Disertatiegabriel [616203]

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I S TIINT  E
SPECIALIZAREA MATEMATICI APLICATE
LUCRARE DE
DISERTAT IE
Absolvent: [anonimizat] u Gabriel
Conduc ator  stiint ic
Lect. univ. dr. Monica Ro siu
-2017-
1

2
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I S TIINT  E
SPECIALIZAREA MATEMATICI APLICATE
LUCRARE DE
DISERTAT IE
Evaluarea titlurilor devaloare
Absolvent: [anonimizat] u Gabriel
Conduc ator  stiint ic
Lect. univ. dr. Monica Ro siu
-2017-

Cuprins
Capitolul 1. Integrala stochastic a 5
3

CAPITOLUL 1
Integrala stochastic a
0.1. Integrala stochastic a It^ o.
^In aceast a sect iune voi prezenta construct ia integralei stochastice It^ o
1R
0HsdMs, undeMseste o martingal a (de obicei mi scarea Brownian a)
iarHseste un proces stochastic adaptat ltr arii corespunz atoare lui
Ms. Din cauz a c a traiectoriile mi sc arii Browniene Btnu au o variat ie
nit a, nu putem denitR
0HsdBsca ind o integral a de tip Lebescgue-
Stiieltjes. Cheia construct iei este izometria ^ n L2, care ne va permite
sa denim integrala stochastic a ca ind limita ^ n L2(P) a unui  sir de
variabile aleatoare convenabil alese.
DenimIclasa integranzilor ca ind clasa funct iilor
f(t;!) : [0;1)
!R
ce veric a urm atoarele condit ii:
i) funct ia (t;!)f7 !(t;!) este m asurabil a ^ n raport cu -algebra
produsBR+F;
ii)f(t;
) este o variabil a aleatoare m asurabil a ^ n raport cu -
algebraFt,8t0;
iii)E1R
0f2(s;!)ds<1.
Numim proces elementar un prces stochastic f(t;!)2Ide forma
f(t;!) ='(!)1[a;b)(t):
Observ am faptul c a propriet at ile ii)  si iii) de mai sus arat a faptul
c a variabila aleatoare '='(!) este o variabil a aleatoare m asurabil a
^ n raport cu - algebraFa, respectiv faptul c a variabila aleatoare '2
este integrabil a. Denim ^ n acest caz integrala stochastic a prin
tZ
0'(!)1[a;b)(s)dBs(!) ='(!)(Bb^t(!)Ba^t(!)):
5

6 1. INTEGRALA STOCHASTIC A
Se numeste proces simplu un proces stochastic f(t;!)2Fce poate
 scris ca o combinat ie liniar a de procese elementare, adic a
f(t;!) =NX
i=1'i(!)1[ai;bi)(t)
, unde't='t(!) sunt variabile aleatoare Fai- m asurabile, cu p atratul
integrabil, 1iN si 0a1b1


aN< b N. Denim
integrala sotchastic a ^ n acest caz prin liniaritate, adic a
tZ
0NX
i=1'(!)1[a;b)(s)dBs(!) =NX
i=1'(!)(Bb^t(!)Ba^t(!)):
^In cele ce urmeaz a vom prezenta propriet at ile integralei denite mai
sus.
Propozit ia 1.Dac af2Ieste un proces simplu, m arginit, atunci
integrala stochastic a
Nt(!) =tZ
0f(s;!)dBs(!)
este o martingal a continu a  si are loc urm atoarea proprietate de izome-
trie:
E" tZ
0f(s;!)dBs(!)!2#
=EtZ
0f(s;!)ds:
Pentru a extinde denit ia integralei stochastice la cazul general al
unui proces f2Iintroducem, pentru ^ nceput, urm atorul rezultat:
Lema 1.Dac af2 I , atunci exist a un  sir de procese simple,
m arginite,fn2I astfel ^ ncat
(0.1) E1Z
o(f(s;!)fn(s;!)2ds)!0pentrun!1
Folosind acest rezultat, putem demonstra teorema ce urmeaz a.
Teorem a1.Oricare ar  procesul f2I si  sirul de procese simple
(fn)n2NI cu
(0.2) E1Z
o(f(s;!)fn(s;!)2ds)!0pentrun!1
procesulNn
t(!) =tR
0fn(s;!)dBs(!)converge ^ n L2(P), uniform ^ n
raport cut2[0;1), c atre o martingal a continu a Nt(!). Mai mult,

1. INTEGRALA STOCHASTIC A 7
limita este independent a de alegerea  sirului (fn)n2Nfolosit ^ n aproxi-
marea funct iei f.
Definit ia 1 (Integrala stochastic a It^ o) .Denim integrala stochas-
tic a It^ o a unui proces stochastic f2I, ^ n raport cu mi scarea Brownian a
Btprin
tZ
0f(s;!)dBs= lim
n!1tZ
0fn(s;!)dBs
,
undefneste un  sir de procese simple, m arginite, ce veric a re