Diferentierea Predarii Invatarii Evaluarii la Matematica In Contextul Scolii Incluzive

ARGUMENT

“Copilul nu se naște nici bun, nici rău

din  punct de vedere intelectual, ca și din punct de  vedere moral,

ci stăpân al destinului său”

(J. Piaget)

Actualele politici educaționale, atât în țară cât și în învățământul european și mondial, urmăresc asigurarea respectării drepturilor omului și interesul superior al copilului. În consecință, ideea de a facilita o dezvoltare armonioasă, de a asigura dreptul la asistență educațională a fiecărui copil, indiferent de nivelul de dezvoltare a capacităților sale și de mediul său de apartenență este un deziderat de urmat, o cerință a societății din care suntem parte, o necesitate.

Tot mai des înregistrăm cazuri de copii având tulburări de atenție și hiperkinezie (A.D.H.D.), tulburări de comportament ori de relaționare, pe fond emoțional, copii cu autism, sindrom Longdon Down, tulburări de învățare, dislexie, disgrafie, discalculide s.a., ceea ce aduce copilul în situația de a avea dificultăți în a reuși să atingă nivelul minimal al cerințelor educaționale școlare. Problema nu este a acestora și părinților lor, ci a școlii care trebuie să ofere toate condițiile necesare pentru o dezvoltare personală maximă, în funcție de particularitățile individuale ale elevilor săi.

Învățătorul este pus în fața situației de a forma, de a susține și stimula intens dezvoltarea armonioasă a tuturor elevilor săi, de a fi pregătit să proiecteze și să implementeze o intervenție instructiv-educativă eficientă pentru toți elevii săi și pentru fiecare în parte.

Diferențierea în învățare vizează raportarea la toți și la fiecare dintre elevii clasei, având ca scop eliminarea unor lacune în cunoștintele și deprinderile elevilor și atingerea performanțelor minimale acceptate, dar și îmbogățirea și aprofundarea cunoștintelor elevilor capabili de performanțe superioare raportat la potențialul propriu.

Tratarea diferențiată a elevilor în cadrul lecțiilor de la școală, mai cu seamă la disciplina Matematică, ajută cadrul didactic să găsească metode și procedee optime de intervenție, prevenire și stimulare a elevilor și ar contribui la o mai bună adaptare a conținutului învățământului și a programei la necesitățile celor ce sunt implicați în procesul instructiv-educativ.

Problematica unei tratări diferențiate trebuie să aibă în vedere o categorie largă de acțiuni și de factori școlari și extrașcolari, care împreună, să conducă la o activitate instructiv-educativă eficientă.

Pentru un învățământ diferențiat trebuie să cunoști foarte bine copilul, astfel încât „să poți ridica” fiecare copil din clasă la adevărata lui valoare, „să scoți” tot ce e mai bun din el. Pasiunea pentru domeniul cunoașterii copilului, m-a determinat să studiez mai mult acest aspect.

Observațiile și datele din acest studiu sunt rezultatul documentării teoretice în această problemă, a informațiilor asupra modului de organizare a învățământului diferențiat în activitatea desfășurată până în prezent la clase de nivel primar, atât în învățământul de masă, cât și în învățământul special, mai apoi a observațiilor asupra muncii diferențiate în cadrul activității desfășurate în calitate de profesor de sprijin educațional, realizând intervenții personalizate pentru elevii cu dificultăți de învățare și adaptare înscriși în școala incluzivă .

Am ales să tratez această temă fiind motivată de faptul că, în activitatea de zi cu zi, sunt cadru didactic de sprijin și mă străduiesc să facilitez integrarea în școala obișnuită a copiilor cu dificultăți de învățare și adaptare sau a copiilor cu dizabilități. Scopul activității mele este acela de a asigura și susține un progres personal al elevului, intervenind cognitiv cu precădere la ariile curriculare Matematică și științe ale naturii și Limbă și comunicare, dar totodată încurajând, uneori mediind, comunicarea și colaborarea între școală și familie, între cadrele didactice și elevi cu CES, între elevi și elevi cu CES, consiliind familia și, uneori, cadrele didactice, asigurând condițiile optime desfășurării activității de intervenție educațională de tip remedial, realizând materiale și mijoace didactice care să eficientizeze procesul didactic.

Abordez această temă a diferențierii procesului de predare-învățare-evaluare în perspectiva școlii incluzive, iar cele mai multe referiri vor fi aduse diferențierii realizate în vederea remedierii dificultăților întâmpinate în mediul școlar de către copiii care au cerințe educaționale speciale, referindu-mă la elevii cu nivel de pseudodeficiență sau deficiență de limită și la cei cu deficientă mintală ușoară, lejeră, dat fiind incidența crescută a acestor cazuri prezente în școala incluzivă.

În activitatea desfășurată de-a lungul timpului am întâlnit situații în care acești elevi au fost în dificultate, dar și situații în care achizițiile și abilitățile lor au înregistrat progres și chiar au depășit așteptările mele, ale cadreleor didactice, părinților. Starea de progres a fost atinsă de fiecare dată în urma unui demers temeinic coceput, bine fundamentat atât din punct de vedere teoretic, cât și practic-aplicativ.

În urma observațiilor și încercărilor pe care le-am făcut în acest sens, am ajuns la concluzia că munca cu elevii, în special cu cei din clasele primare, cere o continuă autoperfecționare, o profundă cunoaștere a fiecărui elev în parte, practicarea unei munci diferențiate în funcție de posibilitățile fiecărui copil, toate au scopul de a atrage copilul spre activitățile școlare și de a-l convinge să învețe lacapacitatea sa maximă. Consider că activitatea cu școlarii trebuie organizată în așa fel încât aceasta să fie adecvată tuturor posibilităților acestora de a învăța, capacităților tuturor copiilor și a fiecăruia în parte.

Pentru a realiza succesul școlar, munca instructiv-educativă diferențiată este necesară mai ales la discipline de studiu cum ar fi Matematica, în cadrul cărora sunt implicate la maximum operațiile proceselor psihice superioare.

Cadrul didactic nu este doar o persoană investită cu transmiterea informațiilor, cu formarea priceperilor și abilităților pentru anumite sarcini, el nu este persoana care se gândește numai la lecțiile, activitățile sale, ci trebuie să aibă în vedere, în special copilul, formarea personalității acestuia, progresul lui, precum și formarea încrederii în sine.

Așadar, o mare parte a activității dascălului se referă la conceperea și realizarea unor activități didactice, intervenții, astfel încât să poată determina toți copiii să învețe temeinic, după posibilitățile fiecăruia, în scopul realizării succesului școlar, perceput ca un progres personal.

Cap. I :

DIFERENȚIEREA PREDĂRII-ÎNVĂȚĂRII-EVALUĂRII

LA MATEMATICĂ

ÎN CONTEXTUL ȘCOLII INCLUZIVE

I.1 – DELIMITĂRI CONCEPTUALE

Diferențierea predării-învățării-evaluării la orice disciplină de studiu este un deziderat al orientărilor actuale în domeniul educației și poate fi realizată de către fiecare învățător în funcție de mulți factori, în moduri diverse, accesibile și particularizate caracteristicilor elevilor săi. Ceea ce este însă comun fiecărei abordări a diferențierii procesului didactic, este necesitatea ca învățătorul, cadrul didactic să cunoască disciplina de studiu, teoria sistemului de învățământ, elemente de metodică a predării disciplinelor școlare, elemente de psihopedagogie, psihologia dezvoltării și a învățării, iar toate acestea să le adapteze permanent, continuu la noile orientări descrise de politicile educaționale din România, cât și cele la care aderă țara noastră. Am considerat o necesitate să definesc și să descriu pe scurt sensul în care unii termeni sunt utilizați în această lucrare, pentru a clarifica aspecte importante în tratarea temei alese.

ȘCOALA INCLUZIVĂ

Educația incluzivă este o mișcare mondială bazată pe drepturile umane de bază. Conform principiilor drepturilor omului, fiecare copil, indiferent de apartenența sa sau de nivelul de dezvoltare a capacităților sale, are dreptul la o educație de buna calitate, care să conducă în cea mai mare măsură la dezvoltarea capacităților sale cognitive și de integrare socială. Școala de masă este cea care asigură mediul, precum si nivelul de calitate cel mai propice învățământului și însușirii aptitudinilor sociale și cognitive. Pentru a ușura copiilor cu dificultăți de asimilare integrarea in școlile de masă, este necesar ca în aceste școli să se asigure o atmosferă mai primitoare și de acceptare.

Școala de tip incluziv este școala de bază accesibilă, de calitate și care își îndeplinește menirea de a se adresa tuturor copiilor, de a-i transforma în elevi și a-i deprinde și abilita cu tainele lumii. Să le ofere bazele culturii si civilizației umane, pe înțelesul lor și în așa fel încât toți să beneficieze de acestea și să le dezvolte mai departe dupa puterile lor. De acea strategiile învațării trebuie astfel adaptate încât să corespundă diversității și nenumătaratelor stiluri de învățare și dezvoltare, firești, ale copiilor. Școala incluzivă se adresează copiilor prin adaptarea sa continuuă, flexibilă și dinamică la cerințele dezvoltării și învățării acestora, scopul educației fiind acela de a asigura socializarea si dezvoltarea individuală în aceeași măsură, iar școala fiind cel mai important instrument al educației.

În perspectiva școlii incluzive înțeleasă ca școala care se deschide flexibil tuturor copiilor, dificultățile de învațare sunt considerate probleme normale în activitatea didactică. Rezolvarea lor este un prilej și o provocare pentru profesori, elevi, managerii școlii si ceilalti factori implicati. Fiecare act didactic este o presiune asupra copilului și trebuie completat cu un sprijin corespunzator. Pentru a rezolva diferitele probleme de învațare pe care le întalnește învățarea didactică, trebuie antrenată perfecționarea școlii, a profesorului și parteneriatul educațional cu familia si comunitatea, mai ales atunci când este vorba de copii cu cerințe educative speciale. În acest sens, a luat ființă colaborarea permanentă între școala de masă și școala specială sau centrul școlar pentru educație incluzivă, acestea din urmă punând la dispoziție servicii educaționale de sprijin atât de necesare pentru o eficientă integrare a copiilor cu C.E.S. în școala de masă.

PREDARE – ÎNVĂȚARE – EVALUARE

Predarea – învățarea și evaluarea sunt activitățile prin care se realizeaza procesul de învățământ aflându-se într-o relație de interdependență. Didactica tradițională separă actul predării și invățării de actul evaluării. Didactica modernă integrează evaluarea în procesul de învățământ/ evaluarea formativa. Didactica tradițională punea accentul pe predare. Didactica modernă trece pe primul loc învățarea elevului, în raport cu predarea cadrului didactic.

Predarea este o acțiune de provocare a schimbării a ceea ce exista în ceea ce trebuia să existe – finalitate a actului de învățare, prin angajarea elevilor într-o nouă experiența de invățare. Principalele accepțiuni ale predării, prezentate de profesorul Ioan Cerghit, sunt urmatoarele: predarea ca transmitere, predarea – ca ofertă de experiențe, predarea ca formă de dirijare a învațării, predarea – ca gestiune a învățării, predarea – ca ansamblu de comportamente didactice specifice.

Predarea eficientă este condiționată de: definirea și formularea corectă a obiectivelor, competențelor și nivelurilor de performanță; competențe ce țin de comunicare, expunere, putere de argumentare, de explicare, entuziasmare și pasiune transmisă empatic; capacitatea de îndrumare, consiliere; structurarea, selectarea, impunerea și personalizarea informației; funcția de dezvoltare, de emulație și stimulare a colectivului; funcția de personalizare și de valorificare a experiențelor; de evaluarea formativă, ca permanentă pârghie de autoreglare.

Conform pedagogului I. Nicola (2003) învățarea este un proces care determină o schimbare de durată a comportamentului celui care învață, a modului de a gândi, simți și acționa a acestuia. La sfârșitul unei activități de învățare, subiectul cunoscător va dispune de cunoștințe, priceperi, deprinderi, capacități, competențe, interese, atitudini, convingeri etc., pe care nu le avea înainte de învățare sau le avea la un nivel de performanță mai scăzut.

Învățarea umană este ca un fenomen complex ce vizează dezvoltarea personalității în ansamblu, iar învățarea școlară este o formă particulară a învățării umane, ce se desfășoară într-un cadru instituțional (școala) sub îndrumarea specialiștilor – cadrelor didactice.

Evaluarea este activitatea prin care se emit judecăți de valoare despre procesul și produsul învățării elevului pe baza unor criterii calitative prestabilite, în vederea luării unor decizii în funcție de semnificația acordată demersului evaluativ: de reglare/ ameliorare, de

selecție, de certificare etc.

Constantin Cucoș consideră că ”Evaluarea școlară este procesul prin care se delimitează , se obțin și se furnizează informații utile, permițănd luarea unor decizii ulterioare” (Constantin Cucoș, Teoria și metodologia evaluării, Editura Polirom, Iași, 2008).

Procesul de învățământ este eficient numai atunci când cele trei activități fundamentale ale sale, predarea, învățarea și evaluarea, formează o unitate organică, atunci când activitatea comună a celor doi agenți asigură dezvoltarea treptată a elevilor, formând competențele propuse. În consecință, în accepția actuală, procesul de învățământ se definește ca integrare organică a celor trei aspecte fundamentale predare-învățare-evaluare.

CERINȚE EDUCATIVE SPECIALE

Sintagma „cerințe educative speciale” desemnează acele cerințe sau nevoi specifice față de educație care sunt suplimentare, dar și complementare obiectivelor generale ale educației pentru un copil. Fără abordarea adecvată a acestor cerințe speciale nu se poate vorbi în mod real de egalizarea șanselor, de acces, participare și integrare socială și școlară. Această sintagmă cuprinde un registru larg, de la deficiențe profunde la tulburările ușoare de învățare.

Noțiunea de CES este uneori folosită ca formulă alternativă a sintagmei „cerințe/nevoi speciale”, aceasta incluzând pe lângă copiii cu deficiențe sau tulburări de învățare și copii din medii sociale și familii defavorizate, copii delincvenți sau uneori copii din anumite grupuri etnice. Termenii care au desemnat această categorie de copii au evoluat de-a lungul timpului de la copii handicapați, la copii cu deficiențe, apoi copii cu nevoi speciale, pentru ca să se ajungă la sintagma „copii cu cerințe educative speciale, iar mai nou se impune în literatura de specialitate sintagma „copii cu dizabilități”, lărgindu-se tot mai mult sfera semantică.

DEFICIENȚĂ – DIZABILITATE – HANDICAP

De-a lungul timpului, mai cu seamă în ultimii ani, Organizația Mondială a Sănătății (OMS) a realizat două definiții ale acestor termeni de bază: deficiență, incapacitate/dizabilitate, handicap.

Definiția dată de OMS în anul 1980 grupului terminologic Deficiență – dizabilitate (incapacitate) – handicap, care a guvernat timp de două decenii problematica persoanelor cu handicap, a fost controversată și tot mai amplu criticată, în principal pentru faptul că era influențată predominant de modelul medical, care nu reflectă în suficientă măsură drepturile omului.

Deficiența (engl. ‘impairment’, franc. ‘deficience’) = absența, pierderea sau alterarea unei structuri ori funcții (leziune anatomică, tulburare fiziologiă sau psihologică). Deficiența poate fi rezultatul unei maladii, a unui accident, etc. Deficiențele pot fi vizibile sau invizibile, permanente ori temporare, progresive ori regresive.

Dizabilitatea (incapacitatea) (engl. ‘disability’, franc. ‘incapacite’) însumează un număr de limitări funcționale, ce pot fi întâlnite la orice populație din lume. Dizabilitatea (incapacitatea) derivă dintr-o deficiență, este determinată, dar nu în mod obligatoriu și univoc, de o deficiență. Dizabilitățile sunt determinate, cauzate de deficiențe (fizice, senzoriale sau intelectuale), de condiții de sănătate (boli mintale/ neuropsihice) dar depind și de mediu.

Handicapul = dezavantajul social rezultat din pierderea ori limitarea șanselor unei persoane – urmare a existenței unei deficiențe sau dizabilități (incapacități) – de a lua parte la viața comunității, la un nivel echivalent cu ceilalți membri ai acesteia. Handicapul descrie ‘întâlnirea’ (interacțiunea) dintre persoana (cu dizabilitate) și mediu, are rolul de a concentra atenția asupra disfuncționalităților din mediul înconjurător și a unor acțiuni organizate de societate, ca de pildă informațiile, comunicarea și educația, care împiedică persoanele cu dizabilități să participe în condiții de egalitate.

În anul 2001 OMS a realizat o clasificare a Funcționării, Dizabilității și Sănătății utilizând următorii 3 termeni de bază:

Starea de sănătate – termen generic pentru boli (acute sau cronice), dezordini/tulburări, răniri sau traume;

Funcționarea – un termen generic care se referă la funcțiile corpului, structurile corpului, activități și participare; relevă aspectul pozitiv al interacțunii dintre individ și factorii contextuali;

Dizabilitatea (handicapul, în limba franceză) – termen generic pentru deficiențe (afectări), limitări de activitate și restricții de participare; relevă aspectul negativ al interacțiunii individ-context.

Actualele clasificări aduc unele implicații principale cum ar fi :

Conceptul de dizabilitate apare ca rezultantă a interacțiunii mai multor factori – atât cei care țin în principal de individ (condiții de sănătate, legate de structuri și funcții ale organismului), a celor care țin de activitate și participare, cât și cei contextuali (mediul și factorii personali);

Datorită complexității relației de interacțiune – din care poate rezulta dizabilitatea – impactul diverselor medii asupra aceluiași individ, cu o stare de sănătate dată, poate fi diferit;

Prezența unei condiții de sănătate (boli, afecțiuni etc.) sau a unei deficiențe (afectări) este doar o premiză, dar aceasta nu conduce obligatoriu la dizabilitate (handicap). Diagnosticul medical, în sine, nu este ca atare suficient pentru a fundamenta determinarea stării de dizabilitate (handicap), el trebuie corelat cu evaluarea psihosocială (modul de funcționare în activitatea și participarea socială, felul în care factorii de mediu, inclusiv cei familiali se constituie ca facilitatori sau bariere, precum și influența factorilor personali).

În aceste accepțiuni, nu se mai utilizează separat termenul de handicap, acesta fiind încorporat, ca și termenul de deficiență, în cel de dizabilitate, generând schimbări în literatura de specialitate și în documentele internaționale din ultimii ani, redactate în limba engleză (E. Vrășmaș, S. Nicolae, V. Oprea, T. Vrășmaș, 2005).

ELEVI CU DIFICULTĂȚI DE ÎNVĂȚARE ȘI ADAPTARE

Studiul problematicii copiilor cu dificultăți de învățare este relativ recent. Bineînțeles, dificultăți de învățare au existat dintotdeauna și nu numai la copii, ci și persoanele de vârste adulte. Având în vedere însă că învățarea școlară este activitatea dominantă (alături de joc, în fazele timpurii ale copilăriei), frecvența apariției dificultăților de învățare este mai ridicată la copii. Pe de altă parte însă, dificultățile de învățare din perioada copilăriei, cronicizate, asupra cărora nu se intervine, rămân și la vârstele adulte, continuând să afecteze buna relaționare și integrare a individului în context socioprofesional.

Bateman (1965, p. 220) consideră că indivizii ce prezintă dificultăți de învățare sunt aceia care „prezintă o discrepanță semnificativă între potențialul lor intelectual estimat și nivelul actual de performanță, discrepanță asociabilă cu tulburări bazice în procesele de învățare care pot sau nu fi conectate cu disfuncții demonstrabile ale sistemului nervos central, dar care nu sunt consecința întârzierii mintale generalizate, carențelor culturale sau educative, tulburărilor emoționale severe sau unor deficiențe senzoriale”.

Traian Vrășmaș (2001) face distincția între sintagma „dificultăți de învățare” în sens restrâns și „dificultăți de învățare” în sens larg. În sens inițial și restrâns, sintagma se referă la tulburări cu dominanță psihomotorie, psihoafectivă – fără deviații semnificative ale comportamentului – la ritmul lent de învățare și / sau intelectul liminar, la tulburările instrumentale. Autorul citat însă semnalează că aceste tulburări apar pe fondul unei relative integrități psihofizice a copilului, spre deosebire de copiii cu CES. A doua accepțiune, în sens larg, sintagma „dificultăți de învățare” este folosită într-o manieră sinonimică cu cea de „cerințe educative speciale” din dorința de a suplini alți termeni care definesc această realitate, termeni traumatizanți, stigmatizanți (handicap, incapacitate, deficiență etc.).

Expresia “dificultăți de învățare” face referire la un anumit număr de disfuncții ce pot afecta achiziția, organizarea, reținerea/păstrarea, înțelegerea și tratarea/proceasarea informațiilor/mesajelor verbale sau nonverbale. Aceste disfuncții afectează învățarea unor persoane, elevi, care, de altfel, pot face dovada unor abilități intelectuale esențiale privind gândirea sau raționamentul. Prin aceasta, dificultățile de învățare sunt diferite de deficiențele intelectuale.

De cele mai multe ori, problematica dificultăților de învățare se discută în raport cu școala și cu adaptarea copilului la sarcinile învățării școlare, deși o astfel de abordare limitează problematica și împiedică înțelegerea învățării ca activitate general umană, limitând-o la activitatea din planul școlar. Astfel, în spațiul școlii, dificultățile de învățare semnifică existența unor piedici, probleme în abordarea învățării școlare. Pătrunzând mai adânc în această sferă, observăm că dificultățile școlare au cauze foarte diferite (interne – biologice, psihologice; externe condițiile oferite de familie, școală, societate) și pot îmbrăca forme extrem de variate.

DIFERENȚIEREA ÎNVĂȚĂRII

Diferențierea și individualizarea instruirii constituie o problemă pedagogică veche, dar mereu actuală, deoarece oamenii se deosebesc unii de alții nu doar în ceea ce privește felul lor de agândi și a fi, ci și prin capacitatea și ritmul de învățare, prin atitudinea față de aceasta (I. Jinga, 2005, p. 146). Diversitatea umană a pus în fața pedagogiei și a psihologiei educației problema complexă a diferențierii și individualizării instruirii, ca premisă indispensabilă pentru asigurarea reușitei fiecărui elev și realizarea unor performanțe cât mai apropiate de potențialul său intelectual maxim.

Diferențierea instruirii reprezintă o strategie de organizare a corelației profesor-elev care urmărește individualizarea deplină a activității pedagogice (didactice/educative). Ea vizează "adaptarea acțiunii instructiv-educative la particularitățile psiho-fizice ale fiecărui elev în parte pentru a asigura o dezvoltare integrală optimă și o orientare eficientă a aptitudinilor proprii, cu scopul integrării creatoare în activitatea socială" (Dicționar de pedagogie, 1979, pag.208).

La nivelul practicii educaționale , conceptul de diferențiere a instruirii se referă la strategiile de predare-învățare-evaluare utilizate, astfel încît să se asigure respectarea particularităților individuale ale elevilor. Toate intervențiile de diferențiere privind strategiile educaționale, conținuturile, rolurile actorilor educaționali se produc la nivelul școlii și al fiecărei clase.

În ceea ce privește conceptul de individualizare a predării – învățării – evaluării, acesta reprezintă modalitatea cea mai aprofundată a predării-învățării-evaluării diferențiate, în sensul tratării elevilor nu pe clase și nici măcar pe grupe, ci pe fiecare individ în parte.

Instruirea diferențiată vizează adaptarea activității de învățare – îndeosebi sub raportul conținutului, al formelor de organizare și al metodologiei didactice – la posibilitățile diferite ale elevilor, la capacitatea de înțelegere, ritmul de lucru proprii unor grupuri de elevi sau chiar fiecarui elev în parte (I. T. Radu, 1969).

Educația diferențiată în funcție de nevoile specifice oferă o alternativă strategică pentru îmbunătățirea performanțelor școlare. Cunoașterea trăsăturilor specifice ale fiecărui copil, precum și înțelegerea unor asemănări esențiale derivate din structurile de bază ale dezvoltării copilului facilitează stabilirea obiectivelor educaționale în acord cu această cunoaștere și selectarea strategiilor educaționale eficiente pentru întreaga clasă, dar și pentru fiecare copil.

ADAPTARE CURRICULARĂ

Etimologic, termenul „curriculum” provine din limba latină, unde îl întâlnim cu sensul de „drum”, „alergare”, „cursă”, „fugă” , de unde a rezultat și semnificația contemporană „curriculum vitae” cu sensul mot-a-mot de „drum de viață”, de carieră.

Curriculum-ul poate fi definit ca fiind „programul de activități școlare în integralitatea sa, care se concretizează în planul de învățământ, programa școlară, manualele școlare, îndrumările metodice, obiectivele și modurile comportamentale ce conduc la realizarea obiectivelor, metodelor și mijloacelor de predare – învățare, ce dezvoltă modurile de evaluare a rezultatelor“ (A. Manolache, 1978).

În termeni de politici educaționale actuale, strategia diferențierii curriculare presupune trecerea de la „o școală pentru toți” la “o școală pentru fiecare”, de la o școală de masă la o școală incluzivă, cu consecințe pozitive în planul formării capacităților de autoinstruire și dezvoltare a motivației de învățare continuă. Astfel, școala incluzivă oferă servicii de sprijin educațional pentru elevii identificați având cerințe educaționale speciale (CES) ori pentru elevii care prezintă dificultăți de învățare și/ sau de adaptare și asigură planuri de intervenție personalizată, adaptate la particularitățile fiecărui elev.

Adaptare curriculară reprezintă un demers de proiectare a programei școlare ce vizează corelarea conținuturilor componentelor curriculumului național cu posibilitățile reale ale elevului cu CES, din perspectiva finalităților procesului de adaptare și de integrare școlară și socială a acestuia. Este o strategie de diferențiere realistă a procesului de învățământ care plasează în centrul său elevul și are ca scop facilitarea progresului personal al acestuia în demersul educațional .

CURRICULUM ADAPTAT

Curriculum adaptat este rezultatul adaptării curriculare, este un instrument de proiectare didactică ce vizează una sau mai multe arii curriculare, o planificare a conținuturilor în funcție de potrivirea programei școlare cu potențialul individual al elevului, care orientează demersul cadrului didactic în a facilita învățarea pentru elevii care întâmpină dificultăți în acest sens.

Curriculumul diferențiat și personalizat adaptează, așadar, procesul instructiv–educativ la posibilitățile aptitudinale și cognitive ale copilului cu CES. El e determinat de diferențele dintre elevi, măsurabile prin următoarele caracteristici: capacitatea de înțelegere, posibilitatea asimilării, ritmul de învățare, capacitatea creativă, nivele de motivație, gradul implicării afective și al curiozității intelectuale.

Acest curriculum adaptat oferă posibilitatea unor intervenții eficiente și individualizate în funcție de necesitățile și posibilitățile fiecărui copil, iar eficiența aplicării lui va fi susținută de activitățile de remediere a dificultăților de învățare și adaptare, de monitorizare și evaluare realizate de către cadrele didactice de sprijin. În evaluare se urmărește progresul personal al fiecărui copil.

I.2 – CUNOAȘTEREA ELEVULUI – PREMISĂ NECESARĂ A DIFERENȚIERII

Dacă educatorii și oamenii de stat și-ar da seama ce forțe există intr-un copil,

i-ar da prioritate în fața tuturor celorlalte probleme. – Montessori

Studiile și cercetările din domeniul psihologiei genetice, psihologiei cognitive, teoria inteligențelor multiple ș.a. oferă teoreticienilor și practicienilor din domeniul educației argumente temeinice privind necesitatea cunoașterii reale a potențialului psihic al elevului în vederea diferențierii și personalizării curriculumului. În concepția de ansamblu a reformei curriculare din România, strategia diferențierii curriculare „este recomandată atât pe considerente psihopedagogice, cât și ca o direcție a integrării și compatibilizării proceselor educaționale în spațiul euroatlantic” (C. Crețu, 1998, p. 66).

Prin caracterul său uman, activitatea educativă din școală este o acțiune conștientă care urmărește atingerea unor finalități stabilite în prealabil și are un sens intentional deoarece vizează un rezultat bine conturat. În acest sens, toate activitățile desfășurate cu elevii urmăresc o cât mai bună pregătire a lor pentru viață, pentru o integrare deplină în societate. În cadrul dezvoltării psihice a ființei umane, caracteristicile individuale, particularitățile diferitelor fenomene psihice imprimă o notă specifică dezvoltării unui ritm propriu de creștere și transformare, diferit de la un individ la altul, cu nuanțe personale ce își află originea în potențialul său biopsihic, în condițiile de mediu în care trăiește.

Importanța cunoașterii psihologice a elevului rezidă și din faptul că solicitările externe (sarcinile de învățare, măsurile și cerințele educaționale) înainte de a duce la anumite rezultate și de a se concretiza în anumite performanțe, se răsfrâng prin prisma condițiilor interne ale personalității copilului, cu ansamblul ei de caracteristici individuale și de vârstă.

Variabilele psihologice care mediază performanțele și manifestările școlarului mic sunt numeroase: trebuințele și interesele, disponibilitățile și înzestrările generale, aptitudinile specifice, structurile tipologice și temperamentale, fondul emoțional, atitudinile caracteriale, însușirile intelectuale, achizițiile anterioare. Toate aceste acționează ca un filtru, ca o grilă de recepție selectivă, imprimând o notă de specificitate individuală proceselor de învățare și conduitelor. În orice perioadă de vârstă se dezvoltă mai mult sau mai puțin toate procesele psihice, dar ele intră în raporturi diferite de la un stadiu la altul în funcție de tipul de activitate dominantă, specific etapei respective. Pe parcursul vieții copilului are loc o creștere treptată a fiecărui proces psihic până la atingerea maturității lui, concomitent cu stabilirea unor corelații între ele. Toate aceste lucruri determină profilul psihologic al copilului la un moment dat.

Concepția științifică privitoare la tratarea diferențiată a elevilor constă în cunoașterea nivelului evoluției diferitelor procese psihice la un elev, pentru a putea folosi mijloace adecvate pentru dezvoltarea acestuia la cel mai înalt nivel posibil. De asemenea, învățătorul va trebui să știe cum să valorifice capacitățile anterior dobândite. Cunoscând bine elevul vom intui nu numai greutățile întâmpinate de el, ci totodată și posibilitățile lui și baza reală a învingerii greutăților.

În ceea ce privește elevii cu dizabilități și cei care întâmpină dificultăți de învățare sau adaptare care frecventează cursurile școlii incluzive, este imperios necesar să fie asigurată o bună cunoaștere a tipului de dificultăți pe care le întâmpină la școală, a diagnosticului, dacă este cazul, a gradului de afectare, a particularităților proceselor psihice ale acestora și a aspectelor privind personalitatea acestora pentru a construi strategii optime de intervenție recuperatorie, remedială, de diferențiere și chiar individualizare a procesului didactic.

Putem distinge câteva semne definitorii după care elevii cu dificultăți de învățare sau adaptare înscriși în școlile de masă, incluzive, care sunt relativ ușor de identificat, mai ales în procesul de învățământ.

Acești copii întâmpină dificultăți în însușirea scris-cititului și a calcului (disgrafie, dislexie, discalculie). Adeseori, prezintă tulburări instrumentale ce trebuie să li se acorde o atenție deosebită. Majoritatea acestora au o hiperactivitate motorie, sunt instabili, timizi, emotivi, inhibați. Prezintă dificultăți în fluxul ideației, încetineală în gândire, au baraje ale gândirii sau lapsusuri, chiar momente de vid mintal.

Copilul care se înscrie în acest tipar rezolvă sarcinile impuse doar până la un anumit nivel de complexitate și abstractizare. Drept urmare, se confruntă cu insuccese școlare care pot sta la baza unor trăiri tensionale și contradictorii ce generează tulburările de comportament; prezintă o imaturitate social-afectivă, dificultăți de relaționare cu ceilalți, de funcționalitate constantă a relațiilor imprevizibile și nemotivate etc.

Adeseori subiectul cu intelect de limită este confruntat cu eșecuri în activitățile desfășurate, ceea ce duce la un nivel de aspirație scăzut, teamă de insucces, neîncrederea în sine, atitudine negativă față de efort, izolare și frustrare.

Acești copii pot și trebuie să fie stimulați printr-o metodologie recuperativă specială, prin includerea în asistență de tipul servicii educaționale de sprijin, de consiliere, de terapii specifice etc. astfel încât dezvoltarea lor psihică să se apropie de nivelul colegilor lor și să înregistreze un progres personal suficient cât să poată fi considerat integrați cu succes în învățamântul obișnuit (Gh. Radu 1999).

Tot mai multe cazuri de elevi cu dizabilități frecventează școala incluzivă, mulți dintre aceștia prezentând deficiență de intelect caracterizată de un grad de afectare de la ușor până la moderat, identificată ca atare ori asociată altor afectări de tipul celor din spectrul autist, sindrom Down, sindrom hiperkinetic, etc. Acești copii sunt educabili, capabili de achiziții școlare corespunzătoare vârstei mintale proprii, ce variază în funcție de gravitatea deficienței, cu condiția ca intervenția de sprijin să se bazeze pe o evaluare inițială temeinică, complexă, o fină și atentă observare a elevului, o colaborare optimă a specialiștilor – cadre didactice, psiholog școlar, consilier, terapeut etc. – cu familia acestuia.

Elevii cu deficiență mintală prezintă afectarea sensibilității normale încă de timpuriu fapt care va exercita o influență negativă asupra activității senzorial-perceptive și a formării în continuare a capacității cognitive ale acestuia. Organizarea activității școlare trebuie să urmărească scăderea treptată, pe baza exercițiului zilnic, a pragurilor sensibilității, dezvoltarea și menținerea unei sensibilități optime a analizatorilor valizi.

Percepția are un caracter fragmentar, incomplet, limitat, rigid, dezorganizat.

Aceste particularități ale sensibilității și percepției influențează nemijlocit eficiența activităților de învățare desfășurată cu elevii care prezintă deficiențe, însă există și o influență indirectă , mediată prin reprezentări, care, în condițiile educative necorespunzătoare, preiau și chiar amplifică particilaritățile respective cu efecte directe asupra gandirii.

În cazul copiilor cu deficiență mintală, formarea reprezentărilor se desfășoară sub influența negativă a unor afecțiuni mai puțin localizate, dar mai extinse și cu caracter mai difuz, influențând negativ desfășurarea proceselor analitico-sintetice, diminuând capacitatea de abstractizare și generalizare, sensibilitatea, eficiența coordonărilor funcționale etc.

În formarea reprezentărilor sunt necesare o permanentă orientare intiutiv-activ-practică a procesului didactic și utilizarea unei diversități de materiale și mijloace didactice utile în explicarea și înțelegerea conținuturilor sau completarea informațiilor lacunare.

La copiii cu deficiență mintală, principalele caracteristici ale gândirii sunt: vâscozitatea genetică (definită ca fiind manifestare a tulburărilor complexe în dinamica dezvoltării intelectuale, caracterizată prin numeroase inegalități și oscilațiiconcretizate într-o evoluție încetinită, greoaie, inconsistentă și neterminată), rigiditatea reacțiilor și a comportamentului adaptativ, consecință a dereglării mobilității proceselor corticale de excitație și inhibiție (efecte ce constau în dificultăți accentuate de abstractizare și generalizare, concretism excesiv al gândirii, perseverare în același tip de activitate).

Astfel, se impune prevenirea și combaterea manifestărilor de inerție prin stimularea activismului și criticismului gândirii și în dirijarea comportamentului lor.

Elevilor cu deficiențe le lipsește adesea momentul de orientare în sarcina primită, adică de judecare suficientă, în prealabil, a condițiilor de rezolvare a sarcinilor respective. Dacă aceste fenomene sunt prevenite sau înlăturate de timpuriu, concomitent cu aplicarea unor programe de terapie și stimulare a capacităților intelectuale, procesul de gândire va urma un traseu favorabil cu rol deosebit în structurarea și echilibrarea întregii personalități.

Din punct de vedere al limbajului, acesta se dezvoltă în general cu întârziere sub toate aspectele sale. Vocabularul este sarac în cuvinte-noțiuni care desemnează mărimi, relații spațiale, caracteristici psihice. Fraza, atât în limbajul scris cât si cel oral, se caracterizează printr-un numar mai mic de cuvinte și o construcție defectuasă din punct de vedere gramatical.

Cu toate dificultățile existente în planul dezvoltării psihice, comunicarea poate fi stimulată spre o evoluție pozitivă, în condițiile unor influențe educaționale adecvate. Se sugerează, în acest scop, unele programe de intervenție pentru dezvoltarea comunicării la copiii cu deficiențe mintale de gravitatea diferită (Doru Popovici,2000).

Un alt proces aparținând cogniției superioare, imaginația este puternic afectată mai ales la copiii cu deficiențe mintale din pricina sărăciei și structurării lacunare a bagajului de reprezentări, a caracterului rudimentar al funcției semiotice, nedezvoltării limbajului datorate capacității mnezice limitate, inerției și rigidității reacțiilor adaptative.

În contextul școlar, specialiștii recomandă evitarea utilizării excesive a metodelor verbale în activitatea de predare la clase în care sunt incluși elevi cu deficiențe mintale, folosirea procedeelor intuitiv-practice și activ-participative, formarea la elevi a unor algoritmi de utilizare a mijloacelor schematice și simbolice specifice anumitor discipline sau activități școlare ce implică utilizarea elementelor de geometrie, desenului, citit-scrisului, utilizarea unor semne convenționale, hărți, schițe grafice, tabele etc.

Una din caracteristicile cele mai evidente ale procesului mnezic la elevii deficienți o reprezintă fidelitatea redusă a memoriei. Rezultatele oricărei activități de învățare sunt pozitive numai dacă la momentul oportun cele învățate pot fi reactivate din memorie pentru a putea fi folosite în practică. Prin urmare, este necesar ca în activitățile de învățare, învățătorul să îi ajute pe elevi să înțeleagă conținuturile, să memoreze și să organizeze informațiile stocate prin exerciții variate de repetare sistematică, de transfer, de punere în practică.

Atenția este afectată în cele mai multe cazuri la elevii cu deficiențe. Astfel, la lecții și la alte activități școlare, aceștia nu reușesc să se concentreze optim pe desfășurarea principalelor etape, unii dintre ei fiind distrași de apariția unor elemente colaterale, alții rămânând fixați din pricina inerției specifice, iar alții pierzând șirul desfășurării logice din cauza instalării premature a oboselii. Volumul atenției poate fi influențat pozitiv prin asigurarea câtorva condiții favorizante: corelarea exercițiilor de creștere a volumului atenției cu exerciții de stimulare a capacității mnezice, a dezvoltării vocabularului și a bagajului de reprezentări.

Din punct de vedere al motricității s-a stabilit că cu cât gradul deficienței mintale este mai mare, cu atât nivelul motricității ramâne mai scăzut.

În ceea ce privește activitatea voluntară, se poate spune că ea prezintă deficiențe în toate momentele desfașurării sale. El se abate de la scopul fixat dacă întâmpină dificultăți și execută o altă activitate mai ușoara. Apar frecvente manifestării de negativism ca efect al capacitații reduse de lucru a scoarței cerebrale.

Activitatea este caracterizată în primul rând de imaturitate (un copil cu deficiență mintală de vârstă școlară are manifestari proprii preșcolarilor sub aspectul emoțiilor și sentimentelor).

Manifestările emotive sunt foarte des exagerat de puternice în raport cu cauza care le-a produs. Aceasta capacitate redusă de a controla expresiile emoționale complică relațiile lor cu cei din jur și duce la efecte dezorganizatoare asupra activității.

Investigarea proceselor psihice implicate în activitatea de învățare reprezintă una din preocupările constante, mereu în actualitate și de mare importanță pentru specialiști. Învățătorul și mai cu seamă cadrul didactic de sprijin, care lucrează cu elevi cu dizabilități trebuie să își aplece atenția și să facă demersurile necesare în a cunoaște amănunțit fiecare elev în parte, mai cu semă fiecare elev cu dizabilități ori dificultăți de învățare sau adaptare, pentru a asigura tratarea diferențiată a învățării, intervenția recuperatorie optimă.

Învățarea la copiii cu CES, ca proces de achiziție de noi cunoștințe și de formare de capacități cognitive, este mult mai eficientă dacă se realizează în grupuri mici, dacă este activ-participantă, cooperativă, partenerială.

Actul educativ în școala incluzivă are șanse de reușită dacă cei trei factori implicați – elevul cu deficiențe, familia, echipa de specialiști – cooperează, conlucrează în aceeași direcție: dezvoltarea copilului cu cerințe educative speciale.

Fiecare copil cu CES trebuie să beneficieze de un program adecvat și adaptat de recuperare, care să dezvolte la maximum potențialul fizic și psihic pe care îl are.

I.3 – COMPETENȚE VIZATE ÎN CICLUL PRIMAR LA MATEMATICĂ

Ritmul alert al schimbărilor de politică educațională survenite în societatea contemporană impune noi viziuni în abordarea sistemului de învățământ românesc. Schimbările curriculare au ca reper nevoile ce stau la baza dezvoltării copilului în concordanță cu idealul educațional al societății.

Competențele matematice și competențele de bază în științe și tehnologii reprezintă unul din cele opt domenii de competentă-cheie sugerate de către Comisia Europeană.

Competența cheie matematică este abilitatea de a dezvolta și aplica gândirea matematică cu scopul de a rezolva probleme în situații cotidiene. Această competență se bazează pe importanța matematicii pentru societate și pentru individ, ca parte componentă a societății. Competența matematică implică, în diferite grade, abilitatea și dorința de a utiliza concepte, reprezentări, modele matematice de a formula idei sau teorii, păreri personale. Reprezentările matematice la care se face referire în documente, sunt de diverse tipuri: formule, modele, construcții, grafice, hărți etc.

Cunoștințele vizate de domeniul matematic sunt de mai multe tipuri. Unele dintre acestea se referă la utilitatea matematicii în cotidian și la limitările pe care această disciplină le impune prin natura sa. Alte cunoștințe se regăsesc integral în elementele de conținut ale programelor, fiind concepte sau proceduri utilizate în mod curent în viață precum: calculul aritmetic, calculul unor suprafețe sau volume, estimările și aproximările dar și cunoștințe despre utilizarea sau înțelegerea unor reprezentări matematice pe care le putem întâlni în viața cotidiană (informații exprimate grafic sau tabelar).

Deprinderile matematice reprezintă o altă zonă a acestui domeniu de competență-cheie. Aplicarea cunoștințelor procedurale în situații concrete, reprezintă elementul central al acestei zone de competență. Acestea includ, pe lângă tehnici, procedee specifice matematicii (algoritmii matematici) și capacitatea de a decide între mai multe raționamente posibile, pe cel adecvat unei situații date, de a construi lanțuri de astfel de raționamente privind către scopul final, sau deprinderi care se află aparent la graniță cu alte competențe așa cum este deprinderea de a argumenta în mod rațional utilizând limbajul matematicii sau selectarea resurselor.

Zona atitudinilor este ceva mai slab conturată comparativ cu alte elemente ale domeniului de competență cheie matematică sau cu atitudinile descrise în cadrul altor competențe. Astfel, se poate afirma că atitudini precum: interesul și curiozitatea pentru studiul matematicii în școală sau dincolo de școală, perseverența pentru rezolvarea unor situații problemă, dorința de a comunica rezultatele obținute, manifestarea dorinței de a explora experiențele de învățare în cotidian sau interes de a rezolva situații problemă întâlnite în cotidian prin matematică – iată o parte dintre aspecte care ar întregi imaginea competenței. În ceea ce privește dezvoltarea personală, încrederea în sine sau manifestarea dorinței de a colabora sau de a se autodepăși sunt alte aspecte care pot fi recuperate din alte zone de competențe (din domeniile a învăța să înveți sau domeniul de competențe sociale).

Competențele matematice ar putea fi reprezentate grafic într-un mod simplu și intuitiv:

În cadrul ariei curriculare Matematică și științe ale naturii, pe parcursul ciclului Achizițiilor Fundamentale, la clasa pregătitoare, clasa I și clasa a II-a, se studiază integrat disciplina Matematică și explorarea mediului, pe când pentru Ciclul de Dezvoltare, la clasa a III-a și clasa a IV-a, disciplina de studiu este Matematică.

Documentele de tipul programelor școlare pentru disciplina Matematică și explorarea mediului, respectiv Matematică, sunt elaborate potrivit noului model de proiectare curriculară, centrat pe competențe. Construcția programelor este realizată astfel încât să contribuie la dezvoltarea profilului de formare al elevului din ciclul primar. Din perspectiva disciplinei de studiu, orientarea demersului didactic pornind de la competențe permite accentuarea scopului pentru care se învață și a dimensiunii acționale în formarea personalității elevului. Programele școlare actuale revizuite în 2013 pentru ciclul Achizițiilor Fundamentale și în 2014 pentru ciclul de Dezvoltare iau în considerare focalizarea pe achizițiile finale ale învățării, accentuarea dimensiunii acționale în formarea personalității elevului și corelarea cu așteptările societății.

Demersul didactic la nivelul disciplinei de studiu Matematică este orientat de competențele generale care jalonează achizițiile de cunoaștere și de comportament ale elevului pentru întregul ciclu primar; competențele specifice care sunt derivate din competențele generale, reprezentând etape în dobândirea acestora și formându-se pe durata unui an școlar; tipuri de activități de învățare care valorifică experiența concretă a elevului și care integrează strategii didactice adecvate unor contexte de învățare variate; conținuturi ale învățării ce se constituie din inventarul achizițiilor necesare elevului pentru alfabetizarea cu elemente de bază ale celor două domenii integrate ori din domeniul matematicii, la clasele a III-a și a IV-a; sugestii metodologice ce includ strategii didactice, proiectarea activității didactice, precum și elemente de evaluare continuă, respectiv metode și mijloace pentru realizarea demersului didactic.

Privind comparativ competențele generale și specifice vizate în cele două cicluri curriculare la disciplina Matematică, se poate lesne observa dispunerea lor graduală, progresivă, valorizând competențele în scopul realizării într-un mod eficient a transferului și mobilizării cunoștințelor și abilităților în contexte noi și dinamice. Formarea, exersarea și dezvoltarea competențelor matematice presupune mobilizarea anumitor cunoștințe, capacități, abilități (priceperi și deprinderi) și a unor scheme de acțiune exersate și validate anterior.

I.4 – FORMAREA CONCEPTELOR MATEMATICE LA ȘCOLARUL MIC

Învățând matematică, înveți să gândești.

– Grigore C. Moisil

Matematica este unul din modurile fundamentale ale gândirii umane prin care se descifrează tainele naturii, ale societății și prevede dezvoltarea lor ulterioară. Ea nu se învață pentru a se ști, ci pentru a se folosi. De aceea copiii nu trebuie să primească numai cunoștințe matematice ci, prin intermediul acestora, și educație matematică, formație matematică. În dezvoltarea structurii omului educația matematică are o pondere deosebită. Matematica se îndreaptă astăzi către o știință a structurilor, astfel că familiarizarea elevilor din clasele primare cu structuri simple, evidențiind legătura lor reciprocă și împletirea lor de-a lungul anilor de școală, constituie un deziderat al învățământului matematic.

La fel ca orice disciplină de învățământ, Matematica trebuie să construiască în structurile mintale ale elevului un sistem de cunoștințe, care să se apropie, să se fundamenteze de logica disciplinei, logica internă a științei matematice. Nu ar fi însă posibil acest fapt dacă nu s-ar construi ținând seama de particularitățile psihice ale elevilor.

În ciclul Achizițiilor fundamentale, elevul operează cu anumite concepte matematice de bază care sunt aprofundate de la un an școlar la altul. Aceste concepte pot fi înțelese și asimilate cu succes dacă sunt transpuse în situații concrete. Matematica și Cunoașterea mediului au o multitudine de aspecte comune, iar studierea acestor două discipline într-un program logic, coerent asigură premisele învățării logice a continuțurilor care trebuie abordate.

Conținuturile învățării specifice claselor pregătitoare, I și a II-a sunt grupate pe următoarele domenii:

Numere

Figuri și corpuri geometrice

Măsurări

Date

Științele vieții

Științele Pământului

Științe fizice

Abordarea în manieră integrată a conceptelor matematice conduce la o facilitare a învățării prin corelarea teoriei cu aspectele din mediul înconjurător. Învațarea holistică vine să susțină procesul de învățare și aduce beneficii la nivelul dezvoltării globale a elevului. Integrarea asigură cadrul necesar dezvoltării competențelor cheie, plasând elevul în situația de a dobândi competențele necesare într-un mod accesibil vârstei sale.

Conținuturile învățării specifice claselor a III-a și a IV-a se regăsesc în inventarul achizițiilor necesare elevului pentru alfabetizarea din domeniul matematicii și sunt grupate pe următoarele domenii:

Numere și operații cu numere

Elemente intuitive de geometrie

Unități și instrumente de măsură

Organizarea și reprezentarea datelor

Sub aspect tematic, la clasa a III-a/a IV-a este extins spațiul numeric și apar primele noțiuni legate de fracții care vor fi abordate intuitiv. De asemenea, elevii intră în contact cu elemente de geometrie și reprezentări grafice diverse, cu măsurări și unități de măsură. În acest fel, programa de Matematică are un rol important în dezvoltarea abilității și dorinței elevilor de a utiliza moduri matematice de gândire logică și spațială, corespunzătoare nivelului lor de vârstă pentru rezolvarea unor probleme din cotidian, prin realizarea unor calcule elementare cu ajutorul numerelor; identificarea unor relații/regularități; explorarea caracteristicilor geometrice ale unor obiecte; utilizarea unor etaloane pentru măsurări și estimări.

Aranjarea pe nivel de clasă a conținuturilor învățării demonstrează și legiferează preocuparea pentru a trata progresiv, gradual, accesibil și firesc tematica specifică Matematicii și, totodată, așezarea elevului într-o poziție centrală, raportat la toate componentele sistemului de învățământ.

Formarea conceptului de număr natural

Pentru elevul clasei pregătitoare și clasei I, primele noțiuni matematice sunt cele de număr natural și operații cu numere naturale (adunare și scădere). Formarea acestor noțiuni parcurge următoarele etape :

sesizarea mulțimilor și a relațiilor dintre acestea în realitatea obiectivă (mulțimi de obiecte din mediul ambiant, experiența de viață a elevilor, imagini ale mulțimilor de obiecte concrete);

operații cu mulțimi de obiecte concrete (cu mulțimi de obiecte reale, cu mulțimi de obiecte simbol, cu piesele geometrice, cu rigletele ș.a.);

operații cu simboluri ale mulțimilor de obiecte (imagini și reprezentări grafice);

operații cu simboluri numerice (cifre, semne de operație, de egalitate și inegalitate).

Predarea numerelor naturale în concentrul 0-10

Introducerea numărului natural se realizează pe baza corespondenței între mulțimi finite. Suportul științific este dat de noțiunea de mulțimi echipotente: două mulțimi sunt echipotente dacă există o bijecție de la una la cealaltă. Relația de echipotență împarte mulțimile în clase disjuncte, într-o clasă aflându-se toate mulțimile echipotente între ele. O astfel de clasă poartă numele de cardinal. Orice număr natural este cardinalul unei mulțimi finite. De exemplu, numărul 3 este clasa de echipotență a tuturor mulțimilor ce au 3 elemente. Însă, este evident că problema nu poate fi abordată astfel la școlarii mici.

Metodicile predării matematicii la ciclul primar recomandă parcurgerea a trei etape în formarea conceptului de număr natural: etapa acțională ce presupune acțiuni cu mulțimi de obiecte; etapa iconică – schematizarea acțiunii și reprezentarea grafică a mulțimilor și etapa simbolică – traducerea simbolică a acțiunilor .

Predarea numerelor naturale în concentrul 10-100

Pentru lecțiile vizând secvența 10 – 100, în lista obiectelor urmărite se adaugă înțelegerea zecii ca unitate de numerație, bază a sistemului utilizat, formarea, citirea și scrierea unui număr natural mai mare decât 10, relația de ordine în secvența numerică respectivă (compararea și ordonarea numerelor învățate).

Pentru a evidenția structura unui număr mai mare decât 10 și mai mic decât 20, este util ca zecea să apară ca unitate de numerație, prin utilizarea „compactă” a acesteia (de exemplu, mănunchiul de 10 bețișoare legat). La această „zece legată” se pot atașa unul sau mai multe elemente: unu „vine spre zece”, formând numărul unsprezece, doi „vin spre zece”, formând numărul doisprezece ș.a.m.d. O asemenea imagine dinamică este sugestivă pentru școlarul mic, ajutându-l să-și formeze reprezentări ce vor sta la baza înțelegerii conceptului de număr natural. Cu introducerea numărului 20, ca o zece și încă alte 10 unități, adică două zeci, se încheie secvența esențială pentru elevi, ce condiționează înțelegerea ulterioară a modului de formare, scriere și citire a oricărui număr natural . Dacă această etapă este corect parcursă, nu vor fi întâmpinate dificultăți metodice în introducerea numerelor până la 100.

Prin cunoașterea unor astfel de numere, elevii iau contact cu sistemul zecimal, întâlnind, pentru prima dată, o nouă semnificație a cifrelor, dată de locul pe care-l ocupă în scrierea numerelor.

Predarea numerelor naturale în concentrul 100-1000

În predare numerelor naturale din concentrul 100-1000 se folosește analogia cu procedeele din concentrul anterior învățat, conturându-se ideea că 10 unități de un anumit fel formează o unitatea nouă, mai mare. În acest concentru, elevii adaugă la unitățile de numerație cunoscute (unitatea simplă, zecea) o unitatea nouă – suta și află că zece sute formează o mie.

Formarea oricărui număr mai mare decât 100 se realizează după algoritmul cunoscut de la formarea numerelor mai mari decât 10: o sută și încă o unitate formează 101 s.a.m.d.

Singura problemă metodică nouă față de concentrele anterioare este indusă de formarea, citirea și scrierea numerelor ce conțin pe 0. Este necesar ca elevii să discrimineze între 101 și 110 (de exemplu), în care cifra 0 arată absența zecilor, respectiv a unităților simple.

Formarea noțiunilor de ordin și clasă

În etapa următoare, predarea-învățarea numerelor naturale mai mari decât 100 se caracterizează prin introducerea noțiunilor de ordin și clasă.

Până acum, elevii au cunoscut 3 unități de calcul: unitatea (simplă), zecea și suta. Pentru a ordona și sistematiza secvențele numerice următoare, fiecărei unități de calcul îi va fi atașat un “ordin”, ce reprezintă numărul de ordine în scrierea numărului: unitățile (simple) vor fi numite unități de ordinul întâi; zecile, unități de ordinul doi; sutele, unități de ordinul trei. Pe măsură ce cunosc ordinele, elevii constată că grupuri de trei ordine consecutive, începând cu primul, conțin unități care se numesc la fel: unități, unități de mii, unități de milioane ș.a.m.d. Dată fiind această “periodicitate”, este firesc ca un grup de trei ordine consecutive să formeze o nouă structură, numită clasă. Ordinele 1, 2, 3 formează clasa unităților; ordinele 4, 5, 6 formează clasa miilor; ordinele 7, 8, 9 – clasa milioanelor ș.a.m.d. În scrierea unor astfel de numere, evidențierea claselor se realizează prin plasarea unui spațiu liber între ele.

Predarea numerelor naturale de mai multe cifre

Următoarele extensii secvențiale (numere naturale mai mari decât 100) realizate în clasele II-IV, urmăresc, în plus, conștientizarea caracteristicilor sistemului de numerație: zecimal (zece unități de un anumit ordin formează o unitate de ordinul imediat următor) și pozițional (o cifră poate reprezenta diferite valori, în funcție de poziția pe care o ocupă în scrierea unui număr).

Metodologia formării conceptului de număr natural se bazează pe faptul că elevii de vârstă școlară mică se află în stadiul operațiilor concrete, învățând îndeosebi prin intuire și manipulare directă a obiectelor. Pe măsură ce ne deplasăm către clasa a IV-a, are loc ridicarea treptată către general și abstract, în direcția esențializării realității.

Calitatea demersului didactic și diferențierea învățării Matematicii la clasele pregătitoare, I și a II-a pot fi asigurate având în vedere următoarele sugestii metodice:

1. necesitatea ca fiecare elev să opereze direct cu un material didactic bogat, variat și atractiv, accesibil;

2. gradarea solicitărilor, cu orientare spre abstractizare (de la operare cu obiecte concrete, la folosirea jetoanelor cu imagini, a figurilor simbolice și a schemelor);

3. antrenarea mai multor analizatori (vizual, auditiv, tactil) în învățarea și fixarea unui număr;

4. matematizarea realității înconjurătoare, ce oferă multiple posibilități de exersare a număratului;

5. realizarea frecventă de corelații interdisciplinare (ex.: solicitarea de a găsi, într-un text dat, toate cuvintele ce au un anumit număr de litere sau de câte ori apare o literă dată);

6. utilizarea frecventă a jocului didactic matematic sau introducerea unor elemente de joc.

La clasele III – IV se va urmări sublinierea necesității de a lărgi secvența numerică cunoscută, a motivației pentru învățarea numerelor mari, trezindu-li-se interesul prin întrebări; exersarea, până la formarea unor deprinderi corecte și conștiente, a citirii și scrierii numerelor naturale oricât de mari, îndeosebi a celor în care lipsesc una sau mai multe unități de un anumit ordin; sugerarea, în timp, a ideii că șirul numerelor naturale este nemărginit superior (există numere naturale oricât de mari, deci nu există un cel mai mare număr natural).

Scrierea numerelor cu cifre romane

În ciclul de dezvoltare, elevii fac cunoștință cu un nou sistem de scriere a numerelor naturale, de tip aditiv, scrierea cu cifre romane. Din punct de vedere metodic, această temă prezintă importanță pentru că elevii conștientizează cu acest prilej următoarele: numărul natural nu este determinat de scrierea sa; numărul natural este un concept matematic fundamental; sistemele de scriere ale numerelor naturale sunt convenții pe baza cărora oamenii pot să comunice numerele, având la dispoziție un mod de reprezentare; cifrele sunt doar simbolurile grafice cu ajutorul cărora se scriu numerele; există sisteme de scriere a numerelor unde valoarea cifrei nu se schimbă, indiferent de poziția ocupată în scrierea numărului. Acest sistem de scriere a numerelor utilizează șapte simboluri, cifrele romane, care au următoarele valori:

Simbolurile I, X, C și M sunt simboluri de bază, iar celelate – V, L, D sunt simboluri auxiliare. Scrierea numerelor cu ajutorul cifrelor romane respectă următoarele reguli:

cifrele cu valoare mai mare se scriu în fața celor cu valoare mai mică și valorile lor se adună;

numărul maxim de cifre de același fel care se repetă una după alta este trei;

pentru a scrie 4, 40, 400, 9, 90, 900, se așează în fața cifrei de valoare mai mare cifra de valoare mai mică, iar valoarea numărului se află prin scădere.

După învățarea cifrelor și a regulilor de scriere, se vor face exerciții de transcriere a numerelor din sistemul zecimal în cel cu cifre romane și invers.

Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-10

Pentru formarea noțiunii de adunare în concentrul 0-10 se pornește de la operații cu mulțimi de obiecte concrete (etapa perceptivă), după care se trece le efectuarea de operații cu reprezentări ce au tendința de a se generaliza (etapa reprezentărilor), pentru ca, în final, să se poată face saltul la conceptul matematic de adunare (etapa abstractă).

Introducerea operației de adunare se face folosind reuniunea a două mulțimi disjuncte.

În faza concretă, elevii formează, de exemplu, o mulțime cu 3 elemente albastre și o mulțime cu 4 elemente galbene. Reunindu-se cele două mulțimi de baloane se formează o mulțime care are 7 baloane albastre sau galbene. Se repetă apoi acțiunea folosind alte obiecte (ex. creioane, bețișoare, flori, ș.a.), până ce elevii conștientizează că reunind o mulțime formată din 3 obiecte cu o altă mulțime formată din 4 obiecte (indiferent ce sunt acestea) se obține o mulțime formată din 7 obiecte. În această fază, acțiunea elevului vizează număratul sau compunerea unui număr, date fiind două componente.

Faza a două, semiabstractă, este caracterizată de utilizarea reprezentărilor simbolice, cum ar fi:

Se introduc acum simbolurile, semnele grafice “+” și “=”, explicându-se ce reprezintă fiecare și precizându-se că acestea se scriu doar între numere.

În faza a treia, abstractă, dispare suportul intuitiv, folosindu-se doar numerele. Se introduce acum terminologia specifică (termeni, sumă/total) și se evidențiază proprietățile adunării (comutativitate, asociativitate, existența elementului neutru), fără utilizarea acestor termeni și cu apelare la intuire, ori de câte ori este necesar. Tot în această etapă se poate sublinia reversibilitatea operației, prin scrierea unui număr ca sumă de două numere (“descompunerea” numărului), ce reflectă simetria relației de egalitate.

Scăderea se introduce folosind operația de diferență dintre o mulțime și o submulțime a sa (complementara unei submulțimi).

În prima etapă (concretă), dintr-o mulțime de obiecte ce au o proprietate comună se izolează (se îndepărtează, se scoate) o submulțime de obiecte și se constată câte obiecte rămân în mulțime. Acțiunea mentală a elevului vizează număratul sau descompunerea unui număr în două componente, dată fiind una dintre acestea.

În a doua etapă (semiabstractă), reprezentările utilizate pot fi de tipul următor:

Se introduce acum semnul grafic „-“, explicându-se ce reprezintă și precizându-se că și acesta se scrie „doar între numere.

În etapa a treia (abstractă), în care se folosesc doar numerele, se introduce terminologia specifică (descăzut, scăzător, rest/diferență) și se evidențiază proprietățile scăderii numerelor naturale (operație posibilă doar dacă descăzutul este mai mare sau egal cu scăzătorul; în cazul egalității, restul este zero; când scăzătorul este zero, restul este egal cu descăzutul), comparându-se cu proprietățile adunării (scăderea nu este comutativă, nici asociativă) și subliniind faptul că la adunare rezultatul (suma) este mai mare decât oricare dintre numerele care se adună (termeni), iar la scădere, rezultatul (diferența) este mai mic decât descăzutul. Pentru ilustrarea simetriei relației de egalitate în cazul scăderii și antrenarea reversibilității gândirii, este necesară abordarea solicitării de a scrie un număr ca diferență de alte două numere.

Legătura dintre adunare și scădere trebuie subliniată și prin realizarea probei fiecărei dintre cele două operații: la adunare, se scade din sumă unul din termeni și trebuie să se obțină cel de-al doilea termen, iar la scădere, se adună diferența cu scăzătorul și trebuie să se obțină

descăzutul. De asemenea, aceste relații se evidențiază și în cazul aflării unui termen necunoscut la adunare sau la scădere, eliminând “ghicirea”, ce apelează la memorie sau la procedeul încercare-eroare. Înțelegerea acestor aspecte implică și formarea capacității elevilor de a realiza discriminări terminologice (“mai mult cu…”, “mai puțin cu…”), ce vor sta la baza rezolvării problemelor simple. De altfel, dintre rezolvarea unor situații-problemă (îndeosebi ilustrate cu material didactic concret sau prin imagini, dar și prezentate oral) ce conduc la una dintre cele două operații se realizează frecvent, încă înainte de abordarea conceptului restrâns de problemă din matematică. Și prin aceste situații problemă poate fi valorificată legătura dintre cele două operații, anticipând cunoașterea faptului că din orice problemă de adunare se pot obține două probleme de scădere.

Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-20

În predarea adunării numerelor naturale până la 20, se pot distinge următoarele cazuri:

10+U; ZU+U; U+U,cu trecere peste 10. În abordarea acestor cazuri, învățătorul trebuie să coreleze tematica cu achizițiile, priceperile și deprinderile formate antrior: problematica formării numerelor mai mari decât 10 (zecea și un număr de unități), abordată la numerație; deprinderile de a aduna corect și rapid numere mai mici decât 10 și de a descompune numărul mai mare decât 10 într-o zece și unități, precum și priceperea de a acționa numai cu unitățile celor două numere.

Din punct de vedere metodic este necesară o acțiune directă, demonstrativă, apoi, ori de câte ori este necesar, individuală, cu obiectele, acțiuni ce se vor reflecta în pașii algoritmului. Scrierea exercițiilor (eventual, fără utilizarea parantezelor) trebuie să se realizeze în paralel cu acțiunea directă cu obiectele și reprezintă un mijloc de conștientizare a algoritmului adunării.

Formarea acestor deprinderi este deosebit de importantă și condiționează înțelegerea efectuării adunării în orice concentru numeric, deci trebuie să i se afecteze un timp suficient, funcție de particularitățile individuale ale elevilor.

În predarea scăderii numerelor naturale mai mici decât 20, se pot distinge următoarele cazuri: ZU-U; ZU-10; ZU-ZU; 20-U; 20-ZU; ZU-U, cu trecere peste ordin.

Fiecare caz în parte presupune însușirea și exersarea algoritmilor specifici, susținute de utilizarea unui material didactic corespunzător (de exemplu bețișoare), de demonstrarea procedeelor și exersarea acțională, care să conducă la înțelegerea și apoi parcurgerea fluentă a pașilor algoritmului, realizată fără grabă, cu conștientizarea fiecărui pas (analiza procedeului) și apoi sinteza tuturor pașilor. Înțelegerea acestor algoritmi condiționează înțelegerea de a efectua scăderi în orice situație dată și în orice concentru numeric.

Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0- 100

Predarea operațiilor de adunare și scădere în concentrul 0 – 100 trebuie să urmărească însușirea de către elevi a următoarelor idei: calculul în acest concentru se realizează în același mod ca și în concentrul 0 –20; orice număr mai mare decât 10 se descompune în zeci și unități; zecea este o nouă unitate de calcul; operațiile se realizează cu unitățile de același fel (unități, zeci), ansamblând apoi rezultatele parțiale; 10 unități se restrâng într-o zece, iar o zece se poate “desface” în 10 unități (echivalența dintre 10 unități și o zece); calculul este mai ușor de efectuat în scris (scrierea pe verticală, cu unități sub unități și zeci sub zeci).

Învățătorul trebuie să sublinieze că zecile sunt și ele unități de calcul și, în consecință, se va opera cu ele ca și cu unitățile; că în cazul în care suma unităților este 10, se restrânge într-o zece, care se va aduna cu suma zecilor celor două numere; că în cazul în care suma unităților este un număr mai mare decât 10, se transformă într-o zece, care se va adăuga sumei zecilor celor două numere și unități, ce se vor adiționa la zecile obținute

Algoritmul care trebuie urmat în rezolvarea operației de adunare a presupune:

descompunerea fiecărui număr în zeci și unități;

adunarea unităților celor două numere, respectiv zecilor;

adiționarea celor două sume parțiale.

În predarea scăderii, demersurile sunt asemănătoare, astfel încât pot fi prezentate gradat cazurile posibile, doar prin exemplificarea scrierilor formalizate ale acestora:

a) 50 – 20 = 30 (prin analogie cu 5 – 2 = 3);

b) 54 – 4 = (50 + 4) – 4 = 50 + (4 – 4) = 50 + 0 = 50;

c) 54 – 50 = (50 + 4) – 50 = (50 – 50) + 4 = 0 + 4 = 4;

d) 54 – 20 = (50 + 4) – 20 = (50 – 20) + 4 = 30 + 4 = 34;

e) 56 – 4 = (50 + 6) – 4 = 50 + (6 – 4) = 50 + 2 = 52;

f) 56 – 24 = (50 + 6) – (20 + 4) = (50 – 20) + (6 – 4) = 30 + 2 = 32;

g) 50 – 4 = (40 + 10) – 4 = 40 + (10 – 4) = 40 + 6 = 46;

h) 50 – 24 = (40 + 10) – (20 + 4) = (40 – 20) + (10 – 4) = 20 + 6 = 26 sau

50 – 24 = 50 – (20 + 4) = (50 – 20) – 4 = 30 – 4 = 26;

i) 54 – 8 = (50 + 4) – 8 = (40 + 10 + 4) –8 = 40 + 4 + (10 – 8) = 44 + 2 = 46 sau

54 – 8 = 54 – (4 + 4) = (54 – 4) – 4 = 50 – 4 = 46;

j) 54 – 28 = (50 + 4) – (20 + 8) = (40 + 10 + 4) – (20 + 8)= (40 – 20) + (10 – 8) + 4 = 20 + 2 + 4 = 26 sau 54 – 28 = 54 – 20 – 8 = (54 – 20) – 8 = 34 – 8 = 26 .

Adunarea și scăderea numerelor naturale mai mari decât 100

Aceste cazuri nu ridică probleme metodice deosebite dacă elevii stăpânesc algoritmii celor două operații, pe care i-au aplicat în concentre numerice mai mici. Singura diferență este dată de ordinul de mărime al numerelor, dar aceasta nu afectează cu nimic structura algoritmilor.

Desigur, pe lângă zecea, apar și alte unități de calcul, cum sunt suta, mia etc., dar ele reprezintă extrapolări ale cunoștințelor și priceperilor anterioare, pe care elevii le pot descoperi singuri. Ei vor constata că se operează cu numere de orice mărime, ca și cu numerele mai mici decât 100.

Învățătorul trebuie să abordeze gradat cazurile noi în care se operează, fără să insiste prea mult pe denumirile acestora (de exemplu, adunarea cu trecere peste ordinul sutelor a două numere mai mari decât 100, dar mai mici decât 1 000), care sunt neimportante pentru elevi, ba chiar le pot da impresia că există mai multe feluri de adunări. Este necesar să li se ofere bucuria descoperirii că pot opera singuri și în alte contexte decât cele învățate în lecții.

Este necesară și o dozare eficientă a sarcinilor calculatorii. Dacă timpul afectat acestora este prea mare și nu sunt intercalate și sarcini de alt tip, probabilitatea ca elevii să greșească este mare, erorile fiind induse nu de lipsa cunoștințelor sau priceperilor, ci de monotonie, oboseală, scăderea motivației pentru efectuarea calculelor. A „umple tabla” cu exerciții de adunare și scădere pe care elevii trebuie să le efectueze (eventual, întreaga lecție) este o evidentă eroare metodică a învățătorului.

Predarea înmulțirii și împărțirii

Operațiile de înmulțire și de împărțire se introduc după ce elevii au dobândit cunoștințe și au formate priceperi și deprinderi de calcul corespunzătoare operațiilor de adunare și scădere. Înmulțirea și împărțirea se introduc separat, mai întâi înmulțirea, ce se va conecta cu adunarea repetată de termeni egali, apoi împărțirea, ca scădere repetată a unui același număr. Desigur, după introducerea și stăpânirea lor de către elevi, cele două operații sunt privite unitar, evidențiindu-se legătura dintre ele. În predarea-învățarea acestor operații, intuiția nu mai are un rol predominant, deoarece cunoașterea și înțelegerea lor se realizează mijlocit, prin intermediul adunării și scăderii.

Predarea înmulțirii

Dacă A este o mulțime având cardinalul a și B este o altă mulțime, de cardinal b, atunci produsul ab este cardinalul produsului cartezian al celor două mulțimi A×B.

Desigur, această definiție științifică nu poate fi utilizată în învățământul primar. Aici, înmulțirea este introdusă ca o adunare repetată de termeni egali. Această definiție are un suport algebric, dat de reducerea monoamelor asemenea: a + a + a = 3a.

După introducerea operației și prezentarea terminologiei specifice, este utilă cunoașterea de către elevi a unora dintre proprietățile înmulțirii: este totdeauna posibilă; este comutativă; este asociativă; admite element neutru (1); dacă unul dintre factori este 0, produsul este 0; distributivitatea înmulțirii față de adunare (fără utilizarea terminologiei științifice).

După ce elevii au asimilat aceste cunoștințe, se trece la învățarea conștientă a înmulțirii numerelor din concentrul 0 – 10, alcătuind tabla înmulțirii pentru fiecare dintre ele.

Nu se realizează o învățare mecanică, deoarece toate rezultatele înmulțirilor sunt sau pot fi descoperite de elevi, dar aceștia trebuie să se convingă de necesitatea memorării tablei înmulțirii, din considerente ce vizează doar timpul necesar prezentării unui răspuns. Este printre puținele locuri în care trebuie exersată memoria de lungă durată a elevilor, tablele înmulțirii constituindu-se în automatisme pentru întreaga viață.

La clasele a III-a și a IV-a, când elevii dispun de automatismele induse de tabla înmulțirii, se introduc treptat alte cazuri de înmulțiri, ce pot fi grupate după gradul de dificultate, astfel: înmulțirea numerelor naturale mai mici decât 10 cu un număr format numai din zeci; înmulțirea numerelor de o cifră cu numere formate din zeci și unități; înmulțirea numerelor de o cifră cu 100; înmulțirea numerelor de o cifră cu numere formate numai din sute; înmulțirea numerelor de o cifră cu numere formate din sute, zeci și unități; înmulțirea unui număr cu 1 000; înmulțirea a două numere de mai multe cifre;

Pe măsură ce cazul devine progresiv mai complex, se justifică introducerea calcului în scris, după procedeul în scris al adunării repetate și utilizând comutativitatea înmulțirii:

31+ (de două ori o unitate= 2 unități 31x 2 x 1 = 2+

31 și de două ori 3 zeci = 6 zeci ) 2 2 x 30 = 60

62 62 62

Cazul înmulțirii unui număr de două cifre cu un cu număr format din sute, zeci și unități se bazează pe scrierile sistemice ale celor două numere și pe proprietățile de asociativitate și distributivitate a înmulțirii față de adunare. De exemplu,

21×345 = (20 +1) × ( 300 + 40 + 5) = 20×(300 + 40 +5) + 1×(300 + 40 +5) = 20×300 + 20×40 +20×5 + 300+40+5= 2×3×1 000 + 2×4×100 + 2×5×10 + 345 = 6 000 + 800 + 100 + 345 = 7 245.

Se impune și aici efectuarea calculul în scris. Fiecare dintre numerele care indică ordinele numărului cu care înmulțim se înmulțește succesiv cu toate unitățile, de orice ordin, ale celuilalt număr. Din înmulțirea fiecărei unități de ordin a numărului cu care înmulțim se obține un produs parțial. Scrierea acestor produse parțiale se realizează de la dreapta la stânga și se începe cu cifra unităților numărului cu care înmulțim. Prin adunarea produselor parțiale se obține produsul total căutat. Etapele calculului în scris pentru exemplul menționat sunt:

345 x 345 x 345 x

21 21 21

345 345+ 345+

690 690

7245

Împărțirea cu rest 0 (fără rest)

Introducerea operației de împărțire se poate realiza la clasa a II-a, în mai multe moduri:

a) împărțirea în părți egale

Suportul științific este dat de următoarea definiție: Fie A o mulțime de cardinal a (având a elemente); se realizează o partiție a acestei mulțimi în b (unde b este un divizor al lui a) submulțimi disjuncte echipotente; numărul elementelor din fiecare submulțime este câtul împărțirii numerelor a și b.

Pentru a ajunge la generalizări, se folosește material didactic variat, reținând doar esența acțiunii: operația de împărțire a numerelor.

b) împărțirea prin cuprindere

Fie A o mulțime având cardinalul a; se realizează o partiție a mulțimii în submulțimi disjuncte echipotente, având fiecare câte b elemente (unde b este un divizor al lui a); numărul maxim al acestor submulțimi este câtul împărțirii numerelor a și b.

c) împărțirea ca scădere repetată a unui același număr

Cele două cazuri anterioare se predau având ca suport operații cu mulțimi. Se poate deduce că, în ambele cazuri anterioare, din mulțimea dată „s-au scos”, în mod repetat, câte un același număr de elemente, până la epuizarea acesteia. Astfel, operația de împărțire se reduce, de fapt, la scăderea repetată a împărțitorulul din deîmpărțit, în care numărul care arată de câte ori s-a realizat scăderea împărțitorului reprezintă câtul împărțirii.

d) împărțirea dedusă din tabla înmulțirii

Împărțirea poate fi privită și ca operația prin care, cunoscând produsul și unul dintre factori (nenul) ai unei înmulțiri, se află celălalt factor.

Decizia alegerii și utilizării unuia sau altuia dintre aceste procedee este influențată de accesibilitatea în înțelegerea de către copilul de vârstă școlară mică.

După introducerea operației se trece la alcătuirea tablei împărțirii, folosind legătura dintre înmulțire și împărțire. Pornind de la tabla înmulțirii cu un număr dat, se construiește tabla împărțirii cu acel număr, considerând ca deîmpărțit produsul din prima tablă, iar ca împărțitor, factorul constant.

În practica școlară, cele două table, pentru numere până la 10, sunt memorate de elevi, fiind incomod, dar posibil de reconstituit, desigur cu pierdere inutilă de timp. Memorarea acestor table nu se face însă mecanic, ci după descoperirea, cunoașterea și aplicarea lor de către elevi. Pot fi remarcate și reținute de elevi proprietăți ale operției de împărțire, exprimate de cazurile particulare ale împărțirii unui număr nenul la 1 și la el însuși.

Împărțirea cu rest

După ce a fost însușită împărțirea cu rest 0, anterior prezentată, în clasa a IV-a este abordată situația în care restul împărțirii este diferit de zero.

Se începe prin a constata că nu totdeauna elementele mulțimii A din definiția operației de împărțire pot fi toate distribuite în submulțimi sau șirul de scăderi repetate nu conduce la rest zero, respectiv în tabla înmulțirii nu există nici un factor care să conducă la produsul dat. Pornind de la împărțirea cunoscută, 6 : 2 = 3, se subliniază că toate elementele mulțimii inițiale au fost folosite, nu a rămas nici unul disponibil.

Se reformulează problema, considerând deîmpărțitul 7 și se constată că, prin orice procedeu s-ar încerca, împărțirea 7 : 2 conduce la câtul 3, dar rămâne un element disponibil. Deci, rezultatul acestei împărțiri este 3 rest 1. Se poate continua cu împărțirea 8 : 2 = 4 (rest 0), pentru a contura condiția restului (restul este mai mic decât împărțitorul). Desigur, acest fapt nu se concluzionează după un singur exemplu și nici nu este necesară o exprimare formalizată a acesteia, dar elevii trebuie să desprindă, în timp, proprietatea respectivă, conștientizând că la împărțirea prin numărul n (n diferit de 0) sunt posibile doar resturile 0, 1, 2…, n – 1.

Relația dintre numerele date (deîmpărțit, împărțitor) și cele obținute (cât, rest),

D = Î x C + R, cu R < Î se constituie și în proba împărțirii cu rest.

Pentru înțelegerea și însușirea algoritmului de împărțire a numerelor de două cifre la un număr de o cifră, se pot parcurge mai multe etape, ilustrate prin următoarele exemplificări:

60 : 2 = (6 zeci) : 2 = 3 zeci = 30;

64 : 2 = (6 zeci + 4 unități) : 2 = (6 zeci) : 2 + (4 unități) : 2 = 3 zeci + 2 unități = 30 + 2 = 32;

67 : 2 = (6 zeci + 7 unități) : 2 = (6 zeci) : 2 + (7 unități) : 2 = 30 + 3 rest 1 = 33 rest 1;

76 : 2 = (7 zeci + 6 unități) : 2 = (6 zeci + 1 zece + 6 unități) : 2 = (6 zeci) : 2 + 16 : 2 = 30 + 8 = 38;

77: 2 = (7 zeci + 7 unități) : 2 = (6zeci + 1 zece + 7 unități) : 2 = = (6 zeci) : 2 +17 : 2 = 30 + 8 rest 1 = 38 rest 1.

Calculul în scris, pentru aceste cazuri, nu creează dificultăți deosebite elevilor:

64 : 2 = 32 67 : 2 = 33 rest 1 76 : 2 = 38 77 : 2 = 38 rest 1

6 6 6 6

=4 =7 16 17

2 6 16 16

= 1 == =1

Este utilă, prezentarea, în fiecare dintre etape, a celor 2 procedee, calculul în scris fiind exprimarea sintetică a raționamentului analitic ce fundamentează primul procedeu.

Ordinea efectuării operațiilor

În clasele pregătiroare, I și a II-a, exercițiile sunt astfel alcătuite încât să se efectueze corect în ordinea în care sunt scrise. Până acum s-au întâlnit numai exerciții în care apăreau operații de același ordin: adunări/scăderi, respectiv înmulțiri/împărțiri. În acest fel, elevii își formează deprinderea de a efectua succesiv operațiile, fără să-și pună problema existenței unor reguli referitoare la ordinea efectuării acestora.

În clasa a III-a, după ce elevii au învățat cele 4 operații cu numere naturale, sunt puși în fața efectuării unor exerciții de tipul 4 + 6 x 5. Abordări diferite (schimbarea ordinii efectuării operațiilor) conduc la rezultate diferite, ceea ce impune stabilirea unor reguli după care se efectuează operațiile într-un astfel de exercițiu.

Pentru descoperirea regulilor, este necesar să se pornească de la o situație problemă, a cărei rezolvare să poată fi scrisă sub forma exercițiului abordat. Pentru exercițiul menționat mai sus, o astfel de problemă poate fi:

„Andrei are pe prima pagină a clasorului său, 4 timbre, iar pe fiecare dintre celelalte 6 pagini, câte 5 timbre. Câte timbre are Andrei în acest clasor?”.

Analiza, împreună cu clasa, a acestei probleme, evidențiază că primul pas în rezolvare este aflarea numărului de timbre de pe cele 6 pagini (6 x 5) și apoi se află numărul de timbre din clasor (4 + 6 x 5). Exemple de acest tip îi vor conduce pe elevi la constatarea că, într-un exercițiu cu mai multe operații, înmulțirile și împărțirile se efectuează cu prioritate față de adunări și scăderi, indiferent de locul unde apar.

Se ajunge astfel la regula cunoscută: într-un exercițiu cu mai multe operații, se efectuează mai întâi (dacă există) înmulțirile și împărțirile (numite operații de ordinul a doilea), în ordinea în care apar și apoi adunările și scăderile (numite operații de ordinul I), în ordinea scrierii lor. În acest fel este rezolvată și problema apariției în exercițiu doar a unor operații de același ordin: acestea se efectuează în ordinea indicată de exercițiu.

Pentru formarea la elevi a priceperilor și deprinderilor de efectuare a unor astfel de exerciții cu mai multe operații diferite, este necesar ca în exercițiile propuse să fie utilizate numere mici, care orientează atenția copiilor spre aspectul esențial (ordinea efectuării) și nu spre efectuarea în sine a fiecărei operații.

Aceste exerciții trebuie să fie gradate, conținând, mai întâi, doar două operații de ordine diferite ( a + b x c ; a – b x c ; a + b : c ; a – b : c ). Lungimea unui astfel de exercițiu nu trebuie să fie foarte mare pentru că poate induce la elevi oboseala și neatenția, ce se vor reflecta în obținerea unor rezultate greșite. Același efect îl poate avea și solicitarea de a rezolva, prea mult timp, numai sarcini de acest tip.

Folosirea parantezelor

Uneori, contextul matematic impune efectuarea mai întâi a unor operații de ordinul I și apoi a altora, de ordinul II. Ar apărea astfel o contradicție cu regula privind ordinea efectuării operațiilor. De aceea, într-o asemenea situație, acordarea priorităților de calcul este impusă de

paranteze: mici (rotunde), mari (drepte), acolade. Acestea se folosesc doar perechi și conțin, între ele, secvența de exercițiu căreia i se acordă prioritate.

Introducerea parantezelor se face tot prin intermediul unor probleme. De exemplu:

„Bogdan și Cristian au cules cireșe: 23 kg și 17 kg. Cireșele culese au fost puse în lădițe de câte 5 kg fiecare. Câte lădițe s-au umplut?”.

Analizând rezolvarea și expresia numerică a acesteia, se constată că, în acest caz, se efectuează mai întâi adunarea și apoi împărțirea. Pentru a marca prioritatea (adunarea), se folosesc parantezele mici, astfel încât scrierea rezolvării problemei este (23 + 17) : 5.

În mod asemănător se pot introduce parantezele mari și acoladele, ajungând la desprinderea regulii cunoscute: într-un exercițiu cu paranteze se efectuează mai întâi operațiile din parantezele mici, apoi cele din parantezele mari și, la urmă, cele din interiorul acoladelor. Se ajunge astfel la un exercițiu fără paranteze, în care acționează regula stabilită anterior privind ordinea efectuării operațiilor.

Predarea–învățarea mărimilor și unităților de măsură

Problematica mărimilor și a măsurării acestora reprezintă o interfață între matematică și alte domenii ale cunoașterii umane, între matematică și viața cotidiană. Prin prezentarea unor mărimi frecvent întâlnite de elevi și a unităților de măsură corespunzătoare acestora, predarea-învățarea acestor noțiuni trebuie să aibă un pronunțat caracter instrumental, oferind copiilor “unelte” din ce în ce mai perfecționate, în vederea interacționării cu mediul.

O importanță deosebită prezintă în activitatea practică acele mărimi care pot fi evaluate cantitativ și se pot exprima valoric, ca urmare a posibilității de a fi asociate, în raport cu mărimi de referință de aceeași natură, cu un șir numeric. Astfel de mărimi sunt mărimi fizice. Mărimile fizice caracterizează proprietățile fizice ale materiei (masă, volum, densitate) sau mișcarea materiei în spațiu și timp (viteză, timp, distanță parcursă). Caracteristica principală a mărimilor fizice este că sunt măsurabile, adică se pot detecta și evalua cu un mijloc de măsurare oarecare.

Prin operația de măsurare se stabilește un raport numeric între mărimea de măsurat și unitatea de măsură. Astfel, măsura reprezintă numărul care arată de câte ori se cuprinde etalonul în dimensiunea obiectului respectiv.

Formarea conceptelor geometrice

Prin învățarea elementelor de geometrie se dezvoltă la elevi spiritul de observație, sunt angajate operațiile gândirii, formând un tip specific de raționament (raționamentul geometric), este stimulată plăcerea de a cerceta și de a descoperi prin forțe proprii, atracția pentru problematic. Introducerea elementelor de geometrie în matematica școlară, la nivel de învățământ primar, urmărește ca elevii să-și însușească cunoștințe fundamentale legate de spațiu, pornind de la observarea obiectelor din realitatea cunoscută și accesibilă lor.

La studierea figurilor geometrice, învățătorul va folosi cu precădere activitatea individuală, directă a elevilor. Aceștia vor construi figura cu ajutorul instrumentelor geometrice, o vor examina și vor încerca să-i descopere proprietățile. Învățătorul va prezenta elevilor cazuri și poziții variate ale noțiuni geometrice și nu se va rezuma numai la studierea unui caz particular. În formarea unui concept geometric, se va porni de la explorarea vizuală a mediului și de la intuirea materialului didactic. Sunt eficiente modelele mobile, care permit elevilor să intuiască, să înțeleagă și să rețină proprietățile figurilor geometrice.

Observațiile și concluziile vizând o noțiune geometrică vor avea la bază intuiția, experiența empirică a elevilor, raționamentul de tip analogic și inductiv, dar și elemente de deducție, atât de necesare dezvoltării gândirii elevilor. Ca bază pentru concluzii nu trebuie să se folosească o singură experiență. Pentru aceasta, elevii trebuie orientați să observe, să compare și să generalizeze cu precauție, întrucât concluzia rezultată numai dintr-un caz particular poate fi greșită.

Prin lecțiile cu conținut geometric, învățătorul va urmări ca un număr cât mai mare din cunoștințele dobândite să poată fi folosite nu numai în activitatea următoare a elevilor la geometrie, dar și în alte domenii ale matematicii sau la alte discipline școlare. Elementele de geometrie se pot conecta cu zona predării – învățării mărimilor și a unităților de măsură sau pot fi utilizate în rezolvarea problemelor de matematică, în vederea schematizărilor sau a concretizărilor acestora, însă pot valoriza și achiziții din alte discipline de studiu: educație fizică, arte vizuale, lucru manual și chiar limba română (în învățarea scrisului).

Formarea noțiunii de fracție

Introducerea noțiunii de fracție reprezintă prima lărgire a conceptului de număr. Elevii vor învăța că noua mulțime numerică o include pe cea a numerelor naturale, prin înțelegerea faptului că o fracție cu numitorul 1 reprezintă un număr natural.

Formarea noțiunii de fracție este un proces mai complicat, ce va conduce, în timp, la conceptul de număr rațional. Demersul didactic trebuie să aibă traseul obișnuit în învățarea la această vârstă: de la elementele acționale, concrete, la cele de reprezentare iconică și atingând nivelul abstracțiunii, prin elemente simbolice.

Învățarea fracțiilor în clasa a III-a, a IV-a nu pornește de pe un loc gol. În clasa a II-a, elevii au cunoscut termenii de jumătate (doime) și sfert (pătrime), în legătură cu împărțirea unui număr la 2, respectiv la 4, lucruri ce pot fi valorificate în acest capitol. Astfel, știind că una din cele două părți de aceeași mărime în care a fost împărțit un întreg reprezintă o doime, că una din cele 4 părți de aceeași mărime în care a fost împărțit întregul reprezintă o pătrime, se pot aborda alte cazuri particulare, ce vor conduce la generalizarea ce definește unitatea fracționară: o parte dintr-un întreg care a fost împărțit în părți la fel de mari. Elevii vor fi conduși să intuiască întregul ca un obiect, o figură geometrică, o mulțime de obiecte sau imagini de același fel sau chiar număr.

Compararea unei fracții cu întregul

Următoarele informații pe care și le pot însuși elevii se referă la tipurile de fracții date de compararea cu întregul (subunitare, echiunitare, supraunitare). Treptat, concretul reprezentat de obiecte sau imagini va dispărea și elevii își vor forma priceperea de a sesiza tipul fracției, prin simpla comparare a numărătorului cu numitorul.

Fracții egale

Fracțiile egale sunt definite ca fiind fracțiile ce reprezintă aceeași parte dintrun întreg sau din întregi identici. Această definiție nu poate fi asimilată de elevi decât prin intuirea unor situații particulare și descoperirea egalității (1/2 = 2/4 = 4/8), ceea ce constituie un prim pas în sesizarea proprietății de amplificare (înmulțirea atât a numărătorului cât și a numitorului cu un același număr nenul), reprezentând totodată și o modalitate de obținere a fracțiilor egale cu o fracție dată. Analiza șirului de egalități scrise în ordine inversă (4/8 = 2/4 = 1/2) sugerează proprietatea de simplificare a fracțiilor (împărțirea atât a numărătorului cât și a numitorului cu un același număr nenul).

Compararea a două fracții

Problema comparării a două fracții apare imediat după problema egalității: dacă fracțiile nu sunt egale, trebuie stabilit care dintre ele este mai mică/mare.

Pentru compararea fracțiilor care au același numărător, elevii trebuie să înțeleagă că, împărțind un întreg în părți (egale) mai multe, părțile vor fi mai mici.

În etapa următoare se consideră nu câte o unitate fracționară, ci mai multe (dar tot atâtea din fiecare întreg), adică fracții cu numărători egali. Cunoscând faptul că o pătrime reprezintă mai mult decât o cincime (din același întreg sau din doi întregi egali), elevii intuiesc cu ușurință că dacă se iau câte 3 asemenea părți, 3 pătrimi înseamnă mai mult decât 3 cincimi. După prezentarea mai multor asemenea cazuri particulare, se poate obține regula: dintre două fracții cu același numărător este mai mare cea cu numitorul mai mic. Sarcinile care urmează vizează: stabilirea celei mai mari fracții dintre mai multe fracții cu același numărător, compararea și ordonarea descrescătoare a mai multor astfel de fracții, urmată de ordonarea lor crescătoare.

Operații cu fracții

Adunarea și scăderea fracțiilor cu același numitor) nu ridică probleme metodice deosebite deoarece, în această etapă, elevii pot discrimina cu ușurință tipul de problemă simplă întâlnit, iar partea calculatorie este corect intuită, după utilizarea unui desen sugestiv și a unor exprimări neformalizate (două cincimi + o cincime =? ; trei cincimi – două cincimi =?). Se ajunge astfel la regulile cunoscute: pentru a aduna/scădea două fracții cu același numitor se adună/scad numărătorii, numitorul rămânând neschimbat.

Aflarea unei fracții dintr-un întreg

Aflarea unei fracții dintr-un întreg trebuie realizată metodic în două etape:

aflarea unei (singure) unități fracționare dintr-un întreg;

aflarea unei fracții (mai multe unități fracționare) dintr-un întreg.

Prima etapă se parcurge apelând mai întâi la intuiție, prin utilizarea unui material didactic tridimensional (obiecte) și plan (imagini, figuri). Problema aflării unei doimi dintr-un astfel de întreg este transpusă cu ușurință de către elevi în plan operațional, la împărțirea acestuia în două părți egale. Prin inducție se ajunge la concluzia că aflarea unei unități fracționare dintr-un întreg este reductibilă la împărțirea acestuia în atâtea părți egale cât arată numitorul. Apoi se află unități fracționare din întregi ce reprezintă mase, lungimi, volume, cantități (ex.: 1/2 din 10 kg, 1/3 din 9m, 1/4 din 12 l), reținând ideea: împărțire (în părți egale). De aici, se trece la aflarea unei unități fracționare dintr-un număr (1/2 din 10, 1/3 din 9, 1/4 din 12), subliniind procedeul: împărțire.

Parcurgerea celei de-a două etape (aflarea unei fracții dintr-un întreg) presupune doi pași: aflarea unei singure unități fracționare de tipul indicat de numitor și apoi aflarea fracției respective din întreg. De exemplu, problema aflării a 3/4 din 12 este reductibilă la: aflarea unei pătrimi din 12 (ceea ce elevii știu) și constatarea că 3 astfel de părți (pătrimi) înseamnă de 3 ori mai mult decât una singură (deci înmulțire cu 3).

După rezolvarea mai multor cazuri particulare se sintetizează modul de lucru în regula: pentru a afla cât reprezintă o fracție dintr-un număr (natural), împărțim numărul la numitorul fracției și înmulțim rezultatul cu numărătorul. Din punct de vedere metodic, această ultimă etapă poate fi parcursă, funcție de particularitățile clasei, trecând prin fiecare dintre fazele concretă, semiconcretă și abstractă sau numai prin ultimele/ultima. Considerăm că elevii și-au însușit procedeul aflării unei fracții dintr-un întreg, dacă vor avea capacitatea să gândească și să exprime (oral sau scris) de tipul 3/4 din 12 = 12 : 4 x 3.

Rezolvarea de probleme

Noțiunea de problemă, în sens larg, se referă la orice dificultate de natură practică sau teoretică ce necesită o soluționare. În sens restrâns, problema din matematică vizează o situație problematică a cărei rezolvare se obține prin procese de gândire și calcul. Ea presupune o anumită situație, ce se cere lămurită în condițiile ipotezei (valori numerice date și relații între ele) enunțată în text, în vederea concluzionării, prin raționament și printr-un șir de operații, a căror efectuare conduce la rezolvarea problemei.

Rezolvarea problemelor simple

Specific claselor pregătitoare și I este primul tip de probleme, a căror rezolvare conduce la o adunare sau scădere în concentrele numerice învățate. Rezolvarea acestora reprezintă, în esență, soluționarea unor situații problematice reale, pe care elevii le întâlnesc sau le pot întâlni în viață, în realitatea înconjurătoare. Pe plan psihologic, rezolvarea unei probleme simple reprezintă un proces de analiză și sinteză în cea mai simplă formă.

Problema trebuie să cuprindă date (valori numerice și relații între ele) și întrebarea problemei (ce se cere a fi aflat). La cea mai simplă analiză a întrebării problemei se ajunge la date și la cea mai simplă sinteză a datelor se ajunge la întrebarea problemei. A rezolva în mod conștient o problemă simplă înseamnă a cunoaște bine punctul de plecare (datele problemei) și punctul la care trebuie să se ajungă (întrebarea problemei), înseamnă a stabili între acestea un drum rațional, o relație corectă, adică a alege operația corespunzătoare, impusă de rezolvarea problemei.

Elevii din clasa pregătitoare și clasa I întâmpină dificultăți în rezolvarea problemelor simple, din pricina neînțelegerii relațiilor dintre date (valori numerice), text și întrebare.

Valorile numerice sunt greu legate de conținut și de sarcina propusă în problemă și pentru că numerele exercită asupra școlarilor mici o anumită fascinație, care îi face să ignore conținutul problemei.

Un alt grup de dificultăți apare din pricina limbajului matematic, pe care școlarii mici nu îl înțeleg și, în consecință, nu pot rezolva o anumită problemă. De aceea, una dintre sarcinile importante ale învățătorului este aceea de a învăța pe elevi să “traducă” textul unei probleme în limbajul operațiilor aritmetice.

Având în vedere caracterul intuitiv-concret al gândirii micului școlar, primele probleme ce se rezolvă cu clasa vor fi prezentate într-o formă cât mai concretă, prin “punere în scenă”, prin ilustrarea cu ajutorul materialului didactic și cu alte mijloace intuitive. Prezentarea acestor probleme se face gradat, trecând de la probleme după imagini, la probleme cu imagini și text, abia apoi la probleme cu text.

Rezolvarea problemelor compuse

Rezolvarea unei probleme compuse nu este reductibilă doar la rezolvarea succesivă a unor probleme simple. Dificultatea unor astfel de rezolvări este dată de necesitatea descoperirii legăturilor dintre date și necunoscute, de construirea raționamentului corespunzător. De aceea, primul pas în realizarea demersului didactic îl constituie rezolvarea unor probleme compuse, alcătuite din succesiunea a două probleme simple, unde cea de a doua problemă are ca una dintre date, răspunsul de la prima problemă. În urma unor astfel de activități, elevii sesizează pașii raționamentului și învață să redacteze rezolvarea problemei, pe baza elaborării unui plan și efectuării calculelor corespunzătoare.

Pentru rezolvarea unei probleme compuse este necesară parcurgerea următoarelor etape:

însușirea enunțului problemei;

examinarea (judecata) problemei;

alcătuirea planului de rezolvare;

rezolvarea propriu-zisă;

activități suplimentare după rezolvarea problemei.

În fiecare etapă parcursă, activitățile ce se desfășoară sunt variate, unele obligatorii, altele doar dacă este cazul. Învățătorul trebuie să valorifice la maximum domeniul rezolvării de probleme, asigurând astfel pronunțatul caracter formativ al acestui tip de activitate.

I.4 – MODALITĂȚI DE DIFERENȚIERE

A PROCESULUI INSTRUCTIV-EDUCATIV LA MATEMATICĂ

"Învățătorul este managerul educațional al disciplinei de învățământ predată, în relația pe care o are cu fiecare elev din clasa sa ", cel puțin pentru următoarele motive:

el trebuie să știe la ce nivel de achiziții se află fiecare dintre elevii săi

el trebuie să știe la ce nivel de cunoaștere și educație vrea să ajungă cu fiecare dintre elevii săi pe parcursul și la finele anului școlar

el trebuie să știe care este cea mai bună cale de a realiza aceste aceste obiective, în termeni de oportunități de învățare pe care le va creea, pentru a permite tuturor copiilor din clasa să atingă obiectivele declarate ale curriculum-ului național (B. Nicolescu, T. Petrescu,2010).

Pentru a manageria eficient procesul instructiv-educativ la matematică la nivel de clasă de elevi, învățătorul trebuie să asigure o bună cunoaștere a fiecărui elev. Este absolut necesar să proiecteze la începutul fiecărui anului școlar activități de evalare inițială, cu scopul de a regla procesul în funcție de rezultatele constatate. Identificarea punctelor forte și a necesităților educaționale ale fiecărui elev al său este piatra de temelie pentru o activitate didactică eficientă și constituie o primă etapă în realizarea diferențierii.

Este normal să pornim întotdeauna de la punctele forte ale elevilor și ale noastre, ca învățători, cum ar fi: ce știe elevul, ce poate să facă, ce înclinații are, de ce abilități didactice dispune. Trebuie să avem în vedere slăbiciunile elevilor pe care vrem să le îndreptăm: ce nu știe, ce nu a înțeles, ce nu reușește să facă, ce prag nu poate să depășescă, ce nu pot eu, învățătorul să fac – necesitatea unei bune cunoașteri a elevilor și a autocunoașterii.

Un alt reper în proiectare îl reprezintă oportunitățile pe care ni le oferă mediul (sprijinul părinților, mijloace de învățământ ce pot ajuta); de asemenea ar fi grav dacă n-am ține seama de pericolele și amenințările ce pot apărea, pentru a le preîntâmpina (reacția colegilor, a părințolor, stresul copilului etc.).

Cadrul didactic de sprijin și, alături de acesta, învățătorul de la clasă utilizează în demersul evaluării inițiale nu numai testul, fișa de evaluare, ci și observația sistematică a reacțiilor, comportamentului elevilor raportat la sarcina de lucru și la situația de învățare, la relaționarea lui cu cadrul didactic și colegii de clasă, convorbirea cu acesta și membri familiei lui, experimentul, analiza produselor activității elevului și alte metode investigative care au ca finalitate creionarea situației inițiale ce va sta la baza realizării studiului de caz. Evaluarea inițială se realizează în vederea identificării nivelului de cunoștințe al elevului dar fără a avea ca scop clasificarea sau ierarhizarea elevilor (se evită notarea probelor administrate).

Probele de evaluare se pot elabora având ca reper competențele specifice propuse de

curricula școlară pentru aria curriculară vizată, Matematică și științe ale naturii. Identificarea dificultăților și a lacunelor elevilor conduce la selectarea obiectivelor pe care le propunem, selectarea conținuturilor și a activităților de învățare.

În urma evaluării inițiale sunt identificate natura, gravitatea, claritatea cu care se evidentiaza si persistenta in timp a erorilor pe care le fac elevii cu dificultati de invatare a Matematicii. Cateva exemple ar fi:

dificultati in citirea si scrierea numerelor; inverseaza cifrele sau numerle (ex: 15 cu 51)

dificultati in a efectua operatii matematice cu numere (unii elevi sunt capabili sa efectueze operatiile matematice, dar nu ajung la rezultatul corect deoarece nu pot intelege enunturile)

dificultati de reamintire a simbolurilor operatiilor matematice

dificultati in a intelege sensul problemelor, în reprezentarea mentala a ideiilor si a relatiilor matematice; dificultati in a rezolva probleme

dificultati de operare cu unitati de masura, elemente de geometrie, grafice

dificultati in cunoașterea limbajului matematic

opoziție în fața sarcinii de lucru, refuzul de a invata matematica.

Următoarea etapă o reprezintă analiza rezultatelor înregistrate, cu privire la dificultățile întâmpinate de către elev la disciplina Matematică, în cazul nostru, și colaborarea într-un mod optim a tuturor specialiștilor implicați, cadru didactic de sprijin, învățător, eventual terapeut și nu în ultimul rând familia elevului în vederea luării unei decizii și a stabilirii modalității de intervenție educațională ce se potrivește în mod optim și realist elevului în cauză.

Cadrul didactic de sprijin în echipă cu învățătorul întocmește un proiect de intervenție personalizată, stabilind modalitățile cele mai eficiente de implementare, termene de timp limită, evaluarea intervenției și realizează adaptarea curriculară. Planul Educațional de Intervenție Individualizată (personalizat) este un plan scris cu obiective pe termen scurt și lung, elaborat pentru a sprijini învățarea copilului sau nevoile comportamentale. Este un document de lucru pentru toate cadrele didactice. Acesta ar trebui revizuit de cel puțin două ori pe an și sprijină educația copiilor/ elevilor cu dizabilități / cerințe educative speciale (CES) și / sau a copiilor/ elevilor aflați în dificultate, în funcție de rezultatele evaluarii complexe, de nevoile specifice identificate (educaționale, terapeutice, medicale, sociale), orientând intervenția și recuperarea.

În funcție de obiectivele propuse este realizată adaptarea curriculară, având ca rezultat curriculum adaptat – o planificare adaptată particularităților reale ale elevului.

Există numeroase forme și aspecte ale adaptării curriculumului la clasă, iar adaptarea se manifestă divers, pentru subiecți diferiți: de la elevii cu dizabilități până la elevii supradotați. Diferențierea și individualizarea pentru cele 4 direcții realizate de învățător se va realiza astfel:

A. adaptarea conținuturilor trebuie să aibă în vedere atât aspectul cantitativ (volumul de cunoștințe), cât și aspectul calitativ (procesele cognitive implicate dar și viteza și stilul de învățare al elevilor și conexiunile interdisciplinare);

Adaptarea planurilor și programelor școlare la potențialul real de învățare al elevului, de exemplu:

plan de învățământ adaptat prin alocarea unui număr mai mic de ore la anumite discipline

adaptarea conținuturilor din programa școlară prin aprofundare, extindere

selectarea obiectivelor și derularea unor programe de recuperare și remediere școlară suplimentare etc.

B. adaptarea proceselor didactice trebuie să vizeze specificul proceselor cognitive implicate în învățare (potențialul de dezvoltare), dar și învățarea independentă a elevului.

În procesul de predare putem adapta:

mărimea și gradul de dificultate al sarcinii (numărul de sarcini de învățare pe care să le realizeze elevii, tipul de probleme de rezolvat, reguli de rezolvare a sarcinii, modul de realizare al sarcinii, de exemplu, acceptarea răspunsului oral dacă elevul nu reușește în scris etc);

metodele de predare (metode de învățare prin cooperare, metode activ – participative, jocul didactic, etc.);

materiale didactice (materiale didactice intuitive);

timpul de lucru alocat (creșterea sau scăderea timpului de lucru alocat rezolvării unei sarcini);

nivelul de sprijin (asigurarea sprijinului suplimentar pentru unii elevi, de către cadrul didactic de la clasă sau prin cadre didactice de sprijin);

C. adaptarea mediului de învățare – fizic, psihologic, social

Atmosfera de lucru și mediul de învățare trebuie să fie destinse, permisive, de susținere și securizare. Trebuie încurajate exprimarea opiniilor, acceptarea și respectarea diferențelor dintre indivizi, interstimularea și comunicarea.

D. adaptarea procesului de evaluare

Parcurgerea curriculumului are ca finalitate dezvoltarea unor capacități individuale ce se pot exprima prin diverse proiecte și produse (scrise, orale, vizuale, kinestezice – proiecte, portofolii etc.). Elevul poate demonstra că a înțeles sau că a rezolvat sarcina prin realizarea de diferite produse iar modalitatea de evaluare poate fi adaptată în funcție de potențialul individual – evaluarea prin probe scrise poate fi înlocuită prin probe orale, demonstrarea cunoștințelor acumulate prin mijloace/activități practice. Evaluarea trebuie să vizeze identificarea progresului realizat de elev luând ca punct de plecare rezultatele evaluării inițiale (evaluarea individualizată ).

În următoarea etapă este realizată intervenția efectivă, materializată în sarcini diferențiate, desfășurată în clasă, în timpul lecțiilor, și în activități suplimentare, de remediere derulate de către cadrul didactic de sprijin, în cabinetul de sprijin educațional, activitate ce implică elaborarea instrumentelor specifice intervenției – fișe de lucru adaptate, fișe de evaluare continuă, formativă, concepere și utilizare de materiale didactice adaptate nivelului de dezvoltare a elevului etc.

Ultima etapă este cea de evaluare finală aducând importante informații despre achizițiile și abilitățile matematice formate la elev în decursul intervenției și permite reproiectarea intervenției funcție de rezultatele înregistrate. Se recomandă folosirea unor metode și procedee de evaluare prin care să se evidențieze evoluția și performanțele elevilor nu numai în plan intelectual, ci, mai ales, în plan aplicativ (modalitățile de rezolvare a unor probleme tipice de viață, posibilitățile de comunicare și relaționare cu cei din jur etc.).

Pentru a veni in ajutorul copiilor care au dificultati in invatarea matematicii s-au facut numeroase studii, dar s-a observat ca o regula generala faptul ca e foarte important sa se faca mult mai mult apel la lucrul cu obiecte concrete, la situatii reale in care elevul sa fie implicat cat mai activ. Totodata s-a observat ca nu exista anumite strategii exacte de interventie care sa functioneze dupa sablon, ci interventia trebuie mereu adaptata in functie de specificul dificultatilor cu care se confrunta fiecare elev, de specificul personalitatii sale, al ritmului sau de invatare si al modalitatii cognitive.

Trecand progresiv de la modul concret la cel simbolic, elevii invata intr-un mod adaptat cerintelor lor. De asemenea, ei nu vor mai fi inhibati de frica de a gresi. Acest mod de invatare a matematicii face apel la lucrul cu obiecte, la experiente directe si activitati concrete, elevilor cu dificultati de invatare trebuind sa li se ofere un climat si materiale proprice dificultatilor lor. Va trebui respectat si ritmul de invatare al elevului sau al grupului de lucru. Este mai important ca elevii sa lucreze zilnic, decat sa lucreze mult, acelasi tip de exercitii.

Se subliniază o eficiență crescută a învățării prin utilizarea metodelor activ-participative, interactive, moderne. Învățarea activă este asociată cu conceptul de „a învăța făcând” – „learning by doing”. Orice activitate care încurajează implicarea elevului în procesul de învățare este „activă”și aproape orice metodă interactivă poate avea sarcini de lucru adaptate particularităților elevilor cu cerinte educationale speciale inclusi in scoala incluzivă. Invatarea trebuie sa faca apel la activitatile libere: jocuri, loisir, ativitatii in grup etc. la inceput nu se vor folosi decat obiecte (cuburi, bile, nasturi, bastonase, dominouri, carti de joc, plastilina etc). Elevii trebuie stimulati sa vorbeasca in timp ce lucreaza.

Se pot pune la dispozitia elevilor carduri / cartonase cu adunari si cu tabla inmultirii. De asemenea se pot folosi panouri de prezentare a modului de calcul, indicand printr-un punct verde cifra de la care se incepe calculul si printr-o sageata sensul.

Dozarea eficientă a timpului de implicare în sarcină : ca regula generala, elevii pot fi atentii circa 10 minute, dupa care apar dificultatile de concentrare. De aceea lectia trebuie impartita in mai multe perioade. O perioada de 20 de minute poate fi impartita astfel: 5 min. calcul; 5 min. se prezinta o noua operatie; 10 min. se rezolva o problema.

Organizarea clasei eterogene în grupe de elevi pe niveluri (minim, mediu, maxim), în funcție de progres, pe discipline; organizarea și desfășurarea activității pe grupe, în funcție de tempoul de învățare, nivelul achizițiilor și abilităților matematice; utilizarea softurilor educaționale și a mijloacelor IT pentru scurte momente din lecție; diferențierea, individualizarea temelor pentru acasă sunt ale exigențe într-o viziune diferențiată a învățării.

Acesti copii au nevoie de o invatare multisenzoriala explicita care sa-i faca sa avanseze. Activitatile multisenzoriale sunt mult mai eficiente pentru invatarea matematicii decat pentru invatarea limbajului. De exemplu, pentru a învata sa numere, elevii pot scrie pe un cartonas cifra 1. Apoi o va modela din plastelina, pronuntand si numele ei. Repeta experienta si cu cifra 2. Apoi va scrie numele cifrei si il va modela din plastelina.

Este important ca învățătorul să asigure o clarificare deplină a structurii problemei predate, sarcinii de rezolvare și a exigențelor esențiale în raport cu solicitările elevilor; o secvenționalizare acțională clară și completă a fiecărei ore (lecții) de matematică, a algoritmilor de parcurs în formarea de concepte, operații matematice, rezolvarea de probleme. Este nevoie de structurarea cunoasterii si de o doza buna de orientare pentru a se duce la bun sfarsit invatarea scolara. Trebuie sa li se furnizeze un cadru adecvat si structurat de invatare in clasa, fiind mereu preveniti de ceea ce urmeaza.

Însusirea unor metode si tehnici de invatare, memorare, de redare a ideilor unui continut constituie o alta cerinta pe care educatorul o poate rezolva in clasa obisnuita; promovarea, la elevi, a folosirii și dezvoltării de strategii de memorare (întipărire) și recuperare (reactualizare) a informațiilor utile; utilizarea de „chei vizuale" (casete, diagrame, scheme etc.) sau cel puțin sublinieri pentru a atenționa și ajuta elevii în captarea, înțelegerea (decodificarea), aplicarea și generalizarea informațiilor predate.

Se recomanda utilizarea fișelor diferențiate. Diferite tipuri de fișe pot fi integrate în câteva categorii: fișe de cunoștințe ( noțiuni ), care pot deveni, pentru unii elevi , fișe de autoinstruire; fișe de exerciții cu grad progresiv de dificultate, destinate aplicării și consolidării noțiunilor, a deprinderilor; fișe de recuperare, destinate să umple lacunele, să remedieze deficiențele, să corecteze grșelile altora, să contribuie la reeducarea capacităților intelectualeale copiilor; fișe de control, utilizate în etapa revederii sau regrupării cunoștințelor asimilate; fișe de dezvoltare, utilizate de elevii care nu au comis greșeli, în vederea perfecționării cunoștințelor și îmbogățirii culturii lor, propunându-le probleme mai dificile și mai extinse (aplicate pe durata în care institutorul trebuie să se ocupe de ceilalți elevi).

Această metodă se distinge prin suplețea folosirii fișelor și mari posibilități de adaptare; ele pot să fie folosite în momente diferite și în perspective mai cu seamă la clasele școlii incluzive, unde se pot urmări progresele înregistrate de fiecare elev în parte .

Fișa de lucru este concepută de profesor în mod logic și cuprinde mai multe sarcini de lucru intelectuale și motorii, a căror rezolvare prin observare și acțiune independentă permite descoperirea sau aprofundarea de către elevi a informațiilor științifice precum și formarea (fixarea) unor deprinderi de lucru .

În învățământul incluziv, fișa de lucru reprezintă un instrument de bază al individualizării învățării la deficientul mintal. Sarcinile de lucru cuprinse în fișă, sunt stabilite de profesor în raport cu obiectivele operaționale ale lecției. Obiectivele urmărite sunt: minimale ( obiective ce trebuie atinse de toți elevii), medii (obiective atinse de majoritatea elevilor) și maximale ( obiective atinse de o mică parte a elevilor ).

Volumul și gradul de dificultate al acestora nu vor fi identice ci vor varia de la un copil la altul în funcție de nivelul pe care îl atinge fiecare la matematică.Va varia de asemenea și modul de rezolvare a sarcinii primite. Învățătorul controlează modul de lucru a fiecărui elev, orientează autoevaluarea, apreciază (evaluează) și îi dă elevului o nouă sarcină: o nouă fișă sau indicația de a repeta o anumită regulă de calcul, o anumită parte din materia ce trebuia învățată (tabla adunării cu 8, tabla împărțirii la 3 etc).

Jocul ca activitate de învățare fundamentală rămâne pentru elevul cu dificultăți de învățare, pentru deficientul mintal forma cea mai accesibilă a procesului didactic-recuperator.

Prin convertirea situației de joc în situație de învățare, elevul are acces la modele de tip cognitiv. Astfel, plecând de la forma de joc, învățare de tip explorator, manipulativ, elevul ajunge să cunoască obiectele care-l înconjoară și-și organizează stimulii prin antrenament de tip matematic (fapt care-l ajută în final, în organizarea sa mintală). Prin joc se poate obține întărirea comportamentelor și raționamentelor corecte și, poate cel mai important, și, poate cel mai important aspect didactico-formativ, motivarea copilului deficient spre explorare și cunoaștere.

Activitățile de învățare prin joc a matematicii de către elevul cu deficiență de limită sau ușoară, presupune alegerea corectă a tipului de joc care vizează acea sarcină didactică ce-i poate dezvolta subiectului învățării gândirea matematică. Sunt de specificat activități de învățare precum: jocuri de manipulare, jocuri grafice (preliminare, de divertisment, de învățare a grafiei cifrelor), jocuri de culori și forme, jocuri de dezvoltare și stimulare a atenției și memoriei, jocuri pentru formarea reprezentărilor mintale, asociațiilor, raționamentelor, combinărilor, jocuri pentru formarea operatorilor prelogici la nivelul operațiilor concrete (comparare, asociere, ordonare, clasificare, scriere).

Construirea unei imagini pozitive despre sine, o alta nevoie a copiilor cu dificultati de invatare, se poate realiza pe fondul unor activitati de grup orientate spre valorizarea posibilitatilor fiecaruia si pe un sistem de relatii pozitive intre profesor si elev si intre elevi. Relatiile respective trebuie sa ofere terenul increderii reciproce, al empatiei cu trairile fiecaruia, impartasirii emotiilor,sentimentelor, preocuparilor ca si a experientei de cunoastere si invatare.

Fiecare cadru didactic trebuie să facă tot ce este posibil pentru a-i captiva pe elevi, pentru a-i face să le placă mult la școală, să îndrăgească activitatea școlară la toate obiectele de învățământ, inclusiv la matematică. Toți elevii, dar în special cei care întâmpină dificultăți de învățare a matematicii vor trebui să fie înconjurați permanent de un câmp de afectivitate tonic, pozitiv, optimist etc. Dacă îi cerem să muncească mai mult timp (la matematică), să depună efort mai intens este necesar să-1 încurajăm, să avem încredere în el. Pe acest fond afectiv va trebui să-i stimulăm motivația, interesul pentru matematică.