Defini ție armonici [628931]

Armonici
Defini ție armonici
Armonicile sunt cureți sau tensiuni sinusoidale cu o frecvență egala cu un multiplu întreg al
frecvenței fundamentale a tensiuni de alimentare. Un exemplu, pentru o frecvență de 50 Hz (frecvența
folosita în România) armonica de rang 5 va avea frecvența de 250 de Hz, iar o armonică de rangul 3 va avea o
frecvență de 150 Hz.

Fig.1? – Armonicile de rang trei si de rang cinci

Armonicile se pot inparți și în funcție de rangul lor, în armonici superioare( rangul este un număr
întreg ) și subarmonici ( rangul lor este un număr subunitar ).
Dacă vorbim despre armonici în instalațile electrice ne referim în principal la curenți, deoarece
armonicile rezultă datorită curenților. Măsurarea valorilor se face atât tensiunilor armonice, cât si ale
curentilor armonici s i rezultatele obținute sa fie raportate ca valori ale tensiunii si curentului.
Curenții armonici sunt regăsiți în sistemul electric de foarte mulți ani, dar ei inițial erau determinați
de redresoarele cu mercur utlizate pentru a asigura conversia tensiunii alternative în tensiune continuă pentru
calea ferată si pentru acționări de tensiune continuă cu viteză variabilă din industrie. Cu trecerea anilor si cu
dezvoltarea tehnologiei în industrie au apărut mult mai multe echipamente care produc armonici, ele f ind într –
o continuă dezvoltare, astfel că proiectanții trebuie să ia în considerare foarte atent efectele armonicilor.
Tipuri de echipamnete care pot genera armonici :

Pot instalații pot apărea două tipuri de curenții armonici care sunt generați de sarcin i neliniare.
Primult tip de sarcina, monofazată :
 Echipamente de birouri ( calculatoare, faxuri, imprimante, lămpi de birou cu neon );
 Balasturi electronice pentru lămpile fluorescente;
 Echipamente, unități mici de alimentare neîncetata ( UPS);
Al doilea t ip de sarcina, trifazată:
 Echipamente, unități mari de alimentare neîncetată ( UPS )
 Cuptoare industriale cu arc
 Acționari cu viteză variabilă.
Exemplu de sarcină monofazată:
Balasturi electronice pentru lămpi fluorescente
„Balasturile electronice pentru lămpi fluorescente au devenit populare în ultimii ani datorită
necesității cresșterii eficientței. În general ele sunt doar cu puțin mai eficiente decât cele mai bune
balasturi magnetice și în fapt, câstigul cel mai mare rezultă la nivelul lămpii fluoresc ente care este mai
eficientă când este alimentată la frecvență ridicată decât la nivelul balastului electronic însuși. Avantajul
lor principal este că nivelul de iluminare poate fi menținut pe o durată de viață mai mare prin controlul
curenților din lampă, practică în rețeaua de alimentare. Tipurile de lămpi denumite ( cu corector de factor
de putere ) și care au un randament superior există, dar sunt mai scumpe. Lămpile de puteri mici nu sunt
prevăzute cu circuite de corecție. Lămpile fluorescente compacte sunt destinate să înlocuiască lămpile cu
incadescență cu filament din wolfram. Un balast miniaturizat este plasat în soclul lămpii și controlează
tubul fluorescent cu diamnetrul de 8mm. Lămpile fluorescente cu putere de 11 W sunt destinate să
înlocuiască lămpile cu incadescență de 60 W și au o durată de viață de 8000 ore.Spectrul curenților
armonici generați de aceste lămpi este prezentat in figura 2. Aceste lămpi sunt utilizate din ce în ce mai
mult înlocuind lămpile cu incadescență în sectorul casnic si în special în hoteluri unde exista o problemă
mare cu frecvența datorită armonicilor.”
David Chapman, Ghid de Aplicare – Calitatea Energiei Electrice SIER

Fig.2 − Spectrul armonic al unei lămpi fluorescente compacte tipice

Sarcini trifazate
„Variatoare de viteză, unitați UPS și convertoare de tensiune continuă sunt de regulă alimentate
printr -o punte trifazată(figura), denumită și punte cu 6 pulsuri, deoarece sunt șase pulsuri pe perioadă(
unul pe jumătate de perioadă și fază) în curent conti nuu de ieșire. O punte cu șase pulsuri generaza
armonici de rang 6*n±1, adică cu unu în plus sau în minus față de orice multiplu de șase. În teorie ,
amplitudinea fiecărei armonici este invers proportională cu rangul armonicii de rang 5si 9% pentru
armonic a de rang 11. In figura 6 se prezintă un spectru tipica de armonici. Aplitudinea arminicilor este
semnificativ redusă dacă se utilizează o punte cu 12 pulsuri. În fapt este vorba de două punți de șase
pulsuri, alimentate de la înfășurările secundare conect ate în stea și în triunghi ale unui transformator (fig.)
, determinând defazaje de 30ș între tensiunile aplicate Armonicile de rang 6*n sunt teoretic suprimate, dar
în practică reducerea depinde de ajustarea convertorului și factorul tipic de reducere este între 20 si 50.

Fig. – Punte trifazată, sau punte cu șase pulsuri 020406080100120
1 3 4 7 9 11 13 15 17Amplitudinea în % din valoarea
fundamentalei
Ordinul armonicii

Fig. – Spectrul de armonici determinat de o punte tipică cu 6 pulsuri
Armonicile de rang 12*n rămân neschimbate (fig.). În acest caz curentul armonic total se reduce și
totodată armonicile care rămân sunt de frecvență superioară și fac mai ușoară proiectarea unui
filtru.Adesea producătorii de echipamente își iau unele măsuri de reducere a aplitudinii curenților
armonici ca de exemplu prin adăugarea unui filtru sau bobine în serie. În trecut acesta a făcut ca unii
producători să decalre că echipamentele lor corespund cu normativul G5/3. Deoarece normativul G5/3
este un standar de planificare aplicabil unei instalații complete, este imposibil de spus dacă ea va fi
respectată fără a cunoaște caracteristicile fiecărui echipament din instalația din locul resprectiv. O
creștere în continuare a numărului de pulsuri la 24, obținuntă prin folosirea în paralel a două unități de 12
pulsuri cu o defazare de 15ș, reduce cure ntul de armonic total până la 4,5%( din curentul de alimentare ).
Instalația ultra sofisticată crește costul, asfel că acest tip de echipament va fi utilizat numia când este
absolut necesar pentru a se încadra în limitele impuse de furnizor. ”

Fig. – Punerea cu 12 pulsuri 020406080100120
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25Amplitudinea în % din valoarea fundamentalei
Ordinul armonicilor

Fig. – Spectrul armonic al unei punți tipice cu 12 pulsuri

Mărimi periodice
Funcția f(x) este periodică dacă, daca în domeniul de existență a acesteia este descrisă analitic printr –
o relație:
𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑘∙𝑇)
T – perioada funcției;
k – număr întreg.

O funcție periodică are proprietatea de a se autoreproduce pe fiecare perioadă, totuți studiul poate fi
limitat la intervalul unei singure perioade ( exemple: sin x, cos x, tan x sunt bine cunoscutele funcții
trigonometrice, care sunt periodice, având perioada 2*π).

Mărimi sinusoidale
FIgURA 7,1,9
Am expus în acest grafic curba cu variație sinusoidală în timp definită printr -o relație de forma:

𝑦=𝐴∙sin(𝜔∙𝑡±𝜑)=√2∙𝑌∗sin⁡(𝜔∙𝑡±𝜑)
A- aplitudinea ( valoarea maximă);
Y- valoarea efectivă; 020406080100120
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25Amplitudinea în % din valoarea fundamentalei
Ordinul armonicii

ω – pulsația, ω=2*π*f;
f- frecvența;
φ- defazajul față origine(φ <π).
Curba poate fi în mai multe feluri, în fază, defazată înainte față de origine sau defazată în urmă făță de
origine.

Mărimi caracteristice în regim periodic sinusoidal

In regim periodic sinusoidal, tensiunea si curentul dintri -un circuit electric pot fi exprimate prin mai
multe formule:
𝑦=𝐴∗sin⁡(𝜔∙𝑡−𝜑)
amintindu -ne ca acestea se reproduc identic cu ele însele, după o perioadă de timp, T, egale:
𝑇=2𝜋
𝜔=1
𝑓
Mărimi ca racterisitce ale regimului periodic sinusoidal
 Valoarea efectivă:
𝑌=√2
𝑇∙∫𝑦2∙𝑑𝑡𝑇/2
0=𝐴
√2 și 𝑦=𝑌∙√2∗sin(𝜔∙𝑡−𝜑)
 Valoarea medie:
𝑌𝑚𝑒𝑑=2
𝑇∙∫𝑦∙𝑑𝑡𝑇
2
0=2∙𝐴
𝜋=2∙√2∙𝑦
𝜋

 Factorul de formă:
𝑘𝑓=⁡𝑌
𝑌𝑚𝑒𝑑=𝜋
2√2=1,111 și ⁡𝑌=𝑘𝑓∙𝑌𝑚𝑒𝑑=1,111∙𝑌𝑚𝑒𝑑

 Factor de vărf;
𝑘𝑣=𝑌𝑚𝑎𝑥
𝑌=√2
“Dupa ce am enumerat mărimile caracteristice, valabile în regimul periodic sinusoidal putem spune
că o tensiune sinusoidală 𝑢=√2∗𝑈∗𝑠𝑖𝑛∗𝜔∗𝑡, aplicată la bornele unui receptor cu caracter
liniar, determină un c urent electric sinusoidal 𝑖=√2∗𝐼∗sin⁡(𝜔∗𝑡−𝜑), unde apare un defazaj față
de curba tensiunii. Unghiul de defazaj este pozitiv dacă consumatorul absoarbe putere reactivă și
negativ dacă consumatorul produce putere reactivă. Există și o situație când rece ptorul este pur
rezistiv și defazajul este nul.”

Dr.ing. Vatră Fănica, prof.dr.ing. Postolache Petru, dr.ing. Vatră Cristina Andreea, dr.ing.
Poida Ana, ing. Sufrim Mariciu, prof.dr.ing. Toader Cornel “Calitatea energiei electrice”, volumul 2,
București: Editura SIER august 2015
La bornele unui circuit electric aflat în regim periodic sinusoidal, tensiunea si curentul electric care îl
străbat sunt date de relațiile:
𝑢(𝑡)=√2∙𝑈∙𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡
𝑖(𝑡)=√2∙𝐼∙sin(𝜔𝑡−𝜑)
pot fi definite:
 Puterea activă: 𝑃=𝑈∙𝐼∙𝑐𝑜𝑠𝜑
 Puterea reactivă: 𝑄=𝑈∙𝐼∙𝑠𝑖𝑛𝜑
 Puterea aparentă: 𝑆=𝑈∙𝐼=√𝑃2+𝑄2
 Factorul de putere: 𝜆=𝑃
𝑆=𝑐𝑜𝑠𝜑
Mărimi nesinusoidale
O curbă nesinusoidală se definește ca și o curbă alternativă permanentă periodică, având o variație de
timp diferită de o sinusoidă. Mărimea periodică nesinusoidală este definită printr -o expresie care rezultă din
seria Fourier:
𝑦=𝑌0+∑𝑦ℎ=∞
1𝑌0+∙√2sin⁡(ℎ∙𝜔∙𝑡−𝛼ℎ)
𝑌0 – componenta continuă;
𝑦1- componenta fundamentală, având o formă sinusoidală, cu perioad a 𝑇1 egală cu perioada T a mărimii
analizate:
𝑦1=√2∙𝑌1∙sin⁡(𝜔1∙𝑡−𝛼1)
𝑦𝐻- rezidul deformant, cuprizând toate componentele armonice ale curbei y:
𝑦𝐻=∑𝑦ℎ=√2∙∑𝑌ℎ∙sin⁡(𝜔ℎ∙𝑡−𝛼ℎ)
ℎ≠1 ℎ≠1
𝑌1-valoarea efectivă a componentei fundamentale;
𝑌ℎ- valoarea efecetivă a armonicei de rang h;
𝜔1- pulsația armonicei fundamentale;
𝑓1- frecvența armonicei fundamentale ( 𝜔1=2𝜋∙𝑓1)
𝑇1- perioada armonicei fundamentale ( 𝑇1=1/𝑓1=2𝜋/𝜔1)
𝜔ℎ-pulsația componetei armonice de rang ℎ(𝜔ℎ=ℎ∙𝜔1=ℎ∙2𝜋∙𝑓1=2𝜋∙𝑓ℎ);
𝑓ℎ- frecvența componentei armonice de rang ℎ(𝑓ℎ=ℎ∙𝑓1);
𝑇ℎ-perioada componentei armonice de rang ℎ(𝑇ℎ=1/𝑓ℎ=2𝜋/𝜔ℎ);
ℎ-rangul armonicei (ℎ=𝑓ℎ/𝑓1=𝜔ℎ/𝜔1=𝑇1/𝑇ℎ);

𝛼1- defazajul fundamentalei;
𝛼ℎ-defazajul componentei armonice de rang h.

Mărimi caracccteristice în regim periodic nesinusoidal

În regimul periodic nesinusoidal, tensiunea si curentul dintr -un circuit electric pot fi exprimate prin
functii de forma Fourie ( mai sus??????), cu proprietatea că acestea se reproduc identic cu ele însele , după
perioade de timp, 𝑇=𝑇1, egale;
𝑇=𝑇1=2𝜋
𝜔1=1
𝑓1
Mărimi caracteristice, valabile în regim periodic nesinusoidal:
 Valoarea efectivă:
𝑦=√2
𝑇∙∫𝑦2∙𝑑𝑡𝑇/2
0=√𝑌02+∑𝑌ℎ2𝑁
1
valoarea efectivă nu defineste curba nesinusoidală, pot exista mai multe cu aceiași valoare efectivă, dar care
are forme diferite.
 Reziduu deformat:
𝑌𝑑=√𝑌2−𝑌12
 Valoarea medie:
𝑌𝑚𝑒𝑑=2
𝑇∙∫(𝑌0+∑𝑌ℎ𝑛
1∙√2∗𝑠𝑖𝑛ℎ𝜔𝑡)𝑑𝑡=𝑌0+2∙√2
𝜋∙∑1
ℎ𝑌ℎ𝑛
1𝑇/2
0
 Factor de formă:
𝑘𝑓=𝑌
𝑌𝑚𝑒𝑑=√𝑌02+∑𝑌ℎ2𝑛
1
𝜋∙𝑌0
2∙√2+∑1
ℎ∙𝑌ℎ𝑛
1∙𝜋
2∙√2
în care h este u n număr impar, deoarece pentru armonicele pare valoarea medie este zero și pe o
semiperioadă.
Când 𝑘𝑓≠ 1,1111, valoarea sa poate fi pentru mărimile periodice nesinusoidale mai mare sau mai
mică decât 1,111. Reciproca nu este valabilă, adică 𝑘𝑓 = 1,1 11 este întotdeauna sinusoidală. Curbele
periodice cu 𝑘𝑓>1,111 sunt curbe ascuțite față de o curbă sinusoidală, iar curbele cu 𝑘𝑓<1,111 sunt mai
aplatizate decât o curba sinusoidală.

 Factorul de vârf:
𝑘𝑣=𝑌𝑚𝑎𝑥
𝑌𝑐𝑓
el are o valoare aleatorie, care este în funcție de armonică, de regulă diferă de √2. La fel fel ca și la factorul
de formă ( 𝑘𝑓), curbele periodice 𝑘𝑣>√2 sunt curbe ascuțite, iar curbele 𝑘𝑣<√2 sunt curbe aplatizate.
 Factorul de distorsiune:
𝑇𝐻𝐷=𝑌𝑑
𝑌1=√𝑌02+∑(𝑌ℎ)2 𝐻
ℎ=2
𝑌1
factorul de distorsiune de tensiune are în componență sufixul U, THDU, iar factoul de curent are sufixul I,
THDI.
Este utilizat si factorul total de distorsiune de curent corespunzător puterii contractate, care definește
nivelul ar monicelor de curent electric raportat la valoarea efectivă a armonicei fundamentale 𝐼1𝑢 ce
corespunde puterii contractate 𝐼(1𝑢)=𝑆𝑢
√3∙𝑈𝑛, în care 𝑈𝑛 este tensiunea nominală.
𝑇𝐷𝐷=√∑(𝐼ℎ
𝐼1𝑢)2𝐻
ℎ=2=√∑𝐼ℎ2𝐻
ℎ=2
𝐼1𝑢
Dacă vorbim de analiza regimului n esinusoidal, analiza chiar și pentru rețelele trifazate se face pe
fază. După ce s -a opținut valoarea pe fază se poate stabili funcționarea rețelei trifazate.
La bornele unui circuit electric care se află într -un regim periodic nesinusoidal, în care curent ul si tensiunea
la bornele circuitului electric sunt date de ralația:
𝑢(𝑡)=𝑈0+∑𝑈ℎ∙√2∙sin⁡(ℎ∙𝜔∙𝑡−𝛼ℎ)𝑛
1
𝑖(𝑡)=𝐼0+∑𝐼ℎ∙√2𝑛
1∙sin⁡(ℎ∙𝜔∙𝑡−𝛽ℎ)
pentru care pot fi definite patru noțiuni de putere:
 Puterea activă:
𝑃=𝑈0∙𝐼0+∑𝑈ℎ∙𝐼ℎ∙𝑐𝑜𝑠𝜑ℎ𝑛
1
unde: 𝜑ℎ=𝛽ℎ−𝛼ℎ
 Puterea reactivă:
𝑄=∑𝑈ℎ∙𝐼ℎ∙𝑠𝑖𝑛𝜑ℎ𝑛
1

 Puterea deformată:

𝐷=√∑[𝑈𝑚2∙𝐼𝑛2+𝑈𝑛2∙𝐼𝑚2−2∙𝑈𝑚∙𝑈𝑛∙𝐼𝑚∙𝐼𝑛∙cos(𝜑𝑚−𝜑𝑛)]𝑚,𝑛
1
𝑚≠𝑛
la car e unghiurile φ sunt definite de relațiile 7.1.33.
Puterea deformată se măsoara în VAd. Ca să calculăm puterea deformată după relația 7,1,35
este dificilă. În realitate folosim relatiile:
 daca U este sinusoidal și dacă THDU≤ 20%, puterea deformată poate fi calculată cu relația :
o 𝐷=⁡𝑈𝑒𝑓∙𝐼𝑑
𝑈𝑒𝑓 – valoarea efectivă a tensiunii;
𝐼𝑑 – valoarea rezidului deformat al curentului.
 dacă THDU > 20%, puterea deformată poate fi calculată cu relația:
o ⁡𝐷=𝑈𝑒𝑓∙𝐼𝑑+𝑈𝑑∙𝐼𝑒𝑓
𝑈𝑒𝑓 – valoarea efectivă a curentului;
𝐼𝑑 – valoarea rezidului deformat al curentului.
O relație simplificatpare care oferă rezultate foarte bune este:
𝐷=⁡√√𝑈12∙𝐼𝑑2+𝑈𝑑2∙𝐼12−2𝑈1∙𝐼1∙∑𝑈𝑚∙𝐼𝑚∙cos⁡(𝜑1−𝜑𝑚)𝑛
2
 Puterea aparent:
𝑆=⁡𝑈⁡𝑒𝑓∙𝐼𝑒𝑓=√𝑃2+𝑄2+𝐷2
 Puterea completă:
𝑃𝐶=√𝑆2−𝑃2=√𝑄2+𝐷2
 Factorul de putere:
𝜆=𝑃
𝑆=𝑃
√𝑃2+𝑄2+𝐷2
 Factorul deformant:
𝜏=𝐷
√𝑆2−𝐷2=𝐷
√𝑃2+𝑄2
Indicatorul 𝜏 este utilizat pentru evaluarea nivelului puterii deformante a unui consumator cu
careacterisitici neliniare.

APLICAȚIE
În regim permanent de funcționare trifazat simetric, la bornele de alimentare cu energie electrică a
unui utilizator, se măsoară pe fază o tensiune nesinusoidală care poate fi descompusă în serie Fourier sub
forma:
𝑢(𝑡)=229∙√2∙𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡+21∙√2∙𝑠𝑖𝑛11𝜔𝑡+13∙√2∙𝑠𝑖𝑛13𝜔𝑡 [ V ]
În același regim de funcționare, pe aceiași fază a cablului de alimentare a utilizatorului, se măsoară
un curent electric nesinusoidal care poate fi descompus în serie Fourier sub forma:
𝑖(𝑡)=29∙√2∙𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡+3∙√2∙sin(3𝜔𝑡−𝜋
4)+4,17∙√2∙𝑠𝑖𝑛11𝜔𝑡+2,73∙√2∙𝑠𝑖𝑛13𝜔𝑡 [ A ]
Se cer următoarele:
 valorile efective ale tensiunii și curentului electric;
 puterile aparente, activă, reactivă și deformată absorbite de consumatorul trifazat;
 puterea reactivă corescpunzătoare armoni ci de rank 11;
 factorul total de distorsiune armonică a tensiunii de alimentarea a consumatorului;
 factorul total de distorsiune armonică a curentului electric;
REZOLVARE
 Valoarea efectivă a tensiunii:
𝑈=√∑𝑈ℎ2𝑛
ℎ=1=√2292+212+132=√52.441+729+169=√53339=230,95⁡𝑉
 Valoarea efectivă a curentului:
𝐼=√∑𝐼ℎ2𝑛
ℎ=1=√292+32+4,172+2,732=√841+9+17,3889+7,4529=√874,84=29,57⁡𝐴
 Puterea aparentă absorbită de consumatorul trifazat:
𝑆=3∙𝑈∙𝐼=3∙230,95∙29,57=20.487,57⁡𝑉𝐴
 Puterea activă absorbită de consumatorul trifazat:
𝑃=3∙∑𝑈ℎ∙𝐼ℎ∙𝑐𝑜𝑠𝜑ℎ=3(229∙29∙cos0+21∙4,17∙𝑐𝑜𝑠0+13∙2,73∙𝑐𝑜𝑠0)𝑛
ℎ=1
=6641+87,57+35,49∙3=6764,06∙3=20.292,18⁡𝑊
 Puterea reactivă absorbită de consumatorul trifazat:
𝑄=3∑𝑈ℎ∙𝐼ℎ∙𝑠𝑖𝑛𝜑ℎℎ
ℎ=1=3(229∙29∙𝑠𝑖𝑛0+21∙4,17∙𝑠𝑖𝑛0+13∙2,73∙𝑐𝑜𝑠0=0⁡𝑉⁡𝐴𝑟

 Putere a deformată generată de utilizator:
𝐷=√𝑆2−(𝑃2+𝑄2=√(204872)−[(20292.182+02)]=419717169 −411772569 ,2
=7944599 ,8⁡𝑉𝐴𝑑
 Puterea reactivă corespunzătoare armonicei a unsprezeccea:
𝑄11=𝑈11∙𝐼11∙𝑠𝑖𝑛𝜑11=13∙2,73∙𝑠𝑖𝑛0=0⁡𝑉𝐴𝑟
 Factorul total de distorsiune arm onică a tensiunii:
𝑇𝐻𝐷𝑈=√∑𝑈ℎ2ℎ
ℎ=2
𝑈1=√212+132
2290=√610
229=24,69
229=0,1078⁡𝑠𝑎𝑢⁡𝑇𝐻𝐷𝑈=10,78%
 Factorul total de distorsiune armonică a curentului electric:
𝑇𝐻𝐷𝐼=√∑𝐼ℎ2ℎ
ℎ=2
𝐼1=√32+4,172+2,732
29=√33,83
29=5,82
29=0,20006⁡𝑠𝑎𝑢⁡𝑇𝐻𝐷𝐼=20,06%
 Capacitatea condesatorului de compensare a puterii reactive absorbite:
o deoarece puterea reactivă absorbită de consumator este zero, nu este necesar să se compeseze
puterea reactivă.