Curs9 Estimare 2019 [630928]

BAZELE STATISTICII BAZELE STATISTICII
-anuluniversitar2018-2019-

Programa analitic ă
1. No țiuni introductive
2. Analiza unei serii statistice unidimensionale, folosind metode grafice și numerice ( variabile cantitative :
indicatori ai tendin ței centrale, indicatori ai dispersiei și indicatori ai tendin ței centrale, indicatori ai dispersiei și
indicatoriaiformei; variabilecalitative ).
3. Analizauneiseriistatisticebidimensionale.

Programa analitic ă
4.Probabilit ățiși distribu țiiteoretice
5.Estimareaparametriloruneipopula ții
6.Testareastatistic ă
7.Indicatoriaiseriilorde timp

5. Estimarea parametrilor unei popula ții
5.1. Concepte fundamentale a) Popula ție -Eșantion
O popula ție statistic ăeste definit ăprin precizarea naturii sale,
acaracteristicil or intrinseci, spa țiul ui șitimpul ui . acaracteristicil or intrinseci, spa țiul ui șitimpul ui .
Un eșantion reprezint ăo sub-popula ție sau un sub-ansamblu
extrasdinpopula țiade referin ță dup ăo procedur ăanume.

5. Estimarea parametrilor unei popula ții
b)Sondajulaleatorsimplu repetat
Sondajele aleatoare permit calcularea a priori a probabilit ății
fiec ăreiunit ățidin popula țiede aapar țineeșantionului.
Un sondaj aleator simplu repetat presupune ca fiecare unitate
din popula ție săaib ăaceea șiprobabilitate de afi inclus ăîn din popula ție săaib ăaceea șiprobabilitate de afi inclus ăîn
eșantion.
Aceastaeste .Nnp=

5. Estimarea parametrilor unei popula ții
c). Numărul de e șantioane care se pot extrage
-în cazul e șantion ării aleatoare repetate:
K=N n

5. Estimarea parametrilor unei popula ții
5.2.Parametru – Estimator – Estima ție
Parametrul reprezint ăo valoare fix ăși necunoscut ă, numit ă
și valoare real ăsau adev ărat ă, a unei popula ții studiate dup ăo
anumit ăvariabil ă. anumit ăvariabil ă.
Estimatorul este o statistic ă, adic ăo variabil ăaleatoare care
este determinat ăde totalitatea e șantioanelor posibile de
volumncare se pot extrage din popula ția de referin ță .
Estimatorulestedefinitcao func țieavariabilelorde selec ție.

5. Estimarea parametrilor unei popula ții
Estima ția este o valoare realizat ădintre valorile posibile ale
estimatorului.
O estima ție se ob ține la nivelul unui e șantion extras, pe baza
datelorculese, șiesteo func țiea valorilorde sondaj.

5. Estimarea parametrilor unei popula ții
Propriet ățileestimatorilor
De regul ă, exist ăo diferen ță între estima ție și parametru,
carereprezint ăo eroarede estimare.
Aceast ăeroare poate fi măsurat ăcu ajutorul propriet ăților Aceast ăeroare poate fi măsurat ăcu ajutorul propriet ăților
estimatorilor:
1. Nedeplasarea θ
θ=)ˆ(M

5. Estimarea parametrilor unei popula ții
2. Convergen ța:
-convergen țaîn probabilitate impune ocondi ție de volumal Nncând V → →,0)ˆ(θ
-convergen țaîn probabilitate impune ocondi ție de volumal
eșantionului: dac ăacesta este suficient de mare, atunci orice
valoare posibil ăa estimatorului (orice estima ție) converge
cătreparametru.
Aceast ăproprietateesteo expresiea legiinumerelormari .

5. Estimarea parametrilor unei popula ții
– convergen ța în reparti ție (teorema limit ă central ă)
impune o condi ție de volum pentru estimatorul transformat
prinopera ția de standardizare:
)ˆ(Mˆ~ˆθ
θ
θ−=
Dac ăvolumul eșantionului cre ște peste o anumit ălimit ă,
atunci variabila aleatoare ob ținut ăprin standardizarea
estimatoruluiurmeaz ăo legede reparti țienormal ăstandard:
3. Eficien ța: .min )ˆ(V=
θ)ˆ(Vˆθ
θ=
)1 , 0(N~Z~ˆ→
θ

5. Estimarea parametrilor unei popula ții
5.3. Statistici uzuale în inferen ța statistic ă
a) Media de selec ție
Estimatorul numit medie de selec ție este ob ținut ca omedie
µˆ
Estimatorul numit medie de selec ție este ob ținut ca omedie
aritmetic ăavariabileloraleatoarede selec ție Xi.
Ovaloareposibil ăaestimatoruluiestemediade sondaj.
Variabila media de selec ție se caracterizeaz ăprin legea
normal ă- teorema limit ăcentral ăbazat ăpe legea numerelor
mari.
),(~ˆ2
nNσ
µ
µ

5. Estimarea parametrilor unei popula ții
Caracteristici ale estimatorului :
-nedeplasat;
-convergent;
-eficient. µˆ
-eficient.
b) Dispersia de selec ție
-Este un estimator deplasat.
-Ca o corec ție la acest estimator, se construie ște dispersia de
selec ție modificat ăsau corectat ă. O valoare posibil ăa acestui
estimatorestedispersiadesondajmodificat ă:2ˆσ

5. Estimarea parametrilor unei popula ții
c) Propor ția de selec ție 2
i2)xx(1n1' s −−=πˆ
-are acelea și propriet ăți cu media de selec ție.
)n)1(,(N~ˆπ
π
π
π−

5. Estimarea parametrilor unei popula ții
5.4Estimarea punctual ă a parametrilor unei popula ții
a) Definire
-presupune calculul unei estima ții la nivelul unui eșantion ,ca -presupune calculul unei estima ții la nivelul unui eșantion ,ca
o valoare a unui estimator convenabil ales, care respect ă
propriet ățilede nedeplasare și convergen ță .
b) Estimareapunctual ăa medieiunei popula ții
c) Estimareapunctual ăa varian țeiunei popula ții
d) Estimareapunctual ăa propor țieiunei popula ții

5. Estimarea parametrilor unei popula ții
5.5 Estimarea prin interval de încredere (IC) a parametrilor
uneipopula ții
a) Definire a) Definire
-a estima prin IC un parametru presupune a identifica dou ă
variabile aleatoare, LișiLs,care, pentru o anumit ă
probabilitate , numit ănivel de încredere, respect ă
condi ția:
– ,cu )1(α−
)1()LL(Ps iα
θ −=≤≤ )1 , 0(∈
α

5. Estimarea parametrilor unei popula ții
-estimarea prin IC se bazeaz ăpe estimatori nedeplasa țiși
convergen ți,căroralise aplic ăTeoremalimit ăcentral ă.
b) Estimarea prin ICamediei unei popula ții b) Estimarea prin ICamediei unei popula ții
-cândse cunoa șteparametrul :σ
)1,0(~),(~ˆ2
NZnN
σ
µ
µ
nZ
/ˆˆ
ˆσµ
µ
σµ
µµ−=−=

5.Estimareaparametriloruneipopula ții
)1()z
n/ˆz(P2/ 2/α
σµ
µα
α −=+≤−≤−
n/
σ
)1()
nzˆ
nzˆ(P2 / 2 /α
σ
µ
µ
σ
µα
α −= +≤≤ −

5. Estimarea parametrilor unei popula ții
la nivelul unui e șantion extras:

+ −
nzx,
nzx
2 / 2 /σ
σα
α
-când nu se cunoa ște parametrul :
Variabila Z devine o variabil ă Student: σ
)1n( t~
n'ˆˆt −−=σµ
µ

5. Estimarea parametrilor unei popula ții
-valoarea se cite ștedintabelulStudentpentru:)1()ttt(P2/ 2/α
α
α −=≤≤−
2/)tt(P2/α
α=≥2 /tα
2/)tt(P2/α
α=≥


+ −
n' stx,
n' stx2 / 2 /α
α

Exemplu
Pentru un eșantion format din 20 de persoane, extras aleator
simplu repetat, s-au ob ținut următoarele rezultate privind
vârsta(ani):
.ani 2's;ani 20 x = =
Săse estimeze prin interval de încredere vârsta medie a
întregii popula ții din care a fost extras e șantionul,
considerândun riscde 0,05..ani 2's;ani 20 x = =

Exemplu
În estimareaprin ICa mediei popula ției se folose ște statistica
tStudent .Din TabelaStudentse cite ștevaloarea:
t0,025;20-1=2,093 .
IC este : IC este :
Interpretare: Se poate garanta cu o probabilitate de 0,95 c ă
vârsta medie a întregii popula ții din care a fost extras
eșantionul este acoperit ăde intervalul: 19,064 ~ 19 ani și
20,936~21 ani.[ ] 936 ,20 ;064 ,19
20 2093 , 220
n' stx19 ;025 . 0 =
⋅±=
⋅ ±

5. Estimarea parametrilor unei popula ții
Observa ție:
Precizia estimării cre ște (mărimea intervalului de încredere
estemai mic ă), atuncicând:
-volumuleșantionului (n)cre ște.
-varian ța eșantionului este mic ă(valorile aberante afecteaz ă
mărimeaintervaluluideîncredere).

5. Estimarea parametrilor unei popula ții
c) EstimareaprinIC a propor țieiunei popula ții
-când se cunoa ște varian ța variabilei alternative:
 + − ˆ ˆπ
πσ
π
σ
π
-când nu se cunoa ște varian ța variabilei alternative: 
+ −
nzˆ,
nzˆ2 / 2 /π
α
π
ασ
π
σ
π

 −+−−
n)p1( ptp,
n)p1 ( ptp
2 / 2 /α
α

Exemplu
În urma realiz ării unui sondaj electoral la nivelul unui
eșantion format din 1500 persoane, se observ ăcă840
persoane au votat pentru candidatul A. S ăse estimeze prin
interval de încredere propor ția persoanelor care voteaz ă
pentru candidatul Ala nivelul întregii popula ții, considerând pentru candidatul Ala nivelul întregii popula ții, considerând
unriscde0,05.

Rezolvare
-propor ția persoanelor care au votat pentru candidatul A, la
niveluleșantionului,este:p=840/1500=0,56.
-I.C.se calculeaz ăastfel:
[ ]59 , 0 ;53 , 0
1500 )56 , 01 (56 , 096 , 156 , 0
n)p1 (ptp2 / =

 −⋅⋅±=

 −⋅⋅±α

5. Estimarea parametrilor unei popula ții
5.6. Estimarea prin IC în SPSS
Descriptives
7.7442 .32041
7.0976 Mean
Lower Bound 95% Confidence rata_som_2010 Statistic Std. Error
7.0976
8.3908
7.8339
8.0000
4.414
2.10105
2.30
11.80
9.50
2.60
-.605 .361
.418 .709 Lower Bound
Upper Bound 95% Confidence
Interval for Mean
5% Trimmed Mean
Median
Variance
Std. Deviation
Minimum
Maximum
Range
Interquartile Range
Skewness
Kurtosis

Estimarea prin IC în Excel
Column1
Mean 7.466667 Standard Error 0.735926 Median 8
Mode 9 Mode 9
Standard Deviation 2.85023 Sample Variance 8.12381 Kurtosis 0.752301 Skewness -0.84626 Range 11 Minimum 1Maximum 12 Count 15 Confidence Level(95.0%) 1.578405

5. Estimarea parametrilor unei popula ții
5.7. Calcularea volumului e șantionului ( n)
Pentru determinarea volumului e șantionului se folose ște, de
regul ă, ca variabil ăde baz ăo variabil ăalternativ ăpentru a
estima parametrul , care, în cazul unui sondaj de opinie
electoral, poate fi propor ția de voturi ob ținute de un candidat .
π
electoral, poate fi propor ția de voturi ob ținute de un candidat .
În practic ă, se fixeaz ăprobabilitatea sau nivelul de încredere,
(1-α), cu care dorim săgarant ăm rezultatul (de regul ă, 0,95)
șieroareamaxim admisibil ă(deexemplu, ). %3±
πΔ

5. Estimarea parametrilor unei popula ții
Știind c ă:
, unde:
este eroarea maxim ă admisibil ă, iar este abaterea nz2 /π
α
πσ
Δ=
πΔπσ este eroarea maxim ă admisibil ă, iar este abaterea
standard a variabilei alternative pentru care se estimeaz ă
Se afl ă n:
Parametrul ,care exprimăgradul de omogenitate al
popula ției, de regul ănu se cunoa ște, îns ăîn calculul
volumului eșantionului se poate utiliza valoarea lui maxim ă,
careesteegal ăcu0,25.22 2
2 /znππ
αΔσ⋅=
2πσ
πΔπσπ

6. Estimarea parametrilor unei popula ții
Exemplu
Pentru o probabilitate de 0,95 și o eroare maxim admisibil ă
de , săse calculezevolumule șantionului.
Ce se întâmpl ădac ăse utilizeaz ăoeroare de ?%3±
%2± Ce se întâmpl ădac ăse utilizeaz ăoeroare de ?