☻Def: Se numeste progresie aritmetica un sir de numere reale in care fiecare termen se obtine din termenul anterior adunand o constanta numita ratie… [617217]

PROGRESII ARITMETICE

☻Def: Se numeste progresie aritmetica un sir de numere reale in
care fiecare termen se obtine din termenul anterior adunand o
constanta numita ratie (r)

☻Proprietate :trei numere a,b,c sunt in progresie aritmetica daca b e
medie aritmetica intre a si c adica
2acb
☻an=a1+(n-1)r
☻Sn=
1(2 ( 1) )
2n a n r unde am noatat cu S n=a1+a2+a3+a4+…+a n

PROGRESII GEOMETRICE

☻Def: Se numeste progresie geometrica un sir de numere reale in
care fiecare termen se obtine din termenul anterior inmultind cu o
constanta numita ratie (q).

☻Proprietate :trei numere a,b,c sunt in progresie geometrica cu
termeni pozitivi daca b e medie geometric a intre a si c adica
b ac
.
in general pentru o progresie geometica cu termeni oarecare a,b,c
sunt in progresie geometrica daca b2=ac
☻an=a1qn-1
☻Sn=
1( 1)
1nqaq
 unde am noatat cu S n=a1+a2+a3+a4+…+a n

PROBABILITATI

☻Probabilitatea=
.
.nr cazurifavorabile
nr cazuriposibile

LOGARITMI

☻
logab =puterea la care il ridic pe a astfel incat sa dea pe b.
☻
logab exista doar pentru
0, 0, 1a b a  
☻
logb
aab (cu ajutorul acestei formule orice numar real poate fi
scris ca log in orice baza vreau)
☻
logabc revine la
cba
☻ log ab+ log ac= log a(bc)
☻log ab- log ac= log a(
b
c)
☻log abp=p log ab
☻
1log logp a abbp
☻
1logloga
bba
☻
logabab
☻daca a>1 functia log e crescatoare adica log ab> log ac  b>c
☻daca a<1 fu nctia log e descrescatoare adica log ab> log ac  b<c

EXPONENTIALA
☻
x y x ya a a
☻
x
xy
yaaa
☻
1x
xaa
☻
yx x yaa

COMBINARI
☻Permutari de n se noteaz a P n
Pn=n! si reprezinta numarul de multimi ordonate ce se pot forma
cu n elemente

☻Aranjamente de n luate cate k se noteaza
k
nA
!
( )!k
nnAnk
reprezinta nr de submultimi ordonate de cate k elemente
ce se pot forma dintr -o multime cu n elemente
☻Combinari de n luate cate k se noteaza
k
nC
!
!( )!k
nnCk n k
reprezinta nr de submultimi neordonate de cate k
elemente ce se pot forma dintr -o multime cu n elemente.
0 1 2… 2nn
n n n nC C C C    

☻Numarul tuturor sumultimilor unei multimi cu n elemente este 2n
☻Numarul submultimilor cu cate k elemente ale unei multimi cu n
elemente este
k
nC

FUNCTII
☻ Punctul A(a,b) se afla pe graficul functiei f daca f(a)=b
☻ Punctele de intersectie dintre graficele a doua functii f si g
se rezolva sistemul
()
()y f x
y g x

Solutiile (x,y) reprezinta coordonatele punctelor de intersectie .
☻Inversa functiei f:
Daca
()f x y atunci
1()f y x

☻Intersectia cu Ox a graficului functiei f
se rezolva ecuatia f(x)=0
Daca x e o sol utie a ecuatiei f(x)=0 .Punctul A(x,0) e un punct de
intersectie dintre axa Ox si graficul functiei f.

☻Intersectia cu Oy a graficului functiei f
Se calculeaza f(0) daca 0 e in domeniu de definitie.
Punctul B(0,f(0)) reprezinta intersectie dintre axa Oy si graficul
functiei f.
In cazul in care 0 nu se afla in domeniul de definitie al functiei ,
graficul functiei nu taie axa Oy.

FUNCTIA DE GRADUL DOI
☻Varful parabolei este
,24bVaa 

-daca
0a varful este punct de minim
4a
este valoare minima iar
2b
a punct de minim
-daca a<0 varful este punct de maxim

4a este valoare maxima iar
2b
a punct de ma xim

☻Graficul functiei de gradul doi e tangent la axa Ox daca are
0

☻Graficul functiei de gradul doi e situat deasupra axei Ox daca are
0
0a


☻Relatiile lui Viette
Pentru ecuatia de gradul doi cu radacini
12,xx au loc relatiile:
12
12bxxa
cxxa


☻Observatie
2
2 22
1 2 1 2 1 2 22bcx x x x x xaa      
☻Ecuatia cu radacini
12,xx este
20 x Sx P   unde
12 S x x iar
12 P x x

☻
o Conditia ca
20 a bx c  
x
este
0, 0a 
o Conditia ca
20 a bx c  
x
este
0, 0a 
o Conditia ca
20 a bx c  
x
este
0, 0a 
o Conditia ca
20 a bx c  
x
este
0, 0a 
☻
 Conditia ca ecuatia
20 a bx c   sa aibe doua solutii reale este
0
 Conditia ca ecuatia
20 a bx c   sa aibe doua solutii egale este
0
 Conditia ca ecuatia
20 a bx c   sa nu aibe solutii reale este
0

VECTORI IN PLAN

☻Modulul vectorului
v a i b j   
este
22v a b

☻Produsul scalar a doi vectori
v a i b j   
si
w c i d j   
este
v w a c b d    

☻Suma a doi vectori
v a i b j   
si
w c i d j   
este
( ) ( ) v w a c i b d j    

☻Conditia ca doi vectori sa fie coliniari doi vectori
v
si
u
sunt
coliniri daca exista a numar real astfel incat
v a u

Daca vectorii sunt dati sub forma
v a i b j   
si
u c i d j   
conditia
de colini aritate revine la
ab
cd
☻Daca
( , )AAA x y si
( , )BBB x y atunci
( ) ( )B A B A AB x x i y y j     

☻Daca
( , )AAA x y vectorul de pozitie al lui A este
AA OA x i y j   
se
mai noteaza
Ar

TRIGONOMETRIE

☻
sin(180 ) sinoxx ☻
cos(180 ) cosoxx 
☻
sin(90 ) cosoxx ☻
cos(90 ) sinoxx
☻
22sin cos 1xx oricare ar fi x real
☻
sin
cosxtgxx
cos
sinxctgxx
x 0 π/6(30o) π/4(45o) π/3(60o) π/2(90o)
sinx 0
1
2
2
2
3
2 1
cos x 1
3
2
2
2
1
2 0
tgx 0
1
3
1
3 Nu
exista
ctgx Nu
exista
3 1
1
3 0

GEOMETRIE
☻Ecuatia dreptei AB :
1
10
1AA
BBxy
xy
xy
☻Panta dreptei AB
o daca stiu doua puncte panta este
AB
AB
AByymxx
o daca dreapta e data sub forma y=mx+n atunci m este panta
o daca ecuatia e sub forma ax+by+c=0 panta este
a
b
o Obs : dreptele verticale (x=a) nu a u panta
☻Ecuatia unei drepte cand stiu un punct A si panta m este
()AA y y m x x  

☻Conditia de paralelism a doua drepte
12 12 dd d d m m

☻Distanta dintre doua puncte
22| | ( ) ( )A B A B AB x x y y   
☻mijlocul segmentului AB este
( , )22A B A Bx x y yM
☻Conditia ca trei puncte A,B,C sa fie coliniare
1
10
1AA
BB
CCxy
xy
xy

☻Punctul de intersectie dintre doua drepte se determina rezolvand
sistemul facut de ecuatiile lor.
☻Aria triunghiului ABC este
2ABCS unde
1
1
1AA
BB
CCxy
xy
xy
☻Aria triunghiului
2ABCbaza inaltimeaS
☻Aria triunghiului echilateral cu latura l este:
23
4lS
☻In triunghiul dreptunghic mediana e jumatate din ipotenuza

☻Aria triunghiului ABC (Heron)
( )( )( )ABCS p p a p b p c    unde
2abcp

☻Aria triunghiului ABC=
sin
2BC AC C =
sin
2BC AB B =
sin
2AB AC A
☻Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic b2+c2=a2
☻Teorema cosinusului
2 2 2 ˆ 2 cos( ) BC AC AB AB AC A     

2 2 22 cos( ) AC AB BC AB BC B     

2 2 22 cos( ) AB AC BC BC AC C     

☻Teorema sinusurilor
2sin sin sinBC AC ABRA B C   unde R raza cercului
circumscris triunghiului
☻Prima bisectoarea este bisectoarea cadranului 1 in reperul xOy si are
ecuatia y=x.
☻A doua bisectoarea este bisectoarea cadranului 2 in reperul xOy si
are ecuatia y= -x.

☻Mediana in trunghi este segmentul ce uneste un varf cu mijlocul
laturii opuse
☻Mediatoarea unui segment e perpendiculara pe mijlocul segmentului
☻Inaltimea in tringhi e perpendiculara din varf pe latura opusa
☻Bisectoarea este semidreapta care imparte un unghi in 2 unghiuri
congruente.
☻In trunghiul drept unghic
_sinCateta opusa
ipotenuza
_cosCateta alaturata
ipotenuza
CONDITII DE EXISTENTA
☻
()Ex
( ) 0Ex
☻
3()Ex exista oricare ar fi x real deci nu se pun co nditii de existenta
☻
log ( )aEx
( ) 0Ex
0a
1a
☻ daca avem numitor , avem conditia numitor diferit de 0.
☻
arcsin ( ) Ex
1 ( ) 1Ex  
☻
arccos ( ) Ex
1 ( ) 1Ex  
☻
()tgE x
( ) 22E x k
☻ domeniul maxim de definitie se obtine din conditiile de existenta
ale expresiei care da functia.