Determinanti Si Sisteme de Ecuatii Liniare

DETERMINANȚI ȘI SISTEME DE ECUAȚII

CUPRINS

Capitolul I. Istoria determinanților și sistemelor de ecuații. 3

Capitolul II. Determinanți. 9

Definiție, proprietăți, calculul determinanților 9

2.1.1 Determinanți de ordin mic 9

2.1.2 Determinanți de ordinul n 12

2.1.3 Proprietățile determinanților 20

2.1.4 Calculul determinanților 27

2.1.5 Determinantul produsului a două matrici 31

2.2 Determinanți speciali 33

2.2.1 Determinant Vandermonde 33

2.2.2 Determinant Vandermonde lacunar 35

2.2.3 Determinant polinomial 36

2.2.4 Determinant circular 37

2.2.5 Determinant Cauchy 39

2.2.6 Derivata unui determinant 41

Matrice inversabilă. Metode numerice pentru calculul unei matrice 41

inverse

2.3.1 Calculul matricei inverse folosind definiția matricei inverse 43

2.3.2 Transformarea în matrice unitate 44

2.3.3 Transformarea în matrice diagonală 45

2.3.4 Metoda descompunerii în blocuri 45

2.3.5 Metoda bordurilor 47

2.3.6 Metoda Gauss – prin bordare 50

Rangul unei matrice. Transformări elementare de matrici 53

2.4.1 Transformarea în matrice triunghiulare 57

2.4.2 Transformarea în matrice unitate 61

Capitolul III. Sisteme de ecuații liniare. 62

Prezentare generală 62

Teorema lui Kronecker-Capelli 63

Regula lui Cramer 65

Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații 71

Metoda Cramer 71

Metoda matricială (metoda matricei inverse) 72

Metoda eliminării totale (Gauss- Jordan) 74

Metoda eliminării parțiale 76

Metoda Onicescu 82

Discuția sistemelor liniare 90

Teorema lui Rouché 90

Teorema lui Kronecker-Capelli 90

Discuția sistemelor omogene 93

Sisteme cu parametru 95

Interpretarea geometrică a sistemelor de ecuații liniare 99

Capitolul IV. Aplicații ale determinanților și sistemelor de ecuații în diverse domenii 107

Aplicații în economie 107

Aplicații în fizică 113

Capitolul V. Aspecte metodice în rezolvarea determinanților și sistemelor de ecuații 118

Aspecte generale ale metodicii predării matematicii 118

Strategii didactice 119

Metoda didactică 119

Mijloace de invățământ 126

Finalitățile metodicii predării matematicii 127

Forme de organizare a instruirii matematice 131

Importanța și etapele proiectării didactice 131

Organizarea pe clase și lecții 136

Elaborarea proiectelor de lecție 139

Evaluarea eficienței lecției 140

Evaluarea în procesul de învățământ 142

Funcțiile evaluării 142

Forme de evaluare 143

Metode de verificare și evaluare 146

Notarea școlară 149

Bibliografie 152

Anexa 1 154

Anexa 2 158

CAPITOLUL I

Istoria determinanților și sistemelor de ecuații

Primele noțiuni de matrice și determinanți se întâlnesc în secolul 2 î.e.n., deși urmele se pot vedea încă din secolul 4 î.e.n.. Cu toate acestea ei nu au existat până spre sfârșitul secolului 17 când ideea reapare și se dezvoltă.

Începuturile matricelor și determinanților se datorează studiului sistemelor de ecuații liniare. Babilonienii au studiat probleme care anticipează sistemele de ecuații liniare și câteva dintre acestea sunt păstrate până azi pe tăblițe de lut. O plăcuță datând din anul 300 î.e.n. conține următoarea problemă:

„Două terenuri care au împreună 1800 yard sunt cultivate cu grâu. De pe primul teren s-au recoltat 2/3 dintr-un bușel (aproximativ 36 l) pe yard, în timp ce de pe al doilea teren se recoltează jumătate bușel pe yard. Dacă producția totală e de 1100 bușeli, care este mărimea fiecărui teren?”

În manuscrisele chinezești datate între 200-100 î.e.n. s-au găsit informații despre matrice. Primul exemplu în acest sens este documentul „9 Capitole din Arta Matematicii” scris în timpul dinastiei Han. Problema descoperită în acest document este structurată la fel ca în exemplul babilonian:

„Avem 3 tipuri de cereale, dintre care o grămadă din primul tip de cereale, două din al doilea și una din al treilea tip și cântăresc împreună 39 măsuri. Două grămezi din primul tip, trei din al doilea și o grămadă din al treilea au împreună 34 măsuri. Una din primul tip, două din al doilea și trei din al treilea fac 26 măsuri. Câte măsuri din fiecare tip de cereale conține fiecare grămadă?”

Rezolvarea este cu adevărat remarcabilă. Coeficienții sistemului de 3 ecuații liniare cu trei necunoscute au fost aranjați într-un tablou:

1 2 3

2 3 2

3 1 1

26 34 39

Remarcabil este că autorul, cu 200 ani î.e.n., învăța cititorul că poate înmulți coloana din mijloc cu 2 și apoi o scădem pe cea din dreapta de câte ori este posibil, apoi înmulțim prima coloană cu 3 și o scădem pe ultima de câte ori e posibil. Se obține astfel astfel:

0 0 3

4 5 2

8 1 1

39 24 39

Apoi prima coloană este înmulțită cu 5 și a doua se scade din prima de câte ori e posibil, obținând astfel:

0 0 3

0 5 2

36 1 1

99 24 39

Această metodă nu devine foarte cunoscută până în secolul al XIX-lea, când va fi cunoscută sub numele de metoda de eliminare a lui Gauss.

În anul 1545 Cardan dă în “Ars Magna” o regulă pentru rezolvarea unui sistem de două ecuații cu două necunoscute pe care el o numește “regula de modo”. Această regulă care stă la baza regulii lui Cramer pentru rezolvarea unui sistem de 2 ecuații cu 2 necunoscute, nu a fost finalizată – nu s-a ajuns la definiția determinantului – dar e un pas important pentru obținerea acestei definiții.

Multe rezultate standard de teoria elementară a matricelor au apărut cu mult înainte ca matricele să devină subiect de investigație. Astfel, de Witt în “Elements of curves” a publicat o parte a comentariilor din versiunea latină a geometriei lui Descartes (apărută în 1660) care arată cum printr-o transformare a axelor putem reduce ecuația unei conice date la forma ei canonică. Aceste raționamente făcute de Witt sunt echivalente de fapt cu reducerea unei matrice simetrice la forma diagonală, dar de Witt nu a gândit niciodată în acești termeni.

Ideea de determinant a apărut în Japonia și Europa cam în același timp. Seki a fost cel care a publicat mai întâi în 1683 “Metode de rezolvare a problemelor disimulate” care conțin metode matriceale scrise în tabele în același mod ca și metodele chinezești descrise mai înainte. Fără a avea un cuvânt care să corespundă “determinantului”, Seki a introdus determinanții și a dat metode generale pentru calcularea lor bazate pe exemple. Seki a fost pregătit să găsească determinanți de ordin 2, 3, 4, 5 și i-a aplicat în rezolvarea ecuațiilor, dar nu și în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare.

Începuturile teoriei determinanților în Europa se găsesc în scrierile lui Leibniz, care tot în anul 1683 îi scria lui L’Hôpital că sistemul de ecuații

are soluție pentru că

care este de fapt condiția ca matricea coeficienților să aibă determinantul 0.

De remarcat faptul că Leibniz nu a folosit coeficienți numerici, dar a folosit două caractere – adică indici dubli pentru marcarea coeficienților – unul dintre ei indicând cărei ecuații îi aparține necunoscuta. Deci 21 indică ceea ce noi înțelegem azi prin . Leibniz era convins că o bună notație era cheia progresului, așadar el a experimentat diverse notații pentru coeficienții sistemului.

Manuscrisele sale nepublicate conțin mai mult de 50 metode diferite de scriere a coeficienților sistemului cu care el a lucrat pe o perioadă de 50 ani începând cu anul 1678.

Doar două publicații (1700 sau 1710) menționează rezultate în legătură cu coeficienții unui sistem, Leibniz utilizând același notații care au fost menționate în scrisoarea către L’Hôpital. Matematicianul geman a folosit cuvântul rezultantă pentru anumite sume combinatoriale de termeni ai unui determinant. El a demonstrat diverse rezultate, incluzând ceea ce este în esență regula lui Cramer. El a știut că un determinant poate fi dezvoltat după orice coloană, ceea ce azi se cheamă dezvoltarea lui Laplace.

În afară de studierea coeficienților sistemelor de ecuații, care l-au condus la determinanți, Leibniz a studiat coeficienții sistemelor de ecuații de gradul al II-lea (forme pătratice) care îl conduc în mod natural la teoria matricelor.

A fost nevoie sa treacă o jumătate de secol pentru ca matematicienii să înceapă să se intereseze de aceste noțiuni, iar primele rezultate importante au apărut doar un secol mai târziu.

În 1730 scoțianul Maclaurin a scris un tratat de algebră care n-a fost publicat decât în 1748, la doi ani după moartea sa. Tratatul conține primele rezultate publicate despre determinanții proveniți din regula lui Cramer pentru sisteme de 2 ecuații cu 2 necunoscute, 3 ecuații cu 3 necunoscute, și a indicat modalitatea de lucru pentru sisteme de 4 ecuații cu 4 necunoscute.

În anul 1730 elvețianul Cramer a creat determinanții, sub formă de algoritm matematic în legătură cu combinările și a formulat ceea ce ulterior s-a denumit „regula lui Cramer” – publicată la Geneva în 1750 în “Analyse des lignes courbes algébrique”, utilizată la rezolvarea sistemului liniar de forma:

ca un raport de determinanți

,

unde D este determinantul coeficienților sistemului, iar este determinantul obținut din D, înlocuind coloana coeficienților lui x prin termenii liberi

Tot Cramer a observat că un determinant este o funcție liniară omogenă de elementele fiecărei linii și a fiecărei coloane.

În perioada care a urmat lucrările despre determinanți au început să apară regulat. În anul 1764 Bézout a mai dat metode de calcul ale determinanților asemănătoare cu ale lui Vandermonde în 1771. În 1772 Théophile Vandermonde a introdus determinantul care-i poartă numele:

În 1772 francezul Laplace a pretins că metodele prezentate de Cramer și Bézout nu sunt practice și într-un referat în care a studiat teoria peturbărilor planetare a folosit determinanții. În acest referat el a introdus și ecuația

despre care a arătat că are toate rădăcinile reale.

Laplace a folosit cuvântul “rezultant” pentru ceea ce noi numim azi determinant. El a observat că dacă schimbăm două linii între ele, determinantul își schimbă semnul și ca o consecință, a arătat că dacă un determinant are două linii identice, atunci el este nul. El a enunțat următoarea teoremă: Un determinant de ordinul n este egal cu suma celor produse pe care le obținem înmulțind minorii de ordin m extrași dintr-o matrice arbitrară formată cu m linii ale determinantului, prin complementele lor algebrice respective.

Lagrange a studiat a studiat complet determinanții de ordinul al treilea și identități cu aceștia într-un articol din 1773. Acest articol de mecanică prezintă pentru prima dată interpretarea volumului sub forma unui determinant. Lagrange a arătat că tetraedrul care are vârfurile în O(0,0,0), are volumul:

.

Tot Lagrange a introdus și noțiunea de determinant reciproc al unui determinant de ordinul al treilea, format prin înlocuirea fiecărui element cu complementul său și a arătat că un determinant reciproc este egal cu pătratul determinantului dat.

Leonhard Euler a studiat, începând din 1771, determinanții ortogonali, definiți astfel:

pentru care avem următoarele relații între elemente:

,

.

Analog este definit determinantul ortogonal de orice ordin. Euler a demonstrat că pentru orice element al unui determinant ortogonal este egal cu complementul său, iar Joseph-Louis Lagrange a arătat că determinantul ortogonal are valoarea 1.

Teoria formelor pătratice și-a făcut apariția pentru prima dată în 1773 când, pornind de la problemele legate de teoria generală a conicelor și a cuadricelor, Joseph Lagrange a introdus, forma binară

și forma ternară

.

El a arătat că pentru , dacă efectuăm o transformare liniară

, ,

atunci pentru noua formă

,

relația dintre discriminanții formelor și ai transfoa rezolvarea sistemului liniar de forma:

ca un raport de determinanți

,

unde D este determinantul coeficienților sistemului, iar este determinantul obținut din D, înlocuind coloana coeficienților lui x prin termenii liberi

Tot Cramer a observat că un determinant este o funcție liniară omogenă de elementele fiecărei linii și a fiecărei coloane.

În perioada care a urmat lucrările despre determinanți au început să apară regulat. În anul 1764 Bézout a mai dat metode de calcul ale determinanților asemănătoare cu ale lui Vandermonde în 1771. În 1772 Théophile Vandermonde a introdus determinantul care-i poartă numele:

În 1772 francezul Laplace a pretins că metodele prezentate de Cramer și Bézout nu sunt practice și într-un referat în care a studiat teoria peturbărilor planetare a folosit determinanții. În acest referat el a introdus și ecuația

despre care a arătat că are toate rădăcinile reale.

Laplace a folosit cuvântul “rezultant” pentru ceea ce noi numim azi determinant. El a observat că dacă schimbăm două linii între ele, determinantul își schimbă semnul și ca o consecință, a arătat că dacă un determinant are două linii identice, atunci el este nul. El a enunțat următoarea teoremă: Un determinant de ordinul n este egal cu suma celor produse pe care le obținem înmulțind minorii de ordin m extrași dintr-o matrice arbitrară formată cu m linii ale determinantului, prin complementele lor algebrice respective.

Lagrange a studiat a studiat complet determinanții de ordinul al treilea și identități cu aceștia într-un articol din 1773. Acest articol de mecanică prezintă pentru prima dată interpretarea volumului sub forma unui determinant. Lagrange a arătat că tetraedrul care are vârfurile în O(0,0,0), are volumul:

.

Tot Lagrange a introdus și noțiunea de determinant reciproc al unui determinant de ordinul al treilea, format prin înlocuirea fiecărui element cu complementul său și a arătat că un determinant reciproc este egal cu pătratul determinantului dat.

Leonhard Euler a studiat, începând din 1771, determinanții ortogonali, definiți astfel:

pentru care avem următoarele relații între elemente:

,

.

Analog este definit determinantul ortogonal de orice ordin. Euler a demonstrat că pentru orice element al unui determinant ortogonal este egal cu complementul său, iar Joseph-Louis Lagrange a arătat că determinantul ortogonal are valoarea 1.

Teoria formelor pătratice și-a făcut apariția pentru prima dată în 1773 când, pornind de la problemele legate de teoria generală a conicelor și a cuadricelor, Joseph Lagrange a introdus, forma binară

și forma ternară

.

El a arătat că pentru , dacă efectuăm o transformare liniară

, ,

atunci pentru noua formă

,

relația dintre discriminanții formelor și ai transformării va fi:

.

Euler a observat că un determinant de ordinul 3 conține numai trei parametri independenți, iar unul de ordinul 4 conține 6 parametri și a exprimat sub formă rațională celelalte elemente în funcție de acești parametri, în cazurile și . El a dat următoarea regulă: Considerăm un determinant nenul de ordin n, ale cărui elemente de pe diagonala principală au valoarea 1, iar celelalte sunt strâmb simetrice . Dacă este complementul algebric al lui și efectuând notațiile:

atunci determinantul este ortogonal.

În 1801 a apărut lucrarea “Disquistiones Arthmeticae” a lui Gauss, unde a apărut pentru prima oară termenul de ”determinant„ în timp ce erau studiate formele pătratice. Acest concept însă nu este același cu determinantul pe care îl cunoaștem noi astăzi. În aceeași lucrare Gauss a aranjat coeficienții formelor pătratice într-un sistem de axe rectangulare; lui i se datorează și teorema referitoare la determinantul produsului a două matrice care este egal cu produsul determinanților celor două matrice, precum și construcția inversei unei matrice. Originalitatea acestei lucrări a deschis noi drumuri în studiul determinanților.

Metoda eliminării a lui Gauss, a cărei idee a apărut prima oară în manuscrisele chinezești în “9 Capitole din Arta Matematicii” menționat la începutul capitolului, dar despre care Gauss nu știa nimic, a fost utilizată de Gauss în lucrarea sa care studia orbitele asteroidului Pallas. Utilizând observațiile asupra asteroidului Pallas făcute între 1803 și 1809, Gauss a obținut un sistem de 6 ecuații liniare cu 6 necunoscute. Matematicianul a dat sistematic metode pentru rezolvarea acestor ecuații care precizează metoda eliminării Gaussiene a coeficienților matricelor.

În 1812 Augustin Louis Cauchy a utilizat determinanții în sens modern. La el sunt găsite primele însemnări mai complete despre determinanți. El a condamnat rezultatele anterioare și a obținut noi rezultate despre minorii unui determinant.

CAPITOLUL II

Determinanți

Definiție, proprietăți, calculul determinanților

2.1.1 Determinanți de ordin mic

În cele ce urmează vom defini determinanții de ordinul 2 și 3 pornind de la rezolvarea sistemelor de două ecuații liniare cu două necunoscute, respectiv a sistemelor de trei ecuații liniare cu trei necunoscute (pentru simplificare, cu elemente din corpul numerelor reale).

Fie, mai întâi, un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute:

(2.1)

Să notăm cu A matricea coeficienților sistemului (2.1), adică

A este o matrice pătratică de ordinul doi.

Rezolvarea sistemului (2.1) este bine cunoscută. Aplicând metoda reducerii obținem sistemul echivalent:

Presupunem că ; prin urmare soluția sistemului (2.1) este:

, (2.2)

Se observă că numitorul din egalitățile (2.2) se exprimă simplu: el este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală a matricei A din care se scade produsul elementelor de pe diagonala secundară a matricei A.

Acest număr îl notăm cu și îl numim determinantul matricei A, sau, altfel spus, determinant de ordinul doi (deoarece matricea A este de ordinul doi). Acest număr se notează de obicei și astfel:

Așadar avem egalitatea

.

Produsele se numesc termenii determinantului de ordinul doi.

Exemplul 2.1 Fie matricea . Calculând determinantul acestei matrici obținem:

.

Să revenim la formulele (2.2) care dau soluțiile sistemului (2.1). Se observă că numărătorul formulei care dă valoarea lui este tot un determinant de ordinul doi, și anume determinantul matricei

.

Această matrice se obține din A înlocuindu-i prima coloană cu coloana formată din elementele și . Analog, numărătorul formulei care dă valoarea lui este un determinant de ordinul doi, și anume determinantul matricei

.

Deci formulele (2.2) se pot scrie sub forma

, (2.3)

Formulele (2.3) poartă denumirea de formulele lui Cramer.

Să considerăm acum un sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute:

(2.4)

și să notăm cu A matricea coeficienților, adică:

.

Rezolvarea sistemului (2.4) o vom face prin metoda reducerii. Dacă înmulțim prima ecuație din (2.4) cu și a doua cu și le adunăm, obținem ecuația

(2.5)

Analog, înmulțind prima ecuație cu și a treia cu și apoi adunând, obținem ecuația:

(2.6)

Cu ecuațiile (2.5) și (2.6) formăm sistemul:

(2.7)

care este un sistem de două ecuații cu două necunoscute. Dacă în sistemul (2.7) înmulțim prima ecuație cu și a doua cu și apoi le adunăm, obținem:

Desfăcând parantezele, avem:

=
= (2.8)

Numărul care este coeficientul lui în ecuația (2.8) îl notăm cu și îl numim determinantul matricei A, sau, încă, determinant de ordinul trei (deoarece matricea A este o matrice de ordinul trei). Acest număr se notează de obicei și astfel:

.

Deci avem egalitatea

= (2.9)

Din relația (2.9) se vede că formula care dă valoare determinantului de ordinul trei are șase termeni, numiți termenii determinantului de ordinul trei.

Exemplul 2.2 Fie matricea . Aplicând formula (2.9) obținem:

.

Se observă că formula (2.9) care dă valoarea determinantului de ordinul trei este greu de ținut minte. De aceea s-a stabilit o regulă simplă pentru calculul determinantului de ordinul trei. Se formează următorul tablou: se scriu mai întâi liniile matricei A și apoi, sub ele, se copiază primele două linii ale matricei încă o dată, obținându-se următorul tablou:

Termenii cu semnul „+” din dezvoltarea determinantului de ordinul trei sunt cei care se obțin înmulțind numerele de pe diagonala principală și pe cele de pe liniile paralele cu diagonala principală ( și ). Termenii cu semnul „-” din dezvoltarea determinantului sunt cei care se obțin înmulțind numerele de pe diagonala secundară () și pe cele de pe liniile paralele cu diagonala secundară ( și ). Această regulă poartă numele de regula lui Sarrus.

2.1.2 Determinanți de ordinul n

În cele ce urmează vom încerca să dăm definiția determinantului unei matrice pătratice de ordinul n în așa fel încât pentru n = 2 și n = 3 să obținem determinantul de ordinul 2 și 3.

În definirea determinantului de ordinul 2 și 3 este utilizată rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acest procedeu este greu de folosit pentru cazul general, datorită calculelor laborioase care intervin, așa că este utilizată altă metodă: analizând formulele care dau determinantul de ordinul 2 și 3 este dedusă o lege generală prin care definim determinantul de ordinul n. În cele ce urmează se va arăta că formula determinantului de ordinul n, așa cum este dată mai jos, ne va permite obținerea unor formule de tip Cramer pentru rezolvarea sistemelor de n ecuații liniare cu n necunoscute.

Să reamintim pentru început formulele determinanților de ordinul 2 și 3:

=-

=++–=

=-+

Constatăm că termenii determinanților de ordinul 2 și 3 sunt produse de elemente aparținând la linii și coloane distincte. În plus, orice astfel de produs (din elemente aparținând la linii și coloane distincte) este termen în formula determinantului respectiv.

Fie R un inel comutativ cu unitate. Să considerăm acum o matrice pătratică de ordinul n cu elemente din inelul R:

A= ;

Vom forma toate produsele posibile de n elemente aparținând la linii și coloane distincte. Un astfel de produs este de forma:

(2.10)

unde , ,, sunt toate elementele mulțimii 1, 2,…, n, eventual în altă ordine. Înseamnă că putem considera permutarea de gradul n :

=

și deci produsul (2.10) se scrie

=.

Numărul total al produselor de forma (2.10) este egal cu numărul tuturor permutărilor de grad n, deci n!. Ținând cont de formulele determinanților de ordinul 2 și 3, în mod natural formula determinantului de ordinul n trebuie să conțină toate produsele

,

unde parcurge toate permutările lui . Mai rămâne de aflat semnul cu care apare produsul . Să revenim din nou la formulele determinanților de ordinul 2 și 3. Să luăm, de exemplu, din formula determinantului de ordinul trei termenii cu semnul (+) :

, , .

Se observă că permutările asociate acestor termeni:

=, =, =

sunt permutări pare, deci semnul lor este +1.

Dacă luăm acum termenii cu semnul (-):

, , ,

permutările asociate acestor termeni:

, ,

sunt permutări impare, deci au signatura (semnul) -1. Aceste observații ne sugerează că în definiția determinantului de ordinul n, produsul trebuie să aibă semnul (+) sau (-) după cum permutarea are signatura (semnul) +1 sau -1. Acum suntem în măsură să definim determinantul de ordinul n.

Definiția 2.1. Fie . Elementul din inelul R

,

unde este mulțimea tuturor permutărilor de gradul n și este signatura permutării , se numește determinantul matricei A, sau, mai simplu, determinant de ordinul n și se notează de obicei astfel:

.

Produsul se numește termen al determinantului de ordinul n.

Uzual, se spune despre elementele, liniile și coloanele matricei A că sunt elementele, liniile și coloanele determinantului . Uneori se mai notează prescurtat și

sau .

Observația 2.1 Noțiunea de determinant al unei matrice are sens numai pentru matrice pătratice. Este deosebire între matrice și determinantul său: matricea este o funcție, iar determinantul matricei este un element al inelului R.

Observația 2.2 În formula determinantului unei matrice există n! termeni dintre care au semnul (+) iar au semnul (-).

Observația 2.3 Definiția determinantului se aplică și matricelor de ordinul 1, când . În acest caz.

Observația 2.4 Așa cum a fost definit determinantul de ordinul n, pentru și , obținem determinantul de ordinul 2, respectiv 3.

În continuare vom încerca să dăm o definiție a determinantului de ordinul n, care să coincidă cu definiția de mai sus. Pentru a face acest lucru, vom introduce câteva noțiuni preliminare:

Definiția 2.2 Fie R un inel unitar și comutativ cu . Dacă E este un R-modul, atunci

(n factori)

se numește n-puterea carteziană a lui E.

Fie E și F două R-module. O aplicație , , se numește R-multiliniară (n-liniară) dacă oricare ar fi i, , și oricare ar fi , corespondența

este morfism de R-module, deci , unde notează mulțimea tuturor morfismelor de la E la F.

Dacă , atunci se numește formă R-multiliniară sau formă n-liniară; aplicațiile (formele) 2-liniare se numesc aplicații biliniare (respectiv forme biliniare).

Exemplul 2.3 Orice morfism din este o aplicație 1-liniară, orice morfism din este o formă 1-liniară.

Exemplul 2.4 Dacă A este o R-algebră, atunci aplicația

este R-multiliniară.

Exemplul 2.5 Dacă , atunci aplicația

,

unde

,

este o formă biliniară.

Definiția 2.3 O aplicație (formă) multiliniară (respectiv ) se numește alternată dacă

.

Observația 2.5 Forma biliniară de la Exemplul 2.5 este alternată.

Propoziția 2.1 Fie o aplicație multiliniară alternată. Avem:

a) pentru ;

b) dacă și ;

c) , .

Demonstrație:

a) Fie astfel încât și aplicând procedeul inducției matematice după k. Când avem:

,

de unde

.

Fie și presupunem afirmația adevărată pentru . Pentru a permuta pe cu permutăm succesiv: pe cu , apoi pe cu și în final pe cu . Datorită ipotezei inducției și rezultatului din cazul , schimbă semnul de trei ori, de unde:

.

b) Este suficient să ne mărginim la cazul , și avem:

.

c) Fie și avem

.

Dacă , am notat cu unde .

Lema 2.1 Pentru orice matrice avem:

unde este signatura permutării, iar cu am notat grupul tuturor permutărilor unei mulțimi finite cu n elemente.

Demonstrație:

Dacă atunci și inelul R fiind comutativ deducem

.

Cum și aplicația , este bijectivă, egalitatea din enunț rezultând datorită comutativității adunării lui R.

Propoziția 2.2 Fie o aplicație multiliniară alternată, , și

,

.

Atunci

.

Demonstrație:

Folosind faptul că este aplicație multiliniară avem:

.

Dacă funcția , este injectivă, atunci este și surjectivă, deci , iar dacă nu este injectivă atunci (vezi Propoziția 2.1, b)). Rezultă că

.

Aplicând Propoziția 2.1 punctul a) obținem:

,

de unde

.

Cum

,

din prima parte a demonstrației rezultă:

.

Fie . Pentru coloanele matricei A folosim notațiile

și avem , . De asemenea, liniile matricei A se notează

și avem . Dacă I este matricea unitate de ordin n, atunci , formează o bază pentru R-modulul liber , numită bază canonică a lui E.

Teorema 2.1 (Teorema fundamentală a teoriei determinanților) Fie R-modulul liber și baza sa canonică. Există o unică formă multiliniară alternată astfel încât . Mai mult, avem:

.

Demonstrație:

Presupunem că este o formă multiliniară alternată astfel încât . Fie ,

și formată cu componentele lui . Folosind Propoziția 2.2 rezultă

.

Astel am demonstrat unicitatea. Cum , , este demonstrată și ultima afirmație din enunț. Rămâne să demonstrăm existența lui , pe care o vom proba prin inducție după n.

Dacă luăm egal cu forma biliniară de la Exemplul 2.5. Presupunem că există și să construim pe . Fie și ca în prima parte a demonstrației. Să notăm cu matricea care se obține din A eliminând linia i și coloana j. Avem . Pentru i fixat, , definim:

. (2.11)

Fie un termen al sumei relației (2.11) și să vedem cum depinde acesta de , . Cum există prin ipoteză, atunci

(2.12)

Dacă , atunci nu depinde de (căci a fost eliminat din A) dar depinde R-liniar de . Dacă , atunci nu depinde de , dar depinde R-liniar de (deoarece nu a fost eliminat din A și folosim faptul că de la relația (2.12) este R-multiliniară). Acum din (2.11) rezultă că este formă R-multiliniară. Din (2.11) și (2.12) rezultă imediat că .

Rămâne să arătăm că este alternată. Presupunem că , deci , și să arătăm că .

Dacă și , atunci are două coloane egale și din (2.12) rezultă că , de unde

.

Dar din rezultă și de unde .

Definiția 2.4 Fie R un inel comutativ. Aplicația , se numește determinant de ordinul n (peste inelul R).

Determinantul unei matrice se mai notează și .

Elementul se numește complement algebric al lui , și avem:

, ,

formulă cunoscută sub numele de dezvoltarea determinantului matricei A după complemenții algebrici ai liniei i.

Propoziția 2.3 (Regula lui Cramer) Fie și astfel încât

cu . Atunci:

, ,

b fiind plasat pe poziția de rang i.

Demonstrație:

Fie și avem

.

Analog se procedează pentru .

Propoziția 2.4 Fie K un corp comutativ și . În K-spațiul vectorial avem dacă și numai dacă , unde prin înțelegem că familia este liniar independentă peste K.

Demonstrație:

Fie baza canonică a lui . Cum și rezultă că este o K-bază a lui , deci

, , .

Aplicând Propoziția 2.2 avem:

unde , deci .

Fie astfel încât

unde 0 este vectorul zero al lui . Conform regulei lui Cramer avem

, .

Cum , rezultă , , deci .

2.1.3 Proprietățile determinanților

Formula determinantului de ordinul 2 este simplă; formula determinantului de ordinul 3 este deja complicată. Aici există avantajul că avem o regulă simplă, regula lui Sarrus, care ne permite să calculăm destul de ușor un determinant de ordinul 3. Dacă, în schimb, avem de calculat determinanți de ordin , formula prin care este definit determinantul de ordinul n, în general este aproape imposibil de aplicat datorită calculelor laborioase care apar. De exemplu, pentru un determinant de ordinul 4 avem 4!=24, termeni în formula sa, pentru n=5 avem 5!=120 termeni de calculat, iar pentru n=10 avem 10!=3 628 800 termeni de calculat. Din aceste motive se caută să se scoată în evidență o serie de proprietăți ale determinanților de ordinul n, care simplifică de cele mai multe ori calculul determinanților.

Proprietatea 2.1 Determinantul unei matrice coincide cu determinantul matricei transpuse. Adică dacă , atunci .

Demonstrație. Fie și matricea transpusă a lui A.

Deci , oricare ar fi i = 1, 2, … , n; j = 1, 2, …, n. Avem

(2.13)

(2.14)

Dacă notăm , atunci și deci produsul

Deoarece . Cum numerele sunt numerele 1, 2, …, n, eventual în altă ordine, iar înmulțirea numerelor este comutativă , atunci

Și deci orice termen din suma (2.13) se regăsește ca termen în suma (2.14) și invers.

Deci.

Observația 2.6 Proprietatea 2.1 se poate scrie și astfel:

.

Observația 2.7 Proprietatea 2.1 arată că ori de câte ori avem o proprietate adevărată, referitoare la liniile unui determinant, aceeași proprietate este adevărată și pentru coloanele determinantului.

Proprietatea 2.2 Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricei este nul.

Demonstrație:

Să presupunem că toate elementele de pe linia i sunt nule. Cum fiecare termen al determinantului este un produs de elemente, printre care se găsește și un element de pe linia i, atunci acest termen este zero. Deci determinantul este zero.

Exemplul 2.6 Fie matricea:

Deoarece linia a 2-a a matricei A are toate elementele nule, = 0.

Proprietatea 2.3 Dacă într-o matrice schimbăm două linii (sau coloane) între ele obținem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei inițiale.

Demonstrație:

Fie matricea:

Prin schimbarea liniilor i și j între ele obținem matricea:

Avem

Să considerăm transpoziția deci , și dacă . Atunci

Cum , avem

Când parcurge toate permutările lui și parcurge toate permutările lui , deci dacă notăm , avem

Și deci .

Exemplul 2.7 Fie matricea . Dacă schimbăm liniile 2 și 3 între ele obținem matricea . Conform Proprietății 2.3 avem, , ceea ce se poate verifica și folosind regula lui Sarrus.

Proprietatea 2.4 Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice atunci determinantul său este nul.

Demonstrație:

Fie o matrice pătratică de ordinul n în care liniile i și j sunt identice. Aceasta înseamnă că pentru orice Înseamnă că orice termen din dezvoltarea lui se regăsește în această dezvoltare cu semnul schimbat. Deci toți termenii din dezvoltarea lui se reduc 2 câte 2 și prin urmare .

Exemplul 2.8 Fie matricea care are două coloane identice (coloana 2 și coloana 3). Deci conform Proprietății 2.4 avem .

Proprietatea 2.5 Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrice sunt înmulțite cu un element obținem o matrice al cărui determinant este egal cu înmulțit cu determinantul matricei inițiale.

Demonstrație:

Fie matricea și fie matricea care se obține din A prin inmulțirea liniei i cu elementul . Deci avem pentru și și oricare ar fi . Deci

.

Deci .

Observația 2.8 Proprietatea 2.5 se transcrie și astfel (pentru linii) :

Exemplul 2.9 Fie matricea

Dacă înmulțim coloana 2 cu numărul obținem matricea

Aplicând Proprietatea 2.5 obținem , lucru ce se poate verifica și direct aplicând regula lui Sarrus. Avem , .

Proprietatea 2.6 Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrice sunt proporționale, atunci determinantul este nul.

Demonstrație:

Fie matricea în care liniile i și j sunt proporționale, adică există un element astfel încât oricare ar fi .

Aplicând Proprietatea 2.5 rezultă că este produsul dintre elementul și determinantul unei matrice care are două linii egale.

Aplicând Proprietatea 2.4 rezultă că este zero.

Exemplul 2.10 Fie matricea

Cum linia a treia și a patra a matricei A sunt proporționale, aplicând Proprietatea 2.6, obținem .

Proprietatea 2.7 Fie o matrice pătratică de ordinul n. Presupunem că elementele liniei i sunt de forma , oricare ar fi . Dacă A’ (respectiv A”) este matricea care se obține din A înlocuind elementele de pe linia i cu elementele (respectiv ), , atunci

.

Demonstrație:

Avem:

.

Observația 2.9 Proprietatea 2.7 se transcrie și astfel:

=+

Observația 2.10 Folosind Proprietatea 2.1 obținem pentru Proprietatea 2.7 și varianta pe coloane, adică egalitatea:

=

=+

Fie o matrice pătratică.

Vom spune că linia i a matricei A este o combinație liniară de celelalte linii, dacă există elementele , astfel încât

oricare ar fi . Asupra elementelor nu se pune nici o condiție, în sensul că unele dintre ele pot fi și zero. Analog se poate defini ce înseamnă că o coloană j a matricei A este o combinație liniară de celelalte coloane.

Exemplul 2.11 Fie matricea:

Linia a treia a matricei A este o combinație liniară de celelalte două linii. Într-adevăr, dacă considerăm numerele și se observă că , , .

Proprietatea 2.8 Dacă o linie (sau coloană) a unei matrice pătratice este o combinație liniară de celelalte linii (sau coloane) atunci determinantul matricei este nul.

Demonstrație:

Presupunem că linia i a matricei A este o combinație liniară de celelalte linii. Utilizând Proprietatea 2.7, determinantul matricei A este o sumă de determinanți care au două linii proporționale, deci, ținând cont de Proprietatea 2.6, toți acești determinanți sunt zero. Prin urmare determinantul matricei A este zero.

Exemplul 2.12 Să considerăm din nou matricea de mai sus

.

Cum ultima linie este o combinație liniară de celelalte două linii rezultă că .

Proprietatea 2.9 Dacă la o linie (sau coloană) a matricei A adunăm elementelealtei linii (sau coloane), înmulțite cu același element, atunci această matrice are același determinant ca și matricea A.

Demonstrație:

Să presupunem că și că la linia i adunăm elementele liniei j înmulțite cu elementul . Obținem astfel o matrice A’ care are aceleași linii ca matricea A, în afară de linia i, ale cărei elemente sunt

,

Folosind Proprietatea 2.7, determinantul matricei A’ este suma a doi determinanți dintre care unul este determinantul unei matrice care are două linii proporționale. Conform Proprietății 2.6, acest al doilea determinant este nul. Prin urmare .

Observația 2.11 Proprietatea 2.9 se transcrie astfel (pentru linii):

=

Observația 2.12 Se poate constata că Proprietatea 2.8 extinde Proprietatea 2.6 și că Proprietățile 2.4 și 2.2 sunt cazuri particulare ale Proprietății 2.6.

2.1.4 Calculul determinanților

În cele ce urmează vom da un procedeu prin care calculul unui determinant de ordinul n se reduce la calculul unui anumit număr de determinanți de ordinul .

Fie

un determinant de ordinul n. Determinantul de ordinul care se obține suprimând linia i și coloana j din determinantul d se numește minorul elementului și se notează cu . Evident, unui determinant de ordinul n i se pot asocia minori de ordinul și respectiv complemenți algebrici ai elementului în determinantul d definiți la Definiția 2.4 . Vom nota în continuare .

Exemplul 2.13 Fie determinantul de ordinul trei

.

Minorii elementelor din d sunt în număr de 9. Aceștia sunt:

; ;

; ;

; ; .

Complemenții algebrici ai elementelor din d sunt:

; ;

; ;

; ;

Teorema 2.2 Fie determinantul de ordinul n, .

Atunci pentru orice , are loc egalitatea:

(2.15)

Egalitatea (2.15) poartă denumirea de dezvoltarea determinantului după linia i.

Demonstrație:

Vom nota cu S suma

. (2.16)

Să considerăm termenul din suma (2.16). Să presupunem mai întâi că . În acest caz un termen oarecare din dezvoltarea determinantului de ordinul este de forma , unde sunt numerele , eventual în altă ordine. Rezultă că termenul este un termen al determinantului d. Semnul termenului provenit din dezvoltarea determinantului este egal cu , unde l este numărul de inversiuni ale permutării:

.

Deci semnul termenului provenit din produsul este .

Pe de altă parte semnul termenului în dezvoltarea determinantului d este egal cu , unde r este numărul de inversiuni ale permutării:

.

Cum , permutările și au același număr de inversiuni, deci . Prin urmare termenul provenit din produsul are același semn cu cel provenit din dezvoltarea determinantului d.

Cazul general. Vom proceda în felul următor: vom schimba liniile și coloanele în așa fel încât elementul să vină în locul elementului și minorul să rămână neschimbat. În acest fel linia i și coloana j devin linia 1 respectiv coloana 1; linia 1 devine linia 2, linia 2 devine linia 3, … , linia devine linia i; coloana 1 devine coloana 2, coloana 2 devine coloana 3, … , coloana devine coloana j. Determinantul obținut prin aceste schimbări îl notăm cu . Aplicând Proprietatea 2.3 a determinanților, avem:

(2.17)

În plus, . Dacă este un termen oarecare din dezvoltarea determinantului , din egalitatea (2.17) și ținând seama de prima parte a demonstrației, rezultă că semnul termenului provenit din produsul este același cu cel dat de dezvoltarea determinantului d. În concluzie, fiecare termen din produsul luat cu semnul său este un termen cu același semn, al determinantului d. Cum produsul conține termeni, atunci toți termenii care apar în suma (2.16) sunt în număr de . Deci în suma (2.16) se găsesc toți termenii (inclusiv semnul) determinantului d. Prin urmare are loc egalitatea .

Corolarul 2.1 Fie un determinant de ordinul n. Pentru orice are loc egalitatea

Demonstrație:

Considerăm determinantul

care s-a obținut din d prin înlocuirea liniei j cu linia i. Cum are două linii egale, aplicând Proprietatea 2.4 a obținem .

Dezvoltând determinantul după linia j (conform Teoremei 2.2) obținem egalitatea căutată.

Din Proprietatea 2.1 și Teorema 2.2 obținem

Teorema 2.3 Fie determinantul de ordinul n, .

Atunci pentru orice are loc egalitatea:

(2.18)

Egalitatea (2.18) poartă denumirea de dezvoltarea determinantului d după coloana j.

Corolarul 2.2 Fie un determinant de ordinul n. Pentru orice are loc egalitatea:

.

Demonstrație:

Se aplică Proprietatea 2.1 și Observația 2.6.

Teoremele 2.2 și 2.3 dau procedee prin care calculul unui determinant de ordinul n se reduce la calculul unui anumit număr de determinanți de ordinul . Pentru a simplifica calculele, în aplicații se face de obicei dezvoltarea unui determinant după acea linie sau coloană care are cel mai mare număr de elemente egale cu zero. Din această cauză, la calculul unui determinant, se aplică sistematic cele nouă proprietăți prezentate în paragraful anterior, pentru ca pe o anumită linie sau coloană să obținem cât mai multe elemente egale cu zero.

2.1.5 Determinantul produsului a două matrici

Fie m și n două numere naturale nenule astfel încât , iar R un inel comutativ. Fie acum matricile și . Pentru orice , nu neapărat distincte, notăm cu (respectiv ) matricea pătratică de ordinul m având m coloane (respectiv m linii), egale în ordine cu coloanele (respectiv liniile) de indici ale matricei A (respectiv B). Să considerăm cu , pentru , și fie o rearanjare a elementelor astfel încât .

Din proprietățile determinanților rezultă că:

și .

Pe de altă parte, din definiția determinantului avem că:

.

O relație analoagă avem și pentru , adică:

.

Folosind notațiile de mai sus avem:

Teorema 2.4 (Formula Binet-Cauchy). Fie m și n două numere naturale nenule astfel încât . Atunci pentru orice două matrice și are loc egalitatea:

.

Demonstrație:

Fie , adică . Aplicând definiția determinantului matricei C, avem:

.

Am folosit faptul că determinantul unei matrice cu două linii identice este nul.

Grupând termenii cu pentru arbitrar fixați, obținem:

=

Deci =.

Q.E.D.

Corolarul 2.3 Fie n un număr natural nenul. Atunci pentru orice două matrice are loc egalitatea:

.

Demonstrație:

Se obține imediat din formula Binet-Cauchy pentru .

Corolarul 2.4 Fie R un inel comutativ și . Atunci are loc identitatea:

=.

Demonstrație:

Considerăm matricea

Dacă este transpusa matricei A, atunci:

unde

, ,

deci

=

=

Dacă , atunci

și

și deci și .

Aplicând acum formula Binet-Cauchy, obținem identitatea din Corolarul 2.4.

Observația 2.13 Dacă ; sunt numere reale, din Corolarul 2.4 obținem binecunoscuta inegalitate a lui Cauchy-Bouniakovski:

2.2 Determinanți speciali

2.2.1 Determinant Vandermonde

Se notează cu și este definit prin

=,

unde , și .

Valoarea lui se poate calcula în două moduri:

Metoda I:

Efectuând , ,,, se obține:

==

=,

care reprezintă o relație de recurență.

Deci,

=

=

……………………………………………

=

Făcând produsul, se obține:

=.

Metoda a II-a:

Fie polinomul de gradul n-1.

Se observă că (este exclus cazul banal în care două dintre numerele sunt egale). Se deduce că polinomul P este de forma:

Dezvoltând determinantul , după ultima linie, a fiind coeficientul lui , rezultă , deci

=

Pentru , se obține:

=

și ținând cont de această relație de recurență și de egalitatea

,

se obține =.

Exemplul 2.14 Să se calculeze determinantul Vandermonde de ordinul 4:

.

Din linia a doua se scade prima linie înmulțită cu , din linia a treia se scade linia a doua înmulțită cu , din linia a patra se scade linia a treia înmulțită cu și dezvoltând determinantul după coloana întâi se obține:

,

Se observă că din coloana întâi putem da factor pe , din coloana a doua pe și din coloana a treia pe . Se obține:

.

Se aplică aceleași operații determinantului Vandermonde de ordinul trei și se obține:

.

Deci

.

2.2.2 Determinant Vandermonde lacunar

Fie , . Se numește determinant Vandermonde lacunar, și se notează cu , determinantul

.

Pentru a putea fi calculate, se consideră egalitățile

,

unde notează suma Vietè de ordinul k.

Pe de altă parte, prin dezvoltarea determinantului după ultima coloană, se obține

Prin identificarea coeficienților celor două forme ale polinomului se obține:

, .

2.2.3 Determinant polinomial

Fie polinomul de grad cel mult , și fie , . Determinantul:

se numește determinant polinomial.

Dacă

…………………….

și se notează cu matricea coeficienților polinoamelor , , ținând cont de egalitatea , se deduce că:

.

2.2.4 Determinant circular

Fie . Se numește determinant circular al numerelor și se notează cu determinantul:

.

Pentru calculul lui, se consideră ecuația binomă , ale cărei rădăcini sunt (numite rădăcini de ordinul n ale unității) și se construiește un determinant Vandermonde de forma:

.

Făcând produsul , se obține:

=.

Se consideră polinomul astfel încât produsul de mai sus se poate scrie:

.

Ultima linie se poate aduce pe locul primei linii prin schimbări. Procedând analog cu celelalte linii, se obține:

,

de unde simplificând cu se obține:

,

unde , iar este o rădăcină a ecuației .

Exemplul 2.15 Să se calculeze determinantul circular de ordinul trei:

.

Adunând liniile a doua și a treia la linia întâi se observă că este divizibil cu . Fie rădăcina cubică a unității, adică .

Adunând la linia întâi linia a doua înmulțită cu și linia a treia înmulțită cu rezultă:

,

unde și . Prin urmare este divizibil și cu . Dacă în se adună la linia întâi linia a doua înmulțită cu și linia a treia înmulțită cu , se obține:

.

Deci este divizibil și prin , adică este divizibil și cu produsul . Deoarece este un polinom omogen de gradul al treilea, rezultă că

,

unde C este o constantă. Dar în determinantul dat coeficientul lui este 1 și în expresia obținută coeficientul lui este C, adică și prin urmare

.

2.2.5 Determinant Cauchy

Fie , . Se numește determinant Cauchy al numerelor determinantul:

.

Metoda I:

Pentru a calcula acest determinant scădem ultima linie din celelalte linii, dăm factori pe linii și pe coloane, apoi scădem ultima coloană din celelalte coloane și dăm din nou factori.

Se obține relația de recurență:

,

de unde

.

Metoda a II-a:

Scriem determinantul dat sub forma:

și scădem ultima coloană din celelalte. Vom obține:

sau

.

În determinantul de mai sus scădem ultima coloană din celelalte și dezvoltăm după elementele ultimei linii. Obținem:

.

Luând acum și înmulțind memru cu membru relațiile obținute, rezultă:

.

2.2.6 Derivata unui determinant

Teorema 2.5 Fie funcții derivabile pe R, , iar ,

.

Să se arate că f este derivabilă pe R și derivata sa este:

.

Demonstrație:

Dacă funcțiile sunt funcții derivabile pe R, atunci funcția este derivabilă pe R și

.

Rezultă astfel că

este derivabilă și derivata sa este egală cu:

,

Q.E.D.

2.3 Matrice inversabilă

Fie R un inel comutativ. Vom considera inelul matricelor pătratice de ordinul n. O matrice se numește inversabilă dacă este inversabilă ca element în inelul , adică există o matrice (care este unică) astfel încât . Matricea B, dacă există, se notează cu și se numește inversa matricei A.

Teorema 2.6 Fie . Atunci A este inversabilă dacă și numai dacă este un element inversabil în inelul R.

În acest caz , unde unde și este minorul elementului .

Demonstrație:

Presupunem că A este inversabilă. Există astfel încât . În acest caz avem sau ceea ce arată că este un element inversabil în R.

Invers, presupunem că este inversabil în R. Să notăm și . Deci

.

Dacă , atunci din Teorema 2.2 obținem că .

Dacă , din Corolarul 2.1 obținem că . Deci , adică . Analog se arată că .

Exemplul 2.16 Să se calculeze inversa matricei

, .

,

unde

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

,

, ,

deci

, , ,

, , ,

, , .

Deci

.

Corolarul 2.5 Fie K un corp și . Atunci A este inversabilă numai și numai dacă .

2.3.1 Calculul matricei inverse folosind definiția matricei inverse

,

, este complementul algebric al elementului , iar minorul elementelor din transpusa matricei A.

Vom avea de calculat:

determinanți de ordinul , care reprezintă complemenții algebrici ai elementelor , ;

un determinant de ordinul n;

împărțiri (fiecare element se împarte la ).

Numărul al operațiilor elementare va fi:

,

, .

.

, .

2.3.2 Transformarea în matrice unitate

Aplicând regula dreptunghiului, după n pași matricea A se transformă în matricea unitate, iar în locul matricei I apare matricea inversă .

Numărul al operațiilor elementare va fi:

.

.

Observația 2.14 Calculele se desfășoară în n pași. În fiecare pas elementele transformate ale celor două matrici se obțin prin regula dreptunghiului împărțind la pivot. Coloana pivotului nemaifiind necesară în calcule, în pasul următor poate fi suprimată. În fiecare pas se adaugă câte o singură coloană din matricea unitate.

2.3.3 Transformarea în matrice diagonală

Se pornește tot de la matricea extinsă și se fac transformări elementare, folosind regula dreptunghiului fără a împărți la pivot.

În acest mod, după n pași, aplicând regula dreptunghiului fără a mai împărți la pivot, matricea A se transformă într-o matrice diagonală D, iar în locul matricei I apare o matrice . Situația se prezintă astfel:

Pentru ca matricea C să devină egală cu matricea inversă , va trebui să împărțim liniile , respectiv la:

Numărul al operațiilor elementare necesare în acest caz va fi:

.

.

2.3.4 Metoda descompunerii în blocuri

Pentru a obține inversa unei matrice de ordinul n se pornește de la schema:

compusă din 4 blocuri, în care:

A și D sunt matrice pătratice de ordinul p, respectiv q, astfel încât ;

B este o matrice cu p linii și q coloane;

C este o matrice cu q linii și p coloane.

Dacă este inversa matricei date, ea se poate scrie sub forma:

,

unde K și N sunt tot matrice pătratice de ordinul p, respectiv q, iar L și M matrice de același ordin cu B, respectiv C.

Făcând produsul se obține:

,

în care și sunt matrice unitate de ordinul p, respectiv q, iar și sunt matrice nule de ordinul , respectiv .

Efectuând produsul se deduce sistemul:

Din (2.19) se obține:

.

Înmulțind cu la stânga în (2.20) și adunând pe (2.22) se deduce succesiv:

.

Din (2.20) se determină L:

.

Înlocuind pe K în (2.21) și pe L în (2.22) se obține:

(2.23)

. (2.24)

Amplificând în (2.23) cu , în (2.24) cu la dreapta în ambii membri găsim relația , care înmulțită la dreapta cu M și la stânga cu N, se va determina .

Ordinea în care se vor determina cele 4 blocuri de matrice va fi:

și necesită calculul a două matrice inverse, una de ordinul p și alta de ordinul q ().

Dacă n este par și alegem , atunci vom avea de calculat două matrice inverse de ordinul și anume:

și .

Observația 2.15 Pentru a nu calcula decât matrice inverse de ordinul 2 se consideră și , deci A va fi o matrice pătratică de ordinul 2, iar D o matrice pătratică de ordinul . Se obține următoarea schemă:

, .

Cu se procedează la fel ca și cu S, obținând următoarea schemă:

, .

Dacă n este par (), atunci după pași se obține un bloc de forma:

.

Dacă n este impar (), atunci după pași, schema blocului va fi:

,

unde este o matrice cu un singur element.

2.3.5 Metoda bordurilor

Se consideră matricea A sub forma:

,

în care este o matrice pătratică de ordinul ,

, .

Prima bordură este formată din vectorul linie , scalarul și vectorul coloană . Matricea se va scrie sub forma:

,

în care : este o matrice pătrată de ordinul ;

un vector linie, un vector coloană, iar un scalar.

Dacă facem produsul se obține

.

Identificând se va găsi sistemul

, (2.29)

, (2.30)

, (2.31)

, (2.32)

format din 4 ecuații matriceale.

Înmulțind în (2.31) cu la stânga se obține

; , (2.33)

care înlocuit în (2.32) ne dă

; . (2.34)

Dacă înmulțim cu la stânga în (2.29) găsim

; . (2.35)

Înlocuind din (2.35) în (2.30) și ținând seama de (2.33) se obține

,

, . (2.36)

Înlocuind pe din (2.36) în (2.35):

. (2.37)

Ținând seama de (2.33), (2.34), (2.36), (2.37), matricea inversă se va scrie sub forma

, (2.38)

în care .

Observația 2.16 Metoda bordurilor este un caz special al „metodei blocurilor”, în care ; .

Inversarea unei matrice de ordinul n se face în mod succesiv, pornind de la matricele de ordinul

Elementele fiecărei borduri se determină folosind elementele găsite în pasul precedent.

Dacă a fost calculat, atunci se obține astfel:

se determină succesiv

, (2.39)

2. . (2.40)

3. Numărul din (2.34), care se poate obține în două moduri diferite:

;

,

sau sub forma

,

(2.41)

.

Determinarea lui în două moduri diferite este un bun prilej pentru a face o verificare a calculelor.

Dacă , atunci elementele se obțin din formulele

; ,

; , (2.42)

,

în care sunt elementele matricei . În general reprezintă elementele matricei inverse, calculate în pasul anterior.

2.3.6 Metoda Gauss – prin bordare

Se desfășoară în două faze, folosind conceptul de eliminare (regula dreptunghiului) și de bordare (mărginire).

Fie

,

matricea pătratică de ordinul n, a cărei inversă se cere:

; ; .

Faza 1. Se desfășoară în pași.

Pasul 1. Se consideră , pivot. Linia și coloana pivotului rămân neschimbate, celelalte elemente se obțin din regula dreptunghiului

.

După primul pas matricea A se transformă în matricea

.

Pasul 2. Procedeul se repetă cu matricea din primul pas se obține matricea

(numerele din paranteză scrise la exponent reprezintă denumirea pasului). Procedeul se continuă, astfel încât după pași se obține matricea intermediară C:

Faza 2. Matricea se obține din matricea C, calculând noile borduri în ordine inversă (începând cu ultima și terminând cu prima). Bordarea se efectuează în n pași.

Pasul 1. Se determină inversul elementului situat în colțul din dreapta jos, care reprezintă prima bordură a matricei inverse:

.

Pasul 2. Se determină elementele bordurei a doua, folosind relațiile:

,

,

,

în care sunt elementele situate pe bordura a doua a matricei C. Primele două borduri ale matricei inverse vor fi:

Procedeul se repetă astfel încât, în pasul n se determină elementele situate pe ultima bordură a matricei C, (care vor fi elementele situate pe prima linie și prima coloană a matricei inverse ) din formulele:

,

,

,

în care , , sunt elementele situate pe ultima bordură a matricei C:

; ; ,

iar , este matricea de ordinul , formată cu primele borduri ale matricei inverse:

,

unde exponentul din reprezintă denumirea bordurei, pe care se află elementele , , , ale matricei inverse .

Pentru calculul matricei intermediare C vom efectua:

operații pentru ; ;

operații pentru .

Pentru calculul bordurilor:

operații pentru: ;

operații pentru ;

operații pentru ;

operații pentru ;

o operație pentru .

Cum

,

,

numărul total al operațiilor elementare va fi:

.

.

2.4 Rangul unei matrice. Transformări elementare de matrici

Fie V un spațiu vectorial peste corpul și un sistem de vectori din V. Un subsistem B al lui S, maximal printre subsistemele liniar independente ale lui S, se numește subsistem maximal liniar independent al lui S. Dacă B este un subsistem maximal liniar independent al lui S, atunci sistemul este liniar dependent, deci dep, oricare ar fi , unde dep notează faptul că familia B este liniar dependentă peste corpul K. Rezultă că orice subsistem maximal liniar independent B al lui S este bază a subspațiului lui V generat de vectorii lui S. Cum toate bazele unui spațiu vectorial au același număr de vectori, rezultă că toate subsistemele maximale liniar independente ale lui S au același număr de vectori.

Numărul vectorilor dintr-un subsistem maximal liniar independent al lui S se numește rangul sistemului S de vectori și va fi notat cu rang . Avem deci:

rang,

unde

.

În cele ce urmează matricele considerate sunt elemente dintr-un corp comutativ K. Fie .

Dacă considerăm șirurile de numere și , putem construi o submatrice a matricei A, de tipul , astfel:

adică este o matrice constituită din toate elementele matricei A care se găsesc la intersecția liniilor cu coloanele .

Se observă că în acest fel putem construi submatrici de tipul , ale matricei A.

Vom numi minor de ordinul al matricei A, determinantul unei submatrici de tipul al lui A. Matricea A are minori de ordinul p.

Definiția 2.5 Fie o matrice nenulă cu m linii și n coloane. Se numește rangul matricei A, un număr natural având următoarele proprietăți:

Există un minor de ordinul r al lui A, nenul.

Orice minor de ordin este egal cu zero.

Numărul r se notează astfel rang A.

Dacă , atunci punem prin definiție rang .

Vom da acum câteva proprietăți simple al rangului unei matrici care rezultă

imediat din Definiția 2.4 și din proprietăților determinanților:

Proprietatea 2.10 rang Amin.

Proprietatea 2.11 rang Arang.

Proprietatea 2.12 Rangul unei matrici nu se schimbă dacă permutăm liniile (respectiv coloanele) între ele.

Proprietatea 2.13 Rangul unei matrici nu se schimbă dacă înmulțim o linie (sau coloană) cu un element nenul din corpul K.

Proprietatea 2.14 rang A dacă și numai dacă există un minor de ordinul r nenul al lui A și orice minor de ordinul al lui A este nul.

Pentru verificarea Proprietății 2.14 trebuie să arătăm că orice minor al lui A de ordin este nul. Într-adevăr, dacă , afirmația rezultă din ipoteză. Dacă se ține cont că orice determinant de ordinul dezvoltat după o linie este o combinație liniară de s determinanți de ordinul și deci acest minor este nul. În continuare se procedează prin recurență după s.

Alte proprietăți ale rangului unei matrici vor rezulta din Teorema lui Kronecker pe care o vom prezenta în continuare.

Fie .

Vom nota cu (respectiv ) liniile (respectiv coloanele) matricei A.

Dacă și este binecunoscut faptul că E și F sunt K-spații vectoriale în care și.

Se observă că iar și deci are sens să vorbim de subspațiul vectorial al lui E generat de elementele și notat .

Cu aceste notații putem enunța:

Teorema 2.7 (Kronecker) rang sau altfel spus rang A este egal cu numărul maxim de coloane (respectiv linii) care sunt liniar independente.

Demonstrație:

Fie rang A. Putem presupune că (deoarece cazul este evident). Dacă atunci și atunci există un minor de ordinul r nenul.

Deoarece rangul unei matrici nu se schimbă dacă permutăm liniile (respectiv coloanele) între ele, putem presupune că submatricea lui A:

are

Pentru a arăta egalitatea vom proba că sunt liniar independente și este un sistem de generatori pentru subspațiul .

Fie egalitatea .

Rezultă clar că . Deoarece , putem aplica regula lui Cramer și rezultă că.

Să dovedim că este un sistem de generatori pentru subspațiul . Este suficient să dovedim că orice , cu , este o combinație liniară de .

Considerăm matricea pătratică de ordinul

,

unde i este arbitrar.

Dacă avem deoarece B are două linii egale; dacă avem deoarece rang A, deci oricum ar fi i avem .

Pentru simplificare notăm cu d complementul algebric al lui în matricea B, cu complementul algebric al lui . Dezvoltând după ultima linie avem .

Cum , atunci

și deci

,

unde nu depind de i.

Deci este un sistem de generatori pentru subspațiul .

Analog se arată egalitatea rang.

Din Teorema lui Kronecker rezultă următoarele proprietăți ale rangului unei matrici, care se adaugă la cele 5 proprietăți deja puse după Definiția 2.5:

Proprietatea 2.15 Rangul unei matrici A nu se schimbă dacă la o linie (respectiv coloană) adunăm o altă linie (respectiv coloană) înmulțită cu un element din corpul K.

Într-adevăr, dacă este matricea care se obține din A adunând la o linie o altă linie înmulțită cu un element, atunci este evident că subspațiul generat de liniile lui A este egal cu subspațiul generat de liniile lui .

Analog se demonstrează afirmația pentru coloane.

Corolarul 2.6 Determinantul unei matrici pătratice este nul dacă și numai dacă una dintre liniile (respectiv coloanele) sale este o combinație liniară de celelalte linii (respectiv coloane).

Teorema lui Kronecker ne permite să calculăm rangul unei matrici în mod iterativ.

Fiind dată o matrice nenulă, aceasta are neapărat un minor de ordinul întâi nenul (putem lua orice element nenul al matricei).

Dacă am găsit un minor de ordinul k nenul, îl bordăm pe rând cu elementele corespunzătoare ale uneia dintre liniile și uneia dintre coloanele rămase obținând astfel toți minorii de ordinul care-l conțin. Dacă toți acești minori sunt nuli, rangul matricei este .

Dacă însă cel puțin unul dintre aceștia (de ordinul ) este nenul, atunci reținem unul dintre ei și continuăm procedeul.

Numărul minorilor de ordinul care trebuie considerați este (în loc de ) reducându-se în mod substanțial numărul lor.

Exemplul 2.17 Să calculăm rangul matricei

Se observă că minorul este nenul.

Dacă bordăm acest minor obținem 2 minori de ordinul 3.

și .

Cum acești 2 minori de ordinul 3 sunt nuli, din teorema lui Kronecker rezultă că .

2.4.1 Transformarea în matrice triunghiulare

Fie un corp K și două matrici de tipul cu elemente din corpul K. Vom nota cu (respectiv ) liniile matricei A (respectiv B).

Spunem că matricea B se obține pe linii din A printr-o transformare elementară de tipul (I) dacă B se obține din A prin permutarea a două linii între ele, celelalte linii rămânând neschimbate, adică , pentru o anumită pereche de indici și pentru .

Spunem că matricea B se obține pe linii din A printr-o transformare elementară de tipul (II) dacă B se obține din A prin adunarea la o anumită linie a lui A a altei linii înmulțită cu un element din K, celelalte linii rămânând neschimbate, adică pentru și , și .

Matricele A și B se numesc echivalente pe linii și se notează dacă B se obține din A printr-un număr finit de transformări elementare de tipul (I) sau (II). În mod similar se definește ce înseamnă că matricea B se obține pe coloane din A printr-o transformare elementară de tipul (I) sau (II), precum și ce înseamnă că A și B sunt echivalente pe coloane, relație pe care o notăm .

Matricele A și B se numesc echivalente, și notăm , dacă B se obține din A printr-un număr finit de transformări elementare de tipul (I) sau (II) aplicate pe linii sau pe coloane (nu contează ordinea). Este ușor de observat că relațiile binare „”, „” și „” sunt relații de echivalență pe mulțimea .

Propoziția 2.5 Fie . Dacă (respectiv , respectiv ) atunci .

Demonstrație:

Rezultă imediat din faptul că rangul unei matrici nu se schimbă dacă permutăm două linii (sau coloane) sau dacă la o linie (coloană) adunăm o altă linie (coloană) înmulțită cu un element din corpul K.

O matrice se numește triunghiulară superior dacă are forma:

unde sunt nenule, iar și .

Deoarece , atunci se vede ușor că și prin urmare r este unic determinat.

În mod analog se definește că o matrice A este triunghiulară inferior.

Se vede imediat că A este o matrice triunghiulară superior dacă și numai dacă matricea transpusă este triunghiulară inferior.

Matricea A se numește diagonală, dacă oricare ar fi .

Teorema 2.8 Fie . Atunci:

există o matrice triunghiulară superior astfel încât ;

există o matrice triunghiulară inferior astfel încât ;

există o matrice diagonală astfel încât .

Demonstrație:

a) Fie prima coloană nenulă a matricei A. Deci există un astfel încât . Dacă , alegem . Dacă , atunci permutăm prima linie cu linia „i”,celelalte rămânând neschimbate și alegem . După această transformare elementară avem o nouă matrice echivalentă pe linii cu matricea A. Fie o linie j din matricea cu . Această linie este egală cu linia j din matricea A, deci este egală cu

.

Dacă înmulțim prima linie a matricei cu și o scădem din linia j a lui , obținem o nouă linie în care elementul din poziția este nul. Făcând aceeași operație cu toate liniile j ale lui , unde , obținem o matrice de forma:

unde prima linie a lui este prima linie a lui , și cel puțin un element dintre este nenul. În particular, . Evident, . Să considerăm în continuare submatricea lui din care eliminăm prima linie și continuăm procedeul anterior cu această submatrice.

Înseamnă că există cu și o matrice de forma:

,

unde prima și a doua linie a matricei coincid cu prima, respectiv a doua, linie a matricei și cel puțin un element din elementele este nenul. Evident că și deci prin tranzitivitatea relației „” rezultă .

Continuând procedeul, după un număr finit de pași obținem o matrice B triunghiulară superior astfel încât .

b) Raționamentul este identic cu cel de la punctul a), numai că se operează pe coloane.

c) Dacă nu avem ce demonstra. Presupunem că . Există un . Dacă , atunci permutând prima linie cu linia i și apoi prima coloană cu coloana j aducem pe în locul și obținem o matrice echivalentă cu A. Deci putem presupune că . Scăzând din fiecare linie prima linie înmulțită cu obținem o matrice echivalentă cu A având toate elementele de pe prima coloană egale cu zero, mai puțin primul element.

Scăzând acum din fiecare coloană , prima coloană înmulțită cu obținem o matrice echivalentă cu cea inițială având toate elementele de pe prima linie egale cu zero, mai puțin primul element. Deci obținem o matrice echivalentă cu A și având forma următoare:

.

În continuare reluăm raționamentul cu submatricea

,

care este o matrice de tipul . După un număr finit de pași obținem o matrice diagonală , astfel încât .

Propoziția anterioară ne ajută să calculăm rangul unei matrici reducând matricea inițială prin transformări elementare la o matrice diagonală.

În practică, pentru calculul rangului unei matrici se folosește și un al treilea tip de transformări elementare:

Spunem că o matrice B se obține pe linii (coloane) din A prin transformări elementare de tipul (III) dacă B se obține din A prin înmulțirea unei anumite linii (coloane) cu un element nenul din K, celelalte linii rămânând neschimbate.

Din proprietățile rangului unei matrici se vede că .

2.4.2 Transformarea în matrice unitate

Folosind și transformările elementare de tipul (III) și ținând cont de Teorema 2.6 afirmația c), obținem:

Dată o matrice , există o matrice diagonală de forma:

,

unde primele r elemente de pe diagonala principală sunt 1, iar restul 0, și astfel încât D se obține din A prin transformări liniare de tipul (I), (II) și (III). În acest caz rezultă .

CAPITOLUL III

Sisteme de ecuații liniare

3.1 Prezentare generală

În tot acest capitol K va desemna un corp comutativ. Prin sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute cu coeficienți în K, în necunoscutele , se înțelege un ansamblu (S) de egalități:

(3.1)

unde , oricare ar fi și .

Într-o scriere mai condensată, sistemul (S) poate fi dat prin:

, (3.2)

Făcând notațiile:

, , ,

sistemul (S) poate fi dat și sub formă matricială:

(3.3)

Să observăm că:

și deci sistemul (S) poate fi scris sub forma:

. (3.4)

Vom spune că este matricea sistemului (S), că sunt termenii liberi ai sistemului (S) și că b este vectorul coloană al termenilor liberi. Matricea , obținută completând pe A cu vectorul coloană b al termenilor liberi, se numește matricea extinsă a sistemului (S), adică

.

Dacă sistemul se numește omogen.

Sistemul (S) se numește compatibil dacă are cel puțin o soluție. Este evident că orice sistem omogen este compatibil deoarece admite soluția banală .

Dacă notăm cu coloanele matricei A, atunci (S) se scrie și astfel:

(3.5)

Teorema lui Kronecker-Capelli

Teorema 3.1 (Kronecker-Capelli). Sistemul (S) este compatibil dacă și numai dacă

rang A = rang .

Demonstrație:

Presupunem că sistemul (S) este compatibil; atunci există o soluție a sa. Folosind scrierea (3.5) a sistemului (S) avem că

și deci

de unde

ceea ce implică

.

Din Teorema lui Kronecker rezultă că rang A = rang .

Invers, dacă rang A = rang , cum este un subspațiu al spațiului vectorial , rezultă că aceste două spații vectoriale coincid, adică . Deci , adică există astfel încât . Aceasta ne arată că sistemul este o soluție a sistemului (S).

În continuare, pentru simplificare, vom introduce câteva notații:

,

.

Dacă este o matrice de tipul , putem să definim aplicația:

,,

unde este un element oarecare din .

Este evident că u este o aplicație liniară de spații vectoriale.

Dacă notăm cu , atunci mulțimea soluțiilor sistemului (S) este egală cu

.

Se observă imediat că Im, adică subspațiul generat de coloanele ale matricei A.

Presupunem că sistemul (S) este omogen. În acest caz și deci mulțimea soluțiilor lui (S) este egală cu nucleul morfismului u, Ker u care este un subspațiu vectorial al lui .

Cum Im Ker u, atunci avem egalitatea:

Im u = Ker Ker u și deci .

Prin urmare putem enunța următorul rezultat:

Teorema 3.2 Dacă sistemul (S) este omogen, atunci mulțimea soluțiilor lui (S) este un subspațiu vectorial al lui de dimensiune egală cu .

Din această teoremă rezultă imediat:

Corolarul 3.1 dacă (S) este un sistem omogen, atunci (S) are numai soluția banală (0,0,…,0), dacă și numai dacă .

Cum mulțimea soluțiilor unui sistem omogen formează un spațiu vectorial, are sens să vorbim de o bază a sa, care se va numi un sistem fundamental de soluții al sistemului omogen dat.

Evident că un sistem omogen poate avea mai multe sisteme fundamentale de soluții. Din Teorema 3.2 rezultă că orice sistem fundamental de soluții are elemente.

Presupunem acum că sistemul (S) este oarecare. Am văzut că mulțimea soluțiilor acestui sistem este egală cu . Presupunem că (S) este compatibil și presupunem că este o soluție particulară a lui (S).

Vom nota cu Ker, unde, așa cum am văzut, Ker u este mulțimea soluțiilor sistemului omogen asociat lui (S).

Teorema 3.3 Cu notațiile de mai sus, dacă sistemul (S) este compatibil, atunci mulțimea soluțiilor sale este egală cu mulțimea soluțiilor sistemului omogen asociat, unde este o soluție particulară a lui (S).

Demonstrație:

Fie o soluție a sistemului omogen asociat lui (S). Avem . Cum , atunci și deci este o soluție a lui (S). Invers, fie o soluție oarecare a lui (S). Cum și , obținem că și deci , de unde este o soluție a sistemului omogen asociat lui (S). Dar , ceea ce încheie demonstrația.

Corolarul 3.2 Dacă sistemul (S) este compatibil, atunci el are o unică soluție dacă și numai dacă .

Regula lui Cramer

Teorema 3.4 (Regula lui Cramer). Fie un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute cu coeficienți într-un corp K:

(3.6)

Notăm cu matricea coeficienților. Dacă , atunci sistemul (3.6) are o unică soluție dată de egalitățile: , unde

, ș.a.m.d.

Demonstrație:

Sistemul (3.6) de ecuații îl punem sub forma matriceală:

. (3.7)

Dacă înmulțim la stânga cu egalitatea (3.7) și ținând cont de asociativitatea produsului de matrice, obținem:

Din Teorema 2.6 avem că , unde , deci avem

și deci

Corolarul 3.3 Presupunem că . Atunci sistemul (S) are o soluție unică dacă și numai dacă . (În acest caz soluția se obține cu regula lui Cramer).

Teorema Kronecker-Capelli ne permite să decidem dacă sistemul (S) este compatibil sau nu, dar nu ne dă un mijloc practic de aflare a tuturor soluțiilor sistemului dat. De această problemă ne vom ocupa în continuare. Fie deci sistemul (S) compatibil.

Să presupunem că . Cum , matricea A conține un minor de ordinul r nenul și toți minorii de ordinul >r sunt zero. Făcând o eventuală renumerotare a ecuațiilor și a nedeterminatelor din sistemul (S), putem presupune că acest minor nenul de ordinul r este determinantul matricei

În acest caz se va numi minor principal al sistemului (S).

Asociem sistemului (S) sistemul

care are r ecuații și n nedeterminate.

Teorema 3.5 Mulțimea soluțiilor sistemelor (S) este egală cu mulțimea soluțiilor sistemului .

Demonstrație:

Este evident că orice soluție a lui (S) este și o soluție a lui . Invers, fie o soluție a lui . Cum , atunci din teorema lui Kronecker și din faptul că , primele r linii ale matricei formează o bază pentru subspațiul generat de toate liniile lui . Deci orice altă linie a lui este o combinație liniară de primele r linii ale lui . Acest fapt ne arată imediat că anulează orice ecuație a sistemului (S).

Introducem următoarele notații:

; se vor numi nedeterminate principale.

; și se vor numi nedeterminatele secundare.

De asemenea vom considera și matricele

,

Cu aceste notații sistemul se scrie sub forma matriceală astfel:

Cum P este inversabilă, obținem imediat că

(3.8)

care constituie formula de rezolvare a unui sistem compatibil (S).

În cazul când (S) este omogen avem și relația (3.7) se scrie sub forma

, (3.9)

care constituie formula de rezolvare a unui sistem omogen.

Formula (3.9) ne permite să obținem un sistem fundamental de soluții pentru un sistem omogen în felul următor: dăm pentru nedeterminatele secundare următoarele valori: și din (3.9) obținem în mod unic valorile și deci obținem pentru sistemul omogen dat soluția

.

Acum dăm pentru nedeterminatele secundare valorile: și din (3.9) obținem în mod unic valorile și deci obținem pentru sistemul omogen dat soluția

.

Continuând procedeul în final dăm nedeterminatelor secundare valorile: . Din formula (3.9) obținem în mod unic valorile și deci obținem pentru sistemul omogen dat soluția

.

Cu aceste notații putem enunța rezultatul următor:

Teorema 3.6 Dacă sistemul (S) este omogen, atunci formează un sistem fundamental de soluții pentru (S).

Deci mulțimea soluțiilor sistemului (S) este mulțimea:

.

Demonstrație:

Se vede ușor că sunt liniar independente peste K. Cum sunt în număr de , rezultă că formează o bază pentru spațiul vectorial al tuturor soluțiilor sistemului (S) și deci este un sistem fundamental de soluții.

Combinând Teorema 3.3 și Teorema 3.6 obținem:

Teorema 3.7 Fie (S) un sistem compatibil de ecuații liniare. Dacă este un sistem fundamental de soluții pentru sistemul omogen asociat, iar este o soluție particulară a sistemului (S), atunci orice soluție a lui (S) este de forma

,

unde .

Mai mult, o soluție particulară a lui (S) se obține dând valorile și din formula (3.8) obținem valorile pentru nedeterminatele principale date de egalitatea:

unde .

Exemplul 3.1 Să se rezolve sistemul:

Avem:

, , deci .

Notăm , , , ,

Înlocuim în formula și obținem

Prin calcule se obține:

Deci:

Așadar:

Dăm lui valoarea și obținem soluția:

Prin ipoteză . Deci matricea A are cel puțin un sistem de m coloane liniar independente. Se numește bază a matricei A orice submatrice de tip a lui A formată cu m coloane liniar independente ale acesteia. Evident, o submatrice B de tip a lui A este bază a lui A dacă și numai dacă . O matrice A de tip și de rang m are cel mult baze.

Definiția 3.1 O soluție a sistemului (3.3),

se numește soluție de bază dacă coloanele pentru care sunt liniar independente. O soluție de bază se numește nedegenerată dacă are m componente diferite de 0 și se numește degenerată în caz contrar.

Sistemul (3.3) are cel mult soluții de bază.

3.4 Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații

3.4.1 Metoda Cramer

Fie sistemul de n ecuații liniare cu n necunoscute:

, . (3.10)

Dacă

,

Sistemul dat este compatibil determinat și soluțiile lui sunt date de formulele lui Cramer:

, (3.11)

,…, .

Vom avea de calculat determinanți de ordinul n și n împărțiți care rezultă din relația (3.11). Vom dezvolta determinanții succesivi cu ajutorul minorilor de ordinul .

Dacă notăm cu , , numărul operațiilor elementare pentru a dezvolta un determinant de ordinul se obține succesiv:

,

,

,

…………………………………………………………………

,

,

.

Prin urmare, pentru un determinant de ordinul n sunt necesare:

,

operații elementare.

Pentru cei determinanți de ordinul n și n împărțiți care rezultă din relația (3.11), numărul al operațiilor elementare este

,

adică

, (3.12)

unde .

3.4.2 Metoda matriceală (metoda matricei inverse)

Sistemul (3.10) se poate scrie și sub forma

,

, , .

Dacă matricea A este nesingulară, , atunci

(3.13)

sau

,

, , (3.14)

Vom avea de calculat:

determinanți de ordinul :

, ,

sunt complemenții algebrici ai elementelor , iar minorii corespunzători acestor elemente;

Determinantul de ordinul n;

N împărțiri pentru a calcula rapoartele : ; ;

înmulțiri și adunări ce rezultă din relația (3.14).

Numărul al operațiilor elementare va fi:

,

în care

.

.

, (3.15)

Observația 3.1 Din relațiile (3.12) și (3.15) se constată că , adică numărul operațiilor elementare necesar rezolvării unui sistem liniar de n ecuații cu n necunoscute prin cele două metode, Cramer și matriceală, este același.

3.4.3 Metoda eliminării totale (Gauss-Jordan)

Fie sistemul de n ecuații liniare cu n necunoscute:

, (3.16)

și .

Se scrie matricea completă (extinsă) a sistemului, apoi, ținând seama de relația (3.14) se deduce succesiv:

,

unde I este matricea unitate de ordinul n.

Pasul 1. Se consideră . Dacă , se face o schimbare de linii astfel încât în prima linie să avem un , .

Elementele , după primul pas, se obțin efectuând n împărțiri ale elementelor , , la pivotul :

, .

Celelalte elemente, și situate pe linia se obțin scăzând din linia i elementele din prima linie înmulțite cu factorul

, .

Se obțin relațiile

; , ; . (3.17)

care necesită operații elementare.

Algoritmul folosit în relația (3.17) este cunoscut și sub numele de regula dreptunghiului. După primul pas se obține:

.

Pasul 2. Se procedează în mod analog cu matricea obținută după Pasul 1, suprimând prima coloană și considerând pe ca pivot. Dacă se procedează ca în Pasul 1. Vom avea de efectuat operații elementare.

În total, după pași necesari pentru a transforma matricea A în matrice unitate, numărul al operațiilor elementare va fi:

.

După pași obținem:

.

Elementele situate în ultima coloană după pasul , reprezintă soluția sistemului , .

Exemplul 3.2 Să se rezolve sistemul:

Se obține succesiv:

Soluția este .

3.4.4 Metoda eliminării parțiale

În continuare vom prezenta o nouă metodă de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare, numită metoda lui Gauss sau metoda eliminării succesive.

Considerăm sistemul (S) de m ecuații liniare cu n necunoscute.

Așa cum știm vom nota cu A (resp. ) matricea sistemului (respectiv matricea extinsă a sistemului (S)).

Evident că fiecare coloană a matricei A o putem presupune nenulă, deoarece în caz contrar sistemul (S) s-ar înlocui cu un sistem având un număr mai mic de necunoscute.

Fie și un alt sistem având m ecuații liniare și n necunoscute:

cu (resp.) notăm matricea sistemului (respectiv matricea extinsă).

Vom spune că sistemul se obține din (S) printr-o transformare elementară de tipul (I) dacă ecuațiile lui se obțin din acelea ale lui (S) printr-o permutare a două ecuații ale lui (S), celelalte rămânând neschimbate.

Spunem că sistemul se obține din sistemul (S) printr-o transformare elementară de tipul (II) dacă toate ecuațiile lui sunt identice cu ale lui (S) cu excepția ecuației „i” care se obține din ecuația „i” a lui (S) adunată cu ecuația „k” a lui (S) multiplicată cu un element .

Vom spune că sistemele (S) și sunt echivalente și notăm prin dacă sistemul

se obține din (S) printr-un număr finit de transformări elementare de tipul (I) și (II).

Este evident că relația „~” este o relație de echivalență pe mulțimea sistemelor de m ecuații liniare cu n necunoscute.

Se vede imediat că dacă și numai dacă , adică matricele extinse asociate sunt echivalente pe linii.

Teorema 3.8 Fie (S ) și două sisteme de m ecuații liniare cu n necunoscute. Dacă , atunci (S ) și au aceleași soluții.

Demonstrație:

Ne putem restrânge la cazul când se obține din (S) printr-o transformare elementară de tipul (I) sau (II). În acest caz se vede imediat că orice soluție a lui (S) este o soluție și a lui .

Cum evident (S) se obține la rândul său din printr-o transformare liniară de tipul (I) sau (II), atunci și orice soluție a lui este o soluție a lui (S).

Teorema 3.9 Orice sistem de ecuații (S) este echivalent cu un sistem (S) de forma următoare:

unde sunt nenule și .

Sistemul se numește forma trapezoidală a sistemului (S).

Demonstrație:

Vom urma pas cu pas demonstrația de aducere a unei matrici la o matrice triunghiulară superior printr-un număr finit de transformări liniare (Teorema 2.8). Cum prima coloană a matricei A este nenulă, există un . Dacă , atunci permutăm ecuațiile 1 și i între ele și obținem un sistem echivalent cu primul în care coeficientul lui din prima ecuație este nenul. Dacă , atunci nu facem nici o permutare de ecuații.

Acum din ecuația unde scădem prima ecuație înmulțită cu elementul . Repetând raționamentul pentru orice ecuație j cu obținem următorul sistem:

unde și și unul dintre elementele este nenul.

Evident că .

În continuare aplicăm procedeul de mai sus la sistemul de ecuații obținut din eliminând prima ecuație.

Obținem astfel un sistem de ecuații liniare.

unde prima ecuație este de fapt identică cu prima ecuație a lui iar și cel puțin unul dintre elementele este nenul.

Evident și deci . Continuând în felul acesta procedeul de mai sus după un număr finit de pași ajungem la forma trapezoidală a sistemului (S).

Concluzia 3.1 În forma trapezoidală a sistemului (S) numărul r este egal cu rangul matricii A, deoarece matricea a sistemului se obșine din matricea lui (S) prin transformări elementare și deci .

Cum se vede ușor că , atunci .

Concluzia 3.2 Sistemul (S) este compatibil dacă și numai dacă în forma sa trapezoidală (S) nu apar ecuații de forma cu . În particular, dacă , atunci sistemul (S) este compatibil.

Metoda I. Dacă sistemul (S) este compatibil, rezolvarea se face în felul următor: vom numi necunoscutele nedeterminate principale, iar restul de necunoscute le vom numi nedeterminate secundare. În continuare, vom da valori arbitrare nedeterminatelor secundare și începând cu ultima ecuație

din sistemul (S) determinăm mai întâi pe ; apoi luând penultima ecuație determinăm pe și continuând astfel în final determinăm pe .

Exemplul 3.3 Să aplicăm metoda lui Gauss sistemului:

Înmulțim prima ecuație cu și o adunăm la a 2-a, apoi o adunăm la a treia și în final o înmulțim cu și o adunăm la a patra. Obținem:

Împărțim prima ecuație cu 3 și obținem:

Înmulțim această ecuație cu 4 și o adunăm la a 2-a, apoi o înmulțim cu și o adunăm la ultima. Sistemul devine:

Împărțim ultima ecuație cu 4:

Obținem:

Deci

Vom avea soluțiile:

Metoda II. Se consideră sistemul

de n ecuații liniare cu n necunoscute. Folosind metoda eliminării parțiale, prima ecuație rămâne neschimbată, din ecuația a doua se elimină , din ecuația a treia se elimină și ș.a.m.d., din ecuația n se elimină .

În acest scop se scrie matricea completă a sistemului și se transformă într-o matrice triunghiulară (cu elementele situate sub diagonala principală egale cu zero).

Pasul 1. Se consideră ca pivot. Elementele situate pe linia pivotului după primul pas rămân neschimbate.

Elementele situate pe linia i se obțin înmulțind linia i cu , din care se scade prima linie înmulțită cu . Elementele și situate pe linia i după primul pas vor fi date de regula dreptunghiului, fără a mai împărți la pivot:

, ,

, .

Situația după primul pas va fi:

și vom avea de efectuat operații elementare.

Pasul 2. Se procedează în mod analog cu matricea obținută după primul pas, suprimând linia și coloana pivotului și considerând pe ca pivot. Numărul operațiilor elementare va fi .

După pași se obține matricea triunghiulară:

.

Numărul operațiilor elementare va fi:

.

Cum soluțiile sistemului se obțin din formulele:

;…;

mai sunt necesare

operații elementare.

În total, numărul al operațiilor elementare necesare pentru a obține soluția sistemului prin metoda eliminării parțiale va fi

.

.

Exemplul 3.4 Să se rezolve același sistem ca la exemplul anterior:

.

Vom obține:

Soluția sistemului este

3.4.5 Metoda O. Onicescu

Această metodă permite rezolvarea sistemelor de ecuații liniare, reducând numărul necunoscutelor prin introducerea unei forme liniare auxiliare.

Se consideră sistemul

în care determinantul ;

Vom efectua o transformare liniară de forma:

, (3.18)

,

astfel ca sistemul

(3.19)

să aibă proprietatea

(3.20)

ținând seama de (3.20), primele ecuații din sistemul (3.19) se scriu

(3.21)

Se obține astfel un sistem de ecuații cu necunoscute:

; cu .

Pentru ca proprietatea (3.20) să fie satisfăcută, fără a face nici o ipoteză asupra valorilor necunoscutelor

.

este suficient ca matricea:

,

să aibă rangul 1. Aceasta revine la existența unor numere:

nu toate nule, astfel încât să avem satisfăcute relațiile:

(3.22)

Dacă ținem seama de (3.18) și (3.22) se obține

(3.23)

.

Pentru un k fix, (3.23) reprezintă un sistem de ecuații liniare și omogene cu n necunoscute: .

Cum k poate lua valorile ; vom putea forma în total astfel de sisteme. Constantele

sunt arbitrare, ele trebuie să satisfacă singura condiție, de a putea determina mărimile din sistemul (3.23).

Această condiție va fi satisfăcută dacă matricea

,

va avea rangul.

Pentru a ne asigura de acest lucru, este suficient să dăm lui valori, astfel ca matricea

,

să aibă rangul ;adică .

În acest caz sistemele (3.23) devin:

(3.24)

Aceste sisteme vor determina pe ; ;, iar matricea va satisface condiția impusă, adică va avea rangul .

Cea mai simplă alegere a matricei H este matricea unitate de ordinul . În acest caz ;; iar sistemele (3.24) devin:

(3.25)

Se constată că există diverse posibilități de a alege constantele . Astfel, putem lua

,

caz în care (3.25) se scrie

(3.26)

Rezolvând sistemele (3.26) pentru se obțin pentru valori unice

.

O altă posibilitate pentru a ne asigura că matricea are rangul , este să se dea

;

astfel ca matricea să aibă rangul , sau mai general, să considerăm coloane din matricea cu determinantul nenul.

Desfășurarea pe etape:

Etapa 1. se determină matricea

,

care trebuie să aibă rangul .

În acest scop se consideră matricea egală cu matricea unitate de ordinul :

.

Celelalte elemente al matricei L, adică matricea

se obțin rezolvând sistemele:

Vom avea de rezolvat sisteme de ecuații liniare cu necunoscute.

Observația 3.2 Pentru a rezolva numai sisteme de două ecuații cu două necunoscute se va considera . În acest caz vom avea de rezolvat sisteme de două ecuații cu două necunoscute.

Etapa 2. Se determină matricea

din produsul

.

Etapa 3. Se determină din produsul

.

Etapa 4. Se rezolvă sistemul

(3.28)

considerând ; . Din acest sistem se va obține ; .

Etapa 5. Soluțiile sistemului (3.28) introduse în ultimele ecuații ale sistemului (3.6), (sau în ecuații oarecare ale sistemului dat), ne conduc la sistemul:

(3.29)

din care se determină

; .

Algoritmul Onicescu se poate desfășura pe etape:

1. Se scrie matricea sistemului descompusă în 4 blocuri:

.

2. Se determină elementele matricei

,

rezolvând sistemele

; (3.30)

în care

; ; ,

iar este transpusa matricei D.

Pentru ca sistemele (3.30) să se rezolve ușor, va trebui ca ele să conțină numai două ecuații cu două necunoscute.

Aceasta are loc dacă . Sistemele (3.30) se vor rezolva prin metoda eliminării parțiale.

3.. Se determină matricele și din relațiile:

,

,

; ;

; ; .

4. Se rezolvă sistemele

(3.31)

(3.32)

; ;.

Din (3.31) se determină , iar din (3.32) se va obține .

Pentru ca sistemul dat să se reducă la sisteme cu numai două sau trei ecuații se va considera .

În acest caz algoritmul se va desfășura în:

pași, dacă n este par;

pași, dacă n este impar.

În fiecare pas numărul ecuațiilor din sistemul dat se va reduce cu două unități. Numărul operațiilor elementare se obține astfel:

pentru rezolvarea sistemelor (vezi metoda eliminării parțiale):

; ; .

pentru a determina elementele matricei F; .

Determinarea elementelor matricei :

; ;

Elementele matricei :

; .

rezolvarea sistemului , de ecuații cu necunoscute;

.

elementele matricei G pentru ; ;

rezolvarea sistemului DY=G; care, pentru , conține două ecuații cu două necunoscute, .

Însumând se obține

(3.33)

Pentru .

Pentru :

.

3.5 Discuția sistemelor liniare

Teorema lui Rouché

Un sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute este compatibil dacă și numai dacă toți determinanții caracteristici sunt nuli.

Pentru a aplica această teoremă este necesar să găsim un determinant principal al sistemului apoi să arătăm că toți determinanții caracteristici ce se pot forma sunt nuli.

Calcule multiple cu determinanți fac ca această teoremă să nu poată fi aplicată în practică, fiind foarte laborioasă.

Exemplul 3.5 Să se discute și să se rezolve sistemul:

Matricea sistemului este:

Deoarece determinantul matricei coeficienților sistemului este nul, vom căuta un determinant principal nenul. Astfel:

.

Sistemul este compatibil simplu nedeterminat, prin urmare, și vor fi necunoscute principale, iar va fi necunoscuta secundară. Vom nota , și obținem soluția:

, .

Teorema lui Kronecker-Capelli

Dacă notăm , , atunci sistemul

, . (3.34)

este compatibil, dacă și numai dacă .

Această teoremă a cărei demonstrație simplă se bazează numai pe noțiunea de rang al unei matrice și proprietățile ei, ne permite să afirmăm că sistemul (3.34) este:

compatibil unic determinat dacă ;

compatibil nedeterminat și admite soluții dacă

;

incompatibil dacă .

Pentru a cunoaște valorile lui r și q se scrie matricea completă a sistemului, apoi, după cel mult pași (dacă ) se transformă în matrici triunghiulare.

Calculele care se fac pentru fiecare pas sunt acele date de regula dreptunghiului, fără a mai împărți la pivot.

Dacă m este numărul de ecuații, n numărul de necunoscute și r rangul matricei coeficienților, putem rezuma:

Exemplul 3.6 Să se discute și să se rezolve sistemul:

Se obține succesiv

.

Discuție: , , . Sistemul este compatibil nedeterminat și admite o infinitate simplă de soluții.

Dacă se consideră , necunoscută secundară, se obține ; .

; ; ; .

Exemplul 3.7 Să se discute și să se rezolve sistemul:

.

Discuție: , , . Sistemul este compatibil dublu nedeterminat (admite soluții).

Dacă se consideră , , necunoscute secundare, se obține: ; .

; ;; ; .

Exemplul 3.8 Să se discute și să se rezolve sistemul:

.

Discuție: . Sistemul este compatibil unic determinat.

Soluția va fi:

; ; ; ; ;

.

; .

Exemplul 3.9 Să se discute și să se rezolve sistemul:

.

Discuție: ; ; ; sistemul este incompatibil.

Discuția sistemelor omogene

Dacă sistemul este omogen, atunci el este de forma

; ;

condiția este întotdeauna satisfăcută, .

Dacă , sistemul este compatibil determinat și admite numai soluția banală .

Dacă , sistemul este compatibil nedeterminat și admite și soluții diferite de soluția banală.

Exemplul 3.10 Să se discute și să se rezolve sistemul:

.

. Sistemul este compatibil determinat și admite numai soluția banală .

Exemplul 3.11 Să se discute și să se rezolve sistemul:

.

; ; , sistemul este compatibil simplu nedeterminat.

Dacă se consideră , necunoscută secundară, se deduce:

; ; ;

; ; ; .

Folosind teorema Kronecker-Capelli discuția sistemelor liniare se face ușor, cu un număr redus de calcule ce rezultă din transformarea matricei complete în matrici triunghiulare.

În urma acestei transformări se determină și .

În cazul în care , metoda eliminării parțiale ne permite să găsim și soluția (soluțiile) sistemului, folosind aceeași schemă de calcul, ceea ce constituie un alt mare avantaj al metodei.

Sisteme cu parametru

Exemplul 3.12 Să se discute și să se rezolve sistemul:

unde .

Matricea sistemului este:

,

iar determinantul sistemului:

.

Discuție:

Dacă , atunci sistemul este compatibil determinat și se rezolvă cu regula lui Cramer:

,

,

.

Obținem soluția unică:

,

,

.

Dacă , sistemul devine:

Se observă ușor că sistemul este incompatibil.

Dacă , sistemul devine:

Cum determinantul matricei coeficienților sistemului este nul. Căutăm un determinant principal:

.

Sistemul este compatibil simplu nedeterminat, prin urmare, și vor fi necunoscute principale, iar va fi necunoscuta secundară. Vom nota , și obținem soluția:

, .

Dacă , sistemul devine:

Cum determinantul matricei coeficienților sistemului este nul. Căutăm un determinant principal:

.

Sistemul este compatibil simplu nedeterminat, prin urmare, și vor fi necunoscute principale, iar va fi necunoscuta secundară. Vom nota , și obținem soluția:

, .

Exemplul 3.13 Să se discute și să se rezolve sistemul:

,

unde .

Determinantul sistemului este:

Rezultă că sistemul liniar și omogen de mai sus admite și soluții distincte de soluția . Notând , obținem sistemul:

,

cu soluția

, .

Exemplul 3.14 Să se discute și să se rezolve sistemul:

Determinantul sistemului este:

Dacă , atunci sistemul este compatibil determinat și se rezolvă cu regula lui Cramer:

,

,

.

Obținem soluția unică:

,

,

.

Dacă , sistemul devine:

Cum determinantul matricei coeficienților sistemului este nul. Căutăm un determinant principal:

.

Sistemul este compatibil simplu nedeterminat, prin urmare, și vor fi necunoscute principale, iar va fi necunoscuta secundară. Vom nota , și obținem soluția:

, .

Dacă , sistemul devine:

,

prin urmare sistemul este incompatibil.

3.6 Interpretarea geometrică a sistemelor de ecuații liniare

Fiind date dreptele de ecuații:

dacă ele sunt concurente, coordonatele punctului de intersecție trebuie să verifice ambele ecuații, deci ele repezintă soluția sistemului de ecuații liniare:

.

Dacă sistemul de două ecuații liniare cu două necunoscute are soluție unică, dreptele sunt concurente (vezi Figura 3.1):

Figura 3.1 Soluția unică a unui sistem de două ecuații cu două necunoscute

Sursa: http://sisteme.wikidot.com/interpretarea-geometrica

Exemplul 3.15. Să se rezolve sistemul:

(3.35)

Reprezentând grafic dreptele care au ca ecuații, ecuațiile sistemului, obținem:

Figura 3.2 Soluția sistemului (3.35) de două ecuații cu două necunoscute

Sursa: Realizat de autor

soluția fiind punctul de intersecție al dreptelor:

.

Dacă avem un sistem compatibil determinat de trei sau mai multe ecuații cu două necunoscute, acestea reprezintă un fascicol de drepte concurente (vezi Figura 3.3):

Figura 3.3 Soluția unui sistem compatibil determinat de trei sau mai multe ecuații cu două necunoscute

Sursa: http://sisteme.wikidot.com/interpretarea-geometrica

Exemplul 3.16 Să se rezolve sistemul:

(3.36)

Reprezentând grafic dreptele care au ca ecuații, ecuațiile sistemului, obținem:

Figura 3.4 Soluția sistemului (3.36) de trei ecuații cu două necunoscute

Sursa: Realizat de autor

cu soluția punctul de intersecție al dreptelor:

.

Dacă sistemul este compatibil nedeterminat, atunci avem de-a face cu drepte confundate (vezi Figura 3.5):

Figura 3.5 Soluția unui sistem compatibil nedeterminat

Sursa: http://sisteme.wikidot.com/interpretarea-geometrica

Exemplul 3.17 Să se rezolve sistemul:

(3.37)

Reprezentând grafic dreptele care au ca ecuații, ecuațiile sistemului, obținem:

Figura 3.6 Soluția sistemului (3.37) de două ecuații cu două necunoscute

Sursa: Realizat de autor

Dacă sistemul este incompatibil, dreptele sunt paralele (vezi Figura 3.7):

Figura 3.7 Soluția unui sistem incompatibil de două ecuații cu două necunoscute

Sursa: http://sisteme.wikidot.com/interpretarea-geometrica

Exemplul 3.18 Să se rezolve sistemul:

(3.38)

Reprezentând grafic dreptele care au ca ecuații, ecuațiile sistemului, obținem:

Figura 3.8 Soluția sistemului (3.38) de două ecuații cu două necunoscute

Sursa: Realizat de autor

Dreptele fiind paralele și prin urmare neavând punct de intersecție, sistemul este incompatibil.

O ecuație liniară cu trei necunoscute reprezintă ecuația generală a unui plan în geometria analitică în spațiu. Prin analogie cu interpretarea sistemelor cu două necunoscute, avem următoarele cazuri:

1. Sistem compatibil determinat

Figura 3.9 Soluția unică a unui sistem compatibil determinat de trei ecuații cu trei necunoscute

Sursa: http://sisteme.wikidot.com/interpretarea-geometrica

Figura 3.10 Soluția unui sistem compatibil determinat de trei ecuații cu trei necunoscute

Sursa: http://sisteme.wikidot.com/interpretarea-geometrica

2. Sistem compatibil nedeterminat

Figura 3.11 Soluția unui sistem compatibil nedeterminat de trei ecuații cu trei necunoscute

Sursa: http://sisteme.wikidot.com/interpretarea-geometrica

3. Sistem incompatibil

Figura 3.12 Soluția unui sistem incompatibil de trei ecuații cu trei necunoscute

Sursa: http://sisteme.wikidot.com/interpretarea-geometrica

CAPITOLUL IV

Aplicații ale determinanților și sistemelor de ecuații în diverse domenii

4.1 Aplicații în economie

Schimbările care au loc în mediul în care activează agenții economici generează în permanență probleme a căror soluții impune luarea și aplicarea unei decizii. Printre metodele matematice, folosite pe larg în economie, un rol important îl are programarea matematică. Scopul principal pe care-l urmărește programarea matematică constă în obținerea soluției optime a unei probleme economice pe baza unui model matematic.

Modelele de programare liniară sunt cele mai răspândite dintre modelele matematico-economice. Acest lucru este justificat de faptul că un asemenea model acoperă o gamă largă de probleme de mare importanță, precum cele de planificare, amestec, transporturi, investiții, repartiții etc. Modelul matematic al unei probleme de programare liniară constă în optimizarea unei funcții liniare de mai multe variabile, care reflectă un obiectiv urmărit, în condițiile în care variabilele sunt supuse unor restricții liniare, sub formă de egalități și/sau inegalități.

Pentru rezolvarea unor asemenea probleme, dispunem de mai mulți algoritmi: algoritmul simplex primal, algoritmul simplex dual, dualitate și metoda grafică. Aceste metode de rezolvare pot fi interpretate din punct de vedere practic, lucru care va fi evidențiat la momentul potrivit. Totodată, s-au realizat softuri performante pentru realizarea problemelor de programare liniară.

Duala unei probleme este o altă problemă de programare liniară, formulată după anumite reguli. Dualitatea joacă un rol important, atât din punct de vedere matematic, cât mai ales din punct de vedere economic. Interpretarea economică a problemei duale aduce informații suplimentare asupra variațiilor în soluția optimă, consumului din resurse, valorii resurselor etc.

Fie un sistem de ecuații liniare de rang m cu coeicienți în R, cu m ecuații liniare în n necunoscute. Fie . În esență, rezolvarea unei probleme de programare liniară revine la determinarea unui punct extremal al restricției la P a unei funcții liniare , , , unde prin am notat produsul scalar al lui c cu x.

Condițiile în care se desfășoară procesul analizat conduc la un sistem de relații, care cuprind variabilele problemei și coeficienții tehnici care o caracterizează. Aceste relații alcătuiesc restricțiile problemei. Obiectivul studiului este optimizarea unui anumit rezultat dependent de aceleași variabile care apar și în restricții. În formularea problemelor de programare matematică, obiectivul apare sub forma unei funcții ale cărei valori minime sau maxime le căutăm și care se numește funcție obiectiv, funcție scop sau funcție de eficiență. Restricțiile problemei împreună cu funcția obiectiv constituie modelul matematic al problemei de programare matematică. Dacă atât sistemul restricțiilor cât și funcția obiectiv sunt funcții liniare de variabilele problemei, modelul constituie o problemă de programare liniară.

(4.1)

, (4.2)

, (4.3)

, (4.4)

, (4.5)

Relația (4.1) exprimă matematic scopul sau obiectivul analizei efectuate prin coeficienții care pot fi costuri unitare – pentru o problemă de minim sau profituri unitare – pentru o problemă de maxim.

Relațiile (4.2) – (4.4) formează sistemul de restricții și reflectă cerințe tehnico-economice pentru desfășurarea activității, cerințe de piață, de încadrare în normativele legislative existente etc. este matricea coeficienților tehnologici (a consumurilor specifice) stabiliți pe baza observării fenomenului studiat.

Termenii liberi cuantifică cantitățile disponibile de resurse materiale, financiare, deforță de muncă, capacitățile de producție sau de stocare.

Condiția de nenegativitate (4.5) provine din fondul economic al problemelor: variabilele , reprezentând nivelul la care trebuie desfășurate activitățile , nu pot fi negative.

A rezolva o problemă de programare liniară înseamnă a determina valorile nenegative ale variabilelor , care satisfac sistemul de restricții și care optimizează funcția obiectiv.

Dacă notăm vectorul necunoscutelor cu , cel al coeficienților cu , matricea coeficienților cu , iar vectorul termenilor din membrul drept al restricțiilor cu , obținem:

1. Forma matricială a problemei de programare liniară:

2. Forma canonică a problemei de programare liniară:

i) pentru problema de minim:

ii) pentru problema de maxim:

3. Forma standard a problemei de programare liniară:

Trecerea de la forma generală la forma standard sau forma canonică se face prin una din următoarele operații:

transformarea maximului în minim (sau invers) se poate realiza în baza egalității:

;

orice inegalitate de tip devine prin înmulțirea cu și reciproc;

orice egalitate este echivalentă cu o dublă inegalitate:

;

orice inegalitate de tip devine egalitate prin adăugarea unei variabile de compensare (auxiliare sau de ecart) ;

orice inegalitate de tip devine egalitate prin scăderea unei variabile de compensare (auxiliare sau de ecart) .

Exemplul 4.1 Să se rezolve următoarea problemă de programare liniară folosind algoritmul simplex primal:

Forma standard este:

Soluția optimă este: , iar .

În continuare vom prezenta câteva probleme economice concrete a căror rezolvare se poate face numai prin aplicarea metodelor matematice ale programării liniare. Aceste exemple reprezintă modelări matematice ale unor fenomene economice, cu condiția ca toți coeficienții problemei să fie complet determinați.

Planificarea producției. Într-o unitate economică, m produse se pot obține din n materii prime diferite: . Dintr-o unitate de materie primă se pot produce unități de articol , . Conform planului unității economice, trebuie să se producă lunar câte unități din fiecare articol .

Să se întocmească planul de consum lunar al materiilor prime astfel ca pentru atingerea producției planificate, cheltuielile să fie minime. Se are în vedere că prețul unei unități din materia primă este , .

Pentru modelarea problemei notăm cu cantitatea de materie primă ce se va folosi în procesul de producție, . Pentru realizarea planului necunoscutele vor trebui să satisfacă următoarele restricții:

,

, .

Cheltuielile de producție, în absența altor factori, sunt date de costul materiilor prime folosite. Minimizarea acestor cheltuieli implică realizarea cerinței:

.

Problema nutriției. Din considerente biologice s-a stabilit că rația zilnică a fiecărui animal crescut de o fermă zootehnică, trebuie să conțină și elemente nutritive în cantitățile . Ferma dispune de m tipuri de nutrețuri , pe care le procură la prețurile . Analiza conținutului în substanțe nutritive arată că o unitate din nutrețul , conține unități de substanță de tipul i, . Se pune problema hrănirii raționale a animalelor, adică alcătuirea unor rații care să corespundă cerințelor biologice și în același timp, să implice cheltuielile minime.

Pentru modelarea matematică a problemei, notăm cu , cantitățile de nutreț din tipurile ce se vor aloca pentru hrana zilnică a unui animal. Necesitățile biologice enunțate, vor impune următoarele restricții necunoscutelor :

,

, .

Considerentele economice presupun minimizarea costului unei rații, cost care va fi dat de expresia:

.

Problema transporturilor. Un număr de m unități economice aprovizionează cu același produs n localități : Capacitățile lunare de producție, pentru produsul respectiv, pentru unitatea sunt egale cu , . Necesarul pentru localitatea pentru același produs este , . Cheltuielile pentru transportul unei unități de produs de la unitatea la localitatea fiind , se pune problema satisfacerii cererilor în cele n localități, astfel încât cheltuielile totale de transport să fie minime.

Presupunem că

.

Pentru modelarea matematică a problemei, notăm prin , , , cantitatea de produs ce se va repartiza de la sursa i la destinația j. Cantitatea de produs ce ajunge în localitatea este suma cantităților trimise aici de fiecare din cele m surse, adică .

Pentru ca toate cererile să fie acoperite, impunem restricțiile:

, (4.6)

Cantitatea de produs care pleacă de la sursa i este egală cu și este dată de

, (4.7)

Se impun și în acest caz condițiile:

, (4.8)

Cheltuielile de transport sunt date de:

Deci problema cere să se minimizeze

în condițiile (4.6), (4.7) și (4.8).

4.2 Aplicații ale sistemelor liniare

în fizică

Circuitele sau rețelele electrice intervin în producerea energiei electromagnetice, transportul, distribuția la locul de utilizare și conversia acestei energii. Circuitele electrice se constituie prin interconectarea elementelor unui circuit – rezistoare, bobine, condensatoare, surse de energie – conform unor scheme care conțin lanțuri, noduri și ochiuri.

Un element de circuit are un număr specific de borne prin care se realizează legăturile cu alte elemente. Fiecare bornă este caracterizată prin intensitatea curentului absorbit și prin potențialul electric față de un punct de referință. Diferența de potențial dintre borne se va numi tensiune electrică între aceste borne. Un element cu n borne se va numi n-pol sau multipol electric.

Două borne asociate formează o poartă dacă intensitățile curenților sunt egale și opuse ca sens pentru cele două borne.

Sursa de tensiune și sursa de current sunt elemente de circuit active, în sensul că, atunci când funcționează în regim de generator, transmit către exterior energia electromagnetică. Elementele de circuit passive sunt acelea care primesc energie din exterior, pe care o transformă în altă formă (rezistorul) sau o acumulează ca energie electrică (condensatorul) sau energie magnetică (bobina).

Laturile active ale unei scheme electrice sunt acelea care conțin surse de tensiune sau de current, celelalte numindu-se laturi pasive. O partiție a unei scheme electrice se numește activă, respectiv pasivă, atunci când conține, respectiv nu conține, laturi active. Dacă în schema electrică a unui circuit activ se substituie sursele de tensiune prin rezistențele lor interne și sursele de curent prin conductanțele interne se obține schema pasivizată a circuitului.

Latura incidentă la un nod al circuitului este latura pentru care acel nod constituie una dintre extremități.

Se numește ochi succesiunea de laturi ce formează un contur închis aparținând schemei electrice.

Elementele ideale de circuit sunt obiecte idealizate în sensul că interacțiunea electromagnetică cu exteriorul poate fi complet caracterizată printr-un sistem de curenți și un sistem de tensiuni electrice.

Elementele de circuit pentru care relațiile între tensiuni și curenți sunt liniare (neliniare) se numesc elemente liniare (neliniare) de circuit. Dacă relațiile liniare dintre curenți și tensiuni conțin coeficienți variabili în timp, elementele de circuit sunt parametrice. Un circuit electric liniar conține doar elemente de circuit liniare.

Problema fundamentală a calculului unui circuit electric constă în determinarea intensităților curenților din cele l laturi ale acestuia. Un sistem de l ecuații independente, dedicat acestui scop, se poate obține cu ajutorul celor două teoreme ale lui Kirchhoff, considerate ca esențiale în teoria circuitelor electrice.

Prima teoremă a lui Kirchhoff

Cu ajutorul legii de conservare a sarcinii electrice, se poate demonstra prima teoremă a lui Kirchhoff (teorema nodurilor), conform căreia suma algebrică a curenților laturilor incidente la un nod este nulă, când se consideră cu un semn curenții care intră în nod și cu un semn contrar curenții care ies din nod. Folosind o numerotare unică a laturilor circuitului, prima teoremă a lui Kirchhoff aplicată unui nod conduce la ecuația

, (4.1)

unde s-a utilizat semnul “” al relației de „apartenență” pentru a sugera că suma algebrică s-a efectuat asupra curenților laturilor incidente la nodul .

De exemplu, pentru nodul din Figura 4.1,

Figura 4.1

prima teoremă a lui Kirchhoff conduce la ecuația

.

În general, pentru un circuit cu n noduri și părți separate galvanic se pot obține

(4.2)

ecuații independente prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff, exprimate generic în forma

. (4.3)

A doua teoremă a lui Kirchhoff

Teorema a doua a lui Kirchhoff (teorema ochiurilor) afirmă că suma algebrică a tensiunilor la bornele laturilor unui ochi este nulă

. (4.4)

În suma (4.4) tensiunea este considerată cu semnul dacă are același sens ca sensul ales pentru parcurgerea ochiului; în caz contrar, va intra în sumă cu semnul . Prin simbolul se sugerează că suma (4.4) se efectuează pentru toate laturile j ce „aparțin” ochiului . De exemplu, pentru ochiul din Figura 4.2, se obține

:

Figura 4.2

Pentru un circuit cu l laturi, n noduri și partiții separate galvanic, se pot scrie

(4.5)

ecuații independente prin aplicarea teoremei a doua a lui Kirchhoff, adică

. (4.6)

Un ansamblu de m ochiuri care cuprinde toate laturile circuitului și pentru care aplicarea teoremei a doua a lui Kirchhoff conduce la m ecuații independente se numește sistem de ochiuri fundamentale. Pentru un circuit dat există mai multe sisteme de ochiuri fundamentale, dar numărul m al ochiurilor dintr-un astfel de sistem este același, bine determinat. Un ochi fundamental conține cel puțin o latură ce nu aparține celorlalte ochiuri din sistem.

În regim staționar, tensiunile la bornele laturilor au valori constante. În regim cvasistaționar, ecuațiile (4.6) conțin valorile instantanee ale tensiunilor.

Din relațiile (4.2) și (4.5) rezultă

, (4.7)

concluzia fiind că, pentru un circuit electric oarecare, cele două teoreme ale lui Kirchhoff permit obținerea unui număr de ecuații independente egal cu numărul curenților necunoscuți ai laturilor circuitului.

Metoda teoremelor lui Kirchhoff

Cele l ecuații independente, folosite pentru calculul curenților laturilor unui circuit dat (cu l laturi, n noduri și părți separate galvanic), se obțin astfel:

ecuații cu prima teoremă a lui Kirchhoff, conform (4.2) și (4.3),

m ecuații cu a doua teoremă a lui Kirchhoff, conform (4.5) și (4.6).

Întrucât toate elementele unui circuit liniar au caracteristici tensiune-curent liniare, sistemul ecuațiilor lui Kirchhoff va fi algebric, liniar, cu coeficienți constanți (numere reale). În consecință, soluția acestui sistem va fi unică, deci se obțin valori unice pentru curenții laturilor.

Vom da un exemplu al acestei metode prin calculul curenților laturilor pentru circuitul din Figura 4.3, în care se cunosc tensiunile electromotoare și ale surselor de tensiune și rezistențele :

Figura 4.3

Deoarece și , rezultă

,

.

Digraful asociat acestui circuit este reprezentat în Figura 4.4, latura 3 constituind arborele, iar laturile 1 și 2 fiind coarde.

Figura 4.4

Ținând seama de sensurile marcate pe fig. 4.3, aplicarea teoremelor lui Kirchhoff conduce la sistemul de ecuații:

,

,

.

Pentru valori cunoscute ale tensiunilor electromotoare și rezistențelor:

; ; ; ; ; ,

Sistemul de ecuații algebrice liniare capătă forma:

,

,

.

Ca soluții unice ale sistemului de ecuații, se obțin curenții laturilor:

, , .

Semnul „-” pentru valoarea curentului indică faptul că sensul acestuia este invers față de cel adoptat, în mod arbitrar, pentru scrierea ecuațiilor.

Validarea rezultatelor obținute se poate realiza prin efectuarea bilanțului puterilor în circuit, adică prin verificarea egalității

,

pentru valorile calculate ale curenților laturilor.

CAPITOLUL V

Aspecte metodice în rezolvarea determinanților și șistemelor de ecuații

5.1 Aspecte generale ale metodicii predării matematice

Marele matematician Grigore Moisil spunea că “profesorul este cel care într-o anumită disciplină, știe în fiecare zi mai mult decât ieri, învățându-l pe altul ce știe el azi, îl pregătește pentru ce va afla mâine și care poate să fundeze ceea ce știe într-o anumită disciplină, pe ceea ce știe din celelalte discipline pe care aceasta se reazemă”.

Metodica predării matematicii se situează la granița dintre matematică, pedagogie, didactica și psihologie. Ea studiază învățământul matematic sub toate aspectele sale: scop, sarcini, conținut, metode, forme de organizare, principii, personalitatea profesorului.

Această disciplină trebuie să precizeze cum se organizează predarea – învățarea eficientă a noțiunilor de aritmetică, algebră, geometrie, analiză matematică din învățămâtul preuniversitar, ținând cont de indicațiile pedagogiei generale. Astfel, matematica devine conținutul asupra căruia metodica predării își exersează metodele.

Principalele sarcini ale metodicii predării matematicii sunt:

Selectarea din știința matematică a conceptelor, rezultatelor și ideilor fundamentale care vor fi predate elevilor ținând cont de stadiul de dezvoltare a matematicii și perspectivele ei, de comenzile sociale pe termen scurt și lung, de legile învățării stabilite de psihologie;

Organizarea cunoștințelor ce urmează a fi predate pe anumite grade de rigoare și complexitate;

Identificarea principalelor trăsături, instrumente, metode și aplicații, caracteristice diferitelor discipline matematice, și indicarea tiparelor de gâdire matematică accesibile elevilor la vârste diferite;

Furnizarea de instrumente eficiente în dezvoltarea capacității de abstractizare și generalizare, a creativității și perseverenței elevilor, folosind metode matematice;

Corelarea matematicii cu alte discipline studiate;

Detalierea metodologică a fiecărei teme de studiu, precizând căile cele mai potrivite pentru o explicare cât mai accesibilă;

Stabilirea mijloacelor specifice în activitatea de control a activității matematice a elevilor și a celor specifice evaluării progresului de învățare;

Organizarea studiului individual cu referire la folosirea manualelor, a revistelor de matematică, a culegerilor de probleme și a unor activități din afara clasei: cercuri de matematică, olimpiade.

5.1.1 Strategii didactice

Strategiile didactice sunt modalități complexe de organizare și conducere a procesului de instruire pe baza combinării metodelor, a mijloacelor de învățământ și a formelor de grupare a elevilor, în scopul realizării obiectivelor pedagogice.

Ele contribuie la optimizarea procesului de instruire și de formare a personalității elevilor, profesorul dirijând, conducând și reglând continuu acțiunea instructivă în direcția impusă de finalitățile actului de învățământ.

Strategiile didactice au caracter dinamic, ele fiind într-o permanentă înnoire în scopul realizării unui învățământ formativ-educativ. Profesorul își stabileste strategiile didactice având în vedere conținutul și obiectivele situației de instruire, diferitele tipuri de învățare, principiile didacticii, sistemul de gândire și nivelul de cunostințe al elevilor, spațiul scolar unde se desfăsoară lecția și timpul afectat acesteia. În predarea cunostințelor se poate porni fie de la exemple (fapte concrete) ajungând prin analiză, sinteză și generalizare la definirea noțiunii, la stabilirea unei reguli (calea inductivă) fie se introduc inițial definiții care se ilustrează apoi cu cazuri concrete (calea deductivă). Cele două procedee pot alterna sau se îmbină în moduri diferite. Unele exemple ilustrează nemijlocit o noțiune, având valoare de prototip, pe când altele sunt exemple de contrast, de diferențiere sau contraexemple, care relevă prin opoziție ceea ce nu constituie sau nu aparține unui concept. Cantonarea în exemple–prototip folosite la lecție duce la îngustarea conținutului noțiunilor ce se formează la elevi.

Metodica predării matematicii foloseste ca metode un set caracteristic, preluat din matematică, pedagogie, didactică.

5.1.2 Metoda didactică

Metoda didactică este selecționată de profesor, fiind pusă în aplicare în lecții cu ajutorul elevilor; ea presupune întotdeauna o strânsă cooperare între elev și profesor. Metodele didactice sunt multiple. Ele îndeplinesc următoarele funcții:

funcția cognitivă – cale de acces pentru elev la cunoastere;

funcția formativ-educativă – formează la elevi noi deprinderi intelectuale și structuri cognitive, noi atitudini, capacități;

funcția instrumentală – tehnică de execuție, mijlocind atingerea obiectivelor instructiv-educaționale;

funcția normativă – arată cum să se predea și să se învețe pentru a obține rezultate optime.

În învățământul modern se accentuează latura formativ-educativă a metodei, se extind metodele de căutare și identificare a cunostințelor, de autoinstrucție și autoeducație permanentă. De asemenea, se recomandă o folosire pe scară largă a metodelor activ-participative și a celor care solicită componentele relaționale ale activității didactice: profesor – elev, elev – elev.

Eficiența și valoarea unei metode este condiționată de calitatea, alegerea corectă și corelarea procedeelor din care este compusă.

Metodele pot fi clasificate după mai multe criterii:

1. din punct de vedere istoric:

tradiționale (expunerea, conversația, exercițiul);

moderne (algoritmizarea, problematizarea, instruire programată, brainstorming-ul).

2. din punct de vedere al extensivității sferei de aplicabilitate:

generale – expunerea, conversația euristică, prelegerea;

particulare.

3. prin modalitatea de prezentare:

verbale;

intuitiv-senzoriale.

4. după gradul de angajare al elevilor:

active;

pasive.

5. după funcția didactică preponderentă:

predare și comunicare;

fixare și consolidare;

verificare și evaluare.

6. din punctul de vedere al abordării problemelor:

algoritmice, bazate pe secvențe operaționale stabile;

euristice, bazate pe descoperirea proprie și rezolvarea de probleme.

7. după organizarea muncii profesorului:

individuale;

pe grupuri;

frontale.

8. din punctul de vedere al învățării (mecanică, prin receptare conștientă, prin descoperire):

metode bazate pe învățarea prin receptare (expunerea, demonstrația cu caracter expoziv);

metode care aparțin preponderent descoperirii dirijate (conversația euristică, observația dirijată, instruirea programată);

metode de descoperire propriu-zisă (observarea independentă, exercițiul euristic, descoperirea, rezolvarea de probleme, brainstorming-ul).

Prin metodele intuitiv-senzoriale, metodica predării matematicii se referă la prezentări de materiale didactice auxiliare: truse de corpuri geometrice, programe pe computer, planșe, chiar materialul construit de elev în anumite scopuri.

Dintre principalele metode folosite în activitatea de predare-învățare a matematicii putem enumera:

Expunerea, care constă în prezentarea de către profesor a unor cunostințe noi, pe cale orală, în structuri bine închegate, în scopul transmiterii unui volum mare de informații într-o unitate de timp determinată și care cunoaște mai multe variante:

povestirea;

explicația;

prelegerea;

expunerea universitară.

În cadrul predării matematicii în gimnaziu și liceu, mai des întâlnite sunt explicația și prelegerea, utilizate mai ales pentru prezentarea unor fragmente cu grad ridicat de dificultate și pentru a face sistematizări.

Metoda expunerii didactice este o cale simplă, directă și rapidă de transmitere a cunoștințelor, oferind elevilor cunoștințe de-a gata. Comunicarea profesor – elev este unidirecțională, iar feed-back-ul este slab. De aceea se recomandă apelarea la strategii euristice (descoperirea pe cont propriu a unor cunoștințe noi).

Conversația catihetică (examinatoare) are ca scop examinarea elevului pentru a stabili dacă sunt cunoscute anumite formule și reguli. Trebuie să subliniem aici faptul că formulele matematice nu trebuie memorate ca „o poezie”, ci ele ajung să se rețină în urma folosirii lor repetate în rezolvarea de probleme.

Conversația euristică este o metodă de dialog, de descoperire dirijată, în care rolul profesorului este permanent, iar elevul este invitat să apeleze la propriile cunoștințe, să facă o serie de conexiuni pentru a găsi alte aspecte ale cunoașterii. Întrebările formulate de către profesor trebuie să fie precise, univoce, variate, cu precădere de tip productiv (de ce?, cum?), ipotetice (dar dacă?), de evaluare (ce e mai bine?), divergente (orientează gândirea pe traiectorii diverse), convergente (analiza, sinteza, comparația). Se impune o graduare eșalonată a dificultăților, un timp bine dozat între întrebare și răspuns, pentru a nu descuraja elevii. Răspunsurile oferite de aceștia vor fi atent analizate, insistând asupra corectitudinii formulării lor, a clarității de exprimare. În cazul găsirii de către elevi a unei metode corecte de rezolvare, dar mai anevoioasă (mai puțin directă), profesorul nu trebuie să refuze din start demonstrația; ea este acceptată inițial, discutată în paralel cu o variantă mai simplă (sau mai elegantă), subliniind avantajele celei din urmă și, doar după aceea, eventual înlocuită cu varianta mai accesibilă tuturor elevilor. La lecțiile de matematică, metoda este folosită în foarte multe situații: descoperirea unor enunțuri, demonstrații, soluții, exemple etc.

Demonstrația didactică înseamnă a prezenta obiecte, procese, acțiuni în vederea inducerii teoretice la elevi a unor proprietăți constante care constituie elemente fundamentale ale cunoașterii. În cazul matematicii, se mai admite și prezentarea unor obiecte matematice, construite anterior și asimilate de elevi, sau a unor reprezentări intuitive ale acestora. Această metodă nu trebuie să fie confundată cu demonstrația matematică (deductivă, teoretică). Matematica studiază relații de mare generalitate; predarea intuitivă este folositoare mărind accesibilitatea matematicii. Pornind de la un suport material (natural, figurativ sau simbolic), prin demonstrație se construiesc reprezentări, constatări, interpretări. Ea are un caracter ilustrativ, conducând la reproducerea unor acțiuni sau la asimilarea unor cunostințe pe baza unor surse intuitive.

Observația didactică constă în urmărirea atentă a unor obiecte, figuri (geometrice) și fenomene de către elevi, fie sub îndrumarea profesorului (observație sistematică), fie în mod autonom (observație independentă). Observația are o valoare euristică și participativă, deoarece ea se bazează pe receptivitatea elevilor, dezvoltând-o. Această metodă conduce și la formarea unor calități comportamentale cum ar fi consecvența, răbdarea, perseverența, perspicacitatea, imaginația.

Exercițiul didactic reprezintă o modalitate de efectuare a unor operații și acțiuni mintale (sau motrice), în mod conștient și repetat, ce conduce la adâncirea înțelegerii noțiunilor, regulilor, principiilor învățate, la dezvoltarea operațiilor mintale și constituirea lor în structuri operaționale, la prevenirea uitării și la evitarea tendințelor de interferență (confuzie). Un exercițiu presupune un set de acțiuni ce se reiau relativ identic, având, în principiu, un caracter algoritmic. Însușirea cunostințelor de matematică este strâns legată și condiționată de rezolvarea de exerciții și probleme. Această metodă formează gândirea productivă, dezvoltă raționamentul, oferă o anumită independență în activitatea elevului; acesta are posibilitatea să discute metode diferite de lucru, să o aleagă pe cea mai bună, să-și analizeze greșelile. Pentru aplicarea metodei exercițiului trebuie să fie îndeplinite mai multe condiții, ca de exemplu:

enunțul este înțeles cu ușurință de către elevi, căci analiza enunțului este mai sumară decât la rezolvarea problemelor;

cunoștințele folosite în rezolvare sunt accesibile;

rezolvarea exercițiului nu trebuie să fie mecanică;

se alege un set de exerciții asemănătoare, iar elementele noi vor fi introduse treptat;

se asigură acuratețe și precizie în rezolvare.

Exercițiul didactic poate fi clasificat după mai multe criterii:

după funcțiile îndeplinite:

introductive;

de bază;

de consolidare;

operatorii;

structurale;

după numărul de participanți:

individuale;

de echipă;

colective.

după gradul de intervenție al profesorului:

exerciții dirijate;

semidirijate;

autodirijate;

combinate.

Metoda cazului se folosește atât în cunoașterea inductivă (de la premise particulare se obțin concluzii generale: reguli, legi, principii) cât și în cunoasterea deductivă (prin particularizări și concretizări ale unor aspecte generale). Prezentarea studiului de caz parcurge următoarele etape:

sesizarea sau descoperirea cazului;

examinarea cazului din mai multe perspective;

selectarea celor mai potrivite metode pentru analiză;

prelucrarea cazului respectiv din punct de vedere pedagogic;

stabilirea concluziilor.

Descoperirea didactică este o metodă de tip euristic cu rol formativ pentru că dezvoltă percepția, reprezentarea, memoria, gândirea, limbajul, interesele elevului. În funcție de relația profesor – elev, descoperirea poate fi independentă (profesorul supraveghează și controlează procesul, dar elevul este actorul principal), și dirijată (profesorul conduce descoperirea prin sugestii, puncte de sprijin, întrebări, soluții parțiale). Ținînd cont de relația ce se stabilește între cunostințele anterioare și cele la care se ajunge, distingem, în funcție de operațiile cognitive predominante:

descoperirea inductivă, prin trecerea de la particular la general;

descoperirea deductivă, prin trecere de la general la particular;

descoperire transductivă, prin stabilirea de relații analogice între diferite serii de date.

Problematizarea (predarea prin rezolvare de probleme) este una dintre cele mai utile metode datorită caracterului ei euristic, activizator și puternic formator (cultivă autonomia); ea creează dificultăți practice sau teoretice a căror rezolvare trebuie să fie rezultatul propriei activități de cercetare a elevului. Situațiile-problemă pot fi de mai multe tipuri:

contradicții între posibilitățile existente ale elevului și cerințele în care este pus de noua problemă;

necesitatea selectării din cunoștințele anterioare a celor care sunt folositoare;

integrarea noțiunilor selectate într-un sistem, stabilirea ineficienței sale operaționale și precizarea necesității completării acestuia.

Pentru utilizarea acestei metode, trebuie să fie îndeplinite mai multe condiții:

este necesar să existe la elevi un fond aperceptiv suficient;

dozarea dificultăților se face în funcție de o anumită gradație;

se alege cel mai potrivit moment de plasare a problemei în lecție;

se manifestă un real interes pentru rezolvarea problemei.

Spre deosebire de metoda anterioară, unde elevul găsește enunțul pe baza unor formulări sumare, incomplete, și trebuie să justifice că enunțul este cel corect, în cazul problematizării, profesorul trebuie să prezinte enunțul complet și, eventual, indicații de rezolvare. Misiunea profesorului este dificilă pentru că el trebuie să descopere, să genereze „situații-problemă” care să solicite gândirea elevilor, să clarifice datele, să regrupeze cunoștințele deschizând căi de rezolvare a situațiilor date. Problematizarea nu trebuie să se confunde cu rezolvarea de probleme matematice. Se poate aplica pentru activități destinate asimilării enunțurilor și pentru demonstrații.

Modelarea didactică presupune existența unor modele care sunt sisteme simple, ce permit o descriere esențializată a unui ansamblu existențial, dificil de sesizat și de cercetat în mod direct. Modelele pot fi: obiectuale (obiectele însele), iconice (mulaje, machete, scheme grafice care seamănă structural și funcțional cu obiectul de studiat), simbolice (formalisme matematice, formule, scheme cinematice), bazate pe simboluri convenționale, având funcții ilustrative și cognitive. Modelarea presupune două etape de aplicare. Într-o primă etapă, învățarea se face folosind modele construite de profesori, se analizează trăsăturile modelului și se compară cu originalul. Pentru a sublinia condițiile ce trebuie îndeplinite de model, se pot da contraexemple sau exemple de modele cu eficiență scăzută. În a doua etapă, elevul este învățat să-și construiască singur modelul. Insistând ca elevul să poată descoperi singur modelul, ne asigurăm că el poate matematiza anumite situații, îi dezvoltăm spiritul de observație, capacitatea de analiză, sinteză, creativitatea și raționamentul.

Algoritmizarea este o metodă ce se bazează pe folosirea algoritmilor în actul de predare. Algoritmii sunt un grupaj de scheme procedurale, un set de operații standard, cu o succesiune aproximativ fixă de operații, prestabilită de profesor sau propusă de logica disciplinei, uneori putând fi construiți chiar de elevi. Prin utilizarea lor se pot rezolva probleme asemănătoare. Învățarea de tip algoritmic se poate îmbina cu învățarea euristică: în faza de început a învățării se recurge la algoritmi; prin repetare și conștientizare se pot găsi soluții algoritmice alternative sau total noi, mai rafinate decât cele inițiale. Această metodă este apropiată de metoda exercițiului fiind folosită cu succes la lecțiile de formare a priceperilor și deprinderilor sau de consolidare a acestora.

Instruirea programată cu manualul sau asistată de calculator se bazează pe parcurgerea unui algoritm prestabilit de învățare, alcătuit din alternări de secvențe informatice, cu momente rezolutive, cu seturi suplimentare de cunostințe. Dimensionarea unei astfel de programe se face în conformitate cu următoarele principii:

principiul pașilor mici și al progresului gradat – se fragmentează dificultățile în unități gradate care să conducă, din aproape în aproape, la soluționarea integrală;

principiul participării active – elevul rezolvă, răspunde, selectează întrebări, propune soluții în mod independent;

principiul verificării imediate a răspunsului – soluțiile date de elev sunt confruntate cu cele valide, acesta neputând să treacă la secvențele următoare de învățare înainte ca răspunsurile să fie confirmate;

principiul respectării ritmului individual de studiu – fiecare elev parcurge programul în funcție de posibilități;

principiul reușitei (al răspunsurilor corecte) – programa este astfel dimensionată încât elevul să fie capabil să o parcurgă integral și satisfăcător.

Se poate concepe o programare liniară (de tip Crowder), în care fragmentarea dificultăților este mai amănunțită, sau ramificată (de tip Skinner), la care secvențele prezintă dificultăți mai mari și elevul primește informații suplimentare, în cazul când nu poate depăși o anumită etapă din prima încercare.

Brainstorming-ul (metoda asaltului de idei) este mai degrabă o metodă de stimulare a creativității, a imaginației, a spontaneității decât o metodă didactică. Caracteristica sa principală rezultă din separarea procesului de producere a ideilor de cel de evaluare a acestora: pe moment, este acceptată orice idee formulată de elevi; aceștia, știind că nu sunt notați imediat, sunt mai creativi. Metoda constă în:

acumularea a cât mai multor soluții (corecte sau nu) propuse pentru rezolvarea unei probleme enunțate inițial prin antrenarea tuturor elevilor în acest proces;

analiza acestor soluții;

selectarea variantei optime de soluționare a problemei.

5.1.3 Mijloace de învățământ

Mijloacele de învățământ sunt instrumente sau complexe instrumentale care facilitează transmiterea unor cunostințe, formarea unor deprinderi, realizarea unei aplicații practice în cadrul procesului instructiv-educativ. Pe lângă funcția informativă (de transmitere de cunoștințe), ele au și o funcție formativă, familiarizând elevii cu mânuirea, selectarea unor instrumente indispensabile pentru descrierea și înțelegerea de noi aspecte ale realității. Mijloacele de învățământ se pot grupa în două mari categorii:

care cuprind mesaj didactic (manuale, culegeri, modele, planșe, tabele cu formule, scheme structurale, seturi de teste);

care facilitează transmiterea mesajelor didactice (computerul, internet).

Mijloacele de învățământ se dovedesc utile atâta timp cât sunt integrate organic în contextul lecțiilor. Ele suplimentează explicațiile verbale, cărora le oferă mai mult suport vizibil, intuitiv și îi familiarizează pe elevi cu o realitate mai greu accesibilă pe cale directă. Mijloacele de învățământ consolidează cunoștințe și deprinderi, eficientizează folosirea timpului de instruire. Profesorul poate folosi seturi tematice de exerciții, gradate după dificultate. La acestea se anexează seturi diferite ce cuprind indicațiile de rezolvare, răspunsurile sau chiar rezolvările complete ale exercițiilor inițiale, material la care elevul poate apela după caz. În definirea noțiunilor, reprezentările intuitive se dovedesc deosebit de folositoare dacă sunt utilizate înainte de a da definiții formalizate. În activitatea de predare, este recomandat ca profesorul să întrebuințeze anumite planșe care să faciliteze accesul la informație al elevului. Ele trebuie să fie corect realizate, să evidențieze esențialul și să poată fi văzute din orice colț al clasei.

În ultima perioadă, computerele și tehnica informațională au devenit un mijloc de învățământ foarte utilizat. Studiile pedagogice au dovedit eficiența materialelor de instruire interactive, multimedia, arătând că ele stimulează creativitatea și facilitează învățarea prin exersare, descoperire, nu prin memorare. Specialiștii companiei SIVECO România S.A., sprijiniți de pedagogi, psihologi și metodiști cu experiență, au dezvoltat un sistem complet de instruire asistată de calculator, AeL Educational. Această platformă de eLearning este un sistem integrat de predare, învățare și gestiune a conținutului, bazat pe principii educaționale moderne. Ea oferă suport pentru predare și învățare, pentru testare și evaluare, pentru administrarea conținutului, monitorizarea procesului de învățământ. În prezent, există implementări AeL în învățământul preuniversitar, universitar și la corporații, pentru nevoile de instruire internă. Sistemul poate fi utilizat de către toți participanții la actul educațional (profesori, elevi, părinți, realizatori de conținut educațional etc.). Aceștia au astfel acces la materiale interactive de tip multimedia, ghiduri interactive, exerciții, simulări, jocuri educaționale. Dintre principalele caracteristici ale acestui sistem, menționăm:

profesorul poate controla și monitoriza procesul educativ;

sistemul poate fi folosit atât în activitatea dirijată cât și în cea independentă, fiind un instrument complementar (nu alternativ) metodelor clasice de predare;

în procesul de predare-învățare, sunt integrate mijloace informatice moderne în acord cu noile principiile psiho-pedagogice;

stimulează competiția la elevi, creativitatea, lucrul în echipă.

5.1.4 Finalitățile metodicii predării matematicii

Scopul educației vizează finalitatea unei acțiuni educaționale bine determinate. Putem identifica astfel scopul unei lecții, al unei teme, al unei laturi a educației.

Obiectivele educaționale se deduc din scopurile educației și se referă la achiziții concrete, observabile în mod direct. Ele sunt redate în termeni de comportamente vizibile, măsurabile și exprimabile. Dacă la începutul oricărei activități didactice obiectivele nu sunt clar precizate, apar în mod sigur efecte negative ale procesului instructiv: dificultăți în activitatea de planificare și proiectare a activității, neclaritate în privința evoluției dorite a elevilor. Ținând cont de aceasta, este evident că obiectivele educaționale influențează toate componentele strategiei didactice, ele exercitând mai multe funcții:

de orientare axiologică, prin scopul de a realiza o direcționare a elevilor către valorile educaționale dorite;

de anticipare a rezultatelor educației;

evaluativă, ținând cont că tehnicile de evaluare sunt determinate de obiectivele proiectate;

de organizare și autoreglare a proceselor didactice, obiectivele fiind criterii de referință în proiectarea, desfășurarea, evaluarea proceselor educative.

Unii autori clasifică obiectivele în două mari grupe:

obiective ale formării – scopuri de atins exprimate în termeni de cunoștințe, competențe și atitudini indicate ca fiind necesare într-o situație dată.

obiective ale învățării se referă la diferite discipline de învățământ și se exprimă în termeni de achiziții concrete în situații educative organizate. De exemplu, pentru matematică elevii să rezolve un sistem de ecuații liniare.

Pentru a deveni funcționale, obiectivele au fost delimitate și clasificate în mai multe grupe, după mai multe criterii, dintre care menționăm:

După domeniul la care se referă, obiectivele pot fi:

cognitive, care precizează ce cunoștințe, deprinderi, capacități trebuie să-și însușească elevul;

afective, care se referă la formarea de interese, atitudini, convingeri și sentimente;

psihomotorii, care desemnează comportamentele fizice (rapiditatea mișcărilor, dexteritate manuală).

După nivelul de generalitate distingem obiective:

generale, cu caracter global, care se referă la o anumită latură a educației. Ele cuprind de fapt, finalitățile și scopurile corespunzătoare laturii educației vizate și stau la baza realizării programelor de instruire (se stabilesc în ordine firească domeniile, cursurile, conținuturile ce trebuie asigurate) și a scopurilor generale ce trebuie urmărite de către școală pe mai mulți ani (nivel elementar, secundar etc.), în concordanță cu idealurile educaționale;

medii, finalități referitoare la disciplina matematică, stabilite pe trepte de scolaritate, adaptate la particularitățile de vârstă ale elevilor. Dacă la nivelul sistemului de învățământ se urmărește realizarea obiectivelor generale, la nivelul ciclului și a tipului de scoală se prevede realizarea obiectivelor medii (intermediare). Acest tip de obiective este precizat în programele scolare și evidențiază sensul în care este valorificat conținutul informațional specific disciplinei, schimbările comportamentale (cognitive, afective, psihomotorii) ale elevilor;

particulare, cele care vizează performanțe concrete și sunt stabilite pentru fiecare materie de studiu pornind de la programa școlară și manual. Aceste obiective au un caracter concret și se finalizează în comportamente măsurabile.

Din punctul de vedere al rezultatului așteptat, întâlnim:

obiective centrate pe performanță;

obiective centrate pe capacități și atitudini.

Pornind de la scopurile metodicii predării matematice trebuie urmărite atât rezultatele proiectate, anticipate conștient cât și rezultatele obținute de fapt.

Prin operaționalizarea obiectivelor înțelegem identificarea sarcinilor educative și explicitarea lor verbală. Astfel, se transpun obiectivele generale în obiective particulare, precizând comportamentele cognitive, afective, psihomotorii, urmărite în desfășurarea procesului

didactic. Obiectivele operaționale permit realizarea strategiilor și tacticilor instruirii, în cadrul fiecărei lecții, oferind o imagine concretă a ceea ce trebuie evaluat.

Pentru a exprima un obiectiv este suficient să răspundem la întrebările următoare:

cine va realiza comportamentul dorit? – elevul, clasa

ce comportament observabil va dovedi că obiectivul este atins? – trebuie să rezolve/să dea exemple/să calculeze/să aplice formula/să motiveze

care este performanța finală ce trebuie obținută? – soluția finală a problemei/exercițiului

în ce condiții/unde/când va avea loc comportamentul vizat? – aplicarea unui algoritm, rezolvare după model, studiu individual/ la școală, acasă/ la sfârșitul, în cadrul orei

pe baza căror criterii stabilim dacă rezultatul activității este satisfăcător? – numărul minim de răspunsuri corecte, calitatea rezolvărilor, timpul minim de lucru

Astfel, în procesul de dimensionare și formulare a obiectivelor trebuie să se țină cont de o multitudine de condiții. Dintre acestea enumerăm:

obiectivul vizează activitatea elevilor, nu a profesorului;

obiectivul trebuie să fie în principiu realizabil, să corespundă particularităților de vârstă, experienței anterioare a elevilor;

obiectivul operațional desemnează un rezultat imediat al instruirii, nu unul de perspectivă;

în obiectiv se vor enunța atât condițiile de realizare a sarcinilor, cât și criteriul performanței, al realizării acestora;

fiecare obiectiv va viza o singură operație, și nu un comportament compus, greu de analizat sau de evaluat.

Operaționalizarea poate fi realizată prin indicarea reușitei sau a prestației minimale. Aceasta vizează limita temporală – durata până la care apare comportamentul menționat de obiectiv, limita numerică – numărul minim de conduite preconizate; limita de exactitate – gradul

de exactitate a efectuării unei operații, a unei estimări. În formularea obiectivelor apar deseori greșeli. Dintre acestea, putem menționa câteva, mai frecvent întâlnite:

confundarea obiectivelor cu programa, cu temele care trebuie însușite;

confundarea obiectivului cu ceea ce are intenția să facă profesorul, nevizând activitatea elevului;

includerea a mai mult de un obiectiv în formularea rezultatului unei învățări, ceea ce devine greu de evaluat.

Pentru a identifica obiectivele operaționale trebuie parcurse mai multe etape:

1. Formularea obiectivelor folosind verbe ce descriu comportamente ce pot fi măsurate, evaluate, cum ar fi:

a. de cunoaștere – să recunoască, să observe, să găsească, să identifice;

b. de înțelegere – să exprime în cuvinte proprii, să diferențieze, să explice;

c. de aplicare – să aplice, să clasifice, să compare, să identifice, să utilizeze;

d. de analiză – să observe, să descompună, să clasifice, să compare;

e. de sinteză – să compună, să grupeze, să deducă, să construiască;

f. de evaluare – să aprecieze, să compare, să aleagă, să motiveze, să argumenteze.

2. Alegerea modului corect de utilizare a materialului didactic în realizarea sarcinilor didactice de către elevi.

3. Evaluarea comportamentului, deprinderilor, priceperilor și abilităților matematice care indică profesorului nivelul achizițiilor învățării și oferă totodată informații asupra realizării obiectivelor propuse.

Obiectivele operaționale ale activităților matematice se clasifică de cele mai multe ori în:

obiective de învățare (cognitive), care se referă la cunoștințe cu caracter matematic;

obiective de transfer (formative), care privesc capacitatea de a utiliza cunoștințele asimilate în situații noi sau similare;

obiective de verbalizare (de exprimare), care se raportează la capacitatea de a comunica și motiva acțiunile care trebuie efectuate folosind un limbaj matematic.

Finalitățile reprezintă sistemul de referință pentru elaborarea programelor școlare și pentru orientarea demersului didactic la clasă.

Distingem astfel:

Obiectivele-cadru, cu un înalt grad de generalitate, a căror atingere este un proces complex, de lungă durată (pe mai mulți ani de studiu). Ele au o structură comună pentru toate disciplinele ce aparțin unei arii curriculare și asigură coerența în cadrul acesteia.

Obiectivele de referință descriu performanța optimală ce trebuie formată la elevi până la sfârșitul unui an de studiu și urmăresc progresul în formarea și achiziționarea cunoștințelor elevului de la un an de studiu la altul. Din acest tip de obiective, la fiecare lecție se stabilesc obiectivele operaționale.

Alături de obiective, în calitate de finalități, alte rezultate ale învățării, sunt definite drept competențe. Acestea reprezintă un nou sistem de referință pentru stabilirea finalităților la nivelul ciclului liceal.

Competențele reprezintă ansambluri structurate de cunoștințe și deprinderi dobândite prin învățare. Ele sunt de două feluri:

1. Competențele generale, cu grad ridicat de generalitate și complexitate, se definesc la nivelul unei discipline de studiu și se formează pe durata unui ciclu de învățământ.

2. Competențe specifice se definesc pe un obiect de studiu și se formează pe parcursul unui an școlar, derivând din competențele generale. Competențelor specifice li se asociază prin programă unități de conținut.

5.2 Forme de organizare a instruirii matematice

5.2.1 Importanța și etapele proiectării didactice

Proiectarea didactică reprezintă un proces deliberat de fixare a pașilor ce trebuie parcurși în realizarea instrucției și educației. Fiind un act de anticipare și de prefigurare a demersului educațional, acesta devine admisibil și traductibil în practică. În funcție de perioada luată ca referință, întâlnim:

proiectarea globală se referă la o perioadă mai mare de instruire (ciclu sau an de studiu). Ea este concretizată de obicei prin dimensionarea planurilor de învățământ și a programelor analitice și stabilește cadrul, limitele și posibilitățile proiectării eșalonate.

proiectarea esalonată este materializată prin elaborarea programelor de instruire specifice unei discipline și apoi a unei lecții, ce se aplică la o anumită clasă de elevi pe trei planuri temporale: anul, semestrul și ora școlară.

Proiectarea disciplinei pentru un an sau semestru școlar se realizează pe baza programei școlare care indică riguros capitolele, temele și subtemele cu numărul corespunzător de ore pentru tratarea acestora.

Modelul modern, curricular, al proiectării didactice este caracterizat de următoarele aspecte:

este centrat pe obiective și propune acțiuni didactice specifice procesului de predare-învățare-evaluare;

punctul de plecare îl constituie obiectivele stabilite pentru elev;

între toate elementele activității didactice (obiective, conținut, metodologie, evaluare) se stabilesc raporturi de interdependență;

asigură echilibrul dintre pregătirea de specialitate și cea psihopedagogică a profesorului.

În acest sens, proiectarea didactică presupune:

definirea obiectivelor învățării la unul sau mai multe niveluri;

sugerarea unor teme de activitate care să provoace învățarea în sensul dorit;

oferirea posibilității de alegere a metodelor ți mijloacelor de predare și învățare;

instrumente de control a predării și învățării;

determinarea condițiilor prealabile necesare unei activități de învățare eficientă.

Proiectarea unei unități de învățare înseamnă schițarea unui scenariu de desfășurare a acesteia, precizând în detaliu modul de organizare al clasei, necesarul de material didactic, sarcinile de lucru, modul de evaluare a îndeplinirii sarcinilor, rezultatele așteptate ale învățării și reacțiile posibile.

Dacă dorim să analizăm procesul de învățare – predare avem de răspuns la 絜trebări cum ar fi:

ce voi face?

cu ce voi face?

cum voi face?

cum voi ști dacă ceea ce trebuia realizat a fost obținut ?

Aceste întrebări punctează de fapt cele patru etape ce trebuie parcurse în realizarea unei proiectări didactice:

1. Prima etapă presupune precizarea clară a obiectivelor educaționale, condiție fundamentală a proiectării corecte a fiecărei lecții. Acestea trebuie stabilite ținând cont de concordanța ce se impune a exista între cerințe și programa școlară, între obiectivele propuse și timpul de care se dispune.

2. A doua etapă vizează stabilirea resurselor educaționale de care dispune profesorul:

resurse umane – elevul cu personalitatea sa, motivația, capacitățile de învățare și exprimare, profesorul cu experiența sa, timpul necesar pentru activitatea didactică: an, semestru, săptămână, oră;

resurse materiale – manuale, culegeri, tabele, planșe, materiale didactice;

resurse procedurale – forma de organizare a clasei, metode de organizare a activității, metode de învățare, metode de predare, alocarea de timp.

3. A treia etapă se referă la strategiile educaționale folosite pentru atingerea scopurilor: alegerea celor mai adecvate metode didactice, materiale și mijloace de instruire, combinarea acestora în vederea eficientizării strategiei didactice. La baza stabilirii scenariului didactic se află eliminarea și prevenirea erorilor, a riscurilor și evenimentelor nedorite în practica didactică. Trebuie ținut cont că nu se poate programa totul, trebuie lăsat loc suficient spontaneității, actului liber. Profesorul trebuie să speculeze și să integreze orice curs nou al desfășurărilor, să-i dea o nouă semnificație pedagogică și să-l valorifice în beneficiul procesului educativ.

4. Etapa finală urmărește stabilirea unei metodologii de evaluare a eficienței activității desfășurate. Evaluarea cea mai corectă este cea care pornește de la obiectivele operaționale ale activității. Ea urmărește raportul dintre rezultatele obținute și rezultatele scontate (obiectivele). Se poate stabili astfel eficiența activității didactice. O activitate didactică este cu atât mai eficientă cu cât obiectivele ei au fost atinse într-un timp mai scurt, cu mai puțină cheltuială de resurse materiale, cu mai puțină oboseală și cu mai multă plăcere pentru efortul depus. Scopul evaluării nu este acela de a eticheta și ierarhiza elevii în mod definitiv, ci de a perfecționa procesul instructiv-educativ prin evidențierea unor neajunsuri, prin asigurarea unei autoreglări.

Structura documentului de proiectare a unei unități de învățare cuprinde: elemente de identificare a unității de învățare, detalieri de conținut și activități de învățare. Pentru fiecare activitate de învățare sunt precizate obiectivele de referință/competențele specifice, resursele și modul de evaluare. Este indicat ca obiectivele de referință/competențele specifice urmărite într-o unitate de învățare să fie reluate și în alte unități de învățare pentru ca formarea și dezvoltarea competențelor să se realizeze pe conținuturi variate. O unitate de învățare este util să aibă o durată de desfășurare cuprinsă între 3 și 8 ore, având grijă să planificăm separat orele de evaluare

sumativă.

Activitățile de învățare se construiesc prin corelarea obiectivelor de referință/competențelor specifice la conținuturi și presupun orientarea către un anumit scop, redat prin tema activității. Astfel, pentru fiecare secvență a demersului didactic, putem asocia activități de învățare adecvate după cum urmează:

Actualizare

Activitățile de învățare sunt centrate pe evocarea și anticiparea noțiunilor de bază și a comportamentelor operatorii necesare pentru înțelegerea și prelucrarea noului conținut:

a. Folosirea unor criterii de comparare și clasificare pentru descoperirea unor proprietăți, reguli;

b. Construirea și interpretarea unor diagrame, tabele, grafice care ilustrează situații cotidiene;

c. Folosirea unor idei, reguli, metode matematice în abordarea unor probleme practice sau pentru structurarea unor situații diverse;

d. Intuirea algoritmului după care este construită o succesiune dată, exprimată verbal sau simbolic și verificarea pe cazuri particulare a regulilor descoperite.

Problematizare

Conținuturile învățării se dezvoltă prin exemple relevante din domenii diverse în scopul valorificării achizițiilor cognitive și operatorii din alte unități de învățare și pentru a compatibiliza noile cunoștințe ale elevului cu experiența sa anterioară. Activitățile de învățare sunt centrate pe problematizare și învășare prin descoperire, cu sarcini de prelucrare a informației și cu sugerarea unui algoritm al învățării:

a. Folosirea unor reprezentări variate pentru anticiparea unor evenimente sau rezultate;

b. Folosirea unor sisteme de referință diferite pentru abordarea noțiunilor matematice din perspective variate;

c. Interpretarea parametrilor problemei ca o parte a ipotezei acesteia.

Sistematizare

Conținuturile decurg din situațiile problemă prelucrate în etapa anterioară și necesită sistematizarea rezultatelor teoretice (definiții, proprietăți), exersarea conținutului pe exemple semnificative ce permit dezvoltarea unor algoritmi și metode de rezolvare. Activitățile de învățare sunt orientate spre dezvoltarea capacității elevilor de a opera cu informații, de a interpreta simbolic conținuturile:

a. Folosirea unor reprezentări variate ca punct de plecare pentru intuirea, ilustrarea, clarificarea sau justificarea unor idei, algoritmi, metode de rezolvare;

b. Recunoasterea și identificarea datelor unei probleme prin raportare la sisteme de comparare standard;

c. Identificarea și descrierea cu ajutorul modelelor matematice a unor relații sau situații multiple;

d. Compararea, observarea unor asemănări și deosebiri, clasificarea noțiunilor matematice studiate după unul sau mai multe criterii explicite sau implicite, luate simultan sau separat;

e. Utilizarea formulelor standardizate în înțelegerea ipotezei.

Conceptualizare

Conținuturile subliniază caracteristicile modelului matematic, dominând aplicațiile semnificative ce conduc la identificarea și construcția de algoritmi sau metode de lucru, care permit dezvoltarea unor rezultate teoretice prin analiza soluțiilor și prin relaționări între diferite tipuri de reprezentări utilizate. Activitățile de învățare favorizează găsirea unor căi de esențializare prin demers semidirijat:

a. Formarea obisnuinței de a vedea dacă o problemă este sau nu determinată;

b. Exprimarea relațiilor matematice dintr-o problemă prin simboluri specifice;

c. Analiza secvențelor logice în etapele de rezolvare ale unei probleme;

d. Analiza rezolvării unei probleme din punct de vedere al corectitudinii, simplității, clarității și al semnificației rezultatelor;

e. Reformularea unei probleme echivalente sau înrudite.

Aprofundare

Conținuturile și aplicațiile propuse sunt ordonate progresiv și au rol de exersare a strategiilor de rezolvare, conducând la dezvoltarea competențelor cognitive și operatorii. Activitățile de învățare au caracter dominant formativ și urmăresc dezvoltarea capacităților elevului de a opera cu informația asimilată, de a aplica, de a investiga și căuta soluții de rezolvare a problemelor propuse:

a. Rezolvarea de probleme și situații problemă;

b. Analiza secvențelor logice în fiecare etapă de rezolvare a unei probleme;

c. Exprimarea rezultatelor obținute în urma rezolvării unei probleme în limbaj matematic;

d. Exprimarea prin metode specifice a unor clase de probleme;

e. Cunoașterea și utilizarea unor reprezentări variate ale noțiunilor studiate.

Transfer

Conținuturile solicită frecvente corelații intra- și interdisciplinare, investigarea de ipoteze, utilizarea diverselor tipuri de raționament (inductiv, deductiv, analogic), realizarea de generalizări. Activitățile de învățare sunt diferențiate, valorifică potențialul individual și stilurile de învățare ale elevilor în scopul realizării unui antrenament personalizat:

a. Transferul și extrapolarea soluțiilor unei probleme pentru rezolvarea altora;

b. Utilizarea rezultatelor și a metodelor pentru crearea de strategii de lucru;

c. Folosirea particularizării, generalizării, a inducției sau analogiei pentru alcătuirea sau rezolvarea unei probleme noi, pornind de la o proprietate sau o problemă dată.

Prezentăm în continuare un exemplu de proiect al unității de învățare Ecuații și inecuații, la clasa a VIII-a:

Pentru a urmări mai ușor modul de realizare al acestuia, vom preciza obiectivele de referință și competențele avute în vedere în proiect.

Obiectivele de referință și competențe urmărite:

1.Să rezolve ecuații de forma ax + b=0 cu a, b є R;

2.Să determine soluțiile unui sistem de două ecuații cu două necunoscute;

3. Să exprime prin reprezentări grafice dreptele care au ca ecuații ecuațiile sistemului;

4. Să recunoască dacă o pereche de numere reale date este soluția unui sistem;

5. Să identifice unele probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor sau sistemelor de ecuații, să le rezolve și să interpreteze rezultatul obtinut;

6. Să aplice corect formulele de calcul învățate.

Descrierea activității de învățare: să rezolve în exerciții date sisteme prin metoda reducerii, substituției și grafică.

Competențe specifice vizate:

1. Determinarea soluțiilor unui sistem de două ecuații cu două necunoscute;

2. Exprimarea prin reprezentari grafice a unor noțiuni de geometrie plană;

3. Utilizarea valorilor unor funcții în rezolvarea unor ecuații;

4. Identificarea unor probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor sau sistemelor de ecuații, rezolvarea acestora și interpretarea rezultatului obținut.

Competențe specifice în pregătire:

1. Să identifice dacă un sistem de două ecuații de gradul I cu două necunoscute are soluție unică, are o infinitate de soluții sau nicio soluție, fără a rezolva sistemul (să cunoască interpretarea geometrică).

Conținutul avut în vedere: calcule aritmetice.

5.2.2 Organizarea pe clase și lecții

Formele de organizare a instruirii sunt structuri organizatorice de realizare efectivă a predării și învățării. Astfel, organizarea activității didactice se poate încadra în trei tipuri care interferează:

activitatea frontală (lecția);

activitatea pe grupe de elevi (consultații, meditații cu scop de recuperare, exerciții independente, cercul de elevi, concursuri, sesiuni de comunicări și referate);

activitatea individuală (efectuarea temelor, rezolvarea de probleme și exerciții, studiul în biblioteci, întocmirea de referate, proiecte, modele, pregătirea unor comunicări științifice, examene).

Termenul de lecție provine din latinescul lectio, derivat din legere, care semnifică a audia, a lectura. Lecția este o unitate didactică funcțională, care reflectă totalitatea caracteristicilor ce definesc didactica. Ea presupune un scop și obiective bine determinate; angajează resurse umane, materiale și de conținut; presupune selectarea unor metode și mijloace de învățământ; se realizează într-un timp determinat și în mediu pedagogic; implică strategii de desfăsurare și evaluare. Lecția este o formă mai comodă de organizare și desfășurare a activității pentru profesor, conferă sistematicitate și continuitate procesului de instruire. Tipul de lecție exprimă modul de concepere și realizare a activității de predare-învățare-evaluare, suportând variante ale tipului de bază, determinate mai ales de particularitățile clasei de elevi, de strategia metodologică și mijloacele de învățământ folosite.

Principalele categorii de lecții sunt:

Lecția mixtă, care urmărește realizarea, în măsură aproximativ egală, a mai multor sarcini didactice (comunicare, sistematizare, fixare, verificare), fiind cel mai des tip de lecție întâlnit în practica didactică, mai ales la clasele mici.

Structura relativă a unei lecții mixte este:

moment organizatoric;

verificarea conținuturilor însușite, prin verificarea temei, verificarea cunoștințelor, deprinderilor, priceperilor dobândite de elev;

pregătirea elevilor pentru receptarea noilor cunoștințe, prin conversație introductivă, în care sunt actualizate cunoștințele dobândite anterior, relevante pentru noua temă, prin prezentarea unor situații problemă, pentru depășirea cărora sunt necesare cunoștințe noi;

precizarea titlului și a obiectivelor, profesorul comunicând elevilor ce așteaptă de la ei la sfârșitul activității;

comunicarea/însușirea noilor cunoștințe printr-o strategie metodică, corelată obiectivelor, conținutului temei și elevilor;

fixarea și sistematizarea conținuturilor predate prin repetare si exerciții aplicative;

explicații pentru continuarea învățării acasă și pentru realizarea temei.

Lecția de comunicare/însușire de noi cunostințe are ca obiectiv fundamental însușirea de noi cunostințe și dezvoltarea unor capacități și atitudini intelectuale. Astfel, predomină dobîndirea noului, celelalte etape corespunzătoare tipului mixt (diferite de comunicarea/însușirea noilor cunostințe) fiind prezente, dar cu o pondere mult mai mică, în funcție de vârsta elevilor (la clasele mari, lecția de comunicare tinde să aibă o structură monostadială).

Lecția de comunicare/însușire de noi cunostințe are ca variante:

lecția introductivă, care oferă o imagine de ansamblu asupra unei discipline sau a unui capitol;

lecția prelegere, cu un conținut de predare vast, este întâlnită doar la clasele liceale terminale deoarece aici puterea de receptare a elevilor este foarte mare;

lecția seminar, care presupunere dezbaterea unui subiect în timpul orei pe baza studierii prealabile de către elevi a unor materiale informative. Ea se realizează tot la clasele mari;

lecția programată, care se desfăsoară pe baza manualului, a textului programat sau folosind programe de învățare computerizate.

Lecția de formare de priceperi și deprinderi (specifice matematicii) urmăreste familiarizarea elevilor cu diferite procedee de muncă intelectuală, obișnuirea lor cu organizarea și desfășurarea muncii independente, aplicarea în practică a cunostințelor. Structura orientativă a acestui tip de lecție este de forma:

moment organizatoric;

precizarea temei și a obiectivelor activității;

actualizarea sau însușirea unor cunostințe necesare desfăsurării activității;

demonstrația sau exercițiul-model, efectuate de către profesor;

antrenarea elevilor în realizarea activității cu ajutorul profesorului;

rezolvarea independentă a lucrării, exercițiului, de către fiecare elev;

aprecierea performanțelor elevilor și precizări privind modul de continuare a activității desfășurate în timpul orei.

Lecția de fixare și sistematizare urmăreste, în special, consolidarea cunostințelor însușite, aprofundarea lor și completarea unor lacune. Ea se realizează prin recapitulare. Acest tip de lecție devine eficient dacă se redimensionează conținuturile în jurul unor idei cu valoare cognitivă relevantă. Ca urmare, elevii devin capabili să realizeze conexiuni care să le permită aplicații mai complexe și mai operative.

Structura orientativă a acestui tip de lecție presupune următoarele etape:

precizarea conținutului, a obiectivelor și a unui plan de recapitulare, etapă recomandată a fi făcută înaintea desfăsurării propriuzise a orei și apoi la începutul orei sau a orelor de recapitulare;

recapitularea conținutului pe baza planului stabilit, clarifică și elimină confuziile constatate de profesor și realizează scheme sau sinteze esențiale la nivelul conținutului analizat;

rezolvarea de către elevi a unor lucrări pe baza cunostințelor recapitulate este etapa cu cea mai mare pondere în structura lecției, concretizată prin rezolvarea de exerciții și probleme;

aprecierea activității elevilor;

precizarea și explicarea temei.

În funcție de întinderea conținutului supus recapitulării (o temă, un capitol, materia unui semestru sau a unui an scolar) putem evidenția mai multe variante ale acestui tip de lecție:

lecția de repetare curentă se realizează după câteva lecții de comunicare în care au fost abordate cunostințe de bază, fără de care înțelegerea altor conținuturi nu este posibilă;

lecția de recapitulare pe baza unui plan dat de profesor sau alcătuit cu ajutorul elevilor se compune la sfârșitul unor capitole sau teme mari din programă;

lecția de sinteză se programează la sfârșitul unor unități mari de conținut: capitole mari, semestru sau an școlar.

Pornind de la metodele sau mijloacele utilizate în desfășurarea lecției, variantele de lecții menționate pot conduce la noi tipuri, ca de exemplu: lecția de recapitulare sau de sinteză pe bază de exerciții aplicative, lecția recapitulativă pe bază de fișe.

Lecția de verificare și apreciere a rezultatelor școlare urmărește în principal constatarea nivelului de pregătire a elevilor, dar și încadrarea cunostințelor în noi cadre de referință cu rol în viitoarele trasee de învățare.

Structura relativă a acestui tip de lecție este formată din etapele următoare:

precizarea conținutului ce urmează a fi verificat;

verificarea conținutului (dacă verificarea este verbală, este indicat de a realiza o sistematizare a cunostinńțelor, corectarea unor confuzii);

aprecierea rezultatelor se face la sfârșitul orei, în cazul verificării orale, sau la următoarea întîlnire a profesorului cu elevii, dacă verificarea este scrisă;

precizări privind modalitățile de completare a lacunelor și de corectare a greselilor și sugestii în legătură cu valorificarea conținuturilor actualizate în activitatea viitoare.

Variantele lecției de verificare și apreciere sunt: lecția de evaluare orală, prin lucrări scrise, etc.

5.2.3 Elaborarea proiectelor de lecție

Lecția este considerată o componentă operațională pe termen scurt a unității de învățare. De aceea, proiectul unității de învățare trebuie să ofere o derivare simplă a lecțiilor componente. Acesta, dacă este corect întocmit, conține suficiente date pentru a oferi o imagine asupra fiecărei ore. În tabelul ce sintetizează proiectarea unității de învățare, se pot delimita prin linie orizontală punctată spațiile corespunzătoare orelor de curs (lecțiilor). Astfel, pentru fiecare lecție, proiectul unității de învățare oferă date referitoare la obiectivele de referință vizate, la elementele de conținut asociate, activitățile de învățare propuse, resursele materiale, formele de organizare a clasei pentru fiecare activitate, instrumentele de evaluare necesare la nivelul lecției. Pentru evidențierea activității didactice a zilei în condică se poate preciza numele unității de învățare și numărul de ordine în aceea unitate de învățare a orei respective sau se poate aloca un titlu generic pentru activitatea de îvățare din ora respectivă. Cu toate că realizarea proiectului unei unități de învățare nu ar mai necesita întocmirea separată a unui plan de lecție, acesta este încă solicitat în diverse situații.

Pe parcursul unei lecții, profesorul desfășoară mai multe activități didactice: proiectarea, realizarea, evaluarea, reglarea.

Schematic, un proiect de lecție se prezintă astfel:

Proiect de lecție

1. Data

2. Disciplina

3. Clasa

4. Subiectul lecției

5. Tipul de lecție

6. Obiectivul fundamental

Desfăsurarea lecției se referă la momentele de parcurs, cu precizarea reperelor temporale, a metodelor și mijloacelor de învățământ, a formelor de realizare a învățării. Proiectul este centrat pe conținut si pe acțiunea profesorului și a elevilor.

În Anexa 1 și Anexa 2 sunt prezentae două modele de proiecte de lecție.

5.2.4 Evaluarea eficienței lecției

Evaluarea și autoevaluarea lecției este un moment important al activității didactice. Principalele repere cu care se apreciază reușita unei lecții, atât de către profesorul realizator, cât și de un evaluator extern (metodician, inspector) sunt:

1. Proiectarea lecției: calitatea proiectului de lecție este stabilită în funcție de documentarea stiințifică și metodică a profesorului, de identificarea și explicarea corectă a obiectivelor lecției, de corelarea acestora cu celelalte componente ale lecției, de creativitatea dovedită în structurarea lecției.

2. Realizarea lecției este măsurată prin mai mulți indicatori:

– pregătirea condițiilor necesare desfășurării lecției (asigurarea mijloacelor de învățământ, organizarea colectivului de elevi);

– valențe educative, formative (contribuția lecției la dezvoltarea gândirii, limbajului, imaginației, autonomiei elevilor);

– conținutul științific (rigurozitatea noțiunilor stiințifice care fundamentează conținutul, corectitudinea informațiilor prezentate în cadrul lecției, dozarea optimă a informațiilor și valorilor transmise);

– corelații inter-și intradisciplinare (stabilirea corectă a locului lecției în sistem, valorificarea cunostințelor, priceperilorșideprinderilor prealabile în învățarea noului conținut, sublinierea elementelor esențiale ce vor interveni în lecțiile următoare, corelații cu date cunoscute

de la alte discipline de învățământ);

– caracter practic-aplicativ (aplicarea în lecție a cunostințelor dobândite, posibilitatea aplicării în alte lecții, la aceeași disciplină sau la alte discipline a cunostințelor dobândite);

– alegerea și folosirea metodelor de predare-învățare (utilizarea unor metode active, centrate pe elev, măsura în care strategia didactică este corelată cu particularitățile elevilor, preocuparea pentru formarea deprinderilor de activitate independentă, folosirea de metode și procedee în scopul accentuării caracterului formativ al învățării);

– îmbinarea diferitelor forme de activitate (existența în lecție a unor forme variate de activitate, gradul de implicare directă în lecție a fiecărui elev, conturarea unui spirit cooperant, dialogul elev-elev);

– integrarea mijloacelor de învățământ (utilizarea mijloacelor de învățământ existente în școală, confecționarea de material didactic necesar lecției pentru activitatea demonstrativă sau individuală, valorificarea completă a intuirii, esteticii și funcționalității acestuia);

– crearea motivației, activizarea elevilor (modul de realizare a captării atenției elevilor la introducerea noului conținut, prezentarea obiectivelor urmărite în lecție, gradul de antrenare a elevilor, repartizarea echilibrată a sarcinilor pe fiecare elev);

– densitatea lecției, dozarea judicioasă a timpului (proporționarea corespunzătoare a timpului afectat fiecărei etape a lecției, în funcție de obiectivele propuse, încadrarea în timp a lecției);

– evaluarea formativă (măsura în care se realizează în lecție feedback-ul, evaluarea tuturor obiectivelor operaționale ale lecției, preocupări legate de notarea elevilor).

3. Comportamentul profesorului este indicat de:

– organizarea, îndrumarea, conducerea și controlul activității de predare (crearea unei situații de învățare adecvate, măsura în care profesorul reușește să urmărească activitatea clasei, formularea cât mai clară a sarcinilor de lucru și consecvență în urmărirea acestora, asigurarea unei atmosfere de lucru favorabilă activității fiecărui elev, adaptarea comportamentului profesorului la reacțiile clasei, realizarea dialogului profesor-elev, elev-profesor, elev-elev);

– conduita în relațiile cu elevii, limbajul, ținuta (comportament relațional, adaptarea conduitei, limbajului, ținutei la nivelul clasei, capacitatea stăpânirii de sine, elemente de tact).

4. Autoevaluarea, măsurată prin receptivitate, autoanaliză și spirit critic (sesizarea, în autoanaliza lecției, a gradului de urmărire a performanțelor dorite, determinarea aspectelor mai puțin realizate în lecție, a cauzelor acestora și furnizarea unor alternative didactice care să elimine nerealizările, receptivitate la observațiile evaluatorului, autoevaluarea corectă a nivelului de realizare a lecției).

5. Observații, cuprinzând aspecte deosebite privind contextul psihopedagogic al lecției, sugestii și recomandări. Pe parcursul practicii pedagogice, studenții au de completat fișe de observare la lecțiile la care asistă. La început, acestea au o formă simplă, cerându-se examinarea unui singur aspect, cum ar fi: modul de interacțiune, folosirea tablei, a resurselor (umane, materiale, de timp si informaționale). Pe parcurs, structura fiselor se complică, studenții trebuind

să urmărească mai multe categorii de itemi deodată: calitățile personale și profesionale ale profesorului, planificarea lecției, desfășurarea lecției, managementul clasei.

5.3 Evaluarea în procesul de învățământ

5.3.1 Funcțiile evaluării

Știința care studiază metodologia verificării și evaluării rezultatelor școlare, sistemul de notare, comportamentul examinatorilor și al examinaților poartă numele de docimologie.

În învățământ, sistemul de evaluare urmărește:

evaluarea obiectivelor curriculare și a strategiilor educaționale utilizate în scopul rezolvării acestora;

evaluarea activității de predare-învățare, a strategiilor didactice și a metodelor de învățământ;

evaluarea nivelului structurilor psihice ale elevilor (cognitive, operaționale, psihomotrice, atitudinal-valorice);

evaluarea performanțelor profesionale;

evaluarea întregului sistem de învățământ;

informarea elevilor, părinților și a societății cu privire la rezultatele obținute și asupra cauzelor nerealizării obiectivelor curriculare propuse;

diversificarea metodelor și a tehnicilor de evaluare.

A evalua rezultatele școlare înseamnă a determina măsura în care obiectivele programului de instruire au fost atinse, precum și eficiența metodelor de predare-învățare folosite.

Evaluarea îndeplineste mai multe funcții:

de constatare și diagnosticare a performanțelor obținute de elevi;

de reglare și perfecționare continuă a metodologiei instruirii, ceea ce se realizează prin feed-back;

de informare a părinților elevilor și a societății cu privire la rezultatele și evoluția pregătirii elevilor în scoală pentru integrarea lor socio-profesională;

motivațională, de stimulare la elevi a interesului pentru învățare, autocunoastere și autoapreciere corectă;

de predicție și de decizie, în scopul ameliorării activității instructiv- educative, pe baza cunoașterii cauzelor unei eventuale ineficiente;

de selecționare și clasificare a elevilor în raport cu rezultatele școlare obținute;

formativ-educativă, cu rol în optimizarea învățării și în consolidarea competențelor școlare;

de perfecționare și inovare a întregului sistem școlar.

5.3.2 Forme de evaluare

După modul de integrare a verificării și evaluării în procesul de învățământ distingem mai multe forme de evaluare, dintre care:

Evaluarea inițială ține cont de faptul că performanțele viitoare ale elevilor depind și de cunoștințele anterioare.

Evaluarea sumativă (cumulativă) este o evaluare tradițională, efectuată periodic prin verificări de sondaj și global, la în cheierea unui semestru sau an școlar. Ea nu este o evaluare ritmică; nu are caracter stimulativ și nu oferă suficiente date asupra eficienței programului de instruire. De aceea se recomandă folosirea ei în mod limitat și în combinație cu evaluarea continuă.

Iată un exemplu de test de evaluare sumativă:

Test de evaluare sumativă, clasa a XI-a

Sisteme de ecuații liniare cu cel mult 4 necunoscute

1) (1p) Scrieți sub formă matriceală sistemul: .

2) (1p) Scrieți sistemul de ecuații liniare asociat matricei extinse: .

3)(2p) Calculați rangul matricei: A = .

4)(2,5p) a) Să se determine , , , astfel încât sistemul: să fie

compatibil, iar matricea sistemului să aibă rangul 2.

b) Cu: , , determinați, la punctul a), rezolvați sistemul obținut.

5) (2,5p) Se consideră sistemul: .

Să se determine mR, astfel încât sistemul să admită numai soluția banală.

Pentru m = – 4, rezolvați sistemul.

Notă: 1) Toate subiectele sunt obligatorii.

2) Se acordă 1 punct din oficiu.

3) Timp de lucru: 50 minute.

Evaluarea continuă (formativă) se desfășoară în cadrul lecțiilor, la sfârșitul unui capitol, elevii fiind verificați din toată materia. Acest tip de evaluare are un caracter ritmic, se bazează pe un feed-back continuu, conduce la stabilirea unor relații de cooperare între profesor și elevi.

Evaluarea și notarea școlară alcătuiesc o modalitate de codare numerică sau în calificative a rezultatelor obținute de elevi. Ea presupune comparații, clasificări, cadrul de comparație ales putând fi diferit.

Elevul se raportează astfel la:

propriul său nivel obținut, observâd un progres sau un regres și promovând o motivație de autodepășire;

nivelul clasei sau al unui grup reprezentativ de elevi, comparație ce promovează competiția, cultivă motivația pentru reușita profesională. În acest caz, evaluarea se numește normativă și conduce la ierarhizarea copiilor în clasă;

obiectivele propuse. Se inițiază activități de recuperare, când este cazul, astfel încât majoritatea elevilor (80%) să se înscrie într-un barem luat drept criteriu. Această evaluare formativă nu clasifică propriu-zis elevii.

Pentru a stabili un consens în gradarea performanței școlare se pot lua în considerație mai multe criterii, ca de exemplu:

gradul de dificultate al sarcinii – teme dificile, medii, ușoare, elementare;

completitudinea răspunsului – răspuns complet, lacune minore, semnificative, majore;

ajutorul acordat în răspuns – rezolvare independentă, sprijin minor la mici ezitări în răspuns, sprijin semnificativ;

nivelul de exactitate – răspunsuri exacte, mici erori (răspunsuri exacte medii), erori mari, erori semnificative;

gradul de îndemânare – execuție rapidă și exactă, execuție cu ezitări, execuție cu ajutor, execuție esuată;

nevoia de sprijin figural, ilustrativ (exemple) sau prestație de nivel teoretico-aplicativ completă.

Pornind de la acestea, se pot stabili prin consens descriptori de performanță care să gradeze unitar prestația elevului în cadrul fiecărei teme sau sarcini.

Astfel, verificarea și evaluarea rezultatelor și a progreselor școlare ale elevilor se referă la:

nivelul de cunostințe (structuri cognitive) însușit de elevi, raportat la obiective și conținut, temeinicia cunostințelor;

nivelul structurilor operaționale: capacitatea de a efectua operații logice de analiză, comparație, sinteză, abstractizare, generalizare, posibilitatea de a comunica, de a explica și demonstra logic pe bază de argumente, de a efectua raționamente inductive și deductive, de a elabora definiții și de a redefini, de a efectua judecăți de valoare asupra cunostințelor și de autoevaluare;

capacitatea de aplicare a cunostințelor: de a descoperi, de a inventa, de a rezolva exerciții și probleme, de a se autoinstrui;

nivelul structurilor psihomotrice: deprinderile specifice matematicii: de muncă intelectuală, de cercetare stiințifică. Pentru acestea, vom lua în calcul: volumul, gradul de automatizare, complexitatea, rapiditatea, precizia;

trăsăturile de personalitate: motivațiile, atitudinile, convingerile, perseverența, tenacitatea, hotărârea, dorința de a învăța, nivelul de aspirație care influențează și ele randamentul școlar.

Standardele de performanță (minimă, medie, superioară) sunt criterii de evaluare a realizării de către elevi a obiectivelor cadru și a celor de referință din programele școlare.

5.3.3 Metode de verificare și evaluare

Experiența pedagogică a dus la conturarea unor metode și tehnici de verificare. Ele se pot clasifica în:

metode tradiționale: probe orale, scrise, practice;

metode complementare: observarea sistematică a elevilor, investigația, proiectul, portofoliul, tema pentru acasă, tema de lucru în clasă, autoevaluarea.

Verificarea orală este des folosită de profesori deoarece favorizează dialogul: elevul are posibilitatea să-si justifice răspunsul, iar profesorul, prin feed-back, poate corecta sau completa răspunsul elevului, poate testa conținutul din lecția anterioară ca și nivelul de pregătire

al clasei.

De obicei, în practică, se folosesc forme combinate de verificare, îmbinând examinarea frontală cu procedee de ascultare individuală. De exemplu, se verifică partea teoretică cu ajutorul întregii clase și se rezolvă la tablă individual anumite exerciții sau probleme aplicative.

Chestionarea orală are și unele limite, cum ar fi: întrebările nu pot avea acelasi grad de dificultate, unii elevi sunt mai emotivi, timpul nu permite o verificare completă a conținutului predat, comportamentul profesorului (nerăbdare, indulgență, exigență exagerată) poate conduce la o notare subiectivă. Pentru a înlătura unele dintre aceste limite se impun anumite cerințe.

Astfel, întrebările trebuie:

să fie centrate pe obiective operaționale, vizând conținutul esențial, formarea priceperilor, a deprinderilor, abilităților, capacităților intelectuale;

să fie adresate mai întâi întregii clase; apoi să fie numit un elev care să răspundă; acesta nu este întrerupt decât dacă nu se referă la subiect sau face greșeli grave;

să fie corect formulate, la obiect și să aibă o înlănțuire logică;

să solicite gândirea independentă, inteligența și creativitatea elevului;

să fie puse într-o atmosferă destinsă, de acceptare reciprocă, fără critici, ironii;

să fie notate cât se poate de obiectiv.

Verificarea scrisă este realizată prin verificări curente (lucrări de control) sau prin lucrări scrise semestriale (teze). Lucrările de control durează maxim o oră și pot fi date fără ca elevii să fie avertizați. Prin acestea se urmăresc: verificarea cunostințelor din lecția de zi, conștiinciozitatea cu care se pregătesc elevii, greșelile comune ce apar, noțiunile înțelese mai greu sau mai usor. Tezele acoperă o anumită parte a materiei predate; ele sunt anunțate și sunt pregătite prin lecții recapitulative. Prin aceste lucrări scrise, profesorul urmărește întinderea materiei pe care o stăpânesc elevii, capacitatea lor de a selecta și sistematiza ceea ce este esențial într-un volum mare de cunostințe învățate.

Probele scrise sunt preferate de mulți profesori și elevi: asigură un grad mai mare de obiectivitate în notare, oferă elevilor mai emotivi sau a celor mai lenți în gândire posibilitatea de a prezenta toate cunostințele, asigură evaluarea unui număr mai mare de elevi într-un timp scurt, se verifică acelasi conținut, favorizează realizarea comparării rezultatelor.

Această metodă are și ea limitele ei: profesorul nu poate corecta pe loc erorile sau greșelile de exprimare ale elevului, unele confuzii sau tratarea incompletă a conținutului esențial.

Referatul permite o apreciere nuanțată a învățării și identificarea unor elemente de performanță individuală ale elevului. Se poate utiliza atât pentru evaluarea continuă, pe parcursul unui semestru, cât și pentru evaluarea sumativă în cadrul unui modul, încadrat într-un portofoliu

sau independent.

Putem diferenția două tipuri de referate: referatul de investigație stiințifică independentă, bazat pe activități desfăsurate în clasă, cu analiza rezultatelor obținute și referatul bibliografic, bazat pe informarea documentară, biografică.

Acest instrument este indicat la clasele mai mari pentru motivarea elevilor cu potențialuri înalte.

Există riscul ca elementele de conținut să fie „copiate”, translatate fără nicio intervenție sau resemnificare personală.

Investigația explorează situațiile noi sau foarte puțin asemănătoare cu experiența anterioară, derulându-se pe durata unei lecții (sau mai multe). Elevul sau grupul de elevi primesc o temă cu sarcini precise care se poate formula și sub forma unei teme pentru acasă, dar care se definitivează în clasă, prin comentarea concluziilor.

Proiectul este o metodă complexă de evaluare, individuală sau de grup, folosită de profesor în evaluarea sumativă. Subiectul este stabilit de profesor la în ceput, elevii putând propune ei înșiși teme de studiu după ce s-au obișnuit cu acest tip de activitate. El poate avea o conotație teoretică, practică, creativă. Proiectul se poate derula pe o perioadă mai mare de timp, pe secvențe structurate dinainte sau circumstanțial.

Portofoliul este o metodă de evaluare longitudinală, proiectată pe o perioadă mai lungă de timp, care se poate încadra într-o evaluare sumativă. Portofoliul este complex, format din elemente diferite, ca formă de transmitere a mesajului și a informației: fișe de informare și documentare independentă, referate, eseuri, pliante, prospecte, desene, colaje. Alegerea elementelor de portofoliu obligatorii sunt subordonate obiectivelor de referință prevăzute în programa modulului si obiectivelor de referință suplimentare, stabilite de profesor. Profesorul va prezenta elevilor un model de portofoliu compatibil cu vârsta acestora, conținând elemente asemănătoare cu cele propuse ca temă, criterii de apreciere clareșicaracteristica valorică a diferitelor elemente. Tematica și sursele de informare recomandate trebuie să stimuleze interesul pentru domeniul abordat și să-i creeze elevului posibilitatea ca în final să poată emite o judecată de valoare. Portofoliul nu-și atinge scopul dacă tematica are un grad ridicat de generalitate, iar elevul este înlocuit de familie pentru realizarea activităților.

Observația sistematică a comportamentului elevilor se realizează în cadrul activității de predare la clasă și prin relațiile cu elevii: contribuțiilespontane ale acestora, modul de realizare a temei, calitatea prestațiilor în munca independentă și la fixarea cunostințelor, manifestări de neatenție, dificultăți și greșeli semnificative. Toate acestea nu fac explicit obiectul notării, dar sunt folosite în a realiza aprecieri corespunzătoare fiecărui elev.

Observația se bazează pe următoarele instrumente de evaluare:

1. Fișa de evaluare care cuprinde:

date generale despre elev (nume, prenume, vârsta, climatul educativ din mediul care provine);

particularități ale proceselor intelectuale (gândire, limbaj, imaginație, memorie, atenție, spirit de observație);

aptitudini și interese;

trăsături de afectivitate;

trăsături de temperament;

atitudini față de sine, colegi, disciplina și obligațiile scolare;

evoluția aptitudinilor, atitudinilor, intereselor, nivelului de integrare.

Fișele se elaborează în general pentru elevii care au nevoie de îndrumare și observarea se limitează la câteva comportamente relevante.

2. Scara de clasificare care indică profesorului frecvența cu care apare un anumit comportament. Se răspunde la întrebări de tipul „în ce măsură elevul participă la discuții?” prin „niciodată, rar, ocazional, frecvent sau întotdeauna”.

Autoevaluarea este o metodă de evaluare cu mari valențe formative. Ea permite aprecierea propriilor performanțe în raport cu obiectivele lecțiilor și cu criteriile de apreciere.

Ca metode și tehnici de autoevaluare se pot folosi:

autocorectarea sau corectarea reciprocă, elevul fiind solicitat să-și depisteze unele erori, lipsuri, în momentul realizării unei sarcini de învățare proprii sau când corectează lucrările colegilor. Depistarea lacunelor proprii sau pe cele ale colegilor, chiar dacă nu sunt sancționate prin note, constituie un prim pas pe calea constientizării competențelor în mod independent;

autonotarea controlată presupune că elevul este solicitat să-și acorde o notă care apoi este negociată cu profesorul sau cu colegii pe bază de argumente;

notarea reciprocă constă în faptul că elevilor li se cere să dea note colegilor la lucrări scrise sau la ascultări orale, fără a se concretiza cu notare efectivă.

5.3.4 Notarea școlară

Aprecierea rezultatelor școlare este materializată prin notarea școlară. Aceasta este un indice care are mai multe funcții: de informare pentru elevi, profesori, părinți; de reglare a procesului de învățare și are valoare educativă.

Aprecierea verbală, prin exprimări valorice (acord, dezacord, laudă, mustrare, bine, corect, inexact, bravo) nu este foarte exactă, dar ea induce anumite stări de satisfacție sau insatisfacție elevilor.

Notarea numerică, cu note de la 1 la 10, simbolizează un anumit grad de reușită sau nereușită. În procent de 80%, ea este un inventar al cunostințelor, reproduse uneori mecanic de elev, după matricea profesorului. Nu se pune astfel accentul pe capacitatea elevului de a opera cu cunostințele, pe aptitudinile și creativitatea lui.

Tendințele de subiectivism ale profesorilor se pot manifesta sub mai multe forme dintre care menționăm:

efectul „halo” constă în supraaprecierea unor elevi datorită impresiei generale foarte bune; persoanele cunoscute pot fi tratate mai indulgent comparativ cu cele necunoscute (efectul „blând”); o realitate poate fi prezentată la modul superlativ (eroare de generozitate);

efectul „Pygmalion” constă în anticiparea notei înainte ca elevul să răspundă;

efectul de contrast apare când un răspuns poate să primească o notă mai bună decât merită dacă urmează după evaluarea unui rezultat mai slab, sau să primească o notă mediocră dacă urmează imediat după un răspuns excelent;

efectul de ordine prin care profesorul menține același nivel de apreciere pentru mai multe răspunsuri care presupun totusi anumite diferențe calitative;

ecuația personală a examinatorului este legată de criteriile proprii de apreciere ale profesorilor, de faptul că unii profesori sunt mai exigenți, alții mai generoși, unii folosesc nota ca un stimulent, alții ca o constrângere pentru efort suplimentar, unii apreciază mai mult originalitatea soluțiilor, alții conformitatea cu informațiile predate.

Pentru a elimina pe cât posibil subiectivismul în notare se propun ca tehnici:

Baremul de notare, o grilă de evaluare și notare unitară, care descompune tema în subteme și prevede un anumit punctaj pentru fiecare dintre acestea.

Testul docimologic, o probă standardizată folosită pentru verificări cu caracter periodic, suficient de spațiate în timp, la încheierea unui capitol, la examene. Distingem:

teste inițiale, prevăzute la început de capitol, semestru, an școlar pentru a defini momentul de start în procesul de instruire;

teste de progres, pe parcursul instruirii, în raport cu obiectivele înscrise în programă;

teste finale, de sinteză, la încheierea semestrului sau a anului școlar.

În elaborarea testelor, profesorul parcurge următoarele etape: stabilește obiectivele și conținutul, pe care îl structurează logic, formulează întrebări (itemi) pe baza obiectivelor și a conținutului lecțiilor, precizează exercițiile și problemele de rezolvat și fixează punctajul pentru acestea.

În funcție de tipul răspunsurilor, testele pot fi cu:

răspunsuri deschise, care stimulează creativitatea, judecata, spiritul critic, răspunsurile fiind formulate în întregime de elevi. Se pot folosi itemi sub formă de redactare (elevii desfășoară o temă) sau itemi cu răspunsuri scurte (se recurge la propoziții sau fraze scurte);

răspunsuri închise, unde putem întîlni itemi tip alegere multiplă (se oferă mai multe soluții din care doar una este corectă), itemi tip adevărat-fals, itemi pereche (elevii trebuie să găsească noțiuni sau idei corelate cu cele prezente în întrebări).

Indicele de eficiență al unui test se stabileste pornind de la măsura în care itemii permit stabilirea unei ordonări valorice a elevilor.

O clasificare a itemilor realizată de Serviciul Național de Evaluare și Examinare, conduce la următoarea tipizare:

1. Itemi obiectivi, care măsoară rezultatele învățării situate la nivelurile cognitive inferioare (cunostințe, priceperi și capacități de bază). Astfel de itemi pot fi: de tip alegere duală, de tip pereche sau împerechere, de tip alegere multiplă. Caracteristica principală a itemilor obiectivi este gradul ridicat de obiectivitate în măsurarea și aprecierea rezultatelor învățării. Folosind acest tip de itemi, se testează un număr mare de elemente de conținut, într-un timp scurt, se asigură obținerea de informații sigure privind nivelul de însușire a noțiunilor de bază.

2. Itemi semiobiectivi, care cuprind întrebări și cerințe care presupun elaborarea răspunsurilor de către elevi. Ei pot fi folosiți pentru toate etapele de evaluare. Din această categorie fac parte itemii de tip răspuns scurt, cei de completare, de întrebări structurate. În acest caz, elevul nu trebuie să aleagă un răspuns, ci trebuie să-l construiască. Se măsoară astfel o gamă mai largă de capacități intelectuale, cu nivel de dificultate variabil. Pentru astfel de itemi este necesară o schemă de notare detaliată (barem), punctajul acordându-se parțial sau integral.

3. Itemi subiectivi sau cu răspuns deschis, care testează capacitatea de tratare coerentă, în mod personal, a unui subiect, cât și originalitatea, creativitatea. Acești itemi dezvoltă capacitatea elevului de a formula, a descrie, a prezenta sau explica diferite concepte, argumente,

metode le lucru. Din această categorie fac parte itemii de tip rezolvare de probleme, investigația, proiectul, portofoliul. Trăsătura dominantă a acestor itemi este aceea de a putea testa niveluri cognitive ridicate (aplicare, analiză, sinteză, evaluare).și în acest caz este necesar să se realizeze un barem amănunțit după care să se facă notarea.

BIBLIOGRAFIE

Anexa 1

PROIECT DE LECȚIE

Unitatea de învățământ:

Data:

Clasa:

Profesor:

Disciplina: Matematică

Unitatea de învățare: Determinanți

Titlul lecției: Determinantul unei matrice

Tipul lecției: Transmitere-însușire de noi cunoștințe

Durata: 50 minute

Competențe specifice:

1. Identificarea unor situații practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea sa matricială

2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matricială a unui proces

3. Aplicarea, în situații practice, a algoritmilor de calcul cu matrice

4. Aplicarea determinanților în probleme de geometrie

Obiective operaționale:

1. să identifice metoda de calcul al determinantului unei matrice pătratice de ordinul 2 sau 3;

2. să calculeze determinanți de ordinul 2 sau 3 aplicând operațiile cu numere reale și metodele de calcul;

3. să aplice regula triunghiului/Sarrus în calculul determinantului de ordinul 3;

4. să rezolve ecuații date cu ajutorul determinanților;

5. să deducă proprietățile determinanților din exemple concrete;

Strategii didactice mixte (deductiv-inductive, algorimtice):

a) Metode de învățare: expunerea, explicația, demonstrația, conversația euristică, exercițiul, problematizarea;

b) Mijloace de învățare: culegere de probleme, manuale alternative.

c) Metode de evaluare: evaluare continuă pe parcursul lecției, aprecieri individuale și colective, notarea unor elevi.

Bibliografie:

[1] Marius Burtea, Georgeta Burtea, Matematică. Manual pentru clasa a XI-a M2: Editura Books Unlimited Publishing, București 2007

Desfășurarea lecției

Anexa 2

PROIECT DE LECȚIE

Data

Clasa: a VIII-a

Obiectul: Matematică/Algebră

Subiectul: Sisteme de două ecuații de gradul I cu două necunoscute – Aplicații

Tipul lecției: mixtă

Mijloace de învățământ: fișa de lucru, cretă colorată, tabla, planșe.

Competențe specifice:

Utilizarea valorilor unor funcții în rezolvarea unor sisteme de ecuații;

Exprimarea prin reprezentări grafice a soluțiilor unor sisteme de ecuații;

Determinarea soluțiilor unor sisteme de ecuații.

Obiectivele lecției:

cognitive:

să explice metoda reducerii pentru rezolvarea unor sisteme de două ecuații de gradul I cu două necunoscute;

să explice metoda substituției pentru rezolvarea unor sisteme de două ecuații de gradul I cu două necunoscute;

să explice metoda grafică pentru rezolvarea unor sisteme de două ecuații de gradul I cu două necunoscute;

să rezolve în exerciții date sisteme prin metodele specificate în enunț;

să identifice dacă un sistem de două ecuații de gradul I cu două necunoscute are soluție unică, are o infinitate de soluții sau nicio soluție, fără a rezolva sistemul(să cunoască interpretarea geometrică).

afective:

dezvoltarea spiritului de observație și a concentrării în rezolvare;

concentrarea afectivă și efectivă la lecție;

Desfășurarea lecției