Dintre toate disciplinele fa ță de care inginerul r ămâne profund îndatorat, de aproape un secol, datorit ă succeselor ac țiunilor sale, Vibra țiile… [606525]

Liviu BERETEU

VIBRAȚIILE SISTEMELOR
MECANICE

2009

2

PREFAȚĂ

Dintre toate disciplinele fa ță de care inginerul r ămâne profund îndatorat, de
aproape un secol, datorit ă succeselor ac țiunilor sale, Vibra țiile Sitemelor Mecanice ocup ă
un loc de prim rang.

Cunoașterea și utilizarea no țiunilor de vibra ții mecanice au devenit necesit ăți
fundamentale pentru o larg ă serie de speciali ști: fizicieni, ingineri, arhitec ți, etc. De la
geofizicieni la constructori și până la medici a crescut interesul pentru aceast ă disciplină.

Protecția împotriva vibra țiilor excesive este pr eocuparea principal ă a inginerilor
proiectanți. Proiectarea și construc ția unor ma șini vibratoare este, adesea, dorin ța
inginerilor mecanici și a inginerilor de sunet. M ăsurarea și interpretarea vibra țiilor
mecanice sunt sarcini importante în activitatea de între ținere predictiv ă a mașinilor.

Datorită progreselor din analiza numeric ă și a instrumentelor de m ăsură care sunt
astăzi la îndemâna specialistului: programe sofi sticate de elemente finite sau elemente de
frontieră, echipamente de analiz ă digitală a semnalelor etc, acesta se g ăsește în posesia
unui ansamblu complet de mijloace pentru studiul și descrierea mi șcărilor vibratorii.

Scopul principal al acestei c ărți este de a da no țiuni de baz ă în mecanica
vibrațiilor, tocmai pentru a putea fi util ă studenților de la diferite specializ ări. Bazată pe o
documenta ție la zi, nu ne îndoim c ă ea va fi de un real folos. Pentru a înt ări deprinderile
practice ale studen ților, este dat un num ăr mare de probleme rezolvate.

3

CUPRINS

1. VIBRA ȚIILE LINIARE ALE SISTEMELOR MECANICE CU UN GRAD DE
LIBERTATE
1.1.Stabilirea ecua țiilor diferen țiale ale vibra țiilor……………………………………………………..
1.1.1.Caracteristici elastice și de amortizate. Legarea în serie și în paralel a elementelor
elastice……………. ……………….. ……………………… …………… ……………….. ………………… …………………..
1.1.2.Modelul mecanic de transla ție pentru vibra țiile liniare ale sistemelor materiale…..
1.1.3.Modelul mecanic de torsiune pentru vibra țiile liniare ale sistemelor materiale…….
1.1.4.Stabilirea ecua ției diferen țiale a mișcării sistemelor materiale cu un grad de libertate
cu ajutorul ecua ției lui Lagrange de spe ța a II-a…………. ………………….. …………….. ……………………
1.1.5.Forțe perturbatoare………… ……………… ……………………. ………………….. ………………….
1.2.Răspunsul sistemelor mecanice liniare cu un grad de libertate la diferite excita ții…..
1.2.1.Vibra ții libere neamortizate…………………………………………………………………………..
1.2.2.Vibra ții libere cu amortizare vâscoas ă……………….. …………….. …………….. …………….
1.2.3.Vibra ții libere cu amortizare uscat ă………………… ………………. ……………. ………………
1.2.4.Răspunsul sistemelor vibrante liniare cu un grad de libertate la excita ția impuls….
1.2.5.Vibra ții forțate neamortizate cu for ță perturbatoare oarecare… ……………… ………….
1.2.6.Vibra ții forțate cu amortizare vâscoas ă și forță perturbatoare oarecare……………….
1.2.7.Vibra ții forțate neamortizate cu for ță perturbatoare armonic ă……………. ……………..
1.2.8. Vibra ții forțate cu amortizare vâscoas ă și forță perturbatoare armonic ă……………..
1.2.9. Răspunsul complex în frecven ță……………………………………………………………………
1.2.10. Vibra ții forțate cu amortizare vâscoas ă și forță perturbatoare periodic ă……………
1.2.11. Aspecte energetice în studiul vibra țiilor liniare. Amortizare structural ă……………
1.3.Probleme……………………………………………………………………………………………………. …

2. VIBRA ȚIILE SISTEMELOR LINIARE CU MAI MULTE GRADE DE
LIBERTATE
2.1.Stabilirea ecua țiilor diferen țiale ale mi șcării cu ajutorul ecua țiilor lui Lagrange de
speța a II-a……………. ……………. ……………. ……………. ……………. …………. ………….. ………… …
2.2.Ecuațiile micilor oscila ții…………………………………………………………………………………
2.3.Vibra ții în sisteme cu caracteristici liniare………………………………………………………….
2.4.Vibra ții libere neamortizate……………………………………………………………………………..
2.4.1.Pulsa ții proprii, vectori proprii. Determinarea legilor de mi șcare……………………….
2.4.2.Ortogonalitatea modurilor prop rii……………… ……………….. ………………… ………………
2.4.3.Coordonate normale. R ăspunsul sistemului la excita ție inițială………………………….
2.4.4.Sisteme cu moduri de corp rigid………….. …………………. ……………………. ………………
2.5.Vibra ții libere cu amortizare vâscoas ă……………………………………………………………….
2.5.1.Determinarea legilor de mi șcare…………….. ……………….. ……………………. ……………..
2.5.2.Vibra ții libere cu amortizare propor țională………………………………………………………
2.6.Vibra ții forțate neamortizate…………………………………………………………………………….
2.6.1.Vibra ții forțate neamortizate cu for țe perturbatoare oarecare… ……………… …………..

42.6.2.Vibra ții forțate neamortizate cu for țe perturbatoare armonice de aceea și pulsație…
2.7.Vibra ții forțate amortizate………………………………………………………………………………..
2.7.1.Vibra ții forțate amortizate cu for țe perturbatoare oarecare… …………. …………………..
2.7.2.Vibra ții forțate cu amortizare vâscoas ă și forțe perturbatoare armonice de aceea și
pulsație……………… ………………… …………………. …………………. ……………. ………… ………….. ……………
2.8.Probleme……………………………………………………………………………………………………. …
3. APLCA ȚII TEHNICE ALE TEORIEI VIBRA ȚIILOR
3.1.Considera ții generale……………………………………………………………………………………
3.2.Turații critice ale vibra țiilor de torsiune ale unui arbore elastic cu mai mul ți
volanți……………………………………………………………………………………………………………..
3.3.Turații critice ale vibra țiilor de încovoiere ale unui arbore elastic cu mai mul ți
volanți………………………………………………………………………………………………………………
3.4.Izolarea vibra țiilor………………………………………………………………………………………..
3.5.Amortizorul dinamic simplu…………………………………………………………………………. 3.6.Aparate mecanice pentru m ăsurarea vibra țiilor……………. ……………. …………. ………..
3.7.Aparate electrice pentru m ăsurarea vibra țiilor………………………………………………….
3.8.Măsurători de vibra ții și prelucrarea semnalelor……………………………………………….

4. VIBRA ȚII NELINIARE ȘI PARAMETRICE
4.1.Considera ții generale……………………………………………………………………………………
4.2.Studiul în planul fazelor al vibra țiilor neliniare………………………………………………..
4.3.Puncte singulare și traiectorii de faz ă pentru sisteme liniare………………………………
4.4.Metoda exact ă pentru studiul vibra țiilor neliniare pentru sisteme conservative…….
4.5.Metoda liniariz ării echivalente……………………………………………………………………….
4.6.Metoda varia ției lente a amplitudinii și a fazei ini țiale………………………………………
4.7.Metoda parametrului mic………………………………………………………………………………
4.8.Metoda balan ței armonice……………………………………………………………………………..
4.9.Metoda lui Ritz……………………………………………………………………………………………. 4.10.Autovibra ții produse de frecarea uscat ă…………………………………………………………
4.11.Ecua ția lui Duffing……………………………………………………………………………………..
4.12.Vibra ții parametrice…………………………………………………………………………………….
4.13.Probleme……………………………………………………………………………………………………

5. VIBRA ȚIILE SISTEMELOR CONTINUE
5.1.Vibra țiile longitudinale ale barelor drepte………………………………………………………..
5.1.1.Deducerea ecua ției de mișcare…………………………………………………………………….
5.1.2.Condi ții inițiale și la limită…………………. …………………. …………………. ………… ……
5.1.3.Vibra ții longitudinale libere. Metoda separ ării variabilelor…………………………….
5.1.4.Rela ții de ortogonalitate………… ………………. ……………… ………………….. ……………..
5.1.5.Vibra ții longitudinale amortizate ale barei…….. ………………. ……………… ……………
5.1.6.Vibra ții longitudinale for țate ale barei……………. …………………… ………………………
5.2.Vibra ții de răsucire ale barelor……………………………………………………………………….
5.3.Vibra ții transversale ale barelor………………………………………………………………………
5.3.1.Deducerea ecua ției vibrațiilor transversale…………………………………………………….
5.3.2.Condi ții inițiale și la limită…………………. …………………. …………………. ………… …….
5.3.3.Vibra ții libere transversale ale barelor………………………………………………………….

55.3.4.Rela ții de ortogonalitate………… ………………. ……………… ………………….. ……………..
5.4.Probleme……………………………………………………………………………………………………. .

6. METODE NUMERICE ȘI APROXIMATIVE
6.1.Evaluarea numeric ă a răspunsului sistemului cu un grad de libertate…………………..
6.1.1.Solu ția numeric ă bazată pe interpolarea for ței perturbatoare…… ………………………
6.1.2.Integrarea numeric ă pas cu pas……………… …………….. ……………. …………… ………….
6.2.Evaluarea numeric ă a răspunsului sistemelor liniare cu mai multe grade de
libertate………………………………………………………………………………………………………. ……
6.2.1.Metoda diferen țelor finite……………………………………………………………………………
6.2.2.Metoda Newmark…………… …………………………. …………………………. …………………..
6.3.Metode analitice aproximative………………… ……………. ……………. ……………. …………..
6.3.1.Calculul energiei cinetice și potențiale pentru sisteme continue……………………….
6.3.2.Aplicarea ecua țiilor lui Lagrange pentru sistemele continue în metoda modurilor
presupuse……………. ……………………… ………………… ……………. ……………….. ……………… ……………..
6.3.3.Metoda Rayleigh…………… …………………….. ………………. ………………… ………… ……..
6.3.4.Metoda Rayleigh – Ritz….. ………………….. ………………… …………………. ……………….
6.3.5.Metoda Galerkin……………. ……………. ………………….. …………….. ……………… ………..
6.4.Evaluarea numeric ă a pulsațiilor proprii și a vectorilor proprii……………………………
6.4.1.Metoda puterii folosind matricea de eliminare……………………………………………….
6.4.2.Metoda raportului Rayleigh ………….. ………………….. ……………………… ………………..
6.4.3.Metoda matricelor de transfer……………… …………………….. ………………. ………………
6.5.Probleme……………………………………………………………………………………………………. .

BIBLIOGRAFIE………………………………………………………………………………………………

6

1. VIBRAȚIILE LINIARE ALE SISTEMELOR
MECANICE CU UN GRAD DE LIBERTATE

1.1. Stabilirea ecua țiilor diferen țiale ale vibra țiilor

1.1.1. Caracteristici elastice și de amortizare. Legarea în serie și în paralel a
elementelor elastice

În studiul vibra țiilor sistemelor mecanice se fac diferite ipoteze simplificatorii,
care reduc sistemul real la un model analitic (model mecanic). Modelele mecanice sunt de două tipuri: modelul sistemului continuu și modelul sistemului cu parametrii discre ți.
Numărul parametrilor geometrici independen ți, care precizeaz ă poziția unui sistem,
reprezintă numărul gradelor de libertate. Chiar și în cazul sistemelor cu mai multe grade
de libertate, studiul mi șcării se reduce la folosirea a dou ă modele mecanice: modelul de
translație și modelul de rota ție.
Odată ales modelul mecanic se poate trece la aplicarea metodelor de ob ținere a
ecuațiilor diferen țiale. Aceste ecua ții diferen țiale constituie modelul matematic al
sistemului.
Componentele, care constituie modelul cu parametrii discre ți ai unui sistem, sunt
acelea care dau leg ătura între for țe, deplasări, viteze și accelera ții sau între momente,
unghiuri, viteze unghiulare și accelera ții unghiulare.
Componenta care leag ă forța de deplasare este arcul, care în mod obi șnuit se
consideră fără masă și pentru care se consider ă o relație liniară între for ță ș
i elongație
(deformație). Constanta elastic ă poate fi determinat ă măsurând deforma ția produs ă de o
forță constantă cunoscut ă F.

styFk= (1.1)

În cazul unui arc elicoidal, asupra c ăruia acționează forța F, acesta va avea o deforma ție
statică:

438
GdFnDyst=
(1.2)
unde n reprezint ă numărul de spire, D este diametrul de înf ășurare al spirelor, d este
diametrul spirei, iar G este modulul de elasticitate transversal. Constanta elastic ă a arcului
elicoidal este:
34
8nDGd
yFk
st== (1.3)

7
Pentru un cablu supus la întindere (fig. 1.1.) costanta elastic ă este:

lEA
YstFk== (1.4)
pentru o bar ă încastrată la un cap ăt, supusă la încovoiere (fig. 1.2.), costanta elastic ă este:

33
lIE
yFkz
st⋅== (1.5)
iar pentru o bar ă elastică încastrat ă la un cap ăt și supusă la răsucire printr-un moment
aplicat la cel ălalt capăt (fig. 1.3.), constanta elastic ă la torsiune este:

lGI Mkp
st==θ
(1.6)

Fig. 1.1. Fig. 1.2. Fig. 1 .3.

În acest caz, leg ătura este între un moment și unghiul de r ăsucire.
Componenta care d ă legatura între for ță și viteză este amortizorul.
Dacă se consider ă forțele de frecare, între elementele sistemului, propor ționale cu
vitezele relative, aceast ă amortizare este cunoscut ă sub numele de amortizare vâscoas ă.
Dacă forțele de rezisten ță se consider ă constante și de semn neschimbat de-a
lungul unei semiperioade, aceast ă amortizare este cunoscut ă ca amortizare uscat ă (frecare
uscată).
În diagrama efort-deforma ție, trasată pentru un ciclu de înc ărcare desc ărcare se
constată apariția unei bucle de histerez ă. Aria acestei bucle reprezint ă energia disipat ă pe
ciclu, iar acest tip de amortizare este numit amortizare intern ă. Aceasta este numit ă
amortizare vâscoelastic ă, dacă energia disipat ă depinde de amplitudine și frecven ță,
respectiv amortizare histeretic
ă, când energia disipat ă depinde numai de amplitudine.
În sfârșit, legătura dintre for ță și accelera ție sau moment și accelera ție unghiular ă
este dată prin masă, respectiv prin moment de iner ție.
Uneori, pentru legarea maselor rigide între ele sau pentru rezemarea lor se
folosesc mai multe elemente elastice. Aceste el emente elastice pot fi legate în serie sau în
paralel. În cazul leg ării în paralel a dou ă elemente elastice, de constante 1k, 2k, se pune

8problema g ăsirii unui element elastic echivalent de constant ă ek
. În ambele cazuri o for ță
F va produce aceia și deforma ție. Pentru arcurile legate în paralel se scrie:

xkkxkxkF ) (2 1 2 1 +=+= (1.7)

Pentru cel echivalent se poate scrie:

xkFe= (1.8)
Din cele dou ă relații se obține:
2 1kk ke+= (1.9)

Fig. 1.4.
În general, pentru un num ăr de n arcuri legate în paralel se g ăsește o constant ă
echivalent ă

∑
==n
ii e k k
1 (1.10)
La elementele elastice legate în serie, fig. 1.5, deforma ția totală a celor dou ă arcuri va fi
suma deforma țiilor și trebuie s ă fie egală cu deforma ția arcului echivalent.
Deci, se poate scrie:
2 12 1kF
kFxx +=+ (1.11)

ekFx= (1.12)
de unde:
2 11 1 1
k k ke+= (1.13)

9

Fig. 1.5.
În general, în cazul leg ării în serie a mai multor arcuri se g ăsește constanta
echivalent ă din relația:

∑
==n
i i e k k 11 1 (1.14)

1.1.2. Modelul mecanic de transla ție pentru vibra țiile liniare ale sistemelor
materiale

Se consider ă modelul mecanic din fig. 1.6. format dintr-o mas ă m aflată în mișcare de
translație.

Fig. 1.6.
Forța elastică ce acționează asupra masei este dat ă de elementul elastic de
constantă k. Elementul care introduce amortizarea este reprezentat printr-un cilindru fix
în care se poate mi șca într-un mediu vâscos un piston legat de masa m.
Din exterior ac ționează o forță dependent ă numai de timp
)(tF, numită forță
perturbatoare.
Tot din exterior ac ționeză în ghidaje for țe de rezisten ță de valoare constant ă și
sens constant pe o semiperioad ă, numite for țe de amortizare uscat ă.
Rezultanta acestor for țe de rezisten ță are valoarea constant ă R.
Se folose ște principiul lui d'Alembert, proiectând pe axa y, corespunz ătoare
mișcării, prima ecua ție a principiului:
0=++I l dR R RGGG
(1.15)

Pentru studiul mi șcării se alege originea la cap ătul arcului nedeformat. Cu y se
notează deplasarea masei m față de originea aleas ă.

10Ecuația de echilibru dinamic este:
0 sgn )( =−−−−+ y R kyycym mgtF  
(1.16)

unde:
⎪⎩⎪⎨⎧
< −=>
=
0 , ,10 , ,00 , ,1
sgn
y dacay dacay daca
y


(1.17)

sau ordonând necunoscutele în partea stâng ă a ecuației:
() y R mgtF kyycym   sgn−+=++ (1.18)
Funcția ysgn nu este liniar ă, decât pe por țiuni, în intervalul de timp în care viteza are
același sens.
Dacă se alege originea de m ăsurare a deplas ării masei m în poziția deechilibrului
static, ecua ția diferen țială devine mai simpl ă. Notând cu x noua deplasare, se poate scrie:

x yyst+= (1.19)
unde styeste deforma ția statică a arcului, și deci:
mg kyst= (1.20)

Derivând rela ția (1.19) și înlocuind în ecua ția (1.18) se ob ține:
() x R mgtF ky kxxcxmst  sgn−+=+++ (1.21)
sau
() x RtF kxxcxm   sgn−=++ (1.22)

În această ecuație nu mai apar for țele ce determin ă poziția de echilibru static. În lipsa
frecării uscate ecua ția (1.22) este liniar ă.

1.1.3. Modelul mecanic de torsiune pentru vibra țiile liniare ale sistemelor materiale

Pentru studiul vibra țiilor de răsucire ale arborilor nu se mai poate folosi modelul
precedent, datorit ă tipului diferit de mi șcare. În aceast ă situație se va folosi un model
format dintr-un disc omogen articulat printr-o articula ție cilindric ă în centrul s ău și având
un moment de iner ție J. De obicei acest disc se nume ște volant.
Elementul elastic (arborele elastic) este simbolizat printr-un arc spiral cu un cap ăt
legat de articula ție și celălalt capăt fixat de disc. Constanta elastic ă a acestui element este
K. Se mai consider ă un element de amortizare, format dintr-un cilindru curb, care este fix
și prin care se poate mi șca un piston cu tij ă circulară legată la celălalt capăt de disc.
Pentru caracterizarea for țelor de amortizare se consider ă coeficientul de amortizare
vâscoasă la rotire C (fig.1.7.).
Asupra discului mai ac ționează un moment perturbator M(t).

11Parametrul de pozi ție se consider ă un unghi m ăsurat din pozi ția în care arcul este
nedeformat.

Fig. 1.7.

Pentru deducerea ecua ției de mi șcare se va folosi cea de-a doua ecua ție din
principiul lui d'Alrmbert:
00 0 0 =++I l dM M MGGG
(1.23)

Aceasta se proiecteaz ă pe axa fix ă perpendicular ă în O pe disc. Neglijând frec ările, în
ecuația de momente nu intervin reac țiunile:
d
z z M J=θ (1.24)

Arcul spiral introduce un moment elastic, iar amortizorul un moment de amortizare.
Ecuația (1.24) devine:
() θθ θ K CtM Jz −−=   (1.25)

Ecuația diferen țială corespunz ătoare modelului de rota ție este liniar ă și cu
coeficienți constan ți. De obicei momentul perturbator este o func ție periodic ă
()( ) tM TtM=+ .
Ca formă ecuația diferen țială a modelului de rota ție este identic ă cu cea a
modelului de transla ție, când lipse ște forța de amortizare uscat ă.

1.1.4. Stabilirea ecua ției diferen țiale a mi șcării sistemelor materiale cu un grad de
libertate cu ajutorul ecua ției lui Lagrange de spa ța a II-a

Considerând q parametrul de pozi ție al sistemului material, ecua ția lui Lagrange este:
QqE
qE
dtdc c=∂∂−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂
 (1.26)
unde Q reprezint ă forța generalizat ă și se calculez ă pentru fiecare categorie de for țe ce
acționează asupra sistemului:
()tQ Q QQp nc c++= (1.27)
Cele trei categorii de for țe generalizate reprezint ă în ordine: for ța generalizat ă
conservativ ă ce derivă din forțe care depind de pozi ția sistemului (greut ăți, forțe elastice);
forța generalizat ă ce deriv ă din forțele de frecare dintre sistem și exterior sau dintre
componentele sistemului; for ța generalizat ă perturbatoare ce deriv ă din for țele
perturbatoare exterioare ce ac ționează asupra sistemului.
Se consider ă un sistem format din N puncte materiale. Energia cinetic ă va fi:

12∑
==N
iii
cvmE
12
2 (1.28)
unde
qqr
dtrdvi i
i 
∂∂==→ →
→
1 1 (1.29)

Pozi ția fiecărui punct din sistem depinzând de coordonata q ()⎟⎠⎞⎜⎝⎛=→→
qr r ii11 , în
cazul sistemelor olonom scleronome, rela ția (1.28) devine:
()2 22
1
1 21
21qqm qqrm EiN
ii c  =
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
∂∂=→
=∑ (1.30)
Coeficientul
()2
1
1 ⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
∂∂=→
=∑qrm qmiN
ii
(1.31)
este funcție de coordonata generalizat ă.
Func ția de forță din care deriv ă forța conservativ ă depinde numai de coordonata
generalizat ă ()qUU= . Fără a diminua generalitatea problemei, se va considera pozi ția
de echilibru stabil ca origine de m ăsurare a coordonatei gene ralizate. Deci, în pozi ția de
echilibru, 0 =q . Dezvoltând în serie Mac Lauren , după puterile lui q, se obține:
() () …2102
022
0+
∂∂+∂∂+=
= =q
qUqqUUqU
q q (1.32)
De la studiul stabilit ății echilibrului se știe că, 0
0=∂∂
=qqU.
În poziția de echilibru valoarea func ției de for ță (sau constantei pân ă la care este
determinat ă energia poten țială) se poate lua zero. Limitând dezvoltarea în serie la primii
trei termeni, va rezulta pentru func ția de forță
2
022
21q
qUU
q=∂∂= (1.33)
în care:
kqU
q−=∂∂
=022
(1.34)
este o constant ă, k fiind pozitiv ă.
Pentru deducerea foe ței generalizate de amortizare vâscoas ă se va calcula lucrul
mecanic virtual al for țelor de frecare vâscoas ă.
⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+ −=→ →
== =→→ →→∑∑ ∑j iN
iN
iN
jj iiji iiar r vvc rvc L 1 1
11 11 δδ δ δ (1.35)

13unde
qqrri
iδ δ∂∂=→
→1
1
(1.36)
iar din ecua ția (1.29) se poate scrie:
qr
qv i i
∂∂=∂∂→ →
1
 (1.37)
Relația (1.29) devine:

q qqr
qrcqrcqqvv
qcv
qc L
j iN
jiijiN
iij iN
jiijiN
iia
δδ δ
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
∂∂−∂∂+
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
∂∂
∂∂−=
⎪⎪
⎭⎪⎪
⎬⎫
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
⎟⎠⎞⎜⎝⎛−
∂∂+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂−=
→ →
=→
=→→
= =
∑ ∑∑ ∑
22
1 1
1,2
1
12
1,2
1
212 2
 
(1.38)
Se noteaz ă:
()2 2
12
1 1
12
1
1 21
21qqc qqr
qrcqrc EN
ij iN
jijiN
ii d  =
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
∂∂−∂∂+
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
∂∂=∑∑ ∑
=→ →
=→
= (1.39)
energia de disipare, cunoscut ă și sub numele de funcția lui Rayleigh , unde ()qc este un
coeficient func ție de coordonata generalizat ă.
Pe de alt ă parte, lucrul mecanic virtual se poate scrie:
qQ La aδδ= (1.40)
de unde
qEQd a
∂∂−= (1.41)
Pentru for ța perturbatoare generalizat ă se aplică metoda general ă de calcul al
forțelor generalizate:
()qLtQp
p
δδ= (1.42)
Înlocuind în ecua ția lui Lagrange expresiile (1.30), (1.32) și (1.41) se ob ține o
ecuație diferen țială de ordinul doi, în general neliniar ă. Dacă se dezvolt ă în serie de puteri
în jurul pozi ției de echilibru, pentru coeficien ții ()qm și ()qc, se obține:
() () …2102
022
0+
∂∂+∂∂+=
= =q
qmqqmm qm
q q (1.43)

14() () …2102
022
0+∂∂+∂∂+=
= =qqcqqccqc
q q (1.44)

Presupunând oscila ții mici, fa ță de pozi ția de echilibru, se p ăstrează numai
coeficienți constanți ai dezvolt ărilor (1.43) și (1.44). În acest caz ecua ția lui Lagrange
devine:
()tQ kqqcqmp=++ (1.45)
adică o ecuație diferen țială liniară cu coeficien ți constanți.

1.1.5. For țe perturbatoare

For țele perturbatoare sunt acele for țe exterioare, în general periodice, care depind
de timp. Exist ă multe surse de for țe perturbatoare. În acest paragraf sunt ar ătate numai
cele de natur ă mecanică.
Sursele cele mai importante de for țe perturbatoare sunt for țele de iner ție ale unor
mase neechilibrate și mișcarea suportului elementului elastic și/sau a elementului de
amortizare. În primul caz se consider ă modelul de transla ție (fig.1.8.).

Fig. 1.8. Fig. 1.9.

O masă
omdin sistem, excentric ă cu excentricitatea 1r, se află în mișcare circular ă
uniformă cu viteza unghiular ă ω.
For ța de inerție care apare datorit ă mișcării masei excentrice se transmite asupra
axului, deci asupra masei m (în masa total ă m este inclus ă și om).
For ța centrifug ă se descompune în dou ă componente. Componenta perpendicular ă
pe ghidaj este anhilat ă de reacțiunea ghidajului, iar cealalt ă component ă este for ța
perturbatoare:
t mr Fp ωωsin2= ; 1rmmro= (1.46)

15Acest model are un incovenient, datorat componentei normale pe ghidaj, care duce la
uzura acestuia. Pentru eliminarea acestei solicit ări variabile, se consider ă două mase 2om,
care se rotesc, în sensuri contrare, cu aceia și viteză unghilară ω(fig. 1.9.). În acest caz,
componentele normale pe ghidaj se echilibreaz ă, iar celelalte componente se însumeaz ă și
dau forța (1.46).
Cealalt ă sursă de producere a for țelor perturbatoare o constituie mi șcarea
suportului elementului elastic și/sau elementului amortizor. Se consider ă modelul de
translație din fig. 1.10. și se presupune c ă suportul comun se mi șcă după o lege ()tf.

Fig. 1.10.
Din poziția de echilibru static, y măsoară deplasarea masei m față de un reper fix,
corespunzator pozi ției pentru 0=f . Aplicând principiul lui d'Alembert , se obține:
()() 0=−+−+ fykfycym (1.47)
respectiv prin ordonarea ecua ției (1.47)
()tF kyycym =++ (1.48)
unde ()tF este dată de formula:
() kffctF+= (1.49)
Presupunând c ă suportul are o mi șcare armonic ă de forma:
() t rtf ωsin=
(1.50)
forța perturbatoare este:
()ϕω ωωω + = + = t Ft crt kr Fp sin cos sin0 (1.51)

Amplitudinea și faza ini țială se pot determina prin reprezentare vectorial ă (fig.
1.11.).

16Fig. 1.11

() ( )2 2
0 rc kr F ω+= (1.52)
kcrtgωϕ= (1.53)

Deci, în mi șcarea absolut ă datorită mișcării armonice a suportului, apare o for ță
perturbatoare armonic ă. În unele aplica ții, cum ar fi studiul aparatelor pentru m ăsurarea
vibrațiilor, intereseaz ă în mod deosebit deplasarea relativ ă a masei m față de suport. În
această situație, ()tf va reprezenta deplasarea de transport, ()txdeplasarea relativ ă, iar
()ty deplasarea absolut ă. Deci, se poate scrie:
fxy+=
(1.54)
Înlocuind (1.54) în (1.48), se ob ține:
()()() kffcfxkfxcfxm +=+++++   (1.55)
sau
fm kxxcxm   −=++ (1.56)
Se observ ă că forța perturbatoare în acest caz este:
() fm tF−= (1.57)
Dacă mișcarea suportului este dup ă legea (1.50), atunci for ța perturbatoare:
() t r mtF ωωsin2= (1.58)
este o forță armonică și în fază cu mișcarea suportului.

1.2. Răspunsul sistemelor mecanice liniare cu un grad de libertate la
diferite excita ții

1.2.1. Vibra țiile libere neamortizate

Înainte de a discuta solu ția general ă a ecuației (1.22), se vor considera câteva
cazuri particulare. În primul rând se neglijeaz ă frecările, iar for ța perturbatoare ()tF se
consideră nulă.

17
Fig. 1.12.

În aceste condi ții ecuația diferen țială a mișcării modelului din fig 1.12 se reduce
la:
0=+kxxm (1.59)
sau
02=+ x xnω ,
mkxn=2ω (1.60)
unde nωeste cunoscut ă sub numele de pulsa ție natural ă sau pulsa ție proprie. Solu ția se
caută de forma tcexλ= . Se obține ecuația caracteristic ă:
02 2=+nωλ (1.61)
de unde niωλ±=2,1
Soluția ecuației (1.60) va fi de forma:
ti tin neC eCxω ω −+=2 1 (1.62)
sau
() t C Cit C C xn n ω ω sin cos) (2 1 2 1 −+ += (1.63)
unde 1C și 2C trebuie s ă fie constante complex conjungate pentru ca solu ția (1.63) s ă
reprezinte o mi șcare reală. Deci:
t At Axn n ω ω sin cos2 1+ = (1.64)
Constantele 1A și2A se determin ă din condi țiile inițiale ()0 0 x x= și ()0 0v x= . Cu
acestea, solu ția (1.64) devine:
()ϕω ω ωω+ = + = t At xtvxn n n
nsin cos sin00 (1.65)
unde A și ϕ se por determina din condi țiile inițiale sau prin însumarea vectorial ă a celor
două componente (fig.1.13.).

Fig.1.13

22
0 2
0
nvx Aω+= (1.66)

00vx tgnωϕ= (1.67)

18 În concluzie, în cazul vibra țiilor libere și neamortizate, mi șcarea este armonic ă cu
pulsația proprie, ce nu depinde de condi țiile inițiale. Amplitudinea mi șcării și faza inițială
depind de condi țiile inițiale.
Pentru modelul de rota ție se va ob ține o lege de mi șcare identic ă cu (1.65), unde:
JK
n=ω (1.68)

1.2.2. Vibra ții libere cu amortizare vâscoas ă

În cazul în care este prezent ă amortizarea vâscoas ă, amortizarea uscat ă se
neglijează și în lipsa for ței perturbatoare, ecua ția diferen țială a mișcării modelului din
fig.1.14. este:
0=++ kxxcxm (1.69)

Soluția ecuației (1.69) este de forma:
tCexλ=
(1.70)

unde C și λsunt constante ce trebuie determinate. Impunând solu ției (1.70) s ă verifice
ecuația diferen țială (1.69), se ajunge la ecua ția caracteristic ă:
02=++ k c mλλ (1.71)
ale cărei rădăcini sunt:
mk
mc
mc−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛±−=2
2,12 2λ
(1.72)

Fig. 1.14.

Valoarea coeficientului de amortizare pentru care se anuleaz ă radicalul din rela ția
(1.72) se nume ște coeficient critic de amortizare:

nc
mk
mcω==2 (1.73)
sau km m cn c 2 2==ω , unde nω este pulsa ția naturală a sistemului f ără amortizare.

19 Introducând raportul de amortizare
ccc=ξ , rădăcinile ecua ției caracteristice pot fi
scrise astfel:
()nωξξλ 12
2,1 −±−=
(1.74)
În funcție de raportul de amortizare sistemele se clasific ă astfel:
a) amortizare supracritic ă, dacă 1>ξ
b) amortizare critic ă, dacă 1=ξ
c) amortizare subcritic ă, dacă 1<ξ

În fig. 1.15. se arat ă locul rădăcinilor ecua ției caracteristice în planul complex.

Fig. 1.15.

În cazul a) rădăcinile ecua ției caracteristice sunt reale și negative. Solu ția general ă
va fi:
()()t Ct C eC eCxn nt tωξξ ωξξλ λ1 exp 1 exp2
22
1 2 12 11−−−+−+−=+=
(1.75)

În acest caz mi șcarea nu este vibratorie.
Pentru cazul b) există o rădăcină dublă, reală și negativă. Soluția în acest caz va fi
()tnetC Cxξω−+=2 1 (1.76)
Și în acest caz mi șcarea sistemului este nevibratorie.
În sfâr șit, în cazul c) r ădăcinile sunt complex conjugate cu partea real ă negativă.
Pentru un sistem amortizat subcritic, r ădăcinile ecua ției caracteristice se pot scrie și astfel
ip±−=σλ2,1
(1.77)
unde n
cnccωξωσ== , se nume ște factor de amortizare, iar n p ωξ21−= , se nume ște
pseudopulsa ție. Legea mi șcării sistemului în acest caz este:
( )( )
() ( )[] ()t ipt C ipt Ct i Ct i Cxn n
σωξξ ωξξ
− −+=−−−+−+−=
exp exp exp1 exp 1 exp
2 12
22
1
(1.78)
unde 1C și 2C trebuie s ă fie constante complex conjugate pentru c ă ()tx reprezint ă o
mișcare reală. Deci (1.78) se scrie:

20
() ()[] ( )( ) ϕσ σ σ+⋅= + = −+ + =− − −pt Ae pt A pt A e pt C Cipt C C ext t tsin sin cos sin cos2 1 2 1 2 1
(1.79)
Constantele de integrare 1A și 2A sau Ași ϕ se determin ă din condi țiile inițiale. Dacă
pentru primele dou ă cazuri sistemul nu are mi șcare vibratorie, pentru cazul c) sistemul
are o mișcare vibratorie amortizat ă. Mișcarea lui se stinge în timp pentru c ă dacă ∞→t ,
() 0→tx . Fig. 1.16. ilustreaz ă răspunsul în domeniul timp pentru cele trei cazuri.

Fig.1.16.
Folosind condi țiile inițiale
()0 0 x x= , ()0 0v x= se pot determina constantele 1A și
2A, și rezultă că:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++=−pt xptpx vextcos sin00 0σσ (1.80)
și din reprezentarea vectorial ă se obține:
2
0 0 2
02
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛++=px vx Aσ (1.81)
și

0 00
x vpxtgσϕ+= (1.82)
Așa cum rezult ă din relația (1.79) raportul de amortizare joac ă un rol important în
descreșterea exponen țială a vibrației. În paragraful 1.1.1. , s-a arătat cum poate fi
determinat ă constanta elastic ă a unui sistem simplu cu un grad de libertate.
Pentru determinarea raportului de amortizare ξ se folose ște metoda
decrementului logaritmic.
Logaritmul natural al raportului a dou ă amplitudini succesive se nume ște
decrement logaritmic al amortiz ării.
()T
AeAe
xx
n Ttt
ii
nn
ξω δξωξω
= ==+−−
+ln ln
2 (1.83)
unde T reprezint ă pseudoperioada vibra ției amortizate:

212 2
ξωππ
−==
npT (1.84)
Din ecuațiile (1.83) și (1.84) se ob ține:

2 212
12
ξπξ
ξωπξωδ
−=
−=
nn (1.85)
sau pentru sisteme slab amortizate ()2,0<ξ

21 πξδ2=
(1.86)
deci, poate fi acceptat un raport de amortizare:

2ln21
+=
ii
xx
πξ (1.87)
Pe baza defini ției raportului de amortizare, se poate determina coeficientul de
amortizare:
km cξ2= (1.88)

1.2.3. Vibra ții libere cu amortizare uscat ă

Frecarea coulombian ă sau frecarea uscat ă intervine când un corp alunec ă pe o
suprafață rugoasă. Pentru ca mi șcarea să înceapă, trebuie învins ă forța de frecare.
For ța de frecare este în opozi ție cu sensul vitezei și, deci este constant ă pe
porțiunile pe care viteza are semn constant.
Folosind modelul de transla ție (fig. 1.17.) și notând cu R forța de frecare maxim ă,
ecuația de mișcare poate scris ă în forma:
x Rsign kxxm  −=+ (1.89)

Fig. 1.17.
Notând cu
kRxst=, aceasta are semnifica ția de săgeată statică a elementului elastic
produsă de o for ță ce are valoarea for ței de amortizare uscat ă. Dacă se consider ă
intervalul de timp în care viteza are semn constant și se înlocuie ște:
stxkR⋅=
(1.90)
ecuația (1.89) se scrie:
() 0=⋅++ xsignxxkxmst  (1.91)
Făcând schimbarea de variabil ă
xsignxx xst⋅+=1 (1.92)
ecuația (1.91) devine:
01 1=+kxxm
(1.93)
și are soluția:
t At A xn n ω ω cos sin2 1 1 + = (1.94)
în care mk
n=2ω , iar soluția (1.94) este valabil ă într-un interval de timp în care viteza î și
păstrează semnul, deci între dou ă momente de timp consecutive în care viteza este nul ă.

22 Revenind la coordonata ini țială:
t At Axsignx xn n st ω ω cos sin2 1+ +⋅−=  (1.95)
Presupunând condi țiile inițiale ()st ox x x>=0 și ()00=x , în intervalul de timp []1,0t se
observă că 0≤xși rezultă:
()st n st xt x x x + −= ωcos0 (1.96)
unde 1t este primul moment de timp dup ă 00=t în care viteza devine nul ă. Mișcarea are
loc în sensul negativ al axe Ox, iar diagrama sa este o semicosinusoid ă în jurul dreptei
stxx= .
Derivând în raport cu timpul ecua ția (1.96) se ob ține:
() t x x xn n stωωsin0−−= (1.97)
de unde punând condi ția () 01=tx se obține
ntωπ=1 , moment de timp la care elonga ția
este () ( )stx x tx 20 1−−= .
Dac ă ()1tx este suficient de mare pentru ca for ța elastică să învingă forța de
frecare uscat ă începe o nou ă mișcare, în care masa are viteza pozitiv ă () 1=xsign și care
trebuie să satisfacă ecuația:
stxk kxxm ⋅−=+ (1.98)
a cărei soluție în intervalul ()21,tt este:
t At A x xn n st ω ω cos sin2 1′+′+−=
(1.99)
și este supus ă condițiilor inițiale:
() ( )stx x tx 20 1−−= ; ()01=tx
Soluția ecuației (1.99) este dat ă de:
()st n st xt x x x − −= ωcos 30 (1.100)
și reprezint ă o semicosinusoid ă în jurul dreptei stx x−= .
Mi șcarea se amortizeaz ă datorită frecării uscate și, deci vor exista un num ăr de n
semicosinusoide pân ă mișcarea se opre ște. În intervalul de timp []n ntt,1− , legea mi șcării
va fi:
() ( )[] t x n x x xn st stnωcos 12 101−−+−=+ (1.101)
Se observ ă că soluția are o component ă constant ă stx± și una armonic ă, a cărei
amplitudine scade pe fiecare semiperioad ă cu stx2 (fig. 1.18.).

23
Fig. 1.18.

Mi șcarea se opre ște când for ța elastică nu poate învinge for ța de frecare. Acest
lucru are loc la sfâr șitul semiperioadei pentru care ()st n st x tx x ≤≤− . Deoarece, pentru a
fi îndeplinit ă această condiție, este necesar ca amplitudinea componentei armonice pentru
[]n nttt ,1−∈ să fie pozitiv ă, se poate concluziona c ă n este cel mai mare întreg ce satisface
inecuația:
() 0 1 20 >−−stx n x (1.102)

1.2.4. Răspunsul sistemelor vibrante liniare cu un grad de libertate la excita ția
impuls

O form ă specială de excita ție este impulsul de scurt ă durată, frecvent utilizat în
determinarea r ăspunsului unui sistem supus unei for țe perturbatoare oarecare.
Conceptul de impuls unitar sau funcția lui Dirac , are urm ătoarea defini ție
matematic ă:
() 0=−atδ pentru at≠
()∫∞
∞−=− 1dtatδ (1.103)
Prin defini ție intervalul de timp în care func ția este diferit ă de zero este foarte mic, adic ă
este ε, la limită se apropie de zero, și amplitudinea func ției este nedefinit ă, dar aria de
sub curbă este egală cu unitatea (fig. 1.19.).

Fig. 1.19.
Este clar c ă aria, deci valoarea integralei (1.103), este adimensional ă.
Un impuls unitar aplicat la
at=se noteaz ă ()at−δ . Atunci o for ță impuls de
mărime 0Faplicată la timpul at= se va scrie:
() ( ) atFtF −=δ0 (1.104)

24 Răspunsul sistemului la un impuls unitate aplicat la , se va nota ()th, iar
răspunsul la un impuls unitate aplicat la at=se va nota ()ath−.
Se consider ă sistemul amortizat cu un grad de libertate c ăruia i se aplic ă o forță
impuls
()tF kxxcxm δ0=++ (1.105)

Pentru c ă durata este foarte scurt ă, 0→ε , se va considera cazul în care condi țiile
inițiale sunt nule, ()( ) 00 0==x x , și prin integrarea ecua ției (1.105), în intervalul ε=Δt ,
se poate scrie:
() ( )∫∫= =++
→ →εε
ε εδ
000 0
0 0lim limFt F dtkxxcxm
(1.106)
unde
() ()[] ()+
→ → →=− = =∫0 0 lim lim lim
00 0 0 0xm x xm xm dtxm    ε
εεε
ε ε (1.107)
() ()[] 0 0
00 0lim lim=− =∫
→ →x xc dtxc εε
ε ε
∫=
→ε
ε000 limkxdt
Nota ția ()+0x arată că în timpul ε=Δt , se schimb ă viteza, dar nu exist ă o
schimbare instantanee în deplasare. Din (1.106) și (1.107) se ob ține că:
()mFxo=+0 (1.108)
ceea ce arat ă că, aplicarea unei for țe impuls este echivalent ă cu condiția inițială () 00=x
și ()mFv x0
0 0== .
În concluzie, r ăspunsul unui sistem amortizat la o for ță impuls se ob ține din (1.80)

() pt empFtxtnsin0ξω−= , 21ξω−=n p , 0>t
() 0=tx , 0<t (1.109)

Dacă impulsul este unitar, se ob ține:
() pt empthtnsin1ξω−= , 0>t
() 0=th , 0<t (1.110)

Pentru un sistem neamortizat r ăspunsul la impuls unitate este:

25 () tmthn
nωωsin1= (1.111)

1.2.5. Vibra ții forțate neamortizate cu for ță perturbatoare oarecare

Un caz particular important de studiu al vibra țiilor forțate este acela când for ța de
excitație este arbitrar ă, iar forțele de amortizare sunt neglijabile. Se consider ă modelul
mecanic de transla ție din fig. 1.20.

Fig. 1.20.

Ecua ția diferen țială a mișcării este:

()tF kxxm=+ (1.112)
Solu ția general ă a acestei ecua ții este o suprapunere dintre ecua ția omogen ă 0x și
o soluție particular ă px, a ecuației neomogene.
px xx+=0 (1.113)
Soluția ecuației omogene este dat ă de (1.64).
Solu ția particular ă a ecuației neomogene este numit ă și soluție sau vibra ție forțată.
Pentru determinarea ei exist ă mai multe metode. Una dintre cele mai folosite metode este
metoda varia ției constantelor. Se presupune c ă soluția este de forma:
t At A xn n p ω ω cos sin2 1+ =
(1.114)
unde constantele 1A și2A sunt func ții de timp ce urmeaz ă a fi determinate. Prin derivarea
soluției (1.114) se ob ține:
() t At At At A xn n n n n p ω ω ω ωω cos sin sin cos2 1 2 1   + + − = (1.115)
Pentru determinarea constantelor 1A și2A se pune condi ția:
0 cos sin2 1 = + t At An n ω ω  (1.116)
Se deriveaz ă încă odată relația (1.115) și rezultă:
() ( )t At A ts At A xn n n n n n p ω ωωω ωω sin cos cos sin2 1 2 12    − + + −= (1.117)
Ecuația (1.112) se mai poate scrie:

26 ()tFmx xn12=+ω , mk
n=2ω (1.118)
Înlocuind în ecua ția (1.118) solu ția (1.114) și (1.117) se ob ține:
()tFmt At A
nn nωω ω1sin cos2 1 = −  (1.119)
și împreun ă cu ecuația (1.116) constituie un sistem din care rezult ă:

()
()⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
−==
t tFmAt tFmA
n
nn
n
ωωωω
sin1cos1
21

(1.120)
sau prin integrare
()
()⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
−==
∫∫
t
n
nt
n
n
tdt tFmAtdt tFmA
0201
sin1cos1
ωωωω
(1.121)
Aceste constante se înlocuiesc în solu ția (1.114) și se determin ă soluția particular ă:
() ()∫ ∫− =t
n n
nt
n n
np tdt tFtmdtt tFtmx
0 0sin cos1cos sin1ω ωωω ωω (1.122)
Notând variabila, în raport cu care se integreaz ă, cu τ, soluția se poate scrie:
() ( ) ττωτωd t Fmxt
n
np∫− =
0sin1 (1.123)
și reprezint ă răspunsul sistemului la o excita ție cu forță perturbatoare oarecare, în condi ții
inițiale nule. În cazul general, dac ă sistemul nu are condi ții inițiale nule, solu ția
sistemului neamortizat va fi:
() () ( ) tvt x d t Fmtxn
nnt
n
nωωω ττωτωsin cos sin10
0
0+ +− =∫ (1.124)

O alt ă metodă, frecvent utilizat ă, este integrala de convolu ție (Duhamel ), în care
forța ()tF poate fi privit ă ca un tren de impulsuri cu amplitudine variabil ă (fig. 1.21.).

Fig. 1.21.

27
La un moment arbitrar τ=t , unui interval de timp foarte scurt τΔ, îi corespunde
un impuls de m ărime ()ττΔF , respectiv expresia matematic ă a impulsului
() ( )ττδτ−Δ t F . Deoarece r ăspunsul sistemului la impuls unitar aplicat la momentul
τ=t este ()τ−th , contribu ția impulsului ()()ττδτ−Δ t F la răspuns va fi:
()()()ττττ −Δ=Δ th F tx, (1.125)
așa că răspunsul total este:
()()( )τττΔ− =∑ thF tx
(1.126)
Făcând pe 0→Δτ , se obține o sum ă integrală, și deci:
() ()( ) τττ d thF txt
− =∫
0 (1.127)
care reprezint ă integrala de convolu ție, unde ()τ−th se obține din (1.110) sau (1.111).
Deci pentru sisteme neamortizate și condiții inițiale nenule, solu ția general ă este dată de
relația (1.124).

1.2.6. Vibra ții forțate cu amortizare vâscoas ă și forță perturbatoare oarecare

Se consider ă cazul general când asupra sistemului, având modelul din fig. 1.22.
acționează o forță perturbatoare oarecare ()tF și a cărui ecuație diferen țială este:
()tF kxxcxm =++ (1.128)

Fig. 1.22.
Solu ția general ă a acestei ecua ții se compune din solu ția ecuației omogene
0x și o
soluție particular ă px, numită și vibrație forțată.
Solu ția ecuației omogene, numit ă și vibrație tranzitorie este de forma (1.79).
Solu ția particular ă a ecuației (1.128) se va lua de forma:
() t u xn p ξω−=exp ,
rcc=ξ , mk
n=2ω (1.129)

28unde ()tuu= este o func ție particular ă de timp ce urmeaz ă a fi determinat ă din condi ția
impusă soluției (1.129) de a verifica ecua ția (1.128).
Prin impunerea acestei condi ții se obține ecuația:
()()()tFt u kumnξω ξ exp 12=−+ (1.130)
sau
() () ( ) tFtmu un n ξω ξω exp112 2=−+ (1.131)
a cărei soluție va fi de forma (1.123), adic ă:
() () ( ) ()ττξωττξω
ξωd t F
mtut
n n
n∫−−
−=
02
21 sin exp
11 (1.132)
Soluția particular ă va fi:
()[] () ()ττξωττξω
ξωd t F t
mxt
n n
np ∫−− −−
−=
02
21 sin exp
11 (1.133)
sau folosind nota ția pentru pseudoperioad ă 21ξω−=n p , presupunând sistemul
amortizat subcritic ()1<ξ , ținând cont și de condi țiile inițiale, soluția general ă va fi:
()[] () ( ) () t pt x ptpx vd tp F tmpxnnt
n ξωξωττ ττξω −⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+++− −− =∫exp cos sin sin exp1
00 0
0
(1.134)
Folosind integrala lui Duhamel se va ob ține soluția particular ă dată de (1.132).
Deoarece, în cazul amortiz ării subcritice vibra ția tranzitorie se stinge în timp, intereseaz ă
numai vibra ția forțată.

1.2.7. Vibra ții forțate neamortizate cu for ță perturbatoare armonic ă

Se consider ă că asupra modelului din fig. 1.19. ac ționează o forță de excita ție
() t FtF ωsin0= , având amplitudinea constant ă 0F și pulsația ω.
Ecua ția diferen țială a mișcării este:
t F kxxm ωsin0=+ (1.135)
Solu ția general ă a acestei ecua ții diferen țiale este suma dintre solu ția ecuației
omogene ()ϕω+ = t A xn sin0 , unde mk
n=ω este pulsa ția proprie a sistemului și pxo
soluție particular ă de forma membrului drept al ecua ției diferen țiale (1.135).
Solu ția particular ă, fiind de forma,
t x xpωsin0= (1.136)
se determin ă impunându-i s ă verifice ecua ția diferen țială (1.135) de unde se ob ține
amplitudinea vibra ției forțate:

29 20
20
0
1⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−=
−=
nkF
mkFx
ωω ω (1.137)
Notând stxkF=0, reprezentând s ăgeata static ă a elementului elastic sub ac țiunea unei
forțe constante egale cu amplitudinea for ței perturbatoare. Astfel, formula (1.137) se
poate scrie sub forma unui raport adimensional.
()20
11
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−==
nstxxH
ωωω (1.138)
numit func ție de răspuns în frecven ță. Vibrația armonic ă forțată va fi:
txx
nst
p ω
ωωsin
12
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−= (1.139)

Func ția de răspuns în frecven ță ()ωH dă amplitudinea și faza ini țială a
răspunsului sta ționar al unui sistem neamortizat supus la o excita ție armonic ă.
Modulul func ției ()ωH se nume ște factor de amplificare. În fig. 1.23. este
reprezentat ă grafic varia ția sa în func ție de raportul
nωω.

Fig. 1.23.

Se constat ă că pentru
()1,0∈
nωω, factorul de amplificare cre ște până la infinit, iar
valoarea 0x este pozitiv ă, reprezentând chiar amplitudinea vibra ției forțate și arătând că
forța ()tF și mișcarea sunt în faz ă. Dacă raportul ()00,1∈
nωω, atunci valoarea 0x este
negativă. În aceste caz for ța perturbatoare și vibrația forțată sunt în opozi ție, iar
amplitudinea acesteia din urm ă este 0x. Vibrația forțată va fi:
()πω ω ± = −= t xt x xp sin sin0 0 (1.140)

30Pentru cazul în care nωω= , ecuația diferen țială a mișcării (1.135) devine:
tmFx xn n ω ω sin0 2=+ (1.141)
Soluția particular ă a acestei ecua ții este de forma:
t tx xn p ωcos0= (1.142)
Derivând și înlocuind în ecua ția (1.135) se ob ține:

nmFxω20
0−=
(1.143)
Vibrația forțată a sistemului este:
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛− = −=2sin2cos20 0 πωωωωtmtFtmtFxn
nn
np (1.144)

Se constat ă (fig. 1.24.) c ă vibrația forțată este modulat ă liniar în amplitudine și că
este defazat ă cu
2π (un sfert de perioad ă) față de forța perturbatoare. Crescând
amplitudinea vibra ției forțate, cresc și forțele din elementul elastic, pân ă când acestea
depășesc valoarea limit ă de rezisten ță, urmând distrugerea acestuia. Acest fenomen
poartă numele de rezonan ță și trebuie evitat. Aceast ă evitare poate fi f ăcută din
proiectare, fie prin schimbarea pulsa ției forței perturbatoare, fie prin modific ări
structurale, modificând m și k. În acele ac ționări în care tura ția de regim este dincolo de
cea la care poate avea loc rezonan ța, se va trece rapid prin rezonan ță.

Fig. 1.24.
Soluția general ă a ecuației (1.135) este:

() t x t Axn ω ϕω sin sin0++ = (1.145)
unde A și ϕ sunt constante ce se determin ă din condi țiile inițiale impuse solu ției (1.145).
Dac ă pulsația forței perturbatoare este în apropierea rezonan ței, adică nωω≈ ,
mișcarea dată de (1.145) și reprezentarea în fig. 1.25. prezint ă fenomenul de b ătăi.

31

Fig. 1.25.
În aceast ă vibrație amplitudinea variaz ă în timp, deci mi șcarea este o vibra ție
modulată în amplitudine.
Un alt caz, de for ță perturbatoare, frecvent întâlnit, este cel în care amplitudinea
este propor țională cu pătratul pulsa ției. Așa se întâmpl ă în cazul mi șcării relative a masei
m față de suport, când acesta are o lege de mi șcare amornic ă:

() t r mtF ωωsin2= (1.146)
Factorul de amplificare este:

22
0
1⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
=
nn
rx
ωωωω
(1.147)
Diagrama de rezonan ță este dată în fig. 1.26.

Fig. 1.26.
Răspunsul total pentru excitarea sistemului cu o for ță perturbatoare (1.146) este:
() tr
t Ax
nn
n ω
ωωωω
ϕω sin
1sin22
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
++ = (1.148)
unde constantele A și ϕ se determin ă din condi țiile inițiale impuse solu ției (1.148).

1.2.8. Vibra ții forțate cu amortizare vâscoas ă cu forță perturbatoare armonic ă

Se consider ă sistemul mecanic din fig. 1.22., asupra c ăruia acționează o forță
armonică: () t FtF ωsin0= .
Ecua ția diferen țială a mișcării sistemului este:
t F kxxcxm ωsin0=++ (1.149)
a cărei soluție general ă este compus ă din solu ția ecuației omogene 0x și o soluție
particular ă px de forma membrului drept al ecua ției (1.149).
Solu ția ecuației omogene pentru cazul 1<ξ , este:

32 ()ϕξω+ =−pt Ae xtnsin0
(1.150)
ș se stinge în timp, fiind numit ă și vibrație tranzitorie.
Solu ția particular ă:
()ψω− = t x xp sin0 (1.151)
unde 0x este amplitudinea vibra ției forțate, iar ψ este defazajul dintre for ța perturbatoare
și mișcare. O metod ă pentru determinarea acestor constante este înlocuirea solu ției
(1.151) în ecua ția diferen țială a mișcării și identificarea termenilor. Se folose ște și
reprezentarea prin numere complexe.
Ecua ția de mișcare (1.149) se poate scrie în forma:
0 sin0 =−−−p p p kx xc xmt F ω (1.152)
pentru care se poate utiliza reprezentarea vectorial ă ca în fig. 1.27.

Fig. 1.27.

Suma vectorial ă a vectorilor ce sunt reprezenta ți în fig.1.27. trebuie s ă fie nulă.
Proiectând pe axele
xO′ și yO′, se obțin ecuațiile:
0 cos0 02
0 =−+ kxx m F ωψ
(1.153)
0 sin0 0 =− xc F ωψ (1.154)
Rezolvând ecua țiile (1.153) și (1.154) se ob ține:
() ()222 2 220
0
2 1⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−=
+−=
n c nst
ccx
c mkFx
ωω
ωωωω (1.155)
și
2
12
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−=
nn ccc
tg
ωωωω
ψ (1.156)
sau punând în eviden ță factorul de amplificare,

33
2220
2 11
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−=
n nstxx
ωωξωω (1.157)
și
2
12
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−=
nntg
ωωωωξ
ψ (1.158)
În fig. 1.28. este reprezentat factorul de amplificare în func ție de raportul
nωω, având
parametru raportul de amortizare ξ. Acestea se numesc diagrame de rezonan ță.
Valorile maxime ale factorului de amplificare se ob țin pentru:
221ξωω−=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
REZ n (1.159)
pentru care:

20
121
ξξ−=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
MAX stxx (1.160)

Fig. 1.28. Fig. 1.29.

În fig. 1.29. se prezint ă variația unghiului de defazaj
ψ în funcție de raportul
nωω
pentru diferite valori ale raportului de amortizare, care se numesc diagrame de faz ă.
Se constat ă că pentru raportul 1 0<<
nωω defazajul ψ este cuprins între 0și
2π.
Pentru 1=
nωω, adică la rezonan ța sistemului neamortizat 2πψ=. Dincolo de rezonan ță,
pentru 1>
nωω, forța și mișcarea sunt în opozi ție.

34 Pentru cazul în care for ța perturbatoare este: () t r mtF ωωsin2= , se obține
amplitudinea vibra ției forțate,

() ()2 222
0
ωωω
c mkmrx
+−= (1.161)
respectiv, factorul de amplificare:

2222
0
2 1⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
=
n nn
rx
ωωξωωωω
(1.162)
defazajul ψ are aceia și expresie ca și în cazul precedent. Factorul de amplificare este
reprezentat grafic în func ție de raportul
nωω, având parametru raportul de amortizare ξ în
fig. 1.30.

Fig. 1.30.

În ambele cazuri, solu ția general ă este de forma:

() ()ϕω ϕξω− ++ =−t x pt Aextnsin sin0 (1.163)
unde A și ϕ se determin ă din condi țiile inițiale impuse solu ției (1.163), iar amplitudinea
vibrației forțate 0x este dată în primul caz de (1.155), respectiv în al doilea caz de
(1.161).
În al doilea caz maximele factorului de amplificare se ob țin pentru:

2211
ξ ωω
−=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
REZn (1.164)
având valorile:

20
121
ξξ−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
MAXrx (1.165)

1.2.9. Răspunsul complex în frecven ță

35
În paragraful precedent amplitudinea 0x și unghiul de faz ă, ψ, ale varia ției
forțate, s-au determinat prin proiec ția pe axe a vectorilor rotitori ce corespund ecua ției
(1.152), din condi ția ca suma acestor vectori s ă fie nulă.
Reprezentând for ța excitatoare în forma complex ă:
()tieFtFω
0= (1.166)
se înțelege că excitația va fi dat ă în forma (1.149) de partea imaginar ă din (1.166). De
asemenea, r ăspunsul ()tx va fi partea imaginar ă a funcției ()tx, unde ()tx este solu ția
ecuației:
tieFxkxcxmω
0=++ (1.167)
Soluția ecuației (1.167) poate fi presupus ă a avea forma:
tieXxω
0= (1.168)
unde 0Xeste amplitudinea complex ă și poate fi scris ă:
ψieX X−=0 0 (1.169)
unde amplitudinea 0X și defazajul ψ sunt cele introduse în solu ția (1.151). Înlocuind
(1.168) în (1.167) se ob ține:
() ωω ic mkFX
+−=20
0 (1.170)
care poate fi scris ă și în forma:
()
n nstiHxX
ωωξωωω
2 11
20
+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−== (1.171)
unde ()ωH este numit r ăspunsul complex în frecven ță și conține informa ții asupra
factorului de amplificare și a unghiului de faz ă. Într-adev ăr:
()
2220
2 11
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−==
n nstxXH
ωωξωωω (1.172)
și
2
12
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−=
nntg
ωωωωξ
ψ (1.173)
Amândou ă informa țiile se pot ob ține prin reprezentarea r ăspunsului complex în
frecvență, în planul complex, numit ă diagrama Nyquist . Într-adev ăr:

36 ()
2222
2 11
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−
=
n nn
eHR
ωωξωωωω
(1.174)

()
222
2 12
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−−
=
n nn
mHI
ωωξωωωωξ
(1.175)
astfel încât afixele num ărului complex ()ωH pentru ()∞∈,0ω sunt punctele din planul
complex situat pe cercul:
()()22
2
41
41
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=
⎟⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝⎛
++
nnm e HI HR
ωωξωωξ (1.176)
În fig. 1.31. se d ă această diagramă pentru un sistem cu amortizare vâscoas ă. Această
diagramă este foarte util ă în examinarea rezultatelor experimentale.

Fig. 1.31.

1.2.10. Vibra ții forțate cu amortizare vâscoas ă și forță perturbatoare periodic ă

Func ția complex ă de răspuns în frecven ță ()ωH este folosit ă în reprezentarea
răspunsului unui sistem amor tizat supus la o excita ție armonic ă. În studiul vibra țiilor se
întâlnesc frecvent for țe perturbatoare care nu sunt armonice, dar sunt periodice. Orice
funcție periodic ă poate fi reprezentat ă printr-o serie de func ții armonice a c ăror frecven țe
sunt multipli întregi ai frecven ței fundamentale
001
Tf= , unde 0T este perioada excita ției.
O astfel de serie, cunoscut ă ca serie Fourier , poate fi scris ă în forma:
() ()∑∞
=+ +=
10 0 0 sin cos21
nn n tn btn a a tF ω ω ,
002
Tπω=
(1.177)

37unde n este un num ăr întreg.
Coeficien ții seriei sunt da ți de formulele:
()∫
−=2
20
00
0cos2T
Tn tdtn tFTa ω ,…2,1,0=n (1.178)
()∫
−=2
20
00
0sin2T
Tn tdtn tFTb ω ,…2,1=n
(1.179)
și reprezint ă o măsură a particip ării fiecărei armonice la func ția ()tF, iar 021a constituie
valoarea medie a cestei func ții.
Seria Fourier (1.177)corespunz ătoare func ției ()tF se poate prezenta și sub
formă complexă:
()∑∞
=−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ++−+=
10
2 2 2ntin n n tin n n n neibaeiba atFω ω (1.180)
unde s-a ținut cont de formulele:
2cos0 0
0tin tine etnω ω
ω−+= ; 2sin0 0
0tin tine etnω ω
ω−−=
(1.181)
Din relațiile (1.178) și (1.179) se constat ă că:
n na a=− ; n n b b−=− (1.182)
și, deci rela ția (1.180) devine:
()∑∑∞
=∞
−∞==−+=
10 0 0
2 2 nnt in
nt in n nec eib a atFω ω (1.183)
unde
20
0ac= ; 2n n
nib ac−= ; ()∫
−−=2
200
001T
Ttin
n dt etFTcω (1.184)
Relația (1.183) reprezint ă forma comlex ă a seriei Fourier .
Deoarece r ăspunsul în frecven ță al unui sistem cu un grad de libertate, excitat
armonic, este (1.171)
()tieF Hxωω0= (1.185)
Pentru o for ță periodică se poate folosi seria complex ă Fourier (1.183), fiind valabil
principiul suprapunerii efectelor, în acest caz r ăspunsul complex va fi:
()∑∞
−∞==
nt in
neX tx0ω (1.186)
Notând, în ecua ția (1.185), ()ωHF X0 0= , atunci se vede c ă:
()nC nHi
n n nn n eCH CH Xαα+⋅== (1.187)

38unde
()
n nn
ni nH
ωωξωωω
02
02 11
+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−= (1.188)

Din (1.188) se poate observa c ă dacă o armonic ă 0ωn este apropiat ă de pulsația
naturală a sistemului, atunci va avea o contribu ție mare în r ăspunsul sistemului, mai ales
dacă sistemul este slab amortizat. În cazul sistemelor neamortizate sunt create condi ții de
rezonanță pentru o armonic ă oarecare, dac ă n nωω=0 .

1.2.11. Aspecte energetice în studiul vibra țiilor liniare. Amortizare structural ă

Dac ă se consider ă vibrațiile libere ale unui sitem neamortizat și se înmul țește prin
dtxtermenii ecua ției diferen țiale a mișcării (1.59), se ob ține:
0=⋅+⋅ dtxkxdtxxm  (1.189)
Prin integrare se poate scrie:
∫∫−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=⋅tt
c cE E dtxmdtddtxxm
002
021  (1.190)
respectiv
∫∫∫−=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=⋅=⋅x
xx
xp px
xE E dxkx
dxddxkx dtxkx
000
022
 (1.191)
Integrând ecua ția (1.189) și ținând cont de (1.190) și (1.191) se poate scrie:
m p c p c E const E E E E ==+=+
0 0 (1.192)
Deci, în cazul vibra țiilor libere și neamortizate energia mecanic ă se conserv ă. De aceea
derivând în raport cu timpul ecua ția (1.192) se ob ține:
0=dtdEm (1.193)
care poate fi folosit ă în deducerea ecua ției de mișcare a sistemului.
În cazul sistemelor for țate și amortizate cu amortizare vâscoas ă se definesc
următoarele energii:
a) Energia total ă a sistemului în vibra ție, egală cu energia acumulat ă în
elementul elastic, când acesta are deforma țoa maxim ă:
2
021kX Ep= (1.194)
Ea reprezint ă energia poten țială maximă sau energia de deforma ție maximă.
b) Energia introdus ă în sistem, în decursul unei perioade, de c ătre forța
perturbatoare armonic ă:
() ∫∫∫=− ===TT T
F XF dt t tX F dtxF Fdx E
00 00 0 0 0 sin cos sin ψ ψωωω  (1.195)

39 c) Energia disipat ă pe ciclu prin frecare vâscoas ă, egală cu lucrul mecanic al for ței
de frecare:
() ∫∫ ∫ ∫=− ==⋅==TT T T
d d Xc dt t cX dtxc dtxxc dxF E
00 02
02 2 2
0
02cos ωπψωω  (1.196)
din care rezult ă că energia disipat ă pe ciclu este propor țională cu coeficientul de
amortizare c, pulsația forței perturbatoare și pătratul amplitudinii mi șcării.
Experien ța arată că energia se disip ă în toate sistemele reale, chiar și-n acelea în
care modelul mecanic nu con ține amortizorul cu frecare vâscoas ă, deoarece energia se
disipă în elementul elastic, datorit ă frecărilor interne.
Frecarea intern ă, spre deosebire de frecarea vâscoas ă, nu este propor țională cu
viteza. Experien ța arată că pentru o categorie mare de materiale energia disipat ă pe ciclu,
prin frecări interne, este propor țională cu amplitudinea deplas ării:
2
0X Edα= (1.197)
undeα este o constant ă ce depinde de frecven ța oscilațiilor armonice.
Acest tip de amortizare, numit ă amortizare structural ă, este caracteristic ă
sistemelor cu ciclu de histerez ă (fig. 1.32.).

Fig. 1.32.

Comparând ecua țiile (1.196) și (1.197) se poate deduce c ă un sistem care are amortizare
structural ă și este supus unei excita ții armonice este analog cu un sistem cu amortizare
vâscoasă a cărui coeficient de amortizare este:

πωα=ec
(1.198)
Cu aceast ă echivalare ecua ția (1.149) devine:
t F kxx xm ωπωαsin0=++ (1.199)
Folosind reprezentarea prin numere complexe, for ța perturbatoare t Fωsin0 va fi
()ti
meFIω
0 , legea de mi șcarex va fi zIm, unde tiZezω= este soluția ecuației:
tieF kzz zmω
πωα
0=++
(1.200)
Deoarece tizω= , ecuația (1.200) se poate scrie:
()tieFzi kzmωγ0 1=++ (1.201)

40unde Rπαγ= se nume ște factor de amortizare structural ă, iar ()γi k+1 se nume ște
rigiditate complex ă.
Înlocuind solu ția complex ă în ecuația (1.201) se ob ține:
γω ik mkFZ+−=20 (1.202)
unde Z se poate pune sub forma:
ψ ψ i ieX eZZ− −=⋅=0 (1.203)
Pe baza rela țiilor (1.202) și (1.203), se ob țin factorul de amplificare și unghiul de faz ă

2220
11
γωω+
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−=
nstxX (1.204)
2
1⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−=
ntg
ωωγψ (1.205)
Comparând rela ția (1.204) cu rela ția (1.157) se constat ă că:

nωωξγ2= (1.206)

1.3. Probleme

1.3.1. Masa m din fig. 1.33. este a șezată între dou ă arcuri elicoidale, având acela și
diametru d al spirei și același diametru D de înfășurare. Suma N a numărului de spire ale
celor dou ă arcuri este constant ă. Să se exprime pulsa ția proprie a sistemului în func ție de
numărul de spire ale celor dou ă arce. În ce caz pulsa ția este minim ă?

Fig. 1.33.

Rezolvare:
Arcurile sunt legate în paralel, deci 2 1kkk+= , de unde:

41 ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
−+ =⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+ =
1 134
2 1341 1
81 1
8 NN N DGd
N N DGdk
Pulsația proprie a sistemului este:
()1 134
8 NNNN
mDGd
mkP−==
Pentru ca pulsa ția să fie minim ă, trebuie ca numitorul s ă fie maxim, ceea ce are loc pentru
22 1NN N== , adică:
mNDGdPm 34
2=

1.3.2. Să se determine constantele elastice echivalente pentru sistemele oscilante din fig.
1.34. În fig. 1.34 . a și b, masa m este rigid legat ă de bara AB, considerat ă fără masă, iar
în fig. 1.34. c, legătura se realizeaz ă prin articula ția O.

a b c
Fig. 1.34

Rezolvare:
Arcurile 1k și arcurile 2k din fig. 1.34. a sunt legate în paralel. Arcurile
echivalente lor sunt legate în serie. Deci, se poate scrie:
2 121
21 1
k k k+= ,
de unde
2 1212
kkkkk+=
În fig. 1.34. b toate cele trei arcuri sunt legate în paralel, deci:
3 2 1 k kkk ++=
Datorit ă legării masei m de bara AB prin articula ția O, cele trei arcuri din fig.
1.34. c au deforma ții diferite, deci nu sunt legate în paralel. Se calculeaz ă constanta
echivalent ă pentru primele dou ă arcuri. Din ecua ția de momente fa ță d e O , s e o b ține
222 111 axkaxk= , iar din asem ănarea triunghiurilor AOO' și ABB' rezult ă:

42
2 11 2
21
aax x
axx
+−=−
obținându-se deforma țiile:
()xak akaaakx2
222
112 1 22
1++= ; ()xak akaaakx2
222
112 1 11
2++= ,
respectiv constanta echivalent ă celor dou ă arcuri:
()
2
222
112
2 1 21 22 11
ak akaakk
xxkxkke++=+=
Constanta echivalent ă a sistemului va fi:
()
3 2
222
112
2 1 21
3 k
ak akaakkk kke +
++=+=
Dacă 2 1aa=,
3
2 1214kkkkkk ++=
iar dacă 3 2 1 k k k== , rezultă: 13k k=

1.3.3. Un cilindru din lemn, având densitatea ρ, aria secțiunii S și înălțimea h, plutește
în apă, parțial scufundat, cum se arat ă în fig. 1.35.
Fa ță de poziția de echilibru acesta este deplasat cu 0x. Să se deduc ă ecuația
diferențială a mișcării, pulsația și legea mi șcării cilindrului. Se neglijeaz ă frecările.

Fig. 1.35.

Rezolvare:
În pozi ția de echilibru for ța gravitațională și forța arhimedic ă își fac echilibru.
Într-o pozi ție în care cilindrul este deplasat cu x față de poziția inițială se poate scrie:
Sgx xm0ρ−= sau 00=+Sgx xShρρ
de unde 00=+ xhgxρρ
și rezultă: ρρω0
hg
n= ; t xxnωcos0=

431.3.4. Să se determine pulsa ția proprie a oscila țiilor unei coloane de lichid, având
lungimea l, într-un tub manometric în form ă de U. (fig. 1.36.)

Fig. 1.36.

Rezolvare:
Masa lichidului în mi șcare este lSmρ= , iar forța care produce mi șcarea este
Sxg Fρ2= .
Ecua ția de mișcare este:
0 2=+Sxg xSlρρ , sau 02=+ xlgx ,
de unde lg
n2=ω

1.3.5. Să se determine ecua ția de mișcare și perioada pendulului simplu din fig. 1.37.,
scufundat într-un lichid de densitate ()0 0ρρρ> . Forțele de rezisten ță se neglijeaz ă.

Fig. 1.37.

Rezolvare:
Legea lui Newton AFGTamGGGG++= , unde AF este for ța lui Arhimede, se
proiecteaz ă pe direcția tangentei
θ θ θ sin sinAF mg ml + −= sau () 0 sin0 = ++ θρρθρ gV V Vl
de unde
()0 sin0=−+ θρρρθlg
În cazul micilor oscila ții, se obține:

44 00=−+ θρρρθlg
și () glT
02ρρρπ−=

1.3.6. Un corp de mas ă M, având o ax ă de simetrie ()Δ ce trece prin centrul s ău de
masă, este suspendat prin trei fire simetric a șezate față de aceast ă axă. Se scoate corpul
din poziția de echilibru, prin rotire în jurul axei ()Δ cu un unghi mic (fig. 1.38.). S ă se
determine ecua ția diferen țială a micilor oscila ții și să se stabileasc ă o metod ă pentru
determinarea momentului de iner ție al corpului în raport cu axa ()Δ.

Fig. 1.38.

Rezolvare:
În general trei fire asigur ă o bună stabilitate, dar formula ce se deduce în
continuare este independent ă de numărul de fire. În cazul suspend ării prin trei fire, pentru
unghiuri mici se poate scrie ϕθ lR= și forța din fiecare fir 3gMT= . De asemenea, for ța
tangențială, de readucere, va fi ϕϕMg T F = =′ sin3 3 .
Aplicând teorema momentului cinetic fa ță de axa ()Δ, se poate scrie:
RF J ⋅′−=Δ 3θ sau θ θlRMg J2
−=Δ
adică:
02
= +
Δθ θlJMgR
de unde

Δ=lJMgR
n2
2ω
respectiv 2 2
2⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=ΔπT
lMgRJ
unde T este perioada micilor oscila ții, care se m ăsoară experimental.

1.3.7. Un cilindru de mas ă m și rază r se rostogole ște fără să alunece pe o suprafa ță
cilindrică de rază R (fig. 1.39.). S ă se determine perioada micilor oscila ții față de poziția

45de echilibru. Care este perioada micilor oscila ții dacă cilindrul se înlocuie ște cu o sfer ă m
și rază r?

Fig. 1.39.

Rezolvare:
Folosind metoda energetic ă, se calculeaz ă energia cinetic ă a discului aflat în
mișcare plană, considerând axa Oz perpendicular ă pe planul mi șcării:
2 2
21
21ωz c J mv E += ,
unde
()θrR v−= , θ ω 
rrR
rv−== , 2
21mr Jz=
Astfel, energia cinetic ă devine:
() ()22 22
2 2
43
21
21
21θ θ θ    rRmrrRmr rRm Ec −=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+−=
Energia poten țială este:
() ( ) θcos1−−= rRmg Ep
iar energia mecanic ă:
() () ( ) θ θ cos1432 2−−+−=+= rRmg rRm E E Ep c m
Sistemul fiind conservativ, se poate scrie:
() () 0 sin23 2= −+−= θθ θθ   rRmg rRmdtdEm
Împărțind cu θ, se obține ecuația diferen țială:
()0 sin32=−+ θ θrRg
În cazul micilor oscila ții θθ≅ sin , ecuația devine liniar ă:
()032=−+θ θrRg,
și mișcarea este armonic ă cu perioada:
()
grRT
n 2322 −==πωπ
Pentru sfer ă, se ține cont c ă 2
52mr Jz=și se obține:

46 ()
grRT572−=π

1.3.8. Să se determine ecua ția diferen țială a mișcării și perioada acesteia pentru modelul
de transla ție din fig. 1.40., presupunând c ă arcul are masa m, uniform distribuit ă.

Fig. 1.40.

Rezolvare:
Se consider ă un element dz din arc. Energia lui cinetic ă este
()2
21⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛= xLzldz dEc ρ , deoarece deplasarea elementului dz la cota z va fi xLz.
Energia cinetic ă a întregului arc este:
2 2
0 023
2 22
61
321
321
21xm xl
Lzx dzxLzl ELLL
carc  = = =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=∫ρρ
Energia cinetic ă totală va fi:
2 2
61
21xm xM Ec +=
iar energia poten țială:
2
21kx Ep=
Energia mecanic ă a sistemului este:
2 2 2
21
61
21kx xm xM E E Ep c m ++=+=  ,
de unde, aplicând metoda energetic ă (1.193) și împărțind cu x, se poate scrie ecua ția de
mișcare:
03=+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+ kxxmM ,
respectiv perioada mi șcării:
kmM
T32+
=π

471.3.9. Se consider ă sistemul vibrant din fig. 1.41., format din corpuri omogene, legate
între ele prin fibre flexibile și inextensibile. Dac ă în poziția de echilibru static corpului de
greutate G Q2= i se imprim ă viteza 0v, se cer:
a) ecua ția diferen țială a mișcării și legea de mi șcare a corpului Q ;
b) tensiunile din fire;
c) valorile extreme ale tensiunilor și valoarea maxim ă a vitezei 0v, astfel ca în tot
timpul mi șcării, firele s ă fie întinse.

Fig. 1.41.

Rezolvare:
Se aplic ă ecuația lui Lagrange
xE
xE
xE
dtd p c c
∂∂−=∂∂−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂

unde coordonata generalizat ă x reprezint ă deplasarea corpului Q din poziția de echilibru
static.
Deoarece corpul Q are mișcare de transla ție, scripetele fix 1O are mișcare de
rotație cu axa fix ă, iar scripetele mobil 2O are mișcare plan ă, energia cinetic ă a
sistemului este:
22 2 2
22 2
2
1623
2 2 21
2 21
2 21
21xgG
Rx R
gG x
gG
Rx R
gGxgQEc    =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+= ,
iar energia poten țială este:
22
81
221kxxk Ep =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=
Înlocuind în ecuația lui Lagrange , se obține:
041
823=+kx xgG sau 02=+ x xnω
unde
Gkg
n2322=ω
Soluția ecuației diferen țiale este de forma:
t At Axn n ω ω sin cos2 1+ =
iar în condi țiile inițiale date () 00=x ; ()0 0v x= , legea de mi șcare rezult ă:

48 tvxn
nωωsin0=
Pentru determinarea tensiunilor din fire se separ ă corpurile ca în fig. 1.42. și se
aplică principiul lui d'Alembert , obținându-se urm ătoarele ecua ții:
0 22
1 =−− GxgGT , ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+= tgvG Tnnωωsin 120
1
022
2 1 = −−RxR
gGRTRT , ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+= tgvG Tnnωωsin2520
2
0222
3 2 = −−RxR
gGRTRT , ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+= tgvG Tnnωωsin41120
3

Fig. 1.42.
Valorile extreme ale acestor tensiuni sunt:

⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛±=gvG Tn
eω0
1 12
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛±=gvG Tn
eω0
2252
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛±=gvG Tn
eω0
34112
Pentru ca firele s ă fie tot timpul mi șcării întinse, trebuie ca tensiunile minime s ă fie
pozitive, condi ție din care rezult ă:

ngvω118
0<

1.3.10. Să se deduc ă ecuația diferen țială a mișcării sistemului din fig. 1.43., presupunând
că bara OB de mas ă m este orizontal ă în poziția de echilibru static și că efectueaz ă mici
oscilații în jurul acestei pozi ții, sub acțiunea forțelor perturbatoare distribuite.

49
Fig. 1.43.

Rezolvare:
Deplasarea vertical ă a punctului de pe bar ă situat la distan ța x de capătul 0 va fi
()θ δ xtgtx=, , iar θ fiind un unghi mic, se poate scrie:
() ( ) txtxθδ=,
Forțele rezultante sunt:
θkl Fe= , θcL Fa= , ()dxtfLxPdFP 0=
Aplicând ecua ția de momente din principiul lui d'Alembert față de axa fix ă 1Oz
perpendicular ă pe planul mi șcării, se obține:
()() ()tfLPkl cLmL
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=++⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
3 32
0 2 22
θθθ 

1.3.11. O placă dreptunghiular ă de masă m și suprafață A este legat ă la capătul unui arc
de constant ă k (fig. 1.44.). Dac ă perioada oscila țiilor plăcii în aer este 1T, iar
pseudoperioada oscila țiilor când placa este suspendat ă într-un vas cu un lichid vâscos este
2T, să se deduc ă formula de calcul al coeficientului de amortizare și al coeficientului
dinamic de vâscozitate.

Fig. 1.44.
Rezolvare:
Aplicând principiul lui d'Alembert pentru oscila țiile masei m în lichid, neglijând
forța arhimedic ă, se obține:
() 0=−+++ mg xxkxcxmst ,
unde x se măsoară din poziția de echilibru static, deci:
stkx mg= , 2
n
stmk
xgω==
Ecuația se poate scrie:
0 22=++ x x xnωξ
unde

50
crcc=ξ , km ccr2= ,
12
T mk
nπω == ,
iar pseudopulsa ția este: 21ξω−=n p
De aici,
()22
12
212 2ξππ−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
T T
adică:
2
22
12
2 2
TT T−=ξ
sau ținând cont și de relațiile precedente se ob ține:
()
212
12
2
22
12
2
42
TTT Tm
TxT Tgm
cst −⋅=−
=π
De asemenea, ținând cont de defini ția coeficientului dinamic de vâscozitate, rezult ă:

t t ta
Ac
xAxc
xAF===
η
unde tA este aria suprafe ței totale în contact cu lichidul. Ca urmare, se ob ține:
2
12
2
212T TATTm−⋅=πη

1.3.12. O elice de mas ă m=2kg , având raza de gira ție față de axa sa de simetrie i=100mm ,
este suspendat ă printr-un fir de o țel de diametru d=1,5mm și modul de elasticitate
transversal 2 91080 mN G⋅= . Elicea are oscila ții de rotație în aer, cu rezisten ța aerului
neglijabil ă, având perioada s T21= .
a) S ă se determine lungimea L a firului.
Dacă se scufund ă elicea în ap ă, se constat ă o scădere a amplitudinii oscila țiilor în fiecare
ciclu cu 63%.
b) S ă se calculeze raportul de amortizare ξ, pseudoperioada 2T și momentul de
inerție aparent al elicei.

Rezolvare:
a) Ecuația diferen țială a oscilațiilor de răsucire este:
0=+θθk J , unde LGIk=
G fiind modulul de elasticitate transversal, Ip mometul de iner ție (geometric) polar, al
secțiunii firului, iar L lungimea firului.
Perioada oscila țiilor este:

51
GIJLT
pπ21= , iar 2miJ=
de unde
mJGTILp2,0242
1==π

b) Decrementul logaritmic este: 137100ln ln
2===
+jj
θθδ , unde jθ este valoarea
extremă de ordinul j a lui θ, pentru care raportul de amortizare este:
16,028,61
2===πδξ
Pseudoperioada oscila țiilor se calculeaz ă din formula:
21ξω−=n p
adică
sTT 026,2
121
2 =
−=
ξ
Momentul de iner ție mecanic se poate calcula în aer din formula perioadei T1.
Deoarece
LGITJp
22
1
4π=
prin analogie, se ob ține pentru momentul de iner ție aparent în ap ă:
LGITJp
apa 22
2
4π=
Făcând raportul și ținând cont de rela ția dintre T1 și T2, se obține:
2 2
12
2
11
ξ−==
TT
JJapa
deci,
2
22
0205.0
1mkgmiJapa ⋅ =
−=
ξ
Ca urmare, datorit ă antrenării apei și frecării vâscoase, aparent se produce o cre ștere a
momentului de iner ție.

1.3.13. Se dă sistemul vibrant din fig. 1.45., format din corpuri omogene legate între ele
prin fire flexibile și inextensibile, iar frec ările sunt neglijabile. În pozi ția de echilibru
static a sistemului când suportul inferior al arcului elicoidal este fixat (f=0) , toate
eforturile din fire au valoarea T0=6G . La un moment dat suportul începe s ă vibreze dup ă
legea: () t rtf0 sinω= , unde kg=0ω . Să se determine:

52 a) Deforma țiile statice ale arcurilor, ecua ția diferen țială a mișcării sistemului și
pulsația sa proprie;
b) Legea mi șcării forțate a centrului C al scripetelui mobil;
c) Eforturile din fire și valoarea maxim ă a lui r pentru ca acestea s ă fie întinse tot
timpul mi șcării.

Fig. 1.45.

Rezolvare:
Din condi ția de echilibru static al scripetelui mobil se ob ține:
0 100 0 =−−+stkxG T T
62 R
kGxst==
iar din condi ția de echilibru static al troliului se ob ține:
0 20 0 0 =−+stkRTRT θ
radkGR
st61180 ==θ
Pentru deducerea ecua ției diferen țiale a mi șcării se va folosi ecuația lui Lagrange .
Scripetele mobil are mi șcare plan ă, iar scripetele fix și troliul au mi șcare de rota ție. Se
pot scrie urm ătoarele rela ții cinematice:
R VA 23θ= ; R VB 3θ= ; R IB AB 2==
Rx
31 1==θω ; 32xVB= ; 34xVA= ;
Rx
32
3=θ ; Rx
32
2=θ
Energia cinetic ă a sistemului este:

22 2 22 2 2 2
2
215
32
244
22
2132
22
21
3 210
21 10
21
xgG
Rx R
gG R
gGRx R
gG
Rx R
gGxgGEc
 
=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+ ++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+ =

Energia poten țială, față de poziția de echilibru static, este:
() ()2 2 2
3224 621
21xRGfxRGk fxk Ep +−=+−= θ
Se înlocuie ște în ecuația lui Lagrange :

53 xE
xE
xE
dtd p c c
∂∂−=∂∂−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂
,
și se obține:
t gRrxRgx0 sin544 ω =+ , Rg
n⋅=2ω
Soluția acestei ecua ții diferențiale este:
px xx+=0 ,
unde ()ϕω+ = t A xn sin0 ,
iar vibra ția forțată este de forma: t x xp 0 0sinω=
Impunând solu ției particulare s ă verifice ecua ția diferen țială, se obține:
2
02
02
05n nrX X ω ωω =+− ,
de unde amplitudinea vibra ției forțate devine:
()rrX
nn
154
52
022
0 =
−=
ωωω,
deci
t r xp 0 sin154ω=
Pentru determinarea eforturilor se separ ă corpurile 1 și 2 și se aplic ă principiul lui
d'Alembert (fig. 1.46.).

Fig. 1.46.
Se obțin următoarele ecua ții:

() 010101 2 =−+−−−+ fx xkxgGG TTst
035
2 1 =−− RxgGRTRT 
032
2 3 =−− RxgGRTRT 
de unde
t rRGG T0 1 sin452686 ω −= ; rRGG Tm4526861−=

54 t rRGG T0 2 sin452486 ω −= ; rRGG Tm4524862−=
t rRGG T0 3 sin3166 ω −= ; rRGG Tm31663−=
Pentru ca firele s ă fie întinse, trebuie îndeplinit ă condiția:
R r 01,1<

1.3.14. Un motor electric de greutate G=12.000N cu turația nominal ă n=1500rot/min ,
este montat la mijlocul unui suport, format din dou ă grinzi II6 coliniare, simplu rezemate
la capete, de lungime l=200cm . Rotorul motorului de greutate P=2000N , are o
excentricitate e=0,1mm . Să se determine tura ția critică a motorului, amplitudinea
vibrațiilor de încovoiere și forțele dinamice transmise la reazeme.

Rezolvare:
Pentru II6 din tabele rezult ă: Iz=935cm4, cu care constanta electric ă a celor dou ă
grinzi devine:
cmNIEkz/ 235620
2009352 101,248
32 48
37
=⋅⋅⋅⋅=⋅=
Pulsația proprie și turația critică se obțin astfel:
18,13812000981 235620−=⋅=== sGkg
mk
nω , 30cr
nnπω=
de unde
min/ 13258,13830 30rot nn
cr =⋅==ππω
Pentru determinarea amplitudinii vibra ției forțate, se scrie ecua ția diferen țială de mișcare:
t egPkxxgGωωsin2=+
Vibrația forțată este de forma:
t X xp ωsin0=

Impunând condi ția ca aceast ă soluție particular ă să verifice ecua ția diferen țială, se obține
amplitudinea vibra ției forțate:
mmGPeX
nn077,0
1 13,113,1
120001,0 2000
122
22
0 =
−⋅⋅=
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
=
ωωωω

unde
13,1==
n crnn
ωω
Pulsația forței perturbatoare este:

55 1157301500
30−=⋅=⋅= snππω
mișcarea având loc dincolo de rezonan ță.
În lag ăre se transmite for ța dinamic ă:
NXkFD 90720077,0 235620
20=⋅=⋅=

1.3.15. Un vehicol având masa M=400kg (fig. 1.47.) se deplaseaz ă cu viteza v pe un
drum denivelat, al c ărui profil poate fi aproximat prin legea t rfωsin= , având lungimea
de undă a denivel ării L=10m . Să se determine factorul de amplificare la vitezele
v1=24km/h, v 2=96km/h și valoarea vitezei critice de mers, dac ă suspensia elastic ă are
constanta k=40N/mm .

Fig. 1. 47.

Rezolvare:
Ecua ția diferen țială a mișcării vehicolului este:
() fyk yM −−= sau t r y yn n ωωω sin2 2=+
Vibrația forțată a acestei mi șcări este:
trt Y y
np ω
ωωω sin
1sin2 0
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−= =
unde
Mk
n=2ω . Deci, factorul de amplificare este:
()20
11
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−==
nrYH
ωωω
Lungimea de und ă a denivel ării fiind ωπ2⋅=⋅= vTvL
Factorul de amplificare devine:
()
()2 20
211
LkMvrYH
⋅ −==
πω

56La v1=24km/h
()21,1
418,011
20=
−=rY
La v2=96km/h
()82,1
672,111
20=
−=rY
Rezonanța are loc dac ă nωω= , adică:
hkm smMk Lvcr /3,57 /2100
4001040
14,3210
23
= =⋅
⋅= =π π

1.3.16. O forță perturbatoare periodic ă este aplicat ă unui sistem vibrant prin intermediul
unui element elastic și a unui amortizor, al c ăror suport comun este pus în mi șcare de o
camă, care se rote ște cu viteza unghiular ă constantă 0ω (fig. 1.48.). S ă se determine legea
mișcării forțate a mesei m.

Fig. 1.48.

Rezolvare:
O mi șcare periodic ă poate fi reprezentat ă printr-o serie Fourier în forma:
() ()∑∞
=+ +=
10 0 0 sin cos21
nn n tn btn a a tf ω ω
unde
()∫∫=⋅= =00
00 0 0021 1TT
ohdtTth
TdttfTa
()∫∫=⋅= =00
000
00
00 cos2cos2TT
on tdtnTth
Ttdtn tfTa ω ω
()∫∫−=⋅= =00
000
00
0sin2sin2TT
onnhtdtnTth
Ttdtn tfTbπω ω
deci
()∑∞
=−=
10 sin
2 n ntn hhtfω
π
Ecuația diferen țială a mișcării masei m este:
()() xkfxkfxc xm2 2−−−−−=  sau fkfc kxxcxm2+=++  

57unde
∑∞
==
100cos
ntnhf ωπω
Cu aceasta ecua ția diferen țială a mișcării devine:
∑∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+ −=++
100
0 cos sin2 4ntnchtnnkh khkxxcxm ωπωω  ,
sau restrângerea membrului drept, folosind reprezentarea vectorial ă,
() ∑∞
=+ + −=++
1022
02 2sin 421
4 nn tn n c knh khkxxcxm ϕω ωπ
unde
knc tgn02ωϕ= și, încă mk
n=2ω ,
nmc
ωξ2=
deci
() ∑∞
=+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+ −=++
102
02
2 2sin 24121
42
nn
nn
n n n tn nnh hx x x ϕωωωξπωωωξω
Legea mișcării masei m este:
() ∑∞
=+
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
−=
10
2
022
02
0
sin
2 1241
21
4 nn
n nn
p tn
n nn
nhhx ψω
ωωξωωωωξ
π
unde
n
nn
n
nn
arctg ϕ
ωωωωξ
ψ −
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−=2
00
12

1.3.17. Sistemul din fig.1.49. reprezint ă modelul unui vibrator, a c ărui masă nerotitoare
este M-m și care este fixat de o funda ție printr-un arc de constant ă k și un amortizor
având coeficientul de amortizare c. Două mase 2m au mișcări de rota ție de sensuri
contrare, cu aceia și viteză unghiular ă ω, și aceiași excentricitate e. Să se determine
ecuația de mi șcare a sistemului, amplitudinea vibra ției forțate a vibratorului și
amplitudinea for ței transmis ă la fundație.

58

Fig. 1.49.

Răspuns:
Ecua ția de mișcare este:
t me kxxcxM ωωsin2=++ ,
amplitudinea vibra ției forțate a vibratorului este:

() ()2 222
0
ωωω
c MkmeX
+−= ,
iar amplitudinea for ței transmis ă la fundație rezultă:
() ()2 222 2 2
2
ωωωω
c Mkc kme Ft+−+=

1.3.18. Se consider ă sistemul din fig. 1.50., având amortizare structural ă. Folosind
metoda punctelor de semiputere, s ă se determine din reprezentarea diagramei Nayquist
factorul de amortizare structural ă, constanta elastic ă și masa sistemului.

Fig. 1.50.
Rezolvare:
Folosind reprezentarea în complex pentru rezolvarea ecua ției de mișcare:
() t Fxi kxm ω γ cos 10=⋅++
se obține receptan ța mecanic ă (1.202)
ivuki mk Fz+=+−=γω2
01

2222
11
1
γωωωω
+
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−
=
nn
ku

59
222
11
γωω+
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−−=
nkv
Aceste rela ții dau cercul:
2 2
2
21
21
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛++k kv uγ γ
Punctele din diagrama de rezonan ță pentru care corespunde o pierdere de energie egal ă
cu jumătate din cea corespunz ătoare rezonan ței se numesc puncte de semiputere (fig.
1.51.).

Fig. 1.51. Fig. 1.52.
Din (1.196) rezult ă amplitudinea:
()
nXωω= 021
Folosind ecua ția (1.204) se ob ține: ()kFXo
nγωω== 0, și

222
11
21
γωωγ
+
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−=
n
adică
γωω+=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛12
2
n
γωω−=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛12
1
n
Pentru 1<<γ ,
ωωωγ1 2−=
Pe cercul din fig. 1.52. viteza unghiular ă crește în sensul acelor ceasornicului. Punctul B
corespunde amplitudinii maxime, deci nωω= . Punctele A și C corespund pentru
2OBOC OA== , deci sunt de semiputere. Dac ă R este raza cercului, se ob ține:

60 R kγ21= și 2
nkmω=

1.3.19. O mașină de masă M este fixat ă elastic de o funda ție. Pulsația proprie este
necunoscut ă. Pentru determinarea acesteia se fixeaz ă rigid de masa M un vibrator de
masă m și frecvență variabilă, care realizeaz ă rezonanță la pulsația ω. Se cere pulsa ția
naturală ωn.
Aplicație numeric ă: M=10.000kg, m=1.500kg, ω=31,4s-1

Răspuns:
161,33−=+= sMm M
nωω

1.3.20 – 1.3.22. Pentru sistemele mecanice din fig. 1.53., 1.54. și 1.55., să se determine
ecuațiile diferen țiale ale mi șcării și pulsațiile proprii.

Fig. 1.53. Fig. 1.54. Fig. 1.55.

Răspuns:
1.3.20. () 0 2 2 =++ kx xMm Mmk
n+=222ϖ
1.3.21. () 0 8 3 2 =++ kxxM m M mk
n3 282
+=ϖ
1.3.22. () 0 2 3 8 =++ kx xM m M mk
n3 822
+=ϖ

1.3.23.- 1.3.25. Pentru sistemele mecanice din fig. 1.56., 1.57. și 1.58., să se determine
ecuațiile diferen țiale ale mi șcării și condițiile de stabilitate ale micilor oscila ții.

61

Fig. 1.56. Fig. 1.57. Fig. 1.58.

Răspuns:
1.3.23. 0 cos 2 sin 22 2=⋅+ − θθθ θ lk mgl ml sau
0 2 2 =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−+ θ θ gmlk
mglk>⋅

1.3.24. 0 sin2cos322
= − + θ θθθlmg klml sau
0 3 6 =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−+ θ θ gmlk
2mglk>⋅

1.3.25. () 0 2 sin2 2=−+ − θ θ θ alk mgl ml sau
0 122
=
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−+ θ θlg
la
mk
lg
la
mk>⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−2
12

1.3.26. O elice, cu num ăr par de pale, este suspendat ă printr-un fir și are oscila țiile de
rotație în jurul axei sale de simetrie, în aer, cu perioada T1. Dacă se așează simetric fa ță
de axa de rota ție la distan țe d egale dou ă corpuri (magne ți) de masă egală m, oscilațiile au
perioada T2. Să se determine momentul de iner ție al elicei fa ță de axa sa de simetrie (fig.
1.59.).

Fig. 1.59.

62Răspuns:
2
12
22
122
T TT mdJ−⋅=

1.3.27. U n c o r p d e r o t a ție al cărui moment de iner ție J față d e a x a s a d e s i m e t r i e e s t e
cunoscut, este suspendat printr-un fir. Perioada oscila țiilor de răsucire în aer este T1, iar în
ulei T2. Să se determine coeficientul de vâscozitate al uleiului.

Răspuns:

212
12
2 4
TTT TJc−=π

1.3.28. Să se determine r ăspunsul unui sistem cu un grad de libertate supus unei excita ții
treaptă F0, în condi țiile inițiale nule.

Rezolvare:
Considerând sistemul neamortizat, r ăspunsul la impuls unitar este:
() tmthn
nωωsin1=
Înlocuind în (1.127) se ob ține:
() () () tkFd tmFtxnt
n
nω ττωωcos1 sin0
00−=− =∫
Pentru sistemul amortizat solu ția va fi:
0x xxp+=
unde
kFxp0= , ( )t At A e xn ntn 2
22
1 0 1 sin 1 cos ξω ξωξω− +− =−,
adică
()
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
−
−+− −=−t t ekFtxn
nn
ntn 2
22 01 sin
11 cos 1 ξω
ξωξωξωξω

632. VIBRAȚIILE SISTEMELOR LINIARE CU MAI
MULTE GRADE DE LIBERTATE

2.1. Stabilirea ecua țiilor diferen țiale ale mi șcării cu ajutorul
ecuațiilor lui Lagrange de spe ța a II-a

Se consider ă un sistem mecanic supus la leg ături olonome, aflat în mi șcare, a
cărui poziție este precizat ă prin coordonatele generalizate q1, q2, …, q n. Ecuațiile lui
Lagrange de spe ța a II-a sunt:
j
jc
jcQqE
qE
dtd=∂∂−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂
, ( )n j ,…,2,1= (2.1)
unde Ec reprezint ă energia cinetic ă a sistemului, iar jQ sunt forțele generalizate. For țele
generalizate jQ se împart astfel:
)(tQ Q Q Qp
jnc
jc
j j ++= (2.2)
în care c
jQ reprezint ă forțele consecutive, nc
jQ reprezint ă forțele generalizate
neconsecutive, altele dec ăt cele perturbatoare, iar )(tQp
j reprezint ă forțele generalizate
perturbatoare.
For țele generalizate consecutive deriv ă dintr-o func ție de forță U și pot fi scrise pe
baza lucrului mecanic virtual:
∑∑ ∑
== = ∂∂−=∂∂= =n
jn
jn
jj
jp
j
jjc
jcqqEqqUqQ L
11 1δ δ δ δ (2.3)
sub forma:

jp c
jqEQ∂∂−= ( )n j ,…,2,1= (2.4)
Forțele neconsecutive pot fi clasificate în dou ă categorii. Dac ă puterea lor mecanic ă este
nulă:
0
1=∑
=n
jjg
jqQ , (2.5)
ele se numesc for țe giroscopice, iar dac ă puterea lor este negativ ă:
0
1<∑
=n
jjd
jqQ , (2.6)
ele se numesc for țe disipative.
Ecua țiile lui Lagrange de spa ța a II-a constituie un sistem de ecua ții diferențiale
de ordinul doi în coordonatele generalizate. Într-adev ăr, energia cinetic ă a sistemului are
expresia:

64
∑∑ ∑∑ ∑∑∑
== == = = =
+ + ==⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂+∂∂
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂+∂∂= =
n
rn
sn
sss srrsn
si
s
sin
ri
r
riN
iiN
iii c
mqm qqmtrqqr
trqqrm rm E
110
111 1
11 1
1 12
1
2121
21
 G
KG
G
G
(2.7)
unde coeficien ții:

si
riN
ii sr rsqr
qrm m m∂∂
∂∂==∑
=1 1
1GG

tr
qrm mi
siN
ii s∂∂
∂∂=∑
=1 1
1GG

2
1
1021⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂=∑
= trm miN
iiG
(2.8)
sunt funcții de coordonatele generalizate și de timp.
Energia cinetic ă este deci, suma dintre o form ă pătratică în vitezele generalizate, o
formă liniară în acelea și viteze, respectiv o form ă de grad zero. Dac ă legăturile sistemului
sunt scleronome:
01=∂∂
triG
N i ,,2,1…= (2.9)
și energia cinetic ă a sistemului se reduce la forma:
∑∑
===n
rn
ssr rs c qqm E
1121 (2.10)
adică o formă pătratică și omogen ă în vitezele generalizate.
O form ă pătratică și omogen ă de forma (2.10), poate fi scris ă în notație matriceal ă
după cum urmeaz ă:
()[]
()[]
()[]
{} {}[]{}qmq
qqq
m m mm m mm m m
q qqqm qmqmqqm qmqmqqm qmqmq E
T
nnn n nnn
nn nn n n nnnnn c

#
"……………………""
…………
21
2121…. ………. ………. ………. ………. ………. ……….2121
21
2 12 22 211 12 11
2122 112 2 22 121 21 2 12 111 1
=
⎪⎪
⎭⎪⎪
⎬⎫
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
==+++ +++++ +++++ = (2.11)
în care {}{}nTq qq q " ,2 1= este matricea linie, iar {}q este matricea coloan ă a vitezelor
generalizate. Matricea []m este numit ă matricea formei p ătratice și după modul în care a
fost alcătuită este o matrice simetric ă.

65 În general, o func ție de mai multe variabile este pozitiv (negativ) definit ă, dacă ea
nu este niciodat ă negativă (pozitivă) și este egal ă cu zero dac ă și numai dac ă toate
variabilele sunt zero. O func ție de mai multe variabile este pozitiv (negativ) semidefinit ă
dacă nu este niciodat ă negativă (pozitivă) și poate fi zero și în alte puncte decât cele
pentru care toate variabilele sunt nule.
Aceste defini ții sunt extinse și asupra matricelor asociate formelor p ătratice.
Criteriul lui Sylvester dă condițiile necesare și suficiente pentru ca o form ă
pătratică să fie pozitiv definit ă: toți determinan ții (minorii principali) ai matricei asociate
să fie pozitivi.
Scriind energia cinetic ă sub forma:
0212
1
11
1≥⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂+∂∂=∑∑
= = trqqrm Ein
rr
riN
ii cG
G
(2.12)
rezultă că ea este o form ă pătratică pozitiv definit ă.
Revenind la ecua țiile lui Lagrange (2.1), pentru sisteme scleronome se ob ține:
()
sn
sjs rn
rrj sn
sjssjr rjsn
rn
srs
js
r s
jrn
rn
srs
jc
qm qm qmq qmqqqqqqmqE
  

∑∑∑∑∑ ∑∑
= = === ==
= + ==+ =⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂+∂∂=∂∂
1 1 111 11
21
2121
21δδ
(2.13.a)
unde rjδ este simbolul Kronecker , care este egal cu zero pentru jr≠ și egal cu unu
pentru jr=. Atunci:
sn
sjs
jcqmqE
dtd∑
==⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂
1, n j ,,2,1…= (2.13.b)
Pe de altă parte
jc
qE
∂∂ și jQ nu depind de accelera țiile generalizate. Grupând to ți termenii
care nu con țin derivatele de ordinul doi ale coordonatelor, ecua țiile lui Lagrange (4.1)
devin:
()qqQ qmj sn
sjs ,~
1=∑
=, n j ,,2,1…= (2.14)
adică, ecuații diferențiale de ordinul doi în coordonatele generalizate și a căror coeficien ți
jsm sunt func ții de coordonatele generalizate.

2.2. Ecua țiile micilor oscila ții

Dac ă la momentul ini țial poziția unui sistem sceronom este în vecin ătatea unei
poziții de echilibru stabil, iar vitezele ini țiale sunt suficient de mici în valoare absolut ă,
atunci în decursul mi șcării atât deriva țiile de la pozi ția echilibrului, cât și vitezele

66generalizate, vor ramâne mici. În aceste condi ții se vor p ăstra, în ecua țiile diferen țiale ale
mișcării, numai termenii care le liniarizeaz ă.
Fără a micșora generalitatea problemei, se consider ă originea coordonatelor
generalizate în pozi ția de echilibru. Astfel, pozi ția de echilibru va fi dat ă de soluția
banală: 03 2 1 =====nq q qq " .
Efectuând o dezvoltare în serie a coeficien țilorrsm(2.8), care figureaz ă în expresia
energiei cinetice, în jurul pozi ției de echilibru, se ob ține:
() ( )
{}{}" … … +⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂+ = ∑
= =n
j qj
jrs
rs n rs qqmm q qqm
1 02 1 0,,0,0 ,,, (2.15)
din care se vor p ăstra numai p ărțile constante, adic ă ()0,,0,0…rsm .
În leg ătură cu energia poten țială, aceasta este o func ție numai de coordonatele
generalizate, adic ă ()n p p q qqE E ,,,2 1… = .
Dezvoltând aceast ă funcție în serie în jurul pozi ției de echilibru, neglijând
termenii superiori celor de ordinul doi se ob ține:
() ( )
{}{} {}{}∑∑ ∑
== = = = ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂∂+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂+ =n
rn
s qsr
s rpn
r qr
rp
p n p qqqqEqqEE q qqE
11 02
1 02 1210,,0,0 ,,, … … (2.16)
Însă în poziția de echilibru
{}{}0
0=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂
=qrp
qE
, și în plus se admite c ă, constanta pân ă la
care este determinat ă energia poten țială este astfel aleas ă încât ()00,,0,0=…pE . Atunci
dezvoltarea în serie se reduce la:
∑∑
===n
rn
ssr rs p qqk E
1121 (2.17)
unde

{}{}sr
qs rp
rs kqqEk =⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂∂=
=02
(2.18)
Conform teoremei Lejeune-Dirichlet , deoarece pozi ția de echilibru este o pozi ție
stabilă, trebuie ca 0≥pE , ceea ce înseamn ă că și energia poten țială este o form ă
pătratică pozitiv definit ă și se poate scrie matriceal sub forma:
{}[]{}qkq ET
p21= (2.19)
Cât prive ște forțele generalizate neconsecutive, ele depind numai de vitezele
generalizate și există două cazuri particulare (2.5) și (2.6).
În primul caz for țele generalizate giroscopice sunt func ții liniare și omogene de
vitezele generalizate:
∑
==n
ssjsg
j qg Q
1, n j ,,2,1…= (2.20)
sau sub form ă matriceal ă:

67 {}[]{}qG Qg= (2.21)
în care matricea giroscopic ă []G trebuie să fie antisimetric ă, adică:
și 0=jjq , n js ,,2,1,…= (2.22)
Într-adevăr, în acest caz:
() 0
112
1 11= + + =∑∑∑ ∑∑
≠== = ==jsn
sjjn
ssj js jn
jjjn
jn
ssj js qqg g qg qqg    (2.23)
deci puterea lor este nul ă.
Exemple de for țe generalizate giroscopice, care pot ac ționa în sisteme
scleronome, îl reprezint ă cuplurile giroscopice și forțele Coriolis. Într-adev ăr, pentru
forțele inerțiale Coriolis se poate ar ăta ușor că satisfac condi ția de giroscopicitate.
() 0 2
1 1=× −=∑∑
= =i iN
ii iN
iI
c v vm vFGGG GG
ω (2.24)
unde ivG este viteza punctului de mas ă im față de un sistem mobil, iar ωG viteza
unghiular ă a acestui sistem fa ță de un sistem de referin ță inerțial.
Pentru cel de-al doilea caz de for țe neconservative, ele sunt de rezisten ță, opuse
de mediu asupra punctelor aflate în mi șcare. Ele sunt direct propor ționale și de sens
contrar cu vitezele punctelor.
iid
i vc FGG
−= , N i ,,2,1…= (2.25)
Lucrul mecanic virtual al for țelor generalizate neconservative disipative se scrie:
∑∑ ∑ ∑
== = =⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂= = =n
jN
jjn
j jiN
ii i i jd
jdqqrF rF qQ L
11 11
11 δ δ δ δGG GG
(2.26)
de unde:

ji
iN
ii
jiN
iid
jqrvcqrF Q∂∂−=∂∂=∑∑
= =1
11
1GGGG
n j ,,2,1…= (2.27)
Pentru sisteme mecanice se știe:

ji
ji
qr
qv
∂∂=∂∂1G
G
(2.28)
și, în acest caz rela țiile (2.27) devin:
()
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂−=∂∂−= ∑ ∑
= =N
iii
j jiN
iid
jvc
q qvc Q
12 2
1 2 21
 (2.29)
Introducând func ția disipativ ă a lui Rayleigh:
∑∑ ∑∑∑
== = = ==⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂= =n
rn
ssr rsn
rr
riN
iiN
iii d qqc qqrc vc E
112
11
1 12
21
21
21 G
(2.30)
unde
sr
si
riN
ii rs cqr
qrc c =∂∂
∂∂=∑
=1 1
1GG
(2.31)

68 Coeficien ții rsc depind de coordonatele generalizate. Dezvoltându-i în serie și
păstrând numai termenii constan ți, analog ca și coeficien ții energiei cinetice, func ția de
disipare a lui Rayleigh este o form ă pătratică pozitiv definit ă care se poate scrie sub
formă matriceal ă:
{}[]{}qcq ET
d 
21= (2.32)
Este posibil ca for țele de rezisten ță disipative s ă apară între punctele sistemului.
În acest caz func ția lui Rayleigh are aceia și formă (2.29) în vitezele relative dintre puncte.
Acum se pot deduce ecua țiile diferen țiale ale micilor oscila ții cu ajutorul
ecuațiilor lui Lagrange:
()
sn
sjs rn
rrj sn
sjssjr rjsn
rn
srs
js
r s
jrn
rn
srs
jc
qm qm qmq qmqqqqqqmqE
  

∑∑∑∑∑ ∑∑
= = === ==
= + ==+ =⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂+∂∂=∂∂
1 1 111 11
21
2121
21δδ
(2.33)
unde rjδ este simbolul Kronecker . Forțele generalizate conservative se ob țin din (2.4) și
(2.17).
sn
sjs
jp c
j qkqEQ ∑
=−=∂∂−=
1 n j ,,2,1…= (2.34)
Luând în calcul numai for țele neconservative disipative, rezult ă:
sn
sjs
jd d
jnc
j qcqEQ Q ∑
=−=∂∂−==
1 n j ,,2,1…= (2.35)
Introducând (2.33), (2.34) și (2.35) în ecua țiile lui Lagrange (2.1), se ob ține sistemul de
ecuații diferențiale liniare:
() ()tQ qkqcqmp
jn
ssjs sjs sjs =++∑
=1 n j ,,2,1…= (2.36)
unde ()tQp
j reprezint ă forțele generalizate perturbatoare.
Ecua țiile (2.36) se pot pune în forma:

[]{}[]{}[]{}(){}tQ qk qc qmp=++ (2.37)
unde matricele:
[][]Tm m= , [][]Tcc= , [][]Tk k= (2.38)

sunt simetrice și se numesc matricea de iner ție, matricea de amortizare, respectiv
matricea de rigiditate.
Matricele {}q și ()tQp sunt matrice coloan ă ale coordonatelor generalizate,
respectiv ale for țelor generalizate perturbatoare.

69
2.3. Vibra ții în sisteme cu caracteristici liniare

Exist ă sisteme mecanice a c ăror ecuații de mișcare sunt ecua ții diferențiale liniare
de ordinul doi cu coeficien ți constanți. Un astfel de sistem este și cel în fig. 2.1., numit
model de transla ție.

Fig. 2.1.

Scriind ecua ția de echilibru dinamic al fiec ărei mese, se ob ține:

() ()()
() () () () ( )
() () () () ( )
() () ( ) gmtF yk y ykyc y ycymgmtF yyk yyk yyc yycymgmtF y yk y yk y yc y ycymgmtF yykyk yycycym
n n n n n n n n n n n n nns s s s s s s s s s s s s s ss
+=+−++−++=−+−+−+−++=−+−+−+−++=−++−++
+ − + −+ + − + + −
1 1 1 11 1 1 1 1 12 2 3 2 3 1 2 2 3 2 3 1 2 2 221 1 2 1 2 11 2 1 2 11 11
 ………………………………………………………………………………………… #

(2.39)
unde pozi țiile celor n mase ale sistemului aflate în mi șcare de transla ție pe vertical ă sunt
măsurate din pozi ția corespunz ătoare arcurilor nedeformate.
Este u șor de observat c ă ecuațiile (2.39) se pot scrie:
() () gmtF ykycymj jn
sssj ssj ssj +=++∑
=1 , n j ,,2,1…= (2.40)
sau sub form ă matriceal ă:
[]{}[]{}[]{}(){}{}mg tF yk yc ym +=++ (2.41)
unde
s sj sj m mδ= , sjδ este simbolul Kronecker
0=sjc ; 0=sjk , n s s j ,,2,2,,2,1 … …+−=
(2.42)
1+−=s sj c c ; 1+−=s sj k k , 1+=sj
1++=s s sj cc c ; 1++=s s sj kk k , sj=

70 s sj c c−= ; s sj k k−= , 1−=sj

Dac ă se aleg noi coordonate, care se m ăsoară din pozi ția de echilibru static,
deformațiile statice se ob țin din ecua țiile (2.40) în lipsa for țelor perturbatoare și-n condiții
de repaus, adic ă:
gm ykj sn
ssj=∑
=0
1, n j ,,2,1…= (2.43)
în care 0
sy reprezint ă deplasarea masei ms până în poziția sa la echilibrul static al
sistemului. F ăcând schimb ările de variabil ă:
0
s s s yx y+= , n s ,,2,1…= (2.44)
ecuațiile (2.40), ținând cont și de (2.43), devin:
() ()tF xkxcxmjn
sssj ssj ssj =++∑
=1 , n j ,,2,1…= (2.45)
adică forțele care determin ă poziția de echilibru static nu intervin în ecua țiile diferen țiale
ale mișcării dacă coordonatele generalizate au originea în aceast ă poziție.
Un alt sistem mecanic, care conduce la ecua ții diferențiale liniare, îl constituie un
arbore cu n mase la care intereseaz ă vibrațiile de răsucire (fig. 2.2.). Acest sistem
mecanic se nume ște model de rota ție.

Fig. 2.2.
Notând cu
nθθθ ,,,2 1… unghiurile de rota ție ale celor n volanți, cu nJ JJ ,,,2 1…
momentele de iner ție ale acestora și cu ()()()tM tMtMn,, ,2 1 … momentele cuplurilor
perturbatoare, scriind ecua țiile de echilibru dinamic pentru fiecare volant, se ob ține
sistemul de ecua ții diferențiale:

() ()
() () ( )
() () ( )
() ( ) tM k k JtM k k JtM k k JtM k k J
n n n n n n nns s s s s s s ss
=+−+=−+−+=−+−+=−++
+ −+ + −
θθθθθθ θθθθθθθθθθθθ
1 11 1 12 3 2 3 1 2 2 221 2 1 2 11 11
………………………………………………………………………………………………
(2.46)

sau sub form ă matriceal ă:

71 []{}[]{}( ){}tM k m =+θθ (2.47)
unde
{}
⎪⎪
⎭⎪⎪
⎬⎫
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
=
321
θθθ
θ#, []
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
=nJJJ
m
"………………………………""
000 00 0
21

[]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
+−+−−+
=+13 3 2 22 2 1
0 0 0 00000 0
n nk kk k k kk kk
k
"……………………………………………………………………""
(2.48)

În cazul în care elementele elastice de leg ătură din fig. 2.3. sunt bare deformabile
la încovoiere în acela și plan meridian, pentru aceste sisteme devine ra țională utilizarea
metodei coeficien ților de influen ță. Aplicând principiul suprapunerii efectelor,
deplasărilor ny yy ,,,2 1… ale celor n mase vor fi date de for țele de iner ție:
11 1 ym y−= , nn n ym y ym y  "−= −=22 2
și de forțele perturbatoare, astfel:

n nn n n n nn n n nnn nnnn nn
F F F Y Y Y yF F F Y Y Y yF F F Y Y Y y
δ δδδ δδδ δδδ δδδ δδδ δδ
+++++++=+++++++=+++++++=
… …………………………………………………………………… …… …
22 11 22 112 2 22 1 21 2 222 121 21 2 12 1 11 1 212 111 1
(2.49)

Fig. 2.3.
Înlocuind for țele de iner ție în (2.49) acestea se pot scrie sub form ă matriceal ă:

[] []{}{}[]{}F y ym δ δ =+ (2.50)

72unde[]δ reprezint ă matricea coeficien ților de influen ță, numită și matrice de flexibilitate,
[]m matricea de iner ție,{}y matricea coloan ă a deplasărilor, iar {}F matricea coloan ă a
forțelor perturbatoare. Coeficien ții de influen ță ijδ reprezint ă deplasarea grinzii în
secțiunea i sub acțiunea unei for țe unitate ce ac ționează în secțiunea j.
Înmul țind la stânga cu []1−δ, ecuația (2.50) devine:
[]{}[]{} (){}tF y ym =+−1δ (2.51)
adică este identic ă cu (2.37) sau cu (2.41) în lipsa amortiz ărilor și a greutăților. Rezult ă:
[][]1−=δ k (2.52)
și că sistemul mecanic din fig. 2.3. se poate reduce la un model de transla ție.

2.4. Vibra ții libere neamortizate

2.4.1. Pulsa ții proprii, vectori proprii. Determinarea legilor de mi șcare

În absen ța forțelor perturbatoare și a disipării de energie în sistem, ecua ția (2.37)
se poate scrie:
[]{}[]{} 0=+ qk qm (2.53)
care reprezint ă un sistem de n ecuații diferențiale omogene de forma:
() 0
1=+∑
=n
jjij jij qk qm , n i ,,2,1…= (2.54)
Intereseaz ă în mod deosebit acea solu ție a sistemului (2.54), în care toate
coordonatele sistemului s ă execute mi șcări având aceia și dependen ță de timp. Matematic,
acestea se exprim ă prin relațiile:
() () tfatqj j= , n j ,,2,1…= (2.55)
în care ja sunt constante, iar ()tf este aceea și pentru toate coordonatele.
Înlocuind ecua țiile (2.55) în (2.54) aceasta se poate scrie:
()
()λ−= −=
∑∑
==
jn
jijjn
jij
amak
tftf
11
, n i ,,2,1…= (2.56)
unde λ este o constant ă reală și pozitivă. Ecuațiile (2.56) devin:
() () 0=+ tf tfλ (2.57)
() 0
1=−∑
=n
jj ij ij am k , n i ,,2,1…= (2.58)
Soluția ecuației (2.57) este:
()stAetf= (2.59)
unde s trebuie să satisfacă ecuația:

73 02=+λs (2.60)
Punând 2p=λ , unde p este o constant ă reală soluția ecuației (2.57) se scrie:
()ipt ipteA eAtf−+=2 1 (2.61)
unde A1 și A2 sunt numere complex conjugate, deoarece func ția()tf este real ă, ea se
poate scrie:
() ( ) ϕ+ = pt Ctf cos (2.62)
în care C este o constant ă, p este pulsa ția unei mi șcări amornice, ϕ este unghiul de faz ă
inițială. Ecuațiile (2.58) reprezint ă un sistem liniar și omogen în necunoscutele ja, având
parametru 2p=λ .
Sistemul liniar omogen (2.58) se poate scrie:
[]{}[]{}amp ak2= (2.63)
Determinarea valorilor λ=2p și a constantelor ja ( )n j ,…,2,1= , pentru ca
sistemul (2.62) s ă aibă soluția nebanal ă reprezint ă o problem ă de valori proprii și vectori
proprii. Pentru existen ța soluției nebanale trebuie ca:
()[] [] 02 2=−=Δ mpk p (2.64)
Din aceast ă ecuație se determin ă pulsațiile naturale, motiv pentru care se nume ște
ecuația pulsațiilor sau ecua ția caracteristic ă. În general, ele se aranjeaz ă în ordine
crescătoate: nP PP<<…2 1 . Cea mai mic ă pulsație se nume ște pulsație fundamental ă.
Pentru fiecare pulsa ție rP ( )n r ,…,2,1= corespunde un vector {}ra care este
soluția ecuației:
[]{}[]{}r r r amp ak2= (2.65)
Vectorii {}ra () n r ,…,2,1= se numesc vectori proprii sau caracteristici.
Deoarece sistemul (2.65) este omogen, dac ă {}raeste soluție, atunci și {}r raα
este soluție, unde rα este o constant ă arbitrară. Deci, se poate spune c ă vectorul propriu
este determinat pân ă la o constant ă, din acest motiv se introduc rapoartele:

rjr
jraa
1=μ (2.66)
Noul sistem algebric:
[]{}[]{}r r r mp k μ μ2= (2.67)

conține numai n-1 necunoscute, fiind compatibil și determinat, deoarece determinantul
sistemului format cu n-1 ecuații liniar independente este nenul.
Vectorii:
{} { }nr r rT
r μμμμ ,,,2 1…= , n r ,,2,1…= (2.68)

determină forma modurilor proprii. Mi șcarea dup ă modul propriu r este dată de funcțiile:

74 { } () () { }rr r r
nrrr
r r r
nrrr
r tp C tp
aaa
C q ζμϕ
μμμ
ϕ =+
⎪⎪
⎭⎪⎪
⎬⎫
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
=+
⎪⎪
⎭⎪⎪
⎬⎫
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
= cos cos21
21
# # (2.69)
unde ()r r r r tp C ϕ ζ + = cos .

Procedeul de aranjare a elementelor vectorilor proprii se nume ște normalizare. Un
procedeu frecvent de normalizare este a lua un element egal cu unitatea, de exemplu
11=rμ . Cel mai folosit procedeu este dat de rela ția:
{}[]{} 1=rT
rmμμ , n r ,,2,1…= (2.70)

Având în vedere ecua țiile (2.55) și (2.62), solu ția ecuației (2.53) va fi o
suprapunere a celor n moduri de vibra ție, adică va fi de forma:
(){} ( ){} { } ( )r r rn
rrn
rr tp C tq tq ϕ μ + = =∑∑
= =cos
1 1 (2.71)
unde rC și rϕ sunt constante de integrare și se determin ă din condi țiile inițiale (){}0q și
(){}0q .

2.4.2. Ortogonalitatea modurilor proprii (vectorilor proprii)

Modurile proprii se bucur ă de o proprietate foarte util ă numită ortogonalitate. Nu
este o ortogonalitate în sensul obi șnuit, ci ea este în ra port cu matricea de iner ție []m sau
în raport cu matricea de rigiditate []k.
Fie{}rμ și {}sμvectorii proprii corespunz ători pulsa țiilor proprii rp, respectivsp
()s rp p≠ . Ei sunt solu țiile ecuațiilor:
[]{}[]{}r r r mp k μ μ2= (2.72)
[]{}[]{}s s s mp k μ μ2= (2.73)
Înmulțind la stânga ecua ția (2.72) cu {}T
sμ, iar ecuația (2.73) cu {}T
rμ, se obține:
{}[]{} {} []{}rT
s r rT
s m p k μμμμ2=
(2.74)
{}[]{} {} []{}sT
r s sT
r m p k μμμμ2=
(2.75)
Transpunând ecua ția (2.75) dup ă regula cunoscut ă de transpunere a unui produs
de matrice [][]() [][]T T TAB BA=⋅ și presupunând matricele []m și []k simetrice, se
obține:
{}[]{} {} []{}rT
s s rT
s m p k μμμμ2= (2.76)

75
Din ecua țiile (2.74) și (2.76) prin sc ădere se ob ține:
(){}[]{} 02 2= −rT
s s r m p p μμ (2.77)
Deoareces rp p≠ , rezultă condiția:
{}[]{} 0=rT
smμμ , sr≠ (2.78)
care reprezint ă ortogonalitatea vectorilor modali în raport cu matricea de iner ție.
Înlocuind rela ția (2.78) în ecua ția (2.74) se ob ține condi ția de ortogonalitate a vectorilor
modali în raport cu matricea de rigiditate []k.
{}[]{} 0=rT
skμμ , sr≠ (2.79)
Dacăs rp p= , cei doi vectori corespund acelea și pulsații, și nu sunt ortogonali. În acest
caz relația (2.78) este egal ă cu o constant ă, alta decât zero.
{}[]{}r rT
r M m=μμ (2.80)
și se va numi masa modal ă. Analog, rela ția (2.79) va da o constant ă nenulă numită
rigiditate modal ă, care, pe baza rela ției (2.74) pentru rs=, devine:
{}[]{}r r r rT
r K Mp k ==2μμ (2.81)

În cazul în care vectorii modali se normalizeaz ă și se numesc ortonormali și-n
cazul normaliz ării după relația (2.70) se ob ține:
1=rM , 2
r rp K= (2.82)
Setul de vectori {}rμ () n r ,…,2,1= sunt liniari independen ți. Presupunând c ă
sunt liniar dependen ți se poate scrie:
{} {} {} {} 0
12 2 1 1 = =+++ ∑
=rn
rr n n μαμαμαμα …
(2.83)
unde rα () n r ,…,2,1= sunt constante nenule.
Înmul țind la stânga rela ția (2.83) cu {}[]mT
sμ se obține:
{}[]{} 0
1= ∑
=rn
rT
s r mμμα (2.84)
To ți termenii acestei sume {}[]{}rT
s r mμμα sunt nuli pentru rs≠ și diferiți de zero
pentru rs=. Deci, rela ția (2.84) poate fi satisf ăcută numai dac ă 0=sα . Repetând
operația pentru n s ,,2,1…= se ajunge la concluzia c ă relația (2.84) poate fi satisf ăcută
numai dac ă toți coeficien ții rα sunt nuli. Deoarece vectorii {}rμ nu pot satisface rela ția
(2.83), se poate scrie:
{} {} {} {} 02 2 1 1 ≠+++=n nμαμαμαμ … (2.85)

adică totalitatea combina țiilor liniare ob ținute din (2.85) constituie un spa țiu vectorial
{}μ, iar vectorii {}rμ () n r ,…,2,1= constituie baza acestui spa țiu. Orice vector al

76spațiului {}μ poate fi scris într-o combina ție liniară (2.85). Din punct de vedere fizic,
aceasta înseamn ă că orice mi șcare a unui sistem vibrant liber și neamortizat poate fi
descrisă printr-o combina ție liniară de vectori modali. Coeficien ții rα reprezint ă
contribuția fiecărui mod la mi șcarea rezultant ă.

2.4.3. Coordonate normale. R ăspunsul sistemului la excita ție inițială

Revenind la ecua țiile diferen țiale ale unui sistem liber neamortizat (2.53) și
încercând a-l rezolva pentru a da solu ția (răspunsul sistemului) sub forma (2.69) se
întâmpină dificultăți datorită cuplării ecuațiilor diferen țiale. Aceasta înseamn ă, termeni
nenuli în matricea de iner ție[]m și în matricea de rigiditate []k, alții decât cei de pe
diagonala principal ă. Există două tipuri de cuplaje: static și dinamic. În primul caz,
matricea[]k nu este diagonal ă, iar în al doilea caz, matricea []m. Procedeul prin care, fiind
dat un sistem cuplat de ecua ții, se obține un sistem necuplat, este cunoscut sub numele de
analiză modală. La baza acestei analize st ă transformarea de coordonate.
Notând cu []μ matricea modal ă, având drept coloane chiar vectorii modali, iar
prin{}ξ matricea coloan ă a noilor coordonate ale sistemului, transformarea de coordonate
va fi:
{}[]{}ξμ=q (2.86)
unde
[]{} {} {}[]nμμμμ …2 1= (2.87)
Înlocuind transformarea de coordonate (2.86) în ecua ția (2.53) se ob ține:
[] []{}[] []{}{}0= +ξμξμ k m (2.88)
Înmulțind ecuația (2.88) la stânga cu matricea []Tμ, se obține:
[][][ ]{}[][][]{}{}0= + ξμμξμμ k mT T (2.89)

unde, pe baza rela țiilor de ortogonalitate (2.78), (2.79) și relațiilor (2.80) și (2.81) se
observă că matricea:
[][ ] [ ] [ ] ( )nTM MM diag m M …2 1= =μμ (2.90)
[][][] [] ( )nTK KK diag k K …21= =μμ (2.91)
sunt matrice diagonale numite și matrice modale de iner ție, respectiv de rigiditate și ale
căror elemente de pe diagonal ă sunt de forma:
{}[]{}r rT
r M m=μμ , respectiv {}[]{}r rT
r K k=μμ .

După cum se constat ă ecuația matriceal ă:
[]{}[]{} {} 0=+ξξ K M (2.92)
decupleză ecuațiile diferen țiale în raport cu coordonatele rξ ( )n r ,…,2,1= , adică sunt de
forma:
0=+rr rr K Mξξ, n r ,,2,1…= (2.93)

77
Prin analogie cu sistemul cu un grad de libertate solu ția ecuației (2.93) este:
()r r r r tp C ϕ ξ + = cos , n r ,,2,1…= (2.94)
unde rC și rϕ sunt constante de integrare, iar
rr
rMKp=2.
Revenind la ecua ția de transformare (2.86) se ob ține:
(){}[]{} {} {} ( )r r rn
rrn
rr r tp C tq ϕ μ μξξμ + = == ∑∑
= =cos
1 1 (2.95)
adică vibrațiile libere ale unui sistem neamortizat cu mai multe grade de libertate sunt o
suprapunere de n mișcări armonice, având pulsa țiile egale cu pulsa țiile naturale ale
sistemului, iar amplitudinile și defazajele depind de condi țiile inițiale.
Dac ă condițiile inițiale sunt: (){}{}0 0 q q= și (){}{}0 0 q q= , atunci din (2.93) se
obțin:
{} { }r rn
rrC q ϕμcos
10∑
==
(2.96)
{} { }r rn
rrrpC q ϕμsin
10∑
=−=
(2.97)
Înmul țind ecuațiile (2.96) și (2.97) prin {}[]mT
sμ și ținând cont de rela țiile de
ortogonalitate, se pot scrie:
{}[]{}oT
r
rr r qmMC μϕ1cos=
(2.98)
{}[]{}oT
r
rrr r qmpMC μ ϕ1sin−= (2.99)

Înlocuind ecua țiile (2.98) și (2.99) în (2.95) se ob ține soluția:
(){} {}[]{} { } {}[]{} { } ∑
=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+ =n
rr rT
r
rrr rT
r
rtp qmpMtp qmMtq
10 0 sin1cos1μ μ μ μ  (2.100)

Presupunând c ă sistemului i se d ă o deplasare ini țială după forma modului propriu
{}sμ și se lasă liber atunci condi țiile inițiale sunt {}{}s qμα0 0= și {}{ }00=q . În acest
caz răspunsul sistemului este:
(){} { } []{}{} {} tp tpMm tqs s r
rr sT
rn
rcos cos1
0
10 μα μμμα = =∑
= (2.101)

78ceea ce reprezint ă o mișcare armonic ă cu pulsa țiasp și având configura ția modului
propriu {}sμ, adică fiecare mod poate fi excitat independent unul de altul.
Trebuie subliniat c ă pulsațiile proprii caracterizeaz ă mișcarea de ansamblu a
sistemului mecanic, a șa încât ele nu pot fi identificate niciodat ă cu pulsațiile de oscila ție
ale unor puncte apar ținând sistemului.

2.4.4. Sisteme cu moduri de corp rigid
În sistemele studiate pân ă acum s-a considerat energia poten țială, iar de aici și
matricea
[]k, ca fiind pozitiv definite. Dac ă energia cinetic ă și, deci, matricea []m, sunt
pozitiv definite din defini ția însăși a energiei cinetice, energia poten țială poate să fie nulă
chiar dacă nu toate coordonatele sistemului sunt nule. Din punct de vedere fizic aceasta
înseamnă că există moduri proprii în care nici un element elastic nu este deformat.
Acestea sunt moduri proprii de corp rigid. În acest caz, energia poten țială și[]k sunt
numai pozitiv semidefinite și rezultă:

[]{} 0=r kμ , l r ,,2,1…= (2.102)
unde l reprezintă numărul modurilor de corp rigid.
Revenind la problema de valori proprii și vectori proprii (2.67) deoarece []{}r mμ
nu este zero, urmeaz ă că vectorii care satisfac ecua ția (2.67) corespund unei pulsa ții
proprii 02=rp .
În baza ecua ției (2.85), de superpozi ție a modurilor, se poate scrie transformarea
de coordonate:
(){}[]{}[][][]{}
{}[]{}[]{}E E R R
ER
E R tq ξμξμξξμμξμ + =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧== # (2.103)
unde []Rμ și []Eμ sunt matricele modale corespunz ătoare modurilor de corp rigid,
respectiv modurilor de corp elastic. Înlocuind aceast ă transformare în ecua ția mișcării
(2.53) se ob ține:
[] [][][]{}
{}[] [][][]{}
{}{}
{}⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧00
ER
E R
ER
E R k mξξμμ
ξξμμ #
# (2.104)
sau
[] []{}[] []{}{}0= +R R R R k m ξμξμ (2.105)
[] []{}[] []{}{}0= +E E E E k m ξμξμ (2.106)

Ecua țiile (2.105) și (2.106) se înmul țesc la stânga cu []T
Rμ, respectiv []T
Eμ în care,
ținând cont de ortogonalitatea modurilor proprii, cât și de relațiile (2.102), se ob ține:

[]{}{}0=R RMξ (2.107)
[]{}[]{} {} 0= +E E E E K M ξ ξ (2.108)

79
Relațiile (2.107) arat ă că mișcările de corp rigid pentru vibra țiile libere neamortizate,
rezultă din teorema de conservare a impulsului și a momentului cinetic.

2.5. Vibra ții libere cu amortizare vâscoas ă

2.5.1. Determinarea legilor de mi șcare

Vibra țiile libere cu amortizare vâscoas ă au ecuația general ă de forma:
[]{}[]{}[]{}{}0=++ qk qc qm  (2.109)
În acest caz, solu ția ecuației se va lua de forma:
(){} { }tea tqλ= (2.110)
undeλ este un parametru, iar {}a este o matrice coloan ă constantă.
Înlocuind solu ția (2.110) în ecua ția (2.109) se ob ține un sistem algebric omogen.
Deoarece{}a nu poate fi nul ă ({}{}0=a corespunde echilibrului), sistemul de ecua ții
algebrice:
[] [ ][]( ){}{}02=++ akc mλλ (2.111)
va avea solu ție nebanal ă dacă:
[] [ ][] 02=++ kc mλλ (2.112)
ceea ce reprezint ă ecuația caracteristic ă care este o ecua ție polinomial ă de gradul 2n.
Soluțiilen r 2 2 1 ,,,,, λλλλ …… vor fi și în acest caz valorile proprii, iar matricele coloan ă
{}racorespunz ătoare vor fi vectorii proprii ( )n r 2,,2,1…= .
Deoarece sistemul (2.111) este determinat pân ă la o constant ă, se vor introduce
rapoartele:

rjr
jraa
1=μ n j ,,2,1…= (2.113)
n r 2,,2,1…=
Fiecărei valori proprii rλ îi va corespunde vectorul propriu {}( )n rr 2,,2,1…=μ .
Cu matricea coloan ă {}rμ se întocme ște matricea dreptunghiular ă []μ cu
dimensiunile n n2× :
[]{} {} {}[]n2 2 1μμμμ … = (2.114)
Se noteaz ă cu t
r rreAλξ= , underA sunt constante de integrare, n r 2,,2,1…= .
Solu ția general ă a vibrațiilor libere va fi:
(){}[]{}ξμ=tq (2.115)
Această metodă este dificil de aplicat în studiu l sistemelor cu mai multe grade de
libertate, deoarece, în general, rA, Cr∈λ , []n nC C2×∈μ .

80
2.5.2. Vibra ții libere cu amortizare propor țională

Determinarea r ăspunsului unui sistem amortizat este dificil ă și datorită faptului c ă
numai în pu ține cazuri se poate face decuplarea ecua țiilor diferen țiale folosind analiza
modală clasică.
Sistemele disipative cele mai des întâlnite ca modele sunt cele cu amortizare vâscoasă proporțională. Ecuațiile diferen țiale se decupleaz ă dacă:

[] [ ][] [] [ ] []c mk k mc1 1 − −= (2.116.a)
sau
[] [][ ] [ ] [] []c km m kc1 1 − −= (2.116.b)

Un model frecvent întâlnit în aplica ții ca tip de amortizare este amortizarea
Rayleigh, pentru care:
[] [ ] [] k m c βα+= (2.117)
și care verific ă condițiile (2.116.a) și (2.116.b).
Modalitatea de transformare a unui sistem de ecua ții diferen țiale în sisteme
necuplate, fiecare având un singur grad de libertate, urm ărește etapele ce urmeaz ă.
În primul rând, se rezolv ă problema de valori proprii și vectori proprii pentru
sistemul neamortizat asociat:
[]{}[]{} {} 0=+ qk qm (2.118)
Se construie ște matricea modal ă:
[]{} {} {}[]nμμμμ …2 1= (2.119)
apoi se aplic ă transformarea de coordonate:
(){}[]{}ξμ=tq (2.120)
și se înlocuie ște în ecua ția (2.109).
Prin înmul țire la stânga cu []Tμse obține:
[][] []{}[][] []{}[][][]{}{}0= + + ξμμξμμξμμ k c mT T T   (2.121)

Datorită condițiilor de ortogonalitate se ob țin matricele modale:
[][ ][][ ]()nTM MM diag m M …2 1= =μμ (2.122)
[] [][][ ] [ ][][][][]()nT TC CC diag K M k m C …21=+= + = βαμμβμμα
(2.123)
[][][] [] ()nTK KK diag k K …21= =μμ (2.124)
astfel că ecuațiile:
[]{}[]{}[]{}{}0=++ ξξξ K C M  (2.125)
reprezintă un set de sisteme necuplate cu un singur grad de libertate a c ăror ecuații sunt
de forma:
0=++rr rr rr K C M ξξξ, n r ,,2,1…= (2.126)

81Soluția acestei ecua ții în condi țiile inițiale date: (){}{}0 0 q q= și (){}{}0 0 q q= , dacă
1<rξ , este:
()( )()
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−
−+−−
−=−t p
pt p er r
r rr
r r r
rr tp
rrr 2
22
21 sin
101 cos
10ς
ςξϕς
ςξξς
(2.127)
unde

rr
rMKp=2, {}[]{}rT
r
rr rrr
r cpM pMCμμ ς21
2== ,

21rr
rtg
ςςϕ
−= (2.128)
Condi țiile inițiale ()0rξ și ()0rξ se obțin în baza rela ției de transformare (2.120),
relație ce dă apoi răspunsul sistemului în condi ții inițiale date.
(){}[]{}010 qmMT
r
rr μ ξ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛= (2.129)
(){}[]{}010 qmMT
r
rr   μ ξ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛= (2.130)
iar soluția:
(){}[]{} {}rn
rr tq ξμξμ∑
===
1 (2.131)

2.6. Vibra ții forțate neamortizate

2.6.1. Vibra ții forțate neamortizate cu for țe perturbatoare oarecare

Analiza modal ă folosită în studiul vibra țiilor libere și neamortizate poate fi
folosită și în obținerea răspunsului unui sistem neamortizat supus unor excita ții exterioare
oarecare. În acest caz ecua țiile diferen țiale ale mi șcării sunt de forma:
[]{}[]{}(){}tQ qk qm =+ (2.132)
Ecuațiile (2.132) reprezint ă un set de n ecuații diferențiale de ordinul doi cu coeficien ți
constanți. Ecuațiile fiind liniare se poate aplica transformarea Laplace . Obținerea
practică a soluției pentru aceast ă metodă este foarte laborioas ă. O metod ă mai eficient ă
din punct de vedere al calculului este folosirea analizei modale care d ă posibilitatea
transform ării ecuațiilor (2.132), în general cuplate, într-un set de n ecuații diferen țiale
independente.
Pentru ob ținerea solu ției trebuie în primul rând, s ă fie rezolvat ă problema
valorilor proprii și a vectorilor proprii.

82 Solu ția ecuației (2.132) va fi suma dintre solu ția ecuației omogene și a soluției
particular ă, dată de forțele perturbatoare:
{} {} {}pq q q+=0 (2.133)
Considerând acum transformarea de coordonate:
{}[]{}ξμ=q (2.134)
și înlocuind-o în ecua ția (2.132), care se înmul țește apoi la stânga cu []Tμ, se obține
ecuația:
[]{}[]{}(){}tP K M =+ξξ (2.135)
unde[]Mși[]K sunt matricele modale de iner ție, respectiv de rigiditate, iar vectorul:
(){}[](){}tQ tPTμ= (2.136)
sunt forțele generalizate modale.
Ecua ția (2.135) este echivalent ă cu setul de ecua ții decuplate:
()tP K Mr rr rr =+ξξ, n r ,,2,1…= (2.137)
unde
{}[]{}rT
r r m M μμ=
{}[]{}rT
r r k K μμ=
() {} (){}tQ tPT
r rμ=
(2.138)

Răspunsul total corespunz ător modului r va fi o suprapunere a r ăspunsului modal
dat de condi țiile inițiale și un răspuns modal dat de ()tPr.
Integrala lui Duhamel poate fi folosit ă pentru a reprezenta r ăspunsul total. Astfel:
() ()()() ( ) σσξξξ d tp tPpMtpptp trt
r
rrr
rr
r r r − + + = ∫sin1sin0cos0
0

(2.139)
unde()0rξ și()0rξ sunt condi țiile inițiale pentru coordonatele normale (2.129) și (2.130).
Revenind la coordonatele generalizate se ob ține soluția:
(){}[]{} {} () t tqrn
rrξμξμ∑
===
1 (2.140)

2.6.2. Vibra ții forțate neamortizate cu for țe perturbatoare armonice de aceia și
pulsație

Se consider ă un sistem mecanic vibrant supus unei excita ții armonice, dat ă de un
sistem de for țe de aceia și pulsație:
(){} { } t Q tQ ωcos0= (2.141)
Ecuațiile diferen țiale de mi șcare (2.132) devin:

83 []{}[]{} { } t Q qk qm ωcos0=+
(2.142)
Solu ția acestei ecua ții matriceale va fi format ă din soluția ecuației omogene, care
este la fel ca și-n cazul precedent și o soluție particular ă, care va constitui vibra ția forțată.
Făcând transformarea de coordonate (2.134) și înmulțind ecuația (2.142) la stânga
cu []Tμ, se obține ecuația:
[]{}[]{} { } t P K M ω ξξ cos0=+ (2.143)
unde[]Mși[]K sunt cunoscutele matrice modale, iar:
{}[]{}0 0 Q PTμ= sau {}{}0Q PT
r roμ= (2.144)

Ca și-n cazul vibra țiilor sistemelor cu un grad de libertate, intereseaz ă vibrația forțată:
{} { } t X qp ωcos0= (2.145)
sau în coordonatele normale:
{} {} tp ωξξ cos0= (2.146)
Matricea coloan ă a amplitudinilor satisface ecua ția:
[][]( ){}{}0 02P K M =+− ξ ω (2.147)
de unde
{}() {}[]{}0 0 012
0 P P M K α ωξ = −=− (2.148)
unde matricea []0α este o matrice diagonal ă și se nume ște matrice de receptan ță. În
coordonatele normale ea are elementele diagonalei de forma:
()2 21
ωα−=
r rropM, n r ,,2,1…= (2.149)
Amplitudinile vibra țiilor forțate în coordonatele normale sunt:
()2 22
2 22
2 2ωξω ωξ−=−=−=
rr
r
rr
rro
r rro
ropp
pp
KP
pMP
st (2.150)
Trecând la coordonatele mi șcării se obțin amplitudinile:
{}[]{}0 0ξμ=X (2.151)

Dac ă pulsația forțelor perturbatoare coincide cu una din pulsa țiile proprii ale
sistemului, amplitudinea coordonatei normale devine infinit ă și odată cu ea toate
amplitudinile deplas ărilor jq care o con țin, conform (2.151). Se spune c ă sistemul intr ă
în rezonan ță. Dacă forțele generalizate (){}tQ sunt astfel alese încât s ă excite o singur ă
coordonat ă normală roξ, se obține un mod principal de excita ție, în acest caz toate
celelalte coordonate normale sunt nule.
Din (2.151) rezult ă:
{} { }r ro Xμξ=0 (2.152)
Pentru a ob ține amplitudinile for țelor ce excit ă modul r se înlocuie ște (2.153) în (2.146)
și aceasta în (2.142), ob ținându-se:

84 [][ ](){}{}02Q m kr ro = −μωξ (2.153)
sau
[] []() {}{}02 1Q m k
rorξμω = − (2.154)
Deoarece{}rμ este un vector propriu, se poate scrie:
[] [](){}{}02= −r rmpk μ (2.155)
Scăzând (2.154) și (2.155) se ob ține:
{}()[]{} []{}r r r r r ro mp m p Q
stμξμωξ2 2 2
0 = −= (2.156)

Excitarea unui mod propriu de vibra ție poate fi f ăcută c u u n s i s t e m d e f o r țe
proporționale cu for țele de iner ție dezvoltate în mi șcarea liber ă după modul respectiv, cu
condiția ca pulsa ția forțelor perturbatoare s ă nu coincid ă cu pulsa ția proprie a modului
excitat.

2.7. Vibra ții forțate amortizate

2.7.1. Vibra ții forțate amortizate cu for țe perturbatoare oarecare

Ecua țiile diferen țiale ale mi șcării unui sistem cu n grade de libertate și asupra
căruia acționează un sistem de for țe perturbatoare se poate scrie:
[]{}[]{}[]{}(){}tQ qk qc qm =++ (2.157)
Folosind transformarea de coordonate (2.86) și înmulțind la stânga ecua ția (2.158)
cu[]Tμ, ecuația de mai sus se reduce la:
[]{}[]{}[]{}(){}tP K C M =++ ξξξ (2.158)
unde
[] [][] [] μμc CT= (2.159)
care, în general, nu este diagonal ă. În continuare se va considera numai cazul amortiz ării
vâscoase propor ționale când:
{}[]{} 0=sT
rcμμ , sr≠ (2.160)
{}[]{}r sT
r C c=μμ , sr= (2.161)
În acest caz, ecua ția matriceal ă (2.159) se decuplaz ă într-un set de n ecuații
diferențiale care pot fi scrise sub forma:
()tP K C Mr rr rr rr =++ ξξξ
(2.162)
sau
()tPMp pr
rrr rrr r122=++ ξξςξ   (2.163)

85underς este factorul modal definit prin:
{}[]{}rT
r
rr rrr
r cpM pMCμμ ς21
2== (2.164)
Solu ția ecuației (2.163) poate fi scris ă în aceiași formă ca și la sistemele cu un
grad de libertate, adic ă:
() ()[] () ()
() ()() () tp t p t p
ppd t p P tppMt
rr r r r r r
r rrrr rt
r r r rr
rrr
ς ς ξς
ςξςξττς ττς ξ
−
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
− +−
−+++−− −−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=∫
exp 1 cos0 1 sin
10 01 sin exp1
2 2
202
 (2.165)
unde
rr
rMKp= este pulsa ția proprie corespunz ătoare modului r, iar 21r rpς− ar
corespunde pseudopulsa ției în modul r. De aici, revenind la coordonatele generalizate
prin transformarea (2.134), se ob ține soluția corespunz ătoare ecua țiilor (2.157).

2.7.2. Vibra ții forțate cu amortizare vâscoas ă și forțe perturbatoare armonice de
aceiași pulsație

Se consider ă un sistem mecanic cu amortizare vâscoas ă, supus unei excita ții
armonice dat ă de un sistem de for țe de aceia și pulsație (2.141).
Ecua țiile diferen țiale de mi șcare (2.132) devin în acest caz:
[]{}[]{}[]{}{} t Q qk qc qm ωcos0=++ (2.166)
Solu ția ecestei ecua ții diferen țiale matriceale va fi format ă din solu ția ecuației
omogene și o soluție particular ă care va constitui vibra ția forțată. Deoarece vibra ția
tranzitorie, dat ă de soluția ecuației omogene se stinge în timp, intereseaz ă numai vibra ția
forțată.
Pentru determinarea solu ției particulare a ecua ției (2.166) se pot aplica mai multe
metode:
a) Metoda direct ă
Se alege solu ția de forma:
{} {} {} t Bt A q ω ω sin cos+ = (2.167)
unde necunoscutele {}Ași{}B se determin ă impunând solu ției (2.167) s ă verifice ecua ția
(2.166) și prin identificare rezult ă sistemul:
[] [] []
[][] []()
{}{}
{}⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
− −−
00
22
""
#""""#"""""# Q
BA
m k cc m k
ω ωω ω

(2.168)
O variant ă a acestei metode, avantajoas ă pentru scrierea condensat ă a ecuațiilor, o
constituie utilizarea reprezent ării prin numere complexe a m ărimilor armonice. For țele
date de (2.141) se pot scrie:

86 (){} { }()ti
e eQR tQω
0= (2.169)
iar legile de mi șcare forțată
(){} ( ){}tzR tqe= , (){}{}tiez tzω
0= (2.170)
Înlocuind în ecua țiile (2.166) m ărimile armonice prin reprezent ările lor complexe, se
obține:
[]{}[]{}[]{}{}tieQ zkzczmω
0=++ (2.171)
sau, ținând cont c ă:
{} {} { }tieZizizωωω0==
{} {} {}tieZ z zωωω02 2−=−=
(2.172)
după înlocuire în ecua ția (2.171), rezult ă:
[] [ ] [] ( ){}{}0 02Q Zkcim =++−ωω (2.173)
unde matricea coloan ă{}0Z are elemente numere complexe de forma:
ji
j j j j j eY X iY X Zψ−+=+=2 2
0, n j,1= (2.174)
Se înlocuie ște forma algebric ă a numerelor complexe
0jZîn ecuația (2.173) și, prin
suprapunerea p ărților reale și imaginare, se ob ține sistemul:
[] [] []
[][] []()
{}{}
{}⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
−− −
00
22
""
#""""#"""""# Q
YX
m k cc m k
ω ωω ω
(2.175)
Din acest sistem se ob țin:jX,jY și
jj
jXYtg−=ψ , respectiv legile de mi șcare:
()j j jti
je je j t Y X eZR ZR q ψωω− += == cos2 2
0 , n j,1= (2.176)
Această metodă are avantajul c ă nu impune nici o condi ție asupra matricei de amortizare,
însă are un mare dezavantaj când n este mare, ordinul sistemului (2.175) fiind 2n.

b) Metoda analizei modale
Aceast ă metodă impune matricei amortiz ărilor îndeplinirea condi țiilor
(2.166.a) și (2.166.b).
Presupunând rezolvat ă problema de vectori proprii și valori proprii, se face
transformarea de coordonate (2.134) pentru ecua ția (2.166), care se înmul țește la stânga
cu []Tμși se obține ecuația:
[]{}[]{}[]{}(){}tP K C M =++ ξξξ (2.177)
unde[]M,[]Cși[]K sunt matrice modale de iner ție, de amortizare, respectiv de rigiditate,
toate fiind matrice diagonale, iar for țele generalizate modale (){}tP sunt date de expresia:
(){}[]{} t Q tPTω μ cos0= (2.178)
Ecuația matriceal ă se decuplez ă într-un sistem de n ecuații independente de forma:

87 t P K C Mr rr rr rr ω ξξξ cos0=++ (2.179)
unde
{}{ }0 0 Q PT
r rμ= (2.180)
Ca și-n cazul sistemelor cu un grad de libertate, vibra ția forțată va fi:
()r
rr
rrr
r t
P PKP
ψω
ωςωξ −
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−= cos
2 12220
(2.181)
unde

2
12
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−=
rrr
PPtg
ωως
ψ (2.182)
Revenind la coordonatele generalizate prin transformarea (2.134) se ob ține:
{} {}{}{}{}()rn
r
rr
rrT
r r
rn
rr t
P PKQq ψω
ωςωμμξμ −
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−= =∑∑
= =cos
2 11 2220
1 (2.183)

2.8. Probleme

2.8.1. Pentru studiul mi șcării unei construnc ții supuse unei excita ții tectonice se
folosește modelul din fig. 2.4., unde m este masa funda ției, M este masa construc ției, prin
arcul spiral K este modelat ă comportarea elastic ă a clădirii, iar comportarea funda ției este
modelată prin arcurile2k și amortizarea 2c. Să se determine ecua țiile de mi șcare ale
sistemului.

88Fig. 2.4. Fig. 2.5.

Rezolvare:
Prin separarea corpurilor și aplicarea teoremelor impulsurilor se pot scrie
ecuațiile:
()() Hfxcfxk xm +−−−−=   (1)
(De ecuația de proiec ție pe vertical ă și de ecuația de momente nu e nevoie)
H xMc−= ( 2 )
MgV yMc−= ( 3 )
θ θθθ cos sin Ha Va K Jc ++−= (4)
la care se adaug ă ecuațiile cinematice, pentru mici oscila ții:
θθ ax ax xc +=+= sin
a a yc ==θcos
Din (2) și (3) se ob țin H și V, care se înlocuiesc în (1) și (4) obținându-se ecua ția de
mișcare în form ă matriceal ă:

⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
++21
200
0 00
QQ x
MgaKk x c x
MaJ MaMa mM
cθ θ θ 


unde kffc Q+=
1 și 02=Q .

2.8.2. Pentru studiul vibra țiilor simetrice ale unui avion acesta este modelat, fig. 2.6.,
printr-un "fuselaj" de mas ă M la care se ata șează "aripile" de mas ă m prin dou ă bare
rigide de lungime L. Comportarea elastic ă este modelat ă prin arcurile spiral ă de constant ă
k, care leag ă fuselajul de aripi. S ă se deducă ecuațiile de mi șcare, neglijând greut ățile.

Fig. 2.6.
Rezolvare:
Cele dou ă coordonate generalizate sunt: y q→1 , θ→2q .
Energia cinetic ă a sistemului este:
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⋅+=2 2
21221
m c ym yM E  
unde
θLy ym+=
deci

89 ()22
21221y Lm yM Ec   + += θ
iar energia poten țială este:
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=2
212θK Ep
Aplicând ecua țiile lui Lagrange se ob țin:
() yM LymyEc++=∂∂θ 2 ; () yM LymyE
dtdc++=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂θ 2
()θ
θLymLEc+=
∂∂2 ; ()θ
θLymLE
dtdc+=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂2
0=∂∂=∂∂
θc c E
yE
01 =∂∂−=yEQp c; θθKEQp c22 −=∂∂−=
Ecuațiile de mi șcare se scriu în form ă matriceal ă:

⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡+
00
2 00 0
2 22 22θ θy
ky
mL mLmL m M


2.8.3. Un cilindru omogen de mas ă m și rază r se poate rostogoli f ără să alunece într-un
cărucior de mas ă M (fig. 2.7.). C ăruciorul este legat printr-un arc de constant ă k1 de un
perete vertical, iar printr-un arc de constant ă k2 de centrul discului. S ă se determine
ecuațiile de mi șcare ale sistemului.

Fig. 2.7.
Rezolvare:
Se aplic ă ecuațiile lui Lagrange pentru deducerea ecua țiilor de mi șcare ale
sistemului:
2
02
22
121
21
21ωJ xm xM Ec ++= 
unde2
021mr J= este momentul de iner ție al cilindrului în raport cu centrul s ău O,
iarrx x1 2−=ω , deoarece cilindrul se rostogole ște fără să alunece, deci:

90 ()2
1 22
22
141
21
21x xm xm xM Ec   −++=
iar energia poten țială:
()2
1 2 22
1121
21x xk xk Ep −+=
Înlocuind în ecua țiile lui Lagrange se ob ține:
()1 2 1
1 21x xm xMxE
dtdc−−=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂, 0
1=∂∂
xEc, ()1 2 2 11
1xxkxkxEp−−=∂∂

()1 2 2
2 21x xm xmxE
dtdc−+=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂, 0
2=∂∂
xEc, ()1 2 2
2xxkxEp−=∂∂

În form ă matriceal ă ecuațiile de mi șcare sunt:
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
−−+
+
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
−−+
00
23
22 221
2 22 2 1
21
xx
k kk kk
xx
m mm mM


2.8.4. Două mase m1 și m2 sunt fixate pe o bar ă AB rigid ă de greutate neglijabil ă, bară
sprijinită de două arcuri k1 și k2 și un amortizor c (fig. 2.8.). Mi șcarea fiind într-un plan
vertical sub ac țiunea unei for țe() t FtF ωcos0= ce acționează în capătul A al barei, s ă se
determine ecua țiile de mi șcare. Pozi ția de echilibru static se presupune a fi în pozi ția cu
bara AB orizontal ă.

Fig. 2.8. Fig. 2.9.

Rezolvare:
Pentru a folosi ecua țiile lui Lagrange se calculeaz ă:
2
222
1121
21xm xm Ec  +=
()2
1 2 22
11 221
21x xk xk Ep − +=
2
221cx Ed=
Ecuațiile lui Lagrange pentru acest sistem sunt de forma:

91 ()tQ Q QxE
xE
dtdp d c c c
1 1 1
1 1++=∂∂−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂

()tQ Q QxE
xE
dtdp d c c c
2 2 2
2 2++=∂∂−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂

unde

jp c
jxEQ∂∂−= ,
jd d
jxEQ∂∂−= 2 ,1=j
()
11xLtQp
p
δδ= , 02=xδ
()
22xLtQp
p
δδ= , 01=xδ
Deci,
1
1xmxE
dtdc=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂, 0
1=∂∂
xEc, ()1 2 2 11
12 xxkxkxEp−−=∂∂

0
1=∂∂
xEd
, ()()()tFxxtF
xLtQp
p===
11
11δδ
δδ
22
2xmxE
dtdc=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂, 0
2=∂∂
xEc, ()1 2 2
222 xxkxEp− =∂∂

2
2xcxEd=∂∂, ()()()tFxxtF
xLtQp
p22
22
22 −=−==δδ
δδ
În formă matriceal ă ecuațiile de mi șcare sunt:
t
FF
xx
k kk kk
xx
c xx
mm
ωcos
2 4 22
00 0
00
00
21
2 22 2 1
21
21
21
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−−+
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡


Observație: În exemplele date se constat ă că ecuațiile de mi șcare sunt cuplate static
(elastic), dinamic (iner țial) sau static și dinamic.

2.8.5 Se consider ă sistemul din fig. 2.10. S ă se determine:
a) ecuațiile diferen țiale ale mi șcării;
b) pulsațiile proprii și vectorii proprii;
c) legea mișcării în condi țiile inițiale()()()0 0 02 1 1 x x x == ()ox x2 20= .

Fig. 2.10.

92
Rezolvare:
Ecua țiile de mi șcare se pot ob ține aplicând ecua țiile lui Lagrange:

1 1 1 xE
xE
xE
dtd p c c
∂∂−=∂∂−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂


2 2 2 xE
xE
xE
dtd p c c
∂∂−=∂∂−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂

unde
2
222
1121
21xm xm Ec  +=
()2
332
2 1 22
1121
21
21xk xxk xk Ep +−+=
În continuare se va considera m m m==2 1 , k k k k ===3 2 1 .
Ecuațiile de mi șcare sunt:

⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−−
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡00
22
00
21
21
xx
k kk k
xx
mm


Luând solu ția sub form ă armonică{}{}()ϕ+ = pt a x cos , se ajunge la problema de valori
proprii și vectori proprii:

⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
− −− −
00
2221
22
aa
mpk kk mpk

de unde, pentru ca sistemul omogen s ă aibă soluție nebanal ă, se obține ecuația pulsațiilor
proprii:
0
22
22
=
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
− −− −
mpk kk mpk
sau 0 3 42 2 4 2=−− k kmp pm
cu rădăcinile mkp=2
1 , mkp32
2= . Deoarece vectorii proprii sunt determina ți până la o
constantă, se introduc rapoartele
rjr
jraa
1=μ , astfel că problema vectorilor proprii devine:

⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
− −− −
00 1
22222
r rr
mpk kk mpk
μ
unde
mpkk
kmpk
rr
r 22
222
−=−=μ
adică, 121=μ , 122−=μ
Cele dou ă moduri sunt reprezentate în fig. 2.11.

93

Fig. 2.11.
Modul 1,
mkp=1 , {}
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=111μ
Modul 2, mkp3
2= , {}
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=112μ

Determinarea maselor modale și rigidităților modale se face conform (2.80) și
(2.81):
{}[]{}rT
r r m M μμ= , {}[]{}rT
r r k K μμ=
Se obține:
{} mmm
M 211
00
111 =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
=, {} kk kk k
K 211
22
111 =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−−
=
{} mmm
M 211
00
1 12 =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−= , {} kk kk k
K 611
22
1 12 =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−−
−=
Determinarea legii de mi șcare se face pe baza rela ției (2.100), cu condi țiile
inițiale{}{}T
ox x2 0 0= ,{}{}Tx 000= , adică:
(){} {}[]{} { }∑
==2
10 cos1
rr rT
r
rtp xmMtx μ μ
unde
{}[]{}{}
2 20
00
11
22
10 1 ooTx
mxmm
Mxm=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
=μ

{}[]{}{}
2 20
00
11
22
20 2 ooTx
mxmm
Mxm−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
=μ

Și, în sfârșit:
tmk xtmk x
xxo o 3cos11
2cos11
22 2
21
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
sau

94 ()⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛− = tmktmk xtxo 3cos cos22
1
()⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+ = tmktmk xtxo 3cos cos22
2
adică mișcările celor dou ă corpuri nu sunt armonice.

2.8.5. Pentru sistemul din fig. 2.12. s ă se determine:
a) ecuațiile diferen țiale ale mi șcării;
b) pulsațiile proprii și vectorii proprii.
Se va considera: k k k k k ====4 3 2 1 , m m m m ===3 2 1

Fig. 2.12.
Rezolvare:
Energia cinetic ă a sistemului este:
{}[]{}xmx xm xm xm ET
c   
21
21
21
212
332
222
11 =++= ,
iar energia poten țială:
() () {}[]{}xkx xk x xk x xk xk ET
p21
21
21
21
212
342
2 3 32
1 2 22
11 =+−+−+=
de unde se ob ține matricea de rigiditate și de inerție:
[]
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
−− −−
=
2 1 01 2 10 1 2
kk, []
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
=
1 0 00 1 00 0 1
m m
Fie,
()[] [ ][ ] mp k pL2−=

atunci : ()[] 0 det=pL este ecua ția pulsațiilor proprii.
În cazul dat:
()[]
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
− −− − −− −
=
mpk kk mpk kk mpk
pL222
2 020 2

95de unde
()[]()
() ( )2 2 4 4 22 22
2
2 4 22 0 22
2 det
k mkp pmmpkmpkk k
k
mpk kk mpk
mpk pL
+− −==
−−−
+
− −− −
−=

Rădăcinile ecua ției caracteristice sunt:
()mkp 2 22
1−= , mkp 22
2= , ()mkp 2 22
3+=
Ecuația (2.67) poate fi scris ă și astfel:
[] [](){}{ } 02= −r rmpk μ sau ()[]{}{}0=r rpLμ

Presupunând c ă coordonata x1 nu este un punct nodal, adic ă nu este un punct de deplasare
nulă, ecuația de mai sus se poate parti ționa în felul urm ător:
() ()
() (){ }⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
00 1
" "
#""""#"""""#
rb r bb r bar ab r aa
pL pLpL pL
μ

unde în{}rμs-a luat 11=rμ , iar
{}{}T
rn rb μμμμ …3 2=
Deoarece pulsa țiile proprii sunt distincte, rangul matricei ()[]rpL va fi n-1, în consecin ță:
{} ()[] (){}r ba r bb rb pL pL1−−=μ
adică
{}
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−−
+−−==+−⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−−
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
− −− −
−=−
22 2
2 2 422 2 4222
1
22
2
3 413 40 22
0 22
kk mkp
k kmp pmk kmp pmk
mpk kk mpk
k
mpk kk mpk
r
r rr rrr
rr
rbμ

Pentru cele trei pulsa ții proprii se ob ține:
{}{}T
b 1 21=μ , {}{}T
b 1 02−=μ , {}{}T
b 1 23−=μ
Deoarece 11=rμ , cei trei vectori proprii sunt:
{}{}T
b 1 2 11=μ , {}{}T
b 1 012− =μ , {}{ }T
b 1 2 13−=μ

2.8.7. Se consider ă sistemul din fig. 2.13., unde m m m m ===3 2 1 , k kk==2 1 . Să se
determine:
a) pulsa țiile proprii și vectorii proprii;

96 b) legea mi șcării în condi țiile inițiale: ()ox x1 10= , () () 00 03 2 ==x x ,
() () () 00 0 03 2 1 === x x x  .

Fig. 2.13.

Rezolvare:
Ecua ția diferen țială a mișcării este:

⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
−− −−
+
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
000
020
0 00 00 0 321
321
xxx
k kk k kk k
xxx
mmm


Ecuația pulsațiilor proprii:
[][ ]()0 det2=− mpk ,
are rădăcinile:
01=p , mkp=2 , mkp3
3=

Procedând ca și la problema precedent ă, se obțin vectorii proprii din ecua ția:

{}{}⎪⎪
⎭⎪⎪
⎬⎫
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
=
⎪⎪
⎭⎪⎪
⎬⎫
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
− −− − −− −
00 1
020
222
" "
##……………………#…………#
rbrrr
mpk kk mpk kk mpk
μ
adică:
{}
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
− −− −
−=−
021
22k
mpk kk mpk
rr
rbμ

Pentru cele trei pulsa ții se obțin vectorii:

{}{}T1111=μ , {}{}T1 012 − =μ , {}{}T12 13−=μ
Masele modale sunt date de:
{}[]{}rT
r r m M μμ= , adică: m M 31= , m M 22= , m M 63= ,

97iar soluția este:
tmk xtmk x xxo o o 3cos6cos2 31 1 1
1 + +=
tmk x xxo o 3cos3 31 1
2−=
tmk xtmk x xxo o o 3cos6cos2 31 1 1
3 + −=

În mi șcarea acestui sistem exist ă un mod de corp rigid ( p1=0). În acest mod
arcurile nu se deformeaz ă. Mișcarea sistemului este o suprapunere de moduri proprii.

2.8.8. Pentru sistemul din fig. 2.14., s ă se determine:
a) pulsa țiile proprii și vectorii proprii pentru sistemul neamortizat;
b) matricele modale []M,[]Cși[]K.
c) rapoartele modale de amortizare 1ς, 2ς.
d) r ăspunsul sistemului pentru condi țiile inițiale: ()ox x1 10= , ()ox x1 20−= ,
() () 00 02 1 ==x x .
Se vor lua urm ătoarele valori: kg m m m 12 1 === , mNk k k 9873 1 === , mNk 2172=
mNsc c c 6284,03 1 === , mNsc 0628,02= .

Fig. 2.14.
Rezolvare:
Ecua ția de mișcare este:

⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
+ −−+
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
+ −−+
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡00
00
21
3 2 22 2 1
21
3 2 22 2 1
21
21
xx
kk kk kk
xx
cc cc cc
xx
mm



de unde ecua ția pulsațiilor proprii poate fi scris ă astfel:
0
22
3 2 22 12
2 1=
−+ −− −+
mp kk kk mp kk

iar pulsațiile proprii sunt:

98 2 2
1 987−== smkp , 1
1 42,31−= s p , Hzpf 521
1==π
2 2
2 14122−=′+= smk kp , 1
2 7,37−= s p , Hzpf 622
2==π

Vectorii proprii se determin ă din ecuația:

⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−+ −− −+
00 12 22
3 2 22 12
2 1
r mp kk kk mp kk
μ,
adică
{}{}T1 11=μ , {}{}T1 12−=μ

Matricele modale de iner ție, de rigiditate și de amortizare sunt:
[][ ] [ ] [ ]
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
=
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−⋅
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⋅
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−= =2 00 2
1 11 1
1 00 1
1 11 1
μμm MT
[] [][] []
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
=
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−⋅
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−−
⋅
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−= =2842 00 1974
1 11 1
1204 217217 1204
1 11 1
μμk KT
[][][] []
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
=
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−⋅
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−−
⋅
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−= =508,1 00 2568,1
1 11 1
6912,0 0628,00628,0 6912,0
1 11 1
μμc CT
Rapoartele modale sunt:

r rr
rMpC
2=ς , 2 ,1=r
01,042,31222568,1
1 =⋅⋅=ς , 01,07,3722508,1
2 =⋅⋅=ς
Legile de mi șcare se determin ă în baza rela ției (2.127):
()()( )()
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−
−+−−
−−= t p
pt p tpr r
r rr
r r r
rr
rr r2
22
21 sin
101 cos
10exp ς
ςξϕς
ςξς ξ

unde
(){}[]{}010 qmMT
r
rr μ ξ= , ()001=ξ , ()ox1 20=ξ
(){}[]{}010 qmMT
r
rr   μ ξ= , ()001=ξ , ()002=ξ
21rr
rtg
ςςϕ
−= , 0
2 1 5,0 ,=ϕϕ
Revenind la coordonatele generalizate:

99 {}[]{} {}r
rr x ξμξμ∑
===2
1,
se obține:
( )22
2 2 1 1 1 cos22ϕςς−− =−t p exxtp
o
( )22
2 2 1 2 1 cos22ϕςς−− −=−t p ex xtp
o

2.8.9. Sistemul cu dou ă grade de libertate din fig. 2.15. este supus unei for țe armonice
t F F ωcos0 1= . Să se determine: legile mi șcării forțate ale celor dou ă mase, dac ă m m=1 ,
m m 22= , k kk==2 1 , k k 23= .

Fig. 2.15. Fig. 2.16.
Rezolvare:
Ecua ția de mișcare a sistemului este:
tF
xx
k kk k
xx
mm
ωcos0 32
2 000
21
21
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−−
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡

Frecvențele și modurile proprii sunt:

mkp=2
1 ,
mkp252
2=
Matricea modal ă este:
[]
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−=5,0 11 1
μ
Transformând ecua ția de mișcare în coordonatele principale, se ob ține:
[]{}[]{}( ){}tP K M =+ξξ
unde
[ ] [][] []
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
=
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−⋅
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⋅
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−= =mm
mm
m MT
5,1 00 3
5,0 11 1
2 00
5,0 11 1
μμ
[] [][] []
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
=
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−⋅
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−−
⋅
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−= =
kk
k kk k
k KT
41500 3
5,0 11 1
32
5,0 11 1
μμ

100 (){}[](){} tFFtFtQ tPTω ω μ cos cos05,0 11 1
00 0
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−= =
Ecuațiile de mi șcare în coordonatele principale sunt:
t
FF
kk
mm
ω
ξξ
ξξ
cos
41500 3
2300 3
00
21
21
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
+
⎪⎭⎪
⎬⎫
⎪⎩⎪
⎨⎧
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡


Aceste ecua ții diferențiale sunt decuplate, fiecare corespunde unui sistem cu un grad de
libertate (fig. 2.17.).

Fig. 2.17.

t F k m ω ξξ cos 3 30 1 1=+
t F k m ω ξξ cos415
23
0 2 2=+
Soluțiile particulare (for țate) ale acestor ecua ții sunt:
t Yoω ξ cos1 1=
t Yoω ξ cos2 2=
unde
2
10
20
1
131
33
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−=
−=
pFk
mkFYo
ω ω
2
20
20
2
1154
23
415
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−=
−=
pFk
m kFYo
ω ω
Revenind la coordonatele fizice:

⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
21
21
5,0 11 1
ξξ
xx
, se obține:

101 t
pkF
pkF
x ω
ω ωξξ cos
1154
13
2
20
2
10
2 1 1
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−+
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−=+=
t
pkF
pkF
x ω
ω ωξξ cos
1154
21
13
21
2
20
2
10
2 1 2
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−−
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−=−=

2.8.10. Se consider ă absorbitorul de vibra ții de răsucire din fig. 2.18., alc ătuit dintr-un
arbore având constanta elastic ă la răsucire k, o carcas ă având momentul de iner ție axial J1
și un volant liber în ăuntrul carcasei, având momentul de iner ție J2. Între carcas ă și volant
sunt spații foarte mici, iar carcasa se umple cu ulei. Dac ă asupra carcasei ac ționează un
moment de torsiune armonic t M Moωcos1 1= , să se determine amplitudinile vibra țiilor
celor două corpuri. Coeficientul de amortizare se presupune a fi c.

Fig. 2.18.

Rezolvare:
Ecua țiile de mi șcare sunt:
() t M k c J ω ϕϕϕϕ cos0 1 2 1 11 =+−+
() 02 1 22 =−−ϕϕϕ c J
Folosind reprezentarea prin numere complexe:
(){}ti
e eMR tMω
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=00 și
(){} ( ){}{ }()ti
e e eZR tzR tωϕ0== ,
ecuațiile devin:
()0 1 2 1 112M kZ Z Zci ZJo o o o =+−+− ω ω
() 02 1 222=−− −o o o Z Zci ZJω ω

102de unde se ob țin:
()
() ( )1
1 2
22
12
12
22
2 0
1ψ
ωωωωωωωi
o o e ZJ Jkcik J JJ icMZ−⋅=−−+−−=
() ( )2
2 2
22
12
12
20
2ψ
ωωωωωωi
o o e ZJ Jkcik J JMciZ−⋅=−−+−⋅=
respectiv
()( )22
22
12 222
14 2
22 2 4 2
2
0 1 1ωωω ωωωωϕ
J Jk c k J Jc JM Zo o−−+−+==

()( )22
22
12222
142
20
2 2
ωωω ωωωϕ
J Jk c k J JcMZo o
−−+−== ,
și ωψ
21Jctg= , 22πψ−=

2.8.11.- 2.8.30. Se consider ă sistemele vibrante din fig. 2.19.- 2.38. cu datele și condițiile
inițiale notate al ăturat. Corpurile masive se consider ă rigide și omogene, firele sunt
perfect flexibile și inextensibile, iar masa elementelor elastice și frecările se neglijeaz ă.
Pentru micile oscila ții în jurul pozi ției de schilibru static a fiec ărui sistem, fa ță de care se
măsoaro toți parametrii de pozi ție, se cer:
a) ecua țiile diferen țiale ale mi șcării;
b) pulsa țiile proprii și vectorii proprii;
c) legea mi șcării.

Fig. 2.19. Fig. 2.20.

Răspuns:
2.8.11. 2
22
1223xgGxgGEc += , ()2
1 22
1 223
212x xk kx Ep −+=

⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
−−
+
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
00
12 66 15
4 00 3
21
21
xx
k kk k
xx
gGgG


0 1 2 2 ω= =GgK p , 0 2 6 6 ω= =GgK p

103 {}T
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=2311μ , {}T
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−=2112μ
t Xxx
0 0
212 cos
231
2 ω
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
, o mișcare după primul mod propriu.

2.8.12. ()2
2 22
2 12
2
22
122
21
22
21 2
21
22
21xgG
Rx RR
gGxgG R
gGEc 
  +++ + =θθ ,
2
22
12421
21xk kR Ep + =θ , 1 1x R=θ

⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
+
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡ 00
4 00 2
21
21
xx
kk
xx
gG
gGgG
gG


0 132ω=p , 0 2ω=p
{}T
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=4111μ , {}{}T1 12−=μ
t Rxx
0
21sin11ω
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧, mi șcarea are loc dup ă cel de-al doilea mod.

Fig. 2.21. Fig. 2.22.

Răspuns:
2.8.13. ()2
2 12
22 2
1 223223θ θ    R xgGRgGxgGEc ++ += ,
2
22
1321θGR kx Ep+= , 2 2θR x=

104
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
+
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡ 00
3 00
8 33 6
21
21
xx
RGk
xx
gG
gGgG
gG


Rgp103
1= ,
Rgp10352=
{}T
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=2311μ , {}T
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−=2112μ
() tp tpRx2 10
1 cos cos2− =θ
() tp tp2 10
2 cos cos34+ =θθ

2.8.14.
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡+
+
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
00
3 00 3 9
2 33 8
21
21
2 22 2
θθ
θθ
GlGl K
lG
lGlG
lG


0 176ω=p , 0 2 6ω=p
{}{}T2 11=μ , {}{}T2 12−=μ
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛− = t t0 00
1 6 cos76cos4ω ωθθ
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+ = t t0 00
2 6 cos76cos2ω ωθθ

Fig. 2.23. Fig. 2.24.

Răspuns:
2.8.15.
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−−+
+
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
00
00
21
2 22 2 1
21
21
θθ
θθ
k kk kk
JJ


105 0 131ω=p , 0 232ω=p
{}T
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=2311μ , {}{}T3 12−=μ
32sin363sin180 0
1t t ωπωπθ − =
32sin23sin120 0
2t tωπωπθ + =

2.8.16.
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−−+
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡00
00
21
2 22 2 1
21
21
xx
k kk kk
xx
mm


0 1ω=p , 0 22ω=p
{}T
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=2311μ , {}{}T3 12−=μ
tv
xx
00
212sin31
2ω
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧

Fig. 2.25. Fig. 2.26.

Răspuns:
2.8.17. ()2
22 2
1 22
1121
21θ  l xm xm Ec + += ,
2
2 22
1121221θglm xk Ep + =

⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡+
00
00 2
0021
2 21
2
22 1
θ θx
glmk x
lmm m


Aceste coordonate sunt și coordonate normale
t xx0 0 1 6cosω=

106 t0 2 sin36ωπθ=

2.8.18. ()2
22 2
12
22
12
21621
24
21θθ θ    R RmRmEc + + = ,
24212
2
22
1θθ Rgm K Ep +=

⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
+
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
00
00
4 00 321
2 21
2
22
2
θθ
θθ
gRmk
RmRm


01=θ , 2sin360
2tωπθ=

Fig. 2.27. Fig. 2.28.

Răspuns:
2.8.19. ()2
2 12
22
12
7 14 x RgGxgG
gGREc  −++ = θ θ ,
()2
1 22
122 4 θ θ Rxk kR Ep ++= , 1 1x R=θ

⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
+
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
−−
00
4 44 12
16 22 30
21
21
xx
k kk k
xx
gG
gGgG
gG


0 1172ω=p , 0 272ω=p
{}{}T2 11−=μ , {}{}T1 12=μ
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+ −=
72cos172cos30
00
1ttRx ωω θ

107 ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+ =
72cos172cos230
00
2ttx ωω θ

2.8.20.
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
+
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
−−
00
4 00 8
89
21
22
21
2 22 2
θθ
θθ
kRkR
gGR
gGRgGR
gGR


0 11722ω=p , 0 2ω=p
{}{}T4 11−=μ , {}T
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=2112μ
t0
21cos211
36ωπ
θθ
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧

Fig. 2.29. Fig. 2.30.

Răspuns:
2.8.21.
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−−
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡00 2
00 2
21
21
xx
k kk k
xx
mm


0 122 2ω−=p , 0 222 2ω+=p
{}{}T2 11=μ , {}{}T2 12 −=μ
tpxtpx
xx
20
10
21cos
21
42cos
21
42
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧

1082.8.22.
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
+−−
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
00
00
21
2 1 11 1
21
21
xx
kk kk k
xx
mm


1
1 3,13−= s p , 1
2 1,30−= s p
{}{}T41,0 11=μ , {}{}T66,0 12−=μ

Fig. 2.31. Fig. 2.32.

Răspuns:
2.8.23. {}[]{}2
332
222
1121
21
21
21θθθθθ    J J J J ET
c ++= = ,
() ()[] {}[]{}θθ θθθθ k k k ET
p21
21 2
2 3 22
1 2 1 =−+− =
01=p , 0 2ω=p , 0 3 3ω=p
{}{}T1111=μ , {}{}T1 012 − =μ , {}{ }T5,01 5,03 −=μ

2.8.24.
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
+
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
00
98
18797
94 21
21
3 33 3
yy
yy
EIml
EImlEIml
EIml


0 154ω=p , 0 2568ω=p
{}{}T049,1 11=μ , {}{}T47,0 12−=μ

109

Fig. 2.33. Fig. 2.34.

Răspuns:
2.8.25. () 0 6 1622
12
12=−++ θθ θ kl kl Gl lgG
() 0 6 1622
12
22=++− θ θθ kl Gl kl lgG
0 1 3ω=p , 0 22ω=p
{}{}T1 11=μ , {}{}T1 12−=μ
t t0 0 1 2sin2883 sin
3 144ωπωπθ + =
t t0 0 2 2sin2883 sin
3 144ωπωπθ − =

2.8.26. () ()[] {} 02 2 1 1 22
12
11 = +−−−++ θ θ θ kbalb alk kbka J
()[]{} ()[] { } 02 22
12
1 2 1 22 = +−+++−−− θ θ θ kbal kl kbalb alk J
1
1 9,45−= s p , 1
2 1,71−= s p
{}{}T2,0 11=μ , {}{}T9,0 12−=μ
tp tp2 1
21cos9,01
345cos2,01
80 ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧π π
θθ

Fig. 2.35. Fig. 2.36.

Răspuns:
Ecua ția diferen țială sub form ă matriceal ă este:

1102.8.27.
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−−
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−−
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
00
3 22 3
00
21
21
21
xx
k kk k
xx
c cc c
xx
mm



Ecua ția caracteristic ă este:
0
3 22 3
22
=
++ −−−−++
k c m k ck c k c m
λλ λλ λλ

()( )0 5 22 2=+++ k c m km λλλ
cu r ădăcinile:
1 2,1 ipmki±=±=λ , mk
mc
mc 5
22
4,3 −±−=λ
pentru care se ob țin:
{}{}T1 11=μ , {}{}T1 12=μ , {}{}T1 13−=μ , {}{}T1 14−=μ
Dac ă km cccr 5=≥ , mișcarea fiec ărui corp va fi suprapunerea unei mi șcări
armonice cu pulsa ția p1 și a unei aperiodice amortizate, care dup ă un timp se stinge.

2.8.28. Ecuația matriceal ă este:

⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−−
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡00
00
00
21
21
21
xx
k kk k
xx
cc
xx
mm



iar ecua ția caracteristic ă se poate scrie:
()( )0 22=+++ k c mc m λλλλ
cu r ădăcinile:
01=λ , mc−=2λ , mk
mc
mc 2
2 22
4,3 −⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛±−=λ
Dac ă km cccr 8=≥ , toate rădăcinile sunt reale și negative. Mi șcarea rezultant ă
va fi aperiodic ă amortizat ă.
Dac ă km cccr 8=< , 3λși4λ, sunt complex conjugate și vectorii proprii sunt:
{}{}T1 11=μ , {}{}T1 12=μ , {}{}T1 13−=μ , {}{}T1 14−=μ

Legile de mi șcare ale celor dou ă corpuri în condi țiile inițiale date vor fi:
()ϕϕ+ −=−tp exxmct
22 0
1 sinsin, ()ϕϕ+ =−tp exxmct
22 0
2 sinsin
unde: cmtg2=ϕ și 2
222⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−=mc
mkp

111

Fig. 2.37. Fig. 2.38.

Răspuns:

2.8.29. Ecuația diferen țială a mișcării sub form ă matriceal ă este:
tF xx
k kk k
xxk
xx
mm
ω ωγcos0 2
0 00
00 2
0 21
21
21
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−−
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡ 


Trecând în complex se ob ține:

⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−−
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡0 21
21
21 0 2
0 00
00 2
F ZZ
k kk k
ZZ k
iZZ
mm
oo
oo
ooγ

Înlocuind forma algebric ă a numerelor complexe (2.175), se ob ține sistemul:

⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
⎬⎫
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
=
⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
⎬⎫
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
−−− −− −−− −
000
0 02 2 00 00 2 2
0
2121
2222
""
##"""""""#""""""""##
F
YYXX
mk kk m k kmk kk k m k
oooo
ωϖωγ ω

Din acest sistem se ob țin: oX1, oX2,oY1 și oY2.
Legile de mi șcare vor fi:
()12
12
1 1 cosψω− += t Y X xo o , ()22
212
2 2 cosψω− += t Y X xo o
unde:

oo
XYtg
11
1−=ψ ,
oo
XYtg
22
2−=ψ

112

2.8.30. Ecuația mișcării este:
tF xx
k kk k
xx
xx
mm
ωsin0
0 00 0
00
0 21
21
21
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−−
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡ 


Trecând în complex se ob ține:

⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
++−−− +−
0 21
220
F ZZ
kcim kk km
oo
ωωω

de unde:
()2 2 4 20
12 ωωωω mkci mk mkFZo−+−=
()
()2 2 422
0
22 ωωωωω
mkci mk mmkFZo−+−−=

Deoarece ()ti
meFIt Fωω0 0sin= , rezultă că:

()()1 1 1 1 sinψωω+ = = t Z eZIxoti
o m
()()2 2 2 2 sinψωω+ = = t Z eZIxoti
o m
unde
()
2 422
2 12ωωωωψψmk mck mtg tg−−==

113

3. APLICA ȚII TEHNICE ALE TEORIEI VIBRA ȚIILOR

3.1. Considera ții generale

În orice unitate industrial ă există lanțuri tehnologice, în care func ționează
simultan mai multe ma șini. În timpul func ționării în regim sta ționar ale ma șinilor,
întotdeauna apar for țe sau momente de for țe perturbatoare, deoarece nu este posibil s ă se
realizeze o echilibrare dinamic ă perfectă a tuturor organelor de ma șină aflată în mișcare.
Datorită acestor for țe generalizate perturbatoare și datorită caracterului elastic sau vâsco-
elastic al deforma țiilor în elemente componente și în legăturile interioare și exterioare ale
unui lanț cinematic al unei ma șini, sistemul mecanic format cu toate elementele
componente mobile ale unui astfel de lan ț cinematic constituie un sistem vibrant, care are
vibrații forțate. În cele mai frecvente cazuri întâlnite în practic ă, într-un lan ț cinematic al
unei mașini apar vibra ții forțate de torsiune și/sau de încovoiere ale arborilor elastici,
între care exist ă legături interioare realizate prin c uplaje elastice, sau prin diferite
transmisii mecanice, pe care sunt montate mai multe mase concentrate considerate ca
volanți. În timpul mi șcării în regim sta ționar al unui lan ț cinematic, exist ă pericolul de
rezonanță pentru vibra țiile forțate de torsiune și/sau de încovoiere ale unui arbore elastic
cu unul sau mai mul ți volanți, dacă viteza unghiular ă a arborelui, corespunz ătoare tura ției
sale în mi șcarea sa de regim sta ționar, este egal ă cu una din pulsa țiile proprii ale
sistemului vibrant considerat. Tura țiile arborelui corespunz ătoare pulsa țiilor sale proprii
pentru vibra țiile sale de torsiune și/sau de încovoiere se numesc tura ții critice și este
necesar ca, înc ă din faza de proiectare a unei ma șini, să se ia măsuri pentru evitarea
acestor tura ții critice în orice regim sta ționar de mi șcare al ma șinii, astfel încât, în aceste
regimuri sta ționare de mi șcare, amplitudinile vibra țiilor forțate să fie cât mai mici și să se
evite, astfel, uzura pronun țată a lagărelor și chiar distrugerea lor. Aceast ă problemă se
numește verificarea la vibra ții a unei ma șini.
Pe de alt ă parte, pentru economisirea spa țiului de produc ție, într-un lan ț
tehnologic se monteaz ă două sau mai multe ma șini pe aceea și fundație sau pe acela și
suport. În aceste cazuri, prin funda ția comun ă sau prin suportul comun, for țele
perturbatoare se por transmite de la o ma șină la alta, ceea ce poate avea efecte negative
asupra func ționării unora din aceste ma șini. Ca urmare, se pune problema, de o

114importanță practică deosebită, de a se lua m ăsuri pentru reducerea, cât mai mult posibil, a
amplitudinilor for țelor perturbatoare ce se transmit de la o ma șină la fundația sa, sau la
suportul s ău, problem ă care se nume ște izolarea vibra țiilor.
Dacă, într-un regim sta ționar de mi șcare al unei ma șini, unul din corpurile sale are
vibrații forțate de transla ție sau de rota ție cu amplitudine mare, de natur ă să afecteze buna
funcționare a ma șinii, se pune problema de a se lua m ăsuri pentru reducerea, cât mai mult
posibil, a amplitudinii acestor vibra ții forțate. Aceast ă problemă se numește amortizarea
vibrațiilor. O solu ție pentru rezolvarea acestei probleme ar fi introducerea unor elemente
de amortizare vâscoas ă sau uscat ă cu coeficient mare de amortizare, dar, în acest caz,
apar pierderi mari în sistemul mecanic constituit dintr-un lan ț cinematic al ma șinii și
randamentul s ău mecanic scade. De asemenea, în general, deoarece aceste pierderi se
transform ă în căldură, unele elemente componente ale ma șinii ajung, dup ă un anumit
timp de func ționare, într-o stare de supraîncalzire periculoas ă, ceea ce limiteaz ă durata de
funcționare a ma șinii sau necesit ă sisteme suplimentare de r ăcire. O alt ă soluție de
amortizare a vibra țiilor forțate ale unui corp, care elimin ă, în mare parte, aceste
dezavantaje ale solu ției prezentate anterior, este constituit ă de atașarea de corpul
considerat, prin intermediul unor leg ături elastice sau vâsco-elastice, a unei mase
suplimentare în mi șcare de transla ție sau rota ție, care, împreun ă cu legăturile sale de
corpul principal considerat, formeaz ă un amortizor dinamic.
Ținând seama de tendin ța actuală de construire a unor noi ma șini, cu performan țe
economice și funcționale ridicate, de mare putere și/sau cu tura ții mari în regimurile
staționare de func ționare, se impune cu prioritate, pentru orice ma șină, rezolvarea celor
trei probleme prezentate anterior. În faza de proiectare a unei noi ma șini, aceste probleme
se rezolv ă pe baza unor modele mecanice, în care se fac anumite aproxim ări și se
neglijează efectul dinamic al unor for țe considerate de valoare mic ă. Datorită acestor
aproximări și interpol ări, efectuate asupra modelului mecanic, rezultatele studiului
teoretic asupra comport ării dinamice a sistemului mecanic considerat trebuie s ă fie
verificate experimental, prin încerc ări la vibra ții pe prototip. Ca urmare, în prezent nu
este de conceput omologarea oric ărei noi ma șini fără testarea sa la vibra ții, de care
depinde, în mare m ăsură, siguranța sa în func ționare și, mai ales, fiabilitatea sa. Pentru
aceasta, s-au realizat sisteme complexe de m ăsurare a vibra țiilor, în cea mai mare parte
prin mijloace electrice și electronice, cu ajutorul c ărora se poate prescrie fiabilitatea unei
mașini, durata sa de func ționare fără reparații, durata dintre dou ă reparații capitale
consecutive, precum și organele de ma șină cele mai solicitate, care trebuie s ă fie înlocuite
la o repara ție curentă sau la o repara ție capitală.
Spre deosebire de cazurile prezentate anterior, exist ă cazuri în care vibra țiile
forțate ale unor sisteme mecanice sunt folositoare în anumite procese tehnologice. Astfel,
în procesul tehnologic de formare în turn ătorii, prin vibrarea formelor în timpul
procesului tehnologic, se ob ține o calitate superioar ă a acestora și o durată a procesului
tehnologic cu mult mai mic ă decât prin mijloace clasice. De asemenea, cu ajutorul
vibrațiilor, se poate realiza detensionarea cu eficien ță sporită, față de mijloacele clasice, a
pieselor turnate sau sudate. Pentru realizarea practic ă a acestor procese tehnologice, ca și
pentru testarea la vibra ții a unor ma șini, agragate sau structuri mecanice, este necesar s ă
se foloseasc ă sisteme mecanice ce produc for țe perturbatoare armonice, de amplitudine și
frecvență reglabile, numite generatoare de vibra ții sau vibratoare.

115
3.2. Tura ții critice ale vibra țiilor pe torsiune ale unui arbore
elastic cu mai mul ți volanți

Se consider ă un arbore elastic, pe care sunt monta ți n volanți ca în fig. 3.1., în
care n=4.

Fig. 3.1.
Se presupun cunoscute momentele de iner ție ()n iJi ,,1…= ale volan ților față de linia
lagărelor, precum și constantele elastice la torsiune ( )1 ,,,1,,1 +=−= ij n ikij… ale
porțiunilor de arbore dintre volan ții cu numerele de ordine i și i+1. Masa arborelui și
toate forțele rezistente se consider ă neglijabile. Dac ă sistemul considerat are vibra ții
libere de torsiune, ecua ția diferen țială matriceal ă a acestor vibra ții este de forma:
[]{}[]{} {} 0=+θθ k J (3.1)
în care[]J este matricea de iner ție a sistemului, []k este matricea sa de rigiditate, iar {}θ
este matricea coloan ă formată cu parametrii de pozi ție ai volan ților, care sunt unghiurile
lor de rota ție măsurate din pozi ția de echilibru static a sistemului. Pentru n=4, matricele
de inerție și de rigiditate sunt de forma:
[]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
=4321
0 0 00 0 00 0 00 0 0
JJJJ
J , []
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
−−+−−+−−
=
34 3434 34 23 2323 23 12 1212 12
0 0000 0
k kk k k kk k k kk k
k (3.2)

Pulsațiile proprii ale sistemului considerat se ob țin din ecua ția caracteristic ă:
[] [] () 02 2==− pPJpkn (3.3)
din care, ținând seama de expresiile de forma (3.2) ale matricelor de iner ție și de
rigiditate, rezult ă 01=p . Aceasta înseamn ă că sistemul considerat are n-1 grade de
libertate, matricea de rigiditate fiind singular ă. Ca parametrii de pozi ție independen ți se
pot considera unghiurile ( )1 ,,,1,,1 +=−=−= ij n ii j ij …θθθ de rotație a volan ților cu
numărul de ordine i+1 față de volan ții cu num ărul de ordine i. Dacă n=2, cazul cel mai
frecvent întâlnit în aplica ții, sistemul are un grad de libertate și pulsația proprie
corespunz ătoare devine:
()
212 1
JlJJJGIp
n+=ω (3.4)

116unde G este modulul de elasticitate transversa l al materialului din care este confec ționat
arborele, pI este momentul de iner ție geometric polar al sec țiunii transversale a arborelui,
iar l este lungimea sa, cei doi volan ți fiind monta ți la capetele sale.
Dac ă arborele se afl ă în mișcare de rota ție în jurul axei sale orizontale, identic ă cu
linia lagărelor, cu viteza unghiular ă ω constantă, datorită montării excentrice a volan ților
pe arbore, asupra fiec ărui volant ac ționează un moment perturbator produs de greutatea
volantului. Se presupune c ă, în poziția de echilibru static a sistemului considerat, toate
centrele de greutate Ci ale volan ților se afl ă în același plan meridian vertical, sub linia
lagărelor.
În fig. 3.2. s-a reprezentat sec țiunea prin volantul cu num ărul de ordine i cu planul
perpendicular pe linia lag ărelor ce trece prin Ci, în care O1 este intersec ția acestui plan cu
linia lagărelor, axa O1X1 este o ax ă fixă verticală, axa CiX este legat ă de volant, iar mig
este greutatea volantului. Momentul perturbator ce ac ționează asupra acestui volant
devine:
() ()πω ω + = −= t gemt gem tMi i i i i sin sin (3.5)
undei i COe1= este excentricitatea volantului.

Fig. 3.2.
Datorit ă acestor momente perturbatoare, sistemul considerat are vibra ții forțate
neamortizate, a c ăror ecuație diferen țială matriceal ă a mișcării este de forma:

[]{}[]{} { } ( ) πω θθ + =+ t M k J sin0 (3.6)
în care{}0M este matricea coloan ă formată cu amplitudinile momentelor perturbatoare,
elementul s ău corespunde liniei i, având valoarea migei.
Deoarece, pentru vibra ția forțată a sistemului considerat, legea de mi șcare a
volantului cu num ărul de ordine i este de forma: t t mai i ωθωθ sin0+= , viteza sa
unghiular ă și accelera ția sa unghilar ă devin:
t ti i i i ωωωωωθωθω cos cos0 0 += +==
t t ti i i i i ωεωωωωθωθε sin sin sin0 0 02= −= −== (3.7)

117Ca urmare, derivând de dou ă ori în raport cu timpul ecua ției (3.6) și notând {}{}θε=, se
obține ecuația diferen țială matriceal ă:
[]{}[]{}{ } t M K J ωωεε sin2
0=+ (3.8)
a cărei soluție particular ă rezultă:
{}()[] []() {} t MJ K
Pnωω ω
ωεχsin12
02
2− = (3.9)
unde[] []()χωJ K2− este reciproca matricei p ătrate și simetrice[][ ]()J K2ω− , iar()2ωnP ,
exprimat și de (3.3), este determinantul acestei matrice.
Din (3.9) se determin ă amplitudinile0iε ale accelera țiilor unghiulare ale volan ților
cu numărul de ordine () n ii ,,1…= , pentru vibra ția forțată a sistemului, iar din rela țiile
(3.7) rezult ă valorile pentru 0iω și 0iθ. Se observ ă că, dacăsp=ω , n s ,,2…= , sp fiind una
din pulsațiile proprii ale sistemului considerat, toate amplitudinile0iε,0iω și 0iθ tind spre
infinit. Ca urmare, tura țiile critice ale sistemului considerat, pentru vibra țiile de torsiune
ale unui arbore elastic cu mai mul ți volanți, sunt date de:
s s p nπ30= , n s ,,2…= (3.10)

3.3. Tura ții critice ale vibra țiilor de încovoiere ale unui arbore elastic cu
mai mulți volanți

Se consider ă un arbore elastic, de mas ă neglijabil ă, pe care sunt monta ți un număr
de n volanți ca în fig. 3.3., în care n=3. Pentru studiul vibra țiilor libere de încovoiere ale
sistemului considerat, se neglijeaz ă forțele de amortizare și se presupun cunoscute masele
mi ale volan ților, precum și toți coeficien ții de influen ță ( )n jiji ,,1,,…=δ ai arborelui, i
și j fiind numerele de ordine ale sec țiunilor arborelui în care sunt monta ți volanții.

Fig. 3.3.
De asemenea, se presupune c ă toți volanții au mișcări de transla ție rectilinie pe
direcție vertical ă, linia lag ărelor fiind orizontal ă, iar parametrii lor de pozi ție x
i sunt
măsurați după această direcție din pozi ția de echilibru static a sistemului. În aceste
condiții, ecuația diferen țială matriceal ă pentru studiul vibra țiilor libere, neamortizate și de
încovoiere ale sistemului considerat se exprim ă sub forma:

118 [] []{} {} {} 0=+xxmδ (3.11)
în care[]δ este matricea de flexibilitate, []m este matricea diagonal ă de inerție, iar{}xeste
matricea coloan ă format ă cu parametrii de pozi ție considera ți. Pulsa țiile
proprii() n sps ,,1…= ale vibra țiilor de încovoiere ale sistemului considerat se determin ă
ca rădăcinile reale pozitive ale ecua ției caracteristice:
[] [ ] [] ()02 2==− pP m p In nδ (3.12)
unde []nI este matricea unitate de ordinul n.
Dac ă arborele, împreun ă cu volan ții, se rote ște în jurul liniei lag ărelor cu viteza
unghiular ăω constantă, datorită greutăților și a forțelor centrifuge ale volan ților, asupra
acestora ac ționează forțe perturbatoare, astfel încât sistemul considerat va avea vibra ții
forțate de încovoiere. Se consider ă că, în timpul mi șcării sistemului, arborele se
deformeaz ă în același plan meridian, în care se afl ă toate centrele de greutate Ci ale
volanților. De asemenea, se consider ă că fiecare volant se mi șcă într-un plan
perpendicular pe linia lag ărelor, neglijându-se efectele giroscopice asupra mi șcărilor
volanților. În fig. 3.4. s-a reprezentat sec țiunea prin volantul cu num ărul de ordine i cu
planul perpendicular pe linia lag ărelor ce trece prin Ci, în care O1 este intersec ția acestui
plan cu linia lag ărelor, iar Ai este intersec ția acestui plan cu axa arborelui deformat. Axa
O1X1 este o axă fixă verticală, iar axa CiX, care trece prin O1, este legat ă de volant.

Fig. 3.4.
În fig. 3.4. s-au reprezentat și forțele ce acționează asupra volantului considerat,
care intervin în studiul vibra țiilor de încovoiere ale arborelui, în planul meridian ce
conține toate axele C
iX. Dintre aceste for țe, pentru studiul vibra țiilor de încovoiere se
consideră numai componentele de valoare t gmiωcos , ale greut ăților volan ților, deoarece,
așa cum s-a ar ătat în paragraful precedent, ce lelalte componente, de valoare t gmiωsin ,
intervin în studiul vibra țiilor de torsiune ale sistemului considerat. În expresia for ței
centrifuge ()i i i er m+2ω intervine deforma ția i i AOr1= a arborelui în sec țiunea sa în care
este montat volantul considerat și excentricitatea volantului ii i CA e= .
Ținând seama de considera țiile de mai sus, cu ajutorul coeficien ților de influen ță
se pot scrie ecua țiile diferen țiale ale vibra țiilor de încovoiere ale sistemului considerat,
care se pot exprima sub forma compact ă matriceal ă:
[] []{}{}[] []{}{}{} ( )t gI e rm rrmnω ωωδ δ cos2 2++ =+ (3.13)

119unde{}r este matricea coloan ă formată cu deforma țiile arborelui în sec țiunile sale în care
sunt monta ți volanții,{}e este matricea coloan ă formată cu excentricit ățile volanților,
iar{}nI este matricea coloan ă unitară de ordinul n, având toate elementele egale cu
unitatea.
Dac ă sistemul considerat este constituit din componentele unui lan ț cinematic al
unei mașini cu putere mare, în general greut ățile gmiau valori mari și viteza unghiular ă
ω în mișcarea de regim sta ționar a sistemului este mic ă, astfel încât, pentru studiul
vibrațiilor forțate de încovoiere, se po ate neglija efectul for țelor centrifuge ale volan ților.
În acest caz, vibra țiile forțate de încovoiere ale sistemului sunt de forma:
{}{}{} t r r rst ωcos0+= (3.14)
unde{}str este matricea coloan ă formată cu deforma țiile arborelui la echilibrul static al
sistemului, iar {}0r este matricea coloan ă formată cu amplitudinile vibra țiilor forțate de
încovoiere ale arborelui în dreptul sec țiunilor sale în care sunt monta ți volanții. Săgețile
statice ale arborelui în dreptul volan ților la echilibrul static al sistemului considerat se
obțin din ecua ția (3.13), impunând condi țiile de echilibru static, din care rezult ă:
{}[] []{}gIm rn stδ= (3.15)
iar amplitudinile vibra țiilor forțate{}0r se determin ă după ce se deriveaz ă odată în raport
cu timpul rela ția (3.14) și ecuația diferen țială matriceal ă a vibrațiilor de încovoiere, de
forma (3.13) f ără forțele centrifuge, ob ținându-se:
{}()[] [ ] []() [] []{}gIm m IPrn n
nT
δδωωχ2
2 01− = (3.16)
unde()2ωnP este dat de (3.12) cu ω în loc de p.

Dac ă viteza unghiular ă ω în mișcarea de regim sta ționar a sistemului este mare,
forțele perturbatoare produse de greut ățile volanților se pot neglija fa ță de forțele lor
centrifuge. În acest caz, deforma țiileir ale arborelui în dreptul volan ților sunt constante în
timpul mi șcării sistemului, astfel încât, cu particulariz ările care rezult ă, din (3.13) se
obține:
{}()[] [ ] []() [] []{}2 2
21ωδδωωχem m IPrT
n
n− =
(3.17)
În ambele cazuri considerate, dac ă sp=ω , undespeste una din pulsa țiile proprii
ale vibrațiilor de încovoiere ale unui arbore elastic cu mai mul ți volanți, din (3.16) și din
(3.17) se observ ă că deformațiile arborelui tind spre infinit. Ca urmare, tura țiile critice ale
acestor vibra ții de încovoiere se ob țin tot cu prima rela ție (3.10), cu deosebirea c ă
pulsațiile propriisprezultă din ecuația caracteristic ă (3.12) și n s ,,1…= .

120 Dac ă n=1 și eg>>ω , unde e este excentricitatea volantului, for ța perturbatoare
dată de greutatea volantului se poate neglija și deforma ția arborelui în dreptul volantului
devine:
2 22
ωωω
−=
ner , mk
n=ω (3.18)

în care m este masa volantului, iar k este constanta elastic ă de încovoiere a arborelui în
secțiunea sa în care este montat volantul. Tura ția critică corespunz ătoare se ob ține cu
prima rela ție (3.10), în care se înlocuie ștesp cu nω din a doua rela ție (3.18). Dac ă în
prima rela ție (3.18) viteza unghiular ă ωa arborelui este mult mai mare decât pulsa ția
proprie nω a vibrațiilor de încovoiere ale sistemului considerat, deforma ția r a arborelui
în dreptul volantului tinde spre e−, deci centrul de greutate al volantului tinde s ă ajungă
pe linia lag ărelor. Apare, astfel, fenomenul de autocentrare a volantului.

3.4. Izolarea vibra țiilor

Se consider ă o mașină de masă m, care, în timpul func ționării sale în regim
staționar, genereaz ă o forță perturbatoare armonic ă cu amplitudinea
0F și pulsația ω.
Pentru izolarea vibra țiilor mașinii considerate, între ea și fundație se intercaleaz ă
elemente elastice și de amortizare vâscoas ă, având constanta elastic ă echivalent ă k și
coeficientul de amortizare c (fig. 3.5.).

Fig. 3.5.
Presupunând cunoscute m ărimile precizate ale dinamicii ma șinii considerate, se pune
problema a se determina valorile parametrilor k și c, astfel încât for ța ce se transmite
fundației să aibă amplitudini de valoare cât mai mic ă. Pentru aprecierea eficien ței izolării
vibrațiilor, se calculeaz ă un coeficient adimensional
η, numit coeficient de
transmisibilitate, definit ca ra portul dintre valoarea maxim ă a forței transmise la funda ție
și amplitudinea 0F a forței perturbatoare. Pentru o bun ă izolare a vibra țiilor, acest
coeficient de transmisibilitate trebuie s ă aibe valori cât mai mici.

121 Notând cu0xamplitudinea vibra ției forțate a mașinii și cu kFxst0= săgeata static ă
a elementului elastic sub ac țiunea unei for țe egală cu amplitudinea for ței perturbatoare,
deoarece for țele ce se transmit la funda ție se transmit prin elementele elastice și de
amortizare, valoarea maxim ă a forței transmise funda ției este:
()( ) ()2 2
02
02
0 max ω ω c kx xc kx F +=+=
(3.19)
iar coeficientul de transm isibilitate devine succesiv:

()
22222
0 2 2
00
0max
2 1211
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
==⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+=+==
n cr nn crst
cccckc
xxc kFx
FF
ωω
ωωωωωω η
(3.20)
în care mk
n=ω este pulsa ția proprie a vibra țiilor libere neamortizate a sistemului
vibrant din fig. 3.5., iarn cr m cω2= este coeficientul s ău critic de amortizare vâscoas ă.
În diagramele din fig. 3.6. s-a reprezentat coeficientul de transmisibilitate ηca
funcție de raportul adimensional
nωω , pentru câteva valori uzuale ale raportului
adimensional
crcc.

Fig. 3.6.

Din aceast ă figură se observ ă că, pentru raportul
nωω mai mic decât 2, pentru
orice valoare a raportului
crcc coeficientul de transmisibilitate este supraunitar. Mai mult,

122pentru ω apropiat de nω și valori mici ale raportului
crcc, pentru ηrezultă valori foarte
mari. Ca urmare, pentru o bun ă izolare a vibra țiilor în regimul sta ționar de mi șcare al
mașinii, este necesar ca raportul
nωω să aibe o valoare cât mai mare, deci pulsa ția
proprienωtrebuie să fie foarte mic ă, astfel încât rezult ă necesitatea de a alege un element
elastic cu constanta elastic ă k foarte mic ă. De asemenea, pentru o bun ă izolare a
vibrațiilor, raportul
crcc ar trebui s ă fie cât mai mic, chiar nul pentru cazul ideal, dar, în
acest caz, apare pericolul rezonan ței la pornirea și la oprirea ma șinii, când pulsa țiaωa
forței perturbatoare ajunge în apropierea pulsa ției proprii nω. Practic, pentru izolarea
vibrațiilor unei ma șini, se folosesc elemente elastice confec ționate din cauciuc, care au o
constantă elastică mică și introduc în sistem și amortizare de natur ă vâscoasă, cu raportul
crcc de valoare relativ mic ă. Dacă forța perturbatoare are mai multe componente
armonice, izolarea vibra țiilor mașinii trebuie s ă fie efectuat ă pentru armonica sa
fundamental ă.
3.5. Amortizorul dinamic simplu

Se consider ă o mașină sau un organ de ma șină, care, sub ac țiunea unei for țe
perturbatoare armonice, are vibra ții forțate de transla ție rectilinie de amplitudini mari,
periculoase pentru buna func ționare a ma șinii. Dacă forțele de frecare și de amortizare
sunt neglijabile, rezult ă că mașina care produce for ța perturbatoare func ționează, în
regimul s ău staționar, în apropierea rezonan ței sistemului vibrant principal, constituit din
elementul component ce are vibra ții forțate mari și suspensia sa elastic ă. Pentru
amortizarea vibra țiilor forțate ale masei principale a sistemului vibrant considerat, se
folosește un amortizor dinamic, format dintr-un corp de mas ă am, aflat în mi șcare de
translație rectilinie, legat de masa principal ă m printr-un element elastic de constant ă
elastică ak (fig. 3.7.). Dac ă amortizarea vâscoas ă introdus ă de elementul elastic al
amortizorului este neglijabil ă, acesta se nume ște amortizor dinamic simplu.

Fig. 3.7.

123Sistemul vibrant principal și amortizorul dinamic simplu formeaz ă, împreun ă, un
sistem vibrant cu dou ă grade de libertate. Considerând parametrii de pozi ție 1x și 2x
măsurați din pozi ția de echilibru static a sistemului, ecua țiile diferen țiale ale mi șcării sale
sunt:
() t F xkxkk xma a ωsin0 2 1 1 =−++
02 1 2 =+− xkxkxma a a (3.21)

Vibra țiile forțate ale sistemului considerat sunt armonice, cu pulsa ția lor egal ă cu
pulsația ω a forței perturbatoare. Amplitudinile acestor vibra ții forțate rezult ă din (3.21),
având expresiile:
()
() ( )2 2 202
1
a a a aa a
ok mk mkkF mkx−− −+−=ω ωω
() ( )2 2 20
2
a a a aa
ok mk mkkFkx−− −+=ω ω
(3.22)
Folosind nota țiile:
mk
n=ω ,
aa
amk=ω , kFxst0= , mma=μ (3.23)
în carenω este pusa ția proprie a sistemului principal și aω este pulsa ția proprie a
amortizorului, amplitudinile (3.22) ale vibra țiilor forțate se pot exprima prin rapoarte
adimensionale, sub forma:

() 1 11
2 2 2 22
1
+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−
=
a n a na
sto
xx
ωω
ωωμωω
ωωωω
(3.24)

() 1 11
2 2 2 22
+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=
a n a nsto
xx
ωω
ωωμωω
ωω (3.25)

Din rela ția (3.24) se observ ă că amplitudinea ox1 a vibrației forțate a masei
principale este nul ă dacă ωω=a . Dar amortizorul dinamic simplu considerat este folosit
pentru amortizarea vibra țiilor forțate ale masei principale în apropierea rezonan ței
sistemului principal, deci pentru nωω= , astfel încât, din condi ția n aωω= , rezultă:
μ==mm
kka a (3.26)
care este condi ția de proiectare a amortizorului dinamic simplu.
Din rela ția (3.25), pentru n aωωω== , se obține:

124
a ast okF
kF
kkx x0 0
21−=−=−=μ (3.27)
unde s-a ținut seama de (3.26) și de a treia rela ție (3.23). Din ultima rela ție (3.27) rezult ă
că, în timpul func ționării în regim sta ționar a ma șinii cu amortizorul dinamic simplu
atașat sistemului principal, valoarea momentan ă a forței elastice a amortizorului ce
acționează asupra masei principale este:
t F t xko a ω ω sin sin0 2 −= (3.28)
deci aceast ă forță echilibreaz ă forța perturbatoare și masa principal ă rămâne în repaus.
Din ultima rela ție (3.27) sau din (3.28) se observ ă că, dacă F0 are o valoare mare,
pentru a nu avea deforma ții ox2 periculoase ale elementului elastic al amortizorului,
acesta trebuie s ă aibe constanta elastic ă ak de valoare mare. Pe de alt ă parte, pentru ca
amortizorul s ă fie economic, masa am a amortizorului trebuie s ă fie mică pentru a ocupa
un spațiu cât mai redus și pentru economie de material. Ca urmare, deoarece aω rezultă
de valoare mare, folosirea amortizorului dinamic simplu este justificat ă numai dac ă
pulsația proprie a sistemului principal și pulsația forței perturbatoare au valori mari,
apropiate între ele.
Pentru proiectarea unui amortizor dinamic simplu, se adopt ă o valoare subunitar ă
pentruμ și din condi ția de proiectare (3.26), cunoscând k și m, se determin ă parametrii
akși am ai amortizorului. Pentru ca acesta s ă fie cât mai economic, este necesar ca
pentru μ să se adopte valori cât mai mici posibil. Dar pentru valori μ foarte mici, cele
două pulsații proprii ale sistemului vibrant din fig. 3.7., care sunt valorile pulsa ției ω a
forței perturbatoare pentru care numitorii din rela țiile (3.24) și (3.25) se anuleaz ă, având
valorile:
4 212
1μμμω +−+=n p , 4 212
2μμμω +++=n p (3.29)
rezultă foarte apropiate de pulsa ția proprienω a sistemului principal și apare pericolul de
rezonanță, dacă ω variază în apropierea valorii nω. Practic, pentru μ se adoptă valori
cuprinse între 0,1 și 0,3, pentru valoarea medie 2,0=μ rezultând din (3.29) valorile
n pω8,01= și n pω25,12= . Deoarece, pentru un sistem vibrant real, având modelul din
fig. 3.7., nu se pot evita complet efectele for țelor de frecare intern ă din elementele
elastice și ale rezisten ței aerului, vibra țiile forțate ale masei principale nu se amortizeaz ă
complet, în schimb pericolul de distrugere la rezonan ță, în special a elementului elastic al
amortizorului, care este cel mai solicitat, este mult diminuat.
Dac ă sistemul principal are vibra ții forțate de rota ție sau de torsiune, în mod
analog se poate proiecta un amortizor dinamic simplu pentru aceste vibra ții de rotație, la
care elementul elastic al amortizorului poate fi un arc spiral.

3.6. Aparate mecanice pentru m ăsurarea vibra țiilor

125 Aparatele mecanice folosite pentru m ăsurarea anumitor elemente ale vibra țiilor
mecanice se împart în dou ă categorii principale: aparate cu punct fix și aparate cu mas ă
seismică.
Aparatele cu punct fix au carcasa lor fixat ă de un suport fix și, cu vârful unui
palpator, urm ăresc vibra țiile de transla ție rectilinie ale organului de ma șină mobil, ale
cărui vibrații se măsoară. Prin intermediul unui sistem de pârghii, mi șcarea vibratorie se
transmite de la palpator la un aparat indicator al amplitudinilor vibra țiilor măsurate, sau la
penița unui dispozitiv de înregistrare pe hârtie a acestor vibra ții. În cazul folosirii unui
dispozitiv de înregistrare, hârtia este antrenat ă în mișcare de transla ție rectilinie cu viteza
constantă cunoscut ă, cu care se determin ă factorul de scar ă pentru timpul de înregistrare,
obținându-se diagrama de mi șcare pentru vibra țiile măsurate, la o scar ă pentru deplas ări
dată de factorul de amplificare al sistemului de pârghii. Datorit ă inerției palpatorului și a
sistemului de pârghii, cu aceste aparate se pot m ăsura, cu o precizie acceptabil ă, numai
vibrații de frecven ță redusă. Cel mai r ăspândit aparat pentru m ăsurarea vibra țiilor din
această categorie este tastograful, care folose ște un dispozitiv de înregistrare și care este
utilizat în unut ățile industriale pentru determinarea rapid ă a unor elemente ale vibra țiilor,
carcasa aparatului fiind, de obicei, fixat ă în mâini de persoane care efectueaz ă
măsurătorile.
Aparatele cu mas ă sistemic ă pentru m ăsurarea vibra țiilor au un dispozitiv de
prindere, cu ajutorul c ăruia carcasa aparatului este fixat ă de organul de ma șină mobil, ale
cărui vibrații se măsoară. Pentru m ăsurarea vibra țiilor de transla ție rectilinie, un corp aflat
în mișcare de transla ție rectilinie fa ță de carcasa aparatului, numit mas ă seismică, este
legat de aceast ă carcasă prin intermediul unui element elastic și a unui element de
amortizare vâscoas ă. Se formeaz ă, astfel, un sistem vibrant cu un singur grad de libertate,
care are vibra ții forțate cu amortizare vâscoas ă, forța perturbatoare în mi șcare relativ ă a
masei seismice fa ță de carcasa aparatului fiind de forma:
() t mrfm tFr ωωsin2=−= (3.30)
unde m este valoarea masei seismice, iar ()tf este legea de mi șcare a carcasei, aceea și cu
a organului de ma șină la care se m ăsoară vibrațiile, de forma () t rtf ωsin= , dacă aceste
vibrații sunt armonice.
Dac ă aparatul cu mas ă seismică este folosit în apropierea rezonan ței, când pulsa ția
forței perturbatoare, egal ă cu cea a vibra ției de măsurat, are valoarea apropiat ă de pulsația
proprie a sistemului vibrant al aparatului, cu ajutorul lui se poate m ăsura, cu precizie
ridicată, pulsația vibrațieie sau frecven ța sa, deci acesta este folosit ca frecventmetru. În
acest caz, masa seismic ă este fixat ă la un cap ăt al unei lamele elastice, care constituie
elementul elastic pentru vibra țiile sale de încovoiere, cel ălalt capăt al lamelei fiind fixat
de carcasa aparatului. Deoarece se iau m ăsuri, ca pentru un astfel de frecventmetru,
coeficientul de amortizare critic crc să fie mare și raportul
crcc să fie foarte mic,
diagrama sa de rezonan ță are o form ă foarte ascu țită, cu varia ții foarte mari de
amplitudine a vibra ției forțate în jurul rezonan ței, pentru care raportul
nωω este foarte
apropiat de 1. Frecventmetrele din aceast ă categorie, în func ție de destina ția lor, se
construiesc în dou ă variante constructive:

126a) Frecventmetre cu lamel ă simplă, la care se poate regla pulsa ția proprie a
sistemului vibrant al aparatului pân ă se ajunge la rezonan ță, prin modificarea
lungimii lamelei elastice între masa seismic ă și punctul de fixare la carcasa
aparatului;
b) Frecventmetre cu lamele multiple, la care de aceea și carcasă a aparatului sunt
fixate mai multe sisteme vibrante formate din câte o mas ă seismică și o lamelă
elastică, având pulsa ții proprii apropiate ca valoare și determinate cu mare
precizie într-un domeniu restrâns.
Frecventmetrele cu lamele multiple se folosesc, de exemplu, pentru m ăsurarea cu precizie
ridicată a frecven ței curentului electric în centrale electrice sau în unit ăți industriale.
Dac ă pulsația proprie nω a unui aparat cu mas ă seismică are o valoare foarte
mică, raportul
nωω este foarte mare și amplitudinile vibra țiilor forțate ale masei seismice,
în mișcarea sa relativ ă față de carcasa aparatului, tind s ă fie egale cu amplitudinile
vibrațiilor carcasei. În acest caz, aparatul seismic func ționează ca vibrometru, sau ca
vibrograf, dac ă aceste vibra ții sunt înregistrate cu un dispozitiv mecanic de înregistrare
sau cu un înregistrator de alt ă construc ție. Astfel de aparate se folosesc pentru
înregistrarea vibra țiilor scoar ței terestre, a seismelor, în centrele de cercet ări
seismologice, purtând denumirea de seismografe. Seismografele au valoarea masei
seismice foarte mare, peste o ton ă, astfel încât rezult ă o valoare foarte mic ă a pulsației lor
proprii nω, frecvența lor proprie fiind în jur de 0,1 Hz.
Dac ă pulsația proprie nω a unui aparat cu mas ă seismică are o valoare foarte
mare, raportul
nωω este mult mai mic decât unitatea. Presupunând c ă vibrația de măsurat
este armonic ă, cu pulsa ția ω și amplitudinea r, ținând seama c ă raportul
crcc este
subunitar, astfel încât și termenul adimensional 22
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
n crcc
ωωse poate neglija fa ță de unitate,
amplitudinea 0y a vibrației forțate a masei seismice, în mi șcarea sa relativ ă față de
carcasa aparatului, se poate exprima, cu o bun ă aproxima ție, sub forma:
()2
22
01ωωωωr r y
n n=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛= (3.31)
unde2ωr este amplitudinea accelera ției vibrației de măsurat, iar 21
nω este o constant ă a
aparatului. Rezult ă că, în acest caz, aparatul cu mas ă seismică funcționează ca
accelerometru, sau ca accelerograf, dac ă vibrațiile forțate ale masei seismice sunt
înregistrate. Cu un accelerograf din aceast ă categorie se pot m ăsura, cu o precizie
ridicată, accelera ții ale vibra țiilor având frecven țe ν relativ mici, pân ă la rapoarte

12725,0==
n nνν
ωω. Domeniul de m ăsură al acestor aparate poate fi extins pân ă la rapoarte
75,0==
n nνν
ωω, dacă este îndeplinit ă condiția:
7,0 5,0<<
crcc (3.32)
pe baza observa ției că porțiunile din diagramele de rezonan ță până la 75,0=
nωω, pentru
care este îndeplinit ă condiția (3.32), sunt foarte apropiate de diagrama corespunz ătoare a
parabolei de ecua ție (3.31), caracteristic ă pentru un accelerograf din aceast ă categorie.
Pentru a nu influen ța vibrațiile organului de ma șină mobil ale c ărui vibrații se
măsoară, toate aceste aparate cu mas ă seismică trebuie s ă aibe masa lor total ă mult mai
mică decât masa acestui organ de ma șină. Această condiție poate fi îndeplinit ă mai ușor
în cazul accelerometrelor. Aparatele cu mas ă seismică se pot construi și pentru m ăsurarea vibra țiilor de
rotație, de exemplu ale unui volant dintr-o ma șină. Pentru aceasta, masa seismic ă are
mișcare de rota ție față de carcasa aparatului, fiind legat ă de aceasta printr-un arc spiral.
S-au construit și aparate mecanice universale pentru m ăsurarea vibra țiilor, care pot s ă
funcționeze atât ca aparate cu punct fix, cât și ca aparate cu mas ă seismic
ă, și care pot fi
utilizate atât pentru m ăsurarea vibra țiilor de transla ție rectilinie, cât și pentru a celor de
rotație. Un astfel de aparat este aparatul universal Geiger pentru m ăsurarea vibra țiilor.

3.7. Aparate electrice pentru m ăsurarea vibra țiilor

În prezent, în toate domeniile activit ăților industriale și în cercetare științifică
experimental ă, cea mai mare parte a m ărimilor mecanice se m ăsoară prin mijloace
electrice. Pentru aceasta, un element component important al aparatelor electrice și
electronice folosite, este elementul care transform ă variația mărimii mecanice de m ăsurat
în variația unei mărimi electrice, element care se nume ște traductor sau captor.
Traductorii folosi ți pentru m ăsurarea vibra țiilor se împart în dou ă categorii
principale: traductori pasivi sau parametrici și traductori activi sau generatori.
Traductorii pasivi transform ă deplasarea vibratorie sau deforma ția liniară a unui
corp în varia ția impedan ței unui circuit electric, alimentat în curent alternativ. Dup ă
natura acestei impedan țe variabile, traductorii pasivi se împart, la rândul lor, în trei tipuri:
traductori rezistivi, traductori capacitivi și traductori inductivi.
Traductorul rezistiv cel mai frecvent folosit este timbrul tensometric. Un timbru
tensometric este constituit dintr-un conductor electric filiform, dispus dup ă o grilă plană
și lipit, cu adezivi speciali, pe o bucat ă de hârtie special ă, cu propriet ăți de deformare
elastică cu constanta elastic ă foarte mic ă. Pentru ca timbrul tensometric s ă nu fie
influențat de varia țiile de temperatur ă, materialul din care este confec ționat conductorul

128electric este constantanul sau manganinul, care au un coeficient de dilata ție termic ă
liniară f o a r t e m i c . P e n t r u m ăsurarea vibra țiilor, timbrul tensometric se lipe ște, de
asemenea cu adezivi speciali, pe elementul elastic al sistemului vibrant, la care se
măsoară vibrațiile, astfel încât, în timpul mi șcării sistemului, deforma țiile elementului
elastic și a timbrului tensometric lipit pe el s ă producă variații ale lungimii l a timbrului
tensometric, care se transform ă în variații ale rezisten ței sale electrice R în circuitul
electric în care este conectat la aparatul de m ăsură. Considerând aria S a secțiunii
transversale și rezistivitatea ρa conductorului electric al timbrului tensometric constante,
rezistența electrică și variația sa sunt date de rela țiile cunoscute:
SlRρ= , SlRΔ=Δρ (3.33)
Deoarece, aria S a secțiunii transversale a conductorului electric este foarte mic ă
și lungimea sa l este relativ mare, din prima rela ție (3.33) rezult ă pentru R valori mari, de
ordinul zecilor sau sutelor de ohmi, dar, deoarece varia țiile Δl ale lungimii sale sunt
foarte mici, de ordinul zecimilor sau al sutimilor de milimetrii, din a doua rela ție (3.33)
rezultă pentru ΔR valori mici, de ordinul zecimilor, al sutimilor și chiar a miimilor de
ohmi. Pentru m ăsurarea vibra țiilor, este necesar s ă se măsoare, cu aparatul electric de
măsură, aceste varia ții mici de rezisten ță electrică, proporționale cu deforma țiile elastice
ale elementului elastic al sistemului vibr ant, care, la rândul lor, sunt propor ționale cu
deplasarea vibratorie a masei sistemului vibrant sau cu varia ția oscilatorie a for ței sale
elastice. Un traductor capacitiv este constituit dintr-un condensator electric plan, la care
dielectricul este aerul dintre cele dou ă plăci conductoare ale sale, și care are una din pl ăci
mobilă, legată rigid de organul de ma șină ale cărui vibrații se măsoară. Dacă vibrațiile
sistemului vibrant considerat sunt de transla ț
ie rectilinie, în urma mi șcării de transla ție
rectilinie a pl ăcii mobile a condensatorului se produc varia ții ale distan ței d dintre cele
două plăci, rezultând varia ții ale capacit ății sale electrice C. Dacă vibrațiile acestui sistem
vibrant sunt de rota ție, traductorul capacitiv este cons tituit dintr-un cond ensator electric
plan rotativ și, în urma mi șcării de rota ție a plăcii mobile, se produc varia ții ale ariei S a
suprafețelor plane suprapuse ale celor dou ă plăci, rezultând, de asemenea, varia ții ale
capacității sale electrice C. Cunoscând permeabilitatea electric ă 0ε a aerului, capacitatea
electrică a unui condensator plan și variațiile sale în cele dou ă cazuri prezentate anterior
sunt date de rela țiile cunoscute:
dSC0ε= , ddSC Δ−=Δ2 0ε , dSCΔ=Δ0ε (3.34)
astfel încât, pentru m ăsurarea vibra țiilor cu un astfel de tra ductor capacitiv, este necesar
să se măsoare aceste varia ții mici ale capacit ății sale electrice.
Un traductor inductiv este constituit dintr-o bobin ă electrică, conectat ă la circuitul
electric al aparatului de m ăsură, în interiorul c ăreia se poate mi șca un cap ăt al unui miez
de fier, care are cel ălalt capăt fixat rigid de organul de ma șină mobil, ale c ărui vibrații se
măsoară. Inductan ța L a bobinei depinde de lungimea l a miezului de fier aflat în
interiorul s ău, astfel încât la varia ții Δl ale acestei lungimi, le corespund varia ții ΔL,
proporționale cu Δl, ale inductan ței bobinei. Ca urmare, pentru a se m ăsura vibra țiile unui
sistem cu ajutorul unui astfel de traductor inductiv, este necesar s ă se măsoare aceste
variații mici ale inductan ței bobinei sale.

129 Pentru m ăsurarea tura ției sau a frecven ței de rota ție a unui volant, aflat în mi șcare
de rotație uniform ă, se utilizeaz ă în mod frecvent un traductor inductiv f ără contact,
constituit dintr-o bobin ă electrică cu miez de fier solidar cu bobina. Acest traductor
inductiv f ără contact este fixat într-un suport fix, astfel încât un știft de oțel fixat de
volant să treacă prin dreptul lui în timpul mi șcării de rota ție a volantului, iar în intervalul
scurt de timp, în care știftul se afl ă în dreptul traductorului, apare o varia ție bruscă a
inductanței bobinei sale.
Pentru m ăsurarea unor varia ții mici de rezisten ță electrică ΔR, de capacitate
electrică ΔC, sau de inductan ță ΔL, se folose ște un aparat electric de m ăsură numit punte
de măsură sau punte tensometric ă. Partea principal ă a unei pun ți de măsură este
constituită de o punte Wheatstone, alimentat ă după una din diagonale sale, în curent
electric alternativ, care are frecven ța πων2= mult mai mare decât toate frecven țele
vibrațiilor mecanice de m ăsurat (fig. 3.8.).

Fig. 3.8.
Tensiunea electric ă de alimentare U a punții este armonic ă, având aceea și frecvență
ν și
amplitudinea mU constant ă cunoscut ă. Traductorul principal folosit pentru m ăsurarea
vibrațiilor este conectat într-unul din bra țele punții, având impedan ța TZ egală cu
rezistența electric ă R a traductorului rezistiv, cu reactan ța capacitiv ă CXCω1= a
traductorului capacitiv, sau cu reactan ța inductiv ă L XLω= , a traductorului inductiv. În
brațul opus al pun ții se conecteaz ă un element electric cu impedan ța 2Z constant ă
cunoscută. Într-unul din bra țele alăturate ale pun ții se conecteaz ă un alt traductor, numit
traductor compensator de acela și tip cu cel principal, fixat, în acelea și condiții de mediu
ambiant cu cel principal, într-un suport fix. Impedan ța sa CZ este egal ă, în acelea și
condiții de mediu ambiant, cu cea a traductoru lui principal aflat în repaus, traductorul
compensator fiind folosit pentru compensarea, în timpul efectu ării măsurătorilor, a
variației unor parametrii de mediu ca temperatura, umiditate, etc., care ar putea s ă
afecteze precizia m ăsurătorilor. În cel ălalt braț alăturat al pun ții se conecteaz ă elemente
electrice reglabile, astfel încât, pentru impedan ța lor echivalent ă 1Z, să se poată modifica
continuu și în trepte, între anumite limite, atât rezisten ța lor electric ă, cât și reactanța lor
capacitivă. După cealaltă diagonal ă a punții, se măsoară tensiunea sa electric ă de ieșire
eU, care are valoarea momentan ă exprimat ă de:
()
() ( )2 11 2
Z ZZ ZUZZ ZZU
C TC T
e++−= (3.35)

130 Înainte de efectuarea m ăsurătorilor, dup ă conectarea traductorului principal și a
celui compensator în circuitul elecric al pun ții, conform schemei din fig. 3.8., se
efectueaz ă echilibrarea pun ții, adică se regleaz ă impedan ța 1Z până când tensiunea de
ieșire eU devine nul ă. Ținând seama de rela ția (3.35), condi ția de echilibrare a pun ții
este:
1 2 ZZ ZZC T= (3.36)
În timpul efectu ării măsurătorilor, impedan ța TZ a traductorilor principali are
variații TZΔ în intervale mici de timp, celelalte impedan țe din circuitul electric al pun ții
rămănând, practic, constante. Deoarece T T Z Z<<Δ și ținând seama de condi ția (3.36)
de echilibrare a pun ții, valoarea momentan ă a tensiunii electrice de ie șire a punții, dată de
(3.35), devine:
()UZZ
Z ZZZU
TT
eΔ
+=2
2 121 (3.37)
ceea ce arat ă că semnalul electric de la ie șirea punții, dat de raportul
me
UU este
proporțional cu produsul m ărimilor variabile în timp TZΔ și U.
Având în vedere c ă frecvența ν, numită frecvența purtătoare, a tensiunii electrice
U de alimentare a pun ții, raportul
mUU fiind numit semnal purt ător, este mult mai mare
decât frecven țele de varia ție în timp a impedan ței TZΔ , raportul
TT
ZZΔ, fiind numit
semnal modulator, din (3.37) rezult ă că acest semnal de ie șire al pun ții este o tensiune
electrică modulată în amplitudine de semnalul modulator, raportat ă la amplitudinea mU a
tensiunii electrice de alimentare. Pentru efectuarea m ăsurătorilor, deoarece TZΔ este
proporțional cu vibra ția de măsurat, din semnalul de ie șire al pun ții trebuie s ă fie extras
semnalul modulator, deci trebuie s ă fie îndep ărtat semnalul purt ător prin filtrarea
frecvenței purtătoare, opera ție care se nume ște demodulare. De asemenea, deoarece
semnalul modulator este foarte mic, deci și semnalul de ie șire al pun ții este foarte mic,
înainte de demodulare tensiunea de ie șire a pun ții trebuie s ă fie amplificat ă. Aceste
operații se efectueaz ă pe cale electric ă, cu ajutorul altor circuite electrice și electronice
ale punții de măsură.
Traductorii activi sau generatori transform ă variația energiei cinetice sau
potențiale a unui sistem vibrant în varia ția energiei electrice a unui circuit electric, deci,
oricare din ace știa, furnizeaz ă o tensiune electromotoare în circuitul electric la care este
conectat în aparatul electric de m ăsură.
Pentru m ăsurarea vibra țiilor de transla ție rectilinie ale unui corp dintr-un sistem
mecanic vibrant, cel mai frecvent se folose ște ca traductor activ un traductor
piezoelectric. Func ționarea lui se bazeaz ă pe efectul piezoelectric al unei pl ăci de
dimensiuni mici din cuar ț, din titanat de bariu sau din alte materiale piezoelectrice.
Efectul piezoelectric const ă în faptul c ă, dacă, pe două fețe opuse ale unei pl ăcuțe din
material piezoelectric, ac ționează două forțe de compresiune egale și de sens contrar, pe

131cele două fețe ale plăcuței apar sarcini electrice de semn contrar, care determin ă o
diferență de poten țial electric și genereaz ă o tensiune electromotoare într-un circuit
electric. Dac ă cele dou ă fețe de compresiune sunt variabile în timp, aceast ă diferență de
potențial electric sau tensiunea electromotoare corespunz ătoare urm ăresc varia ția în timp
a forțelor de compresiune, între valorile momentane ale acestor m ărimi existând o rela ție
de propor ționalitate, expprimat ă pe baza constantei piezoelectrice a materialului
piezoelectric al pl ăcuței.
În fig. 3.9. este reprezentat ă schema de principiu a unui traductor piezoelectric.

Fig. 3.9.
Masa seismic ă m este legat ă de carcasa 4 a traductorului prin intermediul unor elemente
elastice 1 și de amortizare 2. Elementul elastic are rolul și de a pretensiona pl ăcile din
material piezoelectric 5 între masa seismic ă și suportul 7 al traductorului, prin
intermediul pl ăcilor electroizolatoare 3 și al plăcuțelor metalice conductoare 6, astfel
încât, tot timpul func țion
ării traductorului, pl ăcile din material piezoelectric s ă fie
solicitate mecanic la compresiune. Suportul 7 al traductorului are un dispozitiv de fixare
pe organul de ma șină mobil, ale c ărui vibrații de transla ție rectilinie se m ăsoară, de obicei
cu magnet permanent sau șurub. Valoarea masei seismice m este mică, constanta elastic ă
a elementului elastic este mare, iar coeficientul de amortizare vâscoas ă verifică relațiile
(3.32), astfel încât, pe baza rela țiilor (3.31), rezult ă că deplasarea relativ ă y a masei
seismice fa ță de carcasa sau fa ță de suportul traductorului este propor țională cu
accelerația vibrației de măsurat. Deoarece, diferen ța de poten țial între bornele A și B ale
traductorului, sau tensiunea electromotoare corespunz ătoare din circuitul electric de
măsură, este propor țională cu variația forțelor de compresiune ale pl ăcilor din material
piezoelectric, iar aceast ă variație, la rândul ei, este propor țională cu deplasarea relativ ă y
a masei seismice, deci cu accelera ția vibrației de măsurat, mai rezult ă că un astfel de
traductor piezoelectric func ționează ca un accelerometru. Pentru m ăsurarea vibra țiilor
mecanice, aceast ă tensiune electromotoare, de valori momentane foarte mici, trebuie s ă
fie amplificat ă, iar semnalul electric furnizat de trad uctor, care este raportul dintre aceast ă
tensiune electromotoare și o tensiune electric ă de referin ță, trebuie s ă fie integrat de dou ă
ori în timp. Aceste opera ții se realizeaz ă de alte circuite electrice ale aparatului de
măsurat.
Pentru m ăsurarea vibra țiilor de rota ție ale unui volant dintr-un sistem mecanic
vibrant, cel mai frecvent se folose ște ca traductor activ un traductor electrodinamic.
Acesta func ționează pe principiul aparatelor cu punct fix, fiind un generator electric cu
statorul fix și cu rotorul legat printr -o transmisie mecanic ă, de volant. Deoarece tensiunea
electromotoare indus ă este propor țională cu viteza unghiular ă a vibrațiilor de rota ție și
aceasra are valori momentane suficient de mari pentru a putea fi m ăsurate fără

132amplificare, aparatul electric de m ăsură trebuie s ă realizeze numai integrarea odat ă în
timp a semnalului electric furnizat de acest traductor electrodinamic.
Un alt aparat electric de m ăsură, folosit frecvent pentru m ăsurarea unor elemente
ale vibra țiilor mecanice de transla ție rectilinie sau de rota ție, având principiul de
funcționare diferit de al aparatelor electrice de m ăsură prezentate anterior, este
stroboscopul. Func ționarea acestui aparat se bazeaz ă pe efectul stroboscopic al unei
succesiuni periodice de impulsuri luminoase, de durat ă foarte mic ă și cu frecven ța de
repetiție reglabil ă duficient de mare, asupra ochiului omenesc. Folosind aceast ă
succesiune de impulsuri luminoase, generate de lampa stroboscopic ă a aparatului, pentru
iluminarea unui reper practicat pe organul de ma șină care are vibra ții armonice și reglând
frecvența de repeti ție a impulsurilor, de la generatorul interior al aparatului, pân ă când
aceasta devine egal ă cu frecven ța vibrațiilor, ochiul omenesc vede acest reper numai când
este iluminat, în aceea și poziție față de un sistem de referin ță fix, deci imaginea reperului
mobil este "înghe țată" . Î n a c e s t m o d , m ăsurând frecven ța generatorului interior al
stroboscopului, se poate m ăsura frecven ța unor vibra ții mecanice armonice sau periodice.
Dacă frecvența de repeti ție a impulsurilor luminoase difer ă foarte pu țin de cea a
vibrațiilor reperului considerat, ochiul omenesc vede acest reper deplasându-se foarte lent
între cele dou ă poziții extreme ale mi șcării sale vibratorii, astfel încât, cu ajutorul
stroboscopului, se poate m ăsura și amplitudinea unor vibra ții armonice. Dac ă
amplitudinea vibra ției se măsurat este mic ă, sub 1 mm, pe lâng ă stroboscop se folose ște
un dispozitiv optic de m ărire a imaginilor vizuale (un microscop), prev ăzut cu un ocular
cu reticul, având scala gradat ă în micrometrii.

3.8. Măsurători de vibra ții și prelucrarea semnalelor

Studiul teoretic al comport ării dinamice a unor ma șini sau agregate, a unor
structuri de rezisten ță din construc ții ediliate sau industriale, precum și a unor instala ții cu
diferite destina ții, se efectueaz ă pe baza unui model mecanic. Datorit ă caracterului
preponderent elastic al deforma țiilor legăturilor interioare și exterioare, precum și al
deformațiilor altor elemente componente din astfel de structuri mecanice, mi șcările
staționare, determinate pe baza modelului mecanic, sunt sau vibratorii, sau sunt înso țite
de vibrații mecanice. În cele mai frecvente cazuri întâlnite în aplica ții, un astfel de model
mecanic este constituit din modelul unui sistem vibrant cu mase concentrate, aflate în
mișcare de transla ție rectilinie sau de rota ție, având un num ăr finit de grade de libertate.
Chiar și o structur ă de corp continuu, pe baza unor metode de discretizare, cum ar fi
metoda elementului finit, se poate reduce la un astfel de model mecanic.
Pentru studiul teoretic, în prim ă aproxima ție, a comport ării dinamice a unei
structuri mecanice, se consider ă că modelul s ău mecanic este liniar, astfel încât ecua țiile
diferențiale ale mi șcării sale sunt liniare cu coeficien ți constanți. Pentru efectuarea acestui
studiu teoretic, trebuie s ă fie cunoscute for țele exterioare perturbatoare ce ac ționează
asupra maselor concentrate, transmise prin sistemul de ac ționare sau prin leg ăturile
exterioare, care se mai numesc m ărimi de intrare ale modelului mecanic, sau ale structurii
mecanice, precum și parametrii dinamici ai structurii mecanice, care sunt elementele
matricelor de iner ție, de amortizare vâscoas ă și de rigiditate sau de flexibilitate pentru
modelul s ău mecanic. Legile de mi șcare ale maselor concentrate, rezultate în urma

133studiului teoretic, se mai numesc m ărimi de ie șire ale modelului mecanic considerat sau
ale structurii mecanice corespunz ătoare. Dac ă s e c u n o s c a c e s t e m ărimi de ie șire și
parametrii dinamici ai unei structuri mecanice, pe baza modelului s ău mecanic și a
ecuațiilor de mi șcare corespunz ătoare se pot determina m ărimile sale de ie șire. De
asemenea, dac ă se cunosc m ărimile de intrare și de ieșire ale modelului unui sistem
mecanic vibrant, precum și o parte din parametrii s ăi dinamici (de exemplu elementele
matricii de iner ție, care se pot determina u șor experimental sau prin calcule), se pot
evalua, cu un anumit grad de aproxima ție, ceilalți parametrii dinamici ai sistemului, pe
baza studiului teoretic efectuat. Aceast ă ultimă problemă se mai nume ște identificarea
unui sistem mecanic vibrant. În fazele de proiectare, execu ție și omologare ale unui nou prototip, scopul
oricăror măsurători de vibra ții este determinarea experimental ă a mărimilor de intrare, de
ieșire și/sau a parametrilor dinamici pentru o structur ă mecanic ă reală, după care se
compară m
ărimile determinate experimental cu cele rezultate din studiul teoretic pe baza
modelului mecanic corespunz ător. Dacă, în urma acestor compara ții, între m ărimile
calculate sau evaluate ini țial în cadrul studiului teoretic și cele determinate experimental
se obțin diferen țe mari, rezult ă că modelul mecanic folosit pentru studiul teoretic este
necorespunz ător și acesta trebuie s ă fie modificat, pân ă când aceste diferen țe ajung mici,
situate între anumite limite admisibile. Pentru a se putea evalua structura modelului mecanic al unui sistem vibrant real, este necesar ca semnalele de ie șire de la aparatele
folosite pentru efectuarea m ăsurătorilor, care, în general, sunt propor ționale cu valorile
momentane ale m ărimilor de ie șire ale sistemului vibrant, s ă fie analizate și prelucrate
modal, astfel încât s ă se determine m ărimile caracteristice ale modelului mecanic,
corespunz ătoare modurilor sale naturale de vibra ție, și anume pulsa ții proprii, vectori
proprii și parametrii dinamici modali. De asemenea, deoarece, în general, vibra țiile unui
sistem mecanic real cu caracter aleator, datorit ă neliniarit ăților și jocurilor din sistem,
precum și datorită caracterului aleator al for țelor perturbatoare, este necesar ca aceste
semnale de ie șire de la aparatele de m ăsurat vibra ții să fie analizate și prelucrate statistic.
Folosind aparate electrice de m ă
surat vibra țiile, cu traductori activi sau pasivi, analiza și
prelucrarea semnalelor se poate realiza pe cale electric ă, cu ajutorul unor aparate electrice
și electronice pentru prelucrarea semnalelor. Astfel, pentru analiza modal ă a semnalelor,
un aparat electric de prelucrare a semnalelor frecvent utilizat este analizorul spectral, care conține mai multe filtre electrice de band ă de frecven țe foarte îngust ă, furnizând spectrul
de frecven țe al semnalului. Pentru analiza statistic ă a semnalelor se folosesc frecvent
corelatoarele, care furnizeaz ă funcția de autocorela ție a unui semnal sau func ția de
intercorela ție a două semnale. În prezent, cu ajutorul calculatoarelor electronice, se poate
efectua o analiz ă complex ă a semnalelor, prin prelucrarea lor numeric ă. Pentru aceasta,
semnalele de la ie șirea aparatelor electrice de m ăsurat vibra ții se înregistreaz ă pe bandă
magnetică, iar apoi, prin intermediul unui convector analog – numeric, sunt introduse ca
date în memoria operativ ă a calculatorului.
În timpul exploat ării unei ma șini, a unui agragat, sau a unui utilaj dintr-o unitate
industrial ă, periodic se efectueaz ă măsurători ale unor m ărimi de ie șire ale sistemului
vibrant corespunz ător, numite m ăsurători de nivel al vibra țiilor, care se compar ă cu
valorile admisibile standardizate. Aceste m ăsurători de nivel al vibra țiilor dau indica ț
ii
pentru evaluarea gradului de uzur ă al unor organe de ma șină și furnizeaz ă elemente
cantitative, care se pot compara cu normele pentru valori admisibile, din punctul de

134vedere al confortului omului, al bunei func ționări a utilajului, sau al siguran ței privind
rezistența la oboseal ă a unor ogane de ma șină. În general, m ăsurătorile de nivel al
vibrațiilor se efectueaz ă atât în regimurile sta ționare de func ționare ale utilajului, cât și în
unele regimuri tranzitorii. În cazul unor ma șini sau utilaje complexe, m ărimile de intrare ale sistemului
vibrant corespunz ător sunt mai greu de m ăsurat. Dac ă acest lucru este posibil, pentru
măsurarea for țelor sau a momentelor perturbatoare se folosesc traductori de for ță,
respectiv traductori de moment de for ță, care se realizeaz ă, de obicei, cu timbre
tensometrice.
Pentru identificarea unui sistem mecanic vibrant, care se poate reduce la un model mecanic cu un singur grad de libertate, se poate folosi diagrama legii de mi șcare,
înregistrat ă pe hârtie, pentru vibra țiile libere ale sistemului. Din aceast ă diagramă, care
este o vibra ție amortizat ă, cunoscând vitezele u [mm/s] de deplasare a hârtiei în timpul
înregistrării și măsurând, dup ă axa timpului, distan ța
nτ [mm], corespunz ătoare pentru n
oscilații complete, se poate determina pseudoperioada T a mișcării. De asemenea,
măsurând, dup ă cealaltă axă de coordonate, distan țele ix [mm] ( )1,,1+= n i… de la axa
timpului pân ă la punctele de maxim sau de minim din diagrama legii de mi șcare, se poate
determina decrementul logaritmic δ. Aceste m ărimi determinate experimental au valorile:
nuTnτ= [s],
11ln1
+=
nxx
nδ (3.38)
Deoarece masa m [kg], sau momentul de iner ție axial J [kg·m2], față de axa de rota ție,
pentru modelul mecanic considerat, se poate determina u șor, experimental sau prin
calcule, cu valorile date de (3.38) se pot determina ceilal ți parametrii dinamici ai
sistemului, care sunt:
Tmcδ2= [Ns/m], ()2 2
24δπ+=
Tmk [N/m] (3.39)
dacă modelul mecanic este de transla ție, respectiv:
TJ Cδ2= [Nm/s], ()2 2
24δπ+=
TJK [N·m] (3.40)
dacă modelul mecanic este de rota ție.
În cazul în care, din a doua rela ție (3.38), pentru decrementul logaritmic se ob ține
o valoare foarte mic ă, astfel încât 25,0<δ pentru care 04,0<
crcc, rezultă că amortizarea
vâscoasă a sistemului este foarte mic ă și pseudopulsa ția vibrației amortizate este foarte
apropiată de pulsa ția proprie a sistemului f ără amortizare. În acest caz, cu o bun ă
aproxima ție, decrementul logaritmic al vibra ției amortizate se poate calcula cu rela țiile:

nn n
xxx
xxx
xxx1
23 2
12 1 +−==−=−= " δ (3.41)
În mod analog, se poate efectua identificarea unui sistem mecanic vibrant cu un
singur grad de libertate, dac ă amortizarea sistemului este dat ă de forța de frecare uscat ă,
având valoarea constant ă R [N], în intervalul de timp dintre dou ă momente consecutive în
care se anuleaz ă viteza, considerând modelul mecanic al sistemului de transla ție. În acest

135caz, cu prima rela ție (3.38), se determin ă perioada T a vibrațiilor libere și neamortizate
ale sistemului, cu ajutorul c ăreia rezult ă:
Tnπω2= [s-1], 224
Tmkπ= [N/m] (3.42)
unde s-a presupus valoarea masei m [kg] a sistemului cunoscut ă.
De asemenea, știind că valoarea absolut ă a diferen ței dintre dou ă valori succesive de
maxim sau de minim, din diagrama legii de mi șcare, este egal ă cu kR4, valoarea for ței de
frecare rezult ă:
1 223
1310
410
+−
+−
− =−=i i i i xx
TmxxkRπ (3.43)
în care s-a ținut seama de a doua rela ție (3.42). Dac ă 1 2 1 x xx<<− și raportul
adimensional
12 1
xxx− este mai mic decât 0,25 , amortizarea uscat ă a sistemului se poate
echivala cu o amortizare vâscoas ă foarte mic ă, decrementul logaritmic corespunz ător
fiind calculat cu prima rela ție (3.41). Din rela țiile (3.41) și (3.43) rezult ă că, într-o
pseuduperioad ă T a mișcării, cuprins ă între momentele it, în care legea de mi șcare are
elongația maxim ă sau minim ă ix, și 1+it, în care aceasta are valoarea extrem ă de același
fel 1+ix, amortizarea uscat ă a sistemului se poate echivala cu o amortizare vâscoas ă foarte
mică, atâta timp cât decrementul logaritmic corespunz ător
ii i
ixxx1+−=δ este mai mic
decât 0,25.
În cazul unei structuri mecanice complexe pentru identificarea unui sistem
mecanic vibrant echivalent, cu un num ăr finit de grade de libertate, este necesar s ă se
măsoare vibra țiile forțate ale sistemului, în anumite puncte corespunz ătoare ale structurii,
sub acțiunea unei for țe perturbatoare armonice cunoscute, având amplitudinea și pulsația
reglabile. For ța perturbatoare este aplicat ă într-un punct ales convenabil al structurii,
astfel încât s ă se poată excita toate modurile de vibra ție ale sistemului mecanic vibrant
echivalent. În general, pentru ob ținerea unei for țe perturbatoare armonice cu amplitudinea
și frecven ța reglabile între anumite limite, se folose ște un vibrator electrodinamic,
alimentat cu o tensiune electric ă alternativ ă de la un generator de frecven ță variabilă, prin
intermediul unui amplificator de putere. De oarece puterea unui astfel de vibrator
electrodinamic este limitat ă, având în general, o valoare constant ă cunoscut ă pe întregul
domeniu de frecven țe pentru care se efectueaz ă măsurătorile, amplitudinea vibra ției
perturbatoare depinde atât de frecven ța sa, cât și de amplitudinea vibra ției forțate a
punctului s ău de aplica ție. Ca urmare, este necesar ca for ța perturbatoare s ă fie aplicat ă
asupra structurii prin intermediul unui traductor de for ță, pentru a m ăsura amplitudinea
sa, iar unul din punctele de m ăsură ale mărimilor de ie șire ale sistemului vibrant trebuie
să fie punctul s ău de aplica ție, pentru a m ăsura amplitudinea vibra ției acestuia. În acest
fel, dacă sistemul mecanic vibrant echivalent are n grade de libertate, pentru o anumit ă
frecvență a forței perturbatoare se efectueaz ă un set de m ăsurători prin cele n+1 canale de
măsură, unul pentru m ărimea de intrare și n pentru m ărimile de ie șire ale sistemului
vibrant. În continuare, se efectueaz ă cât mai multe seturi de m ăsurători pentru cât mai

136multe valori ale frecven ței forței perturbatoare din domeniul de frecven țe pentru care se
efectueaz ă măsurătorile, corespunz ător domeniului în care se apreciaz ă că se află toate
pulsațiile proprii ale sistemului mecanic vibran t echivalent. Determinarea amplitudinilor
vibrațiilor forțate ale structurii mecanice în func ție de frecven ță sau pulsa ția forței
perturbatoare armonice se nume ște determinarea r ăspunsului în frecven ță al sistemului
vibrant echivalent. Identificarea acestui sistem mecanic vibrant se efectueaz ă pe baza
analizei modale a r ăspunsului s ău în frecven ță, respectiv a semnalelor de ie șire de la
aparatele electrice de m ăsură folosite, corespunz ătoare tuturor seturilor de m ăsurători, iar
pentru aceasta, datorit ă volumului mare de m ăsurători, prelucrarea semnalelor trebuie s ă
se facă numeric cu ajutorul mijloacelor de calcul electronic.

4. VIBRAȚII NELINIARE ȘI PARAMETRICE

4.1. Considera ții generale

În general, vibra țiile sistemelor mecanice reale sunt neliniare, deoarece ecua țiile
diferențiale ale mi șcării, pentru studiul dinamicii acestora, rezult ă neliniare. Numai
pentru studiul în prim ă aproxima ție al mișcării unui sistem mecanic real, se poate
considera un model mecanic liniar, pentru care se studiaz ă micile oscila ții ale sistemului
în jurul unei pozi ții de echilibru static. În multe aplica ții tehnice ale teoriei vibra țiilor
mecanice liniare, acest studiu în prim ă aproxima ție este suficient pentru stabilirea
caracterului general al mi șcării sistemului în timpul unui regim sta ționar de func ționare,
precum și pentru determinarea regimurilor în care anumite organe de ma șină sunt supuse
la solicit ări dinamice maxime, astfel încât se pot efectua calculele inginere ști de
dimensionare și de verificare la solicit ări variabile ale acestor organe de ma șină. Există,
însă, cazuri, în care apar a șa numitele fenomene de bifurca ție, care sunt caracteristice
pentru comportarea dinamic ă a sistemelor mecanice neliniare. Într-un astfel de fenomen
de bifurca ție, atunci când o m ărime mecanic ă atinge o valoare critic ă, unele elemente ale
mișcării sistemului se schimb ă brusc. În general, o valoare critic ă a mărimii mecanice
considerate, desparte dou ă domenii de valori ale sale, unul în care mi șcarea sistemului
este stabil ă, iar celălalt în care aceasta este instabil ă.
Metoda cea mai general ă, pentru stabilirea ecua țiilor diferen țiale ale mi șcării unui
sistem mecanic real, este cu ajutorul ecua țiilor lui Lagrange de spe ța a II-a. Pentru

137aceasta, dac ă sistemul mecanic are un num ăr finit de grade de libertate, iar toate leg ăturile
exterioare sunt olonome, se calculeaz ă forțele generalizate perturbatoare, energia cinetic ă
a sistemului, energia sa poten țială, precum și funcția sa de disipare a energiei, ținând
seama de caracterisiticile elastice reale, neli niare, ale elementelor elastice, de amortiz ările
structurale, de for țele de frecare și de rezisten ță a mediului. Cu aceste m ărimi calculate,
ecuațiile diferen țiale ale mi șcării sistemului rezult ă neliniare, exprimându-se sub form ă
matriceală:
[]{}[]{}[]{}{}Q qD qC qB =++
(4.1)
în care{}q este matricea coloan ă a coordonatelor generalizate, {}Q este matricea coloan ă
a forțelor generalizate perturbatoare, []B este matricea de iner ție, []C este matricea de
amortizare, iar []D este matricea de rigiditate. Pentru sistemul neliniar considerat,
elementele matricei de iner ție pot să depindă de coordonatele generalizate, iar elementele
matricelor []C și []D depind, în general, de timp, de coordonatele generalizate și de
vitezele generalizate.
În cele ce urmeaz ă, în acest capitol se va pune accent pe studiul vibra țiilor
neliniare ale unui sistem cu un singur grad de libertate. Metodele de studiu, precum și
unele rezultate ale studiului vibra țiilor neliniare pentru aceste sisteme, se pot extrapola în
cazul sistemelor mecanice cu mai multe grade de libertate.
Clasificarea vibra țiilor neliniare ale unui sistem mecanic cu un singur grad de
libertate se face dup ă forma ecua ției diferen țiale a mi șcării. Considerând un astfel de
sistem neliniar, care are, în general, mas ă constantă, dacă se reduce la un model mecanic
de transla ție, sau momentul de iner ție axial constant, dac ă se reduce la un model de
rotație, ecuația sa de mi șcare și toate m ărimile energetice se exprim ă prin mărimi
specifice, raportate la mas ă, respectiv la momentul de iner ție axial fa ță de axa de rota ție.

a) Vibrații libere, neliniare, pentru care ecua ția specific ă de mișcare este de
forma:
() 0 ,=+ qqfq (4.2)
unde()qqf, este o func ție neliniar ă de coordonata generalizat ă q și de viteza generalizat ă
q. Dacă f este o func ție neliniar ă, depinzând numai de q, sistemul mecanic corespunz ător
este conservativ, având ecua ția specific ă de mișcare de forma:
() 0=+qfq (4.3)
De asemenea, se pot întâlni cazuri în care ecua ția specific ă de mișcare (4.2) are
una din formele particulare:
() 0 2 =++ qfq qε (4.4)
() 0 ,2=++ q qqfqnω (4.5)
în careε și nω sunt constante pozitive, iar ε fiind factor de amortizare vâscoas ă pentru
un sistem liniar, iar nω fiind pulsa ție proprie pentru un sistem liniar. Sistemul mecanic cu
ecuația de mișcare (4.4) are numai caracteristica elastic ă neliniară, iar cel cu ecua ția de
mișcare (4.5) are numai caracteristica de amortizare neliniar ă.

138b) Vibrații forțate neliniare, pentru care ecua ția specific ă de mișcare este de
forma:
() ( ) tP qqtfq = +  ,, (4.6)
în care ()tP este forța generalizat ă perturbatoare specific ă, cu dimensiune de accelera ție
generalizat ă, fiind armonic ă sau periodic ă în timp. În unele cazuri, ecua ția (4.6) se
exprimă sub o altă formă, prin explicarea termenilor liniari, și anume:
()()tPqqtf q q q = +++   ,, 212
0 0 μωε (4.7)
în care to ți termenii neliniari sunt cuprin și în funcția 1f . Dacă parametrul constant μ
are o valoare mic ă, se spune c ă sistemul mecanic corespunz ător este slab neliniar, iar μ
se numește parametru mic. Dac ă q nu apare explicit în membrul stâng al ecua ției (4.7),
nici în func ția 1f, se spune c ă sistemul mecanic corespunz ător are vibra ții forțate
neamortizate neliniare.

c) Autovibra ții sau vibra ții autoexcitate pot ap ărea în sisteme mecanice cu
caracteristica de amortizare neliniar ă, la care func ția neliniar ă f din ecuația (4.5) se poate
exprima sub una din formele:
()qqh f  2= , ()qqh f 2= , ()qqqh f ,2= (4.8)

unde h reprezint ă un factor de amortizare variabil. A șa cum se va ar ăta în unele din
paragrafele urm ătoare, în anumite intervale de timp ale mi șcării sistemului, func ția h
poate avea valori negative și, în acele intervale de timp, amplitudinile vibra țiilor libere
ale sistemului iau valori cresc ătoare în timp. Rezult ă că, în aceste intervale de timp, lucrul
mecanic al for ței de amortizare este pozitiv, iar for ța de amortizare fiind interioar ă
sistemului, vibra țiile corespunz ătoare sunt autoîntre ținute sau autoexcitate.

d) Vibropercu ții sau mi șcări vibropercutante pot s ă apară în sistemele
mecanice cu jocuri sau cu limitatori ai mi șcării, mumite sisteme vibropercutante, în
timpul mi șcării acestora, având loc ciocniri repetate. Chiar dac ă, între dou ă ciocniri
consecutive, ecua țiile de mi șcare ale unui sistem vibropercutant sunt liniare cu coeficien ți
constanți, în ansamblu un astfel de sistem mecanic este neliniar, datorit ă caracterului
profund neliniar și discontinuu al ciocnirilor. Exist ă numeroase aplica ții tehnice, în care
mișcările vibropercutante periodice ale unui sistem vibropercutant sunt folosite în
anumite procese tehnologice.
e)
Vibrațiile parametrice ale unui sistem mecanic sunt liniare, dar coeficien ții
din ecuațiile diferen țiale ale mi șcării sale, deci parametrii dinamici ai sistemului, sunt
variabili în timp, având, în general, o varia ție periodic ă cu aceea și perioadă. În cele mai
frecvente cazuri întâlnite în aplica ții, ecuația specific ă de mișcare a unui sistem mecanic
cu un singur grad de libertate, care are vibra ții parametrice, se exprim ă sub forma
generală:
() () 0 2 =++ qtPqtQ q 
(4.9)

139Întotdeauna, cu ajutorul unei transform ări de variabil ă, ecuația (4.9) se poate
aduce la forma:
() 0=+ qtPq (4.10)
numită ecuația lui Hill . Pentru a produce varia ția periodic ă în timp a parametrilor
dinamici P și Q din ecua ția general ă (4.9), este necesar ca, din exterior, s ă se introduc ă
energie mecanic ă în sistem, printr-o for ță aplicată printr-o leg ătură rigidă, aceasta
constituind a șa – numita excita ție parametric ă.

O proprietate caracteristic ă a ecuațiilor diferen țiale ale mi șcării unui sistem
mecanic neliniar, const ă în faptul c ă, acestora nu li se poate aplica principiul
suprapunerii. Aceasta înseamn ă că, dacă se cunosc dou ă sau mai multe solu ții ale
ecuațiilor diferen țiale neliniare, o combina ție liniară a acestor solu ții particulare nu este
soluție a ecua țiilor respective. Ca urmare, pentru studiul mi șcării unui sistem mecanic
neliniar, integrarea ecua țiilor diferen țiale ale mi șcării sale trebuie s ă se efectueze pornind
de la condi țiile inițiale ale mi șcării, astfel încât rezult ă că, spre deosebire de sistemele
liniare, toate elementele mi șcării sale depind de aceste condi ții inițiale. De asemenea, în
cazul vibra țiilor neliniare, nu se poate exprima o solu ție general ă pentru vibra țiile forțate
ale sistemului ca suprapunerea unor componente tranzitorii și forțate, așa cum se putea
face la vibra țiile liniare ale unui sistem mecanic. În general, solu țiile ecua țiilor
diferențiale neliniare nu se pot exprima cu ajutorul unor func ții analitice de o variabil ă
independent ă reală (timpul), astfel încât, pentru studiul mi șcării unui sistem neliniar, este
necesar să se foloseasc ă metode aproximative pentru determinarea acestor solu ții. O altă
problemă important ă pentru sistemele mecanice neliniare este studiul stabilit ății
mișcărilor acestora, care nu întotd eauna se poate efectua în prim ă aproxima ție, pri
liniarizarea ecua țiilor diferen țiale în perturba ții.
În cazul vibra țiilor parametrice, de și ecuațiile diferen țiale ale mi șcării sunt liniare
și, pentru acestea, se poate aplica principiul suprapunerii, este foarte dificil de determinat
soluții particulare ale ecua țiilor diferen țiale și, în general, aceste solu ții particulare nu se
pot exprima cu ajutorul func țiilor analitice cunoscute. Ca urmare, ca și în cazul vibra țiilor
neliniare, pentru studiul mi șcărilor unui sistem mecanic, care are vibra ții parametrice, se
folosesc metode aproximative pentru determinarea solu țiilor ecua țiilor diferen țiale ale
mișcării.
În cele ce urmeaz ă, se prezint ă unele metode aproximative pentru determinarea
soluțiilor ecua țiilor diferen țiale ale mi șcării, în cazul vibra țiilor neliniare și parametrice.
Se pune accent pe metodele analitice, cel mai frecvent folosite în aplica ții, care, în
general, au caracter iterativ, determinându-se aproxima ții succesive ale solu ției exacte.
Pentru o bun ă aproximare a solu ției exacte, în general, este necesar s ă se calculeze cât
mai multe aproxima ții succesive ale sale, astfel încât, datorit ă volumului mare de calcul,
chiar și în cazul sistemelor neliniare cu un singur grad de libertate, se folosesc
calculatoarele electronice. Pentru aceasta, pe baza metodei aproximative folosite, se
elaboreaz ă un algoritm de calcul și se întocme ște un program într-un limbaj de
programare accesibil calculatorului.

4.2. Studiul în planul fazelor al vibra țiilor libere neliniare

140
Planul fazelor asociat unui sistem mecanic cu un singur grad de libertate este
planul de coordonate carteziene Oxy, în care coordonatele unui punct curent, numit punct
reprezentativ al mi șcării sistemului, sunt:
qx=,
0ωqy= (4.11)
unde 0ω este o constant ă pozitivă aleasă convenabil, având dimensiune de pulsa ție. În
timpul mi șcării sistemului mecanic, punctul reprezentativ al mi șcării sale descrie în
planul fazelor o curb ă plană, numită traiectorie de faz ă. Viteza jyixVGGG
+= a punctului
reprezentativ, care este tangent ă la traiectoria de faz ă, având direc ția dată de coeficientul
unghiular al tangentei dxdy , determin ă sensul în care aceasta parcurge traiectoria de
fază, în timpul mi șcării sistemului.
Deoarece y qx Vx 0ω=== , rezultă că în semiplanul superior al planului fazelor,
în care 0>y , punctul reprezentativ parcurge traiectoria de faz ă întotdeauna de la stânga
spre dreapta, în sensul pozitiv al axei Ox, iar în semiplanul inferior, în care 0<y , acesta
se deplaseaz ă de la dreapa spre stânga, în sensul negativ al axei Ox. De asemenea,
deoarece y q VxVydxdy2
0ω== și pentru 0==qy se obține ±∞=dxdy , dacă
0≠q , rezultă că traiectoria de faz ă intersecteaz ă ortogonal axa Ox, în punctele sale în
care nu se anuleaz ă, simultan cu viteza generalizat ă, accelera ția generalizat ă a sistemului.
Cunoscând mai multe traiectorii de faz ă, determinate în diferite condi ții inițiale
ale mișcării sistemului, se poate aprecia caracterul general al mi șcării sale și se pot
determina unele propriet ăți importante ale acestei mi șcări, chiar dac ă legile de mi șcare
ale sistemului, pentru condi țiile inițiale considerate, nu sunt cunoscute.
Pentru studiul în planul fazelor al vibra țiilor libere neliniare ale unui sistem
mecanic cu un singur grad de libertate, se consider ă ecuația general ă de mișcare (4.2), în
care se efectueaz ă substituțiile date de (4.11), astfel încât rezult ă:
dtdx
dtdqy
0 01 1
ωω== , () yxf qdtdy
0 0 ,ω ω −==
(4.12)
Eliminând timpul între cele dou ă ecuații (4.12), se ob ține:
()
yy xf
dxdy
2
00,
ωω−= (4.13)
care este ecua ția diferen țială de ordinul întâi a traiectoriilor de faz ă. Dacă ecuația (4.13)
se poate integra, se ob țin curbele integrale, care sunt traiectoriile de faz ă, sub forma
implicită:
() 0 ,,=Cyxg (4.14)
unde C este o constant ă de integrare, determinat ă din condi țiile inițiale considerate pentru
fiecare traiectorie de faz ă.
Deoarece membrul stâng al ecua ției diferen țiale (4.13) reprezint ă coeficientul
unghiular al tangentei la oricare din traiectoriile de faz ă date de (4.14), din (4.13) rezult ă
că acesta este determinat în oricare din punctele din planul fazelor, numite puncte

141ordinare, cu excep ția punctelor de pe axa Ox, numite puncte singulare, pentru care se
anulează atât numitorul, cât și numărătorul din membrul drept al ecua ției (4.13). Ca
urmare, un punct singular din planul fazelor are coordonatele χxși χyce verific ă
condițiile:
0=χy , ()00,=χxf (4.15)
deci pozi ția corespunz ătoare χχx q= este o pozi ție de echilibru static a sistemului
considerat. Într-adev ăr, dacă o traiectorie de faz ă trece prin acest punct singular, în
momentul de timp în care punctul reprezentativ atinge punctul singular, viteza
generalizat ă χ χωy q0= a sistemului este nul ă, iar accelera ția sa generalizat ă
()0,χ χxf q−= rezultă, de asemenea, nul ă.
În conformitate cu teorema lui Cauchy , printr-un punct ordinar trece o singur ă
traiectorie de faz ă. Rezultă că traiectoriile de faz ă nu se pot intersecta în puncte ordinare,
existând posibilitatea ca ele s ă se intersecteze în puncte singulare din planul fazelor, în
care coeficientul unghiular al tangentei este nedeterminat.
Dac ă, pe o traiectorie de faz ă ce trece printr-un punct singular, sensul de deplasare
a punctului reprezentativ este spre punctul singular, rezult ă că poziția de echilibru static
corespunz ătoare a sistemului, atins ă când punctul reprezentativ al mi șcării ajunge în
punctul singular, este stabil ă; în caz contrar, aceasta este instabil ă. Dacă, în jurul unui
punct singular, o traiectorie de faz ă intersecteaz ă de foarte multe ori axa Ox în puncte
ordinare, situate, succesiv, de o parte și de cealalt ă parte față de punctul singular, rezult ă
că mișcarea sistemului este vibratorie, dar neperiodic ă, iar stabilitatea acestei mi șcări se
apreciază după cum sensul de mi șcare al punctului reprezentativ pe traiectoria de faz ă
determină o apropiere sau o îndep ărtare a acestuia de punctul singular. Dac ă fiecare din
traiectoriile de faz ă din jurul unui punct singular intersecteaz ă cel mult o dat ă axa Ox
într-un punct ordinar, mi șcările corespunz ătoare ale sistemului sunt nevibratorii, toate
fiind stabile, dac ă punctul reprezentativ se apropie de punctul singular pe oricare din
traiectoriile de faz ă, și instabile în sens contrar. Pentru ca un sistem mecanic, neliniar, cu
un singur grad de libertate, s ă aibe mișcarea dată de o vibra ție periodic ă, în acest caz
mișcarea fiind și stabilă, este necesar ca toate traiectoriile de faz ă din jurul punctului
singular s ă fie curbe închise, fiecare dintre ele intersectând axa Ox în dou ă puncte
ordinare, situate de o parte și de cealalt ă parte față de punctul singular. În cazul vibra țiilor
neliniare libere ale acestor sist eme, se mai poate întâlni situa ția în care traiectoriile de
fază din jurul unui punct singular, de forma unor spirale, se apropie asimptotic de o curb ă
închisă din planul fazelor, numit ă ciclu limit ă stabil. Astfel de situa ții se întâlnesc
frecvent la sistemele cu caracteristica de amortizare neliniar ă, ciclul limit ă stabil sau
semistabil (la care traiectoriile de faz ă se apropie de ciclul limit ă numai din interiorul s ău
sau numai din exteriorul s ău) determinând apari ția autovibra țiilor.

4.3. Puncte singulare și traiectorii de faz ă pentru sisteme liniare

142 În acest paragraf se prezint ă forma traiectoriilor de faz ă din jurul punctului
singular pentru un sistem mecanic liniar cu un singur grad de libertate, având vibra ții
libere, deoarece traiectorii de faz ă de formă foarte apropiat ă se regăsesc în jurul punctelor
singulare, în cazul vibra țiilor libere ale unor sisteme mecanice neliniare. Aceast ă
observație rezultă și din faptul c ă micile oscila ții ale unui sistem mecanic neliniar, în jurul
unei poziții de echilibru static, se poate studia, cu o bun ă aproxima ție, pe baza unui model
mecanic liniar. Un sistem mecanic liniar cu un singur grad de libertate are o singur ă poziție de
echilibru static, pentru care
0=q , deci, în planul fazelor îi corespunde un singur punct
singular, având coordonatele 0==χχy x . Pentru reprezentarea traiectoriilor de faz ă, se
determină legile de mi șcare ale sistemului, a șa cum s-a ar ătat în capitolul 1 , de forma
()2 1,,CCtqq= , unde 1C și 2C sunt constante de integrare. Folosind substitu țiile (4.11),
în care0ω se consider ă egal cu pulsa ția proprie nω, iar apoi eliminând timpul între x și y,
se obțin ecuațiile traiectoriilor de faz ă sub forma:
() 0 ,,,2 1 1 =CCyxg (4.16)
care, întotdeauna, se pot aduce la forma (4.14).
În cele ce urmeaz ă, se prezint ă aceste traiectorii de faz ă pentru punctele singulare
care pot s ă apară în planul fazelor pentru un sistem liniar.
a) În cazul vibra țiilor libere și neamortizate ale unui sistem liniar, ecua ția
specifică de mișcare este:

02=+q qnω (4.17)
care are solu ția general ă armonică, de forma ()γω+ = t Cqn cos . Ecuațiile traiectorilor de
fază rezultă de forma (4.14), fiind cercuri cu centrul în punctul singular și de rază C
(fig.4.1.). Punctul singular, în acest caz, se nume ște centru și este stabil.

Fig. 4.1.

b) Dacă un sistem liniar ar avea ecua ția specific ă de mișcare de forma:

02=−q qnω (4.18)
soluția general ă se poate exprima, cu ajutorul unei func ții hiperbolice, sub forma
()γω+⋅= t chCqn . Ecuațiile traiectoriilor de faz ă rezultă tot de forma (4.14), fiind
hiperbole de ecua ții 2 2 2C y x=− (fig. 4.2.). Pentru C=0 se obțin ca traiectorii de faz ă
două drepte, și anume prima și a doua bisectoare a planului fazelor, care se numesc

143separatoare. Toate mi șcările sistemului, corespunz ătoare tuturor traiectoriilor de faz ă,
sunt nevibratorii.

Fig. 4.2.
Punctul singular, în acest caz, se nume ște șea și este instabil. Ecua ții diferențiale
de forma (4.18) pot s ă apară numai în anumite intervale de timp ale mi șcării unui sistem
neliniar.
c) Sistemul liniar cu ecua ția specific ă de mișcare de forma:

0 22=++ q q qnωε (4.19)
în care nωε≥ , se știe că are mișcări nevibratorii, legile de mi șcare exprimându-se cu
ajutorul a dou ă exponențiale descresc ătoare în timp. Pentru nωε> , se determin ă soluția
generală a ecuației (4.19) și, procedând a șa cum s-a ar ătat la începutul paragrafului, se
obțin ecuațiile traiectoriilor de faz ă sub forma:
2 1
12
21λ λωλ ωλ
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
Cy x
Cy xn n
(4.20)
în care 1λ și 2λ sunt valorile absolute ale r ădăcinilor ecua ției caracteristice asociat ă
ecuației (4.19). Ecua țiile (4.20) sunt de forma (4.16), dar se pot aduce u șor la forma
(4.14). Între traiectoriile de faz ă exprimate de (4.20), o parte sunt drepte ce trebuie s ă
treacă prin punctul singular, acestea fiind separate de celelalte traiectorii de dou ă
separatoare, reprezentate în fig. 4.3., prin linii mai groase.

Fig. 4.3.
Ecuațiile analitice ale separatoarelor se ob țin punând condi ția ca ele s ă aibe coeficientul
unghiular egal cu
dxdy din ecuația de forma (4.13) a traiectoriilor de faz ă. Din aceast ă
condiție, ecuațiile separatoarelor rezult ă:

144 ()02 2=−±+ x yn n ωεεω (4.21)
În acest caz, punctul singular se nume ște nod stabil.
Dac ă nωε= , punctul singular este tot un nod stabil. Ecua țiile traiectoriilor de
fază și ale separatoarelor, în acest caz, rezult ă:
()yxC
yxx
n+=+ωln , ()0 2 1=±+ x y (4.22)

d) Vibra țiile liniare și cu amortizare vâscoas ă ale unui sistem liniar sunt descrise
de ecuația (4.19), în care nωε< . Legile de mi șcare sunt vibra ții amortizate cu factorul
de amortizare ε și cu pseudopulsa ția 2 2εω−=n p . Procedând a șa cum s-a ar ătat la
începutul paragrafului, ecua țiile traiectoriilor de faz ă se pot exprima sub forma:
()
⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡ +++=+
22 2 22ln2 pxy y x PCtgpxxyn n n εω ω
εεω
(4.23)
care sunt transcendente. Reprezentând, în planul fazelor, graficele ecua țiile implicite
(4.23) prin puncte, pentru diferite valori ale constantei adimensionale C, se obțin
traiectoriile de faz ă sub forma unor spirale (fig. 4.4.). Punctul singular corespunz ător se
numește focar stabil.

Fig. 4.4.
e) Dac ă un sistem liniar ar avea ecua ția specific ă de mișcare de forma:

0 22=+− q q qnωε (4.24)
în care ε și nω sunt constante pozitive și nωε≥ , legile de mi șcare și traiectoriile de
fază se determin ă ca și în cazul c), înlocuind în ecua țiile (4.20) sau (4.21) pe ε cu ε−.
Traiectoriile de faz ă rezultă de aceea și formă cu cele din fig. 4.3., dar au alt ă poziție în
planul fazelor fa ță de punctul singular, iar punctul reprezentativ se îndep ărtează de
punctul singular pe oricare din ele (fig. 4.5.). Acest punct singular se nume ște punct
instabil.

Fig. 4.5.

145 f) Vibra țiile unui sistem liniar, descrise de ecua ția (4.24), în care nωε< , se
studiază ca și în cazul d). Legea de mi șcare se ob ține de forma:
()γε+ = pt eCqtcos1 (4.25)
în care1C și γ sunt constante de integrare. Legea de mi șcare (4.25) reprezint ă o vibrație
neperiodic ă și instabilă, modulat ă în amplitudine printr-o func ție exponen țială crescătoare
în timp. Astfel de mi șcări nu se pot ob ține pentru sisteme liniare, ele pot ap ărea în sisteme
neliniare, având caracteristica de amortizare neliniar ă. Această observație stă la baza
explicării apariției autovibra țiilor la unele sisteme mecanice reale, întâlnite în alica ții.
Pe baza legii de mi șcare (4.25), se ob ține ecuația traiectoriilor de faz ă, care rezult ă
de forma (4.23) cu ε− în loc de ε. Ca urmare, traiectoriile de faz ă au forma tot a unor
spirale, iar punctul singular se nume ște focar instabil (fig. 4.6.)

Fig. 4.6.
4.4. Metoda exact ă pentru studiul vibra țiilor neliniare pentru sisteme
conservative

Se consider ă un sistem mecanic neliniar cu un singur grad de libertate, a c ărui
ecuație specific ă de mișcare este de forma (4.3). Înmul țind aceast ă ecuație cu dq și
integrând de la momentul ini țial 00=t al mișcării până la un moment oarecare t, se
obține:
() .21
0
02const E dqqf qQ
== +∫ (4.26)
unde primul termen reprezint ă energia cinetic ă specifică a sistemului, al doilea termen
este energia sa poten țială specifică, iar 0E este energia mecanic ă specifică inițială,
imprimată sistemului. Deoarece ecua ția (4.26) reprezint ă teorema de conservare a
energiei mecanice pentru sistemul mecanic considerat, rezult ă că acesta este conservativ.
Notând cu ()qEp energia poten țială specifică a sistemului, din ecua ția (4.26) se
obține:
()[] ()qF tE E qp±=−±=02 (4.27)

Ținând seama de (4.11), rezult ă că, pe baza ecua ției (4.27), se pot construi
traiectoriile de faz ă pentru sistemul considerat, care sunt de forma (4.14), rolul constantei
de integrare fiind îndeplinit de 0E. Ca și din analiza acestor traiectorii de faz ă, pe baza
ecuației (4.27) se pot stabili unele propriet ăți ale mișcării sistemului, care depind de
natura și valorile r ădăcinilor ecua ției ()0=qF . Dacă determinarea analitic ă a acestor

146rădăcini este dificil ă, ele se pot ob ține ușor grafic, intersectând diagrama func ției ()qEp
cu dreapta 0E Ep= . Cu diagrama func ției ()qEp se pot construi și traiectoriile de faz ă,
prin metode grafice sau grafo – analitice.

a) Dacă ecuația () 0=qF nu are r ădăcini reale, sistemul are mi șcări în acela și
sens și viteza generalizat ă nu se anuleaz ă. Din (4.27) rezult ă ()0>qF tot timpul mi șcării
sistemului. În acest caz, mi șcarea sistemului nu este vibratorie.

b) Dacă 1q este o rădăcină multiplă a ecuației ()0=qF , când sistemul ajunge în
poziția 1qq=, acesta r ămâne în repaus. Într-adev ăr, deoarece () 01=qF , viteza
generalizat ă corespunz ătoare 1q este nulă, iar 1q fiind rădăcină multiplă, este necesar s ă
fie îndeplinite condi țiile:
() ()() 0 2 21
1 1=−= −=
= =qfdqq dE
dqqdF
qqp
qq (4.28)
astfel încât, din ecua ția (4.3), rezult ă că și accelera ția sa generalizat ă 1q este nul ă.
Deoarece a doua expresie din (4.28) este nul ă, mai rezult ă că pentru 1qq= energia
potențială a sistemului are o valoare extrem ă, deci aceasta este o pozi ție de echilibru
static a sistemului, în general, instabil ă. Și, în acest caz, mi șcarea sistemului este
nevibratorie.
c) Pentru ca mi șcarea sistemului s ă fie vibratorie, în acest caz, ea fiind și
periodică, este necesar ca energia mecanic ă inițială să aibe o valoare astfel încât s ă
imprime sistemului mi șcarea între dou ă poziții
1q și 2q, care trebuie s ă fie rădăcini reale,
simple și distincte ale ecua ției ()0=qF . Într-adev ăr, când sistemul ajunge în pozi ția
1qq=, conform ecua ției (4.27) viteza sa generalizat ă se anuleaz ă, sistemul î și schimbă
sensul de mi șcare, iar când ajunge în pozi ția 2qq=, din nou se anuleaz ă viteza
generalizat ă și sistemul revine în pozi ția 1qq=. În continuare, toate elementele mi șcării
sistemului se repet ă periodic în timp.
Pentru ilustrarea acestor propriet ăți ale mișcării sistemului considerat, în fig. 4.7.
s-au reprezentat traiectoriile de faz ă corespunz ătoare mișcărilor unui pendul matematic de
lungime l, care are ecua ția diferen țială specifică de mișcare neliniar ă, de forma (4.3).

147Fig. 4.7.
Energia poten țială specifică a pendulului matematic are expresia:
() ( ) q dqq qEq
p cos1 sin2
0
02
0 −=⋅ =∫ω ω (4.29)
unde lg=0ω este pulsa ția proprie a micilor oscila ții ale pendulului. Cu expresia
(4.29) înlocuit ă în (4.27), se analizeaz ă cazurile de mi șcare ale pendulului matematic, în
funcție de valoarea adimensional ă 2
0 0ωχE E= a energiei mecanice specifice ini țiale.
Se regăsesc, astfel, propriet ățile prezentate mai sus, care rezult ă și din analiza
traiectoriilor de faz ă din fig. 4.7. De asemenea, din fig. 4.7. se observ ă că, în jurul
punctelor singulare, traiectoriile de faz ă au forme foarte apropiate cu cele ale punctelor
singulare de tip centru și șea de la sistemele mecanice liniare.
Revenind la ecua ția general ă (4.27), aceasta are variabilele separabile și se mai
poate integra odat ă, sub forma:
()∫±=q
q qFdqt
0 (4.30)
unde 0qdetermină poziția inițială a sistemului. Dac ă funcția care se ob ține din (4.30) este
inversabil ă, se determin ă legea de mi șcare a sistemului ()tqq= . De asemenea, dac ă sunt
îndeplinite condi țiile ca mișcarea sistemului s ă fie vibratorie, exprimate în proprietatea c),
considerând 1 2q q>, se poate determina perioada mi șcării:
() () ()∫ ∫∫=
−+ =2
12
11
22q
qq
qq
q qFdq
qFdq
qFdqT (4.31)

În expresia dat ă de relația (4.27) a func ției ()qF , care reprezint ă dublul energiei
cinetice specifice a sistemului, apar condi țiile inițiale ale mi șcării prin 0E. De asemenea,
1q și 2q se determin ă ca rădăcini ale ecua ției ()0=qF , deci și acestea depind de
condițiile inițiale. Ca urmare, din (4.31) rezult ă că, spre deosebire de sistemele liniare, în
cazul sistemelor neliniare conservative perioada vibra țiilor libere depinde de condi țiile
inițiale. Considerând amplitudinea 21 2q qA−= a acestor vibra ții, se accept ă că perioada
T a vibrațiilor libere și pulsația fundamental ă corespunz ătoare Tπω2= sunt func ții de
această amplitudine.
În cazul sistemelor mecanice neliniare de tipul considerat, întâlnite în aplica ții,
integralele din (4.30) și (4.31) nu se pot efectua cu ajutorul func țiilor analitice,
conducând, în general, la integrale eliptice. Ca urmare, de și metoda de studiu prezentat ă
se numește exactă, pentru efectuarea acestor integrale se folosesc metode numerice de
integrare, care presupun un anumit grad de aproximare.

1484.5. Metoda liniariz ării echivalente

Metoda liniariz ării echivalente se folose ște tot la studiul vibra țiilor libere ale
sistemelor neliniare conservative. În general, prin liniarizare echivalent ă a unui sistem
neliniar se în țelege determinarea parametrilor dinamici ai unui sistem liniar, din condi ția
ca acesta s ă aibe o comportare dinamic ă cât mai apropiat ă de cea a sistemului neliniar.
Desigur, rezolvarea acestei probleme pentru un sistem neliniar complex nu este posibil ă,
datorită comport ării dinamice total diferit ă a acestuia fa ță de comportarea dinamic ă a
oricărui sistem liniar. Chiar și în cazul unui sistem neliniar conservativ, care are vibra ții
libere, liniarizarea sa echivalent ă nu dă rezultate satisf ăcătoare în toate cazurile, ap ărând
diferențe mari între comportarea sa dinamic ă și cea a sistemului liniarizat. În aceste
cazuri, se folosesc metode de liniarizare pe por țiuni a sistemului neliniar considerat.
În cazul sistemului neliniar cu ecua ția de mișcare (4.3), problema liniariz ării sale
echivalente const ă în determinarea pulsa ției proprii nω a sistemului liniar echivalent. Una
din metodele de liniarizare echivalent ă se bazeaz ă pe condi ția ca energiile poten țiale ale
celor dou ă sisteme echivalente, pentru aceea și deforma ție a elementelor elastice Aq=,
să fie egale. Deoarece for ța elastică specifică a sistemului liniar este qn2ω , această
condiție conduce la ecua ția:
()∫∫=⋅=A
nA
n A dqq dqqf
022
02
21ω ω (4.32)
de unde rezult ă:
()∫=A
n dqqf
A0222ω (4.33)
De asemenea, pentru liniarizarea pe por țiuni a sistemului neliniar considerat,
pulsația proprie iω, pe porțiunea i a caracteristicii elastice neliniare ()Ni∈ , se obține din
relația:
()()
()∫
−−=iA
Aii dqqf
A i122
122ω (4.34)

Rezultatele mai bune se ob țin cu metoda lui Blaquiere de liniarizare optim ă
echivalent ă. Conform acestei metode, pentru liniarizarea echivalent ă pe porțiunea de la
0=q până la Aq=, se calculeaz ă o eroare e în timpul mi șcării celor dou ă sisteme de la
0=q până la Aq=, având aceea și durată T, exprimat ă de diferen ța dintre for țele
elastice specifice ale celor dou ă sisteme, sub forma:
()qf q en−==2ω (4.35)

Se pune condi ția ca eroarea p ătratică medie corespunz ătoare, care este:

149 ()[] dttfqTdteTTT
n∫∫−=
0022 2 1 1ω
(4.36)
să fie minim ă. Considerând ca parametru de minimalizare a expresiei (4.36) valoarea 2
nω
căutată, din condi ția de minim a acestei expresii rezult ă succesiv:
()[] 0 2 2
02
0022
2=− =
∂∂=
∂∂∫ ∫∫dtqfqq dtee dteT
nTT
n nωω ω (4.37)
astfel încât se ob ține:

()
∫∫
=TT
n
dtqdtqqf
020 2ω (4.38)

Pentru efectuarea integralelor din (4.38), ar fi necesar s ă se cunoasc ă legile de
mișcare ale ambelor sisteme, care nu sunt identice. Considerând c ă sistemul neliniar are o
lege de mi șcare foarte apropiat ă de cea a sistemului liniar, care este de forma:
t Aqnωsin= , efectuând integralele pentru
nTωπ2= , din (4.38) rezult ă:
() dtt AftAnT
n n ω ω ω sin sin2
02⋅ =∫ (4.39)

4.6. Metoda varia ției lente a amplitudinii și a fazei ini țiale

Aceast ă metodă se poate aplica pentru studiul vibra țiilor libere neliniare. În
primul rând, func ția neliniar ă f, din ecua ția de mișcare de forma (4.2), se dezvolt ă în serie
de puteri, luându-se în considerare numai termenii liniari, astfel încât se ob ține:
()() ()qqfqfqqfq f qqf
qq
qq 
 , 0,0 ,1
00
00μ+∂∂+∂∂+=
==
== (4.40)
unde 1fμ este restul acestei dezvolt ări în serie, iar factorul constant μ se consider ă un
parametru mic. Folosind nota țiile:

002
0
==∂∂=
qqqf
ω ,
0002
==∂∂=
qqqf
ε (4.41)

150și știind că () 00,0= f , deoarece pozi ția 0=q se consider ă o poziție de echilibru static a
sistemului, cu expresia (4.40), ecua ția (4.2) devine:
()0 , 212
0 0 =+++ qqf q q q   μωε (4.42)

În al doilea rând, pentru o prim ă aproxima ție a soluției exacte a ecua ției (4.2), sau
a ecuației (4.42), se consider ă 00=ε . În aceast ă condiție, dacă 0=μ soluția general ă a
ecuației (4.42) ar fi:
()ψϕω cos cos2
0 A t Aq =+ = (4.43)
unde A și ϕ sunt constante de integrare. Deoarece 0≠μ , se consider ă că amplitudinea A
și faza inițială ϕ sunt func ții de timp, care se determin ă din condi ția ca solu ția (4.43) s ă
verifice ecua ția diferen țială (4.42). Pentru aceasta, se calculeaz ă viteza generalizat ă:
ψωψϕψ sin sin cos0A A Aq − −=   (4.44)
și se impune condi ția suplimentar ă:
0 sin cos = −ψϕψ  A A
(4.45)
astfel încât viteza generalizat ă devine:
ψωsin0A q−= (4.46)

În continuare, din (4.46), se calculeaz ă accelerația generalizat ă:
ψωψωϕψω cos cos sin2
0 0 0 A A A q − − −=   (4.47)
care se înlocuie ște în (4.42), împreun ă cu (4.43) și (4.46). Dup ă reducerea termenilor
asemenea, se ob ține:
( )ψωψμψωϕψω sin , cos cos sin0 1 0 0 A Af A A − = +  (4.48)
În final, din (4.45) și (4.48), rezult ă:
() ψωψωψμ sin , cossin
0 1
0A Af A − =
() ψωψωψμ sin , coscos
0 1
0A AfAA − = (4.49)

Sistemul de ecua ții diferențiale (4.49) este, în general, greu de integrat. Se observ ă
că, dacă 0=μ , A și ϕ sunt nule, adic ă A și ϕ sunt constante. Se poate presupune c ă,
dacă parametrul μ este suficient de mic, func țiile de timp A și ϕ variază foarte lent,
astfel încât ele s ă fie constante într-o perioad ă
002
ωπ=T . Ca urmare, în locul valorilor
instantanee ale derivatelor A și ϕ, se pot considera valorile lor medii într-o perioad ă 0T,
adică:
() dt A Af A ψωψψπμωπ
sin , cos sin20 12
00 − =∫

151() dt A AfAψωψψπμϕωπ
sin , cos cos20 12
00 − =∫ (4.50)

Cu schimbarea de variabil ă τω=t0 și înlocuind ϕτψ+= , expresiile (4.50) devin:
() () ()[] τϕτωϕτ ϕτπωμπd A Af A + −+ + =∫sin , cos sin20 12
0
0
() () ()[] τϕτωϕτ ϕτπωμϕπd A AfA+ −+ + =∫sin , cos cos20 12
0
0 (4.51)

Deoarece, în integralele din (4.51), A și ϕ sunt constante, aceste integrale se pot
efectua mai u șor, astfel încât, dup ă efectuarea lor, se ob ține un sistem de dou ă ecuații
diferențiale de ordinul întâi, de forma:
()ϕ,1AFA=, ()ϕϕ ,2AF= (4.52)
din care se determin ă funcțiile necunoscute ()tA și ()tϕ. Cele dou ă constante de integrare
care apar se determin ă din condi țiile inițiale ale mi șcării sistemului, impuse pentru solu ția
(4.43), în care se înlocuiesc expresiile ()tA și ()tϕ obținute din (4.52). Se observ ă că, în
general, mi șcarea sistemului rezult ă ca o vibra ție modulat ă atât în amplitudine, cât și în
frecvență, iar pseudopulsa ția instantanee ϕωψϕ +==0 depinde de condi țiile inițiale.
Pentru o mai bun ă aproxima ție a solu ției exacte a ecua ției (4.42), se ia în
considerare și factorul de amortizare 00≠ε , iar soluția general ă a acestei ecua ții pentru
0=μ , se exprim ă sub forma:
()ϕε+ =−pt Aeqtcos0 (4.53)
unde2
02
0εω−=p , 0 0εω> , A și ϕ fiind constante de integrare.
Pentru 0≠μ , în mod analog, se consider ă A și ϕ ca funcții de timp lent variabile, care
se determin ă la fel, din condi ția ca (4.53) s ă verifice ecua ția diferen țială (4.42). În locul
relațiilor (4.49) se ob ține:
() [] ψψε ψψμε ε εsin cos , cossin
0 10 0 0p Ae AefepAt t t+ − =− − 
() [] ψψε ψψμϕε ε εsin cos , coscos
0 10 0 0p Ae AefepAt t t+ − =− − (4.54)

ajungându-se, în mod analog, la un sistem de dou ă ecuații diferențiale de ordinul întâi de
forma (4.52).
Aproxima ții și mai bune se pot ob ține, determinând aproxima ții succesive ale
soluției exacte a ecua ției (4.42), considerând, din nou, constantele de integrare ale
sistemului (4.52) ca func ții lent variabile de timp.

4.7. Metoda parametrului mic

152

Metoda parametrului mic este o metod ă generală, foarte frecvent utilizat ă în
aplicații, pentru studiul vibra țiilor neliniare, atât libere, cât și forțate. Aceasta este o
metodă iterativă, cu ajutorul ei determinându-se aproxima ții succesive ale solu ției exacte
a ecuațiilor diferen țiale ale mi șcării unui sistem mecanic neliniar.
Pentru prezentarea metodei, se consider ă vibrațiile libere ale unui sistem mecanic
neliniar cu un singur grad de libertate, având ecua ția specific ă de mișcare de forma (4.2),
care, întotdeauna, se poate aduce la forma (4.42). Considerând μ ca parametru mic,
soluția ecuației diferen țiale (4.42) se ia sub forma unei serii întregi de puteri ele acestui
parametru, coeficien ții fiind func ții de timp necunoscute, care se determin ă din condi ția
ca această soluție să verifice ecua ția diferen țială. Ca urmare, solu ția considerat ă este de
forma:
() () ()…+++= tq tq tqq32
2 1 μμ (4.55)
în care 1q este prima aproxima ție a soluției exacte sau solu ția generatoare, iar ,,,3 2…qq
sunt aproxima țiile sale succesive, de ordinul doi, trei, etc. Impunând condi ția ca (4.55) s ă
verifice ecua ția diferen țială (4.42), se ob ține:
( )( )
() 0 ,2
32
2 1 32
2 1132
2 12
0 2 1 0 32
2 1
=++++++++++++++++++
……… … … 
q q q q q qfq q q q q q q q
μμ μμμμμω με μμ

(4.56)

Deoarece μ este parametru mic, func ția neliniar ă1f se poate dezvolta în serie de
puteri, dup ă puterile lui μ, sub forma:
()
"  
   
+
⎟⎟⎟
⎠⎞
∂∂∂+∂∂++⎜⎜
⎝⎛
∂∂+
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
∂∂+∂∂+ =
==
======
==
11
1111
11
11
12
22 212
2
3212
2
32 1
21
2 1 1 1 1
2!21,
qqqq
qqqqqqqqqqqq
qqqq
qqfqqqfqqfqqfqqfq qqff μ μ
(4.57)

Înlocuind (4.57) în (4.56) și efectuând identificarea coeficien ților ecuației care
rezultă după puterile parametrului μ, se obțin ecuații diferen țiale liniare cu coeficien ți
constanți, de ordinul doi, fiecare din ele având o singur ă funcție de timp necunoscut ă,
exprimată de una din aproxima țiile căutate ale solu ției exacte, care se integreaz ă succesiv.
Aceste ecua ții diferențiale rezult ă de forma:
0 212
0 10 1 =++ q q q ωε
()ta q q q1 22
0 20 22 −=++ωε
()ta q q q2 32
0 30 32 −=++ωε (4.58)

153unde ()tai sunt coeficien ții lui 1−iμ din (4.57), care sunt cunoscu ți ca funcții de timp, în
urma integr ării ecuațiilor diferen țiale anterioare. Constantele de integrare care rezult ă, în
urma integr ării acestor ecua ții diferențiale, se determin ă din condi țiile inițiale ale mi șcării
pentru solu ția generatoare, iar pentru toate celelalte aproxima ții succesive se impun
condiții inițiale nule.
Dac ă în ecuația (4.42), din a doua rela ție (4.41), se ob ține 00=ε , din prima
ecuație (4.58) rezult ă soluția generatoare 1q de forma (4.43). În acest caz, în membrul
drept al celei de a doua ecua ții diferențiale din (4.58) apar termeni ce conduc la rezonan ța
sistemului mecanic, numi ți termeni seculari sau de rezonan ță. Dar la sistemele neliniare
nu este posibil ă apariția fenomenului de rezonan ță nici dacă acestea au vibra ții forțate,
astfel încât ace ști termeni seculari trebuie s ă fie elimina ți. Pentru aceasta, se ține seama
de faptul c ă perioada sau pseudoperioada vibra țiilor libere ale sistemelor neliniare depind
de condițiile inițiale ale mi șcării, deci de amplitudinea maxim ă A a acestor vibra ții. Ca
urmare, p ătratul pulsa ției instantanee sau al pseudopulsa ției corespunz ătoare 2ω se poate
dezvolta în serie de puteri întregi ale parametrului mic μ, sub forma:
()()…+++= Ab Ab22
12
02μμωω (4.59)
în care coeficien ții ib ai lui ()…,2,1,=iiμ trebuie s ă fie determina ți ca func ții de
amplitudinea A, astfel încât s ă se elimine termenii seculari. Înlocuind în ecua ția (4.42), în
care 00=ε , valoarea 2
0ω din (4.59), în locul ecua țiilor (4.58) se ob țin ecuațiile:
012
1=+q qω
()()taqAb q q1 1 1 22
2 −=+ω
()()()taqAbqAbq q2 1 2 2 1 32
3 −+=+ω (4.60)
din care se determin ă succesiv ace ști coeficien ți, după care ω rezultă din (4.59).
Convergen ța metodei parametrului mic, deci num ărul de aproxima ții succesive
necesare pentru a ob ține o precizie acceptabil ă de calcul, depinde foarte mult de valoarea
numerică a parametrului μ. În general, metoda este convergent ă dacă valoarea
adimensional ă a lui μ, care se poate exprima prin ()
2
01
00,
ωμμAAf= , este subunitar ă.
Pentru ca metoda s ă fie rapid convergent ă, deci pentru a avea nevoie de un num ăr mic de
aproxima ții succesive, este necesar ca aceast ă valoare adimensional ă 0μ să fie mult mai
mică decât unitatea. Dac ă această condiție nu este îndeplinit ă, se creeaz ă artificial un
parametru mic, utilizând în ecua ția diferen țială (4.42) o schimbare de variabil ă, în
general, sub una din formele:
t0ωτ= , ()()tetutqλ−= , ()()tu tqλ= (4.61)
unde λ este o constant ă pozitivă, aleasă adecvat.

4.8. Metoda balan ței armonice

154
Aceast ă metodă se poate utiliza, dac ă mișcarea unui sistem mecanic neliniar este
foarte apropiat ă de o vibra ție periodic ă, a cărei perioad ă T este cunoscut ă. Metoda
balanței armonice se bazeaz ă pe observa ția că, dacă mișcarea unui sistem mecanic cu un
singur grad de libertate este o vibra ție periodic ă, aceasta se poate descompune în serie
Fourier , dar, în locul seriei infinite, se consider ă un număr finit de termeni, începând cu
armonica fundamental ă de pulsație Tπω2= .
Cel mai frecvent, metoda balan ței armonice se folose ște pentru studiul vibra țiilor
forțate ale sistemelor neliniare. Considerând un astfel de sistem mecanic, de exemplu, cu
ecuația specific ă de mișcare de forma general ă (4.6), se presupune c ă forța specific ă
perturbatoare este armonic ă, de forma:
() t PtP ωsin0= (4.62)
iar funcția () qqtf,, , dacă depinde explicit de timp, se presupune periodic ă în raport cu
variabila independent ă t, având perioada ωπ2=T , sau un multiplu întreg al acesteia. În
primul rând, func ția f se dezvolt ă în serie Fourier în raport cu timpul, p ăstrând, de
asemenea, un num ăr finit de termeni, exprimându-se sub forma:
() () () ()[]∑
=+ + =n
ii i ti qqBti qqA qqA qqtf
10 sin, cos, ,21,, ω ω     (4.63)
În continuare, se consider ă că vibrația forțată a sistemului este periodic ă, cu aceea și
perioadă T, astfel încât solu ția ecuației (4.6) se poate dezvolta în serie Fourier , sub
forma:
()()∑
=+ =n
jj j tj Dtj C tq
1sin cos ω ω (4.64)
unde jCșijD sunt constante necunoscute, care se determin ă din condi ția ca solu ția
considerat ă să verifice ecua ția diferen țială.
Înlocuind (4.63) și (4.64) în ecua ția (4.6), se ob ține:
() ()
() {()
() ( )
() t Fti tj Dtj Cjtj Dtj C Bti tj Dtj Cjtj Dtj C A tj Dtj Cjtj Dtj C A tj Dtj Cj
j jn
jn
jj j i j jn
jn
jj jn
ii j jn
jn
jj jn
jj j
ω ωω ω ωω ω ωω ω ωω ω ω ω ωω ω ω ω ω
sin sin cos sin, sin cos cos cos sin, sin cos cos sin, sin cos21sin cos
0
11 11 1 110
12 2
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎥
⎦⎤+ −⎢
⎣⎡+ +⎥
⎦⎤+ −⎢
⎣⎡+ +⎥
⎦⎤+ −⎢
⎣⎡+ + + −
∑∑ ∑∑∑ ∑∑ ∑
== == = == =

(4.65)
Toate func țiile de func ții din (4.65), fiind periodice, se dezvolt ă în serie Fourier ,
după care, transformând în sume toate produsele de func ții trigonometrice sin și cos, în
membrul stâng al ecua ției (4.65) apar numai termeni armo nici. Neglijând termenii care au
pulsația mai mare decât ωn și identificând coeficien ții funcțiilor sin tkω și cos tkω

155() n k ,,1…= din cei doi membrii ai acestei ecua ții, se obține un sistem algebric de 2n
ecuații, din care se determin ă cele 2n necunoscute din solu ția (4.64).
Dac ă forța perturbatoare specific ă are două componente armonice, fiind de forma:
() t Pt PtPo o 2 2 1 1 sin sin ω ω+ =
(4.66)
soluția ecuației diferen țiale (4.6) trebuie s ă fie căutată pentru aceast ă forță perturbatoare
în ansamblu. Într-adev ăr, datorită neliniarit ății sistemului, dac ă ecuația (4.6) are o solu ție
1q, pentru prima component ă din (4.66) și o altă soluție 2q pentru cealalt ă component ă,
suma lor 2 1qq+ nu este solu ție a acestei ecua ții pentru for ța perturbatoare dat ă de (4.66).

4.9. Metoda lui Ritz

Metoda lui Ritz , utilizată frecvent pentru rezolvarea problemelor de valori de
frontieră în mecanica corpurilor elastice continue, se poate folosi, cu bune rezultate, și
pentru studiul vibra țiilor neliniare ale sistemelor mecanice cu un num ăr finit de grade de
libertate. Principiul metodei const ă î n f a p t u l c ă, o func ție de timp necunoscut ă,
considerat ă ca o coordonat ă generalizat ă din soluția ecuațiilor diferen țiale ale mi șcării, se
aproximeaz ă printr-o combina ție liniară a unor func ții de timp cunoscute, iar coeficien ții
constanți necunoscu ți ai acesteia se determin ă din condi ția ca solu ția considerat ă să
verifice sistemul de ecua ții diferențiale, precum și din condi ția de minim a erorilor medii
pătratice, care apar în urma aproxim ărilor efectuate.
Pentru exemplificarea metodei, se consider ă un sistem mecanic neliniar
conservativ cu un singur grad de libertate, având ecua ția specific ă de mișcare de forma
(4.3). Solu ția sa se aproximeaz ă prin:
() () t C tqjn
jjψ∑
==
1 (4.67)
unde func țiile cunoscute de timp jψ sunt alese adecvat. Dac ă s e i m p u n e c a ( 4 . 6 7 ) s ă
verifice ecua ția diferen țială (4.3), rezultatul înlocuirii nu este nul în orice moment de timp
al mișcării, astfel încât apare o eroare e, exprimat ă prin:
()⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+ =∑∑
= =n
jjj jn
jj C f C te
1 1ψ ψ (4.68)
Dac ă se consider ă un interval de timp T în care se aproximeaz ă soluția exactă prin
(4.67), eroarea medie p ătratică corespunz ătoare este dat ă de expresia:
() dt C f CTdtteTT n
jjjn
jjjT2
0 1 1 02 1 1∫ ∑∑∫⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+ =
= =ψ ψ (4.69)
Condițiile de minim ale expresiei (4.69) conduc la ecua țiile:

156
02 2
10 1 1 0 02
1=
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
∑+⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+ =∂∂=∂∂
∑∫ ∑∑∫∫
= == =
=dtdqdfC f C dtCee dteC
n
j C qj jT n
jjjn
jjjT
jT
j
n
jjjψψψψ ψ

n j ,,1…= (4.70)
care formeaz ă unu sistem de n ecuații algebrice, din care se determin ă necunoscutele jC.
Metoda lui Ritz este general ă, fiind aplicabil ă pentru orice sistem neliniar. În cazul
vibrațiilor forțate ale unui sistem neliniar, pentru aplicarea metodei lui Ritz , ecuațiile
diferențiale ale mi șcării trebuie s ă fie scrise cu to ți termenii într-unul din cei doi membrii,
sub forma dat ă de aplicarea principiului lui d'Alembert . Această metodă se poate utiliza și
ca o metod ă iterativă, determin ănd aproxima ții succesive ale solu ției exacte. Precizia
calculelor depinde de alegerea ini țială a funcțiilor de timp iψ și a intervalului de timp T
în care se efectueaz ă minimalizarea erorilor medii p ătratice.

4.10. Autovibra ții produse de frecarea uscat ă

În anumite regimuri de func ționare ale ma șinilor- unelte pentru prelucrarea prin
așchiere a unor piese, pot s ă apară autovibra ții ale sculelor a șchietoare, produse de for ța
de frecare uscat ă dintre scul ă și piesa de prelucrat. Dac ă amplitudinile acestor autovibra ții
sunt mari, acestea au un efect d ăunător asupra calit ății suprafe ței de prelucrat a piesei,
astfel încât aceste regimuri de func ționare ale ma șinilor – unelte trebuie s ă fie evitate.
Se consider ă un strung aflat într-un regim de func ționare pentru prelucrarea prin
așchiere a unei piese cilindrice. Mo delul mecanic pentru ansamblul cu țit de strung – pies ă
de prelucrat se poate considera ca în fig. 4.8., în care parametrul de pozi ție x al vârfului
cuțitului este m ăsurat din pozi ția de echilibru static a sistemului.

Fig. 4.8. Fig. 4.9.

Ecuația diferen țială a mișcării sistemului este:

r signvR kxxcxm ⋅=++ (4.71)

157în care N R⋅=μ este valoarea absolut ă a forței de frecare dintre cu țit și piesă, iar
xu vr−= este viteza relativ ă dintre vârful cu țitului și punctul teoretic de contact de pe
periferia piesei de prelucrat, care are viteza periferic ă u constantă.
Chiar dac ă μ din expresia for ței de frecare R este considerat constant, datorit ă
caracterului neliniar al func ției ()xu sign−, caracteristica de amortizare a sistemului este
neliniară, deși ecuația diferen țială (4.71) este liniar ă în intervalele de timp în care rv
păstrează semnul constant. Ca urmare, și în acest caz pot s ă apară autovibra ții, ceea ce se
observă din analiza traiectoriilor de faz ă, reprezentate în fig. 4.10., în care 0=c și
mkn=ω . Se observ ă că apare un ciclu limit ă semistabil, din care se determin ă
amplitudinile autovibra țiilor.

Fig. 4.10. Fig. 4.11.
În cazul sistemelor mecanice reale, coeficientul de frecare uscat ă
μ nu este
constant, el depinzând de viteza relativ ă rv ca în fig. 4.9. Dezvoltând for ța de frecare R
în serie de puteri, dup ă puterile întregi ale vitezei x, în jurul vitezei relative () 0==xu vr ,
și păstrând numai termenii liniari, sub forma:
() () () xuNNu NtgxNudvdRxuRR
uvrr  0μμα μ +=−= −=
= (4.72)
ecuația diferen țială devine:
() ( ) xu signNu kxxuNcxm    −⋅=+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−+ μμ0 (4.73)

Din ecua ția (4.73) rezult ă că, pentru valori foarte mici ale coeficientului de
amortizare vâscoas ă c, factorul echivalent de amortizare muN uch20μ−= poate să devină
negativ. Ca urmare, amplitudinile vibra țiilor sistemului cresc în timp, pân ă când, în
planul fazelor, traiectoriile de faz ă ajung într-un ciclu limit ă stabil (fig. 4.11.). Din fig.
4.9. și fig. 4.11. se observ ă că amplitudinile autovibra țiilor produse de frecarea uscat ă,
sunt cu atât mai mari, cu cât viteza periferic ă u a piesei de prelucrat este mai mic ă.

4.11. Ecua ția lui Duffing

158
Ecua ția specific ă de mișcare de forma:
t P q q q ω μω cos03 2
0=++ (4.74)

numită ecuația lui Duffing , descrie vibra țiile forțate neamortizate ale unui sistem mecanic
neliniar, având caracteristica elastic ă tare. Cea mai mare parte din elementele elastice,
întâlnite în aplica țiile tehnice, nu au o caracteristic ă elastică liniară, decât în cazul micilor
deformații elastice, ci au o astfel de caracteristic ă elastică neliniară tare, descris ă de forța
elastică specifică de valoare 3 2
0 q qμω+ .
Pentru determinarea solu ției ecuației (4.74), se folose ște metoda balan ței
armonice. Dac ă μ este un parametru mic, cea mai mare pondere în vibra ția forțată a
sistemului este dat ă de armonica fundamental ă, astfel încât solu ția ecuației (4.74) se
consideră de forma:
()ϕω+ = t Aq cos (4.75)

Înlocuind (4.75) în (4.74) și ținând seama de identitatea:
() () ()ϕω ϕω ϕω + ++ =+ t t t 3cos41cos43cos3 (4.76)
se obține:

() () () t P tAt t AAω ϕωμωϕωϕ ωωμcos 3cos4sin sin cos cos43
03
2 2
03
=+ + − ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−+ (4.77
)

Neglijând ultimul termen din membrul stâng și identificând coeficien ții funcțiilor
tωcos și tωsin din cei doi membrii ai ecua ției (4.77), rezult ă:
()02 2
03
cos43P AA=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−+ ϕωωμ

() 0 sin432 2
03
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−+ ϕωωμAA
(4.78)

Deoarece 00≠P , expresia dintre parantezele mari a primei ecua ții (4.78) nu
poate fi nul ă, astfel încât, din a doua ecua ție, se obține 0=ϕ sau πϕ=. Ca urmare,
amplitudinea A a vibrațiilor forțate se determin ă din ecua ția algebric ă de gradul trei de
forma:
() 043
02 2
03
=±−+ PAAωωμ

(4.79)
în care se ia semnul + sau – înaintea lui 0P astfel încât s ă rezulte 0>A pentru rădăcinile
reale, care pot fi în num ăr de una sau trei.

159 În fig. 4.12. s-a reprezentat, pe baza ecua ției (4.79), graficul amplitudinii A a
vibrațiilor forțate în func ție de pulsa ția ω a forței perturbatoare.

Fig. 4.12.
Acest grafic se nume ște diagrama de rezonan ță a sistemului mecanic neliniar considerat,
deși, pentru pulsa ții
ω finite, nu pot ap ărea amplitudini ale vibra țiilor forțate care s ă tindă
spre infinit, chiar și în absen ța forțelor de amortizare. În acest caz, diagrama de rezonan ță
este constituit ă din trei ramuri, la ramurile 1 și 3 corespunzând mi șcări stabile ale
sistemului în timp ce la ramura 2, reprezentat ă cu linie întrerupt ă, corespund mi șcări
instabile. Abscisa ω′a punctului ce separ ă ramurile 2 și 3 este dat ă de intersec ția
graficului cu hiperbola:
2 2
02
49Aμωω+= (4.80)
reprezentat ă în fig. 4.12. prin curba 4. În cazul în care se consider ă un factor de
amortizare foarte mic în sistem, caz întâlnit frecvent în aplica ții, diagrama de rezonan ță
rezultă foarte apropiat ă de cea corespunz ătoare vibra țiilor forțate neamortizate, dar
ramurile 1 și 2 sunt limitate printr-o racordare 5. Abscisa ω′′ a punctului de pe aceast ă
racordare, care separ ă punctele de pe ramura 1, la care le corespund mi șcări stabile, de
punctele de pe ramura 2, la care le corespund mi șcări instabile, depinde foarte mult de
valoarea numeric ă a factorului de amortizare vâscoas ă.
Considerând cazul real întâlnit în aplica ții, în care în sistem exist ă amortizare,
caracterizat ă printr-un factor de amortizare vâscoas ă foarte mic, din diagrama de
rezonanță din fig. 4.12., rezult ă unele propriet ăți importante ale vibra țiilor forțate ale
sistemelor neliniare.
a) În cazul vibra țiilor forțate neliniare, pentru valori finite ale pulsa ției forței
perturbatoare, nu poate ap ărea fenomenul de rezonan ță, chiar dac ă forțele de amortizare
sunt neglijabile. b) Starea mecanic ă a unui sistem mecanic neliniar, la un moment dat în timpul
vibrațiilor sale for țate, depinde de starea anterioar ă a sistemului. Într-adev ăr, pentru
pulsații
ω ale forței perturbatoare, cuprinse între ω′ și ω′′, amplitudinea vibra țiilor
forțate poate s ă corespund ă ramurii 1 sau ramurii 3 din diagrama de rezonan ță, după cum
s-a ajuns anterior la aceast ă stare mecanic ă.

c) În cazul varia ției continue în timp a pulsa ției forței perturbatoare, în timpul
vibrațiilor forțate apar varia ții bruște ale amplitudinii vibra țiilor forțate, numite salturi de
amplitudine, care sunt caracteristice pentru sistemele neliniare. Astfel, la cre șterea
pulsației forței perturbatoare, amplitudinea vibra țiilor forțate crește după ramura 1 din

160diagrama de rezonan ță, până când se ajunge la pulsa ția ω′′, când apare un salt de
amplitudine, de la amplitudini mari de pe ramura 1 la amplitudini mici de pe ramura 3,
așa cum este indicat prin s ăgeată în fig. 4.12. De asemenea, la mic șorarea pulsa ției forței
perturbatoare, amplitudinea vibra țiilor forțate crește după ramura 3 din diagrama de
rezonanță, până când se ajunge la pulsa ția ω′, când are loc saltul de amplitudine la
amplitudinile mari de pe ramura 1. Rezult ă că valorile ω′și ω′′ sunt valori critice ale
pulsației forței perturbatoare, la care apare fenomenul de bifurca ție, fenomen caracteristic
pentru comportarea dinamic ă a sistemelor neliniare.

4.12. Vibra ții parametrice

Vibra țiile parametrice ale unui sistem mecanic cu un singur grad de libertate se
studiază pe baza ecuației lui Hill , de forma (4.10). Un caz particular al acestei ecua ții,
asupra căruia s-au f ăcut numeroase studii, este ecuația lui Mathieu , de forma:

( ) 0 cos= ++ qt q ωβα
(4.81)

care are excita ția parametric ă armonic ă, α și β fiind constante cunoscute cu
dimensiunea corespunz ătoare pătratului unei pulsa ții.
În cazul ecua ției (4.10) a lui Hill, excita ția parametric ă ()tP nu este armonic ă, dar
este periodic ă, având perioada T și pulsația fundamental ă Tπω2= cunoscute. Func ția
()tP fiind periodic ă, ea se poate descompune în serie Fourier . Ca și în cazul vibra țiilor
forțate ale sistemelor liniare, pentru armonica fundamental ă sau pentru unii termeni
armonici din aceast ă dezvoltare în serie Fourier , se pot ob ține mișcări vibratorii cu
amplitudine cresc ătoare în timp, rezultând mi șcări instabile și apărând fenomenul de
rezonanță parametric ă. Pentru a se cuprinde și problema stabilit ății sau instabilit ății
mișcării, teoria matematic ă arată că trebuie considerate solu ții de forma:
() ()tetutqλ=
(4.82)
în care ()tu este o func ție periodic ă, cu aceea și perioadă T sau un muultiplu întreg al
acesteia, iar λ este constant ă. După o perioad ă T, legea de mi șcare devine:
()()()()()tsqtqe eTtu TtqT Tt== +=++ λ λ (4.83)
ceea ce arat ă că mișcarea se reproduce dup ă o perioad ă înmulțită cu un factor
adimensional constant s. Această proprietate este valabil ă și pentru viteza generalizat ă q.
Rezultă că pentru 1>s mișcarea este instabil ă, iar pentru 1≤s mișcarea este stabil ă, în
cazul egalit ății sistemului, fiind la limita stabilit ății.
Cu transformarea de variabil ă independent ă tωτ= , ecuația (4.81) a lui Mathieu
se poate pune sub forma:
() 0 cos= ++′′ q q τμγ ,
(4.84)
în care:

161 2ωαγ= , 2ωβμ=
(4.85)
iar q′′ reprezint ă derivata a doua a lui q în raport cu τ. Mișcarea unui sistem mecanic
descrisă de ecua ția (4.84) este foarte apropiat ă de mișcarea sistemului cu excita ție
parametric ă în trepte, având ecua ția diferen țială de forma:
()[ ]0 cos= ++′′ q sign q τμγ (4.86)
sau de forma:
()[ ]0 sin= ++′′ q sign q τμγ
(4.87)
Considerând ecua ția (4.87), aceasta este liniar ă în fiecare semiperioad ă a mișcării,
fiind exprimat ă de ecuațiile diferen țiale liniare:

() 0=++′′ q qμγ pentru πτ<<0
() 0=−+′′ q qμγ pentru πτπ 2<< (4.88)

Soluțiile acestor ecua ții diferențiale sunt:
() τ τ τ1 2 1 1 1 sin cos p C p C q + = , pentru πτ<<0
() τ τ τ2 4 2 3 2 sin cos p C p C q + = , pentru πτπ 2<< (4.89)
în care μγ+=1p și μγ−=2p . Constantele de integrare din (4.89) se determin ă
din condițiile de continuitate ale mi șcării:
() ()ππ2 1 q q= , ()()ππ2 1 q q′=′ (4.90)
precum și din condi țiile ca mi șcarea ()τq și viteza generalizat ă ()τq′ să se reproduc ă
după o perioad ă înmulțite cu factorul s:
()( )π2 02 1 q sq= , ()()π2 02 1 q qs′=′ (4.91)

Impunând în (4.89) condi țiile (4.90) și (4.91), se ajunge la un sistem de 4 ecua ții
algebrice, care este liniar și omogen în raport cu cele 4 constante de integrare. Din
condiția ca determinantul acestui sistem s ă fie nul, pentru a avea solu ții diferite de solu ție
banală, rezultă ecuația caracteristic ă de forma:
() 01 , 22=+ −μγsP s (4.92)
pe baza căreia se studiaz ă mișcările posibile ale sistemului mecanic, precum și stabilitatea
acestor mi șcări.
Pentru ecua ția (4.84) a lui Mathieu, rezultatele studiilor teoretice asupra
domeniilor de stabilitate și de instabilitate ale solu țiilor sunt cuprinse în diagrama de
stabilitate Ince-Strutt , care se g ăsește în literatura de specialitate.

4.13. Probleme

1624.13.1. Să se determine perioada oscila țiilor de amplitudine finit ă ale pendulului
matematic.

Rezolvare:
Func ția ()qF din ecuația (4.27), ținând seama de (4.29), devine:
() () ( ) ( ) A q q q q qF cos cos 2 cos1 cos12122
02
0 02
02
0 − =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−−−+= ω ω ω
unde 0q și 0q exprimă condițiile inițiale ale mi șcării, iar A este amplitudinea oscila țiilor
pendulului matematic, rezultând ca func ție de condi țiile inițiale ale ecua ției () 0=qF .
Aplicând formula final ă (4.31), rezult ă:
() ()()∫ ∫−=
−=
−A A
A q Adq
A qdqT
02 2
0 0 2 sin2 sin2
cos cos22
ω ω
Deoarece π<A , ()12 sin< = A k , astfel încât se poate efectua trasformarea de
variabilă:
kuAuq==2sin2sin , 2212
ukdukdq
−⋅= ,
cu care se ob ține:
() ( )∫−−=1
022 2
0 1 14
uk uduTω ( 1 )

Integrala din membrul drept al rela ției (1) este o integral ă eliptică de prima spe ță.
Pentru a se efectua, se folose ște dezvoltarea în serie de puteri:
()…"…… +⋅−⋅++⋅⋅++=
−n nuknnuk uk
uk2 2 44 22
22 2421231
4231
211
11

Făcând nota ția:
∫−=1
022
1uduuIn
n , ",2,1,0=n
și integrând prin p ărți, se obține relația de recuren ță:
1212
−−=n n InnI ( 2 )
Deoarece 20π=I , pe baza rela ției (2) se ob ține:
()
nnIn2421231
2"…
⋅−⋅=π ( 3 )
Înlocuind lg=0ω și relațiile de forma (3) în dezvoltarea în serie a integralei din
membrul drept al ecua ției (1), rezult ă:

163 ()
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⋅−⋅++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
⋅⋅+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+ = "……"nknnk kglT22
42
22
2421231
4231
211 2π

Deoarece 1<k , această serie este convergent ă, iar dacă 1<<k , ea este rapid
convergent ă. În cazul micilor oscila ții ale pendulului matematic, din aceast ă serie se
poate păstra numai primul termen, ob ținându-se formula cunoscut ă 0 2ωπ=T .

4.13.2. Două arcuri elicoidale identice, fiecare de constant ă elastică k și având lungimea
în stare nedeformat ă ()α+=1lL , cu masa neglijabil ă, sunt legate cu unul din capetele
lor în punctele fixe A și B, iar cu cel ălalt capăt de un culisor de mas ă m. Culisorul de
mișcă fără frecare pe axa fix ă orizontal ă DH, care este situat ă în același plan orizontal cu
punctele fixe A și B și este perpendicular ă pe dreapta AB (fig. 4.13.). S ă se traseze
traiectoriile de faz ă în jurul punctelor singulare, corespunz ătoare pozi țiilor de echilibru
static ale sistemului, pentru valorile:
a) 5,0=α
b) 0=α
c) 5,0−=α

Fig. 4.13.
Rezolvare:
Considerând parametrul de pozi ție q al culisorului ca în fig. 4.13. ecua ția
diferențială a mișcării sistemului este:
()0112
2 2=
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
++−+ q
qllk qmα ,
care, folosind nota țiile:
lgx=, mk2
0=ω , t0ωτ=
se poate exprima prin m ărimi adimensionale, sub forma:
0
111
2=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
++−+′′ x
xxα ( 1 )
unde x′′ reprezint ă derivata a doua a lui x în raport cu τ.

164 Sistemul considerat fiind conservativ, ecua ția (1) se poate integra odat ă,
ajungându-se la o integral ă primă de forma (4.27), în care:
() ()() ()⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+++−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−+++−=2 2 2 2
0 1 1212 1 1 1212 x x E x x E xF α α
pe baza c ăreia se pot trasa traiectoriile de faz ă, reprezentate în fig. 4.14. Se observ ă că
pentru 5,0=α , există trei pozi ții de echilibru static, pozi țiile l q 25,1±=χ, fiind
stabile,
iar poziția 0==χχx q este instabil ă.

Fig. 4.14.

4.13.3. Un sistem conservativ are ecua ția specific ă de mișcare:
02 2
0=++ q q qμω ( 1 )
în care μ este un parametru mic. Folosind metoda parametrului mic, s ă se determine
legea de mi șcare a sistemului și perioada oscila țiilor sale de amplitudine finit ă prin trei
aproxima ții succesive.

Rezolvare:
Înlocuind în (1):
() () () ()tq tq tqtq32
2 1 μμ++=
()()Ab Ab22
12 2
0 μμωω −−=

se obțin ecuațiile diferen țiale:
012
1=+q qω ( 2 )
2
1 11 22
2 qqb q q −=+ω ( 3 )
21 12 21 32
3 2qq qbqbq q −+=+ω ( 4 )
din care se determin ă cele trei aproxima ții succesive cerute ale solu ției exacte a ecua ției
diferențiale (1).
Solu ția generatoare a ecua ției (2) se poate lua de forma:
() t Atq ωcos1= ( 5 )
astfel încât solu ția ecuației (3), în condi ții inițiale nule și pentru 01=b , devine:
() ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛++−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛++−= t tAt tAtq ω ωωω ωω2
22
22
2 cos31cos31
322cos61cos31
21 (6)
Pentru a elimina termenii seculari din ecua ția (4), 2b trebuie să aibă valoare:

165 ()22
265
ωAAb−= ( 7 )
astfel încât solu ția ecestei ecua ții, în condi ții inițiale nule, rezult ă:
() ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+ + +−= t t tAtq ω ω ωω3cos4812cos91cos14429
31
43
3 (8)

Ținând seama de (5), (6) și (8), legea de mi șcare devine:
()
tAtA AtA AAA Atq
ωωμωωμ
ωμωωμ
ωμ
ωμ
ωμ
3cos482cos321
3cos14429
31321
432
2 22422
2 2 22
+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+++⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+−=

în care trebuie s ă se înlocuiasc ă ω, care, ținând seama de (7), se determin ă din ecuația:
222
2
02
65
ωμωωA−= ( 9 )
Din ecuația (9) rezult ă:
2
0224
02
0 2
65
4 2ωμωωω <−+= A , μω2
0
103<A ,
astfel încât se determin ă și perioada cerut ă ωπ2=T .

4.13.4. Se consider ă sistemul mecanic din fig. 4.15., format dintr-un arc elicoidal de
constantă elastică k, având masa neglijabil ă, și un corp de mas ă m, cele dou ă elemente
fiind legate între ele, între cap ătul A al arcului și punctul B apar ținând corpului, printr-un
fir ideal, adic ă perfect flexibil, inextensibil și de mas ă neglijabil ă. Se presupune c ă
sistemul se mi șcă pe vertical ă, parametrul de pozi ție x fiind măsurat din pozi ția masei m
în care arcul este nedeformat și firul este întins. S ă se determine perioada oscila țiilor
sistemului cu amplitudinile: kmgx xst=>0 .

Fig. 4.15.

Răspuns:
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛− = 1 arccos 22
0
0 stst
xx
xx
kmT

1664.13.5. Corpul de mas ă m are o mișcare rectilinie f ără frecare pe un plan orizontal, astfel
încât, dup ă ce parcurge o distan ță 0x, într-o parte sau în cealalt ă parte față de poziția
mediană, ajunge în contact cu cap ătul liber al unui arc elicoidal de constant ă elastică k și
de masă neglijabil ă, așezat în pozi ție orizontal ă după direcția mișcării corpului (fig. 4.16.)
Să se determine perioada oscila țiilor sistemului cu amplitudini 0xA>.

Fig. 4.16.
Răspuns:

⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−+
=
11 24
00
xA
mkxA
Tπ

5. VIBRAȚIILE SISTEMELOR CONTINUE

În primele patru capitole modelele analiti ce folosite au fost modele cu parametrii
discreți.
Exist ă sisteme mecanice, în care masele elementelor deformabile sunt
comparabile cu masele elementelor rigide, pentru care modelul cu parametrii discre ți nu
mai este satisf ăcător și pentru care se folosesc modelele sistemului continuu. În aceste
modele for țele de iner ție sunt distribuite în tot volumul, iar deplasarea în mi șcarea
vibratorie este o func ție continu ă de punct (pozi ție) și de timp. Sistemul are un num ăr
infinit de grade de libertate, corespunz ător valorilor cu care func ția deplasare descrie
poziția punctelor corpului.

5.1. Vibra țiile longitudinale ale barelor drepre

5.1.1. Deducerea ecua ției de mișcare

Se consider ă, pentru început, deforma ții longitudinale în lungul unei bare drepte
(fig. 5.1.a.). Pentru deducerea ecua ției de mișcare a vibra ției axiale, se separ ă un element
de lungime Δx (fig. 5.1.b.). Fie ()txu, deplasarea sec țiunii transversale în lungul direc ției
axiale, ()txq, forța axială aplicată externă pe unitatea de lungime, ()tuxr ,, forța axială
de frecare intern ă, iar ()txN, și ()tx xN ,Δ+ forțele axiale din cele dou ă secțiuni ale
elementului considerat. ()xA este aria sec țiunii transversale, iar ()xρ este densitatea, adic ă
masa unit ății de volum.

167

Fig. 5.1
Se consider ă ipotezele din rezistan ța materialelor:
a)
Secțiunile transversale r ămân plane și rămân perpendiculare pe axa
longitudinal ă.
b) Materialul este din punct de vedere elastic liniar.
c) Proprietățile de material E și ρ sunt constante într-o sec țiune transversal ă.

Pe baza acestor ipoteze se pot scrie urm ătoarele rela ții:
() ( )
xu
xtxutx xu
x ∂∂=Δ−Δ+=
→Δ, ,lim
0ε (5.1)

()
xtxuE E∂∂==,εσ (5.2)
E fiind modulul de elasticitate longitudinal și
() ( )()
xtxuxEAtxN∂∂=,, (5.3)
Scriind ecua ția de echilibru dinamic pentru elementul considerat se ob ține:
() ( ) ()( )22
,, , , ,
txxA xtuxrtxNtx xNxtxq
∂∂Δ=Δ−−Δ++Δ ρ (5.4)
unde, prin împ ărțire cu Δx și trecere la limit ă, se obține:
() ( )()( )22
0,, ,, ,lim
tuA tuxrtxqxtxNtx xN
x ∂∂=−+Δ−Δ+
→Δρ (5.5)
sau
()( )22
,, ,tuA tuxrtxqxN
∂∂=−+∂∂ρ (5.6)

168Înlocuind (5.3) în (5.6) se ob ține:
()( )22
,, ,tuA tuxrtxqxuAEx ∂∂=−+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂
∂∂ρ (5.7)

Aceasta este ecua ția de mi șcare pentru vibra țiile axiale ale unei bare liniar
elastice. În multe cazuri, bara este omogen ă de secțiune constant ă, iar forța de frecare se
consideră proporțională cu viteza, ob ținându-se ecua ția:

()txqA xuctuhtu,1222
2
22
ρ=∂∂−∂∂+∂∂ (5.8)
unde:
ρEc=2

Neglijându-se frec ările și considerând ()0 ,=txq se obține ecuația vibrațiilor libere:
22
2
22
xuctu
∂∂=∂∂ (5.9)

având aceea și formă ca ecuația coardei vibrante.

5.1.2. Condi ții inițiale și la limită

În continuare, pentru caracterizarea complet a vibra țiilor longitudinale, sunt
necesare precizarea unor condi ții suplimentare. O categorie de condi ții rezidă din faptul
că soluțiile se propag ă în timp din ni ște condiții inițiale date. Pentru ecua ția diferen țială
(5.8) acestea sunt de forma:
()()x txutϕ==0, , ()()xttxu
tψ=∂∂
=0, (5.10)
unde ()xϕ și ()xψ sunt func ții cunoscute.
Cea de-a doua categorie de condi ții rezidă din faptul c ă soluțiile trebuie s ă
satisfacă ecuația diferen țială (5.8) într-un domeniu închis de câteva condi ții de frontier ă
(limită) ale domeniului.
Condi țiile la limit ă pot fi împ ărțite în dou ă clase distincte, fiecare reflectând
diferite tipuri de condi ții fizice. Prima clas ă reflectă constângerile geometrice (deplas ări,
unghiuri), iar a doua clas ă forțele (și/sau momentele) de pe frontier ă.
În cazul vibra țiilor longitudinale, primul tip de condi ții la limită, numite și condiții
geometrice, sunt de forma:
()()ts txux 1 0,==, ()()ts txux 2 1,== (5.11)
unde()ts1 și ()ts2 sunt deplas ări cunoscute.
Pentru cel de-al doilea tip de condi ții, numite și condiții naturale, din (5.3) se
obține:

169 ()tNEA xu
Lx1=∂∂
= (5.12)
unde ()tN este forța ce acționează la capătul Lx=.
Cele mai frecvent întâlnite condi ții la limit ă, în cazul vibra țiilor longitudinale ale
barelor, sunt:

a) Capetele încastrate (I – I)
() 0 ,0==xtxu și () 0 ,==Lxtxu
(5.13)

b) Un capăt liber și altul încastrat (L – I)
()0,
0=∂∂
=xxtxu și () 0 ,==Lxtxu
(5.14)

c) Ambele capete libere (L – L)
()0,
0=∂∂
=xxtxu și ()0,=∂∂
=Lxxtxu (5.15)

Pe lâng ă aceaste condi ții la limită, se mai întâlnesc și cele arătate în fig. 5.2.

Fig. 5.2
Ecua ția de mișcare pentru masa m este:
()
LxtumtLN
=∂∂=22
, (5.16)
iar din (5.3)
()
LxxuEAtLN
=∂∂=, (5.17)
se obține pentru cap ătul Lx= condiția:

170
Lx Lx tumxuAE
= =∂∂=∂∂
22
(5.18)
Pentru cazul din fig. 5.2.b. se scrie:
() () t kut N ,0 ,0= (5.19)
și folosind din nou rela ția (5.3), se ob ține:
()t kuxuAE
x,0
0=∂∂
= (5.20)

5.1.3. Vibra ții libere longitudinale al e bazelor. Metoda separ ării variabilelor

Deoarece se neglijeaz ă frecările și nu exist ă forțe exterioare care s ă acționeze
asupra barei, aceasta este o problem ă de vibrații libere.
Se va presupune c ă soluția este separabil ă în timp și spațiu. Din punct de vedere
fizic, aceasta înseamn ă că sistemul execut ă mișcări sincrone, adic ă fiecare punct al
sistemului execut ă același tip de mi șcare în timp.
Se va considera solu ția ecuației (5.9) de forma:
() ( )( ) tTxUtxu ⋅=, (5.21)
Punând condi ția ca aceasta s ă verifice ecua ția (5.9), se ob ține:
() () ()()0=′′⋅−⋅ xUt EATtTxAUρ (5.22)
care se poate separa în dou ă ecuații diferențiale ordinare.
λ===′′constTT
UUc2 (5.23)
Cele dou ă rapoarte ale unor func ții de variabile diferite, pot fi egale doar dac ă
sunt constante, iar constanta λ trebuie s ă fie negativ ă ()2p−=λ , deoarece solu ția
trebuie să fie mărginită în timp. Urmeaz ă că:
02=+TpT (5.24)
02
=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+′′ UcpU (5.25)
Acestea au solu țiile:
() pt Bpt AtT sin cos+ = (5.26)
()cpxDcpxCxU sin cos+ = (5.27)

Egalitatea (5.23) poate fi satisf ăcută pentru o infinitate de valori λ numite valori
proprii și cărora le corespund func ții proprii ()xU . Valorile proprii se determin ă pe baza
condițiilor la limit ă impuse solu ției ()txu,, adică funcției ()xU . Această ecuație, numită
ecuație caracteristic ă, este întotdeauna transcendent ă și are o infinitate de r ădăcini.
Fiecărei pulsații proprii rp()…,2,1=r îi corespunde o func ție ()tTr , respectiv o
funcție proprie ()xUr, iar soluția general ă va fi de forma:

171 () ( )( ) tTxU txur
rr⋅ =∑∞
=1,
(5.28)
Cele mai frecvente tipuri de leg ături sunt date în Tabelul 1.

Tabelul 1.
Tipuri
de
legături Condiții
limită Ecuația
caracteristic ă Pulsații proprii Func ții proprii
x=0 x=L
I – L U=0 U'=0 0 cos=cpL ()
Lc rpr212π−= ()()
Lx rCxUr212sinπ−=
I – I U=0 U=0 0 sin=cpL Lcrprπ= ()LxrDxUrπsin=
L –L U'=0 U'=0 0 sin=cpL Lcrprπ= ()LxrCxUrπcos=

Se constat ă că funcțiile proprii sunt determinate pân ă la o constant ă și revenind la
soluția general ă (5.28), ținând cont și de (5.26), pentru bare (I – L) se poate scrie:
() ( )()
Lx rtp Btp A txu
rr r r r212sin sin cos ,
1π−+ =∑∞
= (5.29)
unde constantele rA și rB se determin ă din condi țiile inițiale.
Conform condi țiilor inițiale (5.10) rezult ă:
()()
Lx rA x
rr212sin
1πϕ−=∑∞
= (5.30)
și
()() ()
Lx rBLc rxr
r 212sin212
1π πψ− −=∑∞
= (5.31)
ceea ce reprezint ă dezvoltări în serii Fourier , având coeficien ții:
()()dxLx rxLAL
r212sin2
0πϕ−=∫ (5.32)
și
()()()dxLx rxc rBL
r212sin124
0πψπ−
−=∫ (5.33)
astfel solu ția general ă este complet determinat ă.
Pentru celelalte cazuri, bare (I – I) și bare (L – L) se urm ărește același procedeu.

5.1.4. Rela ții de ortogonalitate

Pornind de la ecua ția vibrațiilor libere ale barelor:

172 22
tuAxuEAx ∂∂=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂
∂∂ρ
(5.34)
pentru cazurile date în Tabelul 1. se poate scrie:
() UAp UAE2ρ−=′′ (5.35)
unde, pentru simplificare, U este scris în loc de U(x), iar U' în loc de dxdU .
Rela ția (5.35) poate fi scris ă pentru oricare dintre valorile proprii.
Fie rp și sp două valori proprii distincte și respectiv, ()xUr și ()xUs funcțiile
proprii corespunz ătoare. Se poate scrie:
()r r r UAp UAE2ρ−=′′ (5.36)
și
()s s s UAp UAE2ρ−=′′ (5.37)

După înmulțirea relației (5.36) prin ()xUs, respectiv rela ția (5.37) prin ()xUr și prin
integrare între limitele 0 și L, se obține:
() dxUAU p dxUAEUsrL
r rL
s ∫ ∫−=′
02
0ρ (5.38)
și
() dxUAU p dxUAEUsrL
s sL
r ∫ ∫−=′
02
0ρ (5.39)
Integrând rela țiile (5.38) și (5.39) prin p ărți și ținând cont de condi țiile la limit ă din
Tabelul 1. rezult ă că:
dxUAU p dxUUEAsrL
rL
sr∫ ∫=′′
02
0ρ (5.40)
și
dxUAU p dxUUEAsrL
sL
sr∫ ∫=′′
02
0ρ (5.41)
prin scăderea acestor dou ă relații se obține:
() 0
02 2= −∫dxUAU p psrL
s rρ (5.42)
dar s rp p≠ , deci:
0
0=∫dxUAUsrL
ρ (5.43)
și din (5.40):

173 0
0=′′∫dxUUEAL
srρ (5.44)
Rela țiile (5.43) și (5.44) reprezint ă condițiile de ortogonalitate pentru vibra țiile
longitudinale ale barelor. Se spune c ă modurile proprii sunt ortogonale în raport cu
distribuția de mas ă, respectiv distribu ția de rigiditate.
De asemenea, prin înmul țirea relației (5.36) cu ()xUr și integrând pe domeniul
[0,L] , se obține:
() dxAU p dxUAEUrL
r rL
r2
02
0∫ ∫−=′ ρ (5.45)
din care, prin integrare prin p ărți și folosind condi țiile de frontier ă din Tabelul 1., se
deduce:
()
rr
rLrL
rMK
dxAUdx UEA
p =′
=
∫∫
2
02
0 2
ρ (5.46)
unde
() dx UAE KrL
r2
0′=∫ , dxAU MrL
r2
0∫=ρ (5.47)
fiind rigiditatea modal ă, respectiv masa modal ă corespunz ătoare modului natural r, a
cărui formă modală este dată de funcția proprie ()xUr și care este determibat ă până la o
constantă.
Tocmai de aceea, se introduce normarea func țiilor proprii, co respunzând astfel,
fiecărei funcții o amplitudine unic ă.
O astfel de normare poate fi astfel încât în punctul în care ()xUr este maxim ă, să
aibe o valoare specificat ă ()1 max =xUr . Cea mai frecvent ă este însă normarea:
dxAU MrL
r2
0∫=ρ (5.48)
unde pentru masa modal ă se ia 1=rM .
Func țiile ()xφ care satisfac acelea și condiții la limită ca și setul de func ții proprii,
fără a satisface ecua ția diferen țială (5.35), se numesc func ții de compara ție sau
generatoare și pot fi reprezentate prin serii convergente de forma:
() () xU xr
rr∑∞
==
1αφ (5.49)
unde coeficien ții rα se por determina prin înmul țirea relației (5.49) cu ()dxx AUrρ și
integrarea pe domeniul ( 0,L). Ținând cont și de condi țiile de ortogonalitate, se ob ține:

174
dxAUdxUA
rLL
r
r
2
00
∫∫
=
ρφρ
α (5.50)

5.1.5. Vibra ții longitudinale amortizate ale barei

În prezen ța frecărilor, vibra țiile longitudinale ale barelor se vor stinge în timp,
deci se vor amortiza. Presupunând o amortizare de natur ă vâscoasă, ecuația (5.8) se poate scrie:

22
2
22
2xuctuhtu
∂∂=∂∂+∂∂
(5.51)
Aplicând metoda separ ării variabilelor solu ția va fi de forma (5.21). Introducând-o în
ecuația (5.51) se ob ține, prin separarea variabilelor:
UUcTTh T ′′=+2 2
(5.52)
Deoarece fiecare raport con ține câte o variabil ă, ele pot fi egale numai dac ă sunt
constante, și datorită mărginirii solu ției în timp, aceast ă constantă trebuie să fie negativ ă.
Dacă se ia -2pconstanta considerat ă, din (5.52) se poate scrie:
0 22=++ TpTh T (5.53)
și 02
=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+′′ UcpU (5.54)
Dup ă cum se constat ă ecuația (5.54) este identic ă cu (5.25), ceea ce arat ă că
valorile proprii și funcțiile proprii sunt ca și la vibrațiile libere neamortizate. Considerând
hp>, se obține pentru func ția ()tT expresia:
() ( ) t Bt AetThtαα sin cos+ =− (5.55)
unde
2 2h p−=α
Soluția general ă va fi de forma:
() ( ) ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+ + =∑∞
=−
cxpDcxpCt Bt Ae txur
rr
r r r r r
rhtsin cos sin cos ,
1α α (5.56)
unde constantele de integrare se vor determina pe baza condi țiilor inițiale și la limită ca și
pentru vibra țiile longitudinale neamortizate.

5.1.6. Vibra țiile longitudinale for țate ale barei

Vibra ții forțate longitudinale ale barei pot s ă apară în cazul în care bara este
acționată printr-o for ță axială distribuit ă sau are condi ții la limită variabile în timp.

175 În lipsa amortiz ării ( h=0) și presupunând o for ță axială distribuit ă
() ( ) t xqtxq ωcos ,0= , ecuația (5.8) devine:
()tAxq
xuctuωρcos0
22
2
22
=∂∂−∂∂ (5.57)
Soluția particular ă a acestei ecua ții, numită și vibrație forțată va fi de forma:
() ( ) t xUtxupωcos ,= (5.58)
Punând condi ția să verifice ecua ția (5.57) se ob ține:
()xqEAU
cUp p 0 221−=+′′ω (5.59)
Evident c ă funcția ()xUp trebuie s ă fie o func ție de compara ție sau generatoare, deci se
poate dezvolta în serie dup ă funcțiile proprii:
() () xU xUr
rr p∑∞
==
1α
(5.60)
Considerând numai cazul barei ce verific ă condițiile la limit ă din Tabelul 1., prin
înlocuirea rela ției (5.60) în (5.59), se ob ține:
()() ()xqEAxU
cxUr r
rr 0 22
11−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+′′∑∞
=ωα (5.61)

Se înmul țește ecuația (5.61) cu ()dxx AUrρ și integrând pe domeniul ( 0,L),
ținând cont și de condi țiile de ortogonalitate, se ob ține:
dxUqAEAdxAU
c cp
rL
rL
r
r 0
02
022
221∫ ∫=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+− ρωα (5.62)
de unde se determin ă coeficien ții rα:
()() () dxxUxq
pLrL
rr∫−=
00 2 22
ωα (5.63)
unde s-a ținut cont c ă pentru func țiile proprii din Tabelul 1., luând constanta
nedeterminat ă egală cu unitatea, ()202 LdxxUL
r=∫ . Se constat ă că apare fenomenul de
rezonanță pentru cazul în care pulsa ția forței perturatoare este egal ă cu una din pulsa țiile
proprii.

5.2. Vibra țiile de răsucire ale barelor

În cazul în care bara este supus ă unor cupluri variabile de r ăsucire se produc
vibrații de răsucire sau de torsiune. Barele solicitate la r ăsucire se numesc arbori.

176 Se va considera bara din fig. 5.3. supus ă la răsucire prin intermediul unui cuplu
distribuit, aplicat din exterior ()txm,. Rotirea sec țiunii situat ă la distanța x va fi ()tx,θ .

Fig. 5.3
Considerând un element de bar ă Δx, asupra lui vor ac ționa cuplurile for țelor
interioare de momente ()txM, și ()tx xM ,Δ+ , cuplurile distribuite de frecare
()xtxrΔ,,θ și de perturbare () xtxmΔ, .
Pentru efortul tangen țial se poate scrie legea lui Hooke :
γτG= (5.64)

unde G este modulul de elasticitate transversal, iar γ este alunecarea specific ă la distanța
r de centrul sec țiunii:
() ()()
xtxrxtx tx xr
x ∂∂=Δ−Δ+=
→Δ, , ,lim
0θ θ θγ (5.65)
Momentul for țelor interioare reduse în centrul sec țiunii este:
()xGI dArdxdG dAr txM∂∂= == ∫∫∫∫θ θτ02, (5.66)
unde ()xI0 este momentul de iner ție polar al sec țiunii (momentul geometric).
Dac ă se noteaz ă cu ()xJ0 momentul de iner ție axial (momentul mecanic) pentru
unitatea de lungime a bare i, se poate scrie ecua ția de momente fa ță de axa barei.
() ( ) () () 0 , ,, , ,22
0 =Δ+Δ−−Δ++
∂∂Δ− xtxmxtxrtxMtx xM
txJ θθ
(5.67)
Prin împărțire și trecerea la limit ă se obține:
()()txmtxrxM
tJ , ,,22
0 +−∂∂=∂∂θθ (5.68)
sau ținând cont și de relațiile (5.64) și (5.65)

177 ()()txmtxrxGIx tJ , ,,0 22
0 +−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
∂∂=∂∂θθ θ (5.69)
Considerând frec ările neglijabile și momentele exterioare perturbatoare nule se ob ține:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
∂∂=∂∂
xGIx tJθ θ
0 22
0
(5.70)
Pentru cazul barei omogene și de secțiune constant ă, ecuația vibrațiilor libere de r ăsucire
va fi:
22
0 22
0xGI
tJ
∂∂=
∂∂ θ θ (5.71)
Dacă se noteaz ă 2
00cJGI=, ecuația (5.71) are aceia și formă ca și ecuația vibrațiilor
longitudinale ale barei.
Și în acest caz pentru rezolvarea complet ă a problemei este necesar cunoa șterea
condițiilor inițiale și la limită.
Condi țiile inițiale pentru vibra țiile de răsucire vor fi de forma:
()()x txtϕ θ==0, ; ()()xttx
tψθ=∂∂
=0, (5.72)
Condi țiile la limit ă sunt determinate de leg ăturile existente la cele dou ă
extremități.
Astfel, pentru un cap ăt încastrat, cel ălalt liber (I, L) condi țiile sunt:
() 0 ,0==xtxθ și () 0 ,0 =∂∂=∂∂=
= ==
Lx LxLxx xGI txMθθ (5.73)
Dacă la un cap ăt se aplică un cuplu de moment ()tML, atunci condi ția la limit ă este:
() ()tM GIL Lx=′=θ0 (5.74)
Deoarece, ecua ția diferen țială a vibrațiilor de r ăsucire este asemenea cu cea a
vibrațiilor longitudinale nu vor exista deos ebiri în modul de determinare a solu țiilor.

5.3. Vibra țiile transversale ale barelor

5.3.1. Deducerea ecua ției vibrațiilor transversale

Barele supuse solicit ării de încovoiere se numesc grinzi.
Se va considera grinda din fig. 5.4.a. a c ărei axă nedeformat ă este axa Ox și care
va lua prin deformare forma din fig. 5.4.b. Deplasarea transversal ă a axei neutre în
punctul de abscis ă x la un moment t se noteaz ă cu ()txv,.
Pentru stabilirea ecua ției vibrațiilor trasversale se separ ă un element al barei, fig.
5.4.c.
Prin separare se înlocuiesc leg ăturile cu for țele tăietoare ()tx xT ,Δ+ și ()txT,,
respectiv momentele încovoietoare ()tx xM ,Δ+ și ()txM,. Asupra elementului se

178consideră că acționează și forța perturbatoare pe unitatea de lungime ()txq,. Se va
considera c ă elementul sub ac țiunea forțelor date și de legătură va avea o mi șcare plană.
Prin ()tx,θ s-a notat rota ția secțiunii transversale, ()tx,β este unghiul de
alunecare a sec țiunii datorit ă efectului for țelor tăietoare, iar xv
∂∂ este unghiul de înclinare
al axei neutre.

Fig. 5.4
Presupunând neglijabil ă deplasarea în lungul axei Ox, se pot scrie dou ă ecuații de
echilibru pentru elementul considerat. Ecua ția de proiec ții pe direc ția transversal ă se
poate scrie:

() ( ) ( ) xtxqtxTtx xT
tvxA Δ+−Δ+=
∂∂Δ , , ,22
ρ (5.75)
iar ecuația de momente fa ță de centrul de mas ă al elementului va fi:
() ( ) () ()2,2, , ,22xtxTxtx xTtxMtx xMtxJΔ−ΔΔ+−−Δ+=∂∂Δθ (5.76)
Împ ărțind cele dou ă ecuații (5.75) și (5.76) prin Δx și trecând la limit ă pentru
0→Δx , se obțin ecuațiile:
()txqxT
tvA ,22
+∂∂−=∂∂ρ (5.77)
și
TxM
tJ −∂∂=
∂∂
22θ (5.78)
Pe de altă parte, din teoria de rezisten ța materialelor, se poate scrie:

179 EIM
x=∂∂θ (5.79)
xv
kAGT
∂∂−==θ β (5.80)
Termenii 22
tJ∂∂θ și kAGT sunt numi ți în mod uzual, efecte de ordinul doi, unde
coeficientul k are valoarea 65 pentru sec țiuni dreptunghiulare și 109 pentru sec țiuni
circulare.
Primul termen a fost introdus de Rayleigh și ține cont de iner ția de rota ție, iar al
doilea a fost introdus de Timoshenko și ține cont de efectul deforma ției de alunecare a
secțiunilor sub ac țiunea for țelor tăietoare. Eliminând T, M și θ între rela țiile (5.77),
(5.78), (5.79) și (5.80) se ob ține ecuația lui Timoshenko pentru bare omogene de sec țiune
constantă.
022
22
22
22
2 24
22
44
=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂−
∂∂−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂−
∂∂+
∂∂∂−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂−−
∂∂
tvA q
t kGAJ
tvA q
x kGAEI
txvJ
tvA q
xvEI ρ ρ ρ
( 5 . 8 1 )
În ecua ția (5.81) se pot identifica termenii de corec ție dați de inerția de rota ție,
respectiv de deforma ția de alunecare. Neglijând ace ști termeni, din ecua țiile (5.77),
(5.78), (5.79) și (5.80) se deduce ecuația Euler – Bernoulli :
()txq
tvA
xvEI
x,22
22
22
=
∂∂+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂
∂∂ρ (5.82)
care, în cazul barelor de sec țiune constant ă devine:
()txqtvAxvEI ,22
44
=∂∂+∂∂ρ (5.83)
În cazul particular () 0 ,=txq se obține ecuația vibrațiilor libere trasnversale ale
grinzii:
044
2
22
=∂∂+∂∂
xvatv (5.84)
unde
AEIaρ= (5.85)
Trebuie remarcat c ă efectul corec ției dat de deforma ția de alunecare și de inerția
de rotație crește odată cu creșterea modului considerat și descrește cu lungimea și
inversul razei de gira ție.

5.3.2. Condi ții inițiale la limit ă

180 Pentru determinarea vibra țiilor transversale ale grinzii trebuie cunoscute condi țiile
inițiale, adică poziția și viteza fiec ărui punct în momentul ini țial. Aceasta înseamn ă să fie
cunoscute func țiile:
()()x txvtϕ==0, și ()()xttxv
tψ=∂∂
=0, (5.86)
De asemenea, trebuie cunoscute condi țiile limită date de leg ăturile pe care le are
bara. Cele mai frecvente condi ții la limită sunt:

a) Capăt încastrat (I)
() 0 ,0==xtxv și () 0 ,0=′=xtxv (5.87)
adică deplasarea și unghiul de înclin are sunt nule.

b) Capăt simplu rezemat sau articulat (R)
() 0 ,==Lxtxv și () 0 ,==LxtxM (5.88)
ceea ce înseamn ă că deplasarea și momentul încovoietor sunt nule în cap ătul simplu
rezemat. Ultima rela ție este echivalent ă cu () 0 ,=′′=Lxtxv .

c) Capăt liber (L)
() 0 ,==LxtxT și () 0 ,==LxtxM (5.89)
ceea ce înseamn ă că la capătul liber nu exist ă forță tăietoare și nici moment de
încovoiere. Aceste rela ții pot fi scrise și astfel:
033
=
∂∂
=Lxxv
și 022
=
∂∂
=Lxxv
(5.90)

Astfel, în fiecare cap ăt se obțin două condiții de frontier ă. Condiții diferite se
obțin dacă în capătul barei este ata șată o masă m sau un arc (fig. 5.5.).
Pentru fig. 5.5.a. se poate scrie din proiec ții de forțe:
()
LxtvmtLT
=∂∂=22
, (5.91)
sau

Lx Lxtvm
xvEI
= =∂∂=
∂∂
22
33
(5.92)
iar din ecua ția de momente:
() 0 ,=tLM sau () 0 ,=′′=Lxtxv (5.93)

Pentru cazul din fig. 5.5.b.:
() 0 ,=tLM sau () 0 ,=′′=Lxtxv (5.94)
și

181 ()Lx
LxtxTxvEI=
==∂∂,33
sau ()Lx
LxtxvEIk
xv
=
==∂∂,33

(5.95)

Fig. 5.5.

5.3.3. Vibra ții libere transversale ale barelor

Vibra țiile libere transversale ale barelor lungi și subțiri, cazul Bernoulli – Euler
sunt guvernate de ecua ția:
() 0 , =+″′′ vA vEI ρ (5.96)

Pentru integrarea ecua ției (5.96) se va aplica metoda separ ării variabilelor, solu ția
luându-se de forma:
() ( )( ) tTxVtxv ⋅=, (5.97)
unde ()xV și ()tT sunt func ții ce urmeaz ă a fi determinate. Înlocuind (5.97) în ecua ția
(5.96), aceasta, pentru bare omogene și de secțiune constant ă, devine:
() () ()()0=⋅+⋅ tTxAV tTx EIVIV ρ (5.98)
care poate fi separat ă în:
2pTT
VV
AEIIV
=−=
(5.99)
Și în acest caz rapoartele (5.99) sunt satisf ăcute pentru orice x și t numai dac ă sunt
egale cu aceea și constant ă. Din condi ția de mărginire în timp rezult ă că această constantă
trebuie să fie pozitiv ă. Urmează că din ecuația (5.99) se poate scrie:
02=+TpT (5.100)
02=− VpEIAVIVρ (5.101)
Ecuația (5.100) are solu ția de forma:
() pt Bpt AtT cos sin+= (5.102)

182iar pentru ecua ția (5.101) solu ția este de forma rxe, obținându-se ecua ția caracteristic ă:
02
4=−EIAprρ (5.103)
și are rădăcinile λ=1r , λ−=2r , λir=3 , λi r−=4 , unde λ este:
42
EIApρλ= (5.104)
Soluția general ă se va scrie:
() x Fx Ex Dchx CshxV λ λ λλ cos sin+ ++= (5.105)

Exist ă cinci constante în solu ția general ă, C, D, E și F constante de integrare, iar
pulsațiile proprii p sunt asociate fiec ărei valori proprii λ. Pentru determinarea acestor
constante se folosesc condi țiile de limit ă (frontieră).
În Tabelul 2. sunt date cazurile cele mai frecvente de leg ături la care poate fi
supusă o bară, în care simbolul R reprezintă rezemarea.
Tabelul 2.

Tipul
legăturii Ecuația
caracteristic ă 2
1X 22X 2
3X 2
4X 2
5X
I – L 0 cos 1 = + x chx 3,516 22,03 61,69 120,9 199,8
R – R 0 sin=x 9,869 39,47 88,82 157,9 246,7
I – I; L – L 0 cos 1 = − x chx 22,37 61,67 120,9 199,8 298,5
I – R; L – R thx tgx= 15,41 49,96 104,2 178,2 272,0

În acest tabel s-a notat:
L Xr rλ= (5.106)
de unde pulsa țiile proprii devin:
AEI
LXpr
rρ22
= (5.107)
Trebuie remarcat c ă pulsațiile proprii nule corespunz ătoare celor dou ă moduri de
corp rigid pentru bara L – L și un mod de corp rigid pentru bara L – R nu sunt trecute în
Tabelul 2.
5.3.4. Rela ții de ortogonalitate

Pornind de la ecua ția (5.98) și observând c ă soluția ecuației este armonic ă de
forma:
() () ( ) ϕ+⋅= pt xVxv cos (5.108)

Înlocuind-o în ecua ția (5.98) se ob ține:
VAp EIVIV 2ρ= (5.109)

183Această ecuație poate fi scris ă pentru orice pereche: pulsa ție proprie, func ție proprie.
Fie rp, rV și sp, sV două astfel de perechi. Se poate scrie:
rrIV
r VAp EIV2ρ= (5.110)
ssIV
s VAp EIV2ρ= (5.111)
Se înmulțește ecuația (5.110) cu sV, iar (5.111) cu rV și prin integrarea de dou ă ori prin
părți pe domeniul ( 0, L), se obține:
() dxVAV p dxVVEI VVEI VEIVsrL
r sL
rL
r s rs ∫ ∫=⋅′′⋅′′+′′⋅′−′′′
02
00ρ (5.112)
() dxVAV p dxVVEI VVEI VEIVsrL
s sL
rL
s r sr ∫ ∫=⋅′′⋅′′+′′⋅′−′′′
02
00ρ ρ (5.113)
Ținând cont de condi țiile de limit ă (5.87), (5.88) și (5.89) și prin sc ăderea
ecuațiilor (5.112) și (5.113) se ob ține pentru s rp p≠ :
0
0=∫dxVAVsrL
ρ (5.114)
iar din (5.112):
0
0=⋅′′⋅′′∫dxVVEIsL
r (5.115)
adică relațiile de ortogonalitate.
În acela și mod, dac ă se înmulțește ecuația (5.110) cu rV, prin integrare se ob ține:

rr
rMKp=2 (5.116)
unde
()dxxVEI KL
r r∫′′=
0; ()dxx AV ML
r r∫=
02ρ (5.117)
reprezintă rigiditatea și masa modal ă corespunz ătoare modului r.

5.4. Probleme

5.4.1. O bară de lungime L, omogen ă și de secțiune constant ă, este încastrat ă la ambele
capete. Bara este adus ă înt-o mi șcare vibratorie longitudinal ă dându-li-se tuturor
punctelor o vitez ă constantă 0v în lungul barei. S ă se determine mi șcarea rezultant ă.

Rezolvare:
Soluția general ă a vibrațiilor longitudinale pentru a l ăsa capetele încastrate se
poate scrie, folosind și Tabelul 1., astfel:

184 ()LxrtLcrBtLcrA txu
rr rππ πsin sin cos ,
1∑∞
=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+ =
Din condi țiile inițiale
() 0 0,0==txu și ()0 0, v txut== , se obține:
() 0 sin 0,
1= =∑∞
= LxrA xu
rrπ
()0
1sin 0, vLxr
LcrB xu
rr = =∑∞
=ππ
din care rezult ă:
0=rA și dxLxrvcrBL
rπ
πsin2
00∫= , adică:
c rLvBr 2204
π= , pentru r impar și 0=rB pentru r par.

Mișcarea rezultant ă va fi:
()Ltcr
Lxr
r cLvtxu
r⋅=∑∞
=ππ
πsin sin1 4,
3,12 20

5.4.2. O bară de lungime L este încastrat ă l a u n c a p ăt și legată printr-un arc de
constantă k la celălalt capăt (fig. 5.6.). S ă se deducă ecuația pulsațiilor proprii.

Fig. 5.6.

Rezolvare:
În cazul vibra țiilor longitudinale func țiile proprii sunt de forma:
() xcpDxcpCxU ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛= sin cos
Punând condi țiile de frontier ă:
() 00==xxU și () ()Lx LxxUAE xkU= =′= −
se obține din prima condi ție: 0=C , iar din a doua:

185 Lcp
cpAELcpk ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛− cos sin sau kcpAE Lcptg−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛.
Aceasta este ecua ția pulsațiilor proprii.
Dac ă rigiditatea arcului este foarte mic ă în compara ție cu cea a barei, ecua ția
pulsațiilor proprii este:
∞=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛Lcptg , adică: ()
Lc rprπ12−=
sunt pulsa țiile proprii din cazul barei cu un cap ăt încastrat și celălalt liber.

5.4.3. O bară de lungime L este încastrat ă la un cap ăt, iar la cel ălalt capăt este atașată o
masă concentrat ă m (fig. 5.7.). S ă se determine ecua ția pulsațiilor proprii.

Fig. 5.7.

Rezolvare:
Condi țiile la limit ă în acest caz sunt: pentru cap ătul încastrat () 0 ,0==xtxu , iar
pentru cel ălalt capăt:
Lx Lx tumxuAE
= =∂∂−=∂∂⋅22

Solu ția general ă a vibrațiilor longitudinale libere este de forma:
() ( )⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+ =∑∞
=xcpDxcpCtp Btp A txur
rr
r
rr r r r sin cos sin cos ,
1,
din prima condi ție se obține: 0=rC , iar din a doua:
LcpmpLcp
cAEpr
rr r⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛sin cos2 sau
rr
mpcALcptgρ=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
Aceasta este ecua ția pulsațiilor proprii.
Dac ă masa ata șată m este foarte mic ă, în compara ție cu masa barei, ecua ția
pulsațiilor proprii devine: ∞=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛Lcptgr, adică ()
Lc rprπ12−= .

186 Dac ă masa ata șată m este mult mai mare decât masa barei:
rr
mpcALcptgρ=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛,
devine un raport foarte mic, pentru cea mai mic ă pulsație 1p, se poate scrie:
LcpLcptg ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛1 1
și înlocuind în ecua ția pulsațiilor proprii:

11
mpcALcpρ=
de unde mLAEp=1 , adică pulsația unui sistem cu un grad de libertate, având masa m și
constanta elastic ă LAEk= .

5.4.4. O bară de lungime L este liber ă la un cap ăt, iar celălalt capăt se mișcă după legea
t rsin⋅ (fig. 5.8.). S ă se determine vibra ția forțată a barei.

Fig. 5.8.

Rezolvare:
Vibra ția forțată a acestei bare se datore ște condițiilor de frontier ă, care sunt:
() t r txuxωsin ,0==
și
()0,=∂∂
=Lxxtxu
Deoarece intereseaz ă vibrația forțată, aceasta va fi de forma:
() ( ) t xUtxup p ωsin ,= . Înlocuind-o în ecua ția diferen țială a vibrațiilor longitudinale
(5.9), se ob ține:

187 () ()xUt ct xUp p′′⋅= − ωωω sin sin2 2 sau 02
=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+′′p p UcUω

Soluția acestei ecua ții este de forma:
() xcCxcCxUp ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=ω ωsin cos2 1
iar vibrația forțată este:
() t xcCxcC txup ωω ωsin sin cos ,2 1 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=
Din condi țiile inițiale se ob ține:
() t rt Ctu ωω sin sin ,01= = , adică r C=1
și 0 sin cos sin2 =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−=∂∂
=t LcCLcrc xu
Lxωω ω ω
adică cLtgr Cω⋅=2 , de unde vibra ția forțată va fi:
() t xcLctgxcrtxu ωωωωsin sin cos ,⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⋅⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=

Se constat ă că valorile pentru care pulsa ția mișcării capătului barei este egal ă cu
pulsațiile proprii ale barei
()
Lc rpr212πω−== ,
fac amplitudinea vibra ției ()txup, infinit de mare.

5.4.5. Un disc de moment de iner ție J este rigid legat de cap ătul liber al unui arbore de
lungime L (fig. 5.9.). S ă se determine ecua ția pulsațiilor proprii pentru vibra țiile de
torsiune ale arborelui.

Fig. 5.9.

188
Rezolvare:
Ecua ția diferen țială a vibrațiilor de răsucire este:
22
2
22
xct∂∂=∂∂ θθ,
unde θ este unghiul de rota ție al arborelui, iar ρGc=2.
Solu ția general ă a acestei ecua ții este:
() ( ) ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+ + =∑∞
= axp Daxp Ctp Btp A txr r r r
rr r r r sin cos sin cos ,
1θ
Condi țiile de frontier ă sunt:
() 0 ,0=tθ și
Lx Lx tJxGI
= =∂∂=∂∂−22
0θ θ

din prima condi ție rezultă 0=rC , iar din a doua condi ție:
cLpJpcLppcGIr
rr
r sin cos2 0−= −
sau

rrcJpGI
cLtgp0=
care reprezint ă ecuația pulsațiilor proprii.

5.4.6. Să se determine pulsa țiile proprii și funcțiile proprii (forma modurilor proprii)
pentru vibra țiile transversale ale unei grinzi simplu rezemat ă (articulat ă) la ambele capete
(fig. 5.10.).

Fig. 5.10.

Rezolvare:
Folosind solu ția dată de (5.105) și condițiile la limit ă, care în acest caz sunt:
() 00==xxV , () 00=′′=xxV
și pentru cel ălalt capăt:
() 0==LxxV , () 0=′′=LxxV ,

se obține pentru cap ătul 0=x :

189 0=+FD și ()02=−FDλ
de unde
0==FD .

Pentru cel ălalt capăt, Lx=:
0 sin= + L EL Csh λ λ
() 0 sin2= − L EL Csh λλλ

Acesta este un sistem liniar și omogen. Pentru a exista solu ții nebanale trebuie ca:
0
sinsin
2 2=
−−
L LshL Lsh
λλλλλλ

adică 0 sin=⋅ L Lshλλ .
Deoarece 0=Lshλ , numai dac ă 0=Lλ , soluții nebanale vor fi dac ă 0 sin=Lλ .
Această ecuație caracteristic ă va da pulsa ții proprii:
πλ rLr= , de unde : AEI
Lrprρπ2
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=
iar funcțiile proprii vor fi:
()LxrExVrπsin=
unde E este o constant ă nedeterminat ă. Funcțiile proprii sunt determinate pân ă la un
factor amplitudine arbitrar.
Forma primelor trei moduri proprii sunt ar ătate în fig. 5.11.

Fig. 5.11.

5.4.7. Să se determine pulsa țiile proprii pentru vibra țiile transversale ale unei grinzi
încastrată la un cap ăt și liberă la celălalt capăt (fig. 5.12.).

190

Fig. 5.12.
Rezolvare:
Folosind solu ția (5.105):
() x Fx Ex Dchx CshxV λ λ λλ cos sin+++=
și condițiile la limit ă:
() 00==xxV ; () 00=′=xxV și () 0=′′=LxxV ; () 0=′′′=LxxV

se obține sistemul algebric:

⎪⎪
⎭⎪⎪
⎬⎫
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
=
⎪⎪
⎭⎪⎪
⎬⎫
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
−− −
0000
sin coscos cos0 01 0 1 0
3 3 3 32 2 2 2
FEDC
L L Lsh LchL L Lch Lsh
λλλλλλλλλλλλλλλλλ λ

Acest sistem are solu ții nebanale dac ă 1 cos =⋅Lchxλλ , ceea ce constituie
ecuația caracteristic ă, ale cărei rădăcini se ob țin prin metode numerice. Primele patru
valori sunt:
8751,11=Lλ , 6941,42=Lλ
8548,73=Lλ , 996,104=Lλ

iar din rela țiile (5.106) și (5.107) rezult ă:
AEI
Lpρ2 1516,3= , AEI
Lpρ2 203,22=
AEI
Lpρ2 37,61= , AEI
Lpρ2 4121=

1915.5. Vibra țiile membranei plane și ale unei pl ăci plane sub țiri

5.5.1. Stabilirea ecua țiilor cu derivate par țiale ale membranei plane
O membran ă plană este un corp elastic bidimensional, de forma unei suprafe țe
plane în stare nedeformat ă, delimitat ă de o curb ă plană închisă numită contur, care poate
prelua numai eforturi de întindere. Se consider ă o membran ă plană omogen ă cu
densitatea de suprafa ță de
, aflată inițial în planul Oxy. Sub ac țiunea unei for țe
perturbatoare q(x,y,t) distribuit ă pe suprafa ța membranei, orientat ă după axa Oz
perpendicular ă pe planul Oxy, aceasta va avea vibra ții forțate după axa Oz, caracterizate
de deforma ția w(x,y,t).

Fig. 5.13

Dac ă se separă un element de suprafa ță al membranei cu dimensiunile Δx și Δy în
stare nedeformat ă, la momentul t al mi șcării, asupra lui ac ționează forțele din figura 5.13.
Forțele axiale
și
se consider ă distribuite pe laturile elementului de suprafa ță, iar
reprezint ă accelerația acestui element la momentul t al mi șcării. Condi țiile de
echilibru dinamic ale elementului considerat conduc la ecua țiile:

(5.118)
Deoarece unghiurile
,
,
și
sunt mici, se pot face aproxim ările:

(5.119)

În aplica ții tehnice membrana este fixat ă pe un contur, astfel c ă din primele
ecuații (5.118) rezult ă:

192

(5.120)
iar ultima ecua ție (5.118) devine:

(5.121)
Cu notația
din (5.121) se ob ține:

(5.122)
Rezultă că vibrațiile libere ale membranei vor fi descrise de ecua ția diferen țială cu
derivate par țiale

(5.123)
Ecua țiile (5.122) sau (5.123) se folosesc pentru studiul vibra țiilor forțate,
respectiv libere, ale membranei dreptunghiulare. Condi țiile inițiale și de limit ă pentru
integrarea acestor ecua ții vor fi

(5.124)

(5.125)
unde a și b sunt dimensiunile membranei în stare ini țială.
În cazul unei membrane circulare este necesar s ă se exprime ecua țiile diferen țiale
ale mișcării în coordonate polare, fa ță de un sistem de coordonate cu originea în centrul
membranei. Rela țiile de transformare ale coordonatelor vor fi

(5.126)
din care rezult ă

(5.127)
Pe baza rela țiilor (5.127) se pot scrie

193

(5.128)
de unde ecua ția de mișcare (5.123) pentru vibra țiile libere ale membranei devine

(5.129)
În acest caz condi țiile inițiale și condiția la limit ă sunt:

(5.130)
unde R este raza membranei circulare în stare ini țială.
5.2.2. Stabilirea ecua ției cu derivate par țiale a plăcii dreptunghiulare sub țiri

Fig. 5.14

Se consider ă o placă omogenă dreptunghiular ă cu densitatea
și dimensiunile a
respectiv b mult mai mari decât grosimea sa h. Se caut ă să se stabileasc ă ecuația

194diferențială cu derivate par țiale a vibra țiilor de încovoiere (transversale) ale pl ăcii, dacă
se pot neglija toate for țele și momentele disipative. Deoarece deforma țiile transversale ale
plăcii sunt foarte mici, pentru aceasta se poate separa un element de suprafa ță al plăcii cu
dimensiunile infinitesimale dx și dy, care în stare deformat ă a plăcii rămâne paralel cu
planul Oxy. Asupra fe țelor laterale ale acestui element de suprafa ță acționează eforturile
distribuite pe laturile elementului ca în figura 5.14, unde T zx și Tzy sunt forțe tăietoare. M x
și M y sunt momente încovoietoare, iar M xy este moment de r ăsucire. Din condi țiile sale
de echilibru dinamic rezult ă:

(5.131)
Pe baza rela țiilor cunoscute din rezisten ța materialelor:

(5.132)
unde D este rigiditatea la încovoiere a pl ăcii, iar
este coeficientul lui Poisson, se ob ține:

(5.133)
Înlocuind (5.133) în prima ecua ție (5.131), rezult ă:

(5.134)
unde s-a notat
. Vibrațiile libere ale pl ăcii se vor studia, astfel, cu ecua ția:

(5.135)
Pentru integrarea ecua țiilor (5.134) sau (5.135) se folosesc condi țiile inițiale
(5.124), iar condi țiile limită se exprim ă în funcție de modul de fixare al pl ăcii pe contur.
Astfel, pe o latur ă încastrată săgeata w și panta
sau

sunt nule. Dac ă placa
este încastrat ă pe contur, condi țiile limită devin:

195

(5.136)
Pe o latur ă rezemată bilateral s ăgeata și momentul încovoietor sunt nule, deci pentru o
placă dreptunghiular ă rezemată pe contur sunt valabile urm ătoarele condi ții limită:

(5.137)
5.5.3. Vibra țiile libere ale membranei dreptunghiulare
Folosind metoda separ ării variabilelor, solu ția ecuației (5.123) se exprim ă sub
forma:

(5.138)
Cu notațiile obițnuite ale derivatelor, se poate scrie

(5.139)
Din (5.139) se ob țin trei ecua ții diferențiale obișnuite

(5.140)
care au solu țiile generale

(5.141)
Valorile proprii d, s și
se determin ă din condi țiile la limit ă (5.125), care conduc la
ecuațiile

(5.142)
Din (5.142) rezult ă

196(5.143)
Pulsațiile proprii ale membranei devin

(5.144)
Dacă se consider ă
, soluția general ă a ecuației (5.123) se poate exprima sub
forma

(5.145)
în care
,
și produsul lor se numesc func ții proprii.
Constantele de integrare
și
din (5.145) se determin ă din condi țiile inițiale (5.124),
care conduc la

(5.146)
Pe baza dezvolt ării în serie dubl ă Fourier a func țiilor
și
din (5.146) rezult ă

(5.147)
5.5.4. Vibra țiile libere ale pl ăcii dreptunghiulare sub țiri

197
Din condi ția că soluția (5.138) se ob ține

(5.148)
Pentru cea de a doua ecua ție (5.148) se caut ă soluții de forma

(5.149)
care conduc la ecua ția caracteristic ă

(5.150)
Se observ ă că soluțiile generale ale ecua țiilor (5.148) se pot exprima sub forma

(5.151)
în care, pe baza ecua ției (5.150), trebuie s ă fie verificat ă relația

(5.152)
Valorile proprii d și s se determin ă din condi țiile limită, iar
rezultă din (5.152).
Pentru placa rezemat ă bilateral pe contur, din (5.137) rezult ă

(5.153)
Condițiile (5.153) conduc la ecua țiile:

198

(5.154)

(5.155)

(5.156)
unde s-a ținut seama c ă din (5.154) rezult ă
. Pentru c ă sistemele
liniare și omogene (5.155) și (5.156) s ă admită soluții diferite de solu ția banală, este
necesar ca determinan ții acestora s ă fie nuli, deci se ob țin ecuațiile caracteristice:

(5.157)
care sunt acelea și ca și la membrana dreptunghiular ă. Rezultă că valorile proprii, func țiile
proprii, solu ția general ă și constantele de integrare
și
vor fi acelea și, dar aici
pulsațiile proprii sunt:

(5.158)
În cazul în care placa este încastrat ă pe contur, condi țiile limită (5.136) se
exprimă prin:

(1.159)
care conduc la ecua țiile:

(1.160)

199

(1.161)

(1.162)
în care s-a ținut seama de (5.160). Pentru ca sistemele liniare și omogene (5.161) și
(5.162) să admită soluții diferite de solu ția banală, este necesar ca determinan ții acestora
să fie nuli. Din aceast ă condiție se obțin ecuațiile caracteristice:

(5.163)

Fig. 5.15

ale căror soluții se determin ă grafic, din intersec ția graficelor func țiilor
și
, dacă se noteaz ă
sau
cu
(Fig. 5.15). Astfel, se ob ține
și
, iar pentru
se poate lua
. În acest mod se determin ă
următoarele valori proprii:

(5.164)

200iar valorile proprii
și pulsațiile proprii
rezultă:

(5.165)
Deoarece ca func ții proprii se pot lua func țiile

(5.166)
soluția general ă a ecuației (5.135) în acest caz devine:

(5.167)
în care constantele de integrare, pe baza condi țiilor inițiale (5.124), se determin ă cu
integralele:

(5.168)
5.5.5. Vibra ții forțate cu for ță perturbatoare armonic ă ale unei pl ăci
dreptunghiulare sub țiri

Se consider ă forța perturbatoare armonic ă distribuit ă pe suprafa ță

201(5.169)
care acționează asupra unei pl ăci dreptunghiulare sub țiri. Amplitudinea
a acestei
forțe perturbatoare este o func ție dată, definită pe suprafa ța dreptunghiular ă a plăcii.
Vibrațiile forțate corespunz ătoare ale pl ăcii sunt date de o solu ție particular ă a ecuației
(5.134) care, de asemenea, se poate exprima sub forma:

(5.170)
Din condi ția ca aceast ă soluție să verifice ecua ția (5.134), rezult ă:

(5.171)
Deoarece solu ția
a ecuației (5.171) trebuie s ă verifice condi țiile de margine ale
plăcii, aceasta se descompune dup ă funcțiile proprii:

(5.172)
în care, pe baza celei de a doua ecua ții (5.148), trebuie s ă fie îndeplinite condi țiile:

(5.173)
pentru orice valori naturale ale lui i și j. Înlocuind (5.172) în (5.171) și ținând seama de
(5.173), se ob ține:

(5.174)
de unde coeficien ții
rezultă:

202

(5.175)
Se observ ă că pentru
amplitudinea corespunz ătoare
din
(5.175) poate s ă tindă spre infinit, dac ă integrala din membrul drept este diferit ă de zero,
deci și în acest caz poate s ă apară fenomenul de rezonan ță.
5.5.6. Vibra țiile libere ale membranei circulare
În cazul vibra țiilor libere ale membranei circulare este avantajos s ă se considere
ecuația (5.129), cu condi țiile inițiale și limită (5.130). Folosind metoda separ ării
variabilelor, se consider ă soluția ecuației (5.129) de forma

(5.176)
pentru care se ob ține:

(5.177)
A doua ecua ție (5.177) se poate exprima sub forma:

(5.178)
deci din prima ecua ție (5.177) și din (5.178) rezult ă:

(5.179)
Solu ția celei de a doua ecua ții (5.179) este func ția Bessel
de speța întâi
și de ordin
. Această soluție nu poate s ă depindă și de funcția Bessel de spe ța a doua,

203deoarece pentru r=0 trebuie s ă fie mărginită. Din condi ția limită (5.130) se ob ține ecuația
caracteristic ă:

(5.180)
care are un șir infinit de solu ții discrete pentru fiecare valoare a lui s. Deoarece din
condițiile limită pentru func ția
, care sunt:

(5.181)
se obține ecuația caracteristic ă
, deci valorile proprii adimensionale
sunt
, din ecua ția caracteristic ă (5.180) rezult ă un șir dublu de valori proprii
și
respectiv un șir dublu de pulsa ții proprii
. Ca urmare, solu ția general ă a ecuației
(5.129) se exprim ă sub forma:

(5.182)
Pentru determinarea constantelor de integrare
și
pe baza condi țiilor inițiale
(5.130), se folose ște proprietatea de ortogonalitate a func țiilor Bessel de spe ța întâi, care
este

(5.183)
În acest mod se ob ține:

(5.184)

2046. METODE NUMERICE ȘI APROXIMATIVE

Din problemele de vibra ții prezentate în capitolele precedente se poate constata
că, de cele mai multe ori, g ăsirea solu țiilor exacte ale ecua țiilor diferen țiale este foarte
dificilă, dacă nu chiar imposibil ă, iar volumul de calcul pe ntru determinarea pulsa țiilor
proprii și a vectorilor proprii este mare. Din aceste motive s-au fundamentat numeroase
metode aproximative. În concordan ță cu forma în care aceste solu ții sunt reprezentate,
metodele aproximative se împart în dou ă grupe:
1. Metode numerice, în care solu țiile aproximative sunt date sub forma unor tabele.
2. Metode analitice, care dau solu țiile aproximative ale ecua țiilor diferen țiale sub
forma unor expresii analitice. Din acest motiv, aceste metode sunt cunoscute frecvent sub numele de metode aproximative.

6.1. Evaluarea numeric ă a răspunsului sistemului cu un grad de
libertate

6.1.1. Solu ția numeric ă bazată pe interpolarea for ței perturbatoare

În multe probleme practice de vibra ții mecanice for ța perturbatoare ()tF nu este
cunoscută sub forma unei expresii analitice, ci este dat ă sub forma unui set de valori
discrete ()i i tF F= , N i,1= . În mod frecvent intervalul de timp i i i t tt−=Δ+1 este luat
constant.
Pentru calculul numeric al integralelor ce apar în formulele lui Duhamel (1.123) și
(1.133) se poate folosi metoda Simpson sau metoda trapezelor, dar o metod ă mult mai
directă și mai eficient ă se obține prin interpolarea for ței perturbatoare ()tF. Această
metodă se bazeaz ă pe o solu ție exactă, folosind rezultatele din problema 1.3.28. În fig.
6.1. se arat ă interpolarea constant ă și interpolarea liniar ă a forței ()tF. În cazul
interpolării constante, valoarea for ței în intervalul itΔ se consider ă iF~ și se calculeaz ă ca
fiind media valorilor de la capetele intervalului itΔ; ()1 5,0~
++=i i i FF F .

Fig. 6.1.

205În cazul interpol ării liniare a for ței perturbatoare, for ța în intervalul considerat va fi:
() τ τ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
ΔΔ+=
ii
itFF F (6.1)
unde
i i i F F F−=Δ+1

Se va considera în continuare r ăspunsul unui sistem neamortizat. Pentru o
interpolare constant ă, răspunsul poate fi ob ținut pe baza solu ției (1.123) și răspunsului dat
de condiții inițiale nenule (1.65).
() ()τω τωωτω τni
n
ni
n ikF xx x cos1~
sin cos −⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛++=
(6.2)
()τω τωωτωωτ
ni
n
ni
n i
n kF xxxsin cos sin ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+ −= 
(6.3)
Calculând aceste expresii la timpul 1+it, adică pentru itΔ=τ , se obține:
() () ()[]i ni
i n
ni
i n i i tkFtxt x x Δ−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+Δ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+Δ =+ ω ωωω cos1~
sin cos1
(6.4)
() () ()i ni
i n
ni
i n i
nitkFtxt xxΔ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+Δ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+Δ−=+ω ωωωωsin~
cos sin1  
(6.5)

Ecua țiile (6.4) și (6.5) sunt formule de recuren ță pentru calculul st ării dinamice
()1 1,++ i ixx la momentul 1+it, fiind dat ă starea ()i ixx, la momentul it.
Pentru cazul în care interpolarea for ței perturbatoare se face liniar, aproxima ția
este mai bun ă. Folosind ecua ția (6.1) pentru un sistem vibrant neamortizat cu un singur
grad de libertate se ob țin formulele de recuren ță:
() () ()[]
()[]i n i n
i nii ni
i n
ni
i n i i
t ttFtkFtxt x x
Δ−Δ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
ΔΔ++Δ−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+Δ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+Δ =+
ω ωωω ωωω
sincos1 sin cos1
(6.6)
() () () ()[]i n
i ni
i ni
i n
ni
i n i
nitt kFtkFtxt xxΔ−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
ΔΔ+Δ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+Δ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+Δ−=+ωωω ωωωωcos1 sin cos sin1  

( 6 . 7 )
Formulele de recuren ță (6.4) și (6.5), respectiv (6.6.) și (6.7), pot fi convenabil
scrise sub forma:
i i i i i xDxC FBFA x ⋅+⋅+⋅+⋅=+ + 1 1 (6.8)
i i i i i xDxC FBFA x   ⋅′+⋅′+⋅′+⋅′=+ + 1 1 (6.9)

206 Dac ă intervalul itΔ este constant, coeficien ții de la A până la D' trebuie calcula ți
o singură dată, ceea ce m ărește viteza de calcul a r ăspunsului. Deoarece, formulele de
recurență se bazeaz ă pe soluții parțiale exacte, într-un interval de timp itΔ, este necesar
ca mărimea pasului itΔ să fie ales astfel încât s ă se facă apropiere strâns ă a răspunsului
aproximativ de solu ția totală exactă. Pentru aceasta este recomandabil s ă s e i a u n p a s
10n
iTt≤Δ , nT fiind perioada natural ă a sistemului.

6.1.2. Integrarea numeric ă pas cu pas

Metoda aplicat ă în paragraful precedent permite determinarea r ăspunsului unui
sistem vibrant liniar la un timp discret it.
O alt ă metodă, care poate fi folosit ă, atât pentru sisteme liniare, cât și pentru
sisteme neliniare, se bazeaz ă pe aproximarea derivatelor ce apar în ecua ția diferen țială a
mișcării și pe generarea solu ției pas cu pas, folosind pa șii itΔ. Există foarte multe
variante ale acestei metode, una dintre cele ma i frecvent folosite fiind metoda de mediere
a accelera ției (Newmark 41=β ) .
În continuare se va considera sistemul mecanic a c ărui ecuație de mișcare este:
()tF kxxcxm =++ (6.10)
cu condițiile inițiale: ()0 0x x= și ()0 0v x= date.
Accelera ția în intervalul de timp it și 1+it este luat ă ca medie a valorilor de la
capetele intervalului de timp (fig. 6.2.)
() ( )1 5,0++=i ixx x  τ (6.11)

Fig. 6.2.
Integrând ecua ția (6.11) de dou ă ori se obține:
()1 12+ + +⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛Δ+=i ii
i i xxtx x   (6.12)
()12
14+ + +⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛Δ+Δ+=i ii
i i i i xxttxx x   (6.13)

207 Pentru determinarea unui algoritm, pentru integrarea numeric ă, este convenabil a
se folosi varia țiile iFΔ, ixΔ, ixΔ și ixΔ, unde i i i F F F−=Δ+1 , și așa mai departe. Atunci
din (6.12) și (6.13) se ob țin:
()i i i i
ii x txx
tx   24
2−Δ−Δ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
Δ=Δ (6.14)
i i
ii x xtx   22−Δ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
Δ=Δ (6.15)
Din ecua ția de mișcare (6.10) care se scrie pentru it și 1+it, se obține:
i i i i F xkxcxm Δ=Δ+Δ+Δ (6.16)

Ecuațiile (6.14) și (6.16) prin substitu ție conduc la:
χ χ
i i i F xkΔ=Δ (6.17)
unde
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
Δ+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
Δ+=24 2
i iitm
tck kχ (6.18)
și
i i
ii i xm xctmF F 2 24+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+Δ+Δ=Δχ (6.19)
Se determin ă ixΔ din (6.17), apoi se ob ține ixΔ și ixΔ din (6.14) și (6.15),
respectiv
i i i x x xΔ+=+1
i i i x x x Δ+=+1
i i i x x x  Δ+=+1
(6.20)

Accelera ția poate fi determinat ă, de asemenea, din ecua ția de mișcare:
mkxxcFxi i i
i−−= (6.21)
Aceast ă ecuație este folosit ă pentru ob ținerea accelera ție 0x.
În concluzie, algoritmul pentru integrarea numeric ă prezentat ă are următorii pași:
1. Se introduc k, c, m, 0x, ()itF , N i ,,1,0…= ;
2. Se determin ă 0x din (6.21);
3. Se introduce itΔ;
4. Se determin ă χ
ik din (6.18);
5. Se determin ă χ
iFΔ din (6.19);
6. Se determin ă ixΔ din (6.17);

2087. Se determin ă ixΔ și ixΔ din (6.14) și (6.15);
8. Se determin ă 1+ix, 1+ix, 1+ix din (6.20).

Dacă itΔ este constant, ciclul se reia de la pasul 5, altfel de la pasul 3.

6.2. Evaluarea numeric ă a răspunsului sistemelor liniare cu mai multe
grade de libertate

6.2.1. Metoda diferen țelor finite

Pentru integrarea numeric ă a ecuației diferen țiale:
[]{}[]{}[]{}{}Q qk qc qm =++ (6.22)
cu condițiile inițiale {}0q și {}0q date, sunt cunoscute mai multe metode.
Metoda diferen țelor finite este folosit ă pentru a aproxima derivatele de diferite
ordine și are la baz ă dezvoltările în serie Taylor ale unei func ții ()xf în jurul unui punct
oarecare x astfel:
() ( )()"+Δ+Δ+=Δ+22
22x
dxfdxdxdfxf x xf
x x (6.23)
() ( )()"+Δ+Δ−=Δ−22
22x
dxfdxdxdfxf x xf
x x (6.24)
Luând numai primii doi termeni ai dezvolt ărilor, se ob ține:
() ()
xx xfx xf
dxdf
x ΔΔ−−Δ+=2 (6.25)

Dacă se iau și termenii ce con țin derivatele de ordinul doi din (6.23) și (6.24) se ob ține:
() ()()
()2 222
xx xfxf x xf
dxfd
x ΔΔ−+−Δ+= (6.26)

În mod similar, pentru a ob ține relații pentru derivate de ordin superior, se dezvolt ă
() x xfΔ+2 și () x xfΔ−2 .
Folosind formulele (6.25) și (6.26), vectorii vitez ă și accelera ție la orice moment
it, păstrând un pas constant tΔ, por fi exprima ți astfel:
(){} (){} ( ) {} [] t tq t tqttqi i i Δ−−Δ+Δ=21 (6.27)
(){}()(){} ( ) {}( ){} [] t tq tq t tq
ttqi i i i Δ++−Δ−
Δ= 21
2 (6.28)

209Înlocuind (6.27) și (6.28) în (6.22) se ob ține:
()[][](){} ( ) {}[]()[](){}
()[][](){} t tqctm
ttqm
tk tQ t tqctm
t
ii i i
Δ−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
Δ−
Δ−−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
Δ−−=Δ+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
Δ+
Δ
21 12
21 1
22 2
(6.29)

Din ecua ția (6.29) se poate calcula (){}t tqiΔ+ , dar pentru ini țializarea ciclului
este nevoie a se cunoa ște (){} t qΔ− pentru a se putea determina (){}tqΔ. Presupunând
date condi țiile inițiale (){}0q și (){}0q din (6.22) pentru t=0 se determin ă (){}0q .
Pentru a ob ține (){} t qΔ− se scad ecua țiile (6.28) și (6.27):
(){} ( ){} ( ){}()(){}020 02
qtqt q t q  ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛Δ+Δ−=Δ− (6.30)
Un dezavantaj al acestei metode este c ă pasul de timp tΔ trebuie s ă fie mai mic
decât pasul critic ()crtΔ pentru ca operatorul s ă fie stabil.

6.2.2. Metoda Newmark
Ecuațiile de baz ă ale acestei metode sunt:

(){} ( ) {} () (){}(){}t tqt tqt tq t tqi i i Δ+Δ+Δ−+=Δ+     γ γ1 1 (6.31)
(){} ( ) {} ( ){} () ( ){}( ) ( ) {} t tqt tqt tqt tq t tqi i i i Δ+Δ+ Δ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−+Δ+=Δ+   2 2
121β β (6.32)
unde γ și β sunt parametrii ce pot fi determina ți impunându-se o acurate țe și o
stabilitate dorit ă. Pentru γ se ia de obicei valoarea 21, iar pentru β se ia u v a l or i c e
depind de modul în care se presupune c ă variază accelerația în intervalul it și t tiΔ+
(fig. 6.3.).

Fig. 6.3.

210
În plus, la ecua țiile (6.31) și (6.32) se consider ă ecuația (6.22) satisf ăcută la
timpul t tiΔ+
[](){} [](){} [](){}(){}t tQ t tqk t tqc t tqmi i i i Δ+=Δ++Δ++Δ+   (6.33)

Pentru a ob ține soluția numeric ă, în primul rând se rezolv ă (6.32), de unde se
obține (){} t tqiΔ+ , apoi se înlocuie ște în (6.31), de unde se ob ține (){} t tqiΔ+ și, în
sfârșit, se folose ște (6.33) pentru a se ob ține (){}t tqiΔ+ .

6.3. Metode analitice aproximative

6.3.1. Calculul energiei cinetice și potențiale pentru sisteme continue

Rela țiile (2.10) și (2.17) dau energia cinetic ă și potențială pentru sisteme discrete.
Expresii similare se pot deduce și pentru sistemele continue, cu observa ția că,
diferite sisteme continue au expresii diferite pentru aceste energii.
Pentru a scoate în eviden ță legătura dintre sistemele discrete și continue se vor
deduce expresiile energiilor cinetic ă și potențială pentru o bar ă, care vibreaz ă
longitudinal, privind-o ca un caz limit ă a unui sistem discret.
Se consider ă sistemul de mase iM ( )n i ,,2,1…= (fig. 6.4.). Masele sunt legate
prin arcurile ik. Energia cinetic ă este:
()2
121
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=∑
= dttduM Ein
ii c
(6.34)
unde ()
dttdui este viteza masei iM.

Fig. 6.4.

În configura ția de echilibru masa iM ocupă poziția ix. Notând i i i xm MΔ= , unde im
poate fi considerat ă masa unit ății de lungime, când ∞→n , trecând la limit ă 0→Δix și
energia cinetic ă se poate scrie:
()()()dxttxuxm xdttdum EL
iin
iixc
i2
02
10,
21
21lim⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂=Δ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= ∫ ∑
=→Δ (6.35)

211unde variabila x este în locul pozi ției indexate ix, iar L reprezint ă lungimea barei. În
cazul barei omogene () () xA xmρ= .
Pentru calculul energiei poten țiale se presupune sistemul liniar. Notând cu ()tFi
forța din arcul ik și cu 1−−i iuu deformația acestuia, expresia energiei poten țiale este:
() () ()[] () ()[]2
1
11
1 21
21tutuk tututF Ei in
ii i in
ii p −
=−
=− =− = ∑ ∑ (6.36)
Introducând nota țiile
ii
ixEAkΔ= și ()()()tu tutui i i Δ=−−1 , expresia (6.36), trecând la
limită se poate scrie:
()()()dxxtxuxEA xxtuEA EL
i
iin
iixp
i2
02
10,
21
21lim⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂=Δ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
ΔΔ= ∫ ∑
=→Δ (6.37)

Într-un mod analog, se exprim ă aceste energii pentru o bar ă aflată în vibrații de
răsucire:
()()dxttxxJ EL
c2
0,
21
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂=∫θ (6.38)
()()dxxtxxGI EL
p2
0,
21
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂=∫θ
(6.39)
precum și pentru o bar ă aflată în vibrații de încovoiere:
()()dxttxvxA EL
c2
0,
21
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂=∫ρ
(6.40)
()()dxxtxvxEI EL
p2
22
0,
21
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂=∫
(6.41)

6.3.2. Aplicarea ecua țiilor lui Lagrange pentru sistemele continue în metoda
modurilor presupuse

Pentru a genera un model cu N grade de libertate pentru un sistem continuu
soluția aproximativ ă ()txu, (()tx,θ sau ()txv,) se ia de forma:
() ( )( ) tqx txurN
rr⋅=∑
=1,φ (6.42)
unde ()xrφ sunt func ții acceptabile (func țiile generatoare sau de compara ție pot fi privite
întotdeauna ca func ții acceptabile). Func țiilor acceptabile li se impun numai verificarea

212condițiilor de frontier ă geometrice, constituind astfel o clas ă mai larg ă decât cea a
funcțiilor generatoare. Func țiile de timp ()tqr corespund coordonatelor generalizate.
Se ca considera cazul vibra țiilor longitudinale, caz în care, înlocuind (6.42) în
expresiile energiilor cinetic ă și potențială, se obține:
() ()() ∑∑ ∑∑∫
== === =N
rsrN
srs srN
rsN
srL
c qqm dxqqxx xA E
11 11 021
21 φφ ρ (6.43)
() ()() ∑∑ ∑∑∫
== ===′′ =N
rsrN
srs srN
rsN
srL
p qqk dxqqxx xEA E
11 11 021
21φφ (6.44)
unde
() dx xA msrL
rs φφρ∫=
0 ; () dx xEA ksrL
rs φφ′′=∫
0 (6.45)
Cu alte cuvinte,pE și cE sunt func ții pătratice de coordonatele generalizate,
respectiv vitezele generalizate. Coeficien ții formelor p ătratice sunt elementele matricelor
[]k și []m din forma matriceal ă:
{}[]{}qmq ET
c 
21= ; {}[]{}qkq ET
p21= (6.46)
Dac ă bara este supus ă unor for țe externe distribuite pe unitatea de lungime
()txf,, atunci lucrul mecanic virtual este:
() ()rN
rrL
qQ txudxtxf L δ δ δ ∑ ∫
==⋅ =
1 0, , (6.47)
Din (6.42) deplasarea virtual ă ()txu,δ se scrie:
() ( )rN
rrqx txu δφ δ∑
==
1, (6.48)
care înlocuit ă în relația (6.47) d ă forțele generalizate:
() ( ) () dxx txf tQrL
r φ⋅=∫
0, (6.49)
Pentru determinarea ecua țiilor de mi șcare se folosesc ecua țiile lui Lagrange (2.1),
obținându-se:
()∑∑
= ==+N
sj sjsN
ssjs tQ qk qm
1 1 , N j,1= (6.50)
sau sub forma matriceal ă:
[]{}[]{}(){}tQ qk qm =+ (6.51)

În concluzie, alegând un num ăr de N funcții acceptabile, calculând coeficien ții din
(6.45) și forțele generalizate, se ajunge la ecua ția de mișcare (6.51), a c ărei rezolvare a
fost discutat ă la vibrațiile sistemelor discrete.
Dac ă se presupune și efectul for țelor rezistente, ca fiind for țe de amortizare
vâscoasă, pe unitatea de lungime ac ționează o forță

213 () ( ) ()dxtxuxc dxtxr , , −= (6.52)
c(x) fiind un coeficient de distribu ție a amortiz ării.
For țele generalizate de amortizare vor fi:
( ) () () () () dxx qx xc dxx txr QrL N
ss s rL
a
r φφ φ∫∑ ∫ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−=⋅=
= 0 1 0,  (6.53)
sau
sN
jjsa
r qc Q ∑
=−=
1, N j,1= (6.54)
unde coeficien ții matricei de amortizare [ c] sunt:
() dx xc csrL
rs φφ∫=
0 (6.55)

6.3.3. Metoda Rayleigh
Pentru ob ținerea unei solu ții aproximative, corespunz ătoare modului fundamental,
se poate folosi metoda lui Rayleigh . Această metodă se bazeaz ă pe teorema de conservare
a energiei mecanice totale a sistemelor conservative, adic ă:

max. max. p c E E= (6.56)
Energia cinetic ă a unei bare ce vibreaz ă longitudinal din (6.35) este:
() dxtuxA EL
c2
021⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂=∫ρ (6.57)
iar energia poten țială este:
() dxxuxEA EL
p2
021⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂=∫ (6.58)
Presupunând o lege armonic ă de variație a deplas ării ()txu,, de forma:
() ( ) pt xUtxu cos ,= (6.59)
energia cinetic ă maximă, respectiv energia poten țială maximă, sunt date de:
() dxUxA p EL
c2
02
max.21∫=ρ (6.60)
() dxxUxEA EL
p2
0max.21⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂=∫ (6.61)
Din ecuația (6.56) se ob ține:

214 ()UR
dxUAdxdxdUEA
pLL
=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
=
∫∫
2
02
0 2 (6.62)
Pentru a determina pulsa ția fundamental ă din (6.62) se presupune o deforma ție
sau o func ție ()xU , care satisface condi țiile geometrice de frontier ă, adică o funcție
acceptabil ă. Expresia (6.62) se nume ște raportul lui Rayleigh și depinde de func ția aleasă
()xU .

6.3.4. Metoda Rayleigh – Ritz

Dac ă se dorește determinarea mai multor pulsa ții naturale, se va înlocui func ția
()xU printr-o combina ție liniară de N funcții acceptabile
()NN xU φαφαφα +++= …22 11
(6.63)
unde Nααα ,,,2 1… sunt constante , iar Nφφφ ,,,2 1… sunt func ții acceptabile.
Dac ă se înlocuie ște (6.63) în raportul lui Rayleigh, se ob ține acest raport ca o
funcție de cele N constante. Se demonstreaz ă (6.4.2. ) că raportul lui Rayleigh are o
valoare sta ționară în vecinătatea unui mod propriu. Deci, se poate scrie setul de condi ții:
0
3 2 1=∂∂==∂∂=∂∂=∂∂
NR R R R
α ααα… (6.64)
Acestea vor reprezenta un sistem liniar algebric omogen în necunoscutele Nααα ,,,2 1… .
Impunând condi ția de solu ție nebanal ă sistemului (6.64) se ob țin pulsațiile proprii și
constantele Nααα ,,,2 1… .
Dac ă funcția ()xU se dezvolt ă în serie de func ții modale ortogonale, astfel ca
1=rM , atunci:
() () xU xUrN
rr∑
==
1α (6.65)
iar raportul lui Rayleigh, ținând cont și de relațiile de ortogonalitate (5.43) și (5.44), cât și
de relațiile (5.46) și (5.48), devine:
()2 2
22
12 2 2
22
22
12
1
NN Np p pURαααα αα
++++++=
…… (6.66)
Dacă 01≠p , relația (6.66) se poate scrie:

215 ()2
12
132
122
12
12
132
132
122
12
2
1
11
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛++⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛++⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
=
αα
αα
αααα
αα
αα
NN N
pp
pp
pp
p UR
……
(6.67)
Deoarece Np p p p ≤≤≤≤ "3 2 1 , fiecare termen al num ărătorului este mai mare sau
egal cu termenul corespunz ător numitorului. Deci,
()2
1p UR≥ (6.68)
Un procedeu similar se folose ște pentru a ar ăta că ()2
Np UR≤ .
6.3.5. Metoda Galerkin

Pentru a da o solu ție aproximativ ă ecuației (5.25) sau (5.101), folosind metoda
Galerkin , se presupune c ă soluția se scrie sub forma unei combina ții liniare de func ții de
punct ()xiφ , care satisfac, fiecare în parte, toate condi țiile la limit ă, atât cele geometrice,
cât și cele naturale:
()NN xU φαφαφα +++= …22 11
(6.69)
Deoarece ()xU nu este o solu ție exactă, după introducerea în ecua ția (5.25) se
obține o cantitate, în membrul drept, diferit ă de zero, numit ă reziduu și notată cu
()pUR,. Această notație nu trebuie confundat ă cu raportul Rayleigh.
Valorile constantelor Nααα ,,,2 1… se obțin punând condi țiile ca integrala
reziduului înmul țită cu fiecare func ție, pe toat ă lungimea barei, s ă fie nulă:
() 0 ,
0=∫dxpURiL
φ N i ,,2,1…= (6.70)
Ecua țiile (6.70) reprezint ă, de asemenea, un sistem omogen. Din condi ția de
soluție nebanal ă se obține ecuația caracteristic ă.
Cantitatea ()pUR, poate fi privit ă și ca o m ăsură a erorii de aproximare.
Constantele Nααα ,,,2 1… se pot determina și pe baza metodei celor mai mici p ătrate:
()[] im dxpURL
min ,
02=∫ (6.71)
Din condi ția de minim, rezult ă tot un sistem algebric liniar și omogen.

6.4. Evaluarea numeric ă a pulsațiilor proprii și a vectorilor proprii

6.4.1. Metoda puterii folosi nd matricea de eliminare

216 Metoda puterii este o metod ă iterativă, pentru determinarea vectorilor proprii și a
valorilor proprii, bazat ă pe dezvoltarea (2.85). Implica ția acestei dezvolt ări este că
problema de valori proprii (2.63) sau (2.67) conduce la un set de vectori proprii {}rμ ,
n r,1= liniar independen ți. Ecuația (2.67) poate fi pus ă și sub forma:
[]{} {}r r r D μλμ= n r ,,2,1…= (6.72)
unde [][][] mk D1−= este matricea dinamic ă a sistemului, iar 21
rrp=λ .
În baza rela ției (2.85) un vector, cu care se începe itera ția, poate fi scris astfel:
(){}{} {} {} {}rn
rr n n μαμαμαμαμ ∑
==+++=
12 2 1 11… (6.73)
Prin înmul țirea vectorului (){}1μ cu matricea []D, ținând cont și de ecua ția (6.72), se
obține un alt vector (){}2μ , de forma:
(){}[](){} []{} {}rrn
rr rn
rrD D μλλαλμαμ μ
1 11
11 2∑ ∑
= == = = (6.74)
Spre deosebire de (6.73), unde fiecare vector propriu {}rμ este înmul țit cu constantele
rα, în vectorul (){}2μ are componentele înmul țite cu
1λλαr
r . Deoarece valorile proprii
sunt presupuse ordonate astfel ca nλλλλ ≥≥≥≥ "3 2 1 raportul
1λλr, arată nivelul de
participare a vectorului propriu {}rμ în componen ța vectorului (){}2μ . Desigur procedeul
poate fi continuat, astfel încât, dac ă (){}2μ se împarte cu 1λ și se înmul țește cu []D, se
obține:
(){}[](){}[](){} []{} {}rrn
rr rrn
rr D D D μλλαλμλλαμλμλμ2
1 11
1 11 2
12
13 1 1
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛= = = = ∑ ∑
= = (6.75)

Și, în general, dup ă k pași:
(){}[](){} [](){} {}rk
rn
rrk
kk kD D μλλαλμλμλμ1
1 111 1
2
11
11 1−
=−
−−
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛= = = ∑ (6.76)
Pentru un num ăr suficient de mare de pa și:
(){} [](){}{}1 11 1
1
1 11lim1lim μαμλμλ= =−
−∞→ ∞→k
kkk
kD (6.77)

Deci, procedeul este convergent spre primul vector propriu și prima valoare
proprie. Mai mult, când convergen ța este îndeplinit ă, vectorii (){}kμ și (){}1−kμ satisfac
ecuația (6.72), deoarece ei, amândoi pot fi privi ți ca {}1μ, iar pulsa ția fundamental ă va fi
12
11λ=p .

217 Num ărul pașilor iterativi depinde de doi factori. Primul factor de care depinde
acest num ăr de pași este sistemul însu și și anume, dac ă valorile 1λ și 2λ sunt
comparabile, separarea vectorilor {}1μ și {}2μ este mai înceat ă și numărul pașilor mai
mare. Al doilea factor depinde de experien ța analistului, deoarece alegerea vectorului de
iterație (){}1μ cât mai apropiat ă de primul mod va reduce num ărul pașilor iterativi.
Un lucru este sigur, indiferent de num ărul pașilor iterativi, procesul converge
către primul mod, exceptând cazul în care vectorul ales pentru itera ție coincide perfect cu
un mod superior. Dac ă este așa, problema se pune cum se determin ă modurile superioare.
O modalitate ar fi g ăsirea unui vector de itera ție care să nu-l con țină pe {}1μ. Acest
procedeu este, în general, mai dificil.
O alt ă metodă este așa numita metoda matricei de eliminare.
Dac ă 1λ și {}1μ reprezint ă primul mod al matricei []D, iar normalizarea este
făcută astfel ca {}[]{} 11 1=μμmT, atunci matricea:
()[][]{}{}[]m D DT
1 1 12μμλ−= (6.78)
va avea acelea și valori proprii ca și []D, exceptând 1λ.
Înmul țind cu (){}1μ relația (6.78) se ob ține:
()[](){}()[]{} []{} {} {} []{}rTn
rr rn
rr rn
rr m D D D μμαμλμαμαμ1
11 1
12
11 2∑ ∑ ∑
= = =− = = (6.79)

Ținând cont de condi țiile de ortogonalitate și ecuația (6.72), rela ția (6.79) se
reduce la:
()[](){}()[]{} {}r rn
rr rn
rrD D μλαμαμ ∑ ∑
= == =
22
11 2 (6.80)
deci matricea ()[]2D este liber ă de vectorul propriu {}1μ. Deci, folosind pentru itera ție
orice vector arbitrar, împreun ă cu matricea ()[]2D , procesul iterativ va converge c ătre 2λ
și {}2μ.
Deoarece valoarea proprie dominant ă pentru ()[]2D este 2λ, procesul de eliminare
poate continua folosind:
()[]()[]{}{}[]m D DT
2 2 22 3μμλ−= (6.81)

de unde se va ob ține 3λ și {}3μ. Procesul de eliminare poate fi scris pentru cazul general:
()[]()[] {}{}[]m D DT
s s ss s
1 1 11
−−−−−= μμλ , n s ,,3,2…= (6.82)

Pentru determinarea ultimului mod nλ, {}nμ se poate folosi pentru itera ție matricea
[][][]1 1 − −=D k m .

2186.4.2. Metoda raportului Rayleigh

Dup ă cum s-a v ăzut la paragraful 6.3.3. raportul Rayleigh se deduce pe baza
teoremei de conservare a energiei mecanice. Dac ă un sistem discret se afl ă în mișcare dup ă unul din modurile proprii,
deplasările punctelor din sistem se ob țin din (2.95)

(){} { } ()r r r r tp C tq ϕ μ + = cos
(6.83)
Energia cinetic ă și potențială a sistemului va fi:
{}[]{} {}[]{} ( )r r rT
r rrT
c tp m pC qmq E ϕ μμ + = =2 22cos21
21
(6.84)
{}[]{}{}[]{} ( )r r sT
r rT
p tp k C qkq E ϕ μμ + = =2 2sin21
21 (6.85)

În cazul mi șcării după un mod propriu de vibra ție r se poate scrie teorema de
conservare a energiei mecanice (6.56) sub forma:
{}[]{} {}[]{}rT
r r rT
r rr k C m pC μμ μμ2 22
21
21= (6.86)
de unde se ob ține mărimea scalar ă:
{}[]{}
{}[]{}rT
rrT
r
rmkp
μμμμ=2 (6.87)
Dacă se consider ă un vector arbitrar {}μ, atunci raportul Rayleigh (6.87) devine:
(){}[]{}
{}[]{}μμμμμ
mkR pTT
==2 (6.88)
Acest raport, pentru un sistem dat, depinde numai de vectorul arbitrar {}μ și se bucur ă de
câteva propriet ăți. Prima, ar fi cea care rezult ă imediat, dac ă vectorul arbitrar {}μ
coincide cu un vector propriu, atunci valoarea scalar ă a raportului este p ătratul pulsa ției
proprii asociate. A doua, raportul are o valoare sta ționară în vecinătatea unui vector propriu. Într-
adevăr, dacă vectorii proprii sunt normaliza ți după regula:

{}[]{} 1=rT
rmμμ , n r ,,2,1…= (6.89)
atunci se pot scrie și relațiile:
[][][ ] [ ] I mT=μμ ; [][][][]\\λμμ= kT (6.90)
unde []μ este matricea modal ă, []I este matricea unitate, iar []\\λ este o matrice
diagonală, având pe diagonal ă valorile proprii.
Un vector arbitrar {}μ se poate scrie și în forma:

219 {} {} []{}αμμαμ = =∑
=rn
rr
1 (6.91)
unde{}α este un vector, având componentele date de coeficien țiirα.
Înlocuind în raportul Rayleigh rela ția (6.91) și, ținând cont și de (6.90) se ob ține:
(){}[][] []{}
{}[][] []{}{}[]{}
{}[]{}∑∑
=== = =n
iiin
ii
TT
T TT T
I mkR
1212
\\
αλα
αααλα
αμμααμμαμ (6.92)
Dac ă se presupune c ă vectorul arbitrar {}μ diferă foarte pu țin de un vector
propriu {}rμ, aceasta implic ă faptul că toți coeficien ții iα pentru ri≠, sunt foarte mici
comparativ cu rα, adică:
ri iαεα= , n r ,,2,1…= , ri≠ (6.93)
unde iε este un num ăr foarte mic 1<<iε .
Împ ărțind raportul (6.92) prin 2
rα, se obține:
()()
()()2
1
122
1
1 11
in
ir i r n
ii iriin
iir r
R ελλλ
εδελδ λ
μ ∑
∑∑
=
==−+≈
−+−+
= (6.94)
unde irδ este simbolul lui Kronecker , iar factorul ()irδ−1 , exclude automat termenul
corespunz ător pentru ri=. Cum iε este un num ăr foarte mic, rela ția (6.94) arat ă că
raportul Rayleigh are o valoare sta ționară în vecinătatea vectorilor proprii.
În particular, dac ă 1=r , se obține proprietatea cea mai important ă și cea mai
folosită.
() ( )∑
=−+=n
ii R
11 1 λλλμ 12λε≥i (6.95)
deoarece 1λλ≥i .
Raportul lui Rayleigh se modific ă și odată cu modificarea matricelor []m și []k,
ale sistemului. Din punct de vedere fizic, acest raport arat ă că dacă sistemul devine mai
rigid, adic ă dacă []k crește, pulsația fundamental ă crește și ea, iar dac ă sistemul devine
mai masiv, aceasta descre ște.

6.4.3. Metoda matricelor de transfer
Conform cu metoda matricelor de transfer ( Holzer ), în cazul vibra țiilor de
torsiune, sistemul este privit ca fiind constituit dintr-un num ăr de n+1 volanți, iar arborii
dintre masele concentrate ale volan ților au numai rigiditate uniform distribuit ă (fig. 6.5.).
Dac ă se izoleaz ă volantul i (fig. 6.5.b.), ecua ția de echilibru dinamic se scrie:

220 S
iD
i ii M M J −=ϕ (6.96)

Fig. 6.5
Presupunând c ă sistemul execut ă vibrații armonice cu pulsa ția p, atunci
i i pϕϕ2−= , iar (6.96) devine:
iiS
iD
i Jp M M ϕ2−= (6.97)
Volantul fiind rigid, deplas ările unghiulare la stânga și la dreapta sunt egale:
S
iD
iϕϕ=
(6.98)
Sub forma matriceal ă, ecuațiile (6.97) și (6.98) se scriu:
S
iD
iM Jp M ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ϕ ϕ
10 1
2 (6.99)
Deoarece arborii nu au mas ă, se poate scrie:
D
iS
i M M=+1 (6.100)
iar deplasarea relativ ă a capetelor are expresia:

iD
i D
iS
ikM=−+ϕϕ1 (6.101)
unde
ii
ilGIk= , iI fiind moment de iner ție geometric polar.
Sub form ă matriceal ă relațiile (6.100) și (6.101) se scriu:

221 D
iS
iMkM ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+ϕ ϕ
1 011
1 (6.102)
Produsul []iT al matricelor
[]
iiV k T
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
=
1 011, []
iiAJpT
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−=
10 1
2 (6.103)
care stabilesc leg ătura dintre doi vectori de stare adiacen ți, se nume ște matrice de
transfer. Înlocuind (6.99) în (6.102) se ob ține:
[]S
iiS
iMTM ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧+ϕ ϕ
1 (6.104)
unde
[ ] [][]iA iV i T T T ⋅= (6.105)

Începând cu primul volant ( i=1), rezultă ușor că:
[] [] [][]
11 2 1
1 ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
+MTT TTMi iS
iϕ ϕ… (6.106)
Mai mult, din fig. 6.5.a., se poate deduce c ă:
[]
1 22 2112 11
1 1 ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧+M T TT T
MTMS D
nϕ ϕ ϕ

(6.107)
unde
[] [ ] [][] [][]1 2 1 1TT TT T Tn n nV …− += (6.108)
care este cunoscut ă ca matrice de transfer global ă și dă legătura dintre vectorul de stare
din partea stâng ă a primului volant și vectorul de stare din partea dreapt ă a ultimului
volant.
Ecua ția pulsațiilor proprii se deduce din (6.107) pe ntru diferite tipuri de condi ții la
limită.
Urm ătoarele cazuri sunt frecvent întâlnite:

1. Arbore cu capetele libere. În absen ța cuplurilor la capete, condi țiile la limit ă sunt:
01 1==+D
nSM M (6.109)
care, înlocuite în (6.107), deoarece 01≠Sϕ , trebuie s ă verifice:
021=T (6.110)
ceea ce reprezint ă ecuația pulsațiilor proprii, o ecua ție algebric ă de gradul n+1 în 2p. Se
poate da factor comun 2p astfel ca s ă se obțină rădăcina 02=p . Acest lucru era de
așteptat, deoarece arborele, având capetele libere, are un mod de vibra ție de corp rigid.

222
2. Arbore cu un cap ăt încastrat, cel ălalt liber. Presupunând cap ătul din stânga
încastrat, deplasarea acestuia este nul ă, iar în cap ătul liber momentul de r ăsucire este nul.
Deci condi țiile de forntier ă sunt:
01=Sϕ ; 01=+D
nM (6.111)
Din (6.107), deoarece 01≠SM , trebuie ca:
022=T (6.112)
ecuația ce dă pulsațiile proprii și este de gradul n în 2p.

3. Arborele are ambele capete încastrate. În acest caz, condi țiile de frontier ă sunt:
01==+D
nS
iϕϕ (6.113)
iar din ecua ția (6.107), deoarece 01≠SM , trebuie ca:
012=T (6.114)
ceea ce reprezint ă ecuația caracterisitic ă, ecuație de gradul n-1 în2p.

Pentru modelul de transla ție (fig. 6.6.) se stabilesc rela ții asemănătoare.

Fig. 6.6.
Metoda lui Holzer dă în acest caz urm ătoarele rela ții recurente:
1.
Pentru un sistem cu capete libere:
ji
jj
ii i amkpa a ∑
=++ ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−=
1 12
1 (6.115)
unde ia, ik, im sunt amplitudinile, constantele elastice și masele elementelor sistemului,
iar p este pulsa ția unui mod propriu în care se presupune c ă vibrează sistemul.

2. Pentru un cap ăt fixat, cel ălalt liber:
ji
jj
ii amkpa a ∑
=++ ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−=
1 12
1 1 (6.116)

3. Pentru sistemul cu ambele capete fixate:
⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+= ∑
= ++ ji
jj
ii i am pakka a
12
11
111
(6.117)

223 Pentru o valoare dat ă a pulsației p, se începe procesul iterativ presupunând
amplitudinea primei mase 11=a . Amplitudinile și forțele de iner ție pentru toate celelalte
mase sunt calculate pe baza formulelor precedente. Pentru ultima mas ă din sistem
amplitudinea trebuie s ă fie zero pentru capete fixate, și pentru capete libere for ța de
inerție totală este zero.
Reprezentând grafic (sau prin calcule numerice) valorile r ămase pentru
amplitudine sau for ța de inerție, se obțin adevăratele pulsa ții proprii ale sistemului.

6.5. Probleme

6.5.1. Folosind metoda modurilor presupuse s ă se obțină un model cu dou ă grade de
libertate pentru vibra țiile longitudinale ale unei bare încastrate la un cap ăt și supusă unei
forțe ()tN la celălalt capăt. Să se aleagă funcții acceptabile, func ții polinomiale.
Să se determine pulsa țiile proprii și forma modurilor proprii și să se compare cu
cele exacte.

Fig. 6.7.

Rezolvare:
Se aleg func țiile acceptabile ()xiφ , cărora li se impune o singur ă condiție de
frontieră, condiția geometric ă:
() 0 ,0=tu , unde ()()()()()tqx tqx txu2 2 1 1 , φ φ+ =

Astfel, func țiile ()xiφ , 2,1=i , trebuie s ă satisfacă condiția:
() () 00 02 1 ==φφ
Se aleg fuc țiile polinomiale ()Lxx=1φ și ()2
2⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=Lxxφ .
Este convenabil ca func țiile alese s ă fie adimensionale, dar nu este o condi ție
esențială.
Pe baza rela țiilor (6.45) se pot calcula coeficien ții
srm și
srk.
Astfel se ob țin:

224 32
1
011ALdxA mLρφρ= =∫
421
021 12ALdx A m mL
= ==∫φφρ
52
2
022ALdxA mLρφρ= =∫
()LEAdx EA kL
=′=∫
02
1 11φ
21 21
012 kLEAdx EA kL
==′′=∫φφ
()LEAdx EA kL
34
02
2 22 =′=∫φ
For țele generalizate se calculeaz ă pe baza lucrului mecanic virtual:
()2 2 1 1 , qQqQtLuNL δδ δδ += =
unde
() ( ) ()2 2 1 1 , qL qL tLu δφδφδ + =
De unde va rezulta c ă:
() N L N Q ==1 1φ și ()N L N Q ==2 2φ
Ecuațiile de mi șcare în form ă matriceal ă sunt:
()
()⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
tNtN
qq
LEA
qq AL
21
21
4 33 3
3 12 1515 20
60  ρ

Pentru determinarea pulsa țiilor proprii se consider ă cazul vibra țiilor libere
()() 0=tN . Luând solu ția de form ă armonică {}{}()ϕ+ = pt a q cos se ajunge la problema
de vectori proprii și valori proprii:

⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⋅
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⋅−
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
00
12 1515 20
4 33 321 2
aaλ
unde
22
2
20pELρλ=
Din condi ția ca sistemul s ă aibă soluție nebanal ă se obține ecuația caracteristic ă:
() 03 26 15222=+−λλ
cu rădăcinile:
30496 262
2,1±=λ ; 124,02
1=λ ; 609,12
2=λ

225respectiv, cu pulsa țiile proprii:
ρE
Lp57,1
1= ; ρE
Lp66,5
2=
Vectorii proprii corespunz ători se determin ă din ecuația:

⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
− −− −
00 1
124 153153 20322 22 2
r r rr r
μλ λλ λ

de unde se ob ține:
22
22
2124153
153203
rr
rr
rλλ
λλμ−−−=−−−=
adică 45,021−=μ ; 381,122−=μ
Solu ția aproximativ ă este:
( ) () () {}{} {}{} ( ) () ( )r r
rr r r r
rT T
r
rr tp xU tp q tqx txu ϕ ϕ μφ φ φ + =+ == = ∑ ∑ ∑
= = =cos cos ,2
12
12
1

Func țiile care dau forma aproximativ ă a modurilor proprii vor fi:
() {}{}rT
rxU μφ= , 2,1=r
adică
()2
1 45,0⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−=Lx
LxxU
()2
2 381,1⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−=Lx
LxxU

care sunt reprezentate în fig. 6.8.

Fig. 6.8.
Pentru a face compara ție cu rezultatele exacte, din Tabelul 1., pentru leg ătura (I –
L ), se scot pulsa țiile proprii și funcțiile proprii:
()
ρπE
Lrpr212−=

226 ()()
Lx rCxUr ⋅−=212sinπ
adică
ρE
Lp57,1
1= ; ρE
Lp71,5
2=
Formele corespunz ătoare acestor moduri sunt reprezentate în fig. 6.9.

Fig. 6.9.

Acest exemplu arat ă o bună estimare a pulsa țiilor naturale și care sunt accesibile
prin folosirea metodei modurilor presupuse.

6.5.2. O platform ă de foraj este modelat ă ca o bară flexibilă, având lungimea L și o masă
M concentrat ă în capătul superior. La cap ătul inferior leg ătura este modelat ă printr-un arc
spiral de constant ă K. Folosind metoda modurilor presupuse, s ă se determine ecua țiile
mișcării unui model cu dou ă grade de libertate. Se vor presupune mici rota ții la capătul
0=x .

227Fig. 6.10.
Rezolvare:
Se pune o singur ă condiție geometric ă de frontier ă:
() 0 ,0=tv , unde ()()()()()tqx tqx txv2 2 1 1 , φ φ+ =
Astfel, pentru func țiile acceptabile ()x1φ și ()x2φ se impune condi ția:
() () 00 02 1 ==φφ
Se vor lua cele mai simple func ții care să satisfacă această condiție, funcții
polinomiale.
()Lxx=1φ și ()2
2⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=Lxxφ
Pentru calculul coeficien ților matricei de rigiditate și de inerție se scriu expresiile
energiilor poten țiale și cinetice pentru o bar ă aflată în vibrații de încovoiere.
()2
0
02
21
21θK dxvEI EL
p +′′=∫
()tLvM dxvA EL
c ,21
212
02 + =∫ρ
unde
() ( )( ) tqx txvr
rr⋅=∑
=2
1,φ
() ( )( )∑
=⋅′=′=2
10 0 ,0
rr r tq tv φ θ
Dac ă se înlocuiesc aceste rela ții în expresiile energiilor poten țiale și cinetice,
ținând cont c ă acestea sunt forme p ătratice în coordonatele generalizate, respectiv în
vitezele generalizate, se ob țin:
()() ( ) ()22
1
02
1 11 0
LKKdxx EI kL
=′+′′=∫φ φ
() () 02 1
021 12 =′′′′==∫dxx x EI k kL
φφ
()() ( ) ()32
2
02
2 2240
LEIKdxx EI kL
=′+′′=∫φ φ
() () MALL MdxxA mL
+=+ =∫32
12
1
011ρφ φρ
() () () () MALL L Mdxx xA m mL
+= + ==∫42 1 2 1
021 12ρφφ φφρ

228 () () MALL MdxxA mL
+=+ =∫52
22
2
022ρφ φρ
Punând ecua țiile mișcării sub form ă matriceal ă, se obține:

⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
+
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
+ ++ +
00
400
5 44 321
22
21
qq
LEILK
qq
ALMALMALMALM

ρ ρρ ρ

6.5.3. Se consider ă sistemul din fig. 6.11. Folosind metoda modurilor presupuse, s ă se
calculeze primele dou ă pulsații proprii și modurile corespunz ătoare pentru LEAk= .

Fig. 6.11.

Rezolvare:
Pentru alegerea func țiilor acceptabile se pune o singur ă condiție geometric ă de
frontieră: () 0 ,0=tu .
Se pot lua ca func ții acceptabile, func țiile proprii pentru vibra țiile longitudinale
ale barei I – L , adic ă: ()()
Lx rCxr ⋅−=212sinπφ , 2,1=r
Deplasarea în modurile presupuse va fi:
() () ()tqLxtqLxtxu2 123sin2sin ,π π+ =
Energia cinetic ă este:
{}[]{}qmq qALqALdxtuA ETL
c  
21
4 4 212
22
12
0=+=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂=∫ρρρ
iar energia poten țială:
() ()
{}[]{}qkqqqLEAqLEAqLEAtLku dxxuEA E
TL
p
212 169
16,21
21 2
2 12
22
2
12
22
0
=−+ + = +⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂=∫π π

Ecuația sub form ă matriceal ă este:

229
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
+ −−+
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
00
8 9 88 8
8 1 00 1
221
22
21
qq
LEA
qq AL
ππ ρ


din care se ob țin pulsațiile proprii și vectorii proprii:
ρE
Lp06,2
1= ; {}{}1,0 11=Tμ
ρE
Lp94,4
2= ; {}{}97,9 12−=Tμ
și funcțiile care dau forma modurilor proprii:
()Lx
LxxU23sin1,02sin1π π⋅+=
()Lx
LxxU23sin97,92sin2π π⋅−=

6.5.4. Se consider ă o bară I – L în vibra ții longitudinale și care are la cap ătul liber o
masă concentrat ă 10ALMρ= .
Să se determine primele dou ă pulsații proprii și funcțiile modale corespunz ătoare.

Fig. 6.12.

Rezolvare:
Considerând acelea și funcții acceptabile ca și la problema precedent ă, deplasarea
în modurile presupuse este:
() () ()tqLxtqLxtxu2 123sin2sin ,π π+ =

Energia cinetic ă este:
()() () {}[]{}qmq qqALq qALtLuM dxtuA ETL
c    
21
20 4,21
21 2
2 12
22
122
0=−++ = +⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂=∫ρ ρρ
iar energia poten țială este:
{}[]{}qkq qLqLEAdxxuEA ETL
p21
89
82 212
22
2
12 2
0=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂=∫ππ

Ecuațiile de mi șcare sub form ă matriceal ă sunt:

230
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−−
00
89008
6 11 6
1021
22
21
qq
LEA
qq AL
ππ
ρ


de unde se ob țin pulsațiile proprii și vectorii proprii:
ρE
Lp43,1
1= ; {}{ }021,0 11 −=Tμ
ρE
Lp37,4
2= ; {}{}35,5 12=Tμ
Func țiile care dau forma aproximativ ă a modurilor proprii vor fi:
() {}{}rT
rxU μφ= , 2,1=r
adică
()Lx
LxxU23sin021,02sin1π π⋅−=
()Lx
LxxU23sin35,52sin2π π⋅+=

6.5.5. Sistemul din fig. 6.13. este constituit dintr-o bar ă încastrată liberă (I – L) cu un arc
și o masă M suspendat ă la un cap ăt liber. Să se foloseasc ă metoda modurilor presupuse
pentru a determina primele trei pulsa ții proprii ale sistemului și modurile proprii
corespunz ătoare vibra țiilor de încovoiere. Pentru bar ă se vor lua func țiile acceptabile
()2
1⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=Lxxφ și ()3
2⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=Lxxφ . Se va lua 3LEIk= , 7ALMρ= .

Fig. 6.13.

Rezolvare:
Deplasarea unui punct al barei în metoda modurilor presupuse va fi:

231 () () ()tqLxtqLxtxv23
12
, ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=

Energia cinetic ă a barei este:
()
2
2 212
12
23
12
02
01
14 6 1021 ,
21
qALqqALqALdxqLxqLxA dxttxvA EL L
c
   
ρ ρρρ ρ
+ +==
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂= ∫ ∫

iar energia poten țială:
()
2
2 3 21 32
1 32
2 3 12
02
22
01
6 6 26 2
21 ,
21
qLEIqqLEIqLEIdxqLxqLEI dxxtxvEI EL L
p
+ +==⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+ =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂= ∫ ∫

Energia cinetic ă a masei M este:
2
32
3 214 21qALqM Ec  ρ==
iar energia poten țială a arcului:
()[] ()2
3 2 1 32
3 22,21qqq
LEIqtLvk Ep −+=− =

Scriind energia cinetic ă a sistemului, respectiv energia poten țială a sistemului sub forma
matriceală:
{}[]{}qmq ET
c 
21= ; {}[]{}qkq ET
p21=
și, înlociund în ecua ția matriceal ă de mișcare:
[]{}[]{} {} 0=+ qk qm
se obține:

⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
−−−−
+
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
000
1 1 11 13 71 7 5
30 0 00 30 350 35 42
210321
3
321
qqq
LEI
qqq
AL

ρ

Rezolvând problema de valori proprii și vectori proprii, se ob țin:
AEI
Lpρ2 114,2= ; {}{ }1 18,0 53,01 − =Tμ

232 AEI
Lpρ2 234,4= ; {}{ }35,0 41,0 12 −−=Tμ
AEI
Lpρ2 392,34= ; {}{ }001,0 1 82,03 − −=Tμ

6.5.6. O bară simplu rezemat ă la fiecare cap ăt, are fixat un arc de constant ă 340LEIk=
la 4L de un cap ăt (fig. 6.14.). Folosind metoda Rayleigh, s ă se calculeze pulsa ția
fundamental ă a vibrațiilor de înconvoiere.

Fig. 6.14.

Rezolvare:
Pentru determinarea pulsa ției fundamentale se alege func ția acceptabil ă
()LxxVπsin= , funcție ce verific ă condițiile geometrice de frontier ă:
() () 0 , ,0 == tLvtv , unde ()()()tqxVtxv ⋅=, ,
reprezintă deplasarea unui punct al barei.
Presupunând o lege armonic ă de deplasare a fiec ărui punct al barei, se poate scrie:
() ( ) pt xVtxv cos ,⋅=

Acum se pot calcula energia cinetic ă maximă a barei și energia poten țială maximă
a sistemului:
()dxv AV p EL
c∫=
02 2
max.21ρ
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂=∫4 21
2122
22
0max.LkV dxxVEI EL
p
de unde, pe baza conserv ării energiei mecanice se ob ține raportul Rayleigh:

AEI
LdxLxAkdxLxEIL
dxVALkVdxxVEI
pLL
LL
ρπ
πρπππ
ρ44
022
2
044
2
02
02
22
2 40
sin4sin sin4 +=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+
=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
=
∫∫
∫∫

sau

233 AEI
Lpρπ
2440+=

6.5.7. Să se determine pulsa ția fundamental ă a vibrației de încovoiere a unei bare
omogene de lungime L și încastrat ă la ambele capete, folosind metoda Rayleigh.

Rezolvare:
Energia cinetic ă a unei bare aflat ă într-o mi șcare vibratorie de încovoiere este:
()dxttxvA EL
c2
0,
21∫ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂=ρ
iar energia poten țială este:
()dxxtxvEI EL
p2
022,
21∫ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂=
unde
() ( )( ) () pt xVtqxVtxv cos , ⋅=⋅= ,
presupunând o deplasare armonic ă pentru fiecare punct al barei.
()xV este o func ție acceptabil ă care să îndeplineasc ă condițiile geometrice de frontier ă:
() () 0 , ,0 == tLvtv și ()()0 , ,0 =′=′ tLvtv
Luând ()LxxVπ2cos1−= , se constat ă că sunt verificate aceste condi ții. Raportul lui
Rayleigh va da:

23834
2
02
022
2
ALLEI
dxVAdxxVEI
pLL
ρπ
ρ=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
=
∫∫

adică
AEI
Lpρ279,22=

6.5.8. Folosind metoda Rayleigh – Ritz, s ă se determine primele dou ă pulsații proprii și
formele modale corespunz ătoare, pentru vibra țiile de încovoiere ale unei bare omogene
încastrată la ambele capete (fig. 6.15.).

234

Fig. 6.15.
Rezolvare:
În cazul în care se dore ște mai multe pulsa ții proprii, func ția ()xV se ia ca o serie
de funcții acceptabile, adic ă, care verific ă condițiile geometrice de frontier ă. Pentru acest
caz se consider ă:
()22 11φαφα+=xV ,
unde
Lxπφ2cos11−= ; Lxπφ4cos12−=
verifică condițiile impuse:
() () 0 01 1 == Lφφ și ()()0 02 2 == Lφφ
() () 0 01 1 =′=′ Lφφ și ()()0 02 2 =′=′ Lφφ

Înlocuind în raportul lui Rayleigh, se ob ține:
()()
()
24 3 3168
212
22
132
22
1 4
2
02
022
ααααρααπ
ρ+++
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
=
∫∫
ALEI
dxVAdxxVEI
VRLL

Ținând cont c ă în jurul unui mod propriu, raportul ()VR are valoare sta ționară,
din condițiile:
()()0
2 1=∂∂=∂∂
ααVR VR
se obține următoarea problem ă algebrică de valori proprii:

⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
21 2
21
34
3 22 3
16 00 1 16
ααραα πALp
LEI
cu soluția:
AEI
Lpρ2 135,22= ; {}{}57,0 11=Tμ
și AEI
Lpρ2 2124= ; {}{}45,1 12−=Tμ

235Formele modale sunt date de func țiile:
() {}{}rT
rxV μφ= , 2,1=r
adică
() ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−=Lx
LxxVπ π 4cos157,02cos11
și () ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−=Lx
LxxVπ π 4cos145,12cos12
6.5.9. Se consider ă bara omogen ă încastrată la un cap ăt, liberă la celălalt capăt (I – L)
din fig. 6.16. Folosind metoda Rayleigh – Ritz, s ă se determine primele dou ă pulsații
proprii și formele modale corespunz ătoare vibra țiilor de încovoiere.

Fig. 6.16.

Rezolvare:
Func ția ()xV se va lua de forma:
() () ()x x xV22 11 φαφα+=
unde ()x1φ și ()x2φ sunt două funcții acceptabile, verificând numai condi țiile geometrice
de frontier ă.
Dac ă se iau ()2
1⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=Lxxφ și ()3
2⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=Lxxφ , se constat ă că, condițiile geometrice
de frontier ă sunt îndeplinite.
() () 00 02 1 ==φφ și ()()00 02 1 =′=′φφ

Înlocuind în raportul Rayleigh, se ob ține:
()()
()
21042 70 426 6 22
2
2 212
132
2 212
1
2
02
022
ααααραααα
ρ++++
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
=
∫∫
ALLEI
dxVAdxxVEI
VRLL

Condi țiile de sta ționare pentru raportul lui Rayleigh conduc la sistemul algebric
de valori proprii:

⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
21 2
21
330 3535 42
210 6 33 2 2
αα ρ
αα ALp
LEI
pentru care se ob ține:

236 AEI
Lpρ2 153,3= ; {}{}38,0 11 −=Tμ
și AEI
Lpρ2 281,34= ; {}{}1 82,02−=Tμ

Cele dou ă funcții modale sunt:
()3 2
1 38,0⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=Lx
LxxV
()3 2
2 82,0 ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−=Lx
LxxV

6.5.10. O grindă uniformă simplu rezemat ă, având masa LA mρ= , susține la mijlocul
său o mașină, având masa m M⋅=5 (fig. 6.17.). Folosind func țiile acceptabile
()Lxxπφ sin1= și ()Lxxπφ2sin2= , să se determine cu metoda Rayleigh – Ritz primele
două pulsații proprii și funcțiile modale corespunz ătoare vibra țiilor de încovoiere.

Fig. 6.17.

Rezolvare:
Func ția ()xV se ia de forma:
()Lx
LxxVπαπα2sin sin2 1+ =
Func țiile alese ca func ții acceptabile verific ă condițiile geometrice de frontier ă:
() () 0 01 1 == Lφφ și ()()0 02 2 == Lφφ

Înlocuind în raportul lui Rayleigh, se ob ține:
()()
()2
12
22
132
22
14
2 2
02
022
2216
2αααρααπ
ρ MALLEI
LMVdxVAdxxVEI
VRLL
+++
=
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
=
∫∫

237 Punând condi ția de staționaritate pentru acest raport, se ob ține problema de valori
proprii:

⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡+
=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡21
2
21
34
1 0021
16 00 1
αα
ρραα πALM
ALpLEI

pentru care se ob țin:
AEIpρπ
112
1= ; {}{}0 11=Tμ
AEIpρπ2
24= ; {}{}1 02=Tμ

6.5.11. Un agregat aeroelectric este constituit dintr-o coloan ă uniformă ce susține o
platformă cu echipament. Considerând platforma ca o mas ă concentrat ă, având masa
LA Mμρ= (LAρ este masa coloanei), s ă se deduc ă pulsațiile proprii și funcțiile modale
corespunz ătoare primelor dou ă pulsații. Se va folosi metoda Rayleigh – Ritz, luând ca
funcții acceptabile ()2
1⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=Lxxφ și ()3
2⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=Lxxφ , ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=21μ .

Fig. 6.18.

Rezolvare:
()3
22
1 ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=Lx
LxxV αα

238()
()()
()()2
2 12
2 212
132
2 212
1
2 2
02
022
21030 70 426 6 22
ααμραααααααα
ρ + +++++
=
+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∂∂
=
∫∫
ALALLEI
L MVdxVAdxxVEI
VRLL

⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
+ ++ +
=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
21 2
21
3210 30 210 35210 35 210 42
210 6 33 2 2
αα
μ μμ μ ρ
αα ALp
LEI

AEI
Lpρ2 10172,2= ; AEI
Lpρ2 2038,23=

()3 2
1 35,0⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=Lx
LxxV
()3 2
2 95,0 ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−=Lx
LxxV

6.5.12. Folosind metoda Galerkin, s ă se determine primele dou ă pulsații proprii și
formele modale corespunz ătoare pentru vibra țiile de încovoiere ale unei bare omogene
încastrată la ambele capete (fig. 6.15. de la problema 6.5.8. ).

Rezolvare:
Ecua ția vibrațiilor libere transversale (de încovoiere) ale unei bare omogene este:
022
44
=∂∂+∂∂
tvAxvEIρ
Fiecare punct al barei are o mi șcare armonic ă ()() pt xVtxv cos ,⋅= , pentru care
ecuația diferen țială de mai sus devine:
044
=−VdxVdλ
unde 42
βρλ==EIAp
.
Pentru a g ăsi o soluție aproximativ ă ()xV se vor lua doi termeni ai combina ției
liniare de func ții de compara ție (generatoare) în care se poate aceasta dezvolta
() () ()x x xV22 11 φαφα+=
unde () 12cos1 −=Lxxπφ ; () 14cos2 −=Lxxπφ . Funcțiile de compara ție trebuie s ă
satisfacă toate condi țiile de frontier ă. La acest tip de leg ături (I –I), condi țiile de frontier ă

239sunt de fapt condi țiile geometrice: deplas ările și unghiurile de înclinare în cele dou ă
capete sunt nule, fapt ce se verific ă imediat.
Înlocuind solu ția aproximativ ă:
() ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛− +⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛− = 14cos 12cos2 1Lx
LxxVπαπα
în ecuația diferen țială, se obține reziduul:
()4
244
24
144
14cos4 2cos2βαπβπαβαπβπα +
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛++
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=Lx
L Lx
LVR
Înlocuind în condi țiile:
() ( ) 0 ,
0= ⋅∫dx VRxL
iβ φ , 2,1=i
se obține:

04cos4 2cos212cos
4
244
24
144
1
0
=
⎭⎬⎫+⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛++
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−∫
dxLxL Lx
L LxL
βαπβπαβαπβπαπ

și

04cos4 2cos214cos
4
244
24
144
1
0
=
⎭⎬⎫+⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛++
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−∫
dxLxL Lx
L LxL
βαπβπαβαπβπαπ

de unde se ob ține sistemul omogen:

⎪⎪
⎭⎪⎪
⎬⎫
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
=
⎪⎪
⎭⎪⎪
⎬⎫
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
−
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−− −
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
00
4
212
21
21
4 44
44 4 44
αα
ββπββ ββπ
LL

Pentru solu ția nebanal ă, se obține ecuația:
() () 0 10 7771 159003 4 8=⋅+ − L L β β

a cărei rădăcini dau pulsa țiile proprii:
AEI
Lpρ2 148,22= și AEI
Lpρ2 21,124=
cărora le corespund vectorii proprii:

240 {}{}43,0 11=Tμ ; {}{}45,1 12−=Tμ

Forma modurilor aproximateve este dat ă de funcțiile:

() ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛− +⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛− = 14cos43,012cos1Lx
LxxVπ π
() ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛− −⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛− = 14cos45,112cos2Lx
LxxVπ π

6.5.13. Să se determine primele dou ă pulsații proprii și formele modale corespunz ătoare,
folosind metoda Galerkin pentru vibra țiile transvervale ale unei bare omogene simplu
rezemată (fig. 6.19.).

Fig. 6.19.

Rezolvare:
Se va alege func ția ()xV ca o combina ție liniară de două funcții de compara ție:
()Lxxπφ sin1= și ()Lxxπφ3sin2=
Deci:
()Lx
LxxVπαπα3sin sin2 1+ =
și verifică toate condi țiile de frontier ă. Într-adev ăr:
() () 0 0==LV V (deplasarea nul ă la capete)
() () 0 0 =′′=′′ LVEI VEI (momente nule la capete)

6.5.14. Folosind metoda diferen țelor finite, s ă se determine primele dou ă pulsații proprii
și modurile proprii corespunz ătoare pentru vibra țiile de înconvoiere ale unei bare
omogene încastrat ă la ambele capete (vezi 6.5.8. și 6.5.12. ).

Rezolvare:
Pentru g ăsirea unei solu ții numerice pentru rezolvarea ecua ției:
04
44
=−VdxVdβ
funcția ()xV se dezvolt ă în serie Taylor în jurul unui punct x, astfel:

241 () ( )()()()
!4 !3 !24
44 3
33 2
22x
dxVd x
dxVd x
dxVdxdxdVxVx xV
x x x xΔ+Δ+Δ+Δ+=Δ+
și
() ( )()()()"!4 !3 !24
44 3
33 2
22x
dxVd x
dxVd x
dxVdxdxdVxVx xV
x x x xΔ+Δ−Δ+Δ−=Δ−
Luând numai primii doi termeni ai dezvolt ărilor, prin sc ădere se ob ține:
()()
xx xVx xV
dxdV
x ΔΔ−−Δ+=2
iar prin adunare, se ob ține:
() ()()
()2 222
xx xVxV x xV
dxVd
x ΔΔ++−Δ+=

În mod similar se poate scrie.
() ( ) ()()()()"!42
!32
!222 24
44 3
33 2
22x
dxVd x
dxVd x
dxVdxdxdVxVx xV
x x x xΔ+Δ+Δ+Δ+=Δ+
și
() ( ) ()()()()"!42
!32
!222 24
44 3
33 2
22x
dxVd x
dxVd x
dxVdxdxdVxVx xV
x x x xΔ+Δ−Δ+Δ−=Δ−

Prin adunare, ținând cont și de expresiile de mai sus, se ob ține:
()() () ( ) ( ) ( ) x xV x xV xV x xVx xV
x dxVd
xΔ−−Δ+−−Δ−+Δ+
Δ= 4 4 6 2 2
43
4 44

Fig. 6.20.

Se aproximeaz ă ecuația diferen țială în punctele 1 și 2
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=Δ3Lx .
() 0 4 6 414
1 3 2 1 0 1 =−+−+−− V VV V V V λ
() 0 4 6 424
1 4 3 2 1 0 =−+−+− V VV V V V λ
unde

242 44
4
1334β λ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=L.
Condi țiile de frontier ă dau:
03 0==V V ( d e p l a s ări nule)
0=dxdV, pentru nodurile 0 și 3 (unghiurile de înclinare nule)
Din aceast ă relație se obține:
1 1V V=− și 2 4V V=

Ținând cont și de aceste rela ții, seobține sistemul:

⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−−
21 4
1
21
1 00 1
7 44 7
VV
VVλ

Rezolvând aceast ă problemă de valori proprii, se ob ține:
AEI
Lpρ2 15,13= ; {}{}1 11=Tμ
și AEI
Lpρ2 28,25= ; {}{}1 12−=Tμ
Observație:
Pentru a ob ține, prin aceast ă metodă, rezultate mai apropiate de cele exacte
trebuie m ărit numărul de puncte modale de pe bar ă.

6.5.15. Să se determine pulsa țiile proprii și vectorii proprii pentru sistemul vibrant din
fig. 6.21. prin metoda puterii, folosind matricea de eliminare. Se va lua m m m==2 1 ,
m m 23= , k kk==2 1 , k k 23= .

Fig. 6.21.

Rezolvare:
Ecua ția diferen țială a mișcării sub form ă matriceal ă este:

243
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
−− −−
+
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
000
2 2 02 30 2
2 0 00 00 0321
321
qqq
k kk k kk k
qqq
mmm


Problema de valori proprii poate fi pus ă sub forma.
[]{}{}μμ21
pD=
unde
[][][]
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
==−
5 2 14 2 12 1 1
1
kmmk D
sau introducând nota ția 2mpk=λ , aceasta devine:

⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
321
321
5 2 14 2 12 1 1
μμμ
μμμ

Luând pentru prima itera ție vectorul (){}{}3 2 11=Tμ , se obține:

⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
185,045,0
20
20179
321
5 2 14 2 12 1 1

Folosind vectorul (){}{ }1 85,0 45,02=Tμ pentru itera ția a doua, se ob ține:

⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
0000,18601,04615,0
15,7
15,715,63,3
185,045,0
5 2 14 2 12 1 1

Pentru a treia itera ție (){}{ }1 8601,0 4615,03=Tμ :

⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
0000,18607,04625,0
1817,7
1817,71817,63416,3
0000,18601,04615,0
5 2 14 2 12 1 1

244
Pentru a patra itera ție (){}{ }1 8607,0 4625,04=Tμ :

⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
0000,18607,04625,0
1839,7
1839,71839,63232,3
0000,18607,04625,0
5 2 14 2 12 1 1

Rezult ă că {}{} 1 8607,0 4625,01=Tμ și 1839,71=λ .
Normalizând vectorul propriu {}1μ după regula {}[]{}11 1=μμmT, se obține:
1
0000,18607,04625,0
2 0 00 00 0
0000,18607,04625,0
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
mmmT

sau 1 9547,22
1=αm ;
m5817,0
1=α , iar vectorul {}1μ normalizat va fi:
{}{} 5817,0 5006,0 2690,01
1mT=μ și mkp 373,01=

Pentru a ob ține cel de-al doilea mod se construie ște matricea:
()[][]{} {}[]
()[]
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
− −−−
==
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
= −=
1383,0 0918,0 1240,01838,0 1997,0 0326,02482,0 0326,0 4801,0
2 0 00 1 00 0 15817,05006,02690,0
5817,05006,02690,0
1839,7
5 2 14 2 12 1 1
21 1 12
kmDkmkmm D DT
Tμμλ

Deoarece, în modul al doilea exist ă un nod, se alege vectorul de itera ție de forma:
(){}{} 1 1 11− =Tμ

Se putea alege ca vector de pornire a itera ției un vector arbitrar. Aceast ă
observați e v a f a c e c a s ă se reduc ă numărul iterațiilor. Prima itera ție pentru cel de-al
doilea mod este:

245
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
− −−−
4653,05468,00000,1
7609,0
111
1383,0 0918,0 1240,01838,0 1997,0 0326,02482,0 0326,0 4801,0

A doua itera ție este:

⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
− −−−
3888,03705,00000,1
6134,0
4653,05468,00000,1
1383,0 0918,0 1240,01838,0 1997,0 0326,02482,0 0326,0 4801,0

A treia itera ție:

⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
− −−−
3598,03024,00000,1
5886,0
3883,03705,00000,1
1383,0 0918,0 1240,01838,0 1997,0 0326,02482,0 0326,0 4801,0

Dup ă șapte iterații, pentru o convergen ță 310−=ε , se obține:
5731,02=λ ; {}{ } 3399,0 2561,0 12 − =Tμ

Pentru normalizare se ia:
{}{} 3399,0 2561,0 12 2 − =αμT
1
3399,02561,00000,1
2 0 00 00 0
3399,02561,00000,1
2
2 =
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−mmmT
α
sau

m8781,0
2=α , iar vectorul {}2μ normalizat
{}{} 2984,0 2249,0 8781,01
2 − =
mTμ și pulsația corespunz ătoare mkp 320,12= .

Pentru cel de-al treilea mod se construie ște matricea:

246()[]()[]{}{}[]
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
−− −−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−−
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
− −−−
= −=
0362,0 0533,0 0261,01068,0 1707,0 0805,00154,0 0805,0 0382,0
2 0 00 1 00 0 1
2984,02249,08781,02984,02249,08781,0
5731,0
1383,0 0918,0 1240,01838,0 1997,0 0326,02482,0 0326,0 4801,0
2 2 22 3
km
kmkmm D D
TTμμλ

În cel de-al doilea mod exist ă două moduri. Se va alege (){}{} 1 2 11−=Tμ .
Prima itera ție va da:

⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
−− −−
7870,04636,20000,1
2146,0
121
0362,0 0533,0 0261,01068,0 1707,0 0805,00154,0 0805,0 0382,0

A doua itera ție:

⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
−− −−
7477,03533,20000,1
2486,0
7870,04634,20000,1
0362,0 0533,0 0261,01068,0 1707,0 0805,00154,0 0805,0 0382,0

A treia itera ție:

⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
−− −−
7469,03507,20000,1
2391,0
7477,03533,20000,1
0362,0 0533,0 0261,01068,0 1707,0 0805,00154,0 0805,0 0382,0

A patra itera ție:

⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
−− −−
7468,03504,20000,1
2389,0
7469,03507,20000,1
0362,0 0533,0 0261,01068,0 1707,0 0805,00154,0 0805,0 0382,0

A cincea itera ție:

⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
−− −−
7468,03504,20000,1
2389,0
7468,03504,20000,1
0362,0 0533,0 0261,01068,0 1707,0 0805,00154,0 0805,0 0382,0

247
Deci, s-a ob ținut cel de-al treilea mod propriu:
{}{} 7468,0 3504,2 13−=Tμ ; mkp 0459,23=

Pentru normare se folose ște procedeul:
1
7468,03504,20000,1
2 0 00 00 0
7468,03504,20000,1
2
3 =
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−
mmmT
α

de unde
m3617,0
3=α și vectorul {}3μ normat
{}{} 2701,0 8502,0 3617,01
3 − =
mTμ

6.5.16. Să se determine pulsa țiile proprii și vectorii proprii pentru sistemul vibrant din
fig. 6.22. prin metoda puterii, folosind matricea de eliminare. S ă se compare pulsa țiile
proprii cu valorile ob ținute prin metoda raportului Rayleigh. Se va lua
m m m m ===3 2 1 ; k k k k k ====4 3 2 1 .

Fig. 6.22.

Rezolvare:
Pentru acest sistem:

⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
=
mmm
m
0 00 00 0
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
−− −−
=
k kk k kk k
k
2 020 2
matricea dinamic ă este:

248 [][][]
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
==−
75,05,0 25,05,0 1 5,025,05,0 75,0
1
kmmk D

Pentru determinarea primului mod se alege ca vector de începere a itera ției
(){}{} 1 1 11=Tμ , și se obține:

⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
000,1333,1000,1
5,1
111
75,05,0 25,05,0 1 5,025,05,0 75,0

Pentru o convergen ță 210−=ε , după cinci itera ții, se obține:
{}{} 1 4141,1 11=Tμ și mkp 7653,01=

În normalizarea vectorului {}1μ după regula {}[]{}11 1=μμmT, se va lua
{}{} 1 4141,1 11 1αμ=T , care va conduce la:

m5,0
1=α și {}{ }5,0 707,0 5,01
1mT=μ

Pentru cel de-al doilea mod, se construie ște matricea:
()[][]{} {}[]
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
− −− −− −
=
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
= −=
3232,0 1034,0 1767,01034,0 1465,0 1034,01767,0 1034,0 3232,0
1 0 00 1 00 0 15,0707,05,0
5,0707,05,0
707,1
75,05,0 25,05,0 1 5,025,05,0 75,0
1 1 12
km
kmkmm D DT
Tμμλ

Procesul de itera ție se va începe cu (){}{ }1 10 13 1− =−Tμ .
Prima itera ție:

⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−⋅ =
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
−⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
− −− −− −− −
1109,21
4997,0
1101
3232,0 1034,0 1767,01034,0 1465,0 1034,01767,0 1034,0 3232,0
4 3

249
După a doua itera ție se obține:
4999,02=λ și {}{ }1 108 15
2 −⋅=− Tμ
Practic, în modul al doilea, corpul 2m rămâne în repaus.
Dup ă normalizare, se ob ține:

m707,0
2=α
{}{} 707,0 0 707,01
2 − =
mTμ ; mkp 414,12=

Pentru modul al treilea, se ob ține:
mkp 847,13= ; {}{ }1 414,1 13−=Tμ .

6.5.17. Se consider ă construc ția cu trei nivele din fig. 6.23. S ă se determine modurile
naturale de vibra ție.
Se va lua m m=1 , m m 42= , m m 43= , k kk==2 1 , k k 33= .

Fig. 6.23.
Răspuns:
Ecua țiile de mi șcare în form ă matriceal ă sunt:

⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
−− −−
+
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
000
4 1 01 2 10 1 1
4 0 00 2 00 0 1321
321
qqq
k
qqq
m


Cele trei moduri naturale de vibra ție sunt:
mkp 457,01= ; {}{ }25,0 79,0 11=Tμ
mkp=2 ; {}{ }1 0 12 − =Tμ

250 mkp 34,13= ; {}{ }25,0 79,0 13−=Tμ

6.5.18. Se consider ă construcția cu patru nivele din fig. 6.24. S ă se determine modurile
naturale de vibra ție.
Se va lua: m m=1 , m m m 23 2== , m m 34= , k k=1 , k k 22= , k k 33= , k k 44= .

Fig. 6.24.
Răspuns:
Matricele de iner ție și rigiditate ale sistemului sunt:

[]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
=
3 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 1
m m ; []
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
−− −− −−
=
7 3 0 03 5 2 002 3 10 0 1 1
kk

Cele patru moduri de vibra ție sunt:

{}mkp
⎪⎪
⎭⎪⎪
⎬⎫
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
=
88.5507,4166,2929,13

[]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
−− −−−− −−
=
63,0 70,0 43,0 23,000,1 15,0 53,0 49,044,0 00,1 09,0 77,015,0 90,0 00,1 00,1
μ

251
BIBLIOGRAFIE

1. L. BERETEU, I. SMICAL Ă, Mecanică – Dinamica și aplicații, Editura Mirton,
Timișoara, 1992.
2. L. BRINDEU, Vibrații, Lit. Inst. Politehnica "Traian Vuia", Timi șoara, 1979.
3. GH. BUZDUGAN, L. FETCU, M. RADES, Vibrațiile sistemelor mecanice ,
Editura Academiei, 1975.
4. R. R. CRAIG, Structural dynamics ; John Wiley and Sons , 1981.
5. R.R.CRAIG , A. Kurdila, Fundamentals of structural dynamics , John Wiley and
Sons , 2006
6. B. P. DEMIDOVICH, I. A. MARON, Computational Mathematics , Mir
Publishers, 1981.
7. P. HAGEDORN, Non – Linear Oscillations – clarendon Press – Oxford, 1988.
8. M. HUSSEY, Fundamentals of Mechanical Vibrations , Mac Millan Press Ltd.,
1983.
9. M. LALANNE și alții, Mechanical Vibrations for Engineers , John Wiley and
Sons Ltd.,1984.
10. N. LEVITSKII, Kolebania v mehanizmah , Nauka Moskva, 1988.
11. L. MEIROVITCH, Elaments of Vibration Analysis , Mc. Graw – Hill, New York,
1975.
12. L. MEIROVITCH, Computational Methods in Structural Dynamics , Syhoff –
Noordhoff, The Netherlands, 1980.
13. L. MEIROVITCH, Introduction to Dynamics and Control , John Wiley and Sons,
New York, 1988.
14. L. MEIROVITCH, Fundamentals of Vibration, McGraw-Hill , New York, 2001
15. S. RAO, The Finite Element Method in Engineering , Pergamon Press, 1982.
16. W. SATO, Theory and Problems of Mechanical Vibrations , Schaum, Publishing,
New York, 1964.
17. GH. SILAS, Mecanică. Vibrații mecanice , Ed. Didactic ă și Pedagogic ă, 1968.
18. GH. SILAS, L. BRINDEU, A. HEGEDUS, Culegere de probleme de Vibra ții
mecanice, Ed. Tehnic ă, București, 1967.
19. I. SMICAL Ă, L. BERETEU, A. TOCARCIUC Exercitii si probleme de
mecanică si vibratii , Editie electronica, 2010.
20. W. T. THOMSON, Theory of Vibration , Uhwin Hyman Ltd. London, 1989.
21. W.T. THOMSON The Theory of Vibration with Applications , Taylor&Francis
Ltd., 1996
22. A. C. WALSHAW, Mechanical Vibrations with Applications , Ellis Horwood
Ltd., 1984.