Dezvoltarea de Aplicatii Web Folosind Framework Ul Web4j

Cuprins

Lista tabelelor

Tabelul 1. The Advantages of Each Filter Type 22

Tabelul 2. The Disadvantages of Each Filter Type 25

Tabelul 1.1 Avantaje filtre pasive și active 25

Tabelul 1.2 Dezavantaje filtre pasive și active 25

Tabelul 2.1 Transformările elementelor FTJ pentru schemele de tip TS, TB și OB 25

Tabelul 2.2 Implementări tipice ale filtrelor trece jos de ordinul I 26

Tabelul 2.3 Implementări tipice ale filtrelor trece sus de ordinul I 27

Tabelul 2.4 Expresiile principalelor funcții de transfer ale sistemelor de ordinul II 28

Tabelul 2.5 Diferite structuri pentru cuadripolii D și D’ 29

Tabelul 4.1 Rezultate obținute în OrCad respectiv montaj practice cu amplificator op 30

Tabelul 4.2 Rezultate obținute în OrCad respectiv montaj practic cu transconductanță 32

Lista figurilor

Figura 1. Sallen-Key topology 22

Figura 1.1 Răspunsul în frecvență al unui filtru trece jos ideal 25

Figura 1.2 Răspunsul în frecvență al unui filtru trece sus ideal 25

Figura 1.3 Răspunsul în frecvență al unui filtru trece bandă ideal 25

Figura 1.4 Răspunsul în frecvență al unui filtru opreste bandă ideal 25

Figura 2.1 FTJ prototip 26

Figura 2.2 Caracteristica de amplitudine a filtrului trece jos Butterworth 27

Figura 2.3 Caracteristica de amplitudine a unui filtru trece jos Chebyshev I 28

Figura 2.4 Caracteristica de amplitudine a unui filtru trece jos de tip Cauer 29

Figura 2.5 Intarzierea de grup 30

Figura 2.6 Caracteristica de fază a celor trei tiputi de filtre prezentate 32

Figura 2.7 Corespondența frecvențelor 32

Figura 2.8-a Gabaritul filtrelor trece jos 37

Figura 2.8-b Gabaritul filtrelor trece sus 38

Figura 2.9 Corespondența între axa frecvențelor ωTJ și axa ωTB 38

Figura 2.10 Corespondența între axa frecvențelor ωTJ și axa ωOB 40

Figura 2.11 Forma de implementare a unui filtru oprește bandă de ordinul II 41

Figura 2.12 Forma de implementare a unui filtru oprește bandă de ordinul II 41

Figura 2.13 Forma de implementare a unui filtru trece tot de ordinul II 46

Figura 2.14 Diport 47

Figura 2.15 Schema unui filtru activ cu reacție simplă 48

Figura 2.16 Caracteristica de frecvență a unui amplificator operațional 52

Figura 2.17 Diport în T 59

Figura 2.18 Diport în pi 59

Figura 2.19 Diport în T podit 60

Figura 3.1 Schema bloc 61

Figura 3.2 Caracteristica de frecvență a filtrului 62

Figura 3.3 Exemplu reprezentare poli 63

Figura 3.4 Coeficienți filtru 64

Figura 3.5 Coeficienții funcției de transfer 64

Figura 3.6 Schemă Laplace 65

Figura 3.7 Simulare circuit Laplace – caracteristica de fază.. 66

Figura 3.8 Caracteristica de fază și frecvență a circuit Laplace. 66

Figura 3.9 Filtru trece banda de ordinul doi de tip Sallen-Key 68

Figura 3.10 Graful de semnal asociat filtrului. 68

Figura 3.11 Schemă electrică pentru primul biquad. 69

Figura 3.12 Schemă amplificator operațional pentru primul biquad. 69

Figura 3.13 Schemă electrică pentru al doilea biquad. 69

Figura 3.14 Schemă amplificator operațional pentru al doilea biquad. 70

Figura 3.15 Schemă electrică a filtrului complet. 70

Figura 3.16 Simularea filtrului trece bandă – caracteristica de frecvență. 70

Figura 3.17 Circuitul simulat în analiză tranzitorie 71

Figura 3.18 Simularea tranzitorie a filtrului în OrCad 71

Figura 3.19 Circuitul simulat în analiza Monte Carlo 72

Figura 3.20 Modificarea câștigului prin varierea rezistenței R1. 72

Figura 3.21 Modificarea câștigului prin varierea rezistenței R3. 73

Figura 3.22 Modificarea câștigului prin varierea rezistenței R3 respectiv R33. 73

Figura 3.23 Caracteristica de frecvență a rezistenței R3 respectiv R33. 74

Figura 3.24 Filtru trece bandă de ordinul doi implementat cu transconductanțe. 74

Figura 3.25 Primul biquad implementat cu transconductanțe. 75

Figura 3.26 Al doilea biquad implementat cu transconductanțe. 75

Figura 3.27 Circuitul complet implementat cu transconductanțe 76

Figura 3.28 Simulare filtru real cu transconductanță în OrCad 76

Figura 3.29 Circuitul implementat cu transconductanțe simulat în analiză tranzitorie 77

Figura 3.30 Simulare tranzitorie a filtru real cu transconductanță în OrCad 77

Figura 4.1 Montajul experimental realizat cu amplificator operational 78

Figura 4.2 Simulare filtru ideal (Laplace). 79

Figura 4.3 Simulare filtru real cu amplificator operațional în OrCad. 79

Figura 4.4 Simularea filtru real implementat cu amplificator operațional

obținută cu Network Analyzer 76

Figura 4.5 Caracteristica de frecvență obținută în Matlab 76

Figura 4.6 Montajul experimental relizat cu transconductanțe 77

Figura 4.7 Simulare filtru ideal (Laplace) 77

Figura 4.8 Simulare filtru real cu transconductanță în OrCad 78

Figura 4.9 Simularea filtru real implementat cu transconductanțe

obținută cu Network Analyzer 76

Dissertation Abstract

Filters occupy a privileged place among the basic devices used in electronics because of their frequent use. All electronic devices have at least one filter structure. Analog filter theory was developed in the early twentieth century. The development of this theory was stimulated by practical needs.

The need for signal processing systems, goes along with the development of telecommunications and electronics industry. Due to the fact that digital filters can be implemented on DSP (digital signal processing) and microprocessor (CPU), they are ideal for being used in the composition of cell phones and audio-video equipment, navigation equipment, IT and other technologies used more frequently in the present.

Low pass filters ("cut – up") – are filters that allow to pass unmitigated or minimally attenuated signals with frequencies up to a certain value, called the cutoff frequency. Signals with frequencies higher than the cutoff frequency are strong attenuated.

High pass filters ("cut – down") – are filters that allow to pass unmitigated or minimally attenuated signals with frequencies above a certain value, called the cutoff frequency. Signals with frequencies below the cutoff frequency are strong attenuated.

Band pass filters – are filters that allow to pass unmitigated or slightly attenuated signals with frequencies within a certain range of frequencies, called bandwidth. Signals with frequencies outside the pass band are very strong attenuated.

Band pass filters allow only a specific band off frequencies to pass, while rejecting signals at all frequencies above and below this band. This particular design is called a T filter because of the way the components are drawn in a schematic diagram. The T filter consists of three elements, two series−connected LC circuits between input and output, and they have a high impedance to all other frequencies beside the quired frequency.

Additionally, a parallel LC circuit is connected between the signal path (at the junction of the two series circuits) and ground to form a high impedance at their quired frequency, and alow impedance at all others. Because of this basic design forms with only one stage of filtering, it is also called a „first order” filter. Although it can have a reasonably narrowpassband, if sharper cut off is required, a second filter may be added at the output of the first filter, to form a „second order” filter.

Band stop filters – bandpass filters are complementary filters that allow to pass unmitigated or slightly attenuated signals with frequencies located in an area called band cutting frequency and strongly attenuates signals with the frequencies outside the band of cut.

In general, there are three types of devices used to eliminate harmonics, each with its advantages and disadvantages. These are:

– Passive filters – made only with passive circuit elements (resistors, capacitors, coils). This filter does not amplify the signal, the amplitude of the output signal can not be larger than the amplitude of the input signal.

– Solutions using transformers – insulation, zig-zag, group phasor.

– Active filters – are a combination of passive filters, active circuit elements (transistors, operational amplifiers) and reaction circuits. These passive filters circuits ensure selectivity (required frequency band pass) and active circuit elements provide signal amplification frequencies in the passband and improve signal quality.

Active filters (with bipolar transistors, field effect transistors or operational amplifiers) perform the same function as passive elements filters – low pass filters, high pass, band pass, band stop – but are capable of providing a power amplifier over-unit and covers a much wider frequency range, especially at low frequencies (without requiring very large coils and capacitors).

The achievement of the operational amplifier active filter has the advantage of a better independence of the transfer characteristic of filter parameters, and the parameters used for the active elements, and thus their variation from changes in the environment.

The transfer function of a low pass filter (LPF) with a polynomial denominator 2 is:

(1)

The transfer function of a high pass filter (FTS) with a polynomial denominator 2 is:

(2)

The transfer function of a bandpass filter (BPF) with a denominator polynomial of degree 2 is:

(3)

A Comparison of Passive Filters and Active Filters

Tab 1.The Advantages of Each Filter Type:

Active filters have three main advantages over passive filters:

Inductors can be avoided. Passive filters without inductors can not obtain a high Q (low damping), but they may have significant internal resistance, and may pick up surrounding electromagnetic signals.

The shape of the response, the Q (Quality factor), and the tuned frequency can often be set easily by varying resistors, in some filters one parameter can be adjusted without affecting the others.Variable inductances for low frequency filters are not practical.

The amplifier powering the filter can be used to buffer the filter from the electronic components it drives or is fed from, variations in which could significantly affect the shape of the frequency response.

Tab 2.The Disadvantages of Each Filter Type:

Approximation criteria refers to how it is distributed within the approximation error. The following approximation criteria are commonly used:

– Maximally flat criteria (Butterworth);

– Chebyshev criteria, called mini-max criteria;

– Minimum square error criteria;

According to the nature the process of approximation used approximation methods can be classified into: graphical methods, analytical and numerical.

Normalization and denormalization of the impedance and frequency. The specifications of designing filters involve a wide range in frequency and impedance. The existence of different types of filters would require for each particular case distinctive design procedure. By using the ideal low-pass filter obtained by one of the known approximation methods, by changes of frequency, the impedance and denormalization it is obtained the desired filter.

Normalization operation consists in reporting a function or parameter to a constant reference (modify the scale of representation). Normalization advantages are re-modelations of the analytical relations and generalization of graphics through simple models.

In the low frequency range, it is difficult to implement passive filters with regards to the high values ​​and capacities necessary for inductance values that involve an increased overall low precision components and their values​​.

For this reason, in the low frequency range it is preferred to use the active filters. These, in addition to the active and passive components used, but they can be just resistors and capacitors.

Because of the implementation, a higher order filter can be achieved by cascade connecting method of I and II systems order.

Implementation of the solution is shown in the block diagram presented below. To generate the input signal of the filter we used a sinusoidal signal generator built-in the "Analog Discovery" data acquisition system.

The Sallen–Keytopology is an electronic filter topology used to implement second-order active filters that is particularly valued for its simplicity. It is a degenerate form of a voltage-controlled voltage-source (VCVS) filter topology. AVCVS filter uses a super-unity-gain voltage amplifier with practically infinite input impedance and zero output impedance to implement a 2-pole (12dB/octave) low-pass, high-pass, or band pass response. The super-unity-gain amplifier allows for very high Q factor and pass band gain without the use of inductors. A Sallen–Key filter is a variation on a VCVS filter that uses a unity-gain amplifier.

Because of its high input impedance and easily selectable gain, an operational amplifier in a conventional non-inverting configuration is used in VCV S implementations. Implementations of Sallen–Key filters of ten order use an operational amplifier configured as a voltage follower; however, emitter or source followers are other common choices for the buffer amplifier.The generic Sallen–Key filter topology is:

Fig.1. Sallen-Key topology

In order to design the Butterworth filter prototype we should know the following specifications to calculate the order of the filter:

– ωpass frequency limit of the bandwidth;

– ωstop frequency limit of the stopband;

– apass attenuation in the passband;

– astop attenuation in the stop band;

As a result of calculations the filter order is n=2. After determining the poles of the filter the prototype function is:

(4)

The two transfer functions we implemented using two biquad derived from twin-T topology. Because the coefficients of the transfer function (the inequality of constant terms from numerator and denominator) it was needed to use these biquads with multiple reactions. There are two cases:

– the constant term in the denominator is lower than the coefficient of the constant term in the numerator;

– the constant term in the numerator is smaler than the coefficient of the constant term in the denominator;

In order to design the actual filter we chose AD741 operational amplifier with differential feed. Components with calculated values​​ using formulas from the ideal filter are not on the market, so to reach closer values to the ideal filter we put parallel components with values in E6 series. The power supply circuit is a differential voltage of ± 5V.

One key to the usefulness of the little circuits is in the engineering principle of feedback, particularly negative feedback, which constitutes the foundation of almost all automatic control processes.

The operational amplifier is probably the most versatile integrated circuit available. It is very cheap especially considering the fact that it contains several hundred components. The most common op-amp is the 741 and it is used in many circuits.

The USB-powered Analog Discovery lets you measure, visualize, analyze, record and control mixed signal circuit so fall kinds. It’s small enough to fit in your pocket, but powerful enough as tack of lab equipment. Driven by the free WaveForms™ software, the Analog Discovery lets you build and test analog and digital circuits in virtually any environment, in or out of the lab.

I tested the practical part using this USB communication oscilator called Analog Discovery from Digilent.The used devices are:

2-Channel Oscilloscope;

2-Channel Waveform Generator;

16-Channel Logic Analyzer;

16-Channel Digital Pattern Generator;

±5 VDC Power Supplies;

Spectrum Analyzer;

Network Analyzer;

Voltmeter;

Digital I/O;

Now supported by MATLAB/MATLAB student edition;

Planificarea activității

Stadiul actual

Filtre analogice

Filtrele reprezintă dispozitivele de bază folosite în electronică și ocupă un loc privilegiat, datorită utilizării frecvențe a acestora. Nu există nici un echipament electronic a cărui structură să nu conțină cel puțin un filtru. Teoria filtrelor analogice a fost elaborată la începutul secolului XX.

Modificarea relativă a amplitudinilor componentelor armonice ale unui semnal periodic sau chiar eliminarea sau selectarea anumitor componente armonice reprezintă o operație de filtrare. Modificarea densitătii spectrale a unui semnal aperiodic, în sensul favorizării sau defavorizării unor segmente spectrale reprezintă de asemenea o operație de filtrare.

Filtrele electronice sunt circuite analogice care îndeplinesc funcții de procesare a semnalului, în mod special pentru a elimina componentele de frecvență nedorite din semnal, pentru a le îmbunătăți pe cele dorite, sau ambele. După tehnologia în care sunt realizate filtrele se împart în două mari categorii: filtre pasive și filtre active.

Filtrele pasive sunt bazate pe combinații de rezistențe (R), bobine (L) și condensatori (C). Aceste tipuri sunt denumite filtre pasive, deoarece nu depind de o sursă de alimentare externă și ele nu conțin componente active, cum ar fi tranzistori. Bobinele blochează semnalele de înaltă frecvență și conduc semnale de joasă frecvență, în timp ce condensatorii procedează invers: blochează semnalele de joasă frecvență și lasă să treacă cele de înaltă frecvență. În domeniul frecvențelor joase este dificilă implementarea filtrelor pasive avand în vedere valorile mari necesare pentru inductivități și capacități, valori care implică un gabarit sporit al componentelor precum și precizii scăzute ale valorilor acestora. Din acest motiv, în domeniul frecvențelor joase se preferă utilizarea filtrelor active. Acestea, pe langă elementele active, folosesc și componente pasive dar acestea pot fi doar rezistoare sau condensatoare.

Nevoia folosirii sistemelor de procesare a semnalelor, apare odată cu dezvoltarea industriei telecomunicațiilor și a electronicii. Datorită faptului că filtrele digitale pot fi implementate pe DSP (digital signal processing) și microprocesoare (CPU) acestea sunt ideale pentru a fi folosite în componența telefoanelor mobile precum și a echipamentelor audio-video, de navigație, echipamente IT și altele, folosite tot mai frecvent în prezent. O problemă fundamentală din punctul de vedere al filtrării este legată de eliminarea poluării armonice. În mai puțin de 10 ani problema calității energiei electrice a depășit domeniul de interes al specialiștilor fiind privită în prezent ca o problemă de interes major. Prin creșterea numărului sarcinilor bazate pe electronică de putere, crește nivelul distorsiunii armonice în sistemul de alimentare. Problemele care ar putea fi determinate de nivelul excesiv al armonicilor de tensiune în rețeaua electrică sunt cunoscute de mult timp și au fost stabilite proceduri și standarde pentru a limita aceste distorsiuni.

În general, există trei tipuri de dispozitive folosite pentru eliminarea armonicilor, fiecare cu avantajele și dezavantajele sale. Acestea sunt:

– filtrele passive: construite numai cu elemente pasive de circuit (rezistoare, condensatoare, bobine). Aceste filtre nu amplifică semnalul, amplitudinea semnalului de ieșire nu poate fi mai mare decât amplitudinea semnalului de intrare;

– soluții utilizând transformatoare: de izolare, zig-zag, grupare fazorial;

– filtrele active: sunt o combinație între filtre pasive, elemente de circuit active (tranzistoare, amplificatoare operaționale) și circuite de reacție. La aceste filtre circuitele pasive asigură selectivitatea (impun banda frecvențelor de trecere) iar elementele de circuit active asigură amplificarea semnalelor cu frecvențe aflate în banda de trecere și îmbunătățesc calitatea semnalelor.

Comparație între filtrele pasive și filtrele active

Avantajele celor două tipuri de filtre:

Tabelul 1.1 Avantaje filtre pasive și active

Dezavantajele celor două tipuri de filtre:

Tabelul 1.2 Dezavantaje filtre pasive și active

1.3 Tipuri de filtre ideale

Filtrele selective în frecvență au fost definite în termeni de modelare matematică. Modelele ideale reprezintă răspunsul în frecvență ideal. Ca și modele de filtre ideale avem: filtru trece jos (FTJ), filtru trece sus (FTS), filtru trece bandă (FTB), filtru oprește bandă (FOB), și filtru trece tot (FTT). Răspunsul în frecvență a unui filtru se notează cu H(ω), unde ω este o frecvență măsurată în radiani pe secundă.

1.3.1 Filtru trece jos ideal

Răspunsul în frecvență al unui filtru trece jos (FTJ) ideal destinat prelucrării semnalelor analogice este prezentat în figura 1.1.

Figura 1.1 Răspunsul în frecvență al unui filtru trece jos ideal

Spectrul din domeniul ω < ωc este neafectat de acest filtru dar componentele spectrale cu frecvențe din exteriorul acestei benzi sunt anulate. Valoarea ωc, ce separă benzile de trecere și de blocare, este numită frecvență de tăiere. Se obișnuiește să se introducă o mărime, numită atenuare, definită ca inversul modulului răspunsului în frecvență. Pentru cazul din figura 1.1, atenuarea în banda de trecere este 1 iar în banda de oprire este infinită. Răspunsul la impuls al filtrului trece jos ideal este:

(1.1)

Se poate constata că acest răspuns la impuls este nenul și la momente negative. De aceea filtrul trece jos ideal este un sistem nerealizabil. În consecintă caracteristica de frecvență din figura 1.1 poate fi doar aproximată prin caracteristici de frecvență ale unor filtre realizabile.

1.3.2 Filtru trece sus ideal

Răspunsul în frecvență al unui filtru trece sus (FTS) ideal este prezentat în figura 1.2.

Figura 1.2 Răspunsul în frecvență al unui filtru trece sus ideal

Răspunsul la impuls al acestui sistem este:

(1.2)

Nici acest sistem nu este cauzal și deci nici realizabil. De aceea și filtrele trece sus ideale

pot fi doar aproximate în practică.

1.3.3 Filtru trece bandă ideal

Filtrarea trece bandă (TB) ideală a semnalelor în timp continuu se realizează cu un sistem

cu răspunsul în frecvență de tipul celui prezentat în figura 1.3.

Figura 1.3 Răspunsul în frecvență al unui filtru trece bandă ideal

Se remarcă prezența a două frecvențe de tăiere, una inferioară și una superioară. Expresia

răspunsului la impuls al filtrului trece bandă ideal este:

(1.3)

1.3.4 Filtru oprește bandă ideal

Răspunsul în frecvență al filtrului opreste bandă (OB) ideal este prezentat în figura 1.4.

Figura 1.4 Răspunsul în frecvență al unui filtru opreste bandă ideal

Răspunsul la impuls al filtrului opreste bandă ideal este:

(1.4)

2. Fundamentare teoretica

Introducere

Filtrele sunt circuite electronice sau electrice care au rolul de a procesa semnalul de la intrare și de a produce un alt semnal la ieșire permițând doar anumitor frecvențe ale acestuia să treacă prin filtru în timp ce alte frecvențe sunt blocate sau atenuate. Ele pot fi implementate în circuite electronice pentru modificarea caracteristicilor amplitudinii și a fazei la ieșirea circuitului.

Pentru prelucrarea și transmiterea semnalelor sunt necesare circuite pentru care se impun caracteristici ideale ce nu pot fi realizate decât cu aproximație. Filtrul trece-jos ideal sau prototip, a cărui schemă este prezentată în figura 2.1, trebuie să transfere fără atenuare semnalele situate în banda de trecere și să oprească semnalele din banda de blocare. Un astfel de circuit nu este realizabil fizic, nefiind cauzal. Filtrele trece-jos utilizate în tehnică au caracteristici ce se apropie mai mult sau mai puțin cu cele ideale. În majoritatea cazurilor cerințele tehnice nu pot fi îndeplinite decât cu aproximație. Se pune problema determinării funcțiilor de circuit realizabile, care se apropie cu o eroare acceptabilă de cele ideale. Aceasta e o problemă de aproximare cu restricții.

Figura 2.1 FTJ prototip

În procesul de aproximare intervin trei elemente importante și anume:

– funcția aproximată: exprimă grafic sau prin valori discrete cerințele tehnice;

– intervalul de aproximare: definește mulțimea punctelor de pe axa, sau din planul variabilei în care cerințele tehnice trebuie satisfăcute;

– funcția aproximantă, definită prin expresia sa analitică este în cazul considerat dependentă de ω, s sau z prin intermediul unor parametrii;

În cazul circuitelor realizate cu componente liniare trebuie să avem:

(2.1)

Parametrii ai,bi, ca și ordinul funcției m,n se determină în aproximare astfel încât funcția aproximantă să se apropie cât mai mult de funcția aproximată în ω∈ℜ, respectând condițiile de realizare.

Eroarea de aproximare exprimă diferența între funcția aproximată și cea aproximantă în intervalul de aproximare. Astfel în cazul FTJ, eroarea relativă la modul este:

(2.2)

iar eroarea relativă la fază:

(2.3)

Mărimea erorii și ordinul de complexitate al funcțiilor aproximante sunt indici de calitate ai procesului de aproximare, fiind de dorit ca aceștia să fie cât mai mici.

2.2 Aproximarea caracteristicilor filtrelor ideale

Proiectarea unui filtru analogic se bazează adesea pe utilizarea modelelor bine-cunoscute numite Butterworth, Chebyshev și filtre Bessel.

2.2.1 Aproximarea Butterworth

Caracteristica de amplitudine a unui filtru trece jos Butterworth, Ha(s) de ordin N este dată de relația:

(2.4)

Se poate arăta cu ușurință că primele 2N-1 derivate ale ∣Ha( jω)2∣ cand ω=0 este egal cu zero și, ca rezultat, filtrul Butterworth se spune că are o amplitudine de maxim-plat la ω=0. Caștigul filtrului Butterworth în dB este dat de relația:

H(ω)=10log10∣Ha( j ω)2∣dB (2.5)

La ω=0 , caștigul în dB este egal cu zero, și la ω=ωc caștigul este:

H(ωc)=10 log10=−3.0103≈−3 dB (2.6)

și astfel, este deseori denumit frecvență de tăiere la 3dB. Deoarece derivata răspunsului în amplitudine este întotdeauna negativ pentru valori pozitive ale lui ω, răspunsul în amplitudine, este monoton descrescător odata cu creșterea lui ω . Pentru ω > ωc, caracteristica de amplitudine poate fi aproximată cu relatia (2.4). Caștigul H(ω2) în dB pentru ω2 = 2ω1 cu ω1 ≫ ωc este dat de relatia:

H(ωc)=−20 log10 =H(ω1)−6N dB (2.7)

Cei doi parametrii caracteristici filtrului Butterworth sunt astfel frecvența de tăiere la 3 dB ωc și ordinul, N. Aceștia sunt determinați din frecvența limita în banda de trecere ωp, amplitudinea minima în banda de oprire , frecvența limita în banda de oprire ωs și riplul permis în benzii de oprire, . Din ecuația (2.4) obținem:

(2.8)

Figura 2.2 Caracteristica de amplitudine a filtrului trece jos Butterworth

(2.9)

Rezolvand ecuația de mai sus găsim expresia ordinului N:

(2.10)

Din moment ce ordinul N al filtrului trebuie să fie intreag, valoarea lui N calculată folosind expresia de mai sus este rotunjită în sus, la urmatorul intreg. Valoarea lui N este folosită apoi la calcularea frecvenței de tăiere, ωc .

In Figura 2.2 sunt prezentate caracteristicile de amplitudine ale aproximării Butterworth în funcție de ordinul filtrului. Se observă că atenuarea este de 0.5 la frecvența naturală ω, indiferent de ordinul aproximării . Cu creșterea aproximării caracteristica devine mai abruptă.

2.2.2 Aproximarea Chebyshev

In acest caz, eroarea de aproximare, definită ca și diferență dintre caracteristica ideala și răspunsul actual, este minimizată pe o bandă de frecvențe prestabilită. De fapt, eroarea amplitudinii este empirică în această bandă. Există două tipuri de funcții de transfer Chebyshev. Pentru primul tip de aproximare, caracteristica de amplitudine este empirică în banda de trecere și monotona în banda de oprire, pe cand în al doilea tip de aproximare, răspunsul în amplitudine este monoton în banda de trecere și empiric în banda de oprire.

2.2.2.1 Aproximarea Chebyshev I

Funcția de transfer Ha (s) are răspunsul în amplitudine dat de relația:

(2.11)

Unde Ha(s) este polinomul Chebyshev de ordin N:

(2.12)

Reprezenările grafice ale caracteristicii de amplitudine filtrului trece jos Chebyshev de tip I sunt prezentate în Figura 2.3 pentru 3 valori diferite ale filtrului de ordin N avand riplul în banda de trecere ε=1 dB . Din aceste grafice reiese că răspunsul în amplitudine este empiric între ω=0 și ω=1 , și descrește monoton pentu toate ω>1 .

Figura 2.3 Caracteristica de amplitudine a unui filtru trece jos Chebyshev I

Ordinul N al funcției de transfer este determinat din atenuarea specificată în banda de oprire la o anumită frecvență. De exemplu, dacă la ω=ωs amplitudinea este egală cu 1/A și relația 2.11 devine:

(2.13)

Rezolvand relația de mai sus rezultă:

(2.14)

2.2.2.2 Aproximarea Chebyshev II

Funcția de aproximare Invers Chebyshev, de asemenea, numită și funcție Chebyshev de tip II, este o aproximare rațională, avand poli și zerouri în funcția sa de transfer. Această aproximare are o caracteristică netedă, maxim plat în banda de trecere, la fel ca și aproximarea Butterworth, dar are riplu în banda de oprire cauzat de zerourile funcției de transfer. Aproximarea Invers Chebyshev oferă caracteristici de tranziție mai bune decât filtrul Butterworth și caracterisici de fază mai bune decât aproximarea standard Chebyshev. Deși aproximarea invers Chebyshev are aceste caracteristici pentru a-l recomanda proiectantului de filtru, aceasta avand implicații în proiectare.

2.2.2.3 Caracteristica de amplitudine a aproximării Invers Chebashev

Dezvoltarea caracteristicii de amplitudine a acestei aproximări derivă de la cea a aproximării Chebyshev. Numele de "Invers Chebyshev" este bine meritat, în acest caz, deoarece se poate observa că multe dintre calcule se bazează pe valori inverse sau reciproce celor ale aproximării Chebyshev. Să începem cu definiția caracteristicii de frecvență funcție arătată în relația (2.15). Prima observație cu privire la relația (2.15), este că aceasta are într-adevăr o porțiune din numărător care permite zerouri finite în funcția de transfer. La o verificare mai atentă, vom găsi utilizarea variabilei εi în loc de ε. Ecuația (2.16) indică variabila εi, ca fiind inversa variabilei ε, unde apass este înlocuit cu astop. Din cauza diferențelor, vom utiliza indicele pentru εi pentru a se distinge de ε standard. Deși Cn reprezintă încă polinomul Chebyshev de ordin n astfel cum e definit în (2.17a-b), observăm că argumentul funcției este inversul definiției standard (ω0/ω în loc de ω/ω0). Vom vedea mai târziu în această secțiune modul în care aceste diferențe afectează determinarea polilor și zerourilor din funcția de transfer.

(2.15)

Unde:

(2.16)

Polinomul normalizat Chebyshev (ω0 = 1) este definit astfel:

⋅ (2.17a)

⋅ (2.17b)

2.2.3 Aproximarea Cauer

Un filtru eliptic, cunoscut și sub numele de filtru Cauer, are o caracteristică de amplitudine empirică atat în banda de trecere cat și în banda de oprire. Funcția de transfer a unui filtru Cauer are stabilit un set de specificații, frecvența limită în banda de trecere ωp, frecvența limită în banda de oprire ωs, riplu în banda de trecere și atenuarea minimă în banda de oprire A. Caracteristica de amplitudine a unui filtru eliptic trece jos este dată de relația:

(2.18)

Unde RN(ω) este o funcție de ordin N care indeplinește condiția RN(ω) = 1/RN(ω) Cu rădăcinile numărătorului situate în intervalul 0 < ω > 1 și rădăcinile numitorului situate în intervalul 0 < ω > ∞.

Figura 2.4 Caracteristica de amplitudine a unui filtru trece jos de tip Cauer

Pentru majoritatea aplicațiilor, ordinul filtrului cu un anumit set de specificații al frecvenței limită în banda de trecere ωp, riplul în banda de trecere ε, și frecvența limită în banda de oprire ωs, poate fi estimat folosind formula de aproximare:

(2.19)

Unde k1 este parametrul de discriminare și ρ este rezultat astfel:

, unde k este parametrul de selecție;

(2.20)

+2( (2.21)

2.2.4 Aproximarea Bessel

Cele trei tehnici anterioare de aproximare sunt pentru dezvoltarea funcțiilor de transfer ale filtrelor trece jos analogice îndeplinind specificații date pentru amplitudine sau caștig fără a lua în considerare fazele acestora. În anumite aplicații este de dorit ca filtrul trece jos proiectat să aibă o caracteristică de fază liniară în banda de trecere, în plus, pentru a aproxima amplitudinea specificată. O modalitate de a atinge acest obiectiv este de a cascada un filtru trece tot analogic cu un filtru conceput pentru a satisface specificațiile de mărime, astfel încat caracteristica de fază a cascadării să fie aproximativ egală cu cea din banda de trecere. Această abordare crește complexitatea hardware a unui filtru analogic și nu este dorită pentru proiectarea unui filtru antialias analogic în aplicații de conversie A/D sau pentru proiectarea unui filtru de reconstrucție în aplicații de conversie D/A. Este posibil însă de proiectat un filtru trece jos care aproximează caracteristica liniară de fază în banda de trecere dar care are o caracteristică de amplitudine mai slabă. Acest filtru are funcția de transfer de forma:

(2.22)

Acest filtru ofera o aproximare de tip maxim-plat a caracteristicii de fază la ω=0. Polinomul BN(s) al numitorului funției de transfer, denumit și polinom Bessel, poate fi derivat din relația de recurență:

(2.23)

Începand cu și . Alternativ, coeficienții polinomului Bessel, BN (s) poate fi găsit din relația:

,l = 0,1,……,N-1 (2.24)

Aceste filtre sunt menționate deseori ca și filtre Bessel. Aproximarea Bessel are un răspuns lin atat în banda de trecere cat și în banda de oprire, ca și în cazul filtrului Butterworth. Pentru același ordin al filtrului, atenuarea în banda de oprire a aproximarii Bessel este mult mai mică ca și în cazul aproximarii Butterworth.

Proiectantul poate observa că nu există riplu în banda de trecere a filtrului Bessel și că rejecția în banda de oprire nu este la fel de ridicată ca și cazul filtrului Butterworth.

O calitate importantă pe care o are filtrul Bessel este întarzierea de grup constantă în banda de trecere (figura 2.5). Această caracteristică face ca filtrele Bessel să fie foarte apreciate în randul proiectanților. Astfel semnalul dreptunghiular poate fi filtrat trece sus fără distorsiuni, dacă frecvența la 3 dB a filtrului este semnificativ mai mică decat frecvența fundamentală.

Figura 2.5 Intarzierea de grup

Eliminarea armonicelor va duce la rotunjirea marginilor, și de aici rezultă și întarzierea dinainte și după marginile semnalului digital. Mai important, armonicilor care sunt trecute nu vor fi întarziate. Caracteristica de fază a celor trei tipuri de filtre este arătată în figura 2.6 Caracteristica de fază a filtrului Bessel are rata cea mai mică de schimbare a fazei și este aproape liniară.

Figura 2.6 Caracteristica de fază a celor trei tiputi de filtre prezentate

2.3 Normarea și denormarea impedanțelor și frecvențelor

Specificațiile de la care se pornește în proiectarea filtrelor presupun domenii largi de variație a frecvenței și impedanței. Existența a diferite tipuri de filtre ar presupune pentru fiecare caz în parte o procedură distinctă de proiectare. Utilizând filtrul trece jos ideal, obținut printr-una din metodele de aproximare cunoscute, prin transformări de frecvență, de impedanță și denormări se obține filtrul dorit.

Operația de normare constă în raportarea unei funcții sau a unui parametru la o constantă de referință (se modifică scara de reprezentare). Avantajele normării sunt simplificarea relațiilor analitice și posibilitatea de generalizare a reprezentărilor grafice prin modele simple.

Normarea impedanțelor este raportarea la o constantă R0, numită rezistența de normare.

(2.25)

Normarea frecvențelor este raportarea frecvenței curente, s sau ω, la o frecvență fizică de referință ω0. Se notează frecvența normată complexă Sn:

(2.26)

și frecvența fizică normată ωn:

(2.27)

Dacă se normează atât impedanțele cât și frecvențele, atunci valorile elementelor de circuit se modifică în mod corespunzător, înlocuindu-se cu valori normate ca în exemplele următoare:

(2.28)

(2.29)

Denormarea este operația de trecere de la valorile normate la cele nenormate.

(2.30)

Filtrul trece jos prototip este normat în raport cu rezistența de sarcină Rs și cu frecvența de tăiere ωt. FTJ prototip are deci Rs= 1Ω și ωt = 1rad/s.

2.4 Filtre obținute prin transformări de frecvență

În sinteza circuitelor s-a demonstrat că, dacă Z(s) și F(s) sunt funcții de reactanță, atunci Z(F(s)) este tot o reactanță. Această proprietate se utilizează pentru obținerea altor tipuri de filtre din FTJ în modul următor.

Se alege o funcție F(s), care să transforme axa ω a FTJ, în axa ω corespunzătoare altor tipuri de filtre. Se substituie variabila s normată a FTJ, cu funcția F(s), de tip reactiv în funcția detransfer a FTJ. Astfel se realizează o transformare de reactanță și o transformare de frecvență în același timp. Impedanțele FTJ definite prin reactanțe Z(s) se transformă în reactanțe Z(F(s)) dacă F(s) este o reactanță.

2.4.1 Filtre trece sus obținute prin transformări de frecvență

Pentru obținerea unui FTS dintr-un FTJ se utilizează funcția , obținându-se transformarea de frecvență:

(2.31)

unde s și s sunt frecvențele normate.

Axa frecvențelor fizice, normate ale FTJ se transformă în axa frecvențelor fizice, normate a FTS conform relației:

(2.32)

Figura 2.7 Corespondența frecvențelor

Funcțiile și caracteristicile FTJ se obțin din cele ale filtrului FTS prin schimbarea de variabilă menționată. Funcțiile de modul și de atenuare sunt funcții pare de ω. Dacă se dă gabaritul de modul sau de atenuare pentru FTS, se poate construi gabaritul FTJ de referință (figura 2.8 a-b). Tabelul 2.1 prezintă sintetic modificările de impedanțe din FTJ în schema FTS. De exemplu, o bobină l din FTJ se înlocuiește în FTS cu un condensator c, conform relației:

(2.33)

Figura 2.8-a Gabaritul filtrelor trece jos

Figura 2.8-b Gabaritul filtrelor trece sus

Tabelul 2.1 Transformările elementelor FTJ pentru schemele de tip TS, TB și OB

2.4.2 Filtre trece bandă obținute prin transformări de frecvență

FTB se obține din FTJ alegând:

(2.34)

unde δ reprezintă banda normată și este o constantă reală și pozitivă. Transformarea nu este biunivocă, unei frecvențe sTJ s a FTJ îi corespund două frecvențe ale FTB:

(2.35)

Corespondența între axa frecvențelor ωTJ și axa ωTB se obține înlocuind STJ = ±ωTJ în relația (2.35) și este ilustrată în figura 2.9.

Figura 2.9 Corespondența între axa frecvențelor ωTJ și axa ωTB

Fiecărei frecvențe din FTJ îi corespund două frecvențe în FTB.

(2.36)

Frecvențele de tăiere ωTJ = ±1 conduc la ecuația:

(2.37)

În ecuația (2.37) ω reprezintă frecvența FTB. Soluțiile ecuației (2.37) ±ωt1 și ±ωt2 sunt frecvențele de tăiere ale FTB:

(2.38)

(2.39)

Observații:

• Două frecvențe sv și sμ ale FTB între care există relația: svsμ = 1, provin din aceeași frecvență a FTJ. În particular: =1.

• Frecvența de normare ω0 depinde de frecvențele de tăiere nenormate prin relația:

(2.40)

• Diferențareprezintă banda normată

• Deoarece F(s) este o funcție de reactanță, componentele reactive ale FTJ rămân reactanțe în FTB, transformându-se conform tabelului 2.1. De exemplu, o bobină din FTJ se va înlocui în FTB cu o inductanță normată l/δ în serie cu o capacitate normată δ/l conform transformării:

(2.41)

Figura 2.10 Corespondența între axa frecvențelor ωTJ și axa ωOB

2.4.3 Filtre oprește bandă obținute prin transformări de frecvență

Corespondența frecvențelor FTJ cu cele ale FTS din figura 2.7 sugerează că FOB poate fi obținut din FTS normat prin transformarea:

(2.42)

Corespondența axelor de frecvență pentru cele două filtre este prezentată în figura 2.10.

Schema normată a FTJ obținut se transformă în schema normată a filtrului dorit, conform tabelului 2.1, care apoi se denormează.

2.5 Filtre active

În domeniul frecvențelor joase este dificilă implementarea filtrelor pasive având în vedere valorile mari necesare pentru inductivități și capacități,valori care implică un gabarit sporit al componentelor precum și precizii scăzute ale valorilor acestora.

Din acest motiv, în domeniul frecvențelor joase se preferă utilizarea filtrelor active. Acestea, pe lângă elementele active, folosesc și componente pasive dar acestea pot fi doar rezistoare sau condensatoare.

Deoarece implementarea unui filtru de ordin superior se poate realiza prin metoda de conectare în cascadă a unor sisteme de ordinul I și II, în continuare se vor prezenta câteva tipuri de filtre active de ordinul I și II.

De multe ori este interesant modul în care este afectată valoarea parametrului P al filtrului de către valoarea (să o notăm cu x) a unei componente din schema sa. Pentru a aprecia dependența lui P de x se definește sensibilitatea parametrului P de valoarea x, , prin formula:

(2.43)

De exemplu, dacă = 0,5 atunci variația de 2 % a lui x conduce la omodificare cu 1% a lui P.

2.5.1 Filtre active de ordinul I

Aceste sisteme sunt caracterizate de funcții de transfer de ordinul I. În cazul filtrelor de tip trece jos expresia funcției de transfer este următoarea:

(2.44)

Tabelul 2.2 Implementări tipice ale filtrelor trece jos de ordinul I

Tabelul 2.3 Implementări tipice ale filtrelor trece sus de ordinul I

Funcția de transfer pentru filtrul trece sus se obține din funcția de transfer a filtrului trece jos prin schimbarea de variabilă:

(2.45)

adică:

(2.46)

Schimbarea de variabilă specificată poate fi implementată făcând rocada între rezistoarele și condensatoarele prezente în schemele din tabelul 2.2. Rezultă astfel schemele de filtre trece sus și parametrii lor, prezentate în tabelul 2.3.

În continuare se prezintă câteva structuri de filtre active de ordinul II.

2.5.2 Filtre active de ordinul II

Expresiile principalelor funcții de transfer ale sistemelor de ordinul II sunt prezentate în tabelul 2.4.

Funcțiile de transfer de tip oprește bandă și de tip trece tot se pot sintetiza cu ajutorul celorlalte funcții de transfer. Se observă că:

(2.47)

relație care conduce la forma de implementare a unui filtru oprește bandă de ordinul II, așa cum se observă și din figura 2.11.

Tabelul 2.4 Expresiile principalelor funcții de transfer ale sistemelor de ordinul II

Figura 2.11 Forma de implementare a unui filtru oprește bandă de ordinul II

Aceeași expresie a funcției de transfer oprește bandă poate fi pusă și înforma:

(2.48)

adică:

(2.49)

cu implementarea din figura 2.12.

Figura 2.12 Forma de implementare a unui filtru oprește bandă de ordinul II

Referitor la funcția de transfer trece tot, aceasta se poate sintetiza conform relației:

(2.50)

cu implementarea din figura 2.13.

Figura 2.13 Forma de implementare a unui filtru trece tot de ordinul II

2.6 Structuri de filtre active de ordinul II cu un amplificator operațional

Cele mai cunoscute structuri de filtre active cu un amplificator operațional sunt: structura cu reacție simplă, cea cu reacție multiplă și cea cu amplificator neinversor.

2.6.1 Filtre active cu reacție simplă

Una dintre modalitățile de caracterizare a diporților pasivi, de tipul celor dinfigura 2.14, este cu ajutorul parametrilor Y, conform sistemului de ecuații:

(2.51)

Figura 2.14 Diport

Structura de filtru activ cu reacție simplă este prezentată în figura 2.15.

Figura 2.15 Schema unui filtru activ cu reacție simplă

Descrierea diporților D și D’ din figura 2.15, pe baza parametrilor Y, folosind ecuații de tipul celor din sistemul (2.46), conduce la relațiile:

(2.52)

(2.53)

Tensiunea de ieșire a amplificatorului operațional are transformata Laplace Ue(s) și este legată de transformata Laplace a tensiunii de intrare Ui(s) prin relația:

(2.54)

unde A (s) este funcția de transfer în buclă deschisă a amplificatorului operațional.

Dacă se consideră că valoarea impedanței de intrare a amplificatorului operațional este infinită, atunci se poate scrie relația:

(2.55)

Eliminând mărimile U (s), I (s) și I’ (s), se obține expresia funcției de transfer a filtrului:

(2.56)

Dependența de frecvență a amplificării în buclă deschisă a amplificatoarelor operaționale are caracteristica din figura 2.16.

Figura 2.16 Caracteristica de frecvență a unui amplificator operațional

Având în vedere acest fapt, pentru frecvențele joase o bună aproximare a relației (2.56) este:

(2.57)

Relația (2.57) este o bună aproximare a expresiei funcției de transfer a filtrului cu reacție simplă în banda de frecvență în care valoarea minimă a lui |A (ω)| este încă suficient de mare. Lățimea acestei de benzi depinde de tipul amplificatorului operațional folosit: cu compensare internă sau cu compensare externă, de valoarea amplificării în buclă deschisă la frecvență nulă a amplificatorului operațional, precum și de valoare pretinsă a amplificării pentru filtru în banda de trecere a acestuia.

În tabelul 2.5 sunt prezentate câteva structuri pentru cuadripolii D și D’, a căror utilizare conduce la obținerea unor filtre de tip trece jos, trece sus sau trece bandă. Expresia funcțiilor de transfer ale filtrelor prezentate în tabelul 2.5 este stabilită pe baza relației (2.57). În tabel apar două tipuri de diporți. Parametrii Y ai acestora pot fi calculați pe baza parametrilor Y ai diporților în T și π din figurile 2.17 și 2.18.

Figura 2.17 Diport în T

Figura 2.18 Diport în pi

Pentru diportul în T:

(2.58)

și

(2.59)

Pentru diportul în pi:

(2.60)

și

(2.61)

Figura 2.19 Diport în T podit

În tabelul 2.5 sunt prezentați și diporți în T podit de tipul celui din figura 2.19. Acesta poate fi privit ca și diportul obținut prin conectarea în paralela unui diport în T cu un diport în π în care Z1 = Z3 = ∞.

Tabelul 2.5 Diferite structuri pentru cuadripolii D și D’

Tab. 2.5 Diferite structuri pentru cuadripolii D și D’ (continuare)

Implementarea soluției adoptate

3.1 Proiectarea filtrului

Prezenta lucrare constă în proiectarea unui filtru trece bandă având următoarele caracteristici:

Frecvența de tăiere inferioară în banda de trecere de 2.2 kHz

Frecvența de tăiere superioară în banda de trecere de 3 kHz

Frecvența de tăiere inferioară în banda de oprire de 1.8 kHz

Frecvența de tăiere superioară în banda de oprire de 3.6 kHz

Atenuarea în banda de trecere de 3dB

Atenuarea în banda de oprire de 10 dB

Implementarea soluției este prezentată în schema bloc prezentată mai jos. Pentru generarea semnalului de intrare al filtrului am folosit un generator de semnal sinusoidal încorporat în sistemul de achiziție de date Analog Discovery.

Figura 3.1 Schema bloc

3.1.1 Calculul ordinului

Pentru proiectarea filtrului prototip Butterworth trebuie să cunoaștem următoarele specificații pentru a calcula ordinul:

– ωpass frecvența limită a benzii de trecere;

– ωstop frecvența limită a benzii de oprire;

– apass atenuarea în banda de trecere;

– astop atenuarea în banda de oprire;

Figura 3.2 Caracteristica de frecvență a filtrului

Expresia caracteristicii de amplitudine în decibeli se scrie în felul următor:

(3.1)

Cunoscând atenuarea la limita benzii de trecere putem scrie:

(3.2)

La fel și pentru limita benzii de oprire:

(3.3)

Împărțind cele două ecuații:

(3.4)

Notăm,

(3.5)

În acest caz,

=> (3.6)

=> = => (3.7)

Formula de calcul a ordinului:

(3.8)

3.1.2 Calculul polilor

Funcția de transfer a unui filtru Butteroworth de ordninul n se scrie sub forma:

(3.9)

Funcția de transfer va avea polii repartizați uniform pe un semicerc de rază unitate în planul complex. Exemplu: n=4

Figura 3.3 Exemplu reprezentare poli

Cod MATLAB:

>>[z,p,k]=buttap (4);

>>zplane (z,p)

Sunt disponibile și tabele cu coeficienții filtrului Butterwort de ordinul n.

Figura 3.4 Coeficienți filtru

Coeficienții funcției de transfer obținute prin aproximarea Butterworth sunt:

Figura 3.5 Coeficienții funcției de transfer

=> s0 = cos + j*sin=> s0 = -0. 7071+j*0. 7071 (3.10)

=> s1 = cos + j*sin=> s1 = -0. 7071- j*0. 7071 (3.11)

3.1.3 Calculul funcției prototip

Cu poli determinați, funcția prototip se poate scrie:

(3.12)

(3.13)

3.1.4 Denormarea și transformarea filtrului prototip

Transformarea FTJ – FTB. Schimbarea de variabila:

(3.14)

= 2*π* = 16.140 (3.15)

B = 2*π* (3000-2200) = 5.024 (3.16)

Secvența de cod din Matlab pentru descompunerea numitorului:

%functia de transfer FTB

[N,w]=buttord([2.2e3*2*pi 3e3*2*pi],[1.8e3*2*pi 3.6e3*2*pi], 3, 10,'s');

[B,A] = butter (N,w,'bandpass','s');

[SOS,G] = TF2SOS(B,A)

Funcția de transfer corespunzătoare pentru primului biquad:

(3.17)

Funcția de transfer corespunzătoare pentru al doilea biquad:

(3.18)

Cascadarea bicuazilor cere gruparea polilor complex conjugați în numărător astfel încât să rezulte un polinom bipătratic cu coeficienți reali:

(3.19)

3.2 Verificarea functiei de transfer în programul OrCAD

Pentru început se testează funcția de transfer a filtrului trece bandă:

Figura 3.6 Schemă Laplace

În figura 3.7 se poate observa faptul că valoarea frecvenței de tăiere inferioară în banda de trecere la 3.2 dB este de 2.19 KHz respectiv valoarea frecvenței de tăiere superioară în banda de trecere la 3.42 dB este de 3.16 KHz, de aseamenea valoarea frecvenței de tăiere inferioară în banda de oprire la 10.3 dB este de 1.82 KHz respectiv valoarea frecvenței de tăiere superioară în banda de oprire la 10.2 dB este de 3.61 KHz.

Figura 3.7 Simulare circuit Laplace – caracteristica de fază

Figura 3.8 Caracteristica de fază și frecvență a circuit Laplace

3.3 Identificarea topologiei cu componente active

Cele doua funcții de transfer s-au implementat cu ajutorul a doi biquazi derivați din topologia filtru trece bandă de ordinul doi de tip Sallen-Key.

Figura 3.9 Filtru trece banda de ordinul doi de tip Sallen-Key

Figura 3.10 Graful de semnal asociat filtrului

Valorile componentelor s-au dimensionat cu ajutorul următoarelor formule:

Funcția de transfer în tensiune a acestui filtru este:

(3.20)

Forma standard a funcției de transfer pentru un filtru trece bandă de ordinul doi, este dată de expresia:

(3.21)

Se obține:

(3.22)

(3.23)

(3.24)

unde k reprezintă factorul de amplificare:

(3.25)

Sistemul format din ecuațiile (3.22), (3.23) și (3.24) are șase necunoscute. Se pot impune trei constrângeri. Uzual se folosește k=2, se iau două condensatoare egale și se alege o rezistență, celelalte elemente de circuit rezultând prin calcul. Alegerea lui k=2 este o alegere convenabilă deoarece în schema din figura 2, se folosesc rezistențe egale R1=R2=R5 și, de asemenea, ecuațiile de proiectare devin mai simple.

Pentru primul biquad s-au realitat următoarele dimensionări:

În figura 3.12 este prezentată schema electrică pentru primul biquad care formează filtrul.

Figura 3.11 Schemă electrică pentru primul biquad

Factorul de calitate pentru acest biquad este:

(3.26)

Se consideră R1=R2=R5 , iar atunci:

(3.27)

Se alege C1 = C2 =1 nF, astfel rezultă:

= (3.28)

Astfel, R1=R2=R5 =76.1 kΩ;

Pentru ca răspunsul în frecvență al bicuazilor să fie la fel cu cel al circuitului Laplace, avem nevoie de un câștig de 13.48 dB, adică o amplificare de 4.722. În cazul acesta trebuie dimensionați cei doi rezistori R3 și R4 după cum urmează:

(3.29)

(3.30)

A=k = = 4.722 => alegem = 1 kΩ, = 3.722 kΩ (3.31)

Figura 3.12 Schemă amplificator operațional pentru primul biquad

Pentru biquad-ul al doilea s-au realitat următoarele dimensionări:

În figura 3.13 este prezentată schema electrică pentru al doilea biquad care formează filtrul.

Fig. 3.13 Schemă electrică pentru al doilea biquad

Factorul de calitate pentru acest biquad este:

(3.32)

Se consideră R11=R22=R55 , iar atunci:

(3.33)

Se alege C11 = C22 =1 nF, astfel rezultă:

= (3.34)

Astfel, R11=R22=R55 =101 kΩ;

Pentru ca răspunsul în frecvență al bicuazilor să fie la fel cu cel al circuitului Laplace, avem nevoie de un câștig de 13.48 dB, adică o amplificare de 4.722. În cazul acesta trebuie dimensionați cei doi rezistori R33 și R44 după cum urmează:

(3.35)

(3.36)

A=k = = 4.722 => alegem = 1 kΩ, = 3.722 kΩ (3.37)

Figura 3.14 Schemă amplificator operațional pentru al doilea biquad

În figura 3.15 se poate observa circuitul complet al filtrului format din cei doi biquazi cascadați.

Figura 3.15 Schemă electrică a filtrului complet

În figura 3.16 este prezentată caracteristica de frecvență a filtrului real trece bandă de tip Butterworth implementat în OrCad.

Valoarea frecvenței de tăiere inferioară în banda de trecere la 39.4 dB este de 2.21 KHz respectiv valoarea frecvenței de tăiere superioară în banda de trecere la 37.2 dB este de 3.02 KHz.

Valoarea frecvenței de tăiere inferioară în banda de oprire la 27.9 dB este de 1.8 KHz respectiv valoarea frecvenței de tăiere superioară în banda de oprire la 26.1 dB este de 3.61 KHz.

În urma simulării filtrului trece bandă real, se obțin formele de undă conform figurii de mai jos:

Figura 3.16 Simularea filtrului trece bandă – caracteristica de frecvență

Figura 3.17 prezintă circuitul simulat în analiză tranzitorie. Pentru aceasta la intrarea circitului se conectează o sursă de tensiune sinusoidală, semnalul de intrare având o amplitudine de 1 V iar frecvența de 1 KHz. Durata acestei simulării este de 10 ms.

Figura 3.17 Circuitul simulat în analiză tranzitorie

Se poate observa faptul că în figura 3.18 pâna la aproximativ 2 ms circuitul este în regim tranzitoriu, iar după 2 ms circuitul întră în regim permanent.

Fig. 3.18 Simularea tranzitorie a filtrului în OrCad

3.4 Calculul senzitivității pentru componentele circuitului FTB de tip Butterworth

Prin calculul sensitivității componentelor într-un circuit se poate efectua:

Reglarea toleranței la acele componente la care răspunsul circuitului este mai sensibil;

Proiectarea cirucuitelor cu sensibilitate scazută;

Folosirea topologiilor de proiectare mai complexe doar atunci când este cazul;

Expresia matematică a senzitivității:

(3.38)

Unde ‘x’ este componenta care variază iar ‘y’ este caracteristica filtrului.

3.4.1 Calculul senzitivității pentru componentele circuitului

Senzitivitatea în funcție de ω0:

(3.39)

*

= (*) (3.40)

Se calculează derivată:

(3.41)

Dacă , atunci ;

(3.42)

Dacă , atunci ;

(3.43)

(3.44)

(3.45)

3.4.2 Verificarea calculelor prin simulări Monte Carlo

Pentru simularea Monte Carlo s-a ales primul biquad, unde pentru rezistența R1 și R3 s-a impus o toleranță de 5% pentru a se putea observa, cum variază caracteristica filtrului în funcție de imperfecțiunea componentelor la care raspunsul circuitului este mai sensibil.

Figura 3.19 Circuitul simulat în analiza Monte Carlo

În figura 3.20 este prezentată caracteristica filtrului trece bandă prin varierea rezistența R1 între 72.3 kΩ și 79.9 kΩ – toleranță 5%:

Figura 3.20 Modificarea câștigului prin varierea rezistenței R1

În figura 3.21 este prezentată caracteristica filtrului trece bandă prin varierea R3 între 3.572 kΩ și 3.872 kΩ – toleranță 5%:

Fig 3.21 Modificarea câștigului prin varierea rezistenței R3

3.5 Analiza parametrică a filtrului

Analiza parametrică a filtrului presupune o variere a componentelor la care raspunsul de la ieșirea circuitului este mai sensibil. În acest scop s-a ales parametrizarea rezistențelor R3 respectiv R33. În figura 3.22 se poate observa cum variază caracteristica de ieșire a filtrului în funcție de valorile rezistențelor R3 și R33.

Figura 3.22 Modificarea câștigului prin varierea rezistenței R3 respectiv R33

Se variază rezistența R3 respectiv R33 între 1.722 kΩ și 5.722 kΩ cu increment de 1 kΩ:

Figura 3.23 Caracteristica de frecvență obtinuță prin parametrizarea

rezistenței R3 respectiv R33

3.6 Implemantarea filtrului trece bandă cu transconducțante

Implementarea filtrului trece bandă cu transconductanțe presupune cascadarea a doi bicuazi formați din transconductanța LM 13700:

Figura 3.24 Filtru trece bandă de ordinul doi implementat cu transconductanțe

Forma standard a funcției de transfer pentru un filtru trece bandă de ordinal doi este dată de expresiile:

(3.46)

(3.47)

(3.48)

(3.49)

(3.50)

(3.51)

Pentru biquad-ul primul s-au realitat următoarele dimensionări:

Se alege:

Ra = 10 kΩ;

Rb = 27 kΩ;

Gm = 13 mS;

Gm/C = 2π f0;

În urma efectuării calculelor s-au obținut următoarele valori pentru componentele cu ajutorul cărora se dimensionează circuitul:

C1 = 33 nF;

C2 = 10 nF;

R1 = R3 = R6 = R7 = 1 kΩ;

R2 = 10 kΩ;

R4 = R8 = 5.1 kΩ;

R5 = 20 kΩ;

R9 = 15 kΩ;

În figura 3.25 este prezentată schema electrică pentru primul biquad care formează filtrul implementat cu transconductanțe.

Figura 3.25 Primul biquad implementat cu transconductanțe

Pentru biquad-ul al doilea s-au realitat următoarele dimensionări:

Se alege:

Raa = 10 kΩ;

Rbb = 35 kΩ;

Gm = 13 mS;

Gm/C = 2π f0;

În urma efectuării calculelor s-au obținut următoarele valori pentru componentele cu ajutorul cărora se dimensionează circuitul:

C11 = 33 nF;

C22 = 20 nF ;

R11 = R33 = R66 = R77 = 1 kΩ;

R2 = 10 kΩ;

R4 = R8 = 5.1 kΩ;

R5 = 20 kΩ;

R9 = 15 kΩ;

În figura 3.26 este prezentată schema electrică pentru al doilea biquad care formează filtrul implementat cu transconductanțe.

Figura 3.26 Al doilea biquad implementat cu transconductanțe

În figura 3.27 se poate observa circuitul complet al filtrului implementat cu transconductanțe format din cei doi biquazi cascadați.

Figura 3.27 Circuitul complet implementat cu transconductanțe

În figura 3.28 este prezentată caracteristica de frecvență a filtrului real trece bandă de tip Butterworth implementat în OrCad.

Valoarea frecvenței de tăiere inferioară în banda de trecere la 5.55 dB este de 2.21 KHz respectiv valoarea frecvenței de tăiere superioară în banda de trecere la 5.28 dB este de 3.02 KHz.

Valoarea frecvenței de tăiere inferioară în banda de oprire la -2.8 dB este de 1.8 KHz respectiv valoarea frecvenței de tăiere superioară în banda de oprire la -2.81 dB este de 3.61 KHz.

Figura 3.28 Simulare filtru real cu transconductanță în OrCad

Figura 3.29 prezintă circuitul simulat în analiză tranzitorie. Pentru aceasta la intrarea circitului se conectează o sursă de tensiune sinusoidală, semnalul având o amplitudine de 1V iar frecvența de 1KHz. Durata acestei simulării este de 10 ms.

Figura 3.29 Circuitul implementat cu transconductanțe simulat în analiză tranzitorie

Se poate observa faptul că în figura 3.30 pâna la aproximativ 1.5 ms circuitul este în regim tranzitoriu, iar după 1.5 ms circuitul întră în regim permanent.

Figura 3.30 Simulare tranzitorie a filtru real cu transconductanță în OrCad

Rezultate experimentale

3.1 Filtru trece bandă implementat cu amplificator operational (AD741)

Implementarea practică a filtrului s-a făcut pe o placă prototip și este prezentă în figura 4.1. Se poate observa modulul de achiziții de date Analog Discovery, care prezintă o interfață de instrumentație virtuală (generator de semnal, osciloscop, analizor de rețea) rulată pe un calculator cu filtrul realizat pe o placă de test cu componente discrete.

Figura 4.1 Montajul experimental realizat cu amplificator operational

În figura 4.2 este prezentată caracteristica de frecvență a filtrului ideal trece bandă de tip Butterworth implementat în OrCad.

Valoarea frecvenței de tăiere inferioară în banda de trecere la 3.2 dB este de 2.19 KHz respectiv valoarea frecvenței de tăiere superioară în banda de trecere la 3.42 dB este de 3.16 KHz.

Valoarea frecvenței de tăiere inferioară în banda de oprire la 10.3 dB este de 1.82 KHz respectiv valoarea frecvenței de tăiere superioară în banda de oprire la 10.2 dB este de 3.61 KHz.

Figura 4.2 Simulare filtru ideal (Laplace)

În figura 4.3 este prezentată caracteristica de frecvență a filtrului real trece bandă de tip Butterworth implementat în OrCad.

Valoarea frecvenței de tăiere inferioară în banda de trecere la 39.4 dB este de 2.21 KHz respectiv valoarea frecvenței de tăiere superioară în banda de trecere la 37.2 dB este de 3.02 KHz.

Valoarea frecvenței de tăiere inferioară în banda de oprire la 27.9 dB este de 1.8 KHz respectiv valoarea frecvenței de tăiere superioară în banda de oprire la 26.1 dB este de 3.61 KHz.

Figura 4.3 Simulare filtru real cu amplificator operațional în OrCad

Cu ajutorul montajului experimental și al aplicației “Network Analyzer” s-au obținut rezultatele prezentate în figura 4.4:

Figura 4.4 Simularea filtru real implementat cu amplificator operațional

obținută cu Network Analyzer

În urma valorilor obținute cu Network Analyzer s-a generat o caracteristică de frecvență a filtrului trece bandă cu ajutorul aplicatie Matlab, prezentată în figura 4.5:

Figura 4.5 Caracteristica de frecvență obținută în Matlab

Măsurătorile făcute pe caracteristica de frecvență sunt comparate cu simulările făcute în OrCAD și prezentate sub formă tabelară în Tabelul 4.1. A doua coloană din tabel prezintă valorile simulate în OrCAD, iar a treia coloană măsurătorile obținute cu ajutorul instrumentației virtuale.

Tabelul 4.1 Rezultate obținute în OrCad respectiv montaj practic cu amplificator op

3.2 Filtru trece bandă implementat cu transconductanța (LM 13700N)

În figura 4.6 este reperezentat montajul practic al filtrului trece bandă realizat cu tansconductanțe și modulul de achiziții de date Analog Discovery:

Figura 4.6 Montajul experimental relizat cu transconductanțe

În figura 4.7 este prezentată caracteristica de frecvență a filtrului ideal trece bandă de tip Butterworth implementat în OrCad.

Valoarea frecvenței de tăiere inferioară în banda de trecere la 3.2 dB este de 2.19 KHz respectiv valoarea frecvenței de tăiere superioară în banda de trecere la 3.42 dB este de 3.16 KHz.

Valoarea frecvenței de tăiere inferioară în banda de oprire la 10.3 dB este de 1.82 KHz respectiv valoarea frecvenței de tăiere superioară în banda de oprire la 10.2 dB este de 3.61 KHz.

Figura 4.7 Simulare filtru ideal (Laplace)

În figura 4.8 este prezentată caracteristica de frecvență a filtrului real trece bandă de tip Butterworth implementat în OrCad.

Valoarea frecvenței de tăiere inferioară în banda de trecere la 5.55 dB este de 2.21 KHz respectiv valoarea frecvenței de tăiere superioară în banda de trecere la 5.28 dB este de 3.02 KHz.

Valoarea frecvenței de tăiere inferioară în banda de oprire la -2.8 dB este de 1.8 KHz respectiv valoarea frecvenței de tăiere superioară în banda de oprire la -2.81 dB este de 3.61 KHz.

Figura 4.8 Simulare filtru real cu transconductanță în OrCad

Cu ajutorul montajului experimental și al aplicației “Network Analyzer” s-au obținut rezultatele prezentate în figura 4.4:

Figura 4.9 Simularea filtru real implementat cu transconductanțe

obținută cu Network Analyzer

Măsurătorile făcute pe caracteristica de frecvență sunt comparate cu simulările făcute în OrCAD și prezentate sub formă tabelară în Tabelul 4.2. A doua coloană din tabel prezintă valorile simulate în OrCAD, iar a treia coloană măsurătorile obținute cu ajutorul instrumentației virtuale.

Tabelul 4.2 Rezultate obținute în OrCad respectiv montaj practic cu transconductanță

5. Concluzii

În cadrul acestei lucrării s-a realizat practic un filtru trece bandă implementat atât cu amplificator operațional cât și cu transconductanțe, având următoarele specificații:

Frecvența de tăiere inferioară în banda de trecere de 2.2 kHz

Frecvența de tăiere superioară în banda de trecere de 3 kHz

Frecvența de tăiere inferioară în banda de oprire de 1.8 kHz

Frecvența de tăiere superioară în banda de oprire de 3.6 kHz

Atenuarea în banda de trecere de 3dB

Atenuarea în banda de oprire de 10 dB

Realizarea filtrului s-a efectuat în mai multe etape:

Calculul funcției de transfer;

Identificarea topologiilor;

Simulare OrCad a circuitului implementat cu amplificator operațional;

Simulare OrCad a circuitului implementat cu transconductanță;

Realizare fizică a filtrului pe placa de test cu amplificator operațional.

Realizare fizică a filtrului pe placa de test cu transconductanță.

Măsurătorile efectuate pe filtrul implementat cu ajutorul componentelor pasive, amplificatoarelor operaționale AD741 și a transconductanței LM 13700N arată o abatere minoră față de specificațiile cerute in enunțul temei.

Filtrul implementat în această lucrarea se poate îmbunatății în mai multe moduri:

Minimizarea plăcuței electronice prin înlocuirea circuitelor integrate THT cu integrate surface SMD;

Minimizarea circuitului prin utilizarea componentelor din seria E24, unde domeniul valorilor este mai mare, astfel nemaifiind nevoie de înserierea sau punerea în paralel a rezistențelor și condensatoarelor;

6. Bibliografie

[1] Sallen, R.P. and Key, E.L., “A Practical Method of Designing Active Filters,” IRE Transactions on Circuit Theory, vol. CT-2, pp.74-85, March 1955.

[2] Huelsman, L.P. and Allen, P.E., Introduction to the Theory and Design of Active Filters, McGraw-Hill, New York, 1980.

[3] Budak, Aram, Passive and Active Network Analysis and Synthesis, Houghton Mifflin company, Boston, 1974.

[4] Ghausi, M.S. and Laker, K.R., Modern Filter Design: Active RC and Switched Capacitor, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1981.

[5] D. Isar, A. Isar, Filtre, Editura Politehnica Timișoara, 2003.

[6] S. Fassbinder,Armonici Filtre Pasive,Deutsches Kupferinstitut, 2003.

[7] T. Deliyannis, Yichuang Sun, J. K. Fidler, Continuous Time Active Filter Design, CRC Press LLC, 1999.

[8] R. Mancini, Op Amps For Everyone, Advanced Analog Products, 2002.

[9] M. Țopa, Filtre Analogice, suport de curs, 2012.

[10] B. S. Kirei, Notite Proiect filtre analogice (laborator FA).

[11] Platformă de e-learning si curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic, Elemente de Electronică Analogică, Filtre active cu AO. Circuite neliniare cu AO.

[12] Electronică-teorie și practică: http://eprofu. ro/electronica [18.05.2016]

[13] Thde Electronic components datasheet: www. alldatasheet. com [18.05.2016]

[13] The IEEE website: http://ieeexplore.ieee.org/xpl/login.jsp?tp=&arnumber=127337&url [20.05.2016]

[14] Active and Passive Ecectronic Component website: http://www.hindawi.com/journals/apec/2014/587932/ [20.05.2016]

[15] Operational transconductance: http://vahe.people.uic.edu/spring2016/ece412/OTA-structures2.pdf [21.05.2016]

[16] Operational transconductance: http://nopr.niscair.res.in/bitstream/123456789/8858/1/IJPAP%2043(9)%20714-719.pdf [21.05.2016]

[17] Butterworth Filter Based:

http://www.ijirset.com/upload/2014/may/76_AStudyofButterworth_Filter.pdf [25.05.2016]

[18] Active filters website: http://research.microsoft.com/pubs/205394/Malvar_IEEE_TCAS_82.pdf [26.05.2016]

[19] Operational Transconductance Amplifiers: http://www.mathworks.com/help/physmod/elec/examples/low-pass-filter-using-operational-transconductance-amplifiers.html?requestedDomain=www.mathworks.com [27.05.2016]

[20] Stackoverflows: http://stackoverflow.com/questions/12093594/how-to-implement-band-pass-butterworth-filter-with-scipy-signal-butter [07.06.2016]