Distribut ,ia Boltzmann. Estimarea temperaturii lamentu- [628838]

Distribut ,ia Boltzmann. Estimarea temperaturii lamentu-
lui unei diode cu vid
Aspecte teoretice
O particul a cu sarcina electric a q, plasat a ^ ntr-un c^ amp electric cu potent ,ialulV=
V(x;y;z ) va avea ^ ntr-un punct de coordonate x;y;z energia potent ,ial aEp(x;y;z ) =
qV(x;y;z ). Mai multe particule identice, plasate ^ n acest c^ amp se vor distribui la diverse
energii (sau pozit ,ii) ^ n spat ,iu p^ an a c^ and vor ajunge la echilibru termodinamic. ^In acel
moment particulele vor forma un gaz cu temperatura T, iar distribut ,ia lor pe va  dat a
de distribut ,ia Boltzmann, conform c areia num arul de particule din elementul de volum
dVolcare au energia potent ,ial a ^ n intervalul ( Ep;Ep+dEp) este:
dN(Ep) =N0
ZeEp(x;y;z )
kTdVol(x;y;z ) =N0
ZeqV(x;y;z )
kTdVol(x;y;z ); (1)
undeN0este num arul total de particule, keste constanta lui Boltzmann iar Zeste
o constant a de normare care se poate determina din condit ,ia
R3dN(x;y;z ) =N0.
Probabilitatea ca o particul a din elementul de volum dVols a aib a energia potent ,ial aEp
este:
dP(Ep) =dN(Ep)
N0=1
ZeEp(x;y;z )
kTdVol(x;y;z ): (2)
M arimea:
f(Ep(x;y;z )) =dP(x;y;z )
dVol(x;y;z )=1
ZeEp(x;y;z )
kT =1
ZeqV(x;y;z )
kT (3)
reprezint a densitatea de probabilitate a distribut ,iei Boltzmann ^ n raport cu volumul ocu-
pat. Aceasta descrie o repartit ,ie de probabilitate exponent ,ial a^ n spat ,iul cu 3 dimensiuni,
undex;y;z2[0;1).
Vom studia distribut ,ia num arului de electroni ^ ntr-o diod a cu vid ^ n funct ,ie de
potent ,ialul electric dezvoltat ^ n spat ,iul dintre catodul s ,i anodul diodei. Sarcina elec-
tronilor este q=qe, undeqeeste sarcina elementar a.
Dioda cu vid este un tub de sticla vidat, ^ n care se g asesc cei 2 electrozi: catodul
s,i anodul, plasat ,i concentric. Catodul este ^ nc alzit cu un lament la temperaturi mari,
astfel ^ nc^ at va emite electroni prin efect termoelectronic. Aces ,tia sunt colectat ,i la anod,
obt,in^ andu-se un curent anodic I=Ia. Pe diod a se aplic a o tensiune de fr^ anare U, leg^ and
catodul la potent ,ialul + s ,i anodul la potent ,ialul -. Vom urm ari dependent ,a curentului de
tensiunea de fr^ anare I=I(U). Dac a electronii ar  monoenergetici (cu aceeas ,i energie
E) atunci la cres ,terea tensiunii curentul ar  constant p^ an a la o anumit a valoare a U
pentru care E=qeU, apoi curentul ar deveni 0. ^In realitate ^ ns a electronii au energii
potent ,iale de la 0 la1, conform distribut ,iei Boltzmann. La o valoare a tensiunii de
fr^ anareUvor reus ,i s a ajung a la anod acei electroni pentru care Ep>qeU, astfel ^ nc^ at
se va obt ,ine un curent anodic nenul.
Presupunem c a cei 2 electrozi ai diodei sunt plan-paraleli, a
at ,i la distant ,adunul de
altul s ,i intensitatea c^ ampului electric E=U=deste constant a. Potent ,ialul unui electron
la ^ n alt ,imeazva , relativ la potent ,ialul catodului, VeK(z) =Eziar energia potent ,ial a
1

^ n funct ,ie de ^ n alt ,ime esteEp(z) =qeVeK=qeEz=qeUz=d .^In formula (3) integralele
dup ays,izse introduc ^ n constanta Z. Atunci densitatea de probabilitate devine:
f(Ep(z)) =f(z) =dP(z)
dz=1
ZeEp(z)
kT=1
ZeqeEz
kT: (4)
Pentru noi este mai avantajos ca ^ n locul distant ,eizs a consider am potent ,ialul electric
in modulV=jVeKj=Ez. Atunci (4) devine:
f(V(z)) =f(V) =dP(V)
dV=1
ZeqeV
kT; (5)
undeV2[0;1) s,i aiciZ=
1
0f(V)dV. Probabilitatea ca un electron s a aib a
potent ,ialulVestedP(V) =f(V)dV. Electronii care se a
a la potent ,ialeVU
(distant ,ez>d ) sunt captat ,i de anod s ,i vor determina curentul anodic I. Dac a catodul
emiteN0electroni pe secund a, atunci num arul de electroni pe secund a care ajung la
anod este:
N=N01
UdP(V) =N0
Z1
UeqeV
kTdV=N0eqeU
kT: (6)
Curentul anodic va  atunci I=Nqe:
I=I0eqeU
kT; (7)
undeI0=N0qeeste curentul obt ,inut laU= 0. Logaritm^ and aceast a relat ,ie se obt ,ine:
lnI=qeU
kT+ lnI0: (8)
Aceasta este o lege de variat ,ie liniar a a lui ln I(U), cu panta a=qe
kTs,i interceptul
b= lnI0.
Formula (5) descrie o repartit ,ie de probabilitate exponent ,ial a unidimensional a a unei
variabile aleatoare Xcare ia valorile potent ,ialuluix=V. Densitatea de probabilitate a
repartit ,iei exponent ,iale este de forma:
f(x) =1
ex
;x2[0;1): (9)
^In cazul nostru parametrul =kT
qe. Funct ,ia de repartit ,ie a distribut ,iei exponent ,iale
este:
F(x) =P(X <x ) =x
0f(x0)dx0= 1ex
; (10)
iar complementara sa este:
1F(x) =P(X >x ) =1
xf(x0)dx0=ex
: (11)
Repartit ,ia exponent ,ial a are urm atoarele propriet at ,i:
2

– media variabilei aleatoare Xeste:
m=M(X) =1
0xf(x)dx=: (12)
– abaterea medie p atratic a a lui Xeste:
=p
M((Xm)2) =s1
0(xm)2f(x)dx=: (13)
– momentul de ordinul nal luiXeste:
Mn=M(Xn) =1
0xnf(x)dx;M n=n!n; (14)
de unde rezult a:Mn
n!1=n
=: (15)
Se observ a din (7) s ,i (11) c a curentul anodic prin diod a este dat de:
I=I0(1F(U)): (16)
Atunci funct ,ia de repartit ,ie se poate scrie:
F(U) =I0I
I0: (17)
Rezult a c a dac a Ieste distribuit uniform ^ n intervalul [0; I0] (are densitatea de probabil-
itate constant a ^ n acest interval) atunciI0I
I0va  distribuit uniform ^ n intervalul [0; 1] s ,i
X=Uva  distribuit exponent ,ial. Repartit ,ia uniform a a curentului Ipoate  obt ,inut a
practic aleg^ and la ^ nt^ amplare valorile sale. Atunci parametrul poate  estimat cu una
din formulele (12), (13), (15). Din se poate estima temperatura catodului diodei:
T=qe
k: (18)
^In practic a putem obt ,ine temperatura din media m, iars,iMnle putem folosi ca s a
veric am repartit ,ia exponent ,ial a aX=V.
Montajul experimental
Montajul experimental (g. 1) este compus dintr-o diod a dubl a cu vid (2 diode ^ n
acelas ,i tub vidat), conectat a la o surs a de curent care alimenteaz a lamentul, o surs a de
tensiune reglabil a din care se stabiles ,te tensiunea de fr^ anare Upe diod a s ,i 2 multimetre
pentru m asurarea Us,iI.
3

Figura 1: Schema montajului experimental s ,i modul de transformare a unei repartit ,ii
uniforme ^ ntr-o repartit ,ie exponent ,ial a.
4

Mod de lucru
1. Se introduc ^ n priz a sursele de curent s ,i tensiune. Se las a 5 minute pentru ca
lamentele diodei s a ajung a la temperatura nominal a.
2. Se regleaz a tensiunea de fr^ anare la valoarea minim a (0 V). Se cites ,te curentul I0
generat de diod a.
3. Se regleaz a tensiunea Uastfel ^ nc^ at s a se obt ,in a mai multe valori nIale curentului
Iuniform distribuite ^ n intervalul [0; I0]. Pentru aceasta, se poate proceda ^ n mai multe
feluri: (a) se selecteaz a la ^ nt^ amplare valori ale curentului Iregl^ and tensiunea U, dar
urm arind valorile curentului; (b) se genereaz a aleator un s ,ir de valori ale curentului
Ifolosind un calculator si generatoare de numere aleatoare, de exemplu I0*rand() ^ n
programe de calcul tabelar sau I0*rand(nI) pentru generarea a nIvalori aleatoare ^ n
Scilab, apoi se caut a tensiunile pentru care se obt ,in aceste valori; (c) se iau valori as ,ezate
la distant , a egal a ale Iregl^ and ^ n mod potrivit tensiunea U.
4. Se calculeaz a valorile corespunz atoare ale ln I. Se reprezint a grac ln Ifunct ,ie de
Us,i se face o tare liniar a. Se urm ares ,te dac a dependent ,a este liniar a. Se calculeaz a
panta s ,i interceptul. Din pant a se determin a temperatura lamentului T.
5. Se determin a pe cale statistic a temperatura lamentului, din media valorilor
tensiunii de fr^ anare. Se calculeaz a media aritmetic a m=Ua valorilor lui U, precum s ,i
abaterea medie p atratic a (U). Se veric a egalitatea acestora. Se calculeaz a abaterea
medie p atratic a a mediei (U) =(U)=pnI, care estimeaz a eroarea de determinare a
luiprinm. Opt ,ional se veric a repartit ,ia exponent ,ial a calcul^ and valorile (15) pentru
un num ar de momente de ordinul ns,i compar^ andu-le cu m.
6. Dinmse determin a Tcu (18), lu^ and =m. Se calculeaz a eroarea medie p atratic a
s,i eroarea relativ a a temperaturii:
(T) =qe
k(U); "(T) =(T)
T
100(%): (19)
Valori numerice
– sarcina elementar a: qe= 1;6
1019C
– constanta lui Botzmann: k= 1;38
1023J/K
Tabel cu date experimentale
Nr. crt.I0UIlnIpantam=U(U)(U)TpantaTm(T)"(T)
AVA A/V V V V K K K %
5