DEZVOLTAREA CREATIVITATII PRIN STUDIUL MATEMATICII. NoȚiuni metodice 4 [301630]

Cuprins

Cuprins 1

Introducere 1

CAPITOLUL I 3

DEZVOLTAREA CREATIVITATII PRIN STUDIUL MATEMATICII. NoȚiuni metodice 4

1.1.UTILIZAREA METODELOR DE ÎNVĂȚARE ACTIVĂ ÎN ORELE DE MATEMATICĂ 4

Softuri de exersare (Drill-and-Practice) 13

Softuri interactive pentru predarea de cunoștințe noi 20

Softuri de simulare 23

Softuri pentru testarea cunoștințelor 24

Jocuri educative 24

Softuri utilitare 25

1.2.DEZVOLTAREA FLEXIBILTĂȚII ȘI CREATIVITĂȚII GÂNDIRII ELEVILOR DIN CICLUL PRIMAR PRIN REZOLVAREA ȘI COMPUNEREA DE EXERCIȚII 28

1.2.1. Exerciții numerice: 28

1.2.2. Exerciții pentru recunoașterea semnelor de ordine a relațiilor >, <, =: 32

1.2.3. Exerciții pentru recunoașterea semnului operației: 34

1.2.4. Exerciții cu o singură necunoscută: 35

1.2.5. Exerciții cu două sau mai multe necunoscute: 36

1.2.6. Exerciții de aflare a cifrelor notate cu litere sau steluțe ale unor numere din diferite operații. 38

1.2.7. Exerciții pentru conștientizarea folosirii proprietății operațiilor la aplicarea algoritmilor de calcul: 39

1.2.8. Exerciții de perspicacitate. Lanțuri de operatori: 40

1.3.CULTIVAREA CREATIVITĂȚII ELEVILOR ÎN ACTIVITATEA DEREZOLVARE ȘI COMPUNERE A PROBLEMELOR 58

1.3.1.Formarea noțiunilor de problemă și a celor două componente ale ei 58

1.3.2.DEZVOLTAREA GÂNDIRII CREATIVE PRIN REZOLVĂRI DE PROBLEME TIPICE 63

[anonimizat] a zămisli, a făuri, a naște. [anonimizat].

Astăzi, acest cuvânt este omniprezent. [anonimizat], [anonimizat], [anonimizat], vedem, simțim frecvența utilizării lui.

[anonimizat]. Autori celebri ai unor lucrări ce au ca centru de interes creativitatea definesc termenul astfel:

,,Creativitatea este facultatea de a introduce în lume ceva nou” (Moreno, 1950, apud Crețu , 2009, p. 620)

,,[anonimizat], fecunditatea intelectuală și imaginația” (Muchielli, 1969, apud Crețu, 2009, p.620)

„[anonimizat], dintre atitudini și aptitudini.” (P. Popescu- Neveanu, 1978, apud Sălăvăstru, 2004, p. 98)

„[anonimizat], generează produse noi și de valoare pentru societate.” (Al. Roșca, 1981, apud Sălăvăstru, 2004, p. 98)

„Creativitatea este capacitatea de a [anonimizat] a elabora soluții inedite și originale.” (E.Limbos, 1988, apud Sălăvăstru, 2004, p.98)

„[anonimizat], a unor elemente preexistente.” (H. Jaoui, 1975, apud Sălăvăstru, 2004, p. 98)

„A fi creativ înseamnă a [anonimizat] a te gândi la ceva diferit.” (M. Roco, 2004, p. 17)

[anonimizat], deși fiecare autor reliefează o anumită dimensiune a creativității, [anonimizat], ingeniozitatea, utilitatea reprezintă caracteristici de bază ale activității creatoare.[anonimizat], unitar și dinamic, care antrenează întreaga personalitate umană.

Aceleași diversități de opiniii le întâlnim și în stabilirea etapelor procesului creativ. G. Wallas, E.D. Hutchinson, R. Thomson stabilesc 4 etape ale procesul creator: pregatirea, incubatia,iluminarea, verificarea. A. Osborn desprinde 7 etape: creativitatea: orientarea, preparatia, analiza, ideatia, incubatia, sinteza, evaluarea.

Atitudinea psihologica fata de aceste etape a fost extrem de variata:

incubatia a fost contestata, Guilford o considera ca fiind mai degraba o conditie decat o forma ale activitatii cum sunt celelalte etape.

Iluminarea controversata (pot avea loc iluminari false)

Susccesiunea etapelor a ramas neconfirmata (uneori etapele se suprapun, se inverseaza asa incat procesul creator este nu stadial, ci continuu cu intrepatrunderea etapelor).

Singurele 2 etape care au intrunit adeziunea tuturor psihologilor au fost prepararea si verificarea. Dar si in cazul acestora au fost evidentiate diferente importante intre ele in functie de tipul de creatie. Etapele procesului creator sunt specifice mai ales pentru creativitatea individuala si mai putin pentru cea de grup. Important ramane caracterul dinamic, efervescent, evolutiv al creativitatii.

Multă vreme, termenul de creativitate era asociat cu persoanele cu har, talentate, dotate și se credea că numai o anumită categorie de indivizi pot fi creativi. Mai mult decât atât, în vechile vremuri, creativitatea avea conotații mistice. Creatorii primeau inspirație de la zeități și cu ajutorul acesteia realizau idei sau obiecte noi. Chiar Platon afirma că poetul crea numai ce-i dicta Muza.

S-a demonstrat însă, că fenomenul creativității reprezintă o trăsătură general umană, că orice om poate fi creativ într-un anume grad, la un moment dat, într-un anumit domeniu.

CAPITOLUL I

DEZVOLTAREA CREATIVITATII PRIN STUDIUL MATEMATICII. NoȚiuni metodice

1.1.UTILIZAREA METODELOR DE ÎNVĂȚARE ACTIVĂ ÎN ORELE DE MATEMATICĂ

Î

nvățarea activă înseamnă, conform dicționarului, procesul de învățare calibrat pe interesele / nivelul de înțelegere / nivelul de dezvoltare al participanților la proces. În cadrul învățării active se pun bazele unor comportamente, de altfel observabile:

• comportamente ce denotă participarea (elevul e activ, ia parte la activități);

• gândirea creativă (elevul are propriile sale sugestii, propune noi interpretări);

• învățarea aplicată (elevul devine capabil să aplice o strategie de învățare într-o anumită situație de învățare);

• construirea cunoștințelor( în loc să fie pasiv, elevul îndeplinește sarcini care îl vor conduce la înțelegere).

Competențele generale urmărite în învățarea activă sunt:

• Dezvoltarea capacității de abordare sistemică a procesului de învățământ, prin evidențierea interdependenței dintre funcțiile sale principale (predare, învățare, evaluare);

• Prezentarea principalelor teorii ale învățării, insistând asupra variabilelor care argumentează ideea unei învățări active;

• Dezvoltarea capacității de aplicare a strategiilor de învățare activă în procesul de predare – învățare a diferitelor discipline de învățământ;

• Dezvoltarea abilităților de comunicare și de lucru în echipă;

• Însușirea unor metode și tehnici de cunoaștere a elevilor și de autocunoaștere.

Metodele de învățare activă fac lecțiile interesante, ajută elevii să realizeze judecăți de substanță și fundamentate, sprijină elevii în înțelegerea conținuturilor pe care să fie capabili să le aplice în viața reală.

Printre metodele care activizează predarea – învățarea sunt și cele prin care elevii lucrează unii cu alții, își dezvoltă abilități de colaborare și ajutor reciproc. Ele pot avea un impact extraordinar asupra elevilor datorită denumirilor, caracterului ludic și oferă alternative de învățare cu priză la copii.

În vederea dezvoltării gândirii la elevi, trebuie să utilizăm, cu precădere unele strategii activ – participative, creative. Acestea nu trebuie rupte de cele tradiționale, ele marcând un nivel superior în spirala modernizării strategiilor didactice.

Specific metodelor interactive de grup este faptul că ele promovează interacțiunea dintre mințile participanților, dintre personalitățile lor, ducând la o învățare mai activă și cu rezultate evidente. Acest tip de interactivitate determină „identificarea subiectului cu situația de învățare în care acesta este antrenat” ceea ce duce la transformarea elevului în stăpânul propriei formări.

Brainstorming

Brainstorming-ul este una dintre cele mai răspândite metode în stimularea creativității. Etimologic, brainstorming provine din engleză, din cuvintele brain (creier) și storm (furtună), plus desinența ing specifică limbii engleze, ceea ce înseamnă furtună în creier, efervescență, aflux de idei, o stare de intensă activitate de imaginativă. Un principiu al brainstorming-ului este cantitatea generează calitatea. Conform acestui principiu, pentru a ajunge la idei viabile și inedite este necesară o productivitate creativă cât mai mare.

Brainstorming-ul este prezent chiar în activitatea de compunere de probleme. În momentul când în fața elevului așezăm două numere și îi cerem să formuleze o problemă în care să le integreze, în mintea acestuia apar o avalanșă de idei, de operații matematice cărora le-ar putea asocia enunțul unei probleme. În scopul stimulării creativității, trebuie

apreciat efortul fiecărui elev și să nu se înlăture nici o variantă propusă de aceștia.

Exemplu:

Compuneți o problemă folosind numerele 20 și 4.

Prin folosirea acestei metode se provoacă și se solicită participarea activă a elevilor, se dezvoltă capacitatea de a trăi anumite situații de a le analiza, de a lua decizii în ceea ce privește alegerea soluțiilor optime și se exersează atitudinea creativă și exprimarea personalității.

Diagrama Wenn este o metodă folosită pentru sistematizarea cunoștințelor. Este formată din două cercuri care se suprapun parțial. În intersecția celor două cercuri se grupează asemănările, iar în celelalte două spații rămase libere se notează deosebirile dintre două aspecte, idei sau concepte. Metoda se poate folosi în lecțiile de consolidare, în care activitatea poate fi organizează în grup, în perechi sau chiar frontal.

Exemplu:

Mozaicul este o metodă de predare-învățare care îmbină învățarea individuală cu învățarea în echipă și de învățare prin colaborare care pune în valoare relația elev-elev („predarea” de către elev).

Mod de utilizare:

învățătorul stabileșta tema;

elevii sunt împărțiți în grupe de câte patru elevi;

fiecărui elev din grupă îi este atribuit câte un număr de la 1 la 4;

se formează grupurile de ,,experți” astfel: fiecare elev cu numărul 1 formează prima

grupă de experți, elevii cu numărul 2 formează a doua grupă etc. până se formează patru grupe de,,experți”;

fiecare echipă primește o fișă expert;

elevii lucrează în echipă pentru a rezolva sarcinile propuse și pentru a se instrui cât

mai bine;

fiecare elev revine la echipa inițială și prezintă colegilor conținutul însușit, se

instruiesc reciproc;

elevii vor prezenta noțiunile succint, vor pune întrebări, vor discuta între ei, își vor

exprima puncte de vedere, fiecare realizându-și propriul plan de idei.

Obiectivul echipei este ca toți membrii să-și însușească conținutul propus.

Rolul învățătorului este de a monitoriza activitatea grupelor, de a răspunde întrebărilor mai grele, de a asigura participarea activă a tuturor elevilor, de a avea grijă ca noile cunoștințe să fie transmise corect.

În final grupurile de experți prezintă rezultatele în fața clasei. Acum învățătorul poate pune întrebări sau poate propune fișe de evaluare, poate completa sau rectifica.

,,Metoda mozaicului are un pronunțat caracter formativ. Elevii sunt puși în situația să asculte activ comunicările colegilor, să se deprindă să expună ceea ce au învățat, să coopereze la realizarea sarcinilor, să găsească modalitatea cea mai potrivită pentru a-i învăța și pe colegii lor ceea ce ei au studiat.” (Cerghit, I., 2006, Metode de învățământ, Iași, Editura Polirom, p. 171).

Cvintetul

Metoda se potrivește orelor de consolidare și recapitulare sau momentului asigurării retenției și transferului în orele de predare. Un cvintet este o poezie cu 5 versuri prin care se exprimă și se sintetizează conținutul unei lecții sau a unei unități de învățare într-o exprimare concisă ce evidențiază reflecțiile elevului asupra subiectului în cauză.

Exemplu:

Probleme noi,

Probleme multe,

Încercăm să rezolvăm

Uneori noi mai greșim

Dar ne străduim.

Cubul este o metodă de predare-învățare care se folosește atunci când se urmărește explorarea unui subiect sau a unei atitudini din mai multe perspective și oferă posibilitatea de a-și dezvolta competențele necesare unei abordări complexe și integratoare.

După Ioan Cerghit etapele desfășurării acestei metode este următoarea:

– anunțarea temei;

– parcurgerea unității de conținut propusă;

– împărțirea clasei de elevi în șase echipe eterogene;

– fiecare echipă își alege un lider;

– se aruncă un cub pe fețele căruia sunt scrise șase sarcini de lucru: Analizează, Descrie, Compară, Asociază, Aplică, Argumentează

– fiecare echipă rezolvă sarcinile care-i revin în urma aruncării cubului;

– la terminarea sarcinii liderul fiecărei echipe prezintă rezultatele cercetării efectuate;

– elevii pot lua notițe și pot pune întrebări echipei care a cercetat problema;

– la final învățătorul concluzionează și expune succint informațiile și poate aplica o probă cu șase itemi pentru a verifica gradul de înțelegere și de însușire a problemei.

Exemplu 1:

Exemplu 2:

Ciorchinele

Ciorchinele este o tehnică eficienta de predare și învățare care încurajează elevii să gândească liber și deschis. Ciorchinele este un brainstorming necesar, prin care se stimulează evidențierea legăturilor dintre idei; o modalitate de a construi sau realiza asociații noi de idei sau de a releva noi sensuri ale ideilor. Este o tehnică de căutare a căilor de acces spre propriile cunoștințe evidențiind modul de a înțelege o anumită tema, un anumit conținut.

Metoda ciorchinelui dă rezultate deosebite și atunci când elevii lucrează în echipă. Observând și aprobând variantele colegilor, copilul își dezvoltă imaginația și creativitatea. Această metodă se poate folosi pentru a sistematiza noțiunile teoretice matematice. Prin întrebări dascălul dirijează gândirea elevilor, notează și schematizează cunoștințele teoretice matematice.

Exemplu:

Prin această tehnică se fixează mai bine ideile și se structurează informațiile facilizându-se reținerea și înțelegerea acestora. Tehnica ciorchinelui poate fi aplicată atât individual, cât și la nivelul întregii clase pentru sistematizarea și consolidarea cunoștințelor. În etapa de reflecție elevii pot fi ghidați prin intermediul unor întrebări, în gruparea informațiilor în funcție de anumite criterii.

Metoda cadranelor

Metoda cadranelor urmărește implicarea elevilor în realizarea unei înțelegeri cât mai adecvate a unui conținut informațional. Această metodă se poate folosi frontal și individual, în rezolvarea problemelor prin metoda grafică.

Prin trasarea a două axe perpendiculare, fișa de lucru este împărțită în patru cadrane, repartizate în felul următor:

I – textul problemei;

II – reprezentarea grafică a problemei;

III – rezolvarea problemei;

IV – răspunsul problemei

Exemplu:

Metoda știu / vreau să știu / am învățat

Metoda se bazează pe cunoaștere și experiențele anterioare ale elevilor, pe care le vor lega de noile informații ce trebuie învățate.

Etape:

• Listarea cunoștințelor anterioare despre tema propusă;

• Construirea tabelului (învățător);

• Completarea primei coloane;

• Elaborarea întrebărilor și completarea coloanei a doua;

• Citirea textului;

• Completarea ultimei coloane cu răspunsuri la întrebările din a doua coloană, la care se adaugă noile informații;

• Compararea informațiilor noi cu cele anterioare;

• Reflecții în perechi/ cu întreaga clasă.

Exemplu:

O cloșcă are 15 puișori albi și 5 puișori negri. Dintre aceștia s-au rătăcit 2 puișori. Câți puișori i-au rămas cloștii?

Metoda instruirii programate

Metoda instruirii programate organizează acțiunea didactică, aplicând principiile ciberneticii la nivelul activității de predare – învățare – evaluare, concepută ca un sistem dinamic complex, constituit dintr-un ansamblu de elemente și interrelații..

Metoda instruirii programate dezvoltă propriile sale principii:

• Principiul pașilor mici constă în divizarea materiei în unități de conținut care asigură elevului șansa reușitei și a continuității în activitatea de predare – învățare – evaluare; toate aceste unități logice prezentate într-o succesiune univocă constituie programul activității;

• Principiul comportamentului activ presupune dirijarea efortului elevului în direcția selecționării, înțelegerii și aplicării informației necesare pentru elaborarea unui răspuns corect. Elevul este obligat să răspundă fiecărei unități logice ce i se prezintă, altfel nu poate trece mai departe. Întrebările și răspunsurile sunt prezentate într-o ordine prestabilită.

• Principiul evaluării imediate a răspunsului urmărește întărirea pozitivă dau negativă a comportamentului elevului în funcție de reușita sau nereușita în îndeplinirea sarcinii de învățare corespunzătoare fiecărui pas. Astfel, după parcurgerea fiecărei unități, elevul este informat dacă a răspuns corect sau nu. Confirmarea răspunsului se face imediat și automat după ce a fost dat. Din punct de vedere psihologic, această confirmare sau infirmare este o întărire. De altfel, părintele modern al instruirii programate. B. F. Skinner, consideră că „a instrui înseamnă a organiza relații de întărire”, relații care se manifestă pe două planuri: intern, prin cunoașterea imediată de către elev a performanțelor obținute și extern, prin aprecierile cadrului didactic pe baza mesajelor primite prin conexiune inversă. Se elimină totodată, pericolul fixării unor idei eronate.

• Principiul ritmului individual de învățare vizează respectarea și valorificarea particularităților elevului, demonstrate prin modul și timpul de parcurgere a fiecărei secvențe.

Din această metodă, s-a dezvoltat exponențial în ultimii ani învățarea asistată de calculator. Ea recurge la un ansamblu de mijloace care să-i permită atingerea obiectivelor și formarea competențelor specifice. Mijloacele didactice specifice metodei sunt programele de învățare sau soft-urile didactice.

Softurile educaționale sunt clasificate, după funcția pedagogică specifică pe care o pot îndeplini, în:

Softuri de exersare (Drill-and-Practice)

Acestea intervin ca un supliment al lecției tradiționale, realizând exersarea individuală necesară însușirii unor date, proceduri, tehnici sau formării unor deprinderi specifice și nu sunt concepute pentru a preda noi cunoștințe. Sunt destinate consolidării unui număr limitat de deprinderi specifice unei discipline școlare, prin seturi de sarcini repetitive, urmate de aprecierea răspunsului dat de către elev; în cazul unui răspuns incorect pentru problema afișată la un moment dat se poate intra pe o subrutină ajutătoare. Îl ajută pe profesor să realizeze activitățile de exersare, permițând fiecărui elev să lucreze în ritm propriu și sa aibă mereu aprecierea corectitudinii răspunsului dat.

La matematică, sunt foarte prezente aceste jocuri, deoarece presupun doar exersarea unor operații. Internetul este plin de astfel de jocuri, multe traduse în limba română și copiii, la clasă, le pot folosi atunci când sunt proiectate, la un singur calculator sau la mai multe (în laboratorul de informatică).

Iată câteva adrese gratuite unde se pot juca online astfel de jocuri. Datorită marii lor multitudini, am ales doar acelea care se adresează elevilor de clasele I-II, respectiv jocuri care conțin operații de adunare și scădere până la 100. Bineînțeles, majoritatea lor au „nivele” avansate, fie trecând peste 100 cu adunarea și scăderea, fie efectuând înmulțiri și împărțiri:

http://gimnasticamentala.blogspot.ro/2011/09/soft-educational-adunare-scadere.html

Acest joc este mai simplu și prezintă doar operațiile, rezultatele iar copiii pot opta pentru numerele și rezultatele dorite.

www.jocuri123.com

Jocului propune un timp limitat (60 secunde) în care copilul trebuie să efectueze cât mai multe operații. La final, jocul arată, în limba engleză, un clasament, un procent al corectitudii precum și numărul de operații corecte și greșite.

www.prichindel.net

Asemănător jocului anterior, și acest joc presupune un timp limitat pentru efectuarea operațiilor (tot 60 secunde). Ca element de noutate al acestui joc este posibilitatea de a „sări” peste o operație (atunci când nu ai suficient timp sau nu cunoști răspunsul).

La final jocul afișează în română și engleză numărul rezultatelor corecte și a celor greșite:

http://www.jocjocurigratis.net/jocuri-cu-adunari-scaderi-inmultiri-si-impartiri-106.html

Jocul are de asemenea un timp de efectuare (30 secunde), iar corectitudinea și viteza de răspuns este răsplătită. Avantajul acestui joc este că după fiecare elev care face „nivelul”, calculatorul stabilește un clasament. Cei care se află în fruntea listei, vor putea trece la nivelul următor, cu operații mai dificile.

Ar fi nedrept să ne referim doar la jocurile online, fără a pomeni, selectiv, multitudinea de firme românești care au creat sau tradus softuri educaționale de matematică, ce conțin și exerciții pentru exersarea operațiilor, a calculelor. Dintre acestea amintim: PitiClic, Naufragiați pe Insula Calculelor, Culegere matematică (V. Tocu), Operațiunea Mate – cum a salvat Alex Matematica, Secretul numerelor și a formelor, colecția MateMagia, etc.

Softuri interactive pentru predarea de cunoștințe noi

Aceste softuri creează un „dialog” între elev și programul respectiv, parcursul elevului este controlat de calculator – elevului i se prezintă un mediu de unde își poate extrage toate informațiile necesare pentru rezolvarea sarcinii propuse, pe baza unui set de reguli. De regulă, un tutor preia una din funcțiile profesorului, fiind construit pentru a-l conduce pe elev, pas cu pas, în însușirea unor noi cunoștințe sau formarea unor deprinderi după o strategie stabilită de proiectantul softului.

Dacă un tutor îl obligă pe elev să urmeze un anumit drum în învățare, softul de investigare folosește o altă strategie: elevului nu i se prezintă informațiile deja structurate (calea de parcurs), ci un mediu de unde elevul poate să-și extragă toate informațiile (atât cele declarative, cât și cele procedurale) necesare pentru rezolvarea sarcinii propuse sau pentru alt scop, pe baza unui set de reguli. În acest fel, calea parcursă depinde într-o mare măsură de cel care învăță (atât de nivelul lui de cunoștințe, cât și de caracteristicile stilului de învățare). În ultimii ani se proiectează și se experimentează medii de învățare cu o interacțiune extrem de complexă, bazată pe utilizarea inteligenței artificiale; demersul este cunoscut sub numele de "instruire inteligenta asistată de calculator”.

Experiența mi-a demostrat că unii copii vin de acasă cu lecția învățată pe calculator, datorită faptului că „s-au jucat” cu astfel de programe. Tutorul explică într-un anumit mod o anumită problemă iar învățătorul trebuie să țină cont de acest fapt. El trebuie să explice copilului de ce a ales o anumită cale de rezolvare, de predare sau investigare, de ce e mai „bună” varianta lui față de cea a tutorelui.

Poate că acest timp de soft a creat cea mai mare temere în rândul celor care au considerat că un computer va înlocui cadrul didactic, dar exact aici intervenția cadrului didactic este mai utilă. Chiar dacă a învățat de la computer anumite cunoștințe sau deprinderi, totuși lipsurile din învățare sunt remediate de cadrul didactic, ce are de asemenea obligația de a-i oferi copilului o gândire sistemică asupra noilor noțiuni învățate.

Din softurile educaționale de matematică, menționate la exercițiile pentru exersarea operațiilor matematice majoritatea conțin și tutoriale pentru predarea matematicii. Spre exemplu, Operațiunea Mate – cum a salvat Alex Matematica are în grafică chiar o doamnă care-i explică, îl ajută, îl evaluează.

Din pachetul “MateMagia”, în clasa a II-a, Scormonilă sparge gheața dar explică, de exemplu, și cum se rezolvă operațiile de adunare și scădere fără trecere peste ordin:

Din multitudinea creațiilor diferitelor firme, imposibil de enumerat aici, pentru predarea-învățarea din școală, consider că sistemul AeL corespunde cel mai bine exigențelor pedagogice. Acest lucru se datorează nu doar interactivității sale (așa cum sunt caracterizate și celelalte) cât mai ales datorită faptului că învățătorul controlează permanent predarea, atât ca timp, ca etapă a predării, cât și ca evaluare și feed-back, putând interveni în orice moment al procesului didactic. Spre deosebire de softurile prezentate până acum, AeL permite configurarea unei lecții

Descrierea pașilor pentru predarea unei lecții în AeL se găsește în Anexă.

Softuri de simulare

Softuri de simulare permit reprezentarea controlată a unui fenomen sau sistem real, prin intermediul unui model cu comportament analog. Prin lucrul cu modelul se oferă posibilitatea modificării unor parametri și observării modului cum se schimbă comportamentul sistemului.

Aceste softuri sunt foarte utile în geometrie, încă din clasa I. Elevii pot vedea modelul și etapele de desenare a unui corp geometric, pot „vedea” pe calculator, în spațiu și pot înțelege mai clar elementele corpurilor geometrice.

Principiul e simplu. Se pornește de la figurile de bază:

Apoi se fac 3D:

Apoi elevul este pus să facă el desenul și să denumească diferite elemente.

Softuri pentru testarea cunoștințelor

Există o gamă largă de astfel de softuri. Practic majoritatea softurilor educaționale conțin și aspecte privind testarea cunoștințelor. Diferă modalitatea de evaluare, criteriile, feed-back-ul pe care îl dă evaluării.

O categorie tot mai întâlnită este cea a softurilor utilizate în crearea de teste: Quiz Maker, ProProf Quiz Maker, Multiple Chois Quiz Maker, Qedoc Quiz Maker. Există de asemenea site-uri care pot ajuta la crearea acestor teste, majoritatea dintre ele gratuite, fără a fi nevoie decât de o logare: Google Docs, www.studentie.ro, www.e-scoala.ro, etc.

Jocuri educative

Aceste jocuri implică elevul într-un proces de rezolvare de probleme, de obicei se realizează o simulare a unui fenomen real, oferindu-i elevului diverse modalități de a influența atingerea scopului.

Spre exemplu, PitiClic – Cazemata Mate, propune elevilor să se lupte cu balaurul MateBauBau. De ajutor vor fi cei cinci frați isteți, luați prizonieri de balaur. Cu MULTIMIX, în grajdurile cazematei, se poate juca și forma mulțimi. HOPSUSJOS va arăta calea prin grădina în care e prizonier. GEOMETRIX așteaptă în bibliotecă, unde, trebuie să fie recunoscute forme geometrice, să le ordoneze și să realizeze construcții cu ajutorul lor. Pe CIFRULET trebuie să-l salveze din sala stafiilor. Se numără și așează la locurile lor. Numai rezolvand corect operatiile, se vor dărâma zidurile eliberandu-l pe OPERIX.

Softuri utilitare

Softurile utilitare sunt de un real folos și în matematică. Prin desfășurarea opționalului „Prietenul meu, calculatorul”, copii au fost familiarizați cu cele mai importante softuri și totodată învățați cum pot fi ele folosite în matematică.

Microsoft Word – editare de probleme, desene ale figurilor și corpurilor geometrice. La nivel de clasa a IV-a poate fi introdus și Microsoft Equation, soft complex, specializat pe editare a elementelor de matematică, cu simboluri complexe.

Microsoft Excel – calcul tabelar

Paint – realizare de imagini

PowerPoint – cel mai utilizat soft pentru prezentări. Datorită popularității acestui soft, sunt prezentate sub forma unei analize SWOT aspectele mai relevante:

Analiza SWOT

Utilizarea prezentărilor PowerPoint în strategia didactică

Cei pasionați de informatică pot trece la un nivel superior, putând crea mici progrămele interactive în Pascal, Fox, Macromedia Flash, Java, etc.

1.2.DEZVOLTAREA FLEXIBILTĂȚII ȘI CREATIVITĂȚII GÂNDIRII ELEVILOR DIN CICLUL PRIMAR PRIN REZOLVAREA ȘI COMPUNEREA DE EXERCIȚII

Metoda exercițiului și algoritmizarea sunt căile principale de formare a deprinderilor de calcul, a premiselor pentru rezolvarea problemelor. Uneori se apelează și la problematizare, metodă care se caracterizează prin faptul că elevul este solicitat să rezolve și exerciții mai dificile, deosebite față de cele obișnuite.

La clasele mici, cea mai eficientă formă de organizare a activităților matematice este cea sub formă de joc didactic. Jocul matematic, prin caracterul său atractiv, prin elementele sale: mișcare ( dinamism, aspect competitiv, stimulativ), prin respectarea regulamentului pe care îl are, contribuie atât la consolidarea cunoștințelor matematice, cât și la însușirea unor concepte și noțiuni.

O modalitate de realizare a flexibilității și creativității gândirii elevului este însușirea

temeinică și sistematică a unei noțiuni prin exercițiu, cu care va opera în continuare pentru rezolvarea problemelor.

Voi prezenta o varietate de exerciții pe care le putem da spre rezolvare elevilor, în condițiile cerute de dezvoltarea creativității.

1.2.1. Exerciții numerice:

Exemplul 1 : Desenează pe etichetă atâtea puncte câte obiecte vezi în imagine în fiecare grup. Scrie numărul în casetă.

Exemplul 2: Colorează cu galben căsuțele în care apar cifrele: 3 și 5.

Exemplul 3: Completează căsuțele libere astfel încât să apară șiruri de numere consecutive.

Exemplul 4: Desenează mărgele pentru a avea pe fiecare șirag câte 7. Scrie în caseta liberă câte mărgele ai adăugat.

Exemplul 5: Colorează cu roșu caseta cu numărul care arată câte mașini sunt în fiecare tablou.

Exemplul 6: Scrie în ordine crescătoare numerele:

a) 7; 3; 8; 9; R: 3; 7; 8; 9

b) 1; 7; 5; 2; R: 1; 2; 5; 7

c) 10; 40; 20. R: 10; 20; 40

Exemplul 7: Scrie în ordine descrescătoare numerele:

a) 4; 7; 8; 10; R: 10; 8; 7; 4.

b) 100; 50; 80; R: 100; 80; 50;

c) 11; 19; 13. R: 19; 13; 11.

Exemplul 8: Desenează atâtea obiecte în fiecare tablou câte indică numărul scris în etichetă.

Exemplul 9: Scrie trei numere diferite:

a) mai mici decât 5;

b) cuprinse între 1 și 5;

c) mai mari decât 5;

d) cuprinse între 5 și 10.

Exemplul 10: Completează norișorii cu numerele care lipsesc.

Exemplul 11: Completează numerele care lipsesc din șiruri:

9; … ; 11; … ; … ; .. .; … ; 16; … ; … ; … ; … ; … ; 22.

Exemplul 12 : Scrie toate numerele naturale de două cifre care au:

a) Cifra zecilor egală cu 5;

b) Cifra unităților 1;

c) Cifra zecilor să fie cu o unitate mai mare decât cifra unităților.

Exemplul 13: Alege dintre numerele următoare: 76, 93, 42, 11, 31, 50, acele numere care:

a) Sunt mai mici decât 50; R: 11, 31, 42

b) Nu sunt mai mici decât 50. R: 76, 93

Exemplul 14: Care este cel mai mic număr natural format din zeci și unități? Dar cel mai mare?Care este cel mai mare număr natural format din zeci și unități la care cifra zecilor să fie cu 2 mai mică decât 10?

R: 10, 99, 89

Exemplul 15: Scrieți toate numerele distincte (diferite) care se pot forma din cifrele 3 și 5.

R: 35, 53.

Exemplul 16: Scrieți toate numerele naturale de trei cifre distincte care se pot forma cu cifrele 5, 7, 9.

R: 957, 597, 579,975, 795, 759

Exemplul 17: Observă regula de numărare și continuă șirul de numere cu încă trei numere:

a) 2, 4, 6, … R: 8, 10, 12

b) 1, 3, 5, … R: 7, 9, 11

c) 3, 6, 9, … R: 12, 15, 18

d) 1, 4, 7, … R: 10, 13, 16

e) 5, 10, 15, … R: 25, 30, 35

f) 8, 9, 12, 16, 17, … R: 20, 21, 24

1.2.2. Exerciții pentru recunoașterea semnelor de ordine a relațiilor >, <, =:

Exemplul 1: Completează desenele conform semnelor >, <, =:

Exemplul 2: Desenează pe fiecare etichetă atâtea cerculețe încât să respecți condiția dată:

Exemplul 3: Pune în căsuțe semnele potrivite >, <, =:

Exemplul 4: Puneți numere astfel încât să rezulte relații adevărate:

Exemplul 5: Scrie în căsuțe unul din semnele >, <, = :

Exemplul 6: Scrie cifra corespunzătoare sau unul din semnele >, <, = :

Exemplul 7: Aranjează numerele 35, 7, 49, 4, 81, 8, 10 conform schemei:

Exemplul 8: Completează căsuțele în așa fel încât să fie satisfăcute relațiile >, <, = :

Exemplul 9: Completează cu numere:

1.2.3. Exerciții pentru recunoașterea semnului operației:

Exemplul 1: Scrie în căsuță semnul operației de adunare sau scădere astfel încât să fie adevărate relațiile:

Exemplul 2: Completează semnul operației care lipsește:

15 … 8 = 23 36 … 6 > 42 … 9

38 … 9 = 29 53…8 < 47 … 7

34 … 41… 7 6…47 > 42 … 9

76 = 82 … 6 8…84 > 91 … 6

Exemplul 3: Completează:

25 = 19 + 4 + …

100 = 40 + …

80 = … + 10

Exemplul 4: Completați cu semnul ,,x’’ sau ,,:’’ astfel încât rezultatul să fie corect:

6 … 2 = 12 5 … 7 = 35 5 … 9 =45

12 … 4 = 3 21 … 3 = 7 32 … 8 = 4

64 … 8 = 8 30 … 3 = 10 72 … 9 = 8

1.2.4. Exerciții cu o singură necunoscută:

Aceste exerciții au drept obiectiv operațional aflarea unui termen sau factor necunoscut dintr-o operație dată.

– Adunare: T1 + T2 = S; T1= S – T2; T2 = S – T1;

– Scădere: D – S = R; D = R + S; S = D – R;

– Înmulțire: F1 x F2 = P; F1= P : F2; F2= P : F1;

– Împărțire: D : Î = C; D = C x Î; Î = D : C.

Termenii sau factorii necunoscuți se notează :

– la început cu semnul întrebării:

– Cu o căsuță:

– Cu o literă:

a + 18 = 18 35 + a = 40

b- 5 = 20 28 – b = 15

c x 4 =32 2 x m = 10

d : 7 = 7 12 : m= 2

– cu un semn.

În fiecare situație se analizează exercițiul și se stabilește algoritmul de lucru. Se pornește de la simplu la complex.

Exemple:

5 adunat cu cât face 8?

10 plus cât face 15?

Mă gândesc la numărul 24. Scad un număr și obțin 19.Ce număr am scăzut?

Mă gândesc la două numere adunate și obțin 100. Ce numere pot fi?

Pe parcurs elevii vor cuprinde două sau mai multe operații diferite și se vor aplica reguli de calcul diferite: izolarea necunoscutei prin comutativitate și asociativitate sau chiar aflarea prin metoda mersului invers. În funcție de gradul de dificultate, exercițiile se pot eșalona pe clase când vom ține cont și de operația și numerotația folosite în clasa respectivă.

Exemplu: Înlocuiește literele cu numere corespunzătoare astfel încât egalitățile următoare să fie adevărate:

2 x a x 3 = 24

5 x 3 x a = 40

24 : 3 – m = 2

18 : 3 – a = 2 x 2

Pentru aflarea necunoscutei se folosesc proprietățile operațiilor:

Exemplu: Aflați numerele ,, a’’sau ,, b’’din egalitățile:

1) ( a : 5 – 2 ) : 3 – 260 : 2 = 1

2) ( b – 18) : 5 = 20

3) ( 88 – a ) x 10 = 180

1.2.5. Exerciții cu două sau mai multe necunoscute:

Și la acest tip de exerciții în locul necunoscutelor se folosesc literele sau diferite semne. Acest tip de exerciții necesită o operație complexă a gândirii prin aceea că numerele necunoscute nu pot fi aflate direct sau apelând la memorie. Trebuie să apară spiritul de investigație. Se apelează la mai multe încercări, tabele, scheme, o parte din exerciții au mai multe soluții.

Exemplul 1: Aflați numerele naturale ,,a’’ și ,,b’’ dacă a + b = 12.

Soluția:

a) Se poate rezolva prin încercări;

b) Se poate rezolva cu ajutorul unui tabel:

c) Scriind b = 12 – a.

Exemplul 2: Fiecare din figurile reprezintă un anumit număr. Scrieți numerele corespunzătoare:

Pentru primele două exemple,, a’’ și ,, b’’ recurgem la metoda figurativă, iar celelalte se pot rezolva folosind proprietățile operațiilor, a înlocuitorilor. Analizăm pe ,,a’’ .

Se observă că numărul scris în pătrat este mai mare cu 1 decât numărul scris în triunghi, pentru că pătrat minus triunghi egal cu 1. Aceste perechi se scriu ușor (8,7), (6,5), (4,3), (3,2), (2,1), (1,0). Dar numai perechea (3,2) este soluția exercițiului deoarece 3 + 2 = 5.

Mai putem folosi metoda figurativă prin segmente.

Exemplul 3: Aflați numerele ,, a’’, ,, b’’, ,,c’’ știind că:

a) a + b + c = 70 b) a + b + c = 100

a + b = 60 a + b = 70

b + c = 50 a + c = 80

În acest caz se poate utiliza asociativitatea adunării și înlocuim:

( a + b ) + c = 70 a + ( b + c ) = 70 a + b + c = 70

( a + b ) = 60 b + c = 50 29 + b + 10 = 70

60 + c = 70 a = 20 b = 4

c = 10

1.2.6. Exerciții de aflare a cifrelor notate cu litere sau steluțe ale unor numere din diferite operații.

Exemplul 1: Înlocuiți cu cifre corespunzătoare:

Exemplul 2: Să se afle cifrele din adunarea următoare:

Se observă că a = 1, iar 4d = *6(un număr de 2 cifre care are la unități 6 ,ex.-16, 26, 36, 46,…)

De aici rezultă că d = 4 sau d = 9.

Dacă d = 4, atunci 3c + 1 = *8; 3c = *7; c = 9; 2b = 9, deci b nu există.

Dacă d = 9, atunci 3c + 3 = *8; 3c = *5; c = 5; b = 4, deci numărul abcd = 1459.

Exemplul 3: Completați locul figurilor cu cifre de la o la 9 în așa fel încât operația indicată să fie corectă:

Exemplul 4: Completați căsuțele cu cifre potrivite astfel încât operația să fie corectă:

Exemplul 5: Înlocuiți semnul steluță cu cifre corespunzătoare astfel încât să obțineți rezultate corecte:

Exemplul 6: Reconstituiți următoarea înmulțire:

2 4 x a = 120

1.2.7. Exerciții pentru conștientizarea folosirii proprietății operațiilor la aplicarea algoritmilor de calcul:

În asemenea exerciții nu se aplică direct regulile obișnuite de calcul în scris, ci se cere elevilor să aplice mai întâi proprietățile operațiilor în vederea ușurării calculelor.

Exemplul 1:

37 + 24 + 43 + 16 = ( 37 + 43) + ( 24 + 16) = 80 + 40 = 120

25 x 18 x 4 = ( 25 x 4 ) x 18 = 100 x 18 = 1800

În aceste cazuri s-a folosit comutativitatea și asociativitatea adunării, respectiv a înmulțirii.

305 x 8 = ( 300 + 5 ) x 8 = 300 x 8 + 5 x 8 = 2400 + 40 = 2440

Aici s-a folosit distributivitatea adunării și asociativitatea înmulțirii.

Exemplul 2: Rezolvați exercițiul de mai jos pentru a obține pe rând rezultatele: 0, 16, 40. Folosiți și paranteze dacă este nevoie.

4 x 5 : 2 + 8 – 2 = 20 : 2 + 8 – 2 = 10 + 8 – 2 = 18 – 2 = 16

4 x 5 : ( 2 + 8 ) – 2 = 20 : 10 – 2 = 2 – 2 = 0

5 x ( 4: 2 + 8 – 2 ) = 5 x ( 2 + 8 – 2 ) = 5 x (10 – 2) = 5 x 8 = 40

Exemplul 3: Procedeul înmulțirii succesive și distributivitatea înmulțirii față de adunare.

20 x 4 = 20 x 2 x 2 = 40 x 2 = 80

35 x 6 = 35 x 2 x 3 = 70 x 3 = 210

Exemplul 4: Procedeul rotunjirii numerelor:

12 x 9 = 12 x ( 10 – 1) = 12 x 10 – 12 x 1 = 120 – 12 = 108

Exemplul 5: Procedeul rapid al înmulțirii cu 11 sau 111.

35 x 11 = 35 x ( 10 + 1)= 35 x 10 + 35 x 1 = 350 + 35 = 285

45 x 111= 45 x ( 100 + 10 + 1)= 45 x 100 + 45 x 10 + 45 x 1 = 4500 + 450 +45=4995

Exemplul 6: Efectuează suma mai multor numere care diferă prin câteva unități:

54+ 55+ 57+ 52+ 53= (50 x 5)+ 4+ 5+ 7+ 2+ 3=250+ 21= 271 sau

55+ 54+ 52+ 53+ 57= (55+ 52)+ (54+ 53)+ 57= 107+107+57= 271

1.2.8. Exerciții de perspicacitate. Lanțuri de operatori:

Elevii pot fi antrenați în diferite alte forme de jocuri când avem de-a face cu combinații posibile dintre numere și operații. Aceste tipuri de exerciții stimulează interesul și competitivitatea echipelor pentru a ajunge la rezultatul corect. Astfel de jocuri pot fi: jocuri de completare, exerciții de perspicacitate al căror scop este de a antrena elevii pentru a găsi, prin procedee subtile de raționament, semnele operațiilor care trebuie efectuate cu același număr pentru a obține rezultatul dorit.

Exemplul 1: Realizați următoarele egalități completând cu semnele operațiilor aritmetice:

3 … 3 … 3 … 3 = 3 R: ( 3 + 3 + 3 ) : 3 = 3

3 … 3 … 3 … 3 = 4 R: ( 3 x 3 + 3 ) : 3 = 4

3 … 3 … 3 … 3 = 5 R: 3 + 3 – ( 3 : 3 ) = 5

3 … 3 … 3 … 3 = 6 R: ( 3 + 3 )+ ( 3 – 3 ) = 6

3 … 3 … 3 … 3 = 7 R: ( 3 + 3) + ( 3 : 3 ) = 7

3 … 3 … 3 … 3 = 8 R: ( 3 x 3 ) – ( 3 : 3 )= 8

3 … 3 … 3 … 3 = 9 R: ( 3 x 3 )+( 3 – 3 ) = 9

3 … 3 … 3 … 3 = 10 R: ( 3 x 3 ) + ( 3 : 3 ) = 10

Exemplul 2: Completați pătratul de mai jos astfel încât suma numerelor de pe fiecare linie din fiecare coloană și din diagonală să fie egale cu 15.

Exemplul 3: După schemă efectuați calculele:

Soluția:

( 3 x 5 ) + ( 5 x 5 ) = 15 + 25 = 40

Exemplul 4: Continuă șirul și completează:

Răspuns: ( 19 + 5 ) : 3 x 2 – 6 + 5 = 15

Exemplul 5: Completează căsuțele:

Soluția: 12, 20.

Aceste exerciții au un rol formativ foarte mare.

Modul în care intervin în procesul rezolvării, atenția, imaginația, spiritul de observație, inițiativa personală, satisfacția succesului, fac din aceste exerciții un mijloc de însușire conștientă a cunoștințelor și de dezvoltare a gândirii creatoare. Aceste tipuri de exerciții pregătesc elevii pentru însușirea mai ușoară a algebrei. Aici se pun bazele ecuației, funcției, etc., noțiuni care vor fi aprofundate și explicate mai târziu în aritmetică.

Folosirea schemelor logice – mijloc de dezvoltare a creativității gândirii:

Urmărind dezvoltarea flexibilității și gândirii elevilor în procesul de rezolvare a problemelor, un loc deosebit de important îl ocupă și îl au schemele logice, în special pentru problemele la examinarea cărora se poate aplica metoda analitică sau sintetică. Schema logică constituie suportul intuitiv atât pentru enunțul problemei dar în special pentru judecata ei. Ele nu sunt absolut indispensabile în rezolvarea și compunerea problemelor dar au un rol important pentru că focalizează acele calități pe care trebuie să le aibă gândirea creativă, flexibilitatea, fluența, divergența.

Dacă facem referire la particularitățile de dezvoltare a copiilor la această vârstă, schema logică este totuși necesară și ea începe să fie alcătuită încă din etapa scrierii datelor problemei. Aceasta face legătura între informațiile inițiale și întrebarea problemei. În alcătuirea unei scheme logice, la primul nivel apar datele problemei, iar la nivelele următoare se alcătuiesc inductiv problemele simple până la întrebarea finală.

Scheme logice sunt de mai multe tipuri:

Exemple de scheme logice care se pot alcătui în rezolvarea problemelor:

Exemplul 1: Mihai are 50 de lei. El mai primește de la fratele lui 100 de lei. Câți lei va avea în total Mihai?

Se notează datele problemei pe tablă:

50 lei …………………. 100 lei ………..? lei are în total

Schema logică se poate alcătui astfel:

Sintetic Analitic

Judecata problemei se realizează după ce s-au fixat bine datele problemei din enunț, separarea de întrebare prin conversație euristică.

Se scriu datele problemei. Învățătoarea desenează schema logică pe tablă, iar elevii în caiete. Se trece la rezolvarea ei. Se scrie pe tablă și elevii în caiete rezolvarea problemei.

Tot asemănător, cu ajutorul schemei logice se pot rezolva și probleme ce conduc la operația de scădere.

Dacă la început schemele logice cuprind valori date ale mărimilor, în pasul următor vom folosi numere pentru a fi utile în rezolvarea tuturor problemelor de acest tip. Se observă că în prima problemă aflăm restul și în problema următoare aflăm diferența. Schemele logice îi ajută pe copii să facă în continuare judecata și rezolvarea problemelor compuse.

Exemplul 3: O cloșcă are 15 puișori albi și 5 puișori negri. Dintre aceștia i s-au rătăcit 2 puișori. Câți puișori i-au rămas cloștii?

Scrierea datelor problemei în ordinea datelor ei: 15, 5, 2 ajută gândirea elevilor sub îndrumarea învățătorului, în urma discuțiilor purtate cum am putea rezolva mai întâi problema dacă cloșca are 15 puișori albi și încă 5 negri, câți puișori are și câți din ei s-au rătăcit, putem afla câți puișori mai are cloșca.

Urmărind această schemă putem observa că prima acțiune este aceea că știm câți pui albi și câți pui negri are cloșca și putem afla totalul de puișori. Aceasta reprezintă prima problemă simplă, iar a doua acțiune este aceea că doi pui s-au rătăcit și putem afla câți au rămas cu cloșca. Aceasta reprezintă a doua problemă simplă.

În cazul rezolvării problemelor compuse, învățătorul trebuie să urmărească:

– În primul rând alcătuirea problemei simple; se stabilesc acțiuni ale problemei și se constată că fiecare reprezintă o problemă simplă;

– Stabilirea operației de rezolvare a problemei simple; în urma câtorva rezolvări, elevii deduc cu ușurință, din limbajul folosit, operația și semnul pe care trebuie să îl folosească;

– Adunarea, cu semnul ,,+’’, apare în expresiile ,,cu atât mai mult’’, ,,în total’’, ,,sumă’’, ,,mărit cu…’’;

– Scăderea, cu semnul,, -’’, apare în expresiile,, cu atât mai puțin’’, ,, care este diferența’’, ,,micșorat cu…’’, ,, cu cât este mai mult’’;

Cu ajutorul schemelor logice transpuse în formule de rezolvare, putem, de exemplu, clasifica problemele cu două și trei operații, acre se predau în clasa I. Acestea ar fi de tipul: ( a+ b)+ c; a+ b+ c; a+( b+ c); a- ( b+ c); a-b- c; a+( a- b); a- (b- c); a- b+ c; a+ b- c.

O parte din aceste probleme se pot rezolva prin mai multe metode, cum ar fi de tipul: a- (b+ c) = a-b- c.

Exemplu: La un magazin s-au adus 90 kg fructe. Dintre acestea, 30 kg sunt banane, 20 kg sunt portocale și restul lămâi. Câte kg de lămâi s-au adus în magazin?

Această problemă are două căi de rezolvare, după cum urmează: În rezolvare vom folosi scheme logice:

Aici am putut ilustra cum contribuie schema logică la stabilirea celor două căi de rezolvare.

În vederea educării creativității elevilor, de o mare importanță este să le formăm acestora capacitatea de a crea probleme. Această capacitate se realizează numai în urma unei experiențe anterioare câștigate. După ce copiii sunt familiarizați cu schemele logice și cu problemele reprezentate sub formă de exerciții le putem cere acestora să alcătuiască probleme în mai multe etape:

– Faza concretă, când le prezentăm efectiv obiectivele, iar verbal le prezentăm relația dintre ele și le cerem problema;

– Faza semiconcretă, când le prezentăm imagini ale obiectelor;

– Faza semiabstractă sau abstractă, când le prezentăm schema logică, o formulă sub formă de exercițiu și le cerem să alcătuiască problema;

Exemplu: Alcătuiți o problemă după schema de mai jos:

La punctul a) se dă schema logică cu datele ei și operațiile( relațiile dintre ele);

La punctul b) se dă numai exercițiul de scădere;

La punctul c) nu se dau datele, ele sunt arbitrare, dar se dă relația de scădere;

La punctul d) nu se dau nici datele, nici relația dintre ele.

În alcătuirea problemelor, copiii pot folosi texte diferite, important este ca din punct de vedere logic toate enunțurile să prezinte aceeași schemă, același raționament și din punct de vedere matematic să se rezolve prin aceeași operație, cu același rezultat.

În continuare voi prezenta câteva enunțuri compuse de elevi:

1) La un aprozar s-au adus 63 lăzi cu cireșe și s-au vândut 19 lăzi cu cireșe. Câte lăzi cu cireșe au mai rămas?

2) Bunicul are 63 de ani. Nepoțica lui, Irina, are 19 ani. Cu câți ani este mai în vârstă bunicul decât nepoata sa?

3) Aurel a cules 63 kg prune. Ionel a cules cu 19 kg mai puțin decât Aurel. Câte kg de prune a cules Ionel?

Voi da ca exemplu o problemă care cuprinde și mai multe operații și care cere mai multe rezolvări:

La o florărie s-au vândut de dimineață 27 garoafe, trandafiri cu 9 mai puțin, iar gladiole cu 16 mai puține decât garoafe și trandafiri. Câte flori s-au vândut?

Pentru a rezolva conștient această problemă, elevii vor fi solicitați să scrie datele în căsuțe și o căsuță să o rezerve pentru întrebarea problemei.

27 garoafe ………cu 9 mai puțini trandafiri ……….. cu 16 mai puține gladiole decât garoafe și trandafiri………………? flori

După ce am completat datele problemei, se repetă enunțul pentru a se fixa datele lui și pentru a putea fi memorate pentru etapa următoare, judecata problemei. Această judecată se stabilește euristic odată cu completarea schemei pe mai multe variante.

Prima variantă:

1) Câți trandafiri s-au vândut?

2) Câte gladiole s-au vândut?

3) Câte flori s-au vândut?

Varianta a doua:

1) Câți trandafiri s-au vândut?

2) Câte garoafe și trandafiri s-au vândut?

3) Câte gladiole s-au vândut?

4) Câte flori s-au vândut?

Am folosit alt procedeu încă din clasa I când elevii au avut ca sarcină compunerea de probleme (oral) după desene.

Exemplific prin câteva probleme compuse de elevi după imaginile:

Exemplul 1:

În curtea bunicii am văzut 1 rață care mânca iarbă, iar alte 2 care mâncau făină de porumb.

Câte rațe erau în curtea bunicii?

Exemplul 2:

Pe frunzele de pe apa unui lac se odihneau 2 broscuțe. Încă o broscuță obosită a venit să se odihnească. Câte broscuțe se odihnesc acum?

Exemplul 3:

În curtea noastră erau 5 oameni de zăpadă. 2 dintre ei s-au topit.

Câți oameni de zăpadă mai sunt in curtea noastră?

Exemplul 4:

Pe o creangă erau 3 fluturi. Au mai venit 2 fluturi.

Câți fluturi sunt acum pe floare?

În clasa III elevii au primit ca sarcină compunerea de probleme după desene, dar în care erau specificate operațiile prin care trebuie rezolvată problema.

Probleme de înmulțire:

Exemplul 1: Compune o problemă după imagine, care să se rezolve prin operația de înmulțire.

Câte buline sunt pe aripile a 4 fluturi de același fel, dacă pe aripile unui singur fluture sunt 4 buline?

Exemplul 2: Compune o problemă după imagine, care să se rezolve prin operația de înmulțire.

Câte picioare au cele 7 vaci?

Sau

Câți litri de lapte dau într-o zi 7 vaci, daca o vacă dă pe zi 5 litri de lapte?

Exemplul 3: Compune o problemă după imagine, care să se rezolve prin operații de înmulțire și adunare.

Câte picioare au doi câini, două buburuze și doi păianjeni?

Probleme de împărțire:

Exemplul 1: Compune o problemă după imagine, care să se rezolve prin operația de împărțire.

Mama are 24 mere. Ea le împarte celor doi copii ai ei.

Câte mere primește fiecare copil?

Exemplul 2: Compune o problemă după imagine, care să se rezolve prin operații de împărțire și adunare.

Mama are în grădină 6 garoafe și 9 trandafiri. Ea face din flori buchete de câte 3 flori.

Câte buchete face mama?

Prin compunerea de probleme după expresii numerice, elevii observă corelația dintre exerciții și probleme. Ei trebuie să aleagă domeniul, mărimile potrivite pentru ca datele numerice să corespundă realității. Pentru a compune asemenea probleme, ei trebuie să stăpânească foarte bine terminologia specifică fiecărei operații matematice pentru a formula exprimarea corespunzătoare operației indicate în formula numerică. Pentru a putea preciza întrebarea problemei, am obișnuit elevii să studieze exercițiul numeric, pentru a descoperii operația care duce la rezultatul final. Pentru a putea realiza acest lucru este nevoie ca elevii să stăpânească foarte bine și ordinea efectuării operațiilor.

În clasele I-II am folosit expresii numerice simple, iar pe măsura înaintării în studiul matematicii, în clasele III-IV, expresiile numerice s-au complicat. Folosind acest procedeu pentru dezvoltarea creativității elevilor, am avut posibilitatea să lucrez diferențiat cu elevii în funcție de capacitățile lor în ceea ce privește rezolvarea și compunerea de probleme.

Formulele numerice utilizate au fost cele care se încadrează în cerințele programei școlare pentru ciclul primar. Pentru a demonstra capacitatea creatoare și caracterul realist al gândirii, voi da câteva exemple de compunere a problemelor la clasa a III-a:

• 3213 + ( 3213 + 342 ) =

Exemplul 1:

O seră a livrat unei florării 3213 trandafiri și cu 342 mai multe garoafe. Câte fire de flori a livrat acea seră?

Exemplul 2:

La o croitorie s-au confecționat în prima zi 3213 cămăși, iar a doua zi cu 342 mai multe. Câte cămăși s-au confecționat în cele două zile?

Exemplul 3:

La o fabrică de pâine a produs în prima zi 3213 pâini albe și cu 342 mai multe franzele. Câte pâini și franzele a produs fabrica¬?

• 3 x 7 – 7 =

Exemplul 1:

Din produsul numerelor 3 și 7 scade numărul 7.

Exemplul 2:

Într-un parc erau 3 rânduri cu câte 7 lalele. Câte lalele mai sunt în parc dacă 7 s-au uscat?

Exemplul 3:

La un magazin erau 3 lăzi cu câte 7 kg de roșii. S-au vândut 7 kg. Câte kg de roșii au mai rămas în magazin?

• 3 x 2 x 4 =

Exemplul 1:

Află produsul dintre numerele 3, 2 și 4.

Exemplul 2:

Ionuț a rezolvat 3 probleme, Dana de două ori mai multe, iar Andrei de 4 ori mai multe decât Dana. Câte probleme a rezolvat Andrei?

Exemplul 3:

Într-o clasă sunt 3 rânduri de bănci cu câte 4 bănci pe rând. Câți elevi sunt în clasă, dacă toate băncile sunt ocupate?

• 6 x 9 + 7 x 8 =

Exemplul 1:

Află suma dintre produsul numerelor 6 și 9 și produsul numerelor 7 și 8.

Exemplul 2:

Câți elevi sunt în clasele I și a II –a, dacă: elevii clasei I se pot grupa în 6 rânduri a câte 9 elevi, iar cei din clasa a II –a în 7 rânduri a câte 8 elevi?

Exemplul 3:

La un magazin s-au adus 6 lăzi a câte 9 kg de mere și 7 lăzi a câte 8 kg de pere. Câte kg de fructe s-au adus?

• 32 x 8 x 7 =

Exemplul 1:

Află un număr de 7 ori mai mare decât câtul numerelor 32 și 7.

Exemplul 2:

Radu are 32 mașinuțe, de 8 ori mai puține mingi, iar animale de pluș de 7 ori mai multe decât mingi. Câte animale de pluș are Radu?

• 15 : 3 -12 : 3 =

Exemplul 1:

Cu cât este mai mare câtul numerelor 15 și 3 decât câtul numerelor 12 și 3?

Exemplul 2:

Mama le-a dat celor 3 copii ai ei 15 mere și 12 pere. Cu cât a primit fiecare mai multe mere decât pere?

Compunerea de probleme după un exercițiu literal oferă un câmp larg educării creativității. În clasele I și a II-a se folosesc expresii simple ce presupun compunerea de probleme ce se rezolvă prin 1-2 operații, iar în clasele a III-a și a IV-a se folosesc expresii literale mai complicate ce presupun compunerea de probleme ce se rezolvă prin mai mult de două operații.

Am dat elevilor posibilitatea să se bucure de reușită în activitatea de compunere de probleme după expresii literale, lucrând diferențiat, pe grupe.

Prezint în continuare câteva expresii literale, folosite în ciclul primar ca punct de plecare în compunerea de probleme.

Clasele I și a II-a

a + b a + b + c a – b + c a + ( a + b )

a – b a + b – c a – b -c a + ( a – b )

Clasele a III-a și a IV-a

a x b a x b + c x d

a : b (a + b) x c

a + (a + b) + c (a – b) x c

a + (a +b) + (a + c) a x b – a x c

a + (a x b) a : b x c

a + (a : b) a – (a : b)

a x b –c (a + b) : c

a x b x c (a – b) :c

a x b – a x c a : b + c : b

Prezint câteva exemple de probleme compuse de elevi după un exercițiu literal dat:

După expresia:

a + b – c

Exemplul 1:

Bunicul a avut 20 de oi albe și 7 oi negre. A vândut 14 oi. Câte oi i-au mai rămas?

Exemplul 2:

Într-un coș erau 15 mere și 8 pere. S-au consumat 10 fructe. Câte fructe au mai rămas în coș?

După expresia:

a + (a + b)

Exemplul 1:

La un magazin s-au vândut dimineața 50 de lăzi cu căpșuni, iar după-amiaza cu 30 mai multe. Câte lăzi cu căpșuni s-au vândut în ziua respectivă?

Exemplul 2:

Într-o livadă s-au plantat 35 de caiși și cu 15 mai mulți peri. Câți pomi s-au plantat în livadă?

După expresia:

a x c + b x c

Exemplul 1:

Pe un raft sunt 7 pachete de făină a câte 3 kg fiecare și alte 9 pachete a câte 5 kg fiecare. Câte kg de făină sunt pe cele două rafturi?

Exemplul 2:

Într-o livadă sunt 6 rânduri cu meri și 8 rânduri cu peri. Câți pomi sunt în livadă știind că pe fiecare rând sunt 6 pomi?

După expresia:

(a + a + b) : c

Exemplul 1:

Într-o ladă sunt 56 kg de portocale, iar în alta cu 14 mai multe. Portocalele au fost ambalate în pungi de câte 10 kg. Câte pungi sunt necesare?

Exemplul 2:

În clasa noastră sunt 9 fete și cu 4 mai mulți băieți. Cîte bănci sunt necesare, dacă stăm câte 2 în bancă?

După expresia:

a – (b + b x c)

Exemplul 1:

La piață, mama a plătit pentru cartofi de 15 lei, iar pentru struguri de două ori mai mult. Ce rest a primit de la 100 lei?

Exemplul 2:

Oana a citit dintr-o carte care avea 190 de pagini în prima zi 34 de pagini, iar a doua zi de trei ori mai multe. Câte pagini mai are de citit?

La clasa a III-a am dat spre rezolvare compunerea de probleme după un model simbolic. Am dat posibilitatea elevilor să lucreze în echipă și astfel rezultatele au fost mai variate și totodată mai interesante. Ofer câteva exemple de cerințe și de probleme compuse de elevi.

Exemplul 1: Compune o problemă care să se rezolve după exercițul dat:

a + b = 264

a – b = 32

1. Suma a două numere este 264, iar diferența 32. Aflați numerele.

2. Alin și Dan au colecționat împreună 264 timbre. Câte timbre a colecționat fiecare, dacă Dan are cu 32 mai multe decât Alin?

3. La o fermă sunt 264 oi albe și negre. Numărul oilor albe este cu 32 mai mare decât al oilor negre. Aflați numărul oilor de fiecare culoare.

Exemplul 2: Compune o problemă care să se rezolve după exercițul dat:

a + b + c = 189

a + b = 147

b + c = 105

1. Suma a trei numere este 189. Suma primelor două este 147, iar suma dintre primul număr și al treilea este 105. Care sunt numerele?

2. Dintr-o livadă s-au cules 189 kg de mere, pere și prune. S-au cules 147 kg mere și pere și 105 kg pere și prune. Căte kg s-au cules din fiecare fel de fructe?

Exemplul 3: Compune o problemă care să se rezolve după exercițul dat:

a + b = 370

b + c = 400

a + c = 340

1. Ada, Alina și Maria colecționează vederi. Ada și Alina au 370 vederi, Alina și Maria au 400 de vederi, iar Ada și Maria 340 vederi. Câte vederi au colecționat fiecare?

2. Trei echipe de muncitori au săpat un șanț astfel: prima echipăși a doua au săpat împreună 370 m, a doua și a treia 400 m, iar prima și a treia 340 m. Câți metri de șanț a săpat fiecare echipă?

Exemplul 4: Compune o problemă care să se rezolve după exercițul dat, știind că:

a : b x c = ?

a este cel mai mare număr natural par de două cifre identice;

b este cel mai mic număr par diferit de 0;

c = 2.

Compunerea de probleme după date numerice are largă aplicabilitate, folosind numere din concentre diferite. Elevii pot compune o varietate de probleme simple sau complexe, punând în relație datele indicate.

Exemplul 1: După datele: 29 flori, 5 narcise, 24 zambile,

-alegând două dintre aceste variante (la clasa I)

1. Monica a cules 5 narcise și 24 zambile. Câte flori a cules Monica?

2. Alina a sădit 29 de flori, narcise și zambile. Câte narcise a sădit, dacă zambile a sădit 24?

Exemplul 2: După datele: 9,13, 32

1. Într-un autobuz erau 32 de călători. La prima stație au coborât și s-au urcat 9. Câți călători sunt acum în autobuz?

2. Radu a citit într-o zi 13 pagini, a doua zi de 9 ori mai multe, iar a treia zi cu 32 pagini mai multe decât a doua zi. Câte pagini a citit Radu în cele trei zile?

Exemplul 3: După datele: 35, 2/5, 20

1. Maria are de parcurs până la bunicii săi 35 km. 2/5 din drum l-a parcurs cu trenul, 20 km cu autobuzul, iar restul pe jos. Câți km a parcurs Maria?

2. Ioana a rezolvat într-o săptămână 35 probleme, în a doua săptămână 2/5 din numărul problemelor rezolvate în prima săptămână, iar în a treia săptămână cu 20 de probleme mai multe decât în săptămâna a doua. Câte probleme a rezolvat Ioana în cele trei săptămâni?

În compunerea de probleme prin operațiile matematice indicate, am îndrumat elevii încă din clasa I. Am pornit de la compunerea de probleme ce presupun în rezolvare o singură operație matematică, ajungând la probleme ce presupun în rezolvare două , trei sau mai multe operații matematice.

Exemplul 1: Compunerea unei probleme ce se rezolvă printr-o operație de adunare (clasa I).

1. Ana are 5 baloane verzi și 4 baloane albastre. Câte baloane are Ana în total?

2. Mara a plantat 12 lalele și cu 3 mai multe narcise. Câte narcise a plantat Mara?

Exemplul 2: Compunerea unei probleme ce se rezolvă prin o înmulțire și o adunare (clasa a III-a)

La un magazin sunt 12 lăzi cu mere și de 3 ori mai multe lăzi cu pere. Câta lăzi cu fructe sunt la magazin?

Exemplul 3: Compunerea unei probleme ce se rezolvă prin două înmulțiri și o adunare

La o librărie s-au adus 5 colete a câte 12 cărți și 9 colete a câte 15 cărți. Câte cărți s-au adus la librărie?

Exemplul 4: Compunerea unei probleme ce se rezolvă prin împărțirea unei sume la un număr

Cătălina are 15 timbre cu animale și 12 timbre cu flori. Ea a dat celor 3 veri ai ei câte 3 timbre. Câte timbre a primit fiecare văr?

Exemplul 5: Compunerea unei probleme ce se rezolvă prin împărțirea unei diferențe la un număr

Andrei a pus în două sertare, în mod egal, 12 caiete de matematică și 4 caiete de limba română. Cu cât sunt mai multe, într-un sertar, caietele de matematică decât cele de limba română?

Exemplul 6: Compunerea unei probleme ce se rezolvă prin toate operațiile învățate (clasa a IV-a)

Un elev a rezolvat probleme astfel: în prima zi 6 probleme, a doua zi cu 4 mai puține, a treia zi de două ori mai multe decât a doua zi, iar a patra zi un sfert din numărul problemelor rezolvate a treia zi. Câte probleme a rezolvat elevul?

Am solicitat elevii să compună probleme după un plan de rezolvare dat, după ce am constatat că elevii stăpânesc algoritmul de rezolvare a problemelor compuse. Am pornit de la compunerea de probleme după un plan de rezolvare ce presupune două întrebări, complicând sarcinile lucru treptat și ajungând la compunerea de probleme după un plan de rezolvare cu trei sau mai multe întrebări.

În etapa de început am lucrat frontal, îndrumându-i pe elevi în activitatea de compunere a problemelor pornind de la un plan de rezolvare dat.

Ofer spre exemplificare următorul plan de rezolvare:

1. Câte timbre a cumpărat Gina?

2. Câte timbre a pus pe o pagină de clasor?

La compunerea problemei s-a lucrat frontal, elevii fiind sprijiniți prin întrebări de tipul:

,,Ce trebuie să știm pentru a afla câte timbre a pus pe o pagină? ( numărul de timbre și câte pagini din clasor a ocupat).”

,,Putem preciza în problemă numărul total de timbre¬? (nu, fiindcă primul punct al planului cere aflarea numărului total de timbre cumpărate de Gina).”

Elevii sunt sprijiniți și în alegerea datelor numerice, pentru a realiza operații corespunzătoare. Se pot alege astfel numere care se împart exact la 10, 5, 2 8mai ușor de găsit).

Astfel s-a compus problema:

Gina a cumpărat 5 plicuri a câte 40 de timbre fiecare. Câte timbre a pus pe o pagină, dacă a avut nevoie de 10 pagini în clasor pentru a așeza toate timbrele?

Procedeele utilizate în activitate de compunere a problemelor și cerințele formulate supun elevii la eforturi intelectuale mari și de aceea au o valoare formativă deosebită în direcția dezvoltării creativității.

Analizând problemele compuse de elevi, am constatat că majoritatea elevilor știu să compună probleme date conforme cu realitatea și respectând cerințele formulate. O parte din elevi au nevoie de îndrumare și de mai mult exercițiu pentru a înțelege și a se familiariza cu un anumit procedeu. Unii elevi au compus și probleme greșite (sau parțial greșite), aceștia necesitând acordarea de sprijin pe o perioadă îndelungată și sarcini diferențiate de lucru cu un grad mai scăzut de dificultate.

Făcând analiza problemelor compuse de elevi, întotdeauna stabileam dacă problema respectă cerințele formulate, iar în cazul în care constatăm greșeli ale elevilor îi îndrumam să-și recompună problema Este foarte important să depistăm dificultățile întâmpinate de elevi și să le corectăm la timp.

1.3.CULTIVAREA CREATIVITĂȚII ELEVILOR ÎN ACTIVITATEA DEREZOLVARE ȘI COMPUNERE A PROBLEMELOR

1.3.1.Formarea noțiunilor de problemă și a celor două componente ale ei

N

oțiunea de problemă are un conținut larg și cuprinde o gamă largă de preocupări și acțiuni în domenii variate. Din punct de vedere psihologic ,,o problemă’’ este orice situație, dificultate, obstacol întâmpinat de gândire în activitatea practică sau teoretică pentru care nu există răspuns gata formulat și deci, cere găsirea unui răspuns.

În sens larg, orice chestiune de natură practică sau teoretică care cere o soluționare, o rezolvare, poartă numele de problemă.

În ceea ce privește matematica, prin problemă se înțelege o situație a cărei rezolvare, soluționare se poate obține esențial prin procese de gândire și calcul. Deci problema de matematică reprezintă transpunerea unei situații practice sau a unui șir de situații practice în relații cantitative în care, pe baza valorilor numerice date și aflate într-o anumită dependență unele față de altele și față de una sau mai multe valori numerice necunoscute, se cere determinarea acestor valori numerice necunoscute.

Orice problemă presupune cel puțin o necunoscută pentru că, dacă n-ar fi necunoscuta, nu am avea nimic de rezolvat, de soluționat. Pe de altă parte, în orice problemă trebuie să fie ceva cunoscut, ceva ce este dat ( cunoscutele se numesc datele problemei).

De asemenea, în orice problemă trebuie să existe o condiție care arată în ce fel necunoscut este legată de date. Condiția constituie o parte esențială a problemei.

Pentru a putea rezolva o problemă cu succes, este important și necesar să înțelegem conținutul ei și să delimităm de la început ceea ce știmși ceea ce nu știm pe baza textului problemei(a datelor și condițiilor) precum și direcția în caretrebuie să se desfășoare gândirea pentru a ajunge să se găsească soluția, adică răspunsul la întrebarea problemei.

Primele probleme simple sunt acelea pe care și le pun copii zilnic, la școală, în familie, la joacă și care sunt ilustrate cu exemple familiare lui. Pentru a-l putea face pe elev, începând cu clasa I, să vadă importanța activității de rezolvare a problemelor, este necesar ca acești mici școlari să înțeleagă faptul că în viața de toate zilele sunt o mulțime de situații când trebuie găsit un răspuns la diferite întrebări.

În clasele mici, activitatea derezolvare și compunere a problemelor se face numai pe cale intuitivă. De aceea primele probleme se introduc sub formă de joc și au un caracter de problemă acțiune. Acestora trebuie să li se asocieze un bogat și variat material didactic ilustrativ.

Rezolvarea primelor probleme se realizează la nivel concret, ca acțiuni de viață ( au mai venit…băieți, s-au spart…baloane, au plecat…căței, au mâncat…mere, au zburat…păsărele,etc) ilustrate prin imagini sau chiar prin acțiuni regizate de elevi. În această fază, activitatea de rezolvare a problemelor se află foarte aproape de cea de calcul.

O mare dificultate ce o întâmpină elevii este aceea de a transpune acțiuni concrete în relații matematice. În enunțul problemei redat de învățător nu se spune,,3b + 2b’’ ci ,,erau trei băieți și au mai venit trei băieți’’. Pe baza experienței pe care elevii o au încă din perioada preșcolară și din primele lecții de matematică, în efectuarea operațiilor cu mulțimi ei reușesc, în general ,,să traducă’’ în operații matematice acțiunile cerute în enunțul unei probleme. Treptat ei vor fi familiarizați cu noțiunea de ,,problemă, întrebarea problemei, rezultatul problemei’’.

Strategii didactice folosite pentru dezvoltarea creativității elevilor prin rezolvări și compuneri de probleme.

Munca de rezolvare și compunere a problemelor oferă posibilitățile cele mai bune din domeniul activităților matematice pentru cultivarea și educarea creativității și inventivității. Diferența dintre ,,a învăța’’ rezolvarea unei probleme și ,,a ști’’ să rezolvi o problemă nouă înseamnă, în esență, creativitate dar de niveluri diferite. Aceasta nu înseamnă însă că în activitatea de rezolvare a problemelor avem de-a face numai cu aspecte creative și să renunțăm total la cele reproductive. Cultivarea și educarea creativității, mișcarea ei liberă, nu se poate realiza decât pe baza unor deprinderi corect formate, stabilizate și eficient transferate.

În această activitate de rezolvare de probleme, deprinderile și abilitățile se referă în special la analiza datelor, a condiției, la capacitatea de a înțelege întrebarea problemei și a orienta desfășurarea raționamentului în direcția descoperirii soluției problemei.

Pentru a cultiva și educa creativitatea, adică gândirea, inteligența, imaginația elevilor prin rezolvarea de probleme se folosesc o serie de strategii didactice, adică metode și procedee.

Din aceste motive voi enumera câteva pe care le-am folosit și eu la clasă:

– Complicarea problemei prin introducerea de noi date sau modificarea întrebării problemei:

Exemplu: Două echipe de muncitori au sarcina să construiască 30 km de șosea. După 7 zile de muncă, prima echipă de muncitori a construit 8 km de șosea, iar cealaltă echipă a construit 10 km de șosea. Câți km de șosea mai are de construit fiecare echipă? Sau Câți km de șosea mai au de construit cele două echipe?

– Rezolvarea problemei prin două sau mai multe procedee:

I

1) Câți km de șosea au de construit fiecare echipă?

30 km : 2 = 15 km

2) Câți km de șosea mai are de construit prima echipă?

15 km – 8 km = 7 km

3) Câți km de șosea mai are de construit a doua echipă?

15 km – 10 km = 5 km

R: 7 km, 5 km.

Pentru a doua întrebare planul de rezolvare va fi puțin diferit:

I III

30 : 2 – 8 = 7 ( km ) 8 km + 10 km = 18 km

30 : 2 – 10 = 5 ( km ) 30 km – 18 km = 12 km

7 km + 5 km = 12 km

– Scrierea rezolvării problemei într-o singură expresie:

Pentru problema precedentă expresia de rezolvare ar fi:

30 km – ( 8 km + 10 km ) = 12 km

– Alegerea celei mai simple și mai economicoase căi de rezolvare.

– Determinarea schemei generale de rezolvare a problemelor care fac parte dintr-o

anumită categorie și încadrare sau nu, a unei probleme într-o anumită categorie de probleme.

– Transformarea problemei compuse în exercițiu cu paranteze care să indice ordinea operațiilor.

– Transformarea problemei compuse în exerciții, astfel încât ordinea operațiilor să

fie în succesiunea judecăților și relațiilor corespunzătoare conținutului problemei.

– Transformarea și compunerea din 2-3 probleme simple a uneia compuse

Activitatea de compunere a problemelor este una din modalitățile principale de

dezvoltare a gândirii independente și originale a copiilor, de cultivare și educare a creativității gândirii lor. Se pot compune și crea probleme în următoarele forme pe care eu le-am utilizat la clasă:

– Problemă- acțiune sau cu punere în scenă;

– Compuneri de probleme după tablouri și imagini;

– Compuneri de probleme după modelul unei probleme rezolvate anterior;

– Probleme cu indicarea operațiilor matematice cu trebuie efectuate;

– Compuneri de probleme după un plan stabilit;

– Compuneri de probleme cu mai multe întrebări posibile;

– Compuneri de probleme cu o întrebare dată și cu mai multe conținuturi date precum și relațiile date ale conținutului;

– Compuneri de problemă cu întrebare probabilistică;

– Compuneri de problemă cu început dat, cu sprijin de limbaj;

– Compuneri de probleme cu mărimi date, cu valori numerice date;

– Compuneri de probleme după model simbolic;

– Compuneri de probleme după exercițiu simplu și compus;

– Compuneri de probleme cu modificarea conținuturilor și a datelor;

– Crearea liberă de probleme;

– Probleme de perspicacitate, rebusistice.

În elaborarea unei probleme este necesar ca învățătorul să utilizeze date și expresii reale, mijloace și procedee din natură, să le ofere împrejurări de viață corespunzătoare. Conținutul problemei ce urmează a fi propus, trebuie astfel formulat încât să permită elevului formarea de reprezentări ale acțiunii veridice să-și fixeze date care să fie în concordanță cu realitatea, să utilizeze între aceste date matematice corespunzătoare. În acest sens, elevii vor fi ajutați sugerându-le cadrul în care se desfășoară acțiunea, să identifice datele problemei și să descopere judecățile și operațiile care conduc la rezolvarea problemei.

În această activitate de compunere de probleme, trebuie să ținem seama în primul rând de posibilitățile elevilor, prin sarcini gradate, trecându-se treptat de la compunerea liberă la cea care impune anumite cerințe, din ce în ce mai restrictive.

Sarcina învățătorului este să conducă această activitate prin indicații clare, prin exemple sugestive folosite ca modele, prin cerințe raționale, să canalizeze gândirea și imaginația copiilor spre asociații din ce în ce mai întâmplătoare. De asemenea, trebuie să-i facem pe elevi să aibă încredere în ei, să le stimulăm eforturile intelectuale, să le formăm și educăm calitățile moral volitive, să le dezvoltăm interesul și sensibilitatea în direcția rezolvării și compunerii de probleme noi, să fie receptivi la situații problematice cu conținut matematic.

Voi prezenta în continuare câteva probleme compuse de elevi:

pentru problemele cu indicarea operațiilor matematice ce trebuie efectuate am dat sarcina elevilor să compună o problemă a cărei rezolvare se poate scrie ,,17 + ( 17 + 10 ) =’’

Exemple compuse:

1) Ionuț are 17 creioane. Sora lui are cu 10 creioane mai mult. Câte creioane au împreună cei doi frați?

2) Mama a cumpărat de la piață 17 kg de gogșari și vinete cu 10 kg mai mult. Ce cantitate de legume a cumpărat mama?

Tot la clasa a II-a am prezentat următoarea problemă:

La un aprozar s-au vândut într-o zi 30 kg roșii, cu 12 kg mai puțin fasole verde, iar castraveți cu 15 kg mai mult decât fasole verde.

Elevii au primit sarcina de a pune întrebarea problemei. S-au formulat următoarele întrebări:

– Câte kg de castraveți s-au vândut?

– Câte kg de legume s-au vândut?

Compunerea acestor probleme cât și rezolvarea lor, este recomandat să se facă în situații de joc didactic. Jocul creează o atmosferă de competiție și astfel se contribuie nu numai la activitatea intelectuală a copiilor dar și la formarea personalității elevilor, la manifestarea unei conduite atitudinale pozitive față de muncă.

Totodată se va avea în vedere creșterea mobilității gândirii, a capacităților sale divergente, capacitatea de control și autocontrol, dezvoltarea calităților, atenției, rapiditatea și operativitatea elevilor. În acest scop se pot găsi și crea o mulțime de forme și procedee. Am să prezint câteva exemple pe care le-am folosit la clasă:

– Care echipă compune mai corect și mai frumos o problemă după următoarea cerință…;

– Să se rezolve problema compusă de o echipă;

– Rezolvați problema compusă de …;

– O grupă să formuleze conținutul problemei, iar cealaltă grupă să găsească întrebarea problemei și ambele grupe să rezolve problema;

– Care grupă găsește mai multe întrebări la o problemă dată;

– Găsiți mai multe căi de rezolvare;

– Eliminați din conținutul problemei datele de prisos;

– Corectați un enunț formulat intenționat greșit.

Activitatea de compunere de probleme la clasele mici poate constitui o premisă reală și eficientă pentru munca de cercetare, pentru activitatea ulterioraă de creație și, cu certitudine o modalitate sigură de sporire a rolului formativ al învățământului matematic din ciclul primar.

1.3.2.DEZVOLTAREA GÂNDIRII CREATIVE PRIN REZOLVĂRI DE PROBLEME TIPICE

Prin problemă tipică se înțelege acea construcție matematică a cărei rezolvare se realizează pe baza unui algoritm specific fiecărui tip. O problemă tipică se consideră teoretic rezolvată în momentul în care i-am stabilit tipul și suntem în posesia algoritmului de rezolvare. Prin identificarea metodei algoritmului voi rezolva model unele dintre cele mai semnificative probleme aparținând unui anumit tip și pentru unele dintre ele voi aborda o discuție introductivă care să coboare la nivelul de înțelegere și de cunoștințe al elevilor din ciclul primar.

Deși există stabilit algoritmul de rezolvare pentru anumit tip de probleme totuși noi nu trebuie să fim adepții unor șabloane pentru că în acest caz rezolvatorul devine un robot, posesor al unei cartele, pe care sunt imprimați algoritmii și atunci sarcina lui ar fi doar să stabilească tipul, ,,să tragă’’ cartela corespunzătoare și să o adapteze datelor problemei. Rezolvatorul trebuie să caute să fie un bun specialist al obiectului și un tip creator, novator, întreprinzător, calități disjuncte cu ale robotului în sensul clasic al cuvântului.

Din categoria problemelor tipice am să mă opresc doar la câteva care sunt mai semnificative:

– Probleme ale căror rezolvare necesită metoda figurativă;

– Probleme de aflare a două numere cunoscând suma sau diferența și raportul lor;

– Probleme de egalare a datelor ( metoda reducerii la unitate);

– Probleme gen rest din rest; (metoda mersului invers).

Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă:

Deseori, cel care rezolvă probleme de aritmetică simte nevoia să-și apropie datele problemei, precum și relațiile dintre acestea și textul enunțului. În acest sens el realizează un desen, o figură, un model care să oglindească fidel cele de mai sus. Aceste probleme figurative se pot împărți în două categorii:

– Cu date sau mărimi ,,discrete’’, înțelegând prin aceasta că mărimile pot fi

numărate câte una și că se pot pune în corespondențe după anumite criterii;

– Cu date sau mărimi continue, caz în care le figurăm prin segmente sau desn;

Exemplul 1: Un gospodar are io și rațe, în total 30 de capete și 96 de picioare. Câte oi și câte rațe are gospodarul?

Se figurează rațele și oile prin ovale:

Pentru că fiecare vietate are cel puțin două picioare, se figurează la fiecare oval câte două linioare reprezentând două picioare, adică

30 x 2 = 60 ( picioare)

Dar sunt 96 de picioare, deci mai rămân 96 – 60 = 36 ( picioare)

Cele 36 de picioare sunt de la oi ( care au în total 4 picioare), deci cele 36 de picioare se pot figura la 36 : 2 = 18 ( oi). Așadar, 18 ovale reprezintă animale cu patru picioare, adică oi:

Deducem că 18 vietăți au câte 4 picioare, deci sunt oi, iar restul rațe.

30 – 18 = 12 ( rațe)

Deci 12 vietăți au 2 picioare și sunt rațe.

Verificare: 18 oi………….72 de picioare

12 rațe……….24 de picioare

30 capete……96 de picioare

Exemplul 2: Trei grupe de elevi au cules mere. Într-o oră o grupă a umplut 5 lăzi a câte 25 kg, a doua grupă 4 lăzi a câte 30 kg, iar a treia grupă 3 lăzi a câte 50 kg. Câte kg de mere au cules în 4 ore cele trei grupe de elevi?

-reprezentare prin desen:

-prima grupă:

-a doua grupă:

-a treia grupă:

1) Câte kg de mere a cules prima grupă într-o oră?

25 kg x 5 = 125 kg

2) Câte kg de mere a cules a doua grupă într-o oră?

30 kg x 4 = 120 kg

3) Câte kg de mere a cules a treia grupă într-o oră?

50 kg x 3 = 150 kg

4) Câte kg de mere au cules într-o oră toate grupele?

125 kg + 120 kg + 150 kg =395 kg

5) Câte kg de mere au cules în 4 ore toate grupele?

395 kg x 4 = 1580 kg

R: 1580 kg de mere

Exemplul 3:

Un colet de 64 de abecedare se repartizează la două clase I, astfel încât clasa I B să primească cu 5 abecedare mai puțin decât dublul cărților pe care le primește clasa I A. Câte abecedare primește fiecare clasă?

Rezolvare

Dacă la clasa I B s-ar repartiza încă 5 abecedare, atunci numărul de abecedare ar fi :

64 + 5 = 69 ( abecedare), iar clasa I B ar primi un număr dublu de abecedare față de clasa I A.

În acest caz se poate considera că pentru clasa I A se vor da o parte, iar pentru clasa I B două părți, în total 3 părți, adică:

69 : 3 = 23 ( cărți) I A

23 x 2 – 5 = 41 ( cărți) I B

Probleme de aflare a două numere cunoscând suma și diferența:

Pentru acest tip de probleme notăm unul din numere cu ,,a’’, iar celălalt cu ,,b’’, suma

cu S, iar diferența cu D. Atunci avem:

a + b = S

a – b = D

Adunând cele două egalități, obținem:

2a = S + D

a = S + D

2

Scăzând cele două egalități, obținem:

2b = S – D

b = S – D

2

Ex.: a + b = 1634

a – b = 884

2a = 1634 + 884 a = 2518 : 2 a = 1259 b = 1259 – 884 b= 375

2b = 1634 – 884 b = 750 : 2 b = 375 a = 375 + 884 a = 1259

Probleme de egalare a datelor:

Acest tip de probleme se poate clarifica după numărul mărimilor sau necunoscutelor care apar în text cu două, trei sau mai multe necunoscute, numărul relațiilor fiind în mod necesar egal cu numărul mărimilor respective.

De asemenea, problemele de eliminare prin reducere, se pot clasifica și după faptul dacă conțin sau nu valori egale pentru una din mărimi. Dacă una din mărimi ia valori egale, reducerea se face direct. Așezarea datelor într-o problemă de eliminare prin reducere, se face prin respectarea relațiilor stabilite între mărimi și astfel încât comparația dintre valorile aceleiași mărimi să fie pusă în evidență în mod direct așezând valorile de același fel unele sub altele. Rezolvarea se face prin eliminarea succesivă a necunoscutelor până se ajunge la o relație cu o singură necunoscută.

Exemplul 1:

Maria a cumpărat de la cofetărie 4 prăjituri și 6 sucuri plătind 36 lei. În altă zi a cumpărat tot cu aceleași prețuri, 4 prăjituri și 8 sucuri plătind 44 lei. Câți lei costă o prăjitură și câți lei costă un suc?

Rezolvare

Așezarea datelor:

4 prăjituri ……………………..6 sucuri ………………… 36 lei

4 prăjituri ……………………..8 sucuri ………………….44 lei

Observăm că de fiecare dată s-au cumpărat aceleași număr de prăjituri.

De ce nu a plătit aceeași sumă de bani?

Pentru că nu a cumpărat același număr de sucuri. Făcând diferența numărului de sucuri, rezultă: 8 sucuri – 6 sucuri = 2 sucuri și acestea costă: 44 lei – 36 lei = 8 lei.

Putem afla că un suc costă: 8 lei : 2 = 4 lei

În continuare aflăm:

1) Cât costă 6 sucuri?

4 x 6 = 24 ( lei)

2) Cât costă 4 prăjituri?

36 – 24 = 12 ( lei )

3) Cât costă o prăjitură?

12 : 4 = 3 ( lei ) R: 3 lei, 4 lei

Probleme gen rest din rest:

Rezolvarea unui exercițiu sau a unei probleme prin metoda mersului invers, presupune refacerea calculului în sens invers celor indicate de text până se ajunge la elementul de bază pe care s-a construit exercițiul sau problema. Pentru a înțelege această metodă, trebuie să folosim cât mai multe exerciții de aflare a unui număr considerat necunoscut, dar asupra căruia s-au efectuat anumite operații al căror rezultat este dat.

Exemplul 1:

Se consideră un număr ,,a’’ la care se adaugă 7. Rezultatul se înmulțește cu 6, din produsul obținut se scade 10, rezultatul se împarte la 4, apoi se adaugă 5, obținându-se 25. Care este numărul ,,a’’?

Această problemă se scrie sub forma unui exercițiu:

[( a + 7 ) x 6 – 10]: 4 + 5 = 25

Pornim de la ultima operație, adică adunarea lui 5 cu un termen necunoscut. Termenul necunoscut îl aflăm astfel:

[( a + 7 ) x 6 – 10]: 4 = 20 (25- 5=20)

Acum exercițiul este o împărțire în care cunoaștem împărțitorul și câtul și nu cunoaștem deîmpărțitul. Deîmpărțitul îl găsim astfel:

( a + 7) x 6- 10 = 20 x 4

( a + 7) x 6- 10 = 80

Acum ultima operație reprezintă o diferență în care cunoaștem scăzătorul și nu cunoaștem descăzutul. Îl aflăm astfel:

( a + 7 ) x 6 = 80 + 10

( a + 7 ) x 6 = 90

Exercițiul reprezintă un produs unde nu cunoaștem unul din factori și, pe care îl aflăm astfel:

a + 7 = 90 : 6

a + 7 = 15

Ultimul exercițiu rămas este o sumă în care primul termen este necunoscut și îl aflăm astfel:

a = 15 – 7

a = 8

Pentru a fi convinși că soluția este corectă, a = 8, vom face verificarea:

8 + 7 = 15; 15 x 6 = 90; 90 – 10 = 80; 80 : 4 = 20; 20 + 5 = 25

Exemplul 2:

Raluca are cu 15 bomboane mai mult decât Oana. Ana are de două ori mai multe bomboane decât Oana, Ina are cu 40 mai multe decât Ana, adică 70. Câte bomboane are Raluca?

Rezolvare:

Din enunț se constată că Ina are 70 de bomboane. Dacă Ana are cu 40 mai puține decât Ina, atunci ea va avea:

70 – 40 = 30 ( bomboane)

Ana are de două ori mai multe bomboane decât Oana. Atunci Oana are:

30 : 2 = 15 ( bomboane)

Raluca are cu 15 mai multe decât Oana. Deci Raluca are:

15 + 15 = 30 ( bomboane)

Sub formă de exercițiu avem: a- bomboanele Ralucăi

( a – 15 ) x 2 + 40 = 70

Ultima operație este o adunare unde nu cunoaștem primul termen:

( a – 15 ) x 2 = 70 – 40

( a – 15 ) x 2 = 30

Ultimul exercițiu este o înmulțire în acre nu cunoaștem primul factor:

a – 15 = 30 : 2

a – 15 = 15

Exercițiul rămas este o scădere în care trebuie să aflăm descăzutul:

a = 15 + 15

a = 30