Dezvoltarea Operatiilor Gandirii Prin Compunerea Si Rezolvarea DE Probleme Matematice
DEZVOLTAREA OPERAȚIILOR GÂNDIRII
PRIN COMPUNEREA ȘI REZOLVAREA DE PROBLEME MATEMATICE
CUPRINS
introducere
Importanța predării matematicii în ciclul primar
Motivația alegerii temei și metodologia folosită în tratarea ei
Capitolul I: BAZELE PSIHO – PEDAGOGICE și metodologice ALE OPERAȚIILOR GÂNDIRII
I.1 Considerații generale ale operațiilor gândirii
I.2 Operații fundamentale ale gândirii
I.3 Formele gândirii din punct de vedere psihologic
I.4 Dezvoltarea personalității școlarului mic
I.5 Dezvoltarea operațiilor gândirii la copiii de vârstă școlară mică
I.6 Legătura dintre procesele psihice și operațiile gândirii în matematică
I.7 Dezvoltarea limbajului și a aptitudinilor matematice
Capitolul II: valențe formative ale activității de compunere Și rezolvare de probleme
II.1 Definirea conceptului de problemă
II.2 Ce cuprinde o problemă
II.3 Clasificarea și descrierea problemelor de aritmetică
II.3.1 Exerciții
II.3.2 Probleme teoretice
II.3.3 Probleme practice
II.3.4 Probleme artificiale
II.3.5 Probleme recreative
II.4 Clasificarea și descrierea metodelor de rezolvare a problemelor de aritmetică
II.4.1 Metode generale
II.4.1.1 Sinteza
II.4.1.2 Analiza
II.4.1.3 Metoda analitico – sintetică
II.4.2 Metode particulare
II.4.2.1 Metoda reducerii la unitate
II.4.2.2 Metoda comparației
II.4.2.3 Metoda ipotezelor
II.4.2.4 Metoda retrogradă
II.4.2.5 Metoda figurativă
II.4.2.6 Probleme de mișcare (bazate pe relația d = v t): în același sens; în sensuri contrare
II.4.2.7 Probleme care se rezolvă prin regula de trei simplă
II.5 Rolul operațiilor gândirii în compunerea și rezolvarea problemelor
II.5.1 Importanța dezvoltării gândirii logice prin compunerea și rezolvarea de probleme aritmetice
II.6 Evaluarea activității de compunere și rezolvare a problemelor
Capitolul III: modalități de compunere Și rezolvare de probleme În ciclul primar
III.1 Compunerea de probleme
III.1.1 Compuneri de probleme cu indicarea operațiilor ce trebuie efectuate și / sau a datelor numerice
III.1.2 Compuneri de probleme după schemă dată
III.1.3 Compuneri de probleme formulate parțial
III.1.4 Compuneri de probleme după modelul unei probleme rezolvate anterior
III.1.5 Reformulări de probleme
III.1.6 Compuneri și rezolvări de probleme după tablouri și imagini
III.1.7 Compuneri de probleme după alte tehnici
III.2 Rezolvarea de probleme
III.2.1 Rezolvarea de probleme prin mai multe moduri
III.2.2 Rezolvarea de probleme de geometrie
III.2.3 Rezolvări de probleme cu ajutorul graficelor și al tabelelor
III.2.4 Rezolvarea de probleme nonstandard
Capitolul IV: valorificarea experienței personale – cercetare didacticĂ
IV.1 Dificultăți și greșeli ale elevilor în rezolvarea de probleme aritmetice și modalități de prevenire
IV.2 Rolul problemelor nonstandard în dezvoltarea operațiilor gândirii
IV.3 Etapa preexperimentală
IV.3.1 Ipoteza de lucru
IV.3.2 Eșantionul de elevi
IV.3.3 Testarea situației preexperimentale
IV.4 Etapa experimentală
IV.5 Etapa postexperimentală
IV.6 Rezultatele generale ale experimentului
Concluzii
ANEXE
Bibliografie
MOTTO: „Matematica este limba cu care Dumnezeu a scris universul”
Galileo Galilei
INTRODUCERE
IMPORTANȚA PREDĂRII MATEMATICII ÎN CICLUL PRIMAR
Alături de medic și preot, profesorul joacă un rol important în viața fiecăruia dintre noi. Dacă primii doi au grijă de sufletul și trupul nostru, învățându-ne cum să le îngrijim, dascălul ne îndrumă în procesul de acumulare a experiențelor, a cunoștințelor, modelează gândirea, dezvoltă personalitatea, oferă exemple de viață și sisteme de valori morale. Marele matematician Grigore Moisil spunea că: „profesorul este cel care, într-o anumită disciplină, știe în fiecare zi mai mult decât ieri, învățându-l pe altul ce știe el azi, îl pregătește pentru ce va afla mâine, și care poate să fundamenteze ceea ce știe într-o anumită disciplină pe ceea ce știe din celelalte discipline pe care aceasta se reazemă". Matematica o folosim în viața de zi cu zi. Chiar și în lucruri simple, când spunem cât e ceasul sau când mergem la cumpărături. O importanță mult mai mare, însă, o are în știință. Roger Bacon scria în 1267 că matematica este "poarta și cheia științelor". Cei mai mulți oameni de știință depind de matematică pentru descrierea exactă și experimentelor pe care le fac.
De aici ne dăm seama că matematica s-a născut din nevoile practice ale omului, iar apoi a devenit o știință deschisă, capabilă de un progres permanent, de o perpetuă aprofundare, descoperire și crearea unor noi teorii. Dezvoltarea rapidă a științei, a acumulării în ritm tot mai intens a informațiilor, impun cu acuitate dezvoltarea culturii matematice, care trebuie să-și facă loc tot mai mult în cultura generală a unui om. Aceasta cu atât mai mult, cu cât astăzi matematica are aplicabilitate nu numai în domeniul tehnicii, fizicii, chimiei, biologiei, ci și în științele sociale. Este evident că omenirea nu poate și nu a putut vreodată în vremurile demult apuse să trăiască fără matematică. Am putea afirma că nu există vreo creație a omului realizată fără ajutorul matematicii.
Acolo unde omul credea că nu va putea ajunge, l-a mânat curiozitatea, l-a însoțit ambiția, a pătruns cu privirea și imaginația și a ajuns cu gândul și inteligența. Și-a construit ciudate mașinării care să-l ajute. Astfel, a reusit „să alerge” mai repede decat ghepardul, „să zboare” mai sus și mai repede decât vulturul, „să vadă” nevăzutul și „să audă” neauzitul.
Un profesorul universitar spunea, pe drept cuvânt, că intrarea în țara cunoașterii se face pe podul matematicii. Matematica înseamnă gândire, gândire organizată. E disciplina care, prin însăși esența ei, poate și are menirea de a forma o gândire investigatoare, creatoare, o apropiere de cunoștințe noi și în general o apropiere de necunoscut printr-un adevărat stil de cercetare.
Indiferent de domeniul în care activează, omul modern trebuie să posede o bună pregătire matematică, pentru a putea soluționa multiplele și variatele probleme ale vieții socio- profesionale. Această cerință necesită multiple exigențe cu privire la formarea personalității. Accentul cade în primul rând pe gândire datorită faptului că gândirea a stat întoteauna la baza progresului constituind impulsul dinamicii sociale. Ori o gândire critică și inovatoare, originală și creatoare, matematica o formează.
Scopul esențial pe care îl urmărește învățământul matematic nu se reduce la latura informativă, ci prin predarea acestei discipline se realizează mai ales dezvoltarea raționamentului și a spiritului de receptivitate, a deprinderilor de gândire logică, de definire clară și precisă a noțiunilor de adaptare creatoare la cerințele actuale.
Gândirea matematică se manifestă printr-o mare varietate de activități intelectuale legate de memorie și imaginație și anume: judecare, raționare, înțelegere, explicare, invenție, deducție, inducție, analogie, abstractizare, generalizare, comparație, concretizare, clasificare, diviziune, rezolvare de situații-problemă, etc.
Prin modernizare nu trebuie să se înțeleagă moda și nici renunțarea la trecut, ci îmbinarea a ceea ce s-a dovedit valoros de-a lungul trecutului cu ceea ce se impune în condițiile vieții contemporane.
Printr-o muncă de milenii, pornind de la adevărul simplu, a fost construită matematica modernă. Ea a cunoscut o evoluție mai rapidă decât celelalte științe, datorită specificului ei. Este știința probei formale și a demonstrației logice care întruchipează într-un grad înalt idealul de rigoare și de construcție logică.
În majoritatea țărilor s-au întreprins și se întreprind experimente care tind să dezvolte copilului încă de la început caracteristicile generale ale matematicii moderne.
Raționamentul matematic și gândirea riguros științifică creează elevului posibilitatea de înțelegere a celorlalte discipline cât și de pătrundere a problemelor privitoare la natură, viață, societate. De asemenea, se contribuie la formarea și dezvoltarea capacității de a munci organizat și ritmic, a perspicacității, a spiritului de investigație. Învățământul matematic are ca rezultat formarea unor deprinderi și capacități necesare în activitatea matematică și care devin utile în activitatea practică a omului.
În primele clase ale școlarității, în cadrul cărora elevii dobândesc cunostințe elementare de calcul numeric precum și câteva noțiuni simple de geometrie, accentul principal se pune pe formarea conștientă a deprinderilor de calcul oral și scris corect și rapid cu utilizarea procedeelor raționale de calcul.
Formarea deprinderilor de calcul este o sarcină fundamentală a învățământului matematic. Ele reprezintă „instrumente” operaționale utile pe întregul parcurs al învățământului, stând la baza întregului sistem al deprinderilor matematice. Deprinderile de calcul (mintal și scris) constituie deprinderi de bază pentru rezolvarea problemelor.
Calculul mintal are o importantă contribuție la dezvoltarea gândirii, obiectivul final al învățării calculului este dezvoltarea gândirii logice a elevilor. Supusă la un antrenament continuu prin efectuarea unor calcule exacte și rapide, judicios gradate, gândirea elevului se dezvoltă și se disciplinează. Dar elevul este pus în situația de a alege procedeul de calcul cel mai potrivit cazului dat pentru a afla mai repede și mai ușor rezultatul, de a aplica în unele cazuri particulare principiul de rezolvare. În felul acesta se dezvoltă puterea de înțelegere, spiritul de inițiativă, perspicacitatea.
La clasele primare, datorită lipsei de experiență a copiilor și plasticității sistemului lor nervos, putem vorbi de formarea deprinderilor elementare de calcul, care stau la baza întregului sistem al deprinderilor matematice, de înarmare cu „instrumente” operaționale utile pe întregul parcurs al învățământului matematic și utile mai ales în viață.
Studiul matematicii în manieră modernă încă din clasa pregătitoare urmărește să ofere elevilor, la nivelul lor de înțelegere, posibilitatea explicării științifice a conceptului de număr natural și a operațiilor cu numere naturale.
Sistemul cunoștințelor matematice formează în mintea elevilor o construcție după modelul riguros logic al științei matematice. Acest model este caracterizat prin continuitate și legătura logică, prin utilizarea raționamentului deductiv și inductiv în formarea conceptelor matematice.
În vederea dezvoltării gândirii logice a elevilor din ciclul primar se va desfășura un învățământ modern formativ, ceea ce presupune: înțelegerea noțiunilor de matematică de către elevi pe cât posibil prin efort personal, căutând să-i deprindem pe elevi să gândească matematic; să antrenăm gândirea elevilor prin rezolvarea în mod permanent de probleme; dezvoltarea spiritului de independență și a încrederii în forțele proprii prin stimularea inițiativei de a încerca rezolvări cât mai variate și cât mai ingenioase prin e încerca rezolvări cât mai variate și cât mai ingenioase prin extinderea muncii independente.
Pentru a putea realiza aceste sarcini, învățătorul trebuie să aibă mereu în vedere următoarele: predarea să fie în așa fel realizată, încât noțiunile însușite să constituie suport pentru viitoarele cunoștințe; utilizarea metodelor și tehnicilor de lucru care să imprime actului învățării un caracter activ, care să facă din elev un participant conștient la dobândirea cunostințelor, priceperilor și deprinderilor; abordarea creativă a materiei de către învățător; să contribuie la însușirea matematicii de către elevi mai ușor pentru ca să le permită să-și organizeze experiențele în formele
economice și sistematice; legătura matematicii cu viața, să-i provocăm în permanență să gândească matematic punându-i în situația de a matematiza aspecte reale din viață.
Un rol important în dezvoltarea gândirii logice a elevilor îl are măiestria didactică a învățătorului. Realizarea prin metode de lucru cu elevii a unei permanențe gimnastici a minții, introducerea în lecțiile de consolidare, recapitulare, sistematizare a unor elemente noi care să supună gândirea elevilor la un efort nou, rezolvarea exercițiilor și problemelor prin muncă independentă, să gândească matematic.
Se impune așadar dimensionarea matematicii la parametrii capacităților intelectuale ale copilului, știind că acum se naște dragostea, repulsia sau indiferența pentru studiul acestui obiect. Dacă el simte că pătrunde în miezul noțiunilor matematice, dacă gândirea lui este stimulată în mod sistematic să se facă un efort gradat și simte că în urma fiecărui „antrenament” se adaugă ceva în ființa lui, dacă el trăiește bucuria fiecărui succes, mare sau mic, toate aceste trăiri cultivă interesul și dragostea pentru studiul acestei discipline.
Motivația alegerii temei și metodologia folosită în tratarea ei
Reformele școlare caută să adopte structuri, conținuturi și forme de organizare a învățământului care să faciliteze o dezvoltare intelectuală mai rapidă, să-l pună pe fiecare elev în situația de a se dezvolta și a-și valorifica pe deplin posibilitățile și aptitudinile. În condițiile în care școala contemporană deplasează accentul de pe memorarea unui volum de cunoștințe pe dezvoltarea gândirii creatoare, pe însușirea metodelor și tehnicilor muncii intelectuale, pe dobândirea deprinderilor de muncă independentă, elevul devine participant activ la propria formare, iar învățătorul se situează pe o nouă poziție, aceea de îndrumător al elevului. Se urmărește ameliorarea rezultatelor școlare prin valorificarea la maximum a potențialului fiecărei vârste. Rolul profesorului este în schimbare, într-o lume în care nu există adevăruri absolute și în care neprevăzutul și incertitudinea sunt prezente mereu. Se poate spune chiar că munca profesorului se transformă, din a fi o bancă de date, în a deveni mentor și cercetător. Viitorul va pune la mare încercare practica școlară și rolul profesorului.
În acest context mi-am propus să abordez în această lucrare tema ,,Dezvoltarea operațiilor gândirii prin compunera și rezolvarea de probleme matematice”.
Matematica este o știință abstractă. Însușirea ei de către elevi, datorită contextului social al dezvoltării actuale a științei și tehnicii, a devenit o necesitate stringentă, începând chiar cu învățământul preprimar, continuând apoi cu învățământul primar când devine o disciplină de învățământ științific organizată. Orice exagerare în sensul depășirii capacităților de înțelegere ale elevilor, dar și o minimalizare a capacităților de tip subsolicitare, îi îndepărtează de matematică. Deci, este necesar ca fiecare învățător să cunoască elevii și să proiecteze și să aplice creator acele soluții individualizatoare pentru ameliorare a randamentului la învățătură, în general, și la matematică, în special. Dezvoltându-și gândirea matematică, elevii vor putea avea o gândire bună în ceea ce privește fizica, chimia, informatica, vor putea să-și rezolve problemele practice ce apar în viață.
Procedând în felul acesta, matematica, această știință aridă și abstractă, dar atât de necesară în toate domeniile de activitate (în grade diferite ca implicare și complexitate) devine un domeniu plăcut, atractiv, cel puțin accesibil în ceea ce privește cunoștințele esențiale.
Am ales această temă considerând că punând accent pe dezvoltarea operațiilor gândirii voi reusi să găsesc calea de atragere a elevilor către școală, către acest obiect dificil și frumos –matematica, precum și o cale de sporire a randamentului școlar în general și la matematică, în special. Consider că această temă este de actualitate.
Consider importantă această temă întrucât activitatea de rezolvare de probleme are cele mai bogate valențe formative, în cadrul ei valorificându-se atât cunoștințele matematice de care dispune elevul, cât și dezvoltarea intelectuală a acestuia. Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea conștientă a unei probleme presupune o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoaștere, volitive și motivațional – afective: gândirea, memoria, imaginația, limbajul, voința, motivația și atenția. Dintre procesele cognitive cea mai solicitată și mai antrenată este gândirea, prin operațiile gândirii de analiză, sinteză, comparație, abstractizare și generalizare. Rezolvând probleme, formăm la elevi priceperi și deprinderi de a analiza situația dată de problemă, de a intui și descoperi calea prin care se obține ceea ce se cere în problemă.
În acest mod,
„rezolvarea problemelor contribuie la cultivarea și dezvoltarea capacităților creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilității ei, a capacităților anticipativ-imaginative, la educarea perspica-cității și spiritului de inițiativă, la dezvoltarea încrederii în forțele proprii”. (Neacșu, I., 1988, p. 197) .
Problemele de aritmetică, fiind strâns legate cel mai adesea prin însuși enunțul lor de viață, de practică, dar și prin rezolvarea lor, generează la elevi un simț al realității de tip matematic, formându-le deprinderea de a rezolva și alte probleme practice cu care se vor confrunta în viață. Rezolvarea sistematică a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor seturi de priceperi, deprinderi și atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva în mod independent probleme, de a compune ei înșiși probleme. Prin conținutul lor, prin tehnicile de abordare și soluționare utilizate, rezolvarea problemelor de aritmetică conduce la cultivarea și educarea unei noi atitudini față de muncă, a prieteniei, a disciplinei conștiente, dar și a spiritului emulativ, a competiției cu sine însuși și cu alții. Toate aceste valențe formative în personalitatea elevilor, pe care le generează procesul de rezolvare și compunere a problemelor de aritmetică justifică importanța temei alese, motiv pentru care învățătorul trebuie să îi acorde atenția cuvenită.
Programa de matematică prevede, pentru fiecare clasă a ciclului primar, obiective cadru, obiective de referință, exemple de activități de învățare și conținuturi referitoare la rezolvarea problemelor de aritmetică. De asemenea, aspecte privind rezolvarea și compunerea de probleme de aritmetică sunt cuprinse și în conținutul a 5 standarde curriculare de performanță (din totalul de 14) la finele învățământului primar, ceea ce evidențiază importanța și actualitatea temei alese.
Din experiența anilor anteriori am remarcat anumite dificultăți întâmpinate de elevi în procesul de rezolvare și compunere a problemelor, cum ar fi:
nu analizează suficient enunțul problemei pentru a delimita datele problemei, relațiile dintre date și întrebarea problemei (delimitarea ipotezei de concluzie, a ceea ce se cunoaște de ceea ce trebuie aflat);
de cele mai multe ori elevul pierde ideea conducătoare care l-ar aduce la rezolvarea problemei, nu mai știe ce trebuie să facă cu un rezultat parțial obținut;
nu acordă suficientă atenție întocmirii planului de rezolvare al problemei;
nu verifică întotdeauna rezultatul obținut prin rezolvarea problemei;
de cele mai multe ori elevii nu găsesc de la început mai multe căi de rezolvare a unei problemei, fiind nevoie de sprijinul învățătorului;
unii elevi au slabe deprinderi de calcul, efortul lor concentrându-se nu asupra
raționamentului problemei, ci asupra efectuării calculelor (de altfel, există o tendință generală a elevilor de a fi absorbiți de calcul);
aplică mecanic algoritmi de lucru, ceea ce poate conduce la rezolvări incorecte.
În speranța de a-i ajuta pe elevi să depășească aceste dificultăți, mi-am propus să organizez activități variate de învățare pentru toți copiii, în funcție de nivelul și ritmul propriu de dezvoltare al fiecăruia, îmbinând metode tradiționale cu metode activ – participative, care să stimuleze participarea activă, fizică și psihică, individuală și colectivă a elevilor în procesul învățării, având un pronunțat caracter formativ – educativ. Strategia alternativă promovată cu precădere în lucrarea de față este învățarea bazată pe cooperare, ca activitate ce implică efort cognitiv, volitiv, emoțional și care se realizează cu mai multă eficiență atunci când elevul este angajat într-o relație interumană.
De când mă știu, am simțit o atracție deosebită pentru acest obiect de studiu complex, abstract, dar și foarte frumos, matematica. Mai târziu, când a trebuit să-mi aleg o profesie, mi-am dat seama că îmi doresc să lucrez cu copiii de 6 –11 ani. Chiar din timpul practicii pedagogice am observat că între copiii de aceeași vârstă există foarte multe diferențe, ceea ce impune tratarea diferențiată a lor în vederea creșterii randamentului la învățătură. Această observație a fost punctul de plecare pentru studiul sistematic al acestei probleme în activitatea didactică de la început până în ziua de azi.
Capitolul I:
BAZELE PSIHO – PEDAGOGICE și metodologice ALE OPERAȚIILOR GÂNDIRII
I.1 Considerații generale ale operațiilor gândirii
Gândirea este un proces de mare complexitate. Mai firesc ar fi să o considerăm o activitate, fiindcă ea constă într-o succesiune de operații care duc la dezvăluirea unor aspecte importante ale realității si la rezolvarea anumitor probleme. Când vorbim de probleme ne gândim la situații ce nu pot fi soluționate imediat pe baza experienței anterioare. În mod normal se subliniază că prin gândire descifrăm aspecte esențiale, ceea ce e specific uman. Am folosit termenul de "importante" deoarece exista gândire și la animalele superioare, ele fiind însă incapabile de sesizarea unor proprietăți esențiale. Deși unii filosofi, cum a fost Rene Descartes, considerau gândirea o calitate specifică spiritului, nevoia de precizie ne obligă să discernem în activitatea psihică numai momentele în relație cu dificultăți de ordin cognitiv și nu orice act de comunicare simplă, automatizată.
Operațiile constitutive actelor de gândire pot fi împărțite în două grupe: operatii generale – prezente în orice act de gândire, și operații specifice, în relație doar cu o categorie restrânsă de probleme. Operațiile generale sunt: comparatia, analiza, sinteza, abstractizarea și generalizarea.
Gândirea ocupă un loc central în psihologie, astfel s-au exprimat doi cunoscuți psihologi americani (Lindsay și Norman, 1980) – „Gândirea reprezintă, poate, subiectul cel mai important al întregii psihologii”. Deoarece toate creațiile artei și științei își au originea în gândire, „ea este de o importanță evidentă” – nota un alt psiholog (Gilhody, 1988). Cu timpul în psihologia gândirii au avut loc diversificarea și polarizarea concepțiilor. Gândirea ca instrument și potențialitate de cunoaștere este studiată de filozofie (epistemologie), de logică (legile gândirii juste și exacte) și de psihologie. Gândirea se definește ca procesul cognitiv de însemnătate centrală în reflectarea realului care, prin intermediul abstractizării și generalizării coordonate în acțiuni mintale, extrage și prelucrează informații despre relațiile categoriale și determinative în forma conceptelor,judecăților și raționamentelor.
Gândirea este trăsătura distinctivă cea mai importantă a psihicului uman, definitorie pentru om ca subiect al cunoașterii logice, raționale. Este așa deoarece gândirea produce modificări de substanță ale informației cu care operează. Dacă celelalte mecanisme psihice produc modificări superficiale, natura informației, rămânând aceeași, gândirea modifică natura informației, ea face saltul de la neesențial la esențial, de la particular la general, de la concret la abstract, de la exterior – accidental la interior – invariabil. De asemenea, gândirea antrenează toate celelalte disponibilități și mecanisme psihice în realizarea procesului cunoașterii nu doar pe cele de ordin cognitiv, după cum s-ar părea la prima vedere, ci și pe cele afectiv motivaționale și volitiv-reglatorii. Gândirea orientează, conduce, valorifică maxim toate celelalte procese și funcții psihice. Ca urmare a intervenției ei, percepția devine observație, deci o percepție cu scop, ordonată și planificată; comunicarea informațiilor dobândește înțeles, fiind subordonată prin gândirea normelor logicii; memoria intră în posesia unei forme superioare de memorare, și anume memorarea logică, ce o completează și o depășește pe cea mecanică; voința își precizează mult mai bine scopurile pe baza predicției, își fixează mult mai ușor planuri, folosindu-se de judecăți și raționamente.
În sfârșit, centralitatea gândirii în procesul cunoașterii se explică și prin capacitatea ei de a-și reintroduce propriile produse (idei, concepții, teorii) în circuitul informațional, devenind, în felul acesta, un declanșator al unor noi procese intelectuale. Din punct de vedere descriptiv-explicativ gândirea este definită astfel: proces psihic de reflectare a însușirilor esențiale și generale ale obiectelor și fenomenelor, a relațiilor dintre acestea, în mod mijlocit, generalizat, abstract și cu scop prin intermediul noțiunilor, judecăților și raționamentelor.
Pentru a explica această noțiune complexă să purcedem la prezentarea celor mai semnificative caracteristici psihologice ale gândirii:
1. Caracterul informațional-operațional.
Gândirea este un mecanism de prelucrare, interpretare și evaluare a informațiilor. Ea nu se mulțumește, așa cum face percepția, cu însușirile exterioare ale obiectului și fenomenelor, ci accede la surprinderea însușirilor interne ale acestora și mai ales a relațiilor dintre ele.
2. Caracterul mijlocit și mijlocitor.
Gândirea nu operează asupra realului, asupra obiectelor și fenomenelor, ci asupra informațiilor furnizate de senzații, percepții și reprezentări. Ea este mediată de informațiile stocate în memorie și poate cel mai pregnant, gândirea este mijlocită de limbaj. Deci, valoarea și calitatea gândirii vor depinde de calitatea factorilor mijlocitori. Dar și gândirea le mijlocește și le influențează pe toate celelalte, contribuind la sporirea eficienței lor. Ea atribuie un înțeles imaginilor perceptive, utilizează denumiri verbale, se implică activ în marea majoritate a procedeelor imaginației, direcționează fluxurile afectiv-motivaționale, contribuie la realizarea reglajului voluntar.
3. Caracterul generalizat și abstractizat.
Generalizând și făcând abstracție de la obiectivele concrete, gândirea se îndepărtează doar aparent de realitate, ceea ce-i oferă posibilitatea de a se debara de încărcătura elementelor nesemnificative.
4. Caracterul finalist.
Omul își stabilește scopul nu în timpul desfășurării activității, ci cu mult înainte de a trece la executarea ei. Când gândirea s-a finalizat într-un anume produs (idee, judecată, raționament), se trece adeseori la raționalizarea lor. Omul nu gândește doar de dragul de a gândi, ci cu un dublu scop: pentru a-și declanșa, organiza și optimiza propria sa activitate, fie pentru a justifica sau motiva prin explicații și argumente acțiunile deja săvârșite, chiar dacă aceste cauze sunt altele decât cele care au stat realmente la baza comportamentelor executate.
5. Caracterul multidirecțional.
Spre deosebire de alte mecanisme psihice orientate spre o singură dimensiune temporală (percepția spre prezent, memoria spre trecut, imaginația spre viitor), gândirea le cuprinde pe toate cele trei. Prin aceasta, ea servește la permanenta ordonare și corelare a diferitelor „stări” ale obiectului cunoașterii.
Sistematizând și sintetizând ideile mai multor autori, putem spune că gândirea se compune din următoarele unități de bază (componente):
imaginea – reprezentarea mintală a unui obiect specific, unitatea cea mai primitivă a gândirii;
simbolul – o unitate mai abstractă, care redă obiectul, evenimentul, cel mai simplu simbol fiind cuvântul;
conceptul – o etichetă pusă unei clase de obiecte, evenimente, care au în comun câteva atribute;
operația – acțiune interiorizată, reversibilă, care servește la formarea conceptelor sau la rezolvarea problemelor;
regula sau legea – cea mai complexă unitate a gândirii, ce presupune stabilirea relației dintre două sau mai multe concepte.
Când utilizăm simboluri sau concepte, imagini interne și când rezolvăm mintal probleme, spunem că gândim. Unii autori pun semnul egalității între gândire și inteligență. Abia în anii ’40 Gaston Viand precizează că inteligența este facultatea de a cunoaște și înțelege sau eficacitatea mintală (randamentul mecanismelor mintale). Așadar, inteligența include în sine gândirea, dar nu se reduce la ea. Există o relație de interdependență între ele, dar nu trebuie să se ajungă la identificarea lor.
Folosirea acestor metode nespecifice, chiar daca n-ar duce momentan la progrese evidente pentru un anume obiect de învățământ, sunt importante deoarece creează ceea ce se numește o "atitudine creativă" și mai ales "aptitudinea de a căuta și găsi probleme", aspecte cu rol hotărâtor în asimilarea temeinică a oricarei științe.
Progresul creativității și cu evidente beneficii de ordin instructiv se realizează prin metode și procedee specifice. Gr. Nicola, în volumul editat de el, prezintă studiul efectuat la orele de fizica. Mai întâi trebuie precizat ca și înainte exista o preocupare de cultivare a creativității, deși într-o proporție redusă. Ea deriva din urmărirea dezvoltării capacității de a soluționa probleme. Am menționat mai sus că rezolvarea unei probleme mai grele solicită, în mod evident, imaginația. Ori, dezvoltarea gândirii este un obiectiv pedagogic central, cel puțin de la începutul secolului nostru, încât manualele propuneau probleme necesitând eforturi inovatoare la nivelul clasei de elevi corespunzatoare. Gr. Nicola da exemple de asemenea chestiuni care au fost totdeauna prezente pentru stimularea gândirii divergente (p. 103): „cum explicați?”, „ce relație este între…?”, „cum s-ar putea obține…?”, „ce se întâmplă dacă… ? ”. Asemenea întrebări fac apel la creativitate numai dacă se pun la o lecție nouă (și nu la repetarea uneia anterioare).
Spre deosebire de procesele senzoriale, gândirea reflectă însușirile de profunzime ale obiectelor și fenomenelor, acelea care sunt esențiale și necesare și care le fac să existe ca atare în realitate.Totodată gândirea se referă la legăturile cauzale dintre fenomene, condiționările cele mai importante și toate felurile de interrelații dintre ele, atât cele prezente cât și cele trecute și viitoare, atât din spațiul apropiat cât și din cel îndepărtat. Gândirea poate cuprinde infinitul.
Legătura cu toate aceste însușiri și relații profunde nu se face direct ci mijlocit , prin intermediul altor procese psihice și informațiile pencare acestea le furnizează și anume:
informații senzoriale și perceptive ce vor fi prelucrate de gândire până se ajunge la cele esențiale și necesare;
informații păstrate în memorie și reactualizat;
rezultate ale actelor de gândire anterior care sunt din nou
complex prelucrate;
informații oferite de imaginație asupra viitorului, posibilului,
probabilului.
Pentru a prelucra toate aceste tipuri de informații gândirea se folosește de limbaj pentru că prin intermediul acestuia aduce în câmpul mental informațiile la care ne-am referit anterior și tot în formă verbală sunt prezentate și rezultatele ei finale.
Prelucrarea informațiilor se face cu ajutorul unui ansamblu de operații specifice gândirii și anume: analiza, sinteza, comparația, clasificarea, abstractizarea, generalizarea, concretizarea.
Operațiile la care ne vom referi mai jos, au fost numite generale pentru că se aplică în toate situațiile și la toate felurile de informații. În afara lor sunt și operații specifice care țin de fiecare domeniu al cunoașterii și, în speță, de fiecare disciplină școlară. Aceste operații generale ale gândirii sunt următoarele:
analiza este dezmembrarea mentală a unui obiect sau fenomen în
părți sau componente cu ajutorul semnelor verbale pentru a descoperi semnificația lor;
sinteza este operația inversă de reunire mentală a părților în întreg tot cu ajutorul semnelor verbal în vederea descoperirii legăturilor dintre ele;
comparația este o confruntare mentală a obiectelor și fenomenelor
după un anumit criteriu în vederea descoperirii asemănărilor și deosebirilor dintre ele;
clasificarea de obicei urmează comparației și constă în gruparea
obiectelor în categorii sau clase după însușirile lor identice sau foarte asemănătoare;
abstractizarea este cea mai importantă și specifică operație a
gândirii.
Ea este asemănătoare cu analiza în sensul că sunt desprinse în plan mintal părțile sau însușirile obiectelor și sunt pe rând supuse unor transformări iar cele care rămân constante exprima ceea ce este esențial și necesar în obiecte și fenomene și sunt reținute iar de celelalte se face abstracție, adică sunt date la o parte, sunt omise. Prin urmare, abstractizarea are două laturi: una pozitivă de conservare, alta negativă de eliminare. Totodată, se realizează abstractizării succesive și astfel se ating niveluri tot mai înalte ale ei, generalizarea consta în atribuirea însușirile descoperite prin abstractizare la întreaga clasă de obiecte, concretizarea este operația prin care se trece de la ceea ce s-a generalizat la cazurile concrete. Aceasta este concretizarea ca exemplificare. Există și o formă superioară de concretizare ce se numește concretizare logică.
Toate operațiile gândirii nu funcționează izolat ci în legătură unele cu altele formând structurile operatorii ale gândirii.
I.2 Operații fundamentale ale gândirii
Gândirea folosește două categorii de operații: unele sunt fundamentale, de bază, fiind prezente în orice act de gândire și constituind scheletul acesteia (analiza, sinteza, comparația, abstractizarea, generalizarea, concretizarea), iar altele sunt instrumentale, folosindu-se numai în anumite acte de gândire și particularizându-se în funcție de domeniul de cunoaștere în care este implicată gândirea.
Gândirea este procesul psihic care dispune de cel mai vast sistem de operații. Psihologia studiază operațiile gândirii ca instrumente psihice dobândite și perfecționate prin dezvoltare intelectuală, prin învățare și exercițiu. Operațiile gândirii ac ționează de cele mai multe ori în cupluri operatorii ce se completează reciproc: analiza și sinteza, abstractizarea și generalizarea, comparația, concretizarea logică și particularizarea, sistematizarea.
Analiza reprezintă separarea mentală a unor obiecte, fenomene sau însușiri, elemente ale lor și cercetarea lor separată. Această operație permite delimitarea esențialului de neesențial, a necesarului de întâmplător. Prin analiză, sunt selectate însușirile interne, proprii obiectului, prin eliminarea însușirilor neesențiale, accidentale, ce le acoperă.
Sinteza, operația inversă analizei, reunește mental elementele realizând întregul. Nu este o simplă asociere sau însumare, ci o operație ce presupune relaționarea logică a însușirilor obiectului; include obiectul gândit într-o clasă de obiecte, îl corelează cu alte obiecte, desprinde, dintr-un ansamblu de date, un principiu logic de dezvoltare și interacțiune.
Abstractizarea este operația de extragere a proprietăților generale comune unei categorii de obiecte, fenomene ș.a., eliminându-le pe cele particulare (sau reținerea celor semnificative pentru etapa respectivă de studiu și neglijarea celor nesemnificative). Gândirea trece astfel de la aparență la esență, de la variabil la invariabil, de la concret la abstract. În psihologia cognitivă, abstractizarea este asimilată atenției selective. Aceasta este prezentată într-o multitudine de sarcini, mai simple sau mai complexe, cum ar fi:
sarcinile de clasificare și sortare – presupun gruparea unor obiecte după unul sau mai multe criterii;
sarcinile de modificare a clasificărilor – presupun regruparea elementelor clasificate deja după un alt criteriu decât cel folosit anterior;
sarcinile de rezolvare a problemelor – este importantă capacitatea de a face abstracție de informațiile irelevante, nepertinente, mai ales de ordin perceptiv.
Generalizarea este operația prin care însușirile extrase cu ajutorul abstractizării sunt extinse la o întreagă clasă de obiecte – fenomene. Generalizarea mentală constituie premisa oricărei cunoașteri teoretice, deoarece soluționarea unei probleme teoretice înseamnă raportarea nu doar la cazul particular în care ea apare, ci și raportarea ei la toate cazurile similare. Una dintre condițiile esențiale și necesare pentru declanșarea și stimularea generalizării o reprezintă flexibilitatea gândirii. Un rol important îl are transferul, înțeles ca o extensie în plan mental a informațiilor condensate asupra întregii clase de obiecte și fenomene. Generalizarea face apel la inferențele inductive și deductive. O mare importanță teoretică și practică o are generalizarea conceptuală, care se referă la faptul că elaborarea unui concept include, în mod necesar, posibilitatea aplicării lui la o multitudine de obiecte și la o întreagă clasă de elemente.
Comparația este operația prin care se stabilesc în plan mental asemănările și deosebirile esențiale dintre obiecte și fenomene, pe baza unui criteriu. Este utilă pentru analiză și sinteză.
Concretizarea este operația opusă abstractizării, prin care aspectele generale se realizează prin luarea în considerare și a însușirilor particulare. E un efort al gândirii de a pătrunde cât mai adânc în concretețea obiectelor și fenomenelor.
Particularizarea, operație opusă generalizării, constă în individualizarea (precizarea) unui obiect, fenomen ș.a., făcând parte dintr-o categorie definită prin proprietăți generale.
Sistematizarea reprezintă operația gândirii cu ajutorul căreia cunoștințele asupra obiectelor sau fenemenelor se leagă și se ordonează într-un sistem.
Gândirea nu este o desfășurare mecanică de operații „pure”. Ca proces de cunoaștere, cu funcție reflectorie și de modelare informațională, presupune în mod obligatoriu existența unor conținuturi specifice, asupra cărora să se aplice operațiile. Sursa primară a acestor conținuturi se află în lumea externă, iar izvorul lor îi reprezintă datele senzoriale. Acestea nu se încorporează ca atare în structura internă a gândirii, ci sunt filtrate și prelucrate succesiv, la diferite niveluri de generalitate, abstractizare, esențialitate.
Elementul constitutiv al structurii de conținut a gândirii este noțiunea, iar elementele de rang cognitive superior sunt raționamentul și judecata. Noțiunea este acea entitate informațională internă care integrează determinații (însușiri) semnificative, esențiale, necesare și comune unui număr mai mare sau mai mic de obiecte, fenomene reale sau imaginare. Noțiunea nu este un dat, ci este rezultatul unui proces evolutiv. Cercetările efectuate de A. Svacikin (1937), sub îndrumarea lui L. S. Vagotski, au demonstrat că până să ajungă la stadiul noțional propriu-zis, gândirea trebuie să parcurgă o serie de etape intermediare:
etapa pre-noțională (domină în mod absolut imaginile senzoriale);
etapa complexelor noționale (se pun împreună, în aceeași categorie, pe baza unei etapa pseudonoționale (îngustarea sferei noțiunii până la a cuprinde un singur obiect);
etapa noțiunilor concrete;
etapa noțiunilor abstracte.
Stadialitatea formării noțiunilor reflectă și este simetrică stadialității
formării operațiilor gândirii. Noțiunea, o dată elaborată, se include în structura de conținut stabilă a gândirii, oferind un material de lucru calitativ superior pentru blocul operațiilor. Astfel, atitudinea și comportamentul epistemic față de realitate vor avea trăsături diferite atunci când se întemeiază pe o mediere noțională, comparativ cu situația când pe prim plan se impune medierea senzorială. Dintr-un anumit punct de vedere, noțiunea poate fi considerată ca semnificația cuvintelor. Aceasta înseamnă că ea desemnează un cuvânt (sau mai multe), conținutul lui semantic, ideea pe care o desprindem. Cuvântul, în schimb, este doar un înveliș al noțiunii, el putând fi variabil în funcție de limba (copil – child – enfant – kinder). Integrarea noțiunii în tiparul verbal (cuvinte) nu se produce dintr-o dată și în mod spontan, ci treptat, în cursul unui proces îndelungat de evoluție ontogenetică și învățare.
După natura conținutului, noțiunile au fost împărțite în concrete și abstracte. Concretă este considerată acea noțiune care are un suport imagistic direct, putând fi reprezentată (casă, floare, mașină, etc.). Cea abstractă conține însușiri desprinse și detașate de contextul și de suportul lor sensibil, devenind imposibil de reprezentat (libertate, înțelepciune, dezvoltare, etc.). Despre noțiune nu se poate afirma nici că este adevărată, nici că este falsă. Dar, cu ajutorul noțiunilor, se pot formula o serie de judecăți cu privire la o anumită clasă de obiecte, fenomene. Prima modalitate de a dezvălui și a pune într-un circuit cognitiv conținutul unei noțiuni este definiția.
O altă clasificare a noțiunilor le împarte în empirice și științifice. Noțiunile empirice reflectă însușiri concrete, particulare, neesențiale, întâmplătoare, iar sursa lor este percepția senzorială. Pe de altă parte, noțiunile științifice reflectă trăsături generale, esențiale, aceleași pentru toți indivizii și se bazează pe cunoaștere. În cadrul gândirii, noțiunile nu sunt dispuse la întâmplare, ci ele se ordonează și se ierarhizează sistemic, alcătuind ceea ce se numește piramida noțiunilor. Aceasta este structurată pe verticală, după criteriul gradului de generalitate, iar pe orizontală, după criteriul coordonării semantice modale. Spre baza piramidei sunt dispuse noțiunile cu sfera cea mai mică și volumul cel mai mare (noțiuni individuale); în continuare, la etajele superioare, se situează noțiuni cu sfera din ce în ce mai mare și volumul din ce în ce mai mic (noțiuni particulare și generale), iar la vârful piramidei se plasează noțiunile cu gradul cel mai înalt de generalitate (categorii supraordonate, cum ar fi existența, materia, realitatea). Organizarea în interiorul piramidei este atunci când gândirea se mișcă liber, cu ușurință și coerență, atât de la individual la particular, cât și de la general la categorial, și invers.
Un alt aspect important în vederea stabilirii rolului operațiilor mentale în formarea noțiunilor, este înțelegerea, care este funcția esențială a gândirii. Prin aceasta, noile informații sunt puse în legătură cu cele vechi. O bună înțelegere presupune:
un fond prealabil de cunoștințe;
o selecție și o sistematizare a cunoștințelor vechi și a celor care
trebuie înțelese;
o specializare (studiu aprofundat al unei științe, domeniu).
În funcție de gradul de dificultate, există:
înțelegerea spontană (legăturile se stabilesc cu ușurință între
informațiile prezente și cele trecute: de exemplu atunci când percepem un
obiect, înțelegem imediat ce este, la ce folosește);
înțelegerea discursivă (se realizează treptat, uneori în timp îndelungat, relațiile sunt multiple și necesită incursiuni în diverse direcții: de exemplu, după un an de studiere a istoriei, un copil afirmă că istoria este „povestirea războaielor”, aceasta fiind o înțelegere destul de empirică a acestei noțiuni).
Activitățile fundamentale ale gândirii sunt: conceptualizarea, înțelegerea, rezolvarea problemelor, raționamentele, decizia și creația (apud Lupu, C., 2006, p. 166-169).
1. Conceptualizarea
A conceptualiza înseamnă a forma și a asimila concepte. Conceptualizarea reprezintă: capacitatea de abstractizare a însușirilor unei clase de obiecte, care sunt apoi încorporate într-o imagine sau într-o idee – concept, capacitatea de a sesiza atributele distinctive ale unei clase de obiecte
2. Înțelegerea
Gândirea nu poate fi concepută în afara înțelegerii, în afara sesizării și corelării atributelor esențiale ale obiectelor și fenomenelor. A înțelege înseamnă: a sesiza existența unei legături între setul noilor cunoștințe și setul vechilor cunoștințe gata elaborate; a stabili natura și semnificația acestei legături; a încadra și încorpora noile cunoștințe în cele vechi, care în felul acesta se modifică și se îmbogățesc.
3. Rezolvarea problemelor
Din perspectiva psihologiei cognitive, rezolvarea de probleme este o activitate laborioasă care constă în elaborarea ipotezelor, stabilirea strategiilor de căutare și elaborare a informațiilor. Rezolvarea de probleme este concepută de cognitiviști ca un proces de prelucrare a informațiilor. Din cercetările de psihologia gândirii s-a constatat că procesul rezolvării de probleme depinde, în mare măsură, de modalitățile prin care prelucrăm și decodificăm informațiile din situații, mesaje, enunțuri, probleme, care pot fi bine structurate, slab definite sau contradictorii. Studiile efectuate au demonstrat că rezolvarea problemelor bine structurate implică, în general, modele algoritmice de gândire și secvențe de operații logice, iar soluționarea situațiilor slab definite presupun strategii euristice, seturi de operații probabilistice. Strategiile algoritmice sunt „procedee sau secvențe operaționale sistematice și riguroase cuprinzând raționamente, scheme intelectuale standardizate, fixate prin reguli precise, care asigură obținerea sigură a rezultatului unei sarcini”. În general, problemele algorimice sunt structurate logic, au un singur răspuns corect sau un număr foarte mic de soluții, și „se rezolvă cu ajutorul gândirii convergente, a analizei verticale desfășurată într-un singur plan cognitiv”.
Spre deosebire de strategiile algorimice, cele euristice sunt „sisteme operaționale nestandardizate, flexibile și divergente, ce uzează de raționamente neformalizate, scheme deschise, fluente, probabilistice, menite să caute și să descopere rezultatul unei probleme”. Problemele euristice sunt structurate creativ, dispun de mai multe soluții ce se pot rezolva prin imaginație, prin „explorare laterală a diverse planuri și perspective, prin gândire divergentă”. În activitatea de rezolvare a problemelor se folosesc următoarele noțiuni: problemă, situație problematică, spațiu problematic și conduită rezolutivă.
Problema se asociază cel mai frecvent cu bariera, obstacolul, semnul de întrebare , dificultatea teoretică sau practică, lacuna cognitivă, care se cer a fi înlăturate, depășite, rezolvate.
„Problema apare deci ca un obstacol cognitiv în relațiile dintre subiect și lumea sa, iar asumarea sarcinii de a depăși obstacolul, ca și demersurile cognitive și tehnice întreprinse în acest scop conturează domeniul rezolvării problemelor.” ( Mocanu, M., 2007, p. 125).
Situația problematică este sau devine ceea ce apare ca fiind atipic, netransparent, nedeterminat, ambiguu, ceea ce generează tensiuni, conflicte.
„Rezolvitorul trăiește simultan două realități: una de ordin cognitiv, referitor la experiența pe care și-o reactualizează, și alta de ordin motivațional, ce rezultă pe baza elementului – surpriză, de noutate și necunoscut, cu care se confruntă acesta.” (Neagu, M., Mocanu, M., 2007, p. 125).
O situație problematică generează probleme, tensiune psihică deoarece subiectul, implicat voluntar, conștientizează faptul că posibilitățile, resursele cognitive și operaționale de care dispune sunt insuficiente sau inadecvate în raport cu cerințele situației.
Spațiul problematic presupune prezența a trei categorii de stări: stări inițiale (ceea ce se dă); stări finale (ceea ce se cere) și stări intermediare (ansamblul transformărilor succesive ale stărilor inițiale în stări finale).
Conduita rezolutivă reprezintă trecerea de la o stare la alta. Operațiile implicate în rezolvarea unei probleme sunt sintetizate de G. Polya în : izolare, recunoaștere regrupare, mobilizare previziune organizare, reamintire suplimentare și combinare. Astfel, rezolvarea începe cu mobilizarea în vederea găsirii soluției. Ea este însoțită de recunoașterea unor aspecte cunoscute și de reamintirea unor definiții, teoreme. Are loc izolarea unui detaliu, precum și combinarea detaliilor disparate. Urmează regruparea datelor și suplimentarea viziunii asupra problemei. În centrul acestor operații se află previziunea, întrucât toate operațiile menționate urmăresc să ne conducă spre soluție. În final se realizează organizarea, adică corelarea elementelor care contribuie la rezolvarea problemei.
Raționamentele sunt determinate de procese și de mecanisme. Procesele reprezintă tot ceea ce se întâmplă în timpul rezolvării problemelor, evenimentele externe și interne care se produc în decursul rezolvării problemelor, ca și schimbările care rezultă.
Principalele procese rezolutive sunt: interpretarea situației sau reprezentarea problemei; elaborarea scopurilor și planificarea; memorarea evenimentelor critice; evaluarea rezultatelor acțiunii.
Mecanismele sunt „reguli sau sisteme care, prin funcționarea lor, angajează procesele solicitate de rezolvarea problemelor. Cele mai cunoscute mecanisme sunt: activarea în memorie a semnificațiilor, a cunoștințelor declarative și procedurale apoi producerea inferențelor, raționamentele, memorizarea, mecanismele deciziei.
Decizia reprezintă acea parte a gândirii pe care o realizăm în cazul unei reușite (generalizare, particularizare, aplicare) sau a unui eșec (alegem altă cale, abandonăm, reformulăm problema, verificăm).
Creația reprezintă una dintre cele mai complexe activități ale gândirii, forma ei externă ducând la un nivel nou de sinteză. Creația folosește un ansamblu de propoziții care nu sunt precedate și nici cunoscute dinainte ca fiind relevante pentru soluții.
O problemă este un obstacol cognitiv în relațiile dintre subiect și lumea sa, o dificultate teoretică sau practică, o lacună a cunoașterii, un sistem de întrebări asupra unei necunoscute. Pentru a fi o veritabilă problemă, și nu una falsă, ea trebuie să conțină atât date cunoscute, cât și necunoscute. Rezolvarea problemelor reprezintă procesul de mobilizare a resurselor mentale pentru depășirea obstacolului cognitiv întâmpinat. În aproape orice moment al existenței noastre, ne aflăm într-un proces de rezolvare de probleme. Gândirea funcționează în regim de „continuum problematic”. Procesul de rezolvare a problemelor constă în înlănțuirea unor raționamente (formate din judecăți, care la rândul lor sunt alcătuite din noțiuni), care legate între ele, permit înțelegerea, bazându-se pe operațiile gândirii.
I.3 Formele gândirii din punct de vedere psihologic
Nevoile adaptării individului creează tendința unificării, grupării obiectelor, fenomenelor. Primul criteriu de categorizare este cel al utilității: „îmbrăcămintea se compune din cămașă, pantaloni, pantofi etc." Chiar și preșcolarul grupează ființele potrivit aceluiași punct de vedere: „oile sunt acelea care ne dau lână” , „caii sunt aceia pe care se călărește”. Experiența de fiecare zi, intervenția vorbirii au drept urmare crearea de relații mai importante din punctul de vedere al cunoașterii: relații semantice bazate pe așa-numitele „rețele semantice", alcătuind memoria semantică și constituind suportul logic al noțiunilor. Acestea încorporează două categorii de relații: relații de predicație, referitoare la caracteristicile conceptului (că balena naște pui vii, respiră prin plămâni, are sânge roșu etc.) și relații de subordonare privind raportul noțiunii cu altele mai generale (balena este un mamifer, un vertebrat, un animal…). Noțiunea apare astfel în legătură cu nenumărate altele, și face posibile numeroase afirmații. De aici decurge, așa cum observa logicianul Ed. Goblot, caracteristica ei esențială: noțiunea este o posibilitate de a formula numeroase judecăți cu privire la o clasă de obiecte sau fenomene. Așadar putem considera că un elev și-a însușit pe deplin o noțiune numai dacă el poate face numeroase afirmații întemeiate în legătură cu termenul respectiv. Nu e suficient să ne dea o definiție („triunghiul are trei laturi") – trebuie să cunoască multe lucruri despre el. Mai mult, este esențial ca el să fie conștient de importanța unor caracteristici: de exemplu, are trei unghiuri, măsura tuturor unghiurilot este 180 grade.
Noțiunea este caracterizată prin această conștiințăa ceea ce este esențial și ce este secundar – de aceea poate fi aplicată la o marevarietate de obiecte din aceeași clasă, spre deosebire de reprezentare, care etotdeauna concretă, specifică. Desigur, sunt foarte numeroase noțiuni ce pot fiexemplificate printr-o imagine (casă, arbore, om etc.) – acestea sunt așa-numitele noțiuni concrete. Apoi există noțiuni cărora nu le poatecorespunde o imagine concretă, noțiunile abstracte (infinit, spiritualitate,absolut, libertate ș.a.). Profesorul trebuie să aibă mereu în vedere, când predă o nouă noțiune, să nu insiste doar asupra aspectelor comune categoriei respective. Pe lângă caracteristicile esențiale trebuie discutate și deosebirile posibile.
Obiectivul principal trasat de pedagogia contemporană: să învățăm pe tineri să învețe, se poate realiza în primul rând învățându-i să citească, să analizeze în mod temeinic conținutul cărților, să discearnă ideile valoroase din textele de bază. Este evident că asimilarea conținutului unui manual ridică mereu probleme de înțelegere. Dar, de obicei, autorul unui text caută să faciliteze sesizarea punctului său de vedere, încât, exceptând textele filosofice sau cele academice,efortul de gândire nu e prea mare. Gândirea are însă de făcut față unor probleme diverse. E momentul sa încercăm a descifra unele din mecanismele ei.
Creierul are o tendință de unificare, de grupare a stimulilor. Este solicitată de nevoile adaptării, ale vieții și e posibilă datorită gândirii. Gruparea se realizează mai întâi între obiectele ce servesc aceluiași obiectiv. O categorie nu trebuie insa confundată cu un concept, realitate mult mai complexă, deși ea poate conduce, treptat, la formarea lui. Unul din rezultatele importante ale categorisirii îl reprezintă formarea de scheme cognitive, care grupându-se formează structuri ample. Schemele cognitive constau în structuri generale de informații, activate simultan, corespunzând unor situații complexe din realitate (Miclea, M.). Schemele cognitive simplifică enorm percepția și interpretarea situațiilor, cât și organizarea comportamentului nostru zilnic. Rolul fundamental îl are însă un alt mod de grupare decât cel dictat de utilitatea practica și comportamentul obișnuit, anume gruparea obiectelor și fenomenelor după criterii esențiale. Are loc formarea de rețele semantice și de noțiuni.
La animalele superioare, orientarea lor în mediul ambiant se efectuează cu ajutorul imaginilor și al schemelor cognitive. Omul, folosind limbajul, utilizat conform unor prescripții sociale, realizează abstractizări, adică sesizarea unor serii de relații esențiale. Acestea sunt denumite relații semantice. Cristalizarea unor serii de relații semantice în jurul unui cuvânt duce la apariția noțiunilor. Ed. Goblot afirma că noțiunea este o posibilitate de a formula numeroase judecăți cu privire la o clasa de obiecte sau fenomene. Astfel, putem spune că o noțiune este un mijloc de a stabili enorm de multe legături cu alte noțiuni, impresii, amintiri privind tot felul de obiecte, fenomene, insușiri ale lor, relații în care există conștiința a ceea ce este particular și ceea ce e general.
Formarea noțiunilor este inițial în stransă relație cu experiența, cu organizarea și cu complicarea schemelor, cu formarea de relații semantice. E un proces de lungă durată, greu de abordat pe cale experimentală. Dar, la adult, unde e formata memoria semantică, unde există zeci de mii de noțiuni ierarhizate, dobândirea unui nou concept este mai ușoară: e suficient ca noul termen să fie pus în relație cu câteva noțiuni bine cunoscute, pentru ca el să fie bine înțeles.
I.4 Dezvoltarea personalității școlarului mic
Perspectiva psihanalitică asupra dezvoltării proceselor gândirii se focalizează preferențial pe modificările evolutive ce permit trecerea de la procesele primare la cele secundare de gândire. Procesele primare de gândire sunt relevate de ”limbajul” inconștientului, în care realitatea și fantezia se confundă inseparabil. Caracteristicile gândirii primare se regăsesc cu prisosință în visele noastre. Aici, evenimentele se pot desfășura concomitent, în mai multe locuri, caracteristicile mai multor indivizi sunt contopite și portretizează o singură persoană, iar evenimentele se pot derula înainte sau înapoi. În general, tot ceea ce este imposibil în stare de veghe se poate cu mare ușurință realiza în vis. Procesele secundare de gândire ni se descoperă, în schimb, doar prin “limbajul” conștientului și al realității testate. În paralel cu dezvoltarea gândirii secundare, se structurează treptat ego-ul și supraego-ul individului. Prin conturarea ego-ului, caracteristicile individuale sunt mai limpede diferențiate, eu-l se delimitează acum tot mai net de restul lumii, iar centrarea excesivă pe sine este vizibil diminuată. Relativ recent, Epstein (1994) a postulat o distincție oarecum similară cu cea a lui Freud. Epstein distinge între gândirea experiențială și cea rațională. Acestea sunt văzute ca fiind două modalități fundamental diferite de cunoaștere a lumii, prima fiind asociată cu emoțiile și experiența personală, iar cealaltă cu intelectul. Gândirea experiențială, analogă proceselor primare, este considerată mai timpurie în dezvoltarea noastră ontogenetică și i se atribuie un caracter holistic. Ea este concretă și puternic influențată de factori emoționali.
Funcționarea ei se relevă prioritar în relațiile interpersonale, unde poate lua forma empatiei și a intuiției. Prin contrast, gândirea rațională, similară proceselor secundare din modelul freudian, este mai recentă ontogenetic, are un caracter abstract, analitic, și se supune regulilor logicii și ale evidenței. Operarea ei o regăsim mai cu seamă în rezolvarea problemelor matematice, dezlegarea anagramelor, deciziilor economice etc. Epstein consideră că cele două sisteme sunt paralele și că ele pot funcționa fie în conjuncție, fie în conflict. Acest mod de relaționare poate fi ilustrat în special în contextul activităților noastre creative, unde dinamica celor două moduri de gândire se regăsește definitoriu. Există, de asemenea, diferențe individuale în ceea ce privește gradul în care fiecare sistem este dezvoltat și disponibil spre utilizare în acțiunile noastre. În cea mai mare parte, teoria psihanalitică a dezvoltării se concentrează asupra dezvoltării instinctelor.
În jurul vârstei de 6-7 ani, în viața copilului se petrece un eveniment cu totul deosebit, acela al intrării în școală. De acum în colo întreaga sa dezvoltare fizică și psihică va fi influențată de acest nou factor. Învățarea școlară se deosebește în mod radical de toate actele de învățare de până acum, atât prin conținut cât și prin cadrul și modul de desfășurare. Volumul, calitatea și diversitatea conținuturilor învățării de dincolo de 7 ani, hotărăsc, în societatea
contemporană, viitorul fiecăruia, locul lui în comunitatea umană. De aceea eforturile societății și ale indivizilor sunt direcționate spre reușite și succes spre integrare școlară optimă. Acest nou context, școala, influențează puternic întreaga dezvoltare psihică a copilului și-i dă un relief specific. Este important să relevăm dominantele, în profilul de dezvoltare a școlarului mic pentru a putea diferenția acest stadiu de cele anterioare și a reuși să înțelegem mai bine locul și contribuția sa la dezvoltarea de ansamblu a ființei umane. Iată care sunt aceste dominanțe:
învățarea școlară devine organizatorul principal al procesului
de dezvoltare psihică și exercită influențe hotărâtoare pentru toate transformările din cursul acestui stadiu;
se stabilesc raporturi mai obiective cu lumea, școala
integrându-l pe copil în aria inteligibilului, raționalului, rigorilor cunoașterii;
se formează deprinderile de bază pentru scris-citit și socotit
care-i asigură accesul la conținuturi din ce în ce mai ample de învățare;
crește caracterul voluntar și conștient al tuturor manifestărilor
psihocomportamentale;
se însușesc statutul și rolurile de elev și se adaugă noi
dimensiuni identității de sine;
către sfârșitul stadiului se împlinesc atributele copilăriei și se
realizează un bun echilibru cu ambianța.
Spre deosebire de stadiul anterior, în programul zilnic al școlarului mic intervin următoarele schimbări:
programul activităților este mult mai stabilizat adică ora de
trezire și cea de culcare trebuie mai mult respectate pentru ca activitatea școlară să se desfășoare optim. Școlarul mic are nevoie de 10-11 ore de somn noaptea și mai ales stabilizarea și respectarea orei când merge la culcare. Insuficiența somnului generează scăderea atenției, a eficienței memoriei și a performanțelor gândirii;
timpul petrecut la școală este mai bine organizat și plin cu
activități care se deosebesc din ce în ce mai mult de cele de la grădiniță. Copilul trebuie să facă efortul de a se adapta la: spațiul școlar, timpurile de activități și solicitări școlare, relația cu un nou adult semnificativ care este învățătoarea, la grupul de covârstnici cu care se confruntă și se compară pe terenul unei
activități foarte importante cum este învățarea școlară;
după întoarcerea acasă copilul trebuie să realizeze o perioadă de învățare independentă care poate fi asistată de părinți dar, nu poate fi substituit de aceștia.
jocul trebuie să rămână în programul zilnic al școlarului mic dar momentul și durata lui sunt dependente de solicitările școlare.
Aspectele cele mai importante ale dezvoltării fizice sunt următoarele:
creșterea în înălțime este ușor încetinită între 6 și 7 ani dar
apoi ritmul este mai mare și la sfârșitul stadiului înălțimea medie este la băieți de 132 cm iar la fete de 131 cm. Există însă tendința ca fetele să aibă pentru prima dată un ușor avans față de băieți;
creșterea în greutate este relativ constantă și se ajunge, în
medie, la 29 kg la băieți și 28 kg la fete;
osificările cele mai importante din acest stadiu se petrec în
următoarele zone: la nivelul coloanei vertebrale dar curbura lombară este încă instabilă și în pericol de a se deforma dacă școlarii au poziție proastă la scris sau duc greutăți mari; în zona bazinului, la mâini (carpiene și falange); continuarea schimbului dentiției provizorii. Se întăresc articulațiile și crește rezistența generală a sistemului osos;
cele mai importante perfecționări ale sistemului muscular sunt la nivelul mâinii, a acelor grupuri musculare implicate în scriere;
la nivelul sistemului nervos sunt importante următoarele
schimburi: crește masa creierului până la 1200-1300 g; din punctul de vedere al structurii neuronilor creierul școlarilor mici este aproape ca al adultului; se dezvoltă în mod deosebit, sub raport funcțional lobii frontali; crește viteza de formare a legăturilor dintre neuroni;
P. Osterrieth caracterizează astfel finalul acestui stadiu:
„Vârsta de 10 ani, cu echilibru, cu buna sa adaptare, cu calm, dar însuflețita sa siguranță, cu ținută lipsită de încordare constituie pe drept cuvânt, apogeul copilăriei, momentul de deplină înflorire și deplină integrare, a caracteristicilor copilului mare”.
Atenția este condiția necesară a desfășurării optime a tuturor proceselor informaționale și a obținerii succesului școlar. Ciclul primar exercită câteva influența hotărâtoare pentru dezvoltarea atenției astfel că, în acest interval al vieții se obțin cele mai importante perfecționări ale acesteia. Prin urmare: școala solicită permanent și sistematic atenția copilului dezvoltând-o și modelând-o după specificul sarcinilor cognitive; sunt mai bine dezvoltate unele însușiri ale atenției iar altele sunt formate în acest stadiu; este special antrenată atenția voluntară.
Ca urmare a acestor influențe progresele atenției în acest stadiu sunt următoarele:
la intrarea în clasa I concentrarea atenției poate fi fluctuantă și astfel, copiii pot face greșeli chiar când au cunoștințele corespunzătoare, dar apoi se obține gradul necesar de manifestare a acestei însușiri;
la început atenția copiilor nu este perfect modelată în raport cu
fazele activităților din clasă și deci nu pot să se concentreze mai tare în anumite momente și să se relaxeze în altele așa că se întâmplă să le scape unele aspecte importante cum ar fi momentul în care se comunică tema pentru acasă. Învățătoarele cu experiență cunosc aceste aspecte și au bune remedii pentru ele;
la cei de clasa I se constată o tendință accentuată către distragerea atenției dacă intervin fel de fel de zgomote în mediul ambiant (chiar și căderea unui creion) și acesta ar putea influența prestația lor școlară, dar dezvoltarea treptată a reglajelor voluntare diminuează foarte mult acest fenomen;
crește stabilitatea atenției până la 45-50 de minute;
distributivitatea redusă în primele săptămâni de școală sporește în următorul interval și facilitează îndeplinirea sarcinilor și recepționarea mesajelor învățătoarei;
volumul atenției crește în a doua parte a stadiului;
trebuie să fie rezolvate cazurile de neatenție cronică ce pot avea fie cauze organice (stare de boală, de convalescență, de disfuncționalități hormonale) sau educaționale (existența unor interese mai puternice decât cele școlare; insuficienta pregătire din punct de vedere motivațional a copilului pentru școală).
Evoluția percepțiilor și a capacităților observative este marcată de natura conținuturilor de învățare. Percepțiile vizuale sunt puternic implicate în scris-citit și de aceea se remarcă prin: creșterea sensibilității vizuale generale cu 60% față de preșcolar iar a celei diferențiale cu 45%. În aceste condiții percepțiile
devin mai clare și mai precise: începând chiar cu vârsta de 6 ani copiii pot stabili rapid simetriile și asimetriile, în imaginile pe care le percep, iar când învață să scrie și să citească percep cu finețe semnele grafice de dimensiuni mici, diferențele dintre litere, orientarea în spații mici și se formează scheme perceptive pentru litere mici și mari, de mână și de tipar care asigură viteza
corespunzătoare a scris-cititului; mișcările oculare cresc în ceea ce privește viteza până la 1-3 sutimi de secundă și în actul citirii ochii realizează următoarele tipuri de mișcări: de fixare a literelor și silabelor ce se pronunță în acel moment; de anticipare a celor ce vor urma prin funcționarea mai bună a câmpului periferic al vederii; de regresie adică de întoarcere la cele deja citite pentru control și întregire a înțelesurilor; de trecere de la un rând la altul (această trecere este la început realizată prin urmărirea cu degetul a rândului);
Cresc și celelalte categorii de percepții ce se referă la obiecte, la simboluri matematice, la figuri geometrice etc.
Percepțiile auditive progresează mai ales în ce privește auzul fonematic. Acesta este antrenat sistematic în sarcini precum: identificarea tuturor sunetelor dintr-un cuvânt; identificarea cuvintelor într-o propoziție; c) analiza poziției unui sunet în cuvânt; despărțirea în silabe; trecerea corectă de la semnele grafice la pronunțarea sunetelor corespunzătoare. Auzul muzical progresează
și copiii cântă bine melodiile care li se potrivesc. Percepțiile tactile devin mai fine, se îmbogățesc și încep să fie antrenate în scriere. Un progres semnificativ se constată și în ceea ce privește capacitatea de observare în sensul că elevii pot sesiza aspecte noi complexe și mai subtile atunci când privesc obiecte sau fenomene.
Dar condiția de bază rămâne conducerea de către învățătoare a activității lor observative din aproape în aproape.
Reprezentările școlarilor mici sunt de asemenea influențate de școală și caracteristicile lor principale sunt următoarele:
sunt mult mai bogate pentru că școala depășește sursa
reprezentată de experiența de viață și asigură condiții de formare a unor reprezentări legate de cunoștințele școlare;
încep să se formeze și reprezentări cu un grad mai mare de
generalitate așa cum sunt cele ale figurilor geometrice și relațiilor matematice;
se formează categorii noi de reprezentări cum sunt cele
fonetice și grafice.
reprezentările dobândesc mai multă mobilitate și pot
semnaliza și mișcarea și transformările obiectelor pentru că ele beneficiază de un nou nivel al inteligenței care se atinge în școlaritatea mică. Școala trebuie să acorde atenție specială formării reprezentărilor pentru că acestea continua să aibă un important rol în activitatea de învățare a elevilor. Se poate spune că în cursul acestui stadiu cea mai importantă schimbare în planul limbajului o reprezintă însușirea scris-cititului. În afara implicării percepțiilor vizuale și auditive și a mișcărilor fine și complexe ale mâinii trebuie să subliniem și rolul altor factori cognitivi și noncognitivi. Dintre cei cognitivi avem în vedere reprezentările fonetice și grafice, memoria, înțelegerea. Factorii non-cognitivi sunt mai ales: motivația pentru învățarea școlară, stabilitatea afectivă, încrederea în sine, atitudinea celorlalți față de copilul care citește. Progresul în citire se exprimă în caracteristici cum ar fi: corect, cursiv, expresiv. Însușirea scris-cititului are efecte și asupra celorlalte dimensiuni ale limbajului și anume: creșterea vocabularului pasiv până la 4000-5000 de cuvinte, dublându-se față de al preșcolarului iar al celui activ peste 1000 de cuvinte. Alte progrese se referă la precizarea semnificației cuvintelor și înțelegerea și a sensurilor figurative, rigoare în folosirea corectă a cuvintelor. Vorbirea este mai bine reglată prin exigențele privind corectitudinea gramaticală cerută de scris-citit. Propozițiile și frazele sunt mai bogate și adaptate la situațiile de comunicare: în clasă elevilor li se cere să se exprime complet, corect și clar, conform modelelor oferite de învățătoare. Apar și se dezvoltă evident capacitățile de exprimare în scris,
cu respectarea normelor gramaticale și ortografice. Acestea au acum forma unor reguli practice cuprinse în tabelele cu ortograme. Dacă mai există și se face apel, la timp, la logoped se rezolvă toate dificultățile de pronunție. Dar pot să apară altele: dislexii (dificultăți de citire) și disgrafii (dificultăți de scriere). În acest caz este nevoie de logoped. Limbajul intern își consolidează rolurile de anticipare și reglare ale celui extern. Dezvoltarea foarte bună a limbajului asigură o condiție de bază în dezvoltarea tuturor proceselor cognitive.
I.5 Dezvoltarea operațiilor gândirii la copiii de vârstă școlară mică
Gândirea prezintă în acest stadiu o schimbare fundamentală și anume: se trece de la gândirea preoperatorie a preșcolarului la gândirea operatorie. Adică acțiunile mentale se desprind de conținuturile informaționale particulare, se generalizează, se transferă cu ușurință la noi conținuturi și se automatizează
transformându-se în operații. Astfel, școlarul mic, își formează și utilizează cu succes operații generale ale gândirii (analiză, comparație, clasificare, etc.) dar și cele speciale implicate în însușirea cunoștințelor școlare, așa cum sunt operațiile aritmetice.
A doua caracteristică a gândirii școlarului mic este faptul că ea rămâne legată încă de concret și vorbim astfel de o gândire a operațiilor concrete. Accesul la o operație nouă sau noțiune nouă este condiționat de percepții și reprezentări care oferă informația directă despre obiectele reale și apoi aceasta va fi transformată și prelucrată complex prin operații deja dobândite. Această gândire care devine operatorie dobândește și reversibilitate, dar este vorba de o formă simplă a acesteia, adică elevii pot aplica de exemplu, o operație de adunare și apoi să facă una de scădere, consolidându-le și verificându-le reciproc. Totodată gândirea școlarului mic își subordonează percepția, nu mai este condusă de aceasta și dobândește caracter rațional: copilul nu se mai mulțumește să facă doar afirmații ci caută argumente pentru a le susține, este sensibil la erori și contradicții, vrea să controleze felul în care a rezolvat problemele, etc.
Unitățile cognitive cu care lucrează gândirea școlarului mic sunt la început noțiunile empirice dar apoi în școală se însușesc cele științifice elementare. Raționamentul care domină în gândirea școlarului este cel inductiv dar care dobândește rigoare. Gândirea școlarului mic devine cauzală adică este aptă să surprindă și să înțeleagă numeroase relații cauzale relativ simple. Memoria prezintă între 6 și 10 ani următoarele caracteristici: crește caracterul activ al memoriei prin faptul că, mai ales elevii de clasa a III-a și a IV-a tind să extragă din materialul de învățat ceea ce este important și își formează câteva procedee mnezice de bază cum ar fi: scoaterea ideilor principale, alcătuirea planului unei lecturi, formularea cu cuvinte proprii, etc.; dominarea progresivă a memoriei voluntare care corespunde mai bine sarcinilor școlare, acestea fiind uneori dificile; realizarea unei mai bune legături cu gândirea și creșterea rolului
memoriei logice; elevii își dau seama că pentru a asigura păstrarea unui material în memorie e nevoie să-l repete, dar la clasa I-a și a II-a învățătoarea trebuie să asigure realizarea acesteia; încep să apară particularități individuale în realizarea memoriei și cele mai des întâlnite sunt referitoare la ușurința memorării la
trăinicia păstrării și reactualizarea promptă.
În legătură cu manifestarea imaginației la școlarul mic, au fost formulate puncte de vedere diferite. Unii autori au considerat că în acest stadiu se înregistrează cel puțin o stagnare și chiar regres, când au comparat expresivitatea și cromaticitatea desenelor școlarilor mici cu ale preșcolarilor. Dar cei mai mulți cercetători au considerat că imaginația progresează chiar dacă nu apare pe primul loc în dezvoltarea cognitivă a școlarilor mici. Imaginația reproductivă este antrenată în însușirea multor cunoștințe școlare (științele naturii, istorie, geografie) și se află la baza dezvoltării gustului pentru lectură. Imaginația creatoare este mai puțin expansivă dar beneficiază de spiritul rigorii promovată de școală și se poate exprima în rezultate mai valoroase. Activitățile opționale din ciclul primar, mai ales cele cu profil artistic stimulează și întrețin aceste capacități și le asigură progresul corespunzător astfel încât să fie premise satisfăcătoare pentru noul nivel pe care îl vor atinge în următoarele stadii.
Comparând afectivitatea cu celelalte planuri ale dezvoltării psihice a școlarului mic s-a făcut aprecierea că aceasta este eclipsată de celelalte (P. Osterrieth) sau că la această vârstă se trece printr-o perioadă de latență afectivă (autorii de orientare psihanalitică). Putem deci, considera că o primă caracteristică a afectivității școlarului mic este evoluția ei discretă, latentă, mai intimă. Emoțiile, dispozițiile, sentimentele copilului sunt mai puțin exteriorizate, atât cele pozitive cât și cele negative. Cu privire la acestea din urmă, se constată că tind să fie mai mult trăite în tăcere, copilul însuși punând pe primul plan felul în care răspunde la cerințele școlii. Contactul cu noul mediu-școala și problemele de adaptare intensifică răspunsurile afective și le fac să se succeadă uneori cu mare viteză și să se intensifice. Activitatea școlară prin conținuturile și prin sistemul nou de relații pe care îl implică îmbogățește emoțiile și sentimentele copilului. De asemenea, după fazele inițiale de adaptare la noul mediu se constată o creștere a capacităților de autocontrol asupra condițiilor emoțional-expresive. Ei se adaptează astfel, mai bine la cerințele de desfășurare a lecțiilor și reușesc să comunice mai bine unii cu alții. Pot chiar să simuleze cu succes suferința și tristețea mai ales când doresc să ascundă ceva părinților.
De mare importanță rămân legăturile afective cu părinții, mai ales acum când copiii se confruntă cu sarcini numeroase și adesea dificile. Dragostea necondiționată a părinților este un important factor de securizare și sprijin pentru a trece peste dificultăți și unele insuccese.
Motivația școlarului mic este, pe de o parte, o premisă a adaptării bune la școală și pe de altă parte o zonă de progres sprijinit de școală. Cele mai importante schimbări se petrec în structura motivației pentru școală și anume:
la intrarea în școală există o motivație extrinsecă dar de
semnificație personală pentru învățare, cum ar fi: dorința de a respecta cerințele părinților și a le păstra dragostea, urmarea exemplului fraților mai mari, plăcerea de a fi considerat important, etc. Aceasta se va îmbogăți cu motive extrinseci cu mai mare semnificație cum ar fi: toată lumea trebuie să învețe, școala te ajută
să te realizezi ca mama și tata, în viitor, etc.
începe să se dezvolte o motivație intrinsecă începând cu amplificarea curiozității epistemice și continuând cu formarea intereselor cognitive tot mai stabile și mai eficiente.
La școlarul mic sunt și alte structuri motivaționale care susțin celelalte activități în care acesta se implică, așa cum ar fi:
interesul pentru joc ce trebuie satisfăcut zilnic;
atracția către grupul de copii;
interesul pentru lectură care începe să se manifeste începând cu clasa a III-a și a IV-a;
atracția către tehnică la băieți;
plăcerea lucrului la calculator;
dorința zilnică de a viziona programe TV pentru copii;
alcătuirea de colecții care acum sunt eterogene și puțin valoroase, dar le pot cultiva spiritul de ordine și disciplină și susțin relațiile de comunicare dintre ei.
Voința școlarilor mici exprimă noi progrese. Un celebru autor american A. Gesell observa faptul că acum comportamentele au, în mod constant, raționalitate și premeditare și atunci când copilul își propune să facă ceva el spune mai întâi „stai să mă gândesc”. Apoi școlarul mic poate din ce în ce mai mult să-și fixeze scopuri și să se mobilizeze pentru a le rezolva fără a fi nevoie de stimuli din afară. Această nouă capacitate voluntară se realizează, mai ales, în planul învățării și în cel al activităților de timp liber. Dezvoltarea a numeroase deprinderi sprijină ducerea la capăt a celor propuse și contribuie la creșterea generală a independenței și autonomiei.
Școala și activitățile specifice ei, vor fi cei mai importanți și mai eficienți factori pentru dezvoltarea personalității. Solicitările sistematice, de durată și exigențele progresive vor structura și mai bine și vor consolida capacitățile și aptitudinile apărute în stadiul anterior și vor forma altele noi. Vor putea să apară aptitudini pentru domenii noi cum ar fi poezie sau compoziții și pentru matematică și să se exprime în rezultate notabile la nivelul celor de aceeași vârstă. În biografiile multor oameni mari, celebri se pot identifica realizări semnificative chiar în clasele primare. Trăsăturile caracteriale formate în stadiul anterior se pot consolida în clasele primare dar școala dezvoltă și altele noi cum ar fi sârguința, punctualitatea, conștiinciozitatea, disciplina, etc. Însușirile individuale de personalitate tind să se exprime din ce în ce mai mult în comportamente. Conștiința morală a școlarului mic parcurge o fază de trecere către autonomia morală și acest proces este puternic susținut de relațiile cu colegii și prietenii în contextul cărora copilul dobândește experiența elaborării, împreună, de norme, a controlului îndeplinirii lor, a reciprocității în fața exigențelor, etc.
Cu privire la aceste aspecte, J. Piaget sublinia:
„sentimentele morale, legate la început de o autoritate sacră, dar care fiind exterioară, nu poate să impună decât o obediență relativă, evoluează în sensul unui respect natural și al unei reciprocități, ale cărei efecte de decentrare sunt mai profunde și mai durabile ”(J.Piaget, B. Inhelder, 1976, p.107).
În ceea ce privește conștiința de sine, se constată apariția în acest stadiu, a interesului pentru viața interioară proprie și a tendinței copilului de a-și exprima trăirile și comportamentele. Aceste momente sunt de scurtă durată și relativ rare, dar ele indică deja o anume direcție a dezvoltării viitoare. Imaginea de sine are surse noi de clarificare pe de o parte reprezentate de rezultatul școlar și pe de altă parte de confruntarea și compararea zilnică și în diverse situații cu cei de aceeași vârstă. Pot avansa mai ales eul spiritual care se confirmă în principal prin prestația școlară și cel social care se sprijină pe o viață de grup mai largă și mai persistentă în timp. Însușirile individuale ale personalității tind să se reliefeze din ce în ce mai mult în comportamentele acestor școlari. Prin urmare, confruntările și chiar conflictele cu egalii săi îl pot face să se orienteze din când în când spre sine, să-și pună întrebări, să fie uneori frământat în legătură cu ființa sa. Toate acestea vor contribui la dezvoltarea imaginii de sine în cele trei planuri ale ei: eul fizic, cel spiritual și cel social.
Eul fizic al copilului are în fundamentele sale o schemă corporală consolidată, identitatea sexuală este deja relativ clarificată, își dă seama de asemănarea sa cu cei din familie, dar și de ceea ce îl deosebește de ceilalți. Nu acordă prea mare atenție eului său fizic, mai ales la începutul stadiului. Spre sfârșitul acestui ciclu școlar se va orienta mai frecvent spre eul fizic, va tinde să fie mai îngrijit, să poarte haine la fel ca ceilalți, să-și dea seama de unele calități fizice. Dar nu realizează o implicare afectivă prea puternică în acest plan.
Eul spiritual se conturează clar în contextul confruntărilor școlare, a aprecierilor și evaluărilor curente. Elevul începe să înțeleagă relația dintre rezultatele lui și unele capacități pe care le are și poate spune: „sunt mai bun la citire, dar la matematică sunt așa și așa”. El este foarte sensibil la evaluările învățătoarei și aprecierile și admirația colegilor. Dacă în toate aceste situații copilul a avut semnale pozitive, își construiește o imagine de sine bună care-l poate susține și în condiții de insucces trecător. Dar dacă și-ar fi format o imagine de sine mai puțin bună, are tendințe de a-și diminua bucuria chiar când ceva îi reușește foarte bine (U.Șchiopu, E.Verza, 1995, p.188). Însă în cea mai mare parte calitățile pe care și le percepe au drept sursă aprecierile învățătoarei și ale părinților.
Interesul pentru matematică se cultivă prin conținutul învățământului matematic, prin dezvăluirea „secretelor” științei matematice, prin atractivitatea pentru problematic. Copiii de vârstă școlară mică dau o nuanță afectivă întregii lor activități. Pe măsură ce li se pun în față dificultăți noi, fiind orientați să le depășească, ei trăiesc bucuria succesului, dobândesc încredere în puterile lor, începe să-i intereseze activitatea matematică. La aceasta contribuie și conținutul interesant al matematicii, prezentarea lui la nivelul posibilităților lor de înțelegere, formele atractive de desfășurare a activităților (întreceri, jocuri, prezentarea ilustrată a problemelor în PPT). Orice exagerare, în sensul depășirii capacităților de înțelegere ale elevilor (forțarea minții lor pentru a accepta abstracțiuni matematice improprii acestei vârste), dar și o minimalizare a capacităților de tip subsolicitare, îi îndepărtează de matematică. Organizarea optimă a învățării, pe temeiul dezideratelor informativ – formative ale învățământului, contribuie și la stimularea procesului de organizare a conduitei voluntare, comportamentul școlarului mic fiind tot mai puternic ,,impregnat cu o notă de intenționalitate și planificare”. Multe din conduitele copilului încep să se deruleze sub semnul lui ,,trebuie’’, ,,este necesar’’, ,,nu trebuie’’. Voința, ca mod de răspuns la aceste comenzi, iradiază larg în cuprinsul personalității copilului punându-și amprenta și asupra altor compartimente ale vieții psihice. Influențează mult desfășurarea celorlalte procese psihice senzoriale, logice, afective. Percepția devine intenționată, sistematică și susținută prin efort voluntar, transformându-se în observație. Tot acum se formează memoria și atenția voluntară, capacitatea concentrării mentale voluntare de durată mai mare în rezolvarea unor probleme de gândire.
I.6 Legătura dintre procesele psihice și operațiile gândirii în matematică
Un însemnat pas în dezvoltarea gândirii copiilor se efectuează prin intrarea în școală. Activitatea școlară nu numai că duce la însușirea de noi cunoștințe, dar totodată pune noi sarcini activității de gândire a copilului, oferă noi prilejuri, mai însemnate, pentru dezvoltarea procesului gândirii.
Copilul trebuie pregătit, însă, chiar din grădiniță, pentru această nouă formă de activitate. El trebuie să vină în școala elementară cu un anumit bagaj de noțiuni elementare, cu interese spre dobândirea de noi cunoștințe și cu cele mai simple deprinderi de muncă intelectuală independentă. Trebuie să adăugăm însă că întrucât nu toți copii vin la fel de pregătiți pentru activitatea de învățate, este important că la începutul organizării procesului de învățământ, învățătorul să cunoască particularitățile fiecărui elev, gradul său de pregătire pentru activitatea de învățare și în funcție de acestea să-și stabilească atitudinea față de el.
O caracteristică a gândirii școlarului mic, care rezultă din noile sarcini care i se impun, este orientarea și subordonarea ei unui anumit scop. Copilul trebuie să găsească răspunsul la întrebarea pusă de învățător. Această calitate a gândirii nu se manifestă dintr-o dată. La copii mai mici, din clasa I, se observă uneori abaterea gândirii de la sarcina dată. De exemplu, dacă li se cere să facă în caiet atâtea cercuri câte corespund unui număr dat, unii elevi se abat de la sarcină și, atrași de însuși procesul desenării, continuă să deseneze cercuri, pe toată pagina.
Sarcinile învățământului cer, însă, copilului, nu numai menținerea orientării juste a gândirii în conformitate cu sarcina dată, ci și capacitatea de a trece, atunci când este nevoie, de la o problemă la alta, de la o activitate la alta. Se cere, o anumită flexibilitate a gândirii care de asemenea se dezvoltă treptat, în condiții adecvate ale procesului de învățământ. Cu cât elevii sunt mai mici se constată o anumită inerție a gândirii, atunci când trebuie și treacă de la o sarcină la alta, și mai ales când noua sarcină prezintă oarecare dificultăți. Astfel, puși fiind să găsească o nouă problemă, unii elevi nu se pot desprinde de exemplele date anterior de către profesor sau un alt elev; ei schimbă numai cifrele sau obiectele.
După intrarea copilului în școală, se dezvoltă tot mai mult gândirea abstract-logică. Totuși, la început mulți copii se desprind greu, în procesul gândirii, de obiectele concrete. Nu rareori se observă la copiii din clasa I că nu pot să socotească dacă n-au la îndemână obiecte concrete și mai ales recurg frecvent la socotitul pe degete. Aceste fapte ne arată că gândirea școlarului mic – mai ales în primele clase – mai păstrează încă într-o măsură însemnată caracterul concret-intuitiv.
În școală procesul de însușire a cunoștințelor devine o formă specială de activitate a copilului. Trăsătura principală a gândirii devine orientarea spre însușirea de cunoștințe, spre însușirea unui sistem de noțiuni, a bazelor științei. Copii nu-și însușesc cunoștințe și noțiuni izolate. Chiar și în primele clase cunoștințele sunt comunicate, iar copii și le însușesc într-un sistem anumit; elevii își însușesc un sistem de noțiuni care reflectă relațiile și legăturile reale și esențiale ale obiectelor și fenomenelor. Copii învață să clasifice obiectele și fenomenele, să cunoască relațiile dintre noțiuni, să deosebească însușirile esențiale de cele neesențiale ale obiectelor și fenomenelor. Formarea de reprezentări și noțiuni referitoare la obiecte și fenomene pe care copilul nu le-a perceput direct se efectuează prin mijlocirea limbajului și pe baza reprezentărilor pe care copii le au deja. Pe baza acestora, gândirea copilului trece treptat de la forma intuitivă spre cea abstractă. Cu cât este mai mare rezerva de reprezentări cu atât și noțiunile care se construiesc pe baza lor vor fi mai exacte.
Asimilarea noțiunilor necesită cunoașterea unui număr mare și variat de obiecte și fenomene și se realizează treptat. Formarea corectă a noțiunii de număr este posibilă numai după ce elevii au făcut cunoștință și cu numerele fracționare. Nu este indicat să-i ținem pe școlari prea mult la studiul datelor particulare, până când le va fi cunoscută aproape întreaga lor varietate și numai după aceea să-i conducem spre determinarea însușirilor lor generale și esențiale, adică de specie și gen. Un asemenea învățământ va frâna formarea deprinderilor activității mintale de generalizare și totodată asimilarea părților teoretice ale materiei de învățământ. Un material perceptiv variat duce la neutralizarea influenței inhibitive a componentelor neesențiale asuprea celor esențiale. De asemenea este important și modul cum orientăm perceperea prin instrucția verbală pe care le-o dăm elevilor. Abstractizarea și generalizarea trăsăturilor esențiale este foarte mult ajutată dacă se adaugă un diferențiator din altă clasă sau categorie. Acesta ajută concentrarea și limitarea procesului excitativ în scoarța cerebrală ceea ce ușurează formarea unor noțiuni corecte. Elevii mai mici stabilesc mai ușor deosebirile între două obiecte comparate decât asemănările. Prin opunere se ajută concentrarea excitației în scoarța cerebrală și pe această cale se ușurează activitatea de analiză și sinteză.
Construcțiile logice joacă din ce în ce un rol mai important, iar prin intermediul judecăților și raționamentelor copilul are posibilitatea să opereze cu elemente desprinse de contextul dat intuitiv, să depășească realitatea nemijlocită și apoi să se apropie de abstract și general. Copilul admite reversibilitatea și poate formula variante diferite pentru acțiunile viitoare. El caută explicații la ceea ce afirmă, evocă cunoștințele dobândite și utilizează concepte prin care dezvoltă argumente pe bază de deducție. Dar pentru începutul perioadei, câmpul perceptiv rămâne încă dominant, copilul face unele erori de generalizare și întâmpină dificultăți în vehicularea mintală a unor acțiuni viitoare. Operațiile gândirii fac salturi importante asigurând desfășurarea în condiții optime a activității intelectuale. Conceptele sunt în evoluție permanentă, ca urmare a achizițiilor prin învățare și a dezvoltării gândirii și limbajului.
Conceptul de număr capătă statut de folosire conceptuală doar la școlarul mic, la fel conceptul de „mulțime”, „mulțime vidă”, „intersectată”, etc. la științele naturii se dezvoltă concepte numeroase legate de plante, animale. Perioada școlară mică este prima în care se constituie rețele de concepte empirice prin care se formează și organizează piramida cunoștințelor. Există grade din ce în ce mai înalte de sesizare a înțelesului conceptelor de către copii. Din conduită și din modul cum se operează cu un concept, el pare a avea un statut, copilul nu poate să comunice asupra lui. Această cerință de relaționare a însușirilor conceptelor la contextul și obiectivele date se adjustează abia spre vârsta de zece ani.
În perioada școlară mică au loc numeroase achiziții conceptuale în diferite domenii. Se sesizează și înțelesul unor concepte operaționale cum ar fi cel de „cauzalitate simplă”, „cauzalitate complexă”. Se creează o apropiere de conceptul de „dezvoltare”, „interdependență”. Conceptele geometrice, gramaticale, de genuri literare, operaționale încep și ele să fie utilizate (triunghi, romb, substantiv, basme, povestiri, etc.). Se dezvoltă cunoașterea directă, ordonată, conștientizată, prin lecții dar crește și învățarea indirectă, dedusă, suplimentară latent implicată în cunoașterea școlară de ansamblu. Sub presiunea acestei corelații începe să devină inconsistentă lumea fictivă a copilăriei, caracterul de „posibil” al personajelor din basme capătă un nou statut de acceptanță. Astfel are loc trecerea spre o concepție realist naturistă. În gândire încep să manifeste independență (8 ani), suplețe (9-10 ani) și devine mai evident spiritul critic întemeiat logic.
În perioada școlară elementară gândirea sesizează ordinea în succesiuni spațiale, incluzând intervalele sau distanțele, structurarea de perspective și de secțiuni. Totuși, grupările logice-matematice și spațio-temporale ce se constituie sunt legate de concret (J. Piaget) deși uneori concretul încurcă în operațiile de grupare. J. Piaget a considerat întreaga evoluție a gândirii ca tinzând spre „gândirea logico-formală”. Operativitatea gândirii avansează pe planurile figural, simbolic, semantic și acțional la nivelul unităților, claselor, relațiilor și sistemelor și ceva mai lent la nivelul transformărilor și implicațiilor. Curiozitatea iradiază mai profund în lumea interrelațiilor și a relațiilor dintre esență și aparență; ea are perioade de activare specifică, mai pregnantă la 7 și 9 ani.
Alături de operativitatea nespecifică generală a gândirii, este operativitatea specifică. Aceasta se organizează cu grupări sau structuri de operații (reguli) învățate. Aceste reguli operative sunt algoritmi ai activității intelectuale: algoritmi de lucru (cum ar fi cei de adunare, scădere, înmulțire și împărțire, ai regulii de trei simplă și compusă, etc.); algoritmi de recunoaștere specifici pentru situațiile de identificare a datelor cunoscute și necunoscute ale unei probleme aritmetice, a identificării statutului gramatical al cuvintelor, în identificarea de repere geografice pe hărți, etc.; algoritmi de control ce se utilizează în calculele aritmetice, în activități intelectuale care se supun unor reguli implicite. Algoritmii activității specifice se însușesc prin învățare și exercițiu. Aceștia sunt supuși erodării prin uitare, în caz de neutilizare sau de neconsolidare prin exercițiu. Prin intermediul lor se realizează o permanentă analiză și un continuu liaj în structura cunoștințelor și se dezvoltă competența de domeniu (aritmetic, gramatical, geografic, etc.). algoritmii însușiți în perioada micii școlarități spre deosebire de algoritmii ce se vor însuși în perioadele ulterioare de dezvoltare intelectuală au proprietatea de a fi foarte stabili. Majoritatea acestor algoritmi nu se ating în decursul vieții din cauză că sunt implicați în formele de bază ale instruirii și sunt întreținuți de ansamblul vieții socio-culturale.
Unii copii posedă algoritmi de lucru foarte bine consolidați dar cei de identificare încă slab dezvoltați. Acești copii dau rezultate foarte bune la exerciții (deoarece ele indică prin semnele corespunzătoare operațiile cerute), dar nu reușesc să se descurce în cazul problemelor, deoarece nu identifică ușor structurile operative solicitate. În cazul dezvoltării algoritmilor de identificare, iar al celor de lucru mai puțin, se remarcă determinarea corectă a modului de a rezolva, a problemei și greșeli de calcul pe parcurs, greșeli care alterează rezultatele și care sunt trecute pe seama neatenției.
Pe parcurs între 6 – 11 ani, operativitatea specifică devine tot mai complicată, conținutul problemelor fiind din ce în ce mai complex, fapt ce creează dificultăți în rezolvarea lor. Operativitatea nespecifică se dezvoltă pe seama celei specifice și în alte situații. Există probleme care nu pot fi rezolvate la un moment dat prin mijloacele cunoscute. Sesizarea acestora creează un fel de interes și o stare de incertitudine intelectuală specifică ce face ca aceste situații problematice să devină de mare stimulație a dezvoltării intelectuale. În acest sens este semnificativ fenomenul Zeigarnik care este dependent de gradul de interes, oboseală, intervalul de timp ce se scurge între întreruperea activității și evocarea ei. Acest fenomen evidențiază tensiunea legată de activitatea intelectuală și mobilizarea în activitate. O situație asemănătoare se manifestă în legătură cu activitățile în care sunt contrariate cele cunoscute ( „disonanță cognitivă” ). Pentru școlarul mic disonanța cognitivă poate apărea ca sesizare de nonconformitate la ceea ce el a acceptat cu adevărat deoarece așa i-au fost prezentate faptele dar și ca nonconformitate rezultată din confruntarea unor opinii diferite. Prin evoluția și dezvoltarea strategiilor de învățare, se acumulează intens informații și se stimulează calitățile gândirii divergente făcându-se progrese în toate palierele cogniției.
I.7 Dezvoltarea limbajului și a aptitudinilor matematice
Ca orice știință, matematica a fost creată de om. Prin urmare, apariția matematicii, chiar și în formele sale inițiale, a fost condiționată de existența capacității omului de a desprinde din realitatea obiectivă anumite relații cantitative și de a opera cu ele. Ca proces specific uman de exprimare și comunicare de informații referitoare la realitatea obiectivă, formarea limbajului reprezintă scopul prioritar. Gândirea este modul de existență a inteligenței considerată de o însușire importantă a personalității (aptitudine). Orice act de gândire este expresia inteligenței. Gândirea operează cu reprezentări, scheme, simboluri concrete și reguli și se exprimă prin operații de analiză, sinteză, generalizare, abstractizare, comparație și concretizare.
Gândirea reprezintă procesul psihic central. Manualul de psihologie definește gândirea ca fiind „procesul cognitiv de însemnătate centrală în reflectarea realului care, prin intermediul abstractizării și generalizării coordonate în acțiuni mentale, extrage și prelucrează informații despre relațiile categoriale și determinative în formarea conceptelor, judecăților și raționamentelor”.( Neveanu, Popescu, P., Zlate, M., Cretu, T., 1992, p. 55).
Ca „proces superior de cunoaștere” (Al. Roșca), gândirea investighează și descoperă caracteristicile logice mai complexe și generale ale lumii și vieții. J. Piaget, unul dintre cei mai cunoscuți psihologi contemporani, a considerat că în timpul acțiunii gândirii are loc un proces de acomodare la problemele pe care le pun diferite fenomene și situații care se cer rezolvate și un proces complementar de asimilare mentală a însușirilor acestora.
Inteligența este o aptitudine generală, pe baza căreia înțelegem și sesizăm rapid relațiile dintre obiecte și fenomene, trăsăturile lor definitorii, operăm cu informații și sintetizăm experiența anterioară anticipând răspunsuri la situații noi, în scopul adaptării la mediul socio-cultural în care trăim. Evident, pentru realizarea acestor funcții, inteligența se servește de toate însușirile psihice, însă rolul principal în comportamentul inteligent îl deține gândirea logică.
Orice act inteligent se caracterizează prin:
înțelegerea problemei sau a situației problematice pe baza observării și sesizării rapide a relațiilor dintre elementele date;
inventarierea sau descoperirea soluției fie dintr-o dată, sau în urma unor încercări însoțite de corectarea greșelilor;
generalizarea soluției și aplicarea ei în rezolvarea unor situații identice sau similare (Neacsu, I., 1988, p.57).
Inteligența nu se identifică cu gândirea, deși ea se bazează pe mecanismele și formele acesteia. „Gândirea se deosebește de inteligență prin faptul că ea nu este decât un instrument al acesteia” (Neacsu, I., 1988, p.53). Inteligența nu constă în însăși natura funcțiilor gândirii, ci în buna organizare a acestor funcții, om inteligent fiind „acela care obține prin gândirea sa maximum de rezultate” (Neacsu, I., 1988, p.53).
Inteligența, în concepția savantului elvețian J. Piaget, are un rol capital în viața organizatorică și spirituală a omului, întrucât ea stabilește „cel mai simplu și durabil echilibru structural al conduitei”. Tot Piaget preciza că: „Trăsătura esențială a gândirii logice este de a fi operatorie, adică de a prelungi acțiunea, interiorizând-o”.
Operațiile sunt „acțiuni externe interiorizate și organizate în sisteme operatorii de ansamblu, care pot fi tranzitive, asociative și reversibile. Cea mai importantă operație mintală caracteristică inteligenței este reversibilitatea, adică refacerea drumului invers al unui act mintal, de pildă”.
3 x 4=12, iar 12 : 4 =3 (împărțirea este inversul înmulțirii)
Formarea operațiilor mintale are loc în procesul căutării și al cercetării prin jocul liber al analizei, sintezei, al abstractizării și generalizării, al inducției și deducției.
Conceptele sau noțiunile sunt unitățile cele mai complexe ale gândirii și înțelegerii. Ele se exprimă prin cuvinte, formule, etc. Alături de scheme, simboluri, concepte ca produse și materie primă a gândirii se află operațiile gândirii.
Înțelegerea este actul superior de adaptare a gândirii la datele unei probleme, situații, descoperirea relațiilor ce o caracterizează. Fiind o formă de reflectare,înțelegerea se constituie mai rapid sau mai încet prin perceperea datelor situații-problemă. Bogăția și claritatea cunoștințelor facilitează înțelegerea. În situații complexe, înțelegerea se realizează mai ales din aproape în aproape și operează cu algoritmi de recunoaștere ai gândirii. Fiecare pas al înțelegerii are un caracter de mare sinteză, folosindu-se experiența anterioară. Analizând psihologia lui Jean Piaget, constatăm că la nivelurile sale superioare, gândirea este înainte de toate un sistem de operații logice. Operația constituie elementul activ al gândirii. Ea este cea care asigură procesele esențiale ale inteligenței.
Gândirea logică este definită ca fiind gândirea justă, raționamentul corect, consecvent și temeinic. Logica devine astfel un atribut al gândirii.
Un atribut al gândirii îl constituie creativitatea – gândirea creativă. Creativitatea este un fenomen extrem de complex cu numeroase aspecte, fațete sau dimensiuni.
Unii autori definesc creativitatea, ca fiind aptitudinea sau capacitatea de a produce ceva nou și de valoare. Pentru alții, creativitatea nu este aptitudine sau capacitate, ciproces, prin care se realizează produsul. Sunt unii autori pentru care creativitatea este orice rezolvare de probleme noi. Pentru alții, tot mai mulți, creativitatea implică realizarea unui produs nou și de valoare pentru societate. Într-un sens mai larg, creativitatea se referă și la găsirea de soluții, idei, probleme, metode care nu sunt noi pentru societate, dar la care s-a ajuns pe o cale independentă. Produsul este nou numai pentru subiectul în chestiune sau pentru un grup restrâns. De exemplu, rezolvare de către elev a unor probleme la o anumită materie de învățământ, se consideră că este creatoare dacă se realizează pe o cale independentă, „chiar dacă modul de rezolvare nu este nou pentru știință” – Al. Roșca.
„Este clar că bogăția iscărilor copilăriei nu poate fi considerată creativitate la modul absolut și în viziune integrată, rămânând doar un mare, important, dar inițial palier al creativității umane” ( Rosca, Al., 1972, p. 12).
Unii specialiști explică procesul creației prin nivelul gândirii logice, alții relevă influența unor factori de personalitate (motivații, atitudini), iar a treia categorie diminuează sau chiar neagă importanța inteligenței, atribuind un rol hotărâtor imaginației (Wertheimer). Dacă inteligența este o formă superioară de organizare și de echilibru a structurilor cognitive și dacă a înțelege și a inventa sunt principalele ei funcții (Piaget), atunci nu putem vorbi de nici un proces creativ fără participarea inteligenței. Există și alte teorii ale creativității. O teorie mai cunoscută este aceea a lui Guilford, numită mai frecvent, teoria trăsăturilor și factorilor. În urma cercetărilor sale în acest domeniu, Guilford a identificat șase factori ai creativității: fluiditatea gândirii, flexibilitatea acesteia, originalitatea, elaborarea, sensibilitatea față de probleme și redefinirea.
Inteligența creatoare este forma superioară de organizare a comportamentului creativ care presupune în primul rând sensibilitatea față de probleme sau receptivitatea față de nou.
Imaginația creatoare este un factor fundamental al creativității, întrucât realizează fuziunea informațiilor în structuri noi prin contopirea, transformare și unificarea imaginilor, a ideilor, obiectelor și fenomenelor într-o nouă semnificație.
Un factor important al imaginației creatoare este intuiția, care constă în reorganizarea și sinteza rapidă a experienței anterioare, în anticiparea bruscă a soluției problemei.
O formă superioară a gândirii creatoare este ingeniozitatea, finalizată în găsirea unor soluții simple, surprinzătoare și originale, sau a unor tehnici de lucru, cu un mare grad de eficiență. Un alt factor al imaginației este originalitatea, caracterizată prin noutate, inventivitate, previziune, unicitate și capacitate de elaborare a detaliilor necesare trecerii de la idee la planul concret de realizare.
Motivațiile superioare, nivelul de aspirație, interesele profesionale, sentimentele intelectuale și atitudinile corelate cu temperamentul și aptitudinile speciale (matematice, științifice, tehnice, artistice) orientează și dinamizează creativitatea mărindu-i considerabil eficiența.
„Motivațiile activității creative sunt condiționate de factori sociali ca recunoașterea valorilor create , elogiul și prestigiul creatorilor, aprecierea educației în formarea personalității creatoare, stima celorlalți pentru fecunditatea materială și spirituală. În același timp, factori educaționali puternici constituie nevoia de afirmare creativă, autoformarea personalității, satisfacțiile originalității, plăcerea de a oferi celorlalți valori noi…” ( Rosca, Al., 1972, p. 76).
Creativitatea se cultivă pe terenul conflictual al situației problematizante și constituie rezultatul inerent al acesteia. Productivitatea gândirii, fecunditatea ei, depind probabil în cea mai mare măsură de gradul în care omul este capabil să considere o situație problematică în diverse contexte și raportându-se la ele, să vadă într-o lumină nouă nu numai diverse elemente ale problemei ci și întreaga problemă sau situație problematică. Problematizarea cultivă o atitudine permanent pozitivă față de cunoaștere și favorizează formarea unei motivații superioare.
Creativitatea admite a mare contribuție a influențelor de mediu și a educației în formarea creativă a fiecăruia.
„Profesorul creativ oferă învățarea autoinițiată, îi încurajează pe elevi să învețe suplimentar, încurajează procesele gândirii creative. Aceasta înseamnă că el îi îndeamnă pe copii să caute noi conexiuni între date, să asocieze, să-și imagineze, să găsească soluții la probleme, să facă presupuneri nebănuite, să emită idei, să perfecționeze ideile altora… O altă condiție ce trebuie realizată la lecții pentru înfăptuirea cerințelor creativității este instaurarea unui climat favorabil unei conlucrări fructuoase între profesori și elevi, climat caracterizat printr-o tonalitate afectivă-pozitivă de exigența și înțelegere, de responsabilitate. Nu mai puțin importantă este stimularea efortului personal al elevului și stimularea tendinței acestuia de a aduce o contribuție proprie, de a fi original, inventiv, creator.” (Rădulescu, M., p,44,45)
Există și factori care blochează manifestările creative ale elevilor, cum ar fi: conformismul, accentul exagerat pe competiție sau pe cooperare, rigiditatea metodologică, critica permanentă s.a. În cazul elevului, blocajul despre care vorbim își are principala sursă de alimentație în atitudinea profesorului, dar și sistemul curent de control și de asemenea în caracterul autoritar al învățătorului.
Pentru înlăturarea blocajelor și în sprijinul ideii de educabilitate a creativității, poate fi invocată și poziția lui B. Schwartz, „ Creativitatea se învață, chiar dacă nu se învață ca fizica sau tâmplăria. Ar fi mai nimerit să spunem că se descătușează sau se dezvoltă”. Dezvoltarea gândirii logice aduce o anumită contribuție la creație.
Formarea și dezvoltarea limbajului se leagă strâns cu dezvoltarea gândirii matematice a copilului, gândire ce este la rândul ei legată în mod nemijlocit de realitate.
Activitățile matematice încă din grădiniță vizează familiarizarea copiilor cu limbajul matematic, în forme accesibile înțelegerii lor, oferă posibilitatea explicării științifice a conceptului de număr și a operațiilor cu numere naturale. În formarea noțiunilor matematice trebuie respectată legătura care există între conținuturi și forma sau denumirea noțiunii. Orice denumire trebuie să aibă la bază înțelegerea conținutului noțional.
Prin intermediul activităților matematice se urmărește realizarea obiectivelor generale ale matematicii, precum și formarea capacității intelectuale și a gândirii logice. Formarea limbajului matematic reprezintă un obiectiv prioritar în dezvoltarea gândirii logice. Învățarea matematicii implică asimilarea de cunoștințe, dar și formarea unui anumit mod de a gândi, de a-i învăța pe copii să gândească.
Deoarece are un caracter abstract, limbajul matematic se introduce la început cu unele dificultăți. Astfel, se folosesc termeni similari, mai accesibili și mai utilizați în activitatea copiilor. Spre exemplu, se utilizează denumirea de “grupă” în loc de mulțime, “obiect” în loc de element, “rotund” în loc de cerc.
În introducerea unei noțiuni se ține cont de posibilitatea reală a copiilor privind înțelegerea noțiunii.
Termenul de “formă geometrică” restrânge însușirile unui obiect caracterizat prin formă, mărime, culoare la unul singur, “formă” și totodată implică o abstractizare a realității, fără culoare sau grosime. Termenul de “figură” (geometrică) este utilizat când se fac referiri și la alte însușiri ale obiectului.
În matematică noțiunea de mulțime este o noțiune primară care se introduce prin exemple. În cadrul activităților matematice, la clasa pregătitoare, se utilizează denumirile de “grup”, “grupă” de obiecte pentru noțiunea de mulțime deoarece materializează esența noțiunii “colecție de obiecte bine determinate și distincte”.
Noțiunea de mulțime nu este legată de aceea de “multe obiecte”. Prin exerciții repetate se formează grupe cu mai puține elemente și chiar cu un singur element la care le este atribuită denumirea de “grupă”. Treptat înțeleg că tuturor grupelor de obiecte, indiferent de numărul obiectelor, li se atribuie denumirea de grupă sau mulțime.
Două mulțimi sunt egale dacă au aceleași elemente. Egalitatea a două mulțimi nu poate fi confundată cu egalitatea numărului de elemente al celor două mulțimi echivalente, deci cu același cardinal.
Pentru mulțimile care nu au “tot atâtea” elemente se utilizează termenii “mai puține obiecte”, “mai multe obiecte”, are “mai multe obiecte”, are “mai puține” obiecte.
Este incorect să se folosească termeni ca “mulțime mai mare” sau “mulțime mai mică”.
După acțiunea directă cu obiectele concrete, urmează folosirea imaginilor, jetoanelor și apoi începe acțiunea cu simboluri convenționale. Urmează familiarizarea copiilor cu simboluri (semne grafice) matematice: cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, semne: +, -, =. Începând cu această etapă, copiii pot efectua comparații, generalizări, abstractizări, care conduc la structure mentale operatorii, folosind limbajul adecvat.
În formarea reprezentărilor matematice se utilizează metode ca demonstrația, conversația și mai ales explicația, prin care se transmit cunoștințele necesare și se îmbogățește vocabularul copiilor cu anumite cuvinte specific tipului de activitate, cum ar fi: mulțime (grupă) de jucării, mulțime (grupă) cu mai multe sau mai puține jucării, alege (separă)figurile geometrice după atribute insistându-se pe verbalizarea corectă a fiecărei acțiuni. Contactul perceptiv cu noțiunea de "mulțime" se realizează progresiv. Copiii pot fi ei înșiși elemente ale unei mulțimi și astfel motivează tehnologia ce trebuie folosită (element și nu obiect).
În parcurgerea drumului obiect-mulțime-număr sunt indispensabile operațiile de parcurgere și denumire a relațiilor spațiale, poziționarea corectă și operațiile de dobândire a abilităților de triere și sortare. Aceste prime aspecte matematice referitoare la mulțimi pun bazele gândirii asambliste.
Conceptul de mulțime fiind unul din conceptele de bază ale matematicii și fiind introduse de timpuriu poate juca un rol verificator-integrator al altor concepte matematice importante, ușurând mult procesul de dobândire a cunoștințelor. Desigur noile cunoștințe pot fi însușite numai dacă acestea vor fi traduse în modul de a gândi al copilului. Iată de ce limbajul, dezvoltarea lui are un rol hotărâtor în dezvoltarea școlarilor mici.
Deoarece jocul este activitatea predominantă a preșcolarilor, Mircea Malița arată că „dacă jocul copiilor va fi adaptat până la 6 ani conceptelor de bază ale teoriei mulțimilor, ei vor fi apți de a dobândi astfel cunoștințele științifice în cursul dezvoltării lor”.
Prin practicarea jocurilor logice, se asimilează o serie de experiențe care le permit să integreze într-un sistem organic mulțimile, conceptele logice și în final numerele. Ei sunt inițiați și în unele concepte matematice de bază, ca acelea de relație, relație funcțională, reușind în final să dezlege probleme de transferări și să se folosească de relația de echivalență în scopul unei înțelegeri apropiate de înțelesul științific al noțiunii de număr.
Datorită modului specific al vârstei de inițiere a conceptelor matematice, în exprimarea unor adevăruri științifice se folosesc termeni familiari și exprimări ce evită formulările riguros științifice.
Limbajul, contactul verbal explicit joacă un rol important în explorarea lumii material, în sensul că realizează o apreciabilă economie de timp și efort, iar gândirea se instalează mai mult în sistemul ordonat pe care îl constituie limba vorbită, acestea facilitând fenomenul de înțelegere, constituirea gradată a claselor logice și sporul de generalizare și de precizie a preconceptelor. În acest context, J. Piaget prezintă evoluția gândirii copilului prin “Teoria celor trei sisteme ale gândirii": inteligența motrică; gândirea egocentrică; inteligența rațională. Rolul cadrului didactic este acela de a-l sprijini pe copil în trecerea de la explorarea senzorială și motrică la interiorizarea percepției prin operații logice, care să generalizeze și să integreze treptat într-o acțiune mentală de ansamblu, acțiune necesară muncii de învățare. Pentru ca experiența practică să devină experiență mentală și ținând seama de particularitățile gândirii intuitive trebuie să se sprijine în transmiterea directă a noilor cunoștințe pe experiența directă a copiilor cu obiectele.
Aceasta reprezintă o cale importantă în asimilarea unor noi concepte, prin trecerea treptată de la o acțiune obiectuală la cea mentală. Indicația și explicația verbală sunt înțelese, sunt luate în stăpânire de către copii pe plan mental, condiția fiind aceea ca sursa concepțiilor și a noțiunilor să fie activatea senzorio-motorie. Imaginea mental, rezultată ca urmare a acțiunii copilului, este nu numai corectă, ci și completă, dar și trainică pe planul memoriei. Dezvoltarea limbajului este la fel de importantă în constituirea claselor logice, în trecerea la o cunoaștere sistematică.
Se impune astfel să se opereze pe plan mental cu unele clasificări după anumite însușiri esențiale, abstractizări prin lăsarea la o parte a celor mai puțin importante. Operațiile acestea nu se realizează de la sine, deoarece gândirea se găsește în etapa preoperatorie, când mișcările se interiorizează sub formă de experiențe mentale, adică tot imagini reprezentative. Trebuie să se dirijeze raționamentul copilului în operațiile de analiză și comparare a obiectelor. Trebuie știut ca predomină analogia în clasificarea logică, iar inducția și deducția ca raționamente pe care se fundamentează gândirea logică, se realizează cu mare dificultate.
De aceea, în activitățile mentale și nu numai, sintezele trebuie să aibă la bază un șir logic de întrebări, care să-1 oblige pe copil la anumite răspunsuri, căutate de el prin inducție sau chiar prin deducție.
Pentru dezvoltarea gândirii logice este necesară înarmarea cu anumite instrumente logice de asimilare care nu se reduc la transmiterea verbală, dar care să se sprijine pe limbaj, asigurând dezvoltarea capacității de generalizare și abstractizare în formarea noțiunilor matematice.
Există deci o logică și o interacțiune între planul concret acțional și cel verbal, iar cuvântul și limbajul sunt instrumente de instruire în completarea percepției, observației și acțiunii (Vâgotski – 1976), însă o mare atenție trebuie atribuită aptitudinilor deoarece nu toti copii au aptitudini pentru toate obiectele de studiu.
Aptitudinea matematică reprezintă o componentă specifică a personalității, o substructură a acesteia, relativ independentă, formată din componente cognitive, afectiv-motivaționale și volitive, elaborată în ontogeneză prin adaptări succesive ale copilului și tânărului la modelele matematicii externe, oferite de societate și, care, pe măsura constituirii, facilitează obținerea de performanțe școlare, eventual și profesionale, superioare mediei elevilor de aceeași vârstă sau persoanelor cu o pregătire școlară similară. Referindu-ne la învățarea matematicii în școală, constatăm că există elevi care, încă din primele etape ale învățării aritmeticii,dau dovadă de multă ușurință și rapiditate în privința înțelegerii și operării cu numere și relații cantitative, în timp ce alții se descurcă mult mai greu. Dar aceasta nu înseamnă că cei din a doua categorie nu ar dispune de un minim de aptitudini pentru înțelegerea cunoștințelor matematice cuprinse în programele școlii primare sau chiar ale liceului și nici că problema aptitudinilor matematice ar fi aici lipsită de conținut specific. Metodele și măiestria pedagogică joacă un rol hotărâtor în reușita matematică a elevilor, însă aceasta nu explică totul. La același profesor și în aceleași condiții de școlarizare, unii elevi obțin performanțe deosebite, adesea mult superioare mediei clasei din care fac parte, în timp ce alții abia reușesc să facă față unor cerințe minime, deși efortul depus poate fi la fel de substanțial. Desigur, relațiile dintre cele două grupe de elevi, mai exact dintre factorii care determină diferențierea lor, sunt mult mai complexe. Simplificarea făcută nu are alt scop decât de a scoate în evidență importanța care trebuie acordată problemei aptitudinilor matematice și muncii diferențiate cu elevii.
Aptitudinea matematică nu poate exista fără matematică, deci această creație umană pe plan social istoric are caracter primordial. Omul poate fi înzestrat într-o măsură mai mică sau mai mare cu premisele fiziologice și psihologice ale aptitudinii matematice, dar însăși aptitudinea se structurează pe baza acestor premise numai în urma contactului activ cu matematica, în urma
activității în domeniul matematicii. Matematica, în continuă dezvoltare, determină structurarea tot mai eficientă a aptitudinii matematice. Omul nu se naște cu aptitudini matematice. Ereditar sunt determinate doar potențialitățile unor procese cognitive, a unor particularități ale proceselor de gândire. În contactul activ cu lumea obiectelor și fenomenelor naturale, cu societatea, cu tehnica și cultura, din aceste potențialități se realizează treptat aceste funcții psihice, cum ar fi, de exemplu, cea de analiză și sinteză, de abstractizare și generalizare, de raportat la variabil, capacitatea tranzitivității, capacitatea de a realiza grupări, serieri, etc. prin acestea se creează condițiile subiective ale receptivității față de matematică.
A stabili ce pondere anume au în structura aptitudinilor matematice cele două grupe de factori este, desigur, aproape imposibil. Termenii puși în relație nu au conținuturi clar distincte, iar interacțiunea lor îmbracă forme individuale de manifestare. Foarte probabil, rolul factorilor ereditari este maxim, în cazul matematicienilor de geniu și minim sau mediu în cazul oamenilor obișnuiți.
Eficiența procesului de structurare a aptitudinii matematice depinde de mai mulți factori. În primul rând depinde de gradul de dezvoltare a funcțiilor mentale necesare pentru constituirea aptitudinii matematice (analiză – sinteză, generalizare, abstractizare, capacitatea de concentrare, etc.). Bineînțeles, la rândul lor, și aceste funcții mentale depind de potențialitățile ereditare și de condițiile în care aceste potențialități se realizează.
În al doilea rând, eficiența procesului de structurare depinde de felul contactului cu matematica, de măsura în care acest contact are un caracter activ sau pasiv, de metodele învățământului matematic etc. Structurarea aptitudinii matematice depinde și de factorii motivaționali ca interesul, aspirațiile, perseverența subiectului, precum și de satisfacțiile pe care acesta le găsește în preocupările matematice.
Un rol deosebit poate să aibă, în formarea aptitudinilor matematice, personalitatea profesorului de matematică care, prin măiestria sa pedagogică, poate să contribuie, nu numai nemijlocit, la formarea calităților intelectuale necesare în activitatea matematică a elevilor, ci și mijlocit, prin crearea interesului, prin încurajare, adică prin intermediul factorilor motivaționali.
Alt rol important în dezvoltarea aptitudinii matematice îl are factorul interpersonal, adică relațiile dintre elev și profesor, precum și factorul emoțional. Activitatea în domeniul matematicii solicită o încordare mentală destul de serioasă și stările de anxietate, emoțiile puternice, create în relațiile
interpersonale neadecvate dintre elev și profesor, nu pot decât să inhibe structurarea eficientă a aptitudinii matematice.
www.maÎn concluzie, aptitudinile matematice, asemănător cu celelalte aptitudini,âreprezintă o structură care se realizează pe baza potențialității, dar numai în cursul și în urma activității, deci, ele trebuie privite ca rezultate ale dezvoltării, ale interacțiunii dintre individ și condițiile sale de mediu socio – economic, științific, tehnic și cultural. Caracterul lor, mai mult sau mai puțin creator, depinde de felul în care se realizează modelarea potențialităților ereditare de către factorii ambientali, de conținutul și caracteristicile activităților desfășurate de copil – a celei de învățare a matematicii, în primul rând. La baza înțelegerii procesului de formare și dezvoltare a aptitudinilor matematice se află ideea că între conținutul învățării și capacitățile intelectuale ale copilului există strânse raporturi de determinare, de condiționare reciprocă. Acumularea de cunoștințe, priceperi și deprinderi duce la dezvoltarea și transformarea calitativă a schemelor de cunoaștere și acțiune matematică, iar acestea, la rândul lor, reglează cantitatea și calitatea achizițiilor școlare. Efectul învățării devine maxim când între cei doi termeni ai relației se stabilește un echilibru optim, ceea
ce se poate realiza prin modul de organizare a activității și prin folosirea celor mai adecvate căi și mijloace de instruire și educare.
Dintre metodele moderne, mai frecvent și insistent indicate pentru cultivarea aptitudinilor matematice la elevi, menționăm: trecerea treptată de la acțiuni concrete (cu obiecte materiale sau materializate) la operații abstracte, de la date și condiții evidente la cerințe și relații implicate, ascunse, de la necunoscute simple la nedeterminări ample, complexe; folosirea de metode și procedee euristice; învățarea prin cercetare-problematizare; formularea de probleme, unele cu date și relații cunoscute, altele cu caracter propriu. O preocupare de larg interes, atât pentru profesori, cât și pentru elevi, o constituie cunoașterea aptitudinilor matematice în activitatea de învățare școlară.
Dintre metodele mai des folosite în acest scop menționăm următoarele: analiza notelor școlare, testele de aptitudini și cunoștințe (aplicate colectiv), observarea și fișele de observație și probele formative (aplicate individual).
Capitolul II:
valențe formative ale activității de compunere Și rezolvare de probleme
II.1 Definirea conceptului de problemă
În cadrul complexului de obiective pe care le implică predarea – învățarea matematicii în învățământul primar, rezolvarea problemelorreprezintă o activitate de profunzime, cu caracter de analiză și sinteză superioară. Ea îmbină eforturile mintale de înțelegere a celor învățate și aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe fondul stăpânirii unui repertoriu de cunoștințe matematice solide (noțiuni, definiții, reguli, tehnici de calcul), precum și deprinderi de aplicare a acestora. Rezolvarea de probleme înseamnă
„asumarea sarcinii de depășire și de eliminare a dificultății teoretice sau practice prin demersuri cognitiv- operaționale și strategii rezolutive specifice cerințelor acesteia” (Dumitriu, Gh., 2004, pag. 85).
Ea trebuie să decurgă ca o necesitate firească, solicitată de situații concrete din viață.
„Procesul rezolutiv presupune acoperirea lacunei cognitive din gândirea și experiența subiectului, înțelegerea conflictului din datele și cerințele problemei, efectuarea operațiilor de transformare a necunoscutului în cunoscut.” (Dumitriu, Gh., 2004, pag. 85)
Cuvântul „problemă” își are originea în limba latină și a intrat în vocabularul românesc din limba franceză. Cuvântul „proballein” folosit de matematicieni și psihologi are semnificația: „ceea ce ți se aruncă în față ca obstacol” sau provocare. Noțiunea de problemă are un conținut larg și cuprinde o gamă largă de preocupări și acțiuni din domenii diferite. În sens psihologic, o „problemă” este orice situație, dificultate, obstacol întâmpinat de gândire în activitatea practică sau teoretică pentru care nu există un răspuns gata formulat; este
„o dificultate sau un obstacol cognitiv care implică una ori mai multe necunoscute ce nu pot fi rezolvate adecvat datorită insuficienței sau ineficienței sistemului de răspunsuri ale subiectului” (Dumitriu, Gh., 2004, pag. 85).
În general, orice chestiune de natură practică sau teoretică ce necesită o soluționare, o rezolvare, poartă numele de problemă.
După „Dicționarul explicativ al limbii române”, cuvântul problemă are următoarele definiții:
„chestiune care prezintă aspecte neclare, discutabile, care necesită o lămurire, o precizare, care se pretează la discuții”;
“chestiune importantă care constituie o sarcină, o preocupare (majoră) și care cere o soluționare (imediată)”;
“chestiune care intră în sfera preocupărilor, a cercetărilor cuiva; obiect principal al preocupărilor cuiva”;
“(matematic) chestiune în care, fiind date anumite ipoteze, se cere rezolvarea, prin calcule sau prin raționamente, a unor date”;
“dificultate care trebuie rezolvată pentru a obține un anumit rezultat; greutate, impas”.
În matematică, prin problemă se înțelege
„o situație a cărei rezolvare se obține prin procese de gândire și calcul” (Lupu, C., 2006, pag. 284).
„Problema de matematică reprezintă transpunerea unei situații practice sau a unui complex de situații practice în relații cantitative și în care, pe baza valorilor numerice date și aflate într-o anumită dependență unele față de altele și față de una sau mai multe valori numerice necunoscute, se cere determinarea acestor valori necunoscute”(Neacșu, I., 1988, pag. 196).
Toate definițiile pentru noțiunea de problemă vizează efortul de gândire al elevului pentru a înlătura ceea ce îi apare în față ca „o barieră, un obstacol”, pentru că
„unde nu există o sarcină sau o dificultate, unde nimic nu trebuie căutat și rezolvat, acolo finalitatea gândirii lipsește”(Neagu, M., Mocanu, M., 2007, pag. 125).
Noțiunea de problemă, în sens larg, se referă la orice dificultate de natură practică sau teoretică ce necesită o soluționare. În sens restrâns, problema din matematică vizează o situație problematică a cărei rezolvare se obține prin procese de gândire și calcul. Ea presupune o anumită situație, ce se cere lămurită în condițiile ipotezei (valori numerice date și relații între ele) enunțată în text, în vederea concluzionării, prin raționament și printr-un șir de operații, a căror efectuare conduce la rezolvarea problemei. Problema implică în rezolvarea ei o activitate de descoperire, deoarece exclude preexistența, la nivelul rezolvitorului, a unui algoritm de rezolvare, care ar transforma-o într-un exercițiu. Un exercițiu oferă elevului datele (numerele cu care se operează și precizarea operațiilor respective), sarcina lui constând în efectuarea calculelor după tehnici și metode cunoscute.
Distincția dintre o problemă și un exercițiu se face, în general, în funcție de prezența sau absența textului prin care se oferă date și corelații între ele și se cere, pe baza acestora, găsirea unei necunoscute. Dar din punct de vedere metodic, această distincție nu trebuie făcută după forma exterioară a solicitării, ci după natura rezolvării. Clasificarea unor enunțuri matematice în exerciții sau probleme nu se poate face în mod tranșant, fără a ține seama și de experiența de care dispune și pe care o poate utiliza cel care rezolvă. Un enunț poate fi o problemă pentru un elev din clasa I, un exercițiu pentru cel din clasa a V-a sau doar ceva perfect cunoscut pentru sens larg sens restrâns problemă/ exercițiu cel din liceu.
Problemele, în matematica școlară, reprezintă calea principală prin care se verifică modul și gradul în care s-au asimilat noțiunile teoretice. Capacitatea de a rezolva probleme este, de cele mai multe ori, criteriul după care sunt selectați elevii la un examen (teste naționale, bacalaureat, admitere la facultate) sau „ierarhizați” la nivelul disciplinei. Problemele propriu-zise, cât și cele care reprezintă problematizarea teoriei au un puternic rol informativ: cu ajutorul lor se subliniază rolul matematiciiîn viața curentă (calcule, măsurări, aplicații în fizică, tehnică). Aceste aspecte realizează atat motivația cât și scopul învățării matematicii.
II.2. Ce cuprinde o problemă
O problemă reprezintă un enunț prin care se oferă anumite informații
elevilor și în care se cere să se demonstreze un fapt matematic sau să se calculeze valorile (măsurile) unor elemente, astfel încât rezolvarea să implice o inițiativă din partea rezolvitorului. Din acest motiv, rezolvarea de probleme este o activitate cognitivă complexă datorită operațiilor cognitive necesare obținerii soluției cât și diversității situațiilor cu care ne confruntăm. De cele mai multe ori, anumite procese cognitive ce apar în rezolvare sunt necunoscute rezolvitorului; dar se pot întâlni și situații în care datele problemei sau soluția nu sunt familiare. Astfel, problemele au și un rol formativ în educarea gândirii
creatoare prin exercițiul de gandire logică pe care îl implică.
Ținând cont de tipul de activitate intelectuală realizată de elev pe parcursul rezolvării unei probleme, putem clasifica sarcinile unui rezolvitor de probleme în:
sarcini de bază, în care procedeul de rezolvare a problemei este aproape evident, asemănător sau identic cu cel al unei probleme rezolvate în clasă. În acest caz, procedeul de rezolvare este cunoscut de către elev care nu trebuie decât să aplice un algoritm învățat, un rezultat imediat al unei teoreme, sau combinații simple ale acestora.
sarcini asociate unei configurații sau care presupun o investigare,
o studiere a acesteia. În această situație, procesul de rezolvare presupune alegerea, dintr-o mare varietate de procedee deja invățate, a unor metode potrivite și (sau) combinarea acestora în vederea obținerii soluției problemei.
sarcini pentru care nu este cunoscut procesul de rezolvare, în care elevul trebuie să-l descopere singur.
Primului tip de sarcini îi corespund deprinderi intelectuale specifice, corespunzătoare unui anumit conținut matematic, pe când celelalte două implică și deprinderi intelectuale nespecifice (cognitive), caracteristice mai multor tipuri de conținuturi. Dintre acestea, putem menționa pe cele mai des întâlnite în rezolvarea problemelor:
recunoașterea, înțelegerea ipotezei și a ceea ce se cere demonstrat;
reamintirea unor informații relevante pentru acea sarcină;
recunoașterea unei părți a problemei deja rezolvată;
inlocuirea concluziei cu o condiție echivalentă, în care metoda
de rezolvare este mai simplă sau reamintirea unor proprietăți a căror demonstrare este suficientă pentru a obține soluția finală;
obținerea din ipoteză a unor consecințe imediate, precizarea dacă sunt îndeplinite (sau nu) condițiile pentru aplicarea unor teoreme învățate;
revederea și verificarea ipotezei, la un moment în care nu se
„vede” o continuare a rezolvării, pentru a stabili dacă toate condițiile din ipoteză au fost folosite până la acel pas; în caz contrar, condiția neutilizată poate oferi o soluție de a iesi din impas;
compararea, pe parcursul rezolvării, a rezultatelor intermediare
cu ceea ce se cere demonstrat sau aflat, pentru a alege varianta optimă de continuare a rezolvării.
Principalele reguli care trebuie cunoscute și respectate de un rezolvitor de probleme constă în:
1. citirea corectă a enunțului problemei și construirea exactă a
figurii (la geometrie), esențiale în evitarea erorilor de raționament.
Citirea enunțului de mai multe ori nu trebuie considerată „pierdere de
timp” deoarece în cadrul acestuia sunt oferite anumite indicații pe care elevul trebuie să le poată identifica si, cu ajutorul acestora, să caute tehnici de rezolvare.
2. însușirea enunțului problemei constă în cunoașterea clară a datelor ipotezei, a concluziei si a legăturii dintre acestea, a teoremelor și noțiunilor legate cu problema dată. Ea se materializează în acele câteva minute premergătoare rezolvării propriu-zise în care elevul încearcă „să simtă” problema, să o încadreze într-un cadru cunoscut. O înțelegere atentă a enunțului reduce de cele mai multe ori calculele ce trebuie efectuate pe parcursul rezolvării problemei. De exemplu: în cazul unei exercițiu cu o necunoscută, vom face studiul doar pentru câteva dintre valorile existe în concentrul numeric studiat.
3. cunoașterea unor procedee și metode pentru rezolvarea problemelor
care să stabilească „pașii în gandirea rezolvării” (Am folosit toate cunoscutele?, Știu o problemă asemănătoare?). În funcție de particularitățile problemei, el va trebui să aleagă apoi metoda de rezolvare cea mai potrivită.
4. construirea de raționamente noi pe baza axiomelor, definițiilor,
teoremelor și a altor raționamente învățate anterior. Pentru fiecare problemă trebuie realizată o scurtă analiză a enunțului, trebuie motivată alegerea metodei de rezolvare, mersul gândirii în procesul de rezolvare și eventual, oferite mai multe variante de rezolvare. Toate acestea oferă motivații logice de abordare și sprijină obținerea altor raționamente.
5. discuția problemei. De multe ori, rezolvarea unei probleme nu se încheie cu aflarea soluției; apar situații în care trebuie examinate și condițiile care arată existența altor soluți precizând, după caz numărul lor; sunt studiate diferite cazuri particulare care pot apărea sau se generalizează problema.
6. verificarea soluțiilor problemei. Pe parcursul rezolvării unor
probleme, se aplică transformări asupra datelor inițiale care nu conduc întotdeauna la ecuații echivalente cu cea inițială. Soluțiile care se obțin pot fi doar o parte a soluțiilor ecuației inițiale , sau se introduc soluții străine ecuației inițiale. Pentru eliminarea soluțiilor străine, toate soluțiile găsite trebuie verificate în ecuația inițială. În problemele de construcții geometrice, pentru verificarea soluțiilor, se realizează de fapt o demonstrație care arată că figura obținută corespunde cu cea cerută în enunțul problemei. Înțelegerea unei demonstrații nu presupune doar înțelegerea fiecărei secvențe a acesteia, ci trebuie cunoscută și legătura care există între ea și restul problemei. Analizarea tuturor aspectelor parțiale ale unei demonstrații este necesară în evidențierea ideii demonstrației; dacă elevul a înțeles și a reținut ideea demonstrașiei, el o poate oricând reconstitui în detaliu, fără a fi nevoie să rețină demonstrația în desfăsurarea sa analitică.
Pentru fiecare unitate de învățare (respectiv, lecție), profesorul trebuie să-și stabilească cu claritate seturile de probleme ce se vor rezolva în clasă, problemele propuse ca temă pentru acasă. La clasă, nu este recomandat să se rezolve „cât mai multe probleme”; numărul de exerciții și probleme trebuie să fie corelat cu conținutul acestora, cu timpul avut la dispoziție și cu capacitățile de lucru ale elevilor. Problemele propuse trebuie să fie: cu grad de dificultate diferit, de la exerciții simple, cu rezolvare directă, până la probleme complexe; ordonate corespunzător; să aibă o formulare neambiguă; să prezinte varietate tematică și de raționament. În general, manualul conține aplicații standard care trebuie rezolvate în întregime la clasă sau date ca temă pentru acasă. Pe lângă acestea, profesorul va alege și alte probleme reprezentativeprin conținut care să asigure fixarea unor etape intermediareale lecției, să facă legătura cu alte noțiuni deja învățate, să permită dobândirea de noi cunoștințe prin descoperire. Din multitudinea de culegeri de probleme existente trebuie optat pentru acelea în care problemele sunt corect formulate, soluțiile sunt riguros și complet realizate, apar multe probleme originale și cu un nivel științific înalt. Profesorul are rolul principal în formarea la elevi a deprinderilor de muncă independentă, de cercetare, lucrul individul stând la baza obținerii performanței în matematică. Sprijinul acordat trebuie dozat cu grijă; în cazul în care ajutorul este insuficient, elevul nu poate progresa singur, iar dacă nu mai are ce afla, motivația pentru rezolvarea problemei dispare. Înainte de a trece la rezolvarea unei probleme, profesorul trebuie să se asigure că aceasta este înțeleasă de către elevi. Apoi, prin întocmirea (împreună cu elevii) a unui plan de rezolvare, el fixează etape mari de lucru. În acest sens, se pot folosi chiar probleme de sinteză cu subpuncte intermediare ajutătoare care schițează de fapt calea de rezolvare. În final, se redactează clar și concis soluția. Elevii trebuie învățați să-și recitească formularea rezolvării pentru a se asigura de acuratețea și corectitudinea raționamentului. De asemenea, mai trebuie subliniat faptul că folosirea limbii române nu trebuie făcută neglijent. De foarte multe ori, argumentarea din cadrul unei demonstrații se facem „în proză”. Chiar dacă o lucrare este corect redactată din punct de vedere matematic, apariția greșelilor de ortografie, a celor gramaticale reduc considerabil calitatea acesteia.
Problemele care constituie teme pentru acasă trebuie să fie gradate din punctul de vedere al dificultăților, să fie într-o continuitate firească cu cele lucrate în clasă și să poată fi rezolvate fără a conduce la supraîncărcarea sau saturarea elevului. Este indicat ca ele să reunească în rezolvare cât mai multe noțiuni din lecția predată sau (și) din lecțiile anterioare, având în vedere recapitularea, reproducerea unor rezultate, dar și activitatea creatoare a elevului.
Majoritatea lecțiilor recapitulative pot fi realizate prin rezolvări de exerciții și probleme. Conținutul temei recapitulative, anunțat din timp, este scris la începutul lecției pe tablă, pentru ca elevii să aibă o privire de ansamblu asupra orei în curs. Setul de exerciții și probleme trebuie să acopere întreaga temă care se recapitulează, să structureze noțiunile în discuție și să le coreleze cu cele deja aprofundate. Profesorul va atrage atenția asupra unor tipuri de exerciții la care elevii au întâmpinat greutăți, precizând că asteaptă acum de la ei un progres în abordarea lor.
La începutul lecției, se recapitulează definițiile și rezultatele teoretice
fundamentale necesare în rezolvarea problemelor propuse. Pentru fiecare exercițiu în parte se stabilește, împreună cu elevii, o metodă de rezolvare (sau mai multe) și se întocmește planul de realizarea a rezolvării, pe etape. În acest fel se insistă pe participarea activă a elevilor în realizarea lecției, se pune accentul pe activitatea individuală și se dezvoltă spiritul de competiție. Pe măsura ce elevul îsi însușește modalități de rezolvare mai generale și mai unitare, pe măsură ce crește experiența lui în rezolvarea problemelor, treptat, enunțuri care constituiau pentru el probleme devin simple exerciții . Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea conștientă a unei probleme presupune o mobilizare a proceselor pshice de cunoaștere , volitive și firesc, motivațional – afective. Dintre procesele cognitive cea mai solicitată și antrenată este gândirea, prin operațiile logice de analiză, sinteză, comparație, abstractizare și generalizare. Rezolvând probleme, formăm la elevi priceperi și deprinderi de a analiza situația dată de problema, de a intui și descoperi calea prin care se obține ceea ce se cere în problemă . În acest mod, rezolvarea problemelor contribuie la cultivarea și dezvoltarea capacităților creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilității ei, a capacităților anticipativ-imaginative, la educarea perspicacității și spiritului de inițiativă, la dezvoltarea încrederii în forțele proprii. Rezolvarea problemelor de matematică contribuie la clarificarea, aprofundarea și fixarea cunoștințelor învățate la acest obiect de studiu. În același timp, explicarea multora dintre problemele teoretice se face prin rezolvarea uneia sau mai multor probleme în cadrul cărora se subliniază o proprietate, o definiție sau o regulă ce urmează a fi învățată. În cadrul complexului de obiective pe care le implică predarea – învățarea matematicii în ciclul primar, rezolvarea problemelor reprezintă o activitatea de profunzime, cu caracter de analiză și sinteză superioară . Ea îmbină eforturile mintale de întelegere a celor învățate și aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe fondul stapânirii unui repertoriu de cunoștinte matematice solide ( noțiuni, definiții, reguli, tehnici de calcul), precum și deprinderi de aplicare a acestora.
Valoarea formativă a rezolvărilor de probleme sporește pentru ca participarea și mobilizarea intelectuală a elevilor la o astfel de activitate este superioară altor demersuri matematice, elevii fiind puși în situația de a descoperi ei înșiși modalitățile de rezolvare și soluția, să formeze ipoteze și apoi să le verifice, să facă asociații de idei și corelații inedite. Rezolvarea problemelor pune la încercare în cel mai înalt grad capacitățile intelectuale ale elevilor, le solicită acestora toate disponibilitățile psihice, în special inteligența, motive pentru care și în ciclul primar programa de matematică acordă problemelor o mare atentie. Prin rezolvarea problemelor de matematică elevii își formează deprinderi eficiente de muncă intelectuală, care se vor reflecta pozitiv și în studiul altor discipline de învățământ. În același timp, activitățile matematice de rezolvare și compunere de probleme contribuie la îmbogățirea orizontului de cultură generală al elevului prin utilizarea în conținutul problemelor a unor cunoștințe pe care nu le studiază la alte discipline de învățământ. Este cazul informațiilor legate de distanță, viteză, timp, preț de cost, plan de producție, norma de producție, cantitate, dimensiune, greutate, arie, durata unui fenomen etc.
Problemele de aritmetică, fiind strâns legate prin însuși enunțul lor de viață, de practică, dar și de rezolvarea lor, generează la elevi un simț al realității de tip matematic, formându-le deprinderea de a rezolva și alte probleme practice pe care viața le pune în fața lor. Rezolvarea sistematică a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor seturi de priceperi, deprinderi și atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva în mod independent probleme, de a compune ei înșiși probleme.
Prin conținutul lor, prin tehnicile de abordare și soluționare utilizate, rezolvarea problemelor de matematică conduce la formarea și educarea unei noi atitudini față de munca, a spiritului de disciplină constientă, dar și a spiritului competiției cu sine însuși și cu alții. Nu putem omite nici efectele benefice pe planul valorilor autoeducative, al conduitei rezolutive . Introducerea elevilor în activitatea de rezolvare a problemelor se face progresiv, antrenându-i în depunerea de eforturi mărite pe măsura ce înaintează în studiu și pe mpsura ce experiența lor rezolutiva se îmbogătește. Astfel, odată cu învățarea primelor operații aritmetice (de adunare și scădere) se începe rezolvarea pe cale orală și pe baza de intuiție, a primelor probleme simple. Treptat, elevii ajung să rezolve aceste probleme și în formă scrisă. Un moment de salt îl costituie trecerea de la rezolvarea problemelor simple la rezolvarea problemelor compuse.Varietatea problemelor pe care le rezolvă elevii sporește efortul mintal și eficință formativă a activității de rezolvare a problemelor.
Trebuie să delimităm însă două situații în rezolvarea problemelor, situații care solicită în mod diferit mecanismele intelectuale ale elevilor :
– când elevul are de rezolvat o problemă asemănătoare cu cele rezolvate anterior sau o problemă-tip (care se rezolvă prin aceeași metoda , comuna tuturor problemelor de tipul respectiv).În acest caz elevul este solicitat să recunoască tipul de problemă căruia îi aparține problema dată. Prin rezolvarea unor probleme care se încadrează în aceeași categorie, având același mod de organizare a judecăților, același raționament, în mintea elevilor se fixează principiul de rezolvare a problemei, schema mentală de rezolvare. În cazul problemelor tipice, această schemă se fixează ca un algoritm de calcul, algoritmul de rezolvare a problemei.
– în cazul când elevul întâlnește probleme noi, necunoscute, unde nu mai poate aplica o schemă mentală cunoscută, gândirea sa este solicitată în găsirea căii de rezolvare; experiența și cunoștințele de rezolvare, deși prezente, nu mai sunt orientate și mobilizate spre determinarea categoriei de probleme și spre aplicarea algoritmului de rezolvare. Elevul trebuie ca, pe baza datelor și a condiției problemei, să descopere drumul spre aflarea necunoscutei. În felul acesta realizează un act de creație, care consta în restructurarea datelor propriei sale experiențe și care este favorizat de nivelul flexibilitatii gândirii sale, de capacitatea sa combinatorică și anticipativă. În rezolvarea unei probleme, lucrul cel mai important este construirea raționamentului de rezolvare, adică a acelui șir de judecăți orientate către descoperirea necunoscutei.
În continuare voi prezenta o succesiune de probleme, urmând apoi dezbaterea modului de rezolvare a acestora.
,,Cât costă 1 kg de orez și cât costă 1 kg de făină, dacă 2 kg de orez și 3 kg de făină costă 20 lei, iar 3 kg de orez si 2 kg de faina costa 25 lei ?"
,,2 kg de orez si 3 kg de făină costă 20 lei. S-a cumpărat orez și făină în valoare de 25 lei. Cât costă 1 kg din fiecare produs ?"
,, Cât costă 1 kg de orez și cât costă 1 kg de făină dacă 2 kg de orez și 3 kg de făină costă 20 lei , iar 4 kg de orez și 6 kg de făină costă 40 lei ?"
,, Prețul unui kg de orez este cu 5 lei mai mare decât al unui kg de făină. Pentru 2 kg de orez și 3 kg de făină s-au plătit 20 lei . Cât costă 1 kg din fiecare produs, dacă altă dată pentru 3 kg de orez și 2 kg de făină s-au plătit 25 lei ?"
În prima problemă condiția este suficientă pentru determinarea soluției; în a doua problemă condiția este insuficientă pentru determinarea soluției (problema are o infinitate de soluții, este nedeterminată); în a treia problemă condiția este contradictorie, iar în a patra , condiția este redundantă (conține date de prisos).
II.3 Clasificarea și descrierea problemelor de aritmetică
Adoptăm, după G. Polya, o primă clasificare a problemelor în probleme ,,de aflat" și probleme ,,de demonstrat”. Aceasta clasificare este inspirată dintr-o tradiție care durează încă de la Euclid, termenul de problemă ,,de aflat” corespunzând celui de problemă, iar cel de problemă ,,de demonstrat” corespunzând termenul de teoremă.
Scopul unei probleme ,,de aflat” este de a găsi necunoscuta problemei . Scopul unei probleme ,,de demonstrat” este de a arăta că o anumită aserțiune este adevarată sau falsă. Uneori, cele două operații de aflare și de demonstrare se pot întâlni în aceeași problemă. În matematicile elementare predomină ,,problemele de aflat" .
După scopul imediat pe care îl urmăresc (aplicarea unei reguli sau teoreme, dezvoltarea judecății, formarea deprinderilor de calcul) problemele se clasifica în :
exerciții
probleme teoretice
probleme practice
probleme artificiale
probleme recreative
II.3.1 Exerciții
Exercițiile sunt
„ probleme ușoare, formulate de obicei cu date mici, care servesc pentru aplicarea unei reguli, a unei teoreme demonstrate la ora de curs, sau pentru a pune în evidență unele proprietăți ale numerelor și operațiilor”. (Dumitru, V. 2005, pag. 37)
Prin rezolvarea de exerciții în cadrul orelor de matematică se realizează o permanentă actualizare a cunoștințelor însușite anterior, pe lângă faptul că aceste exerciții se pot folosi în orice moment al lecției. Tipurile de exerciții folosite în aritmetică sunt numeroase, nu se pot pargurge în cadrul activităților toate aceste tipuri de exerciții, iar pentru rezolvarea unora elevul trebuie să posede o gândire creatoare .
În aritmetică se întâlnesc exerciții de recunoaștere a unor noțiuni, proprietăți sau formule; exerciții de autoinstruire prin care cadrul didactic urmărește însușirea de cunoștințe noi având ca bază noțiunile predate anterior; exerciții de aplicare mediată a unor algoritmi sau formule care asigură conexiunea inversă în vederea formări de priceperi și deprinderi; exerciții de calcul mental care au un raționament simplu, de cele mai multe ori se reduce la aplicarea tehnicii diferitelor operații și deprinderilor de calcul matematic.
II.3.2 Probleme teoretice
Probleme teoretice sunt
„mai dificile decât exercițiile și ele urmăresc prin rezolvarea lor dezvoltarea puterii de judecată, asimilarea temeinica a cunoștintelor teoretice din aritmetică, aflarea diferitelor proprietăți ale numerelor și formarea gustului pentru studiul matematicilor". (Dumitru, V. 2005, pag. 39)
II.3.3 Probleme practice
Probleme practice sunt problemele
„care conțin date luate din lumea înconjuratoare legate de procesul de producție, așa cum se desfășoară el în realitate în uzine, pe ogoare, în laboratoare, aplicatii tehnice, din calcule financiare, din comert etc.". (Dumitru, V. 2005, pag. 39).
II.3.4 Probleme artificiale
Probleme artificiale sunt probleme compuse de autor cu scopul de a da posibilitatea elevilor să aplice o metoda, să folosească anumite reguli sau procedee de calcul. Autorul unei asemenea probleme se străduieste ca datele și problema însăși să fie cât mai aproape de realitate. Aceste probleme fac o punte de trecere între problemele teoretice și cele practice.
Citez din lucrarea lui Gh. A. Chitei o problemă artificială:
,,O vulpe urmărită de un ogar are un avans de 49 sărituri înaintea lui. După câte sărituri ogarul va ajunge vulpea, știind că el face șase sărituri în timp ce vulpea face șapte sărituri, iar trei sărituri ale ogarului fac cât patru ale vulpii?"
De ce este artificială această problemă? Pentru că o persoana nu poate număra în același timp numărul săriturilor făcute de vulpe și ogar, iar pe de altă parte acestea nu au o mărime constantă. Totuși, problema este instructivă, prin raționamentul care conduce la rezolvare.
II.3.5 Probleme recreative
Probleme recreative sunt problemele
„care conțin chestiuni distractive, cu toate că în rezolvarea lor cer raționamente riguroase din punct de vedere matematic.” (Dumitru, V. 2005, pag. 46).
Astfel de probleme constituie un material intereseant în atingerea scopului predării matematicii deoarece prin unele probleme recreative se obțin cunoștințe, se învață unele proprietăți noi despre diferite obiecte sau fenomene matematice. Prin forma lor atrăgătoare antrenează elevii în rezolvarea lor și totodată contribuie la dezvoltarea spiritului de observare, gândire și atenție. Pentru rezolvarea acestor probleme este nevoie de un șir de raționamente care conduc la un rezultat destul de ascuns, nu se poate ghici soluția cum mulți dintre elevi sunt tentați să o facă.
Voi cita o astfel de problemă din lucrarea domnului D. Vălcan:
„Pe o masă se găsesc 8 bile la fel ca formă, culoare și mărime. Toate sunt construite din același materiale. Una din bile este cu puțin mai ușoară decâr celelalte 7, dar nu se știe care este. Cum se poate găsi, numai din două cântăriri, care este cea mai ușoară bilă?”
Mergând pe raționamentul propus de autor,
„se vor la la o parte 2 bine, iar celelalte 6 se vor pune pe un cântar astfel: 3 să fie pe un taler și 3 pe celălat taler. Dacă greutatea bilelor de pe primul taler este egală cu greutatea bilelor de pe al doilea taler, atunci una din cele două bile puse deoparte e mai ușoară și printr-o a doua cântărire se poate găsi care este aceea.
Dacă grupele nu sunt egale, atunci bila mai ușoară se află în grupa de 3 bile care cântărește mai pușin. Se dau la o parte bilele din celălalt taler, iar din grupa unde se află bila mai ușoară se lasă una și două le punem pe talerele cântarului. Dacă acestea sunt egale, bila lăsată e cea mai ușoară.”(Dumitru, V. 2005, pag. 46, 47).
O altă clasificare a problemelor matematice ar fi:
după numărul de operații în probleme simple și probleme compuse simple ;
după gradul de generalitate avem probleme: generale, tipice și recreative;
după sfera de aplicabilitate avem probleme teoretice și practice;
după conținut avem probleme: de mișcare, amestec și aliaj probleme de geometrie, probleme de algebră;
după modul de implicare al creativității avem: probleme demonstrativ-aplicative, probleme reproductiv creative, probleme euristic creative și probleme de optimizare;
după rolul de implicare în procesul didactic avem probleme formative și probleme informative.
Primele probleme simple sunt acelea pe care și le pune copilul zilnic în școală, în familie, în timpul jocului și care sunt ilustrate cu exemple familiare lui. Pentru a-i face să vadă încă din clasa pregătitoare utilitatea activității de rezolvare a problemelor este necesar pentru micii școlari să înțeleagă faptul că în viața de toate zilele sunt situații când trebuie găsit un răspuns la diferite întrebări. În această perioada de început, activitatea de a rezolva și compune probleme se face numai pe cale intuitivă. De aceea primele probleme sunt legate de introducerea lor sub forma de joc și au caracter de probleme-acțiune cărora li se asociază un bogat și variat material didactic intuitiv. Rezolvarea lor se realizează la un nivel concret, ca acțiuni de viață ( au mai venit …,s-au spart …., au plecat …., i-a dat…, au mâncat ….). Activitatea de rezolvare se află aproape de aceea de calcul, dificultatea principală pe care o întâmpină elevii constă în transpunerea acțiunilor concrete în relații matematice. Acum elevii sunt familiarizați cu termenul de ,,problemă!”, ,,întrebarea problemei” , ,,rezolvarea problemei”, ,,rezultatul problemei”. Introducerea în rezolvarea problemelor simple se face încă din perioada pregătitoare primelor operații. Învățătorul se folosește de ,,probleme acțiune” care după ce au fost puse în scenă vor fi ilustrate cu un desen schematic. Rezolvarea oricărei problemetrece prin mai multe etape. În fiecare din aceste etape, datele problemei apar în combinații noi, reoganizarea lor la diferite nivele ducân către soluția problemei. Este vorba de un permanent proces de analiză și sinteză, de o îmbinare aparte a analizei cu sinteza caracterizată prin aceea că diferitele elemente luate în considerație își dezvăluie mereu noi aspecte în funcție de combinațiile în care sunt plasate.
Procesul de rezolvare a unei probleme presupune deducerea și formularea unor ipoteze urmată de verificarea acestora. Formularea acestor ipoteze nu este ezultatul uni simple inspirații, ci presupune atât un fond de cunoștințe în rezolvarea problemelor cât și o gamă variată de deprinderi și abilități intelectuale necesare în procesul de rezolvare a problemelor. Diferitele ipoteze nu apar la întâmplare. Ele iau naștere pe baza asociațiilor, pe baza cunoștințelor asimilate anterior. Cu cât acestea sunt mai largi și mai profunde, cu atât sunt mai mari șansele ca ipotezele care se nasc în mintea elevului să îl conducă mai repede la o soluție, cu cât fondul din care sunt alese ipotezele este mai bogat, cu atât alegerea este mai bună. D e aceeea în oice domeniu capacitatea de a rezolva probleme complexe este condiționată de o soloidă pregătire de specialitate, dar și de cultură generală.
În rezolvarea problemelor intervin o serie de tehnici și procedee, moduri de acțiune, deprinderi și abiltăți cu caracter general cum sunt: orientarea activității mentale asupra datelor problemei, punerea în legătură logică a datelor, capacitatea de a izolaceea ce este cunoscut de ceea ce este necunoscut, extragerea acelor cunoștințe care ar putea servi la rezolvarea problemei precum și unele deprinderi specifice referitoare la detaliile acțiunii. Cu toată varietatea lor, problemele de matematică nu sunt independente, izolate, ci fiecare problemă se încadrează într-o numită categorie. Prin rezolvarea unor probleme care se încadrează în aceiași categorie, având același mod de organizare a judecății, deci același raționament în mintea copiilor se conturează schema mintală de rezolvare, ce se fixează ca un algoritm sau minialgoritm de lucru, care se învață, se transferă și se aplicăla fel ca regulilede calcul.
Aflarea căii de rezolvare a unei probleme este mult mai ușurată încazul în care se poate subsuma problema nouă unei categorii, unui tip determinat de probleme, déjà cunoscute.
De o mare importanță în rezolvarea problemelor este înțelegerea structurii problemei și a logicii rezolvării ei. Pentru a ajunge la generalizarea raționamentului comun unei categorii de probleme, trebuie să fie formate capacitățile de analiză și de înțelegere a datelor problemei, de a sesiza condiția problemei și de a orienta logic șirul de judecăți către întrebarea problemei.
Deși rezolvările de probleme simple par ușoare, învățătorul trebuie să aducă în atenția copiilor toate genurile de probleme care se rezolvă printr-o operație matematică. Se va pune accent pe operația specifică și atunci avem:
Probleme simple bazate pe adunare :
de aflare a sumei a doi termeni;
de aflare a unui număr mai mare cu un număr de unități decât un număr dat;
probleme de genul ,,cu atât mai mult".
Probleme simple bazate pe scădere:
de aflare a diferenței, a restului;
de aflare a unui număr care sa aibă un număr de unități mai puține decât un număr dat;
de aflare a unui termen atunci când cunoaștem suma și un termen al sumei;
probleme de genul ,,cu atât mai puțin";
probleme de aflare ,,cu cât este mai mare / mai mic" un număr decât altul.
Probleme simple bazate pe înmulțire:
de repetarea a unui număr dat de un număr de ori;
de aflare a produsului;
de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât un număr dat.
Probleme simple bazate pe împărțire:
de împărțire a unui număr dat în părți egale;
de împărțire prin cuprindere a unui număr prin altul;
de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mic decât un număr dat;
de aflare a unei părți dintr-un întreg;
de aflare a raportului a două numere;
de câte ori este mai mare / mai mic un număr față de altul.
În general dificultatea frecventă constă în confundarea operației ce trebuie efectuată. Se recomandă abordarea unei mari varietăți de enunțuri.
Prin procedeele folosite se urmărește nu o învățare a problemelor, ci formarea capacităților de a domina varietatea lor. Prin rezolvare elevii ajung să opereze în mod real cu numere, să facă operații de compunere și descompunere, să folosească strategii și modele mentale anticipative.
Rezolvarea problemelor compuse nu înseamnă rezolvarea succesivă a unor probleme simple. Nu rezolvarea problemelor simple la care se reduce problema compusă constituie dificultatea principală într-o problemă cu mai multe operații, ci legătura dintre verigi, construirea raționamentului. Când se rezolvă o problemă compusă, în esență, nu este vorba de probleme simple care se rezolvă izolat. Acestea fac parte din structura problemei compuse, rezolvarea fiecăreia dintre ele făcându-se în direcția aflării necunoscutei, fiecare problemă simplă rezolvată reprezentând raționamentul problemei compuse, de natură să reducă treptat numărul datelor necunoscute.
Examinarea unei probleme compuse se face, de regulă, prin metoda analitică sau sintetică. Cele două metode se pot folosi simultan sau poate să predomine una sau alta, caz în care metoda care predomină își impune specificul asupra căilor care duc la găsirea soluției. Atât o metodă cât și cealaltă constau în descompunerea problemei date în probleme simple care, prin rezolvare succesivă, duc la găsirea soluției finale. Deosebirea dintre ele costă, practic, în punctul de plecare al raționamentului. Prin metoda sintezei se pleacă de la datele problemei spre găsirea soluției, iar prin metoda analizei se pleacă de la întrebarea problemei spre datele ei și stabilirea relațiilor matematice între ele. În practică s-a stabilit că metoda sintezei este mai accesibilă, dar nu solicită prea mult gândirea elevilor. Mai mult, se constată că unii elevi pierd din vedere întrebarea problemei și sunt tentați să calculeze valori de mărimi care nu sunt necesare în găsirea soluției peoblemei. Metoda analitică pare mai dificilă, dar solicită mai mult gândirea elevilor și, folosind-o, îi ajută pe copii să privească problema în totalitatea ei, să aibă mereu în atenție întrebarea ei.
Odată cu analiza logică a problemei se formulează și planul de rezolvare. Planul trebuie scris de învățător pe tablă și de elevi pe caiete, mai ales la rezolvarea primelor probleme. În clasa I, planul problemei se întocmește la început oral, treptat se scrie. Forma în care se scrie planul este variată. O atenție deosebită trebuie să acorde învățătorul problemelor ce admit mai multe procedee de rezolvare, deoarece se cultivă mobilitatea gândirii, creativitatea, se formează simtul estetic al elevilor. Formarea priceperilor de a găsi noi procedee de rezolvare constituie o adevarată gimnastică a minții, educându-se astfel atenția, spiritul de investigație și perspicacitate al elevilor. De multe ori elevii nu sesizează de la început existența mai multor căi de rezolvare. Sarcina învățătorului este aceea ca prin maiestria sa pedagogică, prin analiza întreprinsă cu clasa, prin întrebări ajutătoare, să-i determine pe elevi să gândească și alte modalități de rezolvare.
Alt procedeu are la baza ca modalitate de rezolvare folosirea modelului logico-matematic obținut prin etape succesive: ,,modelul” oferă elevului posibilitatea să vadă unitar structura unei probleme, sesizând organizarea internă a conținutului ei. Elaborarea modelului în forme și modalități dintre cele mai variate – cu cerculețe, cu pătrate, cu litere, cu cuvinte, cu prescurtări, este un instrument ajutător în rezolvarea problemei. Prin alcătuirea modelului, elevul parcurge o etapă de gândire, pătrunde în procesul de rezolvare, probează că a înțeles structura logică a conținutului problemei, își exersează gândirea divergenta creatoare, precum și abilitățile de compunere de probleme.
O categorie de probleme căruia învățătorul trebuie să-i acorde o atenție deosebită este aceea în care datele sunt în relații de ,,cu atât mai mare /mai mic" sau ,,de atâtea ori mai mare / mai mic". Pentru elevii din clasa a II-a în special, aceste noțiuni au caracter abstract și dacă nu face o analiză foarte atentă a problemei ele pot fi luate ca valori numerice cunoscute. Dificultatea constă mai ales în faptul că o marime se ia de mai multe ori : a+(a+b); a – (a – b); a+a x b; a – a:b; a+(a+b)+(a+c) și dacă elevul nu și-a însușit noțiunile respective le va neglija, deci nu le va mai lua în calcul a doua sau, după caz, a n-a oară, sau , elevul în aceste situații nu știe cum să procedeze.
În aceste cazuri se recomandă descompunerea problemei compuse în probleme simple și apoi recompunerea din acestea a problemei inițiale.
În analiza problemelor este bine să nu se folosească totdeauna datele concrete așa cum sunt ele prezentate, explicându-se copiilor că acestea pot fi altele într-o altă problemă sau situație-problemă.
Rezolvarea problemelor după un plan de rezolvare necesită de multe ori folosirea schemelor, desenelor, graficelor, iar pentru formarea unei gândiri sintetice, formule numerice sau literale. Dacă atunci când se predau operațiile aritmetice se insistă asupra notării cu litere a termenilor și factorilor, dacă operațiile aritmetice sunt scrise la modul general și se cere elevilor să rezolve și să compună probleme simple de aflare a unui termen, a unui factor, a sumei, diferenței, produsului, câtului, să mărească, să micșoreze o cantitate de atâtea ori – folosind formule literale, elevii nu vor mai întâmpina greutăți mari în acțiunile de schematizare și generalizare a unei probleme compuse printr-un exercițiu numeric sau formulă literală.
II.4 Clasificarea și descrierea metodelor de rezolvare a problemelor de aritmetică
În primele clase se declanșează la elevi interesul sau repulsia pentru studiul matematicii. Interesul pentru matematică se cultiva prin conținutul învățământului matematic prin dezvăluirea secretului științei matematice prin activitatea către problematic și mai ales prin formele atractive de desfășurare a activității. Orice exagerare în sensul depășirii capacităților de întelegere îi îndepărtează pe micii școlari de matematică. Matematica înseamna gândire, o gândire organizată. Matematica este disciplina care poate și are menirea de a forma o gândire investigatoare, creatoare, o apropie de cunoștințele noi și în general o apropie de necunoscut. Acest obiect de învățământ se studiază nu pentru a se ști ci pentru a folosi, pentru a se aplica în practică. Trebuie să avem convingerea că matematica este o disciplină a realității, că ea are aplicabilitate în practica modernă. La vârsta școlară mică se pun bazele însușirii întregului sistem de cunoștinte matematice prin transmiterea noțiunilor fundamentale ale acestei științe. De aceea este necesar să privim predarea matematicii în școala nu fragmentar pe cicluri de învățământ ci într-o succesiune logică, unitară și continuă începând de la primul contact al copiilor cu matematica și sfârsind cu ultima clasă. Se impune deci o considerare integrală a învățământului matematic ale cărui repercusiuni coboară până la nivelul primar. Cadrul didactic este cel care trebuie să insufle elevilor că matematica este o sinteză a unui complex de calitați intelectuale morale și etice. Atunci elevii vor simți plăcerea de a se angaja în competiția intelectuală la orele de matematică cu aceeași bucurie cu care se întrec la jocurile sportive. Formarea unor deprinderi de învățare prin cercetare – descoperire și efort intelectual propriu, cu cât sunt fixate și consolidate mai de timpuriu cu atât au un efect formativ mai eficient materializat în dezvoltarea capacităților intelectuale superioare și aptitudinilor actului creator. Matematica este cu adevarat o gimnastică a minții, un crez al școlii moderne și una din principalele chei ale întelegerii lumii în care trăim. În procesul de învățământ, mai ales pentru însușirea matematicii, deoarece dificultățile de învățare sunt inerente și este necesar ca fiecare învățător să anticipeze, să descopere în activitatea de la clasa acele dificultăți și să proiecteze, să realizeze demersurile didactice în măsură să le preîntâmpine, să le diminueze și în final să le înlăture pentru a asigura succesul la învățătură al elevilor.
Rezolvarea problemelor de aritmetică, atât a celor care se rezolvă prin procedee generale cât și a celor care se rezolvă prin procedee speciale, constituie una din laturile fundamentale ale studierii aritmeticii. Prin rezolvarea problemelor, elevul pătrunde mai profund în înțelegerea celor studiate la matematică și capătă o deprindere de muncă intelectuală necesară în viață. Rezolvând probleme de matematică, elevii învăță să aplice aritmetică în viață, capătă deprinderea de a rezolva probleme practice, pe care viața le pune în fața lor. Cunoscând modul de aplicare a cunoștințelor matematice în rezolvarea problemelor, elevii capătă interes pentru această disciplină, unii din ei chiar o îndrăgesc. Rezolvarea problemelor contribuie la îmbogățirea cunoștințelor elevilor, din conținutul acestora ei putând afla lucruri pe care nu le studiază la alte discipline. Prin rezolvarea problemelor, elevii ajung să înțeleagă cele mai simple corelații dintre diferitele mărimi care se întâlnesc mai des în viață: viteză, distanță, timp, cantitate, preț și valoare, norma de producție, durata lucrului, dimensiunile liniare și aria unei figuri geometrice. Efortul pe care-l face elevul în rezolvarea conștientă a unei probleme presupune mobilizarea proceselor psihice de cunoaștere, cu precădere, a gândirii. La elevi se formează priceperea de a analiza situația dată de problemă (valorile numerice, relațiile cunoscute) și „a descoperi” calea prin care se obține ceea ce se cere în problemă. Aceasta duce la dezvoltarea gândirii, la formarea limbajului matematic, la educarea perspicacității și a spiritului de inițiativă. Prin rezolvarea sistematică a problemelor, mai întâi la un nivel elementar în clasele mici, apoi la un nivel tot mai înalt, crescând treptat independența elevilor în această muncă, nu se urmărește doar formarea unei deprinderi simple de a rezolva un anumit tip sau gen de probleme, ci formarea unui complex de priceperi și deprinderi care să le dea posibilitatea de a rezolva în mod independent orice problemă. Punerea problemei înseamnă apariția sau aducerea pe planul conștiinței a unui complex de situații care implică găsirea sau descoperirea unei noi relații, a unui nou aspect, a unei noi semnificații a fenomenului respectiv. Se pun astfel probleme teoretice cu aplicații în practică sau probleme direct practice. Soluția problemei, răspunsul la întrebarea problemei se descoperă prin activitatatea susținută a gândirii, care, mijlocind procesul cunoașterii, implică orientarea spre legăturile esențiale dintre lucruri și fenomene.
Elementele pricipale ale problemei sunt datele problemei sau valorile numerice cunoscute, relațiile dintre acestea și întrebarea problemei. A rezolva o problemă, vorbind la modul cel mai general, înseamnă ca din datele cunoscute să deducem valoarea numerică necunoscută, care se află în relații determinate cu datele cunoscute, dar care relații nu sunt exprimate în textul problemei, ci trebuie aflate, descoperite. Deci, prin elaborarea unui șir de raționamente pe baza datelor cunoscute, elevul poate ajunge sa răspundă la întrebarea problemei. Aceasta necesită un efort al gândirii și o atitudine creatoare a elevului, care vor fi cu atât mai susținute cu cât data necunoscută se găsește în relații mai îndepărtate, mai profunde, cu datele cunoscute ale problemei. Oricare ar fi situația, fie că descoperă ceva nou pentru el, o relație ascunsă îndepărtată, fie că pur și simplu îmbină o serie de cunoștințe care-l duc la rezultat, în rezolvarea oricărei probleme, gândirea elevului trebuie să fie pusă în fața unui efort. Cu acest efort se măsoară gradul de participare conștientă a elevului la rezolvarea problemelor și gradul de profunzime în însușirea acestora. Rezolvarea problemelor necesită un efort mai mare al gândirii decât rezolvarea exercițiilor. Exercițiul pune în fața elevului două sau mai multe numere legate între ele prin semnele operațiilor aritmetice, și rezolvarea lor constă în efectuarea unor calcule sau aplicarea unui procedeu dat (adunări, scăderi, înmulțiri, împărțiri, exerciții cu paranteze, aducerea fracțiilor la același numitor, rezolvarea ecuațiilor, etc.).
Problemele de aritmetică ar putea fi clasificate după mai multe criterii:
1. După conținut, se clasifică în, practice (probleme referitoare la mărimi) și teoretice (probleme referitoare la numere, operații și proprietațile operațiilor etc.);
2. După complexitate, ele se clasifică în probleme simple (în general cu o singură operație sau cu un grup dat de operații) și probleme complexe, cu două sau mai multe operații legate între ele;
3. După gradul de generalitate, ele se clasifică în probleme tipice și probleme compuse obișnuite, în cadrul problemelor tipice putând avea diverse tipuri (când se dă suma și diferența, suma sau diferența și raportul, etc.);
4. După metoda de rezolvare, ele se clasifică în probleme de aplicare directă a operațiilor și probleme reductibile la o metodă (falsă ipoteză, aducerea la același termen de comparatie, mersul invers, etc). Există și tendința de a clasifica problemele practice după conținutul lor concret: probleme cu conținut geometric, probleme de mișcare, densitate, etc.
Se știe că după rezolvarea unui număr de probleme asemănătoare, în mintea elevului se formează o schemă pe care o reproduce în condiții asemănătoare. Aceasta însă se bazează pe analiza și înțelegerea relațiilor dintre datele problemei, pe efortul făcut de gândirea lui până la sesizarea acestor relații. Se întâmplă ca atunci când nu se analizează suficient conținutul și datele problemei, schema mintală de rezolvare a problemei să se bazeze pe elementele neesențiale ale ei (mărimea valorilor numerice, poziția, ordinea lor în enunțul problemei). Elevii își fixează în acest caz o schemă pe care o aplică mecanic. Ei știu, de exemplu, că cheia de rezolvare a problemei constă în a lega prima valoare numerică cu cea de-a doua (uneori își fixează și operația aritmetică pe care o reproduc tot mecanic) și rezultatul cu a treia valoare numerică. O analiză profundă a problemei trebuie să-i pună pe elevi în situația de a recunoaște șirul de raționamente și atunci când se schimbă tematica problemei și mărimea valorilor numerice, și atunci când în enunțul problemei valorile numerice își schimbă locul. Elevii trebuie să le aprecieze după semnificația lor, după relația pe care o reprezintă, și nu după simpla poziție pe care o au în cadrul enunțului problemei.
La formarea priceperii de a analiza problema, contribuie și justa gradare a problemelor, care presupune implicit justa gradare a efortului la care este supusă gândirea elevului. Rezolvarea problemelor tipice contribuie la dezvoltarea gândirii elevilor și-i înarmează cu cunoașterea unor metode speciale de rezolvare a problemelor.
II.4.1 Metode generale
În activitatea de rezolvare a problemelor de aritmetică nu există o metodă unica ce poate fi folosită. O pondere mare o au metodele generale care au la bază cele două procese ale gândirii, analiza și sinteza, iar de aici pornesc cele două metode de rezolvare a problemelor, metoda analizei sau analitică și metoda sintezei sau sintetică.
II.4.1.1 Sinteza
”Sinteza este un cuvânt de origine grecească, care înseamnă strângerea într-un întreg a părților componente care au fost despărțite.” (Dumitru V., 2005, pag.50)
În matematică sinteza este o metodă de rezolvare foarte des întâlnită și constă în faptul că se pleacă de la ceva cunoscut cu pasi mici spre ceea ce trebuie să demonstrăm.
Metoda sintetică
Denumirea de ”metodă sintetică” provine de la modul de analiză a enunțurilor problemelor, care se face sintetic. Examinarea sintetică a unui enunț constă în a porni de la datele cunoscute ale problemei spre necunoscutele acesteia, prin formularea și rezolvarea de probleme simple, cu o singură operație. Deorece se pornește de la simplu la compus, metoda este foarte repede însușită de elevi, în special în rezolvarea acelor probleme care au datele aranjate în așa fel încât indică demersul necesar în rezolvarea problemei.
Aplicând metoda sintetică în demonstrarea teoremelor este necesară stăpânirea unor cunoștințe temeinice, trebuie să știm de la ce noțiuni plecăm pentru a ajunge la rezultat, sinteza unei teoreme nu ne indică ”calea” de urmat.
Pe de altă parte, sinteza unei probleme nu ne arată ce întrebări trebuie să folosim pentru a identifica necunoscuta. Pentru problemele simple se pot formula mai multe întrebări, de aceea este necesară o atenție sporită și cu pași mici, ajutați de cunoscutele problemei să fim conduși spre rezultatul final. Oricât de grea ar fi metoda sintezei, nu este indicat să se renunțe la ea, din contră să se învețe.
Exemplu:
”Într-un laborator de cofetărie, într-o zi, s-au produs 274 eclere, savarine cu 62 mai multe, negrese de 5 ori mai puține decât eclere și savarine la un loc, iar indiene cu 25 mai puține decât negrese.
Câte prăjituri s-au produs la laborator în acea zi?” (Dumitru V., 2005, pag.53)
Aplicând metoda sintezei vom rezolva problema astfel:
Se dă:
274 eclere;
cu 62 mai puține savarine;
negrese, de 5 ori mai puține decât eclere și savarine la un loc;
indiene, cu 25 mai puține decât negrese:
Se cere:
Câte prăjituri s-au produs la laborator în acea zi?
Demonstrație:
Știind numărul eclerelor produse și faptul că savarine s-au produs cu 62 mai multe, identificăm numărul acestora:
274+62=336 (savarine)
Știind numărul eclerelor și al savarinelor, găsim numărul negreselor. Aici, în funcție de nivelul clasei cu care lucrăm, putem formula o singură problemă întermediară compusă sau două probleme simple.
(274+336):5=610:5=122 (negrese)
Știind numărul negreselor, putem afla numărul indienelor, astfel:
122-25=97 (indiene)
După ce am aflat cu ajutorul problemelor intermediare numărul prăjiturilor din fiecare sortiment putem identifica numărul total de prăjituri produs de laborator:
274+336+122+97=829(prăjituri)
Soluția problemei: 829 prăjituri
II.4.1.2 Analiza
Analiza în matematică se realizează pornind de la propoziții generale spre propoziții particulare sau mai exact de la necunoscut spre necunoscut.
Metoda analitică
Denumirea de ”metodă analitică” sau ”demonstrație analitică” provine de la faptul că analiza enunțurilor problmelor se face analitic. A analiza analitic un enunț presupune a porni de la întrebarea problemei spre cunoscut, spre ipoteză. Astfel elevul este pus în situația de a formula o a două problemă astfel încât răspunsul să fie același cu cel de la problema inițială. În problema nouă nu se folosesc toate datele poblemei inițiale, însă apar unele date necunoscute sau mărimi auxiliare. În această situație trebuie formulată o altă problemă a cărei rezolvare trebuie să conducă la identificarea necunoscutelor, până se ajunge la formularea unei probleme cu toate datele cunoscute. Din momentul în care toate datele problemei sunt cunoscute, operațiile aritmetice se efectuează sintetic.
Exemplu:
”La un magazin alimentar s-au adus 2440 kg de brânză. A zecea parte a fost cumpărată de o cantină, 900 de kg au fost oprite pentru a fi vandute populației, iar restul a fost repartizată în mod egal la 16 bufete.
Câte kg de brânză a primit fiecare bufet?”
Aplicând metoda analitică, se formulează prima problemă astfel:
”La un magazin alimenar s-au adus 2440 kg de brânză. O parte din brânza adusă a fost vanduta populației și unei cantine. Cantitatea de brânză rămasă a fost împărțită în mod egal la 16 bufete.
Ce cantitate de brânză a prmit fiecare bufet?”
Întrucât avem mai multe necunoscute se formulează a doua problemă astfel:
”La un magazin alimentar s-au adus 2440 kg de brânză. A zecea parte din ea a fost vândută unei cantine, iar 900 de kg populației.
Ce cantitate de brânză vinde magazinul?”
Acestă problemă poate fi analizată sintetic, după schema următoare:
2440:10→ X, valoare necunoscută a problemei inițiale
→ X =244 (kg brânză vândută cantinei)
244+900→ Y, valoare necunoscută a problemei inițiale
→Y = 1144(kg brânzâ vândută de magazin)
Este necesară a treia problemă, după cum urmeză:
” La un magazin alimentar s-au adus 2440 kg de brânză. Din acestă cantitate, 1144 de kg s-au vândut. Cantitatea de brânză rămasă s-a distribuit unor bufete.
Ce cantitate de brânză s-a distribuit bufetelor?”
Schema sintetică de rezolvare a acestei probleme este următoarea:
2440 – 1144 → Q, valoare cerută în această problemă
Găsim Q = 1296 (kg brânză s-a distribuit bufetelor)
Întrucât cunoaștem toate datele problemei, putem găsi cantitatea de brânză ce se distribuie unui bufet, după următoarea schemă:
1296 : 16 → P, valoarea cerută de problema inițială
→ P = 81 (kg brânză distribuita unui bufet)
Soluția: 81 kg brânză s-a distribuit unui bufet
Specific faptul că la clasă este necesară adăugarea planului logic și cel operațional pentru fiecare problemă în parte. În general, la această metodă se folosește o formă echivalentă de aplicare a analizei. Să presupunem că trebuie să aflăm o necunoscută D. Căutăm mărimile D1, D2, D3…. cu ajutorul cărora putem afla necunoscuta D. În acest fel nu este necesară scrierea problemelor intermediare, se elaborează doar chemele intermediare si doar se specifică doar mărimile pe care acestea le-ar cuprinde.
În cazul exemplului nostru schema ar fi:
Diferența dintre sinteză și analiză constă în faptul că nu se întâmpină probleme în identificarea întrebărilor problemelor intermediare. Dacă la sinteză trebuie să se acorde o atenție sporită în identificare întrebării corecte, la anliză este un șir de judecăți bine închegat care trebuie urmat.
II.4.1.3 Metoda analitico – sintetică
În legătură cu cele două metode generale de examinare a unei probleme, se menționează faptul că procesul analitic nu apare și nici nu se produce izolat de cel sintetic, întrucât cele două operații ale gândirii se găsesc într-o strânsă conexiune și interdependență, ele condiționându-se reciproc și realizându-se într-o unitate inseparabilă. De aceea nu poate fi vorba de utilizarea în mod exclusiv a uneia sau alteia din aceste metode, în examinarea unei probleme intervenind ambele metode ca laturi separate ale procesului unitar de gândire, însă în anumite momente sau situații una din ele devine dominantă. Astfel, descompunerea unei probleme compuse în problemele simple din care este alcătuită, constituie în esență un proces de analiză, iar formularea planului de rezolvare, cu stabilirea succesiunii problemelor simple, constituie un proces de sinteză. Din aceste motive, cele două metode apar adeseori sub o denumire unic: metoda analitico-sintetică.
În practică s-a demonstrat că metoda sintetică este mai accesibilă, dar nu solicită prea mult gândirea elevilor. Mai mult, se constată că unii elevi pierd din vedere întrebarea problemei și sunt tentați să calculeze valori de mărimi care nu sunt necesare în găsirea soluției problemei.
Metoda analitică pare mai dificilă, dar solicită mai mult gândirea elevilor și folosind-o, îi ajută pe copii să privească problema în totalitatea ei, să aibă mereu în atenție întrebarea problemei.
Rezolvând problemele prin metoda analitico-sintetică, trebuie o atenție sporită din partea elevului deoarece se poate pleca de la datele problemei și apoi urmăm calea sintezei, sau putem pleca de la sinteză însă dacă nu este siguranță în alegerea datelor ce trebuie luate în considerare pentru găsirea altor necunoscute, mergem pe metoda analizei, iar cand intervine siguranța în formularea problemelor intermediare, apoi mergem pe metoda inițială.
Exemplu:
”În trei lăzi se găsește zahăr cu 3 lei kg, în valoare de 6750 de lei. Dacă din prima ladă se toarnă în a doua ladă 26 kg de zahăr și în a treia 23 kg de zahăr, atunci în fiecare ladă va fi aceiași cantitate de zahăr. Câte kg de zahăr au fost în fiecare ladă la început?” (Dumitru V., 2005, pag.60)
În rezolvarea acestei probleme vom aplica metoda analitico – sintetică.
Se dă:
1 kg zahăr = 3 lei;
În 3 lazi se află zahăr în valoare de 6750 lei;
Din prima ladă se se tornăîn a doua ladă 26 kg de zahăr și în a trei 23 de kg, apoi cele trei lăzi au cantități egale de zahăr;
Se cere:
Câte kg de zahăr au fost în cele trei lăzi la început?
Rezolvare:
Știind valoarea unui kg de zahăr și valoarea totală a zahărul putem afla câte kg de zahăr au fost în cele trei lăzi, aici intervenind metoda sitetică
1.Câte kg de zahăr au fost în cele trei lazi?
6750 : 3 = 2250 (kg de zahăr)
În continuare rezolvarea problemei se face anlitic, plecăm de la cerința problemei și se va utiliza informația obținută, numărul de kg de zahăr existent. Însă pentru a găsi câte kg de zahăr au fost la început în fiecare ladă suntem nevoiți să găsim câte kg de zahăr au fost la sfârțit în fiecare ladă.
Deci se continuă problema sintetic, parcurgând invers problemele simple.
2. Câte kg de zahăr au fost în fiecare ladă la sfârșit?
2250 : 3 = 750 (kg zahăr în fiecare ladă la final)
3. Câte kg de zahăr au fost în fiecare ladă la început?
– în prima ladă au fost la început: 750 + 26 + 23 = 799 (kg zahăr)
– în a doua ladă au fost la început: 750 – 26 = 724 (kg zahăr)
– în a treia ladă au fost la început: 750 – 23 = 747 (kg zahăr)
Verificare:
799 + 724 + 747 = 2250 (kg zahăr)
Soluții: 799 kg zahăr, 724 kg zahăr și 743 kg zahăr
II.4.2 Metode particulare de rezolvare problemelor
După studiile dezvoltării intelectuale desprinse din sarcinile pe care trebuie să le aibă învățătorul, psihologul elvețian Jean Piaget susține caracterul permanent al operațiilor concret – logice, pentru copilul care frecventează cursurile învățământului primar.
Gândirea concretă a copiilor la această vârstă se manifestă prin operații logice elementare. Modurile de învățare, specifice diferitelor stadii, contribuie la dezvoltarea capacităților copilului în stadiile următoare. Pentru realizarea acestui deziderat, sunt foarte importante acțiunile implicate, metodele folosite.
La matematică, rezolvarea unei probleme, adică determinarea necunoscutei, care satisface enunțul, poate fi numerică sau grafică. Încadrarea rezolvării într-unul din modurile de rezolvare este deosebit de importantă. În cazul rezolvării grafice, mărimile căutate sunt reprezentate prin intermediul unor imagini geometrice (segmente de dreaptă, dreptunghiuri, pătrate etc). Această reprezentare poate avea doua funcții de bază: să ilustreze rezolvarea clasică sau să constituie un mod aparte de rezolvare.
II.4.2.1 Metoda reducerii la unitate
Metoda reducerii la unitate este una dintre primele metode pe care elevii le întâlnesc în momentul în care iau contact cu rezolvarea problemelor compuse. Demersul rezolvării acestor probleme este simplu, întrucât are un demers natural, se poate deduce simplu dependențele existente între mărimi.
Metoda reducerii la unitate constă în compararea mărimilor date în problemă cu aceiași mărime, luată ca unitate de măsură. Această metodă prezintă avantajul că este foarte accesibilă putând fi folosită de fiecare elev într-o gamă variată de probleme. Singura dificultate fiind ceea de a stabili dacă marimile sunt direct proporționale sau invers proporționale.
Dacă mărimile sunt direct proporționale, de câte ori crește una dintre mărimi, tot de atâtea ori crește și cealaltă mărime. Aceiasi situație este și în cazul în care mărimile scad.
Dacă mărimile sunt invers proporționale, de căte ori crește (sau scade) una dintre mărimi, de atâtea ori scade (sau crește) cealaltă dintre mărimi. Trebuie observat faptul ca dacă o mărime crește, cealaltă scade sau invers.
Exemple:
”În 6 cutii de același fel se află 48 de bomboane. Câte bomboane se află în 8 cutii de același fel?”
Se dă:
În 6 cutii de același fel sunt 48 bomboane
Se cere:
Câte bomboane se află în 8 cutii de același fel?
Rezolvare:
Pentru a afla câte bomboane se află în 8 cutii trebuie să aflăm câte bomboane se află într-o cutie. După cum se poate observa este vorba de o problemă cu mărimi direct proporționale, daca în 6 cutii sunt 48 de bomboane, în 8 cutii vor fi mai multe bomboane.
Avem astfel prima problemă simplă:
Câte bomboane sunt într-o cutie?
48 : 6 = 8 (bomboane sunt într-o cutie)
Câte bomboane se află în 8 cutii de același fel?
8 X 8 = 64 (bomboane)
Soluție: 64 bomboane sunt în 8 cutii
Pentru a evita scrierea întrebărilor problemelor simple, putem folosi următoarea așezare a datelor problemei:
6 cutii ……………. 48 bomboane
1 cutie …………… 48 : 6 = 8 ( bomboane )
8 cutii ……………. 8 X 8 = 64 ( bomboane )
Soluție: în 8 cutii sunt 64 de bomboane.
” 6 tractoare pot ara un teren în 4 zile. În câte zile vor ara același teren 8 tractoare?”
Se dă:
6 tractoare ară un teren în 4 zile
Se cere:
În câte zile vor ara același teren 8 tractoare?
Rezolvare:
Pentru a afla în câte zile vor ara cele 8 tractoare terenul trebuie să aflăm în câte zile ar ara terenul un singur tractor. După cum se poate observa este vorba de o problemă cu mărimi direct proporționale, daca 6 tractoare ar ara terenul în 4 zile, 8 tractoare vor ara terenul într-un număr mai mic de zile.
În câte zile ar ara terenul un tractor?
6 X 4 = 24 (zile)
În câte zile vor ara terenul 8 tractoare?
24 : 8 = 3 (zile)
Soluție: 8 tractoare vor ara terenul în 3 zile
Pentru a evita scrierea întrebărilor problemelor simple, putem folosi următoarea așezare a datelor problemei:
6 tractoare ……………. 4 zile
1 tractor …………… 6 X 4 = 24 ( zile )
8 tractoare ……………. 24 : 8 = 3 ( zile )
Soluție: 8 tractoare vor ara terenul în 3 zile.
”Un tren parcurge distanța dintre două orașe în 20 de ore cu o viteză medie de 35km/h. Cât timp va trebui ca trenul să parcurgă aceiași distanța, dacă viteza sa se va mări cu 15 km/h?”
Se dă:
Un tren parcurge o distanță în 20 de ore cu o viteză de 35km/h
Se cere:
În câte ore va parcurge trenul distanța dintre cele două orașe cu o viteză de 50km/h
Rezolvare:
Pentru a afla în câte ore va parcurge trenul distanța dintre cele două orașe cu viteza de 35km/h la care se adaugă o viteză de 15km/h, trebuie sa aflam în câte ore ar parcurge distanța cu o viteză medie de un km/h. După cum putem observa datele problemei sunt cu mărimi invers proporționale.
Astfel, putem identifica prima întrebare pentru problema simplă:
În câte ore ar parcurge distanța trenul cu viteza de 1 km/h?
20 ore X 35km/h = 700 (ore)
Care este viteza trenului după marire?
35km/h + 15 km/h = 50 (km/h)
Cât timp va trebui să parcurgă trenul distanța cu o viteză de 50 km/h?
700 ore : 50km/h = 14 (ore)
Soluție: trenul parcurge distanța dintre cele două orașe cu viteza de 50km/h în 14 ore
Pentru a evita scrierea întrebărilor și pentru a ușura munca elevilor, vom folosi următoare asezare schematică:
35 km/h …………….. 20 de ore
1 km/h ……………….20ore X 35 km/h = 700 ore
35km/h + 15 km/h ……….700 ore: 50km/h = 14 ore
Soluție: trenul pargurge distanța dintre cele două orașe cu viteza de 50km/h în 14 ore
”Într-o încăpere inundată erau 600 găleți cu apă. Pentru golirea apei din încăpere respectivă s-au montat două pompe. O pompă pompează în 2 ore 96 de găleți, iar cealaltă pompează în 3 ore 129 de găleți. După cât timp se scoate toată apa din încăpere cu cele două pompe, dacă în fiecare oră revin în încăpere 17 găleți de apă?”
Se dă:
Într-o încăpere sunt 600 găleți de apă
O pompă pompează în 2 ore 96 găleți de apă;
A doua pompă pompează în 3 ore 129 găleți de apă;
După fiecare oră în încăpererevin 17 găleți de apă;
Se cere:
După cât timp se scoate apa din încăpere?
Rezolvare:
Pentru a găsi în câte zile se va scoate toată apa din încăpere cu cele două pompe, trebuie să aflăm câte găleți de apă vor scoate cele două pompe într-o oră, apoi cu câte găleți de apă se micșorează cantitatea de apă în fiecare oră, abia apoi putem identifica în cate ore se scoate toată apa din încăpere.
Se identifică astfel următoarele întrebări pentru problemele simple:
Câte găleți de apă scot cele două pompe într-o oră?
96 : 2 = 48 (găleti de apă scoate prima pompă)
129 : 3 = 43 (găleți de apă scoate a doua pompă)
48 + 43 = 91 (găleți de apă scot cele două pompe)
Cu câte găleți de apă se micșărează cantitatea de apă, din încăpere, în fiecare oră?
91 – 16 = 75 (găleți de apă )
După câte ore se scoate din încăpere toată apa?
600 : 75 = 8 (ore)
Soluție: după 8 ore se scoate toată apa din încăpere
II.4.2.2 Metoda comparației
Comparația apare, în aritmetică, mai ales în problemele în care două mărimi necunoscute sunt legate între ele prin două relații liniare, bine precizate de problemă, caz în care rezolvarea unor astfel de probleme se face prin eliminarea uneia dintre mărimi în funcție de cealaltă marine. Observăm, prin urmare, că este vorba de rezolvarea acelor probleme care prin metode algebrice s-ar rezolva cu ajutorul unor sisteme de ecuații liniare particulare. Desigur, pot fi mai multe mărimi decât două în relații liniare, numărul acestor relații fiind egal, bineînțeles, cu numărul mărimilor.
Metoda comparației constă în a elimina o mărime necunoscută din mai multe mărimi necunoscute, date în problemă, comparând condițiile pe baza cărora s-au stabilit cele două relații. Relațiile pe care le stabilim între mărimi sunt niște ecuații cu două, trei sau mai multe necunoscute, iar eliminarea unei necunoscute se va face prin reducerii, anume prin adunare, prin scădere, egalarea mărimilor sau prin înlocuire. Însă, fiind vorba de clasa a IV-a , și de aritmetică, relațiile se scriu pe scurt, prin cuvinte, acestea se așează unele sub altele, astfel încât mărimile de același fel să fie în aceiași coloană. În rezolvarea acestor probleme se pornește de la relația dintre mărimi, înlocuindu-se unele pe altele. De asemenea, pentru rezolvarea acestor probleme, elevii trebuie să se asigure mai întâi că aceste probleme se rezolvă prin metoda comparației, apoi dacă una dintre primele două mărimi au aceleași valori numerice, atunci se elimină acea mărime prin scădere.
Exemple:
Eliminarea unei necunoscute prin scădere
„5 pixuri și 7 caiete costă împreună 29 lei, iar 5 pixuri și 4 caiete costă 23 lei. Cât costă un pix și un caiet?”
Se dă:
5 pixuri ………………… 7 caiete …………………. 29 lei
5 pixuri…………………. 4 caiete …………………. 23 lei
Se cere:
Care este prețul unui pix și care este prețul unui caiet?
Rezolvare:
Comparând mărimile (pixuri și caiete), care apar în relația anterioară, constatăm următoarele:
avem același număr de pixuri: 5
diferă numărul de caiete, respectiv sumele în lei, după cum urmează:
1.Care este diferența dintre numărul de caiete?
7 – 4 = 3 (caiete)
2. Care este diferența de bani?
29 – 23 = 6 ( lei ) → 3 caiete costă 6 lei
→ 1 caiet = 2 lei
Atunci:
5 pixuri ………………… 4 caiete …………………. 23 lei
8 lei
→5 pixuri costă 23 – 8 = 15 lei
→1 pix = 15 : 5
→1 pix= 3 lei
Soluție: un caiet costă 2 lei
un pix costă 3 lei
Verificare:
(5 X 3)+ (7 X 2) = 29 lei
Eliminarea unei necunoscute prin înlocuirea ei
„3 atlase și 4 cărți costă împreună 275 lei. Cât costă un atlas și o carte, știind că o carte costă de două ori mai mult decât un atlas?”
Se dă:
3 atlase ………………. 4 cărți………………275 lei
1 carte ————— 2 atlase
Se cere:
Care este prețul unui atlas și a unei cărți?
Rezolvare
Știind (din ipoteză, din datele problemei) că o carte costă cât 2 atlase, vom „înlocui” (elimina) cărțile prin atlase cu scopul de-a „scăpa” de o necunoscută și de-a rămâne doar cu o necunoscută – atlase
→3 atlase ………………….. (4×2) atlase……………….275 lei
→ 11 atlase ………….. 275 lei
→1 atlase = 275 : 11
→ 1 atlas = 25( lei)
Atunci:
→1 carte = 25 X 2
→ 1 carte = 50( lei)
Soluție: 1 atlas costă 25 lei
carte costă: 50 lei
Verificare: ( 3 X 25 ) + ( 4 X 50) = 275 lei
(750+200) lei = 275 lei
Eliminarea unei necunoscute prin adunarea primelor două
”O gospodină a cumpărat, în prima zi, 5 kg de mere, 4 kg de struguri și 6 kg de prune plătind 290 de lei. A doua zi a plătit 265 de lei pentru 4 kg de mere, 5 kg de struguriși 4 kg de prune, iar în a treia zi plătește 480 de lei pentru 9 kg de mere, 9 kg de struguri și 5 kg de prune.
Află cât costă 1 kg din fiecare, dacă prețurile au fost aceleași în fiecare zi?”
Se dă:
5 kg mere…..4 kg struguri ….. 6 kg prune …… 290 lei
4 kg mere….. 5 kg struguri ….. 4 kg prune … .. 265 lei
9 kg mere ….. 9 kg struguri ….. 5 kg prune ….. 480 lei
Se cere:
Cât costă un kg de mere, un kg de struguri și un kg de prune?
Rezolvare:
Pentru a aduce la aceiași mărime de comparație, este necesar să se adune primele două mărimi :
9 kg mere….. 9 kg struguri ….. 10 kg prune ….. 555 lei
9 kg mere ….. 9 kg struguri ….. 5 kg prune ….. 480 lei
→ 5 kg prune = 555 – 480
→ 5 kg prune = 75 lei
→1 kg prune = 15 lei
5 kg mere…..4 kg struguri ….. 200 lei / X 5
4 kg mere….. 5 kg struguri ….. 205 lei / X 4
→25 kg mere…..20 kg struguri ….1000 lei
→16 kg mere…..20 kg struguri ….820 lei
→9 kg mere = 1000 – 820 lei
→9 kg mere = 180 lei
→1 kg mere = 180 : 9 = 20 lei
→ 4 kg struguri = 290 – (5 X 20 + 6 X 15)
→4 kg struguri = 290 – 190
→ 4 kg struguri = 100 lei
→1 kg struguri = 25 lei
Soluție: 1 kg mere – 20 lei
1 kg struguri – 25 lei
1 kg prune – 15 lei
Verificare:
5 X 20+ 4 X 25 +6 X 15 = 100 + 100 + 90 = 290 (lei )
II.4.2.3 Metoda ipotezelor
Această metodă constă în a face o ipoteză oarecare (deși de obicei se pleacă de la ipoteza „toate la un fel”), nu în ideea de a nimeri răspunsul, ci pentru a vedea nepotrivirea cu enunțul și ce modificări trebuie să facem asupra ei. Metoda se numește a falsei ipoteze, pentru că se bazează pe presupunerea că ipoteza nu ar fi conformă adevărului.
Metoda falsei ipoteze este metoda aritmetică prin care rezolvarea unei probleme are loc pe baza unei presupuneri, a unei ipoteze, confruntând apoi situația reală cu cea creată prin introducerea datelor ipotetice. Numele metodei se justifică prin faptul că ipoteza care se face nu corespunde decât întâmplător cu rezultatul problemei. Ea se utilizează în toate cazurile în care, prin ipotezele care se fac, se poate ajunge la stabilirea relațiilor dintre datele problemei și la rezolvarea ei. De regulă, se pleacă de la întrebarea problemei, în sensul că asupra mărimii care se caută se face o presupunere complet arbitrară. Se reface apoi problema pe baza presupunerii făcute. Deoarece mărimile sunt proporționale, rezultatele obținute pe baza presupunerii se translatează în plus sau în minus, după cum presupunerea făcută este mai mică, respectiv mai mare decât rezultatul real. Refăcând, așadar, problema, se ajunge la un rezultat care nu concordă cu cel real din problemă. El este fie mai mare, fie mai mic decât acesta. În acest moment se compară rezultatul pe baza presupunerii, cu cel real din punct de vedere al câtului și se observă de câte ori s-a greșit când s-a făcut presupunerea. Se obține, așadar, un număr cu ajutorul căruia se corectează presupunerea făcută, în sensul că se micșorează sau se mărește de acest număr de ori. Metoda are și unele variante de aplicare, dar, în principiu, ea rămâne cea descrisă mai sus. Metoda ipotezelor se aplică cu succes și în cazul problemelor în care există proporționalitate între variațiile valorilor mărimii necunoscute, valori care se înlocuiesc cu o valoare oarecare.
Problemele a căror rezolvare se bazează pe metoda presupunerilor sau ipotezelor, a falsei ipoteze, se pot clasifica în două categorii, în funcție de numărul ipotezelor care sunt necesare pentru orientarea raționamentului și determinarea rezultatelorse clasifică în:
problemele pentru rezolvarea cărora este sufiecientă o singură ipoteză;
În această categorie de probleme se cunoaște numărul numărul total de unități de două feluri, valoarea totală și valoarea fiecărei unități, apoi se cerenumărul unităților de fiecare tip.
problemele pentru rezolvarea cărora sunt necesare două sau mai multe ipoteze succesive.
De asemenea, problemele rezolvabile prin metoda ipotezelor, pot fi împărțite în două grupe:
probleme în care se presupune că valoarea mărimii care se cere este chiar una dintre valorile date în problemă;
Probleme în care se dă mărimii cerute o valoare oarecare, iar pe baza acelei valori se calculează celelalte valori ale mărimilor.
Exemple:
Probleme pentru rezolvarea cărora este suficientă o ipoteză
„18 caiete de 48 file și respectiv 200 file au împreună 2080 file. Câte caiete sunt de fiecare fel?”
Se dă:
18 caiete de 48 și 200 de file au împreună 2080 file;
Se cere:
Câte caiete de fiecare fel sunt?
Rezolvare:
Încercăm o ipoteză oarecare și anume că toate caietele sunt cu 48 file, atunci obținem:
18 caiete X 48 file = 864 file
Diferența de 1216 file apare din faptul că printre caietele luate în considerare sunt și unele cu 200 file, adică cu 152 file mai mult.
2080 – 864 = 1216 (file)
200 – 48 = 152 (file)
Atunci, numărul caietelor care au 200 file se obține astfel:
1216 : 152 = 8 (caiete) →numărul caietelor cu 48 file astfel: 18 – 8 = 10 (caiete)
Soluție: 8 caiete cu 200 file
10 caiete cu 48 file
Verificare
10 + 8 = 18 caiete
200 X 8 + 48 X 10 = 1600 + 480 = 2080 file
Se poate porni și de la ipoteza că toate caietele au 200 file. Atunci obținem:
18 X 200 = 3600 (file)
Diferența de 1520 file apare din faptul că printre caietele luate în considerare sunt și unele cu 48 file, adică cu 152 file mai puțin:
3600 – 2080 = 1520 (file)
200 – 48 = 152 (file) → numărul caietelor care au 48 de file se obține astfel:
1520 : 152 = 10 (caiete ) → numărul caietelor cu 200 file va fi:
18 – 10 = 8 (caiete)
Răspuns: 8 caiete cu 200 file
10 caiete cu 48 file
Verificare: 10 + 8 = 18 (caiete)
200 X 8 + 48 X 10 = 1600 + 480 = 2080 (file)
”Un bloc cu 50 de apartamente cu 2 și 5 camere are 190 camere. Câte apartamente sunt cu 2 și câte cu 5 camere?”
Se dă:
50 apartamente cu 2 și 5 camere, în total 190 camere;
Se cere:
Câte apartamente sunt cu 2 camere și câte cu 5 camere?
Rezolvare:
Încercăm o ipoteză oarecare și anume că toate apartamentele sunt cu 5 camere, atunci obținem:
50 apartamente X 5 camere = 250 camere
Diferența de 60 camere apare datorită faptul că printre apartamentele luate în considerare sunt și unele cu 2 camere, adică cu 3 camere mai puține.
250 – 190 = 60 (camere)
5 – 2 = 3 (camere)
Atunci, numărul apartamentelor cu 2 camere se obține astfel:
60: 3 = 20 (apartamente) →numărul apartamentelor cu 5 camere astfel:
50 – 20 = 30 (apartamente)
Soluție: 20 apartamente cu 2 camere
30 apartamente cu 5 camere
Verificare
20 + 30 = 50 apartamente
20 X 2+30 X 5 = 40 + 150 = 190 camere
Se poate porni și de la ipoteza că toate apartamentele au 2 camere. Atunci obținem:
50 X 2 = 100 (camere)
Diferența de 90 camere apare din faptul că printre apartamentele luate în considerare sunt și unele cu 5 camere, adică cu 3 camere mai mult:
190 – 100= 90 (camere)
5 – 2 = 3 (camere) → numărul apartamentelor cu 5 camere se obține astfel:
90 : 3 = 30 (apartamente ) → numărul apartamentelor cu 2 camere va fi:
50 – 30 = 20 (aparamente)
Răspuns: 20 apartamente cu 2 camere
30 apartamente cu 5 camere
Verificare: 20 + 30 = 50 (apartamente)
20 X 2 + 30 X 5 = 40 + 150= 190 (camere)
Probleme pentru rezolvarea cărora sunt necesare mai multe ipoteze
„Într-o clasă se află un anumit număr de bănci. Dacă în fiecare bancă se vor așeza câte doi elevi, atunci 7 dintre ei nu vor avea loc; dacă în fiecare bancă se vor așeza câte 3 elevi, atunci 5 bănci vor rămâne neocupate. Să se afle numărul elevilor și numărul băncilor”.
Se dă:
Într-o clasă sunt un număr de bănci, daca în fiecare bancă se asează câte doi elevi, 7 elevi nu au loc, iar dacă în fiecare bancă se asează 3 elevi, 5 bănci rămân libere;
Se cere:
Care este numărul elevilor și numărul băncilor?
Rezolvare:
Presupunem că sunt 8 bănci, atunci numărul elevilor va fi:
X 2 + 7 = 16 + 7 = 23 (elevi) dacă se vor așeza câte 2
Dacă se așează câte 3:
8 – 5 = 3 (bănci ocupate)
3 X 3 = 9 (elevi)
Diferența este:
23 – 9 = 14 (elevi)
Presupunem că avem 9 banci. Numărul elevilor, dacă se vor așeza câte 2 vor fi :
X 2 + 7 = 18 + 7 = 25 (elevi)
Dacă se așează câte 3:
– 5 = 4 (bănci ocupate)
4 X 3 = 12 (elevi)
Diferența este de: 25 – 12 = 13 (elevi)
Presupunem că avem 10 banci. Numărul elevilor, dacă se vor așeza câte 2 vor fi :
X 2 + 7 = 20 + 7 = 27 (elevi)
Dacă se așează câte 3:
– 5 = 5 (bănci ocupate)
5 X 3 = 15 (elevi)
Diferența este de: 27 – 15 = 12 (elevi)
Se constată că, mărind numărul băncilor cu 1, diferența între numărul de elevi se micșorează cu 1. Această diferență trebuie să fie 0. Pentru că numărul de elevi este același, înseamnă că trebuie să mărim numărul de bănci cât s-a presupus inițial cu 14, deci vor fi:
14 + 8 = 22 (bănci) → au fost:
22 X 2 + 7 = 44 + 7 = 51 (elevi)
Soluție: 22 bănci
51 elevi
Verificare
51 : 3 = 17 (bănci ocupate)
17 + 5 = 22 (bănci)
”Într-o cameră sunt trei fete Maria, Alina și Diana de vârste diferite. Peste 4 ani vârsta Dianei va fi de 2 ori mai mare decât cea a Alinei. Cu 6 ani în urmă, vârsta Alinei era de două ori mai mare decât vârsta Mariei, iar peste 14 ani vârsta Dianei este de două ori mai mare decât a Mariei.
Ce vârstă au în prezent fiecare din cele trei fete?”
Se dă:
Într-o cameră sunt trei fete cu vârste diferite;
Se cere:
Care este în prezent vârsta fiecăreia?
Rezolvare:
Presupunem că acum 6 ani, vârsta Mariei era de 1 an → următoarea situație:
acum 6 ani peste 4 ani peste 14 ani
Maria 1 an 11 ani 21 ani
Alina 2 ani 12 ani 22 ani
Diana 14 ani 24 ani 34 ani
→ reiese din cele găsite mai sus că dacă vârsta Mariei din trecut este de un an, atunci peste 14 ani Diana va avea 34 de ani, însă din relațiile date în problemă, Diana trebuie să aibă dublul vârstei Mariei
→ 21 X 2 = 42 ani → rezultă o diferență de 42 – 34 = 8 ani
ceea ce ne determină să emitem o nouă ipoteză
Presupunem că acum 6 ani, vârsta Mariei era de 2 ani → următoarea situație:
acum 6 ani peste 4 ani peste 14 ani
Maria 2 ani 12 ani 22 ani
Alina 4 ani 14 ani 24 ani
Diana 18 ani 28 ani 38 ani
→ reiese din cele găsite mai sus că dacă vârsta Mariei din trecut este de 2 ani, atunci peste 14 ani Diana va avea 38 de ani, însă din relațiile date în problemă, Diana trebuie să aibă dublul vârstei Mariei
→ 22 X 2 = 44 ani → rezultă o diferență de 44 – 38 = 6 ani
→ că dacă am mărit cu un an vârsta Mariei, diferența scade cu 2 ani, ceea ce ne determină să emitem o a treia ipoteză:
Presupunem că acum 6 ani, vârsta Mariei era de 3 ani → următoarea situație:
acum 6 ani peste 4 ani peste 14 ani
Maria 3 ani 13 ani 23 ani
Alina 6 ani 16 ani 26 ani
Diana 22 ani 32 ani 42 ani
→ reiese din cele găsite mai sus că dacă vârsta Mariei din trecut este de 3 ani, atunci peste 14 ani Diana va avea 42 de ani, însă din relațiile date în problemă, Diana trebuie să aibă dublul vârstei Mariei
→ 23 X 2 = 46 ani → rezultă o diferență de 46 – 42 = 4 ani
→ rezultă că la fiecare an adaugat la vârsta de acum a Mariei, diferența se micșorează cu două unități;
→ că trebuie să mărim vârsta inițială a Mariei cu 8 : 2 = 4 ani
→ Maria avea 1 + 4 = 5 ani
→ vârsta actuală a Mariei 5 + 6= 11 ani
→vârsta Alinei este 10 + 6 = 16 ani
→vârsta Dianei este (16 + 4) X 2 – 4 = 20 X 2 – 4 = 40 – 4 = 36 ani
Soluție:
Maria 11 ani, Alina 16 ani, iar Diana 36 de ani
II.4.2.4 Metoda retrogradă
Metoda retrogradă sau metoda mersului invers este folosită în problemele în care elementul necunoscut apare în faza de început a șirului de calcule, iar operațiile se efectuează în sensul invers al acțiunii problemei. Această metodă constă în faptul că enunțul unei probleme trebuie urmărit de la sfârșit spre început. Analizând oparațiile făcute în problemă și cele pe care le facem noi în rezolvarea problemei, constatăm că de fiecare dată facem operația inversă celei făcute în problemă. Deci , nu numai mersul este invers, ci și operațiile pe care le facem sunt operții inverse celei din problemă. Verificarea se face aplicând asupra rezultatului obținut operațiile indicate în problemă.
Metoda retrogradă o aplicăm și în cazul expresiilor matematice în care apar paranteze rotunde, drepte și/sau acolade, iar necunoscuta apare în general în paranteza rotundă, însă nu este o regula anume pentru locul necunoscutei.
Singura greutate în aplicarea acestei metode este identificarea operațiilor inverse ce trebuie aplicate, însă, dacă elevul cunoaște dependența dintre mărimile date și rezultatul operațiilor efectuate, metoda se aplică cu ușurință. O dificultate în plus este faptul ca nu se poate aplica la ciclul primar metoda algebrică.
Exemple:
„Colectivul clasei a IV-a a făcut o excursie și a călătorit cu trenul, cu autocarul, cu bicicletele și pe jos. Cu trenul a parcurs jumătate din întreaga distanță, cu autocarul jumătate din distanța rămasă, iar cu bicicletele un sfert din cât mai rămăsese. Restul distanței, adică 30 km, i-a parcurs pe jos.
Câți km a măsurat întregul parcurs?”
Se dă:
Colectivul clasei a IV-a fac o excursie călătorind cu trenul jumătate din distanță, cu autocarul jumătate din rest, cu bicicleta un sfert din cât mai ramase, iar pe jos 30 km;
Se cere:
Câți km are traseul?
Rezolvare:
Se întocmește schema urmărind mersul firesc al enunțului:
în rezolvarea problemei propuse pornesc de la aflarea distanței parcursă cu bicicleta (cât reprezintă un sfert), formulându-se astfel prima întrebare:
Ce distanță a parcurs cu bicicleta?
30 : 3 = 10 (km a parcurs cu bicicleta)
se află distanța parcursă cu autocarul:
30 + 10 = 40 (km a parcurs cu autocarul)
se află distanța parcursă cu trenul:
40 X 2 = 80 (km a parcurs cu trenul)
se află întreaga distanță:
80 + 40 + 10 + 30 = 160 (km au parcurs elevii)
Soluție: 160 km
Verificare:
jumătate din distanță parcursă cu trenul → 160 : 2 = 80 km
jumătate din distanța rămasă cu autocarul →80 : 2 = 40 km
un sfert din distanța rămasă cu bicicleta → 40 : 4 = 10 km
→30 km pe jos
„M-am gândit la un număr, l-am înmulțit cu 5, la rezultat am adunat 42, suma obținută am împărțit-o la 7, iar din cât am scăzut 11 obținând 200.
La ce număr m-am gândit?”
Se dă:
a – numărul la care ne gândim
( a X 5 + 42) : 7 – 11 = 200
Se cere:
Numărul la care ne-am gândit?
Rezolvare:
fiind vorba de clasa a IV –a nu putem aplica metoda algebrică, așa că voi îndruma elevii în studierea atentă a exercițiului pentru a identifica ultima operație care trebuie efectuată.
se va observa că ultima operație care se efectuează, respectând ordinea efectuării operațiilor este scădere;
se va nota cu o necunoscuta ”a” descăzutul, exercițiul devenind următorul:
( a X 5 + 42) : 7 – 11 = 200
a – 11 = 200
a = 200 + 11
a = 211
se va urmări care este ultima operație ce trebuie efectuată, motiv pentru care se notează cu necunoscuta ”b”, problema devine următoarea:
( a X 5 + 42) : 7 = 211
b : 7 = 211
b = 211 X 7
b = 1477
problema devine următoarea:
a X 5 + 42 = 1477
aplicând regulile referitoare la ordinea efectuării operațiilor, problema devine:
a X 5 = 1477 – 42
a X 5 = 1435
a = 1435 : 5
a = 287 →numărul căutat este 287
Soluție: numărul căutat este 287
Verificare?
(287 X 5 + 42 ) : 7 – 11 =
(1435 + 42) : 7 – 11 =
1477 : 7 – 11 =
211 – 11 =
200
250 – [900+ (10324 – V : 3 ) :100] :10 : 4 = 225
Rezolvare
deoarece avem o operație de scădere înainte parantezei drepte iar după aceasta sunt operații de împărțire, rezultă următoare situație:
250 – [900+ (10324 – V : 3 ) :100] :10 : 4 = 225
250 – a = 225
a = 250 – 225
a = 25
problema devine:
[900+ (10324 – V : 3 ) :100] :10 : 4 = 25
se identifică ultima operație care se efectuează, rezultând următoarea situație:
[900+ (10324 – V : 3 ) :100] :10 : 4 = 25
b : 4 = 25
b = 25 X 4
b = 100
problema devine:
[900+ (10324 – V : 3 ) :100] :10 = 100
se identifică ultima operație care se efectuează, rezultând următoarea situație:
[900+ (10324 – V : 3 ) :100] :10 = 100
c : 10 = 100
c = 100 X 10
c = 1000
problema devine:
[900+ (10324 –V : 3 ) :100] = 1000
se observă că este necesară eliminarea parantezei drepte, apoi se identifică ultima operație care se efectuează, rezultând următoarea situație:
900+ (10324 – V : 3 ) :100 = 1000
900 + d = 1000
d = 1000 – 900
d = 100
problema devine:
(10324 – V : 3 ) :100 = 100
se identifică ultima operație care se efectuează, rezultând următoarea situație:
(10324 – V : 3 ) :100 = 100
c : 100 = 100
c = 100 X 100
c = 10000
problema devine:
(10324 – X : 3 ) = 10000
se impune eliminarea parantezei rotunde, se identifică ultima operație care se efectuează, rezultând următoarea situație:
10324 – V : 3 = 10000
V : 3 = 10324 – 10000
V : 3 = 324
V = 324 X 3
V = 972
Soluție:
V = 972
Verificare:
250 – [900+ (10324 – 972 : 3 ) :100] :10 : 4 =
= 250 – [900+ (10324 – 324 ) :100] :10 : 4
= 250 – ( 900 + 10000: 100): 10: 4
= 250 – (900 + 100) : 10 : 4
= 250 – 1000 : 10 : 4
= 250 – 100 : 4
= 250 – 25
= 225
II.4.2.5 Metoda figurativă
Metoda figurativă este metoda ce constă în reprezentarea printr-o figură a mărimilor necunoscute și fixarea în acest desen a relațiilor între ele și mărimile date în problemă. Metoda figurativă are un caracter general deoarece are aplicabilitate la foarte multe categorii de probleme, are un caracter intuitiv deoarece întelegerea problemei se face pe baza unei reprezentări grafice, au un caracter variat, raportându-ne la variatatea modalităților de stabilire a relațiilor dintre mărimi și valorile acestora.
Metoda figurativă de rezolvare a problemelor contribuie astfel la dezvoltarea gândirii funcționale a copiilor. De o însemnătate covârșitoare pentru aflarea soluției și mai ales pentru dezvoltarea gândirii elevilor, este organizarea demersului analitico – sintetic, pentru raționamentul problemei; citirea (ascultarea, repetarea) enunțului problemei, scrierea pe scurt a datelor, determinarea semnificației fiecărei mărimi, înțelegerea sensului enunțului și al întrebării, precizarea elementelor necunoscute și a celor cunoscute, stabilirea relațiilor dintre datele problemei, alcătuirea planului de rezolvare prin propoziții scurte, clar formulate, efectuarea calculelor, precizarea răspunsului, verificarea corectitudinii rezolvării. Foarte utile pentru stabilirea relațiilor dintre mărimile unei probleme sunt exercițiile pregătitoare de precizare a limbajului matematic, a termenilor: sumă, diferență, produs, cât, a relațiilor: „cu atât mai mare (mai mult)”, „cu atât mai mic (mai puțin)”. Acestea se pot efectua chiar zilnic în secvența de calcul oral a fiecărei lecții de matematică sau prin calcul scris, gradate de la simplu la complex.
În rezolvarea problemelor utilizând metoda figurativă este necesar să urmăm mai mulți pași:
identificarea mărimilor și stabilirea raportului inițial dintre acestea;
identificarea transformărilor pe care mărimile le suferă, față de raportul inițial, etapă în care se realizează reprezentarea grafică a problemei;
rezolvarea efectivă a problemei pe baza imaginilor vizuale;
În rezolvarea acestui tip de probleme , figura reprezintă o schematizare a enunțului, pentru a se păstra în atenție relațiile matematice și nu toate aspectele concret. În alegerea figurilor reprezentative nu sunt reguli date, se aleg în funcție de de mărimile existente în probleme.
Problemele care se rezolvă prin metoda figurativa , se pot împărți în două mari categorii:
probleme cu date / mărimi ce pot fi numărate una câte una, mărimi care se pot pune în corespondență, motiv pentru care aceste mărimi sunt reprezentate prin simboluri;
probleme cu date/mărimi ce nu pot fi numărate, mai mult, au o continuitate între ele, motiv pentru care aceste mărimi sunt reprezentate prin segmente;
Elevul, care are în față o problemă pentru a cărei rezolvare este necesar să utilizeze metoda figurativă, simte nevoia să realizeze reprezentarea grafică cât mai eleborat și mai detaliat, însă pe măsură ce își formează deprinderile și priceperile în rezolvarea acestui tip de probleme, figura devine mai schematică, prinzând doar esențialul.
Cunoașterea metodei rezolvării problemelor prin metoda figurativă duce mai târziu la întelegerea rapidă a sistemelor de ecuații și a multor alte probleme matematice.
Exemple:
”Suma a trei numere consecutive este 402.
Care sunt cele trei numere?”
Se dă:
Suma a 3 numere consecutive este 402
Se cere:
Care sunt cele trei numere?
Rezolvare:
elevul trebuie să știe că numerele concecutive sunt numerele care au + 1 față de precedentul său;
este necesară reprezentarea grafică a problemei astfel:
– primul număr
402 +1 – al doilea număr
+1 +1 – al treilea număr
problema devine acum mult mai simplu de rezolvat, elevii au o imagine vizuală a problemei, iar identificarea celor trei numere este foarte simplă;
astfel avem prima întrebare:
Care este primul număr?
(402 – 3) : 3 =399: 3 = 133 (primul număr)
aflăm al doilea număr:
Care este al doilea număr?
133 + 1 = 134 (al doilea număr)
aflăm al treilea număr:
Care este al treilea număr?
133 + 1+ 1 = 135 (al treilea număr)
Soluție:
Numerele sunt: 133, 134 și 135
Verificare:
133 + 134 + 135 = 267 + 135 = 402
„Un țăran crește 6 porci și cu 4 mai puțini iepuri. Câte animale crește țăranul?”
Se dă:
Un țăran crește 6 porci și cu 4 mai puțini iepuri
Se cere:
Câte animale crește țăranul?
Rezolvare:
acest tip de probleme sunt întâlnite de elevi încă din clasa I, însă în clasa I nu se realizează figura problemei, ci se merge pe metoda analitico-sitetică;
reprezentăm grafic problema, astfel:
6 porci – numărul porcilor ? animale
nr. iepuri – 4 – numărul iepurilor
având imaginea vizuală a problemei, este mult mai simplu, să se urmeze metoda analitico-sintetică de rezolvre, identificând astfel prima întrebare:
Câți iepuri crește țăranul?
6 – 4 = 2 (iepuri)
aflând numărul de iepuri, se formulează cea de-a doua întrebare:
Câte animale crește tăranul?
6 porci + 2 iepuri = 8 (animale)
Soluție:
8 animale
Verificare:
6 porci + (6 – 4) iepuri =8 (animale)
În rezolvarea problemelor matematice, utilizând metoda figurativă, mai pot fi întâlnite și probleme care duc la operații de tipul (axb)+c; (a+b):c sau probleme de determinare a sumei și a diferenței a două produse sau de determinare a câtului a două produse etc.
De un real sprijin pentru dezvoltarea flexibilității gândirii elevilor sunt figurile grafice care pot ilustra rezolvarea unor probleme sau pot constitui bază pentru construirea acestora (sau a altora) în care să se ceară alte elemente.
„La un centru de desfacere a legumelor și fructelor s-a livrat marfă cu 3 camioane a 10 t fiecare și un alt camion cu 18 t cartofi. Câte tone de marfă s-au adus în total?”
Se dă:
la un centru de desfacere se primește marfa cu 3 camioane a câte 10 t și cu un alt camion de 18 t;
Se cere:
Câte tone de marfă s-au primit?
Rezolvare:
reprezentăm grafic problema, apoi vom urma analitico-sintetic rezolvarea problemelor:
10 t – I camion
10 t – al II-lea camion ? tone de marfă
10 t -al III-lea camion
10t 8 t -al IV-lea camion
având imaginea vizuală a problemei, identificăm problema simplă, apoi întrebarea:
Câte tone de marfă s-au adus?
10 X 3 + 18 = 30 + 18 = 48 (tone de marfă)
Soluție:
48 tone de marfă
Verificare:
3 camioane X 10 t + 1 camion X 18 t = 30 + 18 = 48 (t marfă)
„Elevii clasei a II-a au plantat în fiecare din cele 3 rânduri ale unei grădini câte 6 flori, iar elevii clasei a III-a, în fiecare din cele 2 rânduri repartizate au plantat câte 10 flori. Câte flori au plantat în total?”
Se dă:
elevii clasei a II-a au plantat 3 rânduri cu câte 6 flori;
elevii clasei a III-a au plantat 2 rânduri a câte 10 flori;
Se cere:
Câte flori au plantat în total?
Rezolvare:
reprezentăm grafic problema, apoi vom urma analitico-sintetic rezolvarea problemelor:
elevii clasei a II-a
? total de
flori
elevii clasei a III-a
reprezentarea grafică concretizează relațiile dintre mărimile problemei și soluționează procesul de rezolvare;
se identifică prima problemă simplă, apoi întrebarea:
Câte flori au plantat elevii clasei a II-a?
6 X 3 = 18 (flori)
se identifică cea de a doua problemă simplă și întrebarea:
Câte flori au plantat elevii clasei a III-a?
X 2 = 20 (flori)
având rezolvate cele două probleme intermediare și rezultatele intermediare, se trece la ultima întrebare:
Câte flori au plantat în total?
18 + 20 = 38 (flori)
Soluție: 38 flori
Rezolvarea algebrică:
x 3) + (2 X 10) = 18 + 20 = 38 (flori)
„Trei echipe de elevi aveau de cules 267 kg de mere. Câte kg de mere a cules fiecare echipă, știind că prima echipă a cules cu 35 kg mai mult decât al doua echipă, iar a doua echipă a cules jumătate din cât a cules prima și a treia echipă la un loc?”
Se dă:
trei echipe au de cules 267 kg mere;
prima echipa a cules cu 35 kg mai mult decât a doua ;
a doua echipă a cules jumătate din cât a cules prima și a treia la un loc;
Se cere:
Câte kg de mere a cules fiecare echipă?
Rezolvare:
reprezentăm grafic problema:
+ 35
267 kg
mere – 35
se identifică, pe marginea imaginii grafice prima întrebare:
Câte kg de mere a cules a doua echipă?
267 : 3 = 89 (kg mere a cules a II-a echipă)
știind câte kg de mere a cules a doua echipă, se identifică cea de a doua întrebare:
Câte kg de mere a cules prima echipă?
89 + 35 = 124 (kg merea cules prima echipă)
știind câte kg de mere a cules prima echipă, identificăm ultima întrebare:
Câte kg de mere a cules a treia echipă?
89 – 35 = 54 (kg mere a cules a III-a echipă)
Soluție:
I echipă – 124 kg
a II-a echipă – 89 kg
a III-a echipă – 54 kg
Verificare:
124 + 89 + 54 = 267 kg
„Într-o gospodărie sunt găini și rațe. Câte găini și câte rațe sunt dacă numărul rațelor este de 6 ori mai mare decât numărul găinilor și cu 75 mai multe decât găinile?”
Se dă:
într-o gospodărie sunt găini și rațe;
numărul rațelor este de 6 ori mai mare decât al găinior ;
numărul rațelor este cu 75 mai mare decât al găinior;
Se cere:
Câte găini și câte rațe sunt?
Rezolvare:
reprezentăm grafic problema:
-numărul găinilor
?
găini și rațe -nr. rațelor
75 rațe
se identifică, pe marginea imaginii raporturile existente între mărimi;
se observă că diferența de 5 părți dintre rațe și găini este de 75, ceea ce ne dă posibilitatea să aflăm numărul găinilor:
Câte găini sunt în curte?
75 : 5= 15 (găini)
știind câte găini sunt și totodată valoare numerică a unui segment, putem identifica numărul de rațe:
Câte rațe sunt?
15 X 6 = 90 (rațe)
Sau 75 + 15 = 90 (rațe)
Soluție:
15găini
90 rațe
Verificare:
90: 15 = 6 ori mai multe rațe decât găini
II.4.2.6 Probleme de mișcare bazate pe relația d = v t
Problemele de mișcare îi ajută pe elevi să își dezvolte creativitatea, modalitățile de rezolvare, fiind variate (în rezolvare putem folosi atât metode aritmetice, cât și modul de abordare algebric). În general, în problemele de miscare , avem de-a face cu mișcarea uniformă a unui mobil. Problemele de acest tip nu sunt greu de recunoscut, având inclus în enunț autoturisme, trenuri, autobuze, biciclete ș.a. care se deplasează în diverse direcții, dar oricum, în linie dreaptă, cu viteze constante sau cu o anumită viteza medie, într-un timp dat sau ce trebuie aflat. Reținem că problemele din această categorie vizează mișcarea rectilinie uniformă a unui mobil, caracterizată prin 3 parametri (distanță, viteză, timp) ce variază logic după formula: d = v X t
Problemele de mișcare pot fi de 3 tipuri:
– distantă, viteză, timp (în care se dau valori pentru două dintre ele și se cere cea de-a treia);
– mobile care se deplasează în același sens (probleme de „urmărire”);
– mobile care se deplasează în sens contrar (probleme de „întâlnire”);
Dată fiind relația care leagă cele 3 mărimi (d = v t), sunt posibile 3 tipuri de probleme simple, una de înmulțire și cele două probleme de împărțire ce rezultă din aceasta:
se dau v și t și se cere d (d = v t)
se dau d și t și se cere v (v = d : t)
se dau d și v și se cere t (t = d : v)
Menționăm că majoritatea problemelor din aceasta categorie sunt reductibile la una dintre cele 3 scheme de mai sus doar după o serie de raționamente posibile.
Exemple:
Probleme de întâlnire a mobilelor când deplasarea se face în sensuri opuse
„Distanța dintre două localități A și B este de 60 km. Din A pleacă un pieton cu viteza de 5 km/h și în același timp pleacă din B un biciclist cu viteza de 25 km/h, mergând unul spre celălat. După cât timp se întâlnește pietonul cu biciclistul? Care este distanța față de localitatea B a punctului de întâlnire?”
Se dă:
distanța dintre localitățile A și B este de 60 km;
un pieton pleacă din localitatea A spre localitatea B cu viteza de 5 km/h ;
un biciclist plecă din localitatea B spre a cu viteza de 25 km/h;
Se cere:
După cât timp se întâlnește pietonul cu biciclistul?
Care este distanța față de localitatea B a punctului de întâlnire?
Rezolvare:
reprezentăm grafic problema:
A B
pieton, 5km/h biciclist, 25 km/h
60 km
se observă că cei doi parcurg distanța unul înspre celălat, cu viteze constante;
pentru a găsi în cât timp parcurg cei doi distanța dintre cele două orașe, identificăm prima problemă simplă, urmată de întrebare:
Câți km parcurg cei doi într-o oră?
5 km/h + 25 km /h = 30 km /h
știind câți km parcurg cei doi într-o oră, identificăm cea de a doua întrebare a problemei pentru a afla după în cât timp parcurg întreaga distanță:
În cât timp parcurg cei doi întreaga distanță?
se va cere elevilor să aplice formula necesară, știind distanța de parcurs și câți km parcurg într-o oră, atunci timpul se identifică astfel: t = d : v
60 (km) : 30 km (parcurși de cei doi într-o oră) = 2 (ore)
știind distanța dintre cele două orașe și în cât timp parcurg cei doi întreaga distanță, putem afla la ce distanță față de orașul B se întâlnesc cei doi:
se identifică întrebarea:
La ce distanță fața de orașul B se întâlnesc cei doi?
25 (km/h) 2 (ore) = 50 (km)
Soluție:
biciclistul se întâlnește cu pietonul după 2 ore
distanța la care se întâlnesc față de orașul B este de 50 km
Din orașele A și B aflate la o distanță de 210 km, pornesc unul spre altul în același timp, doi motocicliști. Viteza medie a motociclistului care pleacă din A este ¾ din viteza celuilalt motociclist. După două ore de la pornire, cei doi mai aveau de parcurs, până la întâlnirea lor, 70 km. Aflați viteza medie a fiecărui motociclist.
Se dă:
distanța dintre localitățile A și B este 210 km;
doi motocicliști, pleacă unul înspre altul;
motociclistul care pleacă din orașul A, are o viteză de ¾ din al celuilalt;
Se cere:
Care este viteza medie a fiecărui motociclist?
Rezolvare:
reprezentăm grafic problema:
A B
motociclist, cu V1 km/h motociclist, cu V2 km/h
70 km
210 km
se observă că cei doi parcurg distanța unul înspre celălat, cu viteze diferite, dar același timp de parcurs ;
pentru a găsi în ce viteze se deplsează cei doi motocicliști, scriem vitezele în funcție de cele două distanțe necunoscute astfel :
V1 = v2 d 1 = d2 deoarece timpul este același, iar reprezentarea grafică a distanțelor ar fi următoarea:
d2 210 km
d1
din desen rezultă că 7 părți, fiecare parte fiind egală cu din d2 reprezintă:
210 km – 70 km = 140 ( km)
Câți km a parcurs primul motociclist în două ore?
( 140 : 7 ) 3 = 20 3 = 60 ( km )
Câți km a parcurs al doilea motociclist în două ore?
( 140 : 7 ) 4 = 20 4 = 80 (km)
sau
d2 = 60 km d2 = 60 : 3 4 = 80 (km)
Care a fost viteza medie a motociclistului care a plecat din A?
60 : 2 = 30 (km/h)
Care a fost viteza medie a motociclistului care a plecat din B?
80:2=40 (km/h)
sau
v2 = 30 km / h v2 = 30 : 3 4 = 40 ( km / h )
Soluție:
motociclistul care pleacă din orașul A circulă o viteză de 30 km / h, iar motociclistul care pleacă din orașul B circulă cu o viteză de 40 km / h;
„Un tractor pleacă de la garaj, mergând cu aceiași viteză, pe un drum forestier. După două ore de mers, nu ajunsese la cantonul silvic, mai avea pănă acolo 14 km. După 5 ore de mers, trecuse de acel canton, și era la 25 km de el.
Care este distanța dintre garaj și canton?”
Se dă:
un tractor pleaca de la garaj spre canton cu o viteză constantă;
după 2 ore de mers, mai are 14 km până a canton;
după 5 ore de mers, trece de canton cu 25 km;
Se cere:
Care este distanța dintre garaj și canton?
Rezolvare:
din textul problemei, deducem că pentru aflarea distanței dintre garaj și canton este necesar să identificăm viteza tractorului, știind că aceasta este constantă pe tot parcursul drumului;
pentru o privire de ansamblu asupra datelor problemei, voi realiza o reprezentare grafică a traseului parcurs de tractor:
3 ore
garaj canton
14 km 25 km
2 ore
5 ore
privind cu atenție reprezentarea grafică a problemei, se observă că în ultimele trei ore tractorul a parcurs 39 de km;
totodată știm că viteza este constantă pe tot parcursul drumului;
se identifică prima problema simplă, apoi întrebarea:
Care este viteza tractorului?
39 : 3 = 13 km / h
știind viteza tractorului, putem găsi distanța de la garaj până la canton:
Câți km sunt de la garaj până la canton?
26 + 14 = 40 ( km )
Răspuns:
Între garaj și canton sunt 40 km
Probleme în care automobilele se deplasează în aceași sens, însă au viteze diferite
În problemele de acest tip sunt date valori pentru doi dintre parametrii mișcării în același sens a două mobile și se cer valori pentru cel de-al treilea parametru, astfel încât rezolvarea este reductibilă, în final, la probleme de tipul anterior. De exemplu, două mobile care se deplasează în același sens, cu viteze date, se află inițial la o distantă dat (sau care se poate afla) și se cere timpul necesar „urmăritorului” (cel cu viteza mai mare) pentru a-l ajunge pe „urmărit” (cel cu viteza mai mică). Pentru rezolvare, trebuie observat că, după ce au pornit ( în același moment), „urmăritorul” se apropie de „urmărit”, într-o oră, cu o distanță oră de mers, distanța ce-i separă va fi „recuperată” de „urmăritor” într-un timp egal cu câtul dintre această distanță și diferența vitezelor. Acesta este timpul cerut, necesar „urmăritorului” pentru a-l ajunge pe „urmărit”.
Exemple:
„Un motociclist pleacă din orașul A cu o viteză medie de 30 km/h. După 4 ore pleacă din același oraș și în același sens un autoturism care are o viteză medie de 60 km/h. După cât timp autoturismul va ajunge din urmă motociclistul?”
Se dă:
un motocicist pleacă din orașul A cu o V1 = 30 km/h;
după 4 ore, pleacă din același oraș un autoturism cu o V2 = 60 km/h
Se cere:
După cât timp autoturismul va ajunge motociclistul?
Rezolvare:
din textul problemei, deducem cătrebuie să aflăm timpul după care autoturismul va ajunge motocicleta;
pentru o privire de ansamblu asupra datelor problemei, voi realiza o reprezentare grafică a traseului parcurs de cele două automobile:
– distanța de 30 km
– distanța de 60 km
A motociclist V1 = 30 km /h B
autoturism, V2= 60 km/h
privind cu atenție reprezentarea grafică a problemei, se observă că motociclistul are un avans de 4 ore, motiv pentru care vom identifica câți km are acesta în avans;
Câți km a parcurs motociclistul în 4 ore?
30 km 4 ore = 120 ( km )
este necesar să identificăm câți km recuperează autoturismul într-o oră, identificăm astfel întrebarea, apoi calculăm;
Câți km recuperează autoturismul într-o oră?
60 km – 30 km = 30 ( km recuperează autoturismul într-o oră)
se identifică întrebarea, apoi găsim câte ore parcurge autoturismul distanța pe care o are în avans motociclistul :
În câte ore parcurge autoturismul distanța de 120 km?
120 km : 60 km = 2 h
știm că în cele două ore pe care le parcurge autoturismul pentru a ajunge motociclistul, acesta se deplasează spre orașul B cu aceiași viteză constantă de 30 km / h:
Câți km parcurge motociclistul în 2 ore?
2 = 60 ( km )
se observă că după două ore de urmărire, între cei doi este o distanță de 60 km, de asemenea știm că viteza de deplasare a automobilului este de 60 km/h, el recuperând 30 km într-o oră, astfel putem găsi după câte ore ajunge autoturismul motocicleta:
După câte ore ajunge autoturismul motocicleta?
60 km : 30 km + 2 ore = 4 ( ore )
Răspuns:
Autoturismu ajunge motocicleta după 4 ore
II.4.2.7 Probleme care se rezolvă prin regula de trei simplă
Regula de trei simplă este o metodă matematică ce permite determinarea unuia dintre termenii unei ecuații de proporționalitate pe baza celorlalți. Ea poate fi utilizată și pentru a verifica dacă o relație de proporționalitate este satisfăcută de un set de valori. Această regulă se bazează pe egalitatea produselor pe diagonală, adică produsele termenilor de pe fiecare diagonală într-o ecuație de proporționalitate. Ea este folosită cel mai frecvent în calculul procentelor, în rezolvarea problemelor de conversie de la o unitate de măsură la alta, în aplicarea teoremei lui Thales sau în determinarea coliniarității a doi vectori plani ale căror coordonate sunt cunoscute.
S-au încercat să se dea diferite reguli pentru rezolvarea problemelor în care se cunoșteau trei dintre valorile ecuației și se cerea cea de a patra valoare, motiv pentru care regula stabilită poartă numele de „regula de trei simplă”, regulă care are o mare aplicabilitate în matematică.
Pentru rezolvarea problemelor matematice în care utilizăm regula de trei simplăeste necesară o atenție sporită deoarece din această regulă derivă două metode de rezolvare a acestora după cum urmează:
metoda reducerii la unitate;
metoda proporțiilor;
Metoda reducerii la unitate constă în identificarea mărimii de același fel cu necunoscuta , dar care corespunde unei valori a celeilalte mărimi, egală cu unitatea.
În cazul problemelor în care se aplică regul de trei simplă, scrierea schițată a datelor problemei respectă o anumită ordine, după cum urmează:
pe aceiași linie se găsesc scrise valorile corespunzătoare ale celor două mărimi date în problemă;
pe coloană se scriu valorile aceleiași mărimi;
necunoscuta se află permanent pe al doilea rând din prima coloană, partea dreaptă;
În cadrul acestor probleme, mărimile se pot afla în raport direct proporțional ( dacă o mărime crește, crește și cealaltă sau dacă o valoare scade, scade și cealaltă) sau în raport invers proporțional ( dacă o valoare crește, cealaltă scade sau invers ).
Exemple:
4 elevi parcurg într-o zi 26 de km. Știind că ritmul de mers este același, câți km vor parcurge 7 elevi într-o zi?
Se dă:
4 elevi parcurg 26 km într-o zi
Se cere:
Câți km vor parcurge 7 elevi într-o zi?
Rezolvare:
prezentăm schematic enunțul problemei:
4 elevi ……………………….26 km
7 elevi…………………………X km
se observă că avem mărimi direct proporționale deoarece crescând numărul de elevi va crește și distanța parcursă de aceștia
este necesar să identificăm distanța pe care o parcurge un elev, astfel:
26 : 4 = 4,5 ( km )
știind că un elev parcurge 4,5 km într-o zi, putem afla câți km vor parcurge 7 elevi, astfel:
4,5 km 7 = 45,5 ( km )
pentru a evita efectuarea mai multor calcule, pe baza reprezentării schematice a problemei, putem identifica necunoscuta x astfel:
X = = = 45, 5 km
Soluție: 45, 5 km parcurg într-o zi 7 elevi
În 13 drumuri, un camion transportǎ 5551 kg de marfǎ. Câte kg transportǎ camionul în 3 drumuri?
Se dă:
în 13 drumuri, un camion transportă 5551 kg marfă
Se cere:
Câte kg de marfă transpotră în 3 drumuri?
Rezolvare:
prezentăm schematic enunțul problemei:
13 drumuri ……………………….5551 kg marfă
3 drumuri …………………………X kg marfă
se observă că avem mărimi direct proporționale deoarece scăzând numărul de drumuri va scădea și cantitatea de marfă transportată
este necesar să identificăm câte kg de marfă se transportă într-un drum, astfel:
5551 : 13 = 427( kg marfă )
știind că la un drum se transportă 427 kg marfă, putem afla câte kg de marfă transportă în 3 drumuri, astfel:
427 kg 3 = 1281 ( kg marfă )
pentru a evita efectuarea mai multor calcule, pe baza reprezentării schematice a problemei, putem identifica necunoscuta x astfel:
X = = =1281 ( kg marfă )
Soluție: 1281 kg marfă transportă camionul în 3 drumuri
6 muncitori terminǎ o lucrare în 5 zile. În câte zile terminǎ aceeași lucrare 2 muncitori, lucrând la fel ca și ceilalți?
Se dă:
6 muncitori termină o lucrare în 5 zile
Se cere:
În câte zile termina aceiași lucrare 2 muncitori?
Rezolvare:
prezentăm schematic enunțul problemei:
6 muncitori ……………………….5 zile
2 muncitori ………………………X zile
se observă că avem mărimi invers proporționale deoarece scăzând numărul de muncitori vor crește numărul de zile lucrate;
este necesar să identificăm în câte zile va termina lucrarea un singur muncitor, astfel:
6 5= 30( zile)
știind că un muncior ar termina lucrarea în 30 de zile putem găsi numărul zilelor în care ar termina lucrarea 2 muncitori, astfel:
30 zile : 2 = 15 ( zile )
pentru a evita efectuarea mai multor calcule, pe baza reprezentării schematice a problemei, putem identifica necunoscuta x astfel:
X = = =15 ( zile )
Soluție: 2 muncitori termină lucrarea în 15 zile
5 robinete reusesc să umple un bazin în 6 ore. În cât timp vor umple 3 robinete același bazin, curgând la fel ca și celelalte?
Se dă:
5 robinete reusesc să umple un bazin în 6 ore
Se cere:
În câte ore vor umple rezervorul 3 robinete?
Rezolvare:
prezentăm schematic enunțul problemei:
5 robinete ……………………….6 ore
3 robinete ……………………… X ore
se observă că avem mărimi invers proporționale deoarece scăzând numărul de robinete vor crește numărul de ore în care se va umple bazinul;
este necesar să identificăm în câte ore se va umple bazinul daca va curge un singur robinet, astfel:
6 5= 30( ore)
știind că un robinet ar umple bazinul în 30 de ore, putem găsi numărulorelor în care ar umple bazinul 3 robinete, astfel:
30 ore : 3= 10 ( ore)
pentru a evita efectuarea mai multor calcule, pe baza reprezentării schematice a problemei, putem identifica necunoscuta x astfel:
X = = =10 (ore )
Soluție: 3 robinete ar umple bazinul în 10 ore
O echipă de 8 muncitori trebuie să termine de săpat un șanț în 12 zile. După ce echipa a lucrat 3 zile, câți muncitori mai trebuie angajați pentru ca săpatul șanțului să se termine în următoarele 4 zile?
Se dă:
8 muncitori trebuie să termine de săpat un șant în 12 zile;
după ce echipa a lucrat 3 zile, este necesară angajarea de muncitori pentru a termina șanțul în 4 zile;
Se cere:
Câți muncitori mai trebuie angajați?
Rezolvare:
echipa de 8 muncitori a lucrat 3 zile, reiese faptul că aceștia au săpat o parte din șanț;
pentru a finaliza de săpat șanțul, echipa de 8 muncitori mai are la dispoziție 9 zile;
prezentăm schematic enunțul problemei:
9 zile ……………………….8 muncitori
4 zile ………………………X muncitori
se observă că avem mărimi invers proporționale deoarece scăzând numărul de zile va crește numărul de muncitori;
este necesar să identificăm numărul de muncitori care ar termina de săpat șanțul într-o singură zi, astfel:
9 8 = 72 ( muncitori)
știind că pentru a termina lucrarea într-o zi, putem găsi numărul muncitorilor care ar mai trebui să-i angajeze, astfel:
72 (muncitori) : 4 (zile) = 18 ( muncitori )
știind că în echipă sunt deja 8 muncitori, identificăm numărul de muncitori ce trebuie angajați:
18 – 8 = 10 ( muncitori )
pentru a evita efectuarea mai multor calcule, pe baza reprezentării schematice a problemei, putem identifica necunoscuta x astfel:
X = = =18 ( muncitori )
18 – 8 = 10 ( muncitori )
Soluție: 10 muncitori mai trebuie angajați
Metoda proporțiilor, metodă care are de asemenea două subcategorii date de mărimi: direct proporționale și invers proporționale.
Exemple:
Din 215 kg de zahăr s-au făcut 294 kg cremă de zahăr ars. Câte kg de zahăr sunt necesare pentru a obține 1470 kg cremă de zahăr ars?
Se dă:
din 215 kg zahăr se obțin 294 kg cremă de zahăr ars;
Se cere:
Câte kg de zahăr sunt necesare pentru a obține 1470 kg cremă de zahăr ars?
Rezolvare:
prezentăm schematic enunțul problemei:
294 kg cremă ……………………….215 kg zahăr
1470 kg cremă ………………………X kg zahăr
se observă că avem mărimi direct proporționale deoarece crescând numărul kg de cremă va crește numărul de kg de zahăr folosite;
observăm că raportul valorilor cremei este egal cu raportul valorilor zahărului:
=
identificăm numărul kg de zahăr pe baza raportului de egalitate, astfel:
X= = = 1075 ( kg zahăr )
Soluție: sunt necesare 1075 kg de zahăr
„Brațele unei pârghii AB ce oscilează în jurul punctului O sunt: AO = 35 cm și OB = 75 cm. Ce greutăți trebuie să atârnâm în punctul B pentru a echilibra greutatea de 1,5 t atârnată în punctul A?” (Dumitru, V, 2005, pag 131)
Se dă:
brațele unei pârghii oscilează în jurul punctului O;
AO = 35 cm
OB = 75 cm
Se cere:
Ce greutăți trebuie să atârnăm în punctul B pentru a echilibra greutatea de 1,5 t atârnate în punctul A?
Rezolvare:
observăm că mărimile de comparat din problemă sunt reprezentate de lungimile brațelor pârghiilor ;
prezentăm schematic enunțul problemei:
35 cm ……………………….1,5 t
75 cm ………………………X t
se observă că avem mărimi invers proporționale;
scriem raportul valorilor:
=
identificăm greutatea ce trebuie atârnată pe baza raportului de egalitate, astfel:
X= = 0,7 ( t )
Soluție: greutatea ce trebuie atârnată în punctul B trebuie să cântărească 0,7 t
II.5 Rolul operațiilor gândirii în compunerea și rezolvarea problemelor
”Intrarea în țara cunoașterii se face pe podul matematicii” punea profesorul universitar Ștefan Bârsănescu. De aceea, cultura științifică matematică a devenit un element de bază a culturii omului modern, cultura generală a oricărui om trebuind să cuprindă cunoștințe matematice de un nivel tot mai înalt. Indiferent în ce domeniu de activitate va lucra omul zilelor noastre, dar mai ales omul zilelor viitoare, trebuie să posede o bună pregătire matematică. Matematica nu se învată numai de la specialiști, ci până la un anumit nivel, ea face parte din cultura generală. Nici biologul, nici lingvistul, nici istoricul nu se poate lipsi astăzi de matematică. Valoarea cognitivă a acestei științe a fost și este foarte mare. De bună seamă, în școală, acest proces este reflectat de însemnătatea ce se acordă matematicii, de locul pe care îl ocupă acest obiect în procesul de învățământ. Așa stând lucrurile, se întelege că asezarea matematicii pe locul ce i se cuvine în dezvoltarea noilor generații trebuie să înceapă foarte timpuriu, din grădiniță și în special din ciclul primar. Rezolvarea și compunerea de probleme formează la elevi priceperi și deprinderi de a analiza o situație dată, de a intui și descoperi calea de rezolvare. Astfel, rezolvarea problemelor contribuie la cultivarea și dezvoltarea flexibilității si a capacităților creatoare ale gândirii, la educarea perspicacității și a capacităților anticipativ- imaginative, la dezvoltarea spiritului de initiațivă și a încrederii în forțele proprii, îi obișnuieste pe copii să-și fixeze țeluri și să identifice căi de a ajunge la acestea și de a le atinge. Prin enunțul lor ce face referire la aspecte din mediul apropiat, problemele matematice generează un simț al realității, formându-le deprinderea de a rezolva și alte probleme practice la care viața de zi cu zi îi provoacă. Introducerea copiilor în activitatea de rezolvare a problemelor se face progresiv. De regulă, după ce în anii premergători au fost familiarizați cu numerele naturale, cu operațiile matematice și simbolurile corespunzatoare , cu cifrele, sunt învățați să compună probleme simple, pe baza de suport intuitiv. Utilitatea rezolvării de probleme are la baza constientizarea faptului că, în viața de toate zilele, sunt situații când trebuie găsit un răspuns la diferite chestiuni.
Caracterizată prin spiritul său de ordine, disciplina matematica presupune un deosebit mod de gândire. Însușirea noțiunilor matematice, pătrunderea în esența lor necesită un efort susținut și bine gradat al intelectului, a gândirii și reprezintă în același timp antrenamentul mintal sau gimnastica minții necesară în dezvoltarea intelectuală a elevilor. Însușirea matematicii pentru viață, în scopul aplicării ei, presupune necesitatea folosirii unor metode cu caracter formativ, a metodelor care cer participarea conștientă a elevului pentru stimularea capacității creatoare. Practica școlară arată că orice elev dezvoltat normal din punct de vedere intelectual este capabil să-și însușească materialul de studiu al matematicii, prevăzut în programa școlară. Dar, în timp ce unii asimilează acest material mai repede și mai ușor, cu un efort mai mic, alții, cu toată perseverența și atitudinea pozitivă manifestată pentru acest domeniu, obțin rezultate mai modeste, neputând depăsi nivelul mediu. Acest lucru ne arată că ne aflăm în fata unor aptitudini diferite.
Aptitudinea pentru matematică este o particularitate psihică, individuală a omului care condiționează însușirea cu succes a activitătii în domeniul matematicii. Domeniul cu cea mai mare pondere îl are însă capacitatea intelectuală: atentia , memoria, gândirea, cu diferitele ei aspecte, hotărâtoare pentru aptitudinea matematică. Capacitatea de concentrare a atenției oferă posibilitatea celui cu aptitudine matematică să-și orienteze activitatea intelectuală asupra unei probleme fără a fi atras de alte preocupări care n-au tangență cu tema urmărită. Memoria este de asemenea o compo-nentă a aptitudinii matematice fiind necesară la actualizarea regulilor.
A gândi înseamnă a raspunde la diferite întrebări, a opera cu noțiunile, principiile și legile, dar mai ales a rezolva probleme. Problema este domeniul predilect al probării și afirmării gândirii. În sens general, problema se definește ca obstacol de ordin informațional și cognitiv pe care gândirea îl întâlnește pe traiectoria sa de la o situație inițială către situația finală. În plan subiectiv, acest obstacol se constientizează și se trăiește în forma unei tensiuni, a unei disonanțe, cu atât mai puternice cu cât disponibilitățile imediate de rezolvare sunt mai reduse. În definirea și evaluarea unei probleme, trebuie să ținem seama atât de latura obiectivă ( cum este formulată și structurată sarcina ), cât și de cea subiectivă (gradul de pregătire internă anterioară a subiectului în raport cu tipul dat de sarcini). Pentru ca o situație, considerată problemă în plan obiectiv, să devină o problemă și din punct de vedere psihologic, este necesar ca subiectul să nu dispună imediat de soluție, ci să fie nevoit să desfășoare o activitate intelectuală specială, prin încercări și erori, pentru aflarea rezultatului. O problemă poate fi considerată cu atât mai dificilă și mai complexă, cu cât subiectul trebuie să efectueze un numar mai mare de explorări, de încercari și de operații pentru găsirea rezultatului, și invers.
Gândirea este procesul cu cea mai mare pondere între componentele aptitudinii matematice. Aici este vorba despre gândirea logică. Considerăm că un copil are aptitudini pentru matematică după modul în care judecă problemele, după înlănțuirea raționamentelor și după stringența logică în care decurg. Gândirea logică îl ajută să surprindă esențialul și necesarul, să diferențieze elementele unei probleme, să stabilească noi raporturi. Gândirea matematică are o serie de însușiri precum: asimilarea relativ rapidă a cunoștințelor matematice, îndependența și originalitatea gândirii, flexibilitatea și capacitatea de abstractizare mult mai dezvoltată față de alte capacități.
Elevii cu aptitudini pentru matematică se remarcă prin înțelegerea rapidă și corectă a datelor problemei, a relațiilor termenilor. Unii înteleg problema și întrevăd calea soluționării de la început, din momentul în care iau cunoștință de datele ei, raportându-o cu ușurintă la timpul specific sau modelul de rezolvare. Desprinzând esențialul de neesenșial, elevul cu apitudine matematică își reprezintă cu claritate corelația dintre elementele unei probleme sau ale unui exercițiu, sesizează puncte de joncțiune ale vechiului cu noul și întrevăd corect soluția. Aptitudinea matematică implică independența, capacitatea de a raționa singur, de a demonstra în mod independent, fără a recurge la imitarea proceselor sau ideilor altora. Elevii înzestrați cu aptitudine matematică se abat de la șabloane, de la procedee obișnuite de rezolvare, căutând permanent metode noi.
Gândirea matematică se distinge printr-o flexibilitate deosebită sau suplete, trecând ușor de la o operație la alta, de la un procedeu de rezolvare la altul. Gândirea matematică este în acelați timp critică, o gândire care cercetează valabilitatea fiecărui argument, logica succesiunii elementelor demonstrației, precum și temeinicia soluției la care s-a ajuns. Pentru asemenea gândire orice afirmație trebuie supusă unei analize critice spre a-și da seama de valabilitatea corelațiilor de exercitare a formulărilor, precum și de corectitudinea soluțieipe care acesta a identificat-o.
Capacitatea de abstractizare este o particularitate foarte importantă a gândirii matematice, deoarece ajută la redarea prin cifre sau simboluri a însușirilor fundamentale ale obiectelor, sub formă de mărimi și corelații de mărimi. Numai o gândire abstractă poate înțelege operațiile cu mărimi cantitative sau cu simbolurile lor convenționale și să rețină un mare volum de corelații, care de fapt constituie o înlănțuire de raționamente și operații ce converg spre un rezultat căutat.
Un obiectiv principal al matematicii, pe lângă însușirea instrumentelor de bază ale activității matematice, îl constituie dezvoltarea gândirii, a mobilității și curiozității, a creativității spre a-i face pe elevi capabili să se orienteze cu ușurință, în cadrul situațiilor problematice, calități indispensabile, cerute de practică și societate. Rezolvarea problemelor este activitatea matematică ce solicită în cea mai mare măsură gândirea copilului. Bogatele valențe formative ale activității de rezolvare a problemelor nu se valorifică de la sine, în mod spontan. De aceea, este necesară o preocupare permanentă din partea cadrului didactic pentru valorificarea acestor valențe și pentru sporirea eficienței formative a acestei activități. În școală sunt mai puțin cunoscute resursele formative ale rezolvării și compunerii de probleme, și de aceea valorificarea lor este sub nivelul posibilităților de care dispun copiii. O bună parte din energia creatoare a elevilor rămâne neutilizată în procesul rezolvării problemelor – ca de altfel în activitatea matematică în general.
Gândirea creatoare se dezvoltă în mod deosebit prin rezolvarea unor probleme care solicită strategii atipice, inventate și prin compunerea de probleme. O problemă este sau nu creativă, în funcție de vârsta, experiența și capacitatea intelectuală a elevului. Compunerea de probleme reprezintă o treaptă superioară de dezvoltare a gândirii creatoare, de legare a teoriei de practică. Pentru ca elevul să elaboreze textul unei probleme este necesar să găsească împrejurările corespunzătoare, să-și imagineze acțiunea, să aleagă datele numerice în concordanță cu realitatea, să stabilească soluții aritmetice corespunzătoare între informațiile date și să formuleze întrebarea problemei.
Una din trăsăturile definitorii ale creativității matematice este posibilitatea de a se manevra mai multe tipuri de informatie. Pentru a funcționa la cote ridicate, creativitatea dovedește o paletă vastă de aptitudini și atitudini, decisivă fiind prezența aptitudinilor specifice fiecărui domeniu (gândirea logică, expunerea algoritmică). Creativitatea matematică asemeni celei artistice evocă, de obicei, o realitate directă, nemijlocită cu situații concrete. Ca și în domeniul artistic, unde aptitudinile artistice, spre exemplu, se prefigurează de timpuriu, încă de la vârsta preșcolară, printr-o serie de indicatori, același lucru se întâmplă și în matematică.
Trăsăturile definitorii ale elevilor capabili de performanță, fără de care nu este posibilă performanța sunt:
spiritul de observație viu ;
acuitate vizuală ;
simțul orientării în mediul înconjurător;
simțul proporției, al formei și al volumului ;
dexteritate practică ;
coordonarea văzului și a auzului cu precizia și rapiditatea mâinii ;
gândire de, cel putin, nivel mediu ;
pasiune față de matematică ;
sensibilitate ;
perseverență ;
putere mare de muncă.
Analiza consecventă a fenomenului creator impune și abordarea formelor creativității. Totodată, criterile principale de clasificare sunt: aspectul creator și domeniul în care se manifestă creativitatea.
Conform primului criteriu putem distinge următoarele forme:
creativitatea individuală ;
creativitatea colectivă (de grup).
Din vremuri îndepărtate, subiectul creator s-a indentificat cu individul solitar. Evoluția comunității umane a impus însă un nou tip de activitate, cea de grup și implicit problema creativității colective. Specialiștii în domeniu au încercat ca prin antiteză, să confrunte cele două tipuri de activitate, pentru a decide asupra valorii și oportunității fiecăreia dintre ele. Matematica participă cu mijloace proprii la modelarea personalității atât sub aspect intelectual cât și sub aspect estetic și moral. Din punctul de vedere al dezvoltării intelectuale, învățarea matematicii exersează capacitatea de a judeca, ajută elevul să distingă adevărul științific de neadevăr, să-l demonstreze; antrenează organizarea logică a gândirii, ordonarea ideilor, recunoașterea ipotezelor și a concluziilor, îl învață pe copil să distingă diversele aspecte ale unei situații, să separe esențialul de neesențial; dezvoltă atenția, antrenează memoria logică, exersează analiza și sinteza, favorizează dezvoltarea imaginației creatoare, dezvoltă spiritul critic, formează spiritul științific obiectiv și stimulează dorința de cercetare. Sub aspect estetic se dezvăluie frumusețea matematicii exprimată prin formule, relații, figuri, demonstrații, cultivă calități ale exprimării gândirii (claritate, ordine, conciziune, eleganță), îl ajută pe elev să recunoască și să aprecieze legătura formală a creației artistice din echilibrul arhitectural, compoziția artelor plastice, ritmuri și structuri muzicale, frumusețea și organizarea naturii și a tehnicii. Din punct de vedere moral, matematica formează capacitatea aprecierii adevărului, obiectivității și echității, creează nevoia de rigoare, discernământ și probarea ipotezelor, dezvoltă nevoia de cunoaștere, de a înțelege. Se formează deprinderi de cercetare și investigare, e stimulată perseverența.
II.5.1 Importanța dezvoltării gândirii logice prin compunerea și rezolvarea de probleme aritmetice
Oamenii se deosebesc de celelalte ființe prin gândire. Ei dispun de o capacitate specifică de procesare a informațiilor, în vederea dobândirii unor cunoșstințe și convingeri, a unor deprinderi și abilități cognitive necesare rezolvării de probleme cu care se confruntă în activitatea cotidiană.
Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea conștientă a unei probleme presupune o mare mobilizare a proceselor psihice cognitive, volitive și motivațional-afective. Dintre procesele cognitive cea mai solicitată este gândirea prin cele cinci operații logice de analiză, sinteză, comparație, abstractizare și generalizare. Rezolvând probleme, formăm la elevi priceperi și deprinderi de a analiza situația data de problema, de a intui și descoperi calea prin care se obține ceea ce se cere în problemă. Astfel, rezolvarea problemelor contribuie la cultivarea și dezvoltarea capacităților anticipativ – imaginative, la educarea perspicacității și spiritului de initiativă, la dezvoltarea încrederii în forțele proprii.
Referindu-se la necesitatea antrenamentului în munc de rezolvare a problemelor, George Polya menționeaza că:
„A ști să rezolvi probleme este o îndrumare practică, o deprindere, cum este înotul, șahul sau cântatul la pian care se poate învață numai prin imitare și exerciții (…) Daca vreți să învățați înotul, trebuie să intrați în apă, iar daca vreți să învățați probleme, trebuie să rezolvați probleme.”
Gândirea reprezintă nivelul cel mai înalt de prelucrare și integrare a informației despre lumea externă și despre propriul nostru Eu. Prin ea se realizează saltul calitativ al activității de cunoaștere de la particular la general, de la accidental la necesar, de la simpla constatare a existenței obiectului la interpretarea și explicarea lui logică – cauzală, face trecerea de la procesele psihice cognitiv senzoriale la cele cognitiv superioare.
Gândirea, ca funcție adaptivă, nu se exercită permanent. Omul gândeste îndeosebi atunci când este solicitat de probleme, de situații inedite pentru care nu dispune, în repertoriul său – de acte învățațe, de soluții gata făcute. Prin urmare, gândirea este procesul psihic de reflectare mijlocită și generalizat – abstractă (sub forma noțiunilor, judecăților și raționamentelor) a însușirilor comune, esențiale ți necesare ale obiectelor cât și a relațiilor logice, cauzale între ele. De asemenea, antrenează toate celelalte disponibilități și mecanisme psihice în realizarea procesului cunoașterii, nu doar pe cele de ordin cognitiv, după cum s-ar părea la prima vedere, ci și pe cele afectiv – motivaționale și volitiv – reglatorii.
Încă din primii ani, copilul încearcă să-și rezolve singur situațiile „de viață” cu care se întâlnește. El descoperă, (își) pune întrebări, creează „probleme” și încearcă să-și rezolve „problemele”.
Un copil mic dă dovadă de gândire reproductivă, el realizând cu obstinație una și aceeași mișcare, ca un automat. Pe masura ce crește, copilul dezvoltă interacțiuni din ce în ce mai ample cu mediul sau și descoperă diversele fațete ale gândirii.
Odată cu începerea școlii, gândirea sa devine tot mai direcționată, focalizată pe realizarea unor sarcini. Totuși, doar simplul mediu nu reușește să dea coerență și rigoare gândirii tinerei mladițe. Este necesar ca micul elev să ia contact cu lumea fascinantă a numerelor, pentru a începe, de fapt, să se lucreze la formarea gândirii creative.
Cultivarea gândirii, a capacității de a descifra tainele naturii și societății și a prevedea dezvoltarea lor viitoare, constituie astăzi, lucrul cel mai de preț. Însăși existența umană, viața, presupune multiple și complexe relații, aprecieri, comparații, decizii care solicită activitatea gândirii.
Dezvoltarea gândirii logice este cerută cu acuitate de întreg ansamblul procesului de învățare, fie că se referă la învățarea socială, fie că se referă la învățarea școlară. De aceea, gândirea independenta și spiritul creator au devenit calități necesare nu numai anumitor personalități, ci omului în general. Prin gândire creativă se înțelege capacitatea sau aptitudinea de a realiza ceva original. Actul creator este însă un proces de elaborare prin invenție sau descoperire, cu ajutorul imaginației creatoare, a unor idei sau produse noi, originale de mare valoare și aplicabile în diferite domenii de activitate.
Jean Piaget mentionează că „În societatea contemporană, însăși condiția de existență a omului se concentrează tot mai mult către inteligență și creativitate – adica inteligența activă. Progresul societății, integrarea reală a individului în această lume a mutațiilor, depind într-o măsură determinantă, de reușita formării unor creatori, a unor spirite inovatoare. Indivizii capabili doar să repete ceea ce au învățat de la generațiile precedente sunt iremediabil sortiți eșecului”.
Pentru a-și extinde capacitatea de înțelegere a fenomenelor ce ies de sub incidența simțurilor sale mărginite, omul folosește – alături de alte modalități de cunoaștere – cunoașterea matematică.
Problemele de matematica sunt strans legate prin însăși enunțul lor de viața practică, dar și prin rezolvarea lor. Ele genereaza la elevi un simț al realității de tip matematic formându-le deprinderea de a rezolva și alte probleme pe care viața le pune înaintea lor.
Prin rezolvarea sistematica a problemelor – mai întâi la un nivel elementar în clasele mici, apoi la un nivel tot mai înalt – crescând treptat independența elevilor în această muncă – nu se urmărește numai formarea unei deprinderi simple de a rezolva un anumit tip sau gen de problemă, ci formarea unui complex de priceperi și deprinderi care să le dea posibilitatea de a rezolva în mod independent orice problemă.
În legătură cu scopul rezolvării problemelor se desprind două aspecte:
complexitatea posibilităților de a contribui la educația multilaterală a elevilor prin rezolvarea problemelor;
urmărirea sistematică, pe parcursul întregii scolarități, a dezvoltării și complicării treptate a priceperilor și deprinderilor de a rezolva probleme printr-o gradare justă a problemelor și a întregii munci de rezolvare a lor, precum și consolidarea sistematică a acestor priceperi și a deprinderilor respective.
Activitatea ce se depune pentru rezolvarea problemelor prezintă o importanță atât de mare, încât întreaga desfășurare a procesului de însușire a cunoștințelor de matematică, de formare a priceperilor și deprinderilor este orientată în scopul dezvoltării capacității de rezolvare a problemelor. De aceea, rezolvarea problemelor presupune existența unui complex de priceperi și deprinderi, presupune cunoașterea în condițiile cele mai bune a operațiilor matematice, însușirea pe deplin a tehnicii acestor operații și dezvoltarea aptitudinilor de a sesiza relațiile dintre datele unei probleme. Deci, din punct de vedere instructiv, rezolvarea problemelor constituie aplicarea cunoștintelor dobândite în legătură cu operațiile matematice și proprietățile lor, clarificarea, consolidarea și aprofundarea acestor cunoștințe. În prezent, noțiunile de studiere a matematicii și rezolvarea problemelor sunt interpretate aproape ca sinonime.
Prin rezolvarea de probleme se dezvoltă deprinderi eficiente de muncă intelectuale, având un rol important și în studiul altor discipline, se cultivă și se educă voința, perseverența, spiritul de răspundere față de îndeplinirea sarcinilor, formarea unei atitudini conștiente și corecte față de muncă. Pe baza gândirii, omul intervine asupra mediului înconjurător și-l transformă în folosul său. Întregul progres pe care l-a realizat omenirea de la apariția omului și până la marea aventură a calătoriilor extraterestre se datorează acestui „instrument” cu care este inzestrată speța umană și pe care-l numim gândire.
Ritmul crescând al competiției în toate domeniile vieții social – economice și culturale ne obligă să gândim cât mai rapid și, mai ales, să gândim corect.
„A-i pune elevului probleme de gândire, dar mai ales a-l pregăti să-și pună singur întrebări, este mult mai important decât al conduce spre rezolvarea acestora prin modalități stereotipice învățate.” (Eugen Rusu)
Compunerea de probleme este o activitate complexă, elevul fiind obligat să respecte structura exercițiului sau a figurii date și, în raport cu aceasta, să elaboreze textul problemei, text al cărui raționament să reclame rezolvarea oferită. Complexitatea acestui gen de activitate intelectuală consta în faptul că ea presupune, pe lângă stăpânirea tehnicilor de calcul și a deprinderilor de a stabili raționamente logice, un vocabular bogat, face apel la toate cunoștințele dobândite pentru a elabora un text cu conținut realist.
Cunoștințele matematice aduc o contribuție deosebită la dezvoltarea gândirii logice și creatoare, la dezvoltarea spiritului de receptivitate a elevilor din ciclul primar. Prin învățarea matematicii se cultivă o serie de atitudini: de a gândi personal și activ, de a folosi analogii, de a analiza o problemă și a o descompune în probleme simple etc. De asemenea se formează și o serie de aptitudini pentru matematică: capacitatea de a percepe selectiv, capacitatea de a trece de la aspectul diferențiat la cel integrat sau invers, plurivalența gândirii, capacitatea de a depune un efort concentrat. Cu „echipamentul” pe care îl primește în cele patru clase primare, elevul face întreaga „călătorie” în domeniul acestei științe.
Deși este o capacitate definitorie a omului, totuși, gândirea nu funcționează la fel pentru toți. Oamenii gândesc în moduri diferite. Mai mult, una și aceeași persoană gândește diferit în situații diferite. Dincolo de aceasta, fiecare persoană își formează un stil propriu de gândire, o modalitate personalizată de abordare și rezolvare a problemelor.
În primele patru clase, matematica este unul dintre obiectele de baza, scopul acesteia fiind de a înarma elevii cu temeinice cunoștințe în legătura cu noțiunile elementare matematice, de a forma deprinderea, de a aplica aceste cunoștințe în viața practică, precum și de a contribui la dezvoltarea gândirii, a memoriei și atenției, la formarea deprinderilor de ordine și punctualitate.
Limbajul matematic, fiind limbajul conceptelor cele mai abstracte, se învață la început cu dificultate. De aceea, trebuie mai întâi asigurată înțelegerea noțiunii respective. E firesc să ne preocupe cunoașterea și folosirea corectă de către elevi a terminologiei specifice, deoarece, între limbaj și gândire există o stransă legătură. Ele nu pot fi separate, ci trebuie abordate împreună.
Elevul trebuie să colaboreze în efortul de dobândire a cunoștințelor, de descoperire a adevărului. Adevărul care se desprinde dintr-o problemă trezeste interesul matematic al rezolvitorului. De aceea, problemele trebuie să ofere cu generozitate modalitățile cele mai diferie de rezolvare.
Valențele formative ale acestei activități rezolutive vizează:
formarea unei gândiri matematice exprimatâ atât printr-un vocabular matematic adecvat cât și printr-un sistem de algoritmi de calcul și de judecată;
cultivarea creativității elevilor din clasele I – IV (indrăzneala, istețime, spirit inovator, iscoditor, flexibilitatea gândirii, nonconformismul aplicării metodei);
crearea unor situații generatoare de motivație intrinsecă, cu consecințele favorabile în planul interesului pentru matematică, al atitudinilor de căutare de noi probleme, ale apariției unor satisfacții noi, care întăresc motivația scolară în sfere mai largi de activitate;
educarea unor trăsături volitive pozitive pentru întreaga conduită a elevului (tenacitate, concentrare, voință de a învinge, dorința de autodepășire);
practicarea limbajului matematic la parametri superiori.
Matematica își dovedește importanța deosebită, participând cu mijloacele proprii la dezvoltarea personalității nu numai sub aspect intelectual ci și sub aspect estetic și moral.
Din punct de vedere al dezvoltării intelectuale, învățarea matematicii exersează judecata, îl ajută pe elev să distingă adevărul științific de neadevăr, să-l demonstreze; antrenează organizarea logică a gândirii, ordonarea ideilor, recunoașterea ipotezelor și consecințelor, îl învață pe copil să distingă diversele aspecte ale unei situații, să degajeze esențialul de neesențial, formează capacitățile atenției, antrenează memoria logică, exersează analiza și sinteza, favorizează dezvoltarea imaginației creatoare, îl ajută să-și formeze simț critic constructiv, îi formează spiritul științific exprimat prin obiectivitate, precizie, gustul cercetării.
Sub aspect estetic, trezește gustul față de frumusețea matematicii exprimată prin relații, formule, figuri, demonstrații, cultiva unele calități ale exprimării gândirii, cum ar fi claritatea, ordinea, conciziunea, eleganța îl face pe elev capabil să recunoască și să aprecieze legatura formală a creației artistice relevată în echilibrul arhitectural, compoziția artelor plastice, ritmuri și structuri muzicale, îl face sensibil față de frumusețea naturii și tehnicii.
Din perspectiva dezvoltării morale, matematica formează gustul pentru adevăr, obiectivitate și echitate, creează nevoia de rigoare, discernământ și probarea ipotezelor, creează nevoia de a cunoaște, a înțelege, formează deprinderi de cercetare și investigație, stimulează voința de a duce la capăt un lucru început. Ea preîntâmpină adoptarea unor atitudini nemotivate și întâmplătoare.
Elevii își însușesc noțiuni elementare cu care operează pe tot parcursul vieții. Școlarilor li se formează unele aptitudini ale gândirii pe lângă deprinderile de calcul și de rezolvare a problemelor.
Predarea matematicii la clasele I – IV are în vedere trei planuri: instructiv, educativ și practic, având ca obiectiv fundamental dezvoltarea intelectuală a elevilor, însușirea instrumentelor de calcul și de rezolvare a problemelor.
Pe plan instructiv se urmărește formarea conceptului de număr natural, cunoașterea denumirii și a modului de scriere a numerelor naturale, înțelegerea operațiilor de adunare, scădere, înmulțire, împărțire, a proprietăților acestora, precum și formarea deprinderilor de a efectua aceste operații. De asemenea se urmărește familiarizarea elevilor cu elemente simple de geometrie plană, formarea conceptului de măsura a unei mărimi, cunoașterea principalelor unități de lungime, arie, volum, masă, timp și transformarea unora dintre acestea.
Pe plan educativ se realizează dezvoltarea gândirii logice, cultivarea calităților gândirii prin exersarea operațiilor sale, dezvoltarea atenției voluntare stabile, a memoriei logice. Pe plan practic se urmărește formarea capacității de a utiliza cunoștințele de matematică în rezolvarea problemelor pe care le pune viața de toate zilele, de a întrebuința aceste cunoștințe în cazuri noi, de a contribui în mod creator la soluționarea laturilor matematice ale problemelor care se ivesc la tot pasul, a problemelor pe care copilul le întâlnește în viața cotidiană.
Întrebuințarea cunoștințelor privitoare la numerația scrisă și orală, utilizarea pe scară largă a calcului oral și scris, formarea unei concepții unitare despre unitățile de măsură și întrebuințarea curentă a lor constituie doar câteva prilejuri la care se referă aplicarea practică a cunoștințelor de matematică dobândite în mediul școlar. Elevul trebuie să aplice în viața de zi cu zi ceea ce a studiat în școală.
II.6 Evaluarea activității de compunere și rezolvare a problemelor
Evaluarea este o componentă a procesului instructiv – educativ. Evaluarea reprezintă totalitatea activităților prin care se colectează, organizează și interpretează datele obținute în urma aplicării unor tehnici, metode și instrumente de măsurare, elaborate în conformitate cu obiectivele și tipul evaluării, în funcție de conținutul și grupul de lucru vizat, în scopul emiterii unei judecăți de valoare pe care se bazează o anumită decizie în plan educațional. În mod curent, prin evaluare în învățământ se înțelege actul didactic complex integrat întregului proces de învățământ care asigură evidențierea cantității cunoștințelor dobândite și valoarea, nivelul performanțelor și eficiența acestora la un moment dat oferind soluții de perfecționare a actului de predare-învatare. Evaluarea are rolul de a masura și aprecia, în funcție de obiective, eficiența procesului de predare– învățare, raportată la îndeplinirea funcțiilor ei, la cerințele economice și culturale ale societății contemporane.
Sistemul de evaluare din învățământ vizează:
evaluarea obiectivelor curriculare și a strategiilor educaționale utilizate în scopul rezolvării acestora;
evaluarea activității de predare-învățare, a strategiilor didactice și a metodelor de învățământ;
evaluarea nivelului structurilor psihice ale elevilor (cognitive, operaționale, psihomotrice, atitudinal-valorice);
evaluarea performanțelor profesionale;
evaluarea întregului sistem de învățământ;
informarea elevilor, a părinților și a societății cu privire la rezultatele obținute și asupra cauzelor nerealizării obiectivelor curriculare propuse;
diversificarea metodelor și tehnicilor de evaluare, prin utilizarea unor procedee alternative;
A evalua înseamnă deci a determina măsura în care obiectivele programului de instruire au fost atinse precum și eficiența metodelor de predare-învățare folosite. Termenul de evaluare școlară desemnează actul prin care – referitor la o prestație orală, scrisă sau practică – se formulează o judecată prin prisma unor criterii. Evaluarea și notarea școlară alcătuiesc o modalitate de codare numerică – însoțită de aprecieri calitative – a rezultatelor obținute de elevi, servindu-se de scara de cu calificative. Prin evaluare se înțelege măsurarea și apreciere cantitativă a efectelor învățării școlare. Evaluarea este aplicabilă în două planuri: cu referire la efectele învățării și cu referire la însuși procesul instructiv-educativ. Primul plan vizează relația profesor-elev: nivelul de pregătire a elevilor și evoluția acestuia în timp, în functie de posibilitățile lor reale de învățare prin raportarea performanțelor obținute de școala la cele așteptate de societate. Al doilea plan vizează autoestimarea profesorului, factorii de îndrumare și control ai învățământului în vederea asigurării unei verificări sistematice și integrale a performanțelor elevilor, a conceperii și realizării unui proces instructiv-educativ capabil să cultive interesul pentru studiu al elevilor. Verificarea și aprecierea cunoștințelor dobândite de elevi în școală dețin o pondere însemnată în munca profesorului la clasa. Pe lângă prezentarea metodelor de predare, pregătirea psihopedagogică trebuie să includă și familiarizarea cu tehnicile de examinare și notare. Evaluarea reprezintă un act absolut necesar în procesul conducerii unei activități în general și al luării deciziilor, în special.
În procesul de învățământ, ea furnizează informațiile necesare reglării și ameliorării activității didactice de la o etapă la alta, prin adoptarea măsurilor corespunzătoare situațiilor de instruire. Evaluarea cuprinde descrierea calitatiă și cantitativă a comportamentului, precum și emiterea unei judecăți de valoare referitoare la dezirabilitatea acestui comportament, respectiv la concordanța dintre comportament și obiective.
În didactică, evaluarea poate fi definită ca activitatea profesorului cu ajutorul careia se realizează prelucrarea informațiior obținute prin verificare, în sensul întăririi, aprecierii și corectării cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor elevilor. Ea reprezintă un proces sistematic prin care profesorul încearcă să determine gradul în care obiectivele educaționale sunt atinse de către elevi, o operație care constă într-o judecată de valoare asupra rezultatelor școlare ale elevului.
Structura acțiunii de evaluare didactică include trei operații : masurarea, aprecierea și decizia. Măsurarea presupune aplicarea unor tehnici specifice pentru a cunoaște efectele acțiunii instructiv-educative și a obține date în perspectiva unui scop determinat. Exactitatea măsurii este condiționată de calitatea instrumentelor de măsură folosite și de modul cum sunt acestea aplicate. Măsurarea presupune o determinare obiectivă prin surprinderea riguroasă a unor achiziții și nu implică emiterea unor judecăți de valoare. Aprecierea sau evaluarea propriu-zisă constituie procesul de judecată de valoare a rezultatelor constatate, prin compararea acestora cu scopurile urmărite. Ea presupune și semnificația unui rezultat observabil sau măsurabil într-un cadru de referință axiologic. Decizia reprezintă operația de evaluare care asigură prelungirea aprecierii într-o notă școlară, caracterizare, hotărâre, recomandare, etc. cu valoare de prognoză pedagogică. Ea se realizează în raport cu anumite criterii pedagogice, spre exemplu: potențialul elevului, valorificat la maximum, creșterea calitativă a activității didactice, prin anticiparea corect-pozitivă, prin metamorfoza diagnozei în prognoză, îndrumarea evaluatului prin termeni manageriali.
Aceste trei momente sunt strâns relaționate între ele, fapt ce reiese și din etapizarea procesului evaluării, propusa de Tyler:
definirea obiectivelor procesului de învățământ;
crearea situațiilor de învățare care să permită elevilor achiziționarea comportamentelor preconizate prin obiective;
selectarea metodelor și instrumentelor de evaluare necesare;
desfășurarea procesului de măsurare a cunoștințelor achiziționate;
evaluarea și interpretarea datelor obținute;
concluzii și aprecieri diagnostice și prognostice.
Există o multitudine de clasificări ale funcțiilor evaluării, dar indiferent de tipul clasificării, funcțiile acțiunii de evaluare didactică au o dublă semnificație: cea socială și cea pedagogică. O altă calsificare este aceea în funcție de implicarea ei la nivel de politică a educației: funcția de certificare a nivelului de pregătire a absolentului- asigură ameliorarea curricumului și a proceselor de instruire, funcția de diagnoză – identifică dificultățile de învățare, funcția de prognoză- realizează predicția performanțelor și comportamentelor viitoare, în contextul pedagogic, funcția de apreciere – asigură creșterea eficienței proceselor de instruire, funcția de creștere a responsabilității profesorilor – duce la creșterea calității nivelului de pregătire asigurat elevilor, funcția de feed-back – duce la îmbunătățirea instruirii, predării și învățării, funcția de evidențiere a eficacității sistemului de învățământ – care se relevă atât în nivelul de pregătire al elevilor, cât și competențele lor la intrarea în viața activă, funcția de formare la elevi a unei autoestimații corecte și pozitive – asigură creșterea implicării acestora în procesul de învățare, funcția de apreciere a performanțelor școlare (prin notare) și funcția de selecție (prin examene), funcția de eficientizare a proceselor de instruire (prin ameliorarea raporturilor dintreobiective-rezultate-resurse utilizate-calitatea proceselor de instruire).
Raportandu-ne la derularea unei secvente de învățare, sau prin relaționare la un ansamblu structurat de activități de formare, am putea discerne trei funcții ale evaluării:
verificarea sau identificarea achizițiilor școlare;
perfecționarea și regularizarea căilor de formare a indivizilor, identificarea celor mai simple și pertinente căi de instrucție și de educație;
sancționarea sau recunoașterea socială a schimbărilor operate asupra indivizilor aflați în formare.
Dacă ne raportăm la nivelul unei clase, este indicat să ținem cont de trei funcțiuni ale evaluării, ca repere principale pentru reglarea acțiunilor educative: orientarea deciziilor de natură pedagogică în vederea asigurării unui progres armonios și continuu în dezvoltarea elevului, prin stabilirea celor mai bune căi de încorporare a cunoștințelor și deprinderilor; informarea elevilor și a părinților asupra stadiului formării și asupra progreselor actuale sau posibile, stabilirea unei ierarhii, implicită sau explicită, prin atribuirea, în funcție de rezultate, a unui loc sau rang valoric.
Funcțiile evaluării apar și se actualizează diferențiat. Toate funcțiile invocate se pot intrezări, mai mult sau mai puțin, în toate situațiile de evaluare. De pildă, după sistemul de referință, un examen poate dobândi mai multe funcții, plecând de la intențiile diverse ale profesorilor, de a controla achizițiile școlare la începutul unui ciclu școlar, de a decide asupra promovărilor elevilor, de a lua cunoștință de reușitele și progresele lor, iar părinților de a se informa asupra direcțiilor de dezvoltare a copiilor, în scopul de a-i orienta școlar și profesional în cunoștință de cauză.
Evaluarea are o valoare motivațională, dorința de succes, respectiv teama de eșec sunt imbolduri importante în învățare. Succesul sistematic înscrie motivația învățării pe o spirală ascendentă în timp ce esecul poate duce la „demotivare”. În concluzie, se poate aprecia ca, principalele atribuții ale evaluării constau în măsurarea eficienței și autoreglarea procesului de învățământ, profesorii putând controla achizițiile școlare, elevii luand cunoștință de reușitele și progresele lor, iar comunitatea de a se informa asupra direcției în care evoluează școala și orientării tinerei generații. În acest sens, se vorbește despre evaluarea eficienței învățământului, dar este la fel de necesar, să fie asigurată eficiența evaluării. Acest ultim aspect are o importanță deosebită, deoarece el poate fi cel mai elocvent confirmat prin trecerea de la control/evaluare la autocontrol/autoevaluare, ceea ce susține în plan mai larg trecerea de la determinare la oautodeterminare motivată permanent.
După criteriul obiectivității și al gradului de certitudine, se disting următoarele evaluări:
evaluarea subiectivă, care se caracterizează prin apelul la intuiția profesorului;
evaluarea obiectivă, se caracterizează prin folosirea unor tehnici speciale de măsurare a unor trasături, a unei prestații, a unei experiente;
După criteriul scopului și al frecvenței în utilizare distingem:
evaluarea inițială, prin care se stabilește nivelul de pregătire al elevului la începutul unei perioade sau etape de lucru, la începutul unei teme mari, capitol, precum și condițiile în care acesta se poate integra în programul de instruire.
evaluarea continuă (formativă), presupune verificarea permanenta a rezultatelor, pe tot parcursul procesului de instruire, de obicei operându-se pe secvențe mici. Trecerea la secvența următoare se realizeaza numai după ce se cunoaște modul de desfășurare și eficiența educațională a secvenței evaluate, rezultatele obținute de elevi, prin adoptarea de măsuri de ameliorare privind procesul de învățare și performanțele unor elevi.
evaluarea sumativă, cumulativă sau de bilanț, se realizează la finele unei etape de instruire, la finele studierii unei teme, al unui capitol și, periodic, la sfarsitul semestrelor, al anului școlar, al ciclului de școlarizare prin conceperea unor subiecte cuprinzătoare care să acopere întreaga arie tematică abordată. În aplicarea acestor forme de evaluare, se realizează compararea rezultatelor constatate cu nivelul celor înregistrate la începutul etapei de instruire.
Strategiile de evaluare reprezintă modalitățile sau tipurile specifice de integrare a operațiilor de măsurare-apreciere-decizie în activitatea didactică/educativă, integrare realizabilă la diferite intervale de timp scurt, mediu și lung și în sensul îndeplinirii unor funcții pedagogice specifice. Fiind un proces multidimensional, se pot identifica, în funcție de criteriile alese, mai multe strategii/tipuri de evaluare.
Din punct de vedere al situațiilor de evaluare, putem identifica două strategii:
evaluare realizată în circumstanțe obișnuite, bazată pe observarea activității elevilor;
evaluare specifică, realizată în condiții special create ce presupune elaborarea și aplicarea unor probe, partenerii angajați în proces fiind conștienți de importanța demersurilor de verificare și apreciere întreprinse.
După accentul pus pe proces sau pe sistem:
evaluarea de proces – se refera la performantele elevilor;
evaluarea de sistem – accentul se pune pe sistemul în care se desfașoară procesul de învatamânt;
După funcția dominantă îndeplinită, putem identifica două strategii:
evaluare diagnostică (se realizează o diagnoză descriptivă ce constă în localizarea lacunelor și erorilor în cunoștințe și abilități dar și a „punctelor forte” și o diagnoză etiologică care relevă cauzele care au generat neajunsurile constatate);
evaluare predictiva prin care se urmărește prognozarea gradului în care elevii vor putea să răspundă pe viitor unui program de instruire;
După modul în care se integrează în desfășurarea procesului didactic, putem identifica trei strategii:
evaluare inițială, realizată la începutul demersurilor instructiv-educative, pentru a stabili nivelul la care se situează elevii;
evaluare formativă, care însoțește întregul parcurs didactic, organizând verificări sistematice în rândul tuturor elevilor din toată materia;
evaluarea sumativă, care se realizează de obicei, la sfâritul unei perioade mai lungi de instruire;
După autorul care efectuează evaluarea, putem identifica trei strategii:
evaluare internă, întreprinsă de aceeași persoană/instituție care este direct implicată și a condus activitatea de învatare (de exemplu, învățătorul sau profesorul clasei);
evaluarea externă, realizată de o altă persoană/instituție, alta decât cea care a asigurat derularea predării și învățării;
autoevaluare, efectuată de subiectul însuși asupra propriului progres.
Nu este mai puțin importantă este departajarea ce se face între: evaluarea preponderent pedagogică, vizând în esență ceea ce subiecții au asimilat, ceea ce știu să facă și ce capacități și trăsături și-au format și evaluarea preponderent psihologică, privind funcțiile psihice implicate în activitatea de învățare. Evaluările psihologice vizează aptitudinea subiectului de a învăța, adică ceea ce poate să facă.
După obiectul evaluării se distinge:
evaluarea procesului de învățare (atât a achizițiilor cât și a procesului în sine);
evaluarea performanțelor (realizate individual, în grup sau de către grup);
evaluarea a ceea ce s-a învățat în școală sau a ceea ce s-a învățat în afara școlii.
După domeniu de evaluare avem:
evaluarea în domeniul psihomotor (capacități, aptitudini, deprinderi);
evaluarea în domeniul socio-afectiv (atitudini);
evaluarea în domeniul cognitiv (cunoștințe);
După modul în care pot sau nu pot fi cuantificate rezultatele evaluarii avem:
evaluare cantitativă – rezulatele sunt cuantificabile în funcție de un punctaj;
evaluare calitativă – la care rezultatele nu pot fi măsurate prin cuantificare;
În cele ce urmează vom prezenta, celor mai vehiculate strategii de evaluare, respectiv: evaluarea inițială, evaluarea continuă și evaluarea sumativă ( periodică sau finală).
Evaluarea inițială se efectuează la începutul unui program de instruire. Ea permite să se prevadă șansele de succes ale programului. Profesorul poate să verifice punctele forte și punctele slabe ale elevilor în scopul optimizării nivelului de pregătire de la care pornesc și a gradului în care stăpânesc cunoștințeleși abilitățile necesare asimilării conținutului etapei care urmează, constituie o condiție hotărâtoare pentru reușita activității didactice. Această strategie își propune să identifice sensibilitatea și potențialul cognitival elevilor ,,ceea ce influențează cel mai mult învățarea sunt cunoștințele pe care elevul le posedă”. Datele obținute prin evaluările inițiale oferă profesorului posibilitatea de a-și alege modul cel mai adecvat de predare a noului conținut, dar și de a gândi modalitățile de instruire diferențiată. Evaluarea inițială (predictivă) poate fi considerată o strategie psihopedagogică distinctă deoarece poate fide sfășurată nu numai la începutul anului, ci și la mijlocul sau sfârșitul lui, atât înaintea unei teme, cât și în orice moment al ei . Pe de altă parte, această strategie nu se limitează la testarea cunoștințelor elevilor deoarece își propune, de cele mai multe ori, și evidențierea unor priceperi și aptitudini. Evaluarea inițială este utilă pentru refacerea sau remedierea unei stări de fapt, pentru aplicarea unui scurt program de recuperare sau de refacere a noțiunilor fundamentale ce vor fi implicate în susținerea învățării următoare, pentru a omogeniza, într-un fel, fondul de cunoștințe și abilităț iindispensabile unui nou proces.
Evaluarea continuă, cunoscută și sub numele de evaluare formativă sau de progres, se aplică pe tot parcursul desfășurării procesului de învățământ. Se bucură de prioritate deoarece vine în sprijinul menținerii unui flux evaluativ continuu, ce urmărește să asigure un progres punctual și continuu. Practicarea acestui tip de evaluare pornește de la divizarea materiei (disciplinei) în unități, adică în părți bine definite ale conținutului dat. Pentru fiecare unitate sunt stabilite obiectivele specifice, de la nivelurile cele mai inferioare, însușirea de termeni și date factuale necesare, până la nivelul mai abstract al noțiunilor, cele ale aplicării principiilor și analizei enunțurilor teoretice. Astfel, prin utilizarea unor probe sau teste de diagnoză, formative și de progres, adecvate, administrate la sfârșitul fiecărei unități parcurse, se poate determina dacă fiecare elev a ajuns să-și însușească materia corespunzătoare. După cum se poate constata, evaluarea formativă se orientează după obiective și conținuturi, după standarde constituite pe aceste elemente, fiind o evaluare criterială. Scopul acestei evaluări este să furnizeze profesorului și elevului un feed-back despre gradul de stăpânire a materiei și despre dificultățile întâmpinate sau cu alte cuvinte, unde se situează rezultatele parțiale față de cele finale proiectate. Acest control poate conduce la reluarea explicației, la modificarea unor elemente ale demersului didactic sau la organizarea unor programe de recuperare. Funcțiile pe care le îndeplinește evaluarea continuuă sunt cele de diagnosticare și ameliorare a procesului instructiv-educativ. Evaluarea continuă se constituie astfel într-un mijloc de prevenire a situațiilor de eșec școlar.
Propunându-și să depisteze dificultățile pe care le întâmpină fiecare elev în învățare, potențialul acestora de a-și optimiza activitatea, evaluarea continuă presupune o activitate laborioasă, care ar avea patru etape:
măsurarea rezultatelor și constatarea greșelilor și lacunelor;
diagnosticarea procesului, adică ,,relevarea deficiențelor întâmpinate de fiecare elev sau grupe de elevi”,;
structurarea unor procedee prin care pot fi remediate greșelile;
măsurarea efectelor, procedeelor utilizate în vederea depăsirii greutăților întâmpinate în asimilarea cunoștințelor sau în formarea unor deprinderi.
Întrucât evaluarea continuă nu vizează sancționarea rezultatelor slabe ale elevilor, ci evidențierea rezultatelor bune, oricât de mici ar fi progresele înregistrate, ea contribuie la modificarea relațiilor profesor-elev. Se știe că, în general, actul evaluării provoacă tensiuni, anxietate, conflict, competitivitate și o accentuare a motivației extrinseci. Orientându-se către măsurarea progreselor fiecărui elev și către depistarea deficiențelor ori lacunelor în învățare, precum și sprijinirea diferențiată a elevilor, profesorul poate face din evaluare un moment mai puțin stresant, care îl ajută pe elev să se cunoască mai bine, să-și autoevalueze performanțele și să-și fixeze în mod realist obiectivele. Extrem de util devine acest tip de evaluare și pentru profesor. Și acesta beneficiază de o informație inversă imediată și în permanență despre pertinența și performanțele demersului său didactic, despre eficacitatea procedurilor aplicate. Prin interogațiile adresate elevilor, prin interogațiile adresate elevilor, prin exerciții scurte impuse, își poate da seama cu ușurință despre continuitatea și coerența învățării, poate detecta dificultăți, confuzii, greșeli, intervenind imediat pentru ameliorarea situației. În altă ordine de idei, profesorul poate chiar să modifice cursul predării, să ajungă la diagnosticări fine, ceea ce-i conferă posibilitatea unor tratări diferențiate a elevilor, ținând seama de nevoile fiecăruia, una din premisele esențiale prevenirii insuccesului la elevi. În concluzie, se poate spune că, prin specificul ei, evaluarea formativă este o evaluare centrată pe procese, destinată rectificării, reajustării și adaptării acestora, ameliorării și optimizării, reglării și autoreglării învățării și predării. În felul acesta, cum de altfel și numele îi spune, îndeplinește o funcție formativă de rafinare și dezvoltare a potențialului de învățare, dar și a celui de predare, de formare sau dezvoltare propriu-zis a proceselor. Urmând principiul feed-back-ului, tehnicile de evaluare formativă sunt, deci, de natură a contribui la organizarea condițiilor de reușită a învățării, înscriindu-se în logica unei pedagogii a reușitei unui cât mai mare număr de elevi.
Evaluarea sumativă (periodică sau finală) este o evaluare de bilanț al instruirii, care intervine la sfârșitul parcurgerii unui ansamblu de sarcini de învățare ce constituie un tot unitar, corespunzător, de exemplu unei programe, unei părți mai mari din programă, sau indică rezultatele obținute la sfârșitul unei perioade de învățare – semestru, an școlar, ciclu de studii. Acest tip de evaluare evidențiază finalul, efectul terminal rezultat de pe urma învățării parcurse și nu cum s-a ajuns la acest produs. Este, deci, o evaluare centrată pe rezultate globale, de bilanț al învățării, ea cuprinde momente ale evoluției. Intervenind după perioade mai lungi de timp, acest tip de evaluare nu mai oferă ameliorarea în timp a rezultatelor școlare ale elevului și de aceea exercită în principal funcția de constatare a rezultatelor și de clasificare a elevilor. În contextul actual al structurării anului școlar pe cele două semestre și al realizării programului de reformă a evaluării rezultatelor școlare, evaluării sumative îi este consacrată o perioadă compactă la sfârșitul fiecărui semestru. Obiectivele activităților desfășurate în această perioadă pot fi: verificarea realizării principalelor obicetive curriculare, recapitularea, sistematizarea și consolidarea materiei parcurse, ameliorarea rezultatelor învățării, stabilirea unui program suplimentar de instruire pentru elevii cu rezultate slabe . În legătură cu aceste obiective se impun două observații: în primul rând, constatăm că o parte dintre obiectivele evaluării continue (formative) sunt reluate și în cadrul evaluărilor finale, numai că ele sunt mai greu de realizat în practică, deoarece materia supusă evaluării are un volum considerabil și nu pot fi detectate toate locunele elevilor. Iar în acea perioadă destul de mare, după momentul învățării și, în consecință, ameliorarea rezultatelor se realizează într-o mai mică măsură. În al doilea rând, constatăm că perioada de evaluare nu trebuie confundată cu o,,mini-sesiune” de examene. În această perioadă se vor realiza și recapitulări, sistematizări ale materiei, care vor permite elevului să se concentreze asupra aspectelor esențiale ale conținuturilor parcurse, asupra conceptelor cheie și a exercițiilor obligatorii, pregătindu-se astfel pentru probele de evaluare sumativă care urmează recapitulării.
În mod practic, evaluarea sumativă este utilizată pentru a furniza informații de tip bilanț, în vederea diagnosticării într-o formă globală, a realizării obiectivelor generale (sau terminale) ale unei programe (sau părți ale programei), a rezultatelor înregistrate de elevi la sfârșitul unei perioade de învățare în raport cu așteptările sau obiectivele fixate inițial, în vederea certificării sau recunoașterii atingerii unui nivel de pregătire sau dobândirii unor competențe, a adoptării unei decizii legate de promovarea/nepromovarea, acceptarea/respingerea, acordarea unei diplome, de stabilire a unei diferențieri sau ierarhizări (clasificări) între elevi, confirmarea sau infirmarea eficienței prestației profesorilor, a unor strategii utilizate, a valorii unor programe, manuale școlare și suporturi didactice. Ca bilanț al instruirii, evaluarea sumativă se încheie cu atribuirea unei note sau a unui calificativ, ori a unui certificat, diplome. Calificativele obținute pe baza examinării de sfârșit de programă, sau de semestru, ori de an școlar au, indiscutabil, o valoare mai mare decât calificativele obținute pe parcurs, tocmai că sunt expresia unui rezultat global care sintetizează efectele unui efort mai îndelungat. Principala critică care se aduce acestui tip de evaluare se referă la faptul că este o procedură care vine mult mai târziu ca să mai poată influența cu ceva ameliorarea rezultatelor și refacerea procesului deja parcurs. Dar, poate oferi învățăminte pentru desfășurarea unor viitoare activități didactice. De asemenea, este însoțită de stări de anxietate, de stres, de teamă.
Metoda de evaluare este o cale prin care profesorul oferă elevilor posibilitatea de a demonstra nivelul de stăpânire a cunoștințelor, de formare a diferitelor capacități testate prin utilizarea unei diversități de instrumente adecvate obiectivului de evaluare propus. Metodele de evaluare pot fi grupate în două mari categorii: metodele tradiționale și metode complementare.
Metodele tradiționale de evaluare au căpătat această denumire datorită consacrării lor în timp. Din această categorie fac parte: probele orale, probele scrise și probele practice. Verificarea orală constă în realizarea unei conversații prin care profesorut urmarește identificarea cantității și calității instrucției. Conversația poate fi individuală, frontală sau combinată. Avantajele constau în aceea că se realizează o comunicare deplină între profesor și clasa de elevi, iar feed-back-ul este mult mai rapid. Metoda favorizează dezvoltarea capacităților de exprimare ale elevilor. De multe ori însă obiectivitatea ascultării orale este periclitată, datorită intervenției unei multitudini de variabile: starea de moment a educatorului, gradul diferit de dificultate a întrebarilor puse, starea psihica a evaluaților, iar în același timp, nu toti elevii pot fi verificați, ascultarea fiind realizată prin sondaj. Verificarea scrisă apelează la anumite suporturi scrise, concretizate în teste de evaluare. Elevii au șansa să-și prezinte achizițiile educației fără intervenția profesorului, în absența unui contact direct cu acesta. Anonimatul lucrării, usor de realizat, îngăduie o diminuare a subiectivității profesorului. Ca avantaje, mai consemnăm posibilitatea verificării unui număr relativ mare de elevi într-un interval de timp determinat, raportarea rezultatelor la un criteriu unic de validare constituit din conținutul lucrării scrise, avantajarea unor elevi timizi sau care se exprimă defectuos pe cale orală etc. Verificarea scrisă implică feed-back mai slab, în sensul că unele erori sau neîmpliniri nu pot fi eliminate operativ, prin intervenția profesorului. Cum este și firesc, ambele variante de verificare se cer a fi desfășurate oportun și optim de către profesori. Probele practice presupun aplicarea cunoștințelor teoretice însușite precum și deprinderilor și priceperilor anterior formate. Concret, este vorba despre confecționarea unor obiecte sau aparate, executarea unor experimente de laborator, discutii, realizarea unor exerciții, etc. Metodele tradiționale de evaluare trebuie concepute ca realizând un echilibru între probele orale, scrise și cele practice. Preocuparea continuă a practicienilor din domeniul educației de a găsi și valorifica noi tehnici și proceduri de evaluare, mai ales pentru măsurarea acelor obiective aparținând domeniului afectiv, mai greu cuantificabile prin metodele clasice de evaluare, s-au concretizat în identificarea și utilizarea unor metodede evaluare care pot reprezenta o alternativă viabilă la formulele evaluative tradiționale, fiind complementare acestora.
Metode complementare (moderne de evaluare), al căror potențial formativ susține individualizarea actului educațional prin sprijinul acordat elevului, sunt: observarea sistematică a activității și a comportamentului elevilor, referatul, investigația, proiectul, portofoliul și autoevaluarea. Observarea sistematică a comportamentului elevilor în timpul activității didactice este o tehnică de evaluare care furnizează profesorului o serie de informații utile, diverse și complete, greu de obținut astfel prin intermediul metodelor de evaluare tradiționale. Fișa de evaluare (calitativă), scara de clasificare și lista de control/verificare sunt instrumente care se utilizează pentru evaluarea procesului, cât și a produselor realizate de elevi. Acest tip de observație participativă practicată de profesor, utilizând cele trei modalități menționate este în esență subiectivă, dar poate să-și sporească gradul de obiectivitate dacă se concentrează atenția asupra modului de elaborare și utilizare a instrumentelor. Fișa de evaluare este completată de către profesor, în ea înregistrându-se date factuale despre evenimentele cele mai importante pe care profesorul le identifică în comportamentul sau în modul de acținue al elevilor săi (fapte remarcabile, probleme comportamentale, evidențierea unor aptitudini deosebite într-un domeniu sau altul). La aceasta se adaugă interpretările profesorului asupra celor întâmplate, permițându-i acestuia să surprindă modelul comportamental al elevilor săi. Puncte forte ale acestei fișe sunt: elimină stresul și nu depind de capacitatea de comunicare a elevului cu profesorul, iar puncte slabe sunt: consumă timp, observațiile nu au o cotă ridicată de obiectivitate. Scara de clasificare însumează un set de caracteristici (comportamente) ce trebuie aupuse evaluării, însoțit de un anumit tip de scară, de obicei scara Likert. Potrivit acestui tip de scară, elevului îi sunt prezentate un număr de enunțuri în raport de care aceasta trebuie să manifeste acordul sau dezacordul, discriminând între 5 trepte: – puternic acord, acord, indecis (neutru), dezacord sau puternic dezacord. Secretul construirii unei asemenea scări îl constituie redactarea unui bun enunț la care elevul să poată răspunde. Prin intermediul scării de clasificare se identifică profesorului frecvența cu care apare un anumi tcomportament. Datele colectate se rezumă la un număr limitat de comportamente, de aceea este necesară utilizarea repetată. Lista de control / verificare, deși pare asemănătoare cu scara de clasificare ca manieră de structurare (un set de enunțuri, caractersitici, comportamente etc.) se deosebește de aceasta prin faptul că prin intermediul ei doar se constată prezența sau absența unei caracteristici, a unui comportament fără a emite o judecată de valoare oricât de simplă. Un avantaj al listei de control este acela că se elaborează relativ ușor, fiind și simplu de aplicat elevilor. În listele de control se recomandă: completarea informațiilor asupra comportamentului elevului în timpul activităților didactice, aplicarea lor numind cazul copiilor cu dificultăți de învățare. Referatul permite o apreciere nuanțată a învățării și identificarea unor elemente de performanță individuală a elevului, care își au originea în motivația lui pentru activitatea desfășurată. Se pot diferenția două tipuri de referate: referat de investigație științifică, bazată pe descrierea demersului unei activități desfășurate în clasă și pe analiza rezultatelor obținute, referat bibliografic bazat pe informarea documentară, bibliografică. Caracteristicile estențiale ale referatului, sunt: au un pronunțat caracter formativ și creativ, reușind să înglobeze zone întinse de conținut, au un profund caracter integrator, atât pentru procesele de învățare anterioare, cunoștințele disciplinare și interdisciplinare, cât și pentru metodologia informării și cercetării științifice, fiind astfel o modaliate de evaluare foarte sugestivă, precisă, intuitivă și predictivă care permite abordarea unor domenii noi, ce reprezintă extinderi ale conținutului, în măsura în care tematica propusă este interesantă, justificată didactic și există resurse în abordarea ei. Se pot realiza conexiuni cu alte obiecte de învățământ și cu modalități de investigație transdisciplinare, au un caracter sumativ, angrenând cunoștințe, priceperi, abilități și atitudini diverse, constituite pe parcursul unei perioade mai îndelungate de învățare, relevă motivația intrinsecă de învățare sau documentare, a unor elevi față de a majorității elevilor, care se pregătesc pe baza unor factori exteriori lor, se pot exersa în mod organizat activități de cercetare bibliografică independentă, care sunt utile în formarea ulterioară și în educația permanentă Referatul se poate utiliza în demersul didactic, atât pentru evaluarea continuă, pe parcursul unui semestru, cât și pentru evaluarea sumativă în cadrul unui model încadrat într-un portofoliu sau independent. Investigația oferă posibilitatea elevului de a aplica în mod creativ cunoștințele însușite în situații noi și variate, pe parcursul unei ore sau a unei succesiuni de ore de curs. Această metodă presupune definirea unei sarcini de lucru cu instrucțiuni precise, înțelegerea acesteia de către elevi înainte de a trece la rezolvarea propriu-zisă, prin care elevul demonstrează și exersează totodată, o gamă largă de cunoștințe și capacități în contexte variate. Se poate formula și sub forma unor teme pentru acasă, dar definitivarea se va face în clasă, prin comentarea concluziilor. Tema trebuie conturată și înțeleasă foarte precis în legătură cu: ordinea de rezolvare, de notare a observațiilor parțiale, ordinea de prezentare a rezultatelor finale Această metodă presupune parcurgerea cel puțin a următorilor pași: enunțarea sarcinii de lucru (de către profesor), identificarea modalităților prin care se pot obține datele/informațiile necesare (de către elev, dar și cu îndrumarea profesorului), strângerea datelor/informațiilor (de către elev), stabilirea strategiei de utilizare a datelor / informațiilor (de către elev cu îndrumarea profesorului), scrierea unui raport privind rezultatele investigației (de către elev).
Evaluarea investigației se face pe baza unei scheme de notare, care va cuprinde măsurarea separată a următoarelor elemente importante: strategia de rezolvare, aplicarea cunoștințelor, principiilor, regulilor, acuratețea înregistrării și prelucrării datelor, claritatea argumentării și forma prezentării, inventarierea produselor realizate, atitudinea elevilor în fața cerințelor, dezvoltarea unor deprinderi de lucru în grup /individual. Prin calitățile personale ale elevului, pe care investigația le pune în valoare, se pot enumera: creativitatea, inițiativa, cooperarea și participarea la lucru în echipă, concentrarea atenției, perseverența, flexibilitatea gândirii și deschiderea către noi idei. Această metodă trebuie adoptată vârstei elevului și experienței lor intelectuale. Proiectul constituie o metodă complexă de evaluare individuală sau de grup, recomandată pentru evaluarea sumativă. Subiectul este stabilit de către profesor, dar după ce se obișnuiesc cu acest tip de activitate, elevii însiși vor putea propune subiectele. Este obligatoriu ca elevii să dispună de anumite precondiții: să prezinte un anumit interes pentru subiectul respectiv, să cunoască dinainte unde își vor gasi subiectul respectiv, să cunoască dinainte unde își vor găsi resursele materiale, să fie răbdători în a crea un produs de care să fie mândri, să nu aleagă subiectul din cărți foarte vechi sau să urmeze rutina din clasă. Realizarea proiectului presupune parcurgerea cel puțin a următorilor pași: enunțarea sarcinii de lucru, repartizarea responsabilităților în cadrul grupului, colectrea datelor, a materialelor, realizarea produsului și prezentarea. Capacitățile care se evaluează în timpul realizării proiectului, pot fi: capacitatea de a observa și de a alege metodele de lucru, capacitatea de a masura și de a compara produsele (rezultatele), capacitatea de a utiliza corespunzător bibliografia, capacitatea de a manevra informația și de a utiliza cunoștințele, capacitatea de a raționa și de a utiliza proceduri simple, capacitatea de a sintetiza și de a organiza materialul și capacitatea de a realiza un produs. Proiectul poate avea o conotație practică, constructivă, creativă. El se poate derula într-o perioadă mai mare de timp, pe secvențe determinate dinainte sau structurate circumstanțial. Criterii de evaluare pentru produsul final sunt: validitate, elaborare și structurare, creativitate și calitatea materialului utilizat. Portofoliul se prezintă ca o metodă de evaluare complexă, longitudinală, proiectată într-o secvență mai lungă de timp, care oferă posibilitatea de a se emite o judecată de valoare, bazată pe un ansamblu de rezultate. Structura, elementele componente obligatorii și criteriile de evaluare sunt stabilite de către profesor. La momentul potrivit, profesorul va prezenta elevilor un model de portofoliu comparabil cu vârsta acestora, conținând elemente asemănătoare cu cele propuse ca temă, criterii de apreciere formulate clar și caracteristică valorică a diferitelor elemente. Portofoliul poate conține: lucrări scrise, teste , chestionare, compuneri, fișe, proiecte, informații despre activitățile extrașcolare la care elevul a participat. Autoevaluarea, formele existente își găsesc o binevenită completare în evaluarea de sine, în efortul de autoevaluare al fiecărui elev (dar și al profesorului). Autoevaluarea este posibilă și necesară întrucât servește cunoașterii de sine (autocunoașterii) și dezvoltării conștiinței de sine (autoconștiinței), două aspecte esențiale ale subiectului, care se unesc și funcționează în eul concret. Cu timpul, autoevaluarea va da posibilitatea fiecăruia să descopere sensul propriei valori. Autoevaluare presupune: prezentarea sarcinii de lucru, a obiectivelor curriculare și de evaluare pe care trebuie să le atingă elevii, încurajarea elevilor pentru a-și pune întrebări legate de modul de rezolvare a unei sarcini de lucru, încurajarea evaluării în cadrul grupului sau al clasei, completarea la sfârșitul unei sarcini de lucru importante, a unui chestionar. O problemă deosebit de importantă este aceea a utilității pe care o dăm informațiilor culese astfel obșinute în urma autoevaluării. Pentru a căpăta o semnificație reală, servind formării elevului, ele trebuie integrate și valorificate prin modalități diverse, comparate cu alte informații obținute de către profesor prin intermediul altor metode complementare, inserate în portofoliul elevului și prezentate periodic părinților, alături de alte informații pentru a oferi o imagine cât mai completă asupra evoluției elevului. Metoda are efect numai dacă este folosită în mod constant: este important însă ca elevul să nu o perceapă ca pe o imixțiune în intimitatea sa, ci ca pe o modalitate utilă de autocunoaștere. Toate aceste metode complementare (moderne) de evaluare asigură o alternativă la formulele tradiționale, oferind opțiuni metodologice și instrumentale care îmboțățesc practica evaluativă. Elaborarea probei de evaluare denumită și test docimologic, se atribuie testelor care indeplinesc o funcție docimologică, adică de examinare și notare. Testul de evaluare didactică se constituie ca o probă complexă formulată dintr-un ansamblu de itemi, care în urma aplicării oferă informații pertinente referitoare la modul de realizare a obiectivelor didactice, la progresul școlar. Testul docimologic prezintă următoarele avantaje: are un grad mare de obiectivitate, prezintă rigurozitate în măsurarea didactică și în aprecierea modului de rezolvare a problemelor conținute, permit obținerea de rezultate multiple, se pot construi relativ ușor, dezvoltă capacitatea de autoevaluare a elevilor. Testul docimologic are următoarele componente: obiectivele didactice stabilite în corelație cu conținuturile de învățământ, conținuturile itemilor, rezolvările itemilor și modul de acordare a punctajelor, performanța maximă specifică, care reprezintă nivelul comportamental maxim ce poate fi atins de elev și performanța minimă admisă. Elementele din care se compune un instrument de evaluare, enunțuri, întrebări simple sau structurate, probleme, exerciții de orice tip poartă numele de itemi. Există în teoria și practica evaluării mai multe criterii de clasificare a itemilor, dintre care cel mai des utilizat este acela al gradului de obiectivitate oferit de corectare. În funcție de acest criteriu, itemii pot fi clasificați în trei categorii: itemi obiectivi, itemi semiobiectivi și itemi subiectivi (cu răspuns deschis).
Itemi obiectivi sunt caracterizați prin: asigrarea obiectivității în evaluare și notare și fidelitate ridicată permit un feed-back rapid, o capacitatea de a testa un număr mare de elemente din conținut. Itemi cu alegere dublă presupun alegerea răspunsului corect din două variante posibile, de tipul: adevărat-fals, corect-incorect, da-nu, fapt-opinie, cauză-efect. Au ca avantaje: obiectivitate, eficiență (pot acoperi un număr mare de obiective și de conținuturi într-un timp relativ scurt de testare), ușurință în notare. Ca limite amintim: nu pot evalua creativitatea și nici capacitatea de sinteză, pot fi rezolvați relativ ușor prin ,,ghicirea” răspunsului cu o șansa de 50%, utilizarea frecventă poate produce un efect negativ asupra învățării. Itemi cu alegere multiplă sunt formați dintr-un enunț (premisă) urmat de un număr de opțiuni din care elevul trebuie să aleagă soluția corectă. Prezintă o serie de avantaje: obiectivitate și fidelitate mare, eficiență, ușurință de notare, posibilitate redusă de ,,ghicire” a răspunsului. Nu se poate evalua creativitatea și capacitatea de sinteză. Itemii de asociere presupun stabilirea unor corespondențe, asocieri între elementele distribuite pe două coloane: pe una premisele, iar pe cealaltă soluțiile. Prezintă o obiectivitate și fidelitate mare, eficiență și ușurință în notare. Nu pot măsura rezultate ale învățării situate la niveluri cognitive superioare precum analiza și sinteza, iar utilizarea frecventă poate produce un efect negativ asupra învățării. În realizarea itemilor de asociere tip pereche, pentru a evita ghicirea soluțiilor prin eliminare, numărul acestora trebuie să fie mai mare decât al premiselor.
Itemii semiobiectivi caracterizați printr-o gamă largă de capacități intelectuale plasează elevul într-o situație cognitivă cu un grad de complexitate ridicat și permit utilizarea unor materiale auxiliare. Itemii cu răspuns scurt sau de completare solicită elevul să formuleze un răspuns scurt , să completeze o afirmație în așa fel încât aceasta să dobândească sens și valoare de adevăr. Prezintă o validitate și aplicativitate mare, evaluează atât capacitățile cognitive inferioare, precum cunoașterea și înțelegerea, cât și medii, precum aplicarea și pot acoperi o arie amplă de conținuturi cu ajutorul unui număr relativ de itemi. Elaborarea răspunsului nu solicită dezvoltarea unor capacități cognitive complexe precum analiza, sinteza și rezolvarea de probleme. În realizarea itemilor cu răspuns scurt, răspunsurile solicitate trebuie să fie relevante pentru evaluarea unei abilități. Itemii de completare – sunt de fapt o variantă mai ,,pretențioasă” a itemilor cu răspuns scurt. Ei solicită producerea unui răspuns al cărui rol este să întregească un enunț lacunar sau incomplet. Are o validitate și aplicabilitate mare, evaluează atât capacitățile cognitive inferioare (cunoașterea și înțelegerea) cât și medii precum aplicarea, pot acoperi o arie amplă de conținuturi. Elaborarea răspunsului nu solicită dezvoltarea unor capacități cognitive complexe precum analiza, sinteza, rezolvarea de probleme. În realizarea itemilor de completare, formulările prea ample ale cerințelor sunt de evitat. Întrebări structurate sunt itemi care conțin mai multe sarcini de lucru și care fac trecerea de la itemii obiectivi la itemii subiectivi. Este vorba de un anumit număr de aplicații având ca punct de plecare același material-suport. Permit utilizarea unor materiale suport similare, oferă posibilitatea testării unei game largi de abilități, se pot realiza cerințe variate ca și grad de dificultate. Este dificil de apreciat gradul de dificultate al cerințelor, schema de notare este mai dificil de realizat deoarece ea trebuie să aibă în vedere o varietate de modalități de exprimare a soluțiilor În realizarea întrebărilor structurate, materialul-suport trebuie să fie adecvat nivelului de înțelegereal elevului.
Itemii subiectivi permit evaluarea unor rezultate complexe ale învățării, abilități de tip analiză, argumentare, sinteza, corectarea și notarea nu prezintă un grad mare de obiectivitate, sunt proiectați și utilizați pentru obiective și situații de evaluare în care interesează în mod deosebit demersul subiectului în producerea unui răspuns, nu întotdeauna unul singur posibil și corect. Ordinea integrării cerințelor nu este obligatorie, eseul structural vizând atât cunoștințele punctuale ale elevului, cât și creativitatea și originalitatea. Proiectarea necesită un timp relativ redus, nu necesită auxiliare. Acoperă o arie mică de conținuturi, deși timpul necesar pentru elaborarea răspunsului este îngeneral mare, schema de notare este greu de realizat, aceasta trebuie realizată în relație cu instrucțiunile privind rezolvarea.
Rezolvarea de probleme se referă la o situație-problemă, sarcină de lucru în care elevul se confruntă, în general, cu un caz pentru care nu există o soluție învățată anterior, o unică soluție. Scopul este de a pune elevul să-și folosească cunoștințele și deprinderile însușite la obiectul respectiv, dar nu numai, pentru a formula o posibilă soluție a problemei. Poate fi utilizată în cadrul oricărei discipline, permite folosirea de materiale-suport, oferă posibilitatea testării unei game largi de abilități și stimulează gândirea critică. Schema de notare este mai dificil de realizat, deoarece există o varietate de modalități de exprimare a soluțiilor, necesită mult timp pentru evaluare În realizarea rezolvărilor de probeleme situația-problemă trebuie să fie în concordanță cu vârsta și nivelul de pregătire al elevului, iar formularea cerințelor să fie adecvată obiectivului de evaluare.
În aprecierea și notare exista o serie de distorsiuni datorită unor efecte perturbatoare sau factorilor de personalitate care țin atât de profesor cât și de elev. Evaluarea defectuoasă poate cunoaște mai multe ipostaze: notarea strategică practicată la începutul activității pentru a ține elevii sub control, sub amenințarea notelor slabe sau a nepromovării, notarea sancțiune care nu are nimic de-a face cu achizițiile sau performanțele elevilor ci cu anumite atitudini considerate neacceptabile, notarea etichetă prin notarea pe termen lung după aceleași păreri favorabi- le/nefavorabile, sau în concordanță cu celelalte note ale elevului. Cei mai mulți factori perturbatori privesc activitatea profesorului. Profesorul realizează aprecierea elevilor prin prisma unei evaluări inițiale și prin generalizarea notării la toate disciplinele. În virtutea judecații anticipative profesorul nu mai remarcă progresele sau părțile pozitive ale elevului slab, după cum nici minusurile celui bun. Încrederea în posibilitățile elevilor și încrederea în reușita lor constituie un puternic factor motivațional, care sfârșește prin creșterea performanțelor acestora. Fiecare profesor are propria sa grila de apreciere, fie bazată pe reproducere cantitativă, fie pe originalitate. Alții notează mai generos, alții mai exigent, alții preferă situațiile de mijloc. Unii consideră nota o modalitate de încurajare, alții de constrângere. O consecință neplacută a efectului apare atunci când elevii aflați în competiție sunt evaluați cu grade de exigență diferită. Distorsiunile în notare apar și prin implicarea factorilor de personalitate, atât cei care țin de profesor, cât și cei care țin de elevi. Starea de moment, oboseala și factorii accidentali pot favoriza, de asemenea, apariția unor erori în evaluare. Nu mai puțin prezent este stilul didactic deficitar (din nepricepere, necunoaștere, lipsă de experiență, reavoință) care îl poate caracteriza pe profesor.
Capitolul III: modalități de compunere Și rezolvare de probleme În ciclul primar
III.1 Compunerea de probleme
Compunerea problemelor una dintre cele mai importante forme de dezvoltare și educare a gândirii matematice ne dă posibilitatea să angajăm gândirea elevului într-un mod creator, inventiv.
Compunerea problemelor de către elevi oferă cel mai fertil și demn de exploatat teren din domeniul matematicii pentru cultivarea, educarea și dezvoltarea creativității. Activitatea de rezolvare a problemelor se completează și se îmbină perfect cu activitatea de compunere a problemelor. Rezolvarea unei probleme utilizând metodele învățate și bine structurate în mintea elevului oferă mai puțin loc pentru creativitate decât rezolvarea unor probleme noi sau utilizarea de metode noi de rezolvare a problemelor.
Creativitatea în matematică are la bază gândirea liberă, iar aceasta nu se poate obține decât pe baza unor deprinderi corect formate. În activitatea de rezolvare a problemelor, deprinderile și abilitățile corect formate se referă la capacitatea de analiză a datelor problemei, la capacitatea de înțelegere, la capacitatea de orientare în ideea identificării raționamentului de rezolvare pornind de la întrebarea problemei.
Prin compuneri de probleme, elevii au capacitatea de a sesiza legătura care există între exerciții și probleme întrucât în procesul formulării unei probleme, elevii au în memorie și planul de rezolvare a acesteia. Activitatea de compunere a problemelor, prin muncă independentă, în clasă și acasă, reprezintă un mijloc eficient de dezvoltare a spiritului de independență și creativitate, iar acest proces este recomandat să se înceapă imediat ce elevii au înțeles noțiunea de problemă. Activitatea de compunere a problemelor este o activitate complexă, elevul este obligat să respecte cerința propusă, iar în raport cu acea cerință trebuie să elboreze textul problemei. Atenția sporită se datorează faptului ca raționamentul de rezolvarea a textului elaborat trebuie să conducă la rezolvarea primită, imagine primita, schița grafică sau exercițiul dat.
Compunerea de probleme aduce cu sine o serie de activități complexe cum ar fi:
stăpânirea tehnicilor de calcul;
deprinderea de a realiza raționamente logice;
vocabular bogat, atât în limbaj matematic cât și literar;
capacitatea de a selecta din multitudinea de cunoștințe pe acelea care conduc la elaborarea unui text cu conținut realist.
Pentru a forma la elevii ciclului primar o gândire creatoare trebuie să-i învățăm din ce și cum să creeze. Puși în situația de a compune probleme, elevilor li se dezvoltă în mod nemijlocit independenta de a gândi.
În procesul de creație este necesar să se țină seama de cele două componente ale unei probleme și anume: de condițiile și de cerințele acesteia, adică ce anume trebuie să fie calculat în condițiile date.
Procesul creator va fi stimulat de întrebări și de executarea diferitelor sarcini de natură să-i determine să încerce și să caute satisfacția oferită de învingerea dificultăților, ca de exemplu:
schimbarea întrebării problemei;
formularea întrebării și rezolvarea problemei;
compunerea unei probleme asemănătoare cu cea recent rezolvată;
enunțarea problemei într-un alt mod;
completarea termenului necunoscut și rezolvarea problemei;
compunerea unei probleme și rezolvarea prin metoda folosită anterior;
găsirea unei alte căi de rezolvare;
formularea unei probleme după un exercițiu dat;
compunerea exercițiului după diagramele date;
formularea unei probleme după figurile date.
Este necesară introducerea activității de compunere de probleme încă din clasa pregătitoare, folosind o serie de modalități menite să stimuleze gândirea creatoare a elevilor, prezentându-le într-o eșalonare gradată. Modalitătile cu reale valențe creative sunt următoarele:
elaborarea problemelor după un material ilustrativ;
compararea enunțului problemei stabilind întrebarea acesteia;
elaborarea problemelor după indicații verbale;
elaborarea problemelor după un exercițiu numeric;
elaborarea problemelor după un exercițiu literar.
Din punctul de vedere al dezvoltării intelectuale, învățarea matematicii are stabilite, pe termen lung, următoarele obiective:
exersează capacitatea de a judeca;
ajută elevul să distingă adevărul științific de neadevăr;
ajută elevul să realizeze demonstrațiile;
antrenează organizarea logică a gândirii;
ordonarea ideilor;
recunoașterea ipotezelor și a concluziilor;
îl învață pe copil să distingă diversele aspecte ale unei situații;
să separe esențialul de neesențial;
dezvoltă atenția;
antrenează memoria logică;
exersează analiza și sinteza;
favorizează dezvoltarea imaginației creatoare;
dezvoltă spiritul critic,;
formează spiritul științific obiectiv și stimulează dorința de cercetare.
Sub aspect estetic se dezvăluie frumusețea matematicii exprimată prin formule, relații, figuri, demonstrații, cultivă calități ale exprimării gândirii (claritate, ordine, conciziune, eleganță), îl ajută pe elev să recunoască și să aprecieze legătura formală a creației artistice din echilibrul arhitectural, compoziția artelor plastice, ritmuri și structuri muzicale, frumusețea și organizarea naturii și a tehnicii. Din punct de vedere moral, matematica formează capacitatea aprecierii adevărului, obiectivității și echității, creează nevoia de rigoare, discernământ și probarea ipotezelor, dezvoltă nevoia de cunoaștere, de a înțelege. Se formează deprinderi de cercetare și investigare, e stimulată perseverența. Gândirea creatoare se dezvoltă în mod deosebit prin rezolvarea unor probleme care solicită strategii atipice, inventate și prin compunerea de probleme. O problemă este sau nu creativă, în funcție de vârsta, experiența și capacitatea intelectuală a elevului. Compunerea de probleme reprezintă o treaptă superioară de dezvoltare a gândirii creatoare, de legare a teoriei de practică. Pentru ca elevul să elaboreze textul unei probleme este necesar să găsească împrejurările corespunzătoare, să-și imagineze acțiunea, să aleagă datele numerice în concordanță cu realitatea, să stabilească soluții aritmetice corespunzătoare între informațiile date și să formuleze întrebarea problemei.
În activitatea de învățare a compunerii de probleme se pot folosi mai multe procedee, care pot fi grupate după forma de prezentare, strategiile și mecanismele gândirii pe care le solicită.
După gradul de structurare a modalității de abordare și rezolvare, problemele au fost împărțite în două mari clase :
probleme bine definite ;
probleme slab definite .
Sunt considerate probleme bine definite problemele a căror rezolvare poate fi fixată într-o schemă operațională de tip algoritmic (probleme de matematică). Problemele slab definite sunt problemele a căror rezolvare nu se pretează la algoritmizare (ex. Jocul de sah, elaborarea unei invenții, crearea unei opere literare, etc.).
În formularea și rezolvarea de probleme matematice este necesar să se vor parcurge două etape:
Etapa compunerii problemelor în fața copiilor este faza în care se urmărește ca elevii clasei pregătitoare, apoi și cei din clasa I, urmând a II-a, a III-a și a IV-a, să înțeleagă faptul că prin adaugarea unui număr de obiecte la numărul inițial, acesta crește, iar dacă scădem un număr de obiecte din numărul inițial, acesta scade, iar după ce se învață operațiile de ordinul II, elevii trebuie să înteleagă faptul că daca este operația de înmulțire, se mărește de un număr de ori, iar dacă este împărțire se micșorează de un număr de ori. Copiii din clasa pregătitoare sunt obișnuiți să formuleze probleme și să le rezolve în mod practic manipulând obiecte (jetoane, jucării, etc.). După efectuarea demonstrativă a acțiunii solicitate de sarcina problemei („adaugăm obiecte sau luăm obiecte”), se va repeta formularea și rezolvarea problemei, iar copiii vor repeta și ei, având ca model exemplul învățătoarei.
Etapa de învățare a formulării și rezolvării problemelor trebuie să respecte condiția ca operațiile transpuse în conținutul problemei să fie formulate ca acțiuni de viață („au mai venit X băieței; îi dă N bomboane, au zburat Y păsărele”), acțiuni pe care copiii le execută în mod real sau le pot transpune în joc de rol (fetița vine la magazin, plătește, cumpără sau băiețelul este la școală, primește M creioane sau buline). În această fază, activitatea de rezolvare a problemei este foarte aproape de cea de calcul, învățătoarea va evita să formuleze enunțuri cu terminologie matematică, de tipul „3 creioane + 1 creion”, ci va spune „Ionuț a avut 3 creioane. A mai primit 1 creion de la Diana”; nu va zice „4 baloane – 2 baloane”, ci „Denisa a avut 4 baloane din care 2 s-au spart.”
Experiența acumulată, după ani în care am parcurs rezolvarea de probleme cu elevi din clasele I, îmi dau seama că prin modalitatea prezentată îi va ajuta pe copii să redea grafic probleme folosind cifre și semne matematice adecvate, realizând astfel o consolidare a noțiunilor dobândite în grădiniță.
Exemplu:
Se prezintă elevilor următoarea problemă simplă:
„Andrei are 4 bile. Radu îi dă încă o bilă. Câte bile are Andrei?”
Pentru a face mai ușoară înțelegerea problemelor matematice de către fragezii elevi ai clasei pregătitoare, este necesară o reprezentare a acesteia, mai exact se cere elevilor să deseneze cele patru bile pe care le are Andrei, apoi să adauge bila primită de la Radu. La tabla magnetică, sau alte dispozitive adecvate, se vor reuni cele cinci bile într-o singură mulțime, apoi se vor număra și se va observa faptul că Andrei are cu o bilă în plus, reușind astfel să realizez conștientizarea faptului că semnul „+” înseamnă că se adaugă ceva mărimii inițiale.
●●●● + ● = ●●●●●
4 + 1 = 5 (bile)
III.1.1 Probleme-acțiuni sau cu punere în scenă
Sunt accesibile copiilor din clasa pregătitoare și însușite cu plăcere deoarece acțiunea sau punerea în scenă are loc în prezența lor.
Prin rezolvarea concretă a problemelor, copiii ajung să înteleagă că, prin reuniunea a două mulțimi, obțin o nouă mulțime și că suma este rezultatul a două adunări. De asemenea înteleg sensul cuvintelor „și cu” și „fac” sau înțeleg sensul cuvintelor „adunate” sau „scăzute”, „luate”. După ce elevii clasei pregătitoare și-au format noțiunea de problemă, componentele ei (conținut și întrebare), precum și faptul că rezolvarea înseamnă să faci anumite legături între datele problemei, ei vor pricepe că de fapt acele legaturi se pot nota cu anumite semne, apoi cunoscând semnele, le putem cere să compuna singuri probleme.
Exemplu:
„Anca are în mâna 3 creioane colorate. Ramona îi mai dă încă 3 creioane colorate. Câte creioane colorate are acum Anca ?”
Prin această activitate – joc de compunere a problemelor utilizând obiectele micului școlar (creione, caiete, cărți, jucăriile existente în sala de clasă), îi dezvoltăm atât capacitatea de a gândi, rapiditatea în gândire, îi dezvoltăm limbajul, deocamdată literar, iar mai tarziu și pe cel matematic, îi obișnuim să creeze, să fie creativi, să-și învingă emoțiile, să se exprime liber, să coopereze. Este foarte important ca noi, învățătorii, să fim creativi, să prezentăm activitățile într-o așa manieră încât micii „actori din scena matematicienilor” să nu se plictisească, activitățile să fie antrenante și să îi țină permanent concentrați pe temă.
III.1.2 Compunerea de probleme după obiecte concrete și imagini
Pornind de la ideea că orice problemă trebuie văzută în alcătuirea ei concretă, ca o suită de acțiuni, fapte de viață, am urmărit ca primele probleme să îmbrace forma întâmplărilor reale la care sunt puși să participe copiii. Metoda în care se folosește imaginea (jucăriile lor, obiecte din sala de clasă, caiete, creioane, etc.), desenul este în fond metoda figurativă, însă elevilor din clasa pregătitoare nu le putem vorbi nici de creerea de probleme matematice, nici de metoda figurativă. Elevii pot compune probleme după desene care reprezintă acțiunea problemei și părțile ei componente, după figuri geometrice diferite, după elemente grafice simple. Pe baza unor desene frumos colorate, în urma unor discuții avute cu învățătorul, elevii clasei pregătitoare reușesc să compună probleme oral. Însă problemele compuse de aceștia sunt probleme simple, la nivelul lor de înțelegere.
Este necesar să se compună primele probleme de către cadrul didactic, abia apoi, pe baza problemelor create de acesta se poate trece la compunerea de probleme de către micii „creatori din lumea matematicii”. Primele probleme create de elevi sunt asemănătoare cu cele ale învățătorului rezolvate de ei în clasă, prin folosirea de obiecte. Este foarte important, pentru înțelegerea noțiunii de problemă, ca elevii din clasele pregătitoare să fie îndrumați din aproape în aproape, pentru a putea mai târziu să creeze singuri probleme. Este esențial de remarcat faptul ca în clasa pregătitoare problemele se compun oral, abia spre finalul clasei I elevii sunt capabili să scrie enunțurile problemelor compuse.
Fiind vorba de elevi cu vârstă mică, este necesar să fi folosite desene /imagini viu colorate, imagini sugestive precum fructe, flori, figuri geometrice, animale, insecte etc. sub formă de tablouri sau desene pe tablă. Se sugerează, astfel, ce să cuprindă enunțul problemei și ce numere vor constitui datele problemei.
Creativitatea se manifestă în transpunerea datelor din desen în relații matematice și în găsirea a cât mai multe variante de probleme. Elevii trebuie stimulați să inventeze probleme cât mai originale sau să le complice.Se vor folosi și desene care să indice operațiile pe care trebuie să le efectueze. Astfel, pentru operația de adunare pot fi desenate amimale sau insecte care vin într-un grup, iar pentru scădere care pleacă. De asemenea, pot fi desenate elemente tăiate cu o linie pentru a indica operația de scădere. O altă modalitate de compunere a unor probleme este reprezentarea unor numere în tabele la care se indică, de exemplu: cantitatea avută, cantitatea consumată, cantitatea rămasă. Cantitatea care trebuie calculată e marcată de semnul întrebării. Pe baza acestor informații se pot compune probleme cât mai variate.
Exemple:
probleme în care folosim adunarea
Întrucât am avut ocazia să o înlocuiesc la finalul lunii martie pe colega, învățătoare, de la clasa pregătitoare, iar tema activității era compunerea de probleme. Am aflat că era prima oră în care elevii intrau în contact cu noțiunea de problemă matematică. După ideile proprii, fără a studi în prealabil programa pentru clasa pregătitoare, eu predând la clasa a IV-a, m-am gândit să pornesc de la noțiunile concrete. Astfel, pe tablă am așează jetoane cu fluturași (aceștia fiind elementul surpriză al primei probleme), după cum urmează:
Am început cu elevii o discuție pe marginea anotimului în care ne aflăm, am dus discuție înspre fluturași, după care am descoperit din elementul surpriza primii trei fluturași. Am cerut elevilor să îmi spună ce văd pe tablă iar răspunsurile primite au fost următoarele:
„Într-o grădină cu flori sunt 3 fluturași.”
Sau
„Zboară în grădina noastră 3 fluturași .”
Am descoperit și jetoanele cu cei doi fluturași albaștri aflați în zbor. Le-am solicitat copiilor să îmi spună ce văd acum pe tablă. Spre surprinderea mea, majoritatea elevilor au dat răspunsuri foarte interesante și adecvate temei.
Reproduc câteva dintre ele:
„În grădina cu flori sunt 3 fluturași. Mai vin, în zbor, 2 fluturași albaștri.” -elevul S. D
sau
„Erau în gradină 3 fluturi. Mai vin 2 fluturi.”-eleva M. I
Pentru a face înțeleasă noțiune de problemă, și având la dispoziție 5 fluturi din material plastic, am prezentat situația din problemă cu materialul din dotare, am așezat pe o măsuță cu flori 3 fluturași, i-am numărat, apoi am mai adaugat 2 fluturași, de altă culoare. Aici elevii au înțeles mult mai bine și mai concret situația problematică existentă, faptul că au fost 3 fluturi și au mai venit 2. Le-am explicat faptul că noi am creat o problemă, însă pentru ca problema să aibă o finalitate este necesar să identificăm o întrebare referitoare la imaginea vizuală transpusă pe masă.
Prima întrebare am formulat-o eu: „Câți fluturași sunt acum în gradina cu flori?”
Am cerut elevilor să scrie pe tablă operația necesară rezolvării problemei, deși nu stiam exact ce știu și ce nu sștiu, ce prevede programa și ce nu prevede. Spre surprinderea mea, o eleva a ieșit la tablă și a scris operația aferentă rezolvării problemei.
Am solicitat elevilor să identifice ei întrebări pentru problema formulată oral. Am primit răspunsuri accesibile sau prea dificile pentru vârsta lor, de 6 ani, exemple: „Câte aripi au cei 5 fluturi?” sau „Câți fluturi albaștri sunt acum în gradina noastră?”.
Observând că parțial au înțeles noțiunea de problemă, nu am așteptat și imediat le-am prezentat o nouă imagine, iar sarcina lor a fost să identifice o problemă pe marginea imaginii prezentate cu ajutorul laptopului.
Voi redacta câteva dintre problemele compuse de elevii clasei pregătitoare:
„În curtea bunicii sunt doi puisori de găină albi și unul galben. Câți puișori sunt în curtea bunicii?” -eleva F.B
Sau
„Am văzut doi pui albi și un pui galben. Câți pui am văzut?” – elevul R. D
După ce am ascultat toate variantele de probleme, unele corecte, altele mai puțin corecte, însă cu ajutorul meu au reușit să identifice calea corectă de compunere a problemei, toți elevii identificând aceleași operații de adunare: 2 + 1 = 3 sau 1 + 2 = 3.
Probleme în care se folosește scăderea
Este necesară obișnuirea elevilor să compună atât probleme care au la bază adunarea, cât și probleme care au la bază operația de scădere. Probabil, în viziunea multor elevi operația de scădere este mai dificilă, însă importanța sa în sfera matematicii este identică cu cea a operației de adunare. Voi prezenta elevilor următoarea îmagine vizuală, apoi le voi cere să compună probleme după această imagine.
După o atentă vizualizare a imaginii, s-au ivit și primele creații „de năzdrăvani” din clasa pregătitoare. Pentru a nu stârpi din avântul copiilor, am ascultat toate problemele, majoritatea au sesizat faptul că pasărea albastră a plecat de pe ramura copacului, iar dintre cele mai reușite probleme sunt:
„Pe creanga (ramura) unui copac au fost cinci păsări. Una a zburat spre Soare. Câte păsări au mai rămas pe creangă (ramură)?”-eleva F. B.
„În cireșul din curte cântau 4 păsări galbene și una albastră. Cea albastră s-a supărat și a plecat. Câte păsări mai sunt în cireș?”-elevul T. L
„La concertul din pădure s-au prezentat 5 păsărele. După un timp, o pasăre pleacă. Câte păsări mai sunt la concert?”-eleva T. A
„Cinci păsări se joacă pe ramura unui copac. Pasărea albastră pleacă, în zbor după mâncare. Câte păsări mai râmân pe ramura copacului. –eleva M.A
După ce elevii au compus problemele oral, le voi scrie pe tablă operația de scădere:
5 – 1 = 4 (păsări)
Voi prezenta o altă imagine a elevilor, de data aceasta voi alege dalmațienii ca suport pentru imagine. Voi reprezenta o imagine adecvata operației de scădere. Este necesar să precizez faptul că elevii clasei pregătitoare nu dețin terminologiile specifice operațiilor de ordinul I, ei stiu doar că se adună și se scade, rare fiind situațiile în care înteleg că sunt cu atâtea mai multe sau cu atâtea mai puține.
Se va studia cu atenție imaginea, se vor purta discuții pe marginea ei, se vor număra cățelușii dalmației din imagine, de va stabili câți cățeluși au fost, câți pleacă, apoi voi cere elevilor să compună probleme pe marginea ei.
Voi redacta câteva dintre ele:
„7 dalmațieni se jucau în parc. Doi pleacă la casa lor. Câți dalmațieni rămân în parc?” – eleva T.A
„Bunica are 7 cățeluși dalmațieni. 2 îi dă verișoarei mele. Câți dalmațieni mai are bunica?”
Întrucât eram interesată de reacția elevilor din clasa pregătitoare după primcul contact cu probleme matematice, mai exact cu compunerea de probleme matematice, am stabilit cu învățătoarea clasei să îmi spună care a fost reacția elevilor. Astfel am aflat că elevilor le-a plăcut activitatea realizată împreună, și faptul cel mai important este că au reținut modul de compunere a problemelor.
După ce elevii s-au obișnuit să creeze probleme pe baza intuitivă, având la bază imagini, jetoane sau jucării, în clasa I li se cere să alcătuiască probleme pe baza datelor scrise pe tablă. Se urmărește ca elevii să înțeleagă interdependența dintre enunțul și întrebare problemei. Totodată, în clasa I se poate cere să scrie pe tablă și în caiete enunțul problemelor, să le reprezinte printr-un desen, lucru care este foarte eficient. Operațiile gândirii se dezvoltă foarte eficient dacă sunt cultivate de timpuriu, dacă sunt îndrumați înspre matematică, înspre ceerea de probleme matematice, de rezolvare a problemelor compuse. Este foarte eficient, în clasa I, să le cerem elevilor care aucompus probleme fie și oral, să prezinte planul de rezolvare a acestora deoarece trebuie să obișnuim elevul ca atunci când compune o problemă să aibă în minte planul de rezolvare a acesteia. Trecând la clasa a II-a, eu am insistat în primul semestru la compunerea de probleme după imagini, după exerciții scrise pe tablă, dar imaginile prezentate solicitau probleme cu grad sporit de dificultate. Îmi amintesc și acum ziua în care le-am prezentat elevilor mei o imagine foarte frumoasă. Am prezentat elevilor un tablou ce reprezenta o fermă de animale în care se observa clar numărul oilor din cele 4 încăperi ale fermei. Le-am cerut elevilor să formuleze o problemă și în final să o rezolve.
Majoritatea au compus problema astfel, mai exact 14 elevi din cei 19:
„O fermă de animale avea trei încăperi pentru animale. În prima încăpere erau 27 de oi, în a doua încăpere 34 de oi, în a treia încăpere 36 de oi, iar în a patra încăpere 18 oi. Câte oi sunt în cele 4 încăperi?”
Le-am cerut după aceea să complice puțin problema. Câțiva au complicat-o astfel:
„În cele patru încăperi ale unei ferme erau 27, 34, 36 și 18 oi. S-au trimis la o altă fermă 45 de oi. Câte oi au mai rămas?”
Un elev, cu multe aptitudini matematice, a compus problema astfel:
„Cele 105 oi ale unei ferme trebuiau adăpostite în patru încăperi diferite. În prima încăpere este loc pentru 18 oi, în a doua încăpere cu 9 mai multe decât în prima încăpere, în a treia încăpere cu 7 mai multe decât în a doua încăpere, iar în a patra încăpere cu 2 mai multe decât în a treia. Câte oi sunt în fiecare încăpere?
Acest procedeu poate fi folosit pentru a dezvolta capacitatea creatoare a elevilor, dar pentru a obține rezultate bune trebuie respectată condiția ca tablourile prezentate să nu ceară o rezolvare șablon, ci în fiecare desen să se ceară ceva nou și interesant, ceva ce să stârnească interesul și curiozitatea elevilor.
III.1.3.Compunerea problemelor după o schemă dată
Această modalitate de a compune probleme stimulează flexibilitatea și creativitatea gândirii elevilor, le educă voința în găsirea algoritmilor de lucru pe o cale mai ușoară. Schema, prin funcționalitate, pe lângă faptul că obligă pe elevi să activeze, să gândească, le dă posibilitatea să creeze ca urmare a transformării activității intelectuale într-o adevărată meditație matematică.
Folosirea schemei înainte ca problema să fie rezolvată ajută toate categoriile de elevi (foarte buni, buni, mai puțini buni), dar are și procesul invers, de compunere de probleme după schemă.
Încă de la însușirea numerelor și numerației de la 0 la 10, pentru compunerea sau descompunerea numerelor, dar mai ales după ce au învățat operațiile aritmetice se poate utiliza compunerea de probleme după schemă (mai întâi oral și apoi în scris).
De aceea este bine să se pornească de la scheme simple, ajungând spre sfârșitul clasei a III-a și în clasa a IV- a, ca acestea să prezinte un grad sporit de dificultate. Avându-se în vedere particularitățile psihice individuale se folosesc scheme în care se indică mărimile respective, dar și relațiile dintre aceste mărimi cu ajutorul unor expresii matematice. În altele se indică mărimile și relațiile dintre ele exprimate prin semne specifice operațiilor aritmetice (+; – ; ; 🙂 iar în altele numai mărimile – compunerea de probleme după aceste scheme fiind literală. Folosirea schemelor în rezolvarea de probleme cât și în compunerea acestora stimulează flexibilitatea gândirii, în antiteză, apărând tot ca un joc didactic
Exemple:
La clasa I este necesar să utilizăm în reprezentarea schematică a problemei simboluri și imagini pentru a le face accesibilă înțelegerea schemei.
Voi da câteva exemple, făcând apel la materialele din arhiva personală, materiale aplicate la elevii clasei I din anul școlar 2011 – 2012, elevi la care mă voi raporta pe durata întregii activități.
Voi prezenta pe tablă următoarea schemă și le voi cere elevilor să compună probleme pe marginea ei:
5 găini 3 curci
Voi redacta câteva dintre problemele spuse de elevi:
„Diana are în curte 5 găini și 3 curci. Câte păsări are Diana în curte?” – eleva S.O
„În cotețul de păsări ai bunicii sunt 5 găini și 3 curci. Câte păsări are în coteț bunica?” – eleva G. C.
„ După vizita neașteptată a vulpii, în curtea bunicilor au mai ramas 5 găini și 3 curci. Câte păsări mai au bunicii?”
Este esențial să fie imaginile cât mai atractive pentru elevii clasei I și reprezentarea să fie adecvată vârstei lor. Au fost situații în care elevii au avut nevoie de ajutor în compunrea problemelor, sau unele cazuri în care pentru compunerea acestora a fost nevoie să îi ăndrum din aproape în aproape. De asemenea elevii trebuie să fie permanent antrenați în activitate, să nu intervină plictiseala și monotonia.
Voi reda a doua schemă:
Voi solicita elevilor să formuleze probleme după imaginea dată, și iată o parte dintre acestea:
„Pe lacul din fața casei sunt 3 rațe, iar în piscina alte două rațe. Câte rațe sunt în total?”- eleva M.D.
„Diana are trei rațe alebe și două rațe negre. Câte rațe are Diana?”- eleva P.M.
„Rațele din curtea bunicii s-au certat și s-au împărțit în două grupe, o grupă cu trei rațe și alta cu două rațe. Câte rațe sunt în cele două grupe?”- elevul B.E.
Problemele se pot complica, însă pentru a fi sigură că elevii clasei I au capacitatea de a compune probleme după imagini mai dificile, voi prezenta o astfel de reprezentare grafică. Se poate introduce încă din clasa I figuri care implică trei operații matematice de același fel.
Iată câteva probleme formulate de elevi:
„Într-un săculeț am 3 steluțe galbene. În al doilea săculeț am două punguțe, una cu 3 steluțe, alta cu 2 steluțe. Câte steluțe am în al doilea săculeț? Câte steluțe am în total?”-eleva S.O.
„Sora mea are 3 steluțe galbene. Eu am trei steluțe galbene și două steluțe roșii. Câte steluțe am eu în total? Câte steluțe am eu împreună cu sora mea?” –elevul M.A.
„În lada cu jucării, sunt două panouri, unul mic și unul mare. Pe panoul mic sunt trei steluțe galbene, iar pe panoul mare sunt două mulțimi de steluțe, una cu trei steluțe galbene, iar cealăltă cu două steluțe roșii. Câte steluțe sunt pe panoul mare?Câte steluțe sunt pe cele două panouri?” –elevul H.R.
În clasa a II-a schemele după care se cere compunerea de probleme pot trece la un alt stadiu, nu mai este necesară folosirea unor imagini atât de colorate, nu mai este nevoie folosirea de mulțimi pentru a solicita compunerea de probleme rezolvabile prin două sau mai multe operații (asta în situați în care avem elevi capabili să compună astfel de probleme din clasa a II-a), elevii au înțeles deja noțiunile de problemă, au formată o viziune clară asupra noțiunii de problemă și sunt capabili să compună probleme chiar dacă schema este mult simplificată. Se pot folosi reprezentări grafice pentru mulțimi, nu mai este cazul să fie prezentată imaginile foarte sugestive.
Ținând cont că acum, elevii clasei a II-a au o programă foarte bogată este mult mai simplu să dezvoltăm operațiile gândirii. Dacă până la intrarea în vigoare a noii programe avem posibilitatea să lucrăm în clasa a II-a pe lângă adunări și scăderi, operații de înmulțirea, împărțirea, alături de fracții. Este foarte ușor să lucrăm cu elevii probleme diverse, atât rezolvare cât și compunere după o schemă dată. Aceste probleme ajută elevii cu un potențial mai scăzut să se familiarizeze cu problemele matematice, îi determină să fie mult mai siguri pe ei și totodată se implică activ. Este necesar să îi încurajăm permanent, să nu „le tăiem aripile”, chiar dacă problema formulată nu este corectă, se va ajusta în așa fel încât elevul să fie convins că este problema formulată de el. Este necesară accentuarea creativității elevilor, astfel se va analiza problema creată de acesta odată cu sintetizarea, apoi se va trece la generalizare. Dacă pentru început elevul formulează o problemă simplă, este bine să se analizeze problema, să de discute pe margine ei, să se observe dacă au fost utilizate toate datele din imagine/schemă, apoi se va sintetiza problema, modalitatea de rezolvare a acesteia, modalitate pe care elevul o are sintetizată încă din momentul în care a compus problema. Este necesară o activitate compleză de compunere a problemei, si anume se cere elevului să dezvolte problema, să o complice pornind de la problema formultă inițial de elev. Aici intervin operațiile gândirii, capacitatea de analizare, sintetizare, generalizare și abstractizarea.
Voi distribui elevilor următoarea schemă:
26 alune cu 4 mai puține
Am cerut elevilor să compună probleme după imaginea de mai sus mintal, apoi să scrie problema pe fișa de lucru primită.
Voi transcrie câteva dintre ele.
Exemple:
„Veverița Rița a adunat 26 de alune. Prietena ei, Marița, a adunat cu 4 mai puține. Câte alune a adunat veverița Marița?” – eleva P.A.
„Piți a adunat 26 alune, iar Rița cu 4 mai puține. Câte alune au adunat cele două veverițe?” – elevul B.D.
„Două veverițe au participat la un concurs de adunat alune. Roșcata a adunat 26 de alune, iar Dungata cu 4 mai puține. Câte alune a adunat Dungata? Câte alune au adunat împreună cele două veverițe?” – elevul B.E.
Au fost situații în care problemele compuse de elevi au fost imcomplete sau nu se respecta exercițiul rezultat din privirea atentă a imaginii.
După citirea tuturor problemelor, analizarea și corectarea celor incorecte am cerut elevilor să încercăm să complicăm puțin problemele. I-am îndrumat să încerce să „îmbrace cât mai frumos” datele problemei rezultate din imagine, astfel încât să obținem atât un text frumos ca expresivitate cât și corect din punct de vedere al exprimării matematice.
Voi reda câteva dintre creațiile elevilor:
„Două veverițe harnice au plecat în pădure pentru a aduna alune. Rița, hărnicuța, a adunat 26 de alune, iar prietena sa cu 4 mai puține. Câte alune a adunat prietena Riței.” – elevul J. D.
„Toamna aceasta, veverițele din scorbura nucului au adunat alune. Veverița Dungata a adunat cu 4 alune mai puține decât Roșcata care a adunat 26 de alune. Câte alune au adunat împreună?” – elevul B. E.
În clasa a III – a, compunerea problemelor după o schemă dată se realizează utilizând metoda analitică. Pentru început este necesară utilizarea schemelor mai simple, cu indicarea sau fără indicarea operației adecvate. Utilizând acest model de abordare, elevii au posibilitatea de a „jongla” cu operațiile matematice, iar de aici și posibilitatea de dezvoltare a operațiilor gândirii și a creativității. Fiind vorba de clasa a III-a, se pot prezenta scheme prin care se vor indica:
operațiile ce trebuie efectuate,
indicarea operației și a simbolurilor aferente,
scheme grafice simple.
Compunerea de probleme după schemă în care erau indicate mărimile și relațiile dintre ele ajută elevii care au probleme în asimilarea informațiilor și pe cei care întâmpină dificultăți încompunerea de probleme matematice. Ei au compus probleme corect, care respectă schema dată, dovadă că sensul operațiilor aritmetice l-au înțeles. Aceasta a dovedit că germenii operațiilor gândirii se află în fiecare copil și că dacă în cadrul lecțiilor procesul de însușire al cunoștințelor se bazează pe înțelegerea profundă a informațiilor, pe ierarhizarea (așezarea) acestor informații într-o anumită ordine pe criteriul importanței și al generalității, iar această ierarhizare să aibă un caracter dinamic, adică o permanentă legătură între cunoștințele însușite anterior și cele predate, se obțin rezultate deosebite.
Exemple:
Se va cere elevilor să compună o problemă după o schemă, în care voi indica una dintre operațiile ce trebuie efectuare și simbolurile aferente schemei, lăsând elevilor posibilitatea de a gândi creativ și de a compune cele mai frumoase probleme.
Elevii au compus probleme după schema dată, voi reda câteva dintre ele:
„Mirela a cules din curtea bunicii un măr roșu, un măr galben și unul verde. Bunica îi mai dă 3 mere roșii. Fratele Mirelei are de 9 ori mai multe mere. Câte mere are fratele Mirelei?” – eleva G. C.
„Aurelian a adus două coșuri cu câte 3 mere fiecare. Georgiana a adus un număr de mere 9 ori mai mare. Câte mere au cei doi copii?” – elevul H. R.
„Am adunat din grădina 3 mere mari și 3 mere mici. Fratele meu a adunat de 9 ori mai multe mere mari decât mine. Câte mere am adunat împreună cu fratele meu?” – elevul B. E.
După citirea cu atenție a tuturor problemelor, am observat că elevii au creat probleme foarte complexe, având posibilitatea de a adăuga una sau două operații matematice. S-au compus probleme rezolvabile prin două, trei sau chiar patru operații matematice, iar în rezolvarea problemei compuse, unii elevi au rezolvat problema printr-un exercițiu. De asemenea am observat că elevii sunt foarte creativi, au o imaginație bogată, imediat văd într-o reprezentare grafică cu totul altceva decât și-a imaginat învățătorul.
Dificultăți deosebite ridică compunerea de probleme după scheme în care mărimile sunt indicate în general (cantitate, preț, lungime, viteză, timp, etc) sau cu ajutorul unor simboluri (a, b, c ). Este foarte important ca elevul să conștientizeze faptul că simbolurile pe care le vom folosi în cadrul schemelor nu sunt numere naturale, ci sunt mărimi care depind una de cealaltă, în funcție de operația indicată.
Exemplu:
Am prezentat elevilor o schemă numerică, în care am indicat operațiile și relațiile dintre ele. Dacă în clipa în care am reprezentat schema pe tablă, toți elevii erau încântați de faptul că au de compus probleme și e foarte simplă schema. Voi prezenta câteva dintre ele:
a + b + c = 1250
a + b = 1000
b + c = 850
„Tudor, Ioana și Alina au colecționat 1250 timbre vechi. Tudor și Ioana au colecționat 1000 timbre, iar Ioana și Alina 850. Câte timbre a colecționat fiecare copil?” – elevul J. C.
„Suma a trei numere este 1250. Suma primelor două numere este 1000, iar a ultimelor două 850. Aflați care sunt cele 3 numere?” – elevul H.R.
„În 3 vase sunt 1250 litri de vin. În primele două vase sunt 1000 litri de vin, iar în ultimele două vase 850 litri de vin. Câți litri de vin sunt în fiecare vas?” – elevul B. E.
Prezentând elevilor o schemă, în care avem ca mărimi cantitatea și prețul unor alimente sau viteza de deplasare, timpul și direcția, în cazul unor automobile, am observat că elevii întâmpină dificultăți în compunerea textelor problemelor, operațiile gândirii fiind foarte solicitate. Este necesar ca elevii să fie foarte atenți la cantitatea și prețul acesteia, apoi la legăturile care există între mărimi, în urma studierii cu atenție a schemei. Trebuie menționat faptul că utilizarea schemelor în compunerea de probleme matematice stimulează flexibilitatea gândirii, dezvoltă operațiile gândirii, iar în fața elevilor este perceput ca un joc didactic.
În clasa a IV-a, când elevii stăpânesc foarte bine operțiile matematice, au potențialul necesar de a opera cu acestea, schemele sunt reprezentate în genaral, grafic, fără a fi necesară folosirea imaginile în cadrul schemei sau a desenelor reprezentative. Dificultăți am întâlnit în compunerea de probleme atunci când este reprezentată schematic situația a două automobile care se deplasează în direcții diferite, se știe viteza de deplasare și se cunoaște distanța pe care trebuie să o parcurgă cele două automobile.
Voi prezenta elevilor schema următoare, iar sarcina acestora va fi de a compune probleme după aceasta:
A B
pieton, 5km/h biciclist, 25 km/h
60 km
Exemple:
„Distanța dintre două localități este de 60 km. Doi frați, care locuiesc fiecare în câte unul dintre cele două localități, și-au propus să se întâlnească. Unul pleacă din orașul A, pe jos și merge cu o viteză de 5 km/h, iar celălalt se deplasează cu bicicleta, cu o viteză de 25 km/h. După cât timp de întâlnesc cei doi frați?” – eleva G. C.
„Un pieton care locuiește în localitatea A și un biciclist care locuiește în localitatea B și-au propus să se întâlnescă în pădurea ce leagă cele două localități. Cei doi pleacă în același timp unul spre celălalt, pietonul cu o viteză de 5km/h, iar biciclistul cu 25 km/h. Știind că distanța dintre cele două localități este de 60 km, câți km parcurge fiecare dintre cei doi până se întâlnesc?” – elevul B.E.
Am observat că mulți dintre elevi au întâmpinat dificultăți în compunerea de probleme după această schemă, dintre operațiile gândirii elevii utilizează analiza și sinteza, însă nu sunt capabili să realizeze abstractizarea și generalizarea.
Deoarece din cei 19 elevi, doar doi elevi au compus problema corect, motiv pentru care am solicitat elevilor să stabilească, în prealabil, exercițiile corespunzătoare schemei reprezen-tate, ușurându-le simțitor munca. Rezultatele au fost foarte bune, 18dintre elevii clasei compunând probleme corect.
III.1.4 Compunerea problemelor după un exercițiu
Una dintre formele superioare ale meditației intelectuale o constituie creerea de probleme după un exercițiu dat. Această sarcină, din punct de vedere logic, constă în inversarea căii clasice de rezolvare a problemelor Matematice, iar din punct de vedere intelectual, constăăn aplicarea cunoștințelor dobândite în viață și în practică prin creerea de texteprin care se dă posibilitatea elevilor de a ilustra din perspectiva Matematicii diferite aspecte ale vieții.
În clasa pregătitoare, se compun cu elevii probleme cu ajotorul jetoanelor magnetice, în special pe finalul semestrului al doilea, când elevii știu să efectueaze operații de adunare și scădere, iar compunerea de probleme pe marginea acestor exerciții nu face altceva decăt să dezvolte gândirea, elevii vor avea capacitatea de a analiza și sintetiza informațiile în vederea creeri de probleme corecte, oral.
În clasa I, când elevii rezolvă exerciții de adunare și scădere, când rezolvă probleme simple în scris, sub formă de exercițiu, este foarte ușor să compună probleme după un exercițiu scris. Este foarte important să fie antrenați în activitate întregul colectiv al clasei, și mai mult, să se desfășoare aceste activități sub formă de joc.
Voi relata câteva dintre aplicațiile practice pe care le-am făcut cu elevii mei în anii anteriori. Pe mai multe cartonașe am scris diferite exerciții de adunare și scădere. Am împărțit elevii în echipe de câte 4 elevi, apoi le-am cerut să își aleagă fiecare echipă câte un reprezentant. Reprezentantul ales al fiecărei echipe alege un cartonaș și se întoarce în echipă, citește exercițiul scris pe cartonaș, apoi împreună cu colegii compun probleme care se rezolvă după operația scrisă pe cartonaș și le scriu pe foaie de flipch-art. Fiind antrenată întreaga clasă, câștigă echipa care a compus mai multe variante de probleme după cartonașul său.
Cartonașele au cuprins exerciții variate de adunare și scădere în concentrul 0 – 100, dar și exerciții care le dă posibilitatea elevilor de a stabili operația. Elevii au fost îndrumați să se inspire în compunerea problemelor din viața reală, din acțiunile pe care ei le intreprind alături de familie, prieteni, bunici, etc., iar echipa câștigătoarea va fi cea care va compune cele mai multe probleme corecte în timpul alocat.
Activitatea desfășurată sub forma jocului didactic duce la dezvoltarea gândirii independente și totodată a creativității, elevilor nu li se crează impresia că depun efort, ei lucrează în condiții de competivitate, iar aceasta le stimulează operațiile gândirii. La sfârșitul clasei I exercițiile după care se compun problemele ridică mai multă dificultate de acea este necesar să se rezolve mai întâi probleme cu întreaga clasă și abia apoi să cerem elevilor să compună individual astfel de probleme.
O modalitatea de dezvoltarea a spiritului creator și a operațiilor gândirii pentru elevii clasei I este structurarea activității astfel încât fiecare elev să înțeleagă demersul/pașii ce trebuie urmați în compunerea de probleme după un exercițiu dat. Astfel, am realizat la finalul clasei I mai multe activități în care am rezolvat probleme rezolvabile prin două operații, apoi am pus elevii să scrie rezolvarea problemei într-un exercițiu.
Exemplu:
Am prezentat elevilor spre rezolvare următoarea problemă:
„La un o cantină s-au adus de dimineață 42 franzele, iar la prânz 37 franzele. S-au consumat 53 de franzele. Câte franzele au rămasla cantină?”
Rezolvarea problemei s-a realizat analitico-sintetică, cu ajutorul întrebărilor, iar la final am cerut să fie pusă problema într-un exercițiu. Elevii s-au descurcat foarte bine, au reușit să pună problema într-un exercițiu, apoi, pe baza exercițiul scris am cerut să compună o altă problemă. Voi reda câteva dintre acestea, rezultate în urma următorului exercițiu:
42 + 37 – 53 =
„Andreea a adunat ieri 42 de alune, iar azi 37 de alune. A mancat 53 de alune. Câte alune mai are Andreea?” – elevul P.A.
„Din cele 42 de mingi roșii și 37 albe, Lorena îi dă Laurei 53 de mingi.Câte mingi mai are Lorena?” – eleva P.M.
În clasa a II- a când deja elevii au noțiuni legate de folosirea parantezelor și odinea efectuării operațiilor, exercițiile după care pot fi compuse probleme sunt mult mai variate, elevi își pot arăta creativitatea, operațiile gândirii pot fi antrenante în activitatea de compunere a problemelor. Ținând cont că noua programă școlară ce se aplica în clasa a II-a, elevii cunosc și înmulțirea și împărțirea, posibilitatea diversificării tipurilor de exerciții crește.
Începând din clasa a III-a posibilitatea creerii de probleme pe baza unor exerciții date se îmbogățește semnificativ, se introduc operațiile de ordinul II, stăpânesc foarte bine ordinea efectuarii operațiilor, iar numărul problemelor ce se pot construi pe baza unor exerciții este nelimitat. Elevii au posibilitatea de a-și arăta originalitatea în compunerea problemelor matematice.
În clasa a III-a, la început, doar un număr mic de elevi compuneau problemele corect. După multe exerciții, multă muncă în echipă, lucru la tablă s-a obținut la nivel de clasă performanta de a compune probleme majoritatea elevilor. După mai multe ore de studiu individual, mi-am dat seama că ar fi util să utilizez în cadrul activității de compunere a problemelor după un exercițiu dat metode moderne de predare, metode centrate pe elev. Astfel, elevul primește o fișă cu patru cadrane, în primul cadran este scris exercițiul pe marginea căruia elevii vor crea problema, în al doilea cadran li se cere să realizeze schema problemei, în al treilea cadran se scrie textul problemei createde elev, iar în a patrulea chenar se rezolvă problema compusă, analitico-sintetic. În acest fel elevul are permanent în vizor atât exercițiul de la care pornește în compunerea problemei cât și schema reprezentativă a acesteia. A fost nevoie de multă muncă, de multă perseverență, însă rezultatele obținute au fost foarte bune.
Exemplu:
Problema este compusă de elevul B.E.
A constatat că exercițiul dat ca formă generalizată prin intermediul schemei se transformă în judecăți parțiale ceea ce ușurează acțiunea de compunerea a problemei după exercițiul dat, dar și acțiunea de rezolvare. Generalizarea structurii logice a textelor create pe baza exercițiului dat, prin intermediul schemei este un proces ce se desfășoară treptat, etapă cu etapă, plecând de la forma cea mai simplă, în mod gradat, până la nivelul textului complet.
Schema, prin structură sa sugerează planul rezolvării problemei și ordinea efectuarii operațiilor efectuate parțial sau printr-un exercițiu. Prin acest procedeu, pe lângă faptul că dezvoltăm flexibilitatea gândirii, educăm creativitatea, suntem siguri că elevii stăpânesc bine noțiunile, o regulă de rezolvare a problemelor și a faptului că elevii pot să ilustreze complet și corect o problemă.
În clasa a IV – a, compunerea de probleme după un exercițiu dat este o activitate foarte complexă. Elevii știu să utilizeze atât parantezele drepte cât și acoladele, utilizează cu precizie terminologia specifică, stăpânesc ordinea efectuarii operațiilor, știu să identifice o necunoascută dintr-o ecuație sau o egalitate dată.
Având clasa a IV – a în acest an școlar, am realizat, împreună cu elevii mei, foarte multe ore de matematică sub forma de concursuri, ștafete sau alte jocuri didactice. În acest fel elevii erau permanent relaxați, iar rezultatele sunt pe măsură. Voi exemplifica câteva dintre activitățile care au dar rezultate foarte bune. Astfel, după ce am predat ordinea efectuării operațiilor, am lucrat foarte multe expresii Matematice, am folosit parantezele, am obișnuit elevii să rezolve fiecare expresie din aproape în aproape, am realizat faptul că este ideal să încerc să formulez cu ei probleme, chiar și oral, după fiecare expresie rezolvată.
Aplicând această metodă, am observat că elevii mei au un potențial creativ bine dezvoltat, o parte dintre ei au o capacitate de analiză, sinteză, abstractizare și uneori generalizare mult mai dezvoltată decât credeam eu ca învățătoare a clasei.
Voi reda mai jos câteva dintre exemplele lucrate în clasă pentru a demonstra potențialul creator al elevilor.
Exemplu:
Am cerut elevilor să compună probleme după următorul exercițiu:
„Din cei 100 de lei, Darius a cumpărat un compas cu 5 lei, 4 caiete a câte 3 lei fiecare și două cărți a câte 7 lei fiecare. Restul banilor i-a împărțit în mod egal cu cei doi frați ai lui. Află ce sumă a primit fiecare.” – elevul B.E.
„Alexandra a primit 100 de lei de la mătuța ei. Ea a cumpărat o minge cu 5 lei, 4 felicitări a câte 3 lei bucata, și 2 urșuleți de pluș a câte 7 lei fiecare. Restul banilor îi va folosi pentru a cumpăra 3 cărți
pentru cei trei verișori ai săi. Cât costă o carte?” – eleva S.O.
„Aliana are 100 de iepuri. Dă Alesiei 5 iepuri, Mirelei, Denisei, Aurorei și Antoniei câte 3 iepuri, iar lui Vlăduț și Marcel câte 7 iepuri. Iepurii râmași i-a împărțit în 3 cuști, în mod egal. Câți iepuri sunt în fiecare cușcă?” – elevul J.D.
III.1.5 Compunerea problemelor cu date incomplete sau întrebări lipsă
Compunerea de probleme atunci când avem date lipsă sau lipsește întrebarea este tot un mijloc prin care poate fi solicitată gândirea creatoare a elevilor dar și înțelegerea faptului fără datele complete ale problemei sau fără întrebare problemele în Matematică nu se pot rezolva. Elevii sunt învățați să analizeze cu atenție problema lacunară dată, sunt îndrumați din aproape în aproape să observe că lipsesc unele date, că este necesar să adauge date suplimentare sau să formuleze întrebarea problemei.
Astfel, în clasa pregătitoare se compune probleme pe baza obiectelor concrete, pe marginea unor imagini, a unui exercițiu scris pe tablă cu indicarea operației. Însă se pot obișnui elevii, prin compunerea de probleme în mod practic, să formuleze probleme în situația în care au imaginile vizuale adecvate însă nu au indicată întrebarea.
Exemplu:
Am prezetat, pe tablă, cu ajutorul jetoanelor magnetice două mulțimi cu flori, lalele și narcise, apoi folosind cretă colorată de o altă culoare am realizat o nouă mulțime, care cuprindea atât lalelele cât și narcisele.
Am formulat, oral, următoarea problemă:
„În grădina casei mele am 3 lalele și 5 narcise.”
Le-am cerut elevilor să mă ajute să identific o întrebare pentru problema formulată de mine. După ce am repetat de două ori problema, a fost identificată prima întrebare de către unul dintre elevi:
„Câte flori are în grădină doamna învățătoare?” – eleva F. B
sau
„Câte flori are în total?” – eleva T. A.
Am diversificat foarte mult acest mod de compunere a problemelor, i-am obișnuit să formuleze întrebări cât mai variat, am observat că au o imaginație foarte bogată, sunt foarte creativi, deduc foarte repede ceea ce vreau să obțin și se implică activ.
Tracând la clasa I, cu aceștia am gândit activitatea mai variat, la un alt nivel de cunoștințe, mult mai bogat. Am scris pe tablă următoarea problemă:
„Elevii clasei I au plantat panseluțe și lalele. Câte flori au plantat?”
Le-am cerut să rezolve problema scrisă pe tablă. Inițial, majoritatea elevilor erau foarte mirați, nu înțelegeau ce au de făcut. După două minute în care i-am lasat să își exprime opiniile, cum putem rezolva problema, am realizat împreună cu ei o analiză succintă a problemei. O parte dintre elevi au observat că nu putem rezolva problema deoarece nu avem datele numerice corespunzătoare mărimilor ce intervin în problemă, adică nu știm numărul de panseluțe și numărul de lalele. Au observat și faptul că între cele două mărimi este o relație, sunt flori. După ce am dezbătut aceste amănunte, le-am cerut elevilor să compună ei probleme corect.
Exemple:
„Elevii clasei I au plantat 20 de panseluțe și 15 lalele. Câte flori au planta elevii clasei I?”
„Elevii clasei I au plantat 45 panseluțe și cu 15lalele mai puține. Câte flori au plantat?”
Acest procedeu nu solicită într-un grad sporit gândirea elevilor, ci este în fond o posibilitate de exersare a creativității elevilor, oferă posibilitatea elevilor de a completa probleme cu datele numerice dorite de ei, pot adăuga întrebări suplimentare, le dă posibilitatea de a complica problema. Este foarte important să introducem această activitate cât mai atractiv, activitățile să se desfășoare fie sub forma unii joc didactic, fie problemele să fie foarte simple astfel încât elevii să facă acest lucru cu drag, din plăcere.
Am încercat să pun accent pe formularea întrebărilor problemei. În acest sens, formulam împreună cu elevii problemele, iar întrebarea era o sarcină individuală a fiecărui elev.
Exemplu:
„Într-o cutie sunt 8 bile, iar în alta 5 bile.’’ Ce putem afla?
O mare parte dintre elevi au formulat următoarea întrebare:
„Câte bile sunt în total?”
Deoarece vroiam ca elevii să descopere și alte laturi mai ascunse ale formulării întrebărilor pentru probleme, am încercat să-i stimulez să identifice noi întrebări. Au reușit să identifice și alte întrebări, chiar să complice problema.
Voi reda câteva dintre întrebările identificate de aceștia:
„Cu câte bile sunt mai multe în prima cutie?”
sau
„Care este diferența dintre numărul de bile din prima cutie și cele din a doua cutie?”
Treptat, oferindu-le mai multe date, am observat că le putem deschide elevilor calea spre creație, iar spre surprinderea mea un număr mare de întrebări sunt identificate de elevi, iar în contextul căre se identifică întrebările corecte, pașii care conduc spre întrebările finale, modalitatea de rezolvare și spre soluția finală este identificată.
În clasa a II – a, când elevii sunt capabili să rezolve problemele prin două sau trei operații, putem da elevilor spre rezolvare probleme mai complicate, iar ei vor avea posibilitatea de a complica sau simplifica problema prin intermediul întrebării identificate de ei.
Exemplu:
Am propus elevilor următoarea problemă:
„Un bloc are 5 scări cu câte 20 de apartamente pe fiecare scară, iar alt bloc are 6 scări cu câte 8 apartamente pe fiecare scară.”
Sarcina elevilor a fost aceea de a identifica întrebarea și a rezolva problema.
Voi reda câteva dintre ele:
„Câte apartamente sunt în primul bloc?”
sau
„Câte apartamente sunt în al doilea bloc?”
sau
„Câte apartamente sunt în cele două blocuri?”
Insistând asupra diferenței care există între numărul apartamentelor dintre cele două blocuri, elevii descoperă că diferența dintre ele poate reprezenta o nouă problemă. Astfel, s-a constatat că întrebările formulate de ei sunt doar întrebări parțiale, deoarece nu cuprind totalitatea datelor problemei.
Formularea corectă a întrebărilot are o importanță covârșitoare atât pentru soluționarea problemelor, cât și pentru formarea gândirii creatoare. Ea presupune gruparea și relaționarea datelor, integrarea lor într-o unitatea, descoperirea necunoscutelor și a aspectelor mascate într-o activitate de investigare și reorienare permanentă în problemă.
În clasele a III –a și a IV- a acest tip de probleme se fac doar în situația în care vrem să schimbăm modul de rezolvare al problemei sau vrem să complicăm problema. Odată ajunși în clasa a III – a, elevii știu să se orienteze în problemă, stiu complena lacunle care apar, intenționat sau dintr-o eroare, știu formula întrebări, cunosc importanța formulării de întrebări corecte și concise întrucât formularea întrebărilor cu respectarea parametrilor de corectitudine duc la rezolvarea corectă, la posibilitatea identificării modalității de rezolvare corectă.
III.1.6 Compunerea de probleme asemănătoare
În rezolvarea problemelor, abilitățile vizează în deosebi analiza datelor, sesizarea condiției, capacitatea de a înțelege întrebarea problemei și conceperea unui raționament în direcția descoperirii soluției problemei. Când elevul are de compus și de rezolvat o problema asemanatoare cu cele rezolvate anterior, mintea lui fixează o anumită cale de rezolvare. Creativitatea gândirii copilului se poate produce pe baza unor exerciții corect formulate și aplicate acestuia la momentul oportun. Rezolvarea unei probleme înseamnă un șir de judecăți legate logic și direcționate spre obținerea necunoscutei. Mintea copilului trebuie să cuprindă întregul „film” al derulării raționamentului, să-l rețină ca apoi să-l generalizeze la categoria de probleme careia îi aparține. Generalizarea raționamentului comun unei categorii de probleme poate avea loc numai în condițiile în care elevii au formate capacitățile de analiză și de întelegere a datelor problemei, de sesizare a condiției acesteia și de creare a șirului logic de judecăți până la aflarea soluției. Activitățile de compunere de probleme după modelul unei probleme rezolvate anterior se pot desfășura numai în momentul în care raționamentul de rezolvare a problemelor a fost însușit de către copii, mai precis către finele anului școlar. Din experiența acumulată, am observat că elevii rezolvă foarte ușor problemele tipice celor rezolvare împreună cu elevii în clasă, își ănsușesc algoritmul de rezolvare a problemelor. Însă acest lucru nu este benefic, deoarece în Matematică nu se rezumă totul la problemele tipice celor rezolvate în clasă sub îndrumarea cadrului didactic, în Matematică fiecare problemă are particularitatea sa, modul său de rezolvare. Pentru a evita șablonizarea unui stil de lucru, pentru a observa dacă elevii aplică algoritmul de rezolvare a problemelor sau rezolvă în mod mecanic problemele, este necesar să cerem elevilor să compoună probleme asemănătoare celor rezolvate în clasă, însă le voi da valorile numerice pe care să le folosească. Voi specifica de la bun început că nu voi tolera „imitarea” problemelor rezolvate în clasă, întrucât eu urmăresc dezvoltarea operațiilor gândirii, a creativității fiecăruia.
În clasa I, pentru a familiariza elevii acu acest mod de compunere a problemelor, pentru început se pot schimba doar datele problemei, întrebarea, iar dacă nivelul de cunoștințe și capacitatea intelectuală a elevilor ne permite, putem complica problema.
În clasa a III-a am aplic următoarea strategie, am prezentat elevilor o anumită problemă, am rezolvat-o împreună cu aceștia uilizând metodele de rezolvare adecvate problemei propuse.
Exemplu:
„În două patiserii lucrează 800 de muncitori. Câți muncitori lucrează în fiecare patiserie, dacă în prima lucrează cu 148 mai mulți muncitori decât în cealaltă?”
Am rezolvat problema utilizând metoda figurativă, s-a reprezentat grafic problema, după care am identificat numărul de muncitori care lucrează în a doua patiserie, apoi în prima patiserie. Am cerut elevilor să facă o verificare pentru a se asigura că au rezolvat corect problema.
Am rezolvat și alte probleme, am evitat să rezolv mai multe probleme de același fel pentru a nu da posibilitatea elevilor să își formeze un tipar anume.
Exemplu:
„Suma a două numere consecutive este 755. Aflați cele două numere?”
Am cerut elevilor să rezolve problema, fără a specifica o metodă anume de rezolvare. Au foat elevi care au rezolvat atât utilizând metoda figurativă, dar și elevi care au identificat doar întrebările și au efectuat calculele aferente. La final am cerut să facă o verificare.
Deoarece scopul meu era să determin elevii să compună probleme asemănătoare cu cele rezolvate împreună, însă fără ai determina să imite probleme propuse spre rezolvare.
Am cerut elevilor să formuleze o problemă asemănătoare cu cele rezolvate în clasă utilizând numerele 500 și 126. Le-am sugerat elevilor să fie conform realității, să fie probleme formulate în concordanță cu diferite domenii de activitate din jurul lor sau din viața de zi cu zi. Le-am sugerat să nu imite probleme rezolvate în casă, ci să lase gândirea „să zburde pe meleagurile științei acumulate, iar de acolo să culeagă ce este frumos”.
Exemple:
„Din cele 500 de timbre adunate, Radu a distribuit 126 colegilor de clasă în mod egal, iar restul le-a împărți fraților săi și lui, în mod egal. Câți colegi de clasă poate avea Radu? Care este cel mai mic număr de frați pe care îi are Radu?” – elevul B.E.
Deoarece problema mi s-a părut destul de dificilă de rezolvat și aveam impresia că majoritatea elevilor clasei nu ar ști să o rezolve, am solicitat acest lucru.
Voi reda rezolvarea făcută de unul dintre elevii clasei, altul decât cel care a compus problema.
„ Câți colegi de clasă poate avea Radu?
126 : a = b
Prin încercări, putem deduce că Radu poate avea 2, 3 6, 7, 9, 14, 18, 21 sau 42 de colegi deoarece numărul 126 se împarte exact doar la aceste cifre.
Câte timbre împartea Radu fraților săi?
500 – 126 = 374 (timbre)
Care este cel mai mic număr de frați pe care îl poate avea Radu?
374 : ( X + 1(Radu))= Y
Privind cu atenție exercițiul, observăm că deîmpărțitul este un număr par, rezultă că se împarte exact la doi, iar de aici ne dam seama că cel mai mic număr de frați pe care îi are Radu este 1.
374: (1 + 1 ) = 374 : 2 = 187 ( timbre)
Răspuns:
Radu poate avea 2,3 ,6, 7, 9, 14, 18, 21 sau 42 de colegi
Cel mai mic număr de frați este 1”
Voi prezenta și alte probleme compuse de elevi.
„Alexandra a cumpărat 500 de prăjituri pentru bătrânii din două cămine. A mers la primul cămin unde a lasat 126 de prăjituri, câte una pentru fiecare bătrân. Cu restul prăjiturilor a mers la al doilea centru de bătrâni. Câți bătrâni sunt în al doilea cămin?” – eleva P.A.
„500 de elevi au horărât să planteze câte 126 de pomi săptâmânal. După patru săptămîni s-au decis să calculeze câți pomi au plantat?” – eleva M.D.
În compunerea de probleme asemănătoare elevii manifestă tendința de a se „orienta” după probleme care le-au rezolvat în clasă înainte, aportul de originalitate fiind scăzut. Am crezut că ar fi necesară prezentarea unor aspecte din viața cotidiană, însă am observat că aceste activități ar fi utile doar pentru o parte mică dintre elevii clasei. Însă am încercat, pe cât posibil, să îi conduc spre enunțuri care să difere de cele din manual sau cele rezolvate în clasă. În acest fel am putut observa care dintre elevi aplică conștient sau mecanic algoritmul de rezolvare pe care îl stabilește în momentul în care primește datele numerice în vederea compunerii problemelor.
Compunerea de probleme asemănătoare cu cele rezolvate anterior devine pentru elevii clasei a IV-a o activitate mobilizatoare, antrenează gândire elevilor, dezvoltă capacitatea de creație și capacitatea de atenție. Toate aceste se îmbină foarte bine cu munca independentă pe care elevii o desfășoară. Prin aceste sarcini se crează o competiție între elevii clasei, fiecare dorește să creeze probleme cât mai frumoase, mai expresive și mai variate.
Voi reda câteva dintre problemele pe care le-am efectuat în clasă cu elevii clasei a IV-a, apoi câteva dintre problemele compuse de ei, pe baza celor rezolvate anterior.
„Suma a două numere este 343. Câtul împărțirii celui mai mare număr la cel mai mic este 4, iar restul 3. Află cele două numere?” –
( B. Teofil, A.Teofil, 2010, pag.121)
„Într-o lună, profitul unei firme A este de 3 ori mai mare decât cel a firmei B. Calculează profitul fiecărei firme, stiind că cel al firmei B este cu 972 de euro mai mic decât cel al firmei A.” – ( B. Teofil, A.Teofil, 2010, pag.120)
După ce am rezolvat multe probleme de acest gen, am cerut elevilor să compună probleme asemănătoare, însă am explicat faptul că este necesar să gândească singuri, să nu imite problemele rezolvate anterior și să fie cât mai creativi.
Exemple:
„O sumă de bani este folosită pentru a cumpăra o carte și un album foto. Știind că prețul albumului este de 8 ori mai mic decât al cărții, iar prețul cărții este reprezentat de rezultatul următorului exercițiu: 245: 5+ 287 X 0. Ce sumă de bani este folosită?” –elevul B.E.
„Ionela are 796 de bomboane cu gust de mentă și cu gust de cafea. Împărțind numărul bomboanelor de mentă la numărul bomboanelor de cafea obținem câtul 7 și restul 4. Câte bomboane cu gust de mentă și câte cu gust de cafea are Ionela?” – eleva S.O
Analizând cu atenție problemele compuse de elevi și rezolvarea acestora, am sesizat faptul că s-a evitat imitarea problemelor și am descoperit „o doză” de originalitate în creațiile acestora.
III.1.7 Compunerea de probleme cu sprijin simbolic
Cerințele simbolice stimulează gândirea creatoare a elevilor, adâncesc raționamente, consolidează deprinderi de analiză a problemelor. Dar mai întâi să străbatem calea până a reuși să determinăm elevii să compună probleme după formule literale. Copiilor le place să asculte și să învețe poezii și am identificat această plaăcere a lor ca fiind un mijloc de a introduce a copiii în tainele unei forme de creare de probleme.
Acest procedeu este greu de abordat la clasa pregătitoare, însă nu este imposibil. Se pot spune elevilor o mulțime de ghicitori Matematice, ghicitori care le dezvoltă atenția și rapiditatea în gândire, însă este foarte important să fie prezentate și imagini sugestive.
Voi prezenta câteva dintre ghicitorile pe care le-am utilizat pe parcursul activităților Matematice:
„Un pisoi, al nu știu cui
A plecat la drum hai-hui.
Mai departe-ntr-un zăvoi,
I se-alătură alți doi
Ei se joacă lângă tei,
Dar vin iute încă trei.
Și mai vin patru pisoi
Să învețe jocuri noi.
Toți pisoii-acum se adună,
Și cântă cu voie bună,
Spuneți-mi acum voi:
Câți pisoi cântă-n zăvoi?” – (www.google.ro)
S-a prezentat o scurtă poezie:
„De sub streașinele mele
Pleacă noua rândunele
Și mai e o rândunică.
Ar rămâne, dar i-e frică
Să n-o prindă vremea rea.
Și- atunci pleaca-n zbor și ea.
Spune-mi câte rândunele
Trec deasupra casei mele?”
Copiii află că la cele noua rândunele se adună încă o rândunică și că 9 + 1 = 10.
Le-am dat sugestia să înlocuiască cu o literă „a” numărul care reprezintă păsărelele care au zburat prima dată și cu alta, litera „b”, numărul păsărelelor care s-au alăturat după aceea. Numărul păsărilor care trec deasupra casei a fost notat cu „d”.
Le-am cerut acum să scrie acest exercițiu folosind litere în loc de cifre.
a + b = d
Cerându-le să formuleze și ei probleme după această formulă numerică, la început a mers mai greu, dar după aceea s-au întrecut în formularea de probleme.
Pentru compunerea de probleme după formula literală a – b m-am folosit de versurile:
„Pe – o rachetă zboară iuți
Trei viteji astronauți.
Doi coboară pe-o planetă,
Mai rămân câți în rachetă?”
Familiarizându-se cu calculul, cu simboluri literale, copiii sunt introduși în modul de lucru cu aceste simboluri.
Se solicită gândirea creatoare a elevilor atunci când li se cere să alcătuiască probleme al căror principiu de rezolvare să fie relațiile implicate prin simbolurile literale din formula dată.
Trecerea la faza de compunere de probleme, după formulele literale, așa cum am mai arătat a fost făcută prin înscrierea unei probleme sub formă de formulă numerică. Formându-se priceperi și deprinderi de a compune probleme după formule numerice, crescând gradul de dificultate s-a ajuns ca elevii să poată utiliza formule ca:
a – b – c = d a – (b x c) = d
a + b + c = d a x b : c + d – e = ?
a x b – c = d
a : b + c = d
a : c – b = d
Pentru activitatea diferențiată în compunerea problemelor după astfel de formule am observat că elevii mai slabi au compus probleme după prima parte a formulei, cei buni după întreaga formulă.
Acest procedeu este un veritabil exercițiu de pregătire a elevilor în vederea aflării valorii numerice a unei expresii algebrice.
7. Compuneri de probleme libere
Așa zisele „creații literare”, fără sprijin de cifre duc la ideea că majoritatea copiilor de azi sunt mult mai bine informați, și deci au mai multe surse de substractizare.
Înainte de modernizarea gândirii copilului prin matematică, se pare că ea este modernizata de viata sociala si culturala contemporana. Inca o data psihologia istorică ni se impune ca o necesitate, ca un moment de pornire și în didactica modernă.
Dând frau liber fanteziei școlarilor mici, aceștia compun probleme legate de viața lor, de mediul lor social, oraș, magazine întreprinderi, fabrici, uzine, orășelul copiilor, blocuri – compun probleme simple și probleme compuse în mod diferențiat în raport cu vârsta lor. Reușesc să compună probleme legate de aceste modernizări chiar cu sau fără sarcini date.
Ca orice început, primele au fost grele și chiar nereușite. Elevii trebuie să folosească întregul bagaj de cunoștințe acumulate la geografie, cunoștințe despre natură etc. Prin aceasta dovedesc că dispun de un bogat bagaj de cunoștințe, dar au, în același timp, bine dezvoltat și simțul realității.
Un elev a creat o problemă care a stârnit hazul tuturor, fiindcă având ca cerință să folosească date numerice de ordinul sutelor de mii, n-a avut veridicitate în realitatea înconjurătoare.
„Participând la culesul fructelor, elevii clasei noastre au cules în prima zi 230.000 kg mere, pere cu 150.000 kg mai mult, iar struguri de 5 ori mai mult decât
mere și pere. Câte kg de fructe au cules în total?”
În opoziție cu exemplul de mai sus apar probleme create astfel:
„Întreprinderea minieră Rovinari a livrat în prima lună a anului 702.302 t lignit, în luna a doua cu 50.800 t mai mult, iar în luna a treia cu 230.700 t mai puțin decât în primele două luni la un loc. Câte tone au fost livrate în primul trimestru al anului?”
Pentru compunerea unor probleme corecte am urmărit să aduc elevii la simțul realității, cunoscând diferite aspecte ale vieții. Astfel, problemele compuse nu sunt fanteziste, sunt legate de realitățile vieții, activității cotidiene a părinților lor. Prin exemplele relatate am încercat să realizez câteva soluții prin care am cultivat și valorificat interesul copiilor pentru aprofundarea și consolidarea cunoștințelor matematice.
Din activitatea pe care am desfășurat-o m-am convins că activitățile de factură creativă concepute gradat și sistematic sunt atât accesibile cât și atractive pentru școlarii mici. Asta mă îndeamnă să caut și alte mijloace care să contribuie la dezvoltarea spiritului creator la elevii din ciclul primar.
Simpla formulare a unei probleme este adeseori mult mai importantă decât rezolvarea ei, care poate fi doar o chestiune de matematica sau tehnică experimentală. A ridica noi întrebări, noi posibilități, a privi problemele vechi dintr-un unghi nou presupune imaginație creativa.
2. Compunerea unei probleme dupa modelul unei probleme rezolvate anterior
3. Completarea întrebarii unei probleme
De la primele semne scrise se insista asupra separarii întrebarii de continut. În vederea
formarii si dezvoltarii deprinderii de a întelege cele doua parti ale problemei: enuntul si întrebarea,
s-au compus probleme din enuntul dat, fie când acestuia îi lipsea întrebarea, fie având întrebarea
si lipsind continutul. La acelasi enunt pot fi puse doua sau mai multe întrebari.
Separarea întrebarii de enunt si retinerea ei cu claritate este o secventa foarte importanta în
rezolvarea problemelor.
Elevul trebuie orientat spre finalitatea fireasca: aflarea raspunsului la întrebare. Formularea
întrebarii este un pas înainte si presupune din partea elevilor o vedere analitica asupra întregii
probleme.
Se poate da apoi o problema la care întrebarea este gresita. Dupa ce se rezolva problema, se
cere sa se schimbe enuntul problemei astfel încât sa fie buna întrebarea.
4. Compunerea problemelor dupa scheme sau dupa desene
Compunerea problemelor dupa scheme simple si apoi mai complicate ofera posibilitatea
elevilor de a-si forma deprinderi solide de formulare a problemelor.
5. Probleme de completare a datelor când se cunoaste întrebarea
Nu toti elevii vor reusi sa completeze corect datele problemei. Cei mai multi îsi aleg
numere formate din zeci si unitati, dar întâmpina greutati în rezolvare având calcule cu trecere
peste ordin. Vor fi probabil si elevi care aleg la întâmplare datele problemei, fara sa gândeasca ce
operatii au de facut cu ele.
6. Compunerea problemelor cu indicarea operatiilor matematice ce trebuie efectuate
Se porneste de la compuneri de probleme dupa exercitii simple, formulate de elevi sub
îndrumarea institutorului si apoi independent.
Daca elevii stiu sa alcatuiasca corect si cu usurinta probleme dupa o singura operatie, li se
poate cere apoi sa compuna probleme indiferent de numarul de operatii.
Un accent deosebit trebuie pus pe formularea unor probleme compuse, care ridica
probleme deosebite.
Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia rezolvarii si compunerii de probleme
84
Dupa ce elevii stapânesc bine compunerea problemelor dupa formule numerice, se va trece
la compunerea lor dupa formule literale. Formulele literale dau posibilitatea elevului sa-si aleaga
singur numerele si domeniul.
7. Compunerea de probleme dupa un plan stabilit
În momentul în care elevii stiu sa rezolve corect si constient problemele compuse pe baza
de plan, se poate da elevilor un plan de rezolvare, dupa care sa alcatuiasca o problema. Înainte de
a formula problema, se analizeaza despre ce se vorbeste în problema, ce contin întrebarile, ce
date numerice se folosesc.
8. Compunerea problemelor cu început dat
9. Compunerea de probleme cu marimi date, cu valori numerice date
10. Probleme cu date incomplete
Unii elevi vor sesiza imediat lipsa unei date, altii însa îsi vor da seama de acest lucru numai
când se vor apuca de lucru.
11. Probleme cu date suplimentare
Aceste probleme solicita gândirea elevilor, dezvolta atentia si-i depisteaza pe cei care
lucreaza mecanic, fara sa analizeze suficient datele problemei.
12. Compunerea de probleme cu corectarea continutului si modificarea datelor
Elevii vor fi solicitati sa confrunte datele problemei si vor observa greselile sau
incorectitudinea întrebarii. Ei pot corecta enuntul problemei în mai multe variante.
13. Probleme cu mai multe solutii si probleme fara solutie
Viata, realitatea, demonstreaza ca nu toate situatiile – problema care se întâlnesc au o
solutionare unica sau sunt unic determinate. Majoritatea admit mai multe solutii (conducând la
alta problema: aceea a alegerii variantei optime de rezolvare, în functie de conditiile date), iar
altele nu admit solutii.
Cum matematica trebuie sa modeleze realitatea, este necesar a introduce si pentru elev astfel de
probleme, cu solutii multiple sau fara solutie. Se ofera astfel multor elevi posibilitatea sa-si
prezinte propria rezolvare (corecta), se obisnuiesc cu existenta unor astfel de probleme, sau a
unor probleme de decizie (alegerea solutiei celei mai convenabile, dintr-un anumit punct de
vedere). Dupa rezolvarea unei astfel de probleme, institutorul trebuie sa aiba o interventie
centralizatoare, enumerând solutiile gasite (eventual ordonându-le dupa un anumit criteriu),
sistematizându-le (pentru a oferi certitudinea ca nu au fost omise solutii), propunând alegerea
celei mai bune solutii (în anumite conditii si dintr-un anumit punct de vedere), contribuind la
elucidarea situatiei.
În elaborarea textului unei probleme este necesar ca institutorul sa utilizeze date în
concordanta cu realitatea, mijloace si procedee care sa ofere elevilor împrejurari de viata
corespunzatoare, actiuni veridice, sa stabileasca între datele problemei relatii matematice
corespunzatoare.
În activitatea de compunere a problemelor trebuie sa se tina seama de posibilitatile elevilor,
prin sarcini gradate, trecându-se treptat de la compunerea libera la cea îngradita de cerinte din ce
în ce mai restrictive.
Institutorul are sarcina sa conduca aceasta activitate prin indicatii clare, prin exemple
sugestive, prin cerinte rationale, sa canalizeze gândirea si atentia elevilor prin asocieri din ce în
ce mai putin întâmplatoare. În acelasi timp trebuie sa-i faca pe elevi sa aiba încredere în ei, sa le
stimuleze eforturile intelectuale, sa le educe calitatile moral-volitive, sa le dezvolte interesul si
sensibilitatea, sa fie receptivi la situatiile problematice cu continut matematic.
Posibilitatile intelectuale ale elevilor permit rezolvarea unor probleme de dificultate, în masura
în care ei dispun de o anumita experienta si de competente necesare activitatii de rezolvare a
problemelor. Rezolvarea problemelor cu variante constituie un exercitiu de cultivare a flexibilitatii
gândirii, cu conditia de a face din aceasta activitate un antrenament sistematic si permanent.
Este de dorit ca periodic sa se faca investigatii în rândul elevilor pentru stabilirea nivelului
lor de cunoastere, pentru constatarea gradului de competenta în rezolvarea si compunerea
problemelor de matematica, pentru depistarea la timp a eventualelor ramâneri în urma la
învatatura, pentru a asigura progresul fiecarui elev în parte.
Se recomanda, de asemenea, ca atât compunerea problemelor, cât si rezolvarea acestora sa
se faca si în situatii de joc didactic. Competitia generata de joc va contribui nu numai la
activizarea intelectuala a copiilor, cât si la formarea personalitatii lor. S-ar putea gasi, crea si
folosi o multime de forme si procedee, cum ar fi:
-care echipa compune prima, corect si frumos, o problema dupa anumite cerinte;
-o echipa sa formuleze continutul problemei si cealalta întrebarea, iar rezolvarea ei sa se
faca de ambele echipe simultan;
-sa se gaseasca de catre fiecare echipa cât mai multe întrebari la un continut dat, sau mai
multe metode de rezolvare a unei probleme date sau compuse;
-sa se elimine dintr-un enunt datele de prisos, sau sa se corecteze un enunt formulat
intentionat gresit, etc.
Este necesar ca în activitatea de compunere a problemelor, institutorul sa aiba permanent în
atentie îmbunatatirea continua a exprimarii corecte a copiilor, atât din punct de vedere matematic
cât si gramatical, îmbogatirea vocabularului matematic, cresterea continua a volumului lor de
cunostinte, de transfer si de folosire a acestora în practica.
Compunerea de probleme la clasele I-IV poate constitui o premisa reala si eficienta pentru
o viitoare munca de cercetare, pentru activitatea ulterioara de creatie si cu siguranta o modalitate
sigura de sporire a rolului formativ al învatamântului matematic din ciclul primar, în strânsa
corelatie cu celelalte discipline de învatamânt.
În clasa pregătitoare, pentru compunerea problemelor are urmatoarea succesiune graduala :
1. Probleme-actiuni sau cu punere în scena
2. Compunere de probleme dupa tablouri si imagini
3. Compunere de probleme dupa modelul unei probleme rezolvate anterior
4. Compunere de probleme cu indicarea operatiilor matematice
5. Compunere de probleme fara întrebare ce urmeaza a fi formulata
6. Crearea libera de probleme
4. Compunere de probleme cu indicarea operatiilor matematice
Capacitatea creatoare si caracterul realist al gândirii logice pot fi puse în evidenta prin compunere de probleme dupa urmatorul model:
2 + …. = 3
Un asemenea model de problema presupune flexibilitate, capacitate de redefinire si elaborare. Prescolarii exersati cu efortul intelectual, cu situatiile de problematizare ce stimuleaza inventivitatea si originalitatea gândirii, pot crea probleme cu caracter realist de acest gen. Ele pot fi abordate dupa ce copiii au înteles modul în care se efectueaza operatiile de adunare si scadere si detin abilitatea de a manevra algoritmi simpli de calcul, iar gândirea logica si creativa, precum si imaginatia lor au atins un anume nivel de dezvoltare ca urmare a stimularii si dezvoltarii lor de catre educatoare.
5. Compunerea de probleme cu completarea întrebarii îi solicita pe copii sa realizeze concordanta între cele doua componente ale problemei: enunt si întrebare. Se poate porni de la o imagine adecvata si de la urmatorul enunt:
"Trei ghiocei îsi miscau clopoteii în adierea vântisorului de primavara. Un alt ghiocel îsi scotea si el capsorul, bucuros de sosirea primaverii. Ce întrebare putem formula la aceasta problema?"
Copiii formuleaza cu usurinta întrebarea:"Câti ghiocei sunt acum? ( 3 + 1 = 4)"
Acest gen de activitate poate fi exersata pe baza altor imagini, când unii prescolari pot formula datele problemei, urmând ca altii sa conceapa intrebarea.
În activitatea de compunere a problemelor trebuie sa se tina seama de posibilitatile copiilor. Prin exercitii si sarcini graduale, conducând copiii pas cu pas, de la simple constatari la forme de rationament, se poate trece treptat de la compunerea libera la cea îngradita de anumite cerinte, moment în care ei devin constienti de continutul propriei gândiri, înteleg ceea ce fac si pentru ce, învata ca se pot exprima într-un limbaj verbal sau scris variat , dar totodata precis.
Educatoarea trebuie sa caute permanent si sa gaseasca cele mai atractive procedee de a-i mobiliza pe copii sa gândeasca, sa participe activ si direct la descoperirea necunoscutelor dintr-un sir de rationamente si judecati. Cum necesitatea naturala la aceasta vârsta a copilului este jocul si nu învatarea, sarcina educatoarei este aceea de a crea, prin joc, o punte de legatura intre copil si rationamentul matematic, câstigând astfel un lucru extraordinar de important, anume acela de a pregati copilul pentru a intelege si a iubi matematica, poate, unul dintr cele mai dificile obiecte de studiu în scoala .
În gradinita, activitatile de compunere si de rezolvare a problemelor trebuie sa se realizeze numai prin joc didactic, utilizând un bogat si variat material didactic. Placerea competitiei si a cooperarii generata de joc va contribui nu numai la activizarea intelectuala a copiilor, dar si la formarea personalitatii lor.
Activitatile de compunere si de rezolvare a problemelor reprezinta una dintre modalitatile principale de dezvoltare a gândirii logice si inventive, de cultivare si de educare a creativitatii si a vointei prescolarului si, ca urmare, trebuie tratate cu maximum de responsabilitate deontologica de catre educatoare la nivelul proiectarii, desfasurarii si evaluarii lor.
În activitatea de învățare a compunerii de probleme se pot folosi mai multe procedee, care pot fi grupate după forma de prezentare, strategiile și mecanismele gândirii pe care le solicită.
3. Compuneri de probleme după modelul unor probleme rezolvate anterior
Acest procedeu solicită elevii să compună probleme prin analogie, schimbând enunțul și datele iar întrebarea să rămână aceeași. În clasa I, tendința este de a păstra enunțul și întrebarea, elevii schimbând numai datele. Acum ei trebuie să fie îndrumați să aleagă și alte domenii din care să se inspire.
În mod asemănător se cere elevilor să schimbe denumirea mărimilor și să păstreze datele.
În clasele mai mari procedeul devine mobilizator, antrenează gândirea elevilor și dezvoltă capacitatea de creație prin muncă independentă.
4. Completarea de către elevi a datelor care lipsesc
Aceste probleme nu solicită în mod deosebit creativitatea. Elevii trebuie să înlocuiască spațiile libere cu numere, având grijă să îndeplinească cerințele problemei. Astfel, ei sunt puși în situația de a înțelege că au dreptul să intervină în compunerea de probleme, solicitându-li-se inițiativa.
Exemplu:
,,Un elev are de citit 120 de pagini în 3 zile. În prima zi a citit………pagini, în a doua zi………pagini, iar în a treia zi restul.
Câte pagini a citit în a treia zi?”
5. Alcătuirea de probleme după întrebări date
Acestea pot fi abordate începând din clasa a II-a. Li se face cunoscută elevilor întrebarea și li se cere să potrivească enunțul. Întrebările vor fi clare, cerând în mod precis o anumită operație: ,,Cât au împreună?”, ,,Cât a mai rămas?”, ,,Cu cât este mai mare?”, ,,De câte ori este mai mare?”, ,,Câte pagini a citit a doua zi?” etc.
Creativitatea va fi stimulată prin necesitatea găsirii unor domenii cât mai variate.
6. Completarea (formularea) întrebării unei probleme
Folosind această formă de activitate în perioada în care elevii învață să desprindă din conținutul problemei enunțul de întrebare, se realizează conștientizarea cunoștințelor cu privire la elementele componente ale unei probleme, se conving elevii de necesitatea separării întrebării de enunț în rezolvarea ulterioară a problemelor.
Găsirea de întrebări noi contribuie la dezvoltarea imaginației, a gândirii divergente și flexibile.
Exemplu:
,,Într-o cutie sunt 63 de creioane. În altă cutie sunt de 9 ori mai puține.”
Pot fi formulate întrebările:
,,Câte creioane sunt în a doua cutie?!
,,Cu câte creioane sunt mai multe în prima cutie?”
,,Câte creioane sunt în cele două cutii?”
7. Compuneri de probleme după formulă numerică dată
Această activitate va avea succes dacă elevii au fost obișnuiți să transpună problemele în exerciții după ce le-au rezolvat (formule numerice sau literale).
După ce au fost stabilite datele numerice și relațiile dintre ele, efortul gândirii se concentrează la transpunerea formulei numerice sub formă de problemă concretă. Posibilitățile sunt limitate deoarece se pune accent pe rigoarea științifică a transformării.
Exemple:
Se cere compunerea unor probleme după exerciții date:
a) 70 kg + 20 kg =
b) 2 x 30 l =
c) 40 m : 2 =
d) 90 – 30 =
e) 338 + ( 338 – 127) =
f) 280 – (10 x 2) + 50 =
g) Compuneți o problemă cu numerele 197, 425, 200 astfel încât să aveți în rezolvare o adunare și o scădere.
La ultimul exemplu fiecare elev își poate manifesta independența în gândire, spiritul inventiv, ingeniozitatea, spontaneitatea gândirii, originalitatea.
8. Compuneri de probleme după formulă literală
Mecanismul gândirii este același ca la alcătuirea problemelor după formulă numerică, dar se face un pas către abstractizare și generalizare, adică spre gândirea specifică următoarei etape de dezvoltare intelectuală. Aici, elevii sunt puși în situația de a înlocui literele cu numere adecvate.
Din clasa I se pot alcătui probleme după formule literale simple:
a + b = c; a – b = c; a + b + c = d; a + b – c = d; a – b + c = d; a + (b + c) = d; (a + b) + (c + d) = e; a + (a + b) =c.
În clasele mai mari formulele literale se vor complica:
a = 29
b = a + 14
c = (a + b) + 47
a + b + c = ?
sau
a = 3
b = a x 6
c = a x b
a + b + c = ?
sau
a = b x 5
b = 8
c = a – b
a + b + c = ?
10. Complicarea treptată a unei probleme
Acest procedeu se poate folosi în perioada în care se trece de la probleme simple la probleme mai complicate, în clasele a III-a și a IV-a.
Se cere elevilor să adauge date și să completeze enunțul, fiind solicitați să creeze relații, să-și pună în valoare cunoștințele despre realitatea practică.
11. Compuneri de probleme de un anumit tip
Acest procedeu se poate folosi când elevii învață să rezolve probleme tipice, când ei înțeleg și știu să folosească algoritmul de rezolvare a problemei, care să fixeze în mintea lor regula sau procedeul de calcul.
De exemplu: ,,Compuneți o problemă care să se rezolve prin metoda figurativă.
12. Rezolvarea problemelor prin mai multe metode
Acesta este un mijloc eficient de antrenare a gândirii creatoare, care necesită o gândire logică bine dezvoltată, pentru a putea vedea raționamentul în întregime, pentru a putea găsi noi relații între aceleași cantități, mărimi, valori.
Fiecare variantă de rezolvare poate fi transformată în formulă numerică sau literală după care să se compună alte probleme.
13. Probleme ale căror soluții nu sunt unic determinate
Acestea se întâlnesc în viața practică, în producție, unde se cere găsirea tuturor posibilităților, compararea lor și luarea unor decizii.
Copiii trebuie obișnuiți să caute mai multe variante de rezolvare, respectând condițiile impuse. Acest tip de probleme duce la dezvoltarea gândirii probabilistice.
De exemplu:
a) Scrieți toate numerele posibile a căror sumă să fie 9.
b) Găsiți cât mai multe soluții pentru exercițiile: a + b = 6, a – b = 4, unde a<10. Alegerea valorilor unei necunoscute nu se face la întâmplare, ci trebuie să se încadreze în cerințele impuse de condițiile date. Lucrurile se pot complica introducându-se condiții suplimentare.
c) Introducerea variabilelor în operații cu numere
Se urmărește dezvoltarea spiritului de independență, consolidarea cunoștințelor referitoare la numere, operații cu numere, relații dintre numere.
Varietatea exercițiilor de acest fel contribuie la formarea deprinderilor de alcătuire a problemelor creative în care să se utilizeze proprietățile operațiilor (comutativitatea), scrierea numerelor ca o sumă sau diferență (simetria egalității), utilizarea parantezei în cazul adunării unui număr cu o sumă sau o diferență (asociativitatea).
De exemplu exercițiul de forma 5 + a = se poate rezolva dacă lui ,,a” i se dau anumite valori.
d) Exerciții de aflare a numărului necunoscut dintr-o relație de egalitate sau inegalitate
Exemple:
Găsiți numărul ce trebuie scris, astfel încât egalitatea să fie adevărată:
…. + 2 = 8
40 + …. = 90
…. – 50 = 20
e) Exerciții de sinteză cu mai multe operații:
● Găsiți numerele potrivite astfel încât propozițiile să fie adevărate:
5 + …. + 1 = 9
8 = 4 + 1 + ….
90 + 10 – …. = 3
● Rezolvați exercițiile aflând valoarea lui a:
1 + 2 + a < 7
a + 4 – 3 = 2
● Ce numere putem scrie în locul lui n astfel încât să fie adevărată inegalitatea?
n + 14 < 19
f) Exerciții pentru aflarea semnului operației:
Completați spațiile punctate cu unul dintre semnele învățate, pentru ca relațiile să fie adevărate:
2 x (3 + 6) …. 2 x 3 + 2 x 6;
17 – (2 + 9)…. 17 – 2 + 9.
14. Probleme în care căutarea soluției se face prin încercare-eroare-reglare
Pentru rezolvarea unei astfel de probleme, elevul trebuie să aleagă dintre mai multe variante pe cele mai potrivite. Pentru aceasta trebuie să formuleze ipoteze, să analizeze, să tragă concluzii, să descopere calea ce duce la rezultatul căutat. În această activitate se manifestă gândirea probabilistică și cea deductivă.
Exemplu:
Se dă exercițiul: 5 x 4 : 2 + 8 – 2
Așezați corespunzător paranteze pentru a obține pe rând, rezultatele: 40; 16; 48.
15. Probleme care se rezolvă prin strategii atipice descoperite de elevi
Pentru rezolvarea acestor probleme elevii trebuie să se îndepărteze de tentația de a aplica modele cunoscute. Ei trebuie să găsească strategia de rezolvare adecată specificului problemei. În această categorie se vor întâlni mai multe probleme de genul celor prezentate la punctele anterioare. Rezolvarea lor solicită flexibilitatea gândirii și capacitatea de adaptare mentală la noua situație descoperită.
Exemple:
a) Scrieți cel mai mic număr natural de 3 cifre diferite.
b) Care este cel mai mare număr natural de 3 cifre egale?
c) Efectuați înmulțirile într-o ordine care să ușureze calculele:
5 x 21 x 26 = ; 25 x 5 x 6 x 12 =
16. Probleme specifice de logică și perspicacitate
Acest tip de probleme este mai dificil. Este necesară o reflectare mai atentă asupra conținutului, selectarea cu precizie a întrebării, reținerea informațiilor care ajută la rezolvarea problemei.
Se dezvoltă gândirea logică, atenția, capacitatea de a descoperi pistele false, spiritul de inițiativă și observația, deprinderea de a lucra corect și rapid.
Exemple:
a) Câte degete sunt la o mână? Dar la două mâini? Dar la 10 mâini?
b) O punte rezistă la cel mult 70 kg. Un om care avea 69 kg și 800 g și ducea în mână două mere de 200 g fiecare, a traversat puntea dintr-o dată , fără să se rupă. Cum a procedat?
Răspuns: Din momentul în care a pășit pe punte și până a părăsit-o, a jucat merele aruncându-le în aer, în așa fel încât avea în mână doar un măr, celălalt fiind în aer.
Astfel nu a depășit greutatea admisă.
c) Cum am putea scădea pe 22 din 20, ca să obținem 88?
Răspuns:
XX – (cifre romane)
2 2
8 8
d) Zboară un cârd de gâște: o gâscă în față, două în spate, două în față, una între două și trei în șir.
Câte zboară în total?
Sfera procedeelor pentru compunerile de probleme și rezolvarea lor prin muncă independentă, nu este limitată. Scopul rămâne același: dezvoltarea creativității gândirii elevilor, asigurarea succesului spre domeniul cercetării științifice care se bazează, în primul rând, pe matematică.
Ritmul alert al rezolvarii competitiei in toate domeniile de activitate ne impune sa gandim repede si bine. Matematica contribuie, in foate mare masuta, la dezvoltarea gandirii logice, a spiritului de receptivitate, al rationamentului etc.
Daca elevul simte ca patrunderea in miezul notiunilor matematice, daca el traieste bucuria fiecarui succes, mare sau mic, toate aceste trairi cultiva interesul si dragostea pentru matematica. In cele ce urmeaza ma voi opri la cunostinte de matematica specifice clasei a-II-a.
De exemplu: sa descopere toate combinatiile de termeni cand se da suma a doua numere, respectiv factori cand se da produsul lor; sa se deduca tabla impartirii din tabla inmultirii, sa rezolve o problema in mai multe moduri etc.
Orice problema trebuie vazuta in alcatuirea ei concreta, ca o suita de actiuni, fapte de viata.Se recomanda ca primele probleme sa imbrace forma intamplarilor reale la care sunt pusi sa participe elevii.
“Nicu are 5 creioane colorate si Olguta ii mai da inca 3 creioane. Cate creioane are Nicu ?”(Olguta ii mai da lui Nicu 3 creioane). Introducerea problemelor compuse am facut-o treptat, regizand probleme actiuni de felul: “Ionut are 6 creioane colorate, iar Danut cu 3 creioane mai multe.Cite creoane are Danut?”
Asemenea probleme simple se transforma in probleme compuse, prin intrebarea: Cate creioane colorate au impreuna cei doi copii?
Elevii intampina greutati uneori pentru ca nu pot traduce relatiile din textul problemei in relatii matematice.
De asemenea, la rezolvarea urmatoarei probleme:”Sandel are 9 bomboane, iar Ramona de trei ori mai multe.Cate bomboane au in total?”
Cativa elevi au rezolvat-o gesind,luand pe 3 ca valoare numerica adaugata celeilante valori.
Aceste greseli se datoresc faptului ca elevii nu inteleg relatiile dintre marimile unei probleme.De aceea, am facut multe exercitii de precizare a limbajului matematic, a notiunilor:suma, diferenta, produs, cat si a relatiilor: cu atat mai mare ( mai mult) sau mai mic ( mai putin ), de atatea ori mai mult ( mai mare ), de atatea ori mai putin ( mai mic ).Exemplu:
1.Gaseste numerele:
a)cu 9 mai mare decat 5
b)de 9 ori mai mare decat 5
c)cu 7 mai mici decat 63
d)de 7 ori mai mici decat 63
Din suma numerelor 25si 7 scadeti diferenta numerelor 23 si 9.
La jumatatea numarului 12 adaugati sfertul numarului 16.
3.Adauga produsul numerelor 6 si 8 cu catul numerelor 36 si 4.
Aceste exercitii constituie o adevarata gimnastica a mintii si nu trebiue sa lipseasca din ora de matematica.
Atunci cand elevul stie sa transpuna in limbaj matematic exercitiile:”mai mult”, “mai putin”,”de atatea ori mai mult”,”de atatea ori mai putin2 ca fiind vorba de adunare,scadere,inmultire,impartire, el stie sa stabileasca corect operatia ceruta de relatia dintre datele unei probleme.Dupa multe exercitii de prcizare a limbajului matematic elevii au rezolvat corect problema ca in exemplul urmator.
“Nicu are 24 de timbre, Alex are cu 3 timbre mai multe decat Nicu, iar Adrian are de 3 ori mai putine timbre decat Alex.Cate timbre au in total cei trei copii?”
Le-am explicat elevilor ca nu totdeauna enuntul problemei duce direct la rezultat ca in cazul urmator:
Dupa ce a primit de la fratele ei 6 mere,Olguta are 14 mere.Cate mare a avut Olguta?
In acest caz, intre gandirea problemei si limbaj s-a introdus o contradictie.Problema trebuie sa se rezolve prin operatia de scadere , desi limbajul in care este redata sugereaza adunarea.
Activitatea de rezolvare a problemei contribuie la dezvoltarea gandirii
independente si creatoare.Copilul de varsta scolara mica adopta o atitudine creatoare atunci cand, pus in fata unei probleme, ii estructureaza datele si descopera calea de rezolvare intr-un mod personal.
Creativitatea gandirii nu se poate produce decat pe baza unor deprinderi corect formulate, tehnici de calcul, deprinderi de a stabili rationamente logice, un volum bogat de cunostiinte pentru a elabora un enunt cu continut realist.
BIBLIOGRAFIE
**** Gazeta Matematică Junior, nr.4, dec, 2010 , „Revistă de cultură matematică pentru clasele I-IV”, Editura Didactica Publishing House, București.
**** Învățământul primar, „Revistă dedicată cadrelor didactice”, nr. 1și 2, 1996, Editura Discipol, București.
**** Învățământul primar, 2001, „Revistă dedicată cadrelor didactice”, nr. 1, Editura Discipol, București.
Ana, D., Ana, M., Logel, D., Stroescu-Logel, E. 2005, „Metodica rezolvării problemelor de arimetică”, Editura Casa de Știință,Cluj-Napoca,.
Bocoș, M., 2003, „Cercetarea pedagogică, Suporturi teoretice și metodologice”, Editura Casa Cărții de Știință, Cluj-Napoca.
Bocoș, M., Jalba, G., Felegean, D., 2001, „Evaluare în învățământul primar. Aplicații practice”, Editura Casa Cărții de Știință, Cluj-Napoca.
Bocoș, M., 2007, „Teoria și practica cercetării”, Editura Casa Cărții de Știință, Cluj-Napoca.
Gagner R., 1979, „Condițiile învățării”, Editura Didactică și Pedagogică, București.
Ionescu, M. Radu, I., 1995, „Didactica modernă”, Editura „Dacia” Cluj Napoca.
Ionescu, M., 1995, „Didactica modernă”, Editura Dacia, Cluj-Napoca.
Ionescu, M., 2000, “Demersuri creative în predare-învățare”, Editura Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca.
Jurcău, N., 2004, „Pedagogie”, Editura U. T. Press, Cluj – Napoca.
Lupu C., Săvulescu, D., 1999, „Metodica predării matematicii”, manual pentru clasa a XI – a, Licee pedagogice, Editura Paralela 45, ediția a III – a.
Lupu, C., 1999, „Metodica predării matematicii”, manual pentru clasa a XII – a, licee pedagogice, ediția a II – a, Editura Paralela 45, Pitești.
Magdaș, I., Vălcan, D., 2008, „Didactica Matematicii în învățământul primar și preșcolar, Ghid de practică didactică”, Editura Casa Cărții de știință, Cluj – Napoca.
Mărgineanu, I., 1975, “Psihologia logică și matematica”, Editura Dacia, Cluj-Napoca.
Miclea, M., 1991, „Introducere în psihologia contemporană”, Editura Sincron, Cluj-Napoca.
Neveanu,P.P, Zlate,M., Crețu,T., 1990, „Psihologie” – manual, E.D.P. București.
Oprescu, N., 1977, “Educarea creativității elevilor în procesul de învățământ”, Revista de pedagogie, Nr.3.
Piaget, J., 1965, „Psihologia inteligenței”, Editura Științifică, București.
Piaget, J., 1932, „Limbajul și gândirea la copii”, Editura Științifică, București.
Piaget, J., Inhelder, B., 1968, „Psihologia copilului”, Editura didactică și pedagogică, București.
Piaget, Jean, 2005, „Psihologia copilului”, Editura Cartier.
Polya, G., 1965, „Cum rezolvăm o problemă”, Editura Științifică.
Polya, G., 1965, „Cum să realizăm o problemă”, Editura Științifică, București.
Polya, G., 1972, „Descoperirea în matematică”, Editura științifică, București.
Radu, I., 1991, „Introducere în psihologia contemporană”, Editura Sincron, Cluj-Napoca.
Radu, I., Ionescu, M., 1987, „Experiența didactică și creativitate”, Editura Dacia, Cluj-Napoca.
Salade, D., 1975, „Metodica activităților matematice în pedagogie”, Editura didactică și pedagogică, Cluj-Napoca.
Sarivan, L., Leahu, I., Singer, M., Stoicescu, D., Țepelea, A., 2005, „Predarea interactivă centrată pe elev” Bucuresti: Ministerul Educației si Cercetării – Unitatea de Management a Proiectului pentru Învățământul Rural
Șchiopu, U., 1967, „Psihologia copilului”, Editura didactică și pedagogică,București.
Vălcan, D., 2007, „Metodologia rezolvării problemelor de aritmetică”, Editura Casa Cărții de știință, Cluj – Napoca.
Vălcan, D., (coordonator), 2009, „Didactica matematicii în învățământul primar și preșcolar”, Casa Cărții de știință, Cluj-Napoca.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Dezvoltarea Operatiilor Gandirii Prin Compunerea Si Rezolvarea DE Probleme Matematice (ID: 113976)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.