Diploma Popa Adrian V4 [628705]

UNIVERSITATEA TEHNICĂ din CLUJ -NAPOCA
FACULTATEA de INGINERIE ELECTRICĂ

INVESTIGARE PRIN SIMULARE NUMERICĂ CU
AJUTORUL COMSOL ȘI FEMM A CÂMPULUI
ELECTROMAGNETIC PRODUS DE MAI MULTE
CONFIGURAȚII DE CABLURI ELECTRICE
I. ENUNȚUL TEMEI:
Investigarea prin simulare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a
câmpului electromagnetic produs de mai multe configurații de cabluri
electrice

II. CONȚINUTUL
a) Piese scrise
b) Piese desenate

III. LOCUL DOCUMENTĂRII:
Laborator Programarea calculatoarelor

IV. CONDUCĂTOR ȘTIINȚIFIC:
Conf. Dr. Ing. Marius Purcar

V. Data emiterii temei: Decembrie 2017

VI. Termen de predare: Septembrie 2018

Conducător științific, Absolvent: [anonimizat]. Marius PURCAR Adrian -Marcel POPA

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 2

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 3

Declarație -angajament : Deoarece acest proiect de diplomă nu ar fi putut fi finalizat fără ajutorul
membrilor departamentului de Electrotehnică și a echipamentelor de la departament, mă angajez
să public informațiile conținute în lucrare numai cu acordul scris al conducătorului științific și al
directorului de departament.

Data: Semnătura

Declarație : Subsemnatul Popa Adrian -Marcel declar că am întocmit prezentul proiect de diplomă
prin eforturi proprii, fără nici un ajutor exter n, sub îndrumarea conducătorului științific și pe baza
bibliografiei indicate de acesta.

Data: Semnătura

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 4

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 5
Cuprins
Capitolul 1 ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 7
1.1 Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………. 8
1.2 Scopul Lucrări ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 8
2. Câmpul electromagnetic și metode de rezolvare ………………………….. ………………………….. ……… 9
2.1 Ecuațiile Câmpului Electromagnetic ………………………….. ………………………….. ………………… 9
2.2 Ecuațiile lui Maxwell ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 14
2.3 Metode de rezolvare ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 18
2.3.1 Metodele Analitice ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 18
2.3.2 Metodele Numerice ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 18
2.4 Ce presupune modelare numerică? ………………………….. ………………………….. ………………… 19
2.5 Metoda elem entelor finite ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 21
3. Modelarea Numerica a unor probleme de câmp electromagnetic cu programul Comsol
Multiphysics și FEMM ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………….. 23
3.1 Implemantarea problemei ..…………………………………………………………………27
3.1.1 Implementarea problemei in Comso l ……………………………………………………..27
3.1.2 Implementarea problemei in FEMM ..……………………………………………………29
3.2 Conductorul din aluminiu masiv ………………………….. ………………………….. ……………………. 32
3.2.1 Analiza numerică ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 32
3.3 Cablu din aluminiu ecranat ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 35
3.3.1 Analiza numerică ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 36
3.4 Cablul trifazat ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………. 39
3.4.1 Analiza numerică ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 40
3.5 Conductorul Lițat ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………. 43
3.5.1 Analiza numerică ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 43
4.Concluzi: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 47
5. Bibliografie ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. 49

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 6

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 7
Capitolul 1

1.1 Introducere
Progresul din ultimii ani în ingineria electrică a avut și continuă să aibă un impact deosebit
în majoritatea proceselor industriale. Viteza cu care se introduce pe piață un produs este atât de
mare încât „simpla” proiectare la planșetă cu rigla de calcul și standardele nu mai sunt posibile.
Cu toate acestea majoritatea proiectelor sunt încă abordate în clasicul mod de încercări și
experimente repetate, ceea ce implică eforturi repetate și timp considerabil de lansare a produselor
pe piață.
Pentru eficient izarea acestor procese este necesară optimizarea dispozitivelor electronice
și electrotehnice constitutive. Aceasta necesită înțelegerea fenomenelor fizice ce stau la baza
funcționării acestora. În completare la aceasta este de asemenea foarte important de zvoltarea unor
modele fizico -matematice (de câmp electromagnetic) ce descriu cât mai exact funcționarea
acestora cât și a unui software performant ce permite simularea acestor procese. Pentru calculul
câmpului electromagnetic se pornește de la ecuațiile fu ndamentale urmărindu -se obținerea unor
metode de calcul care să stea la baza instrumentelor de analiză numerică și care să conducă în final
la rezultate numerice de mare acuratețe.
Modelarea numerică a câmpului electromagnetic reprezintă o ramură importan tă din
studiile de cercetare din transportul și distribuția de energie electrică .
Aceste studii permit :
○ analiza parametriilor liniilor electrice
○ înțelegerea fenomenelor de interferență electromagnetică, cunoașterea în orice punct a valorilor
câmpului electromagnetic, potențiale, curenți etc.
○ predicția fenomenelor de coroziune electrochimică și a zonelor de risc, zone cu potențiale și
curenți periculoase/i
Toate acestea pentru o continuă îmbunătățire a sistemului energetic, cât și posibilitat ea
autoevaluării producătorilor dacă se încadrează în normele legislative în viguare cu privire la
expunerea la câmp electromagnetic a persoanelor din mediul public cât și a personalului abilitat
efectuarii lucrărilor de mentenanță . De asemenea proiectarea optimală a dispozitivelor
electromagnetice este de neconceput fără simularea numeric a.

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 8 1.2 Scopul Lucră ri
Această lucrare are ca scop principal evidențierea asemănărilor și a diferențelor dintre
programele de modelare numerică Comsol si FEMM, primul fiind un program licențiat, iar cel
din urma un software open source.
Pentru a evidenția cât mai bine aceste asemanări și diferențe am ales să modelez numeric
mai multe tipuri de cabluri cu parametrii diferiți (numărul de conductoare, material, ecra nare
etc), reprezentând pentru fiecare cablu in parte inducția electromagnetică și densitatea de curent.
Frecvența la care s -au realizat simularile a fost frecvența industrială, f=50 Hz, iar
intensitatea curentului folosită a fost I=100 A, evident in cablu rile multifilare aceasta fiind
distribuită uniform.
Geometriile cablurilor au fost realizate în SolidWorks, iar apoi au fost importate in
programele de simulare sub formă de fișiere cu extensia .dxf .
Această lucrare se încadrează în tematica de cercet are a Catedrei de electrotehnică si
masurari electrice de modelare optimală a fenomenelor de câmp electromagnetic propunându -și
rezolvarea unor probleme de bazele electrotehnicii cu ajutorul mediilor de proiectare și simulare
asistate de calculator CAD1/CAE2 SolidWorks / COMSOL Multiphysic și FEMM .

1 CAD –computer aided design
2 CAE – Computer aided engineering

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 9
2. Câmpul electromagnetic și metode de rezolvare
2.1 Ecuațiile Câmpului Electromagnetic
Teoria macroscopică a fenomenelor electromagnetice utilizează un număr de șase mărimi
primitive (q, i, 𝑝̅, 𝑚̅, 𝐸̅, 𝐵̅) și un număr nelimitat de mărimi derivate.
Determinarea unică a unui câmp de vectori (problema Poincare) este posibilă:
– Sub formă integrală:
Dacă se precizează circulația sa în lungul oricărei curbe închise Γ iar fluxul câmpului printr -o
suprafață închisă Σ.
– Sub formă locală (diferențială)
Dacă în orice punct din domeniu este precizat rotorul și divergența câmpului.
Fenomenele electr omagnetice se bazează pe 12 legi dintre care 9 sunt legi generale iar 3 sunt
legi de material.
I. Legea lui Faraday sau a inducției electromagnetice sub forma locală este dată în
ecuația (1) :
∮𝐸̅𝑑𝑙̅
Γ=−𝑑
𝑑𝑡∫𝐵̅𝑑𝑆̅
𝑆Γ (1)

−𝑑𝑦
𝑑𝑥∫𝐵̅𝑑𝑆̅=
𝑆Γ−∫𝑑𝐵̅
𝑑𝑥𝑆Γ𝑑𝑆̅−𝑑𝑦
𝑑𝑥[∫𝐵̅
𝑆Γ𝑑𝑆̅] (2)

(a) (b)
(b) – suprafața 𝑆Γ considerată imobilă. Tensiunea electromotoare indusă prin transformare.

(c) – suprafața 𝑆Γ este mobilă iar vectorul 𝐵̅ nu depinde de timp. Tensiunea electromotoare
indusă prin mișcare.

Fig. 1 Tensiunea electromotoare indusă în elementul de conductor dS care se deplasează cu viteza v

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 10 În Fig. 1 𝑣̅ este vectorul vitezei câmpului electromagnetic (ce se deplaseaza pe distanța
𝑑𝑙̅), cu vectorul câmpului magnetic de inducți 𝐵̅ și cel al elementului de conductor 𝑑𝑆̅̅̅̅ formează
în această ordine un triedru drept .
𝑙̅=𝑣̅∙𝑑𝑡
𝑒mișcare=−𝑑
𝑑𝑦[∫𝐵̅
𝑆Γ∙𝑑𝑆̅]
𝑑𝑆̅=𝑙̅ 𝑥 𝑑𝑙̅̅̅̅=(𝑣̅ 𝑥 𝑑𝑙̅)𝑑𝑡
dФ=𝐵̅∙𝑑𝑆̅̅̅̅=𝐵̅∙(𝑣 𝑥 𝑑𝑙̅)𝑑𝑡
𝑑𝑒𝑚𝑖ș𝑐𝑎𝑟𝑒=−𝐵̅∙(𝑣 𝑥 𝑑𝑙̅)=(𝑣 𝑥 𝐵̅)𝑑𝑙̅ 𝑒𝑚𝑖ș𝑐𝑎𝑟𝑒=∮𝑣̅ 𝑥 𝐵̅∙𝑑𝑙̅
Γ
Forma locală a legii inducției electromagnetice, în domenii de continuitate și netezime a
lui E, B și v este dată în relația (3):
𝑒Γ=∮𝐸̅𝑑𝑙̅=
Γ−∫𝑑𝐵
𝑑𝑡𝑑𝑆̅+∮(𝑣̅ 𝑥 𝐵̅)
Γ∙
𝑆Γ𝑑𝑙̅ (3)

Și identificând integranzii , se obține f orma locală sau diferențială a legii inducției
electromagnetice din ecuația (4) :

𝑟𝑜𝑡 𝐸̅=−𝑑𝐵̅
𝑑𝑡+𝑟𝑜𝑡(𝑣̅ 𝑥 𝐵̅) (4)

Pentru corpurile imobile 𝑟𝑜𝑡(𝑣̅ 𝑥 𝐵̅)=0 (𝑣=0)
II Legea circuitului magnetic sau legea lui Ampere sub formă integrală este dată în ecuația
(5):
∮𝐻̅𝑑
Γ𝑙̅=∫𝐽̅
𝑆Γ𝑑𝑆̅+𝑑
𝑑𝑡∫𝐷̅𝑑𝑆̅
𝑆Γ (5)

În orice moment și in orice mediu tensiunea magnetomotoare de -a lungul oricărei curbe
închise Γ, situate în câmp electromagnetic, este egală cu suma a doi termeni: primul este soluția
corespunzătoare curenților de conduție care străbat suprafața deschisă 𝑆Γ sprijinită pe conturul Γ,
iar al doilea este derivata îm raport cu timpul al fluxului electric prin aceiași suprafață 𝑆Γ.

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 11
Forma locală a legii circuitului magnetic

∮𝐻̅
Γ𝑑𝑙̅=∫𝐽̅ 𝑑𝑆̅
𝑆Γ+∫𝑑𝐷̅
𝑑𝑡
𝑆Γ𝑑𝑆̅+∫𝜌𝑣𝑣̅ 𝑑𝑆̅+
𝑆Γ∫𝑟𝑜𝑡(𝐷̅ 𝑥 𝑣̅) 𝑑𝑆̅
𝑆Γ (6)

𝑖𝑣 𝑖𝑅

𝑖𝑣-curentul de convecție, apare datorită deplasării cu viteza 𝑣̅față de suprafața 𝑆Γ a unor corpuri
încarcate cu sarcini electrice (curent de drift – semiconductori)
𝑖𝑅 – curentul Roentgen apare în urma deplasării cu viteza 𝑣̅ a unor corpuri polarizate (dipoli)
Și identificând integranzii rezultă ecuația (7) :

𝑟𝑜𝑡𝐻̅=𝐽̅+𝑑𝐷̅
𝑑𝑡+𝜌𝑣𝑣̅+𝑟𝑜𝑡(𝐷̅ 𝑥 𝑣̅) (7)

III Legea lui Gauss sau a fluxului electric sub formă integrală este dată în ecuația (8) :

∮𝐷̅𝑑𝑆̅
Σ=∫𝜌𝑉 𝑑𝑣
𝑉Σ=𝜌Σ (8)
Sub formă locală ecuația (9):

𝑑𝑖𝑣𝐷̅=𝜌𝑉 (9)

IV Legea fluxului magnetic sau conservării fluxului magnetic sub formă integrală este dată
în ecuația (10) :
∮𝐵̅𝑑𝑆̅=0
Σ (10)
Sub formă locală ecuația (11):
𝑑𝑖𝑣𝐵̅=0 (11)

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 12 V Legea conservării sarcinii electrice :
Dacă sarcina electrică se repartizează cu densitatea de volum 𝜌𝑣 și J este densitatea
curentului electric de conducție intr -un punct pe suprafața Σ din ecuația (12) rezultă forma
integrală a legii prezentată în ecuația (13) : [1]
𝑖Σ=−𝑑𝜌Σ
𝑑𝑡 (12)

∮𝐽̅𝑑𝑆̅=−∫𝑑𝜌
𝑑𝑡𝑣 𝑑𝑣
Σ (13)
Din care identificând integranzii rezultă forma locală prezentată în ecuația (14):
𝑑𝑖𝑣𝐽̅=−𝑑𝜌𝑣
𝑑𝑡 (14)

VI Legea legăturii în câmp electric prezentată în ecuația (15) :

𝐷̅=𝜀0𝐸̅+𝑃̅ (15)

VII Legea legăturii în câmp magnetic prezentată în ecuația (16):

𝐵̅=𝜇0(𝐻̅+𝑀̅) (16)

VIII Legea transformării energiei în conductori prezentată în ecuația (17):

𝑃𝑖=𝐸̅ 𝐽̅ (17)

IX Legea electrolizei prezentată în ecuația (18):
𝑚=𝑀∙𝑖∙𝑡
𝜌∙𝑛∙𝐹 (18)

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 13
Principalele legi de material:

X Legea polarizației electrice temporare prezentată în ecuația (19) :

𝑃𝑡=𝜀0𝜒𝑒 𝐸̅ (19)

XI Legea magnetizației temporare prezentată în ecuația (20) :

𝑀̅𝑡=𝜒𝑚 𝐻̅̅̅ (20)

XII Legea conducției electrice prezentată în ecuația (21):

𝐽=𝜎∙𝐸 (21)

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 14 2.2 Ecuațiile lui Maxwell
Ecuațiile lui Maxwell sunt legile de bază ale câmpului electromagnetic în teoria clasică.
Ele leagă vectorii E D B și H, care reprezintă câmpul electro magnetic, de sursele sale și de
caracteristic ile mediului în care se găsește câmpul electromagnetic. Aceste ecuații sunt:

𝑑𝑖𝑣 𝐷⃑⃑ =𝜌 (22)
𝑑𝑖𝑣 𝐵⃑ =0 (23)
𝑟𝑜𝑡 𝐸⃑ =−𝜕𝐵⃑
𝜕𝑡 (24)
𝑟𝑜𝑡 𝐻⃑⃑ = 𝑗 +𝜕𝐷⃑⃑
𝜕𝑡 (25)

Prima ecuație a lui Maxwell exprimă faptul că un câmp electric, cu inducția electrică 𝐷⃑⃑
este generat de o sarcină electrică, cu densitatea ρ . Această ecuație reprezintă de fapt legea lui
Gauss sub formă locală.
Ecuația a doua a lui Maxwell, care este de aceeași formă cu prima, exprimă faptul că nu
există “sarcini magnetice”, analoge ce lor electrice, care să genereze câmp magnetic.
A treia ecuație a lui Maxwell este de fapt legea lui Faraday sub formă locală și exprimă
faptul că un câmp magneti c variabil în timp generează un câmp electric.
A patra ecuație arată că un câmp magnetic de intensitate 𝐻⃑⃑ este generat de un curent de
conducție cu densitatea 𝑗 și de un curent de deplasare cu densitatea dată de 𝜕𝐷⃑⃑
𝜕𝑡 adică de variația
temporală a inducției câmpului electric.
Cele patru ecuați i ale lui Maxwell sunt scrise sub formă vectorială și au în partea stângă
expresii dependente de vectorii E, D, B și H care reprezintă câmpul, iar în partea dreaptă mărimile
care reprezintă sursele de câmp situate într -un mediu. Ele sunt scrise într-un sis tem de referință
inerțial în care mediul este în repaus . Întrun astfel de mediu sunt valabile relațiile:

D⃑⃑ =ε0E⃑⃑ +P⃑⃑ (26)
H⃑⃑ =1
μ0B⃑⃑ −M⃑⃑⃑ (27)

Aceste ecuații se numesc ecuații de material fiind exprimate în funcție de polarizarea
electrică, P, a mediului și de magnetizarea sa, M .

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 15
Ecuațiile de material se mai scriu și sub forma:

𝐷⃑⃑ =𝜀0𝐸⃑ (28)
𝐵⃑ =𝜇𝐻⃑⃑ (29)
𝑗 =𝜎𝐸⃑ (30)

în care mediul este reprezentat prin permitivitatea ε, permeabilitatea, μ și conductivitatea electrică,
σ. Ultima ecuație (30) este forma locală a legii lui Ohm.

Mediile în care sunt valabile relațiile de material sunt medii liniare, omogene și isotrope.
În mediile anizotrope ε, μ și σ nu mai sunt mărimi scalare, ele devin mărimi tensoriale. În mediile
liniare și neomogene constantele ε, μ și σ sunt funcție de coordonatele punctului. În sfârșit, mediile
neliniare sunt cele în care relațiile (28),(29),(30) nu mai sunt liniare și ele devin de forma unor
polinoame de grad doi în E, pentru mediile neliniare pătratice și polinoame de ordinul trei pentru
mediile neliniare de ordinul trei.
Menționăm că legea lui Ohm este o lege de material ca și ecuația de continuitate:
𝑑𝑖𝑣 𝑗 +𝜕𝜌
𝜕𝑡 = 0 (31)

Pe baza ecuațiilor de material, putem arăta că ecuațiile lui Maxwell nu sunt independente.
De exemplu, dacă aplicăm la ecuația a patra divergența obținem:
𝑑𝑖𝑣(𝑟𝑜𝑡 𝐻⃑⃑ )= 𝑑𝑖𝑣𝑗 +𝑑𝑖𝑣𝜕𝐷⃑⃑
𝜕𝑡 (32)

Cum 𝑑𝑖𝑣(𝑟𝑜𝑡 𝐻⃑⃑ )=0 pentru orice H rezultă:
𝑑𝑖𝑣𝑗 +𝜕
𝜕𝑡(𝑑𝑖𝑣 𝐷⃑⃑ )=0 (33)

Comparăm (31) cu (33) și ajungem la prima ecuație a lui Maxwell. Adică am pornit de la
ecuația a patra și am ajuns la prima ecuație. Deci ecuația de continuitate face ca aceste ecuații să
nu fie independente.
Câmpul electromagnetic caracterizat de ecuațiile lui Maxwell se află într-un mediu de
volum V închis de o suprafață S. Pe această suprafață de graniță câmpul electromagnetic satisface
anumite condiții la limită ca și în cazul particular al câmpului electrostatic. Aceste condiții la limită
dintre două medii 1 și 2 se scriu:

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 16
𝐷1𝑛−𝐷2𝑛=𝜎𝑠 (34)
𝐸1𝑡=𝐸2𝑡 (35)
𝐵1𝑛=𝐵2𝑛 (36)
𝐻1𝑡−𝐻2𝑡=𝑗𝑠 (37)

unde indicele n se referă la componenta normală a vectorului și indicele t la componenta
tangențială; 𝜎𝑠este densitatea sarcinei libere pe suprafața de separare S a celor două medii 1 și 2,
iar 𝑗𝑠 este densitatea de curent pe suprafața de separare S a celor două medii. Vectorul 𝑗 𝑠 r este
orientat în lungul suprafeței în sensul curentului care curge prin acea suprafață. Se înțelege în
anumite cazuri 𝜎𝑠 și 𝑗𝑠 pot fi și zero.
Cunoscând condițiile la limită ( pe frontiera ), (34),(35),(36 ),(37) și vectorii E și H în
momentul inițial t = 0 sistemul de ecuații Maxwell pot fi rezolvate și se obține o soluție unică.
Această soluție reprezintă câmpul electromagnetic din volumul V bine determinat .

Ecuațiile lui Maxwell sunt ecuații diferențiale cu derivate parțiale și reprezintă legi locale.
Formele globale (sau integrale) ale legilor locale date de ecuațiile Maxwell se deduc din acestea și
sunt următoarele:

∯𝐷⃑⃑
𝑠𝑑𝐴 =𝑄𝑖𝑛𝑡 𝑆 (38)
∯𝐵⃑
𝑠𝑑𝐴 =0 (39)
∮𝐸⃑
𝐶𝑑𝑠 =−𝜕
𝜕𝑡∬𝐵⃑
𝑆𝑑𝐴 (40)
∮𝐻⃑⃑
𝐶𝑑𝑠 =∬𝑗
𝑆𝑑𝐴 +∬𝐷⃑⃑
𝑆𝑑𝐴 (41)

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 17
Dacă comparăm forma diferențială a ecuațiilor Maxwell (22),(23),(24),(25) cu forma
integrală a acestora (38),(39),(40 ),(41) observăm că în locul divergenței unui vector a apărut fluxul
acelui vector prin suprafața închisă S iar în loc ul rotorului a apărut integrala curbilinie pe o curbă
C închisă care se sprijină pe suprafața S. Prima ecuație 38 este de fapt forma integrală a legii lui
Gauss care spune că liniile câmpului electric sunt linii deschise care pornesc, sau vin, la sarcinile
electrice Qinc din interiorul suprafeței închise S. Ecuația 39 arată că liniile câmp ului magn etic care
intră într -o suprafață S închisă ies totdeauna din acea suprafață. Acest lucr u se întâmplă dacă aceste
linii magnet ice sunt linii (curbe) închise. Ecuația 40 este legea inducției electro magnetice și arată
că tensiunea electromotoare în circuitul C este dată de variați a temporală a fluxului câmpului
magnetic printr -o suprafață S care se spijină pe curba C. În mod analog, ecuația 4 1 arată că
tensiun ea magnetomotoare din circuitul închis C este dată de inte nsitatea curentului (sau fluxul
densității d e curent) de conducție prin suprafața S și de variația tempora lă a intensității curentului
de deplasare prin suprafața S.
Ecuațiile lui Maxwell stau la baza determinării câmpului electromagnetic, acestea fiind
utilizate în majoritatea metodelor de calcul a câmpului.

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 18
2.3 Metode de rezolvare

Conform literaturii de specialitate, există mai multe metode de rezolvare a unei probleme
de câmp electromagnetic, cum ar fi: metode analitice, metode numerice si metodele
experimentale.Cum rezolvarea unei pro bleme prin metode experimentale este anevoioasă și
costisitoare, se recomandă utilizarea acestora doar după rezolvarea problemei prin metode analitice
sau numerice.

2.3.1 Metodele Analitice
Dintre metodele analitice frecvent utilizate în rezolvarea problemelor de câmp
electromagnetic amintim:
○ metoda elementară sau directă
○ metoda integrării ecuațiilor Poisson – Laplace prin separarea variabilelor
○ metoda imaginilor electrice
○ metoda funțiilor de variabilă complexă
○ metoda funcțiilor Green
Metodele analitice de rezolvare a unei problem de câmp electromagnetic implică
determinarea unei soluții matematice exacte în fiecare punct și moment de interes, în acest sens,
determinarea soluției poate conduce la dificultați de calcul, astfel în u nele cazuri se folosesc
ipoteze simplificatoare. Aplicația urmând să aibă o soluție aproximativă pentru problema studiată.
Prin urmare, metodele analitice, deși sunt des întâlnite în literatura de specialitate, sunt greu de
aplicat și rezolvat . [2]

2.3.2 Metodele Numerice

Datorită nevoi de a avea calcule cât mai exacte într -un timp cât mai scurt, sau cautat noi
metode de rezolvare a problemelor de câmp electromagnetic, astfel în decursul anilor apar noi
metode și anume, prin modelare numerică, dintre care cele mai representative sunt:
○ metoda diferențelor finite (FDM)
○ metoda momentelor (MM)
○ metoda elementelor finite (FEM)
○ metoda elementelor de frontier (BEM)
○ metoda liniilor de transmisie (TLM)
○ metoda Monte Car lo (MCM)

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 19
2.4 Ce presupune modelare numerică ?

Rezolvarea prin modelare numerică a unei problem e de câmp elect romagnetic urmează o
cale diferită față de abordarea analitică , care caută așa cum am mai spus o soluție a valorilor
marimilor de câmp electromagnetic în puncte și momente de interes, abordarea numerică pornește
de la ideea simplificării problemei în sensul determinării unui numar finit de valori ale câmpului
în terme nii cărora să se poată calcula o soluție aproximativă a problemei. Astfel o abordare
numerică a unei probleme presupune modificări minore ale domeniului spatial asociat problemei
și aproximarea oper atorilor prin operatori discreți aproximativi. [2]
Modelarea numerică a unei probleme de câmp electromagnetic presupune pargurgerea mai
multor etape. O diagramă ce prezintă desfașurarea etapelor este prezentată în Fig. 2.

Fig. 2 Etapele Rezolvării prin modelare numerică
Alegerea regimului de funcționare
-ecuația guvernantă –
Discretizarea problemei de câmp
electromagnetic: FEM, BEM, etc… Formularea problemei
Rezolvarea ecuațiilor problemei: inversiune,
eliminare Gauss, etc…
Soluție +
PostProcesarea rezultatelor

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 20 O primă etapă constă în implementarea datelor de intrare, de exemplu geometria
elementului, proprietățiile de material, surse și condițiile de frontier ă.
A doua etapă implică identificarea regimului de funcționare al câmpului electromagnetic
asociat problemei abordate și a ec uației guvernante. Este necesară, așadar, stabilirea ecuațiilor care
descriu procesele fizice asociate problemei și aducerea acestora la forma cea mai convenabilă
rezolvării.
Etapa a treia prezintă discretizarea problemei de câmp electromagnetic care se re alizează
practic în doi pași, și anume, mai întâi este necesară stabilirea modalității celei mai eficace de
abordare a problemei de analiză numerică de câmp (utilizând una din metodele FEM, BEM, MDF,
TLM), iar apoi asociat aproximarea ecuațiilor guvernante ale problemei în sensul reformulării
acestora în termenii discretizării folosite pentru soluția căutată.
În urma finalizării etapei trei se ajunge la un sistem de ecuații algebrice de forma A*B=X,
rezolvarea căruia constituind practic etapa a patra a rezo lvării unei probleme de câmp
electromagnetic prin modelare numerică. Astfel, obiectivul acestei etape constă în obținerea
soluției aproximante a problemei prin rezolvarea acestor sisteme de ecuații algebrice fie folosind
metode numerice clasice (inversiune , eliminare Gauss, etc…) fie folosind programe software
specializate – programe dedicate soluționării unor asemenea sisteme de ecuații.
Ultima etapă prezintă determinarea mărimilor de câmp electromagnetic folosind soluția
numerică a problemei. Astfel se pot determina:
○ Valorile unor mărimi locale ale câmpului electromagnetic, cum ar fi: intensitatea câmpului
electric E, inducția electrică D, intensit atea câmpului magnetic H, inducția magnetică B.
○ Valorile unor mărimi globale ale câmpului electromagnetic, cum ar fi: tensiuni, curenți, fluxuri,
energii, etc…
○ Valorile unor mărimi derivate (conexe): forțe electromagnetice, cupluri electromagnetice,
capacitați, inductivitați, coeficienți de cuplaj, etc…
○ Aceste rezultate pot fi afișate în mai multe moduri: valori numerice, cod de culori, linii de contur,
vectori, ș.a. [2].
Printre obiectivele principale ale acestei lucrări îl constituie prezentarea și analiza unor
rezultate numerice obținute utilizând pachet ul software COMSOL. Acest software se bazeaza in
cea mai mare parte in modelarea numerica pe metoda elementelor finite.
Modelarea numerică a aplicațiilor utilizând programe bazate pe metoda elementelor finite
prezintă o serie de avantaje dintre care amintim:
○ permite modelarea unor domenii caracterizate prin configurații geometrice complexe
○ permite modelarea problemelor unidimensionale, bidimensionale și tridimensionale
○ flexibilitate
○ utilizarea unor categorii mari de materiale existente în librăria acestor programe

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 21
○ modelarea materialelor cu comportare neliniară
○ utilizarea simetriei pentru reducerea resurselor de calcul și a timpului de calcul
○ utilizarea unei game largi de surse și condiții de frontieră
○ posibilitatea verificării corectitudinii implementării aplicației
○ viteze relativ mari de calcul numeric a soluției problemei
○ posibilitatea de vizualizare a rezultatelor sub formă d e: valori numerice, cod de culori, linii de
contur, animație, tabele de valori, grafice, etc…

Atingerea nivelului actual de dezvoltare al programelor de modelare numerică bazate pe
metoda elementelor finite (complexitate, acuratețe, minimizarea erorii) a re la baza evoluția
continuă și simultană a:
○ suportului matematic, prin dezvoltarea tehnicilor de discretizare prin elemente finite de ordin
superior
○creșterea puterii de calcul prin dezvoltarea spectaculoasă a calculatoarelor (viteza de operare și
cantitatea de informații stocate) cea ce permite construirea unor modele de calcul din ce în ce mai
complexe [2].

2.5 Metoda elementelor finite

Metoda elementelor finite (FEM) este în momentul de fața cea mai utilizată metodă de
modelare numerică a câmpului electromagnetic implementată pe calculator. Această metodă
urmărește discretizarea domeniului problemei în elemente geometrice simple ( triung hi, tetraedru,
paralipiped ) acestea constituind în final elemente finite interconectate prin noduri de discretizare.
Discretizarea:
Constă în tre cerea de la structura continuă din
Fig. 3 (cu o infinitate de puncte) la un model discret, cu un număr finit de puncte (noduri). Această
operație se face acoperind modelul cu o rețea de discretizare, ea trebuie facută astfel încât să se
definească un număr sufi cient de mare de puncte în zonele de interes (
Fig. 4).

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 22

Fig. 3 Modelul analizat Fig. 4 Discretizarea modelului

Rezolvarea oricărei probleme prin metoda elementelor finite implică parcurgerea a cinci pași:
1) Discretizarea domeniului în număr finit de elemente
2) Aproximarea soluției funției potențial prin polinoame
3) Asamblarea tuturor elementelor din domeniul soluției
4) Rezolvarea sistemului de ecuații obținut și determinarea mărimilor de c âmp în nodurile de
discretizare
5) Calcularea valorilor mărimilor de câmp în interiorul elementelor și pe baza acestora a
mărimilor globale și derivate [2].

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 23
3. Modelarea Numerica a unor probleme de câmp electromagnetic
cu programul Comsol Multiphysics și FEMM

Programul permite modelarea și simularea în 2D respectiv 3D a unei game largi de
probleme din fizica de bază , având abilitatea de reproducere a fenomenelor fizice cu o exactitate
excelentă , utilizănd o analiză bazată pe metoda elementelor finite.
Interfaț a prezintă datele de simulare într -un mod ierarhic care separă diferitele grupe de
intrări și de ieșiri de date. Informațiile legate de model sunt stocate la cel mai ridicat nivel, acest ea
conținând tipul de geometri e pe care se bazează construcția , și mediul de operare.
COMSOL permite rafinarea acestei rețele de discretizare, începând cu o rețea simplificată.
După o rulare, se pot gă si zonele în care există solicită ri foarte mari, și pentru a avea o acuratețe
mai ridicată, se poate reface mesh -ul (natura precisă a acestui mesh se poate modifica, în funcție
de cerințele proiectului). Aceste operații, în general, se pot face automat, dar utilizatorul poate
realiza fiecare operatie în parte, cu mai multe detalii pentru rezultate cât mai precise.
COMSOL
Popate analiza o gama larga de probleme printre care :
○ Probleme de mecanica fluidelor
○ Chimice
○ Mecanice
○ Electrice

Fig. 5 Interfața Comsol și reprezentarea câmpului magnetic într -un motor cu magneți permanenți

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 24
Modulul AC/DC (face parte din modulul Electrical) este folosit pentru simularea
câmpurilor electrice, magnetice si electrom agnetice în regim staționar și variabil pentru aplicați i
în care se cere modelarea condensatoarelor, izolatoarelor, inductoarelor, bobinelor, motoarelor
electrice, cu posibilitatea efectuării calculelor de forțe, cupluri, rezistențe, ca pacități și
inductivități.
Materialele si relațiile ce le d efinesc sunt definite în funcție de permitivitate, permeabilitate
și conductivitate , iar proprietățile de material pot fi dependente de timp, anizotrope, spațial
variabile sau să aibă pierderi. În Fig. 5 avem prezentat ă modelarea câmpului magnetic a unui rotor
cu magneți permanenți cu 4 perechi de poli modelând o singură pereche de poli folosind comanda
symmetry.
Sistemul de interfață de utilizator este construit pe metode de interacțiune standard, găsite
în multe dintr e aplicațiile de acest tip. Totul este proiectat în așa fel încât crearea de modele și
studiul tipurilor de interacțiuni să fie cât mai eficientă, cu multe procese aplicate direct asupra
modelului, cu feedback dinamic, în locul unor ferestre de dialog obsc ure [3].
Implementarea problemei
○ Definirea geometriei : pentru a alege geometria avem posibilitatea desenării acesteia cu
ajutorul interfetei CAD din Comsol fie folosirea funcției de importare CAD, care permite citirea
formatelor generate de Pro/Engineer, Solidworks, Solid Edge, Catia, Inventor, AutoCAD, sau
Parametric . Deși COMSOL prezintă propriul, modul CAD ce permite desenarea modelelor 2D sau
3D, s-a utilizat totuși SolidWorks pentru realizarea modelului 2D, fiind un mediu mai prietenos
prin excelență destinat proiectării complete CAD.
○ Atribuirea materialelor : conform așteptărilor, Comsol deține o varietate de materiale
standard, care se pot găsi în or ice sistem de analiză pe baza elementului finit. Dar, de obicei, există
necesitatea de adaptare a acestor materiale. Sistemul se folosește de o bază de date centrală, pentru
stocarea și distribuția materialelor.
○ Atribuirea surselor : atribuirea se face pr in selecția individuală a obiectelor iar din
tipurile de surse ce se pot atribui amintim: potențial electric, sarcină electrică, densitate volumică
de sarcină, densitate de curent electric, curent electric.
○ Generarea soluției : în final se vor genera soluți pe baza datelor de intrare, având
posiblilitatea vizualizării rezultatelor sub formă de: cod de culori, valori numerice, linii de contur,
tebele cu valori, grafice 2D si 3D, etc…

FEMM
este o suită de programe pentru rezolvarea problemelor electromagnetice de joasă frecvență in
plan 2D si domeniu asimetric. Programul se adresează problemelor magnetostatice lineare/non –
lineare, problemelor magnetice armonice lineare/non -lineare, problemelor electrostatice lineare
si problemelor cu flux de caldură echilibrat.

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 25
FEMM -ul este împarțit in trei părți:
● Carcasa interactivă(femm.exe). Acest program este o interfață pre -procesor a documentelor
multiple și post -procesor pentru variate tipuri de probleme rezolvate de FEMM. Conține un
model de interfață CAD pentru stabilirea geometriei problemei de rezolvat și pentru definirea
proprietăților materialului și a condițiilor de frontieră. Fișierele tip DXF pot fi importate pentru a
facilita analiza geometriilor existente. Soluțiile câmpului pot fi afișate sub formă de contur și
ploturi de densitate. De asemenea, programul îi permite utilizatorului sa inspecteze câmpul în
puncte arbitrare, precum și sa evalueze un anumit număr de integrale și diferite tipuri de plot de –
a lungul contururilor definite de utilizator.
● triangle.exe. Triangle desface regiunea soluțiilor într -un număr mare de triunghiuri, parte vitală
a procesului elementelor finite. Acest program a fost scris de către Jonathan Shewchuk.
● Solverele fkern.exe pentru probleme de tip magneti c; belasolv pentru probleme de tip
electrostatic; hsolv pentru probleme de flux de caldură; și csolv pentru probleme de flux de
curent. Fiecare solver preia un set de fișiere cu date care descriu problema și rezolvă ecuațiile
diferențiale parțiale relevant e pentru a obține valorile pentru câmpul dorit prin domeniul de
soluționare.
În carcasa interactivă este integrat limbajul de script LUA. Față de versiunile mai vechi FEMM,
aceasta ruleaza doar o probă de LUA la un moment dat. Această probă de LUA poate i n același
timp să construiască și sa analizeze o geometrie și să evalueze rezultatele post procesate,
simplificând crearea variatelor feluri de rulări ˝ batch ˵ .
În plus, toate casuțele de editare din interfața utilizatorului sunt analizate LUA, permițând
ecuațiilor sau expresiilor matematice sa fie introduse in orice căsuță de editare în locul unei
valori numerice. În orice căsuță de editare din FEMM, o bucată de text selectată poate fi evaluată
cu LUA printr -un click dreapta al mouseului.
Problemele magn etostatice sunt probleme în care câmpurile sunt temporizate. În acest caz,
intensitatea câmpului (H) și inducția magnetică (B) trebuie să indeplinească:
∇×H = J
∇·B = 0
supuse unei relații constitutive între B și H pentru fiecare material:
B = µH
Dacă mate rialul este non -linear (de exemplu oțelul saturat sau magneții alnico), permeabilitatea,
µ este defapt o funcție de B:
µ= B H(B)
FEMM găsește un câmp care satisface primele doua condiții de mai sus printr -o abordare a
potențialului magnetic vector. Inducț ia magnetică este scrisa în termenii potențialului vector, A,
astfel:

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 26 B = ∇×A.
Acum, definirea lui B satisface a doua condiție întotdeauna. Astfel prima condiție poate fi
rescrisă astfel:

Pentru un material izotrop liniar (și presupunând Legea lui Coulomb, ∇·A = 0), ecuația de mai
sus se reduce la:
∇2A = J
FEMM reține și ecația pentru ca problemele magnetostatice cu o relație B -H
non-lineară să poată fi rezolvate.
Avantajul utilizării formulării cu potențialul vector este acela că pentru a fi satisfăcute toate
condițiile, acestea au fost comb inate într -o singura ecuație.

Fig. 6 Interfața FEMM și reprezentarea câmpului magnetic într -un motor cu magneți permanenți

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 27

3.1 Implementarea de probleme

3.1.1 Implementarea problemei in Comsol

Se deschide Comsol și se alege Blank Model.

Fig 7. Interfața Comsol și alegerea modului de lucru
Se selectează icoana Add Study din meniul Study, apoi se selecteaza Frequency Domain și se
stabilește frecvența de 50 Hz.

Fig. 8 Setarea modului de studiu al problemei în Comsol

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 28

Se introduce tipul de geometrie pe care se lucrează.

Fig 9. Inserarea geometriei problemei în Comsol
Se asignează materialele pentru fiecare componentă a geometriei din meniul Material -> Add
Material.

Fig 10. Alegerea materialului în Comsol
Se dă click dreapta pe Magnetic Fields, se alege opțiunea Coil, iar apoi se selectează Single turn
coil, după care se scrie valoarea curentului pe care o dorim în simulare.

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 29

Fig 11. Setarea tipului de bucla si scrierea curentului în Comsol
Se face click pe Study, iar apoi se apasă butonul Compute.

3.1.2 Implementarea problemei in Comsol
Se deschide soft -ul, apoi din meniul principal se selecteaza File ->New ->Current Flow
Problem.

Fig. 12 Interfata FEMM

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 30
După deschiderea paginii de lucru se importă geometria:File ->Import DXF.

Fig 13. Inserarea geometriei în FEMM
Setarea parametrilor de lucru se face din meniul Problem.

Fig 14. Setarea parametrilor problemeiîn FEMM
Din meniul Properties se alege Materials ->Add Material Property și se introduce noul tip de
material, sau din Material Library, pentru a adăuga un material predefinit.

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 31

Fig 15. Alegerea tipului de material în FEMM
Pentru adăugarea curentului se va selecta tot din mentiul Properties ->Circuits ->Add Property și
se setează valo area curentului dorit în circuit.

Fig. 16 Setarea Intensității curentului în FEMM

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 32
Se setează mesh -ul din meniul Mesh.

Fig 17. Setarea Mesh -ului în FEMM
Analiza simulării se face din meniul Analysis ->Analyze, apoi se vizualizează rezultatele din
același meniu.

3.2 Conductor ul din aluminiu masiv
3.2.1 Analiza numerică

Fig. 18 Distribuția inducției magnetice in Comsol pentru c onductorul din aluminiu masiv

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 33

Fig. 19 Distribuția inducției magnetice in FEMM pentru c onductorul din aluminiu masiv

Fig. 20 Reprezentarea grafică a inducției magnetice intr-o sectiune transversala de-a lungul unei linii ce trece prin
mijlocul conductorului si a domeniului de calcul in Comsol pentru c onductorul din aluminiu masiv

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 34
Fig. 21 Reprezentarea grafică a inducției magnetice intr-o sectiune transversala de -a lungul unei linii ce trece prin
mijlocul conductorului si a domeniului de calcul in FEMM pentru c onductorul din aluminiu masiv

Fig. 22 Distribuția densității de curent in Comsol pentru c onductorul din aluminiu masiv

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 35

Fig. 23 Distribuția densității de curent FEMM pentru conductorul din aluminiu masiv

Se poate observa o diferență foarte mică între cele doua reprezentări datorită faptului ca in
Comsol s -au introdus mai multe proprietăți de material.
3.2 Cablu din aluminiu ecranat
Domeniu de utilizare:
Cabluri le de energie de medie tensiune, cu izolație din polietilenă reticulată și manta de
polietilenă termoplastică sunt destinate distribuț iei de energie electrică în instalații fixe la tensiuni
nominale U0/U = 12/20 kV. Construcția unui astfel de cablu este prez entată în Fig.

Fig. 14 Construcția cablului
Construcția:
1 Conductor de cupru sau aluminiu
2 Ecran interior semiconductor
3 Izolație XLPE
4 Ecran exterior semiconductor
5 Bandă semiconductoare (opțional)
6 Ecran din sârmă de cupru
7 Bandă de cupru
8 Manta de polietile

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 36
Tabel 1 Parametrii conduc torului ecranat
Tensiune
Nominală Grosime
nominalăizolație Grosime
nominală manta Diametru exterior Secțiune
[KV] [mm] [mm] Min.
[mm] Max.
[mm ] [𝑚𝑚2]

12/20 5.5 2.5 41 46 300

3.3.1 Analiza numerică

Fig. 24 Distribuția inducției magnetice in Comsol pentru conductorul ecranat

Fig. 25 Distribuția inducției magnetice in FEMM pentru conductorul ecranat

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 37

Fig. 26 Reprezentarea grafică a inducției magnetice intr-o sectiune transversala de -a lungul unei linii ce trece prin
mijlocul conductorului si a domeniului de calcul in Comsol pentru c onductorul ecranat

Fig. 27 Reprezentarea grafică a inducției magnetice intr-o sectiune transversala de -a lungul unei linii ce trece prin
mijlocul conductorului si a domeniului de calcul in FEMM pentru c onductorul ecranat

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 38
Fig. 28 Distribuția densității de curent in Comsol pentru conductorul ecranat

Fig.29 Distribuția densității de curent FEMM pentru conductorul ecranat

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 39

3.4 Cablu l trifaz at
Domeniu de utilizare:
Cablurile sunt destinate pentru construcț ia liniilor elect rice aeriene de medie tensiune î n
zone împă durite, zone gr eu accesibile, zone urbane sau în alte zone î n care nu se pot construi linii
electrice aeriene cu conductoare neizolate sau parț ial izolate. Const rucția unui astfel de cablu este
prezentat ă în Fig. . [4]

Construcț ie:

1 Conductor de aliaj de aluminiu
2 Ecran semiconductor extrudat
3 Izolaț ie XLPE
5 Ecran de sâ rme de cupru
6 Strat separator de folie sintetică
7 Manta de PE

Fig. 30 Construcția unui cablu trifazic

Notă
* D1 Diametru cablului
D2 Diametrul cercului circumscris
Tabel 1 Parametrii conductorului trifazat
Tensiune
Nominală
Grosime
nominalăi
zolație Grosime
nominală
manta Diametru exterior Conducto r Capacitatea .
de transp ort a
curentului
[KV] [mm] [mm] D1
[mm] D2
[mm] Diametru
[mm]
249 [A]
12/20 4.5 2.8 52.3 55.9 11.4

3.4.1 Analiza numerică
Implementarea problemei:
Structura modelului a fost realizată în SolidWorks, apoi s -a importat în Comsol și FEMM
cu ajutorul modulului add -in de care dispune .

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 40
Fig. 31 Distribuția inducției magnetice in Comsol pentru conductorul trifazat

Fig. 32 Distribuția inducției magnetice in FEMM pentru conductorul trifazat

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 41

Fig. 33 Reprezentarea grafică a inducției magnetice intr-o sectiune transversala de -a lungul unei linii ce trece prin
mijlocul conductorului si a domeniului de calcul in Comsol pentru c onductorul trifazat

Fig. 34 Reprezentarea grafică a inducției magnetice intr -o sectiune transversala de -a lungul unei linii ce trece prin
mijlocul conductorului si a domeniului de calcul in FEMM pentru conductorul trifazat

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 42

Fig. 35 Distribuția densității de curent in Comsol pentru conductorul trifazat

Fig. 36 Distribuția densității de curent FEMM pentru conductorul trifazat

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 43

3.5 Conductorul Lițat

Pentru acest caz avem un conductor multifilar din aluminiu și miez de oțel utilizat în
distribuția energiei electrice în rețelele de medie tensiune, pentru acesta avem următoarele date de
catalog afișate in tabelul 3.
Conductoarele multifilare (lițat e) se execută din mai multe fire de același material
(aluminiu, cupru, oțel) sau din doua material oțel-aluminiu dispuse in straturi concentrice, oferind
astfel o siguranță sporită în funcționare și o flexibilitate ridicată. Firele de oțel, care formează inima
conductorulu i, se folosesc pentru a prelua eforturile mecanice, iar cele de aluminiu sunt parcurse
de curentul electric .

Fig. 37 Conductorul lițat

Tabel 2 Parametrii conductorului lițat
Secțiune
𝑚𝑚2 Oțel Aluminiu Conductor Capacitatea
de transp ort a
curentului
Al.
[𝑚𝑚2] Oțel
[𝑚𝑚2] Totala
[𝑚𝑚2] Nr.
Cond. Diametru
[mm] Nr.
Cond. Diametru
[mm] Diametru
[mm]
[A]
973.9 227.8 1201.7 37 2.80 72 4.15 44,5 2124

3.4.1 Analiza numerică
Iplementarea problemei:
Structura modelului s-a realizată în SolidWorks, apoi s -a importat în Comsol .

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 44
Fig. 38 Distribuția inducției magnetice in Comsol pentru conductorul multifilar

Fig. 39 Distribuția inducției magnetice in FEMM pentru conductorul multifilar

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 45

Fig. 40 Reprezentarea grafică a inducției magnetice intr-o sectiune transversala de -a lungul unei linii ce trece prin
mijlocul conductorului si a domeniului de calcul in Comsol pentru c onductorul multifilar

Fig. 41 Reprezentarea grafică a inducției magnetice intr-o sectiune transversala de -a lungul unei linii ce trece prin
mijlocul conductorului si a domeniului de calcul in FEMM pentru c onductorul multifilar

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 46
Fig. 42 Distribuția densității de curent in Comsol pentru conductorul multifilar

Fig. 43 Distribuția densității de curent FEMM pentru conductorul multifilar

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 47

4.Concluzi
În această lucrare s -a prezentat rezolvarea anumitor probleme specifice bazelor
electrotehnicii utilizând SolidWorks 201 6, FEMM și COMSOL Multiphysics 5.2. Deși COMSOL
își prezintă propriul, modul CAD ce permite desenarea modelelor 2D sau 3D , s-a utilizat totuși
SolidWorks pentru realizarea modelului 2D, fiind un mediu mai prietenos prin excelență destinat
proiectării complete CAD. Astfel s -a demonstrat cuplarea mediului CAD pentru desenarea
SolidWorks 20 16 cu mediul CAE pentru simulare COMSOL Multiphysics 5.2. și FEMM.
În simularile de mai sus se observă o oarecare diferență datorită posibilității de introducere
în Comsol a m ai multor proprietăți de material cum ar fi conductivitatea electricăcoeficientul
termic de expansiune, densitatea, conductivitatea termică, modulul lui Young, pe când in FEMM,
ca și proprietăți de material puteam adăuga doar conductivitatea materialului ș i permitivitatea
relativă . Dacă la primul caz analizat diferențele între simulări sunt nesemnificative deoarece s -au
folosit puține tipuri de materiale, la conductorul ecranat spre exemplu, diferențele sunt mai
semnificative deoarece s-au folosit mai multe materiale.
Tabel 4 . Avantajele și dezavantajele dintre cele două soft -uri
Comsol FEMM
Avantaje Dezavantaje Avantaje Dezavantaje
Interfață prietenoasă Costuri ridicate Software open source Interfață neprietenoasă.
Mod greoi de a desena
geometrii complexe
Gamă foarte largă de
materiale Perioadă mai lungă de
invățare pentru utilizarea
programului in conditii
optime Facil pentru realizarea
problemelor simple, care
nu impun geometrii
complexe. Posibilitatea
de a importa fișiere .dxf. Gamă mică de materiale
prestabilite, fără
posibilitatea de a adăuga
liste noi de materiale
Realizarea de geometrii
atât 2D cât și 3D
complexe. Se pot realiza doar
geometrii 2D
Posibilitatea de a
modifica tipul mesh -ului Se folosește doar mesh -ul
implicit al programului
Setarea parametrilor Definirea parametrica
greoaie
problemei se poate face
foarte ușor prin
introducerea unei liste cu
parametrii

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 48
5. Bibliografie

[1] I. C. Mocanu, în Teoria Campului Electromagnetic , Bucuresti, EDP, 1981, p. 788.
[2] A. Răcășan, în Aplicații de Modelarea Numerică în Câmp Electromagnetic , Timișoara, Ed.
Politehnică, 2013.
[3] „www.comsol.com,” [Interactiv].
[4] „www.iproeb.ro,” [Interactiv].
[5] A. Poeată, în Transportul Și Distribuția Energiei Electrice , București, EDP, 1981, p. 447.
[6] “HG 1136/30.08.2006”, Official Romanian Gazette, no. 769/11.09.2006.
[7] “OMSF 1193/29.09.2006”, Official Romanian Gazette, no. 895/03.11.2006.
[8] Council Recommendation of 12 July 1999 on the limitation of exposure of the general
public to electromagnetic fields (0 Hz to 300 GHz).
[9] Directive 2004/40/EC of the European Parliament and of the Council of 29 April 2004.
[10] SolidWorks, „www.solidworks.co m,” Dasault System. [Interactiv].
[11] A. Timotin, în Lecții de Bazele Electrotehnicii vol.II , Bucuresti, EDP, 1964.
[12] A. Cziker, în Exploatarea Liniilor Electrice Aeriene , Cluj -Napoca, Casa Cărții de Știință,
2010, p. 537.

[13] FEMM, ,, http://www.femm.info/wiki/documentation/ ". [Interactiv]

Investigarea prin modelare numerică cu ajutorul Comsol și FEMM a câmpului electromagnetic
produs de diferite configurații de cabluri electrice

Pagina 49