Dinamica r ad acinii p atrate a [615370]

Dinamica r ad acinii p atrate a
modelului de renunt are la
fumat
1. Introducere
^In lucrarea de fat  a vom prezenta un nou model de renunt are la fumat pentru
care termenul de interact iune este r ad acina p atrat a dintre potent ial  si mo-
delul fum atorilor ocazionali prezentat ^ n Zaman (2011) [4].
Fumatul este recunoscut ca ind cea mai frecvent a cauz a at^ at a mort ii pre-
venite c^ at  si a mort ii premature, nu doar ^ n SUA, dar  si la nivel mondial.
Bolile legate de fumat sunt cauza a peste 440.000 de decese anual ^ n SUA,
iar ^ n Regatul Unit, num arul ind peste 105.000 de decese pe an. Sperant a
de viat  a a unui fum ator este redus a cu 10-12 ani, iar mai mult de jum atate
dintre tot i fum atorii mor din cauza unor boli legate de fumat. Fumatul este
considerat ca ind uciga sul lent. Fapte comparative legate de fumat arat a c a
riscul unui infarct este cu 70% mai mare ^ n r^ andul fum atorilor dec^ at ^ n cazul
nefum atorilor. Incident a cancerului pulmonar este de zece ori mai mare la
fum atori dec^ at la nefum atori, iar 1/10 persoane care fumeaz a, vor muri din
cauza acestei boli.
Aproximativ 80% din fum atori vor  diagnosticat i la un moment dat cu
afect iuni cardiace, emzem sau bron sit a cronic a. Dintre bolile care pot
atribuite obiceiului de tutun, 29% sunt cauzate de cancerul pulmonar  si 24%
sunt cauzate de boli de inim a. De asemenea, alte tipuri de cancer au fost
legate de fumat, incluz^ and g^ atul, gura, stomacul, colul uterin, cancerul de
s^ an  si cel de pancreas. Toate aceste boli d aun atoare sunt cauzate de fumat,
deoarece o t igar a cont ine peste 4000 de compu si chimici  si toxine.
Modelarea matematic a joac a un rol important ^ n r asp^ andirea  si contro-
1

lul multor boli, inclusiv fumatul. Literatura modelui de transmitere a bolii
(SIR) este destul de numeroas a  si a fost studiat a de mult i autori [1]. ^In
modelul SIR,Sreprezint a num arul de persoane suspecte de infect ie, Ire-
prezint a num arul celor care sunt infectate, iar Rindic a num arul de persoane
care s-au recuperat. ^In mod similar, mult i autori au studiat modelele SEIR ,
SIRC  siSISpentru numeroase boli. Studiile de modelare au ar atat c a rata
de incident  a joac a un rol important ^ n modelele de epidemiologie. ^In multe
modele, rata de incident  a biliniar a este studiat a, iar unii autori au introdus
rata incident ei saturate ^ n diferite modele, unde rata saturat a este mai rezo-
nabil a dec^ at rata de incident  a biliniar a deoarece include modicarea compor-
tamentului  si efectul de aglomerare al individului infectat. Pe l^ ang a aceasta,
Mickens [3] a introdus dinamica r ad acinii p atrate ^ n model. ^In lucrarea sa,
a construit calea traiectoriilor ^ n spat iul de faz a 2D S-I. Motivul principal
pentru modelul r ad acinii p atrate este posibilitatea de a conduce populat ia
spre mic sorare ^ ntr-un timp nit. Modele matematice ale fumatului, at^ at cu
rate de incident  a liniare c^ at  si neliniare, au fost discutate de mult i autori.
Castillo- Garsow  si colaboratorii [2] au propus un model matematic simplu
pentru renunt area la fumat. Ei consider a un sistem cu o populat ie total a
constant a, care este ^ mp art it a ^ n trei clase: fum atori potent iali ( P), fum atori
(S)  si fum atori care au renunt at ( Q). Sharomi  si Gumel au dezvoltat un
model matematic prin introducerea unor clase u soare  si ^ nl ant uite. Ei au
prezentat impactul dezvolt arii  si al s an at at ii publice cauzat de boli legate de
fumat. Numero si autori au muncit foarte mult pentru a ^ nt elege dinamica
fumatului, ^ n acest scop se pot consulta [2, 4]. Interact iunea dinamic a a mo-
delului de renunt are la fumat este prezentat a ^ n [4]. Cu toate acestea, nimeni
nu a folosit interact iunea r ad acinii p atrate ^ n modelul renunt  arii la fumat.
2. Sistem diferent ial  si notat ii
Modelul dinamicii r ad acinii p atrate de renunt are la fumat este ilustrat de
urm atorul sistem diferent ial
(1)8
>>><
>>>:dP
dt=p
PL(d+)P
dL
dt=p
PL(
+d+)L
dS
dt=
L(+d+)S
dQ
dt=S(+d)Q;
2

unde
reprezint a rata natalit at ii, care este constant a pentru fum atorii potent iali
individuali ;
reprezint a rata mortalit at ii naturale ;

reprezint a rata de recuperare de la infect ie ;
reprezint a coecientul de transmitere ;
reprezint a rata de ^ ncetare de a fuma ;
dreprezint a rata mortalit at ii pentru fum atorii potent iali, fum atorii oca-
zionali, fum atorii  si fum atorii care au renunt at relativ la bolile fumatului ;
P=P(t) = num arul de fum atori potent iali ;
L=L(t) = num arul de fum atori ocazionali ;
S=S(t) = num arul de fum atori ;
Q=Q(t) = num arul de fum atori care au renunt at la momentul (timpul)
t.
Remarc a 1. Sistemul diferent ial (1) satisface legea de conservare
dN
dt=(+d)N;
unde
N=N(t) =m arimea total a a populat iei la timpul t;cu
N(t) =P(t) +L(t) +S(t) +Q(t):
Aceast a ecuat ie are solut ia exact a
N(t) =
+d+
N0
+d
e(+d)t;
cuN(0) =P(0) +L(0) +S(0) +Q(0):
Remarc a 2. f(P;L) =p
PLreprezint a interact iunea dintre fum atorii potent iali
 si cei ocazionali.
3. Problema Cauchy ata sat a
Problema Cauchy ata sat a sistemului diferent ial (1) este :
(2)(
dY
dt= (t;Y)
Y(0) =Y0:
3

Acest sistem (2) este descris de :
Y: [0;T]!R4; Y(t) =0
BB@P(t)
L(t)
S(t)
Q(t)1
CCA:
Vectorul coloan a Yindic a necunoscuta sistemului (2), unde t2[0;T]:
Mai mult, data init ial a a problemei Cauchy ata sat a sistemului (2) este
reprezentat a de vectorul coloan a Y0;dat de
Y0=0
BB@P0
L0
S0
Q01
CCA:
Funct ia care depinde de necunoscutele problemei (1) este vectorul coloan a
;caracterizat de
 (t;Y) =0
BB@p
PL(d+)P
p
PL(
+d+)L

L(+d+)S
S(+d)Q1
CCA:
4

4. Codul MATLAB
^In programul MATLAB am studiat modelul (1)  si am realizat urm atoarele
grace pentru valori xe ale parametriilor  si diverse valori pentru datele
init iale.
1c l e a r a l l ;
2[ t , y]= rk4 ( ' f u n c t i e ' , [ 0 3 0 ] , [ 1 5 5 55 80 7 0 ] , . 2 ) ;
3plot ( t , y ( : , 1 ) , ' g ' )
4hold on
5plot ( t , y ( : , 2 ) , ' k ' )
6plot ( t , y ( : , 3 ) , 'm' )
7plot ( t , y ( : , 4 ) , ' r ' )
8grid on ;
9t i t l e ( ' Dinamica "SQRT" de renuntare l a fumat ' ) ;
10x l a b e l ( ' Timpul ( z i l e ) ' ) ;
11y l a b e l ( ' C a t e g o r i i de fumatori ' ) ;
12hleg = legend (" P o t e n t i a l i =155" ," Ocazionali =55","
Fumatori =80","Renunta=155")
1function w =f u n c t i e ( t , y )
2 niu =0.04;
3 gamma=0.03;
4 beta =0.05;
5 d e l t a =0.03;
6 d=0.03;
7 lambda =1.00;
8 w(1)=lambdabetas q r t ( y (1)y (2) )(d+niu )y (1) ;
9 w(2)=betas q r t ( y (1)y (2) )(gamma+d+niu )y (2) ;
10 w(3)=gammay (2)(gamma+d+niu )y (3) ;
11 w(4)=d e l t ay (3)(niu+d)y (4) ;
5. Grace
Simularea numeric a arat a c a populat ia fum atorilor scade drastic ^ n primele
zile, iar apoi are loc o sc adere lent a.
5

Bibliograe
[1] B. Adams, M. Boots: The in
uence of immune cross-reaction on phase
structure in resonant solutions of a multi-strain seasonal SIR model , J.
Theor. Biol.248 (2007) 202211.
[2] C. Castillo-Garsow, G. Jordan-Salivia, A. Rodriguez Herrera, Mathe-
matical Models for Dynamics of Tobacco Use , Recovery and Relapse,
Technical Report Series BU-1505-M, Cornell University, 2000.
[3] R.E. Mickens, Numerical integration of population models satisfying
conservation laws: NSFD methods , J. Biol. Dyn. 1 (2007) 427436.
[4] G. Zaman, Qualitative behavior of giving up smoking models , Bull. Ma-
lays. Sci. Soc. 34 (2011) 403415.
[5] G. Zaman, Y.H. Kang, I.H. Jung, Stability analysis and optimal vacci-
nation of an SIR epidemic model , BioSystems 93 (2008) 240249.
[6] A. Zeb, G. Zaman, S. Momani: Square-root dynamics of a giving up
smoking model . Applied Mathematical Modelling, Elsevier (2013).
6