DINAMICII INVERSE LA DINAMICA CLASICĂ A AUTOMOBILULUI 2.1. Algoritmul dinamicii inverse În acest caz, p entru studiul deplasării automobilelor se… [610543]

31

Capitolul 2

APLICAREA ALGORITMULUI
DINAMICII INVERSE LA DINAMICA CLASICĂ
A AUTOMOBILULUI

2.1. Algoritmul dinamicii inverse

În acest caz, p entru studiul deplasării automobilelor se apelează la
cunoscuta ecuație diferențială care descrie dinamica longitudinală a acestora
[56; 57; 59; 85; 93; 103; 133; 134 ]; considerând deplasarea pe un drum
orizontal (tot așa cum s -au desfășurat experimentările) , această ecuație devine:

2 e t t
a
arMigv G f kSvGr
  
(2.1)

în care necunoscuta este viteza de deplasare v, iar
v este derivata acesteia.
În relața ( 2.1) s-au notat: g – accelerația gravitațională,  – coeficientul
maselor reduse , Ga – greutatea autovehiculului, Me – momentul motor,
it – raportul total de transmitere, t – randamentul transmisiei, rr – raza de rulare
a roții, f – coeficientul de rezistență la rulare, k – coeficientul aerodinamic,
S – aria suprafa ței transversale a automobilului .
Problema directă (în acest caz dinamica clasică din literatura de
specialitate ) constă în stabilirea vitezei de deplasare pentru o anumită cale de
rulare ( f ), pentru un anumit automobil (Ga, rr, it, S, Me) și adoptân d din literatură
unele mărimi necesare (, t, k).
Pentru a stabili problema inversă (în acest caz dinamica inversă) se are în
vedere că viteza de deplasare v (și implicit derivata
v ) se cunoaște din
măsurători. În plus, ecuația (2.1) se scrie sub forma :

2 d
da e t t
a
rG M ivG f kSvg t r  
(2.2)

Înmulțind ambii termeni cu vite za de deplasare v, se obține :

3 d
da e t t
a
rG M i vv v G fv kSvg t r  
(2.3)
de unde re zultă :

32
3 d
de t t a
a
rM i G vv v G fv kSvr g t   (2.4)

În membrul stâng se are în vedere cunoscuta relație dintre viteza de
deplasare și viteza unghiulară e a arborelui cotit al motorului (pentru o
transmisie mecanic ă):

e
r r r
tv r ri
(2.5)

și ca urmare din expresia (2.4) se obține:

3 d
da
e e t aG vM G fv kSv vgt  
(2.6)

De asemenea, se au în vedere relațiile :

e e t e t rM P P 
(2.7)

în care Pe reprezintă puterea motorului, iar Pr puterea la roată.
În consecință, expresia (2.6) devine :

r rul a dP P P P  
(2.8)

unde: Prul – puterea necesară învingerii rezistenței la rulare ; Pa – puterea
necesară învingerii rezistenței aerului ; Pd – puterea necesară învingerii
rezistenței la demarare (inerție i).
Așadar, în expresia (2.8 ):

3 d; ; ;da
r e t rul a a dG vP P P fG v P kSv P vgt   
(2.9)

Expresia (2.8) constituie cunoscutul bilanț de putere, care reprezintă
echilibrul dintre puterea la roată și suma puterilor necesare înving erii
rezistențelor la deplasare .
În relațiile (2.9) toate mărimile se cunosc, fie din experimentări ( Pe, v,
dv/dt), fie din datele constructive ale automobilului ( Ga, S), fie se adoptă din
literatura de specialitate pentru un anumit automobil (k, ), o anumită cale de
rulare (f ), o anumită transmisie ( t). Ca urmare se pot stabili valorile termenilor
bilanțului de putere din relația (2.8) folosind expresiile (2.9).
Dacă se utilizează bilanțul de tracțiune al automobilului, ca re reprezintă
echilibrul tuturor forțelor ce acționează asupra acestuia, atunci pe un drum
orizontal acest bilanț este dat de relația :

r rul a dF F F F  
(2.10)
în care:

33
2 d; ; ;de t t a r
r rul a a d
rrM i G MvF F fG F kSv Fr r g t     (2.11)

cu Mr momentul la roată și Fr forța la roată.
Dacă se înmulțește relația (2.8) cu timpul t, atunci se obține ecuația de
bilanț energetic al automobilului la deplasarea acestuia pe un drum orizontal :

r rul a dW W W W  
(2.12)

unde s -au notat: Wr – energia la roată ; Wrul – energia necesară învingerii
rezistențelor la rulare ; Wa – energia necesară învingerii rezistențelor aerului ;
Wd – energia necesară învingerii rezistenței la demarare (inerției).
Termenii din relația (2.12 ) se calculează deci cu expresiile :

3
0 0 0 0dd ; d ; d ; ddT T T T
a
r e t rul a a dG vW P t W fG v t W kSv t W v tgt       
(2.13)

în care T reprezintă durata unei probe, aici T=100 s.
Așadar, algoritmul dinamicii inverse se bazează pe valorile cunoscute din
măsurători ale vitezei de deplasare v (implicit și ale derivatei
v ) și ale puterii
motorului Pe și folosind expresiile (2.9) și (2.10) stabilește valorile puterilor ,
momentelor și forțelor, deci conform definiției date anterior a dinamicii inverse.

2.2. Stabilirea bilanțului energetic la roată

În continuare se prezintă rezultatele obținute pe baza datelor
experimentale de la 80 probe ale autoturismului Logan Laureate. Astfel, în
fig.2.1 se prezintă valorile instantanee ale puterii la roată și momentului la roată.

Fig.2.1

34 În fig.2.1 există atât reprezentări continui (frecvent folosite în literatură),
cât și reprezentări discrete ; trebuie menționat că reprezentările discrete sunt cele
reale, datele expe rimentale având acest caracter.
Așa cum se constată și din grafice, doar reprezentările discrete permit
evidențierea intervalelor cu cele mai multe valori ale mărimii vizate. Spre
exemplu, din fig.2.1b se observă că din cele 32000 valori ale momentului la
roată al tuturor probelor, 63,9% se găsesc în intervalul 30 0-400 Nm ( 20453
valori). De asemenea, trebuie menționat că pentru efectuarea calculelor,
calculatorul electronic operează cu valori discrete.
În fig.2.2 se prezintă valorile medii pe probe ale rapoartelor dintre
puterile necesare învingerii rezistențelor la deplasare și puterea la roată, rapoarte
definite cu relațiile :
– raportul dintre puterea necesară învingerii rezistențelor la rulare Prul și
puterea la roat ă Pr:
100 [%]rul
rul
rPkP
(2.14)

– raportul dintre puterea necesară învingerii rezistențelor aerodinamice Pa
și puterea la roat ă Pr:
100 [%]a
a
rPkP
(2.15)

– raportul dintre puterea necesară învingerii rezistențelor la demarare Pd și
puterea la roat ă Pr:
100 [%]d
d
rPkP
(2.16)

unde Pr, Prul, Pa și Pd se stabilesc cu expresiile (2.9).

Fig.2.2

35 Din fig.2.2 se constată că pe ansamblul probelor cel mai mult din puterea
la roată se consumă pentru învingerea rezistențelor la demarare ( valoare medie
41,2% , pe probe în plaja 3,32% -55,56% ). De asemenea, pe ansamblul probelor
cel mai puțin din puterea la roată se consumă pentru învingerea rezistențelor
aerodinamice (valoare medie 25,98%, pe probe în plaja 17,29% -45,01%).
Conform celor prezentate, trebuie menționat că repartiția procentuală pe
puteri din fig.2.2 este aceeași c u repartiția procentuală energetică, exprimată
prin relațiile (2.13). Așadar, se poate spune că pe ansamblul probelor, din
energia totală la roată 32,82% se consumă pentru învingerea rezistențelor la
rulare, 25,98% pentru învingerea rezistențelo r aerodinamice și 41,2% pentru
învingerea rezistențelor la demarare.
În fig.2.3 sunt redate în mod explicit pe componente și pe cele 80 de
probe valori le medii ale rapoartelor dintre componentele bilanțului de putere și
puterea la roată . Această reprezentare grafică arată în mod sugestiv că la
majoritatea probelor efortul energetic cel mai mare este pentru învingerea
rezistențelor la demarare . De exemplu , la proba L 16 (linia 2, coloana 6) se
consumă 54,06 % pentru învingerea rezistențelor la demarare/inerției .

Fig.2.3

Algoritmul dinamicii inverse permite și stabilirea r aportului dintre
energia cinetică a automobilului Wcin și energia introdusă odată cu combustibilul
Wi, calculat cu relația :
100 [%]cin
c
iWkW
(2.17)

Cele două energii din expresia (2.17) se stabilesc cu relațiile :

2
2a
cinmvW
(2.18)

36 și respectiv:
h i p
iC Q SWV
(2.19)

unde s-au notat : ma – masa automobilului; Ch – consumul orar de combustibil al
motorului; Qi – puterea calorific ă inferioară a combustibilului ; Sp – spațiul
parcurs ; v [m/s], V [km/h] – viteza de deplasare.
În fig.2.4 se prezintă re zultatele obținute pentru cele 8 0 probe
experimentale ale autoturismului Logan Laureate .

Fig.2.4

După cum se constată din fig.2.4c , pe ansamblul probelor 27,38 % din
energia introdusă cu combustibilul se folosește efectiv pen tru deplasarea
automobilului ; valorile pe probe ale ac estui raport variază în intervalul
16,49 ÷45,97 %.
Valoarea relativ redusă obținută pe ansamblul probelor (ceva mai mult de
un sfert) confirmă faptul că autovehic ulul constituie un mijloc de transport care
irosește o mare parte din energia introdusă odată cu combustibilul , în acest caz
aproape trei sferturi .
Expresiile (2.9) permit și evidențierea variației puterilor cu diverse
mărimi ce conțin aceste relații.
De exemplu, din relațiile (2.9) se observă că puterea necesară învingerii
rezistențelor la rulare Prul este proporțională cu coeficientul de rezistență la
rulare f și cu viteza de deplasare v. Ca urmare, pentru probele L12 și L35 se
obțin graficele din fig.2.5. În cadrul lucrării, coeficientul de rezistență la rulare a
fost stabilit cu relația lui Kühner :
2,5
0,0125 0,0085100Vf 
(2.20)

37
Fig.2.5

Un alt exemplu , din relațiile (2.9) se observă că puterea necesară
învingerii rezistențelor aerodinamice Pa este proporțională cu puterea a treia a
vitezei de deplasare v. Ca urmare, pentru probele L27 și L32 se obțin graficele
din fig.2.6.

Fig.2.6

În mod similar se pot prezenta și alte dependențe între mărimile ce
definesc bilanțul energetic la roata autovehiculului.

2.3. Estimarea mărimilor în prezența incertitudinilor

Problema stabilir ii bilanțului energetic la roată a fost abordată conform
celor prezentate în literatura de specialitate, fără luarea în considerare a

38 incertitudinilor de natură diferită . Conform celor prezentate însă la problema
inversă, rezultă că algoritmul dinamicii in verse operează cu incertitudini
parametrice , ceea ce este evidențiat în continuare [40; 43; 69; 90; 104; 111].
În acest scop se reia ecuația diferențială (2.1), unde se ia în considerare că
pentru un automobil cu transmisie mecanică în trepte (ca la autotu rismul Logan
Laureate) este valabilă relația :

30r
tnriv
(2.21)

în care n reprezintă turația motorului .
De asemenea, se are în vedere și relația pentru suprafața transversală :

s S k BH
(2.22)

unde ks reprezintă coeficientul de formă (care ia în considerare faptul că
suprafața frontală nu e un dreptunghi) , B ecartamentul autovehiculului și H
înălțimea maximă a acestuia.
Ca urmare, ecuația diferențială ( 2.1) devine:

132
230e ts
aacccg M n BHg gvvvkkfGG

  
(2.23)

În ecuația diferențială ( 2.23) momentul motor Me, turația acestuia n și
viteza de deplasare v se cunosc din experimentări pentru o anumită probă
efectuată. În această expresie se notează coeficienții ecuației diferențiale
1c,
2c
și
3c, definiți prin relațiile:

1 2 3 ;;30ts
aag BHg g kkfGccGc
    
(2.24)

În aceste expresii există incertitudini asupra celor 6 mărimi t, , Ga, f, k
și ks (deci incertitudini parametrice), deoarece acestea nu se cunosc cu precizie,
ci prin intervale de valori; unele din acestea se adoptă din literatura de
specialitate ( t, , f, k și ks), iar Ga conform specificațiilor tehnice ale
autovehiculului .
Ca urmar e și coeficienții ( 2.24) ai ecuației diferențiale ( 2.23) au valori
situate în anumite intervale, de la o valoare minimă (indice m) la una maxim ă
(indice p), astfel că expresia ( 2.24) devine:

1 1 2 32
23 [ ; ] [ ; ] [ ; ]m p me
p m p c c c c cMnvv cv  
(2.25)

unde, conform relațiilor ( 2.24) și ținând cont de intervalele de valori ale
mărimilor (cu notațiile redate anterior):

39
1 1 2 2
33; ; ; ;…30 30
;m p m pt t
aa
s
ps
aamc c c cf f
GG
kkgg g g
BHg BcGgcGH kk 
    
   
 (2.26)

Așadar, expresia ( 2.25) constituie o ecuație diferențială cu coeficienți
situați în intervale de valori reale și ca urmare are t eoretic o infinitate de soluții,
altfel spus, ecuația diferențială are sol uțiile dispuse într -un interval; a ceastă
ecuație diferențială se rezolvă cu algoritmi specifici . De asemenea, așa cum se
constată, studiul dinamicii autovehiculelor în co ndiții de incertitudine apelează
la operații cu intervale de valori reale: adunare, scădere, înmulțire și împărțire.
Deoarece experimentările s -au efectuat cu un autoturism Logan Laureate,
în relațiile prezentate mărimile care intervin se adoptă cu următo arele valori
instantanee și medii (indice M) pe intervalul respectiv :
– coeficientul de rezistență la rulare la deplasarea pe asfalt (așa cum s -au
desfășurat experimentările):
[ ; ] [0,012; 0,022]; 0,017M f f f f  
– coeficientul maselor reduse:
[ ; ] [1,05;1,4]; 1,225M      
– randamentul transmisiei:
[ ; ] [0,82; 0,92]; 0,87t t t tM     
– coeficientul aerodinamic:
[ ; ] [0,2; 0,3]; 0,25M k k k k  
– coeficientul de formă:
[ ; ] [0,85; 0,9]; 0,875s s s sMk k k k  
– greutatea automobilului:
[ ; ] [13734;15058]; 14396a a a aMG G G G  
– suprafaț a frontală:
[ ; ] [1,9003; 2,0121]; 1,9562M S S S S   ; pentru
acest autoturism B=1,466 m și H=1,525 m.
La început se va studia influența tuturor celor 6 factori ( Ga, f, , t, ks, k)
asupra dinamicii automobilului, după care se va analiza influența numai a câte
unui factor. În acest scop se va considera o aceeași probă experimentală L46 din
motiv de comparație (la care se cunosc v, Me, n) și se va rezolva ecuați a
diferențială cu intervale (2.25 ) la care cei 3 coeficienți variază în intervalele
stabilite prin operații cu intervale.
În fig.2.7 sunt prezentate rezultatele obținute pentru cazul în care toți cei
6 factori de influență variază în limitele prezentate mai sus. Așa cum se
observă din grafic, cei 6 factori de influență au următoarele variații în
intervalele menționate: greutatea automobilului
9,6%aG , coeficientul de
rezistență la rulare
83,3%f , coeficientul maselor reduse
33,3% ,
12,2%t
,
5,9%sk ,
50,0%k . În aceste condiții, viteza medie a
probei are o variație pe întregul interval
11%mV , iar viteza maximă
max 8,8% V
.
Graficul redă și intervalele de valori ale celor 3 coeficienți ai ecuației
diferențiale (2.25), calculate cu expresiile (2.26).

40

Fig.2.7

Ca urmare, ecuația diferențială (2.25) este conform fig.2.7 :

2[0,00000407; 0,00000668] [0,08408571; 0,205 54286]
[0,00017685; 0,00041063]eMnvv
v  

(2.27)

deci cu toți coeficienții exprimați prin intervale de valori reale.
Prin rezolvarea acestei ecua ții diferențiale cu intervale se obțin cele două
curbe extreme din fig.2.7, care constituie anvelopa inferioară și respectiv
anvelopa superioară ; soluțiile acestei ecuații diferențiale, teoretic în număr
infinit, se găsesc între cele două anvelope și pe acestea.
Între cele două anvelope se găsește și curba experimentală, la care
coeficienții ecuației diferențiale (2.25) nu se cunosc, dar se găsesc în intervalele
respective. După cum se constată din grafic, curba experimentală este plasată
mai mult spre anvelopa superioară.
De asemenea, în grafic sunt prezentate și valorile unor caracteristici
statistice pentru viteza probei (valoarea medie și valoarea maximă), atât cele
experimentale, cât și cele aferente anvelopelor.
În fig.2.8 se prezintă influența celor 6 factori asupra valorilor medii pe
probe, iar în fig.2.9 asupra valorilor maxime pe probe ale vitezei de deplasare
pentru toate cele 80 probe experimentale ale autoturismului Logan Laureate.
Din fig.2.8 rezultă că pe ansamblul celor 80 de probe, viteza medie
experimentală este
67,6 km/hmeV , viteza medie aferentă anvelopei superioare
este
69,1 km/hmV (fig.2.8a), iar viteza medie afere ntă anvelopei inferioare
este
62 km/hmV (fig.2.8b) . Așadar, anvelopei superioare îi corespunde o
creștere a vitezei medii de 2,3%, iar anvelopei inferioare o scădere a vitezei
medii de 8,2%, ceea ce rezultă o variație totală de 10,5%.

41

Fig.2.8

Similar, din fig.2.9 rezultă că pe ansamblul celor 80 de probe, media
vitezelor maxime experimentale este de 90,5 km/h, media vitezelor maxime
aferente anvelopei superioare este 92,8 km/h (fig.2.9a), iar media vitezelor
maxime aferentă anvelopei inferioare este 83,5 km/h (fig.2.9b) ; așadar,
anvelopei superioare îi corespunde o creștere a mediei vitezelor maxime de
2,6%, iar anvelopei inferioare o scădere de 7,7%, deci o variație de 10,3%.

Fig.2.9

În continuare se prezintă, succesiv, influenț a doar a câte unui singur
factor din cei 6 menționați anterior asupra dinamicii automobilului. Astfel, în
fig.2.10 se prezintă influența greutății automobilului Ga asupra vitezei de
deplasare a aceleiași probe L46. Din grafic se constată că la o variație a greutății
cu 9,6%, viteza medie a probei variază cu 9,4%, iar viteza maximă cu 7,9%.

42 În grafic se prezintă și un exemplu de stabilire a vitezelor și anume la
timpul t=18 s. Se observă că viteza experimentală este
87,6 km/heV , viteza
aferentă anvelopei superioare
91,6 km/hV , iar viteza aferentă anvelopei
inferioare
83,6 km/hV .

Fig.2.10

De asemenea, graficul redă valorile coeficienților ecuației diferențiale cu
intervale (2.6), care în acest caz are for ma rezultată din expresiile (2.25 ) la care
2 2 2mpc c c
:
132
22 13 [; [ ; ] [ ; ] ]m p me
pMnvc c c c c cvv  
(2.28)

fiind deci prezent un interval degenerat, cu o unică valoare obținută cu valorile
medii ale coeficientului de rezisten ță la rulare și coeficientului masei reduse :

2M
Mfcg (2.29)

După cum se constată, la studiul influenței unui singur factor se
procedează ca în literatura de specialitate: ceilal ți factori se consideră constanți
și egali cu valorile lor medii pe intervalul aferent.
În consecință și ceilalți doi coeficienți, c1 și c3, se stabilesc cu relații în
care intervin valori medii în expresiile (2.26) :

1 1 3 3 ; ; ;30 30mptM tM MM
s
am M sM
M aa M M Mp
ac c c cg g k BHg k BHgkkG G G G
      
(2.30)

Ca urmare a celor menționate, rezultă valorile coeficienților redate în
fig.2.10 și ecuația diferențială cu intervale aferentă:

43
2[0,00000494; 0,00000541] [0,13613878; 0,136 13878]
[0,00026008; 0,00028516]eMnvv
v  
 (2.31)

Mai trebuie men ționat încă un aspect important în fig.2.10. Astfel, din
relațiile (2.30) se constată că greutatea automobilului Ga intervine la numitorii
coeficienților . Așadar, cu cât greutatea este mai mare, cu atât coeficienții c1 și c3
au valori mai mici și ca urmare din expresia (2.31) rezultă că viteza e mai mică.
În consecință rezultă că anvelopa superioară din fig.2.10 corespunde greutății
minime
aG , iar anvelopa inferioară greutății maxime
aG , ceea ce era de
așteptat de altfel (cu cât greutatea e mai mare, cu atât viteza e mai mică) .
În fig.2.11 se prezintă influența greutății automobilului asupra valorilor
medii pe probe, iar în fig.2.12 asupra valorilor maxime pe probe ale vitezei de
deplasare pentru cele 80 probe experimentale ale autoturismului Logan
Laureate .

Fig.2.11

Din fig.2.11 rezultă că pe ansamblu, viteza medie experimentală este
67,6 km/hmeV
, viteza medie aferentă anvelopei superioare
70,6 km/hmV
(fig.2.11a), iar viteza medie aferentă anvelopei inferioare
64,3 km/hmV
(fig.2.11b) ; așadar, anvelopei superioare îi corespunde o creștere a vitezei medii
de 4,5%, iar anvelopei inferioare o scădere de 4,8%, deci o variație de 9,3%.
Simila r, din fig.2.12 rezultă că pe ansamblu, media vitezelor maxime
experimentale este de 90,5 km/h, media vitezelor maxime aferente anvelopei
superioare 94,7 km/h (fig.2.12a), iar media vitezelor maxime aferentă anvelopei
inferioare 86,1 km/h (fig.2.12b) . Așadar, anvelopei superioare îi corespunde o
creștere a mediei vitezelor maxime de 4,6%, iar anvelopei inferioare o scădere
de 4,8%, adică o variație totală de 9,4% când greutatea variază cu 9,6%.

44

Fig.2.12

În fig.2.13 se prezintă influența căii de rulare , prin coeficientul de
rezistență la rulare f, asupra vitezei de deplasare a aceleiași probe L46 în scop de
comparație. Din grafic se constată că la o variație a coeficientului de rezistență
la rulare cu 83,3%, viteza medie a probei variază cu
9,4%mV , iar viteza
maximă cu
max 7,9% V .

Fig.2.13

De asemenea, graficul redă valorile coeficienților ecuației diferențiale cu
intervale (2.25), care în acest caz are forma rezultată din expresiile (2.26) unde
1 1 1 3 3 3 ;m p m pc c c c c c   
:
22
13 2 13 [; [ ; ] [ ] ;]mpeMnv c c cc c c vv  
(2.32)

45 fiind deci prezente două intervale degenerate (cu margini egale), care folosesc
valorile medii pe intervalele respective (centrul intervalelor):

131;30tM sM M
M aM M aMk gkc c BHgGG

(2.33)

Ca urmare, din fig.2.13 rezultă ecuația diferențială cu intervale:

2[0,00000516; 0,00000516] [0,08408571; 0,205 54286]
[0,00027204; 0,00027204]eMnvv
v  

(2.34)

Și în acest caz trebuie men ționat încă un aspect din fig.2.13. Astfel, din
relațiile (2.26) se constată că coeficientul de rezistență la rulare f intervine la
numărătorul coeficienților c2m și c2p. Așadar, cu cât f este mai mare, cu atât
coeficienții c2 au valori mai mari și ca urma re din expresia (2.34) rezultă că
viteza e mai mică. În consecință, anvelopa superioară din fig.2.13 corespunde
coeficientului minim
f , iar anvelopa inferioară coeficientului maxim
f ;
aceast ă concluzie era de așteptat, cunoscut fiind faptul că prin creșterea
rezistențelor la rulare scade viteza de deplasare.
În fig.2.14 se prezintă influența căii de rulare asupra valorilor medii pe
probe, iar în fig.2.15 asupra valorilor maxime pe probe ale vitezei de depla sare
pentru cele 80 probe experimentale ale autoturismului Logan Laureate .

Fig.2.14

Din fig.2.14 rezultă că pe ansamblu, viteza medie experimentală este
67,6 km/hmeV
, viteza medie aferentă anvelopei superioare
70,7 km/hmV
(fig.2.14a), iar viteza medie aferentă anvelopei inferioare
64,3 km/hmV

46 (fig.2.14b) ; așadar, anvelopei superioare îi corespunde o creștere a vitezei medii
de 4,6%, iar anvelopei inferioare o scădere de 4,8%, deci o variație de 9,4%.
Din f ig.2.15 rezultă că pe ansamblul celor 80 de probe, media vitezelor
maxime experimentale este de 90,5 km/h, media vitezelor maxime aferente
anvelopei superioare este 94,8 km/h (fig.2.15a), iar media vitezelor maxime
aferentă anvelopei inferioare este 86,3 k m/h (fig.2.15b) ; așadar, anvelopei
superioare îi corespunde o creștere a mediei vitezelor maxime de 4,8%, iar
anvelopei inferioare o scădere de 4,7%, deci o variație totală de 9,5%.

Fig.2.15

În fig.2.16 se prezintă influența coeficientului maselor reduse  asupra
vitezei de deplasare a aceleiași probe L46 pentru a permite comparații cu alte
cazuri analizate .

Fig.2.16

47 Din fig.2.16 se constată că la o variație a coeficientului maselor reduse cu
33,3%
, viteza medie a probei variază cu
9,6%mV , iar viteza maximă
cu
max 8% V .
După cum se constată din relațiile (2.26), coeficientul maselor reduse  se
află în expresiile tuturor celor trei coeficienți c1, c2 și c3 și deci este valabilă
ecuația diferențială cu intervale (2.25), care, conform fig.2.16 devine :

2[0,00000452; 0,00000602] [0,11912143; 0,158 82857]
[0,00023804; 0,00031738]eMnvv
v  

(2.35)

În fig.2.17 se prezintă influența coeficientului maselor reduse asupra
valorilor medii pe probe, iar în fig.2.18 asupra valorilor maxime pe probe ale
vitezei de deplasare pentru cele 80 probe ale autoturismului Logan Laureate .
Din fig.2.17 rezultă că pe ansamblul celor 80 de probe, viteza medie
experimentală este
67,6 km/hmeV , viteza medie aferentă anvelopei superioare
este
70,4 km/hmV (fig.2.17a), iar viteza medie aferentă anvelopei inferioare
este
64 km/hmV (fig.2.17b) ; așadar, anvelopei superioare îi corespunde o
creștere a vitezei medii de 4,2%, iar anvelopei inferioare o scădere de 5,3%,
deci o variație totală de 9,5% la o variație a coeficientului  cu
33,3% .

Fig.2.17

Similar, din fig.2.18 re zultă că pe ansamblul celor 80 de probe, media
vitezelor maxime experimentale este d e 90,5 km/h, media vitezelor maxime
afere nte anvelopei superioare este 94 ,3 km/h (fig.2.18 a), iar media vitezelor
maxime aferentă anvelopei inferioare este 85,6 km/h (fig.2.18 b); așadar,

48 anvelopei superioare îi corespunde o creștere a mediei vitezelor maxime de
4,2%, iar anvelopei inferioare o scădere de 5,4%, deci o variație totală de 9,6 %.

Fig.2.18

În fig.2.19 se prezintă influența randamentului transmisiei t asupra
vitezei de deplasare a aceleiași probe L46. Din grafic se constată că la o variație
a randamentului transmisiei cu
12,2%t , viteza medie a probei variază cu
9,3%mV
, iar viteza maximă cu
max 7,8% V .

Fig.2.19

După cum se constată din relațiile (2.24), randamentul transmisiei t se
află doar în expresia coeficientului c1 și deci ecuația diferențială cu intervale
(2.25) devine conform fig.2.19 :

49
2[0,00000487; 0,00000546] [0,13613878; 0,136 13878]
[0,00027204; 0,00027204]eMnvv
v  
 (2.36)

În plus, din relațiile (2.24) se observă că randamentul transmisiei este la
numărătorul fracției coeficientului c1. Așadar, cu creșterea randamentului
transmisiei se mărește coeficientul c1 și conform ecuației diferențiale (2.25)
viteza se mărește. Rezultă că anvelopa superioară din fig.2.19 corespunde
valorii maxime
t , iar anvelopa inferioară valorii minime
t a randamentului
transmisiei.
În fig.2.20 se prezintă influența randamentului transmisiei asupra
valorilor medii pe probe, iar în fig.2.21 asupra valorilor maxime pe probe ale
vitezei de deplasare pentru cele 80 probe ale autoturismului Logan Laureate .

Fig.2.20

Din fig.2.20 rezultă că pe ansamblul celor 80 de probe, viteza medie
experimenta lă este
67,6 km/hmeV , viteza medie aferentă anvelopei superioare
este
71 km/hmV (fig.2.20a), iar viteza medie aferentă anvelopei inferioare este
64,7 km/hmV
(fig.2.20b) ; așadar, anvelopei superioare îi corespunde o
creștere a vitezei medii de 5,1%, iar anvelopei inferioare o scădere de 4,3%,
deci o variație totală de 9,4% la o variație a randamentului cu
12,2%t .
Similar, din fig.2.21 rezultă că pe ansamblul celor 80 de probe, media
vitezelor maxime experimentale este de 90,5 km/h, media vitezelor maxime
aferente anvelopei superioare este 95,1 km/h (fig.2.21a), iar media vitezelor
maxime aferentă anvelopei inferioare este 86,5 km/h (fig.2.21b) ; așadar,
anvelopei superioare îi corespunde o creștere a mediei vitezelor maxime de

50 5,1%, iar anvelopei inferioare o scădere de 4,4%, deci o variație totală de 9,5%
la o variație a randamentului transmisiei de 12,2%.

Fig.2.21

În fig.2.22 se prezintă influența coeficientului de formă ks din expresiile
(2.24) asupra vitezei de deplasare a probei L46. Din grafic se constată că la o
variație a coeficientului de formă cu
5,9%sk , viteza medie a probei variază
cu
9,4%mV , iar viteza maximă cu
max 7,9% V .

Fig.2.22

După cum se constată din relațiile (2.24), coeficientul de formă ks se află
doar în expresia coeficientului c3 și deci ecuația diferențială cu intervale (2.25)
devine conform fig.2.22 :

51
2[0,00000516; 0,00000516] [0,13613878; 0,136 13878]
[0,00026427; 0,00027982]eMnvv
v  
 (2.37)

În plus, din relațiile (2.24) se observă că coeficientul de formă ks este la
numărătorul fracției coeficientului c3. Așadar, cu creșterea coeficientului de
formă se mărește coeficientul c3 (deci se mărește suprafața transversală S) și
conform ecuației diferențiale (2.25) viteza se micșorează. Rezultă că anvelopa
superioară din fig.2.22 corespunde valorii minime a coeficientului de formă
sk ,
iar anvelopa inferioară va lorii maxime
sk ; aceasta confirm ă faptul că odată cu
mărirea suprafeței frontale a automobilului scade viteza de deplasare.
În fig.2.23 se prezintă influența coeficientului de formă asupra valorilor
medii pe probe, iar în fig.2.24 asupra valorilor maxime pe probe ale vitezei de
deplasare pentru cele 80 probe ale autoturismului Logan Laureate .
Din fig.2.23 rezultă că pe ansamblul celor 80 de probe, viteza medie
experimentală este
67,6 km/hmeV , viteza medie aferentă anvelopei superioare
este
70,5 km/hmV (fig.2.23a), iar viteza medie aferentă anvelopei inferioare
este
64,2 km/hmV (fig.2.23b) ; așadar, anvelopei superioare îi corespunde o
creștere a vitezei medii de 4 ,4%, iar anvelopei inferioare o scădere de 5%, deci
o variație totală de 9,4% la o variație a coeficientului de formă cu
5,9%sk .

Fig.2.23

Similar, din fig.2.24 rezultă că pe ansamblul celor 80 de probe, media
vitezelor maxime experimentale este de 90,5 km/h, media vitezelor maxime
aferente anvelopei superioare este 94,7 km/h (fig.2.24a), iar media vitezelor
maxime aferentă anvelopei inferioare este 86,1 km/h (fig.2.24b) ; așadar,
anvelopei superioare îi corespunde o creștere a m ediei vitezelor maxime de

52 4,6%, iar anvelopei inferioare o scădere de 4,8%, deci o variație totală de 9,4%
la o variație a coeficientului de formă cu
5,9%sk .

Fig.2.24

În fig.2.25 se prezintă influența coeficientului aerodinamic k asupra
vitezei de deplasare a probei L46 .
Din grafic se constată că la o variație a coeficientului aerodinamic cu
50%k
, viteza medie a probei variază cu
9,7%mV , iar viteza maximă cu
max 8% V
.
În plus, graficul evidențiază faptul că ceilalți 5 factori de influență se
adoptă la valorile lor medii (indice M), așa cum se procedează în mod frecvent
în literatura de specialitate.

Fig.2.25

53 După cum se constată din relațiile (2.24), coeficientul aerodinamic k se
află doar în expresia coeficientului c3 și deci ecuația diferențială cu intervale
(2.25) a dinamicii automobilului devine conform fig.2.25 :

2[0,00000516; 0,00000516] [0,13613878; 0,136 13878]
[0,00021763; 0,00032645]eMnvv
v  

(2.38)

În fig.2.26 se prezintă influența coeficientului aerodinamic asupra
valorilor medii pe probe, iar în fig.2.27 asupra valorilor maxime pe probe ale
vitezei de deplasare pentru cele 80 probe ale autoturismului Logan Laureate .

Fig.2.26

Fig.2.27

54 Din fig.2.26 rezultă că pe ansamblul celor 8 0 de probe, viteza medie
experimentală este
67,6 km/hmeV , viteza medie aferentă anvelopei superioare
este
69,2 km/hmV (fig.2.26a), iar viteza medie aferentă anvelopei inferioare
este
62,9 km/hmV (fig.2.26b) ; așadar, anvelopei superioare îi corespunde o
creștere a vitezei medii de 2,5%, iar anvelopei inferioare o scădere de 6,9%,
deci o variație totală de 9,4%.
Similar, din fig.2.27 rezultă că pe ansamblul celor 80 de pr obe, media
vitezelor maxime experimentale este de 90,5 km/h, media vitezelor maxime
aferente anvelopei superioare este 93,3 km/h (fig.2.27a), iar media vitezelor
maxime aferentă anvelopei inferioare este 84,8 km/h (fig.2.27b) ; așadar,
anvelopei superioare îi corespunde o creștere a mediei vitezelor maxime de
3,1%, iar anvelopei inferioare o scădere de 6,3%, deci o variație totală de 9,4%
la o variație a coeficientului aerodinamic cu
50%k .
Adoptând algoritmul dinamicii inverse, deoarece variază doar o singur ă
mărime în ecuația diferențială (2.23) și anume coeficientul aerodinamic k, este
posibil să se stabilească coeficientul c3i aferent pr obei experimentale L46 , deci
și valoarea coeficientului aerodinamic ki. În acest sens, în fig.2.28 este trasată și
curba aferentă valorilor c3i și ki, care reprezintă curba cea mai apropiată de cea
experimentală. În acest mod s-au obținut valorile c3i=0,0002 7902 și ki=0,256 ,
pentru care curba aferentă algoritmului dinamicii inverse are o eroare de 0,1 %
față de cea experimentală. Așadar, aplicând algoritmul dinamicii inverse se pot
estima și valorile factorilor de influență a dinamicii autovehiculelor în condiții
de incertitudine.

Fig.2.28

Odată stabilit coeficientul
3 3 3 ;i m pc c c pentru proba L46, rezultă că
această probă este descrisă de o ecuație diferențială cu coeficienți constanți,
derivată din expresia (2.38) :

55
20,00000516 0,13613878 0,00027902eMnvvv   (2.39)

care descrie matematic proba L46 cu o eroare de 0,1%.
Pe baza celor prezenta te, se poate concluziona că cei șase factori vizați au
influențe diferite asupra vitezei de deplasare. După cum s -a constatat din
graficele aferente tuturor celor 80 probe experimentale, fiecare factor variază pe
intervalul de valori respectiv (de exemplu coeficientul de rezistență la rulare f cu
83,3%), cu diferite influențe asupra valorilor medii și valorilor maxime pe probe
ale vitezei de deplasare (pentru f cu 9,4%, respectiv cu 7,9%).
Pentru a stabili care din cei șase factori vizați au influența mai mare sau
mai mică asupra vitezei de deplasare ( și implicit asupra dinamic ii
automobilului), în fig.2.29 se prezintă raportul dintre variația vitezei medii și
variația factorului vizat, respectiv raportul dintre variația vitezei maxime și
variația factorul ui analizat cu denumirea redat ă în grafic .

Fig.2.29

Graficul din fig.2.29 arată că cea mai mare influență asupra variației
vitezei de deplasare (prin valoarea medie și cea maximă ) o are coeficientul de
formă ks (deci în mod implicit suprafața frontal ă a automobilului), urmată de
cele ale greutății automobilului Ga, randamentului transmisiei t, coeficientului
maselor reduse , coeficientului aerodinamic k și coeficientului de rezistență la
rulare f (ultimul cu influența cea mai mică și bineînțeles la deplasarea pe asfalt
uscat așa cum s-au desfășurat experimentările).
Din grafic se constată că rapoartele menționate sunt subunitare, mai puțin
în cazul coeficientului de formă. Așadar, numai la acesta din urmă variațiile
vitezei (efectul) sunt mai mari decât variațiile factorului de influență (cauza) ; se
confirmă astfel influența cea mai mare a suprafaței frontale a automobilului
asupra dinamicii acestuia .

56 După cum se observă din cele prezentate, algo ritmul dinamicii inverse
necesită rezolvarea unor ecuații diferențiale cu intervale. Ecuațiile diferențiale
cu intervale se rezolvă de regulă prin apelarea la diferențierea generalizată
Hukuhara .
Cunoscută în literatură și sub denumirea de derivata gH („generalized
Hukuhara derivative”), aceasta are la bază diferența generalizată Hukuhara g,
definită astfel pentru două intervale notate
[ ; ]x x x și
[ ; ]y y y :

min ,
[ ; ] [ ; ] [ ; ], cu
max ,z x y x y
x x y y z z
z x y x y   
  g
–
(2.40 )

Ca urmare se obține și derivata gH a funcției f(x) având valori într -un
interval
( ) ( ); ( )f x f x f x :

 ( ) min ( ), ( ) , max ( ), ( )f x f x f x f x f x    
(2.41 )

Se consideră acum o ecuație diferențială cu intervale, de formă generală
și cu condiție inițială:
00 ( , ), ( ) y f x y y x y
(2.42 )
unde:
0 0 0 ( , ) ( , ); ( , ) , ; , ;f x y f x y f x y y y y y y y            
(2.43 )

Se notează:
( , , ) ( , )
( , , ) ( , )x y y f x y
x y y f x y
  
(2.44 )

și se obțin astfel două seturi de ecuații diferențiale, care oferă 4 anvelope ale
soluțiilor ecuației diferențiale date (2.42 ):

– dacă
( ) ( )y x y x :

00( ) ( , ( ), ( ))
; ( ) (0); ( ) (0)( ) ( , ( ), ( ))y x x y x y x
y x y y x yy x x y x y x
 
(2.45 )

– dacă
( ) ( )y x y x :

00( ) ( , ( ), ( ))
; ( ) (0); ( ) (0)( ) ( , ( ), ( ))y x x y x y x
y x y y x yy x x y x y x
 
(2.46 )

Ca urmare, soluțiile ecuației diferențiale (2.42 ) se găsesc între cele 2
anvelope exterioare din cele 4 și pe aceste anvelope , exemple în acest sens
fiind oferit e mai sus la studiul dinamicii inverse a automobilului .