DEZVOLTAREA UNUI MODEL PENTRU EVALUAREA FIABILITĂȚII ȘI A DISPONIBILITĂȚII ADECVAT REȚELELOR DE COMUNICAȚIE . PLATFORMĂ DE LABORATOR Lucrare d e dis… [618878]

Universitatea “Politehnica” din București
Facultatea de Electronică, Telecomunicații și Tehnologia Informației

DEZVOLTAREA UNUI MODEL PENTRU EVALUAREA
FIABILITĂȚII ȘI A DISPONIBILITĂȚII ADECVAT REȚELELOR DE
COMUNICAȚIE . PLATFORMĂ DE LABORATOR

Lucrare d e dis ertație
prezentată ca cerință parțială pentru obținerea titlului de
Master în domeniul Tehnologie și Fiabilitate
programul de studii de masterat Ingineria calității și siguranței în
funcționare în electronică și telecomunicații

Conducător științific Absolvent: [anonimizat]. Ioan BACIVAROV Iuliana TUDOR

2017

Declarație de onestitate academică

Prin prezenta declar că lucrarea cu titlul “DEZVOLTAREA UNUI MODEL
PENTRU EVALUAREA FIABILITĂȚII ȘI DISPONIBILITĂȚII ADECVAT
REȚELELOR DE COMUNICAȚIE. PLATFORMĂ DE LABORATOR”, prezentată
în cadrul Facultății de Electronică, Telecomunicații și Te hnologia Informației a
Universității “Politehnica” din București ca cerință parțială pentru obținerea titlului de
Master în domeniul Inginerie Electronică și Telecomunicații , programul de studii
Ingineria Calității și Siguranței în Funcționare în Electronică și Telecomunicații este
scrisă de mine și nu a mai fost prezentată niciodată la o facultate sau instituție de
învățământ superior din țară sau străinătate.

Declar că toate sursele utilizate, inclusiv cele de pe Internet, sunt indicate în
lucrare, ca referințe bibliografice. Fragmentele de text din alte surse, reproduse exact,
chiar și în traducere proprie din altă limbă, sunt scrise între ghilimele și fac referință la
sursă. Reformularea în cuvinte proprii a textelor scrise de către alți autor i face referință
la sursă. Înțeleg că plagiatul constituie infracțiune și se sancționează conform legilor
în vigoare.

Declar că toate rezultatele simulărilor, experimentelor și măsurătorilor pe care
le prezint ca fiind făcute de mine, precum și metodele p rin care au fost obținute, sunt
reale și provin din respectivele simulări, experimente și măsurători. Înțeleg că
falsificarea datelor și rezultatelor constituie fraudă și se sancționează conform
regulamentelor în vigoare.

București, 08.06.2017

Absolvent: [anonimizat]

_________________________

(semnătura în original)

Cuprins

Lista de figuri ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 11
Lista acronimelor ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 15
Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………. 17
1. Analiza fiabilității sistemelor de telecomunicații ………………………….. ………………………….. ……………….. 18
1.1. Introducere în studiul analizei fiabilității sistemelor de telecomunicații ………………………….. …….. 18
1.2. Evaluarea fiabilității sistemelor simple ………………………….. ………………………….. ………………………. 22
1.2.1. Sisteme cu structură serie ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 23
1.2.2. Sisteme cu structură paralel ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 26
1.2.3 Sisteme cu structură mixtă ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 28
1.3. Sisteme parțial redundante ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 30
1.3.1. Sisteme parțial redundante cu componente identice ………………………….. ………………………….. … 31
1.3.2. Sisteme parțial redundante cu componente neidentice ………………………….. …………………………. 32
1.4. Sisteme cu redundanță în regim de a șteptare ………………………….. ………………………….. ………………… 34
1.4.1. Sisteme cu redundanță în regim de a șteptare cu comutare perfectă ………………………….. ………. 34
1.4.2. Sisteme cu redundanță în regim de a șteptare cu comutare imperfectă ………………………….. ….. 35
2. Analiza fiabilității sistemelor de telecomunicații cu structură ned ecompozabilă la serie paralel ………. 37
2.1. Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 37
2.2. Metoda bazată pe enumerarea exhaustivă a stărilor sistemului ………………………….. ……………………. 38
2.3. Metod a bazată pe utilizarea formulei probabilității totale ………………………….. ………………………….. .. 39
2.4. Metode bazate pe mulțimile legăturilor minimale ………………………….. ………………………….. ………….. 41
2.5. Metode folosite pentru identificarea mulțimii legăturilor minimale ale unui sistem ……………………. 44
2.5.1. Metodă bazată pe ridicarea la putere a matricelor de conexiune ………………………….. ……………. 44
2.5.2. Metoda bazată pe reducerea succesivă a mărimii matricei de conexiune ………………………….. … 45
2.5.3. Metoda căilor adiționale ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 46
2.6. Metode de evaluarea a fiabilității pornind de la mulțimea legăturilor minimale ale sistemului ……… 47
2.6.1.Metodă bazată pe dezvoltarea canonică directă ………………………….. ………………………….. ……….. 47
2.6.2. Metodă bazată pe utilizarea calculului probabilităților ………………………….. ………………………….. 48
2.6.3. Metoda bazată pe descompunerea grafului de fluență ………………………….. ………………………….. 49
2.6.4. Metoda bazată pe utilizarea diagramelor de tip Karnaugh ………………………….. ……………………… 50
2.7. Metode bazate pe mulțimile tăieturilor minimale ………………………….. ………………………….. …………… 51
2.8. Metode aproximative pentru analiza fiabilității sistemelor de înaltă fiabilitate ………………………….. .. 51
3. Fiabilitatea rețelelor și toleranța la defectare ………………………….. ………………………….. ……………………….. 57

3.1.Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 57
3.2. Detectarea defectelor și recuperarea ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 58
3.3. Scheme bazate pe cale ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………. 60
3.4. Scheme bazate pe noduri și legături ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 62
3.5. Topologia de tip inel ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………….. 62
3.6. Topologia de rețea de tip plasă ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 65
3.7. Topologia de tip magistrală ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 68
3.8. Rețele LAN de mare capacitate ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 68
4. Disponibilitatea unei rețele ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………… 71
4.1. Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 71
4.2. Metoda defectelor -per-million ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….. 72
4.3. Metoda procentajelor ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………… 72
4.4. Disponibilitea unui dispozitiv ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 73
4.4.1.Evaluarea disponibilități unui grup de dispozitive conectate în serie ………………………….. ………… 73
4.4.2. Evaluarea disponibilități unui grup de dispozitive conectate în paralel ………………………….. .. 74
4.5. Evaluarea disponibilității unui sistem simplu ………………………….. ………………………….. ……………… 74
4.6. Calculul disponibilității unei rețele cu o topologie simplă ………………………….. ………………………… 75
5. Evaluarea fiabilității rețelelor de telecomunicații ………………………….. ………………………….. ………………. 77
5.1. Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 77
5.2. Evaluarea fiabilității rețelelor de telecomunicații cu ajutorul legăturilor mininale …………………… 77
6. Rețele Petri ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………….. 83
6.1. Rțele Petri stohastice generalizate (GSPN) [19] ………………………….. ………………………….. ………….. 83
6.2. Conceptul de rețea Petri netemp orizată ………………………….. ………………………….. ……………………. 84
6.3. Modele de tip rețea Petri cu temporizare deterministă ………………………….. ………………………….. . 85
6.3.1 Rețele cu tranziții temporizate ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 85
6.3.2 Rețele cu p oziții temporizate ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 86
6.3.3 Transformarea unei rețele temporizate T într -o rețea temporizată P ………………………….. ……….. 88
6.3.4 Transformarea unei rețele temporizate P într -o rețea temporizată T [20] ………………………….. …. 89
6.4. Modele de tip rețea Petri cu temporizare stohastică ………………………….. ………………………….. ….. 90
7. Aplicații ale reț elelor Petri în evaluarea disponibilității rețelelor de comunicații ………………………….. … 91
7.1. Modelarea funcționării unui server [21] ………………………….. ………………………….. ……………………. 94
7.2. Modelarea unui server care deservește două tipuri de clienți ………………………….. ………………….. 97
7.3. Modelarea unei rețele de așteptare ………………………….. ………………………….. …………………………. 99
Concluzii ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………. 103
Bibliografie ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………… 105

Anexa 1 ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………….. 107
Anexa 2 ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………….. 110
Anexa 3 ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………….. 111

Lista de figuri

Figura 1.1 Etapele analizei fiabilității unui sistem (Sursa [4])………………………………………………… …..….… 17
Figura 1.2. Sistem serie cu două componente independente …………………………………………………… …… ……2 0
Figura 1.3: Efectele creșterii numărului de componente în serie. N umerele reprezintă fiabilitatea
individuală a fiecărei componente (sursa [7]) ………………………………………………………………… …….……..21
Figura 1.4. Sistem paralel cu două componente independente …………………………………………… ……… .………23
Figura 1.5. Beneficiile fiabil ității incrementale (sursa [7])…………………………………………………… ..…………25
Figura 1.6. Posibilitățile de funcționare ale sistemului ………………………………………………………… …..………26
Figura 1.7. Sistemul pentru Exemplul 1.8 ……………………………………………………………………… ….…….. 27
Figura 1.8: Reducerea complexității sistemului pentr u exemplul 1.9 ………………………………………… …….…….27
Figura 1.9. Configuratia cu redundantă parțială “2/3” ………………………………………………………… …………28
Figura 1.10. Sistemul pentru Exemplul 1.11 ……………………………………………………………… ….………….. 30
Figura 1.11 Reducerea complexității pentru sistemul din exemplul 1.11. (a) Prima reducere. (b) A doua reducere. (c) A
treia reducere ………………………………………………………………………………………………… ……… .…..31
Figura 1.12. Moduri de redundanță: Redundanță paralelă/ Redundanță în regim de așteptare …………… ……….. ….… 31
Figura 1.13. Redundanță în regim de asteptare cu comutare imperfectă ……………………………………… ……… …..33
Figura 2.1 Modelul logic de fiabilitate de tip nedecompozabil al unei rețele de telecomunicații (Sursa [4]) ………… .….35
Figura 2.2 Modelul logic de fiabilitate de tip nedecompozabil al unei rețe le de telecomunicații atunci când E este
funcționa l……………………………………………………………………………………………………….… .…..… 38
Figura 2.3 Modelul logic de fiabilitate de tip nedecompozabil al unei rețele de telecomunicații atunci când E este
nefuncțional …………………………………………………………………………… …………………… .………..…. 39
Figura 2.4 Graful de fiabilitate al sistemului supus analizei incluzând calea adițională H (Sursa [4]) ……… ..….. ……..44
Figura 2.5. Transfigurări triunghi ↔stea ……………………………………………………………………… .…………50
Figura 2.6. Evaluarea fiabilității unei rețele de telecomunicații cu model logic de fiabilitate nedecompozabil, utilizând
transfigurări repetate triunghi↔stea …………………………………………………………………… ……….……. ….51
Figura 2.7. Cazul unei rețele de telecomunicații nedecompozabile care nu poate fi adusă la o structu ră fiabilistică serie –
paralel prin aplicarea teoremelor de transfigurare ………………………………………………………… ……….…. ….52
Figura 2.8. Transfigurarea unui patrulater bidiagonal într -o stea …………………………………………… ..…… …….. 52
Figura 2.9. Utilizarea transfigurării patrulator -stea în cazul unei rețele de telecomunicații cu structură
nedecompozabil …………………………………………………………………………………………… .…………….53
Figura 3.1 Rerutarea căii și a legăturii. Defectarea este marcată cu x (Sursa [14)]……………………… ………..…….. 58
Figura 3.2 Protecția căii și banda asocită (Sursa [14]) ………………………………………………… ….……… ..…….. 59
Figura 3.3 Protecția căii și a nodului într -un inel (Sursa [14]) …………………………………………… …..…… .….….61

Figura 3.4 Sistem alcătuit din patru fibre bazat pe buclarea înapoi. Fibrele 1 și 2 transportă traficul primar, fibr ele 3 și 4
sunt fibre de back -up (Sursa [14]) ……………………………………………………………… ………….……. ………. 61
Figura 3.5 Sistem WDM bazat pe 2 fibre. Traficul primar este transportat pe fibra 1 cu lungimea de undă 1 și pe fibra 2
cu lungimea de undă 2. Back -upul este asigurat de lu ngimea de undă 1 de pe fibra 2 pentru lungimea de undă 1 de pe
fibra 1, similar în cazul lungimii de undă 2 (Sursa [14]) ……………………………………… ……………….…. ……… 62
Figura 3.6 Noduri adaptate (Sursa [14]) ………………………………………………………… ………… .……………. 62
Figura 3.7 Topologia de tip pla să cu 5 calculatoare (Sursa [15]) ……………………………………… …..…… ..………. 63
Figura 3.8 Două inele traversând resurse separate de -a lungul aceleași legături (Sursa [14]) ……………… ………. ……. 64
Figura 3.9 Două inele traversând resurse comune de -a lungul aceleași legături (Sursa [14]) ……………… ………… …..64
Figura 3.10 Exemplul de prezentare a problemelor ce pot apărea în cazul acoperirii dublate pentru restaurarea lungimii
de undă (Sursa [14]) …………………………………………………………………………………… ………….. …….. 65
Figura 3.11 Topologia de tip magistrală (Sursa [16 ])………………………………………………………… ……..…… 66
Figura 3.12 Arhitectura redundantă într -o rețea LAN folosind topologia stea (Sursa [14]) ………………… ……… ……. 67
Figura 4.1 Sistemul supus evaluării disponibilității (Sursa[18]) ……………………………………………… ……. …….. 72
Figura 4.2 Rețeaua supusă analizei disponibilității (sursa [18]) …………………………………………… ……. ……….. 73
Figura 4.3 Rețeaua redundantă (Sursa [18]) …………………………………………………………………… ..…….….74
Figura 5.1 Graful de fiabilitate al sistemului cu cinci noduri supus analizei …………………………… ………… …..…..76
Figura 5 .2. Determinarea funcției de fiabilitate automat (prima parte), exemplul 5.1 …………………… ……… …… …..78
Figura 5.3. Determinarea funcției de fiabilitate automat (a doua parte), exemplul 5.1 …………………… ..…… …….. ….78
Figura 5.4. Determinarea funcției de fiabilitate automat (a treia parte), exemplul 5.1 ……………………… ..…….. ……. 79
Figura 5.5. Determinarea funcției de fiabilitate automat (ultima parte), exemplul 5.1 ……………………… ..……. …….79
Fig.6.1. Ilustrarea executării unei tranziții temporizate [20] ………………………………………………… …… ……… 84
Fig. 6.2. Ilustrarea comportării unei poziții temporizate [20] ………………………………………………… ..……..….85
Fig. 6.3. Ilustrarea procedeului de transformare a unei rețele temporizate T
într-o rețea temporizată P (a) rețeaua inițială (temporizată T);(b)rețeaua rezultată (temp orizată P) ………… ..……….. ….86
Fig. 6.4. Ilustrarea procedeului de transformare a unei rețele temporizate P într -o rețea temporizată T
(a) Rețeaua inițială (temporizată P); (b) Rețeaua rezultată (temporizată T). [20] …………………………… ….……. …… 87
Fig. 7.1. Fereastra d e selectare a tipului de rețea Petri utilizată. [21] ……………………………………… .…..… ………. 89
Fig. 7.2. Topologia rețelei Petri pentru un serve r cu două stări………………………………… …..……… .……. ……..…..92
Fig.7.3 . Jurnalul furnizat de Petri Net Toolbox după simularea apariției unui număr de 4 evenimente în rețeaua Petri din
fig.18: (a)cu marcajul inițial M0 = (1 0) ; (b) cu marcajul inițial M0′ = (0 1)………………………… ……………….. …..93
Fig. 7.4 . Topologiile rețelelor Petri în cazul unui server cu trei stări. [21]…………………………… ….………… ……. 94

Fig.7.5 . Topologia rețelei Petri stohastice ce modelează un server ce deserveș te două tipuri de clienți. [21]…… ….……. 96
Fig.7.6. Indicatorii globali pentru tranzi țiile rețelei din fig.7.4. [21]………………………………………… ………………96
Fig. 7.7 . Arborele d e accesibilitate ce corespunde rețelei Petri stohastice din fig. 7.4. [21] ………………… …….. …….. 97
Fig. 7.8 . Lanțul Markov ce corespunde rețelei Petri stohastice din fig. 7.4 ……………………………… ……… …….….97
Fig. 7.9 . Reprezentare schematică a rețelei de așteptare studiată …………………………………………………….…… 98
Fig. 7.10. Modelul de tip rețea Petri stohastică generalizată al sistemului de așteptare din fig. 7.8 …………….…………. 99
Fig. 7.11. Indicatorii globali pentru pozițiile rețelei din fig.7.9………………………………………… …….…………..99

Lista acronimelor

ADM Add-Drop Multiplexer
ARPANET Advanced Research Projects Agency Network
ATM Asynchronous Transfer Mode
BER Bit Error Rate
BLSR Bidirectional Line Switched Ring
CRC Cyclic Redundancy Check
CSMA Carrier Sense Multiple Access
DCS Digital Cross -Connect System
DP Diversity Protection
LAN Local Area Network
MTBF Mean Time Between Failures
MTTR Mean Time To Repair
NSFNET National Science Foundation Network
QoS Quality of Service
SHR Self-Healing Ring
SONET Synchronous Optical Networking
UPSR Unidirectional Path -Switched Ring
WAN Wide Area Network
WDM Wavelength -Division Multiplexing

17

Introducere

Lucrarea își propune prezentarea unui algoritm prin care se poate determina fiabilitatea unei
rețele de telecomunicații, plecând de la graful de fiabilitate al rețelei.
În ultimii ani domeniul telecomunicațiilor s -a dezvoltat într -un ritm alert, cercetările aplicate
s-au concentrat printre altele pe găsirea unor metode prin care fiabilitatea și disponibilitatea rețelelor
să fie cât mai mari. Cei care proiectează o astfel de rețea au o misiune dificilă, deoarece pe de o parte
rețeaua trebuie să fie capabilă să satisfacă cerințele clienților, pe de altă parte se pune în balanță costul
de implementare al rețelei.
Prin intermediul fiabilității și disponibilității se poate evalua riscul de defectare a rețelei la un
moment dat, de asemenea, se poate estima timpul de nefuncționalitate a rețelei pe parcursul unei
perioade de timp stabilite, de exemplu un an de zile.
Această lucrare este structurată pe șapte capitole, unde sunt prezentate conceptele de bază
despre fiabilitatea și disponibilitatea rețelelor.
În primele două capitole, se va prezenta analiza fiabilității sistemelor de telecomunicații. Se
va evalua fiabilitatea sistemelor simple, și se vor prezenta câteva meto de prin care se poate determina
fiabilitatea unui sistem complex.
În Capitolul 3, se prezintă fiabilitatea rețelelor și se studiază toleranța la defectare. Sunt
studiate avantajele și dezavantajele topologiilor folosite în realizarea unei rețele de telecom unicații,
de asemenea este prezentat conceptul de redundanță.
Capitolul 4 este capitolul destinat studierii disponibilității unei rețele, sunt prezentate câteva
abordări prin care se poate calcula disponibilitatea unei rețele.
În Capitolul 5 se prezintă algoritmul implementat pe calculator pentru calcularea fiabilității
unei rețele de telecomunicații pornind de la legăturile minimale ale grafului de fiabilitate al sistemului
supus analizei.
În ultimul capitol, respectiv C apitolul 7 se va evidenția modul î n care pot fi folosite noțiunil e
teoretice cu privire la rețelele Petri prezentate în C apitolul 6, prin evaluarea fiabilității și
disponibilității rețelelor de comunicații .
Pentru simularea și evaluarea disponibilității unor topologii simple de rețele de calculatoare
vom folosi utilitarul Petri Net Toolbox software .
Lucrarea se încheie cu prezentarea concluziilor finale ale proiectului.

18

1. Analiza fiabilității sistemelor de telecomunicații

1.1. Introducere în studiul analizei fiabilității sistemelor de telecomunicații
Calitatea este definită în standardul ISO 8402 ca reprezentând „ansamblul caracteristicilor
unei entități, care îi conferă aptitudinea de a satisface nevoile exprimate sau implici te ”[1 ].
„Termenul de telecomunicații face referire la comunicațiile efectuate la distanță.
Comunicațiile pot fi prin fir, fibră optică sau aer. Sistemul de telecomunicații reprezintă totalitatea
mijloacelor tehnice dintr -un serviciu de telecomunicații, care formează o unitate.
Acest domeniu este foarte vast, din acest domeniu fac parte radioul, telefonia fixă și mobilă,
televiziunea, rețelele de calculatoare, etc.” [2].
Fiabilitatea reprezintă o componentă a calității, fiind probabilitatea ca un sistem să -și
îndeplinească funcțiunea pentru care a fost proiectat și realizat în condiții date de o perioadă de timp
predeterminată (durata misiunii). Durata misiunii este timpul cât funcționează corect sistemul.
Fiabilitatea ia în considerare toate problemele ce pot apărea în toate etapele de existență a sistemelor,
incluzând proiectarea, fabricarea, exploatarea, transporul sistemului, etc. [3]
Problema modelării fiabilității sistemelor complexe, în general, și a celor de telec omunicații,
în particular, poate fi abordată în mai multe moduri, în funcție de modul în care este privit sistemul:
global sau la nivelul structurii sa le interne (mai mult sau mai puț in aprofundat).
În primul caz, în care sistemul este privit global globa l (în absența informațiilor privind
structura sa internă), putem face o analiză matematică a acestuia prin intermediul dependenței
funcționale dintre vectorul de ieșire (efect) și vectorul de intrare (cauză) al sistemului. De obicei cei
doi vectori ai sist emului sunt în teoria fiabilității procese aleatoare. Cu ajutorul acestor procese se pot
elabora modele fiabilistice care permit determinarea relațiilor funcționale între performanțele
sistemului (variabilele de intrare/ieșire) [4 ].
În al doilea caz, atunci când se poate analiza structura internă a sistemului cu ajutorul unor
variabile interne se poate face o descriere matematică a sistemului prin intermediul ecuațiilor
canonice de stare. Se demonstrează că printr -o alegere corespunză toare a variabilelor de stare,
vectorul de stare determină complet vectorul de ieșire (dependența ieșirii de intrare se manifestă
exclusiv prin intermediul vectorului de stare). În teoria fiabilității utilizâ nd această abordare pot fi
elaborate modele fiab ilistice care leagă performanțele sistemului de solicitări prin intermediul
parametrilor elementelor componente ale sistemului. Deși mai laborioase, acestea prezintă avantajul
că permit o modelare fiabilistică ma i aprofundată, devenind posibilă pe această bază și optimizarea
structurii sistemului din punctul de vedere al fiabilității.
În teoria fiabilității utilizând această abordare pot fi elaborate modele fiabilistice care leagă
performanțele sistemului de solicitări prin intermediul parametrilor element elor componente ale
sistemului. Avantajul acestei abordări este acela că se poate realiza o modelare fiabilistică mai
aprofundată, de asemenea se poate optimiza structura sistemului din punctul de vedere al fiabilității.
În cadrul acestei lucrări vor fi dezvoltate metode de analiză a fiabilității care permit stabilirea
unor relații funcționale între indicatorii de fiabilitate (funcția de fiabilitate și disponibilitate în cazul
nostru) ai sistemului și cei ai elementelor sale componente. Se va avea în ved ere structura sistemului
analizat din punctul de vedere al fiabilității. Pe această bază devine posibilă evaluarea fiabilității
sistemului pornind de la fiabilita tea elementelor sale componente [4].

19
Pentru sistemele de telecomunicații actuale – devenite t ot mai sofisticate și mai costisitoare –
evaluarea apriorică a fiabilității se impune ca o necesitate. Problema se pune cu deosebită stringență
pentru sistemele de telecomunicații de mare răspundere funcțională, profesionale sau militare, pentru
care crite riul fiabilității constituie unul dintre factorii principali care concură la alegerea configurației
sistemului. De altfel, în cadrul unei anchete internaționale privind realizarea sistemelor de înaltă
fiabilitate [25] organisme specializate ca N.A.S.A. și D.C.A.* au reliefat importanța practică majoră
a analizei fiabilității pentru aceste categorii de sisteme, subliniind, ïn același timp, cå aceasta
constituie una dintre direcțiile principale de cercetare ïn domeniul fiabilității sistemelor. .
Un sistem de telecomunicații este alcătuit din mai multe elemente, aceste elemente sunt
dispune într -o anumită configurație, în scopul asigurării transmiterii informației între intrarea și
ieșirea sistemului. Pentru a putea analiza fiabilitatea unui sistem complex, de telecomunicații, în
particular, este necesară o întelegere aprofundată a structurii sistemului și a modului în care
interacționează elementele sale componente. Analiza fiabilității sistemelor complexe, în general, și a
celor de telecomunicații, în particul ar, necesită o întelegere aprofundată a structurii sistemului și a
interacțiunii elementelor sale componente.
Metoda concretă de analiză adoptată trebuie să aibă în vedere particularitățile sistemului studiat. În
acest sens, în scopul analizei fiabilității , sistemele de tel ecomunicații pot fi clasificate [4]:
– după numărul de intrări și ieșiri, în sisteme uniport (cu o singură intrare și o singură ieșire)
și sisteme multiport (cu m ai multe intrări și ieșiri) ;
– după numărul funcțiunilor realizate , în sisteme care realizează o singură funcți une și sisteme
multifuncționale ;
– după interacțiunea între elementele sistemului (din punctul de vedere al consecințelor
defectărilor), în sisteme cu elemente independente și sisteme cu elemente depend ente ;
– după numărul stărilor considerate pentru elementele sistemului, în sisteme conținând
elemente cu două stări și sisteme conținând elemente cu mai multe stări.

Observații
1. În cadrul acestui capitol, vor fi avute î n vedere sistemele c u două stări (bun ă funcționare și
defectare), atâ t pentru elementele conponente, câ t și pentru si stem ; analiza fiabilității sistemelor de
telecomunicații cu mai multe stari va face obiectul capitolului 4
2. În cele ce urmează, dacă nu se va specifica altfe l, defectările elementelor sistemului vor fi
considerate statistic independente.

Etapele analizei fiabilității unui sistem sunt [4]:
– determinarea modelului de fiabilitate al sistemului, pornind de la modelul funcțional real al
sistemului;
– stabilirea metodologiei de analiză a fiabilității adecvată modelului adoptat;
– evaluarea propriu -zisă a fiabilității sistemului, pe baza datelor privind fiabilitatea
elementelor sale componente (date din încercări, cataloge si normative de fia bilitate, de service etc.)
ținând cont de modelul de fiabilitate adoptat.
În continuare vor fi prezentate într -un mod detaliat aceste etape în cazul sistemelor de
telecomunicații.

20

SISTEM
MODEL FUNCȚIONAL
MODEL DE FIABILITATE
CARACTERISTICI DE
FIABILITATE ALE
SISTEMULUIDATE DE FIABILITATE PRELUCRARE
Figura 1. 1 Etapele analizei fiabilității unui sistem (Sursa [4])

Modelul de fiabilitate adoptat trebuie să redea în mod univoc relația între fiabilitatea
sistemului și fiabilitatea elementelor sale componente. În acest scop pot fi utilizate reprezentări bazate
pe succes (bună funcționare) sau insucces (defectare).
În cazul sistemelor de telecomunicații analiza de fiabilitate a sistemului se realizează cu
ajutorul modelelor logice (structurale) de fiabilitate . Aceste modele sunt reprezentări schematice –
bazate pe succes – ale legăturilor de fiab ilitate între elementele sistemului, ținând seama de gradul în
care acestea influențează starea de funcționare a sistemului analizat [4].
În reprezentarea convențională modelul logic de fiabilitate este figurat asemănător schemelor
electrice, având intrări și ieșiri (de obicei o singură intrare și o singură ieșire). Starea de funcționare
a sistemului este caracterizat prin existența a cel puțin unei căi prin care semnalul ipotetic aplicat la
intrare poate să ajungă la ieșire. Dacă există mai multe asemenea căi, sistemul are o structură
redundantă (exceptând cazul sis temelor multifuncționale) [4 ].
În general, pentru s istemele de telecomunicații întâ lnim o diferență între schema electrică a
sistemului și schema modelului logic de fiabilitate. De obicei se ple acă de la schema electrică a
sistemului și se realizează schema logică de fiabilitate, pe baza acesteia se vor determina indicatorii
de fiabilitate ai sistemului.
În alte situații, cum ar fi cazul analizei fiabilității sistemelor de telecomunicații comple xe,
luând în considerare și posibilitățile de restabilire, sau al analizei fiabilitații sistemelor cu mai multe
stări, se folosesc modelele de fiabilitate bazate pe procesele Markov . Aceste modele permit
evidențierea evoluției în timp a unui sistem din pun ctul de vedere al fiabilității. Modelele bazate pe

21
procesele Markov sunt generale, pe baza lor fiind posibilă descrierea sistemelor atât la nivel global,
cât și la nivelul structurii interne [4].
Trebuie avut în vedere totuși faptul că analiza fiabilității bazată pe modelarea Markov este
suficient de laborioasă și de aceea această metodologie nu trebuie utilizată în mod abuziv, pentru
soluționarea unor cazuri care ar putea fi rezolvate mult mai simplu folosinde alte metode (de exemplu,
plecând direct de la modelul structural de fiabilitate al sistemului).
Se mai poate folosi ca model de fiabilitate arborele logic de fiabilitate al sistemului, acesta
este tot o reprezentare bazată pe succes, acesta evidențiază cu ajutorul operatorilor logici (și, sau, etc.)
legăturile de fiabilitate între elementele acestuia. Folosirea structurilor fiabilistice de tip arbore
facilitează analiza fiabilității asistată de calculator a acestor sisteme.
Valorile indicatorilor de fiabilitate sunt utilizate în gener al ca date inițiale pentru evaluarea
fiabilității sistemelor pornind de la modelele bazate pe succes.
Ca date inițiale pentru evaluările de fiabilitate pornind de la modelele bazate p e succes
prezentate anterior, su nt utilizate – în general – valorile indi catorilor de fiabilitate (de obicei ale
funcțiilor de fiabilitate R i(t)) ale elementelor componente a1e sistemelor analizate.
În cazul în care este necesară o analiză fiabilistică mai aprofundată, cu evidențierea cauzelor
defectărilor elementelor componente și a consecințelor acestor defectări asupra sistemului, este
recomandabilă utilizarea unor modele de fiabilitate – bazate pe defectare – cum sunt arborii de
defectare și diagramele cauză -efect . Ca date inițiale pcntru evaluările numerice legate de aceste
modele de fiabilitate sunt utilizate valorile probabilităților evenimentelor defectare corespunzătoare
elemen telor sistemelor studiate [4 ].
Evaluarea propriu -zisă a fiabilității sistemului este metoda prin care se determină valorile
indicatorilor de fiabilitate ai sistemului (de obicei, funcția de fiabilitate) pornind de la valorile
indicatorilor de fiabilitate (de obicei, ale funcțiilor de fiabilitate) pentru elementele componente ale
sistemului. Această evaluare presupune stabilirea relației analitice care leagă fiabilitatea sistemului
de fiabilitatea elementelor sale componente, pornind de la modelul de fiabilitate ales.
Pentru ca rezultatele obținute în evaluarea cantitativă a fiabilității sistemului să fie
semnificative, aceasta trebuie precedată de o evaluare cantitativă realistă a fiabilității elementelor
componente, ținând seama de criteriile de defectare reale corespun zătoare sistemului analizat.
Existența unei neconcordanțe între criteriile de defectare avute în vedere în scopul evaluării valorilor
indicatorilor de fiabilitate ai componentelor și criteriile de defectare impuse de performanțele și
structura sistemului p oate conduce la rezultate eronate în evaluarea cantitativă a fiabilității sistemului,
chiar dacă modelarea matematică a fiabilită ții acestuia a fost corectă [5 ].
Echivalența din punct de vedere matematic dintre modelul logic de fiabilitate (reprezentare
bazatå pe succcs) și arborele de defectare (repre zentare ba zată pe defectare ) al un ui sistem dat, poate
fi evidențiata pe baza următorului exemplu.

Un exemplu: Se consideră un sistem de transmisie a informației de la un emițător la un
receptor prin interm ediul unei linii de transmisiune formată din 3 căi redondante, reprezentat din
punctul de vedere al fiabilității atât prin modelul logic, cât și prin arborele primar (nedezvoltat).
Pornind de la modelul logic de fiabilitate, se obține expresia funcției de fiabilitate
(probabilității de bună funcționare) a sistemului :

(1.1.1)

iar pornind de la arborele de defectare, rezultă expresia funcției de nonfiabilitate (probabilității
de defectare) a sistemului:

22

(1.1.2 )
Evenimentele de bună funcționar e (succes), S, și defectare, D, su nt compleme ntare; pornind
de la relația 1.1.1 și utilizînd relațiile lui de Morgan, rezultă pentru evenimentul S următoarea
expresie:

După cum a fost eviden țiat anterior, modelele logice de fiabilitate și arborii de defectare
(primari) constituie reprezentări ech ivalente din punct de vedere matematic ; totuși arborii de
defectare – în special cei secundari (dezvoltați ) – cu toate că su nt mai difi cil de construi t și evaluat
decât modelele logice de fiabilitate, s unt mai utili decâ t acestea, deoarece permit o analiză cantitativă
și calitativă mai profundă și subtilă și o modelare mai realistă a fiabilității, incluzînd, de exemplu,
factorii umani și condițiile ambi ante.
Din analiza anterioară, rezultă că există mai multe tipuri de modele de fiabilitate ce pot fi
utilizate pentru descrierea unui sistem de telecomunicații dat. Alegerea între un model de fiabilitate
sau altul este determinată de profunzimea analizei f iabilistice cerute, tipul sistemului analizat
(profesional, de uz general etc.), iar uneori și de ușurința cu care analistul poate construi pornind de
la sistemul concret dat – modelul său de fiabilitate.

1.2. Evaluarea fiabilității sistemelor simple
În zilele noastre sistemele sunt reprezentate sub forma unor rețele în care componentele sunt
interconectate în serie, paralel, sub formă de plasă, în cazul rețelelor complexe întâlnim o combinație
a acestor tipuri Pentru ca rezultatele obținute în evaluarea cantitativă a fiabilității sistemului să fie
semnificative, aceasta trebuie precedată de o evaluare cantitativă realistă a fiabilită ții elementelor
componente, ținâ nd seama de criteriile de defectare reale corespunzătoare sistemului analizat .
Existența une i neconcordanțe î ntre criteriile de defectare avute în vedere în scopul evaluării valorilor
indicatorilor de fiabilitate ai componentelor și criteriile de defectare impuse de performanțele și
structura sistemului poate conduce la rezultate eronate în evalu area cantitativă a fiabilității sistemului,
chiar dacă modelarea matematică a fiabilității acestuia a fost corectă.
Studiul critic al metodelor de analiză a fiabilității dezvoltat în cadrul acestui capitol nu și -a
propus să aibă un caracter exhaustiv, avâ nd ca obiectiv principal evidențierea acelor metode ce pot fi
cel mai bine utilizate pentru evaluarea fiabilității structurilor fiabilistice caracteristice sistemelor de
telecomunicații.
Analiza fiabilității sistemelor cu structură fiabilistică de tip seri e, respectiv paralel nu ridică
probleme deosebite în ipoteza simplificatoare uzuală a independenței defec
sistemului [5 ]. Este unul dintre motive1e pentru care, în cvasitotalitatea cazurilor practice, analizele
de fiabilitate se bazează pe această ipoteză, care facilitează modelările matematice, dar în același timp
– poate constitui o sursă de erori în calculele de fiabilitate preliminară.
Dată fiind simplitatea structurilor fiabilistice serie, respectiv paralel studiate, în continuare
vor fi utilizate metode de analiză a fiabilității directe bazate pe utilizarea calculului probabilităților.

SR C C C E R C C C E D     ) ( ] ) ( [3 2 13 2 1
)3.1.1(

23
1.2.1. Sisteme cu structură serie
Sistemul serie reprezintă sistemul în care componentele funcționale ale acestuia sunt în serie
din punct de vedere al fiabilității. Acest lucru implică că sistemul funcționează corect dacă și numai
dacă componentele sale functionează simultan, este suficient ca una dintre elementele componente
ale sistemului să se defecteze pentru ca sistemul să nu mai funcțione ze. Pentru a întelege noțiunea de
sistem serie am recurs la reprezentarea din figura 2 .1. Am considerat un sistem format din două
componente independente, A și B, cele două componente sunt conectate în serie din punct de vedere
al fiabilității [6 ].

Figur a 1.2 . Sistem serie cu două componente independente
Această conectare a componentelor presupune ca ambele componente să funcționeze pentru
ca sistemul să opereze în condiții normale. Fie R A și R B probabilitățile de funcționare corectă a
componentelor A și B, iar F A și F B vor reprezenta probabilitățile de defectare ale celor două
componente, A și B. Funcționarea corectă și defectarea sunt două stări ce se exclud reciproc, cele
două probabilități sunt complementare.
În aceste condiții putem afirma:
𝑅𝐴+𝐹𝐴=1 ș𝑖 𝑅𝐵+𝐹𝐵=1 (1.1)
Cerința pentru ca sistemul să funcționeze corect este aceea ca atât A, cât și B să funcționeze
simultan. De aici putem concluziona că probabilitatea de funcționare a sistemului sau fiabilitatea
sistemului este:
𝑅𝑆=𝑅𝐴⋅𝑅𝐵 (1.2)
Pentru generalizare, dacă considerăm un sistem cu n componente în serie din punct de vedere
al fiabilității, atunci fiabilitatea acestui sistem va fi:
𝑅𝑠=∏ 𝑅𝑖𝑛
𝑖=1 (1.3)
Ecuația 1.3 este cunoscută și ca regula produsului fiabilități lor, din moment ce stabilește că
fiabilitatea unui sistem serie este dată de produsul fiabilității componentelor luate individual.
Pentru unele aplicații poate fi considerată avantajoasă evaluarea funcției de nonfiabilitate sau
probabilitatea de defectare a sistemului decât evaluarea fiabilității sau a probabilității de funcționare
a sistemului. Starea de funcționare și cea de defectare a sistemului sunt două stări complementare,
pentru sistemul cu două componente, nonfiabilitatea este dată de expresia [3]:
𝐹𝑆=1−𝑅𝐴𝑅𝐵 (1.4)
𝐹𝑆=1−(1−𝐹𝐴)(1−𝐹𝐵)=𝐹𝐴+𝐹𝐵−𝐹𝐴𝐹𝐵 (1.5)

Pentru generalizare, dacă consideram un sistem cu n componente în serie din punct de vedere
al fiabilitătii, atunci funcția de nonfiabilitate a acestui sistem va fi:
𝐹𝑆=1−∏ 𝑅𝑖𝑛
𝑖=1 (1.6)

24
Exemplul 1.1
Un sistem este alcătuit din 20 de componente identice, este nevoie ca toate componentele
sistemului să funcționeze pentru buna funcționare a sistemului. Determinați fiabilitatea sistemului,
dacă fiecare componentă are o va loare a fiabilității de 0,99 ? [5].
Pentru a putea rezolva această problemă se aplică formula 1.3, unde n=20 (numărul de
componente al sistemului).
𝑅𝑠=∏ 𝑅𝑖20
𝑖=1=𝑅𝑖20=(0,99)20=0,8179
Se observă că fiabilitatea sistemului serie este mai mică decât fiabilitatea fiecărei componente
luată individual. Observația se poate argumenta foarte ușor. Fiabilitatea componentei are o valoarea
subunitară, în timp ce fiabilitatea sistemului serie este un produs de valori subunitare, deci se obține
o valoarea mai mi că decât fiabilitatea individuală a componentei.
De asemenea, fiabilitatea sistemelor serie scade odată cu creșterea numărului de componente
ale sistemului serie și cu scăderea fiabilității individuale a componentelor.
În figura 1.3. am evidențiat modul în care fiabilitatea sistemului scade odată cu creșterea
numărului de componente ale sistemului.

Figura 1.3 : Efectele creșterii numărului de componente în serie. Numerele reprezintă fiabilitatea
individuală a fiecărei componente (sursa [7 ])

25
Exemplul 1.2

Un sistem compus din două componente înseriate con ține componente identice cu fiabilitatea
de 0,9. Calculați nonfiabilitatea sistemului [6].
Aplicând relația 1.6 se determină nonfiabilitatea sistemului.
𝐹𝑆=1−𝑅1𝑅2=1−(0,9)2=0,19
O altă metodă pr in care se poate determina nonfiabilitatea sistemului este de a calcula
nonfiabilitatea celor două componente ale sistemului, apoi se calculează nonfiabilitatea sistemului.
𝐹1=1−𝑅1=1−0,9=0,1
𝑄2=1−𝑅2=1−0,9=0,1
𝐹𝑆=𝐹1+𝐹2−𝐹1𝐹2=0,1+0,1−(0,1)2=0,19
În cazul componentelor de înaltă fiabilitate (F i≤0,1) produsul nonfiabilității componentelor
se poate neglija.
Pe baza observației de mai sus, neglijând al doilea produs din expresia nonfiabilității
sistemului obținem:
𝐹𝑆=𝐹1+𝐹2=0,1+0,1=0,2
Neglijând al doilea produs se obține un rezultat eronat cu 5%. Această aproximație se folosește
doar în cazul în care numărul de componente este mic și fiabilitatea individuală a fiecărei componente
este foarte mare, deci avem un sistem cu componente de înaltă fiabili tate.
Avantajul acesteia este că fiabilitatea unui sistem serie poate fi evaluată ca produsul fiabilităților
individuale ale componentelor, iar nonfiabilitatea sistemului poate fi calculată ca o sumă a
nonfiabilităților individuale ale componentelor.
Atun ci când se dorește proiectarea unui sistem complex se poate specifica ca fiabilitatea
globală a sistemului să aibă o anumită valoare. Pe baza valorii acestui parametru se va calcula
fiabilitatea individuală necesară pentru componentele sistemului respectiv . Aceasta reprezintă
procedura inversă celei folosite in exemplele anterioare și este ilustrată în următorul exemplu.

Exemplul 1.3

Se dorește determinarea fiabilității individuale a unui sistem serie care este alcătuit din 500
de componente identice îns eriate dacă fiabilitatea globală nu trebuie să fie sub valoarea de 0,9999.
Toate cele 500 de componente ale sistemului sunt identice, de aceea vom nota cu R fiabilitatea fiecărei
componente individuale [5].
Pentru a determina fiabilitatea vom pleca de la relația 1.3, însă vom aplica relația invers.
𝑅𝑠=∏ 𝑅𝑖500
𝑖=1
𝑅𝑆=0,9999 =𝑅500
𝑅500=0,9999 ⇒𝑅=0,99991
500=0,9999997
Exemplul 1.4

Utilizarea nomogramei . Un bloc logic dintr -o centrală telefonică automată electronică este
format din n= 200 circuite integrate identice ; pentru o funcționare în condiții date, timp de 2 000 ore,
funcția de fiabilitate a acestor circuite este R (2 000) = 0,9997. Pe loaza nomogramei din fig. 3.4b se
obține pentru blocul logic analizat R S(200)(2000) = 0,94; același rezulta t se obține și pri n metode
analitice, dar după calcule mai laborioase (în cazul de față ridicare la puterea 200 ).

26

1.2.2 . Sisteme cu structură paralel
Un sistem are o structură paralel din punctul de vedere al fiabilității dacă, independent de
structura sa funcțională, pentru buna funcționare a sistemului este suficientă buna funcționare a cel
puțin unuia dintre elementele sale componente; este, de exemp lu structura fiabilistică
corespunzătoare unui sistem de teleco municații cu redundanță globală . Pentru a întelege noțiunea de
sistem paralel am recurs la reprezentarea din figura 1.3. Am considerat un sistem format din două
componente independente, A și B, cele două componente sunt conectate în paralel din punc t de vedere
al fiabilității [5 ].

Figura 1.4 . Sistem paralel cu două componente independente
Cerința pentru ca sistemul să funcționeze corect este aceea ca doar o componentă să
funcționeze, A sau B. Fiabilitatea sistemului poate fi obținută cu un complement al nonfiabilității sau
pe baza considerației că sistemul funcționează în cele trei cazuri posibile: funcționează componenta
A, sau B, sau ambele componente funcționează simultan. De aici putem c oncluziona că probabilitatea
de funcționare a sistemului sau fiabilitatea sistemului este [1]:
𝑅𝑃=1−𝐹𝐴𝐹𝐵 (1.7)
𝑅𝑃=𝑅𝐴+𝑅𝐵−𝑅𝐴𝑅𝐵 (1.8)

Pentru generalizare, dacă consideram un sistem cu n componente în paralel din punct d e
vedere al fiabilității, atunci fiabilitatea acestui sistem va fi:
𝑅𝑃=1−∏ 𝐹𝑖𝑛
𝑖=1 (1.9)
Pentru unele aplicații poate fi considerată avantajoasă evaluarea nonfiabilității sau
probabilitatea de defectare a sistemului decât evaluarea fiabilității sau a probabilității de funcționare
a sistemului. Starea de funcționare și cea de defectare a sistemului sunt două stări complementare,
pentru sistemul cu două componente în paralel din punct de vedere al fiabilității,funcția de
nonfiabilitatea a sistemului est e dată de expresia:
𝐹𝑃=𝐹𝐴𝐹𝐵 (1.10)
Pentru generalizare, dacă consideram un sistem cu n componente în paralel din punct de
vedere al fiabilității, atunci funcția de nonfiabilitate a acestui sistem va fi:
𝐹𝑃=∏ 𝐹𝑖𝑛
𝑖=1 (1.11)
Se observă că expresiile obținute pentru sistemul serie sunt aceleași ca și pentru sistemul
paralel, doar că fiabilitatea și nonfiabilitatea sunt interschimbate.
Putem afirma că în cazul sistemelor serie fiabilitatea sistemului scade odată cu creșterea
numărului de componente conectate în serie, în timp ce în cazul sistemelor paralel nonfiabilitatea

27
scade odată cu creșterea numărului de componente conectate în para lel, fiabilitatea crește cu numărul
de componente. Crescând numărul de componente în paralel, crește costul sistemului, sistemul va
ocupa un volum mai mare. Trebuie analizat foarte bine acest aspect atunci când vrem să proiectam o
rețea, trebuie făcut un c ompromis între cost și complexitate [1].

Exemplul 1.5

Un sistem este compus din 5 componente în paralel care au valorile de fiabilitate 0,99, 0,98,
0,97, 0,96 și respectiv 0,95. Care este fiabilitatea globală a sistemului? [1]
Aplicând relația 1.11 obțin em:
𝐹𝑃=∏ 𝑄𝑖5
𝑖=1=∏(1−𝑅𝑖)5
𝑖=1=(1−0,99)(1−0,98)(1−0,97)(1−0,96)(1−0,95)
=12×10−9
Fiabilitatea/nonfiabilitatea sunt complementare, 𝐹𝑃+𝑅𝑃=1.
𝑅𝑃=1−𝐹𝑃=1−12×10−9=0,999999988
Exemplul 1.6

Componenta unui sistem are fiabilitatea de 0,8. Evaluați efectul creșterii numărului de
componente ale sistemului conectate în paralel din punct de vedere al fiabilității asupra fiabilității
globale a sistemului [5].
Pe baza relației 1.11 am realizat tabelul 1.1 în care am prezentat valoarea fiabilității sistemului
format din una până la șase componente. În acest tabel am descris creșterea valorii fiabilită ții pentru
fiecare componentă adăugată în paralel în sistem. Această valoarea mai este cunoscută sub denumirea
de fiabilitate incrementală.
De asemenea în tabel est e prezentată fiabilitatea procentuală comparativă. Aceasta este
definită ca schimbarea în fiabilitate a sistemului raportată la fiabilitatea unei singure componente
exprimată ca procent pe baza fiabilită ții unei singure componente.
Valoarea acestei mărimi este dată de expresia: 𝐹𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑡𝑒𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 ă 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣 ă[%]=
𝐶𝑟𝑒 ș𝑡𝑒𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑡𝑒 𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑢𝑙𝑢𝑖
𝐹𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑡𝑒𝑎 𝑢𝑛𝑒𝑖 𝑠𝑖𝑛𝑔𝑢𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒×100 .
În figura 1.5 am prezentat rezultatele obținute pentru fiabilitatea incrementală și pentru
fiabilitatea procentuală comparativă, intenția mea este de a exemplifica modul în care acești parametri
se schimbă odată cu creșterea numărului de componen te.

Numărul de
componente Fiabilitatea
sistemului Creșterea de
fiabilitate Fiabilitatea
incrementală Fiabilitatea
procentuală
comparativă
(%)
1 0,800000 – – –
2 0,960000 0,160000 0,160000 20,00
3 0,992000 0,192000 0,032000 24,00
4 0,998400 0,198400 0,006400 24,80
5 0,999680 0,199680 0,001280 24,96
6 0,999936 0,199936 0,000256 24,99
Tabelul 1.1 Rezultatele de fiabilitate pentru Exemplul 1.5 (sursa [7])

28

Figura 1.5 . Beneficiile fiabilităț ii incrementale (sursa [7 ])

După cum se poate observa în fig. 1.5 adăugarea primei componente redundante la un sistem
cu o singură componentă aduce cea mai mare cre ștere de fiabilitate pentru sistem, iar cre șterea
fiabilită ții este din ce în ce mai mică odată cu adăugarea mai multor componente redundante. Acest
lucru se poate vedea pe curba fiabilită ții incrementale.

Exemplul 1.7

Determinați numărul minim de componente conectate în paralel din punct de vedere al
fiabilității sțiind că fiabilitate globală a sistemului este 0,9999 și că se folosesc componente cu
fiabilită ți individuale de 0,8 [6].
Pornind de la ecuația 1.11 obținem:
𝐹𝑃=∏ 𝑄𝑖𝑛
𝑖=1 ⇒(1−𝑅𝑃)=∏(1−𝑅𝑖)𝑛
𝑖=1⇒(1−0,9999 )=(1−0,8)𝑛⇒0,0001 =0,2𝑛⇒𝑛
=5,74

1.2.3 Sisteme cu structură mixtă
Modelarea fiabilistică a unor sisteme poate conduce și la structuri fiabilistice de tip mixt, care
conțin combinații de tip serie -paralel, paralel -serie etc. Principiul general folosit pentru a studia
fiabilitatea acestor sisteme este acela de reducere secvențială a configurației mai complicate prin
combinarea ad ecvată a ramurilor în serie și a celor în paralel din modelul de fiabilitate până când
rămâne un singur element echivalent. Acest element echivalent reprezintă fiabilitatea (sau
nonfiabilitatea) configurației originale [5].
Analiza cantitativă a fiabilităț ii acestor structuri reductibile la serie/paralel se face din aproape
în aproape, utilizându -se relațiile de evaluare a fiabilității pentru structurile elementare serie, respectiv

29
paralel indicate în paragrafele precedente. În funcție de structurile predom inante, evaluarea fiabilității
poate fi făcută fie pornind de la probabilitațile de bună funcționare, fie de la cele de defectare; pentru
sistemele de mare complexitate cu, structură fiabilistică mixtă, în diferitele etape ale calculului pot fi
utilizate, după necesități, una sau cealaltă abordare [4 ].
Exemplul următor evidențiază metodologia practică de analiză a fiabilității unui sistem cu
structură fiabilistică mixtă.

Exemplul 1.8

Analiza funcționării unui sistem de telecomunicații a evidențiat că pentru buna funcționare a
acestuia este necesară buna funcționare a cel puțin uneia dintre combinațiile de elemente (blocuri)
indicat e în tabelul 3.1 . Pe această bază este necesară determinarea, pentru o durată dată a misiunii, a
valorii funcției de fiabil itate a sistemului, dacă se cunosc valorile funcțiilor de fiabilitate aIe
elementelor sale componente (R A,RB…R L) pentru aceeași durată considerată a misiunii (evident,
defectă rile elementelor a sistemului su nt considerate independente).

Numărul
combina ției Combinația de elemente care trebuie să fie în bună stare de
funcționare pentru buna funcționare a sistemului
1 A, B, C, K, L
2 A, D, K, L
3 E, F, G, K, L
4 E, F, H ,K, L

Figura 1.6. Posibilitățile de funcționare ale sistemului

Mai întâ i, se construiește modelul logic de fi abilitate al sistemului analiza , care rezultă imediat
pornind de la figura 1.6 . Evaluarea fiabilității sistemului se poate face pornind de la acest model de
fiabilitate, din aproape în aproape , mergâ nd de la simplu la comple x, prin identificarea structurilor
serie /paralel și utilizarea relațiilor de evaluare corespunzătoar e acestor structuri elementare.

Exemp1ul 1.8 .1

Determinați expresia funcției de fiabilitate a sistemului din figura 1.5 și apoi să se evalueze
fiabilitatea acestui sistem dacă toate componentele sale au o valoarea a fiabilită ții de 0,9 [1].

Figura 1.7. Sistemul pentru Exemplul 1.8

30
Sistemul din figura 1.7 poate reprezenta, de exemplu, un circuit de control cu redunanță
asociat pilotului automat al unei aeronave. Procesul de reducere este secven țial și începe după cum
urmează.
Într-o primă etapă elementele conectate în serie din punct de vedere al fiabilității, 1 -4 se vor
combina și se va forma componenta echivalentă 9. Se va repeta acest procede u pentru elementele
conectate în paralel din punct de vedere al fiabilității, 1 -5, se va forma componenta echivalentă 10.
Combinând cele două structuri echivalente ale sistemului vom obține structura din figura 1.8 .

Figura 1.8 : Reducerea complexități i sistemului pentru exemplul 1.9

Considerăm R 1, R2, … , R 8 valorile de fiabilitate pentru componentele 1, 2, … , respectiv 8,
atunci putem scrie expresia fiabilității componentelor echivalente:
𝑅9=𝑅1𝑅2𝑅3𝑅4
𝑅10=𝑅5𝑅6𝑅7𝑅8
𝑅11=1−(1−𝑅9)(1−𝑅10)=𝑅9+𝑅10−𝑅9𝑅10⇒
𝑅11=𝑅1𝑅2𝑅3𝑅4+𝑅5𝑅6𝑅7𝑅8−𝑅1𝑅2𝑅3𝑅4𝑅5𝑅6𝑅7𝑅8
În enunțul aplicației este specificat că toate componentele prezintă aceeași fiabilitate, de aici
putem scrie expresia generală a sistemului:
𝑅11=𝑅4+𝑅4−𝑅8=0,94+0,94−0,98=0,8817
Exemplul următor evidențiază metodologia practică de analiză a fiabilității unui sistem cu
structură fiabilistică mixtă.

1.3. Sisteme parțial redundante
Un sistem cu redundanță parțială este sistemul format din n componente conectate în paralel
dintre ca re este necesar ca doar r componente să funcționeze pentru ca sistemul să funcționeze. O
astfel de configurație se numește “r/n” sa u “voter majoritar”. În figura 1.9 este reprezentată
configurația cu redundanță parțială “2/3” [5 ].
1
2
3 2/3

Figura 1.9 . Configuratia cu redundantă parț ială “2/3”
Pentru sistemul parțial reduntant din figura 3 𝐹𝑃≠𝐹1𝐹2𝐹3 deoarece:

31
• Sistemul se defectează atunci când se defectează două componente, în cazul
redundanței complete era necesar ca toate cele trei componente să se defecteze. Există mai multe
posibilități ca sistemul să nu mai funcționeze în mod corect: fie se defectează componentele 1 și 2,
fie componentele 1 și 3, fie componentele 2 și 3, fie toate cele 3 componente se defectează simultan.
• Sistemul funcționează atunci când două componente functionează, în cazul
redundanței complete era necesar ca o singură componentă să funcționeze. Există mai multe
posibilități ca sistemul să funcționeze în mod corect: fie funcționează componentele 1 și 2, f ie 1 și 3,
fie 2 și 3, fie toate cele trei componente funcționează simultan.
Mai sus am prezentat condițiile care conduc la funcționarea/defectarea sistemului.
Probabilitatea de defectare a sistemului este de 4/8. Scopul nostru este de a determina probabil itatea
de a obține exact r succese din n încercari. Această probabilitate se va obține pentru cazul în care
componetele sunt identice, respectiv pentru cazul în care componentele nu sunt identice, evident vom
obține rezultate diferite [5].

1.3.1 . Sisteme parțial redundante cu componente identice
În cazul în care toate cele n componente sunt identice, probabilitatea obținerii a r succese din
n încercări este probabilitatea să observăm X=r succese și n -r eșecuri care este 𝑅𝑟𝑄𝑛−𝑟 înmulțit cu
numărul de c ombinații de n elemente distincte luate câte r, adică 𝐶𝑛𝑟=𝑛!
𝑟!(𝑛−𝑟)!. Consideră m X
variabila aleatoare a numărulu i de componente funcț ionale [5 ].
𝑃𝑋=𝑟=𝑛!
𝑟!(𝑛−𝑟)!𝑅𝑟𝐹𝑛−𝑟 (1.12)
Atunci fiabilitatea ramurii r/n este suma probabilităților ca cel puțin r componente dintre cele
n conectate în paralel să funcționeze, adică:
𝑅𝑟/𝑛=𝑃𝑋=𝑟+𝑃𝑋=𝑟+1+⋯+𝑃𝑋=𝑛=∑𝑛!
𝑘!(𝑛−𝑘)!𝑅𝑘𝐹𝑛−𝑘𝑛
𝑘=𝑟 (1.13)
Cum fiabilitatea și nonfiabilitatea sunt mărimi complementare, nonfiabilitatea sistemului cu
redundanță parțială va fi:
𝐹𝑟/𝑛=1−𝑅𝑟/𝑛
sau
𝐹𝑟/𝑛=𝑃𝑋=0+𝑃𝑋=1+⋯+𝑃𝑋=𝑟−1=∑𝑛!
𝑘!(𝑛−𝑘)!𝑅𝑘𝐹𝑛−𝑘𝑟−1
𝑘=0 (1.14)
De exemplu, dacă ne pronunem să calculăm probabilitatea de defectare a unui sistem parțial
redundant de tip 2/3 vom considera starea de defectare a sistemului starea în care funcționează r -1
componente, adică o componentă pentru cazul nostru.
𝑃𝑋=𝑟−1=𝑛!
(𝑟−1)!(𝑛−𝑟+1)!𝑅𝑟−1𝐹𝑛−𝑟+1=3𝑅𝐹2
Valoarea obținută mai sus ne arată că există trei moduri în care poate apărea starea de
defectar e a sistemului, atunci când doar o componentă funcționează, fiecare mod având
probabilitatea 𝑅𝐹2.
Exemplul 1.9
Să se calculeze fiabilitatea pentru o configura ție de tip 2/3 cu componente identice dacă
nofiabilitatea fiecărei componente este 0,05 [5].

32
Aplicând expresia 1.13 obținem:
𝑅2/3=𝑃𝑋=2+𝑃𝑋=3=∑3!
𝑘!(3−𝑘)!𝑅𝑘𝐹3−𝑘3
𝑘=2
Nonfiabilitatea componentelor este 0,05, de aici putem determina valoarea pentru fiabilitatea
componentelor, R = 1 – F = 1 – 0,05 = 0,95. În expresia de mai sus înlocuim valoril e numerice pentru
fiabilitate și nonfiabilitate și obținem:
𝑅2/3=∑3!
𝑘!(3−𝑘)!𝑅𝑘𝐹3−𝑘3
𝑘=2=3!
2!1!(0,95)2(0,05)1+3!
3!0!(0,95)3(0,05)0=0,9927
Nonfiabilitatea sistemului se determină folosind relația 1.14:
𝐹2/3=𝑃𝑋=0+𝑃𝑋=1=∑3!
𝑘!(3−𝑘)!𝑅𝑘𝐹3−𝑘1
𝑘=0
𝐹2/3=∑3!
𝑘!(3−𝑘)!𝑅𝑘𝐹3−𝑘1
𝑘=0=3!
0!3!(0,95)0(0,05)3+3!
1!2!(0,95)1(0,05)2=0,0073
Această valoare se putea determina aplicând complementaritatea dintre fiabilitate și
nonfiabilitate, R+F=1, unde F=1 -0,9927=0,0073.

1.3.2. Sisteme parțial redundante cu componente neidentice
Atunci când componentele sistemului cu redundanță parțială nu sunt identice, nonfiabilitățile
acestor componente sunt diferite. Fiecare componentă va avea nonfiabilitatea F i, cu i=1, … , n, iar
nonfiabilitatea sistemului redundant parțial se va calcula ținând cont de nonfiabilitatea fiecărei
componente [5].
Pentru a putea calcula funcția de nonfiabilitate a sistemului va trebui ca în expresia 1.14 să
explicităm separat nonfibilitatea pentru fiecare componentă. De exemplu, dacă ne pronunem s ă
calculăm probabilitatea de defectare a unui sistem parțial redundant cu componente neidentice de tip
2/3 vom considera starea de defectare a sistemului starea în care funcționează r -1 componente, adică
o componentă pentru cazul nostru.
În cazul componen telor neidentice, sunt aceleași 3 moduri în care poate apărea starea de
defectare în care doar o componentă este funcțională, dar fiecare mod are o probabilitate unică. În
acest caz, termenul 𝑃𝑋=𝑟−1 devine [5]:
𝑃𝑋=𝑟−1=𝑅1𝐹2𝐹3+𝑅2𝐹1𝐹3+𝑅3𝐹1𝐹2
Ceilalți termeni din suma de mai sus trebuie tratați într -o manieră asemănătoare. Pentru a trage
o concluzie asupra fiabilității sistemelor cu redundanță parțială, putem lua în considerare următoarele
observații:
– odată ce am determinat 𝑅𝑟/𝑛 și 𝐹𝑟/𝑛, blocul r/n poate fi tratat ca orice alt bloc într -o diagramă
logică;
– după cum am observat anterior, sistemele cu redundantă partială au o fiabilitate mai mică decât
sistemele cu redundantă completă. Aceste sisteme sunt folosite intensiv în sistemele specia le
de protecție (configurațiile r/n sunt numite și votere majoritare).

33
Exemplul 1. 10

Găsi ți o expresie generală pentru nonfiabilitatea sistemului al cărui model de fiabilitate este
descris în Fig. 1.10. Se va considera că toate ramurile în paralel ale sistemului sunt complet
redundante, excep ția fiind în cazul celei compuse din elementele 4, 5 și 6 pentru care este nevoie să
func ționeze oricare 2 ramuri pentru func ționarea corectă a sistemului [1].

Figura 1.10. Sistemul pentru Exemplul 1.11

În acest exemplu se aplică principiul reducerii rețelei. Componentele 2 și 3 conectate în paralel
din punct de vedere al fiabilității se vor combina și se va forma componenta echivalentă 8. La fel se
va proceda cu componentele 4,5,6, se va forma componenta echivalentă 9, componenta 1 și
componentele echivalente 8 și 9 vor forma împreună componenta echivalentă 10 și, în final,
componenta echivalentă 10 împreună cu componenta 7 vor da componenta echivalentă 11 care va
reprezenta și fiabilitatea sistemului. În figura 1.11 sunt prezentați acești pași.

Figura 1.11 Reducerea complexității pentru sistemul din exemplul 1. 11. (a) Prima reducere. (b) A
doua reducere. (c) A treia reducere

Singura diferen ță semnificativă între acest exemplu și cele precedente este c ă fiabilitatea
componentei 9 nu poate fi evaluată folosind ecua țiile din sec țiunea anterioară, ci va trebui calculată
cu ajutorul conceptelor distribu ției binomiale. Distribu ția binomială poate fi aplicată direct dacă cele
trei componente, 4, 5 și 6, sunt identice. Se folose ște o abordare similară și dacă nu avem componente
identice.
Dacă R 1, … , R 7 și F1, … , F 7 sunt fiabilită țile și, respectiv, nonfiabilită țile componentelor 1,
… , 7, atunci:
𝐹8=𝐹2𝐹3
𝑅10=𝑅1𝑅8𝑅9
𝐹11=𝐹10𝐹7=𝐹7(1−𝑅1𝑅8𝑅9)=𝐹7(1−𝑅1(1−𝐹2𝐹3)𝑅9)=𝐹7(1−𝑅1𝑅9+𝑅1𝑅9𝐹2𝐹3)
𝑅9 se calculează aplicând distribu ția binomială pentru componentele 4, 5 și 6.

34
Dacă 𝑅4=𝑅5=𝑅6=𝑅 și 𝐹4=𝐹5=𝐹=𝐹, atunci:
𝑅9=𝑅3+3𝑅2𝐹
și
𝐹9=3𝑅𝐹2+𝐹3

Dacă 𝑅4≠𝑅5≠𝑅6 și 𝐹4≠𝐹5≠𝐹6, atunci:
𝑅9=𝑅4𝑅5𝑅6+𝑅4𝑅5𝐹6+𝑅5𝑅6𝐹4+𝑅6𝑅4𝐹5
și
𝐹9=𝑅4𝐹5𝐹6+𝑅5𝐹6𝐹4+𝑅6𝐹4𝐹5+𝐹4𝐹5𝐹6

1.4. Sisteme cu redundanță în regim de a șteptare
În paragrafele anterioare am presupus că sistemul redundant este alcătuit din mai multe ramuri
conectate în paralel, toate ramurile paralele operează simultan. În unele sisteme una sau mai multe
ramuri dintre componentele redundante ale sistemului nu operează continuu, acestea rămân în condiții
normale de funcționare într -un mod de așteptare și sunt comutate în modul de operare doar în situația
în care se defectează una sau mai multe componente aflate în modul normal de operare [5].
Un sistem cu redundanță în regim de așteptare este sistemul care conține un element activ, la
care se atașează, în paralel unul sau mai multe elemente de rezervă. Elementele de rezervă sunt în
asteptare până când ele sunt conectate de către un subsistem de detectare -comutare. Comutarea are
loc atunci când elementul activ se defectează. Subsistemul de detectare -comutare este alcătu it dintr –
un element de detectare a defectării elementului activ, și un element de comutare pe elementul de
rezervă. În unele cazuri cele două elemente formează un singur subansamblu.
În figura de mai jos este prezentă diferență dintre cele două tipuri de redundanță studiate în
cadrul acestei lucrări [5].

Figura 1.12 . Moduri de redundanță: Redundanț ă par alelă/ Redundanță în regim de aș teptare
Există aplicații în care o componentă rămâne în stare de așteptare (nu funcționează) până când
primește comanda d e activare ca urmare a defectării unei alte componente. Sistemul din figura 4b
este întâlnit des în cazul rețelelor de calculatoare, cele două dispozitive sunt folosite pentru
redundanța procesului de control, fiecare dispozitiv este capabil să preia atrib uțiile celuilalt dispozitiv
în cazul în care unul dintre dispozitive se defectează în timpul operării [5 ].
În cazul redundanței în regim de așteptare trebuie analizat în detaliu modul de funcționare
ciclică a componentelor și modul în care se comută de pe o ramură pe alta. În continuare voi prezenta
cazurile în care comurarea este perfectă, respectiv imperfectă.

1.4.1. Sisteme cu redundanță în regim de a șteptare cu comutare perfectă
Sistemul cu redundanță în regim de așteptare din figura 4b are o comutare perfectă în situația
în care comutatorul este ideal, acesta nu se defectează niciodată în timpul operării și nu se defectează
în timpul procesului de comutare din poziția de operare în cea de trecere în regimul de așteptare.

35
Presupunând că B nu se defectează atunci când este în regim de asteptare, sistemul se poate defecta
atunci când A se defectează și B se defectează după ce în prealabil A s -a defectat [5 ].
Așadar, defectarea s istemului apare la defectarea lui A și la defectarea lui B, în condițiile în
care A este defect:
𝐹=𝐹(𝐴)𝐹(𝐵|𝐴̅) (1.15)
Dacă considerăm că A și B sunt independente intre ele, defectarea sistemului se reduce la
ecuația:
𝐹=𝐹𝐴𝐹𝐵 (1.16)
Se observă că rezultatul obținut anterior, ecuația 1.16 este același cu cel obținut la studiul
sistemelor conectate în paralel din punct de vedere al fiabilității, probabilitatea de defectare a unui
sistem cu redundanță în regim de asteptare este identică cu aceea a unui sistem cu redundanță paralelă.
Acest lucru, însă, nu este adevărat, din moment ce valorile numerice folosite în cele două ecuații sunt
diferite. Având în vedere că B este folosit pentru perioade scurte de timp, este evident că
probabilitatea sa de defectare să fie diferită față de cazul în care B funcționează tot timpul. Acest
lucru duce la necesitatea considerării probabilităților depedente de timp, în condițiile în care până
acum am discutat doar despre probabilităț i independente de timp (s -a presupus că probabilitatea de
defectare nu se modifică în timpul în care componenta este expusă la defectare) [5].

1.4.2. Sisteme cu redundanță în regim de a șteptare cu comutare imperfectă

Sistemul cu redundanță în regim d e așteptare din figura 4b are o comutare imperfectă în cazul
în care apare o probabilitate de defectare a comutatorului la comutarea de pe ramura în care operează
componenta A pe cea în care operează componenta B atunci când A este defect. Fie P S probabilitatea
unei comutări reușite și 𝑃𝑆̅=1−𝑃𝑆 probabilitatea de defectare la comutare.
Această problemă se poate rezolva folosind studiul probabilitaților condiționale.
Probabilitatea ca sistemul să fie defect se calculează folosind formula [5 ]:
𝑃(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡 )
=𝑃(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡 î𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖 ț𝑖𝑖𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑡 ă𝑟𝑖𝑖 𝑟𝑒𝑢ș𝑖𝑡𝑒)×𝑃(𝑐𝑜𝑚𝑢𝑡𝑎𝑟𝑒 𝑟𝑒𝑢ș𝑖𝑡ă)
+𝑃(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡 î𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖 ț𝑖𝑖𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑡 ă𝑟𝑖𝑖 𝑛𝑒𝑟𝑒𝑢 ș𝑖𝑡𝑒)×𝑃(𝑐𝑜𝑚𝑢𝑡𝑎𝑟 𝑒 𝑛𝑒𝑟𝑒𝑢 ș𝑖𝑡ă) (1.17)
Ținând cont de ecuația de mai sus putem scrie:
𝐹=𝐹𝐴𝐹𝐵𝑃𝑆+𝐹𝐴𝑃𝑆̅=𝐹𝐴𝐹𝐵𝑃𝑆+𝐹𝐴(1−𝑃𝑆)=𝐹𝐴𝐹𝐵𝑃𝑆+𝐹𝐴−𝐹𝐴𝑃𝑆=𝐹𝐴−𝐹𝐴𝑃𝑆(1−𝐹𝐵) (1.18)
Valoarea nefiabilității componentei B, 𝐹𝐵 este afectată de problema dependenței de timp a
componentei B care operează pentru perioade scurte de timp.
În continuare vom considera situația întâlnită dacă comutatorul se poate defecta în pozitia sa
inițială de operare la fel cum se defectează la com utarea între stări. Comutatorul poate fi reprezentat
ca o componentă în serie cu ramura paralelă alcătuită din cele două componente A și B, deoarece
defectarea comutatorului în poziția de operare este cel mai probabil identică indiferent dacă acesta
este c onectat la ramura de sus (cea cu componenta A) sau la cea de jos (cea cu componenta B).
Observația anterioară ne conduce la modelul din figura 5, comutatorul este figurat ca două
componente înseriate; prima dintre ele reprezintă modul acestuia de comutare cu o probabilitate de
comutare reușită de valoarea P S, iar cea de -a două reprezintă modul normal de operare al acestuia cu
o fiabilitate R S și o nefiabilitate F S.

36

Figura 1.13 . Redundanță în regim de asteptare cu comutare imperfectă
Pentru a putea determina funcția de fiabilitate a sistemului, respectiv funcția de nonfiabilitate
plecăm de la urmatoarea remarcă:
Cea de -a doua componentă din reprezentarea comutatorului este conectată în serie din punct de vedere
al fiabilității cu ramurile cu redundan ță în regim de așt eptare considerate anterior [5 ].
Ținând cont de această remarcă, probabilitatea de defectare (sau de funcționare) a sistemului poate fi
aflată prin combinarea efectului acesteia cu ecuația 1.18.
𝐹=[𝐹𝐴−𝐹𝐴𝑃𝑆(1−𝐹𝐵)]+𝐹𝑆−[𝐹𝐴−𝐹𝐴𝑃𝑆(1−𝐹𝐵)]𝐹𝑆 (1.19)
sau
𝑅=𝑅𝑆(1−(𝐹𝐴−𝐹𝐴𝑃𝑆(1−𝐹𝐵))) (1.20)

37
2. Analiza fiabilității sistemelor de telecomunicații cu structură
nedecompozabilă la serie paralel

2.1. Introducere
„Termenul de telecomunicații face referire la comunicațiile efectuate la distanță.
Comunicațiile pot fi prin fir, fibră optică sau aer. Sistemul de telecomunicații reprezintă totalitatea
mijloacelor tehnice dintr -un serviciu de telecomunicații, care formea ză o unitate. Acest domeniu este
foarte vas t, din acest domeniu fac parte radioul, telefonia fixă și mobilă, televiziunea, rețelele de
calculatoare, etc” [2].
Analiza fiabilității unor sisteme complexe (cum sunt, de exemplu; rețelele de comunicații
între calculatoare, de multe ori, la structuri fiabilistice ce nu pot fi reduse în mod direct la combinații
serie -paralel; aceste structuri ce conțin combinații de tip triunghi, stea, poligon ș.a. vor fi denumite în
continuare, utilizând o terminologie asemănă toare cu cea utilizată în teoria rețelelor electrice ,
structuri nedecompozabile .
În scopul analizei fiabilității sistemelor cu structuară nedecompozabilă pot fi utilizate metode
exacte sau aproximative. În cele ce urmează sunt evidențiate parti cularitățile, avantajele și
dezavantajele utilizării acestora în cazul sistemelor de telecomunicații cu diferite grade de
complexitate ; se insistă asupra metodelor aproximative, care permit să se pună la îndemâ na
proiectanților de rețele și echipamente de telecomunicații algoritmi de evaluare a fiabilității rapizi,
dar suficient de preciși, ce pot fi utilizați cu ușurință în practică.
În următoarele secțiuni ale acestui capitol se vor prezenta și compara metodele de analiză a
fiabilității a sistemelor ce au structură nedecompozabilă la serie -paralel.
În scopul studiului comparativ al diferitelor metode de analiză a fiabilității sistemelor cu
structură nedecompozabilă va fi utilizat, spre exemplificare, cazul aceleiași rețele de telecomunicații
cu model log ic de fiabilitate nedecom pozabil la serie -paralel (fig. 2.1 ) ; evenimentele care semnifică
buna funcționare a elementelor sistemului au fost notate A, …, E, funcțiile de fiabilitate R A,..,R E iar
funcțiile de nonfiabilitate corespunzătoare F A, …, F E
[4].
A
CB
DEI 123
4O

Figura 2.1 Modelul logic de fiabilitate de tip nedecompozabil al unei rețele de telecomunicații (Sursa
[4])

38
2.2. Metoda bazată pe enumerarea exhaustivă a stărilor sistemului
Această metodă se bazează pe enumerarea exhaustivă a stărilor sistemului și este una dintre
cele mai simple metode de analiză a fiabilității sistemelor cu structură nedecompozabilă.
Aplicarea acestei metode presupune următoarele etape [4]:
– selectarea tuturor stărilor care conduc la funcționarea sistemului, pe baza acestor stări se va scrie
expresia funcției de fiabilitate a întregului sistem;
– enumerarea tuturor stărilor posibile ale sistemului, în cazul unui sistem alcătuit din n elemente, fiecare
element are două stări, buna funcționare si defectarea, de unde rezultă că vom avea 2n stări;

Exemplu 2.1

Pentru sistemul cu model l ogic nedecompozabil din figura 2.1 calculați funcția de fiabilitate
a sistemului folosind metoda bazată pe enumerarea exhaustivă a stărilor sistemului [4].
După c um se poate observa în figura 2.1 sistemul are 5 elemente, de aceea vor fi 25 = 32 stări
posibile ale sistemului. În tabelul 2.1 am prezentat aceste stări posbile, cu mențiunea că am luat în
considerare cele două stări ale sistemului. Am simbolizat prin 1 starea de bună funcționare a
elementelor, respectiv prin 0 starea de defectare a elementelor.

Tabelul 2.1 Stările sistemului d in figura 2.1
Numărul
combinației Starea
elementului
A Starea
elementului
B Starea
elementului
C Starea
elementului
D Starea
elementului
E Starea
sistemului
S
1 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 1 0
3 0 0 0 1 1 0
4 0 0 0 1 0 0
5 0 0 1 1 0 1
6 0 0 1 1 1 1
7 0 0 1 0 1 0
8 0 0 1 0 0 0
9 0 1 1 0 0 0
10 0 1 1 0 1 1
11 0 1 1 1 1 1
12 0 1 1 1 0 1
13 0 1 0 1 0 0
14 0 1 0 1 1 0
15 0 1 0 0 1 0
16 0 1 0 0 0 0
17 1 1 0 0 0 1
18 1 1 0 0 1 1
19 1 1 0 1 1 1
20 1 1 0 1 0 1
21 1 1 1 1 0 1
22 1 1 1 1 1 1
23 1 1 1 0 1 1
24 1 1 1 0 0 1

39

Din tabelul de mai sus rezultă că există 16 stări de bună funcționare a sistemului (starea
sistemului este 1 logic). Pe baza acestei observații se determină expresia funcției de fiabilitate R NED
a sistemului, se înlocuiește starea de bună funcționare a elementului (1 logic) cu R, iar starea de
defectare a elementului (0 logic) cu F.
RS = F AFBRCRDFE + F AFBRCRDRE + F ARBRCFDRE + F ARBRCRDRE +
+ F ARBRcRDFE + R ARBFCFDFE + R ARBFCFDRE + R ARBFCRDRE +
+ R ARBFCRDFE + R ARBRCRDFE + R ARBRCRDRE + R ARBRCFDRE +
+ R ARBRCFDFE + R AFBRCRDRE + R AFBRCRDFE + R AFBFCRDRE. (2.1)

Cu toată simplitatea sa, această metodă este foarte l aborioasă. Dezavantajul principal constă
în creșterea rapidă a numărului stărilor sistemului odată cu creșterea numărului elementelor acestuia
; astfel, pentru un sistem conținâ nd 20 de elementc, numărul stărilor posibile depășete un milion
.Acest fapt limiteaza aplicabilitatea practica a metodei, care este indicată doar pentru sistemele cu un
număr redus de elemente [4].

2.3. Metoda bazată pe utilizarea formulei probabilități i totale

Este o metodă des utilizată în practică, în cazul analizei manuale (fără utilizarea mijloacelor
automate de calcul) a fiabilității sistemelor cu model logic de fiabilitate nedecompozabil. Prin ipoteze
formulate asupra stării unor elemente al e sistemului, se ajunge relativ simplu la structuri serie paralel,
a căror evaluare din punctul de vedere al fiabilității este imediată.
Această metodă se bazează pe formula probabilității totale , conform căreia dacă
evenimentele E1,E2,..,Ei..,En, formează un sistem complet de evenimente, cu probabilitățile
P(E1),P(E2), …, P(Ei),.., P(En), atunci probabilitatea unui eveniment S, care face parte din câmpul de
evenimente defin it de E1,E2,..,Ei..,En , este [4 ]:
)/()( )(
11
n
iiESPEP SP
(2.2)
Dacă se aplică formula probabilității totale în domeniul analizei fiabilității sistemelor cu două
stări, sistemul complet de evenimente se reduce la două: buna funcționare, respectiv defectarea unui
cadrul sistemului. Pornind de la relația 2.2
rezultă următoarea expresie a funcției de fiabilitate a sistemului [4]:

),/() 1()/( )( jSRR jSRR SRi i  
(2.3) 25 1 0 1 0 0 0
26 1 0 1 0 1 0
27 1 0 1 1 1 1
28 1 0 1 1 0 1
29 1 0 0 1 0 0
30 1 0 0 1 1 1
31 1 0 0 0 1 0
32 1 0 0 0 0 0

40
unde R j este funcția de fiabilitate a elementului j, R(S/j) este funcția de fiabilitate a sistemului
condiționată de buna funcționare a 1ui j, iar R(S/j) reprezintă funcția de fiabilitate a sistemului
condiționată de defectarea lui j [4].
În cazul structurilor f iabilistice nedecompozabile mai complexe se poate aplica de mai multe
ori consecutiv formula probabilității totale, până se ajunge la structu ri simple serie -paralel. [cap3]

Exemplu 2.2

Determinați funcția de fiabilitate a sistemului cu modelul logic de fiabilitate de tip
nedecompozabil de tip ,,punte” al unei rețele de telecomunicații din figura 6 folosind metoda bazată
pe utilizarea formulei probabilității totale [4].
La o primă analiză a sistemului se observă că elementul (blocul) E este elementul „cheie” al
sistemului,datorită poziției în care se afla în schemă. Expresia funcției de fiabilitate a sistemului este
următoarea:

Următoare etapă în determinarea fiabilității sistemului este de a trata sistemul în situația în
care elementul E este funcțional/nefuncțional.
Atunci când elementul E este funcțional sistemul va avea modelul fiab ilistic din figura 2.2, în
timp ce în situația în care elementul E nu este funcțional modelul fiabilistic va fi reprezentat în figura
2.3. Pe baza celor două scheme se vor determina probabilitățile P(S/E) și P(S/ Ē).

A
CB
D123
4O

Figura 2.2 Modelul logic de fiabilitate de tip nedecompozabil al unei rețele de telecomunicații atunci
când E este funcțional
)./() 1()/( )( ESPR ESPR SR RE E NED  

41

A
CB
D12O
Figura 2.3 Modelul logic de fiabilitate de tip nedecompozabil al unei rețele de telecomunicații
atunci când E este nefuncțional
Înlocuind expresiile determinate mai sus în expresia funcției de fiabilitate a sistemului
obținem:
RNED=RE[(R A+ R C- RARC)(R B+RD- RB RD)]+[(1 – RE)( R ARB+ R CRD- RARBRCRD)]
= R E(RARB+ R ARD-RARBRD+ R BRC+ R CRD- RBRCRD- RARBRC- RARCRD+
RARBRCRD)+ R ARB+ R CRD- RARBRCRD- RARB RE- RCRDRE+ R ARBRCRD RE
= R ARDRE- RARBRCRE+RBRCRE- RBRCRDRE- RARBRCRE- RARCRDRE+ R ARB+ R CRD-
RARBRCRD

2.4. Metode bazate pe mulțimile legăturilor minimale
Metodele de analiză a fiabilității sistemelor de telecomunicații cu structură nedecompozabilă
prezentate în paragrafele anterioare sunt utilizate doar în situația în care sistemul prezintă o
complexitate redusă. În cazul sis temelor complexe – cum su nt majoritatea rețelelor de telecomunicații
– se impune utilizarea unor metode de analiză a fiabilității sistematice, ușor de implementat sub forma
unor algoritmi programabili pe calculator ; în acest sens, în cele ce urmează vor fi evidențiate tehnici
de analiză a fiabilității care presupun identificarea căilor între nodul de intrare și cel de ieșire al
grafului de fiabilitate al unui sistem (a legăturilor sistemului ) [4].
În graful de fiabilitate al unui sistem cu structură nedecompozabilă pot fi evide nțiate anumite
arce ce pot fi parcurse numai într -o singură direcție (directe ) și altele care pot fi parcurse în ambele
direcții ( de interconexiune ) de asemenea, pot fi evidențiate nodul de intrare (sursă) și nodul de ieșire
(terminal ). Pentru sistemul cu structură nedecompozabilă a cărui graf de fiabilitate este reprezentat
în figura 2.1 nodul 1 este nodul de intrare, nodul 2 este nodul de ieșire,A, B, C, D sunt căile directe
între nodul de intrare și cel de ieșire, E este calea de interconexiune.
Legătura (calea ) reprezintă mulțimea de elemente a căror bună funcționare conduce la buna
funcționare a sistemului analizat, indiferent de starea celorlalte elemente ale acestuia [1].
Legătura (calea) minimală este legătura î n care nu există o submulțime de elemente a căror
funcționare singură să ducă la buna funcționare a sistemului [1].
). )( ()/(DB D B CA C A RR R RRR R R ESP  
. )/(D CBA D C BA RRRR RR RR ESP 

42
Astfel, pent ru sistemul considerat (fig. 2.1 ), AB constituie o legătură minimală, iar ABED, o
legătură (deoarece conține două submulțimi de elemente, AB și AED, a căror bună funcăționare
separată conduce la buna funcționare a sistemului). Privită prin prisma grafului de fiabilitate, o
legătură va fi minimală, dacă fiecare nod este parcurs doar o singură dată.
În cazul general, al unui graf de fiabilitate de formă pol igonală cu n noduri, ale cărui arce sunt
toate bidirecționale, numărul m al legăturilor min imale este dat de relația [4 ]:

Pe baza formulei de mai sus am calculat în tabelul de mai jos legăturile minimale pentru
cazul general în care graful de fiabilitate al sistemului este de formă poligonială.

Tabelul 2.2 Numărul legăturilor minimale în cazul unor structuri fiabilistice (Sursa[4 ])

Număr de noduri (n) Număr legături minimale (m) Structura grafului de fiabilitate
al sistemului
3 2

4 5

5 16

.!1)!2(2
0
n
iin m
)4.2(

43
6 65

7 326

8 1957

În continuare se vor prezenta câteva tehnici de analiză a fiabilității, acestea presupun
determinarea apriorică a mulțimii legăturilor minimale ale sistemu lui supus analizei. Legăturile
minimale ale sistemului vor fi notate cu L1,…Lm, iar expresia funcției de fiabilitate a sistemului se
poate determina astfel [4]:

Pentru evaluarea facilă a fiabilității sistemului este necesar ca termenii din relația de mai sus
să fie incompatibili între ei. . În general această condiție nu este îndeplinită în practică ; de aceea, este
necesar ca mai întâ i funcția de structură a sistemului să fie pusă sub forma unei reuniuni de prod use
logice mutual incompatibile.
În continuare su nt analizate critic unele metode ce pot fi utilizate ptntru determinarea mulțimii
legăturilor minimale ale unui sistem. De asemenea ,su nt studiate comparativ principalele metode ce
pot fi utilizate pentru ev aluarea fiabilității sistemului pe baza mulțimii legăturilor sale minimale. [4].

). …. …. ( )(2 1 m i L L LLP SR 
)5.2(

44
2.5. Metode folosite pentru identificarea mulțimii legăturilor minimale ale unui
sistem

Pentru sistemele de mică complexitate, identificarea legăturilor minimale este posibilă prin
simpla inspecție a modelului logic sau a grafului de fiabilitate aferente acestora.
Pentru sistemele complexe identificarea legăturilor minimale nu se poate face printr -o simplă
inspecție a modelui logic de fiabilitate al sistemui, este necesar să se procedeze sistematic astfel încât
să putem identifica mulțimea legăturilor minimale [4].

2.5.1. Metodă bazată pe ridicarea la putere a matricelor de conexiune

Matricea de conexiune [C] constituie corespondentul analitic al grafului de fia bilitate al
sistemului și este o matrice pătratică de dimensiune n, unde n reprezintă numărul de noduri al grafului
de fiabilitate al sistemului. În cadrul acestei matrici elementele pot avea următoarele valori [4]:
– cij = 0, dacă nu există nicio cale direc tă de la nodul i la nodul j;
– cij = X, dacă există o cale directă de la nodul i la nodul j (X înseamnă că evenimentul
corespunzător acestei căi este buna funcționare);
S-a demonstrat că pentru matricea [C]n, elementul cij dă toate căile minime de la i la j de
mărime r. Într -un graf de conexiune cu n noduri, cea mai mare cale va fi de mărimea (n –1); deci
pentru a se determina toate căile din graf este necesar să se calculeze mai întâi [C],[C]2, …, ,[C]n-1.[8].
Metoda analizată presupune următoarele etape: [4]:
– se determină matricea de conexiune corespunzătoare grafului de fiabilitate al sitemului, ținând
cont existența sau inexistența unei căi directe de la nodul i la nodul j;
– se calculează matricele [C]2, …,[C]n-1 (unde n este numărul nodurilor grafului) ;
– se determină legăturile minimale ale sistemului. Acestea sunt date de termenii cij (1 fiind nodul
de intrare, iar k nodul de ieșire al gratului de fiabilitate aferent sistemului) ai matricelcr [C],
[C]2, …,[C]n-1 ;

Exemplul 2.3

Determinați mulțimea legăturilor minimale a sistemului având modelul logic de fiabilitate de
tip nedecompozabil din figura x folosind metoda bazată pe ridicarea la putere a matricelor de
conexiune [4].
Analizând graful de fiabil itate al sistemului nedecompozabil se observă că sistemul are 4
noduri, 1 este nodul de intrare și 2 este nodul de ieșire.
Prima etapă a metodei ne spune că trebuie determinată matricea de conexiune corespunzătoare
grafului de fiabilitate al sistemului, ț inând cont de existența sau inexistența unei căi directe de la nodul
i la nodul j.
Cum n este egal cu 4, matricea C este de dimensiune 4×4 și este egală cu:






0 00 0000000
][
EDE BCA
C

45
A doua etapă presupune determinarea matricelor [C]2, …,[C]n-1
A treia etapă presupune determinarea legăturilor minimale ținând cont că 1 este nodul de
intrare, iar 2 este nodul de ieșire. Pentru stabilirea mulțimii legăturilor legăturilor minimale trebuie
considerați termenii c 12 ai [C]2 și [C]3. Din expresiile calculate anterior au fost determinate
următoarele legături minimale: AB, CD, CEB, AED.
Deoarece metoda necesită calculul puterilor unor matrice, aceasta este indicata doar pentru
sistemele de mica complexitate (al căror graf de fiabilitate are puține noduri}, devenind la borioasă
pentru sistemele complexe.

2.5.2. Metoda bazată pe reducerea succesivă a mărimii matricei de conexiune
Această metodă presupune următoarele etape [4]:
a) Determinarea matricei de conexiune [C] corespunzătoare grafului de fiabilitate al sistemului
analizat, ținând cont de existența sau inexistența unei căi directe de la nodul i la nodul j;
b) Reducerea succesivă a mărimii matricei de conexiune [C] prin îndepărtarea ultimei sale linii
și a ultimei sale coloane, după ce în prealabil au fost modificați te rmenii rămași ai lui [C]
conform relaț iei [9 ] :
Cij nou = C ij vechi + C inCnj (2.6)
Procedeul se repetă pâ nă când se ajunge la o matrice mai simplă (de obicei de dimensiuni 2
X 2) din care re zultă imediat legăturile, minimale ale sistemului.

Exemplul 2.4

Determinați mulțimea legăturilor minimale a sistemului având modelul logic de fiabilitate de
tip nedecompozabil din figura x folosind metoda bazată pe reducerea succesivă a mărimii matricei de
conexiune. Analizând graful de fiabilitate al sistemului nedecompozabil se observă că sistemul are 4
noduri, 1 este nodul de intrare și 2 este nodul de ieșire [4].
În aplicația anterioară am determinat matricea de conexiune a sistemului.





0 00 0000000
][
EDE BCA
C

Plecând de la această matrice și aplicând succesiv reducerea mărimii matricei de conexiune
folosind relația 2.6 vom obține următoarele matrice, unde în [C] 4 am îndepărtat succesiv nodul 4,
iar în [C] 43 am îndepărtat succesiv nodul 3:










00 0 000 0 000 0 000 00 0 00 0 00 0 0 00
32
AED CEB
CEBEDAE CE CD AB
C

46


  





0)3,4( )3.4( )3( )4( 0][0 )4( 00 0 0)4( )4( 0
][
434
AED CEB AB CDCEDBCEA CD
C
Numerele din paranteză din interiorul matricelor indică nodul care a fost traversat,nodul a fost
precizat pentru a se evita situația în care un nod ar fi parcurs de mai multe ori. Termenul c 12 al matricei
[C] 43 evidențiază legăturile minimale ale sistemului. După cum se poate observa am ajuns la același
rezultat cu cel obținut în cazul anterior, legăturile fiind AB, CD, CEB,AED, doar că această metodă
presupune calcule mai puțin laborioase. Această metodă nu necesită multiplicări de matrice,
dimensiunea matricei de conexiune se reduce la fiecare etapă, de aceea această metodă se poate utiliza
în cazul sistemelor cu un grad ridicat de complexitate.

2.5.3. Metoda căilor adiționale

Metoda căilor adiționale este o metodă de identificare a legăturilor minimale pe baz a teoriei
grafurilor ș i presupune următoarele etape [10][11 ]:
– adăugarea unei căi adiționale la graful de fiabilitate al sistemului de la nodul de intrare spre cel de
ieșire
– enumerarea buclelor grafului care conțin ramura adițională. Legăturile minimale se vor determina
ulterior pe baza acestor bucle;

Exemplul 2.5

Determinați mulțimea legăturilor minimale a sistemului având modelul logic de fiabilitate de
tip nedecompozabil din figura x folosind metoda căilor adiționale [4].
123
4AB
E
C DH

Figura 2.4 Graful de fiabilitate al sistemului supus anali zei incluzând calea adițională H (Sursa [4])

În figura de mai sus am desenat graful de fiabilitate al sistemului supus analizei,am introdus
o cale adițională, notată c u H. Această cale va da una dintre buclele fundamentale ale grafului.
Celelalte bucle fundamentale vor fi notate cu C 1,C2,..C f . Buclele care îl conțin pe H sunt următoarele
[4] :
H
H+C I, i= 1,2,…,f;
H+C I+Cj, j= 1,2,..,f (i j);

47
H+C 1+C2+…………+C f, (2.7)
În relațiile 2.7 sumările sunt de tip modulo doi. La fiecare etapă trebuie verificat că bucla
obținută nu conține nici unele dintre buclele obținute anterior. Pentru sistemul considerat, buclele
fundamentale sunt [4]:
A B C D E H
H:[1 1 0 0 0 1] (2.8)
C1:[1 0 1 0 1 0](C adăugat)
C2:[0 1 0 1 1 0](D adăugat)

Rezultă:
H+C 1:[0 1 1 0 1 1]
H+C 2:[1 0 0 1 1 1] (2.9)
H+C 1+C2:[0 0 1 1 0 1]

În relațiile anterioare s -au folosit notațiile din algebra booleană, unde simbolul 1 reprezintă
starea de bună funcționare a elementului, iar simbolul 0 reprezintă starea de defectare a elementului.
Buclele care îl conțin pe H sunt: ABH, BCEH, ADEH, CDH, iar legăturile minimale ale sistemului
sunt : AB, BCE, ADE și CD, rezultat similar cu cel obținut prin precedentele metode.
Această metodă ne furnizează o rezolvare rapidă a identificării legăturilor minimale ale
sistemului. În cazul sistemelor de telecomunicații mari, pentru care rezultă grafuri de fiabilitate
complexe sunt necesare precauții speciale, astfel încât să nu fie omise unele dintre buclele
fundamentale ale grafului [4 ].

2.6. Metode de evaluarea a fiabilității pornind de la mulțimea legăturilor
minimale ale sistemului
După identificarea mulțimii legăturilor minimale ale siatemului se trece la evaluarea propriu –
zisă a fiabilității acestuia. În cele ce urmează su nt evidențiate posibilitățile utilizării în acest sens a
unor metode bazate pe calculul probabilităților și algebra booleană. [4].

2.6.1. Metodă bazată pe dezvoltarea canonică directă

Pornind de la expresia 2.5 a funcției de structură a sistemului, exprimată în termenii legăturilor
minimale și dezvoltând -o în forma ei canonică [38] se ajunge la o expresie de tipul reuniune de
produse logice (denumită prescurtat s.o.p – sum of products – utilizâ nd terminologia din literatura
tehnică anglo -saxonă) . În această expresie, înlocuind pe X prin R X și pe X prin F X se determină
fiabilitatea sistemului.
Aplicând această metodă pentru graful din figura obținem următoarea expresie a funcției de structură
[4] :

Dezvoltând expresia de mai sus în forma ei canonică obținem:
BEC AED CD ABS 
)10.2(

48

Pornind de la 2.11 și înlocuind pe X cu R X, respectiv pe X cu F X, se obține expresia funcției
de fiabilitate a sistemului, expresie similară cu cea obținută în secțiunea anterioară.
Principalul avantaj al acestei metode este acela că nu mai este necesară determinarea apriorică a
tuturor stărior sistemului [4].

2.6.2. Metodă bazată pe utilizarea calculului probabilităților
Dezavantajul metodei anterioare este acela că expresia funcției de fiabilitate are foarte mulți
termeni, sunt necesare calcule laborioare în scopul evaluării fiabilității. Volumul de calcule necesare
se poate reduce dacă utilizăm conceptele fundamentale ale calcului probabilit ăților. Pornind de la
funcția de structură a sistemului, aceasta fiind evaluată din aproape în aproape și ținând cont de relația
de bază din calculul probabilităților putem determina fiabilitatea sistemului [4].
) ()()( ) ( YXPYP XP YXP   
(2.12)
Relaț ia 2.12 poate fi generalizată pentru cazul a m evenimente, L 1,L2,…, L m, sub forma :
) .. ………. ( )1(……. () ( )(
111 1
m j imk j
mjiij
mjii
iim
ii
E E EPE E EPLLP LP L P
  
 
  




(2.13)
care permite evaluarea funcției de fiabilitate a sistemului, conform expresiei 2.5, pornind de
la funcția de structură a acestuia, exprimată în termenii legăturilor minimale.
În practică, în ipoteza uzuală a independenței evenimentelor, relațiile 2.11 și 2.12 se simplifică
considerabil.

Exemplul 2.6

Evaluați fiabilitatea sistemului cu structură nedecompozabilă din figura folo sind metoda
bazată pe utilizarea calcului probabilităților [4].
Pentru a evalua fiabilitatea sistemului se pornește de la funcția de structură a acestuia, relația
2.10, aceasta este evaluată din aproape în aproape ținând cont de relația 2.12. În acest exemplu se are
în vedere independența statistică a defectărilor sistemului. Se notează P(X)=R(X), unde X reprezintă
elementul sistemului.
Obținem : P(AB) = R ARB ;
P(AED)=R ARERD ;
P(CD) = R CRD
P(AB  CD) = R ARB+ R CRD – RARBRCRD
……………………………………………………………………………………..
RNED=P(AB  CD  AED  BEC)=R ARB + R CRD + R ARDRE +
EDBCADECBA CDEBAECDBAE BCDA BCDEAECDBA CDEBAEDCABEDCABEDCABDECABED ABCED ABCE ABCD ABCDES
               
)11.2(

49
+ R BRCRE – RARBRCRD – RARBRCRE – RARBRcRE –
– RBRCRDRE – RARCRDRE +2R ARBRCRDRE.

Această metodă prezintă o variantă simplificată aplicabilă în situația în care cunoaștem
legăturile minimale ale sistemului. Pornind de la aceste legături, determinate în prealabil fiabilitatea
sistemului este:
RNED = 1 –[(1 – P(AB))(1 – P(CD)(l – P(AED))(1 – P(BEC))]
= 1 –[(1 – RARB)(1 – RCRD )(l – RARERD)(1 – RBRERC)]
= R ARB + R CRD + R ARDRE + R BRCRE – RARBRCRD – RARBRCRE – RARBRcRE-
– RBRCRDRE – RARCRDRE +2R ARBRCRDRE

Expresia funcției de fiabilitate este echivalentă cu cea obținută prin metodele enumerării
exhaustive a stărilor, a dezvoltării canonice directe, dar este mai simplă și necesită un număr
considerabil mai redus de multiplicări [4 ].

2.6.3. Metoda bazată pe descompunerea grafului de fluență

Acestă metodă presupune descompunerea grafului de fiabilitate al sistemului într -un număr
de subgrafuri care conțin toate caile posibile între nodul de intrare și cel de ieșire al grafului
sistemului.
Etapele aplicării acestei metode [4]:
a) Într-o prima etapă se găsesc toate căile directe între intrare și ieșire, și se va calcula suma
probabilitaților de bună funcționare ale acestora ( 0);
b) A doua etapă presupune găsirea tuturor subgrafurilor orientate între nodul de intrare și cel de
ieșire care conțin o singură buclă, și se va calcula suma probabilitațilo r de bună funcționare
ale elementelor constituiente ale subgrafurilor ( 1);
c) A treia etapă presupune găsirea tuturor subgrafurilor orientate între nodul de intrare și cel de
ieșire care conțin două buclă, și se va calcula suma probabilitaților de bună funcț ionare ale
elementelor constituiente ale subgrafurilor ( 2);
d) Etapele b și c sunt repetate până în momentul în care se ajunge la subgrafuri care conțin
numărul maxima de bucle. Se va calcula suma produselor probabilitaților de bună funcționare
ale elementel or constituiente acestor subgrafuri. Suma determinată va fi considerată cu
semnul minus dacă subgrafurile conțin un număr impar de bucle, respectiv cu plus în cazul în
care numărul de bucle este par.
În final, funcția de fiabilitate a sistemului va fi evaluată pe baza relației :
RS=0 – 1 + 2 – 3 + 4 – 5 +……… (2.14)

50
2.6.4. Metoda bazată pe utilizarea diagramelor de tip Karnaugh

Analogia care se poate face între stările posibile ale elementelor sistemelor (bună funcționare,
respectiv defectare) și valorile posibile ale variabilelor booleene (l), respectiv 0) sugerează
posibilitatea utilizăii metodelor algebrei booleene în scopul analizei fiabilitătii sistemelor.
În acest sens, utilizarea unei metodologii bazate p e diagramele de tip Karnaugh* –
întrebuințate în mod uzual pentru minimizări de funcții în algebra booleană v a conduce la reducerea
numărului de termeni din expresia funcției de fiabilitate a sistemului, comparativ cu metodele indicate
în paragrafele anter ioare.
Pentru construcția diagramelor Karnaugh, se pornește – de obicei de la funcția de structură a
sistemului, obținută printr -una din metodele indicate .
Este posibilă și construcția diagramelor Karnaugh pornind direct de la identificarea
combinațiilor c are conduc la buna funcționare a sistemului ; se recomandă utilizarca pentru aceasta a
unui tabel de adevăr, de tipul celui indicat în (tabelul 2.1 ).
Utilizâ nd apoi procedura de minimizare a funcțiilor booleene bazată pe aceste diagrame și
alegâ nd corespun zător su prafețele alăturate, astfel încâ t ele să fie disjuncte, se aduc e expresia funcției
de structură a sistemului la forma unei reuniuni de termeni mutual exclusivi, pornind de la care
expresia funcției de fiabilitate a sistemului poate fi scrisă imedia t.

Exemplul 2.7 . Spre a permite o comparare a eficienței diferitelor metode, modul practic de
utilizare a acestei metodologii va fi exemplificat prin int ermediul evaluării fiabilității aceluiași
sistem cu structura fiabi listică nedecompozabilal.
Se construiesc conform metodolegiei uzuale diagramele Karnaugh, pornind fie de la expresia
funcției de structură a sistemului analizat, fie de la tabelul de ad evăr corespunzător acestuia
(tabelul 2.1).
După minimizarea funcției d e structură a sistemului, se poate scrie direct pornind de la
diagrama:

Se observă că datorită modului alegerii suprafeț elor alăturate –disjuncte toți termenii expresiei
s.o.p (2.15) sunt mutual exclusivi, ceea ce permite scrierea directă a expresiei funcției de fiabilitate a
sistemului, utilizâ nd teoremele de bază ale calculului probabilităților :
RNED=P(S)=R ARB+
+FARCRD+RAFBRCRD+
+FARBRCFDRE+
+RAFBFCRDRE (2.16 )

* Pentru o funcție de n variabile binare diagrama Karnaugh reprezintă o reuniune de 2n căsuțe,
așezate astfel încâ t pentru fiecare combinație posibilă a ce lor n variabile să corespundă câ te o căsuță.
O funcție booleană se reprezintă în diagrama Karnaugh prin introducerea cifrei 1 în căsuțele pentru
care combinațiile variabilelor fac funcția s ă aibă valoarea logică 1 ; în cazul an alizei fiabilității unui
sistem , se înscrie cifra 1 în căsuțele corespunzătoare combinațiilor care conduc la buna funcționare a
sistemului.
* Prin convenție, căsuțele pentru care funcția are valoare logică 0 su nt lăsate necompletate.

Expresia 2.15 prezintă avantajul unui număr mai redus de termeni comparativ cu cel obținut
prin utilizarea metodelor precedente, ceea ce conduce – evident – la reducer ea timpului necesar
;DECBAEDBCA CDBA CDA ABS  
)15.2(

51
evaluării numerice a funcției de fiabilitate a sistemului. În plus, lucrul cu diagramele de tip Karnaugh
nu implică dificultăți speciale pentru inginerii electroniști și automatiști, familiarizați cu utilizarea
lor.
Totuși, întrebuințar ea metodei diagramelor de tip Karnaugh este convenabilă doar pentru
sistemele de mică complexitate* (care conțin cel mult 6 elemente) ; în plus, fiind o metodă grafică,
este dificilă implementarea ei pe calculator.

2.7. Metode bazate pe mulțimile tăietur ilor minimale
Tăietura se definește ca o mulțime de elemente a căror defectare conduce la defectarea
sistemului analizat , indiferent de starea celorlalte elemente constituiente ale sistemului [1].
Tăietura minimală este tăietura în care nu există o submulțime de elemente a căror defectare
singură să d ucă la defectarea sistemului [12] [13 ].
Aplicând definiția de mai sus și a nalizând sistemul cu structură fiabilistică nedecompozabilă
din figura vom găsi următoarele tăieturi: AC, BD, ABC, ACE, ACD , BDE, BCD, ABD, ADE, BCE,
ABCD, ABDE, BCDE, ACDE, ACBE, ABCDE. În total am determinat la o analiză vizuală 16
tăieturi, dintre acestea doar 4 fiind tăieturi minimale: AC, BD, AED și CEB.
În urma modului de definire al conceptului de tăietură, metodele ba zate pe mulțimea
tăieturilor minimale sunt complementarele metodelor bazate pe mulțimea legăturilor minimale. În
acest caz este mai ușor de evaluat probabilitatea de defectare a sistemului,cu ajutorul relației [4]:
) ….. …. (2 1 l i S T T TTP F 
(2.17 )
unde T1, …, Ti reprezintă cele l tăieturi minimale ale sistemului.
Analizând aceste metode, putem observa că tehnicile de evaluare a fiabilității bazate pe
mulțimile legăturilor minimale pot fi utilizate în scopul evaluării fiabilității pornind de la mulțimea
tăieturilor minimale ale sistemului, cu modificarea corespunzătoare a variabilelor.
De asemenea, este de preferat evaluarea fiabilității pe baza mulțimii tăieturilor minimale
atunci când numărul mediu al ramurilor incidente pe nod este mai mare decât 4. Ac est aspect se
datorează creșterii numărului ramurilor de interconectare.

2.8. Metode aproximative pentru analiza fiabilității sistemelor de înaltă
fiabilitate
Analiza fiabilității utilizând metode exacte devine foarte laborioasă în cazul sistemelor de
mare complexitate.
De accea, în cazul sistemelor de telecomunicații, alcătuite din elemente de înaltă fiabilitate
(elementul de înaltă fiabilitate are probabilitatea de defectare F i << 1) se recomandă utilizarea unor
metode aproximative. Aceste metode aproximative de evaluare a fiabilității unui sistem complex sunt
rapide și conduc la reducerea volumului de calcule necesare [4].
În acest scop, această metodă presupune scrierea expresiei funcției de fiabilitate a sistemului
folosind probabilită țile de defectare ale elementelor sistemului, în acest sens se va obține un polinom
în F i. Ulterior după ce se obține polinomul în F i se vor reține doar primii termeni ai polinomului
(ordonat după puterile crescătoare ale lui F i, deoarece pentru valorile lui F i suficient de mici
contribuția termenilor de grad superior nu este semnificativă, ceea ce permite neglijarea lor fără a se
introduce erori importante [1].
Între modelele structurale de fiabilitate și reprezentările schematice din teoria rețelelor
electrice există o analogie, de aceea se pot utiliza teoreme din teoria rețelelor electrice pentru a analiza

52
fiabilitatea unui sistem de înaltă fiabilitate. În aces t sens putem utiliza teorema superpoziției și
teoremele de transformare triunghi stea în scopul deducerii rapide a expresiilor funcțiilor de
fiabilitate în cazul sistemelor complexe cu structură fiabilistică nedecompozabilă.
Teorema superpoziției reduce problema evaluării fiabilității unui sistem format din n elemente
la două probleme mai simple, și anume evaluarea fiabilității unor elemente formate din câte (n -1)
elemente. Procedeul poate fi aplicat iterativ, practic operația fiind oprită când se ajunge l a structuri
fiabilistice cunoscute pentru care rezultatele pot fi scrise direct.
Utilizarea teoremelor de transfigurare triunghi stea permite transformarea rapidă a
structurilor fiabilistice nedecompozabile în structuri de tip serie -paralel.
Pe baza structurilor din figură s-au determinat relațiile aproximative de transfigurare triunghi
 stea [1]:
În cazul acesta s -a pus condiția echivalenței din punctul de vedere al fiabilității între cele două
tipuri de conexiuni, în acest context elementele acest ora sunt de înaltă fiabilitate.
Pentru cazul invers, transfigurarea stea triunghi se obțin următoarele relații aproximative:

1
231
23
1231
231
23

Figura 2.5 . Transfigurări triunghi ↔stea

Această metodă de evaluare a fiabilității unui sistem cu structură fiabilistică nedecompozabilă
furnizează rezultate asemănătoare cu cele obținute cu celelalte metode studiate în cadrul acestei
lucrări, erorile datorate utilizării relațiilo r aproximative de transfigurare în raport cu alte metode
exacte sunt, în general, neglijabile [4].
S-a constatat că erorile obținute folosind transfigurarea triunghi  stea sunt cu un ordin de
mărime mai mici în raport cu transfigurarea stea  triunghi, de aceea este mai avantajoasă utilizarea
transfigurării triunghi  stea în cazul rețelelor de telecomunicații.
Avantajele utilizării transformărilor triunghi  stea în cazul sistemelor de mare complexitate
cu structură fiabilistică nedecompozabil ă constau în rapiditatea reducerii acestor structuri la unele de
tip serie -paralel, ca și în simplitatea calculelor pentru evaluarea numerică a fiabili tății sistemului . [4]
;23 31 3 FF F
;
321
12FFFF
;
132
23FFFF
;
213
31FFFF
;31 12 1 FF F
;12 23 2 FF F
)18.2(
)19.2(

53
Aplicarea de mai multe ori consecutiv a transfigurărilor poate facilita cosiderabil evaluarea
fiabilității rețelelor de telecomunicații de mare complexitat e, cu structura nedecompozabilă, așa cum
se poate observa și în exemplul anterior.

Exemplul 2.8 . Este necesară evaluarea fiabilității unei rețele de comunicații a cărui model logic de
fiabilitate ( figura 2.6 ) este format din n celule, structura caracteristică sistemelor de comunicații cu
mai mulți abonați (telefonice, dispecerizare etc.) ; ele mentele schemei, avînd fiabilităț i suficient cle
ridicate (deci FI << 1 ) – ale căror probabil ități de defectare cunoscute, su nt respectiv F1, F2, F3 –
pot fi linii de transmisiune, repetoare etc.

Figura 2.6. Evaluarea fiabilității unei rețele de telecomunicații cu model logic de fiabilitate
nedecompozabil, utilizând transfigurări repetat e triunghi↔stea.

Pentru evaluarea fiabilității sistemului, se utilizează transfigurări triunghi ↔stea, pornind de
la o extremitate la alta a schemei (fig. 2.6).
În cazul în care F𝑖 << l, pentru evaluarea fiabilității sistemelor al căror model logic de
fiabilitate est e de tip serie putem utiliza următoarea relație :

54

În urma celor enunțate anterior, obținem următoarea expresie:

Aplicarea teore melor de transfigurare triunghi ↔stea reprezintă o metodă pentru reducerea
structurilor fiabilistice nedecompozabile la structuri serie -paralel.
Pe de altă parte, există cazuri pentru care aplicarea acestor metode de transfigurare
triunghi ↔stea nu este foarte utilă.
Considerând, spre exemplu , cazul unei rețele de telecomunicați i complexe, avâ nd gr aful de
fiabilitate cu structură nedecompozabilă {fig. 2.7 a ). Transfigurarea oricăruia dintre triunghiurile ce
pot fi evidențiate în graful de fiabilitate al rețelei în stele nu conduce la structuri fiabilistice reductibile
la serie/paralel. Astfel, transfigurarea triunghiurilor 123 și 456 (desenate cu linie groasă în fig. 2.7.a )
în stele conduce la structura fiabilis tică din fig. 2.7.b . nereductibilă la serie/paralel și care nu mai
conține alte triunghiuri ce ar putea fi transfigurate. Transfigurarea stelelor 1723,respectiv 5864
(figurate cu linie groasă în fig. 2.7 b) conduce la structura fiabilistică inițială, ceea ce reliefează că
utilizarea transfigurărilor triunghi ↔stea este inadecvată în acest caz.
Una dintre soluțiile posibile pentru înlăturarea acestui neajuns constă în extinderea utilizării
teoremelor de tran sfigurare în cazul rețelelor avâ nd un număr ma i mare de noduri și anume prin
utilizarea transfigurărilor patrulater -stea (fig. 2.8).

Figura 2.7. Cazul unei rețele de telecomunicații nedecompozabile care nu poate fi adusă la o structură
fiabilistică serie -paralel prin aplicarea teoremelor de transfigurare

Figura 2.8. Transfigurarea unui patrulater bidiagonal într -o stea

. ) 1( 1
1 1
 n
iin
ii S F F F
)20.2(
. )1(2 4 222
3 3212
32
1 FF n FFF nF F FNED 
)21.2(

55

Figura 2.9 . Utilizarea transfigurării patrulator -stea în cazul unei rețele de telecomunicații cu structură
nedecompozabilă
Relațiile de transfigurare [4] su nt în acest caz de o mai mare complexitate, dar ele pot fi
considerabil simplificate în cazul sistemelor conținînd elemente de înaltă fiabilitate.
Utilizâ nd transfigurarea patrulaterului 1234 (desenat mai gros în fig. 2.8a), graful de
fiabilitate al sistemului es te adus la forma din fig. 2.8 b (în care steaua formată, 17234, a fost figurată
cu linii groase), care este în continuare rcductibilă la serie~paralel prin transfigurări triunghi -stea.

56

57
3. Fiabilitatea rețelelor și toleranța la defectare

3.1.Introducere
Majoritatea aplica țiilor din domeniul comunica țiilor sunt c oncepute în așa fel încât să
furnizeze o disponibilitate cât mai ridicată. Disponibilitatea repre zintă capacitatea unui sistem de a –
și îndeplini funcția pentru care a fost proiectat la un moment dat de timp, este probabilitatea de a
funcționa corect la un moment dat de timp. La acest nivel este de așteptat ca datele să traverseze
rețeaua și să ajungă intacte la destinație, la client. Sistemele fizice care compun o re țea, pe de altă
parte, sunt supuse unei game largi de probleme, probleme ce pot apărea din cauza distorsiunilor de
semnal și continuând cu defectări ale compo nentelor sistemului [14 ].
În mod similar, software -ul care acceptă interfa ța semantică la nivel înalt poate con ține adesea
bug-uri necunoscute și alte probleme latente de fiabilitate.
Redundan ța stă la baza tuturor abordărilor legate de toleranța la defectare, scopul
proiectanților de rețele de telecomunicații este acela de a proiecta un sistem redundant, atunci când
se defectează o componentă sistemul continuă să funcționeze.
Proiectarea oricărui sistem tolerant de defectare necesită în primul rând analiza unui mod de
defectare, apoi se studiază diverse scenarii posibile ce pot conduce la defectarea sistemului, împreună
cu o în țelegere a frecven ței, duratei și impactului fiecărui scenariu [14].
Caracteristicile temporale ale defectelor pot varia foarte mult, dar pot fi clasificate ca
permanente, intermitente sau tranzitorii.
Defectările care împiedică o componentă să func ționeze până la reparare sau înlocuire, cum
ar fi distrugerea unei fibre optice de către un escavator sunt considerate permanente.
Defectările care pe rmit unei componente să func ționeze corect o parte de timp sunt numite
intermitente.
Conectorii deteriorați și componentele electrice produc uneori defecte intermitente, sistemul
func ționează corect până la vibrații mecanice sau termice, aceste varia ții produc defectarea,
recuperarea se produce atunci când condi țiile se schimbă din nou.
Ultima categorie, defectele tranzitorii, este, de obicei cel mai ușor de manevrat. Defectele
tranzitorii pot apărea ca urmare a modificărilor în con ținutul memoriei calcu latorului din cauza
razelor cosmice, continuând cu erori de bit din cauza zgomotului termic într -un demodulator, de
obicei aceste defecte sunt rare și imprevizibile.
Redundan ța are două forme, spa țială și temporală. Redundan ța temporală constă în folosirea
aceluiași dispozitiv pentru a calcula același lucru în mod repetat, după care rezultatele sunt comparate
între ele.
Redundan ța spa țială reproduce componentele de date într -un sistem. Transmisia pe mai multe
căi în tr-o rețea și utilizarea de coduri corectoare de erori sunt exemple de redundan ță spa țială [14].
O re țea fiabilă oferă de obicei atât redundan ță spa țială cât și temporală, pentru a tolera
defectările ce pot apărea din diferit țș.le cauze. Redundanța temporală poate fi folosită numai pentru
a tolera defecte tranzitente. Pentru a tolera defecte permanente trebuie să avem o formă de redundanță
spațială [14].
Un sistem trebuie să fie capabil să detecte ze fiecare defec țiune apărută în structura modelului,
trebuie să fie capabil să izoleze fiecare defect din por țiunea func țională a sistemului într -o manieră
care previne răspândirea defectului în cadrul structurii sistemului. Un mecanism de detectare a

58
defectelor poate detecta mai mult de un posibil defect, un sistem trebuie să abordeze, de asemenea
procesul de diagnosticare a erorii (sau de localizare), care îngustează setul de posibile defecte și
permite tehnici mai eficiente de izolare a defectelor [14 ].
Două modele de servicii de re țea au dominat cercet area și crearea de re țele comerciale.
Prima este re țeaua de telefonie, sau, mai general re țeaua în care rute cvasi -permanente numite
circuite transportă date de capacitate fixă de la un punct la altul. În telefonia digitală, un circuit de
voce necesită 64 kbps; o singură fibră optică poate emite până la 40Gbps în cadrul tehnologiei WDM,
dar este conceptual similar cu circuitul folosit pentru a t ransporta un apel telefonic [14 ].
Al doilea model de servicii de re țea este re țeaua de date cu comutare de pachete, care a evoluat
de la proiectele timpurii ARPANET și NSFNET în modernul Internet. Rețele cu comutar e de pachete
nu oferă, de obicei, garan ții puternice asupra ratei de date livrate sau maxim întârziate, dar sunt de
obicei mai eficiente decât modelele orientate pe circuite, care trebuie să î și bazeze acorduri privind
cazurile în care apar scenarii de încărcare a traficului.
În cazul acestei lucrări, diferen ța esen țială dintre aceste două modele constă în faptul că
aplic ațiile care folosesc re țelele cu comutare de pachete pot tolera, în general, întreruperi mai mari
ale serviciilor decât pot cele bazate pe re țele cu circuite comutate. Această din urmă categorie de
aplica ții poate presupune că rata de date, întârzierea v or fi onorate chiar și atunci când apar
defec țiuni, în timp ce întreruperile minore pot să apară chiar și în condi ții normale de funcționare în
cazul rețelelor cu comutare de pachete din cauza fluctua țiilor în modelele de trafic și încărcării din
rețea.
Problemele legate de toleranța la defectare sunt astfel abordate în moduri semnificativ diferite
în cele două tipuri de re țele. În re țelele cu comutare de pachete, cum ar fi Internetul, utilizatorii pot
tolera în prezent restaurări având ca ordin de mărim e intervale de câteva minute, în timp ce toleran ța
la defectare pentru re țelele cu circuite comutate poate fi considerată o componentă a calită ții
serviciior (QoS), și este atinsă de obicei în milisecunde, sau, în cel mai rău caz în secunde.
În acest capitol se vor prezenta problemele de toleranță la defectare apărute în cazul rețelelor
de capacitate mare, rețele WAN și LAN. Aceste re țele sunt predominant bazate pe circuite și
transportă trafic intens. Chiar o perioadă scurtă de timp de inactivitate a rețelei poate cauza pierderi
de date substan țiale, recuperare rapidă de la defectare este importantă, iar aceste re țele necesită
niveluri ridicate de fiabilitate [14].
Rețelele backbone sunt puse în aplicare cu ajutorul transmisiei pe fibră optică, de aceea
toleranța la defectare în cadrul acestor rețele este de obicei bazată pe modul în care defectarea are loc
pe fibra optică, adică factorii care fac posibilă nefuncționarea acesteia trebuie studiați. În aceste re țele
o defectare poate apărea ca urmare a deconectării unei legături, sau în situația în care un nod de rețea
devine nefuncțional.

3.2. Detectarea defectelor și recuperarea

O mare varietate de abordări au fost folosite pentru detectarea defectărilor ce pot apărea într –
o rețea. În rețelele electronice, în care tensiunea este codată binar, două tensiuni diferite de zero sunt
alese pentru semnalizare. O tensiune cu valoarea zero implică astfel o linie sau un terminal defect. În
mod similar, în re țelele electronice bazate pe modularea unei pur tătoare, un defect apare atunci când
purtătoarea este absentă. Segmentele comune, cum ar fi Ethernet -ul, au fost mai problematice,
deoarece ca noduri individuale nu pot fi de a șteptat să conducă segmentul continuu. În astfel de

59
rețele, multe defecte trebu ie detectate de un nivel superior din stiva de protocoale, lucru ce se va
prezenta î n cadrul acestui subcapitol [14 ].
Capacitatea legăturilor optice face ca monitorizarea fizică să devină o problemă deosebit de
importantă, în practică se folosesc multe t ehnici pentru a scăpa de acest inconvenient. Schema de
codare optică se bazează în general pe testarea luminii. Prezența luminii prevede un semnal, în timp
ce absența luminii prevede un al doilea semnal. Cu o singură lungime de undă optică informația este
încorporată în canalul în sine. O abordare este de a monitoriza timpul mediu în care puterea
semnalului realizează o distribuție previzibilă de vizualizare/nevizualizare a luminii folosind sistemul
de codificare. O a doua abordare folose ște bi ții de overhe ad din canal, permi țând o eșantionare a ratei
de eroare de biți (BER) cu scopul de a restrânge formatul datelor utilizate folosind niveluri ridicate
din stiva de protocoale. O a treia abordare utilizează o bandă laterală pentru a transporta un ton pilot.
Aceste abordări sunt complementare, pot fi utilizate în tandem [14 ].
Un sistem WDM aplică în mod tipic tehnicile de lungime de undă singură doar men ționate la
fiecare lungime de undă, dar posibilitatea de a exploata multiplexării pentru a reduce costurile de
detectare a defec țiunilor a dat na ștere la noi tehnici. O singură lungime de undă, de exemplu, poate
fi alocată pentru a furniza estimări exacte ale BER -ului de -a lungul unei legături. Din păcate, această
abordare ar putea să nu detecteze degradarea se mnalului de dependența de frecven ță. Asocierea de
lungimi de undă de monitorizare cu lungimi de undă de date reduce probabilitatea de a pierde un
defect dependent de frecven ță, dar este prea ineficient pentru majoritatea re țelelor [14].
Abordările bazate pe cale sunt avantajoase în sensul că acestea pot acoperi un set mai larg de
posibile defectări. Acestea ajung la rădăcina problemei: ceva a mers prost pe traseul de la expeditor
către receptor.
Abordările bazate pe legătură fac ca localizarea defectului să fie simplă, aduc un beneficiu
important în găsirea și repararea problemelor în re țea. În practică, cele mai multe re țele backbone
utilizează o combina ție de tehnici de detecție bazate pe legătură și pe cale, pentru a obține ambele
beneficii furnizate d e cele două abordări. Toleran ță suplimentară de defectare este adesea inclusă în
nivelurile superioare ale stivei de protocoale a rețelei. Cele mai multe protocoale sunt folosite pentru
datele din re țea (spre deosebire de telefonie), acestea includ codarea redundanței în scopul detectării
erorile care urmează să apară. De obicei, feedback -ul de la aceste niveluri nu este furnizat către
nivelul fizic, deși există unele excepții în cazul rețelelor locale, cum ar fi utilizarea transmiterii de
pachete periodi ce și inferență de defectări atunci când niciun pac het nu ajunge la destinație [14 ].
În schimb, schemele de detectare a erorilor permit re țelei să tolereze erorile tranzitorii prin
redundanță temporală, adică, retransmisie. Canale de voce și alte forme r edundante de date utilizează,
de asemenea corectarea erorilor sau alte tehnici de toleran ță a erorilor în unele cazuri. Un circuit
telefonic trecând printr -o rețea cu mod de transfer asincron (ATM) ar putea pierde o celulă ocazională
atunci când este supu s unei verificări de redundanță ciclică (CRC). În acest caz, celula este aruncată,
iar semnalul vocal este regenerat prin interpolarea din celulele adiacente. Acestă interpolare este
suficientă pentru a face o singură pierdere de celule nedetectabilă de că tre om, atâta timp cât erorile
tranzitorii apar rar, nicio pierdere nu este observată de către persoanele care utilizează circuitul.
Alegerea metodelor de detectare a defec țiunilor ce pot apărea într -o rețea backbone se bazează
pe alegerea strategiilor de restabilire a circuitelor care trec printr -un element nefuncțional al re țelei.
[14].
În schimb, informa țiile despre defectare se pot propaga către capetele fiecărui traseu ce
traversează o legătură, în timp ce localizarea informa țiilor despre defect sunt păstrate pentru ini țierea
repara țiilor și pentru construirea dinamică a căilor viitoare. La nivelul algoritmilor schemele

60
circuitelor de rerutare pot fi împărțite în linii mari în abordări bazate pe nod, bazate pe cale, sau
combinații ale celor două a bordări [14].
În general, rețelele backbone prezintă strategii de restaurare în mod automat a funcționalității
rețelei. Studiul re țelelor backbone cu capacitate de restaurare a funcționalității în mod automat este
uzual clasificat în fu ncție de cele tr ei criterii [14 ]:
– utilizarea rerutării legăturii versus rerutarea căii;
– utilizarea calcului centralizat versus calculul dinamic;
– utilizarea rutelor statice versus utilizarea rutelor dinamice;
Pentru recuperarea căii, atunci când un defect lasă un nod deco nectat de la calea principală un
traseu de back -up este folosit. Rerutarea legăturii de obicei se referă la înlocuirea unei legături cu
legături conectate la cele două noduri ce se află la capătul legăturii defecte. În situația în care rerutarea
este preca lculată metoda este denumită în general protec ție.

Figura 3.1 Rerutarea căii și a legăturii. Defectarea este marcată cu x (Sursa [ 14)]

Protecția legăturii/nodului se referă la recuperarea precalculată a traficului peste
legătura/nodul defect. În figura 3.1 este ilustrată rerutarea de cale și rerutarea de legătură.
Rute de protec ție sunt plasate la o singură loca ție, și sunt, prin urmare , centralizate, de și unele
reconfigurări distribuite ale switch -urilor optice pot fi necesare înainte ca traficul să fie restabilit.
Tehnicile de restaurare, pe de altă parte, se pot baza pe semnalizările distribuite între noduri, sau pe
alocarea unui nou drum de către un manager central [14].

3.3. Scheme bazate pe cale
Schemele de protec ție în care traseele de recuperare sunt preplanificate oferă, în general viteze
mai bune de recuperare decât abordările de restaurare, care caută noi rute dinamice ca răspuns la un
defect, și, în general, implică prelucrare de software. Rețeaua sincronă opt ică (SONET), are de
exemplu niște specificații în care timpul de recuperare în cazul abordărilor cu protecție să fie sub 60
de milisecunde. Recuperarea poate fi realizată în intervale de timp de aproximativ zece milisecunde
folosind multiplexoare opto -mecanice, și în câteva microsecunde folosind comutatoare acusto -optice.
În schimb, restaurarea distribuită folosind sisteme digitale de interconectare (DCS) pentru
ATM sau SONET vizează de obicei un timp de recuperare de două secunde. În acest subcapitol ne
vom concentra pe protec ția căii, majoritatea re țelelor backbone u tilizează astfel de tehnici [14 ].

61

Figura 3.2 Protecția căii și banda asocită (Sursa [ 14])
Protec ția căii furnizează timpi de recuperare mai mari pentru cerințe cu capacitate redusă, în
raport cu abordările bazate pe legătură ce vor fi discutate în sec țiunea următoare. Protec ția căii
implică găsirea pentru fiecare circuit a unei rute de rezerve, sau cale de rezervă. În figura 3.2 sunt
ilustrate două căi principale și rutele lor corespunză toare de rezervă. Pentru fiecare circuit cele două
rute nu se suprapun pe orice legături, ceea ce înseamnă că nicio defectare a legăturii poate afecta atât
calea primară cât și calea de back -up [14 ].
Protec ție de cale poate fi împăr țite în mai multe cate gorii: unu plus unu ( 1 + 1), unu pentru
unu ( 1: 1), și unu pentru N (1: N). În primul caz toate datele sunt trimise simultan pe două rute, cea
primară și cea de back -up. Receptorul monitorizează traficul de intrare pe ruta principală, atunci când
o compo nentă de pe traseul primar se defectează receptorul trece pe semnalul de back -up. Deoarece
ambele rute, primară și de back -up transportă trafic în timp real, abordarea 1 + 1 este uneori
menționată ca „back -up viu ”. Recuperarea folosind această abordare est e extrem de rapidă, deoarece
se bazează pe o decizie locală de către un singur nod. Cerințele de capacitate de protec ție sunt ridicate,
cu toate acestea, canalul de back -up nu poate fi partajat între conexiuni. Celelalte două abordări,
împreună cunoscute s ub numele de „rezerva evenimentului declan șator”, necesită mai pu țină
capacitate pentru a proteja rețeaua d ecât cazul studiat anterior [14 ].
Cu abordarea de back -up a evenimentului declanșator, calea de back -up este activată numai
după ce un defect este d etectat. Ca și în cazul back -up-ului viu receptorul monitorizează calea
primară, dar, mai degrabă decât de a ac ționa la nivel local atunci când detectează un defect, receptorul
notifică expeditorul când un defect apare pe calea principală, moment în care expeditorul începe
trimiterea traficului pe calea de back -up. Toate datele transmise sau în curs de transmitere în timpul
în care a apărut defectul și expeditorul a comutat pe calea de protecție sunt pierdute [14].
Cu protecția 1: 1 interconexiunile opt ice sunt preconfigurate pentru un anumit traseu
prestabilit.
Cu protecția 1:N resursele de back -up pot fi partajate între orice set de circuite pentru care
rutele primare nu au resurse în comun, așa cum este ilustrat în figura 3.2 pentru cele două cir cuite.
Două căi principale care trec printr -o singură legătură nu pot partaja resurse de back -up, deoarece în
cazul în care această legătură se defectează, numai una dintre cele două rute ar putea fi recuperată.
Toate formele de protec ție necesită redundan ță spa țială adecvată în topologia re țelei, pentru a permite
selec ția în avans a două căi disjuncte pentru fiecare c ircuit [14 ].

62
3.4. Scheme bazate pe noduri și legături
Ca și în cazul rerutării căii, în cazul rețelelor de capacitate mare există metode de a reruta
traficul folosind scheme bazate pe noduri și legături. Aceste rerutări pot fi împărțite în protecție și
restaurare, cu toate acestea există unele sisteme hibride în care avem ambele tipuri de abordări. Cele
două tipuri oferă un compromis între capacitatea de utilizare adaptivă a rezervei și viteza de restaurare
a sistemului. Restaurarea dinamiă implică, de regulă o căutare a unei căi libere folosind capacitatea
de back -up prin difuzarea de mesaje de ajutor. Pentru restaurarea dinamică a l egăturii folosind sisteme
digitale de interconectare un timp de restaurare de două secunde este un obiectiv comun pentru
SONET [ 14].
În re țelele optice comutatoarele pot func ționa într -o chestiune de microsecunde sau
nanosecunde și întârzierea de propagar e domină timpul de comutare. Protecția legăturii și a nodului
poate fi privită ca un compromis între protecția căii folosind back -up viu și back -ul evenimentului
declanșator.
Protecția legăturii este mai eficientă decât protecția căii folosind back -up vi u, deoarece
capacitatea de back -up este împăr țită între legături. Tot traficul transportat de către o legătură defectă
sau un nod defect este independent recuperat de către circuite sau de către rutele end to end asociate
cu traficul. În particular, cele d ouă noduri adiacente la defectul ini țiat recuperat, și numai nodurile
locale la defect iau de obicei parte în acest proces. Back -up-ul nu are loc în timp real, dar se va
declanșa atunci când apare un defect, de aceea această abordare este considerată o co mbinație a celor
două abordări studiate în cazul protecției căii. Faptul că protecția legăturii/nodului este efectuată
independent de traficul transportat în mod independent oferă un avantaj suplimentar. Aceste abordări
sunt independente de tipul de trafi c și pot fi planificate să suporte încărcări arbitrare dinamice de trafic
[14].
Protecția de cale nu oferă această facilitate; noi capacită ți de protec ție pot fi necesare pentru
a sprijini circuitele suplimentare, și a rutelor alese, fără cunoa șterea în tregii încărcăturii transportate,
după cum este necesar la alocarea rutelor online, sunt de multe ori sub nivelul optim . Rerutarea
legăturii în ATM implică, de obicei, o gamă de noi rute de noduri adiacente către defect [ 14].

3.5. Topologia de tip inel
Topologia de tip inel este utilizată destul de des în cazul rețelelor backbone, aceste rețele
necesită ca banda să fie rezervată pentru traficul sensibil la întârzierile de timp (accesarea de fișiere
video/audio), numărul de utilizatori care le accesează este foarte mare. Fiecare echipament ce este
conectat în cadrul inelului va transmite următorului echipament cu care este conectat ceea ce a primit
de la precedentul, mesajele traversează inelul într -o singură direcție. În cadrul inelului se pot întâlni
scheme de fiabilitate bazate pe cale, cât și pe legătură/nod, dar această topologie se va discuta separat
din cauza proprietăților sale speciale și a importanței arhitecturii acestei topologii [14].
Inelele reprezintă cele mai frecvente mijloace de impleme ntare atât a protecției tip cale, cât și
a protecției legăturii, în SONET, care este protocolul dominant în re țelele backbone. Blocurile care
alcătuiesc rețeaua SONET sunt inelele SHR și diversitatea protecției (DP). Inelele SHR pot fi
unidirecționale (UPS R) sau bidirec ționale (Blair), în timp ce diversitatea protecției (DP) se referă la
redundan ța fizică în care o legătură de rezervă sau nod este atribuit unei sau mai multor
legături(noduri) [14].

63

Figura 3.3 Protecția căii și a nodului într -un inel (Sursa [ 14])

În SONET, protec ția căii se realizează de obicei cu ajutorul UPSR, a șa cum este ilustrat în
figura 3.3, în care o rută în sensul acelor de ceasornic se înlocuie ște cu o rută în sens antiorar atunci
când apare un defect. Rerutarea legături est e realizată în cadrul SONET BLSR folosind o tehnică
cunoscută ca „loop-back ” în care traficul este trimis înapoi în direc ția din care a venit. În figura 3.3
este prezentată această operațiune. După cum se poate observa o rută în sensul acelor de ceasornic
este redirecționată într -un sens invers acelor de ceasornic către nodul adiacent defectului. După ce a
traversat întregul inelul către celălalt capăt al legăturii defecte, ruta este buclată înapoi departe de
legătura defectă, refăcând traseul original. Cu excepția legăturii defecte ruta finală de back -up include
toate rutele originale. Pierderile de lă țime de bandă cauzate de traversarea în ambele direcții a unei
singure legături pot fi eliminate prin buclarea înapoi în toate punctele, expectând punctul în care a
apărut defecțiunea [ 14].
În cazul defecțării unui nod pe o BLSR, defectarea este manipulată într -un mod similar cu
cazul defectării unei legături. Defectarea unui nod este echivalentă cu defectarea unei legături meta,
legătura meta constă într -un nod și două legături adiacente. Opera țiunile de buclare înapoi pot fi
efectuate pe fibre întregi sau pe lungimi de undă individuale. În cazul buclării înapoi pe fibră traficul
transportat de o fibră este susținut de altă fibră, indiferent de modul în car e sunt implicate mai multe
lungimi de undă [ 14].
Dacă în cadrul rețelei traficul este permis în ambele direc ții, atunci buclarea înapoi pe fibră
se bazeaze pe patru fibre. În figura următoare acest lucru este prezentat.

Figura 3.4 Sistem alcătuit din p atru fibre bazat pe buclarea înapoi. Fibrele 1 și 2 transportă traficul
primar, fibrele 3 și 4 sunt fibre de back -up (Sursa [ 14])

64
În WDM restaurarea este efectuată individual pe fiecare lungime de undă. Operațiunea de
buclare înapoi pe lungimi de undă individuale necesită cel puțin două fibre. În figura 5 este prezentat
acest concept. Un sistem WDM alcătuit din două fibre poate fi folosit pentru buclarea înapoi a
lungimii de undă individuale chiar dacă traficul este permis în ambele direc ții. Sistemul d in figura
3.5 nu are nevoie de nicio schimbare a lungimii de undă: traficul inițial transportat de λ 1 este susținut
de aceeași lungime de undă [14].

Figura 3.5 Sistem WDM bazat pe 2 fibre. Traficul primar este transportat pe fibra 1 cu lungimea de
undă 1 și pe fibra 2 cu lungimea de undă 2. Back -upul este asigurat de lungimea de undă 1 de pe fibra
2 pentru lungimea de undă 1 de pe fibra 1, similar în c azul lungimii de undă 2 (Sursa [ 14])

Sistemele de recuperare bazate pe WDM oferă mai multe avantaje fa ță de sistemele bazate pe
fibră. În primul rând, dacă fibrele transportă cel mult jumătate din capacitatea lor totală, atunci sunt
necesare doar două fi bre, în loc de patru pentru a oferi restaurarea sistemului. Astfel, clientul va
închiria cele două fibre și nu va mai plăti pentru lă țimea de bandă nefolosită de cele patru fibre. Al
doilea avantaj este acela că în sistemele bazate pe fibre anumite lungimi de undă poate fi administrat
în mod selectiv în funcție de capacitatea de restaurare. De exemplu, jumătate din lungimile de undă
pe o fibră pot fi atribuite pentru protec ție, în timp ce restul pot avea nicio protec ție. Diferite lungimi
de undă pot avea ni veluri diferite de restaurare a QoS, acest lucru poate fi reflectat în prețul sistemului
[14].

Figura 3.6 Noduri adaptate (Sursa [ 14])

Metoda cea mai generală prin care în cadrul SONET se pot gestiona mai multe noduri comune
între inele este numită adaptarea nodurilor (matched nodes). În figura 3.6 sunt prezentate nodurile
adaptate în condiții normale de funcționare. Se va considera că traficul va trece de la inelul 1 către
inelul 2, traficul în direcția inversă este gestionat în mod similar. În cond iții normale de funcționare
nodul adaptat 1 este responsabil de toate comunica țiile inter -inel. Nodul adaptat 1 conține un
multiplexor de adaugare/dropare (ADM), acesta efectuează droparea și continuare funcționării

65
sistemului. Operațiile de dropare/contin uare a funcționării sistemului constau în dublarea traficului
ce trece prin nodul 1 și transmiterea lui către nodul adaptat 2. Astfel, nodul adaptat 2 are o protecție
de tip back -up viu a traficului total ce ajunge de la nodul 1și monitorizează funcționarea corectă a
nodului 1 [ 14].
Defectarea oricărui nod, altul decât nodul primar adaptat este gestionată de către un singur
inel într -o manieră de sine stătătoare. Defectarea nodului secundar tratează în mod diferit traficul
intra-inel și cel din interiorul inelului. În func ție de modul de defectare a nodului primar defectarea
poate fi sesizată de ambele inele sau de către un singur inel. Într-adevăr, defectările pot apărea numai
pe interfețele cardurilor de acces cu primul sau cu al doilea inel, a stfel un defect poate fi detectat de
ambele inele. Buclarea înapoi se face pe toate inelele care detectează apariția unui defect. Traficul
intra-inel este recuperat în inelul în care acesta se află, iar traficul inter -inel este gestionat de către al
doile a nod [14].

3.6. Topologia de rețea de tip plasă
În acest subcapitol se va studia topologia redundantă de tip plasă. Topologia de tip plasă este
topologia în care regăsim conexiuni redundante între echipamente. În cadrul acestei topologii toate
echipamentele sunt conectate între ele (fiecare echipament cu fiecare). De exemplu o rețea de tip
plasă cu 5 calculatoare ca cea din figura 3.7 va avea nevoie de 10 legături, ceea ce implică un cost
ridicat de implementare. Aceste rețele sunt ușor de depa nat, legăturile redundante din interiorul rețelei
fac ca fiabilitatea acestei rețele să fie foarte ridicată [ 15].

Figura 3.7 Topologia de tip plasă cu 5 calculatoare (Sursa [15])

Proiectând o rețea utilizând doar tehnicile DP și SHR prezentate în subcapitolul anterior se
creează o constrângere care are implica ții în costul și extinderea rețelei dorite. Rețelele în care regăsim
topologii de tip inel au un cost de implementare mai ridicat decât rețelele în care regăsim topologii
de tip plasă, pe măs ură ce sunt adăugate noduri sau rețelele sunt interconectate se limiteaza
scalabilitatea acestora. Cu toate acestea, inele nu sunt necesare pentru a construi re țele tolerante la
defectare, dar topologiile de tip plasă pot oferi, de asemenea redundanță. La o primă analiză
proiectanții de rețele de telecomunicații ar fi tentați să folosească topologia de tip inel, însă
dezavantajul acestor topologii este acela că acestea nu pot suporta modificări cu ușurință, adăugarea
de elemente în cadrul topologiei va face să crească complexitatea rețelei [ 14].

66
De exemplu, adăugarea unui nou nod conectat la două noduri vecine va face ca să se păstreze
structura de tip plasă, însă nu se poate păstra structura de tip inel. Argumentele prezentate anterior ne
indică faptul că din motive de cost și extensibilitate, topologia de tip plasă este mai avantajoasă decât
inelele interconectate. Algoritmii folosiți pentru a restaura o rețea având o topologie de tip plasă sunt
destul de dificili, implementarea lor poate fi foarte complex ă. Pentru a rezolva această problemă s -a
încercat găsirea unor tehnici prin care să se găsească inele în topologiile de tip plasă. Suprapunerile
folosind inele sunt ob ținute prin plasarea ciclurilor deasupra rețelelor de tip plasă existente. Fiecare
astfel de ciclu creează un inel. Protejarea serviciului sau restaurarea sa este în general obținută în
fiecare inel, ca și cum ar fi un inel fizic. Acoperirea topologiei de tip plasă cu inele este un mijloc de
a oferi atât pentru topologiile de tip plasă, cât ș i pentru cele distribuite o restaurare bazată pe inel.
Există numeroare abordări care asigură restaurarea legăturii. Una din aceste abordări este de a acoperi
nodurile din re țea cu inele. În acest mod o porțiune a legăturilor este acoperită cu inele. În ca zul în
care rutele primare sunt limitate la legăturile acoperite, restaurarea legăturii poate fi efectuată pe
fiecare inel, în acela și mod ca și în cazul SHR tradi țional rerutând traficul de back -un în jurul inelului
în direcția opusă traficului primar. Ut ilizând această metodă se poate folosi legătura neacoperită
pentru a transporta traficul neprotejat, de exemplu acel trafic care nu poate fi restaurat în cazul în care
legătura care îl transportă se defectează [ 14].
Cu toate acestea, în anumite condi ții, nu se poate acoperi toate nodurile cu un singur inel.
Pentru a permite fiecărei legături să transporte traficul protejat s -au dezvoltat metode prin care se
asigură că fiecare legătură este acoperită de un inel. O metodă este de a acoperi rețeaua cu inele , astfel
încât fiecare legătură face parte din cel puțin un inel. Multe probleme apar ca urmare a suprapunerii
și interconectării acestor inele [14].

Figura 3.8 Două inele traversând resurse separate de -a lungul aceleași legături (Sursa [ 14])

67

Figura 3.9 Două inele traversând resurse comune de -a lungul aceleași legături (Sursa [ 14])

A doua problemă se referă la modul în care se interconectează inelele. O abordare mai recentă
a inelelor acoperite, apărută ca urmare a dorinței de a depă și dificu ltățile abordărilor anterioare este
de a acoperi fiecare legătură cu exact două inele, fiecare având două fibre. Să considerăm situația în
care avem o legătură acoperită de două inele, inelele 1 și 2. Dacă alocăm o direcție principală către
inelul 1, auto mat direcția opusă (de rezervă) va fi către inelul 2, recuperarea în cadrul rețelei folosind
parcurgerea dublată a inelului se va face folosind inelul 2 ca inel de rezervă pentru inelul 1. [14].
Extinzând această no țiune în cadrul WDM buclat înapoi, fiec are inel este văzut ca inel primar
pentru anumite lungimi de undă, respectiv ca inel secundar pentru lungimile de undă rămase. Pentru
simplificare vom considera cazul cel mai ușor de înteles, cel în care avem doar două lungime de undă.
După cum se poate ob erva în figura 3.10, nu putem aloca lungimi de undă primare și secundare [14].

Figura 3.10 Exemplul de prezentare a problemelor ce pot apărea în cazul acoperirii dublate pentru
restaurarea lungimii de undă (Sursa [ 14])

68
3.7. Topologia de tip magistrală
Topologia de tip magistrală reprezintă topologia în care toate dispozitivele rețelei sunt
conectate la un mediu comun de transmisiune, acesta poartă numele de magistrală. Toate datele
transmise între nodurile rețelei sunt transmise de -a lungul acestei magistrale, acestea ajung la toate
nodurile din rețea simultan, întârzierile sunt minime. În figura 3.11 este prezentată o astfel de
topologie [ 16].

Figura 3.11 Top ologia de tip magistrală (Sursa [16 ])

Modul de funcționare a unei rețele cu o as tfel de topologie este destul de simplu. Un host în
cadrul unei rețele de tip magistrală poartă numele de stație/stație de lucru. Într -o astfel de rețea fiecare
stație primește tot traficul din rețea, iar traficul generat de fiecare stație are aceeași pr ioritate de
transmisie. Rețeaua magistrală formează un singur segment de rețea, respectiv un singur domeniu de
coliziune. În altă ordine de idei, pentru nodurile care transmit simultan pe aceeași magistrală această
rețea folosește o tehnologie de control a accesului la mediu, de exemplu CSMA (carrier sense multiple
access) [16].
În situația în care se defectează magistrala toată transmisia în cadrul rețelei încetează.

3.8. Rețele LAN de mare capacitate
Majoritatea arhitecturilor folosite pentru proiectarea unei rețele LAN folosesc topologia stea,
sau combinații de topologii stea, în care un anumit tip de switch, router, sau alt tip de hub este plasat
în centrul topologiei. Fiecare nod al topologiei este conectat direct la hub -ul, switch -ul sau ro uter-ul
aflat în centrul topologiei. În cadrul acestei topologii toate datele sunt transmise mai întâi către nodul
central, apoi sunt retransmise la celelalte noduri din rețea. Modul în care sunt conectate nodurile
permite o conexiune permanentă chiar și a tunci când un nod al rețelei se defectează [ 14].
Dezavantajul major al acestei topologii îl reprezintă defectarea nodului central, situație în care
se poate pierde legătura cu toată rețeaua.
Din punct de vedere al fiabilității topologia stea prezintă mu lte slăbiciuni. În cazul defectării
nodului central se poate defecta întreaga rețea, tot traficul din rețea este gestionat de acest nod central.
De asemena, pot apărea defectări chiar și în situația în care nodul central nu se defectează. Defectarea
totală a nodului central este puțin probabilă în cazul în care acesta transmite pasiv [14].
Cu toate acestea, există multe scenarii care pot produce nefuncționarea rețelei: defectarea
amplificatorului, defectarea porturilor de interconectare a nodurilor de acce s, defectarea fibrei în sine,
din cauza defectării laserului. Centrul unei topologii stea este în mod inerent un singur punct de
defectare, ceea ce face replicarea completă a sistemului necesară pentru a sprijini recuperarea.

69
Func ționarea unui sistem comp let redundant este dificilă, așa cum este ilustrat în cazul rețelelor
actuale bazate pe topologia de tip stea [14].
În figura 3.12 se arată că pentru rețelele LAN de mare capacitate redundanța este obținută prin
dublicarea tuturor resurselor. În plus, faț ă de replicare, cele două comutatoare pot fi conectate. Să
considerăm situ ația în care se defectează placa de rețea a server -ului 1. Severul 1 comunică prin
intermediul switch -ului secundar. Solicitări din partea altor servere de a comunica prin intermedi ul
switch -ului secundar sunt de nedorit. Într -adevăr, așa cum se poate observa în acest exemplu avem
doar două servere, de obicei astfel de rețele au mai multe servere conectate între ele și reconfigurarea
mai multor conexiuni simultan este dificilă [ 14].

Figura 3.12 Arhitectura redundantă într -o rețea LAN folosind topologia stea (Sursa [ 14])

Pentru a evita reconfigurarea tuturor serverelor, toate serverele mai puțin serverul primar
continuă să comunice cu switch -ul primar și cele două switchuri comunică prin intermediul
conexiunii inter -switch. În cadrul unei rețele optice, o conexiune inter -switch se referă la o conexiune
între două hub -uri. În scopul gestionării unei conexiuni inter -hub, hub -ul trebuie să aibă capacități
mult mai mari decât emi sia optică simplă.
Astfel, s -ar părea la o primă vedere că rețele optice cu topologie de tip stea sunt dificil de
implementat și că mijloacele de realizare a robusteții în cadrul topologiei de tip stea tradițională nu
pot fi extinse la rețelele de acces o ptice [ 14].
De asemenea, rețelele LAN se pot construi folosind topologii de tip magistrală.

70

71

4. Disponibilitatea unei rețele

4.1. Introducere
Disponibilitatea (conform SR EN 62308:2007) constituie “aptitudinea sistemului, sub aspect
combinate de fiabilitatea, mentenabilitatea și de organizarea acțiunilor de mentenanță de a -și îndeplini
funcțiile specific la un moment dat sau într -un interval de timp impus”. Disponibilitatea unei rețele
este strâns legată de fiab ilitatea rețelei, cu cât fiabilitatea va fi mai mare, cu atât disponibilitatea va fi
mai mare.
De asemenea, disponibilitatea se obține prin patru mijloace: fiabilitate, mentenanță,
exploatare corectă și modernizare [17].
În cadrul acestui capitol se vor prezenta câteva abordări prin care putem calcula
disponibilitatea unei rețele. Metoda procentajelor estimează perioada în care sistemul este
nefuncțional. Metoda defectelor -per-milion specifică performan ța actuală a sistemului. Metoda
disponibilită ții ofer ă posibilitatea calculului teoretic al disponibilită ții pe baza informa țiilor de
producere. În finalul capitolului se va prezenta un exemplu numeric prin care vom arăta cum se poate
calcula disponibilitatea unei rețele.
În procesul de proiectare a unei r ețele trebuie luați în calcul, de obicei, 3 factori de
performanță: întârzierea, traficul suportat și dependența. Dependența poate fi definită în mai multe
feluri, cele mai întâlnite abordări fiind din punct de vedere al fiabilității și al disponibilității .
Fiabilitatea unui sistem se definește ca probabilitatea ca sistemul să fie operațional pâmă la un
moment dat. Măsurarea dependenței este foarte importantă pentru rețelele critice care trebuie să fie
funcționale tot timpul; un exemplu de astfel de rețea a r putea fi cea a unui spital în care viețile
pacienților pot depinde de buna funcționare a anumitor sisteme. Disponibilitatea, pe de altă parte, este
un criteriu mai potrivit pentru calculul dependenței în cazul rețelelor catre trebuie să fie funcționale
”în medie“, mai degrabă decât să funcționeze continuu. Cam acest lucru se dorește pentru marea
majoritate a rețelelor. O organizație care își realizează afacerile prin intermediul unei rețele are nevoie
ca acea rețea să fie funcțională în marea majoritate a timpului pentru a minimiza pierderile.
Disponibilitatea se măsoară, de obicei, în procente. În cadrul acestei secțiuni se analizează
disponibilitatea rețelei din punctul de vedere al proiectantului de rețele. Punctul de vedere al
proiectantului diferă de cel al operatorului din moment ce proiectantul folosește o disponibilitate ”a
priori“, obținută înainte ca rețeaua să fie realizată fizic și pusă în funcțiune.
Una dintre primele probleme care apare în evaluarea disponibilității rețelei este aceea că
rețeaua conține foarte multe componente și are mulți utilizatori. Ce ar însemna să spunem că rețeaua
este disponibilă în 99,7% din timp? S -au propus mai multe definiții pentru disponibilitate. Iată mai
jos câteva dintre cele mai folosite:
1) Probabilitatea ca o rețea să fie conectată. O rețea este conectată atunci când toate
perechile de dispozitive pot comunica.
2) Probabilitatea ca toate căile existente între două dispozitive să fie operaționale.
3) Probabilitatea ca toate dispozitivele operaționale să po ată comunica cu un dispozitiv
anume.

72
4) Probabilitatea ca un anumit număr de dispozitive să poate comunica între ele.
5) Numărul de perechi de dispozitive care pot comunica.
6) Numărul de dispozitive care pot comunica cu un dispozitiv anume.
7) Procentul d e dispozitive care pot comunica între ele.
Soluția pentru această problemă ar trebui să fie reprezentată de o nouă metodă de măsurare a
disponibilității potrivită pentru comunicarea cu managementul de top al organizațiilor și ar trebui să
ofere instrumente de proiectare a rețelelor pe baza noii măsuri a disponibilității. În această secțiune
se va analiza prima parte a problemei, și anume cea a definirii unei noi măsuri a disponibilității mai
elocventă și mai eficientă.

4.2. Metoda defectelor -per-million

Metoda def ectelor -per-milion reprezintă o metodă prin care putem măsura disponibilitatea
unei rețele. Scopul acestei metode este de a măsura numărul de defecte care apar într -un milion de
ore de funcționare.
Considerăm următorul exemplu numeric prin care vom calcula disponibilitatea rețel ei cu
ajutorul acestei metode. Estimăm că numărul de defecte care pot apărea într -o lună este de 5 defecte.
Numărul de ore într -un an este de 8766 ore (am considerat că un an are 365,25 zile)
Numărul de dispozitive = 1 500 dispozitive
Numărul acumulat de ore pe an = (numărul de ore într -un an) * (numărul de dispozitive) = 8.766 *
1500 = 13.149 .000 ore
Numărul de ore acumulat pe lună = 13.149 .000 / 12 = 1.095.75 0 ore
Transformarea în defecte -per-milion = (5 / (numărul de ore acumulat pe lună)) * 1.000.000 = (5 /
1.095.750 ) * 1.000.000 = 4,56 defecte -per-milion.

4.3. Metoda procentajelor

Metoda procentajelor este o metodă de evaluare a disponibilității bazată pe evaluarea unui
procent din numărul total de minute al unui an. Dac ă considerăm un an bisect, vom avea de calculat
un procent din numărul total de minute ale anului, adică 525.960 [18].

Tabelul 4.1. Metoda procentajelor ( Sursa [18])

Numărul de 9 Disponibilitate % Minute de
nefunc ționalitate Perioadă de
nefunc ționalitate
1 90,0000 52.596 36 zile, 12 ore, 36 min
2 99,0000 5.259,6 3 zile, 15 ore, 40 min
3 99,9000 525,96 8 ore, 46 min
4 99,9900 52,596 52 min, 36 sec
5 99,9990 5,2596 5 min, 15 sec
6 99,9999 0,52596 32 sec

73
4.4. Disponibilitea unui dispozitiv

Disponibilitatea unui dispozitiv se poate calcula pe baza graficului mediei timpului de bună
funcționare (MTBF) oferit de producător și pe baza timpului mediu de reparare (MTTR). Pentru a
calcula acest lucru se folosește următoarea ecuație [18]:
𝐴(𝑡)= 𝑀𝑇𝐵𝐹
𝑀𝑇𝐵𝐹 +𝑀𝑇𝑇𝑅 (4.1), unde:
A(t) reprezintă disponibilitatea dispozitivului;
MTBF este timpul mediu în care o componentă trece de la starea de funcționare la starea de
defectare (media timpului de bună funcționare) ;
MTTR reprezintă timpul med iu în care o componentă poate fi adusă dintr -o stare de defectare
într-o stare de func ționare (media timpului de reparare) .
Considerând un dispozitiv cu MTBF de 300000 de ore și MTTR de 8 ore vom obține înlocuind
în ecuația 4.1 o dispobilitate de:
𝐴(𝑡)= 300000
300000 +8=0,99997 =99,997%

Timpul de nefuncționalitate al unui dispozitiv se poate determina cu ajutorul următoarei
ecuații [18]:
𝑇=(1−𝐴(𝑡))∗ 𝑡, unde:
t reprezintă timpul pentru care dorim să calculăm nefuncționalitatea, poate varia de la an, lună sau
zi.
De exemplu, pentru cazul dispozitivului de mai sus, cel ce are o disponibilitate de 99,997% ,
vom calcula timpul de nefuncționalitate al dispozitivului raportându -ne la un an de zile, deci t va fi
365,25 zile, adică 525960 minute.
𝑇(1−𝐴(𝑡))∗ 525 .960 =0,00003 ∗525 .960 =15,7788 𝑚𝑖𝑛
Putem observa următorul aspect, și anume că, evaluarea disponibilității unui dispozitiv este
destul de simplă, însă evaluarea disponibilității unei rețele este mai complexă.

4.4.1. Evaluarea disponibilități unui grup de dispozitive conectate în serie

Evaluarea disponibilității unui grup de dispozitice conectate în serie este similară cu evaluarea
fiabilității unui grup de dispozitive conectate în serie. Cu ajutorul următoarei ecuații se calculează
disponibilitatea unui g rup de dispozitive conectate în serie [3]:
𝐴𝑆(𝑡)= ∏ 𝐴𝑖(𝑡)𝑛
𝑖=1 (4.2), unde:
i reprezintă numărul componentei;
n reprezintă numărul total de componente din sistem;
De exemplu, dorim să calculăm disponibilitatea unui sistem cu două componente conectate
în serie. Prima componentă are o valoare a disponibilității de 0,999999, iar a doua componenta are o
valoare a disponibilității de 0,95. Introducând valorile disponibilității celor două componente în
ecuația 4.2 obținem:
𝐴𝑆(𝑡)= 0,999999 ∗0,95=0,94999905 =94,999905%

74
Pentru un sistem cu componentele a șezate în serie, disponibilitatea rezultantă a sistemului va
avea, evident, o valoare mai mică decât valoarea disponibilită ții fiecărei componente în parte,
deoarece ea reprezintă produsul unor numere subunitare .

4.4.2. Evaluarea disponibilități unui grup de dispozitive conectate în paralel

Evaluarea disponibilității unui grup de dispozitice conectate în paralel este similară cu
evaluarea fiabilității unui grup de dispozitive conectate în paralel. Cu ajutorul următoar ei ecuații se
calculează disponibilitatea unui grup de dispozitive conectate în paralel [3]:
𝐴𝑃(𝑡)=1−(∏(1−𝐴𝑖(𝑡))𝑛
𝑖=1)(4.3)
Dacă dorim să evaluăm disponibilitatea unui sistem cu componentele de la exemplu anterior
conectate în paralel, vom obține următoarea valoare pentru disponibilitatea sistemului:
𝐴𝑆(𝑡)= 1−((1−0,999999 )∗(1−0,95))= 1−(0,000001 ∗0.05)= 1−0,0000000006
=0,99999995 =99,999995%
Se observă foarte ușor că pentru un sistem în care componentele sunt a șezate în paralel,
disponibilitatea rezultantă a sistemulu i va avea o valoare mai mare decât disponibilitatea oricărei
componente luată individual.

4.5. Evaluarea disponibilității unui sistem simplu

Considerăm sistemul din figura 4.1, sistem alcătuit din interfețele 1 și 2, placa de bază, sursele
1 și 2.

Figura 4.1 Sistemul supus evaluării disponibilității ( Sursa [ 18])

Componentele constituente ale sistemului au următoarele valori ale disponibilității:
– Fiecare sursă de alimentare are o disponibilitate de 0,999 (99,9%)
– Placa de bază are o disponibilitate de 0,99994 (99,994%)
– Fiecare card de interfa ță are o disponibilitate de (0,9995)
Disponibilitatea rezultantă de la re țeaua A către re țeaua B se calculează prin cumularea
disponibilită ții de tip paralel a celor două surse de alimentare cu disponibilitatea de tip serie a
rezultantei anterior numite alături de placa de bază și de cele două carduri de interfa ță [18]:
𝐷𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑡𝑒𝑠𝑢𝑟𝑠𝑒𝑑𝑒𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑒 = 𝐴𝑆.𝐴.(𝑡)= 1−((1−0,999 )∗(1−0,999 ))
= 0,999999 =99,9999%
Disponibilitatea rezultantă a sistemului de la re țeaua A la re țeaua B este:
𝐴(𝑡)= 𝐴𝑆.𝐴.(𝑡)∗𝐴𝑃.𝐵.(𝑡)∗[𝐴𝐶.𝐼.(𝑡)]2=0,999999 ∗0,99994 ∗(0,9995 )2=0,998939 =
99,8939% , unde:

75
A(t) reprezintă disponibilitatea totală de la rețeaua A la rețeaua B;
AS.A.(t) reprezintă disponibilitatea rezulta ntă a celor două surse de alimentare în paralel;
AP.B.(t) reprezintă disponibilitatea plăcii de bază;
AC.I.(t) reprezintă disponibilitatea cardurilor de interfa ță
De asemenea, pentru sistemul din figura 4.1 putem calcula timpul de n efuncționalitate al
sistemului:
𝑇=(1−𝐴(𝑡))∗ 525 .960 =(1−0,998939 )∗ 525 .960 =558 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒

În concluzie putem afirma că un sistem simplu ca cel din figura 4.1 are o disponibiltate de
99,8939% și un timp de nefuncționalitate de 558 minute. Practic putem afirma că acest sistem
funcționază pe parcursul unui an de zile cu o probabilitate de 0,998939, sistemul fiind nefuncțional
pe tot parcursul anului doar 558 de minute.

4.6. Calculul disponibilității unei rețele cu o topologie simplă

În cadrul acestui subcapitol este prezentat modu l în care se calculează disponibilitatea unei
rețele. Pentru exemplificare am con siderat rețeaua din figura 4.2, alcătuită din doua routere și două
switch -uri [18].

Figura 4.2 Rețeaua supusă analizei disponibilității (sursa [18])
Calculul disponibilită ții acestei rețele este similar cu cel din exemplul anterior.
Componentele rețelei au următoarele disponibilități:
– fiecare router are o valo are a disponibilității de 0,9994 (99,94 %);
– fiecare switch are o valoare a disponibilității de 0,9999 (99,99 %);

Vom considera că legăturile dintre echipamente nu se vor defecta, deci vom considera o
valoarea a disponibilită ții legaturilor ega lă cu 1.
Disponibilitatea rețelei din figura 4.2 se calculează astfel:
𝐴(𝑡)= 𝐴𝑆𝑊(𝑡)∗𝐴𝑅(𝑡)∗𝐴𝑅(𝑡)∗𝐴𝑆𝑊(𝑡)=0,9999 ∗0,9994 ∗0,9994 ∗0,9999 =0,9977
=99,88%
De asemenea, pentru rețeaua din figura 4.2 putem calcula timpul de nefuncționalitate al
sistemului:
𝑇=(1−𝐴(𝑡))∗ 525 .960 =0,0023 ∗525 .960 =1209 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒
Pe baza acestor calcule, putem observa faptul că disponibilitatea rețele i de mai sus nu prezintă
o valoare tocmai bună . Introducând o cale redundantă în paralel se poate îmbunătăți disponibilitatea
rețelei (redundanța face ca disponibilitatea rețelei să crească, dar crește și costul).
În figura 4.3 este prezentată o astfel de rețea redundantă.

76

Figura 4.3 Rețeaua redundantă ( Sursa [ 18])

Vom presupune că valorile de disponibilitate ale fiecărei componente rămân acelea și ca și în
calculul anterior.
Prima etapă în evaluarea disponibilității rețelei constă în evaluarea disponibilității perechilor
de routere (A,B,C,D). Routerul A este conectat în serie din punct de vedere al disponibilitații cu
routerul B. De asemenea, tot în acest mod sunt conectate ro uterele C și D.
𝐴𝑅.𝑆.(𝑡)= [𝐴𝑅(𝑡)]2= (0,9994 )2=0,999=99,9%
A doua etapă presupune calcularea disponibilit ății rezultante a a șezării în paralel a celor 2
perechi de routere:
𝐴𝑅.𝑆.𝑃.(𝑡)= 1−[1−𝐴𝑅.𝑆.(𝑡)]2=1−(1−0,999 )2=0,999999 =99,9999%
Ultima etapă presupune calcularea disponibilității propriu -zise a rețelei:
𝐴(𝑡)= 𝐴𝑆𝑊(𝑡)∗𝐴𝑅.𝑆.𝑃.(𝑡)∗𝐴𝑆𝑊(𝑡)= 0,9999 ∗0,999999 ∗0,9999 =0,999799 =99,9799%
De asemenea, pentru rețeaua din figura 4.3 putem calcula timpul de nefuncționalitate al
sistemului:
𝑇= [1−𝐴(𝑡)]∗525 .960 =0,000201 ∗525 .960 =105 𝑚𝑖𝑛

În urma acestei analize putem observa că prin modificarea adusă re țelei ini țiale,
disponibilitatea a crescut mult și timpul de nefunc ționalitate a scăzut de 11 ori. De asemenea, trebuie
remarcat că aceste îmbunătățiri remarcabile au fost realizate cu elemente suplimentare în topologia
rețelei, practic două routere suplimentare. Aceste elemente suplimentare reprezintă un cost în plus
asupra implementării rețelei.

77
5. Evaluarea fiabilității rețelelor de telecomunicații

5.1. Introducere
Evaluarea fiabilității rețelelor de telecomunicații constă în determinarea probabilității de
funcționare corectă a sistemului. Putem afirma faptul că rețeaua este proiectată ca un graf orientat.
Un graf orientat G=(V,E) este format dintr -un număr de noduri V, și un număr finit de arce E. Arcul
reprezintă legătura dintre 2 noduri. Arcele pot fi unidirecționale sau bidirecționale. Graful este o
reprezentare a modului în care fu ncționează sistemul de telecomunicații, sau este o simplă
reprezentare a componentelor rețelei [19].
Graful reprezintă un model fizic de enunțare a rețelei, un set de componente interconectate
menit să ofere serviciul pentru care a fost proiectată rețeaua .
Rețelele reale au un mod de funcționare foarte complex, acest lucru face ca evaluarea
fiabilității unei astfel de rețele să f ie foarte complexă. La o primă analiză s -a încercat determinarea
unor metode și tehnici prin care să se poată evalua fiabilitate a unei rețele de te lecomunicații, unele
metode fiind mai simple, altele mai complexe. Î n acest capitol voi prezenta un algoritm prin care se
poate determina fiabilitatea unei rețele de telecomunicații plecând de la graful de fiabilitate al rețelei
[19].

5.2. Evaluarea fiabilității rețelelor de telecomunicații cu ajutorul legăturilor
mininale

În acest subcapitol se va evidenția un algoritm prin care se poate determina fiabilitatea unei
rețele de telecomunicații plecând de la graful de fiabilitate al re țelei.
În cazul sistemelor de telecomunicații complexe este necesară realizarea unor abordări asistate
de calculator pentru a analiza fiabilitatea sistemului, o astfel de abordare va fi prezentă în contin uare.
Dezavantajele analizelor asistate de calculator a fiabilității sistemelor sunt spațiul mare de memorie
necesară pentru încărcarea programului și creșterea exponențială a timpului de calcul în situația în
care cresc numărul de componente ale sistemului [4].
Programul de calcul elaborat în cadrul acestei lucrări permite ca pe baza legăturilor minimale
să se determine valo rile aproximative (disponibilitatea, media timpilor de bună funcționare și media
timpilor de reparare) ale funcției de fiabilitate a unui sistem de telecomunicați i.
În continuare sunt evidențiate particularitățile algoritmului pe care este bazat programul de
calcul menționat. În scopul analizei fiabilității, s istemele sunt repezentate prin grafurile lor de
fiabilitate. Grafurile de fiabilitate din cadrul acestui a lgoritm au următoarele particularități [4]:
– există un singur nod sursă ( de intrare ) și un singur nod sarcină ( de ieșire ); (primul nod este
întotdeauna nodul de intrare, în timp ce ultimul nod este întotdeauna nodul de ieșire);
– există elemente ce sunt repre zentate prin arce (putem avea arce unidirecționale, bidirecționale,
sau chiar putem avea situații în care nu avem conexiuni între noduri);
– nu există bucle de reacție;
Nodurile grafului sunt numerotate consecutiv, pornind de la nodul 1 (nodul de intrare) pâ nă
la nodul cu numărul cel mai mare (nodul de ieșire). Direcția arcelor grafului trebuie să fie întotdeauna
de la nodul cu numărul mai mic spre nodul cu numărul mai mare.

78
Procesul de enumerare a legăturilor minimale este bazat pe m odul de numerotare a nodurilor.
Ca urmare, atunci când construim graful de fiabilitate al sistemului trebuie respectată această
convenție. Pentru a evita eventualele erori în cadrul programului , a fost prevăzută o subrutină care
verifică dacă numerele nodurilor sunt conform c onvenției, în caz contrar modificându -le
corespunzător.
Datele de intrare ale programului sunt:
– numărul total de noduri
– tipul de arc între nodurile vecine
– valoarea fiabilității legăturii între două noduri vecine (valori cuprinse între 0 și 1)
După ce au fost determinate legăturile minimale, se va determina funcția de fiabilitate a
sistemului pe baza acestor legături.

unde L i reprezintă legătura minimală i.
În continuare voi calcula folosind două metode funcția de fiabilitate pentru sistemul cu graful
de fiabilitate din figura 5.1.
Prima metodă se bazează pe determinarea manuală a funcției de fiabilitate a sistemului ce are
graful de fiabilitate de mai jos , legăturile minimale se vor determina vizual.
A doua metodă ne permite determinarea funcției de fiabilitate automat, în Anexa 1 este listat
codul sursă al programului implementat pe calculator.

Figura 5.1 Graful de fiabilitate al sistemului cu cinci noduri supus analizei

Sistemul din figura 5.1 este alcătuit din patru noduri. După cum se poate observa din figură
avem următoarele tipuri de arce între noduri:
– între nodul 1 și 2 legătură bidirecțională;
– între nodul 1 și 3 legătură unidirecțională;
– între nodul 1 și 4 legătură unidirecțională;
– între nodul 1 și 5 legătură unidirecțională;
– între nodul 2 și 3 legătură unidirecțională;
). …. …. ( )(2 1 m i L L LLP SR 

79
– între nodul 2 și 5 legătură unidirecțională;
– între nodul 3 și 4 legătură unidirecțională;
– între nodul 4 și 5 legătură bidirecțională;
Valorile funcțiilor de fiabilitate sunt următoarele:
– R12 este 0,9999;
– R13 este 0,97 ;
– R14 este 0,98 ;
– R15 este 0,99;
– R23 este 0,5;
– R25 este 0,24;
– R34 este 0,2 ;
– R45 este 0,1;
Legătura minimală este legătura în care nu există o submulțime de elemente a căror
funcționare singură să ducă la buna funcționare a sistemului. O legătură va fi minimală, dacă fiecare
nod este parcurs doar o singură dată. Aplicând definiția și analizând graful de fiabilitate din figura
5.1 se găsesc u rmătoarele legături minimale:125 , 145, 15, 1345, 12345.
Aplicând relaț ia aproximativă determinat ă în capitolul 2 , funcția de fiabilitate a sistemului va fi:
RSistem = 1 –[(1 – R12 R25)(1 – R14R45) (l – R15)(1 – R13 R34 R45)(1- R12 R23 R34 R45)]
=1-[(1-0,9999*0,24)(1 -0,98*0,1)(1 -0,99)(1 -0,97*0,2*0,1)(1-0,9999*0,5*0,2*0,1) ]
=1-[(0,760024)(0,902)(0,01) (0,9806)(0,990001 )]
=1-0,0066552039
=0,993344
=99,334 %

Abordarea automată se bazează pe introducerea de la tastatură a datelor de intrare.
În figurile următoare se prezintă modul de calcul al fiabilității sistemului ce are graful de fiabilitate
din figura 5.1, folosind codul sursă din Anexa 1 .

80

Figura 5.2. Determinare a funcției de fiabilitate automa t (prima parte), exemplul 5.1.

Figura 5.3. Determinare a funcției de fiabilitate automa t (a doua parte), exemplul 5.1.

81

Figura 5. 4. Determinare a funcției de fiabilitate automa t (a treia parte), exemplul 5.1.

Figura 5. 5. Determinare a funcției de fiabilitate automa t (ultima parte), exemplul 5.1.

82

După cum se poate observa, rezultatele obținute folosind cele două metode sunt diferite, însă
diferențele sunt foarte mici și au apărut ca urmare a aproximațiilor făcute. Folosind prima abordare
am obținut o fiabilitate de 99 ,334%, în timp ce cu a doua abordare s -a obținut o fiabilitate de
99,0000 %.
În acest capitol s -a prezentat un algoritm prin care se poate determina fiabilitatea unei rețele
de telecomunicații, pornind de la graful asociat de fiabilitate. Acest program se bazea ză pe
determinarea legăturilor minimale între nodul de intrare și cel de ieșire. Programul determină
legăturile minimale ale sistemului, ulterior pe baza legăturilor minimale determinate se calculează
fiabilitatea globală a sistemului. De remarcat că datel e de intrare ale programului sunt: numărul total
de noduri, tipul de arc între nodurile vecine, respectiv valoarea fiabilității legăturii între două noduri
vecine.

83
6. Rețele Petri

6.1. Rțele Petri stohastice generalizate (GSPN) [19]

Rețelele Petri (PN) reprezintă o familie de formalisme gr afice pentru evidențierea sistemelor
a căror dinamică este caracterizată de sincronizare, excludere mutuală , concurență și conflict, care
sunt proprietăți tipice mediilor distribuite. Rețelele Petri încorporează noțiunea de stare locală și
regula schimbării stării (declanșarea tranziției ) care le permite să capteze ambele caraceristici, atât
cea statică cât și cea dinamică a unui sistem real fără a lua î n considerare explicită timpul.
Rețele Petri Stohastice (SPN) reprezintă acele modele PN în care sunt introduse explicit
conceptul de timp stohastic.
Există mai multe moduri de a reprezenta rețelele Petri stohastice. L ucrările apărute până în
prezent adoptă o definiție generică în care o rețea Petri stohastică este o 9 -tuplă.

Definiție 1. Fie SPN= (P, T, I,O,H,Π, G,M0, Atts) o rețea Petri stohastică, unde:

• P = {p1, p2, …, pn} este mulțimea pozițiilor,

• T = {t1, t2, …, tm} este mulțimea tranzițiilor,

•
mnnN NI este matricea dependențelor multiplicităților de arcele de intrare, unde
intrarea ijk a lui I face posibilă marcarea multiplicității arcului dependent de arcul intrare din spațiul
pj la tranziția
   arcelor setulPT TP Atk _ ,

•
mnnN N O este m atricea dependențelor multiplicităților de arcele de ieșire, unde
intrarea ojk a lui O face posibilă marcarea multiplicității arcului de arcurile de ieșire de la tranziția tj
la spațiul pk,

•
mnnN N H este matricea dependențelor multiplicit ăților de arcele inhibatoare, unde
intarea hjk a lui H face posibilă marcarea multiplicității arcului de arcul inhibator de la spațiul pj la
tranziția tk,

•
mN este un vector care asignează un nivel de prioritate fiecărei tranziții,

•
 mnfalse true N G } , { este un vector care asignează o condiție de gardă legată de
marcarea spațiului pentru fiecare tranziție,

•
nN M0 este un vector care asignează marcajul inițial fiecărui spațiu (stare inițială),

84
•
 my Concurrenc Policy MarkdepW Dist Atts , , ,, cuprinde setul de atribute pentru tranziții,
unde:
·
F N Distm este o funcție de distribuție a declanșării dependentă de eventuala marcare
( domeniul lui F este [0,∞));

·
 R N Wm este po nderea dependentă de eventuala marcare,

·
} ,tan { enabdept cons Markdep , unde distribuția timpului de declanșare poate fi marcată
independent (constant) sau dependentă de activare (enabdep – distribuția depinde de condiția actuală
de activare ),

·
}, { prs prd Policy este politi ca de pre -golire (prd− atunci câ nd o tranziție pre -golită devine
activă din nou timpul de declanșare scurs anterior este pierdut; prs− timpul de declanșare asociat
unei tranziții pre -golite este recuperat când tranziția devine activă din nou ),

·
},{isss Concurrecy  este gradul de concurență al tranzițiilor, unde ss reprezintă semantica
“sents single server” și is semantica ”depicts infnity server”.
În literatura de specialitate au fost introduse mai multe subclase ale acestei definiții a rețelelor
Petri stohatice, printre termeni precum GSPN, DSPN, eSPN și SRN. Rețelele Petri stohastice
generalizate (GSPN) sunt o extensie a studiilor lui Molloy care combină timpul distribuit exponențial
cu întârzierile deterministice nule urmărind atingerea specificațiilo r logice și temporale. Așadar,
GSPN ia în considerare doar tranzițiile temporale stohastice distribuite exponențial și tranziții
imediate. În acest caz particular, atributul W al tranziției reprezintă:

 parametrul funcției de distribuție a probabilității e xponențiale negative raportată la
întârzierea de declanșare respectivă, dacă tranziția este în timp;
 ponderarea (W) adoptată în calculul probabilităților de declanșare, atunci când este
asociată tranzițiilor imediate.

Tranzițiile imediate au priorități de declanșare implicite mai mari față de tranzițiile în timp, în
consecință, dacă o tranziție în timp este simultan activată cu o tranziție imediată, cea din urmă se
declanșează întotdeauna prima. Așadar, un conflict structural între tranzițiile în timp și c ele imediate
nu implică vreun conflict vizibil, din moment ce oricând acele tranziții sunt activate, tranzițiile
imediate le preced întotdeauna pe cele în timp. În această lucrare, în loc să reprezentăm rata tranziției
exponențiale, am adoptat decalajul mi nim (Delay) pentru reprezentarea caracteristicilor de timp
legate de tranzițiile temporale. Modelele GSPN nu pot modela foarte precis orice sistem, deoarece
fiecare tranziție are fie distribuție exponențială , fie imediată.

6.2. Conceptul de rețea Petri netemp orizată
O rețea Petri se compune dintr -un tip particular de graf orientat notat N și o stare inițială M0
, denumită marcaj inițial (eng. initial marking).

85
Graful N al rețelei Petri este orientat, ponderat și bipartit, constând din două tipuri de noduri,
denumite poziții sau locații (eng. place) și respectiv tranziții (eng. transition); arcele orientate (eng.
arc) unesc fie o poziție cu o tranziție, fie o tranziție cu o poziție. Nu există arce care să conecteze
două poziții între ele, sau două tranziții în tre ele. Ca simbolizare grafică, pozițiile se reprezintă prin
cercuri, iar tranzițiile prin bare sau dreptunghiuri. Arcele sunt etichetate cu ponderile lor (eng. weight)
(valori întregi, pozitive); un arc cu ponderea k poate fi privit ca o mulțime de k arc e paralele cu
pondere unitară. Etichetele pentru pondere unitară se omit în reprezentările grafice uzuale.
Un marcaj sau o stare atribuie fiecărei poziții un număr întreg mai mare sau egal cu 0. Dacă
un marcaj atribuie poziției p întregul k ≥ 0 , se spune că p este marcată cu k jetoane (eng. token). Din
punct de vedere grafic, în cercul corespunzător poziției p se vor plasa k discuri. Orice marcaj M este
un vector coloană m –dimensional, unde m notează numărul total al pozițiilor. Componenta i a
vectorului M = [M(p1), M(p2),…,M(pm)] transpus, notată M(pi) reprezintă numărul de jetoane din
poziția pi. Din motive de concizie a scrierii, în unele cazuri un marcaj M va fi, de asemenea,
reprezentat prin m -uplul (M) = (M(p1), M(p2),…,M(pm)). [20]
O rețea Petri se numește ordinară (eng. ordinary ) dacă toate arcele sale au pondere unitară.
Dacă într -o rețea Petri există cel puțin un arc a cărui pondere este mai mare decât 1, atunci se spune
că rețeaua respectivă este generalizată .
O rețea Petri este un cvintuplu, PN = (P,T,F,W,M1) în care:
• P = {p1,p2,…,pm} este mulțimea pozițiilor sau locațiilor (finită);
• T= { t1,t2 …tn} este mulțimea tranzițiilor (finită);
• este mulțimea arcelor;
• W:F→ {1,2,3,…} este funcția de ponderare a arcelor;
• M0:P→{0,1,2,3,…} est e funcția de marcaj inițial.

6.3. Modele de tip rețea Petri cu temporizare deterministă
6.3.1 Rețele cu tranziții temporizate

Se spune că o rețea Petri este cu tranziții temporizate sau temporizată T, dacă fiecărei tranziții
ti, i=1, …, n, i se asociază un interval de timp di ≥ 0, prin intermediul unei funcții de temporizare tip
T (tranziție). [20]

86

Fig.6.1. Ilustrarea executării unei tranziții temporizate [20]

Putem afirma că în ceea ce privește funcționarea rețelei Petri temporizate T, intervalele de
timp di≥0 reprezintă rolul unor întârzieri care se vor evalua după cum urmează: din momentul când
tranziția ti este validată, un număr de

ija jetoane vor rămâne rezervate (nedisponibile din punctul
de vedere calitativ, logic, al aplicării regulii tranziției) în poziția pj care precede ti pentru di unități de
timp, înainte de deplasarea lor prin executarea tranziției ti. (Reamintim că

ija notează ponderea
arcului de la poziția pj la tranziția ti, fiind elementul generic al matricei de incidență de intrare A−).
Ilustrăm cele spuse mai sus prin re prezentarea grafică din figura 6.1 pentru
1
ija și
2)(0jPM .
Jetonul rezervat este figurat ca un cerc, iar cel nerezervat ca un disc.

6.3.2 Rețele cu poziții temporizate

Se spune că o rețea Petri este cu poziții temporizate , sau temporizată P , dacă fiecărei poziții
pj, j = 1,…,m, i se asociază un interval de timp dj ≥ 0, prin intermediul unei funcții de temporizare tip
P (poziție).

87

Fig. 6.2. Ilustrarea comportării unei poziții temporizate [20]

Având în vedere funcționarea unei rețelei Petri temporizate P, intervalele de timp dj ≥ 0 joacă
rolul unei întârzieri ce se prezintă după cum urmează: din momentul când tranziția ti care precede pj
este executată, un număr de

ija jetoane vor rămâne rezervate (nedisponibile din punct de vedere
calitativ, logic, al aplicării regulii tranziției) în poziția pj p entru dj unități de timp, înainte de a putea
fi utilizate pentru a valida tranziții ce succed lui pj. (Reamintim că

ija notează ponderea arcului de
la tranziția ti la poziția pj, fiind elementul generic al matricei de incidență de ieșire A+ ).
În cazul temporizării P, se presupune că executarea oricărei tranziții validate are loc
instantaneu (nu consumă timp). Ilustrăm c ele spuse mai sus prin reprezentarea grafică din figura 6.2
pentru
1
ija și
1)(0jPM . Jetonul rezervat este figurat ca un cerc, iar cel nerezervat ca un disc.
Rețelele temporizate P se folosesc pentru a introduce în modelul matematic informațiile
privitoare la durata activităților, elaborând, astfel, un model cantitativ. Cu ajutorul unui asemenea
model se pot lua în discuție toate caracteristicile temporale specifice sosirii clienților și servirii
acestora cu anumite succesiu ni de operații de către resursele sistemului.

88
6.3.3 Transformarea unei rețele temporizate T într -o rețea temporizată P

Pentru enunțarea procedeului de trecere de la temporizarea T la temporizarea P, folosim ca
abordare suportul grafic din figura 6.3. În figura 6.3 (a) este descrisă o subrețea dintr -o rețea
temporizată T al cărei mod de operare este echivalent cu cel al re țelei temporizate P din figura 6.3 (b).
Tranziția temporizată T1 este înlocuită prin structura echivalentă alcătuită din tranzițiile
aT1 ,
bT1
și poziția
*
1P . Toate pozițiile de intrare ale lui T1 sunt poziții de intrare pentru
aT1 și toate
pozițiile de ieșire ale lui T1 sunt poziții de ieșire pentru
bT1 . Durata de timp d1=x> 0 asignată
tranziției T1 în rețeaua temporizată T, va fi asociată, cu aceeași valoare (notată
x d*
1 ) poziției din
rețeaua temporizată P. Acest procedeu se aplică pentru toate tranzițiile temporizate ale rețelei inițiale
(temporizată T).
Pozițiile rețelei inițiale (temporizată T) sunt preluate identic în rețeaua rezultată (temporizată
P) asignându -le durate nule (de exemplu, di=0, i= 0,1,2,3,4 , în figura 6.3 (b)). Duratele de timp sunt
nenule numai pentru pozițiile suplimentare rezultate î n urma trecerii de la temporizarea T la
temporizarea P. Pentru a realiza o distincție grafică ușor sesizabilă, pozițiile care au durate nenule
sunt uneori figurate prin tr-un cerc dublu (ca în figura 6.3 (b)), spre deosebire de cercul simplu ce
simbolizează pozițiile cu durată nulă.
Marcajul inițial al rețelei temporizate T este preluat identic în rețeaua rezultantă (temporizată
P). Toate pozițiile suplimentare din rețeaua rezultată (temporizată P) care sunt introduse pentru a
realiza temporizarea P (de exemp lu în figura 6.3(b)) au marcajul inițial nul.

Fig. 6.3. Ilustrarea procedeului de transformare a unei rețele temporizate T
într-o rețea temporizată P
(a) rețeaua inițială (temporizată T);(b) re țeaua rezultată (temporizată P).

89
6.3.4 Transformarea unei rețele temporizate P într -o rețea temporizată T [20]

Pentru prezentarea procedeului de trecere de la temporizarea P la temporizarea T, utilizăm ca
abordare suportul grafic din figura 6.4. În figura 6.4.(a) este prezentată o subrețea dintr -o rețea
temporizată P al cărui mod de operare este echivalent cu cel al rețelei temporizate T din figura 6.4(b).
Poziția temporizată P1 este înlocuită prin structura echiv alentă alcătuită din pozițiile
aP1 ,
bP1
și tranziția
*
1T . Toate tranzițiile de intrare a lui P1 sunt tranziții de intrare pentru
aP1 și toate
tranzițiile de ieșire ale lui P1 sunt tranziții de ieșire pentru
bP1. Durata de timp d1 =x> 0 asignată
poziți ei P1 în rețeaua temporizată P, va fi asociată, cu aceeași valoare (notată ) tranziției din rețeaua
temporizată T. Acest procedeu se aplică pentru toate pozițiile temporizate ale rețelei inițiale
(temporizată P).
Tranzițiile rețelei inițiale (temporizat ă P) sunt preluate în mod identic în rețeaua rezultată
(temporizată T) asignându -le durate nule (de exemplu di=0, i=1,2,3,4 , în figura 6.4.(b)). Duratele de
timp sunt nenule numai pentru tranzițiile suplimentare rezultate în urma trecerii de la temporizar ea P
la temporizarea T.

Fig. 6.4. Ilustrarea procedeului de transformare a unei rețele temporizate P într -o rețea temporizată
T
(a) Rețeaua inițială (temporizată P); (b) R ețeaua rezultată (temporizată T). [20]

Tranzițiile care au durate nenule sunt uneori figurate printr -un dreptunghi (ca în figura
6.4.(b)), spre deosebire de bara ce simbolizează tranzițiile cu durată nulă.
Marcajul inițial al rețelei rezultate (temporizată T) se alocă pe baza marcajului inițial al rețele i
temporizate P, plasând jetoanele fie în pozițiile cu indice superior 'a', fie în pozițiile cu indicele
superior 'b' (de exemplu , în figura 6.4. ( (b)).

90

6.4. Modele de tip rețea Petri cu temporizare stohastică

O rețea Petri se numește stohastică (stochastic Petri net – SPN) dacă fiecărei tranziții ti îi este
asociată o variabilă aleatoare Xi de distribuție exponențială, care exprimă întârzierea din momentul
validării până la executarea tranziției ti. Spre deosebire de rețelele Petri cu temporizare T stohastică,
dacă la un moment dat într -o rețea Petri stohastică mai multe tranziții sunt simultan validate, se va
executa mai întâi acea tranziție care posedă întârzierea cea mai scurtă. Astfel, într -o SPN, nu are sens
asignarea de probabilități sau prio rități de executare pentru tranzițiile aflate în conflict. [20]
Ținând cont de modul de funcționare al rețelelor Petri stohastice prezentat mai sus, într -o SPN,
spre deosebire de o rețea Petri cu temporizare T, nu există marcaje rezervate. Problema alegeri i
următoarei tranziții care se va executa se pune de fiecare dată când marcajul rețelei stohastice se
modifică. Conflictele se rezolvă în mod natural, prin generarea duratelor corespunzătoare tuturor
tranzițiilor validate la momentul respectiv și selectare a acelei tranziții căreia îi corespunde cea mai
mică durată.
Se poate spune că , diferențele care apar între dinamicele celor două tipuri de rețele provin
tocmai din modalitățile de rezolvare a conflictelor ce pot apărea pentru rețele cu temporizare T
stohastică.
Dacă duratele de timp asignate tranzițiilor (pozițiilor) unei rețele Petri cu temporizare
T (sau P) au valori aleatoare, se spune că rețeaua respectivă este cu temporizare stohastică. În
situația în care rețeaua Petri modelează un sistem fizic, es te natural a considera că durata de timp
asignată unei tranziții (poziții) ce reprezintă o operație, respectă o anumită distribuție de probabilitate.
[20]
În cazul a două sau mai multe tranziții aflate în conflict într -o rețea Petri cu temporizare T
stohas tică, selectarea tranziției ti care urmează să se execute se realizează pe baza mecanismului de
priorități sau probabilități asignate respectivelor tranziții (similar principiului prezentat în contextul
rețelelor cu temporizare T deterministă). Apoi se gen erează durata de timp di corespunzătoare legii
de repartiție asociată tranziției ti selectate.
Pentru rețelele Petri cu temporizare P stohastică, similar rețelelor cu temporizare P
deterministă, după executarea instantanee a unei tranziții ti ce precede o poziție temporizată pj,
jetoanele care sunt depuse în pj prin executarea lui ti rămân rezervate în pj pe durata dj, generată în
conformitate cu legea de repartiție asociată poziției pj. În cazul a două sau mai multe tranziții aflate
în conflict, selectare a tranziției care se va executa se realizează pe baza unui mecanism de priorități
sau probabilități asignate respectivelor tranziții.

91
7. Aplicații ale rețelelor Petri în evaluarea disponibilității rețelelor de
comunicații

În acest capitol se va evidenția modul în care pot fi folosite noțiunile teoretice prezentate
anterior la evaluarea fiabilității și disponibilității rețelelor de comunicații .
Pentru simularea și evaluarea disponibilității unor topologii simple de rețele de calculatoare
vom folos i utilitarul Petri Net Toolbox software, conceput pentru a fi exploatat sub mediul
MATLAB .
Utilitarul Petri Net Toolbox (PN tool) este un instrument software pentru simularea, analiza
și proiectarea sistemelor cu evenimente discrete, bazat pe modelele rețelelor Petri. Acest soft e ste
încorporat în mediul Matlab, capabil să funcționeze cu spații de capacități infinite.
Versiune curentă a utilitarului acceptă cinci tipuri de modele de rețele Petri. [21]

Fig. 7.1. Fereastra de selectare a tipului de rețe a Petri utilizată. [21]

Utilitarul PN are o intrerfață grafică (GUI – Graphical User Interface ) ușor de folosit realizată
special în acest scop. Mai întâi aceasta îi dă posibilitatea utilizatorului să deseneze o rețea Petri în
mod natural. După aceea, îi permite să simuleze, să analizeze sau să proiecteze o rețea Petri, prin
exploatarea tuturor re surselor computaționale ale mediului prin intermediul variabilelor globale
stocate în spațiul de lucru al mediului MATLAB. Toate nodurile și arcele sunt manipulate drept
obiecte MATLAB deci modificarea parametrilor lor poate fi făcută prin funcțiile standa rd set și get.
Atunci când începe să își construiască o rețea Petri, utilizatorul trebuie să definească tipul ei prin
marcarea căsuței corespunză toare în fereastra din figura 7.1 . Proprietățile obiectelor rețelei (poziții,
tranziții, arce ) depind de tipul modelului selectat. [21]
După ce a fost desenat m odelul PN, utilizatorul poate:
• vizualiza matricea de incidență, care este creată automat din topologia rețelei;
• explora proprietățile comportamentale prin consultarea grafului de acoperire care este
creat automat din topologia rețelei și marcajul inițial;
• explora proprietățile structurale;

92
• calcula temporizarea P și T;
• rula o simulare;
• afișa rezul tatele curente ale unei simulări folosind facilitățile Scope și Diary ;
• evalua indicii de performanță globali;
• realiza analize de tip Max -Plus;
• proiecta o configurație cu dinamică dorită;

Pentru a asigura flexibilitatea, setul de valori predefinite folosite de utilitar sunt accesibile
utilizatorului prin intermediul unui fișier de configur are .
Bara de meniu a utilitarului (plasată orizontal) cuprinde un număr de nouă sub -meniuri din
care utilizatorul poate avea acces la toate facilitățile oferite de program [21]:

• meniul File oferă facilități de manipulare fișiere și închidere utilitar. Submeniurile
sale, intitulate sugestiv sunt: New Model, Open Model, Close Model, Save Model, Save Model As
…,Print Model, Exit PN Toolbox.
• meniul Modeling cuprinde unelte de editare grafică (noduri, arce, jetoane, etichete ),
Comenzile disponibile în ac est meniu sunt: Add Place, Add Transition, Add Arc, Add Token, Edit
Objects, Resolution for Conflicting Transitions.
• meniul View permite alegerea condițiilor specifice de vizualizare a modelului curent.
Comenzile disponibile sunt: Zoom In, Zoom Out, Show Grid, Arc Weights.
• meniul Properties furnizează uneltele computaționale pentru analiza comportamentală
și structurală a modelului PN curent. Următoarele comenzi sunt disponibile din acest meniu:
Incidence Matrix, Behavioral – Coverability tree, Structur al, Invariants.
• meniul Simulation poate fi folosit pentru a controla desfășurarea simulării și
înregistrarea rezultatelor ei. Din acest meniu sunt accesibile următoarele comenzi: Step, Run Slow,
Run Fast, Breakpoint, Reset, Log File, View History, Prefe rences .
• meniul Performance permite la sfârșitul simulării vizualizarea indicilor de performață
globală stocați în format HTML. Acești indici sunt înregistrați separat pentru tranziții și stări.
Comenzile disponibile în acest meniu sunt : Place Indices, Tr ansition Indices Cicle Time.
• meniul Max-Plus permite simularea și analiza unui graf marcat bazat pe modelul Max –
Plus.
• meniul Design este folosit pentru sinteza modelelor PN temporizate; aceasta permite
simularea câtorva tipuri de parametrizări luate în calcul la arhitectura PN.
• meniul Help furnizează informații despre utilizarea utilitarului PN. Comenzile
disponibile în acest meniu sunt: Contents and Index, Demos, About Petri Net Toolbox.

Utilitarul PN furnizează un set de comenzi pentru construire a unui model, care sunt accesibile
din meniul Modeling sau din butoanele corespunzătoare din Drawing Panel . Modelul poate fi
desenat cu ușurință în planșa de desenare Drawing Area. Utiltizatorul poate avea acces la
scrierea/citirea proprietăților nodurilor și arcelor prin deschiderea ferestrei de dialog asociate
obiectului selectat în Drawing Area . [21]
Primul pas al creării unui model nou este stabilirea tipului său, apoi se deschide o planșă
pentru desenarea modelului prin comanda File/New Model, comandă care va afișa, în primă fază,
fereastra de selectare a tipului de model folosit.

93
Stările sunt reprezentate pe planșa de desen prin cercuri care au atașate o etichetă. Pentru
modificarea parametrilor stării se folosește comanda Edit Place care are următoarele opțiuni: Name,
Color, Capacity, Tokens, Distribution, Delete Object.

Tranzițiile sunt reprezentate grafic prin pătrate care au atașate etichete. Pentru a modifica
parametri tranziției poate fi folosită comanda Edit Transition cu următoarele opțiuni: Name, Message,
Color, Distribution, Marking dependent, Delete Object.

Arcele sunt rep rezentate sub forma unor săgeți în sensul de parcurgere al stărilor și tranzițiilor.
Parametrii arcelor pot fi modificați prin comanda Edit Arc care are următoarele opțiuni: Color, Type,
Weight.

Pentru a simula un model de rețea Petri care a fost desenat în utilitarul PN, sunt posibile trei
moduri de simulare: Step, Run Slow, Run Fast.
Opțiunea Diary , atunci când este activă, deschide o nouă fereastră MATLAB care afișeaz ă
(dinamic – în timpul simulării) momentul (momentele) la care următoarea tranziție (următoarele
tranziții) urmează să se declanșeze. Acest lucru este disponibil doar în modurile de simulare Step și
Run Slow .
Opțiunea Scope deschide o nouă fereastră MATLAB care afișează (în mod dinamic) evoluția
idexului de performanță selectat. Fiecare i ndex furnizează două tipuri de informații; o valoare curentă
(care caracterizează rețeau în momentul curent al simulării) și o valoare globală (care caracterizează
întreaga evoluție a rețelei ca o medie asupra întregului timp scurs de la începutul simulări i și până la
momentul curent). Pentru indexul de performanță selectat ambele valori vor fi afișate în funcșie de
timp. Utilizarea facilității Scope este disponibilă doar în modurile de simulare Step și Run Slow.
Indicii de performanță afișați sun [21]t:

– pentru tranziții:

• Service Distance : durata dintre două declanșări succesive ale tranziției selectate;
• Service Time : durata dintre activarea și declanșarea tranziției selectate;
• Utilization : strea curentă a tranziției selectate;

– pentru stări:

• Arrival Distance : durata dintre două moente succesive când jetonul sosește în starea
selectată;
• Throughput Distance : durata dintre două momente succesive când jetonul părăsește starea
selectată;
• Queue Length : numărul de jetoane din starea selectată.

În timpul simulării doar unul din cei șase indici poate fi afișat în mod dinamic de opțiunea
Scope .
După ce s -a oprit simularea indicii de performanță globală sunt salvați de utilitar și pot fi
urmăriți folosind meniul Performance . În continuare vor fi p rezentați toti indicii asociați stărilor și
tranzițiilor.

94

– pentru tranziții [21]:

• Service Sum : numărul total de declanșări;
• Service Distance : valoarea medie a indexului curent Service Distance;
• Service Rate : frecvența medie a declanșărilor (inversul indicelui Service Distance);
• Service Time : valoarea medie a indexului curent Service Time;
• Utilization : valoarea medie a indexului curent Utilization;

– pentru stăr i [21]:

• Arrival Sum : numărul total de jetoane sosite;
• Arrival Distance : valoarea medie a indexului curent Arrival Distance;
• Arrival Rate : frecvența medie a sosirii jetoanelor (inversul indicelui Arrival Distance);
• Throughput Sum : numărul total de jetoane plecate;
• Throughput Distance : valoarea medie a inexului curent Throughput Distance;
• Throughput Rate : frecvența medie a plecării jetoanelor (inversul indicelui Throughput
Distance);
• Waiting Time : timpul mediu de așteptare per jeton;
• Queue Length : valoarea medie a indexului curent Queue Length.

7.1. Modelarea funcțion ării unui server [21]

Pentru a modela funcționarea unui server vom porni de la topologia rețelei Petri din figura 14
care modelează un server cu două stări I (iddle) și W (working). Pozițiile au capacitățile K(p1)=1 și
K(p2)=1.

Fig. 7.2 . Topologia rețelei Petri pentru un server cu două stări

Pentru marcajul inițial M0(p1)=1 și M0(p2)=0, se va execute simularea în varianta Step
pentru 4 evenimente înregistrând rezultatele simulării într -un fișier de tip jurnal. Se va citi jurnalul și
se va preciza secvența de executări de tranziții care are loc pe parcusul simulării precum și marcajele
prin care trece rețeaua.

95
În urma efectuării unui experiment de simulare în modurile Step și Run Slow a funcționării
unei rețele Petri, mediul Petri Net Toolbox oferă posibilitatea de a înregistra, într -un fișier de tip
jurnal, secvența de tranziții care a fost executată pe parcursul simulării și su ccesiunea de marcaje prin
care a trecut rețeaua. Utilizând această facilitate pentru simularea apariției unui număr de 4
evenimente în rețeaua Petri din figura 7.2 cu marcajul inițial M0 = (1 0) , se înregistrează rezultatele
prezentate în figura 7.2 (a). Se observă că secvența de executări de tranziții care are loc este σ’=
t2,t1,t2,t1. Există numai două marcaje distincte prin care trece rețeaua (succesiv), a nume M0 = (1 0)
și M1 = (0 1) .

Fig.7.3 . Jurnalul furnizat de Petri Net Toolbox după simularea
apariției unui număr de 4 evenimente în rețeaua Petri din fig.18:
(a) cu marcajul inițial M0 = (1 0) ; (b) cu marcajul inițial M0′ = (0 1) .

Păstrând topologia rețelei dar schimbând marcajul inițial în M0′ = (0 1) , în urma simulării cu
ajutorul mediului Petri Net Toolbox a apariției unui număr de 4 evenimente se obțin rez ultatele
prezentate în figura 7.2 (b). În acest caz, secvența de executări de tranziții care are loc este: σ′=
t1,t2,t1,t2. Se observă că și în acest caz există numai două marcaje distinct e prin care trece rețeaua,
anume M0′ = (0 1) și M1′ = (1 0) .
După cum am văzut anterior, la apariția unui eveniment (executarea unei tranziții) rețeaua
Petri își schimbă marcajul (starea). În ambele situații considerate există numai două marcaje distincte ,
(1, 0) și (0, 1), în care rețeaua evoluează succesiv, ca urmare a executării uneia dintre cele două
tranziții. Distincția dintre cele două marcaje este dată de prezența jetonului din marcajul inițial în una
dintre pozițiile rețelei. Din aceste motive, re țeaua Petri din figura 7.3 modelează un sistem fizic cu
două stări (corespunzătoare celor două marcaje). Un asemenea sistem ar putea reprezenta, de
exemplu, un server cu două stări și anume starea în care așteaptă sosirea unui client ( iddle – I) –
corespun zătoare marcajului (1, 0) – și cea în care servește un client ( working – W) – corespunzătoare
marcajului (0, 1).

96

Fig. 7.4 . Topologiile rețelelor Petri în cazul unui server cu trei stări. [21]

Pentru a modifica rețeaua Petri din figura 7.3 astfel încât să poată modela un server cu
posibilități de defectare, este necesară introducerea unei poziții suplimentare care va fi asociată stării
în care serverul este defect ( down – D). Rețelele Petri corespunzătoare celor două situații posibile:
(i)-servirea clientului aflat în lucru în momentul defectării poate fi reluată după remediere; și (ii) –
servirea clientului aflat în lucru în momentul defectării nu mai poate fi reluată, trecându -se la servirea
unui nou client; sunt prezentate în figura 7.3, ambele având topologii de mașină de stare.
Semnificațiile fizice ale pozițiilor și tranzițiilor sunt prezentate în tabelul 1, respectiv tabelul 2.

Tabelul 1 – Semnificațiile pozițiilor din modelul prezentat în fig .7.3.

Tabelul 2 – Semnificațiile tranzițiilor din modelul prezentat în fig.7.3.

În continuare vom simula în varianta Run Fast cele două modele prezentate în figura 7.3,
pentru un număr total de 10.000 de eveni mente, în următoarele situații:
(i) Probabilitatea d efectării serverului este egală cu a funcționării corecte;
(ii) Probabilitatea defectării serverului (10%) este mult mai mică decât cea a funcționării
corecte (90%);
(iii) Probabilitatea defectării serverului (90%) este mult mai mare decât cea a funcționăr ii
corecte (10%).

97

În mediul Petri Net Toolbox , pentru ambele rețele prezentate în figura 7.3., probabilităților de
executare a tranzițiilor t3 și t4 li se pot asigna valorile corespunzătoare probabilităților de apariție a
evenimentelor pe care le modelează (apariția unui defect și, respectiv, terminarea remedierii
serverului). În urma efectuării u nui experiment de simulare, indicatorul Service Sum asociat
tranzițiilor t2, t1 și t3 corespunde numărului de clienți sosiți la server, numărului de clienți serviți
complet și, respectiv, numărului de defectări ale serverului. Tabelul 3 prezintă sintetic v alorile
obținute în urma simulării apariției a 10.000 de evenimente pentru cele două rețele prezentate în figura
7.3 în fiecare dintre cele trei situații.
Din tabelul de mai jos se poate observa că, pentru același număr de evenimente, raportul dintre
număr ul de clienți serviți complet (numărul de executări ale tranziției t1) și numărul de defectări ale
serverului (numărul de executări ale tranziției t3) este aproximativ egal cu raportul dintre
probabilitatea de funcționare corectă și cea de defectare a serv erului (asignate tranziției t1 și,
respectiv, tranziției t3).

Tabelul 3 – Indicatori obținuți în urma simulării apariției a 10.000 de venimente [21]

7.2. Modelarea unui server care deservește două tipuri de clienți

Fie un server care deservește două tipuri de clienți în paralel, modelat prin rețeau a Petri
stohastică din figura 7.4. . Servirea primului tip de clienți este modelată de subrețeaua din partea stângă
a figurii (cu nodurile p1, t1, p2, t2), iar servirea celui de -al doilea tip de clienți de su brețeaua din
partea dreaptă a figurii (cu nodurile p1, t3, p3, t4). Durata de timp asignată tranziției ti, i = 1, 4 , are
distribuție exponențială cu rata λi. Se consideră următoarele valori numerice: λ1=λ4=1, λ2 =λ3 =10.
Ne propunem să determinăm, prin simulare în mediul Petri Net Toolbox, numărul de clienți
de fiecare tip serviți complet într -un interval de timp de 10.000 [unități de timp].
Rezultatele obținute în urma simulării funcționării sistemului timp de 10.000 [unități de timp]
sunt prezentate în figura 18. Numărul de clienți de primul tip serviți complet este dat de indicatorul
Service Sum pentru tranziția t2 (având valoarea 917), iar numărul de clienți de al doilea tip serviți
complet este dat de indicatorul Service Sum pentru tranziția t4 (avân d valoarea 8.929).

98

Fig.7.5. Topologia rețelei Petri stohastice ce modelează un server ce deservește două tipuri de clienți.
[21]

Se observă că raportul dintre cele două numere este aproximativ egal cu raportul dintre ratele de
executare corespunzătoare tranzițiilor t1 și t3 care modelează procesele de sosire în sistem a clienților
de primul tip și, respectiv, de al doilea tip.

Fig.7.6. Indicatorii globali pentr u tranzițiile rețelei din fig.7.4. [21]
Pentru a verifica analitic rezultate le obținute se construiește mai întâi arborele de accesibilitate
al rețelei Petri analizate (figura 7.6.).
Considerând stările lanțului Markov în ordinea M0, M1, M2, matricea ratelor tranzițiilor de
stare este [21]:
(7.1)

99

Vectorul probabilităților staționare de stare, π = [π0 π1 π2], se determină din condițiile πQ=0
, π0+π1+π2 =1 , din care rezultă π0 = 10/111, π1 =1/111 și π2 = 100/111.

Fig. 7.7 . Arborele de accesibilitate ce corespunde reț elei Petri stohastice din fig. 7 .4. [21]

Fig. 7.8 . Lanțul Markov ce corespunde reț elei Petri stohastice din fig. 7.4.

Deoarece tranziția t2 se execută numai din marcajul M1, cu rata λ2, numărul mediu de
executări în unitatea de timp este egal cu
1
21 2 ] __ [ 09009,0 111/10 timpde unitati f , astfel
încât în 10.000 [unități de timp] această tranziție se va executa în medie de 900 de ori.
Raționând analog pentru tranziția t4 se obține :

1
42 4 ] __ [9009,0 111/100  timpde unitati f , astfel încât în 10.000 [unități de timp]
tranziția t4 se va executa în medie de 9000 de ori.
Se observă că rezu ltatele obținute prin simulare au valori foarte apropiate de valorile calculate
analitic.

7.3. Modelarea unei rețele de așteptare

În acest paragr af ne propunem să modelăm și să evaluăm performanțele unei rețele de
așteptare alcătuită din trei servere și firelele de așteptare ce le p reced, conectate ca în figura 7.8 .

100
Durata de timp dintre sosirile în sistem a doi clienți succesivi are o distribuție exponențială de
rată
][11
1s r . Pentru serverul i, i = 1,3, durata de servire a unui client are distribuție exponențială
de rată
i ,
][41
2 1 s și
][21
3s . Probabilitatea de rutare (dirijare) a unui client de la
serverul i către serverul j este notată, , i,j =1,3, și ia valoarea: p11 = 30% , p12 = 2 0% , p13 = 50%,
p21 = 20% și p22 = 80% . Probabilitățile ce nu apar în lista precedentă sunt nule și, în aceste cazuri,
nu au loc rutări de la serverul i la serverul j, neavând corespondent grafic în figura 7.8 . [21]

Fig. 7.9 . Reprezentare schematică a rețelei de așteptare studiată

Fig. 7.10 . Modelul de tip rețea Petri stohastică generalizată al sis temului de așteptare din fig. 7.8.

Rețeaua de așteptare studiată este modelată prin rețeaua Petri stohastică generalizată din figura
7.8. în care tranziția In modelează procesul de sosire a clienților în rețe a, fiind temporizată cu rata r1 .
Tranzițiile m1, m2 și m3 modelează procesele de servire a clienților de către cele trei servere, fiind
temporizate cu ratele μ1 , μ2 și, respectiv, μ3 . Procesul de rutare a clienților serviți de primul server
este modelat de tranzițiile netemporizate t11, t12 și t13, cărora le sunt asignate probabilitățile p11 ,
p12 și, respectiv, p13 . Similar, rutarea clienților serviți de al doilea serv er este modelată de tranzițiile
netemporizate t21 și t22, având asignate probabilitățile p21 , respectiv p22 . Semnificația fizică a
pozițiilor este evidentă. [21]

101
Pentru fiecare din serverele sistemului, se vor determina prin simulare în mediul Petri Net
Toolbox, pe un interval de timp de 10.000 [s], următoarele performanțe:
(i) rata de sosire a clienților;
(ii) gradul de utilizare;
(iii) numărul mediu de clienți din firul de așteptare ce îl precede și durata medie de așteptare
per client.

Fig. 7.11 . Indicatorii globali pent ru pozițiile rețelei din fig. 7.9 .
Indicatorii globali referitori la p ozițiile modelului din figura 7.9. determinați în urma simulării
în mediul Petri Net Toolbox pe durata de 10.000 [s] sunt prezentate în figura 7.10 .

(i). Rata de sosire a clienților la nodul i este dată de indicatorul Arrival Rate corespunzător
poziției qi ce modelează firul de așteptare, i = 1, 2,3 , obținându -se
][96,11s pentru nodul 1,
][95,11s
pentru nodul 2 și
][99,01s pentru nodul 3.

(ii). Gradul de utilizare a serverului i este dat de indicatorul Queue Length corespunzător
poziției si ce modelează activitatea serverului, i = 1, 2,3 , obținându -se valorile 0,49 pentru nodul 1,
0,49 pentru nodul 2 și 0,48 pen tru nodul 3.

(iii). Numărul mediu de clienți din firul de așteptare ce precede serverul i și durata medie de
așteptare sunt date de indicatorii Queue Length și, respectiv, Waiting Time corespunzători poziției
qi, i = 1,2,3 .

Observație : Performanțele reț elei de așteptare pot fi evaluate considerând fiecare nod separat
ca fiind un sistem de așteptare de tip M/M/1.

102
(i). Studiul analitic al dinamicii de regim permanent al acestei rețele de așteptare se bazează
pe calcularea ratelor de sosire a clienților, λ i , i = 1,3, la fiecare nod al rețelei în regim permanent.
Scriind ecuațiile de bilanț al fluxului (eng. flow balance equations)

Rezultă [21]

(ii). Gradele de utilizare ale celor trei servere sunt ρi=λi/μi=0.5<1, i = 1..3, având valori
subunitare, satisfac condiția de stabilitate și confirmă faptul că rețeaua de așteptare ajunge într -adevăr
în regim per manent.

(iii). Numărul mediu de clienți la nodul i al rețelei fiind dat de
ii
iXM
1][ , i = 1..3 se
obține M[X1]=M[X2]=M[X3 ]=1.
Timpul mediu petrecut de un client la nodul i al rețelei se calculează aplicând legea lui Little:

3,1,) 1(1][ ][ ][   i SM SM XM
i ii i i i

și permite determinarea timpului mediu de așteptare al unui client la acel nod:

3,1, ][ ][  i SM WMi i i 

][1][2][21
1
1 31
1
13 2112
21
1
131

 
s rs rppps rp


103
Concluzii

Putem remarca faptul că scopul acestui proiect de dis ertație a fost de a implementa un algoritm
prin car e să se poată determina fiabili tatea unei rețele de telecomunicații, plecând de la graful de
fiabilitate asociat.
Inițial am studiat conceptele de fiabilitate și disponibilitate ale rețelelor de telecomunicații .
Am prezentat metodele prin care se poate eval ua disponibilitatea și fiabilitatea rețelelor de
telecomunicații. Evident, fiecare proiectant de rețea își poate alege sau chiar poate crea o metodă
proprie de analiză, în funcție de specificul rețelei pe care trebuie să o creeze.
Am observat că evaluarea manuală a fiabilității unei rețele nu oferă întocmai niște rezultate
foarte bune. De accea, s-a arătat că evaluarea automată a fiabilității, folosind implementarea soft ware
a algoritmilor de analiză este mai avantajoasă decât evalu area manuală a fiabilității. Un alt avantaj îl
reprezintă puterea de calcul a computerului , care este un foarte bun ajutor pentru proiectant.
În cadrul lucrării de disertație am arătat că prin intermediul fiabilității și disponibilității se
poate evalua riscul de defectare a l rețelei la un moment dat, și de asemenea, se poate estima timpul
de nefuncționalitate a l rețelei pe parcursul unei perioade de timp stabilite, de exemplu un an de zile.
Modelarea sistemelor distribuite cu ajutorul rețelelor Petri se efectuează la nivel de stare: se
determină ce acțiuni se produc în sistem, care stări preced acestor acțiuni și în ce stări va trece sistemul
după producerea acțiunilor. Simulând modelul de stări prin rețele Petri se obține descrierea
comportamen tului sistemului.
Analiza rezultatelor obținute prin simularea rețelelor Petri permite să cunoaștem stările în care
s-a aflat sau nu sistemul, care sunt, în principiu, stările neaccesibile, însă o astfel de analiză nu oferă
informații despre caracteristicile numerice care determină stările sistemului. În prezent rețelele Petri
au numeroase aplicații și sunt utilizate în diverse domenii: inginerie, modelarea proceselor de afaceri,
deoarece dispun de o reprezentare grafică foarte accesibilă și a u o semantică bine definită care permite
o analiză formală a comportamentului și proprietăților sistemelor modelate .
Ca o concluzie finală, putem afirma faptul că f iecare metodă de analiză studiată pr ezintă
avantaje și dezavantaje, așa încât este extrem d e important pentru proiectant să își aleagă metoda de
analiză în funcț ie de particularitățile rețelei dorite și de implementarea software a algoritmilor de
analiză. D e asemenea , scopul proiectantului este de a proiecta o rețea cu o fiabilitate și disponib ilitate
ridicată, însă costul de implemen tare trebuie să fie cât mai mic. P ractic trebuie să existe un echilibru
între cost și performan țele rețelei.

104

105

Bibliografie

[1] Standardul SR ISO 8402:1995 .
[2] “https://ro.wikipedia.org/wiki/Telecomunica%C8%9Bie ” accesat la 25.04.2017 .
[3] I. Bacivarov, CAF , Note de curs, 201 6.
[4] I. Bacivarov, FMSE capitolul 3, Analiza Fiabilității Sistemelor de Telecomunicații cu
două Stări, pp. 32 -65.
[5] A. Bacivarov, ATD, Note de curs, 2016 .
[6] I. Bacivarov, FMSE , Note de curs, 2016 .
[7] R. Billinton, R. N. Allan – “Reliability Evaluation of Engineering Systems ” – Cap. 4 :
“Network modeling and evaluat ion of simple systems ”.
[8] PEASE,M., Methods of Matrix Algebra , Academic Press,New York.1975.
[9] MISHRA,R., Symbolic Reliability Evaluations of Reductible Network.
Microelectronics and Rebliability , 1979, pp. 253 -257.
[10] HENLEY, E., ș.a Graph Theory in Modern Engineering , Academic Press, New -York,
1973.
[11] KIM,Y; CASE,I.GHARE,P., A Method for Computing Complex System Reliability
IEEE Transactions on Reliability 1972, R -1 ,2, p 86 -89.
[12] PEARSON,G., A Methodology for Identifyng M inimal Cut Sets in System Networks.
IEEE Transactions on Reliability,1977,R -27,p.32 -37.
[13] SHOOMAN,M.,, Probabilistic Reliability .An Engineering Approach . Mc Graw -Hill
New -York,1968
[14] “Network Reliability and Fault Tolerance , Muriel Medard ”, pp. 1-27.
[15] “http://www.creeaza.com/referate/informatica/retele -calculatoare/Topologia -de-
retea -de-tip-plas465.php ” accesat la 16 .05.2017 .
[16] “http://www.creeaza.com/referate/informatica/retele -calculatoare/Topologia -fizica –
de-tip-magist787.php ” accesat la 17.05.2017 .
[17] “http://www.armyacademy.ro/biblioteca/CARTI/stiinte_teh/moro/a4.pdf ” accesat la
17.05.2017 .
[18] “Cisco Press” – “Building Resilient IP Networks ” – Appendix A: “Calculating

106
Network Availability”
[19] “Paulo R.M. Maciel, Nelson S. Rosa, Sérgio M.M. Fernandes – “Reliability and Availability
Evaluation of Communication Networks”, 2007
[20] “ Murata T. – “Petri Nets: Properties, Analysis and Applications”, Proc IEEE, 77(4),
pp.541 -580, 1989.
[21] “Network Reliability Evaluation and Optimization: Methods, Algorithms and Software
Tools ”, Mohamed -Larbi Rebaiaia, Daound Ait -Kadi, December 2013.

107

Anexa 1

//Disabel VS scanf/printf warnings
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#include <string.h>

//Definirea nodului pentru lista simplu inlantuita
typedef struct node
{
int link;
double fiab;
struct node *next;
}node;

//Functie recursiva (DFS) care calculeaza fiabilitatea retelei
double calc_fiab( int n, node **v, int current_node, double fiab, int *path, int len)
{
node *nod;
int i;
double fiab_total = 1;

//Daca am ajuns la final, afisam nodurile si intoarcem fiabilitatea pe drumul
gasit
if(current_node == n -1)
{
printf("\n\nAm gasit legatura minimala: " );
for(i=0; i<len; i++)
printf("%d ",path[i]+1);
printf("cu fiabilitatea %lf \n\n",fiab);
return (1-fiab);
}

//Daca nu, enumeram toate legaturile directe
for(nod = v[current_node]; nod; nod = nod ->next)
{
int visited = 0;

//Verificam daca am mai trecut prin nodul curent
//pentru evitarea loo p-urilor
for(i=0; i<len; i++)
{
if(path[i] == nod ->link)
{
visited = 1;
break;
}
}

if(visited)

108
continue ;

//daca nu este vizitat, incercam sa gasim un drum care trece prin acest
nod
path[len] = nod ->link;
len++;
fiab_total *= calc_fiab(n, v, nod ->link, fiab * nod ->fiab, path, len);

len–;
}

return fiab_total;
}

int main()
{
int n, i, j, *path, test;
node **v;

printf("Care este numarul de noduri? \n");
scanf("%d", &n);

//Alocare spatiu pentru v(lista de noduri) si path(in care retinem drumul)
v = (node **)malloc(n * sizeof(node *));
path = ( int *)malloc(n * sizeof(int));

memset(v, 0, n * sizeof(node *));

//Populam lista de noduri cu valorile fiabilitatilor
for(i=0; i<n -1; i++)
for(j=i+1; j<n ; j++)
{
int opt, miniopt;
double fiab;
node *nod;

do
{
printf("\n\nTipul conexiunii intre %d si %d \n", i+1, j+1);
printf("1. Bidirectionala \n");
printf("2. Unidirectionala \n");
printf("3. Fara conexiune \n");
scanf("%d", &opt);
if( (opt < 1) || (opt > 3) )
printf("\nValoare incorecta!Introduceti un numar intre 1
si 3\n");

}while( (opt < 1) || (opt > 3) );
if(opt == 3)
continue ;

switch(opt)
{
case 1:
do
{
test=0;
printf("\nFiabilitatea intre nodurile %d si %d
( valoare in intervalul [0,1] ) \n",i+1,j+1);
scanf("%lf",&fiab);
if( (fiab < 0) || (fiab > 1) )
{
printf("\nValoare incorecta!" );
test=1;

109
}
}while(test);
break;

case 2:
do
{
printf("Unidirectionala: \n");
printf("1) De la %d la %d \n", i+1, j+1);
printf("2) De la %d la %d \n", j+1, i+1);
scanf("%d", &miniopt);
if( (miniopt < 1) || (miniopt > 2) )
printf("\nValoare incorecta!Introduceti 1
sau 2\n");
}while( (miniopt < 1) || (miniopt > 2) );

do
{
test=0;
printf("\nFiabilitatea intre nodurile %d si %d (
valoare in intervalul [0,1] ) \n",i+1,j+1);
scanf("%lf",&fiab);
if( (fiab < 0) || (fiab > 1) )
{
printf("\nValoare incorecta!" );
test=1;
}
}while(test);

switch(miniopt)
{
case 1:
//alocare si populare node de
la i la j
nod = (node
*)malloc( sizeof(node));
nod->fiab = fiab;
nod->link = j;
nod->next = v[i];
v[i] = nod;
if(miniopt == 1)
break;
case 2:
//alocare si populare node de
la j la i
nod = (node
*)malloc( sizeof(node));
nod->fiab = fiab;
nod->link = i;
nod->next = v[j];
v[j] = nod;
break;
}
break;
}
}
path[0] = 0;

printf("\n\n\nFiabilitate totala %lf \n", 1 – calc_fiab(n, v, 0, 1, path,
1));

scanf("%d",&n);
return 0;
}

110

Anexa 2

Algoritm de determinare a matricii de adiacență

function [A,RM] = graph(Pre,Post,M0)

% functia graph gaseste un graf de marcaje asociat unei retele Petri
% A – matricea de adiacenta A(i,j) – arc orientat de la i catre j
% valoarea lui A(i,j) reprezinta indicele tranzitiei
% RM – matricea de stari posibile (fiecare coloana reprezinta marcajul unei
stari)

RM=M0;
A=[0];
[nofp,noft]=size(Pre);
C=Post-Pre;
i=0;
while i < size(RM,2)
i=i+1;
sprintf( 'verifica sta rea %i',i)
%generarea vectorului de tranzitii active
for k=1:noft
x(k)=all(RM(:,i) >= Pre(:,k));
end
fx=find(x);

for k=1:size(fx,2)
bb = RM(:,i)+C(:,fx(k));
mat_bb=[];
for j=1:size(RM,2)
mat_bb=[mat_bb,bb];
end;
v=all(mat_bb == RM);
j=find(v);
if size(j,2)>1
sprintf( 'Starea este duplicat a')
end
if any(v) %starea exista
A(i,j)= fx(k);
else %starea nu exista
RM=[RM,bb];
A(size(A,1)+1,size(A,2)+1)=0;
A(i,size(A,2))=fx(k);
end;

end;

111

RM;
A;

end

Anexa 3

Algoritm de transformare a unei rețele Petri în rețea temporizată P
function [P]= silva(C)
%fiecare pozitie P poate fi luata ca o combinatie intre %lambda siliniile
matricii P
%liniile lui P nu pot fi considerate drept combinatii intre lambda si %alte
linii ale lui P

[n,m]=size(C);
P = eye(size(C,1));
%initializarea lui P

CC=C;
Csav=C;
for j=1:m

%generarea de pozitii rezultate ca o combinatie liniara intre o pozitie de
intrare si o pozitie de iesire a tranzitiei J

POZ=find(CC(:,j)>0);
NEG=find(CC(:,j)<0);
for po=1:size(POZ,1)
ii=POZ(po);
for ne=1:size(NEG,1)
jj=NEG(ne);
al=abs(CC(ii,j))/gcd(CC(ii,j),CC(jj,j));
be=abs(CC(jj,j))/gcd(CC(ii,j),CC(jj,j));
CC=[CC;al*CC(jj,:)+be*CC(ii,:)];
P=[P;al*P(jj,:)+be*P(ii,:)];
end
end
%eliminarea pozitiilor de intrare si iesire ale tranzitiei J
NZE=flipud(sort([POZ;NEG])); %sortarea in ordine descrescatoare
for nze=1:size(NZE,1)
ii=NZE(nze);
CC=CC([1:(ii -1),(ii+1):size(CC,1)],:); % sterge linia ii
P=P([1:(ii -1),(ii+1):size(P,1)],:);
end

DEL=[];
for ii=1:size(P,1)
if CC(ii,:)==zeros(1,m) arr=find(P(ii,:)~=0);
q=size(arr,2);
if (q~=rank(Csav(arr,:))+1)
DEL=[DEL,ii];
end
end
end

112
DEL=fliplr(sort(DEL));
for del=1:size(DEL,2)
ii=DEL(del);
CC=CC([1:(ii -1),(ii+1):size(CC,1)],:); % sterge linia ii
P=P([1:(ii -1),(ii+1):size(P,1)],:); end
end
CC;