Divizibilitatea în Zi [604606]

Divizibilitatea în Z[i]
Student: [anonimizat]
1 Preliminarii 3
2 Divizibilitatea în Z[i] 4
2.1 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Divizibilitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Descompunerea în factori primi în Z[i] 9
3.1 Teorema împărțirii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Algoritmul lui Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Teorema lui Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Factorizarea unică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Aritmetica lui Z[i] 24
4.1 Aritmetică modulară . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Aplicatii ale lui Z[i] în aritmetica lui Z. . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Elemente prime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2

Capitolul 1
Preliminarii
3

Capitolul 2
Divizibilitatea în Z[i]
2.1 Norma
Observație 2.1.1 .În mulțimea numerelor întregi pentru a măsura folosim
valoarea absolută. În Z[i]vom folosi norma.
Definiție 2.1.2. Fie=a+bi2Z[i], numim normă produsul
N() == (a+bi)(abi) =a2+b2:
Exemple 2.1.3 .N(3 + 5 i) = 32+ 52= 9 + 25 = 34
N(7) = 72= 49
N(1) = 1
Observație 2.1.4 .Fiem2Z, avem: N(m) =m2.
Teoremă 2.1.5. Fie; 2Z[i],N() =N()N():
Demonstrație: Avem ; 2Z[i], adică există a; b; c; d 2Zpentru care are
loc=a+biși=c+di. Deci = (a+bi)(c+di) =acbd+adi+cbi=
(acbd) + (ad+bc)i.
Vom calcula N()N()șiN():
N()N() =N(a+bi)N(c+di) = ( a2+b2)(c2+d2) =a2c2+a2d2+
b2c2+b2d2= (ac)2+ (ad)2+ (bc)2+ (bd)2
N() =N((acbd) + ( ad+bc)i) = ( acbd)2+ (ad+bc)2= (ac)2
2abcd +(bd)2+(ad)2+2abcd +(bc)2= (ac)2+(ad)2+(bc)2+(bd)2Având în
vedere cele două rezultate obținute deducem că are loc egalitatea: N() =
N()N():
4

2.2 Divizibilitatea în Z[i]
Observație 2.1.6 .Știm faptul că a+bieste un număr complex, prin urmare
acesta are valoarea absolută:
ja+bij=p
a2+b2:
Norma lui a+bieste:
N(a+bi) =a2+b2=ja+bij2:
Observație 2.1.7 .Motivul pentru care alegem să lucrăm cu norme în Z[i]este
faptul că normele sunt numere întregi, prin urmare aceste norme vor avea
proprietăți legate de divizibilitate, în timp ce valorile absolute ale numerelor
complexe sunt rădăcini pătrate.
Observație 2.1.8 .Norma oricărui element din Z[i]este un întreg nenegativ,
norma având forma a2+b2, unde a; b2Z:
Totuși, nu orice număr întreg poate fi o normă, deoarece nu orice intreg poate
fi scris ca sumă de două pătrate perfecte.
Exemple 2.1.9 .:
3; 7; 11; 15; 19 și 21 sunt numere întregi ce nu pot fi scrise ca sumă de
două pătrate perfecte, prin urmare ele nu pot fi valori ale unor norme pe Z[i].
Corolar 2.1.10. Singurele elemente inversabile din Z[i]sunt1șii:
Demonstrație: Remarcăm faptul că 1șiisunt inversabile în Z[i]. 1 și
-1 sunt fiecare propriul său invers, iar i și -i se au ca invers unul pe celălalt.
În continuare, presupunem 2Z[i]un element inversabil.
Dacă este inversabil, atunci există 2Z[i]pentru care are loc relația
= 1. Aplicând acestei relații norma, în ambii membrii, obținem N() =
N(1),N()N() = 1 :Această ultimă relație este defapt o ecuație în Zdin
care deducem faptul că N() =1. Cum N()0avem N() = 1 :
Știm faptul că 2Z[i], adică există a; b2Zastfel încât =a+bi, prin
urmare ecuația N() = 1 devine N(a+bi) = 1 ,a2+b2= 1,(a;b)2
f(1; 0);(0;1)g , =1;i.
Observație 2.1.11 .Elementele inversabile sunt numite unități. În Zele sunt
1:Unitățile lui Z[i]sunt1șii:
Observație 2.1.12 .A ști un întreg a lui Gauss până la înmulțirea cu o unitate
este asemenea cu a ști un întreg până la semn.

2.2 Divizibilitatea în Z[i]
2.2 Divizibilitatea
Definiție 2.2.1. Spunem despre 2Z[i]că divide pe 2Z[i](și scriem
j) dacă există
2Z[i]pentru care are loc relația =
.
Despre spunem că este un divizor sau un factor al lui .
Exemple 2.2.2 .Avem 143i= (4 + 5 i)(12i), deci 4 + 5 idivide 143i.
(4 + 5 i)̸ j(14 + 3 i)deoarece:
14+3 i
4+5i=(14+3 i)(45i)
(4+5i)(45i)=5670i+12i+15
16+25=7158i
41=71
4158
41i;unde71
41;58
41̸2Z;deci
14+3 i
4+5i̸2Z[i],(4 + 5 i)̸ j(14 + 3 i):
Teoremă 2.2.3. Un=a+bi2Z[i]se divide cu un c2Zdacă și numai
dacă cjașicjbînZ:
Demonstrație: ÎnZ[i]avem cja+bi, 9 m; n2Zpentru care a+bi=
c(m+ni),a=cmșib=cn, adică cjașicjb:
Observație 2.2.4 .Luând b= 0 în Teorema 2.2.3. observăm faptul că diviz-
ibilitatea numerelor întregi nu se schimbă atunci când lucrăm în Z[i]:Mai
exact, având a; c2Z,cjaînZ[i]dacă și numai dacă cjaînZ:
Teoremă 2.2.5. Fie; 2Z[i];dacă jînZ[i]atunci N()jN()înZ:
Demonstrație: Avem jînZ[i], adică 9
2Z[i]pentru care =
.
Aplicând norma în fiecare membru obținem N() =N()N(
), mai exact o
ecuație în Zechivalentă cu faptul că N()jN():
Observație 2.2.6 .Datorită faptului că norma unui produs de elemente din
Z[i]este produsul normelor factorilor are loc teorema demonstrată anterior.
Această teoremă face legătura dintre divizibilitatea în Z[i]și divizibilitatea
înZ:
Observație 2.2.7 .Teorema 2.2.5. este utilă pentru a arăta faptul că un el-
ement din Z[i]nu divide alt intreg al lui Gauss, verificănd divizibilitatea
normelor celor două elemente în Z:Acest lucru este convenabil deoarece sun-
tem mai obisnuiți cu divizibilitatea și proprietățile ei din Z:
Exemplu 2.2.8 .(3 + 7 i)̸ j(10 + 3 i), deoarece N(3 + 7 i) = 9 + 49 = 58 și
N(10 + 3 i) = 100 + 9 = 109 , iar 58̸ j109, adică N(3 + 7 i)̸ jN(10 + 3 i)
Observație 2.2.9 .Reciproca Teoremei 2.2.5. nu este valabilă, în general.
Teorema 2.2.5. ne spune că divizibilitatea, în Z, a normelor a doi întregi ai
lui Gauss implică divizibilitatea celor două elemente din Z[i]:

2.2 Divizibilitatea în Z[i]
Exemplu 2.2.10 .Fie= 14 + 3 iși= 4 + 5 i:
Avem: N() = 196 + 9 = 205 șiN() = 16 + 25 = 41
205 = 41
5,41j205,N()jN()
Dar din Exemplul 2.2.2. știm că (4 + 5 i)̸ j(14 + 3 i),̸ j
Observație 2.2.11 .Pentru a verifica divizibilitatea în Z[i], metoda cea mai
completă este scrierea sub formă de raport a celor două elemente, cu divizorul
ca fiind numitor, iar mai apoi efectuarea raționalizării. Dacă ceea ce obținem
este un intreg al lui Gauss atunci divizibilitatea are loc, altfel nu.(Exemplul
2.2.2)
Corolar 2.2.12. Un intreg al lui Gauss are norma pară dacă și numai dacă
este un multiplu de 1 +i:
Demonstrație: Avem N(1 + i) = 2 deci orice multiplu de 1 +iare norma
pară.
Fie=m+ni,2Z[i];astfel încât N()este un număr întreg par.
Avem N() =m2+n2de unde deducem faptul că m2+n20(mod) 2,
adică mșinau aceeași paritate. Acest lucru poate fi scris astfel mn
(mod) 2.
Faptul că este un multiplu de 1 +ieste echivalent cu (1 + i)j(m+ni),
adică există u; v2Zpentru care are loc m+ni= (1 + i)(u+vi):
Știm că (1 + i)(u+vi) = uv+ui+vi= (uv) + ( u+v)i, deci
m+ni= (uv) + (u+v)i,
{m=uv
n=u+v
⇕
{2u=m+n
2v=nm
⇕
{u=m+n
2
v=nm
2
Având în vedere faptul că mn(mod) 2, deducem faptul că există
u; v2Zpentru care m+ni= (1 + i)(u+vi), deci =m+nieste un
multiplu de 1 +i:
Exemplu 2.2.13 .N(1 + 3 i) = 1 + 9 = 10
1 + 3 i= (1 + i)(2 + i)
Exemplu 2.2.14 .N(1i) = 1 + 1 = 2
1i= (i)(1 + i)

2.2 Divizibilitatea în Z[i]
Observație 2.2.15 .ÎnZ, dacă avem jmj=jnjatunci m=n, deci meste
produsul dintre nși una dintre unități.
ÎnZ[i], dacă avem N() =N()nu este întotdeauna adevărat faptul că
este produsul dintre și una dintre unități.
Exemplu 2.2.16 .N(4 + 5 i) = 41 = N(45i)
Totuși: 1(4 + 5 i) = 4 + 5 i̸= 45i
1(4 + 5 i) =45i̸= 45i
i(4 + 5 i) =5 + 4 i̸= 45i
i(4 + 5 i) = 54i̸= 45i
Deci 45inu este produsul dintre 4 + 5 iși una dintre unități.

Capitolul 3
Descompunerea în factori primi în Z[i]
Acest capitol are ca scop principal studierea descompunerii în factori
primi în Z[i]. Pentru realizarea acestui lucru vor fi introduse niste rezultate
obținute prin analogie cu ceea ce se întampla în Z. Toate aceste analogii au
fost obtinute pornind de la exemple concrete generalizând.
3.1 Teorema împărțirii
După cum specifică titlul acestei sectiuni, urmează a fi prezentat un rezul-
tat care va înlocui Teorema împărțirii cu rest din Z, fiind defapt o adaptare
a teoremei la contextul Inelului întregilor lui Gauss. Pentru a facilita în-
telegerea materialului, vom prezenta mai întâi enunțul teoremei, iar mai apoi
folosind exemple vom clarifica modul în care aceast rezultat a fost obținut.
Aceste exemple vor fi utile și pentru a construi o demonstrație ușor de par-
curs pentru cititor, dar vor oferi informații importante și despre modul în
care putem utiliza Teorema 3.1.1 mai departe având în vedere atât partea
teoretică pe care dorim să o studiem cât și aplicațiile imediate ale acestui
rezultat.
Teoremă 3.1.1. (Teorema împărțirii) Pentru ; 2Z[i]; ̸= 0;există

; 2Z[i]astfel încât au loc =
+șiN()< N ():
Observație 3.1.2 .Din exemple, și nu numai, vom observa faptul că vom putea
alege restul astfel încât acesta să aibă norma N()1
2N():
Exemplu 3.1.3 .Fiind date două elemente ; 2Z[i], vom căuta câtul și
restul împărțirii lui la. Câtul va fi notat cu
, iar restul cu :Vom face
acest lucru urmând următorii pași:
Fie= 237 426iși=2 + 5 i:
9

3.1 Divizibilitatea în Z[i]
Pasul 1: (Căutam raspunsul exact al împărțirii lui la)

=237426i
2+5i=(237 426i)(25i)
(2+5i)(25i)=237( 2)+237( 5i)426i(2)426i(5i)
4+25=2
2375
426
29+
2
4265
237
29i=2604
29+333
29i:
Pasul 2: (Aproximăm partea reală și cea imaginară a rezultatului găsit)
Avem2604
29 89;79 90și333
29 11;48 11, prin urmare

=9011i:
Pasul 3: (Căutăm restul)
Știim că are loc =
+, deci =
;deci = 237 426i(2 +
5i)(9011i) = 237 426i(180 + 22 i450i+ 55) = 237 426i(235
428i) = (237 235) + ( 426 + 428) i= 2 + 2 i:
Pasul 4: (Verficam condiția asupra normei):
N(2 + 2 i) = 22+ 22= 8
N(2 + 5 i) = (2)2+ 52= 4 + 25 = 29
Se observă că 8<29,N(2 + 2 i)< N (2 + 5 i),N()< N ()și mai
mult 829
2,N(2 + 2 i)N(2+5i)
2,N()N()
2:
Observație 3.1.4 .La Pasul 2 din exemplul anterior am ales să aproximăm la
cel mai apropiat întreg. În exemplul următor vom vedea ceea ce se întamplă
cănd folosim atât aproximarea prin lipsă cât și cea prin adaos.
Exemplu 3.1.5 .Revenim la Pasul 2 din Exemplul 3.1.3. unde avem 4 variante
de aproximare a perechii de rapoarte găsite:
A.2604
29 89;79 90și333
29 11;48 11
B.2604
29 89;79 90și333
29 11;48 12
C.2604
29 89;79 89și333
29 11;48 11
D.2604
29 89;79 89și333
29 11;48 12.
Vom efectua Pasul 3 și Pasul 4 pentru fiecare situație în parte:
Varianta A. (se regăsește în Exemplul 3.1.3.)
Varianta B.
Avem =
;deci = 237 426i(2 + 5 i)(9012i) = 237 426i
(180 + 24 i450i+ 60) = 237 426i(240426i) = (237 240) + ( 426 +
426)i=3:
N() =N(3) = 9 <29 = N(2 + 5 i) =N();mai mult N() =N(3) =
929
2=N(2+5i)
2=N()
2:
Varianta C.
= 237 426i(2 + 5 i)(8911i) = 237 426i(178 + 22 i445i+
55) = 237 426i(233423i) = (237 233) + ( 426 + 423) i= 43i:
N() =N(43i) = 42+ (3)2= 16 + 9 = 25 <29 = N(2 + 5 i) =N()
Varianta D.
= 237 426i(2 + 5 i)(8912i) = 237 426i(178 + 24 i445i+
60) = 237 426i(238421i) = (237 238) + ( 426 + 421) i=15i:
N() =N(15i) = 12+ (5)2= 1 + 25 = 26 <29 = N(2 + 5 i) =N()

3.1 Divizibilitatea în Z[i]
Observație 3.1.6 .Toate cele patru variante prezentate anterior satisfac enunțul
Teoremei 3.1.1.. Privind la ceea ce se întâmplă în Z, unde alegem cel mai
mic rest pozitiv posibil suntem tentați să alegem Varianta A ca fiind cea mai
convenabilă deoarece N(2 + 2 i) = 8 < N (3) = 9 < N (43i) = 25 <
N(15i) = 26 < N () = 29 :Pentru a descoperi mai multe detalii vom
aborda și alte exemple.
Exemplu 3.1.7 .Acest exemplu ne ilustează ceea ce se întâmplă în Z:
Fie= 2361 și= 11 :

=2361
11= 214 ;(63)214;63214
= 2361 21411 = 2361 2354 = 7
Adică 2361 = 214
11 + 7 :
Alternativa ar fi
=2361
11= 214 ;(63)214;63215,= 2361 215
11 =
23612365 = 4:
Observație 3.1.8 .ÎnZ, observăm faptul că pentru efectuarea împărțirii cu
rest a două numere pozitive alegem, pentru aproximare, cel mai mare număr
întreg mai mic decat valoarea raportului.
Exemple 3.1.9 .Vom exemplifica și celelalte cazuri din Z:
Pentru ;  < 0avem:
Fie=37și=8:Obținem:

=37
8=37
84;6254și=37(8)
4 =37 + 32 = 5<0:Cum
restul este negativ, această situație nu convine.
Alternativa este varianta corectă:
=37
8=37
84;6255și=37
(8)
5 =37 + 40 = 3 .
Deci, în Z, preferăm 37 = ( 8)
5 + 3 față de 37 = ( 8)
45:
Pentru  > 0și < 0avem:
Fie= 43 ,=5:Obținem:
43
5=8;6 9și= 43(9)
(5) = 43 45 =2<0. Ceea ce nu
convine.
Varianta corectă este:43
5=8;6 8și= 43(8)
(5) = 43 40 = 3
Prin urmare, alegem 43 = ( 5)(8) + 3 în loc de 43 = ( 5)(9)2:
Pentru  < 0și > 0avem:
Fie=81,= 7:Obținem:
81
7 11;57 11și=81(11)
7 =81 + 77 = 4<0. Ceea ce
nu convine.
Varianta corectă este:81
7 11;57 12și=81(12)
7 =
81 + 84 = 3
Prin urmare, alegem 81 = 7( 12) + 3 în loc de 81 = 7( 11)4:
Observație 3.1.10 .Putem observa faptul că în Zcondiția asupra restului din
Teorema împărțirii cu rest, mai exact faptul că restul este condiționat a fi

3.1 Divizibilitatea în Z[i]
pozitiv și strict mai mic decât valoarea absolută a împărțitorului, influențează
în mod clar alegerea câtului și oferă unicitate câtului și restului.
Observație 3.1.11 .ÎnZ, pentru a păstra unicitatea câtului și a restului,
condiția pusă asupra restului conține o parte care restricționează semnul
restului și o parte care leagă măsura restului de ceea a împărțitorului.
Pentru a formula, în Z[i], o teoremă analoagă cu cea din Z, vom folosi o
condiție apropiată.
Teorema 3.1.1. stabilește oarecum, prin implicarea normei, semnul și măsura
restului, însă nu este păstrată și unicitatea prezentă în contextul numerelor
întregi.
Observație 3.1.12 .ÎnZ, fiind date un și un , alegerea câtului, în contextul
Teoremei împărțirii cu rest, se face în funcție de natura împărțitorului după
cum urmează:
Dacă  > 0atunci câtul
= [
].
Dacă  < 0atunci câtul
= [
] + 1 .
Observație 3.1.13 .Revenind la Teorema 3.1.1., se observă ușor faptul că în
Inelul întregilor lui Gauss avem 4 variante de a alege câtul și restul, spre
deosebire de cazul numerelor întregi unde aveam 2 posibilități, iar în urma
aplicării condițiilor asupra restului reușim să alegem cea mai convenabilă
situație. În continuare vom încerca să restrangem condiția asupra restului
pentru a selecta eficient variantele.
Exemplu 3.1.14 .Pentru a înțelege care sunt componentele ce influențează
alegerea convenabilă a câtului pentru contextul întregilor lui Gauss avem
nevoie de mai multe exemple concludente.
Fie= 12 + 24 iși= 5 + 2 i:Avem:

=12+24 i
5+2i=(12+24 i)(52i)
(5+2i)(52i)=108+96 i
29=108
29+96
29i
108
293;72
96
293;31
Varianta A: Aproximăm ambele rapoarte prin adaos:
108
293;724
96
293;314
Astfel obținem
= 4 + 4 iși= (12 + 24 i)(4 + 4 i)(5 + 2 i) = (12 + 24 i)
(12 + 28 i) = (12 12) + (24 28)i=4i:
Observăm N() =N(4i) = (4)2= 1629=2 =N()
Varianta B: Aproximăm ambele rapoarte prin lipsă:
108
293;723
96
293;313
Astfel obținem
= 3 + 3 iși= (12 + 24 i)(3 + 3 i)(5 + 2 i) = (12 + 24 i)
(9 + 21 i) = (12 9) + (24 21)i= 3 + 3 i:
Observăm N() =N(3 + 3 i) = 32+ 32= 18 <29 = N()

3.1 Divizibilitatea în Z[i]
Varianta C: Aproximăm fiecare raport la cel mai apropiat întreg:
108
293;724
96
293;313
Astfel obținem
= 4 + 3 iși= (12 + 24 i)(4 + 3 i)(5 + 2 i) = (12 + 24 i)
(14 + 23 i) = (12 14) + (24 23)i=2 +i:
Observăm N() =N(2 +i) = (2)2+ 12= 529
2=N()
2
Varianta D:
108
293;723
96
293;314
Astfel obținem
= 3 + 4 iși= (12 + 24 i)(3 + 4 i)(5 + 2 i) = (12 + 24 i)
(7 + 26 i) = (12 7) + (24 26)i= 52i:
Observăm N() =N(52i) = (2)2+ 52= 29 = N()
Observație 3.1.15 .Din exemplul anterior, unde la Varianta D am obținut
un rest cu norma egală cu norma împărțitorului, deducem imediat faptul
că pentru a eficientiza munca folosind o Teoremă a împărțirii în Z[i], este
nevoie de o condiție mai restrictivă asupra restului. Această condiție va fi
cea prezentă în Observația 3.1.2..
Înainte de a prezenta și demonstra o variantă finală a Teoremei 3.1.1., dorim
să analizăm efectul condiției introduse prin Observația 3.1.2.. Din Exemplele
3.1.3., 3.1.5. și 3.1.14. se poate observa că astfel putem reduce numărul de
cazuri existente pentru alegerea unui cât și a unui rest, păstrând doar cele
mai utile variante. Totuși, spre deosebire de ceea ce se întâmplă în Z;nu
avem unicitate.
Observație 3.1.16 .Tot folosind Exemplele 3.1.3., 3.1.5. și 3.1.14., observăm
faptul că cea mai mică normă a restului se obține atunci când rapoartele
sunt aproximate fiecare cu cea mai mică eroare posibilă. La prima vedere,
acest fapt ne conduce la idee că am putea obține o oarecare unicitate și în
contextul împărțirii cu rest din Z[i]. Totuși, este interesant de observat ce
se întâmplă atunci când nu avem o "cea mai bună aproximare" pentru cele
două rapoarte.
Exemplu 3.1.17 .Fie= 37 + 3 iși= 6 + 4 i:Avem:

=37+3 i
6+4i=(37+3 i)(64i)
(6+4i)(64i)=234130i
52=234
52+130
52i
234
52= 4;5
130
52=2;5
În acest caz nu mai avem o aproximare a celor două rapoarte care să ne ofere
o eroare mai mică fața de celelalte 4 opțiuni.
Varianta A:
234
52= 4;55
130
52=2;5 3
Deci avem
= 53iși= (37+3 i)(6+4 i)(53i) = (37+3 i)(42+2 i) =

3.1 Divizibilitatea în Z[i]
(3742) + (3 2)i=5 +i:
Observăm N() =N(5 +i) = 1 + ( 5)2= 2652
2=N()
2
Varianta B:
234
52= 4;55
130
52=2;5 2
Deci avem
= 52iși= (37+3 i)(6+4 i)(52i) = (37+3 i)(38+8 i) =
(3738) + (3 8)i=15i:
Observăm N() =N(15i) = (1)2+ (5)2= 2652
2=N()
2
Varianta C:
234
52= 4;54
130
52=2;5 3
Deci avem
= 43iși= (37+3 i)(6+4 i)(43i) = (37+3 i)(362i) =
(3736) + (3 + 2) i= 1 + 5 i:
Observăm N() =N(1 + 5 i) = (1)2+ (5)2= 2652
2=N()
2
Varianta D:
234
52= 4;54
130
52=2;5 2
Deci avem
= 42iși= (37+3 i)(6+4 i)(42i) = (37+3 i)(32+4 i) =
(3732) + (3 4)i= 5i:
Observăm N() =N(5i) = (1)2+ (5)2= 2652
2=N()
2
Observație 3.1.18 .Exemplul anterior prezentat ilustrează perfect modul în
care ideea de a folosi "cea mai bună aproximare" nu ne conduce mereu la
o unică variantă convenabilă, prin urmare nu putem include unicitatea în
Teorema împărțirii din Z[i]:
Exemplu 3.1.19 .ÎnZ, un caz similar cu cel prezentat prin Exemplul 3.1.17.
ar fi:
7
2= 3;5
Conform Observatiei 3.1.12. alegem câtul ca fiind 3, deci 7 = 2
3 + 1 :
Dacă am alege câtul ca fiind 4, am avea 7 = 2
41, adică restul -1, ceea ce
nu convine.
În concluzie, în Zse păstrează, după cum știm, unicitatea, dar în Z[i]aceasta
nu poate fi păstrată.
Observație 3.1.20 .O altă observație importantă, obținută pe baza Exemplu-
lui 3.1.17., relativ la Observația 3.1.2., ar fi faptul că egalitatea este impor-
tantă în restricția pe care o aplicăm asupra restului.
Fără a considera valid cazul în care N() =N()
2, exemplul anterior precizat,
și nu numai, nu ar fi acoperit de teorema pe care dorim să o obținem, prin
urmare egalitatea este indispensabilă.

3.2 Divizibilitatea în Z[i]
Teoremă 3.1.21. (Teorema împărțirii) Pentru ; 2Z[i]; ̸= 0;există

; 2Z[i]astfel încât au loc =
+șiN()N()
2:
Demonstrație: Avem ; 2Z[i], cu ̸= 0 și dorim să găsim
; 2Z[i]
pentru care are loc =
+șiN()N()
2:Vom proceda după modelul
oferit de exemplele analizate.
Luăm raportul:

=
=
N()=m+ni
N()=m
N()+n
N()i;
unde considerăm m+ni=:
Știm că m; n2ZșiN()2Z. Notăm cu a:="cel mai apropiat număr
întreg de valoarea raportuluim
N()"și cu b:="cel mai apropiat număr întreg
de valoarea raportuluin
N():"
Vom considera
=a+bi2Z[i]și=
:
Deci

=

=
, prin urmare N(

) =N(
) =N()
N().
AvemN()
N()=N(
) =N(

) =N(m
N()+n
N()iabi) =N((m
N()a) +
(n
N()b)i) = (m
N()a)2+ (n
N()b)21
4+1
4=1
2,N()N()
2:
Reamintim faptul că, spre deosebire de cazul Teoremei împărțirii cu rest din
Z, conform observațiilor făcute pe parcursul acestei secțiuni, nu putem vorbi
despre unicitatea câtului
și a restului :
3.2 Algoritmul lui Euclid
Această secțiune este dedicată noțiunii de "cel mai mare divizor comun" a
două elemente din Z[i]și a algoritmului specific de căutare a unui astfel de
divizor, numit Algoritmul lui Euclid. Datorită acestui fapt vom începe prin
a defini noțiunea și a face cateva observații utile pentru întelegerea conținu-
tului.
Definiție 3.2.1. Fie; 2Z[i];cu; ̸= 0;numim un cel mai mare divizor
comun a celor două elemente un divizor comun cu norma maximă.
Observație 3.2.2 .O definiție analogă, în Z, am obține dacă am considera cel
mai mare divizor comun a două numere întregi fiind un divizor comun cu
modulul cel mai mare posibil, dar acest fapt ar conduce la posibilitatea de a
obține două valori diferite pentru cel mai mare divizor comun, valori ce sunt
defapt numere opuse.
Asemenea cazului numerelor întregi, dacă unul dintre saueste 0,
celălalt va fi cel mai mare divizor comun.

3.2 Divizibilitatea în Z[i]
Observație 3.2.3 .Folosind observația anterioară ajungem la concluzia că, în
Z, două numere relativ prime ar fi două numere întregi a căror cel mai mare
divizor comun este 1 sau -1, mai exact una dintre unități. Revenind la Z[i],
vom spune despre două elemente că sunt relativ prime dacă vom găsi un cel
mai mare divizor comun dintre 1, -1, isaui:
Definiție 3.2.4. Spunem despre ; 2Z[i]că sunt relativ prime dacă un
cel mai mare divizor comun a celor două elemente este una dintre unități.
Observație 3.2.5 .Pentru a determina cel mai mare divizor comun a două
numere întregi se aplică succesiv Teorema împărțirii cu rest. Acest procedeu
se numește "Algoritmul lui Euclid".
În contextul inelului Z[i], vom aplica succesiv forma prezentată prin Teo-
rema 3.1.1., astfel vom obține o formă a "Algoritmului lui Euclid" adaptată
întregilor lui Gauss.
Teoremă 3.2.6. (Algoritmul lui Euclid) Fie ;  doua elemente ale inelului
Z[i].
Dacă unul este nul, atunci este evident faptul că celalalt este un cel mai
mare divizor comun al lor. Prin urmare presupunem ̸= 0 și̸= 0.
Aplicăm teorema împărțirii cu rest elementelor șiobținând =
1+
1, unde 1= 0 sauN(1)< N ().
Dacă 1̸= 0aplicăm aceeași teoremă pentru și1, adică =1
2+2,
unde 2= 0 sauN(2)< N (1).
Dacă 2̸= 0 obținem în mod analog 1=2
3+3cu3= 0 sau
N(3)< N (2)și se contiună până cănd restul va fi 0.
Avem N(1)> N (2)> ::: care este un șir strict descrescător de numere
naturale, adică după un număr finit de pași vom obținem inevitabil un rest
nul.
Altfel scris:
=
1+1
=1
2+2
::: (1)
n2=n1
n+1+n;
n1=n
n+2+ 0;
unde j; j= 1; : : : ; n:
Trebuie să aratăm că neste cel mai mare divizor comun al elementelor
și.
Din relațiile (1) observăm că: n=n1,n1=n2,…. Deci n=așin=b.

3.2 Divizibilitatea în Z[i]
Invers, fie zun divizor comun al lui și, din (1) avem: z= 1; 1=2; :::.
Adică z=n:Conform Teoremei 2.2.5. avem N(z)=N(n), deci fiind vorba
de numere naturale obținem N(z)N(n), prin urmare nun este cel mai
mare divizor comun al elementelor și.
În următoarele exemple vom determina un cel mai mare divizor comun a
unor perechi de elemente din Z[i]folosind Algoritmul lui Euclid.
Exemplu 3.2.7 .Fie= 314iși= 76i:Vom aplica în mod repetat
Teorema împărțirii după cum ne spune algoritmul prezentat anterior.
Avem =
1+1.

=314i
76i=(314i)(7+6 i)
(76i)(7+6 i)=10580i
85=105
8580
85i
105
851;2351
80
85 0;94 1
Prin urmare vom alege
1= 1iși1= 314i(76i)(1i) =
314i(113i) = 2i̸= 0
Obținem: 314i= (76i)(1i) + 2i
Deoarece 1̸= 0vom continua: =1
2+2

1=76i
2+i=(76i)(2i)
(2+i)(2i)=205i
5= 4i:
Deci vom aveam
2= 4iși2= 0:
Conform Algoritmului lui Euclid avem 1= 2iun cel mai mare divizor
comun al = 314iși= 76i:
Observație 3.2.8 .Având în vedere faptul că în Z[i]câtul și restul din Teorema
împărțirii nu sunt unice este evident că nici cel mai mare divizor comun nu
este unic. Acest lucru se observă ușor dacă privim următorul exemplu.
Exemplu 3.2.9 .Fie= 37 + 3 iși= 6 + 4 i:Potrivit Exemplului 3.1.17.
avem:
37 + 3 i= (6 + 4 i)(53i)5 +i
37 + 3 i= (6 + 4 i)(52i)15i
37 + 3 i= (6 + 4 i)(43i) + 1 + 5 i
37 + 3 i= (6 + 4 i)(42i) + 5i
Observăm faptul că resturile obținute diferă doar prin produsul cu una dintre
unități. Prin urmare oricare dintre cele 4 resturi este la fel de potrivit pentru
continuarea algoritmului.
1(5 +i) =1(5i) =i(1 + 5 i) =i(15i)
Totuși, vom prezenta fiecare variantă posibilă pentru a trage concluzii și
asupra rezultatelor obținute.
Pentru 37 + 3 i= (6 + 4 i)(53i)5 +iavem
1= 53iși1=5 +i:
Pentru 37 + 3 i= (6 + 4 i)(52i)15iavem
1= 52iși1=15i:
Pentru 37 + 3 i= (6 + 4 i)(43i) + 1 + 5 iavem
1= 43iși1= 1 + 5 i:

3.2 Divizibilitatea în Z[i]
Pentru 37 + 3 i= (6 + 4 i)(42i) + 5iavem
1= 42iși1= 5i:
Deci la următorul pas vom aveam:

11=6 + 4 i
15i=(6 + 4 i)(5i)
(5 +i)(5i)=2626i
26=1i
sau

11=6 + 4 i
15i=(6 + 4 i)(1 + 5 i)
(15i)(1 + 5 i)=26 + 26 i
26=1 +i

11=6 + 4 i
15i=(6 + 4 i)(1 + 5 i)
(15i)(1 + 5 i)=26 + 26 i
26=1 +i

11=6 + 4 i
15i=(6 + 4 i)(1 + 5 i)
(15i)(1 + 5 i)=26 + 26 i
26=1 +i
În toate cazurile am obținut un rest nul, prin urmare ultimul rest nenul
va fi un cel mai mare divizor comun. Cele patru variante pe care le-am găsit
sunt5 +i,5i,15iși1 + 5 i:
Observație 3.2.10 .Din exemplul anterior putem observa faptul că cei pa-
tru divizori comuni obținuți cu ajutorul Algoritmului lui Euclid diferă prin
produsul cu una dintre unități.
Corolar 3.2.11. Fie; 2Z[i]șiun cel mai mare divizor comun al celor
doi întregi ai lui Gauss. Orice alt cel mai mare divizor al lui șieste
produsul dintre și una dintre unități.
Demonstrație: Fie′un cel mai mare divizor al lui și:Este evident
faptul că ′j, prin urmare 9
2Z[i]pentru care avem =′
:Aplicând
norma asupra acestei egalități vom obține:
N() =N(′)N(
)N(′):
Deoarece ′este un cel mai mare divizor comun norma sa va fi cea mai
mare posibilă dintre normele divizorilor comuni. Prin urmare inegalitatea se
va transforma în egalitate:
N(′)N(
) =N(′)
Din relația anterioară se deduce imediat faptul că N(
) = 1 , ceea ce
înseamnă că
=1sau
=i:

3.2 Divizibilitatea în Z[i]
Exemplu 3.2.12 .Fie= 52iși= 4 + 3 i.

=52i
4+3i=1423i
25=14
2523
25i
Prin urmare, alegem
1= 1 + iși1=4i̸= 0.

1=4+3i
4i=198i
17=19
178
17i
Vom alege
2=1și2= 2i̸= 0:
1
2=4i
2i=1
2+ 2i
Am obținut
3= 2iși3=i̸= 0.
2
3=2i
i=2
Deci
4=2și4= 0:
Ultimul rest nenul fiind 3=i, deducem faptul că = 52iși= 4 + 3 i
sunt relativ prime.
Altfel scris:
52i= (4 + 3 i)(1 + i)4i
4 + 3 i= (4i)(1) + 2 i
4i= 2i
2ii
2i=i(2) + 0
Exemplu 3.2.13 .Fie= 113iși= 8 + i.

=113i
8+i=(113i)(8i)
65=85
6535
65
Alegem
1= 1iși obținem 1= 2 + 4 i̸= 0:

1=8+i
2+4i=(8+i)(24i)
20=2030i
20= 11
2i:
Alegem
2= 1iși2= 2i̸= 0:
1
2=24i
2i= 2i
Deci
3= 2iși3= 0 Prin urmare un cel mai mare divizor comun al celor
doi întregi ai lui Gauss este 2= 2i:
Altfel scris:
113i= (8 + i)(1i) + 2 + 4 i
8 +i= (2 + 4 i)(1i) + 2i
24i= (2i)2i+ 0
Observație 3.2.14 .Din Exemplul 3.2.9. avem:
N(37 + 3 i) = 372+ 32= 1378 = 2
13
53
N(6 + 4 i) = 62+ 42= 52 = 22
13
N(5 +i) = 52+ 1 = 26 = 2
13
Din Exemplul 3.2.7. avem:
N(314i) = 32+ 142= 205 = 5
41
N(76i) = 72+ (6)2= 85 = 5
13
N(2i) = 5
Aceste exemple ne conduc cu gândul la faptul că norma unui cel mai mare

3.2 Divizibilitatea în Z[i]
divizor comun a două elemente din Z[i]este cel mai mare divizor comun al
normelor elementelor date. Acest lucru este infirmat imediat de Exemplul
3.2.13. unde avem:
N(113i) = 121 + 9 = 130 = 2
5
13
N(8 + i) = 64 + 1 = 65 = 5
13
Evident, cel mai mare divizor comun al numerelor 130și65este 65, dar
N(2i) = 4 + 1 = 5 :
Totuși, putem observa faptul că 5divide 65, prin urmare putem formula
următoare concluzie:
Teoremă 3.2.15. Dacă 2Z[i]este un cel mai mare divizor al lui și,
cu; 2Z[i], atunci N()j(N(); N()):
Demonstrație: fiind un cel mai mare divizor comun al lui șiavem
jșij:Folosind acest fapt avem că N()jN()șiN()jN(), de unde
deducem imediat că N()j(N(); N()):
Exemplu 3.2.16 .Prin Exemplul 2.2.16. am remarcat faptul că 4 + 5 iși
conjugatul său, 45i, nu diferă prin produsul cu una dintre unități. Vom
determina un cel mai mare divizor comun al celor doi întregi ai lui Gauss.
Luăm = 4 + 5 iși= 45i.
4+5i
45i=(4+5i)2
(45i)(4+5 i)=9+40 i
41=9
41+40
41i
Deci
1=iși1=1 +i̸= 0:

1=45i
1+i=(45i)(1i)
(1+i)(1i)=9+i
2=9
2+1
2i:
Considerăm
2=4și2= 45i(4)(1 +i) =i̸= 0
1
2=1+i
i=(1+i)i
1=1i
Prin urmare, avem
3=1iși3= 0:
Altfel scris:
4 + 5 i= (45i)i+ (1 +i)
45i= (1 +i)(4) + ( i)
1 +i=i(1i) + 0
Ultimul rest nenul este 2=i, conform Algoritmului lui Euclid un cel mai
mare divizor comun a celor două elemente conjugate este o unitate. Deci ele
sunt prime între ele.
Observație 3.2.17 .În urma exemplului anterior prezentat, o chestiune intere-
santă ar fi să vedem când două elemente conjugate, din Z[i], sunt relativ
prime.

3.3 Divizibilitatea în Z[i]
Observație 3.2.18 .Este evident că dacă avem =a+biși=abiși
numerele întregi așibnu sunt prime între ele, atunci nici șinu sunt
relativ prime.
Observație 3.2.19 .Conform Corolarului 2.2.12., un element din Z[i]este mul-
tiplu de 1 +idacă și numai dacă are norma pară. Acest lucru înseamnă că
dacă așibsunt relativ prime și au aceeași paritate, atunci =a+biși
=abinu pot fi relativ prime, având norma pară: N() =N() =a2+b2:
Teoremă 3.2.20. Dacă două numere întregi așibsunt relativ prime,în Z,
cuașibavând paritate diferită, atunci a+bișiabisunt relativ prime în
Z[i]:
Demonstrație: Fie2Z[i]un factor comun pentru a+bișiabi. Vom
arăta faptul că este una dintre unități.
Dinj(a+bi)avem că N()jN(a+bi), mai exact N()ja2+b2:
Cum așibnu au aceeași paritate, atunci a2+b2este un număr impar,
prin urmare N()este tot un număr impar.
Din faptul că j(a+bi)șij(abi)deducem j((a+bi) + ( abi))și
j((a+bi)(abi)), adică j2așij2bi. Aplicând norma obținem N()j4a2
șiN()j4b2. Având în vedere faptul că norma lui este un număr impar și
(a; b) = 1 obținem că N() = 1 .
Deci este una dintre unități, iar a+bișiabisunt relativ prime.
Observație 3.2.21 .În Exemplul 3.2.12. avem:
N(52i) = 25 + 4 = 29
N(4 + 3 i) = 16 + 9 = 25
Observăm faptul că cele două norme sunt relativ prime, în Z, iar 52ieste
relativ prim cu 42i, înZ[i]:
Teoremă 3.2.22. Dacă ; 2Z[i]au normele numere întregi prime între
ele, atunci șisunt prime între ele.
Demonstrație: Din (N(); N()) = 1 deducem că dacă este un factor
comun a lui și, atunci N() = 1 :Deci este una dintre unități, prin
urmare șisunt relativ prime.
Observație 3.2.23 .Din Exemplul 3.2.16. deducem faptul că reciproca teore-
mei anterior demonstrate nu este adevărată.
N(45i) = 41 = N(4 + 5 i)
3.3 Teorema lui Bezout
Un rezultat aflat în strânsă legătură cu Algoritmul lui Euclid este Teo-
rema lui Bezout. Dacă privim spre ceea ce se întâmplă în cazul numerelor

3.3 Divizibilitatea în Z[i]
întregi putem spune că această teoremă are niște consecințe împortante în
ceea ce privește conturarea noțiunii de cel mai mare divizor comun și prin
urmare asupra numerelor relativ prime.
Pe parcursul acestei secțiuni vom studia o formă a Teoremei lui Bezout
adaptata Inelului întregilor lui Gauss și eventualele ei consecințe.
Teoremă 3.3.1. (Teorema lui Bezout) Dacă este un cel mai mare divizor
comun al lui ; 2Z[i],; ̸= 0, atunci 9x; y2Z[i]pentru care are loc
=x+y:
Demonstrație: Dacă este un cel mai mare divizor comun al lui și
atunci conform Algoritmului lui Euclid există un șir finit de câturi
nși un
șir finit de resturi n,n2N, cu întregi ai lui Gauss pentru care are loc:
=
1+1
=1
2+2
:::
n4=n3
n1+n2;
n3=n2
n+n1;
n2=n1
n+1+n;
n1=n
n+2+ 0;
Potrivit Teoremei 3.2.6. avem n=și:
=n2n1
n1
n1=n3n2
n
n2=n4n3
n1
:::
2=1
2
1=
1
Folosind acest nou șir de egalități și făcând câteva înlocuiri obținem:
=n2(n3n2
n)
n1

3.4 Divizibilitatea în Z[i]
⇕
=n2(
n+ 1)n3
n1
⇕
= (n4n3
n1)(
n+ 1)n3
n1
⇕
=n4(
n+ 1)n3(
n1
n2
n1
⇕
:::
Este evident faptul că această succesiune de înlocuiri se finalizează prin
înlocuirea lui 2=1
2, iar mai apoi cu cea a lui 1=
1obținându-
se o expresie ce depinde doar de valorile câturilor, și:Deci există x și
y, fiind defapt combinație liniară între valorile câturilor din Algoritmul lui
Euclid, pentru care să putem scrie =x+y:
Observație 3.3.2 .Datorită Corolarului 3.2.11. putem spune despre demon-
strația anterioară că nu este afectată de lipsa de unicitate a celui mai mare
divizor comun.
Corolar 3.3.3. Doi întregi ai lui Gauss șisunt relativ primi dacă și
numai dacă există x; y2Z[i]pentru care are loc:
1 =x+y
Exemplu 3.3.4 .
3.4 Factorizarea unică

Capitolul 4
Aritmetica lui Z[i]
4.1 Aritmetică modulară
4.2 Aplicatii ale lui Z[i] în aritmetica lui Z
4.3 Elemente prime
24

Bibliografie
bibitem I.Purdea,I.Pop , Algebră, Edit2ura GIL , Cluj-Napoca,
2003, Cap.V, 181-199. bibitem JORDAN, JAMES H. The DI-
VISION and EUCLIDEAN ALGORITHMS in the GAUSSIAN
INTEGERS. The Mathematics Teacher, vol. 61, no. 8, 1968,
pp. 759761. JSTOR, www.jstor.org/stable/27957988. Accessed
20 Apr. 2020.
25