Domeniul roboticii este un domeniu s ,tiint ,i c care necesit a transfer de con- cepte s ,i metodologie din mai multe domenii s ,tiint ,i ce, un… [611721]

my rst document
Boros Csongor
2013-09-01

Capitolul 1 – INTRODUCERE
Capitolul 1 – INTRODUCERE
Domeniul roboticii este un domeniu s ,tiint ,ic care necesit a transfer de con-
cepte s ,i metodologie din mai multe domenii s ,tiint ,ice, un domeniu interdisci-
plinar care este ^ n continu a expansiune, s ,i care necesit a diferite cunos ,tint ,e de
mecanic a, electronic a s ,i programare.
Am studiat put ,in lumea roboticii, pan a c^ and am realizat cum m-as ,face primii
p as ,i, care sunt bazele roboticii, care sunt uneltele necesare pentru proiectarea s ,i
implementarea unui robot, s ,i m-am g^ andit c a un proiect ideal de introducere ^ n
robotic a ar  unul care studiaz a cele mai importante baze ale roboticii, anume
mis ,carea s ,i echilibrul.
^In prezent a lucrare, intitulat a "Modelarea, proiectarea s ,i implementarea unui
pendul inversat" sunt descrise pas ,ii de proiectare unui sistem care se echilibreaz a
^ n mod automat rezolv^ and o problem a clasic a de reglare automat a, problema
pendulului inversat. Aceast a problem a const a ^ n reglarea unui sistem neliniar,
mai exact reglarea unui ansamblu de sisteme.
T,inerea ^ n echilibru al pendulului const a ^ n reglarea unghiului de ^ nclinare.
Acest pendul este montat pe un c arucior care se mis ,c a pe plan orizontal ind
act,ionat a de un motor electric, s ,i prin reglarea potrivit a pozit ,iei si accelerat ,iei
motorului, pendulul ^ ncepe s a se deplaseze spre pozit ,ia lui de echilibru, ce
^ nseamn a c a unghiul de ^ nclinare este perpendicular pe planul orizontal.
Aceast a deviat ,ie ^ n sistemul nal este m asurat a cu ajutorul unui encoder
rotativ ca s a obt ,in un sistem c^ at mai simplu, iar ^ n sistemul original am folosit
un accelerometru s ,i un giroscop. C^ and deviat ,ia unghiului de ^ nclinare este mic a,
motorul trebuie s a se mis ,te lent s ,i n, iar c^ and aceast a deviat ,ie este mai mare,
motorul trebuie s a se mis ,te rapid s ,i precis pentru a putea corecta c^ at mai repede
deviat ,ia fat , a de pozit ,ia vertical a. Dac a motorul nu poate s a r aspund a sucient
de rapid s ,i calea de rulare pe plan orizontal este limitat a, ^ n cazul unei deviat ,ie
mai mare pendulul cade. ^In acest caz vom folosi un algoritm de pozit ,ionare a
pendulului din pozit ,ia sa natural a de pendul gravitat ,ional ^ n pozit ,ia de pendul
inversat, anume algoritmul swing-up.
^In prezenta lucrare vom ocupa cu investigarea metodelor de control pentru
sistemul pendulului invers. Vom studia cum putem achizit ,iona date, cum pu-
tem face modelul matematic al pendulului inversat, s ,i ^ n nal vom calcula s ,i
implementa un regulator potrivit pentru t ,inerea ^ n echilibru a pendulului.
1

Capitolul 2 – OBIECTIVE
Capitolul 2 – OBIECTIVE
2

Capitolul 3 – STUDIUL BIBLIOGRAFIC
Capitolul 3 – STUDIUL BIBLIOGRAFIC
3.1 Motorul de curent continuu
Motoarele de curent continuu se poate g asi ^ n diverse aplicat ,ii portabile de
uz casnic, ^ n industria autovehiculelor s ,i ^ n mai multe industrii. Prima dat a
a fost realizat a ^ n anul 1873 de c atre Z enobe Gramme prin interconectarea a
dou a generatoare de curent continuu identice. Aceast a a fost o descoperire
revolut ,ionar a, Z enobe a observat c a, rot^ andu-se mas ,ina, energia absorbit a de la
generator se transform a ^ ntr-o energie mecanic a.
Cel mai simplu motor de curent continuu este alc atuit dintr-un stator care
asigur a un c^ amp magnetic constant s ,i dintr-o arm atur a, partea rotativ a care
de fapt este o bobin a s ,i care este conectat a la o surs a de alimentare de curent
continuu.
C^ and curentul trece prin bobin a induc^ and fort ,e electromagnetice, conform
legii lui Laurence, bobina ^ ncepe s a se ^ nv^ arte. C^ and rotorul se ^ nv^ arte, conec-
torul alimenteaz a bobina cu polaritatea lui invers a. Dac a motorul se ^ nv^ arte ^ n
sens orar, pe partea st^ anga
uxul de electricitate cres ,te, iar pe partea dreapt a
scade, garant^ and acordarea direct ,iei cuplului.
^In caz c^ and rotorul ajunge ^ ntr-o pozit ,ie perpendicular a cu
uxul magnetic,
cuplul motorului se apropie de zero, ce duce la o mis ,care neregulat a a motorului.
Dac a plas am ^ nc a o bucl a cu o pereche de colectori separat pentru ea, ^ n acest
aranjament c^ and prima bucl a este^ n pozit ,ie vertical a, a doua bucl a va  conectat
la sursa de alimentare, astfel ^ nc^ at cuplul motorului va  prezent a instantaneu ^ n
acest sistem. Dac a plas am mai multe ^ nf as ,ur ari, prin urmare motorul va mis ,ca
mult mai n, datorit a cuplului instantaneu.
Pentru aplicat ,ia noastr a puterea necesar a act ,ion arii este mic a s ,i ^ nf as ,ur arile
la stator sunt ^ nlocuite cu magnet ,i permanent ,i.
Turat ,ia motorului de curent continuu este us ,or de reglat, pentru c a aceast a
este proport ,ional a cu tensiunea aplicat a la bornele motorului s ,i invers proport ,ional a
cu c^ ampul magnetic de excitat ,ie. Turat ,ia motorului se modic a prin modica-
rea tensiunii p^ an a la o valoare nominal a, sau putem sl abi c^ ampul de excitat ,ie
pentru o turat ,ie mai mare. Ambele metode vizeaz a o tensiune variabil a ce poate
 obt ,inut a us ,or cu ajutorul unor componente de electronic a de putere. Cuplul
motorului este proport ,ional cu c^ ampul magnetic de excitat ,ie s ,i cu curentul elec-
tric ce trece prin ^ nf as ,ur arile motorului.
Schimbarea sensului de rotat ,ie se face relativ us ,or, prin schimbarea pola-
rit at ,ii tensiunii de alimentare sau prin schimbarea sensului c^ ampului magnetic
de excitat ,ie.
3

3.1 Motorul de curent continuu
Figura 1: Motorul de curent continuu simplu
Controlul motorului de curent continuu este prin intermediul punt ,ilor H, ast-
fel se poate face transferul de putere la motor ecient s ,i se poate schimba cu
us,urint , a sensul de rotat ,ie al motorului.
Funct ,ionarea punt ,ii H este relativ simplu, c^ and intrarea D1 este activ a, apare
o tensiune pe ea, tranzistorul T3 ind un tranzistor NPN, intr a ^ n regimul de
zon a activ a al tranzistorului, sau ^ n caz c^ and curentul aparent la baza tranzisto-
rului este sucient de mare intr a ^ n regimul lui saturat. ^In aceeas ,i timp tranzis-
torul T1 ind un tranzistor PNP are o caracteristica opus a, el intr a ^ n starea
lui blocat a c^ and curentul la baz a este sucient de mare. ^In urmare intrarea
D1 denes ,te dac a borna motorului din st^ anga este conectat a la VCC sau la
GND. C^ and intrarea D2 este activ a atunci tranzistoarele T2 s ,i T4 denesc dac a
borna motorului din dreapta este conectat a la VCC sau la GND. Astfel sensul
s,i turat ,ia motorului se poate controla prin intr arile D1 s ,i D2.
C^ and D1 este activ a s ,i D2 este inactiv a motorul se ^ nv^ art a spre o direct ,ie, iar
c^ and D1 este inactiv a s ,i D2 este activ a motorul se ^ nv^ art a spre direct ,ia opus a.
4

3.1 Motorul de curent continuu
Figura 2: Puntea H cu tranzistori PNP s ,i NPN
Pentru reglarea motorului vom avea nevoie de un variator de tensiune care
ne asigur a o tensiune de control pentru intr arile D1 s ,i D2. Cu ajutorul unit at ,ii
centrale de procesare vom genera un semnal PWM (Pulse Width Modulation {
Modulare ^ n l at ,ime). Acest semnal PWM are la baz a un principiu simplu: de-
termin a c^ at timp tensiunea este maxim a s ,i minim a, anume perioada de tranzit ,ie
ce denes ,te factorul de umplere (duty cycle). ^In gura de mai jos, apar semnale
PWM cu diferite factori de umplere.
Figura 3: Semnalul PWM cu factori de umplere diferit ,i
5

3.2 Motorul pas cu pas
Cu c^ at este mai mare factorul de umplere, cu at^ at caracteristica semnalului
PWM se apropie de semnalul continuu s ,i tensiunea cres ,te. Dac a semnalul PWM
are un factor de umplere mai mic, tensiunea de ies ,ire are o valoare mai mic a.
Factorul de umplere este denit prin urm atoarea relat ,ie:
D=Ti
T(1)
undeTieste durata impulsului s ,iTeste perioada semnalului.
Generarea unui semnal PWM folosind un microcontroler nu este dicil a, de-
pinde de mediul de programare s ,i tehnologia aleas a la programarea microcontro-
lerului. ^In cazul mediului de programare Arduino generarea unui semnal PWM
este o funct ,ie predenit a s ,i putem folosi cu us ,urint , a, necesit a numai denirea
pinului de ies ,ire la apelul funct ,iei de generare PWM.
3.2 Motorul pas cu pas
Motorul pas cu pas se poate g asi ^ n diverse aplicat ,ii industriale, datorit a
avantajelor lui ca s ,i pozit ,ionarea precis a (cu o eroare foarte mic a care nu se
cumuleaz a de la un pas la altul), abilitate lui excelent a, o durat a de funct ,ionare
mai lung a dec^ at la un motor de curent continuu.
Cea mai bun a denit ,ie ce am g asit pentru motorul pas cu pas este urm atoarea:
\Motorul pas cu pas este un dispozitiv electromecanic care convertes ,te impul-
surile electrice ^ n mis ,c ari mecanice discrete.\
Comanda motorului pas cu pas este relativ simpl a, axul motorului execut a
o mis ,care de rotat ,ie ^ n pas ,i incrementali discret ,i c^ and este aplicat a o comand a
electric a ^ n impulsuri ^ n secvent , a corect a. ^In acest mod, rotat ,ia motorului de-
pinde de caracteristicile acestor impulsuri electrice, ca s ,i direct ,ia de rotat ,ie a
motorului depinde de secvent , a ^ n care sunt aplicate impulsurile electrice, la fel
 si viteza de rotat ,ie este direct proport ,ional a cu frecvent ,a impulsurilor electrice
s,i deplasarea unghiular a a motorului pas cu pas este direct proport ,ional a cu
num arul de impulsuri aplicate.
Fiec arui tip de motor pas cu pas exist a un anumit num ar de grade cu care se
deviaz a unghiul axei motorului dup a aplicarea unui impuls de comand a, anume
"pas unghiular" s ,i se m asoar a ^ n grade. Cu ajutorul pasului unghiular se poate
calcula cu us ,urint , a c^ at ,i pas ,i discret ,i sunt necesari pentru o revolut ,ie a axului
motorului. ^In funct ,ie de aceast a caracteristic a a motoarelor pas cu pas se poate
face o clasicare.
O clasicare mai important a a motoarelor pas cu pas ar  clasicarea lor ^ n:
– motoare pas cu pas cu reluctant  a variabil a
6

3.3 Senzorii
Figura 4: a) Secvent , a de impulsuri; b) Pozit ,ia unghiular a a axului
– motoare pas cu pas cu magnet permanent
– motoare pas cu pas hibride
Motoare pas cu pas cu reluctant  a variabil a
Acest tip de motor este cunoscut de foarte mult timp. ^In g. 5 este prezentat a
o sect iune printr-un motor pas cu pas cu reluctant  a variabil a tipic. Motorul este
alc atuit dintr-un rotor  si un stator, ecare cu num ar diferit de dint i. Poate
diferent iat u sor de un motor cu magnet permanent deoarece"se ^ nv^ arte u sor",
f ar a nici o ret inere, ^ n momentul rotirii rotorului cu m^ ana.[1,5,11] Statorul moto-
rului este alc atuit dintr-un miez magnetic construit din lamele din ot el. Rotorul
este construit din er moale nemagnetizat cu dint i  si sant uri.
3.3 Senzorii
Un sistem automat este compus din mai multe elemente esent ,iale f ar a care
sistemul nu ar mai putea  numit automat. Un sistem automat este format
dintr-un regulator, un element de execut ,ie care are efect asupra unui proces,
iar pe react ,ie este un traductor de m asur a cu ajutorul c aruia putem prelua
datele din proces, s ,i putem face diferent , a dintre valoarea m asurat a s ,i valoarea
de referint , a, astfel regulatorul poate s a calculeze comanda pentru elementul de
execut ,ie. Schema a acestui sistem apare pe gura 2.
7

3.3 Senzorii
Figura 5: Motor pas cu pas cu reluctant  a variabil a
Figura 6: Sistem automat cu react ,ie negativ a
Un traductor este un dispozitiv care transform a valorile unei m arimi zico-
chimice ^ n valori corespunz atoare ale altei m arimi zice. Traductorul in sine
nu cont ,ine elemente de procesare, scopul lui este doar realizarea conversiei.
Senzorul este un dispozitiv care include elementul traductor s ,i care este capabil
s a converteasc a o m arime zico-chimic a ^ ntr-o m arime electric a s ,i s a o proceseze
cu un algoritm dat, astfel furniz^ and o ies ,ire compatibil a cu un sistem de calcul.
3.3.1 Accelerometrul
3.3.2 Giroscopul
3.3.3 Encoderul rotativ
Pentru m asurarea s ,i reglarea pozit ,iei c aruciorului vom avea nevoie de un en-
coder rotativ montat pe axul motorului. Encoderul rotativ este un dispozitiv
electromecanic care convertes ,te pozit ,ia unghiular a unei axe ^ n semnale digitale
sau analogice. Sunt dou a tipuri de encodere rotative, anume encoder absolut
s,i encoder incremental (relativ) . Cel absolut m asoar a numai pozit ,ia unghiu-
8

3.4 Unitatea de procesare
lar a curent a, dar cel incremental ne d a informat ,ii despre viteza de rotat ,ie sau
distant ,a parcurs a, num arul de rotat ,ie. Dispozitivele care folosesc encodere in-
crementale, de obicei au o funct ,ie de init ,ializare \go home" pentru a putea face
o m asurare corect a a pozit ,iei. Voi povesti mai ales despre encoderul incremental
pentru c a acest dispozitiv este folosit ^ n prezenta lucrare. Encoderul incremen-
tal furnizeaz a dou a semnale de impulsuri (A s ,i B), care ne ajut a la calcularea
pozit ,iei ^ n modul prezentat pe urm atoarea gur a:
Figura 7: Semnalele encoderului incremental
Cu ajutorul semnalelor A s ,i B furnizat de encoderul rotativ, unitatea de
procesare poate s a se calculeze cu us ,urint , a pozit ,ia c aruciorului. Dac a atas , am
canalele A s ,i B la intr arile de ^ ntreruperi externe ale microcontrolerului, se poate
scrie o funct ,ie simpl a pentru a calcula num arul impulsurilor.
Logica proces arii impulsurilor este urm atoarea: dac a la canalul A se schimb a
valoarea semnalului de la 0 la 1 (on rising) s ,i valoarea semnalului B are valoarea
0, increment am variabila ^ n care este stocat num arul impulsurilor, iar dac a
semnalul B are valoarea 1, decrement am aceast a variabil a.
3.4 Unitatea de procesare
Cel mai important element dintr-un sistem automat este cel care are capaci-
tate de a procesa datele aparente dintr-un proces automat. Procesarea datelor
primite de la senzori s ,i calcularea semnalului de control pentru elementul de
execut ,ie dup a un algoritm dat necesit a o fort , a de calcul, care este foarte impor-
tant a pentru funct ,ionarea robust a a sistemului.
9

3.4 Unitatea de procesare
Vom folosi o plac a de dezvoltare Arduino, care are la baza lui un microcontro-
ler Atmega 2560. Aceast a plac a are 54 de intr ari s ,i ies ,iri digitale dintre care 15
ies,iri se poate folosi pentru generare PWM, are 16 intr ari analogice, s ,i 4 porturi
UART (hardware serial ports).
Figura 8: Arduino MEGA 2560
Acest a unitate de procesare are o frecvent , a de ceas 16MHz s ,i o memorie
ash
256 KB din care 8 KB este ocupat de bootloader.
Dup a num arul de intr ari/ies ,iri s ,i dup a propriet at ,iile acestui echipament, pu-
tem s a zicem c a pentru aplicat ,ia noastr a va asigura o fort , a de calcul sucient a.
10

Capitolul 4 – IMPLEMENTARE
Capitolul 4 – IMPLEMENTARE
4.1 Pendulul inversat
Pendulul uzual este un corp suspendat de un pivot (care reprezint a un punct
x ^ n spat ,iu) printr-un r sau printr-o bar a. Mis ,carea lui este dat a de fort ,a
gravitat ,ional a. Dac a pendulul se ^ ndep arteaz a de punctul lui de echilibru, se
efectueaz a o mis ,care oscilatorie p^ an a c^ and ajunge din nou ^ n acest punct. ^In
cazul pendulului ideal materialul folosit ca suspensie nu are greutate proprie s ,i
este inextensibil, ^ n plus corpul este punctiform s ,i masa^ ntreag a este concentrat a
^ n punctul respectiv.
Pendulul inversat are aceeas ,i propriet at ,i ca s ,i pendulul uzual iar ^ n cazul
pendulului inversat centrul de greutate se as ,az a pe deasupra pivotului. Un
exemplu adecvat de pendul inversat este corpul uman, care necesit a sa fac a
ajustare constant a s a ^ s ,i poate t ,ine echilibrul ^ n timpul mis ,c arii sau c^ and omul
st a ^ n picioare. ^In robotic a corpul uman este un model utilizat des.
4.1.1 Modelarea pendulului inversat
Problema pendulului inversat const a ^ n reglarea pozit ,iei punctului de suspen-
sie astfel ^ nc^ at corpul s a e pe deasupra punctului respectiv, s ,i s a balanseze
pendulul ca s a nu cade. ^In caz ideal pendulul ar sta vertical f ar a reglarea
punctului de suspensie, dar ^ n realitate apar perturbat ,ii mici care conduc la in-
stabilitatea sistemului. Deoarece acest proces este neliniar si instabil, problema
regl arii devine mult mai complex a. ^In plus sistemul are un singur semnal de
intrare s ,i mai multe semnale de ies ,ire. De aceea apare ca o problem a clasic a ^ n
domeniul regl arii automate. Sistemul despre care vorbim este alc atuit dintr-un
c arucior care se mis ,c a pe plan orizontal, s ,i o bar a legat a la pivot, care are o
greutate pus a pe v^ arful lui. Schema sistemului este prezentat a ^ n gura 3.1.
Analiza sistemului reprezint a o provocare, dar dup a o examinare mai atent a
putem realiza c a problema se poate rezolva simplu folosind o reglare ^ n bucl a
^ nchis a. C aruciorul are o accelerat ,ie exterioar a aplicat a la el asigurat de motorul
de curent continuu, care reprezint a singurul semnal de intrare^ n sistemul nostru.
Putem observa c a accelerat ,ia unghiular a a pendulului este o perturbat ,ie care
apare pe v^ arful lui. Accelerat ,ia c aruciorului a(t) este reglabil a s ,i in
uent ,eaz a
unghiul de ^ nclinare al pendulului (t), deci ideea ar  t ,inerea unghiului de
^ nclinare ^ n pozit ,ia sa vertical a de echilibru. Dac a cunoas ,tem perturbat ,iile s ,i
ies,irile sistemului, putem aplica o accelerat ,ie pe c arucior, s ,i putem s a t ,inem
pendulul ^ n pozit ,ia lui de echilibru. Fiind vorba de un sistem instabil, oare-
care perturbat ,ie neas ,teptat a se poate mics ,ora stabilitate lui. Ideea este de a
stabiliza sistemului folosind o metod a de reglare ^ n bucl a ^ nchis a, care const a
^ n m asurarea unghiului de ^ nclinare s ,i ^ n aplicarea unei dinamic a adecvat a de
react ,ie la accelerat ,ia c aruciorului. Dac a aplic am o dinamic a de react ,ie corect a,
vom primi un sistem stabil, chiar dac a sistemul de bucl a deschis a este instabil.
11

4.1 Pendulul inversat
Figura 9: Schema pendulului inversat montat pe un c arucior: L- lungimea
pendulului; a(t) { accelerat ,ia c aruciorului; x(t) { accelerat ,ia unghiular a a pen-
dulului;g{ accelerat ,ia gravitat ,ional a;(t) – unghiul de deviat ,ie al pendulului
fat, a de pozit ,ia vertical a; s(t) { pozit ,ia c aruciorului.
^In concluzie putem s a spunem c a avem nevoie de balansarea accelerat ,iilor
pentru a t ,ine pendulul ^ n echilibru. Putem s a scriem urm atoarea ecuat ,ie:
Ld2(t)
dt2=gsin(t) +Lx(t)a(t) cos(t) (2)
Aceast a ecuat ,ie descrie cum se balanseaz a accelerat ,iile aparente. Este o
ecuat ,ie neliniar a ^ n (t) s,i trebuie s a liniariz am ^ n jurul unghiului de echili-
bru. Acest unghi ^ n cazul sistemului nostru este zero grade. Dac a presupunem
c a unghiul de ^ nclinare este aproape de zero, pentru c a pendulul st a ^ n pozit ,ia
lui vertical a, vom avea urm atoarele observat ,ii:
12

4.1 Pendulul inversat
sin(t)(t) (3)
cos(t)1 (4)
Forma liniarizat a va  ^ n forma:
Ld2
(t)
d
t2g
(t) =L
x(t)a(t) (5)
Aplic am teorema Transformatei Laplace, s ,i obt ,inem funct ,ia de transfer pentru
sistemul pendulului inversat:
(s) =1
L
s2g
[L
X(s)A(s)] (6)
Dinamica sistemului este:
H(s) =1
L
s2g(7)
^In sf^ ars ,it obt ,inem funct ,ia de transfer al sistemului ^ n bucl a ^ nchis a:
(s) =H(s)
[L
X[s]A(s)] (8)
4.1.2 Controlul pendulului inversat
De fapt, sistemul are dou a semnale de intr ari: perturbat ,iile care are in
uent , a
peste accelerat ,ia pendulului x(t), s ,i accelerat ,ia c aruciorului a(t). Pentru acest
sistem semnalul de control este accelerat ,ia c aruciorului a(t), semnalele de ies ,iri
sunt pozit ,ia unghiular a al pendulului s,i pozit ,ia orizontal a a c aruciorului s(t).
Am s a implement am un sistem ^ n bucl a ^ nchis a care afecteaz a la accelerat ,ia
c aruciorului. Acest model este prezentat a ^ n gura 3.1.
Modelul ^ n bucl a deschis a al pendulului inversat reprezint a un sistem cu dou a
intr ari, unul este perturbat ,iile externe X(s), s ,i cealalt a este accelerat ,ia extern a
aplicat a la c arucior A(s). Procesul H(s) reprezint a dinamica sistemului s ,i sem-
nalul de ies ,ire al procesului este pozit ,ia unghiular a a pendulului ( s). Acest
sistem este prezentat a ^ n gura 3.2.
La acest sistem cu react ,ie negativ a (negative feedback), strategia de baz a din
spatele feedback-ului este de a utiliza^ ntr-un fel pozit ,ia unghiular a a pendulului,
f ac^ and o m asurare a unghiului de ^ nclinare, dup a care putem folosi acest m arime
la calcularea dinamicii de react ,ie G(s), care afecteaz a accelerat ,ia c aruciorului,
s,i ^ n sf^ ars ,it vom avea un sistem stabil. Acest sistem apare ^ n gura 5.
13

4.1 Pendulul inversat
Figura 10: Modelul de control pentru sistemul pendulului inversat
Figura 11: Modelul sistemului pendulul inversat
Figura 12: Sistemul de control ^ n bucl a ^ nchis a
Pentru calcularea dinamicii de react ,ie, ^ n primul r^ and trebuie s a examin am di-
namica sistemului H(s). Dac a folosim metoda locului r ad acinilor, putem observa
14

4.1 Pendulul inversat
c a avem dou a poluri, pe partea st^ anga este un pol stabil s ,i ^ n partea dreapt a un
pol instabil. ^In urmare sistemul^ n bucl a deschis a este instabil. Locul r ad acinilor
pentru sistemul H(s) apare ^ n gura 6.
Figura 13: Locul r ad acinilor pentru H(s)
Pasul urm ator este calcularea dinamicilor de react ,ie astfel ^ nc^ at sistemul s a
se stabilizeze. Putem s a folosim o react ,ie proport ,ional a s ,i o s a vedem dac a ^ l
stabilizeaz a sistemul. Funct ,ia de transfer a sistemului ^ n bucl a ^ nchis a va :
(s) =L
H(s)
1 +G(s)
H(s)
X(s) (9)
Dac a folosim o react ,ie proport ,ional a putem s a scriem:
a(t) =K1
(t) (10)
Folosind Transformarea Laplace obt ,inem:
G(s) =K1 (11)
15

4.1 Pendulul inversat
Funct ,ia de transfer al sistemului ^ n bucl a ^ nchis a:
(s) =1
s2gK1
L
X(s) (12)
Acest sistem are dou a poluri:
s=r
gK1
L(13)
^In acest caz polurile se mis ,c a ^ mpreun a pe axa imaginar a j!, ^ n funct ,ie de
valoarea lui K1. ^Inainte de ^ nt^ alnirea polurilor sistemul este instabil, dar dup a
^ nt^ alnirea lor ele se t ,in spre innit s ,i sistemul ajunge ^ n limita lui de stabilitate,
r aspunsul lui va  oscilant ^ ntret ,inut.
Deci cu o react ,ie proport ,ional a nu se poate stabiliza sistemul. Locul r ad acinilor
^ n acest caz este prezentat a ^ n gura 7.
Figura 14: Locul r ad acinilor ^ n bucl a ^ nchis a cu react ,ie proport ,ional a
Putem s a ^ ncerc am stabilizarea sistemului ^ nchis la fel ^ n cazul unei react ,ie
derivativ a. Dac a folosim un regulator derivativ, putem s a scriem:
16

4.1 Pendulul inversat
a(t) =K2
d(t)
dt(14)
Dup a aplicare transformatei Laplace, obt ,inem urm atoarea funct ,ie de transfer
a regulatorului:
G(s) =K2
s (15)
Funct ,ia de transfer a sistemului ^ n bucl a ^ nchis a va :
(s) =1
s2+s
K2
Lg
L
X(s) (16)
Acest sistem are dou a poluri:
s=K2
2
Lr
(K2
2
L)2+g
L(17)
Polul din partea st^ ang a se mis ,c a spre st^ anga ce ^ nseamn a c a m ares ,te stabi-
litatea sistemului. Polul din partea dreapt a se mis ,c a spre polul din st^ anga dar
din p acate nu ajunge acolo.
Dac a valoarea lui K2tinde spre innit, sistemul ajunge ^ n limita lui de stabi-
litate, ce se poate observa ^ n gura 8.
Deci prin urmare o react ,ie proport ,ional a sau derivativ a nu pot stabiliza sis-
temul, dar dac a le folosim ^ mpreun a, dac a am^ andou a fac parte din calcularea
dinamicilor de react ,ie, se poate c a sistemul ajunge ^ ntr-o stare stabil a. Pentru
acest scop vom folosi un regulator proport ,ional s ,i derivativ.
^In cazul asta putem s a scriem:
a(t) =K1
(t) +K2
d(t)
dt(18)
Dup a aplicarea transformatei Laplace obt ,inem urm atoarea funct ,ie pentru re-
gulatorul proport ,ional s ,i derivativ:
G(s) =K1+K2
s (19)
17

4.1 Pendulul inversat
Figura 15: Locul r ad acinilor ^ n bucl a ^ nchis a cu react ,ie derivativ a
Dac a folosim un regulator proport ,ional s ,i derivativ, funct ,ia de transfer a buclei
^ nchise se scrie ^ n forma:
(s) =1
s2+K2
L
sg
L+K1
L(20)
Polurile sistemului sunt:
s=K2
2
Lr
(K2
L)2+K1g
L(21)
Se poate observa c a, dac a K2>0, polurile sistemului ^ nchis se mis ,c a spre
st^ anga, s ,i dac aK1>0, polurile ^ ncepe s a se mis ,te ^ mpreun a, dar ^ nainte de
^ nt^ alnirea lor se ^ mpart s ,i se deplaseaz a paralel cu axa imaginar a j!.^In timp ce
K1este sucient de mare, polul din dreapt a se deplaseaz a spre polul din st^ anga
s,i sistemul se stabilizeaz a. Prin urmare, folosind un regulator proport ,ional s ,i
derivativ, se poate stabiliza sistemul pendulului invers, cu o accelerat ,ie adecvat a
pe c arucior, se poate t ,ine pendulul ^ n echilibru, ^ n pozit ,ia lui vertical a. Sistemul
^ n bucla deschis a este instabil, dar sistemul ^ n bucla deschis a va  stabil.
Folosind metoda locului r ad acinilor putem proiecta mult mai us ,or un controler
pentru un sistem instabil dec^ at cu alte metode de control. Locul r ad acinilor ^ n
cazul sistemului nostru ^ n bucl a ^ nchis a apare ^ n gura 9.
18

4.2 Motorul de curent continuu
Figura 16: Locul r ad acinilor ^ n bucl a ^ nchis a cu react ,ie proport ,ional a s ,i deriva-
tiv a
4.2 Motorul de curent continuu
4.2.1 Introducere, unelte necesare
Arduino
Driver
Encoder
Matlab
4.2.2 Modelarea motorului de curent continuu
Abordarea matematic a
4.2.3 Identicarea motorului
Achizit ,ia datelor
Determinarea experimental a a r aspunsului
19

4.3 Reglarea vitezei de rotat ,ie (turat ,ie)
4.3 Reglarea vitezei de rotat ,ie (turat ,ie)
4.3.1 Reglarea pozit ,iei motorului
4.4 Calculul unghiului de inclinare
4.4.1 Estimarea unghiului de inclinat ,ie cu un Accelerometru
Realizarea comunicat ,iei prin I2C- bus
Achizit ,ia datelor
4.4.2 Filtrarea datelor pentru o estimare corect a al unghiului de
inclinat ,ie
Alegerea algoritmului de ltrare
Implementarea algoritmului pe Arduino
4.4.3 Rezultate
4.5 Implementarea pendulului inversat
4.5.1 Realizarea zic a pendulului inversat
Unelte, scule necesare
Procesul de realizare
4.5.2 Realizarea circuitului de control
4.5.3 Echilibrarea pendulului inversat
Algoritmi de reglare
Proiectarea regulatorului
Acordarea regulatoarelor prin ^ ncerc ari
4.6 Rezultate nale
20

Capitolul 5 – CONCLUZII
Capitolul 5 – CONCLUZII
21