Denumire : CLASE SPECIALE DE NUMERE NATURALE – LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ DE GRADUL I Autor: RIȘCĂ FLORIN ADRIAN Unitatea de învățământ: Școala… [610769]

1

RESURSĂ EDUCAȚIONALĂ DESCHISĂ

Denumire : CLASE SPECIALE DE NUMERE NATURALE – LUCRARE
METODICO -ȘTIINȚIFICĂ DE GRADUL I
Autor: RIȘCĂ FLORIN ADRIAN
Unitatea de învățământ: Școala Gimnazială „Ștefan
Protopopescu” Slatina
Disciplina: Matematică
Clasa: Gimnaziu
Scopul materialului propus: de documentare pentru cadrele
didactice

2

ARGUMENT

Am ales aceast ă lucrare pentru că numerele natural e, deși cele mai simple numere pe care le
folosim, au fost studiate de -a lungul istoriei și sunt în continuare studiate. Se descoperă permanent
câte un lucru nou referitor la numerele natural e, ceea ce înseamn ă că acest domeniu este practic
inepuizabil.
Această temă este eficientă, ea fiind necesară în completarea no țiunilor elevilor , dar este
utilă chiar și profesorilor, mai ales celor din învă țământul gimnazial și constituie baza pentru
tendința actuală de a se insist a pe calculul algebric.
De altfel, numerele naturale se învață practice de la cele mai fragede vârste, copilul învă țând
să numere din primii ani de via ță. Evident că el nu știe noțiunea de număr natural , dar el folose ște
simbolurile numerelor.
Mai târziu află ce este aceea mul țimea numerelor naturale notată cu simbolul , mulțime
despre care află că este infinită și este reprezentată astfel:
.
Apoi află că numerele naturale se folosesc în opera ții de adunare, scădere, înmul țire,
împărțire și putere și că fiecare dintre acestea este guvernată de reguli clare care trebuie respectate
întocmai.
În clasa a V -a află de existen ța numerelor prime , de divizibilitate și de criteriile cele mai
simple de divizibilitate , cu 2, 5 și 10. Tot acum află că numerele naturale se pot reprezenta pe axa
numerelor .
Mai târziu, în clasa a VI -a află că există și alte criterii de divizibilitate , cu 3, cu 4, cu 9, cu
25. Elevii mai pasiona ți de matematică află că există și alte criterii de divizibilitate și că, de fapt, se
pot crea multe alte criterii de divizibilitate combinându -le pe cele cunoscute.
Practic, putem considera că, în fiecare an, se mai adaugă câte ceva în bagajul de cuno ștințe
ale unui elev despre numerele naturale .
Lucrarea este structurată pe 5 capitole.
La început se face o introducere în ceea ce î nseamnă meseria de profesor de matematică , cu
tot ce înseamnă aceasta, cu ce se confruntă în activitatea sa, cu multele obstacole pe care le

3
întâmpină în motivarea elevilor și în promovarea respectului celorlal ți pentru munca deosebită pe
care trebuie să o depună un profesor de matematică.
În primul capitol sunt prezentate câteva chestiuni preliminare de aritmetică, cu definirea
noțiunii de număr natural, operații cu numere naturale, teorema împ ărțirii cu rest și o demonstra ție a
ei.
De asemenea, tot în cadrul acestui capitol sunt prezentate câteva teoreme importante pentru
aritmetică , cum ar fi Teorema fundamental ă a aritmeticii, Teorema lui Euler, Teorema lui Fermat,
Teorema lui Wilson .
Se introduce no țiunea de număr prim și se exemplifică modul cum se poate face trecerea
unui număr natural dntr -o bază de numera ție într -o altă bază de numera ție.
În capitolul al doilea se insistă pe mul țimea numerele prime, teoreme referitoare la
infinitatea numerelor prime , câteva criterii mai deosebite de divizibilitate, Ciurul lui Eratostene de
determinare a numerelor prime și teoremele Bertrand -Cebî șev și Scherk .
În capitolul al treilea sunt definite numerele de tip Fermat, numerele de tip Mersenne,
numerele de tip Fibonacci, numerele perfecte, numerele pseudoprime, numerele absolut
pseudoprime, numerele Carmichae l, numerele triunghiulare , numere prime gemene și numerele
pitagoreice .
Pentru fiecare dintre ele sunt preze ntate considera ții practice și teoreme importan te
referitoare la acestea.
Capitolul al patrulea con ține aplica ții referitoare la divizibilitatea în mul țimea numerelor
natural e, la mulțimea numerelor prime și la fiecare dintre clasele special e de numere naturale.
În capitolul următor se prezintă chestiuni metodice despre predarea algebrei în gimnaziu,
despre didactica matematică , despre ce înseamnă meseria de profesor și despre cum se predă în
școală noțiunea de număr natural.
În contextual actual când ne aflăm în era calculatoarelor, se înregist rează multe progrese în
studiul matematicii folosind computerele cu memorie și cu o viteză de calcul foarte mare.
De altfel, de exemplu, legat de numerele prime, s -a ajuns să se afle cel mai mare număr
prim, de peste 10 milioane de cifre și lucrurile nu s -au oprit aici, existând în continuare cercetări
pentru a afla numere prime și mai mari.
Matematica are o contribu ție însemnată în societate, studiul acestei discipline realizează
obiective opera ționale și neopera ționale cu precădere, determinând dezvol tarea gândirii și
progresului omenirii.

4

INTRODUCERE

Alegerea viitoarei meserii (în principiu, a facultății ce trebuie urmată) trebuie să fie
considerată o decizie esențială în evoluția vieții fiecărei persoane. Dacă opțiunea este făcută având la
bază doar motivația materială (un venit consistent și rapid), structura socială și economică a societății
la acel moment sau dorințele unor părinți prea autoritari, de multe ori se ajunge la insatisfacție sau
eșec profesional. Nu spunem că aceste aspect e nu trebuie luate în seamă, dar ele nu trebuie să fie
dominante în hotărârea fiecăruia (oricum, la ritmul de schimbare a configurației socio-profesionale
actuale, ele pot fi înșelătoare). E bine să alegem o specialitate care poate oferi posibilitatea de a lucra
în mai multe domenii, care es te indispensabilă dezvoltării anumitor ramuri economice, științifice,
etc. Opțiunea trebuie să se bazeze în primul rând pe o analizare critică a aptitudinilor, posibilităților,
dorințelor pers onale, deoarece profesiunea aleasă trebuie să fie prac ticată din plăcere.
Alături de medic și preot, profesorul joacă un rol important în viața fiecăruia. Dacă primii doi
au grijă de sufletul și trupul nostru și ne învață cum să le îngrijim, dascălul ne îndrumă în a acumula
experiențe, cunoștințe, modelează gândirea, dezvoltă personalitatea, oferă exemple de viață și criteri i
de valoare morală. Din acest motiv, profesiunea de dascăl este una vocațională.
Marele matematician Grigore Moisil spunea că profesorul este cel care într-o anumită
disciplină, știe în fiecare zi mai mult decât ieri, învățându-l pe altul ce știe el azi, îl pregătește
pentru ce va afla mâine și care poate să fundeze ceea ce știe într-o anumită disciplină, pe ceea ce
știe din celelalte discipline pe care aceasta se reazemă.
În cadrul pregătirii profesionale a unui profes or se îmbină două laturi: cea științifică și cea
pedagogică. Este evident că un dascăl bun trebuie să fie o persoană cu o pre gătire științifică bogată,
bine fundamentată, net superioară nivelului la care se predă. Chiar dacă un profe sor predă doar la
gimnaziu, el trebuie să cunoască ceea ce se predă la orele de matematică în liceu pentru a pregăti
corespunzător elevii făcând legătura dintre noțiunile predate de el și cele viitoare, asigurând
continuitatea învățării. Considerăm că cea mai mare răspundere în formarea abilităților și gândirii
matematice a elevilor o are profesorul de matematică din gimnaziu. El este primul profes or de
specialitate care trebuie să-I facă pe copii să îndrăgească matematica și să-i inițieze cu răb dare în
tainele acesteia. Pentru aceasta, el are menirea dificilă de a transpune noțiuni, greu de aprofundat în
această etapă, într-un limbaj accesibil vârstei, fără a renunța la rigoarea matematică. Profesorul care
predă doar la liceu trebuie să cunoască exact noțiunile predate în perioada gimnazială, acestea fiind

5
fundamental pe care va clădi și va dezvolta în continuare. De ase menea, este necesar ca el să fie
familiarizat cu metodele specifice de abordare a matematicii în gimnaziu pentru a realize o punte de
legătură cu noile metode din liceu. Ținând cont de faptul că noțiunile din liceu devin din ce în ce mai
abstracte (analiza matematică, în special), profesorul trebuie să cree ze motivații puternice, să pună
accentual pe caracterul interdisciplinar al matematicii, să încurajeze căutarea și cercetarea elevilor.
Dacă profesorul pune accentul pe latura problematic ă a matematicii, adică explică probleme
care conduc la introducerea unor noțiuni noi sub forma precizată (de ce a apărut?, la ce folosește?, de
ce așa?), se vor dezvolta motivațiile care stau la baza acestora. Cărțile de cultură matematică
generală joacă aici un rol important. Spre deosebire de manualele, revistele, culegerile de
matematică care au o formă conservatoar e și rigidă, acestea prezintă rezultate matematice sub o
formă mai plăcută, stabilesc mai ușor motivații și conexiuni cu alte domenii. Dintre aceste cărți, este
bine să nu lipsească din bibliografia de studiu următoarele: Licuricii din adân curi, Aventura
geometriilor neeuclidiene, Istoria numărului pi (Florica T. Câmpan), Vraja geometriei demodate
(Viorel Vodă), etc.
Un prim pas în dezvoltarea creativității, inteligenței elevilor constă în încurajarea acestora în a
întreba (chiar dacă uneori răspunsurile sunt elementare) fără a-i admonesta că sunt obraznici sau a-i
face să se simtă stânjeniți. Matematicianul Solomon Marcus subliniază acest fapt precizând că
„discursul matematic are totdeauna caracter deschis, generator de întrebări. A învăța să te
nedumerești este lucrul cel mai important. Restul vine aproape ca un corolar.”
Atitudinea elevului relative la învățarea matematicii trebuie să fie activă. El trebuie învățat să
gândească singur, să abordeze și să caute soluții personale la anumite problem e sau demonstrații de
teoreme pe care apoi să le confrunte cu altele. Acesta este și începutul activității sale de cercetare
(care are loc la orice nivel, chiar și în gimnaziu). Oferirea unor „rețete” sau soluții „de-a gata” nu
dezvoltă imaginația, căutarea, judecata elevilor. De exemplu, în cazul construcțiilor ajutătoare în
problemele de geometrie, dacă nu „se vede” modul de demonstrație, printr-un lanț de întrebări,
adecvat alese, elevul poate găsi singur, la un anumit pas, rezolvarea și, pentru a o reține, va avea o
motivație mult mai profundă decât cea clasică „pentru că așa se fac e”. În cadrul concursurilor
școlare, găsim de multe ori abordări originale care nu urmează șablonul clasic, rezolvări inedite, care
arată că elevii sunt capabili de activități creatoare începând chiar din cele mai mici clase.
Gândirea matematică presupune capacitatea de a r aționa în etape riguros alcătuite, fiecare
legată de cele anterioare dar și capacitatea de concentrare a atenției pe durată mare. În acest sens,
exercițiile de calcul suficient de lungi, atât de desconsiderate de mulți, le dovedesc elevilor cât sunt
de pregătiți în canalizarea atenției și concentrarea asupra lucrului curent. Concursul „Cangurul” cere

6
și el atenție și concentrare maximă; print re altele, participanții află cât de important ă este citirea cu
atenție a enunțului unei probleme. Elevii trebuie să fie conștienți de faptul că greșelile de calcul
conduc la penalizări, chiar dacă raționamentul este corect; ei au datoria ca, prin exercițiu personal,
să-și dezvolte capacitatea de concentrare.
Problemele de tipul „unde este greșeala?” contribuie atât la formarea spiritului de rigoare cât și
la testarea cunoștințelor asimilate. De asemenea, dacă vom propune analizarea unor texte matematice
din cărți, reviste de specialitate, lucrări ale elevilor sau a le profesorului, elevii vor putea comenta
forma estetică, modul de expunere, neclaritățile, ambiguitățile, eventualele greșeli și se vor acomoda
cu studiul științific. Astfel, ei vor cerceta învățând.
Ținând cont de influența tehnicii computaționalizate în viața curentă, profesorul de
matematică trebuie să pună accentual pe dezvoltarea gândirii algoritmice a elevilor.
Formarea capacității de abstractizare este un alt deziderat în activitatea desfășurată la orele de
matematică. Procesul începe încă din gimnaziu prin exerciții de rec unoașterea unor noțiuni, formule,
proprietăți, teoreme, indiferent de notație. Pentru aceasta, este important să exprimăm și în cuvinte
orice enunț formulat simbolic (mai ales la analiză matematică și algebră). Chiar dacă redactarea
simbolică este de cele mai multe ori mai concisă, riguroasă și comodă, pentru a fi reținută și aplicată
în alte demonstrații ea trebuie înțeleasă în profunzime. Enunțul matematic transpus numai în cuvinte
face apel la un limbaj mult mai familiar elevilor și evidențiază în mod direct semnificația avută în
vedere, făcând apel atât la logică cât și la intuiția fiecăruia.
Doar pregătirea științifică superioară a unui cadru didactic nu reprezintă garantul unui profesor
bun. Esențială este și capa citatea de a comunica elevilor cunoștințele, de a le prezenta într-o formă
accesibilă, comodă, motivată, care să condu că la obținerea unor rezultate cât mai bune. Pentru
aceasta, profesorul trebuie să cunoască psihologia copilului, să-și perfecționeze metodica de predare-
învățare-evaluare, deținând noțiuni de pedagogie; să aibă tact; să fie deschis la nou.
Profesorul de matematică nu are menirea doar de a-i învăța pe elevi matematica. El trebuie să
le sublinieze acestora rolul disciplinei în dezvoltarea societății, oferind motivații puternice învățării;
prin metodele de lucru și limbajul științific, el dezvoltă inteligența, spiritul creator, talentul elevilor,
îi învață să gândească logic, să caute adevărul și noutatea, să lucreze singuri, dar și în echipă. De
asemenea, el trebuie să le dezvolte spiritul de obiectivitate, de corectitudine, de etică, fiind un
exemplu pentru ei în acest sens.

7

CAPITOLUL 1. PRELIMINARII DE ARITMETICĂ

1.1. TEORIA NUMERELOR

Obiectul inițial al teoriei numerelor a fost studiul proprietăților numerelor naturale . Ca
ramură a matematicii, teoria numerelor s -a constituit si stematic abia mai târziu. Rezultate separate
se cunosc încă din antichitate și aparțin lui Euclid (300 î. H.) și lui Diofante (250 î. H.). În secolul al
XVII–lea, în cercetările sale Pierre Fermat (1601 -1666) face descoperiri remarcabile, de o reală
valoare științifică.
Progrese mari a realizat prin numeroasele sa le lucrări Leonhard Euler (1707 -1783) ale cărui
idei au fost deosebit de fructuoase.
Teoria numerelor este azi o ramură cu multe ramificații, înrudită cu algebra abstractă (în
special în ceea ce privește teoria algebrică a numerelor) și care folosește cele mai rafinate metode
ale analizei ( în teoria analitică a numerelor). Apar astfel probleme și subdomenii care au numai
indirect legătură cu numerele întregi.
Spre deosebire de alte domenii ale mat ematicii, multe rezultate ale teoriei numerelor sunt
accesibile și unor nespecialiști fără cunoștințe temeinice aprofundate. Demonstrațiile acestor
rezultate necesită un instrument matematic foarte complicat.
Teoria numerelor este denumită “regina matemati cii“. Vorbind de ea, Gauss a afirmat “Este
remarcabil că oricine se ocupă serios de această știință este cuprins de o adevărată pasiune“ (Gauss
1808 –către prietenul său din tinerețe Bolyai).
Elevii fac cunoștință cu mulțimea numerelor naturale 0,1,2,3, … , n notată cu încă din
clasele primare. Matematicianul italian Giuseppe Peano (1858 -1932) a definit numerele naturale ca
fiind elemente ale unei mulțimi în care s -a fixat un element 0 (numit numărul natural 0) împreună
cu o funcție (numită funcție succesor) astfel încâ t axiomele următoare să fie îndeplinite:
AXIOMELE LUI PEANO
A1. Zero este număr natural
A2. Orice număr natural admite un succesor unic, care este tot număr natural.
A3. Zero nu este succesorul nici unui număr natural.
A4. Dacă succesorii a două numere naturale coincid, atunci numerele coincid.

8
A5. Dacă o mulțime de numere naturale conține pe 0 și pentru fiecare număr din această
mulțime succesorul său aparține mulțimii, atunci mulțimea considerată coincide cu mulțimea tutu ror
numerelor naturale.
OBSERVAȚIA 1.1. Axioma A5 se mai numește principiul inducției sau axioma inducției.
DEFINIȚIA 1.2. Se numește adunarea numerelor naturale aplicația:
(unde ) astfel încât:
1. a+ 0 = a .
2. ( = succesorul lui b ) .
Proprietățile adunării numerelor natural e sunt:
1. Adunarea numerelor naturale este asociativă. , (a+b)+c = a+ (b+c) .
2. Adunarea numerelor naturale este comutativă . , a+b=b+a .
3. Adunarea numerelor natural e admite pe 0 ca element neutru, adică ,
.
DEMONSTRAȚIE: Fie și fie
 .
Evident iar dacă atunci
deci și . Așadar și proprietatea e demonstrată.
Fie și fie . Din definiția numerelor naturale rezultă că
. Dacă atunci .
Din definiția numerelor naturale rezultă:
și .
.
DEFINIȚIA 1.3. Se numește înmulțirea numerelor naturale aplicația :
astfel încât:
1. , .
2. ( = succesorul lui b ).
Proprietățile înmulțirii numerelor naturale sunt:
1. Înmulțirea num erelor naturale este asociativă .
2. Înmulțirea num erelor naturale este comutativă .
3. Înmulțirea numerelor natu rale are pe 1 ca element neutru .
4. Înmulțirea numerelor naturale este distributivă față de adunarea numerelor naturale
.
DEMONSTRAȚIE:
1. Pentru definim .

9
Este clar că și dacă atunci :
deci
.
Așadar , și proprietatea e demonstrată.
Pentru , fie . Evident iar dacă , atunci :
deci . Rezultă că și astfel proprietatea e demonstrată.
Fie .
.
4. Fie și fie .
Evident . Dacă , atunci:
deci .
Așadar și relația e demonstrată.
TEOREMA 1.4. Adunarea și înmulțirea numerelor naturale au proprietățile următoare pentru
:
;
;
;
;
.
DEMONSTRAȚIE: Dacă atunci cu . Rezultă că
. Contradicție.
Fie . Evident .
Presupunem că și că .
Atunci și apli când A4 (din axiomele lui Peano ) rezultă .
Cum și deci . Așadar și proprietatea e
demonstrată.
Presupunem că . Fie astfel încât . Avem
și din relația 1 rezultă . Contradicție.
Fie și .
Dacă atunci și din relația 3 rezultă , deci .
Presupunem că și . Cum din relația 3 rezultă că
, deci de unde .

10
Fie astfel încât .
Din rezultă , deci conform relației 2.
Cum deducem și deci . Așadar , deci și proprietatea e
demonstrată.
Cum , avem .
Fie astfel încât , . Avem
și A4 ( din axiomele lui Peano ) rezultă că .
Aplicând relațiile 1 și 3 obținem și , deci și
.

1.2. TEOREMA ÎMPĂRȚIRII CU REST ÎN CAZUL NUMERELOR NATURALE

În acest paragraf vom enunța și demonstra prima teoremă de o importanță considerabilă
pentru întregul studiu care urmează. Până la demonstrația lui Zermelo a teoremei fundamentale a
aritmeticii, dată în secolu l nostru, teorema împărțirii cu rest deschidea singura cale pentru
demonstrația teoremei fundamentale a aritmeticii dată de Euclid acum 2000 de ani.
În cazul numerelor naturale vom enunța și demonstra numai un aspect al teoremei împărțirii
întregi cu scopul de a folosi acest lucru în demonstrația teoremei împărțirii între gi, în cazul general
al numerelor întregi. Procedând în acest fel, se scoate în același timp în evidență și modul în care
ajungem la teorema împărțirii întregi, în cazul când cel puțin unul din numerele întregi considerate
nu e număr natural. Acesta e chia r modul în care lucrăm în diferitele cazuri concrete.
TEOREMA 1.2.1. Dacă a și b sunt numere naturale, iar , atunci ex istă o pereche de
numere natural , unde q este denumit cât și r este denumit rest, astfel încât și
.
DEMONSTRAȚIA o vom face în mai multe etape.
Etapa I Determinarea câtului q .
Vom considera multiplii lui b, diferiți doi câte doi, cuprinși între b și a, atunci când aceștia
există, precum și multiplul de b egal cu b, cât și cel egal cu a, dacă a este multiplu de b. Astfel de
multiplii de b există, deoarece un astfel de multiplu de b este chiar b.
Mulțimea considerată a multiplilor de b este o mulțime finită, deoarece sau conține numai pe
b dacă sau dacă coincide cu mulțimea care conține pe b, pe a și pe fiecare dintre
numerele întreg i aflate între b și a, atunci c ând aceștia există, ceea ce se întâmplă atunci când
sau este o submul țime proprie a acestei mulțime finită, conform proprietății numerelor întregi și

11
conform teoremei mulțimilo r finit e. Proprietatea numerelor naturale spune că între două numere
naturale diferite care nu sunt consecutive se află doar un număr finit de numere naturale diferite
două câte două. Teorema mulțimilor finite spune că reuniunea a două mulțimi disjuncte fi nite este o
mulțime finită.
Mulțimea considerată a multiplilor de b, fiind o mulțime finită, putem determina pe cel mai
mare dintre ei. Să notăm cu acest multiplu de b, și atunci și , deoarece
fiecare multiplu de b din mulțimea consid erată este cel mult egală cu a, iar dacă am avea
, atunci din cauză că , iar ar fi cel mai mare multiplu de b dintre multiplii
de b considerați. Numărul natural q care apare în multiplul este câtul căutat.
Etapa II Determinarea restului r
Numărul întreg r din este restul căutat.
Etapa III Demonstrația relațiilor și .
Din rezultă , iar din și deducem că
și , deci și sau .
OBSERVAȚIE 1.2.2. Un lucru foarte important este acela că în cele de mai sus nu putem
determina decât o s ingură pereche de numere naturale q și r.

1.3. DIVIZIBILITATEA PE

DEFINIȚIA 1.3.1. Dac˘a vom considera două numere natural e a ¸si b, spunem c˘a
a divide b¸ si scriem dac˘a există un număr natural c astfel încât . În acest caz,
a se numește diviz or al lui b. Este evide nt că orice număr are cel puțin doi divizori: pe
1 ¸si pe el însu¸și. Prin diviz or propriu al lui n înțelegem un diviz or diferit de num˘arul n, iar
prin divizor netrivial al lui n, un divizor diferit de 1¸ si n.
Relația | definită pe se numește relație de divizibilitate pe , adică este o relație
reflexivă, antisimetrică și tranzitivă, deci o relație de ordine pe .
DEFINIȚIA 1.3.2. Un num˘ar , care nu are al¸ti divizori în afară de 1¸ si el
însu¸si se zice prim . Un num˘ar se nume¸ste compus dac˘a are cel puțin un divizor netrivial.
Numărul 2 este singurul număr natural par și prim. Celelalte numere prime sunt impare
și mai mari decât 2. Este clar că nu orice număr impar este prim. Putem da exemplu numărul 9
care se divide cu 3.
LEMA1.3.3. Orice num˘ar natural, mai ma re decˆat 1 are un divizor prim.
DEMONSTRAȚIE: Pentru a demonstra afirmația, reducem la absurd și

12
presupunem că există un număr care nu are divizori primi. Dacă notăm
mulțimea acestor numere cu S, cum ea este nevidă și este bine ordonată există un cel
mai mic element în S . Fie acesta . Numărul este atunci un număr compus, deci
, cu . Pentru a nu contrazice alegerea lui , adică a are un divizor prim care
va fi divizor ¸si pentru , ceea ce contrazice faptul c˘a .
Cele mai mici numere prime sunt 2, 3, 5, 7, etc. (mai tâ rziu vom demonstra că există o
infinitate de numere prime ). Astfel singurul număr prim par este 2. Am demonstrat mai sus
teorema împărțirii cu rest în : dacă , , atunci există și sunt unici astfel
încât , iar ; numărul c se numește câtul împărțirii lui b la a, iar r este
restul acestei împărțiri (evident dacă și numai dacă ).
TEOREMA 1.3.4. Fiind date dou ă numere , există (vom nota
astfel încât , , iar dacă mai avem atunci atunci (adică
în mulțimea parțial ordonată pentru orice două elemente a și b există ).
DEMONSTRAȚIE: Conform teoremei împărțirii cu rest, putem scrie cu
, iar .
Dacă atunci și în mod evident .
Dacă , atunci conform aceleiași teoreme de împărțire cu rest putem scrie
, cu iar .
Dacă , atunci . Într -adevăr, din deducem că , iar din
deducem că . Dacă mai avem astfel încât , atunci cum
, deducem că .
Dacă , atunci din nou putem scrie , cu și algoritmul
descris până acum continuă, obținându -se un șir descrescător de numere naturale
astfel încât . Acest șir este staționar.
Astfel, dacă pentru un anume k, avem , atunci , pe când dacă
atunci .
De exemplu:
1. Dacă și avem:
;
;
;

13
de unde obținem că .
2. Dacă și avem:
;
;
;
de unde deducem că .
OBSERVA ȚII:
1. Numărul d poartă numele de cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al lui a și b
și îl scriem .
2. Algoritmul de găsire a celui mai mare divizor comun a două numere naturale
descris mai înainte poartă numele de algoritmul lui Euclid.
3. Dacă pentru avem , vom spune despre a și b că sunt prime între
ele.
4. Inductiv se arată că pentru oricare n numere naturale ( există
astfel încât pentru orice și dacă mai avem pentru
orice , atunci . Numărul d se notează prin și
poartă numele de cel mai mare divizor comun al numerelor .

1.4. TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ARITMETICII

DEFINI ȚIA 1.4.1. Fie și , , un număr prim. În mod evident, există
astfel încât și (altfel zis, k este cel mai mare număr natural cu
proprietatea ). Convenim să notăm și să-l numim ordinul sau exponentul lui
p în a. Dacă a=0 vom lua , iar .
PROPOZI ȚIA 1.4.2. Orice număr natural nenul se scrie ca un produs de numere
naturale prime.
DEMONSTRA ȚIE: Fie A mul țimea numerelor naturale nenule ce nu se s criu ca produs
de numere natural prime. Dacă prin absurd propozi ția pe care trebuie să o demonstrăm nu ar fi
adevărată, atunci . Această mul țime va con ține un element minimal . În particular
și cum nu este prim putem scrie cu , iar ,
deducem că , deci m și n se scriu ca produse de numere prime. Atunci și se

14
scrie ca produs de numere prime, absurd! Deci și cu aceasta propozi ția este
demonstrată.
COROLAR 1.4.3. Pentru orice există numerele natural prime
astfel încât
cu .
TEOREMA 1.4. 4. (TEOREMA FUNDAMENTAL Ă A ARITMETICII): Pentru orice
număr natural nenul n, există o descompunere a lui n în fac tori primi
cu
exponenții unic determina ți de n (de fapt ).
DEMONSTRA ȚIE: Scrierea lui n în forma din enun ț rezultă din Corolarul 1.4.3. Să
probăm acum unicitatea acestei scrieri. Aplicând pentru un q prim în

obținem . Deducem că și astfel teorema este
demonstrată.
COROLAR 1.4.5 . Pentru orice n există și sunt unice numerele prime distincte
și numerele naturale nenule astfel încât (spunem
că această scriere a lui n este descompunerea lui n în factori primi ).
COROLAR 1.4.6 . Fie astfel încât și . Atunci există
astfel încât și .
DEMONSTRA ȚIE: Fie și descompuneri ale
numerelor în factori primi (deci , pentru și ). Din
deducem că . Obținem deci că
, egalitate ce dă descompunerea lui în factori primi.
Însă, conform teoremei fundamentale a aritmeticii (T.F.A.), descompunerea unui
număr natural în produs de puteri de numere prime distincte este unică (abstrac ție făcând de
ordinea de alegere a factorilor). Astfel, dacă , atunci
, de unde deducem că și , , .
Atunci putem considera și .
TEOREMA 1.4. 7.(LEGENDRE): Dacă iar p este un număr prim, atunci
exponentul lui p în este dat de
.

15
DEMONSTRA ȚIE: În mod evident exponentul al lui p în este dat de
, unde este numărul numerelo r dintre care se divid cu p dar nu cu
, este numărul numerelor dintre care se divid cu dar nu cu , etc.
Să calculăm acum un . Numerele ce se divid cu dintre sunt
, cu , deoarece dacă j este luat dintre și
avem și cum avem . Dar
, deci
.
Numerele dintre care se divid cu se află toate printre numerele
care se divid cu . Dacă din numerele dintre care se divid cu (ce sunt în număr de
extragem toate care se divid cu (ce sunt în număr de
) obținem
numai numerele care se divid cu dar nu s e divid cu o putere mai mare a lui p
(deoarece acestea nu se divid cu ).
Conform celor de mai sus, numărul acestora este egal cu .
Avem deci

(această sumă este definită deoarece v a exista un astfel încât și atunci

pentru orice ).
OBSERVA ȚIA 1.4.8. Dacă atunci .

1.5. CONGRUENȚE PE

DEFINIȚIA 1.5.1. Fie , un număr fixat. Vom spune că sunt
congruente modulo n dacă ; în acest caz scriem .
PROPOZIȚIA 1.5.2. Relația de congruență modulo n este o echivalență pe
compatibilă cu operațiile de adunare și înmulțire de pe (adică este o congruență pe inelul
.
DEMONSTRAȚIE: Faptul că relația de congruență modulo n este o relație de
echivalență pe se probează imediat. Pentru aproba compatibilitatea acesteia cu operațiile de
adunare și înmulțire pe , fie astfel încât și ,
adică și , astfel încât . Atunci
, adică și scriind

16
deducem și că .
COROLAR 1.5.3. Fie astfel încât pentru orice numere
. Atunci

și

. În particular,
dacă astfel încât și , atunci .
Pentru vom nota clasa de echivalen ță modulo n. Deoarece resturile împăr țirii
unui număr oarecare din prin n sunt , deducem imediat că dacă notăm
mulțimea claselor de echivalen ță modulo n prin , atunci , iar pentru
avem . Pe mul țimea se definesc opera țiile de
adunare și înmulțire astfel: și (ținând cont de propozi ția 1.5.2.
deducem că acestea sunt bine definite).
PROPOZI ȚIA 1. 5.4. este inel comutativ în care unită țile sale sunt :
.
DEMONSTRA ȚIE: Cum verificarea axiomelor nu ridică problem e deosebite, vom
reaminti doar că elementul neutru din față de adunare este , iar iar elemental
neutru față de înmul țire este . Dacă , atunci există astfel încât
, de unde deducem că .
Reciproc, dacă și , atunci există astfel încât
, de unde deducem că , deci .
De exemplu, .
DEFINI ȚIA 1. 5.5. Pentru un număr natural definim iar pentru ,
avem numărul numerelor naturale astfel încât . Astfel,
, etc., iar . Această func ție definită prin
definită mai sus poartă numele de indicatorul lui Euler. Ea a fost studiată de Euler încă din
anul 1760. Notarea func ției lui Euler prin a fost făcută de Gauss ceva mai târziu în anul
1801.

17
1.6. TEOREMELE LUI EULER, FERMAT ȘI WILSON

LEMA 1.6.1. Dacă G este un grup (multiplicativ) finit cu n elemente ( ), atunci
, pentru .
DEMONSTRAȚIE: Fie , iar (ordinul lui x). Atunci și conform
teoremei lui Lagrange , adică există astfel încât . Deducem imediat că:
.
OBSERVAȚIA 1.6.2. Dacă G este comutativ, există o demonstrație elementară ce evită
teorema lui Lagrange. Pentru aceasta se alege și . Cum
,
deducem că .
COROLAR 1.6.3 . (EULER): Dacă este un număr natural iar astfel încât
, atunci ( fiind indicatorul lui Euler ).
DEMONSTRAȚIE: S-a putut remarca mai înainte că este monoid cu
elemente inversabile. Astfel, aplicând lema 1.6.1. grupului (ce are elemente)
pentru obținem că:
.
COROLAR 1.6.4 . (MICA TEOREMĂ A LUI FERMAT): Dacă este un număr
prim, iar astfel încât , atunci .
DEMONSTRAȚIE: Cum p este un număr prim, atunci și acum, conform
Euler de mai sus demonstrația este evident.
LEMA 1. 6.5. Fie G un grup (multiplicative) finit comutativ iar produsul tuturor
elementelor din G. Atunci
.
DEMONSTRAȚIE: Vom scrie

. Dar, în cadrul
produsului
vom grupa fiec are element x cu (avem căci dacă
atunci ar însemna că și deci , absurd ) și astfel
, de unde
concluzia noastră
.
COROLAR 1.6.6 . (WILSON): Dacă este un număr prim, atunci
.
DEMONSTRAȚIE: Cum p este prim este un grup cu elemente, iar

18
conform lemei 1.6.4., avem:
. Ne vor rămâne de pus în evidență
elementele cu proprietatea că
de unde deduce că sau , astfel
că .
Există mai multe metode de generalizare a Teoremei lui Wilson (Corolarul 1.6.5.):
LEMA 1.6.7 . Fie un număr prim, iar un număr natural. Atunci:
(i). Dacă și atunci în grupul numai elementele
au ordinul cel mult 2;
(ii). Dacă atunci în grupul numai elementele au ordinul cel
mult 2.
DEMONSTRAȚIE: Știm că . Trebuie să
determinăm în acest grup elementele astfel încât , adică acele numere
naturale a astfel încât , cu și .
Evident verifică . Dacă , atunci putem scrie și
cu , , iar .
Dacă atunci , deci și cum rezultă că , de
unde și astfel obținem elementul ce verifică de asemenea relația
de mai sus notată cu .
Dacă atunci , deci și cum rezultă că de unde
, contradicție.
Dacă , atunci , adică , deci dacă , obținem o
contradicție.
În concluzie: dacă , atunci în avem numai elementele și
ce au ordinul cel mult 2, ceea ce înseamnă concluzia de la (ii).
Dacă , atunci din rezultă că sau . Dacă atunci
, deci și cum avem că și .
Deci, în acest caz, dacă a verifică atunci .
În cazul în care atunci , deci și cum
rezultă că sau (cazul este exclus pentru că numerele v și 2 sunt prime

19
între ele).
Dacă atunci avem sau . În cazul în care rezultă că
, iar pentru cazul obținem . Se obține astfel concluzia (i).
COROLARUL 1.6.7. (O GENERALIZARE A TEOREMEI LUI WILSON): Dacă p este
un număr prim și n un număr natural, atunci:
(i). Dacă și este adevărată
;
(ii). Dacă și este adevărată
;
(iii). Dacă și este adevărată
.
DEMONSTRAȚIA este evident pe baza lemei 1.6.4. și ținând cont de ceea ce s -a
obținut în lema 1.6.6.

1.7. RĂDĂCINI PRIMI TIVE MODULO UN NUMĂR PRIM

DEFINIȚIA 1.7.1. Cel mai mic număr natural nenul m pentru care se
numește gaussian sau ordin al lui a și se notează prin . De fapt în
.
LEMA 1.7.2. Fie K un corp comutativ și un polinom cu . Atunci
f are cel mult n rădăcini distincte.
DEMONSTRAȚIE: Vom folo si inducția matematică după n. Pentru este evident
adevărată. Presupunem că este adevărată relația pentru orice polinom f din cu
.
Dacă f nu are rădăcini în K totul este clar.
Dacă există astfel încât , atunci avem: și
.
Dacă este o altă rădăcină a lui f, cu , atunci ceea ce
implică . Cum prin ipoteza de induc ție g are cel mult rădăcini distincte,
deducem că f are cel mult n rădăcini distincte.
COROLAR 1.7.3. Fie K un corp comutativ iar două polinoame astfel
încât . Dacă pentru numerele în număr de
elemente distincte astfel încât pentru orice , atunci .

20
DEMONST RAȚIE: Considerăm polinomul . Trebuie să demonstrăm că
. Evident și cum h are cele rădăcini distincte notate în ipoteză
, obținem că și deci .
COROLAR 1.7.4. Dacă este un număr prim, atunci dacă v om considera orice
, avem: .
DEMONSTRAȚIE: Cum p este prim, atunci este corp comutativ. Notăm polinomul
cu și știm că
pentru orice (ținând cont și de mica teoremă a lui Fermat).
Folosim lema 1.7.2. și obținem .
OBSERVAȚIA 1.7.5. Dacă în corolarul 1.7.4. de mai sus considerăm obținem că
, adică teorema lui Wilson (corolarul 1.6.6.).
PROPOZIȚIA 1.7.6. Fie un număr prim și . Atunci congruența
are exact d soluții.
DEMONSTRAȚIE: Dacă , atunci:

, ceea ce înseamnă că din care
obținem că .
Cum are exact rădăci ni (care sunt chiar , conform micii
teoreme a lui Fermat) și ținând cont de lema 1.7.2. deduce atunci că are exact d
rădăcini în și, deci congruen ța are exact d solu ții în .
DEFINI ȚIA 1.7.7. Fie un număr prim. Un număr spunem că este o
rădăcină primitivă modulo p dacă generează .
De exemplu, 2 este o rădăcină primitivă modulo 5 (se poate verifica u șor că
este cel mai mic număr n pentru care ), dar 2 nu este rădăcină primitivă
modulo 7 (se observă u șor că există 3, un număr mai mic pentru care ).
LEMA 1.7.8. Dacă p este un număr natural prim și avem: .
DEMONST RAȚIE: Știm faptul că numărul
și deoarece

iar p nu divide nici pe și nici pe și de aici notând
atunci
deducem că și deoarece și, deci .

21
LEMA 1.7.9. Dacă este un număr natural, iar este un număr natural prim
și astfel încât , atunci .
DEMONSTRA ȚIE: Considerăm un număr cu proprietatea că .
Atunci ob ținem în care și astfel încât
, de unde .
COROLAR 1.7.10. Dacă este un număr prim iar unde , atunci
pentru orice .
DEMONSTRA ȚIE: Vom considera induc ție după n pentru a face demonstra ția.
Pentru demonstra ția este evidentă.
Presupunem că afirma ția din enun ț este adevărată pentru n. Trebuie să arătăm că este
adevărată pentru . Din lema 1.7.9.: .
Dezvoltăm cu ajutorul binomului lui Newton și obținem: ,
unde este o sumă de termeni. Utilizăm din nou lema 1.7.8. și se poate verifica u șor că
toți termenii lui sunt divizibili prin , exceptând eventual ultimul termen .
Deoarece obținem și cum se deduce și
astfel , adică rela ția este adevărată și pentru .

1.8. REPREZENTAREA NUMERELOR NATURALE ÎNTR -O BAZĂ DATĂ

Din cele mai vechi timpuri s -a căutat să se ob țină procedee de scriere a numerelor
naturale care să poată permite o mai rapidă estimare a ordinului lor de mărime și elaborarea
unor reguli simple de a efectua opera țiile de bază cu acestea (adunarea, înmul țirea). Acestor
probleme li s -au dat rezolvări specifice diferitelor etape de dezvoltare a matematicilor
(adaptarea sistemului de numera ție zecimal, sistem cu care suntem noi azi obi șnuiți s-a
finalizat abia în secolele al XVI -lea și al XVII -lea când acesta a cunoscut o largă răspândire în
toată Europa). În acest paragraf, vom fundamenta ceea ce înseamnă scrierea numerelor
naturale în baza u, unde , cu .
LEMA 1.8.1. Fie un număr natural. Ori care ar fi numărul natural , există
numerele naturale astfel încât:
, ;

22
, ;

, ;
, .
DEMONSTRAȚIE: Dacă , luăm , pe și și astfel lema este
adevărată. Dacă , atunci fie astfel încât , unde .
Cum , avem . Există astfel încât ,
și așa mai departe continuă procesul.
Dacă , atunci din rezultă , de unde se obțin
inegalitățile succesive: .
Atunci sigur există n astfel încât și . Rezultă că și
atunci lema este d emonstrată.
LEMA 1.8.2. Fie astfel încât iar pentru
și . Atunci:

DEMONSTRAȚIE: Cum pentru , atunci:

de unde rezultă lema.
TEOREMA 1.8.3. Fie un număr natural. Oricare ar fi numărul , exstă
numerele naturale unic determinate astfel încât:
, în care și pentru orice .
DEMONSTRAȚIE: Conform 1.8.1. există și astfel
încât:
, ;
, ;

, ;
, .

23
Înmulțim aceste egalități respectiv cu . Adunând apoi termen cu termen
egalitățile ce se obțin, rezultă: .
Trebuie să mai dovedim și faptul că numerele . Presupunem că mai
există de aseme nea și numerele naturale astfel încât să verifice
unde și pentru .
Dacă , atunci și din lema 1.8.2. rezultă:

deci , contradicție.
Analog se arată că este imposibil să avem și astfel s -a demonstrat că .
Trebuie să demonstrăm acum și că pentru orice . Dacă atunci
se obține .
Pentru demonstrăm prin inducție. Presupunem adevărată relația pentru .
Știm egalitățile:
, unde și . Atunci rezultă, folosind unicitatea câtului
împărțirii lui a prin u, că și
. Folosim ipoteza de ipoteza de inducție, din ultima egalitate deducem că
pentru .
În concluzie, teorema este demonstrată.
Vom putea acum defini ceea ce este cunoscut sub numele de bază de numerație în baza
u, unde este un număr natural.
La fiecare număr natural facem să corespundă o secvență finită de numere
naturale , unde pentru orice i cu proprietatea iar și

. Așadar un număr în baza u cu cifrele se scrie astfel:
.
Din teorema 1.8.3. rezultă că se poate stabili o corespondență biunivocă între numerele
naturale nenule și secvențele finite de numere naturale unde pentru
orice i cu proprietatea iar . Când trebuie să atragem atenția asupra faptului
că lucrăm într -o anumită bază de numerație, obișnuim să scriem astfel:
sau .

24
Dacă baza sistemului de numerație este 10 (zece) sistemul de numerație se numește
zecimal. Cifrele sistemului de numerație zecimal se numesc cifre zecimale. Aceste cifre sunt
numere mai mici decât zece și cifrele sunt .
De exemplu, secvența de cifre zecimale sau reprezintă un număr
natural cu valoarea egală cu .
Pentru spunem că sistemul de numerație este un sistem binar, cifrele binare fiind
cele mai mici decât 2, adică 0 și 1.
Așadar, dacă avem numărul el se transformă în baza 10 astfel:

.
Un alt sistem de numerație des întâlnit este baza 16 numit și sistemul de numerație
hexazecimal, iar cifrele hexazecimale sunt mai mici decât 16 și sunt:
literele reprezentând core spondentele pentru
. Un exemplu de acest tip este:
.
Există o serie de probleme care se pun în mod curent în legătură cu reprezentarea
numerelor într -o bază:
(I). Stabilirea ra portului de mărime între două numere reprezentate în aceeași bază de
numerație.
(II). Stabilirea unor algoritmi (adică unor reguli) de efectuare a sumei, produsului, etc.,
adică a operațiilor pentru numere reprezentate în aceeași bază de numerație.
(III). Elaborarea unor algoritmi pentru reprezentarea numerelor într -o bază dată, adică
transformarea unui număr dintr -o bază în alta.
Vom încerca să soluționăm aceste probleme în cele ce urmează:
TEOREMA 1.8.4. Fie a și b două numere naturale, și
. Atunci dacă și numai dacă și , unde numărul p astfel
considerat este cel mai mare i astfel încât .
DEMONSTRAȚIE: Dacă , din lema 1.8.2. rezultă , deci
. Dacă și , unde , atunci

25
, de unde obținem , adică .
Reciproc, dacă știm că atunci pentru că situația implică .
Pentru nu mai trebuie demonstrat nimic. Considerăm și fie
. Dacă obținem, conform primei părți a demonstrației că , fals. Atunci
adică teore ma este astfel demonstrată.
Această teoremă ne prezintă cum se face comparația între două numere, adică am
rezolvat problema (I).
Pentru problema (II) vom arăta cum se face adunarea și înmulțirea într -o bază u. În
cazul bazei 10 sunt cunoscute procedeel e de adunare și înmulțire.
Fie a și b două numere naturale, cu și .
Trebuie să găsim cifrele ale numărului în baza u. Putem scrie
și Deoarece și , obținem prin adunare
membru cu membru , deci cu . Atunci
sau . Pentru avem . Dacă iar atunci
, dacă . Rezultă că
Se observă că , de unde unde , unde
sau . Se obține ș.a.m.d.
Se obține faptul că cifrele ale sumei sunt
pentru orice unde iar pentru avem:
și astfel sau
și astfel
Când , numărul are:
1). m cifre dacă
2). cifre dacă , iar cifra cu rangul este în acest caz
.
Dacă , considerăm, de exemplu, , iar ceea ce am ob ținut mai sus rămâne
valabil considerând .
Pentru a putea c alcula suma în baza u ar trebui să descoperim sau să consultăm
pur și simplu tabla adunării numerelor naturale mai mici decât u. Fie . Vom scrie tabla
adunării numerelor naturale mai mici decât 5 exprimate în baza 5 astfel:

26

⁺ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 10
2 2 3 4 10 11
3 3 4 10 11 12
4 4 10 11 12 13 Tabel 1
Observăm că regula se verifică, adică orice număr în baza 5 se poate scrie doar cu cifre
mai mici decât 5, adică .
Se poate redacta acum un algoritm al adunării numerelor naturale în baza u, pornind de
la motivaț ia teoretică expusă mai sus. În acest algoritm apare variabila cu valoarea ei inițială
iar valorile pentru un sunt egale cu 1 când și sunt
egale cu 0 în cazul în care . Se spune că variabila realizează
transportul unității de la cifrele de rang i la cele de rang pentru orice
Dacă adunăm două numere naturale, folosind algoritmul adunării în baza u vom folosi
următoarea reprezentare:

ultima linie, cea care descrie transportul unității, se omite în mod curent.
Fie și numerele și atunci calculul
se face după cum urmează:
+

Deci, am obținut: . Evident că, în
acest caz, am folosit tabla adunării numerelor naturale în baza 2:

⁺ 0 1
0 0 1
1 1 10
Tabel 2

27
Înmulțirea în baza u este bazată pe următoarele tipuri de operații:
1). Înmulțirea unui număr natural a cu o putere a bazei u;
2). Înmulțirea unui număr natural a cu o cifră a sistemului de numerație u, deci cu un
număr natural j pentru care ;
3). Adunarea în baza u.
Considerăm . Atunci:

j zerouri
și astfel am obținut cum se face o înmulțire de tipul 1) în baza u.
Pentru a clarifica lucrurile în problema 2). considerăm i și j două numere naturale mai
mici decât u. Atunci obținem . Folosind teorema împărțirii cu rest pentru numere
naturale, obținem:
unde și , fiind câtul
împărțirii numărului la u și fiind restul aceleiași împărțiri, amândouă depinzând de i
și j.
Considerăm un număr natural a în baza u unde
și
luăm o cifră j a sistemului de nume rație în baza u, care, evident, îndeplinește condițiile:
. Avem:

, deci efectuarea produsului în baza u se reduce la efectuarea sumei dintre
numerele și
Considerăm numărul
și atunci produsul

se poate efectua făcând suma în baza u a numerelor pentru toate numerele
. Dar . Atunci este o operație de tipul 2). și operația
este de tipul 1).
Evident considerațiile de mai sus sunt foarte ușor verificabile considerând
pentru că în baza 10 suntem obișnuiți să lucrăm în mod obișnuit. În regula de înmulțire în baza
u trebuie să cunoaștem numerele și cu . Se deduce că și
sunt cifrele numărului pentru reprezentat în baza u. Dacă avem
. Deci, procedeul de înmulțire astfel expus folosește tabla înmulțirii numerelor

28
naturale mai mici decât u, dar cu rezultate în baza u.
Considerăm tablele înmulțirii în bazele și .
Tabla înmulțirii în baza 3
· 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 11
Tabel 3

Tabla înmulțirii în baza 6
· 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 10 12 14
3 0 3 10 13 20 23
4 0 4 12 20 24 32
5 0 5 14 23 32 41
Tabel 4
Pentru a calcula pe hârtie folosim următorul procedeu:

29

a u
u Figura 5
u

u
u

0

Un număr natural a ce urmează să fie reprezentat într -o bază u este dat, de obicei
într-o bază v și trebuie să fac em trecerea lui a din baza v în baza u. Avem 3 moduri de
rezolvare:
1). Trecerea lui a din baza v în baza u cu efectuarea calculelor în baza v;
2). Trecerea lui a din baza v în baza u cu efectuarea calculelor în baza u;
3). Trecerea lui a din baza v în baza u cu efectuarea calculelor într -o altă baza
intermediară w.
Trecerea lui a din baza v în baza u se realizează, fă când întâi trecerea lui u în baza v
și se aplică algoritmul sistemelor de numera ție pentru a și u, cu efectuarea calculelor în
baza v. Se știe că în actualele computere numerele sunt reprezentate în baza , metoda
1). Se poate aplica astfel și se livrează rezultate numerice, care de obicei sunt în baza
. Astfel, rezultatele ob ținute cu aju torul algoritmului pot fi trimise calculatorului
pentru exemplificare. Metoda se aplică și atunci când folosim trecerea unui număr din baza
într-o altă bază oarecare u, calculele efectuându -se, de preferat, în baza
unde calculele sunt foarte u șoare.
Un exemplu ar putea fi trecerea numărului din baza în baza
. Algoritmul este următorul:

30
474 8
2 59 8 Figura 6

3 7 8

7 0
Așadar, obținem: .
Metoda 2). o vom folosi pentru a trece numărul din baza v
în baza u. Pentru asta vom reprezenta numerele și v în baza u cu ajutorul
algoritmului sistemelor de numera ție. Numerele și v astf el reprezentate se
introduc în expresia și vom efectua astfel acest calcul
folosind algoritmul adunării și algoritmul înmul țirii în baza u. Se ob ține, astfel, rezultatul.
Metoda 3). Combină primele două metode. Dacă dorim să trecem un număr a dintr –
o bază într-o bază putem trece pe a în baza 2 cu metoda 2). și îl trecem apoi
în baza u cu metoda 1). În acest fel, ne putem folosi de un computer, care lucrează numai
în baza 2. Dacă și putem folosi baza intermediară și efectuăm
calculele în această bază care este uzuală.
OBSERVA ȚII:
a). Trecerea unui număr natural a din baza v în baza u se simplifică atunci când
unde r este un număr natural mai mare decât 1. Putem justifica această metodă prin
faptul că orice număr natural se poate scrie într -un mod unic astfel:
cu , cu proprietatea .
Din asta rezultă că repr ezentarea numărului
în baza u unde pentru se face scriind fiecare
cifră a numărului ca mai sus și anume și înlocuim
fiecare element cu secven ța și astfel vom putea ob ține secvența
.
Se înlătură toate cifrele de 0 de la începutul secven ței de mai sus și obținem
reprezentarea numărului a în baza u.
Considerăm și vrem să îl transformăm în baza 2. Scriem:
;
;

31

deci, secven ța de mai sus în acest caz este .
Rezultatul este .
Putem verifica pornind de la rezultat, transformând întâi în baza 10 și apoi
rezultatul ob ținut în baza 2 :

Pentru a -l transforma pe 253 din baza 10 în baza 8 considerăm algoritmul de mai
sus și obținem rezultatul .
b). Când și , trecerea unui număr din baza v în baza u se face printr -o
metodă care urmează calea inversă a metodei de la observ ația 1. În acest caz, pentru a trece
în baza u numărul se separă de la dreapta la stânga grupe de câte r
cifre (ultima grupă având cel mult r cifre) și fiecare grupă va reprezenta o cifră în baza u,
cu care vom înlocui grupa respectivă. Se ob ține astfel reprezentarea lui a în baza u.
Astfel, dacă și , deci , numărul are în baza 8
reprezentarea pentru că cifrele lui a în baza 2 pot fi grupate astfel:

și grupele ob ținute reprezi ntă în baza 2 cifrele 3,7 și 5 ale bazei 8.
3) Sistemul de numerație binar are și el inconvenientele lui, și anume, prin faptul că
reprezentarea numerelor mari necesită secvențe de cifre binare exagerat de lungi. Aceasta
complică mult citirea numerelor și aprecierea ordinului de mărime. Pentru a atenua aceste
inconveniente putem folosi sisteme de numerație cu baze mixte. Un exemplu în acest sens
este sistemul de numerație zecimal codat în binar, rezervându -se câte patru poziții binare
fiecărei cifre zecima le. Astfel, considerând numărul , reprezentarea lui în
sistemul zecimal codat în binar va fi:

7 9 3
În practică se folosește curent sistemul de numerație cu baza mixtă. Astfel, expresia
6 ani, 7 luni, 3 săptămâni, 4 zile, 13 ore, 10 minute și 6 secunde este un exemplu de
reprezentare a timpului într -un sistem de numerație cu 8 baze.

32
CAPITOLUL 2. MULȚIMEA NUMERELOR PRIME

Înțelegerea numerelor prime este dată de câteva probleme simple care apar în
legătură cu înmulțirea numerelor naturale care este o operație aritmetică elementară.
Se știe că produsul a două numere naturale este totdeauna un număr natural. Prin
urmare, există numere naturale ce reprezintă produsul a alte două numere naturale mai
mari decât unitatea. Dar, putem remarca faptul că există numere naturale mai mari decât
unitatea care nu sunt produsul altor două numere mai mari decât unitatea. Putem lua ca
exemple numerele 2,3,5,7 sau 11. Pe acestea din urmă le vom numi numere prime.
Anterior , am definit mul țimea numerelor prime.
Putem considera și o altă definiție:
DEFINIȚIA 2 .1.Numărul prim este un număr natural, mai mare decât unitatea, care
nu este produsul a două numere naturale m ai mari decât unitatea.
Observăm că singurul număr par și prim este 2 iar pentru orice
dacă n este prim, atunci cu necesitate n este impar. Evident, condiția că un
număr este impar este insuficientă pentru dovedirea că un număr este prim și
putem lua ca exemplu pe 15 care este impar dar nu este prim.
Numerele prime pot fi privite ca blocur i din care se formează numerele
naturale, cum, de altfel, orice număr natural este un produs de numere
prime.
Se pune întrebarea dacă pentru orice număr natural avem
posibilitatea să stabilim dacă este sau nu prim. Din definiția numărului prim
putem răspunde la această întrebare.
Într-adevăr, dacă numărul natural nu este prim, atunci el reprezintă
produsul a două numere naturale a și b mai mari decât unitatea, adică ,
unde și , de unde rezultă în mod automat că și .
Numărul nefiind prim, este deci produsul a două numere naturale mai
mici decât n și mai mari decât unitatea. Aceste numere se numesc numere
compuse. Dacă un număr natural n este compus, atunci el se poate scrie sub
forma unde și , cu . Numerele a și b sunt
divizori ai numărului natural n.
Practic, pentru a arăta că un număr natural este prim, este suficient
să constatăm că nu are un divizor și . Pentru aceasta ar fi suficient să

33
efectuăm împărțiri consecutive ale numărului n la numerele .
Dacă nici una din împărțiri nu este exactă, atunci și numai atunci numărul n este
prim.
Astfel, teoretic, putem constata oricând (cu ajutorul unui număr finit de
împărțiri) dacă un număr natura l n este prim sau compus. Această metodă poate
da dificultăți serioase dacă numărul n este mare.
S-a putut constata că aplicarea acestui procedeu este foarte anevoios
pentru număru l , care are 31 de cifre (în baza 10), dar prin al tă metodă
s-a constatat că acesta este un număr compus. Nu se știe încă o descompunere a
acestui num ăr în produsul a două numere na turale mai mari decât unitatea (deși
se știe sigur c ă există o astfel de descompunere). De asemenea, nu s -a putut afla
dacă numărul (care are 30457 de cifre) este sau nu prim.
Vom demonstra o teoremă simplă referitoare la numere prime:
TEOREMA 2.2 . Orice număr natural compus n are cel puțin un divizor
prim .
DEMONSTRAȚIE: Numărul n fiind compus, el se poate scrie
unde și , cu . Considerăm, fără a restrânge
generalitatea, că . Atunci , și prin urmare, . Dar ,
deoarece în cazul când ar rezulta că , iar ipoteza spune că .
Numărul a are un divizor prim și deci . Dar p ca divizor al
divizorului a al numărului n este și el divizor al numărului n. Așadar, numărul n
are un divizor prim .

2.1. TEOREME REFERITOARE LA INFINITATEA NUMERELOR PRIME

Una dintre primele problem e studiate referitor la mulțimea numerelor prime a
constat ˆın stabilirea cardinalității acesteia: este această mulțime infinită sau nu?
Pentru a avea un răspuns la această întrebare s-a dat următoarea teoremă:
TEOREMA 2.1.1. (EUCLID): Mulțimea numerelor prime este infinită .
DEMONST RAȚIE: Presupunem, prin absurd, că mul¸timea numerelor prime este
finit˘a. Astfel, presupunem c˘a exist˘a doar n numere prime . Num˘arul
este mai mare decˆat 1, iar pentru orice . Din teorema
fundamentală a aritmeticii obținem că există q prim care să dividă pe N. Cum numerele

34
n prime sunt doar în mulțimea atunci , pentru un , ceea
ce este absurd pentru că pentru orice . Deci, mulțimea numerelor prime
este infinită.
OBSERVAȚIA 2.1.2. În continuare pentru orice număr natural vom nota cu
al n-lea număr prim, iar mulțimea numerelor prime va fi notată
(evident putem observa că , , , etc.).
TEOREMA 2.1.3 . (DIRICHLET) Dacă iar , atunci mulțimea
conține o infinitate de numere prime.
TEOREMA 2.1.4. Dacă n este un număr natural unde atunci între n și
există cel puțin un număr prim (unde reprezintă produsul ).
DEMONSTRAȚIE: Deoarece , atunci numărul întreg este un
număr mai mare decât 1 și are cel puțin un divizor prim p, conform teoremei 2.3. Despre
numărul p putem spune că și deci . Dar nu putem avea , deoarece p ar
fi unul din factorii produsului și, prin urmare, p ar fi un divizor al
numărului ; deoarece el este și un divizor al numărului N, rezultă că p ar fi un divizor al
diferenței acestor numere, diferență ce este egală cu , ceea ce este imposibil.
Rezultă că și, știind că obținem:
Așadar, pentru orice număr natural există un număr prim mai mare decât el.
Această teoremă împreună cu demonstrația ei ne prezintă o modalitate de a arăta că
numerele prime sunt infinite , lucru cunoscut chiar și de Euclid . În particular, putem deduce
că există, spre exemplu, numere prime care au, în sistemul de numerație zecimal cel puțin
20000000 de cifre. Cel mai mare număr prim cunoscut este cel descoperit în anul 2 012 de
cei de la Universitatea din California, la Los Angeles. Numărul are 13 milioane de cifre și
au fost folosite 75 de calculatoare foarte puternice simultan pentru efectuarea unui număr
imens de calcule, destinate găsirii acestui număr. Cercetătorii er au într -un concurs al
Fundației Electronic Frontier, cea care a promis că oferă un premiu de 100000 $ pentru
descoperirea unui număr prim de peste 10 milioane de cifre. Numărul aflat este egal cu
și vom remarca într -un capitolul următor că el e ste un număr Mersenne.
De altfel, în acest domeniu, s -au făcut mari progrese în ultimii 60 de ani, asta și
datorită calculatoarelor electronice din ce în ce mai performante. În anul 1951, cel mai
mare număr prim cunoscut era tot un număr Mersenne și anume și avea doar 39
de cifre (faptul că acest număr este prim se dovedise deja din anul 1876).
Aceeași fundație Electronic Frontier a promis premii importante pentru

35
descoperirea unui număr prim de cel puțin 100 milioane de cifre.
În legătură cu te orema 2.1.4. se poate observa că în anul 1850 Cebîșev a demonstrat
o teoremă mult mai tare (așa -numitul postulat al lui Bertrand), conform căreia pentru un
număr natural , avem cel puțin un număr prim cuprins între n și . Atunci în
teorema anterio ară putem înlocui pe cu . De asemenea, se poate demonstra că pentru
un număr natural avem cel puțin două numere prime cuprinse între n și .
Din teorema lui Cebîșev deducem ușor că pentru orice număr natural s există trei
numere prime, c are a re fiecare câte s cifre . Într-adevăr, putem considera numerele ,
, și care evident au câte s cifre, ia r, conform teoremei lui
Cebîșev, pentru orice există trei numere prime p, q și r astfel încât:

și, prin urmare, este clar că fiecare dintre numerele p, q și r au câte s cifre.
Evident, este probabil să existe și mai multe numere prime cu un oarecare număr de
cifre. De exemplu, există patru numere prime de câte o cifră (2,3,5 și 7), 21 de numere
prime de câte dou ă cifre și 163 numere prime de câte trei cifre. Dar ceea ce am obținut este
faptul că există cel puțin trei numere prime cu un oarecare număr de cifre.
Putem considera în continuare exemple de teoreme ce pre zintă cazuri particulare
ale teoremei lui Dirichlet, teoreme pe care le putem demonstra mai ușor.
TEOREMA 2.1.5. Există o infinitate de numere de forma , cu .
DEMONSTRAȚIE: Presupunem prin reducere la absurd că mulțimea
conține un număr finit de numere prime. Fie acestea și să considerăm
numărul . Numărul q astfel considerat ar trebui să aibă un factor prim
în descompunere de forma , pentru că, dacă toți factorii primi ai lui q ar fi de forma
atunci și q ar trebui să fie de această formă . Atunci există un ceea ce este
absurd conform definirii lui q. Deci, există o infinitate de numere prime cu forma din
enunț.
TEOREMA 2.1.6. Există o infinitate de numere prime de form a , cu .
DEMONSTRAȚIE: Presupunem prin reducere la absurd că există un număr finit de
numere prime de forma și fie acestea și fie numărul
. Numerele prime sunt de forma sau și deducem că q
trebuie să conțină cel puțin un factor prim în descompunere de forma (în caz
contrar numărul q ar trebui să fie de forma ). Atunci ar trebui ca un număr să
dividă pe q ceea ceea ce este absurd din definirea lui q. Atunci con cluzia din enunț este

36
adevărată.
TEOREMA 2.1.7. (A. RATKIEWICZ): Pentru un număr prim fixat p există o
infinitate de numere prime de forma , cu .
DEMONSTRA ȚIE: Presupunem prin reducere la absurd că există un număr finit
de numer e prime de forma din enun ț și considerăm numărul
(în cazul în care există numere prime de forma ) sau în caz contrar.
Considerăm numărul și fie q un divizor al lui
N. Atunci și astfel . Avem două variante:
1). și și deci se obține
. Cum și atunci , contradic ție.
2). și atunci cu , deci . Cum am presupus că
sunt toate numerele prime de forma și deducem că există
astfel încât . Atunci ob ținem ca și în primul caz faptul că și și deci
contradicția că .
Am obținut de ci concluzia ce trebuia demonstrată

2.2. CIURUL LUI ERATOSTENE ; CRITERII DE DIVIZIBILITATE

S-a pus problema încă din antichitate a găsirii tuturor numerelor prime mai mici
decât un număr natural dat. Metoda pe care o vom expune, cunoscută chiar din antichitate,
poartă numele de ciurul lui Eratostene.
CRITERIUL 2.2 .1. Fiind dat un număr natural , pentru a stabili dacă el este
prim s au nu, este suficient să verificăm dacă el este prim prin împărțire succesivă la
numerele prime .
DEMONSTRAȚIE: Într-adevăr, să presupunem că n este compus și că toate
numerele prime ce îl divid verifică inegalitățile succesive . Dacă un anumit
număr prim divide pe n, atunci putem scrie faptul că pentru un număr .
Atunci avem:
și . Am obținut că numărul are cel puțin un factor
prim, număr care va fi mai mic decât , ceea ce e ste absurd.
Este evident că ne putem folosi la verificările privind faptul că un număr este prim
sau nu de criteriile de divi zibilitate . Reami ntim câteva dintre aceste criterii cu
demonstrație, evident acestea fiind doar câteva dintre criterii :

37
2.2.2. CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU ȘI , . Un număr
este divizibil cu respectiv cu , , dacă și numai dacă numărul
format din ultimele n cifre ale lui m, este divizibil cu respectiv cu .
DEMONSTRAȚIE: Numărul m se scrie în baza 10 sub forma:
. Deoarece ( ) pentru
orice , rezultă că ( ) dacă și numai dacă
( ).
2.2.3. CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 7, 11, 13 . Un număr natural este
divizibil cu 7 ( sau 11, sau 13) dacă și numai dacă diferența dintre cele două numere
naturale obținute prin „tăierea” numărului dat în două astfel încât la dreapta să rămână un
număr de 3 cifre, este divizibilă cu 7 (sau 11, sau 13).
DEMONSTRAȚIE: Fie unde , și
și . Atunci
. Rezultă că dacă .
Exemplu : Să arătăm că numărul 83564 se divide cu 13.
unde .
2.2.4. CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 11 . Un număr natural se divide cu 11
dacă și numai dacă diferența dintre suma cifrelor de rang par și suma cifrelor de rang impar
din numărul dat, se divide cu 11.
DEMONSTRAȚIE: Fie
și .
Dacă , atunci .
cifre
Dacă +1, atunci
. zerouri cifre
Rezultă că și deci dacă și numai dacă .
Exemplu : Fie numărul 72424.
Diferența între suma cifrelor de rang par și suma cifrelor de rang impar este:

2.2.5. CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 3, 7 ȘI 19 . Un număr natural se divide
cu 3 (sau 7, sau 19) dacă și numai dacă suma dintre numărul format din ultimele două cifre
mărit de 4 ori și numărul format din celelalte cifre, este divizibilă cu 3 (sau 7, sau 19).

38
OBSERVAȚIA 2.2.6. Dacă este necesar se repetă procedeul până când se obține un
rezultat a cărui divizibilitate cu 3 sau 7 sau 19 este evidentă.
DEMONSTRAȚIA CRITERIULUI 2.2.5. : Fie , unde
și și , .
Atunci avem:
. Rezultă că dacă și numai dacă .
Exemplu : Fie numărul 1110987.

iar .
2.2.7. CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 19 . Un număr natural se divide cu 19
dacă și numai dacă suma dintre dublul cifrei unităților și numărul format din celelalte cifre,
este divizibilă cu 19.
DEMONSTRAȚIE: Fie , și și .
Atunci: .
Cum , avem că dacă și numai dacă .
Exemplu : Fie numărul 1110987.

iar
2.2.8. CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 27 ȘI 37 . Un număr natural se divide
cu 27, respectiv 37 dacă și numai dacă suma numerelor naturale obținute prin „tăierea”
numărului în grupe de câte 3 cifre, începând de la dreapta, se divide cu 27, respectiv cu 37.
DEMONSTRAȚIE : Fie . Atunci
. Cum , avem
.
Deci dacă și numai dacă .
Exemplu : Fie numărul 5392158.
Atunci: iar .
Se poate deduce din cele de mai sus un criteriu general de divizibilitate:

39
2.2.9. CRITERIUL GENERAL DE DIVIZIBILITATE . Număr ul natural
se divide cu , cu , dacă și numai dacă înlăturând
ultima cifră, apoi înmulțind numărul obținut cu q și scăzând ( sau adunând) la noul număr
de p ori cifra suprimată, se obține un număr divizibil cu .
DEMONSTRAȚIE: Efectuând operațiile indicate se obține numărul
. Atunci
. Rezultă că dacă și numai dacă ( .
Exemplu: Să se verifice dac ă numărul 232716 se divide cu 43.
, deci și .
Succesiv obținem:

iar .
Așadar, criteriul 2.2.1. de mai sus stă la baza „ciurului” prin care Eratostene a
stabilit care numere dintr -o mulțime finită de numere naturale sunt prime. Mai precis, el a
scris toate numerele de la 2 la n în ordine crescătoare. A tăiat toți multiplii proprii ai lui 2,
apoi toți multiplii proprii ai lui 3, pe urmă cei ai lui 5. În această etapă, cel mai mic număr
natural superior lui 5 care nu a fost tăiat este 7. A continuat acest proce deu cu multiplii lui
7. Se continuă în același fel , până când cel mai mic număr natural care nu a fost tăiat este
. În acel moment procedeul se oprește, deoarece conform criteriului 2.2.1. enunțat
mai devreme, toate numerele netăiate din șirul sunt numere prime .
De exemplu, numărul 311 nu se divide cu . Nu este necesar să
verificăm dacă numărul se divide prin 19 pentru că . Obținem astfel că
numărul 311 este prim.
Pentru a o bține toate numerele prime mai mici sau egale cu 100, eliminăm din șirul
(pe 1 nu îl putem considera nici prim nici compus) multiplii lui 2 diferiți de 2,
multiplii lui 3 diferiți de 3, multiplii lui 5 diferiți de 5, mu ltiplii lui 7 diferiți de 7. Nu este
necesar să eliminăm multiplii lui 11 din șir pentru că . Am obținut:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

40
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Numerele 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24 , 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42,
44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92,
94, 96, 98, 100 se elimină fiind multiplii ai lui 2, numerele 9, 15, 21, 27, 33, 39, 4 5, 51, 57,
63, 69, 75, 81, 87, 93, 99 se elimină fiind multiplii ai lui 3, numerele 25, 35, 55, 65, 85, 95
se elimină fiind multiplii lui 5, iar numerele 49, 77, 91 se elimină f iind multiplii lui 7.
Numerele scrise în caractere bolduite sunt numerele prime până la 100, adică 2, 3, 5, 7, 11,
13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
În anul 1909 au fost editate tabele cu numerele prime mai mici decât 10 .000.000, în
care se dau și cei mai mici divizori primi pentru fiecare număr natural care
nu se divid cu 2, 3, 5 sau 7.
În anul 1951 au fost publicate tabele de numere prime până la 11.000.000. Jacob
Philipp Kulik (1793 -1863) a întocmit tabele de num ere prime până la 100.000.000
(manuscrisul lui se păstrează la Academia Austriacă de Științe din Viena). C.L. Baker și
J.F. Grunberger au întocmit în anul 1959 un microfilm care conține toate primele
6.000.000 numere prime, adică până la . Este evident că din ce în
ce știința avansează într -un ritm accelerat și, cu ajutorul calculatoarelor moderne se
descoperă șiruri de numere prime din ce în ce mai mari.

41
2.3. TEOREMA BERTRAND -CEBÎȘEV

În cadrul acestui capitol vom demons tra următorul rezultat:
TEOREMA 2.3.1. Dacă , cu , atunci între și se află cel puțin
un număr natural prim.
Acest rezultat a fost formulat încă din anul 1845 de către J. Bertrand însă cel care a
prezentat primul o soluție a acestuia a fost P. L. Cebîșev în anul 1850. O soluție interesantă
propune P. (adaptată de L. Kalmar). Această soluție se bazează pe demonstrarea
următoarelor leme:
LEMA 2.3.2. Dacă , cu , atunci:

(1)
DEMONSTRAȚIE: Facem inducție după n. Pentru , relația (1) este adevărată
deoarece

ceea ce este evident.
Cum
, pentru probarea relației (1) pentru , este suficient
să demonstrăm că

ceea ce este evident.
LEMA 2.3.3. Dacă definim iar pentru orice definim
, atunci
, pentru orice .
DEMONSTRAȚIE: Vom face din nou inducție d upă n. Pentru sau
totul este clar. Presupunem adevărată relația pentru orice număr și trebuie să o
demonstrăm pentru n.
Dacă n este par, atunci și concluzia este evidentă. Dacă n este impar,
considerăm ( ), atunci orice număr prim p astfel încât
este un divizor al lui
. Din
deducem că . (2)
Produsul tuturor numerelor prime p astfel încât divizând
este inferior lui (ținând cont de (2)). Scriind că

și ținând cont de ipoteza de inducție, adică de și de (2) deducem că
și astfel lema 2.3.3. este de monstrată .

42
LEMA 2.3.4. Dacă p este un număr prim ce divide astfel încât , atunci
în descompunerea în factori primi a lui numărul p apare cu exponentul 1.
DEMONSTRA ȚIE: Exponentul lui p în
va fi

.
Pentru avem două cazuri:
Dacă și atunci lema este adevărată căci
Dacă deducem imediat că

, de unde lema este
demonstrată.
DEFINI ȚIA 2.3.5. Pentru un număr real pozitiv x definim ca fiind numărul
numerelor prime q astfel încât .
LEMA 2.3.6. Dacă p este un număr prim și astfel încât , atunci
și .
DEMONSTRA ȚIE: Din , deducem că exponentul lui p în descompunerea
lui în factori primi este

și verifică inegalitatea .
Dacă am avea , pentru am avea

și atunci

. Cum pentru orice avem și ar trebui să avem
ceea ce contrazice de fapt că . Atunci . Pentru a putea demonstra
partea a doua a lemei vom ține cont de faptul că în descompunerea în factori primi a lui
nu pot să apară decât numere prime q astfel încât , de unde deducem că
.
Lema 2.3.7. Dacă , , atunci nici un număr prim p nu poate să dividă pe
numărul p fiind ales astfel încât
.
DEMONSTRA ȚIE: Dacă
, atunci
și
, obținem
și

, de unde deducem că

. Cum pentru orice avem
și deci

.
Pentru , avem
și atunci

pentru orice și deci

. Rezultă astfel că în cazul obținem .
În cazurile în care și , cu necesitate și atunci în mod sigur lema
este adevărată pentru că numerele și nu se divid cu 3.

43
LEMA 2.3.8. Un număr prim p astfel încât apare în descompunerea lui
în factori primi cu exponentul 1 pentru orice .
DEMONSTRA ȚIE: Dacă atunci
și
și, deci

și
.
Pentru , avem

, deci pentru avem
și
și

.
Deci, lema este demonstrată.
LEMA 2.3.9. Dacă , , atunci
, unde este cel definit
mai sus, adică numărul de numere prime mai mici decât n.
DEMONSTRA ȚIE: Se face prin induc ție după n. Se verifică u șor că

, adică lema este adevărată pentru .
În șirul numerelor știm sigur că numerele
, care sunt în
număr de
sunt compuse . Pentru șirul conține și numerele
care sunt impare și neprime. Deducem atunci că

pentru că

. Astfel, lema este demonstrată.
LEMA 2.3.10. Definim
iar dacă nu există numere prime.
Atunci, pentru orice avem

.
DEMONSTRAȚIE: După felul în care am definit pe deducem că și
atunci putem scrie , cu . Comform lemei 2.3.8. , dacă p este un
număr prim astfel încât , atunci . Dacă p este prim și , atunci cu
necesitate . Conform lemei 2.3.7. avem chiar mai mult, adică
. În acest caz,
produsul divizorilor primi ai lui va fi cel mult egal cu
iar conform lemei 2.3.3.
acest produs va fi unul cu proprietatea că va fi

.
Conform lemei 2.3.4. , deoarece se vede că exponentul unui număr prim p
din descompunerea lui nu poate fi decât dacă .

44
Numărul acestor numere va fi, conform lemei 2.3.9. , înlocuind în aceasta pe n cu
, lucru evident posibi l deoarece din , iar de aici și ,
număr inferior lui
.
Conform lemei 2.3.6. , produsul puterilor acestor numere prime (numere care divid
, deci și pe ) va fi cel mult egal cu
, de unde deducem în final că

.
Astfel, cum
deducem, ținând cont de lema 2.3.2. și de inegalitatea de mai
sus că

, adică exact inegalitatea de demonstrat.
LEMA 2.3.11. Dacă , , atunci .
DEMONSTRAȚIE: Folosim inducția matematică. Cum , atunci
verificarea este demonstrată.
Considerăm un i pentru care . Se obține
, adică relația este adevărată pentru .
Deci, lema este adevărată.
LEMA 2.3.12. Dacă , , atunci .
DEMONSTRAȚIE: Pentru , avem și conform lemei 2.3.11.
avem .
LEMA 2.3.13. Dacă , , atunci .
DEMONSTRAȚIE: Folosim inducția matematică după k sau putem folosi lema
2.3.11. și trebuie să demonstrăm inegalitățile pentru și care sunt adevărate
deoarece și .
LEMA 2.3.14. Dacă , , atunci .
DEMONSTRAȚIE: Se face la fel ca în cazul lemei 2.3.12.
LEMA 2.3.15. Dacă , , atunci .
DEMONSTRAȚIE: Ținând cont de lema 2.3.10. este suficient să demonstrăm că
pentru avem
. Cum pentru se obține
și
conform lemei 2.3.14. avem
, de unde ridicând ambii membri la puterea
deducem că
.

45
De asemenea, din , deducem că
și atunci conform lemei 2.3.12.
avem
, de unde
.
Deci, pentru , se obțin

și
de unde

și cu aceasta lema este demonstrată.
LEMA 2.3.16. Dacă , atunci între n și 2n se află cel puțin două numere prime
distincte.
DEMONSTRAȚIE: Dacă , atunci conform definirii lui , dacă în
intervalul nu ar exista nici un număr prim, sau numai unul, atunci , ceea
ce ar fi în contradicție cu lema 2.3.15.
Dacă , lema este adevărată căci între 6 și 12 se află numerele prime 7 și 11.
Mai trebuie demonstrată lema 2.3.16. pentru . Acest lucru poate fi
făcut utilizând tabelul numerelor prime sau prin construirea unui șir de numere
prime astfel încât iar pentru orice k astfel încât
și .
Un șir de acest tip se poate construi astfel: pentru numerele prime
formează șirul: .
Va trebui să vedem cum rezultă lema 2. 3. 16. pentru .
Primul termen al șirului nu îl depășește pe n decât dacă
, deci .
Există deci un indice maximal astfel încât . Atunci
și deoarece , atunci între n și 2n există cel pu țin numerele
prime și și astfel lema este complet demonstrată.
TEOREMA 2.3.17. (CEBÎ ȘEV): Dacă , cu , atunci între n și
avem cel pu țin un număr prim.
DEMONSTRA ȚIE: Pentru și teorema este adevărată în mod evident,
pentru că între 4 și 6 există numărul 5 care este prim, iar între 5 și 8 există numărul 7 care
este de asemenea prim.
Pentru , conform lemei 2.3.16. între n și 2n există cel pu țin două numere
prime distinct e p și q. Considerăm . Dacă cel mai mare dintre numere este
, atunci celălalt trebuie să fie mai mic decât pentru că este par și compus
în cazul nostru m, adică pentru . Deci . Dacă și ținând

46
cont de ipoteza considerată că deducem că și astfel, teor ema lui
Cebîșev este complet demonstrată.
Teorema lui Cebî șev are mai multe corolare ce pot fi utile în aplica ții:
COROLAR 2.3.18. Dacă , cu , atunci între n și se află cel pu țin un
număr prim.
DEMONSTRA ȚIE: Dacă totul rezultă din teorema lui Cebî șev. Pentru
obținem că între 2 și 4 se află numărul 3 prim și pentru obținem că între 3 și 6 se
află numărul 5 care este prim. Astfel, corolarul este demonstrat.
OBSERVA ȚIA 2.3.19. În anul 1892 J.J. Silvester a demonstrat următoarea
generalizare a corolarului 2.3.18. : Dacă , unde , atunci în șirul
se află cel pu țin un număr admi țând un diviz or prim .
Practic, corolarul 2.3.18. este, pentru demonstra ția lui J. J. Silvester.
Această generalizare a mai fost demonstrată și de I. Schur în 1929 ca și de P.
în 1934.
COROLAR 2.3.20. Dacă , , atunci .
DEMONSTRA ȚIE: Folosim induc ție după k. Pentru avem .
Dacă , conform corolarului 2.3.18. există cel pu țin un număr prim p astfel încât
și astfel corolarul este demonstrat.
COROLAR 2.3.21. Dacă , cu , atunci în descompunerea lui în factori
primi găsim cel pu țin un număr prim cu exponentul 1.
DEMONSTRA ȚIE: Pentru , evident și 2 este număr prim cu
proprietatea cerută. Pentru , evident și 2 și sunt numere prime cu
proprietatea cerută.
Fie . Dacă n este par, atunci n este de forma , unde și confor m
corolarului 2.3.18. între k și există cel pu țin un număr prim p astfel încât
. Trebuie să demonstrăm că p apare cu exponentul 1 în descompunerea lui în
factori primi. Într -adevăr, următorul număr din ce ar fi multiplu de p este însă din
.
Dacă n este impar, atunci considerăm , unde și, din nou, conform
corolarului 2.3.18. între k și există cel pu țin un număr prim p unde . Avem
deci și și din nou ajungem la concluzia că p
apare în descompunerea lui în factori primicu exponentul 1.
OBSERVA ȚIA 2.3.22. De fapt, corolarele 2.3.18. și 2.3.21. sunt echivalente.

47
DEMONSTRA ȚIE: Mai sus am văzut cum corolarul 2.3.18. implică evident
corolarul 2.3.21.
Reciproc, presupunem adevărat corolarul 2.3.21. (adică pentru orice număr natural
în descompunerea în factori primi a lui există cel pu țin un număr prim cu
exponentul 1) și trebuie să demonstrăm corolarul 2.3.18. (adică pentru orice , între n
și se află cel pu țin un număr prim). Într -adevăr, fie p număr prim ce apare în
descompunerea lui în factori primi ce are exponentul 1. Avem ,
deoarece dacă am avea , atunci în
apar și p și și astfel exponentul lui p în ar fi cel pu țin 2. În concluzie,
, adică și cum deducem că .
Deducem imediat următoarele :
COROLAR 2.3.23. Dacă , atunci nu poate fi puterea unui număr
natural cu exponentul .
COROLAR 2.3.24. Pentru orice , , avem inegalitatea .
DEMONSTRA ȚIE: Pentru avem și atunci conform lemei
2.3.16. între și există c el puțin două numere prime distincte. Cum cele mai mici
dintre aceste numere vor fi și , atunci .
COROLAR 2.3.25. Pentru orice , , avem inegalitatea
.
DEMONSTRA ȚIE: Pentru și se verifică imediat prin calcul. Pentru
totul rezultă din corolarul precedent.

2.4. TEOREM A LUI SCHERK

Următorul rezultat este datorat lui H. F. Scherk și repre zintă un fel de recurență
„slabă” pentru șirul al numerelor prime.
Vom demonstra:
TEOREMA 2.4.1. (H. P. SCHERK) Pentru orice număr natural există o
alegere convenabilă a semnelor „+” sau „–” astfel încât:
(1) și
(2) .
OBSERVAȚIA 2.4.2. Formulele (1) și (2) au fost enunțate de Scherk în anul 1830
iar S. S.Pillai a fost primul care a prezentat o demonstrație a lor în anul 1928.

48
În cele ce urmează vom prezenta o soluție dată de W. Sierpinski în anul 1952.
DEMOSTRAȚIA TEOREMEI 2.4.1. : Pentru , observăm că:
, adică
.
Pentru , avem:
, adică:

Vom spune că un șir de numere naturale impare are proprietatea (P) dacă
el este strict crescător. Evident, șirul , , , , , ,
și , pentru orice .
Evident, șirul al numerelor prime este un șir cu proprietatea (P).
Astfel, pentru a putea proba formulele (1) și (2) ale lui Scherk, este suficient să le
probăm pe acestea pentru un șir ce are proprietatea (P).
LEMA 2.4.3. Dacă este un șir ce are proprietatea (P), atunci pentru orice
număr natural impar , unde , există o alegere convenabilă a semnelor „+”
sau „–” astfel încât .
DEMONSTRA ȚIE: Demonstra ția se face prin induc ție matematică după n,
considerând . Pentru , știm că iar numerele impare m unde
sunt . Prin calcul direct se pot verifica egalită țile:

și obținem că lema este adevărată pentru .
Observăm că pentru lema nu este adevărată. Într -adevăr, , iar, de
exemplu, numărul 5 nu se poate scrie sub forma pentru nici o alegere a
semnelor „+” sau „ –”.

49
Presupunem că lema este adevărată pentru un număr și fie un număr
impar astfel încât .
Cum șirul are proprietatea (P) deducem că și atunci
deducem că astfel că pentru o alegere convenabilă a
semnelor „+” sau „–” avem .
Din deducem că
și astfel pentru o nouă alegere convenabilă a semnelor „+” sau „ –” avem
. Cum numerele și sunt impare, deducem că și
numărul este impar și cum , conform
ipotezei de induc ție găsim o alegere convenabilă a semnelor „+” sau „ –” astfel încât
, de unde deduce că
la o alegere convenabilă a semnelor „+” sau „ –” avem
și astfel am demonstrat lema.
COROLAR 2.4.4. Pentru o alegere convenabilă a semnelor „+” sau „ –” avem
egalitatea: .
DEMONSTRA ȚIE: Pentru se verifică imediat . Pentru se
verifică .
Demonstrăm acum formulele (1) și (2) din teorema lui Scherk.
Într-adevăr, pentru , numărul este impar și și deci,
conform lemei anteri oare, printr -o alegere convenabilă a semnelor „+” sau „ –” avem
egalitatea: și de aici ob ținem egalitatea:
și formula (2) rezultă imediat considerând
pentru .
Pentru se verifică imediat . Pentru se verifică și
, astfel că formulele (2) sunt valabile pentru orice .
Pentru a demonstra formulele (1) observăm că și
este impar și este , deci conform lemei de mai sus printr -o alegere convenabilă a
semnelor „+” sau „ –” avem egalitatea:
de unde . Considerăm în loc de pe
n obținem: și astfel și egalitățile (1) sunt
verificate pentru .

50
Pentru se verifică imediat . Pentru se verifică imediat
. Pentru se verifică și ,
astfel că formulele ( 1) sunt valabile pentru orice , considerând .

51
CAPITOLUL 3. CLASE SPECIALE DE NUMERE NATURALE

3.1. NUMERE DE TIP F ERMAT

DEFINI ȚIA 3.1.1. Se numesc numere de tip Fermat numerele naturale de forma
cu . Vom avea deci:

ș.a.m.d.
Studiul numerelor care îi poartă numele acum a fost ini țiat de Fermat atunci când el
a observat că dacă numărul cu este prim, atunci obligatoriu m este de forma
cu .
Într-adevăr, dacă există un divizor impar k al lui m, atunci cu și
atunci:
, ceea ce contrazice
faptul că este prim.
Studiind numerele care mai târziu i -au purtat numele Fermat observă că
sunt prime iar de aici concluzia pripită că este număr prim pentru
orice Euler l -a contrazis, arătând că nu este prim, el fiind divizibil cu 641.
Observăm că:

Importanța numerelor Fermat a crescut atunci când a apărut un celebru rezultat al
lui Gauss potrivit căruia un poligon regulat cu n laturi poate fi construit cu rigla și
compasul dacă și numai dacă n este de forma unde iar fiecare
dintre numerele sunt numere Fermat prime.

52
Legat de mulțimea numerelor Fermat se pun mai multe probleme (care nu
sunt încă rezolvate în întregime ! ):
Problema 1 : În șirul există o infinitate de numere prime ?
Problema 2: În șirul există o infinitate de numere compuse ?
Referitor la prima problemă, este știut faptul că în afară de nu se
mai cunoaște nici un alt număr Fermat prim!
În privința celei de -a doua probleme putem spune că se cunosc peste 100 de numere
Fermat compuse, cel mai mare fiind care are un număr de cifre și care se
divide prin numărul .
O curiozitate este faptul că nu se știe dacă numărul este prim sau compus.
PROPOZIȚIA 3.1.2. (i) Numerele Fermat sunt de forma , cu ;
(ii) Pentru orice număr natural n, avem:
iar

dacă
(iii) Dacă n este par atunci iar dacă n este impar, atunci
;
(iv) Pentru nici o valoare a lui n, numărul nu este pătrat sau cub perfect;
(v) Pentru divizorii primi p ai lui sunt de forma
).
DEMONSTRA ȚIE: (i). Scriem și cum , deduce că
.
(ii). Prima egalitate se ob ține prin calcul direct. Pentru a doua egalitate vom recurge
la metoda induc ției matematice după n și obținem:
(Verificarea) .
iar aplicând ipoteza de induc ție se obține exact egalitatea
cerută.
Pentru a treia concluzie vom lua și fie .
Se observă din a doua egalitate că dar sunt impare și atunci .
(iii). Evident . Cum p entru orice , ,
atunci
iar dacă presupunem că , atunci se va ob ține:

53
și totul va
rezulta prin induc ție.
Pentru cazul cu n impar se procedează analog.
(iv). Demonstra ția o vom face prin reducere la absurd.
Presupunem prin reducere la absurd că pentru un anumit număr există
astfel încât cu
absurd !
Presupunem de asemenea prin absurd că pentru un anumit există
astfel încât . Conform punctelor anterioare, pentru orice ,
sau pe când , deci și egalitatea este
imposibilă.
(v). Dacă p este un divizor prim al lui , atunci
. Fie cel mai mic număr natural cu propietatea că . Atunci
, deci cu . Dacă , din deducem că
, ceea ce este absurd. Deci k=n+1. Conform micii teoreme a lui Fermat,
și atunci , adică cu iar Astfel p=8t+1
și

, adică 2 este rest pătratic modulo p. Atunci

și în final
OBSERVA ȚIA 3.1.3. Punctul (v) al propozi ției de mai sus permite identificarea cu
ușurință a acelor numere prime care ar putea fi divizori ai unui număr Fermat. De exemplu,
pentru eventualii divizori primi ai săi trebuie să fie de forma
, adică 257, 641, ș.a.m.d. , așa că a fost relativ u șor pentru Euler să identifice fa ctorul 641
ca fiind divizor prim al lui . Asemănător s -a putut demonstra faptul că
.
TEOREMA 3.1.4. (LUCAS -1891): Pentru , este număr prim dacă și numai
dacă
.
DEMONSTRAȚIE: Conform propoziției 3.1. , este de forma . Pe
de altă parte, dacă un număr prim p este de forma p=12k+5, atunci
.
Astfel, dacă p= este prim, atunci

. Să presupunem că
. Atunci și fie un divisor
prim, iar I cel mai mic număr natural pentru care . Conform micii

54
teoreme a lui Fermat ,
.
Dacă cu , atunci

. Cum ,

și astfel din
, de unde , adică p=2 ceea ce este imposibil
deoarece este impar. Prin urmare și cum atunci . Cum
și , deci este prim.

3.2. NUM ERE DE TIP MERSENNE

DEFINIȚIA 3.2.1. Se numesc numere de tip Mersenne toate numerele naturale de
forma , unde . Astfel, se obțin: , , , ,
, etc. În mod evident, dacă n este compus, atunci și este compus. Pentru ca
să fie prim trebuie ca și n să fie prim. Observăm că , ceea ce
înseamnă că pentru un prim nu este suficient ca n să fie prim.
Marin Mersenne a trăit în secolul 17 (1588 -1648), dar numerele ce îi poartă azi
numele erau cunoscute încă din antichitate de Euclid.
Din păcate nu se știe până azi dacă există o infinitate de numere prime p astfel încât
să fie prim, după cum nu se știe exact nici dacă există o infinitate de numere prime p
astfel încât să fie compus . Unul din lucrurile importante care a impus studiul numerelor
Mersenne este acela că cele mai mari numere prime cunoscute până acum sunt de tip
Mersenne (se cunosc 42 astfel de numere ).
Iată un criteriu care ne permite să stabilim dacă un număr Mersenne este compus
sau nu:
PROPOZIȚIA 3.2.2. Fie p un număr prim, astfel încât este prim
și . Atunci , deci este compus.
DEMONSTRAȚIE: Din deducem că , deci

.
OBSERVAȚIA 3.2.3. Din propoziția anterioară deducem că , ,
, , , etc.
PROPOZIȚIA 3.2.4 . Fie un număr prim, , sau
, , dar . Atunci n este număr prim.
DEMONSTRAȚIE: Fie , unde și d=ord2(mod n) (deci d este
cel mai mic număr natural nenul cu proprietatea că ). Atunci ,

55
și cum . Însă , deci
, unde n are descompunerea . Cum
are un factor prim , deci .
Cum . Dacă , atunci ,
și .
Dacă , se obține , de unde . Absurd.
Dacă , avem , , , de unde
,
și , ,

. Deci , dacă
și . De asemenea se obține ceva absurd!
Rezultă și este prim. Să presupunem acum că și să
considerăm și în enunțul problemei anterioare. Avem și ,
dar . Deci este prim.
TEOREMA 3.2.5 .(LUCAS -LEHMER ) Pentru număr prim impar,
este prim dacă și numai dacă , unde este dat de și
pentru .
OBSERVAȚII:
1. Nu se știe încă dacă există o infinitate de numere Mersenne cu p prim;
cel mai mare n umăr Mersenne prim cunoscut era și avea
2098960 cifre (a fost determinat în 1999 de Nayan Hajratwala ).
2. Cel mai mare număr Mersenne compus este cu
(care este prim ); acest număr a fost pus în evidență de A. Keller în
1987.

56
3.3. NUMERE DE TIP FIBONACCI

DEFINI ȚIA 3.3.1. Numim șir Fibonacci șirul definit prin și
pentru . Evident acest șir este un șir de numere naturale.
Acest șir de numere a fost introdus în anul 1228 de către matematicianul italian
Leonardo Fibonacci pornind de la studiul înmul țirii iepurilor de casă.
Ținând cont că ecua ția caracteristică a șirului Fibonacci este cu
rădăcinile:
și
, deducem imediat că pentru orice ,

.
Următorul rezultat conține o serie de proprietăți interesante ale șirului .
PROPOZIȚIA 3.3.2. (i). Pentru orice are loc egalitatea
;
(ii). Pentru orice avem ;
(iii). Dacă atunci ;
(iv). Dacă și este prim, atunci și n este prim.
DEMONSTRAȚIE: (i). Se face inducție matematică după m (sau n ).
(ii). Presupunem prin absurd că există astfel încât și îl
alegem pe m minim cu această proprietate. Cum deducem că
și atunci , cunoscând minimalitatea lui m.
(iii). Să presupunem că m|n, adică n=mk cu . Cum
și

avem

(deoarece din
și deducem că pentru orice , de unde
concluzia.
(iv). Să presupunem prin absurd că n nu este prim; atunci cu și din (i)
deducem că (cu contrazicând faptul că este prim.

57
3.4. NUMERE PERFECTE

DEFINIȚIA 3.4.1. Un număr natural n se zice perfect dacă (adică suma
a divizorilor săi naturali strict mai mici decât n este egal cu n ).
Numerele perfecte au fost studiate încă din antichitate, fiind cunoscute numerele
perfecte mai mici decât 10000 și anume: 6, 28, 496, 8128.
Caracteriz area numerelor perfecte este dată de:
TEOREMA 3.4.2. Un număr natural n este perfect dacă și numai dacă
, cu iar este prim.
DEMONSTRAȚIE: Necesitatea (Euler ). Să presupunem că (cu și m
impar ) este perfect, adică . Cum , iar este multiplicativă,
, astfel că
.
Din ultima egalitate deducem că și deoarece
(fiindcă este impar ) rezultă că , adică cu
. Rezultă că .
Dacă , numerele 1, d și sunt divizori distincți ai lui m și vom
avea . Dar este în
contradicț ie cu , deci d=1, adică . Dacă m nu este prim atunci
(fiindcă ar avea și alți divizori în afară de 1 și )
și contrazice .
Deci dacă n este perfect atunci cu necesitate cu și
este prim.
Suficiența (Euclid ). Dacă cu și prim, atunci

, adică n este perfect.
Astfel, numerele pare perfecte sunt strâns legate de numer ele prime Mersenne; cum
nu se știe încă dacă există sau nu o infinitate de numere prime Mersenne, nu se știe nici
dacă există sau nu o infinitate de numere pare perfecte.
Legat de numerele impare perfecte, din păcate nu se știe până acum nici dacă există
astfel de numere!

58
3.5. NUMERE PSEUDO -PRIME, ABSOLUT PSEUDO -PRIME ȘI CARMICHAEL

DEFINIȚII: Un număr natural compus se zice:
(i). pseudo -prim dacă ;
(ii). absolut pseudo -prim dacă pentru orice întreg a avem ;
(iii). număr Carmichael dacă pentru orice întreg a pentru care
.
Legat de aceste numere, o concluzie este clară: aceste categorii de numere au apărut
în strânsă legătură cu mica teoremă a lui Fermat (cap. 1 ): dacă p este prim , atunci pentru
orice număr întreg a, .
În particular pentru orice număr prim p.
Astfel, o întrebare se pune în mod natural: dacă și (adică n
este pseudo -prim ) rezultă că n este prim?
Pentru se știe (încă de acum 4500 de ani de către matematicienii chinezi! )
că răspunsul la întrebarea de mai sus este afirmativ.
Numai că pentru avem că pe când 341 nu este prim
ci compus: .
OBSERVA ȚII:
1. Numerele pseu do-prime mai mici ca 10000 sunt 341, 361, 1103.
2. H. Beezer a demonstrat că există o infinitate de numere pare ce sunt pseudo –
perfecte , cel mai mic fiind .
3. Există numere pseudo -prime ce sunt pătrate perfecte precum și ; nu
se știe încă dacă există o infinitate de astfel de numere.
Legat de numere pseudo -prime impare avem următorul rezultat:
TEOREMA 3.5.1. Dacă n este impar pseudo -prim, atunci și este
pseudo -prim.
DEMONSTRA ȚIE:Avem și deci
, astfel că

, deci .
COROLAR 3.5.2. Există o infinitate de numere pseudo -prime impare.
Ca exemplu de numere absolut pseudo -prime avem pe sau
.
În schimb numărul 341 nu este absolut pseudo -prim deși este pseudo -prim.

59
Cel mai mic număr Carmichael este 561; alte exemple sunt:
; cel mai mare număr Carmichael cunoscut are
1057 cifre.
Nu se știe însă da că există sau nu o infinitate de numere Carmichael.
Următoarea teoremă dă o caracterizare a numerelor Carmichael:
TEOREMA 3.5.3. Un număr compus este număr Carmichael
dacă și numai dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:
(i). n este impar;
(ii). ;
(iii). și pentru orice .
DEMONSTRAȚIE: . Presupunem că există astfel încât . Fie
și deci (a,n)=1. Dacă , atunci avem succesiv:

.
Cum , rezultă contradicția și deci pentru orice
, adică .
Fie b o rădăcină primitivă și . Considerăm ecuația
. Deoarece , această ecuație are soluția . Numărul
este rădăcină primitivă și în plus .
Avem deci și , . Așadar
și cum este o rădăcină primitivă, rezultă , adică
pentru orice .
Cel puțin unul dintre factorii este impar și deci este par și, cum
, rezultă că este par, deci n este impar.
Pentru avem , . Fie o rădăcină primitivă pentru și în
plus . Din rezultă și deci
. Aceasta constituie o contradic ție deoarece și a este
rădăcină primitivă.
„ . Fie (a,n)=1. Rezultă pentru orice și deci,
notând , rezultă , . Cum
, rezultă . Deoarece pentru orice
rezultă și .

60
3.6. NUMERE TRIUNGHIULARE

Definiția 3.6.1. Un număr triunghiular este numărul de puncte dintr -un triunghi
unilateral umplut uniform cu puncte. De exemplu, trei puncte pot forma un triunghi și deci
3 este un număr triunghiular. Al n-lea număr triunghiular este numă rul de puncte dintr -un
triunghi cu n puncte pe latură.
Un număr triunghiular este , practic, suma primelor n numere naturale de la 1 la n:

.
Figura 7

Termenul din dreapta formulei de mai sus, termen format din două numere,
și 2 unul peste celălalt între paranteze, este nota ția standard pentru coeficientul binomial , și
poate fi citit „combinări de luate câte 2”. În această formă, numărul triunghiular
rezolvă „problema strânsului mâinilor”, adică dă numărul de strângeri de mână în cazul în
care fiecare persoană dintr -o cameră cu persoane dă mâna câte o singură dată cu
toate celelalte.
Șirul numerelor triunghiulare pentru n = 1, 2, 3… este:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ….
Numerele triunghiulare sunt un analog aditiv al factorialului , care este produsul
numerelor întregi de la 1 la n.

61
Numerele triunghiulare au o gamă întreagă de legături cu alte numere figurate . Cea
mai simplă este că suma a două numere triunghiulare consecutive, este un pătrat perfect , și
anume pătratul diferen ței celor două. Algebric, avem:

.
Alternativ, acela și fapt se poate demonstra grafic:
6 + 10 = 16
Figura 8 10 + 15 = 25
Figura 9
Există o infinitate de numere triunghiulare care sunt și pătrate perfecte; de exemplu,
1, 36. Unele din ele pot fi generate printr -o formulă recursivă simplă:
unde .
Toate numerele triunghiulare și pătrate pot fi găsite cu formula recursivă :
unde și .
De asemenea, pătratul celui de al n-lea număr triunghiular este acela și cu suma
cuburilor numerelor întregi de la 1 la n.

3.7. NUMERE PRIME GEMENE

Definiție: Dacă p și sunt simultan numere prime, vom spune despre ele că
sunt numere prime gemene . De exemplu, numere prime gemene sunt: , ,
, , etc.
În 1949, Clément, P. A. (în cartea ”Congruences for sets of primes”, Amer. Math.
Monthly, 56, 1949, 23 -25) a prezentat următorul rezultat legat de numerele prime gemene:
Pentru , numerele n și sunt simultan prime dacă și numai dacă
. Din păcate, din punct de vedere practice, acest rezultat nu are
nici o utilitate.
Nu se știe la ora actual ă dacă există o infinitate de numere prime gemene. Printre
cele mai mari numere prime gemene cunoscute amintim numerele ,
apoi numerele ca și numerele .

62
Singuratatea numerelor prime gemene

O carte premiată cu trofeul Strega în 2008, despre doi oameni cu vie ți
disfuncționale, defecte…
Alice suferă un accident de ski în copilărie și rămâne șchioapă. Nu poate să -și ierte
părinții care o obligaseră să ia lec ții de ski și devine o adolescentă anorexică, chinuită de
depresii și frustrări.
Mattia are o soră geamănă care suferă de retard mintal și pe care părin ții îl obligă s ă
o ia cu el peste tot, deși simte că -l face de ru șine. În clasa a șaptea, băie țelul o lasă pe sora
lui într -un parc pentru câteva ore si n -o mai găse ște niciodată. Ca să -și învingă propriile
fantome, începe să se taie cu lama.
Toate personajele căr ții sunt stranii, bântuite de trecut, de frustrări și neîmpliniri. E
o lectură întunecată, genul de carte pe care nu sim ți nevoia s -o mai cite ști a doua oară sau
s-o răsfoie ști din nou. E greu să ți se mai facă dor de ea…
Mi-a plăcut însă enorm pasajul care dă și titlul căr ții. Ideea este profundă, frumoasă și
sinceră. Și teribil de adevărată:
,,Numerele prime sunt divizibile numai cu unu și cu ele însele. Stau la locul lor în
infinita serie de numere naturale, strivite, la fel ca restul, între altele două, dar cu un pas
mai încolo față de celelalte. Sunt numere bănuitoare și solitare și de aceea Mattia le găsea
minunate. Uneori credea că au ajuns din gre șeală în acea secven ță, că rămăseseră prinse în
capcană, ca ni ște mici perle în șirate pe un colier. Alteori, în schimb, bănuia că și lor le -ar fi
plăcut să fie ca restul, numai ni ște numere oarecare, dar că, pentru un motiv anume, nu
erau în stare.
Al doilea gând îl atingea mai ales seara, în împletirea haotică de imagini dinaintea
somnului, când mintea e prea vlăguită ca să -și spună minciuni.
La un curs din primul an, Mattia învă țase că, printre numerele prime, sunt unele și
mai speciale. Matematicienii le numesc numere prime gemene: sunt perechi de numere
prime care sunt aproape, de fapt foarte aproape, pentru că între ele este mereu un număr
par care le împiedică să se atingă cu adevărat. Numere ca 11 și 13, ca 17 și 19, ca 41 și 43.
Dacă ai răbdarea de a merge mai departe cu numărătoarea, descoperi că aceste perechi,
treptat, sunt tot mai rare. Dai peste numere prime tot mai izolate , rătăcite în acel spa țiu
tăcut și cadențat, constituit numai din cifre, și ai presentimentul ne liniștitor că perechile
întâlnite până acolo sunt un fapt accidental, că adevăratul lor destin este de a rămâne
singure. Apoi, exact când te pregăte ști să renun ți, când nu mai ai chef să numeri, iată că dai

63
peste alte două numere gemene, agă țate strâns unul de celălalt. Printre matematicieni există
convingerea comună că atât cât se poate merge mai departe, vor fi mereu altele două, chiar
dacă nimeni nu poate spun e unde, până nu le descoperă.
Mattia se gândea că el și Alice erau astfel, două numere prime gemene, singure și
pierdute, apropiate, dar nu îndeajuns pentru a se putea atinge cu adevărat. Nu -i spusese asta
niciodată” .

3.8. NUMERE PITAGOREICE

Definiție: Numerele pitagoreice sunt numere care pot fi lungimile laturilor unui
triunghi dreptunghic. O să scriem întâi tripletele de bază de la care putem porni și apoi
vom da o explicație:
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
11 60 61
13 84 85 ș. a. m. d.
Practic primul număr din triplet este impar, iar între al doilea și al treilea este o
diferență de 1.
Explicația se poate da prin faptul că , între două pătrate perfecte consecutive există o
diferență impară, iar în cazul că luăm situați a în care diferența este chiar un pătrat perfect,
se obțin tripletele.
Se poate observa că al doilea termen din triplet este întâi 4, apoi cu 8 mai mult, apoi
cu 12 mai mult, apoi cu 16 mai mult, apoi cu 20 mai mult ș. a. m. d.
Evident aceste numere pita goreice de bază nu sunt doar ele singurele triplete
pitagoreice ci putem înmulți fiecare component al tripletului cu același număr și se pot
obține de exemplu:

15531243933623

205416441234824

2555204515351025
 , adică
tripletele (6, 8,10), (9,12,15), (12,16,20), (15,20,25), pentru care putem verifica faptul că:

64

2 2 22 2 22 2 22 2 2
25 20 1520 16 1215 12 910 8 6
 unde evident că:
625 400 225400 256 144225 14481100 64 36


65
CAPITOLUL 4. APLICAȚII

4.1. PROBLEME DE DIVIZIBILITATE PE

1. Arătați că numărul de forma este divizibil prin 8 dacă și numai dacă
este divizibil cu 8. Generalizare: un număr natural este divizibil cu 8 dacă și
numai dacă suma dintre cifra unităților, dublul cifrei zecilor și cifra sutelor mărită de 4
ori, este divizibilă cu 8.
Soluție: . Deci
dacă și numai dacă .
Considerăm numărul

.
Deoarece , rezultă că
dacă și numai dacă .
2. Arătați că dacă și numai dacă .
Soluție: Fie și
.
Observăm că . Folosind criteriul de divizibilitate cu 37
obținem că iar , deci dacă și numai dacă .
3. Arătați că numărul se divide cu 7 dacă suma cifrelor numărului este 7.
Soluție: Numărul dacă și numai dacă .
Obținem succesiv: , care se
divide cu 7 .
4. Să se determine numerele naturale formate din patru cifre impare diferite, care
sunt divizibile cu 21.
Soluție: Fie , , cu .Cum
implică : .
Avem astfel numere n cu proprietatea .
Dintre acestea, folosind criteriul de divizibilitate cu 7, găsim pe cele divizibile cu 7.
De exemplu 5397 ( , care se divide cu 7) .

66
5. Să se arate că numărul

unde ,
, nu poate fi prim .
Soluție: Numărul n are cifre, iar diferența dintre suma cifrelor de
rang par și suma cifrelor de rang impar este 0, deci și .
6. Fie numărul de cifre și numărul de
3n cifre, . Arătați că, dacă , atunci și .
Soluție: Dacă avem

. Cum
și

rezultă că .
Avem . Cum
rezultă că .
7. Fie numărul . Stabiliți dacă n se divide cu 11.
Soluție: Numărul n are cifre.
Suma cifrelor de rang impar este
iar suma cifrelor de rang par este
. Cum , numărul n nu se divide cu 11.
8. Să se rezolve ecua ția în : xy-3x+3y=2016.
Soluție: Ecuația d ată este echivalentă cu (x+3)(y -3)=2007.
Cum rezul tă următoarele situa ții:
x+3=1 și y-3=2007, care nu are solu ții naturale;
x+3=3 și y-3=669, adică x=0 și y=672;
x+3=9 ș i y-3=223 rezul tă: x=6, y=226;
x+3=227 și y -3=9, adică x=224 și y=12;
x+3=669 și y -3=3, adică x=666, y=6;
x+3=2007 și y -3=1 rezul tă: x=2004, y=4.
9. Să se arate că numă rul N=2005 2007 +2006 2008 +2007 2005 +2008 2006 nu e pătrat
perfect.
Soluție: Evident, dacă scriem u(x) ultima cifră a numărului x avem următoarele:
u (2005 2007 ) = 5

67
u (2006 2008 ) = 6
u (2007 2005 ) = u (7 4*501+1 ) = u (71)= 7
u (2008 2006 ) = u (8 2006 ) = 4
u (N) = u (5+6+7+4) = 2 N nu e pătrat perfect.
10. Sa se compare numerele: și
.
Soluție: 2006=2005+1 ,
2007=2006+1 .
A=2006 ·20062006+20072006=20062006+2005 ·20062006+20072006
B=20062006+2007 ·20072006=20062006+2006 ·20072006+20072006
Cum 2005 <2006 si 20062006<200 72006 =>A<B .
11. a) Să se arate că numărul N=6+62+63+64+…..+6100 este divi zibil cu 7;
b) Să se afle ultima cifră a lui 2007 2005 ⋅ N .
Soluție:
a) N=6(1+6)+63(1+6)+……..+699(1+6) este divizibil cu 7;
b) u(N)=u(20072005)u(N)=u(72005)u(N)=0.
12. Să se determine numerele de forma știind că:

Soluție: 7(10a+b)+10b+a=(1001a+110b):11+1
71a+17b=91a+10b+1 20a+1=7b a=1; b=3.
13. Să se determine suma numerele de forma cu
și
.

68
Soluție:

4.2. MUL ȚIMEA NUMERELOR PRIME

1. Fie astfel încât . Să se arate că nu poate
fi prim.
Soluție: Din condi ția inițială care spune că deducem că există numerele
naturale nenule astfel încât:
; ; ; .
Atunci ob ținem:
.
2. Determina ți toate numerele naturale astfel încât numerele , ,
, , și să fie simultan prime.

69
Soluție: Pentru , numărul este compus. Pentru , numărul
este compus. Pentru , numărul este compus. Pentru ,
numărul este compus. Pentru obținem șirul format
numai din numere prime.
Trebuie să arătăm că este singura valoare pentru care problema este
adevărată. O să considerăm cazurile resturilor împăr țirii numărului n la 5, adică:
Dacă , atunci numărul este divizibil cu 5, deci nu est e prim.
Dacă , atunci numărul este divizibil cu 5, deci nu este prim.
Dacă , atunci numărul este divizibil cu 5, deci nu este prim.
Dacă , atunci numărul este divizibil cu 5, deci nu este prim.
Dacă , atunci numărul este divizibil cu 5, deci nu este prim.
Deci, nu mai există alt n care să satisfacă problema dată.
3. Determina ți toate numerele naturale astfel încât numerele n, ,
, , și să fie simultan prime.
Soluție: Pentru , numărul este compus. Pentru , numărul
este compus. Pentru , numărul este compus. Pentru ,
numărul este compus. Pentru , numărul este compus. Pentru
obținem șirul format numai din numere prime.
Trebuie să arătăm că este singura valoare pentru care problema este
adevărată. O să considerăm cazurile restur ilor împăr țirii numărului n la 5 , pentru
adică:
Dacă , atunci numărul este divizibil cu 5 , deci nu este prim.
Dacă , atunci numărul este divizibil cu 5 , deci nu este prim.
Dacă , atunci numărul este divizibil cu 5 , deci nu este prim.
Dacă , atunci numărul este divizibil cu 5 , deci nu este prim.
Dacă , atunci numărul este divizibil cu 5 , deci nu este prim.
Deci, nu mai există alt n care să satisfacă problema dată.
4. Să se determine numerele prime p pentru care .
Soluție: Conform micii teoreme a lui Fermat, ob ținem . Cum trebuie,
conform ipotezei, ca , atunci trebuie ca p să dividă diferen ța lor, adică ,
adică .
Se poate verifica u șor că .

70
5. Fie astfel încât este prim. Atunci sau , cu .
Soluție: Dacă atunci este prim.
Dacă atunci alegem și este prim.
Considerăm . Presupunem prin reducere la absurd că n nu este de forma .
Atunci n se scrie sub forma , unde și atunci
și atunci nu mai este prim, absurd.
Atunci sau , cu .
6. Dacă , atunci ( este al n -lea număr prim).
Soluție: Facem induc ție după n.
Pentru , numărul și . Între n și găsim cel pu țin două
numere prime și deducem că . Atunci, dacă admitem
inegalitatea din enun ț pentru orice k, unde . Deci:

7. Fie p un număr prim și numere întregi cu pentru orice
. Să se arate că utilizând numerele se pot forma sume ce dau
resturi diferite la împăr țirea prin p.
Soluție: Facem induc ție după r. Pentru totul este clar deoarece sumele dau ca
resturi 0 și .
Presupunem adevărată rela ția adevărată pentru și neadevărată
pentru și vom ajunge la o contradic ție.
Presupunem că sumele formate din k termeni dau resturi diferite
. Atunci, deoarece după adăugarea lui numărul sume lor diferite nu
trebuie să se mărească, toate sumele , , … , (modulo p) vor fi cuprinse
în mulțimea . Practic, dacă la orice element al acestei mul țimi se adaugă b,
atunci se ob ține tot un element din această mul țime. Deci, această mul țime conține
elementele .
Deoarece iar și , atunci în știm că
. Contradic ția provine din faptul că mul țimea conține p elemente
diferite de și am presupus că .
8. Dacă p este un număr prim arbitrar, atunci din orice numere întregi se
pot alege p astfel încât suma lor să se dividă prin p.

71
Soluție: Fie resturile împăr țirii celor
numere la p. Fie diferen țele:
, , …,
Dacă unul dintre aceste numere este 0, de exemplu , atunci
iar suma celor p numere, adică .
Cazul în care toate di ferențele de mai sus sunt nenule se studiază separat. Fie x
restul împăr țirii sumei la p. Dacă atunci totul este clar. Dacă
, putem forma din diferen țele de mai sus o sumă care să dea restul la
împărțirea cu p.
Adăugând resp ectivele diferen țe la și efectuând reducerile
evidente ob ținem o sumă formată din p termeni care se divide prin p.
9. Dacă este un număr natural oarecare, atunci dintre oricare
numere întregi se pot alege n astfel încât suma lor să se dividă prin n.
Soluție: Trebuie să demonstrăm că dacă problema este adevărată pentru și
atunci ea este adevărată și pentru .
Trebuie demonstrată afirma ția pentru n prim.
Fie date numere întregi. Deoarece afirma ția este presupusă adevărată
pentru și , din cele numere se pot alege b astfel încât
suma acestora se divide prin b.
Apoi, din cele rămase, (dacă nu sunt mai pu ține de ) alegem încă b numere
care se bucură de această proprie tate, ș.a.m.d.
Deoarece atunci această opera ție se poate repeta
de ori și se pot ob ține alegeri de câte b numere astfel încât media aritmetică
a celor b numere este număr întreg. Cum afirma ția este presupusă adevărată p entru ,
din aceste medii aritmetice se pot alege a medii astfel încât suma acestora să se
dividă prin a.
Este sigur că cele numere formate din cele a alegeri de câte b numere au
proprietatea cerută, căci
.
10. Demon strați că orice număr natural se poate scrie sub forma
cu , , și .

72
Soluție: Dacă n este impar, cu atunci și cum este
impar, atunci iar și .
Dacă presupunem că n este par și , atunci avem:
Dacă , unde atunci și deoarece
iar avem din nou descompunerea dorită.
Dacă , unde atunci și deoarece
arătăm că . Fie astfel încât
și . Obținem că . Dar d trebuie să fie impar. Atunci
nu poate să fie decât .
11. Demonstra ți că pentru orice , avem: .
Soluție: Pentru , avem: .
Putem scrie cu , unde . Atunci
pentru orice . Fie și cu p și q prime și putem presupune că
. Cum rezultă că , deci . Cum
deducem rela ția cerută.

4.3. CLASE SPECIALE DE NUMERE NATURALE

1. Demonstra ți că nici unul din numerele lui Fermat unde , n
număr natural, nu se poate scrie sub forma , unde p și q sunt numere prime.
Soluție: Cum, pentru , numărul este impar, dacă există numerele p și q
prime astfel încât atunci cu necesitate și și astfel
, absurd.
2. Arăta ți că este cel mai mic divizor prim al numărului .
Soluție: Se poate demonstra că dacă a este un număr natural par, și p este
prim astfel încât , atunci p este de forma cu . Deci dacă
p este prim și atunci . Cum numărul este
prim, atunci , adică . Însă ,
deci și atunci , adică
deci este cel mai mic divizor prim al lui .

73
3. Să se arate că orice număr impar n este divizor pentru o infinitate de numere
Mersenne.
Soluție: Fie cu . Atunci ,
de unde concluzia . Cum , conform teoremei lui Euler deduce că
.
4. Să se arate că pentru nu putem găsi astfel încât .
Soluție: Presupunem prin absurd că pentru există astfel încât
(cu necesitate k este impar și ). Pentru m număr par
rezultă contradic ția iar pentru cazul în care m este număr impar avem
, egalitate contradictorie deoarece
este impar și .
5. Câte cifre are numărul ?
Soluție: Se știe că dacă , atunci ,
atunci a are n cifre . Avem:

și deci are 31 cifre.
6. Să se demonstreze că pentru orice număr compus impar n care divide pe ,
există un număr compus impar m unde care de asemenea divide pe .
Soluție: Fie cu impare și astfel încât .
Notăm și în mod evident . Cum
și cum deducem că m este compus. Avem: și
, astfel că .
7. Să se arate că numărul este pseudo -prim.
Soluție: Trebuie să demonstrăm mai întâi că . Putem observa că
numerele sunt prime. De asemenea putem scrie:
.
.
.
Atunci , de unde putem deduce că .

74
Din mica teoremă a lui Fermat ob ținem că și deci
. Cum deducem că:
(1)
Avem și și astfel
. Cum deducem că .
Dar și atunci deducem că:
(2)
De asemenea și deci deducem că
. Obținem și astfel:
(3)
Din (1), (2) și (3) deducem că , adică n este pseudo -prim.
8. Să se arate că .
Soluție: Prin calcul direct se ob ține rezultatul.
9. Să se arate că șirul de numere Fibonacci verifică rela țiile:
i)
;
ii) ;
iii) ;
iv)
;
v) .
Soluție: Pentru i), iv) și v) facem induc ție matematică după n ținând cont că

unde
și
.
Pentru cazurile ii) și iii) facem calcule directe.

75
CAPITOLUL 5. METODICA PREDĂRII ALGEBREI ÎN GIMNAZIU

5.1. OBIECTUL METODICII PREDĂRII MATEMATICII

Matematica se diferen țiază în două componente ce se pot intitula succint
”matematica știință” și ”matematica de conexiune ”. Această desfacere nu este o împăr țire
standard ci doar un mod conven țional.
Pentru ” Matematica știință” deosebim:
a) Structura ;
Fundamentele matematicii precizează interpretarea matematicii ca teorie deductivă
raportată la sisteme axiomatice cu diverse niveluri de formalizare.
b) Rezultate ;
Se referă la multitudinea de propozi ții împreună cu demersurile argumentării lor
logico -deductive.
c) Clasificări. Reordonări ;
O bună gestionare a multitudinii rezultatelor impune clasificări pe domenii și
subdomenii ce se referă inclusiv la redemonstrări.
d) Istorie. Evaluare ;
Este necesară eviden țierea unor momente, idei, persoane sau școli și relevanța lor
actuală.
e) Direcții de evolu ție.
”Matematica de conexiune ” elucidează legăturile ei multifunc ționale cu:
i) Realitatea materială și socială;
ii) Filozofia (ca reflectare în plan cognitiv a realită ții);
iii) Alte științe (în dinamica lor);
iv) Tehnica;
v) Didactica.
Didactica reflectă imperativele și legitățile operației de primă importan ță a
transmiterii peste genera ții de: cunoștințe, deprinderi, abilită ți, emoții. Prin obiectul și
metodele ei, didactica apare ca știință de grani ță între pedagogie și psihologie.
Metodica predării matematicii , numită pe scurt MPM constituie acea parte a
didacticii care se referă la matematică.
Schema următoare este relevantă pentru metodica predării matematicii:

76

Deoarece termenul de predare necesită măcar subîn țelegerea unui adresant, a unei
persoane care să fie receptor al informa ției, putem distinge în MPM următoarele adresări:
a) școlii primare ;
b) gimnaziului ;
c) liceului ;
d) universită ții;
e) postuniversitar.
În școala primară, cuno ștințele de matematică au un nivel redus de specificitate și
particularizăr ile ce apar în raport cu didactica sunt destul de pu țin relevante.
Matematica predată în facultă țile și colegiile de matematică este mai pu țin legată de
predarea ei.
Este mai relevantă insisten ța pe metodica predării în gimnaziu și liceu.

5.2. ALGEBRA ȘI ALGEBRA ȘCOLARĂ

Printre disciplinele matematice, algebra elementară joacă un rol fundamental.
Metoda algebrică este caracterizată prin faptul că numerele , și apoi și alte obiecte, se
notează prin litere și operațiile se fac după legi bine determinate, dar fără a preciza ce
număr reprezintă fiecare literă. Se fac opera ții cu numere oarecare , nedeterminate, dintr -o
anumită mul țime, în func ție de nivelul clasei: mul țimea numerelor naturale , mulțimea
numerelor întregi , mulțimea numerelor ra ționale , mulțimea numerelor reale .
Operațiile și relațiile, la rândul, se notează prin semne (+ , -, =, > ).
Concepută la început ca un fel de stenografie, ca un mijloc de exprimare în scris,
notația algebrică s -a transformat treptat într -un instrument de lucru foarte eficace și ușor de
manevrat. Datorită ei, gândirea nu se mai desfă șoară cu ajutorul cuvintelor din gândirea
obișnuită, ea lucrează direct cu simbolurile. Dar l ucrurile nu se opresc aici. Treptat,
simbolurile algebrice se eliberează de con ținutul lor și capătă o via ță proprie , ele iau locul
noțiunilor corespunzătoare și operațiile matematice se reduc la opera ții cu simboluri. MATEMATICĂ DIDACTICĂ INFORMATICĂ
MPM MP Inf
PEDAGOGIE PSIHOLOGIE PEDAGOGIE

77
Semnele algebrice devin adevărate veh icule ale gândirii, care duc uneori gândirea dincolo
de intențiile inițiale ale celor ce le folosesc. Este adevărată vorba în legătură cu rolul
literelor în formarea algebrei, că ”literele sunt mai în țelepte decât oamenii”.
Aproape toate disciplinele matematice care s -au format începând cu secolul al
XVII -lea, în special analiza matematică și geometria analitică, s -au dezvolta t pe baza
algeb rei. În to ate disciplinele matematice, nota ția joacă un rol esen țial: în momentul în c are
se introduce o no țiune nouă, o opera ție sau o rela ție nouă, se prezintă și simbolul
corespunzător sau nota ția. Primul pas spre matematizarea unei științe este crearea unui
sistem de simboluri adecvat. Toate acestea se fac după modelul algebrei.
Acest fapt se poate observa că se reflectă și în învățământ. Nici o altă disciplină
matematică, în afară de geometria elementară ( și în această situa ție, numai în mică
măsură), nu se poate învă ța fără a stăpâni calculul algebric.
În decursul dezvoltării sale is torice, algebra și-a schimbat de mai multe ori
conținutul principal.
În urma unei dezvoltări discontinue, momentele principale sunt : calculul ”hau” al
egiptenilor, algebra geometrică a grecilor, Diofante și matematica din Asia mijlocie (indo –
arabă). Apoi, la sfârșitul evului mediu și în timpul Rena șterii ” algebra ” se constituie ca
știință, mai ales datorită lucrărilor matematicienilor (Fibonacci, Tartaglia, Cardano ș.a.).
Tot atunci apare și numele ei. Începând din acel moment, s -au putut deosebi trei peri oade
principale în dezvoltarea algebrei, neputând fii trasate hotare de timp precise între ele:
1) Algebra în spiritul lui Vieta .
În prima perioadă se cristalizează nota țiile literare, se introduc semnele opera țiilor,
se dezvoltă calculul algebric, se ob țin primele rezultate în rezolvarea ecua țiilor și se
inventează logaritmii. Tot atunci numerele negative se încetă țenesc definitiv în
matematică. Această parte a algebrei se nume ște în mod curent ”algebra elementară ”. Ea
a fost sintetizată pentru prima dată de către marele matematician L. Euler, în cartea sa
”Introducere în algebră” (1767). Această carte a servit, direct sau indirect, ca model pentru
cele mai multe manuale școlare de algebră și prezintă interes și astă zi din punct de vedere
metodic.
2) Algebra ca teorie a ecua țiilor.
În a doua jumătate a secolului al XVIII -lea și în prima jumătate a secolului al XIX –
lea, în centrul algebrei stă rezolvarea ecua țiilor algebrice, adică a ecua țiilor de forma:

78
Rezolvarea ecua țiilor de gradul III și IV a fost un succes imens, fiind prima realizare prin
care a fost depă șită știința antică. În această perioadă, cei mai de seamă matematicieni din
lume (Descartes, Euler, Lagrange, Gauss ș.a.) au făcut cercetări menite să aducă la găsirea
unor formule de rezolvare a ecua țiilor de grad mai mare decât IV. Eforturile lor n -au avut
succes și nu puteau să aibă. Cercetările din această direc ție au fost încheiate prin lucrările
lui Abel, care a demonstr at că ecua țiile de grad mai mare decât IV nu pot fi rezolvate prin
radicali. Tot în acea perioadă s -au dezvoltat, în legătură cu geometria analitică, t eoria
determinan ților, a matrice lor, a transformărilor liniare, a invarian ților. Algebra creată în
această etapă poartă numele de ”algebră superioară” .
Împreună, primele două stadii împreună mai poartă și numele de ”algebră
clasică” .
3) Algebra modernă.
Datorită mecanicii și fizicii au fost introduse în matematică ”mărimi” noi, cum ar fi
vectorii, tensorii, matricele ș.a., care se notează, ca și numerele, prin litere și cu ajutorul
cărora se fac opera ții.
Aceste opera ții se definesc pentru fiecare fel de mărime în parte (într -un fel se
adună două numere complexe și altfel se adună două matrice, într -un fel se află produsul a
două numere naturale și altfel produsul a două omotetii). Dar, fiecare din aceste opera ții au
multe proprietă ți comune sau asemănătoare cu proprietă țile operațiilor cu numere.
În acest fel s -a trecut la studiu l operațiilor sub formă generală, în care se face
abstracție de natura fiecărei opera ții în parte. Apari ția semnelor , , etc. prin care se
notează opera țiile oarecare corespunde introducerii literelor pentru a nota numerele
oarecare. Algebra modernă are ca obiect studiul sistemelor algebrice, adică al mul țimilor în
care sunt definit e anumite op erații, cu m sunt: grupuril e, inelele, corpurile, sp ațiile
vecto riale ș.a.
Aritmetica, algebra clasică și algebra abstractă (modernă) pot fi caracterizate prin
schema următoare:
Aritmetica – operații determinate cu elemente determinate;
Algebra clasică – operații determinate cu elemente nedeterminate;
Algebra abstractă – operații nedeterminate cu elemente nedeterminate.
Într-un anumit sens, algebra modernă este o revenire la algebra în spiritul lui Vieta,
căci ea se ocupă, pe o treaptă superioară, cu diverse calcule literale, având ca obiect
operațiile, consid erate sub formă generală.

79
În zilele noastre, apari ția mașinilor moderne de calcul, a computerelor, pune
algebrei probleme noi. Automatizarea a dus la crearea unor teorii noi, teoria mecanismelor
automate, la care algebri știi din țara noastră, în frunte cu academicianul Gr. C. Moisil, au
adus contribu ții importante. Aplica țiile cele mai noi ale matematicii în științele care nu au
folosit -o până acum țin în mare măsură de algebră.
Cuvântul ”algebră” vine de la titlul tratatului ”Al-geabr v -al-mucabala” , scris de
Muhamad ibn Musa al Horesmi (sec. IX d. Hr.). Această carte a influențat mult dezvoltarea
matematicii în Europa începând din secolul al XII -lea.

5.3. PRINCIPIILE DIDACTICII

Principiile didacticii sunt teze generale, norme directoare pentru în treaga activitate
instructiv -educativă. Ele au fost enun țate de Comenius, deși unele se cuno șteau încă din
antichitate. Numărul lor și modul lor de formulare variază de la autor la autor, dar
împreună formează un sistem. Numerotarea lor este nesemnificativă, iar enumerarea lor
poate fi justificată doar de necesită țile unei expuneri sistematice.
1. Participarea conștientă și activă a elevilor .
2. Caracterul intuitiv al învă țământului .
3. Legătura cu practica .
4. Învățământul sistematic și continuu .
5. Însușirea temeinică a cunoștințelor și deprinderilor .
6. Accesibilitatea (respectarea particularită ților de vârstă și individuale) .
7. Conexiunea inversă .
8. Caracterul științific.
9. Motivația optimă .
10. Problematizarea .
11. Educația perma nentă și continuă .
Primele 7 principii aparțin didacticii clasice, 8,9 și 10 se ridică la nivel de principii
în contextul restrâns la metodicii predării matematicii, iar ultimul este în strânsă legătură
cu psihopedagogia modernă.
1. Participarea con știentă și activă a elevilor .
Acumularea accelerată a cuno ștințelor omenirii și dorința unor profesori de a fi bine
informați în legătură cu noută țile exercită presiuni asupra modului de transmitere a
informației didactice, dând posibilitatea acceptării unor memorări superficiale, ini țial

80
considerate provizorii, dar care devin permanente prin ve șnica lipsă de timp. Memorările
mecanice duc la fixări slabe, pu țin stabile în timp, informa ția îmbogă țindu-se permanent și
nu poate fi re ținută bine.
Putem vorbi de următoarele niveluri de cunoa ștere:
– Mecanică ( a receptat -o, a reținut-o și poate să o aplice în mod brut);
– Inductivă ( a folosit regula de un număr de ori și s-a convins că func ționează
corect , chiar și dacă se schimbă mult datele);
– Rațională ( a în țeles mecanismul și poate să o aplice cu oarecare varia ții);
– Integrativă ( a înglobat regula într -un sistem și poate să o folosească adaptând -o
într-un mod creativ).
2. Caracterul intuitiv al învă țământului .
Din punct de vedere etimologic, ”intuire” înseamnă ”a vedea în” (tuere = a vedea).
Practic, în țelesul este că ”vederea” nu se opre ște la detalii ce ar putea fi nesemnificative, ci
caută aspecte esen țiale. Când discutăm despre cuvântul „intuitiv” folosim două sensuri:
– neabstract, neriguros, plauzibil;
– integrativ (opus lui detaliat, analit ic).
Limbajul profesorului de matematică trebuie să fie unul adaptat. În obliga ția sa de a
forma la elevi un limbaj științific riguros este indicat ca, în cadrul discursului său
matematic, să dea un bun exemplu. Principiul ne îndeamnă să părăsim cadrul ab stract și să
operăm pe un model concret ce are ca principal merit faptul că este senzorial, deci familiar.
Polya afirmă: ”Abstrac țiunile sunt importante: uza ți de toate mijloacele de a le face cât mai
accesibile. Nimic nu este prea bun sau prea rău, prea p oetic sau prea vulgar pentru a vă
clarifica abstrac țiunile”. De asemenea, Montaigne afirmă: ”Adevărul este un lucru atât de
mare, încât nu trebuie să dispre țuim nici unul dintre mijloacele ce ne conduc la el. De
aceea, dacă sufletul vă îndeamnă să fi ți un pic poetic sau un pic vulgar în clasă, nu vă lăsa ți
împiedica ți de o jenă nejustificată”.
3. Principiul legării teoriei de practică .
Acest principiu este substan țial demonetizat de prea frecventa sa uzare într -un
context ideologic depă șit, dar nu trebuie negat complet. În linii mari, acest principiu revine
la o corectă corelare a senzorialului cu ra ționalul și permite adesea o extensie a motiva ției.
În cadrul metodicii predării algebrei, principiul admite o relevan ță specială
deoarece conceptul de ”practi că” este mult lărgit prin consens. Când o teorie acreditează un
algoritm îl considerăm drept ”practică” în raport cu ”teoria”. Cel pu țin, folosind această
extensie de sens utilitatea principiului este prea evidentă pentru a mai fi argumentată.

81
4. Principiul î nvățământului sistematic și continuu .
Programa este împăr țită la un moment dat pe clase și profile. Profesorul î și
detaliază secven țele din programă în planul său calendaristic. El trebuie să gândească apoi
într-o desfășurare sistematică și continuă.
Sistematizarea vizează desfă șurarea ordonată logic și pedagogic a con ținuturilor,
ordonarea capitolelor și paragrafelor, succesiunea ideilor și argumentelor.
Continuitatea se referă la un ritm de receptare, asimilare și fixare a cuno ștințelor
permițând astfel evaluări, controale și reglări.
Cele două, sistematizarea și continuitatea, se condi ționează reciproc , una fiind
nerealizabilă în absen ța celeilalte. Pregătind apoi grupuri de lec ții, profesorul î și detaliază
planificarea ini țială respectând acela și principiu.
5. Principiul însu șirii temeinice a cuno ștințelor.
Învățarea temeinică constă în calitatea ei de a produce rezultate consistente, stabile
și aplicabile. Aceasta este validată atunci când învă țarea generează învă țare, adică
structurile cognitive personale manifestă tendin țe de autodezvoltare. Pedagogul ceh
Comenius asemăna această sete de întregire a cunoa șterii cu un pom care se alimentează
din propria sevă.
Dintre cele mai frecvente activită ți ale profesorului, orientate spre asigurarea
temeinic iei cunoștințelor acumulate, se recomandă:
– recapitulări îmbogă țite;
– prezentări de noi criterii logice și scheme de organizare a cuno ștințelor;
– evaluări în concep ții variate;
– reîmprospătări și consolidări.
Nu se poate vorbi despre o însu șire temeinică a unei teme în ora de predare,
temeinicia având nevoie de consolidări, sedimentări și restructurări.
Temeinicia învă țării se opune practic superficialită ții, învățării în salturi sau cu
lacune și învățării formale, ultima dintre ele fiind relativ frecvent depistată la disciplina
matematicii.
6. Principiul accesibilită ții și individualizării procesului de învă țământ .
Secvența predare -învățare-evaluare notată pe scurt PIE trebuie să examineze
accesibilitatea unei secven țe de cuno ștințe în raport cu un grup de elevi și aici apare ca
relevant con ținutul secven ței. În plus trebuie să intervină și numeroși alți parametrii, cum ar
fi:
– durata PIE;

82
– metodele și procedeele PIE;
– mijloacele disponibile;
– necesitățile secven ței în disciplina de înv ățământ și în formarea elevilor;
– motivațiile elevilor și ale profesorului;
– performanțele ce sunt așteptate.
După ce profesorul de matematică și-a proiectat și realizat lec țiile la nivelul de
accesibilitate pe care și l-a propus, problema accesibilită ții se transferă fiecărui elev și, cu un
oarecare grad de dificultate presupus dinainte, se va realiza o învă țare conștientă, activă și
durabilă.
7. Principiul conexiunii inverse .
În mod prioritar, momentul evaluării permite controlul activită ții desfășurate și al
reglării ei spre optimizare. Evaluarea nu trebuie gândită în sensul strict, iar majoritatea
profesorilor simt chiar în timpul predării efective ”fluxul” care îi informează despre
receptivitatea elevilor. În raport cu planificarea stabilită ini țial, fiecare informa ție primită de
la clasă permite o adaptare mai eficientă a demersului instructiv -educativ. Controlul temei
de acasă reprezintă un alt instrument de reglare. În acela și timp, el poate și trebuie să -i
stimuleze pe elevi să se autoevalueze și, pe această bază, să corecteze și să amelioreze
cunoștințele dobândite. Pentru profesorii și elevii con știincioși, aceste feed -back-uri capătă
caracter de continuitate.
Activitatea de învă țare a matematicii impune aproape mereu treceri pe lângă posibile
erori, imprecizii sau inadverten țe. Profesorul î și actualizează din timp posibilele sale erori și
ale elevilor. Aici este foarte adecvată vorba: ”se înva ță mai bine din gre șeli”.
8. Principiul caracterului științific al învă țământului matematic.
Acest princi piu este asigurat de corectitudinea informa țiilor extrase din matematică,
cea care este practic regina științelor. Aceste informa ții parvin în primul rând prin manuale
și nu sunt afectate de erori pasagere.
De asemenea, caracterul științific al predării matematicii este asigurat de nivelul de
rigoare adoptat. Acesta trebuie evident corelat cu gradul de accesibilitate. Accesibilitatea nu
afectează rigoarea defini țiilor și teoremelor.
Acest principiu este validat și de însușirea treptată, dar con știentă, a metodelor și
limbajului ”matematicii știință”.
Principiul este argumentat prin existen ța unor sisteme de evaluare precisă, în cadrul
cărora subiectivitatea și șansa sunt reduse la minim.
Este destul de sigur că acest principiu nu restrânge crea tivitatea profesorului de

83
matematică sau a elevului.
9. Principiul motiva ției optime .
Unui profesor de matematică ar putea să i se pară ciudat faptul că pentru a învă ța
este nevoie de o motiva ție. Pentru o explica ție a acestui fapt este necesară cunoa șterea
”piramidei trebuin țelor”, așa cum a explicat -o psihologul american H. Maslow.

Trebuințe de autorealizare
Trebuințe de stimă, statut
Trebuințe de afiliere, apartenen ță
Trebuințe de securitate
Trebuințe biologice (alimenta ție, somn, etc.)

Sunt mai multe principii ce func ționează în raport cu cele cinci categorii majore de
trebuințe de mai sus:
– cu cât o trebuin ță este mai continuu satisfăcută, cu atât ea direc ționează și susține
energetic mai pu țin comportamentul orientat spre satisfacerea ei;
– o trebuință nu constituie motiva ție dacă cea anterioară ei nu a fost satisfăcută
suficient ;
– trebuințele se realizează gradual;
– trebuințele mai apropiate de vârf sunt specific umane.
Motivația admite mai multe forme:
– pozitivă (produsă de recompense) sau negativă (evitând pedepse);
– intrinsecă (satisfăcută de îndeplinirea ac țiunii) și extrinsecă (de exemplu, a
învăța pentru notă, a alege o profesie datorită salariului ridicat, etc.) ;
– cognitivă sau afectivă.
O bună adecvare între intensitatea motiva ției și dificultatea sarcinii conduce la o
creștere a eficien ței activită ții și a satisfac ției resimțite.
Orice acțiune umană desfă șurată în timp se conexează cu un sistem motivațional. În
raport cu totalitatea motiva țiilor, considerăm că o ac țiune este slab ă, optimă și supramotivată.
Este evident că o ac țiune slab motivată conduce la rezultate mediocre, slabe.
Supramotivarea are mai pu ține efecte negative. Poate apărea riscul ca, după evolu ții
ascendente, promi țătoare, să apară stagnări, regrese sau chiar cl acări dramatice. Practic,
supramotivarea poate conduce la suprasolicitare, care nu mai poate beneficia de împrospătări
relevante de motiva ție.

84
Între submotivare și supramotivare există un nivel optim numit ”motiva ție optimă”.
Pericolul submotivării apar e frecvent. Buna cunoa ștere a elevului și a anturajului său
permite o interven ție orientată spre cre șterea motivării. Între posibilele motivări prin
recompense și pedepse, trebuie preferate primele.
Supramotivarea apare mai rar, profesorul omi țând-o de multe ori din considera țiile
sale. Este destul de bine să se întâmple acest lucru frecvent, deoarece rezultatele elevului
sunt momentan favorabile.
Activitatea de învă țare școlară este un act unitar. Principiul motiva ției optime solicită
în acest caz to ți profesorii elevului. O analiză mai individualizată desprinde din contextul
general învă țarea la matematică și motivațiile sale specifice. Prin urmare, profesorului de
matematică nu îi poate fi suficientă antrenarea în eforturile celorlal ți.
Pericolul sup ramotivării la matematică apare mai ales în legătură cu participarea la
olimpiadă. Apare recompensa prin afirmarea pe plan na țional și chiar interna țional,
participări la tabere de pregătire sau excursii, evitarea încadrării stricte într -un program
școlar obișnuit, tratamentul pedagogic preferen țial și imaginea de sine și despre sine
favorabilă. De asemenea, părin ții susțin ca elevii să fie încadra ți în grupuri supraselec ționate.
Motivația intrinsecă majoră constă în în țelegerea formativă a matematicii cu scopul
de a ghida structura cognitivă personală către cariera aleasă. Acesta este un deziderat, adesea
puțin operant în timpul activită ții școlare. De altfel, dacă discutăm despre atractivitatea
pentru elev către meseria de profesor de matematică, aceasta este foarte scăzută . Maximul de
eficiență provine din faptul că învă țarea cuprinde în sine propria răsplată.
10. Principiul problematizării .
Acest principiu nu este inclus de psihopedagogie în sistemul principiilor didactice.
Există doar cerin țe metodice în această direc ție. Acest principiu este specific și chiar necesar
în didactica matematică. Principiile participării con știente și active, al intui ției și al legăturii
teoriei cu practica sunt conectate cu cel al problematizării, dar ele nu îl asimilează și nu îi
știrbesc individualitatea.
În psihologie, ”problema” apare ca un obstacol cognitiv între subiect și realitatea pe
care trebuie sau dore ște să o cunoască. Practic ”rezolvarea problemei” reprezintă tentativele
de depășire a obstacolului prin demersuri cognitive (reușită-nereușită, voluntară -involuntară,
algoritmică -euristică, etc.).
Termenii ”problemă” și ”exercițiu” nu sunt delimita ți ferm și sensurile lor se
suprapun par țial într -o variație subiectivă. De fapt, ”exerci țiul” admite o abordare algorit mică
(operații de recunoa ștere, transfer specific, aplicare simplă de proprietă ți), în timp ce

85
”problema” necesită o abordare euristică, prin opera ții de analiză, sinteză, evaluare a
alternativelor și a unor variante rezolutive anticipate.
În matematica școlară, problemele reprezintă concretul, teoria justificându -se
prioritar prin organizarea ra țională, abstractă a acestor entită ți. Se pot regăsi astfel o
multitudine de corela ții: între particular și general, între practică și teorie, între senzorial și
rațional.
Principiul problematizării î și propune de fapt să realizeze o corelare armonioasă între
teoria matematică și probleme. Predarea matematicii trebuie să înceapă cu situa ții
problematice ce activează și conștientizează elevii. Pe măsura predării și învățării teoriei,
situațiile problematice devin probleme.
Probleme necesită de multe ori aprofundări teoretice. Momentele de evaluare se pot
referi direct la teorie dar poate apărea pericolul memorării mecanice, o inadaptare la
sistemele institu ționaliza te de evaluare și incapacitatea aplicării cuno ștințelor teoretice în
rezolvări de probleme și de situații problematice.
Un corolar al principiului problematizării vizează capacitatea elevilor de a se
descurca în raport cu anumite situa ții problematice. Es te necesară o etapă preliminară pentru
a formula o problemă matematică clară. Ar trebui ca manualele și culegerile să acorde o
atenție mai mare etapei de trecere de la situa ția problematică la problema matematică. De
altfel, precizia limbajului matematic r eprezintă o calitate, dar poate deveni și un impediment
inițial.
În acest principiu apare ca element central eviden țierea situa ției problematice
relevante pentru secven ța de cuno ștințe. Situația problematică prezintă o stare de conflict
între experien ța anterioară și necunoscutul cu care se confruntă subiectul. Conflictul duce la
căutare și descoperire, la intuirea unor solu ții noi.
Principiul problematizării facilitează dezvoltarea la elevi a unor strategii de rezolvare
ce se cristalizează în strateg ii cognitive, acestea constituie deschideri și antrenamente spre o
ulterioară activitate de cercetare.

11. Principiul educa ției permanente și continue .
Metodica predării matematicii se referă aproape exclusiv la matematica școlară.
Didactica generală prive ște educația într -un sens mai larg și atunci se poate face referire la
acest cadru mai general:
a) Educația formală reprezintă o educa ție instituționalizată, structurată ierarhic,
gradată cronologic și condusă central, care a constituit centrul de interes al politicii școlare.

86
b) Educația nonformală reprezintă orice activitate organizată sistemic în afara
sistemului formal și care oferă tipuri selectate de învă țare subgrupelor specifice ale
populației.
c) Educația informală reprezintă un proces ce durează întreaga via ță și în care se
dobândesc în mod neorganizat cuno ștințe, îndemânări, aptitudini din experien ța cotidiană.
Educația formală reprezintă doar o etapă foarte importantă din educa ția permanentă
și continuă. Este o activitate intensă ce urmăre ște formarea persoanei, evitând concentrarea
maximă. Copilul se află în dezvoltare inclusiv intelectuală și atunci învă țarea trebuie să
alterneze cu perioade de repaus și sedimentare.
Studiul matematicii se concentrează aproape exclusiv în educa ția formală, dar admite
apropieri de educa țiile nonformale și informale. Interesul școlii este ca aceste apropieri să nu
fie contradictorii. Acest lucru impune ca matematica școlară să selecteze din matematica
știință secvențe stabile și relevante.

§ 5.4 . REZOLVAREA DE PROBLEME

Problemele, în matematica școlară, reprezintă calea principală prin care se verifică
modul și gradul în care s-au as imilat noțiunile teoretice. Capacitatea de a rezolva probleme
este, de cele mai multe ori, criteriul după care sunt selectați elevii la un exa men (teste
naționale , bacalaureat, admitere la facultate) sau „ierarhizări ” la nivelul disciplinei. Pro
blemele propriu-zise, cât și cele care reprezintă problematizarea teoriei au un puternic rol
informativ: cu ajutorul lor se subliniază rolul matematicii în viața curentă (calcule,
măsurări, aplicații în fizică, tehnică). Aceste aspecte realizează atât motivația cât și scopul
învățării matematicii.
O problemă reprezintă un enunț prin care se oferă anumite informații elevilor și în
care se cere să se demonstreze un fapt matematic sau să se calculeze valorile (măsurile)
unor elemente, astfel încât rezolvarea să implice o inițiativă din partea rezolvitorului. Din
acest motiv, rezolvarea de probleme este o activitate cognitivă complexă datorită
operațiilor cognitive necesare obținerii solu ției cât și diversității situațiilor cu care ne
confruntăm. De cele mai multe ori, anumite procese cognitive ce apar în rezolvare sunt
necunoscute rezolvitorului; dar se pot întâlni și situații în care datele problemei sau soluția
nu sunt familiare. Astfel, problemele au și un rol formativ în educa rea gândirii creatoare
prin exercițiul de gândire logică pe care îl implică.
Ținând cont de tipul de activitate intelectuală realizată de elev pe parcursul rezolvării

87
unei probleme, putem c lasifica sarcinile unui rezolvitor de probleme în:
– sarcini de bază,
î n care procedeul de rezolvare a problemei este aproape evident, asemănător
sau identic cu c el al unei probleme rezolvate în clasă. În acest caz, procede ul de
rezolvare este cunos cut de către elev care nu trebuie decât să aplice un algoritm învățat,
un rezultat imediat al unei teoreme, sau combinații simple ale acestora.
– sarcini asociate unei configura ții sau care presupun o investigare, o
studiere a acesteia.
În aceas tă situație, procesul de rezolvare presupune a legerea, d intr-o mare
varietate de procedee d eja învățate, a unor metode potrivite și (sau) combinarea acestora
în vederea obținerii solu ției problemei.
– sarcini pentru care nu este cunoscut procesul de rezolvare,
în care elevul trebuie să-l desco pere singur.
Primului tip de sarcini îi corespund deprinderi intelectuale specifice,
corespunzătoare unui anu mit conținut matematic, pe când celelalte două implică și
deprinderi intelectuale nespecifice (cognitive), ca racteristice mai multor tipuri de
conținuturi . Dintre acestea, pu tem menționa pe cele mai des întâlnite în rezolvarea
problemelor:
– recunoașterea, înțelegerea ipotezei și a ceea ce se cere demonstrat;
-reamintirea unor informații relevante pentru acea sarcină; recunoașterea unei părți
a problemei deja rezolvată;
-înlocuirea con cluziei cu o condiție echivalentă, în care metoda de rezolvare este
mai simplă sau reamintirea unor proprietăți a căror demonstrare este suficientă pentru a
obține soluția finală;
-obținerea din ipoteză a unor consecințe imediate, precizarea dacă sunt îndeplinite
(sau nu) condițiile pentru aplicarea unor teoreme învățate;
-revederea și verificarea ipotezei, la un moment în care nu se „vede” o continuare
a rezolvării, pentru a stabili dacă toate condițiile din ipoteză au fost folosite până la acel
pas; în caz con trar, condiția neutilizată poate oferi o soluție de a ieși din impas;
-compararea, pe parcursul rezolvării, a rezultatelor intermediare cu ceea ce se cere
demonstrat sau aflat, pentru a alege varianta optimă de co ntinuare a rezolvării.
Principalele reguli care trebuie cuno scute și respectate de un rezolvitor de probleme
constau în:

88
1. Citirea corectă a enun țului problemei și construirea exactă a figurii (la
geometrie), esențiale în evitarea erorilor de raționament . Citirea enunțului de mai multe ori
nu trebuie con siderată „pierdere de timp” deoa rece în cadrul acestuia sunt oferite anumite
indicații pe care elevul trebuie să le poată identifica și, cu ajutorul acestora, să caute tehnici
de rezolvare.
2. Însușirea enun țului problemei constă în cunoașterea clară a datelor ipotezei, a
concluziei și a legăturii dintre acestea, a teoremelor și noțiunilor legate cu problema dată.
Ea se materializează în acele câteva minute premergătoare rezolvării propriu-zise în
care elevul încearcă „să simtă” problema, să o încadreze într-un cadru cunoscut. O
înțelegere atentă a enunțului reduce de cele mai multe ori calculele ce trebuie efectuate pe
parcursul rezolvării problemei. De exemplu: în cazul unei funcții pare, vom face studiul
doar pentru valorile pozitive ale argumentului; proprietățile funcției modul pot simplifica
rezolvarea unei ecuații.
3. Cunoa șterea unor procedee și metode pentru rezolvarea problemelor care să
stabilească „pași în gândirea rezolvării” (Am folosit toată ipoteza?, Știu o problemă
asemănătoare?). De exemplu, pentru a a răta că două drepte sunt paralele, elevul cunoaște
anumite metode, cum ar fi: folosind unghiurile formate de drepte cu o secantă, găsind o
perpendiculară comună sau o paralelă comună, utilizând teorema lui Thales, proprietățile
coardelor în cerc, determinând un paralelogram pentru care dreptele să constituie laturi
paralele, etc. În funcție de particularită țile problemei, el va trebui să aleagă apoi metoda de
rezolvare cea mai potrivită.
4. Construirea de raționamente noi pe baza axiomelor, definițiilor, teoremelor și
a altor raționamente învă țate anterior. Pentru fiecare problemă trebuie realizată o scurtă
analiză a enunțului, trebuie motivată alegerea metodei de rezolvare, mersul gândirii în
procesul de rezolvare și eventual, oferite mai multe variante de rezolvare. Toate acestea
oferă motivații logice de abordare și sprijină obținerea altor raționamente .
5. Discu ția problemei. De multe ori, rezolvarea unei probleme nu se încheie cu
aflarea soluției; apar situații în care trebuie examinate și condițiile care arată existența altor
soluții precizând, după caz nu mărul lor; sunt studiate diferite cazuri particulare care pot
apărea sau se generalizează problema.
6. Verificarea soluțiilor problemei. Pe parcursul rezolvării unor ecuații (de exemplu
care conțin radicali), se aplică transformări asupra ecuației inițiale care nu conduc
întotdeauna la ecuații echivalente cu cea inițială. Soluțiile care se obțin pot fi doar o parte
a soluțiilor ecua ției inițiale (prin împărțirea ambilor membri ai ecuației cu o expresie care

89
conține necunoscuta, fără a impune condiția ca ea să fie nenulă, prin extragerea rădăcinii
pătrate din ambii membrii ai ecuației), sau se introduc soluții străine ecuației inițiale (prin
înmulțirea ambilor membri ai ecuației cu o expresie care conține necunoscuta, prin
ridicarea lor la pătrat, etc.). Pentru eliminarea soluțiilor străine, toate soluțiile găsite
trebuie verificate în ecuația inițială. În problemele de construcții geometrice, pentru
verificarea soluțiilor, se realizează de fapt o demonstra ție care arată că figura obținută
corespunde cu cea c erută în enunțul problemei.
Înțelegerea unei demonstra ții nu p resupu ne doar înțelegerea fiecărei secvențe a
acesteia, ci trebuie cuno scută și legătura care există între ea și restul problemei.
Analizarea tuturor aspectelor parțiale ale unei demonstra ții este necesară în evidențierea
ideii demonstra ției; dacă e levul a înțeles și a reținut ideea demonstra ției, el o poate
oricând reconstitui în detaliu, fără a fi nevoie să rețină demonstra ția în desfășurarea sa
analitică.
Pentru fiecare unitate de învățare (respectiv, lecție), profesorul trebuie să-și
stabilească cu claritate seturile de probleme ce se vor rezolva în clasă, problemele propuse
ca temă pentru acasă. La clasă, nu es te recomandat să se rezolve „cât mai multe probleme”;
numărul de exerciții și probleme trebuie să fie corelat cu conținutul acestora, cu timpul
avut la dispoziție și cu capacitățile de lucru ale elevilor. Problemele propuse trebuie să fie:
cu grad de dificultate diferit, de la exerciții simple, cu rezolvare directă, până la probleme
complexe; ordonate corespunzător; să a ibă o formulare neambiguă; să prezinte varietate
tematică și de raționament . În general, manual ul conține sau ar trebui să con țină aplica ții
standard care trebuie rezolvate în întregime la clasă sau date ca temă pen tru acasă. Pe lângă
acestea, profesorul va alege și alte probleme ce pot fi reprezentative prin conținut care să
asigure fixarea unor etape intermediare ale lecției, să facă legătura cu alte noțiuni déjà
învățate, să permită dobân direa de noi cunoștințe prin descoperire. Din multitudinea de
culegeri de probleme existente trebuie optat pentru ace lea în care problemele sunt corect
formulate, soluțiile sunt riguros și complet realizate (pentru ca elevii să se verifice nu
pentru a copia rezolvarea) și unde apar multe probleme originale și cu un nivel științific
înalt.
Profesorul are rolul principal în formarea la elevi a deprinderilor de muncă
indep endentă, de cercetare, lucrul individul stând la baza obținerii performan ței în
matematică. Sprijinul acordat trebuie dozat cu grijă; în ca zul în ca re ajutorul este
insuficient, elevul nu poate progresa singur, iar dacă nu mai are ce afla, motivația pentru
rezolvarea problemei dispare.

90
Înainte de a trece la rezolvarea unei probleme, profesorul trebuie să se asigure că
aceasta este înțeleasă de către elevi. Apoi, prin întocmirea (împreună cu elevii) a unui plan
de rezolvare, el fixează etape mari de lucru. În acest sens, se pot folosi chiar probleme de
sinteză cu subpun cte intermediare ajutătoare care schițează de fapt calea de rezolvare. În
final, se redactează clar și concis soluția. Elevii trebuie învățați să-și recitească formularea
rezolvării pentru a se asigura de acuratețea și corectitudinea raționamentului . De ase menea,
mai trebuie sub liniat faptul că folosirea limbii române nu trebuie făcută neglijent.
De foarte multe ori, argumentarea din cadrul unei demonstra ții se face „în proză”.
Chiar dacă o lucrare este corect redactată din punct de vedere matematic, apariția
greșelilor de ortografie, a celor gramaticale reduc considerabil calitatea acesteia.
Problemele care con stituie teme pentru acasă trebuie să fie gradate din pun ctul de
vedere al dificultăților, să fie într-o continuitate firească cu cele lucrate în clasă și să poată
fi rezolvate fără a conduce la supraîncărcarea sau saturarea elevului. Este indicat ca ele să
reunească în rezolvare cât mai multe noțiuni din lecția predată sau (și) din lecțiile
anterioare, având în vedere recapitularea, reproducerea unor rezultate, dar și activitatea
creatoare a elevului.
Majoritatea lecțiilor recapitulative pot fi realizate prin rezolvări de exerciții și
probleme. Conținutul temei recapitulative, anunțat din timp, es te scris la începutul lecției
pe tablă, pentru ca elevii să aibă o privire de ansamblu asupra orei în curs. Setul de
exerciții și probleme trebuie să acopere întreaga temă care se recapitulează, să structureze
noțiunile în discuție și să le coreleze cu cele deja aprofundate. Profesorul va atrage atenția
asupra unor tipuri de exerciții la care elevii au întâmpinat greutăți, precizând că așteaptă
acum de la ei un progres în abordarea lor.
La începutul lecției, se recapitulează definițiile și rezultatele teoretice fundamentale
necesare în rezolvarea problemelor propuse. Pentru fiecare exercițiu în parte se stabilește,
împreună cu elevii, o metodă de rezolvare (sau mai multe) și se întocmește planul de
realizarea a rezolvării, pe etape. În acest fel se insistă pe participarea activă a elevilor în
realizarea lecției, se pune accentul pe activitatea individuală și se dezvoltă spiritul de
competiție.
În capitolul anterior am p rezentat câteva tipuri de probleme ce se pot rezolva
folosind diferite metode . De cele mai multe ori nu e xistă „rețete” de rezolvare a
problemelor, rezolvarea acestora putând fi abordată pe mai multe căi ce d iferă în
funcție de dificultate, de lungimea pre zentării, de ca pacitatea de generalizare a
problemei, etc.

91
Putem prezenta și alte metode de rezolvare a problemelor bazate pe principii
matematice cunoscute cât și anumite tipuri de probleme clasice. Multe dintre teme pot
face subiectul unor opționale de matematică sau pot fi folosite în pregătirea elevilor pentru
concursuri, pentru completarea culturii lor matematice.

§ 5.5 . PREDAREA NOȚIUNII DE NUMĂR NATURAL

Noțiunea fundamentală cu care operează copiii încă din primele zile ale școlarității o
constituie noțiunea de număr natural. Introducerea acesteia se bazează pe conceptual de
mulțimi echivalente.
Două mulțimi care pot fi puse în corespondență biunivocă se numesc mulțimi
echivalente. Relația de echivalență grupează mul țimile în clase de echivalență, fiecare clasă
cuprinzând mulțimile care au același număr de elemente, indiferent de natura lor. Prin
urmare, o clasă de echivalență este caracterizată printr -o proprietat e comună tuturor
mulțimilor ce -i aparțin, anume propri etatea de a conține același număr de elemente. Această
proprietate se numește puterea clasei de echivalență și este reprezentată printr -un număr
numit număr natural. Deci, numărul natural este simbolul care caracterizează, cu un grad
înalt de generalitate, mulțimile echivalente.
Astfel, proprietatea caracteristică mulțimii vide este reprezentată prin numărul zero, de
unde rezultă că zero este un număr natural întrucât caracterizează clasa de echivalență a
mulțimilor care nu conțin nici un element. Proprieta tea caracteristică mulțimilor cu un singur
element este reprezentată prin numărul 1, cea a mulțimilor cu un element și încă unul este
reprezentată prin numărul 2, ș.a.m.d. Prin urmare, numerele: 0, 1, 2, 3, …, n, caracterizează
mulțimile echivalente format e, respectiv, din 0, 1, 2, 3, …, n, și se numesc numere naturale.
Întrucât clasa tuturor mulțimilor echivalente cu o mulțime A se numește cardinalul
mulțimi A, notat card (A), rezultă că numărul natural corespunde cardinalului mulțimilor
finite de aceeași putere.
Pentru mulțimile finite, identificăm clasa mulțimilor de câte n elemente, deci
cardinalul finit n, cu numărul natural n. Spre exemplu, mulțimii elevilor unei clase, mulțimii
literelor din alfabetul latin etc., le corespunde câte un cardinal pe car e îl identificăm cu
numărul elementelor mulțimii respective, deci cu un număr natural.
Dacă ne referim la mulțimile infinite, o clasă de mulțimi infinite echivalente se
numește cardinal transfinit.
Dezvoltarea în secolul trecut a teoriei mulțimilor a creat condiții favorabile definirii

92
riguroase a numărului natural. Lucrări ale unor matematicieni celebri ca G. CANTOR sau
W. R. DEDEKIND, conțin diverse variante ale definiției numărului natural în maniera
constructivistă. Aceștia au pornit de la ideea compară rii grupelor finite de obiecte, utilizând
corespondența bijectivă. Astfel, două colecții finite, între care se poate stabili o
corespondență bijectivă au, prin definiție, tot atâtea elemente. Pornind de la această def iniție,
numărul apare ca o idee abstrac tă comună, asociată tuturor colecțiilor finite de obiecte
distinct care se pot pune, între ele două câte două, în corespondența bijectivă. În virtutea
acestei definiții, numărul natural 2 se asociază tuturor perechilor de obiecte distincte;
numărul natural 3 se obține prin adăugarea unui obiect la o pereche de obiecte distincte
(triplete), etc. Această definiție este foarte apropiată de ideea intuitivă despre numerele
naturale, dar prezintă dezavantaje din punct de vedere logic și matemati c, ce pot genera
paradoxu l.
Ținând cont că în teoria mulțimilor nu dispunem decât de clase și mulțimi, putem lua
ca mulțime “standard” pentru definirea numerelor naturale, mulțimea vidă. Prin clasă se
înțelege o colecție de obiecte oarecare, nelegată de alte condiții. Term enul de mulțime
generează acele clase care aparțin ca element unei clase prealabil definite. Deci o clasă X
este mulțime dacă există o clasă Y care să o conțină ca element. Vom nota cu U universul
mulțimilor, conținând toate mulțimile, reuniunea, intersecț ia sau produsul cartezian al
oricăror mulțimi.
Oricare ar fi numerele naturale a, b, c ele au următoarele proprietăți :
1. Reflexivitatea: Orice număr natural este egal cu el însuși, adică a=a, a .
2. Simetria: Dacă un număr natural a es te egal cu un n umăr natural b, atunci și b=a;
a , b , a=b b=a.
3. Tranzitivitatea: Dacă un număr natural a=b, și dacă b=c, atunci și a=c;
a , b , c , dacă a=b și b=c a=c.
În continuare, vom prezenta două axiome de bază ale teoriei mulțimilor, care sunt
necesare în definirea conceptului de număr natural, respectiv, în construirea mulțimii
numerelor naturale.
Fie U clasa tuturor mulțimilor.
AXIOMA INFINITULUI. Există cel puțin o mulțime A U care satisface condi țiile:
Ø A;
( ) mulțimea X A X’ A.
AXIOMA DE REGULARITATE. Oricare ar fi o mulțime X, avem X X (nici o
mulțime nu se include ca element).

93
Cardinalul unei mulțimi X din N se numește număr natural.
Prin urmare, |Ø| = 0 este numărul natural 0;
|{Ø}| = 1 este numărul natural 1;
|{Ø, {Ø}}| = 2 este număru l natural 2, etc.
Mulțimea cardinalelor elementelor mulțimii N o numim mulțimea numerelor naturale.
Vom nota cu ={0, 1, 2, 3, …, n, …}, mulțimea numerelor naturale. Este evident că
aplicația care asociază fiecărei mulțimi X N, numărul |X| este bijec tivă, conform
propoziției precedente și, prin urmare, N ∼ .
Prezentarea conceptului de număr natural permite definirea mulțimilor finite,
respectiv, infinite. Se numește mulțime finită, o mulțime al cărei cardinal este un număr
natural. Mulțimile al căror număr cardinal nu este un număr natural se numesc mulțimi
infinite.
Mulțimea numerelor naturale include submulțimi infinite, al căror cardinal este N ₀.
Această proprietate este un caz particular al unei teoreme celebre (DEDEKIND), care
afirmă că o mulțime este infinită dacă este cardinal echivalentă cu o submulțime proprie a sa.

94
BIBLIOGRAFIE

1. Brânzei, D. , Brânzei, R. , Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Edi ția
a II-a, Pitești, 2003.
2. Bușneag, D., Chirte ș, F., Piciu, D., Complemente de aritmetică și teoria numerelor,
Editura Gil, Zalău, 2007.
3. Bușneag, D., Bo boc, F., Piciu, D., Aritmetică și teoria numerelor, Editura
Universitaria, Craiova, 1999.
4. Cucurezeanu, I. , Probleme de aritmetică și teoria numerelor, Editura teh nică,
București, 1976.
5. Dan, C. T. , Chiosa, S. T. , Didactica matematicii, Editura Universitaria, Craiova,
2008.
6. Hollinger, A. , M etodica predării algebrei în școala general ă, Editura didactică și
pedagogic ă, București, 1965.
7. Ion, D. I. , Radu, N. , Algebra, Editura didactică și pedagogică, Bucure ști, 1991.
8. Sierpinsky, W. , Ce știm și ce nu știm despre numerele prime, Editura științifică,
București, 1966.

95
CUPRINS

ARGUMENT
INTRODUCERE
CAPITOLUL 1. PRELIMINARII DE ARITMETICĂ
1.1. TEORIA NUMERELOR
1.2. TEOREMA ÎMPĂRȚIRII CU REST ÎN CAZUL NUMERELOR NATURALE
1.3. DIVIZIBILITATEA PE
1.4. TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ARITMETICII
1.5. CONGRUENȚE PE
1.6. TEOREMELE LUI EULER, FERMAT ȘI WILSON
1.7. RĂDĂCINI PRI MITIVE MODULO UN NUMĂR PRIM
1.8. REPREZENTAREA NUMERELOR NATURALE ÎNTR -O BAZĂ DATĂ
CAPITOLUL 2. MULȚIMEA NUMERELOR PRIME
2.1. TEOREME REFERITOARE LA INFINITATEA NUMERELOR PRIME
2.2. CIURUL LUI ERATOSTENE ; CRITERII DE DIVIZIBILITATE
2.3. TEOREMA BERTRAND -CEBÎȘEV
2.4. TEOREMA LUI SCHERK
CAPITOLUL 3. CLASE SPECIALE DE NUMERE NATURALE
3.1. NUMERE DE TIP F ERMAT
3.2. NUMERE DE TIP MERSENNE
3.3. NUMERE DE TIP FIBONACCI
3.4. NUMERE PERFECTE
3.5. NUMERE PSEUDO -PRIME, ABSOLUT PSEUDO -PRIME ȘI CARMICHAEL
3.6. NUMERE TRIUNGHIULARE
3.7. NUMERE PRIME GEMENE
3.8. NUMERE PITAGOREICE
CAPITOLUL 4. APLICAȚII
4.1. PROBLEME DE DIVIZIBILITATE PE
4.2. MUL ȚIMEA NUMERELOR PRIME
4.3. CLASE SPECIALE DE NUMERE NATURALE
CAPITOLUL 5. METODICA PREDĂRII ALGEBREI ÎN GIMNAZIU

96
5.1. OBIECTUL METODICII PREDĂRII MATEMATICII
5.2. ALGEBRA ȘI ALGEBRA ȘCOLARĂ
5.3. PRINCIPIILE DIDACTICII
5.4. REZOLVAREA DE PROBLEME
§ 5.5. PREDAREA NOȚIUNII DE NUMĂR NATURAL
BIBLIOGRAFIE
CUPRINS