Determinanti Si Matrice
CUPRINS
PARTEA ÎNTAI
ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL ȘI SISTEME DE ECUAȚII LINIARE
Capitolul 1. MATRICE
Permutări
Tabele de tip matriceal.Matrice.Mulțimi de matrice.
Operații cu matrice
Capitolul 2.DETERMINANȚI ȘI SISTEME DE ECUAȚII LINIARE
2.1 Determinantul de ordin doi, de ordin trei. Determinantul de ordin n
2.2 Proprietăți ale determinanților
2.3 Aplicații ale determinanților în geometrie
2.4 Rangul unei matrice. Matrice inversabilă
2.5 Sisteme liniare cu m ecuații și n necunoscute,
2.6 Vectori și valori proprii ai unui operator liniar
Capitolul 3. APLICAȚII
PARTEA A DOUA
PROIECT DE CURS OPȚIONAL
”VECTORI SI VALORI PROPRII AI UNUI OPERATOR LINIAR.
TEOREMA CAYLEY-HAMILTON”
Capitolul 4. ELABORAREA UNEI PROGRAME DE OPȚIONAL
ARGUMENT
Alegerea acestei teme oferă posibilitatea de a realiza, ca parte de cercetare, un proiect de curs opțional de extindere de tip C.D.S. “Vectori și valori proprii ai unui operator liniar. Teorema Cayley-Hamilton.Ridicarea la putere a matricelor pătratice” ,care extinde obiectivele cadru /competențele generale din curriculum-nucleu prin noi competențe specifice și noi conținuturi definite la nivelul școlii.
Tema aleasă contribuie la dezvoltarea cunoașterii practice,este accesibilă studiului cu resursele disponibile unui elev de clasa a-XII-a,contribuie la dezvoltarea cunoștințelor și abilităților de cercetare ale profesorului, este provocatoare și oferă oportunități de a învăța metode și practice noi.Această lucrare facilitează aplicarea metodelor active participative,una dintre ele fiind problematizarea ,o metodă care antrenează elevul în învatare prin punere si rezolvare de probleme.
Se stie ca, la nivelul liceului ,pasul cel mai important si totodata cel mai dificil il constituie predarea notiunilor abstracte precum si intelegerea de catre elevi a utilitatii studiului acestor notiuni. O notiune poate fi considerata asimilata daca ea devine si instrument de dobandire a unor noi cunostinte si daca elevii pot opera cu aceasta notiune in situatii noi. Este foarte important ca in mintea elevilor sa existe o ordonare a notiunilor,o corelare fireasca a lor,o motivatie,pentru ca numai peste cunostinte bine assimilate se pot asterne in mod serios cunostinte noi.Aceste lucruri se realizeaza prin sustinerea etapelor de formare a notiunilor cu exemple judicios alese,care sa faciliteze asimilarea lor.
La acest curs optional, prin aplicarea teoremei Cayley-Hamilton,calculul inversei unei matrice nesingulare si ridicarea la putere a matricelor patratice, se formeaza si se dezvolta competente de transfer si competente stiintifice care contribuie la atingerea obiectivelor stabilite si dezvoltarea la elevi a structurilor operatorii, afective,motivationale, volitive si actionale.
Coreland strategiile didactice de predare si invatare cu cele de evaluare s-a dovadit esentiala buna desfasurare a activitatii instructive-educativa din scoala.
Evaluarea formativa realizeaza o diagnoza asupra rezultatelor procesului de invatare, inregistreaza progresele, depisteaza lacunele in insusirea continutului si dificultatilor de invatare.Realizarea evaluarii formative presupune din partea profesorului un rol din ce in ce mai active in invatare.Evaluarea formatoare vine catre elev si initiative ii apartine, elevul reflectand asupra rezultatelor activitatii sale.Cu ajutorul acestui optional se poate aplica evaluarea formatoare, care il ajuta pe elev,cerandu-i sa anticipeze.
Evaluarea produsului-evaluarea procesului, cea centrata pe invatare(centrata pe elev), trebuie privita ca un proces care promoveaza invatarea asupra “a ceea ce face” si “cum face”elevul.
Scopul acestui optional este imbunatatirea rezultatelor elevilor ,prin valorificarea instruirii diferențiate in cadrul activitatilor desfășurate cu acestia.
Invatamantul modern favorizeaza discutia si dezbaterea in grup, gasind in ele modalitati dintre cele mai active, de participare directa a elevilor.Necesitatea discutiei decurge din natura problemelor sau temelor supuse atentiei colective.
Acest proiect de optional isi propune sa puna in practica o diversitate de strategii didactice interactive si metode de invatamant cat mai variat,de exemplu, metoda studiului individual (independent).Aceasta este o modalitate de invatare dintre cele mai apreciate,mai utile, mereu in actualitate si personalizata,caci fiecare elev are coeficientul sau de asimilare si stilul propriu de munca intelectuala independenta.Aceasta metoda devine indispensabila in activitatile de perfectionare,de specializare.
Evaluarea si autoevaluarea se poate face cu fise de exercitii cu grad progresiv de dificultate,destinate aplicarii si consolidarii notiunilor,a deprinderilor.Ele pot fi folosite in momente diferite si in perspective diferite.Pe baza lor se pot urmari progresele inregistrate de fiecare elev in parte.
O alta metoda folosita este metoda de activitate in echipa(grupuri de elevi care efectueaza aceeasi activitate sau sarcini diferite), metoda care realizeaza un echilibru progresiv intreindividualizarea culturii intelectuale si socializarea acesteia.
Matematica, prin esenta ei logic-deductiva, contribuie in mod efficient la formarea spiritului aplicativ,la educarea gandirii practice a elevilor,la dezvoltarea capacitatii de gandire creatoare, nedogmatica,lipsita de prejudecati.Ea este subordonata scopului formarii elevului,pregatirii acestuia pentru viata.
A rezolva o problema inseamna a gasi o iesire dintr-o dificultate,a gasi o cale de a ocoli un obstacol,de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil.
Sa poti gasi solutia unei probleme este o performanta specifica inteligentei, iar inteligenta este apanajul distinctiv al speciei umane stiindu-se ca ,dintre toate indeletnicirile omenesti,cea de rezolvare a problemelor este cea mai caracteristica.
“A sti sa rezolvi probleme” este o indemanare practica,o deprindere ,cum este pictatul,schiul.cantatul la pian sau inotul,care se poate invata numai prin imitare si exercitiu.
Exista insa ,in fiinta omeneasca o nazuinta adanc inradacinata care o face sa doreasca mai mult:un procedeu general aplicabil si neangradit de nimic cu care sa se poata rezolva toate problemele.
Cand elevul rezolva o problema de matematica ,el traduce o situatie reala in termeni matematici, are ocazia sa constate ca notiunile matematice pot fi corelate cu fapte reale, in viitoarea sa profesie economist,medic,cercetator, sofer,etc. nu va mai revolva probleme de matematica,dar va folosi cu precadere modelele formate si fixate din scoala pentru dezvoltarea capacitatii de sinteza,analiza,decizie,etc.
In cazul problemelor de matematica ,rezolvarea acestora inseamna a prezenta solutia sau demonstratia, adica, a prezenta o succesiune de operatii logice bine coordonate, o succesiune de etape ce pornesc de la ipoteza si se termina la concluzia dorita:fiecare etapa deduce cateva elemente noi din parti convenabil alese ale ipotezei,din elemente cunoscute sau din elemente deduse anterior.
Pentru rezolvarea unei probleme de matematica este nevoie de o mare flexibilitate a gandirii, a gandirii creatoare,de ceea ce se numeste “minte organizara”.
O problema rezolvata ,fie si complet satisfacator,nu este un punct terminus;in timp ce serveste scopului propus in mod constient,ea devine si o sursa pentru noi implicatii,sugestii,probleme adiacente,etc.
In abordarea problemelor de matematica este absolut obligatorie stapanirea metodelor generale si particulare.Rezultate foarte bune in intelegerea problemelor de matematica, dar si eleganta in rezolvare se obtin in cazurile particulare aplicate problemelor generale si teoremelor cunoscute.
De multe ori rezolvarea unei probleme are ca punct de pornire studiul si cercetarea unor situatii si cazuri particulare,iar acest fapt ne deschide calea catre rezolvarea problemei date.Exista si situatii inverse,adica fiind in fata chiar a unei probleme particulare,concepem si rezolvam problema generalizata si apoi prin particularizarea acesteia obtinem rezultatul cerut.
Cu ajutorul acestui curs optional se pot pune in evidenta tehnicile si metodele de rezolvare ,atat in cazul general cat si in cazul particular in rezolvarea in M2(C) a ecuatiilor matriceale de forma X2=A ,pornind de la notiunile cunoscute,urma unei matrici A si relatia Cayley-Hamilton.
CAPITOLUL 1
MATRICE
1.1 Permutările unei mulțimi finite
Def. 1Sa notam cu A mulțimea primelor numere naturale, adică A={1,2,…,n}.
O funcție bijectiva σ:A→A se numește permutare (substituție) de gradul n.
Observații:
1.Vom nota mulțimea tuturor permutărilor de gradul n cu sau cu σn, iar elementele din le vom nota cu litere mici grecesti:,ψ, σ,…τ.Se obisnuieste ca o permutare σ de gradul n sa se noteze astfel:
σ=
2. Numărul tuturor permutărilor de grad n este n!.
In mulțimea distingem un element remarcabil si anume functia identica 1A:A→A, care poarta numele de permutare identica, notata cu e. Așadar,
e
Def.2 Fie A={1,2,…,n}.Definim submulțimea M={(i,j)/1≤ij≤n}.Daca σ∊Sn este o permutare de gradul n,o pereche ordonata (i,j)∊M se numește inversiune a permutării σ daca σ(i)σ(j).
Vom nota cu m(σ) numărul tuturor inversiunilor permutării σ. Se observa ca m(σ) este cel mult egal cu numărul elementelor mulțimii M, care este egal cu .
Deci,0≤m(σ)≤=.
Numărul ε(σ)=(-1)m(σ) se numește signatura permutării σ.
Permutarea σ se numește para, respectiv impara daca ε(σ)=+1 respectiv daca ε(σ)=-1.
1.2 Tabele de tip matriceal.Matrice.Multimi de matrice.
Noțiunea de matrice sta la baza algebrei liniare-a ajuns la conceptul matematic de matrice printr-un proces de abstractizare, pornind de la tabele de tip matriceal. Prin tabel de tip matriceal înțelegem un tabel dreptunghiular de numere reale sau complexe.Un astfel de tabel apare în lucrarea unui matematician chinez cu doua secole înaintea erei noastre (în legătură cu rezolvarea unei probleme ce conducea la un sistem liniar).Termenul de matrice a fost introdus abia în 1850,de către matematicianul James Joseph Sylvester(1814-1897). Aplicațiile matematice ale matricelor sunt legate de sistemele liniare și de transformările geometrice. În același timp, matricele au aplicații în domenii variate cum sunt: teoria comunicării, analiza vibrațiilor corpurilor în mișcare, grafica pe calculator etc.
Considerăm un sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute:
unde și sunt numere (reale sau complexe). Numerelepoartă denumirea de coeficienti, iar numerele , se numesc termeni liberi.
A rezolva sistemul (1) înseamnă a determina toate sistemele ordonate de numere (astfel încât înlocuind în sistem necunoscutele , respectiv cu numerele , fiecare dintre ecuatiile sistemului este verificata.Se știe că un astfel de sistem pentru cazul m=n=2 sau m=n=3 se rezolvă folosind metoda reducerii sau metoda substituției.
Cum practica impune rezolvarea unor sisteme (1) care au un număr mare de ecuații și necunoscute se impune un studiu mai atent al sistemelor de ecuații liniare.În acest stadiu un rol important îl au următoarele două tablouri:
A= ; =.
Primul tablou, respectiv al doilea, se numește matricea, respectiv matricea extinsă a sistemului (1).
Un alt motiv care a impus introducerea noțiunii de matrice si a calculului cu matrice a fost „ algebrizarea noțiunii de transformare geometrică”. Mai precis, unei transformări geometricei se asociază o matrice,reducind astfel studiul transformărilor algebrice la studiul unor matrice de un anumit tip.
Fie M=, N= mulțimea respectiv n, numere naturale nenule. Vom numi matrice de tipul (m,n) o funcție AM x NC. Daca notam A(i,j)=C,iM, jN,vom nota pe A sub forma
A= (1)
Adică intr-un tablou cu m linii si n coloane ce cuprinde valorile funcției A. Datorita notației (1),in loc de matrice de tipul (m,n) se mai spune matrice cu m linii si n coloane.Numerele se numesc elementelematricei A. matricea A se mai folosește notația prescurtata: A= sau A=(.O matrice de tipul (m,n) are mn elemente.
Cazuri particulare:
Daca n=1, o matrice de tipul (m,1) se numește matrice coloana sau vector coloana si este de forma: A=
Daca m=1,o matrice de tipul (1,n) se numește matrice linie sau vector linie si este de forma: A=
3 O matrice de tipse numește nulă (zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O
.
4 Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numește pătratică.
.
Sistemul de elemente reprezintă diagonala principală a matricei A, iar suma acestor elemente se numește urma matricei A notată Tr(A). Sistemul de elemente reprezintă diagonala secundară a matricei A.
Mulțimea acestor matrice se notează. Printre aceste matrice una este foarte importantă aceasta fiind
și se numește matricea unitate (pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar în rest sunt egale cu 0).
Vom nota cu (C) mulțimea tuturor matricelor de tipul (m,n) având elementele numere complexe. In cazul ca m=n, vom nota in loc de (C),mai simplu (C). ( (C) este mulțimea matricelor pătratice de ordinul n.)
Elementele mulțimii (C) le vom nota cu literele mari ale alfabetului latin:A,B,C,… ,sau
In mulțimea (C) distingem câteva submulțimi importante si anume:care reprezinta multimea matricelor de tip(m,n) cu elemente numere reale;(Q),care reprezintă mulțimea matricelor de tip(m,n) cu elemente numere raționale;(Z), care reprezinta multimea matricelor de tip(m,n) cu elemente numere întregi.
Avem incluziunile:(Z)(R)⊂(C).
1.3. Operații cu matrice
1.3.1 Egalitatea matricelor
Fie A si B doua matrice de tipul (m,n)adică A, B (C).Cum A si B sunt funcții A:MxN→C si B:MxN→C matricele A si B sunt egale daca si numai daca sunt egale ca funcții. Deci A=B daca si numai daca oricare ar fi i∊M si j∊N, A(i,j)=B(i,j).
Folosind notația (1) si presupunând ca
A= si B=
Atunci A=B daca si numai daca = ,oricare ar fi i=1,2,3,…,m si j=1,2,3,…,n.
1.3.2 Adunarea matricelor
Fie A si B doua matrice de tipul (m,n), adică A,B∊ (C). Presupunem ca A=( si B=.
Definim matricea C= ale cărei elemente sunt date de egalitățile =+ oricare ar fi i=1,2,…, m si j=1,2,…, n. Matricea C se numeste suma dintre matricele A si B si se noteaza C=A+B.
Operația prin care oricăror doua elemente A, B din (C) li se asociază suma lor se numește adunare.
Exemple. 1) Daca Asi
B= , aunci suma lor este
A+B=.
2) Daca A= si B= ,atunci suma lor este A+B=.
Observație. Are sens sa vorbim de suma a doua matrice numai daca ele sunt de același tip.
Proprietățile adunării matricelor
1o Adunarea este comutativa, adică oricare ar fi A,B∊ avem A+B=B+A.
Într-adevăr ,daca A=, si B= atunci A+B= si B+A= . Cum adunarea numerelor complexe este comutativa, avem
+=+,oricare ar fi i=1,2,…,m si j=1,2,…,n. Deci A+B=B+A
20Adunarea este asociativa, adică oricare ar fi A,B,C din(C) avem (A+B)+C=A+(B+C).
Într-adevăr, daca A=, B= C=, atunci A+B= si deci (A+B)+C= .Analog, obținem ca A+(B+C)= Cum operația de adunare a numerelor complexe este asociativa, avem( +=+,oricare ar fi i=1,2,…,m si j=1,2,…,n. Deci( A+B)+C=A+(B+C)
30Element neutru.
Matricea de tipul (m,n) ale cărei elemente sunt toate egale cu zero se notează si se numeste matricea zero. Matricea este element neutru pentru adunarea matricelor ,in sensul ca oricare ar fi A∊ avem A+
40 Orice matrice are un opus , adică oricare ar fi A∊ exista o matrice notata cu –A,astfel încât A+(-A)=(-A)+A=
Daca A∊ A= ,atunci -A= deoarece A+(-A)= = =. Conform proprietății 10avem (-A)+A=
Exemplu. Fie A= atunci –A=
Observatie.Daca A,B∊se notează simplu A-B si se numește diferență dintre A si B. Operația prin care oricăror doua matrice A si B li se asociază diferența lor se numește scădere.
1.3.3 Înmulțirea matricelor.
Definiție. Fie A=, o matrice de tipul(m,n) si B= o matrice de tipul (n,p).Produsul dintre matricele A și B (în aceasta ordine), notat AB este matricea C=de tipul ( m, p) ale cărei elemente sunt date de egalitățile:
++…+=
Observații
1) Produsul AB a două matrice nu se poate efectua întotdeauna decât dacă A, B, adică numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B, când se obține o matrice C = AB.
2) Dacă matricele sunt pătratice A, B atunci are sens întotdeauna atât AB cât și BA, iar, în general, ABBA adică înmulțirea matricilor nu este comutativă.
Proprietăți ale înmulțirii matricelor
(Asociativitatea înmulțirii). Înmulțirea matricelor este asociativă, adică
,A,B,C.
(Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea). Înmulțirea matricelor este distributivă în raport cu adunarea matricelor, adică
A, B, C matrice pentru care au sens operațiile de adunare și înmulțire.
Dacă este matricea unitate, atunci
A.
Se spune că este element neutru în raport cu operația de înmulțire a matricelor.
1.3.4 Înmulțirea cu scalari a matricelor
Definiție. Fie C și A =. Se numește produsul dintre scalarul C și matricea A, matricea notată definită prin =.
Obs.: A înmulți o matrice cu un scalar revine la a înmulți toate elementele matricei cu acest scalar.
Deci =.
Exemplu Fie . Atunci 6A = .
Proprietăți ale înmulțirii matricelor cu scalari
, C, A;
,C, A, B;
,C, A;
,1C, A;
1.3 5. Puterile unei matrice
Definiție. Fie A. Atunci, , , …, , n. (Convenim ).
TEOREMA Cayley – Hamilton. Orice matrice A își verifică polinomul caracteristic .
Pentru n = 2.
.
polinom caracteristic
Generalizat:
CAPITOLUL 2
DETERMINANȚI
2.1. Definiția determinantului de ordin doi, de ordin trei. Determinantul de ordinul n
Fie A= o matrice pătratică. Vom asocia acestei matrice un număr notat det(A) numit determinantul matricei A.
Definiția1 Dacă A= este o matrice pătratică de ordinul întâi, atunci
det(A) =.
Definiția2 Determinantul matricei este numărul
și se numește determinant de ordin 2. Termenii , se numesc termenii dezvoltării determinantului de ordin 2.
Definiția 3 Determinantul matricei
este numărul
și se numește determinant de ordin 3. Termenii care apar în formulă se numesc termenii dezvoltării determinantului.
Pentru calculul determinantului de ordin trei se utilizează trei tehnici simple:
Regula lui Sarrus
Fie determinantul de ordin 3, Pentru a calcula un astfel de determinant se utilizează tabelul de mai jos.
(am scris sub determinant primele două linii)
Se face produsul elementelor de pe diagonale. Produsul elementelor de pe o diagonală descendentă este cu semnul plus. Avem trei astfel de produse: .
Produsul elementelor de pe o diagonală ascendentă este cu semnul minus. Avem trei astfel de produse: .
Suma celor șase produse dă valoarea determinantului d de ordin 3. Acest procedeu de calcul se numește „regula lui Sarrus”.
Regula triunghiului
Am văzut că determinantul de ordin trei are în dezvoltarea sa șase termeni, trei cu semnul plus și alți trei cu semnul minus.
Primul termen cu plus se găsește înmulțind elementele de pe diagonala principală, iar ceilalți doi, înmulțind elementele situate în vârfurile celor două triunghiuri care au o latură paralelă cu cu diagonala principală. După aceeași regulă, referitoare la diagonala secundară, se obțin termenii cu minus.
Obs.: Atât „regula lui Sarrus” cât și „regula triunghiului” se aplică numai determinanților de ordin 3.
Exemplu. Să se calculeze prin cele două metode de mai sus determinantul
R. Regula lui Sarrus.
Regula triunghiului
Recurent (sau dezvoltare după o linie sau o coloană)
Determinantul de ordin 3 are 6 ( = 3!) termeni dintre care trei sunt cu semnul plus, iar ceilalți cu semnul minus.
Are loc următoarea proprietate:
, (1)
= . (2)
Observații
1) Egalitatea (1) se mai numește dezvoltarea determinantului după elementele liniei întâi, iar egalitatea (2) se numește dezvoltarea determinantului după elementele coloanei întâi.
2) Formulele (1) și (2) sunt relații de recurență, deoarece determinantul de ordin 3 se exprimă cu ajutorul unor deteminanți de ordin inferior (2).
Definiția determinantului de ordin n
Voi defini în continuare determinantul de ordin n prin recurență cu ajutorul determinanților de ordin n – 1. Pentru aceasta sunt necesare unele precizări.
Fie A=.
Definiție1. Se numește minor asociat elementului determinantul matricii pătratice de ordin n – 1 obținut prin suprimarea liniei i și coloanei j din matricea A. Se notează acest minor prin sau .
Definiție2. Se numește complement algebric al elementului numărul . Exponentul al lui (–1) este suma dintre numărul liniei i și coloanei j pe care se află .
Definiție3. Determinantul matricii A=de ordin n este suma produselor elementelor din prima linie cu complemenții lor algebrici adică
.
Observații
1) Elementelor, liniilor și coloanelor matricii A le vom spune de asemenea elementele, liniile și coloanele determinantului
.
2) Formula din definiție spunem că reprezintă dezvoltarea determinantului de ordin n după elementele primei linii.
3) Definiția determinantului de mai sus este încă puțin eficientă (o voi ilustra mai jos pentru n = 4). De aceea se impune stabilirea unor proprietăți ale determinanților care să fie comode atât din punct de vedere al teoriei și din punct de vedere calculatoriu. Aceste proprietăți le prezint în paragraful următor.
4) Continuând cu explicitarea determinanților de ordin n – 1 din definiție se obține pentru o sumă de produse de elemente din determinant, fiecare produs conținând elemente situate pe linii și coloane diferite.
5) Determinantul este o funcție .
Exemplu Să se calculeze determinantul de ordin 4:
.
R. Aplicăm definiția dată mai sus pentru n = 4 și dezvoltăm determinantul după elementele liniei întâi. Avem:
=
=,
unde determinanții de ordin 3 i-am calculat prin una din metodele prezentate la determinanții de ordin 3.
2.2. Proprietățile determinanților
Determinantul unei matrici coincide cu determinantul matricii transpuse, adică dacă A, atunci .
Demonstrație. Fie și .
Atunci , iar . Prin urmare .
Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricii este nul.
Demonstrație. Avem și .
Dacă într-o matrice schimbăm două linii (sau două coloane) între ele obținem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricii inițiale.
Demonstrație. Prin schimbarea liniilor să arăt că avem egalitatea . Avem evident .
Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice, atunci determinantul său este nul.
Demonstrație. Verific pentru linii (și tot odată pentru coloane). Avem:
.
Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrici sunt înmulțite cu un număr , obținem o matrice al cărei determinant este egal cu înmulțit cu determinantul matricii inițiale.
Demonstrație. Verificăm pentru linii proprietatea.
.
Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrici sunt proporționale, atunci determinantul este nul.
Demonstrație. Verificăm pentru linii.
.
Dacă linia i a unei matrici A este suma a doi vectori, atunci determinantul ei este egal cu suma a doi determinanți corespunzători matricelor care au aceleași linii ca A, cu excepția liniei i unde au câte unul din cei doi vectori.
.
Demonstrație. Am de arătat că:
.
Într-adevăr membrul stâng este egal cu . Membrul drept este și egalitatea se verifică.
Obs.: O proprietate analogă are loc și pentru coloane.
Dacă o linie (o coloană) a unei matrici pătratice este o combinație liniară de celelalte linii (coloane), atunci determinantul matricii este zero.
Dacă la o linie (o coloană) a matricii A adunăm elementele altei linii (coloane) înmulțite cu același număr, atunci această matrice are același determinant ca și matricea A.
Demonstrație. Voi aduna la linia întâi linia a doua înmulțită cu . Vom nota acest fapt prin . Avem:
.
A.
Dacă A= este o matrice triunghiulară (sau diagonală), atunci . (Valoarea determinantului este egală cu produsul elementelor de pe diagonala principală).
Dacă A, B, atunci (Determinantul produsului a două matrici pătratice este egal cu produsul determinanților acelor matrici).
În particular n.
Teoremă. Determinantul unei matrici A este egal cu suma produselor dintre elementele unei linii și complemenții lor algebrici, adică
.
(Formula lui dă dezvoltarea determinantului după elementele liniei i).
Această teoremă permite să calculăm determinantul unei matrici după oricare linie. Se va alege acea linie care are mai multe zerouri sau pe care se pot realiza (cât mai ușor) mai multe zerouri.
Observație: Ținând seama de proprietatea teorema precedentă are loc și pentru coloane sub forma:
.
2.3Aplicatii ale determinantilor in geometrie
2.3.1.Ecuatia dreptei determinate de doua puncte
Doua puncte distincte A(x1,y1) si B(x2,y2) determina in mod unic o dreapta AB.
Daca =,atunci AB este o dreapta verticala si are ecuatia x=
Daca =,atunci AB este o dreapta orizontala si are ecuatia y=
Daca ≠ si ≠, ,atunci AB este o dreapta oblica si are ecuatia
y=(x- = .
Uneori se utilizeaza aceasta reprezentare chiar daca un numitor este nul; atunci numaratorul respectiv se egaleaza cu zero. Pentru ca A≠B numitoriinu se pot anula simultan.
Propozitia 1. Ecuatia dreptei care prin punctele A(xA,yA) si B(xB,yB) se scrie sub forma:
=0
Propozitia 2. Conditia de coliniaritate a punctelor M1(x1,y1), M2(x2,y2) ,M3(x3,y3) se scrie sub forma =0
Aria unui triunghi
Fie punctele distincte A(xA,yA) si B(xB,yB) si dreapta AB de ecuatie =0. Daca M() este un alt punct din plan si daca notam cu Δ=, atunci aria unui triunghi AMB cu varfurile de coordonate A() , B(), M() este data de formula: =.
2.4 Rangul unei matrici.Calculul inversei unei matrici
Definiția 1. Spunem ca matricea A∊Mnm(C) are rangul r si scriem
rangA = r daca A are un minor de ordinul r nenul si toți minorii de ordin mai mare sunt nuli.
Propoziția 1. Matricea A∊Mnm(C) are rangul r daca are un minor de
ordinul r nenul si toți minorii de ordin r + 1 sunt nuli.
Demonstrație. Conform relației (1.4), orice minor de ordinul r + 2 (sau mai mare)
se poate exprima ca o combinatie liniara de minori de ordinul r + 1:
Definiția 2 Fie A.Matricea A se numește inversabilă dacă există matricea B cu proprietatea că , fiind matricea unitate.
Matricea B din definiție se numește inversa matricii A și se notează . Deci
.
Teoremă. Matricea A este inversabilă dacă și numai dacă O astfel de matrice se numește nesingulară.
Construcția lui presupune următorii pași:
Pasul 1. (Construcția transpusei)
Dacă ,
atunci construim transpusa lui A .
Pasul 2. (Construcția adjunctei)
Matricea
obținută din , inlocuin fiecare element cu complementul său algebric se numește adjuncta matricii A.
Pasul 3. (Construcția inversei) Se ține cont de teorema precedentă și se găsește că:
iar de aici
Ultimele egalități arată că
2.4.1. Ecuații matriceale
Vom prezenta în continuare o tehnică de rezolvare a unor ecuații de forma , , , unde A, B, C sunt matrice cunoscute, iar X este matricea de aflat. Astfel de ecuații se numesc ecuații matriceale.
Astfel de ecuații se pot rezolva numai atunci când A, B sunt matrice pătratice inversabile.
Pentru rezolvarea ecuației înmulțim la stânga egalitatea cu și avem:
.
Deci soluția ecuației date este .
Pentru determinarea soluției ecuației vom înmulți la dreapta cu și analog vom găsi , soluția ecuației matriciale.
Pentru găsirea soluției ecuației înmulțim egalitatea la stanga cu și la dreapta cu și obținem .
2.5. Sisteme de ecuatii liniare
2.5.1Sisteme de doua ecuatii cu doua necunoscute
Def.Un sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute are forma
unde se numesc coeficientii necunoscutelor , iar termenii liberi.
Def.Se numeste solutie a sistemului orice cuplu (s1 , s2) care este solutie pentru fiecare din ecuatiile sistemului.
Studiul solutiilor unui sistem de ecuatii liniare conduce la trei probleme:
– existenta solutiilor (conditiile in care un sistem admite solutii)
– gasirea unei metode de obtinere a solutiilor
– determinarea tuturor solutiilor
Un sistem care nu are nici o solutie se numeste incompatibil.Daca sistemul poseda solutii se spune ca este compatibil (determinat cu o solutie si nedeterminat cu mai mult de o solutie)
Doua sisteme sunt echivalente daca sunt amandoua incompatibile sau sunt amandoua compatibile si au aceleasi solutii.
Metoda de rezolvare a unui sistem liniar consta in a inlocui sistemul dat printr-un nou sistem care este echivalent cu primul , dar care poate fi rezolvat mai usor.
Transformari aupra ecuatiilor unui sistem
O1)Adunarea unei ecuatii a sistemului la o alta ecuatie a sistemului
O2)Inmultirea ecuatiilor sistemului prin factori nenuli
O3)Schimbarea ordinii ecuatiilor intr-un sistem
Metode de rezolvare
1.Metoda combinatiilor liniare (metoda reducerii)
2.Metoda substitutiei
3.Metoda eliminarii (Gauss)
4)Regula lui Cramer
A = – matricea sistemului (formata din coeficienti necunoscutelor)
– determinantul sistemului
(se obtine din inlocuind coeficientii lui x , prin coloana termenilor liberi)
(se obstine din inlocuind coeficienții lui y , prin coloana termenilor liberi)
5)Metoda matricei inverse
A =
AX = C – scrierea matriciala a sistemului
2.5.2Sisteme liniare omogene
Sistemul in care termenii liberi sunt zero se numeste sistem liniar omogen.
Intotdeauna acest sistem este compatibil avand cel putin solutia banala (cu toate componentele egale cu zero) x = y = 0.
Daca atunci (formulele lui Cramer) sistemul are numai solutia banala.In acest caz sistemul este compatibil determinat.
Daca atunci sistemul are si alte solutii diferite de cea banala.Sistemul este compatibil nedeterminat.
Sistemul se numeste sistem liniar omogen
Intotdeauna acest sistem este compatibil avand cel putin solutia banala (cu toate componentele egale cu zero) x = y = z = 0.
Daca atunci (formulele lui Cramer) sistemul are numai solutia banala.In acest caz sistemul este compatibil determinat.
Daca atunci sistemul are si alte solutii diferite de cea banala.Sistemul este compatibil nedeterminat.
2.5.3Sisteme de trei sau patru ecuatii cu doua necunoscute
Se poate rezolva sistemul format din doua ecuatii ale sistemului dat ,apoi se verifica daca solutiile obtinute sunt si solutii ale celorlalte ecuatii ale sistemului.
2.5.4Sisteme de trei ecuatii cu trei necunoscute
Def.Un sistem de trei ecuatii cu trei necunoscute are forma , unde
ai , bi , ci se numesc coeficientii necunoscutelor , iar di termenii liberi ai sistemului.
Def.Se numeste solutie a sistemului orice triplet (s1 , s2 , s3) care este solutie pentru fiecare ecuatie a sistemului.
2.5.5Interpretare geometrica
Cum fiecare ecuatie a sistemului este ecuatia unui plan in spatiul cartezian Oxyz , se poate interpreta geometric sistemul compatibil determinat prin concurenta planelor intr-un punct , iar sistemul compatibil nedeterminat prin concurenta planelor dupa o dreapta (sistem simplu determinat) sau dupa un plan (sistem dublu nedeterminat – cele trei plane coincid).In fine sistemul incompatibil corespunde celorlalte situatii ale planelor in spatiu (plane paralele , doua plane paralele intersectate de al treilea , plane concurente doua cate doua , fara punct comun pentru cele doua drepte etc.)
Doua sisteme sunt echivalente daca sunt amandoua incompatibile sau sunt amandoua compatibile si au aceleasi solutii.
2.5.6Metode de rezolvare
1)Metoda combinatiilor liniare
2)Metoda eliminarii (Gauss)
Utilizand metoda lui Gauss (de eliminare succesiva a necunoscutelor prin transformari elementare) se ajunge de la sistemul initial la unul echivalent avand urmatoarea forma triunghiulara :
Etapele necesare de parcurs pentru a obtine forma triunghiulara a sistemuli (S)
si tabloul
Daca , atunci prima ecuatie a sistemului ramane pe loc , iar zerourile de pe prima coloana le obtinem cu transformarile :
– ecuatia se inlocuieste prin ecuatia
– ecuatia se inlocuieste prin ecuatia
Pentru a obtine zeroul de pe colana a doua se face transformarea :
– ecuatia se inlocuieste prin ecuatia
Daca a1 = 0 , atunci se ia drept ecuatie L1 o alta ecuatie care sa aiba coeficientul lui x diferit de zero (se face o schimbare a doua ecuatii intre ele)
Pentru sistemul (S) doua matrici joaca un rol important in studiul lui.
– matricea sistemului
– matricea extinsa a sistemului
3) Regula lui Cramer
– determinantul sistemului
(se obtine din inlocuind coeficientii lui x , prin coloana termenilor liberi)
(se obtine din inlocuind coeficientii lui y , prin coloana termenilor liberi)
(se obtine din inlocuind coeficientii lui z , prin coloana termenilor liberi)
4) Metoda matricei inverse
AX = C – scrierea matriciala a sistemului
Daca
2.5.7Sisteme de m ecuatii cu n necunoscute
Au forma :(2)
Daca un sistem are solutii , atunci il numim compatibil (determinat daca are exact o solutie si nedeterminat daca sistemul are mai mult de o solutie)
Sistemul (2) se numeste omogen daca are toti termenii liberi egali cu zero.Sistemul astfel obtinut
se numeste sistemul omogen asociat sistemului (2).
Coeficientii necunoscutelor formeaza o matrice de tip m x n
numita matricea sistemului (2)
Daca si sunt coloana necunoscutelor si respectiv coloana termenilor liberi , atunci sistemul (2) se poate scrie sub forma matriciala AX = C.
Doua sisteme sunt echivalente daca sunt amandoua incompatibile sau sunt amandoua compatibile si au aceleasi solutii.
Discutia unui sistem
Compatibilitatea
Th.Kronecker – Capelli . Sistemul liniar (2) este compatibil daca si numai daca rangul matricii sistemului coincide cu rangul matricii extinse.
Comform teoremei avem nevoie de calculul rangului matricii A.Daca rang(A) = r , atunci exista cel putin un minor nenul de ordin r.Pentru usurinta in prezentare sa presupunem ca minorul nenul de ordin r este format din primele r linii si primele r coloane.Pe acesta (considerat) il numim determinant principal si-l notam .Ca sa avem egalitatea rang(A) = rang() trebuie probat ca orice minor al matricii care-l contine pe cel principal si care nu este minor al lui A este nul.Orice astfel de minor de ordin r + 1 , obtinut prin bordarea determinantului principal cu elemente corespunzatoare ale coloanei termenilor liberi , precum si cu cele ale uneia din liniile ramase , se numeste minor caracteristic.Vom nota un astfel de minor prin , unde k indica linia utilizata pentru bordare.
Th.(Rouche) . Sistemul liniar (2) este compatibil daca si numai daca toti minorii caracteristici sunt nuli.
Deci daca cel putin un minor caracteristic este nenul sistemul este incompatibil.
Determinarea soluțiilor
Presupunem ca rang(A) = r si ca am ales ca determinant principal al sistemului compatibil .De precizat ca odata ales determinantul principal cu el se merge pana la determinarea solutiilor.Necunoscutele ale caror coeficienti sunt in determinantul principal se numesc necunoscute principale.Deci in cazul nostru acestea sunt x1 , x2 , …., xr.Celelalte necunoscute (daca exista) adica xn+1 , ….. , xn se numesc necunoscute secundare.
Ecuatiile ale caror coeficienti se afla in determinantul principal se numesc ecuatii principale.In aczul de fata primele r ecuatii sunt principale.Celelalte ecuatii (daca exista) se numesc ecuatii secundare.
Se rezolva sistemul format din ecuatiile principale : (*)
Solutiile acestui sistem sunt solutii si pentru (2) (din rang(A) = rang() , rezulta ca celelalte linii sunt combinatii liniare ale ecuatiilor principale , ceea ce arata ca o solutie a sistemului de mai sus este solutie si pentru (2)).
Analizam cazurile :
– daca r = n , atunci sistemul (*) are atatea ecuatii cate necunoscute.Pentru rezolvare se pot aplica formulele lui Cramer : , unde se obtine din inlocuind coloana coeficientilor lui xn cu termenii liberi.
– daca r < n , atunci in ecuatiile principale se inlocuiesc necunoscutele secundare variabil si se rezolva sistemul format din ecuatiile principale (in care necunoscutele secundare trec in membrul drept).Pentru rezolvare se aplica regula lui Cramer.
2.6 Vectori si valori proprii ai unui operator liniar
Teorema Cayley-Hamilton
Vom considera acum K un corp comutativ, V un K-spațiu vectorial de dimensiune finită iar B={e1, …, en}⊂V o bază a lui V.Astfel, pentru orice vector v∈V există și sunt unice elementele (scalarii)
α1, …, αn ∈K a.î. , v=+…+ . Reamintim că am notat
prin =(α1, …, αn).
Următoarea observație este imediată și foarte utilă:
Observația Dacă v1, v2, …, vn∈V și, 1≤i≤n,
atunci {v1, …, vn} formează o nouă bază pentru V dacă și numai
dacă
≠0
În continuare vom prezenta un rezultat fundamental pentru
metodele numerice ale algebrei liniare cunoscut sub numele de lema substituției.
Lema (Lema substituției) Fie V un K-spațiu vectorial de
dimensiune finită, B={e1, …, en}⊂V o bază a lui V, v=+…+ ∈V iar pentru 1≤i≤n notăm prin Bi={e1, …, ei-1, v, ei+1,…, en}.
Atunci pentru 1≤i≤n:
(i) Bi formează o nouă bază pentru V dacă și numai dacă
≠0
(ii) Dacă αi≠0 și pentru x∈V, =(λ1, …, λn), atunci
=(λʹ1, …, λʹn) unde λʹi= λi / αi iar λʹj = λj – αj λi/ αi pentru
1≤j≤n, j≠i (unde pentru a, b∈K, b≠0 prin a / b desemnăm
elementul ab-1 ).
Demonstrație. (i). Determinantul coordonatelor vectorilor din Bi
în baza B este
=αi
și acum totul rezultă din
(ii). Fie x∈V, x=
Din v=deducem imediat că
, deci =()
de unde deducem imediat formula din enunț.
În practică, lema substituției se aplică punând în evidență
următorul tabel:
În cazul în care ≠0, elementul se va numi pivot.
Se observă deci că noile coordonate ale lui x în baza se pun în
evidență în tabelul de mai sus astfel:
1) Pe linia i a pivotului împărțim toate elementele la pivotul .
2) Pe oricare altă linie j cu j≠i coordonata de ordin j a lui x în
noua bază se obține după regula: ,,vechea coordonată minus produsul
proiecțiilor împărțit la pivot” (interpretând pe și ca fiind
,,proiecțiile” pivotului pe linia și coloana pivotului). În anumite
lucrări, această operație este cunoscută sub numele de ,,regula
dreptunghiului” deoarece pentru i≠j putem scrie =
și astfel se obține ,,dreptunghiul” Δij=
și regula de obținere a lui se poate enunța astfel: ,,produsul elementelor de pe diagonala principală a lui Δij minus produsul elementelor de pe diagonala
secundară a lui Δij și ceea ce se obține se împarte la pivot”.
Ca o primă aplicație a lemei substituției vom stabili dacă un
anumit număr de vectori din V sunt sau nu liniar independenți.
Pentru aceasta vedem câți dintre acești vectori pot înlocui
vectorii din baza inițială (cu ajutorul lemei substituției) și câți vor
verifica această condiție atâția vor fi liniar independenți. În mod
evident, dacă numărul acestora coincide cu dimensiunea lui V,
atunci ei vor forma o nouă bază pentru V.
De exemplu în ℝ3 să considerăm baza canonică e1=(1, 0, 0),e2=(0, 1, 0), e3=(0, 0, 1) și vectorii v1=(3, -2, 1), v2=(1, -1, 0) v3=(-1, 1, 1) și v=(1, 2, 3). Ne propunem să vedem dacă vectorii v1, v2, v3 formează o nouă bază pentru ℝ3 în care caz să deducem și coordonatele lui v in aceasta baza.
Ținând cont de cele stabilite mai înainte facem o serie de calcule
puse sub forma următorului tabel:
În concluzie, vectorii {v1, v2, v3} formează o nouă bază pentru
ℝ3 iar coordonatele lui v în această bază sunt 3, -8, 0.
Într-adevăr, 3·v1+ (-8)·v2+ 0·v3 = 3·(3, -2, 1) – 8·(1, -1, 0) =
=(9, -6, 3) + (-8, 8, 0) = (1, 2, 3) = v.
Pe parcursul acestei lucrări vom mai prezenta și alte aplicații
ale lemei substituției.
Fie acum L și Lʹ două A-module libere de rang finit,
B={e1, …, em} o bază a lui L iar Bʹ={,…, } o bază ale lui Lʹ iar
f:L→Lʹ un morfism de A-module.
Atunci, există elementele aij∈A (1≤i≤m, 1≤j≤n) a.î.:
f(e1)=a11++…+
f(e2)=a21++…+
…………….………………….
f(em)=am1++…+.
Definiția 7.5. Matricea
Mf(B, Bʹ)= ∈Mn,m(A)
poartă numele de matricea asociată lui f relativă la perechea de baze (B, Bʹ ) .
Fie V un K-spațiu vectorial de dimensiune n iar B={e1, …, en} ⊂V o bază a sa.
O aplicație liniară f:V→V se mai numește și operator liniar.
Vom nota prin Mf∈Mn(K) matricea atașată lui f relativă la
perechea de baze (B, B)
Definiția 3.10. Un scalar λ∈K se zice valoare proprie pentru
operatorul f dacă există x∈V, x≠0 (ce se va numi vector propriu
pentru f corespunzător lui λ) a.î. f(x)=λx.
Să observăm că egalitatea f(x)=λx din definiția de mai sus este echivalentă cu egalitatea Mf (unde reamintim că pentru x=(x1,…,xn)∈M1,n(K)=Kn, prin am notat ==∈Mn,1(K)), astfel că existența vectorului propriu x este
echivalentă cu condiția ca sistemul omogen să admită
soluție nebanală, de unde cu necesitate condiția ca det
Să presupunem că λ+…+∈K și
să considerăm polinomulX+…+ ∈K[X] care se va
numi polinomul caracteristic al lui f.
Deoarece =(-1)n≠0 deducem că polinomul caracteristic
este un polinom de grad n cu coeficienți în K. În aparență rădăcinile lui
depind de baza inițială B a lui V. Dacă mai avem în V o altă bază Bʹ={,…, } ⊂V atunci dacă notăm prin N∈Mn(K) matricea de trecere de la B la Bʹ, atunci N este inversabilă iar dacă notăm prin Mfʹ matricea atașată lui f relativă la noua pereche de baze (Bʹ, Bʹ), atunci Mfʹ =N-1·Mf·N.
Atunci det(Mfʹ-λIn)=det(N-1·Mf·N-λ·In)=det[N-1·(Mf-λ·In)·N]=
=det(N-1)· det(Mf-λ·In)· det(N) = det(N-1)· det(N) · det(Mf-λ·In) =
=det(N-1·N)·det(Mf-λ·In)=det(In)·det(Mf-λ·In)=det(Mf-λ·In), de unde
concluzia că rădăcinile lui Pf nu depind de alegerea bazei B.
Lema 3.11. Dacă pentru o valoare proprie λ∈K notăm prin
Vλ mulțimea vectorilor proprii corespunzători lui λ, atunci este
un subspațiu vectorial al lui V.
Demonstrație. Fie x, y∈ și α, β∈K. Avem f(x)=λx și f(y)=λy
astfel că f(αx+βy)=αf(x)+βf(y)=α(λx)+β(λy)=λ(αx+βy), de unde
concluzia că αx+βy ∈, adică este un subspațiu vectorial al lui V
(ce se va numi subspațiu propriu al lui f corespunzător valorii proprii
λ).
Observația 3.12. Unui vector propriu x îi corespunde o singură
valoare proprie λ.
Într-adevăr, dacă mai avem λʹ∈K a.î. f(x)=λʹx, cum f(x)=λx,
deducem că λʹx=λx ⇔ (λʹ-λ)x=0 și cum x≠0 cu necesitate λʹ-λ=0,
adică λʹ=λ.
Rezumând cele expuse mai sus, deducem că:
(i) valorile proprii ale lui f sunt rădăcinile polinomului
caracteristic Pf .
(ii) vectorii proprii corespunzători unei valori proprii λ∈K sunt
soluții ale sistemului omogen
Teorema 3.13. Vectorii proprii ai operatorului f corespunzători la valori proprii distincte două câte două sunt liniar independenți.
Demonstrație. Facem inducție matematică după numărul m al
valorilor proprii distincte două câte două (m≤n). Pentru m=1 teorema
este evidentă.
Fie λ1, …, λm∈ K valori proprii ale lui f distincte două câte două
iar x1, …, xm vectorii proprii corespunzători. Dacă prin absurd există α1,
…, αm∈K nu toți nuli a.î. (⋆) +…+= 0 deducem că
+…+ = 0 sau (⋆⋆) +…= 0.
Să presupunem de exemplu că ≠0.
Din (⋆) și (⋆⋆) deducem imediat că: +…= 0.
Conform ipotezei de inducție deducem ca: =…= 0.
In particular =…= 0 si cum deducem cu necesitate =0 ,absurd!
Daca operatorul liniar f:V→V are n valori proprii λ1, …, λn distincte două câte două, atunci vectorii proprii
corespunzători x1, …, xn formează o nouă bază Bʹ, astfel că matricea
lui f relativă la baza Bʹ va fi.
Astfel, dacă alegem pentru λ1, …, λn câte un vector propriu x1, …, xn din ,…, și notăm prin N matricea pătratică de ordin n formată din coordonatele lui x1, …, xn , atunci
deducem că N-1·Mf·N=⇔ Mf=N·
Spunem în acest caz că am diagonalizat pe M.
Observația 3.15. Dacă matricea atașată operatorului f:V→V
față de o bază B={e1, …, en} este matricea diagonală,
atunci e1, …, en sunt vectori proprii iar λ1, …, λn valorile proprii corespunzătoare pentru f.
Într-adevăr, dacă λ∈K este o valoare proprie oarecare a lui f
atunci notând cu x vectorul propriu corespunzător, există α1, …, αn∈K
nu toate nule a.î. f(x)=λx și x = +…+ Atunci f(x)= +…+ ⇔ λx=)+…⇔λ de unde cu necesitate λ·αi =λi·αi pentru
orice 1≤i≤n. Cum printre elementele α1, …, αn există cel puțin unul
nenul (căci x≠0), deducem cu necesitate că există 1≤i≤n a.î. λ =λi.
2.6.1Teorema 3.16. (Cayley-Hamilton) Fie A∈Mn(K) iar X+…+∈K[X] polinomul caracteristic al lui A. AtunciA+…+=, unde este matricea pătratică nulă de ordin n din Mn(K) (altfel zis, Pf(A)=).
Demonstrație. Există o infinitate de valori ale lui λ∈K pentru
care Pf(λ)=det(A-λ·In)≠0. Pentru astfel de valori ale lui λ, matricea
A-λ·In este inversabilă iar
(A-λ·In)-1= (A-λ)* (⋆)(A-λ·In)(A-λ·In)*= Pf(λ).
Ținând cont de felul în care se calculează (A-λ·In) * deducem că(A-λ·In)* = B0 +B1λ + … + Bn-1λn-1 cu B0 , B1, … Bn-1∈ Mn(K) astfel
că (⋆) devine
(A-λ·In)(B0 +B1λ+ … +Bn-1λn-1)=Pf(λ)In
sau (⋆⋆) AB0 +(AB1 –B0)λ+(AB2 – B1)λ2 + …+(ABn-1 – Bn-2)λn-1 –Bn-1λn=
= λ+…+λn.
Deoarece (⋆⋆) este valabilă pentru o infinitate de valori ale lui
λ deducem cu necesitate egalitățile:
AB0 =
AB1 –B0=
AB2 – B1=
……………….
ABn-1 – Bn-2=
– Bn-1=
Din aceste ultime egalități deducem că:
=A+…+
= AB0 +A(AB1 –B0)+A2(AB2 – B1) + …+An-1(ABn-1 – Bn-2)+An( –Bn-1)=
= AB0 + –AB0++…+=
Observația . Scriind egalitatea A+…+=
Teorema Cayley–Hamilton sub forma
=A(A+…+), dacă a0=Pf(0)=det(A)≠0 atunci
putem trage concluzia că A-1= ()In+(n-1
obținând astfel o altă metodă de calcul a inversei unei matrice
nesingulare din Mn(K) .
Orice matrice A își verifică polinomul caracteristic .
Pentru n = 2.
.
polinom caracteristic
Generalizat
CAPITOLUL 3
APLICAȚII
I. Să se determine numerele reale x, y, z astfel încât să aibă loc egalitatea de matrice, în cazurile:
1)
R.
2)
R.
3)
R.
a)dacă , atunci
b)dacă , atunci
4)
R.
II. Să se calculeze în cazurile:
1) , .
R.
2) ,
R . III. Se consideră matricele
, , .
Să se determine m, n, p astfel încât .
R.
.
Deci
1. Se consideră matricele .
, .
Să se calculeze: , .
R.
1. Calculați produsele de matrice , unde
a) și
R.
b) și
R.
c) și
R.
d) și
R.
e) și
R.
2. Să se calculeze , dacă:
;
R.
3. Fie . Să se calculeze , .
R.
Inducție matematică
(A) .Deci
1. Calculați determinanții de ordinul doi:
1)
2)
3)
2. Calculați determinanții de ordinul trei:
1)
2)
3)
3. Calculați determinanții următori:
1)
2)
4. Să se rezolve ecuațiile:
1)
R.
Deci .
5. Să se rezolve ecuațiile:
1)
R.
6. Fie pentru care . Să se arate că , .
R.
Pentru x = 0 și y = 1
Pentru x = 1 și y = 0
Pentru x = 1 și y = 1
Pentru x = 1 și y
Deci
7. Să se determine matricea X din ecuația
R.
8. a) Găsiți matricea X astfel încât
b) Să se determine m astfel încât sistemul următor să fie compatibil și apoi rezolvați-l:
a) R.
Deci .
b)R.
9. a) Fie matricea A; , . Să se calculeze și și apoi să se determine, în funcție de n.
b) Să se afle numere reale astfel încât
a) R.
Inducție matematică
(A)
Deci .
b)R.
Deci .
10. a) Să se determine astfel încât:
b) Să se determine matricea A astfel încât:
a) R.
b) R.
.
11. Să se rezolve ecuația:
R.
12. Dacă sunt rădăcinile ecuației să se calculeze determinantul .
R.
13. Rezolvați următoarele sisteme
14. Fie A =
Sa se calculeze An, n ≥ 1.
Soluție: Ecuația caracteristica este A2 − 5A − 0 I2 = 02, adică A2 = 5 A ¸si inductiv,
deducem An = 5n-1 A pentru oricare n ≥ 1.
PARTEA A DOUA
PROIECT DE CURS OPTIONAL
”VECTORI SI VALORI PROPRII AI UNUI OPERATOR LINIAR.
TEOREMA CAYLEY-HAMILTON”
Capitolul 4. ELABORAREA UNEI PROGRAME DE OPTIONAL
trunchiul comun, care aprofundează obiectivele de referință/competentele specifice din curriculumul-nucleu prin noi conținuturi propuse la nivelul scolii(sau a acelora marcate cu asterisc, în cazul specializărilor care nu le parcurg in mod obligatoriu la trunchiul comun).
opțional de extindere reprezintă pentru învățământul liceal, acel tip de CDS derivat dintr-o disciplina studiata in trunchiul comun ,care extinde obiectivele-cadru/competentele generale din curriculumul-nucleu prin noi obiective de referință/competente specifice si noi conținuturi definite la nivelul scolii.
opțional preluat din trunchiul comun al altor discipline ,pentru învățământul liceal, acel tip de CDS generat prin parcurgerea unei programe care este obligatorie pentru anumite specializări si care poate fi parcursa in cadrul orelor de CDS la acele specializări unde disciplina respectiva nu este inclusa in trunchiul comun.
opțional ca disciplina noua, pentru învățământul liceal, consta intr-un nou obiect de studiu, în afara acelora prevăzute in trunchiul comun la un anumit profil si specializare; aceasta presupune elaborarea in scoală a unei programe noi, diferite de programele disciplinelor din trunchi comun.
e. opțional integrat, pentru învățământul liceal, constă intr-un nou obiect de studiu, structurat in jurul unei teme integratoare pentru o anumita arie curriculara sau pentru mai multe arii curriculare. Acesta presupune elaborarea unei programe prin integrarea a cel puțin doua domenii aparținând uneia sau mai multor arii curriculare; in acest caz, obiectivele/competentele sunt diferite fata de acelea existente in programele disciplinelor care se integrează.
Opționalul de extindere reprezintă pentru învățământul liceal, acel tip de CDS derivat dintr-o disciplina studiata in trunchiul comun, care extinde competentele generale din curriculumul –nucleu prin noi competente specifice si noi conținuturi definite la nivelul scolii.
Competentele generale ,ca parte a programei școlare pentru clasele a-X-a –a- XII-a, se definesc pe obiect de studiu si se formează pe durata învățământului liceal. Ele au un grad ridicat de
generalitate si complexitate si au rolul de a orienta demersul didactic către achizițiile finale dobândite de elev prin învățare.
Competentele specifice ,ca parte a programei școlare pentru clasele a-X-a – a-XII-a ,se definesc pe obiect de studiu si se formează pe parcursul unui an scolar.Ele sunt derivate din competentele generale, fiind etape in dobândirea acestora. Competențelor specifice li se asociază, prin programa, unități de conținut.
Continuturile,ca parte a programei scolare,sunt informații de specialitate prin intermediul cărora se ating competentele specifice propuse.
Cursurile optionale,ca si segment de Curriculum la decizia scolii, constituie un element esențial de contextualitate a curriculumului favorizând:
adaptarea ofertei de învățare la specificul local( nevoi ale comunitatii,multiculturalism,traditii etc.);
centrarea procesului de predare –învățare pe nevoile si interesele elevului si trecerea de la”o scoală pentru toți” la „o scoală pentru fiecare”;
manifestarea creativității la nivelul practicii școlare ,cadrul didactic aflându-se in situația de a-si concepe obiectivele si conținuturile;
corelarea resurselor scolii cu dorințele copiilor;
crearea unei personalități proprii a scolii diferențierea ofertei de educație.
Pentru stabilirea de cursuri opționale la nivelul scolii, trebuie urmați următorii pași:
Evaluarea cursurilor opționale din anul școlar trecut prin chestionare aplicate
elevilor si părinților si/sau alte forme de evaluare(A)
Evaluarea intereselor si opțiunilor elevilor si părinților si analiza nevoilor comunității locale
Pregătirea ofertelor de cursuri opționale de către profesorii doritori
Analiza si aprobarea ofertelor in cadrul Consiliului profesoral al scolii(C)
Prezentarea ofertelor de curs de către profesori in fata elevilor si a părinților.
Completarea de către elev si de către părinte a fisei de opțiune pana in luna iunie sau in prima săptămână după afișarea admiterii la liceu(B)
Negocierea intre elevi ,parinti,cadru didactic, conducerea scolii pentru definitivarea opțiunilor
Includerea opționalelor in schemele orare ale claselor si in orarul claselor/scolii
Elaborarea programelor de opțional
Avizarea programelor de opțional de către inspectorii de specialitate din ISJ(D)
Derularea cursurilor-asigurarea resurselor necesare de spatiu,material didactic,echipamente,etc.
Disciplinele de opțional se pot alege pentru un semestru,an școlar, ciclu curricular sau /si pe parcursul unei trepte de școlarizare după cum este aprobat de Consiliul de administrație al scolii.
A.CHESTIONAR ELEVI REFERITOR LA CURSURILE OPTIONALE
Te rugam sa răspunzi cu sinceritate la următoarele întrebări si te asiguram ca răspunsurile tale ne vor fi foarte utile pentru a stabili oferta de cursuri opționale pentru anul școlar viitor.
Care curs opțional ti-a plăcut mai mult si de ce?
Care curs nu ti-a plăcut si de ce?
Numește doua activități/lecții desfășurate in cadrul unui curs opțional care ti-au
plăcut cel mai mult.
Numește doua activități/lecții desfășurate in cadrul unui curs opțional care nu ti-au plăcut deloc.
Ce cursuri opționale ai dori sa frecventezi in anul școlar viitor?.
B. FISA DE OPTIUNE
NUME ELEV:
CLASA:
AN SCOLAR:
Scrie in ordinea opțiunii cursurile la care dorești sa te înscrii:
……………………………
……………………………
…………………………….
…………………………….
Semnătura elev:
Semnătura părinte:
Data:
C. OFERTA DE CURS OPTIONAL PENTRU APROBARE
Titlul cursului:…………………………………………………….
Profesor: ……………………………………………………..
Durata: ……………………………………………………..
Clasa: ……………………………………………………..
Loc de desfășurare:……………………………………………….
Tipul opționalului:………………………………………………..
Motivația oportunității:……………………………………………
Rezultate așteptate: …………………………………………….
Tipuri de activități de învățare:……………………………………
Teme de conținut: ……………………………………………..
Modalități de evaluare: …………………………………………..
Alte aspecte: …………………………………………….
D. FISA DE AVIZARE A PROIECTULUI DE PROGRAMA PENTRU OPTIONAL
AVIZAT,
Inspector de specialitate,
Denumirea opționalului…………………………………………………………………………
Tipul……………………………………………………………………………………………..
Clasa……………………………………………………………………………………………..
Durata…………………………………………………………………………………………….
Număr de ore pe săptămâna……………………………………………………………………..
Autorul…………………………………………………………………………………………..
Abilitatea pentru susținerea cursului…………………………………………………………….
Instituția de învățământ………………………………………………………………………….
Nota: pentru a fi acceptat proiectul de programa trebuie sa întrunească „DA” la punctele I,II si cel puțin 5 „DA”/”DA cu recomandări” la punctul III.
Avizul conducerii scolii……………………………………………………………
Programa de opțional-liceu se elaborează după următoarea structura:
Argument
Competente generale
Competente specifice
Conținuturi
Valori de atitudini
Sugestii metodologice
Se recomanda, de asemenea si includerea unei bibliografii.
Argumentul
Pentru argument se va redacta ½-1 pagina care motivează cursul propus(de ex. nevoi ale elevilor, ale comunității locale, formarea unor competente de transfer,etc.)
Obiectivele transcurriculare si/sau competente generale
Obiectivele transcurriculare sunt formulate de propunători pentru opționalele la nivelul mai multor arii curriculare.
Competentele generale au un grad ridicat de generalitate si complexitate, se refera la formarea unor capacități si atitudini specifice si sunt urmărite de-a lungul mai multor ani de studiu, deci se vor stabili pentru acele opționale ce se propun pentru mai mulți ani de studiu, sau chiar un nivel de școlarizare sau un ciclu curricular.(număr maxim 5-6)
Obiectivele de referință/competentele specifice vor fi:
preluări ale unor/tuturor obiectivelor din programa nationala,in cazul opționalului de aprofundare
b.formulate după modelul celor din programa națională(al materiilor de trunchi comun),dar nu vor fi reluări ale acestora, in cazul opționalelor de extindere, disciplina noua sau integrat
! Pentru un opțional de o ora pe săptămână se vor defini si urmări 5-6 competente specifice pe care elevii urmează sa le atingă pana la sfârșitul anului.
Formele de prezentare a conținuturilor descriu modul in care elevul urmează sa dobândească ,in urma demersului de invatare,abilitatile vizate de obiective.
Lista de conținuturi cuprinde informațiile pe care opționalul le propune ca baza de operare pentru formarea capacităților vizate de obiective. Altfel spus, sunt trecute in lista acele informații care vor fi introduse, combinate si recombinate intre ele si cu altele învățate anterior, intr-un cuvânt, acele informații care vor fi vehiculate in cadrul opționalului.
Conținuturile vor fi alese in funcție de:
resursele de timp(de ex. resursa de timp de o ora pe săptămână)
bibliografia studiata
tipul de opțional
competentele formulate
caracteristicile grupului țintă
Modalitățile de evaluare descriu tipurile de probe care se potrivesc opționalului propus(de ex.probe scrise,probe orale,probe practice,referat,proiect,etc.) dar preponderent fisa de evaluare, listă de control,proiect,portofoliu,scala de clasificare.
Nu vor fi incluse probele ca atare!
Valorile si atitudinile apar in mod explicit sub forma unei liste separate in programa fiecărui obiect de studiu. Ele acoperă întregul parcurs al unui ciclu de învățământ si orientează dimensiunile axiologica si afectiv-atitudinala aferente formarii personalității din perspectiva fiecărei discipline.
Cunoaștere care nu este însoțită de o etica si o sensibilitate asupra vieții persoanei ,conduce la eșec personal si la degradarea vieții sociale!
Sugestiile metodologice se pot referi la:
desfășurarea procesului de predare – învățare centrat pe formarea de competente;
sugestii privind cele mai adecvate metode si activități de învățare pentru formarea competentelor vizate;
dotări/materiale necesare pentru aplicarea in condiții optime a programei;
sugestii privind evaluarea continua,etc.
Bibliografia trebuie sa însoțească obligatoriu lista de continuturi.Se vor trece si site-urile vizitate si care au constituit sursa de inspirație.
CALENDARUL DISCIPLINELOR OPTIONALE
Ianuarie
Demararea Ofertei scolii pentru anul următor;
Titlul opționalului se alege din lista oferita de minister spre consultare sau se propun propriile opționale de către propunători(profesori);
Se redactează sau se definitivează proiectele de optional,pentru a fi susținute in fata Consiliului de administrație al scolii;
După aprobare, acestea vor face parte din oferta de opționale a scolii.
Februarie
Februarie
Programele disciplinelor opționale sunt discutate la nivel de catedra, comisie metodica sau arie curriculara;
Lista ofertelor de opțional se definitivează si este făcută publica;
Fiecare propunător începe promovarea ofertei de opțional prin:
afise,pliante,prezentari;
lectorate, ședințe cu părinții;
site-ul scolii, pagini web,etc.
Martie ,pana la sfârșitul lunii
Programele sunt aprobate de Consiliul profesoral si de Consiliul de administrație;
Oferta scolii pentru anul școlar viitor va fi făcută publica si promovata: se afișează in scoală la loc vizibil si se comunica elevilor si părinților;
Elevii si părinții trebuie sa o cunoască ,sa fie informați si consultați(Consiliile de administrație trebuie sa facă dovada acestei consultări);
Propunătorii trebuie sa-si facă cunoscuta propria oferta de opțional/-e tuturor elevilor,pentru ca aceștia sa poată alege in cunoștința de cauza;
De calitatea promovării si realizării opționalului in anul anterior va depinde numărul de elevi care se vor înscrie.
Aprilie, sfârșitul lunii
Elevii vor prezenta la secretariat fisa de opțiuni pentru anul școlar următor(odată exprimata opțiunea pentru o anumită disciplina devine obligatorie pe durata pe care a fost proiectata disciplina opțională).
Mai
Includerea disciplinelor opționale in Planul-cadru propus pentru anul următor;
Continua înscrierea elevilor la disciplinele opționale(secretariat-fisa opțiuni) pe baza acordului scris(semnătura);
Realizarea încadrării profesorilor si a schemelor orare pe baza opțiunilor elevilor.
30 Iunie
Elevii admiși vor prezenta opțiunile in prima săptămână după afișarea rezultatelor finale ale admiterii.
Programele școlare pentru disciplinele opționale vor fi:
-avizate de Consiliile de administrație
-aprobate de Inspectoratul școlar județean.
-după aprobare devin document oficial si sunt obligatorii.
PROIECTAREA ACTIVITATII DE CERCETARE
Strategiile de predare-învățare reprezintă o îmbinare a metodelor si procedeelor euristice de căutare a ideii de rezolvare, cu metodele activ participative de învățare si toate acestea pe fondul unui conținut problematic alcătuit de cele mai multe ori din seturi de sarcini(probleme) înrudite după ideea de rezolvare, sau grupate in jurul proprietății(P) cu rol central in rezolvare.
In orice situație de invatare,elevul acționează pe baza unor strategii, pe care in general si le elaborează singur, mai mult sau mai puțin eficiente si economicoase(din punct de vedere al consumului de timp si energie nervoasa).
Acesta este totuși un caz fericit; dar exista multe situații când elevul, deși poseda cunoștințele necesare rezolvării unei probleme, el nu este capabil sa-si extragă ideile relevante si metodele de prelucrare a lor pentru rezolvarea problemei.
Aplicând strategiile euristice de predare-învățare scontam ca elevii in mod individual sa-si formeze strategii de învățare a cunoștințelor, de rezolvare a problemelor, iar in timp, strategii cognitive, astfel încât pe baza acestora sa poată realiza in mod conștient, activ,
intensiv si eficient obiectivele unei instruiri de tip formativ.
In timpul administrării factorului experimental, elevul își selectează ideile, le combina, formandu-si astfel strategii de cunoaștere, aplicare, rezolutive, cu ajutorul cărora rezolva sarcinile propuse; în cazul când elevul reușește aceasta performanta fără nici un sprijin, spunem ca elevul si-a elaborat o strategie de învățare ,rezolutiva.
Obiectivele cercetării vizează aspecte de natura cognitiva legate de instruirea elevilor si prin acestea, indirect, confirmarea ipotezelor:
I1:Desfasurand instruirea pe baza strategiilor de instruire de tip euristic elevii pot fi determinați:
sa-si formeze (dezvolte) capacități de cunoaștere a conceptelor, regulilor si scheme cognitive in legătură cu acestea;
sa-si formeze strategii de cunoaștere a conceptelor si regulilor;
sa-si formeze capacități de aplicare a regulilor in probleme simple(exerciții).
I2: Desfășurând instruirea pe baza strategiilor de instruire de tip euristic elevii de nivel cel puțin mediu (e.m.),in mod individual, pot fi determinați:
sa-si formeze scheme operatorii si strategii de aplicare a regulilor in probleme
complexe;
sa-si formeze (dezvolte) capacități rezolutive;
sa-si formeze ,sa elaboreze strategii rezolutive.
Deci, obiectivele cercetării sunt:
O1:Formarea (dezvoltarea) capacităților de cunoaștere a conceptelor si proprietăților acestora(regulilor);
O2: Formarea strategiilor de cunoaștere a conceptelor si regulilor;
O3: Formarea capacităților de aplicare a regulilor in probleme simple;
O4: Elaborarea strategiilor de aplicare a regulilor in problemele complexe;
O5: Elaborarea strategiilor rezolutive.
PROIECT DE CURS OPTIONAL
Acest opțional cuprinde:
Datele de identificare ale C.D.S.-ului:
Instituția de învățământ: Liceul Tehnologic „Constantin Nicolaescu Plopșor”
Denumirea opționalului: ”Vectori si valori proprii ai unui operator liniar. Teorema Cayley-Hamilton”
Tipul: la nivelul unei discipline
Clasa: a-XII-a
Durata: un an
Număr de ore pe săptămână: o ora pe săptămână
Autorul: Uruiocea Georgeta
Abilitatea pentru susținerea cursului: Facultatea de matematica;studii universitare de lunga durata
II. Structura standard a programei:
ARGUMENT
Studiul matematicii in ciclul superior al liceului urmărește sa contribuie la formarea si dezvoltarea capacitații elevilor de a reflecta asupra lumii si oferă individului cunoștințele necesare pentru a acționa asupra acesteia, in funcție de propriile nevoi si dorinte;sa formuleze si sa rezolve probleme pe baza relaționării cunoștințelor din diferite domenii; sa înzestreze absolventul de liceu cu un set de competente ,valori si atitudini,pentru a favoriza o integrare profesionala optima.
Învățarea matematicii in scoală urmărește conștientizarea naturii matematicii ca o activitate de rezolvare a problemelor, bazată pe cunoștințe si proceduri, dar si ca o disciplina dinamica, strâns legata de societate prin prezenta sa in cotidian si prin rolul sau in științele naturii, in tehnologii si in științele sociale.
Rolul acestui opțional este acela de a veni in ajutorul elevilor de clasa a-XII-a,de a creste interesul,curiozitatea,creativitatea lor in rezolvarea sarcinilor propuse ,îmbunătățind continuu performantele in vederea obținerii unor rezultate mai bune la examenul de bacalaureat si la cel de admitere in învățământul superior.
COMPETENȚE GENERALE
VALORI ȘI ATITUDINI
Curriculumul școlar pentru Matematică are în vedere formarea la elevi a următoarelor valori și atitudini:
manifestarea curiozității și a imaginației în crearea și rezolvarea de probleme
manifestarea tenacității, a perseverenței și a capacității de concentrare
dezvoltarea unei gândiri deschise, creative și a unui spirit de obiectivitate și imparțialitate
dezvoltarea independenței în gândire și acțiune
manifestarea inițiativei și a disponibilității de a aborda sarcini variate
dezvoltarea simțului estetic și critic, a capacității de a aprecia rigoarea, ordinea și eleganța în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii
formarea obișnuinței de a recurge la concepte și metode matematice în abordarea unor situații cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice
formarea motivației pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viața socială și profesională.
COMPETENȚE SPECIFICE ȘI CONȚINUTURI
SUGESTII METODOLOGICE
Acest curriculum are drept obiectiv crearea condițiilor favorabile fiecărui elev de a-și forma și dezvolta competențele într-un ritm individual, de a-și transfera cunoștințele acumulate dintr-o zonă de studiu în alta. Pentru aceasta, este util ca profesorul să-și orienteze demersul didactic spre realizarea următoarelor tipuri de activități:
formularea de sarcini de prelucrare variată a informațiilor, în scopul formării competențelor vizate de programa școlară;
alternarea prezentării conținuturilor, cu moduri variate de antrenare a gândirii;
solicitarea de frecvente corelații intra- și interdisciplinare;
punerea elevului în situația ca el însuși să formuleze sarcini de lucru adecvate;
obținerea de soluții sau interpretări variate pentru aceeași unitate informațională;
susținerea comunicării elev-manual – prin analiza pe text –, transpunerea simbolică a unor conținuturi, interpretarea acestora;
formularea de sarcini rezolvabile prin activitatea în grup;
organizarea unor activități de învățare permițând desfășurarea sarcinilor de lucru în ritmuri diferite;
sugerarea unui algoritm al învățării, prin ordonarea sarcinilor.
Prezentul curriculum își propune ca să formeze competențe, valori și atitudini prin demersuri didactice care să indice explicit apropierea conținuturilor învățării de practica învățării eficiente. Pe parcursul ciclului liceal superior este util ca, în practica pedagogică, profesorul să aibă în vedere următoarele aspecte ale învățării pentru formarea fiecăreia dintre competențele generale ale disciplinei:
Folosirea terminologiei specifice matematicii în contexte variate de aplicare
Exemple de activități de învățare:
analiza datelor unei probleme pentru verificarea noncontradicției, suficienței, redundanței și eliminarea datelor neesențiale;
interpretarea parametrilor unei probleme ca o parte a ipotezei acesteia;
utilizarea formulelor standardizate în înțelegerea ipotezei;
exprimarea prin simboluri specifice a relațiilor matematice dintr-o problemă;
analiza secvențelor logice în etapele de rezolvare a unei probleme;
exprimarea rezultatelor rezolvării unei probleme în limbaj matematic;
recunoașterea și identificarea datelor unei probleme prin raportare la sisteme de comparare standard.
Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse în enunțuri matematice
Exemple de activități de învățare:
compararea, observarea unor asemănări și deosebiri, clasificarea noțiunilor matematice studiate, după unul sau mai multe criterii explicite sau implicite, luate simultan sau separat;
folosirea regulilor de generare logică a reperelor sau a formulelor invariante în analiza de probleme;
utilizarea schemelor logice și a diagramelor logice de lucru în rezolvarea de probleme;
formarea obișnuinței de a verifica dacă o problemă este sau nu determinată;
folosirea unor criterii de comparare și clasificare pentru descoperirea unor proprietăți sau reguli.
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice în rezolvarea de probleme
Exemple de activități de învățare:
cunoașterea și utilizarea unor reprezentări variate ale noțiunilor matematice studiate;
construirea și interpretarea unor diagrame, tabele, scheme grafice ilustrând situații cotidiene;
folosirea unor reprezentări variate ca punct de plecare pentru intuirea, ilustrarea, clarificarea sau justificarea unor idei, algoritmi, metode, căi de rezolvare etc.;
exprimarea în termeni logici, cu ajutorul invarianților specifici, a unei rezolvări de probleme;
utilizarea unor repere standard sau a unor formule standard în rezolvarea de probleme.
4 Exprimarea și redactarea coerentă în limbaj formal sau în limbaj cotidian, a rezolvării sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme
Exemple de activități de învățare:
formarea obișnuinței de a recurge la diverse tipuri de reprezentări pentru clasificarea, rezumarea și prezentarea concluziilor unor experimente;
folosirea unor reprezentări variate pentru anticiparea unor rezultate sau evenimente;
intuirea ideii de dependență funcțională;
utilizarea metodelor standard în aplicații în diverse domenii;
redactarea unor demonstrații utilizând terminologia adecvată și făcând apel la propoziții matematice studiate.
Analiza de situații-problemă în scopul descoperirii de strategii pentru optimizarea soluțiilor
Exemple de activități de învățare:
identificarea și descrierea cu ajutorul unor modele matematice, a unor relații sau situații multiple;
imaginarea și folosirea creativă a unor reprezentări variate pentru depășirea unor dificultăți;
exprimarea prin metode specifice a unor clase de probleme; formarea obișnuinței de a căuta toate soluțiile, de a stabili unicitatea soluțiilor sau de a analiza rezultatele;
identificarea și formularea a cât mai multor consecințe posibile ce decurg dintr-un set de ipoteze;
verificarea validității unor afirmații, pe cazuri particulare sau prin construirea unor exemple si contraexemple;
folosirea unor sisteme de referință diferite pentru abordarea din perspective diferite ale unei noțiuni matematice.
Generalizarea unor proprietăți prin modificarea contextului inițial de definire a problemei sau prin generalizarea algoritmilor
Exemple de activități de învățare:
analiza rezolvării unei probleme din punctul de vedere al corectitudinii, al simplității, al clarității și al semnificației rezultatelor;
reformularea unei probleme echivalente sau înrudite;
rezolvarea de probleme și situații-problemă;
folosirea particularizării, a generalizării, a inducției sau analogiei pentru alcătuirea sau rezolvarea de probleme noi, pornind de la o proprietate sau de la o problemă dată;
expunerea de metode standard sau non standard ce permit modelarea matematică a unei situații-problemă;
transferul și extrapolarea soluțiilor unor probleme pentru rezolvarea altora;
folosirea unor idei, reguli sau metode matematice în abordarea unor probleme practice sau pentru structurarea unor situații diverse;
expunerea de metode standard sau non standard ce permit modelarea matematică a unor situații;
analiza capacității metodelor de a se adapta unor situații concrete;
utilizarea rezultatelor și a metodelor pentru crearea de strategii de lucru.
Toate acestea sugestii de activități de învățare indică explicit apropierea conținuturilor învățării de practica învățării eficiente. În demersul didactic, centrul acțiunii devine elevul și nu predarea noțiunilor matematice ca atare. Accentul trece de la “ce” să se învețe, la “în ce scop” și “cu ce rezultate”. Evaluarea se face în termeni calitativi; capătă semnificație dimensiuni ale cunoștințelor dobândite, cum ar fi: esențialitate, profunzime, funcționalitate, durabilitate, orientare axiologică, stabilitate, mobilitate, diversificare, amplificare treptată.
METODE DE EVALUARE
probe orale
probe scrise
portofoliul
investigația
proiectul
MODEL DE PLANIFICARE CALENDARISTICĂ PENTRU OPTIONAL
ANUL ȘCOLAR 2014-2015
Disciplina MATEMATICĂ, Filieră TEORETICĂ
Clasa a XII-a, profil real., specializarea: științe ale naturii
Nr. ore/săptămână – 1ora
Model pentru un plan de lecție de matematica
Lecția de la clasă ocupă rolul central ın educația matematică a elevilor.
Ea poate fi prilejul deschiderii minților tinere spre tezaurul științei noastre,
dar — organizată rău — poate provoca frustrări si repulsie. Unele dintre ele por
fi lecții obișnuite, altele por fi neconformiste si mizează pe atragerea elevilor
prin spectaculozitate ori prin expunerea accesibilă a unor rezultate profunde.
Planul unei lecții depinde mult de elevii cu care lucrăm. Există însă
câteva principii generale care pot ajuta la reușita orei de matematică. Lecția
este o apariție publica, care se rezumă uneori la un discurs dar care ar fi ideal
să fie o reprezentație la care să participe toți spectatorii. O posibilă structură
a unei lecții obișnuite ar putea fi următoarea:
• captarea atenției
• precizarea temei si a obiectivelor
• verificarea cunoștințelor elevilor
• predarea cunoștințelor noi
• implicarea elevilor ın predare si rezolvarea de probleme
• aprecierea elevilor
• asigurarea feed-back-ului
• propunerea unor teme si anunțarea temei următoarei lecții
• concluzii
Pe parcursul lecției vor fi avute ın vedere competențele generale si specifice,
precum si obiectivele operaționale. O lecție poate să atingă doar unii din
pașii de mai sus, cum poate include si alții.
Titlul lecției: Aplicații ale teoremei Cayley–Hamilton
Tipul lecției: fixarea cunoștințelor
Tema : Aplicații ale ecuației caracteristice asociate unei matrice de ordin 2 sau3.
Ca introducere, este util să le cerem elevilor să verifice relația
A2 − (a + d) A + (ad − bc) I2= O2, (1)
unde A = ∊2().
Recunoaștem aici ecuația caracteristică asociata unei matrice pătratice de ordinul 2 (consecință a teoremei Cayley1-Hamilton).
Verificarea ei ocupă puțin timp si permite recapitularea unor cunoștințe despre calculul matricial. Din punct de vedere metodic, relația se dovedește a fi un instrument de lucru extrem de eficient, util ın rezolvarea unor probleme diverse atât ca tematică precum ¸si ca nivel de dificultate.
Pentru familiarizarea elevilor cu terminologia, definim ın acest moment o matrice
A = ∊2() matricea caracteristica A-XI2,unde tr(A)=a+d si polinomul caracteristic
X2-tr(A)X+detA I2,după care cerem să se determine aceste elemente pentru câteva matrice concrete.
Putem trece apoi la exemple care să pună ın evidenta eficiența relației Cayley–Hamilton:
Exemplul 1.Fie unde A = ∊2() cu a + d ≠0. Să se arate că matricea B ∈2() comută cu A, dacă ¸si numai dacă B comută cu A2.
Soluție: Scriind ecuația caracteristică a lui A si înmulțind la stânga si respectiv la dreapta cu B vom obține:
A2 B − (a + d) A B + (ad − bc) B = O2, si
BA2 − (a + d)B A + (ad − bc) B = O2,
ceea ce permite scrierea:
A2 B – BA2 = (a + d) (AB − BA),
relație care asigură concluzia din enunțul problemei.
Relația (1) se dovedește foarte utilă ˆın calculul puterilor An, atât pentru
n natural cât si pentru n = −1.
Exemplul 2. Fie A = . Să se calculeze An, n ≥ 1.
Soluție: Ecuația caracteristică este A2 − 5A − 0 I2 = 02, adică A2 = 5 A si, inductiv,
deducem An= 5n-1 A pentru oricare n ≥ 1.
Exemplul 3. Fie A = . Să se calculeze An, n ≥ 1.
Soluție: Ecuația caracteristică se scrie A2 − 4 A + 3I2 = O2 de unde
A2= 4A−3I2. Cum A3= AA2 = 4A2−3A = 4 (4A − 3I2)−3A = 13A−12I2,
ne gândim că putem demonstra existenta a două șiruri de numere reale (care verifică relația An= an A + bnI2, pentru oricare n ≥ 1.
Evident, a1 = 1, b1 = 0, a2 = 4 ¸si b2 = −3. Dar An+1 = A An =
=A (anA + bnI2) = an A2+bn A = an (4A − 3I2)+bnA = (4an+ bn)A−3an I2.
Utilizând din nou inducția matematică, obținem relațiile de recurenta
an+1 =4an + bn ¸si bn+1 = −3an.
Acum avem o legătură extrem de interesantă cu lecțiile de analiză, ¸șiruri recurente, care, exploatată corespunzător, poate conduce la o atractivitate sporită a lecției. Din relațiile de mai sus obținem
an+1 = 4an − 3an+1 si,utilizând formula termenului general pentru astfel de recurențe, deducem
an =(3n-1)/2 si bn=(-3n+3)/2, deci
An =
Exemplul 4.
Fie A=. Să se determine A-1.
Exemplul este si un pretext pentru a pune ın evidenta aspectul ecuației caracteristice ın situația matricelor de ordin 3. Totuși, dacă timpul o permite, este recomandabil să cerem mai întâi elevilor calculul inversei cu metoda deja știută, pentru a compara eficiența metodelor. Prezentăm apoi ecuația caracteristica pentru matricele de ordin 3:
Pentru A= matricea caracteristică se scrie A – XI3, iar polinomul
Caracteristic p(X) = det (A – XI3) = (−1)3(X3− σ1 X2 + σ2X – σ3) unde:
σ1 = a11 + a22 + a33 (urma lui A, notată de obicei tr(A)),
σ2 =++
σ3 = det(A).
Desigur, putem solicita să se verifice prin calcul direct că avem relația
A3 –σ1A2 +σ2A−σ3I3 = O3, sau, ın funcție de nivelul de generalizare, putem
prezenta teorema Cayley–Hamilton.
Soluția problemei din exemplul 4: Relația precedentă se poate rescrie:
det(A)I3= A3 –σ1A2 +σ2A=A( A2 –σ1A +σ2I3)= ( A2 –σ1A +σ2I3)A,
adica A-1=( A2 –σ1A +σ2I3). Pentru matricea noastră concretă,
σ1 = 6,
σ2 ==3+1+1=5,
σ3= det(A) = 8 + 1 + 9 − 6 − 6 − 2 = 4.
Prin urmare, ecuația caracteristică este: A3 –6A2 +5A−4I3 = O3, iar
A-1=( A2 –6A +5I3)=
=(-6+==
La tema pentru acasă calculul inversei unei matrice de ordin 2 folosind ecuația caracteristică.
FISA DE LUCRU
Determinați polinomul caracteristic al matricei A=
Rezolvare: De obicei ,teorema Cayley-Hamilton se enunță in forma pA(A)=0n, unde
pA(X)=det(XIn –A) este polinomul caracteristic al matricei A(iar, în general, dacă
p(X)=, P(A)=
Pentru n=3 avem A3 –s1A2 +s2A−s3I3 = O3 unde s1 este urma matricei A, s3 este determinantul ei, iar s2 =++
Deci, s1=1+1+1=3
s2 =++=1-5+1+1+1=-1
s3 =1+1-5=-3
Polinomul caracteristic este pA(X)=x3-3×2-x+3
Exercițiul 2. Calculați inversa matricei A= cu ajutorul teoremei Cayley-Hamilton.
Rezolvare: Conform exercițiului 1. PA(X)=-x3+2×2+4x+3
Aplicând teoremaC.H. avem –A3+2A2+4A+3I3=03 si numai daca A( A2 – A – I3)=I3 de unde concluzia ca A-1= A2 – A – I3=
ELABORAREA CONCLUZIILOR FINALE ALE CERCETARII
Pentru acestea, se elaborează un test de evaluare cu ajutorul căruia se pot îndeplini obiectivele propuse.
Obiectiv: Formarea unor strategii de aplicare a metodei vectorilor proprii de ridicare la putere a matricelor si a teoremei Cayley-Hamilton.
Lot: Clasa a-XII-a A(22 elevi-12 elevi de nivel cel puțin mediu ,not.e.m. si 10 elevi de nivel cognitiv sub mediu ,not.e.s.)
Strategii de instruire: prin descoperire deductiv-analogica semidirijata frontal(independent si individual) , combinata cu activitatea in grup si individual;
Desfășurarea experimentului este redata schematic in figura următoare pentru cele doua etape ale sale:
Desfășurând instruirea pe baza strategiilor de instruire de tip euristic elevii pot fi determinați
Etapa I
Etapa a II-a
1. Anunțarea performantei: elevii primesc spre rezolvare problema (p1): Rezolvați ecuația =A, in care valorile proprii ale lui A sunt distincte.(Anexa A)
Se parcurg împreună doua etape de instruire pe baza cărora e plauzibil ca elevii sa reușească sa-si formeze strategii de aplicare a metodei vectorilor proprii de ridicare la putere a matricelor si apoi sa rezolvați problemele (p1)-(p4).
2. Factorul experimental
2.1 Se reactualizează in mod operațional proprietatea P1 referitoare la proprietățile valorilor proprii ale unei matrice si a teoremei Cayley-Hamilton.
2.2.Se propun spre rezolvare doua probleme înrudite (p2) si (p3);
(p2) : Se considera matricea A= Sa se calculeze An utilizând metoda vectorilor proprii de ridicare la putere a unei matrice.(Anexa A)
(p3):Aceeași cerință ca la (p2) pentru matricea A= (Anexa A)
Se acorda sprijin prin instrucțiuni de semi dirijate a rezolvării problemelor ,a învățării in general, de tip euristic; se indica calcularea valorilor proprii din ecuația det(A-λI2)=0
2.3. Se propune rezolvarea problemei (p3) in mod independent si individual; sunt notați elevii care reușesc singuri rezolvarea problemei; ceilalți primesc sprijin ca in cazul problemei (p1).
Elevii reiau rezolvarea problemei (p1).
2.4.Se reactualizează metoda vectorilor proprii de ridicare la putere a matricelor; se propune spre rezolvare problema (p4): Determinați soluțiile ecuației=aI3,pentru a∊C*,n2 in cazul in care valorile proprii ale matricei X sunt distincte.(Anexa A)
Completare la experiment:
După o luna de la data experimentului s-a propus spre rezolvare problemele (p1)-(p4) unui eșantion de 17 elevi(10 e.m. si 7 e.s.) ai lotului respectiv 12A.Nu s-a acordat niciun fel de sprijin.
Rezultate obținute:
înainte de intervenția factorului experimental, au fost câteva încercări de aplicare a proprietății (P1), dar nefinalizate;
ulterior,10 elevi(8e.m. si 2 e.s.) si-au format strategii rezolutive pe care le-au elaborat ei înșiși sau si le-au format in procesul instructiv si au rezolvat problema(p1) ; 6elevi(4 e.m. si 2e.s.) au rezolvat parțial problema iar 2e.s.nu au rezolvat nimic;
7elevi(4 e.m. si 3 e.s.) au rezolvat independent problema (p3);
11 elevi(8 e.m. si 3 e.s.) rezolva independent problema (p2);
Comentariu:
a) Reactualizarea operațională a proprietății(P1) si rezolvarea problemei (p2) au ajutat elevii sa-si formeze strategii de aplicare a proprietății(P1).
b) După o luna elevii au obținut rezultate bune; problema (p4) a fost rezolvata integral de 4 elevi (3 e.m. si 1e.s.) iar alți 3 elevi au rezolvat parțial aceasta problema;
– problema (p1) a fost rezolvata integral de 6 elevi (5 e.m. si 1e.s.), 2e.m. nu au finalizat rezolvarea;
– problema (p2) a fost rezolvata integral doar de 11 elevi (8 e.m. si 3e.s.), iar ceilalți au încercat utilizarea proprietății(P1), dar fără finalizare;
– problema (p3) a fost rezolvata integral de 5 elevi (4 e.m. si 1e.s.).
Rezultatele obținute la problema (p1) sunt mai modeste-si problema a fost mai dificila.
Tabelul Rezolvarea problemelor de către e.m. si e.s. ai lotului 12A
Tabelul Rezolvarea problemelor de către e.m. si e.s.ai lotului 12A după completarea experimentului
Aplicarea in practica a strategiilor de predare-învățare, țin de un factor hotărâtor al reușitei, acesta fiind creativitatea cadrului didactic, care trebuie sa selecteze, sa compună si sa structureze problemele de matematica necesare fiecărei etape de invatare:cunoastere si înțelegere, aplicare, analiza si sinteza. Aceasta creativitate care presupune si o stăpânire a procedeelor euristice, trebuie dublata de o buna cunoaștere a principiilor didactice si a legităților psihologice ale învățării si de capacitatea elaborării unor strategii de predare-invatare.Neglijarea oricăruia dintre aceste aspecte are efecte nedorite in planul formarii de strategii la elevi, al instruirii in general.
Conținutul selectat din matematica nu trebuie pus întâmplător, ci așezat in secvențe bine determinate si coerente. Metodica predării matematice își însușește o parte dintre metodele si formele generale, alese corespunzător din matematica, astfel încât sa se asigure însușirea temeinica a cunoștințelor si formarea deprinderilor, priceperilor in studiul matematicii.
Studiul matematicii școlare asigura elevului înțelegerea unor fenomene sau situații întâlnite in viata de toate zilele.
BIBLIOGRAFIE
1. Mircea Ganga, Manual de Matematică, Elemente de Algebră liniară, și geometrie analitică, clasa a XI-a, Editura Mathpress, 2003
2. Gh. Andrei, D. Bărbosu, Gh. Boroica, Admiterea în învățământul superior, Editura Gil, 2001
3. Dan Brânzei, Sorin Ulmeanu, Matematica în concursurile școlare, Editura Paralela 45, 2000
4. C. Năstăsescu, C. Niță, Culegere de probleme pentru liceu, Algebra, Editura Rotech Pro, 1999
5. Caiet de notițe
ANEXA A
ASPECTE METODICE
1.Metoda vectorilor proprii de ridicare la putere a matricelor
FieA∊ o matrice pătratică.
Definiție. Un număr λ∊ℂ se numește valoare proprie pentru matricea A , dacă există un
vector nenul V ∊ (matrice coloană) astfel încât AV =λV .
Vectorul V din definiția de mai sus se numește vector propriu pentru matricea A
corespunzător valorii proprii λ .
Noua metodă de ridicare la putere a matricelor face apel la algebra liniară și mai exact la
următoarea :
Teoremă.
Dacă valorile proprii ale matricei A∊ sunt distincte atunci există o matrice V
nesingulară (numită matrice de pasaj) astfel încât V1AV=
Demonstrație.
Dacă λ1, …, λn sunt valorile proprii ale matricei A , atunci : (A-λ1·In) (A-λ2·In)… (A-λn·In)=0n
iar matricele (A-λi·In), i= au determinanții zero, deci există V1,V2…,Vn∊, V1≠0, V2≠0,…,Vn≠0 astfel încât AV1 =λ1V1 , AV2 =λ2V2,…, , AVn =λnVn.
Dacă V1=, V2=,…, , Vn= arătăm că matricea
V= (V1,V2…,Vn)= este inversabilă.
Dacă prin absurd două coloane i și j ar fi proporționale Vi=αVj ,α∊ℂ* am avea: AVi =λiVi AαVj=α αAVj= α()=, deci contradicție.
Notam Λ =
Avem AV=A(V1,V2…,Vn)=( AV1,AV2,…,AVn)=)=
= ( V1,V2…,Vn)= V⋅Λ, deci V1⋅A⋅V=Λ=
Noua metodă de calculeste un rezultat al teoremei de mai sus și anume:
Consecință.=V ⋅⋅
Demonstrație.Din V1⋅A⋅V=Λ, rezultă A=V ⋅Λ⋅si de aici :
An=V ⋅Λ⋅⋅V ⋅Λ⋅⋅…⋅V ⋅Λ⋅=V ⋅⋅.
Observație. Matricea V,din teorema respectiv consecința de mai sus, este o matrice arbitrară
deoarece are drept coloane vectorii proprii care la rândul lor sunt și ei arbitrari pentru că
rezultă dintr-un sistem compatibil nedeterminat.
Aplicații.
1) Considerăm matricea A = și vom calcula An utilizând consecința de mai sus.
Calculăm valorile proprii din ecuația , unde I este matricea unitate.
În cazul nostru =6.
Calculăm vectorii proprii corespunzători valorilor proprii din sistemul de ecuații (A-λi) Vi=0
Pentru rezolvăm sistemul , de unde .
Vectorul propriu corespunzător este V1=.
Pentru =6 rezolvăm sistemul, de unde .
Vectorul propriu corespunzător este V2=.
Prin urmare avem o infinitate de matrice V=, α,β∊ℝ.
Prin urmare avem o infinitate de matrice V=, α,β∊ℝ.
Alegem matricea V = , corespunzătoare valorilor=1,
Se înlocuiește Λ= = in =V ⋅⋅.
Se obține =.
2)Sa se calculeze An pentru matricea de ordinul 3 A= folosind aceeași consecință.
Ecuația caracteristică atașată lui A este =+2+5λ-6=0, de unde
rezultă valorile proprii:=-2, =3, =1. Fie V1=, V2=, V3= vectorii
proprii corespunzători. Pentru=-2, ecuația matriceală AV1=-2V1, este echivalentă cu sistemul
, de unde obținem V1=, α∊ℝ.
Analog rezultă V2=, β∊ℝ si V3=, γ∊ℝ. Alegem matricea V=,
corespunzătoare valorilor α=β=γ=1.
În continuare se înlocuiește V=, Λ= si
=in =V ⋅⋅
Obținem An=.
3) Sa se determine soluțiile ecuației Xn=a⋅I3 pentru a∊ℂ*,n2 în cazul în care valorile proprii ale
matricei X sunt distincte.
Se observă că matricea Λ= V-1⋅X⋅V este de asemenea o soluție pentru ecuația dată.
Într-adevăr, Λn = V-1⋅X⋅V ⋅ V-1⋅X⋅V ⋅…⋅V-1⋅X⋅V= V-1⋅Xn⋅V== V-1⋅aI3⋅V=aI3.
Rezulta ca exista Λ= iar ecuația devine =, unde , ∊ sunt rădăcinile de ordinul n ale lui a .
În concluzie, o parte din soluțiile ecuației Xn=a⋅I3 sunt X=V⋅=⋅, unde
sunt soluțiile arbitrare ale ecuației iar V∊ o matrice nesingulară arbitrară.
Analog se rezolvă ecuațiile de tipul Xn=a⋅Im, unde X∊.
4) Rezolvăm ecuația ,Xn=A, în care valorile proprii ale matricei A sunt distincte.
Presupunem de la început pentru a fixa ideile că A∊ .Dacă valorile proprii ale
matricei X ,iar valorile proprii ale matricei A , atunci cu
Într-adevăr, găsim V matricea nesingulară pentru care
V-1⋅A⋅V=și în continuare înmulțim relația la stânga și V la dreapta.
Rezultă
(V-1⋅A⋅Vn= Λn==
Deci Soluțiile sunt de forma X=V⋅,unde
matrice nesingulară arbitrară.
Analog se rezolvă ecuația Xn=A,pentru A∊.
Remarcă. Pentru rezolvarea ecuațiilor de mai sus există și alte metode.
Breefing. Din cele prezentate rezultă:
Avantajul metodei.
Este cea mai rapida metodă pentru matrice pătratice cu ordin mai mare ca 2. Dacă avem de exemplu o matrice de ordinul m , numărul de necunoscute pentru determinarea lui este m2-m (deoarece
rezultă din m sisteme compatibile simplu nedeterminate cu m ecuații) față de câte
necunoscute trebuie determinate pentru aflarea lui din sistemul de ecuații
Dezavantajul metodei.
Se determină doar în cazul în care valorile proprii ale matricei A sunt distincte
Algoritmul metodei.
Pentru determinarea elementelor matricei , în cazul general A∊. , se parcurg
etapele:
a)se determină valorile proprii, (se rezolvă ecuația det(A-λI)=0, care are soluții
simple) ;
b)se determină vectorii proprii, (se rezolvă sistemele de ecuații
(A-=0, )
c)se calculează =V⋅ V-1
Osatura, ridicării la putere a unei matrice o reprezintă valorile proprii ale acesteia.
BIBLIOGRAFIE
1. Mircea Ganga, Manual de Matematică, Elemente de Algebră liniară, și geometrie analitică, clasa a XI-a, Editura Mathpress, 2003
2. Gh. Andrei, D. Bărbosu, Gh. Boroica, Admiterea în învățământul superior, Editura Gil, 2001
3. Dan Brânzei, Sorin Ulmeanu, Matematica în concursurile școlare, Editura Paralela 45, 2000
4. C. Năstăsescu, C. Niță, Culegere de probleme pentru liceu, Algebra, Editura Rotech Pro, 1999
5. Caiet de notițe
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Determinanti Si Matrice (ID: 159065)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.