Disertatiegabriel [616200]

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I S TIINT  E
SPECIALIZAREA MATEMATICI APLICATE
LUCRARE DE
DISERTAT IE
Absolvent: [anonimizat] u Gabriel
Conduc ator  stiint ic
Lect. univ. dr. Monica Ro siu
-2017-
1

2
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I S TIINT  E
SPECIALIZAREA MATEMATICI APLICATE
LUCRARE DE
DISERTAT IE
Evaluarea titlurilor devaloare
Absolvent: [anonimizat] u Gabriel
Conduc ator  stiint ic
Lect. univ. dr. Monica Ro siu
-2017-

Cuprins
INTRODUCERE 5
Capitolul 1. Spat ii de probabilitate nite 7
1. Elemente introductive 7
Capitolul 2. Integrala stochastic a 9
1. Integrala stochastic a 9
2. Ecuat ii diferent iale stochastice  si formula lui It^ o 12
Capitolul 3. Scurt a descriere a piet elor nanciare 15
Capitolul 4. Piet e de instrumente nanciare cu venit x 19
1. Obligat iuni nanciare cu venit x, nepurt atoare de
dividente. Modelul matematic 19
2. Determinarea pret ului obligat iunilor  si m asuri martingale. 21
3

INTRODUCERE
Prin decernarea ^ n 1990 a premiului Nobel in Economie lui Harry
Markowitz, William Sharpe  si Merton Miller, Comitetul Premiului No-
bel a adus in aten t ie faptul c a ^ n ultimii 40 de ani s-a impus necesitatea
unei noi discipline stiint ice si anume "teoria nant elor". De la aceast a
teorie se a steapta s a explice cum funct ioneaz a piet ele nanciare, cum
s a le facem mai eciente  si cum pot ele  echilibrate. Ea explic a  si
intensic a rolul important pe care ^ l joac a aceste piet e ^ n alocarea ca-
pitalului  si reducerea riscului pentru a facilita activitatea economic a.
F ar a a restr^ ange aplicat iile sale ^ n aspectele practice ale comert ului  si
echilibrului, teoria nant elor a devenit mai matematizat a, ^ n sensul c a
problemele din nant e au condus la cercetare ^ n matematic a.
Teza de doctorat Portofolio Selection a lui Harry Markowitz din
1952 a pus bazele teoriei matematice a nant elor. Markowitz a dezvol-
tat o not iune de medie a veniturilor  si covariat ie pentru stocuri care
i-a permis s a cuantice conceptul de "diversicare" ^ ntr-o piat  a. El a
ar atat cum s a se calculeze media veniturilor  si variat ia pentru un por-
tofoliu dat  si a argumentat c a investitorii ar trebui s a t ina numai acele
portofolii care au o variat ie minim a pentru o medie a veniturilor dat a.
De si limbajul nanciar implic a acum calculul stochastic, managemen-
tul riscului ^ ntr-o manier a cuanticabil a este tema de baz a a teoriei
moderne  si a practicii nant elor cantitative.
^In 1969, Robert Merton a introdus calculul stochastic^ n studiul
nant elor. Merton a fost motivat de dorint a de a ^ nt elege cum sunt
xate pret urile in piet ele nanciare, aceasta ind intrebarea economica
clasica a "echilibrului"  si ^ n articolele lui a folosit instrumentele calcu-
lului stochastic pentru a investiga aceast a problem a. ^In acelasi timp
cu studiul lui Merton  si sub ^ ndrumarea sa, Fischer Black  si Myron
Scholes au dezvoltat celebra formul a de determinare a pret ului unei
opt iuni. Aceasta lucrare a primit Premiul Nobel ^ n economie ^ n 1997.
Ea d a o solut ie unei importante probleme practice, aceea de a g asi un
pret  corect pentru o opt iune call European a ( European call option)
( adic a dreptul de a cum para o parte dintr-un anumit stoc la un pret 
 si ^ ntr-un moment specicat). In perioada 1979-1983, Harrison, Kreps
si Pliska au folosit teoria genera la a proceselor stochastice continue ^ n
timp, pentru a pune o baz a teoretic a solid a formulei Black-Scholes de
determinare a pret ului unei opt iuni  si ca rezultat au demonstrat cum
se stabilesc pret urile a numeroase alte "derivate nanciare".
5

6 INTRODUCERE
Multe din dezvolt arile teoretice din nant e  si-au g asit aplicat ii ime-
diate ^ n piet ele nanciare. Pentru a ^ nt elege cum sunt aplicate s a ve-
dem care este rolul institut iilor nanciare. O fun ctie principal a a unei
institut ii nanciare nationale este s a actioneze ca un intermediar de
reducere a riscului printre client ii angajati ^ n product ie.
De exemplu, industria asigur arilor adun a prime de la mai multi
client i  si trebuie s a pl ateasc a numai la c^ ativa care au pierderi. Dar
riscul cre ste ^ n situat iile ^ n care nu este disponibil a asigurarea. De
exemplu, ca o protect ie ^ mpotriva cre sterii costurilor cu combustibilu-
lul o linie aerian a vrea s a cumpere o asigurare "security", scris a sau
nu, a c arei valoare va creste dac a pret ul petrolului va creste. Dar cine
vrea s a v^ and a o astfel de asigurare? Rolul unei institutii nanciare
este s a schit eze, s a modeleze, o astfel de asigurare, s a determine un
pret  corect pentru ea  si s a o v^ and a liniilor aeriene. Asigurarea ( con-
tractul) astfel v^ andut a este de obicei "derivata" (adica valoarea sa este
bazata pe valoarea altor asigurari). "Corect" ^ n acest context ^ nseamn a
c a institut ia nanciar a c^ astig a sucient din v^ anzarea asigur arii, ca s a-i
permit a s a investeasc a ^ n alte asigur ari a c aror relat ie cu pret ul petro-
lului este astfel ^ ncat, dac a pret ul petrolului cre ste, rma poate pl ati
obligat ia cresut a la liniile aeriene. O piat a "ecien ta" este una ^ n care
asigur arile care protejeaz a ^ mpotriva riscurilor sunt larg r asp^ andite la
pret uri "corecte".
Formula Black-Scholes de determinare a pret ului unei optiuni fur-
nizeaz a pentru prima dat a o metod a teoretic a de evaluare corect a a asi-
gur arilor de protect ie la risc. Dac a o banc a de investit ii ofer a o derivat a
la un pret  care este mai mare dec^ at pret ul corect ea poate  sublicitat a
iar dac a ofer a asigurarea la un pret mai mic dec^ at pret ul corect atunci
apare riscul pierderilor substant iale. Aceasta face banca refractar a la
a oferi multe derivate nanciare care ar contribui la ecient a piet ei. ^In
particular, banca vrea s a ofere derivate al c aror pret  poate  determi-
nat ^ n avans. Mai mult dac a banca vinde o astfel de derivat a trebuie
pus a urm atoarea ^ ntrebare: cum poate gestiona riscul asociat cu noua
ei pozit ie? Teoria matematic a dezvolta ta de formula Black-Scholes fur-
nizeaz a at^ at solut ii pentru problema determin arii pret ului c^ at  si pentru
problema protect iei.

CAPITOLUL 1
Spat ii de probabilitate nite
1. Elemente introductive
Un spat iu de probabilitate nit este folosit pentru a modela o si-
tuatie ^ n care se desf a soar a un experiment aleator cu un num ar nit
de rezultate posibile. ^In contextul modelului binomial, am aruncat o
moned a de un num ar nit de ori. Dac a, de exemplu, arunc am moneda
de trei ori, mult imea rezultatelor posibile este
(1.1)
=fHHH;HHT;HTH;HTT;THH;THT;TTH;TTT g:
Presupunem c a la ecare aruncare probabilitatea s a obt inem H( reala
sau cu risc neutru) este psi probabilitatea s a obtinem Testeq= 1p.
Presupunem c a arunc arile sunt independente  si astfel probabilit at ile
elementelor individuale !(  siruri de trei arunc ari !=!1!2!3) sunt
din
Submult imile lui
sunt numite evenimente  si acestea pot  descrise
at^ at ^ n cuvinte c^ at  si cu simboluri. De exemplu, evenimentul
(1.2) "Prima aruncare este H" =f!2
;!1=Hg
=fHHH;HHT;HTH;HTT g
are, a sa cum este indicat, descrieri at^ at ^ n cuvinte c^ at  si cu simboluri.
Determin am probabilitatea unui eveniment ^ nsum^ and probabilit at ile
elementelor din eveniment. adic a,
P(Prima aruncare este H) =P(HHH ) +P(HHT ) +P(HTH ) +P(HTT )
= (p3+p2q) + (p2q+pq2)
(1.3) = p2(p+q) + (pq(p+q)
=p2+pq
=p(p+q)
=p:
Astfel, matematica este ^ n concordant  a cu intuit ia noastr a.
Cu modelele matematice, este u sor s a ^ nlocuim intuit ia matema-
tic a, ins a aceasta poate duce la probleme. Ar trebui ^ ns a s a veric am
c a matematica  si intuit ia noastr a concord a; altfel sau intuit ia noastr a
este gre sit a sau modelul nostru este inadecvat. Daca intui tia noastr a
7

8 1. SPAT  II DE PROBABILITATE FINITE
 si modelul matematic nu concord a, ar trebui s a c aut am o reconcili-
ere ^ nainte de a continua. ^In cazul (1), construim un model ^ n care
probabilitatea s a obt inem Hla ecare aruncare este p. Propunem s a
facem acest lucru denind probabilit at ile elementelor din
prin (1.2)
 si apoi denim probabilitatea unui eveniment ( submultime a lui
) ca
ind suma probabili tat ilor elementelor evenimentului. Aceste denitii
ne conduc la calculul (1) si este necesar s a facem acest calcul pentru
a verica r aspunsul a steptat. Altfel, ar trebui s a reg^ andim modelul
matematic pentru aruncarea monedei.
Generaliz am situat ia descris a mai sus, mai ^ ntai permit ^ and lui
s a e orice mult ime nit a  si ^ n al doilea r^ and permit ^ and ca unele ele-
mente din
s a aib a probabilitatea zero. Aceste generaliz ari conduc la
urm atoarea denit ie.
Definit ia 1.Un spat iu de probabilitate nit este un spat iu
 si o
m asur a de probabilitate P. Spat iul
este o mult ime nit a, nevid a  si
masura de probablitate Peste o funct ie care asociaz a ec arui element
!din
un num ar din [0;1], astfel ^ nc^ at
(1.4)X
!2
P(!) = 1:
Un eveniment este o submult ime a lui
 si denim probabilitatea unui
evenimentAca ind
(1.5) P(A) =X
!2AP(!):
A sa cum s-a ment ionat mai ^ nainte, acesta este un model pentru
un eveniment aleator. Mult imea
este mult imea tuturor rezultatelor
posibile ale experimentului, P(!) este probabilitatea ca rezultatul par-
ticular!s a se ^ nt^ ample  si P(A) este probabilitatea ca rezultattul care
se ^ nt^ amp la s a e din mult imea A. Dac aP(A) = 0, atunci rezultatul
experimentului nu este din A; dac aP(A) = 1, atunci rezultatul este
sigur dinA. Din (1.4), rezult a ecuat ia
(1.6) P(
) = 1:
adic a, rezultatul este sigur din
. Deoarece P(!) poate  zero pentru
unele valori ale lui !, permitem s a e ^ n
chiar cateva rezultate ale
experimentului care nu se ^ nt^ ampla. Este clar din (1.5) c a dac a A siB
sunt submult imi disjuncte ale lui
, atunci
P(A[B) =P(A) +P(B):

CAPITOLUL 2
Integrala stochastic a
1. Integrala stochastic a
^In aceast a sect iune voi prezenta construct ia integralei stochastice
It^ o1R
0HsdMs, undeMseste o martingal a (de obicei mi scarea Brow-
nian a) iarHseste un proces stochastic adaptat ltr arii corespunz atoare
luiMs. Din cauz a c a traiectoriile mi sc arii Browniene Btnu au o variat ie
nit a, nu putem denitR
0HsdBsca ind o integral a de tip Lebescgue-
Stiieltjes. Cheia construct iei este izometria ^ n L2, care ne va permite
sa denim integrala stochastic a ca ind limita ^ n L2(P) a unui  sir de
variabile aleatoare convenabil alese.
DenimIclasa integranzilor ca ind clasa funct iilor
f(t;!) : [0;1)
!R
ce veric a urm atoarele condit ii:
i) funct ia (t;!)f7 !(t;!) este m asurabil a ^ n raport cu -algebra
produsBR+F;
ii)f(t;
) este o variabil a aleatoare m asurabil a ^ n raport cu -
algebraFt,8t0;
iii)E1R
0f2(s;!)ds<1.
Numim proces elementar un prces stochastic f(t;!)2Ide forma
f(t;!) ='(!)1[a;b)(t):
Observ am faptul c a propriet at ile ii)  si iii) de mai sus arat a faptul
c a variabila aleatoare '='(!) este o variabil a aleatoare m asurabil a
^ n raport cu - algebraFa, respectiv faptul c a variabila aleatoare '2
este integrabil a. Denim ^ n acest caz integrala stochastic a prin
tZ
0'(!)1[a;b)(s)dBs(!) ='(!)(Bb^t(!)Ba^t(!)):
9

10 2. INTEGRALA STOCHASTIC A
Se numeste proces simplu un proces stochastic f(t;!)2Fce poate
 scris ca o combinat ie liniar a de procese elementare, adic a
f(t;!) =NX
i=1'i(!)1[ai;bi)(t)
, unde't='t(!) sunt variabile aleatoare Fai- m asurabile, cu p atratul
integrabil, 1iN si 0a1b1


aN< bN. Denim
integrala sotchastic a ^ n acest caz prin liniaritate, adic a
tZ
0NX
i=1'(!)1[a;b)(s)dBs(!) =NX
i=1'(!)(Bb^t(!)Ba^t(!)):
^In cele ce urmeaz a vom prezenta propriet at ile integralei denite mai
sus.
Propozit ia 1.Dac af2Ieste un proces simplu, m arginit, atunci
integrala stochastic a
Nt(!) =tZ
0f(s;!)dBs(!)
este o martingal a continu a  si are loc urm atoarea proprietate de izome-
trie:
E" tZ
0f(s;!)dBs(!)!2#
=EtZ
0f(s;!)ds:
Pentru a extinde denit ia integralei stochastice la cazul general al
unui proces f2Iintroducem, pentru ^ nceput, urm atorul rezultat:
Lema 1.Dac af2 I , atunci exist a un  sir de procese simple,
m arginite,fn2I astfel ^ ncat
(1.1) E1Z
o(f(s;!)fn(s;!)2ds)!0pentrun!1
Folosind acest rezultat, putem demonstra teorema ce urmeaz a.
Teorem a1.Oricare ar  procesul f2I si  sirul de procese simple
(fn)n2NI cu
(1.2) E1Z
o(f(s;!)fn(s;!)2ds)!0pentrun!1
procesulNn
t(!) =tR
0fn(s;!)dBs(!)converge ^ n L2(P), uniform ^ n
raport cut2[0;1), c atre o martingal a continu a Nt(!). Mai mult,

1. INTEGRALA STOCHASTIC A 11
limita este independent a de alegerea  sirului (fn)n2Nfolosit ^ n aproxi-
marea funct iei f.
Definit ia 2 (Integrala stochastic a It^ o) .Denim integrala stochas-
tic a It^ o a unui proces stochastic f2I, ^ n raport cu mi scarea Brownian a
Btprin
tZ
0f(s;!)dBs= lim
n!1tZ
0fn(s;!)dBs
,
undefneste un  sir de procese simple, m arginite, ce veric a relat ia
(1.2) .
Exemplu 1.Calculat i valoarea integralei stochasticetR
0BsdBsfolo-
sind denit ia integralei stochastice.
Demonstrat ie Consider am f(t;!) =Bt si denim  sirul
fn(t;!) =2n1X
j=0Btj1[tj;tj+1)(t)
,
undetj=tn
j=tj
2n.
Din indepenent a cre sterilor mi sc arii Browniene obt inem
E tZ
0(f(s;!)fn(s;!))2ds!
=E2n1X
j=0tj+1Z
tj(BtjBs)2ds
=2n1X
j=0tj+1Z
tj(stj)2ds
=2n1X
j=01
2(tj+1tj)2
=t2
2
2n!0

12 2. INTEGRALA STOCHASTIC A
pentrun!1  si decifneste un  sir de aproximare al procesului f
^ n sensul relat iei (1.2) . Conform denit iei integralei stochastice avem
Zt
0BsdBs= lim
n!1Zt
0fn(s;!)dBs(!)
= lim
n!12n1X
j=0Btj(Btj+1Btj)
= lim
n!11
22n1X
j=0(B2
tj+1B2
tj(Btj+1Btj)2)
=1
2(B2
tB2
0)1
2t:
2. Ecuat ii diferent iale stochastice  si formula lui It^ o
Teoria ecuat iilor diferent iale stochastice (EDS) este un cadru pen-
tru descrierea sistemeleor dinamice care includ fort e at^ at aleatoare c^ at
si nealeatoare. Teoria are ca suport integrala stochastic a It^ o. For-
mula lui It^ o este o formul a de diferent iere stochastic a, similar a situat iei
diferent ierii funct iilor compuse din cazul determinist.
O EDS de tip It^ o are forma
dXt=a(t;Xt)dt(t;Xt)dWt;
care scirs a sub form a integral a devine
XTX0=TZ
0a(t;Xt)dt+TZ
0(t;Xt)dWt;
unde prima integral a este o integral a Riemann iar cea de-a doua o in-
tegral a stochastic a de tip It^ o. Condit ia init ial a este X0=u0(x), unde
u0(x) este densitatea de probabilitate a lui X la momentul de start.
Coecientul a(t;Xt) este coecientul de drift iar (t;Xt) este coecien-
tul de volatilitate. Termenul (t;Xt)dWteste termenul martingal al
procesului X.
2.1. Mi scarea Brownian a geometric a.
Consider am EDS
(2.1)
dXt=Xtdt+XtdWt
X0= 1;
ceea ce dene ste o mi scare Brownian a geometric a. ^In formularea
general a anterioar a
a(t;x) =x si(t;x) =x):

2. ECUAT  II DIFERENT  IALE STOCHASTICE S I FORMULA LUI IT ^O 13
Dac aWtar  o funct ie diferent iabil a ^ n raport cu t, solut ia ecuat iei
(2.1) ar
(2.2) Xt=et+Wt:(ceea ce este gresit!!!)
Pentru a verica acest lucru consider am funct ia
x(!;t) =et+Wt;
cu
@!x=x!=x;
@tx=xt=x
@!!=x!!=2x:
Prin urmare, diferent ierea funct iei (2.2) conduce la
dXt(Wt) =Xdt +XdWt+2
2Xdt
Putem^ nlatura ultimul termen (nedorit) prin multiplicarea cu e2t
2,
ceea ce sugereaz a c a formula
Xt=et2t
2+Wt
satisface (2.1).
S a consider am acum cazul simplu ^ n care = 0  si= 1, adic a
dXt=XtdWt
X0= 1:
Solut ia este mi scarea Brownian a
(2.3) Xt=eWt1
2:
Privind formula (2.3) ^ n relat ie cu proprietatea martingal a ( Xteste
o martingal a deoarece termenul de drift este zero), obt inem, dup a un
calcul simplu, c a
Xt+t0=e(Wtt
2+(Wt0Wtt0t
2));
 si c a
E[Xt+t0jFt] =Xt:
2.2. Formula lui It^ o. ^In continuare vom prezenta formula lui It^ o,
^ n cea mai simpl a form a a sa.
Teorem a2.Fieu:R[0;1)!Ro funct ie continuu diferent iabil a
p^ an a la ordinul doi ^ n x  si p^ an a la ordinul ^ nt^ ai ^ n t  si consider am W un
proces Wiener (mi scare Brownian a). Not am cu ut;ux siuxxderivatele
de ordinul ^ nt^ ai respectiv doi ale funct iei u ^ n raport cu variabilele t  si
X. Atunci are loc formula
u(Wt;t)u(0;0) =tZ
0ux(Ws;s)dWs

14 2. INTEGRALA STOCHASTIC A
sau, scris a sub form a diferent ial a
du(Wt;t) = (ut(Wt;t) +1
2uxx(Wt;t))dt+u2(Wt;t)dWt:
Pentru un caz mai general, formula lui It^ o are urm atoarea form a.
Teorem a3.Fie X un proces stochastic ce verica urm atoarea
EDS: 
dXt=a(t;Xt)dt+(t;Xt);
X0=u0;
unde coecient ii de drift  si de difuzie veric a condit iile necesare  si su-
ciente ce asigur a existent a solut iei EDS considerate. Fie u:R
[0;1)!Ro funct ie continuu diferent iabil a p^ an a la ordinul doi ^ n x  si
p^ an a la ordinul ^ nt^ ai ^ n t. Atunci u(Xt;t)este un proces It^ o ce satisface
EDS:
du(Xt;t) =ux(Xt;t)dXt+ut(Xt)dt+1
2uxx(Xt;t)2(t;Xt)
=ux(Xt;t)(t;Xt)dWt+
ux(Xt;t)a(t;Xt) +1
2uxx(Xt;t)2(t;Xt) +ut(Xt;t)

dt
Exemplu 2.Fieu(x;t) =x2t.Avem
ut(x;t) =1
ux(x;t) = 2x
uxx(x;t) = 2:
Prin urmare, conform formulei lui It^ o (remarc am faptul c a ut+1
2uxx=
0)
W2
tt= 2tZ
0WsdWs;
unde rezult a imediat c a
tZ
0WsdWs=1
2(W2
tt):

CAPITOLUL 3
Scurt a descriere a piet elor nanciare
Tranzact iile cu opt iuni au ap arut ^ nc a de la ^ nceputul secolului al-
XII-lea  si au fost legate de comert ul cu lalele care se practica ^ n Olanda.
De exemplu, un exportator de bulbi de lalele se putea proteja^ mpotriva
pierderii m ari pe timpul transportului prin cump ararea de la un pro-
duc ator a unei cantit att i de bulbi echivalent a cu cea expediat a, la un
anumit pret , la opt iunea sa. Astfel exportatorul cump ar ator putea
^ nlocui marfa dac a aceasta se deprecia sau distrugea pe timpul trans-
portului sau putea s a renunt e la acest drept dac a marfa ajungea ^ n
bun a stare la destinat ie. Deci cei care tind s a asocieze opt iunile cu
speculat ia gre sesc ^ n oarecare m asur a deoarece opt iunile au ap arut ca
modalitate de acoperire a riscului la care te expune specicul afacerii
proprii, nu ca un instrument speculativ.
Instrumentele nanciare derivate se tranzact ioneaz a pe piet e regle-
mentate la termen, valoarea acestora deriv^ and din pret ul de tranzact ie
al activelor suport(instrumente nanciare, valute, indici bursieri, rate
ale dob^ anzii, m arfuri, etc. ), cotate pe o piat  a spot (instantanee, la
vedere). ^In accept iunea referent ialului contabil internat ional, un in-
strument derivat este un instrument nanciar care ^ ntrune ste toate cele
trei caracteristici de mai jos:
(1) valoarea sa se schimb a ca react ie la variat iile ^ n anumite rate
ale dob^ anzii, pret ul unui instrument nanciar, pret ul m arfurilor,
cursurile de schimb valutar, indicii de pret  sau rat a, ratingul
de credit sau indicele de creditare, sau ^ n alte variabile, cu
condit ia ca, ^ n cazul unei variabile nenanciare, aceasta s a nu
e specic a unei part i contractuale (uneori denumit a support);
(2) nu solicit a nicio investit ie init ial a net a sau solicit a o investit ie
init ial a net a care este mai mic a dec^ at s-ar cere pentru alte
tipuri de contracte care se a steapt a s a aib a react ii similare la
modic arile factorilor piet iei;
(3) este decontat la o dat a viitoare.
Ca active nanciare derivate, opt iunile dau posibilitatea reversibilit at ii
asupra proiectului init ial de investit ii, aceasta ind o diferent  a fat  a
de contractele cunoscute, ^ n care una din caracteristici era tocmai
ireversibilitatea investit iei de capital. Interesul pentru corectitudinea
evalu arii opt iunilor de c atre operatorii de pe piat a nanciar a deriv adin
posibilitatea operat iunilor de arbitraj ^ n cazul unei supraevalu ari sau
15

16 3. SCURT A DESCRIERE A PIET  ELOR FINANCIARE
subevalu ari. Exist a dou a modele de evaluare a opt iunilor: modelul
Black – Scholes  si modelul binomial. Cele dou a tipuri de modele se
bazeaz a pe rat ionamente de arbitraj  si hedging  si pornesc de la pre-
misa c a piat a nu permite operat iuni de arbitraj. Opt iunile au fost
tranzact ionate ^ n mod organizat, pentru prima dat a ^ n 26 aprilie 1973,
iar apoi The Chicago Board Options Exchange (CBOE) a creat liste
standardizate cu opt iuni. De atunci se semnalizeaz a o cre stere vertigi-
noas a pe piat a opt iunilor. ^In acest moment ele sunt tranzact ionate ^ n
majoritatea burselor din lume. ^In Statele Unite ale Americii opt iunile
sunt tranzact ionate la: CBOE, The American Stock Exchange, The
Pacic Stock Exchange  si The Philadelphia Stock Exchange. Pe data
de 10 iulie 1998, la un an de la lansarea contractelor futures, Bursa
Monetar-Financiar a  si de M arfuri Sibiu, a lansat, ^ n premier a pentru
Rom^ ania, opt iunile pe contracte futures.
La baza aparit iei contractelor futures au stat contractele forward.
De si exist a o tendint  a, mai ales^ n literatura de specialitate din Rom^ ania,
de a  tratate separat, aceste dou a tipuri de contracte sunt, ^ n esent  a,
asem an atoare,^ n sensul c a^ n cazul ambelor contracte se^ ncheie tranzact ii
la termen asupra unui activ de baz a, numit  si activ suport (underlying
asset). At^ at cel care dore ste s a cumpere activul de baz a c^ at  si cel care
dore ste s a^ l v^ and a convin asupra cantit at ii ce urmeaz a s a e schimbat a,
asupra pret ului  si asupra scadent ei (a datei la care livrarea  si plata vor
avea loc efectiv). Astfel, at^ at printr-un contract forward c^ at  si prin
unul futuresm se xeaz a – ^ n prezent – pret ul ce urmeaz a a  pl atit la
o dat a ulterioar a, ^ n viitor. Contractele futures reprezint a contractele
standardizate care creaeaz a pentru p artt i (cump ar ator  si v^ anz ator) an-
gajamentul de a cump ara respectiv de a vinde o anumit a cantitate din
activul suport la o dat a viitoare (numit a data scadentt ei)  si la un pret 
negociabil ^ n momentul ^ ncheierii tranzact iei. Cu except ia pret ului care
se negociaz a ^ ntre p art i, toate elementele sunt standardizate (scadent a,
volumul contractului, pa sii de cotat ie,
uctuat ia maxim a admis a, ris-
cul de sc adere / cre stere) ^ n baza specicat iilor ec arui tip de contract
futures.
^In mod uzual sunt tranzact ionate dou a categorii de contracte futu-
res, ^ n raport cu natura activului suport: nancial futures | sunt con-
tracte futures av^ and drept active suport variabile nanciare (act iuni,
indici bursieri, rate ale dob^ anzii, indici de pret , cursuri valutare, etc.)
 sicommodities futures | sunt contracte futures av^ and drept active
suport m arfuri precum cereale, produse din carne, petrol  si produse
derivate, energie, cafea, cacao, unt, zah ar, bumbac, etc.
^In raport cu modul de decontare a tranzact iilor, pot  identicate:
contracte futures lichidate prin livrarea zic a a activului suport (^ n
practic a, numai 2 3% dintre contractele futures lichidate prin livrare
efectiv a ^ n marf a, restul se lichideaz a prin compensare ) si contractele
futures lichidate prin compensare (presupune plata cash a diferent elor

3. SCURT A DESCRIERE A PIET  ELOR FINANCIARE 17
^ ntre pret ul de deschidere a unei pozit ii de cump arare sau v^ anzare  si
pret ul de lichidare la scadent  a a acestor contracte). elementele tehnice
de baz a ale unui contract futures sunt:
(1) Activul suport: este reprezentat de marfa sau activul nanciar
(valori mobiliare, valute, rate ale dob^ anzii, indici bursieri, etc.)
asupora c aruia se ^ ncheie contractul. cantitatea  si caracteris-
ticile activului suport reprezint a clauze standardizate conform
specicat iilor ec arui tip de contract futures.
(2) Scadent a: ultima zi de tranzact ionare din luna de lichidare
a contractului futures. La data scadent ei Casa Rom^ ana de
Compensat ie lichideaz a automat toate pozit iile deschise, la
pret ul de executare, stabilindu-se c^ astigurile  si pierderile re-
ale.
(3) Marja (riscul de cre stere / sc adere): reprezint a suma de bani
depus a init ial de c atre investitor^ n contul^ n marj a  si ment inut a
pe toat a perioada de timp ^ n care pozit iile de cump arare sau
v^ anzare sunt deschise. Astfel, la deschiderea unui cont pentru
derularea tranzact iilor pe o piat  a reglementat a de m arfuri  si
instrumente nanciare derivate, clientul va depune o sum a de
bani reprezent^ and riscul de cre stere sau sc adere a pret urilor
contractelor futures (marja), conform specicat iilor contrac-
telor futures, pe baza evalu arilor f acute de c atre Sistemul de
Evaluare a Riscurilor administrat de c atre Casa Rom^ an a de
Compensat ie  si Bursa Monetar Financiar a  si de M arfuri Sibiu.
Marja va trebui ment inut a la nivelul impus de specicat iile
contractelor futures, pe toat a durata existent ei unor pozit ii
deschise, indiferent dac a sunt long (risc de sc adere) sau short
(risc de cre stere).
(4) Pret ul futures : pret ul la care este deschis a o pozit ie (e de
cump arare e de v^ anzare), respectiv pret ul la care se ^ ncheie
o tranzact ie cu contracte futures. Re
ec a pret ul convenit de
parteneri care va  ^ ncasat / pl atit la scadent  a pentru act iuni
suport. Pe piat a futures, exist a o limit a de variat ie ^ n cadrul
unei  sedint e de tranzact ionare, din motive ce t in de asigurarea
unei piet e ordonate  si lichide, dar  si pentru a limita in
uent ele
pe care tranzat iile cu contracte futures le-ar putea avea asupra
tranzact iilor derulate pe piat a spot cu activul suport ^ n cauz a.
Pret ul futures este str^ ans legat de perioada r amas a p^ an a la
scadent  a dar  si de evolut ia pret ului activului suport, deoarece
exist a o a sa numit a proprietate de convergent  a ^ ntre pret ul
futures  si pret ul activului suport (cele dou a pret uri tind s a se
apropie, devenind identice, sau aproape identice la scadent  a).

CAPITOLUL 4
Piet e de instrumente nanciare cu venit x
1. Obligat iuni nanciare cu venit x, nepurt atoare de
dividente. Modelul matematic
Fie (
;F;P;Fun c^ amp de probabilitate ltrat, cu ltrarea F=
(Ft)tTsatisf ac^ and condit iile uzuale, iar T* este un moment terminal
xat. Toate procesele considerate vor  denite pe acest c^ amp de
probabilitate.
Definit ia 3.O obligat iune nepl atitoare de dividente, cu maturita-
tea T(numit a si T-bond) este un contract ce garanteaz a det in atorului
s au plata unei unit at i monetare la momentul de maturitate T. Pret ul
activului nanciar la momentul t va  notat cu B(t;T).
Evident,B(t;t) = 1;pentruoricet2[0;T]:Presupunem, de aseme-
nea, c a procesul stochastic al pret ului B(t;T);t2[0:T] este adaptat
ltr arii  si este strict pozitiv, iar B(t;T) este continuu diferent iabil ^ n
variabila T.
Definit ia 4.1. Dob^ anda forward pentru intervalul [T1;T2], v azut a
la momentul t, este denit a de
R(t;T1;T2) :=lnB(t;T2)lnB(t;T1)
T2T1:
2. Dob^ anda spot pentru perioada [T1;T2]este denit a prin
R(T1;T2) :=R(T1;T1;T2:
3. Dob^ anda instantanee forward, cu maturitatea T, la momentul t este
denit a prin
f(t;T) :=@lnB (t;T
@T:
4. Dob^ anda instantanee pe termen scurt (short-term interest rate) la
momentul t este denit a prin
r(t) :=f(t;t):
Definit ia 5.Procesul ce d a structura contului de economii (money
account process) este
B(t) :=etR
0r(s)ds
:
19

20 4. PIET  E DE INSTRUMENTE FINANCIARE CU VENIT FIX
^In cele ce urmeaz a vom considera W= (W1;:::;Wd) o mi scare
Brownian a d-dimensional a  si ltrarea Fcea generat a de c atre W. Di-
namicile diferitelor tipuri de procese utilizate sunt denite paragrafele
ce urmeaz a.
dinamica dob^ anzii instantanee pe termen scurt (short-rate):
(1.1) dr(t) =a(t)dt+b(t)dWt
dinamica pret ului obligat iunii:
(1.2) dB(t;T) =B(t;T)[m(t;T)dt+v(t;T)dWt]
dinamica dob^ anzii forward:
(1.3) df(t;T) =(t;T)dt+(t;T)dWt
Presupunem c a toate funct iile coecient (driftul  si difuzia) care apar ^ n
EDS introduse^ ndeplinesc condit iile standard de regularitate ce asigur a
existent a  si unicitatea solut iilor EDS de mai sus.
Propozit ia 2.
i)Dac aB(t;T)este guvernat de c atre ecuat ia (1.2) , atunci pen-
tru dinamica dob^ anzii forward avem:
df(t;T) =(t;T)dt+(t;T)dWt
unde coecient ii sisunt dat i de c atre

(t;T) =vT(t;T)v(t;T)mr(t;T)
(t;T) =vr(t;T);
unde prinvr simr^ nt elegem derivatele part iale ale funct iilor
v si m ^ n raport cu variabila T.
ii)Dac a f(t,T) este guvernat de c atre ecuat ia (1.3) , atunci dob^ anda
short-rate satisface:
dr(t) =a(t)dt+b(t)dWt;
unde coecient ii a  si b sunt dat i de c atre:

a(t) =fr(t;T) +(t;t)
b(t) =(t;t):
iii)Dac a f(t,T) este guvernat de c atre ecuat ia (1.3) , atunciB(t;T)
satisface
dB(t;T) =B(t;T)n
r(t)+A(t;T)+1
2kS(t;T)k2o
dt+B(t;T)S(t;T)dWt;
unde
A(t;T) :=ZT
t(t;s)ds  siS(t;T) :=ZT
t(t;s)ds:

2. DETERMINAREA PRET  ULUI OBLIGAT IUNILOR S I M ASURI MARTINGALE. 21
2. Determinarea pret ului obligat iunilor  si m asuri martingale.
Definit ia 6.O m asur a de probabilitate PP(denit a pe spat iul
m asurabil (
;F)) este o m asur a martingal a pentru piat a de obligat iuni
dac a, pentru orice 0TT, procesul actualizat
B(t;T)
B(t)este o Pmartingal a.
PrinB(t) am notat contul bancar f ar a risc (sau contul de economii),
ce a fost considerat ca numerarul ^ n raport cu care se calculeaz a valoa-
rea actualizat a la momentul t a obligat iunii nanciare. Vom presupune
c a exist a o astfel de m asur a martingal a echivalent a, P.
Propozit ia 3.Fie un T- derivat nanciar X. Pret ul s au (fair
price) la orice moment 0tT, va  dat de c atre formula de evaluare
la risc neutru (risk-neutral valuation formula):
t(X) =B(t)E
PX
B(T)jFt
=E
P(XeTR
tr(s)ds
jFt);
unde r(t) este dob^ anda instantanee pe termen scurt.
^In particular, procesul pret ului unei obligat iuni nepurt atoare de di-
vidente, cu data de maturitate T este
B(t;T) =E
P
eTR
tr(s)ds
jFt
:
2.1. Modele de dob^ andzi pe termen scurt (short-term rate
models).
Consider am modelul dob^ anzii pe termen scurt de tipul
(2.1) dr(t) =a(t;r(t))dt+b(t;r(t))dWt;
coecient ii de drift  si de difuzie sunt sucient i de regulat i, iar W este
o mi scare Brownian a 1-dimensional a.
Vom presupune c a are loc formula (2.1) sub m asura de probabili-
tateP. Orice m asur a de probabilitate echivalent a va  dat a de c atre
densitatea Girsanov:
L(t) =etR
0
(u)dWu1
2tZ
0
(u)2du; 0tT:
Presupunem acum c a
este de forma

=(t;r(t));
cuo funct ie sucient de neted a^ n ambele variabile. Vom folosi notat ia
P() pentru a sugera dependent a m asurii de probabilitate PPde
densitatea.

22 4. PIET  E DE INSTRUMENTE FINANCIARE CU VENIT FIX
Conform Teoremei lui Girsanov rezult a c a
W:=W+Z
dt
este o Pmi scare Brownian a, iar ^ n aceast a situat ie, dinamica proce-
sului r sub m asura de probabilitate Peste dat a de
dr(t) =fa(t;r(t))b(t;r(t))(t;r(t))gdt+b(t;r(t))dWt:
Consider am acum un T- derivat nanciar oarecare
X= (r;T));  :R!R+:
Ft+ (ab)Fr+1
2b2FrrrF= 0;
cu condit ia nal a
F(T;r) = (r);8r2R:
Presupunem c a procesul pret ului B(t,T) unei T- obligat iuni (sau T –
bond) este determinat de
B(t;T) =F(t;r(t);T);
cu condit ia nal a F(T;r;T) = 1:
Propozit ia 4 ((Ecuat ia de structur a)) .Fie un T – derivat nan-
ciar de forma X= (r(T)):Pret ul de arbitraj al acestui derivat nan-
ciar va  dat de c atre
t(X) =F(t;r(t)));
unde funct ia F este solut ia EDP
(2.2) Ft+aFr+1
2b2FrrrF= 0;
cu condit ia terminal a F(T;r) = (r):
^In particular, pret urile T – bond-urilor sunt date de
B(t;T) =F(t;r(t);T);
funct ia F satisf a c^ and ecuat ia (2.2);cu condit ia nal a F(T,r;T)=1.
Consider am acum c a dorim s a evalu am pret ul unui Call European
cu maturitatea S  si pret ul de exercitare K, av^ and ca activ suport un T
– bond. Prin urmare, funct ia de plat a este
X= (B(S;T)K)+=maxfB(S;T))K;0g:
Pret ul dat de B(t;T) =F(t;r;T) se obt ine rezolv^ and EDP considerat a
mai sus. Din formula de evaluare la risc neutru obt inem
t(X) =G(t;r);
unde funct ia G veric a
Gt+aGr+b2
2GrrrG= 0;

2. DETERMINAREA PRET  ULUI OBLIGAT IUNILOR S I M ASURI MARTINGALE. 23
cu condit ia nal a
G(S;r) =maxfF(S;r;T)K;0g;8r2R:
Problema ce apare cons a ^ n stabilirea unor coecient i de drift  si de
difuzie convenabili, care s a permit a rezolvarea sau simularea solut iei
EDP ce apare ^ n determinarea pret urilor.
Definit ia 7.Dac a pret ul obligat iunilor este dat de
B(t;T) =eA(t;T)B(t;T)r;0tT;
cu A  si B funct ii deterministe, spunem c a modelul posed a o structur a
an a.
Exemple clasice de modele de dob^ anzi pe termen scurt sunt :
modelul Vasicek
dr= (r)dt+
dWt
modelul Cox-Ingersoll-Ross
dr= (r)dt+
prdWt
modelul Ho-Lee
dr=(t)dt+
dWt
modelul Hull-White 1(extensie a modelului Vasicek)
dr= ((t)(t)r)dt+
(t)dWt
modelul Hull-White 2(extensie a modelului Cox-Ingersoll-Ross)
dr= ((t)(t)r)dt+
(t)prdWt
2.2. M asuri martingale forward de risc neutru.
^In anumite situat ii este mai util a se utiliza pret ul obligat iunii B(t;T)
drept numerar ^ n raport cu care se face actualizarea. ^In aceast a situat ie
ar trebui determinat a o m asur a de probabilitate Q, echivalent a cu P,
astfel ^ ncat procesul
Z(t;T) =B(t;T)
B(t;T);8t2[0;T]
s a e o martingal a sub Qpentru tot i TT:Vom numi aceast a
m asur a de probabilitate m asur a martingal a forward de risc neutru
(forward risk-neutral martingale measure). ^In acest cadru nu utiliz am
un cont de economii, iar existentt a unei martingale Qva garanta c a nu
exist a oportunit at i de arbitraj ^ ntre obligat iuni cu diferite momente de
maturitate. Tehnica utilizat a pentru determinarea condit iilor necesare
 si suciente pentru o astfel de m asur a martingal a urmeaz a aceia si pa si
ca  si ^ n situat ia contului de economii.
Pret ul obligat iunilr presupunem ca este guvernat de EDS
dB(t;T) =B(t;T)[m(t;T)dt+S(t;T)dWt];

24 4. PIET  E DE INSTRUMENTE FINANCIARE CU VENIT FIX
coecient ii m  si S ind denit i anterior. Aplic am formula lui It^ o pro-
cesului
Z(t;T) =B(t;T)
B(t;T)
 si obt inem faptul c a procesul nostru veric a EDS
dZ(t;T) =Z(t;T)[m(t;T)dt+ (S(t;T)S(t;T))dWt];
unde am notat m(t;T) =m(t;T)m(t;T)S(t;T)(S(t;T)S(t;T)):