ei parcurg aceea și distan ță în timpuri propor ționale cu numerele
3, 4 și 5.
-147- a) Știind c ă primul biciclist ajunge la destina ție la ora 14, iar al
doilea biciclist la ora 14 și 20 minute, s ă se afle la ce or ă sose ște al treilea ;
b)Dac ă viteza celui de al doilea biciclist este de 30 Km\ or ă, s ă se
afle vitezele celorlal ți doi bicicli ști.
Rezolvare.
Nota ții
t1: timpul parcurs de primul biciclist;
t2: timpul parcurs de al doilea biciclist;
t3:timpul parcurs de al treilea biciclist;
v1:viteza primului biciclist;
v2:viteza celui de-al doilea biciclist;
v3:viteza celui de-al treilea biciclist.
Din ipotez ă:
5t
4t
3t3 2 1= = (1)
a)Avem rela ția t 2=t 1+0,(3), unde 0,(3) reprezint ă 20 de minute, care
împreun ă cu rela ția 4t
3t2 1= din (1) conduce la sistemul
=⋅−⋅−=−
0t3t4(3) 0, tt
2 12 1
cu solu ția t 1=1 h și t2=h34.
Cum t 1=1 h ora plec ării celor 3 bicicli ști este 13 00 . Înlocuind t 1=1 h în (1)
ob ținem h35t3= , deci al doilea biciclist sose ște la ora 14 și 40 de minute.
b)Din ipotez ă
Km/h 24 tdv Km 40 3430 d Km/h 30 v
33 2 = =⇒ =⋅=⇒ =
iar Km/h 40 tdv
11 == .
-Aprilie 1976-
1.De pe trei loturi ale unei ferme agricole s-au s trâns 158 qintale de
fân. De pe primele dou ă s-au strâns cantit ăț i egale de fân, iar de pe al treilea
-148- cu 11 qintale mai mult decât de pe fiecare din cele dou ă. Cât fân s-a strâns
de pe fiecare lot?
Rezolvare. Transpunem datele din problem ă
Desenul
Cantitatea de fân de pe
primul lot este
Cantitatea de fân de pe al
doilea lot este
Cantitatea de fân de pe al
treilea lot este
Cum de pe toate loturile s-au strâns 158 qintale de fân rezult ă c ă de pe
primul și al doilea lot s-au strâns (158-11):3=49 qintale i ar de pe al treilea
49+11=60 qintale.
2.Pentru o gr ădini ță s-au cump ărat pachete cu brânz ă de 2,50 lei
pachetul și pachete de unt de 8 lei pachetul, în total 23 pac hete care au
costat 74 lei. Câte pachete au fost din fiecare fel ?
Rezolvare. Presupunem: s-au cump ărat numai pachete a 8 lei
fiecare. În aceast ă ipotez ă pachetele ar costa 23 ּ8=184 lei. Diferen ța dintre
aceast ă sum ă și cea ini țial ă se datoreaz ă faptului c ă fiecare pachet a 2,50 lei
a fost înlocuit cu un pachet a 8 lei fiecare. La fi ecare înlocuire suma ini țial ă
cre ște cu 8-2,5=5,5 lei. Înseamn ă c ă avem:
(184-74):5,5=20 pachete a 2,5 lei fiecare și 23-20=3 pachete a 8 lei fiecare.
3.S ă se efectueze:
{31440+1040:[150-2400:(67+53)] ּ20}:395+1001.
Rezolvare.
{31440+1040:[150-2400:(67+53)] ּ20}:395+1001=
[31440+1040:(150-2400:120) ּ20]:395+1001=
[31440+1040:(150-20) ּ20]:395+1001=
(31440+1040:130 ּ20):395+1001=
(31440+160):395+1001=
31600:395+1001=
80+1001=1081.
4.S ă se efectueze
59 1185112 13: 710 11 ⋅
− +
Rezolvare.
=⋅
− +59 60
85112 13: 710 11
-149- =⋅
− +59 60
813
12 37 : 710 11
=⋅
+59 60
24 35 : 710 11
64130 24780
59 60
70 413
59 60
35 24 7
10 11 ) 2 ) 7
= =⋅ =⋅
⋅+
2.Probleme date la examenul de gradul II, înv ăță tori (institutori),
Universitaea Constantin Brâncu și din TG-Jiu
-August 2002-
1.Metodologia pred ării-înv ăță rii unit ăț ilor de m ăsur ă:
-m ărimi și unit ăț i de m ăsur ă studiate;
-demersuri didactice specifice.
2.Suma a trei numere este 1988. S ă se afle numerele știind c ă, dac ă
împ ărțim al doilea num ăr la primul num ăr ob ținem câtul 3 și restul 0, iar
dac ă împ ărțim pe al treilea la al doilea ob ținem câtul 2 și restul 108.
Rezolvare.
Transpunem datele din problem ă
Desenul
Primul num ăr este
Al doilea num ăr este
Al treilea num ăr este
Din ipotez ă suma acestor nemere (segmente) este 1988.
Deci,
primul num ăr este (1988-108):10=188;
al doilea num ăr este 188 ּ3=564;
al treilea num ăr este 564 ּ2+108=1236.
3.Distan ța dintre localit ăț ile A și B este de 540 Km. Din A pleac ă
la ora 7 un automobil spre B, iar din B pleac ă la ora 9 spre A un alt
automobil, care are viteza cu 20 Km\or ă mai mare. Cele dou ă automobile se
întâlnesc la ora 12. S ă se afle vitezele celor dou ă automobile și distan ța
parcurs ă de fiecare pân ă când se întâlnesc.
Rezolvare.
Transpunem datele din problem ă
-150- Nota ții Desenul
A1:automobilul care pleac ă
din A spre B;
A2:automobilul care pleac ă
din B spre A;
v1:viteza lui A 1;
v2:viteza lui A 2;
d1:distan ța parcurs ă de A 1
pân ă la întâlnire;
d2:distan ța parcurs ă de A 2
pân ă la întâlnire;
t1:timpul parcurs de A 1;
t2:timpul parcurs de A 2.
Din ipotez ă
v2=v1+20;
t 1=12-7=5 h;
t2=12-9=3 h.
Din figur ă d 1+d 2=540.
Pe de alt ă parte
d1=v 1ּt1=5 ּv1
d2=v 2ּt2=3 ּv2
Scriem
d1+d 2=540 ⇔5ּv1+3 ּv2=540.
Ținând cont c ă v 2=v 1+20 avem 8v 1=540-60 deci, v 1=60 Km/h și
v2=60+20=80 Km/h.
Astfel,
d1=60 ּ5=300 Km
d2=80 ּ3=240 Km.
-August 2003-
1.Evaluarea în cadrul lec țiilor de matematic ă:
-tipuri de evalu ări;
-forme de evaluare;
-tehnici și instrumente.
2.Dou ă eleve, Elena și Gabi, au depus la C.E.C. împreun ă o sum ă
de bani. Elena a depus cu 306000 lei mai pu țin decât 21 din întreaga sum ă,
iar Gabi a depus 53din rest și înc ă 904000 lei. S ă se afle întreaga sum ă
depus ă de ele și cât a depus fiecare.
-151- Rezolvare.
Transpunem datele din problem ă:
Desenul
Suma depus ă la C.E.C.
de cele dou ă eleve este
Elena a depus
Rămâne
Gabi a depus
Din figur ă, un segment mic este egal cu 904000:2=452000 lei.
Deci,
Gabi a depus 5 ּ452000=2260000 lei.
Jum ătate din suma depus ă este 2260000-306000=1954000.
Elena a depus 1954000-306000=1648000.
Întreaga sum ă depus ă de cele dou ă eleve este 1954000+1954000=3908000.
3.La un magazin de legume-fructe se aduce o cantita te de mere.
Jum ătate din ea se vinde în trei zile astfel: în prima zi 31 și înc ă 4 Kg, în a
doua zi 21 din rest și înc ă 8 Kg, iar în a treia zi restul de 20 Kg. Cealalt ă
jum ătate se vinde în a patra și a cincea zi, iar raportul cantit ăț ilor vândute
este 21.
Ce cantit ăț i de mere s-au vândut în a patra și a cincea zi?
Rezolvare. Transpunem datele din problem ă
Desenul
Jum ătate din cantitatea
de mere este
În prima zi se vinde
Rămâne
În a doua zi se vinde
În a treia zi se vinde
-152- Din desen
a doua zi se vinde (20+8)+8=36 Kg;
în prima zi se vinde (28 ּ2+4):2+4=34 Kg;
jum ătate din cantitate este 30 ּ3=90 Kg;
în a patra zi se vând 30 Kg;
în a cincea se vând 60 Kg.
-August 2004-
1.Formarea la elevi a conceptului de num ăr natural
-etape;
-forme de realizare.
2.Rezolva ți prin metoda figurativ ă:
Trei elevi au un num ăr de nuci. Dac ă cel de-al treilea i-ar da
primului 6 nuci, atunci to ți elevii ar avea acela și num ăr de nuci. Dac ă al
doilea ar da primului trei nuci, num ărul de nuci al primului elev ar fi un
num ăr prim. Dac ă al doilea elev ar da trei nuci celui de-al treilea , atunci
num ărul de nuci al acestuia ar fi tot un num ăr prim.
Cele dou ă numere prime astfel ob ținute ar fi singurii divizori primi
ai num ărului 1aa , iar suma lor s-ar divide cu 1a . Câte nuci are fiecare
elev?
Rezolvare.
Transpunem datele din problem ă
Desenul
Primul num ăr este
Al doilea num ăr este
Al treilea num ăr este
Din figur ă, dac ă x este primul num ăr atunci x+6 este al doilea num ăr, x+12
este al treilea num ăr.
Din ipotez ă x+3 și x+12+3=x+15 ar fi numere prime.
Observ ăm c ă
}199 188, 177, 166, 155, 144, 133, 122, 111, ,100 { 1aa ∈
Dup ă scrierea divizorilor acestor numere ne convin doar divizorii primi ai
lui 133, ei fiind 7 și 19.
De unde tragem concluzia c ă
x=4 (primul num ăr);
x+6=10 (al doilea num ăr);
x+12=16 (al treilea num ăr).
-153- 3.Numerele 247, 297, 347 împ ărțite la acela și num ăr natural n dau
resturile 7, 9, respectiv 11.
a)Determina ți cel mai mare num ăr n care îndepline ște condi țiile
problemei.
b)Determina ți cel mai mic num ăr n care îndepline ște condi țiile
problemei.
Rezolvare.
Din teorema împ ărțirii cu rest și ipotez ă avem:
Exist ă q 1 , q 2 , q 3∈N unici astfel încât
247=nq 1+7, 0 ≤ 7 < n
297=nq 2+9, 0 ≤ 9 < n (1)
347=nq 3+11, 0 ≤ 11 < n
a)Rela țiile (1) se mai scriu
240=nq 1, 0 ≤ 7 < n
288=nq 2, 0 ≤ 9 < n
336=nq 3, 0 ≤ 11 < n
Rela ții echivalente cu
24·5·3=nq 1
24·2·32=nq 2
24·3·7=nq 3
Cerin ța este îndeplinit ă dac ă n=24·3. Deci n=48.
b)Cerin ța este îndeplinit ă dac ă n=2 2·3=12.
-154- Bibliografie
[1].Beifang Chen, Combinatorial Analysis-Week, 2004
[2].Bobancu V., Caleidoscop matematic , Editura Albatros, 1979;
[3].Dinc ă A. și colaboratorii, Algebr ă pentru perfec ționarea profesorilor ,
Editura Didactic ă și Pedagogic ă, Bucure ști, 1983;
[4].Ghioca A., Teodorescu N., Culegere de probleme , Bucure ști, 1987;
[5].Lupu C., Metodica pred ării aritmeticii , Editura Paralela 45, Pite ști,
1989;
[6].L ăzărescu D., Paleoaritmetic ă și alte probleme de logic ă, Editura
Albatros, 1981;
[7].Rusu E., Bazele teoriei numerelor , Editura tehnic ă, Bucure ști, 1953;
[8].Mih ăileanu N. și colaboratorii, Complemente de matematic ă pentru
examenele de definitivat în înv ăță mânt , Editura Didactic ă și Pedagogic ă,
Bucure ști, 1970;
[9].Schneider M., Metode de rezolvare a problemelor de aritmetic ă (I-IV) ,
Editura Apollo, Craiova, 1981;
[10].Sierpinscky W., Ce știm și ce nu știm despre numerele prime , Editura
Știin țific ă, Bucure ști, 1966;
[11].St ănescu I., Mul țimi de numere , Editura Albatros, Bucure ști, 1975;
[12].Vladimirescu I., Teoria probabilit ăților-Culegere de probleme ,
Repografia Universit ăț ii din Craiova, 2000.
-155-
C U P R I N S
Prefa ță ………………………………………………………… 3
Capitolul I . Elemente de logic ă matematic ă …………………… 5
1. Elemente de calculul propozi țiilor …………………… 6
2. Elemente de calculul predicatelor ……………………… 11
3. Teorem ă direct ă, teorem ă reciproc ă. Metoda demonstra ției prin
reducere la absurd ……………… .. 14
4. Exerci ții ……………………………… ………… 16
Capitolul II . Elemente de teoria mul țimilor ……………………… 17
1. No țiunea de mul țime, rela ția de incluziune, egalitatea mul țimilor
………………… 17
2. Opera ții cu mul țimi ……………………………………… 19
3. Exerci ții ……………………………………………… 23
Capitolul III . Rela ții binare ………………………………………. 24
Exerci ții …………………………………………………… 27
Capitolul IV . Func ții ……………………………………………… 28
1. No țiunea de func ție ……………………………………… 28
2. Moduri de a defini o func ție …………………………….. 29
3. Compunerea func țiilor …………………………………… 30
4. Graficul unei func ții ……………………………………… 30
5. Func ții injective, surjective, bijective. Inversa unei f unc ții . 31
6. Func ții monotone, func ții pare, func ții impare ………….. 33
7. Exerci ții ………………………………………… 34
Capitolul V . Structuri algebrice …………………………… 36
1. Lege de compozi ție intern ă ……………………… 36
2. Propriet ăț ile opera ției interne ……………………… 36
3. Tabla unei legi de compozi ție ………………………… 38
4. Structura de monoid ……………………………… 39
5. Structura de grup ………………………………… 40
6. Structura de inel ……… ………………………………… 41
7. Structura de corp ……………………………… 43
8. Exerci ții ………………………………………… 45
Capitolul VI . Analiza combinatorie ……………………………… 46
1. Aranjamente ……………………………………… 46
2. Permut ări …………………………………………… 47
3. Combin ări ………………………………………………… 47
4. Principiul cuibului ……………………………………….. 48
5. Rela ția de probabilitate …………………………………… 49
6. Exerci ții ………………………………………………… 50
Capitolul VII . Mul țimea numerelor naturale ………………… 51
1. Rela ția de echipoten ță . Cardinalul unei mul țimi …… 51
2. Axiomele lui Peano ……………………………………… 52
-156- 3. Opera ții cu numere naturale ……………………………… 53
4. Rela ția de ordine în N …………………………………… 55
5. Împ ărțirea ………………………………………………… 57
6. Mul țimi finite. Mul țimi infinite. Mul țimi num ărabile. Mul țimi
nenum ărabile …….. 58
7. Sisteme de numera ție …………………………………… 59
8. Exerci ții …………………………………………………… 68
Capitolul VIII. Divizibilitate pe N ………………………………… 69
1. Teorema fundamental ă a aritmeticii ………………………… 69
2. Criterii de divizibilitate …………………………………… 71
3. Divizorii unui num ăr natural ……………………………… 72
4. Divizori și multipli comuni a dou ă sau mai multe numere naturale
………………. 74
5. Algoritmul lui Euclid …………………………………… 75
6. Cel mai mic multiplu comun ……………………………… 76
7. Exerci ții …………………………………………………… 77
Capitolul IX. Mul țimea numerelor întregi ……………………… 78
1. Construc ția mul țimii numerelor întregi ………………… 78
2. Ordonarea numerelor întregi ……………………………… 80
3. Divizibilitate pe Z ……………………………………. 82
4. Exerci ții ……………………………………………. 82
Capitolul X. Mul țimea numerelor ra ționale …………………… 84
1. Construc ția mul țimii Q …………………………………… 84
2. Egalitatea frac țiilor ……………………………………… 85
3. Amplificarea frac țiilor …………………………………… 86
4. Simplificarea frac țiilor …………………………………… 87
5. Rela ția de ordine pe mul țimea frac țiilor ………………… 88
6. Opera ții fundamentale cu frac ții ………………………… 89
7. Propriet ăț ile adun ării frac țiilor …………………………… 90
8. Propriet ăț ile înmul țirii frac țiilor ………………………… 90
9. Împ ărțirea frac țiilor …………………………………… 91
10. Reprezentarea pe ax ă a numerelor ra ționale …………… 92
11. Opera ții de grad superior cu numere ra ționale …………… 92
12. Exerci ții ………………………………………………. 95
Capitolul XI. Frac ții zecimale …………………………………… 97
1. Frac ții zecimale periodice ………………………. 100
2. Frac ții periodice simple ……………………… 101
3. Frac ții periodice mixte ………………………………….. 101
4. Trecerea de la scrierea zecimal ă la scrierea cu linie de frac ție … 102
5. Exerci ții …………………… ………………………… 104
Capitolul XII. Mul țimea numerelor reale ……………………… 105
1. Ordonarea numerelor reale ………………… 105
-157- 2. Aproximări zecimale ale numerelor reale ………………… 106
3. Adunarea și înmul țirea numerelor reale ………………… 107
4. Propriet ăț ile adun ării și înmul țirii numerelor reale ……… 109
5. Exerci ții ………………………………………………… 110
Capitolul XIII. Ecua ții și inecua ții de gradul I. Sisteme de ecua ții și
inecua ții de gradul I …………………………………………… . 111
1. Ecua ții de gradul I ……………………………………… 111
2. Inecua ții de gradul I …………………………………… 112
3. Sisteme de ecua ții de gradul I ……… ……… ……… 113
4. Sisteme de inecua ții de gradul I …………………………. 114
5. Exerci ții ………………………………………….. 115
Capitolul XIV. Mu țimea numerelor complexe ………………… 117
1. Propriet ăț i ale adun ării și înmul țirii numerelor complexe … 117
2. Forma algebric ă a numerelor complexe ……………………. 119
3. Numere complexe conjugate ……………………………. 119
4. Modulul unui num ăr complex …………………………… 120
5. Puterile num ărului i ………………………………… 120
6. Reprezentarea geometric ă a numerelor complexe …… . 120
7. Exerci ții ………………………………………. 121
Capitolul XV. Metode de rezolvare a problemelor de aritmetic ă . 122
1. Probleme tip ……………………………………… 123
2. Probleme nonstandard …………………………………… 133
3. Exerci ții ………………………………… 134
Capitolul XVI. Unit ăți de m ăsur ă pentru lungime, volum, mas ă, timp
……….. 135
1. Unit ăț i de m ăsur ă pentru lungime ………………………… 135
2. Unit ăț i de m ăsur ă pentru arie …………….……… 137
3. Unit ăț i de m ăsur ă pentru volum …………………………. 137
4. Unit ăț i de m ăsur ă pentru capacitate … …………………… 138
5. Unit ăț i de m ăsur ă pentru mas ă …………………………. 138
6. Unit ăț i de m ăsur ă pentru timp …………….…………… 138
7. Exerci ții ……………………………………………….. 139
Capitolul XVII . Probleme date la examene și concursuri pentru
înv ăță tori (institutori) 141
1. Probleme date la concursul pentru ocuparea catedrel or vacante
141
2. Probleme date la examenul de gradul II, înv ăță tori (institutori),
Universitaea Constantin Brâncu și din TG-Jiu 149
Bibliografie ……………………………………………… 154
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Drago ș-Pătru Covei [609014] (ID: 609014)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.