DINAMICII INVERSE LA DINAMICA CLASICĂ A AUTOMOBILULUI 2.1. Algoritmul dinamicii inverse În acest caz, pentru studiul deplasării automobilelor se… [303995]

Capitolul 2

APLICAREA ALGORITMULUI

DINAMICII INVERSE LA DINAMICA CLASICĂ

A AUTOMOBILULUI

2.1. [anonimizat] a acestora [56; 57; 59; 85; 93; 103; 133; 134]; considerând deplasarea pe un drum orizontal (tot așa cum s-au desfășurat experimentările), această ecuație devine:

(2.1)

în care necunoscuta este viteza de deplasare v, iar este derivata acesteia.

În relața (2.1) s-au notat: g – accelerația gravitațională,  – [anonimizat] – [anonimizat] – [anonimizat] – raportul total de transmitere, t – [anonimizat] – raza de rulare a roții, f – coeficientul de rezistență la rulare, k – coeficientul aerodinamic, S – aria suprafaței transversale a automobilului.

Problema directă (în acest caz dinamica clasică din literatura de specialitate) constă în stabilirea vitezei de deplasare pentru o anumită cale de rulare (f ), pentru un anumit automobil (Ga, rr, it, S, Me) și adoptând din literatură unele mărimi necesare (, t, k).

Pentru a stabili problema inversă (în acest caz dinamica inversă) se are în vedere că viteza de deplasare v (și implicit derivata ) se cunoaște din măsurători. [anonimizat] (2.1) se scrie sub forma:

(2.2)

Înmulțind ambii termeni cu viteza de deplasare v, se obține:

(2.3)

de unde rezultă:

(2.4)

În membrul stâng se are în vedere cunoscuta relație dintre viteza de deplasare și viteza unghiulară e a arborelui cotit al motorului (pentru o transmisie mecanică):

(2.5)

și ca urmare din expresia (2.4) se obține:

(2.6)

[anonimizat]:

(2.7)

[anonimizat].

[anonimizat] (2.6) devine:

(2.8)

unde: Prul – puterea necesară învingerii rezistenței la rulare; Pa – puterea necesară învingerii rezistenței aerului; Pd – puterea necesară învingerii rezistenței la demarare (inerției).

Așadar, în expresia (2.8):

(2.9)

Expresia (2.8) [anonimizat].

În relațiile (2.9) [anonimizat] (Pe, v, dv/dt), fie din datele constructive ale automobilului (Ga, S), fie se adoptă din literatura de specialitate pentru un anumit automobil (k, ), o anumită cale de rulare (f ), o anumită transmisie (t). Ca urmare se pot stabili valorile termenilor bilanțului de putere din relația (2.8) folosind expresiile (2.9).

[anonimizat], atunci pe un drum orizontal acest bilanț este dat de relația:

(2.10)

în care:

(2.11)

cu Mr momentul la roată și Fr forța la roată.

Dacă se înmulțește relația (2.8) cu timpul t, atunci se obține ecuația de bilanț energetic al automobilului la deplasarea acestuia pe un drum orizontal:

(2.12)

unde s-au notat: Wr – energia la roată; Wrul – energia necesară învingerii rezistențelor la rulare; Wa – energia necesară învingerii rezistențelor aerului; Wd – energia necesară învingerii rezistenței la demarare (inerției).

Termenii din relația (2.12) se calculează deci cu expresiile:

(2.13)

în care T [anonimizat] T=100 s.

Așadar, algoritmul dinamicii inverse se bazează pe valorile cunoscute din măsurători ale vitezei de deplasare v (implicit și ale derivatei ) și ale puterii motorului Pe și folosind expresiile (2.9) și (2.10) stabilește valorile puterilor, momentelor și forțelor, deci conform definiției date anterior a dinamicii inverse.

2.2. Stabilirea bilanțului energetic la roată

În continuare se prezintă rezultatele obținute pe baza datelor experimentale de la 80 probe ale autoturismului Logan Laureate. Astfel, în fig.2.1 se prezintă valorile instantanee ale puterii la roată și momentului la roată.

Fig.2.1

În fig.2.1 există atât reprezentări continui (frecvent folosite în literatură), cât și reprezentări discrete; trebuie menționat că reprezentările discrete sunt cele reale, datele experimentale având acest caracter.

Așa cum se constată și din grafice, doar reprezentările discrete permit evidențierea intervalelor cu cele mai multe valori ale mărimii vizate. Spre exemplu, din fig.2.1b se observă că din cele 32000 valori ale momentului la roată al tuturor probelor, 63,9% se găsesc în intervalul 300-400 Nm (20453 valori). De asemenea, trebuie menționat că pentru efectuarea calculelor, calculatorul electronic operează cu valori discrete.

În fig.2.2 se prezintă valorile medii pe probe ale rapoartelor dintre puterile necesare învingerii rezistențelor la deplasare și puterea la roată, rapoarte definite cu relațiile:

– raportul dintre puterea necesară învingerii rezistențelor la rulare Prul și puterea la roată Pr:

(2.14)

– raportul dintre puterea necesară învingerii rezistențelor aerodinamice Pa și puterea la roată Pr:

(2.15)

– raportul dintre puterea necesară învingerii rezistențelor la demarare Pd și puterea la roată Pr:

(2.16)

unde Pr, Prul, Pa și Pd se stabilesc cu expresiile (2.9).

Fig.2.2

Din fig.2.2 se constată că pe ansamblul probelor cel mai mult din puterea la roată se consumă pentru învingerea rezistențelor la demarare (valoare medie 41,2%, pe probe în plaja 3,32%-55,56%). De asemenea, pe ansamblul probelor cel mai puțin din puterea la roată se consumă pentru învingerea rezistențelor aerodinamice (valoare medie 25,98%, pe probe în plaja 17,29%-45,01%).

Conform celor prezentate, trebuie menționat că repartiția procentuală pe puteri din fig.2.2 este aceeași cu repartiția procentuală energetică, exprimată prin relațiile (2.13). Așadar, se poate spune că pe ansamblul probelor, din energia totală la roată 32,82% se consumă pentru învingerea rezistențelor la rulare, 25,98% pentru învingerea rezistențelor aerodinamice și 41,2% pentru învingerea rezistențelor la demarare.

În fig.2.3 sunt redate în mod explicit pe componente și pe cele 80 de probe valorile medii ale rapoartelor dintre componentele bilanțului de putere și puterea la roată. Această reprezentare grafică arată în mod sugestiv că la majoritatea probelor efortul energetic cel mai mare este pentru învingerea rezistențelor la demarare. De exemplu, la proba L16 (linia 2, coloana 6) se consumă 54,06% pentru învingerea rezistențelor la demarare/inerției.

Fig.2.3

Algoritmul dinamicii inverse permite și stabilirea raportului dintre energia cinetică a automobilului Wcin și energia introdusă odată cu combustibilul Wi, calculat cu relația:

(2.17)

Cele două energii din expresia (2.17) se stabilesc cu relațiile:

(2.18)

și respectiv:

(2.19)

unde s-au notat: ma – masa automobilului; Ch – consumul orar de combustibil al motorului; Qi – puterea calorifică inferioară a combustibilului; Sp – spațiul parcurs; v [m/s], V [km/h] – viteza de deplasare.

În fig.2.4 se prezintă rezultatele obținute pentru cele 80 probe experimentale ale autoturismului Logan Laureate.

Fig.2.4

După cum se constată din fig.2.4c, pe ansamblul probelor 27,38% din energia introdusă cu combustibilul se folosește efectiv pentru deplasarea automobilului; valorile pe probe ale acestui raport variază în intervalul 16,49÷45,97%.

Valoarea relativ redusă obținută pe ansamblul probelor (ceva mai mult de un sfert) confirmă faptul că autovehiculul constituie un mijloc de transport care irosește o mare parte din energia introdusă odată cu combustibilul, în acest caz aproape trei sferturi.

Expresiile (2.9) permit și evidențierea variației puterilor cu diverse mărimi ce conțin aceste relații.

De exemplu, din relațiile (2.9) se observă că puterea necesară învingerii rezistențelor la rulare Prul este proporțională cu coeficientul de rezistență la rulare f și cu viteza de deplasare v. Ca urmare, pentru probele L12 și L35 se obțin graficele din fig.2.5. În cadrul lucrării, coeficientul de rezistență la rulare a fost stabilit cu relația lui Kühner:

(2.20)

Fig.2.5

Un alt exemplu, din relațiile (2.9) se observă că puterea necesară învingerii rezistențelor aerodinamice Pa este proporțională cu puterea a treia a vitezei de deplasare v. Ca urmare, pentru probele L27 și L32 se obțin graficele din fig.2.6.

Fig.2.6

În mod similar se pot prezenta și alte dependențe între mărimile ce definesc bilanțul energetic la roata autovehiculului.

2.3. Estimarea mărimilor în prezența incertitudinilor

Problema stabilirii bilanțului energetic la roată a fost abordată conform celor prezentate în literatura de specialitate, fără luarea în considerare a incertitudinilor de natură diferită. Conform celor prezentate însă la problema inversă, rezultă că algoritmul dinamicii inverse operează cu incertitudini parametrice, ceea ce este evidențiat în continuare [40; 43; 69; 90; 104; 111].

În acest scop se reia ecuația diferențială (2.1), unde se ia în considerare că pentru un automobil cu transmisie mecanică în trepte (ca la autoturismul Logan Laureate) este valabilă relația:

(2.21)

în care n reprezintă turația motorului.

De asemenea, se are în vedere și relația pentru suprafața transversală:

(2.22)

unde ks reprezintă coeficientul de formă (care ia în considerare faptul că suprafața frontală nu e un dreptunghi), B ecartamentul autovehiculului și H înălțimea maximă a acestuia.

Ca urmare, ecuația diferențială (2.1) devine:

(2.23)

În ecuația diferențială (2.23) momentul motor Me, turația acestuia n și viteza de deplasare v se cunosc din experimentări pentru o anumită probă efectuată. În această expresie se notează coeficienții ecuației diferențiale , și , definiți prin relațiile:

(2.24)

În aceste expresii există incertitudini asupra celor 6 mărimi t, , Ga, f, k și ks (deci incertitudini parametrice), deoarece acestea nu se cunosc cu precizie, ci prin intervale de valori; unele din acestea se adoptă din literatura de specialitate (t, , f, k și ks), iar Ga conform specificațiilor tehnice ale autovehiculului.

Ca urmare și coeficienții (2.24) ai ecuației diferențiale (2.23) au valori situate în anumite intervale, de la o valoare minimă (indice m) la una maximă (indice p), astfel că expresia (2.24) devine:

(2.25)

unde, conform relațiilor (2.24) și ținând cont de intervalele de valori ale mărimilor (cu notațiile redate anterior):

(2.26)

Așadar, expresia (2.25) constituie o ecuație diferențială cu coeficienți situați în intervale de valori reale și ca urmare are teoretic o infinitate de soluții, altfel spus, ecuația diferențială are soluțiile dispuse într-un interval; această ecuație diferențială se rezolvă cu algoritmi specifici. De asemenea, așa cum se constată, studiul dinamicii autovehiculelor în condiții de incertitudine apelează la operații cu intervale de valori reale: adunare, scădere, înmulțire și împărțire.

Deoarece experimentările s-au efectuat cu un autoturism Logan Laureate, în relațiile prezentate mărimile care intervin se adoptă cu următoarele valori instantanee și medii (indice M) pe intervalul respectiv:

– coeficientul de rezistență la rulare la deplasarea pe asfalt (așa cum s-au desfășurat experimentările):

– coeficientul maselor reduse:

– randamentul transmisiei:

– coeficientul aerodinamic:

– coeficientul de formă:

– greutatea automobilului:

– suprafața frontală: ; pentru acest autoturism B=1,466 m și H=1,525 m.

La început se va studia influența tuturor celor 6 factori (Ga, f, , t, ks, k) asupra dinamicii automobilului, după care se va analiza influența numai a câte unui factor. În acest scop se va considera o aceeași probă experimentală L46 din motiv de comparație (la care se cunosc v, Me, n) și se va rezolva ecuația diferențială cu intervale (2.25) la care cei 3 coeficienți variază în intervalele stabilite prin operații cu intervale.

În fig.2.7 sunt prezentate rezultatele obținute pentru cazul în care toți cei 6 factori de influență variază în limitele prezentate mai sus. Așa cum se observă din grafic, cei 6 factori de influență au următoarele variații în intervalele menționate: greutatea automobilului , coeficientul de rezistență la rulare , coeficientul maselor reduse , , , . În aceste condiții, viteza medie a probei are o variație pe întregul interval , iar viteza maximă .

Graficul redă și intervalele de valori ale celor 3 coeficienți ai ecuației diferențiale (2.25), calculate cu expresiile (2.26).

Fig.2.7

Ca urmare, ecuația diferențială (2.25) este conform fig.2.7:

(2.27)

deci cu toți coeficienții exprimați prin intervale de valori reale.

Prin rezolvarea acestei ecuații diferențiale cu intervale se obțin cele două curbe extreme din fig.2.7, care constituie anvelopa inferioară și respectiv anvelopa superioară; soluțiile acestei ecuații diferențiale, teoretic în număr infinit, se găsesc între cele două anvelope și pe acestea.

Între cele două anvelope se găsește și curba experimentală, la care coeficienții ecuației diferențiale (2.25) nu se cunosc, dar se găsesc în intervalele respective. După cum se constată din grafic, curba experimentală este plasată mai mult spre anvelopa superioară.

De asemenea, în grafic sunt prezentate și valorile unor caracteristici statistice pentru viteza probei (valoarea medie și valoarea maximă), atât cele experimentale, cât și cele aferente anvelopelor.

În fig.2.8 se prezintă influența celor 6 factori asupra valorilor medii pe probe, iar în fig.2.9 asupra valorilor maxime pe probe ale vitezei de deplasare pentru toate cele 80 probe experimentale ale autoturismului Logan Laureate.

Din fig.2.8 rezultă că pe ansamblul celor 80 de probe, viteza medie experimentală este , viteza medie aferentă anvelopei superioare este (fig.2.8a), iar viteza medie aferentă anvelopei inferioare este (fig.2.8b). Așadar, anvelopei superioare îi corespunde o creștere a vitezei medii de 2,3%, iar anvelopei inferioare o scădere a vitezei medii de 8,2%, ceea ce rezultă o variație totală de 10,5%.

Fig.2.8

Similar, din fig.2.9 rezultă că pe ansamblul celor 80 de probe, media vitezelor maxime experimentale este de 90,5 km/h, media vitezelor maxime aferente anvelopei superioare este 92,8 km/h (fig.2.9a), iar media vitezelor maxime aferentă anvelopei inferioare este 83,5 km/h (fig.2.9b); așadar, anvelopei superioare îi corespunde o creștere a mediei vitezelor maxime de 2,6%, iar anvelopei inferioare o scădere de 7,7%, deci o variație de 10,3%.

Fig.2.9

În continuare se prezintă, succesiv, influența doar a câte unui singur factor din cei 6 menționați anterior asupra dinamicii automobilului. Astfel, în fig.2.10 se prezintă influența greutății automobilului Ga asupra vitezei de deplasare a aceleiași probe L46. Din grafic se constată că la o variație a greutății cu 9,6%, viteza medie a probei variază cu 9,4%, iar viteza maximă cu 7,9%.

În grafic se prezintă și un exemplu de stabilire a vitezelor și anume la timpul t=18 s. Se observă că viteza experimentală este , viteza aferentă anvelopei superioare , iar viteza aferentă anvelopei inferioare .

Fig.2.10

De asemenea, graficul redă valorile coeficienților ecuației diferențiale cu intervale (2.6), care în acest caz are forma rezultată din expresiile (2.25) la care :

(2.28)

fiind deci prezent un interval degenerat, cu o unică valoare obținută cu valorile medii ale coeficientului de rezistență la rulare și coeficientului masei reduse:

(2.29)

După cum se constată, la studiul influenței unui singur factor se procedează ca în literatura de specialitate: ceilalți factori se consideră constanți și egali cu valorile lor medii pe intervalul aferent.

În consecință și ceilalți doi coeficienți, c1 și c3, se stabilesc cu relații în care intervin valori medii în expresiile (2.26):

(2.30)

Ca urmare a celor menționate, rezultă valorile coeficienților redate în fig.2.10 și ecuația diferențială cu intervale aferentă:

(2.31)

Mai trebuie menționat încă un aspect important în fig.2.10. Astfel, din relațiile (2.30) se constată că greutatea automobilului Ga intervine la numitorii coeficienților. Așadar, cu cât greutatea este mai mare, cu atât coeficienții c1 și c3 au valori mai mici și ca urmare din expresia (2.31) rezultă că viteza e mai mică. În consecință rezultă că anvelopa superioară din fig.2.10 corespunde greutății minime , iar anvelopa inferioară greutății maxime , ceea ce era de așteptat de altfel (cu cât greutatea e mai mare, cu atât viteza e mai mică).

În fig.2.11 se prezintă influența greutății automobilului asupra valorilor medii pe probe, iar în fig.2.12 asupra valorilor maxime pe probe ale vitezei de deplasare pentru cele 80 probe experimentale ale autoturismului Logan Laureate.

Fig.2.11

Din fig.2.11 rezultă că pe ansamblu, viteza medie experimentală este , viteza medie aferentă anvelopei superioare (fig.2.11a), iar viteza medie aferentă anvelopei inferioare (fig.2.11b); așadar, anvelopei superioare îi corespunde o creștere a vitezei medii de 4,5%, iar anvelopei inferioare o scădere de 4,8%, deci o variație de 9,3%.

Similar, din fig.2.12 rezultă că pe ansamblu, media vitezelor maxime experimentale este de 90,5 km/h, media vitezelor maxime aferente anvelopei superioare 94,7 km/h (fig.2.12a), iar media vitezelor maxime aferentă anvelopei inferioare 86,1 km/h (fig.2.12b). Așadar, anvelopei superioare îi corespunde o creștere a mediei vitezelor maxime de 4,6%, iar anvelopei inferioare o scădere de 4,8%, adică o variație totală de 9,4% când greutatea variază cu 9,6%.

Fig.2.12

În fig.2.13 se prezintă influența căii de rulare, prin coeficientul de rezistență la rulare f, asupra vitezei de deplasare a aceleiași probe L46 în scop de comparație. Din grafic se constată că la o variație a coeficientului de rezistență la rulare cu 83,3%, viteza medie a probei variază cu , iar viteza maximă cu .

Fig.2.13

De asemenea, graficul redă valorile coeficienților ecuației diferențiale cu intervale (2.25), care în acest caz are forma rezultată din expresiile (2.26) unde :

(2.32)

fiind deci prezente două intervale degenerate (cu margini egale), care folosesc valorile medii pe intervalele respective (centrul intervalelor):

(2.33)

Ca urmare, din fig.2.13 rezultă ecuația diferențială cu intervale:

(2.34)

Și în acest caz trebuie menționat încă un aspect din fig.2.13. Astfel, din relațiile (2.26) se constată că coeficientul de rezistență la rulare f intervine la numărătorul coeficienților c2m și c2p. Așadar, cu cât f este mai mare, cu atât coeficienții c2 au valori mai mari și ca urmare din expresia (2.34) rezultă că viteza e mai mică. În consecință, anvelopa superioară din fig.2.13 corespunde coeficientului minim , iar anvelopa inferioară coeficientului maxim ; această concluzie era de așteptat, cunoscut fiind faptul că prin creșterea rezistențelor la rulare scade viteza de deplasare.

În fig.2.14 se prezintă influența căii de rulare asupra valorilor medii pe probe, iar în fig.2.15 asupra valorilor maxime pe probe ale vitezei de deplasare pentru cele 80 probe experimentale ale autoturismului Logan Laureate.

Fig.2.14

Din fig.2.14 rezultă că pe ansamblu, viteza medie experimentală este , viteza medie aferentă anvelopei superioare (fig.2.14a), iar viteza medie aferentă anvelopei inferioare (fig.2.14b); așadar, anvelopei superioare îi corespunde o creștere a vitezei medii de 4,6%, iar anvelopei inferioare o scădere de 4,8%, deci o variație de 9,4%.

Din fig.2.15 rezultă că pe ansamblul celor 80 de probe, media vitezelor maxime experimentale este de 90,5 km/h, media vitezelor maxime aferente anvelopei superioare este 94,8 km/h (fig.2.15a), iar media vitezelor maxime aferentă anvelopei inferioare este 86,3 km/h (fig.2.15b); așadar, anvelopei superioare îi corespunde o creștere a mediei vitezelor maxime de 4,8%, iar anvelopei inferioare o scădere de 4,7%, deci o variație totală de 9,5%.

Fig.2.15

În fig.2.16 se prezintă influența coeficientului maselor reduse  asupra vitezei de deplasare a aceleiași probe L46 pentru a permite comparații cu alte cazuri analizate.

Fig.2.16

Din fig.2.16 se constată că la o variație a coeficientului maselor reduse cu , viteza medie a probei variază cu , iar viteza maximă cu .

După cum se constată din relațiile (2.26), coeficientul maselor reduse  se află în expresiile tuturor celor trei coeficienți c1, c2 și c3 și deci este valabilă ecuația diferențială cu intervale (2.25), care, conform fig.2.16 devine:

(2.35)

În fig.2.17 se prezintă influența coeficientului maselor reduse asupra valorilor medii pe probe, iar în fig.2.18 asupra valorilor maxime pe probe ale vitezei de deplasare pentru cele 80 probe ale autoturismului Logan Laureate.

Din fig.2.17 rezultă că pe ansamblul celor 80 de probe, viteza medie experimentală este , viteza medie aferentă anvelopei superioare este (fig.2.17a), iar viteza medie aferentă anvelopei inferioare este (fig.2.17b); așadar, anvelopei superioare îi corespunde o creștere a vitezei medii de 4,2%, iar anvelopei inferioare o scădere de 5,3%, deci o variație totală de 9,5% la o variație a coeficientului  cu .

Fig.2.17

Similar, din fig.2.18 rezultă că pe ansamblul celor 80 de probe, media vitezelor maxime experimentale este de 90,5 km/h, media vitezelor maxime aferente anvelopei superioare este 94,3 km/h (fig.2.18a), iar media vitezelor maxime aferentă anvelopei inferioare este 85,6 km/h (fig.2.18b); așadar, anvelopei superioare îi corespunde o creștere a mediei vitezelor maxime de 4,2%, iar anvelopei inferioare o scădere de 5,4%, deci o variație totală de 9,6%.

Fig.2.18

În fig.2.19 se prezintă influența randamentului transmisiei t asupra vitezei de deplasare a aceleiași probe L46. Din grafic se constată că la o variație a randamentului transmisiei cu , viteza medie a probei variază cu , iar viteza maximă cu .

Fig.2.19

După cum se constată din relațiile (2.24), randamentul transmisiei t se află doar în expresia coeficientului c1 și deci ecuația diferențială cu intervale (2.25) devine conform fig.2.19:

(2.36)

În plus, din relațiile (2.24) se observă că randamentul transmisiei este la numărătorul fracției coeficientului c1. Așadar, cu creșterea randamentului transmisiei se mărește coeficientul c1 și conform ecuației diferențiale (2.25) viteza se mărește. Rezultă că anvelopa superioară din fig.2.19 corespunde valorii maxime , iar anvelopa inferioară valorii minime a randamentului transmisiei.

În fig.2.20 se prezintă influența randamentului transmisiei asupra valorilor medii pe probe, iar în fig.2.21 asupra valorilor maxime pe probe ale vitezei de deplasare pentru cele 80 probe ale autoturismului Logan Laureate.

Fig.2.20

Din fig.2.20 rezultă că pe ansamblul celor 80 de probe, viteza medie experimentală este , viteza medie aferentă anvelopei superioare este (fig.2.20a), iar viteza medie aferentă anvelopei inferioare este (fig.2.20b); așadar, anvelopei superioare îi corespunde o creștere a vitezei medii de 5,1%, iar anvelopei inferioare o scădere de 4,3%, deci o variație totală de 9,4% la o variație a randamentului cu .

Similar, din fig.2.21 rezultă că pe ansamblul celor 80 de probe, media vitezelor maxime experimentale este de 90,5 km/h, media vitezelor maxime aferente anvelopei superioare este 95,1 km/h (fig.2.21a), iar media vitezelor maxime aferentă anvelopei inferioare este 86,5 km/h (fig.2.21b); așadar, anvelopei superioare îi corespunde o creștere a mediei vitezelor maxime de 5,1%, iar anvelopei inferioare o scădere de 4,4%, deci o variație totală de 9,5% la o variație a randamentului transmisiei de 12,2%.

Fig.2.21

În fig.2.22 se prezintă influența coeficientului de formă ks din expresiile (2.24) asupra vitezei de deplasare a probei L46. Din grafic se constată că la o variație a coeficientului de formă cu , viteza medie a probei variază cu , iar viteza maximă cu .

Fig.2.22

După cum se constată din relațiile (2.24), coeficientul de formă ks se află doar în expresia coeficientului c3 și deci ecuația diferențială cu intervale (2.25) devine conform fig.2.22:

(2.37)

În plus, din relațiile (2.24) se observă că coeficientul de formă ks este la numărătorul fracției coeficientului c3. Așadar, cu creșterea coeficientului de formă se mărește coeficientul c3 (deci se mărește suprafața transversală S) și conform ecuației diferențiale (2.25) viteza se micșorează. Rezultă că anvelopa superioară din fig.2.22 corespunde valorii minime a coeficientului de formă , iar anvelopa inferioară valorii maxime ; aceasta confirmă faptul că odată cu mărirea suprafeței frontale a automobilului scade viteza de deplasare.

În fig.2.23 se prezintă influența coeficientului de formă asupra valorilor medii pe probe, iar în fig.2.24 asupra valorilor maxime pe probe ale vitezei de deplasare pentru cele 80 probe ale autoturismului Logan Laureate.

Din fig.2.23 rezultă că pe ansamblul celor 80 de probe, viteza medie experimentală este , viteza medie aferentă anvelopei superioare este (fig.2.23a), iar viteza medie aferentă anvelopei inferioare este (fig.2.23b); așadar, anvelopei superioare îi corespunde o creștere a vitezei medii de 4,4%, iar anvelopei inferioare o scădere de 5%, deci o variație totală de 9,4% la o variație a coeficientului de formă cu .

Fig.2.23

Similar, din fig.2.24 rezultă că pe ansamblul celor 80 de probe, media vitezelor maxime experimentale este de 90,5 km/h, media vitezelor maxime aferente anvelopei superioare este 94,7 km/h (fig.2.24a), iar media vitezelor maxime aferentă anvelopei inferioare este 86,1 km/h (fig.2.24b); așadar, anvelopei superioare îi corespunde o creștere a mediei vitezelor maxime de 4,6%, iar anvelopei inferioare o scădere de 4,8%, deci o variație totală de 9,4% la o variație a coeficientului de formă cu .

Fig.2.24

În fig.2.25 se prezintă influența coeficientului aerodinamic k asupra vitezei de deplasare a probei L46.

Din grafic se constată că la o variație a coeficientului aerodinamic cu , viteza medie a probei variază cu , iar viteza maximă cu .

În plus, graficul evidențiază faptul că ceilalți 5 factori de influență se adoptă la valorile lor medii (indice M), așa cum se procedează în mod frecvent în literatura de specialitate.

Fig.2.25

După cum se constată din relațiile (2.24), coeficientul aerodinamic k se află doar în expresia coeficientului c3 și deci ecuația diferențială cu intervale (2.25) a dinamicii automobilului devine conform fig.2.25:

(2.38)

În fig.2.26 se prezintă influența coeficientului aerodinamic asupra valorilor medii pe probe, iar în fig.2.27 asupra valorilor maxime pe probe ale vitezei de deplasare pentru cele 80 probe ale autoturismului Logan Laureate.

Fig.2.26

Fig.2.27

Din fig.2.26 rezultă că pe ansamblul celor 80 de probe, viteza medie experimentală este , viteza medie aferentă anvelopei superioare este (fig.2.26a), iar viteza medie aferentă anvelopei inferioare este (fig.2.26b); așadar, anvelopei superioare îi corespunde o creștere a vitezei medii de 2,5%, iar anvelopei inferioare o scădere de 6,9%, deci o variație totală de 9,4%.

Similar, din fig.2.27 rezultă că pe ansamblul celor 80 de probe, media vitezelor maxime experimentale este de 90,5 km/h, media vitezelor maxime aferente anvelopei superioare este 93,3 km/h (fig.2.27a), iar media vitezelor maxime aferentă anvelopei inferioare este 84,8 km/h (fig.2.27b); așadar, anvelopei superioare îi corespunde o creștere a mediei vitezelor maxime de 3,1%, iar anvelopei inferioare o scădere de 6,3%, deci o variație totală de 9,4% la o variație a coeficientului aerodinamic cu .

Adoptând algoritmul dinamicii inverse, deoarece variază doar o singură mărime în ecuația diferențială (2.23) și anume coeficientul aerodinamic k, este posibil să se stabilească coeficientul c3i aferent probei experimentale L46, deci și valoarea coeficientului aerodinamic ki. În acest sens, în fig.2.28 este trasată și curba aferentă valorilor c3i și ki, care reprezintă curba cea mai apropiată de cea experimentală. În acest mod s-au obținut valorile c3i=0,00027902 și ki=0,256, pentru care curba aferentă algoritmului dinamicii inverse are o eroare de 0,1% față de cea experimentală. Așadar, aplicând algoritmul dinamicii inverse se pot estima și valorile factorilor de influență a dinamicii autovehiculelor în condiții de incertitudine.

Fig.2.28

Odată stabilit coeficientul pentru proba L46, rezultă că această probă este descrisă de o ecuație diferențială cu coeficienți constanți, derivată din expresia (2.38):

(2.39)

care descrie matematic proba L46 cu o eroare de 0,1%.

Pe baza celor prezentate, se poate concluziona că cei șase factori vizați au influențe diferite asupra vitezei de deplasare. După cum s-a constatat din graficele aferente tuturor celor 80 probe experimentale, fiecare factor variază pe intervalul de valori respectiv (de exemplu coeficientul de rezistență la rulare f cu 83,3%), cu diferite influențe asupra valorilor medii și valorilor maxime pe probe ale vitezei de deplasare (pentru f cu 9,4%, respectiv cu 7,9%).

Pentru a stabili care din cei șase factori vizați au influența mai mare sau mai mică asupra vitezei de deplasare (și implicit asupra dinamicii automobilului), în fig.2.29 se prezintă raportul dintre variația vitezei medii și variația factorului vizat, respectiv raportul dintre variația vitezei maxime și variația factorului analizat cu denumirea redată în grafic.

Fig.2.29

Graficul din fig.2.29 arată că cea mai mare influență asupra variației vitezei de deplasare (prin valoarea medie și cea maximă) o are coeficientul de formă ks (deci în mod implicit suprafața frontală a automobilului), urmată de cele ale greutății automobilului Ga, randamentului transmisiei t, coeficientului maselor reduse , coeficientului aerodinamic k și coeficientului de rezistență la rulare f (ultimul cu influența cea mai mică și bineînțeles la deplasarea pe asfalt uscat așa cum s-au desfășurat experimentările).

Din grafic se constată că rapoartele menționate sunt subunitare, mai puțin în cazul coeficientului de formă. Așadar, numai la acesta din urmă variațiile vitezei (efectul) sunt mai mari decât variațiile factorului de influență (cauza); se confirmă astfel influența cea mai mare a suprafaței frontale a automobilului asupra dinamicii acestuia.

După cum se observă din cele prezentate, algoritmul dinamicii inverse necesită rezolvarea unor ecuații diferențiale cu intervale. Ecuațiile diferențiale cu intervale se rezolvă de regulă prin apelarea la diferențierea generalizată Hukuhara.

Cunoscută în literatură și sub denumirea de derivata gH („generalized Hukuhara derivative”), aceasta are la bază diferența generalizată Hukuhara g, definită astfel pentru două intervale notate și :

(2.40)

Ca urmare se obține și derivata gH a funcției f(x) având valori într-un interval :

(2.41)

Se consideră acum o ecuație diferențială cu intervale, de formă generală și cu condiție inițială:

(2.42)

unde:

(2.43)

Se notează:

(2.44)

și se obțin astfel două seturi de ecuații diferențiale, care oferă 4 anvelope ale soluțiilor ecuației diferențiale date (2.42):

– dacă :

(2.45)

– dacă :

(2.46)

Ca urmare, soluțiile ecuației diferențiale (2.42) se găsesc între cele 2 anvelope exterioare din cele 4 și pe aceste anvelope, exemple în acest sens fiind oferite mai sus la studiul dinamicii inverse a automobilului.