Dezvoltarea Creativitatii Elevilor DIN Ciclul Primar Prin Rezolvarea Si Compunerea DE Probleme DE Matematica

”DEZVOLTAREA CREATIVITĂȚII ELEVILOR DIN CICLUL PRIMAR PRIN REZOLVAREA ȘI COMPUNEREA DE PROBLEME DE MATEMATICĂ”

CUPRINS

INTRODUCERE

Capitolul I

Noțiunea de problemă matematică

Capitolul II

Etapele rezolvării problemelor de matematică

Capitolul III

Metode de rezolvare și compunere a problemelor

III.1.Metode aritmetice

III.1.1.Metode aritmetice generale

III.1.2.Rezolvarea principalelor categorii de probleme aritmetice

III.2.Activități de compunere a problemelor de către elevi

Capitolul IV

Dezvoltarea creativității în ciclul primar

Capitolul V

Aspecte privind metode și tehnici de rezolvare și compunere a problemelor de aritmetică în ciclul primar.Prezentarea rezultatelor obținute și interpretarea lor

CONCLUZII

ANEXE

BIBLIOGRAFIE

INTRODUCERE

”Matematica este limba cu care Dumnezeu a scris universul”( Galileo Galilei ).

Tema acestei lucrări este:

Dezvoltarea creativității elevilor din ciclul primar prin rezolvarea și compunerea de probleme de matematică .

Am ales această temă deoarece dezbaterea și studierea ei este una de o foarte mare importanță în predarea-învățarea matematicii în ciclul primar. Activitatea de predare-învățare a matematicii în ciclul primar nu se poate realiza fără activitatea de rezolvare a problemelor, activitate complexă, de profunzime, în care sunt exersate la nivel superior, analiza și sinteza. Activitatea de rezolvare a problemelor îmbină eforturile mentale de înțelegere a noțiunilor învățate, a algoritmilor de calcul formați cu structurile conduitei creative și inventive.

Scopul lucrării de față este să-i familiarizeze pe cei interesați cu cele mai importante metode de rezolvare și compunere de probleme de matematică în ciclul primar, această activitate oferind terenul cel mai fertil din domeniul activităților matematice pentru cultivarea și educarea creativității și a inventivității. Diferența dintre a învăța ”rezolvarea unei probleme” și ”a ști” ( a putea ) să rezolvi o problemă nouă înseamnă creativitate, dar de niveluri diferite. Rezolvarea unei probleme ”învățate” oferă mai puțin teren pentru creativitate decât rezolvarea unei probleme noi, care la rândul ei, este depășită de alcătuirea ( compunerea ) unor probleme.

În conținutul acestei lucrări vor fi descrise detaliat metodele de rezolvare și de compunere de probleme matematice în ciclul primar, precum și dezvoltarea creativității. Aceste metode vor fi exemplificate și aplicate în activități de proiectare, organizare și desfășurare a unor lecții de matematică.

Materialul lucrării este structurat în cinci capitole.

Primul capitol dezbate noțiunea de problemă matematică, având titlul: Noțiunea de problemă matematică. În acest capitol se dezbate noțiunea de problemă matematică și se încearcă familiarizarea cu noțiunile matematice.

Al doilea capitol dezbate etapele rezolvării problemelor de matematică, intitulat la fel: Etapele rezolvării problemelor de matematică. În acest capitol se prezintă etapele de rezolvare a unei probleme astfel încât aceasta să fie înțeleasă și rezolvată în modul cel mai corect posibil.

Al treilea capitol se referă la metodele de rezolvare și compunere a problemelor, intitulat: Metode de rezolvare și compunere a problemelor.

Acesta cuprinde două subcapitole:

III.1 Metode aritmetice

III.2 Activități de compunere a problemelor de către elevi.

Primul subcapitol, are la rândul lui alte două subtitluri :

III.1.1. Metode aritmetice generale: metoda analitică, metoda sintetică, precum și metodele aritmetice speciale ( figurativă, comparației, falsei ipoteze, mersului invers, regula de trei simplă sau compusă ). Se enumeră și problemele cu procente, problemele de amestec și aliaj, problemele de mișcare, problemele nonstandard etc.

III.1.2. Rezolvarea principalelor categorii de probleme aritmetice – în acest subtitlu se explică fiecare metodă în parte, dându-se și câteva exemple de rezolvare de probleme.

Următorul capitol, al patrulea, se intitulează : Dezvoltarea creativității în ciclul primar și dezbate această temă specificând modalități de dezvoltare a creativității.

În capitolul V este cuprinsă partea de cercetare : Aspecte privind metode și tehnici de rezolvare și compunere a problemelor de aritmetică în ciclul primar. Prezentarea rezultatelor obținute și interpretarea lor. Se prezintă o parte de cercetare desfășurată la clasă și rezultatele obținute în urma acestei cercetări.

După încheierea acestui capitol se prezintă concluziile.

CAPITOLUL I

NOȚIUNEA DE PROBLEMĂ MATEMATICĂ

Noțiunea de problemă are o sferă largă care cuprinde o gamă variată de preocupări și acțiuni în foarte multe domenii. De regulă, oriunde întâlnim sau ne lovim de orice chestiune de natură practică sau teoretică care cere o rezolvare, o soluție, această chestiune poartă denumirea de problemă.

În Dicționarul explicativ al limbii române noțiunea de problemă are dată următoarea definiție: ”chestiune în care, fiind date anumite ipostaze, se cere rezolvarea, prin calcule sau raționamente, a unor date. Dificultate care trebuie rezolvată pentru a obține un anumit rezultat.”

După cum ne explică această definiție a DEX-ului observăm că problemele de matematică sunt răspunsuri la unele întrebări referitoare la preocupări și acțiuni bazate pe date numerice. Acestea au ca note comune:

structura lor, prin care se stabilesc relații de dependență între anumite valori, cantități sau mărimi exprimate prin numere;

felul de soluționare, modalitatea stabilirii răspunsului, care se obține cu ajutorul unor operații matematice, în care intervin valorile numerice respective.

După Piaget, stagiul elevilor în primele clase ale învățământului primar, este stagiul “operațiilor concrete„. Operațiile care se efectuează sunt concrete. Până în clasa a IV-a gândirea logică nu se poate dispersa de intuiție și apar primele manifestări ale stadiului performant.

În primele clase ale învățământului primar, gândirea elevilor este concret intuitivă.

Cuvântul ”problemă” își are originea în limba latină ( problema) și a intrat în vocabularul românesc prin limba franceză ( problѐme ).

Revenind la spațiul didactic, se consideră drept problemă orice dificultate teoretică sau practică, în care elevul, pentru a-i găsi soluția, trebuie să depună o activitate proprie de cercetare, în care să se conducă după anumite reguli și în urma căreia să dobândească noi cunoștințe și experiență.

Problemă de matematică – chestiune în care, fiind date anumite ipoteze, se cere rezolvarea, prin calcule sau prin raționamente, asupra unor date.

Între probleme și exerciții se poate face distincție, în general, în funcție de prezența sau absența textului prin care se dau datele și legăturile între ele.

Exercițiul conține datele, numerele cu care se operează și semnele operațiilor respective, elevul având sarcina de a efectua calculele după tehnici și metode cunoscute.

Problema conduce, pentru rezolvarea ei, la o activitate de descoperire. Textul problemei indică datele, relațiile dintre date și necunoscută și întrebarea problemei, care se referă la valoarea necunoscutei. Rezolvarea problemelor stimulează inițiativa și contribuie la formarea unei atitudini conștiente și corecte față de muncă, la dezvoltarea voinței, a perseverenței, la dezvoltarea încrederii în forțele proprii.

După D.Ansubel ” rezolvarea de probleme este un fel de învățare prin descoperire situată în ierarhia compotamentală deasupra aplicațiilor de rutină a unor propoziții cunoscute și mai jos de creativitate.”

Matematic vorbind, distincția între exercițiu și problemă nu trebuie făcută după forma exterioară a acestora, ci după natura rezolvării.

Trebuie avut în vedere că un enunț poate fi o problemă pentru un copil din clasa I, un exercițiu pentru cel din clasa a V-a și ceva perfect cunoscut pentru un matematician.

Introducerea noțiunii de problemă matematică și formarea deprinderilor de rezolvare și compunere a problemelor presupune proiectarea și desfășurarea unor demersuri metodice meticulos eșalonate și de durată.

S-a observat că rezolvarea de probleme de matematică este una din cele mai sigure căi care duce la dezvoltarea gândirii, a imaginației, a creativității, a atenției și a spiritului critic al elevului. Rezolvarea de probleme de matematică solicită la maxim inteligența elevilor, capacitatea lor intelectuală, de aceea în ciclul primar se pune un foarte mare accent pe rezolvarea de probleme matematice. În rezolvarea de probleme de matematică elevul depune eforturi care-i stimulează si îi pune în mișcare procesele psihice de cunoaștere, volitive, precum și cele motivațional-afective.

S-a observat că rezolvarea și compunerea de probleme în ciclul primar contribuie la îmbogățirea orizontului de cultură generală al elevilor, cu atât mai mult că în cadrul problemelor se folosesc noțiuni pe care elevii nu le întâlnesc la celelalte discipline: viteza, distanța, timp, preț de cost, masă, cantitate, dimensiune, arie, durata unui fenomen etc.

Ca o concluzie a acestui mic capitol care ne-a familiarizat cu noțiunea de problemă, putem spune că, pe măsură ce elevul își însușește modalitățile de rezolvare mai generale, pe măsură ce acumulează experiență în rezolvarea problemelor, treptat, enunțuri care la început îi păreau probleme o să i se pară apoi exerciții.

CAPITOLUL II

ETAPELE REZOLVĂRII PROBLEMELOR

DE MATEMATICĂ

Activitatea de introducere a elevilor în rezolvarea problemelor se face progresiv, astfel încât, ei, înaintând în studiu, depun eforturi din ce în ce mai mari și experiența lor se îmbogățește. În rezolvarea problemelor există două situații care trebuie delimitate și care determină în mod diferit capacitatea intelectuală a elevilor:

când elevul trebuie să rezolve o problemă asemănătoare cu cele pe care le-a rezolvat anterior sau o problemă tip, această problemă rezolvându-se prin aceeași metodă comună tuturor problemelor de tip respectiv. Astfel elevul trebuie să recunoască tipul de problemă și rezolvându-le în mod repetat, în mintea acestuia se imprimă principiul și schema de rezolvare a acelei probleme.

când elevul întâlnește probleme noi, necunoscute, unde nu mai poate aplica schema cunoscută deja, gândirea acestuia se orientează spre găsirea de noi soluții de rezolvare a acesteia.

În situația în care apar probleme noi, elevii trebuie ca pe baza datelor și a condiției problemei, să găsească soluția favorabilă acestor noi probleme. În acest fel, elevul realizează un act de creație, act care ajută la dezvoltarea gândirii și la nivelul flexibilității acesteia.

În activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape. În fiecare din aceste etape, apar combinații noi, datele problemei se regăsesc în combinații noi iar reorganizarea acestora duce la găsirea soluției. În fiecare etapă are loc un proces de reorganizare a datelor și de reformulare a problemei.

În rezolvarea problemelor intervin o serie de procedee noi, tehnici de rezolvare, moduri de acțiune, deprinderi și abilități de muncă individuală independentă. Astfel sunt necesare unele deprinderi și abilități cu caracter mai general cum sunt : orientarea activității mintale asupra datelor problemei, punerea în legatură logică a datelor, capacitatea de a izola ceea ce este cunoscut de ceea ce este necunoscut, extragerea acelor cunoștințe care ar putea servi la rezolvarea problemei precum și unele deprinderi specifice referitoare la detaliile acțiunii (cum sunt cele de genul deprinderilor de calcul).

Chiar dacă sunt foarte variate, fiecare problemă se încadrează într-o categorie specifică de rezolvare. Este foarte important ca în rezolvarea unei probleme să se înțeleagă foarte bine structura acesteia și logica rezolvării ei. Elevul trebuie să-și dezovolte capacitatea de a analiza și de a înțelege datele problemei, condiția acesteia și de a orienta logic șirul de judecăți către întrebarea problemei.Trebuie reținut și observat că atunci când se rezolvă o problemă compusă, de fapt se rezolvă mai multe probleme simple, dar acestea nu sunt probleme care se rezolvă izolat. Ele rezolvate rând pe rând duc la aflarea necunoscutei problemei compuse, fiecare problemă simplă este un pas spre rezolvarea problemei compuse.

Etapele rezolvării problemei sunt:

1. Cunoașterea enunțului problemei.

2. Înțelegerea enunțului problemei.

3. Analiza problemei și întocmirea planului logic, cu efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din planul logic.

4. Organizarea și redactarea întregii rezolvări a problemei.

5. Activități suplimentare :

– verificarea rezultatului sub formă de exercițiu;

– scrierea rezolvării sub formă de exercițiu;

– găsirea altei căi sau metode de rezolvare;

– generalizarea;

– compunerea de probleme după o schemă asemănătoare.

1.Cunoașterea enunțului problemei

În această etapă de început în rezolvarea oricărei probleme , rezolvitorul trebuie să ia cunoștință cu datele problemei, cu legăturile existente între ele și bineînțeles cu necunoscuta problemei. După cititrea textului problemei de către institutor sau de către elevi, se va repeta problema de mai multe ori, până la învățarea ei de către toți elevii, scotându-se în evidență anumite date și legături dintre ele, precum și întrebarea problemei. Se vor scrie pe tablă și pe caiete datele problemei.

2.Înțelegerea enunțului problemei

Enunțul problemei conține un minim necesar de informații. Pentru ca elevul să poată formula niște ipoteze și să construiască raționamentul rezolvării problemei, este necesar să cunoască și să înțeleagă problema. Datele și condiția problemei reprezintă termenii de orientare a ideilor, a analizei și sintezei, precum și a generalizărilor ce au loc treptat, pe măsură ce se înaintează spre soluție. Întrebarea problemei este direcția în care trebuie să se orienteze formularea ipotezelor. Prin citirea textului problemei, prin ilustrarea cu imagini sau chiar cu acțiuni când este cazul, enunțul problemei este înțeles de către elevi. Nereceptarea corectă a conținutului problemei generează multe dificultăți în activitatea de rezolvare, cum ar fi: schimbarea sensului unor cuvinte, neglijarea unor date, luarea în considerare a unor numere care nu au funcție de date ale problemei.

3.Analiza problemei și întocmirea planului logic

Aceasta este etapă în care se elimină aspectele care nu au semnificația matematică și se elaborează reprezentarea matematică a enunțului problemei. Raționamentul prin care se rezolvă problema se găsește în această etapă. Prin exercițiile de analiză a datelor, a semnificației lor, a legăturilor dintre ele și a celor existente între date și necunoscute se ajunge, prin depășirea situațiilor concrete pe care le prezintă problema, la nivelul abstract care vizează relațiile dintre parte și întreg; viteza, distanța și timp; cantitate, preț, valoare .

Cele două metode se pot folosi simultan sau se poate să predomine una sau alta, caz în care metoda care predomină își impune specificul asupra căilor ce duc la găsirea soluției. Deosebirea dintre ele constă în punctul de plecare al raționamentului. Prin analiză sintetică se pleacă de la datele problemei spre găsirea soluției, iar prin metoda analitică se pleacă de la întrebarea problemei spre datele ei și stabilirea relațiilor matematice dintre ele.

4.Organizarea și redactarea întregii rezolvări a problemei

Cunoscând metodele de rezolvare și calcul, se va trece în această etapă la redactarea clară și într-o formă cât mai îngrijită a întregii rezolvări a problemei.

5.Activități suplimentare după rezolvarea problemei

Această etapă cuprinde activitățile independente cu rol valoros în dezvoltarea creativității elevilor. În această etapă una din activitățile care se rezolvă este verificarea soluției problemei, găsirea și a altor modalități de rezolvare și alegerea justificată a celei mai bune dintre ele. Elevul trebuie să analizeze profund datele problemei pentru ca acestea să-l conducă la desprinderea de concret, la transpunerea situației concrete pe care o prezintă problema în relațiile matematice. Compunerea de probleme asemănătoare îi pune pe elevi în situația gândirii unei probleme în complexul și unitatea ei, creativitatea având un câmp deschis, actul compoziției fiind direcționat doar de niște termeni care lămuresc sfera și conținutul noțiunii de problemă.

CAPITOLUL III

METODE DE REZOLVARE ȘI COMPUNERE A PROBLEMELOR

III.1. Metode aritmetice

III.1.1.Metode aritmetice generale

În epoca contemporană se poate afirma că matematica este esențială, fără ea nu se poate trăi. Necesitatea acestui domeniu, devine tot mai importantă, matematica făcând parte din cultura noastră generală. Matematica modernă contribuie la formarea unei gândiri active și personale, la dezvoltarea capacităților de sinteză și analiză. Studiul acestui domeniu atât de important duce la dezvoltarea gândirii creatoare.

Metodele aritmetice se clasifică în două categorii : metode aritmetice fundamentale sau generale și metode artimetice speciale sau particulare.

Metode aritmetice generale – acestea se aplică într-o măsură mai mare sau mai mică în rezolvarea tuturor problemelor, bazându-se , mai ales, pe operațiile de analiză și sinteză ale gândirii. Pe acest motiv, aceste metode se numesc : metoda analitică și metoda sintetică.

a ) Metoda analitică presupune a privi mai întâi problema în ansamblu , apoi , pornind de la întrebarea ei , a o descompune în problemele simple din care este alcătuită. Urmează apoi aranjarea acestor probleme simple într-o succesiune logică astfel încât rezolvarea lor să ducă la formularea răspunsului pe care îl cere întrebarea problemei date.

Exemplu:

Într-o fabrică de haine lucrează două echipe: prima echipă cu 6 muncitori care fac câte 18 haine pe zi, a doua cu 7 muncitori care fac câte 16 haine pe zi. O haină costă 48 000 lei.

Ce valoare au hainele realizate de cele două echipe într-o zi?

Datele problemei:

Muncitori…………………….câte 18 haine/zi

Muncitori ……………………câte 16 haine/zi

Haina…………………………..48 000 lei

Rezolvare:

6 x 18 = 108 ( haine )

7 x 16 = 112 ( haine )

108 + 112 = 220 ( haine )

48 000 lei x 220 = 10 560 000 lei Răspuns : 10 560 000 lei

b ) Metoda sintetică presupune orientarea gândirii elevilor asupra datelor problemei. După aceea , aceste date trebuie grupate după relațiile dintre ele , astfel încât să se formuleze cu aceste date toate problemele să se încheie cu acea problemă simplă a cărei întrebare coincide cu întrebarea problemei date. Această metodă reprezintă calea de abordare a problemei, plecând de la date spre cerințe.

Exemplu:

Problema descrisă mai sus se poate pune și sub formă de exercițiu, astfel :

( 6 x 18 + 7 x 16 ) x 48 000 lei = ( 108 + 112 ) x 48 000 lei = 220 x 48 000 lei = 10 560 000 lei

Metode aritmetice speciale – aceste metode sunt mai variate și diferă de la o categorie de probleme la alta, adoptându-se specificul acestora. Cele mai des întâlnite metode , precum și cele mai importante sunt : metoda figurativă sau grafică, metoda comparației, metoda falsei ipoteze, metoda mersului invers. În afara acestor metode mai există și altele aplicabile în rezolvarea unor anumite categorii de probleme, cum ar fi problemele de : regula de trei simplă sau compusă, aici utilizându-se reducerea la unitate și metoda proporțiilor, apoi problemele de împărțire în părți proporționale, problemele cu procente, problemele de amestec și aliaj, problemele de mișcare, problemele nonstandard, etc.

Pentru a rezolva o problemă nu este întotdeauna eficientă folosirea unei singure metode, fiind necesară combinarea mai multor metode, în anumite etape ale rezolvării, predominând una dintre ele. Este foarte important, alteori, felul în care se face rezolvarea problemelor înrudite, procedând similar, adică aplicând metoda analogiei.

III.1.2. Rezolvarea principalelor categorii de probleme aritmetice

Problemele matematice sunt clasificate în două categorii: probleme simple, cele care se rezolvă printr-o singură operație și probleme compuse, cele care se rezolvă prin cel puțin două operații.

3.2.1. Rezolvarea problemelor simple

Problemele simple sunt specifice clasei I fiind primul tip de probleme, a căror rezolvare conduce la o adunare sau o scădere din concentrele numerice învățate.

Rezolvarea acestor probleme simple presupune soluționarea unor situații problematice reale, pe care copiii le întâlnesc sau le pot întâlni în viață, în realitatea înconjurătoare. Pe plan psihologic, rezolvarea unei probleme simple reprezintă un proces de analiză și sinteză în cea mai simplă formă. Problema trebuie să cuprindă date (valori numerice și relații între ele) și întrebarea problemei (ce se cere a fi aflat). La cea mai simplă analiză a întrebării problemei se ajunge la date și la cea mai simplă sinteză a datelor se ajunge la întrebarea problemei. Pentru a rezolva în mod conștient o problemă simplă, înseamnă a cunoaște bine punctul de plecare (datele problemei) și punctul la care trebuie să se ajungă (întrebarea problemei), înseamnă a stabili între acestea un drum rațional, o relație corectă, adică a alege operația corespunzătoare, impusă de rezolvarea problemei.

În momentul în care elevii cunosc numerele naturale dintr-un anumit concentru și operațiile de adunare și scădere cu acestea, introducerea problemelor oferă copiilor posibilitatea aplicării necesare și plauzibile a tehnicilor de calcul, capacitatea de a recunoaște și discrimina situațiile care implică o operație sau alta, precum și exersarea unei activități specific umane : gândirea.

Stabilirea operației corespunzătoare constituie un proces de gândire dificil, fiind necesară precizarea cazurilor care determină o anumită operație, acest lucru realizându-se în urma unei analize pe cât mai multe cazuri particulare.

Copiii întâmpină dificultăți din pricina limbajului matematic, de aceea, institutorul are sarcina de a învăța copiii să traducă textul unei probleme în limbajul operațiilor aritmetice. Copiii mai întâmpină probleme și din cauza neînțelegerii relațiilor dintre date (valori numerice ), text și întrebare. Valorile numerice sunt greu legate de conținut și de sarcina propusă în problemă și pentru că numerele exercită asupra copiilor o anumită fascinație, care îi face să ignore conținutul problemei.

Noțiunile de: problemă, rezolvarea problemei, răspunsul la întrebarea problemei , conștientizarea acestora , precum și a elementelor componente ale problemei le capătă copiii cu ocazia rezolvării problemelor simple, când se prezintă în fața lor probleme vii, probleme-acțiune, fragmente autentice de viață. Școlarii mici trebuie mai întâi să trăiască problema, ca să învețe să o rezolve.

În manualul clasei I, prezentarea problemelor se face gradat, trecând prin etapele :

Probleme după imagini;

Probleme cu imagini și text;

Probleme cu text.

Pentru a fi posibilă introducerea problemelor cu text este necesar ca elevii să cunoască citirea/scrierea literelor și cuvintelor corespunzătoare.

Chiar dacă rezolvările problemelor simple par ușoare, institutorul trebuie să aducă în atenția copiilor toate genurile de probleme care se rezolvă printr-o singură operație aritmetică.

Problemele simple pot fi: bazate pe adunare, bazate pe scădere, bazate pe înmulțire, bazate pe împărțire.

Problemele simple bazate pe adunare pot fi: de aflare a sumei a doi termeni; de aflare a unui număr mai mare cu un număr de unități decât un număr dat; probleme de genul – cu atât mai mult.

Problemele simple bazate pe scădere pot fi: de aflare a restului; de aflare a unui număr care să aibă cu un număr de unități mai puține decât un număr dat; de aflare a unui termen atunci cand se cunosc suma și celălalt termen al sumei; problemele de genul – cu atât mai putin.

Problemele simple bazate pe înmulțire sunt, în general: de repetare de un număr de ori a unui număr dat; de aflare a produsului; de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât un număr dat.

Problemele simple bazate pe împărțire pot fi: de împărțire a unui număr dat în părți egale; de împărțire prin cuprindere a unui număr prin altul; de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mic decât un număr dat; de aflare a unei părți într-un întreg; de aflare a raportului dintre două numere.

3.2.2.Rezolvarea problemelor compuse

De la rezolvarea problemelor simple la rezolvarea problemelor compuse, este necesară o perioadă de tranziție. Se va porni, astfel, de la rezolvarea unor probleme alcătuite din succesiunea a două probleme simple. Studierea și examinarea unei probleme compuse se face, de regulă, prin metoda analitică sau sintetică. Aceste două metode se pot folosi simultan sau poate să predomine una sau alta, caz în care metoda care predomină își impune specificul asupra căilor care duc la găsirea soluției. Aceste metode, atât cea analitică , cât și cea sintetică, constau în descompunerea problemei date în probleme simple care, prin rezolvare succesivă , duc la găsirea soluției finale. Deosebirea dintre ele constă practic, în punctul de plecare al raționamentului.

După ce s-a făcut analiza logică a problemei se formulează și planul de rezolvare. Acest plan trebuie scris de institutor pe tablă și de elevi pe caietul lor, mai ales la rezolvarea primelor probleme, scopul fiind acela al formării deprinderilor de a formula întrebări și pentru alte rezolvări de probleme.

Problemele care admit mai multe procedee de rezolvare trebuie să primească o atenție deosebită. Prin învățarea lor, rezolvarea lor se cultivă mobilitatea gândirii elevilor, creativitatea, se formează simțul estetic al elevului. Chiar dacă elevii nu observă de la început existența mai multor căi de rezolvare a unei probleme compuse, institutorul trebuie, prin analiza făcută la clasă, prin întrebările ajutătoare, să-i determine pe elevi să se gândească și la alte modalități de rezolvare.

3.2.3.Metode speciale de rezolvare a problemelor de matematică

În ceea ce privește rezolvarea problemelor de matematică, întâlnim mai multe metode, numite metode speciale de rezolvare a problemelor de matematică. Acestea sunt: metoda figurativă sau grafică, metoda comparației ( metoda aducerii la același termen de comparație ), metoda falsei ipoteze, aplicarea regulii de trei simplă în rezolvarea problemelor, regula de trei compusă, metoda mersului invers, probleme de mișcare, probleme nonstandard.

A ) Metoda figurativă sau grafică – este acea metodă specială de rezolvare a problemelor matematice, care pentru reprezentarea mărimilor din problemă și a relațiilor dintre ele utilizează desene sau elemente grafice, precum și scheme. Aceste elemente grafice sau scheme trebuie să fie conforme datelor problemei și specificului lor.

Această metodă este una din metodele cel mai des folosite în rezolvarea problemelor, ea oferind suport concret pentru datele și raționamentele abstracte ale problemei. Metoda figurativă are un caracter intuitiv, înțelegerea relațiilor dintre datele problemei făcându-se pe baza imaginilor vizuale.

Prin metoda figurativă putem realiza schema problemei și se poate realiza concentrarea asupra tuturor condițiilor problemei.

În momentul în care folosim această metodă, ne bazăm pe raționament.

Metoda figurativă este foarte importantă, datorită avantajelor pe care le prezintă, ocupând locul întâi ca utilitate a ei. Astfel, aceasta are un caracter general, utilizându-se la orice categorii de probleme în care se pretează figurarea și pe diferite trepte ale școlarizării. De asemenea, are și un caracter intuitiv, înțelegerea relațiilor dintre datele problemei făcându-se pe baza imaginilor vizuale, uneori intervenind acțiunea directă, mișcarea și transpunerea acesteia pe plan mintal. Astfel aceasta poate fi de două feluri și anume:

Prin figurație discretă înțelegând că mărimile din problemă pot fi numărate una câte una și că se pot pune în corespondență după anumite criterii, în acest caz mărimile le figurăm prin simboluri.

Prin figurație continuă înțelegând că mărimile din problemă sunt continui și în acest caz se figurează prin segmente.

În continuare voi încerca să exemplific folosirea metodei figurative folosind simboluri sau imagini vizuale.

Exemple de probleme:

Un număr este cu 3 mai mare decât altul. Să se afle numărul știind că suma lor este 25.

Rezolvare:

+ 3 25

25 – 3 = 22

22 : 2 = 11

11 este numărul mai mic .Problema spune că un număr este cu 3 mai mare :

11 + 3 = 14

14 este al doilea număr.

11 +14 = 25

Maria, Ionel și Eugenia au împreună 84 bile colorate. Știind că Ionel are cu 4 bile mai multe decât Maria și cu 7 mai puține decât Eugenia, să se afle câte bile are fiecare copil.

Rezolvare:

Maria are

Ionel are + 4 84

Eugenia are 7 + 4 + + 4 +

84 – 4 – 4 – 7 = 69 bile

Maria 69 : 3 = 23 bile

Ionel 23 + 4 = 27 bile

Eugenia 27 + 7 = 34 bile

B ) Metoda comparației ( metoda aducerii la același termen de comparație ) este acea metodă care constă în aducerea la aceeași valoare a uneia dintre cele două marimi, ajutând astfel la simplificarea problemei, devenind o problemă cu o singură necunoscută. Pentru găsirea soluțiilor unui grup de probleme se pornește de la compararea mărimilor ce sunt date. Uneori relațiile dintre mărimi sunt specificate clar: ”mai mare cu…”, ”mai mic cu…”, alteori prin compararea a două situații diferite se ajunge la aceste relații. Procedeul aritmetic de rezolvare a unor astfel de probleme duce la eliminarea uneia dintre mărimi prin reducere, adică prin adunare sau scădere. Dacă valorile aceleiași mărimi sunt egale prin enunțul problemei, reducerea este imediată prin scăderea relațiilor respective. Dacă din enunțul problemei nu rezultă valori egale, atunci apare necesitatea aducerii la același termen de comparație.

Exemple de probleme:

Un elev cumpără 5 caiete și 3 pixuri cu 40.500 lei. În altă tură cu aceleași prețuri pe 2 caiete și 6 pixuri dă 73.800 lei. Câți lei costă un caiet și câți lei costă un pix?

Rezolvare:

5 caiete…..3 pixuri …..40.500 lei

2 caiete….. 6 pixuri……73.800lei

Metoda constă în a obține același număr de pixuri sau de caiete prin multiplicarea de un număr convenabil de ori a datelor de pe cele două rânduri. Observăm că cel mai ușor este să egalăm datele în privința numărului de pixuri, multiplicând cu 2 datele de pe primul rând și se obține:

10 caiete……. 6 pixuri……81.000 lei

2 caiete……. 6 pixuri …. 73.800 lei

Deci suma de 81.000 lei mai mare decât 73.800 lei cu :

81.000 – 73.800 = 7.200 lei se datorează numai numărului mai mare cu

10 – 2 = 8 caiete în primul caz. Deci un caiet va costa: 7.200 : 8 = 900 lei.

Înlocuind în ultima din cele două situații distincte din enunțul problemei se găsește prețul pixului:

2 x 900 = 1.800 lei

6 pixuri……. 73.800 – 1800 = 72.000 lei

Deci 1 pix …..72.000 : 6 = 12.000 lei

Folosirea acestei metode se recunoaște relativ ușor din enunțul problemei care conține cele două situații. Se încearcă egalarea unei mărimi din cele două șiruri prin multiplicarea datelor de pe cele două șiruri, apoi prin compararea datelor se deduce prețul corespunzător celeilalte mărimi, după care revenind prin înlocuire la situația inițială din enunț se află costul celeilalte mărimi.

C ) Metoda mersului invers este metoda în care, pentru a stabili soluția problemei, se analizează ultima relație față de penultima, penultima față de cea care a precedat-o și așa mai departe până se ajunge la prima relație prezentată în problemă. Trecând prin aceste operații se observă ca ele sunt inverse modului de prezentare a informațiilor din enunțul problemei.

Exemple de probleme:

1. Am 7 vase cu număr egal de flori. Pe jumătate dintre flori le vând. Tu aduci 20 de flori. Un domn ia 40 de vase cu flori. Punem în coșuri 1/5 din florile rămase, adică 38. Câte flori erau într-un vas la început?

Rezolvare:

Știm că la sfârșit am pus 38 de flori, cele 38 de flori reprezintă 1/5 din florile rămase, deci a 5-a parte.

38 x 5 = 190 flori ( când a plecat domnul )

Înainte de a lua el

190 + 40 = 230 flori

20 flori aduse de tine 230 – 20 = 210 flori după vânzare

S-au vândut jumătate 210 x 2 = 420 flori în 7 vase

Într-un singur vas 420 : 7 = 60 flori

Așadar folosind datele de la ultima infomație la penultima si așa mai departe s-a găsit soluția problemei, mergând pas cu pas spre răspunsul final care în cazul nostru este : 60 flori se regăsesc într-un vas.

2. M-am gândit la un număr, l-am înmulțit cu 10, la rezultat am adunat 16, suma am împărțit-o la 6, iar din cât am scăzut 10, obținând 56. Aflați numărul.

Rezolvare :

Notăm numărul necunoscut cu ‟ a „ .

( a x 10 +16 ) : 6 – 10 = 56

( a x 10 + 16 ) : 6 = 56 + 10

( a x 10 + 16 ) : 6 = 66

a x 10 + 16 = 66 x 6

a x 10 + 16 = 396

a x 10 = 396 – 16

a x 10 = 380

a = 380 :10

a = 38

D ) Metoda falsei ipoteze este o metodă aritmetică care presupune rezolvarea problemei pe baza unei ipoteze, astfel se confruntă situația reală cu cea creată prin introducerea datelor ipotetice. Problemele care se rezolvă cu această metodă sunt numeroase. Pot fi rezolvate cu această metodă problemele ale căror date conțin mărimi proporționale. Se numește, metoda falsei ipoteze, tocmai pentru că numele justifică faptul ca ipoteza care se face nu corespunde decât întâmplător cu rezultatul problemei. După citirea problemei, pe baza presupunerii făcute, se ajunge la un rezultat care nu concordă cu realitatea din problemă. Se compară rezultatul cu cel real, din punct de vedere al câtului se obține un factor de corecție cu ajutorul căruia se corectează presupunerea făcută obținând rezultatul căutat. De aceea se numește metoda falsei ipoteze, fiindcă ipoteza care se face nu corespunde decât întâmplător cu rezultatul problemei .

Problemele care se rezolvă prin această metodă se clasifică în două categorii, în funcție de numărul ipotezelor care sunt necesare, pentru orientarea raționamentului și determinarea rezultatelor. Astfel avem următoarea clasificare:

1.Probleme de categoria I – pentru rezolvarea acestora este suficientă o singură ipoteză .

2.Probleme de categoria a II-a – pentru rezolvarea cărora sunt necesare două sau mai multe ipoteze succesive.

Exemple de probleme:

Un bloc are 30 apartamente cu două sau trei camere. Sunt în total 70 de camere. Câte apartamente cu două camere și cu trei camere sunt în acel bloc?

Rezolvare:

Presupunem că toate apartamentele au câte 3 camere. În acest caz 30 x 3 = 90 camere, rezultă o diferență de 90 – 70 = 20 camere. Diferența există pentru apartamentele cu câte 2 camere.

Dacă diferența dintre numărul de camere este

3 -2 = 1 camere, atunci rezultă că cele 20 aparamente vor avea 2 camere, iar restul

30 – 20 = 10 apartamente cu 3 camere.

Rezultatul final : 20 apartamente vor avea 2 camere și 10 apartamente vor avea 3 camere.

Într-o curte sunt găini și iepuri. În total 11 capete și 34 de picioare. Să se afle câte găini și câți iepuri sunt.

Rezolvare:

Presupunem că toate animalele au câte 4 picioare.

4 x 11 = 44 picioare

44 – 34 = 10 picioare ( diferența între numărul real și cel presupus , fals )

Deci un plus de câte 2 picioare 4 – 2 = 2

Atunci 10 : 2 = 5 , astfel în curte regăsim 5 animale cu câte 2 picioare ( găini ) și

11 – 5 = 6 animale cu câte 4 picioare ( iepuri ).

E ) Regula de trei simplă se numără și ea printre metodele de rezolvare a problemelor , fiind o schemă de așezare a datelor și de utilizare a acestor date în orientarea și desfășurarea procesului de gândire care intervine în examinarea și rezolvarea unor probleme cu mărimi proporționale. Această metodă se poate folosi încă din clasa a II-a și este folosită foarte des în cadrul problemelor cu mărimi direct proporționale.

Exemple de probleme:

În 6 bidoane identice pline cu lapte se află 18 l de lapte. Câți litri de lapte vor fi în 9 bidoane de același fel?

Rezolvare:

Pentru a afla cantitatea de lapte din cele 9 bidoane, trebuie mai întâi să se afle cantitatea de lapte dintr-un singur bidon.

18 : 6 = 3 l de lapte într-un singur bidon

Cunoscând cantitatea de lapte dintr-un singur bidon, aflăm cu ușurință cantitatea de lapte din cele 9 bidoane , astfel :

9 x 3 = 27 l de lapte în cele 9 bidoane.

Pentru înțelegerea problemei în scris se notează astfel:

6 bidoane…………. 18 l lapte

9 bidoane…………. ? l lapte

Dacă 6 bidoane……..18 l lapte atunci :

1 bidon………………..18 l lapte : 6 = 3 l lapte

Deci 9 bidoane …….. 9 x 3 = 27 l lapte.

Știind că o mașină consumă în 6 ore 30 l motorină , aflați :

a ) Câți litri consumă în 10 ore?

b ) Câți litri consumă 6 mașini în 10 ore, dacă toate au același consum?

Rezolvare:

După ce se analizează problema se observă că pentru a afla câți litri de motorină consumă o mașină în 10 ore , trebuie să cunoaștem câți litri consumă într-o oră.

Ipoteza conform căreia în 6 ore consumă 30 l motorină, ne conduce la următorul raționament : într-o oră va consuma o cantitate de motorină de 6 ori mai mică, adică 5 l , pentru ca : 30 l : 6 =5 l. Cunoscând cantitatea de motorină consumată de mașină într-o oră, se poate afla cantitatea consumată în 10 ore, adică 50 l pentru că 5 l x 10 = 50 l

După ce s-a aflat că o mașină consumă în 10 ore 50 l motorină , s-a putut răspunde și la întrebarea de la punctul b , aflând că 6 mașini vor consuma în 10 ore o cantitate de 6 ori mai mare decât o singură mașină, deci 300 l , pentru că

6 x 50 l = 300 l

R: 300 l motorină .

F ) Regula de trei compusă presupune rezolvarea problemei prin dependență directă sau invers proporțională a unei mărimi față de alte două sau mai multe mărimi.

˶ Rezolvarea unei probleme prin regula de trei compusă presupune aplicarea succesivă a regulii de trei simple, asociind mărimii care conține necunoscuta pe rând câte una din celelalte mărimi și exprimând valoarea necunoscută în funcție de acestea.˶

Datele problemei în care intervin trei mărimi are o anumită schemă de așezare a acestora:

Mărimile x…y…z

Valorile x1..y1…z1

x2..y2…z2

Dacă mărimea Z, care conține z2 este direct proporțională cu mărimile X, Y, atunci prima problemă cu regula de trei simplă care se formulează, întâi se consideră mărimea Y constantă, având valoarea y1, astfel că Z va depinde numai de X, judecata făcându-se după cum urmează:

x1…y1…z1

1…y1…z1

x1

x2…y1….z1 x x2 = z1 x x2

x1 x1

x2

Notând cu z, valoarea z1 x x1 a mărimii z, corespunzătoare valorii x2 a mărimii x, când valoarea y1 a mărimii y rămâne neschimbată , se obține:

z = z1 x x2

x1 .

G ) Probleme de mișcare

Problemele în care se află una dintre mărimile : spațiu, viteza sau timpul, când se cunosc două din ele sau diferite relații între acestea se numesc probleme de mișcare. În aceste probleme, de regulă, se vorbește despre mișcarea uniformă a unui mobil, adică în intervale de timp egale mobilul parcurge distanțe egale.

Spațiul ( notat cu s ) este lungimea drumului parcurs de un mobil (tren, autoturism, om, etc ) exprimat în unități de lungime ( metri, multipli sau submultipli ai acestuia).

Viteza ( notata cu v ) este numărul de unități de lungime parcurse de un mobil într-o unitate de timp, exprimată prin unități de lungime pe unități de timp

( ex : m/s , km/h ).

Timpul ( notat cu t ) este numărul de unități de timp ( secunde, minute, ore, zile ) în care se parcurge un spațiu.

În vederea rezolvării acestor probleme de mișcare se pot folosi metodele aritmetice expuse mai sus: metoda figurativă, metoda comparației, a mersului invers, a falsei ipoteze. De asemenea se pot folosi și metode algebrice, de cele mai multe ori aceste metode fiind întrepătrunse.

Problemele de mișcare se pot clasifica în mai multe grupe :

1 ) Probleme ce conduc direct la probleme simple de aflare a spațiului, vitezei sau timpului;

2 ) Probleme de întâlnire, când deplasarea mobilelor se face în sensuri opuse;

3 ) Probleme de urmărire, când deplasarea mobilelor se face în același sens.

H ) Probleme nonstandard – aceste probleme sunt o categorie aparte ( recreative, rebusistice, de perspicacitate ). Aceste probleme nu se pot supune aplicării nici unei metode prezentate până acum, de aceea sunt cunoscute sub denumirea de probleme nonstandard. Aceste probleme pun la contribuție gândirea și imaginația elevului, nici o problemă nu seamană una cu cealaltă și de fiecare dată rezolvitorul este obligat să găsească o anume cale de rezolvare proprie a fiecărei probleme.

Problemele de perspicacitate solicită o mai mare mobilitate a gândirii , dezvoltând flexibilitatea și creativitatea gândirii.

Exemple de probleme:

1 .Sunt mai multe posibilități de a măsura 3 l de vin având la dispoziție un vas de 4 l și unul de 1 l? (clasa I)

Elevii au găsit două moduri de a măsura 3 l de vin cu cele două vase.

a. Se umple vasul de 1 l de trei ori și se pune în cel de 4 l

b. Se umple vasul de 4 l, apoi se toarnă 1 l în vasul cu capacitatea de 1 l, astfel în vasul de 4 l rămân 3 l de lapte.

2. Suma a trei numere distincte este 92. Care sunt aceste numere?

Rezolvare:

Se efectuează suma primelor 13 numere naturale consecutive:

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+13=91

Calculăm diferența dintre suma dată și cea obținută :

92 – 91 = 1

Singurul număr la care se poate adăuga o unitate este 13.

Deci numerele căutate sunt : 1,2,3,……11,12,14.

3.2.4. Metode moderne utilizate în lecțiile de matematică

Având în vedere că actualele forme de învățământ trec prin diferite transformări, acest lucru afectează puternic și metodologiile de educație și instrucție punând în evidență noile tendințe ale perfecționării și modernizării acestora.

Noile metode apărute se îndepărtează de metodele tradiționale, urmărindu-se o participare activă din partea celor prezenți la rezolvarea problemei puse în discuție.

Metodele active se bazează în special pe examinarea problemelor în grupuri mici și pe discuții dirijate conform schemei de desfășurare a procesului instructiv-educativ.

Aceste metode se folosesc deoarece s-a observat că sunt foarte benefice în procesul de învățare al elevilor; atât în grupuri de 4-6 persoane, cât și perechi, elevii se exprimă mai ușor, nu mai sunt stresați, ajutând comunicarea între aceștia.

Lucrând cu aceste metode elevilor li se sporește încrederea în forțele proprii, în performanțele lor, contribuind la dezvoltarea intelectuală și la socializarea lor. Metodele sunt benefice și pentru elevii buni la învățătură pentru că aceștia se confruntă permanent cu alți coechipieri și cu sine, având posibilitatea să sintetizeze, dând o formă coerentă ideilor care provin de la ceilalți colegi de echipă.

Printre metodele moderne folosite în predarea matematicii la ciclul primar enumerăm:

A ) Problematizarea și descoperirea ;

B ) Învățarea prin cooperare;

C ) Metoda mozaicului și a cubului;

D ) Brainstorming-ul ( asaltul de idei );

E ) Tehnica ”ciorchinelui ” .

Noile metode moderne pot fi folosite , în predarea matematicii, și în combinație cu cele tradiționale. Printe metodele tradiționale enumerăm : metodele centrate pe profesor (sursă de informații ), comunicarea unidirecțională, transmiterea de cunoștințe, evaluare-reproducere, pasivitatea elevului, autoritatea profesorului, exemplificări, metode explozive (prelegerea, explicația, instructajul ), conversația catehetică, team-teaching, învățarea cu ajutorul stimulatoarelor.

În rândurile următoare ,vom încerca să prezentăm succind câteva caracterisitici ale metodelor moderne folosite în predarea matematicii la ciclul primar.

A ) Problematizarea și descoperirea

Problematizarea presupune o suită de procedee prin care se urmărește crearea unei situații – problemă la care elevii independent, sub îndrumarea profesorului, găsesc rezolvarea situațiilor problemă. Problematizarea își găsește utilizarea pretutindeni unde se pot crea situații – problemă, ce urmează a fi soluționate prin gândire comună, prin noi reguli și soluții de ordin superior. Această metodă stimulează participarea elevilor la cunoașterea prin efort propriu, contribuie substanțial la educarea sistemului de gândire, sprijină formarea unor deprinderi de muncă independentă, familiarizează elevul cu modul de soluționare a unor situații tipice, contribuie la perfecționarea relației profesor – elev, sprijină formarea unor capacități cognitive ( sesizarea situațiilor problemă, capacitatea de aplicare în practică a soluției propuse ).

Descoperirea se află în strânsă legătură cu problematizarea, accentul căzând pe găsirea soluției. Problematizarea și descoperirea constituie două momente ale aceluiași proces euristic. Orice situașie – problemă trebuie descoperită, rezolvată.

B ) Învățarea prin cooperare

Această metodă pune accentul pe munca în echipă ca mijloc și ca scop al formării elevilor, pe de-o parte, iar de pe altă parte, pentru că viziunea interdisciplinară și transcurriculară nu poate avea ca premisă de succes decât munca în echipă a profesorilor.

Ca elemente generale în activitățile de grup, trebuie menționat faptul că:

Spațiul de lucru trebuie să fie aranjat corespunzător, în funcție de numărul de grupe formate și de numărul persoanelor din fiecare grup. Dimensiunea grupurilor de lucru va fi stabilită în funcție de sarcină, numărul de elevi etc. Ca tehnici de împărțire a elevilor în grupuri trebuie menționat:

Elevii se grupează după preferințe;

Profesorul formează grupele după anumite criterii ( experiență, poziția în sistem,vârstă etc. );

Grupele se formează aleatoriu; pentru aceasta profesorul – îi aliniază pe elevi (după un anumit criteriu sau la întâmplare ).

C ) Metoda mozaicului și a cubului

Jigsaw (în engleză jigsaw puzzle înseamnă mozaic) sau „metoda grupurilor interdependente” este o strategie bazată pe învățarea în echipă (team-learning). Fiecare elev are o sarcină de studiu în care trebuie să devină expert. El are în același timp și responsabilitatea transmiterii informațiilor asimilate, celorlalți colegi.

În cadrul acestei metode rolul profesorului este mult diminuat, el intervine semnificativ la începutul lecției când împarte elevii în grupurile de lucru și trasează sarcinile și la sfârșitul activității când va prezenta concluziile activității.

Metoda cubului este o metodă ce poate fi folosită în orice moment al lecției. Este o strategie care facilitează analiza unui subiect din diferite puncte de vedere. Oferă elevilor posibilitatea de a-și dezvolta competențele necesare unor abordări complexe. Poate fi folosită cu orice tip de subiect sau orice grupă de vârstă.

Modalitatea de realizare: se face un cub ale cărui fețe pot fi acoperite cu hârtie de culori diferite. Pe fiecare față a cubului se scrie câte una din următoarele instrucțiuni: descrie, compară, analizează, asociază, aplică, argumentează. Este recomandabil ca fețele cubului să fie parcurse în ordinea prezentată, urmând pașii de la simplu la complex.

D ) Brainstorming-ul ( asaltul de idei )

Brainstorming-ul este o metodă care ajută la crearea unor idei și concepte creative și inovatoare. Pentru un brainstorming eficient, inhibițiile și criticile suspendate vor fi puse de-o parte. Astfel exprimarea va deveni liberă și participanții la un proces de brainstorming își vor spune ideile și părerile fără teama de a fi respinși sau criticați. Un brainstorming durează în jur de o jumătate de oră și participă în medie 10 elevi sau grupuri de minim 10 elevi. Se expune un concept, o idee sau o problemă și fiecare își spune părerea despre cele expuse și absolut tot ceea ce le trece prin minte, inclusiv idei comice sau inaplicabile. O variantă a brainstormingului este brainwritingul.O sesiune de brainstorming bine dirijată dă fiecăruia ocazia de a participa la dezbateri și se poate dovedi o acțiune foarte constructivă.

Etapele unui brainstorming eficient sunt următoarele: deschiderea sesiunii de brainstorming, o perioadă de acomodare de 5-10 minute, partea creativă a brainstormingului, prelucrarea ideilor și stabilirea unui acord.

E ) Tehnica ”ciorchinelui ”este o metodă de brainstorming nelineară și se poate utiliza mai ales în etapa de reactualizare a structurilor învățate anterior, sau în etapa de evocare, elevii fiind puși în situația de a stabili conexiuni între elementele studiate, de a se implica activ în procesul de gândire.

Modalitatea de realizare:

– elevii vor scrie un cuvânt sau expresie nucleu în centrul unei foi de hârtie;

– elevii sunt invitați să scrie cât mai multe cuvinte sau expresii care le vin în minte despre subiectul selectat pâna la expirarea timpului;

– cuvintele (ideile) vor fi legate prin linii de noțiune centrală sau, daca este cazul, de una din cele propuse de elevi;

– la finalul exercițiului se va comenta întreaga structură cu explicațiile de rigoare;

Metoda ciorchinelui are un caracter stimulativ.

Participarea întregii clase la realizarea “ciorchinelui” este lansată ca o provocare și determină o întrecere de a descoperi noi conexiuni legate de termenul propus.

III.2.Activități de compunere a problemelor de către elevi

În domeniul activităților matematice, compunerea problemelor ocupă un loc important, ajutând la cultivarea și educarea creativității și a inventivității. Activitatea de compunere a unor probleme noi oferă un teren mai fertil pentru creativitate decât rezolvarea unor probleme învățate deja.

Când elevii rezolvă probleme gata învățate, aceștia se orientează în special la analiza datelor, la capacitatea de a înțelege întrebarea problemei și a orienta întreaga desfășurare a raționamentului în direcția găsirii soluției problemei.

” Creativitatea gândirii, mișcarea ei liberă, nu se poate obține decât pe baza unor deprinderi corect formate.”

Activitatea de compunere a problemelor prin muncă independentă, ajută elevii să sesizeze legătura existentă între exerciții și probleme și reprezintă un mijloc eficient de dezvoltare a spiritului de independență și creativitate. Această activitatea poate fi desfășurată din momentul în care elevii au înțeles conceptul de problemă.

Pentru ca această activitate să poată fi executată, sunt necesare a fi îndeplinite anumite criterii: stăpânirea tehnicilor de calcul, deprinderea de a realiza raționamente logice, vocabular bogat, capacitatea de a selecta din multitudinea de cunoștințe dobândite pe acelea care duc la elaborarea textelor cu conținut realist.

Există mai multe forme prin care se pot compune și crea problemele.

1.Compunerea de probleme după obiecte concrete, tablouri și imagini – la început, problemele realizate de elevi se aseamănă foarte mult cu problemele rezolvate de institutor la clasă, folosindu-se obiecte.

Următoarea fază de compunere a problemelor, se numește faza semiconcretă, elevii încep să folosească în locul obiectelor ( creioane, cretă, caiete…etc), jetoane cu acestea.

Trecând de această fază, de crearea de probleme pe bază intuitivă, elevii încep să alcătuiască probleme pe baza datelor scrise pe tablă, ei trebuind sa înțeleagă foarte bine legătura dintre enunț și întrebare.

Compunerea unei probleme după modelul unei probleme rezolvate anterior, reprezintă o altă modalitate de compunere a problemelor, folosind ca inspirație modelul unei probleme rezolvate anterior.

3.Completarea întrebării unei probleme

Întrebarea trebuie separată de conținut, cele două părți ale problemei trebuie percepute a fi părți separate ale problemei. Astfel s-au compus probleme din enunțul dat, acestuia lipsindu-i întrebarea, fie având întrebarea și lipsind conținutul. Dacă cunoaștem enunțul, putem pune două sau mai multe întrebări.

Dacă elevul reușește separarea întrebării de enunț și reține cu claritate întrebarea, înseamnă că a depășit o secvență foarte importantă în rezolvarea problemelor. Scopul rezolvării problemelor este aflarea răspunsului la întrebare, astfel, formularea întrebării reprezintă un pas înainte și presupune din partea elevilor o vedere analitică asupra întregii probleme.

Dacă problemei i se dă o întrebare greșită, prin rezolvarea problemei, se cere să se schimbe enunțul acesteia astfel încât să fie bună întrebarea.

4.Compunerea problemei după scheme sau după desene

În această modalitate de compunere a problemelor se pleacă de la scheme simple de compunere , apoi se trece la scheme mai complicate, iar în acest fel elevul își poate forma deprinderi solide de formulare a problemelor.

5. Probleme de completare a datelor când se cunoaște întrebarea

Este foarte important ca elevii să aleagă corect datele care se regăsesc în cadrul problemei, pentru a nu întâmpina probleme în rezolvare având calcule cu trecere peste ordin. Trebuie să se gândească la operațiile pe care le au de făcut cu aceste date, pentru a nu întâmpina probleme în rezolvarea problemei.

6. Compunerea problemelor cu indicarea operațiilor matematice ce trebuie efectuate

După cum am mai spus, se pornește la compunerea problemelor după exerciții simple, aceste exerciții fiind formulate de elevi sub îndrumarea institutorului, apoi elevii vor putea face acest lucru independent. Știind să facă acest lucru independent, elevii vor putea, apoi, să alcătuiască corect și cu ușurință probleme, indiferent de numărul de operații. Probleme deosebite apar la compunerea și formularea de probleme compuse.

Stăpânind bine compunerea problemelor după formule numerice, se va trece la compunerea de probleme după formule literale, acestea oferind posibilitatea elevului de a-și alege singur numerele și domeniul.

7. Compunerea de probleme după un plan stabilit

Această parte de compunere de probleme după un plan de rezolvare, se poate da elevilor doar după ce stăpânesc foarte bine problemele compuse pe bază de plan.

8. Compunerea problemelor cu început dat

9. Compunerea de probleme cu mărimi date, cu valori numerice date

10. Probleme cu date incomplete – din cadrul problemei lipseste o data, lucru pe care elevul trebuie să îl sesizeze imediat.

11. Probleme cu date suplimentare – acest gen de probleme ajută la depistarea elevilor care lucrează mecanic, fără să analizeze datele problemei.

12. Compunerea de probleme cu corectarea conținutului și modificarea datelor – elevii confruntând datele problemei și întrebarea acesteia vor observa greșelile existente, putând corecta ceea ce nu este în regulă.

13. Probleme cu mai multe soluții și probleme fără soluție

În matematică există probleme cu mai multe soluții, precum și probleme care nu au nici o soluție. Astfel elevii au posibilitatea de a-și prezenta propria rezolvare ( corectă ). Ei trebuie să se obișnuiască cu existența unor astfel de probleme , precum și cu existența unor probleme de decizie, în care trebuie făcută alegerea soluției celei mai convenabile, dintr-un anumit punct de vedere. Soluțiile găsite trebuie enumerate de către institutor , sistematizate, apoi acesta trebuie să propună alegerea celei mai bune soluții, elucidând situația.

Ceea ce este foarte important în activitatea de compunerea de probleme, trecerea treptată de la compunerea liberă la cea îngrădită de cerințe din ce în ce mai restrictive. De asemenea, trebuie să se țină seama de posibilitățile elevilor. Institutorul trebuie să coordoneze această activitate oferind elevilor indicații clare, oferind exemple sugestive, cerințe raționale, să-i facă pe elevi să gândească creativ și să le solicite atenția acestora făcând asocieri din ce în ce mai puțin întâmplătoare.

Institutorul ” trebuie să-i facă pe elevi să aibă încredere în ei, să le stimuleze eforturile intelectuale, să le educe calitățile moral – volitive, să le dezvolte interesul și sensibilitatea, să fie receptivi la situațiile problematice cu conținut matematic. ”

CAPITOLUL IV

DEZVOLTAREA CREATIVITĂȚII ÎN CICLUL PRIMAR

Termenul de creativitate provine din latinescul ”creare” care înseamnă a naște, a crea, a zămisli, noțiunea fiind introdusă de Gordon Allport.

”Creativitatea este o floare atât de delicată, încât elogiul o face să înflorească, în timp ce descurajarea o înăbușă adesea chiar înainte ca ea să se poată transforma în floare.”

( T.Carlyl )

Creativitatea constituie una din componentele majore ale contemporaneității și totodată una dintre cele mai fascinante, fiind forma cea mai înaltă a activității omenești.

Creativitatea este definită, în prezent, prin mai multe modalități.

„Creativ este cel care se caracterizează prin originalitate și expresivitate, este imaginativ, generativ, deschizător de drumuri, inventiv, inovativ, etc.”(M. Rocco, 2004, p. 17).

„Creativitatea desemnează capacitatea de a realiza creații inovatoare (originale, ingenioase), dar și adecvate (utile, adaptate în funcție de cerințele sarcinii.” (Sternberg, R., J., 2005).

Având atâtea definiții referitoare la creativitate și dezvoltarea ei, a fost foarte greu să se ajungă la o definiție unanim acceptată, deoarece fiecare autor pune accent pe diferite dimensiuni. Cu atât mai mult, creativitatea copilului diferă de creativitatea autentică. Produsul realizat de copil se distinge prin atributul originalității. Activitatea copilului, care solicită folosirea unor procedee euristice și care conduce la concluzii inedite, descoperite prin efort individual, este un act creator. Trăsăturile unanim recunoscute ale creativității sunt: productivitate, utilitate, eficiență, valoare, ingeniozitate, noutate și originalitate, ultimele două fiind definitorii pentru creativitate.

Matematica este una din cele mai dificile discipline, rolul dascălilor fiind de a face din acest obiect o materie plăcută, interesantă și atractivă care să solicite dezvoltarea gândirii, logicii și creativității elevilor. Creativitatea este o dimensiune importantă și a devenit problema centrală a școliilor contemporane. Procesul creativ poate fi descris printr-o serie de trăsături de personalitate , cu ajutorul cărora creativitatea se dezvoltă cu mai mare ușurință.Trăsăturile comportamentului creator care sunt urmărite în rândul elevilor sunt :

– O inteligență generală superioară;

– Gândire divergentă;

– Capacitatea de a gândi abstract;

– Flexibilitatea gândirii;

– Curiozitatea;

– Încrederea în sine;

– Spirit de observație;

– Perseverență;

– Independență în gândire;

– Receptivitatea față de probleme;

– Spiritul de observare;

– Imaginația creatoare;

– Originalitatea;

– Capacitatea combinatorie:

– Perseverența , inițiativa;

– Nonconformismul în idei etc.

Studiul matematicii la clasele I – IV dezvoltă creativitatea prin aplicarea de tehnici de calcul care stau la baza descoperiii de noi cunoștințe matematice. Este foarte important ca această disciplină să fie învățată de plăcere, elevii să descopere matematica din dragoste pentru această disciplină.

Creativitatea este o expresie a personalității, iar pentru a ajunge să fii creativ trebuie depuse eforturi deosebite și activități îndelungate.

Se disting cinci niveluri ale creativității:

1.Creativitate expresivă

2.Creativitatea productivă

3.Creativitatea inventivă

4.Creativitatea inovatoare

5.Creativitatea emergentă

Prin lecțiile de matematică se poate stimula, de asemenea, creativitatea la ciclul primar. Este foarte important ca elevii să primească nu numai simpla instruire matematică, ci și educația matematică. În clasele primare, elevii deprind noțiunile elementare, noțiuni de care se vor folosi pe tot parcursul vieții. Matematica contribuie la formarea unei gândiri logice, concrete și creative, la formarea unor deprinderi de muncă, de ordine și de punctuație.

Pentru a fi creativ este necesară existența unei condiții fundamentale, aceasta fiind inteligența, aceasta fiind un atribut al tuturor proceselor cognitive, având particularități specifice: capacitatea de a surprinde repede și cu precizie trăsăturile definitorii ale unui obiect, de a sesiza ceea ce este esențial, general, repetabil din percepțiile anterioare, de a organiza și structura rapid și selectiv, de a combina și a stabili relații între idei, imagini, lucruri sau fenomene la diferite nivele de abstracție sau intuiție. Inteligența este o condiție necesară,dar nu și suficientă a creativității.

În activitatea de creație sunt solicitate fantezia, unele aptitudini speciale, precum și implicarea factorilor motivaționali: curiozitatea, interes pentru cunoaștere, anumite trăsături ale personalității.

În ciclul primar, personal cred ca se pun bazele necesare dezvoltării creativității ulterioare.

La ciclul primar, rezolvarea de probleme și mai ales compunerea lor, dezvoltă flexibilitatea gândirii elevului și constituie un cadru optim pentru dezvoltarea creativității. De exemplu, când elevii se confruntă cu o problemă cu o necunoscută, aflarea acesteia îi face pe elevi să emită ipoteze, să stabilească diferite relații, să întreprindă diferite căutări, să facă diverse combinații pentru aflarea acestei necunoscute.

Enumerăm câteva procedee folosite în rezolvarea problemelor:

• Complicarea problemei prin introducerea de noi date sau prin modificarea întrebării;

• Rezolvarea problemei prin două sau mai multe procedee;

• Scrierea rezolvării problemei într-o singură expresie;

• Alegerea celei mai scurte și mai economicoase căi de rezolvare;

• Determinarea schemei generale de rezolvare a problemelor care fac parte dintr-o anumită categorie și încadrarea sau nu a unei probleme dintr-o anumită categorie de probleme;

• Transformarea problemelor compuse în exerciții astfel încât ordinea operațiilor să fie în succesiunea judecăților și a realităților corespunzătoare conținutului problemei;

• Transformarea problemelor compuse în exerciții cu paranteze care să indice ordinea operațiilor;

• Transformarea și compunerea din 2 sau 3 probleme simple a unei compuse.

Când vorbim despre rezolvarea problemelor este greu să ne dăm seamă până la ce nivel avem de-a face cu gândirea logică și de unde începe partea creatoare, gândirea creatoare. Putem considera a fi o gândire creatoare și când un elev găsește rezolvarea unei probleme de matematică, pe o cale diferită sau mai ușoară decât metoda prezentată de manual sau cea care a fost prezentată de institutor la clasă.

Cultivarea gândirii creatoare, originale și independente a elevilor este realizată mai ales prin compunerea de probleme. Compunerea de probleme este una din modalitățile cele mai originale de dezvoltare a creativității și originalității gândirii.

Există mai multe forme și succesiuni graduale de compunere a problemelor:

• Probleme acțiune sau cu punere în scenă;

• Compunere de probleme după tablouri sau imagini;

• Compunere de probleme după modelul unei probleme rezolvate anterior;

• Compunere de probleme după un plan stabilit;

• Probleme cu indicarea operațiilor matematice ce trebuie efectuate;

• Compunere de probleme cu mai multe întrebări posibile;

• Compunere de probleme cu o întrebare dată și cu mai multe conținuturi date, precum și date și relații între date ale conținutului;

• Compunere de probleme cu întrebare probabilă;

• Compunere de probleme cu un început dat, cu sprijin de limbaj;

• Compunere de probleme cu mărimi date, cu valori numerice date;

• Compunere de probleme după un exercițiu simplu sau compus;

• Compunere de probleme după un model simbolic;

• Compunere de probleme cu modificarea conținutului și a datelor

• Crearea liberă de probleme.

În crearea enunțului unei probleme institutorul trebuie să folosească date și expresii reale, astfel reușind să redee împrejurări din viața reală. Conținutul problemei propuse trebuie astfel formulat, încât să conțină date fixe care să fie în concordanță cu realitatea.

În activitatea de compunere a problemelor se trece de la compunerea liberă la compunerea care este îngrădită de anumite cerințe, din ce în ce mai restrictive.

De asemenea, jocul didactic, stimulează copilul în crearea de activități independente, creatoare. Jocurile didactice cuprind sarcini didactice care contribuie la dezvoltarea creativității elevilor, precum și la dobândirea, prin mijloace proprii de cunoștințe noi. Aceste jocuri angajează întreaga personalitate a elevului, evidențiind capacitățile creatoare a acestuia.

Atâta timp cât elevul este integrat într-un proces instructiv-educativ neatractiv, rigid, nu va putea să se bucure de o descoperire a noutăților, nu va putea să dea curs creativității și dezvoltării independente, totul decurgând mecanic.

Prin metodele noi de compunere și rezolvare a problemelor, prin jocurile didactice desfășurate la clasă, elevul reușește să se afirme. Chiar și elevii timizi sau cei mai slabi la învățătură dobândesc încredere în forțele proprii și încercând activități noi reușesc să obțină rezultate mai bune la învățătură.

Pentru cultivarea creativității la elevi se impun a fi îndeplinite anumite cerințe, printre acestea amintim: crearea unei atmosfere permisive, institutorul să insufle elevilor o atitudine și un stil de gândire creator, să orienteze elevii spre nou, să încurajeze spiritul creator al elevului încă de la primele semne.

Inteligența este una din condițiile esențiale și fundamentale a creativității, fiind o aptitudine umană și o trăsătură a tuturor proceselor cognitive.

Micul școlar, nu va fi atras de școală, de descoperirea de cunoștințe atâta timp cât nu va fi stimulat prin diverse metode care îi pot oferi posibilitatea descoperirii acestora prin munca lui creatoare, proprie. Noile cunoștințe trebuie sistematizate în așa fel încât toate disciplinele să pară atractive și să stârnească interesul școlarului, să-i insufle acestuia dorința de a descoperi din ce în ce mai multe noutăți prin munca proprie. Fondul de informații trebuie prelucrat în așa fel încât să stimuleze creativitatea elevului, de aceea sunt necesare instrumente de prelucrare a cunoștințelor și a capacității intelectuale.

Un exemplu de creativitate este dat prin rezolvarea unei probleme în 5 moduri diferite.

Problema este următoarea:

Într-o fabrică lucrează 45 de femei și de 3 ori mai mulți bărbați. Ei lucrează în echipe de câte 5. Câte echipe există în acea fabrică?

Se scriu datele problemei:

45 femei x 3……… 5 muncitori…… ?

Primul mod de rezolvare:

Câți bărbați muncesc în fabrică?

45 x 3 = 135 ( bărbați )

Câți muncitori sunt în fabrică?

135 + 45 = 180 ( muncitori )

Câte echipe se pot forma?

180 : 5 = 36 ( echipe )

(45 x 3 + 45) : 5 = 36

( a x b +a ) : c = d

Al doilea mod de rezolvare:

Câte echipe pot forma femeile?

45 : 5 = 9 ( echipe )

Câte echipe pot forma bârbații?

9 x 3 = 27 ( echipe )

Câte echipe pot forma în total?

9 + 27 = 36 ( echipe )

(45 : 5 )+ (45 : 5) x 3 = 36

( a : c ) + ( a : c) x b = d

Al treilea mod de rezolvare :

Câte echipe pot forma femeile?

45 : 5 = 9 ( echipe )

Câți bărbați lucrează în fabrică?

45 x 3 = 135 ( bărbați )

Câte echipe pot forma bărbații?

135 : 5 = 27 ( echipe )

Câte echipe se pot forma în total?

9 + 27 = 36 ( echipe )

45 : 5 + 45 x 3 : 5 = 36

a : c + a x b : c = d

Al patrulea mod de rezolvare:

Reprezentăm grafic numărul de femei și de bărbați :

Femei

Bărbați

Femeile sunt reprezentate printr-un segment, iar bărbații prin trei segmente identice. Un segment reprezintă 45 de muncitori.

Prin câte segmente egale reprezentăm numărul total de muncitori ?

1 + 3 = 4 ( segmente egale )

Câți muncitori sunt în fabrică?

45 x 4 = 180 ( muncitori )

Cîte echipe se pot forma?

180 : 5 = 36 ( echipe )

45 x ( 3 +1 ) : 5 = 36

a x ( b + e ) : c = d

Al V – lea mod de rezolvare:

Reprezentăm grafic numărul de femei și de bărbați.

Femei

Bărbați

Femeile sunt reprezentate printr-un segment , iar bărbații prin trei segmente identice. Un segment reprezintă 45 de muncitori.

Câte echipe pot forma femeile?

45 : 5 = 9 ( echipe )

Prin câte segmente egale reprezentăm numărul total de muncitori?

1 + 3 = 4 ( segmente egale )

Câte echipe se pot forma în total?

9 x 4 = 27 ( echipe )

45 : 5 x ( 1 + 3 ) = 36

a : c x ( e + b ) = d

Problema prezentată mai sus a fost un exemplu de creativitate în rezolvarea problemelor matematice. O problema a fost rezolvată în cinci moduri diferite, folosindu-ne creativitatea, astfel s-a ajuns , prin toate cele 5 moduri de rezolvare, la aceeasi soluție. S-a utilizat metoda analitică, sintetică și grafică .

La vârste școlare mici, elevii au o receptivitate maximă, ceea ce face ca încă din școala primară, creativitatea să ocupe un loc foarte important. Copilul zilelor noastre trebuie stimulat să devină omul creator de mâine, creativitatea ajutându-l totodată să se dezvolte, să se realizeze și să determine schimbările viitoare.

CAPITOLUL V

ASPECTE PRIVIND METODE ȘI TEHNICI DE REZOLVARE ȘI COMPUNERE A PROBLEMELOR DE ARITMETICĂ ÎN CICLUL PRIMAR.

PREZENTAREA REZULTATELOR OBȚINUTE ȘI INTERPRETAREA LOR

Robert Dottrens, în lucrarea ”A educa și a instrui”, precizează că la venirea în școală:”Copilul cunoaște situații concrete din viața obișnuită – este trimis de mama să cumpere pâine. De mic se familiarizează cu noțiunea de schimb, de echivalență și folosirea monedei, de fapt copilul trebuie să soluționeze concret o problemă simplă, referitoare la cumpărarea unor alimente.”

În clasele mici, mai ales la început, formarea deprinderilor de a rezolva și compune probleme reprezintă un proces complex.

La clasa I trebuie să se formeze capacitatea elevilor de a rezolva și compune probleme, astfel încât este necesar de subliniat că în rezolvarea oricărei probleme, esențialul constă în dezvoltarea implicațiilor ascunse ale unor date cunoscute. La clasele I și a II-a, raționamentul problemelor este dat de enunțul acestora. La clasele III-IV sunt cuprinse diverse probleme, probleme de mai multe tipuri.

În clasa I, pentru însușirea corectă a adunării și scăderii, elevii sunt puși în fața unor probleme simple.

Exemplu : Ana are 4 mere și Maria are 3 mere.Câte mere au împreună cele două eleve din clasa noastră?

Punem întrebarea: Ce trebuie să facem pentru a afla câte mere au împreună cele două fetițe? ( să le punem laolaltă ). Un elev a așezat în mod real merele celor două fetițe la un loc, pe catedră. Câte unități are primul număr? ( patru unități ). Dar al doilea? ( trei unități ). Ce facem cu unitățile celor două numere? ( le adunăm ). Această concluzie se repetă de către doi, trei elevi.

Cercetarea pedagogică, pe baza căreia cunoaștem, ameliorăm sau inovăm fenomenul educațional, este o acțiune de observare și investigare, ocupând un loc foarte important.

Prin această cercetare am încercat să ajut elevii în înțelegerea, interpretarea și soluționarea problemelor de matematică. De asemenea, am încercat să contribui la dezvoltarea creativității prin rezolvarea și compunerea de probleme, predarea matematicii în clasele primare ocupând un loc foarte important.

In desfășurarea cercetării am propus câteva teste de evaluare, teste care au un efect foarte important în însușirea cunoștințelor matematice de ciclul primar, precum și în dezvoltarea creativității elevilor . Obiectul acestei cercetări pedagogice este

” Dezvoltarea creativității elevilor din ciclul primar prin rezolvarea și compunerea de probleme de matematică ”.

V.1.Ipotezele cercetării

Ipoteza generală : Dacă la elevii clasei a III-a utilizăm metodele de rezolvare și compunere a problemelor , dezvoltăm creativitatea, asigurăm optimizarea perfomanțelor școlare.

Ipotezele cercetării:

Ip.1 Cadrele didactice cunosc necesitatea utilizării metodelor de rezolvare și compunere a problemelor in randul elevilor de clasa a treia , atunci acestea pot fi valorificate eficient în dezvoltarea creativității acestora la ciclul primar.

Ip.2 Dacă se dorește dezvoltarea creativității și dezvoltarea logicii în gândirea elevilor de clasa a III-a, atunci este nevoie de organizarea cât mai atractivă a activităților utilizând metode și mijloace adecvate.

Ip.3. Prin utilizarea și integrarea adecvată în activitățile de matematică a metodelor de rezolvare și compunere a problemelor se poate ajunge la creșterea eficienței înțelegerii noțiunilor matematice și a problemelor matematice, precum și la creșterea randamentului școlar al elevilor de clasa a III-a.

V.2. Obiectivele cercetării

Obiectivul general este realizarea unei cercetări privind atitudinea cadrelor didactice față de utilizarea metodelor de rezolvare și compunere a problemelor matematice în cadrul procesului instructiv-educativ la nivel de învățământ școlar, precum și rolul acestor metode în dezvoltarea creativității și logicii elevilor, în optimizarea performanțelor școlare la matematică, activizarea și optimizarea potențialului intelectual.

Obiectivele specifice ale cercetării:

O1 – identificarea necesității utilizării metodelor de rezolvare și compunere a problemelor matematice la ciclul primar;

O2 – analizarea modalităților de realizare a procesului instructiv – educativ în înțelegerea problemelor la ciclul primar;

O3 – evidențierea legăturii între utilizarea metodelor de rezolvare și compunere a problemelor și dezvoltarea creativității matematice a elevilor;

O4 – evidențierea legăturii între utilizarea metodelor de rezolvare și compunere a problemelor și dezvoltarea logicii în soluționarea acestora;

O5 – cunoașterea și precizarea locului pe care-l ocupă metodele de rezolvare și compunere a problemelor ca formă de activitate și ca metoda de predare – învățare.

V.3. Metode de cercetare

Pentru a putea demonstra ipotezele prezentate mai sus, mi-am propus declanșarea unei cercetări psihopedagogice în care am folosit o serie de metode de cercetare: observarea, experimentul, testarea cunoștințelor. Aceste metode fiind la îndemâna noastră ca practicieni în domeniul educației copiilor, ne este mai ușor sa observăm evoluția elevilor, decât am obține prin simpla observație. Pe parcursul cercetării, în activitatea zilnică cu elevii, metodele, procedeele și tehnicile de cercetare au fost adaptate continuu, în funcție de caracteristicile, de evoluția și modificările ce intervin în cadrul fenomenului real.

Având posibilitatea unui contact direct cu elevii, putem găsi soluțiile eficiente, precum și tehnicile de lucru potrivite.

Pe parcursul desfășurării activității de instruire și educare, am efectuat și un demers de cnuoaștere a personalității copilului, astfel încât, activitatea de predare alături de cea de cunoaștere, aflându-se într-o strânsă legătură.

Cunoașterea personalității fiecărui elev în parte ajută cadrul didactic să prevadă care va fi evoluția acestora. Înainte de a fi un bun cadru didactic, trebuie să fii un bun psiholog.

În debutul cercetării pedagogice am ales ca grup țintă două clase : clasa a III-a A și clasa a III-a C.

Pentru validitatea ipotezei prezentate folosesc următoarele metode de cercetare:

Μеtodе dе ϲolеϲtarе a datеlor ϲеrϲеtărіі (ϲonѕtatatіvе), drumurі ϲе au trеbuіt parϲurѕе ѕprе a ѕtrângе datе / faptе ϲarе au putut ѕprіjіnі ѕtruϲturarеa unuі răѕpunѕ la problеma în ѕtudіu:

3.3.1. Obѕеrvațіa.

3.3.2.Μеtoda tеѕtеlor.

3.3.3. Analіza produѕеlor aϲtіvіtățіі.

3.3.4. Сonvorbіrеa.

3.3.5. Μеtoda bіografіϲă

Μеtodе dе măѕurarе a datеlor / faptеlor proϲuratе:

– mеtoda ordonărіі;

– mеtoda ϲomparărіі pеrеϲһіlor;

Μеtodе dе еvaluarе:

– numărarеa (raportul proϲеntul);

– ѕϲărіlе dе еvaluarе (notеlе șϲolarе, tеѕtе doϲіmologіϲе);

– ϲlaѕіfіϲarе (așеzarе în ѕеrіе, ϲomparațіa bіnară șі barеmul);

Μеtodе dе prеzеntarе șі prеluϲrarе ѕtatіѕtіϲo – matеmatіϲă:

tabеlul dе rеzultatе;

rеprеzеntărіlе grafіϲе.

Valorificarea rezultatelor acestor date și metode ajută la concretizarea lucrării ” Dezvoltarea creativității elevilor din ciclul primar prin rezolvarea și compunerea de probleme de matematică ”. Aceste rezultate vor fi de folos la îmbunătățirea activității didactice personale. Concluziile vor fi prezentate în cadrul comisiei metodice a învățătoarelor din cadrul școlii, precum și la cercul pedagogic al învățătoarelor.

V.4.Organizarea cercetării

Lot de subiecți

Cercetarea vizează două clase a III-a : clasa a III-a A și clasa a III-a C. Acest lot cuprinde un număr de 50 de elevi, 25 de elevi / clasă, vârstele cuprinse între 8 sau 9 ani împliniți în timpul anului 2014, anul acesta prezența fiind de 85% – 95 % zilnic, absențele fiind doar din motive obiective ( probleme de sănătate). Copiii acestor clase nu prezintă probleme speciale, ei fac parte din învățământul de masă provenind din familii normale, unde nu sunt întâlnite probleme deosebite.

Stabilirea variabilelor

Legat de ipotezele prezentate , se desprind două variabile ale cercetării :

Variabila independentă :

– utilizarea metodelor de rezolvare și compunere a problemelor dezvoltând creativitatea matematică elevilor din clasa a III-a.

Variabilele dependente:

creșterea eficienței rezolvării și compunerii de probleme prin metodele prezentate și implicit a progresului școlar:

modificări produse la nivelul proceselor psihice ( gândire, logică, creativitate, memorie, limbaj matematic ) în atitudinea elevilor și în comportamentul lor;

rezultatele obținute în urma desfășurării activităților de predare a metodelor de rezolvare și compunere a problemelor matematice.

Etapele cercetării:

Etapa constatativă : 20 septembrie 2014 – 16 octombrie 2014

Etapa formativă: 16 octombire 2014 – 01 mai 2015

Etapa evaluativă: 01 mai 2015 – 10 mai 2015

Desfășurarea cercetării

Etapa constatativă: 20 septembrie 2014 – 16 octombrie 2014

Pentru a dezvolta creativitatea prin aplicarea de metode de rezolvare și compunere a metodelor, pentru a demonstra această ipoteză, am pornit desfășurarea proiectului de cercetare.

Proiectul s-a aplicat pe un lot de subiecți aleși și clasificați pe următoarele criterii :

Vârsta

Grafic 1

Sex

Grafic 2

Mediu rezidențial

Grafic 3

Performanțe școlare

Grafic 4

După ce am ales clasa experimentală, pentru a vedea nivelul acestora de inteligență, mi-am propus efectuarea unui test de evaluare inițială.

Evaluarea inițială sau predictivă are ca scop cunoașterea capacităților de învățare ale elevilor, stabilirea gradului în care aceștia au asimilat noțiuni, concepte pe care ulterior să le aplice în diferite situații de învățare. Rezultatele astfel obținute sunt valorizate în proiectarea conținutului instruirii din etapa următoare, impunând, în același timp, direcțiile și modalitățile de acțiune ameliorativă și corectivă.

Elaborarea testelor predictive presupune reluarea obiectivelor cadru și de referință specifice anului școlar precedent și a standardelor de performanță în vederea stabilirii capacităților, deprinderilor pe care toți elevii ar trebui să le posede până la nivelul de performanță minimal.

Testele de evaluare inițială propuse la clasa a III-a la disciplina matematică sunt structurate pe trei secvențe corespunzătoare celor trei niveluri de evaluare ( foarte bine, bine, suficient ), centrate în jurul obiectivelor cadru referitoare la cunoașterea și utilizarea noțiunilor matematice și comunicarea utilizând aceste noțiuni , formarea și dezvoltarea capacităților de explorare, investigare și rezolvare de probleme în contexte variate.

Itemii propuși sunt obiectivi și semiobiectivi, dar și subiectivi ( rezolvări de probleme).

Timpul alocat la clasa a-III-a este de 25 de minute.

Test de evaluare inițială , matematică, clasa a III-a, reflectă următoarele matrice specifice:

La clasa experimentală, clasa a III-a C, s-a aplicat următorul test de evaluare inițială:

Partea I

1.Cornel a scris trei numere cu litere. Tu scrie-le cu cifre!

– paisprezece

– saizeci și opt

– cinci sute nouăzeci și doi

2.Adela este curioasă să găsească toate numerele naturale cuprinse între 21 și 41 care conțin cifra 4. Ajut-o, scriindu-le în spațiul de mai jos!

3.Compară numerele, punând semnul matematic potrivit între ele:

14 23 714 714 98 89

Partea a II – a

4.Ajută-l pe Mihai să găsească numărul:

a. cu 7 mai mare decât 88.

Răspuns………..

b.cu 14 mai mic decât 72.

Răspuns…………

c.care,adunat cu 0 și din care scazi 0, dă 851.

Răspuns…………..

5.Citește cu atenție și rezolvă problema, cu plan de rezolvare.

La o bibliotecă sunt 947 de cărți, dintre care 333 sunt în limbi străine, iar restul sunt în limba română.

Câte cărți în limba română sunt la acea bilbiotecă?

Rezolvare:

6.Încercuiește litera din fața cuvântului care arată ce formă are figura geometrică din coloana din stânga:

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ – PARTEA I

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ – PARTEA A II-A

EVALUARE FINALĂ

REZULTATE OBȚINUTE DE CLASA EXPERIMENTALĂ:

Rezultate obținute la evaluarea inițială:

Grafic 5

CONSTATĂRI:

Dintr-un efectiv de 25 de școlari de la grupa experimentală:

2 școlari au avut nevoie de sprijin permanet pentru rezolvarea cerințelor;

3 școlari au avut comportamente în dezvoltare;

10 școlari nu au realizat punctaj maxim, obținând doar B

10 școlari au obținut FB, rezolvând majoritatea itemilor.

Pentru școlarii care au greșit s-au impus următoarele măsuri de recuperare:

Antrenarea permanentă în activități a școlarilor respectivi;

Rezolvarea unor probleme simple,la început,apoi trecerea treptată la rezolvarea de probleme mai complexe folosind metodele de rezolvare a problemelor;

Explicarea și punerea în aplicare a metodelor de compunere a problemelor;

Prin aplicarea metodelor de rezolvare și compunere a problemelor s-a încercat dezvoltarea creativității elevilor,precum și a gândirii logice.

Măsuri de performanță:

Aplicarea de probleme și exerciții pentru rezolvarea de probleme matematice

Explicarea procedeelor de compunere a problemelor matematice.

Rezolvarea problemelor prin metodele învățate și găsirea soluțiilor corecte.

În acest moment am introdus variabila independentă pentru îmbunătățirea performanțelor-utilizarea metodelor de rezolvare și compunere a problemelor dezvoltând creativitatea matematică elevilor. Astfel se poate trece la faza următoare a experimentului.

Etapa formativă : 16 octombrie 2014 – 01 mai 2015

După perioada probelor inițiale prin care s-a stabilit nivelul la care se află clasa experimentală la începutul anului școlar, a urmat perioada de formare, care a constat în aplicarea de probleme care se rezolvă prin metodele de rezolvare prezentate, precum și compunerea de probleme matematice.

Observând nivelul cunoștințelor matematice la care se situează elevii clasei experimentale la începutul anului, mi-am propus ameliorarea rezultatelor prin desfășurarea de activități antrenante, care să stimuleze interesul acestora față de matematică.

Activizarea copiilor s-a realizat printr-o serie de activități și fițse didactice, în cadrul cărora am utilizat metode activ-participative precum: cubul, brainstormingul, metoda cadranelor, metoda ciorchinelui etc.

Aceste activități au urmărit ca elevii să atingă, în mod conștient activ, câteva dintre obiectivele activităților matematice propuse de programa pentru clasa a III-a:

1.Cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii:

– să înțeleagă și să utilizeze sistemul pozitional de formare a numerelor naturale mai mici decât 1000000;

– să scrie și să citească, să compare , să ordoneze, să facă estimări folosind numere mai mici decât 1000000;

– să efectueze operații de adunare și scădere cu numere mai mici decât 10000;( fără trecere peste ordin;cu trecere peste ordin)

– să efectueze operații de înmulțire și de împărțire cu numere naturale mai mici decât 100.

2.Dezvoltarea capacităților de explorare/investigare și rezolvare de probleme:

– să descopere, sp recunoască și să utilizeze corespondențe simple și succesiuni de obiecte sau numere asociate după reguli date;

– să explorere modalități de efectuare a înmulțirii sau împărțirii în 0 – 1000 folosind diferite tipuri de grupări și reprezentări;

– să exploreze modalități variate de a compune și de a descompune numere naturale mai mici decât 1000;

– să rezolve și să compună probleme de tipul : ? + a = b sau ? + a < b, a și b numere mai mici decât 1000 sau de tipul ? x c = d; ? : c = d unde c ≠0, d este multiplu a lui c în interval de numere naturale de la 0 la 100;

– să folosească simboluri pentru a pune în evidență numere necunoscute în rezolvarea de probleme;

– să utilizeze intstrumente și unități de măsură strandard și nonstandard pentru lungime, capacitate, masa,timp și unitățile monetare în situații variate;

3.Informarea și dezvoltarea capacității de a comunica utilizând limbajul matematic

– să exprime clar și concis semnificația calculelor făcute în rezolvarea unei probleme.

În activitatea de rezolvare și de compunere de probleme, au fost de un real folos ilustrațiile. Prezentarea de enunțuri la care elevii să completeze întrebarea și invers, întrebări pe baza cărora elevii să formeze enunțuri, le dezvoltă acestora gândirea creatoare, imaginația, căutând răspunsul la fiecare întrebare și reflectând asupra a ce întrebare sau enunț să formuleze în legătură cu cerința problemei.

Până la formarea noțiunii de problemă se parcurg mai multe etape:

– etapa I : rezolvări de probleme simple , cu date din mediul înconjurător, numai oral.

– etapa a II-a: rezolvări de probleme după date desenate (schițate).

– etapa a III-a: completarea de către elevi a datelor problemei care lipsesc astfel ca să se poată efectua apoi rezolvarea ei.

– Exemplu: La o grădiniță s-au adus………jucării, dintre care 15 s-au dat la grupa mică, 20 la grupa mijlocie, iar restul la grupa mare. Câte jucării a primit grupa mare?

– etapa a IV- a: completarea de către elevi a întrebării la problemă, apoi rezolvarea ei.

– etapa a V-a : compuneri de probleme de către elevi după un “dicționar” de întrebări, de predare sau alte elemente de orientare .

Urmând aceste etape, elevii ajung să rezolve probleme diverse. La rezolvarea de probleme după datele desenate, elevul face corespondența dintre datele schițate și realitate. Astfel el își folosește imaginația în rezolvarea acestor probleme și analizează în detaliu datele desenate. Când elevii trebuie să completeze datele care lipsesc dintr-o problemă, aceștia caută datele posibile și situațiile optime în rezolvarea acesteia, în acest fel dezvoltându-și flexibilitatea gândirii. Când elevii trebuie să completeze întrebarea problemei aceștia sunt puși în situația de a lua decizii legate de practica vieții, astfel făcând legătura dintre cele două componente ale problemei: enunț și întrebare.

Astfel, încet, încet elevii ajung la nivelul de a alcătui singuri probleme simple.

După recapitularea adunării și scăderii se trece la capitolul de rezolvare de probleme.

Li s-a cerut să alcătuiască probleme după desenele prezentate:

În funcție de aceste desene, majoritatea elevilor au formulat următoarele probleme:

Andrei are 60 creioane. Maria are 20 creioane. Câte creioane au împreună?

Elevii care au înclinații mai mari către matematică au formulat alt gen de problemă, și anume:

Mama are într-un coș 60 pere și în alt coș 20 mere. Cu cât este mai mare numărul perelor decât al merelor?

După formularea de probleme în funcție de desenele date, au urmat compunerea de probleme după exercițiile date.

De exemplu:

Alcătuiți o problemă după exercițiul dat: 8 – 4 = ?

Majoritatea problemelor simple au avut enunțuri care sunau cam așa:

Bunica are 8 mere și 4 pere. Cu cât numărul merelor este mai mare decât numărul perelor?

Făcând astfel de enunțuri si creând după desene, după exerciții probleme simple, elevii au observat că pentru a afla răspunsul corect, trebuie să se afle diferența dintre numere, astfel apelând la operația de scădere.

Pentru a se înțelege și mai bine rezolvarea de probleme s-a încercat și prezentarea acestora în mod direct , prin activități reale, apelând la materiale intuitive, procedând la punerea problemei în scenă, la rezolvarea acestora bazându-ne pe obiecte și imagini.

Trecând de această etapă foarte importantă , de rezolvare a problemelor și de învățare a lor, s-a trecut apoi și la etapa de creație, momentul în care, elevii, în funcție de probleme pe care le-au învățat, trebuie să creeze alte probleme ( pe baza modelelor celor învățate ). Am considerat că acest lucru duce la dezvoltarea limbajului matematic, la stimularea creativității, elevii ajungând să stăpânească foarte bine rezolvarea și compunerea problemelor.

Pentru a compune problemele într-un mod corect, trebuie avute în vedere anumite cerințe, elevii trebuind să le respecte: să corespundă numărul de operații, să corespundă operației sau operațiilor date și să corespundă realității.

La această etapă am întâmpinat greutăți pentru că elevilor , mai ales la început, le vine foarte greu sa respecte condițiile prezentate.

La clasa a III- a am prezentat și rezolvat cu elevii probleme cu ajutorul schemelor.

Exemplu:

Ana are 4 mere.Mama îi mai dă 5 pere.Câte fructe are Ana?

4 mere…………………………..5 pere………………..? fructe

La această schemă se pun și figurinele decupate,apoi se face schema:

Punând laolaltă fructele am aflat totalul acestora,apoi s-au mai dat câteva exemple de probleme de acest gen.

Am încercat, apoi să facem schema pornind de la întrebarea problemei.

Exemplu: Ana are 6 mere.Fratele ei îi mai dă 2 mere.Câte mere are Ana în total?

6 mere…………………….2 mere…………………………..? mere

II. Câte mere are Ana în total?

Câte mere are Ana? + Câte mere îi da fratele ei?

După astfel de scheme s-a cerut elevilor să compună probleme asemănătoare.

Exemplu:

Rezolvarea problemelor compuse, fiind o parte mai complexă, s-a procedat conform metodicii aritmeticii, rezolvându-se succesiv două probleme simple, astfel încât, rezultatul primei probleme să constituie un element din cea de-a doua problemă.

Exemplu:

Prima problemă:

Vladuț are 5 bluzițe. Mama îi mai cumpără încă 4 bluzițe. Câte bluzițe are Vladuț?

5 bluzițe + 4 bluzițe = 9 bluzițe

A doua problemă;

Din cele 9 bluzițe pe care le avea Vladuț, i-a dat și fratelui său 3 bluzițe.Câte bluzițe i-au mai rămas?

9 bluzițe – 3 bluzițe = 6 bluzițe

Aceste două probleme simple s-au unificat într-o singură problemă. Pentru rezolvarea celor două probleme simple s-a efectuat câte o operație, iar pentru cealaltă problemă au fost necesare două operații. Astfel s-a prezentat elevilor că pe viitor se vor rezolva probleme cu două, trei și chiar mai multe operații.

Când dorim să rezolvăm o problemă compusă, aceasta trebuie gândită logic, luând separat spre examinare probleme simple care o compun, trebuie sesizate legăturile dintre ele pentru a se putea stabili succesiunea acestor probleme în vederea găsirii rezultatului final.

Printre altele s-a rezolvat și următoare problemă:

Într-o livadă sunt 20 meri, 8 peri , 12 pruni și caiși.Câți caiși sunt dacă numărul pomilor din livadă este 100?

După ce s-a examinat problema în detaliu, s-a trecut la planul de rezolvare a acesteia, fiind necesară enunțarea celor două probleme simple cu ajutorul cărora s-a descompus problema dată și indicând și succesiunea acestor probleme în efectuarea calculelor.

Numărul merilor, perilor și prunilor: 20 + 12 +8 = 40

Numărul caișilor 100 – 40 = 60

Această problemă poate fi examinată și prin metoda sintetică astfel:

Cunoscând câți meri, peri și pruni sunt, se poate afla numărul merilor, perilor și prunilor.

Cunoscând numărul total de pruni și numărul merilor, perilor și prunilor se poate afla numărul caișilor.

Problema compusă trebuie descompusă în problemele simple din care este alcătuită, acest proces fiind un proces de analiză, iar planul de rezolvare cu stabilirea succesiunii problemelor simple, constituie un proces de sinteză.

S-a dat exemplu la clasă rezolvarea unei probleme prin mai multe metode.

Exemplu:

Dintr-un vas care conține 98 l de lapte s-au turnat într-un alt vas 23 l. Apoi s-au mai umplut încă 24 de sticle de câte un litru fiecare. Cîți litri de ulei au rămas în vas?

Primul mod de rezolvare:

Ce cantitate de lapte a rămas în vas după umplerea celuilalt vas?

98 l – 23 l = 75 l

Câți litri de lapte au rămas în vas?

75 l – 24 l = 51 l

Astfel: 98 – 23 – 24 = 51

Al doilea mod de rezolvare:

Câți l s-au scos în total din vas?

23 l + 24 l = 51 l

Câți l de lapte au rămas în vas?

98 l – 47 l = 51 l

Se observă că rezolvarea problemei în două moduri diferite duce la același rezultat.

Nicolae Oprescu spunea ” Cu cât problema oferă mai multe posibilități de rezolvare, cu atât solicită mai mult capacitatea elevilor de a sesiza variantele de rezolvare.”

Din clasa a treia se pune accentul rezolvării problemelor prin reprezentări grafice, astfel cu ajutorul desenului reprezentăm mărimile necunoscute și fixăm în desen relațiile dintre ele și a mărimilor date în problemă. Prin figura desenată trebuie schematizat enunțul problemei pentru a păstra cu atenție relațiile matematice.

Se dă problema:

Doi frați au cules împreună 200 mere.Câte mere a cules fiecare dacă unul din ei a cules cu 16 mere mai multe decât celălalt?

Primul mod de rezolvare:

Se vor reprezenta cele două mărimi care intervin în problemă.

I I

Nr de mere culese de unul dintre frați.

I –––– I––––I

Nr de mere culese de celălalt frate.

Diferența reprezentată prin punctulețe este diferența dintre numărul merelor culese de cei doi frați. Segmentul din dreapta reprezintă merele celor doi frați la un loc , aceste segmente fiind egale și segmentul punctat reprezintă cele 16 mere în plus culese de unul dintre frați.

Pentru a determina numărul de mere care reprezină unul din segmentele egale se va proceda astfel:

( 200 – 16 ) : 2 = 92 ( nr. de mere culese de unul dintre frați )

92 + 16 = 108 ( nr. de mere culese de celălalt frate )

Verificare: 92 + 108 = 200

Al doilea mod de rezolvare:

Vom egala mărimile cu numărul mai mare.

Aflăm numărul de mere culese de cei doi frați împreună, presupunând că și fratele care a cules mai puține mere ar avea cât celălalt și atunci:

200 + 16 = 216 ( mere )

Aflăm numărul de mere mai mare:

216 : 2 = 108 ( mere )

Aflăm numărul de mere al celuilalt frate, care este mai mic.

216 – 108 sau 108 – 16 ,adică 92 nuci.

Pentru a se forma o bună deprindere de lucru și pentru ca raționamentul matematic să fie adecvat, e de preferat ca acest gen de probleme să se rezolve în acest fel, folosind două metode de rezolvare. Pentru reprezentare grafică nu e obligatoriu să se folosească numai segmente. Se pot folosi și alt gen de elemente grafice.

S-a încercat susținerea unui test având la baza probleme rezolvate prin metoda figurativă.În test au fost cuprinse următoarele probleme:

Trei loturi de pământ , în total…ha, au fost semănate cu grâu. Lotul al doilea are suprafața de … ori mai mare decât primul, iar al treilea de… ori mai mare decât primul. Aflați suprafața fiecărui lot.

( în locul punctelor puneți numerele potrivite și rezolvați problema )

Să se împartă numărul … în două părți, astfel încât o parte să fie cu …mai mică decât cealaltă.

(Puneți în locul punctelor numere potrivite și rezolvați problema)

Compuneți o problemă după modelul de mai sus, punând în locul punctelor numere potrivite, astfel încât o parte să fie de atâtea …ori, mai mică decât cealaltă.

În 4 hambare se află 10 t și 79 kg secară. În al doilea hambar cu 1 t și 12 kg mai puțin decât în primul, în al treilea hambar se află cu 80 kg mai puțin decât în al doilea, iar în al patrulea cu 1 t și 75 kg mai mult decât în al treilea. Ce cantitate de secară se află în fiecare hambar?

Testul a fost aplicat la clasa a III-a , numărul de elevi prezenți fiind de 25, după predarea-învățarea problemelor care se rezolvă prin metoda figurativă.

OBIECTIVE:

1.să cunoască și să aplice demersurile metodice și tehnice de rezolvare a problemelor;

2. să aplice operațiile studiate în rezolvări și compuneri de probleme;

3.să realizeze proba operațiilor prin estimare și calcul.

ACORDAREA CALIFICATIVELOR:

FB – pentru rezolvarea corectă a problemelor;

FB/B – pentru o greșeală;

B – pentru cel mult două greșeli;

B/S – pentru rezolvarea corectă a problemelor :3,4.

S – pentru rezolvarea a cel puțin 2 probleme;

S/I – pentru rezolvarea uneia din probleme.

I – pentru lipsa rezolvării problemelor.

REZULTATE OBȚINUTE LA EVALUAREA FORMATIVĂ:

Din 25 de elevi s-au obținut următoarele rezultate:

Grafic 6

După acest test s-au reluat problemele pentru a se clarifica ceea ce nu s-a înțeles.

CONSTATĂRI:

Dintr-un efectiv de 25 de școlari de la grupa experimentală în etapa formativă s-au observat următoarele:

– 1 școlar a mai avut nevoie de sprijin permanet pentru rezolvarea cerințelor;

– 2 școlari au avut comportamente în dezvoltare;

– 10 școlari nu au realizat punctaj maxim, obținând doar B

– 12 școlari au obținut FB, rezolvând majoritatea itemilor.

După înrеgіѕtrarеa datеlor în tabеlul ϲеntralіzator 2 șі întoϲmіrеa һіѕtogramеі nr. 2, a polіgonuluі dе frеϲvеnță nr. 2 șі a dіagramеі radіalе nr. 2 ѕ-a ϲonѕtatat ϲă:

– 12 ϲopіі au obțіnut ϲalіfіϲatіvul FB

– 10 ϲopіі au obțіnut ϲalіfіϲatіvul B

– 3 ϲopіі au obțіnut ϲalіfіϲatіvul Ѕ șі І

În urma еvaluărіі ѕumatіvе ѕ-a ϲonѕtatat ϲă:

-Au progresat față de evaluarea inițială de la calificativul Suficient la calificativul Bine un număr de 2 copii. Au mai rămas 2 copii cu calificativul Suficient care au înrеgіѕtrat progrеѕе maі rеduѕе, unul І. Dіntrе aϲеștіa 3 dіntrе еі au avut problеmе dе ѕănătatе, având multе abѕеnțе.

– au trеϲut dе la ϲalіfіϲatіvul Bіnе la ϲalіfіϲatіvul Foartе Bіnе 5 ϲopіі;

– toțі ϲopііі au înrеgіѕtrat progrеѕе, ϲһіar daϲă unіі dіntrе еі au ѕtagnat ϲa șі ϲalіfіϲatіv,

maі prеϲіѕ 10 ϲopіі au obțіnut tot ϲalіfіϲatіvul Bіnе, ϲa șі la еvaluarеa іnіțіală, іar 3 dіntrе еі

ϲalіfіϲatіvul Ѕufіϲіеnt șі іnѕufіϲіеnt.

Evaluarea finală – 01 mai 2015 – 10 mai 2015

Testarea elevilor se face pentru a ne putea da seama de realizările și nerealizările acestora.Totuși, acest lucru, nu ne ajută să ne dăm seama dacă elevii practică cu plăcere acest obiect. Matematica trebuie predată în așa fel încât acest obiect să stârnească interesul elevilor, să-i angajeze în activități de învățare, să le declanșeze dorința și atracția pentru rezolvarea problemelor si exercițiilor.

În acest sens am organizat un experiment care s-a desfășurat pe un eșantion de 25 de elevi din clasa a III-a, în anul școlar 2014 – 2015 și a constat în aplicarea a 3 teste pentru verificarea și aprecierea cunoștințelor elevilor referitoare la capitolul

” Înmulțirea numerelor naturale de la 0 la 10”, precum și pentru cunoașterea nivelului lor de aspirații.

Pentru început am făcut un instructaj care a constat în explicații și lămuriri în legătură cu ceea ce aveau de făcut.

Fiecare elev a primit un set de trei lucrări:

Lucrarea A pentru calificative până la S.

Lucrarea B pentru calificative până la B.

Lucrarea C pentru calificative până la FB.

Dificultățile de rezolvare a sarcinilor au fost trecute în ordine crescândă în conformitate cu nota maximă ce putea fi obținută.

Elevii au primit lămuriri referitoare la dificultatea sarcinilor de lucru, la punctajul acordat fiecărei sarcini corect rezolvate precum și indicația de a citi toate lucrările cu atenție și de a-și alege pe aceea care cred că o pot rezolva în întregime și care reprezintă nota maximă aspirată de fiecare. Dacă pe parcurs realizează că nu poate efectua lucrarea aleasă inițial, are posibilitatea de a-și lua altă lucrare. În considerare se ia nota aspirată inițial. În cazul în care termină lucrarea înaintea expirării timpului acordat ( 30 minute ) pot lua și altă lucrare ( mai pretențioasă ) spre rezolvare. Nota realizată se stabilește în funcție de sarcinile efectuate corect.

Testele aplicate,rezultatele obținute și interpretarea lor sunt următoarele:

TESTUL NUMĂRUL 1

OBIECTIVE:

1.Să efectueze înmulțirile date când un factor este 0,1,2 sau 3;

2.Să aplice procedeul de lucru într-un exercițiu cu paranteze;

3.Să compare produse cu numere date sau produse cu produse;

4.Să transpună în exercițiu cu operații adecvate unele expresii verbale pe baza cunoașterii limbajului matematic și să rezolve exercițiul obținut;

5.Să sesizeze relațiile cantitative dintre mărimile problemei și să le exprime corect prin operații matematice.

LUCRAREA A

1.Calculați : 2p

2 x 7 = 6 x 3 = 5 x 2 = 2 x 9 =

3 x 4 = 1 x 7 = 8 x 1 = 6 x 0 =

2.Înmulțiți 3 cu 8 , 2 cu 6, 7 cu 3, 2 cu 5. 1p

3.Măriți de 3 ori numerele : 5, 4 , 1 , 10. 1p

4.Calculați: 1p

(2 x 6) + 23 = 8 + ( 3 x 2 ) =

LUCRAREA B

1.Calculați: 2p

( 2 x 8 ) + ( 3 x 4 ) = 81 – ( 3 x 9 ) =

( 7 x 3 ) – ( 1 x 9 ) = ( 6 x 3 ) + 121 =

2.Aflați produsul numerelor: 2 și 4, 3 și 9, 5 și 2, 6 și 3. 1p

3.Calculați: 2p

3 x 2 = 5 x 3 = 9 x 2 = 0 x 6 =

4 x 3 = 2 x 8 = 7 x 1 = 1 x 8 =

4.Sanda are 9 timbre. Irina are de 3 ori mai multe. Câte timbre au în total? 2p

LUCRAREA C

2p 1.Completați tabelul :

1p 2.Aflați numerele de 3 ori mai mari decât : 7, 5, 10, 2, 0.

1p 3.Comparati :

9 x 3 ____21 4 x 3 _____2 x 6

11_____5 x 2 8 x 2 _____3 x 3

2p 4.Calculați :

( 2 x 4 ) + ( 3 x 8 ) = 90 – ( 5 x 3 ) =

( 9 x 3 ) – ( 6 x 2 ) = ( 4 x 3 ) + 132 =

2p 5.Din produsul numerelor 7 și 3 scădeți produsul numerelor 2 și 5.

2p 6.Pe un raft sunt 8 cărți, iar pe al doilea de 3 ori mai mlte.Câte cărți sunt în total?

TESTUL NUMĂRUL 2

OBIECTIVE:

1.Să completeze în tabel produsele potrivite când un factor este 0, 1, 2, 3, 4 sau 5;

2.Să transpună în operații adecvate exercițiile: de …ori mai mare, măriți de…ori, măriți de…ori, micșorați cu…,măriți cu….

3.Să completeze factorii necunoscuți.

4.Să aplice corect limbajul matematic în rezolvarea unor exerciții formulate anterior.

5.Să rezolve probleme cu conținut matematic.

LUCRAREA A

3p 1.Completați tabelul :

1p 2.Comparați:

8 x 3 _____5 x 6 9 x 4 ______5 x 2

1p 3.Calculați :

( 7 x 3 ) + ( 5 x 4 ) = ( 8 x 5 ) + ( 2 x 5 ) =

LUCRAREA B

3p 1.Completați tabelul:

2p 2.Aflați numerele care sunt?

De 5 ori mai mari decât fiecare dintre numerele 9, 3, 8, 4.

Cu 5 mai mari decât fiecare din numerele 8, 3, 9, 7.

1p 3.Din suma numerelor 27 și 25 scădeți produsul numerelor 9 și 4.

1p 4.Pe un raft sunt 9 cărți, pe altul sunt de 5 ori mai multe.Câte cărți sunt în total pe cele 2 rafturi?

LUCRAREA C

1p 1.Măriți de 4 ori numerele: 7, 5, 9, 8.

1p 2.Micșorați cu 4 numerele: 12, 32, 25, 50.

1p 3.Completați factorii necunoscuți:

9 x …. = 36 …. x 8 = 40 7 x ….= 21

…. x …. = 24

1p 4.Din produsul numerelor 5 și 9 luați numerele 4 și 7.

2p 5.Maria are de rezolvat 50 de probleme. Ea rezolvă în prima zi 9 probleme, iar în a doua zi de 3 ori mai multe. Câte probleme mai are de rezolvat Maria?

În urma celor două teste observăm un ușor regres în însușirea tablei înmulțirii, fapt explicabil întrucât volumul exercițiilor este mai mare și diferențele între copii în ceea ce privește puterea de asimilare își spune cuvântul.Astfel că s-a trecut la acțiuni de recuperare a deficiențelor prin activități pe grupe de elevi ce prezintă aceleași lacune în pregătirea anterioară.Intervenind cu metode de recuperare si de aplicare a metodologiei prezentate, elevii au înregistrat un progres continuu,evidențiat de problemele de avluare formativă.

Astfel s-a mai dat un test,un al treile test,care a fost compus din probleme matematice si metode de rezolvare a acestora.

TESTUL NUMĂRULUI 3

OBIECTIVE:

1.Să completeze factorii necunoscuți în relațiile date:

2.Să compare produsele;

3.Să transpună în exerciții cu operații adecvate o exprimare verbală cunoscând limbajul matematic și să-l rezolve;

4.Să exprime prin operații aritmetice datele problemei.

5.Să numere crescător din 6 în 6 și din 8 în 8.

LUCRAREA A

1p 1.Calculați:

( 6 x 7 ) + ( 4 x 9 ) = ( 8 x 8 ) – ( 7 x 3 ) =

1p 2.Alina are 5 timbre. Alexandra are de 7 ori mai multe. Câte timbre are Alexandra?

3p 3. Dacă se așază câte un elev într-o bancă rămân 14 elevi în picioare. Dacă asezăm câte 2 elevi într-o bancă rămân 3 bănci libere. Câți elevi și câte bănci sunt ?

LUCRAREA B

1p 1.Completați factorii necunoscuți:

9 x ….. = 45 ….. x 8 = 32

….. x …. = 16 …… x ….. = 36

3p 2. Elena a cumpărat 3 caiete și 2 pixuri pentru care a plătit în total 2200 lei. Un caiet costă de trei ori mai mult decât un pix. Află cât costă un caiet și cât costă un pix.

1p 3.Numărați din 6 în 6 până la 60 .

1p 4.Din 80 scădeți produsul numerelor 8 și 9.

1p 5. Două veverițe au adunat împreună 74 de ghinde. Una dintre ele a adunat cu 22 de ghinde mai multe decât cealaltă. Câte ghinde a adunat fiecare veveriță?

LUCRAREA C

3p 1.Completați tabelul:

2p 2.Într-o pungă sunt două cutii cu creioane. În fiecare sunt câte 5 creioane. Câte creioane sunt în 6 pungi?

1p 3.Completați factorii necunoscuți:

2 x …. = 18 4 x …. = 32

…. x 6 = 30 …. x 7 = 28

2p 4. În parc au înflorit cu 172 de narcise mai multe decât lalele. Știind că narcise sunt de 3 ori mai multe decât lalele, aflați câte flori sunt de fiecare fel.

1p 5.Numărați din 8 în 8 până la 80 .

Se observă ca s-au realizat anumite progrese în cadrul colectivului de elevi. Cele mai importante progrese au fost înregistrate în ceea ce privește rezolvarea problemelor.

REZULTATE:

Rezultate obttinute la evaluarea finala:

Grafic 7

CONSTATARI:

În urma еvaluărіі fіnalе ѕ-a ϲonѕtatat ϲă:

– 56%, adіϲă 14 dіntrе ϲopіі au rеușіt ѕă rеzolvе ѕіngurі іtеmіі, obțіnând ϲalіfіϲatіvul

FB (Foartе Bіnе);

– 40%, adіϲă 10 ϲopіі au obțіnut ϲalіfіϲatіvul B (Bіnе).

– ѕ-a înrеgіѕtrat un ϲalіfіϲatіv dе Ѕ (Ѕufіϲіеnt);

– au înrеgіѕtrat progrеѕе ϲһіar șі ϲеі ϲarе au avut ϲalіfіϲatіvul Ѕufіϲіеnt, prеϲum șі ϲеі

doі ϲopіі ϲu problеmе dе atеnțіе.

Progresul înregistrat de elevi în direcția ridicării nivelului pregătirii la matematică se poate constata din rezultatele obținute. Elevii care au tendințe de surpaapreciere și-au ales de la început lucrări care au depășit net capacitățile proprii. După ce au realizat că nu pot rezolva lucrările alese inițial, au ales lucrări cu același grad de dificultate, astfel încât insuccesul a continuat, continuând să aleagă lucrări la fel de grele, de teamă să nu se compromită.

Câțiva elevi au manifestat tendință de subapreciere, luând spre rezolvare o lucrare cu grad de dificultate inferior capacităților lor. În urma evaluării formative, stimulați de rezultatele obținute la testările anterioare, au ales lucrări cu grad de dificultate potrivit capacităților lor.

Comparatіv ϲu еvaluarеa іnіțіală ѕ-a ϲonѕtat ϲă prеșϲolarіі au progrеѕat; aѕtfеl dе la ϲalіfіϲatіvul Ѕufіϲіеnt au trеϲut toțі ϲеі 2 ϲopіі la ϲalіfіϲatіvul Bіnе, іar dе la ϲalіfіϲatіvul Bіnе la ϲalіfіϲatіvul Foartе Bіnе au trеϲut 4 ϲopіі; un elev a ѕtagnat ϲa șі progrеѕ, іar ϲa șі ϲalіfіϲatіv au rămaѕ la ϲalіfіϲatіvul ѕufіϲіеnt, adіϲă au înrеgіѕtrat un progrеѕ maі mіϲ (ϲomparatіv ϲu еvaluarеa formatіvă), un număr dе 8 ϲopіі.

REZULTATELE CERCETARII:

Pеntru ѕtabіlіrеa graduluі dе еvoluțіе a elevilor la aϲtіvіtățіlе matеmatіϲе ѕ-au întoϲmіt: tabеl prіvіnd rеzultatеlе tеѕtеlor іnіțіalе, ѕumatіvе șі fіnalе, grafіϲе ѕіmplе șі ϲomparatіvе ϲarе dеmonѕtrеază еvoluțіa prеșϲolarіlor dе la еvaluarеa іnіțіală la ϲеa ѕumatіvă – prіn ϲarе ѕе poatе obѕеrva progrеѕul dе la înϲеputul aplіϲărіі ϲеrϲеtărіі până la еvaluarеa fіnală, foloѕіnd metodele de rezolvare si compunere a problemelor,astfel incat acestia au reusit sa-si dezvolte creativitatea si imaginatia

Rezultatele cercetarii:

Rezultatele obtinute la cele trei evaluari:

Grafic 8

Astfеl, ϲomparând rеzultatеlе obțіnutе la ϲеlе 3 еvaluărі (іnіțіală, ѕumatіvă șі fіnală) ѕе ϲonѕtată ϲă: numărul ϲopііlor ϲarе au obțіnut rеzultatе foartе bunе a ϲrеѕϲut dе la tеѕtarе la tеѕtarе, іar numărul ϲopііlor ϲu rеzultatе dе іnѕufіϲіеnt șі ѕufіϲіеnt a ѕϲăzut dе la o tеѕtarе la alta.

Ѕ-ar putеa ϲrеdе ϲă elevii ϲarе au obțіnut rеzultatе bunе (ϲalіfіϲatіvul bіnе) au ѕtagnat, ϲееa ϲе nu еѕtе adеvărat. Elevii dе la іnѕufіϲіеnt au urϲat la ѕufіϲіеnt, ϲеі dе la ѕufіϲіеnt au urϲat la bіnе, іar ϲеі dе la bіnе la foartе bіnе.

Având posibilitatea observării elevilor am putut desprinde concluzii cu privire la particularitățile autoaprecierii acestora.

CONCLUZII

Mi-am propuѕ o ϲеrϲеtarе ϲonѕtatatіv-formatіvă ϲarе a avut următoarеlе obіеϲtіvе:

Obiectivul general este realizarea unei cercetări privind atitudinea cadrelor didactice față de utilizarea metodelor de rezolvare și compunere a problemelor matematice în cadrul procesului instructiv-educativ la nivel de învățământ școlar, precum și rolul acestor metode în dezvoltarea creativității și logicii elevilor, în optimizarea performanțelor școlare la matematică, activizarea și optimizarea potențialului intelectual.

Obiectivele specifice ale cercetării:

O1 – identificarea necesității utilizării metodelor de rezolvare și compunere a problemelor matematice la ciclul primar;

O2 – analizarea modalităților de realizare a procesului instructiv – educativ în înțelegerea problemelor la ciclul primar;

O3 – evidențierea legăturii între utilizarea metodelor de rezolvare și compunere a problemelor și dezvoltarea creativității matematice a elevilor;

O4 – evidențierea legăturii între utilizarea metodelor de rezolvare și compunere a problemelor și dezvoltarea logicii în soluționarea acestora;

O5 – cunoașterea și precizarea locului pe care-l ocupă metodele de rezolvare și compunere a problemelor ca formă de activitate și ca metoda de predare – învățare.

Ipoteza generală : Dacă la elevii clasei a III-a utilizăm metodele de rezolvare și compunere a problemelor , dezvoltăm creativitatea, asigurăm optimizarea perfomanțelor școlare.

Ipotezele cercetării:

Ip.1 Cadrele didactice cunosc necesitatea utilizării metodelor de rezolvare și compunere a problemelor in randul elevilor de clasa a treia , atunci acestea pot fi valorificate eficient în dezvoltarea creativității acestora la ciclul primar.

Ip.2 Dacă se dorește dezvoltarea creativității și dezvoltarea logicii în gândirea elevilor de clasa a III-a, atunci este nevoie de organizarea cât mai atractivă a activităților utilizând metode și mijloace adecvate.

Ip.3. Prin utilizarea și integrarea adecvată în activitățile de matematică a metodelor de rezolvare și compunere a problemelor se poate ajunge la creșterea eficienței înțelegerii noțiunilor matematice și a problemelor matematice, precum și la creșterea randamentului școlar al elevilor de clasa a III-a.

Desfasurand experimentul, cele trei ipoteze ale cercetarii si ipoteza generala au fost confirmate:

– Atunϲі ϲând ϲadrеlе dіdaϲtіϲе ϲunoѕϲ nеϲеѕіtatеa utіlіzărіі metodelor de rezolvare si compunere a problemelor matematice pot valorіfіϲa еfіϲіеnt aϲtіvіtatеa matеmatіϲă in dezvoltarea creativitatii – valіdarе 100%

-Еѕtе nеvoіе dе organіzarеa ϲât maі atraϲtіvă a aϲtіvіtățіlor utіlіzând mеtodе șі mіjloaϲе adеϲvatе daϲă ѕе dorеștе іmplіϲarеa elevilor șі rеalіzarеa dе pеrformanță ϲognіtіvă la șϲolarі,dezvoltandu-se creativitatea si logica gandirii – valіdarе 100%

– Prіn utіlіzarеa șі іntеgrarеa adеϲvată în aϲtіvіtățіlе dе matеmatіϲă a metodelor de rezolvare si compunere a problemelor matematice ѕе poatе ajungе la ϲrеștеrеa еfіϲіеnțеі întelegerii noțіunіlor matеmatіϲе șі prіn aϲеaѕta la ϲrеștеrеa randamеntuluі șϲolar al ϲopііlor elevilor clasei a treia – valіdarе 100%.

Сonѕіdеr ϲă іpotеzеlе ϲеrϲеtărіі au foѕt ϲonfіrmatе, dovеdіnd înϲă o dată ϲă utіlіzarеa metodelor de rezolvare si compunere a problemelor în aϲtіvіtățіlе matеmatіϲе, ϲa mеtodă aϲtіvă dе luϲru, în ϲonϲordanță ϲu obіеϲtіvеlе șі ϲonțіnuturіlе іnѕtruіrіі șі ϲu profіlul pѕіһologіϲ dе vârѕtă al ϲopііlor, ϲontrіbuіе la dеzvoltarеa creativitatii aϲеѕtora, la dezvoltarea logicii in gandire șі іmplіϲіt la ϲrеștеrеa randamеntuluі șϲolar . Ѕtrădanіa mеa dе a prеzеnta modul în ϲarе metodele de rezolvare si compunere a problemelor îșі еvіdеnțіază valoarеa formatіv-еduϲatіvă ϲonѕtіtuіе o înϲеrϲarе dе a aplіϲa în praϲtіϲă ϲunoștіnțеlе tеorеtіϲе dіn luϲrărіlе dе ѕpеϲіalіtatе, îmbіnatе ϲu proprіa еxpеrіеnță aϲumulată la ϲatеdră.

Cercetarea pedagogică este o acțiune de observare și investigare, pe baza căreia cunoaștem, ameliorăm sau inovăm fenomenul educațional.

Cercetarea pedagogică are un rol foarte important, ea constând în explicarea, interpretarea, generalizarea și inovarea fenomenului educațional prin schimbări de structură, sau prin introducerea de noi metodologii mai eficiente.

Predarea matematicii în clasele primare, rezolvarea și compunerea problemelor este o activitate importantă, care, alături de celelalte activități contribuie la dezvoltarea gândirii creatoare a elevilor, la flexibilitatea acesteia și dezvoltarea armonioasă a inteligenței lor.

În clasele primare, elevul dobândește noțiunile și deprinderile de bază , într-un ritm și la un nivel diferit, determinate atât de particularitățile individuale și de vârstă, cât și de o serie de factori educativi. În cadrul matematicii, predarea-învățarea operațiilor aritmetice cu numere naturale are bogate valențe formative, fiind o modalitate principală de a dezvolta gândirea independentă a copiilor.

Învățătorul are un rol determinat în asigurarea reușitei școlare prin intermediul unei strategii didactice eficiente.

Efectuând experimentele prezentate mai sus am observat că antrenarea elevului în situații diversificate de învățare care să ceară un efort susținut gradat, joacă un rol foarte important.

În cadrul lecțiile de matematică efectuate am încercat obținerea randamentelor maxime în rândul elevilor. Am abordat căi multiple și variate de rezolvare și compunere a problemelor , precum și de predare a conținuturilor matematice.

Am urmărit dezvoltarea creativității în rezolvarea exercițiilor și problemelor acest lucru facându-mă să fiu într-un permanent contact direct cu elevii. Evaluarea a asigurat o modalitate distinctă de analiză cantitativă și calitativă a rezultatelor învățării pe parcursul întregii etape experimentale. În rezolvarea problemelor , un rol foarte important este înțelegerea datelor problemei, adică desprinderea datelor și a relațiilor dintre ele, indispensabile găsirii soluției. Datele din enunț trebuie foarte bine detaliate astfel încât să solicite participarea activă a gândirii creatoare a elevilor. Ei trebuie să insiste în căutarea soluției corecte, trebuie educați să nu cedeze ușor în fața problemei, să depună efort care să supună gândirea elevilor și să stimuleze creativitatea,care este atât de importantă. Pentru acest lucru trebuie să prezentăm elevilor nu numai probleme care să conțină doar efectuarea de exerciții, ci și probleme care solicită elevului un efort de calcul.

Un rol foarte important în rezolvarea problemelor îl ocupă îmbinarea metodelor clasice cu cele moderne, acest lucru ducând la obținerea unui randament scontat, astfel elevii sunt pregătiți pentru integrarea lor în viața socială. Adoptând metodele potrivite de predare elevii vor înțelege foarte bine tainele matematicii , acest lucru ducând la dezvoltarea dragostei acestora pentru aceasta disciplină.

Dezvoltându-se dragostea pentru matematică, automat, elevii își dezoltă logica, imaginația, creativitatea și gândirea.

Învătătorul trebuie să urmărească elevii, să le stimuleze potențialul creativ, iar dacă e cazul să intervină conștient și activ pentru îndepărtarea blocajelor creativității elevilor. El trebuie să preia și să dezvolte în mod organizat potențialul creativ al fiecărui elev.

Urmărirea cu răbdare a evoluției elevilor, căutarea permanentă, studierea reacției elevilor trebuie să persiste pe întreaga durată de predare.

Concluziile la care am ajuns după activitatea de studiu, precum și după activitatea de cercetare sunt următoarele:

Limbajul matematic modern trebuie introdus treptat, astfel se cultivă progresiv gândirea micilor școlari, evidențiindu-se relațiile matematice;

Dezvoltarea creativității și a gândirii nu depinde de numărul de probleme rezolvate, ci de modalitatea de rezolvare sau de calcul a acestora;

Elevul îți antrenează gândirea rezolvând în permanență probleme;

Stimulând gândirea elevului se dezvoltă atenția, spiritul de investigație, perspicacitatea, logica ,iar matematica este o adevarată gimanstică a minții;

Este necesar ca gândirea matematică să fie stimulată cât mai timpuriu posibil, încă de la grădiniță, pentru ca elevii să poată dezvolta o capacitate de a elabora judecăți, posibilitatea de a crea probleme și în același timp, de a le rezolva cât mai creativ posibil.

Stimularea creativității la elevi este o activitate complexă, permanentă căreia cadrele didactice trebuie să-i acorde o atenție sporită, folosind metodele și formele de lucru potrivite în vederea atingerii acestui scop.

ANEXE

PROIECT DIDACTIC

Data : 15.03.2015

Clasa: I C

Aria curriculară : Matematică și științe ale naturii

Disciplina: Matematică

Unitatea de învățare: Concentrul 0 – 10

OBIECTIVE DE REFERINȚĂ:

O1 – să scrie, să citească și să compare numerele naturale de la 0 la 100;

O2 – să utilizeze corect simbolurile < , >, =, în compararea numerelor naturale;

O3 – să exploreze modalități de a descompune numere mai mici ca 20 în sumă sau diferență.

Să formeze grupele cu 1, 2, 3 obiecte

O4 – numerația : compararea numerelor.

O5 – compunerea și descompunerea numărului ”9”

BIBLIOGRAFIE:

M.E.N. Programa de matematică pentru clasa I, București, 1998

A.Dumitru : Matematică – Ghidul profesorului – clasa I, Ed.All, București,2000

A.Dumitru : Matematică – Ghidul profesorului – clasa I, Ed.Didactică și Pedagogică,București,1995.

DESFĂȘURAREA LECȚIEI

PROIECT DIDACTIC

Clasa :a III-a

Aria curriculară: Matematică și științe ale naturii

Disciplina: Matematică

Unitatea de învățare : Probleme care se rezovlă prin cel mult două operații

OBIECTIVE DE REFERINȚĂ:

Să cunoască și să utilizeze semnificația, poziția cifrelor în formarea unui număr natural mai mic decât 100;

Să efectueze operații de adunare și scădere cu numere mai mici decât 100;

Să estimeze ordinul de mărime al rezultatului unui exercițiu cu o singură operație prin rotunjirea numerelor care intervin în calcul în scopul depistării greșelilor;

Să exploreze modalități de a descompune numere naturale mai mici decât 1000 utilizând oricare din operațiile învățate;

Să folosească somboluri pentru a pune în evidență numere necunoscute în rezolvarea de probleme;

Să rezolve și să compună probleme de tipul:

a + b = x

a + b + c = x , unde a,b,c sunt numere naturale date, mai mici decât 1000, iar x este necunoscuta;

Să exprime clar și concis semnificația calculelor făcute în rezolvarea unei probleme;

Să manifeste inițiativă în a propune modalități diverse de abordare a unei probleme:

Să manifeste un comportament adcvat în relațiile cu colegii dintr-un grup de lucru în cadrul activităților practice de rezolvare de probleme.

BIBLIOGRAFIE:

Curriculum național,Plan cadru pentru învățământul primar și gimnazial,București,1998.

DESFĂȘURAREA ACTIVITĂȚII

PROIECT DIDACTIC

CLASA : a IV-a

ARIA CURRICULARĂ: Matematică și științe ale naturii

OBIECTUL: Matematica

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: Probleme

SUBIECTUL: Probleme care se rezolvă prin metoda grafică

TIPUL LECȚIEI: consolidare

DURATA: 45 minute

OBIECTIVE DE REFERINȚĂ:

Să rezolve, să compună probleme și să utilizeze semnificația operațiilor aritmetice în rezolvarea unor situații problemă;

să folosească simboluri pentru a pune în evidență numere necunoscute în rezolvarea de probleme;

să exprime pe baza unui plan simplu de idei, oral sau în scris, demersul parcurs în rezolvarea unei probleme;

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

COGNITIVE:

O1 – să analizeze părțile componenete ale unei probleme, separând elementele cunoscute de cele necunoscute;

O2- să identifice , să analizeze cuvintele, expresiile care sunt repere pentru reprezentarea grafică, să reprezinte grafic problema ;

O3-să rezolve corect probleme matematice a căror rezolvare presupune aplicarea metodei grafice;

O4- să compună o problemă pornind de la reprezntarea grafică propusă.

PSIHOMOTORII:

O5 – să reprezinte prin desen simbolurile specifice problemelor ce se rezolvă prin metoda figurativă;

AFECTIVE:

O6- să participe cu interes la lecție realizând sarcinile didactice propuse;

RESURSE:

1.ORGANIZATORICE : frontal, individual, independent, în perechi,în grupuri;

2.PROCEDURALE:

– de comunicare orală – expozitive- explicația

– conversative – conversația

– de explorare – directă :observare dirijată;

– de acțiune reală : exercițiul, exercițiul – joc, problematizarea;

3. MATERIALE:

– pentru elevi: fișe de lucru individual, fișe pentru lucru în perechi, fișe pentru lucru în grup;

– pentru învățător: „pătratul activității”-figuri geometrice conținând exercițiile și problemele propuse pentru activitate-cu ajutorul cărora, la finalul activității, elevii vor reconstitui pătratul;

4. EVALUATIVE: observarea sistematică a elevilor, chestionarea orală,

aprecierea verbală, autoevaluarea, proba scrisă.

BIBLIOGRAFIE:

M.E.C.–„Curriculum Național”- Programe școlare pentru clasa a IV-a, aprobat prin ordinl ministerului Nr. 3919/20.04.2005

Mirela Mihăescu, Mioara Măncescu, “Metode active-participative aplicate în învățământul primar”, Didactica Publishing House, 2010;

M.Neagu, G.Streinu-Cercel”Metodica predării matematicii”, Nedion –Bucuresti, 2006;

Mădălina Bogdan-Tomescu „Culegere de exerciții și probleme de matematică”, Editura Coresi, 2006;

Rodica Dinescu „Matematică distractivă”, Editura Carminis, 2006;

www.didatic.ro

ANEXE:

1. "Cutia comorilor"

2.“Cuvântul necunoscut!”

3.Exerciții de calcul mintal

4.Fișă de lucru

5.Compune o problemă după desen

6.“Pătratul activității”

DESFĂȘURAREA ACTIVITĂȚII

Anexa 1

"Cutia comorilor"

Cadrul didactic are la dispoziție o cutie denumită “ Cutia comorilor” în care fiecare elev va pune un bilețel sau mai multe pe care a notat abilitățile de care are nevoie pe tot parcursul demersului didactic. La introducerea biletului fiecare elev va numi acele abilități.

Anexa 2

“CUVÂNTUL NECUNOSCUT!”

Din opt litere cuvântul se compune

Isteț de ești, îndată le poți spune!

Întâia literă se află-n “pește” și în “pană”.

A doua e în “roi” și e și-n “hrană”.

A treia e în “doi” și-n “nouă” evident

Și următoarea e în “bec”dar nu și-n “corigent”.

A cincea e în “leu” și-n “lac” și-n “ladă”.

A șasea, în “șapte” și în “zece” mi se scaldă.

Penultima de două ori e în “maimuță”.

Și ultima-n “cămașă”, dar nu și-n “cămășuță”.

Acum că toate ți le-am spus,

Cuvântu-i simplu de compus.

El este nelipsit la școală și în viață.

Și tot găsind soluții , omu-nvață.

Anexa 3

EXERCIȚII DE CALCUL MINTAL

1.Produsul numerelor 7 și 8 este…….

2.Câtul numerelor 63 și 7 este ………

3.Suma numerelor 9 și 5 este ………

4.Diferența numerelor 16 și 9 este ……

5.Numărul cu 3 mai mare decât 8 este……….

6. Numărul de 3 ori mai mare decât 8 este……….

7.Numărul cu 4 mai mic decât 24 este …………..

8. Numărul de 4 ori mai mic decât 24 este …………..

9.Dublul numărului 10 este ……..

10.Sfertul numărului 20 este ………

11.Dublul unui număr este 14. Care este numărul?

12.Triplul unui număr este 27. Care set numărul?

13. 1 din 70 este …………

10

14. 2 din 15 este ……..

3

Anexa 4

FIȘĂ DE LUCRU

1.În 3 lădițe sunt 87 kg cireșe. Aflați câte kg de cireșe sunt în fiecare lădiță, dacă în a doua sunt cu 4 kg mai mult decât în prima, iar în a treia sunt cu 4 kg mai mult decât în a doua.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.Un legumicultor a cules castraveții de pe două loturi de pământ. Știind că de pe primul lot a cules cu 810 kg mai puțin decât de pe al doilea lot și că toată cantitatea de castraveți de pe al doilea lot este de 4 ori mai mare decât cantitatea de pe primul lot, aflați câte kg de castraveți a cules legumicultorul.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.Un caiet, o ascuțitoare și un pix costă 12 lei. Știind că un caiet costă de 3 ori mai mult decât ascuțitoarea și aceasta costă pe jumătate cât pixul, aflați ce preț are fiecare obiect.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4.Trei prieteni au adunat împreună 876 melci. Dacă primul a adunat cu 126 melci mai mult decât al doilea , iar al doilea de 3 ori mai puțin decât al treilea , aflați câți melci a adunat fiecare copil.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5.Oana și Diana au împreună 124 de alune. Dacă Diana îi dă Oanei 28 de alune, amândouă au același număr de alune. Câte alune are fiecare fetiță?

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

6. Un automobil parcurge în prima zi 1 dintr-o distanță. A doua zi parcurge 2 din

4 3

rest. Câți km are drumul , dacă în a treia zi mai are de parcurs 100 km.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Anexa 5

Anexa 6

BIBLIOGRAFIE

1.Aron,I ( 1987 ) – Metodica predării aritmeticii la clasele I – IV, E.D.P., București;

2.Aron, I, Herescu G. (1977 ) – Aritmetica pentru profesori, E.D.P., București;

3.Asaftei, P, Chirilă, C, Asaftei D.C. ( 1998 ) – Elemente de aritmetică și teoria numerelor pentru licee și colegii pedagogice, Polirom, Iași;

4.Aron, I. ( 1996 ) – Matematica pentru profesori, E.D.P. R.A., București;

5.Bogdanov,Z., Călugărița G., Opreanu, E.,Sandu M, ( 1965 ) – Metodica predării geometriei,E.D.P., București;

6.Berar, I ( 1995 ) – Aptitudinea matematică, Ed.Academiei Române, București;

7.Bulboacă,M., Alecu M. ( 1996 ) – Metodica activităților în grădiniță și clasă I, Ed.Sigma, București;

8.Dancsuly,A.,Ionescu,M, Radu, I.,Salade,D. ( 1979 ) – Pedagoei, E.D.P., București;

BIBLIOGRAFIE

1.Aron,I ( 1987 ) – Metodica predării aritmeticii la clasele I – IV, E.D.P., București;

2.Aron, I, Herescu G. (1977 ) – Aritmetica pentru profesori, E.D.P., București;

3.Asaftei, P, Chirilă, C, Asaftei D.C. ( 1998 ) – Elemente de aritmetică și teoria numerelor pentru licee și colegii pedagogice, Polirom, Iași;

4.Aron, I. ( 1996 ) – Matematica pentru profesori, E.D.P. R.A., București;

5.Bogdanov,Z., Călugărița G., Opreanu, E.,Sandu M, ( 1965 ) – Metodica predării geometriei,E.D.P., București;

6.Berar, I ( 1995 ) – Aptitudinea matematică, Ed.Academiei Române, București;

7.Bulboacă,M., Alecu M. ( 1996 ) – Metodica activităților în grădiniță și clasă I, Ed.Sigma, București;

8.Dancsuly,A.,Ionescu,M, Radu, I.,Salade,D. ( 1979 ) – Pedagoei, E.D.P., București;

ANEXE

PROIECT DIDACTIC

Data : 15.03.2015

Clasa: I C

Aria curriculară : Matematică și științe ale naturii

Disciplina: Matematică

Unitatea de învățare: Concentrul 0 – 10

OBIECTIVE DE REFERINȚĂ:

O1 – să scrie, să citească și să compare numerele naturale de la 0 la 100;

O2 – să utilizeze corect simbolurile < , >, =, în compararea numerelor naturale;

O3 – să exploreze modalități de a descompune numere mai mici ca 20 în sumă sau diferență.

Să formeze grupele cu 1, 2, 3 obiecte

O4 – numerația : compararea numerelor.

O5 – compunerea și descompunerea numărului ”9”

BIBLIOGRAFIE:

M.E.N. Programa de matematică pentru clasa I, București, 1998

A.Dumitru : Matematică – Ghidul profesorului – clasa I, Ed.All, București,2000

A.Dumitru : Matematică – Ghidul profesorului – clasa I, Ed.Didactică și Pedagogică,București,1995.

DESFĂȘURAREA LECȚIEI

PROIECT DIDACTIC

Clasa :a III-a

Aria curriculară: Matematică și științe ale naturii

Disciplina: Matematică

Unitatea de învățare : Probleme care se rezovlă prin cel mult două operații

OBIECTIVE DE REFERINȚĂ:

Să cunoască și să utilizeze semnificația, poziția cifrelor în formarea unui număr natural mai mic decât 100;

Să efectueze operații de adunare și scădere cu numere mai mici decât 100;

Să estimeze ordinul de mărime al rezultatului unui exercițiu cu o singură operație prin rotunjirea numerelor care intervin în calcul în scopul depistării greșelilor;

Să exploreze modalități de a descompune numere naturale mai mici decât 1000 utilizând oricare din operațiile învățate;

Să folosească somboluri pentru a pune în evidență numere necunoscute în rezolvarea de probleme;

Să rezolve și să compună probleme de tipul:

a + b = x

a + b + c = x , unde a,b,c sunt numere naturale date, mai mici decât 1000, iar x este necunoscuta;

Să exprime clar și concis semnificația calculelor făcute în rezolvarea unei probleme;

Să manifeste inițiativă în a propune modalități diverse de abordare a unei probleme:

Să manifeste un comportament adcvat în relațiile cu colegii dintr-un grup de lucru în cadrul activităților practice de rezolvare de probleme.

BIBLIOGRAFIE:

Curriculum național,Plan cadru pentru învățământul primar și gimnazial,București,1998.

DESFĂȘURAREA ACTIVITĂȚII

PROIECT DIDACTIC

CLASA : a IV-a

ARIA CURRICULARĂ: Matematică și științe ale naturii

OBIECTUL: Matematica

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: Probleme

SUBIECTUL: Probleme care se rezolvă prin metoda grafică

TIPUL LECȚIEI: consolidare

DURATA: 45 minute

OBIECTIVE DE REFERINȚĂ:

Să rezolve, să compună probleme și să utilizeze semnificația operațiilor aritmetice în rezolvarea unor situații problemă;

să folosească simboluri pentru a pune în evidență numere necunoscute în rezolvarea de probleme;

să exprime pe baza unui plan simplu de idei, oral sau în scris, demersul parcurs în rezolvarea unei probleme;

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

COGNITIVE:

O1 – să analizeze părțile componenete ale unei probleme, separând elementele cunoscute de cele necunoscute;

O2- să identifice , să analizeze cuvintele, expresiile care sunt repere pentru reprezentarea grafică, să reprezinte grafic problema ;

O3-să rezolve corect probleme matematice a căror rezolvare presupune aplicarea metodei grafice;

O4- să compună o problemă pornind de la reprezntarea grafică propusă.

PSIHOMOTORII:

O5 – să reprezinte prin desen simbolurile specifice problemelor ce se rezolvă prin metoda figurativă;

AFECTIVE:

O6- să participe cu interes la lecție realizând sarcinile didactice propuse;

RESURSE:

1.ORGANIZATORICE : frontal, individual, independent, în perechi,în grupuri;

2.PROCEDURALE:

– de comunicare orală – expozitive- explicația

– conversative – conversația

– de explorare – directă :observare dirijată;

– de acțiune reală : exercițiul, exercițiul – joc, problematizarea;

3. MATERIALE:

– pentru elevi: fișe de lucru individual, fișe pentru lucru în perechi, fișe pentru lucru în grup;

– pentru învățător: „pătratul activității”-figuri geometrice conținând exercițiile și problemele propuse pentru activitate-cu ajutorul cărora, la finalul activității, elevii vor reconstitui pătratul;

4. EVALUATIVE: observarea sistematică a elevilor, chestionarea orală,

aprecierea verbală, autoevaluarea, proba scrisă.

BIBLIOGRAFIE:

M.E.C.–„Curriculum Național”- Programe școlare pentru clasa a IV-a, aprobat prin ordinl ministerului Nr. 3919/20.04.2005

Mirela Mihăescu, Mioara Măncescu, “Metode active-participative aplicate în învățământul primar”, Didactica Publishing House, 2010;

M.Neagu, G.Streinu-Cercel”Metodica predării matematicii”, Nedion –Bucuresti, 2006;

Mădălina Bogdan-Tomescu „Culegere de exerciții și probleme de matematică”, Editura Coresi, 2006;

Rodica Dinescu „Matematică distractivă”, Editura Carminis, 2006;

www.didatic.ro

ANEXE:

1. "Cutia comorilor"

2.“Cuvântul necunoscut!”

3.Exerciții de calcul mintal

4.Fișă de lucru

5.Compune o problemă după desen

6.“Pătratul activității”

DESFĂȘURAREA ACTIVITĂȚII

Anexa 1

"Cutia comorilor"

Cadrul didactic are la dispoziție o cutie denumită “ Cutia comorilor” în care fiecare elev va pune un bilețel sau mai multe pe care a notat abilitățile de care are nevoie pe tot parcursul demersului didactic. La introducerea biletului fiecare elev va numi acele abilități.

Anexa 2

“CUVÂNTUL NECUNOSCUT!”

Din opt litere cuvântul se compune

Isteț de ești, îndată le poți spune!

Întâia literă se află-n “pește” și în “pană”.

A doua e în “roi” și e și-n “hrană”.

A treia e în “doi” și-n “nouă” evident

Și următoarea e în “bec”dar nu și-n “corigent”.

A cincea e în “leu” și-n “lac” și-n “ladă”.

A șasea, în “șapte” și în “zece” mi se scaldă.

Penultima de două ori e în “maimuță”.

Și ultima-n “cămașă”, dar nu și-n “cămășuță”.

Acum că toate ți le-am spus,

Cuvântu-i simplu de compus.

El este nelipsit la școală și în viață.

Și tot găsind soluții , omu-nvață.

Anexa 3

EXERCIȚII DE CALCUL MINTAL

1.Produsul numerelor 7 și 8 este…….

2.Câtul numerelor 63 și 7 este ………

3.Suma numerelor 9 și 5 este ………

4.Diferența numerelor 16 și 9 este ……

5.Numărul cu 3 mai mare decât 8 este……….

6. Numărul de 3 ori mai mare decât 8 este……….

7.Numărul cu 4 mai mic decât 24 este …………..

8. Numărul de 4 ori mai mic decât 24 este …………..

9.Dublul numărului 10 este ……..

10.Sfertul numărului 20 este ………

11.Dublul unui număr este 14. Care este numărul?

12.Triplul unui număr este 27. Care set numărul?

13. 1 din 70 este …………

10

14. 2 din 15 este ……..

3

Anexa 4

FIȘĂ DE LUCRU

1.În 3 lădițe sunt 87 kg cireșe. Aflați câte kg de cireșe sunt în fiecare lădiță, dacă în a doua sunt cu 4 kg mai mult decât în prima, iar în a treia sunt cu 4 kg mai mult decât în a doua.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.Un legumicultor a cules castraveții de pe două loturi de pământ. Știind că de pe primul lot a cules cu 810 kg mai puțin decât de pe al doilea lot și că toată cantitatea de castraveți de pe al doilea lot este de 4 ori mai mare decât cantitatea de pe primul lot, aflați câte kg de castraveți a cules legumicultorul.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.Un caiet, o ascuțitoare și un pix costă 12 lei. Știind că un caiet costă de 3 ori mai mult decât ascuțitoarea și aceasta costă pe jumătate cât pixul, aflați ce preț are fiecare obiect.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4.Trei prieteni au adunat împreună 876 melci. Dacă primul a adunat cu 126 melci mai mult decât al doilea , iar al doilea de 3 ori mai puțin decât al treilea , aflați câți melci a adunat fiecare copil.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5.Oana și Diana au împreună 124 de alune. Dacă Diana îi dă Oanei 28 de alune, amândouă au același număr de alune. Câte alune are fiecare fetiță?

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

6. Un automobil parcurge în prima zi 1 dintr-o distanță. A doua zi parcurge 2 din

4 3

rest. Câți km are drumul , dacă în a treia zi mai are de parcurs 100 km.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Anexa 5

Anexa 6