Dezvoltarea Gandirii Logice a Elevilor Prin Activitatea de Rezolvare Si Compunere a Problemelor de Matematica

CUPRINS

Capitolul 1. INTRODUCERE

1. 1. Motivația alegerii temei ………………………………………………………………………………

1. 2. Importanța dezvoltării gândirii logice prin rezolvarea și compunerea de

probleme …………………………………………………………………………………………………..

1. 3. Obiectivele lucrării …………………………………………………………………………………….

Capitolul 2. DEZVOLTAREA GÂNDIRII LOGICE A ELEVILOR PRIN ACTIVITATEA DE REZOLVARE ȘI COMPUNERE DE PROBLEME LA MATEMATICĂ ÎN CICLUL PRIMAR

2. 1. Gândirea logică – proces psihic important în rezolvarea de probleme ………………

2. 2. Dezvoltarea gândirii logice prin rezolvarea problemelor de aritmetică ……………..

2. 2. 1. Dezvoltarea gândirii logice prin folosirea metodelor generale ……………

2. 2. 2. Dezvoltarea gândirii logice prin folosirea metodelor particulare …..

2. 3. Dezvoltarea gândirii logice prin compunerea de probleme ……………………………….

Capitolul 3. ACTIVITĂȚI REZOLUTIVE

3. 1. Conceptul de activitate rezolutivă și modul de rezolvare a lor …………………………..

3. 2. Exemple de activități rezolutive ……………………………………………………………………

Capitolul 4. ACTIVITATE METODICĂ ȘI DE CERCETARE

4. 1. Proiect de cercetare: „Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin activitatea de rezolvare și compunere de probleme la matematică în ciclul primar”……………….

4. 2. Proiecte didactice ……………………………………………………………………………………….

Capitolul 5. CONCLUZII ……………………………………………………………………………………….

Bibliografie …………………………………………………………………………………………………………………

Capitolul 1

INTRODUCERE

1. 1. Motivația alegerii temei

Am ales această temă deoarece am observat că societatea are nevoie de oameni inventivi, creatori și exploratori îndrăzneți. Pentru a se adapta cu ușurință la noile cerințe, omul societății moderne are nevoie de o gândire logică, flexibilă și creatoare.

Istoria marilor invenții și descoperiri, a operelor de artă și a cuceririlor științei și tehnicii este istoria inteligenței și creativității, darul cel mai de preț al omului, care i-a permis să făurească primele unelte, să stăpânească natura, prin știință și tehnică, să creeze un peisaj nou pe planeta noastră și să pătrundă în spațiul cosmic. În cuceririle științei, ale tehnicii și culturii sunt materializate capacitățile creatoare ale omului, inteligența și sensibilitatea față de frumos.

Omul este singura ființă înzestrată cu rațiune, judecată, gândire și limbaj. Acestea pot și trebuie dezvoltate prin cunoașterea adevărului, adică prin matematică. În orice domeniu ar activa, omul societății contemporane trebuie să posede solide cunoștințe de matematică, să fie înarmat cu algoritmi și scheme logico–matematice, menite să-i permită orientarea adecvată în lumea valorilor științifice și tehnologice, în stăpânirea limbajului științelor care va fi matematizat și informatizat.

Pot afirma că nu se poate trăi fără matematică. Necesitatea culturii matematice, devine tot mai acută, făcând parte integrantă din cultura generală. Învățământul matematic modern, contribuie la formarea unei gândiri active și personale, la formarea și dezvoltarea capacităților de analiză și sinteză. Nu învățăm matematică pentru a ști pur și simplu, ci pentru a o folosi și a ne ajuta în practică. De aceea, este necesar ca elevii să dobândească nu simpla instruire matematică, ci educație matematică.

Școala românească, componentă esențială a efortului de dezvoltare a țării, trece printr-o reformă profundă pentru adaptarea ei la cerințele societății democratice. Modernizarea și ridicarea calității sale la nivelul standardelor educaționale europene, mereu reînnoite, fac necesară o examinare atentă și actualizată a transformărilor prioritare și a progreselor ce marchează evoluția sistemelor de învățământ din celelalte țări, îndeosebi, din țările Comunității Europene.

Schimbările ce se petrec pe plan mondial în teoria și practica școlară așează pe primul loc dezvoltarea gândirii elevilor, a independenței și creativității lor. Rostul școlii nu se rezumă doar la transmiterea de cunoștințe, ci la formarea capacităților de gândire creatoare; aceasta, însemnând pregătirea ființei umane pentru a utiliza tehnici de prognoză, proiectare, de a-și forma capacitatea de decizie, de a acționa în libertate și independență în rezolvarea problemelor practice pe care viața le pune în fața lor.

Creativitatea reprezintă cel mai înalt nivel de comportament uman, capabil de a antrena toate celelalte nivele de conduită biologică și logică, precum și toate însușirile psihice ale unui individ în vederea realizării unor produse caracterizate prin originalitate, noutate, valoare și utilitate socială.

Copiii manifestă apriga dorință de a descoperi ceea ce este necunoscut, cercetând, tatonând și chiar inventând. Pentru formarea personalității lor trebuie să fie stimulată gândirea și imaginația lor creatoare. De aceea, se lasă copilului mai multă libertate de alegere a tehnicilor și strategiilor de calcul, pentru a asigura o motivare temeinică a învățării acestei discipline, pentru a tenta elevii la o învățare participativă printr-un efort personal.

Pentru micul școlar, situațiile de viață prind sens matematic, iar lecțiile de matematică încep să capete sens în activitățile de cunoaștere a lumii. Învățătorul nu-i „învață” matematică pe micii elevi, ci îi provoacă prin problemele propuse spre rezolvare să gândească matematic, fiind puși frecvent în situația de a „matematiza” aspecte reale din viață.

Matematica modernă, prin caracterul său riguros, științific și generativ al sistemului ei noțional și operativ pe care îl cuprinde, este investită în bogate valențe educativ–formative, nu numai în direcția formării intelectuale, ci și în ceea ce privește contribuția ei la dezvoltarea personalității umane pe plan rațional, afectiv, volitiv, având o importantă contribuție la formarea omului ca personalitate.

În același timp matematica se adresează și laturii afective: câte bucurii, câte nemulțumiri, nu trăiesc copiii în procesul activităților matematice. În primele clase se naște la copil atractivitatea, dragostea sau repulsia pentru matematică. Dacă elevul simte că pătrunde în miezul noțiunilor matematice, dacă gândirea lui este stimulată sistematic, făcând un efort gradat, iar el simte că ființa lui adaugă ceva în urma fiecărui „antrenament”, dacă el trăiește bucuria fiecărui succes mare sau mic, atunci se cultivă interesul și dragostea pentru studiul matematicii. Ca atare, încă din clasele mici se impune stimularea intelectului, a gândirii logice, a judecății matematice la elevi, încât matematica să devină o disciplină plăcută, atractivă, convergentă spre dezvoltarea raționamentului, creativității și muncii independente.

Matematica este o excelentă școală de formare a gândirii în etape, care ordonează lucrurile conform complexității lor, care dezvoltă spiritul metodic de abstragere a faptelor date din experiență și intuiție, de cele ce decurg logic din ele.

1. 2. Importanța dezvoltării gândirii logice prin rezolvarea și compunerea de probleme

Oamenii se deosebesc de celelalte ființe prin gândire. Ei dispun de o capacitate specifică de procesare a informațiilor, în vederea dobândirii unor cunoștințe și convingeri, a unor deprinderi și abilități cognitive necesare rezolvării de probleme cu care se confruntă în activitatea cotidiană.

Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea conștientă a unei probleme presupune o mare mobilizare a proceselor psihice cognitive, volitive și motivațional–afective. Așa cum arăta Al. Roșca, dezvoltarea este fără îndoială, componenta principală în activitatea de creație (științifică, tehnică, artistică), principalul instrument psihologic al creației.

Dintre procesele cognitive cea mai solicitată este gândirea prin cele cinci operații logice de analiză, sinteză, comparație, abstractizare și generalizare. Rezolvând probleme, formăm la elevi priceperi și deprinderi de a analiza situația dată de problemă, de a intui și descoperi calea prin care se obține ceea ce se cere în problemă. Astfel, rezolvarea problemelor contribuie la cultivarea și dezvoltarea capacităților anticipativ–imaginative, la educarea perspicacității și spiritului de inițiativă, la dezvoltarea încrederii în forțele proprii.

Referindu-se la necesitatea antrenamentului în munca de rezolvare a problemelor, George Polya menționează că:

„A ști să rezolvi probleme este o îndrumare practică, o deprindere, cum este înotul, șahul sau cântatul la pian care se poate învăța numai prin imitare și exerciții(…) dacă vreți să învățați înotul, trebuie să intrați în apă, iar dacă vreți să învățați probleme, trebuie să rezolvați probleme.”

Gândirea reprezintă nivelul cel mai înalt de prelucrare și integrare a informației despre lumea externă și despre propriul nostru Eu. Prin ea se realizează saltul calitativ al activității de cunoaștere de la particular la general, de la accidental la necesar, de la simpla constatare a existenței obiectului la interpretarea și explicarea lui logic–cauzală, face trecerea de la procesele psihice cognitiv senzoriale la cele cognitiv superioare.

Gândirea, ca funcție adaptivă, nu se exercită permanent. Omul gândește îndeosebi atunci când este solicitat de probleme, de situații inedite pentru care nu dispune, în repertoriul său – de acte învățate, de soluții gata făcute.

Prin urmare, gândirea este procesul psihic de reflectare mijlocită și generalizat–abstractă (sub forma noțiunilor, judecăților și raționamentelor) a însușirilor comune, esențiale și necesare ale obiectelor cât și a relațiilor logice, cauzale între ele. De asemenea, antrenează toate celelalte disponibilități și mecanisme psihice în realizarea procesului cunoașterii, nu doar pe cele de ordin cognitiv, după cum s-ar părea la prima vedere, ci și pe cele afectiv–motivaționale și volitiv–reglatorii.

Încă din primii ani, copilul încearcă să-și rezolve singur situațiile „de viață” cu care se întâlnește. El descoperă, (își) pune întrebări, creează „probleme” și încearcă să-și rezolve „problemele”.

Un copil mic dă dovadă de gândire reproductivă, el realizând cu obstinație una și aceeași mișcare, ca un automat. Pe măsură ce crește, copilul dezvoltă interacțiuni din ce în ce mai ample cu mediul său și descoperă diversele fațete ale gândirii.

O dată cu începerea școlii, gândirea sa devine tot mai direcționată, focalizată pe realizarea unor sarcini. Totuși, doar simplul mediu nu reușește să dea coerență și rigoare gândirii tinerei mlădițe. Este necesar ca micul elev să ia contact cu lumea fascinantă a numerelor, pentru a începe, de fapt, să se lucreze la formarea gândirii creative.

Cultivarea gândirii, a capacității de a descifra tainele naturii și societății și a prevedea dezvoltarea lor viitoare, constituie astăzi, lucrul cel mai de preț. Însăși existența umană, viața, presupun multiple și complexe relații, aprecieri, comparații, decizii, care solicită activitatea gândirii.

Dezvoltarea gândirii logice este cerută cu acuitate de întreg ansamblul procesului de învățare, fie că se referă la învățarea socială, fie că se referă la învățarea școlară. De aceea, gândirea independentă și spiritul creator au devenit calități necesare nu numai anumitor personalități, ci omului în general.

Prin gândire creativă se înțelege capacitatea sau aptitudinea de a realiza ceva original. Actul creator este însă un proces de elaborare prin invenție sau descoperire, cu ajutorul imaginației creatoare, a unor idei sau produse noi, originale de mare valoare și aplicabile în diferite domenși necesare ale obiectelor cât și a relațiilor logice, cauzale între ele. De asemenea, antrenează toate celelalte disponibilități și mecanisme psihice în realizarea procesului cunoașterii, nu doar pe cele de ordin cognitiv, după cum s-ar părea la prima vedere, ci și pe cele afectiv–motivaționale și volitiv–reglatorii.

Încă din primii ani, copilul încearcă să-și rezolve singur situațiile „de viață” cu care se întâlnește. El descoperă, (își) pune întrebări, creează „probleme” și încearcă să-și rezolve „problemele”.

Un copil mic dă dovadă de gândire reproductivă, el realizând cu obstinație una și aceeași mișcare, ca un automat. Pe măsură ce crește, copilul dezvoltă interacțiuni din ce în ce mai ample cu mediul său și descoperă diversele fațete ale gândirii.

O dată cu începerea școlii, gândirea sa devine tot mai direcționată, focalizată pe realizarea unor sarcini. Totuși, doar simplul mediu nu reușește să dea coerență și rigoare gândirii tinerei mlădițe. Este necesar ca micul elev să ia contact cu lumea fascinantă a numerelor, pentru a începe, de fapt, să se lucreze la formarea gândirii creative.

Cultivarea gândirii, a capacității de a descifra tainele naturii și societății și a prevedea dezvoltarea lor viitoare, constituie astăzi, lucrul cel mai de preț. Însăși existența umană, viața, presupun multiple și complexe relații, aprecieri, comparații, decizii, care solicită activitatea gândirii.

Dezvoltarea gândirii logice este cerută cu acuitate de întreg ansamblul procesului de învățare, fie că se referă la învățarea socială, fie că se referă la învățarea școlară. De aceea, gândirea independentă și spiritul creator au devenit calități necesare nu numai anumitor personalități, ci omului în general.

Prin gândire creativă se înțelege capacitatea sau aptitudinea de a realiza ceva original. Actul creator este însă un proces de elaborare prin invenție sau descoperire, cu ajutorul imaginației creatoare, a unor idei sau produse noi, originale de mare valoare și aplicabile în diferite domenii de activitate.

Jean Piaget menționează că „în societatea contemporană, însăși condiția de existență a omului se concentrează tot mai mult către inteligență și creativitate–adică inteligență activă. Progresul societății, integrarea reală a individului în această lume a mutațiilor, depind într-o măsură determinantă, de reușita formării unor creatori, a unor spirite novatoare. Indivizii capabili doar să repete ceea ce au învățat de la generațiile precedente sunt iremediabil sortiți eșecului”.

Pentru a-și extinde capacitatea de înțelegere a fenomenelor ce ies de sub incidența simțurilor sale mărginite, omul folosește – alături de alte modalități de cunoaștere – cunoașterea matematică.

Problemele de matematică sunt strâns legate prin însăși enunțul lor de viața practică, dar și prin rezolvarea lor. Ele generează la elevi un simț al realității de tip matematic formându-le deprinderea de a rezolva și alte probleme pe care viața le pune înaintea lor.

Prin rezolvarea sistematică a problemelor – mai întâi la un nivel elementar în clasele mici, apoi la un nivel tot mai înalt – crescând treptat independența elevilor în această muncă – nu se urmărește numai formarea unei deprinderi simple de a rezolva un anumit tip sau gen de problemă, ci formarea unui complex de priceperi și deprinderi care să le dea posibilitatea de a rezolva în mod independent orice problemă.

În legătură cu scopul rezolvării problemelor se desprind două aspecte:

complexitatea posibilităților de a contribui la educația multilaterală a elevilor prin rezolvarea problemelor;

urmărirea sistematică, pe parcursul întregii școlarități, a dezvoltării și complicării treptate a priceperilor și deprinderilor de a rezolva probleme printr-o gradare justă a problemelor și a întregii munci de rezolvare a lor, precum și consolidarea sistematică a acestor priceperi și a deprinderilor respective.

Activitatea ce se depune pentru rezolvarea problemelor prezintă o importanță atât de mare, încât întreaga desfășurare a procesului de însușire a cunoștințelor de matematică, de formare a priceperilor și deprinderilor este orientată în scopul dezvoltării capacității de rezolvare a problemelor. De aceea, rezolvarea problemelor presupune existența unui complex de priceperi și deprinderi, presupune cunoașterea în condițiile cele mai bune a operațiilor matematice, însușirea pe deplin a tehnicii acestor operații și dezvoltarea aptitudinilor de a sesiza relațiile dintre datele unei probleme. Deci, din punct de vedere instructiv, rezolvarea problemelor constituie aplicarea cunoștințelor dobândite în legătură cu operațiile matematice și proprietățile lor, clarificarea, consolidarea și aprofundarea acestor cunoștințe. În prezent, noțiunile de studierea matematicii și rezolvarea problemelor sunt interpretate aproape ca sinonime.

Prin rezolvarea de probleme se dezvoltă deprinderi eficiente de muncă intelectuale, având un rol important și în studiul altor discipline, se cultivă și se educă voința, perseverența, spiritul de răspundere față de îndeplinirea sarcinilor, formarea unei atitudini conștiente și corecte față de muncă.

Pe baza gândirii, omul intervine asupra mediului înconjurător și-l transformă în folosul său. Întregul progres pe care l-a realizat omenirea de la apariția omului și până la marea aventură a călătoriilor extraterestre se datorează acestui „instrument” cu care este înzestrată speța umană și pe care-l numim gândire.

Ritmul crescând al competiției în toate domeniile vieții social–economice și culturale ne obligă să gândim cât mai rapid și, mai ales, să gândim corect. „A-i pune elevului probleme de gândire – spune Eugen Rusu – dar mai ales a-l pregăti să-și pună singur întrebări, este mult mai important decât a-l conduce spre rezolvarea acestora prin modalități stereotipice învățate.”

Compunerea de probleme este o activitate complexă, elevul fiind obligat să respecte structura exercițiului sau a figurii date și, în raport cu aceasta, să elaboreze textul problemei, text al cărui raționament să reclame rezolvarea oferită. Complexitatea acestui gen de activitate intelectuală constă în faptul că ea presupune, pe lângă stăpânirea tehnicilor de calcul și a deprinderilor de a stabili raționamente logice, un vocabular bogat, face apel la toate cunoștințele dobândite pentru a elabora un text cu conținut realist.

Cunoștințele matematice aduc o contribuție deosebită la dezvoltarea gândirii logice și creatoare, la dezvoltarea spiritului de receptivitate a elevilor din ciclul primar. Prin învățarea matematicii se cultivă o serie de atitudini: de a gândi personal și activ, de a folosi analogii, de a analiza o problemă și a o descompune în probleme simple etc. de asemenea se formează și o serie de aptitudini pentru matematică: capacitatea de a percepe selectiv, capacitatea de a trece de la aspectul diferențial la cel integral sau invers, plurivalența gândirii, capacitatea de a depune un efort concentrat. Cu „echipamentul” pe care îl primește în cele patru clase primare, elevul face întreaga „călătorie” în domeniul acestei științe.

Deși este o capacitate definitorie a omului, totuși, gândirea nu funcționează la fel, la toți. Oamenii gândesc în moduri diferite. Mai mult, una și aceeași persoană gândește diferit în situații diferite. Dincolo de aceasta, fiecare persoană își formează un stil propriu de gândire, o modalitate personalizată de abordare și rezolvare a problemelor.

1. 3. Obiectivele lucrării

În primele patru clase, matematica este unul dintre obiectele de bază, scopul acesteia fiind de a-i înarma pe elevi cu temeinice cunoștințe în legătură cu noțiunile elementare matematice, de a le forma deprinderea de a aplica aceste cunoștințe în viața practică, precum și de a contribui la dezvoltarea gândirii, a memoriei și a atenției, la formarea deprinderilor de ordine și punctualitate.

Limbajul matematic, fiind limbajul conceptelor cele mai abstracte, se învață la început cu dificultate. De aceea, trebuie mai întâi asigurată înțelegerea noțiunii respective. E firesc să ne preocupe cunoașterea și folosirea corectă de către elevi a terminologiei specifice, deoarece, între limbaj și gândire există o strânsă legătură. Ele nu pot fi separate, ci trebuie abordate împreună.

Elevul trebuie să colaboreze în efortul de dobândire a cunoștințelor, de descoperire a adevărului. Adevărul care se desprinde dintr-o problemă trezește interesul matematic al rezolvitorului. De aceea, problemele trebuie să ofere cu generozitate modalitățile.

Valențele formative ale acestei activități rezolutive vizează:

formarea unei gândiri matematice exprimată atât printr-un vocabular matematic adecvat cât și printr-un sistem de algoritmi de calcul și de judecată;

cultivarea creativității elevilor din clasele I – IV (îndrăzneală, istețime, spirit novator, iscoditor, flexibilitatea gândirii, nonconformismul aplicării metodei);

crearea unor situații generatoare de motivație intrinsecă, cu consecințele favorabile în planul interesului pentru matematică, al atitudinilor de căutare de noi probleme, ale apariției unor satisfacții noi, care întăresc motivația școlară în sfere mai largi de activitate;

educarea unor trăsături volitive pozitive pentru întreaga conduită a elevului (tenacitate, concentrare, voința de a învinge, dorința de autodepășire);

practicarea limbajului matematic la parametri superiori.

Matematica își dovedește importanța deosebită, participând cu mijloacele proprii la dezvoltarea personalității nu numai sub aspect intelectual ci și sub aspect estetic și moral.

Din punct de vedere al dezvoltării intelectuale, învățarea matematicii exersează judecata, îl ajută pe elev să distingă adevărul științific de neadevăr, să-l demonstreze; antrenează organizarea logică a gândirii, ordonarea ideilor, recunoașterea ipotezelor și consecințelor, îl învață pe copil să distingă diversele aspecte ale unei situații, să degajeze esențialul de neesențial, formează capacitățile atenției, antrenează memoria logică, exersează analiza și sinteza, favorizează dezvoltarea imaginației creatoare, îl ajută să-și formeze simț critic constructiv, îi formează spiritul științific exprimat prin obiectivitate, precizie, gustul cercetării.

Sub aspect estetic, trezește gustul față de frumusețea matematicii exprimată prin relații, formule, figuri, demonstrații, cultivă unele calități ale exprimării gândirii, cum ar fi claritatea, ordinea, conciziunea, eleganța îl face pe elev capabil să recunoască și să aprecieze legătura formală a creației artistice relevată în echilibrul arhitectural, compoziția artelor plastice, ritmuri și structuri muzicale, îl face sensibil față de frumusețea naturii și tehnicii.

Din perspectiva dezvoltării morale, matematica formează gustul pentru adevăr, obiectivitate și echitate, creează nevoia de rigoare, discernământ și probarea ipotezelor, creează nevoia de a cunoaște, a înțelege, formează deprinderi de cercetare și investigație, stimulează voința de a duce la capăt un lucru început. Ea preîntâmpină adoptarea unor atitudini nemotivate și întâmplătoare.

Elevii își însușesc noțiuni elementare cu care operează pe tot parcursul vieții. Școlarilor li se formează unele aptitudini ale gândirii pe lângă deprinderile de calcul și de rezolvare a problemelor.

Predarea matematicii la clasele I – IV are în vedere trei planuri: instructiv, educativ și practic, având ca obiectiv fundamental dezvoltarea intelectuală a elevilor, însușirea instrumentelor de calcul și de rezolvare a problemelor.

Pe plan instructiv se urmărește formarea conceptului de număr natural, cunoașterea denumirii și a modului de scriere a numerelor naturale, înțelegerea operațiilor de adunare, scădere, înmulțire, împărțire, a proprietăților acestora, precum și formarea deprinderilor de a efectua aceste operații. De asemenea se urmărește familiarizarea elevilor cu elemente simple de geometrie plană, formarea conceptului de măsură a unei mărimi, cunoașterea principalelor unități de lungime, arie, volum, masă, timp și transformarea unora dintre acestea.

Pe plan educativ se realizează dezvoltarea gândirii logice, cultivarea calităților gândirii prin exersarea operațiilor sale, dezvoltarea atenției voluntare stabile, a memoriei logice.

Pe plan practic se urmărește formarea capacității de a utiliza cunoștințele de matematică în rezolvarea problemelor pe care le pune viața de toate zilele, de a întrebuința aceste cunoștințe în cazuri noi, de a contribui în mod creator la soluționarea laturilor matematice ale problemelor care se ivesc la tot pasul.

Întrebuințarea cunoștințelor privitoare la numerația scrisă si orală, utilizarea pe scară largă a calcului oral și scris, formarea unei concepții unitare despre unitățile de măsură și întrebuințarea curentă a lor constituie doar câteva prilejuri care se referă la aplicarea practică a cunoștințelor de matematică.

Aceste obiective devin realizabile atunci când li se asociază autoritatea și prestigiul educatorului, bazat pe o pregătire temeinică de specialitate.

De creativitatea învățătorului, de măiestria sa în folosirea celor mai adecvate metode și procedee de comunicare și fixare a cunoștințelor, depinde dezvoltarea gândirii creatoare a elevilor.

Capitolul 2.

DEZVOLTAREA GÂNDIRII LOGICE A ELEVILOR

PRIN ACTIVITATEA DE REZOLVARE ȘI COMPUNERE DE PROBLEME

LA MATEMATICĂ ÎN CICLUL PRIMAR

2. 1. Gândirea logică – proces psihic important în rezolvarea de probleme

Conștiința forței creative a omului datează de mult timp, dar interesul studierii aprofundate și aprecierii dimensiunilor acestei însușiri umane de excepție este de dată relativ mai recentă. Progresul societății omenești, datorat acumulării de milenii a actelor de creație din toate domeniile, a condus la modificarea radicală a lumii în care trăim, iar investigarea mai aprofundată a creativității, dimensiune fundamentale a spiritului uman, a efectelor sale în toate planurile, constituie o necesitate în scopul descifrării mecanismelor complexe care stau la baza sa și găsirii modalităților de stimulare și valorificare superioară a acesteia.

Rezolvarea problemelor reprezintă o activitate de profunzime, cu caracter de analiză și sinteză superioară, solicitând elevilor toate disponibilitățile psihice, în special inteligența. Prin rezolvarea problemelor de matematică ei își formează deprinderi de muncă intelectuală, care se vor reflecta pozitiv și în studiul altor discipline de învățământ. Prin logica de la baza raționamentelor de tip matematic, elevii vor fi obișnuiți cu precizia și obiectivitatea, cu ordinea intelectuală și morală, cu un comportament consecvent. Activitatea de rezolvare a problemelor are cele mai bogate valențe formative, în cadrul ei valorificându-se atât cunoștințele matematice de care dispune elevul, cât și dezvoltarea intelectuală a acestuia.

În vederea circumscrierii unui fenomen atât de complex cum este gândirea, cea mai potrivită este abordarea sa din cel puțin trei perspective:

funcțională;

psihogenetică;

structural–operatorie.

Din punct de vedere funcțional, adică al rolului sau funcției pe care îl joacă în dinamica personalității, gândirea este o modalitate specifică a vieții de relație, un schimb specific între organism și mediu. Specificitatea acestui schimb rezidă în procesul complementar de asimilare a mediului la structurile cognitive ale subiectului și de acomodare a acestor structuri la constrângerile realității. Rezultatul principal al acestui proces este cunoașterea realității și, ca urmare, sporirea adaptabilității ființei umane. Prin gândire, omul își dirijează comportamentele, își planifică acțiunile, proiectează scopuri, alege mijloacele pentru realizarea lor optimă.

Prin aportul pe care și-l aduce la cunoașterea structurilor realității, gândirea conferă comportamentului uman trăsătura raționalității.

Din punct de vedere istoric și psihogenetic, gândirea este – prin origine – acțiune. Principala apariție a gândirii este deci interiorizarea acțiunii. Procesul de constituire a gândirii prin „interiorizarea acțiunii” antrenează două mecanisme: mecanismul operatoriu (transformarea acțiunii în operație) și mecanismul semiotic (trecerea de la acțiunea asupra obiectelor la operații asupra reprezentărilor, semnelor, simbolurilor acestor obiecte).

O operație nu este pur și simplu mintală. În definiția lui Piaget, o operație de gândire este o acțiune interiorizată, devenită reversibilă și gata de a „se compune” cu altele în cadrul unui sistem, constituind astfel demersul logic. Prin urmare, nu putem vorbi de operații propriu–zise până ce acțiunea mintală nu este reversibilă și în același timp solidară cu altele într-un sistem. O asemenea achiziție este consemnată la copil, în medie, în jurul vârstei de 6 – 7 ani.

În ceea ce privește funcționarea semiotică, aceasta este capacitatea individului de a opera cu semne/simboluri ca substitute ale obiectelor și actelor externe. Limbajul verbal reprezintă la om mecanismul semiotic prin excelență, fără să fie unicul. Ca urmare, deși dobândirea limbajului sporește considerabil capacitatea operatorie a omului, gândirea logică se poate dobândi independent de limbaj. Această afirmație este susținută de studiile care au fost făcute pe copii surzi. Aparatul logic al acestor copii se dezvoltă și în absența limbajului verbal, dar cu o întârziere de 1–2 ani. Aceasta implică faptul că planul mintal, al semnelor și simbolurilor obiective din realitate, chiar dacă e consolidat prin limbaj, apare totuși înaintea limbajului.

Din punct de vedere structural–operatoriu, gândirea constă din structuri cognitive (informații structurale) și operații sau secvențe de operații (strategii) asupra acestor structuri.

Structura cognitivă tipică pentru gândire este noțiunea. Noțiunea structurează informațiile generale, necesare și esențiale despre un obiect sau stare de lucru; este un model informațional integrativ, care subordonează o mulțime de cazuri particulare, individuale. Gândirea, în cel mai înalt grad al său, înseamnă operarea cu noțiuni. Formarea noțiunilor este un proces îndelungat, care se desfășoară în strânsă interdependență cu dezvoltarea repertoriului de operații cognitive ale elevilor.

La nivel mediu de analiză a gândirii, operația cea mai însemnată este raționamentul. Pentru a rezolva probleme mai complexe, elevul este nevoit să folosească o serie bine ordonată de operații numită strategie rezolutivă.

Cercetările asupra aspectului operatoriu al gândirii s-au focalizat fie pe investigarea raționamentului, fie pe investigarea strategiilor utilizate în rezolvarea de probleme. Deși raționamentul formează „nucleul tare” al gândirii, el constituie numai o parte din procedurile de care dispune gândirea în rezolvarea de probleme. Există numeroase strategii rezolutive care nu au la bază raționamentul.

În general, se consideră că raționamentul este o procedură prin care se obțin informații noi din combinarea celor deja existente. Deci, raționamentul reclamă o trecere dincolo de informația dată inițial.

Al doilea aspect esențial al componentei operative a gândirii – strategiile rezolutive – se relevă în procesul rezolvării de probleme. Activitatea gândirii este solicitată în mod esențial de probleme, care pot avea grade de dificultate diferite, după cum pot aparține unor tipuri foarte variate. În termeni psihologici, o problemă se definește ca un obstacol sau o dificultate cognitivă care implică o necunoscută (sau mai multe) și față de care repertoriul de răspunsuri câștigat în experiența anterioară apare insuficient sau inadecvat. Rezolvarea problemei înseamnă depășirea obstacolului/dificultății, recombinând datele experienței anterioare în funcție de cerințele problemei. O situație problematică presupune un conflict cognitiv creat de raportul dintre cunoscut și necunoscut, o „disonanță” internă iscată de decalajul între resurse actuale și cerințe, rezolvarea însăși impunând tatonări repetate, deci un efort de voință.

Ca metode de investigare a procesului rezolutiv se utilizează, în mod special, tehnica „gândirii cu voce tare”, înregistrarea mișcărilor oculare precum și consemnarea altor comportamente sau indicatori.

Tehnica „gândirii cu voce tare” impune elevului să dezvăluie în cuvinte mersul gândirii, intențiile ce se conturează, ipotezele care apar pe parcurs, deci întreg conținutul conștiinței legat de rezolvarea problemei. Pe baza acestor relatări verbale se reconstituie apoi pas cu pas, pe unități sau secvențe determinate, întregul proces al rezolvării problemei. Desigur, procesul căutării (în limbaj interior) se desfășoară rapid, astfel încât nu toate detaliile ajung să se reflecte în verbalizările elevului.

Înregistrarea mișcărilor oculare, mai exact a traseelor oculare (sacade, zone de fixare a atenției etc.), poate dubla relatarea verbală a elevilor, astfel că, din sincronizarea acestor două feluri de informații să se poată surprinde mai bine procesul de rezolvare. Înregistrarea mișcărilor vizuale poate suplimenta comportamentul verbal, datele obținute se vor suprapune sau completa reciproc, exteriorizând procesul rezolutiv.

Există două mari tipuri de strategii: algoritmice și euristice. În rezolvarea de probleme alternează de regulă, strategiile sistematice – uneori algoritmice – și strategiile euristice.

Strategiile algoritmice cuprind scheme de lucru fixate în prescripții precise (formule), care pot fi învățate, asigurând obținerea certă a rezultatului. Prin definiție, algoritmul este o prescripție precisă ce nu lasă loc arbitrarului, prescripție care permite ca, plecând de la date inițiale să se ajungă la rezultatul căutat.

În fața unei probleme noi sau complexe, pentru care nu se cunosc încă proceduri tipice, rezolvitorul nu se mai poate baza pe un set de reguli (algoritmi) care să-i garanteze obținerea soluției. Teoretic, el se află în fața unui număr mare de alternative posibile, care nu pot fi triate toate, astfel încât se impune utilizarea unor strategii euristice.

A rezolva o problemă înseamnă a găsi o secvență de operații care transformă situația de plecare în situație scop. Succesul unui rezolvitor de probleme constă în capacitatea de a decupa pentru investigare doar o mică parte din ansamblul de posibilități (alternative) pe care-l comportă teoretic problema, decupare în măsura să ducă totuși la rezultatul corect. Această selecție are loc prin procedee euristice, raționamente neformalizate care urmează scheme fluente.

De fapt, matematica ne arată că acea algoritmizare a rezolvării problemelor trebuie să existe și în treptele pe care le parcurgem în viață. Putem spune că matematica nu este decât un exercițiu al minții, pregătitor pentru marile probleme ale vieții, ale profesiei, ale carierei.

Scopul esențial pe care-l urmărește învățământul matematic nu se reduce la latura informativă, ci, prin predarea acestei discipline, se urmărește și se realizează mai ales dezvoltarea raționamentului și a spiritului de receptivitate, formarea priceperilor și deprinderilor de gândire logică, de definire clară și precisă a noțiunilor de adaptare creatoare la cerințele actuale și de perspectivă ale vieții sociale.

Pentru exersarea gândirii logice a elevilor și pentru stimularea creativității lor, trebuie să le formăm acestora deprinderea de a rezolva cu ușurință încă din clasa I. Pentru aceasta, de la primele probleme rezolvate este necesar să se folosească material didactic, astfel încât copiii să înțeleagă enunțul, să sesizeze legăturile ce există între datele problemei. Școlarul mic gândește mai mult operând cu mulțimile de obiecte concrete, reușind să se detașeze progresiv de baza concretă.

Se poate afirma cu suficient temei că anumite calități mnezice (rapiditate, volum, structurare logică ș. a.) intră ca elemente constitutive în formarea și dezvoltarea aptitudinilor matematice la școlari.

În strânsă legătură cu memoria este factorul numit experiență logico-matematică. Acumulată treptat în diverse activități anterioare (joc, comunicare, învățare școlară și extrașcolară), acest tip de experiență joacă un rol important în formularea și rezolvarea de probleme cu conținut matematic.

Un rol deosebit în rezolvarea problemelor îl au desenele, schemele, care ilustrează conținutul problemei și care o fac accesibilă, clasificând logica relației dintre date și dirijând elevul într-un raționament matematic sistematic și complex. În această situație elevul este capabil să emită ipoteze, să întreprindă diverse căutări, presupuneri, să stabilească diferite relații, să găsească drumul spre descoperirea necunoscutei care pe măsură ce se pătrunde tot mai adânc în miezul problemei, se lasă descoperită. După rezolvarea problemei este important să se obișnuiască elevii să verifice corectitudinea raționamentului și nu numai rezultatul obținut, ci să încerce și alte căi de rezolvare, solicitând astfel efortul gândirii la un nivel înalt și cultivând ingeniozitatea și capacitatea de a alege cea mai rapidă și economicoasă cale de rezolvare.

Transpunerea rezolvării problemei într-un singur exercițiu conduce la formarea unei gândiri pluricuprinzătoare și sintetice în același timp. Exercițiile de sintetizare a rezolvării problemei într-un singur exercițiu, cu datele numerice ale problemei, apoi cu simbolurile literale, sunt modalități prin care se exersează gândirea elevilor în generalizarea algoritmului de rezolvare.

O activitate complexă este compunerea de probleme. Elevul este obligat să respecte structura exercițiului sau a figurii date, și în raport cu aceasta, să elaboreze textul problemei, text al cărui raționament să reclame rezolvarea oferită. Complexitatea acestui gen de activitate intelectuală constă în faptul că ea pune în evidență gândirea creatoare, independentă și originală a copilului, îi educă și cultivă creativitatea.

Compunerea de probleme asigură succesul:

în învingerea unor dificultăți în asimilarea matematicii ceea ce îi bucură pe copii când soluțiile date de ei sunt cele reale;

în asimilarea algoritmilor de calcul prin insistența la ore pe exerciții și probleme anume alese pentru „gimnastica spirituală” (activitate pregătitoare);

elevilor care înțeleg că matematica face deopotrivă apel la gândire, judecată profundă, atenție, spirit de observație și un bun matematician, acționează simultan pe toate aceste coordonate.

Prin intermediul matematicii, elevul trebuie învățat să rezolve probleme, dar să și descopere probleme, să construiască probleme, să prevadă pe cele ce ar urma sau ar putea să apară; să descopere cât mai multe căi, modalități de rezolvare a problemelor și să înțeleagă că numai una dintre ele este mai economicoasă din punctul de vedere al consumului de energie.

2. 2. Dezvoltarea gândirii logice prin rezolvarea problemelor de aritmetică

2. 2. 1. Dezvoltarea gândirii logice prin folosirea metodelor generale

Toate procesele de formare și educare ale școlarului mic se bazează pe învățare. Comportamentele cognitive logice, specifice omului se formează prin învățare în cadrul unui amplu și permanent proces instructiv–educativ, care dispune de procedee și mijloace tot mai perfecționate.

Noțiunea de problemă, în sens larg, se referă la orice dificultate de natură practică sau teoretică ce necesită o soluționare. În sens restrâns, problema din matematică vizează o situație problematică a cărei rezolvare se obține prin procese de gândire și calcul. Ea presupune o anumită situație, ce se cere lămurită în condițiile ipotezei (valori numerice date și relații între ele) enunțată în text, în vederea concluzionării, prin raționament și printr-un șir de operații, a căror efectuare conduce la rezolvarea problemei. Problema implică în rezolvarea ei o activitate de descoperire, deoarece exclude preexistența, la nivelul rezolvitorului, a unui algoritm de rezolvare, care ar transforma-o într-un exercițiu. Un exercițiu oferă elevului datele (numerele cu care se operează și precizarea operațiilor respective), sarcina lui constând în efectuarea calculelor după tehnici și metode cunoscute.

Predarea–învățarea matematicii în ciclul primar nu se poate realiza fără activitatea de rezolvare a problemelor, activitate complexă, de profunzime, în care sunt exersate la nivel superior analiza și sinteza. Activitatea de rezolvare a problemelor îmbină eforturile mentale de înțelegere a noțiunilor învățate, a algoritmilor de calcul formați cu structurile conduitei creative și inventive.

Activitatea de rezolvare și compunere a problemelor oferă terenul cel mai fertil din domeniul activităților matematice pentru cultivarea și educarea creativității și a inventivității. Diferența dintre a învăța „rezolvarea unei probleme” și „a ști” (a putea) să rezolvi o problemă nouă înseamnă creativitate, dar de niveluri diferite. Rezolvarea unei probleme „învățate” oferă mai puțin teren pentru creativitate decât rezolvarea unor probleme noi, care la rândul ei, este depășită de alcătuirea (compunerea) unor probleme.

Actul de rezolvare al unei probleme este un proces creator, dar acesta nu este o creație din nimic, ci ne servim, în procesul rezolvării, de un șir întreg de cunoștințe, deprinderi, procedee de rezolvare, reprezentări. Când citim o problemă, când suntem puși în situația de a rezolva o problemă practică începem prin a cerceta condițiile astfel încât să izolăm ceea ce cunoaștem de aspecte ce urmează a fi găsite, căutăm relații care vor servi la aflarea necunoscutului; șansele de a ajunge la soluție vor fi cu atât mai mari, cu cât va fi mai bogat fondul de cunoștințe și procedee de rezolvare de care va dispune elevul. Activitatea de rezolvare a problemelor pune elevii în situația de a descoperi singuri modul de rezolvare, de a emite ipoteze și a le verifica, acțiuni care sporesc caracterul formativ. Rezolvarea problemelor de matematică contribuie la dezvoltarea capacităților creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilității ei și la educarea perspicacității.

Prin rezolvarea problemelor, elevii înțeleg cele mai simple raporturi dintre mărimi cu care se întâlnesc în viață ca: raportul dintre prețul de cost și cantitatea de marfă; dintre distanță, viteză și timp; dintre norma de lucru, durata zilei de lucru și volumul producției; dintre perimetru și aria unei figuri geometrice și una din laturi, etc.

În căutarea căii de rezolvare a problemei se emit și se verifică o serie de ipoteze, până se ajunge la soluția problemei care reprezintă o sinteză superioară închiderii circuitului nervos. Schița problemei apare ca un rezultat al efortului gândirii. Procesul de rezolvare a problemelor este un proces analitico–sintetic. Analiza are un caracter general de orientare asupra conținutului problemei.

Căutarea unor procedee de analiză și sinteză cât mai eficiente, pentru a conduce gândirea elevului pe căi cât mai scurte și mai sigure către aflarea necunoscutei, constituie una din sarcinile de bază ce-i revin învățătorului.

Rezolvarea problemelor pune la încercare în cel mai înalt grad capacitățile intelectuale ale elevilor, solicitându-le în primul rând gândirea. Participarea intelectuală a elevilor la rezolvarea de probleme este o activitate net superioară altor demersuri matematice, elevii fiind puși să descopere ei înșiși modalitățile de rezolvare și soluția, să formuleze ipoteze și apoi să le verifice. Toate acestea subliniază valoarea formativă a rezolvării de probleme.

Problema impune în rezolvarea ei o activitate de descoperire. Textul problemei indică datele, condiția problemei (relațiile dintre date și necunoscută) și întrebarea problemei.

A rezolva o problemă înseamnă a găsi valoarea mărimilor necunoscute, cu ajutorul mărimilor care se cunosc. Dacă la mărimea necunoscută se ajunge printr-o singură operație avem o problemă simplă, iar dacă sunt necesare mai multe operații avem o problemă compusă.

Problemele compuse pot avea caracter general, ele rezolvându-se prin anumite procedee de calcul general, dar sunt și probleme cu o structură matematică deosebită, care impun în rezolvarea lor aplicarea unor procedee speciale, probleme tipice. Nu se poate concepe posibilitatea de rezolvare a unei probleme fără ca elevii să cunoască operațiile care se folosesc în cadrul formulărilor: cu atât mai mult, cu atât mai puțin, de atâtea ori mai mult, de atâtea ori mai puțin, dar și formulările derivate din acestea, ca: mărit cu, micșorat cu, dublat, îndoit, înjumătățit, micșorat de atâtea ori, mărit de atâtea ori etc.

Specific clasei I este primul tip de probleme, a căror rezolvare conduce la o adunare sau scădere în concentrele numerice învățate. Pe plan psihologic, rezolvarea unei probleme simple reprezintă un proces de analiză și sinteză în cea mai simplă formă. Problema trebuie să cuprindă date (valori numerice și relații între ele) și întrebarea problemei (ce se cere a fi aflat). La cea mai simplă analiză a întrebării problemei se ajunge la date și la cea mai simplă sinteză a datelor se ajunge la întrebarea problemei. A rezolva în mod conștient o problemă simplă înseamnă a cunoaște bine punctul de plecare (datele problemei) și punctul la care trebuie să se ajungă (întrebarea problemei), înseamnă a stabili între acestea un drum rațional, o relație corectă, adică a alege operația corespunzătoare, impusă de rezolvarea problemei. Predarea oricărui nou conținut matematic trebuie să se facă, de regulă, pornind de la o situație – problemă ce îl presupune. Și din acest motiv, abordarea problemelor în clasa I trebuie să înceapă suficient de devreme și să fie suficient de frecventă pentru a sublinia (implicit, dar uneori și explicit) ideea că matematica este impusă de realitatea înconjurătoare, pe care o reflectă și pe care o poate soluționa cantitativ.

În momentul în care elevii cunosc numerele naturale dintr-un anumit concentru și operațiile de adunare/scădere sau înmulțire/împărțire cu acestea, introducerea problemelor oferă elevilor posibilitatea aplicării necesare și plauzibile a tehnicilor de calcul, capacitatea de a recunoaște și discrimina situațiile care implică o operație sau alta, precum și exersarea unei activități specific umane: gândirea.

Elevii din clasa I întâmpină dificultăți în rezolvarea problemelor simple, din pricina neînțelegerii relațiilor dintre date (valori numerice), text și întrebare. Valorile numerice sunt greu legate de conținut și de sarcina propusă în problemă și pentru că numerele exercită asupra școlarilor mici o anumită fascinație, care îi face să ignore conținutul problemei.

Un alt grup de dificultăți apare din pricina limbajului matematic, pe care școlarii mici nu îl înțeleg și, în consecință, nu pot rezolva o anumită problemă. De aceea, una dintre sarcinile importante ale învățătorului este aceea de a învăța pe elevi să „traducă” textul unei probleme în limbajul operațiilor aritmetice.

Având în vedere caracterul intuitiv-concret al gândirii micului școlar, primele probleme ce se rezolvă cu clasa vor fi prezentate într-o formă cât mai concretă, prin „punere în scenă”, prin ilustrarea cu ajutorul materialului didactic și cu alte mijloace intuitive.

Conștientizarea elementelor componente ale problemei, ca și noțiunile de „problemă”, „rezolvarea problemei”, „răspunsul la întrebarea problemei” le capătă elevii cu ocazia rezolvării problemelor simple, când se prezintă în fața lor probleme „vii”, probleme–acțiune, fragmente autentice de viață. Școlarii mici trebuie mai întâi să trăiască problema, ca să învețe să o rezolve. Este important ca elevii să fie conduși spre recunoașterea în probleme a principalelor categorii de situații care conduc la o anumită operație aritmetică.

Deși rezolvările de probleme simple par ușoare, trebuie aduse în atenție toate genurile de probleme care se rezolvă printr-o operație:

a) probleme simple care se rezolvă prin adunare:

– suma obiectelor analoage (3 bile + 4 bile = 7 bile);

– reuniunea unor obiecte care trebuie să fie regrupate într-o categorie generală (3 mere + 4 pere = 7 fructe, 3 găini + 4 rațe = 7 păsări);

– suma valorilor negative (s-au spart 3 baloane și încă 4 baloane, am pierdut 3 nasturi și încă 4 nasturi).

b) probleme simple care se rezolvă prin scădere:

– se caută un rest (Am avut 8 bomboane; din ele am mâncat 2. Câte au mai rămas?);

– se caută ceea ce lipsește unei mărimi pentru a fi egală cu alta (Am două caiete în ghiozdan și trebuie să am 5 caiete. Câte caiete îmi lipsesc?);

– se compară două mărimi (Raluca are 3 timbre și Mihaela 8 timbre. Cu câte timbre are mai mult Mihaela decât Raluca?).

c) probleme simple bazate pe înmulțire:

de aflare a produsului;

de repetare de un număr de ori a unui număr dat;

de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât un număr dat, de atâtea ori mai mare;

probleme simple bazate pe împărțire:

de împărțire a unui număr dat în părți egale;

de împărțire prin cuprindere a unui număr prin altul;

de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mic decât altul, de atâtea ori mai mic;

de aflare a unei părți dintr-un întreg;

de aflarea a raportului dintre două numere;

Condiție necesară pentru rezolvarea unei probleme simple, cunoașterea elementelor sale de structură nu trebuie să realizeze numai cu prilejul rezolvării primelor probleme, ci este necesară o permanentă consolidare. Pentru aceasta, se pot folosi diferite procedee:

– prezentarea unor „probleme” cu date incomplete, pe care elevii le completează și apoi le rezolvă. (Raluca a avut 9 nasturi și a pierdut câțiva dintre ei. Câți nasturi i-au rămas?)

– prezentarea datelor „problemei”, la care elevii pun întrebarea. (Un copil avea 5 creioane. El a dat 2 creioane fratelui său.)

– prezentarea întrebării, la care elevii completează datele. (Câte cărți au rămas?)

Introducerea problemelor se face relativ devreme, din motivele menționate anterior. Prezentarea acestora se face gradat, trecând prin etapele:

– probleme după imagini;

– probleme cu imagini și text;

– probleme cu text.

Introducerea problemelor cu text este condiționată și de învățarea de către elevi a citirii/scrierii literelor și cuvintelor componente.

În general problemele simple sunt ușor înțelese și rezolvate de către elevi. Pentru depășirea și evitarea unor dificultăți în rezolvarea de probleme trebuie să se aibă în vedere:

rezolvarea unui număr mare de probleme;

analiza temeinică în rezolvarea fiecărei probleme;

prezentarea unor probleme cu date incomplete;

prezentarea unor probleme a căror întrebare lipsește;

prezentarea unor povestiri matematice;

completarea unui text cu date conform cu realitatea;

compunerea de probleme cu anumite date sau după scheme date.

Prin toate aceste acțiuni se urmărește nu învățarea problemelor ci formarea și dezvoltarea capacităților intelectuale de a domina varietatea metodelor de rezolvare a problemelor.

Rezolvarea de probleme simple reprezintă primul pas pe care elevii îl fac spre rezolvarea problemelor compuse. Prin acest lucru, elevii ajung să opereze cu numere, să facă operații de compunere și descompunere, să folosească strategii și modele mintale anticipative, se dezvoltă flexibilitatea și fluența gândirii.

Rezolvarea unei probleme compuse nu este reductibilă doar la rezolvarea succesivă a unor probleme simple. Dificultatea unor astfel de rezolvări este dată de necesitatea descoperirii legăturilor dintre date și necunoscute, de construirea raționamentului corespunzător. Aceasta e o activitate dificilă, care cere un anumit efort al gândirii și o anumită experiență. De altfel, această alegere a valorilor numerice nu se face numai în scopul sistematizării lor, ci constituie desprinderea problemelor simple din cadrul problemei compuse. E vorba de un proces de analiză, care trebuie orientat către sinteza ce urmează, către întrebarea problemei.

De aceea, primul pas în realizarea demersului didactic îl constituie rezolvarea unor probleme compuse, alcătuite din succesiunea a două probleme simple, unde cea de-a doua problemă are ca una dintre date, răspunsul de la prima problemă.

De exemplu, se prezintă și se rezolvă, pe rând, următoarele două probleme simple:

1. Pe o ramură a unui pom erau 5 vrăbii, iar pe alta, 3 vrăbii. Câte vrăbii erau în pom?

2. Două dintre vrăbiile din acel pom au zburat. Câte vrăbii au rămas în pom?

Se reformulează apoi, construind din cele două o singură problemă:

Pe o ramură a unui pom erau 5 vrăbii, iar pe alta, 3 vrăbii. Două dintre vrăbiile din acel pom au zburat. Câte vrăbii au rămas în pom?

În activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape. În fiecare etapă are loc un proces de reorganizare a datelor și de reformulare a problemei, pe baza activității de orientare a rezolvatorului pe drumul și în direcția soluției problemei. Elevul trebuie să cuprindă în sfera gândirii sale întregul „film” al desfășurării raționamentului și să-l rețină drept element esențial. Pentru generalizarea raționamentului, elevii trebuie să aibă formate capacitățile și de a înțelege datele problemei, de a sesiza condiția problemei și de a orienta logic șirul de judecări către întrebarea problemei, necesară fiind parcurgerea următoarelor etape:

a) însușirea enunțului problemei;

b) examinarea (judecata) problemei;

c) alcătuirea planului de rezolvare;

d) rezolvarea propriu-zisă;

e) activități suplimentare după rezolvarea problemei.

În fiecare etapă, activitățile ce se desfășoară sunt variate, unele obligatorii, altele doar dacă este cazul.

a) Astfel, pentru însușirea enunțului problemei, activitățile necesare sunt:

expunerea/citirea textului problemei

Se poate realiza prin modalități diferite, după cum textul problemei poate fi vizualizat de elevi în manual, pe tablă, pe o planșă, într-un auxiliar didactic, iar citirea acestuia poate fi făcută de către de învățător, de către unul sau mai mulți elevi, de către fiecare elev (fără voce). Este o activitate necesară și obligatorie în această etapă.

explicarea cuvintelor/expresiilor necunoscute

Reprezintă o activitate necesară doar dacă textul problemei conține cuvinte necunoscute elevilor. Neînțelegerea de către elevi a unor cuvinte conduce la incapacitatea acestora de a-și imagina contextul descris în problemă și la imposibilitatea elaborării unor raționamente.

discuții privitoare la conținutul problemei

Sunt necesare doar în cazul în care nu toți elevii reușesc să conștientizeze și să-și reprezinte contextul descris în problemă.

concretizarea enunțului problemei prin diferite mijloace intuitive

Dacă activitatea precedentă nu a condus la înțelegerea textului, pot fi utilizate diverse mijloace materiale, care să ilustreze textul, făcându-l accesibil oricărui elev.

scrierea datelor problemei

Este o activitate necesară, obligatorie, pentru că reprezintă un pas spre esențializarea textului și păstrarea doar a informațiilor cantitative și a întrebării problemei. Se poate realiza prin scrierea datelor pe orizontală sau pe verticală. Alegerea unuia sau altuia dintre procedee se face în funcție de particularitățile clasei și complexitatea problemei.

schematizarea problemei

Se poate realiza atunci când elevii întâlnesc un nou tip de problemă, pentru a facilita vizualizarea legăturilor dintre datele problemei sau după ce elevii au rezolvat o clasă de probleme de un același tip, în vederea reținerii schemei generale de rezolvare.

repetarea problemei de către elevi

Este o activitate necesară și obligatorie. Numărul elevilor care repetă enunțul problemei este variabil și se stabilește de fiecare învățător, în funcție de complexitatea problemei și de particularitățile clasei. Repetarea se poate realiza urmărind datele în ordinea apariției acestora în enunț sau enunțând, la întâmplare, câte una dintre date și cerând elevilor să spună ce reprezintă ea. Nu trebuie neglijată repetarea întrebării problemei, ce va sta la baza următoarei etape de rezolvare.

b) Examinarea (judecata) problemei se poate realiza pe cale sintetică sau pe cale analitică. Ambele metode constau în descompunerea problemei date în probleme simple, care prin rezolvarea lor succesivă duc la găsirea răspunsului problemei. Deosebirea între ele constă în punctul de plecare al examinării: prin metoda sintetică se pornește de la datele problemei spre determinarea soluției, iar prin metoda analitică se pornește de la întrebarea problemei spre datele ei și stabilirea relațiilor pentru acestea.

Cum mersul gândirii rezolvitorului nu este liniar în descoperirea soluției, întâmpinarea unei dificultăți sau un blocaj în rezolvare poate conduce la schimbarea căii de examinare. De aceea, cele două metode se pot folosi simultan sau poate predomina una dintre ele. La vârsta școlară mică, metoda sintetică de examinare a unei probleme este mai accesibilă, dar nu solicită prea mult gândirea elevilor , mai ales dacă ne mărginim să le prezentăm probleme în care datele se leagă între ele în ordinea apariției în enunț. În acest fel, există riscul depistării și rezolvării unor probleme simple care nu au legătură cu întrebarea problemei. Metoda analitică, mai dificilă, dar mai eficientă în dezvoltarea gândirii elevilor poate fi utilizată la clasele a III-a și a IV-a, ajutându-i pe elevi să vadă problema în totalitatea ei, să aibă mereu în centrul atenției întrebarea problemei.

c) Alcătuirea planului de rezolvare se face începând cu prima problemă simplă ce se obține din descompunerea problemei date și continuă cu celelalte probleme simple, ce au putut fi depistate prin examinarea sintetică. Întrebările acestor probleme simple constituie planul de rezolvare, ce poate fi redactat sub această formă interogativă sau poate fi prezentat prin exprimări concise, enunțiative. Prima modalitate este mai la îndemâna școlarului mic, dar sporirea în timp a experienței de rezolvitor îl va conduce spre a accepta, ba chiar a prefera, cea de-a doua modalitate.

d) Rezolvarea propriu-zisă a problemei este separată de cealaltă etapă doar din rațiuni legate de timpul demersului implicat: dacă examinarea are la bază raționamente și implică o activitate de descoperire, rezolvarea este de natură calculatorie și implică o activitate executorie. Această etapă constă în alegerea operațiilor corespunzătoare „întrebărilor” problemei, justificarea alegerii și efectuarea calculelor. În mod obișnuit, se realizează în același timp cu stabilirea „întrebărilor”, prin alternarea acestora cu calculele corespunzătoare. Se realizează astfel o unitate între ceea ce a gândit elevul și ceea ce calculează. Rezolvarea se încheie, cu menționarea răspunsului la întrebarea problemei.

e) Activitățile suplimentare, după rezolvarea problemei, reprezintă o etapă foarte bogată în valențe formative, ce trebuie să stea permanent în atenția învățătorului și a elevilor. Desigur, după rezolvarea unor probleme nu se pot realiza toate aceste activități posibile, dar și desfășurarea câtorva reprezintă mult pentru dezvoltarea intelectuală a copilului.

Fără pretenția prezentării unei liste exhaustive, printre aceste activități se află:

revederea planului de rezolvare

Nu înseamnă o recitire mecanică a acestuia, ci sublinierea pașilor realizați în rezolvare. Mai mult, dacă examinarea problemei s-a realizat sintetic, acum poate fi activată calea analitică, marcând necesitatea realizării fiecărui pas din rezolvare.

Revederea planului de rezolvare contribuie la formarea și dezvoltarea capacităților de sistematizare, generalizare și abstractizare ale gândirii elevilor.

verificarea soluției

Poate conține două componente, dintre care prima, grosieră, permite eliminarea soluțiilor neplauzibile (nu poate constitui un răspuns corect, soluția 3 muncitori și jumătate!), cu un ordin de mărime complet diferit de datele problemei (dacă acestea sunt mai mici decât 10, nu se poate obține o soluție de ordinul miilor). Spre deosebire de această modalitate de verificare a plauzibilității soluției, bazată pe raționament, cea de-a doua modalitate este calculatorie, constând în introducerea soluției în enunțul problemei și verificarea tuturor conexiunilor menționate în enunț.

Verificarea soluției conferă rezolvitorului siguranță, îi sporește încredea în forțele proprii și se constituie într-un instrument de autocontrol utilizabil nu numai la matematică, o adevărată deprindere de muncă intelectuală.

alte căi de rezolvare

De multe ori, o problemă dată admite mai multe căi de rezolvare. După găsirea uneia dintre ele, se poate lansa solicitarea de a rezolva problema „astfel”. În momentul găsirii tuturor căilor de rezolvare, acestea pot fi analizate, alegând-o pe cea mai „frumoasă” (mai elegantă, mai neobișnuită sau măcar mai scurtă).

În felul acesta este activată capacitatea de explorare/investigare a elevilor, implicați într-o activitate de descoperire, care nu numai că îi motivează pentru învățarea matematicii, ci și contribuie la dezvoltarea gândirii divergente a acestora. Sunt depășite astfel nivelurile inferioare de cunoaștere, înțelegere, aplicare ajungându-se în zonele analizei, sintezei și evaluării.

scrierea expresiei numerice corespunzătoare rezolvării problemei

Reprezintă una dintre modalitățile uzuale de seriere condensată a rezolvării problemei, așa numitul „exercițiu al problemei”. Numai că scopul său nu este legat de calcul, ci de a evidenția, într-o manieră sintetică, întreaga rezolvare a problemei. Deci, după scrierea acestei expresii numerice, nu se cere efectuarea acesteia, ci se analizează fiecare operație componentă, identificând întrebarea problemei ce a condus la aceasta (de exemplu, un produs de doi factori poate reprezenta un cost al unui produs, unul din factori reprezentând cantitatea, iar celălalt prețul unitar). Scrierea expresiei numerice reprezintă un pas spre descoperirea claselor de probleme, pregătește introducerea algebrei și le poate fi de folos elevilor în activitatea de compunere a problemelor.

În acest fel, sunt antrenate operații ale gândirii ca abstractizarea și generalizarea, contribuind la cultivarea calităților acesteia.

rezolvarea unor probleme de același tip

Se poate realiza schimbând valorile numerice ale datelor, schimbând mărimile ce intervin în problemă sau schimbând și valorile și mărimile. Realizarea acestei activități dă consistență claselor de probleme introduse de învățător și îi apropie pe elevi de activitatea de compunere a problemelor.

complicarea problemei

Nu înseamnă a face ca problema dată să devină mai complicată, ci a găsi și alte întrebări posibile pentru aceasta, particularizări ale soluției sau extinderi, eventual prin introducerea de date noi. Poate contribui la dezvoltarea gândirii divergente a elevilor, precum și la cultivarea inventivității și creativității acestora.

generalizări

Un prim pas spre generalizare s-a realizat chiar prin scrierea expresiei numerice corespunzătoare rezolvării. Următorul pas îl constituie expresia literală, ce stabilește tipul de problemă și îi pregătește pe elevi pentru învățarea algebrei. Pentru copiii ce reușesc să ajungă în această zonă, acest tip de activitate contribuie la sporirea capacității de abstractizare.

compuneri de probleme de același tip

Este categoria de activități ce cultivă la elevi imaginația creatoare, ce îi transformă din rezolvitori în autori de probleme. Deși imaginația lor nu trebuie îngrădită, învățătorul trebuie să-i atenționeze asupra plauzibilității problemei alcătuite, care trebuie să fie concordantă cu realitatea înconjurătoare.

Utilizarea acestor metode se bazează cu deosebire pe operațiile de analiză și sinteză ale gândirii, motiv pentru care se numesc metoda analitică și metoda sintetică. Modul de prezentare și soluționare a problemelor se va face prin respectarea particularităților de vârstă de la concret–intuitiv (cum ar fi manipularea obiectelor, a instrumentelor de măsură; decupaje și asamblări de figuri geometrice), la reprezentare grafică imagistică (probleme pe baza unor imagini cu concretizarea relațiilor între mărimi prin segmente, diagrame, săgeți etc.), la descompunerea problemelor compuse în probleme simple, fără a fi rezolvate succesiv, deoarece nu acest fapt interesează, ci construirea raționamentului, legătura dintre secvențe. În cadrul acestor activități, elevii sunt dirijați să sesizeze mersul raționamentului și să învețe să elaboreze tactica și strategia soluționării prin elaborarea planului de rezolvare a problemei.

Examinarea unei probleme compuse se realizează, de obicei, prin metodele analitică, sintetică sau folosite simultan. Deosebirea dintre ele constă, practic, în punctul de plecare al raționamentului. Prin metoda sintezei se pornește de la datele problemei spre aflarea soluției, iar prin metoda analizei se pleacă de la întrebarea problemei spre aflarea soluției, iar prin metoda analizei se pleacă de la întrebarea problemei spre datele ei și stabilirea relațiilor matematice dintre acestea.

Practica a demonstrat că metoda sintezei este mai accesibilă, dar nu solicită prea mult gândirea elevilor, uneori abătându-le atenția de la întrebarea problemei. Metoda analitică pare mai dificilă, dar solicită mai mult gândirea elevilor, determinându-i să privească problema în totalitatea ei.

Analiza logică a problemei, după repetarea și înțelegerea enunțului, se realizează concomitent cu formularea orală a planului de rezolvare, urmate de consemnarea în scris a acestuia prin activitate frontală sau independentă, sub variate forme: de întrebări, titluri, enunțuri succinte etc. Rezolvarea poate fi scrisă prin intercalarea întrebărilor din plan cu calculul, asigurând o estetică a așezării în pagină, care ilustrează legătura între consemnarea succintă a datelor enunțului, a planului gândit și a calculului realizat, cu marcarea răspunsului obținut și generalizarea prin transpunerea problemei în expresie numerică sau formulă literală.

Este oportun să se rezolve nu mai mult de una – două probleme într-o oră de curs, insistând asupra raționamentului și investigând soluționarea pe mai multe căi, pentru exersarea flexibilității gândirii decât să se exagereze cu soluționarea stereotipă, superficială a mai multor probleme sau să se consume timpul pentru o singură problemă.

Metoda analitică înseamnă a privi întâi problema în ansamblu, apoi pornind de la întrebarea ei, a o descompune în probleme simple din care e alcătuită și a orândui aceste probleme simple într-o succesiune logică astfel încât rezolvarea lor să contribui în mod convergent la formularea răspunsului pe care îl reclamă întrebarea problemei date. Procesul de gândire care are loc în scopul precizării problemelor simple ce alcătuiesc o problemă compusă și a succesiunii lor, astfel încât întrebarea ultimei probleme simple să coincidă cu întrebarea finală a problemei date se numește examinare sau analiză a problemei.

Rezolvarea corectă a unei probleme de aritmetică nu este posibilă decât în urma unei analize profunde a datelor, analiză care să permită elevului o serie de reformulări ale problemei, apropiindu-l astfel, din etapă în etapă de soluție.

În special la clasele mici (mai ales la clasa I) elevii se lasă absorbiți de calcul în rezolvarea problemei, uneori nereușind să justifice logica operației la care a recurs. Datorită capacității reduse a școlarilor mici de a efectua analiza riguroasă a datelor problemei, ei recurg exclusiv la calcule numerice fără nici o motivare pe bază de raționament. Datorită și lipsei de experiență, școlarul mic întâmpină dificultăți în analiza riguroasă a datelor.

EI analizează problema pas cu pas și pe măsură ce desprinde o pereche de date și descoperă relația dintre ele, trece imediat la rezolvare. Acest mod de „a judeca” o problemă nu duce întotdeauna la soluție. De aceea învățătorul trebuie să insiste în special pe stabilirea corectă a relațiilor dintre date, discutând cu elevii mai ales calea de rezolvare (judecata) problemei, raționamentul propriu-zis. Activitatea de rezolvare a problemelor necesită o succesiune de operații logice care conduc la soluție. Această succesiune de operații logice (care conduc), nu este altceva decât schema de rezolvare a problemei, șirul de judecăți cu orânduirea lor logică, ce constituie raționamentul problemei.

Matematicianul american George Polya afirmă că există un grăunte de descoperire în rezolvarea oricărei probleme. Problema ta poate fi modestă, dar dacă ea îți stârnește curiozitatea și-ți pune în joc facultățile inventive și dacă o rezolvi prin mijloacele tale proprii, atunci poți încerca tensiunea și bucuria triumfului descoperirii.

Exemplu:

„Într-o întreprindere lucrează două echipe de muncitori: prima are 6 muncitori și execută câte 18 piese pe zi, a doua are 7 muncitori și execută câte 16 piese pe zi. Să se afle valoarea pieselor executate pe zi de cele două echipe, știind că o piesă costă 48 RON.”

Examinarea problemei:

Pentru a afla valoarea totală a pieselor, cunoscând valoarea unitară, ar trebui să se știe numărul total al pieselor executate de cele două echipe. În acest scop este necesar să se afle întâi numărul total al pieselor executate de prima echipă, apoi numărul de piese executate de a doua echipă. Numărul pieselor executate de o echipă se poate afla utilizând datele problemei, și anume, înmulțind numărul pieselor executate de un muncitor cu numărul muncitorilor din echipă.

Schematic, examinarea problemei prin metoda analitică se înfățișează astfel:

Detaliile stabilite analitic se sintetizează sub forma unui plan de rezolvare care cuprinde enunțarea problemelor simple în care s-a descompus problema dată și indică succesiunea acestor probleme în procesul de efectuare a calculelor.

1. Se calculează numărul pieselor executate de echipa I:

18 (piese) x 6 = 108 (piese)

2. Se calculează numărul pieselor executate de echipa a II –a:

16 (piese) x 7 = 112 (piese)

3. Se află numărul total de piese executate de cele două echipe:

108 (piese) + 112 (piese) = 220 (piese)

4. Se calculează valoarea pieselor executate:

48 (RON/piesă) x 220 (piese) = 10 560 (RON)

Metoda sintetică.

A examina o problemă prin metoda sintetică înseamnă a orienta gândirea elevilor asupra datelor problemei, a grupa aceste date după relațiile dintre ele, astfel încât să se formuleze cu aceste date toate problemele simple posibile și a așeza aceste probleme simple într-o succesiune logică astfel alcătuită încât să se încheie cu acea problemă simplă a cărei întrebare coincide cu întrebarea problemei date.

Exemplu:

Problema enunțată și studiată mai sus se examinează prin metoda sintetică astfel:

1. Cunoscând numărul muncitorilor din prima echipă și numărul pieselor executate de fiecare, se află numărul pieselor executate de întreaga echipă.

2. Analog pentru echipa a II-a.

3. Dacă se află câte piese au fost executate de prima echipă și câte de a doua, atunci se poate afla numărul total de piese executate de cele două echipe.

4. Cunoscând numărul total de piese și valoare medie a unei piese, se poate afla valoarea totală.

(6 x 18 + 7 x 16) x 48 = (108 + 112) x 48 = 10 560 (RON)

Ambele metode, analiza și sinteza, prezintă avantaje și dezavantaje.

Astfel, folosind analiza nu scăpăm din vedere necunoscuta, dar s-ar putea să ajungem la rezolvarea unei probleme auxiliare pe care să nu o putem rezolva cu ajutorul datelor problemei. Folosirea sintezei este mai accesibilă și prezintă avantajul că atât elaborarea planului cât și realizarea lui evoluează în același sens: de la date spre necunoscută. De aceea, sinteza este indicată mai ales rezolvitorilor începători. Inconvenientul metodei sintezei constă în aceea că, pornind de la date, s-ar putea „să ne pierdem timpul” cu rezolvări de probleme auxiliare suplimentare, care nu ne sunt utile în aflarea necunoscutei.

Din cele arătate în legătură cu metoda analizei și sintezei, s-ar părea că cele două metode nu pot fi folosite în rezolvarea aceleiași probleme. Cu toate acestea, de multe ori putem începe raționamentul printr-o metodă și să-l continuăm prin cealaltă. Sau, chiar atunci când folosim numai una dintre metode, în mod spontan folosim și cealaltă metodă. Astfel, planificând rezolvarea prin metoda sintezei putem să nu rezolvăm probleme neutile, deoarece am avut în vedere necunoscuta, făcând apel deci la analiză. Din motivele mai sus arătate, de multe ori se vorbește nu de metoda analizei și de metoda sintezei, ci despre metoda analitico–sintetică. Obișnuirea elevilor cu planificarea progresivă (metoda sintezei) sau cea regresivă (metoda analizei) este deosebit de importantă pentru euristică.

În legătură cu cele două metode generale de examinare a unei probleme, se menționează faptul că procesul analitic nu apare și nici nu se produce izolat de cel sintetic, întrucât cele două operații ale gândirii se găsesc într-o strânsă conexiune și interdependență, ele condiționându-se reciproc și realizându-se într-o unitate inseparabilă. De aceea nu poate fi vorba de utilizarea în mod exclusiv a uneia sau a alteia din aceste metoda, în examinarea unei probleme intervenind ambele operații ca laturi separate ale procesului unitar de gândire, însă în anumite momente sau situații, una din ele devine dominantă. Astfel, descompunerea unei probleme compuse în probleme simple din care este alcătuită, constituie în esență un proces de analiză, iar formularea planului de rezolvare, cu stabilirea succesiunii problemelor simple, constituie un proces de sinteză. Din aceste motive, cele două metode apar adeseori sub o denumire unică: metoda analitico–sintetică.

2.2.2. Dezvoltarea gândirii logice prin folosirea metodelor particulare

Problemele pentru a căror rezolvare se aplică un algoritm specific se numesc probleme tip. Prin identificarea tipului problemei se determină și „cheia” de rezolvare.

Metodele aritmetice sunt mai variate și diferă de la o categorie de probleme la alta, adaptându-se specificului acestora. Cele mai importante și mai frecvente sunt următoarele:

metoda figurativă (metoda grafică);

metoda comparației;

metoda falsei ipoteze (metoda presupunerilor);

metoda mersului invers (metoda retrogradă);

Metoda figurativă

Una dintre metode, cea mai folosită spre a-i determina pe elevi să cunoască enunțul problemei, să poată sesiza relațiile dintre datele problemei și pentru a-i face să rezolve cu mai multă ușurință, este metoda grafică.

Metoda figurativă constă în reprezentarea prin desen a mărimilor necunoscute și fixarea în desen a relațiilor dintre ele sau dintre ele și mărimile date în problemă. Ea ne ajută să alcătuim schema problemei, să ținem în atenție toate condițiile problemei, să ne concentrăm asupra lor. Pentru aceasta, figura pe care o vom folosi trebuie să însemne o schematizare a enunțului, pentru a se păstra în atenție relațiile matematice și nu toate aspectele concrete ca într-o fotografie. Dar, la începători, această schematizare păstrează o legătură cu partea concretă a enunțului, atâta cât să-l poată evoca. Reprezentarea mărimilor se face prin segmente de dreaptă. În esență, reprezentarea pe axă realizează legătura între numere și mărimi.

Limbajul grafic, materializat în reprezentările grafice este foarte apropiat de cel noțional. El face legătura între concret și logic, între reprezentare si concept. Între aceste niveluri, interacțiunea este logică și continuă. Ea este mijlocită de formațiuni mixte tipul conceptelor figurate, al imaginilor esențializate sau schematizate, care beneficiază de aportul inepuizabil al concretului. Imaginile mintale, ca modele parțial generalizate și reținute într-o formă figurativă, de simbol sau abstractă, îl apropie pe copil de logica operației intelectual. Ele devin sursa principală a activității gândirii și imaginației, mediind cunoașterea realității matematice.

Avantajele pe care le prezintă metoda figurativă o situează pe primul loc în ceea ce privește utilitatea ei:

are caracter general, aplicându-se la orice categorie de probleme în care se pretează figurarea și pe diferitele trepte ale școlarității;

are caracter intuitiv, înțelegerea relațiilor dintre datele problemei făcându-se pe baza imaginilor vizuale, uneori intervenind acțiunea directă, mișcarea și transpunerea acesteia pe plan mintal;

prin dimensiunile elementelor figurative și prin proporțiile dintre ele se creează variate modalități de stabilire a relațiilor cantitative dintre diferitele valori ale mărimilor, se sugerează aceste relații, se pun în evidență.

Pentru mărimile și relațiile din problemă se utilizează elemente grafice sau desene, respectiv:

desene care reprezintă acțiunea problemei și părțile ei componente;

figuri geometrice diferite: segmente de dreaptă, triunghiul, pătratul, dreptunghiul, cercul;

figurarea schematică a relațiilor matematice dintre datele problemei;

felurite semne convenționale, unele obișnuite, altele stabilite de comun acord cu elevii;

litere și combinații de litere;

elemente grafice simple: puncte, linii, ovale, cerculețe etc.

Exemple:

a) Problema 1 (figurarea prin desen):

De 8 Martie, două fetițe au oferit mamei lor flori. Fetița mai mare i-a oferit 5 lalele, iar cea mică 3 lalele.

Câte lalele are acum mama, dacă se știe că mai primise 7 lalele de la soțul ei?

b) Problema 2 (figurarea prin segmente de dreaptă):

La un centru de pâine s-au vândut 460 de pâini intermediare și albe. Știind că numărul pâinilor albe vândute este cu 60 mai mare decât cel al pâinilor intermediare, să se afle câte pâini intermediare și câte pâini albe s-au vândut.

Reprezentăm numărul de pâini vândute prin două segmente a și b, a reprezentând numărul pâinilor intermediare și b numărul pâinilor albe, segmentul b este mai mare decât segmentul a exact cu diferența dintre numărul de pâini, adică 60.

460 pâini

c pâini albe și intermediare

Se desenează un al treilea segment de dreaptă, c, ce reprezintă suma segmentelor a și b.

Din desen se observă faptul că suma celor două segmente este de fapt formată din segmentul a luat de două ori plus cele 60 de pâini.

Remarcăm că dacă îndepărtăm cele 60 de pâini, rămân două segmente egale fiecare cu a, adică, cu numărul de pâini intermediare vândute.

Egalăm segmentele cu cel scurt:

460 – 60 = 400 (pâini)

Pentru a afla numărul pâinilor intermediare se împarte suma la 2:

400 : 2 = 200 (pâini intermediare)

Am aflat valoarea segmentului a, adică numărul pâinilor intermediare și pentru a afla segmentul b, adică numărul pâinilor albe, care este cu 60 mai mare, facem operația de adunare.

Câte pâini albe s-au vândut?

200 + 60 =260 (pâini albe)

Dacă adunăm pâinile intermediare și cele albe se obține numărul total de pâini vândute. Verificare:

200 + 260 = 460 (pâini) și 260 > cu 60 decât 200

Această rezolvare a fost efectuată prin scădere (eliminând segmentul mic).

Aceeași problemă se mai poate rezolva și prin adaos (adăugăm un segment identic cu cel de 60, însă punctat).

Se reprezintă la fel ca la primul caz de rezolvare, adică prin segmentul a numărul pâinilor intermediare și prin segmentul b numărul pâinilor albe:

460 pâini

Se presupune că numărul pâinilor ar fi fost egal fiecare cu cel al pâinilor albe. Aceasta presupune ca în segmentul c să mai apară segmentul de 60 încă o dată.

Atunci, la numărul ce reprezintă suma totală a pâinilor vândute se mai adaugă 60.

Egalăm segmentele cu cel lung:

460 + 60 = 520 (pâini)

Numărul pâinilor albe se obține împărțind suma la 2.

Câte pâini albe s-au vândut?

520 : 2 = 260 (pâini albe)

Pentru a afla numărul pâinilor intermediare se scad cele 60 de pâini deoarece sunt cu 60 mai puține.

Câte pâini intermediare s-au vândut?

260 – 60 = 200 (pâini intermediare)

Făcând suma celor găsite se obține totalul pâinilor vândute.

Verificare:

200 + 260 = 460 (pâini) și 200 < 260 cu 60

c) Problema 3 (figurarea schematică a relațiilor matematice):

Într-o curte erau curci și oi, în total 29 capete și 82 de picioare. Câte curci și câte oi erau?

Se face un desen schematic potrivit cu enunțul și nu se vor folosi segmente, ci o schiță apropiată. Pe primul rând se așază, la general, o mulțime reprezentată fără picioare, cea cu 29 de animale, și se va nota cu a. Pe al doilea rând vom reprezenta curcile cu câte 2 picioare și se vom nota cu b. Pe al treilea rând vom reprezenta oile și le vom desena 4 picioare, notându-le cu c. Dar pentru că nu știm câte să desenăm cu 2 picioare (adică numărul curcilor) și câte cu 4 picioare (adică numărul oilor), vom desena câte 2 la fiecare, pentru că fiecare are cel puțin 2 picioare.

Varianta I

Presupunem că toate vietățile din curte sunt curci.

Am folosit:

29 x 2 = 58 (picioare)

Au mai rămas:

82 – 58 = 24 picioare, pe care le vom repartiza: două la primul, două la al doilea etc. până când le terminăm, adică 24 : 2 = 12 – acestea fiind oile.

Restul, cele rămase numai cu două picioare sunt curci:

29 – 12 = 17 (curci)

Verificare:

(12 x 4) + (17 x 2) = 48 + 34 = 82 (picioare)

12 + 17 = 29 (capete)

Varianta a II-a

Presupunem acum că toate animalele sunt oi, deci au câte 4 picioare fiecare, ar avea cu toate:

29 x 4 = 116 (picioare)

Diferența, adică 116 – 82 = 34 picioare apare pentru că există și curci, ce au câte 2 picioare și putem afla numărul lor repartizând câte 2 picioare pe cap de animal:

34 : 2 = 17 (curci)

Facem diferența dintre numărul de capete și cel al curcilor și aflăm numărul oilor:

29 – 17 = 12 (oi)

Verificare:

(17 x 2) + (12 x 4) = 82 (picioare)

17 + 12 = 29 (capete)

d) Problema 4 (figurarea prin semne convenționale):

Pentru prepararea betonului, la fiecare găleată de ciment sunt necesare 2 găleți de apă și 5 găleți de balast.

Câte găleți de ciment, apă și balast sunt necesare pentru prepararea a 4,144 t beton, știind că o găleată cu beton are în medie 14 kg?

Analiza problemei:

Se figurează părțile din care se compune betonul, cu cerculețe:

ciment – 1 parte

apă – 2 părți

balast – 5 părți

În total sunt 8 găleți sau 8 părți (la o parte de ciment, două părți de apă și 5 părți balast):

1 + 2 + 5 = 8 (părți)

Se transformă în kg cantitatea de beton:

4,144 t = 4 144 kg

Se calculează câte găleți de beton reprezintă 4 144 kg de beton:

4 144 (kg) : 14 (kg) = 296 (găleți de beton)

În continuare se calculează de câte ori grupul de 8 găleți se cuprinde în numărul total de găleți:

296 (găleți) : 8 (părți) = 37 (găleți pentru o singură parte)

Deci, sunt necesare 37 găleți de ciment.

37 x 2 = 74 (găleți de apă)

37 x 5 = 185 (găleți de balast)

e) Problema 5 (figurarea prin litere și combinații de litere):

Într-o excursie s-au înscris de 4 ori mai mulți băieți decât fete. Dacă ar mai veni 2 fete și ar renunța 4 băieți, atunci numărul băieților ar deveni de 3 ori mai mare decât al fetelor.

Câți băieți și câte fete erau înscriși pe listă?

Această problemă poate fi rezolvată folosind litere împărțite în grupe figurate cu ajutorul cerculețelor. Deoarece avem de 4 ori mai mulți băieți decât fete, fiecare grupă, la început, are 1 fată și 4 băieți:

. . .

Deoarece numărul de fete stabilește numărul de grupe, prin înscrierea a încă 2 fete vor mai apărea două grupe și, din ultima grupă din situația inițială, vor dispărea 4 băieți care s-ar retrage. În această etapă, situația se prezintă astfel:

. . .

Conform ipotezei, numărul băieților este de 3 ori mai mare decât al fetelor, deci, după regrupare, se obține:

. . .

Ultimele două situații dau cheia de rezolvare a problemei. Din fiecare grupă care avea 4 băieți, a fost repartizat câte un băiat în cele trei grupe care conțineau numai câte o fată.

Deci s-au mutat:

3 (băieți) x 3 (grupe) = 9 (băieți), care provin din 9 grupe.

Acum sunt:

9 + 3 = 12 (grupe)

care conțin:

3 (băieți) x 12 (grupe) = 36 (băieți)

1 (fată) x 12 (grupe) = 12 (fete)

Așadar, la început, au fost înscriși pe listă:

36 (băieți) + 4 (băieți) = 40 (băieți)

12 (fete) – 2 (fete) = 10 (fete)

Nu există un algoritm de rezolvare aplicabil tuturor problemelor de acest fel, de aceea, problemele care se rezolvă prin metoda figurativă nu le putem include strict în categoria problemelor tip. Nu putem rezolva o problemă fără a se face un desen, o schiță sau o figură. Indiferent că este metoda mersului invers sau probleme de mișcare, metoda reducerii la unitate sau metoda falsei ipoteze pentru rezolvarea fiecăreia suntem nevoiți să realizăm un desen ca elevii să înțeleagă problema și să găsească mai ușor calea de rezolvare.

Cele mai frecvente probleme care se rezolvă prin metoda figurativă sunt problemele în care intervin mărimi „continui”, care se pot reprezenta prin segmente, și anume:

probleme în care se cunosc suma și diferența;

Suma a două numere este 95. Să se afle numerele, știind că unul este cu 17 mai mare.

Se reprezintă primul număr printr-un segment a și al doilea număr printr-un segment b, astfel încât, conform celor enunțate în problemă, segmentul a să fie cu 17 mai mare decât segmentul b:

a

ia de existență a omului se ca problemelorde rezolvare a problemelor000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

b

+ 17

Câte părți egale sunt: 1 p + 1 p = 2 (părți)

Care ar fi suma celor două părți egale: 95 – 17 = 78

Cât este primul număr: 78 : 2 = 39

Care este al doilea număr: 39 + 17 = 56

probleme în care se cunosc suma și raportul;

Într-o gospodărie sunt găini și rațe, în total 114 păsări. Știind că numărul găinilor este de 5 ori mai mare decât cel al rațelor, să se afle câte găini și câte rațe sunt în gospodărie.

Se notează printr-un segment a numărul rațelor și printr-un segment b numărul găinilor, astfel încât, conform celor enunțate în problemă, segmentul b să fie egal cu 5 părți a, deci de 5 ori mai mare decât a:

114 păsări

Deci, avem segmente egale.

Câte segmente egale avem?

1 + 5 = 6 (părți)

Știind că suma păsărilor este 114 și că adunând cele două segmente a și b (adică numărul rațelor și al găinilor) obținem 6 segmente egale cu a, atunci numărul rațelor este de 6 ori mai mic decât suma 114.

Câte rațe sunt în gospodărie?

114 : 6 = 19 (rațe)

Aflăm și numărul găinilor care este de 5 ori mai mare decât al rațelor. Câte găini sunt în gospodărie?

19 x 5 = 95 (găini)

Adunăm numărul rațelor cu cel al găinilor și obținem numărul păsărilor.

Verificare: 19 + 95 = 114 și 95 > 19 de 5 ori sau 19 < 95 de 5 ori

Verificarea reprezintă autocontrolul.

probleme de aflare a numerelor când se cunosc diferența și raportul lor;

Vârsta tatălui este de 5 ori mai mare decât a fiului. Fiul este cu 28 de ani mai tânăr decât tatăl. Câți ani are fiecare?

Se notează printr-un segment a vârsta fiului și printr-un segment b vârsta tatălui, astfel încât, conform celor enunțate în problemă, segmentul b să fie egal cu 5 părți a, deci de 5 ori mai mare decât a:

28 ani

Știind că diferența de vârstă dintre tată și fiu este 28 de ani și că scăzând cele două segmente a și b (adică vârsta fiului din vârsta tatălui) obținem 4 segmente egale cu a, atunci vârsta fiului este de 4 ori mai mică decât diferența de 28 de ani.

Câți ani are fiul?

28 : 4 = 7 (ani)

Aflăm și vârsta tatălui care este de 5 ori mai mare decât vârsta fiului:

7 x 5 = 35 (ani)

probleme de aflare a numerelor când se cunosc suma, diferența și raportul;

Marcel, Andrada și Alina au depus la C.E.C. împreună 319 lei. Marcel are de 3 ori mai mult decât Alina și cu 4 lei mai puțin decât Andrada. Câți lei are fiecare?

Marcel:

Alina: 319 lei

Andrada: + 4 lei

Se reprezintă prin 3 segmente suma de bani depusă de Marcel, printr-un segment suma Alinei și prin 3 segmente și încă 4 lei suma Andradei.

Rezolvarea:

Care ar fi suma dacă ar fi numai părți egale?

319 – 4 = 315 (lei)

Câte părți de mărimi egale cu suma Alinei sunt în 315 lei:

3 + 1 + 3 = 7

Câți lei are Alina:

315 : 7 = 45 (lei)

Câți lei are Marcel:

45 x 3 = 135 (lei)

Câți lei are Andrada:

135 + 4 = 139 (lei)

Metoda comparației

Presupune eliminarea unei mărimi prin „reducere” și aducerea la același termen de comparație. Comparația este una din operațiile gândirii logice, alături de: analiză, sinteză, generalizarea, abstractizarea etc.

Prin această metodă se rezolvă problemele în care se află două mărimi necunoscute, x și y sunt legate între ele prin relații liniare (ecuații de gradul I cu 2 necunoscute). Din punct de vedere algebric, aceste relații se prezintă sub forma unui sistem de două ecuații de gradul I cu două necunoscute.

Dacă valorile aceleiași mărimi sunt egale prin enunțul problemei, reducerea este imediată prin scăderea relațiilor respective. Dacă din enunțul problemei nu rezultă valori egale, atunci apare necesitatea aducerii la același termen de comparație.

Exemplu:

O echipă formată din 5 muncitori și 12 elevi a recoltat 946 de lăzi cu roșii, iar alta formată din 6 muncitori și 15 elevi a recoltat 1164 lăzi cu roșii. Să se afle câte lăzi cu roșii a recoltat un elev și câte a recoltat un muncitor.

5 mc …………………. 12 e ………………….946 lăzi x 6

6 mc …………………. 15 e …………………1164 lăzi x 5

Întrucât nici valorile care reprezintă muncitorii, nici cele care reprezintă elevii nu sunt egale, apare necesitatea aducerii la același termen de comparație, prin înmulțirea primei relații cu 6, iar pe cea de-a doua a înmulțim cu 5.

Astfel, obținem:

30 mc …………………. 72 e ………………….5676 lăzi

30 mc …………………. 75 e ………………….5820 lăzi m

/ 3 e 144 lăzi

Relațiile se scad (alteori se adună) în scopul eliminării unei necunoscute. Relațiile sunt echivalente cu cele inițiale, însă mărite (de șase ori prima, de 5 ori a doua). Acum numărul muncitorilor e același. Se reduce. Deducem cu ușurință că echipa a II-a a recoltat mai multe lăzi cu roșii deoarece are cu 3 elevi mai mult decât prima:

75 e – 72 e = 3 e un elev a recoltat:

5820 lăzi – 5676 lăzi = 144 lăzi 144 lăzi : 3 = 48 lăzi

Atunci:

1 e …………………. 48 lăzi

12 e …………………12 x 48 = 576 lăzi

Asta înseamnă că:

5 mc ………………….946 lăzi – 576 lăzi = 370 lăzi

1 mc ………………….370 lăzi : 5 = 74 lăzi

Răspun: 1 e – 48 lăzi cu roșii

1 mc – 74 lăzi cu roșii

Rezolvarea algebrică a problemei se face cu mai multă ușurință, deoarece nu necesită explicații ample, însă la clasa a IV-a e de preferat rezolvarea aritmetică.

Metoda falsei ipoteze

Această metodă are la bază o presupunere (o ipoteză) care nu corespunde decât întâmplător cu datele problemei. Prin introducerea datelor ipotetice se confruntă situația reală cu situația creată. Ea se utilizează în toate cazurile în care prin ipotezele care se fac se poate ajunge la stabilirea relațiilor dintre datele problemei și deci la rezolvarea ei.

Exemplu:

S-au cumpărat pahare și farfurii, în total 22 bucăți, și s-a plătit suma de 106 RON. Câte bucăți din fiecare fel s-au cumpărat, știind că paharul costă 3 RON, iar farfuria costă 7 RON?

Varianta I

1. Presupunem că cele 22 de bucăți sunt pahare:

22 x 3 = 66 (RON)

2. Observăm o discordanță între suma dată și cea aflată:

106 – 66 = 40 (RON)

3. De unde provine acea sumă ?

7 – 3 = 4 (RON)

4. Dacă am presupus că toate cele 22 de bucăți sunt pahare, acum vom dovedi contrariul, adică că ipoteza e falsă și că sunt și farfurii. Iată câte farfurii sunt:

40 : 4 = 10 (farfurii)

5. Câte pahare s-au cumpărat ?

22 – 10 = 12 (pahare)

6. Verificare:

10 + 12 = 22 bucăți

(10 x 7) + (12 x 3) = 70 + 36 = 106

Varianta a II-a

1. Presupunem că cele 22 de bucăți sunt farfurii:

22 x 7 = 154 (RON)

2. Observăm o discordanță între suma dată și cea aflată:

154 – 106 = 48 (RON)

3. De unde provine acea sumă ?

7 – 3 = 4 (RON)

4. Dacă am presupus că toate cele 22 de bucăți sunt farfurii, acum vom dovedi contrariul, adică că ipoteza e falsă și că sunt și pahare. Iată câte pahare sunt:

48 : 4 = 12 (pahare)

5. Câte farfurii s-au cumpărat ?

22 – 12 = 10 (farfurii)

Verificare:

10 + 12 = 22 bucăți

(12 x 3) + (10 x 7) = 36 + 70 = 106 (RON)

Metoda mersului invers (metoda retrogradă)

Prin metoda mersului invers se rezolvă aritmetic anumite probleme în care elementul necunoscut apare în faza de început a șirului de calcule, ce rezultă din enunțul problemei. Se numește a mersului invers deoarece operațiile se reconstituie în sens invers acțiunii problemei, adică de la sfârșit spre început, fiecărei operații corespunzându-i inversa ei. Metoda mersului invers se aplică atât în rezolvarea exercițiilor numerice care conțin un element necunoscut, cât și în rezolvarea problemelor care se încadrează în tipul respectiv.

Exemple:

Problema 1:

Am luat un număr a, l-am înmulțit cu 5, la rezultat am adunat 42, suma obținută am împărțit-o la 7 și din cât am scăzut 11, obținând 200.

Ce număr am luat?

Enunțul se scrie prescurtat astfel: (a x 5 + 42) : 7 – 11 = 200

Etape de rezolvare:

VARIANTA I (cea mai sigură)

x 5 + 42 : 7 – 11

I. a a x 5 a x 5 + 42 (a x 5 + 42) : 7 200

II. a = 287 1435 1477 211 200

: 5 – 42 x 7 + 11

Verificare:

(287 x 5 +42) : 7 – 11 = 1477 : 7 – 11 = 211 – 11 = 200

Varianta a II-a (mai detaliată și mai anevoioasă)

(a x 5 + 42 ) : 7 – 11 = 200 – Rezolvăm exercițiul de la sfârșit spre început

(a x 5 + 42 ) : 7 = 200 + 11 – Facem exact operația inversă scăderii, adunarea

(a x 5 + 42 ) : 7 = 211

(a x 5 + 42 ) = 211 x 7 – Facem operația inversă împărțirii, înmulțirea

(a x 5 + 42 ) = 1477

a x 5 = 1477 – 42 – În loc de adunare, facem scădere

a x 5 = 1435

a = 1435 : 5 – În loc de înmulțire facem împărțire

a = 287

Verificare:

(287 x 5 + 42) : 7 – 11 = 200

Problema 2:

Bunicul dăruiește celor trei nepoți o sumă de bani. Primul nepot ia 1/3 din sumă și pleacă. Al doilea, crezând că e primul, ia 1/3 din suma găsită și pleacă. Al treilea, crezând că el e primul, ia 1/3 din suma rămasă și pleacă. A rămas suma de 920 RON.

Cum vor împărți nepoții în mod echitabil, între ei, suma primită?

R1

R2

I = ⅓ din S II = ⅓ din R1

III = ⅓ din R2

R3 = 920

S

Rezolvare:

Așezarea datelor problemei:

I. 1/3 din S rest R1

II. 1/3 din R1 rest R2

III. 1/3 din R2 rest R3 = 920 RON

Varianta I

Efectuarea calculelor:

III. R3 = 920 RON, reprezintă 2/3 din R2, deci avem:

2/3 din R2 = 920 RON R2 = = 1380 RON

II. R2 = 1380; înseamnă că:

2/3 din R1 = 1380 RON R1 = = 2070 RON

I. 2/3 din S = 2070 RON S = = 3105 RON

3105 : 3 = 1035 RON pentru fiecare nepot

Atunci:

I. 1035 RON

II. 1/3 din (3105 – 1035) = 1/3 x 2070 = 690 (RON)

1035 – 690 = 345 (RON) mai are de primit

III. 1/3 din (2070 – 690) = 1/3 x 1380 = 460 (RON)

1035 – 460 = 575 (RON) mai are de primit

Varianta a II-a

920 : 2 X 3 = R2 = 1380

1380 : 2 x 3 = R1 = 2070

2070 : 2 x 3 = S = 3105

3105 : 3 = 1035 (primul nepot)

1/3 din 2070 = 690

1035 – 690 = 345 (mai primește al II-lea nepot)

1/3 din 1380 = 460

1035 – 460 = 575 (mai primește nepotul al II-lea)

2. 3. Dezvoltarea gândirii logice prin compunerea de probleme

Activitatea de compunere a problemelor de către elevi aduce o contribuție importantă la dezvoltarea proceselor.

A crea este o caracteristică a performanței umane și progresul omenirii nu este posibil fără activitatea creatoare a oamenilor în diferite sectoare, în diferite domenii ale vieții.

Compunerea de probleme este una din modalitățile principale de a dezvolta gândirea independentă și originală a copiilor, de cultivare și educare a creativității gândirii lor.

Se pot compune și crea probleme în următoarele forme și următoarea succesiune graduală:

-probleme acțiune sau cu punere în scenă;

-compuneri de probleme după imagini sau tablouri;

-compuneri de probleme după modelul unei probleme rezolvate anterior;

-probleme cu indicarea operațiilor matematice ce trebuie efectuate;

-compuneri de probleme după un plan stabilit;

-compuneri de probleme cu mai multe întrebări posibile;

-compuneri de probleme cu o întrebare dată și cu mai multe conținuturi date precum și relații între date ale conținutului;

-compuneri de probleme cu întrebare probabilistică;

-probleme cu început dat;

-compuneri de probleme cu mărimi date, cu valori numerice date;

-compuneri de probleme după un exercițiu (simplu sau compus);

-probleme după un model simbolic;

-compuneri de probleme cu modificarea conținutului și a datelor;

-crearea liberă de probleme;

-probleme de perspicacitate, rebusistice.

Ținând seama de posibilitățile elevilor, în activitatea de compunere a problemelor, se trece treptat de la compunerea liberă la cea îngrădită de anumite cerințe din ce în ce mai restrictive.

Rolul învățătorului este să conducă această activitate prin indicații clare, prin exemple sugestive folosite ca modele, prin cerințe raționale, să canalizeze gândirea și imaginația elevilor spre asociații din ce în ce mai puțin întâmplătoare.

Am început activitatea de compunere a problemelor încă din clasa I, îndrumând elevii spre compunerea de probleme asemănătoare cu cele rezolvate în clasă.

Gradarea cerințelor pentru compunerea problemelor am făcut-o treptat în funție de cunoștințele primite (în cadrul celor patru operații aritmetice), astfel ca sarcinile noi să nu apară dintr-o dată în toată complexitatea lor, ci pe rând și ca o experiență căpătată anterior, în rezolvarea unei probleme, să servească drept bază în rezolvarea noii probleme.

Mai întâi am folosit ca punct de sprijin diferite materiale (creioane, bile, obiecte decupate).

Manualul de matematică de clasa I ne dă posibilitatea să alcătuim cu elevii probleme după imagini.

Am alcătuit probleme după operații: 7 + 3 = ; 2 kg + 3 kg = ; 20 l – 5 l = .

Am trecut la compunerea problemelor pe baza formulei numerice, apoi pe baza formulei literale.

Am rezolvat cu elevii problema următoare:

Pe o fructieră sunt 3 mere. George mai pune 5 mere.Câte mere sunt acum pe fructieră?

După aceea am cerut elevilor să compună o problemă cu datele problemei anterioare.

Am cerut elevilor să compună probleme după:

9 – ? = 4 sau 9 – a = 4 etc.

În clasa a II – a, după învățarea înmulțirii și împărțirii am cerut elevilor să compună probleme de felul – 7 lei x 4 = sau

-înmulțind pe 9 cu 5

– împărțind pe 18 în două părți egale;

– 16 lei:4 =

Una din cerințele formulate pentru elevi a fost compunerea de probleme asemănătoare cu cele rezolvate în clasă, dar cu modificarea întrebării:

Problemă:

Mama cumpără o rochiță care costă 35 lei și o păpușă care costă cu 20 mai puțin.

a) Cât costă rochița și păpușa?

b) Ce rest va primi de la 60 lei?

c) Câți lei are mama dacă pentru a cumpăra rochița și păpușa îi mai trebuie 5 lei?

După rezolvarea a o serie de probleme cu scheme, am cerut elevilor să compună probleme folosind schemele:

Datele ce vor fi alese sunt legate între ele prin semnele de înmulțire, iar rezultatele obținute conduc gândirea elevilor spre adunare.

În acest caz ei pot compune probleme în care să ia ca date prețul și cantitatea și să obțină valoarea sau să creeze, folosind relația dintre viteză și timp pentru a afla distanța.

Exemple:

Problemă:

La o alimentară s-au adus 100 kg de zahăr a 4 lei kg și 75 kg de făină a 2 lei kg. Câți lei se vor încasa prin vânzare pe zahăr și pe făină?

Problemă:

Un turist merge cu automobilul 3 ore, făcând câte 60 km pe oră, iar cu trenul 5 ore, făcând 70 km/oră.

Ce distanță parcurge turistul folosind ambele mijloace de transport?

Se pot face compromisuri de probleme în care, dându-se o parte din problemă cerem completarea ei condiționând întrebarea.

Problemă:

La un magazin s-au adus 90 m de stofă. A doua oară s-au adus cu 1/3 mai mulți metri de stofă.

Indicăm elevilor să completeze problema în așa fel încât să se poată rezolva prin patru operații și să răspundă la întrebarea: “Câte costume se pot confecționa din materialul adus la magazin?”

După rezolvarea a o serie de probleme prin formulă numerică și literală, pe baza unei munci sistematice și susținute, am obținut rezultate bune în ceea ce privește compunerea problemelor.

Am cerut să alcătuiască probleme după următoarea formulă numerică:

[1200-(10×50)]:5=

Elevii au alcătuit probleme de genul:

La un magazin s-au adus jachete și rochii în valoare de 1200 lei. Cunoscând că s-au primit 10 jachete a 50 lei bucata și 5 rochii, să se afle care era prețul unei rochii?

După ce elevii compun probleme în clasele I și a II-a pe baza unor formule literale date: a + (a + b) sau a + (a – b); a – (b + c), putem complica activitatea gândirii cerând alcătuirea unei probleme care se poate exprima prin două formule literale care conduc spre același rezultat:

(a – c) – b sau

Am obținut astfel următoarea problemă care se poate rezolva prin două procedee:

La o alimentară se găsea zahăr în valoare de 640 lei. Din această cantitate s-au vândut într-o zi 50 kg a 4 lei kg. Câte kg de zahăr au rămas?

(640:4)-50=135-50=85(kg)

La clasa a IV-a am folosit în compunerea problemelor formulele relației dintre viteză, timp, distanță

d = v x t ; t = d : v ; v = d : t

Concomitent cu activitatea de compunere a problemelor de către elevi pe baza formulei numerice sau literale, am folosit și alte modalități de lucru: indicarea datelor problemei, indicarea domeniului la care se referă problema, probleme la care elevii trebuie să completeze una din date sau întrebarea, etc.

Atât activitatea de compunere a problemelor, cât și cea de rezolvare a acestora ar fi bine să se facă și în situații de joc didactic.

Competiția generată de joc va contribui la formarea personalității elevilor, la activizarea intelectuală, la manifestarea unei conduite atitudinale pozitive față de muncă, față de întrecerile în cadrul grupului școlar. Se va avea în vedere creșterea mobilității gândirii, a capacităților sale divergente, creatoare. Iată câteva forme și procedee pentru aceasta:

-să se rezolve o problemă compusă de o echipă (sau pe rând de fiecare component al echipei) de un alt grup (sau fiecare component al grupului);

-o echipă să formuleze conținutul problemei și altă echipă întrebarea, iar rezolvarea să se facă simultan de ambele echipe;

-care echipă compune mai corect și mai frumos o problemă după anumite cerințe;

-să se găsească de fiecare echipă cât mai multe întrebări pentru un conținut dat;

-care echipă găsește mai multe metode de rezolvare a unei probleme date sau compuse;

-să se corecteze un enunț formulat greșit;

-eliminarea dintr-un enunț a datelor de prisos.

În activitatea de compunere a problemelor este necesar ca învățătorul să aibă în atenție îmbunătățirea exprimării corecte a copiilor, îmbogățirea vocabularului, creșterea continuă a volumului de cunoștințe, de corelare a lor, de transfer și folosire a acestora în practică.

Compunerea de probleme în clasele I – IV poate constitui o premisă reală și eficientă pentru o viitoare muncă de cercetare, pentru activitatea ulterioară de creație (invenție, inovație) și o modalitate sigură de sporire a rolului formativ al învățământului matematic din ciclul primar în strânsă corelație cu celelelte disipline de învățământ.

CAPITOLUL 3. ACTIVITĂȚI REZOLUTIVE

3. 1. Conceptul de activitate rezolutivă și modul de desfășurare a lor

Din punct de vedere etimologic, cuvântul stil (din limba greacă stylos) are semnificația unui condei ascuțit la un capăt și tocit la celălalt capăt. Cu capătul ascuțit se grava pe tăblițe de ceară, iar cu capătul tocit se puteau șterge cele scrise.

Stilul rezolutiv poate fi definit ca mod specific pentru o persoană sau un grup de persoane de a reacționa din punct de vedere intelectual la probleme. Studiile de specialitate demonstrează că diverse persoane, în unul și același câmp problematic, văd diferite probleme, le definesc în termeni diferiți și folosesc diferite metode de rezolvare a acestora.

În cheia definiției abordării stilistice a unui proces și în baza sintetizării interpretărilor din literatura de specialitate, vom defini stilul rezolutiv drept un sistem de structuri ale tuturor sferelor personalității rezolvatorului, care specifică maniera (modalitatea, modul) personală de abordare, organizare și realizare a proceselor rezolutive.

Rezolvarea problemelor în ciclul primar reprezintă, în esență, rezolvarea unor situații problematice reale pe care copiii le întâlnesc frecvent în activitatea practică. Activitatea gândirii se manifestă cu precădere atunci când în calea activităților practice sau teoretice apar obstacole pe care nu le-am mai întâlnit.

La matematică, elevii percep o problemă ca pe o situație în care trebuie să intervină cu raționamentul matematic. Elevii sunt puși în situația de a căuta soluții pe cale euristică prin ordonarea întrebărilor și răspunsurilor cuprinse în enunț. Activitatea de rezolvare de probleme trebuie să corespundă cu orientarea procesului instructiv–educativ pe formarea de capacități intelectuale, pe moduri de gândire, strategii cognitive și pe folosirea metodelor de instruire activ–participative. Pentru aceasta sunt necesare strategii adecvate posibilităților intelectuale ale elevilor pentru a putea fi antrenați în mod diferențiat în activități de tip rezolutiv.

În cadrul activităților de tip rezolutiv sunt confruntați fie cu matematica „tip proces” prin formularea și rezolvarea de probleme, fie cu matematica „tip rezultat” prin modul de aplicare a unor rezultate deja obținute.

Astfel, procesul rezolutiv este prezentat sub cele trei aspecte:

un proces de învățare prin:

* rezolvare de probleme, adică prin problematizare și descoperire;

* formarea și consolidarea unor priceperi de aplicare a definițiilor și teoremelor;

un proces de căutare prin:

* găsirea celor mai adecvate metode și procedee euristice care sunt menite a scurta drumul spre găsirea soluției;

* transferul acestor două procedee depistate în forma strategiilor eurostico–algoritmice folosite în rezolvarea de probleme;

un proces psihologic:

* prin rezolvarea de probleme sunt antrenate și dezvoltate în cel mai înalt grad capacitățile intelectuale;

* în rezolvarea problemelor trebuie ținut cont de particularitățile psihopedagogice de vârstă ale elevilor.

În rezolvarea problemelor este necesară înțelegerea conținuturilor, delimitarea clară a datelor ipotetice de condiție și mai ales direcția în care trebuie orientată gândirea elevilor pentru a putea răspunde la întrebarea problemei. Atunci când se rezolvă o problemă are loc un transfer al procedeelor de rezolvare de la o problemă la alta, adică aplicarea la o problemă nouă a experienței dobândite în rezolvările anterioare.

În ciclul primar, activitatea rezolutivă reprezintă o activitate fundamentală. Această activitate trebuie privită ca o activitate mentală de căutare, în cursul căreia, pe baza datelor, se emit ipoteze și are loc un proces de verificare a datelor în practică.

Pentru un elev este foarte importantă activitatea rezolutivă deoarece prin intermediul ei are loc exersarea schemelor de operare cu numere, se însușesc și se consolidează noile scheme cognitive și se realizează legătura dintre matematică și practică. Prin activitățile rezolutive sunt mobilizate procesele psihice de cunoaștere ce duc la dezvoltarea gândirii, la formarea limbajului matematic, la educarea perspicacității și a spiritului de inițiativă.

Rezolvarea de probleme constituie activitatea matematică cea mai bogată în valențe formative și se manifestă în dezvoltarea capacităților rezolutive: analiză, sinteză, evaluare și transfer.

Activitatea rezolutivă exercită o influență formativă asupra elevilor pe tot parcursul studierii matematicii prin formarea unei gândiri profunde, cultivarea corectitudinii, dârzeniei și spiritului de independență.

Activitatea rezolutivă mobilizează întreaga personalitate a celui care rezolvă probleme, stimulează și dezvoltă capacitățile creative și formează o atitudine pozitivă față de învățarea matematicii.

În rezolvarea unei probleme sunt parcurse mai multe etape. În cadrul fiecărei etape, datele apar în noi combinații, având loc un proces de reorganizare succesivă a lor și o activitate de orientare a elevului care să-l apropie de soluție. În esență, rezolvarea unei probleme necesită un efort al gândirii și o atitudine creatoare, care vor fi cu atât mai susținute cu cât valoarea necunoscută se găsește în relații mai îndepărtate de datele cunoscute.

Atunci când parcurgem etapele de bază în rezolvarea unei probleme: înțelegerea problemei, analiza logică, rezolvarea propriu–zisă și activitățile complementare, dificultăți deosebite ridică analiza logică a problemei.

Trecerea cu ușurință peste această etapă poate crea obișnuința de a privi cu superficialitate problema, ducând la neînțelegerea conținutului problemei și la frânarea formării capacităților necesare de analiză a datelor. Ori, totdeauna neînțelegerea conținutului problemei împreună cu orientarea greșită a atenției sunt factorii insuccesului în rezolvare.

De asemenea în foarte multe cazuri textul problemei ajută la orientarea și organizarea raționamentului, obligându-ne să facem o analiză profundă cu participarea activă a gândirii.

Datorită acestor considerente s-a ajuns la concluzia că analiza logică a problemei este eficientă dacă apelăm la o suită de îndrumări de orientare a gândirii care-l direcționează pe elev ca prin forțe proprii să alcătuiască planul de rezolvare a problemei. Acest set de îndrumări de orientare a gândirii îl ajută pe elev să elaboreze strategia de rezolvare a problemei care este de fapt strategia rezolutivă.

Rezolvarea problemei constă în raportarea datelor cunoscute și a condiției problemei la necunoscută și mobilizarea abilităților formate anterior pentru construirea raționamentului de rezolvare. Tocmai întrebarea problemei și planul de rezolvare reprezintă strategia rezolutivă. În această activitate elevul trebuie ajutat deoarece el nu are dezvoltată, încă, capacitatea de a folosi cunoștințele anterioare, iar ajutorul trebuie făcut astfel încât să nu fie nici prea consistent, nici prea puțin și nu numai atât cât poate să deschidă calea către raționamentul propriu–zis. Realizarea planului de rezolvare presupune efectuarea operațiilor cerute de întrebările problemei, adică implică o succesiune de operații logice care nu este altceva decât schema de rezolvare. setul de îndrumări de orientare a gândirii este foarte important în dezvoltarea gândirii, la educația matematică a elevului și la dezvoltarea întregii sale personalități.

În funcție de dificultățile rezolvării problemelor și de experiența disponibilă putem apela la diverse tipuri de îndrumări de orientare a gândirii și anume:

algoritmice – în care se folosesc strategii pe care le învață pur și simplu;

semialgoritmice – în care folosim strategii care îmbină schemele cunoscute anterior, îndrumările date de învățător și schemele descoperite prin proprie inițiativă;

euristice – se folosesc strategii menite să conducă la invenție și descoperire;

metacognitiv – în care sunt folosite îndrumări de dirijare a gândirii care conțin și instrucțiuni de control.

Toate strategiile prezente în tipurile de îndrumări de orientare a gândirii sunt strategii cognitive care trebuie formate la elevi. Îndrumările trebuie astfel date încât gândirea să fie lăsată liberă să iscodească, deoarece această căutare are o eficiență formativă mult mai bogată decât dirijarea directă spre soluție și îi dă acea trăire a bucuriei descoperirii. Îndrumările de orientare a gândirii se bazează pe cele două operații: analiza și sinteza. Astfel sunt folosite: metoda analitică, metoda sintetică dar mai ales combinarea lor și anume metoda analitico–sintetică. Datorită conexiunii celor două operații fundamentale, ele nu pot fi separate total, ci putem spune că uneori una din ele are o tentă dominantă în raport cu cealaltă. Metoda analitică este mult mai prezentă în descompunerea problemei în probleme simple, pe când metoda sintetică este strâns legată de ordonarea logică și formularea planului de rezolvare.

În activitățile rezolutive care urmează sunt prezentate strategiile folosite atât de învățător cât și de elev. Pentru o vizualizare mai bună a acestor îndrumări, fiecare problemă a fost trecută prin cele patru etape corespunzătoare activității rezolutive.

Prima etapă, citirea și înțelegerea problemei, constă într-o serie de operațiuni pentru înțelegerea datelor, condițiilor și cerinței, deci, într-un cuvânt, a conținutului propriu–zis.

A doua etapă, analiza logică, este foarte importantă deoarece în cadrul ei este analizată problema, iar datele sunt reprezentate prin desene care îi ajută pe elevi să formuleze anumite ipoteze rezolutive.

A treia etapă reprezintă rezolvarea problemei în care sunt date diverse căi de rezolvare prin metodele amintite.

Activitatea rezolutivă se încheie cu cea de-a patra etapă activități complementare care reprezintă etapa retenției în care poate fi prezentă o nouă strategie rezolutivă, prezentarea unei noi scheme de operare și are loc transferul strategiei spre rezolvarea altei probleme asemănătoare sau spre compunerea unei noi probleme.

3. 2. Exemple de activități rezolutive

Prin activitatea rezolutivă prezentată în continuare se urmărește familiarizarea elevilor cu noțiunile de „problemă” și „rezolvare a problemei”, diferențiind și părțile problemei. Nu este inutil ca, în această etapă, să se strecoare elevilor ideea verificării rezultatului (aici, vizual, prin numărare), ca o întărire imediată a corectitudinii soluției.

ENUNȚ: Mihaela a pus în penar 4 culori și apoi încă 5 culori.

Câte culori a pus Mihaela în total?

TEMA: Probleme care se rezolvă printr-o singură operație;

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

O1: să reprezinte prin desen datele problemei;

O2: să transpună în limbaj matematic expresia din limbajul verbal („în total”).

În următoarea situație se impune atragerea atenției elevilor asupra raportului de dependență între datele problemei, raport care a necesitat introducerea în problemă a formulării „mai puțin cu…” raportată la mărimea dată.

ENUNȚ: Un elev a rezolvat într-o zi 15 probleme, iar a doua zi cu 2 probleme mai puțin.

Câte probleme a rezolvat elevul în cele două zile?

TEMA: Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 10 – 30

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

O1: să transpună în limbaj matematic expresiile din limbajul verbal („mai puțin”, „în cele două zile”);

O2: să efectueze operații de adunare și scădere în concentrul 10 – 30.

ENUNȚ: La o cantină s-au folosit pentru masa de prânz 25 kg de carne, iar pentru masa de seară cu 7 kg mai puțin. Câte kg de carne s-au folosit în total în acea zi?

TEMA: Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0 – 100 cu trecere peste ordin

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

O1: să efectueze operații de adunare și scădere cu trecere peste ordin;

O2: să scrie rezolvarea problemei sub formă de exercițiu.

În permanență trebuie solicitată gândirea creatoare și trebuie găsită o cale proprie de rezolvare. Activitatea rezolutivă ce urmează îmbină într-un mod plăcut și util două metode: metoda grafică și metoda mersului invers. Prin realizarea desenului, elevii reușesc să înțeleagă mai bine problema și să găsească mai ușor calea de rezolvare, ajutându-i pe elevi în realizarea raționamentului. De asemenea, acest gen de problemă poate fi încadrat în probleme care se pot rezolva prin metoda mersului invers observând că operațiile sunt invers celor enunțate în problemă cât și faptul că se rezolvă de la sfârșit spre început.

ENUNȚ: La plecarea în tabără, un școlar a primit o sumă de bani pentru diverse cheltuieli. În prima săptămână a cheltuit o jumătate din sumă plus 100 lei, iar în a doua săptămână, restul de 200 lei. Ce sumă avusese inițial?

TEMA: Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

O1: să efectueze corect operațiile cu numere naturale;

O2: să utilizeze metoda grafică în rezolvarea problemei

CAPITOLUL 4. ACTIVITATE METODICĂ ȘI DE CERCETARE

4. 1. Proiect de cercetare: Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin activitatea de rezolvare și compunere de probleme la matematică în ciclul primar.

Ipoteza de lucru

Pornind de la faptul că, în procesul activității omului se modifică și dispozițiile, a căror bază trebuie căutată în proprietățile analitico–sintetice ale gândirii, ale scoarței cerebrale, dispozițiile creatoare nu se pot dezvolta decât în condițiile unei activități adecvate, se poate afirma că pentru formarea și dezvoltarea aptitudinilor este necesară o activitate intensă și organizată.

În elaborarea acestei lucrări am pornit de la ideea că posibilitățile creatoare ale elevilor nu sunt valorificate în suficientă măsură datorită angajării lor relative în activitatea de învățare și formare. Dacă am acorda o atenție mai mare modalităților individualizate în învățarea matematicii, decât suprasolicitarea valențelor formative ale activității frontale, rezultatele ar fi superioare iar eforturile depuse și-ar găsi pe deplin eficiența.

Am arătat în conținutul lucrării că cercetările au ajuns la concluzia, deși încă împărțite fiind părerile, că problema creativității poate fi abordată și în învățământ. După unii cercetători, mai ales în învățământ, ca o condiție pentru activitatea creatoare a indivizilor formați în școală.

Se știe că în orele de matematică urmărim atât însușirea unor algoritmi de rezolvare a problemelor, precum și formarea unei gândiri creatoare, inventive. Școala nouă, spre deosebire de cea tradițională are sarcina să arate elevului că nu există doar un singur mod de a învăța, ci mai multe; că fiecare copil are propriul său mod de a proceda, care-i permite să aleagă între diferite căi.

O altă ipoteză de lucru a fost generată de faptul că-n toate materialele de psihologie și de psihologie pedagogică, în care este abordată problema creativității, ni se atrage atenția asupra unei situații conflictuale. Învățătorul are rolul de a-i înarma pe elevi cu o serie de cunoștințe, iar pe de altă parte să le transmită acestora idealuri și modele comportamentale.

Pentru diminuarea unor astfel de dificultăți, învățătorul trebuie să pornească în predare de la stilul cognitiv al elevului, să se transpună în situația lui pentru a determina caracteristicile învățării la nivelul acestuia și de a găsi mijloacele prin care să se conformeze acestor caracteristici. Sarcina învățătorului modern nu este numai aceea de „a instrui”, ci și de a dezvolta la fiecare copil capacitatea de a înțelege și de a se adapta, capacitatea de a observa și judeca exact, formarea intereselor intelectuale etc. Aici este vorba de latura formativă, funcția formativ–educativă a procesului de învățământ în clasele I-IV din care reiese întrebarea ipoteză pe care mi-am pus-o: „În ce măsură rezolvarea de probleme poate contribui la realizarea acestei laturi a învățământului primar, cu precădere, în ce măsură în cadrul rezolvării problemelor poate fi abordată, la aceste clase, problema gândirii divergente și pe ce căi?”

Experiența didactică a arătat că înarmarea elevilor cu o tehnică superioară a gândirii nu se poate înfăptui decât prin imprimarea consecventă a unui caracter „problematic” în predare.

Instrumentul de evaluare își subsumează valențele formative și operaționale realizării perspectivei metodologice propuse, fiind parte integrantă a metodei de evaluare.

Scopul cercetării este punerea în valoare, în activitatea de învățare, a instrumentului de evaluare, implicit a metodei de evaluare și pentru aceasta am folosit proba scrisă pentru dezvoltarea gândirii logice prin activitatea de rezolvare și compunere de probleme la matematică.

Eșantionul

Pentru realizarea scopului am întreprins o cercetare experimentală la clasa a IV-a, cu un efectiv de 20 de elevi (11 fete și 9 băieți).

Probele aplicate

Am încercat să urmăresc atent și sistematic gradul de reușită al unor momente din lecție, eficiența procedeelor utilizate, metoda care contribuie mai mult la angajarea elevilor, la dezvoltarea flexibilității și creativității gândirii, greșelile mai frecvente, manifestările negative (neatenția, indisciplina). Urmărind realizarea unei legături cât mai strânse între învățarea tehnicilor de calcul și rezolvarea de exerciții și probleme, am cerut elevilor să transforme un exercițiu în problemă.

După ce astfel de activități se efectuează pe baza ilustrațiilor oferite de manual și a unor planșe prezentate de învățător, se introduce noțiunea de problemă prin transformarea unui exercițiu de tipul 12 + 5 = ?, 16 – 3 = ?, astfel încât, treptat, se ajunge la o schemă de genul compune și rezolvă probleme folosind datele:

Centralizând observațiile consemnate de mine, am constatat un progres rapid în cadrul activității cu datele din primele trei coloane. Imaginea obiectivă a progreselor înregistrate de copii m-a condus la concluzia că rezolvarea este facilitată de existența numerelor concrete, ceea ce corespunde caracteristicii gândirii lor la această vârstă. Operația de adunare, chiar cu mai mulți termeni, se învață mai repede, se înțelege și se rezolvă ușor când se cunosc termenii și se cere suma lor.

O situație similară am consemnat și în cazul operației de scădere, când cunoaștem descăzutul și scăzătorul și se cere diferența.

În cazul datelor din coloanele D, E și F, situația nu a mai fost identică, cu cea înregistrată pentru coloanele A, B și C. Și aici e vorba de date concrete, dar a intervenit o situație nouă pentru elevi: se dă suma unor termeni din care unul este necunoscut. Copilul trebuie să se folosească de cunoștințele anterioare, să le aplice în noua situație, să opereze cu ele și să găsească soluția. Alcătuirea problemelor pe baza unor astfel de date cere o mai mare cercetare și intuire a unor situații din realitatea înconjurătoare.

Ca să pătrund mai mult în esența procesului, am schimbat locul datelor din coloana E, astfel încât termenul necunoscut să fie primul, iar cele trei coloane să apară astfel:

În acest fel, locul termenului necunoscut este diferit în cadrul celor trei operații de adunare, din care necunoscutul este T3, T1 și T2. Curios că în ultimul caz, greșelile întâmpinate au fost cele mai numeroase. Introducerea termenului necunoscut între cei cunoscuți face ca soluția să fie greu de sesizat.

Am ajuns la concluzia că lecțiile în care se învață proba adunării prin scădere nu au fost suficiente, elevii nu au ajuns să înțeleagă legătura dintre cele două operații încât să le permită operarea cu aceste cunoștințe în situații diferite, oarecum inverse celor acumulate în cadrul predării tehnicii de calcul.

În evaluarea modului în care activitatea de rezolvare și compunere a problemelor contribuie la cultivarea creativității elevilor, am parcurs următoarele etape:

* stabilirea scopurilor pedagogice prin prisma comportamentului indezirabil;

* proiectarea și executarea programului de realizare a scopurilor propuse;

* măsurarea rezultatelor aplicării programelor.

Pornind de la premisa că evaluarea reprezintă o acțiune complexă care presupune realizarea mai multor operații, în cadrul acțiunii educative am avut în vedere să includ următoarele aspecte:

* măsurarea fenomenelor pe care le vizează evaluarea;

* interpretarea și aprecierea datelor obținute;

* adoptarea deciziilor ameliorative, găsirea unor căi de îmbunătățire a randamentului școlar.

În aprecierea potențialului creativ al elevilor, am utilizat cu precădere testele, deoarece ele permit evaluarea flexibilității, fluenței și originalității – componente ale gândirii creatoare.

Pentru a stabili nivelul de pregătire al elevilor și al condițiilor în care aceștia se pot încadra în activitatea de rezolvare și compunere a problemelor, am aplicat două fișe individuale din capitolul „Operații cu numere naturale”.

Evaluare formativă

Clasa a IV-a

Obiectul: Matematica

Subiectul: Înmulțirea și împărțirea

OBIECTIVE:

O1 – să afle valoarea factorului necunoscut când se cunoaște produsul și celălalt factor;

O2 – să rezolve un exercițiu prin două procedee;

O3 – să efectueze și să compare rezultatele când într-un exercițiu se introduc paranteze;

O4 – să completeze prin calcul un tabel cu datele cerute;

O5 – să rezolve o problemă în două moduri;

O6 – să compună o problemă după o expresie numerică.

Itemi:

I1. Află valoarea lui x: I2. Efectuează calculele prin două procedee:

x ∙ 8 = 128 a) 2 ∙ 157 + 2 ∙ 54 =

x : 4 = 37 b) 96 : 6 + 306 : 6 =

102 : x = 3

x : 7 = 17 rest 5

I3. Efectuează și compară cazurile A și B: A B

13 ∙ 58 ∙ 14 = 13 ∙ (58 ∙14) =

384 : 6 : 2 = 384 : (6 : 2) =

I4. Completează cu numerele corespunzătoare tabelul:

a b c

I5. Mihai are 5 hamsteri și 5 papagali. Câte picioare au în total hamsterii și papagalii?

(Rezolvă în două moduri)

I6. Compune o problemă în a cărei rezolvare să folosești exercițiul x + 3 ∙ x + x : 5 = și valorile de la I4, punctul b.

Descriptori de performanță

Evaluarea sumativă

Clasa: a IV-a

Obiectul : Matematică

Subiectul: Exerciții și probleme cu cele patru operații

OBIECTIVE:

O1 – să efectueze și să facă proba celor patru operații;

O2 – să găsească numerele naturale a ≠ 0 care verifică inegalitățile;

O3 – să completeze corect schema și să scrie operațiile sub forma unui exercițiu;

O4 – să afle valoarea termenului necunoscut;

O5 – să rezolve o problemă prin două procedee;

O6 – să compună o problemă după o expresie literală.

Itemi:

I1. Efectuează și fă proba operațiilor:

327 + 149 = 450 ∙ 16 =

501 – 246 = 165 : 15 =

I2. Scrie operațiile indicate în schemă sub forma unui exercițiu:

2 – 39 + 50 – 95

I3. Găsește valorile lui x și lui y:

42 : (6 + x) = y (y ∙ 8) : 5 = 9 rest 3

I4. La o librărie s-au adus 80 colete cu cărți, fiecare colet având câte 25 cărți. Știind că într-o zi s-au vândut cărțile din 15 colete, să se afle câte cărți au rămas nevândute.

(Rezolvă în două moduri)

I5. Compune și rezolvă o problemă după următoarea expresie literală:

a – (b + b ∙ c) =

Descriptori de performanță

Prezentarea rezultatelor

În urma aplicării testelor s-au obținut următoarele rezultate:

Evaluarea formativă Evaluarea sumativă

Valorificarea rezultatelor cercetării

Comparând rezultatele celor două probe de evaluare, am constatat că a scăzut numărul elevilor cu calificativul „Suficient” (S) și a crescut numărul elevilor cu calificativul „Foarte bine” (FB).

Această creștere s-a produs deoarece:

* doi dintre elevii cu calificativul „Suficient” (S) la primul test au obținut „Bine” la al doilea;

* șase dintre elevii cu calificativul „Bine” la testul inițial au obținut „Foarte bine” la testul final;

* cei cu calificativul „Foarte bine” de la prima probă și-au menținut acest calificativ.

Analizând rezultatele obținute de elevi, am ajuns la concluzia că metodele folosite în conceperea și desfășurarea lecțiilor de matematică și-au atins în mare parte obiectivele stabilite.

Analiza rezultatelor indică, că instrumentul de evaluare este parte integrantă a metodei de cercetare.

Prin evaluarea propusă am vrut să demonstrez principalele calități ale unui test scris, la învățământul primar și anume: validitatea, fidelitatea, obiectivitatea și aplicabilitatea.

4. 2. Proiecte didactice

Proiect didactic

CLASA: a IV-a

INSTITUTOR Ilie (Zamfir) Aurora Alina

ARIA CURRICULARĂ: Matematică și științe ale naturii

DISCIPLINA: MATEMATICA

SUBIECTUL: Probleme care se rezolvă prin metoda grafică

TIPUL LECTIEI: Lecție de consolidare de priceperi și deprinderi

OBIECTIVE DE REFERINȚĂ:

R1: să înțeleagă semnificația operațiilor aritmetice: adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea numerelor naturale în concentrul 0 – 1 000;

R2: să folosească simboluri pentru a pune în evidență numere necunoscute în rezolvarea problemelor;

R3: să rezolve și să compună probleme;

R4: să exprime pe baza unui plan raționamentul folosit în rezolvarea unei probleme;

R5: să manifeste interes pentru analiza și rezolvarea unor probleme practice.

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

O1: să rezolve oral exerciții în care intervin cele patru operații aritmetice;

O2: să formuleze enunțuri matematice pe baza planșelor didactice prezentate;

O3: să formuleze probleme simple după scheme grafice date;

O4: să rezolve probleme utilizând metoda grafică;

O5: să compună probleme după o schemă grafică dată.

STRATEGII DIDACTICE:

a) Metode și procedee: Exercițiul, explicația, conversația, observația, problematizarea, munca independentă.

b) Material didactic: Planșă didactică, fișe de evaluare.

DEMERSUL DIDACTIC

Proiect didactic

CLASA: a IV-a

INSTITUTOR Ilie (Zamfir) Aurora Alina

ARIA CURRICULARĂ: Matematică și științe ale naturii

DISCIPLINA: MATEMATICA

SUBIECTUL: Probleme de aflare a două numere când se cunoaște suma și diferența, suma/diferența și raportul lor.

TIPUL LECTIEI: Lecție de consolidare de priceperi și deprinderi

OBIECTIVE DE REFERINȚĂ:

R1: să înțeleagă semnificația operațiilor aritmetice și utilizarea algoritmilor de calcul pentru adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea numerelor naturale;

R2: să folosească simboluri pentru a pune în evidență numere necunoscute în rezolvarea de probleme;

R3: să rezolve și să compună probleme cu text;

R4: să exprime pe baza unui plan simplu de idei, oral sau scris, demersul parcurs în rezolvarea unei probleme;

R5: să manifeste interes pentru analiza și rezolvarea unor probleme practice prin metode matematice;

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

O1: să coreleze corespunzător expresia matematică și operația matematică;

O2: să rezolve corect exerciții cu numere învățate;

O3: să respecte ordinea efectuării operațiilor;

O4: să afle valoarea unei necunoscute dintr-un exercițiu dat;

O5: să recunoască tipul unei probleme și să aplice algoritmul de rezolvare;

O6: să transforme o problemă de sumă și diferență într-o problemă de sumă și raport și problemă de diferență și raport;

O7: să compună corect probleme după reprezentări grafice date;

O8: să folosească terminologia matematică adecvată.

STRATEGIE DIDACTICĂ:

a) Metode și procedee: exercițiul, explicația, conversația, observația, problematizarea, munca independentă, algoritmizarea.

b) Material didactic: planșă didactică, planșe joc.

DEMERSUL DIDACTIC

FIȘA DE LUCRU

Proiect didactic

CLASA: a IV-a

INSTITUTOR Ilie (Zamfir) Aurora Alina

ARIA CURRICULARĂ: Matematică și științe ale naturii

DISCIPLINA: MATEMATICA

SUBIECTUL: Probleme care se rezolvă prin metoda reducerii la unitate

TIPUL LECTIEI: Lecție de consolidare, priceperi și deprinderi

OBIECTIVE DE REFERINȚĂ:

R1: să înțeleagă semnificația operațiilor aritmetice: adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea numerelor naturale în concentrul 0 – 1000;

R2: să folosească simboluri pentru a pune în evidență numere necunoscute în rezolvarea problemelor;

R3: să rezolve și să compună probleme ;

R4: să manifeste interes pentru analiza și rezolvarea unor probleme.

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

O1: să rezolve corect exerciții cu numere învățate;

O2: să respecte ordinea efectuării operațiilor;

O3: să rezolve probleme utilizând metoda reducerii la unitate;

O4: să compună probleme după o schemă dată;

STRATEGIE DIDACTICĂ:

a) Metode și procedee: observația, conversația, exercițiul, explicația;

b) Material didactic: manualul clasa a IV-a, fișe de evaluare.

DEMERSUL DIDACTIC

CAPITOLUL 5. CONCLUZII

Prin lucrarea de față am tratat o temă de actualitate, frecvent abordată în literatura de specialitate, o temă care frământă gândirea pedagogică, contemporană, căci dezvoltarea gândirii logice și spiritul creator au devenit calități necesare nu numai anumitor personalități, ci ale fiecărui om din epoca actuală.

Matematica dispune de bogate valențe formative. Specificul activității matematice constă în faptul că ea reprezintă o tensiune, o încordare, o mobilizare a spiritului care înseamnă antrenarea intelectului, a gândirii pe prim plan.

În predarea matematicii, activitatea de a descoperi prin efort propriu, de a rezolva probleme constituie singura metodă indirectă, impusă de natura obiectului. Nu se pot „da cunoștințe” matematice decât prin efortul elevilor de a le înțelege, fapt ce echivalează cu a gândi și a redescoperi. Fără a pune în acțiune operațiile gândirii: observarea, compararea, abstractizarea, generalizarea, matematica nu se învață. Acolo unde se vorbește despre „dificultatea” învățării matematicii lipsesc astfel de operații logice și este firesc să ni se pară dificil un lucru asupra căruia nu se operează cu efort de gândire.

Aptitudinile matematice trebuie privite ca rezultate ale dezvoltării, ale interacțiunii dintre individ și condițiile sale de mediu socio-economic, științific, tehnic și cultural. Caracterul lor, mai mult sau mai puțin creator, depinde de felul în care se realizează modelarea potențialelor ereditare, de către factorii ambientali, de conținutul activităților desfășurate de copil, a celei de învățare a matematicii în primul rând.

Prin această lucrare am demonstrat importanța rezolvării și compunerii de probleme matematice, activități esențiale în dezvoltarea gândirii logice a elevilor din clasele I-IV.

Activitatea gândirii copilului se exersează și se manifestă, cu precădere, în rezolvarea de probleme. În clasele I – IV, rezolvarea problemelor de matematică reprezintă, în esență, rezolvarea unor situații problematice reale, pe care le putem întâlni în practică, în viață.

Cunoștințele elevului, experiența logico–matematică devin treptat nu numai un suport, ci și mijloace sau instrumente operative pentru însușirea de noi cunoștințe, devenind componente ale intelectului.

Nu se poate vorbi de dezvoltarea gândirii logice la elevi, fără ca aceștia să nu posede un bagaj apreciabil de cunoștințe în acest domeniu. Dar ceea ce conferă valoare este proprietatea lor de a influența în mod pozitiv și statornic comportamentul matematic al elevilor. Cu alte cuvinte, problema este de a decela condițiile și mecanismele care fac posibilă trecerea de la aspectul informativ la cel formativ, trecerea de la cauză la efect și invers.

Cum matematica trebuie să modeleze realitatea, este necesară rezolvarea problemelor cu mai multe soluții. Astfel, fiecare elev are posibilitatea ca să-și prezinte propria rezolvare sau să-și contureze probleme de decizie.

De o importanță majoră în dezvoltarea abilităților, în formarea priceperilor și deprinderilor îl au activitățile suplimentare după rezolvarea problemelor. Această etapă constă în verificarea soluției problemei, în găsirea altor metode de rezolvare, elaborarea formei literale, alcătuiri de probleme etc. Este etapa prin care se realizează autocontrolul si autoreglarea.

Verificarea soluției se face prin două căi principale: verificarea datelor aflate în conținutul problemei și rezolvarea prin mai multe moduri. În primul caz, elevul trebuie să încadreze datele aflate prin rezolvarea problemei și să poată verifica condiționarea lor, astfel încât să obțină datele inițiale.

Rezolvarea problemelor prin mai multe moduri implică si alte aspecte. Elevul este obligat să gândească, să-și valorifice cunoștințele acumulate anterior, ceea ce duce la dezvoltarea calităților gândirii. Cu cât problema oferă mai multe variante, cu atât ea solicită mai mult gândirea copilului. După găsirea tuturor variantelor se impune și alegerea căii de rezolvare cea mai scurtă și economicoasă.

Pentru dezvoltarea capacității de a generaliza cu relativă ușurință, rapiditate, reguli sau modele de rezolvare se realizează scrierea rezolvării problemelor sub forma unui singur exercițiu. La problemele care admit mai multe modalități de rezolvare, expresiile numerice trebuie să conducă la extragerea unor proprietăți ale operațiilor, la intuirea unor reguli de calcul, la simbolizare.

Pentru ca activitatea de rezolvare a problemelor să-și materializeze valențele formative în direcția dezvoltării gândirii logice, e nevoie de un conținut variat al problemelor. Dacă în conținutul lor sunt introduse cunoștințe, fapte și fenomene ale altor discipline, rezolvarea lor sporește în atractivitatea dar și în densitatea instructivă. Cunoscând și utilizând produsele create de societate, copilul își formează și dezvoltă acele aptitudini care au servit la producerea acestora. Însușirea de produse și experiență socială nu reprezintă o simplă asimilare. Ea înseamnă participare activă, prelucrare creatoare, înseamnă reconstrucție convergentă cu depășire.

Climatul favorabil creat în timpul rezolvării problemelor va stimula efortul personal al elevului, tendința acestuia de a fi inventiv, creator.

În literatura de specialitate „problemele–tip” sunt privite ca având rol în dezvoltarea gândirii logice. Am văzut din exemplele date cum o problemă a fost considerată ca problemă compusă, rezolvată prin metoda analitică și sintetică, apoi prin metoda grafică.

În conținutul problemelor este necesar ca învățătorul să utilizeze date și expresii reale, să le ofere elevilor împrejurări de viață corespunzătoare. Textul ce urmează a fi propus trebuie astfel formulat încât să permită elevilor formarea de reprezentări ale acțiunii veridice, să fixeze date care să fie în concordanță cu realitatea, să stabilească între aceste date relații matematice corespunzătoare. În această direcție, elevii vor fi ajutați, sugerându-li-se cadrul în care se desfășoară acțiunea, să identifice datele problemei și să descopere judecățile și operațiile care conduc la rezolvarea problemei.

În activitatea de compunere a problemelor trebuie să se țină seama de posibilitățile elevilor, prin sarcini gradate, trecându-se treptat de la compunerea liberă la cea îngrădită de cerințe din ce în ce mai restrictive. Învățătorul va avea în vedere creșterea mobilității gândirii elevilor, a capacităților sale divergente, creatoare, dezvoltarea calităților de bază (rapiditate, operativitate, capacitate de autocontrol).

În clasele I – IV, astfel de activități sunt o premisă reală pentru o viitoare muncă de creație și cu certitudine, o modalitate de sporire a rolului formativ al învățământului matematic din ciclul primar în strânsă legătură cu celelalte discipline de învățământ.

Este important ca învățătorul să urmărească gradul de reușită al lecțiilor, eficiența metodelor folosite în scopul dezvoltării gândirii elevilor săi, să asigure un climat de încredere, de relaxare psihică, care să permită acestora o manifestare liberă a curiozității, gândirii și imaginației.

Aceste păreri se înscriu tot mai mult în ceea ce numim proces de învățământ modern care îi ajută pe elevi să prezinte cunoștințele într-o manieră personală, să caute forme originale, să știe să grupeze ideile, să gândească în mod creator.

Dacă elevul pătrunde atent și cu răbdare pe drumul lung al cunoașterii matematicii, tulburat de căutări și fascinat de reușite, este de fapt ce-și dorește și omul de la catedră, căci matematica e ceva frumos și interesant, care prin intermediul minții, te face mai abil, receptiv, înțelept, perseverent și generos.

Bibliografie

BERAR, Ioan, Aptitudinea matematică la școlari, București, Editura Academiei Române, 1991;

CÎRJAN, F., Strategii euristice în didactica matematicii, Pitești, Editura Paralela 45, 1999;

DUMITRU, Alexandrina, HERESCU, Gheorghe, Matematică – ghidul învățătorului, clasa I, București, Editura Didactică și Pedagogică, R. A., 1995;

HERESCU, Gheorghe, DUMITRU, Alexandrina, ARON, Ioan, Matematica pentru învățători, București, Editura Didactică și Pedagogică, R. A., 1996;

LUNG, Ana, 777 de probleme de aritmetică pentru clasele I – IV, vol. I + II, Cluj–Napoca, Editura Promedia Plus, 1998;

OPRESCU, Nicolae, Modernizarea învățământului matematic în ciclul primar, București, Editura Didactică și Pedagogică, 1974;

PENEȘ, Marcela, Matematică, culegere de exerciții și probleme pentru clasele III – IV, București, Editura Ana, 2000;

PIAGET, Jean, Meridiane pedagogice. Inteligența–capacitatea de adaptare la situații noi, București, Editura Didactică și Pedagogică, 1973;

POLYA, George, Cum rezolvăm o problemă, București, Editura Științifică, 1965;

RADOVICI–MĂRCULESCU, Paul, DEACONU, Laurențiu, DINUȚĂ, Neculae, Metodica predării–învățării matematicii în ciclul primar,Pitești, Editura Universității din Pitești, 2007;

ROȘU, M., ROMAN, M., Matematică pentru perfecționarea învățătorilor, București, Editura All, 2000.

RUSU, Eugen, Psihologia activității matematice,Editura Științifică, 1969;