Curs I I I: Principiile MPM [606889]

Curs I I I: Principiile MPM
Oana Constan tinescu
Cuprins
1 Principiul c ar acterului stiintic al invatamantului matematic 1
2 Principiul sistematizarii si con tin uitatii 2
3 Principiul in v atarii constien te si activ e 4
4 Principiul resp ectarii particularitatilor de v arsta si individuale 6
5 Principiul intuitiei 8
1 Principiul c ar acterului stiintic al invatamantului matematic
Corectitudinea informatiilor Una din tre principalele griji ale un ui profesor este ca informa-
tia p e care o transmite sa e corecta, exacta, sa n u dea nastere la am biguitati. Corectitudinea
informatiilor este asigurata, teoretic, de man ualele scolare. Elab orate de colectiv e de profesori cu
exp erien ta, a vizate de o comisie a Ministerului In v ataman tului, man ualele sun t in cea mai mare
parte sigure. Se p ot insa strecura unele v arian te care, c hiar daca n u sun t greseli propriu-zise, pro-
duc am biguitati. Ca exemplu amin tim predarea in liceu a notiunii de inel, in care apare axi-oma
existen tei elemen tului neutru. Dar in cartile de sp ecialitate, si c hiar in unele culegeri, se distinge
notiunea de inel unitar. O alta situatie este scrierea diferita a cuan ticatorilor logici: 8;(8); etc.
Rigoarea Matematica necesita o rigoare maxima. Dar acest lucru e v alabil doar teoretic, practic
ind mai m ult un deziderat. Meto da axiomatica este cea care realizeaza acest inalt grad de rigoare,
dar in in v ataman tul gimnazial profesorul trebuie sa se bazeze si p e in tuitie , si in acelasi timp sa aiba
grija ca informatia sa e accesibila elevului. In general denitiile sun t riguroase (le tratam in tr-un
curs separat), dar niv elul rigorii demonstratiilor creste o data cu clasa. De exemplu , la clasele
mici demonstratiile se bazeaza p e o inductie incompleta, din catev a situatii analizate se deduce
regula generala. P ornind de la form ula ariei un ui triunghi se determina, p e baza unor proprietati
ale functiei arie, form ulele p en tru ariile principalelor patrulatere con v exe studiate. Dar n u se dau
toate axiomele functiei arie si nici n u se da o constructie a functiei arie p e m ultimea suprafetelor
p oligonale.
Primele lectii de geometrie din clasa a cincea se refera la gurile si corpurile geometrice in talnite
in jurul nostru. Ele sun t prezen tate prin mo dele, ap oi denite abstract. Dar in man uale apar si
elemen te de axiomatica, putine ce-i drept, sau mascate. Se aleg cele mai simple axiome, cum ar 
cele de inciden ta. Ele sun t necesare p en tru a putea argumen ta p ozitiile relativ e ale dreptelor in plan,
resp ectiv spatiu, ap oi ale planelor si dreptelor fata de plan. Axiomele de congruen ta sun t strecurate
in materia claselor VI, VI I. De exemplu, axioma existen tei un ui segmen t congruen t cu un segmen t
dat este inlo cuita cu o meto da de constructie a un ui segmen t congruen t cu un segmen t dat. A cum
cativ a ani, geometria se preda in clasa a noua p e baza sistem ului axiomatic al lui Birkho. Dar si
in acest caz, acesta se bazeaza p e m ultimea n umerelor reale, care n u se p oate construi algebric la
acel niv el. In clasa a zecea era in tro dus, in tr-o forma simplicata, sistem ul axiomatic al lui Hilb ert.
1

Astfel, se recomanda in tro ducerea unor notiuni, relatii primare si axiome, cat si expunerea unor
demonstratii riguroase, dar in unele cazuri, cand aceasta rigoare ar presupune argumen te dicile
p en tru v arsta elevului, se p ot prezen ta unele armatii fara demonstratie, explicandu-le doar p e cale
in tuitiv a. E obligatoriu sa se revina cu demonstratii exacte la o v arsta mai inain tata.
A cum programa scolara la geometrie s-a mo dicat m ult, in liceu insistandu-se p e calculul v ec-
torial si geometria analitica.
Lim ba jul matematic Caracterul stiin tic se manifesta si prin utilizarea un ui lim ba j adecv at.
In cursul en un tarii unor denitii sau prop ozitii matematice, cat si p e parcursul demonstratiilor,
profesorul trebuie sa utilizeze un lim ba j abstract, formalizat. A celeasi preten tii trebuiesc a vute si
din partea elevilor, profesorii corectandu-i la nesfarsit.
De exemplu sa se faca distinctia in tre segmen te de lungimi egale si segmen te congruen te, in tre
masura un ui unghi si unghi, suprafata si arie, ecuatie si p olinom, etc. Un asp ect la fel de imp ortan t
este folosirea lim ba jului formalizat (aten tie la folosirea cuan ticatorilor logici, etc).
In scris, p e tabla sau p e caiete, acuratetea trebuie sa e maxima.
Sisteme precise de ev aluare Principiul este argumen tat si prin existen ta unor sisteme de ev alu-
are precisa, bazate p e un barem bine con turat, ce inlatura subiectivitatea.
In concluzie, predarea riguroasa a matematicii duce la dezv oltarea judecatii si a rationamen telor
elevilor, la formarea unei gandiri logice. An trenamen tul in telectual, insusirea unor meto de ce duc
la dezv oltarea spititului de in v estigatie, de cercetare, fac din matematica n u doar un instrumen t
menit educarii rigorii dar si dezv oltarii creativitatii.
2 Principiul sistematizarii si con tin uitatii
T oate lucrurile erau amestecate la un lo c: p e urma a v enit ratiunea si le-a pus in randuiala.
(Anaxagorax)
A cest principiu deriv a automat din cel an terior, stiin ta presupunand ordonarea si sistematizarea
cunostin telor. In in v ataman t se transmit segmen te denitiv e ale stiin telor, care au o structura
nisata, sistematizata.
Principiul p oate  form ulat p e scurt in expunerea ordonata, planicata a materiei, in functie
de:
 logica in terna a matematicii
 structura organizatorica a in v ataman tului
 corelarea cu celelalte obiecte de studiu
 structura si ev olutia psihologica a elevilor
Logica in terna a matematicii este determinata de caracterul sau deductiv. Orice armatie
noua se bazeaza p e cele acceptate sau p e cele deja demonstrate. Astfel apare segmen tul:
notiuni!definitii!propozitii matematice (axiome; teoreme )!demonstratii
Putem v orbi si de segmen tul
teorie!probleme
ind indicata accen tuarea p onderii problemelor ce apar de obicei dupa teorie.
2

In teresan ta este existen ta lan tului
probleme introductive !teorie!aplicatii
deoarece, in m ulte cazuri, se prezin ta mai in tai unele probleme ce pro v oaca aparitia teoriei. O
astfel de ab ordare resp ecta principiul in tuitiei, al motiv atiei optime dar este si corelata cu adev arul
istoric de dezv oltare al matematicii.
Organizarea in v ataman tului gimnazial este concen trica, sau mai sugestiv spus in spirala .
-15 -10 -5 5 10 15 20
-15-10-5510
Incepand cu clasa a XI-a, cand elevii au atins un an umit niv el de maturizare cognitiv a, apare
si in v ataman tul liniar . Este v orba depre predarea structurilor algebrice, de geometria analitica
si de analiza matematica. P ana atunci insa, algebra si geometria se predau in spirala, rev enind
la notiunile deja in tro duse, completan tu-le proprietatile, sc him band mo dul de demonstrare a lor,
sp orind rigoarea argumen telor, ev oluand, p e scurt, spre acel deziderat de rigoare si abstractizare.
O astfel de structura este utila deoarece n u toti elevii au o dezv oltare cognitiv a uniforma, incat,
un elev care in clasa a VI-a n u a asimilat usor notiunea de n umar rational, o v a in telege mai bine
p este un an.
Din pacate, in ceea ce priv este predarea geometriei, s-a pro dus o ruptura de la gimnaziu la liceu in
mo dul concen tric de predare. In clasa a noua se reia in tr-adev ar geometria plana predata in clasele VI-
VI I, dar folosind meto da v ectoriala. Deoarece meto da factorizarii n u este transmisa sucien t elevilor din
gimnaziu, notiunea de v ector este greu asimilata de catre elevi. (Astfel de denitii prin factorizare ar putea
 prezen tate in tuitiv, deoarece ele apar efectiv p e aceasta cale: n umarul natural, directia, clasele de resturi:
c hiar daca n u sun t predate, elevii stiu ca exista mai m ulte n umere care dau acelasi rest la impartirea cu un
n umar dat, etc). Ei in v ata de fapt un algoritm de calcul cu v ectori, neatingand, p e scara taxonomiei lui
Blo om, niv ele inalte. P arerea mea p ersonala, urmarind cunostin tele studen tilor din an ul I ai facultatii de
matematica, e ca ma joritatea din tre ei de ab ea a jung la niv elul aplicatiei.
In clasa a X-a situatia este m ult mai tragica, geometria in spatiu n u se mai reia delo c. In sc him b
unele rezultate ale geometriei plane sun t reobtin ute ca si consecin te ale proprietatilor pro dusului scalar. De
asemenea sun t in tro duse ecuatiile dreptelor in plan, p e cale analitica.
Notiunea de v ector lib er este una caracteristica spatiului. A o reduce la plan si a ren un ta la atat de
utilul pro dus v ectorial este articiala. Ori predai in in tregime toate proprietatile v ectorilor lib eri, ori n u
o faci delo c. Fiin ta umana are o p erceptie trei dimensionala. Nu e usor sa realizezi desene ale gurilor
spatiale in plan, acestei deprinderi i se acorda m ulta aten tie in clasa a VI I I-a, dar oamenii isi imagineaza
gurile spatiale in 3 dimensiuni, n u plane. De aceea excluderea geometriei in spatiu din liceu mi se pare o
mare eroare. Predarea analitica a dreptelor era bine corelata cu rezolv area sistemelor de ecuatii liniare in
clasa a XI-a. Din pacate, dorin ta de a sc him ba si p oate a adapta in v ataman tul la nev oile so ciale actuale
ale elevilor, p oate duce si la greseli, sp eram noi temp orare.
Corelarea cu celelalte obiecte de studiu n u este in totdeauna usoara. Fizica mai ales necesita,
p en tru in tro ducerea unor notiuni precum viteza, acceleratie, etc de unele segmen te ale matematicii
care n u p ot  predate in paralel, datorita dicultatii lor. Cum ar  sa predam la gimnaziu notiunea
de deriv ata a unei functii?!
In alte cazuri insa, materia la obiectul matematica ar putea  mai bine organizata. De exemplu,
in tro ducerea notiunii de co ordonate p en tru un punct in plan/spatiu ar a juta in telegerea longitudinii
si latitudinii.
3

Structura si ev olutia psihologica a elevului P e de o parte, este eviden t ca notiunile predate
trebuie sa concorde cu capacitatea de in telegere a elevului. Ap oi, in primii ani de scoala, se
urmareste formarea unei structuri cognitiv e op erationale si a unei baze acceptabile de mo delare
in tuitiv a. Din acest motiv in primele clase predomina predarea aritmeticii, algebrei si geometriei.
Din pacate, si aritmetica pare a se v olatiliza din in v ataman tul nostru! Si cand ne gandim ca n umarul
si forma sun t primele abstractiuni ale om ului ! Chiar in clasele primare meto dele in tuitiv e de predare a
aritmeticii aproap e dispar. De exemplu, meto da graca este rapid inlo cuita de cea algebrica.
P e de alta parte trebuie tin ut con t de mo dicarile ce apar in timp in psihologia elevului. Elevul
mic in v ata ce i se da, fara a-si pune macar problema ca are dreptul de a alege. Cei aati la v arsta
in trebarilor incep sa se gandeasca la rostul in v atarii. Abstractiunile matematice n u ii p ot atrage.
Amin tim astfel de nereusita incercarii de a preda geometria p e baza sistem ului axiomatic al lui
Hilb ert. La capatul opus se aa predarea probabilitatilor. Daca se in tro duc doar catev a elemen te
de calcul probabilistic, p e o baza ludica, succesul este garan tat c hiar la elevi de gimnaziu.
F orme de materializare a principiului sistematizarii sun t planicarea calendaristica, organizarea
plan urilor de lectii sau a unitatilor de predare.
3 Principiul in v atarii constien te si activ e
Matematica, prin caracterul abstract si complex al conceptelor ei, necesita o in v atare activ a si
constien ta. Elevul stapaneste o notiune daca reuseste sa parcurga toate etap ele in v atarii prezen tate
in cursul I I, de la abilitatile de niv el scazut, pana la o cunoastere p e deplin functionala. Dar
taxonomia lui Blo om n u este singura scara a treptelor de cunoastere . Una din tre ele este si cea
considerata de matematician ul G. P oly a. A cesta v orb ea de cunoastere
 me c anic a
 inductiva
 r ationala
 inte gr ativa
P en tru a explica acesti termeni v om considera un nou exemplu: in telegerea notiunii de n umar
in treg.
Cunoasterea me c anic a e reprezen tata de in v atarea si folosirea regulilor de calcul cu n umere
in tregi, iar cea inductiva de con vingerea ca regulile in v atate n u duc la con tradictii, ca ele func-
tioneaza in totdeauna fara gres. T reapta r ationala este atinsa cand regulile sun t demonstrate in tr-o
constructie riguroasa a n umerelor in tregi. T reapta inte gr ativa presupune aso cierea constructiilor si
a demonstratiilor folosite cu altele similare, de exemplu in in tro ducerea n umerelor rationale. Mai
m ult, este v orba de in telegerea mecanism ului de scufundare a unei structuri algebrice mai slab e
in tr-una mai tare. A ceste patru niv ele de cunoastere se realizeaza in tr-un lung in terv al de timp.
Opusa in v atarii constien te este in v atarea formala , la suprafata, p e de rost. Cum p oate 
recunoscuta invatar e a formala ? De exemplu, elevul en un ta o denitie dar n u p oate indica nici
un obiect matematic ce corespunde denitiei. Sau en un ta o teorema dar n u recunoaste o situatie
eviden ta in care teorema se aplica. Un alt semn este dep enden ta elevului de notatii. Ori omisiunea
unor cuvin te din denitie, ori a unor conditii din teoreme care, nein telese, par a  in plus. Cauzele
acestor manifestari se gasesc in gradul insucien t de accesibilitate a cunostin telor, p osibilitatile
in telectuale mai reduse ale unor elevi dar mai ales in c alitate a pr e darii si veric arii cunostintelor .
Cum putem obtine o in v atare constien ta?
4

Probabil cea mai imp ortan ta etapa a constien tizarii consta in in telegerea materiei predate
in tr-un fragmen t de lectie (ap oi in in treaga lectie). Profesorul trebuie sa gaseasca ce an ume n u
in telege un elev din tr-o lectie si ap oi sa determine cauzele nein telegerii. Raspunsurile p ot  m ultiple:
necunoasterea semnicatiei unor termeni, n umarul prea mare de pasi facuti p en tru a demonstra
un rezultat, meto da aleasa are un grad prea mare de dicultate (de exemplu meto da reducerii la
absurd ce presupune in telegerea unor notiuni de logica), formalism ul lim ba jului matematic, ritm ul
prea rapid al expunerii unor parti din lectie.
Solutia gasita de n umerosii psihologi care au studiat fenomen ul in v atarii constien te este copar-
ticiparea elevului la propria instruire , deci transformarea din tr-un receptor pasiv in tr-un ul activ.
Ideal ar , asa cum spunea Piaget (1945), ca elevul sa rein v en teze teoria care trebuie sa i se predea.
Doar asa se a junge la o deplina constien tizare. Cam utopic, n u-i asa? Dar o refacere a acestei
teorii, in pasi alesi de catre profesor, n u este imp osibila! Sa n u uitam de credin ta scolii umaniste
de psihologie despre imp ortan ta implicarii elevului in propia sa instruire.
In mare, la baza aplicarii acestui principiu stau:
1. stimular e a activitatii elevului in to ate etap ele invatarii :
(a) imp ortan ta in v atarii prin actiune practica ( exemplu : formarea notiunii de n umar p orneste
de la realizarea zica a coresp onden telor biuniv o ce in tre elemen tele unor m ultimi nite,
elemen tele de com binatorica se p ot in tro duce prin actiuni efectiv e de grupari de elemen te
ale unei m ultimi, etc);
(b) utilizarea unor strategii didactice adecv ate: problematizarea si in v atarea prin descop erire,
im binarea explicatiei cu con v ersatia euristica, exemplicarile, folosirea materialului in-
tuitiv, alegerea problemelor cu grija, atat p e cele rezolv ate in clasa cat si tema p en tru
acasa (v om detalia aceste meto de ulterior);
(c) aten tia acordata comp onen tei afectiv e: profesorul trebuie sa para (si ideal ar  sa si e)
en tuziasmat p e parcursul demonstrarii unor rezultate, sa para ca ideile ii vin in acea
clipa si sa explice mo dul in care a rationat.
2. intele ger e a c ontinutului materiei : o meto da generala este de a desface materialul ce trebuie
predat in itemi usor de in v atat succesiv, dar prezen tandu-se semnicatia logica a ecaruia.
Ap oi apare necesara reconexarea logica a secv en telor. A v em deci de a face cu im binarea din tre
analiza si sin teza. O predare in cascada il v a face p e elev sa ren un te la un momen t dat la
urmarirea activ a si constien ta a materialului. In timpul parcurgerii acestor pasi profesorul
trebuie sa:
(a) precizeze semnicatia termenilor folositi;
(b) justice necesitatia tuturor ip otezelor, v ariindu-le p en tru a preciza aria lor de v alabilitate;
(c) atraga elevii la elab orarea activ a a denitiilor, form ularea teoremelor, gasirea unor e-
xemple si con traexemple bine alese;
(d) motiv eze constructiile a jutatoare si articiile in calcule;
(e) rep ete v ariat unele rezultate c heie ce trebuiesc retin ute;
(f ) faca p e tabla o shema a pasilor demonstratiei (sau sc hema ce cuprinde principalele notiuni
si teoreme ale lectiei);
(g) utilizeze judicios tabla;
(h) stim uleze elevul prin ritm ul in tonatiei;
3. c onstientizar e a invatarii matematicii in ansamblul ei : elevul ar trebui sa in teleaga clar, con-
cret, la ce-l a juta in v atarea matematicii. De obicei, aplicarea ei in viitoarea meserie este un
scop cam v ag si indepartat. De data aceasta v edem legatura cu scoala b eha viorista. Un punct
5

forte insa il constituie atractia p en tru problematic a copilului si adultului, atractie ce trebuie
stim ulata si cizelata. Ca meto da didactica se p otriv este alegerea unor probleme form ulate
distractiv, sau incitan t. De exemplu : p e p eretii unei camere (paralelipip ed dreptunghic, ale
carui dimensiuni sun t cunoscute) se aa un gandac care n u zb oara si o picatura de miere (in
niste puncte care se precizeaza prin tr-o gura). Exista un drum gandac-miere mai scurt de
a metri (o lungime precizata) ? V om rev eni la acest subiect cand v om v orbi mai p e larg
despre motiv atie.
In nal, rezumam o parte din etap ele p e care un profesor ar trebui sa le parcurga daca doreste sa
resp ecte principiul constien tizarii:
 sa reactualizeze cunostin tele an terioare;
 sa marc heze ca acele cunostin te trebuie si p ot  completate in tr-o an umita directie;
 sa in tro duca, p e cat se p oate, noile cunostin te p ornind de la asp ecte in tuitiv e sau c hiar actiuni
zice;
 sa prezin te in pasi marun ti noile cunostin te;
 sa v erice prin in trebari si exercitii niv elul de in telegere;
 sa stim uleze curiozitatea elevilor;
 sa e el insusi en tuziasmat si activ;
 sa xeze noile ac hizitii in structuri bine organizate.
4 Principiul resp ectarii particularitatilor de v arsta si indivi-
duale
P en tru a sin tetiza dicultatile impuse de acest principiu armam ca in general clasele de elevi sun t
neomogene .
Exista catev a reguli de bun sim t, care rezolv a problemele la niv el grosier: mai putin si mai usor
p en tru cei mici sau cei slab pregatiti, mai m ult si mai greu p en tru cei mari sau mai bine pregatiti.
P en tru ca termenii greu si usor sun t relativi, ei sugereaza de fapt predarea actionand de la ce
este familiar la ce este indepartat, de la cunoscut la necunoscut.
Probabil ca acesta este principiul cel mai greu aplicabil in practica, care trezeste cele mai m ulte frustrari profe-
sorilor. Un motiv in plus p en tru necesitatea informarii profesorilor asupra celor mai bune meto de prin care se p ot
apropia de acest deziderat.
A cest principiu este si cel ce a dus la aparitia unor tipuri alternativ e de in v ataman t. La noi in tara cunoastem
in v ataman tul Step b y Step si scoala W aldorf. V a in vit sa v a informati asupra particularitatilor acestora. Consideram
ca principiile p e care ele se bazeaza p ot oferi sugestii utile in v ataman tului clasic.
A ti v azut ca, in ev olutia sa istorica, in v ataman tul gimnazial a dev enit obligatoriu. Deci toti copiii cu v arstele
in tre 10 si 14 ani trebuie sa in v ete o an umita materie. Dar copiii de aceeasi v arsta (ca sa n u mai v orbim de faptul
ca in tr-o clasa exista copii de v arste diferite) n u au aceeasi capacitate cognitiv a, n u in v ata in acelasi mo d (aceeasi
meto da didactica aplicata unor elevi diferiti are consecin te diferite in ceea ce priv este gradul de in telegere), n u au
aceleasi conditii so ciale.
In general, materia aleasa la orice obiect este adresata un ui elev de niv el mediu. Dar ce inseamna elev de niv el
mediu? Ce caracteristica a elevului, care inuen teaza in v atarea, este aici masurata?
Nu cred ca sun tem in masura sa dam niste sfaturi care sa se aplice tuturor colectiv elor de elevi. Dar v om prezen ta
idei care s-au do v edit viabile, in practica, p en tru o an umita categorie de elevi. Ne v om referi la elevi fara dizabilitati
men tale si fara probleme de sanatate care ar inuen ta mo dul lor de in v atare. De asemenea sun t exclusi in aceasta
6

sectiune elevii supradotati. Consideram ca tratarea acestor cazuri este destinata unor cursuri separate. Dar e bine
ca viitorii profesori sa e constien ti de p osibilitatea de a a v ea in clasa un elev din tr-una din categoriile de mai sus.
In aceasta situatie se recomanda realizarea unei ec hip e profesor-parin ti-psiholog-medic-psihop edagog si luarea unor
decizii impreuna, p en tru realizarea unei programe adaptate acestora.
T ot din motiv ele precizate mai sus a aparut curriculum-ul la decizia scolii: p e langa trunc hiul com un al unei
discipline apare curriculum-ul extins, aprofundat, optionalele.
P erforman tele elevilor cresc exp onen tial in rap ort cu timpul. Cand v orbim de p erforman te ne
referim la can titatea de cunostin te p e care o p ot asimila, cat si la gradul de diculatete al acestora.
Un ui elev din clasa I ii trebuie10 luni p en tru cunoasterea literelor alfab etului si dobandirea abilitatii
de a citi un text in mo d rudimen tar. Dar, ritm ul de citire fata de momen tul incep erii descifrarii
primelor cuvin te, este, la nalul clasei, de 20 ori mai mare. Asa se in tampla si cu in v atarea matema-
ticii. V olum ul de cunostin te si dicultatea lor trebuie sa creasca exp onen tial in timp. T rebuie insa
a vut grija in p ermanen ta, indiferen t de niv elul elevului, sa n u apara o sub- sau o suprasolicitare a
acestuia. Daca i se v a preda prea putin sau prea simplu se v a plictisi si n u v a mai  aten t, daca v a
 pus sa in v ete prea m ult sau prea greu, se v a descura ja si v a ren un ta.
Exista mai m ulte meto de de adaptare a predarii-in v atarii-ev aluarii la neomogenitatea clasei.
1. La orele de aplicatii si de v ericare, clasa se imparte p e grup e omogene, de obicei p e trei
niv eluri. Exercitiile e se dau diferen tiat, ca n umar si/sau grad de dicultate, e se propune
aceeasi tema dar ecare grupa are de rezolv at doar o parte bine stabilita a acestei teme,
cum ularea rezultatelor ducand la solutia nala.
2. Se p ot forma grup e neomogene, organizate in jurul un ui elev lider. A cesta explica celorlalti
ideile sale, iar cei mai putin priceputi a juta la rezolv area unor etap e mai simple. A ceasta
meto da are de m ulte ori succes, elevii in telegand cate o data mai bine explicatiile un ui coleg.
Cel ce explica se sim te util si in v ata sa a jute, isi dezv olta spiritul de toleran ta, altruism ul, iar
cei cu dicultati de in telegere se sim t acceptati asa cum sun t. Mai m ult, reusind ca impreuna
sa nalizeze o problema mai complexa, au si ei parte de satisfactie, p e cand singuri, sau cu
colegi de aceeasi putere, n u ar  a vut succes.
3. Munca individuala de acasa, depusa p en tru rezolv area temelor, trebuie sa concorde cu puterea
ecaruia. Se recomanda deci gandirea unor teme diferen tiate. Efortul depus v a  astfel
apro ximativ acelasi p en tru toti.
4. Ev aluarea trebuie sa tina con t de acest efort depus. Nu este v orba de a relativiza nota, ci de
luarea in calcul a pro cen tului p e care efortul depus il reprezin ta din efortul p e care il depune
in general un elev dat (o crestere de un punct la un elev de nota 4 reprezin ta 25%, p e cand
trecerea de la 8 la 9 n u inseamna decat o crestere cu 12.5%). Se recomanda astfel acordarea
un ui mic puncta j suplimen tar insotit de motiv area acestuia.
5. Profesorul trebuie sa incerce sa a jute elevii sa treaca din tr-o grupa v alorica in tr-una sup erioara.
Aici motiv atia are rolul esen tial. P e langa nota, se p ot folosi si alte meto de de recomp ensare
sau m ustrare.
6. E indicat ca profesorul sa organizeze efortul ecarei grup e v alorice, p en tru a atinge un niv el
optim. Nu e v orba doar de cei mai slabi pregatiti, ci si de cei mai buni. T rebuie a vut grija
ca acestia sa n u neglijeze alte domenii de studiu utile atat p en tru cultura lor generala, cat
si p en tru armarea profesionala viitoare. Sau sa n u obtina satisfactii prea mari in tr-un timp
scurt, incat sa n u mai e motiv ati in viitor.
7. Se recomanda v arierea meto delor didatice folosite in predare-ev aluare, astfel incat ecare elev
sa aiba sansa de a b enecia de meto de care i se p otriv esc.
7

In cursul dedicat rolului motiv arii cat si in cel despre ev aluare v om rev eni asupra unor astfel de
asp ecte.
P en tru a face cat mai putine erori p edagogice, v a sfatuim sa cititi carti de psihologie care
trateaza div eritele tipuri de in v atare ale oamenilor.
V a recomandam cartea [P e], pag. 139: stiluri de in v atare si reprezen tari m ultiple.
5 Principiul intuitiei
In predarea matematicii este bine ca elevii sa-si formeze notiunile fundamen tale prin abstragerea lor
din realitatea zica. In clasele I-VI in tuitia trebuie sa predomine, elevilor trebuie sa li se prezin te
materiale in tuitiv e clare. Ulterior, se v or prezen ta si mo dele in tuitiv e care sa conduca la greseli,
astfel li se p oate explica elevilor necesitatea rationamen tului. T reptat n umarul mo delelor concrete
v a scadea, crescand cel al mo delelor abstracte. Dar consideram ca inlaturarea totala a in tuitiei este
o gra v a eroare.
Principiul in v atarii in tuitiv e este justicat de:
 caracterul concret si con textual al gandirii elevului;
 plusul de relev an ta ce apare in tr-un mo del sensibil;
 legatura in tre cunoastere si obiectul ei se realizeaza n u la niv elul abstractiei maxime ci inr-un
mo del con v enabil (ca grad de accesibilitate);
 nev oia de surprindere a esen telor ascunse de m ultiv alen ta abstracta.
Cuv an tul in tuitiv, in v orbirea curen ta, are sensul de neabstract, neriguros, vizual, plauzibil, in-
complet. Un alt sens este cel de in tegrativ, opus analiticului. A cestuia i se aso ciaza termen ul de
cunoastere in tuitiv a, dobandita prin con tactul cu realitatea obiectiv a, prin in termediul sim turilor,
prin op erare cu mo del zic sau cu imagini.
V om en umera in con tin uare catev a exemple, sp ecice predarii matematicii in clasele primare.
Astfel, p en tru predarea doimii, patrimii, etc, in clasele primare se p oate taia un mar in doua
parti egale, ap oi ecare parte se taie din nou in doua parti egale. Se observ a astfel si ca patrimea
este o doime din doime. Marul este in acest caz un mo del concret p en tru o notiune abstracta.
Exista si sisteme abstracte ce mo deleaza notiuni abstracte. De exemplu dreapta reala este un
mo del abstract p en tru m ultimea n umerelor reale (incepand cu clasa a V-a). Notiunea de functie
este un sistem abstract mo delat prin gracul functiei. Deci are un mo del tot abstract, dar si acesta
p oate  mo delat la randul sau concret, prin tr-un desen.
Deci, in matematica, notiunile abstracte sun t mo delate e abstract, e concret.
Exemple de mo dele concrete: desene, planse, placi subtiri de forma unor p oligoane, mac hete de
corpuri geometrice, desene prezen tate cu a jutorul retroproiectorului.
Men tionam ca natura in tuitiei elevilor p oate  si ea diferita. Unii elevi au o in tuitie geometrica,
gurativ a, altii au o in tuitie algebrica, op erationala.
Mai dam un exemplu am uzan t: cel al in tro ducerii in tuitiv e al grupului lui Klein.
Consideram un clo wn care reactioneaza la comenzile: brate! (ridica bratele daca le are de-a
lungul corpului sau le strange in caz con trar); picioare! (le departeaza daca erau apropiate si in-
v ers); nimic! (eviden t n u face nici o miscare); tot! (executa sim ultan cele doua comenzi de mai
sus). Completand tab ela comenzilor succesiv e se obtine o structura algebrica de grup, grup izomorf
cu grupul lui Klein.
8

N B P T
N N B P T
B B N T P
P P T N B
T T P B N
Asp ectul in tuitiv n u trebuie sa e doar un momen t initial al predarii, ci un insotitor p ermanen t
al actului de cunoastere, mai ales in pasa jele sale critice. In tuitia trebuie sa particip e la toate
etap ele si v arstele in v atarii matematicii.
Este ideala in descrierea premergatoare in tro ducerii unor notiuni. O do v ada a folosirii ei este
alegerea unora din tre prop ozitiile matematice adev arate ca ind teoreme, a v and deci o imp ortan ta
sp orita. Matematician ul in tuieste utilitatea ulterioara a un ui rezultat si subliniaza acest lucru
n umindu-l teorema.
Credem ca rolul esen tial al in tuitiei apare in pro cesul demonstrarii unei probleme. O problema
mai complexa p oate  impartita in probleme mai simple, pasul in termediar de demonstratie ind
cel mai adesea in tuit. La fel, in pro cesul de cercetare, un matematician in tuieste spre ce rezultat il
p ot conduce un sum um de date. Ap oi incearca sa demonstreze acel rezultat in mo d riguros.
In concluzie, rap ortul cunoastere in tuitiv a-cunoastere logica ev olueaza in fa v oarea celei logice
p e masura ce elevii cresc. Dar aceasta ev olutie trebuie sa se pro duca p e nesim tite, fara a denatura
in min tea elevului rap ortul in tuitie-rigoare logica in sensul e de a dispretui in tuitia, e de a se
sp eria si a se descura ja de imp erativ ele rigorii. Mai degraba consideram ca o im binare in teligen ta
in tre in tuitie si rigoare duce la suprem ul deziderat: creativitatea.
In cursul urmator v om detalia urmatoarele principii:
 Principiul invatarii temeinic e
 Principiul c onexiunii inverse
 Principiul motivatiei optime
 Principiul pr oblematizarii
 Principiul le garii te oriei de pr actic a
References
[An] M. Anastasiei, Meto dica predarii matematicii, Ed. Univ. AL. I. Cuza, Iasi, 1985.
[Ba] H. Banea, Meto dica predarii matematicii, Ed. P aralela 45, Pitesti, 1998.
[Rus] I. Rus, D. V arna, Meto dica predarii matematicii, E. D. P ., Bucuresti, 1983.
[Br] D. Branzei, Meto dica predarii matematicii, Ed. P aralela 45, Pitesti, 2007.
[P e] Geo P ett y , Profesorul azi, Meto de mo derne de predare, Ed. A telier Didactic, Bucuresti,
2007.
9