Dezvoltarea Gândirii Logice a Elevilor Prin Rezolvarea Problemelor

PLANUL LUCRĂRII

INTRODUCERE

I.1. Dezvoltarea învățământului primar în condițiile

modernizării invățământului românesc

I.2. Importanța studierii matematicii în dezvoltarea

gândirii elevilor în ciclul primar

I.3. Actualitatea și motivarea temei

II. IPOTEZA ȘI OBIECTIVELE LUCRĂRII

II.1. Ipoteza lucrării

II.2. Obiectivele lucrării

III. METODE DE CERCETARE

III.1. Observația

III.2. Convorbirea

III.3. Experimentul pedagogic

III.4. Testul

III.5. Analiza lucrărilor elevilor

III.6. Evaluarea rezultatelor

IV. ASPECTE TEORETICE DE BAZĂ

IV.1. Gândirea – proces de cunoaștere

IV.2. Flexibilitatea gândirii

IV.3. Dezvoltarea gândirii logice la elevii din ciclul primar,

aspecte psihopedagogice

V. DESFĂȘURAREA CERCETĂRII

V.1. Conceptul de problemă

V.2. Etapele rezolvării problemelor

V.3. Valențe formative ale activității de rezolvare a

problemelor

V.4. Tipuri de probleme și metode de rezolvare

V.5. Aspecte metodice privind rezolvarea de probleme

V.6. Metode și procedee folosite în vederea cultivării

flexibilității gândirii elevilor prin rezolvarea

problemelor

VI.EVALUAREA ȘI INTERPRETAREA

REZULTATELOR

VII.CONCLUZII

PROIECTE DE LECTII

ANEXE

BIBLIOGRAFIE

I. Introducere

I.1. Dezvoltarea învățământului primar în condițiile modernizării învățământului românesc.

Ciclul primar reprezintă segmentul cel mai stabil al învățământului. Totodată acesta este și cel mai vechi sub raport istoric, dispunând de un corp didactic cu tradiții puternice și pozitive.

I.2. Importanța studierii matematicii în dezvoltarea gândirii elevilor în ciclul primar

Scopul esențial pe care îl urmărește învățământul matematic nu se reduce la latura informativă, ci prin predarea acestei discipline se realizează mai ales dezvoltarea raționamentului și a spiritului de receptivitate, a deprinderilor de gândire logică, de definire clară și precisă a noțiunilor de adaptare creatoare la cerințele

actuale.

I.

La clasele I – IV trebuie să punem bazele însușirii întregului sistem de cunoștințe matematice prin transmiterea noțiunilor fundamentale ale acestei științe, să dezvoltăm gândirea (logică) cu operațiile și calitățile ei

II. IPOTEZA ȘI OBIECTIVELE LUCRĂRII

II.1. Ipoteza lucrării

II. 2. Obiectivele lucrării

Obiectivul principal în activitatea ce o desfăsor îl constituie largirea cercului de cunoștințe, dezvoltarea flexibilității gândirii, a cretivității, spre a-i face pe copii capabili să se orienteze cu ușurință în cadrul situațiilor problematice, în rezolvarea problemelor

III. METODE DE CERCETARE

III.1. Observația

Această metodă presupune consemnarea sistematică și riguroasă, amănunțită și clară a tuturor proceselor, reacțiilor, formelor de conduită cuprinse în programul cercetării, care privește un anumit aspect (exemplu: gândirea și calitățile acesteia)

III. 2. Convorbirea

Convorbirea pe care cadrul didactic o are cu elevul vizează cunoașterea lumii interne având loc de la exterior la interior, prin confruntarea datelor existente la dispoziția cadrului didactic cu relatările pesonale ale copilului

III.3. Experimentul pedagogic

Această metodă este o modalitate nouă a învățării având ca scop optimizarea procesului educațional și constă în observarea fenomenelor într-o situație anume creată de cercetător;

III. 4. Testul, Analiza lucrărilor elevilor, Evaluarea rezultatelor

V. DESFǍȘURAREA CERCETǍRII

VI. Conceptul de problemă

Înțelegerea enunțului probleme

Analiza problemei și întocmirea planului logic

Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare

succesiunii din planul logi

E. Activități suplimentare după rezolvarea problemei

Ea constă în verificarea soluției problemei, în găsirea și a altor metode de rezolvare și de alegere justificată a celei mai bune. Este etapa prin care se realizează și autocontrolul asupra felului în care s-a însușit enunțul problemei, asupra raționamentului realizat și a demersului de rezolvare parcurs.

Chiar dacă rezolvarea unei probleme se face frontal sau prin activitate independentă, este posibil ca în șirul de raționamente, ca și în stabilirea algoritmului de rezolvare, precum și în efectuarea operațiilor indicate, să se strecoare erori care să conducă la altă soluție decât cea bună. În plus, prin utilizarea unor căi și metode diferite, se poate ajunge la soluții diferite sau la soluții ilogice (neconforme cu realitatea – de genul – vârsta tatălui este de…250 ani).

După rezolvarea unei probleme, se recomandă pentru a se scoate în evidență categoria din care face parte problema – fixarea algoritmului ei de rezolvare, scrierea (transpunerea) datelor problemei și a relațiilor dintre ele într-un exercițiu sau, după caz, în fragmente de exercițiu. Prin rezolvarea de probleme asemănătoare, prin compunerea de probleme, cu aceleași date sau cu date schimbate, dar rezolvabile după același exercițiu, învățătorul descoperă cu elevii schema generală de rezolvare a unei categorii de probleme. Este o cerință care nu duce la schematizare, la fixitatea sau rigiditatea gândirii, ci din contră, la cultivarea si educarea creativității, la educarea sistematică a intelectului elevilor. Procesul de rezolvare a problemelor antrenează în sistem elementele ajunse la automatizare, dar mai corelează elemente a căror acțiune trebuie să rămână în permanență sub controlul conștiinței. Abilitățile matematice de care depinde rezolvarea problemelor sunt fie cu caracter general, adică intră în acțiune la rezolvarea oricărei probleme (cum ar fi orientarea asupra datelor, punerea în legătură a acestora, diferențierea cunoscutelor de necunoscute), fie specifice și se aplică la probleme tipice, ori la detaliile acțiunilor (procedee de calcul) și care, în acest caz au statut de deprinderi.

Sarcina principală a învățătorului când pune în fața elevilor o problemă este să-i conducă pe aceștia la o analiză profundă a datelor, analiză care să le permită o serie de reformulări, care să îi apropie de solutie. Necesitatea analizei riguroase a datelor este cu atât mai mare în clasele mici, cu cât știm că elevul întâmpină dificultăți în această direcție, în special datorită lipsei unei vederi de ansamblu (a perspectivei) asupra problemei- și conștientizării întregului raționament de rezolvare a acesteia. Tendința elevului de a lega datele problemei în ordinea succesivă pe care i-o oferă enunțul conduce la rezultate greșite, îndeosebi când ordinea rezolvării nu coincide cu ordinea datelor din enunț.

Analiza profundă a datelor problemei trebuie să-l conducă pe elev la desprinderea de concret, la transpunerea situației concrete pe care o prezintă problema în relații matematice. Renunțarea la elementele concrete șî înlocuirea acestora cu expresii potrivite fac posibilă schematizarea problemei- deci pasul necesar spre generalizare.

O altă sarcină a învățătorului este să-l ajute pe elev să cuprindă imaginea de ansamblu a problemei. Elevul trebuie să treacă de la fragmente la tot, de la relații dintre perechi de date la întregul film al rezolvării, care este dinamic și îmbină după o logică riguroasă fragmentele.

O problemă este mai dificilă cu cât ea diferă mai mult de problemele rezolvate anterior, deci cu cât situația noua cere o restructurare mai profundă a experienței anterioare. Dat fiind faptul că posibilitățile școlarului mic de folosire a cunoștințelor și de raportare a relațiilor vechi la cele noi sunt încă insuficient dezvoltate, acțiunile principale ale învățătorului trebuie să fie orientate în această direcție. Deoarece elevul nu sesizează ansamblul problemei, nu prinde sau pierde ideea care l-ar duce la rezolvare, nu își dă seama rapid în ce mod poate folosi rezultatele parțiale, activitățile pregătitoare și de rezolvare ale învățătorului trebuie să urmărească înțelegerea de catre elevi a specificului rezolvării prin crearea unui mod simplu de rezolvare pentru problemele care, deși par diferite, au în esență aceeași structură.

V.3. Valențe formative ale activității de rezolvare a problemelor

Procesul de învățare continuă este esential atât în viața individuală cât și în cea socială. El a permis și permite omului să stabilească toate treptele evoluției sale și să ajungă pe această înaltă culme a progresului și civilizației umane. Orice învățare prezintă o nouă achiziție, o finalitate, adesea un complex de finalități, enunțate de obicei prin experiența caștigată.

A pregăti copilul pentru a-și însuși, în procesul invățării matematice, valori științifice și a se bucura astfel de fructele cunoașterii omenești, în interesul lui și al semenilor săi, înseamnă a-l angaja la o activitate perseverentă și răbdătoare de cunoaștere.

În procesul învățării, elevul câștigă cunoștințe, ori astăzi în mileniul III, când are loc această revoluție în toate domeniile de activitate, când are loc un adevărat asalt informațional, când ceea ce învățăm s-ar putea sa nu mai fie valabil mâine, se impune trecerea de la informare la formare, de la memorarea și reproducerea mecanică de date la dezvoltarea minții și a puterii de judecată. Se impune deci o învățare productiv creatoare prin care elevul să participe cu întreaga sa personalitate, cu toate laturile și funcțiile sale: cognitivă, afectivă, volitivă. Activitatea elevilor în cadrul lecțiilor de matematică, pe măsura capacităților potențiale și în conformitate cu legile lor biologice, am întreprins-o cu scopul de a forma indivizi cu personalitate creatoare, capabili și dornici să se autorealizeze.

Cercetările întreprinse de P.J.Galperin și J.Piaget, au pus în evidență faptul că formarea concepțiilor are loc pe baza interiorizării unor acțiuni, adică pe baza trecerii de la acțiuni externe cu obiectele, la acțiuni interne ce se desfășoară pe plan mintal cu ajutorul limbajului. Astfel gândirea ne apare ca un joc de operații și nu o simplă asimilare de imagini și noțiuni. A forma gândirea înseamnă a forma operații, iar a forma operatii înseamnă a elabora sau constitui în acțiuni și prin acțiune.

Rezolvarea problemelor pune la încercare în cel mai înalt grad capacitățile intelectuale ale elevilor, le solicită acestora toate disponibilitățile psihice, în special inteligența, motiv pentru care în ciclul primar se acordă o mare importanță rezolvării problemelor de matematică. Valoarea formativă a rezolvării de probleme sporește, pentru că participarea și mobilizarea intelectuală a elevilor la o astfel de activitate este superioară altor demersuri matematice, elevii fiind puși în situația de a descoperi ei înșiși modalitățile de rezolvare, de a formula ipoteze și de a le verifica, de a face asociații de idei, corelații inedite.

La elevi se formează priceperea de a analiza situația dată de problemă (valorile numerice, relațiile cunoscute) și „a descoperi” calea prin care să obțină ceea ce se cere în problemă. Aceasta duce la dezvoltarea gândirii, la formarea limbajului matematic, la educarea perspicacității și a spiritului de inițiativă.

Dar nu numai procesele de cunoaștere sunt mobilizate în rezolvarea unei probleme, ci întreaga personalitate a celui ce rezolvă problema în toate coordonatele ei raționale, afective, volitive. Nu se lucrează în matematică numai cu mintea. Pasiunea matematică este motorul activității. Un rol important al profesorului este să călăuzească activitatea celui care învață în așa fel încât acesta să resimtă farmecul, atracția, specifice acestei activități. Nu numai să-l ajute să înteleagă, ci să-l ajuforma operații, iar a forma operatii înseamnă a elabora sau constitui în acțiuni și prin acțiune.

Rezolvarea problemelor pune la încercare în cel mai înalt grad capacitățile intelectuale ale elevilor, le solicită acestora toate disponibilitățile psihice, în special inteligența, motiv pentru care în ciclul primar se acordă o mare importanță rezolvării problemelor de matematică. Valoarea formativă a rezolvării de probleme sporește, pentru că participarea și mobilizarea intelectuală a elevilor la o astfel de activitate este superioară altor demersuri matematice, elevii fiind puși în situația de a descoperi ei înșiși modalitățile de rezolvare, de a formula ipoteze și de a le verifica, de a face asociații de idei, corelații inedite.

La elevi se formează priceperea de a analiza situația dată de problemă (valorile numerice, relațiile cunoscute) și „a descoperi” calea prin care să obțină ceea ce se cere în problemă. Aceasta duce la dezvoltarea gândirii, la formarea limbajului matematic, la educarea perspicacității și a spiritului de inițiativă.

Dar nu numai procesele de cunoaștere sunt mobilizate în rezolvarea unei probleme, ci întreaga personalitate a celui ce rezolvă problema în toate coordonatele ei raționale, afective, volitive. Nu se lucrează în matematică numai cu mintea. Pasiunea matematică este motorul activității. Un rol important al profesorului este să călăuzească activitatea celui care învață în așa fel încât acesta să resimtă farmecul, atracția, specifice acestei activități. Nu numai să-l ajute să înteleagă, ci să-l ajute să simtă. Pentru înțelegere, profesorul poate fi înlocuit de un text bun. Profesorul adevărat, neidentificabil cu un text, are și rolul călăuzirii sentimentelor, a sentimentelor intrinseci, proprii în mod natural activității matematice.

Apariția ideii în rezolvarea problemei este în esență un act de descoperire cu toate implicațiile lui psihice.

Nu întotdeauna efortul făcut pentru a rezolva o problemă este încununat de succes. Se întâmplă de multe ori ca elevul să nu descopere modul de rezolvare, să nu poată răspunde la întrebarea problemei; elevii trebuie educați în sensul de a nu ceda până nu ajung să rezolve problema. Reluarea muncii și ducerea ei până la capăt constituie un bun exercițiu pentru educarea voinței, a dârzeniei, a perseverenței.

Tehnica rezolvării problemelor de aritmetică nu se poate obține decât printr-o muncă susținută, bine organizată. Deseori, începătorii în studiul aritmeticii nu se preocupă să descopere într-o problemă, în structura ei interioară, particularitatea esențială care o apropie de un grup de probleme ce se pot rezolva după o aceeași schemă.

Privitor la problemele propuse spre rezolvare elevilor, este necesar ca acestea să fie ordonate după gradul lor de dificultate, să aibă enunțul clar și concis formulat, ținând sema de nivelul intelectual al rezolvitorului și mai ales de gradul său de pregătire.

Prin conținutul lor, reflectând aspecte ale activității oamenilor, rezolvarea problemelor contribuie la aplicarea în practică a cunoștințelor matematice dobândite.

Rezolvarea problemelor exercită o influență formativă asupra elevilor pe tot parcursul studierii matematicii. Cu cât înaintăm spre clasele mari, cu atât mai mult acestea se referă la formarea unei gândiri profunde și perspicace, a exactității și corectitudinii, a dârzeniei, a spiritului de inițiativă, a independenței.

Rezolvarea problemelor constituie activitatea matematică cea mai bogată în valențe formative, în ea concretizându-se întreaga experiență dobândită de elev, atât în studierea și cunoașterea numerelor cât și a calculului, acestea devenind elemente auxiliare în rezolvarea problemelor.

Bogatele valențe formative al activității de rezolvare a problemelor nu se valorifică de la sine, în mod spontan. Lăsată pe seama spontaneității, eficiența formativă a rezolvării problemelor este limitată și se poate dirija în direcții negative, dacă se pot forma unele priceperi și deprinderi care frânează dezvoltarea gândirii și a atitudinii independente a elevilor. De aceea este necesară o preocupare permanentă din partea învățătorului pentru valorificarea valențelor formative ale activității de rezolvare a problemelor și de sporire a eficienței formative a acestei activități.

Ținând seama de cerințele psihologice și de noua viziune didactică am conceput în clasa I un panou sub denumirea de „Problema ilustrată”. Prin posibilitatea de a reprezenta în prim plan datele problemei ilustrate, procesul gândirii analitico-sintactice la elevi iese în evidență în forma simplă.

Astfel, elevului nu-i rămâne decât să transforme rezultatele activității intelectuale de pe plan senzorial în activitate operațională pe plan abstract, prin utilizarea algoritmilor dobândiți prin intermediul unei scheme ceea ce reprezintă raționamentul problemei.

Raționamentul problemei ca rezultat al abstractizării și generalizării în procesul de cunoaștere este reprezentat printr-un model ideal simplu în cazul problemelor cu o singură operație, evidențiind legătura reciprocă și împletirea lor, în rezolvarea problemelor cu mai multe operații, în diferite etape de studiu de-a lungul anilor de școlarizare.

Pentru a demonstra posibilitatea de a reprezenta în aceeași imagine cele două acțiuni (concretă și abstractă) prin intermediul panoului „Problema ilustrată”, voi exemplifica prin câte o problemă simplă și compusă la clasele I și a III-a.

Exemplul 1: Clasa I

Într-o pungă sunt 3 pere și mere cu 2 mai multe decât pere.

Câte mere sunt în pungă? (figura 1)

Figura 1

Exemplul 2: Clasa I

Același text dar cu întrebarea schimbată.

Câte fructe sunt în pungă? (figura 2)

Figura 2

Exemplul 3: Clasa a III-a

La o cantină școlară s-au adus cu primul transport 10 litri de lapte,

iar în cel de-al doilea transport de 2 ori mai mult.

Câți litri de lapte s-au adus în al doilea transport? (figura 3)

Figura 3

Exemplul 4: Clasa a III-a

Același text, dar cu întrebarea schimbată.

Câți litri de lapte s-au adus în total? (Figura 4)

Figura 4

După ce elevii s-au familiarizat cu limbajul matematic specific operațiilor artitmetice ca urmare a înțelegerii relatiei dintre date, text și întrebare, prin intermediul acțiunii, rezolvarea problemelor dobândește un caracter abstract. Elevii au simțit cu atât mai mult utilitatea calculului cu cât ei au formulat probleme pe baza unor calcule efectuate sau a unor relatii prezentate prin simboluri literale. Astfel, după ce au rezolvat un gen de exerciții ca 13 + 4 sau 15 – 2 + 6, elevii au fost solicitați să compună o problemă care să se rezolve prin acest calcul. Si mai mult a fost solicitată gândirea lor creatoare atunci când li s-a cerut să elaboreze probleme al căror principiu de rezolvare să fie relațiile indicate prin simboluri literale din formula dată: (a+b) sau (a+b+c).

Exemplu:

Ionel a cumpărat 4 caiete, iar fratele său 5 caiete. Câte caiete au cumpărat împreună?

4+5=9 (caiete) – când se încadrează în formula a+b

Aceeași problemă complicată puțin se încadrează în formula a+b-c

Exemplu:

Ionel a cumpărat 4 caiete, iar fratele său 5 caiete. Copiii au dat din toate caietele 3 unui coleg. Câte le-au mai rămas?

4+5-3=6 (caiete) (a+b-c)

De asemenea, încă din clasa I, elevii au învățat că după rezolvarea problemei să extragă principiul ei de rezolvare într-o formulă literală cu caracter general.

Exemplu:

Într-o lădiță erau 12 portocale, iar în altă lădiță erau cu 3 portocale mai mult. Câte portocale erau în ambele lădițe?

După rezolvarea ei obișnuită se extrage 12 + (12 +3) = 27, care se încadrează în formula a + (a+b).

În cadrul problemelor cu mai multe operații la clasele a III-a și a IV-a, schema devine mai complexă și mai mobilă în raport cu gradul de dificultate al problemelor.

Schema ca rezultat al unei învățări active ușurează procesul de rezolvare a unor probleme prin folosirea calculelor neefectuate anterior sub formă de exerciții combinate.

Spre ilustrarea celor relatate voi exemplifica câte un caz de problemă la clasele a III-a și a IV-a.

Exemplu: (la clasa a III-a)

„Într-o livadă sunt 10 rânduri de pruni cu câte 135 de pomi pe rând, 15 rânduri

de meri cu câte 100 de pomi pe rând, iar restul până la 4000 de pomi sunt cireși. Câți pomi de fiecare fel sunt în livadă?”

Schema

a ? b ? c ? d

4000 135 x 10 15 x 100 a – (b+c)

4000 – (135 x 10 + 15 x 100) = 1150 (d)

Exemplu : (la clasa a IV-a)

„Într-un siloz al unei ferme erau 1536 tone cartofi. Într-o zi s-au transporat 1/4 la piață, iar a doua zi 3/8 din toată cantitatea.

Câte tone de cartofi au rămas în siloz?”

a ? b ? c ? d

1536 a : 4 a : 8 x 3 a – b – c

Rezolvarea sub formă de exercițiu:

1536 – (1536 : 4) – (1536 : 8 x 3) = 576 (d)

Pentru calcularea produsului m-am folosit de exemplul:

„Într-o livadă sunt 7 rânduri de meri și 9 rânduri de peri, în fiecare rând existând câte 8 pomi. Câți pomi sunt în livadă?”

Respectând metodologia rezolvării problemelor, elevii au observat că rezultatul poate fi scris (7 x 9) x 8 sau 7 x (9 x 8). Această egalitate, (7 x 9) x 8 = 7 x (9 x 8), arată că la înmulțirea cu trei factori se poate proceda în două moduri.

– înmulțim primul factor cu al doilea și rezultatul îl înmulțim cu al treilea;

– înmulțim al doilea factor cu al treilea și rezultatul îl înmulțim cu primul.

Pentru impărțirea prin cuprindere :”Dintr-un bidon de 10 litri în câte sticle putem pune câte 2 litri?”

Pe baza acțiunii concrete am stabilit cu elevii că punem câte 2 litri în sticle până se termină lichidul din bidon. Am constatat că sunt necesare 8 sticle – numărul acesta ne arată câte grupe de câte 2 litri se pot forma din cei 16 litri aflați în bidon. Vom zice că 2 se cuprinde în 16 de 8 ori scriind 16 : 2 = 8.

Pentru împărțirea în părți egale: „Într-un coș sunt 16 mere. Ele se distribuie în mod egal la 2 copii. Cate mere va primi fiecare copil?”

Tot prin acțiune practică am observat că fiecare copil a primit câte 8 mere ceea ce arată că s-au luat de 2 ori câte 8 mere din cele 16 mere din coș. Astfel spus, 2 se cuprinde în 16 de 8 ori.

Altă latură formativă a rezolvării de probleme constă în fatul că prin intermediul acestora elevii ajung să înțeleagă cele mai simple corelații dintre diferite mărimi care se întâlnesc des în viață: viteză, timp, distanță, cantitate, valoare. În acest sens găsim exemple în manualele de matematică.

„Pentru a parcurge distanța dintre două orașe un motociclist a străbătut o porțiune din traseu mergând cu o viteză de 50 km/oră. După 3 ore de mers a constatat că mai sunt 35 km până la destinație.

Ce distanță este între cele două orașe?”

Se observă cu ușurință cele trei mărimi- viteză, timp, distanță – că nu se poate răspunde la întrebare dacă nu sesisează legătura:

v x t= d ; d : v = t

Relația preț – valoare:

„Un țăran a recoltat din livada 950 kg de cireșe și cu 326 kg mai puține vișine. El a vândut fructele la piață cu 150 de lei kg de cireșe și cu 200 lei kg de vișine. Din banii obținuți el a depus la bancă 120.000 de lei, iar restul i-a împățit celor trei fii ai săi în mod egal. Câți lei a primit fiecare fiu?”

Relația lungime – lățime – perimetru:

„Lungimea totală a unui teren de formă dreptunghiulară este de 800 m. Lățimea este de 3 ori mai mică decât lungimea terenului. Câți metri are lungimea și câți metri are lățimea terenului?”

Elevii o pot rezolva folosindu-se de relația P = (L + l) x 2, problema fiind pentru clasa a III-a.

Rezolvându-se problema se aprofundează, se consolidează, se clarifică cunoștințele însușite – exemplu la capitolul „Fracții”.

„Trei frați au cules împreună un coș cu zmeură. Fratele cel mare a cules singur jumătate din coș, iar cel mic un sfert din cât au cules împreună ceilalți doi. Câte căni de zmeură a cules fiecare dacă pentru umplerea coșului sunt necesare 40 de căni?”

Consolidarea cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor însușite despre unitățile de măsură:

„Perimetrul unui dreptunghi este de 600 dam. Calculați dimensiunile sale dacă:

– lungimea este cu 120 m mai mare decât lățimea;

– lățimea este de două ori mai mică decât lungimea.’’

Din exemplele date rezultă că lecția de rezolvare a problemelor capata o nouă orientare și noi valențe formative ca urmare a sporirii caracterului formativ al procesului învățării.

a) Judecata problemei ca acțiune de înțelegere a relațiilor dintre date, text și întrebare concretizeaza prin schemă ca rezultat al învățării, prin descoperire, problematizare și algoritmizare, prin solicitarea funcțiilor de flexibilitate și creativitate a gândirii elevilor.

b) Rezolvarea problemei ca acțiune operațională specifică formării și perfecționării algoritmilor matematici având ca element de sprijin raționamentul problemei, ilustrat prin judecăți parțiale, prin elementele componente ale schemei.

Judecata problemei ca moment prioritar în predarea și rezolvarea problemelor matematice din acțiune verbală după sistemul tradițional capătă caracter intuitiv, ceea ce ne dă posibilitatea să verificăm și să cunoaștem gradul de funcționalitate al gândirii elevilor precum și ritmul calculului matematic în activitatea independentă a elevilor.

Lecția prin noul concept, pe lângă faptul că își sporește caracterul practic aplicativ, are și calitatea de a dirija atenția elevilor în direcții precise în funcție de sarcinile specifice ale fiecărui moment al lecției.

În rezolvarea unei probleme, în mod conștient, elevul depune un efort, își mobilizează procesele psihice, în primul rând gândirea. Deci una din valențele educative ale rezolvării de probleme este dezvoltarea gândirii cu operațiile sale (analiza, sinteza, comparația, abstractizarea, profunzimea și rapiditatea). Prin rezolvarea de probleme activitatea gândirii se manifestă cu precădere si în acest proces de depășire a obstacolelor cognitive, ea își mobilizează maximal resursele (informații, capacități) demonstrându-și posibilitățile de performanță. În funcție de felul cum este organizată, orientată activitatea de rezolvare de probleme poate duce la dezvoltarea gândirii logice dar și la formarea unei gândiri rigide (șablon), lucru mai puțin de dorit pentru cerintele actualului stadiu de dezvoltare a societății românești.

Problemele școlare necesitând cunoștințe de matematică, de fizică, geometrie etc., aparțin din punct de vedere psihologic „problemelor simbolice”. Aceasta pentru că elevii le rezolvă acțional, rezolvare ce implică în mod obligatoriu limbajul interior sau exterior. În manualul de matematică întâlnim probleme de acest gen.

Exemplu: clasa a IV-a

„Într-un lac cresc nuferi. Ei își dublează în fiecare zi mărimea (suprafața ocupată). După 10 zile, jumătate de lac este plină. După câte zile se umple întregul lac?”

Analizând modul în care elevii rezolvă asemenea probleme, ies în evidență o serie de caracteristici ale gândirii. Cheia reușitei în rezolvarea problemelor este ordonarea și sistematizarea informațiilor de care dispune elevul, selecționarea lor, reținerea acelora care duc spre soluție și eliminarea critică a tot ce este inutil.

În manualele de matematică există probleme care pun accent pe gândirea logică. În aceste cazuri procedând după un sistem bine gândit, anticipând diferitele variante de rezultate probabile, vom ajunge mai repede la soluție decât atunci când vom face încercări la întâmplare.

Pentru exemplificare dăm unele probleme de matematică pentru clasele I – IV:

– pentru clasa I:

„Punctajul înscris pe o țintă de tir arată astfel:

Câte puncte se pot obține din două lovituri?” (scrie 5 posibilități)

– pentru clasa a II-a:

„Într-o cutie sunt figuri geometrice decupate din carton, numai triunghiuri și cercuri. Știind că în cutie sunt 7 figuri în formă de cerc, iar numărul figurilor roșii este 6, care este cel mai mic număr de figuri geometrice ce pot fi în cutie? Dar cel mai mare?”

– pentru clasa a III-a:

„Mihai, Gheorghiță și Sandu trimit fiecare câte o scrisoare colegilor lor Viorel, Andrei, Cristian și Doru.

a) Aflati câte plicuri au folosit, efectuând: două adunări; trei adunări, o înmulțire.

b) Verificați rezultatul formând toate perechile expeditor- destinatar și numărându-le, comparați numărul acestor perechi cu cel al plicurilor”.

– pentru clasa a IV-a:

„Un melc cade într-o fântână adâncă de 18 metri. El vrea să iasă afară. Ziua se târăște spre ieșire cu 3 metri, iar noaptea alunecă înapoi cu 1 metru.

A câta zi iese melcul afara?”

Urmărind strategiile elaborate de elevi în rezolvarea problemelor am constatat că elevii începători elaborează strategii simple, la întâmplare, nu elaborează strategii strict logico- matematice.

În clasele I și a II-a elevul nu dispune nici de mijloace mintale eficiente, le lipsește experiența bogată care să le ofere „idei” în privința căutării de soluții. Odată cu acumularea experienței școlare, prin rezolvarea unor probleme similare crește capacitatea de a lucra mai sistematic. În acest caz, exercițiul, „antrenamentul”, joacă un rol hotărâtor. Psihologii afirmă pe drept cuvânt că nu există metode „naturale” care să apară spontan în rezolvarea problemelor. Elevul învață metodele de rezolvare a problemelor așa cum învață multe alte lucruri, iar practica ne arată că prin exerciții multilaterale și cu grade de dificultate diferite, el capată și capacitatea de a fi cât mai sistematic în rezolvarea de probleme. Rezolvarea de probleme duce la dezvoltarea caracterului critic al gândirii. Începând din primele clase dezvoltăm la școlarii mici însușirile gândirii critice. Acum se pun bazele „atitudinii critice” față de cunoștințele însușite, mai intâi, apoi față de faptele, acțiunile, conduita celor din jur și apoi față de cea proprie.

La școlarii mici se disting două forme:

– gândire critică legată de rezolvarea diferitelor probleme și sarcini școlare;

– gândire critică legată de evaluarea și reglarea faptelor de conduită la alții și la sine însuși.

Desigur, prin rezolvarea de probleme, în procesul analizei, aprecierii și rezolvării se evidențiază prima fază de gândire critică. Aici, se analizează critic probleme pentru a vedea datele acesteia, relațiile dintre acestea, se verifică ideea emisă, se confruntă cu modul de lucru al altor elevi, se apreciază modul de lucru. Prin acestea se urmărește stabilirea gradului de corectitudine în efectuarea acestor sarcini școlare.

Prin educarea acestei laturi a gândirii critice am folosit:

– probleme cu condiția insuficientă pentru a putea determina necunoscuta prin care am urmărit dacă sesizează lipsa unor date numerice necesare rezolvării problemei în mod corect la început, pe parcursul încercărilor greșite sau nu sesizează deloc acest lucru efectuând operațiile aritmetice cu datele existente (lucru ce nu duce la obținerea unor răspunsuri la cererea emisă de problemă).

Iată câteva exemple: – pentru clasa I:

„ Intr-o livadă sunt 23 de meri și 32 de peri. Câți cireși sunt în livadă?”

– pentru clasa a II-a:

„ Elevii clasei a II-a B au participat în 3 zile la strângerea recoltei. În prima zi au participat 161 de elevi, iar în a doua zi 234 de elevi.

Câți elevi au participat în a treia zi?”

– pentru clasa a III-a:

„ Din 34 de metri de pânză se fac 6 cămăși și 4 halate.

Câți metri de pânză se folosesc la un halat?”

– pentru clasa a IV-a:

„ Pentru împrejmuirea unei grădini de zarzavat în formă de dreptunghi, cu un gard format din 3 rânduri de sârmă s-au folosit 900 metri de sârmă.

Care este lungimea grădinii?”

După ce elevii au sesizat că din probleme lipsesc date sau relații fără de care nu se poate rezolva problema, le-am cerut să le completeze ei în funcție de datele cunoscute și de întrebarea problemei.

Începând de la primele rezolvări de probleme am pus în fața lor sarcina de a rezolva probleme fără întrebare, în care nu se formulează direct sau indirect cerința care decurge în mod logic din enunțul ei.

În acest caz am urmărit dacă elevii pot formula corect cerința problemei. Am observat că dacă elevul sesizează relația dintre datele problemei, va sesiza și cerința ce se ascunde în enunțul ei. Punându-i pe ei să formuleze cerința problemei, am

urmărit să dezvolt la ei capacitatea de a face o analiză critică a enunțului problemei

care condiționează rezolvarea corectă a acesteia.

Spre exemplu următoarea problemă din clasa a III-a:

„ La o cantină s-au adus struguri: 3 lăzi a câte 30 kg și 6 lăzi a cate 45 kg fiecare. Din acestea s-au consumat 290 kg.

puneți întrebarea și rezolvati corect problema;

puneți problema sub formă de exercițiu.

O altă problemă (de matematică) cu date „redundante” solicită din partea elevilor alegerea corectă a două date din trei. Datele de prisos creează posibilitatea de a stabili în mod greșit raportul dintre datele problemei, o sinteză greșită. Am folosit acest gen de probleme cu scopul de a cultiva la elevi o gândire critică ce se exprimă prin: sesizarea datelor numerice de prisos odată ce elevul se familiarizează cu conținutul problemei, preîntâmpinându-și greșelile cu aceste date, sau constatarea greșelilor de calcul cu aceste date și eliminarea lor din problemă pe calea „încercărilor” nereușite de rezolvare a acestora.

„ La un aprozar s-au adus 268 kg de roșii și ardei. În prima zi s-au vândut 127 kg de roșii si cu 20 kg mai mult ardei.

Câte kg de ardei s-au vândut? „( pentru clasa a II-a).

Cea de a doua formă a gândirii critice, legată de însușirile de personalitate și conduită ale elevilor poate fi dezvoltată prin valorificarea la lecție a unor posibilități de autoapreciere. Aceasta se realizează prin alegerea liberă a problemelor de matematică în funcție de gradul lor de dificultate, dar și de posibilitățile elevilor.

La multe lucrări de control s-au dat elevilor subiecte diferite ca grad de dificultate, fiecare subiect fiind evaluat cu un anumit calificativ. De exemplu, o astfel de evaluare a cunoștințelor la clasa a III-a ( vezi anexa 3):

Prin acest mod de lucru, utilizat fie la sfârșitul unei unități de învățare, sfârșitul unui semestru sau an școlar, ne dam seama dacă elevul confruntă nivelul său de aspirație cu gradul de dificultate al problemelor pe care le alege, deci de autoapreciere corectă, adică dacă ținând seama de posibilitățile sale intelectuale alege problemele corespunzătoare.

Acest mod de lucru permite evidențierea la elevi a particularităților autoaprecierii care pot fi: autoapreciere critică, când elevul își cunoaște performanța școlară, subaprecierea autocritică, când elevul manifestă neîncredere în forțele proprii și supraapreciere necritică, când elevul este încrezut. La ultimele două cazuri, adică subaprecierea și supraaprecierea, elevii nu-și cunosc posibilitățile lor în funcție de plusurile sau lacunele bagajului de cunoștințe. Acest lucru îi împiedică în reușita lor școlară.

Prin aceasta răspundem la una din întrebările majore ale omului actual, problema îmbunătățirii propriului său mod de a gândi.

Pentru a dezvolta acest proces cognitiv, modalitatea cea mai ușoară este de a transforma enunțul problemelor compuse în enunțul unor probleme simple, recent rezolvate.

Am folosit acest procedeu de lucru pas cu pas.

Exemplu la clasa I:

– pasul I- problema simplă

„ In parcul școlii elevii au sădit 30 de lalele și 56 de panseluțe.

Câte flori au sădit în total?”

– pasul al II-lea: problema simplă, dar cu grad sporit de dificultate

„ În parcul școlii elevii au sădit 30 de lalele și cu 56 mai multe panseluțe.

Câte flori au sădit în total?”

Prin discuțiile purtate cu elevii, ținand seama de experiența acumulată în

rezolvarea problemelor anterioare am desprins concluzia că sunt două probleme simple:

,,În parcul școlii elevii au sădit 30 de lalele și cu 56 mai multe panseluțe”.

,,În parcul școlii elevii au sădit 30 de lalele și…panseluțe”.

Lucrând astfel am considerat să dezvolt gândirea elevilor respectând totodată și regulile didactice elementare: trecerea de la cunoscut la necunoscut, de la simplu la complex, de la ușor la greu.

Deci, rezolvarea de probleme dezvoltă gândirea, o disciplinează, îi dă un caracter riguros științific, o obișnuiește să lucreze cu date. Toate acestea deschid calea de rezolvare a problemelor puse de viață în fața fiecărui om.

Problemele de matematică pun la dispoziția elevului un limbaj care exprimă cu precizie ideile cele mai abstracte, comunică informații foarte complexe într-o manieră clară și concisă. Deci, problemele contribuie la dezvoltarea limbajului matematic.

Toate cele prezentate privesc în primul rând pe elevii din clasele mici unde se pun bazele formării trăsăturilor morale și de caracter ale omului, unde activitatea rezolvării problemelor are un efect formativ mai evident.

Eficiența formativă a rezolvării de probleme nu trebuie lăsată pe seama spontaneității deoarece ar fi limitată și ar avea un efect negativ în sensul că ar frustra dezvoltarea gândirii și atitudinii independente a elevilor.

Învățătorul care pune temelia inteligenței copilului, trebuie să știe care este rolul problemelor și să le folosească ca atare.

În activitatea de la clasă n-am cerut elevului să rezolve o problemă, să dea răspunsul numeric, ceea ce ar subîntelege rezolvarea, ci am urmărit ca el să ințeleagă sensul problemei, să fie în stare să explice legătura dintre date cu propriile lui cunoștințe și în ultimă instanță să o rezolve.

Am ajuns la concluzia că în fața noastră, a învățătorilor, trebuie să stea permanent în vedere rolul tridimensional al rezolvării de probleme- instructiv- educativ- practic- nici una nu trebuie neglijată. M-am preocupat să găsesc căi și modalități eficiente, momentul cel mai propice al lecției în care să intervin cu o sarcină care să ridice “probleme” și să-l mobilizeze pe elev la toate eforturile pentru a rezolva după un efort propriu.

V.4. Tipuri de probleme și metode de rezolvare

Mulți învață matematică din necesități conjuncturale, în general, și mai ales în special pentru a face față exigenței diferitelor examene. Puțini sunt aceia care o fac din plăcere, din pasiune.

Elevii își formează deprinderi de calcul oral sau scris, îsi însușesc anumite tehnici de calcul, dar „poezia matematicii” – plăcerea de a descifra și de a „reciti” ca pe o poezie cu multiple și uneori ascunse sensuri despre viață și univers, numai rezolvarea de probleme o realizează deplin.

În capitolul precedent am arătat valoarea formativă a rezolvării de probleme, dezvoltarea gandirii și a capacității de utilizare a ei în situații problematice, insă acestea, la care putem adăuga înțelegerea esenței matematicii, nu se pot realiza fără voință, perseverență, fermitate, tenacitate și pasiune.

Acestea se realizează numai prin măiestria de care dă dovadă învățătorul, prin metodele și procedeele pe care le utilizează în rezolvarea de probleme, în trecerea unor obstacole pe care le întâmpină elevii în rezolvarea problemelor, prin tactul pedagogic de care dă dovadă pentru cultivarea încrederii în forțele proprii, a celorlalte calități pozitive ale voinței și caracterului.

Primele probleme sunt acelea pe care și le pune zilnic copilul în școală, în familie, în timpul jocului și care sunt ilustrate cu exemple familiare lui. Pentru a-i face să vadă încă din clasa I utilitatea activității de rezolvare a problemelor, este necesar ca micii școlari să înțeleagă faptul că în viața de toate zilele sunt situații când trebuie găsit un răspuns la diferite întrebări.

În această perioadă de început, activitatea de a rezolva și compune probleme se face numai pe cale intuitivă. De aceea, primele probleme sunt necesar legate de introducerea lor sub formă de joc și au un caracter de problema -acțiune și li se asociază un bogat material didactic ilustrativ.

Rezolvarea primelor probleme se realizează la un nivel concret, ca acțiune de viață (au mai venit…fetițe, s-au spart..baloane, au plecat…rățuște, i-a dat…creioane colorate, au mâncat…bomboane), ilustrate prin imagini sau chiar prin acțiuni executate de copii (elevul vine la magazin, cumpără, plătește sau elevul este la școală și primește cărți sau creioane). În această fază, activitatea de rezolvare a problemelor se află foarte aproape de aceea de calcul. Dificultatea principală pe care o întâmpină copiii constă în transcrierea acțiunilor concrete în relații matematice. În enunțul unei probleme, formulat de învățător sau de copil, nu se spune „3 fetițe plus 2 fetițe”, ci se spune că erau 3 fetițe și au mai venit 2 fetițe, nu se spune „4 baloane – 2 baloane”, ci că au fost 4 baloane și s-au spart 2 dintre ele.

Pe baza experienței pe care o au elevii încă din etapa preșcolară sau chiar din primele lecții de matematică în efectuarea operațiilor cu mulțimi, ei reușesc, în general, cu ușurință să „traducă” în operații matematice acțiunile cerute în enunțul unei probleme.

Acum elevii sunt familiarizați cu termenul de „problemă”, „întrebarea problemei”, „rezolvarea problemei”, „rezultatul problemei”.

Introducerea în rezolvarea problemelor simple se face încă din perioada pregătitoare primelor operații. Învățătorul se folosește de probleme „acțiune” care după ce au fost „puse în scenă” vor fi ilustrate cu un desen schematic.

Deși rezolvările de probleme simple par ușoare, învățătorul trebuie să aducă în atenția copiilor toate genurile de probleme care se rezolvă printr-o singură operație aritmetică. Care sunt în esență acest tipuri?

1. Probleme simple bazate pe adunare pot fi:

– de aflare a sumei a doi termeni;

– de aflare a unui număr mai mare cu un număr de unități decât un număr dat;

– probleme de genul „cu atât mai mult”.

2. Probleme bazate pe scădere pot fi:

– de aflare a restului;

– de aflare a unui număr care să aibă un număr de unități mai puține decât un număr dat;

– de aflare a unui termen atunci când se cunosc suma și un termen al sumei;

– probleme de genul „cu atât mai puțin”

3. Probleme simple bazate pe înmulțire pot fi:

– de repetare de un număr de ori a unui număr dat;

– de aflare a produsului;

– de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât un număr dat;

4. Probleme simple bazate pe împărțire pot fi:

– de împărțire a unui număr dat în părți egale;

– de împărțire prin cuprindere a unui număr prin altul;

– de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mic decât un număr dat;

– de aflare a unei părți dintr-un întreg;

– de aflare a raportului dintre două numere.

În general, problemele simple sunt ușor înțelese și rezolvate de către elevi. Dificultăți există, cele mai frecvente fiind de genul: neglijarea întrebării, includerea răspunsului în enunț, neglijarea unei date, confundarea operației ce trebuie efectuate ș.a. Pentru depasirea lor am avut în vedere:

– rezolvarea unui număr mare de probleme;

– analiza temeinică în rezolvarea fiecărei probleme;

– abordarea unei mai mari varietăți de enunțuri;

– prezentarea unor probleme cu date incomplete pe care elevii sa le completeze și apoi să le rezolve;

– prezentarea datelor unei probleme și elevii să pună întrebarea și invers;

– prezentarea unor „povestiri” care nu sunt altceva decât așa-zise probleme latente;

– completarea unui text dat cu valori numerice conforme cu realitatea;

– rezolvarea unor probleme în care operația nu apare la prima vedere;

– compunerea de probleme după anumite date, după scheme date, folosind inversarea datelor sau alte date;

– alcătuirea de către copii a unor probleme, în mod liber, fără a fi limitate de existența datelor, de relația dintre ele sau de rezolvarea lor printr-o anumită operație.

De fapt, prin aceste procedee se urmărește propriu-zis nu o învățare a problemelor, ci formarea capacităților de a domina varietatea lor care practic este infinită.

Rezolvarea de probleme simple este unul din primii pași orientați spre exersarea flexibilității și fluenței gândirii. Prin rezolvare elevii ajung să opereze în mod real cu numere, să facă operații de compunere și descompunere, să folosească strategii și modele mintale anticipative.

Rezolvarea problemelor compuse nu înseamnă, în esență, rezolvarea succesivă a unor probleme simple. Nu rezolvarea problemelor simple la care se reduce problema compusă constituie dificultatea principală într-o problemă cu mai multe operații, ci legătura dintre verigi, constituirea raționamentului. De aceea este necesară o perioadă de tranziție de la rezolvarea problemelor simple ( cu o operație) la rezolvarea problemelor compuse ( cu două sau mai multe operații).

În prima perioadă se pornește de la rezolvarea unor probleme compuse alcătuite din succesiunea a două probleme simple.

Un exemplu relevant poate fi următoarea problemă:

„ Victor și Dănuț strâng împreună timbre. Victor a pus într-un plic 3 timbre iar Dănuț 2 timbre. Câte timbre au împreună cei doi copii?”

( 3 timbre +2 timbre= 5 timbre)

„ Ionică aduce și el 4 timbre pe care le pune în plicul lor. Câte timbre au acum cei 3 copii?” ( 5 timbre +4 timbre= 9 timbre).

Spunem problema în întregime:

„ Victor și Dănuț strâng împreună timbre. Victor a pus într-un plic 3 timbre și Dănuț 2 timbre. Ionică aduce și el 4 timbre pe care le pune în același plic. Câte timbre au în total cei trei copii?”

3 timbre……..2 timbre…….4 timbre………..? timbre

Rezolvăm problema și pe secvențe (judecăți separate):

Câte timbre au împreună Victor și Dănuț?

3 timbre + 2 timbre = 5 timbre

2. Câte timbre au în total cei trei copii?

5 timbre + 4 timbre = 9 timbre

Rezolvăm problema și printr-o adunare a trei termeni:

3 timbre + 2 timbre + 4 timbre = 9 timbre

ceea ce în esență se exprimă prin relația a+b+c.

În cadrul acestei activități elevii sesizează mersul raționamentului și învață să elaboreze tactica și strategia rezolvării prin elaborarea planului de rezolvare a problemei.

Examinarea unei probleme compuse se face, de regulă, prin metoda analitică sau sintetică. Cele două metode se pot folosi simultan sau poate să predomine una sau alta, caz în care metoda care predomină își impune specificul asupra căilor care duc la găsirea soluției. Atât o metodă cât și cealaltă constau in descompunerea problemei date în probleme simple care, prin rezolvare succesivă duc la găsirea soluției finale. Deosebirea dintre ele constă, practic, în punctul de plecare al raționamentului. Prin metoda sintezei se pleacă de la datele problemei spre găsirea soluției ei, iar prin metoda analizei se pleacă de la întrebarea problemei spre datele ei și stabilirea relațiilor matematice între ele.

În practică, s-a demonstrat că metoda sintezei este mai accesibilă, dar nu solicită prea mult gândirea elevilor. Mai mult, se constată că unii elevi pierd din vedere întrebarea problemei și sunt tentați să calculeze valori de mărimi care nu sunt necesare în găsirea soluției problemei. Metoda analizei pare mai dificilă, dar solicită mai mult gândirea elevilor și, folosind-o, îi ajută pe elevi să privească problema în totalitatea ei, să aibă mereu în atenție întrebarea problemei.

Odată cu analiza logică a problemei se formulează și planul de rezolvare. Planul trebuie scris de învățător pe tablă și de elevi pe caietele lor, mai ales la rezolvarea primelor probleme, scopul fiind acela al formării deprinderilor de a formula întrebări și pentru alte rezolvări de probleme.

În clasa I, planul problemei se întocmește de la început oral ( elevii neavând suficiente cunoștințe și deprinderi de scriere), manieră care se continuă și în clasa a II-a, în unele situații. Se recomandă ca la clasa a II-a planul de rezolvare să se facă oral sau în scris în egală măsură. În clasele a III-a și a IV-a, după întocmirea planului oral, elevii sunt capabili datorită deprinderilor de scriere deja formate, să treacă la scrierea planului cu ușurință, îndată ce problema a fost examinată. Forma în care poate fi scris planul este variată, dar cel mai eficient este sub forma întrebărilor. Să luăm ca exemplu problema:

„ O fermă a contractat 392 de tone de grâu, secară cu 72 tone mai puțin, iar ovăz de 32 de ori mai putin decât secară. Câte tone de cereale a contractat acea fermă?”

Planul rezolvării:

– câte tone de secară?

– câte tone de ovăz?

– câte tone de cereale s-au contractat în total?

Rezolvare:

392 tone – 72 tone = 320 tone (secară)

320 tone : 32 tone = 10 tone (ovăz)

392 tone+ 320 tone + 10 tone = 722 tone (cereale)

Răspuns: 722 tone cereale.

Rezolvarea se scrie, de regulă, prin intercalarea întrebărilor din plan cu calculul asigurându-se o estetică în pagină și o strânsă legătură între ceea ce a gândit elevul și ceea ce se calculează:

Astfel vom avea:

Câte tone de secară s-au contractat?

322 tone – 72 tone = 320 tone (secară)

Câte tone de ovăz s-au contractat?

320 tone : 32 tone = 10 tone (ovăz)

Câte tone de cereale s-au contractat?

392 tone + 320 tone + 10 tone = 722 tone (cereale)

Răspuns: 722 tone cereale

Scriind în felul de mai sus, elevii sunt solicitați să răspundă imediat, prin efectuarea operației fiecărei întrebări din plan, evitându-se astfel posibilele greșeli și chiar confuzii de întrebări și operații.

O atenție deosebită trebuie să acorde învățătorul problemelor ce admit mai multe procedee de rezolvare. Și aceasta pentru că prin rezolvarea lor se cultivă mobilitatea gândirii, creativitatea sa, se formează simțul estetic al școlarilor ( prin eleganță, economicitatea și organizarea modului de rezolvare). Formarea priceperilor de a găsi noi procedee de rezolvare constituie o adevărată gimnastică de minții, educându-se astfel atenția, spiritul de investigație și perspicacitate al elevilor. De multe ori elevii nu sesizează de la început existența mai multor căi de rezolvare. Sarcina învățătorului este aceea ca prin măiestria lui pedagogică, prin analiza întreprinsă cu clasa, prin întrebări ajutătoare, să-i determine pe elevi să gândească și alte modalități de rezolvare. Să exemplificăm cu problema:

„ Într-un bazin curge apa prin două robinete. Prin primul robinet curg câte 174 litri de apă pe minut, iar prin al doilea robinet, cu 36 litri mai mult decât prin primul. Câți litri de apă se află în bazin după 3 minute de la deschiderea celor două robinete?”

Unii elevi pot rezolva problema efectuând operațiile necesare în ordinea acțiunilor cuprinse în enunț ( din variate motive: neputința de a cuprinde și de a prelucra întregul enunț, insuficiența deprinderilor de rezolvare formate până la acest moment).

Alți elevi, analizând mai bine problema, renunță la ordinea acțiunilor cuprinse în enunț și caută valorile între care pot stabili o relație utilă, mai economicoasă și mai simplă pentru rezolvarea problemei.

Cum organizăm datele problemei?

174 l…………cu 36 l mai putin…….? l…………..3 minute

Iată și cele două moduri alternative de rezolvare, cu schemele respective (figura 1 și figura 2).

1. 2.

174 l – 36 l = 138 l 174 l – 36 l = 138 l

174 l x 3 = 522 l 174 l + 138 l = 312 l

138 l x 3 = 414 l 312 l x 3 l = 936 l

522 l + 414 l = 936 l

174 l …………………….cu 36 l mai puțin…………3 minute………….? l

–

X

X

+

(Schema la figura 1)

174 l …………………….cu 36 l mai puțin…………3 minute………….? l

–

+

X

(Schema la figura 2)

Modelul oferă elevului posibilitatea să vadă unitar structura unei probleme, sesizând organizarea internă a conținutului ei. Elaborarea modelului în forme și modalități din cele mai variate – cu cerculețe, cu pătrate, cu triunghiuri, cu litere, cu cuvinte, cu prescurtări, cu ilustrații etc, este un instrument ajutător în rezolvarea problemei. Prin alcătuirea modelului, elevul parcurge o etapă de gândire, pătrunde în procesul de rezolvare, probează că a înțeles structura logică a conținutului problemei, își exersează gândirea divergentă, creatoare, precum și abilitățile de compunere de probleme.

O categorie de probleme căreia învățătorul trebuie să-i acorde o atenție deosebită este aceea în care datele sunt în relații de „cu atât mai mare (mai mică)” sau ,,de atâtea ori mai mare (mai mică)”. Pentru elevii din clasa a II-a și a III-a, în special, acestea au un caracter abstract și dacă nu se face o analiză foarte atentă a problemei ele pot fi luate ca valori numerice cunoscute. Dificultatea constă mai ales în faptul că o mărime se ia de mai multe ori: a + (a + b), a + a x b, a – a : b, a + (a +b) + (a + c) etc și dacă elevul nu și-a însușit noțiunile respective le poate neglija.

În aceste cazuri,se recomandă descompunerea problemei compuse în probleme simple și apoi recompunerea din acestea a problemei inițiale.

În analiza problemelor este bine să nu se folosească totdeauna datele concrete așa cum sunt ele prezentate , explicându-le copiilor că acestea pot fi altele într-o altă problemă sau situație -problemă.

Rezolvarea problemelor după un plan de rezolvare necesită nu o dată și folosirea schemelor, desenelor, graficelor etc, iar pentru formarea unei gândiri sintetice, formule numerice sau literale. Dacă atunci când se predau operațiile aritmetice se insistă asupra notării cu litere a termenilor și factorilor, dacă operațiile aritmetice sunt scrise la modul general și se cere elevilor să rezolve și să compună probleme simple de aflare a unui termen, a unui factor, a sumei, diferenței, produsului, câtului, să mărească și să micșoreze o cantitate cu atât sau de atâtea ori etc – folosind formule literale, elevii nu vor mai întâmpina greutăți mari în acțiunile de schematizare și generalizare a unei probleme compuse prin exercițiu numeric sau formulă literală.

La întrebarea: câte probleme de matematică să se rezolve într-o lecție, răspunsul tehnicienilor și practicienilor este simplu. Într-o oră de matematică este posibil să se rezolve doar 2 -3 probleme la care să se insiste asupra raționamentului, asupra diferitelor căi posibile de rezolvare, asupra schemei, punerii în formula numerică și literală, compunerii unor formule analoage pornind de la exercițiu și formulă, decât să se rezolve, în mod superficial, mai multe probleme, fără repetarea cerințelor sus- amintite.

Un rol deosebit în dezvoltarea flexibilității gândirii îl ocupă rezolvarea problemelor -tip. Prin problemă-tip înțelegem acea construcție matematică a cărei rezolvare se realizează pe baza unui anumit algoritm specific fiecărui tip. O asemenea problemă se consideră teoretic rezolvată în momentul în care i-am stabilit tipul și suntem în posesia algoritmului de rezolvare.

Nu trebuie să fim adepții unor șabloane pentru că rezolvitorul s-ar putea transforma într-un robot, posesor al unor cartele pe care sunt imprimați algoritmi și sarcina lui ar fi doar să stabilească tipul, să „tragă” cartela corespunzătoare, și să o adapteze datelor problemei. Un rezolvitor de probleme trebuie să fie, pe lângă un bun specialist al obiectului, și un tip creator, novator, întreprinzător – calități disjuncte cu ale „robotului”, în sensul clasic al cuvântului.

Problemele de matematică le putem clasifica astfel:

I. Probleme cu operații relativ evidente în funcție de date și de relațiile dintre ele și necunoscută (sunt problemele cele mai des întâlnite în manualele din clasa I-IV); acestea sunt:

A. Probleme simple

B. Probleme compuse

Ca metode de rezolvare sunt, principal, două – metoda sintetică și metoda analitică.

II. Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă. În acestă categorie includem și probleme de aflare a două numere cunoscând suma și diferența lor, precum și pe cele de aflare a două numere cunoscând suma sau diferența și raportul lor.

III. Probleme de egalare a datelor (metoda reducerii la același termen de comparație).

IV. Probleme de presupunere (metoda falsei ipoteze).

V. Probleme gen rest din rest (metoda mersului invers).

VI. Probleme de amestec și aliaje cu două variante:

A. De categoria I.

B. De categoria a II-a.

VII. Probleme de mișcare (bazate pe relația s= v x t ), cu două variante:

În același sens.

În sensuri contrare.

VIII. Probleme cu mărimi proporționale cu două variante:

A. Împărțirea unui număr în părți direct proporționale.

B. Împărțirea unui număr în părți invers proporționale.

IX. Probleme care, depinzând de alcătuirea întrebării și de date, pot fi rezolvate și încadrate în categoriile specificate mai sus, dar cu un conținut specific:

Probleme cu conținut geometric.

Probleme cu conținut de fizică.

Probleme asupra acțiunii și muncii în comun.

X. Probleme nestandard (recreative, rebusistice, de perspicacitate, probleme – joc, etc.)

Voi oferi modalități de rezolvare a problemelor pentru câteva categorii de probleme grupate în raport cu metoda de rezolvare, fără a avea pretenția că sunt absolute.

1. Metoda figurativă

Se folosește pentru a înțelege conținutul problemei și a relațiilor dintre datele ei: grafice, figuri decupate, planșe cu figuri simple sau mobile, tablă magnetică, scheme și figuri schematice, figuri geometrice, litere și combinații de litere, diverse semne convenționale. Figurarea conținutului problemei se folosește pentru a exprima sub o formă intuitivă și cât mai accesibilă datele problemei și relațiile cantitative dintre ele.

Datorită particularităților psihice ale copiilor de 6 ani ca: dezvoltarea concretă a gândirii, rolul hotărâtor al senzațiilor vizuale și chinestezice în declanșarea unor procese de trecere de la gândirea concretă, plasticității simțului nervos, metoda figurativă ocupă un rol important fată de celelalte metode în rezolvarea problemelor la clasele I – IV. Are o puternică eficiență în ceea ce privește dezvoltarea gândirii matematice la școlarii mici.

În rezolvarea problemelor de matematică, reprezentarea grafică poate avea două puncte de bază: să ilustreze rezolvarea clasică sau să constituie un mod aparte de rezolvare. Această ultimă funcție îi ajută pe elevi să-și reprezinte intuitiv nu numai condițiile inițiale, dar și soluția problemei, înlesnind de asemenea și stabilizarea legăturilor dintre noțiunile matematice și cele geometrice și contribuind la dezvoltarea gândirii funcționale a copiilor.

Încă din clasa I, când se formulează și se rezolvă probleme simple după imagini sau cu cerințe date, m-am preocupat ca să-i obișnuiesc pe elevii mei de a concretiza relațiile dintre mărimi prin șiruri de pătrățele, dar de cele mai multe ori prin segmente de dreaptă.

Am utilizat reprezentarea grafică pentru rezolvarea problemelor de la cele mai simple la cele mai complexe situații:

– aflarea unui număr pe baza cunoașterii sumei sau diferenței dintre acestea și a unuia dintre numere;

– aflarea unui număr mai mare (mai mic) „cu atât” sau „de atâtea ori”, decât un număr dat;

– aflarea a două numere cunoscând fie suma și diferența lor; suma și câtul lor; diferența și câtul lor;

– probleme de determinare: fie a sumei și a diferenței a două produse, fie a câtului a două produse.

Această metodă se folosește încă din clasele I-II prin așa-zisul procedeu de „figurare prin desen”. Exemplu:

1. „Marcela are 6 mere. Sora ei are cu 3 mere mai mult . Câte mere are sora ei?”

Rezolvare:

Reprezentăm printr-un desen numărul de mere pe care-l are Marcela (el reprezintă valoric, 6).

Expresia matematică „cu atât mai mult” conduce la următorul raționament: în prelungirea segmentului ce reprezintă numărul de mere al Marcelei, desenăm arbitrar, punctat, un alt segment care indică surplusul de mere (+3), adică numărul de mere avute de sora ei.

Graficul va arăta astfel:

6 numărul de mere al Marcelei

+3

numărul de mere al sorei ei

Deci, sora are 6 + 3 = 9(mere).

În mod asemănător au fost rezolvate probleme utilizând expresia matematică „cu atât mai puțin”.

2. „Pe un loc înoată 9 rațe și cu 3 mai puțin gâște. Câte gâște înoată pe lac?’’

9 numărul rațelor

-3 numărul gâștelor

Deci, numărul gaștelor care înoată pe lac este: 9 – 3 = 6 (gâște).

Voi exemplifica cu câteva probleme care impun utilizarea metodei figurative în clasele a III-a și a IV-a.

3. „Astă- vară Dan și George au vândut împreună Centrului de Achiziții a Fructelor din Deleni 166 Kg de vișine. Câte kg a vândut fiecare, dacă Dan a vândut cu 6 Kg mai mult decât George?’’

Varianta I

Considerăm că Dan a vândut tot atâtea kg de vișine ca și George. De ce? Pentru că, dacă suma ar fi formată din două părți la fel de mari, am împărți-o în două și am putea determina cantitatea fiecăruia. Ca urmare, trebuie să dăm deoparte cele 6 Kg, cu cât a vândut mai mult primul copil, atunci, în cantitatea totală, care se va micșora tot cu 6 Kg, vor fi două părți, fiecare egală cu cantitatea vândută de George, adică:

II 166 – 6

I 6

Deci: Care este suma a două părți, fiecare egală cu cantitatea vândută de George? (care este dublul cantității vândute de al doilea copil?)

166 – 6 = 160 (kg)

Câte kg de vișine a vândut al doilea copil?

160 : 2 = 80 (kg)

Câte kg a vândut primul copil?

80 + 6 = 86 (Kg)

Varianta a II-a

Dacă am mai adăuga la cantitatea vândută de al doilea copil încă 6 kg, am obține o cantitate la fel de mare ca a primului, iar în sumă ar fi două asemenea cantități, adică:

II 6

I 6 166+6

Care este suma a doua părti, fiecare egală cu cantitatea vândută de Dan? (care este dublul cantității vândute de primul copil)

166 + 6 = 172 (kg)

Care este cantitatea vândută de primul copil?

172 : 2 = 86 (kg)

Care este cantitatea vândută de al doilea copil?

86 – 6 = 80 (kg)

4. „Suma a două numere consecutive este 41. Să se determinte cele două numere.”

Vom reprezenta printr-un segment numărul mai mic. Atunci cele două numere le putem reprezenta astfel:

I primul numar

41 II 1 al doilea numar

Suma numerelor fiind 41 rezultă că numărul mai mic este:

(41 – 1) : 2 = 20

Numărul mai mare va fi:

20 + 1 = 21

După ce s-a explicat noțiunea de număr consecutiv s-a trecut la schematizarea datelor și a relațiilor dintre ele. Conform reprezentării au determinat cele două numere consecutive.

5. „Aflați câte pagini a citit fiecare dintre cei doi copii, știind că Mitruț a citit de 3 ori mai mult decât George, iar împreună au citit 84 de pagini?”

Soluție:

Grafic, se poate reprezenta numărul de pagini citite de fiecare copil astfel:

George a citit

84p Mitruț a citit

În cele 84 de pagini sunt 4 părți, fiecare egala cu numărul de pagini pe care le-a citit George.

Câte pagini a citit George?

84 : 4 = 21 (pagini)

Câte pagini a citit Mitruț?

21 x 3 = 63 (pagini)

6. „Suma a trei numere este de 19. Primul este cu 14 mai mic decât al doilea și cu 5 mai mare decât triplul celui de-al treilea. Să se afle numerele.”

Rezolvare:

Din enunț rezultă că al treilea număr este cel mai mic, iar al doilea este cel mai mare.

Grafic:

III

I III III III 5

II 5 14

Pentru a organiza suma în părți egale, trebuie să micșorăm primul număr cu 5, iar pe al doilea cu 19, adică 5 + 14.

Câte părți, fiecare egală cu al treilea număr pot fi?

1 + 3 + 3 = 7 (părți egale)

Care este suma ce poate fi organizată în asemenea părți?

199 – 5 – 5 – 14 = 175

Care este numărul al treilea?

175 : 7 = 25

Care este primul număr?

25 x 3 + 5 = 80

Care este al doilea număr?

80 + 14 = 94 sau

25 x 3 + 5 + 14 = 94

7. „Suma a trei numere naturale este 1522. Dacă din fiecare număr se scade același număr, se obțin 101, 1008 și 107. Care sunt cele trei numere?”

Notăm numerele inițiale cu I și II și respectiv cu III.

Grafic numerele se pot reprezenta astfel:

I nr. scăzut 101

II 107 1522

III 1008

Care este suma resturilor (a diferențelor)?

101 + 107 + 1008 = 1216

Care este triplul numărului care se scade?

I = 101 + 306 : 3 = 203

II = 107 + 306 : 3 = 209

III = 1008 + 306 : 3 = 1.110

8. „Diferența a două numere naturale este 7. Împărțind cele două numere, se obține câtul 1 și un rest. Aflați restul.”

Rezolvarea 1 Grafic

Notăm cele două numere cu I și respectiv cu II.

I

II 7

Comparând cele două reprezentări, se observă că II se cuprinde în I o dată și mai

rămâne un rest, care este tocmai diferența 7.

Rezolvarea 2

Dacă a = b + 7a

a = 1 x b + r, comparând cele două egalități, rezultă r = 7.

9. „Într-o magazie era de 5 ori mai multă făină decât în alta. Dacă din prima magazie se scoate o cantitate de 1000 kg, iar în cea de-a doua se mai depozitează încă 480 kg, atunci cantitățile din cele două magazii devin egale. Care sunt cantitățile inițiale?”

Rezolvare

Notăm cantitățile din fiecare magazie cu I și, respectiv, cu II.

Grafic, modificările sunt:

II 480

I

1000

Ne fixăm întâi până unde este segmentul ce reprezintă cantitatea mărită din a doua magazie. Delimităm, printr-o linie punctată verticală, această cantitate și pe segmentul ce reprezintă prima cantitate.

Rezultă că până la sfarșit acest segment reprezintă tocmai 1000 kg, ceea ce s-a

scos. Dar 1480, adică 1000 + 480, reprezintă 4 părți, fiecare egală cu cantitatea din a doua magazie.

Câte kg erau inițial în a doua magazie?

1480 : 4 = 370 (kg)

Dar în prima?

370 x 5 = 1850 (kg) sau 370 + 480 +1000 = 1850 kg

În clasa a IV-a întâlnim probleme care ne oferă posibilitatea formării reprezentărilor spațiale privind fixarea punctelor de reper, localizarea corectă a dimensiunilor mărimii întâlnite în problemele de mișcare.

Elementul nou care apare în problemele de mișcare este viteza ca mărime orientativă, a cărei reprezentare grafică se face printr-o săgeată care indică direcția, mărimea și sensul vitezei. În rezolvarea unora dintre ele se aplică cu succes metoda grafică.

Exemplu:

„Un bicilist, având viteza de 24 km/h, pleacă din orașul A. După 3 ore, pleacă tot din A, în aceeași direcție un motociclist având viteza de 42 km/h. În cât timp îl va ajunge motociclistul pe biciclist? La ce distanță de oraș?”

A [––––72 km––-] B I

0h 24km/h 3h

– –––––– ––––––––––––––-

3h 42 km/h

–––– –––––––––––––––––––

Avansul biciclistului (distanța parcursă în 3 ore) este AB = 24 km x 3 = 72 km.

Motociclistul câștigă în fiecare oră 42 km -24 km = 18 km.

Pentru a câștiga cei 72 km, motociclistul merge un timp de 72 km: 28 km/h = =4h, acesta fiind și timpul după care l-a ajuns pe biciclist, iar distanța de la orașul A este, la întîlnire, AI = 42 km x 4 = 168 (km).

Pentru rezolvarea problemelor de mișcare în care deplasarea se face în sensuri opuse se poate utiliza următoarea problemă:

„Un pieton, care parcurge 5 km pe oră pleacă din orașul A spre orașul B. În același moment, un biciclist pleacă din orașul B spre A, cu viteza de 22 km pe oră. Între orașe este o distanță de 81 km. După cît timp se întâlnește pietonul cu bicilistul? La ce distanță de orașul B se întâlnesc?”

[––––––––––-81 km–––]

A I B

5 km/h 22 km/h

––- –– ––––––––––

0 h 0 h

În fiecare oră, distanța dintre pieton și biciclist se micșorează cu 5 km + 22 km = =27 km. Pentru ca ei să se întâlnească, trebuie să treacă atâtea ore de câte ori se cuprind 27 km în 81 km, adică 81 km: 27 km/h = 3 h.

Eficienta metodei figurative în rezolvarea problemelor de mișcare este condiționată de o corectă reprezentare a datelor și relațiilor dintre ele. O bună reprezentare a datelor asigură justa apreciere a realității și ușurează desfășurarea raținamentului în scopul rezolvării.

Problemele geometrice încep și ele, de obicei, cu construirea figurilor geometrice atât pentru formarea reprezentărilor spațiale, cât și pentru deprinderea și înțelegerea procedeului de rezolvare. Începând cu problemele din clasa a III-a, am indicat elevilor să folosească și raportul aritmetic al acestor dimensiuni.

Exemplu:

„Perimetrul unui dreptunghi este 984 m. Aflați lățimea dreptunghiului știind că ea este:

a) cu 246 m mai mică decât lungimea;

b) de 3 ori mai mică decât lungimea.

Reprezentarea grafică a datelor problemei:

246 m

A ––– B

l

L ––- 246 m

l

L ––- 246 m

246 m

D ––– C

Metoda figurativă este indicată în rezolvarea problemelor cu fracții întrucât le oferă posibilitatea înțelegerii relațiilor ce există între diferite părți ale aceluiași întreg, aflarea unei fracții dintr-un întreg etc.

Exemplu:

„La un atelier de confecții erau bucăți de stofă. Numărul metrilor din prima bucată este egal cu 2/3 din numărul metrilor din bucata a doua. Din bucata a doua s-au confecționat 8 rochii și au rămas 5 m. Din bucata mai mică nu au ajuns 2 m ca să se confecționeze tot atâtea rochii.

Câți metri de stofă au fost necesari pentru o rochie și câți metri de stofă au fost în fiecare bucată?”

Rezolvare:

Din enunț rezultă că bucata a doua (II) poate fi împărțită în 3 părți la fel de mari

(treimi). Prima bucată reprezintă 2 treimi din a doua, astfel:

II 5m

I 2 m

Din desen, rezultă că diferența dintre cele două bucăți este de 7 m, pentru că la aceeași lucrare, primei bucăți îi mai trebuie 2 m, iar celeilalte îi mai raman 5 m, cei 7 m reprezintă o treime din a doua bucată.

Câți metri are a doua bucată?

3 x 7 = 21 (m)

Dar prima?

21 : 3 x 2 = 14 (m) sau 21 – 5 -2 = 14 (m)

Verificare:

Cât reprezintă 2/3 din 21 m? 21 : 3 x 2 = 14. Care este diferența dintre cele două bucăți? 21 – 14 = 7 (m)

Partea a doua a problemei : câți metri se folosesc pentru 8 rochii?

21 – 5 = 16 (m)

Câți metri s-au folosit pentru a doua rochie?

16 : 8 = 2 (m)

Reprezentarea grafică constituie un mijloc eficient de însușire conștientă și activă a cunoștințelor, de dezvoltare a gândirii elevului, al spiritului de investigație și al independenței.

Metoda figurativă prin forme apropiate de realitate, fără a fi o reproducere fotografică a acesteia și apoi figurarea conținutului problemelor prin elemente din ce în ce mai schematizate constituie premise ce fac această metodă deosebit de utilă în desfășurarea raționamentului și deprinderii căii de rezolvare a unei probleme.

Numărul mare de probleme ce se pot rezolva prin această metodă și multiplele posibilități de schematizare a răspunsului acestora conduc treptat la necesitatea introducerii simbolurilor, treaptă superioară în formarea gândirii, în dezvoltarea operației de abstractizare a acesteia.

2. Metoda comparației

Specificul acestei metode constă în faptul că se folosește mai ales în problemele în care două mărimi necunoscute sunt legate prin două relații clar precizate, determinarea fiecăreia implicând eliminarea celeilalte mărimi prin înlocuire sau reducere (scădere).

a) În problemele care se rezolvă prin eliminarea unei mărimi, înlocuind-o, poate fi dat raportul dintre valorile unitare (exemplul 1), înlocuirea se face prin grupe de valori unitare (exemplul 2) sau poate fi dată diferența dintre valorile unitare (exemplul 3).

Exemplul 1

„Pentru 8 stilouri și 5 penare s-au plătit 2900 lei. Cât costă un stilou și cât costă un penar, dacă un stilou costă cât 3 penare?”

Rezolvare:

Considerăm că se cumpără numai penare. Dacă un stilou costă cât 3 penare, atunci cu banii de pe 8 stilouri se pot lua 24 de penare, pentru că 8 x 3 = 24. Dar cu suma totală câte penare se pot cumpăra? 24 + 5 = 29. Câți lei costă un penar? 29000 : 29 = 1000 lei. Câți lei costă un stilou? 1000 x 3 = 3000 lei.

Exemplul 2 (reducerea la unitate, mărimi direct proporționale)

„Din 45 litri de lapte se obțin 5 litri de smântână. Din câți litri de lapte se obțin 12 litri de smântână?”

Rezolvare:

Pentru a afla din câți litri de lapte se obțin 12 litri de smântână, trebuie să aflam din câți litri de lapte se obține un singur litru de smântână.

De aceea metoda se numește reducere la unitate (reducere la 1)

Deoarece problema contine 3 elemente cunoscute si unul necunoscut, doua cate doua, de acelasi fel, metoda se mai numeste regula de trei simpla.

Daca pentru obținerea a 5 litri de smântână trebuie 45l de lapte, pentru obținerea unui singur litru de smântână trebuie o cantitate de lapte de 5 ori mai mică decât 45, căci 1 este mai mic decât 5 de 5 ori; 45 : 5 = 9 (litri de lapte). Dacă pentru obținerea unui litru de smântână trebuie 9 litri de lapte, atunci pentru obtinerea a 12 litri de smântână vor fi necesari de 12 ori mai mulți litri decât 9, pentru că și 12 este mai mare decât 1 de 12 ori.

Sunt necesari 108 litri, căci 12 x 9 = 108.

Judecata și rezolvarea se poate scrie și astfel:

pentru 5 litri de smântână trebuie 45 (litri lapte)

pentru 1 litru de smântână cât trebuie 45: 5 = 9 (litri lapte)pentru 12 litri smântână cât trebuie 12 x 9 = 108 (litri lapte )

Mai observăm un lucru: atunci când am micșorat valoarea unei mărimi de un număr de ori și valoarea celeilalte mărimi cu care este în relație s-a micșorat de același număr de ori și invers.

(În clasele următoare elevii vor învăța că asemenea mărimi se numesc mărimi direct proporționale.)

Exemplul 3

„Cu banii pe care îi are, Ionela poate cumpăra, de ziua mamei sale, 3 trandafiri sau 5 lalele. Știind că un trandafir este mai scump cu 60 de lei decât o lalea, aflați câți lei are Ionela.”

Rezolvare:

Din enunț rezultă că prețul pentru 3 trandafiri este egal cu prețul pentru 5 lalele.

Ne imaginăm faptul că Ionela a cumpărat 3 trandafiri, dar se răzgândește. Îi cere vânzătoarei ca în loc de cei 3 trandafiri să îi dea 3 lalele. Dar trebuie să primească și bani înapoi, pentru că un trandafir este mai scump decât o lalea cu 60 lei, iar 3 lalele sunt mai ieftine cu 180 lei decât 3 trandafiri, deoarece 3 x 60 = 180.

Va primi înapoi 18 lei, banii pentru 2 lalele, pentru că ea putea lua, conform enunțului, cu aceeași sumă, 5 lalele, iar 5 – 3 = 2. Deci, două lalele costă 180 lei, iar o lalea costă 90 lei, deoarece 180 : 2 = 90, iar un trandafir costă 150 lei, căci 90 + +60= 150.

Câți lei avea Ionela?

5 x 90 = 450 sau

3 x 150 = 450

Comparația prin reducere (scădere) se folosește în problemele în care enunțul cuprinde relații referitoare la mărimile date în două situații distincte. După scrierea datelor, unele sub altele, conform situațiilor din enunț, trebuie să comparăm datele privitoare la o mărime în cele două situații. De aceea metoda se mai numește aducerea la același termen de comparație sau egalarea datelor.

Exemplul 4

„Pentru a se completa numărul de rechizite, la o grupă dintr-o grădiniță, s-au cumpărat o dată 5 creioane, 3 gume și 6 rigle, plătindu-se 3810 lei. Altă dată s-au cumpărat, cu aceleași prețuri unitare, 3 creioane, 5 gume și 4 rigle, care au costat 2.870 lei. A treia oară s-au cumpărat 8 creioane, 8 gume și 5 rigle, plătindu-se 4.180 lei.

Aflați prețul unitar al fiecărui obiect cumpărat.’’

Rezolvare (comparație prin scădere, 3 mărimi)

Se pot scrie pe scurt astfel:

5 creioane 3 gume 6 rigle 3.810 lei

3 creioane 5 gume 4 rigle 2.870 lei

Adunăm relatiile membru cu membru

8 creioane 8 gume 10 rigle 6.680 lei

Scriem cea de-a treia relație și o scădem din cea obținută

8 creioane 8 gume 5 rigle 4.180 lei

/ / 5rigle 2.500 lei

Cât costă o riglă? 2.500 : 5 = 500 lei

Luăm alte două relații în care înlocuim numărul de rigle prin prețurile lor.

3 creioane 5 gume 870 lei ,căci 2.870 – 500 x 4 = 870

8 creioane 8 gume 1680 lei,căci 6.680 – 500 x 10 = 1680

Amplificăm cele două egalități, termen cu termen, cu 8 și, respectiv, cu 3, obținând:

24 creioane 40 gume 6.960 lei

24 creioane 24 gume 5.040 lei

Scădem membru cu membru

/ 16 gume 1920 lei

Dacă 3 creioane și 5 gume costă 870 lei, atunci 3 creioane costă 270 lei, căci 870 – 120 x 5 = 270.

Cât costă 1 creion? 270 : 3 = 90 (lei)

Metoda aducerii la aceláși termen de comparație implică elemente din metoda reducerii la unitate, care se poate sintetiza prin regula: pentru a ști valoarea mai multor unități, trebuie să determinăm valoarea unei singure unități (părți) și invers. În ambele situații, fie că sunt mărimi direct proporționale (vezi exemplul 2), fie că sunt mărimi invers proporționale, enunțul cuprinde trei elemente cunoscute și unul necunoscut, două câte două de același fel. Cu ajutorul celor trei elemente cunoscute se află cel de-al patrulea. De aceea metoda se mai numește regula de trei ( simplă sau compusă).

Exemplul 5

„10 muncitori termină o lucrare în 6 zile. În câte zile vor termina lucrarea 12 muncitori?”

Rezolvare: (mărimi invers proporționale: mărirea unei valori de un număr de ori determină micșorarea celeilalte valori de același număr de ori și invers. Se spune că numărul de muncitori și timpul necesar pentru terminarea aceleiași lucrări sunt mărimi invers proporționale).

Pentru a determina timpul necesar efectuării lucrării pentru 12 muncitori, trebuie să se determine timpul necesar pentru un singur muncitor. (De aceea spunem reducere la unitate). Dacă 10 muncitori termină lucrarea în 6 zile, un singur muncitor (1 este mai mic decat 10 de zece ori ) termina lucrarea intr-un timp de 10 ori mai mare decât 6, adică 10 x 6 = 60. Dacă unui muncitor îi trebuie 60 de zile, pentru 12 muncitori este necesar un timp de 12 ori mai mic decât 60, pentru că 12 este mai mare decât 1 de 12 ori, adică 60 : 12 = 5 (zile).

Judecata și rezolvarea se pot scrie și astfel:

10 muncitori termină lucrarea în 6 zile, atunci

1 muncitor termină lucrarea într-un timp de 10 ori mai mare, adică

10 = 60 (zile)

12 muncitori termină lucrarea într-un timp de 12 ori mai mic decât 60, adică

60 : 12 = 5 (zile).

3. Metoda ipotezelor

Metoda ipotezelor are la bază o presupunere, o ipoteză. Ea solicită introducerea unor date ipotetice și confruntarea situației obținute astfel cu situația reală. Întâmplător ele pot coincide. În multe cazuri ele nu coincid, dar concluziile deduse din această confruntare ne coordonează căutările. De aceea metoda se numește metoda falsei ipoteze, denumire care s-a fixat prin uz, dar, pentru a se respecta topica limbii române, ar trebui să fie numită metoda ipotezei (ipotezelor) false sau metoda ipotezelor.

Exemple:

„Un țăran are păsări de curte și oi. Aceste animale au la un loc 46 de capete și 114 picioare. Câte păsări și câte oi are țăranul?”

Rezolvarea 1:

a) Considerăm (Presupunem, ipoteza = presupunere) că ar fi fost numai oi.

Câte picioare ar fi fost? 46 x 4 = 184. Cu câte picioare ar fi fost mai multe față de numărul din problemă? 184 – 114 = 70

Deci, ipoteza este falsă (chiar de la început). Atunci trebuie să înlocuim un număr de oi cu un număr de păsări, pentru a face să dispară acest număr de picioare, care este în plus. La o singură înlocuire numărul 70 se micșorează cu 2, adică cu diferența dintre numărul de picioare de la o oaie, și numărul de picioare de la o pasăre.

Câte înlocuiri trebuie să facem?

Vom face atâtea înlocuiri până dispare diferența de 70, adică atâtea înlocuiri de câte ori 2 se cuprinde în 70. Numărul de înlocuiri este tocmai numărul de păsări, iar restul până la 46 este reprezentat de numărul de oi.

Deci:

1) Câte picioare ar fi, dacă am presupune că țăranul are numai oi?

46 x 4 = 184

2) Cu câte picioare sunt mai multe față de numărul din problemă?

184 – 114 = 70

3) Cu cât se micșorează 70 la o singură înlocuire?

4 – 2 = 2

4) Cîte înlocuiri pot să fac?

70 : 2 = 35 (vor fi deci 35 de păsări)

5) Câte oi are țăranul?

46 – 35 = 11

b) Considerăm că ar fi fost numai păsări.

Atunci numărul de picioare care ar fi fost?

46 x 2 = 92

Cu câte picioare ar fi fost mai puține?

114 – 92 = 22

Cu câte picioare are mai puțin o pasăre față de oaie?

4 – 2 = 2

Câte oi are țăranul?

22 : 2 = 11

Câte păsări are țăranul?

46 – 11 = 35.

Rezolvarea 2:

Etapa I

Se figurează oile și păsările prin ovale:

…………….

(Total: 46, dar nu știu cate de fiecare fel)

Întrucât fiecare vietate are cel puțin 2 picioare, se figurează la fiecare oval câte 2 linioare, reprezentând astfel cele 2 picioare :

Etapa a II- a

……………….

(În calcul: 92 de picioare, pentru că 46 x 2 = 92)

Din cele 114 picioare, s-au repartizat 92 și au rămas 22, adică 114 – 92 = 22.

Acestea pot fi figurate la un număr de 11 ovale, adăugând câte 2, căci 4 -2 = 2; deci 22 : 2 = 11.

Etapa a III-a

…………. …………..

11 vietăți + ? vietăți = 46 vietăți

Rezultă că 11 vietăți sunt oi, deci au câte 4 picioare, iar restul, 35, căci 45 -11 = =35, sunt păsări, pentru că au cate 2 picioare.

„La o librărie s-au adus 31 de truse cu două, trei și patru creioane, în total 105 creioane. Știind că numărul truselor de 4 creioane este de 4 ori mai mare decât al celor cu 2 creioane, aflați numărul truselor de fiecare fel.”

Rezolvare:

Presupunem că toate cele 31 de truse ar avea fiecare câte trei creioane (față de numărul acestor truse nu avem nici o relație).

Câte creioane ar fi în această ipoteză?

31 x 3 = 92

Cu câte creioane ar fi mai puține decât în realitate?

105 – 93 = 12

De unde provine această diferență? Din faptul că am considerat că toate trusele au câte 3 creioane, dar de fapt sunt și truse cu câte 4 creioane, între acestea fiind raportul dat (de 3 ori mai puțin).

Respectăm acest raport, la o trusă de 2 creioane sunt 3 truse cu câte 4 creioane. Un asemenea grup de 4 truse (1 de 2 creioane și 3 de 4 creioane) are câte 14 creioane, căci 1 x2 + 3 x 4 = 14. Înlocuim atunci 4 truse de câte 3 creioane cu 4 truse de celelalte feluri, până acoperim diferența de 12. Cu cât se mișorează diferența la o singură înlocuire? 14 – 4 x 3 = 2.

Câte înlocuiri trebuie? Dacă la o singură înlocuire diferența se micșorează cu 2, ca să dispară diferența, sunt necesare 6 asemenea înlocuiri, căci 12 : 2 = 6.

Deci, vor fi 6 grupe de câte 4 truse (1 trusă de 2 creioane + 3 truse de 4 creioane), iar restul până la 31 vor fi truse cu câte 3 creioane. Câte truse de câte 2 creioane sunt în cele 6 grupe? 6 x 1 = 6. Câte truse de cate 4 creioane sunt în cele 6 grupe? Dacă într-o grupă sunt 3 truse, în 6 grupe vor fi câte 3, adică 6 x 3 = 18. Câte truse de câte 3 creioane sunt? 31 – 6 – 18 = 7.

Verificare:

6 x 2 = 12 (creioane)

7 x 3 = 21 (creioane)

18 x 4 = 72 (creioane)

––––––––––––

Total: 31 (truse) și 105 (creioane)

3.,, Învățătorul împarte elevilor unei clase bomboane. Dacă ar da fiecărui elev câte 2 bomboane, i-ar rămâne 30, iar dacă ar da câte 4 nu i-ar ajunge 40 de bomboane.

Câți elevi sunt în acea clasă?

Câte bomboane împarte învățătorul?’’

Rezolvare:

Îmi imaginez momentul în care a dat câte 2 bomboane și i-au rămas 30 de bomboane. În varianta a doua, vrând să dea câte 4, nu îi ajung 40 de bomboane.

Pentru câți elevi nu ajung cele 40 de bomboane? Știind că fiecare copil are deja câte 2 bomboane (din situația I), înseamnă că ar trebui să mai primească încă 2 bomboane, pentru că 4 – 2 = 2. Cele 40 de bomboane nu ajung pentru 20 de elevi deoarece 40 : 2 = 20. Deci, cei 20 de copii rămân, în situația a doua, numai cu câte 2 bomboane. Cele 30 de bomboane, care rămăseseră după ce a dat câte 2, învățătorul le poate da câte 2 (ca să aibă câte 4) numai unui număr de 15 elevi, pentru că 30 : 2 = =15.

Câți elevi erau în clasă? 15 (elevi cu câte 4 bomboane) + 20 (elevi cu câte 2 bomboane) = 35 (elevi). Câte bomboane a împărțit învățătorul?
35 x 2 + 30 = 100 sau 15 x 4 + 20 x 2= 100

Grafic:

I 2 2 2 2 2………2 2 2 + 30 bomboane

II 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2….2 2 2

30 : 2 = 15 40 : 2 = 20

Consider că în cursul rezolvării problemelor în care se utilizează metoda grafică și metoda ipotezelor are loc un proces de reorganizare succesivă a datelor, apar noi formulări ale problemei, pe baza activității orientate a gândirii, reorganizării și formulării ce-l apropie pe elev de soluție. Este vorba aici de o îmbinare specială a analizei cu sinteza, caracterizată prin aceea că diferitele elemente luate în considerație își dezvăluie mereu noi aspecte (analiza) în funcție de combinațiile în care sunt plasate (sinteza).

4. Metoda mersului invers

Metoda mersului invers se folosește în anumite probleme în care elementul necunoscut apare la începutul șirului de relații dat în enunț.

Urmărind enunțul de la sfârșit la început („mergând” în sens invers enunțului) trebuie să se determine penultimul rest pe baza relației sale cu ultimul rest, apoi antepenultimul rest, până se ajunge la numărul inițial (întregul).

Analizând operațiile date în enunț și cele efectuate în rezolvarea problemei, se poate constata că în fiecare etapă se efectuează operația inversă celei din enunț.

Deci, nu numai „mersul” este invers, ci și operațiile efectuate pentru rezolvare sunt inverse celor din problemă.

Exercițiile ce se pot obține din rezolvarea unora dintre aceste probleme sunt denumite exerciții „cu x”, care sunt de fapt ecuații de gradul I cu o necunoscută, dar care, pentru elevii mici, se rezolvă, nu prin calcul algebric, ci prin raționament aritmetic.

Exemple:

1. „Un producător vinde pepeni la 3 cumpărători.

Primului îi vinde o jumătate din cantitate, celui de-al doilea o treime din ce îi rămăsese, iar celui de-al treilea o cincime din noul rest.

Câți pepeni a avut inițial producătorul, dacă i-au mai rămas 16 pepeni?”

Rezolvarea 1 (Mers invers pe baza metodei grafice)

1/2 1/2

Nr. (S) R1 1/3 1/3 1/3

inițial R2 1/5

4/5

Se observă că 16 pepeni reprezintă 4/5 din restul al doilea.

Câți pepeni reprezintă restul al doilea? 16 : 4 x 5= 20. Tot 20 reprezintă 2/3 din restul 1. Câți pepeni constituie restul 1? 20 : 2 x 3 = 30. Tot 30 reprezintă 1/2 din

totalul inițial. Câți pepeni erau inițial? 30 x 2 = 60.

Rezolvarea 2:

Notăm cu S numărul inițial de pepeni, cu V1, V2, V3, numărul de pepeni vânduți de fiecare dată, cu R1, R2, R3, resturile corespunzătoare; se pot scrie:

Cât vinde Cât rămâne

V1 (1/2) S R1 = ? (30)

V2 (1/3) R1 R2 = ? (20)

V3 (1/5) R2 R3 = 16

R2 = 16 + (1/5) R2 R2 = 16 : 4 x 5 = 20

R2 + (1/3) R1 = R1 R1 = 30

(1/2)S + R1 = S (1/2) S = 30 S = 30 x 2 = 60

Rezolvarea 3:

Modificările se pot trece în tabelul următor:

Cât vinde Cât rămâne

1) 1/2 S 1/2 S

2) 1/3 x 1/2 S = 1/6 S 1/2 S – 1/6 S = 1/3 S

3) 1/5 x 1/3 S = 1/15 S 1/3 S – 1/15 S = 4/15 S

Din enunț rezultă că 16 pepeni reprezintă 4/15 S. Câți pepeni erau inițial?

16 : 4 x 15 = 60 (pepeni)

2. „Într-un vas se pune apă 2/3 din capacitatea sa. Se scoate apoi 1/4 din conținut și mai rămâne 75 de litri.

Care este capacitatea vasului?”

Rezolvarea 1:

Reprezentăm capacitatea vasului printr-un segment, pe care îl împărțim în treimi:

a) cantitatea de apă

sau b)

1/4 C

3/4 C 75 litri

Se observă că 3 pătrimi din cantitatea de apă era de 100 litri, căci 75 : 3 x 4 = =100. Tot 100 litri reprezintă și 2 treimi din capacitatea vasului.

Câți litri încăpeau în vas?

100 : 2 x 3 = 150 litri.

Rezolvarea 2:

Cât reprezintă o pătrime din 2 treimi din capacitatea vasului?

1/4 x 2/3 = 1/6

Deci din vas s-a scos apă cât o șesime din capacitatea vasului?

2/3 – 1/6 = 3/6 = 1/2 (din capacitatea vasului)

Dacă 1/2 din capacitatea vasului reprezintă 75 litri, rezultă că în vas încăpeau 150 litri, căci 2 x 75 = 150.

Îmbinând cele două metode – metoda figurativă cu metoda mersului invers, elevii pot foarte ușor să sesizeze relațiile dintre mărimi, să găsească soluția problemelor respective.

Singura dificultate, în aplicarea metodei retrogradate (metoda mersului invers), constă în a găsi operațiile inverse care trebuie aplicate, iar aceasta se poate obține cunoscând dependența între cele două valori date și rezultatul operațiilor în cazul adunării, respectiv al scăderii, înmulțirii și împărțirii.

V.5. Aspecte metodice privind rezolvarea de probleme

Rezolvarea de probleme este considerată ca un proces superior de învățare datorită valențelor formative de care dispun acestea.

Se pledează în literatura de specialitate pentru amplificarea activității de rezolvare de probleme, motivată prin aceea ca să câștigăm un mod de a gândi, sa

devenim capabili de a rezolva mult mai mult. Elevul trebuie să învețe să matematizeze situații date, să transpună matematic o problemă reală înainte de a recurge la procedeele intra matematice de rezolvare.

În activitatea de rezolvare a problemelor, un rol important revine gândirii cu operațiile și calitățile ei. Diferitele ipoteze care ne vin în minte în legătură cu problema pusă nu ne vin la întâmplare ci au la bază acumulări de ordin informatic, instrumental și formativ.

Am prezentat în subcapitolul anterior câteva metode specifice ale rezolvării problemelor aritmetice. Putând folosi aceste metode în rezolvarea de probleme elevul arată că și-a însușit un anumit algoritm de lucru (algoritm de rezolvare a problemelor). După mult exercițiu elevul cunoaște elementele esențiale după care problema poate fi încadrată într-o anumită categorie putându-i aplica algoritmul corespunzător.

Pentru a ajunge la aceasta, elevii trebuie să dispună de o serie de competențe din domeniile: informativ, instrumental, formativ. Ce se înțelege prin aceasta?

În primul rând să cunoască împrejurările care determină alegerea și întrebuințarea unor anumite operații.

Pentru aceasta am considerat că este bine ca încă de la adunarea și scăderea numerelor până la 10 să se utilizeze în locul exercițiilor de forma: 3 + 2; 7 -5; 6 + 4 etc.; exerciții de forma:

– care este suma numerelor: 9 și 0, 5 și 4, 0 și 2;

– care este diferența numerelor: 56 și 7; 48 și 8; 20 și 4;

– care este produsul numerelor: 8 și 9; 4 și 5; 2 și 3;

– aflați termenul necunoscut când se cunoaște că suma este 45 și un termen 17; suma este 59 și un termen 18;

– aflați descăzutul dacă restul este un număr par mai mic ca 4 și scăzătorul este un număr impar cuprins între 6 și 9;

– aflați deîmpărțitul dacă câtul este 3 și împărțitorul este dublul său;

– aflați împărțitorul dacă deîmpărțitul este 409 iar câtul este 8;

– cu cât este mai mare suma numerelor 18 și 9 decât diferența lor;

– cu cât este mai mică diferența numerelor 9 și 3 decât produsul lor;

– la suma numerelor 20 și 4 adăugați câtul celor două numere; din

produsul numerelor 9 și 8 scădeți suma numerelor;

– micșorați cu câtul numerelor 16 și 8 produsul numerelor 4 și 4;

– măriți cu produsul numerelor 5 și 4 câtul numerelor 42 și 7;

– aflați numărul de trei ori mai mare decât următoarele diferențe: 19 și 17; 48 și 36; 93 și 87.

Elevii trebuie sa-și însușească foarte bine limbajul matematic, să-l folosească, să cunoască sensul unor expresii și noțiuni matematice pentru a putea opera cu ele.

Exemplu: a micșora cu atât, a micșora de atâtea ori, a mări cu atât, a mări de atâtea ori, jumătatea, sfertul, îndoitul, întreitul, înjumătățit, dublat, triplat, etc…

Pentru ca elevii să dobândească abilitatea de a rezolva probleme am considerat că este necesar să dispună de informații bogate și foarte clar organizate. Este știut faptul că în cazul în care cunoștințele sunt mai largi, mai vaste, mai profunde, șansele ca ipotezele care se nasc în mintea elevului să ducă mai repede la soluții sunt mai mari.

Alegerea ipotezei este mai bună cu cât fondul din care este aleasă este mai bogat. Deci, ca orice doemniu, capacitatea de a rezolva probleme compuse este condiționată de o solidă pregătire.

O altă condiție de care am ținut seama a fost aceea că absolut toți elevii trebuie să fie stăpâni pe calcul în cadrul celor 4 operații. Numai astfel rezolvarea problemelor se concentrează asupra conținutului problemei. Dacă elevul stăpânește bine tehnicile de calcul, cunoaște semnificația operațiilor aritmetice poate, sub conducerea învățătorului, să-și formeze deprinderi de a aplica aceste cunostințe în practică prin rezolvarea de probleme fiindcă există probleme care „seamănă” cu altele anterior rezolvate și nu facem decât să „imităm” rezolvarea cunoscută cu care se reduc la simpla aplicare a unor formule și procedee cunoscute.

De aceea în rezolvarea problemelor nu ne putem limita numai la „algoritmi de recunoaștere” care au un rol deosebit dar nu sunt suficienți. Problemele sunt de o varietate infinită care nu pot fi grupate după un anumit criteriu însă nu sunt „independente”, ci fiecare se încadrează într-o anumită categorie. Trebuie să căutăm legătura cu ceea ce știm dinainte, să încercăm să ne gândim la ce ne-a fost de folos în situații familiare din trecut, să încercăm să recunoaștem câte ceva familiar în ceea ce examinăm acum, să căutăm să prindem ceva folositor în ceea ce am recunoscut.

Aceasta arată că un rol deosebit în rezolvarea de probleme îl are experiența copilului, dar această experiență o caută la școală prin multe exerciții fiindcă dacă până la venirea la școală soluționarea unor probleme se bazează pe încercări sau imitație, acum micul elev în viața căruia dominantă devine învățătura, în detrimentul jocului, soluționează probleme făcând apel la operațiile gândirii. Ori gândirea se dezvoltă în activitatea concretă de rezolvare de probleme. Am considerat că este bine ca încă de la însușirea operațiilor aritmetice: adunări și scăderi de la 0 al 10 să folosesc lecții de rezolvare de probleme legate de viața practică. Exemplu:

1. „Ionel are 5 mere. Fratele lui mai mic are 3 mere. Câte mere au împreună ce doi frați?”

2. „Viorel are 3 creioane colorate, iar Laura are 2 creioane colorate. Câte creioane colorate au împreună Laura și Viorel?”

3. „Pe o farfurie sunt 2 mere și 7 pere. Câte fructe sunt pe farfurie?”

4. „Într-o piesă de teatru sunt 6 personaje, copii și oameni mari. Câți copii joacă în piesă dacă oamenii mari sunt în număr de 4?”

Mulți învățători consideră că aceste lecții sunt mai simple, mai ușoare datorită faptului că nu ar fi vorba decât de o simplă aplicare a cunoștințelor învățate anterior. Din cele constatate în activitatea la clasă, aceste lecții, în realitate, sunt deosebit de dificile, fiindcă ele cer mai mult efort din partea elevilor, dar mai ales a propunătorului. Aceasta datorită faptului că pot să apară de fiecare dată lucruri noi, neprevăzute ,iar prin intermediul acestor lecții învățătorul cu măiestria și tactul său pedagogic îi introduce pe elevii din clasa I in „probleme” despre care el nu știe nimic, iar pe cei din clasele a II-a – a IV-a mai mult în „problema problemelor” la matematică.

În permanență am avut în atenție cunoașterea cu precizie a scopului și locului

lecțiilor special destinate rezolvării de probleme. Iată obiectivele operaționale ce trebuie realizate la sfârșitul unei asemenea ore la clasa a III-a, ora de rezolvare de probleme prin metoda figurativă de tipul:

„O sârmă lungă de 18 m se taie în două bucăți, a doua bucată fiind cu 4 m mai lungă decât prima.

Câți metri are fiecare bucată?”

– sa observe suma dintre lungimea primei și celei de-a doua bucăți de

sârmă;
– să observe diferența dintre lungimea primei și a celei de-a doua bucăți de sârmă;

– să reprezinte schematic și figurativ relațiile dintre cele două mărimi;

– să traducă semnificatia expresiilor ce conduc la compararea mărimilor, iar în funcție de aceasta să stabilească operația corespunzătoare;

– să aplice algoritmul de rezolvare al problemelor din această categorie;

– să verifice corectitudinea soluțiilor găsite.

O deosebită importanță pentru însușirea acestui tip de probleme, în stabilirea algoritmului de rezolvare, o are măiestria pedagogică cu care învățătorul conduce gândirea elevului prin întrebări adecvate. De la început am considerat că este necesar să-i fac pe elevi să înțeleagă că în structura unei probleme există trei elemente: datele, condiția, cerințele, iar între acestea există raporturi de interdependență care trebuie bine înțelese.

De asemenea în activitatea de rezolvare a unei probleme am parcurs cu elevii mai multe etape. Am căutat să-i fac să observe că în fiecare etapă are loc un proces de reorganizare a datelor și de reformulare a problemei pe baza activității de orientare a rezolvitorului pe drumul și în direcția soluției problemei.

Aceste aspecte sunt:

– cunoașterea enunțului problemei;

– înțelegerea enunțului problemei;

– analiza problemei și întocmirea planului logic;

– alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din planul logic;

– activități suplimentare care pot fi: verificarea rezultatului, scrierea sub

formă de exercițiu, găsirea altei căi sau metode de rezolvare, generalizare, compunere de probleme după o schemă asemănătoare.

În fiecare din etapele mai sus enumerate are loc un permanent proces de analiză și sinteză (prin care elevul separă și reconstituie, desprinde și construiește raționamentul care conduce la soluția problemei) de o îmbinare aparte a analizei cu sinteza caracterizată prin aceea că diferitele elemente luate în considerare își dezvăluie mereu noi aspecte (analiza) în funcție de combinațiile în care sunt

plasate (sinteza).

Alte condiții de care trebuie să ținem seama în rezolvarea problemelor ar fi:

– legătura problemelor cu viața, cu realitatea. Datele problemelor, problemele însăși să fie preluate din realitatea existentă în jurul copiilor, din experiența de viață, din mediul de viață al acestora;

– în rezolvare să se facă apel la schiță, desen, lucru care ușurează înțelegerea enunțului, ce favorizează găsirea soluției, căii de rezolvare;

– să nu neglijăm latura educativă a problemelor. Neglijandu-se aceasta am frustra elevii de efectul afectiv pe care-l au problemele asupra personalităților;

– să domnească în clasă un „spirit de permisibilitate”, adică să li se permită elevilor să pună întrebări, să fie apreciați dacă sunt întrebări interesante, pentru că pun întrebări, să fie apreciate soluțiile care ies din comun, care denotă un spirit creator. În clasă să fie o atmosferă de lucru, în care să domnească relațiile de întrajutorare, de cultivare a încrederii în forțele proprii. Elevii să nu fie apostrofați chiar dacă greșesc. De asemenea, este bine să se utilizeze toate formele de lucru: colectiv, individual, in echipa, in perechi; tinând seama de aceste cerințe elevul va reuși să știe să depisteze problematicul din probleme, să pună și să formuleze probleme noi și apoi, să știe să caute drumul către soluții, să construiască ipoteze și apoi să le verifice.

V. 6. Metode și procedee folosite în vederea cultivării flexibilității gândirii elevilor prin rezolvarea problemelor

Activitatea de compunere a problemelor oferă terenul cel mai forțat din domeniul activității matematice pentru cultivarea și educarea creativității și a inventivității, reprezintă o culme a performanței cognitive. Diferența între a invata rezolvarea unei probleme și a compune o problemă noua înseamnă, în esență, creativitate, dar pe niveluri diferite.

Creativitatea gândirii, mișcarea ei liberă, nu se poate produce decât pe baza unor deprinderi corect formulate, stabilizate și eficient transferate.

Tinând seama de aceasta am avut permanent în vedere îndemnul lui I. Jinga:

Educatorii sunt datori să-i învețe pe elevi să învețe, să-și pună întrebări, să formuleze probleme și să le dea cât mai multe soluții.

Prin aceasta elevii să-și însușească ABC-ul acestei discipline aparent aride, dar înțeleg și poezia matematicii, plăcerea de a descifra și a reciti ca pe o poezie multiple (și uneori ascunse) sensuri depre viață și despre Univers, constatând astfel că întreaga matematică este și distractivă.

Am prezentat în subcapitolele anterioare câteva metode de rezolvare a problemelor tipice și considerații metodice de care am ținut seama pentru a atinge obiectivele stabilite pentru fiecare oră de rezolvare a problemelor.

Ca urmare a acestui fapt la sfarșitul clasei a IV-a din cei 14 elevi, 9 rezolvă cu ușurință problemele din manul și probleme asemănatoare, iar 5 aveau nevoie de întrebări de sprijin, ajutor pentru realizarea desenului ajutător, sugerându-li-se ideea, după care puteau și ei să rezolve problema.

Pentru obținerea acestor rezultate s-a folosit ca metodă de bază exercițiul, știut fiind faptul că a ști să rezolvi probleme este o îndemânare practică- o deprindere- cum este înotul, schiul sau cântatul la pian, care se poate învăța numai prin imitare și exercițiu. Dacă vrem să învățăm înotul trebuie să intrăm în apă, iar dacă vrem să învățăm să rezolvăm probleme, trebuie să învățăm probleme.

Această antrenare la efort a forțelor proprii constituie o condiție necesară pentru orice matematician și cu atât mai mult pentru cel ce învață matematică. Dar matematica nu impune numai rezolvarea de exerciții și probleme de către elevi, ci , pentru a putea să ocolească, să sară peste obstacole diferite în activitatea cotidiană, am pus elevii în situații specifice creatoare: să vadă și să pună întrebări, să combine date, să caute multiple posibilități de a utiliza, să le restructureze, să creeze probleme.

Având în vedere că izvorul creației există la toți elevii, am căutat totdeauna să-l dezvolt. În cadrul orelor de matematică s-au planificat lecții speciale, din orele la dispoziția învățătorului, de compunere de probleme. Aceasta este posibil și datorită faptului că însăși programa școlară are în vigoare acest lucru, manualele conțin exerciții care au drept sarcină compunerea de probleme, iar psihologia o recomandă să o cultivăm la cea mai fragedă vârstă, întrucât elevii nu sunt suprasolicitați la sarcinile cu caracter creator, le doresc, le așteaptă, le solicită, au un efect pozitiv

asupra personalității lor. Le dezvoltă încrederea în forțele proprii chiar și celor timizi și slabi la învățătură.

În scopul cultivării creativității, adică a gândirii, inteligenței și imaginației elevilor în activitatea de rezolvare a problemelor se folosesc variate procedee. Printre acestea enumerăm:

– complicarea problemei prin introducerea de noi date sau prin modificarea întrebării;

Exemplu:

„Doi elevi au sarcina să culeagă împreună 300 kg de mere, fiecare culegând jumătate din cantitate. În două ore un elev a cules 80 kg de mere, iar celălalt 90 kg de mere. Câte kg de mere mai are de cules fiecare elev sau câte kg de mere mai au de cules împreună cei doi elevi?” (clasa a III-a)

– rezolvarea problemei prin două sau mai multe procedee;

Planul problemei precedente ar putea fi, pentru prima întrebare, următorul:

I II

300 : 2 – 80 = 70 80 + 90 = 170

300 : 2 – 90 = 60 300 – 170 = 130

70 + 60 = 130

– scrierea rezolvării problemei într-o singură expresie;

– alegerea celei mai scurte și mai economicoase căi de rezolvare;

– determinarea schemei generale de rezolvare a problemelor care fac parte dintr-o anumită categorie și încadrarea sau nu a unei probleme într-o anumită categorie de probleme;

– transformarea problemelor compuse în exerciții cu paranteze care să indice ordinea operațiilor;

– transformarea problemelor compuse în exerciții compuse astfel încât ordinea operațiilor să fie succesiunea judecăților și a relațiilor corespunzătoare conținutului problemei;

– transformarea și compunerea din 2-3 probleme simple a uneia compuse.

Compunerea problemelor este una din modalitățile principale de a dezvolta gândirea independentă și originală a copiilor, de cultivare și educare a creativității gândirii lor.

Se pot compune și crea probleme în următoarele forme și următoarea succesiune graduală:

– probleme acțiune, sau cu punere în scenă;

– compuneri de probleme după tablouri și imagini;

– compuneri de probleme după modelul unei probleme rezolvate anterior;

– probleme cu indicarea operațiilor matematice ce trebuie efectuate;

– compuneri de probleme după un plan stabil;

– compuneri de probleme după mai multe întrebări posibile;

– compuneri de probleme cu o întrebare dată și cu mai multe conținuturi de date precum și relații între date ale conținutului;

– compuneri de probleme cu întrebare probabilistică;

– compuneri de probleme cu un început dat, cu sprijin de limbaj;

– compuneri de probleme cu mărimi date, cu valori numerice date;

– compuneri de probleme după un exercițiu simplu sau compus;

– compuneri de probleme după un model simbolic;

– compuneri de probleme cu modificarea conținutului și a datelor;

– crearea liberă de probleme;

– probleme de perspicacitate, rebusistice etc.

În activitatea de compunere a problemelor trebuie să se țină seama de posibilitățile elevilor, prin sarcini gradate trecându-se de la compunerea liberă la cea

îngrădită de anumite cerințe din ce în ce mai restrictive.

1. Compunerea problemelor cu ajutorul materialului intuitiv

Primele probleme s-au creat cu ajutorul materialului intuitiv: obiecte (jucării), bile, jetoane (reprezentând diferite păsări, animale, jucării), bani (monede sau bancnote).

După ce am plasat jetoanele pe tabla aderentă (imagini cu jucării, plante, animale, unelte, etc) am cerut elevilor să le ordoneze, să le aranjeze după utilitate, iar apoi să creeze probleme. Exemple de probleme formulate:

1. „Copiii se jucau cu 6 mașinuțe, 2 avioane, 4 găletuțe, 3 site și 3 lopeți. Câte jucării erau?”

sau

2. „La un magazin de jucării s-au vândut 6 mașinuțe, 2 avioane, 4 găletuțe, 3 site

și 3 lopeți. Câte jucării s-au vândut?”

sau

3. „Fetițele si-au ales 4 găletute, 3 site și 3 lopeți, iar băieții 6 mașinuțe și 2 avioane. Care grupă are mai multe jucării și cu câte?”

Sau o problemă compusă de eleva Surdu Andrada care prezintă un grad sporit de dificultate:

„Jucăriile s-au împărțit la două grupe. Grupa întâi a primit 6 mașinuțe și 2 avioane, iar grupa a doua 4 găletute, 3 site și 3 lopeți. Câte jucării trebuie să dea una din grupe pentru a avea un număr egal de jucării?”

Trecând la clasa a II-a am insistat în primul semestru la acest procedeu, dar imaginile prezentate solicitau probleme cu grad sporit de dificultate. Exemplu:

Am prezentat elevilor un tablou ce reprezenta o fermă de animale în care se observa clar numărul vitelor din cele 3 încăperi. Le-am cerut elevilor să formuleze o problemă și în final să o rezolve. Majoritatea au compus problema astfel:

„O fermă de animale avea trei grajduri. În primul grajd erau 29 de vaci, în al doilea 34 de vaci, iar în al treilea 36 de vaci. Câte vaci erau în cele 3 grajduri?”

Le-am cerut după aceea să complice puțin problema. Câțiva au complicat-o astfel:

„În cele trei grajduri ale unei ferme erau 29, 34, 36 vaci. S-au trimis la o altă fermă 26 de vaci. Câte vaci au mai rămas?”

Din cei 12 elevi ai clasei a II-a, 6 au compus-o prin prima variantă, 3 prin doua sau trei variante, iar 3 elevi au fost ajutați cu întrebări pentru a compune prima variantă.

Acest procedeu poate fi folosit pentru a dezvolta capacitatea creatoare a elevilor, dar pentru a obține rezultate bune trebuie respectată condiția ca tablourile prezentate să nu ceară o rezolvare șablon, ci în fiecare desen să se ceară ceva nou și interesant.

2. Compunerea problemelor după schema

Această modalitate de a compune probleme stimulează flexibilitatea și creativitatea gândirii elevilor, le educă voința în găsirea algoritmilor de lucru pe o cale mai ușoară. Schema, prin funcționalitate, pe lângă faptul că obligă pe elevi să

activeze, să gândească, le dă posibilitatea să creeze ca urmare a transformării activității intelectuale într-o adevărată meditație matematică.

Folosirea schemei înainte ca problema să fie rezolvată ajută toate categoriile de elevi (foarte buni, buni, mai puțini buni), dar are și procesul invers, de compunere de probleme după schemă.

Încă de la însusirea numerelor și numerației de la 0 la 10, pentru compunerea sau descompunerea numerelor, dar mai ales după ce au învățat operațiile aritmetice se poate utiliza compunerea de probleme după schemă (mai întâi oral și apoi in scris).

De aceea este bine să se pornească de la scheme simple, ajungând spre sfârșitul clasei a III-a și în clasa a IV- a, ca acestea să prezinte un grad sporit de dificultate.

Avându-se în vedere particularitățile psihice individuale se folosesc scheme în care se indică mărimile respective, dar și relațiile dintre aceste mărimi cu ajutorul unor expresii matematice. În altele se indică mărimile și relațiile dintre ele exprimate prin semne specifice operațiilor aritmetice (+; -; x; 🙂 iar în altele numai mărimile – compunerea de probleme după aceste scheme fiind literală.

Exemplu:

+ :

+

Iată câteva probleme formulate de elevi:

„Pe raftul unei biblioteci sunt 584 de cărți, pe al doilea 196 de cărți, iar pe al treilea cât jumatate din suma cărților de pe primele două rafturi.

Câte cărți sunt pe al treilea raft?”

S-a dat reprezentarea grafică și s-a cerut elevilor să compună câte o problmeă:

I

50 kg II 5 kg

„Doi copii au cules împreună 50 kg de fructe. Al doilea a cules cu 5 kg mai mult decât primul. Câte kg a cules fiecare?”

sau

„Mama a cumpărat 50 kg de roșii și vinete. Dacă vinete a cumpărat cu 5 kg mai puțin, să se afle câte kg de vinete și câte de roșii a cumpărat?”

Compunerea de probleme după schemă în care erau indicate mărimile și relațiile dintre ele au ajutat și pe cei care erau cu greutăți la învățătură. Ei au compus probleme corect, care respectă schema dată, dovadă că sensul operațiilor aritmetice l-au înțeles. Aceasta a dovedit că germenul creativității se află în fiecare copil și că dacă în cadrul lecțiilor procesul de însușire al cunoștințelor se bazează pe înțelegerea profundă a informațiilor, pe ierarhizarea (așezarea) acestor informații într-o anumită ordine pe criteriul importanței și al generalității, iar această ierarhizare să aibă un caracter dinamic, adică o permanentă legătură între cunoștințele însusite anterior și cele predate, se obțin rezultate deosebite.

Dificultăți deosebite ridică compunerea de probleme după scheme în care mărimile sunt indicate în general (cantitate, preț, lungime, viteză, timp, etc) sau cu ajutorul unor simboluri (a, b, c etc.) cum este cazul următoarei scheme:

+

–

:

Majoritatea elevilor au considerat simbolurile folosite drept numere naturale compunând probleme asemănătoare celor oferite de manual. Dar după multe exerciții elevii compuneau probleme legate de realitate, de activitatea oamenilor. Iată câteva exemple de acest fel:

„La o alimentară s-au adus 250 kg zahăr și 362 kg făină. În prima zi s-au vândut 162 kg, iar restul în mod egal în următoarele 2 zile. Câte kg s-au vândut în a doua și a treia zi?”

(problemă compusă de Văduva Denisa)

„Din suma numerelor 450 și 350 scădeți 200, iar diferența micșorați-o de 3 ori. Cât este câtul?”

(problemă creată de Bațai Valentin)

Am considerat necesar să cer elevilor să formuleze probleme după ce, în prealabil, stabiliseră exercițiul corespunzător schemei. Astfel munca, deși dificilă, le-a fost simțitor ușurată.

Folosirea schemelor în rezolvarea de probleme cât și în compunerea acestora stimulează flexibilitatea gândirii, în antiteză, apărând tot ca un joc didactic.

3. Compunerea de probleme după un exercițiu dat

Una dintre formele superioare ale meditației intelectuale o constituie crearea de probleme după un exercițiu dat. Această sarcină din punct de vedere logic constă în inversarea căii clasice de rezolvare de probleme, iar din punct de vedere intelectual constă în aplicarea cunoștințelor matematice dobândite în viața practică prin crearea de texte, care dă posibilitatea elevilor să ilustreze din punct de vedere matematic rezolvarea diferitelor aspecte ale vieții.

Încă din clasa I am căutat ca problemele rezolvate cu elevii să fie așezate sub formă de exercițiu. Această modalitate a ușurat compunerea de probleme după un exercițiu. Am desfășurat astfel de activități sub formă de joc, ceea ce a antrenat întregul colectiv de elevi.

Pe mai multe cartonașe am scris diferite exerciții de adunare și scădere. De la fiecare rând am desemnat un elev care și-a ales un cartonaș, apoi a trecut la loc și împreună cu colegii de pe rândul său a citit ce este scris pe cartonaș și li s-a cerut să compună o problemă care să se poată rezolva după operația sau operațiile ce erau scrise pe cartonaș. Fiind antrenată întreaga clasă, câștigă rândul care a compus mai multe și variate probleme după cartonașul său.

Cartonașele pot cuprinde două sau mai multe exerciții. Exemplu:

5 + 4 = 18 – 5 = 40 + 20 =

10 + 3 = 3 + 6 = 60 – 30 =

Elevii au fost îndrumați să se inspire în compunerea problemelor din diferitele

acțiuni ce le întreprind ei, părinții, oamenii în general.

Folosind jocul în dezvoltarea gândirii independente și a creativității, se evită impresia de efort, lucrează în condiții de competivitate, trec astfel cu ușurință pragul primelor începuturi. Spre sfârșitul clasei I exercițiile după care se compun problemele ridică mai multă dificultate; pentru a trece de aceasta am rezolvat mai întâi cu întreaga clasă probleme și apoi le-am cerut elevilor să le pună sub formă de exercițiu. Astfel am pornit de la o problemă care se rezolvă prin două operații:

„La un cămin de preșcolari s-au adus de dimineață 42 franzele, iar la prânz 37 franzele. S-au consumat 53 de franzele. Câte au rămas?”

I. 43 + 37 = 79 (franzele s-au adus în total) II. 47 + 37 – 59 = 26 (franzele)

79 – 53 = 26 (franzele au rămas)

Punând problema sub formă de exercițiu, le-am cerut să creeze si ei o problemă pe care să o rezolve tot prin acest exercițiu.

S-au dat și alte exerciții după care elevii au creat probleme, în semestrul al II-lea

introducând și parantezele

66 – (23 + 42) = (26 + 32) + (26 + 32 -12) =

Începând cu clasa a III-a posibilitatea creării problemelor pe bază de exerciții se imbogățește deoarece cunosc și alte două operații: înmulțirea și împărțirea. Numărul problemelor ce se pot constitui pe baza unor exerciții este nelimitat și de aceea am creat posibilitatea fiecărui elev să-și arate originalitatea în compunerea problemelor.

La început doar un număr mic de elevi compuneau probleme când exercițiul era mai complicat. După mai multe exerciții – munca independentă, teme acasă, lucru la tablă – am reușit ca cei mai mulți elevi să compună și să rezolve corect probleme, câțiva au compus parțial, iar 2 elevi nu au compus deloc.

Am insistat cu ultimele 2 categorii în a rezolva cât mai multe probleme pe care le-au pus sub formă de exercițiu și apoi au creat probleme cu exercițiul obținut.

În clasele a II-a și a IV-a am combinat acest procedeu cu cel al folosirii schemei de rezolvare.

Schema ca model ideal a devenit și în această situație elementul pivot al activității cognitive în dezvoltarea capacității matematice la elevi ceea ce îi confirmă valoarea și eficiența în ordonarea gândirii elevilor în diferite situații.

Această relație în mod schematic se prezintă astfel:

TEXT EXERCIȚIU

SCHEMĂ

EXERCIȚIU TEXT

Pentru a ilustra cele relatate voi ilustra calea de creare a unui text pe baza unui exercițiu dat folosind ca element intermediar schema:

1. Exemplu la clasa a IV- a

Exercițiu : (880 : 8) + (900 : 9) + (484 : 4) = d

Schema:

? a ? b ? c ? d

880 : 8 900: 9 484 : 4 a + b + c

2. Exercițiu: 312 – (a : 4) – (a : 8) x 3 =

Schema

? a ? b ? c ? d

312 a : 4 a : 8 x 3 a – b – c

Exercițiul dat ca formă generalizată prin intermediul schemei se transformă în judecăți parțiale ceea ce ușurează acțiunea de rezolvare. Generalizarea structurii logice a textelor pe baza exercițiului dat prin intermediul schemei este un proces ce se desfășoară treptat etapă de etapă, plecând de la forma cea mai simplă în mod gradat până la nivelul textului complet. Schema prin structură în ambele situații sugerează planul rezolvării problemei și ordinea operațiilor efectuate parțial sau printr-un singur exercițiu.

Prin acest procedeu, pe lângă faptul că dezvoltăm flexibilitatea gândirii, educăm creativitatea, suntem siguri că elevii stăpânesc bine o noțiune, o regulă pentru că pot s-o ilustreze complet prin exemple corespunzătoare.

4. Completarea datelor care lipsesc în problemă sau întrebărilor acestora

Este un alt mijloc prin care poate fi solicitata gândirea creatoare a elevilor dar și

ințelegerea faptului că fără date numerice problemele în matematică nu se pot rezolva.

În acest sens am plecat cu elevii de la următorul exemplu:

„Elevii clasei I au plantat panseluțe și lalele. Câte flori au plantat?’’

Dupa o succinta analiza a problemei elevii au constatat ca nu pot rezolva problema, motivand si de ce.

Deci ei sesizează mărimile ce au intervenit în problemă (panseluțe și lalele) și relația dintre ele (flori). Dar neavând date numerice nu au putut-o rezolva.

Din problemele compuse de ei în clasă:

1. În clasa noastră sunt elevi. 20 elevi sunt abonați la revista „Mozaic”, iar restul la revista „Meridian”. Câți elevi sunt abonați la revista Meridian?”

2. „În cercul de minibaschet participă elevi și cu mai mulți la fotbal. Câți elevi participă la cele două cercuri sportive?”

Acest procedeu nu solicită într-un grad sporit gândirea elevilor ci mai mari

posibilități de exersare a creativității elevilor oferă completarea problemelor cu întrebările ce trebuie puse. În această dificilă încercare – formularea întrebărilor – elevii au fost introduși prin joc începând cu cele mai simple probleme.

Exemplu:

„Într-o cutie sunt 8 bile, iar în alta 5 bile’’. Ce putem afla?

Toți copiii au formulat întrebarea „Câte bile sunt în total?”, dar în urma discuțiilor și a stimulării să descopere și laturile mai ascunse s-au formulat întrebările: „Cu câte bile sunt mai multe în prima cutie?’’, ,,Care este diferența dintre numărul de bile din prima cutie și cele din a doua cutie?”

Treptat, oferindu-le mai multe date le putem deschide calea spre surprinderea unui mare număr de întrebări, în contextul cărora se identifică intrebările, pașii care conduc spre întrebările finale, spre soluția finală care o desăvârșesc.

Exemplu:

„Un bloc are 5 scări cu câte 20 de apartamente pe fiecare scară, iar alt bloc are 6 scări cu câte 8 apartamente pe fiecare scară. Câte apartamente sunt în cele două blocuri?”

Întrebările care apar în mod firesc sunt: „Câte apartamente sunt în primul bloc?”,

„Câte apartamente sunt în cel de al doilea bloc?”, „Câte apartamente sunt în cele 2

blocuri?”

Dar folosind numărul apartamentelor din primul bloc și numărul apartamentelor din al doilea bloc, elevii descoperă că diferența dintre ele reprezintă încă o problemă. Discuția purtată cu elevii a clarificat faptul că primele două întrebări constituie de fapt întrebări parțiale deoarece nu cuprind totalitatea datelor și că, deci, cele mai adecvate sunt ultimele două.

Se știe că formularea corectă a întrebărilor are o importanță covârșitoare atât pentru soluționarea problemelor, cât și pentru formarea gândirii creatoare. Ea presupune gruparea și relaționarea datelor, integrarea lor într-o unitate, descoperirea necunoscutelor și a aspectelor mascate – într-un cuvânt o activitate de investigare și permanentă reorientare în problemă.

5. Compunerea de probleme asemănătoare

Printre primele metode prezentate într-un subcapitol anterior elevii rezolvă probleme tipice, își însușesc algoritmul de rezolvare a problemelor. Dar pentru a nu se șabloniza acest stil de lucru, pentru a verifica dacă elevii aplică algoritmul de rezolvare nu în mod mecanic, folosind acest procedeu de lucru – compunerea de probleme asemănătoare – s-au rezolvat probleme de felul următor (impun ca metodă de rezolvare metoda figurativă):

1. „În două mine de cărbune lucrează 800 de mineri. Câți mineri lucrează la fiecare mină, dacă la una lucrează cu 148 mineri mai mulți decât la cealaltă?”

2. „Suma a două numere consecutive este de 755. Aflați cele două numere.”

S-a cerut elevilor să formuleze o problemă ca cea anterioară (1) folosind numerele 500 și 126. Pentru ca enunțul problemei să fie conform realității am avut permanent în atenție transmiterea de cunostințe despre diferite domenii de activitate.

Procedând astfel, din cei 14 elevi ai clasei a III-a, 8 au alcătuit probleme corect, respectând condițiile impuse, 4 au avut greșeli în exprimare, iar 2 elevi întâmpină greutăți frecvente în rezolvarea de probleme. Ei nu au rezolvat corect, lucru ce a impus program special de pregătire.

Problemele au fost formulate astfel:

1. „La o anumită cantină muncitorească au servit masa dimineața și la prânz 500

muncitori. Câți muncitori au servit masa dimineața și câți muncitori au servit masa la prânz, dacă la prânz au fost cu 126 mai mulți?”

2. „La alimentară s-a adus în două zile o cantitate de 500 l ulei. Câți litri s-au adus în fiecare zi dacă în prima zi s-au adus cu 126 l mai puțin?”

3 „În clasele I – IV din școala noastră sunt 500 elevi. Numărul băieților este cu 126 mai mare decât al fetelor. Câți băieți și câte fete sunt?”

În compunerea de probleme asemănătoare elevii manifestă tendința de a „imita”, aportul de originalitate fiind foarte mic.

La început am considerat că este necesar să le prezint elevilor diferite imagini (aspecte din viața cotidiană a oamenilor, a copiilor având scrise sub ele datele numerice respective). După aceste imagini elevii compuneau probleme.

De asemenea, în prealabil am rezolvat cu ei un număr mare de probleme în care se cunoșteau diferența dintre două mulțimi și intersecția lor. Numai după aceasta s-a trecut la probleme asemănătoare.

Astfel, un număr de 7 elevi au compus probleme din domenii de activitate deosebite de cele oglindite de manual, 5 nu au ieșit din sfera problemelor anterioare, iar 2 nu nu rezolvat sarcina deoarece aveau lacune în cunoștințele însușite despre mulțimi. Am căutat pe cât posibil ca problemele alcătuite de elevi să difere ca enunț, conținut, de cele din manual sau rezolvate împreună. Numai astfel am putut vedea dacă elevii aplică conștient sau mecanic algoritmul de rezolvare.

6. Compunerea de probleme cu sprijin simbolic

Cerințele simbolice stimulează gândirea creatoare a elevilor, adâncesc raționamente, consolidează deprinderi de analiză a problemelor. Dar mai întâi să străbatem calea până a reuși să determinăm elevii să compună probleme după formule literale.

Copiilor le place să asculte și să învețe poezii și am găsit cu cale că ar fi un mijloc de a introduce copiii în tainele unei forme de creare de probleme. S-a prezentat o scurtă poezie:

„De sub streașinele mele

Pleacă noua rândunele

Și mai e o rândunică.

Ar rămâne, dar i-e frică

Să n-o prindă vremea rea.

Și- atunci pleaca-n zbor și ea.

Spune-mi câte rândunele

Trec deasupra casei mele?”

Copiii află că la cele noua rândunele se adună încă o rândunică și că 9 + 1 = 10.

Le-am dat sugestia să înlocuiască cu o literă „a” numărul care reprezintă păsărelele care au zburat prima dată și cu alta, litera „b”, numărul păsărelelor care s-au alăturat după aceea. Numărul păsărilor care trec deasupra casei a fost notat cu „d”.

Le-am cerut acum să scrie acest exercițiu folosind litere în loc de cifre.

a + b = d

Cerându-le să formuleze și ei probleme după această formulă numerică, la început a mers mai greu, dar după aceea s-au întrecut în formularea de probleme.

Pentru compunerea de probleme după formula literală a – b m-am folosit de versurile:

„Pe – o rachetă zboară iuți

Trei viteji astronauți.

Doi coboară pe-o planetă,

Mai rămân câți în rachetă?”

Familiarizându-se cu calculul, cu simboluri literale, copiii sunt introduși în modul de lucru cu aceste simboluri.

Se solicită gândirea creatoare a elevilor atunci când li se cere să alcătuiască probleme al căror principiu de rezolvare să fie relațiile implicate prin simbolurile literale din formula dată.

Trecerea la faza de compunere de probleme, după formulele literale, așa cum am mai arătat a fost făcută prin înscrierea unei probleme sub formă de formulă numerică. Formându-se priceperi și deprinderi de a compune probleme după formule numerice, crescând gradul de dificultate s-a ajuns ca elevii să poată utiliza formule ca:

a – b – c = d a – (b x c) = d

a + b + c = d a x b : c + d – e = ?

a x b – c = d

a : b + c = d

a : c – b = d

Pentru activitatea diferențiată în compunerea problemelor după astfel de formule am observat că elevii mai slabi au compus probleme după prima parte a formulei, cei buni după întreaga formulă.

Acest procedeu este un veritabil exercițiu de pregătire a elevilor în vederea aflării valorii numerice a unei expresii algebrice.

7. Compuneri de probleme libere

Așa zisele „creații literare”, fără sprijin de cifre duc la ideea că majoritatea copiilor de azi sunt mult mai bine informați, și deci au mai multe surse de substractizare.

Înainte de modernizarea gândirii copilului prin matematică, se pare că ea este modernizata de viata sociala si culturala contemporana. Inca o data psihologia istorică ni se impune ca o necesitate, ca un moment de pornire și în didactica modernă.

Dând frau liber fanteziei școlarilor mici, aceștia compun probleme legate de viața lor, de mediul lor social, oraș, magazine întreprinderi, fabrici, uzine, orășelul copiilor, blocuri – compun probleme simple și probleme compuse în mod diferențiat în raport cu vârsta lor. Reușesc să compună probleme legate de aceste modernizări chiar cu sau fără sarcini date.

Ca orice început, primele au fost grele și chiar nereușite. Elevii trebuie să folosească întregul bagaj de cunoștințe acumulate la geografie, cunoștințe despre natură etc. Prin aceasta dovedesc că dispun de un bogat bagaj de cunoștințe, dar au, în același timp, bine dezvoltat și simțul realității.

Un elev a creat o problemă care a stârnit hazul tuturor, fiindcă având ca cerință să folosească date numerice de ordinul sutelor de mii, n-a avut veridicitate în realitatea înconjurătoare.

„Participând la culesul fructelor, elevii clasei noastre au cules în prima zi 230.000 kg mere, pere cu 150.000 kg mai mult, iar struguri de 5 ori mai mult decât

mere și pere. Câte kg de fructe au cules în total?”

În opoziție cu exemplul de mai sus apar probleme create astfel:

„Întreprinderea minieră Rovinari a livrat în prima lună a anului 702.302 t lignit, în luna a doua cu 50.800 t mai mult, iar în luna a treia cu 230.700 t mai puțin decât în primele două luni la un loc. Câte tone au fost livrate în primul trimestru al anului?”

Pentru compunerea unor probleme corecte am urmărit să aduc elevii la simțul realității, cunoscând diferite aspecte ale vieții. Astfel, problemele compuse nu sunt fanteziste, sunt legate de realitățile vieții, activității cotidiene a părinților lor. Prin exemplele relatate am încercat să realizez câteva soluții prin care am cultivat și valorificat interesul copiilor pentru aprofundarea și consolidarea cunoștințelor matematice.

Din activitatea pe care am desfășurat-o m-am convins că activitățile de factură creativă concepute gradat și sistematic sunt atât accesibile cât și atractive pentru școlarii mici. Asta mă îndeamnă să caut și alte mijloace care să contribuie la dezvoltarea spiritului creator la elevii din ciclul primar.

Simpla formulare a unei probleme este adeseori mult mai importantă decât rezolvarea ei, care poate fi doar o chestiune de matematica sau tehnică experimentală. A ridica noi întrebări, noi posibilități, a privi problemele vechi dintr-un unghi nou presupune imaginație creativa.

VI. EVALUAREA ȘI INTERPRETAREA REZULTATELOR

Prin evaluare ne exprimăm în mod direct interesul pentru calitatea „producției” școlare, pentru gradul de pregătire a elevului pe o perioadă determinată.

Evaluarea ne furnizează informațiile necesare reglării și ameliorării activității de la o etapă la alta prin adoptarea măsurilor corespunzătoare pentru creșterea eficienței activității. Verificarea și aprecierea sistematică a rezultatelor obținute constituie un important factor motivațional, stimulând activitatea de învățare a acestora, exercită influența asupra dezvoltării psihice, a laturii voliționale și afective, îi ajută în cunoașterea și dezvoltarea aptitudinilor.

În ceea ce privește rolul cadrului didactic în activitatea de la clasă, cunoașterea nivelului atins de elevi în dezvoltarea lor generală și a rezultatelor obținute este necesară în fiecare moment al desfășurării procesului didactic: la începutul activității cu noii elevi pentru a le cunoaște nivelul de pregătire în vederea adoptării unei pedagogii adecvate; pe parcursul procesului de instruire pentru a-și adapta activitatea la posibilitățile elevilor și la sfîrșitul procesului pentru a aprecia rezultatele obținute în lumina obiectivelor urmărite și pentru prefigurarea activității viitoare.

Se poate spune că actul de evaluare implică două operații corelate, alcătuind un tot unitar, măsurarea și aprecierea. Prima constă în aplicarea unor tehnici, probe, pentru a cunoaște efectele acțiunii intructiv – educative și a obține date în perspectiva unui scop determinat. Exactitatea măsurarii este condiționată de calitatea instrumentelor de măsură folosite și de modul cum sunt aplicate acestea.

Aprecierea definește procesul de judecare a rezultatelor constatate, prin compararea acestora cu scopurile urmărite. Se presupune deci formularea unor judecăți de valoare asupra unui rezultat.

Rostul evaluării rezultatelor nu se limitează la cunoașterea acestora și la clasificarea elevilor în funcție de performanțele obținute, ci constă mai ales în a ști care sunt elementele izbutite ale procesului care au asigurat succesul și care sunt aspectele date, punctele critice ce urmează să fie remediate. Diagnosticarea oferă, prin datele și informațiile referitoare la starea procesului, sugestii pentru deciziile ce

urmează a fi adoptate cu privire la desfășurarea activității în etapele următoare, prefigurând rezultatele posibile.

Actul de evaluare își realizează funcțiile numai în condițiile integrării lui efectiv în procesul didactic, ca element constitutiv al acestuia menit să furnizeze informațiile trebuitoare oricărei acțiuni de perfecționare a procesului. Există trei modalități de integrare a evaluării în activitatea didactică: evaluarea inițială, de pornire, evaluarea cumulativă (sumativă), evaluarea continuă (formativă).

Evaluarea inițială este menită să stabilească nivelul de pregătire al elevilor la începutul unei perioade de lucru, condițiile în care aceștia se pot integra în programul pregătit. Ea constituie și temeiul reconsiderării activității, în ceea ce privește ritmul de parcurgere a materiei, gradul de aprofundare, metodele folosite pentru a-l face adecvat situației constatate, dobândind o importanță deosebită la începutul anului școlar sau semestrului.

Evaularea cumulativă (sumativă) este realizată periodic, pe perioade mai lungi, în general corespunzătoare semestrelor școlare sau anului școlar, deși sunt luate în considerare și măsurile operate de parcurs. În aplicarea acestui model se poate realiza, în parte, compararea rezultatelor obținute atât cu obiectivele urmărite, cât și cu nivelul de la începutul activității; neajunsurile principale constau în caracterul de sondaj pe care-l prezintă și prin faptul că actele evaluării nu însoțesc procesul didactic și nu permit ameliorarea lui decât pentru viitor.

Modelul evaluării continue (formative) , înlăturând neajunsurile amintite, presupune verificarea rezultatelor pe parcursul procesului didactic, operând în general pe secvențe mai mici. În acest fel, trecerea la secvența următoare a procesului se face numai după ce se cunoaște modul de desfășurare ameliorativ privind atât desfășurarea procesului, cât și performanțele unor elevi.

Realizarea funcțiilor esențiale ale actului evaluativ în procesul didactic presupune folosirea atât a formelor de evaluare inițială cât și a celor operate pe parcursul și la sfârșitul activității oferind date necesare pentru îmbunătățirea sistematică a actiunii. O autentică acțiune de evaluare trebuie să fie în mod necesar continuă și completă.

Recunoașterea legăturilor dintre diferitele modalități de evaluare a activității didactice conduce la singura atitudine justificată și eficientă fată de folosirea

acestora si anume aceea nu de optiune in favoarea uneia sau alteia , ci de imbinare a acestora , de realizare a unui proces de evaluare în forme și cu funcții multiple, perfect integrat acțiunii didactice.

În clasa a IV-a, la începutul anului școlar, la obiectul matematica am dat spre rezolvare următorul text (vezi anexa 4).

Acest text mi-a oferit informații despre nivelul cunostințelor și deprinderilor pe care le aveau elevii la începutul unei noi clase, care să mă ajute să găsesc cele mai eficiente modalități pentru a obține progrese și a elimina lacunele existente.

Această evaluare inițială a arătat câți elevi au lacune în utilizarea deprinderilor operațiilor matematice, ce elevi au obținut calificative care să-i încadreze în categoria celor mediocri și pentru care trebuie găsite modalități de a le asigura o recuperare rapidă și o înlăturare grabnică a golurilor. Schimbări au intervenit și în rezultatele obținute de cei buni, dar nesemnificative, datorită în mod deosebit a unei mai grele adaptări la activitatea școlară după o pauză așa mare pentru unii.

Fiecare lecție de matematică a cuprins și o scurtă evaluare formativă (continuă) care a fost un adevărat indicator al activității școlare, atât pentru propunător cât și pentru elevi.

Această evaluare formativă s-a realizat folosind diverse modalități ca: fișe curente, munca independentă, lucrări de control, teste, iar rezultatele obținute s-au centralizat și consemnat statistic.

La capitolul multiplii si submultiplii metrului ținând seama de ceea ce au învățat în anul anterior, în clasa a III-a, am vrut să văd dacă elevii își mai reamintesc cele învățate si le-am dat la prima oră următoarea lucrare de control:

1 m = ? dm 4 dm = ? mm

1 dm = ? mm 2500 m = ? dam

1 km = ? dam 300 dm = ? dam

1 km = ? m 60 km = ? hm

1 dam = ? m 800 dam = ? km

În următoarea oră le-am dat o lucrare asemănătoare care urmărea să verifice și să consolideze transformările dintre multiplii și submultiplii metrului. De asemenea am vrut să observ dacă elevii au înregistrat progrese față de lucrarea precedentă și am introdus și operații între aceleași unități de măsură diferite:

8 m = ? cm 24 hm + 49 hm = ? hm 49 km – 220 dam = ? hm

32 dam = ? dm 91 cm + 39 cm = ? cm 48 dam + 15 hm + 5 km = ? m

21 km = ? hm 48 mm + 19 mm = ? mm 54 cm – 210 mm + 5 dm = ? cm

60 mm = ? cm 102 km – 49 km = ? km 73 mm – 23 mm + 1 dm = ? cm

8200 dam = ? km 83 dam – 87 dam = ? km 96 hm – 630 dam = ? km

În urma verificării am considerat că se poate întocmi un grafic simplu în care să se vadă comparativ rezultatele și eficiența metodelor active cât și a lucrului la tablă pe care l-am utilizat după lucrările de sondaj. Am făcut o clasificare a elevilor de la cel mai bun la cel cu rezultatele cele mai slabe, acordându-se numere de ordine corespunzătoare.

După ce am terminat capitolul „Unități de măsură” am conceput un test pentru a evalua sumativ modul cum elevii și-au însușit cunoștințele despre unități de măsură, cum și-au format deprinderile de a transpune dintr-o unitate în alta și de a le utiliza în efectuarea diverselor operații, rezolvări sau compuneri de probleme în urma utilizării diferitelor metode de rezolvare a problemelor (vezi anexa 5).

Testul a fost conceput încât să conțină 3 probe cu dificultăți crescute de la o probă la alta. Fiecare probă a urmărit obiective precise astfel:

(1) operarea de transformări utilizând multiplii și submultiplii unităților de măsură;

(2) aplicarea în exerciții a algoritmului de transformare a unităților de măsură mai mari in unitati de masura mai mici si invers, operatii aritmetice cu diferite unitati de masura;

(3) operarea corectă cu numere concrete, transformarea unităților de măsură în multiplii sau submultiplii.

O evaluare finală a fost făcută cu prilejul testării date la sfârșitul clasei a IV-a prin care s-a urmărit să se evalueze modul cum elevii și-au însusit principalele obiective ale învățării matematicii în ciclul primar (vezi anexa 6)

Rezultatele obținute:

Preocupările slujitorilor școlii din zilele noastre în direcția perfecționării proceselor evaluative fac parte din eforturile având un obiectiv mai larg și anume creșterea continuă a eficienței activității didactice. Evaluarea rezultatelor reprezintă, așadar o condiție necesară pentru orice decizie luată în cunoștință de cauză pentru a conferi activității didactice o eficiență mai înaltă.

VII. CONCLUZII

În epoca contemporană, epoca dezvoltării rapide a vieții în toate domeniile în care știința devine forță de producție, epoca utilizării tehnicii celei mai avansate, afirmația că este nevoie de matematică este insuficientă. Se poate suține pe drept cuvânt că nu se mai poate trăi fără matematică. Necesitatea culturii matematice pentru orice om, devine astăzi tot mai acută. Ea face parte integrantă din cultura generală, ocupand în cadrul acesteia un rol important.

Indiferent de domeniul în care lucrează, omul modern trebuie să posede o bună pregătire matematică pentru soluționarea multiplelor și variatelor probleme ale vieții.

Gândirea secolului nostru și a celor viitoare se cere a fi tot mai mult o gândire creatoare, iar omul prezentului și al viitorului, ușor adaptabil la schimbări, inventiv. Gândirea matematică – gândirea modelatoare, euristică se extinde tot mai mult, devenind gândire caracteristică omului, în general.

Prin predarea ei în clasele I- IV, matematica contribuie nemijlocit la dezvoltarea gândirii creatoare și independente, la realizarea laturii formative a învățământului.

Învățământul matematic s-a dezvoltat în pas cu cerințele vremii și cu nivelul pe care l-a atins știința matematicii.

Accentul în învățământul modern s-a pus pe latura sa formativă, pe realizarea acelor trăsături ale personalității umane care să-i permită să se integreze activ în condițiile societății contemporane și viitoare.

În această direcție, noua programă de matematică și noile manuale pun accentul pe introducerea unor elemente de modernizare care vizează dezvoltarea gândirii logice a elevilor. Începând cu anul școlar 2006/2007, programa de matematică la clasa a IV-a s-a simplificat; prin urmare elevii învață în ceea ce privește metodele de rezolvare a problemelor doar metoda figurativă. Un rol important îl au problemele de logică și cele de organizare a datelor în tabele. Un rol deosebit îl are rezolvarea și compunerea de probleme deprinzând elevii cu munca organizată, dezvoltându-le încrederea în fortele proprii, obișnuindu-i să lucreze disciplinat și să respecte activitatea colectivului.

Pot afirma, pe baza rezultatelor obținute, că am reușit în mare măsură să le trezesc interesul pentru matematică cât și perseverența, fermitatea, tenacitatea pentru invingerea greutăților.

În cadrul acestui obiectiv am acordat o deosebită atenție cultivării flexibilității gândirii, în special prin rezolvarea problemelor prin mai multe variante și compunerea de probleme.

Rezolvarea presupune însușirea conștientă a cunoștințelor teoretice, capacitatea de a le aplica în mod independent și creator, înțelegerea enunțului problemei, sesizării relației dintre necunoscute și datele problemei, formarea priceperii de a stabili planul de rezolvare, de a verifica soluția găsită.

Pentru ca acțiunea de dezvoltare a creativității să fie cât mai eficientă, am început-o (prin metodele și procedeele prezentate) de timpuriu (din clasa I) și am exersat-o în timp, sistematic, modelând copiii prin întregul conținut și prin întreaga metodică de predare.

Consider că este necesar ca pentru fiecare capitol să fie rezervate 1-2 ore pentru dezvoltarea spiritului creator al elevilor, ore ce pot fi luate din numărul orelor rezervate „la dispoziția învățătorului”.

Este necesar să avem suficiente probleme să le introducem atunci când este necesar.

Pentru o bună înțelegere și însușire a tehnicii de rezolvare a problemelor, e mult mai important ca elevii să rezolve aceeași problemă în două sau mai multe variante când acest lucru este posibil, decât să rezolve mai multe probleme de același tip într-un singur fel.

Prin exerciții de rezolvare în mai multe variante am urmărit să formez mobilitatea mentală a elevilor în rezolvarea problemelor, am urmărit ca procedeele de rezolvare învățate să nu se transforme în șabloane, ci să poată fi mânuite cu suficientă suplețe.

Pentru generalizarea principiului de rezolvare a problemei, elevii au fost obișnuiți să cuprindă problema în totalitatea ei și să redea în final soluția problemei printr-o formulă numerică, apoi în formula literală.

Pe baza acestor formule (numerice sau literale) elevii au compus și rezolvat apoi numeroase probleme.

Stimulând încrederea în fiecare elev, apreciind orice încercare de a crea, am lăsat câmp liber curiozității și dorinței native a copiilor de a descoperi mereu ceva nou, uneori, și mai ales în clasa I, multe din activități au îmbrăcat forma jocului.

Deprinzând elevii cu rezolvarea și crearea de probleme în mod independent, am evitat șablonizarea, iar prin stimularea gândirii și angajarea ei în activitatea independentă fac posibilă folosirea optimă a potențialului creator.

Pentru sporirea eficienței activității creatoare am avut în vedere îndeplinirea următoarelor cerințe:

– tema să fie accesibilă;

– să stimulez gândirea și imaginația creatoare;

– să corespundă cerințelor programei școlare;

– să se bazeze pe o motivație puternică;

– să se urmărească formele unui stil de muncă pentru elevi.

Am reușit să-i determin pe elevi să manifeste un interes tot mai mare pentru acest obiect, să depună eforturi sporite plasând activitatea creatoare în diferite momente ale lecției. Am constatat că activitatea de rezolvare de probleme cât și cea cu caracter creator are o puternică valoare formativă de ordin afectiv, motivațional. Aceasta datorită faptului că elevii nu se simt suprasolicitați, ci dacă perseverez, ei le doresc, le așteaptă și de la un timp le solicită. Se observă că, după îndeplinirea sarcinilor cu caracter creator sunt parcă mai pregătiți pentru alte activități, par mai recreați și mai odihniți.

Ei sunt bucuroși când reușesc și nemulțumiți când rezolvările dau greș.

Chiar și elevii timizi sau care intâmpină greutăți doresc să încerce, să obțină rezultate bune.

Pentru reușita dezvoltării activității, a gândirii cu operațiile și calitățile sale, un rol important revine învățătorului. De aceea am manifestat receptivitate la tot ce este mai nou, la tot ce le place copiilor, la tot ce pot ei rezolva.

Trebuie să răspundem permanent chemării să lărgească orizontul, să zdruncine stereotipurile, să creeze acea „disonanță” interna care să determine o „decentrare”, adică o ieșire din perimetrul restrâns al unei experiențe canonizate de ani de vechime.

De aceea am căutat ca prin activitatea desfășurată să înfrumusețez acest obiect, astfel încât elevii să o privească ca pe o activitate utilă, să o privească și să o

aprecieze pentru frumusețea structurii ei.

Ca elevii să iubească acest obiect depinde direct de cine îl predă, de nivelul de pregătire atât din punct de vedere al domeniului (matematic) cât și pedagogic.

Prin multitudinea procedeelor folosite în clasă, noutatea pe care i-o dăm copilului prin fiecare exercițiu, problemă, modul cum reușim să-i activizăm în permanență gândirea, să-l atragem să participe direct la dobândirea noilor cunoștințe cu efect pozitiv asupra personalității omului.

Permanent, învățătorul să fie preocupat să creeze situații problematice, să-i pună pe elevi în situații de a descoperi noile cunoștințe, care să conducă la asigurarea unei participări afective în toate momentele lecției, contribuind la stimularea gândirii creatoare a elevilor.

Am constatat că elevii încă din clasa I pot să-și însușească sau cel puțin să fie familiarizați cu conținutul unor noțiuni de matematică modernă. Prin antrenarea elevilor la un efort gradat și judicios dozat, prin însușirea matematicii având la bază propriul efort, putem spune că pregătim în clasele I – IV, condițiile unui învățământ unitar și structural al matematicii.

Fac câteva propuneri în ideea că acestea și-ar putea aduce un modest aport la activitatea legată de obiectul matematică:

– între activitățile matematice de la grădiniță și învățarea matematicii la ciclul primar există o stransa corelație; nu același lucru există între matematica de clasa a IV-a și cea de clasa a V-a care impune un ritm de lucru mult prea rapid, creând astfel greutăți în adaptarea elevilor în învățarea matematicii la clasa a V-a;

– manualele de matematică la clasele I – IV în noua formulă corespund în mare parte exigențelor impuse de perfecționarea învățământului matematic și racordarea lui pe o linie modernă și eficientă;

– este necesar să se acorde o mai mare atenție, la ciclul primar în ceea ce privește valorificarea capacităților creatoare a unor elevi, iar cei dotați să lucreze sistematic în cadrul orelor de pregătire suplimentară, pentru a le cultiva pasiunea și talentul pentru obiectul matematică; sunt necesare ore de pregătire și pentru cei care nu fac fată cerințelor acestui obiect;

– pentru elevii care au anumite aptitudini spre acest obiect este necesar să se elaboreze unele materiale (seturi, fișe cu exerciții și probleme mai dificile) ;

– trebuie să se lucreze diferențiat, acordând atenție atât celor „buni” cât și celor „slabi”;

– sugerez ca în perspectiva reînnoirii manualelor, care se face regulat, să se acorde mai mult spațiu pentru exerciții și probleme, în mod deosebit cele care stimulează creativitatea, considerând că desenele și explicațiile ocupă prea mult spațiu, ele nefiind întotdeauna valorificate în predarea cunoștințelor;

– folosirea jocului contribuie la însușirea mai rapidă, accesibilă și mai plăcută a unor cunoștințe la școlarii mici, când există posibilitatea, fiind unul dintre cele mai bogate mijloace de activizare a micilor școlari, care asigură un climat socio – afectiv adecvat particularităților de varstă și individualitate ale copiilor.

Pentru a contribui la formarea personalității elevilor, este nevoie de o muncă pedagogică asiduă și competentă, de selecționare, prelucrare, sintetizare și adaptare a materiei de studiu la nivelul capacităților intelectuale ale acestora. Indiferent însă de metodele, modalitățile și mijloacele pe care timpul nostru le pune la dispoziția școlii, rolul nostru ca educatori, constituie un factor hotărâtor în organizarea și desfășurarea procesului de învățământ, pentru creșterea randamentului școlar.

Învătarea matematicii reprezintă un țel spre care se tinde și se ajunge prin pasiune și muncă.

Important e ca în eforturile sale de a îmbogăți comunicarea didactică, învățătorul să nu uite că așa cum spunea L. Șoitu, nu tot ce spune se aude, nu tot ce se aude se înțelege și ceea ce se înțelege nu depinde numai de noi.

Proiect de lecție

Clasa: I

Obiectul: Matematică

Subiectul: „Numărul și cifra 3”

Tipul lecției: Dobândire de cunoștințe

Scopul lecției: – consolidarea cunoștințelor despre numărul și cifra 2;

– formarea deprinderilor de a scrie corect cifra 3; – înțelegerea numărului 3 ca simbol al mulțimii care are 3 obiecte

– dezvoltarea operatiilor gandirii ( analiza, sinteza,

generalizarea, abstractizarea) si a calitatilor acesteia(rapiditatea,

mobilitatea,flexibilitatea)

Obiective operaționale:

O1 – să răspundă corect la întrebările adresate;

O2 – să folosească un limbaj matematic adecvat;

O3 – să înțeleagă numărul 3 ca simbol al mulțimii cu trei obiecte;

O4 – să numere crescător și descrescător până la 3;

O5 – să recunoască și sa scrie corect cifra 3;

O6 – să completeze corect fișele de evaluare;

O7 – să lucreze independent;

O8- să păstreze ordinea și disciplina în cadrul lecției.

Strategia didactică:

a) Mod de abordare al învățării: algoritmic

b) Metode și procedee: conversația, explicația, demonstrația, exercițiul, problematizarea;

c)Mijloace de învățământ: tabla magnetică, bețișoare colorate, trusa de figuri geometrice, numărătoarea, culori, cretă colorată,

fișe de lucru, planșă cu elemente grafice

componente cifrei 3, jetoane cu numere.

d) Forma de organizare: frontală și individuală

e) Evaluarea: parțială și finală

Durata: 45’

Locul de desfășurare: Sala de clasă

Material bibliografic: „Proiectarea și evaluarea didactică în învățământul primar

Marin Manolescu

„Metodica predării matematicii la clasele I – IV”

Proiect de lecție

Clasa:a II-a

Obiectul: Matematică

Subiectul: Adunarea și scăderea numerelor formate din sute, zeci și unități –

exercitii si probleme

Tipul lecției: consolidare și sistematizare a cunoștințelor

Scopul lecției: formarea deprinderii de a rezolva exerciții și prpbleme de adunări și scăderi ale numerelor naturale de la 0 la 100; educarea atentiei, dezvoltarea gândirii.

Obiective operaționale:

a) cognitive: O1 – să răspundă la întrebări;

O2 – să rezolve rapid și corect exercițiile de calcul oral;

O3 – să folosească corect terminologia matematică;

O4 – să utilizeze regulile de adunare și de scădere a numerelor

naturale până la 100;

O5 – să afle numărul necunoscut;

O6 – să scrie corect etapele unor probleme;

O7 – să compună probleme pe baza unor operații de adunarea si scădere care ajung până la 1000;

b) afective: O8 – să participe activ și conștient la desfășurarea lecției;

c) psihomotorii: O9 – să adopte o poziție corectă a corpului în timpul scrisului;

Strategia didactică:

a) Mod de abordare al învățării: mixt

b) Metode și procedee: conversația, explicația, demonstrația, exercițiul,problematizarea, lucrul în echipă, observația, munca

independentă, evaluarea;

c) Forma de organizare: frontală, individuală, în echipă;

d) Material didactic: fișe de evaluare, cretă colorată, culegeri, manualul pentru clasa a II-a;

e) Bibliografie : „Metodica predării matematicii la clasele I –IV;

„Proiectarea și evaluarea didactică în învățământul primar”

– Marin Manolescu, Editura Steaua Procion;

„Îndrumătorul învățătorului pentru aplicarea Programelor

scolare la clasele I – IV’’, Ed. Sigma, București

Evaluarea: continuă

Locul de desfășurare: sala de clasă

Durata: 45 minute

FIȘĂ DE EVALUARE

1. Află diferența numerelor:67 și 4; 79 și 9; 86 și 4

2. Află suma numerelor: 76 și 12; 44 și 3; 57 și 11

3. Alege răspunsul corect:

88 – 6 26 95 – 50

65 – 20 45 4 + 3

24 + 5 82 13 + 13

12 + 14 7 41 + 41

10 – 3 29 78 – 41

69 – 32 37 15 + 14

4. Într-un coș sunt 12 trandafiri, 10 lalele, iar garoafe cât trandafiri și lalele la un loc. Câte flori sunt în coș

Proiect de lecție

Clasa: a III-a

Obiectul: Matematică

Subiectul: Înmulțirea unui număr format din sute, zeci și unități cu un număr de o cifră

Tipul lecției: recapitularea și sistematizarea cunoștințelor

Scopul: consolidarea deprinderilor de a înmulți un număr format din sute, zeci și unități cu un număr de o cifră; consolidarea deprinderilor de calcul oral și scris; dezvoltarea deprinderii de a lucra în echipă; dezvoltarea gândirii logico-matematice, precum și a celorlalte procese psihice (atenția și

memoria)

Obiective operaționale:

a) cognitive: O1 – să răspundă la întrebări;

O2 – să rezolve rapid și corect exercițiile de calcul oral;

O3 – să folosească corect terminologia matematică;

O4 – să rezolve corect înmulțirea, dar și celelalte operații;

O5 – să compare numerele folosind semnele <, >, =;

O6 – să explice etapele rezolvării unei probleme;

O7 – să respecte regulile jocului;

O8 – să efectueze cu atenție fișa primită;

b) afective: O9 – să se conformeze cerințelor, îmbunătățindu-și continuu performanțele

c) psihomotorii: O10 – să adopte o pozitie corectă a corpului în timpul scrisului.

Strategia didactică:

a) Mod de abordare al învățării: mixt

b) Metode și procedee: conversația, explicația, demonstrația, exeercitiu ,lucrul în echipă, observația, jocul didactic, munca independentă;

c) Forma de organizare: frontală și individuală;

d) Material didactic: manualul pentru clasa a IV-a, culegeri, fișe de evaluare,

o planșă cu rebus; 2 planșe- „scărița”; o planșă cu tabel.

e) Bibliografie : „Metodica predării matematicii la clasele I –IV;

„Proiectarea și evaluarea didactică în învățământul primar”

– Marin Manolescu, Editura Steaua Procion;

„Îndrumătorul învățătorului pentru aplicarea Programelor scolare la clasele I – IV’’, Ed. Sigma, București

Evaluare: continuă

Locul de desfășurare: sala de clasă

Durata: 45 minute

FIȘĂ DE EVALUARE

1. Calculați:

100 x 6 =

138 x 7 =

232 x 3 =

(121 x 2) + (300 x 2)

2. Află numărul:

a) de 2 ori mai mare decât 252

b) de 4 ori mai mare decât 243

3. Completează cu unul din semnele <,>, =

298 x 3 283 x 2

4 x 133 2 x 266

4. La un concurs de înot participă 174 fete, iar băieți de 4 ori mai mulți.

Câți elevi participă la concurs?

Proiect de lecție

Clasa: a IV-a

Obiectul: Matematică

Subiectul: Exerciții și probleme

Tipul lecției: recapitularea și sistematizarea cunoștințelor

Scopul: recapitularea cunoștințelor legate de adunarea, scăderea, inmulțirea împărțirea numerelor; consolidarea deprinderii de calcul oral si scris;

dezvoltarea deprinderii de a lucra în echipă; dezvoltarea gândirii logico-matematice, precum și a celorlalte procese psihice (atenția și memoria)

Obiective operaționale:

a) cognitive: O1 – să răspundă la întrebările referitoare la noțiunile matematica învățate;

O2 – să rezolve corect împărțiri cu rest;

O3 – să rezolve exerciții de adunare, scădere, înmulțire, împărțire, în limitele 0 -1.000.00;

O4 – să rezolve rapid și corect exercițiile de calcul oral;

O5 – să găsească semnele operațiilor matematice („+”, „-’’ , „x”, „:”)

O6 – să respecte regulile jocului;

O7 – să afle numărul necunoscut;

O8 – să compună probleme după un exercițiu dat;

O9 – să folosească corect terminologia matematică;

O10 – să explice etapele rezolvării problemei;

O11 – să găsească diferite întrebări pentru o problemă dată;

O12 – să efectueze cu atenție fișa primita;

b)afective: O13 – sa se conformeze cerintelor propunatorului, imbunatatindu-si continuu performantele;

c) psihomotorii: O14 – să adopte o poziție corectă a corpului în timpul scrisului

Strategia didactică:

a) Mod de abordare al învățării: mixt

b) Metode și procedee: conversația, explicația, demonstrația,

problematizarea, exercițiul, observația,

lucrul în echipă, jocul didactic,munca

independentă, descoperirea

c) Forma de organizare: frontală și individuală

d) Material didactic: „Matematică” –manual pentru clasa a IV-a,Editura Aramis; fișă de muncă independentă, culegeri; planșă

cu conținutul unei probleme; ghetuțe cu daruri; planșă cu

schema jocului „Flori matematice”; cutiuța cu probleme;

cutiuța cu buline; cutiuta cu exerciții.

e) Bibliografie : „Metodica predării matematicii la clasele I- IV”

„Exerciții și jocuri didactice pentru matematică”, autori:

Sofia Oneșiu și Mariana Țeicu, Editura The Best;

„Proiectarea și evaluarea didactică în învățământul primar”;

Marin Manolescu, Editura Steaua Procion

Evaluare: continuă

Locul de desfășurare: sala de clasă

Durata: 45 minute

ANEXA 1

Test de verificare a cunoștințelor

1. Subliniază cu o linie cel mai mare număr: 1p.

127 207 702 270

2. Scrie toate nr. impare cuprinse între 103 și 97 1p.

3.Calculează: 1p.

304 + 170 = 478 – 231 =

32 + 205 = 694 – 304 =

4.Calculează și verifică prin probă: 1p.

240 + 53 = 275 – 212 =

5.Află valoarea lui a: 2p.

a + 214 = 656 a – 14 = 352

302 + a = 372 476 – a = 406

6. La diferența nr. 476 și 255 adaugă suma nr. 103 și 220 1p.

7. Pe un raft sunt 125 cărți, iar pe altul cu 14 bucăți mai puțin. 2p.

Câte cărți sunt pe cele două rafturi?

+1p.

S: 5p – 6p

B: 7p – 8p

FB: 9p – 10

ANEXA 2

1. Percepe ușor și bine materialul didactic?

2. Înțelege conținutul lecțiilor?

3. Memorează conștient, bine și de durată?

4. Elaborează ușor operații mentale ca analiză, sinteză, comparație, abstractizare, generalizare și concretizare la lecții?

5. Face corelații și asociații între cunoștințele noi cu cele asimilate anterior la obiectul respectiv?

6. Face corelații și asociații între cunoștințele de la obiecte de învățământ înrudite?

7. Prezintă în gândire note de originalitate?

8. Prezintă flexibilitate în gândire?

9. Are capacitatea de a gândi divergent?

10. Prezintă imaginație creatoare?

11. Folosește la lecții imaginația analogică?

12. Folosește la lecții imaginea probabilistică?

13. Expune cunoștințele într-un limbaj clar, coerent și expresiv?

14. Volumul cunoștințelor corespunde cerințelor programei școlare?

15. Are și cunoștințe care depășesc programa?

16. Prezintă interes pentru noutate?

ANEXA 3

1. Scrieți adunările repetate de mai jos ca înmulțire și calculați produsul:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 8 + 8 +8 =

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 10 + 10 + 10 + 10 =

2. Scrieți scăderile repetate de scăzători egali, de mai jos, ca împărțire și calculați câtul:

16 – 4 – 4 – 4 = 49 – 7 – 7 7 – 7- 7 – 7 – 7- 7 =

18 – 6 – 6 – 6 = 50 – 10 – 10 – 10 – 10 – 10 =

– pentru calificativul SUFICIENT

3.Aflați factorul necunoscut:

n : 7 = 7 n x 8 = 32 45 : n = 9

– pentru calificativul BINE

6. Cinci fetițe au fost în pădure după ciuperci. Prima fetiță a cules 14 ciuperci, a doua cu 10 ciuperci mai puțin,a treia fetiță a cules de 3 ori mai puțin decât a doua, a patra de două ori mai multe decât a treia, iar a cincea cu 4 ciuperci mai mult decât a patra fetiță. Câte ciuperci a cules fiecare? Câte ciuperci au cules împreună?

7. Alcătuiți o problemă după exercițiul : 9 + 9 x 2 =

– pentru calificativul FOARTE BINE

ANEXA 4

Test de evaluare inițiala

1. a) Scrieți cel mai mare număr natural par de 6 cifre, când cifrele se repetă și apoi când cifrele sunt distincte;

b) Scrieți așa cum citiți numerele: 983.412 și 805.023;

c) Scrieți cu cifre numerele: opt mii nouă sute nouăzeci și patru; șapte sute douăzeci de mii cincisprezece;

d) Scrieți în ordine crescătoare numerele:

344.683; 63.802; 934.512; 483.239

e) Puneți semnul „<”, „>” sau „=” între numerele din perechile următoare:

21033 și 21033; 465.821 și 466.938; 423.500 și 387.909; 520.000 și 280.000

2. Calculați și faceți proba:

3.645 + 16.366 = ; 46835 – 9678 =

3. Efectuați și faceți proba:

423 x 2 = ; 900 : 4 =

4. Aflați valoarea lui „X” din egalitatea:

(800 : X) – 170 = 1830

5. Într-o clasă sunt 36 de elevi, băieți și fete. Știind că numărul băieților este cu 8 mai mare decât al fetelor, aflați câți băieți și câte fete sunt în clasa respectivă.

6. Alcătuiți o problemă care poate fi rezolvată prin exercițiul:

236 + (236 – 45) =

ANEXA 5

Test de verificare a cunoștințelor la capitolul „Unități de măsură”

1. Transformați în unitățile indicate:

25 m = ? dm = ? cm = ? mm

8000 mm = ? cm = ? dm

9 kl = ? hl = ? dal = ? l

15000 l = ? dal = ? hl = ? kl

1 t = ? q = ? kg

6 kg = ? hk = ? dag = ? g

5 ore = ? minute = ? secunde

2 zile = ? ore

PUNCTAJ: 3 p

2. Efectuați:

34 km + 418 m = ? m

640 dal + 15 hl = ? l

8500 dg + 42 hg = ? g

42000 mm + 4 m = ? m

PUNCTAJ: 3 p

3. Un magazin a primit spre vânzare 2.050 t de roșii și cartofi. Știind că întreaga cantitate de roșii a fost de 4 ori mai mare decât cea de cartofi, aflați câte tone de cartofi și câte tone de roșii a primit magazinul.

PUNCTAJ: 3p

+1p

S: 5p – 6p

B: 7p – 8p

FB: 9p – 10p

ANEXA 6

Test de verificare a cunoștințelor la sfârșitul clasei a IV-a

1. Efectuează și compară rezultatele celor două coloane de exerciții, scriind în căsuțe semnul potrivit „<, >, =”:

86 x 4 + 168 749 – 79 x 3

921 – 36 x 24 19 x 43 – 760 1 p

24 x 18 – 96 35 x 16 – 224

2. Scrie numerele pare cuprinse între 400 și 4620. 0,5 p

3. Scrie sub formă de sumă numărul 3506. 0,5 p

4. Scrie cu cifre romane: 1 p

– luna;

– anul;

– secolul în care suntem.

5. Efectuează:

100.852 – 92.683 + 56.701 =

[(9892 + 1088) : 4 x 6 ] : 3 – 891 = 2 p

5001 – 34.965 : 7 + (73.465 – 73.264) =

6. Calculați:

75 m x 10 = m = dam

900 dm : 100 = dm = cm 2 p

248 cm + 252 cm = m

7. Suma a trei numere naturale pare consecutive este egală cu a treia parte din 306. Care sunt cele trei numere? 2 p

+ 1 p

S: 5p.-6p.

B:7p.-8p.

FB:9p.-10p

BIBLIOGRAFIE

1.Cherata,Victori,,Metode de rezolvare a problemelor de aritmeticaVoicila Jeana Editura Sibila, Craiova,1993

2. Cristea, Sorin- „Pași spre reforma școlii”, Editura Didactică și

Pedagogică, București, 1991

3. Gardin, Mar – „Aritmetică”, Editura Paralela 45, Pitești, 2000

Gardin, Florin

4. Golu, Pantelimon- „Psihologie educațională”, Editura Ex Ponto,Golu, Ioana Constanța, 2002

5. Jurca, Maria -Georgeta – „Cum rezolvăm probleme de aritmetică”, Editura Trans-Pres, Sibiu, 1994

6. Lupu, Costică- „Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești, 1999

7. Pîrîială, D. Dumitru- „Probleme tipice rezolvate prin mai multe Pîrîială Viorica , metode și procedee”, Institutul European, Iași, 1999

8. Radu, Ion T. -„Evaluarea în procesul didactic”, Editura

Didactică și Pedagogică, R.A., București, 2004

9. Radu, Mircel – „Reciclarea gândirii”, Editura Sigma, București, Radu, Nicolae 1999

10. Revista Cardinal – „Exerciții și probleme pentru clasele I- IV”, Editura Cardinal, Craiova, 2006/2007

11. Roșu, Mihail – „Matematică pentru perfecționarea învățătorilor” Roman, Magdalena Editura All Educational, București, 2000

12. Schneider, Maria – „Metode de rezolvare a problemelor de

aritmetică pentru clasele I- IV”, Editura Apollo, Craiova, 1991

13.Vartopeanu,I- ,,Metode de rezolvare a problemelor de aritmetica Vartopeanu,Olimpia elementara’’,Editura Sitech,Craiova, 1998

14. ******* – „Învățământul primar”, nr. 1-2, Editura Publistar,

București, 1994

15. ********* – „Învățământul primar”, nr. 4, Editura Publistar,

Bucuresti,1994

16. ******* – „Învățământul primar”, nr. 6-7, Editura Publistar,

Bucuresti, 1994

17. ******** – „Învățământul primar”, nr. 1-2, Editura Discipol,

Bucuresti, 1997

18. ******** – „Învățământul primar”, nr. 2-3, Editura Discipol,

Bucuresti, 2001

19. ******** – „Învățământul primar”, nr. 2-3, Editura Miniped,

Bucuresti, 2004

20. ******** – „Învățământul primar”, nr. 4, Editura Miniped,

Bucuresti, 2004

21. ******** – „Învățământul primar”, nr. 4, Editura Miniped,

Bucuresti, 2006

– Programa de matematică pentru clasele I-IV

– Manuale de matematica pentru ciclul primar

– Culegeri de probleme pentru clasele I-IV