Dorel STOICA MECANICĂ. TEORIE ŞI APLICAŢII Loc casetă tehnică NOŢIUNI DE CALCUL VECTORIAL. OPERAŢII CU VECTORI 2.1. Noţiuni de calcul vectorial… [304894]

Dorel STOICA

MECANICĂ.
TEORIE ŞI APLICAŢII

Loc casetă tehnică

NOŢIUNI DE CALCUL VECTORIAL. OPERAŢII CU VECTORI
2.1. Noţiuni de calcul vectorial
Mărimile fizice pot fi:
mărimi scalare (scalari), [anonimizat].
Exemple: [anonimizat], temperatura, energia, etc.
mărimi vectoriale (vectori), [anonimizat]ţia şi sensul lor. [anonimizat] (dirijate).
[anonimizat]şte vector liber.
Exemple: deplasarea şi viteza unui corp în mişcare de translaţie.
Atunci când se impune şi precizarea punctului de aplicaţie, vectorul va purta denumirea de vector aplicat sau legat.
Exemplu: forţa care acţionează asupra unui punct material.
Dacă se consideră necesară şi [anonimizat].
Exemplu: forţa care acţionează asupra unui rigid.

Vectorii liberi
Vectorii liberi se notează fie printr-o literă având deasupra ei o bară, fie prin două litere având fiecare dintre ele câte o bară deasupra. [anonimizat], iar a doua literă extremitatea sa.
Exemplu:
,
,
.
[anonimizat] (fig. 2.1):

origine sau punct de aplicație A;
direcţie sau dreaptă suport (,;
sens;
modul v (mărime, intensitate, urmă).


Fig. 2. 1. Elementele unui vector
Versorul este vectorul de modul unitar şi este dat de relaţia 2.1:

(2.1)
Componentele pe axele
,
şi
ale versorului sunt definite conform relaţiei 2.2 astfel:

;
;
. (2.2)
Un vector oarecare poate fi scris în funcţ[anonimizat]:

(2.3)
unde:

;
;
(2.4)
2.2. Operaţii cu vectori
1. Adunarea a doi vectori
Se presupune există doi vectori,
şi
, care au acelaşi punct de origine O. Suma (rezultanta) celor doi vectori este vectorul
, [anonimizat]ţie şi sens de diagonala OC a paralelogramului format din cei doi vectori
şi
ca laturi (fig.2.2.a).

(2.5)
Se constată că modulul vectorului
este:

(2.6)
/
Fig. 2.2. Regula paralelogramului
Expresia analitică. Dacă considerăm că vectorii
şi
[anonimizat] şi vectorul rezultant
va fi situat în acelaşi plan. Dacă se face proiecţ[anonimizat] (fig.2.2.b):

(2.7)
Conform relaţiei (2.5) putem scrie:

(2.8)
Rezultă componentele pe axe ale vectorului rezultant
:

(2.9)
Vectorul rezultant va fi:

(2.10)
Direcţia este dată de unghiul ( format între suportul vectorului rezultant şi axa Ox:

(2.11)
Dacă se extinde Regula paralelogramului pentru compunerea unui număr oarecare de vectori concurenţi
,
,….
, va rezulta o construcţ[anonimizat].
O latură Vi a poligonului se obţine prin construirea unui vector echipolent cu vectorul
[anonimizat]
şi [anonimizat]
.
Rezultanta sistemului de vectori este suma vectorială a vectorilor
,

(2.12)
Construcţia grafică va fi segmentul de dreaptă care uneşte originea vectorului
, cu extremitatea vectorului
(fig. 2.2a).
În cazul particular de compunere a doi vectori concurenţi, regula poligonului, are denumirea de Regula triunghiului (fig.2.2b).

Expresia analitică. Datorită faptului că suporturile vectorilor sunt orientate în spaţiu, componentele pe axe ale vectorilor vor fi exprimate întrun sistem de axe cartezian triortogonal Oxyz. (fig.2.2c). Notând proiecţiile pe axe ale vectorului
cu Vix, Viy, Viz şi ale vectorului rezultant
, cu Vx, Vy, Vz, conform relaţiei (2.12) se va putea scrie:

(2.13)
/
Fig. 2. 3 Adunarea vectorilor
Analog, se procedează şi cu valorile componentelor pe axe ale vectorului rezultant:

,
,
(2.14)
Rezultă mărimea vectorului rezultant, care este:

(2.15)
Direcţia este exprimată prin cosinusurile directoare:

,
,
. (2.16)

2. Produsul scalar a doi vectori
Se presupune că avem doi vectori
şi
. Produsul acestora este, conform definiţiei, un scalar obţinut din multiplicarea modulelor celor doi vectori cu cosinusul unghiului dintre ei:

(2.17)
Dacă vectorul
este definit prin componentele
şi vectorul
este definit prin componentele
, produsul scalar dintre cei doi vectori va fi dat (2.17):

(2.18)
Se observă că:

;

Din definiţie rezultă următoarele o proprietăţi ale produsului scalar:
este comutativ;

(2.19)
pentru doi vectori
şi
diferiţi de zero condiţia de orgonalitate este:

(2.20)
cu ajutorul produsului scalar se poate scrie proiecţia unui vector
pe o axa (. Fiind dată o axă (() orientată de versorul
şi un vector
, proiecţia acestui vector şi versorul axei (fig. 2.4):
/
Fig. 2.4.Reprezentarea produsului vectorial


(2.21)
este distributiv faţă de adunare

(2.22)

Produsul vectorial a doi vectori liberi
Se presupune că avem doi vectori
şi
. Produsul vectorial este, conform definiţiei, un vector
normal pe planul definit de cei doi vectori, presupuşi aplicaţi în acelaşi punct O, având ca valoare numerică aria paralelogramului construit cu ajutorul celor doi vectori, iar sensul astfel încât vectorii
,
,
să formeze în această ordine un triedru drept (fig. 2.5).
/
Fig. 2.5.Reprezentarea produsului vectorial


;
(2.23)
Produsul vectorial este egal cu aria paralelogramului determinat de cei doi vectori (fig.2.6).

/
Fig. 2.6. Interpretarea geometrică a produsului vectorial a doi vectori



(2.24)
unde:
Atr – reprezintă aria triunghiului determinat de cei doi vectori;
Apar – reprezintă aria paralelogramului determinat de cei doi vectori

Conform definiţiei, proprietăţile produsului vectorial sunt:
Anticomutativitatea, adică:

(2.25)
vectori sunt coliniari dacă
şi
sunt diferiţi de zero, iar produsul lor vectorial este egal cu zero:

;
şi
(condiţia de coliniaritate) (2.26)
Distributivitatea faţă de adunare:

(2.27)
Dacă vectorul
este definit prin componentele
şi vectorul
este definit prin componentele
rezultă că produsul vectorial dintre vectorii
şi
va fi (2.28.):

(2.28)
din dezvoltarea acestuia rezultă componentele pe cele trei axe ale vectorului
:

(2.29)
Se observă că:

;

Produsul mixt a trei vectori
Se presupune că avem trei vector,
,
şi
. Produsul mixt va fi mărimea fizică scalară egală cu produsul scalar dintre un vector şi produsul vectorial al celorlalţi doi.

(2.30)
Analizând din punct de vedere geometric produsul mixt, se constată că reprezintă volumul paralelipipedului determinat de cei trei vectori (fig.2.7)
/
Fig. 2.7. Interpretarea geometrică a produsului mixt a trei vectori

(2.31)
unde V reprezintă volumul paralelipipedului.

Expresia analitică a produsului mixt a trei vectori este dată de relaţia 2.32.

(2.32)
Dublu produs vectorial a trei vectori liberi
Se consideră trei vectori liberi
,
şi
. Produsul vectorial este reprezentat de vectorul
egal cu produsul vectorial dintre vectorul
şi produsul vectorial
. Vom scrie:

(2.33)
Din definiţia de mai sus se deduce faptul că dublul produs vectorial este un vector situat în planul vectorilor
şi
, existând relaţia:

(2.34)
Fiind daţi trei vectori
,
şi
subzistă identitatea:

. (2.35)

Descompunerea unui vector după trei direcţii
Notând cu
,
şi
unghiurile pe care un vector
le face cu axele
,
şi
(fig.2.8) ale unui triedru ortogonal
, proiecţiile sale sunt:

;
;
. (2.36)
Prin urmare, vectorul
se poate scrie sub forma:

(2.37)
în care
,
şi
sunt versorii axelor
,
şi
.
/
Fig. 2.8. Descompunerea unuivector după trei direcţii octogonale
În baza teoremei proiecţiilor potrivit căreia proiecţia pe o axă a rezultantei
a unui sistem de vectori liberi este egală cu suma proiecţiilor, rezultă pentru proiecţiile rezultantei pe axele
,
şi
expresiile:



;
;
(2.38)
unde
,
,
sunt proiecţiile pe aceste axe ale unui vector
.
Modulul rezultantei va fi
, iar direcţia şi sensul ei vor fi date prin cosinusurile directoare:

,
,
.
STATICA PUNCTULUI. PUNCTUL MATERIAL SUPUS LA LEGĂTURI
3.1. Statica punctului
3.1.1. Punctului material liber. Punct material supus la legături
Se spune despre un punct material că este liber atunci când el poate ocupa orice poziţie în spaţiu, nefiind stânjenit de nici o obligaţie geometrică; poziţiile ocupate de punctul material sunt determinate numai de forţele care acţionează asupra lui. În general, poziţia punctului se defineşte prin trei parametrii scalari, independenţi între ei, spre exemplu coordonatele carteziene x, y, z ale punctului. Prin urmare, punctul material liber are trei grade de libertate.
Dacă un punct material este obligat geometric să ocupe numai anumite poziţii în spaţiu, se spune că este supus la legături. De exemplu, punctul material poate fi obligat să rămână pe o suprafaţă, pe o curbă sau într-un punct fix în spaţiu.
Un punct material obligat să rămână pe o suprafață are două grade de libertate, deoarece, aşa cum este cunoscut din geometria diferenţială, sunt necesari doi parametri pentru a-i defini poziţia: coordonatele sale curbilinii; un punct material obligat să rămână pe o curbă are un singur grad de libertate, iar un punct material obligat să rămână într-un punct fix din spaţiu nu are nici un grad de libertate.

3.1.2. Echilibrul punctului material liber
Pentru ca un punct material liber aflat în repaus (sau în mişcare rectilinie uniformă) să-şi păstreze această stare mecanică atunci când un sistem de forţe concurente acţionează asupra lui, adică să rămână în echilibru, este necesară şi suficientă condiţia ca rezultanta
dintre forţele concurente să fie nulă.
Condiţia de mai sus se deduce din aplicarea principiilor inerţiei şi acţiunii forţei; condiţia de echilibru se scrie sub forma ecuaţiei vectoriale:

(3.1)

Sub formă scalară, ecuaţiile de echilibru se scriu:
în spaţiu:

;
;
(3.2)
în plan:

;
(3.3)
Din punct de vedere grafic, condiţia de echilibru este satisfăcută doar dacă poligonul forţelor se închide. Problemele de echilibru ale punctului material tratează două variante, şi anume:
fie se dau forţele care acţionează asupra unui punct şi se cere poziţia acestuia;
fie se dă poziţia punctului şi se cer forţele care îl acţionează.

3.1.3. Probleme rezolvate

/
Fig. 3. 1.

Problema 3.1.: Punctul material M este acţionat de forţele:
,
,
, coplanare (fig. 3.1). Cunoscându-se unghiurile:
şi
, se cere să se determine rezultanta acestor forţe (modul şi direcţia).

Rezolvare
Se cunoaşte că:

Considerând sistemul de referinţă din figură, proiecţiile rezultatei sunt:




/
Fig. 3.1.a.

Modulul rezultatei (fig. 3.1.a) este:


iar unghiul φ este:

Problema 3.1.2.
Se consideră un punct material M solicitat de trei forţe:
,
,
, ca în figura 3.2. Să se determine o forţă
astfel încât rezultanta forţelor să fie nulă.
/
Fig. 3.2.


Rezolvare
Se consideră forţa cerută
de forma:


unde
,
reprezintă proiecţiile pe axele Mx şi My ale forţei cerute.
Proiecţiile forţelor
,
,
sunt:

,




Punând condiţia ca rezultata celor patru forţe să fie nulă:

,
Deci,

şi

Problema 3.1.3.
/
Fig. 3. 3

Punctul material M este acţionat de sistemul de forţe concurente din fig. 3.3 cu modulele forţelor
,
,
,
. Poziţia în spaţiu a forţelor este precizată cu ajutorul unui paralelipiped de muchii
,
,
.
Să se determine rezultata
(modul şi direcţie).
Rezolvare
Se cunosc modulele forţelor
,
,
,
,
şi direcţiile lor
,
,
,
,
. Se scriu vectorii forţelor folosind versorii
,
,
,
,
.




,

,


Rezultanta este:



,
.
Direcţia rezultantei este dată de cosinusurile directoare:

;
;

Problema 3.1.4.
/
Fig. 3. 4

Un punct material M de greutate neglijabilă, este atras în plan vertical de punctele
;
şi
. Forţele de atracţie sunt proporţionale cu distanţele de la M la A, B şi C, cu coeficienţii de proporţionalitate k1, k2, k3. Se cere să se afle poziţia de echilibru a lui M faţă de sistemul de referinţă dat.

Rezolvare
Se notează forţele de atracţie
,
,
, corespunzătoare punctelor A, B, C şi se consideră punctul
cu x, y necunoscute.
Condiţia de echilibru este:


Rezultă:

,

Coordonatele punctului M aflat în echilibru sunt:

şi

3.2. Punctul material supus la legături
3.2.1. Axioma legăturilor. Legăturile punctului material

Dacă se consideră un punct material aflat în echilibru pe o suprafaţă (S) asupra căruia acţionează forţele exterioare a căror rezultantă este
(fig.3.5), atunci se observă că în acest punct nu se mai poate aplica aceeaşi ecuaţie de echilibru (
) ca în cazul punctului material liber.
/
Fig. 3.5. Punct material aflat în echilibru

Aceasta este o consecinţă a existenţei legăturilor, care exercită asupra punctului respectiv anumite constrângeri mecanice reprezentate prin forţa de legătură (reacţiunea). Pentru rezolvarea problemei punctului material supus la legături este necesar a fi folosită axioma legăturilor.
Conform acestei axiome, orice legătură poate fi suprimată şi înlocuită cu elemente mecanice (forţe, momente) corespunzătoare. Ca urmare corpul considerat este liber şi, în consecinţă, echilibrul său se studiază cu ecuaţiile stabilite pentru corpul liber.
Pentru punctul material legătura va fi înlocuită cu reacţiune
. Condiţia necesară şi suficientă ca un punct material supus la legături să fie în echilibru este ca rezultanta forţelor direct aplicate şi a forţei de legătură să fie nulă, adică:

(3.4)
Sau proiectat pe axe:

;
;
. (3.5)
Analizând relaţia (3.4), se constată că rezultanta
a forţelor direct aplicate şi rezultanta
a forţelor de legătură trebuie să fie egale şi de semn contrar. Legăturile punctului sunt rezemarea pe o suprafaţă, rezemarea pe o curbă (în spaţiu şi în plan) şi prinderea cu fire, care poate fi considerată echivalentă cu o legătură unilaterală pe o sferă a cărei rază este tocmai lungimea firului respectiv.
Legăturile punctului pot fi:
legături cu frecare (aspre), atunci când suprafaţa sau curba de reazem aparţine unor corpuri reale şi care se opun mişcării punctului material, apărând astfel forţe de frecare;
legături fără frecare (lucii, ideale), atunci când se presupune că suprafaţa sau curba sunt corpuri ideale, perfect lucioase, neexistând deci forţe de frecare.
În realitate astfel de legături nu există dar, dar atunci când forţa de frecare este mică şi neglijabilă (suprafeţe lucii), forţele de frecare pot fi aproximate la zero.

3.2.2. Echilibrul punctului material supus la legături fără frecare

În legături ideale, fără frecare,
. Aşa cum am specificat şi mai sus, aceste tipuri de legături nu există în realitate, dar sunt întâlnibile suprafeţe la care forţa de frecare poate fi neglijată într-o primă aproximaţie. În cazul acestor legături
, cu alte cuvinte reacţiunea este normală. Dacă se analizează o suprafaţă, reacţiunea are direcţia normalei la suprafaţă, iar dacă se analizează o curbă, reacţiunea va avea o direcţie oarecare în planul normal la curbă.
Condiţia de echilibru a unui punct material supus la o legătură ideală va fi:

(3.6)
Proiectată pe axe, ea va arăta astfel:

;
;
. (3.7)
Considerând că în punctul curent parametri directori ai normalei la o suprafaţă sunt daţi de:

(3.8)
Şi sunt
, atunci ecuaţiile (3.6) şi (3.7) se pot scrie:



(3.9)
Analog, în cazul unui punct material M rezemat pe o curbă (C) (fig. 3.6) acţionează forţele
şi
care, în cazul echilibrului, sunt egale şi opuse. Rezultanta
a forţelor direct aplicate se descompune în componenta tangenţială
dirijată după tangenta la curbă în M şi în componenta normală
dirijată după dreapta ( ce rezultă din intersecţia planului ((), normal la curba C în M cu planul determinat de tangenta în M la curbă şi forţa
. Reacţiunea
se descompune după aceleaşi direcţii în reacţiunea normală
şi în forţa de frecare
.
/
Fig. 3.6. Punct material rezemat pe o curbă

Ca şi în cazul punctului material rezemat pe o suprafaţă, forţa normală
caută să se îndepărteze punctul M de curbă şi este anihilată de reacţiunea normală
. Deci, pentru echilibrul aceste două forţe
şi
, trebuie fie egale şi de sens opus.
În cazul unor legături fără frecare, forţa de frecare
nu poate să apară şi în consecinţă pentru echilibru în acest caz, este necesar ca
.
În cazul legăturii cu frecare forţele
şi
trebuie să fie egale şi de semn contrar. Pentru ca un punct material sub acţiunea unui sistem de forţe să rămână în echilibru pe o curbă fără frecare, este necesar ca:
rezultanta forţelor exterioare
să fie cuprinsă în planul normal la curbă în punctul respectiv;
reacţiunea este o forţă
situată în acelaşi plan normal.
Ecuaţia de echilibru se scrie:

(3.10)
Dacă ecuaţiile curbei sunt:

;
(3.11)
atunci se poate considera că planul normal la curbă este determinat de normalele celor două suprafeţe date prin ecuaţiile (3.11), luate fiecare separat. În acest caz ecuaţia (3.10) devine:


Dacă se proiectează pe cele trei axe, se obţine sistemul:

(3.12)
În cazul în care curba este dată prin ecuaţiile parametrice:

,
,
(3.13)
atunci condiţia de echilibru se exprimă prin relaţia de ortogonalitate dintre rezultanta forţelor exterioare
(cuprinsă în planul normal) şi tangentă, ai cărei parametrii directori, sunt
,
,
, adică:

(3.14)
Acestea sunt relaţiile cu ajutorul cărora poate fi determinată poziţia de echilibru.
Problemele care pot să apară în studiul echilibrului punctului material supus la legături fără frecare sunt centralizate în tabelul 3.1.
Se observă că problemele sunt static determinate.

Felul legăturii
Necunoscute
Ecuaţii de echilibru


Referitoare la poziţie
Referitoare la reacţiune


Rezemare pe o suprafaţă
2 (coordonatele u, v)
1 (scalarul reacţiunii)
3 ecuaţii



Rezemare pe o curbă în spaţiu
1 (coordonata curbilinie s)
2 (scalarul şi direcţia reacţiunii sau 2 componete ale reacţiunii în planul normal
3 ecuaţii



Rezemare pe o curbă în plan
1 (coordonata curbilinie s)
1 (scalarul reacţiunii)
2 ecuaţii



Punct fix
Niciuna
3 (proiecţiile reacţiunii pe trei direcţii în spaţiu
3 ecuaţii





3.2.3. Echilibrul punctului material supus la legături cu frecare
Legile frecării uscate
Spre deosebire de legăturile ideale, unde componenta tangenţială T şi reacţiunea
erau neglijate, în cazul curbelor şi suprafeţelor aspre acestea nu pot fi neglijate.
S-a constatat din practică, că modulul componentei tangenţiale T (care poartă numele de forţă de frecare de alunecare) este limitat.
În fig. 3.7.a este realizată o experienţă, redusă la forma cea mai simplă: un corp asimilabil cu un punct material de greutate
este aşezat pe un plan orizontal şi acţionat cu o forţă orizontală
, care poate varia continuu. Se constată că până la o anumită valoare
a forţei orizontale, corpul nu se pune în mişcare.

/
Fig. 3.7. Punct material supus la legături
Se dovedeşte astfel că reacţiunea
formează un unghi ( faţă de normală, aşadar poate fi descompusă în două componente: reacţiunea normală
şi forţa
, cea din urmă purtând numele de forţă de frecare de alunecare (fig. 3.7,b). Forţa de frecare de alunecare acţionează în planul tangent cu suprafaţa de reazem, opunându-se tendinţei de mişcare. În figura 3.7,c este prezentat cazul la limită, şi anume atunci când forţele
şi
iau valori limită şi unghiul ( capătă la rândul lui valoarea limită
, numit unghi de frecare. Forţa de frecare poate varia între valorile zero şi cea limită
.
Din figura 3.7 rezultă:


şi la limită


şi cum
formula se poate simplifica:

(3.15)
Cele mai celebre experiențele făcute asupra forţelor de frecare de alunecare sunt cele ale lui Coulomb, de unde au rezultat de altfel legile frecării uscate, şi anume:
valoarea forţei maxime de frecare nu depinde de mărimea suprafeţei în contact dintre cele două corpuri (în cazul experienţei, suprafaţa dintre corp şi planul orizontal) iar dacă se produce mişcarea, forţa de frecare nu depinde nici de viteza relativă;
valoarea forţei maxime de frecare depinde de natura corpurilor şi a suprafeţelor în contact (de exemplu gradul de prelucrare);
valoarea forţei maxime de frecare este proporţională cu modul
al reacţiunii normale.
Conform legilor de mai sus, forţa de frecare de alunecare este:

(3.16)
sau:

(3.17)
unde ( este coeficientul de frecare de alunecare (mărime adimensională care depinde de natura şi starea suprafeţelor în contact).
Comparând relaţiile (3.15) şi (3.17) se observă că:

(3.18)
În opinia lui Coulomb, forţele de frecare îşi au originea în existenţa la suprafaţa corpurilor a unor asperităţi care, în cazul a două corpuri în contact, se întrepătrund.
Atunci când unul dintre corpuri se pune în mişcare aceste asperităţi sunt strivite, iar forţa de frecare de alunecare este cea care se opune acestor striviri.
Extinzând domeniul experienţelor făcute de Coulomb, se constată că coeficientul de frecare la alunecare ( variază invers proporţional în funcţie de viteză: el scade atunci când viteza creşte. Valoarea coeficientului de frecare pentru corpurile în repaus (coeficientul de aderenţă (0) este mai mare (fig. 3.8) decât pentru cele în mişcare (coeficientul de frecare dinamic ().
/
Fig. 3.8. Variaţia coeficientuluide frecare la alunecare μ

De asemenea, dacă
ia valori mari, mărimea forţei de frecare de alunecare
nu mai variază liniar cu mărimea reacţiunii
.
Dacă se reduc înălţimile asperităţilor, conform teoriei lui Coulomb, forţa de frecare de alunecare va scădea. În realitate însă, forţa de frecare de alunecare creştere la un moment dat, influenţată fiind de alte fenomene, ca de exemplu fi forţele de adeziune intermoleculare (care în acest caz devin importante).
Analizând din nou experienţa prezentată în fig. 3.7, se poate deduce aspectul geometric al problemei echilibrului punctului material cu frecare.
Considerând punctul rezemat pe o suprafaţă şi schimbând direcţia forţei
în planul tangent, reacţiunea
, respectiv rezultanta
, vor descrie în acest caz un con, numit con de frecare, care are vârful în punctul considerat, axa de simetrie este normala Mn la suprafaţă şi unghiul la vârf 2( (fig. 3.9).
Punctul material se află în echilibru atunci când reacţiunea
este în interiorul sau la limită pe mantaua conului. În cazul punctului material rezemat cu frecare (ca în cazul rezemării pe o suprafaţă), generatoarele extreme vor descrie conuri complementare de frecare. Aceste conuri (fig. 3.10) au ca axă de simetrie tangenta la curbă în punctul respectiv şi unghiul la vârf
.
Punctul material se află în echilibru când reacţiunea
se găseşte în afara conurilor complementare de frecare sau la limită pe mantaua acestora.
/
Fig. 3.9. Con de frecare
/
Fig. 3.10. Punct material rezemat pe o curbă

În problemele de echilibru cu frecare ale punctului material rareori soluţia este unică. În consecinţă, la fel ca în cazul echilibrului fără frecare, problemele de echilibru cu frecare se exprimă printr-o inegalitate.
În cazul punctului pe o suprafaţă, studiul analitic se face prin exprimarea unghiul dintre rezultanta
şi vectorul
, coliniar cu versorul normalei
în punctul considerat. Suprafaţa este dată prin ecuaţia
. Astfel:

(3.19)
unde vectorul
este:

. (3.20)
Pentru simplificare, alegem
.
Pentru echilibru este necesar ca
, adică

(3.21)
Dar

(3.22)

Deci rezultă condiţia de echilibru:


respectiv

(3.23)
Dacă punctul se află pe o curbă, pentru a stabili o expresie analitică, se presupune o curba dată prin ecuaţiile parametrice:

,
,
(3.24)
Un vector
dirijat după tangentă are expresia:

(3.25)
Unghiul dintre rezultanta
şi vectorul
este dat de:

. (3.26)
Pentru echilibru s-a văzut că este necesar ca
, adică

(3.27)
sau
.
Dar

(3.28)
Deci condiţia de echilibru este:


respectiv

(3.29)
3.3. Probleme rezolvate
Problema 3.3.1.
Un punct material de greutate
poate aluneca fără frecare pe un cerc. Asupra punctului acţionează forţa orizontală
(figura 3.11). Să se determine poziţia de echilibru a punctului şi reacţiunea cercului.
Rezolvare
Se eliberează punctul material de legătura sa cu cercul şi se introduce reacţiunea normală
. Se proiectează ecuaţia vectorială de echilibru.


/
Fig. 3. 11

Pe axele de coordonate se obţin:


de unde rezultă:

Calculând raportul dintre cele două relaţii de mai sus, se obţine:

;

Discuţie:
când
;
;
;
când
;
;
;
când
;
;
;
Problema 3.3.2
O roată de rază R şi greutate
, se află în faţa unui prag de înălţime h (figura 3.12). Să se determine înclinarea dată de unghiul α, pentru ca roata să treacă peste prag.
/
Fig. 3. 12

Rezolvare
Se eliberează roata de legături, forţele care acţionează asupra sa fiind: greutatea
, reacţiunile
şi
. În momentul în care roata începe să se rostogolească peste prag, reacţiunea
este nulă. Se proiectează ecuaţia vectorială de echilibru.


pe axele de coordonate:




Se elimină
între aceste două ecuaţii şi se obţine:


Problema 3.3.3
/
Fig. 3. 13

Un punct M de greutate
, care se reazemă cu frecare de coeficient μ pe o suprafaţă cilindrică, este prins prin intermediul unui fir ce se reazemă fără frecare, un corp de greutate
(figura 3.13). Poziţia de echilibru a punctului este dată de unghiul α.
Se cere să se determine valoarea lui P pentru echilibru.

Rezolvare:
Se izolează punctul M şi se scriu relaţiile de echilibru (figura 3.13.a):




Determinând pe T şi N din cele două ecuaţii şi înlocuind în condiţia de frecare, rezultă:


Luând în considerare ambele tendinţe de modificare a echilibrului, se obţine:


/
Fig. 3. 14



Problema 3.3.4.
Pe un cadru circular de rază R, dispus într-un plan vertical se află un inel M de greutate
. De inel, prin intermediul a două fire, sunt prinse greutăţile P şi Q.
Firele trec peste doi scripeţi situaţi în centrul cercului, respectiv pe cerc (figura 3.14).
Să se determine unghiul θ pe care îl fac firele de legătură între ele pentru poziţia de echilibru a inelului.

Rezolvare
/
Fig. 3.14.a.

Se eliberează inelul de legături (fig. 3.14.a), si notează cu
reacţiunea normală, iar cu
şi
tensiunile din fire:



Se scrie ecuaţia vectorială de echilibru:


Se proiectează această ecuaţie în sistemul de axe ales (tangenta şi normala la cerc);


Ţinând cont că
şi
, din a doua ecuaţie se determină unghiul θ. Se obţine astfel o ecuaţie de gradul al II-lea:



;
Deoarece
(în cadranul II).
În acest caz, soluţia este:

Problema 3.3.5.
Un corp M de greutate
se reazemă cu frecare pe un plan ABCD înclinat faţă de planul orizontal cu unghiul α, fiind prins cu un fir de punctul A al planului (fig. 3.15). Asupra corpului acţionează şi forţa Q, conţinută într-un plan paralel cu planul înclinat, forţă ce este orientată după linia de cea mai mare pantă a planului.
Să se determine valoarea minimă a forţei Q pentru echilibru, dacă coeficientul de frecare dintre planul înclinat şi corp este μ, iar unghiul pe care firul AM îl face cu latura AB a planului este β.

Rezolvare
Se eliberează punctul M de legături (fig.3.15 a si fig.3.15.b) si se introduc următoarele notaţii:

– reacţiunea planului înclinat,

– tensiunea din fir,

– valoarea maximă a forţei de frecare
/
Fig. 3.15.
/
Fig. 3.15.a.

Se proiectează ecuaţia vectorială de echilibru:
pe axele de coordonate, se obţine:


/
Fig. 3.15.b.



Din ecuaţiile de mai sus se determină valorile reacţiunii normale N, a tensiunii de fir S şi a forţei Qmin.


Ţinând cont de valoarea reacţiunii normale şi de condiţia de frecare, rezultă:


Problema 3.3.6
O sferă de greutate
este suspendată printr-un fir de un punct situat pe linia de intersecţie a doi pereţi verticali, care formează un unghi de 90°, fiind rezemată pe aceştia (figura 3. 16). Să se determine tensiunea în fir şi reacţiunile celor doi pereţi, dacă firul face cu verticala unghiul α.
/
Fig. 3.16.


Rezolvare
Se eliberează sfera de legături şi se notează cu
şi
reacţiunile celor doi pereţi, iar cu
tensiunea din fir.
De asemenea, se notează cu
proiecţia tensiunii în planul xOy (figura 3. 16.a).
Se scrie ecuaţia vectorială de echilibru:


şi se proiectează această ecuaţie pe cele trei axe de coordonate:
/
Fig. 3.16.a





Din primele două ecuaţii se determină valorile reacţiunilor normale N1 şi N2.

,
iar din cea de a treia ecuaţie, valoarea tensiunii din fir S:


În final, se obţine:

Problema 3.3.7
/
Fig. 3.17.

Pe un plan înclinat cu unghiul α faţă de orizontală, este rezemată o sferă M de greutate P. Bila este legată prin intermediul a două fire AM şi BM, care fac unghiul β cu planul vertical şi unghiul γ între ele (figura 3.17). Să se determine reacţiunea planului înclinat şi tensiunile în cele două fire.

Rezolvare
Se eliberează sfera de legături şi se notează cu
reacţiunea planului înclinat,
şi
tensiunile din fire.
Acestea se pot observa mai bine în proiecţiile din figura 3.18. În acest caz, ecuaţia vectorială de echilibru a sferei se va scrie:


/
/

Fig. 3.18

Se proiectează ecuaţia vectorială pe cele trei axe:


De asemenea, rezultanta tensiunilor se poate scrie:


Din ecuaţiile de proiecţie se obţine:


Tensiunile din fire vor fi:

/
Fig. 3.19.

Problema 3.3.8
Un inel M de greutate G, alunecă fără frecare pe un cerc de rază r, fiind respins de extremitatea A a diametrului orizontal şi atras de extremitatea B a diametrului vertical, cu forţe proporţionale cu distanţele respective.
Să se determine poziţia de echilibru a punctului pe cerc şi reacţiunea cercului (figura 3.19).
Rezolvare
Ecuaţia vectorială de echilibru este:


Se obţin ecuaţiile de echilibru proiectate pe axele sistemului de referinţă:

(a)

(b)
unde:

,
(c)
Din relaţiile (a) şi (c) se deduce:

(d)
Din relaţiile (b) şi (c) se deduce:

(e)
Din relaţia (d) se obţine:

,

Reacţiunea normală N este:

/
Fig. 3.20.


Problema 3.3.9
/
Fig. 3.20.a.

/
Fig. 3. 20.b.

Inelul M de greutate G, alunecă cu frecare pe o bară situată într-un plan înclinat cu unghiul α, care face cu dreapta de intersecţie a planelor înclinat şi orizontal unghiul β (figura 3.20). De inelul M este legat cu un fir care trece prin capătul A al barei, printr-un inel fără frecare. La capătul firului este o greutate Q. Se cere reacţiunea normală N şi valoarea coeficientului de frecare μ între inelul M şi bara AB, pentru echilibru.

Rezolvare
Se consideră planul înclinat care conţine bara AB şi se notează forţele care apar pe axele sistemului x1My1 (fig.3.20.a). Rezultă:

(a)

(b)

(c)
Se realizează o secţiune verticală prin cele două planuri şi inelul M şi, alegând sistemul de referinţă x2My2 (fig. 3.20.b), se scriu ecuaţiile proiecţiilor de forţe pe sistemul ales:

(d)

(e)

unde:

(f)

Din (b), (e) şi (f) rezultă:


Din (a) şi (c) rezultă:

Problema 3.3.10
Pe semielipsa de ecuaţie


aflată într-un plan vertical, alunecă fără frecare un inel M de greutate G. Asupra inelului acţionează o forţă orizontală F (figura 3.21). Să se determine valoarea forţei F şi reacţiunea normală N pentru echilibru în cazul în care
.
/
Fig. 3.21.

Rezolvare
Se scrie relaţia vectorială:


unde:

;
;

se cunoaşte că:

;
.
Rezultă:

.
Înlocuind în relaţia vectorială, se obţine:


Pentru
din ecuaţia elipsei, rezultă:
. Înlocuind în relaţia anterioară, se obţine:

.
Rezultă:

;

/
Fig. 3.22

3.4. Probleme propuse
Problema 3.4.1
O sferă de greutate
se sprijină în punctele A şi B pe două plane fixe, înclinate cu unghiurile α şi β faţă de orizontală. Să se determine reacţiunile în punctele A şi B (figura 3.22).

Răspuns:
;

Problema 3.4.2
/
Fig. 3.23

O bilă de greutate
se reazemă pe un plan înclinat faţă de orizontală cu unghiul α. Bila este legată de punctul A printr-un fir inextensibil care face cu verticala unghiul β (figura 3.23).
Să se determine tensiunea în fir şi reacţiunea planului înclinat.

Răspuns:


/
Fig. 3. 24


Problema 3.4.3
Inelul M, de greutate neglijabilă, alunecă fără frecare pe semielipsa

, aflată într-un plan vertical. De inelul M sunt prinse două fire care trec fără frecare prin inelele A şi B (AB aparţine semiaxei orizontale a elipsei) şi au la capete greutăţile P şi Q cunoscute (figura 3.24). Să se determine reacţiunea N a semielipsei asupra inelului în momentul în care
.

Răspuns:

Problema 3.4.4
/
Fig. 3. 25

Printr-un inel M de greutate neglijabilă, care se reazemă cu frecare de coeficient μ pe un cerc de rază r, sunt prinse două fire ce trec fără frecare prin două inele fixe A şi B (figura 3.25). La capetele firelor sunt legate două corpuri cu greutăţile G1 respectiv G2.
Să se determine raportul
, astfel încât punctul M să rămână în repaus în poziţia dată de unghiul θ, considerat cunoscut.

Răspuns:
Condiţia finală de echilibru este:

Problema 3.4.5
Pe semielipsa de ecuaţie


aflată într-un plan vertical, alunecă fără frecare un inel M de greutate G. Asupra inelului acţionează o forţă orizontală F (figura 3.26). Să se determine valoarea forţei F şi reacţiunea normală N pentru echilibru în cazul în care
.
/
Fig. 3. 26

Răspuns:

.

IV. Statica rigidului. Centre de greutate
4.1. Statica rigidului
4.1.1. Caracterul de vector alunecător al forţei ce acţionează un rigid

Dacă atunci când asupra unui corp acţionează un sistem de forţe finite şi distanţa dintre două puncte oarecare ale corpului respectiv rămâne aceeaşi, atunci corpul se numeşte rigid.
De fapt, condiţia mai sus menţionată nu este realizabilă, pentru că toate corpurile sunt deformabile; dar, în cazul în care corpurile sunt din metal, lemn, piatră etc., având în vedere că acestea sunt puţin deformabile, deformaţiile pot fi neglijate şi, astfel se poate vorbi despre noţiunea de solid rigid sau rigid.
/
Fig. 4.1. Tip de vector alunecător
Se consideră un rigid acţionat în punctul A, de forţa / (fig.4.1a). În punctul B, situat pe suportul forţei /, se introduc două forţe egale şi de sens contrar, / şi /, ceea ce nu schimbă efectul forţei /, aplicată în punctul A (fig.4.1b). Forţa / din A şi forţa / din B îşi anulează efectul, astfel că asupra rigidului acţionează numai forţa / aplicată în punctul B (fig.4.1c). Rezultă că o forţă / poate fi deplasată pe propriul suport, fără ca efectul ei asupra rigidului să se modifice. Rezultă că vectorul forţă care acţionează asupra rigidului are proprietatea de vector alunecător.
În continuare vor fi prezentate elemente de calcul algebric cu vectori alunecător, calcul care diferă faţă de cel cu vectori liberi. Aceste calcule se aplică atât forţelor care acţionează asupra unui solid rigid, cât şi a altor mărimi asupra cărora se poate aplica metoda vectorilor alunecători. În acest tip de calcule se foloseşte noţiunea de moment al vectorului nu numai doar faţă de un punct, ci şi faţă de o axă.

4.1.2. Momentul unei forţe în raport cu un punct
Momentul unei forţe în raport cu un punct redă capacitatea cu care forţa poate roti corpul asupra căruia acţionează, în jurul unei axe care trece prin punctul respectiv şi care este perpendiculară pe planul determinat de suportul forţei şi acel punctul (fig.4.2).
/
Fig. 4.2. Momentul forţei în raport cu un punct

Prin definiţie, momentul unei forţe
în raport cu un punct O este produsul vectorial dintre vectorul de poziţie
, al punctului de aplicaţie A, al forţei şi forţa
.

(4.1)
Luând în calcul proprietăţile produsului vectorial, rezultă că momentul
este un vector aplicat în punctul O şi care este perpendicular pe planul definit de vectorii
şi
. Sensul acestui plan este dat de „regula şurubului drept” (sensul de înaintare al şurubului aşezat în punctul O pe suportul momentului
, acţionat de o cheie cu forţa
având ca braţ, vectorul de poziţie
).
Modulul acestui vector este dat fie de relaţia:

] (4.2)
fie ţinând seama de braţul forţei, adică de distanţa „b” dintre punctul O şi suportul forţei
:

(4.3)

Proprietăţi:
Momentul unei forţe în raport cu un punct este nul atunci când:
a)
;
b)
;
c) vectorii
şi
sunt coliniari.
Dacă se exceptează cazul a) (în care
), se poate concluziona că, în celelalte două cazuri, momentul forţei în raport cu un punct este nul atunci când prin respectivul punct trece suportul forţei.
Momentul unei forţe în raport cu un punct rămâne neschimbat atunci când forţa se deplasează pe propriul său suport.
Considerând forţa
în două poziţii, A şi B (fig.4.3a) şi notând cu
, respectiv
, vectorii de poziţie ai punctelor A şi B, momentul în raport cu punctul O al forţei
în cele două situaţii devine:

(4.4)
Datorită faptului că
, iar vectorii
şi
sunt coliniari.
/
Fig. 4.3. Momentul forţei în raport cu un punct
Momentul unei forţe în raport cu un punct este un vector legat, motiv pentru care se modifică la schimbarea polului. Fie O şi O’, punctele în raport cu care se calculează momentul forţei
(fig.4.3b).

(4.5)
Deoarece se considere că punctul O este originea sistemului de axe, poziţia tuturor celorlalte puncte se raportează la acest pol, deci rezultă că vectorul
. Relaţia (4.5) exprimă legea de variaţie a momentului la schimbare polului.
Expresia analitică. Expresiile analitice ale vectorului de poziţie
şi ale forţei
sunt:

(4.6)
De unde rezultă că expresia analitică a momentului forţei
în raport cu punctul O este:

(4.7)
Proiecţiile momentului
pe axele sistemului triortogonal Oxyz (momentul forţei
în raport cu axele: Ox, Oy, Oz) sunt:

(4.8)
Aceleaşi rezultate se obţin şi în cazul în care se consideră produsul vectorial
sub formă matriceală, ca un produs între matricea antisimetrică
asociată vectorului
şi matricea coloană a vectorului
:

(4.9)
sau sub formă restrânsă:

. (4.10)
4.1.2. Momentul unei forţe în raport cu o axă
Prin definiţie, momentul unei forţe
în raport cu o axă este proiecţia pe această axă a momentului forţei
calculat în raport cu un punct oarecare O de pe axă.
/
Fig. 4. 4. Momentul forţei în raport cu o axă
În desenul de mai sus (fig. 4.4a) s-a consieerat forţa
aplicată în A, iar axa ( caracterizată prin versorul
, şi s-a ales punctul O1 pe axă.
Se poate scrie că:

,
iar şi proiecţia pe axa ( este fie:

, (4.11)
fie

.
Pentru că
se este un produs mixt, rezultă că este un scalar, iar alegerea punctului pe axă faţă de care se calculează momentul, este arbitrară.
Pentru a demonstra asta se calculează
, faţă de un alt punct O2:

(4.12)
deoarece,
, vectorii
şi
fiind coliniari.
Din relaţia (4.11), unde
este un produs mixt, se poate observa că momentul unei forţe în raport cu o axă este coplanar, adică concurent, paralel sau confundat.
Una dintre proprietăţile momentului forţei în raport cu o axă este aceea că valoarea sa rămâne neschimbată dacă forţa se deplasează în lungul suportului ei. În continuare, se observă cu uşurinţă dă, dacă momentul
rămâne nemodificat, şi proiecţia sa
va fi neschimbată.
Alta proprietate, dedusă din definiţie, este aceea că momentul unei forţe în raport cu axa ( este egal cu scalarul momentului proiecţiei
a forţei
pe un plan (P) perpendicular pe axa (, calculat în raport cu punctul O unde axa ( înţeapă planul (P).
Se consideră că:

(4.13)
Se descompune forţa
în componentele
şi
după normala AA1 (paralelă cu () şi după o direcţie paralelă cu proiecţia
(fig.4.4b).



(4.14)
Înlocuind relaţia (4.14) în (4.13) rezultă:

(4.15)
Se observă că:

, fiind vectori coplanari.
Pentru simplificarea raţionamentului, în aplicaţii se trasează planul normal pe axă exact din punctul de aplicaţie al forţei.

4.1.3. Cupluri de forţe
Cuplul de forţe este cel mai simplu sistem de forţe care acţionează asupra unui rigid, şi este considerat a fi un sistem de două forţe egale şi de sens contrar, care acţionează pe două suporturi paralele asupra aceluiaşi rigid (fig.4.5).
Un cuplu aplicat unui rigid caută să-l rotească în jurul unei axe perpendiculare pe planul definit de suporturile celor două forţe.
/
Fig. 4.5. Cuplu de forţe
Proprietăţi:
Pe orice axă, proiecţia cuplului de forţe este nulă. Se deduce că rezultanta cuplului de forţe este nulă. Considerând o axă de versor
, se poate scrie:

(4.16)
Momentul cuplului este reprezentat de efectul cuplului de forţe aplicat asupra unui rigid, şi este conform relaţiei:

(4.17)
Momentul cuplului de forţe este un vector cu sensul dat de regula produsului vectorial şi fiind perpendicular pe planul forţelor care-l compun. Mărimea momentului cuplului de forţe este produsul dintre forţă şi braţul cuplului, conform relaţiei:

(4.18)
Momentul cuplului de forţe este în acelaşi timp un vector liber, deoarece rămâne neschimbat oricare ar fi punctul faţă de care se stabileşte expresia sa. De exemplu, faţă de un alt punct O’, relaţia momentului devine:

(4.19)

4.1.4. Vectorul alunecător
S-a specificat anterior că vectorul liber se defineşte prin a trei mărimi scalare, cum ar fi proiecţiile pe cele trei axe de coordonate carteziene.
În cazul vectorului alunecător
, mai trebuie să fie cunoscută şi dreapta sport (() pe care acesta se deplasează. În cazul în care cele trei proiecţii pe axe ale vectorului
, sunt cunoscute, sunt cunoscuţi şi parametrii directori ai dreptei suport.
Pentru ca un vector alunecător să fie determinat, sunt necesare – de obicei – şase mărimi scalare, şi anume:
proiecţiile vectorului
pe cele trei axe [Fx, Fy, Fz];
proiecţiile momentului
[Mx, My, Mz] pe cele trei axe ale al vectorului
faţă de originea O a sistemului de axe.
Între cele 6 mărimi scalare [Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz ] există o relaţie identic satisfăcută, care se deduce ţinându-se seama că vectorii
şi
sunt perpendiculari şi, în consecinţă, produsul lor scalar este nul. Se poate deci scrie relaţia:

(4.20)
Relaţia de mai sus poate fi verificată şi direct, prin înlocuirea lui Mx , My , Mz cu expresia (4.8), obţinându-se astfel:

4.1.5. Teorema momentelor (Teorema lui Varignon)
Fie un sistem de forţe concurente care acţionează asupra unui rigid în punctul A, al cărui vector de poziţie în raport cu punctul O este
(fig. 4.6).
/
Fig. 4.6. Sistem de forţe concurente în punctul A
Rezultanta sistemului de forţe este:

(4.21)
Momentul cuplului de forţe în raport cu punctul O se află înmulţind vectorial relaţia (4.21) cu
:

(4.22)
altfel spus:

(4.23)
Relaţia (4.23) reprezintă teorema momentelor sau teorema Varignon, şi poate fi definită astfel: Pentru un sistem de forţe care se reduc la o rezultantă unică, momentul rezultantei în raport cu un punct este egal cu suma vectorială a momentelor forţelor componente, calculate în raport cu acelaşi punct.
Pentru a se afla momentul aceloraşi forţe în raport cu o axă (, de versor
care trece prin O, se înmulţeşte scalar relaţia (4.22)cu
:

(4.24)
sau:

(4.25)

Pentru un sistem de forţe care se reduc la o rezultantă unică, momentul rezultantei în raport cu o axă este egal cu suma algebrică a momentelor forţelor componente, calculate în raport cu aceeași axă.

4.1.6. Sisteme de forţe echivalente şi operaţii elementare de echivalenţă
Deoarece în paragrafele următoare se vor studia sisteme de forţă care acţionează asupra rigidului, este necesar a se afla efectul mecanic al acestor forţe, care acţionează în diferite puncte ale corpului rigid. Din acest motiv se vor înlocui aceste sistemele de forţe cu unele mai simple, astfel încât efectul mecanic să fie acelaşi indiferent în orice punct este produs.
Două sisteme de forţe care acţionează asupra unui rigid şi produc în orice punct acelaşi efect mecanic se numesc sisteme echivalente.
Pentru realizarea unor sisteme mai simple de forţe echivalente se aplică forţelor mai multe operaţii, astfel încât sistemul de forţe dat să rămână echivalent cu el însuşi. Aceste operaţii poartă numele de operaţii elementare de echivalenţă.
Este necesar a se ţine seama de:
forţa care acţionează asupra rigidului poate fi deplasată pe propriul suport;
În sistemul de forţe se pot suprima sau introduce două forţe egale şi direct opuse;
Mai multe forţe concurente pot fi înlocuite fie prin rezultanta lor, fie o forţă poate fi înlocuită prin componentele sale.

/
Fig. 4.7. Tosor de reducere

4.1.7. Reducerea unei forţe aplicată într-un punct al unui rigid
Fie un rigid acţionat de o forţă
în punctul A şi cu
vector de poziţie în raport cu un punct O este (fig. 4.7).
Reducerea acestei forţe întrun punct oarecare O,implică determinarea efectului mecanic exercitat în O, de forţa
, aplicată în A.
Având în vedere operaţiile elementare de echivalenţă prezentate mai sus, se consider forţele
şi
în O. Se observă că forţele,
din A şi
din O formează un cuplu, al cărui moment este:

(4.26)
Forţa
şi cuplul de forţe reprezentat prin momentul
se numesc elemente de reducere în O ale forţei date. Ansamblul celor două elemente mecanice alcătuiesc torsorul de reducere în O al forţei
aplicată în A, şi se notează:

(4.27)
Dacă se schimbă punctul de reducere în O’, torsorul îşi va modifica doar momentul a cărei variaţie la schimbarea polului este dată de relaţia (4.5).

(4.28)

4.1.8. Reducerea unui sistem de forţe aplicate rigidului. Torsorul de reducere. Variaţia torsorului cu punctul de reducere. Invarianţi
Fie un rigid acţionat în punctele A1, A2,……, An, de forţele
,
,…..,
, (fig. 4.8,a). Un punct oarecare Ai, raportat la polul O, este definit de vectorul de poziţie
. Pentru a afla efectul mecanic produs în O de acţiunea simultană a forţelor din sistem, este necesar să se reducă, pe rând, toate forţele sistemului. Se va obţine astfel , în O, două sisteme de vectori concurenţi:
sistemul de forţe
,
,…..,
, cu rezultanta

(4.29)
sistemul de cupluri
,
,…..,
, cu momentul rezultant:

(4.30)
Forţa rezultantă
şi momentul rezultant
reprezintă împreună un sistem de forţe echivalent cu sistemul dat, şi poartă denumirea de torsorul de reducere în punctul O.

(4.31)
Procedând identic pentru ul alt punct O’, şi efectuând reducerea sistemului de forţe iniţial, se obţine torsorul de reducere:

(4.32)
Aşadar, momentului faţă de punctul
devine:

(4.33)
Torsorul în punctul O’ exprimat în funcţie de elementele torsorului în punctul O este:

(4.34)
/
Fig. 4.8. Variaţia torsorului cu punctul de reducere
Se observă că rezultanta rămâne aceiaşi în raport cu puncte diferite de reducere, altfel spus forţa rezultantă este un invariant al sistemului de reducere într-un punct al unui sistem de forţe.
De asemenea, se deduce şi că momentul rezultant se modifică cu schimbarea punctului de reducere.
Dacă se efectuează produsul scalar
, care poartă numele şi de trinom invariant, şi dacă se ţine seama de faptul că produsul mixt
pentru că este un produs mixt de vectori coplanari, se va obţine:

(4.35)
Din relaţia (4.35) se observă că trinomul invariant
este al doilea invariant al operaţiei de reducere.
Forma analitică a trinomului invariant
este:

(4.36)
Proiecţia momentului rezultant
pe direcţia rezultantei
este:

(4.37)
Proiecţia momentului rezultant pe direcţia rezultantei
este raportul a două mărimi invariante (
şi
), aşadar va fi tot o mărime invariantă a operaţiei de reducere (fig. 4.8,b). Astfel:

(4.38)
Conform relaţiilor (4.35) şi (4.37), trinomul invariant şi proiecţia momentului rezultant pe direcţia rezultantei nu sunt două mărimi invariante independente. La reducerea într-un punct a unui sistem de forţe există doi invarianţi,
şi
.
Vectorul
, coliniar cu rezultanta
se va scrie:

(4.39)

4.1.9. Torsorul minimal. Axa centrală
Atunci când reducerea sistemului de forţe se face în diferite puncte ale rigidului, se constată că torsorul de reducere este diferit dom cauza modificării momentului rezultant.
Se descompune momentul rezultant
, în două componente:
, în funcţie direcţia rezultantei
şi
, urmând direcţia situată într-un plan normal la direcţia rezultantei (intersecţia dintre planul normal la rezultanta
şi planul definit de vectorii
şi
):

(4.40)
Datorită faptului că componenta
este invariantă, rezultă deci că modificările momentului
se datorează componentei
, care, în funcţie de punctul de reducere, poate avea orice valoare şi orice poziţie în planul normal pe rezultanta
. Înseamnă că proiecţia momentului rezultant pe direcţia rezultantei este valoarea minimă pe care o poate lua momentul atunci când se face reducerea sistemului de forţe în diferite puncte.

(4.41)
Torsorul format din rezultanta
şi momentul minim,
se numeşte torsor minim.

(4.42)
În cazul torsorului minim, rezultanta
şi momentul minim
sunt vectori coliniari. Locul geometric al punctelor în care torsorul are valoare minimă, se numeşte axă centrală.
Fie un punct curent P(x, y, z), de pe axa centrală (fig.4.9), momentul în acest punct, conform legii de variaţie a momentului la schimbarea polului este:

(4.43)

/
Fig. 4.9. Momentul unui punct la schimbarea polului

Condiţia de coliniaritate a vectorilor
şi
este:


sau:

(4.44)
Rezultă:

(4.45)
Înlocuind valorile din relaţia (4.43) în (4.45) se obţine ecuaţia axei centrale, care este de fapt ecuaţia unei drepte în spaţiu:

(4.46)

4.1.10. Cazurile de reducere ale unui sistem de forţe oarecare
Sisteme echivalente
Conform proprietăţilor de reducere ale unui sistem de forţe aplicat unui rigid, pot fi deduse cele patru cazuri posibile de reducere ale sistemului, la cel mai simplu sistem echivalent:
Cazul 1:
;
. Dacă torsorul sistemului de forţe este nul, atunci sistemul dat este egal cu un sistem de forţe în echilibru. În acest caz, rigidul asupra căruia acţionează acest tip de sistem de forţe este în echilibru.
Cazul 2:
;
. Dacă torsorul sistemului de forţe este format din momentul rezultant
, atunci respectivul sistemul de forţe este echivalent cu un cuplu de forţe care acţionează întrun plan perpendicular pe
.
Cazul 3:
;
. Dacă torsorul sistemului de forţe este format din forţa rezultantă
, atunci sistemul de forţe este echivalent cu o forţă unică
, aplicată în O.
Cazul 4:
;
. În cazul în care cele două elemente ale torsorului sunt diferite de zero, atunci avem:
Subcazul 4a:
, în care cei doi vectori sunt ortogonali. În acest subcaz, sistemul de forţe este echivalent cu o forţă unică
, având ca suport axa centrală, în vreme ce momentul minim
are valoarea nulă.
Subcazul 4b:
, în care între cei doi vectori se formează un unghi
. În acest subcaz, sistemul de forţe este echivalent cu un torsor minim pe axa centrală, adică are o forţă
şi un moment minim
. Acest tip de sistem imprimă corpului o mişcare elicoidală în jurul axei centrale.

4.2. Reducerea sistemelor particulare de forţe
4.2.1. Reducerea sistemelor de forţe concurente
Un sistem de forţe concurente este acel sistem care acţionează asupra unui rigid, cu condiţia ca suporturile lor sunt concurente într-un punct.
Fie un sistem de forţe
, aplicate unui rigid în punctele Ai, (i = 1, 2, …, n), cu suporturi concurente în punctul O (fig. 4.10).
Datorită faptului că forţele
sunt vectori alunecători, pot fi deplasate pe suporturile lor până când punctele Ai coincid cu punctul O.
În acest caz, torsorul în punctul O pentru acest sistem de forţe este:

(4.47)
/
Fig. 4. 10. Sistem de forţe concurente
Se construieşte rezultanta
, care reprezintă torsorul minim, iar axa centrală va deveni suportul ( al rezultantei.
Pot fi aplicate în acest caz două cazuri de reducere, şi anume:
Cazul 1:
;
, caz în care sistemul de forţe este echivalent cu un sistem de forţe în echilibru.
Cazul 2:
;
, caz în care sistemul de forţe este echivalent cu o forţă unică
, aplicată în O.
4.2.2. Reducerea sistemelor de forţe coplanare
Forţele ale căror suporturi sunt situate în acelaşi plan [P] poartă denumirea de forţe coplanare. Dacă se reduce sistemul de forţe în punctul O, aflat pe planul [P], se va obţine torsorul sistemului pentru punctul O. Acesta este format din forţa rezultantă
şi momentul rezultant
, perpendicular pe planul forţelor (momentul rezultant
, reprezintă suma vectorială a momentelor forţelor din sistem, calculate în raport cu punctul O şi care sunt prin definiţie, perpendiculare pe planul forţelor).
Trinomul invariant este
.
În cazul sistemelor de forţe coplanare se pot aplica cazurile de reducere de mai jos:
Cazul 1:
;
, caz în care avem de-a face cu un sistem de forţe în echilibru.
Cazul 2:
;
, caz în care sistemul de forţe dat este echivalent cu un cuplu de forţe de moment
care acţionează perpendicular pe planul forţelor.
Cazul 3:
;
, caz în care sistemul de forţe este echivalent cu o forţă unică
, aplicată pe axa centrală care trece prin O.
Cazul 4:
;
;
, caz în care sistemul de forţe este echivalent cu o forţă unică
, aplicată pe axa centrală.
/
Fig. 4.11. Sistem de forţe coplanar

Dacă se studiază din punct de vedere analitic sistemul de forţe coplanar (fig.4.11), se consideră ca plan al forţelor planul Oxy, de ecuaţie, z = 0. Forţele
şi vectorii de poziţie
, ai punctelor de aplicaţie Ai, ale forţelor au expresiile:

(4.48)

(4.49)
Dacă se aplică cazul 4 de reducere, şi anume
;
;
, axa centrală se obţine din ecuaţia generală a acesteia (4.45), termenii ecuaţiei fiind daţi de relaţia (4.49), adică:

(4.50)
sau:

(4.51)

4.2.3. Reducerea sistemelor de forţe paralele
Dacă suporturile sistemului de forţe
, (i = 1, 2, …,n) unt paralele cu o direcţie comună de versor
, atunci se consideră că acestea formează un sistem de forţe paralele (fig.4.12).
În acest caz, O forţă
din acest sistem poate fi definite în funcţie de versorul
, astfel:

(4.52)
unde Fi este o mărime algebrică, fie pozitivă, fie negativă, în funcţie de orientarea forţei versorului
(în acelaşi sens sau în sens contrar).
În acest caz, rezultanta sistemului este:

(4.53)
Scalarul rezultantei este egal cu suma algebrică a scalarilor forţelor.
Momentul rezultant în punctul O este:

(4.54)
Datorită coliniarităţii a doi termeni din produsul mixt, trinomul invariant are expresia:

(4.55)
/
Fig. 4.12. Sistem de forţe paralele
Pentru un sistem de forţe paralele, cazurile de reducere sunt:
Cazul 1:
;
, în care sistemul de forţe este echivalent cu un sistem de forţe în echilibru.
Cazul 2:
;
, în care sistemul dat este echivalent cu un cuplu de forţe de moment
perpendicular pe direcţia forţelor.
Cazul 3:
;.
, în care sistemul de forţe este echivalent cu o forţă unică
, aplicată în O.
Cazul 4:
;
;
, în care sistemul de forţe este echivalent cu o forţă unică
, aplicată pe axa centrală.
Axa centrală este reprezentată de locul geometric al punctelor în care momentul este nul, datorită faptului că
.
Axa centrală poate fi aflată cu ajutorul relaţiei (4.43), care exprimă momentul într-un punct curent P situat pe axă, în care
este vectorul de poziţie al acestui punct.

(4.56)
Înlocuind pe
şi
cu expresiile date de relaţiile (4.53) şi (4.54), obţinem:

(4.57)
Dacă în al doilea produs vectorial se schimbă poziţia factorului scalar, atunci:



(4.58)
În cazul în care produsul vectorial este nul, cei doi vectori sunt coliniari.

(4.59)
Vectorul de poziţie al punctului curent P, de pe axa centrală este:

(4.60)
Dacă notăm
, rezultă:

(4.61)
Relaţia (4.61) este ecuaţia vectorială a axei centrale, reprezentată în fig. 4.12, şi care este o dreaptă paralelă cu direcţia comună a sistemului de forţe dată de versorul
care trece printr-un punct fix C. Acest punct poartă denumirea de centrul forţelor paralele.
Vectorul de poziţie al centrului forţelor paralele este:

(4.52)
Coordonatele centrului forţelor paralele C sunt:

(4.63)

Proprietăţile centrului forţelor paralele
În cazul în care toate forţele componente sunt rotite în acelaşi sens şi cu acelaşi unghi, atunci i axa centrală se va roti în acelaşi sens şi cu acelaşi unghi. Datorită faptului că vectorul
nu depinde de versorul direcţiei comune, rezultă că axa va trece întotdeauna prin punctul C.
În cazul în care toate forţele sunt multiplicate sau împărţite cu acelaşi raport k, poziţia centrului forţelor paralele nu se schimbă.
Înlocuind forţele
cu
obţinem:

Datorită faptului că Centrul forţelor paralele este o caracteristică esenţială a sistemului de forţe, acesta nu depinde de sistemul de referinţă.
Fie noua origine a sistemului, O’ şi
. Vectorii de poziţie ai punctelor de aplicaţie ale forţelor în raport cu noua origine pot fi scrişi sub forma:
. În acest caz, vectorul de poziţie al centrului forţelor paralele raportat la noul sistem va deveni:


Cu alte cuvinte, chiar dacă vectorul de poziţie al centrului forţelor paralele s-a modificat la fel ca pentru oricare punct Ai. poziţia centrului C faţă de punctele Ai nu rămâne neschimbată.
Vectorii forţă sunt vectori legaţi. Din cauză că centrul forţelor paralele are o existenţă intrinsecă, rezultă că poziţia acestuia este în funcţie de poziţia punctelor de aplicaţie şi scalării forţelor. În cazul în care se consideră că forţele sunt vectori alunecători, atunci punctul C nu mai are semnificaţie.

4.2.4. Reducerea forţelor paralele distribuite
Forţele paralele, perpendiculare pe segmentul de dreaptă AB, situat pe axa Ax, de lungime l, sunt distribuite după o lege de variaţie, p = p(x) (fig.4.13). Se urmăreşte determinarea rezultantei,
şi poziţia centrului forţelor paralele, xC.
Notăm prin p(x), forţa pe unitatea de lungime la distanţa x, de capătul A, măsurată în N/m. Mărimea rezultantei
se obţine prin integrarea pe lungimea x, a forţei elementare, dR, creată de forţa distribuită p(x) considerată constantă pe elementul infinitezimal dx.

(4.64)
/
Fig. 4.13. Forţe paralele

Expresia poziţiei centrului forţelor paralele distribuite pe C se defineşte prin abscisa, xC, adică:

(4.65)
Suportul rezultantei R trece prin centrul C de greutate al suprafeţei, mărimea acesteia fiind de fapt aria câmpului de distribuţie al forţei.
Ţinând cont de legea variaţiei forţelor distribuite, se pot lua în considerare cazurile de mai jos:
Forţă distribuită uniform, caz în care forţa este constant distribuită pe lungimea barei (fig. 4.14), iar legea de variaţie este:
p(x) = p = ct. (4.66)

(4.67)
/
Fig. 4.14. Forţă uniform distribuită


(4.68)

Sarcină uniform distribuită înseamnă că este echivalentă cu sarcină concentrată R = pl aplicată la mijlocul porţiunii încărcate.
Forţă distribuită triunghiular. În acest caz, valoarea maximă a forţei distribuite este p (fig.4.15), iar legea de variaţie pe lungimea barei este:

(4.69)

(4.70)
/
Fig. 4.15. Forţădistribuită triunghiular


(4.71)

Sarcina distribuită triunghiular este echivalentă cu forţă de mărime
, aplicată la distanţa
, de capătul A.

Forţă distribuită parabolic. În acest caz, valoarea maximă a forţei distribuite este p (fig. 4.16), iar legea de variaţie pe lungimea barei este:

(4.72)

(4.73)
/
Fig. 4.16. Forţă distribuită parabolic



(4.74)

Sarcina distribuită parabolic este echivalentă cu sarcina concentrată de mărime,
, aplicată la o distanţă
, de capătul A.
4.3. Probleme rezolvate
Problema 4.3.1
/
Fig. 4.17.

Se consideră un cub rigid de muchie a, asupra căruia acţionează forţele
,
,
şi
de module
,
ca în figura 4.17. Să se reducă sistemul de forţe în O şi să se reprezinte torsorul. Să se determine momentul minim şi să se arate cu ce este echivalent sistemul de forţe; să se scrie ecuaţiile ariei centrale; să se calculeze torsorul într-un punct oarecare al axei centrale.
Rezolvare
Proiecţiile pe axe ale forţelor şi momentelor în raport cu axele de coordonate sunt date într-un tabel de forma:

Fix
Fiy
Fiz
Mox
Moy
Moz

F1
0
0
P
0
0
0

F2
-P
0
P
0
-aP
0

F3
0
0
P
Pa
-Pa
0

F4
P
0
P
Pa
0
-Pa



0
0
4P
2Pa
-2Pa
-Pa



























În acest caz putem vorbi de echivalenţă pe axa centrală. Pe axa centrală vom avea:




torsorul minimal pe axa centrală:




Torsorul minimal este format din
care este un invariant al sistemului şi
.


Ecuaţiile axei centrale:

,
unde M0x, Moy, Moz sunt proiecţiile momentelor pe axe,
,
,
reprezintă proiecţiile rezultantei pe axe şi x, y, z sunt coordonatele unui punct mobil care descriu axa centrală.



;

/
Fig. 4.18.

Problema 4.3.2
Se consideră un cub rigid de muchie a, asupra căruia acţionează un sistem de forţe, pentru care se cunosc modulul forţelor
;
;
. (figura 4.18).

Se cere să se determine torsorul de reducere în punctul O, să se arate cu ce este echivalent sistemul dat pe axa centrală şi să se determine ecuaţiile axei centrale.

Rezolvare
Proiecţiile pe axe ale forţelor şi momentelor în raport cu axele de coordonate, sunt reprezentate într-un tabel de forma:

Fix
Fiy
Fiz
M0x
Moy
Moz

F1
2P
0
0
0
2Pa
-2Pa

F2
-P
-P
P
Pa
-Pa
0

M1
0
0
0
Pa
0
-Pa



P
-P
P
2Pa
Pa
-3Pa



Torsorul este format dintr-o rezultantă şi un moment.
Dacă
, rezultă că pe axa centrală vom avea numai rezultantă (avem forţă unică).
Dacă
, rezultă că pe axa centrală vom avea torsorul minimal, şi anume:




cum
, rezultă că pe axa centrală avem torsor minimal.
Torsorul minimal este format din
şi
:


Ecuaţiile axei centrale:

,
unde M0x, Moy, Moz sunt proiecţiile momentelor pe axe,
,
,
reprezintă proiecţiile rezultantei pe axe şi x, y, z sunt coordonatele unui punct mobil care descriu axa centrală.








/
Fig. 4. 19

Problema 4.3.3
Se dă un cub rigid de muchie l, acţionat de sistemul de forţe paralele din figura 4.19. Modulele forţelor sunt:
;

Se cere să se determine: a) torsorul de reducere în O; b) suportul rezultantei; c) considerând sistemul de forţe ca vectori legaţi cu originile în punctele indicate pe figură, să se determine centrul forţelor paralele.

Rezolvare
a) Componentele torsorului de reducere în O sunt date de tabelul următor:

Zi
Mix
Miy

F1
-P
0
Pl

F2
-P
-Pl
0

F3
2P
2Pl
-Pl

F4
2P
Pl
-Pl

F5
2P
0
-Pl



4P
2Pl
-2Pl

Torsosrul în O are componentele:

b) Suportul rezultantei se poate obţine cu formula generală a axei centrale sau cu teorema lui Varignon. Expresia ei este:


De aici, ecuaţiile axei centrale se pot pune sub forma:
;
.
c) Centrul forţelor paralele are următoarele coordonate, date de expresiile:

;
;

Problema 4.3.4
/
Fig. 4.20.

Se consideră un paralelipiped (figura 4.20) avand dimensiunile
;
;
asupra căruia acţionează forţele
,
,
şi
de module
;
si 2 doua cupluri de forte de module
;
.
Să se reducă sistemul de forţe în O şi E. Să se determine momentul minim şi să se arate cu ce este echivalent sistemul de forţe; să se scrie ecuaţiile ariei centrale.

Rezolvare:


Fix
Fiy
Fiz
Mx
Mz
Mz

F1
10P
0
0
0
0
0

F2
0
6P
-8P
-24Pa
0
0

F3
-10P
-6P
8P
24Pa
-40Pa
0

M1
-
-
-
0
0
-Pa

M2
-
-
-
-2Pa
0
0



0
0
0
-2Pa
-40Pa
-Pa


















Cazul de reducere:

sistemul este echivalent cu un cuplu de forte.
Axa centrală nu are sens fizic, deoarece rezultanta sistemului de forţe este nulă.

Problema 4.3.5
/
Fig. 4.21.

Se consideră o pisma triunghiulara, avânt dimensiunile laturilor: OA=2a; OB=3a; OC=4a, asupra căruia acţionează un sistem de forţe, pentru care se cunosc modulul forţelor
;
;
;
. (figura 4.21).
Se cere să se determine torsorul de reducere în punctul O si punctul A, să se arate cu ce este echivalent sistemul dat pe axa centrală şi să se determine ecuaţiile axei centrale.

Rezolvare













Fix
Fiy
Fiz
Mx
Mz
Mz

F1
0
-3P
4P
12Pa
0
0

F2
2P
-3P
-4P
0
8Pa
-6Pa

F3
P
0
0
0
4Pa
0

M
-
-
-
0
0
6Pa



3P
-6P
0
12Pa
12Pa
0


;

Cazul de reducere: torsor minimal.

4.4. Probleme propuse
/
Fig. 4.22.

Problema 4.4.1
Pe un cub rigid de muchie a, (figura 4.22), acţionează un sistem de forţe, ale căror module sunt:
. Se cere sa se determine:
a) Torsorul în originea O;
b) Cu ce este echivalent sistemul de forţe şi cupluri;
c) Ecuaţiile axei centrale;

Problema 4.4.2
/
Fig. 4.23.

Piramida din figura 4.23, are baza un pătrat de latură a şi înălţimea de 3a, iar mărimile forţelor sunt:
;
. Se cer: cât este σ0, echivalenţa şi ecuaţia axei centrale.

/
Fig. 4. 24.

Problema 4.4.3
Se consideră sistemul de forţe aplicate paralelipipedului rigid din figura 4.24, unde:
;
, iar forţele sunt:
;
;
. Se cer:
a) Torsorul în originea O;
b) Cu ce este echivalent sistemul de forţe şi cupluri;
c) Ecuaţiile axei centrale;
d) Torsorul de reducere în punctele A1, B1, C1, O1.

Problema 4.4.4
/
Fig. 4. 25.

Se dă sistemul de forţe aplicate paralelipipedului rigid din figura 4.25, unde:
;
;
,
iar forţele sunt:
;
;
;
.
Se cer:
a) Torsorul în originea O;
b) Cu ce este echivalent sistemul de forţe şi cupluri;
c) Ecuaţiile axei centrale;
d) Torsorul de reducere în punctul A şi C.

4.5. Centre de greutate (centre de masă)
Se ştie că toate corpurile de pe suprafaţa Pământului sunt supuse forţei de atracţie a acestuia, adică asupra unui corp de masă m se exercită o forţă, proporţională cu masa corpului, numită greutate.

(4.75)
unde
, este acceleraţia pământului, formată de rezultanta dintre acceleraţia gravitaţională (adică a forţei gravitaţionale) şi acceleraţia de transport (rezultanta mişcării de rotaţie a Pământului).
Este cunoscut faptul că valoarea acceleraţiei terestre
variază în funcţie de latitudine şi altitudine, dar din cauză că aceste variaţii sunt mici, s-a convenit să fie neglijate. În consecință, în calcule se consideră că valoarea medie g = 9,81 m/s2.
De asemenea, datorită faptului că raportul dintre dimensiunea corpurilor folosite în general şi dimensiunea pământului este foarte mic, s-a convenit să se considere că greutăţile forţelor, a căror vector este îndreptat după verticala locului, sunt paralele. S-a ajuns astfel ca această problemă să reprezinte de fapt un caz particular de forţe paralele, prezentat mai jos.

4.5.1. Centrul de greutate al unui sistem de puncte materiale
Fie un sistem de puncte materiale Ai de mase mi şi vectori de poziţie
, (i = 1, 2, …,n), în raport cu originea O a sistemului de axe.
Greutatea sistemului este:

(4.76)
Greutatea va fi aplicată în centrul forţelor paralele de greutate,
(fig. 4.26), adică în centrul de greutate al sistemului.

/
Fig. 4. 26.
Vectorul de poziţie al centrului de greutate C, conform relaţiei (4.52) este:

(4.77)
Dacă se înlocuieşte relaţia (4.76) în (4.77), se obţine:

(4.78)
Aceasta este demonstraţia faptului că centrul de greutate C este un element geometric, care depinde de modul de distribuire a maselor din punctele Ai, justificându-se deci denumirea de centrul de masă.
Proiecţiile pe axe ale vectorului
sunt coordonatele centrului de masă:

(4.79)
Expresiile
,
,
se numesc momente statice ale sistemului faţă de planele
,
şi
, iar expresia
reprezintă momentul static al sistemului faţă de punctul O.
Cu ajutorul acestor mărimi se poate caracteriza felul în care este distribuită masa unui sistem de puncte materiale.
Din relaţiile (4.78) şi (4.79) rezultă că:

;
;
;
(4.80)
Aceasta este teorema momentului static, adică momentul static al unui sistem de puncte materiale în raport cu un punct este egal cu masa sistemului înmulţită cu vectorul de poziţie al centrului de greutate în raport cu acel punct. Altfel spus, momentul static al unui sistem de puncte materiale în raport cu un plan de referinţă este egal cu masa sistemului înmulţită cu distanţa de la centrul său de greutate la acel plan.

4.5.2. Centrul de greutate al corpurilor
S-a convenit ca în mecanică să se admită că toate corpurile rigide sunt dintr-un material nedeformabil, adică fiecare punct al corpului, considerat la scară macroscopică, are masă, distanţele dintre aceste puncte rămânând aceleaşi oricare ar fi efortul care acţionează asupra corpului.
Pentru a stabili o legătură cu rezultatele obţinute în cazul sistemelor de n puncte materiale, se consideră corpul divizat în volume elementare
, care au masa
. Vectorul de poziţie al centrului de greutate, conform relaţiei (4.78) este:

(4.81)
Trecând la limită, când
şi
, atunci sumele din relaţia (4.81) devin integrale definite pe domeniul ocupat de corp. Acest domeniu se notează cu (D) în cazul general, iar în cazul barelor, plăcilor şi al blocurilor, respectiv cu (l ), (S) şi (V). Astfel se obţin:

;
;
;
(4.82)
În relaţia (4.83)
,
,
,
sunt vectori de poziţie, adică sunt coordonate ale centrului de greutate al elementului de masă dm considerat.
Expresiile
,
,
reprezintă momentele statice ale corpurile în raport cu planele axelor Oyz, Oxz, Oxy, iar
reprezintă momentul static în raport cu punctul O.
Din relaţiile (4.82) se deduce teorema momentului static în cazul corpurilor, şi anume:

;
;
;
(4.83)
Relaţia (4.83) se poate enunţa identic ca în cazul sistemelor de puncte materiale.
În vederea studiului centrului de greutate al corpului, este necesară introducerea noţiunii de densitate medie (altfel spus masă volumică medie), definită conform relaţiei:

(4.84)
Trecând la limită, când
se obţine densitatea (masa volumică):

(4.84)
În mecanică, corpurile se împart în bare (linii materiale), plăci (suprafeţe materiale) şi blocuri (volume materiale).
Ele se definesc conform tabelului de mai jos:

Corp
Densitate
Densitate medie

Bare





Plăci





Blocuri
/



Dacă corpurile sunt omogene şi izotrope, se consideră că densitatea este constantă, altfel spus
.
Dacă corpurilor sunt neomogene, atunci densitatea variază:

(4.85)
Analizând relaţiile (4.82) până la (4.85) se obţine:
pentru bare omogene

, (4.86)
respectiv:

,
,
; (4.87)
pentru plăci omogene:

, (4.88)
respectiv:

,
,
; (4.89)
pentru blocuri omogene

, (4.90)
respectiv:

,
,
; (4.91)
Se deduce din relaţiile (4.86) până la (4.91) faptul că, pentru corpurile omogene, centrul de greutate are un caracter geometric, în vreme ce pentru corpurile neomogene, se poate scrie:

(4.92)
respectiv:

,
,
(4.93)
Principalele proprietăţi ale centrului de greutate sunt:
ca şi în cazul centrului forţelor paralele, poziţia centrului de greutate nu depinde de sistemul de axe ales, reprezentând deci un punct intrinsec al sistemului.
în cazul în care corpul admite un plan de simetrie (geometric şi masic), centrul de greutate se află în acest plan.

4.5.3. Teoremele Pappus – Guldin
Teorema 1. Aria suprafeţei generată prin rotirea completă a arcului de curbă în jurul unei axe din planul său, pe care nu o intersectează, este egală cu produsul dintre lungimea arcului de curbă şi lungimea cercului descris de centrul de greutate al curbei.
Elementul de arc MM’ = dl generează prin rotaţie, o suprafaţă conică având generatoarea dl şi raza medie y (fig.4.27, a).

(4.94)
Prin integrare rezultă aria:

(4.95)
întrucât, conform teoremei momentelor statice,

(4.96)
Teorema 2. Volumul generat prin rotirea completă a suprafeţei în jurul unei axe din planul său, pe care nu o intersectează, este egal cu produsul dintre aria suprafeţei respective şi lungimea cercului descris de centrul de greutate al suprafeţei.
Volumul elementar dV care rezultă prin rotirea completă a elementului de suprafaţă dA poate fi considerat ca diferenţa volumelor a doi cilindri elementari de înălţime dx şi raze (y+dy), respectiv y (fig.4.27, b).

(4.97)
În relaţia (4.97), termenul
are în produs un infinit mic, de ordin superior.

Volumul total este:

(4.98)
întrucât, conform teoremei momentelor statice,

(4.99)
/
Fig. 4.27. Teoremele Pappus – Guldin
4.6. Centre de masă pentru corpuri uzuale
/
Fig. 4. 28.


1. Arc de cerc
Fie arcul de rază R definit la centrul cercului de unghiul 2α, (fig.4.28).

,

Distanţa pe bisectoare de la centrul cercului la centrul de masă este:

(4.100)
/
Fig. 4. 29

2. Sector de cerc
Fie sectorul de cerc de rază R, delimitat la centru de unghiul 2α, (fig.4.29)


unde:
; dA – element de arie.
Distanţa, pe direcţia bisectoarei, de la centrul cercului până la centrul de masă se află în funcţie de jumătate din unghiul la centru:

. (4.101)
3. Con
/
Fig. 4.30.

Fie un con circular drept, omogen, de înălţimea h (fig. 4.30). La o distanţă considerată z de vârf se construieşte un element de volum definit de 2 secţiuni paralele cu baza la distanţa dz între ele, şi care poate fi aproximat cu un cilindru de rază r. Centrul de masă se află pe axa Oz, care este şi axă de simetrie. Se ţine cont de proporţionalitatea
de unde
şi deci
.
Cota
a centrului maselor este:

. (4.102)
Centrul maselor unui con se află pe axa lui de simetrie la o distanţă de
de vârf şi
de bază.
4. Semisfera
/
Fig. 4. 31

Fie un element de volum între două secţiuni paralele cu baza la distanţa dz şi înălţime z, (fig. 4.31). Acesta poate fi aproximat cu un cilindru de volum
, unde r se exprimă în funcţie de R ,
.
Centrul de masă se află pe axa de simetrie (axa Oz).

. (4.103)
Rezultă
de bază.
4.7. Probleme rezolvate

Problema 4.7.1
Să se determine poziţia centrului maselor pentru sistemul de bare din figura 4.5.1
Rezolvare:
Se împarte sistemul de bare omogene din figura 4.32 în domenii simplu conexe.
/
Fig. 4.32.
/
Fig. 4.32.a.


Pentru domeniul simplu conex BC (vezi fig.4.32.a) se calculează poziţia centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.

.
Corp
li
xi
yi
lixi
liyi

/


0


0
2l2

C
D

4l
3l
0
12l2
0

E

D
2l
5l
l
10l2

5l2





-
-
22l2
7l2


Se calculează centrul maselor cu formulele:

,
.

/
Fig. 4. 33

Problema 4.7.2
Să se determine poziţia centrului maselor pentru sistemul de bare din figura 4.33.
Rezolvare:
Se împarte sistemul de bare omogene din figura 4.33 în domenii simplu conexe.
Se calculează centrul maselor cu formulele:

,
.

Corp
li
xi
yi
lixi
liyi

A


B














4l

3l
0
12l2
0




3l
5l











_
_






,
.

Problema 4.7.3
Să se determine poziţia centrului maselor pentru sistemul de bare din figura 4.34
Rezolvare:
Se împarte sistemul de bare omogene din figura 4.34 în domenii simplu conexe.
Se calculează centrul maselor cu formulele:

,
.
/
Fig. 4.34.
/
Fig. 4.34.a.


Pentru domeniul simplu conex AC (vezi fig.4.34.a) se calculează poziţia centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.

.
Corp
li
xi
yi
lixi
liyi

A

 C











B
C

a


a





C

D
a
a







D


E















-
-







,

.

Problema 4.7.4
Să se determine poziţia centrului maselor pentru sistemul de bare din figura 4.35
Rezolvare:
Se împarte sistemul de bare omogene din figura 4.35 în domenii simplu conexe.
/
Fig. 4.35
/

Fig. 4.35.a.

Pentru domeniul simplu conex BC (vezi fig.4.35.a) se calculează poziţia centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.

.
Corp
li
xi
yi
lixi
liyi

B


A
















 /







-l2
l2

C
D


l




l




l2

D

E

l

l




l2










–

–






Se calculează centrul maselor cu formulele:

,
.

Problema 4.7.5
Să se determine poziţia centrului maselor pentru sistemul de bare din figura 4.36
Rezolvare:
Se împarte sistemul de bare omogene din figura 4.36 în domenii simplu conexe.
Pentru domeniul simplu conex CD (vezi fig.4.36.a) se calculează poziţia centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.

.
/
Fig. 4. 36
/
Fig. 4.36.a.

Corp
li
xi
yi
zi
lixi
liyi
lizi

/

3a

1,5a

4a

0







0

C
B


4a

3a

2a

0







0

 /






0






0




D



5a


0

2a

1,5a

0










-
-
-




16,5a2


Se calculează centrul maselor cu formulele:

,
,

.

Problema 4.7.6
Să se determine poziţia centrului maselor pentru sistemul de bare din figura 4.37.


Fig. 4.37.
/

Fig. 4.37.a.

Rezolvare:
Se împarte sistemul de bare omogene din figura 4.37 în domenii simplu conexe.
Pentru domeniul simplu conex OC (vezi fig.4.37.a) se calculează poziţia centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.

.
Corp
li
xi
yi
zi
lixi
liyi
lizi

A

B

l

l

0




l2

0

/

/
l


0
0


0
0

 /


0
l


0





C
D


2l

0

3l

0

0

6l2

0








–

–

–









Se calculează centrul maselor cu formulele:

,
,

.

Problema 4.7.7
Pentru placa omogenă din figura 4.38 se cere să se determine poziţia centrului maselor. Dimensiunile plăcilor şi poziţia axelor sunt indicate pe desen.
/
Fig. 4.38.
/
Fig. 4.38.a.


Rezolvare:
Se împarte sistemul de corpuri omogene din figura 4.38 în domenii simplu conexe.

Nr.
Corp
Ai
xi
yi
Aixi
Aiyi

1.















2.














3.




0



0








_

_




0

Pentru domeniul simplu conex 3 (vezi fig.4.38.a) se calculează poziţia centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.

.
Se calculează centrul maselor cu formulele:

,
.

Problema 4.7.8
Pentru placa omogenă din figura 4.39 se cere să se determine poziţia centrului maselor. Dimensiunile plăcilor şi poziţia axelor sunt indicate pe desen.
/
Fig. 4.39.
/
Fig. 4.39.a.

Rezolvare:
Se împarte sistemul de corpuri omogene din figura 4.39 în domenii simplu conexe.
Se calculează centrul maselor cu formulele:

,
.

Pentru domeniul simplu conex 2 (vezi fig.4.39.a) se calculează poziţia centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.

.
Nr.
Corp
Ai
xi
yi
Aixi
Aiyi

1.


9l2










2.
/








/

3.
/

3l2


l
11l3
3l3




/

–

–







,
.

Problema 4.7.9
Pentru placa omogenă din figura 4.40 se cere să se determine poziţia centrului maselor. Dimensiunile plăcilor şi poziţia axelor sunt indicate pe desen.


Fig. 4.40.
/
Fig. 4.41.


Rezolvare:
Se împarte sistemul de corpuri omogene din figura 4.41 în domenii simplu conexe.
Pentru domeniul simplu conex 3 (vezi fig.4.41.a) se calculează poziţia centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.

.

Nr.
Corp
Ai
xi
yi
zi
Aixi
Aiyi
Aizi

1.
/
6l2
l
0




0




2.
/




0

l

l



0




3.

/







0

9l3

9l3

0






_
_
_



9l3



Se calculează centrul maselor cu formulele:

,
,


Fig. 4. 42


.

Problema 4.7.10
Pentru corpul omogen din figura 4.42 se cere să se determine poziţia centrului maselor. Dimensiunile plăcilor şi poziţia axelor sunt indicate pe desen.
Rezolvare:
Se împarte corpul omogen din figura 4.42 în domenii simplu conexe.
Corpul are axă de simetrie Oz, coordonatele pe Ox şi pe Oy ale centrului maselor sunt nule.

.
Pentru con centrul de masă se găseşte la
din înălţime.

,
,
.
Pentru semisferă centrul de masă se găseşte la
din rază.

.
Nr.
Corp
Vi
zi
Vizi


1.

/








2.

/


R




3.

/












_



/
Fig. 4. 43

Se calculează centrul maselor cu formula:
.
Problema 4.7.11
Pentru corpul omogen din figura 4.43 se cere să se determine poziţia centrului maselor. Dimensiunile plăcilor şi poziţia axelor sunt indicate pe desen.

Rezolvare:
Se împarte corpul omogen din figura 4.43 în domenii simplu conexe.
Corpul are axă de simetrie Oz, coordonatele pe Ox şi pe Oy ale centrului maselor sunt nule.

.
Pentru con centrul de masă se găseşte la
din înălţime.

,
.

Nr.
Corp
Vi
zi
Vizi


1.

/








2.

/




2R











_



Se calculează centrul maselor cu formula:
.
/
Fig. 4. 44

Problema 4.7.12
Se dă placa omogenă din figura 4.44. Dimensiunile plăcilor şi poziţia axelor fiind indicate pe desen. Se cere să se calculeze distanţa l astfel încât centrul maselor să se găsească pe axa Oy.
Rezolvare:
Se împarte placa omogenă din figura 4.44 în domenii simplu conexe.

Nr.
Corp
Ai
xi
Aixi


1.

/

4a2

-a

-4a3

2.
/

al











_




Se calculează:

.
Pentru ca centrul de masă să se afle pe axa Oy trebuie ca
să fie zero.

.
Rezultă:

,

Se consideră ca soluţie acceptată valoarea pozitivă a lui l.

Problema 4.7.13
Să se determine volumul suprafeţei obţinută prin rotirea plăcilor omogene din figura 4.45 în jurul axei Ox.
Rezolvare:
Se împarte placa omogenă din figura 4.45 în domenii simplu conexe.
Pentru domeniul simplu conex 3 (vezi fig.4.45.a) se calculează poziţia centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.

.
/
Fig. 4. 45
/
Fig. 4.45.a.



Nr.
Corp
Ai
yi
Aiyi


1.




l2






2.










3.
















_




Se calculează volumul suprafeţei obţinută prin rotirea plăcii omogene cu formula:

.
4.8. Probleme propuse
Problema 4.8.1
Să se determine poziţia centrului maselor pentru sistemul de bare din figura 4.46
/
Fig. 4. 46

Rezolvare:
Se calculează centrul maselor cu formulele:

,
.

Problema 4.8.2
Să se determine poziţia centrului maselor pentru sistemul de bare omogene din figura 4.47
/
Fig. 4. 47


Rezolvare:

,

,

.

Problema 4.8.3
/
Fig. 4. 48

Pentru placa omogenă din figura 4.48 se cere să se determine poziţia centrului maselor. Dimensiunile plăcilor şi poziţia axelor sunt indicate pe desen.
Rezolvare:

Problema 4.8.4
Pentru placa omogenă din figura 4.49 se cere să se determine poziţia centrului maselor. Dimensiunile plăcilor şi poziţia axelor sunt indicate pe desen.


Fig. 4. 49


Rezolvare:

Se calculează centrul maselor cu formulele:

,

,

.

Problema 4.8.5
Se dă placa omogenă din figura 4.50. Dimensiunile plăcilor şi poziţia axelor fiind indicate pe desen. Se cere să se calculeze distanţa l astfel încât centrul maselor să se găsească pe axa Oy.
/
Fig. 4. 50

Rezolvare:
Se calculează centrul maselor cu formulele



Pentru ca centrul de masă să se afle pe axa Oy trebuie ca
să fie zero.
.
Rezultă:


Se consideră ca soluţie acceptată valoarea pozitivă a lui l.

Problema 4.8.6
Să se determine aria suprafeţei obţinută prin rotirea barelor omogene din figura 4.51 în jurul axei Ox.
/
Fig. 4. 51



Rezolvare:

.

Problema 4.8.7
Să se determine volumul suprafeţei obţinută prin rotirea plăcilor omogene din figura 4.52 în jurul axei Oy.
/
Fig. 4. 52


Rezolvare:

.

V. Echilibrul rigidului

5.1. Echilibrul rigidului liber
Rigidul liber este un corpul care poate ocupa orice poziţie în spaţiu. Poziţia rigidului liber depinde numai de sistemul de forţe care acţionează asupra lui.
Condiţia necesară şi suficientă pentru ca un rigid liber să fie în echilibru este ca torsorul sistemului de forţe care acţionează asupra acestuia să fie nul în orice punct. Uzual, torsorul se determină alegându-se ca punct de calcul originea O a sistemului de axe respectiv.

(5.1)
Dacă se consideră că:

(5.2)
Atunci condiţiile din relaţia (5.1) sunt:

(5.3)
Pentru un rigid asupra căruia acţionează un sistem de forţe spaţial (rigid în spaţiu), ecuaţiile scalare de echilibru sunt:


(5.4)
Pentru un rigid asupra căruia acţionează de un sistem de forţe coplanar (rigid în plan), ecuaţiile scalare de echilibru sunt:

(5.5)
În problemele referitoare la echilibrului unui rigid liber există două cerinţe:
Fie se cunosc forţele care acţionează asupra rigidului şi trebuie aflată poziţia de echilibru;
Fie se cunoaşte poziţia de echilibru şi trebuie aflate forţele care acţionează asupra rigidului.
În general, ambele tipuri de cerinţe se pot rezolva dacă sunt implicaţi cel mult şase termeni scalari necunoscuţi pentru rigidul asupra căruia acţionează un sistem de forţe spaţial, şi cel mult trei termeni scalari necunoscuţi pentru rigidul asupra căruia acţionează un sistem de forţe coplanar.
Pentru problemele în care se cunosc forţele, poziţia de echilibru, se determină datorită faptului că ea are şase termeni scalari independenţi pentru rigidul asupra căruia acţionează un sistem de forţe spaţial şi trei termeni scalari independenţi pentru rigidul în plan. Parametrii scalari independenţi poartă denumirea de grade de libertate.
Pentru a se putea stabili poziţia unui rigid în spaţiu trebuie să fie cunoscute coordonatele a trei puncte necoliniare:

.
Se observă că cele trei coordonate se află în dependenţă una faţă de cealaltă, pentru că distanţele d1, d2, d3, dintre puncte rămân constante (considerându-se, aşa cum am mai spus, că rigidul este nedeformabil).
În consecinţă se pot deduce relaţiile:

(5.6)
Datorită faptului că între cei nouă parametri scalari, x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3, se pot scrise trei relaţii (5.6), înseamnă că doar şase sunt independenţi. Prin urmare, poziţia unui rigid liber în spaţiu este determinată de cei şase parametri independenţi. S-a demonstrat astfel că: Rigidul liber în spaţiu are şase grade de libertate.
Din punct de vedere practic, numărul gradelor de libertate este dat de numărul deplasărilor (translaţii şi rotaţii) independente în raport cu axele de coordonate.
Dar numărul gradelor de libertate pentru un rigid liber în spaţiu poate fi aflat şi de alţi şase parametri scalari independenţi (fig. 5.1):
/
Figura 5.1. Numărul gradelor de libertate pentru un rigid liber în spaţiu

coordonatele xO, yO, zO ale originii O (aferentă sistemului de axe Oxyz), solidar cu rigidul, în raport cu triedrul fix O1 x1 y1 z1;
unghiurile Euler:
( – unghiul de precesie (unghiul dintre axa Ox’, paralelă cu axa O1 x1 şi linia nodurilor ON – intersecţie a planelor Ox’y’ şi Oxy);
( – unghiul de rotaţie proprie (unghiul dintre linia nodurilor ON şi axa Ox);
( – unghiul de nutaţie (unghiul dintre axa Oz’, paralelă cu O1 z1 şi axa Oz).
Pentru rigidului în plan (se consideră că planul Oxy) este necesar să se cunoască poziţia a două puncte A1(x1, y1) şi A2(x2, y2). Dacă se consideră că distanţa d, dintre cele două puncte este constantă, rezultă:

(5.7)
Aşadar, se poate constata că dintre cei patru parametri scalari, x1, y1, x2, y2, necesari pentru definirea poziţiei unui rigid în plan, doar trei sunt independenţi. Prin urmare, Rigidul liber în plan are trei grade de libertate.
Problemele în care se cunoaşte poziţia de echilibru şi trebuie aflate forţele care acţionează asupra rigidului (b) se pot rezolva dacă numărul necunoscutelor scalare, necesare pentru determinarea forţelor este de cel mult şase, pentru rigidul în spaţiu, sau de cel mult trei, pentru rigidul în plan.

5.2 Echilibrul rigidului supus la legături fără frecare

5.2.1 Generalităţi
Rigidul supus la legături este acel corp căruia i se impune o restricţie geometrică. Pentru studiul echilibrului rigidului supus la legături se aplică axioma legăturilor, în baza căreia legătura este înlăturată şi înlocuită cu efectul mecanic al acesteia, forţe şi momente corespunzătoare.
Aplicând aceste operaţii, problema devine identică cu cea a unui rigid liber.
Un rigidul care este supus la legături este acţionat:
/
Figura 5.2. Rigid supus la legături

Fie de forţe şi momente exterioare, direct aplicate;
Fie de forţe şi momente de legătură.
Se consideră un corp (C), care are ca legături corpul C1 (fig. 5.2). Se studiază echilibrul corpului (C), constatându-se că torsorul de reducere în punctul teoretic de contact, O, al forțelor exterioare T0 este format de
şi
, pe când torsorul forţelor de legătură
este format din
şi
.

(5.8)
Condiţia de echilibru se exprimă cu ecuaţiile vectoriale (5.9), care în cazul general conduc la şase ecuaţii scalare de echilibru.

(5.9)

5.2.2. Legăturile rigidului
Legăturile unui rigid pot fi: reazemul simplu, articulaţia, încastrarea şi prinderea cu fir.
În momentul analizării legăturilor unui rigid trebuie urmărite atât aspectul geometric – care se referă la gradele de liberate care îi rămân rigidului după aplicarea legăturilor –, cât şi mecanic – care se referă la elementele mecanice care substituie legăturile. Prin urmare, pentru fiecare legătură se vor studia cele două aspectele legate de:
Aspectul geometric, cu accent pe indicarea posibilităţilor de mişcare independentă;
Aspectul mecanic, şi anume forţele şi momentele pe care le introduce legătura.
De cunoaşte că o forţă produce o mişcare de translaţie în lungul suportului ei, iar un cuplu produce o mişcare de rotaţie în jurul unei axe coliniare cu momentul său.
Legăturile în care sunt neglijate forţele de frecare – şi, în general, în probleme acestea sunt neglijate – poartă denumirea de legături fără frecare.
5.2.2.1. Reazem simplu
Legătura prin care un punct al rigidului este obligat să rămână permanent pe o suprafaţă dată se numeşte reazem simplu.
Din cauza rigidităţii corpurile rezemate nu se întrepătrund, deci din cele şase mişcări simple pe care le poate efectua un rigid liber, în cazul rezemării este suprimată translaţia după direcţia normală la planul tangent comun celor două corpuri în contact, numit plan de rezemare.
Un rigid rezemat are cinci grade de libertate. Dacă se consideră suprafaţa de rezemare planul Oxy, atunci cele cinci grade de libertate ale rigidului sunt: câte o rotire în jurul axelor Ox, Oy, Oz şi câte o translaţie în lungul axelor Ox, Oy, deoarece pe axa Oz translaţia este suprimată de legătură (fig. 5.3.a).
Analizând din punct de vedere geometric, reazemul reduce numărul gradelor de libertate cu o unitate.
Efectul mecanic al sistemului de forţe care acţionează asupra corpului (C) este de fapt torsorul acestora în punctul teoretic de contact O,
. Cele două elemente ale torsorului se descompun după:
normala comună celor două corpuri în punctul de rezemare On;
dreptele Ot1 şi Ot2, obţinute ca intersecţie dintre planul [P], tangent în punctul teoretic de contact cu planele definite de normala On şi vectorul
, respectiv On şi vectorul
(fig. 5.3.b).
/
Figura 5.3. Reazemul simplu
Rezultă:

(5.10)
Componenta
produce deplasarea corpului(C), pe direcţia normalei la legătură.
Componenta
produce deplasarea corpului (C) pe corpul legătură (C1), după direcţia Ot1, situată în planul tangent [P], numită alunecare.
Componenta
produce rotirea corpului (C) pe corpul legătură (C1), în jurul normalei comune celor două corpuri, On, numită pivotare.
Componenta
produce rotirea corpului (C) pe corpul legătură (C1), în jurul axei Ot2, situată în planul tangent [P], numită rostogolire.

Dintre deplasările posibile ale rigidului (C), legătura (C1) limitează doar deplasarea pe direcţia normală la legătură, datorită rigidităţii celor două corpuri, în sensul pătrunderii corpului (C), în corpul (C1), dacă legătura este unilaterală şi în ambele sensuri (de a pătrunde şi de a părăsi legătura) şi dacă legătura este bilaterală. Lipsa frecării dintre cele două corpuri creează posibilitatea efectuării celorlalte mişcări.
Asupra corpului (C) acţionează reazemul simplu, cu forţa de legătură normală pe suprafaţa de rezemare
, care poartă numele de reacţiune normală. Sensul reacţiunii normale
poate fi stabilit doar în cazul legăturii unilaterale, atunci când sensul este acela în care corpul poate părăsi legătura.
Torsorul în O al forţelor de legătură este format din reacţiunea normală,
.
Exprimată în ecuaţii vectoriale, condiţia de echilibru este:

(5.11)
Notarea simbolică a reazemul simplu se face printr-un triunghi cu latura perpendiculară pe reacțiunea normală şi cu un vârf în punctul de rezemare (fig. 5.3.c).
5.2.2.2. Articulaţia
O altă legătură a rigidului este articulaţia. Dacă rigidului i se fixează un punct se numeşte articulaţie sferică, iar dacă se fixează printr-o o axă, se numeşte articulaţie cilindrică.
Articulaţia sferică
Atunci când o extremitate a unui rigid (C) este o sferă care intră întro cavitate practicată în corpul de legătură tot în formă tot de sferă, se spune că rigidul respectiv este articulat sferic.
Poziţia rigidului cu un punct fix (fig.5.4.a) este determinată de trei parametri scalari, caz în care corpul are trei grade de libertate; rotaţiile corpului (C), în raport cu cele trei axe ale sistemului de coordonate, sau altfel spus unghiurile Euler:
( – unghi de precesie;
( – unghi de nutaţie;
( – unghi de rotaţie proprie.
Analizând din punct de vedere geometric, se observă că articulaţia sferică reduce numărul gradelor de libertate ale unui rigid cu trei unităţi, şi anume cu translaţiile corpului (C) în raport cu cele trei axe de coordonate.
/
Figura 5.4. Articulaţia sferică
În vederea studierii echilibrului rigidului, fie torsorul forţelor
direct aplicate în punctul O,. În acest caz, rezultanta forţelor exterioare,
are tendinţa de a imprima corpului (C), o deplasare, în raport cu corpul legătură (C1). Momentul rezultant
tinde să rotească corpul (C), în raport cu legătura (C1). Considerându-se că n articulaţia sferică nu sunt frecări, rezult că nu exista cupluri care să se opună acestei mişcări.
Conform principiului acţiunii şi al reacţiunii, efectul mecanic al articulaţiei sferice asupra rigidului (C) este o forţă
, care are mărime şi direcţie necunoscută (fig. 5.4.b). Din această cauză se lucrează cu proiecţiile forţei
pe direcţiile axelor sistemului de coordonate Oxyz: Rx, Ry, Rz..
Torsorul forţelor de legătură în punctul O este format de rezultanta forţelor de legătură,
, iar condiţia de echilibru este exprimată fie prin ecuaţiile vectoriale:

(5.12)
fie exprimată prin cele şase ecuaţii scalare de echilibru:

(5.13)
Articulaţia cilindrică
În cazul articulaţiei cilindrice spaţiale, extremitatea O, a corpului (C) este prevăzută cu un cilindru (fus), montat coaxial în interiorul unei cavităţi tot cilindrică (lagăr), practicată în corpul legătură (C1), în raport cu care se poate roti şi deplasa (fig. 5.5.a).
/
Figura 5.5. Articulaţia cilindrică spaţială
Se observă că există două mişcări posibile în raport cu axa articulaţiei Oz ale corpului (C) în raport cu legătura (C1), rotaţia şi translaţia. Acestea reprezintă cele două grade de libertate ale rigidului.
Din punct de vedere geometric, articulaţia cilindrică spaţială reduce numărul gradelor de libertate ale rigidului cu patru unităţi.
Din punct de vedere mecanic, observându-se că forţele de legătură care acţionează pe suprafaţa cilindrică întâlnesc axa articulaţiei, rezultă că, o articulaţie cilindrică poate fi înlocuită de obicei, cu o forţă
şi un cuplu de moment
, mărimi necunoscute şi situate într-un plan normal la axa articulaţiei Oz. De obicei se lucrează cu componentele pe axe ale celor două elemente ale torsorului forţelor de legătură (fig. 5.5.b):

(5.14)
Deoarece torsorul în punctul O al forţelor direct aplicate rigidului (C), exprimat în funcţie componente pe axele sistemului triortogonal Oxyz este:

(5.15)
condiţiile de echilibru pot fi exprimate sub formă vectorială cu ajutorul relaţiilor (5.9).
Dacă se proiectează ecuaţiile vectoriale (5.15) pe axele sistemului Oxyz, rezultă cele şase ecuaţii scalare de echilibru:


(5.16)
Pentru o funcţionare corectă a articulaţiei cilindrice, adică în vederea evitării unui blocaj al fusului în lagăr, în tehnică se iau măsuri şi în ceea ce priveşte punctul de vedere constructiv, şi în ceea ce priveşte solicitările rigidului, urmărindu-se ca momentul de legătură
să fie nul. Conform acestor condiţii, torsorul forţelor de legătură este constituit numai din rezultanta forţelor de legătură,
, caz în care ecuaţiile scalare de echilibru (5.16) devin:

(5.17)
În unele aplicaţii practice se poate întâlni şi cazul în care un rigid, care are o articulaţie cilindrică, este acţionat de un sistem de forţe situate într-un plan normal la axa de rotaţie (fig. 5.6.a). Este cazul rigidului în plan, când din cauză că translația în lungul axei nu este posibilă, singura posibilitate de mişcare rămâne rotaţia în raport cu axa articulaţiei, corpul având un singur grad de libertate.
///
a) b) c)
Figura 5.6. Articulaţia cilindrică plană
Articulaţia cilindrică plană este acea articulaţie care limitează deplasarea pe direcţia normală la axa articulaţiei, moment în care apar două necunoscute: mărimea şi direcţia reacţiunii
, dată de unghiul (, format cu o direcţie de referinţă.
În acest caz este de preferat lucrul cu componentele reacţiunii
pe două direcţii perpendiculare (orizontală şi verticală),
şi
(fig. 5.6.b), elementele torsorului forţelor direct aplicate şi al forţelor de legătură devenind:

;
(5.18)
Condiţiile vectoriale de echilibru ale rigidului în plan sunt:

(5.19)
Ecuaţiile vectoriale de echilibru proiectate pe axele sistemului Oxy, în care se află rigidul (5.19) devin:

(5.20)
Notarea simbolică se face printr-un triunghi cu un cerc în vârf, în care cele două reacţiuni,
şi
, converg (fig. 5.6.c).
5.2.2.3. Încastrarea
Legătura prin care un corp este fixat în alt corp de legătură în aşa fel încât să nu fie permisă nicio deplasare poartă numele de încastrare. În consecinţă, conform definiţiei, în cazul încastrării se suprimă toate gradele de libertate ale rigidului (C).
Pentru a se putea studia forţele şi momentele existente într-o încastrare, se ia în considerare forţele de legătură locale
, pe care legătura (C1) le exercită asupra rigidului (C), în regiunea în care acestea vin în contact (fig. 5.7.a).
//
a) b)
Figura 5.7. Încastrarea spațială
Torsorul în punctul O (de obicei, centrul de greutate al secţiunii transversale a corpului în dreptul încastrării) al forţelor direct aplicate, T0 şi torsorul forţelor de legătură, (O au expresiile:


(5.21)
Condiţia de echilibru este exprimată prin ecuaţiile vectoriale (5.9).
Datorită faptului că vectorii
şi
au mărimi, suporturi şi sensuri necunoscute, vor fi înlocuiţi prin componente după direcţii cunoscute.
Dacă forţele direct aplicate unui rigid încastrat formează un sistem de forţe spaţial, atunci încastrarea se numeşte spaţială. Dacă sistemul de forţe care acţionează asupra rigidului formează un sistem de forţe coplanar, atunci încastrarea este plană.
Din punct de vedere geometric, încastrarea spaţială reduce numărul gradelor de libertate cu şase unităţi.
La încastrarea spaţială, elementele torsorului în O, al forţelor de legătură
şi
sunt exprimate prin componentele pe cele trei axe ale sistemului Oxyz, care se opun celor şase posibilităţi de mişcare, fiind introduse şase necunoscute scalare: Rx, Ry, Rz, Mx, My, Mz (fig. 5.7.b).
Elementele torsorului în punctul O ale forţelor direct aplicate şi de legătură au expresiile:


(5.22)
Ecuaţiile scalare de echilibru ale rigidului încastrat spaţial devin:


(5.23)
/
Figura 5. 8. Încastrarea plană

 Analizând punct de vedere geometric, se observă că încastrarea plană reduce numărul gradelor de libertate cu trei unităţi.
Dacă se consideră planul forţelor planul Oxy, în încastrarea plană elementele torsorului în O, ale forţelor de legătură,
şi
sunt în funcţie de componentele pe axele sistemului Oxy, care se opun celor trei posibilităţi de mişcare. În consecinţă sunt introduse trei necunoscute scalare: H, V şi MO (fig. 5.8).
Elementele torsorului în punctul O, ale forţelor direct aplicate şi de legătură au expresiile:

(5.24)


Pentru rigidul încastrat în plan, ecuaţiile scalare de echilibru sunt:

(5.25)
5.2.2.4. Prinderea cu fir
/
Figura 5.9. Prinderea cu fir

Prinderea cu fir este o legătură deosebită, echivalentă cu o rezemare unilaterală a unui punct material, pe o sferă de rază egală cu lungimea firului.
Prinderea cu fir este atunci când forţa care acţionează asupra corpului este un fir, caz în care sensul forţei este înspre punctul de suspendare al firului, iar firul, care este legat de rigid, se întinde. (fig. 5.9).
Observaţii:
Suma dintre numărul reacţiunilor introduse de legătură şi numărul gradelor de libertate pe care le are rigidul în momentul în care legătura este aplicată, este egală cu şase – reprezentând numărul gradelor de libertate ale rigidului liber – în cazul rigidului asupra căruia acționează forţe spaţiale, şi trei, în cazul în care rigidul este acţionat de forţe coplanare.
Atunci când reacţiunea este negativă, rezultă că ea acţionează în sens contrar celui considerat.
Atunci când rigidul considerat în plan (pe Oxy), nu mai este necesar să se noteze sistemul de axe. La notarea ecuaţiilor scalare de echilibru, se va considera axa Ox, orizontală, cu sens pozitiv spre stânga, şi axa Oy, verticală, cu sens pozitiv în sus. Punctul O (originea sistemului de axe) va reprezenta punctul de referinţă pentru calcularea momentelor forţelor, care se vor considera pozitive atunci când sensul de rotaţie este antiorar.

5.2.3 Cazurile particulare de echilibru
5.2.3.1. Echilibrul rigidului rezemat pe un plan
Fie un rigid de formă oarecare, acţionat de sistemul de forţe
, rezemat în punctele A1, A2, … An, pe un plan fix Oxy, reazemele fiind unilaterale (fig. 5.10). Faţă de sistemul de axe ales, coordonatele punctelor de rezemare sunt: A1(x1, y1, 0), A2(x2, y2, 0), … An(xn, yn, 0).
/
Figura 5. 10. Rigid rezemat pe un plan, cu reazeme unilaterale

Torsorul în punctul O, pentru forţele direct aplicate este format din rezultanta
şi momentul
.

(5.26)
La eliberarea reazemelor (a corpului de legături) se ţine seama de forţele de legătură
, care sunt paralele cu Oz şi au sensul de orientare spre rigid, reprezentate de reacțiunile normale pe planul de rezemare.
În acest caz, ecuaţiile de echilibru sunt:


(5.27)
În aceste ecuaţii (5.27), condiţiile de echilibru sunt evidenţiate în prima, a doua şi în ultima ecuaţie, de unde se poate deduce, ca primă concluzie a condiţiilor de echilibru, că:
Sistemul de forţe direct aplicate rigidului trebuie să se reducă la o forţă unică, normală pe planul de sprijin.
După introducerea rezultatelor din ecuaţiile de echilibru (5.27) în expresia axei centrale, se observă că ecuaţia axei centrale reprezintă totodată şi coordonatele forţelor paralele
, aplicate în punctele A1, A2, … An, şi anume:

(5.28)
În vederea calculării reacţiunilor
se vor folosii ecuaţiile trei, patru şi cinci ale ecuaţiilor de echilibru (5.27).
În Statică se consideră că în cazul în care rigidul este rezemat pe mai mult de trei puncte, problema nu poate fi determinată. Dar, pentru rigidul care se reazemă în trei puncte (n = 3), ecuaţiile de echilibru sunt:

(5.29)
Determinantul sistemul (5.29) trebuie să fie diferit de zero. Numai în acest caz sistemul admite soluţii de determinare, care vor putea exprima condiţia de necoliniaritate a punctelor A1, A2 şi A3, considerate puncte de rezemare. Astfel, determinantul va fi:

(5.30)
Din ecuaţiile de echilibru (5.27) care au fost folosite pentru calculul reacţiunilor, şi din sistemul (5.29), luând în considerare că Ni > 0, xi > 0 şi yi > 0, se deduc condiţiile: Fz<0, Mx < 0, My > 0. Se poate deduce că:
Rezultanta forţelor direct aplicate care acţionează pe axa centrală este normală pe planul de sprijin şi orientată spre acest plan.
Această rezultantă a forţelor direct aplicate va intersecta planul de sprijin în interiorul unui poligonul de sustentaţie. Acest poligon este convex, are arie minimă şi conţine, fie în interiorul lui, fie pe laturi, toate punctele de rezemare, A1, A2, … An.
5.2.3.2. Echilibrul rigidului cu o axă fixă
/
Figura 5. 11. Echilibrul rigidului cu axa fixă

 Fie un rigid cu o axă fixă, definită de articulaţiile sferice O1 şi O2, cu O1O2 = h, acţionat de un sistem de forţe direct aplicate
(fig. 5.11).
Conform axiomei legăturilor se introduc reacţiunile
şi
, în O1 şi O2.

(5.31)
Se consideră Oz axă fixă, iar torsorul forţelor aplicate în punctul
format din rezultanta
şi momentul rezultant
.

(5.32)
Ecuaţiile scalare de echilibru, în raport cu axele sistemului Oxyz sunt:


(5.33)
Ultima ecuaţie din sistemul de ecuații scalare de echilibru (5.33) este de fapt condiţia de echilibru, deci: este necesar c a rezultanta forţelor exterioare direct aplicate să fie coplanară cu axa fixă.
Din primele cinci ecuaţii ale sistemului (5.33) se pot calcula reacţiunile:

(5.34)

Din punct de vedere static nu se pot afla separat reacţiunile R1z şi R2z, (problema este nedeterminată), deoarece există doar cinci ecuaţii şi şase reacţiuni. Constructiv poate fi ridicată nedeterminarea, dacă se consideră că articulaţia sferică O2 este de fapt o articulaţie cilindrică, caz în care:

(5.35)
5.2.3.3. Echilibrul rigidului cu un punct fix
/
Figura 5.12. Echilibrul rigidului cu un punct fix

Fie un rigid cu un punct fix realizat prin articulaţia sferică O, acţionat de un sistem de forţe direct aplicate
(fig. 5.12).
În momentul în care corpul este eliberat de singura sa legătură din O, atunci intervine reacţiunea
, adică efectul mecanic al legăturii,

(5.36)
Torsorul în punctul O al forţelor direct aplicate, este format din momentul rezultant
şi rezultanta
:

(5.37)

Ecuaţiile scalare de echilibru faţă de sistemul de axe cu originea în O, sunt:

(5.38)
Primele trei ecuaţii din sistemul (5.38) se folosesc la calculul reacţiunilor. Ultimele trei ecuaţii exprimă condiţia de echilibru, şi anume: rezultanta forţelor direct aplicate
trebuie să treacă prin punctul fix O.

5.3. Echilibrul rigidului supus la legături cu frecare
5.3.1. Generalităţi asupra fenomenului de frecare
/
Figura 5.13.

În paragraful de mai sus au fost prezentate legăturile fără frecare ale rigidului, stabilindu-se în acest sens că un rigid rezemat pe un alt rigid se va mişca atunci când
, adică rezultanta forţelor exterioare, are o componentă oricât de mică aflată în planul tangent ale celor două corpuri, în punctul comun de contact. Dar această situaţie nu există în realitate, deoarece, pentru mişca rigidul respectiv, este necesar ca
, să fie mai mare decât o anumită limită.
Din punct de vedere fizic, această explicaţie se poate explica prin faptul că corpurile sunt deformabile şi, în momentul în care intră în contact, nu va exista un punct de contact O, ci o suprafaţă, iar pe această suprafaţă forţele de legătură sunt distribuite într-un mod diferit, de la caz la caz. (fig. 5.13).
Pe de altă parte, suprafaţa de contact are asperităţi care se întrepătrund şi se deformează atunci când acționează asupra lor diferite forţe, intervenind şi forţele de adeziune care apar între moleculele corpurilor în contact.
Torsorul forţelor direct aplicate,
, în punctul teoretic de contact O, este:

(5.39)
Torsorul în punctul O, al forţelor de legătură
, aplicate în punctele Ai este:

(5.40)
Condiţia de echilibru este exprimată de ecuaţiile vectoriale (5.9).
În vederea studierii forţelor şi momentelor fiecărui element al torsorului, atât pentru forţele direct aplicate, cât şi pentru forţele de legătură, se descompune fiecare element în câte două componente: una dirijată după normala comună On şi alta cuprinsă în planul tangent [P], în punctul teoretic de contact O (fig. 5.14).



(5.41)
/
Figura 5.14

Forţa
are tendinţa să deplaseze corpul (C) în direcţia normală la suprafaţa de contact, dar este împiedicată de reacţiunea normală
.
Forţa
are tendinţa să deplaseze corpul (C) în planul tangent al suprafeţei de sprijin, deplasare care poartă numele de alunecare, dar este împiedicată de reacţiunea
adică de forţă de frecare de alunecare.
Cuplul de moment
are tendinţa de a roti corpul (C) în jurul normalei la suprafaţa de contact. Această tendinţă de rotaţie poartă numele de pivotare, dar i se opune cuplul de moment
denumit şi moment de frecare de pivotare.
Cuplul de moment
are tendinţa de a roti corpul (C) în jurul unei axe din planul tangent la suprafaţa de contact. Această tendinţă se numeşte rostogolire , şi i se opune cuplul de moment
denumit moment de frecare de rostogolire.
Ţinând cont de cele de mai sus, ecuaţiile vectoriale echilibrului corpului (C) în acest caz devin:


(5.42)
Plecând de la cazul general se pot studia cazurile simple mai importante.

5.3.2. Frecarea de alunecare
Fie un torsor al forţelor direct aplicate şi un torsor al forţelor de legătură care acţionează asupra corpului (C) într-un punctul teoretic de contact O, şi care au ca elemente numai forţa rezultantă.


(5.43)
/
Figura 5.15. Rigid în echilibru cu frecare


În cazul echilibrului cu frecare (fig. 5.15), reacţiunea
este înclinată faţă de normala On, pentru care în componenţa sa şi componenta normală
, şi o componentă în planul tangent
, care este egală şi de sens contrar componentei pe această direcţie a rezultantei forţelor direct aplicate,
.
Forţa
poartă denumirea de forţă de frecare de alunecare şi are punctul de aplicaţie teoretic de contact O,, direcţia conform tendinţei de mişcare şi sensul opus tendinţei de mişcare. Forţa de frecare de alunecare nu este o forţă preexistentă, ea producându-se doar atunci când corpul are tendinţa de alunecare.
Din cercetări experimentale întreprinse de Coulomb despre frecarea de alunecare, s-au putut deduce legile frecării.
Mărimea forţei de frecare maximă, corespunzătoare stării de echilibru limită, este proporțională cu mărimea reacţiunii normale, coeficientul de proporţionalitate
se numeşte coeficient de frecare de alunecare.
În primă aproximaţie, coeficientul de frecare de alunecare nu depinde de viteza de alunecare şi de mărimea reacţiunii normale; depinde de natura şi gradul de prelucrare al suprafeţelor în contact.
Starea de echilibru limită a corpului (C) este definită ca fiind starea mecanică ce se caracterizează prin faptul că forţele se echilibrează, mişcarea devenind astfel iminentă.
Forţa de frecare de alunecare are expresia:

(5.44)
Se consideră că forţa minimă de frecare se manifestă în momentul în care nu există o tendinţă de alunecare, iar forţa maximă de frecare se manifestă în momentul în care începe mişcarea.
Din figura 5.20 se poate deduce că:

(5.45)
Comparând relaţiile (5.44) şi (5.45) rezultă:

(5.46)
în care ( este unghiul de frecare.
În momentul rotirii complete în jurul normalei On a suportului reacţiunii
se realizează conul de frecare, a cărui axă este normala comună On, şi a cărui unghi la vârf este 2(.
Se consideră că corpul (C) este în echilibru atunci când reacţiunea
se află fie în interiorul conului de frecare, fie la limită, pe marginea acestuia.
În opinia lui Coulomb, originea forţelor de frecare se află în existenţa asperităţilor de la suprafaţa corpurilor care se întrepătrund atunci când două corpuri se află în contact. Dacă unul dintre corpuri îşi începe mişcarea asperităţile sunt strivite, iar forţa de frecare este tocmai forţa care se opune acestor striviri.
Observaţii
În conformitate cu legile lui Coulomb, dacă înălţimile asperităților se micşorează, forţa de frecare de alunecare se va micşora la rândul ei. Dar în realitate acest fapt este contrazis, deoarece forţa de frecare de alunecare creşte într-un moment dat din cauză că intervin alte fenomene, ca de exemplul forţele de adeziune intermoleculare, care în acest caz devin importante.
În momentul în care experiențe lui Columb au fost aprofundate, s-a constatat că coeficientului de frecare (, variază invers proporţional cu viteza (scade odată cu creşterea vitezei),
De exemplu, valoarea lui coeficient de aderenţă (0, (coeficientul de frecare pentru corpurile aflate în repaus), este mai mare decât coeficientul de frecare dinamic (, (coeficient de frecare pentru corpurile aflate în mişcare). Pentru exemplificare, se poate enumera:
Coeficientul de frecare oţel pe oţel; (0 = 0,25, ( = 0,1;;
Coeficientul de frecare stejar pe stejar: (0 = 0,55, ( = 0,35.

5.3.3. Frecarea de rostogolire
Fie cazul în care torsorul forţelor direct aplicate şi cel al forţelor de legătură care acţionează asupra corpului (C), în punctul teoretic de contact O (fig. 5.16) au expresiile:

/
(5.47)
/
Figura 5.16

Pentru realizarea echilibrului, este necesar ca:

(5.48)
Momentul
tinde să producă rostogolirea corpului (C) pe corpul (C1), dar i se opune momentul de frecare de rostogolire
. În practică, acest caz este întâlnit, spre exemplu, la roţile autovehiculelor, la bilele de rulmenţi etc.
Pentru studierea fenomenului de frecare de rostogolire al roţilor de autovehicule, se consideră o roată de rază R, acţionată de forţa de tracţiune
şi de greutatea
pe ax (fig. 5.17).
/
Figura 5.17. Studiul fenomenului de rostogolire
În figura 5.17a se presupune că contactul dintre roată şi planul orizontal este realizat într-un singur punct. Dacă se rămâne la ideea că acest contact este unul punctiform în O şi nu se introduc şi deformaţiile, neintroducându-se reacţiunea
şi forţa de frecare
, atunci ecuaţiile de echilibru sunt:

(5.49)
Din ultima ecuaţie a sistemului (5.49) se obţine că F = 0, dar acest rezultat este contrazis de experienţă prin faptul că se ştie că roata autovehiculului poate să rămână în repaus chiar dacă asupra ei se acţionează cu o forţă orizontală
, dacă valoare ei este mai mică decât o anumită limită.
În realitate, contactul dintre roată şi calea de rulare nu are loc într-un punct, ci printr-o suprafaţă denumită pată de contact, pe care sunt distribuite reacţiuni normale
şi tangenţiale
(fig. 5.17b), putându-se aproxima că atât suportul rezultantei
, cât şi al reacţiunilor
, trec prin punctul O.
Se constată şi că suportul rezultantei
a reacţiunilor normale
se află la o distanţa e de punctul teoretic de contact O, care se află în planul median al roţii. Această distanţă este determinată de faptul că zona de contact este asimetrică faţă de planul median, fiind mai mare în partea în care roata are tendinţa să se deplaseze (fig. 5.17c). Dacă roţile au pneuri, deplasarea suportului reacţiunii normale
faţă de planul median este influenţată şi de fenomenului de histerezis specific cauciucului (energia disipată prin comprimarea părţii anterioare este mai mare decât energia recuperată prin întinderea părţii posterioare a zonei deformate).
În cazul poziţiei de echilibru limită, distanţa maximă emax cu care se deplasează suportul reacţiunii normale
faţă de O este egală cu s (emax=s) şi poartă denumirea de coeficient de frecare de rostogolire.
Acest coeficient de frecare de rostogolire este influenţat atât de raza roţii, cât şi de felul materialelor care intră în contact, şi are dimensiunea unei lungimi. De exemplu, în cazul roţilor de tren (din oţel) în contact cu şina de cale ferată
, iar în cazul bilei de rulment pe inel,
.
Dacă forţele de legătură în punctul teoretic de contact O sunt reduse, se obţine situaţia din figura 5.17d, în care apar: reacţiunea normală
, forţa de frecare de alunecare
şi momentul de frecare de rostogolire
, care se opune ca sens tendinţei de rostogolire şi se calculează astfel:

(5.50)
Momentul minim de frecare de rostogolire este atunci când nu există tendinţă de rostogolire, iar momentul maxim se realizează atunci când începe rostogolirea.
În practică, este foarte importantă condiţia necesară pentru ca o roată să se deplaseze prin rostogolire fără alunecare (patinare), adică forţa de frecare de alunecare care se dezvoltă între roată şi calea de rulare să fie mai mică decât valoarea ei maximă,
. Fără existenţa forţei de aderenţă
, care este o mărime necunoscută, nu s-ar putea realiza rostogolirea roţii, datorită faptului că aceasta ar aluneca la cea mai mică valoare a forţei de tracţiune
.

Aplicaţii
1. Roata trasă. Se consideră roata unui vehicul, de rază r şi greutate la ax,
, având coeficienţii de frecare de alunecare ( şi de rostogolire s, trasă cu o forţă
, pe un plan înclinat de unghi ( (fig.5.18). Să se determine valoarea maximă a forţei de tracţiune
pentru echilibru.
/
Figura 5.18. Roata trasă

 Rezolvare. Izolând corpul se introduc forţele
,
şi momentul
, sensurile acestora fiind date de tendinţele de alunecare în sens ascendent şi rostogolire în sens orar.
Ecuaţiile de echilibru sunt:


Din primele trei relaţii deducem:


care introduse în cele două inegalităţi conduc la condiţiile de echilibru:


sau explicitând în funcţie de F:


Numai una din cele două condiţii este hotărâtoare pentru menţinerea echilibrului, şi anume, cea mai mică:
dacă
,
, roata se va pune în mişcare prin rostogolire când F depăşeşte această limită.
dacă
,
, roata se va pune în mişcare prin alunecare când F depăşeşte această limită.

2. Roata motoare. Se consideră roata unui vehicul, de rază r şi greutate la ax,
, având coeficienţii de frecare de alunecare ( şi de rostogolire s, acţionată cu o forţă de tracţiune
şi un cuplu motor
, pe un plan înclinat de unghi ( (fig. 5.19). Să se determine valorile maxime ale forţei de tracţiune
şi ale cuplului motor
pentru echilibru.
/
Figura 5.19. Roata motoare

Rezolvare. Sensurile forţei de frecare de alunecare
şi ale momentului de frecare de rostogolire
sunt date respectiv de forţa
şi momentul
.
Pentru echilibru se scriu ecuaţiile:


Din primele trei relaţii deducem:


care introduse în cele două inegalităţi conduc la condiţiile de echilibru:


sau explicitând prima relaţie în funcţie de F şi a doua relaţie în funcţie de M:


Prima inegalitate exprimă condiţia ca roata să nu alunece, condiţie din care rezultă valoarea minimă a coeficientului de frecare de alunecare, pentru care este posibilă remorcarea.


Dacă
, tracţiunea nu este posibilă, oricât de mare ar fi valoarea cuplului motor M.

5.3.4. Frecarea de pivotare
Fie cazul în care torsorul forţelor direct aplicate şi cel al forţelor de legătură care acţionează asupra corpului (C), în punctul teoretic de contact O (fig. 5.20) au expresiile:
/
Figura 5. 20


;
(5.51)
Pentru echilibru este necesar ca:

(5.52)
Explicaţia fizică a fenomenului constă în apariţia în punctele de contact dintre corpul (C) şi legătura (C1) a unor reacţiuni normale pi şi a unor forţe tangențiale ti = (pi, care provoacă momentul de pivotare
.
/
Figura 5. 21

 Forţele care acționează asupra corpului (C ) – sau a arborelui, produc reacţiuni normale pe suprafaţa de rezemare din capătul arborelui, suprafaţă care se numeşte lagăr axial sau lagăr pivot. Sub acţiunea momentului exterior
, arborele se roteşte în jurul axei sale On, efectul forţelor de frecare care se manifestă pe suprafaţa de contact dintre capătul arborelui şi lagăr, în raport cu axa arborelui, fiind momentul de pivotare
.
Se ia în considerare situaţia arborelui vertical cu suprafaţa de rezemare în lagăr de forma unei coroane circulare care are razele r şi R (fig. 5.27). Se presupune acelaşi coeficient de frecare de alunecare (, între capătul arborelui şi lagăr, în toate punctele de contact. Dacă se exprimă reacţiunea normală totală din condiţia de echilibru a arborelui (N = F), atunci rezultă că presiunea de contact dintre arbore şi lagăr este:

(5.53)
Se poate spune că suprafaţa elementară în coordonate polare este,

(5.54)
atunci reacţiunea normală pe suprafaţa elementară devine:

(5.55)
iar forţa de frecare elementară maximă este:

(5.56)
Momentul de frecare elementar produs de forţa de frecare elementară maximă în raport cu axa de rotaţie a arborelui este:

(5.57)
Momentul de frecare total, adică momentul de frecare de pivotare, în cazul echilibrului limită are expresia:

(5.58)
cu specificaţia că:

(5.59)
În care ( este coeficientul de frecare de pivotare, care are dimensiunea unei lungimi. Atunci, expresia momentului de frecare de pivotare maxim devine:

(5.60)
sau, în cazul general, ea este:

(5.61)
Momentul minim de frecare de pivotare se realizează atunci când nu există tendinţă de pivotare, iar cel maxim, în momentul începerii pivotării.
În cazul în care suprafaţa de rezemare în lagăr este circulară de rază R (r = 0), expresia momentului de frecare de pivotare devine:

(5.62)
În practică, frecarea de pivotare are multe aplicaţii, de exemplu la ambreiajul cu disc de la autovehicule.

5.3.5. Frecarea în lagărul radial (articulaţia cilindrică)
/
Figura 5.22. Lagăr fix

Se urmăreşte determinarea momentului de frecare care se dezvoltă într-o articulaţie cilindrică cu joc, în ipoteza simplificată a unei frecări uscate (coulombiene). În figura 5.22 este reprezentat lagărul presupus fix, într-un plan perpendicular pe axa de rotaţie, precum şi fusul, adică partea din arbore care intră în lagăr. În aplicaţiile practice, între lagăr şi fus se introduce o piesă numită bucşă, care este fixată în lagăr şi este confecţionată dintr-un material mai moale decât cel din care este fabricat fusul, pentru a asigura o protecţie la uzură a fusului. Poziţia de echilibru limită a fusului care se roteşte în momentul în care asupra lui acţionează un cuplu de moment
orientat după axa de rotaţie, este caracterizată de unghiul (.
Mişcarea fusului este o rostogolire în jurul generatoarei de contact, care se deplasează faţă de punctul O (punctul de contact dintre fus şi lagăr, în poziţia de repaus) cu unghiul (, în sensul de rostogolire. Mărimea unghiului (, depinde de aderenţa fusului pe lagăr, deoarece fusul se va rostogoli până se va produce alunecarea, adică (=(, unde ( este unghiul de frecare dintre fus şi lagăr.
Torsorul forţelor direct aplicate fusului, calculat pe axa C a acestuia, este reprezentat din forţa
orientată perpendicular pe axa fusului, adică după rază (de aici şi denumirea de lagăr radial) şi din momentul motor
, orientat după axa acestuia. Mărimea momentului motor trebuie să fie egal la limita echilibrului cu momentul de frecare din lagăr Mf. Torsorul forţelor de legătură, calculat pe generatoarea de contact I (unde are loc un fenomen de frecare de alunecare şi unul de rostogolire) este alcătuit din cele trei elemente specifice rezemării unei roţi:

– reacţiunea normală;

– forţa de frecare de alunecare;

– momentul de frecare de rostogolire.
Dacă raza fusului este considerată r, atunci ecuaţiile de echilibru sunt:

(5.63)
Din primele trei ecuaţii ale sistemului (5.63) se obţine:

(5.64)
care, dacă sunt introduse în cele două inegalităţi ale sistemului (5.63) conduc la condiţiile de echilibru:

(5.65)
Pentru o bună funcţionare este necesar ca frecarea în lagăr să fie mică. În cazul echilibrului limită, conform primei relaţii (5.65) se poate scrie:

(5.66)
Datorită faptului că unghiul ( este mic, se pot face aproximaţiile:

(5.67)
Dacă se introduc aproximaţiile (5.67) în a doua inegalitate (5.65), se obţine:

(5.68)
Se notează coeficientul de frecare din lagăr cu:

(5.69)
şi se fac notaţiile:

(5.70)
În momentul în care se introduce expresia coeficientului de frecare din lagăr (5.69) şi notaţiile (5.70) în relaţia (5.68), va rezulta expresia momentului de frecare din lagăr.

(5.71)
Explicaţia notaţiilor (5.70) constă în faptul că, conform principiului acţiunii şi al reacţiunii, momentul motor
, la limita echilibrului este egal şi de sens contrar cu momentul de frecare din lagăr
, iar forţa
care reprezintă acţiunea fusului asupra lagărului este egală şi direct opusă cu reacţiunea lagărului (articulaţiei cilindrice)
. Aceasta din urmă se descompune în plan în două componente, orizontală
şi verticală
, adică
.
De fapt, fenomenele de frecare dintr-un lagăr sunt mult mai complexe. Rezultatele care s-au obţinut anterior pot conduce la soluţii acceptabile din punct de vedere calitativ, dar pentru o mai bună acurateţe a calculului sunt necesare măsurători experimentale pentru determinarea unui a coeficient de frecare din lagăr (’ cât mai aproape de realitate.
/
/

/
Figura 5. 23. Lagăr cu rulmenţi


Dacă se analizează lagărul cu rulmenţi (fig. 5.23), se observă că între fusul de rază r şi lagăr are loc o rostogolire a bilelor de rulment. Într-un punct oarecare A, de contact între fus şi una din bilele rulmentului (fig. 5.23b) torsorul forţelor de legătură este format din reacţiunea normală
, forţa de frecare
şi cuplul de rostogolire, de moment

În acest caz, ecuaţia de echilibru a fusului devine:

(5.72)
Pentru ca expresiile Ffi şi Mri să poată fi determinate, se consideră că una dintre bilele rulmentului de rază r1, acţionată de forţele şi cuplurile reprezentate în figura 5.23c. Se neglijează în calcul greutatea proprie a bilelor pentru că este foarte mică în comparaţie cu celelalte forţe.
Conform ecuaţiei de momente în raport cu centrul O al bilei, rezultă:

(5.73)
Din relaţiile (5.72) şi (5.73) se obţine:

(5.74)
Ţinând seama că la limita echilibrului, momentul motor M este egal cu momentul de frecare din lagăr Mf, că suma reacţiunilor din lagăr
reprezintă reacţiunea totală a lagărului R, şi exprimând momentele de frecare de rostogolire Mri în funcţie de reacţiunile din lagăr Ni, pot fi scrise relaţiile:

(5.75)
unde s este coeficientul de frecare de rostogolire dintre bilă şi fus, respectiv lagăr.
Introducând relaţia (5.75) în (5.74), rezultă:

(5.76)
Notând (”, coeficientul de frecare din lagărul cu rulmenţi, a cărui expresie este:

(5.77)
expresia momentului de frecare din lagărul cu rulmenţi devine:

(5.78)
Comparând expresiile coeficienţilor de frecare (5.69) când mişcarea relativă dintre fus şi lagăr este o alunecare, cu (5.77) când mişcarea relativă între fus şi lagăr este o rostogolire, se constată că:

(5.79)
adică momentul de frecare de rostogolire este mult mai mic în cazul lagărului cu rulmenţi decât în cazul lagărului cu bucşă.

5.4. Probleme rezolvate
Problema 5.4.1.
/
Figura 5. 24

/
Figura 5. 25

Bara omogenă din figura 5.24, AB = 4a, de greutate G, este înclinată cu unghiul α faţă de orizontală şi rezemată în punctele A, E, D. Date dimensiunile
şi unghiul, se cer reacţiunile din reazemele A, E şi D.
Rezolvare
Se eliberează bara de legături, introducând reacţiunile normale în reazemele A, E şi D, apoi se scriu ecuaţiile de echilibru în raport cu sistemul de referinţă xOy ales în figura 5.25.




Rezolvând sistemul de ecuaţii rezultă că reacţiunile în punctele D, E şi A au valorile:

;
;

/
Figura 5. 26



Problema 5.4.2
Cu datele din figura 5.26 să se determine reacţiunile din articulaţia A şi reazemul B, pentru bara următoare.

Rezolvare
Se eliberează bara de legături, introducându-se cele două componente H şi V ale reacţiunii din articulaţia A şi reacţiunea normală din punctul B. Sarcina q0, uniform distribuită pe porţiunea BD, se înlocuieşte cu o rezultanta egală cu aria suprafeţei distribuite şi este aplicată în centrul de greutate a suprafeţei
. Se alege un sistem de referinţă xOy, figura 5.27 şi se scriu ecuaţiile de echilibru.




/
Figura 5. 27

Rezolvând sistemul de ecuaţii, rezultă că reacţiunile în punctul B şi în articulaţia A au valorile:

;
;

/
/
Figura 5.28.

Problema 2.3.3
Placa omogenă din figura 5.28 de greutate G, este ţinută în poziţie orizontală de trei fire legate în punctele A, B şi D. Se dau lungimile
,
,
,
. Să se determine coordonatele centrului de greutate al plăcii şi tensiunile din fire.

Rezolvare
Pentru a determina centrul de greutate al plăcii se descompune placa omogenă din figura 5.28 în plăci simple, pentru a fi uşor de determinat coordonatele centrelor de greutate, ariile şi momentele statice în raport cu axele.

Placă
Ai
xi
yi
Aixi
Aiyi



54·a2
4·a
3·a
216·a3
162·a3



-6·a2

a
a
-16·a3
-6·a3



48·a2
-
-
-200·a3
-156·a3

Aplicând teorema momentelor statice în raport cu axele, rezultă pentru centru de masă:

;

/
Figura 5. 29

Se eliberează bara de legături, introducând forţele de tensiune din fire (figura 5.29). Tensiunile sunt aplicate: S1 în punctul B, S2 în punctul D, S3 în punctul A. În sistemul de referinţă ales, ecuaţiile scalare de echilibru sunt:






Rezolvând sistemul de ecuaţii, se obţin tensiunile din fire:
S1 = 0,34G; S2 = 0,36G; S3 = 0,29G.
/
Figura 5. 30



Problema 5.4.4
Bara omogenă din figura 5.30,
,de greutate G este înclinată cu unghiul α faţă de orizontală; bara este articulată în punctul A. Prin intermediul unui fir înclinat cu unghiul β faţă de bară din punctul C
, este legată greutatea Q care trece printr-un inel fără frecare. Să se determine reacţiunea din articulaţia A a barei.

Rezolvare
Se eliberează bara de legături, (figura 5.31), introducându-se cele două componente H şi V ale reacţiunii din articulaţia A şi forţa de tensiune din fir S. În sistemul de referinţă ales, se scriu ecuaţiile scalare de echilibru:






/
Figura 5. 31

Rezolvând sistemul de ecuaţii se obţin componentele H şi V ale reacţiunii în articulaţia din punctul A şi tensiunea din fir:

;
;

/
Figura 5. 32



Problema 5.4.5
Cu datele din figura 5.32 să se determine reacţiunile din articulaţia A şi reazemul B pentru bara următoare

Rezolvare
Se eliberează bara de legături, introducându-se cele două componente H şi V ale reacţiunii din articulaţia A şi reacţiunea normală din punctul B, şi alegem un sistem de referinţă xOy, (figura 5.40).
/
Figura 5. 33
Sarcina 2q0, triunghiular distribuită, pe porţiunea AD, se înlocuieşte cu rezultanta
aplicată în centrul de greutate, şi sarcina q0 uniform distribuită pe porţiunea BE, se înlocuieşte cu rezultanta
aplicată în centrul de greutate, deci la jumătatea lui BE.
Se scriu ecuaţiile scalare de echilibru:






Rezolvând sistemul de ecuaţii se obţin componentele H şi V ale reacţiunii din articulaţia A şi reacţiunea normală din punctul B:

;
;
.
/
Figura 5. 34


Problema 5.4.6
Cu datele din figura 5.37 să se determine reacţiunea din încastrarea A pentru bara următoare.
Rezolvare
/
Figura 5. 35

Se eliberează bara de legături introducându-se cele două componente H şi V ale reacţiunii şi momentul M din încastrarea A. Sarcina q0 uniform distribuită pe porţiunea CD, se înlocuieşte cu rezultanta
aplicată în centrul de greutate, deci la jumătatea lui CD. Se alege un sistem de referinţă xOy, figura 5.35.
Se scriu ecuaţiile scalare de echilibru:






Rezolvând sistemul de ecuaţii, se obţin componentele H şi V ale reacţiunii şi momentul M din încastrarea A:

;
;


/
Figura 5. 36


Problema 5.4.7
Cu datele din figura 5.36 să se determine reacţiunile din articulaţia A şi reazemul B, pentru bara următoare.

Rezolvare
/
Figura 5. 37

Se eliberează bara de legături, introducându-se cele două componente H şi V ale reacţiunii din articulaţia A şi reacţiunea normală din punctul B. Sarcina trapezoidal distribuită pe porţiunea BD, considerând trapezul format dintr-un dreptunghi şi un triunghi, se înlocuieşte cu două rezultante
şi
, aplicate în centrele de greutate. Se alege un sistem de referinţă xOy, figura 5.37 şi se scriu ecuaţiile de echilibru:

Rezolvând sistemul de ecuaţii se obţin componentele H şi V ale reacţiunii din articulaţia A şi reacţiunea normală din punctul B.

;
;

Problema 5.4.8
Bara AB, considerată fără greutate proprie, este articulată în punctul A şi simplu rezemată în punctul B. Cu datele din figura 5.38 să se determine reacţiunile din articulaţia A şi reazemul B, pentru bara următoare.
/
Figura 5. 38

Rezolvare
Se eliberează bara de legături, introducându-se cele două componente H şi V ale reacţiunii din articulaţia A şi reacţiunea normală din punctul B. Sarcina q0, uniform distribuită pe porţiunea AC, se înlocuieşte cu rezultanta
şi sarcina triunghiular distribuită pe porţiunea CD cu
, sunt aplicate în centrele de greutate.
Se alege un sistem de referinţă xOy, figura 539 şi se scriu ecuaţiile de echilibru:
/
Figura 5. 39







Rezolvând sistemul de ecuaţii se obţin componentele H şi V ale reacţiunii din articulaţia A şi reacţiunea normală din punctul:

;

;

.

Problema 5.4.9
/
Figura 5. 40

O grindă cotită OABC, de greutate neglijabilă, este articulată în punctul O şi simplu rezemată în C. Asupra grinzii din figura 5.40 acţionează sarcina uniform distribuită 2q0, sarcina triunghiular distribuită q0, forţele P şi cuplul de moment M. Să se determine reacţiunile din articulaţia O şi reazemul C.
Rezolvare
/
Figura 5. 41

Se eliberează grinda de legături, introducându-se cele două componente H şi V ale reacţiunii din articulaţia O şi reacţiunea normală din punctul C. Sarcina uniform distribuită 2q0 se înlocuieşte cu rezultanta
şi sarcina triunghiular distribuită pe porţiunea BC cu
. Se alege un sistem de referinţă xOy, figura 5.41.
Se scriu ecuaţiile scalare de echilibru:






Rezolvând sistemul de ecuaţii, se obţin componentele H şi V ale reacţiunii din articulaţia O şi reacţiunea normală din punctul C:

;
;

Problema 5.4.10
Bara omogenă
, de greutate G din figura 5.42 este înclinată cu unghiul α faţă de orizontală, articulată în punctul A şi simplu rezemată în punctul B. În punctul C este legat un fir care face unghiul β faţă de bară, acest fir este trecut peste un scripete fără frecare, de fir atârnând o greutate Q.
Asupra barei mai acţionează şi cuplul de moment M. Se cer reacţiunile din punctele A şi B.

Rezolvare
Se eliberează bara de legături, introducându-se cele două componente H şi V ale reacţiunii din articulaţia A, reacţiunea normală din punctul B şi forţa de tensiune din fir Q. Se alege un sistem de referinţă xOy şi se scriu ecuaţiile scalare de echilibru, figura 5.43.




Rezolvând sistemul de ecuaţii, se obţin componentele H şi V ale reacţiunii din articulaţia A şi reacţiunea normală din punctul B:

5.5. Probleme propuse
Problema 5.5.1
Grinda din figura 5.44 în formă de L, de greutate neglijabilă, având forma şi dimensiunile indicate, este rezemată în punctul D şi articulată în punctul E. Asupra grinzii acţionează forţele verticale 2P, 3P şi forţa orizontală P.
Se cere să se determine reacţiunile din articulaţia E şi reazemul D.

Rezolvare
Se alege un sistem de referinţă xOy. Se eliberează grinda de legături, introducându-se cele două componente H şi V ale reacţiunii din articulaţia E şi reacţiunea normală din punctul D. Se scriu ecuaţiile de echilibru, obţinându-se un sistem de trei ecuaţii şi trei necunoscute. După rezolvarea sistemului rezultă:

;
;

Problema 5.5.2
Grinda ABC în formă de L, de greutate neglijabilă, având forma şi dimensiunile indicate în figura 5.45, este rezemată în punctul D şi articulată în punctul E. Asupra grinzii acţionează forţele verticale 2P, 4P şi forţa orizontală 3P. Să se determine reacţiunile din articulaţia E şi reazemul D.

Rezolvare

;
;
.

Problema 5.5.3
O grindă cotită OABC, de greutate neglijabilă, este încastrată la extremitatea O. Forma, dimensiunile şi încărcarea grinzii sunt date în figura 5.46. Să se determine reacţiunile din încastrarea O.
Rezolvare

;
;

Problema 5.5.4
O grindă cotită OABC, de greutate neglijabilă, este articulată în punctul O şi simplu rezemată în C, figura 5.47. Asupra grinzii acţionează forţa uniform distribuită q0, forţa triunghiular distribuită 2q0 şi forţa 2P înclinată faţă de orizontală cu unghiul α. Să se determine reacţiunile din articulaţia O şi reazemul C.
Rezolvare

;
;
.
Problema 5.5.5
Bara omogenă AB=l de greutate G din figura 5.48 este înclinată cu unghiul α faţă de orizontală. Bara este articulată în punctul A iar de capătul B este legat un fir care este prins de un perete, BD=l. Să se determine reacţiunea în punctul A şi tensiunea din fir.
Rezolvare

;
;